கோட்டுருவியலில் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு (strongly regular graph) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: 

G = (V, E) ஒரு ஒழுங்கு கோட்டுரு; அதன் முனைகளின் எண்ணிக்கை: v; அதன் படி: k.  கீழுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவுசெய்யும்விதத்தில் λ, μ ஆகிய முழு எண்களைக் காண முடிந்தால் G ஒரு "வலிமையான கோட்டுரு"வாக இருக்கும்:

 எந்தவிரு அடுத்துள்ள முனைகளுக்கும் λ பொது அண்மையகங்கள் இருக்கும்.
 எந்தவிரு அடுத்தல்லாத முனைகளுக்கும் μ பொது அண்மையகங்கள் இருக்கும்.

இந்த வகையான  வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவானது  srg(v, k, λ, μ) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 1963 இல் இந்திய அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான இராஜ் சந்திர போசு வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவை அறிமுகப்படுத்தினார்.

சில கோட்டுருக்கள் மிகஎளிய வலிமையான கோட்டுருக்களாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சமவளவுடைய முழுக்கோட்டுருக்களின் பொதுவற்ற ஒன்றிப்புக் கோட்டுருக்கள், அவற்றின் நிரப்பு கோட்டுருக்கள், சமவளவுள்ள சாரா கணங்கள் கொண்ட அனைத்து பல்கூறு கோட்டுருக்கள் ஆகியவை "மிகஎளிய" வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகும் இவை போன்ற மிகஎளிய வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களைச் சில கணிதவியலாளர்கள் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகக் கொள்வதில்லை. 

ஒரு வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவின்  இன் நிரப்பு கோட்டுருவும் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும். 
வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு srg(v, k, λ, μ) இன் நிரப்பி: srg(v, v−k−1, v−2−2k+μ, v−2k+λ).

 μ ≠ 0 எனில், வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு 2 அலகு விட்டம் கொண்ட "தொலைவு-ஒழுங்கு கோட்டுரு"வாக இருக்கும்.
 λ = 1 எனில் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு "இடஞ்சார் நேர்கோட்டு கோட்டுரு"வாக இருக்கும்.

பண்புகள்

அளபுருக்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு 
srg(v, k, λ, μ) இல் உள்ள நான்கு அளபுருக்களும் ஒன்றுக்கொன்று சாராதவை அல்ல; அவை நான்கும் கீழுள்ள தொடர்பை நிறைவு செய்பவையாக இருக்கும்:

விளக்கம்:

கோட்டுருவின் முனைகள் (v) மூன்று நிலைகளில் அமைந்தவையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். 
ஏதாவதொரு முனையை வேராக எடுத்துக்கொள்ளலாம். 
அந்த வேர் முனையின்  அண்மை முனைகளை நிலை-1 இல் உள்ளவையாகக் கொள்ளலாம்.
 ஏனைய பிற முனைகள் அனைத்தும் () நிலை-2 இல் இருப்பவையாகக் கொள்ளலாம்.

நிலை-1 இலுள்ள முனைகள் எல்லாம் வேர் முனையுடன் நேரிடையாக இணைக்கப்பட்டிருக்கும். எனவே அவை வேர் முனையுடன் பொதுவானவையாக λ அண்மைமுனைகளைக் கொண்டிருக்கும். மேலும் இந்த λ பொது முனைகளும் நிலை-1 இல் அமைந்திருக்கும். இவற்றில் ஒவ்வொரு முனையின் படியும் k என்பதால் நிலை-1 இலுள்ள ஒவ்வொரு முனை  நிலை-2 இலுள்ள முனைகளோடு இணைக்கும் வகையில்  விளிம்புகள் இருக்கும். 
எனவே நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை: 

நிலை-2 இலுள்ள முனைகள் வேர்முனையோடு நேரிடை இணைப்பில்லாதவை. எனவே அவற்றுக்கு வேர்முனையுடன் பொதுவானவையாக μ முனைகள் இருக்கும். மேலும் அவை நிலை-1 அமைந்திருக்கும். நிலை 2 இலுள்ள முனைகளின் எண்ணிக்கை  ஆகும்; அவை நிலை-1 இலுள்ள μ முனைகளுடன் இணைக்கப்பட்டிருக்கும். 
எனவே நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை: 
.

இரண்டு விதமாகக் கணக்கிடப்பட்ட விளிம்புகளின் (நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகள்) எண்ணிக்கைகளைச் சமப்படுத்த நான்கு அளபுருக்களுக்கு இடையுள்ள தொடர்பு கிடைக்கிறது:

அண்மை அணி 
I  என்பது முற்றொருமை அணி; J ஒன்றுகளின் அணி; இரண்டின் வரிசையும் v. ஒரு வலிமையான கோட்டுருவின் அண்மை அணி A பின்வரும் இரு சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும்:

முதற்சமன்பாடு:
 

இது ஒரு கோட்டுரு ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருப்பதற்கான தேவையின் மிக எளிய மாற்றுக் கூற்றாக உள்ளது. இதன்படி, அண்மை அணியின் ஐகென் மதிப்பு k 

இரண்டாவது சமன்பாடு:

இது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவுக்கான தேவையைக் காட்டும் இருபடிச் சமன்பாடு.
இடப்புற அணியின் ij-ஆவது உறுப்பு, i இலிருந்து j க்குள்ள இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. 
வலதுபக்க முதல் உறுப்பு i இலிருந்து i க்குச் செல்லும் தன்பாதைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. 
i மற்றும் j இரண்டிற்கும் நேரடி இணைப்புள்ளபோது அவற்றுக்கிடைப்பட்ட இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வலப்பக்க இரண்டாவது உறுப்பு தருகிறது. 
i மற்றும் j இரண்டிற்கும் இடையே நேரடி இணைப்பு இல்லாதபோது அவற்றுக்கிடைப்பட்ட இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வலப்பக்க மூன்றாவது உறுப்பு தருகிறது. 
இம்மூன்று வகைகளும் ஒன்றுக்கொன்று பொதுமையற்றவையாகவும் அமையக்கூடிய அனைத்து பாதைகளையும் உள்ளடக்கியவையாகவும் உள்ளதால் இம்மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் இடப்புற மதிப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

மறுதலையாக, ஒரு கோட்டுருவின் அண்மை அணி மேற்கூறிய இரு கட்டுப்பாடுகளையும் நிறைவு செய்வதோடு, அக்கோட்டுரு முழுக்கோட்டுரு அல்லது வெற்று கோட்டுருவாக இல்லாமல் இருந்தால் அது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.

ஐகென் மதிப்புகள் 
வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவின் அண்மை அணிக்கு மூன்று ஐகென்மதிப்புகள் மட்டுமே இருக்கும்:
k, இதன் [[மடங்கெண் 1 
  இதன் மடங்கெண் 
  இதன் மடங்கெண் 

மறுதலையாக, மூன்று ஐகென் மதிப்புகள் மட்டுமுள்ள இணைப்புள்ள ஒரு ஒழுங்கு கோட்டுருவானது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள் 
 A.E. Brouwer, A.M. Cohen, and A. Neumaier (1989), Distance Regular Graphs.  Berlin, New York: Springer-Verlag.  , 
 Chris Godsil and Gordon Royle (2004), Algebraic Graph Theory.  New York: Springer-Verlag.

வெளியிணைப்புகள் 
 Eric W. Weisstein, Mathworld article with numerous examples.
 Gordon Royle, List of larger graphs and families.
 Andries E. Brouwer, Parameters of Strongly Regular Graphs.
 Brendan McKay, Some collections of graphs.
 Ted Spence, Strongly regular graphs on at most 64 vertices.

கோட்டுருவியல்
ghoḍhḍhuruviyalil valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuru (strongly regular graph) bhiṉvarumāṟu varaiyaṟughghabhbhaḍhughiṟadhu: 

G = (V, E) òru òl̤uṅghu ghoḍhḍhuru; adhaṉ muṉaighaḻiṉ èṇṇighghai: v; adhaṉ bhaḍhi: k.  ghīl̤uḻḻa ghaḍhḍhubhbhāḍhughaḻai niṟaivujhèyyuṃvidhadhdhil λ, μ āghiya mul̤u èṇghaḻaigh ghāṇa muḍhindhāl G òru "valimaiyāṉa ghoḍhḍhuru"vāgha irughghuṃ:

 èndhaviru aḍhudhdhuḻḻa muṉaighaḻughghuṃ λ bhòdhu aṇmaiyaghaṅghaḻ irughghuṃ.
 èndhaviru aḍhudhdhallādha muṉaighaḻughghuṃ μ bhòdhu aṇmaiyaghaṅghaḻ irughghuṃ.

indha vaghaiyāṉa  valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvāṉadhu  srg(v, k, λ, μ) èṉagh ghuṟighghabhbhaḍhughiṟadhu. 1963 il indhiya amèrighghagh ghaṇidhaviyalāḻarāṉa irāj jhandhira bhojhu valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvai aṟimughabhbhaḍhudhdhiṉār.

jhila ghoḍhḍhurughghaḻ mighaèḻiya valimaiyāṉa ghoḍhḍhurughghaḻāgha irughghuṃ. èḍhudhdhughghāḍhḍhāgha, òṉṟu alladhu òṉṟughghu meṟbhaḍhḍha jhamavaḻavuḍhaiya mul̤ughghoḍhḍhurughghaḻiṉ bhòdhuvaṟṟa òṉṟibhbhugh ghoḍhḍhurughghaḻ, avaṟṟiṉ nirabhbhu ghoḍhḍhurughghaḻ, jhamavaḻavuḻḻa jhārā ghaṇaṅghaḻ ghòṇḍha aṉaidhdhu bhalghūṟu ghoḍhḍhurughghaḻ āghiyavai "mighaèḻiya" valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhurughghaḻāghuṃ ivai bhoṉṟa mighaèḻiya valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhurughghaḻaijh jhila ghaṇidhaviyalāḻarghaḻ valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhurughghaḻāghagh ghòḻvadhillai. 

òru valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruviṉ  iṉ nirabhbhu ghoḍhḍhuruvuṃ valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvāgha irughghuṃ. 
valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuru srg(v, k, λ, μ) iṉ nirabhbhi: srg(v, v−k−1, v−2−2k+μ, v−2k+λ).

 μ ≠ 0 èṉil, valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuru 2 alaghu viḍhḍhaṃ ghòṇḍha "dhòlaivu-òl̤uṅghu ghoḍhḍhuru"vāgha irughghuṃ.
 λ = 1 èṉil valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuru "iḍhañjhār nerghoḍhḍhu ghoḍhḍhuru"vāgha irughghuṃ.

bhaṇbhughaḻ

aḻabhurughghaḻughghu iḍhaiyeyuḻḻa dhòḍharbhu 
srg(v, k, λ, μ) il uḻḻa nāṉghu aḻabhurughghaḻuṃ òṉṟughghòṉṟu jhārādhavai alla; avai nāṉghuṃ ghīl̤uḻḻa dhòḍharbhai niṟaivu jhèybhavaiyāgha irughghuṃ:

viḻaghghaṃ:

ghoḍhḍhuruviṉ muṉaighaḻ (v) mūṉṟu nilaighaḻil amaindhavaiyāgha èḍhudhdhugh ghòḻḻalāṃ. 
edhāvadhòru muṉaiyai verāgha èḍhudhdhughghòḻḻalāṃ. 
andha ver muṉaiyiṉ  aṇmai muṉaighaḻai nilai-1 il uḻḻavaiyāghagh ghòḻḻalāṃ.
 eṉaiya bhiṟa muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ () nilai-2 il irubhbhavaiyāghagh ghòḻḻalāṃ.

nilai-1 iluḻḻa muṉaighaḻ èllāṃ ver muṉaiyuḍhaṉ neriḍhaiyāgha iṇaighghabhbhaḍhḍhirughghuṃ. èṉave avai ver muṉaiyuḍhaṉ bhòdhuvāṉavaiyāgha λ aṇmaimuṉaighaḻaigh ghòṇḍhirughghuṃ. meluṃ indha λ bhòdhu muṉaighaḻuṃ nilai-1 il amaindhirughghuṃ. ivaṟṟil òvvòru muṉaiyiṉ bhaḍhiyuṃ k èṉbhadhāl nilai-1 iluḻḻa òvvòru muṉai  nilai-2 iluḻḻa muṉaighaḻoḍhu iṇaighghuṃ vaghaiyil  viḻiṃbhughaḻ irughghuṃ. 
èṉave nilai-1, nilai-2 iraṇḍhughghuṃ iḍhaiyiluḻḻa viḻiṃbhughaḻiṉ èṇṇighghai: 

nilai-2 iluḻḻa muṉaighaḻ vermuṉaiyoḍhu neriḍhai iṇaibhbhillādhavai. èṉave avaṟṟughghu vermuṉaiyuḍhaṉ bhòdhuvāṉavaiyāgha μ muṉaighaḻ irughghuṃ. meluṃ avai nilai-1 amaindhirughghuṃ. nilai 2 iluḻḻa muṉaighaḻiṉ èṇṇighghai  āghuṃ; avai nilai-1 iluḻḻa μ muṉaighaḻuḍhaṉ iṇaighghabhbhaḍhḍhirughghuṃ. 
èṉave nilai-1, nilai-2 iraṇḍhughghuṃ iḍhaiyiluḻḻa viḻiṃbhughaḻiṉ èṇṇighghai: 
.

iraṇḍhu vidhamāghagh ghaṇaghghiḍhabhbhaḍhḍha viḻiṃbhughaḻiṉ (nilai-1, nilai-2 iraṇḍhughghuṃ iḍhaiyiluḻḻa viḻiṃbhughaḻ) èṇṇighghaighaḻaijh jhamabhbhaḍhudhdha nāṉghu aḻabhurughghaḻughghu iḍhaiyuḻḻa dhòḍharbhu ghiḍhaighghiṟadhu:

aṇmai aṇi 
I  èṉbhadhu muṟṟòrumai aṇi; J òṉṟughaḻiṉ aṇi; iraṇḍhiṉ varijhaiyuṃ v. òru valimaiyāṉa ghoḍhḍhuruviṉ aṇmai aṇi A bhiṉvaruṃ iru jhamaṉbhāḍhughaḻai niṟaivu jhèyyuṃ:

mudhaṟjhamaṉbhāḍhu:
 

idhu òru ghoḍhḍhuru òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvāgha irubhbhadhaṟghāṉa dhevaiyiṉ migha èḻiya māṟṟugh ghūṟṟāgha uḻḻadhu. idhaṉbhaḍhi, aṇmai aṇiyiṉ aighèṉ madhibhbhu k 

iraṇḍhāvadhu jhamaṉbhāḍhu:

idhu valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvughghāṉa dhevaiyaigh ghāḍhḍhuṃ irubhaḍhijh jhamaṉbhāḍhu.
iḍhabhbhuṟa aṇiyiṉ ij-āvadhu uṟubhbhu, i ilirundhu j ghghuḻḻa iru-nilai bhādhaighaḻiṉ èṇṇighghaiyaigh ghuṟighghiṟadhu. 
valadhubhaghgha mudhal uṟubhbhu i ilirundhu i ghghujh jhèlluṃ dhaṉbhādhaighaḻiṉ èṇṇighghaiyaigh ghuṟighghiṟadhu. 
i maṟṟuṃ j iraṇḍhiṟghuṃ neraḍhi iṇaibhbhuḻḻabhodhu avaṟṟughghiḍhaibhbhaḍhḍha iru-nilai bhādhaighaḻiṉ èṇṇighghaiyai valabhbhaghgha iraṇḍhāvadhu uṟubhbhu dharughiṟadhu. 
i maṟṟuṃ j iraṇḍhiṟghuṃ iḍhaiye neraḍhi iṇaibhbhu illādhabhodhu avaṟṟughghiḍhaibhbhaḍhḍha iru-nilai bhādhaighaḻiṉ èṇṇighghaiyai valabhbhaghgha mūṉṟāvadhu uṟubhbhu dharughiṟadhu. 
iṃmūṉṟu vaghaighaḻuṃ òṉṟughghòṉṟu bhòdhumaiyaṟṟavaiyāghavuṃ amaiyaghghūḍhiya aṉaidhdhu bhādhaighaḻaiyuṃ uḻḻaḍhaghghiyavaiyāghavuṃ uḻḻadhāl iṃmūṉṟu uṟubhbhughaḻiṉ ghūḍhudhal iḍhabhbhuṟa madhibhbhiṟghujh jhamamāgha irughghuṃ.

maṟudhalaiyāgha, òru ghoḍhḍhuruviṉ aṇmai aṇi meṟghūṟiya iru ghaḍhḍhubhbhāḍhughaḻaiyuṃ niṟaivu jhèyvadhoḍhu, aghghoḍhḍhuru mul̤ughghoḍhḍhuru alladhu vèṟṟu ghoḍhḍhuruvāgha illāmal irundhāl adhu valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvāgha irughghuṃ.

aighèṉ madhibhbhughaḻ 
valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruviṉ aṇmai aṇighghu mūṉṟu aighèṉmadhibhbhughaḻ maḍhḍhume irughghuṃ:
k, idhaṉ [[maḍhaṅghèṇ 1 
  idhaṉ maḍhaṅghèṇ 
  idhaṉ maḍhaṅghèṇ 

maṟudhalaiyāgha, mūṉṟu aighèṉ madhibhbhughaḻ maḍhḍhumuḻḻa iṇaibhbhuḻḻa òru òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvāṉadhu valimaiyāṉa òl̤uṅghu ghoḍhḍhuruvāgha irughghuṃ.

èḍhudhdhughghāḍhḍhughaḻ

ghuṟibhbhughaḻ

meṟghoḻghaḻ 
 A.E. Brouwer, A.M. Cohen, and A. Neumaier (1989), Distance Regular Graphs.  Berlin, New York: Springer-Verlag.  , 
 Chris Godsil and Gordon Royle (2004), Algebraic Graph Theory.  New York: Springer-Verlag.

vèḻiyiṇaibhbhughaḻ 
 Eric W. Weisstein, Mathworld article with numerous examples.
 Gordon Royle, List of larger graphs and families.
 Andries E. Brouwer, Parameters of Strongly Regular Graphs.
 Brendan McKay, Some collections of graphs.
 Ted Spence, Strongly regular graphs on at most 64 vertices.

ghoḍhḍhuruviyal
வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு