கணிதத்தில் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் (multinomial theorem) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கினை அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

தேற்றம் 
m ஒரு நேர்ம முழு எண்; n ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:

இதில்  ஒரு "பல்லுறுப்புக் கெழு" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகம்" ஆகும். 
இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள xi இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை n ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் x0 என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (x = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).

m = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு 
மூவுறுப்புக்கோவை a + b + c இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:

 இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:

 இன் கெழு 
 இன் கெழு

மாற்று வடிவம் 
பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

இதில்,

மற்றும்

நிறுவல்
ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் m மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.

கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:
படிநிலை 1 
m = 1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் x1n என சமமாக உள்ளன.
படிநிலை 2
m இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு m + 1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:

 

வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:

 என்பதால் 

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.

பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள் 
பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் : "பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை:
பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:

விளக்கம்:
பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:

இதில்   எனப் பதிலிட:

சேர்வியல் விளக்கம்:
பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான n பொருட்களை, வெவ்வேறான m பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் k1 பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் k2 பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் k3 பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்

மேற்கோள்கள் 

சேர்வியல்
பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பற்றிய தேற்றங்கள்
ghaṇidhadhdhil bhalluṟubhbhudh dheṟṟaṃ (multinomial theorem) èṉbhadhu òru ghūḍhḍhudhdhòghaiyiṉ aḍhughghiṉai aghghūḍhḍhudhdhòghaiyiluḻḻa uṟubhbhughaḻiṉ aḍhughghughaḻiṉ mūlaṃ èvvāṟu viridhdhèl̤udhalāṃ èṉa viḻaghghughiṟadhu. idhdheṟṟaṃ īruṟubhbhudh dheṟṟadhdhiṉ bhòdhumaibhbhaḍhudhdhalāghuṃ.

dheṟṟaṃ 
m òru nerma mul̤u èṇ; n òru èdhirmamallā mul̤u èṇ èṉil:

idhil  òru "bhalluṟubhbhugh ghèl̤u" alladhu "bhalluṟubhbhugh ghuṇaghaṃ" āghuṃ. 
indha viriviṉ òvvòru uṟubhbhilumuḻḻa xi iṉ aḍhughghughaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghai n āgha irughghuṃ. meluṃ īruṟubhbhudh dheṟṟadhdhaibh bholave idhdheṟṟadhdhiluṃ x0 èṉṟa vaḍhiviluḻḻavaṟṟiṉ madhibhbhu 1 āgha èḍhudhdhughghòḻḻabhbhaḍhuṃ (x = 0 āgha irundhāluṃ ghūḍha).

m = 2 āgha irughghuṃ bhodhu bhalluṟubhbhudh dheṟṟamāṉadhu īruṟubhbhudh dheṟṟamāghiviḍhuṃ.

èḍhudhdhughghāḍhḍhu 
mūvuṟubhbhughghovai a + b + c iṉ mūṉṟaḍhughghiṉ virivu:

 iṉ virivai ghūḍhḍhaliṉ mīdhāṉa bhaṅghīḍhḍhubh bhaṇbhaibh bhayaṉbhaḍhudhdhigh ghāṇamuḍhiyuṃ. èṉṟāluṃ bhalluṟubhbhudh dheṟṟadhdhaibh bhayaṉbhaḍhudhdhi virivubhaḍhudhdhal èḻidhāgha irughghuṃ. eṉèṉṟāl idhdheṟṟadhdhiṉbhaḍhi bhalluṟubhbhugh ghèl̤ughghaḻaigh ghaṇaghghiḍhal èḻidhāṉadhu. èḍhudhdhughghāḍhḍhāgha:

 iṉ ghèl̤u 
 iṉ ghèl̤u

māṟṟu vaḍhivaṃ 
bhallaḍhughghughaḻaibh bhayaṉbhaḍhudhdhi idhdheṟṟadhdhiṉ ghūṟṟaibh bhiṉvarumāṟu èl̤udhalāṃ:

idhil,

maṟṟuṃ

niṟuval
īruṟubhbhudh dheṟṟaṃ maṟṟuṃ m mīdhāṉagh ghaṇidhadh dhòghudhdhaṟidhal muṟaiyaibh bhayaṉbhaḍhudhdhi bhalluṟubhbhudh dheṟṟaṃ iṅghu niṟuvabhbhaḍhughiṟadhu.

ghaṇidhadh dhòghudhdhalaṟidhal muṟaiyiṉ bhaḍhinilaighaḻ:
bhaḍhinilai 1 
m = 1, èṉil bhalluṟubhbhudh dheṟṟadhdhiṉ irubhuṟamuṃ x1n èṉa jhamamāgha uḻḻaṉa.
bhaḍhinilai 2
m iṟghubh bhalluṟubhbhudh dheṟṟaṃ uṇmaiyèṉagh ghòṇḍhu m + 1 madhibhbhiṟghuṃ dheṟṟaṃ uṇmaiyāghiṟadhu èṉa ghīl̤e niṟuvabhbhaḍhughiṟadhu:

 

valabhbhuṟamuḻḻa ghaḍhaijhi ghāraṇiyai īruṟubhbhudh dheṟṟadhdhaibh bhayaṉbhaḍhudhdhi virighgha:

 èṉbhadhāl 

èṉave ghaṇidhadh dhòghudhdhaṟidhal muṟaiyiṉ iraṇḍhāṃ bhaḍhinilaiyuṃ niṟuvabhbhaḍhḍhu bhalluṟubhbhudh dheṟṟadhdhiṉ niṟuval niṟaivuṟughiṟadhu.

bhalluṟubhbhugh ghèl̤ughghaḻ 
bhalluṟubhbhudh dheṟṟadhdhiṉ valabhbhaghgha virivil iḍhaṃbhèṟuṃ uṟubhbhughghaḻiṉ èṇ ghèl̤ughghaḻ : "bhalluṟubhbhugh ghèl̤ughghaḻ" alladhu "bhalluṟubhbhugh ghuṇaghaṅghaḻ" èṉa al̤aighghabhbhaḍhughiṉṟaṉa. ivaṟṟiṉ vāybhāḍhu:

bhalluṟubhbhugh ghèl̤ughghaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghai:
bhalluṟubhbhudh dheṟṟadhdhiṉ viriviluḻḻa èllā uṟubhbhughaḻiṉ ghèl̤ughghaḻiṉ ghūḍhudhal:

viḻaghghaṃ:
bhalluṟubhbhudh dheṟṟaṃ:

idhil   èṉabh bhadhiliḍha:

jherviyal viḻaghghaṃ:
bhalluṟubhbhugh ghèl̤ughghaḻiṉ madhibhbhu vèvveṟāṉa n bhòruḍhghaḻai, vèvveṟāṉa m bhèḍhḍhighaḻil bhoḍhuṃ val̤ighaḻiṉ èṇṇighghaighghujh jhamamāghuṃ. idhil, mudhal bhèḍhḍhiyil k1 bhòruḍhghaḻuṃ iraṇḍhāvadhu bhèḍhḍhiyil k2 bhòruḍhghaḻuṃ mūṉṟāvadhu bhèḍhḍhiyil k3 bhòruḍhghaḻ èṉṟu bhòruḍhghaḻ bhèḍhḍhighaḻil bhoḍhabhbhaḍha veṇḍhuṃ

meṟghoḻghaḻ 

jherviyal
bhalluṟubhbhughghovaighaḻ bhaṟṟiya dheṟṟaṅghaḻ
பல்லுறுப்புத் தேற்றம்