ஜேக்கோபியின் நான்கு-இருமடியெண் தேற்றம், (Jacobi's four-square theorem) கொடுக்கப்பட்ட நேர்ம முழு எண் n -ஐ நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாட்டை அளிக்கிறது.

வரலாறு 
இத்தேற்றம்  1834 இல் கார்ல் குஸ்தாவ் ஜேக்கோப் ஜேக்கோபி என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது.

தேற்றம் 
குறிப்பு
ஒரு நேர்ம எண்ணின் இரு நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படும் உருவகிப்புகளிலுள்ள இருமடியெண்களின் வரிசை வேறுபட்டிருந்தாலோ அல்லது வர்க்கப்படுத்தப்படும் எண்கள் வேறுபட்டாலோ இரண்டும் வெவ்வேறானவையாகக் கொள்ளப்படும். கீழே 1 ஐக் குறிக்கும் எட்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மூன்று வழிகள் தரப்பட்டுள்ளன:

 
தேற்றத்தின் கூற்று
நான்கு இருமடியெண்களின்கூட்டுத்தொகையாக n ஐக் குறிக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, n ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் n இன் வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்கும், n சமமாக இருந்தால் n இன் ஒற்றைப்படை வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் 24 மடங்கும் ஆகும் ( வகுப்பான் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்), அதாவது:

 

இதேபோல, ஒரு நேர்ம எண்ணை எழுதக்கூடியவழிகளின் எண்ணிக்கையானது 4 ஆல் வகுபடாத அதன் அனைத்து வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்காக இருக்கும். அதாவது:

 

இதனை பின்னுள்ளவாறும்  எழுதலாம்:

 

n 4 ஆல் வகுபடவில்லை என்றால் இரண்டாவது உறுப்பு பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். குறிப்பாக, ஒரு பகா எண்ணுக்கான  வெளிப்படையான வாய்பாடு: 

r4(p) = 8(p + 1). 

n இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது, r 4 ( n ) இன் சில மதிப்புகள் r4(n) = r4(2mn) r 4 ( n ) எனப் பெரும்பாலும்  அமையலாம்.  மேலும், r4(n) இன் மதிப்புகள் மிகப்பெரியதாகவும் அமையலாம். அதாவது,  r 4 ( n ) இன் மதிப்பு பெரும்பான்மையான சமயங்களில் 8 √ log n ஐ விடப் பெரியதாக இருக்கும். 

ஜேக்கோபியின் முப்பெருக்கத்திலிருந்து எளியமுறையில் இத்தேற்றத்தை நிறுவமுடியும்.

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள்

வெளி இணைப்புகள் 

 Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function". MathWorld.
எண் கோட்பாட்டில் தேற்றங்கள்
jeghghobhiyiṉ nāṉghu-irumaḍhiyèṇ dheṟṟaṃ, (Jacobi's four-square theorem) ghòḍhughghabhbhaḍhḍha nerma mul̤u èṇ n -ai nāṉghu irumaḍhiyèṇghaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyāghagh ghuṟibhbhiḍhabhbhaḍhuṃ val̤ighaḻiṉ èṇṇighghaighghāṉa vāybhbhāḍhḍhai aḻighghiṟadhu.

varalāṟu 
idhdheṟṟaṃ  1834 il ghārl ghusdhāv jeghghobh jeghghobhi èṉbhavarāl nirūbhighghabhbhaḍhḍhadhu.

dheṟṟaṃ 
ghuṟibhbhu
òru nerma èṇṇiṉ iru nāṉghu irumaḍhiyèṇghaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyāgha èl̤udhabhbhaḍhuṃ uruvaghibhbhughaḻiluḻḻa irumaḍhiyèṇghaḻiṉ varijhai veṟubhaḍhḍhirundhālo alladhu varghghabhbhaḍhudhdhabhbhaḍhuṃ èṇghaḻ veṟubhaḍhḍhālo iraṇḍhuṃ vèvveṟāṉavaiyāghagh ghòḻḻabhbhaḍhuṃ. ghīl̤e 1 aigh ghuṟighghuṃ èḍhḍhu vèvveṟu val̤ighaḻil mūṉṟu val̤ighaḻ dharabhbhaḍhḍhuḻḻaṉa:

 
dheṟṟadhdhiṉ ghūṟṟu
nāṉghu irumaḍhiyèṇghaḻiṉghūḍhḍhudhdhòghaiyāgha n aigh ghuṟighghuṃ val̤ighaḻiṉ èṇṇighghai, n òṟṟaibhbhaḍhaiyāgha irundhāl n iṉ vaghubhbhighaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyiṉ èḍhḍhu maḍhaṅghuṃ, n jhamamāgha irundhāl n iṉ òṟṟaibhbhaḍhai vaghubhbhighaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyiṉ 24 maḍhaṅghuṃ āghuṃ ( vaghubhbhāṉ jhèyalbhāḍhḍhaibh bhārghghavuṃ), adhāvadhu:

 

idhebhola, òru nerma èṇṇai èl̤udhaghghūḍhiyaval̤ighaḻiṉ èṇṇighghaiyāṉadhu 4 āl vaghubhaḍhādha adhaṉ aṉaidhdhu vaghubhbhighaḻiṉ ghūḍhḍhudhdhòghaiyiṉ èḍhḍhu maḍhaṅghāgha irughghuṃ. adhāvadhu:

 

idhaṉai bhiṉṉuḻḻavāṟuṃ  èl̤udhalāṃ:

 

n 4 āl vaghubhaḍhavillai èṉṟāl iraṇḍhāvadhu uṟubhbhu bhūjhjhiyamāgha èḍhudhdhughghòḻḻabhbhaḍhuṃ. ghuṟibhbhāgha, òru bhaghā èṇṇughghāṉa  vèḻibhbhaḍhaiyāṉa vāybhāḍhu: 

r4(p) = 8(p + 1). 

n iraḍhḍhaiyèṇṇāgha irughghuṃbhodhu, r 4 ( n ) iṉ jhila madhibhbhughaḻ r4(n) = r4(2mn) r 4 ( n ) èṉabh bhèruṃbhāluṃ  amaiyalāṃ.  meluṃ, r4(n) iṉ madhibhbhughaḻ mighabhbhèriyadhāghavuṃ amaiyalāṃ. adhāvadhu,  r 4 ( n ) iṉ madhibhbhu bhèruṃbhāṉmaiyāṉa jhamayaṅghaḻil 8 √ log n ai viḍhabh bhèriyadhāgha irughghuṃ. 

jeghghobhiyiṉ mubhbhèrughghadhdhilirundhu èḻiyamuṟaiyil idhdheṟṟadhdhai niṟuvamuḍhiyuṃ.

ghuṟibhbhughaḻ

meṟghoḻghaḻ

vèḻi iṇaibhbhughaḻ 

 Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function". MathWorld.
èṇ ghoḍhbhāḍhḍhil dheṟṟaṅghaḻ
ஜேக்கோபியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம்