கணிதத்தில் எல்லை (limit) என்பது ஒரு சார்பு அல்லது தொடர்வரிசையில், சார்பின் உள்ளீடு அல்லது தொடர்வரிசையின் சுட்டெண்ணானது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை அணுகும்போது அச்சார்பு அல்லது தொடர்வரிசை அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கிறது. நுண்கணிதம் மற்றும் பகுவியலில் எல்லைகள் முக்கியமானவை. மேலும் தொடர்ச்சியான சார்பு, வகையிடல் மற்றும் தொகையீடு ஆகியவற்றை வரையறுப்பதற்கும் எல்லைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பொதுவாக சார்பின் எல்லை கீழுள்ளவாறு குறிக்கப்படுகிறது:

இது,  மாறியின் மதிப்பானது  ஐ நெருங்கும்போது சார்பு   சார்பின் மதிப்பு = " என வாசிக்கப்படுகிறது.

உண்மையில்  மாறியின் மதிப்பானது  ஐ நெருங்கும்போது சார்பு   ஆனது " ஐ நோக்கி நெருங்குவதால் சில சமயங்களில் சார்பின் எல்லை வலப்பக்க அம்புக்குறிகொண்டும் குறிக்கப்படுகிறது:
 

இது,  மாறியின் மதிப்பானது  ஐ நெருங்கும்போது சார்பு   சார்பின் மதிப்பு " ஐ நெருங்குகிறது என வாசிக்கப்படுகிறது.

சார்பின் எல்லை 

 ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு மற்றும்  ஒரு மெய்யெண் எனில்,
 

 ஐத் தேவையான அளவு  க்கு மிகஅருகில் நெருங்கினால்,  இன் மதிப்பு தேவையான அளவு  க்கு மிகஅருகாமையில் நெருங்கும் என்பது இதன் பொருளாகும். 
" இன் மதிப்பு  ஐ நெருங்கும்போது  இன் எல்லைமதிப்பு " என இவ்வரையறை வாசிக்கப்படும்.

1821 இல் அகுஸ்டின்-லூயி கோசியும் அவரைத் தொடர்ந்து கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசும் ஒரு சார்பின் எல்லைக்கான வரையறையை (எல்லையின் (ε, δ) வரையறை) ஏதேனுமொரு சிறிய நேர்ம எண்ணைக் குறிக்க  ஐப் பயன்படுத்தி முறைப்படுத்தினர்.

" ஆனது  க்கு மிக அருகாமையில் அமைகிறது" என்ற சொற்றொடரை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, 
 இடைவெளியில்  அமைகிறது எனவும், 

தனிமதிப்பைப் பயன்படுத்தி,
|f(x) − L| < ε. எனவும் கூறலாம்.

 ஆனது  ஐ நெருங்குகும்போது" என்ற சொற்றொடரைக் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: 
 இன் மதிப்பானது  அல்லது  இடைவெளிகளில் அமையும்.
0 < |x − c| < δ. 

இதிலுள்ள முதல் சமனிலியானது ,  இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு  விட அதிகம் மற்றும்  என்பதையும், இரண்டாவது சமனிலியானது  ஆனது  of  இலிருந்து  அளவு தொலைவுக்குள் இருக்குமென்பதையும் சுட்டுகின்றன.

 என்றாலுங்கூட மேற்கண்ட சார்பின் எல்லை வரையறை உண்மையாக இருக்கும். மேலதிகமாக, சார்பு  ஆனது  புள்ளியில் வரையறுக்கப்படாவிட்டாலுங்கூட இவ்வரையறை பொருந்தும்..

எடுத்துக்காட்டு:

 வரையறுக்கப்படவில்லை (தேரப்பெறா வடிவம்). எனினும்  இன் மதிப்பானது 1 ஐ நெருங்கும்போது  அதனையொத்து  இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது:

இந்த அட்டவணையிலிருந்து  இன் மதிப்பு  க்கு அருகாமையில் நெருங்க நெருங்க  இன் மதிப்பு  க்கு அருகே நெருங்குவதைக் காணலாம். அதாவது,

இயற்கணிதமுறையிலும் இதனைக் காணலாம்:
 ()

 சார்பானது  = 1 புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது. எனவே  = 1 என உள்ளிட,

முடிவுறு மதிப்புகளில் மட்டுமன்றி முடிவுறா மதிப்புகளிலும் சார்புகளுக்கு எல்லை மதிப்புகள் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டு:

 f(100) = 1.9900
 f(1000) = 1.9990
 f(10000) = 1.9999

 இன் மதிப்பு மிகமிக அதிகமாகும்போது  இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது. தேவையான அளவு  இன் மதிப்பைப் பெரிதாக்குவதன் மூலம்  இன் மதிப்பை 2 க்கு மிகவருகில் வரவைக்கலாம். எனவே  இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது இச்சார்பின் எல்லை 2 ஆகும். அதாவது,

தொடர்வரிசையின் எல்லை 

1.79, 1.799, 1.7999, … என்ற தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்கள் 1.8 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.

 என்பது மெய்யெண்களில் அமைந்த ஒரு தொடர்வரிசை எனில்:

ஒவ்வொரு மெய்யெண்  எனும் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், 
|an − L}} < ε (அனைத்து  க்கும்) என்றவாறு ஒரு இயல் எண்  இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே: 

 ஆகும் (இத்தொடர்வரிசையின் எல்லை ).

இவ்வரையறையானது, "n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது an தொடர்வரிசையின் எல்லை மதிப்பு L" என வாசிக்கப்படுகிறது.

அனைத்து தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லை இருக்காது. எல்லை மதிப்புகொண்ட தொடர்வரிசைகள் ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள் என்றும் எல்லை மதிப்புகளற்ற தொடர்வரிசைகள் விரி தொடர்வரிசைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஒருங்கு தொடர்வரிசைக்கும் ஒரேயொரு எல்லை மதிப்பு மட்டுமே இருக்கும்.

அடிக்குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள்
ghaṇidhadhdhil èllai (limit) èṉbhadhu òru jhārbhu alladhu dhòḍharvarijhaiyil, jhārbhiṉ uḻḻīḍhu alladhu dhòḍharvarijhaiyiṉ jhuḍhḍhèṇṇāṉadhu òru ghuṟibhbhiḍhḍha madhibhbhai aṇughuṃbhodhu ajhjhārbhu alladhu dhòḍharvarijhai aṇughuṃ madhibhbhaigh ghuṟighghiṟadhu. nuṇghaṇidhaṃ maṟṟuṃ bhaghuviyalil èllaighaḻ mughghiyamāṉavai. meluṃ dhòḍharjhjhiyāṉa jhārbhu, vaghaiyiḍhal maṟṟuṃ dhòghaiyīḍhu āghiyavaṟṟai varaiyaṟubhbhadhaṟghuṃ èllaighaḻ bhayaṉbhaḍhudhdhabhbhaḍhughiṉṟaṉa.

bhòdhuvāgha jhārbhiṉ èllai ghīl̤uḻḻavāṟu ghuṟighghabhbhaḍhughiṟadhu:

idhu,  māṟiyiṉ madhibhbhāṉadhu  ai nèruṅghuṃbhodhu jhārbhu   jhārbhiṉ madhibhbhu = " èṉa vājhighghabhbhaḍhughiṟadhu.

uṇmaiyil  māṟiyiṉ madhibhbhāṉadhu  ai nèruṅghuṃbhodhu jhārbhu   āṉadhu " ai noghghi nèruṅghuvadhāl jhila jhamayaṅghaḻil jhārbhiṉ èllai valabhbhaghgha aṃbhughghuṟighòṇḍhuṃ ghuṟighghabhbhaḍhughiṟadhu:
 

idhu,  māṟiyiṉ madhibhbhāṉadhu  ai nèruṅghuṃbhodhu jhārbhu   jhārbhiṉ madhibhbhu " ai nèruṅghughiṟadhu èṉa vājhighghabhbhaḍhughiṟadhu.

jhārbhiṉ èllai 

 òru mèymadhibhbhujh jhārbhu maṟṟuṃ  òru mèyyèṇ èṉil,
 

 aidh dhevaiyāṉa aḻavu  ghghu mighaarughil nèruṅghiṉāl,  iṉ madhibhbhu dhevaiyāṉa aḻavu  ghghu mighaarughāmaiyil nèruṅghuṃ èṉbhadhu idhaṉ bhòruḻāghuṃ. 
" iṉ madhibhbhu  ai nèruṅghuṃbhodhu  iṉ èllaimadhibhbhu " èṉa ivvaraiyaṟai vājhighghabhbhaḍhuṃ.

1821 il aghusḍhiṉ-lūyi ghojhiyuṃ avaraidh dhòḍharndhu ghārl viyarsḍhrājhuṃ òru jhārbhiṉ èllaighghāṉa varaiyaṟaiyai (èllaiyiṉ (ε, δ) varaiyaṟai) edheṉumòru jhiṟiya nerma èṇṇaigh ghuṟighgha  aibh bhayaṉbhaḍhudhdhi muṟaibhbhaḍhudhdhiṉar.

" āṉadhu  ghghu migha arughāmaiyil amaighiṟadhu" èṉṟa jhòṟṟòḍharai iḍhaivèḻiyaibh bhayaṉbhaḍhudhdhi, 
 iḍhaivèḻiyil  amaighiṟadhu èṉavuṃ, 

dhaṉimadhibhbhaibh bhayaṉbhaḍhudhdhi,
|f(x) − L| < ε. èṉavuṃ ghūṟalāṃ.

 āṉadhu  ai nèruṅghughuṃbhodhu" èṉṟa jhòṟṟòḍharaigh ghīl̤uḻḻavāṟu èl̤udhalāṃ: 
 iṉ madhibhbhāṉadhu  alladhu  iḍhaivèḻighaḻil amaiyuṃ.
0 < |x − c| < δ. 

idhiluḻḻa mudhal jhamaṉiliyāṉadhu ,  iraṇḍhughghuṃ iḍhaibhbhaḍhḍha dhòlaivu  viḍha adhighaṃ maṟṟuṃ  èṉbhadhaiyuṃ, iraṇḍhāvadhu jhamaṉiliyāṉadhu  āṉadhu  of  ilirundhu  aḻavu dhòlaivughghuḻ irughghumèṉbhadhaiyuṃ jhuḍhḍhughiṉṟaṉa.

 èṉṟāluṅghūḍha meṟghaṇḍha jhārbhiṉ èllai varaiyaṟai uṇmaiyāgha irughghuṃ. meladhighamāgha, jhārbhu  āṉadhu  bhuḻḻiyil varaiyaṟughghabhbhaḍhāviḍhḍhāluṅghūḍha ivvaraiyaṟai bhòrundhuṃ..

èḍhudhdhughghāḍhḍhu:

 varaiyaṟughghabhbhaḍhavillai (dherabhbhèṟā vaḍhivaṃ). èṉiṉuṃ  iṉ madhibhbhāṉadhu 1 ai nèruṅghuṃbhodhu  adhaṉaiyòdhdhu  iṉ madhibhbhu 2 ai nèruṅghughiṟadhu:

indha aḍhḍhavaṇaiyilirundhu  iṉ madhibhbhu  ghghu arughāmaiyil nèruṅgha nèruṅgha  iṉ madhibhbhu  ghghu arughe nèruṅghuvadhaigh ghāṇalāṃ. adhāvadhu,

iyaṟghaṇidhamuṟaiyiluṃ idhaṉaigh ghāṇalāṃ:
 ()

 jhārbhāṉadhu  = 1 bhuḻḻiyil dhòḍharjhjhiyāṉadhu. èṉave  = 1 èṉa uḻḻiḍha,

muḍhivuṟu madhibhbhughaḻil maḍhḍhumaṉṟi muḍhivuṟā madhibhbhughaḻiluṃ jhārbhughaḻughghu èllai madhibhbhughaḻ uṇḍhu.

èḍhudhdhughghāḍhḍhu:

 f(100) = 1.9900
 f(1000) = 1.9990
 f(10000) = 1.9999

 iṉ madhibhbhu mighamigha adhighamāghuṃbhodhu  iṉ madhibhbhu 2 ai nèruṅghughiṟadhu. dhevaiyāṉa aḻavu  iṉ madhibhbhaibh bhèridhāghghuvadhaṉ mūlaṃ  iṉ madhibhbhai 2 ghghu mighavarughil varavaighghalāṃ. èṉave  iṉ madhibhbhu muḍhiviliyai nèruṅghuṃbhodhu ijhjhārbhiṉ èllai 2 āghuṃ. adhāvadhu,

dhòḍharvarijhaiyiṉ èllai 

1.79, 1.799, 1.7999, … èṉṟa dhòḍharvarijhaiyiluḻḻa èṇghaḻ 1.8 ai nèruṅghuvadhaigh ghāṇalāṃ.

 èṉbhadhu mèyyèṇghaḻil amaindha òru dhòḍharvarijhai èṉil:

òvvòru mèyyèṇ  èṉuṃ òvvòru mèyyèṇṇughghuṃ, 
|an − L}} < ε (aṉaidhdhu  ghghuṃ) èṉṟavāṟu òru iyal èṇ  irundhāl, irundhāl maḍhḍhume: 

 āghuṃ (idhdhòḍharvarijhaiyiṉ èllai ).

ivvaraiyaṟaiyāṉadhu, "n iṉ madhibhbhu muḍhiviliyai nèruṅghuṃbhodhu an dhòḍharvarijhaiyiṉ èllai madhibhbhu L" èṉa vājhighghabhbhaḍhughiṟadhu.

aṉaidhdhu dhòḍharvarijhaighaḻughghuṃ èllai irughghādhu. èllai madhibhbhughòṇḍha dhòḍharvarijhaighaḻ òruṅghuṃ dhòḍharvarijhaighaḻ èṉṟuṃ èllai madhibhbhughaḻaṟṟa dhòḍharvarijhaighaḻ viri dhòḍharvarijhaighaḻ èṉṟuṃ al̤aighghabhbhaḍhughiṉṟaṉa. òvvòru òruṅghu dhòḍharvarijhaighghuṃ òreyòru èllai madhibhbhu maḍhḍhume irughghuṃ.

aḍhighghuṟibhbhughaḻ

meṟghoḻghaḻ
எல்லை (கணிதம்)