விவியானியின் தேற்றம் (Viviani's theorem) சமபக்க முக்கோணத்தின் முக்கியப் பண்பினைத் தருகிறது. இத்தேற்றத்தின்படி, ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளியிலிருந்து அதன் மூன்று பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் (மிகச்சிறிய தூரம்) கூட்டுத்தொகையானது அந்த சமபக்கமுக்கோணத்தின் குத்துயரத்திற்குச் சமமாகும். இத்தேற்றம், இத்தாலியக் கணிதவியலாளரும் அறிவியலாளருமான வின்சென்சோ விவியானியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. அன்றாட வாழ்வியலில் இத்தேற்றம் பரவலான பயன்பாடுடையது.

நிறுவல் 

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு அதன் அடிப்பக்கம், குத்துயரம் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையில் பாதி என்ற நிறுவப்பட்ட கூற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டு இத்தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் குத்துயரம் h; பக்க நீளம் a.

முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி; அப்புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்கள்: u, s, t.  P உடன் A, B, C ஆகிய மூன்று முக்கோணத்தின் உச்சிகளையும் இணைத்து வரையப்படும் கோடுகளால் PAB, PBC, PCA என்ற மூன்று முக்கோணங்கள் கிடைக்கின்றன.

இம்மூன்று முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகள்:
PAB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: 
PBC முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: 
PCA முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: .  

இம்மூன்று முக்கோணங்களும் சேர்ந்து ABC முக்கோணத்தை நிரப்புவதால் இவற்றின் பரப்பளவுகள் கூட்டுத்தொகை ABC முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும். எனவே,

மேலுள்ள கூற்றைச் சுருக்கக் கிடைப்பது:

தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

தேற்றத்தின் மறுதலை 
தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்.

மறுதலைக் கூற்று:
ஒரு முக்கோணத்தின் உட்பக்கப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சாராததாக இருந்தால் அம்முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும்.

நீட்டிப்புகள்

இணைகரம் 
இத்தேற்றத்தின் கூற்றை ஒரு இணைகரத்திற்குப் பின்வருமாறு நீட்டிக்கலாம்.

ஒரு இணைகரத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் நான்கு பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. 

மறுதலையாக,

ஒரு நாற்கரத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் நான்கு பக்கங்களுள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்கவில்லை என்றால் அந்த நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருக்கும்.

ஒழுங்கு பல்கோணம் 
ஒரு ஒழுங்கு பல்கோணத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. மேலும் அக்கூட்டுத்தொகையானது பல்கோணப் பக்கநடுக்கோட்டின் நீளத்தின் n மடங்காக இருக்கும் (n - பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை). ஆனால் இக்கூற்றின் மறுதலை உண்மையாகாது.

சமகோணப் பல்கோணம் 
ஒரு சமகோணப் பல்கோணத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதல் அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது.

ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் 
ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. ஆனால் இக்கூற்றின் மறுதலை  உண்மையில்லை (நான்முகிக்கும் கூட).

மேற்கோள்கள்

மேலும் வாசிக்க

வெளியிணைப்புகள் 
 
Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
  at Cut the knot.
 the Wolfram Demonstrations Project.
  at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.
 
 

சமதள வடிவவியல் தேற்றங்கள்
viviyāṉiyiṉ dheṟṟaṃ (Viviani's theorem) jhamabhaghgha mughghoṇadhdhiṉ mughghiyabh bhaṇbhiṉaidh dharughiṟadhu. idhdheṟṟadhdhiṉbhaḍhi, òru jhamabhaghgha mughghoṇadhdhiṉ uḍhbhuṟamuḻḻa edhāvadhu òru bhuḻḻiyilirundhu adhaṉ mūṉṟu bhaghghaṅghaḻughghuḻḻa dhūraṅghaḻiṉ (mighajhjhiṟiya dhūraṃ) ghūḍhḍhudhdhòghaiyāṉadhu andha jhamabhaghghamughghoṇadhdhiṉ ghudhdhuyaradhdhiṟghujh jhamamāghuṃ. idhdheṟṟaṃ, idhdhāliyagh ghaṇidhaviyalāḻaruṃ aṟiviyalāḻarumāṉa viṉjhèṉjho viviyāṉiyiṉ bhèyarāl al̤aighghabhbhaḍhughiṟadhu. aṉṟāḍha vāl̤viyalil idhdheṟṟaṃ bharavalāṉa bhayaṉbhāḍhuḍhaiyadhu.

niṟuval 

òru mughghoṇadhdhiṉ bharabhbhu adhaṉ aḍhibhbhaghghaṃ, ghudhdhuyaraṃ iraṇḍhiṉ bhèrughghudhdhòghaiyil bhādhi èṉṟa niṟuvabhbhaḍhḍha ghūṟṟai aḍhibhbhaḍhaiyāghagh ghòṇḍhu idhdheṟṟaṃ niṟuvabhbhaḍhughiṟadhu.

jhamabhaghgha mughghoṇaṃ ABC iṉ ghudhdhuyaraṃ h; bhaghgha nīḻaṃ a.

mughghoṇadhdhiṉ uḍhbhuṟamuḻḻa edhāvadhu òru bhuḻḻi; abhbhuḻḻiyilirundhu mughghoṇadhdhiṉ bhaghghaṅghaḻughghuḻḻa dhūraṅghaḻ: u, s, t.  P uḍhaṉ A, B, C āghiya mūṉṟu mughghoṇadhdhiṉ ujhjhighaḻaiyuṃ iṇaidhdhu varaiyabhbhaḍhuṃ ghoḍhughaḻāl PAB, PBC, PCA èṉṟa mūṉṟu mughghoṇaṅghaḻ ghiḍhaighghiṉṟaṉa.

iṃmūṉṟu mughghoṇaṅghaḻiṉ bharabhbhaḻavughaḻ:
PAB mughghoṇadhdhiṉ bharabhbhaḻavu: 
PBC mughghoṇadhdhiṉ bharabhbhaḻavu: 
PCA mughghoṇadhdhiṉ bharabhbhaḻavu: .  

iṃmūṉṟu mughghoṇaṅghaḻuṃ jherndhu ABC mughghoṇadhdhai nirabhbhuvadhāl ivaṟṟiṉ bharabhbhaḻavughaḻ ghūḍhḍhudhdhòghai ABC mughghoṇadhdhiṉ bharabhbhaḻavughghujh jhamamāgha irughghuṃ. èṉave,

meluḻḻa ghūṟṟaijh jhurughghagh ghiḍhaibhbhadhu:

dheṟṟaṃ niṟuvabhbhaḍhḍhadhu.

dheṟṟadhdhiṉ maṟudhalai 
dheṟṟadhdhiṉ maṟudhalaiyuṃ uṇmaiyāghuṃ.

maṟudhalaigh ghūṟṟu:
òru mughghoṇadhdhiṉ uḍhbhaghghabh bhuḻḻi òṉṟilirundhu aṃ mughghoṇadhdhiṉ bhaghghaṅghaḻughghu varaiyabhbhaḍhuṃ dhūraṅghaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyāṉadhu, abhbhuḻḻiyiṉ amaiviḍhadhdhaijh jhārādhadhāgha irundhāl aṃmughghoṇaṃ òru jhamabhaghgha mughghoṇamāghuṃ.

nīḍhḍhibhbhughaḻ

iṇaigharaṃ 
idhdheṟṟadhdhiṉ ghūṟṟai òru iṇaigharadhdhiṟghubh bhiṉvarumāṟu nīḍhḍhighghalāṃ.

òru iṇaigharadhdhiṉ uḍhbhuṟabh bhuḻḻi òṉṟilirundhu adhaṉ nāṉghu bhaghghaṅghaḻughghuḻḻa dhūraṅghaḻiṉ ghūḍhudhalāṉadhu abhbhuḻḻiyiṉ amaiviḍhadhdhaijh jhārndhirughghādhu. 

maṟudhalaiyāgha,

òru nāṟgharadhdhiṉ uḍhbhuṟabh bhuḻḻi òṉṟilirundhu adhaṉ nāṉghu bhaghghaṅghaḻuḻḻa dhūraṅghaḻiṉ ghūḍhudhalāṉadhu abhbhuḻḻiyiṉ amaiviḍhadhdhaijh jhārndhirughghavillai èṉṟāl andha nāṟgharaṃ òru iṇaigharamāgha irughghuṃ.

òl̤uṅghu bhalghoṇaṃ 
òru òl̤uṅghu bhalghoṇadhdhiṉ uḍhbhuṟabh bhuḻḻi òṉṟilirundhu adhaṉ bhaghghaṅghaḻughghuḻḻa dhūraṅghaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyāṉadhu, abhbhuḻḻiyiṉ amaiviḍhadhdhaijh jhārndhirughghādhu. meluṃ aghghūḍhḍhudhdhòghaiyāṉadhu bhalghoṇabh bhaghghanaḍhughghoḍhḍhiṉ nīḻadhdhiṉ n maḍhaṅghāgha irughghuṃ (n - bhalghoṇadhdhiṉ bhaghghaṅghaḻiṉ èṇṇighghai). āṉāl ighghūṟṟiṉ maṟudhalai uṇmaiyāghādhu.

jhamaghoṇabh bhalghoṇaṃ 
òru jhamaghoṇabh bhalghoṇadhdhiṉ uḍhbhuṟabh bhuḻḻi òṉṟilirundhu adhaṉ bhaghghaṅghaḻughghuḻḻa dhūraṅghaḻiṉ ghūḍhudhal abhbhuḻḻiyiṉ amaiviḍhadhdhaijh jhārndhirughghādhu.

òl̤uṅghu bhaṉmughadhdhiṇmaṃ 
òl̤uṅghu bhaṉmughadhdhiṇmadhdhiṉ uḍhbhuṟabh bhuḻḻi òṉṟilirundhu adhaṉ bhaghghaṅghaḻughghuḻḻa dhūraṅghaḻiṉ ghūḍhudhalāṉadhu abhbhuḻḻiyiṉ amaiviḍhadhdhaijh jhārndhirughghādhu. āṉāl ighghūṟṟiṉ maṟudhalai  uṇmaiyillai (nāṉmughighghuṃ ghūḍha).

meṟghoḻghaḻ

meluṃ vājhighgha

vèḻiyiṇaibhbhughaḻ 
 
Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
  at Cut the knot.
 the Wolfram Demonstrations Project.
  at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.
 
 

jhamadhaḻa vaḍhivaviyal dheṟṟaṅghaḻ
விவியானியின் தேற்றம்