Могу ли я обменять надорванный доллар?
Да, но, зависит от того, на сколько сильно надорван. У банков есть внутренние Правила приема поврежденных банкнот иностранных государств. 
Например в БКС Банк следующие правила на эту операцию:

В ниже перечисленных случаях прием осуществляется с комиссией:
- отсутствие одного и более углов, кусков, фрагментов, площадь каждого из которых
составляет менее 5 мм2;
-  наличие одного разрыва края банкноты, длина которого составляет менее 5 мм;

Соответственно, если надрыв или отсутствие фрагмента превышают указанные значения, прием не осуществляется.

В других банках условия могут быть другими, поэтом можно просто пройтись по ближайшим банкам и попробовать. Либо же ознакомьтесь предварительно с "правилами приема поврежденных банкнот иностранных государств" каждого банка, который есть по близости.

Так же, если не получится обменять в банке, можно будет попробовать оплатить этой банкнотой покупку за границей.