Présentation.

Genèse et réception.

Le , dans sa maison de Guernesey, Victor Hugo se lance dans ce qu’il appelle son « travail de dernière incubation » et entame l’écriture proprement dite du roman le pour la poursuivre jusqu'au . Toutefois, Hugo avait déjà formé le projet de son futur roman dès 1862, après la publication des "Misérables". L'ouvrage est néanmoins resté à l'état de projet pendant dix ans, Hugo se consacrant à la rédaction d'autres romans comme "Les Travailleurs de la mer" (1866) ou "L'Homme qui rit" (1869). Hugo entreprend la même année un important travail de documentation historique. Il achève le travail de révision entre le mois de juin et le mois de . En octobre, il corrige les épreuves et le livre est publié, chez Michel Lévy, le sous le titre « "Quatrevingt-treize. Premier récit : La guerre civile" ».  L'ouvrage connaît un succès immédiat : sont vendus dès les douze premiers jours ; l'édition in-8 (édition « de luxe »), pour laquelle il reçoit en mars, la somme considérable de , est épuisée dès la fin du mois de ; avaient déjà été tirés en 1876 avant une nouvelle édition (populaire et largement illustrée) chez Eugène Hugues.

Résumé.

L'histoire débute avec le débarquement en Vendée du marquis de Lantenac, prenant la tête de la révolte contre-révolutionnaire de Vendée contre les partisans de la République. Il sera traqué par les révolutionnaires, et en particulier par son petit-neveu, Gauvain, passé de leur côté, lui-même surveillé par son tuteur Cimourdain, mandaté par le Comité de salut public.  On assiste à la confrontation de deux modèles, de deux visions de l'Histoire, de deux systèmes de Valeurs. Le marquis de Lantenac incarne l'Ancien Régime, celui de la Tradition et de l'absolutisme monarchique et clérical, tandis que son petit-neveu incarne le modernisme et l'idéalisme révolutionnaire et républicain. Un troisième personnage plane sur ce livre et éclipse ces deux protagonistes par le caractère fouillé qu'en donne Hugo, il en est le personnage principal, il s'agit de Cimourdain, l'envoyé du comité central révolutionaire, ancien prêtre qui fut appointé par Lantenac pour être le précepteur de Gauvain à qui il a transmis son idéal républicain. Mais autant Gauvain illustre la République dans sa magnanimité, sa fraternité, autant Cimourdain est la face noire, inflexible de la Révolution, pour reprendre une expression de Hugo « la ligne droite qui ne connaît pas la courbe », ce qui signifie qu'il ne veut pas connaître l'humain, ses sentiments ; il poursuit un idéal de justice impitoyable. Simon Sebag Montefiore dans son ouvrage "Le Jeune Staline", affirme que celui-ci aurait lu "Quatrevingt-treize" dans sa version traduite en russe, éprouvant beaucoup d'admiration pour le personnage de Cimourdain le révolutionnaire inflexible. Outre Cimourdain, les pauvres hères représentés par 3 enfants abandonnés sont les héros de ce livre, chacun portant en soi le drame et sa propre fin.  Deux parties du texte attirent particulièrement l'attention. La première narre une spectaculaire rencontre (imaginaire) entre trois grandes figures de la révolution française, Marat, Danton et Robespierre. La seconde décrit en détail une séance de l'assemblée de la Convention.

Analyse et commentaire.

"Quatrevingt-treize" met particulièrement en évidence le déroulement de la contre-révolution vendéenne et l'acharnement vendéen et montre l'opposition entre les bleus, révolutionnaires, et les blancs, monarchistes.  Hugo, bien que profondément républicain, expose avec une égale rigueur les crimes des deux camps (le paysan breton « parlant une langue morte, ce qui est faire habiter une tombe à sa pensée »). Une note personnelle de l'écrivain, datant de 1854, précise d'ailleurs la nature de son ambition : .  Dans la préface d'une édition américaine, la romancière Ayn Rand, qui a beaucoup été influencée par Hugo, considère que le sujet de "Quatrevingt-treize" n'est pas la Révolution française, mais la loyauté de l'homme envers des valeurs. Elle estime par ailleurs que ce roman constitue une excellente introduction au travail de Victor Hugo, car il concentre tout ce qui est singulièrement hugolien, dans l'histoire, le style et l'esprit.

De Balzac à Hugo.

La lecture de "Quatrevingt-treize" et le sujet de la Vendée en armes ont amené les universitaires à faire un parallèle entre les écrits de Balzac et ceux de Hugo sur le même sujet : la chouannerie. Et à s'interroger sur le silence de Hugo à propos de son prédécesseur auquel il avait rendu un hommage vibrant lors de son éloge funèbre.  . L'incipit du roman de Hugo est d'ailleurs très similaire, si ce n'est identique, à celui de Balzac.  Pourtant, « malgré l'importance littéraire du livre de Balzac et le fait que Hugo ne pouvait ni ignorer son existence, ni son contenu, les "Chouans" n'apparaissent à aucun moment dans ce qu'il est convenu d'appeler “l'archive” de "Quatrevingt-treize" ».

Quatrevingt-treize est le dernier roman de Victor Hugo, dont l'action se déroule vers 1793.  Paru en 1874, il a pour toile de fond les plus terribles années de la Révolution française : la Terreur. À l'origine, ce roman devait constituer le dernier volume d'une trilogie romanesque consacrée à la Révolution française, dont "L'Homme qui rit" constituerait le premier volume, mais Victor Hugo n'a pas mené ce projet jusqu'à son terme (le deuxième tome sur la monarchie n'ayant jamais été rédigé). "Quatrevingt-treize" est l'occasion pour Hugo d'exposer les fruits de sa longue réflexion sur la Révolution française et sa légitimité tout en faisant implicitement référence à la Commune.

Ninety-Three ("Quatrevingt-treize") is the last novel by the French writer Victor Hugo. Published in 1874, eighty years after the bloody upheaval of the Paris Commune of the French Revolution, the novel concerns the Revolt in the Vendée and Chouannerie – the counter-revolutionary revolts in 1793 during the French Revolution. It is divided into three parts, but not chronologically; each part tells a different story, offering a different view of historical general events. The action mainly takes place in Brittany and in Paris.


Définitions.

Soit "G" un groupe, "K" un corps commutatif et "V" un espace vectoriel sur "K". On appelle "représentation du groupe" "G" une action linéaire de "G" sur "V", autrement dit un morphisme de groupes de "G" dans le groupe linéaire GL("V"). Plus explicitement, c'est une application formula_1 Pour qu'une application ρ de "G" dans l'espace des endomorphismes de "V" vérifiant ρ("g")∘ρ("g") = ρ("g""g") soit en fait à valeurs dans GL("V"), il suffit que l'un des ρ("g") soit un automorphisme.  Pour écrire l'action d'un élément "g" du groupe sur un élément "v" de l'espace vectoriel à travers la représentation ρ, on notera parfois ρ("g")("v"), ρ("g")."v" ou même "g.v" s'il n'y a aucune ambiguïté. On note parfois une représentation ("V", ρ). On dit parfois également (et abusivement) que "V" est une représentation de "G".  Un "morphisme" de représentations de "G", ou « opérateur d'entrelacement », d'une représentation ("V", ρ) vers une représentation ("W", σ), est une application "K"-linéaire φ de "V" dans "W" telle que pour tout "g" appartenant à "G" on aitformula_2 On dit alors aussi que φ est un morphisme "G"-équivariant de "V" dans "W".  Un cas important est celui où φ est un isomorphisme : les représentations ("V", ρ) et ("W", σ) sont dites "isomorphes" ou "équivalentes" s'il existe un isomorphisme φ de "V" dans "W" qui soit "G"-équivariant, c'est-à-dire qui vérifie, pour tout "g" appartenant à "G" : formula_3 "V" et "W" ont alors même dimension.

Lien avec les "K"["G"]-modules.

La "K"-algèbre de "G", notée "K"["G"] et constituée des combinaisons linéaires finies "formelles" d'éléments de "G" à coefficients dans "K", est une "K"-algèbre associative dont la multiplication étend naturellement la loi du groupe "G".  On peut alors étendre, et ce de façon unique, la représentation ρ en un morphisme de "K"-algèbres de "K"["G"] vers End("V"), en posantformula_5 Ceci fait de "V" un "K"["G"]-module. On dit également que "V" est un .  Réciproquement, la donnée d'un "K"["G"]-module fournit une représentation de "G".  Via ce « dictionnaire » :

Irréductibilité.

Le fait de considérer des représentations irréductibles permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, d'après le lemme de Schur, un morphisme entre deux modules simples est soit nul, soit inversible.  On peut souvent ramener l'étude des représentations de "G" à l'étude de ses représentations irréductibles : si "V" n'est pas irréductible, on peut toujours considérer un sous-espace vectoriel de "V" qui soit stable par "G". Si jamais "V" est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.  Ce théorème se généralise partiellement aux représentations continues de groupes compacts.  Si "G" est un groupe fini, toute représentation irréductible complexe (de degré fini) de "G" est équivalente à une sous-représentation de la représentation régulière.

En mathématiques, une représentation de groupe décrit un groupe en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire. Autrement dit, on essaie de voir le groupe comme un groupe de matrices, d'où le terme "représentation". On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel, arriver à déduire quelques propriétés du groupe.  C'est l'un des concepts importants de la théorie des représentations.

In the mathematical field of representation theory, group representations describe abstract groups in terms of bijective linear transformations (i.e. automorphisms) of vector spaces; in particular, they can be used to represent group elements as invertible matrices so that the group operation can be represented by matrix multiplication. Representations of groups are important because they allow many group-theoretic problems to be reduced to problems in linear algebra, which is well understood. They are also important in physics because, for example, they describe how the symmetry group of a physical system affects the solutions of equations describing that system.  The term "representation of a group" is also used in a more general sense to mean any "description" of a group as a group of transformations of some mathematical object. More formally, a "representation" means a homomorphism from the group to the automorphism group of an object. If the object is a vector space we have a "linear representation". Some people use "realization" for the general notion and reserve the term "representation" for the special case of linear representations. The bulk of this article describes linear representation theory; see the last section for generalizations.


Utilisation.

Le symbole se rencontre depuis le néolithique dans diverses cultures et à différentes périodes, les plus anciennes représentations se trouvent sur les temples mégalithiques de Malte. On peut trouver ce symbole au tombeau néolithique de Newgrange daté de avant notre ère, sur le site de Brú na Bóinne, en Irlande. Sous forme de gravure, il est présent à plusieurs endroits notamment sur une des grandes pierres placées de chant devant l'entrée du monument. Ce symbole aurait néanmoins été sculpté avant la présence celte en Irlande, mais qui connaissait les premières vagues du Campaniforme, en évolution linguistique vers le celtique.  (second âge du fer, ).  L'archéologue et historien A. Grenier estime que « le triscèle à trois branches courbes, le signe en S cher à l’art gaulois, paraissent avoir été originairement des symboles du Soleil » ("Les Gaulois," page 288). "On peut avancer, écrit Ph. Jouët, que le symbole dynamique du triscèle [dans l'aire celtique] représente les trois moments de la carrière visible du soleil, matin, midi et crépuscule(s), le « quatrième pas » se faisant dans la nuit. Cela n’interdit pas des significations connexes : trois cieux, trois saisons, trois notions. Les relevés archéologiques (bijoux, monnaies) pourraient orienter l’interprétation (fréquences, associations préférentielles, contexte iconographique). Le triscèle doté de pieds indique une direction." Le sens de rotation du triscèle aux branches courbes suppose que le développement circulaire flotte en arrière du plan d'avancée (sur l'illustration jointe, le "triskèle typique" est dextrogyre, comme le soleil).  Le triskèle est utilisé dans l'Antiquité grecque. À partir d'Agathocle de Syracuse, il figure sur les monnaies en Sicile, île à trois caps, dont il devient le symbole. Par la suite il est transmis à l'Occident gothique, à l'île de Man au , puis dans des blasons anglais, allemands et suisses ainsi que dans l'art, par exemple dans le "Jugement dernier" d'un suiveur de Jérôme Bosch.  Le triskèle a été également repris et intégré à l'architecture de nombreuses abbayes, couvents et églises. Souvent groupé par deux, avec des rotations inversées et surmonté par un biskèle ou en un groupement de 3 triskèles. On le retrouve également en formation linéaire de multiples unités (comme à l'Abbaye de Saint-Antoine-l'Abbaye en Isère où l'on peut observer ces trois configurations. Cet édifice réunit le plus grand nombre en Europe de groupements de triskèles et biskèles en un seul bâtiment). Un triskèle représentant trois jambes tournant autour d'un axe central occupé par une tête humaine, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, est présent sur le drapeau de la Sicile . Ce symbole existe également depuis 1931 sur le drapeau de l'île de Man avec une même représentation, également au centre du drapeau mais, au lieu d'être nues, les jambes sont armées. Ce triquètre héraldique reprend les armes des seigneurs de Man, qui se fondent sur des légendes relatives à la triplicité et au caractère solaire du dieu celtique Manannán (récits bien antérieurs à la naissance de l'héraldique). Le même symbole apparaît aussi dans le tomoe japonais.  Le triskèle a également été utilisé comme symbole par des organisations nazies (SS-Freiwilligen-Grenadier-Division "Langemarck") ou d'extrême droite (Mouvement de résistance afrikaner) qui se voulaient d'inspiration nordique.

Utilisation asiatique.

Les versions asiatiques traditionnelles du triskelion incluent le Tomoe japonais, le Gankyil bouddhiste tibétain et le Coréen Sam Taegeuk.

Signification.

D’après l’archéologue et historien, spécialiste des Celtes, Venceslas Kruta, la nature solaire du triskèle étant , il est probable qu'il représente dans l'iconographie celtique les trois points du mouvement d'horizon du soleil : le lever, le zénith et le coucher.

Popularisation.

Il a été utilisé par le Parti national breton qui l'a adopté comme insigne en 1941, en remplacement du hevoud, jugé trop proche de la croix gammée.  Le renouveau de la musique bretonne et son succès, tant en France que dans le reste du monde, sous l’influence d’Alan Stivell, dans les années 1970, a fortement contribué à populariser le symbole. Dès le moment où on l’a vu sur les plateaux télé, en couverture de magazines et dans les concerts, arborer un grand triskèle, le musicien breton a lancé une mode, d’abord en Bretagne et même à un certain degré dans toute la France. De mode, le triskèle s’est installé ensuite dans l’image symbolique de la Bretagne et dans des cadres aussi divers que le tourisme, les marques commerciales, la culture Les concerts d’Alan Stivell en Espagne ont aussi amené des à l’arborer, notamment en Galice et dans les Asturies, même s’il a atteint une certaine renommée jusqu’au sud de l’Espagne et à un degré moindre dans d’autres pays comme l’Italie.

Le triskèle, également orthographié triskell ou triskel (en breton) ou appelé aussi triskelion ou triscèle (du grec , « triskélès » qui signifie à « trois jambes »), est un symbole représentant trois jambes humaines, ou trois spirales entrecroisées, ou encore tout autre symbole avec trois protubérances évoquant une symétrie de groupe cyclique.

A triskelion or triskeles is a motif consisting of a triple spiral exhibiting rotational symmetry. The spiral design can be based on interlocking Archimedean spirals, or represent three bent human legs.  The triple spiral is found in artefacts of the European Neolithic and Bronze Age with continuation into the Iron Age especially in the context of the La Tène culture and related Celtic traditions. The actual "triskeles" symbol of three human legs is found especially in Greek antiquity, beginning in archaic pottery, and continued in coinage of the classical period. In the Hellenistic period, the symbol becomes associated with Sicily in particular, appearing on coins minted under Dionysius I of Syracuse beginning in c. 382 BC. The same symbol later appears in heraldry, and came to be associated specifically with the Isle of Man (known as "ny tree cassyn" "the three legs").  Greek ("triskeles") means "three-legged". While the Greek adjective "three-legged [e.g. of a table]" is ancient, use of the term for the symbol is modern, introduced in 1835 by Honoré Théodoric d'Albert de Luynes as French , and adopted in the spelling "triskeles" following Otto Olshausen (1886). The form "triskelion" (as it were Greek ) is a diminutive which entered English usage in numismatics in the late 19th century. The form consisting of three human legs (as opposed to the triple spiral) has also been called a "triquetra of legs" or "triskelos", "triskel".


Histoire.

Fondée semble-t-il en 1226, Wismar devient, quelques années plus tard, membre de la Hanse. Son église principale de style gothique, l'église Saint-Nicolas, qui domine la vieille ville, date du .

Période suédoise.

Wismar est occupée par les Suédois en 1632, durant la guerre de Trente Ans. Les traités de Westphalie de 1648 qui mettent fin à cette guerre placent la ville, avec l'île Poel et la ville de Neukloster, sous la souveraineté suédoise. Wismar prend alors le nom de Wisborg.  À partir de 1653, la ville est le siège du Haut tribunal, la plus haute cour de justice suédoise au sud de la mer Baltique. Le duché de Verden et la Poméranie suédoise y sont rattachés jusqu'en 1712 et 1815 respectivement.  Durant la guerre de Scanie, la ville est attaquée et prise par les troupes danoises le , mais retournera à la Suède à la fin de la guerre. Ceux-ci font alors de Wismar l'une des plus fortes forteresses maritimes d'Europe. L'entrée au port est ainsi assurée par la forteresse qui se trouve sur l'île Walfisch. Les fortifications sont toutefois démantelées après la défaite suédoise lors de la guerre du Nord.  En 1803, Wismar/Wisborg est, moyennant le paiement d'une somme importante, cédée pour une durée de cent ans au Grand-duché de Mecklembourg-Schwerin. En 1903, la Suède renonce définitivement à ses droits sur la ville, qui redevient ainsi définitivement allemande. Les habitants fêtent chaque année, à la fin de l'été, la fête suédoise qui est encore la plus grande fête de l'année, devant la fête du port.  Le , la 6th Airborne Division de la IIe Armée britannique occupe la ville.  Le port de Wismar est le port d'attache du trois-mâts Fritdjof Nansen, qui accueille des classes pour des séjours en mer.  Wismar était une ville-arrondissement jusqu’au .  C'est à Wismar que se déroule une grande partie du film de Werner Herzog "Nosferatu, fantôme de la nuit".

Wismar est une ville hanséatique du Mecklembourg-Poméranie-Occidentale, dans le nord-est de l'Allemagne, au bord de la baie de Wismar sur la mer Baltique. Elle compte habitants (au ). Sa population est en constante diminution. C'est le chef-lieu de l'arrondissement du Mecklembourg-du-Nord-Ouest.  La ville accueille une université de technologie, économie et stylisme.  Le , sa vieille ville a été inscrite sur la liste du Patrimoine mondial de l'UNESCO conjointement avec celle de Stralsund.

Wismar () is a port and Hanseatic city in Northern Germany on the Baltic Sea, in the state of Mecklenburg-Vorpommern. It is located about east of Lübeck and north of Schwerin, and is part of the Hamburg Metropolitan Region. Its natural harbour, located in the Bay of Wismar, is protected by a promontory. The population was 42,219 in 2013. It is the capital of the district of Nordwestmecklenburg.  With its origins as a Slavic settlement, Wismar's recorded history began in the 12th century. At various times, Wismar has been part of Mecklenburg, Sweden or Germany, including East Germany. It became part of Germany in 1871, though Sweden officially renounced its claims to the city only much later, in 1903. A unique representative of the Hanseatic League city type, with its Brick Gothic constructions and many patrician gable houses, Wismar has been included in the UNESCO list of World Heritage Sites since 2002, together with the historical core of Stralsund.


Préambule.

Énoncés.

Dans tout le reste de l'article, "E" désigne un espace de Banach, Ω un ouvert de R×"E" et "f" une fonction continue de Ω dans "E". L'objectif est d'étudier l'équation différentielle du premier ordre suivante : formula_1  avec la "condition de Cauchy" "C" : "x"("t") = "x", où le couple ("t", "x") est un élément de Ω. (On ne se préoccupe que des équations différentielles d'ordre 1 parce que celles d'ordre "n "s'y ramènent.) On remarque immédiatement que si "f" est une fonction de classe C, les solutions sont de classe C.  Il existe plusieurs manières d'exprimer le théorème de Cauchy-Lipschitz, dont la forme suivante :  On déduit de ce théorème les corollaires suivants :  Lorsque l'ouvert Ω est un produit "I "× "E", où "I "est un intervalle ouvert de R, le théorème de Cauchy-Lipschitz global apporte un complément :  L'expression "théorème de Cauchy-Lipschitz" est aussi utilisée pour désigner d'autres résultats plus évolués. Il est possible de considérer non pas seulement la fonction solution "s" mais aussi la fonction qui au couple ("x", "t") associe l'image de "t" par la solution égale à "x" à un instant initial "t". On obtient une fonction appelée flot. Si la fonction "f" est de classe C, le flot l'est aussi. Il est aussi possible d'étudier la régularité des solutions si la fonction "f" dépend d'un paramètre.  D'autres résultats, qui ne portent pas le nom de "théorème de Cauchy-Lipschitz" sont présentés dans le paragraphe : "Généralisations".

Approche intuitive.

L'idée à la base du théorème est la suivante : Certaines équations différentielles possèdent des solutions stationnaires. Par exemple, l'équation formula_2 possède la solution stationnaire formula_3 pour la condition initiale formula_4. Pour une autre condition initiale formula_5, la solution stationnaire est atteinte au bout d'un temps infini, et la solution est unique. Cependant, si la solution stationnaire peut être atteinte en un temps "fini", l'unicité est violée. Considérons par exemple l'équation  formula_6  Pour la condition initiale formula_4, nous pouvons avoir la solution formula_3 ou la solution  formula_9  On peut noter que la fonction formula_10 a une pente infinie en formula_11 et ne respecte pas la condition de continuité de Lipschitz. La condition de continuité de Lipschitz élimine ce type d'équations différentielles.

Déterminisme et chaos.

Pour le mathématicien Vladimir Arnold, . En physique, les équations différentielles vérifient de manière très générale les hypothèses du théorème de l'article, il en est ainsi de celle qui régit la loi de la gravitation universelle ou l'interaction électromagnétique. Ces équations sont intrinsèquement déterministes et c'est l'une des conséquences du théorème de Cauchy-Lipschitz. Ce déterminisme, c'est-à-dire la capacité de la physique à prévoir, par exemple la trajectoire des planètes, était connu bien avant le théorème. La célèbre citation de Voltaire l'atteste : . Il en déduisait que . Curieusement, les analyses fines de la fin du démontrent la pertinence du caractère déterministe de ces lois physiques et réduisent cependant cette idée de Voltaire à l'état de chimère.  Les travaux mathématiques de cette époque montrent effectivement qu'une trajectoire, suivant une loi physique de cette nature, est unique et parfaitement déterminée. En revanche, les études de Poincaré sur la stabilité du système solaire mettent en évidence la faute de raisonnement. Ce mathématicien précise :  Le théorème de Cauchy-Lipschitz indique bien qu'une prévision parfaite est possible, mais uniquement sous réserve de connaître parfaitement la condition initiale. Certains systèmes dynamiques sont rapidement imprévisibles pour la raison qu'indique Poincaré. On utilise maintenant le terme de chaos pour décrire cette situation. Elle ne se produit pas systématiquement, le théorème de Poincaré-Bendixson précise un contexte où elle ne peut avoir lieu, mais les hypothèses sont restrictives et le résultat peu généralisable.

Vocabulaire.

Plusieurs termes ne sont pas nécessairement intuitifs, ce paragraphe en propose les définitions.

Vocabulaire générique aux équations différentielles.

Une partie du vocabulaire utilisée pour exprimer le théorème est générique aux équations différentielles ou fonctionnelles. Le terme espace de Banach désigne un espace vectoriel normé et complet, c'est-à-dire que pour la métrique associée à la norme, toute suite de Cauchy converge. Un exemple simple est un espace vectoriel réel normé de dimension finie. Pour une compréhension plus facile, le lecteur peut imaginer que "E" désigne l'ensemble des nombres réels. Dans l'article, tous les espaces de Banach considérés sont des espaces réels.

Équation différentielle autonome du premier ordre.

Il existe un cas particulier, celui où la fonction "f" est définie sur un ouvert de "E" et non pas sur un ouvert de R×"E". L'équation (1) s'écrit alors formula_12 Ω désigne un ouvert de "E" et l'équation est dite autonome.

Vocabulaire spécifique.

D'autres termes sont plus spécifiquement utilisés dans le contexte du théorème de Cauchy-Lipschitz. L'équation différentielle (1) possède généralement plusieurs solutions. Pour cette raison, on ajoute parfois une condition particulière :  "Remarque : " À la place de l'expression "condition de Cauchy", on parle parfois de "condition initiale". Les deux expressions sont synonymes.  Résoudre le problème de Cauchy consiste à trouver une solution de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy "C". Cette définition est un peu intuitive. Si l'équation différentielle modélise un courant parcourant une étendue d'eau, c'est-à-dire qu'à l'instant "t" et au point "x" le courant est égal à "f"("t","p"), il est possible de poser dans l'eau un bouchon à l'instant "t" au point "x", la trajectoire du bouchon est la solution de l'équation. Il existe bien une solution pour chaque couple ("t", "x").  Une condition de Cauchy ne suffit pas à rendre la solution unique. Considérons l'ensemble "S" des solutions de l'équation (1) définies sur un intervalle. Cet ensemble est muni d'une relation d'ordre (partiel). Une solution "s" de "S" est "plus petite" qu'une solution "s" de "S" lorsque "s" est un prolongement de "s".  Lorsque "f" ne remplit pas les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz, en utilisant une forme ou une autre de l'axiome du choix, on montre que toute solution dans "S" est majorée par une . Par conséquent, tout problème de Cauchy possède une solution maximale, et s'il n'en possède qu'une alors elle est maximum (parmi les solutions de ce problème). L'article sur le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà donne des exemples montrant que cette unicité n'est généralement pas garantie.  Lorsque tout problème de Cauchy associé à "f" possède une unique solution locale, on montre directement (sans axiome du choix) qu'il possède une solution maximum. Pour cela, il suffit que "f" soit suffisamment régulière : Lorsque l'ouvert Ω est un produit "I" × "V", où "I" est un intervalle ouvert de R et "V" un ouvert de "E", une solution de (1) est dite globale si elle est définie sur "I" tout entier. Une solution globale est évidemment maximale. Une hypothèse supplémentaire assure la réciproque :

Exemples et usages.

Champ constant.

Dans cet exemple "E" est égal au plan réel R. L'équation différentielle est autonome ; elle s'écrit "x' "= "f"("x") où "f" est la fonction constante de valeur le vecteur "v" de coordonnées (1, 0), sur Ω = ]–3, 3[. Ce domaine de "f" est représenté par le carré bleu de la figure de droite. Une méthode de représentation de la fonction "f" consiste à dessiner les vecteurs "f"("x"), où "x" est un point du domaine, en plaçant leurs origines au point "x".  On recherche les solutions vérifiant la condition de Cauchy (0, "x"), ici les coordonnées de "x" sont (–2, 2). Une solution "s" est de la forme : formula_14  La solution ne peut quitter le domaine Ω, en conséquence, la variable "t" prend nécessairement ses valeurs dans ]–1, 5[. La fonction "f" est bien continue et "k"-lipschitzienne en "x", avec dans ce cas particulier "k" = 0. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit qu'il n'existe qu'une unique courbe intégrale vérifiant une condition de Cauchy précise, comme ici celle donnée par le couple (0, "x"). Le graphe de cette solution est représentée en vert sur la figure.

Équation linéaire.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz global s'applique : un problème de Cauchy associé à une équation différentielle linéaire possède une solution globale, dont toute autre solution est restriction.

Étude d'une courbe intégrale.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz peut être vu comme un outil permettant l'étude d'une courbe intégrale. Illustrons-le par l'exemple d'une fonction logistique, définie par le problème de Cauchy suivant : formula_15  L'équation différentielle s'écrit aussi "x' "= "f"("x") avec "f"("x") = "x"(1 – "x"). La fonction "f" est une fonction polynomiale de degré 2 de zéros 0 et 1 et positive entre ses racines. Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique car "f" est continûment dérivable donc localement lipschitzienne : pour toute condition initiale, le problème de Cauchy possède une unique solution maximale. En particulier, toute solution de l'équation différentielle qui prend la valeur 0 ou 1 est constamment égale à cette valeur sur son intervalle de définition.  Soient "s" la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus et ]"a", "b"[ son intervalle de définition (avec ≤ "a "< 0 < "b "≤ ). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, "s"(]"a", "b"[) est un intervalle. Il contient "s"(0) = 1/2 donc, d'après la remarque précédente, ne contient ni 0 ni 1, si bien qu'il est inclus dans ]0, 1[.  Le fait que "s" prenne ses valeurs entre 0 et 1 montre que sa dérivée est strictement positive. L'application "s "est donc strictement croissante sur ]"a", "b"[. Elle possède donc en "b "une limite à gauche et sa dérivée a pour limite "c"(1 – "c"), ce qui prouve que "b" =  (sans quoi, on pourrait prolonger "s "en une solution définie sur ]"a", "b"], ce qui contredirait la maximalité de "s"). Comme "s "est bornée, la seule valeur limite possible en de sa dérivée est 0, ce qui montre que "c "= 1. Le même raisonnement montre que "a" =  (le domaine de définition de "s "est donc égal à R) et que la limite de "s "en est 0  Enfin, on remarque que la fonction qui à "t" associe 1 – "s"(–"t") est une solution du même problème de Cauchy donc est égale à "s", ce qui signifie que la fonction "s" – 1/2 est impaire. L'équation montre que le point d'abscisse 0 est l'unique point d'inflexion de la courbe et que la dérivée de "s "en 0 est égale à 1/4, ce qui permet d'établir son graphe, représenté à droite.  Dans le cas de l'exemple choisi, on peut résoudre l'équation différentielle et utiliser les méthodes classiques pour l'étude de la courbe intégrale, mais ce n'est pas toujours possible. Une équation différentielle n'a pas nécessairement des solutions s'exprimant sous la forme d'une expression algébrique construite à l'aide des fonctions élémentaires.

Théorème de Poincaré-Bendixson.

L'usage du théorème de Cauchy-Lipschitz ne se limite pas à la résolution pratique des équations. Il sert aussi d'outil théorique, par exemple pour mieux comprendre le comportement qualitatif d'une équation différentielle. On peut considérer le cas d'une équation différentielle autonome dans R ayant une solution "p" périodique. La courbe intégrale est un lacet simple, c'est-à-dire que son graphe forme une boucle sans point double. Soit maintenant une condition de Cauchy "C" correspondant à un point à l'intérieur de la boucle. Le théorème de Cauchy-Lipschitz indique que la courbe intégrale maximale "s" vérifiant "C" ne pourra jamais "traverser" la boucle, si la fonction "f" définissant l'équation est localement lipschitzienne. La courbe "s" est donc bornée et si l'on suppose que le domaine de "f" contient l'intérieur de la boucle, la courbe "s" ne s'approche jamais trop du bord du domaine. Ceci suffit à démontrer que le domaine de définition de "s" est R tout entier.  Le théorème de Poincaré-Bendixson permet d'aller plus loin. Il indique que soit la courbe "s" est convergente, soit son comportement s'approche de plus en plus d'une fonction périodique. Cette configuration interdit les trajectoires chaotiques.  L'usage fait ici du théorème permet de comprendre qualitativement le comportement d'une courbe intégrale. Pour l'étude d'équations différentielles plus complexes, par exemple certains systèmes dynamiques, cette approche est indispensable. Il n'est en effet plus toujours possible de résoudre explicitement ces équations, ni même d'approcher leur solutions sur des longues périodes de temps.

Fragments d'histoire.

Origines.

L'origine de la question traitée par le théorème est ancienne, elle porte initialement le nom de . À chaque point de l'espace, une droite est associée, le problème à résoudre est de trouver la courbe ayant, comme tangente en chaque point, une de ces droites, ce qui correspond en termes modernes à une équation différentielle autonome. Kepler est dans une étude sur la contenance d'un tonneau de vin en 1615. Si cette question est abordée par des mathématiciens comme Descartes, Fermat ou Roberval, qui développent cette approche dans des cas particuliers durant le , le progrès essentiel est l'œuvre de Newton et Leibniz avec la découverte du calcul infinitésimal. Newton cherche surtout à obtenir un résultat à l'aide d'une série, Leibnitz recherche aussi des "solutions exactes", sous forme de primitives de fonctions connues.  Le siècle suivant est l'objet d'une systématisation de l'étude. Dans un premier temps . Euler, en 1768 étudie la manière d'approcher une solution. Il étudie le cas particulier "x"'("t") = "f"("t") et cherche une solution sur un intervalle ["a", "b"]. Pour ce faire, il partitionne l'intervalle à l'aide d'une suite "a" = "a", "a", ..., "a" = "b" et, si "c" est élément de l'intervalle ["a", "a"], il propose l'approximation suivante : formula_16  Dans le cas plus général de l'équation "x"'("t") = "f"("t", "x"("t")), il utilise la même méthode, qui donne : formula_17  Euler ne se pose pas la question de la convergence si le découpage est de plus en plus fin.

Les apports de Cauchy et de Lipschitz.

Augustin Louis Cauchy établit les premiers résultats généraux. Dans un premier temps, il précise sa méthode : Ce que Cauchy décrit ici est la démarche formalisée par le "problème de Cauchy".  À l'aide de la formalisation de la notion de limite par Bolzano, son approche lui permet d'aller plus loin. La question "x' "= "f"("x") sur l'intervalle ["a", "b"], si on lui ajoute la condition de Cauchy "x"("a") = "x", change de nature. Ce n'est plus la recherche d'une primitive de "f", mais le calcul d'une intégrale. Il montre que, avec les notations du paragraphe précédent, si tend vers 0 et si "f" est continue, l'approximation converge. Plus précisément, il applique cette démarche à l'équation "x" ("t") = "f"("t", "x"("t")) dans le cas où "f", ainsi que sa différentielle partielle par rapport à la seconde variable, sont continues et bornées : avec les mêmes conditions, on obtient encore une convergence. C'est la première version du théorème, démontrée par Cauchy dès 1820. En 1835, sa méthode est généralisée aux fonctions holomorphes.  Rudolf Lipschitz , sans manifestement connaître la teneur des travaux de Cauchy, démontre un théorème au théorème local de son prédécesseur, en introduisant la condition qui porte maintenant son nom. Cauchy utilisait cette condition en la déduisant de son hypothèse sur la différentielle partielle de "f", à l'aide de l'une de ses découvertes, qu'il affectionne particulièrement : le théorème des accroissements finis.

Le formalisme moderne.

La fin du voit une profonde mutation du théorème, tant dans la manière de le démontrer que dans l'enrichissement de son contenu, nécessaire pour mieux comprendre l'équation différentielle.  À la suite des travaux de Fuchs, les objectifs deviennent plus ambitieux. Paul Painlevé et Émile Picard s'intéressent au cas général des équations différentielles de premier et second ordre et donc à leurs singularités. Les objectifs d'Henri Poincaré sont encore plus généraux. À la suite d'une étude sur la stabilité du système solaire, il cherche à établir une théorie générale qui prendra le nom de système dynamique. Devant l'impossibilité d'établir des solutions explicites, Poincaré fonde les bases d'une théorie qualitative. Les objectifs sont, dans un premier temps l'étude des singularités, puis le comportement asymptotique (c'est-à-dire l'étude du comportement une fois le système stabilisé) et la sensibilité à la condition initiale.  Pour atteindre ces nouveaux objectifs, la formulation par Cauchy ou Lipschitz du théorème devient insuffisante. On cherche maintenant des éléments de réponse globaux sur les courbes intégrales et non plus uniquement un résultat local. Les questions sur la régularité de la solution deviennent essentielles. Enfin, on cherche à déterminer la nature de la modification de la courbe intégrale en fonction d'une modification de la condition initiale ou d'un paramètre de l'équation. Les méthodes pour y arriver diffèrent radicalement de l'approche de Cauchy qui étudiait le comportement limite de la fonction polygonale imaginée par Euler. Elles se rapprochent de l'analyse fonctionnelle, le contexte de l'étude étant maintenant un espace de fonctions disposant de propriétés géométriques. Le théorème à la source de la démonstration est celui du point fixe. Sa forme initiale est l'œuvre de Picard. Ce théorème est maintenant vu comme une propriété générale d'espaces vectoriels particuliers, formalisés par Stefan Banach. Son application au théorème de l'article est l'œuvre du mathématicien finlandais Ernst Lindelöf en 1894. Pour cette raison, le théorème nommé en France d'après Cauchy et Lipschitz prend le nom, en anglais, de "".

Généralisations.

Il existe de nombreuses généralisations du théorème de Cauchy-Lipschitz. Les techniques utilisées pour sa démonstration permettent d'aller plus loin dans l'analyse des solutions d'une équation différentielle. Une rapide analyse montre qu'une solution est continûment dérivable, mais rien n'indique ce qui se produit si la fonction "f" est plus régulière. La branche des mathématiques étudiant un système dynamique se pose deux questions essentielles : quel est le comportement d'une courbe intégrale si "t" s'approche des bornes du domaine de définition ? Et quelle est la sensibilité à la condition initiale ? c'est-à-dire que se passe-t-il si "x" subit une petite modification.  Enfin, l'article suppose que l'ensemble "E" est un espace de Banach, ce qui n'est pas l'unique cas étudié. Dans certaines situations, il est utile de considérer "E" comme une variété différentielle. Les théorèmes se transposent aisément dans ce nouvel univers.

Flot.

L'un des objectifs de l'étude des systèmes dynamiques est celle de la sensibilité à la condition de Cauchy. Le vocabulaire et la représentation géométrique sont un peu différents de ce qui a été utilisé jusqu'à présent. Pour en comprendre l'origine, le plus simple est d'imaginer que Ω est un plan d'eau et que R représente le temps. Le plan d'eau est agité par un courant, représenté par la fonction "f", appelé champ de vecteurs. En dimension 2, on représente ce champ de vecteurs en associant à certains points "x" de "E" une représentation graphique du vecteur "f"("x") (si le champ de vecteurs ne dépend pas du temps "t"), à l'image de la figure de droite. Une courbe intégrale satisfaisant à la condition de Cauchy "C" peut s'imaginer comme la trajectoire d'un bouchon placé dans l'eau à l'instant "t" à la position "x". Pour connaître d'un seul coup toutes les solutions de l'équation différentielle, il suffit de connaître le mouvement de la surface de l'eau, appelé "flot", "coulée" ou encore "courant".  Avec ce concept, le théorème de Cauchy-Lipschitz prend une nouvelle forme : Il est possible d'aller plus loin si "f" est plus régulière.  Cette forme du théorème est plus forte que la précédente. Elle montre la régularité des solutions sous l'action d'une petite modification de la condition de Cauchy. Cet énoncé garantit l'absence d'une certaine forme de chaos. Les bifurcations sont impossibles et, sous réserve que "t" ne grandisse pas trop, les trajectoires restent proches si la condition de Cauchy est peu modifiée. Néanmoins, si le champ de vecteurs évolue avec le temps ou si "E" est de dimension strictement supérieure à deux, une autre forme de chaos peut s'installer.  Les formes précises des théorèmes et les démonstrations sont données dans l'article détaillé.

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà.

À la fin du , Giuseppe Peano, un mathématicien italien, s'interroge sur les généralisations possibles du théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus faibles : que se passe-t-il si la fonction "f", définissant l'équation (1), reste continue mais n'est pas localement-lipschitzienne par rapport à la deuxième variable ?  Une situation physique correspondant à ce cas est une bille roulant sans frottement sur l'arête d'un toit en V inversé aux branches de pente constante. Notons "x" la coordonnée transversale (perpendiculairement à l'arête) et "y" la coordonnée longitudinale (parallèlement à l'arête). En appliquant les lois de la mécanique, on obtient une équation différentielle autonome du premier ordre dans R, si l'on ne considère que les solutions qui penchent vers les valeurs positives de "x" :  formula_18  Si "t" désigne un réel positif, toutes les solutions suivantes vérifient l'équation précédente, pour la même condition de Cauchy, à savoir que le solide est à l'instant 0, à la position (0,0) : formula_19  D'autres exemples sont donnés dans l'article détaillé.  Ici, on remarque que si l'unicité n'est plus valable, l'existence reste vraie. De manière plus générale, si la fonction "f" de l'équation (1) est continue et bornée et si "E" est de dimension finie, l'existence d'une solution est garantie. Ce résultat est appelé "théorème de Cauchy-Peano-Arzelà".  Quand on lui adjoint le critère d'unicité d', on obtient la même conclusion que Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses plus faibles.

Extension aux équations aux dérivées partielles.

La généralisation du théorème pour les équations aux dérivées partielles suppose des hypothèses plus fortes pour un résultat plus faible. La fonction "f" définissant l'équation doit être analytique ainsi que les conditions aux limites qui remplacent celle de Cauchy. Aucune information n'est fournie dans le cas d'une modification des conditions aux limites ou d'un paramètre. Ce théorème est appelé : théorème de Cauchy-Kowalevski.

Démonstrations.

Préambule.

Pour comprendre le mécanisme de la preuve, reprenons l'exemple de l'équation différentielle définissant la courbe logistique, avec la condition de Cauchy "C" : formula_20  On définit une suite de fonctions polynomiales ("u") par récurrence : formula_21  Sur l'intervalle [–5/2, 5/2], la suite ("u") converge uniformément. Sa limite est un point fixe de la fonction φ qui à une fonction continue "f" de [–5/2, 5/2] dans R associe la fonction φ : formula_22 En dérivant l'égalité φ = "u", on vérifie que "u" est bien une solution de l'équation différentielle étudiée et par construction "u"(0) = 1/2. Cette démarche est celle de la démonstration de Lindelöf. Il constate que si l'intervalle est bien choisi, la fonction φ vérifie la condition de Lipschitz avec un coefficient strictement plus petit que 1, elle est donc contractante, ce qui permet de faire usage du théorème du point fixe. Comme une application contractante n'admet qu'un unique point fixe, l'unicité d'une solution locale est démontrée.  Cette méthode permet de trouver "localement" une solution. En revanche, pour la valeur 3, la suite ("u") diverge. Cependant rien n'empêche de répéter la même démarche avec les deux conditions de Cauchy (5/2, "u"(5/2)) et (–5/2, "u"(–5/2)), il devient ainsi possible de prolonger la solution. Quitte à réitérer la démarche une infinité de fois, on finit par obtenir une solution maximale.  L'intérêt de la démarche est surtout théorique. Dans le cas particulier de l'exemple, il est aisé d'intégrer directement l'équation différentielle. Dans le cas général, il existe des méthodes plus rapides pour obtenir une approximation de la solution, comme celle d'Euler décrite dans la partie « Fragments d'histoire » ou encore celle de Runge-Kutta. En revanche, il est possible de démontrer dans le cadre général du théorème de l'article qu'une fonction construite de la même manière que φ est contractante, ce qui montre l'existence "et l'unicité" d'un point fixe, solution de l'équation différentielle. Cette démarche, caractéristique de l'analyse fonctionnelle, permet donc de démontrer un résultat plus fort que celui qu'avait démontré Cauchy.

Solution locale.

L'objectif de ce paragraphe est d'expliquer la méthode permettant de montrer que l'équation (1) admet localement une unique solution satisfaisant la condition de Cauchy "C". Par translations, on se ramène sans peine au cas ("t", "x") = (0, 0). La condition "C" s'écrit alors : "x"(0) = 0.  On suppose que "f" est localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable et continue. Comme Ω est un ouvert, il existe un réel strictement positif "a" tel que le produit du segment [–"a", "a"] par la boule fermée "B" de centre 0 et de rayon "a" soit inclus dans Ω et tel que sur ce produit, "f" soit "k"-lipschitzienne par rapport à la deuxième variable pour un certain "k", et de norme majorée par un réel "m". Soit enfin "b" ≤ "a" un réel strictement positif, assez petit pour que "bm" ≤ "a" et Ce réel "b" permet de définir un espace "F" de fonctions sur lequel on construit une application Φ satisfaisant au théorème du point fixe :  On démontre alors que la fonction Φ est à valeurs dans "F", et qu'elle est "bk"-lipschitzienne donc contractante, puisque "bk" < 1.  Les hypothèses du théorème du point fixe étant réunies, on en déduit que Φ admet un unique point fixe dans "F". D'après le théorème fondamental de l'analyse (étendu aux espaces de Banach), cela revient à dire que le problème de Cauchy admet sur [–"b", "b"] une unique solution à valeurs dans "B".  On montrerait de même que pour tout ε de [0, "b"], il existe sur [–ε, 0] et sur [0, ε], une unique solution "à valeurs dans B" du problème de Cauchy. Pour finir de démontrer l'unicité locale à gauche et à droite, on montre de plus qu'une solution sur [–ε, 0] ou [0, ε] du problème de Cauchy est nécessairement à valeurs dans "B".  Tout ceci se résume en un premier théorème :  Une méthode pratique pour trouver le point fixe est de construire une suite ("u") qui vérifie la relation de récurrence : "u" = Φ, la suite converge nécessairement vers le point fixe. Cette technique est celle utilisée dans le préambule.

Solution maximale.

À l'exception de l'unicité de la solution locale, le paragraphe précédent résume le résultat démontré à l'époque de Cauchy. Il n'offre aucune information sur l'existence ou l'unicité d'une solution maximale vérifiant la condition de Cauchy "C". Ces résultats, plus tardifs, sont les deux points suivants, qui se déduisent respectivement de l'existence et de l'unicité du théorème local ci-dessus :  Autrement dit, ( § « Vocabulaire spécifique ») : ce problème possède une solution non seulement maximale mais maximum, c'est-à-dire dont toute solution définie sur un intervalle est une restriction. Ainsi, grâce à l'unicité locale, on a redémontré directement à peu de frais que toute solution possède un prolongement en une solution maximale.

Équation différentielle non autonome.

Signalons accessoirement qu'à l'aide d'un jeu d'écriture, il est possible de généraliser le cas particulier des équations autonomes aux équations dépendantes du temps. Soit formula_24.  En désignant par "y" le point ("t", "x") de Ω, on considère le problème de Cauchy suivant : formula_25  La fonction "g" est localement lipschitzienne dès que "f" l'est. Cependant, le théorème général ne se déduit pas immédiatement de cette remarque car son énoncé ne suppose pas que "f" est localement lipschitzienne, mais seulement qu'elle est continue et localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable.

Solutions maximales et solutions globales.

On suppose ici que l'ouvert Ω est de la forme "I "× "E", où "I "est un intervalle ouvert de R. Toute solution globale (c'est-à-dire définie sur "I "tout entier) de l'équation (1) est évidemment maximale, mais la réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple de l'équation "x' = x". Divers théorèmes « d'échappement » ou « d'explosion », parfois joints au lemme de Grönwall, donnent des conditions suffisantes pour une telle réciproque, mais l'énoncé suivant, qui suffit par exemple dans la théorie des équations différentielles linéaires, se démontre directement :

En mathématiques et plus précisément en analyse, le théorème de Cauchy-Lipschitz (ou de Picard-Lindelöf pour les anglophones) concerne les solutions d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses de régularité de la fonction définissant l'équation, le théorème garantit l'existence d'une solution répondant à une condition initiale dite de Cauchy et l'unicité d'une solution maximale.  Certaines lois physiques, comme le principe fondamental de la dynamique, se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème. Ce dernier assure alors le caractère déterministe du mécanisme décrit par la loi. Ce déterminisme ne se traduit pas toujours par une possibilité de prédiction, la théorie du chaos montre l'existence de possibles phénomènes fortuits.  Selon les auteurs, le théorème de Cauchy-Lipschitz s'exprime de manière plus ou moins forte. Sous une forme plus élaborée, ce théorème assure que la solution varie continûment si la condition initiale est modifiée, et il en est de même si la fonction définissant l'équation dépend continûment d'un paramètre. Si l'équation est définie par une fonction de classe C, la solution est de classe "C". Ce théorème peut encore être généralisé au cas où l'équation différentielle n'est plus à valeurs dans un espace vectoriel, mais dans une variété différentielle.  Une première version est démontrée par Augustin-Louis Cauchy durant la première moitié du , à l'aide d'une technique d'approximation découverte par Leonhard Euler au siècle précédent. Rudolf Lipschitz généralise l'énoncé en élargissant un peu la classe des équations qui s'y rapportent. Le théorème n'en reste pas moins uniquement un résultat d'existence locale. C'est à la fin de ce siècle que les techniques de démonstration, ainsi que l'énoncé du théorème, sont profondément modifiés. À la suite des travaux de Lazarus Fuchs, les mathématiciens Émile Picard, Paul Painlevé et Henri Poincaré développent une version moderne de l'analyse des équations différentielles. Cette vision permet d'apporter des éléments de réponse sur les solutions maximales, l'unicité et la régularité de la solution. Une version relativement moderne est publiée en 1894 par Ernst Lindelöf. Le théorème se démontre maintenant généralement à l'aide d'un théorème du point fixe et d'une approche topologique, classique en analyse fonctionnelle.

In mathematics – specifically, in differential equations – the Picard–Lindelöf theorem, Picard's existence theorem, Cauchy–Lipschitz theorem, or existence and uniqueness theorem gives a set of conditions under which an initial value problem has a unique solution.  The theorem is named after Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz and Augustin-Louis Cauchy.  Consider the initial value problem  Suppose is uniformly Lipschitz continuous in (meaning the Lipschitz constant can be taken independent of ) and continuous in , then for some value , there exists a unique solution to the initial value problem on the interval formula_2.


Biographie.

Soddy est né à Eastbourne en Angleterre. Il a commencé ses études au Eastbourne College, avant d'aller à l"'University College of Wales" à Aberystwyth et à l'université d'Oxford (au Merton College). Il fut chercheur à Oxford de 1898 à 1900.  En 1900, il devint démonstrateur de chimie à l'université McGill à Montréal au Québec, où il travailla avec Ernest Rutherford sur la radioactivité. Ils découvrirent que le comportement anormal des éléments radioactifs provenait de leur désintégration en d'autres éléments. Cette désintégration produit aussi des rayons alpha, bêta et gamma.  En 1903, avec William Ramsay, Soddy vérifie que la désintégration du radium produit de l'hélium.  De 1904 à 1914, il fut chargé de cours à l'université de Glasgow et montra que l'uranium peut se désintégrer en radium. Il montra aussi qu'un élément radioactif peut avoir plusieurs masses atomiques sans autre changement dans ses propriétés chimiques. Ceci conduisit à la notion d'isotope. Soddy montra plus tard que les éléments non radioactifs peuvent aussi avoir plusieurs isotopes. De plus, il montra que l'émission alpha diminue de deux unités le nombre atomique. Ce fut une étape fondamentale dans la compréhension des relations entre les différentes familles d'éléments radioactifs.  En 1914, il fut nommé à une chaire de l'université d'Aberdeen.  En 1919, il s'installa à Oxford, où il réorganisa les laboratoires et le cursus en chimie jusqu'en 1936.  Il a reçu en 1921 le prix Nobel de chimie .  Dans quatre livres écrits de 1921 à 1934, Soddy mena campagne pour une réforme radicale des relations monétaires mondiales, fondant sa vision de l'économie écologique sur les lois de la thermodynamique, mais ne fut pas pris au sérieux. Quoique la plupart de ses propositions — l'abandon de l'étalon-or, les taux de change flottants, l'utilisation des surplus et déficits nationaux comme outils de politique macro-économique pour contrer les cycles économiques, et la mise en place de bureaux de statistiques économiques (incluant un indice des prix à la consommation) pour faciliter cet effort — soient maintenant de pratique conventionnelle, sa critique du système de réserves fractionnaires reste controversée (mais reprise par de nombreux économistes comme Irving Fisher — dans "100 % monnaie" — ou Maurice Allais). Soddy écrivait que les dettes financières croissaient exponentiellement au taux de l'intérêt composé mais que l'économie réelle était basée sur des stocks non renouvelables de combustibles fossiles. L'énergie obtenue par l'utilisation des combustibles fossiles ne pouvait pas être réutilisée. Cette critique de la croissance économique trouve un écho dans les travaux de Nicholas Georgescu-Roegen.  Il est mort le 22 septembre 1956 à Brighton en Angleterre. Son épouse est décédée en 1936.

Frederick Soddy ( à Eastbourne, Angleterre - à Brighton, Angleterre) était un radio-chimiste britannique, lauréat du prix Nobel de chimie en 1921.

Frederick Soddy FRS (2 September 1877 – 22 September 1956) was an English radiochemist who explained, with Ernest Rutherford, that radioactivity is due to the transmutation of elements, now known to involve nuclear reactions. He also proved the existence of isotopes of certain radioactive elements.


Étymologie et dénominations.

Le nom du genre vient du latin "rumex", « lance, dard » qui est une allusion aux feuilles sagittées (en forme de fer de lance). Le nom vernaculaire oseille est une réfection, sous la graphie ozeille (1393), de l'ancien français oiseles (fin ), puis osile (v. 1250), issu du latin populaire acidula, féminin substantivé de l'adjectif acidulus, « aigrelet », avec un dérivé du grec (oxus, « pointu, acide » qui a donné le nom grec "oxalis" de l'oseille cultivée et l'acide oxalique), auquel il a emprunté son o initial. Les Rumex portent de nombreux noms vernaculaires selon les régions : celui de patience est une altération du latin "lapathium" qui désigne cette plante, réinterprétée par l'étymologie populaire qui y voit l'obstination de « mauvaises herbes » et la lenteur de leurs effets médicinaux selon le principe de la théorie des signatures. Celui de doche est un dérivé de l'anglais dock, nom des patiences en anglais (issu de dok, « courte queue »).  Le genre se divise en deux sous-genres : les rumex vrais (Eurumex) ou patiences, souvent amers et astringents du fait de leur importante teneur en tanins, et les oseilles (Acetosa, « vinaigre », et Acetosella) aux feuilles auriculées (embrassant la tige par leurs oreillettes arrondies parallèles au pétiole), particulièrement riches en acides organiques.

Principales espèces.

Le genre "Rumex" compte deux cents espèces répertoriées dans l’hémisphère nord, dont 49 en Europe (18 en France, 15 en Suisse et 14 en Belgique).

Utilisations.

Alimentaire.

Les feuilles de toutes les espèces sont comestibles. Elles passent pour être dépuratives, stomachiques et diurétiques lorsqu'elles sont crues, émollientes lorsqu'elles sont cuites. Si elles sont trop amères, on peut les cuire à deux eaux pour en éliminer les tanins. Plusieurs espèces sont cultivées comme plante potagère, notamment "Rumex acetosa" (l'oseille commune ou grande oseille), et ' (l'oseille-épinard ou patience des moines), plus rarement ' (l'oseille vierge) et "Rumex scutatus" (l'oseille en écusson). Les graines de Rumex apparaissent fréquemment dans les assemblages de semences liées à des structures de stockage à l'âge du fer, ce qui évoque leur consommation, mais la présence sporadique de ces graines ne peut attester leur culture dans les jardins.  Les feuilles et pétioles sont utilisées en cuisine. Leur saveur douce et acidulée est telle qu'elles peuvent être mangées crues en salade, ou cuite (soupe, confiture, compote et tarte notamment avec les pétioles de l'Oseille des Alpes). La "petite oseille" ("Rumex acetosella") est une plante à la saveur proche, à ne pas confondre avec "Oxalis acetosella", du genre "Oxalis", que certains nomment à tort "petite oseille". Une fois cuisinée, l'oseille ne se conserve pas au réfrigérateur. Il convient de la consommer rapidement ou de la congeler. Au Burkina Faso, l'oseille est utilisée pour la préparation de la "sauce oseille" un accompagnement du plat traditionnel de "tô".  Les graines des rumex sont consommables mais de faible valeur alimentaire. Il est préférable, mais difficile, de les débarrasser de leur enveloppe très astringente, après quoi on peut les moudre et les mélanger en petites quantités à la farine pour faire des bouillies, des galettes, voire du pain.

Médicinales.

La médecine populaire d'Europe centrale et d'Europe de l'Est fait une grande place aux rumex depuis des siècles (traitement des tuméfactions de tissus, d'articulation ou d'organes ; activité supposée sur les tumeurs cancéreuses), alors que ceux-ci sont presque absents de la phytothérapie moderne occidentale. Toutes les parties de la plante fraîche, séchée ou cuite (racine, feuille, semence et grain, inflorescences) sont utilisées en cataplasmes, onctions, tisanes, pastilles, suppositoires, poudres, vins médicinaux, préparations à base de vinaigre et d'eau de vie. Les indications les plus citées sont : . Frotter une feuille de "Rumex" sur une peau piquée par les orties ou les insectes est réputé pour supprimer les démangeaisons.  La racine de "Rumex" permet de fabriquer un extrait qui, pulvérisé sans dilution, traite contre l'oïdium les concombres, les pommiers et la mâche.

Flore bioindicatrice.

Les Rumex sont des plantes bioindicatrices de l'état des sols :

Composants chimiques notables.

L'oseille contient de l'acide oxalique à une teneur élevée, préjudiciable à la calcification des os, et pouvant prédisposer à la formation de calculs rénaux et/ou au niveau de l'arbre urinaire en cas d'ingestion exagérée. Elle contient également du fer en quantité importante.  Le Rumex peut produire dans le sol plusieurs substances toxiques (terpénoïdes, alcaloïdes, tanins, anthraquinones, glycosides) destinées à inhiber la germination ou la croissance d'autres plantes de la rhizosphère (action inhibitrice par allélopathie), voire à les tuer (action biocide par allélopathie), afin de s'assurer un espace vital propre.

Plante hôte.

Les diverses oseilles sont la plante hôte des chenilles de plusieurs papillons et en particulier les cuivrés, le Cuivré commun ou Bronzé ("Lycaena phlaeas"), le Cuivré mauvin ("Lycaena alciphron"), "Lycaena clarki", le Cuivré mauve ("Lycaena helloides"), le Cuivré écarlate ("Paleochrysophanus (Lycaena) hippothoe"), le Cuivré du genêt ("Lycaena thersamon"), le Cuivré fuligineux "Lycaena tityrus", le Cuivré de la verge-d'or ("Lycaena virgaureae"), mais aussi "Acronicta rumicis", "Agrotis clavis", "Amata phegea", "Amata ragazzii", "Hippotion celerio", "Hippotion osiris", "Hyles livornica", "Lacanobia oleracea", "Malacosoma franconicum", "Parasemia plantaginis", "Phragmatobia fuliginosa", "Synansphecia doryliformis doryliformis" et "Synansphecia doryliformis icteropus", "Triodia sylvina", "Zygaena exulans".  Les papillons de nuit (hétérocères) suivants (classés par famille) se nourrissent d'oseille :

Rumex (les oseilles) est un genre de plantes herbacées dicotylédones de la famille des Polygonacées (comprenant notamment le sarrasin et la rhubarbe), poussant à l'état sauvage en Afrique, Europe et en Asie septentrionale, ainsi qu'en Amérique du Nord, dont plusieurs espèces sont cultivées comme plantes potagères pour leurs feuilles comestibles.

The docks and sorrels, genus Rumex, are a genus of about 200 species of annual, biennial, and perennial herbs in the buckwheat family, Polygonaceae. Members of this genus are very common perennial herbs with a native almost worldwide distribution, and introduced species growing in the few places where the genus is not native.  Some are nuisance weeds (and are sometimes called dockweed or dock weed), but some are grown for their edible leaves. "Rumex" species are used as food plants by the larvae of a number of Lepidoptera species, and are the only host plants of "Lycaena rubidus."


Création.

L'ordre, déjà maître d'une partie de la Livonie, entreprit en 1216 la conquête de l'Estonie, qu'il soumit entièrement en 1223. Albert, évêque de Riga (ou Prince-Évêque de Livonie), fonda cette confrérie pour l'aider à convertir les païens de Courlande, de Livonie, du Zemgale et de Latgalie le long du golfe de Riga, mais bien vite l'ordre eut tendance à ignorer la suzeraineté toute théorique des évêques. Il s'appela d'abord "Ordre des Frères de l'armée du Christ". Le premier grand-maître fut Winno de Rohrbach.  En 1218, Albert demanda son assistance au roi du Danemark Valdemar II, mais Valdemar au lieu de cela s'entendit avec la confrérie et conquit le Nord de l'Estonie.

Organisation.

Les quartiers généraux de la confrérie étaient à Fellin (Viljandi) en Estonie, où les murs du château du Grand-Maître subsistent encore. D'autres places fortes se trouvaient à Wenden (Cēsis), Segewold (Sigulda) et Ascheraden (Aizkraukle). Les commandeurs de Fellin, de Goldingen (Kuldīga), Marienburg (Alūksne), de Reval (Tallinn), et le bailli de Weissenstein (Paide) formaient un Conseil de cinq membres autour du maître de l'Ordre.

Intégration aux chevaliers Teutoniques.

Les Frères furent pratiquement annihilés par les Lituaniens et les Semigalliens à la bataille de Šiauliai en 1236. En conséquence, la confrérie fut incorporée l'année suivante à l'ordre des Chevaliers teutoniques. À partir de ce moment, ils furent sur tous les points (règle, habillement et activité) une branche autonome de l'Ordre teutonique, avec leur propre Maître (qui était sujet "de jure" du Grand-Maître de l'Ordre teutonique). Entre 1237 et 1290, ils conquirent en totalité la Courlande, la Livonie et la Semigallie. En 1346, l'Ordre acheta le reste de l'Estonie au roi du Danemark Valdemar IV.  L'ordre teutonique sombra dans le déclin après sa défaite à la bataille de Grunwald en 1410 puis la sécularisation de ses territoires prussiens par Albert de Prusse en 1525, mais l'Ordre de Livonie parvint à maintenir une existence indépendante. Pendant la guerre de Livonie, cependant, ils souffrirent de la défaite décisive que leur infligèrent les troupes de la Russie moscovite à la bataille d'Ergeme en 1560. L'ordre de Livonie chercha alors une protection auprès du roi Sigismond II Auguste, qui était intervenu au cours d'une guerre entre l'évêque Guillaume de Riga et les Frères en 1557.  Après être parvenu à un accord avec le roi polonais et ses représentants (particulièrement Mikołaj « Czarny » Radziwiłł), le cinquantième et dernier grand-maître, Gotthard Kettler, sécularisa l'ordre et se convertit au luthéranisme. Dans la partie méridionale des domaines appartenant aux Frères, il créa pour sa famille le duché de Courlande et de Semigallie. Cette création fut possible grâce au Pacte de Wilno, le , qui décida aussi de la de Sigismond II Auguste, et du Nord de l'Estonie au Danemark et à la Suède.

Organisation.

Les Chevaliers Porte-Glaive ou Frères de l'Épée (en latin : "Fratres Militiae Christi", « frères de l'armée du Christ », en allemand : "Schwertbrüder") sont un ordre militaire organisé en 1202 à Dünamünde par Albert de Buxhoeveden, évêque de Livonie, et composé de « moines guerriers » germaniques dans le but de christianiser les populations baltes. Leur règle se fonde principalement sur celle des Templiers. Ils sont connus également sous le nom de Milice du Christ de Livonie ou simplement d'Ordre livonien à partir de 1237. Les membres de cet ordre portaient une robe de serge blanche avec la chape noire ; deux glaives rouges croisés de noir étaient brodés sur la poitrine, et un autre à l'épaule gauche.

The Livonian Brothers of the Sword (, , ) was a Catholic military order established by Albert, the third bishop of Riga (or possibly by Theoderich von Treyden), in 1202. Pope Innocent III sanctioned the establishment in 1204 for the second time. The membership of the order comprised German "warrior monks" who fought Baltic and Finnic pagans in the area of modern-day Estonia, Latvia and Lithuania. Alternative names of the Order include Christ Knights, Swordbrothers, Sword Brethren, and The Militia of Christ of Livonia. The seal reads: "+MAGISTRI ETFRM (et fratrum) MILICIE CRI (Christi) DE LIVONIA".  Following their defeat by the Samogitians and Semigallians in the Battle of Schaulen (Saule) in 1236, the surviving Brothers merged into the Teutonic Order as an autonomous branch and became known as the Livonian Order.


Marie-Christine de Bourbon-Siciles (1806-1878)

Biographie.

Origines et famille.

Troisième fille du roi François I des Deux-Siciles (1777-1830), et de l'infante Marie-Isabelle d'Espagne (1789-1848), elle-même fille du roi Charles IV, elle épousa avec dispense son oncle, de 22 ans plus âgé, Ferdinand VII (1784-1833) le et devint sa quatrième épouse.  Le roi d'Espagne n'ayant pas d'enfant de ses trois premiers mariages, cherchait une épouse susceptible de lui donner un héritier et la Maison des Deux-Siciles était réputée pour sa fécondité. Les mariages royaux étant affaire politique, la différence d'âge n'était pas un obstacle et les méfaits de la consanguinité étant ignorés, que le roi fût l'oncle de son épouse, n'entrait guère en ligne de compte. Le pape accordait facilement une dispense aux princes qui le soutenaient. De plus, la Maison Royale des Deux-Siciles étant une branche cadette de la Maison Royale d'Espagne, le roi des Deux-Siciles ne pouvait guère refuser la proposition du roi d'Espagne. À la même époque le frère cadet du roi épousa également une sœur de Marie-Christine qui était également sa nièce.  Le couple royal eut deux filles Isabelle (1830-1904) et Louise-Ferdinande (1832-1897).

Régente d'Espagne.

À la mort de son mari, le , sa fille aînée n'ayant que trois ans, elle tint le rôle de régente. La dévolution de la couronne était disputée entre Isabelle et l'infant Charles, comte de Molina, frère du défunt roi qui revendiquait ses droits en s'appuyant sur la loi salique, alors que Charles IV l'avait abrogée en 1789 et que Ferdinand VII avait ratifié cette décision. Charles représentait le courant conservateur, clérical et régionaliste (V. carlisme) quand la régente était soutenue par les libéraux, anticléricaux et centralisateurs. Ce fut l'origine de la première guerre carliste.  Trois mois seulement après la mort de Ferdinand VII, Marie Christine, qui n'avait que 27 ans, épousa secrètement un sergent de la garde royale d'origine roturière, Agustín Fernando Muñoz y Sánchez, ce qui ne lui valut pas une grande popularité.  Ne réussissant pas à se concilier les libéraux et les modérés, elle fut contrainte d'abandonner la régence au général Espartero et de partir en exil, sortant d'Espagne le à bord du "Mercurio". Depuis Marseille, elle proclama que sa renonciation avait été obtenue sous la force. Elle se rendit ensuite à Rome pour recevoir la bénédiction de Grégoire XVI et l'approbation de son mariage morganatique.  De cette époque date la célèbre chanson contestataire : "Maria Christina me quiere gobernar" dont les paroles disent : "Marie-Christine veut me gouverner... No, no, no, no, Maria Cristina". Au XXe siécle, elle devient une chanson très populaire, perdant sa dimension politique, quand les musiciens cubains la reprennent dans les années 1930.

Exil en France.

Ensuite elle s'installa à Paris où régnait son oncle et tenta d'intriguer contre le gouvernement d'Espartero, jusqu'à ce qu'enfin Isabelle fût nommée reine, à 13 ans encore mineure. Elle acheta en 1842 le château de Malmaison, à proximité de Paris. Elle s'installa d'abord au "palais Bragance", rue de Courcelles, où avait logé l'empereur Pierre I du Brésil, puis fit construire un hôtel particulier sur l'avenue des Champs-Élysées.

Retour en Espagne.

Elle rentra alors en Espagne et s'installa à Madrid. Le , avec le consentement de sa fille, elle célébra officiellement son mariage avec Agustín Fernando Muñoz y Sánchez, qui avait préalablement été admis à la grandesse d'Espagne et titré duc de Riánsares. Le jour de ses noces, il fut également élevé au grade de lieutenant général et fait sénateur à vie.  Elle tenta encore de contrôler la politique de sa fille lors de la promulgation de la Constitution espagnole de 1845 et s'imposa dans diverses tractations commerciales et économiques, au point qu'on l'accusait d'avoir des intérêts dans tous les projets industriels, ce qui augmentait encore son impopularité. Elle s'opposa en vain au mariage de sa fille avec son cousin l'infant François d'Assise.  Elle fut de nouveau expulsée et le traitement que les Cortes lui avaient concédé lui fut retiré.

Nouvel exil en France.

En 1861, Marie-Christine revend à Napoléon III le château de Malmaison. Elle demeure en France le reste de sa vie, et ne revient en Espagne que trente ans plus tard sous le règne de son petit-fils Alphonse XII mais sans avoir l'autorisation d'y demeurer définitivement. Le , une révolution renverse sa fille Isabelle II qui rejoint alors sa mère en France. Isabelle abdique le ) en faveur de son fils Alphonse XII, mais il n'obtient la couronne que le , et ses partisans ne voient pas d'un bon œil l'influence éventuelle de sa mère et de sa grand-mère.  Réfugiée sur la côte normande, elle fait construite en 1859 par l'architecte Théodore Huchon, la villa « Mon Désir » qui deviendra par la suite l'hôtel Marie-Christine, un casino, un hôpital militaire pendant la Première Guerre mondiale avant d'être détruite en 1951. Elle y meurt en 1878 et sa dépouille est ensuite transférée au monastère de l'Escurial où, en tant que reine et mère d'une souveraine, elle repose au panthéon des Rois.

Marie Christine Ferdinande de Bourbon, princesse royale des Deux-Siciles, est une reine (1829-1833) puis régente d'Espagne (1833-1840) née le à Palerme (Royaume des Deux-Siciles) et morte le au Havre (France).  Quatrième épouse de son oncle, le roi Ferdinand VII d'Espagne, elle fut régente à sa mort en 1833 ; mère de la future reine Isabelle II d'Espagne, elle dut gérer la crise de succession qui conduisit à la Constitution de 1837.

Maria Christina of the Two Sicilies (, ; 27 April 1806 – 22 August 1878) was queen consort of Spain from 1829 to 1833 and regent of the Kingdom from 1833 to 1840.  With her marriage to King Ferdinand VII of Spain, Maria Christina became a central character in the history of Spain for 50 years.


Distribution.

Elle est connue du nord de l'Amérique du Sud, notamment de la région Sipaliwini au Suriname.

Description.

C'est une grenouille de taille moyenne qui pèse environ et se développe à 3,0-4,5 cm de longueur. Les femelles sont plus grandes de environ un demi-centimètre de plus que les mâles, mais leurs orteils sont plus grands. La grenouille a une durée de vie typique de cinq à sept ans dans la nature. Sa peau bleu vif, généralement plus sombre autour de ses membres et de l'estomac, sert d'avertissement aux prédateurs. Les glandes d'alcaloïdes toxiques situés dans la peau servent de mécanisme de défense pour les prédateurs potentiels. Ces poisons paralysent et parfois tuent le prédateur. Les taches noires sont uniques à chaque grenouille, permettant aux individus d'être identifiés. Cette espèce de grenouille a une posture bossue distinctive.  Chaque pied contient quatre doigts, qui ont chacun une pointe aplatie avec un tampon à ventouse utilisée pour la préhension. Les bouts des orteils chez les femelles sont ronds, tandis que les mâles ont des pointes en forme de cœur.  Comme presque toutes les grenouilles, l'apparence des têtards est très différente de celle des adultes. La queue mesure environ , pour une longueur totale d'environ . Il leur manque les jambes et possèdent des branchies. Le passage à l'age adulte se caractérise par une perte de la queue remplacée par quatre membres moteurs ainsi que la perte des branchies remplacées par des poumons.

Reproduction.

La femelle dépose de deux à six œufs directement sur un sol mousseux et ce, une fois par année.

« Dendrobates azureus » est une variante morphologique de l'espèce Dendrobates tinctorius.  Son nom en langue indienne Tiriyó est Okopipi. Elle tient son nom de sa coloration bleu azur qui lui a apporté une grande popularité chez les herpétophiles amateurs.

The blue poison dart frog or blue poison arrow frog ("Dendrobates tinctorius "azureus"") is a poison dart frog found in the forests surrounded by the Sipaliwini Savanna, which is located in southern Suriname and adjacent far northern Brazil. "D. tinctorius azureus" is also known by its indigenous Tirio name, "okopipi". Its scientific name comes from its azure (blue) color. While frequently considered a valid species in the past, recent authorities treat it as a variant of "D. tinctorius".


Mise en œuvre.

La zircone peut être mise en œuvre par frittage ou par projection plasma. Après frittage, elle se caractérise par une très grande résistance à la rupture, à la fissuration.

Utilisations.

Usages liés aux propriétés thermiques.

Les propriétés thermiques intrinsèques de la zircone font de ce matériau un candidat très intéressant pour la réalisation de divers dispositifs, par exemple des barrières thermiques. Réfractaire et de faible conductivité thermique, son coefficient de dilatation thermique est relativement élevé pour une céramique (10.10 K à température ambiante), ce qui permet la réalisation de couples céramique/alliages métalliques possédant de bonnes propriétés thermiques et mécaniques. Ainsi, quelques dizaines d'années d'expérience dans le développement de barrières thermiques ont permis la démocratisation de l'utilisation de la zircone dans l'industrie.

Pièces d'usure.

En raison de sa dureté, qui se traduit par une bonne résistance à l'usure, la zircone est utilisée dans la réalisation de pièces d'usure, notamment dans l'industrie d'élaboration de fibres textiles. De plus on utilise la zircone pour les pièces de frottement telles que les billes de roulement à billes. Il s'agit de roulement à très haute résistance mécanique offrant un faible coefficient de frottement. La zircone est aussi utilisée en compétition automobile, comme pour la réalisation de chemises.

Usages médicaux.

La zircone est utilisée dans la réalisation de prothèses dentaires (Zircone Y-TZP) ou des têtes fémorales des articulations artificielles de hanches.

Usages en électronique.

Le dioxyde de zirconium est un des oxydes prometteurs pour la microélectronique, appelés diélectrique high-k, en vue du remplacement du dioxyde de silicium (SiO), qui a une constante diélectrique trop faible.

Lame de céramique.

La zircone ou plus précisément l'oxyde de zirconium(IV) est également utilisée dans la fabrication de couteaux de cuisines haut de gamme, notamment sous l'appellation couteau à lame en céramique. Ainsi la présence en haute quantité de cet élément serait l'origine de la couleur blanche particulière à ces lames. À noter que les couteaux en céramiques noires sont aussi constitués de ce matériau auquel est ajouté du carbone.

Joaillerie et horlogerie.

En raison de la possibilité de lui donner des teintes diverses (noir, blanc, rose...), de sa relative résilience comparativement à d'autres céramiques et de son indice de réfraction élevé, la zircone est utilisée comme matériau pour la réalisation d'objets de luxe en joaillerie, en bijouterie et en horlogerie.  L'un des principaux problèmes tient à la difficulté de polissage, du fait de la dureté du matériau.  Par exemple, Chanel utilise la zircone Y-TZP comme matériau de base pour sa montre J12. De couleur noire ou blanche, elle permet de réaliser des montres quasiment inrayables.  La zircone est aussi utilisée par Omega : la Speedmaster « Dark Side of the Moon » est fabriquée à partir d'un seul bloc d'oxyde de zirconium. Seiko à recours au zirconium noir ou bleu pour le bracelet et la montre dans certaines collections de luxe très haut de gamme.

Évolution cristallographique.

La zircone présente une évolution cristallographique en fonction de sa température. Lors de sa mise en forme et de son refroidissement, entre et , la phase quadratique devient monoclinique. Ce changement cristallographique s'accompagne d'une variation volumique de 3 % qui peut être dommageable au matériau. Cet endommagement caractéristique de la zircone pure est problématique. C'est pourquoi il est courant d'utiliser des additifs (dopants) qui stabilisent la forme cubique ou quadratique de la zircone à température ambiante (MgO, CaO, YO...). Des études sur des couches minces en zircone montrent l'existence d'une phase orthorhombique à basse température.

Le dioxyde de zirconium ou oxyde de zirconium(IV), couramment appelé zircone, est un composé inorganique du zirconium de formule ZrO. Ce matériau est une céramique technique d'aspect opaque. Appelé CZ (Cubic Zirconia) lorsque transparent, il est utilisé pour imiter le diamant. Il ne faut pas le confondre avec le zircon (ZrSiO). Sous sa forme tétragonale, l'oxyde de zirconium est un matériau à vocation mécanique, cette évolution cristallographique lui confère une dureté très élevée () ainsi qu'une bonne résistance aux sollicitations mécaniques ( en traction et en compression). La zircone quadratique peut être polie jusqu'à un état de surface très lisse (Ra de 0,02), ce qui permet de l'utiliser pour des pièces de frottement.

Zirconium dioxide (), sometimes known as zirconia (not to be confused with zircon), is a white crystalline oxide of zirconium. Its most naturally occurring form, with a monoclinic crystalline structure, is the mineral baddeleyite. A dopant stabilized cubic structured zirconia, cubic zirconia, is synthesized in various colours for use as a gemstone and a diamond simulant.


Historique.

La formation de la « Nordland ».

Conformément à la directive du "Reichsführer""-"SS Himmler datant du 11 février 1943 qui ordonne le rassemblement de tous les combattants scandinaves dans une même unité, la division Nordland est formée à Grafenwöhr en Bavière à partir de diverses unités de la Waffen-SS : la base de la nouvelle unité est le régiment « Nordland » de la 5e division SS Wiking, qui est détaché de son ancienne division et auquel sont incorporées deux autres unités de volontaires scandinaves, la « SS-Freiwilligen-Legion Norwegen » et le Freikorps Denmark. Fritz von Scholz, qui était déjà à la tête du régiment « Nordland » au sein de la division « Wiking » depuis sa création fin 1940, en prend le commandement. L'entrainement est achevé dès le mois d'août, puisque de nombreux vétérans étaient déjà enrôlés .

Le baptême du feu dans les Balkans.

En septembre 1943, la « Nordland » connaît ses premiers combats en Croatie, en soutien de la 7e division SS Prinz Eugen dans les actions contre les partisans yougoslaves de Tito. Avec l'armistice signé par l'Italie, la division participe au désarmement des troupes italiennes dans le Nord du pays. Elle quitte la région pour rejoindre le front de l'Est en .

La « Nordland » à Leningrad et dans les pays baltes.

La « Nordland » est déplacée dans le secteur de Leningrad en janvier 1944 en étant intégrée au ( blindé SS) de l"Obergruppenführer" Felix Steiner. Le corps blindé n'est alors qu'au début de sa formation et les combattants de la Nordland en constituent le principal élément. Sa mission est de soutenir deux divisions terrestres de la Luftwaffe qui participent au siège de la deuxième ville d'URSS. En effet, ces unités sont dans l'incapacité de résister à l'offensive finale soviétique du lancée par la de choc dans le but de dégager Leningrad et la Nordland apporte son soutien dans ce cadre. À Gubianzy, un détachement blindé de l'unité rencontre une formation de soixante chars soviétiques T-34 : cinquante de ceux-ci sont détruits et les « volontaires germaniques » de la Nordland ne déplorent aucune perte. Mais ce n'est qu'un succès ponctuel et l'Armée rouge continue sa progression : le , la Nordland se replie sur la rivière Luga, le le premier bataillon du régiment « Danmark » est anéanti et le toute l'unité rejoint Narva. La division participe ensuite aux combats de pour Narva, connus sous le nom de « bataille des SS européens ». En effet, le corps blindé SS de Steiner possédait dans la nomenclature l'adjectif « germanique » car, au sein du corps, la Nordland se battait avec les Flamands du « Kampfgruppe Rehmann » de la « 6. SS-Freiwilligen-Sturmbrigade Langemarck » (la d'assaut de volontaires Langemarck) et les Hollandais de la « 4. SS-Freiwilligen-Panzergrenadier-Brigade Nederland » (la d'infanterie mécanisée de volontaires Nederland). Le corps est rejoint pour la bataille par les deux divisions SS de grenadiers lettons (les et ) et la division SS de grenadiers estoniens. Au cours de cet engagement, le "Gruppenführer" Fritz von Scholz, qui commande la Nordland, est tué le . La Nordland se replie alors en Lettonie et participe à partir du 23 septembre à la défense de Riga. En octobre, elle se retrouve piégée dans la poche de Courlande avec tout le Heeresgruppe Nord.

Les derniers combats de 1945.

La Nordland parvient à être évacuée de la poche de Courlande et retourne au combat sur le front de l'Oder au début de . Heinz Guderian mobilise la division pour l'opération "Sonnenwende", laquelle se solde par un échec. Une partie de l'unité figure, avec notamment à ses côtés les rescapés français de la division SS « Charlemagne », parmi les derniers défenseurs du "Führerbunker" de Hitler à Berlin, ce face à l'assaut des troupes soviétiques. Le reste de la division se rend aux Occidentaux le .

La SS « Nordland » ou la division « Nordland » (appellation allemande complète : la 11. SS-Freiwilligen-Panzergrenadier-Division « Nordland » ; traduction littérale : la « SS d'infanterie mécanisée de volontaires Nordland ») est l'une des de la Waffen-SS durant la Seconde Guerre mondiale.  Il s'est agi d'une division de "Panzergrenadier" (infanterie mécanisée), notamment composée de volontaires scandinaves, d'où le nom qui lui a été attribué.  Elle a combattu dans les Balkans et sur le front de l'Est.  D'autres nationalités, que celles scandinaves (Norvégiens, Danois, Suédois, quelques Finlandais), ont été représentées dans ses rangs ; à la fin de la guerre, on a constaté probablement la plus grande diversité d'origines qui soit : Allemands, Estoniens, Lettons, Hongrois, Roumains, Néerlandais, Français, Espagnols, Suisses, quelques Britanniques.

The 11th SS Volunteer Panzergrenadier Division Nordland () was a Waffen-SS division recruited from foreign volunteers and conscripts. It saw action, as part of Army Group North, in the Independent State of Croatia and on the Eastern Front during World War II.


24th Waffen Mountain Division of the SS Karstjäger

Histoire.

Origines.

Au milieu de l'année 1942, la Waffen SS forme une compagnie chargée de mener des opérations contre des partisans, dans la région frontalière montagneuse entre l'Italie, l'Autriche et la Yougoslavie, appelée aussi le Karst. Le SS Standartenführer Hans Brandt, par ailleurs géologue et spéléologue, suggère la création d'une unité spécifique. La compagnie est formée au camp d'entraînement de la SS de Dachau et est composée de soldats venant notamment du bataillon de réserve de la 23e division SS de montagne Kama.  En , la compagnie devient un bataillon de 500 hommes, le "SS-Karst-Jäger Btl." ou "Pol.Freiw.Btl. Karstwehr". Lors du premier semestre de 1943, il s'entraîne en Autriche. L'unité recrute principalement parmi les "Volksdeutsche" de Yougoslavie et dans le Sud-Tyrol, les officiers provenant de détachement géologiques de la SS. Le corps géologique de la Waffen SS dont viennent ces hommes a été constitué en et il comprend surtout des ingénieurs ainsi que quelques géologues. Ils ont pour fonction principale d'explorer des grottes et des obstacles naturels et de déterminer si les espaces en dehors des routes sont utilisables par des chars d'assaut. Ils doivent aussi repérer des sources d'eau potable. Après la capitulation italienne en , le bataillon est chargé de désarmer les troupes italiennes autour de Tarvisio sur la frontière entre les trois pays. Par la suite, elle occupe des fonctions de protection des communautés de "Volksdeutsche" de la région. D' à , le bataillon est basé à Gradisca d'Isonzo en Italie et participe aux luttes contre les Partisans à Trieste, Udine et dans l'Istrie. Le , une colonne du bataillon tombe dans une embuscade au col du Predil, avec trois morts et huit blessés. Le lendemain, le bataillon brûle le village de Strmec et tue seize habitants en représailles. Au , l'unité a subi un total de dix-huit morts et quarante-cinq blessés lors d'une série d'engagements près du village de Bovec. Au cours de la même période, le bataillon s'empare de deux canons de montagne italiens de , ce qui accroît fortement sa puissance de feu.  Au cours de la fin octobre et du mois de , le bataillon est engagé des actions contre les Partisans autour de Zaga et de Kobarid, lors notamment de l'opération Traufe. À la fin du mois de novembre, le bataillon est placé sous le commandement du chef supérieur de la police et de la SS en Italie, le SS Obergruppenführer et général de la Waffen SS Karl Wolff le temps d'une opération. En , l'unité conduit l'opération "Ratte" (rat), lors de laquelle elle brûle les villages de Komen et de Rihenberg, internant les habitants dans des campps de travail. Au début de l'année 1944, Brand suggère de recruter dans l'unité des nationalistes slovènes mais l'idée est rejetée par le quartier général de la SS, qui craint qu'une telle politique ne favorise l'infiltration de Partisans dans l'unité. À ce moment, il est estimé que Partisans communistes combattent dans la région de Gorizia. Durant le mois de mars, le bataillon est impliqué dans plusieurs opérations ("Zypresse" (cyprès), "Märzveilchen" (violette), "Maulwurf" et "Hellblau" (bleu ciel)), qui infligent des pertes significatives aux Partisans, d'autant que des prisonniers sont exécutés. En mars et avril, l'opération "Osterglocke" est conduite durant douze jours, suivie par l'opération "Liane" à la fin du mois de mai en plus de la longue opération "Annemarie" entre le et le . En , une patrouille du bataillon ne parvient pas à revenir vers le reste de l'unité à la suite d'une mission aux alentours de Cividale del Friuli. Deux jours plus tard, ils sont retrouvés, leurs torses dénudés et leurs têtes empalées sur des baïonnettes. Dès lors, le reste de l'unité aurait tué des hommes suspectés d'être des Partisans. Au fur et à mesure de ces opérations, le bataillon voit ses effectifs atteindre le millier d'hommes.

Une brève existence comme division.

Le , le "Reichsführer" SS Heinrich Himmler ordonne que le bataillon devienne une division, bien que les effectifs soient limités à hommes. La désormais SS de montagne Karstjäger doit être mise en place par le chef de la police et de la SS du littoral adriatique, le SS-Gruppenführer Odilo Globocnik. Le nom Karstjäger vient d'une combinaison entre Karst, qui se réfère au nom de la région et Jäger, le terme allemand qui désigne l'infanterie légère. La division comprend deux régiments d'infanterie de montagne, un régiment d'artillerie et des bataillons de reconnaissance, du génie et antichar. Elle reçoit quatorze chars Ansaldo P40 pris aux Italiens mais cet équipement s'avère peu fiable, seule la moitié étant disponible dans le meilleur des cas. En , cette division en sous-effectif participe à l'opération "Dachstein" sous le commandement de la de montagne. Entre août et , elle continue de poursuivre des opérations de lutte contre les Partisans dans la région mais elle ne compte que hommes, moins de la moitié des effectifs prévus. En effet, il s'avère impossible de recruter plus d'hommes et, en , la division est rétrogradée au rang de brigade.  À la fin de 1944 et au début de 1945, la brigade montagne de SS Karstjäger lutte d'abord contre des Partisans soutenus par les Britanniques dans les Alpes juliennes, avant d'être déployée dans la région littorale autour de Trieste. Toutefois, elle manque d'être coupée du reste des troupes allemandes et revient rapidement dans les Alpes juliennes, en forçant le passage à travers la vallée du Tagliamento entre Osoppo et Gemona del Friuli. Vers la fin du mois d', la brigade combat les forces britanniques et néo-zélandaises sur la frange sud des Alpes juliennes. La compagnie de réserve de la brigade, qui a été envoyée à Cividale, parvient à détruire plusieurs chars britanniques avec des "Panzerfausts" et l'aide d'une compagnie blindée. Lors des dernières semaines de la guerre, la brigade fait partie d'un "Kampfgruppe" (groupe de combat) dirigé par le SS-Brigadeführer (général de brigade) Heinz Harmel, qui reçoit l'ordre de protéger les cols des Karavanke, entre la Yougoslavie et l'Autriche. Cette mission est fondamentale en ce qu'elle permet aux forces allemandes de se retirer de Yougoslavie, pour laisser celle-ci aux Britanniques plutôt qu'aux Partisans. Le "Kampfgruppe" parvient à remplir sa mission et est l'une des dernières unités allemandes à se rendre, en l'occurrence à la blindée britannique le .

Liste des commandants successifs.

Roland Kaltenegger ne liste que Werner Hahn comme commandant de l'unité.

Composition.

Volontaires du Tyrol, italiens et slovènes.

Ordre de bataille.

La composition théorique de la division est la suivante : La division est aussi censée comprendre des unités de soutien. Toutefois, seul le de chasseurs de montagne de la SS, un bataillon du d'artillerie de montagne de la SS, une compagnie du du génie de la SS et une partie de la compagnie blindée sont effectivement constitués.

La 24. Waffen-Gebirgs-(Karstjäger-)Division der SS était une division de montagne ("Gebirgs") de la Waffen-SS qui participa à la Seconde Guerre mondiale.  Elle a existé sous plusieurs formes entre 1942 et 1945 : bataillon, division et brigade. Pendant sa brève existence, elle a principalement été engagée dans la lutte anti-partisans sur le plateau du Karst, aux frontières de la Yougoslavie, de l’Italie et de l'Autriche. Cette zone d’intervention exigeait des troupes spécialisées dans le combat en montagne, avec l'équipement adapté.

The 24th "Waffen" Mountain Division of the SS "Karstjäger" was a German mountain infantry division of the "Waffen"-SS, the armed wing of the German Nazi Party that served alongside, but was never formally part of, the Wehrmacht during World War II. Named "Karstjäger" ("Karst Hunter"), it was one of the 38 divisions fielded by the "Waffen"-SS. Formed on 18 July 1944 from the SS Volunteer "Karstwehr" Battalion, its nominal strength was never more than theoretical and the division was soon reduced to the "Waffen" Mountain ("Karstjäger") Brigade of the SS. Throughout its existence as a battalion, division and brigade, it was primarily involved in fighting partisans in the Karst Plateau on the frontiers of Yugoslavia, Italy, and Austria; the mountainous terrain required specialised mountain troops and equipment.  Founded in 1942 as a company, the unit consisted mainly of "Volksdeutsche" (ethnic Germans/Austrians) from Yugoslavia and the South Tyrol province of Italy. Although focused on anti-partisan operations, it also saw action in the wake of the Italian surrender when it moved to disarm Italian troops in Tarvisio and protect ethnic German communities in Italy. In addition, at the end of the war it successfully fought to keep passes into Austria open, allowing German units to escape the Balkans and surrender to British forces. The remnants of the unit became some of the last Germans to lay down their arms when they surrendered to the British 6th Armoured Division on 9 May 1945. A joint Italian-German study implicated the division in 23 separate war crimes involving the killing of a total of 277 people between the Italian surrender and the end of the war.


Biographie.

Edwige est issue de la famille comtale des Andechs, l'une des plus importantes dynasties bavaroises au sein du Saint-Empire. Elle est la fille du comte Berthold IV († 1204) et de son épouse Agnès de Wettin, fille du margrave Dedo III de Lusace. Berthold est resté fidèlement attaché à l'empereur Frédéric Barberousse et a reçu le titre de duc de Méranie en 1180. La sœur d'Edwige, Gertrude de Méranie a épousé André II, le futur roi de Hongrie ; de ce mariage est née sainte Élisabeth de Hongrie. Sa sœur Agnès a épousé Philippe II Auguste, roi de France. Sa sœur Mechtilde, est devenue abbesse à Kitzingen.  Edwige est élevée à l'abbaye des Bénédictines de Kitzingen. En 1186, à l'âge de douze ans, elle épouse Henri le Barbu, issu de la maison Piast, un fils cadet de Boleslas le Long, duc de Silésie. À la mort de Boleslas en 1201, Henri hérite de sa propriété ; en 1232, il devient duc de Cracovie et "princeps" de toute la Pologne. Du mariage d'Edwige et Henri sont issus sept enfants, dont le fils aîné Henri II le Pieux qui succéda à son pére mais sera tué à la bataille de Legnica contre les envahisseurs mongols en 1241.  Edwige et son époux vécurent d’une manière très pieuse et ils encouragent la diffusion de la foi chrétienne. La duchesse a une vie exemplaire, aidant les nécessiteux, marchant pieds-nus en toute saison, distribuant sa fortune à l’Église et aux pauvres. Elle a pour accompagnateur spirituel un des premiers prêtres dominicains Polonais prénommé Ceslas (qui décédera en 1242 et sera béatifié). Après la mort de son mari en 1238, Edwige se retire à l'abbaye cistercienne de Trzebnica, dont sa fille Gertrude est l’abbesse, fondée par elle en 1202. C'était surtout le vécu de la douleur suite au décès de son fils Henri II, qui l'a amenée à fonder une abbaye sur le champ de bataille à Legnickie Pole ("Wahlstatt"), en collaboration avec sa veuve Anne de Bohême.  C'est là qu'elle décède en et où elle a été inhumée. Certaines de ses reliques sont conservées à l'abbaye d'Andechs fondée en 1455 et à la cathédrale Sainte-Edwige de Berlin. Edwige est canonisée en 1267 par le pape Clément IV. Sainte Hedwige de Silésie est fêtée le 16 octobre. Elle est la patronne de la cathédrale Sainte-Edwige de Berlin, de la Silésie et de sa capitale Wrocław, (l'ancienne Breslau), de Trzebnica (Trebnitz), du diocèse et de la ville de Görlitz/Zgorzelec, d’Andechs et de Cracovie.

Mariage et descendance.

Vers 1186, Edwige épouse Henri, dit le barbu. Ils eurent 7 enfants :

Sainte Edwige de Silésie (en ), née en 1174 à Andechs en Bavière sous le nom d’Edwige d’Andechs (en ) et morte le à Trzebnica en Silésie, fut duchesse de Silésie et reine de Pologne par son mariage avec Henri le Barbu. Elle est vénérée parmi les Saints dans l'Église catholique.

Hedwig of Silesia (), also Hedwig of Andechs (, ; 1174 – 15 October 1243), a member of the Bavarian comital House of Andechs, was Duchess of Silesia from 1201 and of Greater Poland from 1231 as well as High Duchess consort of Poland from 1232 until 1238. She was reported in the two-volume historical atlas of Herman Kinder and another author to have been great in war and defended from the Teutonic Knights. She was canonized by the Catholic Church in 1267 by Pope Clement IV.