கணிதத்தில் ஒத்தநிலை அல்லது ஒத்தநிலை உருமாற்றம்  (homothety, homothecy, Homothetic transformation) என்பது, கேண்முறை வெளியில் ஒரு உருமாற்றமாகும். உருமாற்ற மையம் என அழைக்கப்படும் ஒரு புள்ளி (S), உருமாற்ற விகிதம் என அழைக்கப்படும் ஒரு சுழியமற்ற எண் (λ) ஆகிய இரு காரணிகளால் ஒத்தநிலை உருமாற்றம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

ஒத்தநிலை உருமாற்றம்:

அதாவது ஒத்தநிலை உருமாற்றம், புள்ளி S ஐ நிலையாகக் கொண்டு, ஒவ்வொரு புள்ளி M உம் புள்ளி N ஆக உருமாற்றுகிறது. மேலும் SM கோட்டிலேயே SN அமையும்; ஆனால் அளவில் λ காரணியவுளவுக்கு மாற்றப்படும். 

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் ஒத்தநிலை உருமாற்றம் என்பது, ஒரு புள்ளியை நிலையாகக் கொண்டு, மேலும் எல்லாத் திசையன்களின் திசைகளையும்  எனும்போது அதேதிசையிலும்,  எனும்போது எதிராகவும் மாற்றும் ஒரு உருமாற்றமாக அமையும். கேண்முறை வெளியிலும் யூக்ளீடிய வெளியிலும் பெயர்ச்சி உட்பட்ட எல்லா ஒத்தநிலை உருமாற்றங்களும் ஒரு குலமாக அமையும். இந்த உருமாற்றங்களில் ஒவ்வொரு கோட்டின் எதிருருக்கள் அந்தந்தக் கோடுகளுக்கு இணையான மற்றொரு கோடாக இருக்கும்.

வீழ்ப்பு வடிவவியலில் ஒரு ஒத்தநிலை உருமாற்றமானது, வடிவொப்புமை உருமாற்றமாக அமையும். இந்த உருமாற்றத்தால் முடிவிலியில் அமையும் கோடு புள்ளிவாரி மாற்றமில்லாததாக இருக்கும்.

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் ஒரு ஒத்தநிலை உருமாற்றத்தின் விகிதம் λ எனில், இந்த உருமாற்றத்தால் புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவுகள்  |λ| மடங்காகவும், பரப்பளவுகள் λ2 மடங்காகவும் மாறும். |λ| ஆனது உருப்பெருக்க விகிதம், பெருக்கக் காரணி, அளவீட்டுக் காரணி அல்லது வடிவொப்புமை காரணி (ratio of magnification, dilation factor, scale factor, similitude ratio) என அழைக்கப்படும். |λ| இன் மதிப்பு  1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது உருமாற்றமானது உருப்பெருக்கம் என அழைக்கப்படும். புள்ளி S  ஒத்தநிலை மையம் அல்லது வடிவொப்புமை மையம் எனப்படும்.

ஒத்தநிலை உருமாற்றமும் சீரான அளவுமாற்றமும் 
ஒத்தநிலை மையம் S ஆனது திசையன் வெளியின் (S ≡ O) ஆதிப்புள்ளியுடன் (O) ஒன்றாகுமானால், λ விகிதம்கொண்ட ஒவ்வொரு ஒத்தநிலை உருமாற்றமும் அதே அளவீட்டுக் காரணி கொண்ட ஒரு சீரான அளவுமாற்றத்திற்குச் சமானமானதாக இருக்கும். இந்த அளவுமாற்றத்தின் விளைவு:

S ≡ O ஆக இருக்கும் இந்த சிறப்புவகை ஒத்தநிலை மாற்றம், ஒரு நேரியல் உருமாற்றமாக அமையும். மேலும் இந்த உருமாற்றம் புள்ளிகளின் ஒரு கோடமைவுத் தன்மையைக் காப்பதுடன் திசையன் கூட்டல் மற்றும் திசையிலியால் பெருக்கல் செயல்களையும் காக்கிறது.

(a, b) மையமும் λ விகிதமும் கொண்ட ஒரு ஒத்தநிலைஉருமாற்றத்தால் (x, y) புள்ளியின் எதிருரு:

 (a + λ(x − a), b + λ(y − b)).

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள் 
 Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.

உருமாற்றம் (சார்பு)
ghaṇidhadhdhil òdhdhanilai alladhu òdhdhanilai urumāṟṟaṃ  (homothety, homothecy, Homothetic transformation) èṉbhadhu, gheṇmuṟai vèḻiyil òru urumāṟṟamāghuṃ. urumāṟṟa maiyaṃ èṉa al̤aighghabhbhaḍhuṃ òru bhuḻḻi (S), urumāṟṟa vighidhaṃ èṉa al̤aighghabhbhaḍhuṃ òru jhul̤iyamaṟṟa èṇ (λ) āghiya iru ghāraṇighaḻāl òdhdhanilai urumāṟṟaṃ dhīrmāṉighghabhbhaḍhughiṟadhu.

òdhdhanilai urumāṟṟaṃ:

adhāvadhu òdhdhanilai urumāṟṟaṃ, bhuḻḻi S ai nilaiyāghagh ghòṇḍhu, òvvòru bhuḻḻi M uṃ bhuḻḻi N āgha urumāṟṟughiṟadhu. meluṃ SM ghoḍhḍhileye SN amaiyuṃ; āṉāl aḻavil λ ghāraṇiyavuḻavughghu māṟṟabhbhaḍhuṃ. 

yūghḻīḍhiya vaḍhivaviyalil òdhdhanilai urumāṟṟaṃ èṉbhadhu, òru bhuḻḻiyai nilaiyāghagh ghòṇḍhu, meluṃ èllādh dhijhaiyaṉghaḻiṉ dhijhaighaḻaiyuṃ  èṉuṃbhodhu adhedhijhaiyiluṃ,  èṉuṃbhodhu èdhirāghavuṃ māṟṟuṃ òru urumāṟṟamāgha amaiyuṃ. gheṇmuṟai vèḻiyiluṃ yūghḻīḍhiya vèḻiyiluṃ bhèyarjhjhi uḍhbhaḍhḍha èllā òdhdhanilai urumāṟṟaṅghaḻuṃ òru ghulamāgha amaiyuṃ. indha urumāṟṟaṅghaḻil òvvòru ghoḍhḍhiṉ èdhirurughghaḻ andhandhagh ghoḍhughaḻughghu iṇaiyāṉa maṟṟòru ghoḍhāgha irughghuṃ.

vīl̤bhbhu vaḍhivaviyalil òru òdhdhanilai urumāṟṟamāṉadhu, vaḍhivòbhbhumai urumāṟṟamāgha amaiyuṃ. indha urumāṟṟadhdhāl muḍhiviliyil amaiyuṃ ghoḍhu bhuḻḻivāri māṟṟamillādhadhāgha irughghuṃ.

yūghḻīḍhiya vaḍhivaviyalil òru òdhdhanilai urumāṟṟadhdhiṉ vighidhaṃ λ èṉil, indha urumāṟṟadhdhāl bhuḻḻighaḻughghu iḍhaiyeyuḻḻa dhòlaivughaḻ  |λ| maḍhaṅghāghavuṃ, bharabhbhaḻavughaḻ λ2 maḍhaṅghāghavuṃ māṟuṃ. |λ| āṉadhu urubhbhèrughgha vighidhaṃ, bhèrughghagh ghāraṇi, aḻavīḍhḍhugh ghāraṇi alladhu vaḍhivòbhbhumai ghāraṇi (ratio of magnification, dilation factor, scale factor, similitude ratio) èṉa al̤aighghabhbhaḍhuṃ. |λ| iṉ madhibhbhu  1 ai viḍha adhighamāgha irughghuṃbhodhu urumāṟṟamāṉadhu urubhbhèrughghaṃ èṉa al̤aighghabhbhaḍhuṃ. bhuḻḻi S  òdhdhanilai maiyaṃ alladhu vaḍhivòbhbhumai maiyaṃ èṉabhbhaḍhuṃ.

òdhdhanilai urumāṟṟamuṃ jhīrāṉa aḻavumāṟṟamuṃ 
òdhdhanilai maiyaṃ S āṉadhu dhijhaiyaṉ vèḻiyiṉ (S ≡ O) ādhibhbhuḻḻiyuḍhaṉ (O) òṉṟāghumāṉāl, λ vighidhaṃghòṇḍha òvvòru òdhdhanilai urumāṟṟamuṃ adhe aḻavīḍhḍhugh ghāraṇi ghòṇḍha òru jhīrāṉa aḻavumāṟṟadhdhiṟghujh jhamāṉamāṉadhāgha irughghuṃ. indha aḻavumāṟṟadhdhiṉ viḻaivu:

S ≡ O āgha irughghuṃ indha jhiṟabhbhuvaghai òdhdhanilai māṟṟaṃ, òru neriyal urumāṟṟamāgha amaiyuṃ. meluṃ indha urumāṟṟaṃ bhuḻḻighaḻiṉ òru ghoḍhamaivudh dhaṉmaiyaigh ghābhbhadhuḍhaṉ dhijhaiyaṉ ghūḍhḍhal maṟṟuṃ dhijhaiyiliyāl bhèrughghal jhèyalghaḻaiyuṃ ghāghghiṟadhu.

(a, b) maiyamuṃ λ vighidhamuṃ ghòṇḍha òru òdhdhanilaiurumāṟṟadhdhāl (x, y) bhuḻḻiyiṉ èdhiruru:

 (a + λ(x − a), b + λ(y − b)).

ghuṟibhbhughaḻ

meṟghoḻghaḻ

vèḻiyiṇaibhbhughaḻ 
 Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.

urumāṟṟaṃ (jhārbhu)
ஒத்தநிலை உருமாற்றம்