ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ ಎನ್ನುವುದು Nx2+1 = y2 ( ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (6-7ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಭಾಸ್ಕರ (12ನೆಯ ಶತಮಾನ) ತಮ್ಮ ತಮ್ಮ ಕಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಡಯೊಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣವೆಂಬ ಹೆಸರು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಜಾನ್ ಪೆಲ್ (1610-85) ಎಂಬಾತ ಇದೇ ರೂಪದ x2-Dy2 = 1 (ಇಲ್ಲಿ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ( - )) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ರಾಷ್ಟ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ ಅಥವಾ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣ ಪೆಲ್ಲಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣವೆಂದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. == ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಪರಿಹಾರ == ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿಗೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಪರಿಹಾರ ಪಡೆದ ಬಗೆ ಬಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಂದರ. ಮೊದಲು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು Nα2 + κ = β2 Nα'2 + κ = β'2 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಆಗ αβ'+α'β ಮತ್ತು ββ'+Nαα' ಎಂಬವು Nx2+κκ' = y2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಉಪಪ್ರಮೇಯ (ಲೆಮ್ಮ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ α=α' ಮತ್ತು β=β' ಎಂದು ಆದೇಶಿದಾಗ 2αβ, β2+Nα2 ಎಂಬವು Nx2+1 = y2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ. κ=±1 ಮತ್ತು κ=±2 ಆದಾಗ ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. =4 ಆದಾಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ = α 2 − 2 2 , = α β 2 {\ ={\ {\ ^{2}-2}{2}},={\ {\ \ }{2}}} ಎಂಬವನ್ನೂ, = α 2 ( α 2 − 3 ) , = β 2 ( α 2 − 1 ) {\ ={\ {\ }{2}}(\ ^{2}-3),={\ {\ }{2}}(\ ^{2}-1)} ಎಂಬವನ್ನೂ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲನೆಯ ಜೊತೆ, α,β ಎರಡೂ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದಾಗ, ಅಂತೆಯೇ ಎರಡನೆಯ ಜೊತೆ ವಿಷಮಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ. ಉದಾರಣೆಗೆ κ=-4 ಆದಾಗ = ( α 2 + 2 ) [ ( α 2 + 1 ) ( α 2 + 3 ) − 2 ) ] 2 , = α β ( α 2 + 3 ) ( α 2 + 1 ) 2 {\ ={\ {(\ ^{2}+2)[(\ ^{2}+1)(\ ^{2}+3)-2)]}{2}},={\ {\ \ (\ ^{2}+3)(\ ^{2}+1)}{2}}} ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು 628ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತವಿದ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಸಾಧಿಸಿದುದು ಅಂದಿನ ಗಣಿತ ಚಿಂತನೆಯ ಹಿರಿಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕ. ಮುಂದೆ ಭಾಸ್ಕರ 1150 ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮೀಕರಿಸಿದ. ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿಯ ಪೂರ್ಣಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜ್ (1776-1813) 1766 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ. == ಉಲ್ಲೇಖಗಳು == == ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು == , ., "' ", . ', .; , ., "' ", , ( ) ( < 1010, x2 − ny2 = ±1, ±2, ±3, ±4)