Если родственники будут регулярно отправлять деньги на карту самозанятому (Яндекс.Такси), будут ли с этих денег снимать налог?
Нет, с личных расчетов налог платить не придется. Если все поступления по вашей карте автоматом заносятся в приложение "Мой налог" и облагаются налогом, то просто используйте другую карту для личных переводов. Но обычно всё только от самозанятого зависит: если он вносит запись о поступлении денег от клиента в приложении, это считается его налогом. Если не вносит, значит, личные расчеты.
Как доказать, что эти суммы не ваш доход? 
Достаточно подтвердить, что переводы получены от ваших родных. Для этого хватит и паспортных данных.
Если это расчеты с друзьями или коллегами, то просто будьте готовы, что банк или налоговая спросят, что это за платеж не только у вас, но и у них. Достаточно будет написать объяснительную, что это деньги на личные нужды, например, возврат долга или подарок.
Если продали какие-то вещи на Авито, то объяснится нужно будет также обеим сторонам сделки, плюс поможет ссылка на объявление о продаже.
В общем подтвердить личный характер денежных переводов возможно, но не пытайтесь замаскировать так получение дохода, так можно и на контрольную закупку нарваться.