ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳು (ಉದ್ದ, ಸಲೆ, ಘನ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ). == ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು == ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು 0 ವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ , ಬಿಂದುಗಳು , ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ ≤ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಂತರ: ಈಗ [, ] = { ∈ | ≤ ≤ } ಎಂಬ ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ (, ) = { ∈ | < < } ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿವೃತಾಂತರ (ಓಪನ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ - ಎನ್ನುವ ಅನೃಣವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು [,] ಅಥವಾ (, ) ಅಂತರದ ಅಥವಾ ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆದು - = [, ] = {}. ಇದು ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ - = 0. ಇಲ್ಲಿ [, ] = {}. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದಾದ ಗಣ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಂತರದ ಉದ್ದ 0 ಎಂದಾಯಿತು. === ವಿಧಿಸಂಧಿತ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ ಮತ್ತು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳು === ಒಂದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು [, ], (, ), [,) ಅಥವಾ (, ] ಯಂಥ ಒಂದು ಅಂತರವಾದರೆ (-) ಯು ನ ಉದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈಗ ಗಣ I1 = [, ] ಮತ್ತು I2 = [, ] ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು I1 ಮತ್ತು I2 ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಎಂದರೆ = I1 ∪ I2 ಮತ್ತು I1 ∩ I2 = ϕ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಆದರೆ ನ ಉದ್ದ () = (-) + (-) = (I1) + (I2) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ,,, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು <<< ಆಗಿದ್ದರೆ = I1 ∪ I2 = {∈ | ≤ ≤ } ∴ () = () = - < (-) + (-) = (I1) + (I2). ಹೀಗಾಗಿ ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. = I1 ∪ I2 ಆದಾಗ () ≤ (I1) + (I2) ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ , ∈ ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು ( ) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ () = ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ = 0 + 0 + …… = 0 ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು. == ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ == ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: = { ∈ | < < } ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಉದ್ದ () = - ≠ 0. ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಶನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I1 ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I2 ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ = I1 ∪ I2, I1 ∩ I2 = ϕ ಹಾಗೂ I1 ಮತ್ತು I2 ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ∴ (I1)=0=(I2). ಆದರೆ – = () = (I1) + (I2) = 0 + 0 = 0. ಇದು - ≠ 0 ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ ಮಾನ (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್ (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ. == ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) == ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (). ಈಗ ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ ಮತ್ತು ಗಳಿಗೂ ∪ ∈ ಮತ್ತು – ∈ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ ಯ ಎಲ್ಲ {A1, A2, A3,……………} ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ ⋃ = 1 ∞ {\ \ _{=1}^{\ }A_{}} ಸಹ ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ ಯನ್ನು ಒಂದು σ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ ⋂ = 1 ∞ ∈ {\ \ _{=1}^{\ }A_{}\ } ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಅನಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು − ∞ {\ -\ } ಹಾಗೂ + ∞ {\ +\ } ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ = ∪ { − ∞ , + ∞ } {\ =\ \{-\ ,+\ \}} ಎಂಬ ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು () ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ¯ {\ {\ {}}} ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ( ) ಕರೆಯೋಣ. ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. == ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು == : → ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ∀ , ∈ , ∩ = ϕ {\ \ ,\ ,\ =\ } ಎಂದರೆ , ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ( ∪ ) ≤ () ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು (ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್‍ಫಂಕ್ಷನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ ∀ , ∈ , ∩ = ϕ {\ \ ,\ ,\ =\ } , ( ∪ ) = () + () ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ ( ). ಯಲ್ಲಿ {}, =1,2,3,……. ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ ≠ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ∩ = ϕ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ ( ⋃ = 1 ∞ ) ≤ ∑ = 1 ∞ ( ) {\ \(\ _{=1}^{\ }A_{}\)\ \ _{=1}^{\ }(A_{})} ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಇಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ = ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದಾದರೆ ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸುವುದು ( ). == ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳು == : → ¯ {\ :\ {\ {}}} ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ () (ϕ) = 0 () A1, A2, ………… ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪. . . . ∪ ) = (A1) + (A2) + ……. + () () ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ ⊂ ಆದರೆ () ≤ (). ಇದರಿಂದ (-) = () – () ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ( ) < ∞ {\ ()<\ } ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ. () ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, {} ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ A1 ⊂ A2 ⊂ A3…………⊂ ಮತ್ತು = ⋃ = 1 ∞ {\ =\ _{=1}^{\ }A_{}} ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ( ) → ( ) , → ∞ {\ (A_{})\ (),\ \ } ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. == ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನದ ರಚನೆ == ಎಂಬುದು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು = (x1, x2, ……….., ) ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ x1, x2, ……….., ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. ≤ , = 1, 2,……. ಇವು ದತ್ತ 2n ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ≤ ≤ , = 1,2………….. ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು = (x1, x2, ……….., ) ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ≤ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ < ಎಂದೇ ಇರಬಹುದು. ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ = { (x1,………….,) | ≤ ≤ } ಆದರೆ () = (b1-a1)(b2-a2)………(-) = ∏ = 1 ( − ) ∗ {\ \ _{=1}^{}(b_{}-a_{})\ *} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ = ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ 0 ≤ () ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ ಯು + ∞ {\ +\ } ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ( ) = ∞ {\ ()=\ } ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 0 ≤ ( ) ≤ + ∞ {\ 0\ ()\ +\ } ಎಂದರೆ () ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ ಯು ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ = I1 ∪ I2 ∪ . . . . ∪ ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ, ()= (I1) + (I2) +……….. + () . . . . * * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ = J1 ∪ J2 ∪ . . . . ∪ ಎಂಬುದಾಗಿ ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, (I1) + (I2) +……….. + () = (J1) + (J2) +……….. + () ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● * ನಲ್ಲಿ () ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು. ಈಗ ξ ಯು ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ , ಗಳು ξ ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ ( ∪ ) = () + () ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಂಬುದು ξ ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು: (1) 0 ≤ () ≤ + ∞ , ∀ ∈ ξ {\ +\ ,\ \ \ } (2) ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ ∀ ∈ ξ , ∩ = ϕ {\ \ \ \ ,\ =\ } ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ( ∪ ) = () + (). ಇದರಿಂದ , ∈ ξ ಆದರೆ ( ∪ ) = () + () - ( ∩ ) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. == ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್) == ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ξ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ A1, A2, A3, …………….. ಗಳು ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ ⊂ ⋃ = 1 ∞ {\ \ \ _{=1}^{\ }A_{}} ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ∙ ( ) = ∑ = 1 ∞ ( ) {\ \ ()=\ _{=1}^{\ }()} ... ( ∮ ) {\ \(\ \)} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ ( ). ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ Σm() ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ •(). ಇದನ್ನು ಗಣದ ಬಹಿರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ: () •() ≥ 0, ∀() ⊂ () S1 ⊂ S2 ⊂ ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ •(S1) ≤ •(S2) () = ⋃ = 1 ∞ , ⊂ {\ =\ _{=1}^{\ }S_{},S_{}\ ^{}} ಆದರೆ ∙ ( ) ≤ ∑ = 1 ∞ ∙ ( ) {\ \ ()\ \ _{=1}^{\ }\ (S_{})} ಎಂದರೆ • ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. () ∀ ∈ ξ ಎಂದರೆ ಮೂಲಗಣವಾದರೆ •()=(). ಹೀಗಾಗಿ • ಎಂಬುದು ξ ನಿಂದ ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ. == ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು == ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಯು ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು {}, =1, 2, 3,………. ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ → , → ∞ {\ A_{}\ ,\ \ } ಆದರೆ ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ನ ಯಾವಗಣ ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ S1, S2, S3…….. ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ = ⋃ = 1 ∞ {\ =\ _{=1}^{\ }S_{}} ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ ನ್ನು ಮಾಪನೀಯ ಗಣ ( ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ , ∈ ಆದರೆ • ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ: (1) • : → ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ (2) • ≥ 0 (3) • ( ∪ )= • () + • () – • ( ∩ ) ಅರ್ಥಾತ್ • ಸಂಕಲನೀಯ. (4) • : → ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ A1,A2,A3………… ಗಳು ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ ∙ ( ⋃ = 1 ∞ ) = ∑ = 1 ∞ ∙ {\ \ \(\ _{=1}^{\ }A_{}\)=\ _{=1}^{\ }\ A_{}} . ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ • ಎನ್ನುವುದು ξ ನಿಂದ ಗೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ನ ಗಣಗಳಿಗೆ • ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ • ನ್ನು ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ : → ¯ {\ :\ {\ {}}} ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ () ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್‍ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ (1) =1 ಆದರೆ = { | ≤ ≤ } ಯು R1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ () = (-) ಯು ನ ಉದ್ದ. (2) =2 ಆದರೆ = {(,) | ≤ ≤ , ≤ ≤ } ಯು R2 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಆಯತ. ಈಗ () = (-)(-) ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ. (3) =3 ಆದರೆ = {( ,,) | ≤ ≤ , ≤ ≤ , ≤ ≤ } ಎಂಬುದು R3 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, () = (-)(-)(-) ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ. == ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == == ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ == , (2019). : (). . . 49 (5th .). , : . 978-1-108-47368-2. 1100115281. 5, 2020. == ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು == "", , , 2001 [1994] :