கோட்டுருவியலில் ஆய்லர் தடம் அல்லது ஆய்லர் பாதை (Eulerian trail,  Eulerian path) என்பது ஒரு முடிவுறு கோட்டுருவில் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் ஒரேயொருமுறை மட்டுமே கடக்கின்ற ஒரு தடமாகும். இத்தடத்தில் முனைகள் மீண்டும் வருவதற்கு அனுமதியுண்டு. 

ஆய்லர் சுற்று (Eulerian circuit) அல்லது ஆய்லர் சுழற்சி (Eulerian cycle) என்பது ஒரு முனையில் துவங்கி அதே முனையில் முடிவடையும் ஆய்லர் தடத்தைக் குறிக்கும். 1736 இல் கோநிக்சுபெர்கின் ஏழு பாலங்கள் என்ற கணக்கிற்குத் தீர்வுகாணும் முயற்சியின்போது இவை முதன்முதலில் ஆய்லரால் விவாதிக்கப்பட்டது.

கோநிக்சுபெர்கின் ஏழு பாலங்கள் கணக்கு:
படத்தில் தரப்பட்டுள்ள கோட்டுருவில் துவங்கிய முனையிலேயே முடிவடையுமாறும், ஒரு விளிம்பை ஒரேயொரு முறை மட்டுமே கடக்குமாறுமுள்ள ஒரு பாதையைக் காண இயலுமா?

ஒரு கோட்டுருவில் ஆய்லர் சுற்று இருப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடாக அக்கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு முனையும் இரட்டைப் படியுடையதாக இருக்க வேண்டுமென ஆய்லர் நிறுவினார். மேலும் இரட்டைப் படியுடையதாக அனைத்து முனைகளையும் கொண்ட ஒரு இணைப்புள்ள கோட்டுருவிற்கு ஒரு ஆய்லர் சுற்று இருக்குமென்றும் நிறுவல்கள் ஏதுமில்லாமல் கூறியுள்ளார். இந்த இரண்டாவது கூற்றின் முழுமையான நிறுவல் ஆய்லரின் இறப்பிற்குப் பின்னர் 1873 இல் வெளியிடப்பட்டது. 

இது "ஆய்லரின் தேற்றம்" என அறியப்படுகிறது:
"ஒரு இணைப்புள்ள  கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு முனையின் படியும் இரட்டை எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுருவிற்கு ஒரு ஆய்லர் சுழற்சி இருக்கும்."

"ஆய்லர் கோட்டுரு" என்பது கோட்டுருவியலில் இரு பொருட்படும்:
ஒரு ஆய்லர் சுற்றுடைய கோட்டுரு.
ஒவ்வொரு முனையின் படியும் இரட்டையெண்ணாகக் கொண்ட கோட்டுரு.

இந்த வரையறைகள் இணைப்புள்ள கோட்டுருக்களுக்குப் பொருந்துகின்றன.

ஒரு கோட்டுருவில் ஆய்லர் சுற்று இருக்கத் தேவையான கட்டுப்பாட்டின்படி அதற்கு ஒற்றைப்படி முனைகளே இருக்கக் கூடாது அல்லது இருந்தால் இரண்டு முனைகள் இருக்க வேண்டும். இக்கட்டுப்பாட்டை நிறைவு செய்யாததால் கோநிக்சுபெர்க்கின் கோட்டுரு ஆய்லர் கோட்டுருவாக அமையவில்லை. ஒரு கோட்டுருவில் ஒற்றைப்படி முனைகளே இல்லாமலோ அல்லது இரண்டு முனைகள் இருந்தால் அக்கோட்டுருவின் அனைத்து ஆய்லர் தடங்களும் ஆய்லர் சுற்றுக்களாக இருக்கும். இரண்டேயிரண்டு ஒற்றைப்படி முனைகள் மட்டுமிருந்தால், அனைத்து ஆய்லர் தடங்களும் ஒரு ஒற்றைப்படி முனையில் துவங்கி மற்றொரு ஒற்றைப்படி முனையில் முடிவடையும். 

ஆய்லர் தடம் கொண்ட ஆனால் ஆய்லர் சுற்றற்ற கோட்டுருவானது "அரை-ஆய்லர் கோட்டுரு" எனப்படும். ஆய்லர் தடங்கள், ஆய்லர் சுழற்சிகள் மற்றும் ஆய்லர் கோட்டுருக்களுக்காக வரையறைகளும் பண்புகளும் பல்கோட்டுருக்களுக்கும் பொருந்தும்.

வரையறை

திசையற்ற கோட்டுரு

ஆய்லர் தடம  
ஒரு திசையற்ற கோட்டுருவில் ஒரு விளிம்பை ஒருமுறை மட்டுமே சந்திக்கும் பாதை "ஆய்லர் தடம்" அல்லது "ஆய்லர் நடை"  
எனப்படும். அவ்வாறான ஒரு தடம் இருக்கக்கூடிய கோட்டுரு "கடக்கக்கூடிய கோட்டுரு" அல்லது "அரை-ஆய்லர் கோட்டுரு" என அழைக்கப்படுகிறது.

ஆய்லர் சுற்று 

ஒரு திசையற்ற கோட்டுருவின் சுழற்சியில் ஒரு விளிம்பு ஒரேயொரு முறைமட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டால் அச்சுழற்சி "ஆய்லர் சுழற்சி" அல்லது "ஆய்லர் சுற்று" எனப்படும். 

ஆய்லர் சுற்றுள்ள கோட்டுரு "ஆய்லர் கோட்டுரு" என அழைக்கப்படும்.

ஆய்லர் கோட்டுரு என்ற பெயர் சில சமயங்களின் இரட்டைப்படி முனைகள் மட்டுமுள்ள கோட்டுருக்களைக் குறிக்கப் பலவீனமாகக் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முடிவுறு இணைப்புள்ள கோட்டுருக்களுக்கு மட்டுமே ஆய்லர் கோட்டுரு மற்றும் இரட்டைப்படி முனை கொண்ட கோட்டுரு ஆகிய இரு வரையறைகளும் பொருத்தமாக இருக்கும். இணைப்பில்லா கோட்டுருக்களுக்கு, ஒரு இணைப்பில்லா கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு இணைப்புள்ள கூறுகளும் ஒரு ஆய்லர் சுழற்சியைக் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது பலவீனமான பொருளில் ஆய்லர் கோட்டுரு என அழைக்கப்பட முடியும்.

திசை கோட்டுரு 
திசையற்ற கோட்டுருக்களின் ஆய்லர் தடம் மற்றும் ஆய்லர் சுழற்சியின் வரையறைகளில் "தடம்" என்பதற்குப் பதிலாக திசையுறு தடம் மற்றும் "சுற்று" என்பதற்குப் பதிலாக திசையுறு சுழற்சி என்ற சொற்களைக் கொண்டு பதிலிட திசை கோட்டுருக்களின் ஆய்லர் தடம் மற்றும் ஆய்லர் சுழற்சியின் வரையறைகளைப் பெறலாம்.

பண்புகள் 
ஒரு திசையற்ற கோட்டுருவின் அனைத்து முனைகளும் இரட்டையெண் படி கொண்டவையாகவும், சுழியற்ற படிகொண்ட அதன் முனைகள் அனைத்தும் ஒரே இணைப்புள்ள கூறில் அமைந்தவையாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுரு ஒரு ஆய்லர் சுழற்சியைக் கொண்டிருக்கும்.
 ஒரு திசையற்ற கோட்டுருவின் அனைத்து முனைகளும் இரட்டையெண் படி கொண்டவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அக்கோட்டுருவை விளிம்பு-இணைப்பற்ற சுழற்சிகளாகப் பிரிக்க இயலும். 
மேலுள்ள இரு பண்புகளையும் இணைத்து, ஒரு திசையற்ற கோட்டுருவை விளிம்பு-இணைப்பற்ற சுழற்சிகளாகப் பிரிக்கமுடிந்து மற்றும் சுழியற்ற படிகொண்ட அதன் முனைகள் அனைத்தும் ஒரே இணைப்புள்ள கூறில் அமைந்தவையாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுரு ஒரு ஆய்லர் சுழற்சியைக் கொண்டிருக்கும் எனக் கூறலாம்.
ஒரு திசையற்ற கோட்டுரு ஒற்றைப்படி கொண்ட முனைகளே இல்லாமல் அல்லது இரு முனைகள் மட்டும் கொண்டிருந்து,  சுழியற்ற படிகொண்ட அதன் முனைகள் அனைத்தும் ஒரே இணைப்புள்ள கூறில் அமைந்தவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுருவில் ஒரு ஆய்லர் தடம் அமைந்திருக்கும்.
ஒரு திசை கோட்டுருவில் ஒவ்வொரு முனையும் சமமான உட்படியும் வெளிப்படியும் கொண்டிருந்து, சுழியற்ற படிகொண்ட அதன் முனைகள் அனைத்தும் ஒரே வலிமையான இணைப்புள்ள கூறில் அமைந்தவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுருவில் ஒரு ஆய்லர் சுழற்சி அமைந்திருக்கும்

இதற்குச் சமானமாக, ஒரு திசை கோட்டுருவை விளிம்பு-இணைப்பற்ற திசையுள்ள சுழற்சிகளாகப் பிரிக்கமுடிந்து, சுழியற்ற படிகொண்ட அதன் முனைகள் அனைத்தும் ஒரே இணைப்புள்ள கூறில் அமைந்தவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுரு ஒரு ஆய்லர் சுழற்சியைக் கொண்டிருக்கும் எனக் கூறலாம்.

ஒரு திசை கோட்டுருவில் (வெளிப்படி) − (உட்படி) = 1 என்றவாறு அதிகபட்சம் ஒரு முனையும் (உட்படி) − (வெளிப்படி) = 1 என்றவாறு அதிகபட்சம் ஒரு முனையும் இருந்து ஏனைய முனைகள் சமமான உள் மற்றும் வெளிப்படிகளைக் கொண்டதாகவும், சுழியற்ற படிகொண்ட அதன் முனைகள் அனைத்தும் அத்திசை கோட்டுருவிலமையும் திசையற்ற கோட்டுருவின் ஒரே இணைப்புள்ள கூறில் அமைந்தவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோட்டுரு ஒரு ஆய்லர் தடத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

பயன்பாடுகள் 

உயிர் தகவலியலில் டி.என்.ஏ வரன்முறையை அதன் துண்டுகளைக் கொண்டு மறுகட்டமைப்பு செய்வதற்கு ஆய்லர் தடங்கள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. They are also used in துணை உலோக ஆக்சைடு குறைகடத்தி சுற்று வடிவமைப்பில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மரங்களின் சில செயலாக்கப் படிமுறைத் தீர்வுகள் அம்மரத்தின் ஆய்லர் சுழற்சியை சார்ந்துள்ளன.

அருகிலுள்ள படத்திலுள்ள வடிவங்கள் கையெடுக்காமல் தொடர்வரைதலாக வரையப்பட்டுள்ளன:
காஸ் வொம் நிக்கோலசு புதிர் (Haus vom Nikolaus puzzle)- இதில் இரு ஒற்றைமுனைகள் உள்ளதால் பாதை அந்த ஒற்றை முனைகளில் ஒன்றில் துவங்கி மற்றொன்றில் முடிவுறுகிறது.
நான்கு ஒற்றை முனை உள்ளதால் இதற்குத் தீர்வு இல்லை.
ஒற்றை முனைகளே இல்லாததால் பாதை எந்தவொரு முனையிலும் தொடங்கலாம்; மேலும் பாதை மூடிய சுற்றை உருவாக்குகிறது.
இளகுமுனைகள் படி 1 கொண்ட முனைகளாகக் கொள்ளப்படுகின்றன.

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள் 
.  Translated as .
 Euler, L., "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis", Comment. Academiae Sci. I. Petropolitanae 8 (1736), 128–140.
.
 Lucas, E., Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
 Fleury, "Deux problemes de geometrie de situation", Journal de mathematiques elementaires (1883), 257–261.
 T. van Aardenne-Ehrenfest and N. G. de Bruijn (1951) "Circuits and trees in oriented linear graphs", Simon Stevin 28: 203–217.

 W. T. Tutte and Cedric Smith (statistician) (C. A. B. Smith) (1941) "On Unicursal Paths in a Network of Degree 4", American Mathematical Monthly 48: 233–237.

வெளியிணைப்புகள் 

 Discussion of early mentions of Fleury's algorithm.
 Euler tour at Encyclopedia of Mathematics.

கோட்டுருவியல்
ghoḍhḍhuruviyalil āylar dhaḍhaṃ alladhu āylar bhādhai (Eulerian trail,  Eulerian path) èṉbhadhu òru muḍhivuṟu ghoḍhḍhuruvil òvvòru viḻiṃbhaiyuṃ òreyòrumuṟai maḍhḍhume ghaḍhaghghiṉṟa òru dhaḍhamāghuṃ. idhdhaḍhadhdhil muṉaighaḻ mīṇḍhuṃ varuvadhaṟghu aṉumadhiyuṇḍhu. 

āylar jhuṟṟu (Eulerian circuit) alladhu āylar jhul̤aṟjhi (Eulerian cycle) èṉbhadhu òru muṉaiyil dhuvaṅghi adhe muṉaiyil muḍhivaḍhaiyuṃ āylar dhaḍhadhdhaigh ghuṟighghuṃ. 1736 il ghonighjhubhèrghiṉ el̤u bhālaṅghaḻ èṉṟa ghaṇaghghiṟghudh dhīrvughāṇuṃ muyaṟjhiyiṉbhodhu ivai mudhaṉmudhalil āylarāl vivādhighghabhbhaḍhḍhadhu.

ghonighjhubhèrghiṉ el̤u bhālaṅghaḻ ghaṇaghghu:
bhaḍhadhdhil dharabhbhaḍhḍhuḻḻa ghoḍhḍhuruvil dhuvaṅghiya muṉaiyileye muḍhivaḍhaiyumāṟuṃ, òru viḻiṃbhai òreyòru muṟai maḍhḍhume ghaḍhaghghumāṟumuḻḻa òru bhādhaiyaigh ghāṇa iyalumā?

òru ghoḍhḍhuruvil āylar jhuṟṟu irubhbhadhaṟghudh dhevaiyāṉa ghaḍhḍhubhbhāḍhāgha aghghoḍhḍhuruviṉ òvvòru muṉaiyuṃ iraḍhḍhaibh bhaḍhiyuḍhaiyadhāgha irughgha veṇḍhumèṉa āylar niṟuviṉār. meluṃ iraḍhḍhaibh bhaḍhiyuḍhaiyadhāgha aṉaidhdhu muṉaighaḻaiyuṃ ghòṇḍha òru iṇaibhbhuḻḻa ghoḍhḍhuruviṟghu òru āylar jhuṟṟu irughghumèṉṟuṃ niṟuvalghaḻ edhumillāmal ghūṟiyuḻḻār. indha iraṇḍhāvadhu ghūṟṟiṉ mul̤umaiyāṉa niṟuval āylariṉ iṟabhbhiṟghubh bhiṉṉar 1873 il vèḻiyiḍhabhbhaḍhḍhadhu. 

idhu "āylariṉ dheṟṟaṃ" èṉa aṟiyabhbhaḍhughiṟadhu:
"òru iṇaibhbhuḻḻa  ghoḍhḍhuruviṉ òvvòru muṉaiyiṉ bhaḍhiyuṃ iraḍhḍhai èṇṇāgha irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuruviṟghu òru āylar jhul̤aṟjhi irughghuṃ."

"āylar ghoḍhḍhuru" èṉbhadhu ghoḍhḍhuruviyalil iru bhòruḍhbhaḍhuṃ:
òru āylar jhuṟṟuḍhaiya ghoḍhḍhuru.
òvvòru muṉaiyiṉ bhaḍhiyuṃ iraḍhḍhaiyèṇṇāghagh ghòṇḍha ghoḍhḍhuru.

indha varaiyaṟaighaḻ iṇaibhbhuḻḻa ghoḍhḍhurughghaḻughghubh bhòrundhughiṉṟaṉa.

òru ghoḍhḍhuruvil āylar jhuṟṟu irughghadh dhevaiyāṉa ghaḍhḍhubhbhāḍhḍhiṉbhaḍhi adhaṟghu òṟṟaibhbhaḍhi muṉaighaḻe irughghagh ghūḍhādhu alladhu irundhāl iraṇḍhu muṉaighaḻ irughgha veṇḍhuṃ. ighghaḍhḍhubhbhāḍhḍhai niṟaivu jhèyyādhadhāl ghonighjhubhèrghghiṉ ghoḍhḍhuru āylar ghoḍhḍhuruvāgha amaiyavillai. òru ghoḍhḍhuruvil òṟṟaibhbhaḍhi muṉaighaḻe illāmalo alladhu iraṇḍhu muṉaighaḻ irundhāl aghghoḍhḍhuruviṉ aṉaidhdhu āylar dhaḍhaṅghaḻuṃ āylar jhuṟṟughghaḻāgha irughghuṃ. iraṇḍheyiraṇḍhu òṟṟaibhbhaḍhi muṉaighaḻ maḍhḍhumirundhāl, aṉaidhdhu āylar dhaḍhaṅghaḻuṃ òru òṟṟaibhbhaḍhi muṉaiyil dhuvaṅghi maṟṟòru òṟṟaibhbhaḍhi muṉaiyil muḍhivaḍhaiyuṃ. 

āylar dhaḍhaṃ ghòṇḍha āṉāl āylar jhuṟṟaṟṟa ghoḍhḍhuruvāṉadhu "arai-āylar ghoḍhḍhuru" èṉabhbhaḍhuṃ. āylar dhaḍhaṅghaḻ, āylar jhul̤aṟjhighaḻ maṟṟuṃ āylar ghoḍhḍhurughghaḻughghāgha varaiyaṟaighaḻuṃ bhaṇbhughaḻuṃ bhalghoḍhḍhurughghaḻughghuṃ bhòrundhuṃ.

varaiyaṟai

dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuru

āylar dhaḍhama  
òru dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuruvil òru viḻiṃbhai òrumuṟai maḍhḍhume jhandhighghuṃ bhādhai "āylar dhaḍhaṃ" alladhu "āylar naḍhai"  
èṉabhbhaḍhuṃ. avvāṟāṉa òru dhaḍhaṃ irughghaghghūḍhiya ghoḍhḍhuru "ghaḍhaghghaghghūḍhiya ghoḍhḍhuru" alladhu "arai-āylar ghoḍhḍhuru" èṉa al̤aighghabhbhaḍhughiṟadhu.

āylar jhuṟṟu 

òru dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuruviṉ jhul̤aṟjhiyil òru viḻiṃbhu òreyòru muṟaimaḍhḍhume bhayaṉbhaḍhudhdhabhbhaḍhḍhāl ajhjhul̤aṟjhi "āylar jhul̤aṟjhi" alladhu "āylar jhuṟṟu" èṉabhbhaḍhuṃ. 

āylar jhuṟṟuḻḻa ghoḍhḍhuru "āylar ghoḍhḍhuru" èṉa al̤aighghabhbhaḍhuṃ.

āylar ghoḍhḍhuru èṉṟa bhèyar jhila jhamayaṅghaḻiṉ iraḍhḍhaibhbhaḍhi muṉaighaḻ maḍhḍhumuḻḻa ghoḍhḍhurughghaḻaigh ghuṟighghabh bhalavīṉamāghagh bhayaṉbhaḍhudhdhabhbhaḍhughiṟadhu. muḍhivuṟu iṇaibhbhuḻḻa ghoḍhḍhurughghaḻughghu maḍhḍhume āylar ghoḍhḍhuru maṟṟuṃ iraḍhḍhaibhbhaḍhi muṉai ghòṇḍha ghoḍhḍhuru āghiya iru varaiyaṟaighaḻuṃ bhòrudhdhamāgha irughghuṃ. iṇaibhbhillā ghoḍhḍhurughghaḻughghu, òru iṇaibhbhillā ghoḍhḍhuruviṉ òvvòru iṇaibhbhuḻḻa ghūṟughaḻuṃ òru āylar jhul̤aṟjhiyaigh ghòṇḍhirundhāl, irundhāl maḍhḍhume adhu bhalavīṉamāṉa bhòruḻil āylar ghoḍhḍhuru èṉa al̤aighghabhbhaḍha muḍhiyuṃ.

dhijhai ghoḍhḍhuru 
dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhurughghaḻiṉ āylar dhaḍhaṃ maṟṟuṃ āylar jhul̤aṟjhiyiṉ varaiyaṟaighaḻil "dhaḍhaṃ" èṉbhadhaṟghubh bhadhilāgha dhijhaiyuṟu dhaḍhaṃ maṟṟuṃ "jhuṟṟu" èṉbhadhaṟghubh bhadhilāgha dhijhaiyuṟu jhul̤aṟjhi èṉṟa jhòṟghaḻaigh ghòṇḍhu bhadhiliḍha dhijhai ghoḍhḍhurughghaḻiṉ āylar dhaḍhaṃ maṟṟuṃ āylar jhul̤aṟjhiyiṉ varaiyaṟaighaḻaibh bhèṟalāṃ.

bhaṇbhughaḻ 
òru dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuruviṉ aṉaidhdhu muṉaighaḻuṃ iraḍhḍhaiyèṇ bhaḍhi ghòṇḍhavaiyāghavuṃ, jhul̤iyaṟṟa bhaḍhighòṇḍha adhaṉ muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ òre iṇaibhbhuḻḻa ghūṟil amaindhavaiyāghavuṃ irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuru òru āylar jhul̤aṟjhiyaigh ghòṇḍhirughghuṃ.
 òru dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuruviṉ aṉaidhdhu muṉaighaḻuṃ iraḍhḍhaiyèṇ bhaḍhi ghòṇḍhavaiyāgha irundhāl, irundhāl maḍhḍhume aghghoḍhḍhuruvai viḻiṃbhu-iṇaibhbhaṟṟa jhul̤aṟjhighaḻāghabh bhirighgha iyaluṃ. 
meluḻḻa iru bhaṇbhughaḻaiyuṃ iṇaidhdhu, òru dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuruvai viḻiṃbhu-iṇaibhbhaṟṟa jhul̤aṟjhighaḻāghabh bhirighghamuḍhindhu maṟṟuṃ jhul̤iyaṟṟa bhaḍhighòṇḍha adhaṉ muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ òre iṇaibhbhuḻḻa ghūṟil amaindhavaiyāghavuṃ irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuru òru āylar jhul̤aṟjhiyaigh ghòṇḍhirughghuṃ èṉagh ghūṟalāṃ.
òru dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuru òṟṟaibhbhaḍhi ghòṇḍha muṉaighaḻe illāmal alladhu iru muṉaighaḻ maḍhḍhuṃ ghòṇḍhirundhu,  jhul̤iyaṟṟa bhaḍhighòṇḍha adhaṉ muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ òre iṇaibhbhuḻḻa ghūṟil amaindhavaiyāgha irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuruvil òru āylar dhaḍhaṃ amaindhirughghuṃ.
òru dhijhai ghoḍhḍhuruvil òvvòru muṉaiyuṃ jhamamāṉa uḍhbhaḍhiyuṃ vèḻibhbhaḍhiyuṃ ghòṇḍhirundhu, jhul̤iyaṟṟa bhaḍhighòṇḍha adhaṉ muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ òre valimaiyāṉa iṇaibhbhuḻḻa ghūṟil amaindhavaiyāgha irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuruvil òru āylar jhul̤aṟjhi amaindhirughghuṃ

idhaṟghujh jhamāṉamāgha, òru dhijhai ghoḍhḍhuruvai viḻiṃbhu-iṇaibhbhaṟṟa dhijhaiyuḻḻa jhul̤aṟjhighaḻāghabh bhirighghamuḍhindhu, jhul̤iyaṟṟa bhaḍhighòṇḍha adhaṉ muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ òre iṇaibhbhuḻḻa ghūṟil amaindhavaiyāgha irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuru òru āylar jhul̤aṟjhiyaigh ghòṇḍhirughghuṃ èṉagh ghūṟalāṃ.

òru dhijhai ghoḍhḍhuruvil (vèḻibhbhaḍhi) − (uḍhbhaḍhi) = 1 èṉṟavāṟu adhighabhaḍhjhaṃ òru muṉaiyuṃ (uḍhbhaḍhi) − (vèḻibhbhaḍhi) = 1 èṉṟavāṟu adhighabhaḍhjhaṃ òru muṉaiyuṃ irundhu eṉaiya muṉaighaḻ jhamamāṉa uḻ maṟṟuṃ vèḻibhbhaḍhighaḻaigh ghòṇḍhadhāghavuṃ, jhul̤iyaṟṟa bhaḍhighòṇḍha adhaṉ muṉaighaḻ aṉaidhdhuṃ adhdhijhai ghoḍhḍhuruvilamaiyuṃ dhijhaiyaṟṟa ghoḍhḍhuruviṉ òre iṇaibhbhuḻḻa ghūṟil amaindhavaiyāgha irundhāl, irundhāl maḍhḍhume, aghghoḍhḍhuru òru āylar dhaḍhadhdhaigh ghòṇḍhirughghuṃ.

bhayaṉbhāḍhughaḻ 

uyir dhaghavaliyalil ḍhi.èṉ.e varaṉmuṟaiyai adhaṉ dhuṇḍhughaḻaigh ghòṇḍhu maṟughaḍhḍhamaibhbhu jhèyvadhaṟghu āylar dhaḍhaṅghaḻ bhayaṉbhaḍhudhdhabhbhaḍhughiṟadhu. They are also used in dhuṇai ulogha āghjhaiḍhu ghuṟaighaḍhadhdhi jhuṟṟu vaḍhivamaibhbhil bhayaṉbhaḍhudhdhabhbhaḍhughiṟadhu. maraṅghaḻiṉ jhila jhèyalāghghabh bhaḍhimuṟaidh dhīrvughaḻ aṃmaradhdhiṉ āylar jhul̤aṟjhiyai jhārndhuḻḻaṉa.

arughiluḻḻa bhaḍhadhdhiluḻḻa vaḍhivaṅghaḻ ghaiyèḍhughghāmal dhòḍharvaraidhalāgha varaiyabhbhaḍhḍhuḻḻaṉa:
ghās vòṃ nighgholajhu bhudhir (Haus vom Nikolaus puzzle)- idhil iru òṟṟaimuṉaighaḻ uḻḻadhāl bhādhai andha òṟṟai muṉaighaḻil òṉṟil dhuvaṅghi maṟṟòṉṟil muḍhivuṟughiṟadhu.
nāṉghu òṟṟai muṉai uḻḻadhāl idhaṟghudh dhīrvu illai.
òṟṟai muṉaighaḻe illādhadhāl bhādhai èndhavòru muṉaiyiluṃ dhòḍhaṅghalāṃ; meluṃ bhādhai mūḍhiya jhuṟṟai uruvāghghughiṟadhu.
iḻaghumuṉaighaḻ bhaḍhi 1 ghòṇḍha muṉaighaḻāghagh ghòḻḻabhbhaḍhughiṉṟaṉa.

ghuṟibhbhughaḻ

meṟghoḻghaḻ 
.  Translated as .
 Euler, L., "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis", Comment. Academiae Sci. I. Petropolitanae 8 (1736), 128–140.
.
 Lucas, E., Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
 Fleury, "Deux problemes de geometrie de situation", Journal de mathematiques elementaires (1883), 257–261.
 T. van Aardenne-Ehrenfest and N. G. de Bruijn (1951) "Circuits and trees in oriented linear graphs", Simon Stevin 28: 203–217.

 W. T. Tutte and Cedric Smith (statistician) (C. A. B. Smith) (1941) "On Unicursal Paths in a Network of Degree 4", American Mathematical Monthly 48: 233–237.

vèḻiyiṇaibhbhughaḻ 

 Discussion of early mentions of Fleury's algorithm.
 Euler tour at Encyclopedia of Mathematics.

ghoḍhḍhuruviyal
ஆய்லர் பாதை