Почему бывшие британские колонии называют свои валюты долларами, а не фунтами?
Например, в Австралии, Новой Зеландии, Канаде, Сингапуре, Ямайке
Кратко. Потому что десятичная денежная система удобнее 12/20-ричной системы на основе фунта стерлингов (унаследованной от Карла Великого (VIII-IX в.), а им от римлян (по  монетам, но не по соотношению в Древнем Риме) - 1 фунт = 20 солидов (соль, су, шиллинг), = 240 денариев (денье, динар, d - обозначение 1 пенни и т.п.)  ) . Плюс исторические и экономические особенности регионов - например, товарооборот Канады с США. Поэтому если колонии и имели когда то - не долго (Канада) или долго (Австралия, Новая Зеландия) - систему на основе фунта, то они от неё отошли в пользу десятичной денежной системы. Что Великобритания сделала только в 1971 году. 
Подробно.
Для начала, про доллар. Который возник и получил распространение не в США. 
Доллар. 
- Название произошло от распространённой с первой половины XVI века монеты - талера (крупная серебряная монета весом ~30г. (~1 унция) по номиналу соответствовавшая золотому гульдену весом 3,39 г. - обычный стандарт золотых монет со времён флоринов и цехинов. Название талер произошло от богемского (ныне чешского) города Иоахимсталь (от нем. tal - долина и имени покровителя Святого Иоахима), где, благодаря обнаруженным залежам серебра, его и начали чеканить.
- "доллар" - искаженное на английский лад название талера, впервые было использовано для названия шотландских монет 30 шиллингов (доллара с мечом, sword dollar - 30-граммовый аналог талера), чеканившейся c 1567 по 1571 год. 


- к слову говоря на Руси иоахимсталер (так поначалу назывался талер) тоже получил своё название - ефимок. 
- талеры были распространены как в Европе (практически являлись стандартом), так и среди первых североамериканских переселенцев, особенно среди голландцев. В английских колониях все монеты формата талера называли "доллар"
- одной из таких монет, особенно распространённых в Америках и Юго-Восточных колониях был испанский песо (номиналом в 8 испанских реалов), имевший формат талера. Отсюда в североамериканских колониях появился "испанский доллар" ("испанский талер" на английский лад). По одной из версий знак $ произошёл от обозначения испанского песо (PS): 


- фактически песо ("испанский доллар") был одной из международных валют, особенно в колониальных регионах - Северной Америке, Карибском бассейне, колониях Юго-Восточной Азии.
- первые монеты Монетного двора США, выпущенные в 1792 году были сделаны по формату песо. Закон США о чеканке монет 1857 года утвердил стандарт собственной валюты с название доллар.
Сингапурский и другие ЮВА доллары.
- в начале XIX века основной валютой в Ост-Индии был "испанский доллар" (песо). В 1845 году в Стрейтс-Сетлментс (британская колония, расположенная на части нынешних территорий Малайзии и Таиланда) была введена своя валюта - доллар, равный испанскому доллару или мексиканскому песо. До этого в этой британской колонии официальной денежной единицей была индийская рупия, но широкое хождение имели песо ("испанские доллары"). Система сразу была десятичной - 1 доллар = 100 центов (уже удобнее, чем сложная 12/20-ричная английская система фунта и взаимосвязи шиллингов и пенсов с индийской рупией). 
- позже эта валюта получила названия "доллар Проливов" и была официальной валютой также Северного Борнео и Малайских султанатов.
- В 1939 году доллар Проливов был разделён на национальные валюты - Сингапурский доллар, Малайский доллар, Брунейский доллар.
Канадский доллар.
- В XVI-XVIII веках в Новой Франции, в том числе на территории Канады имела место французская денежная система (ливр, соль/су, лиард, денье). 
- После завоевания Квебека англичанами в 1760 году основной валютой Канады стали те же испанские доллары (песо).
- в 1825 году Британское правительство издало указ об использовании в колониях монетной системы на основе фунтов, шиллингов, пенсов. Это относилось и к Канаде. Но курс  испанского доллара, равный четырем шиллингам и четырем пенсам, указанный в приказе, не соответствовал реальному содержанию серебра и вызвал обратную негативную реакцию, вымывшую из оборота не многие английские монеты. В 1838 решили исправить ситуацию и сделать корректировку, но британские североамериканские (канадские) колонии были исключены из нового положения из-за недавних восстаний.
- с 1841 по 1858 гг. существовал Канадский фунт. Но он сразу был меньше британского фунта стерлинга, а позже каждая колония имела свой курс в зависимости от законодательства этой колонии, в результате появились фунт Нью Брунсвика, фунт Ньюфаундленда, фунт Новой Шотландии, фунт острова Принца Эдуарда. Постепенно они были заменены десятичной денежной системой, привязанной к доллару США и Испании.
- На протяжении 1850-х годов имперское и колониальные канадские правительства обсуждали вопрос о канадской колониальной валюте. Имперское правительство поддерживало систему, в которой все колонии использовали бы валюту, основанную на фунте стерлингов, которая могла быть либо британской валютой, либо местной колониальной валютой, привязанной к фунту стерлингов, включая десятичную валюту. Колониальные правительства все больше отдавали предпочтение десятичной денежной системе, основанной на долларе США, из-за увеличения торговли с соседними Соединенными Штатами.
- В июне 1851 года представители провинций Канады, встретились в Торонто, чтобы обсудить введение единой десятичной валюты. Правительство в Лондоне в принципе согласилось на десятичную чеканку, но надеялось, что колонии примут стерлинговую единицу под названием Royal.
- С этого момента начался постепенный переход канадских колоний на десятичную систему доллара и центов, привязанных к американскому доллару.
Австралийский и Новозеландский доллары.
- Австралия имела денежную систему, основанную на фунтах до 1966 года. Новая Зеландия - до 1967. Системы были аналогичными британской 1 фунт = 20 шиллингов = 240 пенсов. 
- К этому времени (после 1942 года) колонии Британские колонии де-факто были абсолютно самостоятельными государствами и были вправе самостоятельно принимать решения о своей валюте. С бывшей метрополией их связывает только власть единого монарха, а она и в Великобритании чисто номинальная. 
- При подготовке перехода на десятичную систему было предложено множество названий для местных валют. Так, одно из возможных названий валюты Австралии был тот же "ройял", а Новой Зеландии "киви".  Но решили не мудрить и выбрали доллар. Сленговое название австралийского доллара - "оззи" (aussie).
- А метрополия слишком долго думала. И перешла на десятичную систему фунт-пенни только с 1971 года (готовиться начала с 1968 года).
Ямайский доллар.
- с 1840 до 1969 денежной единицей Ямайки был ямайский фунт (до этого - в основном британский фунт и песо). В 1969 году Ямайка и Каймановы острова перешли на десятичную систему доллар-цент. 
- Каймановы острова перешли на доллар Каймановых островов с 1972 года.