diff --git "a/geosense_ch.jsonl" "b/geosense_ch.jsonl" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/geosense_ch.jsonl" @@ -0,0 +1,1789 @@ +{"img_path": "geos_test/official/043.png", "question": "在上面的三角形PQR中，PR = QR。以下哪项一定为真？", "answer": "y=z", "process": "1. 已知条件为三角形 PQR 中 PR = QR，根据等腰三角形的性质，得出角 PQR 等于##角 QPR##。

2. 因为##角 PQR 是角 v，角 QRP 是角 u##，因此根据第一步结论，我们有##v=u##。

##3.根据三角形的外角定理，三角形PQR的外角y=u+x，z=v+x，因此根据第二步的结论，可以得到 y = z。##

4. 经过上述推理，最终得出答案为 y = z。", "elements": "等腰三角形; 三角形的外角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形PQR中，边PR和边QR相等，因此三角形PQR是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形 PQR 中，边 PR 和边 QR 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角 PQR = 角 QPR。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形PQR中，角y是三角形的一个外角，角u和角x是与外角y不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角y等于不相邻的两个内角u和x之和，即角y = 角u + 角x。角z是三角形的一个外角，角v和角x是与外角z不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角z等于不相邻的两个内角v和x之和，即角z = 角v + 角x。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/014.png", "question": "在上面的矩形ABCD中，阴影区域的面积由 \\\\pi*l*w/4 给出。如果阴影区域的面积是 7*\\\\pi，求矩形ABCD中非阴影区域的总面积（四舍五入到最接近的整数）。", "answer": "6", "process": "1. 已知条件为矩形ABCD的阴影区域面积为(π*l*w)/4，且阴影区域面积为7π。

2. 根据条件，设阴影区域实际为一个椭圆，其面积公式为Area = (π*l*w)/4。

3. 设阴影区域面积 (π*l*w)/4 = 7π。

4. 通过方程(π*l*w)/4 = 7π，消去π并解出 l*w/4 = 7，从而得到 l*w = 28。

5. 矩形ABCD的总面积为l*w = 28。

6. 矩形ABCD的未阴影区域面积为矩形总面积减去阴影区域面积，即 28 - 7π。

7. 计算π的近似值为3.14，得出7π ≈ 7 * 3.14 = 21.98。

8. 由此未阴影区域的面积为28 - 21.98 ≈ 6。

9. 经过上述推理，最终得出未阴影区域的面积接近为6。", "elements": "矩形; 圆; 弧", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边BC与边AD平行且等长。"}, {"name": "椭圆的面积", "content": "椭圆的面积公式为A = πab，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。", "this": "椭圆的长半轴为矩形ABCD的长的一半，即l/2，短半轴为矩形ABCD的宽的一半，即w/2。根据椭圆的面积公式S=πab，其中a=l/2，b=w/2，椭圆的面积为(π*(l/2)*(w/2))= (π*l*w)/4。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "在本题图中，矩形ABCD中，边BC和边CD是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = l * w。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/021.png", "question": "上面矩形的周长是 p，矩形的面积是 36。如果 l 和 w 是整数，p 的一个可能值是多少？", "answer": "24", "process": "1. 已知条件为矩形的周长为p，并且矩形的面积为36。根据矩形的面积公式，得出长l和宽w满足l × w = 36。

2. 列举出长和宽为整数的所有组合：##(36, 1)##, ##(18, 2)##, ##(12, 3)##, ##(9, 4)##,##(6, 6)##。

3. 根据矩形的周长公式，周长p = 2(l + w)，我们分别计算各组可能组合的周长：

4. 组合##（36, 1）##，即##l = 36##, ##w = 1##，对应的周长：p = 2##(36 + 1)## = 74。

5. 组合##（18, 2）##，即##l = 18##, ##w = 2##，对应的周长：p = 2##(18 + 2)## = 40。

6. 组合##（12, 3）##，即##l = 12##, ##w = 3##，对应的周长：p = 2##(12 + 3)## = 30。

7. 组合##（9, 4）##，即##l = 9##, ##w = 4，对应的周长：p = 2##(9 + 4)## = 26。

8. 组合（6, 6），即l = 6, w = 6，对应的周长：p = 2(6 + 6) = 24。

9. ���过上述推理，得出一个可能的周长p值为24。", "elements": "矩形; 线段; 普通四边形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，矩形的四条边分别是两条相等的长边和两条相等的短边。这里，长边的长度用 l 表示，短边的长度用 w 表示。矩形的每个角都是 直角（90度）。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "在本题图中，矩形中，边 l 和边 w 是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = l * w = 36。"}, {"name": "矩形的周长公式", "content": "矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。", "this": "在本题图中，矩形的长边为 l，短边为 w，根据矩形的周长公式，矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/023.png", "question": "在上图中，点A和B位于以O为圆心的圆上。如果x = 80，求z的值是多少？", "answer": "80", "process": "1. 已知条件为点A和点B在以O为圆心的圆上，因此，有OA=OB，即三角形OAB为等腰三角形。

2. 根据等腰三角形的性质，知道角A等于角B，即z=x80度。

3. 所以，我们得出答案为z = 80度。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角A = 角B。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。同样地，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/041.png", "question": "在上图中，下列哪一个最大？", "answer": "b和d", "process": "1. 已知角a、角b、角c、角d、角e满足b° + 60° = 180°，e° + 70° = 180°，由此可得b =120，e = 110，又因为a和60度角是对顶角，由此可得a =60。

2. 根据内角和定理，三角形的三个内角和为180°，因此角c° + 60° + 70° = 180°，可得角c = 50。

3. 于是d = 180-c + = 120。

4. 由以上结果，角度大小关系为b=d > e >a >c。

5. 由此可得b和d最大。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形; 内错角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形中，60度角、70度角和角C是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，60度 + 70度 + 角C = 180°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，角a和60度角构成对顶角，由于对顶角的角度相等，所以角a=60度。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角c和角d有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以角c和角d互为邻补角。同样地，70度角和角e有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以70度角和角e互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/040.png", "question": "在上图中，三角形ABC和CDE是等边三角形，线段AE的长度为25。两个三角形的周长之和是多少？", "answer": "75", "process": "1. 已知条件为：三角形ABC和CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质，三角形中的每条边都相等。因此，边长AB=BC=CA，CD=DE=EC。

2. 根据图中所示，线段AE的长度为25，并且线段AC和CE是共用边，所以AC + CE = AE。

3. 设等边三角形ABC的边长为x，##设等边三角形CDE的边长为y##，因为三角形是等边的，AE = AC + CE 所以 x + ##y## = 25。

4. 根据等边三角形的周长公式，三角形ABC的周长为3倍的边长，即##3 * x= 3x##。

5. 同理，三角形CDE的周长也为3倍的边长，即##3 * y = 3y##。

6. 两个三角形的周长之和为##3x+3y=3*(x+y)=3*25=75##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：75。", "elements": "等边三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形。三角形ABC中，边AB、边BC和边CA的长度相等，并且角BAC、角ABC和角BCA的度数相等，均为60°。三角形CDE中，边CD、边DE和边EC的长度相等，并且角DCE、角CDE和角DEC的度数相等，均为60°。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/051.png", "question": "上图中的圆的面积为25*\\pi，并被分成8个全等的区域。这些区域的周长是多少？", "answer": "10+5/4*\\pi", "process": "1. 已知圆的面积为25*π，根据圆的面积公式A = ##πr^2##，得出：##πr^2##= 25π。

2. 消去π后，得到##r^2##= 25。因此，r = √25 = 5。圆的半径r为5。

3. 圆被划分为8个全等的扇形区域。每个扇形区域所对应的中心角为360° / 8 = 45°。

4. 对于每个扇形，其两条半径和一段弧构成其周长。因圆的半径为5，故两条半径之和为5 + 5 = 10。

5. 计算扇形的弧长，弧长的公式为: (中心角/360°) * 2πr。故弧长为(45°/360°) * 2 * π * 5 = 1/8 * 2 * π * 5 = 5/4 * π。

6. 因此，每个区域的周长为两条半径的长度加上弧长，即10 + 5/4 * π。

7. 经过上述推理，最终得出答案为10 + 5/4 * π。", "elements": "圆; 弧; 圆心角; 扇形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆中，点 O 是圆心，半径为 5。图中所有到点 O 的距离等于 5 的点都在圆上。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "每个扇形由两条半径和它们之间的圆弧组成。圆被划分为8个全等的扇形，每个扇形的中心角为45°。每个扇形的两条半径分别是从圆心O到圆周的两点，圆弧是这两点之间的圆弧。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆的面积为25π，根据圆的面积公式A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。已知A = 25π，因此25π = πr^2，可以得出半径r = √25 = 5。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "圆心角为45°（以弧度制表示为π/4），半径为5。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。因此，每个扇形的弧长 l = (π/4) * 5 = 5/4 * π。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/053.png", "question": "在上图中，三角形ABC的边AC在直线l上。x用k表示是多少？", "answer": "60-k", "process": "1. 根据邻补角的定义，角BCA=180度-120度=60度。

2. 因为角（120-k）是三角形ABC的一个外角，所以有：角（120-k）=角B+角BCA=x+60。

3. 解方程得到：x=60-k。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "三角形ABC的内角∠BAC的相邻边CA的延长线和AB形成的角∠BAD称为内角∠BAC的外角。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形ABC中，角BAD是三角形的一个外角，角B和角BCA是与外角BAD不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角BAD等于不相邻的两个内角B和BCA之和，即角BAD = 角B + 角BCA。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角BCA和角120度有一条公共边BC，它们的另一边互为反向延长线，所以角BCA和120度互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/017.png", "question": "在上图中，以O为中���的圆的半径为7，AB是直径，且AC = BC。三角形ABC的面积是多少？", "answer": "49", "process": "1. 已知条件为：圆的中心是O，半径为7，AB是直径，AC = BC，且三角形ABC是直角三角形，∠ACB = 90°。

2. 根据直径所对的圆周角定理，该定理指出：如果一个角的顶点在圆上，并且角的两条边分别经过圆的两个端点，则这个角是直角。在本题中，∠ACB为圆内的一条弦AB的圆周角，并且AB为直径，因此∠ACB是直角。

3. 直角三角形ABC中，AB是直径，并且等于2倍的半径，所以AB = 2 * 7 = 14。

4. 三角形ABC是等腰直角三角形，因为AC = BC（等腰），且∠ACB = 90°（直角）。####

5. 既然AC = BC，并且∠ACB = 90°，##根据勾股定理##，我们知道：AC和BC的长度相等，用x表示，## AB ^2 = x ^2 + x ^2 ##，斜边AB的长度为x√2 = 14。

6. 求边长x的具体数值，x√2 = 14，得 x = 14/√2 = 14√2 / 2 = 7√2。

7. 根据##三角形面积公式（使用正弦函数）##，面积 = 1/2 * AC * BC * sin(∠ACB)。由于∠ACB = 90°，sin90° = 1。代入AC = BC = 7√2，得面积 = 1/2 * 7√2 * 7√2 * 1 = 1/2 * 49 * 2 = 49。

8. 经过上述推理，最终得出答案为49。", "elements": "直角三角形; 等腰三角形; 圆; 圆周角; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 14。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AC和边BC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形ABC是等腰直角三角形，其中角ACB是直角（90度），边AC和边BC是相等的直角边。"}, {"name": "三角形的面积公式（使用正弦函数）", "content": "任何三角形的面积可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边长，C是这两边的夹角。", "this": "三角形ABC中，边AC和边BC分别为a和b，角ACB为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形ABC的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * AC * BC * sin(ACB)。##"}]} +{"img_path": "geos_test/official/047.png", "question": "上图显示了五条线。如果 l || m，以下哪个不等于90？", "answer": "r", "process": "1. 已知条件为 l || m，根据平行线的性质，若两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，也即角 s 和角 u 相等。

2. 根据图示，角 u 是直角，等于 90°，所以角 s 也等于 90°。

3. 图中显示角 v 是直角，等于 90°。

4. 已知##角 v° 是90°，因为平行线同位角相等的原理，##所以角 t 为 90°。

5. 因为##有一个角为 89° ，因此它所对应的另外一个同位角r也是89°##。

6. 最终得出结论：r 是不等于 90° 的角。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线l和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线l和直线m是平行线。这两条平行线被第三条直线截，形成了几对对应角。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线与l和m相交形成的角U是90度，因此根据垂线定义，直线与m互相垂直。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，已知l || m，且被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角s和角u相等。####这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "在本题图中，两条平行直线l和m被一条直线截交，其中角t和角v位于截线的同旁，被截两直线l和m的同一侧，因此角t和角v是同位角。同位角相等，即角t等于角v。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/020.png", "question": "在上图中，x的值是多少？", "answer": "72", "process": "1. 已知三角形下边的三个角的度数分别是 \\(b^\\circ, 126^\\circ, \\ \\text{和 } a^\\circ.\\) 根据三角形内角和定理：一个三角形的三个内角和为\\(180^\\circ\\），得出下边的两个角和126°也共构成一个三角形，故有方程 \\(b + 126 + a = 180.\\）

2. 求出下边三角形中两个角的和：从方程 \\(b + 126 + a = 180\\)中，解出 \\(b + a = 54.\\）这是下边两个角度和的关系。

3. 已知大三角形一个顶角是 \\(x^\\circ\\）, 其余两个角分别是 \\((a+b)^\\circ ）

4. 根据三角形的内角和定理，有 \\(b + a + b + a + x = 180.\\）

5. 利用第二步得出的结论 \\(b + a = 54\\), 代入第四步中的公式： \\(x =180 - 2(54)\\ = 180-108.\\)

6. 解出 \\(x =72.\\) 是通过上述推理最终可以得出的解。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，小三角形的三个内角分别是 \\(a^\\text{°}\\)、\\(b^\\text{°}\\) 和 \\(126^\\text{°}\\)，根据三角形内角和定理，\\(a^\\text{°} + b^\\text{°} + 126^\\text{°} = 180^\\text{°}\\)。大三角形的三个内角分别是 \\((a+b)^\\text{°}\\)、\\((a+b)^\\text{°}\\)和 \\(x^\\text{°}\\)，根据三角形内角和定理，\\(2a^\\text{°} + 2b^\\text{°} + x^\\text{°} = 180^\\text{°}\\)。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/007.png", "question": "在上面的三角形中，下列哪项必须为真？", "answer": "p>r", "process": "1. 已知三角形####MNQ 中，#### ∠M = 80°，#### ∠Q = 30°。根据三角形的内角和定理（一个三角形内角之和为 180°），可以求得#### ∠N 为 180° - 80° - 30° = 70°。

2. 已知边 MN 的长度为 4，边 MQ 的长度为 4 + r，边 NQ 的长度为 4 + p。

3. 根据正弦定理（在任意三角形中，边与对角的正弦值之比相等），即可以得出：MN/sin(∠Q) = MQ/sin(∠N) = NQ/sin(∠M)。

4. 带入已知数值，得到 4/sin(30°) = (4 + r)/sin(70°)= (4 + p)/sin(80°)。

5. 计算出 sin(30°) = 0.5，sin(70°)和 sin(80°) 可以通过近似值或计算分别得出接近 0.9397 及 0.9848。

6. 通过等式 4/sin(30°) = (4 + p)/sin(80°)，我们进一步推导 8 = (4 + p)/0.9848，求出 4 + p ≈ 7.8784，可以解出 p ≈ 3.8784。

7. 同理，运用等式 4/sin(30°) = (4 + r)/sin(70°)，得到 8 = (4 + r)/0.9397，解出 4 + r ≈ 7.5181，可以求得 r ≈ 3.5181。

8. 对比得知，（4 + p）大于（4 + r）。即得出答案 p > r。

9. 经计算并推导，我们确定答案 p > r 必然正确。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形MNQ的内角∠M、∠N、∠Q的和为180度，具体表示为∠M + ∠N + ∠Q = 180°，即80° + 70° + 30° = 180°。"}, {"name": "正弦定理", "content": "在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。", "this": "任意三角形MNQ中，边MN、MQ和NQ分别对应角∠Q、∠N和∠M。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：MN/sin(∠Q)=MQ/sin(∠N)=NQ/sin(∠M) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/010.png", "question": "如果上面矩形的周长是72，那么x的值是多少？", "answer": "18", "process": "1. 已知条件为矩形的周长是72，矩形的长为x + 3，宽为x - 3。

2. 根据矩形的周长公式##周长 = 2 * (长+ 宽)##，我们可以将周长带入公式中得到2 * ((x + 3) + (x - 3)) = 72。

3. 展开并简化公式得到2 * (2x) = 72。

4. 进一步简化得到4x = 72。

5. 解此方程4x = 72，得到x = 72 / 4 = 18。

6. 检查已求得的x值，代入x = 18时，矩形的长为x + 3 = 18 + 3 = 21，宽为x - 3 = 18 - 3 = 15。

7. 计算该长和宽下的周长是否符合条件：##周长##= 2 * (21 + 15) = 2 * 36 = 72，符合题意。

8. 经过上述推理，最终得出答案为18。", "elements": "矩形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "矩形的长为x + 3，对应的对边也为x + 3，矩形的宽为x - 3，对应的对边也为x - 3。矩形的四个顶点都为直角（90度）。"}, {"name": "矩形的周长公式", "content": "矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。", "this": "在本题图中，矩形的长边为x + 3，短边为x - 3，根据矩形的周长公式，矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2((x + 3) + (x - 3))。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/036.png", "question": "在上图中，P, Q 和 R 在同一条直线上。P 是大圆的圆心，Q 是小圆的圆心。如果大圆的半径是 4，小圆的半径是多少？\n(A) 1\n(B) 2\n(C) 4\n(D) 8\n(E) 16", "answer": "2", "process": "1. 已知条件为点 P, Q, R 在同一条直线上，P 为大圆的圆心，Q 为小圆的圆心，且大圆的半径为 4。依据定义，圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离。

2. 根据题意，点 P 到##点 R ##的距离即为大圆的半径，设 ##PR## = 4。

3. 因为点 R 也是在同一条直线 PQ 上，且小圆经过点 P，所以点 R 是小圆上一点。

4. 小圆的圆心为 Q，由于小圆上有一点 P，而 ##PR ##为大圆的半径，所以## PR## 大于小圆的半径。

####

##5##. 同时根据图示，##若小圆的直径为大圆的半径##，则 2×QR = 4，即 QR = 2。

##6##. 经过上述推理，最终得出小圆的半径为 2。", "elements": "圆; 线段; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，大圆中，点P是圆心，点R是圆上的任意一点，线段PR是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段PR是大圆的半径，且PR=4。小圆中，点Q是圆心，点R是圆上的任意一点，线段QR是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段QR是小圆的半径。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/044.png", "question": "上图梯形的周长是多少？", "answer": "80", "process": "1. 在题目中给出的梯形中，上底与下底分别为20和未知，其他两边分别为17和15，并且两个底分别是平行的，且有一个直角。设上底为AB，即AB = 20，而直角边BC = 15，##斜边DA## = 17，求梯形的周长。

2. 由于梯形有一个直角，我们可以用勾股定理计算出##下底CD##的长度。##过A点做CD的垂线交CD于E点##

3. 在##直角三角形ADE##中，##AE##是和梯形平行边长度相等的边，所以##AE## = BC = 15。

4. 根据勾股定理，##DA^2 = AE^2 + DE^2##，其中##AD## = 17，##AE## = 15，因此： 17^2 = 15^2 + ##DE^2##，289 = 225 + ##DE^2##，##DE^2## = 64，因此##DE## = 8。

5. 由此可以得出##下底CD##的长度，##CD## = AB + ##DE## = 20 + 8 = 28。

6. 梯形的周长等于四边之和，即AB + BC + CD + AD = 20 + 15 + ##28 + 17##。

7. 经过计算，梯形的周长为80。

8. 最终结果为选项中(D) 80。", "elements": "梯形; 线段; 直角三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，边AB和边DC是平行的，而边AD和边BC不平行。因此，根据梯形的定义，四边形ABCD是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ADE中，∠AED是直角（90度），边DE和AE是直角边，边AD是斜边，所以根据勾股定理，DA^2 = AE^2 + DE^2，即17^2 = 15^2 + DE^2。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/002.png", "question": "在上面的四边形PQRS中，a^2 + b^2的值是多少？", "answer": "13", "process": "1. 已知条件为四边形 PQRS 中，PQ = a, PS = b, QR = 3, RS = 2。在##四边形PQRS连接QS构成两个直角三角形。##

2. 在△PQS中，∠SPQ是直角。根据勾股定理，即，在直角三角形中，三个边的平方和关系为：a^2 + b^2 = ##(QS)^2##。

3. 在##△RQS##中，##∠QRS##是直角。根据勾股定理，即��在直角三角形中，三个边的平方和关系为：3^2 + 2^2 = ##(QS)^2##。

4. 计算##QS##的平方和：3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13。

5. 因此，我们得出结论 a^2 + b^2 = 13。", "elements": "直角三角形; 普通四边形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形PQS中，角SPQ是直角（90度），因此三角形PQS是一个直角三角形。边PQ和边PS是直角边，边QS是斜边。同理，在三角形QSR中，角QRS是直角（90度），因此三角形QSR是一个直角三角形。边QR和边RS是直角边，边QS是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，在△PQS中，PQ = a, PS = b, ∠SPQ是直角，根据勾股定理可以得出：PQ^2 + PS^2 = QS^2，即a^2 + b^2 = QS^2；在△QRS中，QR = 3, RS = 2, ∠QRS 是直角，因此：QR^2 + RS^2 = QS^2, 即3^2 + 2^2 = QS^2, 即9 + 4 = 13。所以我们得出结论a^2 + b^2 = 13。####"}]} +{"img_path": "geos_test/official/028.png", "question": "在上图中，矩形A、B、C和D的长度和宽度都是整数。矩形A、B、C和D的面积都是整数。矩形A、B和C的面积分别是35、45和36。整个图形的面积是多少？", "answer": "144", "process": "1. 已知矩形A的面积为35，设矩形A的边长为a和b，则有ab = 35。由于35的因数可以是(1,35)、(5,7)、(7,5)和(35,1)，根据矩形的长宽为整数，因此a和b可以分别是5和7，或7和5##，或35和1，或1和35##。

2. 已知矩形B的面积为45，设矩形B的边长为b和c，则有bc = 45。由于45的因数可以是(1,45)、(3,15)、(5,9)、(9,5)、(15,3)和(45,1)，且b的值应与矩形A一致，因此##b为1时c为45##，或b为5时c为9。

3. 已知矩形C的面积为36，设矩形C的边长为c和d，则有cd = 36。由于36的因数可以是(1,36)、(2,18)、(3,12)、(4,9)、(6,6)、(9,4)、(12,3)、(18,2)和(36,1)，且c的值应保持一致，这样选择c为9时d为4。

4. 由于b和c的选择，我们选定b = 5, c = 9保持一致，从而d = 4。

5. 因为D的长和宽分析需要与A和C相邻边长一致，同样规定为7 x 4，面积为28。

6. 矩形D的面积为(7 x 4) = 28。

7. 整个图形的面积为A + B + C + D，结合算法为35 + 45 + 36 + 28。

8. 通过计算得出：35 + 45 + 36 + 28 = 144。

9. 综合以上步骤，得到整个图形的面积为144。", "elements": "矩形; 普通四边形; 平行线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形A, B, C, D是矩形，其内角都是直角（90度），且各个矩形的对边平行且等长。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形A中，边5和边7是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 5 * 7 = 35；\n矩形B中，边5和边9是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 5 * 9 = 45；\n矩形C中，边9和边4是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 9 * 4 = 36；\n矩形D中，边7和边4是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 7 * 4 = 28。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/008.png", "question": "在上图中，如果三角形CAF的面积等于矩形CDEF的面积，线段AD的长度是多少？", "answer": "7", "process": "1. 已知条件为三角形CAF与矩形CDEF面积相等，其中矩形CDEF的长为15，高为7，因此面积为15×7=105。

2. 设AD的长度为x，根据直角三角形性质，CAF为直角三角形，面积公式为1/2×CA×CF。

3. 由于DE与CF相等，等于矩形的长15，所以CF等于15。

4. 从图中，我们可以得知CA等于矩形的高7加上AD的长x，因此CA=##7+x##。

5. 依据条件和计算，##得出##三角形CAF的面积为1/2×(x+7)×15，而矩形CDEF的面积为105，两者相等，所以1/2×(x+7)×15=105。

6. 进行方程的解法，1/2×15×(x+7)=105，化简为7.5×(x+7)=105。

7. 将方程两边同时除以7.5，得到x+7=14。

8. 从而求得x=14-7=7，由此得出AD的长度为7。

9. 经过上述推理，最终得出答案为7。", "elements": "直角三角形; 矩形; 垂线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形CAF中，##∠ACF##是直角（90度），因此三角形CAF是一个直角三角形。边CA和##边CF##是直角边，##边AF##��斜边。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形CDEF是一个矩形，内角∠CDE, ∠DEF, ∠EFC, ∠FCD都是直角（90度），且边CF与边DE平行且等长，边CD与边EF平行且等长。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，三角形CAF中，边CF是底，##线段AC##是高。根据三角形的面积公式，三角形CAF的面积等于底边CF乘以##高AC##再除以2，即面积 = (CF * ##AC##) / 2。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "在本题图中，矩形CDEF中，边CD和边DE是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = CD × DE。####"}]} +{"img_path": "geos_test/official/027.png", "question": "在上图中，CDE是一个等边三角形，ABCE是一个面积为1的正方形。多边形ABCDE的周长是多少？", "answer": "5", "process": "1. 已知ABCE是正方形且其面积为1，因此正方形的边长AB = BC = CE = EA = 1。

2. 由题目所给三角形CDE是等边三角形，我们知道等边三角形的所有边长都相等。

3. 进一步得出CD = DE = CE。

4. 根据正方形的性质，即CE = 1，所以CD = DE = 1。

5. 多边形ABCDE的周长即为AB + BC + CD + DE + EA。

6. 将各个边长相加，我们得: 周长 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1。

7. 经过上述推理，最终得出答案为5。", "elements": "正方形; 等边三角形; 线段; 五边形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "边AB、边BC、边CE和边EA相等，且角ABC、角BCE、角CEA和角EAB均为直角（90度），所以ABCE是一个正方形。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形CDE是一个等边三角形。边CD、边DE和边CE的长度相等，并且角CDE、角DCE和角CED的度数相等，均为60°。因为CE = 1（正方形边长），所以CD = DE = 1。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/029.png", "question": "在上面的三角形ABC中，AB = AC，E是线段AB的中点，D是线段AC的中点。如果AE = x且ED = 4，求BC的长度是多少？", "answer": "8", "process": "1. 已知条件为AB = AC，并且E和D分别是线段AB和AC的中点，根据中点定义，得出AE = EB = x，AD = DC = x。

####

##2.## 在##三角形ABC##中，根据##中位线定理(点E和点D分别是AB和AC的中点)##。AB = AC，所以BC的长度是 2*ED=8。

####", "elements": "等腰三角形; 中点; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点E，线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点E将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AE和线段EB的长度相等；点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AE = EB = x，AD = DC = x。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点E是边AB的中点，点D是边AC的中点，线段ED连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段ED与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即ED || BC，并且ED = 1/2 * BC。因此，BC = 2 * ED = 2 * 4 = 8。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/025.png", "question": "在上图中，直线AB、直线CD和直线EF在P点相交。如果r = 90，s = 50，t = 60，u = 45，w = 50，求x的值？", "answer": "65", "process": "1. 已知线 AB、线 CD 及线 EF 相交于点 P，并给出了各个角度的度数：。

2. 根据三角形的内角和定理，在三角形BPF中∠BPF=180度-∠s-∠t=180度 -50度-60度=70度。，同样地，在三角形ADP中，根据三角形内角和定理，可以求得∠APD=180度-45度-50度=85度。

根据对顶角相等，有∠APD=∠BPC。

3. 因为∠EPC+∠BPC+∠BPF=180度，代入数值，得到：∠CPE=180度-70度-85度=25度。在三角形CPE中，根据三角形内角和定理，有：x=180度-∠CPE-90度=90-25-65度。

4. 经过上述推理，最终得出答案为65°。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线CD和AB相交于点P，形成四个角：角BPC、角BPD、角DPA和角CPA。根据对顶角的定义，角CPB和角APD是对顶角，角BPD和角APC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角APD=角CPB，角BPD=角APC。##"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线PE绕着端点P旋转到与起始边成一条直线，形成平角PEF。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角PEF=180度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角C、角E和角PCE是三角形PCE的三个内角，根据三角形内角和定理，角PCE + 角E + 角C = 180°。角B、角F和角BPF是三角形PBF的三个内角，根据三角形内角和定理，角B + 角F + 角BPF = 180°。角A、角D和角APD是三角形PAD的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角D + 角APD = 180°。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/000.png", "question": "在上图中，x 的值是多少？", "answer": "50", "process": "1. 已知在大三角形的内部划有两条直线，两条直线相交于三角形外部形成一个小三角形，小三角形两个内角的对顶角分别为55度和75度。根据对顶角相等，可以得到小三角形的两个内角分别为55度和75度。

2. 依据三角形内角和定理，小三角形的内角总和为180度。即x = 180 - 55 - 75。算出x的值为50度。

3. 经上述推理步骤，最终得出答案为50。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "小三角形中，55度角、75度角和角x是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，x + 55度 + 75度 = 180°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "小三角形中的两个内角分别与图中标示的55度角和75度角构成对顶角，因此两个内角分别等于55度和75度。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/032.png", "question": "在上图的等腰三角形ABC中，线段AM和线段CM分别是角BAC和角BCA的角平分线。角AMC的度数是多少？", "answer": "110", "process": "1. 已知三角形 ABC 是等腰三角形，其中 ∠ABC = 40°，AB = BC，根据等腰三角形的性质， △ABC 中 ∠BAC = ∠BCA。

2. 设 ∠BAC = ∠BCA = θ°，由于三角形内角和等于180°，所以 ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°，即 θ° + 40° + θ° = 180°，合并同类项后可得 2θ + 40 = 180。

3. 解 2θ + 40 = 180 可知 2θ = 140，即 θ = 70°，所以 ∠BAC = ∠BCA = 70°。

4. 由于 A M 和 C M 分别是 ∠BAC 和 ∠BCA 的角平分线，根据角平分线的性质， ∠BAM = ∠MAC = 35°，以及 ∠BCM = ∠MCA = 35°。

5. 至此，我们可以得到 ∠AMC = 180 - ##(∠MAC + ∠MCA)##，代入已知值 ∠AMC = 180 - (35° + 35°) = 180 - 70 = 110°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 110°。", "elements": "等腰三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形 ABC 中，边 AB 和边 BC 相等，因此三角形 ABC 是一个等腰三角形。"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角 BAC 的顶点是点 A，从点 A 引出一条线 AM，这条线将角 BAC 分成两个相等的角，即角 BAM 和角 MAC 相等。因此，线 AM 是角 BAC 的角平分线。同样，角 BCA 的顶点是点 C，从点 C 引出一条线 CM，这条线将角 BCA 分成两个相等的角，即角 BCM 和角 MCA 相等。因此，线 CM 是角 BCA 的角平分线。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°。##三角形MAC中，角MAC、角AMC和角MCA是三角形MAC���三个内角，根据三角形内角和定理，角MAC + 角AMC + 角MCA = 180°。##"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ABC中，边AB和边BC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角BAC = 角BCA。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/005.png", "question": "在上图中，三条直线相交于一点。y的值是多少？", "answer": "65", "process": "1. 由于三条直线在一个点相交，根据角的对顶角相等定理，相交的一对对顶角也会是相等的。

2. 在图中，另一对对顶角是50度，记作∠AEB和∠CED。所以，∠AEC的量度是##130##度。

3. 将未知数角y°的对顶角也记为y°。

##4. 由于BC为一条直线，点E在BC上，根据邻补角的定义，∠AEB +∠AEC =180度，即：∠AEB + y° + y°= 180度。##

####

##5##. 合并得: 180度 - 50度 = 2y ####。因此: 2y = 130度

##6.将等式两边同时除以2，简化y值得到公式: y = 65##。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，三条直线相交于一点，形成若干对对顶角。根据对顶角的定义，∠50°和其对顶角也是50°，y°和其对顶角也是y°。由于对顶角的角度相等，所以∠50°=∠50°，y°=y°。####"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角AEB和角AEC有一条公共边AE，它们的另一边EB和EC互为反向延长线，所以角AEB和AEC互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/035.png", "question": "在上图中，点B位于直线AC上。如果x和y是整数，以下哪一个是x的可能值？", "answer": "30", "process": "1. 根据题意，我们知道点 B 在直线 AC 上，##设##角 ABE = x 度，角 EBC = ##3y## 度。####

2. 根据##邻补角的定义##，##∠ABC##是 180 度。因此可以得出方程 x + ##3y## = 180。

3. 已知 x 和 y 是整数，这意味着 x 和 y 的值都必须是内正数且使 x + ##3y## = 180。

4. 我们要求 x 的可能整数值。因此可以通过给定的选项来验证，看看哪些值可以使得 x = 180 - ##3y## 的前提下还满足 x 和 y 都是整数。

5. 选择题中给出的是5个选项：30, 35, 40, 50, 55。分别计算 x = 180 - ##3y##，并验证其中可合适的值。

6. 通过对所有选项进行计算和验证，检查每个选项 x，在 x = 180 - ##3y## 下，结果为整数。因此得出选项的答案，其中x=30即可满足条件，y=##50##，满足为整数的情况。", "elements": "直线; 邻补角; 对顶角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角 ABE 和角 EBC 有一条公共边 BE，它们的另一边 BA 和 BC 互为反向延长线，所以角 ABE 和角 EBC 互为邻补角，因此 x + ##3y## = 180 度。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/037.png", "question": "图中两个半圆的圆心分别是R和S。如果RS = 12，暗曲线的总长度是多少？", "answer": "12*\\pi", "process": "1. 已知 RS = 12，其为两半圆的圆心距，根据半圆性质，RS 等于两个半圆的半径之和。假设下方半圆的半径为 r，上方半圆的半径为 R，则有 r + R = 12。

2. 根据几何图形性质，##我们看到下方半圆和上方半圆的总弧长度构成了暗色曲线的总长度，设下方半圆与l的切点为A、B，上方半圆与l的切点为B、C。##。因此，##计算这两个半圆的弧长之和##。

3. 下方半圆的半径为 r，因此其##弧长##为## θ * r##；上方半圆的半径为 R，因此其##弧长##为 ## θ * R##。

4. 因此，暗色曲线的总长度为 ##θ * r + θ * R##。

5. 因为 r + R = 12，因此 ##θ * r + θ * R##= ## θ##(r + R) = ##θ ##* 12，##由于图中θ=180°=π##。

6. 通过计算得出，暗色曲线的总长度为 12π。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 12π。", "elements": "圆; 弧; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "半圆的定义", "content": "半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。", "this": "在本题图中，下方的半圆以R为中心，由直径##AB##和下方的圆弧构成；上方的半圆以S为中心，由直径##BC##和上方的圆弧构成。两个半圆的直径##AB、BC##都位于直线l上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段RS是连接两个半圆圆心的距离，其长度为12。根据定义，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。因此，RS不是直径，而是两个半圆的半径之和。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "下方半圆的圆心是R，任意一点在半圆上的点到R的距离为r；上方半圆的圆心是S，任意一点在半圆上的点到S的距离为R。根据题意，RS = r + R = 12。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr", "this": "扇形RAB中，圆心角ARB为θ（以弧度制表示），半径为 r。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。扇形SBC中，圆心角BSC为θ（以弧度制表示），半径为R。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径R，即L = θ * R。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/031.png", "question": "点 O 是上图中两个圆的圆心。如果大圆的周长是 36 并且小圆的半径是大圆半径的一半，阴影弧的长度是多少？", "answer": "4", "process": "1. 已知条件为：大圆的周长是36，并且小圆的半径是大圆半径的一半，设大圆的半径为R，小圆的半径为R/2。

2. 根据周长公式C=2πr可得，大圆的周长为36，由此可以求得大圆的半径R。计算如下：36 = 2πR, 得 R = 36 / 2π = 18 / π。

3. 由大圆的半径R，我们可以知道小圆的半径是R/2，即18 / π / 2 = 9 / π。

4. 题目中要求计算小圆上弧长暗弧部分的长度，且已知该暗弧部分的圆心角为80°。

5. 根据弧长公式L = rθ (其中r是半径，θ是弧度的圆心角)，需要将80°转化为弧度。根据公式将度数转弧度：80° * π / 180° = 4π / 9。

6. 把小圆的半径和弧度代入弧长公式得到弧长L：L = (9 / π) * (4π / 9) = 4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "在本题图中，大圆中，点O是圆心，线段从O到大圆的圆周是半径R。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径R，即C=2πR。已知大圆的周长为36，因此可以求得大圆的半径R=36/2π=18/π。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，要求计算小圆的暗弧部分的弧长。小圆的半径为9/π，圆心角为80°。80°转换为弧度为4π/9，因此根据扇形的弧长公式L=rθ，弧长为L=(9/π)*(4π/9)=4。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是大圆和小圆的圆心，设大圆的半径为R，则小圆的半径为R/2。在已知大圆周长为36的情况下，得到大圆的半径R=18/π，由此得出小圆半径为R/2=9/π。####"}]} +{"img_path": "geos_test/official/003.png", "question": "在上图中，点 O 位于直线 AB 上。x 的值是多少？", "answer": "144", "process": "1. 已知条件为点O在直线AB上，根据线性角和的性质，得出∠BOA = 180°。

####

##2.## 由于这些角度在直线AB上以点O为顶点依次相邻，我们可以通过累加这些角度来等于∠BOA。

##3.## 因此，(x°/6) + (x°/4) + (x°/3) + (x°/2) = 180°。

##4.## 将这些分数化成同分母进行加法运算，即：x/6 + x/4 + x/3 + x/2。

##5.## 通分这些分数，即分子和分母都乘以公分母的倍数，公分母为12，故：(2x/12) + (3x/12) + (4x/12) + (6x/12) = 180°。

##6.## 再次简化分子，合并同类项，即：(2x + 3x + 4x + 6x)/12 = 180°。

##7.## 化简分母后合并为(15x/12) = 180°。

##8.## 通过消除分母12，得出：15x = 2160°。

##9.## 然后通过除以15得出：x = 144°。

##10.## 经过上述推理，最终得出答案为x = 144°。", "elements": "直线; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，点O在直线AB上，角(x°/6) + 角(x°/4)与角(x°/3) + 角(x°/2)这两个大角有一条公共边，它们的另一边分别是OA和OB，且互为反向延长线，因此角(x°/6) + 角(x°/4)与角(x°/3) + 角(x°/2)这两个大角互为邻补角，这两个大角的和为180°，即(x°/6) + (x°/4) + (x°/3) + (x°/2) = 180°。"}, {"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "角(x°/6)，角(x°/4)，角(x°/3)，角(x°/2)是分别由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点O，这个端点O称为角(x°/6)，角(x°/4)，角(x°/3)，角(x°/2)的顶点，两条射线成为角(x°/6)，角(x°/4)，角(x°/3)，角(x°/2)的边。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/033.png", "question": "上图由25个全等的等边小三角形组成。如果△DFH的面积是10，那么△AFK的面积是多少？", "answer": "62.5", "process": "1. 从图中可知，△DFH是由4个小三角形构成，已知△DFH的面积是10，由于全等的小三角形面积也相等，可以求得单个小三角形的面积是10/4=2.5。

2. 因为△AFK是由25个全等小三角形组成的。所以△AFK的面积=2.5*25=62.5。", "elements": "等边三角形; 平移; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，小三角形、△DFH 和 △AFK 均为等边三角形。小三角形的三条边长度相等，并且三个内角均为60°。△DFH的边DF、DH和FH长度相等，并且角∠DFH、∠FDH和∠DHF均为60°。△AFK的边AF、AK和FK长度相等，并且角∠AFK、∠FAK和∠KAF均为60°。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/006.png", "question": "在上图中，圆的圆心为P，半径为r。直线AB和AC与圆相切。如果M是线段AC的中点，并且∠PMC的度数等于∠MPC的度数，那么线段PA的长度（以r表示）是多少？", "answer": "r*\\sqrt{5}", "process": "1. 已知条件中，线段 AB 和 AC 分别为圆的切线，根据切线与圆的性质，我们可以得到圆心点 P 到切点的连线 PB 和 PC 分别与切线垂直####。

2. 根据条件 M 是线段 AC 的中点，可以得到 AM = MC。

3. 题目中给出的条件是角 PMC 与角 MPC 的度数相等。##由于PC垂直切线AC,所以∠PCN是90°，所以三角形PMC是等腰直角三角形，PC＝MC##

####

##4. 由于 AM = MC = PC＝r,三角形APC是直角三角形，AC＝2MC＝2r，PC＝r， 因此由勾股定理可知。PA^2等于AC^2＋PC^2，代入AC与PC可求 PA^2等于 = 5r^2 ，##。

##5. ##因此 PA = r * √5 ，最终答案为 r * √5 。", "elements": "圆; 切线; 等腰三角形; 中点; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆的圆心为P，直线AB和AC分别与圆有且只有一个公共点B和C，这些公共点叫做切点。因此，直线AB和AC是圆的切线。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AC的中点为点M。根据线段中点的定义，点M将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AM和线段MC的长度相等。即，AM = MC。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形PMC中，边PC和边MC相等，因此三角形PMC是一个等腰三角形。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形PAC中，角∠PCA是直角（90度），边PC和AC是直角边，边PA是斜边，所以根据勾股定理，PA^2＝AC^2＋PC^2。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/050.png", "question": "在上图中，ABCDEF是一个正六边形，它的中心是点O。x的值是多少？", "answer": "60", "process": "1. 连接OC，形成中心角BOC。已知条件为 ABCDEF 是正六边形，且其中心为点 O。根据中心角的定义和计算公式，每个中心角=360/6=60°，即∠=60°。

2. 因为正六边形上每一条边与中心连线形成等腰三角形，所以OB=OC，因此BOC是等腰三角形。

3. 根据等腰三角形的性质，有∠OBC=∠OCB。

4. 在三角形OBC中，根据三角形内角和定理，可以求得x=(180-60)/2=60。
正六边形 ABCDEF 中，每个内角都相等且每条边的长度都相等。具体来说，正六边形的每个内角都是120度，每条边的长度相等，即 AB=BC=CD=DE=EF=FA。"}, {"name": "中心角的定义", "content": "中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。", "this": "在本题图中，角BOC是一个中心角，它由正多边形的中心O与相邻两个顶点B和C的连线所形成。根据中心角的定义，角BOC是正多边形的中心角，且它的大小等于正多边形每一边所对应的外接圆的圆心角。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形 BOC 中，边 BO 和边 CO 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即 ∠OBC = ∠OCB。"}, {"name": "正多边形的中心角与内角公式", "content": "正多边形的中心角度数为 360° 除以边数，每个内角度数为 (边数 - 2) * 180° / 边数。", "this": "正六边形中心角 ∠BOC = 360° / 6 = 60°；内角 ∠ABC = (6-2) * 180° / 6 = 120°。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OBC中，边OB和边OC相等，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BOC中，角OBC、角OCB和角BOC是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC + 角OCB + 角OBC = 180°。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/042.png", "question": "在上图中，如果 l || m 且 r = 91，那么 t + u =", "answer": "178", "process": "1. 根据题意和题中所给图示，给定直线 l 平行于直线 m（l || m），并且∠r = 91°。因此可以求得∠r 位于直线n同侧的邻补角∠v=180°-∠r = 89°

2. 当前分析图中，直线 n 是直线 l 和 m 的横截线。因此，根据平行线的平行公理2，同位角的关系是相等的，即：∠v =∠t = 89°。

3. 因为 ∠u和 ∠t 是对顶角，所以∠u =∠t = 89°= 180°。

4. 求两角的和即可得到：∠t + ∠u = 89° + 89° = 178°。

12. 经过上述推理，最终得出答案为178。", "elements": "平行线; 内错角; 同旁内角; 对顶角; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "直线 n 与直线 m 相交于点 O，形成四个角。根据对顶角的定义，∠u 和 ∠t 是对顶角，由于对顶角的角度相等，所以 ∠u = ∠t。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "直线 l 平行于直线 m（l || m），横截线 n 截两条平行直线。因此 ∠v 和 ∠t 是同位角，∠v = ∠t。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "直线 l 平行于直线 m（l || m），横截线 n 截两条平行直线。其中角v和角t位于截线n的同旁，被截两直线l和m的同一侧，因此角v和角t是同位角。同位角相等，即角v等于角t。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/018.png", "question": "在上图中，直线l和m不平行。以下哪个不能是x的值？", "answer": "90", "process": "1. 已知条件为：直线l和m不平行，并且有一条垂直于直线l的直线k，交点为直线l上的点且形成直角。若直线k在交点下方与直线m的交角为x度。

2. 当l与m平行时，根据平行线的平行公理2，同位角相等，有x=90度。

3. 由于直线l和m不平行，x不可能为90度。", "elements": "垂线; 邻补角; 对顶角; 内错角; 同旁内角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线k与直线l相��形成的角是90度，因此根据垂线定义，直线k与直线l互相垂直。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线l和m被第三条直线k所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：图中直角标记的角和角x相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线l和m被一条直线k截交，其中直角标记的角和角x位于截线k的同旁，被截两直线l和m的同一侧，因此直角标记的角和角x是同位角。同位角相等，即x=90度。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/015.png", "question": "四条直线穿过如图所示矩形的中心。矩形的阴影部分面积占整个矩形面积的几分之几？", "answer": "1/4", "process": "1. 观察题目所给的图形，根据题目已知条件有四条直线通过矩形的中心相交，将矩形划分成若干三角形。

2. 由题目图形结构可分解成八个三角形，其中，##阴影部分的三角形是交错的##。

##3. 在矩形中，对角线将矩形分割成的四个三角形面积是完全相等的。##

4. 根据图中的对称性，我们假设矩形的长为a，宽为b，那么其总面积为a*b。

##5. 由于矩形是中心对称图形，经过矩形中心的直线将矩形分割出来的图形是两两对称的，另外两条直线将上下两个大三角形分割成的六个小三角形，两两面积相等。##

6.由对称策略以及均匀拼图推算法，##得到阴影部分面积和=下方大三角形的面积##。

##7. 由于对角线划分出来上下左右四个大三角形的面积相等，因此阴影部分面积=a*b/4。##

8. 经过上述推理，最终得出答案为1/4。", "elements": "矩形; 直线; 对称", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。矩形的中心为四条直线的交点，相对的边分别为a和b。"}, {"name": "对称性", "content": "对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。", "this": "在本题图中，图形具有对称性。具体来说，图形关于矩形中心的对角线交点对称，中心点就是矩形的对称中心。矩形的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "矩形的对角线相等且互相平分，即两条对角线的交点是两条对角线的中点。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/004.png", "question": "在上图的三角形ABC中，∠BAC的平分线垂直于BC于点D。如果AB = 6且BD = 3，求∠BAC的度数？", "answer": "60", "process": "1. 已知角BAC的平分线AD垂直于BC，且BD = 3，说明AD为##三角形ABC##的高，由此可知△ABD和△ACD为直角三角形。

2. 由于AD为角BAC的平分线，则有∠BAD = ∠CAD。

3. 在直角三角形ABD中，已知AB = 6，BD = 3，根据勾股定理可知：AD = √(AB^2 - BD^2) = √(6^2 - 3^2) = √(36 - 9) = √27 = 3√3。

####

##4##. 在直角三角形ABD中，根据正弦定理：sin(∠BAD) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/6 = 1/2。

##5##. 由正弦定理的逆定理，∠BAD = 30°。

##6##. 因为∠BAD = ∠CAD，所以∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 30° + 30° = 60°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "普通三角形; 垂线; 直角三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角BAC的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角BAC分成两个相等的角，即∠BAD和∠CAD相等。因此，线AD是角BAC的角平分线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边。同理，三角形ACD中，角ADC是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形。��AD和边DC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "△ABD是直角三角形，AB为斜边，BD为一条直角边，根据勾股定理：AB##^2## = AD##^2## + BD##^2##，即AD = √(AB##^2## - BD##^2##) = √(6##^2## - 3##^2##) = √(36 - 9) = √27 = 3√3。"}, {"name": "正弦定理", "content": "在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。", "this": "在本题图中，在直角三角形ABD中，边BD、AD和AB分别对应角∠BAD、##∠ABD 和∠BDA##。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：BD/sin(∠BAD)=AD/sin(##∠ABD##)=AB/sin(##∠BDA##) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。####"}]} +{"img_path": "geos_test/official/011.png", "question": "在上图中，PQRS是一个矩形。三角形RST的面积是7，并且PT=2/5*PS。PQRS的面积是多少？", "answer": "\\frac{70}{3}", "process": "1. 已知条件为 PQRS 是一个矩形，并且三角形 RST 的面积为 7。根据矩形的性质，PQ = RS 和 QR = PS。

2. 设 PS = b，则 PT = 2/5 * PS = 2b/5。因为 ST 是从 PS 上的点 T 出发到点 S 的线段，则 ST = PS - PT = b - 2b/5 = 3b/5。

3. 使用三角形面积公式，三角形 RST 的面积为 S = 1/2 * RS * ST * sin∠RST。 因为 PQRS 是矩形所以 RS = PQ，并且 ∠RST 是直角。

4. 因 RS = PQ = a，则根据 S = 1/2 * RS * ST 的形式可得， 7 = 1/2 * a * (3b/5)，解得：ab = 70/3。

5. 矩形 PQRS 的面积为 PQ * PS = a * b，根据已解得的 ab 表达式，得出 PQRS 的面积为 (70/3)。

6. 最后计算得到矩形 PQRS 的面积为 70/3。", "elements": "矩形; 线段; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形PQRS是一个矩形，其内角∠PQR, ∠QRS, ∠RSP, ∠SPQ都是直角（90度），且边PQ与边RS平行且等长，边QR与边PS平行且等长。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段PQ是一个直线的一部分，包含端点P和端点Q及其间的所有点。 线段QR是一个直线的一部分，包含端点Q和端点R及其间的所有点。 线段RS是一个直线的一部分，包含端点R和端点S及其间的所有点。 线段PS是一个直线的一部分，包含端点P和端点S及其间的所有点。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形 RST 是由三个非共线点 R、S、T 及其连接线段RS、ST、TR 组成的几何图形。点 R、S、T 分别是三角形的三个顶点，线段 RS、ST、TR 分别是三角形的三条边。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形 PQRS中，边 PQ 和边 PS 是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = PQ * PS。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，三角形 RST 中，边 RS 是底，线段 ST 是高。根据三角形的面积公式，三角形 RST 的面积等于底边 RS 乘以高 ST 再除以2，即面积 = (RS * ST) / 2。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/052.png", "question": "在上图中，点 P 在直线 l 上。x 的值是多少？", "answer": "36", "process": "1. 图中显示点 P 位于直线 \\( l \\) 上，## 设直线l上在点P右边找一点为点E，直线l上在点P左边找一点为点F，此时有五个角\\( \\angle APF,\\angle APB, \\angle BPC, \\angle CPD, \\angle DPE \\)分别相等 ##，每个为 \\( x \\) 度。

2. ##因为$\\angle FPE$是一个平角，也就是 \\(\\angle FPE = 180^{\\circ} \\)。 由此可得：五个角 \\(\\angle APF+\\angle APB+ \\angle BPC+ \\angle CPD+ \\angle DPE = 180^{\\circ} \\) ##。

3. 利用上述等式表示角度大小，即有：

4. ## \\[ x + x + x + x + x = 180^{\\circ} \\] ##

5. 将上述方程化简后得到 ## \\( 5x = 180^{\\circ} \\) ##。

6. 对整个方程进行除法以求单个 x, ## 即\\( x = \\frac{180^{\\circ}}{5} \\) ##。

7. 经过计算，我们得知 ## \\( x = 36^{\\circ} \\) ##，

8. 因此，本题的解答结果是:选项 (E).", "elements": "直线; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线PE绕着端点P旋转到与起始边成一条直线，形成平角FPE。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角FPE=180度。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/034.png", "question": "在上图中，一个有阴影的多边形具有等边和等角，并且部分被一张空白纸覆盖。如果 x + y = 80，这个多边形有多少条边？\n(A) Ten\n(B) Nine\n(C) Eight\n(D) Seven\n(E) Six", "answer": "Nine", "process": "1. 已知条件为等边等角多边形，x 和 y 为其外角的一部分，x + y = 80。

2. 根据四边形的内角和定理，任何四边形的内角和等于 360 度。

3. 则该正多边形两个内角的和等于360度减去(x + y)。



4. 由于题目给出 x + y = 80，故有一个内角的值为： (360-80) /2= 140。

5. 因此正多边的一个外角=180-140=40度，根据正多边形的外角定理，360/n =40，求得n=9。

6. 因此，该多边形有9个边。", "elements": "正多边形; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形中，角x、角y和正多边形的两个内角是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角x + 角y + 正多边形的两个内角 = 360°。"}, {"name": "正多边形的外角定理", "content": "正 n 边形的每一个外角等于 360/n 度。", "this": "假设该多边形为正 n 边形，则每个外角为 360/n 度。由于求得一个外角为40度，因此360/n = 40 度。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/039.png", "question": "在上图中，三条直线相交于一点。如果 f = 85 且 c = 25，那么 a 的值是多少？", "answer": "70", "process": "1. 根据题意，三条直线交于一点。已知∠f = 85°，∠c = 25°。

2. 由于∠f、∠a和##∠g##是关于交点的一组共点角，它们之间满足角的和为180°，即∠f + ∠a + ##∠g## = 180°。

3. ##根据平角的定义，##代入已知数据，得到85° + a + 25° = 180°。

4. 求解这个方程，得到a = 180° - 85° - 25°。

5. 计算得到a = 70°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，角a和角b之间的射线绕着端点（三条直角的交点）旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据平角的定义，平角的度数为180度，即∠f + ∠a + ∠g = 180°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，三条直线相交于一点，形成六个角：∠a、∠b、∠c、∠g、∠e和∠f。根据对顶角的定义，∠a和∠e是对顶角，∠b和∠f是对顶角，∠c和∠g是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠a=∠e，∠b=∠f，∠c=∠g。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/049.png", "question": "在上图中，y的值是多少？", "answer": "60", "process": "1. 已知条件为4x度和2x度为邻补角，得出180度 = 4x+2x。

2. 解方程得到x=30度。

3.又因为y度和4x度为邻补角，有y+4x=180度，代入x=30度，求y的值。

4. y =180- 4x =180-4*30=180-120=60度。

5. 经过上述推理，最终得出答案为answer = 60。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角4x和角2x有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以角4x和2x互为邻补角。同样地，角4x和角y有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以角4x和y互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/008.png", "question": "矩形ABCD被划分为两个相���的正方形区域，如上图所示。如果每个正方形的面积是9，ABCD的周长是多少？", "answer": "18", "process": "1. 已知每个正方形的面积为9。假设每个正方形的边长为x，根据正方形的面积公式，边长为正方形面积的平方根，即x = √9 = 3。

2. 由于矩形ABCD被分成两个相同的正方形，因此两个正方形的边长等于矩形的宽，其中宽AB = 3。

3. 矩形的长是两个正方形的边长之和，因此AD = 2 * 3 = 6。

4. 利用矩形的周长公式，周长 = 2 * (长 + 宽)，将已知值代入，得矩形ABCD的周长为2 * (6 + 3) = 18。

5. 经过上述推理，最终得出答案为18。", "elements": "矩形; 正方形; 平行线; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度)。", "this": "在本题图中，矩形ABCD被划分为两个相同的正方形区域，∠A，∠B，∠C，∠D均为直角，设线段EF分别交于边BC于E，交边AD于F，根据题设，∠AFE，∠BEF，∠CEF，∠DFE也均为直角，边AF，边FE，边FB和边BA相等，边FD，边DC，边CE和边EF相等，所以ABFE和FDCE是两个正方形。"}, {"name": "矩形的周长公式", "content": "矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。", "this": "矩形ABCD中，边AD和边BC是矩形的长边，边AB和边CD是矩形的短边。根据矩形的周长公式，矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(AD + AB)。因此，矩形ABCD的周长计算为周长=2*(6+3)=18。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度", "this": "正方形ABFE和正方形FDCE是两个相等的正方形，同时也是特殊的矩形，所以正方形的面积=边长*边长，已知正方形面积为9，所以根据正方形的面积公式，边长为正方形面积的平方根，即x = √9 = 3。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/045.png", "question": "在上图中，小圆的半径均为3。它们在点A和C处与大圆相切，并且在点B处相互相切，B是大圆的圆心。阴影区域的周长是多少？", "answer": "12*\\pi", "process": "1. 已知条件为：小圆的半径均为3，且它们分别与大圆在点A和C相切，并在点B相切，点B是大圆的圆心。根据圆的性质，切点处的切线是圆的半径的垂线。

2. 因为点B是两个小圆的##切点处##，所以##AB = 6##和##BC = 6##。同时，点B是大圆的圆心，因此大圆的半径为##AB = BC = 6##。

3. 我们要计算阴影区域的周长。##阴影区域的周长是大圆的一半加上两个小圆的各自一半，因为两个小圆的半径相等即周长相等，所以也就是大圆的一半周长加上一个小圆的周长##。

4. 大圆周长为2 * π * 6 = 12π。

5. 每个小圆的周长为2 * π * 3 = 6π。

6. ##阴影区域的周长由大圆的一半周长和一个小圆的周长组成##。因为小圆的总共周长是6π，##大圆的总共周长是12π##。

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##7##. 经过上述分析，##大圆的一半周长为12π/2=6π，小圆部分的圆周为2 * 3π=6π，故阴影部分周长为 6π + 6π = 12π ##。

##8##. 因此，最终得出答案为阴影区域的周长为##12π##。", "elements": "圆; 弧; 切线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，大圆中，点B是圆心，半径为6。图中所有到点B的距离等于6的点都在大圆上。两个小圆中，点A和点C分别是与大圆相切的切点。半径均为3。图中左侧小圆上点A到小圆圆心的距离是3，右侧小圆上点C到小圆圆心的距离是3。"}, {"name": "两圆相切的定义", "content": "两圆相切是指两圆有一个公共切点且其切线重合。", "this": "在本题图中，大圆与左侧小圆在点A相切，大圆与右侧小圆在点C相切，两个小圆在点B相切。点A、点B和点C分别是两圆的公共切点。切线在点A、点B和点C处与两圆相切。因此，大圆与左侧小圆在点A处相切，大圆与右侧小圆在点C处相切，两个小圆在点B处相切。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "大圆中，点B是圆心，线段AB和BC是半径r=6。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，所以大圆的周长为2 * π * 6 = 12π。小圆中，点A和C是圆心，两个小圆的半径都是r=3。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，所以每个小圆的周长为2 * π * 3 = 6π。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/001.png", "question": "上图显示了六个直角三角形。x^2 + y^2 的值是多少？", "answer": "21", "process": "1. 设√3所在的直角三角形为ABC，ｘ所在的直角三角形为CDE，√6所在的直角三角形为GHE，√10所在的直角三角形为BFG。

2. 在三角形BFG、ABC和GHE中根据勾股定理可以求得BG、BC和GE的长度，BG^2=(10+7)=17，BC^2=(3+3)=6，EG^2=(4+6)=10。

3. 在三角形BGE中，使用勾股定理，可以求得BE^2=BG^2+EG^2=27。

4. 在三角形BCE中，根据勾股定理，可以求得CE^2=BE^2-BC^2=21。

5.最后，在三角形CDE中，根据勾股定理有：CE^2=x^2+y^2=21。

6. 经过上述推理，最终得出答案为21。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，斜边为BC，两个直角边分别为√3和√3。因此，根据勾股定理，我们有：BC^2 = (√3)^2 + (√3)^2 = 3 + 3 = 6。直角三角形BFG中，斜边为BG，两个直角边分别为√10和√7。因此，根据勾股定理，我们有：BG^2 = (√10)^2 + (√7)^2 = 10 + 7 = 17。直角三角形GHE中，斜边为GE，两个直角边分别为√6和2。因此，根据勾股定理，我们有：GE^2 = (√6)^2 + 2^2 = 6 + 4 = 10。直角三角形CDE中，斜边为CE，两个直角边分别为x和y。因此，根据"}]} +{"img_path": "geos_test/official/038.png", "question": "在上图中，l || m。以下哪一项必须等于180？", "answer": "k + p + s", "process": "1. 已知 l ∥ m，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可得：∠k = ∠r。

2. 根据平角的定义，有：∠r + ∠s + ∠p = 180°。

3.代入第一步的结论，可得∠k + ∠s + ∠p = 180°。

4. 因此，在给定选项中，(B) k + p + s是答案。", "elements": "平行线; 同旁内角; 对顶角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直线l ∥ m，直线np是截线，形成了以下几何关系：内错角∠k=∠r。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线l和m被一条直线截交，其中角k和角r位于两平行线之间，且在截线的对侧，因此角k和角r是内错角。内错角相等，即角k=角r。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/046.png", "question": "在上图中，角x, y和z的度数之和是多少？\na. 180 degrees\nb. 360 degrees\nc. 540 degrees\nd. 720 degrees\ne. 无法确定", "answer": "360", "process": "1. 已知∠x、∠y和∠z构成三角形的三个外角。

2. 根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于360°，即∠x + ∠y + ∠z = 360度。

3. 经过上述推理，最终得出答案为360度。", "elements": "对顶角; 邻补角; 直线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "多边形外角和定理", "content": "任意多边形的外角和等于360°。", "this": "在本题图中，三条直线所围成的三角形中，每个顶点的外角分别是∠x、∠y和∠z。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即∠x + ∠y + ∠z = 360°。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "∠x、∠y和∠z构成三角形的三个外角。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/035.png", "question": "如果 p || q，下列哪个等于80？\n a. a\n b. b\n c. c\n d. d\n e. e", "answer": "e", "process": "1. 已知条件为直线 p 平行于直线 q (p || q)，根据平行线的##同位##角相等的性质，可以得出## ∠e = 80°##。

####

##2##. 检查选项中内容，选项 e 中的角 ∠e 与前述推理结果一致，其值等于 80°。

经过上述推理，最终得出答案为e。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。####", "this": "在本题图中，直线 p 和直线 q 被直线 z 截交，其中80°角 和 ∠e 位于截线 z 的同旁，并且在被截两直线 p 和 q 的同一侧，因此80°角和 ∠e 是同位角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "p || q，∠e 和 80°角 是同位角，根据平行线的同位角相等定理，∠e = 80°。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/028.png", "question": "∠ABC的度数是30°。BC = 10。线段BD是高。如果三角形ABC是等腰三角形，求线段AC的长度。", "answer": "5.18", "process": "1. 三角形 ABC 是等腰三角形，即 BA = BC = 10。角A=角C。

2. 已知角ABC=30度，角A=角C。根据三角形的内角和定理，可以求得：角A=角C=75度。

3. 根据正弦定理，有：AC/sin(30度)=BC/sin(75度）。

4. 代入数值，得到x ≈ 5.18。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 5.18。", "elements": "等腰三角形; 直角三角形; 正弦", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边 BA 和边 BC 相等，因此三角形 ABC 是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边BA和边BC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角A = 角C。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角A、角C和角ABC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角C + 角ABC = 180°。"}, {"name": "正弦定理", "content": "在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。", "this": "边AB、BC和AC分别对应角C、A和ABC。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：AB/sin(角C)=AC/sin(角ABC)=BC/sin(角A) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/021.png", "question": "在上图中，AB = 6 且 BC = 8。线段 BD 的长度是多少？", "answer": "4.8", "process": "1. 已知条件为AB = 6和BC = 8，并且在图中可以看到∠BDA为直角。根据直角三角形中斜边上的高性质，△BDA和△BCA是相似三角形。

2. 根据相似三角形的定义，在△BDA和△BCA中，有对应边成比例，即BA/AC = BD/BC。

3. 在△BCA中根据勾股定理，可以求得AC等于10，将已知条件代入此比例关系式中，BA/AC = BD/BC可化为6/10 = BD/8。

4. 通过解比例得出BD = 6/ 10*8 = 48 / 10 = 4.8。

5. 经过上述推理，最终得出答案为4.8。", "elements": "直角三角形; 垂线; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形BDA和三角形BCA是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BDA = ∠CBA, ∠A = ∠A, ∠DBA = ∠C；BA/AC = BD/BC。"}, {"name": "直角三角形中斜边上的高性质", "content": "在直角三角形中，斜边上的高所形成的两个三角形与原三角形相似。", "this": "直角三角形BAC中，角ABC是直角（90度），从顶点B向斜边AC作高BD。根据直角三角形中斜边上的高性质，高BD将直角三角形ABC分成两个新的直角三角形ABD和BCD，三角形ABD相似于三角形ABC。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从顶点B垂直于对边AC的线段BD是该顶点B的高。线段AC与边BD形成一个直角（90度），这说明线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角ABC是直角（90度），边BA和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC² = BA² + BC²。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/046.png", "question": "在上图中，AC = 6 且 BC = 3。点 P 位于 A 和 B 之间的 AB ��上，使得 CP 垂直于 AB。以下哪一项可能是线段 CP 的长度？\n(A) 2\n(B) 4\n(C) 5.25\n(D) 7\n(E) 8", "answer": "5.25", "process": "1. 假设ΔACP和ΔBCP是两个直角三角形，线CP是它们的公共垂直边且与线AB垂直。

2. 根据题意，取线段AP = x和PB = AB - x，并且AC = 6，BC = 3。

3. 在ΔACP中，应用勾股定理：AC^2 = AP^2 + CP^2，即6^2 = x^2 + CP^2，得到36 = x^2 + CP^2。

4. 在ΔBCP中，应用勾股定理：BC^2 = PB^2 + CP^2，即3^2 = (6 - x)^2 + CP^2，化简得到9 = (6 - x)^2 + CP^2。

5. 求解两个方程，计算得 x= 5.25。

6. 经过上述推理，最终得出答案为5.25。", "elements": "垂线; 直角三角形; 普通三角形; 线段; 点", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACP中，角APC是直角（90度），因此三角形ACP是一个直角三角形。边AP和边CP是直角边，边AC是斜边。三角形BCP中，角BPC是直角（90度），因此三角形BCP是一个直角三角形。边BP和边CP是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ACP中，∠APC是直角（90度），边AP和边CP是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AP^2 + CP^2，即6^2 = x^2 + CP^2；同样在直角三角形BCP中，∠BPC是直角（90度），边BP和边CP是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = PB^2 + CP^2，即3^2 = (6 - x)^2 + CP^2。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/052.png", "question": "下图的面积是多少？", "answer": "120", "process": "1. 已知条件为底边长是20，高是12。根据几何图形的面积公式，对于一个三角形，其面积为(底边 × 高) / 2，得出三角形的面积可以表示为(20 × 12) / 2。

2. 计算得出：面积 = (20 × 12) / 2 = 240 / 2 = 120。

3. 经过上述推理，最终得出答案为120。", "elements": "等腰三角形; 直角三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点垂直于底边（或其延长线）的线段是该顶点的高。线段与底边（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段是从顶点到底边（或其延长线）的垂直距离。底边长为20，高为12。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "三角形的底边长为20，高为12。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (20 × 12) / 2 = 120。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/019.png", "question": "在上图中，AB = 6 且 BC = 8。三角形ABC的面积是多少？", "answer": "12*\\sqrt{3}", "process": "1. 已知条件为AB = 6，BC = 8，并且角ABC = 60°，根据题意可以得出这是一个三角形的情况。

2. 依据三角形面积公式S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b为两边长，C为两边夹角，可以用来求解三角形ABC的面积。

3. 将已知边长AB = 6和BC = 8，以及角ABC = 60°代入面积公式中，得到S = (1/2) * 6 * 8 * sin(60°)。

4. 由于sin(60°) = √3/2，代入可得S = (1/2) * 6 * 8 * (√3/2) = 12√3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为12√3。", "elements": "普通三角形; 正弦", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边，其中AB = 6，BC = 8，角ABC = 60°。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "sin(∠ABC) 是适用于非直角三角形的正弦值，其中∠ABC = 60°，因此sin(60°) = √3/2。"}, {"name": "三角形面积公式（使用正弦函数）", "content": "任何三角形的面积可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边长，C是这两边的夹角。", "this": "三角形ABC中，边AB和边BC分别为6和8，角ABC为这两边的夹角60°。根据三角形面积公式，三角形ABC的面积S可以表示为S = (1/2) * 6 * 8 * sin(60°)，即S = (1/2) * 6 * 8 * (√3/2) = 12√3。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/054.png", "question": "x的值是多少？", "answer": "65", "process": "1. 已知条件为：在直角三角形中，一条直角边长为25，另一条直角边长为60，斜边为x。

2. 根据勾股定理（一个直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和），设直角边为a和b，斜边为c，则有c^2 = a^2 + b^2。

3. 在本题中，a = 25，b = 60，c = x，则应用勾股定理得：x^2 = 25^2 + 60^2。

4. 计算得到：x^2 = 625 + 3600。

5. 进一步计算：x^2 = 4225。

6. 取平方根得到：x = √4225。

7. 计算√4225的值：x = 65。

8. 因此，经过上述推理，最终得出答案为65。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "'在本题图中，该三角形是直角三角形，其中直角在左下角。一条直角边为25，另一条直角边为60，对应的斜边为x。'"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，一条直角边为25，另一条直角边为60，斜边为x，根据勾股定理有## x^2 = 25^2 + 60^2 ##。计算得出：## x^2 ## = 625 + 3600 = 4225，因此x = √4225 = 65。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/016.png", "question": "半圆弧AO和OB将上图中以O为圆心的圆分成两个区域。如果直径AB的长度为12，阴影区域的面积是多少？", "answer": "18*\\pi", "process": "1. 已知圆心为O，直径AB的长度为12，根据圆的直径定义，圆的半径为直径的一半。因此，圆的半径r为6。

2. 圆的面积公式为##πr^2##，将r代入，得到圆的面积为##π(6) ^2##= 36π。

3. ##由于O为大圆的圆心，因此半圆AO的半径=半圆BO的半径=1/2*大圆的半径r=r/2，两条半圆弧AO、OB分别与线段AO和OB形成两个面积相等的区域，每个区域为半径=r/2的半圆##。

4. ##因此，阴影区域的面积=半径为r的半圆-半圆OA的面积+半圆OB的面积=大圆面积的一半=18π##，即阴影区域的面积为18π。", "elements": "圆; 弧; 旋转; 对称", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和B是圆上的任意两点，线段OA和OB是从圆心O到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OB是圆的半径。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "在本题图中，以O为圆心的圆中，圆的半径是6，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = ##π(6)^2## = 36π。"}, {"name": "半圆弧的定义", "content": "半圆弧是以直径为弦并位于该弦一旁的弧。", "this": "半圆弧AO和半圆弧OB分别位于直径AB的两旁，并通过点A和B连接圆心O。根据半圆弧的定义，半圆弧AO和半圆弧OB覆盖了圆周的一半，即180度。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/023.png", "question": "在上图中，四条线段在一点相交形成四个角。x 的值是多少？", "answer": "288", "process": "1. 已知4条线段相交于一点，构成四个角分别为 x/2、 x/4、 x/6 和 x/3。根据##周角的定义##，四个角之和等于360度。

2. 设四个角分别为 ∠A、∠B、∠C 和 ∠D，其中 ∠A = x/2，∠B = x/4，∠C = x/6，∠D = x/3。

3. 因为 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° （周角的定义）。

4. 代入已知条件 x/2 + x/4 + x/6 + x/3 = 360。

5. 找到这些角的公共分母。公共分母为12，所以将这些分数变为同一分母：x/2 = 6x/12, x/4 = 3x/12, x/6 = 2x/12, x/3 = 4x/12。

6. 于是有 6x/12 + 3x/12 + 2x/12 + 4x/12 = 360。

7. 合并分数： (6x + 3x + 2x + 4x)/12 = 360。

8. 得到式子：(15x)/12 = 360。

9. 解方程： 15x = 360 * 12。

10. 计算得： 15x = 4320。

11. 再解方程： x = 4320 / 15。

12. 计算得： x = 288。

13. 经过上述推理，最终得出答案为288。", "elements": "对顶���; 邻补角; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，四个角分别为 x/2、x/4、x/6 和 x/3，这些角是由四条射线交于一点构成的，其中该点为公共端点。根据角的定义，角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。##"}, {"name": "周角的定义", "content": "一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角", "this": "x°/4和x°/2的公共射线绕着角的公共顶点旋转一周，形成周角。根据周角的定义，周角的度数为360度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D=360度。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/048.png", "question": "在上图中，线段OA与线段OB全等。弧CD的度数是多少？", "answer": "70", "process": "1. 已知线段OA全等于线段OB，这是根据题目提供的条件。

##2. 三角形AOB中，边OA和边OB相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。##

3. 在等腰三角形中，底角相等，所以∠OAB等于∠OBA。

4. 题给设施∠A为55度，所以∠OBA也是55度。

5. 三角形内角和定理指出，一个三角形内角的总和是180度。因此，得到：∠AOB = 180度 - ∠OAB - ∠OBA。

6. 将数值带入，可以得出∠AOB = 180度 - 55度 - 55度 = 70度。

####

##7.## 根据圆心角定理，圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数。

##8.## 因此，∠AOB所对的弧CD的度数就是∠AOB自身的70度。", "elements": "等腰三角形; 圆; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形AOB中，边OA和边OB相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "点C和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OD组成的∠COD称为圆心角。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形AOB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OAB = ∠OBA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形AOB中，∠OAB、∠OBA和∠AOB是三角形AOB的三个内角，根据三角形内角和定理，∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/038.png", "question": "在上面的三角形中，c 的长度是多少？", "answer": "80", "process": "1. 已知条件为直角三角形，其中直角边长为60，斜边长为100，设另外一条直角边为c。根据毕达哥拉斯定理，得出斜边的平方等于两条直角边的平方和，即##100^2= 60 ^2+ c^2##。

2. 计算平方：##100^2## = 100 * 100 = 10000，##60^2 ##= 60 * 60 = 3600。

3. 将已知条件代入毕达哥拉斯定理，得到方程：10000 = 3600 +## c^2##。

4. 将3600移到等式左边，得到：10000 - 3600 = ##c^2##，即6400 =## c^2##。

5. 求c的值，c = √6400。

6. 计算结果：√6400 = 80。

7. 经过上述推理，最终得出答案为80。", "elements": "直角三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形包含一个90度的内角，因此三角形是一个直角三角形。边长为60和c的两条边是直角边，边长为100的是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。已知一条直角边长为60，斜边长为100，根据勾股定理，可以得到：##100^2= 60 ^2+ c^2##。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/031.png", "question": "如果上图中的三角形ABC是等边三角形且D是直角，求x的值。", "answer": "24", "process": "1. 由于三角形ABC是等边三角形，则边AB = BC = AC。

2. 给定直角CDE，我们知道其角D为90度。

3. 在等边三角形ABC中，所有内角均为60度。因此，角ACB等于60度。

4. ##因为线段BD和AE相交，根据对顶角相等的关系，所以角ACB=角DCE = 60度。##

5. 三角形CDE是一个##30°-60°-90°##的特殊三角形。

6. CD即是CDE这个特殊三角形的##短边##。

7. CE是特殊三角形##的斜边##，所以##CE=2*CD=24##。

####

##8##. 基于已得结果，x = 24。

通过以上推理，我们得到答案为：24。", "elements": "等边三角形; 直角三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形ABC是一个等边三角形。边AB、边BC和边AC的长度相等，并且角BAC、角ABC和角ACB的度数相等，均为60°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角CDE是直角（90度），因此三角形CDE是一个直角三角形。边CD和边DE是直角边，边CE是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°。同样，三角形CDE中，角DCE、角CDE和角DEC是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角DCE + 角CDE + 角DEC = 180°。####"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形CDE中，角DEC是30度，角DCE是60度，角CDE是90度。边CE是斜边，边CD是30度角所对的边，边DE是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边CD等于边CE的一半，边DE等于边CD的√3倍。即：CD = 1/2 * CE，DE = CD * √3。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等", "this": "两条相交直线BD和AE相交于点C，形成两个角：角ACB、角DCE。根据对顶角的定义，角ACB和角DCE是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角ACB=角DCE。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/022.png", "question": "在上图中，AC = 7 且 AB = BC。AB 的最小可能整数值是多少？", "answer": "4", "process": "1. 已知条件为直线AC的长度为7，并且三角形ABC是等腰三角形，即AB=BC。依据等腰三角形的性质，两个等边的对角也相等，##因此∠BAC = ∠BCA##。

####

##2##. 应用三角形的三边不等式定理：即任意三角形的任意两边之和大于第三边的定理，分别得出结论如下。

##3##. 首先，根据三角形不等式，得：AB + BC > AC。且因为AB=BC，故2AB > 7，所以AB > 3.5。

##4##. 其次，根据三角形不等式，得：AB + AC > BC。且因为BC=AB，故##AC > 0##，因为AC=7，所以##AC=7 > 0 恒成立##。

##5##. 最后，根据三角形不等式，得：BC + AC > AB。且因为BC=AB，故##AC > 0##，因为AC=7，所以##AC=7 > 0 恒成立##。

##6##. 综上所述，AB的最小整数值应为满足AB > 3.5的最小整数，即为4。

##7##. 因此，满足所有条件的AB的最小整数值为4。", "elements": "线段; 等腰三角形; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边BC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边BC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠BAC = ∠BCA。"}, {"name": "三角形三边关系定理", "content": "三角形的两边之和大于第三边", "this": "边AB、边AC和边BC构成三角形。根据三角形三边关系定理，边AB + 边BC > 边AC，边AB + 边AC > 边BC，边BC + 边AC > 边AB。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/039.png", "question": "在上面的三角形中，a 的长度是多少？", "answer": "15*\\sqrt{2}", "process": "1. 已知该三角形为直角三角形，且两个非直角均为45°，这意味着该三角形是一个等腰直角三角形。

2. ##根据勾股定理，等腰直角三角形中，斜边a^2=15^2+15^2##。

3. ##解方程得到##斜边的长度为15√2。

4. 因此，经过推理，最终得出斜边a的长度为15√2。
", "elements": "等腰三角形; 直角三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，两个直角边均为15，斜边为a，所以根据勾股定理，a^2 = 15^2 + 15^2，因此a = 15√2。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形是等腰直角三角形，其中左下角是直角（90度），两条长度为15的边是相等的直角边。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/014.png", "question": "如上图所示的梯形ABCD中，AB = 24，AD = 23，且BC = 16。求线段CD的长度是多少？", "answer": "25", "process": "1. 我们知道梯形ABCD中，##AD##是底，为了求出CD的长度，可以利用梯形的性质分解梯形为一个矩形和一个三角形。考虑作一条垂直于##底AD##的辅助线。这个辅助线可连接点C与##底AD##形成新的点E，使得##CE##垂直于AD。于是##ABCE##形成一个矩形。

2. 由于##ABCE##是一个矩形，因此有AB = CE。利用已知的AB = 24以及矩形的性质CE = AB，可以得到CE = 24。

3. 在梯形中，知道AD = 23，总的##底边##AD可以表示为##AE##（矩形的##底边##）和ED（形成△CED的##直角底边##），即AD = ##AE## + ED。因为##ABCE##是矩形，所以##AE## = 16（##AE## = BC），可得23 = 16 + ED，从而得出ED = 7。

4. 通过计算ED，我们应用勾股定理在直角三角形CED中，以找出CD。

5. 勾股定理（在这里表示为CD^2 = CE^2 + ED^2）应用于△CED。代入已知值得到CD^2 = 24^2 + 7^2。

6. 解开这个方程可得CD^2 = 576 + 49 = 625。

7. 求出CD的正数结果，即CD = √625 = 25。

8. 经过上述推理，最终得出答案为25。", "elements": "梯形; 线段; 垂线; 直角三角形; 平行线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "边AD和边BC是平行的，而边AB和边CD不平行。因此，根据梯形的定义，四边形ABCD是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCE是一个矩形，其内角∠ABC, ∠BCE, ∠CEA, ∠EAB都是直角（90度），且边AB与边CE平行且等长，边BC与边AE平行且等长。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形CED中，角CED是直角（90度），因此三角形CED是一个直角三角形。边CE和边ED是直角边，边CD是斜边。####"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形CED，其中CE是直角边，ED也是直角边，CD是斜边。因此根据勾股定理，CD^2 = CE^2 + ED^2。代入已知值得到CD^2 = 24^2 + 7^2，最终求得CD = 25。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/027.png", "question": "AC边的长度最接近小数点后两位是多少？假设ABC是一个直角三角形。", "answer": "10.6", "process": "1. 已知条件为三角形ABC是直角三角形，且∠BAC = 28°，AB = 12，根据勾股定理，三角形ABC中的直角边与斜边关系是唯一确定的。

2. 在直角三角形中可以使用三角函数来求解未知边。我们这里知道一条边的长度及一个锐角的角度，可以使用三角函数来求解。

3. 根据三角函数定义，cos(θ) = 邻边/斜边，其中θ是锐角，邻边是我们要求的AC，斜边是已知的边AB。

4. 为了找到AC的长度，应用余弦函数：cos(∠BAC) = AC/AB。

5. 在本题中，cos(28°) = AC/12，故AC = 12 * cos(28°)。

6. 查表或者使用计算器可得cos(28°) ≈ 0.8829。

7. 因此，AC ≈ 12 * 0.8829 ≈ 10.5948。

8. 将结果四舍五入到最近的百分位得到AC ≈ 10.60。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角∠BCA是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是角∠BAC的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠BAC的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(∠BAC) = AC / AB。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/013.png", "question": "如上图所示，三角形ABC和直线l。y和z的和是多少？", "answer": "140", "process": "1.##设直线l的左端标为点D，## 已知条件为##∠DAB=## 140°，∠CAB = x°，∠BCA = z°，##∠ABC=y °，##在直线 l 上，根据平角定义，平角为 180°，可得：##x°## + 140° = 180°。

2. 由以上等式 ##x°## + 140° = 180°，通过减去 140°，可得 ##x°##= 40°。

3. 在三角形 ABC 中，我们依据三角形内角和定理，三角形内角和应为 180°，可以表示为：##x° + y °+ z °##= 180°。

4. 将已知 ##x°## = 40° 代入三角形内角和的等式，得到 40° +##y °+ z °## = 180°。

5. 求解上一步的等式，减去 40° ，得到##y °+ z °## = 140°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 y + z = ##140##。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，∠BAC、∠ABC和∠BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，AC向右延伸的射线绕着端点A旋转到与起始边成一条直线，形成平角CAD。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角CAD=180度。##"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/049.png", "question": "在上图中，角A全等于角BED，角C全等于角D。如果AB的长度与EB的长度之比为5:1，且三角形BED的面积为5*a^2 + 10，那么三角形ABC的面积是多少？", "answer": "125*a^2+250", "process": "1. 已知角A与角BED全等，角C与角D全等，根据已知条件可知 △ABC与△BED为相似三角形。

2. △ABC与△BED相似，且相似比为AB : EB = 5 : 1，根据相似三角形对应边的比相等，BC : BD 的比，也是5:1。

3. 根据相似三角形的面积比是对应边长比例####（5:1）的平方，即25:1。

4. 通过已知条件， △BED 的面积为 5a^2 + 10。

5. 根据面积比为25:1， △ABC 的面积为25 * (5a^2 + 10)。

6. 算出△ABC的面积为 25 * (5a^2 + 10) = 125a^2 + 250。

7. 经过上述推理，最终得出答案为125a^2 + 250。", "elements": "普通三角形; 等腰三角形; 线段; 位似", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABC和三角形BED是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠A = ∠BED, ∠C = ∠D，∠ABC=∠EBD；AB/EB = BC/BD = AC/ED = 5/1。"}, {"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "三角形ABC和三角形BED是相似三角形，边AB和边EB的比值为5:1，即相似比为5:1。所以，三角形ABC的面积与三角形BED的面积的比值等于(5:1)^2 = 25:1。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角A等于角BED，且角C等于角D，所以三角形ABC相似于三角形BED。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/030.png", "question": "在上图中，直线AB平行于直线CD，且直线EF垂直于直线CD。角x的度数是多少？", "answer": "50*\\degree", "process": "1. 已知条件为直线AB平行于直线CD，直线EF垂直于直线CD，##∠GIL##=140°。

2. 根据平行线的同位角相等定理，直线AB与直线CD平行，则##∠GIL##=##∠JKD##。

3. 由此，得出##∠JKD##=140°。

##4.根据平角的定义，得到∠JKM=180°-∠JKD=180°-140°=40°##

##5. ##���为直线EF垂直于直线CD，所以∠LMK=90°。

##6. ##在##ΔJMK##中，因为角的和为180°，所以##∠JMK##+##∠JKM##+∠X=180°。

##7. ## 代入已知条件得：90° +## 40°## + ∠X = 180°。

##8. ##化简方程：∠X = 180° - 90° - ##40°## = 50°。

##9. ##经过上述推理，最终得出答案为50度。", "elements": "平行线; 内错角; 垂线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形JMK是由三个非共线点J、M、K及其连接线段JM、MK、LK组成的几何图形。点J、M、K分别是三角形的三个顶点，线段JM、MK、LK分别是三角形的三条边。其内角包括∠JMK、∠MJK和∠JKM。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。", "this": "直线AB平行于直线CD，被第三条直线EF所截，同位角：∠GIL和∠JKD相等，即∠GIL=∠JKD=140°。##"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线GH截交，其中角GIL和角JKD位于截线GH的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧，因此角GIL和角JKD是同位角。同位角相等，即角GIL等于角JKD。####"}, {"name": "平角的定义。", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线KD绕着端点K旋转到与起始边成一条直线，形成平角CKD。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角CKD=180度。"}, {"name": "垂线定义。", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线EF和直线CD相交形成的角∠EMD是90度，因此根据垂线定义，直线EF和直线CD互相垂直。####"}, {"name": "三角形内角和定理。", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形JMK中，角MJK、角JMK和角JKM是三角形JMK的三个内角，根据三角形内角和定理，角MJK + 角JMK + 角JKM = 180°。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/009.png", "question": "在上面的三角形中，x, y 和 z 的平均值（算术平均值）是多少？", "answer": "60", "process": "1. ##令三角形三个顶点分别为A、B、C。##已知条件为三角形的三个内角为x°, y°, z°，根据三角形内角和定理，得出##x°+ y°+z°## = 180°。

2. 由步骤1中##x°+ y°+z°##= 180°，利用平均数公式 (##x°+ y°+z°##) / 3 = 平均值，可以得到平均值为180° / 3。

3. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角x°, 角y°和角z°是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，角x° + 角y° + 角z° = 180°。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/026.png", "question": "以下图形中的哪两个线段形成了一个钝角？_x000D_\nA. BC 和 AC_x000D_\nB. EF 和 DF_x000D_\nC. CD 和 BD_x000D_\nD. AB 和 BD_x000D_\nE. EA 和 AC", "answer": "line CD and line BD", "process": "1. 根据图中信息，在三角形ADF中，角AFD=90度。

2. 因为BDC是三角形ADF的一个外角，所以角BDC=角AFD+角FAD=90度+角FAD。

3. 因为角BDC大于90度，所以角BDC是钝角。", "elements": "线段; 邻补角; 直角三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形ADF中，角FDC是三角形的一个外角，角AFD和角FAD是与外角FDC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角FDC等于不相邻的两个内角AFD和FAD之和，即角FDC = 角AFD + 角FAD。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形ADF的一个内角为∠ADF，延长该内角的相邻边AD和DF形成的角∠FDC称为内角∠ADF的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3661.png", "question": "如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠ACB=30°,AB=6,则⊙O的半径是()", "answer": "6", "process": "1. ##根据圆周角的定义，所以∠ACB是圆周角，##已知∠ACB=30°，根据圆周角定理##和圆心角的定义##，得出∠AOB=2∠ACB=60°。

2. 连接OA和OB，OA和OB是⊙O的半径，因此OA=OB。

3. 因为∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形。

4. 在等边三角形△AOB中，三边相等，因此OA=AB=6。

5. 故⊙O的半径是6。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 正弦; 圆; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形AOB是一个等边三角形。边OA、边OB和边AB的长度相等，并且角AOB、角OAB和角OBA的度数相等，均为60°。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3708.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,∠AOB=80°,则∠ACB的大小为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°。

####

##2. ##依据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该圆心角的一半。应用此定理，由于∠AOB是圆心角，且弧AB所对的圆周角为∠ACB，因此：∠ACB=1/2 ∠AOB。

##3. ##代入已知条件∠AOB=80°，得：∠ACB=1/2×80°=40°。

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3699.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,连接OA,OB,若∠C=35°,则∠OBA的度数是()", "answer": "55°", "process": "1. 已知∠C=35°，△ABC内接于⊙O。

2. 连接##OA、OB，##角∠AOB是圆心角，而∠ACB是劣弧AB的弧上所对的圆周角。

3. 根据圆周角定理，圆心角是圆周角的两倍，因此∠AOB = 2×∠ACB = 2×35° = 70°。

4. 圆内接三角形##OAB##中，OA=OB####，##所以##△OAB是腰角三角形。

5. 在等腰三角形△OAB中，底角相等，因此∠OAB = ∠OBA。

6. 在△OAB中，内角和为180°，即∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°。

7. 代入已知条件，得到70° + 2∠OBA = 180°。

8. 解此方程，得到2∠OBA = 110°，所以∠OBA = 55°。

9. 经过上述推理，最终得出∠OBA的度数为55°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 等腰三角形; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接多边形", "content": "一个多边形的所有顶点都在一个圆上，称这个多边形为圆的内接多边形。", "this": "三角形ABC的所有顶点A、B、C都在圆O上，因此这个三角形是圆O的内接三角形。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，劣弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠AOB等于它所对的劣弧AB所对应的圆周角∠ACB的两倍，即∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 35° = 70°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角AOB、角OAB和角OBA是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角AOB + 角OAB + 角OBA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3700.png", "question": "如图,已知△ABC内接于⊙O,∠BAC=50°,则∠BOC的度数是()", "answer": "100°", "process": "1. 已知三角形ABC内接于圆O，且∠BAC=50°。

2. 由圆周角定理，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。##因此，∠BAC对应的圆心角为∠BOC。

3. 根据圆周角定理，我们有∠BOC等于2倍的∠BAC。

4. 计算得出∠BOC=2×50°=100°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为100°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3796.png", "question": "如图,⊙O是△ABD的外接圆,若∠A=135°,则∠BDO的度数为()", "answer": "45°", "process": "1. 在优弧BD上任意找一点E，连接BE和DE。

2. 根据##内接四边形的定义，点A，B，E，D都在圆O上， ##所以四边形ABDE是圆内接四边形。

3. 由题意知∠A=135°，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得∠BED=180°-∠BAD=180°-135°=45°。

4. 根据圆周角定理，在圆##O##中，∠BOD是##劣弧BD的圆心角，∠BED是劣弧BD的圆周角##，因此∠BOD=2∠BED。

5. 由∠BED=45°，则∠BOD=2×45°=90°。

6. 在△BDO中，由于OB=OD，△BDO为等腰三角形。因此∠BDO=∠BOD/2=90°/2=45°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为45°。", "elements": "圆; 圆周角; 弧; 直角三角形; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABDE是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、D、E都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABDE的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠A + ∠BED = 180°，即∠A = 135°，则∠BED = 180° - 135° = 45°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点B、D、E在圆上，弧BD与弧BED对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BED。根据圆周角定理，∠BED等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BED = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形BDO中，边OB和边OD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBD = 角ODB。##"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OBD中，边OB和边OD相等，因此三角形OBD是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形BOD中，角BOD、角OBD和角ODB是三角形BOD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOD + 角OBD + 角ODB = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3789.png", "question": "如图,△ABC中,∠BAC=70°,∠ABC=45°,点O是△ABC的外接圆的圆心,则∠AOB等于()", "answer": "130°", "process": "1. 已知∠BAC=70°, ∠ABC=45°, 根据三角形内角和定理，得出∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 70° - 45° = 65°。

2. 因为点O是三角形ABC的外接圆的圆心，所以∠AOB是圆心角。根据圆心角定理，圆心角等于其所对的弧所对应的圆周角的两倍，即∠AOB = 2∠ACB。

3. 由上一步得出的结论，可以得到∠AOB = 2 * 65° = 130°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOB = 130°。", "elements": "圆; 圆心角; 普通三角形; 圆周角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。已知∠BAC=70°，∠ABC=45°，可得出∠ACB = 180° - 70° - 45° = 65°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "点O是△ABC的外接圆的圆心，∠AOB是圆心角。根据圆周角定理，圆心角∠AOB等于其所对的弧AC对应的圆周角∠ACB的两倍，即∠AOB = 2∠ACB。已知∠ACB=65°，因此可得∠AOB = 2 * 65° = 130°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3705.png", "question": "如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,⊙O是△ABC的外接圆,点D在劣弧{AC}上,则∠D的度数是()", "answer": "125°", "process": "1. 已知AB=AC, ∠BAC=70°,所以△ABC是等腰三角形，并且∠ABC=∠ACB。

2. 由于等腰三角形中，两个底角相等，根据三角形内角和定理，△ABC内各角度之和为180°，因此可得∠ABC= ∠ACB= (180°- ∠BAC) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 55°。

3. 由于四边形ABCD是圆内接四边形，根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，内接四边形的对角互补，即∠D和∠ABC互补。

4.可以得出∠D=180° - ∠ABC。

5. 已知∠BAC=55°，因此∠D=180° - 55° = 125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠D=125°。", "elements": "等腰三角形; 圆; 圆周角; 弧; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，��角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形△ABC中，角∠BAC、角∠ABC和角∠ACB是三角形△ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠BAC + 角∠ABC + 角∠ACB = 180°。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是圆O的内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°；∠ABC + ∠ADC = 180°。因此，∠D和∠ABC互补，即∠D = 180° - ∠ABC。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3635.png", "question": "如图,⊙O上有A,B,C,D四点,其中∠A=80°,那么∠C的度数是()", "answer": "100°", "process": "1. 已知四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠BAD=80°。

2. 根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，##在四边形ABCD中，∠BAD + ∠BCD = 180°。

##3. ##由已知条件∠BAD=80°，代入上一步公式可得：80° + ∠BCD = 180°。

##4. ##解方程可得：∠BCD = 180° - 80° = 100°。

##5. ##因此，圆内接四边形ABCD中∠BCD的度数是100°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆内接四边形; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°，∠ABC + ∠ADC = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3746.png", "question": "如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为()", "answer": "5√{3}", "process": "1. 已知∠C=30°，点P是⊙O上的一点，连接OA、OB、OP##，设AP与OB的交点为点D##。

2. 由于∠C####=30°，根据圆周角##和圆心角##定理，同弧所对的圆周角相等##并且圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，可得##∠C=∠APB=30° ，∠AOB=2∠ACB=60°##。

3. 由于PB=AB，根据##等腰三角形##性质，可得##三角形ABP是一个等腰三角形，##∠PAB=∠APB=30°。

4. 在三角形APB中，∠PAB+∠APB+∠ABP=180°，代入已知条件并得出∠ABP=120°。

5. 由于PB=AB，##又因为OA=OB=OP，所以三角形OAB和三角形OPB都是等腰三角形。根据圆周角定理可得：∠BOP=∠AOB=2∠ACB=60°。##因此△OBP和△OBA是等边三角形。##所以在三角形ABD中，∠DAB=30°，∠ABD=60°，由三角形内角和是180°可得：∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-30°-60°=90°，所以OB⊥AP。##

6. 由于OB=OA，在等边三角形AOB中，OA=AB=OB=5。

7. 在直角三角形PBD中，利用余弦定理计算得PD=cos30°·PB##=cos30°·OP##，即PD=## $\\frac{√{3}}{2}×5=\\frac{5√{3}}{2}$ ##。

8. 因为PD是AP的一半，所以AP=2PD，即AP=5√{3}。

9. 经过上述推理，最终得出答案为5√{3}。", "elements": "等腰三角形; 圆; 圆周角; 弦; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。同理，角APB的顶点(点P)在圆周上，角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角APB是一个圆周角。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "在本题图中，圆O中，半径OB垂直于弦AP，那么根据垂径定理，半径OB平分弦AP，即AD=PD，并且半径OB平分弦AP所对的两条弧，即劣弧AB=劣弧BP。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABP中，边AB和边PB相等，因此三角形ABP是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C、P在圆上，劣弧AB对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠APB。根据圆周角定理，∠APB等于它所对的劣弧AB所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠APB = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形APB中，角PAB、角APB和角ABP是三角形APB的三个内角，根据三角形内角和定理，角PAB + 角APB + 角ABP = 180°。##同理，三角形ADB中，角DAB、角ABD和角ADB是三角形ADB的三个内角，根据三角形内角和定理，角DAB + 角ABD + 角ADB = 180°####"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形", "this": "在本题图中，已知△OAB为等腰三角形，边OA与边OB相等，且存在一个内角为60°，即∠AOB=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△OAB为等边三角形。"}, {"name": "余弦定理", "content": "在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边与该角所夹角的两倍余弦乘积，即## c^2= a^2 + b^2- 2ab * cos(角C)##。", "this": "在本题图中的直角三角形PBD中，边PB、边PD和边BD分别对应三角形的三条边，角PBD是由边PB和边BD所夹的角。根据余弦定理，边PD的平方等于另外两边PB和BD的平方之和减去这两边与该角PBD所夹角的两倍余弦乘积，即##PD^2= PB^2 + BD^2 - 2 * PB * BD * cos(角PBD)。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3896.png", "question": "⊙O是半径为1的圆,点O到直线L的距离为3,过直线L上的任一点P作⊙O的切线,切点为Q；若以PQ为边作正方形PQRS,则正方形PQRS的面积最小为()", "answer": "8", "process": "1. 设⊙O的半径为1，点O到直线L的距离为3。以直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q。

2. ##连接##OQ和OP，作OH垂直于L，垂足为H。因为点O到直线L的距离为3，所以OH = 3。##因为点Q在圆上，所以OQ是⊙O的半径，也就是OQ=1。##

3. 因为PQ是⊙O的切线，根据##圆的切线性质##，OQ垂直于PQ。在##直角三角形PQO##中，由勾股定理得到，PQ = √##(OP^2 - OQ^2)##。

4. 当OP最小时，PQ最小。由##点到直线的距离##定义，OP的最小值为OH的长度，即OP = 3。

5. 代入勾股定理，得PQ的最小值为√(##3^2 - 1^2##) = √8 = 2√2。

6. 以PQ为边作正方形PQRS，则正方形的面积为##PQ^2##。

7. 因此正方形PQRS的最小面积为##(2√2)^2 ##= 8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "正方形; 切线; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点Q是圆上的任意一点，线段OQ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OQ是圆的半径，且OQ = 1。"}, {"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "在本题图中，四边形PQRS中，边PQ、边QR、边RS和边SP相等，且∠PQR、∠QRS、∠RSP和∠SPQ为直角（90度），所以PQRS是一个正方形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点Q是直线PQ与圆的切点，线段OQ是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PQ与经过切点Q的半径OQ垂直，即∠OQP=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形PQO中，∠OQP是直角（90度），边OQ和PQ是直角边，边OP是斜边，所以根据勾股定理，OP^2 = OQ^2 + PQ^2。由题意，OQ = 1，OP = 3，因此PQ = √(3^2 - 1^2) = √8。"}, {"name": "点到直线的距离", "content": "点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离。", "this": "在本题图中，点 O 是直线 L 外的一点，作点 O 到直线 L 的垂线段 OH。根据点到直线距离的定义，垂线段 OH 的长度是点 O 到直线 L 的最短距离，即 d=OH=3。##"}, {"name": "正方形的面积公式", "content": "正方形的面积等于其边长的平方。", "this": "在本题图中，正方形PQRS中，边PQ是正方形的边长，所以正方形的面积 = PQ ^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3916.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,OD⊥AC于点D,若∠E=30°,CE=6,则OD的值为()", "answer": "√{3}", "process": "1. 连接OC，根据切线的性质，切线CE与过切点的半径OC垂直，即∠ECO=90°。

2. ##由于∠ECO=90°，且∠E=30°，CE=6，根据三角形的内角和定理，可以计算出∠COE=60°，直角三角形OCE为30°-60°-90°三角形，##所以OC=\\frac{6}{√{3}}=2√{3}####。

3. 由OC=OA，可以知道OA=2√{3}。

4. 根据圆周角定理，得∠EOC=2∠A，因此∠A=30°。

5. 因为OD垂直于AC，即∠ADO=90°，##因此直角三角形ODA为30°-60°-90°三角形，##该直角三角形中，OD=rac{1}{2}OA，由此得OD=√{3}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为√{3}。", "elements": "圆; 切线; 直角三角形; 圆周角; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点C是直线CE与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CE与经过切点C的半径OC垂直，即∠ECO=90°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形EOC中，角EOC是直角（90度），因此三角形EOC是一个直角三角形。边OE和边EC是直角边，边OC是斜边。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，∠EOC是中心角，它对应的圆周角∠ACB，因此∠EOC=2∠ACB。因为题目已知∠EOC=60°，所以∠ACB=30°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角A的顶点(点A)在圆周上，角A的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角A是一个圆周角。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°三角形OCE中，角E是30度，角EOC是60度，角OCE是90度。边OE是斜边，边OC是30度角所对的边，边CE是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边OC等于边OE的一半，边CE等于边OC的√3倍。即：OC = 1/2 * OE，CE = OC * √3。\n\n30°-60°-90°三角形OAD中，角A是30度，角DOA是60度，角ODAE是90度。边OA是斜边，边ODC是30度角所对的边，边AD是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3949.png", "question": "如图, AB、AC、BD是⊙O的切线, 切点分别为P、C、D, 若AB=5, AC=3, 则BD的长是()", "answer": "2", "process": "1. 已知AC和AP是⊙O的切线，依据##切线长定理##，AC=AP。

2. 同理，已知BP和BD是⊙O的切线，依据##切线长定理##，BP=BD。

3. 根据已知条件，AB=5, AC=3，且AC=AP, 因此AP=3。

4. 由AB - AP = PB，可以计算得出PB=5-3=2。

5. 由于BP=BD，因此BD=PB=2。", "elements": "圆; 切线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB、AC、BD分别有且只有一个公共点P、C、D，这些公共点叫做切点。因此，直线AB、AC、BD是圆O的切线。"}, {"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角", "this": "在本题图中，从圆外一点A引圆的两条切线AC和AP，它们的切线长相等，即AC=AP。从圆外一点B引圆的两条切线BP和BD，它们的切线长相等，即BP=BD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3883.png", "question": "如图,在半径为2的⊙O中,C为直径AB延长线上一点,CD与圆相切于点D,连接AD,已知∠DAC=30°,则线段CD的长为()", "answer": "2√{3}", "process": "1. 已知点D是切点，CD与圆相切于点D，根据切线垂直定理可知，OD垂直于CD。

2. 设圆心为O，连接OD、OC、AD和AC。

3. 由于角DAC的角度为30°，####根据圆周角定理，∠DOC=2∠DAC=2×30°=60°。

4. 因为OD垂直于CD，∠ODC即为90°，在△ODC中，角DCO=30°，角DOC=60°。

5. 根据##30°-60°-90°三角形的性质##，边OD是半径，长度为2，####CD=OD * √3 = 2 * √3。

6. 经过上述推理，最终得出线段CD的长度为2√3。", "elements": "圆; 切线; 线段; 直角三角形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A、B、D是圆上的任意一点，线段OA、OB、OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OB、OD是圆的半径，其长度均为2。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点D是直线CD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODC=90°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、D、C在圆上，弧ADC与弧AC对应的圆心角为∠DOC，圆周角为∠DAC。根据圆周角定理，∠DAC等于它所对的弧ADC所对应的圆心角∠DOC的一半，即∠DAC = 1/2 ∠DOC。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°三角形ODC中，角DCO是30度，角DOC是60度，角ODC是90度。边OC是斜边，边OD是30度角所对的边，边CD是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边OD等于边OC的一半，边CD等于边OD的√3倍。即：OD = 1/2 * OC，CD = OD * √3。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角A的顶点(点A)在圆周上，角A的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角A是一个圆周角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3665.png", "question": "如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD垂直于AB,∠CAB=20°,则∠BOD等于()", "answer": "40°", "process": "1. 已知CD垂直于AB，∠A=20°，在直角三角形ACE中，根据直角三角形的锐角互余性质，可得∠C=70°。

2. 根据圆周角定理，有∠AOD=2*∠C=140°。

3.

4. 因为∠AOD和∠BOD是邻补角，所以，∠BOD=180°-∠AOD=40°。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段AB是⊙O的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OD组成的角∠AOD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACD的顶点A在圆周上，角ACD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角ACD是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、D、C在圆上，弧AD对应的圆心角为∠AOD，圆周角为∠ACD。根据圆周角定理，∠ACD等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOD的一半，即∠ACD = 1/2 ∠AOD。"}, {"name": "直角三角形的锐角互余性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "直角三角形ACE中，角AEC是直角（90度），角A和角C是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角A和角C的和为90度，即20° + ∠C = 90°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3839.png", "question": "如图,AB切⊙O于点B,AO交⊙O于点C,点D在⊙O上,若∠A=40°,则∠BDC的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 连接OB。由于AB切⊙O于点B，根据切线的定义，OB垂直于AB，因此∠OBA=90°。

2. 由题目已知条件，∠A=40°，所以∠BOA的度数为180°-∠OBA - ∠A，即∠BOA = 180° -90° - 40° = 50°。

####

##3.## 由题目已知，AO交⊙O于点C，点D在⊙O上，####，依据圆周角定理，∠BDC = 1/2 × ∠BOA。

##4.## 计算得出∠BDC = 1/2 × 50° = 25°。

##5.## 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点B是直线AB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBA=90°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点B、D、C在圆上，劣弧BC对应的圆心角为∠BOA，圆周角为∠BDC。根据圆周角定理，∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOA的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOA。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角CDB的顶点(点D)在圆周上，角CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角CDB是一个圆周角。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OBA中，角A、角BOA和角OBA是三角形OBA的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角OBA + 角BOA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3877.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D=()", "answer": "40°", "process": "1. 连接OC，由于点C是⊙O的切点，所以OC垂直CD。

2. 因为OC=OA（半径相等），所以△OAC为等腰三角形。

3. 根据三角形的性质，∠OCA等于∠A，因此∠OCA=∠A=25°。

4. 在##△OAC##中，##∠DOC是△OAC的一个外角，根据三角形的外角定理可得：##∠DOC = ∠OCA + ∠A = 25° + 25° = 50°。

5. 根据圆的切线定理，切线与半径的夹角为90°，所以∠OCD = 90°。

6. 在△ODC中，利用角的和为180°的性质，∠D = 180° - ∠OCD - ∠DOC = 180° - 90° - 50° = 40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAC中，边OC和边OA相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径AB延长线上的点D作⊙O的切线，切点为C，连接OC，由于点C是⊙O的切点，所以OC垂直于CD。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ODC中，角∠OCD、角∠DOC和角∠D是三角形ODC的三个内角，根据三角形内角和定理，∠OCD + ∠DOC + ∠D = 180°。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点C是直线CD与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCD=90°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAC = 角OCA。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "三角形AOC中，角DOC是三角形的一个外角，角OCA和角A是与外角DOC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角DOC等于不相邻的两个内角OCA和角A之和，即角DOC = 角OCA + 角A。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3805.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,若∠AOB=110°,则∠ACB的度数是()", "answer": "55°", "process": "1. 已知△ABC内接于⊙O，且∠AOB=110°。

2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半。

3. 由圆周角定理，对于圆周上的点C，∠ACB是对应的圆心角∠AOB的半数，即∠ACB = 1/2 * ∠AOB。

4. 因此，∠ACB = 1/2 * 110° = 55°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4005.png", "question": "如图,点A、B、C在⊙O上,过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P,∠B=30°,OP=3,则AP的长为()", "answer": "\\frac{3}{2}√{3}", "process": "1. 在图形中连接OA。

2. 根据已知条件∠B=30°，以及圆周角定理（圆周角是所对弧的圆心角的一半），可以得出∠AOC=2∠B=60°。

3. 因为过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，所以∠OAP=90°（切线和半径垂直）。

4. 已知OP=3，根据正弦定义sin∠AOC=sin60°（∠AOC=60°），我们知道sin60°=√3/2。

5. 由直角三角形OAP的性质，可以得到AP=OP×sin60°。

6. 所以AP=3×√3/2=3√3/2。

7. 经过上述推理，最终得出AP的长度为3√3/2。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形OAP中，角∠AOP是锐角，边AP是角∠AOP的对边，边OP是斜边。根据正弦函数定义，角∠AOP的正弦值等于对边AP与斜边OP的比值，即sin(∠AOP) = AP / OP。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆��角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "点A、B、C在圆O上，弧AC与弧BC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线AP与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AP与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角OAP是直角（90度），因此三角形OAP是一个直角三角形。边OA和边OP是直角边，边AP是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4053.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,OP交⊙O于点C,连接BC。若∠P=20°,则∠B的度数是()", "answer": "35°", "process": "1. 连接AC，根据##圆的切线性质##，得出AB⊥AP##，即∠BAP=90°##。

2. 由于∠P=20°，所以##在△AOP中，##∠AOP=70°。

3. 因为OA=OC，##所以△AOC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA，根据三角形的内角和定理，##得出∠OAC=∠OCA=55°。

4. 由于AB是直径，所以根据直径所对的圆周角是直角定理，得出∠ACB=90°。

5. 在△ACB中，∠OAC+##∠ACB##+∠B=180°，所以∠B=180°-∠ACB-##∠OAC##=180°-90°-55°=35°。

6. 由上述推理，最终得出答案为35°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形AOC中，边OA和边OC相等，因此三角形AOC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形AOC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAC = 角OCA。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角BAC、角ACB和角ABC是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC+ 角ACB+ 角ABC= 180°。三角形AOP中，角P、角AOP和角OAP是三角形AOP的三个内角，根据三角形内角和定理，角P+ 角AOP+ 角OAP= 180°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4090.png", "question": "AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C；连接BC,若∠P=40°,则∠B等于()", "answer": "25°", "process": "1. 已知PA切⊙O于点A，根据##圆的切线性质##，得出∠PAO=90°。

2. 已知∠P=40°，因此，根据三角形内角和定理，得出##∠AOP=180°-90°-40°##=50°。

3. 因为OC##和OB是⊙O的半径##，所以OC=OB，因此△OBC是等腰三角形。

4. 在等腰三角形中，底角相等##，即∠B=∠OCB。因为∠AOP为△OBC的外角，根据三角形的外角定理，得到∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B##。

####

##5##. 由##∠AOP##=2∠B，可得到2∠B=50°，即∠B=25°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 切线; 直角三角形; 圆周角; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠PAO=90度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形PAO中，角P、角AOP和角PAO是三角形PAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角P + 角AOP + 角PAO = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OBC中，边OC和边OB相等，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "角AOP是三角形的一个外角，角OCB和角OBC是与外角AOP不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AOP等于不相邻的两个内角OCB和OBC之和，即角AOP = 角OCB + 角OBC。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形OBC的一个内角为∠COB，延长该内角的相邻边OB和OC形成的角∠AOC称为内角∠BOC的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4111.png", "question": "如图,AB为⊙O的切线,A为切点,BO的延长线交⊙O于点C,∠OAC=35°,则∠B的度数是()", "answer": "20°", "process": "1. 已知AB为⊙O的切线,A为切点,根据切线与切点半径垂直的定理，得出OA垂直于AB。

2. 因此得∠BAO=90°。

3. 由于O是圆心，且OA和OC是半径，相等，故三角形OAC是等腰三角形。

4. 根据等腰三角形性质，∠OAC=∠OCA。

5. 已知∠OAC=35°，则∠OCA=35°。

6. 在##三角形BAC##中，∠BAO=90°，##∠OAC=##∠OCA=35°，通过内角和定理得出##∠B= 180° - ∠BAO - ∠OAC -∠OCA = 180° - 90° -35° - 35° = 20°##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 对顶角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点C是圆上的任意一点，线段OA和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OC是圆的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAC中，边OA和边OC相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线AB与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点A的半径OA垂直，即∠BAO=90度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BOA中，角BAO、角AOB和角ABO是三角形BOA的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAO + 角AOB + 角ABO = 180°。在三角形ABC中，角BAC、角BCA和角ABC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角BCA +角ABC = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OCA = ∠OAC = 35°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4027.png", "question": "如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD,若∠BAC=50°,则∠COD的大小为()", "answer": "80°", "process": "1. 已知AC是⊙O的切线，切点为C，根据##圆的切线性质##，得出BC⊥AC。

2. 由于BC⊥AC，因此得到∠BCA=90°。

3. 根据题意，已知∠BAC=50°，由三角形内角和定理，得出∠ABC=40°。

####

##4.##依据圆周角定理，####得出∠COD=2∠ABC。

##5.## 代入由前面推算出的∠ABC=40°，得到∠COD=2×40°=80°。

##6. ##经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中���点O是圆心，点C和点D是圆上的任意一点，线段OC和OD是从圆心O到圆上任意一点C和D的线段，因此线段OC和OD是圆O的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，BC是直径，连接了圆心O和圆周上的B、C两点，长度为2倍的半径，即BC = 2 * r。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点C和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OD组成的角∠COD称为圆心角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点C是直线AC与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AC与经过切点C的半径OC垂直，即∠BCA=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°。####"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点B、D、C在圆上，劣弧CD对应的圆心角为∠COD，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的劣弧CD所对应的圆心角∠COD的一半，即∠COD = 2∠ABC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角ABC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4074.png", "question": "如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在弧AB上,若PA长为2,则△PEF的周长是()", "answer": "4", "process": "1. 已知PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，且⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上。

2. 由圆的##切线长定理##得：##PA=PB，## AE = CE，FB = CF。

3. 由于##PA=2##，根据题意得PA = PB = 2。

####

##4##. 计算△PEF的周长##=PE+PF+EF=PE+PF+CE+CF##

##5. 根据AE = CE，FB = CF，得出：△PEF的周长=PE+PF+EF=PE+PF+AE+FB=PA+PB。##

####

##6##. 推导出推导出△PEF的周长= PE + EF + PF = PA + PB = 4。", "elements": "切线; 圆; 弧; 等腰三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。", "this": "在本题图中，从圆外一点P引圆的两条切线PA和PB，它们的切线长相等，即PA=PB。圆心O和这一点P的连线平分两条切线PA和PB的夹角。同理，从圆外一点E引圆的两条切线EA和EC，它们的切线长相等，即EA=EC；从圆外一点F引圆的两条切线FB和FC，它们的切线长相等，即FB=FC。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形△AEF的三边分别为AE、AF、EF，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AE+AF+EF。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4026.png", "question": "如图,直线PA、PB是⊙O的两条切线,A、B分别为切点,若∠APB=120°,⊙O的半径为10,则弦AB的长为()", "answer": "10", "process": "1. 已知PA和PB是⊙O的两条切线，且A和B分别是切点，连结OA和OB。

2. 根据##切线的性质##得出OA垂直于PA，OB垂直于PB，因此∠OAP = 90°和∠OBP = 90°。

3. 题中已知∠APB = 120°。

4. 在##四边形AOBP##中，角的和为360°，所以∠OAP + ∠OBP + ∠APB + ∠AOB = 360°。

5. 将已知条件代入，得出90° + 90° + 120° + ∠AOB = 360°，因此∠AOB = 60°。

6. 由于OA = OB= 10，##因为∠AOB = 60°，根据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##△AOB是等边三角形。

7. 在等边三角形中，所有边相等，因此弦AB = OA = 10。", "elements": "切线; 等腰三角形; 圆周角; 弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只���一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线PA是圆O的切线。同理，圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线PB是圆O的切线。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形", "this": "△OAB为等腰三角形，边OA与边OB相等，且存在一个内角为60°，即∠AOB=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△OAB为等边三角形。##"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB是一个等边三角形。边OA、边OB和边AB的长度相等，并且角OAB、角OBA和角AOB的度数相等，均为60°。其中，OA = OB = 10，且∠AOB = 60°，因此弦AB的长度等于10。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A和点B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OAP = 90°和∠OBP = 90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OAP中，角OAP、角OPA和角PAO是三角形OAP的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAP + 角OPA + 角PAO = 180°；三角形OBP中，角OBP、角BPO和角POB是三角形OBP的三个内角，根据三角形内角和定理，角OBP + 角BPO + 角POB = 180°；三角形OAB中，角OAB、角AOB和角BOA是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角AOB + 角BOA = 180°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形OAOBP中的，角OAP、角OBP、角APB和角AOB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角OAP + 角OBP + 角APB + 角AOB = 360°。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4115.png", "question": "如图,在△ABC中,∠B=20°,点O是BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作圆,交AB边于点D,连结CD,若CD恰好与⊙O相切,则∠DCB的度数是()", "answer": "50°", "process": "1. 连接点O与点D，根据题意可知直线CD是以点O为圆心，以OB为半径的圆的切线。

2. 根据##圆的切线性质，##∠ODC=90°。

3. ##因为OB=OD，因此△OBD为等腰三角形。##

4. 在等腰三角形△OBD中，∠OBD=∠ODB####。

5. 由题目已知数据，∠B=20°，因此∠ODB=20°。

6. 在△ODC中，##依据三角形的内角和定理，有∠DCB + ∠ODC + ∠DOC = 180°。##

7. ##在△OBD中，根据三角形的外角和定理，可知∠DOC=∠B+∠ODB=40°。##

####

##8. ##将已知角代入，有##∠DCB + 90° ＋40°= 180°##。

##9. ##所以求解得出∠DCB = ##180° - 90° - 40° =50°##。

##10. ##进一步验证，计算步骤和结论无误，最终角度为##50°##。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 普通三角形; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线CD有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线CD是圆O的切线。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OBD中，边OB和边OD相等，因此三角形OBD是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点D是直线CD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODC=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角DCB、角ODB和角ODC是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角DCB + 角ODB + 角ODC = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OBD中，边OB和边OD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBD = ∠ODB。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "角BOD是三角形的一个外角，角OBD和角ODB是与外角COD不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角COD等于不相邻的两个内角OBD和ODB之和，即角COD = 角OBD + 角ODB。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形OBD的一个内角为∠BOD，延长该内角的相邻边OB和OD形成的角∠COD称为内角∠BOD的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4039.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,BP是⊙O的切线,AP与⊙O交于点C,点D为弧{BC}上一点,若∠P=40°,则∠ADC等于()", "answer": "40°", "process": "1. 连接BC，根据题意，PB是圆O的切线。

2. 由于直线PB是切线，根据切线垂直于经过切点的半径定理，PB垂直于AB，因此∠ABP=90°。

3. 由于AB是圆O的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°。

4. 在△ABC中，有∠ABC + ∠BAC = 90°。

5. 在△ABP中，有：∠P + ∠BAC = 90°。

6. 因此，得到∠ABC=∠P=40°。

7. 由于点D在圆O的弧BC上，根据圆周角定理推论1，∠ADC = ∠ABC。

8. 因此，∠ADC=40°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。角ABC的顶点B在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。角ADB是一个圆周角。角ADC的顶点D在圆周上，角ADB的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠ABP=90°。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆O中，弧AC对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AC相对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等，即∠ABC = ∠ADC。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4128.png", "question": "如图,PA、PB是⊙O的切线,点A和B是切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=50°,则∠ACB的大小是()", "answer": "65°", "process": "1. 已知PA、PB是⊙O的切线，点A和B是切点，连接OA、OB和OC。

2. 由##圆的切线性质##，得出OA垂直于PA，OB垂直于PB，因此∠OAP=∠OBP=90°。

3. 在四边形OAPB中，四边形内角和为360°，则∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-50°=130°。

4. 因为####OB=OC，所以三角形OCB是等腰三角形，∠OCB=∠OBC。

5. 由##三角形的外角定理##，在三角形OCB中，∠AOB=∠OCB+∠OBC，得∠130°=2×∠OCB。

6. 解该方程，得∠OCB=∠OBC=65°。

7. ####即∠ACB=65°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AC是直径，连接了圆心O和圆周上的A、C两点，长度为2倍的半径，即AC = 2 * OA。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OCB中，边OB和边OC相等，因此三角形OCB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A和B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OAP=90度和∠OBP=90度。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形OAPB中，角OAP、角OBP、角P和角AOB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角OAP + 角OBP + 角P + 角AOB = 360°。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形OCB中，角AOB是三角形的一个外角，角OCB和角OBC是与外角AOB不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AOB等于不相邻的两个内角OCB和OBC之和，即角AOB = 角OCB + 角OBC。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形OBC的一个内角为∠BOC，延长该内角的相邻边OC和OB形成的角∠AOB称为内角∠BOC的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4184.png", "question": "如图,直线AB与⊙O相切于点A,⊙O的半径为2,若∠OBA=30°,则AB的长为()", "answer": "2√{3}", "process": "1. 已知直线AB与⊙O相切于点A，根据切线垂直于半径的性质，得出∠OAB=90°##，因此，三角形OAB为直角三角形##。

2. 因为已知∠OBA=30°，以及OA=2。

3. 根据####正切函数，可以得出tan∠OBA = OA / AB。

4. 将已知条件代入，得到tan 30° = 2 / AB。

5. 因为tan 30° = √3 / 3，将它代入方程，得到√3 / 3 = 2 / AB。

6. 解该方程，得到AB = 2√3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为2√3。", "elements": "切线; 直角三角形; 圆; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB是直角（90度），因此三角形OAB是一个直角三角形。边OA和边AB是直角边，边OB是斜边。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线AB与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAB=90°。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题图中，直角三角形OAB中，角∠OBA是锐角，边OA是角∠OBA的相对直角边，边AB是角∠OBA的相邻直角边，所以角∠OBA的正切值等于边OA的长度除以边AB的长度，即tan(∠OBA) = OA / AB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4141.png", "question": "如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是()", "answer": "40°", "process": "1. 连接OC。根据圆周角定理，∠AOB=2∠ACB。从题中给出的条件可以确定，∠ACB = 90°，因此∠AOB = 2 * 90° = 180°。

2. 根据已知条件，∠A = 25°，通过圆周角定理，∠COD = 2∠A，因此∠COD = 2 * 25° = 50°。

3. 由于CD是⊙O的切线，依切线垂径定理，OC垂直于CD，即∠OCD = 90°。

4. 在△COD中，根据内角和定理，有∠COD + ∠OCD + ∠D = 180°。将具体已知条件代入，可得50° + 90° + ∠D = 180°，

5. 通过简化，∠D = 180° - 140° = 40°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆 O 中，角 ACB 的顶点 C 在圆周上，角 ACB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B。因此，角 ACB 是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧ACB与弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。圆O中，点A、B、C在圆上，劣弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆⊙O中，点C是直线CD与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCD=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在△COD中，结合三角形内角和定理，有∠COD + ∠OCD + ∠D = 180°。根据已知条件，∠COD = 50°，∠OCD = 90°，因此50° + 90° + ∠D = 180°，最终解得∠D = 40°。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4170.png", "question": "如图,点A,B,C是⊙O上的三点,直线CD与⊙O相切于点C,若∠DCB=40°,则∠CAB的度数是()", "answer": "40°", "process": "1. 已知直线CD与⊙O相切于点C，根据##圆的切线性质##，得到∠OCD=90°。

2. 由已知条件∠DCB=40°，##得到∠OCB=∠OCD-∠DCB=90°-40°=##50°。

3. 由于CO=BO，根据等腰三角形的性质，得到∠OBC=50°。

4. 通过##三角形内角和定理##，得到∠COB=180°-∠OBC-∠OCB=180°-50°-50°=80°。

5.##根据圆周角定理，可得∠CAB=1/2∠COB##

6. 计算得到∠CAB=##1/2##×80°=40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 三角形的外角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点C是直线CD与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCD=90°。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OCB中，边CO和边BO相等，因此三角形OCB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "角COB、角OCB和角OBC是三角形COB的三个内角，根据三角形内角和定理，角COB + 角OCB + 角OBC = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，劣弧CB对应的圆心角为∠COB，圆周角为∠CAB。根据圆周角定理，∠CAB等于它所对的劣弧CB所对应的圆心角∠COB的一半，即∠CAB = 1/2 ∠COB。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角CAB的顶点 (点A) 在圆周上，角CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B。��此，角CAB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4107.png", "question": "如图,AB是圆O的直径,DB,DC分别切圆O于点B,C,若∠ACE=25°,则∠D的度数是()", "answer": "50°", "process": "1. 连接BC, 根据题意，DB和DC分别切圆O于点B和点C。

2. 根据切线的性质，切线与半径的夹角是直角，故∠DBO=90°和∠DCO=90°。

####

##3##. 题目给出∠ACE=25°，又因为AB是直径，##所以根据圆周角定理推论2，在直径所对的圆周角是90°，因此∠ACB=90°。##

##4. 所以∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=90°，所以∠ACE=∠BCO。##

5. 根据题意 ##OC和OB都是圆O的半径，即OC=OB，所以三角形OBC是一个等腰三角形，并且∠OBC=∠BCO=∠ACE，##∵∠ACE=25°，∴∠ABC=25°。

####

##6##. 由三角形内角和定理可知，在△ABC中，有∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

##7##. 代入已知条件，得∠BAC+25°+90°=180°，所以∠BAC=65°。

##8##. 根据##∠DBO=90°##，得∠DBC=90°-∠ABC。

##9##. 代入已知条件，得∠DBC=90°-25°=65°。

####

##10. 根据切线长定理，得到DB=DC，所以∠BDC=∠DCB。##

##11##. 由于在三角形BDC中，##根据三角形内角和定理##，得∠BDC=180°-2×∠DBC。

##12##. 代入已知条件，得∠BDC=180°-2×65°=50°。

##13##. 经过上述推理，最终得出答案为∠D=50°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是直线DB和直线DC与圆的切点，线段OB和线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线DB与经过切点B的半径OB垂直，即∠DBO=90度；切线DC与经过切点C的半径OC垂直，即∠DCO=90度。"}, {"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。", "this": "从圆外一点D引圆的两条切线DB和DC，它们的切线长相等，即DB=DC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。##"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆周角ACB是90度，所以它所对的弦AB是直径。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。在三角形BDC中，角D、角DBC和角DCB是三角形BDC的三个内角，根据三角形内角和定理，角D + 角DBC + 角DCB = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形BDC中，边BD和边DC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角DBC = 角DCB。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形BCD中，边DB和边DC相等，因此三角形BCD是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4193.png", "question": "如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,点E是⊙O上一点,且∠AEB=60°,则∠P=()", "answer": "60°", "process": "1. 已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，且点E是⊙O上的一点，∠AEB=60°。

2. 连接OA, OB。根据圆周角定理，圆心角∠AOB是其所属的圆周角∠AEB的两倍，所以∠AOB=2∠AEB=2×60°=120°。

3. 由于切线与半径垂直，所以∠OAP=90°和∠OBP=90°。

4. 在四边形OAPB中，内角和等于360°，其中两个角∠OAP和∠OBP均为90°。

5. 因此，∠P + ∠AOB = 180°（四边形内角和定理）。

6. 代入已知条件，得到∠P + 120°= 180°。

7. 解得∠P=180°-120°=60°。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为∠P=60°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角AEB的顶点E在圆周上，角AEB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角AEB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、E在圆上，弧AB与弧BE对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠AEB。根据圆周角定理，∠AEB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠AEB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90°。同理，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径，所以切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形OAPB中，角OAP、角OBP、角AOB和角P是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角OAP + 角OBP + 角AOB + 角P = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4009.png", "question": "如图,在⊙O中,AD,CD是弦,连接OC并延长,交过点A的切线于点B,若∠ADC=25°,则∠ABO的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知∠ADC=25°。通过延长线OC以交过点A的切线于点B，并连接OA。

2. 由圆周角定理可知，圆周角的度数等于对应圆心角的度数的一半，即∠AOC=2×∠ADC = 2×25° = 50°。

3. 根据圆的切线性质，当直线切于圆且切点为A时，切点的切线与通过切点的半径垂直。因此我们可以得出∠OAB=90°。

4. 在ΔOAB中，利用内角和定理，我们有：∠OAB + ∠ABO + ∠AOB = 180°。其中∠OAB = 90°和∠AOB = ∠AOC = 50°。

5. 由步骤4的方程可知：90° + ∠ABO + 50° = 180°。

6. 整理步骤5的方程，得出：∠ABO = 180° - 90° - 50° = 40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 弦; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、D、C在圆上，劣弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠AOC等于它所对的劣弧AC所对应的圆周角∠ADC的两倍，即∠AOC = 2 × ∠ADC。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点A是直线AB与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAB=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形 OAB 中，角 ∠OAB、角 ∠AOB 和角 ∠ABO 是三角形 OAB 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 ∠OAB + 角 ∠AOB + 角 ∠ABO = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4201.png", "question": "如图,PA、PB是⊙O的切线,AC是⊙O直径,∠c=55°,则∠APB等于()", "answer": "70°", "process": "1. 已知PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径。##连接OB，根据圆的切线性质##，得出∠OAP=∠OBP=90°。

2. 根据已知∠C=55°，且OC=OB，因此在等腰三角形OCB中，底角相等，则∠OBC=∠OCB=55°。

3. 通过直径在圆周上所对的角是直角的性质，得到∠ABC=90°。

4. 由步骤2中的结论，可以计算出∠AOB：在##△OBC##中，∠AOB作为外角，由##∠OCB##和##∠OBC##的和组成，其中∠AOB=∠OBC + ∠OCB=55° + 55°=110°。

5. 在四边形AOBP中，内角和为360°。由于∠OAP=90°和∠OBP=90°，因此∠AOB + ∠APB=180°。

6. 根据步骤4的结论，得∠APB=180° - ∠AOB=180° - 110°=70°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点，分别是点A和点B，这些公共点叫做切点。因此，直线PA和PB是圆O的切线。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AC是直径，连接了圆心O和圆周上的A、C两点，长度为2倍的半径，即AC = 2 * OA。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OCB中，边OC和边OB相等，因此三角形OCB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。同理，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AC所对的圆周角∠ABC是直角（90度）。##"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "在本题图中，等腰三角形OCB中，边OC和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OCB = 角OBC。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形OBC中，角AOB是三角形的一个外角，角OBC和角OCB是与外角AOB不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AOB等于不相邻的两个内角OBC和OCB之和，即角AOB = 角OBC + 角OCB。##"}, {"name": "四边形内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形AOBP中，角OAP、角OBP、角P和角AOB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角OAP + 角OBP + 角P + 角AOB = 360°。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形OBC的一个内角为∠BOC，延长该内角的相邻边OC和OB形成的角∠AOB称为内角∠BOC的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4224.png", "question": "如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P=70°,则∠C为()", "answer": "55°", "process": "1. 已知直线PA、PB分别与圆O相切于点A、B，根据切线垂直定理，圆O的切线垂直于过切点的半径，连接OA、OB得到OA垂直于PA，OB垂直于PB。

####

##2.## 在四边形PAOB中，##四边形的内角和为360°。##

##3.## 因为OA垂直PA，OB垂直PB，因此∠PAO=90°，∠PBO=90°。

##4.## 由于∠P=70°，可得出∠AOB = 180° - ∠P = 110°。

##5.## C点在圆O上，因此根据圆周角定理，圆心角AOB所对应的弧的圆周角∠ACB应为∠AOB的一半。

##6.## 因∠AOB=110°，所以∠ACB = ∠AOB / 2 = 55°。

##7.## 经过上述推理，最终得出答案为∠ACB=55°。", "elements": "圆; 切线; 普通三角形; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线PA是圆O的切线。同理，圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线PB是圆O的切线。##"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360", "this": "在本题图中，四边形PAOB中，∠P，∠A，∠B，∠AOB是四边形四个内角，根据定理，四个内角和为360°，即∠P+∠A+∠B+∠AOB=360°。##"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。同理，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度。####"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧BA对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4239.png", "question": "直线AB与⊙O相切于点A,如图,若∠OBA=60°,AB=1,则⊙O的半径为()", "answer": "√{3}", "process": "1. 已知直线AB与⊙O相切于点A，根据##圆的切线性质##，得出OA垂直于AB##，所以∠OAB=90°，根据直角三角形的定义，得出△OBA是直角三角形。##

2. 由于∠OBA=60°，并且OA垂直于AB，因此##根据三角形内角和定理，##在△OBA中，∠BOA=##180°-∠OBA-∠OAB=180°-60°-90°=30°##。

3. ##根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB是30°角BOA的对边，是斜边OB的一半，已知AB=1，所以OB=2*AB=2。##

4. 由于OA垂直于AB，并且OA是O到AB的垂直距离，在直角三角形OAB中，依据勾股定理得出##OA=√(OB^2-AB^2)=√(2^2-1^2)=√3##。

5.综上所述，⊙O的半径为##√3##。", "elements": "切线; 直角三角形; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB是直角（90度），因此三角形OAB是一个直角三角形。边OA和边AB是直角边，边OB是斜边。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线AB与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAB=90°。##"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形OAB中，角BOA是30度，角OBA是60度，角OAB是90度。边OB是斜边，边AB是30度角所对的边，边OA是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB等于边OB的一半，边OA等于边AB的√3倍。即：AB=1/2*OB，OA= AB*√3。##"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形OAB中，角OAB是直角（90度），边OA和AB是直角边，边OB是斜边，所以根据勾股定理，OB^2 = OA^2 + AB^2。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OAB中，角OAB、角OBA和角BOA是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角OBA + 角BOA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4234.png", "question": "如图,线段AB是⊙O的直径,点C、D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于()", "answer": "20°", "process": "1. 已知线段AB是⊙O的直径，连接OC. 由于过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，根据##圆的切线性质##，得∠OCE=90°。

2. 再已知∠E=50°，则根据∠OCE=90°及##三角形的内角和为180°##，得∠COE==180°-∠OCE-∠E=180°-90°-50°=40°。

3. 根据圆周角定理，圆周角是其所对应的圆心角的一半，所以∠CDB= ##1/2 ##∠COE。

4. 由此可以得到∠CDB=##1/2 ##×40°=20°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDB=20°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线CE有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线CE是圆O的切线。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角CDB的顶点D在圆周上，角CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角CDB是一个圆周角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点C是直线CE与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CE与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCE=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OCE中，角OCE、角E和角COE是三角形OCE的三个内角，根据三角形内角和定理，角OCE + 角E + 角COE = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点C、D在圆上，弧BC和弧BCA对应的圆心角为##∠COB##，圆周角为∠CDB##和∠BAC##。根据圆周角定理，∠CDB等于它所对的弧CD所对应的圆心角##∠COB##的一半，即∠CDB = 1/2 ##∠COB##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4283.png", "question": "如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD．若∠BAC=55°,则∠COD的大小为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知AC是⊙O的切线，且切点为C，根据切线垂直于经过切点的半径，得出∠ACB=90°。

2. 由题设条件，已知∠BAC=55°。

3. 根据三角形内角和定理，对于##三角形ABC##，有∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，因此∠ABC=180° - ∠BAC - ∠ACB。

4. 代入已知值∠BAC=55°和∠ACB=90°，得∠ABC=180° - 55° - 90° = 35°。

5. 根据圆周角定理，##弧DC##所对的圆心角##∠COD##是其所对的圆周角∠B的2倍，因此有##∠COD##=2×##∠ABC##。

6. 代入∠ABC=35°，得##∠COD##=2×35°=70°。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 圆心角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线AC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线AC是圆O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点C和点B是圆上的任意一点，线段OC和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OC和线段OB是圆O的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，BC是直径，连接了圆心O和圆周上的B、C两点，长度为2倍的半径，即BC = 2 * r。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角DBC的顶点B在圆周上，角DBC的两边分别与圆O相交于点D和点C。因此，角DBC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "点D和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OC组成的角∠DOC称为圆心角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点C是直线AC与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AC与经过切点C的半径OC垂直，即∠ACB=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ACB和角ABC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ACB + 角ABC = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点B、C、D在圆上，弧DC对应的圆心角为∠DOC，圆周角为∠DBC。根据圆周角定理，∠DBC等于它所对的弧DC所对应的圆心角∠DOC的一半，即∠DBC = 1/2 ∠DOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4264.png", "question": "如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B,则PB的最小值是()", "answer": "√{5}", "process": "1. 已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3。作OP′垂直于直线l于点P′，则OP′=3。

2. 连结OB，并注意到切线的性质，切线垂直于经过切点的半径，故∠PBO=90°。

3. 根据直角三角形OBP的性质，应用勾股定理，##得出PB=√(OP^2-OB^2)=√(OP^2-2^2)##。

4. 当点P在直线l上运动到点P′位置时，OP的长度最小，即为3，此时PB也最小。

5. 代入OP=3，计算得PB的最小值为√(##3^2##-##2^2##)=√5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为√5。", "elements": "圆; 切线; 垂线; 直线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆O的半径，长度为2。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠PBO=90°。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "△OBP是直角三角形，其中∠PBO=90°，斜边为OP，两直角边为OB和PB，根据勾股定理，##OP^2 = OB^2 + PB^2##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4149.png", "question": "如图,点P是⊙O的直径AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PC,切点为C,若AO=OB=PB=1,则PC的长是()", "answer": "√{3}", "process": "1. 已知点P在⊙O的直径AB延长线上，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，根据切线的性质，切线PC与经过切点C的半径OC垂直。因此连接OC，得OC⊥PC。

2. 根据题意，OC=OB=1，且点P在直径AB的延长线上，故OP=OB+PB=1+1=2。

3. 在直角三角形△OPC中，OC是直角边，##PC##是另一个直角边，因此根据勾股定理，有OP^2=OC^2+PC^2。

4. 代入已知条件，OP=2，OC=1，得到2^2=1^2+PC^2。

5. 解方程得到PC^2=4-1=3，因此PC=√3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为√3。", "elements": "圆; 切线; 直角三角形; 直线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线PC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线PC是圆O的切线。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，线段AB是通过圆心O，并且A和B两点都在圆O上，因此AB是圆O的直径，长度为2倍的半径，即AB = 2 * AO。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段AO和线段OB是从圆心O到圆上任意一点的线段，因此线段AO和线段OB是圆O的半径，并且AO=OB##=OC##=1。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点C是直线PC与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PC与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCP=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "△OPC是一个直角三角形，直角边OC和PC，斜边是OP。根据勾股定理，有OP^2=OC^2+PC^2。代入已知条件，OP=2，OC=1，得到2^2=1^2+PC^2，解得PC=√3。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OCB中，角OCP是直角（90度），因此三角形OCP是一个直角三角形。边OC和边CP是直角边，边OP是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4295.png", "question": "如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是AB延长线的一点,CD与半圆相切���点D。若AB=6,CD=4,则sin∠C的值为()", "answer": "\\frac{3}{5}", "process": "1. 已知AB是半圆的直径且AB=6，根据##直径的定义##，得出半径OD=3。

2. 根据已知CD与半圆相切于点D，依据切线的性质，得出∠CDO=90°。

3. 根据直角三角形定义和勾股定理(直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和)，有OC=√(CD^2 + OD^2) = √(4^2 + 3^2) = 5。

4. 在直角三角形CDO中，根据##正弦函数定义##，sin(∠C) = 对边OD / 斜边OC = 3 / 5。

5. 经过上述推理，最终得出sin∠C的值为3/5。", "elements": "切线; 直角三角形; 正弦; 圆; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段AB是半圆的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * 半径。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点D是圆上的任意一点，线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OD是圆的半径。根据AB是直径且AB=6，半径OD等于直径的1/2，即OD=3。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形CDO中，角∠CDO是直角（90度），因此三角形CDO是一个直角三角形。边CD和边OD是直角边，边CO是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形CDO中，角∠DCO是锐角，边OD是角∠DCO的对边，边OC是斜边。根据正弦函数定义，角∠DCO的正弦值等于对边OD与斜边OC的比值，即sin(∠DCO) = OD / OC = 3 / 5。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，三角形CDO是直角三角形，∠CDO = 90°。边OD与CD是直角边，边OC是斜边，根据勾股定理，有OC^2 = OD^2+ CD^2，即OC = √(3^2 + 4^2) = 5。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点D是直线CD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠CDO=90度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4188.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径。根据##圆的切线性质##，得出AC垂直AB，即∠CAB=90°。

2. 已知∠C=70°，由三角形的内角和定理，在△ABC中，得出∠ABC=20°。

##3,根据圆周角的定理可知，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，∠ABC是弧AD的圆周角，∠AOD是弧AD的圆心角，所以∠AOD=2*∠ABC=40°##

####

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为∠AOD=40°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 切线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线AC有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AC是圆O的切线。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°。其中，已知角CAB=90°，角BCA=70°，所以角ABC=20°。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线AC与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AC与经过切点A的半径OA垂直，即∠CAB=90°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、D在圆上，弧AD与弧ABD对应的圆心角为∠AOD，圆周角为∠ABD。根据圆周角定理，∠ABD等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOD的一半，即���ABD = 1/2 ∠AOD。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OD组成的角∠AOD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABD的顶点(点B)在圆周上，角ABD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角ABD是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4334.png", "question": "如图,两个同心圆的直径分别为6cm和10cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为()", "answer": "8cm", "process": "1. 作线段OC垂直于线段AB于点C，并连结OA，根据题意如图所示。

2. 由于弦AB与小圆相切，因此OC为小圆半径的长度，即OC=3cm。

3. 在直角三角形OAC中，根据已知条件，OA为大圆的半径，即OA=5cm，而垂线OC上OC=3cm。

4. 根据勾股定理，在直角三角形OAC中，AC的长度可以通过计算即AC=√(OA^2 - OC^2)=√(5^2 - 3^2)=√(25 - 9)=√16=4cm。

5. 由于OC垂直于AB，且AB被OC平分，因此AC=BC。

6. 由此得出，弦AB的长度为AB=2AC=2×4=8cm。", "elements": "弦; 切线; 垂线; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "点A和点B是大圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是大圆的弦。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "小圆与直线AB有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是小圆的切线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAC中，角OCA是直角（90度），因此三角形OAC是一个直角三角形。边OC和边AC是直角边，边OA是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，应用于直角三角形OAC，根据勾股定理，有OA^2 = OC^2 + AC^2，其中OA为大圆的半径，OC为小圆的半径，AC为直角边之一，因此OA=5cm，OC=3cm，由此可以求得AC=√(5^2 - 3^2)=√(25 - 9)=√16=4cm。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "OC垂直于弦AB，且OC通过圆心O，因此OC是AB的中垂线，且OC平分AB。根据垂径定理，AC=BC，弦AB的长度为2倍的AC，即AB=2×AC=2×4=8cm。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4403.png", "question": "如图,直线BC与⊙O相切于点A,AD是⊙O的弦,连接OD,若∠DAC=50°,则∠ODA的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知直线BC与圆O相切于点A，根据切线的性质，切线与切点处的半径垂直，得出OA垂直于BC。

2. 因此，角OAC是直角，∠OAC = 90°。

3. 由于已知∠DAC = 50°，####，得出∠OAD = ∠OAC - ∠DAC = 90° - 50° = 40°。

4. 因为OA = OD （半径相等），所以三角形OAD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，其底角相等，因此∠ODA = ∠OAD = 40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 切线; 弦; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线BC有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线BC是圆O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点D是圆上的任意一点，线段OA和线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OD是圆的半径。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点A和点D是圆上的任意两点，线段AD连接了这两个点，所以线段AD是圆O的弦。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OA和边OD相等（同为圆O的半径），因此三角形OAD是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线BC与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线BC与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAC=90度。##"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAD中，边OA和边OD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ODA = ∠OAD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4390.png", "question": "如图,PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,若∠OAB=30°,则∠P的度数为()", "answer": "60°", "process": "1. 已知∠OAB=30°，##因为OA与OB都是圆O的半径，也就是OA=OB，所以三角形OAB是一个等腰三角形。根据等腰三角形的性质，可知∠OAB=∠OBA=30°，根据三角形内角和定理，可得∠AOB=180°-2×30°=120°。####

2. 又因为PA和PB是圆⊙O的切线，根据##圆的切线性质##，得∠OAP=∠OBP=90°。####

3. 在四边形OAPB中，内角和为360°，由此可以得到∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°。", "elements": "切线; 等腰三角形; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆⊙O中，点A和点B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OAP=90°和∠OBP=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角ABO + 角AOB = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形OABP，角AOB、角OAP、角OBP和角P是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角AOB + 角OAP + 角OBP + 角P = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4400.png", "question": "如图,PA,PB是⊙O是切线,A,B为切点,AC是O的直径,若∠BAC=25°,则∠P为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知PA, PB为⊙O的切线，且A, B为切点，根据切线的性质可得，∠OAP和∠OBP为90°。

2. 由于OA和OB是圆的半径，因此OA=OB##，所以三角形OAB是一个等腰三角形##。

3. ##根据等腰三角形的性质可得：∠OAB=∠OBA##。

4. 根据已知条件∠BAC=25°，可得∠BAO=##∠OBA=25°##。

5. ##在三角形OAB中，根据三角形的内角和是180°可得##：∠AOB=180° - 2×∠BAC = 180° - 2×25° = 130°。

6. 由上面推理得到：##∠OAP## = ∠OBP = 90°，并且∠AOB=130°。

7. 因为四边形AOBP内角和为360°，所以得：∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 等腰三角形; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AC是圆O的直径，AC通过圆心O并且连接了圆周上的A、C两点，长度为2倍的半径，即AC = 2 * OA。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点A和B，这个公共点叫做切点。因此，直线PA和PB是圆O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA和PB与经过切点A和B的半径OA和OB垂直，即∠OAP=90°和∠OBP=90°。##"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角AOB、角OAB和角OBA是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角AOB + 角OAB + 角OBA = 180°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形OAPB中，角AOB、角P、角OAP和角OBP是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角AOB + 角P + 角OAP + 角OBP = 360°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3967.png", "question": "如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于()", "answer": "27°", "process": "1. 已知PA切⊙O于点A，根据##圆的切线性质##得出∠OAP=90°。

2. 由∠P=36°以及步骤1中的结论∠OAP=90°，##在三角形AOP中，## 依据三角形的内角和定理，得到∠AOP=##180°-∠OAP-∠P=180°-90°- 36° = 54°##。

####

##3. 在圆O中，根据圆周角定理可得，劣弧AC所对圆周角∠ABC是其所对圆心角∠AOC的一半，也就是∠AOC= 2∠ABC。##

##4##. 根据##步骤3##中的结论和步骤2中的计算##∠AOC=##∠AOP=54°，我们可以##得出∠ABC=1/2 ∠AOC##。

##5##. 将角度计算结果代入公式中，便可得知∠B = ##54°/2## = 27°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为27°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是⊙O的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆⊙O中，点B和点C是圆上的任意两点，线段BC连接了这两个点，所以线段BC是圆⊙O的弦。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线PA是圆⊙O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OPA中，角∠OAP、角∠OPA和角∠AOP是三角形OPA的三个内角，根据三角形内角和定理，∠OAP + ∠OPA + ∠AOP = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧CB对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的劣弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点���圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4406.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,CD切于点D,AB的延长线交CD于点C,若∠ACD=40°,则∠A=()", "answer": "25°", "process": "1. 如图，连接 OD。

2. 已知 ##OD## 是⊙O的##半径##，CD 切于点D，因此根据##圆的切线性质##，得到 ∠CDO=90°。

3. 已知∠ACD=40°，所以根据##三角形内角和定理##，可得##∠BOD=##∠COD=##180°-##90°-∠ACD=50°。

4. ##因为点A在圆周上，根据圆周角的定义##，所以∠A 是圆周角，对应的圆心角是##∠BOD##。

5. 圆周角是所对应圆心角的一半，因此根据圆周角定理，∠A=##1/2∠BOD##=25°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "点O是圆心，点D是圆上的任意一点，线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OD是圆的半径。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙O与直线CD有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线CD是圆⊙O的切线。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的∠BOD称为圆心角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点D是直线CD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠CDO=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ODC中，角ODC、角OCD和角COD是三角形ODC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ODC + 角OCD + 角COD = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、D在圆上，####弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4268.png", "question": "如图,PA、PB、CD是⊙O的切线,A、B、E是切点,CD分别交线段PA、PB于C、D两点,若∠APB=40°,则∠COD的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 由题意得，##在圆O上和圆O外##，分别取点A、C、E、D、B，如图所示。

2. ##连接OA、OB和OE，##根据切线的性质得：OA垂直于PA，OB垂直于PB，OE垂直于CD。

3. 由于PA和PB是切线，A和B是切点，##根据切线长定理，##所以有：DB=DE 且 AC=CE。

4. 因##点O是圆心##，且##过点O##在切点处的半径相等：####AO=OE=OB，

5. 由上述已知条件，以及在##图##中三角形的全等性，得出：△AOC全等于△EOC（##依据全等三角形判定定理(SSS)##）

6. 在相同的基础条件下，△EOD全等于△BOD（##依据全等三角形判定定理(SSS)##）

7. 因此得出：∠AOC=∠EOC 且 ∠EOD=∠BOD，##因为∠AOB=∠AOE+∠BOE=2∠EOC+2∠EOD，而∠COD=∠EOC+∠EOD，##进一步可以推导出∠COD就是∠AOB的一半。

8. 由题给已知条件∠APB=40°，而##在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理得##∠AOB = 360° - ∠OAP - ∠OBP -∠APB = 360° - 90° -90° -40° = 140°##。

9. 由此可得出：由于∠COD=0.5*∠AOB，因此∠COD = 0.5 * 140° = 70°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "圆; 切线; 圆心角; 等腰三角形; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线PA、PB和CD有且只有一个公共点A、B和E，这些公共点叫做切点。因此，直线PA、PB和CD是圆O的切线，且OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "三角形AOC和三角形EOC是全等三角形，三角形AOC的对应边和对应角与三角形EOC相等，即： 边AO = 边EO, 边CO = 边CO, 边AC = 边EC,同时，对应的角也相等： 角OAC = 角OEC, 角AOC= 角EOC, 角ACO = 角ECO。三角形EOD和三角形BOD是全等三角形，三角形EOD的对应边和对应角与三角形BOD相等，即： 边EO = 边BO, 边DO = 边DO, 边DE = 边DB,同时，对应的角也相等： 角OED = 角OBD, 角EOD= 角BOD, 角EDO = 角BDO。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SSS)", "content": "两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形AOC和三角形EOC中，边AO与边EO相等，边CO与边CO相等，边AC与边EC相等，因此根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。三角形EOD和三角形BOD中，边EO与边BO相等，边DO与边DO相等，边DE与边DB相等，因此根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。类似地，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度。点E是直线CD与圆的切点，线段OE是圆的半径，切线CD与经过切点E的半径OE垂直，即∠OEC=90度。##"}, {"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角", "this": "从圆外一点C引圆的两条切线CA和CE，它们的切线长相等，即CA=CE。圆心O和这一点C的连线平分两条切线CA和CE的夹角，即角OCA=角OCE。从圆外一点D引圆的两条切线DE和DB，它们的切线长相等，即DE=DB。圆心O和这一点D的连线平分两条切线DE和DB的夹角，即角ODE=角ODB。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°", "this": "在本题图中，四边形PAOB中，角AOB、角OAP、角OBP和角APB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角AOB + 角OAP + 角OBP + 角APB = 360°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4364.png", "question": "如图,AP、BP分别切⊙O于点A、B,∠P=60°,点C在优弧AB上,则∠C度数为()", "answer": "60°", "process": "1. 已知AP、BP分别切⊙O于点A、B，根据##圆的切线性质##，得出∠OAP=90°，∠OBP=90°。

2. 根据四边形APBO的内角和定理（四边形内角和等于360°），得出∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP。

3. 代入已知条件∠P=60°、∠OAP=90°、∠OBP=90°，计算得出∠AOB=120°。

4. 根据圆周角定理（圆周角等于圆心角的一半），得出∠ACB=0.5 * ∠AOB。

5. 代入数值∠AOB=120°，计算得出∠ACB=60°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆⊙O与直线AP有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AP是圆⊙O的切线。同理，圆⊙O与直线BP有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线BP是圆⊙O的切线。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形APBO中，∠P、∠OAP、∠OBP和∠AOB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即∠P + ∠OAP + ∠OBP + ∠AOB = 360°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是是直线AP与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AP与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4473.png", "question": "如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为2的圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为()", "answer": "4π", "process": "1. 已知每个喷水池为圆形，且半径r = 2。根据圆的面积公式，单个圆的面积为π·r^2=4π。

2. 在四边形的四个角上均做有圆形喷水池，且每个圆的##阴影部分都是一个圆心角等于四边形内角的扇形，根据四边形的内角和定理，这四个扇形的圆心角之和=360°##。

3.##根据扇形的面积公式，合并同类项，得阴影部分的面积=1个圆的面积。##

4. 根据步骤1，单个圆的面积为####4π。

5. 综合上述推理，这四个圆形喷水池占去的绿化园地的总面积为4π。", "elements": "圆; 弧; 普通四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆形喷水池的半径是2，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径2的平方，即A = π·2^2= 4π。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r?计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "在本题图中，阴影扇形A中，圆心角A的度数为θ，半径的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r?计算，其中角A是圆心角度数，r是半径，长度为2。所以扇形A的面积A = (角A/360) * π * 2?，同理可以得到阴影扇形B，C，D的面积，合并同类项后得到，四个扇形的面积和={(角A+角B+角C+角D）/360}* π * 2? = (360/360）* π * 2?= π * 2?=4π。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，设四边形的四个顶点分别为A，B，C，D，在四边形ABCD中，角A，角B，角C，角D是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角A + 角B + 角C + 角D = 360°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4369.png", "question": "如图,P是⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,∠P=50°,∠A为()", "answer": "20°", "process": "1. 连接##OC##，我们知道CP是圆O的切线，因此根据圆的切线性质得OC垂直CP##，∠OCP=90°##。

2. 在直角三角形OPC中，##根据三角形内角和定理，##已知∠P=50°，##∠OCP=90°，##所以可以得到∠POC=40°。

3. 由于OA=OC，所以在△AOC中，OA=OC是边相等的等腰三角形。

4. 因此可以得出∠OAC=∠OCA。

5. 由于∠POC是△AOC的外角，根据三角形外角定理，外角等于不相邻的两个内角的和，则∠POC=2∠OCA。

6. 结合∠POC=40°，可以求得∠OCA=20°，所以∠A=20°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 对顶角; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，AB是⊙O的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线PC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线PC是圆O的切线。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形AOC中，边OA和边OC相等，因此三角形AOC是一个等腰三角形。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OPC中，角OCP是直角（90度），因此三角形OPC是一个直角三角形。边OC和边CP是直角边，边OP是斜边。####"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形AOC中，角POC是三角形的一个外角，角OAC和角OCA是与外角POC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角POC等于不相邻的两个内角OAC和OCA之和，即角POC = 角OAC + 角OCA。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点C是直线CP与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CP与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCP=90度。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OPC中，角OPC、角OCP和角COP是三角形OPC的三个内角，根据三角形内角和定理，角OPC + 角OCP + 角COP = 180°。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形OAC的一个内角为∠AOC，延长该内角的相邻边OA和OC形成的角∠POC称为内角∠AOC的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4137.png", "question": "如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C在优弧?{ACB}上,∠P=80°,则∠C的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知PA是圆的切线，根据切线垂直于经过切点的半径，得到∠OAP=90°。

2. 同理，由PB是圆的切线，根据切线垂直于经过切点的半径，得到∠OBP=90°。

3. 根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°，因此∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P。

4. 代入已知条件∠P=80°，得到∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°。

5. 根据圆周角定理，在同一圆中，同弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的两倍，因此∠ACB=∠AOB/2。

6. 代入已知条件∠AOB=100°，得到∠ACB=100°/2=50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠C=50°。", "elements": "圆周角; 圆内接四边形; 切线; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线PA是圆O的切线。同理，圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线PB是圆O的切线。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90°。同理，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形OAPB中，角OAP、角OBP、角P和角AOB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即∠OAP + ∠OBP + ∠P + ∠AOB = 360°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "弧ACB所对的圆心角是∠AOB，且∠AOB对应的度数是100°。根据圆周角定理，∠ACB等���它所对的弧ACB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB = 50°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4145.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切,切点为D,如果∠A=35°,那么∠C=()", "answer": "20°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，##连接OD和BD。##

2. 因为点C在AB的延长线上，且CD与⊙O相切，在D点切线CD与⊙O相切，因此根据切线的性质，切点D处的切线与半径OD垂直，因此∠ODC=90°。

3. ##根据圆周角定理∠COD##=2∠A=2×35°=70°。

4. 在####三角形ODC中，已知∠ODC=90°，##∠COD=70°##，因此可以通过三角形的内角和定理得出##∠C##=180°-∠ODC-##∠COD##=180°-90°-70°=20°。

5. 经过上述推理，最终得出∠C=20°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 邻补角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是⊙O的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙O与直线CD有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线CD是圆⊙O的切线。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ODC中，角ODC、角OCD和角COD是三角形ODC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ODC + 角OCD + 角COD = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、D在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠A。根据圆周角定理，∠A等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠A= 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点D是直线CD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODC=90度。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4424.png", "question": "如图,△ABC中,AB=AC,∠BA0=45°,△ABC内接于⊙O,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交BC的延长线于E,若DE⊥BC,AD=2√{2},则DE的长为()", "answer": "√{2}", "process": "1. 已知AB=AC，∠BAO=45°。由于AB=AC，可以得出AH=CH，并且AH过圆心O。

2. 过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E，已知DE垂直于BC。

3. 连接OC, OD，由DE是⊙O的切线，可知OD垂直于DE。

4. 考虑由OD和DE的垂直关系，同时考虑DE垂直于BC，因此四边形ODEH是矩形，其中∠OHE=∠E=∠EDO=90°。

5. 由于四边形ODEH是矩形，所以∠AOD=90°。

6. 已知AD=2√2，因此根据矩形的对角线性质，OA=OD=2。

7. 已知∠BAC=45°，由于AB=AC，故△ABC是等腰三角形，∠COH=45°。

8. 由于O是圆O的圆心，因此OC=半径OA=2。

9. 由OC=2和∠COH=45°，可以计算OH=CH=√2。

10. 由于DE=OH，因此DE=√2。", "elements": "等腰三角形; 圆; 切线; 垂线; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线DE有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线DE是圆O的切线。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形ODEH是一个矩形，其内角∠OHE, ���EDO, ∠ODE, ∠HOE都是直角（90度），且边OH与边DE平行且等长，边OD与边HE平行且等长。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点D是直线DE与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线DE与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODE=90度。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "ODEH是矩形，因此对角线OE和DH相等且互相平分，即对角线OE与对角线DH的交点是两条对角线的中点。因此，线段OE等于线段DH，线段OD等于线段EH。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}, {"name": "直角三角形的斜边中线定理", "content": "在直角三角形中，从直角顶点划向斜边中点的线段等于这条斜边的一半。", "this": "直角三角形AOC中，角∠AOC是直角（90度），边AO和OC是直角边，边AC是斜边。点O是斜边AC的中点，从直角顶点A划向斜边中点O的线段AO等于斜边AC的一半，即AO = 1/2 * AC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形OHC中，角∠OHC是直角（90度），边OH和CH是直角边，边OC是斜边，所以根据勾股定理，OC² = OH² + CH²。"}, {"name": "三角形全等的条件SSS（边边边）", "content": "当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。", "this": "直角三角形ODE和直角三角形OHE中，OD=OE，OH=OE，DE=HE，因此这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4458.png", "question": "如图,BC与⊙O相切于点C,BO的延长线交⊙O于点A,连结AC,若∠ACB=120°,则∠A的度数等于()", "answer": "30°", "process": "####

##1##. 连接OC。

##2##. 由于点A在BO的延长线上，##OA=OC，根据等腰三角形的性质##得∠OAC=∠ACO####。

##3##. 由于BC与⊙O相切于点C，OC是半径，##所以##OC垂直于切线BC，即∠OCB=90°。

##4##. 已知∠ACB=120°，##所以##∠ACO=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°。

##5##. 因为∠OAC=∠ACO，所以∠A=##∠ACO##=30°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为30°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 三角形的外角; 同旁内角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙O与直线BC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线BC是圆⊙O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点C是圆上的任意一点，线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OC是圆的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "在本题图中，三角形OAC中，边OA和边OC相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。##"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆⊙O中，点C是直线BC与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线BC与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCB=90°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAC = 角ACO。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4445.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是()", "answer": "\\frac{36}{5}", "process": "1. 已知AB=15，AC=12，BC=9，根据##勾股定理的逆定理##得知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。

2. 通过构造辅助线，作过点C且与边AB相切的圆。

3. 设圆与AB的切点为D，##同时设圆心为O，连��OD，OD为半径##。

4. 根据##圆的切线性质，得出OD垂直AB，∠ODA=90°，连接CO##。

5. 当CD为圆的直径时，EF的长度最小##，所以点C、O、D在同一条直线上，因此∠CDA=90°##。

6. ##根据直角三角形的面积，可得△ABC的面积=1/2*AC*BC=1/2*12*9=54。同时，还有另一种方法可以计算三角形的面积。根据三角形的面积公式，因为CD垂直于AB，所以CD也是△ABC的高，因此△ABC的面积=1/2*AB*CD=1/2*15*CD。因为都是同一个三角形，所以1/2*15*CD=54，最后得出CD=EF=36/5##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为##36/5##。", "elements": "切线; 圆; 线段; 普通三角形; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆与直线AB有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆的切线。######"}, {"name": "勾股定理的逆定理", "content": "如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。", "this": "三角形△ABC的三边分别为AB、AC、BC，且满足AB? = AC? +BC?，则根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边AB所对的角ACB为直角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点D是直线AB与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODA=90度。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆O中，点O是圆心，点D是圆上的任意一点，线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OD是圆的半径。####"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "CD是直径，连接了圆心O和圆周上的C、D两点，长度为2倍的半径，即CD = 2OD。"}, {"name": "直角三角形的面积", "content": "直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。", "this": "直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边AC * 边BC。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。", "this": "三角形ABC中，边AC是底，线段CD是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边AC乘以高CD再除以2，即面积 = (AC * CD) / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4528.png", "question": "如图,已知a∥b∥c,AB=1,BC=2,EF=4,则DE=()", "answer": "2", "process": "1. 已知直线 a ∥ b ∥ c，且 AB = 1, BC = 2, EF = 4。

2. 根据平行线分线段成比例定理，有：\\( \\frac{AB}{BC} = \\frac{DE}{EF} \\)。

3. 代入已知条件得：\\( \\frac{1}{2} = \\frac{DE}{4} \\)。

4. 解此比例方程得 DE = 2。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 2。", "elements": "平行线; 线段; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，a ∥ b ∥ c，那么根据平行线分线段成比例定理，有：\\( \\frac{AB}{BC} = \\frac{DE}{EF} \\)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4513.png", "question": "如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,若AO=2,DO=4,BO=3,则BC的长为()", "answer": "9", "process": "1. 已知AB平行CD，根据##平行线的平行公理2##，可以得出##∠OAB = ∠ODC（内错角相等），∠OBA = ∠OCD（内错角相等）##。

2. 在##△OAB##和##△ODC##中，##∠OAB = ∠ODC，∠OBA = ∠OCD，根据相似三角形的判定定理(AA)，所以△OAB和△ODC相似##。

3. 根据##相似三角形的定义##，我们得到：##BO/CO=AO/DO##。

4. 已知AO=2, DO=4, BO=3，依公式：##3/CO=2/4##，可解得：CO=6。

5. 所以BC的长度为：BC=BO+CO=3+6=9。", "elements": "平行线; 内错角; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线AD截交，其中角BAD和角ADC位于两平行线之间，且在截线AD的对侧，因此角BAD和角ADC是内错角。内错角相等，即角BAD等于角ADC，同理，两条平行直线AB和CD被一条直线BC截交，其中角ABC和角BCD位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角ABC和角BCD是内错角。内错角相等，即角ABC等于角BCD。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，AB ∥ CD 和 AD 与 BC 相交于点O，根据平行线的性质，可以得到∠OAB = ∠ODC，∠OBA = ∠OCD。具体来说，AB和CD是两条平行线，被第三条直线AD和直线DC所截，形成了以下几何关系：内错角：∠OAB和 ∠ODC相等，∠OBA 和 ∠OCD相等。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "判定定理1（AA）:在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "∠OAB 和 ∠ODC是两个相等的角，∠OBA 和 ∠OCD是两个相等的角，从而△AOB 和 △COD 相似。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形OAB和三角形ODC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AOB = ∠COD, ∠BAO = ∠CDO, ∠ABO = ∠DCO；AO/DO = BO/CO。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4542.png", "question": "如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M在BC边上,且满足BM=1,过D作DN⊥AM交AM于点N,则DN的长为()", "answer": "\\frac{6}{5}√{10}", "process": "1. 已知四边形ABCD是矩形，根据矩形的定义，得出∠B=90°，并且AD=BC=4。

2. 直角△AMB中，已知AB=3，BM=1，可以用勾股定理求出AM的长。

3. 计算AM，根据勾股定理，AM=√(AB^2+BM^2)=√(3^2+1^2)=√10。

4. 由矩形定义可知，∠BAD=90°，即∠DAN+∠BAM=90°，又因为在直角△AMB中，∠AMB+∠BAM=90°，所以∠DAN=∠AMB。

5. 根据相似三角形的判定定理(AA)，可以得到△AMB相似于△DAN。

6. 根据相似三角形的定义，DN/AB=AD/AM

7. 代入已知数据，DN/3=4/√10，从而得出DN=6√10/5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6√10/5。", "elements": "矩形; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABM中，角∠ABM是直角（90度），因此三角形ABM是一个直角三角形。边AB和边BM是直角边，边AM是斜边。同样地，三角形ADN中，角∠AND是直角（90度），因此三角形ADN是一个直角三角形。边AN和边DN是直角边，边AD是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ADM中，角∠ABM是直角（90度），边AB和BM是直角边，边AM是斜边，所以根据勾股定理，AM^2 = AD^2 + DM^2，代入已知数据得AM = √(3^2 + 1^2) = √10。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形ABM和三角形AND中，如果角B等于角AND，且角DAN等于角BAM，所以三角形BAM相似于三角形AND。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADN和三角形ABM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：DN/AB=AD/AM。"}, {"name": "直角三角形的锐角互余性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "直角三角形ABM中，角B是直角（90度），角BAM和角AMB是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角BAM和角AMB的和为90度，即角BAM + 角AMB = 90°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4475.png", "question": "如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分面积是()(结果保留π)．", "answer": "2π", "process": "1. 根据题意，以点A为圆心，AD的长为半径，可以画出扇形BAD。

2. ##设AB的中点为O，##以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径，可以画出半圆BA。

3. 根据##扇形的面积公式， (θ/360) * π * R^2，因为ABCD为正方形，显然θ＝90°，S扇形BAD =πR^2/4，由于R＝AD=4，因此S扇形BAD= 4π##。

4. ##根据圆的面积公式，S半圆BA=πr^2/2，由于r＝AB/2=2，因此S半圆BA= 2π。##

5. 阴影部分的面积为扇形BAD的面积减去半圆BA的面积，即S阴影部分 =## S扇形BAD- S半圆BA = 4π - 2π = 2π##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为##2π##。", "elements": "正方形; 圆; 弧; 扇形; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "扇形BAD中，半径AD和半径AB是圆的两条半径，圆弧BD是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧BD组成的图形为扇形BAD。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆上有两点B和D，弧BD是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧BD是圆上两点B和D之间的一段曲线。##同理，另一个圆上有两点A和B，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线。##"}, {"name": "半圆的定义", "content": "半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。", "this": "在本题图中，半圆由直径AB和圆弧BA构成。以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，这个弧形成的图形即为半圆，其中半径为AB的一半（即2）且圆心为AB的中点。"}, {"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角DAB、角ABC、角BCD和角CDA均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * ##r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "在本题图中，扇形BAD中，圆心角BAD的度数为90度，半径AD的长度为4。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * ##r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形BAD的面积A = (90/360) * π * ##4^2##。##"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆O中，圆的半径是AO，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径AO的平方，即A = πxAO?。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆A中，点A是圆心，点D是圆上的任意一点，线段AD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AD是圆的半径。同理，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段AO是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AO是圆的半径。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点O。根据线段中点的定义，点O将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AO和线段OB的长度相等。即，AO = OB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4426.png", "question": "如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为()", "answer": "65°", "process": "1. 已知AB是⊙O的切线且B为切点，根据##圆的切线性质##，得出OB垂直于AB，即∠OBA=90°。

2. 由∠BAO=40°，以及∠OBA=90°，根据三角形的内角和定理，得出##∠BOA##=50°。

3. ##根据半径的定义和等腰三角形的定义，可得##OB=OC，都是⊙O的半径，三角形OBC是等腰三角形。

####

##4.## 根据等腰三角形的性质，得出∠OCB=∠OBC，#根据三角形内角和定理，可知#2∠OCB= ##180°-∠BOA##

##5.## 计算得到∠OCB=1/2 ×130°=65°。

##6.## 经过上述推理，最终得出答案为∠OCB=65°。", "elements": "圆; 切线; 直角三角形; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点B和点C是圆上的任意一点，线段OB和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB和线段OC是圆O的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OBC中，边OB和边OC相等，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点B是直线AB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBA=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OBC中，角OBC、角OCB和角BOC是三角形OBC的三个内角，根据三角形内角和定理，角OBC + 角OCB + 角BOC = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBC = ∠OCB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4591.png", "question": "如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，若\\frac{S_{\\triangleADO}}{S_{\\triangleDOC}}=\\frac{1}{3}，则 \\frac{AD}{BC} 的值为（）", "answer": "\\frac{1}{3}", "process": "1. 已知 \\frac{S_{\\triangle ADO}}{S_{\\triangle DOC}} = \\frac{1}{3}，根据面积比等于相应高的比（且高从同一个顶点向相应边所作的垂线），得 \\frac{OA}{OC} = \\frac{1}{3}。

2. 由题意 AD ∥ BC，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可知角 ∠ADO = ∠OBC 和 ∠OAD = ∠OCB。

3. 根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADO 和 △CBO 各自对应的角相等，得 △ADO ∽ △CBO。

4. 因相似三角形的对应边成比例，即 ∠ADO 和 ∠CBO 对应的边比例关系，故 \\frac{AD}{BC} = \\frac{OA}{OC} = \\frac{1}{3}。

5. 由上述比例关系，最后得出\\frac{AD}{BC} = \\frac{1}{3}。", "elements": "平行线; 普通三角形; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADO和三角形CBO是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ADO = 角CBO, 角OAD = 角OCB, 角DOA = 角BOC；AO/OC = AD/BC = 1/3。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "AD ∥ BC，被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：内错角：∠DAO = ∠OCB。AD ∥ BC，被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系：内错角：∠ADO = ∠OBC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角OAD等于角OCB，且角ODA等于角OBC，所以三角形OAD相似于三角形OCB。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。", "this": "三角形AOD中，边OA是底，D到AC的距离是高。根据三角形的面积公式，三角形AOD的面积等于底边OA乘以高再除以2，即面积 = (OA * 高) / 2。三角形DOC中，边OC是底，D到AC的距离是高。根据三角形的面积公式，三角形DOC的面积等于底边OC乘以高再除以2，即面积 = (OC * 高) / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4590.png", "question": "如图,已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点,线段CM交BD于点E,S△BEM=2,则图中阴影部分的面积为()", "answer": "8", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，得出AB=CD且AB∥CD。

2. 根据三角形面积公式，得出面积△DMB等于面积△CBM，即S△DMB = S△CBM。

3. 因为线段CM交BD于点E，且点M为AB的中点，所以可以得出△DEM的面积等于△CEB的面积，即S△DEM = S△CEB。

4. 由已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，得出AM = BM = 1/2 AB = 1/2 CD。

5. 由于AB ∥ CD，且AM = BM，因此##△CDE##与##△MEB##存在相似关系，根据相似三角形的性质，得到CE: EM = CD: BM = 2。

6. 通过比例关系，得出面积△CEB是面积△BEM的两倍，即S△CEB = 2S△BME。

7. 已知S△BME = 2，根据上一步得出S△CEB = 4。

8. 图中阴影部分的面积是两个△CEB的面积，即S阴影 = 4 + 4 = 8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "平行四边形; 中点; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，三角形DMB中，边DM是底，线段BM是高。 根据三角形的面积公式，三角形DMB的面积等于底边BM乘以点D到AB的距离（也就是三角形DMB的高）乘以1/2。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点M。根据线段中点的定义，点M将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AM和线段MB的长度相等。即，AM = MB。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形ABCD中，对角∠DAB和∠BCD相等，对角∠ABC和∠CDA相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点E将对角线AC分成两段相等的线段AE和EC，将对角线BD分成两段相等的线段BE和ED。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形CDE和三角形MEB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠CED = ∠MEB, ∠ECD = ∠EMB, ∠CDE = ∠MBE；CE/ME = ED/EB = CD/MB。"}, {"name": "面积相等的三角形", "content": "共享一个底边并且在同一条平行线之间的两个三角形面积相等。", "this": "在本题图中，S△DMB = S△CBM，因为它们共享底边BM并且在同一平行线（DC）间。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4614.png", "question": "如图,D,E为△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,若AD:DB=1:3,AE=2,则AC的长是()", "answer": "8", "process": "1. 已知DE∥BC，根据##平行线分线段成比例定理##，得出\\( \\frac{AE}{AC} = \\frac{AD}{AB} \\)。

2. 由已知AD:DB=1:3，可得\\( \\frac{AD}{AB} = \\frac{1}{1+3} = \\frac{1}{4} \\)。

3. 将\\( \\frac{AD}{AB} \\)的值代入第一步的比例中，得到\\( \\frac{AE}{AC} = \\frac{1}{4} \\)。

4. 由已知AE=2，将其代入第三步的比例中，得到\\( \\frac{2}{AC} = \\frac{1}{4} \\)。

5. 通过交叉相乘，可以得到AC=8。

6. 经过上述推理，最终得出答案为AC的长为8。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：$$ \\frac{AD}{AB} = \\frac{AE}{AC} $$。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线DE和直线BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DE和直线BC是平行线。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4539.png", "question": "如图,在△ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,AE=\\frac{1}{4}AB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,则\\frac{BC}{CD}=()", "answer": "2", "process": "1. 如图，过点C作CP∥AB，交DE于点P。

2. 因为CP∥AE，##根据平行线的平行公理2，内错角相等，可知∠AEM=∠MPC，∠EAM=∠MCP。同时根据相似三角形的判定定理(AA)，可知##△AEM∽△CPM，根据##相似三角形的定义##，有##PC/AE=CM/AM##。

3. 由于M是AC的中点，且根据##线段中点##，得AM=CM，于是有PC=AE。

4. 已知AE=##(1/4)AB##，因此PC=##(1/4)AB##。

5. 因为CP∥BE，所以CP=##(1/3)BE##。

6. 根据##平行线的平行公理2，同位角相等，可知∠EBD=∠PCD，∠BED=∠CPD。同时根据相似三角形的判定定理(AA)，##得到△DCP∽△DBE，于是##根据相似三角形的定义，可知CP/BE=CD/BD##。

7. 根据前面的结论，得：##CP/BE=1/3##，所以BD=3CD。

8. 因此BC=BD - CD = 3CD - CD = 2CD，即##BC/CD=2##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2。", "elements": "三角形的外角; 中点; 普通三角形; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AC的中点为点M。根据线段中点的定义，点M将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AM和线段MC的长度相等。即，AM = MC。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形AEM和三角形CPM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AEM = ∠CPM, ∠AME = ∠CMP, ∠EAM = ∠PCM；AE/PC = AM/CM = EM/PM。因为M是AC中点，AM = CM，所以PC=AE。根据AE = 1/4 AB，得出PC = 1/4 AB。同理，三角形DCP和三角形DBE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EBD=∠PCD，∠BED=∠CPD，∠PDC = ∠EDB；PC/EB = DP/DE = DC/DB。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线CP和直线AB位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线CP和直线AB是平行线。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线CP和AB被第三条直线EP所截，形成了以下几何关系：内错角：角AEM和角MPC相等。同理，两条平行线CP和AB被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：内错角：角EAM和角MCP相等。同理，两条平行线CP和AB被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系：同位角：角EBD和角PCD相等。同理，两条平行线CP和AB被第三条直线ED所截，形成了以下几何关系：同位角：角BED和角CPD相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等，同位角相等。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线CP和AB被一条直线AC截交，其中角EAM和角MCP位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角EAM和角MCP是内错角。内错角相等，即角EAM等于角MCP。同理，两条平行直线CP和AB被一条直线EP截交，其中角AEM和角MPC位于两平行线之间，且在截线EP的对侧，因此角AEM和角MPC是内错角。内错角相等，即角AEM等于角MPC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形AEM和三角形CPM中，如果角AEM等于角MPC，且角EAM等于角MCP，所以三角形AEM相似于三角形CPM。同理，三角形DCP和三角形DBE中，如果角EBD等于角PCD，且角BED等于角CPD，所以三角形DCP相似于三角形DBE。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线CP和AB被一条直线BD截交，其中角EBD和角PCD位于截线BD的同旁，被截两直线CP和AB的同一侧，因此角EBD和角PCD是同位角。同位角相等，即角EBD等于角PCD。同理，两条平行直线CP和AB被一条直线ED截交，其中角BED和角CPD位于截线ED的同旁，被截两直线CP和AB的同一侧，因此角BED和角CPD是同位角。同位角相等，即角BED等于角CPD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4305.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,⊙C的半径为1,点P是斜边AB上的点,过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点),则线段PQ的最小值为()", "answer": "√{2}", "process": "1. 已知P点是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），连接CP、CQ。

2. ∵PQ是⊙C的切线，##根据圆的切线性质，切线与经过切点的半径垂直##∴CQ⊥PQ，即∠CQP=90°。

####

##3. 根据点到直线的距离，当CP⊥AB时，得出CP为最小值。同时根据勾股定理，得出PQ^2 = CP^2 - CQ^2，已知CQ是固定值，等于圆的半径，因此当CP为最小值时，线段PQ最短。##

##4##. ####在直角三角形ACB中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2，

##5##. 利用30°-60°-90°三角形的性质，得出AB = 2BC = 4，AC = BC * √3 = 2√3。

##6##. ##根据直角三角形的面积公式可得：S△ABC=1/2 * AC * BC=1/2 * 2√3 * 2=2√3。根据三角形的面积公式以CP、AB边求△ABC面积，##当CP⊥AB时,CP为△ABC的一个高，##即S△ABC=1/2 * AB * CP=1/2 * 4 * CP=2CP。简化为S△ABC=2CP，又因为S△ABC=2√3，则2√3=2CP，最终得出CP = √3。##

##7##. ##已知##⊙C的半径CQ = 1。

##8##. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得：CQ^2+PQ^2=CP^2，即PQ = √(CP^2 - CQ^2) = √(3 - 1) = √2。##

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为√2。", "elements": "直角三角形; 切线; 圆; 线段; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。PQ为⊙C的切线，所以PQ垂直于⊙C的半径CQ，即∠CQP=90°。三角形CQP中，角CQP是直角（90度），因此三角形CQP是一个直角三角形。边CQ和边PQ是直角边，边CP是斜边。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙C与直线PQ有且只有一个公共点Q，这个公共点叫做切点Q。因此，直线PQ是圆⊙C的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆C中，点Q是直线PQ与圆的切点，线段CQ是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PQ与经过切点Q的半径CQ垂直，即∠CQP=90°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角CAB是30度，角CBA是60度，角ACB是90度。边AB是斜边，边BC是30度角所对的边，边AC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边AB的一半，边AC等于边BC的√3倍。即：BC = 1/2 * AB，AC = BC * √3。##"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。", "this": "三角形ABC中，边AB是底，线段CP是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边AB乘以高CP再除以2，即面积 = (AB * CP) / 2。"}, {"name": "直角三角形的面积", "content": "直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度），边BC和AC是直角边，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边BC * 边AC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和��", "this": "在本题图中，直角三角形CQP中，角CQP是直角（90度），边CQ和PQ是直角边，边CP是斜边，所以根据勾股定理，CP^2 = CQ^2 + PQ^2。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆C中，点C是圆心，点Q是圆上的任意一点，线段CQ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段CQ是圆的半径。#####"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从顶点C垂直于对边AB（或其延长线）的线段CP是该顶点C的高。线段CP与边AB（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段CP是从顶点C到对边AB（或其延长线）的垂直距离。"}, {"name": "点到直线的距离", "content": "点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离。", "this": "在本题图中，点 C 是直线 AB 外的一点，作点 C 到直线 AB 的垂线段 CP。根据点到直线距离的定义，垂线段 CP 的长度是点 C 到直线 AB 的最短距离，即 d=CP。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4261.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,EA是⊙O的切线．若∠EAC=120°,则∠ABC的度数是()", "answer": "60°", "process": "1. 已知EA是⊙O的切线, #OA是⊙O的半径，根据圆的切线性质，切线与经过切点的半径垂直##，我们知道∠EAD=90°。

2. 由∠EAC=120°以及∠EAD=90°，可知∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°。

3. 由于AD是⊙O的直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，可以得出∠ACD=90°。

4. ##根据三角形内角和定理，可知##∠ADC=180°-∠ACD-∠DAC，####可以得到∠ADC=60°。

5. 由∠ADC=60°，根据##圆周角定理推论1##，∠ABC也等于∠ADC=60°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "圆周角; 切线; 圆; 直角三角形; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆O中，弧AC对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AC相对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等，即∠ABC = ∠ADC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。##同理，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。##"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段AD是直径，连接了圆心O和圆周上的A、D两点，长度为2倍的半径，即AD = 2r。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙O与直线EA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线EA是圆⊙O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "点A是直线EA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线EA与经过切点A的半径OA垂直，即∠EAD=90度。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AD所对的圆周角∠ACD是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ADC中，角DAC、角ACD和角ADC是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，角DAC + 角ACD + 角ADC = 180°。##"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4553.png", "question": "如图,在△ABC中,DE∥BC,若AB=7cm,AC=5cm,AD=3cm,则DE=()", "answer": "\\frac{20}{7}cm", "process": "1. 已知AB=7厘米,AD=3厘米，##所以##BD=BA-AD=4厘米。

2. 由于DE∥BC，根据##平行线的平行公理2，同位角相等，所以角A=角BDE，又因为B为共用角，根据相似三角形的判定定理(AA)，可以得到##△BDE∽△BAC。

3. 根据##相似三角形的定义，可得BD/AB=DE/AC，即4/7=DE/5##。

4. 解方程####得到DE=20/7厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为20/7厘米。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形BDE和三角形BAC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BDE = ∠BAC, ∠DBE = ∠ABC, ∠BED = ∠ACB；BD/BA = DE/AC = BE/BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形BDE和三角形BAC中，角B等于角B，且角BDE等于角BAC，所以三角形BDE相似于三角形BAC。########"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线DE和AC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系： 同位角：角BDE和角A相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和AC被一条直线AB截交，其中角BDE和角A位于截线AB的同旁，被截两直线DE和AC的同一侧，因此角BDE和角A是同位角。同位角相等，即角BDE等于角A。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4619.png", "question": "如图,已知AB∥CD∥EF,AD:AF=3:5,BE=15,那么CE的长等于()", "answer": "6", "process": "1. 已知AB∥CD∥EF，根据平行线截得的线段成比例定理，即两条平行线截第三条直线所得到的对应线段成比例，可以得出BC与BE的比例关系。

2. 根据题目条件AD:AF=3:5，将这个比例和上文的比例结合，可以得到\\frac{BC}{BE} = \\frac{AD}{AF}。

3. 将已知数据代入，得到\\frac{BC}{15} = \\frac{3}{5}。

4. 通过解比例方程\\frac{BC}{15} = \\frac{3}{5}，得到BC=9。

5. 由于CE=BE-BC，可得CE = 15 - 9 = 6。

6. 经过上述推理，最终得出答案为6。", "elements": "平行线; 内错角; 同位角; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "AB∥CD∥EF，且AD:AF=3:5，根据平行线分线段成比例定理，可得BC与BE的比例关系为3:5，即\\(\\frac{BC}{BE} = \\frac{AD}{AF}\\)。具体来说，直线AB与EF平行，并截它的其他两边AD和AF于点B和E，那么根据平行线分线段成比例定理，有\\(\\frac{BC}{BE} = \\frac{AD}{AF}\\)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4676.png", "question": "如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知EC=6,\\frac{AD}{DB}=\\frac{2}{3},则AE的长是()", "answer": "4", "process": "1. 已知DE∥BC，根据##平行线分线段成比例定理##，得到：\\frac{AD}{DB}=\\frac{AE}{EC}。

2. 根据题目中的已知条件，EC=6和\\frac{AD}{DB}=\\frac{2}{3}。

3. 将已知条件代入比例关系\\frac{AE}{6}=\\frac{2}{3}。

4. 解方程\\frac{AE}{6}=\\frac{2}{3}，可得AE=4。

5. 经过上述推理，最终得出AE的长为4。", "elements": "平行线; 普通三角形; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "△ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：\\( \\frac{AD}{DB} = \\frac{AE}{EC} \\)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4687.png", "question": "如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,满足AD=3,AE=2,EC=1,DE∥BC,则AB=()", "answer": "4.5", "process": "1. 已知DE∥BC，依据##平行线分线段成比例定理##，得出##AD/DB = AE/EC##。

2. 因为AD=3，AE=2，EC=1，##所以，3/DB = 2/1##。

3. 解方程##3/DB = 2##，可以得出##DB = 3/2 = 1.5##。

4. 因为AB = AD + DB，所以AB = 3 + 1.5 = 4.5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为AB=4.5。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段; 内错角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AD/DB = AE/EC，即3/DB = 2/1，通过解方程可得DB = 3/2=1.5，所以AB=AD+DB=3+1.5=4.5。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4665.png", "question": "如图,在△ABC中,DE∥BC,\\frac{AD}{DB}=\\frac{1}{2},DE=4,则BC的长是()", "answer": "12", "process": "1. 已知 \\frac{AD}{DB} = \\frac{1}{2}。

2. 因此，\\frac{AD}{AB} = \\frac{1}{3}。

3. 在△ABC中，DE∥BC，因此根据##平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定定理(SAS)，得到△ADE∽△ABC##，因此##\\frac{DE}{BC} = \\frac{AD}{AB}。

4. 综上，\\frac{DE}{BC} = \\frac{1}{3}。

5. 已知 DE=4，因此 BC = 3##，所以##DE = 3 \\times 4 = 12。

6. 经过上述推理，最终得出 BC 的长度为 12。", "elements": "普通三角形; 平行线; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AD/DB = AE/EC。具体到本题中，AD/DB = 1/2，DE/BC = 1/3。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ADE = 角ABC, 角AED = 角ACB 角A = 角A；AD/AB = DE/BC = AE/AC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "边AD与边AB对应，边AE与边AC对应，且边AD/边AB = 边AE/边AC，并且角A=角A，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形ADE相似于三角形ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4558.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,CE交BD于点F,若EF=\\frac{1}{3}FC,则\\frac{AE}{ED}=()", "answer": "2", "process": "1. 已知在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，且EF = \\frac{1}{3}FC。

2. 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC。因此根据平行线的平行公理2和相似三角形的判定定理(AA)，可以得到△DEF∽△BCF。

3. 根据三角形相似的定义，得到\\frac{DE}{BC} = \\frac{EF}{FC} = \\frac{1}{3}。

4. 因为AD = BC，所以可以写成\\frac{DE}{AD} = \\frac{1}{3}。

5. 从而得到DE:AD = 1:3。

6. 因为AD = AE + ED，所以可以写成DE:(AE+ED) = 1:3。

7. 解得\\frac{AE}{ED} = 2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为2。", "elements": "平行四边形; 线段; 中点; 普通三角形; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形DEF和三角形BCF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EDF = ∠CBF，∠DFE = ∠BFC，∠DEF = ∠BCF；DE/BC = EF/FC = DF/BF。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角FED等于角FCB，且角EDF等于角FBC，所以三角形FED相似于三角形BFC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线AD和BC被第三条直线EC所截，形成了以下几何关系：内错角：���DEF=角FCB。两条平行线AD和BC被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系：内错角：角EDF=角DBC。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被两条直线EC和BD截交，其中角EDF和角DBC位于两平行线之间，且在截线BD的对侧，因此角EDF和角DBC是内错角。内错角相等，即角EDF=角DBC。角DEF和角FCB位于两平行线之间，且在截线EC的对侧，因此角DEF和角FCB是内错角。内错角相等，即角DEF=角FCB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4701.png", "question": "如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC．若\\frac{AE}{AC}=\\frac{3}{4},AD=9,则AB等于()", "answer": "12", "process": "1. 已知在三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。

2. ##根据平行线的平行公理2和相似三角形的判定定理(AA)##，在三角形ADE和三角形ABC中，由于DE∥BC，因此角ADE=角B，又因为角A=角A，所以##三角形ADE和三角形ABC相似。

3. 由相似三角形的##定义##，得到比例式：AD/AB = AE/AC。

4. 根据已知条件，AE/AC = 3/4。

5. 代入已知条件AD = 9，得到比例式：9/AB = 3/4。

6. 解以上比例式，得到AB = 12。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "平行线; 普通三角形; 位似; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠EAD = ∠CAB；AD/AB = AE/AC = DE/BC。######"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "角ADE等于角ABC，且角A等于角A，所以三角形ADE相似于三角形ABC。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系： 同位角：角ADE和角ABC相等，角AED和角ACB相等。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和BC 被一条直线AB截交，其中 角ADE和角ABC 位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此 角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即 角ADE等于角ABC。同理，两条平行直线DE和BC 被一条直线AC截交，其中 角AED和角ACB 位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此 角AED和角ACB是同位角。同位角相等，即 角AED等于角ACB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4711.png", "question": "如图, 直线l_{1}∥l_{2}∥l_{3}, 已知: AB=4, BC=6, DE=3, 则EF=()", "answer": "4.5", "process": "1. 已知直线## L1∥ L2 ∥ L3##，依据##平行线分线段成比例定理，设 EF 的长度为 x，可得，AB/BC = DE/EF##。

##2##. 将已知条件 AB = 4, BC = 6, DE = 3 代入比例式，得 ##4/6 = 3/x##。

##3##. 根据等式两边交叉相乘，得 4x = 18。

##4##. 解这个方程，得到 x = ##18/4 =4.5##。

##5##. 因此，可以得出 EF 的长度为 ##4.5##。", "elements": "平行线; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "直线## L1∥ L2 ∥ L3##，并且在他们之间的线段被平行线分割成等比例。根据平行线分线段成比例定理，有：\n\\[\n\\frac{AB}{BC} = \\frac{DE}{EF}\n\\]\n即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4747.png", "question": "如图,E是平行四边形ABCD的AD边上一点,过点E作EF∥AB交BD于F,若DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为()", "answer": "10", "process": "1. 已知 DE:EA=2:3，##因此## DE:DA=2:5。

2. 因为 EF 平行于 AB，且交线 BD 于 F，根据##平行线的平行公理2，同位角相等，可知##，∠DEF=∠DAB, ∠EFD=∠ABD，##依据相似三角形的判定定理(AA)，所以三角形DEF与三角形DAB相似，##有 DE/DA=EF/AB。

3. 代入已知条件， EF=4，并且 DE:DA=2:5，即 DE/DA=2/5。

4. 由以上相似三角形的比例关系 2/5=4/AB，解此比例可得 AB=10。

5. 由于平行四边形的对边相等性质，平行四边形ABCD的对边 AB 和 CD 相等，因此 CD=AB。

6. 最终，得出 CD 的长度为 10。", "elements": "平行四边形; 平行线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形DEF和三角形DAB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DEF=∠DAB, ∠EFD=∠ABD, ∠EDF=∠ADB；DE/DA=EF/AB=DF/DB。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "角DEF等于角DAB，且角DFE等于角DBA，所以三角形DEF相似于三角形DAB。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠DAB和∠BCD相等，对角∠ABC和∠CDA相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等####。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线EF和AB被第三条直线DA所截，形成的同位角∠DEF=∠DAB，同理，EF和AB被第三条直线DB所截，形成的同位角∠EFD=∠ABD。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线EF和AB被一条直线AD截交，其中角DEF和角DAB位于截线AD的同旁，被截两直线EF和AB的同一侧，因此角DEF和角DAB是同位角。同位角相等，即角DEF等于角DAB。同理，直线EF和AB被一条直线DB截交，其中角DFE和角DBA位于截线DB的同旁，被截两直线EF和AB的同一侧，因此角DFE和角DBA是同位角。同位角相等，即角DFE等于角DBA。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4770.png", "question": "如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,且AE=1,AC=5,AB=6,则AD的长是()", "answer": "1.2", "process": "1. 已知点D、E分别在边AB、AC上，并且DE∥BC。##所以根据平行线的平行公理2，可得∠ADE=∠ABC（同位角相等），∠AED=∠ACB（同位角相等）。##

2. 根据##相似三角形的判定定理(AA)##，△ADE ∽ △ABC。##根据相似三角形的定义有\\(\\frac{AE}{AC} = \\frac{AD}{AB}\\)##。

####

##3##. 由题中给定条件AE=1，AC=5，AB=6，代入比例式：\\(\\frac{1}{5} = \\frac{AD}{6}\\)。

##4##. 解这个比例方程：\\(AD = \\frac{6}{5}\\)。

##5##. 因此我们得到AD的长度为\\(\\frac{6}{5}\\)或1.2。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。同理，两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角AED和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角AED和角ACB是同位角。同位角相等，即角AED等于角ACB。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：\n同位角：角ADE和角ABC相等。\n同理，两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角AED和角ACB相等。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中��如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，角ADE等于角ABC，且角AED等于角ACB，所以三角形ADE相似于三角形ABC。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角DAE = 角BAC, 角ADE = 角ABC, 角AED = 角ACB；AE/AC = AD/AB = DE/BC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4799.png", "question": "如图,△ABC∽△AED,∠ADE=80°,∠A=60°,则∠B等于()", "answer": "40°", "process": "1. 已知∠ADE=80°，∠A=60°，根据三角形内角和定理，得出∠ADE+∠A+∠AED=180°。

2. 由∠ADE=80°以及∠A=60°，依据三角形内角和定理，得出∠AED=180°-∠ADE-∠A=180°-80°-60°=40°。

3. 又∵△ABC∽△AED，根据相似三角形的对应角相等定理，得出∠B=∠AED。

4. 依据前面的结论得出∠B=40°。

5. 经上述推理，最终得出答案为∠B=40°。", "elements": "等腰三角形; 内错角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边。三角形AED是由三个非共线点A、D、E及其连接线段AD、DE、EA组成的几何图形。点A、D、E分别是三角形的三个顶点，线段AD、DE、EA分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ADE中，角ADE、角DAE和角AED是三角形ADE的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADE + 角DAE + 角AED = 180°。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABC和三角形AED是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAC = ∠DAE, ∠ABC = ∠AED, ∠BCA = ∠EDA；AB/AE = BC/DE = AC/AD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4781.png", "question": "如图,D、E是△ABC边AB、AC上的点,且DE∥BC,若DE:BC=3:5,AD=6,则AB=()", "answer": "10", "process": "1. 已知D、E是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等可知∠C=∠AED，又因为∠A共用，则三角形ADE∽三角形ACB##，可得：DE/BC=AD/AB。

2. 题目中给出DE:BC=3:5，代入上式可得：3/5 = AD/AB。

3. 题目中还给出AD=6，根据上述比例关系，可得：3/5 = 6/AB。

4. 通过交叉相乘，得到：3 * AB = 5 * 6，即3AB = 30。

5. 解方程得到：AB = 30 / 3，即AB = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "平行线; 普通三角形; 位似; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：角C和角AED相等####"}, {"name": "相似三角形的判定定理（AA）", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC，∠C=∠AED且∠A共用，所以三角形ADE和三角形ABC相似。####"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角A = 角A，角B = 角ADE，角C = 角AED；AD/AB = AE/AC = DE/BC。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角C和角AED位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角C和角AED是同位角。同位角相等，即角C等于角AED。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4598.png", "question": "如图,平行四边形ABCD中,∠C=120°,AB=AE=5,AE与BD交于点F,AF=2EF．则BC的长为()", "answer": "10", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，AD = BC，且AD ∥ BC。

2. 因为AB = AE = 5，AE与BD交于点F，且AF = 2EF。

3. 假设作辅助线，连接EF和DF。

4. 在△AFD和△EFB中，有∠AFD = ∠EFB（对顶角相等），且∠ADF = ∠EBF（平行线间的内错角相等），所以根据AA相似定理，△AFD ∽ △EFB。

5. 因此，对于相似三角形△AFD和△EFB，有rac{BE}{AD} = rac{EF}{AF}。

6. 已知AF = 2EF，所以rac{EF}{AF} = rac{1}{2}。

7. 因此，AD = 2BE。

8. 因为角C=120度，根据平行四边形的邻角互补，有角ABC=60度，在三角形ABE中，因为AB = AE = 5，角ABE=60度，根据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定），可知三角形ABE为等边三角形，所以BE = 5。

9. 因此AD = 2 * 5 = 10。

10. 根据平行四边形的性质，AD = BC，所以BC = 10。

11. 经过上述推理，最终得出答案为BC的长为10。", "elements": "平行四边形; 线段; 等腰三角形; 三角形的外角; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "直线AF和直线BD相交于点F，形成四个角：∠AFD、∠EFB、∠AFE和∠DFB。根据对顶角的定义，∠AFD和∠EFB是对顶角，∠AFE和∠DFB是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AFD=∠EFB，∠AFE=∠DFB。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线AD和BC被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系： 内错角：角ADF和角FBE相等。"}, {"name": "平行四边形的邻角互补定理", "content": "在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，角C和角ABC是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，角C + 角ABC = 180°。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在三角形AFD和三角形EFB中，∠AFD=∠EFB是对顶角相等，∠ADF=∠EBF是内错角相等，因此三角形AFD相似于三角形EFB。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形AFD和三角形EFB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AFD = ∠EFB（对顶角），∠ADF = ∠EBF（平行线间的内错角），∠DAF = ∠FEB（平行线间的内错角）；AF/EF = DF/FB = AD/BE。已知AF=2EF，所以EF/AF=1/2。"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。", "this": "在本题图中，已知△ABE为等腰三角形，边AB与边AE等，且存在一个内角为60°，即∠ABE=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△ABE为等边三角形。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形ABE是一个等边三角形。边AB、边AE和边BE的长度相等，并且角ABE、角AEB和角EAB的度数相等，均为60°。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边AB和边AE相等，因此三角形ABE是一个等腰三角形。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被一条直线BD截交，其中角ADF和角FBE位于两平行线之间，且在截线BD的对侧，因此角ADF和角FBE是内错角。内错角相等，即角ADF等于角FBE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4828.png", "question": "如图,△ABC∽△DEF,相似比为1:2,若EF=2,则BC的长是()", "answer": "1", "process": "1. 已知△ABC相似于△DEF，相似比为1:2。

2. 根据相似三角形的性质，相似比等于对应边的比，即\\(\\frac{BC}{EF} = \\frac{1}{2}\\)。

3. 已知EF = 2。

4. 由前述两步，可得\\(BC = \\frac{1}{2} \\times EF = \\frac{1}{2} \\times 2 = 1\\)。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1。", "elements": "普通三角形; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△ABC与△DEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F； $\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} = \\frac{CA}{FD} = \\frac{1}{2}$ 。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4817.png", "question": "如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=()", "answer": "\\frac{9}{4}", "process": "1. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##可以求出AB的长度。由勾股定理可得: AB = √(##AC^2## + ##BC^2##) = √(##4^2## + ##3^2##) = √(16 + 9) = √25 = 5。

2. 又由题意得△ABC ∽ △BDC，根据##相似三角形的定义##，相似三角形的对应边成比例关系。因此,有##BC/CD=AC/BC##。

3. 将已知长度代入比例式##BC/CD=AC/BC##, 即3/CD=4/3。

4. 通过交叉相乘求解CD, 得到CD = ##(3×3)/4 = 9/4##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为CD = 9/4。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，∠ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形BDC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAC = ∠DBC, ∠ABC = ∠BDC, ∠ACB = ∠DCB；BC/CD = AC/BC = AB/BD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4875.png", "question": "如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若\\frac{AD}{AB}=\\frac{1}{3},则\\frac{AE}{AC}=()", "answer": "\\frac{1}{3}", "process": "1. 已知在△ABC中，根据题意，DE∥BC。

2. 根据##平行线分线段成比例定理，可以得知：rac{AD}{AB} = rac{AE}{AC}。##

##3##. 题目已知rac{AD}{AB} = rac{1}{3}，代入结论∴ rac{AE}{AC} = rac{1}{3}。

##4##. 因此，经过上述推理，最终得出答案为rac{1}{3}。", "elements": "普通三角形; 平行线; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AD/AB=AE/EC，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/500.png", "question": "如图,已知∠1＋∠2=100°,则∠3=()．", "answer": "130°", "process": "1. 已知 ∠1 + ∠2 = 100°####。

2. 由##对顶角的定义##得 ∠1 = ∠2，所以将上一步的等式改写为，2 ∠1 = 100°。

3. 因此，∠1 = 50°。

4. 根据##邻补角的定义##，所以可以写出方程 ∠1 + ∠3 = 180°。

5. 将 ∠1 的值代入方程，得到 50° + ∠3 = 180°。

6. 整理上一步的方程，得到 ∠3 = 180° - 50° = 130°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠3 = 130°。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，∠1 和 ∠3 有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以 ∠1 和 ∠3 互为邻补角。##"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相���立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线相交于中央，形成四个角。根据对顶角的定义，角1和角2是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角1=角2。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4920.png", "question": "如图, BC=rac{1}{2}AB, D为AC的中点, 若DC=3, 则AB的长是()", "answer": "4", "process": "1. 已知D是AC的中点，根据##线段中点定义##，得到AC的长度是DC的两倍，即AC=2DC。

2. 根据题目中给出的DC=3，代入上一步得出的关系式AC=2DC，可以得到AC=2×3=6。

3. 已知BC是AB的一半，根据题目中的BC=##1/2## AB，可以得到AB的长度是AC的2/3。

4. 用方程表示上述关系，即AB=##2/3## AC。

5. 代入之前计算得出的AC=6，得到AB=##2/3##×6=4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点", "this": "在本题图中，线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段AC具有两个端点，这两个端点分别是A和C，且线段AC上的每一个点都位于端点A和端点C之间。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4404.png", "question": "如图所示,某宾馆大厅要铺圆环形的地毯,工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长,就计算出了圆环的面积．若测量得AB的长为8米,则圆环的面积为()", "answer": "16π平方米", "process": "1. 过点O作OC垂直于AB交于点C，并连结OA。根据垂径定理，OC平分AB。

2. 因此，AC等于BC，且AC=AB/2=8米/2=4米。

3. 根据题意，AB与小圆相切，则OC为小圆的半径。

4. 设小圆的半径为r，大圆的半径为R。由勾股定理得，##OA^2=OC^2+AC^2##，即##R^2 = r^2 + 4^2##。

5. 圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，即##πR^2 - πr^2##。

6. 代入##R^2= r^2+ 16##，得到##π(R^2 - r^2) = π(r^2 + 16 - r^2) = 16π##。

7. 因此，圆环的面积为16π平方米。", "elements": "圆; 弦; 切线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点C是圆上的任意一点，线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OC是小圆的半径；在大圆中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是大圆的半径。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，小圆与直线AB有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是小圆的切线。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径OC平分弦AB，即AC=BC，延长OC交大圆于D，即直径OD平分弦AB所对的两条弧，即弧AD=弧DB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，三角形OAC是直角三角形，其中∠OCA是直角（90度），边OC和AC是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，OA^2 = OC^2+ AC^2，即R^2= r^2 + 4^2。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "大圆的半径是R，小圆的半径是r。根据圆的面积公式，大圆的面积A1等于圆周率π乘以半径R的平方，即A1 = πR^2；小圆的面积A2等于圆周率π乘以半径r的平方，即A2 = πr^2。因此，圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，即πR^2 - πr^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4929.png", "question": "如图,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD的周长大3cm,则AB与AC的差为()", "answer": "3cm", "process": "1. 已知AD是△ABC的中线，根据##三角形中线的定义##，得出BD=DC。

2. 因为BD=DC，##根据三角形的周长定理，##所以△ABD与△ACD的周长之差是(AB+AD+BD)-(AC+AD+DC)=AB-AC。

3. 根据已知条件，△ABD的周长比△ACD的周长大3cm，所以得出AB-AC=3。

4. 经过上述推理，最终得出AB与AC的差为3。", "elements": "普通三角形; 中点; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "顶点A是三角形的一个顶点，对边BC是与顶点A相对的边。点D是边BC的中点，线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段，因此AD是三角形ABC的一条中线。##"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形△ABD的三边分别为AB、AD、BD，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AD+BD，在三角形△ADC的三边分别为AC、AD、DC，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AC+AD+DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4918.png", "question": "如图, C, D是线段AB上两点, 若CB=4cm, DB=7cm, 且D是AC的中点, 则AC的长等于()", "answer": "6cm", "process": "1. 已知点C和点D是线段AB上的两点，CB的长度为4cm，DB的长度为7cm。

2. 由线段的和差关系，可以得到DC的长度为DC = DB - CB = 7cm - 4cm = 3cm。

3. 已知点D是AC的中点，根据中点定义，两点之间距离的中点将该距离平分，因此AC的长度应该是两倍的DC，即AC = 2 * DC。

4. 计算AC的长度，得到AC = 2 * 3cm = 6cm。

5. 经过上述推理，最终得出AC的长度为6cm。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题中，线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和B，且线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间。线段AC、AD、DC、CB和DB也是线段，分别包含其对应的端点及其间的所有点。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4906.png", "question": "如图,C、M是线段AB上的两点,且点M是线段AC的中点,若AB=8cm,BC=2cm,则AM的长为()", "answer": "3cm", "process": "1. 已知AB=8cm，BC=2cm。

2. 由图形可知AC=AB-BC=8cm-2cm=6cm。

3. 由于M是线段AC的中点，所以根据中点的定义，AM等于AC的一半。

4. 因为AC=6cm，所以AM=6cm/2=3cm。

5. 经过上述推理，最终得出答案为3cm。", "elements": "线段; 中点; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AC的中点为点M。根据线段中点的定义，点M将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AM和线段MC的长度相等。即，AM = MC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4440.png", "question": "如图,AB切⊙O于B,割线ACD经过圆心O,若∠BCD=70°,则∠A的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知AB切⊙O于B，ACD为割线且经过圆心O，根据已知条件 ∠BCD=70°。

2. 过圆心O作辅助线OB和OC，##根据半径的定义，##两条线段OB和OC为半径相等，即OB=OC。

3. ##因为OB=OC，根据等腰三角形的定义，可得△OBC是等腰三角形。##由于∠BCD=70°，##根据等腰三角形的性质##，得到∠OBC=∠BCD=70°。

4. 在△OBC中，根据三角形内角和定理，得到∠BOC=180°-∠BCD-∠OBC = 180°-70°-70°=40°。

5. 因为AB切⊙O于B，根据##圆的切线性质##可知OB⊥AB，即∠ABO=90°。##根据直角三角形的定义，可知△AOB是直角三角形。##

6. 最后，利用##直角三角形的锐角互补性质##，在△AOB中，得出∠A=90°-∠BOC=90°-40°=50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 线段; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "割线", "content": "与圆有两个交点的直线称为圆的割线。", "this": "直线ACD与圆O有两个交点，分别是点C和点D。根据割线的定义，直线ACD与圆O相交于两个不同的点，所以直线ACD是圆O的割线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B和点C是圆上的任意一点，线段OB和OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB和OC是圆的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形△OBC中，边OB和边OC相等，因此三角形△OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形△OBC中，角OBC、角BCO和角BOC是三角形△OBC的三个内角，根据三角形内角和定理，∠OBC + ∠BCO + ∠BOC = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB = 70°。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点B是直线AB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点B的半径OB垂直，即∠ABO=90°。"}, {"name": "直角三角形的锐角互补性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "直角三角形△AOB中，角ABO是直角（90度），角A和角AOB是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，角A和角AOB的和为90度，即∠A + ∠AOB = 90°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OBA中，角OBA是直角（90度），因此三角形OBA是一个直角三角形。边OB和边BA是直角边，边OA是斜边。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4620.png", "question": "如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C,D,E,F,\\frac{AB}{BC}=\\frac{2}{3},DE=6,则EF的值为()", "answer": "9", "process": "1. 已知AD∥BE∥CF，直线l1, l2与这三条平行线分别交于点A, B, C, D, E, F。

2. 根据平行线分线段成比例定理，可以得到：\\frac{AB}{BC} = \\frac{DE}{EF}。

3. 题目中已知 \\frac{AB}{BC} = \\frac{2}{3} 和 DE=6。

4. 将已知条件代入比例式：\\frac{6}{EF} = \\frac{2}{3}。

5. 解该比例式得到：EF = 9。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9。", "elements": "平行线; 线段; 内错角; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "AD∥BE∥CF位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，AD、BE和CF是平行线。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，AD∥BE∥CF，直线l1, l2分别交于点A, B, C, D, E, F。根据平行线分线段成比例定理，可以得到\\(\\frac{AB}{BC}=\\frac{DE}{EF}\\)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/521.png", "question": "如图,已知∠1=60°,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "240°", "process": "1. 已知角1等于60度，根据题意以及图形，##设BE与CF交点为G,BE与AD交点为H，AD与FC的交点为O，由三角形的外角定理可知，在三角形GEC中，∠FGE是∠C与∠E的和，在三角形HBD中，∠AHB是∠B与∠D的和，��据对顶角的定义，可知∠GOH=∠1=60°，由三角形内角和定理可以确定∠GOH以及角B、角C、角D、角E所组成的总角度等于三角形OGH的内角和，等于180度##。

2. 由此得：##∠GOH## + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

3. 将已知的##∠GOH##等于60度代入，得到：60° + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

4. 由此得：∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180° - 60° = 120°。

5. ##根据由三角形内角和定理，在三角形AFO中##，可以确定角1以及角A、角F也组成一个180度的角。

6. 由此得：∠1 + ∠A + ∠F = 180°。

7. 将已知的角1等于60度代入，得到：60° + ∠A + ∠F = 180°。

8. 由此得：∠A + ∠F = 180° - 60° = 120°。

9. 将步骤4和步骤8中的两个等式相加，得到∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 120° + 120° = 240°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为240°。", "elements": "普通多边形; 五边形; 三角形的外角; 内错角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "∠1是由两条射线AD和CF组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点O。这个共同的端点O称为角1的顶点，而射线AD和CF称为角1的边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形AF1中，角1、角A和角F是三角形AF1的三个内角，根据三角形内角和定理，角1 + 角A + 角F = 180°。##同理，三角形OGH中，角GOH、角GHO和角OGH是三角形OGH的三个内角，根据三角形内角和定理，角GOH + 角GHO + 角OGH = 180°##。##name;三角形的外角定理content:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。this:在本题图中，三角形GCE中，角FGE是三角形的一个外角，角C和角E是与外角FGE不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角FGE等于不相邻的两个内角C和E之和，即角FGE = 角C + 角E。同理，三角形HBD中，角AHB是三角形"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线AD和CF相交于点O，形成四个角：角AOF、角GOH、角AOC和角FOD。根据对顶角的定义，角AOF和角GOH是对顶角，角AOC和角FOD是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角AOF=角GOH，角AOC=角FOD。####"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形AOF是由三个非共线点A、O、F及其连接线段AO、OF、AF组成的几何图形。点A、O、F分别是三角形的三个顶点，线段AO、OF、AF分别是三角形的三条边。同理，三角形GOH是由三个非共线点G、O、H及其连接线段GO、OH、GH组成的几何图形。点G、O、H分别是三角形的三个顶点，线段GO、OH、GH分别是三角形的三条边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/520.png", "question": "如图,平行线a、b被直线c所截,若∠1=50°,则∠2的度数是()", "answer": "130°", "process": "1. 已知直线a和直线b平行，且由直线c所截，∠1=50°。

2. ##设直线a和c相交于点O，直线a为AB，直线C为CD，根据对顶角的定义，∠1的对顶角设为∠3，得到∠1= ∠3 = 50°。##

####

##3##. 接着我们可以得到##∠2和∠3##是同旁内角，根据平行线的平行公理2可以得出，##∠2 + ∠3 = 180°##。

##4##. 代入已知条件，##∠2## + 50° = 180°，得出##∠2## = 130°。

##5##. 经过上述推理，最终得到答案∠2为130°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线a和c相交于点x，形成四个角：角AOC、角1、角2和角DOB。根据对顶角的定义，角1和角2是对顶角，角AOC和角DOB是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角1=角2，角AOC=角DOB。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线c所截，形成了以下几何���系：1. 同位角：角AOC和角2相等。2. 内错角：角BOD和角2相等。3. 同旁内角：角2和角3互补，即角2 + 角3 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线a和b被第三条直线c所截，两角2和3在截线c同侧，且在被截线a和b之内，所以角2和3是同旁内角。同旁内角2和3互补，即角2 + 角3 = 180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/569.png", "question": "如图,a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=35°,那么∠2=()", "answer": "55°", "process": "1. 已知AB垂直于BC,并且∠1=35°,根据平角的定义，得出∠ABb=90°-35°=55°。

2. 由平行线的平行公理2，同位相等，∠2等于∠ABb。

3. 由此得出∠2等于55°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "平行线; 同位角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AB和直线BC相交形成的角∠ABC是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线BC互相垂直。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线AB截交，其中角2和角ABb位于截线AB的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角2和角ABb是同位角。同位角相等，即角2=角ABb。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线a和b被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角2和角ABb相等。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线绕着端点B旋转到与起始边成一条直线b。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角1+90度+角ABb=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/598.png", "question": "将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上,则∠1的度数为()", "answer": "75°", "process": "1. 在图中，由于含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，#设含30°角的三角板为三角形ABC，30°角对应∠A，90°角对应∠B，60°角对应∠C;含45°角的三角板为三角形DEF，图上已标记出45°角对应∠E，90°角对应∠D，剩下一个角对应∠F，∠1所在的交点为O，因此两个三角形相交形成了一个新的三角形COF##。

####

##2##. ##根据对顶角的定义，可得∠1=∠COF，##为了求解∠1，我们可以分别计算其对顶角所在三角形的其他两个内角。

##3##. 对于含30°角的三角板，##根据三角形内角和定理，可以得出##其角度分别为30°和60°。

##4##. 对于含45°角的三角板，##根据三角形内角和定理，可以得出##其角度分别为45°和45°。

##5##. ##∠COF##所在的三角形####，其两个内角分别为60°和45°。

##6##. 根据##三角形内角和定理##，一个三角形的三个内角之和为180°。

##7##. 则##∠COF##可以表示为180°- (60° + 45°) = 75°。

##8##. 故∠1的角度为75°。", "elements": "直角三角形; 邻补角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线形成四个角：∠1、##∠EOC##、##∠COF##和##∠AOF##。根据对顶角的定义，∠1和##∠COF##是对顶角，##∠EOC##和##∠AOF##是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠1=##∠COF##，##∠EOC##=##∠AOF##。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "含30°角的三角板和含45°角的三角板都是直角三角形。含30°角的三角板的角度分别为30°, 60°, 和90°��其直角边分别是与30°角和60°角相邻的两条边。含45°角的三角板的角度分别为45°, 45°, 和90°，其直角边分别是与两个45°角相邻的两条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角60°、角45°和∠1的对顶角是该三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，角60° + 角45° + ∠1的对顶角 = 180°，所以∠1的对顶角 = 180° - (60° + 45°) = 75°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4758.png", "question": "如图DE∥BC,AD=3,DB=4,AE=1.5,则EC等于()", "answer": "2", "process": "1. 已知DE∥BC，##由平行线的平行公理2可知,∠AED＝∠ACB,∠ADE＝∠ABC，根据相似三角形的判定定理(AA)##，我们可以确定△ADE∽ △ABC。

2. 根据##相似三角形的定义##，对于△ADE和△ABC，有: ##AD/AB = AE/AC = DE/BC##。

3. 结合题目已知条件AD=3，DB=4，因此AB=AD+DB=3+4=7。

4. 继续结合题目已知条件AE=1.5，将已知比例关系代入相似三角形的对应边####中，可以得到: ##AD/DB = AE/EC##。

5. 将已知数值代入第4步的比例关系: ##3/4 = 1.5/EC##。

6. 解比例方程 ##3/4 = 1.5/EC##，我们可以得到 EC = 2。

7. 经过上述推理，最终得出答案为2。", "elements": "平行线; 内错角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠EAD = ∠CAB；AD/AB = AE/AC = DE/BC。具体来说，AD对应于AB，AE对应于AC，DE对应于BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "在本题图中，三角形AED和三角形ABC中，如果角AED等于角ACB，且角ADE等于角ABC，所以三角形AED相似于三角形ABC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线ED和CB被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：角AED和角ACB相等。两条平行线ED和CB被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE和角ABC相等。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "在本题图中，两条平行直线ED和CB被一条直线AC截交，其中角AED和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线ED和CB的同一侧，因此角AED和角ACB是同位角。同位角相等，即角AED等于角ACB。两条平行直线ED和CB被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线ED和CB的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/550.png", "question": "如图,若a∥b,∠1=115°,则∠2=()", "answer": "65°", "process": "1. ##设直线a为AB，直线b为CD，##已知直线 a 平行于直线 b，根据##平行线的平行公理2，可知同旁内角互补##，得出∠1 + ∠2 = 180°。

2. 由 ∠1 + ∠2 = 180° 和已知 ∠1 = 115°，得出 ∠2 = 180° - 115°。

3. 经过计算，得出 ∠2 = 65°。

4. 最终得出答案为 ∠2 = 65°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线 a 和直线 b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 a 和直线 b 是平行线。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线AB和CD被第三条直线AC所截，两角1和角2在截线AC同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角1和角2是同旁内角。同旁内角角1和角2互补，即角1 + 角2 = 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直线 a 和直线 b 被一条直线所截，从而形成了同旁内角 ∠1 和 ∠2。根据平行线的同旁内角互补定理，我们可以得出 ∠1 + ∠2 = 180°。因∠1 = 115°，所以∠2 = 180° - 115° = 65°，最终得出答案∠2 = 65°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4865.png", "question": "如图,若△ABC∽△ACD,∠A=60°,∠ACD=40°,则∠BCD的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 根据题意已知，△ABC∽△ACD，同时已知∠A=60°,∠ACD=40°。

2. 根据相似三角形对应角相等的性质，得到∠B = ∠ACD = 40°。

3. 使用三角形的内角和定理（即一个三角形的三个内角的和为180°），在△ABC中，得到∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°。

4. 在△BCD中，通过角ACB和角ACD的关系，可以得到∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 80° - 40° = 40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABC和三角形ACD是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAC = ∠DAC, ∠ABC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CDA；AB/AC = AC/AD = BC/CD。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/691.png", "question": "从棱长为4的正方体毛坯的一角,挖去一个棱长为2的小正方体,得到一个如图所示的零件,则这个零件的表面积为()", "answer": "96", "process": "1. 已知##原正方体的表面积为棱长为4的正方体的表面积，根据正方体的表面积公式，原正方体##的表面积为4×4×6。

2. 将棱长为2的小正方体从大正方体的一角挖去，根据几何图形分解####，挖去的小正方体将##使原正方体增加挖去的小正方体六个面中的三个新的面##。

3. ##同时，由于挖去了小正方体，使得原正方体减少了挖去的小正方体六个面中的三个面。##

4. ##结合2和3可知，挖去小正方体后原正方体整体表面积不会改变##。

####

##5##. 经过计算，原正方体的表面积为4×4×6=96####。

##6##. 因此，通过以上步骤得出最终表面积为96，无需改变。", "elements": "立方体; 正方形; 点; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正方体表面积公式", "content": "正方体的总表面积等于6乘以正方体棱长的平方。", "this": "正方体的总表面积等于6乘以正方体棱长的平方。在本题图中，正方体的总表面积计算为6×4²=96。正方体的总表面积等于6乘以正方体棱长的平方。已知正方体的棱长为4，因此正方体的总表面积为6×4²=96。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/576.png", "question": "如图,直线AB与CD相交于E,在∠CEB的平分线上有一点F,FM∥AB．当∠3=10°时,∠F的度数是()", "answer": "85°", "process": "1. 已知直线AB与CD相交于点E，在角CEB的平分线上有一点F，FM平行于直线AB。

2. 根据##平角的定义##，##∠CED##可以表示为∠1 + ∠2 + ∠3。由于####∠3 = 10°，那么可以得到##∠1## + ∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 10° = 170°。

3. 由于EF平分∠CEB，根据角平分线的定义，可以得出∠1 = ∠2。

4. 由∠1 + ∠2 = 170°，且∠1 = ∠2，因此可以得出∠1 = ∠2 = 170° / 2 = 85°。

5. 根据题意，FM平行于直线AB。所以，∠F与∠2是##平行线内##的内错角，根据平行线内错角相等的定理，得出∠F = ∠2。

6. 综上所述，∠F = 85°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为85°。", "elements": "平行线; 对顶角; 等腰三角形; 内错角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角CEB的顶点是点E，从点E引出一条线EF，这条线将角CEB分成两个相等的角，即角CEF (∠1) 和角BEF (∠2) 相等。因此，线EF是角CEB的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线FM和AB被第三条直线EF所截，形成了以下几何关系：1.同位角：##无##。2.内错角：角F和角2相等。3.同旁内角：角AEF和角F互补，即角AEF + 角F = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线C绕着端点E旋转到与起始边成一条直线，形成平角CED。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角CED=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/717.png", "question": "如图,将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起,若∠1=40°,则∠2的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 根据题意，两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，那么图中有两个直角。

2. 设##∠1和∠2之间的夹角为∠3##。

####

##3##. 由题意，∠1 = 40°。

##4##. 根据已知条件，可以推导出∠1 + ##∠3## = 90°（因为两角相邻直角顶点）。

##5##. 因此，##∠3## = 90° - 40° = 50°。

##6##. 同理，∠2 + ##∠3## = 90°（另一相邻直角顶点）。

##7##. 将##∠3##的值带入，得∠2 + 50° = 90°。

##8##. 解该方程，可得∠2 = 90° - 50° = 40°。

##9##. 根据上述推理，最终得出答案为∠2 = 40°。", "elements": "对顶角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，两个直角三角形中，每个直角三角形有一个直角（90度），因此它们都是直角三角形。每个直角三角形的直角都是右两个锐角组成，一个是∠1和∠3的和，另一个是∠2和∠3的和。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4927.png", "question": "如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α-5的值是()", "answer": "35°", "process": "1. 已知小林从P点向西直走12米后, 向左转, 转动的角度为α, 再走12米, 如此重复，小林共走了108米。

2. 设这种情况下形成的多边形的边数为n。整个路径的长度为108米，每条边的长度为12米，因此可以求出边数n = 108 ÷ 12 = 9。

3. 因为小林每次转动的角度为α，这些角度的总和为多边形的外角和。根据多边形外角和原理，多边形的外角和为360°。

4. 可以构建一个等式 n * α = 360°。

5. 代入边数n = 9，得到 9 * α = 360°。

6. 解此等式得到 α = 360° ÷ 9 = 40°。

7. 根据题意，要求 α - 5 的值。

8. 计算：α - 5 = 40° - 5 = 35°。

9. 所以，最终得到答案为35°。", "elements": "旋转", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正多边形的定义", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "在本题图中，小林的行走路径形成的多边形中，所有边的长度相等，等于12米，且所有内角相等。因此，小林的行走路径形成的多边形是一个正多边形。它由多条线段顺次连接而成，每条线段的长度为12米，共有9条线段。每两条线段只在端点相交，形成一个封闭的路径。小林从P点出发，按照指定方向行走，经过9次转弯后回到P点，形成一个正9边形。"}, {"name": "多边形外角和定理", "content": "任意多边形的外角和等于360°。", "this": "小林每次转动角度为α，共进行9次转动形成一个多边形。因此这9个外角α的总和等于360°，即有9 * α = 360°。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中,设小林行走的路径形成的多边形的一个内角为β,延长该内角的相邻边形成的角α称为内角β的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/603.png", "question": "已知直线a∥b,一块直角三角板如图所示放置,若∠1=37°,则∠2的度数是()", "answer": "53°", "process": "1. 作直线##c平行于直线a，且将三角板的直角分为∠3（靠近∠1）和∠4（靠近∠2）。由于直线a平行于直线b，因此直线c平行于直线a，并且平行于直线b。##

2. 由于##直线a平行于直线c，根据平行线的平行公理2，内错角相等，得出∠1等于∠3。##

3. ##直线c平行于直���b，根据平行线的平行公理2，内错角相等，得出∠4等于∠2##。

4. 由题意可以看出##∠3和∠4构成直角三角板的直角，所以##它们的和等于90°。

5. 所以得出##∠3+∠4=∠1+∠2=##90°。

6. 已知##∠1为37°，因此∠2##等于90°减37°，即53°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为##∠2##的度数是53°。", "elements": "平行线; 同位角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "直线b和直线c分别与直线a平行。根据平行线的传递性，如果直线b平行于直线a，且直线c也平行于直线a，那么直线b和直线c互相平行。因此，直线b平行于直线c。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线a和c被直角三角板60度角所对的直角边截交，其中角1和角3位于两平行线之间，且在截线的对侧，因此角1和角3是内错角。内错角相等，即角1等于角3。同理，两条平行直线b和c被直角三角板30度角所对的直角边截交，其中角2和角4位于两平行线之间，且在截线的对侧，因此角2和角4是内错角。内错角相等，即角2等于角4。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "直线 a 和 b 被第三条直线（直角三角板的一边）所截，形成了以下几何关系：内错角：∠2 和 ∠4 相等，∠1 和 ∠3 相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4873.png", "question": "如图,两条直线被三条平行线所截,AB=2,BC=3,则\\frac{EF}{EG}等于()", "answer": "\\frac{2}{5}", "process": "1. 已知AE∥BF∥CG，根据##平行线分线段成比例定理##可得，##EF/EG=AB/AC##。

2. 由##EF/EG=AB/AC，##已知AB=2,BC=3。

3. 由AC=AB+BC，可得AC=2+3=5。

4. 将AB和AC的值代入比例式中，##EF/EG=2/5##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##2/5##。", "elements": "平行线; 线段; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AE、BF和CG位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AE、BF和CG是平行线。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点。线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段EF是一个直线的一部分，包含端点E和端点F及其间的所有点。线段EG是一个直线的一部分，包含端点E和端点G及其间的所有点。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "三条平行线分别为AE、BF和CG，截两条直线EG和AC，EF和EG是平行线在这些直线所截的线段，同理，AB和AC是平行线在这些直线所截的线段。根据平行线分线段成比例定理，有 EF/EG=AB/AC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/654.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,F是AD上的一点,CF=CD.若∠B=72°,则∠AFC的度数是()", "answer": "108°", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，因此∠D = ∠B = 72°。

2. 已知CF = CD，根据等腰三角形的性质，如果一个三角形的两边相等，那么这两边所对的角相等，因此∠DFC = ∠D = 72°。

3. 由∠DFC + ∠AFC = 180°（同一条直线上的邻角和为180°），于是∠AFC = 180° - ∠DFC = 180° - 72° = 108°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠AFC = 108°。", "elements": "平行四边形; 等腰三角形; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形FCD中，边CF和边CD相等，因此三角形FCD是一个等腰三角形。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和边CD相等，边AD和边BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。因此，∠B=∠D=72°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形CFD中，边CF和边CD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠DCF = ∠DFC。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角AFC和角DFC有一条公共边FC，它们的另一边FA和FD互为反向延长线，所以角AFC和角DFC互为邻补角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/703.png", "question": "如图,点B,O,D在同一直线上,若∠1=15°,∠2=105°,则∠AOC的度数是()", "answer": "90", "process": "1. 已知∠2 = 105°，根据##邻补角的定义##，∠BOC和∠2是相邻补角，因此∠BOC = 180° - 105° = 75°。

2. 根据题目中的图示####，有：∠AOC = ∠1 + ∠BOC。

3. 将已知条件∠1 = 15° 代入####，有：∠AOC = 15° + 75° = 90°。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为90°。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角2和角BOC有一条公共边OC，它们的另一边OD和OB互为反向延长线，所以角2和BOCx互为邻补角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/731.png", "question": "如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=()", "answer": "55°", "process": "1. 已知AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE。

2. ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，得∠BAD=∠EAC。

3. 在△BAD和△EAC中，有AB=AC，∠BAD=∠EAC，AD=AE。

4. 根据边角边全等条件，△BAD≌##△CAE##（SAS），则相应的角∠ABD=∠ECA##=30°##。

5. 已知∠ABD=30°，∠1=25°。

6. 在△ABD中，##根据三角形外角和定理##，∠3=∠1+∠ABD。

7. ∠3=25°+30°=55°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "等腰三角形; 普通三角形; 对顶角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角3是三角形的一个外角，角1和角ABD是与外角3不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角3等于不相邻的两个内角1和角ABD之和，即角3 = 角1 + 角ABD。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形ABD的一个内角为∠ADB，延长该内角的相邻边BD和DA形成的角∠3称为内角∠ADB的外角。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形BAD和三角形EAC中，边AB与边AC相等，边AD与边AE相等，且夹角∠BAD与夹角∠EAC相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。##"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形BAD和三角形EAC是全等三角形，三角形BAD的对应边和对应角与三角形EAC相等，即：\n边BA = 边AC\n边BD = 边EC\n边AD = 边AE\n同时，对应的角也相等：\n角1 = 角EAC\n角ABD = 角ACE\n角ADB = 角AEC"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/722.png", "question": "���图所示,一辆汽车经过一段公路两次拐弯后,和原来的行驶方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于142°,第二次拐的角∠C的度数为()", "answer": "142°", "process": "1. 已知两次拐弯后的两条路互相平行，即AB平行于CD。

2. 第一次拐弯的##∠ABC##等于142°。

3. 由于AB与CD平行，且∠ABC和未知角##∠DCB##位于平行线之间####内错的位置，根据##平行线的平行公理2##定理，得##∠DCB=∠ABC（内错角相等）##。

4. 由以上推理可得，##∠DCB##=142°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为142°。", "elements": "邻补角; 平行线; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "AB平行于CD，因此位于AB与CD之间且被横截线BC形成的内错角是相等的，也就是∠ABC的度数等于∠DCB的度数。所以，∠DCB=∠ABC=142°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线xx截交，其中角ABC和角DCB位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角ABC和角DCB是内错角。内错角相等，即角ABC等于角DCB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/758.png", "question": "如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A=24°,则∠BDC的度数为()", "answer": "69°", "process": "1. 折叠后的△CBD使点B落在点E处，根据折叠的性质可知∠ACB=2∠BCD。

2. 在△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=24°，利用三角形内角和定理，将△ABC的内角和等于180°进行计算，得到∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-24°=66°。

3. 根据步骤1中的结论，得出∠BCD=∠ACB/2=90°/2=45°。

4. 在△BDC中，利用三角形内角和定理，将△BDC的内角和等于180°进行计算，得出∠BDC=180°-∠BCD-∠B=180°-45°-66°=69°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为69°。", "elements": "直角三角形; 对称; 余弦; 正弦; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB、角CAB和角ABC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACB + 角CAB + 角ABC = 180°。对于△ABC，已知∠ACB=90°，∠CAB=24°，则可得：∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-24°=66°。对于△BDC，角BDC、角BCD和角CBD是三角形BDC的三个内角，已知∠BCD=45°，∠CBD=66°，则可得：∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=180°-45°-66°=69°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/540.png", "question": "如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,若∠A=36°,则∠DBC的大小是()", "answer": "18°", "process": "1. 已知等腰三角形ABC中, AB=AC, ∠A=36°, 依据等腰三角形的性质, 得出∠ABC=∠ACB。

2. 由于三角形内角和为180°, 得出∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°。

3. 代入已知条件, 36° + 2∠ABC = 180°, 即2∠ABC = 144°, 得出∠ABC = 72°。

4. 由∠ABC = ∠ACB = 72°, 可得出∠ACB = 72°。

5. ∵BD是AC边上的高, 根据定义, 得出BD⊥AC。

6. 由于BD是AC边上的高, ∴∠BDA = 90°。

7. 由∠ACB = 72°, 在直角三角形BDC中, 得出∠DBC = ∠BDA - ∠ACB。

8. 代入已知条件, ∠DBC = 90° - 72° = 18°。

9. 经过上述推理, 最终得出答案为18°。", "elements": "等腰三角形; 垂线; 直角三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形BDC中，角BDA是三角形的一个外角，角DBC和角ACB是与外角BDA不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角BDA等于不相邻的两个内角DBC和ACB之和，即角BDA = 角DBC + 角ACB。##"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点B垂直于对边AC的线段BD是该顶点B的高。线段BD与边AC形成一个直角（90度），这说明线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角A、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角ABC + 角ACB = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/829.png", "question": "如图,在半径为5cm的⊙O中,AB为一条弦,OC⊥AB于点C,且OC=3cm,则AB的值为()", "answer": "8cm", "process": "1. 连接OA，知道半径OA=5cm。

2. 因为OC垂直于AB于点C，##根据垂径定理##，点C是AB的中点。因此，我们有：AB=2AC。

3. 在直角三角形△OAC中，∠ACO=90°。根据勾股定理，在直角三角形中，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和，即：##OA^2 = AC^2+ OC^2##。

4. 因为OC=3cm，OA=5cm，所以代入上述公式：##5^2 = AC^2 + 3^2##。

5. 解方程得到：25 = ##AC^2##+ 9，即##AC^2## = 16，因此AC = √16 = 4cm。

6. 由步骤2得出：AB = 2AC = 2 * 4 = 8cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为8cm。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "圆O中，线段OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，线段OC平分弦AB，即AC=BC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAC中，角ACO是直角（90度），因此三角形OAC是一个直角三角形。边CA和边OC是直角边，边AO是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形△OAC中，角ACO是直角（90度），边OC和AC是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，OA^2 = OC^2 + AC^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/777.png", "question": "如图,DE为△ABC的边BC的垂直平分线,交BC于E,交AB于D,且∠B=40°,∠A=60°,则∠ACD的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知∠B = 40°, ∠A = 60°。在△ABC中，由三角形内角和定理，可以得到∠ACB = 180° - 60° - 40° = 80°。

2. DE是△ABC的边BC的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，##BD＝DC##,∠BCD = ∠B = 40°。

3. 在△ACD中，由上一步可得∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 80° - 40° = 40°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠ACD = 40°。", "elements": "垂直平分线; 等腰三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线DE经过线段BC的中点E，并且直线DE垂直于线段BC。因此，直线DE是线段BC的垂直平分线。根据垂直平分线的定义，E为BC的中点，即BE = EC，并且DE垂直于BC，即∠DEB = ∠DEC = 90°。"}, {"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，∠B、∠A和∠ACD都是角的实例。例如，∠B是由射线BA和射线BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B，这个共同的端点B称为##∠B##的顶点，而射线BA和射线BC称为##∠B##的边。∠A是由射线AB和射线AC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A，这个共同的端点A称为##∠A##的顶点，而射线AB和射线AC称为##∠A##的边。∠ACD是由射线AC和##射线DC##组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点C，这个共同的端点C称为##∠ACD##的顶点，而射线AC和##射线DC##称为##∠ACD##的边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "DE是△ABC的边BC的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，DE上的任意一点到线段BC两端点B和C的距离相等，即BE = CE且BD＝DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/735.png", "question": "如图,已知D为BC上一点,∠B=∠1,∠BAC=78°,则∠2=()", "answer": "78°", "process": "1. 已知∠B = ∠1，根据题意设点D为BC的一点。

2. ##连接AD##，得到∠BAD。

3. ##由图可得，在三角形ABC中##，∠BAC = ∠1 + ∠BAD。

4. 由于已知∠B = ∠1，且∠BAC = 78°。

5. 由上可得∠1 + ∠BAD = 78°。

6. ##在三角形ABD中，根据三角形的外角定理，可知##∠2 = ∠B + ∠BAD。

7. 因为∠B = ∠1，故∠2 = ∠1 + ∠BAD。

8. 联立上述条件，得出∠2 = ∠BAC。

9. 由于∠BAC = 78°，因此∠2 = 78°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为78°。", "elements": "普通三角形; 对顶角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ADC是三角形的一个外角，角BAD和角ABD是与外角ADC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角ADC等于不相邻的两个内角BAD和ABD之和，即角ADC = 角BAD + 角ABD。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边。同理，三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AB、AD、BD组成的几何图形。点A、B、D分别是三角形的三个顶点，线段AB、AD、BD分别是三角形的三条边。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形ABD的一个内角为∠ADB，延长该内角的相邻边BD和AD形成的∠ADC称为内角ADB的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/631.png", "question": "如图,将含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=35°,则∠2的度数为()", "answer": "65°", "process": "1. 已知∠1=35°。

2. 根据题意，三角板是一个直角三角形，其中一个角是30°，即∠3=30°。

3. 根据平行线的平行公理2，内错角相等，有顶点位于直角三角板直角顶点的∠4与∠1是内错角，∠4=∠1=35°。

4. 这样，设∠4和∠3所在的三角形为ABC，可知∠2为三角形ABC的外角，所以∠2=∠4+∠3=65°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为65°。", "elements": "直角三角形; 对顶角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题中的三角板即为一个直角三角形，其中包含一个直角（90°），以及一个指定的30°角。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角2是三角形的一个外角，角3和角4是与外角2不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角2等于不相邻的两个内角3和4之和，即角2 = 角3 + 角4。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线（直尺的两条边）被一条直线（三角板60度角所对的直角边）截交，其中角1和角4位于两平行线之间，且在截线的对侧，因此角1和角4是内错角。内错角相等，即角1等于角4。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形ABC的一个内角相邻边的延长线和另外一条边形成的角∠2称为该内角的外角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行直线（直尺的两条边）被一条直线（三角板60度角所对的直角边）所截，形成了以下几何关系： 内错角：角1和角4相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/501.png", "question": "如图,有一池塘,要测池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接BC并延长至E,使CE=CB,连接ED．若量出DE=58米,则A,B间的距离为()", "answer": "58米", "process": "1. 从点A画直线至点C并延长至点D，使得CD=CA。

2. 从点B画直线至点C并延长至点E，使得CE=CB。

3. 用量器量出DE=58米。

4. 在△ABC和△DEC中，已知AC=CD，##CE=CB##。

####

##5##. ##根据对顶角的定义##，得出##∠ACB##=∠DCE。

##6##. 根据##全等三角形判定定理(SAS)##，在三角形ABC和三角形DEC中，边AC等于边CD，##∠ACB##等于∠DCE，并且边CE等于边CB，故△ABC##≌##△DEC。

##7##. 根据##全等三角形的定义##，得出AB=DE。

##8##. 由上述结论和已知DE=58米，得出AB=58米。", "elements": "等腰三角形; 反射", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "直线AD和BE相交于点C，形成四个角：∠ACB、∠BCD、∠ACE和∠ECD。根据对顶角的定义，∠ACB和∠ECD是对顶角，∠BCD和∠ACE是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠BCD=∠ACE，∠ACB=∠ECD。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。", "this": "三角形ACB和三角形DCE中，边AC与边CD相等，边CB与边CE相等，且夹角ACB与夹角DCE相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形ACB和三角形DCE是全等三角形，三角形ACB的对应边和对应角与三角形DCE相等，即：边AB = 边ED 边AC = 边DC 边BC = 边EC，同时，对应的角也相等：角ACB = 角DCE 角CAB= 角CDB 角CBA = 角CED。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/869.png", "question": "已知如图,在⊙O中,OA⊥OB,∠A=35°,则弧CD的度数为()", "answer": "20°", "process": "1. 连接OC。已知OA垂直于OB，根据垂直线的定义，得出∠AOB=90°。

2. 已知∠A=35°，##因为OB=OC，所以三角形OBC是一个等腰三角形，也就是∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和为180度##，得出∠OBC=∠OCB=55°。

####

##3##. 由∠OBC=∠OCB=55°得出，根据三角形的##内角和##定理，得出∠COB=70°。

##4. 因为∠AOB=∠COB+∠COD=90°，而∠COB=70°，所以∠COD=∠AOB-∠COB=90°-70°=20°##。

##5. 根据弧的度数是弧所对的圆心角的度数，在圆内，弦CD的度数是所对应的圆心角COD的度数，最终得出弧CD的度数为20°##。", "elements": "圆; 垂线; 圆周角; 弧; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线OA和直线OB相交形成的角∠AOB是90度，因此根据垂线定义，直线OA和直线OB互相垂直。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OB和边OC相等，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BOC中，角BOC、角OCB和角OBC是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC+ 角OCB + 角OBC = 180°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4846.png", "question": "如图,DE是△ABC的中位线,已知△ABC的面积为8cm^{2},则△ADE的面积为()cm^{2}．", "answer": "2", "process": "1. 我们知道DE是△ABC的中位线，表示D和E分别是AB和AC的中点。

2. 根据三角形中位线定理，DE∥BC且DE等于BC的一半。

3. 由于D和E是AB和AC的中点，根据##相似三角形的判定定理(SAS)##，△ADE相似于△ABC。

4. 因为DE等于BC的一半，比例系数为1:2，因此相似比为1:2。

5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以△ADE和△ABC的面积比为(1/2)^2，即1:4。

6. 已知△ABC的面积为8## cm^2##，所以△ADE的面积为8 ##cm^2##除以4等于2 ##cm^2##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为2 ##cm^2##。", "elements": "中点; 普通三角形; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△ADE和△ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠EAD = ∠CAB；AD/AB = AE/AC = DE/BC = 1:2。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "三角形ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，线段DE连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段DE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即DE ∥ BC，并且DE = 1/2 * BC。"}, {"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形，边DE和边BC的比值为1:2，即相似比为1:2。所以，三角形ADE的面积与三角形ABC的面积的比值等于(1/2)^2 = 1:4。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "三角形ADE和三角形ABC中，边AD与边AB对应，边AE与边AC对应，且边AD/边AB = 边AE/边AC，并且角DAE=角BAC，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形ADE相似于三角形ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/936.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,AC=10将△ABC沿ED折叠,使点C与点A重合,则△ABE的周长等于()", "answer": "14", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，根据勾股定理，计算BC的长度。

2. 根据勾股定理，##AC^2 = AB^2 + BC^2##，代入数据得到##10^2= 6^2 + BC^2##，求解得BC = √(##10^2 - 6^2##) = √(100 - 36) = √64 = 8。

3. 因为将△ABC沿ED折叠，使得点C与点A重合，所以AE=EC。

4. 因为AE=EC，所以可以将△ABE的周长表示为AB+BE+##EC##。

####

##5##. 由此可得△ABE的周长为AB+BE+EC=AB+BC。

##6##. 将已知的AB和计算得到的BC代入，得△ABE的周长为6+8=14（厘米）。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为14（厘米）。", "elements": "直角三角形; 垂直平分线; 对称; 垂线; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "角ABC是直角（90度），边AB和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AB^2 + BC^2。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c", "this": "三角形△ABE的三边分别为AB、BE、AE，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+BE+AE。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/593.png", "question": "如图,AB∥EF,CD⊥EF于点D,若∠BCD=140°,则∠ABC的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 过点C作直线CG使CG平行于AB，由题意可得AB平行于EF且平行于CG。

2. 由于AB平行于CG，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，可以得出∠ABC = ∠BCG。

3. 根据已知条件, CD垂直于EF于点D,##AB平行于EF，AB平行于CG��所以根据平行线的传递性，EF平行于CG；根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，∠GCD=180°-∠CDF,##因此∠GCD = 90°。

4. 已知∠BCD = 140°, 由于∠BCD = ∠BCG + ∠GCD，从而可以得到∠BCG = ∠BCD - ∠GCD。

5. 代入已知条件，得∠BCG = 140° - 90° = 50°。

6. ##因为∠ABC = ∠BCG##，可得∠ABC = 50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "平行线; 垂线; 内错角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线EF位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线EF是平行线。同理，直线CG和直线AB也位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线CG和直线AB是平行线，直线CG和直线EF也位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线CG和直线EF是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CG被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：内错角∠ABC和∠BCG相等，两条平行线EF和CG被第三条直线DC所截，形成了以下几何关系：同旁内角∠GCD和∠CDF互补。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CG被一条直线BC截交，其中角ABC和角BCG位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角ABC和角BCG是内错角。内错角相等，即角ABC等于角BCG。####"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线CG和EF被第三条直线CD所截，两角GCD和角CDF在截线CD同侧，且在被截线CG和EF之内，所以角GCD和角CDF是同旁内角。同旁内角GCD和角CDF互补，即角GCD+角CDF = 180度。"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "在本题图中，直线CG和直线EF分别与直线AB平行。根据平行线的传递性，如果直线CG平行于直线AB，且直线EF也平行于直线AB，那么直线CG和直线EF互相平行。因此，直线CG平行于直线EF。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/970.png", "question": "如图,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC的长为()", "answer": "6cm", "process": "1. 已知CB=4cm, DB=7cm。

2. ####根据线段相减，得出CD=7cm-4cm=3cm。

3. 由已知条件D是AC的中点，根据线段的中点定义，AD=CD。

4. 因此，AD=3cm。

5. 根据线段相加，AC=AD+DC。

6. 所以AC=3cm+3cm=6cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6cm。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5012.png", "question": "如图,点C在线段AB上,点D是AC的中点,如果CD=3cm,AB=10cm,那么BC的长度是()", "answer": "4cm", "process": "1. 已知点D是线段AC的中点，根据中点的定义，AC的长度是CD的两倍，即AC = 2 × CD。

2. 已知CD的长度为3cm，将其代入前一步的结论，得到AC = 2 × 3 = 6cm。

3. 由线段AC和AB的关系得知，BC = AB - AC。

4. 将已知条件AB的长度10cm和AC的长度6cm代入，得到BC = 10 - 6 = 4cm。

5. 经过上述推理，最终得出BC的长度为4cm。", "elements": "线段; 中点; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/996.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′,若∠CC′B′=33°,则∠B的大小是()", "answer": "78°", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°。将△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB'C'。

2. 根据旋转的性质，AC = AC'，且####∠CAC'=90°。

3. 根据旋转的性质，旋转后形状不变，可以得出∠AB'C' = ∠B。

####

##4.## 连接CC'，在△ACC'中，因为AC = AC'且∠CAC'=90°，所以∠ACC'=45°。

##5.## 已知∠CC'B' = 33°，根据##三角形外角定理##，∠AB'C' = ∠ACC' + ∠CC'B'。

##6.## 即∠AB'C' = 45° + 33° = 78°。

8. 因此∠B ##=∠AB'C' ##= 78°。", "elements": "直角三角形; 旋转; 对顶角; 邻补角; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。##"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "在本题图中，三角形ACC'中，边AC和边AC'相等，因此三角形ACC'是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形△ACC'中，边AC和边AC'相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ACC' = ∠AC'C。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角ACC'、角CC'A和角C'AC是三角形ACC'的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACC' + 角CC'A + 角C'AC = 180°。"}, {"name": "三角形外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形B'C'C中，角B'C'C和角B'CC'是和角C'B'A不相邻的两个内角，根据三角形外角定理，∠C'B'A = ∠B'C'C + ∠B'CC'。##"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形B'C'C的一个内角为∠CB'C'，延长该内角的相邻边CB'和B'C'形成的角∠AB'C'称为内角∠CB'C'的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/620.png", "question": "如图所示,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AB=4,BC=3,则四边形CODE的周长是()", "answer": "10", "process": "1. 已知CE∥BD和DE∥AC，根据##平行四边形的定义##，可知四边形CODE是平行四边形。

2. 由四边形ABCD是矩形，根据##矩形的对角线性质##，得出##AC=BD，##OC=OD。

3. 计算矩形ABCD的对角线AC和BD的长度。##根据矩形的定义，可知∠ABC=90°，再根据直角三角形的定义，可得三角形ABC是一个直角三角形，由##已知的AB=4和BC=3，根据勾股定理，AC=BD=##√(AB^2+BC^2)=√(4^2+3^2)##=5。

4. 因为AC和BD相交于点O，且OC=OD，##根据矩形的对角线性质，##得出OC=OD=(1/2)AC=2.5。

5. 因为四边形CODE是个平行四边形且OC=OD，##根据菱形的定义，可得##四边形CODE是菱形。

6. 菱形CODE的边长等于OC或OD，即2.5。##根据菱形的周长公式，可知##菱形的周长等于4倍的边长。

7. 四边形CODE的周长为2.5×4=10。

8. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "矩形; 对称; 平行线; 线段; 平行四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，由于CE∥BD和DE∥AC，四边形CODE的两组对边分别平行。具体来说，边CE与边DO平行且相等，边DE与边OC平行且相等。因此，四边形CODE是一个平行四边形。"}, {"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形CODE中，所有的边CO、OD、DE、EC都是相等的，因此四边形CODE是一个菱形。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "在本题图中，矩形ABCD中，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。对角线AC和BD相等��互相平分，即对角线AC与对角线BD的交点O是两条对角线的中点。因此，线段OC等于线段OD，线段OA等于线段OB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，∠ABC是直角（90度），边AB和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AB^2 + BC^2，即AC = √(AB^2 + BC^2) = √(4^2+ 3^2) = 5。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠ABC, ∠BCA, ∠CDA, ∠DAB都是直角（90度），且边AB与边DC平行且等长，边DA与边CB平行且等长。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。####"}, {"name": "菱形的周长公式", "content": "菱形的周长等于其边长的四倍，即C=4*a。", "this": "菱形CODE中，边OC是菱形的边，根据菱形的周长公式，菱形的周长等于其边长的4倍，即 C = 4xOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5049.png", "question": "如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为22cm,AB比AC长3cm,则△ACD的周长为()", "answer": "19cm", "process": "1. 由题意得，AB比AC长3厘米，即AB = AC + 3厘米。

2. 由于AD是△ABC的中线，##根据三角形中线的定义，##所以BD = DC。

3. ##根据三角形的周长公式，已知##△ABD的周长为22厘米，因此ABD的所有边的和为22厘米，即AB + BD + AD = 22厘米。

4. 用AC代替AB，我们得到AC + 3 + ##BD## + AD = 22厘米。

5. 结合第二步，我们有DC = BD，因此式子变为AC + 3 + ##DC## + AD = 22厘米。

6. ##根据三角形的周长公式，可知△ACD的周长=AD+AC+DC，代入第五步中得AD+AC+DC=22厘米-3。##

####

##7##. 因此，△ACD的周长为AC + DC + AD = 19厘米。", "elements": "普通三角形; 线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "三角形ABC中，顶点A是三角形的一个顶点，对边BC是与顶点A相对的边。点D是边BC的中点，线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段，因此AD是三角形ABC的一条中线。######"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "在本题图中，已知三角形ABD的三边分别为AB、AD、BD，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AD+BD。同理，三角形ACD的三边分别为AC、AD、CD，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AC+AD+CD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5059.png", "question": "如图, 线段AB=20, C为AB的中点, D为CB上一点, E为DB的中点, 且EB=3, 则CD等于()", "answer": "4", "process": "1. 已知E为DB的中点，且EB=3，根据中点的定义，BD=2×EB=2×3=6。

2. 已知线段AB=20，C为AB的中点，根据中点的定义，CB=AC=AB/2=20/2=10。

3. 由CB=10和BD=6，得出CD=CB-BD=10-6=4。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点C。根据线段中点的定义，点C将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AC和线段CB的长度相等。即，AC = CB = 10。线段DB的中点为点E，根据线段中点的定义，点E将线段DB平分为两个相等的部分，即线段DE和线段EB的长度相等。即，DE = EB = 3。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和B，且线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5082.png", "question": "如图,在△ABC中,∠B=∠C,D为BC边上一点,E点在AC边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE=()", "answer": "12°", "process": "1. 已知∠B=∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，∠BAD=24°。

2. 根据三角形的外角定理，∠ADC是△ABD的外角，因此∠ADC=∠B+∠BAD。

3. 推出∠ADC=∠B+24°。

4. 根据三角形的外角定理，∠AED是△CDE的外角，因此∠AED=∠C+∠EDC。

5. 由于∠B=∠C，且已知∠ADE=∠AED，故∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC。

6. 因此∠C+∠EDC=∠B+24°-∠EDC。

7. 由于已知∠B=∠C，可以合并得##2∠EDC=24°##。

8. 解得∠EDC=12°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDE=12°。", "elements": "等腰三角形; 普通三角形; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，∠ADC 是△ABD 的外角，依据三角形的外角定理，∠ADC=∠B+∠BAD。同理，∠AED 是 △CDE 的外角，依据三角形的外角定理，∠AED=∠C+∠EDC。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5073.png", "question": "如图,C,D是线段AB上两点．若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AB=()", "answer": "10cm", "process": "1. 已知CB=4 cm，DB=7 cm，根据线段和差计算方法，得出CD=7 cm - 4 cm = 3 cm。

2. D是AC的中点，根据中点的定义，可知AD = CD = 3 cm。

3. 根据线段相加的性质，AB = AD + DB = 3 cm + 7 cm = 10 cm。

4. 经过上述推理，最终得出AB的长度为10 cm。", "elements": "线段; 中点; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和B，且线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间。线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段AC具有两个端点，这两个端点分别是A和C，且线段AC上的每一个点都位于端点A和端点C之间。线段AD是一个直线的一部分，包含端点A和端点D及其间的所有点。线段AD具有两个端点，这两个端点分别是A和D，且线段AD上的每一个点都位于端点A和端点D之间。线段CD是一个直线的一部分，包含端点C和端点D及其间的所有点。线段CD具有两个端点，这两个端点分别是C和D，"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/4990.png", "question": "如图,已知直线a∥b∥c,直线d与它们分别垂直且相交于A,B,C三点,若AB=3,AC=8,则平行线b,c之间的距离是()", "answer": "5", "process": "1. 已知平行线a∥b∥c，并且直线d与它们分别垂直且相交于A点、B点和C点。

2. 根据##平行线之间的垂直距离##，AB段的长度为3，且AB是平行线a和b之间的距离。

3. ##根据平行线之间的垂直距离##，AC段的长度为8，且AC是平行线a和c之间的距离。

4. ##根据线段的定义，##BC段的长度可以通过AC段的长度减去AB段的长度得到，即BC = AC - AB。

5. 将已知数据代入，得到BC = 8 - 3。

6. 计算得出BC的长度为5，即直线b与直线c之间的距离为5。", "elements": "平行线; 垂线; 直线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线a、b、c位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线a、b、c是平行线，即a ∥ b ∥ c。####"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点。"}, {"name": "平行线之间的垂直距离", "content": "平行线之间的垂直距离是指任意一点到另一条直线的垂直线段的长度。", "this": "AB是平行线a和b之间的距离，AC是平行线a和c之间的距���。BC是平行线b和c之间的距离。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/884.png", "question": "如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为()", "answer": "19cm", "process": "1. 已知DE是AC的垂直平分线，且AE = 3 cm。

2. 根据垂直平分线的性质，AC被平分，因此AE = CE = 3 cm，AD = DC。

3. 已知△ABD的周长为13 cm，##根据三角形的周长公式，可得##AB + BD + AD = 13 cm。

4. ##根据三角形的周长公式，可得##△ABC的周长 = AB + BC + AC = AB + BD + DC + 2 * AE。

5. 由于AD = DC，所以把AD替换为DC，在△ABC中有周长= AB + BD + DC + 2 * 3 cm。

6. 依上得，△ABC的周长 = AB + BD + AD + 6 cm = 13 cm + 6 cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为19cm。", "elements": "垂直平分线; 等腰三角形; 线段; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，DE经过线段AC的中点E，并且DE垂直于线段AC。因此，DE是线段AC的垂直平分线。具体来说，AE = CE = 3 cm。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "在本题图中，线段AC的垂直平分线为直线DE，点D在直线DE上。根据垂直平分线的性质，点D到线段AC两端点A和C的距离相等，即AD = DC,####AE = CE。##"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AC+BC。同理，已知三角形ABD的三边分别为AB、AD、BD，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AD+BD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5195.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接OD、CB、AC,∠DOB=60°,EB=2,那么CD的长为()", "answer": "4√{3}", "process": "1. 已知 ∠DOB=60°，根据圆周角定理，得出 ∠BCE=30°。

2. 在直角三角形 ΔBCE 中，已知 BE=2 和 ∠BCE=30°。

3. 根据30°-60°-90°三角形性质，BC = 2×BE=4。

4. 根据勾股定理，在直角三角形 ΔBCE 中，CE=√(##BC^2##-##BE^2##)=√(##4^2##-##2^2##)=2√3。

5. 因为 AB 是 ⊙O 的直径，且 AB ⊥ CD ，根据##垂径定理##，得出 CD=2×CE=4√3。

6. 根据上述推理，最终得出答案为 CD 的长度为 4√3。", "elements": "圆; 垂线; 直角三角形; 弦; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆 O 中，∠BCD 的顶点C 在圆周上，∠BCD 的两边分别与圆 O 相交于点 B 和点 D。因此，∠BCD是一个圆周角。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形BCE中，角BEC是直角（90度），因此三角形BCE是一个直角三角形。边BE和边CE是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°##三角形BCE##中，角BCE是30度，角BEC是##90度##，角CBE是##60度##。边BC是斜边，边BE是30度角所对的边，边CE是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边BE的2倍，边CE等于边BE的√3倍。即：BC = 2 * BE，CE = BE * √3。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点B、C、D在圆上，弧BD####对应的圆心角为∠DOB=60°，圆周角为∠BCD。根据圆周角定理，∠BCD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠DOB的一半，即∠BCD = 1/2 ∠DOB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在直角三角形 △BCE 中，∠BEC 是直角（90度），边 CE 和 BE 是直角边，边 CB 是斜边，所以根据勾股定理，CE^2 = BC^2 - BE^2。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，那么根据垂径定理，直径 AB 平分弦 CD，即 CE = ED，并且直径 AB 平分弦 CD 所对的两条弧，即 弧 BC = 弧 BD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/728.png", "question": "如图△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=()", "answer": "4.5cm", "process": "1. 已知△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E。根据##垂线定义，可知∠DEA=90°##。

2. 由于AD是##∠BAC##的角平分线，##根据角平分线定义，得出∠DAE=∠DAC##。

####

##3. 在ΔADE和ΔADC中，因为∠DAE=∠DAC，∠DEA=∠DCA=90°，AD为∠DEA和∠DCA的对边，所以根据全等三角形判定定理(AAS)，ΔADE全等于ΔADC。##

##4. 根据全等三角形的定义，可知DE=DC。##

####

##5##. 因为DC等于DE且等于1.5cm，####BD等于3cm，##所以##BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为4.5cm。", "elements": "直角三角形; 垂线; 线段; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角BAC的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角BAC分成两个相等的角，即角BAD和角CAD相等。因此，线AD是角BAC的角平分线。######"}, {"name": "全等三角形判定定理(AAS)", "content": "两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。", "this": "三角形ADE和三角形ADC中，角DEA等于角DCA，角DAE等于角DAC，边AD等于AD。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则(AAS)，可以得出三角形ADE全等于三角形ADC。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线DE和直线AB相交形成的角∠DEA是90度，因此根据垂线定义，直线DE和直线AB互相垂直。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ADE和三角形ADC是全等三角形，边AE = 边AC 边AD = 边AD 边DE = 边DC，同时，角DEA = 角DCA 角DAE= 角DAC 角ADE = 角ADC。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5198.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于点E,若半径为5,OE=3,则CD的长是()", "answer": "8", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E。

2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此CE = CD的一半。

3.##连接OC，## 在直角三角形△OCE中，OE是直角边之一，OC是斜边。

4. 由直角三角形的勾股定理，OC^2 = OE^2 + CE^2。

5. 已知OC = 5，OE = 3，则5^2 = 3^2 + CE^2。

6. 解方程得到CE^2 = 25 - 9 = 16，所以CE = √16 = 4。

7. 因为CE = CD的一半，所以CD = 2 * CE = 2 * 4 = 8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 垂直平分线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * 5。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点B、点C是圆上的任意一点，线段OA和线段OB、线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB、线段OC是圆的半径，且长度为5。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OCE中，角OEC是直角（90度），因此三角形OCE是一个直角三角形。���OE和边CE是直角边，边OC是斜边。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径AB垂直于弦CD于点E，那么根据垂径定理，直径AB平分弦CD，即CE=ED，并且直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧CA=弧AD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "角OEC是直角（90度），边OE和CE是直角边，边OC是斜边，所以根据勾股定理，OC^2= OE^2 + CE^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5225.png", "question": "如图,AB=8cm,AD=BC=5cm,则CD等于()", "answer": "2cm", "process": "1. 已知 AB = 8cm，AD = 5cm，根据减法原理，可以得出 BD = AB - AD = 3cm。

2. 已知 BC = 5cm，再根据减法原理，可以得出 CD = BC - BD = 2cm。

3. 因此，我们可以得出 CD 的长度为 2cm。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段AB、AD、BC、BD和CD都是线段。线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AD是一个直线的一部分，包含端点A和端点D及其间的所有点。线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点。线段BD是一个直线的一部分，包含端点B和端点D及其间的所有点。线段CD是一个直线的一部分，包含端点C和端点D及其间的所有点。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5301.png", "question": "如图,点C在线段AB上,点E是AC中点,点D是BC中点．若ED=6,则线段AB的长为()", "answer": "12", "process": "1. 已知点E是线段AC的中点，根据定义，线段AC被E平分，即AE = CE。

2. 同理，点D是线段BC的中点，根据定义，线段BC被D平分，即BD = CD。

3. 根据题目所给条件，点C在线段AB上，因此线段AB可以表示为AC与CB的和。

4. 由步骤1和步骤2的结论，AE = 1/2 AC，CE = 1/2 AC，BD = 1/2 BC，CD = 1/2 BC。

5. ##由题目和以上公式可知，AB=AC+BC=2EC+2CD=2(EC+CD)=2ED。##

6. 已知ED的长度为6，因此可以通过代入上面公式得出AB的长度，即AB = 2 × 6。

7. 最终得出AB的长度为12。", "elements": "线段; 中点; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "点E是线段AC的中点。因此根据线段中点的定义，点E将线段AC平分为两个相等的部分，即AE = CE。同理，点D是线段BC的中点，因此点D将线段BC平分为两个相等的部分，即BD = CD。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5319.png", "question": "如图,已知∠1=40°,∠A+∠B=140°,则∠C+∠D的度数为()", "answer": "80°", "process": "1. 已知角1的度数为40°，##连接CD，设角CDE为角2，角DCE为角3，##根据三角形内角和定理，三角形的内角和等于180°，因此可以得出角1 + 角2 + 角3 = 180°。

2. 根据三角形内角和定理，将角1的度数代入，得出角2 + 角3 = 180° - 40° = 140°。

3. ##根据四边形的内角和定理，可知四边形的内角和等于360°，因此##四边形ABCD的##内角和##为360°，即角A + 角B + 角ADC + 角BCD = 360°。

4. 已知角A + 角B的度数为140°，由此可得角ADC + 角BCD = 360° - 140° = 220°。

5. 四边形ABCD内的角BCE和角ADE##的和##应当为220°减去已经算出的角2和角3的和，即角BCE + 角ADE = 220° - 140° = 80°。

6. 经过上述推理，最终得出角C和角D的度数和为80°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形CDE中，角CED、角CDE和角DCE是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角CED + 角CDE +角DCE = 180°。特别地，我们���道角CED = 40°，所以可以得出：角CDE + 角DCE = 140°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形ABCD中，角ADC、角DCB、角CBA和角BAD是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角ADC + 角DCB + 角CBA + 角BAD = 360°。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形CDE是由三个非共线点C、D、E及其连接线段CD、CE、DE组成的几何图形。点C、D、E分别是三角形的三个顶点，线段CD、CE、DE分别是三角形的三条边。"}, {"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和DA组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D，并且有四个内角，分别是角ABC, 角BCD, 角CDA和角DAB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5251.png", "question": "如图,C,D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AB的长等于()", "answer": "10cm", "process": "1. 已知CB的长度为4厘米，DB的长度为7厘米，依据线段相减得出CD的长度为3厘米。

2. 由D是AC的中点，根据##线段中点##，得出AD等于CD，AD的长度为3厘米。

3. 依据线段相加，AB可以表示为AD与DB的和，因此AB的长度等于3厘米加上7厘米，即10厘米。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段CB和线段DB也是线段，它们分别由端点C到端点B、端点D到端点B的所有点组成。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/964.png", "question": "如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABE,DE⊥BC,如果BC=10cm,则△DEC的周长是()", "answer": "10cm", "process": "1. 由已知∠A=90°且AB=AC，结合##等腰直角三角形的定义##得出△ABC为等腰直角三角形。

2. 根据##勾股定理，得到AB^2＋AC^2＝BC^2，因AB=AC，所以有2AB^2＝BC^2，两边同时开根号，得√2AB＝√2AC＝BC##，即AB=AC=10cm/√2=5√2cm。

3. 因为BD平分∠ABE，且DE⊥BC####。

4. 根据##BD=BD，∠ABD=∠EBD，∠BAD＝∠DEB，由三角形内角和定理可知，∠ADB＝∠EDB＝180°-∠ABD-90°＝180°-∠EBD-90°##，得出△ABD≌△EBD（##ASA，即角边角定理）。

5. 因为△ABD≌△EBD，由全等三角形的定义可知AB=BE。

6.##因为BC＝BE＋EC，BE＝AB＝5√2，所以可求EC等于10-5√2。##

7.##因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠C＝45°，因为DE⊥BC，所以∠DEC为90°，由三角形内角和定理可知，∠C＝∠EDC＝180°-90°-45°＝45°。由等腰三角形的性质可知，直角三角形DEC的两个直角边DE和CE相等，再由等腰直角三角形的定义可知，三角形DEC也是等腰直角三角形。##

8. ##由勾股定理可推出等腰直角三角形三边比例关系为1：1：√2，可求DC＝10√2-10##

##9.由三角形的周长公式可知，三角形DEC周长为DC＋2EC＝10.##

####", "elements": "直角三角形; 垂线; 等腰三角形; 线段; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边。##三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AB、AD、BD组成的几何图形。点A、B、D分别是三角形的三个顶点，线段AB、AD、BD分别是三角形的三条边。三角形EBD是由三个非共线点E、B、D及其连接线段BE、DE、BD组成的几何图形。点E、B、D分别是三角形的三个顶点，线段BE、DE、BD分别是三角形的三条边。三角形DEC是由<"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形ABC是等腰直角三角形，其中角BAC是直角（90度），边AB和边AC是相等的直角边。##三角形DEC是等腰直角三角形，其中角DEC是直角（90度），边DE和边EC是相等的直角边。##"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角ABE的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABE分成两个相等的角，即角ABD和角EBD相等。因此，线BD是角ABE的角平分线。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线DE和直线BC相交形成的角∠DEC是90度，因此根据垂线定义，直线DE和直线BC互相垂直。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，##∠BAC##是直角（90度），边AB和AC是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，##BC^2= AB^2 + AC^2##。"}, {"name": "全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）", "content": "如果一个三角形的两角和它们夹着的一边分别等于另一个三角形的两角和它们夹着的一边，则这两个三角形全等。", "this": "∠ABD=∠EBD=45°，∠BAD=∠BED=90°，且BD=BD。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形ABD全等于三角形EBD。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "三角形ABD和三角形EBD是全等三角形，三角形ABD的对应边和对应角与三角形EBD相等，即：\n边BD = 边BD\n边AD = 边ED\n边AB = 边EB，同时，对应的角也相等：\n角EBD = 角DBA\n角DEB = 角DAB\n角ADB = 角EDB."}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c", "this": "三角形EDC的三边分别为EC、DC、ED，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=EC+DC+ED。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ABD、角BAD和角ADB是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABD + 角BAD + 角ADB = 180°。三角形BDE中，角BDE、角BED和角DBE是三角形BDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角BDE + 角BED + 角DBE = 180°。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "等腰三角形DEC中，角EDC和角ECD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边ED = 边EC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/968.png", "question": "如图,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()", "answer": "60cm", "process": "1. 已知中位线EF=15厘米，根据梯形的中位线等于上底和下底之和的一半，得出梯形的两底之和等于中位线的2倍，即EF的2倍=30厘米。

2. 由题意，圆外切四边形ABCD，根据圆外切四边形的性质，两组对边之和相等，因此梯形的两腰AB和CD的和等于两底之和，即AB+CD=30厘米。

3. 由于梯形的周长等于两底和两腰之和，所以ABCD的周长=上底+下底+AB+CD=30厘米+30厘米=60厘米。

4. 最终得出答案为60厘米。", "elements": "圆; 等腰三角形; 切线; 梯形; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆外切四边形的性质", "content": "四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形。圆的外切四边形的两组对边的和相等", "this": "四边形ABCD是一个圆外切四边形，四边分别与圆相切。根据圆外切四边形的性质，四边形ABCD的两组对边的和相等，即边AB+边CD=边AD+边BC。"}, {"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "边AD和边BC是平行的，而边AB和边DC不平行。因此，根据梯形的定义，四边形ABCD是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "梯形中位线定理", "content": "梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。", "this": "在本题图中，梯形ABCD中，##边AD##和##边BC##是梯形的两条底边，点E和点F是梯形两腰的中点，线段EF是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段EF平行于##边AD##和##边BC##，并且线段EF的长度等于##边AD##和##边BC##长度和的一半，即EF = (##AD## + ##BC##) / 2。由于已知EF = 15厘米，因此##AD + BC## = 2 * 15 = 30厘米。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5112.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,O是圆心,弦CD⊥AB于E,AB=10,CD=8,则OE的长为()", "answer": "3", "process": "1. 连接OC。已知AB是⊙O的直径，AB = 10，圆心O到圆周上任意一点的距离都是半径，所以OC = 半径 = 10 / 2 = 5。

2. 已知弦CD垂直于直径AB，并且交于E点，由于CD ⊥ AB, 则##∠OEC## = 90°。根据##垂径定理##，可知CD被直径AB垂直平分，即CE = ED = CD / 2 = 8 / 2 = 4。

3. 三角形OEC是一个直角三角形，其中∠OEC = 90°，OC = 5，CE = 4。

4. 根据勾股定理（直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和）。在三角形OEC中，##OE? + CE? = OC?##。

5. 代入已知数值，有##OE? + 4? = 5? ##。

6. 解此方程，##OE? ## + 16 = 25。

7. 得出##OE? ##= 25 - 16 = 9。

8. 所以OE = √9 = 3。

9. 因此，OE的长度为3。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * 半径 = 10。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点C是圆上的任意一点，线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OC是圆的半径。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形OEC中，角OEC是直角（90度），因此三角形OEC是一个直角三角形。边OE和边CE是直角边，边OC是斜边。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB垂直于弦CD，那么根据垂径定理，直径AB平分弦CD，即CE = ED = CD / 2 = 4，并且直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧AC = 弧AD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形OEC中，角OEC是直角（90度），边OE和CE是直角边，边OC是斜边，所以根据勾股定理，OC? = OE? + CE?。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5360.png", "question": "如图,点O在直线AB上,若∠2=140°,则∠1的度数是()", "answer": "40°", "process": "1. 已知直线AB和点O，根据题意图示，如图所示。

2. 由于点O在直线AB上，##根据平角的定义，可知##∠AOB为直线上的角，##∠AOB=180度。##

3. 由题意得∠AOB=∠1+∠2。

4. 由题中已知条件，∠2=140°。

5. 代入得到∠1+∠2=180°，即∠1+140°=180°。

6. 解此方程得：∠1=40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "邻补角; 直线; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "角AOB是由两条射线AO和OB组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点O。这个共同的端点O称为角AOB的顶点，而射线AO和OB称为角AOB的边。######"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/942.png", "question": "如图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E、D、B、F在同一条直线上,若∠ADE=125°,则∠DBC的度数为()", "answer": "55°", "process": "####

##1.## 由题意知直线AD平行于直线CB。

##2. 因∠ADE和∠ADF互补，所以∠ADE+∠ADF=180°##

##3.# 题中已知∠ADE=125°，所以##∠ADF=55°##。

##4. 因为直线AD平行于直线CB，所以∠ADF和∠CBD互为内错角，∠ADF=∠CBD=55°

####

##5.## 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "平行线; 内错角; 对顶角; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "直线AD平行于直线CB，∠ADF和∠DBC是内错角，根据内错角定理，可以得出∠ADF=∠DBC，即55°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被一条直线EF截交，其中角ADF和角CBD位于两平行线之间，且在截线EF的对侧，因此角ADF和角CBD是内错角。内错角相等，即角ADF等于角CBD。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角", "this": "角ADE和角ADF有一条公共边DA，它们的另一边DE和DF互为反向延长线，所以角ADE和ADF互为邻补角。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5369.png", "question": "设BF交AC于点P,AE交DF于点Q．若∠APB=126°,∠AQF=100°,则∠A-∠F=()", "answer": "46°", "process": "1. 根据题意，已知 ∠APB = 126°，∠AQF=100°。设AE与BF的交点为G。

3. 在三角形APG中，根据外角定理，得 ∠APB = ∠A + ∠AGP。

4. 在三角形QFG中，根据三角形内角和定理，得 ∠F + ∠FGQ + ∠GQF=180°。

5.代入∠APB = 126°，∠GQF=100°。

6. 得到：126° = ∠A + ∠AGP，80° = ∠F + ∠QGF。

7. 因为 ∠AGP和 ∠QGF是对顶角，∠AGP= ∠QGF。

8. 解方程，得到 ∠A - ∠F = 46°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为46°。", "elements": "对顶角; 普通三角形; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形QGF中，角F、角GQF和角QGF是三角形APB的三个内角，根据三角形内角和定理，角F+角GQF+角QGF= 180°。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形APG中，∠APB是三角形的一个外角，∠A和∠AGP是不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角∠APB等于不相邻的两个内角∠A和∠AGP之和，即∠APB = ∠A + ∠AGP。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，线段BF与AE相交于点G，形成四个角：∠BGE、∠AGF、∠AGP和∠FGQ。根据对顶角的定义，∠AGP和∠FGQ是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AGP=∠FGQ。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形APG的一个内角为∠APG，延长该内角的相邻边GP和AP形成的角∠APB称为内角∠APG的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5470.png", "question": "如图,A,B,C,D四点都在⊙O上,∠BOD=110°,则∠BCD的度数为()", "answer": "125°", "process": "1. 根据题意, 四点A, B, C, D都在⊙O上, 且已知∠BOD=110°。

2. 由圆周角定理可知, ∠BAD (即∠BCD的对角) 等于所对的圆心角的一半，即∠BAD=∠BOD/2=55°。

3. 因为四边形ABCD是圆内接四边形，且圆内接四边形的对角互补，所以∠BCD=180°-∠BAD。

4. 由此得出, ∠BCD=180°-55°=125°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为125°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，####⊙O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与####⊙O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。同样，角BCD的顶点C在圆周上，角BCD的两边分别与####⊙O相交于点B和点D。因此，角BCD是一个圆周角。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。##"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，##点A、B、D##在圆上，##弧BD##对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的##弧BD##所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形的顶点A, B, C, D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°；∠ABC + ∠CDA = 180°。所以∠BAD与∠BCD互补，即∠BCD=180°-∠BAD=180°-55°=125°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5376.png", "question": "如图,BD,CE分别是△ABC的高线和角平分线,且相交与点O,若∠BCA=70°,则∠BOE的度数是()", "answer": "55°", "process": "1. 已知##BD是△ABC的高线。根据高的定义，得BD垂直于AC，即##∠BDC=90°。

2. 由书籍CE是△ABC的角平分线##，根据角平分线的定义，CE##平分∠ACB,已知∠ACB=70°，可得∠ECB=∠ECA=35°。

####

##3##. ##在直角三角形COD中，根据三角形内角和定理，可以得出∠COD=180°-90°-35°=55°。##

##4##. ##根据对顶角的定义##，∠BOE=∠COD=55°。", "elements": "垂线; 普通三角形; 垂直平分线; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点B垂直于对边AC的线段BD是该顶点B的高。线段BD与边AC形成一个直角（90度），这说明线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离。"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ACB的顶点是点C，从点C引出一条线CE，这条线将角ACB分成两个相等的角，即∠ECB和∠ECA相等。因此，线CE是角ACB的角平分线。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ODC中，角OCD、角CDO和角DOC是三角形ODC的三个内角，根据三角形内角和定理，角OCD +角CDO + 角DOC= 180°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线CE和BD相交于点O，形成四个角：角EOD、角COB、角BOE和角COD。根据对顶角的定义，角EOD和角COB是对顶角，角BOE和角COD是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角EOD=角COB，角BOE=角COD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5458.png", "question": "如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A=40°,∠P=38°,则∠C的度数为()", "answer": "36°", "process": "1. 根据题意，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC。

2. ##根据角平分线定义，所以##∠ADP = ∠PDC，∠CBP = ∠PBA。####

3. 由已知条件∠A = 40°，∠P = 38°。

4. 设∠ABP = x，则∠CBP = x####。

5. 设∠ADP = y，则∠PDC = y####。

6. ##根据多边形的外角定义，可知∠AED的外角为∠DEB，∠PEB的外角为∠DEB。同理，∠CFB的外角为∠BFD，∠PFD的外角为∠BFD，因此根据三角形的外角定理，可以得到两个等式∠A + ∠ADP = ∠P + ∠ABP和∠C + ∠CBP = ∠P + ∠PDC。##

7. 代入已知条件，得出40° + y = 38° + x 和 ∠C + x = 38° + y。

8. 由于BP和DP平分角，可以通过各自角度的和等于外角之和来解出∠A + ∠C = 2∠P。

9. 所以40° + ∠C = 2 × 38°。

10. 化简上述表达式，得到∠C = 2 × 38° - 40°。

11. 计算得出∠C = 36°。

12. 经过上述推理，最终得出答案为36°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 对顶角; 邻补角; 射线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BP，这条线将角ABC分成两个相等的角，即∠CBP和∠PBA相等。因此，线BP是角ABC的角平分线。同理，角ADC的顶点是点D，从点D引出一条线DP，这条线将角ADC分成两个相等的角，即∠ADP和∠PDC相等。因此，线DP是角ADC的角平分线。####"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "##在本题图中，三角形PEB中，角DEB是三角形的一个外角，角EPB和角EBP是与外角DEB不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角DEB等于不相邻的两个内角EPB和EBP之和，即角DEB = 角EPB + 角EBP。\n\n同理，三角形AED中，角DEB是三角形的一个外角，角EAD和角EDA是与外角DEB不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角DEB等于不相邻的两个内角EAD和EDA之和，即角DEB = 角EAD + 角EDA。\n\n同理，三角形PFD中，角BFD是三角形的一个外角，"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形AED是由三个非共线点A、E、D及其连接线段AE、AD、DE组成的几何图形。点A、E、D分别是三角形的三个顶点，线段AE、AD、DE分别是三角形的三条边。同理，三角形PEB是由三个非共线点P、E、B及其连接线段PE、PB、BE组成的几何图形。点P、E、B分别是三角形的三个顶点，线段PE、PB、BE分别是三角形的三条边。同理，三角形PFD是由三个非共线点P、F、D及其连接线段PF、PD、FD组成的几何图形。点P、F、D分别是三角形的三个顶点，线段PF、PD、FD分别是三角形的三条边。同理，三角形CF"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5474.png", "question": "如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=110°,则∠BOD的度数是()", "answer": "140°", "process": "1. 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，并且已知∠BCD=110°。

2. 根据圆内接四边形的性质，对应的对角互补，即四边形ABCD中∠A与∠C互补。根据这一性质，我们得到∠A = 180° - ∠BCD。

3. 根据计算，得∠A = 180° - 110° = 70°。

4. 由圆周角定理得，圆心角是同一弧所对的圆周角的两倍。因此，∠BOD = 2∠A。

5. 根据计算，得∠BOD = 2 x 70° = 140°。

6. 因此，最终得出答案是140°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 圆心角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即∠A + ∠C = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠A + ∠C = 180°####。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、D在圆上，弧BD与弧BAD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5192.png", "question": "如图所示，P是⊙O的弦AB上的一点，AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径为cm。", "answer": "7", "process": "1. 已知点P是⊙O的弦AB上的一点，AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm。

2. 过点O作OD垂直于AB线段，D为垂足，连接OB。

3. 由于AB是弦##，根据垂径定理，##AB被D垂直平分，即BD=5cm。

4. 由AP=4cm可得出PB=AB-AP=10cm-4cm=6cm，因此DP=6cm-5cm=1cm。

5. 在直角三角形ODP中，根据勾股定理，OD=√(##OP^2-DP^2##)=√(##5^2-1^2##)=2√6。

6. ##连接OB，##在直角三角形ODB中，根据勾股定理，OB=√(##OD^2+BD^2##)=√(##（2√6）^2+5^2##)=√(24+25)=√49=7cm。

7. 经过上述推理，最终得出⊙O的半径为7cm。", "elements": "圆; 弦; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ODP中，角ODP是直角（90度），因此三角形ODP是一个直角三角形。边OD和边DP是直角边，边OP是斜边。##同理，三角形ODB中，角ODB是直角（90度），因此三角形ODB是一个直角三角形。边OD和边DB是直角边，边OB是斜边。##"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题中，△OPD为直角三角形，∠ODP=90°，边OD和DP是直角边，边OP是斜边，所以根据勾股定理，OP^2 = OD^2 + DP^2。已知OP=5cm，DP=1cm，所以OD=√(5^2-1^2)=2√6 cm。同时，△ODB也是直角三角形，∠ODB=90°，边OD和BD是直角边，边OB是斜边，所以根据勾股定理，OB^2 = OD^2+ BD^2，其中OD=2√6 cm，BD=5cm，所以OB=√((2√6)^2 + 5^2)=√49=7cm。OB即为圆O的半径。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "点O为圆心，OD垂直于弦AB，且D为垂足，根据垂径定理，直径OD平分弦AB，即AD=DB=5厘米，并且OD所在的直径平分弦AB所对的两条弧。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5501.png", "question": "如图,PA,PB切⊙O于点A,B,点C是⊙O上一点,且∠P=36°,则∠ACB=()", "answer": "72°", "process": "1. 如图所示，连接OA和OB，OA和OB是圆O的半径。

2. 根据已知条件，PA和PB为圆O的切线，因切线和圆半径垂直，因此有∠PAO = ∠PBO = 90°。

####

##3. ##已知∠P = 36°，所以有##∠AOB = 360° - ∠PAO - ∠PBO -∠P = 360°- 90°-90°- 36° = 144°##。

##4. ##根据圆周角定理，弧AB的圆周角∠ACB等于所对圆心角∠AOB的一半，因此有∠ACB = 1/2 * ∠AOB = 1/2 * 144° = 72°。

##5.## 经过上述推理，最终得出答案为∠ACB = 72°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 圆内接四边形; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆 O 与直线 PA 和 PB 分别有且只有一个公共点 A 和 B，这两个公共点叫做切点。因此，直线 PA 和 PB 是圆 O 的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A和点B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠PAO=90度，∠PBO=90度。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "∠PAO = ∠PBO = 90°，所以有 ∠APB + ∠AOB + 2 * 90° = 360°，得 ∠AOB = 144°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5576.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinB等于()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "####

##1. 在直角三角形ABC中，AB边是直角三角形ABC的斜边，AC边是∠ABC的对边，AB=10，AC=8。##

##2.## 根据正弦函数定义，对于直角三角形ABC中，sin(∠ABC)等于对边AC比上斜边AB。

##3.## 通过计算，sin(∠ABC)=AC/AB=8/10=4/5。

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为4/5。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角ABC是锐角，边AC是角ABC的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角ABC的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin(∠ABC) = AC / AB = 8 / 10 = 4 / 5。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5215.png", "question": "如图,半径为5的圆O中,弦AB的长为8,则圆心O到弦AB的距离为()", "answer": "3", "process": "1. 已知圆O的半径为5，弦AB的长度为8。

2. 连接线段OA和OB，##设OC垂直AB于C##。

3. 根据##垂径定理##，即OC垂直于AB，并且AC等于CB。

4. 因此可得AC=CB=##(1/2)##AB=4。

5. 在直角三角形△OAC中，根据勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

6. 根据勾股定理，可得OC=##√（OA^2 - AC^2）##。

7. 带入已知条件，OC=##√（5^2 - 4^2）##。

8. 计算得OC=##√(25 - 16)=√(9)##=3。

9. 所以，圆心O到弦AB的距离为3。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段##。##", "this": "点O是圆心，点A和点B是圆上的任意两点，线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OB是圆的半径，长度为5。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，线段OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，线段OC平分弦AB，即AC=CB=##(1/2)##AB=4####。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形OAC中，∠OCA是直角（90度），边OC和AC是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，##OA^2= OC^2 + AC^2##。##"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形OAC中，角OCA是直角（90度），因此三角形OAC是一个直角三角形。边OC和边AC是直角边，边OA是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5350.png", "question": "如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为O,且AC=12,BD=9,则四边形ABCD的面积是()", "answer": "54", "process": "1. 已知四边形ABCD中，AC垂直BD，垂足为O，且AC=12，BD=9。

2. 根据高定义，可知OA为△ABD的高，OB为△ABC的高，OC为△BCD的高，OD为△ACD的高。

3. ##△AOD的面积为 \\( \\frac{1}{2} \\times AO \\times OD \\)，△COD的面积为 \\( \\frac{1}{2} \\times OD \\times OC \\)。△AOB的面积为 \\( \\frac{1}{2} \\times AO \\times OB \\)，△COB的面积为 \\( \\frac{1}{2} \\times OC \\times OB \\)##。

####

##4. ##将所有三角形的面积相加，即求得四边形ABCD的面积：S四边形ABCD = S_{△AOD} + S_{△COD} + S_{△BOC} + S_{△AOB}。

##5.## 将步骤3和步骤4中的面积带入，##得：S四边形ABCD = \\( \\frac{1}{2} \\times AO \\times OD \\) + \\( \\frac{1}{2} \\times OD \\times OC \\) + \\( \\frac{1}{2} \\times AO \\times OB \\) + \\( \\frac{1}{2} \\times OC \\times OB \\)##。

##6. ##将公共项合并：##S四边形ABCD = \\( \\frac{1}{2} \\times (OC + OA) \\times (OD + OB) \\)##。

##7.##由于OA + OC = AC， OB + OD =BD，将其代入，得到：S四边形ABCD = \\( \\frac{1}{2} AC \\times BD \\)。

##8.## 因为已知AC=12，BD=9，将数值代入，求得：S四边形ABCD = \\( \\frac{1}{2} \\times 12 \\times 9 = 54 \\)。

##9. ##经过上述推理，最终得出答案为54。", "elements": "垂线; 直角三角形; 普通四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点A垂直于对边BD的线段AO是△ABD该顶点A的高，从顶点B垂直于对边AC的线段BO是△ABC该顶点B的高，从顶点C垂直于对边BD的线段CO是△BCD该顶点C的高，从顶点D垂直于对边AC的线段DO是△ACD该顶点D的高。##"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，三角形AOD中，边AO是底，线段OD是高。根据三角形的面积公式，三角形AOD的面积等于底边AO乘以高OD再除以2，即面积 = (AO * OD) / 2。同理，三角形COD的面积等于底边OC乘以高OD再除以2，即面积 = (OC * OD) / 2。三角形AOB的面积等于底边AO乘以高OB再除以2，即面积 = (AO * OB) / 2。三角形BOC的面积等于底边OC乘以高OB再除以2，即面积 = (OC * OB) / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5465.png", "question": "如图,延长长度为8的线段AB到C,使BC=4,M、N分别是AB、BC的中点,则MN的长为()", "answer": "6", "process": "1. 已知AB的长度为8，BC的长度为4，且M是线段AB的中点，N是线段BC的中点。

2. 根据中点的定义，M将AB平分成两个相等的部分，所以MB的长度为MB=##1/2##AB=##1/2##×8=4。

3. 同理，N是BC的中点，N将BC平分成两个相等的部分，所以BN的长度为BN=##1/2##BC=##1/2##×4=2。

4. 由于线段MN是由线段MB和线段BN组成的，并且MB和BN在同一条线上，因此MN的长度为MN=MB+BN=4+2=6。

5. 经过上述推理，最终得出答案为6。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点M。根据线段中点的定义，点M将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AM和线段MB的长度相等。即，AM = MB。同样，线段BC的中点为点N。根据线段中点的定义，点N将线段BC平分为两个相等的部分，即线段BN和线段NC的长度相等。即，BN = NC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5357.png", "question": "如图,已知△ABC,点D在BC的延长线上,∠ACD=140°,∠ABC=50°,则∠A的大小为()", "answer": "90°", "process": "1. 观察题目，如图所示，已知点D在BC的延长线上，角ACD的大小为140°，角ABC的大小为50°。

####

##2. 根据多边形的外角定义可知∠ACD是三角形ACB的外角。依据三角形的外角定理##，三角形的一外角等于与它不相邻的两个内角的和，即∠ACD = ∠BAC + ∠ABC。

##3##. 将已知条件代入##∠ACD = ∠BAC + ∠ABC##，得到140° = ∠BAC + 50°。

##4##. 将等式整理得：∠BAC = 140° - 50°。

##5##. 计算得出：∠BAC = 90°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为90°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，三角形ACB的一个内角为∠ACB，延长该内角的相邻边BC和AC形成的角∠ACD称为内角∠ACB的外角。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACD是三角形的一个外角，角BAC和角ABC是与外角ACD不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角ACD等于不相邻的两个内角BAC和ABC之和，即角ACD = 角BAC + 角ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5677.png", "question": "如图,AB∥CD,BE垂直平分AD,DC=BC,若∠A=70°,则∠C=()", "answer": "100°", "process": "1. 已知BE垂直平分AD，根据垂直平分线定义，得出AB = BD。

2. 根据等腰三角形的性质，在△ABD中，∠ADB = ∠A = 70°。

3. 由于AB∥CD，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，∠ADC= 180° -∠A=110° 。

4.因此∠CDB = ∠ADC - ∠ADB=110°-70°=40°。

5. 由于CD=CB，所以三角形CBD是等腰三角形，所以∠CDB=∠CBD=40°。

6. 在△BCD根据��角形的内角和定理，∠C = 180° - 2×∠CDB=100°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠C = 80°。", "elements": "平行线; 垂直平分线; 等腰三角形; 同位角; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "直线BE经过线段AD的中点E，并且直线BE垂直于线段AD。因此，直线BE是线段AD的垂直平分线。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ΔBCD中，边BC和边DC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠DBC = ∠DCB。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：同旁内角：∠A和∠ADC互补，即∠A + ∠ADC = 180度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角BDC、角C和角DBC是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BDC + 角C + 角DBC = 180°。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线AB和CD被第三条直线AD所截，两角A和ADC在截线AD同侧，且在被截线CD和AB之内，所以角A和ADC是同旁内角。同旁内角A和ADC互补，即角A+ADC = 180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5609.png", "question": "已知水平放置的圆柱形排水管道,管道截面半径是1m,若水面高0.2m．则排水管道截面的水面宽度为()", "answer": "1.2m", "process": "1.##设圆内的弦为AB（水面宽），## 作 OC 垂直于 AB 于 C，OC 交圆 O 于 D，连接 OB，如图所示。

2. 由于 OB 和 OD 是圆的半径，所以 OB = OD = 1 米。

3. 已知 CD = 0.2 米，因此 OC = OD - CD = 1 - 0.2 = 0.8 米。

4. 在直角三角形 OBC 中，利用勾股定理，得到 BC = √(OB^2 - OC^2) = √(1^2 - 0.8^2) = √(1 - 0.64) = √0.36 = 0.6 米。

5. ##根据垂径定理可得，直线OC垂直并平分弦AB，也就是AC=BC=1/2AB##

6. 因此 AB = 2 * 0.6 米 = 1.2 米。

7. 经过上述推理，最终得出排水管道截面的水面宽度为 1.2 米。", "elements": "圆; 弦; 圆周角; 正弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点D是圆上的任意一点，线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OD是圆的半径。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，半径为1米。图中所有到点O的距离等于1米的点都在圆O上。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OBC中，角OCB是直角（90度），因此三角形OBC是一个直角三角形。边OC和边BC是直角边，边OB是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题中，直角三角形OBC中，∠OCB是直角（90度），边OC和BC是直角边，边OB是斜边，所以根据勾股定理，OB^2 = OC^2 + BC^2，即1^2 = 0.8^2 + BC^2。通过计算，BC = √(1 - 0.64) = √0.36 = 0.6米。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，半径OD垂直于弦AB，那么根据垂径定理，半径OD平分弦AB，即AC=BC，并且半径OC平分弦AB所对的两条弧，即弧AD=弧BD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5682.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=10cm,AC=18cm,点M从点A出发以每秒2cm的速度向点B运动,点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时,运动的时间是()", "answer": "3.6秒", "process": "1. 设运动的时间为x秒。在△ABC中，已知AB=10cm，AC=18cm。

2. 点M从点A出发以每秒2cm的速度向点B运动，因此AM=2x cm。

3. 点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动，因此AN=18 - 3x cm。

4. 当△AMN是等腰三角形时，AM=AN。

5. 因此，得到等式2x = 18 - 3x。

6. 通过解方程2x = 18 - 3x，得出：5x = 18，因此x = 3.6。

7. 经过上述推理，在△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，运动的时间是3.6秒。", "elements": "等腰三角形; 线段; 普通三角形; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "△AMN是等腰三角形，且以MN为底边。根据题意，当△AMN是等腰三角形时，需满足AM=AN，即△AMN中边AM和边AN相等。且AM=2x cm，AN=18 - 3x cm。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5096.png", "question": "如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,若半径为5,OD=3,则弦AB的长为()", "answer": "8", "process": "1. 连接点A与点O，得出线段AO。因为OC垂直于AB，并且交AB于点D，根据##垂径定理##可知，点D是线段AB的中点。因此AD等于BD，且等于AB的一半，即AD=BD=1/2*AB。

2. 在直角三角形AOD中，已知OA的长度为5，OD的长度为3。依据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，计算得出AD的长度：AD=## √(OA^2 - OD^2 )= √(5^2 - 3^2 )= √( 25 - 9) = √16 ##=4。

3. 因为AB等于2倍的AD，所以AB的长度为2*AD=2*4=8。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形AOD中，∠ODA是直角（90度），因此三角形AOD是一个直角三角形。边OD和边AD是直角边，边OA是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "△AOD为直角三角形，∠ODA为直角（90度），边OD和AD是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，OA^2= OD^2+ AD^2。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "圆O中，直径垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径平分弦AB，即AD=DB，并且直径平分弦AB所对的两条弧，即弧AC=弧CB##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5719.png", "question": "如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别在AD、AB上,依次连接EB、EC、FC、FD,图中阴影部分的面积分别为S~1~、S~2~、S~3~、S~4~,已知S~1~=2、S~2~=12、S~3~=3,则S~4~的值是()", "answer": "7", "process": "1. 已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上。定义四个三角形的面积分别为S1、S2、S3和S4，如图所示。

2. 设平行四边形ABCD的面积为S，则三角形△CBE和△CDF的面积分别为S/2。

3. 由于整个图形由几个部分组成，可以通过将各部分面积相加来表示ABCD的总面积：S = 三角形△CBE的面积 + 三角形△CDF的面积 + （阴影部分S1 + S4 + S3）- S2。

4. 根据已知条件，阴影部分S1的面积是2，S2的面积是12，S3的面积是3，因此：S = (1/2)S + (1/2)S + 2 + S4 + 3 - 12。

5. 简化等式得：S = S + 2 + S4 + 3 - 12，进一步简化：0 = 2 + S4 + 3 - 12。

6. 化简方程，得：S4 = 7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为S4 = 7。", "elements": "平行四边形; 普通三角形; 线段; 平行线; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，根据三角形的面积公式，三角形BCE的面积等于底边BC乘以BC边上的高(即平行四边形BC边上的高)再除以2，三角形CDF的面积等于底边ED乘以CD边上的高(即平行四边形CD边上的高)再除以2。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "在本题图中，平行四边形xxx中，边xx是底边，对应的高是从底边xx到对边的垂直距离，记为xx。因此，根据平行四边形的面��公式，平行四边形ABCD的面积等于底边长BC乘以对应的高，也等于底边长CD乘以对应的高。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5389.png", "question": "如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=200°,则∠P=()", "answer": "10°", "process": "1. 已知∠D + ∠C = 200°，且四边形内角和为360°，则有∠DAB + ∠ABC + ∠C + ∠D = 360°。

2. 根据上述等式，得出∠DAB + ∠ABC = 160°。

3. ∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P。

4. 设∠PAB是∠DAB的平分角，则∠PAB = 0.5 * ∠DAB。

5. 设##∠PBE是外角CBE的平分角##，然后##∠PBE## = 0.5 * (180° - ∠ABC)。

6. 从而得##∠PBE － ∠PAB = 0.5 * (180° - ∠ABC) －0.5 * ∠DAB= 0.5 * (180° - ∠ABC－∠DAB) = 90° － 0.5 * (∠DAB + ∠ABC)＝10°。##

####

##7. ##在△PAB中，∠PBE是外角，∠P=∠PBE － ∠PAB=10°。##

##8.## 经过上述推理，最终得出∠APB = 10°。", "elements": "邻补角; 普通三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "多边形内角和定理", "content": "一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。", "this": "四边形ABCD中，ABCD是一个有4条边的多边形，其中4表示多边形的边数。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (4-2) × 180° = 360°。"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角DAB的顶点是点A，从点A引出一条线AP，这条线将角DAB分成两个相等的角，即角DAP和角PAB相等。因此，线AP是角DAB的角平分线。##角CBE的顶点是点B，从点B引出一条线BP，这条线将角CBE分成两个相等的角，即角CBP和角PBE相等。因此，线BP是角CBE的角平分线。####"}, {"name": "三角形外角定理", "content": "三角形的一个外角等干不相邻的两个内角之和", "this": "△PAB中，∠PBE是∠PAB和∠APB不相邻的外角，根据三角形外角定理，∠PAB + ∠APB = ∠PBE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5739.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,AB=10cm,AD=15cm,AC、BD相交于点O．OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为()", "answer": "25cm", "process": "1. 已知在平行四边形ABCD中, AB=10cm, AD=15cm，且AC、BD相交于点O。

2. 由于点O是BD的中点，且OE垂直于BD， 根据中垂线的定义，线段EO就是线段BD的中垂线。

3. 因为EO是BD的中垂线，可以得出BE等于ED。

4. 在△ABE中，周长为AB + AE + BE=AB + AE + DE=AB + AD 。

5. 又因为AD 和BC在平行四边形ABCD中是相等的。

6. 因而△ABE的周长为AB + BC。

7. 根据已知AB等于10cm，BC等于15cm，将其代入可得，△ABE的周长为10cm + 15cm = 25cm。

8. 由此可得，△ABE的周长为25cm。", "elements": "平行四边形; 线段; 垂线; 普通三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是平行四边形，其中AB∥DC且AB=DC=10cm，AD∥BC且AD=BC=15cm。"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "线段EO是线段BD的垂直平分线，中点O是BD的中点，且EO垂直于BD。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "线段BD的垂直平分线为直线OE，点E在直线OE上。根据垂直平分线的性质，点E到线段BD两端点B和D的距离相等，即BE = ED。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形BAE的三边分别为AB、AE、BE，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AE+BE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5596.png", "question": "如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为()", "answer": "44", "process": "1. 已知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据##圆外切四边形的性质，圆的外切四边形的两组对边的和相等##。

2. 由已知条件AB=10，CD=12可得，AB+CD=10+12=22。

3. 根据##圆外切四边形的性质##，可知AD+BC=22。

4. ##根据多边形的周长公式，可知##四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA。

5. 将已知条件代入周长公式，得四边形ABCD的周长=10+BC+12+AD。

6. 由已知AD+BC=22，可得10+12+AD+BC=10+12+22。

7. 故四边形ABCD的周长=44。

8. 最终得出答案为44。", "elements": "圆内接四边形; 切线; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆外切四边形的性质", "content": "四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形。圆的外切四边形的两组对边的和相等。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个圆外切四边形，四边分别与圆相切。根据圆外切四边形的性质，四边形ABCD的两组对边的和相等，即边AB+边CD=边AD+边BC。"}, {"name": "多边形的周长公式", "content": "多边形的周长等于其所有边的长度之和。对于n边形，若各边长度分别为a?, a?, ..., a?，则周长P = a? + a? + ... + a?。", "this": "在本题图中，已知四边形ABCD的各边分别为AB、BC、CD、DA，根据多边形的周长公式，四边形的周长等于其所有边的长度之和，即周长P=AB+BC+CD+DA。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5761.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是边CD的中点,连接OE．若平行四边形ABCD的周长为24,BD=8,则△DOE的周长为()", "answer": "10", "process": "1. 已知平行四边形ABCD的周长为24，根据##平行四边形周长公式##，AB + BC + CD + DA = 24。由于平行四边形的对边相等，因此BC + CD = 12。

2. 因为点O是对角线BD的中点，所以OD = 0.5 * BD = 0.5 * 8 = 4。

3.已知点E是边CD的中点，所以DE = 0.5 * CD。

4. 由于BC + CD = 12，所以CD = 12 - BC。

5. 根据平行四边形的性质，BC = AD。因此CD = 12 - AD。

6. 因为点O是对角线BD的中点，点E是边CD的中点，根据中位线定理，OE = 0.5 * BC = 0.5 * AD。

7. 综上所述，三角形DOE的周长为OE + DE + OD。

8. 将各边长度相加，OE + DE + OD = 0.5 * AD + 0.5 * (12 - AD) + 4 = 6 + 4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "平行四边形; 中点; 线段; 普通三角形; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段CD的中点为点E。根据线段中点的定义，点E将线段CD平分为两个相等的部分，即线段CE和线段ED的长度相等。即，CE = ED。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，交点O将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "点O是边BD的中点，点E是边CD的中点，线段OE连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段OE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即OE || BC，并且OE = 1/2 * BC。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，边BC和CD是相邻的两条边，边AB和AD也是相邻的两条边。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(BC + CD)。##"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形△OED的三边分别为OE、OD、ED，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=OE+OD+ED。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5797.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,过点A的直线DE∥CB,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为()", "answer": "16", "process": "1. 由题意，BE为∠ABC的平分线，根据角平分线定义，得到∠ABE=∠EBC，CD为∠ACB的平分线，根据角平分线定义，得到∠ACD=∠BCD。

2. 又因为DE∥BC，根据平行线的平行公理2，内错角相等，因此有：∠E=∠ABE=∠EBC，∠D=∠ACD=∠BCD。

3. 所以三角形ABE和三角形ADC为等腰三角形，AD=AC，AE=AB。

4. 因此DE=AE + AD=AB + AC= 10 + 6 =16。", "elements": "平行线; 普通三角形; 内错角; 线段; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BE，这条线将角ABC分成两个相等的角，即∠ABE和∠EBC相等。因此，线BE是角ABC的角平分线。同理，角ACB的顶点是点C，从点C引出一条线CD，这条线将角ACB分成两个相等的角，即∠ACD和∠DCB相等。因此，线CD是角ACB的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线CD所截，形成了以下几何关系：内错角：角D和角DCB相等。两条平行线DE和BC被第三条直线BE所截，形成了以下几何关系：内错角：角E和角EBC相等。"}, {"name": "", "content": "。", "this": "等腰三角形的定义"}, {"name": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形DAC中，边AD和边AC相等，因此三角形DAC是一个等腰三角形。三角形EAB中，边AE和边AB相等，因此三角形EAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形DAC中，角D和角ACD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边AD = 边AC。等腰三角形EAB中，角E和角ABE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边AE = 边AB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5508.png", "question": "如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠C=55°,则∠P等于()", "answer": "70°", "process": "1. 已知PA与⊙O相切于A，PB与⊙O相切于B，连接OA和OB。

2. ##根据圆的切线性质可得：##OA垂直于PA，OB垂直于PB。

3. 因此，∠OAP = ∠OBP = 90°。

4. 因为四边形POAB是##四边形，根据四边形的内角和定理##，四边形内角和为360°，所以##∠P = 360° - ∠AOB-∠OAP-∠OBP。##

5. 由题意，∠C=55°，则根据圆周角定理，##圆心角等于其所在弧对应的圆周角的两倍##，可得∠AOB=2∠C=110°。

6. 由此可得，##∠P = 360° - ∠AOB-∠OAP-∠OBP = 360° - 90° - 90° -110° = 70°。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "圆; 切线; 等腰三角形; 圆周角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度。同理，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°", "this": "四边形AOBP中，角PAO、角AOB、角OBP和角APB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角PAO+ 角AOB+ 角OBP+ 角APB= 360°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5781.png", "question": "如图,在△ABC中,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、D,若AC=3,AB=4,则DE的长为()", "answer": "7", "process": "1. 已知直线DE平行于BC，并且过顶点A，且∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D。

2. 因为∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，所以∠EBC=∠ABE，并且∠DCB=∠ACD。

3. 根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，得出∠DCB=∠CDE，并且∠EBC=∠BED。

4. 因为∠DCB=∠CDE，所以∠ADC=∠ACD，同样，因为∠EBC=∠BED，所以∠ABE=∠AEB。

5. ##在三角形ABE和三角形ADC中，根据等腰三角形的性质##，因为∠ADC=∠ACD，所以AD=AC。同样，因为∠ABE=∠AEB，所以AB=AE。

6. 得出DE的长度等于AD加AE，即DE = AD + AE。

7. 由##第五步##可知AD=AC=3，AE=AB=4，所以DE=3+4=7。

8. 经过上述推理，最终得出答案为7。", "elements": "平行线; 三角形的外角; 线段; 普通三角形; 平行四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BE，这条线将角ABC分成两个相等的角，即角EBC和角ABE相等。因此，线BE是角ABC的角平分线。同样，角ACB的顶点是点C，从点C引出一条线CD，这条线将角ACB分成两个相等的角，即角DCB和角ACD相等。因此，线CD是角ACB的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "DE∥BC，且被直线CD和BE所截，形成了以下几何关系：内错角：∠EBC和∠BED相等, ∠BCD和∠CDE相等。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ADC中，角ADC = 角ACD。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边AD和边AC相等。同样，在等腰三角形ABE中，角ABE = 角AEB。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边AB和边AE相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线BC和DE被直线CD和BE截交，其中角DCB和角CDE，角EBC和角BED位于两平行线之间，且分别在截线CD和BE的对侧，因此角DCB和角CDE是内错角，角EBC和角BED是内错角。内错角相等，即∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5544.png", "question": "如图,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,tan∠CPN为()", "answer": "2", "process": "1. 已知在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C。

2. ##设点E下面的格点为点M，点D下面第一个格点为点O，点D下面第二个格点为点A，点N下面的格点为点B，##连接格点MN和DM，这样就定义了一个辅助线MN和连接线DM。

3.##因为CN和EM都是边长为1的正方形的边，根据正方形的定义得CN与EM的关系为相等并平行，因此根据平行四边形的定义可得：四边形MNCE是平行四边形##。

4. 由已知条件，##因为网格中都是边长为1的正方形，所以∠DAM=∠NBM=90°，并且AD=AM=OA+OD=1+1=2，NB=MB=1，根据等腰直角三角形的定义可得：△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，因此有∠DMA=∠NMB=45°，根据勾股定理可得：DM=√(AD^2+AM^2)=√(2^2+2^2)=2√2和MN=√(BN^2+BM^2)=√(1^2+1^2)=√2##。

5.##因为四边形MNCE是平行四边形，根据平行四边形的性质定理可得：CE∥NM。由平行线的平行公理2得：∠CPN=∠DNM（内错角相等）##。

6. 然后通过##平角的定义##，可得 ∠DMN=180°-∠DMA-∠NMB=180°-45°-45°=90°。

7. 根据##正切函数定义，tan∠DNM=对边/邻边=DM/MN=2√2/√2=2##。

8. 经过上述推理，最终得出假设tan∠CPN=2。", "elements": "点; 线段; 正切; 三角形的外角; 正方形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "正方形网格中的每一个小方格都是正方形。每个小方格的四个内角均为直角（90度），且相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形MNCE是一个平行四边形，边MN与边EC平行且相等，边MC与边NE平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分", "this": "在本题图中，平行四边形MNCE中，对角ECN和EMN相等，对角CEM和CNM相等；边CE和MN相等，边CN和EM相等；对角线CM和EN互相平分，即交点将对角线CM分成两段相等的线段，将对角线EN分成两段相等的线段。##"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "在本题图中，三角形DAM和三角形NBM是等腰直角三角形，其中角 ∠DAM 和 ∠NBM 是直角（90度），边 DA 和 MA 以及边 NB 和 BM是相等的直角边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形DMN中，∠DNM是锐角，边DM是∠DNM的相对直角边，边MN是∠DNM的相邻直角边，所以∠PNM的正切值等于边DM的长度除以边MN的长度，即tan∠DNM=DM/MN。"}, {"name": "内错角的定义name:当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角this:在本题图中，两条平行直线CE和NM被一条直线PN截交，其中角CPN和角DNM位于两平行线之间，且在截线PN的对侧，因此角CPN和角DNM是内错角。内错角相等，即角CPN等于角DNM。##name:平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行直线CE和NM被一条直线PN截交，其中角CPN和角DNM位于两平行线之间，且在截线PN的对侧，因此角CPN和角DNM是内错角。内错角相等，即角CPN等于角DNM。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和", "this": "直角三角形DAM中，角DAM是直角（90度），边DA和MA是直角边，边DM是斜边，所以根据勾股定理，DM? = DA? + MA?即DM=√(AD^2+AM^2)=√(2^2+2^2)=2√2。直角三角形MBN中，角MBN是直角（90度），边NB和MB是直角边，边MN是斜边，所以根据勾股定理，MN? = NB? + MB?即MN=√(BN^2+BM^2)=√(1^2+1^2)=√2。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线MA绕着端点M旋转到与起始边成一条直线，形成平角AMB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AMB=角DMA+角DMN+角NMB=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5854.png", "question": "一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距()", "answer": "40海里", "process": "1. 已知：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地。

2. 由题意可构建辅助线：从A地向南和B地向北分别作一条与海平面垂直的线。

3. 因为轮船向南偏西40°行驶，因此∠BAA' = 40°（其中A'为A地向南延伸线上的一点）。

4. 同理，因轮船向北偏西20°行驶，故∠CBB' = 20°（其中B'为B地向北延伸线上的一点）。

5. 由于这两条线的方向分别是南北方向，##根据平行线的平行公理2，BB' | | AA'，∠B'BA和∠BAA'为内错角，所以∠B'BA=∠BAA'，##则##∠ABC## = ∠BAA' + ∠CBB' = 40° + 20° = 60°。

6. A地到B地的实际行驶路径AB = 40海里，B地到C地的实际行驶路径BC = 40海里。

7. 因此，根据已知##∠ABC## = 60°和AB = 40海里，BC = 40海里，可以得出△ABC是等边三角形（##等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##）。

8. 因此，AC = AB = 40海里。

9. 经过上述推理，最终得出答案为40海里。", "elements": "直角三角形; 方向角; 线段; 等腰三角形; 平移", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "∠BAA' 是由射线 BA 和 AA' 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 A。这个共同的端点 A 称为∠BAA' 的顶点，而射线 BA 和 AA' 称为∠BAA' 的边。同理，∠CBB'是由射线 CB 和 BB' 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 B。这个共同的端点 B 称为∠CBB' 的顶点，而射线 CB 和 BB' 称为∠CBB' 的边。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边。"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形", "this": "△ABC为等腰三角形，边BC与边BA相等，且存在一个内角为60°，即∠ABC=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△ABC为等边三角形。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线BB'和AA'被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：内错角：角B'BA和角BAA'相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "在本题图中，两条平行直线AA'和BB'被一条直线AB截交，其中角BAA'和角ABB'位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此角BAA'和角ABB'是内错角。内错角相等，即角BAA'等于角ABB'。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5791.png", "question": "如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=8,CD=6,EF=2,则AD长为()", "answer": "12", "process": "1. 已知线段AD平行于线段BC，且线段BF平分角∠ABC，得到角∠ABF等于角∠CBF。

2. 由于线段CE平分角∠BCD，得到角∠DCE等于角∠BCE。

3. 因为线段AD平行于线段BC，##根据平行线的平行公理2##，得到角∠CBF等于角∠AFB，并且角∠DEC等于角∠BCE。

4. 结合以上两步的结果，得知角∠ABF等于角∠AFB，并且角∠DCE等于角∠DEC。

5. 因为角∠ABF等于角∠AFB，依据##等腰三角形的性质##，可得线段AB等于线段AF，因此AF的长度为8。

6. 同理，由于角∠DCE等于角∠DEC，依据##等腰三角形的性质##，可得线段CD等于线段DE，因此DE的长度为6。

7. 已知线段EF的长度为2，依据线段相加减的关系，线段AD的长度等于线段AF加上线段DE减去线段EF。

8. 计算得出：AD = AF + DE - EF = 8 + 6 - 2 = 12。

9. 经过上述推理，最终得出答案为：12。", "elements": "平行线; 平行四边形; 内错角; 平移; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角∠ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BF，这条线将角∠ABC分成两个相等的角，即∠ABF和∠CBF相等。因此，线BF是角∠ABC的角平分线。此外，角∠BCD的顶点是点C，从点C引出一条线CE，这条线将角∠BCD分成两个相等的角，即∠DCE和∠BCE相等。因此，线CE是角∠BCD的角平分线。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "线段AD和线段BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，线段AD和线段BC是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线BF所截，形成了以下几何关系：\n1. 内错角：∠FBC和∠AFB相等。\n2. 内错角：∠BCE和∠DEC相等。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角��等。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABD中，角ABD = 角ADB。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边AB和边AD相等。等腰三角形EDC中，角DEC和角DCE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边DE = 边DC。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被直线BF和CE截交，其中∠CBF和∠AFB,角∠DEC和角∠BCE位于两平行线之间，且在截线BF和CE的对侧，因此∠CBF和∠AFB是内错角,角∠DEC和角∠BCE是内错角。内错角相等，即角∠CBF等于角∠AFB，并且角∠DEC等于角∠BCE。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形AFB中，边AB和边AF相等，因此三角形AFB是一个等腰三角形，三角形DEC中，边DE和边DC相等，因此三角形DEC是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5675.png", "question": "如图,∠BAC=110°,若A,B关于直线MP对称,A,C关于直线NQ对称,则∠PAQ的大小是()", "answer": "40°", "process": "1. 已知 ∠BAC = 110°。

2. 由于 A 和 B 关于直线 MP 对称且 A 和 C 关于直线 NQ 对称，根据对称性，直线 MP 是线段 AB 的垂直平分线，直线 NQ 是线段 AC 的垂直平分线。

3. 因为直线 MP 是线段 AB 的垂直平分线，所以 ∠BAP = ∠ABP。

4. 因为直线 NQ 是线段 AC 的垂直平分线，所以 ∠QAC = ∠QCA。

5. 由三角形内角和定理得 ∠ABC + ∠BCA = 180° - ∠BAC = 180° - 110° = 70°。

6. 又因为 ∠BAP = ∠ABP 和 ∠QAC = ∠QCA，因此 ∠BAP + ∠QAC = ∠ABP + ∠QCA = 70°。

7. 由上述结论得 ∠PAQ = ∠BAC - ∠BAP - ∠QAC = 110° - 70° = 40°。

8. 经过上述推理，最终得出 ∠PAQ = 40°。", "elements": "对称; 邻补角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对称点", "content": "对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。", "this": "点A和点B是关于直线MP对称的点，且点A到直线MP的距离等于点B到直线MP的距离。同理，点A和点C是关于直线NQ对称的点，且点A到直线NQ的距离等于点C到直线NQ的距离。根据对称点的定义，点A和点B在直线MP的两侧，且满足距离相等的关系，即距离AM = 距离BM。同样，点A和点C在直线NQ的两侧，且满足距离相等的关系，即距离AN = 距离CN。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "线段AB的垂直平分线为直线MP，点P在直线MP上。根据垂直平分线的性质，点P到线段AB两端点A和B的距离相等，即PA = PB。同理，线段AC的垂直平分线为直线NQ，点Q在直线NQ上，根据垂直平分线的性质，点Q到线段AC两端点A和C的距离相等，即QA = QC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5827.png", "question": "如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为()", "answer": "6", "process": "1. 已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的定义，得出AB=BC=CA，并且∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°。

2. 由于DE⊥BC，####得出##∠CED=90°##。

####

##3##. ##因为∠CED=90°和∠DCE=60°，根据三角形内角和定理得出∠EDC=30°##。

##4##. 在△CDE中，由于EC=1.5，依据30°-60°-90°三角形性质得出，CD=2*EC=3。

##5##. 因为BD平分∠ABC且##△ABC是等边三角形，则根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理##得出AD=CD=3。

##6##. 因△ABC是等边三角形，##所以AB=AC##。

##7##. 因为AB=AC=AD+CD，根据前面的计算得出AD=3且CD=3，所以AB=3+3=6。

##8##. 经过上述推理，最终得出AB的长为6。", "elements": "等边三角形; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形ABC是一个等边三角形。边AB、边BC和边CA的长度相等，并且角ABC、角BCA和角CAB的度数相等，均为60°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "三角形CDE中，角CDE、角DEC和角ECD是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角CDE + 角DEC + 角ECD = 180°。########"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，顶角为角ABC，底边为边AC。顶角的角平分线BD不仅平分顶角ABC，还平分底边AC，使得DA = DC，并且垂直于底边AC，即形成直角BDC（90度）。因此，线段BD既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "△CDE 是一个 30°-60°-90° 的三角形，其中∠CED=90°，∠DCE=60°，∠CDE=30°。边CE是30度角所对的边，边CD是60度角所对的边，边DE是斜边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边CE等于边CD的一半，边DE等于边CE的√3倍。即：CE = 1/2 * CD，DE = CE * √3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5768.png", "question": "如图,过三角形内一点分别作三边的平行线,如果三角形的周长为6cm,则图中三个阴影三角形的周长和为()", "answer": "6cm", "process": "1. 已知过三角形内一点分别作三边的平行线，记三角形三个顶点分别为A，B，C，作EN平行BC,PM平行AB,DQ平行AC，假设EN，PM，DQ相关于三角形ABC内一点F。

2. 由平行四边形的定义，四边形EFBP,FQCN,ADFM是平行四边形。

3. 在平行四边形EFBP中，EF等于BP，PF等于BE；平行四边形FQCN中，FQ等于NC，FN等于CQ；平行四边形ADFM中，DF等于AM，FM等于AD。

4. 计算三个阴影三角形的周长和：DE+EF+FD+FM+FN+MN+FP+PQ+FQ。

5. 代入第3步的结果，三个阴影三角形的周长和=DE+BP+AM+AD+QC+MN+BE+PQ+NC。

6. 进一步合并各部分，(AD+DE+BE)+(BP+PQ+CQ)+(NC+MN+AM)，等于AB+BC+AC。

7. 由题意，原三角形的周长为6厘米，因此三个阴影三角形的周长和为6厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6厘米。", "elements": "普通三角形; 平行线; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "四边形EFBP中，EF = BP，PF = BE；四边形FQCN中，FQ = NC，FN = CQ；四边形ADFM中，DF = AM，FM = AD。"}, {"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形EFBP,四边形FQCN,四边形ADFM是平行四边形， 在平行四边形EFBP中，EF等于BP，PF等于BE；平行四边形FQCN中，FQ等于NC，FN等于CQ；平行四边形ADFM中，DF等于AM，FM等于AD。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "在本题图中，已知三角形△DEF的三边分别为DE、DF、EF，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=DE+DF+EF。已知三角形△MNF的三边分别为MN、MF、NF，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=MN+MF+NF。已知三角形△PQF的三边分别为PQ、PF、QF，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=PQ+PF+QF。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5704.png", "question": "如图,在△ABC中,∠ABC=110°,AM=AN,CN=CP,则∠MNP=()", "answer": "35°", "process": "1. 已知∠ABC=110°，根据三角形内角和定理，得出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=70°。

2. 由已知线段AM=AN，##所以三角形AMN是一个等腰三角形，##根据等腰三角形的性质，得出∠ANM=∠NMA。

3. 根据三角形内角和定理，在△ANM中，得出∠ANM=∠NMA=##(180°-∠BAC)/2##。

4. 由已知线段CN=CP，##所以三角形CNP是一个等腰三角形，##根据等腰三角形的性质，得出∠CNP=##∠CPN##。

5. 根据三角形内角和定理，在△CNP中，得出∠CNP=##∠CPN=(180°-∠BCA)/2##。

6. 由于##N点在AC上，所以∠ANC为180°，所以∠MNP＝180°-∠ANM-∠CNP=180°-(180°-∠BAC)/2-(180°-∠BCA)/2##。

####

##7##. 继续简化，得出∠MNP=##1/2##(∠BAC+∠BCA)。

##8##. 由于在第一步已经确定了∠BAC+∠BCA=70°，所以∠MNP=##1/2##×70°=35°。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为35°。", "elements": "等腰三角形; 三角形的外角; 对称; 对顶角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形CNP中，边CN和边CP相等，因此三角形CNP是一个等腰三角形。##同理，三角形AMN中，边AN和边AM相等，因此三角形AMN是一个等腰三角形。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "等腰三角形CNP中，边CN和边CP相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角CNP = 角CPN。同样地，等腰三角形AMN中，边AM和边AN相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ANM = 角NMA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形CNP中，角CNP、角NPC和角PCN是三角形CNP的三个内角，根据三角形内角和定理，角CNP + 角NPC + 角PCN = 180°。三角形AMN中，角AMN、角ANM和角MAN是三角形AMN的三个内角，根据三角形内角和定理，角AMN + 角ANM + 角MAN = 180°。三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线AN绕着端点N旋转到与起始边成一条直线，形成平角ANC。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角ANC=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5905.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线．若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()", "answer": "\\frac{24}{5}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，边AC=6，边BC=8，AD是∠BAC的平分线。

2. 过点C作一条垂线CM垂直于AB，并交AB于点M，交AD于##点P’##。

##3. 过点P‘作一条垂线P’Q‘垂直于AC，并交AC于点Q'。##

4. 根据平角的平分线性质，##P'Q'=P'M##。

##5. 因此，当P’Q‘=P’M时，P‘C+P’Q‘的最小值即为CM的长度。##

6. 由勾股定理可得AB的长度，##AB=√(AC^2+BC^2)=√(6^2+8^2)=10##。

7. 计算三角形ABC的面积，可以得出S△ABC = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 6 * 8 = 24。

8. 三角形ABC的面积也可以表示为：S△ABC = 1/2 * AB * CM。

9. 令两个面积公式相等，得出CM的长度，24 = 1/2 * 10 * CM，即CM = 24/5。

10. 因此，PC + PQ 的最小值为24/5。", "elements": "直角三角形; 线段; 等腰三角形; 反射", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角BAC的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角BAC分成两个相等的角，即角BAD和角CAD相等。因此，线AD是角BAC的角平分线。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线CM和直线AB相交形成的角∠CMB是90度，因此根据垂线定义，直线CM和直线AB互相垂直；同样，直线P'Q'和直线AC相交形成的∠P'Q'A是90度，因此根据垂线定义，直线P'Q'和直线AC互相垂直。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，∠ACB是直角（90度），边AC和边BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2，即10^2 = 6^2 + 8^2。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "三角形ABC中，边AC是底，线段BC是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边AC乘以高BC再除以2，即S△ABC = (AC * BC) / 2 = (6 * 8) / 2 = 24。另一个方法是用基准AB和高CM求得：S△ABC = 1/2 * AB * CM，从而得出24 = 1/2 * 10 * CM，求得CM = 24/5。"}, {"name": "角平分线的性质", "content": "角平分线上任意一点到角两边的距离相等。", "this": "在本题图中，角BAC被角平分线AD平分，点P'在角平分线AD上。根据角平分线的性质，点P'到角两边AB和AC的距离相等，即P'Q' = P'M。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5889.png", "question": "如图,一辆货车车厢底板离地面的高度为\\frac{3}{2}米,为了方便下货,常用一块木板搭成一个斜面,要使斜面与水平地面的夹角不大于30°,则这块木板的长度至少为()", "answer": "3米", "process": "1. 如图所示，设AC为车厢底板离地面的高度，即AC=##3/2##米，AB为木板的长度。

2. 由于木板需要搭成一个斜面，使斜面与水平地面的夹角不大于30°，因此在直角三角形ABC中，∠B=30°。

3. 根据##30°-60°-90°三角形的性质，在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半。斜边AB等于对边AC的2倍。##

4. 因此，AB=2*AC。

5. 代入AC=##3/2##米，得AB=2×##3/2##=3米。

6. 所以，为了使斜面与水平地面的夹角不大于30°，这块木板的长度至少为3米。", "elements": "直角三角形; 仰角; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角ABC是30度，角BAC是60度，角ACB是90度。边AB是斜边，边AC是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AC等于边AB的一半，边BC等于边AC的√3倍。即：AB = 1/2 * AC，BC = AC * √3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5946.png", "question": "如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若DE=1.5,则BC的长是()", "answer": "3", "process": "1. 已知点D、E分别是线段AB、AC的中点，根据中位线定理，线段DE在△ABC中是BC的中位线。

2. 根据中位线定理，三角形中位线的长度等于该三角形第三边的一半，在本题中为DE=1/2 * BC。

3. 已知DE=1.5，根据上一步的结论，可以推出BC=2 * DE。

4. 代入已知的DE值，计算得BC=2 * 1.5=3。

5. 因此，经过上述推理，最终可以得出线段BC的长度为3。", "elements": "中点; 平行线; 普通三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，线段DE连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段DE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即DE || BC，并且DE = 1/2 * BC。已知DE=1.5，因此BC=2 * DE=3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5927.png", "question": "如图,OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回M点处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为()", "answer": "10cm", "process": "1. 设CD与OA的交点为E，与OB的交点为F。根据题意，画辅助线进行几何分析。

2. 因为OA是线段MC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得出ME = CE。

3. 同理，因为OB是线段MD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得出MF = DF。

4. ##所以蚂蚁爬行的路径是ME + EF + FM=CE+EF+FD##。

5. ##已知两点之间线段最短，为了使CE+EF+FD为最小值，则C，E，F，D同在一条直线上##，可以得出最短路径为CD。

6. 因此，蚂蚁爬行的最短���径为CD的长度，CD已知为10cm。

7. 故最终得出答案：小蚂蚁爬行的路径最短为10cm。", "elements": "垂直平分线; 线段; 等腰三角形; 反射", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线OA经过线段MC的中点，并且直线OA垂直于线段MC。因此，直线OA是线段MC的垂直平分线。同理，直线OB经过线段MD的中点，并且直线OB垂直于线段MD。因此，直线OB是线段MD的垂直平分线。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "在本题图中，线段MC的垂直平分线为直线OA，点E在直线OA上。根据垂直平分线的性质，点E到线段MC两端点M和C的距离相等，即ME = CE。同理，线段MD的垂直平分线为直线OB，点F在直线OB上。根据垂直平分线的性质，点F到线段MD两端点M和D的距离相等，即MF = DF。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5919.png", "question": "如图,△ABC的周长为16．点D是AB边的中点,BD=2,过点D作AB的垂线l,E是l上任意一点,则△AEC的周长最小值为()", "answer": "12", "process": "1. 已知点D是AB边的中点，BD=2，故AB=2BD=4。

2. 已知△ABC的周长为16，则AC + BC = 16 - AB = 16 - 4 = 12。

3. 过点D作AB的垂线l，相交于点E，连接BE。

4. 由于点D是AB边的中点且l⊥AB，所以l是AB的垂直平分线，因此AE=BE。

5. 则有AE + CE = BE + CE。

6. 根据三角形不等式，##BE + CE> BC##。

7. 当点B、E、C在同一直线上时，BE + CE的最小值等于BC的长度。

8. 因此此时△AEC的周长的最小值为AC + BC。

9. 已知AC + BC = 12，所以△AEC的周长最小值为12。", "elements": "中点; 垂线; 直线; 普通三角形; 平移", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DB的长度相等。即，AD = DB = 2。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线l和直线AB相交形成的角∠ADE和∠BDE是90度，因此根据垂线定义，直线l和直线AB互相垂直。"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "直线l经过线段AB的中点D，并且直线l垂直于线段AB。因此，直线l是线段AB的垂直平分线。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "线段AB的垂直平分线为直线l，点E在直线l上。根据垂直平分线的性质，点E到线段AB两端点A和B的距离相等，即AE = BE。##"}, {"name": "三角形三边关系定理", "content": "三角形的两边之和大于第三边。", "this": "边BE、边CE和边BC构成三角形。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即边BE + 边CE > 边BC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6717.png", "question": "如图,为了绿化环境,在矩形空地的四个角划出四个半径为1的扇形空地进行绿化,则绿化的总面积是()", "answer": "π", "process": "1. 由于在矩形空地的四个角划出四个扇形空地进行绿化，每个扇形的半径为1。

2. ##因为每个扇形的圆心角度数等于矩形的内角，所以每个扇形的圆心角都是90度。##

3. 利用扇形面积公式，面积 = 圆心角度数/360 × π × 半径平方。

4. 对于每个扇形，其面积 = 90/360 × π × 1^2 = π/4。

5. 因为一共四个这样的扇形，总面积为 4 × π/4。

6. 经过计算，四个扇形的总面积就是 π。", "elements": "矩形; 扇形; 圆心角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "每个扇形的半径为1，圆心在矩形的四个顶点，圆弧是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，每个扇形的圆心角为90度，因为扇形的圆心角是矩形的一个内角，而矩形的每个角都是90度。每个扇形的圆心角由圆心到扇形两端点的连线组成。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A =## (θ/360) * π * r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "每个扇形位于矩形的四个角，每个扇形的圆心角度数为90度，半径长度为1。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = ##(90/360) * π * 1^2##计算，所以每个扇形的面积A = π/4##。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形是一个矩形，其四个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行且等长。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/907.png", "question": "如图,已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC的度数是()", "answer": "20°", "process": "1. 已知PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，且AC是直径，##连接BC和OB，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，##得出∠ABC=90°。

2. 已知PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，根据##圆的切线性质##，得出∠OAP=90°和∠OBP=90°。

3. 由于##四边形的内角和为360°，得出∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°##。

4. 根据圆周角定理，##圆周角ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角AOB的一半##，因此得出∠ACB=∠AOB / 2=70°。

5. 在三角形ABC中，由于∠ABC=90°且∠ACB=70°，通过三角形内角和定理得出∠BAC=180°-90°-∠ACB=20°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 切线; 等腰三角形; 圆周角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AC是直径，连接了圆心O和圆周上的A、C两点，长度为2倍的半径，即AC = 2 * OA。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点A和B，这些公共点叫做切点。因此，直线PA和PB是圆O的切线。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。##"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A和B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA和PB与经过切点A和B的半径OA和OB垂直，即∠OAP=90°和∠OBP=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在三角形ABC中，角ABC、角BAC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BAC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°", "this": "在本题图中，四边形AOBP中，角AOB、角OAP、角OBP和角P是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角AOB + 角OAP + 角OBP + 角P = 360°。####"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AC所对的圆周角ABC是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6770.png", "question": "某楼梯的侧面如图所示,已测得AB的长为3���,楼梯斜坡BC的坡度比是1:2,则该楼梯的斜坡BC长为()", "answer": "3√{5}米", "process": "1. 已知AB的长为3米，楼梯斜坡BC的坡度比是1:2。

2. 根据坡度比是1:2，可以得出\\(\\frac{AB}{AC} = \\frac{1}{2}\\)。

3. 根据比例\\(\\frac{AB}{AC} = \\frac{1}{2}\\)，可以计算得出AC = 2AB = 2 \\times 3 = 6米。

4. 设BC为未知数，根据勾股定理\\(BC = \\sqrt{AB^2 + AC^2}\\)，计算BC。

5. 代入数值AB=3米，AC=6米，可以得到BC = \\sqrt{3^2 + 6^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3\\(\\sqrt{5}\\)米。", "elements": "直角三角形; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "坡度的定义", "content": "坡度是指某条线路或某个地段的垂直高度和水平距离之比。", "this": "设楼梯斜坡为线段BC，线段BC的垂直高度为线段AB，水平距离为线段AC。根据坡度的定义，坡度是指垂直高度AB和水平距离AC之比，即坡度=AB/AC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "∠CAB是直角（90度），边CA和BA是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = AB^2 + AC^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5958.png", "question": "如图,在△ABC中,BD、CE是角平分线,AM⊥BD于点M,AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30,BC=12．则MN的长是()", "answer": "3", "process": "1. 由题意知△ABC的周长为30，且BC=12。

2. 根据##三角形的周长公式##，可以得出AB+AC=30-BC=18。

3. 延长AN和AM分别交BC于点F和G。

4. 由于##BD##是∠ABC的角平分线，根据角平分线的##定义##，得##∠CBD=∠ABD##。

5. 由于##BD##垂直于AG，因此##根据三角形的内角和定理得：∠ABD + ∠BAG=180°-∠AMB=180°-90°=90°##，且##∠AGB + ∠CBD##=180°-∠BMG=180°-90°=90°。

6. 因此可以得出##∠BAG##=∠AGB，从而得到AB=BG。

7. 根据##步骤6可得三角形ABG是一个等腰三角形，并且BM是其三角形的垂线，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理得AM=MG##，同理，利用相同的方法得到AC=CF，##AN=NF##。

8. 由中位线定义可知MN是△AFG的中位线，因此MN=## 1/2 ##GF。

9. GF=BG+CF-BC，根据之前的结论BG=##AB##，CF=##AC##，则 GF=AB+AC-BC。

10. 最终MN=## 1/2 ##(AB+AC-BC)=## 1/2 ##(18-12)=3。

11. 经过上述推理，最终得出MN的长度为3。", "elements": "普通三角形; 垂线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABC分成两个相等的角，即∠ABD和∠DBC相等。因此，线BD是角ABC的角平分线。同理，角ACB的顶点是点C，从点C引出一条线CE，这条线将角ACB分成两个相等的角，即∠ACE和∠ECB相等。因此，线CE是角ACB的角平分线。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AM和直线BD相交形成的角∠AMB是90度，因此根据垂线定义，直线AM和直线BD互相垂直。同理，直线AN和直线CE相交形成的角∠ANC是90度，因此根据垂线定义，直线AN和直线CE互相垂直。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "在本题中，三角形AFG中，点N是边AF的中点，点M是边AG的中点，线段MN连接这两个中点。根据三角形中位线定理，线段MN与第三边FG平行且等于第三边FG的一半，即MN || FG，并且MN = 1/2 * FG。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c", "this": "三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AC+BC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形AMB中，角∠AMB是直角（90度），因此三角形AMB是一个直角三角形。边AM和边BM是直角边，边AB是斜边。同理，三角形ANC中，角∠ANC是直角（90度），因此���角形ANC是一个直角三角形。边AN和边NC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "三角形AMB中，角ABD、角BAG和角AMB是三角形AMB的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABD + 角BAG+ 角AMB = 180°。三角形BMG中，角AGB、角CBD和角BMG是三角形BMG的三个内角，根据三角形内角和定理，角AGB + 角CBD + 角BMG = 180°。##"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段BD的中点为点M，线段CE的中点为点N。根据线段中点的定义，点M将线段BD平分为两个相等的部分，即BM = MD；点N将线段CE平分为两个相等的部分，即CN = NE。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "三角形ABG中，边AB和边BG相等，因此三角形ABG是一个等腰三角形。三角形ACF中，边AC和边CF相等，因此三角形ACF是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边", "this": "在本题图中，等腰三角形ABG中，顶角为角WBG，底边为边AG。顶角的角平分线AM不仅平分顶角ABG，还平分底边AG，使得AM = GM，并且垂直于底边AG，即形成直角AMB（90度）。因此，线段BM既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。等腰三角形ACF中，顶角为角ACF，底边为边AF。顶角的角平分线CN不仅平分顶角ACF，还平分底边AF，使得AN = FN，并且垂直于底边AF，即形成直角ANC（90度）。因此，线段CN既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5984.png", "question": "同学们都玩过跷跷板的游戏,如图是一个跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB。当跷跷板的一头A着地时,∠AOA′=50°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠COB′等于()", "answer": "65°", "process": "1. 已知OA=OB，且OC与地面垂直，根据题意可得##∠ACO和∠B′CO均为直角，即∠ACO=∠B′CO=90°##。

####

##2. 因为OA=OB，且根据跷跷板的原理，OB=OB′所以OA=OB′##。

##3. 因为OA=OB′，在三角形AOB′中，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理，OC是∠AOB‘的角平分线，所以∠COB′是∠AOB′的一半。##

##4.因为∠AOA′=50°，根据周角的定义，∠AOB′=180°-50°=130°。##

##5. 所以##∠COB′=1/2×∠AOB′=1/2×130°=65°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为65°。", "elements": "对顶角; 垂线; 旋转; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "线段OA和线段OB相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。"}, {"name": "周角的定义", "content": "一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角。", "this": "在本题图中，射线OB’绕着端点O旋转一周，形成周角A‘OB’。根据周角的定义，周角的度数为360度，即周角A‘OB’=360度。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。", "this": "在本题图中，等腰三角形AOB‘中，顶角为角AOB‘，底边为边AB‘。顶角的角平分线OC不仅平分顶角AOB‘，还平分底边AB‘，使得AC = CB‘，并且垂直于底边AB‘，即形成直角ACO和角OCB‘（90度）。因此，线段OC既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6563.png", "question": "如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=3,现将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度,点C′恰落在边BC上的高所在的直线上,则边BC在旋转过程中所扫过的面积为()", "answer": "3π", "process": "1. 已知∠A = 90°, AB = AC = 3, 作出高AD, 则点C'位于AD的反向延长线上。

2. 因为∠A = 90°, AB = AC = 3,##等腰直角三角形的定义##,△ABC为等腰直角三角形, 据勾股定理得BC =## √(AB?+AC?) = √(3?+3?) =3√2##。

3. ##由等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理##知BD = DC。

4. 因△ABC绕点B逆时针旋转一定角度，点C'恰好落在边BC上的高所在的直线上。##因为BC' = BC = 3√2, BD = 1/2 BC，所以BD = 1/2 BC',又因为在直角三角形BC'D中,根据30°-60°-90°三角形的性质,所以∠BC'D = 30°,∠DBC' = 60°##。

5. 根据扇形的面积公式##(60/360) * π * (3√2)^2=3π，所以##边BC在旋转过程中所扫过的面积为 3π。", "elements": "直角三角形; 旋转; 垂线; 垂直平分线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边，在三角形BC'D中，角BDC'是直角（90度），因此三角形BC'D是一个直角三角形。边BD和边C'D是直角边，边BC'是斜边。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角BAC是直角（90度），边AB和AC是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，##BC? = AB? + AC?## ，即BC = √(AB? + AC?) = √(3? + 3?) = 3√2。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形ABC是等腰直角三角形，其中角BAC是直角（90度），边AB和边AC是相等的直角边。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A =## (θ/360) * π * r? ##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "在本题中，旋转后形成的扇形由∠DBC = 60°，半径为BC = 3√2。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形的面积A = (60/360) * π * (3√2)² = 3π。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°三角形BC'D中，角BC'D是30度，角C'BD是60度，角C'DB是90度。边BC'是斜边，边BD是30度角所对的边，边C'D是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BD等于边BC'的一半，边C'D等于边BC'的√3倍。即：BD = 1/2 * BC'，C'D = BC' * √3。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。", "this": "等腰三角形ABC中，顶角为角A，底边为边BC。顶角的角平分线AD不仅平分顶角A，还平分底边BC，使得BD = DC，并且垂直于底边BC，即形成直角ADB和直角ADC（90度）。因此，线段AD既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点A垂直于对边BC的线段AD是该顶点A的高。线段AD与边BC形成一个直角（90度），这说明线段AD是从顶点A到对边BC的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6711.png", "question": "如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,OA=3,OC=1,分别连接AC、BD,则图中阴影部分的面积为()", "answer": "2π", "process": "1. 根据题意，扇形OAB和扇形OCD的圆心角都是90°，并且OA=3，OC=1。连接AC、BD。

2. 根据题目中的描述，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB完全重合。因此，△OAC的面积等于△ODB的面积。

####

##3##. 计算扇形OAB的面积：扇形的面积计算公式为πr^2×(θ/360°)。当r=3且θ=90°，扇形OAB的面积为π×3^2×(90/360)=1/4×9π=2.25π。

##4##. 计算扇形OCD的面积：当r=1且θ=90°，扇形OCD的面积为π×1^2×(90/360)=1/4×1π=0.25π。

##5##. 计算阴影部分的面积：阴影部分的面积为扇形OAB的面积加上△ODB的面积减去△OAC的面积和扇形OCD的面积。

##6##.根据前面的计算，##△OAC的面积等于△ODB的面积。所以S(△ODB)-S(△OAC)=0##阴影部分的面积=S(扇形OAB) - S(扇形OCD)=2.25π-0.25π=2π。

##7##. 最终，经过上���推理，阴影部分的面积为2π。", "elements": "扇形; 圆心角; 线段; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "在本题图中，扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形。同理，扇形OCD中，半径OC和半径OD是圆的两条半径，圆弧CD是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧CD组成的图形为扇形。####"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r^2计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "扇形OAB中，圆心角∠AOB的度数为90°，半径OA的长度为3。根据扇形的面积公式，扇形OAB的面积A可以通过公式A = (90/360) * π * 3^2计算，结果为2.25π。扇形OCD中，圆心角∠COD的度数为90°，半径OC的长度为1。根据扇形的面积公式，扇形OCD的面积A可以通过公式A = (90/360) * π * 1^2计算，结果为0.25π。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6839.png", "question": "为了测量两岸平行的河宽AB,测得∠ACB=30°,∠ADB=60°,CD=60m,则河宽AB为()", "answer": "30√{3}m", "process": "1. 已知∠ACB = 30°, ∠ADB = 60°, CD = 60米。

##2. 根据邻补角的定义，∠CDA为∠ADB的邻补角，∠CDA=180°-∠ADB=180°-60°=120°。##

3. ##根据三角形内角和定理##，在三角形ACD中，##∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 30° - 120° = 30°。同理，在直角三角形ABD中，∠DAB = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 90° - 60° = 30°。##。

##4.根据等腰三角形的性质，∠CAD=∠ACD=30°，所以AD = CD = 60米 。##

##5.根据30°-60°-90°三角形的性质，直角三角形ABD中，BD：AB：AD=1：√3：2 ，所以AB=√3/2AD=√3/2*60=30√3。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为30√3米。", "elements": "普通三角形; 直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ACD中，角DCA和角CAD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边CD = 边AD。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ADC中，角ADC、角DCA和角CAD是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADC + 角DCA + 角CAD = 180°。同理，三角形ADB中，角ADB、角DAB和角DBA是三角形ADB的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADB + 角DAB + 角DBA = 180°。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角CDA和角ADB有一条公共边AD，它们的另一边CD和DB互为反向延长线，所以角CDA和角ADB互为邻补角。####"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ADB中，角DAB是30度，角ADB是60度，角ABD是90度。边AD是斜边，边DB是30度角所对的边，边AB是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边DB等于边AD的一半，边AB等于边BD的√3倍。即：DB = 1/2 * AD，AB = DB * √3。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5806.png", "question": "如图,已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米,过底边BC上任意一点D作两腰的平行线,分别交两腰于E、F,则四边形AEDF的周长为()", "answer": "8厘米", "process": "1. 根据题意，作出辅助线DE∥AC和DF∥AB，交两腰AB、AC于点E、F。

2. 依据##平行线的平行公理2，同位角相等##，得∠EDB=∠ACB且∠FDC=∠ABC。

3. 在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，因此根据等腰三角形的性质，有∠ABC=∠ACB。

4. 由上两步得出，∠EDB=∠ABC且∠FDC=∠ACB。

5. ##因为∠EDB=∠ABC且∠FDC=∠ACB，根据等腰三角形的性质和等腰三角形的定义##，得DE=BE且DF=FC。

6. 四边形AEDF的周长为AE + ED + DF + AF。

7. 其中，AE + ED = AB和DF + AF = AC。

8. 因为AB=AC=4厘米，所以AE + ED + DF + AF = AB + AC = 2AB = 2×4 = 8厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为8厘米。", "elements": "等腰三角形; 平行线; 平行四边形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。同理，三角形EBD中，边EB和边ED相等，因此三角形EBD是一个等腰三角形，同理，三角形FDC中，边FD和边FC相等，因此三角形FDC是一个等腰三角形。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线DE和直线AC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DE和直线AC是平行线。同理，直线DF和直线AB位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DF和直线AB是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和AC被第三条直线DC所截，形成了以下几何关系：同位角∠EDB和∠ACB相等。同理，两条平行线DF和AB被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系：同位角∠FDC和∠ABC相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ABC = ∠ACB。##同理，等腰三角形EBD中，边EB和边ED相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠EDB = ∠ABC。同理，等腰三角形FDC中，边FD和边FC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠FDC = ∠ACB。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线ED和AC被一条直线DC截交，其中角EDB和角ACB位于截线DC的同旁，被截两直线ED和AC的同一侧，因此角EDB和角ACB是同位角。同位角相等，即角EDB等于角ACB。同理，两条平行直线FD和AB被一条直线BD截交，其中角ABC和角FDC位于截线BD的同旁，被截两直线AB和FD的同一侧，因此角ABC和角FDC是同位角。同位角相等，即角ABC等于角FDC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6818.png", "question": "某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于P的北偏东30°方向,且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行\\$rac{2}{3}\\$小时到达B处,那么tan∠BAP=()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "1. 已知灯塔A位于点P的北偏东30°方向，且相距50海里。因此线段AP的长度为50海里。

2. 客轮以60海里每小时的速度沿北偏西60°方向航行##2/3##小时到达点B，根据##位移公式s=vt##，可得BP = 60 × ##2/3## = 40海里。

3. 在点P处，考虑北偏东30°和北偏西60°的方向构成的夹角。##因此∠APB =60°+30°= 90°，所以两方向垂直。##

4. 在直角三角形APB中，已知AP = 50海里，BP = 40海里。根据##正切函数的定义##，tan∠BAP = 对边BP / 邻边AP。

5. 计算得tan∠BAP = 40/50 = 4/5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4/5。", "elements": "方向角; 普通三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题图中，直角三角形APB中，角∠BAP是锐角，边BP是角∠BAP的相对直角边，边AP是角∠BAP的相邻直角边，所以角∠BAP的正切值等于边BP的长度除以边AP的长度，即tan(∠BAP) = BP / AP = 40 / 50 = 4 / 5。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6852.png", "question": "如图,已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行,半小时后到达B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔M与渔船的距离是()", "answer": "7√{2}海里", "process": "1. 已知渔船以28海里/时的速度向正东方向航行半小时后到达B处，则AB =##1/2## × 28 = 14海里。

##2. 过点B作BN垂直于AM并交于点N。##

3. 由图中角度可知∠MAB = ##30°，∠NBA等于60°，显然∠NBM等于90°-60°＋15°##

4. 在直角三角形△ABN中，∠BAN = 30度，根据直角三角形定义，得BN = AB × sin(∠BAN) = 14 × sin(30度) = 14 × ##1/2## = 7海里。

5. 因为在直角三角形△BNM中，∠MBN = 45度，根据直角三角形的性质，该三角形是等腰直角三角形，所以BN = MN。

6. 已知BN = 7海里，则MN = 7海里。

7. 通过直角三角形的性质，BM =##√（BN^2 + MN^2） =√（7^2 + 7^2） = √（49 + 49） = 7√2##海里。

8. 经过上述推理，最终得出BM = 7√2海里。", "elements": "方向角; 普通三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABN中，角∠ABN是直角（90度），因此三角形ABN是一个直角三角形。边AB和边BN是直角边，边AN是斜边。三角形BNM中，角∠BNM是直角（90度），因此三角形BNM是一个直角三角形。边BN和边NM是直角边，边BM是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABM中，角MAB、角MBA和角AMB是三角形ABM的三个内角，根据三角形内角和定理，角MAB + 角MBA + 角AMB = 180°。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形△ABN中，角∠BAN是锐角，边BN是角∠BAN的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角∠BAN的正弦值等于对边BN与斜边AB的比值，即sin(∠BAN) = BN / AB。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形BNM是等腰直角三角形，其中角∠BNM是直角（90度），边BN和边MN是相等的直角边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形BNM中，角BNM是直角（90度），边BN和MN是直角边，边BM是斜边，所以根据勾股定理，##BM^2 = BN^2 + MN^2##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5914.png", "question": "如图,在四边形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,点E,F分别是线段BC,DC上的动点．当△AEF的周长最小时,则∠EAF的度数为()", "answer": "80°", "process": "1. 作点A分别关于线段BC和CD的对称点A'和A\"，连接A'A\"，并且交BC于点E，交CD于点F。

2. 由于A'和A\"分别是A的关于BC和CD的对称点，根据对称性####，A'A\"即为三角形AEF的周长最小值。

3. 作DA的延长线，并取点H，使得AH延长线在直线DA上。

4. ##连接AA'，AA\"，由于∠BAD=130°，由三角形内角和定理可知，∠AA'A\"＋∠AA\"A'＝180°-∠BAD＝50°##

5.## 观察三角形AEF，由对称性可知AE＝EA'，AF＝FA\"，由等腰三角形的定义可知，三角形AEA'与三角形AFA\"都是等腰三角形，又由等腰三角形的性质可知，∠AA'E＝∠A'AE，∠FAA\"＝∠FA\"A##

6. ##所以由三角形的外角定理可知，∠AEF＋∠AFE＝2（∠AA'A\"＋∠AA\"A'）＝100°##

7. ##因此，根据三角形内角和定理可知，∠EAF = 180° - 100° = 80°。##

####", "elements": "普通四边形; 直角三角形; 垂线; 垂直平分线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对称点", "content": "对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。", "this": "A'是点A关于BC的对称点，A\"是点A关于CD的对称点，且A'和A\"分别位于BC和CD上，使得A'A垂直且被BC平分，A\"A垂直且被CD平分。"}, {"name": "对称性", "content": "对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变", "this": "在本题图中，图形AEA'具有对称性。具体来说，如果图形AEA'关于直线BC对称，那么直线BC就是图形AEA'的对称轴。图形AEA'的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分。如果图形AEA'关于点O对称，那么点O就是图形AEA'的对称中心。图形AEA'的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。如果图形AEA'在旋转θ度后保持不变，那么图形AEA'具有旋转对称性，θ度是其对称角度。通过这些对称操作，图形AEA'在视觉上保持不变。在本题图中，图形AFA\"具有对称性。具体来说，如果图形AFA\"关于直线CD对称，那么直线CD就是图形AFA\"的对称轴。图形AFA\"的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分。如果"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°在本题图中，三角形AA'A\"中，角AA'A\"、角AA\"A'和角A'AA\"是三角形AA'A\"的三个内角，根据三角形内角和定理，角AA'A\" + 角AA\"A' + 角A'AA\" = 180°。三角形AEF中，角AEF、角AFE和角EAF是三角形AEF的三个内角，根据三角形内角和定理，角AEF+ 角AFE + 角EAF = 180°。####name:等腰三角形的定义content:等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "在本题图中，三角形AEA'中，边AE和边EA'相等，因此三角形AFA\"是一个等腰三角形。三角形AFA\"中，边AF和边FA'相等，因此三角形AFA\"是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "在本题图中，等腰三角形AEA的边AE和边EA'相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角AA'E = 角A'AE。等腰三角形AFA\"的边AF和边FA\"相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角FA\"A = 角FAA\"。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "在本题图中，三角形AEA'中，角AEF是三角形的一个外角，角AA'E和角A'AE是与外角AEF不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AEF等于不相邻的两个内角AA'E和A'AE之和，即角AEF = 角AA'E + 角A'AE。三角形AFA\"中，角AFE是三角形的一个外角，角FAA''和角FA''A是与外角AFE不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AFE等于不相邻的两个内角FAA''和FA''A之和，即角AFE = 角FAA'' + 角FA''A。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角", "this": "多边形AEA的一个内角为∠AEA'，延长该内角的相邻边AE和A'E形成的角∠AEF称为内角∠AEA'的外角。多边形AFA\"的一个内角为∠AFA\"，延长该内角的相邻边AF和A''F形成的角∠AFE称为内角∠AFA\"的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5942.png", "question": "如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为AB中点,连接DF延长交AC于点E．若AB=12,BC=20,则线段EF的长为()", "answer": "4", "process": "1. 在△BFA和△BFG中，根据##角平分线定义##，我们有：∠ABF = ∠GBF (因为BF平分∠ABC)，BF = BF（公共边），∠BFA = ∠BFG（都是90度），因此ΔBFA ≌ ΔBFG (角边角准则)。

2. 由于△BFA与△BFG全等，我们得到BG = AB = 12##，AF=FG##。

3. 因为##BC=20##，由此得出GC = BC - BG = 20 - 12 = 8。

4. 根据题意，D为AB的中点，##F为AG的中点，根据三角形中位线定理，DF平行于BG，由于E在DF的延长线上，G是BC上的点，因此EF平行于CG##。

5. ##根据平行线分线段成比例定理，AE/CE=AF/FG，代入得到AE=CE，即E为AC的中点，所以EF为三角形ACG的中位线。##

6. 所以##根据三角形中位线定理，##EF等于##GC##的一半，即EF = 1/2 * GC = 4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4。", "elements": "垂线; 中点; 普通三角形; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ABG的顶点是点B，从点B引出一条线BF，这条线将角ABG分成两个相等的角，即角ABF和角GBF相等。因此，线BF是角ABG的角平分线。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AF和直线BF相交形成的角∠AFB是90度，因此根据垂线定义，直线AF和直线BF互相垂直。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AB的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DB的长度相等。即，AD = DB。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "三角形BFA和三角形BFG是全等三角形，三角形BFA的对应边和对应角与三角形BFG相等，即： 边BF = 边BF，边AB = 边BG，边AF = 边GF，同时，对应的角也相等： 角ABF = 角GBF，角AFB = 角GFB，角BAF = 角BGF。"}, {"name": "全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）", "content": "如果一个三角形的两角和它们夹着的一边分别等于另一个三角形的两角和它们夹着的一边，则这两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形BFA和三角形BFG中，角ABF等于角GBF（角平分线的性质），角AFB等于角GFB（都是90°），且边BF等于边BF（公共边）。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形BFA全等于三角形BFG。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "点F是边AC的中点，点E是边AC的中点，线段EF连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段EF与第三边GC平行且等于第三边GC的一半，即EF || GC，并且EF = 1/2 * GC。同理，在三角形ABG中，点F是边AG的中点，点D是边AB的中点，线段DF连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段DF与第三边BG平等且等于第三边BG的一半，即DF || BG，并且DF = 1/2 * BG。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "三角形ACG中，直线EF与边CG平行，并截它的其他两边AG和AC于点E和点F，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AF/AG = AE/AC，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7578.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,AD=3,DE=2,则CD的长是()", "answer": "\\frac{3√{5}}{2}", "process": "1. 已知AD垂直于BC，DE垂直于AB，因此∠ADC=∠AED=90°。

2. 已知∠BAC=90°，##所以∠DAE+∠DAC=90°，根据三角形内角和定理且∠ADC=90°，在三角形ADC中∠C+∠DAC=180°-90°=90°，因此∠DAE=∠C##。

3. ##由于∠ADC=∠AED=90°，∠DAE=∠C，根据相似三角形的判定定理(AA)得##Rt△ACD相似于Rt△DAE。

4. ##根据相似三角形的定义##，△ACD和△DAE的相似比是AD/AC=DE/AD。

5. 已知AD=3和DE=2，因此将数值代入相似比，得到3/AC=2/3。

6. 通过解方程得到AC=9/2。

7. 在Rt△ACD中，应用勾股定理得：##CD^2+AD^2=AC^2##。

8. 将数值代入勾股定理，得到##CD^2+3^2=(9/2)^2##。

9. 求解方程得：##CD^2=81/4-9，即CD^2=81/4-36/4，CD^2=45/4##。

10. 最终求得CD=√(45/4)=3√5/2。

11. 经过上述推理，最终得出答案为3√5/2。", "elements": "直角三角形; 垂线; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ADC和三角形AED中，角ADC和角AED是直角（90度），因此三角形ADC和三角形AED是直角三角形。边AD、CD是三角形ADC的直角边，边AC是斜边。边AE、DE是三角形AED的直角边，边AD是斜边。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ACD和三角形DAE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ACD = ∠DAE, ∠ADC = ∠AED, ∠CAD = ∠ADE；AD/AC = DE/AD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ACD中，角∠ADC是直角（90度），边AD和CD是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AD^2 + CD^2。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "角DEA、角DAE和角ADE是三角形AED的三个内角，根据三角形内角和定理，角DEA+角DAE+角ADE = 180°。角ACD、���ADC和角DAC是三角形ACD的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACD+角ADC+角DAC= 180°。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直", "this": "AD⊥BC于D,DE⊥AB于E，因此根据垂线定义，∠ADC=∠AED=90°。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "△ACD和△DAE中，∠ADC=∠AED=90°，且∠DAE=∠C，所以三角形△ACD和△DAE相似。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7600.png", "question": "如图,已知点D是AB边的中点,AF∥BC,CG:GA=3:1,BC=8,则AF等于()", "answer": "4", "process": "1. 已知 AF∥BC，##可知∠AFD=∠DEB(平行线的平行公理2，内错角相等)，又因为∠ADF=∠BDE(对顶角的定义)，则根据相似三角形的判定定理(AA)##，得出△AFD∽△BED。

2. 根据相似三角形的对应边成比例，得出 AF:BE=AD:BD。

3. 由于 D 是 AB 边的中点，即 AD:BD = 1:1，因此 AF:BE = 1:1，即 AF = BE。

4. 已知 AF∥BC，##可知∠AFG=∠CEG(平行线的平行公理2，内错角相等义)，又因为∠AGF=∠CGE(对顶角的定义)，则根据相似三角形的判定定理(AA)##，得出##△AGF##∽△CGE。

5. 根据相似三角形的对应边成比例，得出 CE:AF=CG:GA。

6. 已知 CG:GA=3:1，因此 CE:AF=3:1，即 CE=3AF。

7. 已知 BC=8，且 BC=##CE-BE##，根据## AF = BE且 CE=3AF##，得出 8 =## 3AF - AF## 即 BC=2AF。

8. 求解上式得 2AF = 8，即 AF = 4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 4。", "elements": "中点; 平行线; 平行四边形; 线段; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AB的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DB的长度相等。即，AD = DB。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，线段AF和BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，线段AF和BC是平行线，即AF∥BC。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形AFD和三角形BED是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AFD = ∠BED, ∠ADF = ∠BDE, ∠DFA = ∠DEB；AF/BE = AD/BD = DF/DE。在相似三角形AFG和CEG中，根据相似三角形的定义有：∠AFG = ∠CEG, ∠FAG = ∠GCE, ∠GAF = ∠GCE；AF/CE = AG/CG = FG/EG。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "在本题图中，三角形ADF和三角形BDE中，角ADF等于角BDE，且角AFD等于角DEB，所以三角形ADF相似于三角形BDE。同理，在三角形AGF和三角形CGE中，角AGF等于角CGE，且角AFG等于角GEC，所以三角形AGF相似于三角形CGE。####"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等", "this": "在本题图中，两条相交直线AB和EF相交于点D，形成四个角：角ADF、角BDE、角ADE和角BDF。根据对顶角的定义，角ADF和角BDE是对顶角，角ADE和角BDF是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角ADF=角BDE，角ADE=角BDF。同理，两条相交直线AC和EF相交于点G，形成四个角：角AGF、角CGE、角AGE和角CGF。根据对顶角的定义，角AGF和角CGE是对顶角，角AGE和角CGF是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角AGF=角CGE，角AGE=角CGF。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "在本题图中，两条平行直线AF和CE被直线AB截交，其中角AFD和角DEB位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此角AFD和角DEB是内错角。内错角相等，即角AFD等于角DEB。同理，两条平行直线AF和CE被直线AC截交，其中角AFG和角CEG位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角AFG和角CEG是内错角。内错角相等，即角AFG等于角CEG。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线AF和CE被第三条直线AC和AB所截，形成了以下几何关系：内错角：∠AFD=∠DEB，∠AFG=∠CEG。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7807.png", "question": "如图,在△ABC中,若DE∥BC,\\frac{AD}{AB}=\\frac{1}{3},DE=4cm,则BC的长为()", "answer": "12cm", "process": "1. 已知DE∥BC，根据##平行线分线段成比例定理##，得出△ADE与△ABC相似。

2. 根据相似三角形对应边成比例有：##AD/AB = DE/BC##。

3. 已知##AD/AB = 1/3##以及DE = 4 cm，将这些值代入上一步公式，得到##1/3 = 4/BC##。

4. 解方程##1/3 = 4/BC##，得出BC = 12 cm。

5. 经过上述推理，最终得出答案为12 cm。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠EAD = ∠CAB；AD/AB = DE/BC = AE/AC。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AD/AB = AE/EC\n即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线DE和直线BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DE和直线BC是平行线。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，边AD与边AB对应，边DE与边BC对应，且边AD/边AB = 边DE/边BC，并且角DAE=角BAC，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形ADE相似于三角形ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7770.png", "question": "如图所示,在△ABC中D为AC边上一点,若∠DBC=∠A,BC=3,AC=6,则CD的长为()", "answer": "\\frac{3}{2}", "process": "1. 已知∠DBC = ∠BAC，以及BC=3，AC=6。

2. 由于∠DBC = ∠BAC，并且∠BCA = ∠BCA（共用角），根据三角形相似的判定方法（AA），得出△BCD ∽ △ACB。

3. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，得到：CD/BC = BC/AC。

4. 代入已知条件，CD/3 = 3/6。

5. 解上述比例式，得到：CD = 3/2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为CD = 3/2。", "elements": "普通三角形; 等腰三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "∠BAC 是由射线AB和AC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A。这个共同的端点A称为角BAC的顶点，而射线AB和AC称为角BAC的边。类似地，∠DBC 是由射线DB和BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点D。这个共同的端点D称为角DBC的顶点，而射线DB和BC称为角DBC的边。∠BCA 是由射线BC和CA组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点C。这个共同的端点C称为角BCA的顶点，而射线BC和CA称为角BCA的边。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形BCD和三角形ACB中，∠DBC等于∠BAC，且∠BCA等于∠BCA（共用角），所以三角形BCD相似于三角形ACB。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形BCD和三角形ACB是相似三角形���根据相似三角形的定义有：∠DBC = ∠BAC, ∠BCA = ∠BCA；CD/BC = BC/AC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/6835.png", "question": "上午9时,一船从A处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处,如图所示,从A,B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B处与小岛M的距离为()", "answer": "20√{2}海里", "process": "1. 已知上午9时到9时30分，船以每小时40海里的速度航行，则AB=40海里×0.5小时=20海里。

2. 根据北偏东45°和北偏东15°，可以得到##∠ABM=90°+15°=105°##。

3. 过点B作BN垂直于AM，##垂足为点N，所以三角形ABN是一个直角三角形。即∠BNA=90°，所以##角∠ABN=45°。

4. 在直角三角形ABN中，通过正弦函数计算BN的长度：BN=AB sin(45°)=20海里×√2/2=20√2/2=10√2海里。

5. 通过解直角三角形BNM，##已知∠ABM=105°，所以∠MBN=∠ABM-∠ABN=105°-45°=60°，又因为∠MAB=45°，根据三角形内角和定理可知在△BMA中，∠BMA=30°##。

6. 通过##直角三角形NBM应用正弦函数定义##得出BM的长度：由正弦公式可知BM=BN / sin(30°)=10√2海里×2=20√2海里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为20√2海里。", "elements": "等腰三角形; 方向角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，角∠ABM是由两条射线BA和BM组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B。这个共同的端点B称为角∠ABM的顶点，而射线BA和BM称为角∠ABM的边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形△ABN中，∠NAB是锐角，边BN是角∠NAB的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，∠NAB的正弦值等于对边BN与斜边AB的比值，即sin(45°) = BN / AB= √2/2。在直角三角形△MBN中，根据正弦函数定义，∠NMB的正弦值等于对边BN与斜边MB的比值，即sin(30°) = BN / MB= 1/2。故而MB=2BN=√2AB。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "点B作BN垂直于AM，所以∠ANB和∠MNB是直角（90度），因此△ABN和△MBN是直角三角形。故而边AN和边BN是△ABN的直角边，边AB是斜边。边MN和边BN是△MBN的直角边，边MB是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BMA中，角ABM、角MAB和角BMA是三角形BMA的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABM+角MAB+角BMA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7802.png", "question": "如图,DE∥BC,BD,CE相交于O,\\frac{EO}{OC}=\\frac{1}{3},AE=3,则EB=()", "answer": "6", "process": "1. 已知DE∥BC，根据##平行线的平行公理2，内错角相等，可知∠EDO=∠CBO，∠DEO=∠BCO。再根据相似三角形的判定定理(AA)##，得到△EOD∽△COB。

2. 由△EOD∽△COB，根据##相似三角形的定义##，我们有：##DE/BC=EO/OC=1/3##。

3. 由于DE∥BC，因此根据##平行线的平行公理2，同位角相等，可知∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB。再根据相似三角形的判定定理(AA)##，我们可以得出△AED∽△ABC。

4. 由△AED∽△ABC，根据##相似三角形的定义##，得到：##DE/BC=AE/AB##。

5. 结合第2步和第4步，可以得到：##AE/AB=1/3##。

6. 已知AE=3，因此根据比例关系可以解得AB=3*3=9。

7. 最后，由于AB=AE+EB，因此可以得出EB=AB-AE=9-3=6。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6。", "elements": "平行线; 普通三角形; 平移; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形EOD和三角形COB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EOD = ∠COB, ∠ODE = ∠OBC, ∠DEO = ∠BCO；DE/BC = EO/OC = DO/BO。同理，三角形AED和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AED = ∠ABC, ∠ADE = ∠ACB, ∠DAE = ∠BAC；DE/BC = AE/AB = AD/AC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互���。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线DB所截，形成了以下几何关系：内错角：角EDO和角CBO相等。同理，两条平行线DE和BC被第三条直线EC所截，形成了以下几何关系：内错角：角DEO和角BCO相等。同理，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角AED和角ABC相等。同理，两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE和角ACB相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线BD截交，其中角EDO和角CBO位于两平行线之间，且在截线BD的对侧，因此角EDO和角CBO是内错角。内错角相等，即角EDO等于角CBO。同理，两条平行直线DE和BC被一条直线EC截交，其中角DEO和角BCO位于两平行线之间，且在截线EC的对侧，因此角DEO和角BCO是内错角。内错角相等，即角DEO等于角BCO。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角AED和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角AED和角ABC是同位角。同位角相等，即角AED等于角ABC。同理，两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角ADE和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ACB是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ACB。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角EDO等于角CBO，角DEO等于角BCO，所以三角形EDO相似于三角形CBO。同理，三角形AED和三角形ABC中，角AED等于角ABC，角ADE等于角ACB，所以三角形AED相似于三角形ABC。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7522.png", "question": "如图所示,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,若AB=3,BC=5,则DC的长度()", "answer": "\\frac{16}{5}", "process": "1. 已知∠BAC=90°, AD⊥BC于D，并且AB=3, BC=5。##在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ABD##。

2. 因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°。##同时，∠CAB=90°，根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADB∽△ABC##。

####

##3. 根据相似三角形的定义，得到AB/BC=BD/BA##

4. 根据已知条件AB=3，BC=5，我们可以写成：3/5 = BD/3。

5. 解这个比例方程，得到BD = (3*3)/5 = 9/5。

6. 因为BD和DC是线段BC的两部分，所以DC=BC-BD。

7. 根据BC=5，BD=9/5，得到: DC = 5 - (9/5) = 25/5 - 9/5 = 16/5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 16/5。", "elements": "直角三角形; 垂线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "在本题图中，线段AD和线段BC相交形成的角∠ADB是90度，因此根据垂线定义，线段AD和线段BC互相垂直。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABD和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAD = ∠BCA, ∠ADB = ∠CAB, ∠ABD = ∠ABC；AB/BC = BD/AB = AD/AC。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点。线段BC具有两个端点，这两个端点分别是B和C，且线段BC上的每一个点都位于端点B和端点C之间。"}, {"name": "##相似三角形的判定定理(AA)##", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ABD和三角形ABC中，##如果角ABD等于角ABC，且角ADB等于角CAB##，所以三角形ABD相似于三角形ABC。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5861.png", "question": "如图是\"人字形\"钢架,其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD为支柱(即底边BC的中线),两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF等于()", "answer": "5m", "process": "1. 已知△ABC中，AB=AC，且∠BAC=120°。根据等腰三角形的性质，得∠ABC=∠ACB。

2. 因为三角形内角和为180°，所以∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。

3. 由于∠BAC=120°，那么∠ABC + ∠ACB = 60°。

4. 由于∠ABC = ∠ACB，所以2∠ABC = 60°，即∠ABC=30°，∠ACB=30°。

5. 已知AD为三角形的中线，且DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，E和F分别为垂足。

##7. ##因为AD为三角形ABC的中线，D为BC的中点，且BC＝10米，所以BD＝DC＝5米。

8. 由于DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，且E和F分别是垂足，根据##30°-60°-90°三角形的性质##，可得DE是BD的一半，DF是DC的一半。

##8. ##∴DE = 1/2 * BD 和 DF = 1/2 * DC。因为BD = DC = 5米，所以DE = 1/2 * 5 = 2.5米，DF = 1/2 * 5 = 2.5米。

##9.## 因此，DE + DF = 2.5米 + 2.5米 = 5米。

##10.## 经过上述推理，最终得出答案为5米。", "elements": "等腰三角形; 垂线; 垂直平分线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，顶点A是三角形的一个顶点，对边BC是与顶点A相对的边。点D是边BC的中点，线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段，因此AD是三角形ABC的一条中线。"}, {"name": "垂足的定义", "content": "垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。", "this": "DE与AB相交于点E，且DE垂直于AB，因此点E是DE在AB上的垂足；同理，DF与AC相交于点F，且DF垂直于AC，因此点F是DF在AC上的垂足。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。######"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形BDE和CDF中，角B和角C是30度，角BDE和角CDF是60度，角BED和角CEF是90度。边BD和CD是斜边，边DE和DF是30度角所对的边，边BE和CF是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边DE等于边BD的一半，边DF等于边CD的一半。即：BE = 1/2 * BD，DF = 1/2 *CD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7618.png", "question": "如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,连接CD,∠ACD=∠B,若BC=13cm,CD=5cm,则BD=()", "answer": "12cm", "process": "####

##1##. 因为∠ACD=∠B，且∠A=∠A， 所以△ADC∽△ACB（相似三角形的条件是两个三角形的两个对应角分别相等）。

##2. 根据相似三角形的定义##，对应角相等，对应边成比例，即可得∠ADC=∠ACB。

##3##. 因为∠ACB=90°，所以∠ADC=90°，即##三角形BCD是一个直角三角形##，且∠BDC=90°。

##4##. 由##勾股定理##，应有BD=√(##BC^2 - CD^2##)，

##5##. 代入已知条件BC=13cm和CD=5cm，得BD=√(##13^2 - 5^2##)=√(169 - 25)=√144=12cm。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为BD=12cm。", "elements": "直角三角形; 等腰三角形; 线段; 三角形的外角; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "在本题图中，三角形ACD和三角形ABC中，如果角A等于角A，且角ACD等于角B，所以三角形ACD相似于三角形ABC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。##同理，三角形BDC中，角BDC是直角（90度），因此三角形BDC是一个直角三角形。边CD和边BD是直角边，边BC是斜边。##"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADC和三角形ACB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DAC = ∠BAC, ∠ACD = ∠ABC, ∠ADC = ∠ACB；AD/AC = DC/BC = AC/AB（公共边AC）。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形BDC中，角∠BDC是直角（90度），边BD和CD是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2= BD^2 + CD^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7884.png", "question": "如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为1:2,它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处,则物体从A到B所经过的路程为()", "answer": "2√{5}", "process": "1. 已知传送带和地面所成的坡度为1:2，并且把物体从A点送到离地面2米高的B点。

2. ##根据直角三角形的定义，##在直角三角形ABC中，AB是斜边，BC是由传送带提升的垂直高度，AC是传送带在地面上的水平投影。

3. 设BC的长度为2米，则依据斜坡的坡度1:2，得BC:AC=1:2。

4. 根据##坡度##关系，BC=2米，故AC=2×2=4米。

5. ##根据##勾股定理，则有##AB^2 = AC^2 + BC^2##，即##AB^2 = 4^2 + 2^2##=16+4=20。

6. 求得AB=√20 = 2√5。

7. 经过上述推理，最终得出物体从A到B所经过的路程为2√5米。", "elements": "直角三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，##AB^2 = AC^2 + BC^2##。"}, {"name": "坡度", "content": "坡度是指某条线路或某个地段的垂直高度和水平距离之比。", "this": "在本题图中，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:2，即垂直高度BC与水平距离AC的比为1:2。从题目中已知BC=2米，可以得出AC=4米。##"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角ACB是直角（90度），因此三角形ACB是一个直角三角形。边CA和边CB是直角边，边AB是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/5985.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数等于()", "answer": "30°", "process": "1. 已知AB=AC以及∠A=40°，根据等腰三角形的性质，得出∠ABC=∠ACB。

2. 由三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB= (180° - ∠A) / 2 = 70°。

3. ##根据垂直平分线的性质可知，AD=DC##。

4. ##根据等腰三角形的性质可知，∠ACD=∠A=40°。##

5. ##所以∠BCD=∠BCA-DCA=70°-40°=30°。##

##6##.经过上述推理，最终得出答案为30°。
####", "elements": "等腰三角形; 垂直平分线; 垂线; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADC中，边AD和边DC相等，因此三角形ADC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形△ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB，等腰三角形△ADC中，边AD和边DC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角A = 角DCA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角A、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角ABC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "线段DE的垂直平分线为直线AC，点E在直线AC上。根据垂直平分线的性质，点D到线段AC两端点A和C的距离相等，即AD = CD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7603.png", "question": "如图,已知⊙O的半径为6,M是⊙O外一点,且OM=12,过M的直线与⊙O交于A、B,点A、B关于OM的对称点分别为C、D,AD与BC交于点P,则OP的长为()", "answer": "3", "process": "1. 已知⊙O的半径为6, OM=12, A, B关于OM对称的点分别是C, D。过M的直线与⊙O交于A和B。连接AC交MO于点N，连接OA、OC。

2. 根据对称性可知MN⊥AC且AN=CN, 因此点P在MN上。

3. 由于AP=CP，所以∠APN=∠CPN，进一步得到∠BPM=∠APO。

4. 根据垂径定理, 垂直于弦并平分该弦的直径，得∠AON=∠CON=##1/2##∠AOC。

5. 又由于##圆周角定理，##同弧圆周角是圆心角的一半，因此有∠ABC=##1/2##∠AOC, 所以得到∠AON=∠ABC。

6. 由三角形内角和定理，得到∠AON=180°-(∠OAM+∠AMO)，以及∠ABC=180°-(∠BPM+∠AMO)，进一步得到∠OAM=∠BPM, 因此∠OAM=∠APO。

7. 又由##相似三角形的判定定理(AA)##, 有∠AOP=∠MOA, 从而△AOP∽△MOA。

8. 根据##相似三角形的定义##，有∠MOA##=##∠AOP，则##OP/OA=OA/OM##。

9. 将已知OA=6, OM=12代入，得到##OP/6=6/12##, 解得: OP=3。

10. 经过上述推理，最终得出答案为OP的长为3。", "elements": "圆; 对称; 线段; 直线; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A、B、C、D是圆上的任意一点，线段OA、OB、OC、OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OB、OC、OD是圆的半径。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "点A和点C是在本题图中，圆上任意两点，线段AC连接了这两个点，所以线段AC是圆O的弦。"}, {"name": "对称点", "content": "对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。", "this": "在本题图中，点A和点C是关于直线OM对称的点，且点A到直线OM的距离等于点C到直线OM的距离。同样，点B和点D是关于直线OM对称的点，且点B到直线OM的距离等于点D到直线OM的距离。根据对称点的定义，点A和点C在直线OM的两侧，且满足距离相等的关系，即距离AM = 距离CM；点B和点D在直线OM的两侧，且满足距离相等的关系，即距离BM = 距离DM。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "半径MO垂直于弦AC，那么根据垂径定理，半径MO平分弦AC，即AM=MC，并且直径MO平分弦AC所对的两条弧，即弧AN=弧CN。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，####弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC##。根据圆周角定理，∠ABC##等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC##的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC##。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形AOM中，角AOM、角OAM和角AMO是三角形AOM的三个内角，根据三角形内角和定理，角AOM + 角OAM + 角AMO = 180°。同理，三角形MPB中，角MPB、角BMP和角MPB是三角形MPB的三个内角，根据三角形内角和定理，角MPB + 角BMP + 角MPB = 180°。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形AOP和三角形MOA是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AOP = ∠MOA，∠OAP = ∠OMA，∠OPA = ∠MAO；OP/OA = OA/OM。"}, {"name": "对称性", "content": "对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不���。", "this": "在本题图中，图形MOB具有对称性。具体来说，如果图形MOB关于直线OM对称，那么直线OM就是图形MOB的对称轴。图形MOB的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分。如果图形MOB关于点O对称，那么点O就是图形MOB的对称中心。图形MOB的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。如果图形MOB在旋转θ度后保持不变，那么图形MOB具有旋转对称性，θ度是其对称角度。通过这些对称操作，图形MOB在视觉上保持不变。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的∠AOC称为圆心角。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角AOP等于角MOA，且角OAM等于角APO，所以三角形AOP相似于三角形MOA。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7898.png", "question": "如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为()", "answer": "6√{2}-6", "process": "1. 已知 AB = AC = 18, BC = 12, 正方形 DEFG 的顶点 E, F 在 △ABC 内, 顶点 D, G 分别在 AB, AC 上, AD = AG, DG = 6。

2. 过点 A 作 AM 垂直 BC 于点 M, 交 DG 于点 N, 延长 GF 交 BC 于点 H。

3. 由于 AB = AC, AD = AG, 因此 AD:AB = AG:AC。又因为 ∠BAC = ∠DAG，##根据相似三角形的判定定理(SAS)，##所以 △ADG 相似于 △ABC。

4. 根据##相似三角形的定义##，得到 ∠ADG = ∠ABC。由于DG 与 BC 平行， ##四边形 DEFG 是正方形##，所以 FG 垂直 DG，进而 FH 垂直 BC, AN 垂直 DG。

5. 因为 AB = AC = 18, BC = 12, ##根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理，##所以 BM = 1/2 * BC = 6。

6. ##因为 △ABM是直角三角形，##根据勾股定理，AM = ##√(AB^2 - BM^2) ##= 12√2。

7. ##由于 AN是△ADG内的一条高，而AM也是△ABC内的一条高##，且 △ADG 和 △ABC 相似，根据相似三角形的定义，所以 AN = AM × (DG/BC)。

8. 其中， AN = 12√2 × (6/12) = 6√2。

9. 计算得到 MN = AM - AN = 12√2 - 6√2 = 6√2。

10. 因为 FH = MN - GF，正方形 DEFG 的边长为 6，所以 FH = 6√2 - 6。

11. 经过上述推理，最终得出点 F 到 BC 的距离为 6√2 - 6。", "elements": "等腰三角形; 正方形; 平行线; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADG和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DAG = ∠BAC, ∠ADG = ∠ABC, ∠AGD = ∠ACB；AD/AB = AG/AC = DG/BC##=AN/AM##。"}, {"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "边DE、边EF、边FG和边GD相等，且角DEF、角EFG、角FGD和角GDE均为直角（90度），所以DEFG是一个正方形。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线 AM 和直线 BC 相交形成的∠AMB 是 90 度，因此根据垂线定义，直线 AM 和直线 BC 互相垂直；由于 DG 与 BC 平行，正方形 DEFG 的边 FG 垂直于 DG，进而FH 垂直 BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "三角形ADG和三角形ABC中，边AD与边AB对应，边AG与边AC对应，且边AD/边AB = 边AG/边AC，并且角BAC=角DAG，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形ADG相似于三角形ABC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABM中，∠AMB是直角（90度），边BM和AM是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AM^2 + BM^2。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。", "this": "等腰三角形ABC中，顶角为角BAC，底边为边BC。顶角的角平分线AM不仅平分顶角BAC，还平分底边BC，使得BM = MC，并且垂直于底边BC，即形成直角AMB（90度）。因此，线段AM既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。####"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABM中，角AMB是直角（90度），因此三角形ABM是一个直角三角形。边AM和边BM是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AM是该顶点A的高。线段AM与边BC（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段AM是从顶点A到对边BC（或其延长线）的垂直距离。同理，从顶点A垂直于对边DG（或其延长线）的线段AN是该顶点A的高。线段AN与边DG（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段AN是从顶点A到对边DG（或其延长线）的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7806.png", "question": "如图,一束光线从点A(-3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(-1,0),则光线从点A到点B经过的路线长是()", "answer": "5", "process": "1. 已知点A的坐标为(-3, 3)，点B的坐标为(-1, 0)，光线从点A经过y轴上的点C反射后经过点B。

2. 作点B关于y轴的对称点B′，则B′的坐标为(1, 0)，CB = CB′。

3. 作AD垂直于x轴交于点D，则D点的坐标为(-3, 0)。

4. 根据直角三角形的性质，AD = 3，DB′ = 1 + 3 = 4。

5. 使用勾股定理计算AB′的长度，在直角三角形ADB′中，AB′ = ##$\\sqrt{AD^2 + DB′^2}$ = $\\sqrt{3^2 + 4^2}$ = $\\sqrt{9 + 16}$ = $\\sqrt{25}$ = 5##。

6. 由于光线经过点C反射，路径包括AC和CB，路径长度等于AB′。

7. 经过上述推理，最终得出答案为5。", "elements": "反射; 线段; 直线; 等腰三角形; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对称点", "content": "对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。", "this": "点B(-1, 0)关于y轴的对称点是点B′(1, 0)，因为点B到y轴的距离等于点B′到y轴的距离，且两点在y轴的两侧。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ADB′中，角ADB′是直角（90度），因此三角形ADB′是一个直角三角形。边AD和边DB′是直角边，边AB′是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ADB′中，∠ADB′是直角（90度），边AD和DB′是直角边，边AB′是斜边，所以根据勾股定理，AB′^2 = AD^2 + DB′^2。"}, {"name": "反射定律", "content": "光线在反射时，入射角等于反射角，且反射光线位于法线和入射光线所在平面的同一侧。", "this": "光线从点A经过y轴上的点C反射后经过点B。根据反射定律，入射角等于反射角，且反射光线位于法线和入射光线所在平面的同一侧。由于点B关于y轴的对称点为B′，所以AC和CB的路径长度等于AB′，即路径长度为5。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8273.png", "question": "数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗杆的高度．如图所示,小明所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°,则旗杆的高度是()米．", "answer": "10√{3}", "process": "1. ##设图中所示三角形为三角形ABC，旗杆顶端为点B，旗杆底部为点A，学习小组所在位置为点C。由题目可知，学习小组距离旗杆底部为10米，测角仪测得学习小组看向旗杆顶端的仰角为60��，即AC=10，∠ACB=60°。因为旗杆垂直于地面，亦是垂直于水平线AC，所以AB⊥AC，则∠CAB=90°，根据直角三角形的定义可得三角形ABC为直角三角形##。

2. 在直角三角形ABC中，##根据正切函数的定义，使用正切函数公式##：tan(θ)=对边/邻边，得出tan(∠ACB)=AB/AC。

3. ##已知：tan(∠ACB)=tan(60°)=√3，AC=10，因此√3=AB/10##。

4. ##最终得出AB=10√3##。

5. 因此，通过上述计算，旗杆的高度为10√3米。", "elements": "仰角; 直角三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角CAB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边AB是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "仰角", "content": "观测者从水平线向上看某一物体时，视线与水平线之间所形成的夹角称为仰角。", "this": "在本题图中，观测者位于点C，从点C沿水平线向前看形成线段AC。当观测者从点C向上看某一物体位于点B时，视线形成线段BC。此时，视线BC与水平线AC之间所形成的夹角∠ACB即为仰角。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是锐角，边AB是角ACB的相对直角边，边AC是角ACB的相邻直角边，所以角ACB的正切值等于边AB的长度除以边AC的长度，即tan(∠ACB) = AB / AC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7939.png", "question": "如图,平行四边形ABCD中,E为DC的中点,△DEF的面积为2,则△ABF的面积为()", "answer": "8", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形定义，AB∥CD 且 AB = CD。

2. 由于E为DC的中点，所以DE = EC = 1/2 DC。

3. ##根据平行四边形定义##，AB = CD，因此 DE = 1/2 AB。

4. ##根据平行线的平行公理2，∠BAE=∠DEA，∠EDB=∠DBA，又根据相似三角形的判定定理(AA)得△DEF 和 △BAF 形成相似三角形##。

5. 两相似三角形的对应边DE 和 AB的比例为1:2，因此相似比为1:2，即 DE/AB = 1/2。

6. 根据面积比等于相似比的平方定理（相似三角形面积比等于对应边长度比的平方），有 ##S△DEF / S△BAF##= (DE/AB)^2 = (1/2)^2 = 1/4。

7. 已知△DEF的面积为2，则##S△BAF= S△DEF## / (1/4) = 2 / (1/4) = 2 * 4 = 8。

8. 经过上述推理，最终得到△ABF的面积为8。", "elements": "平行四边形; 中点; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段DC的中点为点E。根据线段中点的定义，点E将线段DC平分为两个相等的部分，即线段DE和线段EC的长度相等。即，DE = EC = 1/2 DC。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CD被直线AE和DB截交，其中∠BAE和∠DEA，∠EDB和∠DBA位于两平行线之间，且在截线AE和DB的对侧，因此∠BAE和∠DEA是内错角，∠EDB和∠DBA是内错角。内错角相等，即∠BAE=∠DEA，∠EDB=∠DBA。##"}, {"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "三角形DEF和三角形BAF是相似三角形，边DE和边AB的比值为1:2, 即相似比为1:2。所以，三角形DEF的面积与三角形BAF的面积的比值等于(1/2)^2 = 1/4。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被直线AE和DB截交，形成了以下几何关系：内错角：∠BAE=∠DEA，∠EDB=∠DBA。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "△DEF 和 △BAF中，∠BAE=∠DEA，∠EDB=∠DBA，所以△DEF 和 △BAF相似。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7999.png", "question": "如图,△ABC中,E、F分别是AB,AC的中点,若△AEF的面积为1,则四边形EBCF的面积为()", "answer": "3", "process": "1. 已知点 E 和点 F 分别是线段 AB 和线段 AC 的中点####。

2. 因为点 E 和点 F 分别是线段 AB 和线段 AC 的中点，根据中位线定理，得出线段 EF 平行于线段 BC 且 EF = 1/2 BC##，所以∠AEF=∠ABC（同位角相等）##。

3. 根据相似三角形的判定条件，得到△AEF 相似于△ABC，因为##∠A=∠A，∠AEF=∠ABC##。

4. 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出 (面积△AEF)/ (面积△ABC) = ##(EF/BC)? = (1/2)?## = 1/4。

5. 已知面积△AEF = 1, 通过比例关系，得出面积△ABC 的面积是 4。

6. 四边形EBCF的面积等于△ABC的面积减去△AEF的面积，因此得到四边形EBCF的面积是4-1=3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为3。", "elements": "中点; 平行线; 普通三角形; 普通四边形; 平行四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点E，线段AC的中点为点F。根据线段中点的定义，点E将线段AB平分为两个相等的部分，即AE = EB，点F将线段AC平分为两个相等的部分，即AF = FC。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点E是边AB的中点，点F是边AC的中点，线段EF连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段EF与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即EF || BC，并且EF = 1/2 * BC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线EF和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：\n同位角：角AEF和角ABC相等；\n角AFE和角ACB相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线EF和BC被一条直线AB截交，其中角AEF和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线EF和BC的同一侧，因此角AEF和角ABC是同位角。同位角相等，即角AEF等于角ABC。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例", "this": "三角形AEF和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠AEF=∠ABC，角A = 角A，角AFE = 角ACB；AE/AB = AF/AC = EF/BC。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形AEF和三角形ABC有两组对应的角相等，分别是∠EAF = ∠BAC和∠AEF = ∠ABC，因此三角形AEF相似于三角形ABC。"}, {"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "三角形AEF和三角形ABC是相似三角形，边EF和边BC的比值为1/2, 即相似比为1/2。所以，三角形AEF的面积与三角形ABC的面积的比值等于##(1/2)?## = 1/4。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7959.png", "question": "如图,AB∥CD,AC、BD交于O,BO=6,DO=3,AC=12,则AO长为()", "answer": "8", "process": "1. 已知AB∥CD，##根据平行线的平行公理2，内错角相等##，可以得到∠DCA=∠CAB (##内错角相等##) 和 ∠BDC=∠DBA (##内错角相等##)。

####

##2##. 根据##相似三角形的判定定理(AA)##，有：∠DCA = ∠CAB 和 ∠BDC = ∠DBA，满足对应角相等，三角形相似定理成立，即△DOC和△BOA相似。

##3##. 因此根据##相似三角形的定义##，DO/BO = OC/AO。

##4##. 将已知条件代入比例关系中，根据已知BO=6, DO=3, AC=12，设AO=x，可得：3/6=(12-x)/x 。

####

##5##. 解这个比例式，计算得出: 1/2 = (12 - x) / x, x = 8。

##6##. 经过上述推理步骤，最终得到 AO 的长度为8。", "elements": "平行线; 内错角; 线段; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的���义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形DOC和三角形BOA是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DCO = ∠BAO, ∠DOC = ∠BOA, ∠ODC = ##∠OBA##；DO/BO = OC/AO."}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线BD截交，其中角BDC和角DBA位于两平行线之间，且在截线BD的对侧，因此角BDC和角DBA是内错角。内错角相等，即角BDC等于角DBA。同理，两条平行直线AB和CD被一条直线AC截交，其中角DCA和角CAB位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角DCA和角CAB是内错角。内错角相等，即角DCA等于角CAB。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和DC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：内错角：角DCA和角CAB相等。同理，两条平行线AB和DC被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系：内错角：角BDC和角DBA相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形DOC和三角形BOA中，角DCA等于角CAB，且角BDC等于角DBA，所以三角形DOC相似于三角形BOA。####"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形DOC是由三个非共线点D、O、C及其连接线段DO、OC、CD组成的几何图形。点D、O、C分别是三角形的三个顶点，线段DO、OC、CD分别是三角形的三条边。同理，三角形BOA是由三个非共线点B、O、A及其连接线段BO、OA、AB组成的几何图形。点B、O、A分别是三角形的三个顶点，线段BO、OA、AB分别是三角形的三条边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8121.png", "question": "如图所示,在山坡上种树,已知∠A=30°,AC=3m,相邻两株树的坡面距离AB等于()", "answer": "2√{3}m", "process": "1. 已知∠BAC=30°, AC = 3m。在直角三角形中使用##余弦函数##。

2. 根据##余弦函数##，AC / cos(∠BAC) = AB。

3. 因为∠BAC=30°，cos(30°) = √3/2。

4. 将角度的余弦值代入公式，得AB = 3 / (√3 / 2) = 3 * 2 / √3 = 2√3。

5. 经过上述推理，最终得出相邻两株树的坡面距离AB等于2√3 m。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "直角三角形ABC中，边AC是角BAC的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角BAC的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(∠BAC) = AC / AB。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角C是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7828.png", "question": "如图,已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点,如果AB=AC,∠FDE=∠B,BD=2,CD=3,CE=4,AE=1,那么AF的长为()", "answer": "3.5", "process": "1. 由已知AB = AC，根据等腰三角形的性质，得出∠ABD = ∠ACD。

2. 已知∠FDE = ∠C (等于∠B)，所以##由三角形的外角定理∠FBD + ∠BFD = ∠FDE + ∠EDC，可得 ∠BFD =∠EDC##

3. 因为∠B = ∠C， ##∠BFD =∠EDC，相似三角形的判定定理(AA)##知，△BDF ∽ △CED。

4. 根据##相似三角形的定义##，得出BD:CE = BF:DC。

5. 已知BD = 2，CD = 3，CE = 4，将这些值代入边的比例得：2:4 = BF:3，解得BF = 1.5。

6. 由AB = AC可得AB = AC = AE + EC = 1 + 4 = 5。

7. 由AF = AB - BF可得AF = 5 - 1.5 = 3.5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为3.5。", "elements": "等腰三角形; 普通三角形; 点; 线段; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形BDF和三角形CED是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BDF = ∠CED, ∠BFD = ∠CDE, ∠DBF = ∠DCE；BD/CE = BF/CD = DF/DE。根据已知的边BD = 2，CE = 4，CD = 3，比例为2/4 = BF/3，从而得出BF = 1.5。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "在本题图中，三角形FBD和三角形EDC中，如果角B等于角C，且角BFD等于角EDC，所以三角形BFD相似于三角形EDC。##"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "在本题图中，三角形BFD中，角FDC是三角形的一个外角，角FBD和角BFD是与外角FDC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角FDC等于不相邻的两个内角BFD和FBD之和，即角FDC = 角BFD + 角FBD。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角", "this": "多边形BFD的一个内角为∠BDF，延长该内角的相邻边BD和FD形成的角∠FDC称为内角∠BDF的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8406.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若AD=3,DE=2,则AC=()", "answer": "\\frac{9}{2}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，AD垂直于BC且交于点D，DE垂直于AB且交于点E。

2. 因为AD垂直于BC，所以角ADC等于90度。由于DE垂直于AB，所以角DEA等于90度。并且，ABC为直角三角形，所以角BAC也等于90度。

3. 因此可以得出，角EAD加上角DAC等于90度。

4. ##根据三角形内角和定理且角ADC等于90度。所以##角C加上角CAD等于90度，可以得出角C等于角EAD。

5. 根据##正弦函数定义##，sin(角EAD)等于sin(角C)，这等于DE除以AD，也等于AD除以AC。

6. 已知AD等于3，DE等于2，所以2除以3等于3除以AC。

7. 解这个方程得: AC等于9除以2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为4.5。", "elements": "直角三角形; 垂线; 垂直平分线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边，三角形AED中，角AED是直角（90度），因此三角形AED是一个直角三角形。边AE和边ED是直角边，边AD是斜边，三角形ADC中，角ADC是直角（90度），因此三角形ADC是一个直角三角形。边AD和边DC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AD和直线BC相交形成的角∠ADC是90度，因此根据垂线定义，直线AD和直线BC互相垂直；直线DE和直线AB相交形成的角∠DEA是90度，因此根据垂线定义，直线DE和直线AB互相垂直。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值", "this": "直角三角形ADC中，角ACD是锐角，边AD是角ACD的对边，边AC是斜边。根据正弦函数定义，角ACD的正弦值等于对边AD与斜边AC的比值，即sin(ACD) = AD / AC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "在本题图中，三角形ADC中，角ADC、角DAC和角C是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADC + 角DAC + 角C = 180°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7914.png", "question": "如图,在边长为9的正方形ABCD中,F为AB上一点,连接CF．过点F作FE⊥CF,交AD于点E,若AF=3,则AE等于()", "answer": "2", "process": "1. 已知四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质，得出AD=AB=BC=9，且∠DAB=∠ABC=90°。

2. 根据题意，FE⊥CF，因此∠EFC=90°。

3. ####在△AEF中，∠AEF + ∠EFA=90°。

4. ####在△CFB中，##∠CFB + ∠FCB##= 90°。

5. ##因为∠EFC=90°##，∠AFE + ∠CFB = 90°，结合（3）和（4）中的结论，得出∠AEF = ∠CFB。

6. 由于△AEF和△BFC有∠AEF = ∠CFB，##且∠A=∠B=90°##，依据AA相似判定，得出△AEF ∽ △BFC。

7. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，有：##AE/BF = AF/BC##。

8. 由于AF=3且BC=9，BF=BC-AF=9-3=6，将这些数值代入前一步的比例关系，得出##AE/6 = 3/9##。

9. 通过解比例方程，得出AE = 2。

10. 经过上述推理，最终得出AE的长度为2。", "elements": "正方形; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "四边形ABCD中，边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角DAB、角ABC、角BCD和角CDA均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "线段FE与线段CF相交形成的角∠EFC是90度，因此根据垂线定义，线段FE与线段CF互相垂直。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角A是直角（90度），因此三角形AEF是一个直角三角形。边AF和边AE是直角边，边FE是斜边。在三角形CFB中，角B是直角（90度），因此三角形CFB是一个直角三角形。边CB和边FB是直角边，边CF是斜边。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形AEF和三角形CFB中##有∠A=∠B=90°##，且∠AEF = ∠CFB，所以三角形AEF相似于三角形CFB。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，△AEF和△BFC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠FEA = ∠CFB, ∠AFE = ∠BCF, ∠A = ∠B；\\( \\frac{AE}{BF} = \\frac{AF}{BC} \\)。AF=3，BC=9，BF=BC-AF=6，因此\\( \\frac{AE}{6} = \\frac{3}{9} \\)。通过解比例方程，得出AE = 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8422.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O与BC相切于点B,则AC等于()", "answer": "2√{2}", "process": "1. 已知以AB为直径的圆O与BC相切于点B，根据圆的切线性质，切点处的切线垂直于经过切点的半径，因此##∠ABC=90°##。

####

##2.## 利用勾股定理在三角形△ABC中，得出##AC?=AB?+BC?##。

##3.## 代入已知值AB=2和BC=2，计算得出##AC=√(2?+2?)=√8=2√2##。

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为2√2。", "elements": "等腰三角形; 圆; 切线; 直角三角形; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线BC有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线BC是圆O的切线。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是等腰直角三角形，其中角ABC是直角（90度），边AB和边BC是相等的直角边。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点B是是直线CB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CB与经过切点B的半径OB垂直，即∠ABC=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形△ABC中，∠ABC是直角（90度），边AB和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，##AC?=AB?+BC?##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7926.png", "question": "如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,DB=3,DE=4,则BC等于()", "answer": "\\frac{32}{5}", "process": "1. 已知DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，两线段之间的同位角相等，所以∠ADE=∠ABC##。

####

##2. 当∠A为公共角，则∠DAE=∠BAC，又当∠ADE=∠ABC，根据相似三角形的判定定理(AA)得，△ADE与△ABC相似，又因△ADE∽△ABC，AD/AB = DE/BC##。

##3.已知AD=5, DB=3, DE=4##，根据线段相加得，AB=AD + DB = 5 + 3 = 8。

##4.## 将已知数据代入比例式中，得到：##5/8= 4/BC##。

##5.##通过交叉相乘求解上式，得：5BC = 32。

##6.## 两边同时除以5，得到：BC = ##32/5##。

##7.##经过上述推理，最终得出答案为：BC =##32/5##。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE和角ABC相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形ADE和三角形ABC中，如果角ADE等于角ABC，且角DAE等于角BAC，所以三角形ADE相似于三角形ABC。##"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠DAE = ∠BAC；AD/AB = DE/BC = AE/AC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8437.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,CD⊥AB,若∠DAB=70°,则∠BOC=()", "answer": "140°", "process": "1. 从图中可以看出，点A和点B是圆O的直径的两个端点，点C和点D在圆周上，且CD垂直于AB。

2. 根据题意，∠DAB=70°。

3. 由于CD垂直于AB，##设CD交AB于E，根据垂线定义，∠AED=90°##。

4. ##在三角形AED中，根据三角形内角和定理，得∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=20°##。

####

##5. 根据圆周角定理，在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，故∠AOC=2∠ADC。##

##6##. 由此可得，∠AOC=2×20°=40°。

##7. 根据平角的定义得∠BOC= 180°-∠AOC。##

##8##. 所以，∠BOC=180°-40°=140°。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ADC的顶点(点D)在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线CD和直线AB相交形成的角∠AED是90度，因此根据垂线定义，直线CD和直线AB互相垂直。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形AED 中，角DAB、角ADC和 角AED是三角形AED 的三个内角，根据三角形内角和定理，角DAB + 角ADC + 角AED = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧AC与弧ADC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠ADC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ADC = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线AO绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8476.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=59°,则∠C等于()", "answer": "31°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径##，点D在圆周上##，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角和圆周角的定义##，得出∠ADB=90°。

2. 由∠ADB=90°以及已知∠ABD=59°，##依据直角三角形的锐角互补性质##，得到∠DAB=90°-∠ABD=31°。

3. 根据##圆周角定理推论1##，在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，##已知点C和点A在圆周上，根据圆周角的定义得出，∠C和∠DAB为圆周角，##所以可以得出##∠C## = ∠DAB = 31°。

####

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为31°。", "elements": "圆; 圆周角; 弧; 弦; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，∠ADB的顶点D在圆周上，∠ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B；∠DAB的顶点A在圆周上，∠DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B；∠C的顶点C在圆周上，∠C的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，∠ADB、∠DAB和∠C都是圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ADB是直角（90度）。"}, {"name": "直角三角形的锐角互补性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°", "this": "直角三角形ABD中，角ADB是直角（90度），角BAD和角ABD是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，角DAB和角ABD的和为90度，即角DAB+角ABD= 90°。##"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "∠DAB和∠BCD都是同弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理推论1，与同一弧BD相对应的圆周角∠DAB和∠BCD相等，即∠BCD=∠DAB=31°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8423.png", "question": "定义:定点A与⊙O上任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD(如图),AB=14cm,BC=12cm,⊙K与矩形的边AB,BC,CD分别切于点E,F,G,则点A与⊙K的距离为()", "answer": "4cm", "process": "1. 已知矩形ABCD的边长为AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别切于点E、F、G。

2. 连接线段KE、KF、KG、AK，并交⊙K于点H。

3. 由于⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切，因此点E、F、G是这些边上的切点，且有EK=FK=KG。

4. ##因为点E、F分别为切点，因而∠BFK=∠BEK=90°，又因为∠B=90°，则根据矩形的判定定理一可得四边形BEKF是矩形，所以边长为BE=FK=半径=6cm##。

5. 由于矩形ABCD的边长AB=14cm，因此AE=AB-BE=14cm-6cm=8cm。由此，AK=√(AE^2+EK^2)=√(8cm^2+6cm^2)=√(64cm##^2##+36cm##^2##)=√100 cm##^2##=10cm。

6. 点H 是线段AK 与圆⊙K 的交点之一，点##H ##是从A点到圆⊙K 的##距离最小值##，##所以点A与圆K的距离##的长度是AK 的##长度##去除EK 的半径部分，因此， AH = AK - KH = 10cm - 6cm = 4cm。

7. 点A 与⊙K 之间的距离为4cm。", "elements": "矩形; 圆; 切线; 垂线; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙K与直线AB有且只有一个公共点E，这个公共点叫做切点；圆⊙K与直线BC有且只有一个公共点F，这个公共点叫做切点；圆⊙K与直线CD有且只有一个公共点G，这个公共点叫做切点。因此，直线AB、BC、CD是圆⊙K的切线。"}, {"name": "矩形判定定理一", "content": "有三个角是直角的四边形是矩形", "this": "角B、角BEK、角BFK均为直角（90度）。根据矩形判定定理一，若四边形中有三个角是直角，则该四边形为矩形，因此四边形BEFK是矩形。####"}, {"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角", "this": "点E、F、G分别是圆⊙K的切点，因此有KE=KF=KG=r（圆的半径）。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形AEK中，∠AEK是直角（90度），边AE和EK是直角边，边AK是斜边，所以根据勾股定理，AK##^2## = AE##^2## + EK##^2##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8019.png", "question": "如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O点,若S~△AOD~:S~△OCD~=1:2,则S~△AOD~:S~△BOC~=()", "answer": "\\frac{1}{4}", "process": "1. 设点D到AC边的距离为h，根据三角形面积公式可得，三角形AOD与OCD的面积之比为(1/2 × OA × h) : (1/2 × OC × h) = OA : OC。

2. 已知S△AOD : S△OCD = 1:2，因此可以得出OA : OC = 1:2。

3. 因为AD ∥ BC，##由平行线的平行公理2可得##，∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO。

4. ##根据相似三角形的判定定理(AA)得##，△AOD ∽ △COB。

5. 由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此S△AOD : S△BOC =## (OA : OC)^2 = (1:2)^2## = 1:4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为1:4。", "elements": "梯形; 平行线; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "在本题图中，三角形AOD和三角形COB由于∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO，因此△AOD ∽ △COB。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方定理，如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。由此可得S△AOD : S△BOC = (OA : OC)^2。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题中，三角形AOD中，边OA是底，线段OD的垂直距离h是高。根据三角形的面积公式，三角形AOD的面积等于底边OA乘以高h再除以2，即面积 = (OA * h) / 2。同理，三角形OCD中，边OC是底，线段OD的垂直距离h是高。根据三角形的面积公式，三角形OCD的面积等于底边OC乘以高h再除以2，即面积 = (OC * h) / 2。因此，三角形AOD和OCD的面积比为OA : OC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：\n1. 内错角：角DAO和角BCO相等。\n2. 内错角：角ADO和角CBO相等。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例", "this": "在本题图中，三角形AOD和三角形COB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角AOD = 角BOC，角DAO = 角BCO，角ADO = 角CBO；AO/CO = DO/BO = AD/BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "△AOD 和 △COB中，∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO，所以△AOD ∽ △COB。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被直线AC和BD截交，其中∠DAO 和 ∠BCO位于两平行线之间，∠ADO 和 ∠CBO位于两平行线之间，且分别在AC和BD的对侧，因此∠DAO 和 ∠BCO是内错角，∠ADO 和 ∠CBO是内错角。内错角相等，即∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点D垂直于对边AC（或其延长线）的线段h是该顶点D的高。线段h与边AC（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段h是从顶点D到对边AC（或其延长线）的垂直距离。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9155.png", "question": "如图,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长度为()", "answer": "4", "process": "1. 已知菱形ABCD的周长是16，根据##菱形的周长公式，菱形的周长等于其边长的四倍，设菱形的边长为a，因此4*a=16，##得出AB=AD=CD=BC=a=4。

##2. 因AB=AD，所以三角形ABD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB。

3. 在△ABD中，已知∠A=60°，根据三角形内角和定理，可得∠ABD=∠ABD=（180°-∠A）/2=60°，利用等边三角形的性质，得出△ABD为等边三角形，即BD=AB=AD=4。##

4. 因此，对角线BD的长度为4。", "elements": "菱形; 等边三角形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "##在本题图中，四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、AD都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。##"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD是一个等边三角形。边AB、边AD和边BD的长度相等，均为4，并且角BAD、角ABD和角ADB的度数相等，均为60°。##"}, {"name": "等边三角形的性质", "content": "等边三角形的每一个内角都是60°。", "this": "在本题图中，等边三角形ABD中，边AB、AD和BD相等，因此根据等边三角形的性质，三角形ABD的每一个内角都是60°。也就是说，角ABD、角ADB和角BAD均为60°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABD中，角BAD、角ABD和角ADB是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAD + 角ABD + 角ADB = 180°。在本题图中，三角形xxx中，边xx和边xx相等，因此三角形xxx是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "任等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABD中，边AB和边AD相等，因此三角形ABD是一个等腰三角形。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABD中，边AB和边AD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABD = 角ADB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8258.png", "question": "如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B、C两地之间的距离为()", "answer": "100√{3}m", "process": "1. 根据题意，点A在C地上方100米处，故点A与点C的连线AC垂直于地面BC，即AC⊥BC。

2. 又因为工程师在A处观察B地的俯角为30°，##设与BC平行的线段为AD，所以∠DAB=30°##。

##3.根据内错角的定义，因为AD∥BC，截线为AB，所以∠DAB=∠ABC=30° 。##

##4.根据三角形内角和定理，在三角形ABC中，AC⊥BC，所以∠ACB=90°，∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-30°=60° 。##

##5. 根据30°-60°-90°三角形的性质，边AC是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边，BC=√3AC=√3*100=100√3。##

####

##6. 经过上述推理，最终得出答案为100√3 m。##", "elements": "直角三角形; 垂线; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "俯角", "content": "俯角是观察者站在某处，##低头##看到的物体位置和水平线之间的夹角。", "this": "在本题图中，观察者站在点A处，低头看到物体位于点B。水平线从点A延伸到点D，形成水平线AD。俯角是观察者从点A沿水平线看向点B，然后低头看向点D所形成的夹角。这个夹角用∠DAB表示，即∠DAB是俯角。题目中给定俯角值为30°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被一条直线AB截交，其中角DAB和角ABC位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此角DAB和角ABC是内错角。内错角相等，即角DAB等于角ABC。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角ABC是30度，角BAC是60度，角ACB是90度。边AB是斜边，边AC是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AC等于边AB的一半，边BC等于边AC的√3倍。即：AC = 1/2 * AB，BC = AC * √3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9145.png", "question": "如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,BC=10,则对角线AC的长等于()", "answer": "10", "process": "1. 已知四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，AB=BC=CD=DA。

2. 知道∠BAD=120°。

3. ##由于菱形的对角线互相垂直平分，设菱形对角线AC，BD相交于O点，有BO＝OD，∠AOB＝∠AOD＝90°，AO＝AO，依据全等三角形判定定理(SAS)有三角形ABO≌三角形ADO。因此依据全等三角形的定义，∠BAC=∠DAC=1/2∠BAD=60°##。

4. 在△ABC中，由于AB=BC 且 ∠BAC=60°，##依据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）可知，△ABC是等边三角形##。

5. 根据##等边三角形的定义##，等边三角形的边长相等，因此AC=BC。

6. 已知BC=10，因此AC=10。

7. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "菱形; 正弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。此外，四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点O，且角AOB是直角（90度），并且AO=OC和BO=OD。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是一个等边三角形。边AB、边BC和边CA的长度相等，并且角BAC、角ABC和角BCA的度数相等，均为60°。######"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形", "this": "在本题图中，已知△ABC为等腰三角形，边AB与边BC相等，且存在一个内角为60°，即∠BAC=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△ABC为等边三角形。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等", "this": "边BO与边OD相等，边AO与边AO相等，且夹角AOB与夹角AOD相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "三角形AOB和三角形AOD是全等三角形，三角形AOB的对应边和对应角与三角形AOD相等，即： 边AB = 边AD 边AO = 边AO 边BO = 边OD，同时，对应的角也相等： 角BAO = 角DAO 角AOB= 角AOD 角ABO = 角ADO"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8243.png", "question": "如图,在一次数学课外实践活动中,小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°,BC=20m,则树的高度AB为()(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)", "answer": "15m", "process": "1. 已知小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°。

2. 在△ABC中，∠ACB=37°。

3. 根据正切函数定义，在直角三角形中，某一锐角的正切值等于对边长度与邻边长度的比值，因此有tan∠ACB=AB/BC。

4. 题中已知BC=20米，sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37°≈0.75。

5. 将BC和tan∠ACB的值代入正切函数的定义公式中，得到AB/20=0.75。

6. 整理上述等式，得到AB=20×0.75。

7. 计算得出AB=15米。

8. 经过上述推理，最终得出树的高度AB为15米。", "elements": "仰角; 直角三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形ABC中，角∠ACB是锐角，边AB是角∠ACB的对边，边BC是角∠ACB的邻边，所以角∠ACB的正切值等于边AB的长度除以边BC的长度，即tan(∠ACB) = AB / BC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7842.png", "question": "如图,一小型水库堤坝的横断面为直角梯形,坝顶BC宽6m,坝高14m,斜坡CD的坡度i=1:2,则坝底AD的长为()", "answer": "34m", "process": "1. 已知BC=6米，坝高为14米。过点C作辅助线CE垂直于AD，并##交AD于点E##。

2. 因为CE垂直于AD，所以四边形AECB是一个矩形。其中AD与BC平行且相等，因此AE=6米。

3. CE是水坝的高度，所以CE=14米。

4. 已知斜坡CD的坡度i=1:2，意味着CE:DE=1:2。

5. CE=14米，根据比例关系CE:DE=1:2，可得DE=2*14=28米。

6. 因为AD由AE和DE构成，所以AD=AE+DE=6米+28米=34米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为34米。", "elements": "梯形; 直角三角形; 正切; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角梯形", "content": "两底边平行，且有一腰垂直于底边的梯形称为直角梯形。", "this": "在本题图中，直角梯形##ADCB##中，底边AE和底边BC是平行的，腰AB垂直于底边AE和底边BC，角∠BAE和##∠ABC##为直角。因此，梯形##ADCB##是一个直角梯形。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长", "this": "四边形ADCB是一个矩形，其内角∠ABC, ∠AEC, ∠BCE, ∠BAE都是直角（90度），且边BC与边AE平行且等长，边AB与边EC平行且等长。##"}, {"name": "坡度", "content": "坡度是指某条线路或某个地段的垂直高度和水平距离之比。", "this": "斜坡CD的坡度i=1:2，说明CE:DE=1:2。CE表示垂直高度，DE表示水平距离。根据坡度的定义，坡度是指垂直高度CE和水平距离DE之比，即坡度=CE/DE。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中从顶点C垂直于对边AD的线段CE是该顶点C的高。线段CE与边AD形成一个直角（90度），这说明线段CE是从顶点C到对边AD的垂直距离。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9124.png", "question": "如图,∠MON=90°,动点A、B分别位于射线OM、ON上,矩形ABCD的边AB=6,BC=4,则线段OC长的最大值是()", "answer": "8", "process": "1. 已知∠MON=90°,矩形ABCD的边AB=6,BC=4。

2. 取AB中点E并连接OE、CE。

3. 因为E为AB中点，##根据线段中点定理，##故BE=##1/2##AB=3。

4. 根据已知∠MON=90°，由##直角三角形的斜边中线定理可知##，OE=##1/2##AB=3。

5. 在直角三角形BCE中，根据勾股定理得，CE=##√(BE^2 + BC^2) = √(3^2 + 4^2)##= 5。

6. 在△OCE中，根据三角形三边关系定理可得，CE + OE > OC。

7. 当点O、E、C在同一直线上时，OC最大值为OE + CE = 3 + 5 = 8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "射线; 矩形; 直角三角形; 点; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AB的中点为点E。根据线段中点的定义，点E将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AE和线段EB的长度相等。即，AE = EB = 3。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边BC与边AD平行且等长。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形BCE中，##∠CBE##是直角（90度），边BE和BC是直角边，边CE是斜边，所以根据勾股定理，##CE^2 = BE^2 + BC^2##，因此CE=√(BE^2 + BC^2) = √(3^2 + 4^2) ##= 5。"}, {"name": "直角三角形的斜边中线定理", "content": "在直角三角形中，从直角顶点划向斜边中点的线段等于这条斜边的一半。", "this": "直角三角形BOA中，角BOA是直角（90度），边OB和OA是直角边，边AB是斜边。点E是斜边AB的中点，从直角顶点O划向斜边中点E的线段OE等于斜边AB的一半，即OE = 1/2 * AB。"}, {"name": "三角形三边关系定理", "content": "三角形的两边之和大于第三边。", "this": "边OE、边CE和边OC构成三角形。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即边CE + 边OE > 边OC，边CE + 边OC > 边OE，边OC + 边OE > 边CE。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "在本题图中，三角形BCE中，角CBE是直角（90度），因此三角形BCE是一个直角三角形。边BC和边BE是直角边，边CE是斜边。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9171.png", "question": "如图,菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为()", "answer": "15", "process": "1. 已知菱形ABCD中，AB=15，并且∠ADC=120°。

2. 连接BD，构成△ABD。

3. ##根据菱形的定义可知##，AB=AD。

4. 根据##菱形的邻角互补可知##，∠A=180°-∠D=60°##。

5. ∵AB=AD=15，∠A=60°，##根据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##所以△ABD是等边三角形。

6. 因为△ABD是等边三角形，所以BD=AB=15。

7. 所以经过上述推理，B、D两点之间的距离为15。", "elements": "菱形; 余弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。此外，四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点O，且角AOB是直角（90度），并且AO=OC和BO=OD。"}, {"name": "菱形的邻角互补", "content": "菱形的任意一对邻角互补", "this": "菱形ABCD中，角A和角D是一对邻角，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即角A + 角D = 180度。同理，角B和角C也是一对邻角，满足角B + 角C = 180度。####"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形", "this": "△ABD为等腰三角形，边AB与边AD相等，且存在一个内角为60°，∠A=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此△ABD为等边三角形。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9175.png", "question": "如图,在菱形ABCD中,两条对角线AC=12,BD=16,则此菱形的边长为()", "answer": "10", "process": "1. 已知四边形ABCD是菱形，根据菱形的##对角线性质##，四边形ABCD的两条对角线AC和BD相互垂直且平分。

2. ##设点O是对角线AC和BD的交点，根据菱形的定义，得OA=1/2AC=1/2×12=6，OB=1/2BD=1/2×16=8##。

3. 因为AC与BD相互垂直，##根据直角三角形的定义，角AOB为90度，三角形△AOB为直角三角形，依据勾股定理##，在##直角三角形△AOB##中，边长AB=##√(OA? + OB?)=√(6?+ 8?)##=√(36 + 64)=√100=10。

4. 因此，菱形ABCD的边长为10。", "elements": "菱形; 直角三角形; 垂直平分线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "菱形的对角线性质", "content": "菱形的对角线互相平分且互相垂直。", "this": "菱形ABCD中，对角线AC和BD互相平分且互相垂直。具体来说，点O是对角线AC和BD的交点，且OA=OC和OB=OD。同时，角AOB和角AOD都是直角（90度），所以对角线AC和BD互相垂直。##"}, {"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。此外，四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点O，且角AOB是直角（90度），并且AO=OC和BO=OD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "△AOB是直角三角形，其中∠AOB为直角，OA = 6，OB = 8。根据勾股定理，边长AB = √(OA? + OB?) = √(6? + 8?) = √(36 + 64) = √100 = 10。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形AOB中，角AOB是直角（90度），因此三角形AOB是一个直角三角形。边OA和边OB是直角边，边AB是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9088.png", "question": "如图,矩形的两条对角线的一个交角为60°,AC+BD=20cm,则AB的长为()", "answer": "5cm", "process": "1. 已知四边形ABCD是矩形，根据##矩形的对角线性质##，得出AC=BD，且对于对角线的相交点O，有OA=OC=OD=OB。

2. 由题意得出AC+BD=20，由于AC=BD，因此2AC=20，得出AC=10。同理，BD也等于10。

3. 因为OA和AC的关系为OA=AC/2，所以OA=10/2=5。

4. 同理，OB和BD的关系为OB=BD/2，因此也得出OB=10/2=5。

5. 已知角AOB等于60度，且OA=5，OB=5。

6. ##根据等腰三角形的定义，OA=OB=5，所以△AOB为等腰三角形，且已知一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，又因为∠AOB=60度，所以△AOB为等边三角形##。

7. 根据等边三角形的性质，得出△AOB的各边都相等，因此AB=OA=5。", "elements": "矩形; 线段; 直角三角形; 余弦; 平移", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长。"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。", "this": "△AOB为等腰三角形，OA=OB，且存在一个内角为60°，即∠AOB=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△AOB为等边三角形。##"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形AOB是一个等边三角形。边OA、边OB和边AB的长度相等，并且角AOB、角OAB和角OBA的度数相等，均为60°。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "矩形ABCD中，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。对角线AC和BD相等且互相平分，即对角线AC与对角线BD的交点O是两条对角线的中点。因此，线段OA等于线段OC，线段OB等于线段OD。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形AOB中，OA=OB，因此三角形AOB是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8456.png", "question": "点B在⊙O上,点C是⊙O上异于A、B的一点,若∠AOB=50°,则∠ACB的度数是()", "answer": "25°", "process": "####

##1.## 已知∠AOB = 50°。

##2.## 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧的圆心角的一半。圆周角定理表明，如果一个角的顶点在圆上，并且两条边都与圆相交，则该角为圆周角。

##3.## 在此题中,∠ACB是由##弧AB##所对的圆周角，对应的是弧AB上的圆心角∠AOB。

##4.## 所以，根据圆周角定理，∠ACB = 1/2 * ∠AOB。

##5.## 代入已知条件，∠ACB = 1/2 * 50° = 25°。

##6.## 因此，经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图��，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8203.png", "question": "如图,热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°,看这栋楼的俯角为60°．热气球与楼的水平距离为120m．这栋楼的高度为()", "answer": "160√{3}m", "process": "1. 已知∠BAD=30°，∠DAC=60°，以及AD=120米。

2. 根据正切函数定义，在直角三角形ABD中，tan(∠BAD)=BD/AD，因此有tan(30°)=BD/120。

3. 从而得到BD=120 * tan(30°)=120 * (√3/3)=40√3。

4. 类似地，在直角三角形ADC中，tan(∠DAC)=CD/AD，因此有tan(60°)=CD/120。

5. 从而得到CD=120 * tan(60°)=120 * √3=120√3。

6. 楼的高度BC等于BD加上CD，即BC=BD+CD=40√3+120√3=160√3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为160√3米。", "elements": "仰角; 直角三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题图中，直角三角形ABD中，角∠BAD是锐角，边BD是角∠BAD的相对直角边，边AD是角∠BAD的相邻直角边，所以角∠BAD的正切值等于边BD的长度除以边AD的长度，即tan(∠BAD) = BD / AD。同样地，在直角三角形ADC中，角∠DAC是锐角，边CD是角∠DAC的相对直角边，边AD是角∠DAC的相邻直角边，所以角∠DAC的正切值等于边CD的长度除以边AD的长度，即tan(∠DAC) = CD / AD。"}, {"name": "俯角", "content": "俯角是观察者站在某处，抬头看到的物体位置和水平线之间的夹角。", "this": "观察者在点A处，低头看到楼底位于点C。水平线从点A延伸到点D，形成水平线AD。俯角是观察者从点A沿水平线看向点C，然后抬头看向点D所形成的夹角。这个夹角用∠DAC表示，即∠DAC是俯角=60°。####"}, {"name": "仰角", "content": "观测者从水平线向上看某一物体时，视线与水平线之间所形成的夹角称为仰角", "this": "观测者位于点A，从点A沿水平线向前看形成线段AD。当观测者从点A向上看某一物体位于点B时，视线形成线段AB。此时，视线AB与水平线AD之间所形成的夹角∠BAD即为仰角。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边。类似地，在三角形ADC中，角ADC是直角（90度），因此三角形ADC是一个直角三角形。边AD和边CD是直角边，边AC是斜边。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9188.png", "question": "如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF等于()", "answer": "60°", "process": "1. 已知菱形ABCD，则##由菱形的邻角互补##，得到∠ADC=180°-∠BAD=100°。

2. AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF。

3. ##依据垂直平分线的性质##，由于EF垂直平分AB，所以AF=BF。

4. ##连接菱形对角线DB交对角线AC于O，由菱形的对角线性质可知，AC垂直平分DB，因此FO其实是DB的垂直平分线，依据垂直平分线的性质，##所以BF=DF。

5. 根据以上结论，AF=BF=DF，则，##依据等腰三角形的定义，△ADF为等腰三角形，由于∠DFC为三角形ADF的外角，依据等腰三角形的性质，∠DAF＝∠ADF，所以∠DFC=2∠DAF，##。

6. ##由菱形的定义和全等三角形判定定理(SSS)可知，三角形ADC与三角形ABC对应的三边相等，两个三角形全等##

##７. 由菱形的定义可知，AD等于DC，所以由等腰三角形的定义可知，三角形ADC为等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，∠DAF＝∠DCF，因∠BAD=80°，由全等三角形的定义可知，∠DAC等于∠CAB，所以可得∠DAC＝∠DCF＝40°，∠DFC=2∠DAF＝80°。##

##8. 在三角形DFC中，由三角形内角和定理可知，∠CDF＝180°-∠DCF-∠DFC＝180°-40°-80°＝60°##", "elements": "菱形; 垂直平分线; 垂线; 等腰三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线EF经过线段AB的中��E，并且直线EF垂直于线段AB。因此，直线EF是线段AB的垂直平分线。##直线FO经过线段DB的中点O，并且直线FO垂直于线段DB。因此，直线FO是线段DB的垂直平分线##。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ADF中，边AF和边DF相等，因此三角形ADF是一个等腰三角形。##三角形ADC中，边AD和边DC相等，因此三角形ADC是一个等腰三角形。##"}, {"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等", "this": "在本题图中，线段AB的垂直平分线为直线EF，点F在直线EF上。根据垂直平分线的性质，点F到线段AB两端点A和B的距离相等，即AF = BF。线段DB的垂直平分线为直线FO，点F在直线FO上。根据垂直平分线的性质，点F到线段DB两端点D和B的距离相等，即DF = FB。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形DAF中，角∠DFC是三角形的一个外角，角∠FAD和角∠ADF是与外角∠DFC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角∠DFC等于不相邻的两个内角∠FAD和∠ADF之和，即角∠DFC = 角∠FAD + 角∠ADF。##"}, {"name": "菱形的邻角互补", "content": "菱形的任意一对邻角互补", "this": "在本题图中，菱形ABCD中，角ADC和角DAB是一对邻角，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即角ADC + 角DAB = 180度。同理，角DCB和角CBA也是一对邻角，满足角DCB + 角CBA = 180度。"}, {"name": "菱形的对角线性质", "content": "菱形的对角线互相平分且互相垂直", "this": "在本题图中，菱形ABCD中，对角线AC和BD互相平分且互相垂直。具体来说，点O是对角线AC和BD的交点，且AO=OC和DO=OB。同时，角DOA和角DOC都是直角（90度），所以对角线AC和BD互相垂直。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "等腰三角形ADF中，边DF和边AF相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ADF = 角DAF。等腰三角形ADC中，边AD和边DC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角DAC = 角DCA。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "三角形ADC和三角形ABC是全等三角形，三角形ADC的对应边和对应角与三角形ABC相等，即：\n边AD = 边AB\n边DC = 边BC\n边AC= 边AC\n同时，对应的角也相等：\n角DAC = 角CAB\n角DCA= 角BCA\n角ADC = 角ABC####"}, {"name": "全等三角形判定定理(SSS)", "content": "两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形ADC和三角形ABC中，边AD与边AB相等，边DC与边BC相等，边AC与边AC相等，因此根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "在本题图中，三角形DFC中，角DCF、角DFC和角CDF是三角形DFC的三个内角，根据三角形内角和定理，角DCF + 角DFC + 角CDF = 180°。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角", "this": "在本题图中，多边形ADF的一个内角为∠AFD，延长该内角的相邻边DF和AF形成的角∠DFC称为内角∠AFD的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9308.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,若∠B=60°,则∠D等于()", "answer": "60°", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等。

2. 因此，∠ABC = ∠CDA。

3. 根据已知条件，∠ABC = 60°。

4. 因此，∠CDA = 60°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "平行四边形; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边BC与边AD平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形ABCD中，对角∠ABC和∠CDA相等，对角∠BAD和∠BCD相等####。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8434.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=3∠AOB,若∠ACB=20°,则∠BAC的度数是()", "answer": "60°", "process": "1. 已知∠ACB=20°，根据圆周角定理，####得出∠AOB=2×∠ACB=2×20°=40°。

2. 根据题目条件∠BOC=3×∠AOB，得出∠BOC=3×40°=120°。

3. ##根据圆周角定理，得出∠BOC=2×∠BAC。##

4. 因此∠BAC=##120°/2=60°。##

##5##.由于上述推理，最终得出∠BAC的度数为60°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形; 普通多边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角，角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角，点B和点A是圆上的两点，圆心是点O，连线OB和OA组成的角∠BOA称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9311.png", "question": "如图,平行四边形ABCD中,已知∠AOB=90°,AC=8cm,AD=5cm,则BD的长为()", "answer": "6cm", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，对角线互相平分，可得OA = ##1/2##AC = ##1/2## × 8 = 4 (cm)。

2. ∵ ∠AOB = 90°, 根据##邻补角的定义##，可得∠AOD = 180° - ∠AOB = 90°。

3. 在△ADO中，根据勾股定理##和直角三角形的定义##，由于∠AOD = 90°，得OD = √##(AD^2 - OA^2)## = √##(5^2 - 4^2)## = √##(25 - 16)##= √9 = 3 (cm)。

4. 由##平行四边形的性质定理##，可得BD = 2 × OD = 2 × 3 = 6 (cm)。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为6 cm。", "elements": "平行四边形; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角线是连接顶点A和非相邻顶点C的线段AC，以及连接顶点B和非相邻顶点D的线段BD。因此，线段AC和BD就是平行四边形ABCD的对角线。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段OA和OC，将对角线BD分成两段相等的线段OB和OD。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角AOD和角AOB有一条公共边AO，它们的另一边OD和OB互为反向延长线，所以角AOD和角AOB互为邻补角。"}, {"name": "勾股定理（毕达��拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在△ADO中，∠AOD是直角（90度），边OD和AO是直角边，边AD是斜边，所以根据勾股定理，OD^2 = AD^2 - AO^2。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形AOD中，角AOD是直角（90度），因此三角形AOD是一个直角三角形。边AO和边OD是直角边，边AD是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9363.png", "question": "如图,P为平行四边形ABCD内一点,过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点,若S~AHPE~=3,S~PFCG~=5,则S~△PBD~为()", "answer": "1", "process": "1. 首先，由已知条件可以确定EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形。

2. 根据平行四边形的面积性质，得##S△DEP = S△DGP = 1/2 * S平行四边形DEPG##。

3. 同样，通过平行四边形的面积性质，可以得##S△PHB = S△PBF = 1/2 * S平行四边形PHBF##。

4. 计算整个平行四边形的面积，根据平行四边形的面积分割性质，有##S△ADB = S△EPD + S平行四边形AHPE + S△PHB + S△PDB##。

5. 同理，另一边的面积也可以表示为##S△BCD = S△PDG + S平行四边形PFCG + S△PFB - S△PDB##。

6. 将上述两个面积公式相减，得##0 = S平行四边形AHPE - S平行四边形PFCG + 2S△PDB##。

7. 代入已知的##S平行四边形AHPE## = 3和##S平行四边形PFCG## = 5，得##2S△PDB = 5 - 3 = 2##。

8. 根据面积的正值性质，得##S△PBD## = 1。", "elements": "平行四边形; 平行线; 普通三角形; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。四边形EPGD是一个平行四边形，边EP与边DG平行且相等，边ED与边PG平行且相等。四边形GPFC是一个平行四边形，边GP与边FC平行且相等，边GC与边PF平行且相等。四边形EPHA是一个平行四边形，边EP与边AH平行且相等，边EA与边PH平行且相等。四边形PHBF是一个平行四边形，边PH与边FB平行且相等，边PF与边FB平行且相等。"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "在本题图中，直线DC和直线EF分别与直线AB平行。根据平行线的传递性，如果直线DC平行于直线AB，且直线EF也平行于直线AB，那么直线DC和直线EF互相平行。因此，直线DC平行于直线EF。在本题图中，直线DA和直线GH分别与直线CB平行。根据平行线的传递性，如果直线DA平行于直线CB，且直线GH也平行于直线CB，那么直线DA和直线GH互相平行。因此，直线DA平行于直线GH。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9387.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是()", "answer": "10", "process": "1. 已知AC的垂直平分线交AD于点E，根据垂直平分线的性质得出AE = EC。

2. 由于四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，边AB与边DC平行且相等，边BC与边AD平行且相等，因此AB = DC = 4，BC = AD = 6。

3. 因为AE = EC，且E在AD上，所以DE = DA - AE = 6 - AE = 6 - EC。

4. 因此，##根据三角形的周长定理，##三角形CDE的周长为EC + CD + DE。

5. 根据前述结论，EC + CD + DE = EC + 4 + (6 - EC) = 4 + 6 = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "平行四边形; 垂直平分线; 等腰三角形; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等", "this": "在本题图中，线段AC的垂直平分线交AD于点E。根据垂直平分线的性质，点E到线段AC两端点A和C的距离相等，即EA= EC。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，∠BAD和∠BCD相等，对角∠B和∠D相等；边AB和DC相等，边BC和AD相等。因此，AB = DC = 4 和 BC = AD = 6。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形△CDE的三边分别为EC、CD、DE，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=EC + CD + DE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9165.png", "question": "如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠B=60°,则对角线AC等于()", "answer": "5", "process": "1. 已知ABCD是菱形，所以AB = BC = CD = DA = 5。

####

##2.## 在△ABC中，AB = 5，BC = 5，且∠B = 60°。

##3. 依据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##，如果一个三角形有一个角是60°且两边相等，那么这个三角形是等边三角形。

##4.## 由此可知，△ABC是等边三角形。

##5.## 因此，AC = AB = 5。", "elements": "菱形; 等边三角形; 正弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。", "this": "△ABC为等腰三角形，边AB与边BC相等，且∠B=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△ABC为等边三角形。####"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是一个等边三角形。边AB、边BC和边AC的长度相等，并且角ABC、角ACB和角BAC的度数相等，均为60°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9421.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=6,BC=9,∠B=30°,则平行四边形ABCD的面积是()", "answer": "27", "process": "1. 过点A作AE垂直于BC，交BC于点E。

2. 根据AE垂直于BC，得∠AEB=90°。

3. 已知AB=6，∠B=30°，##在直角△AEB中，根据正弦函数定义##，AE=AB×sin(30°)=6×1/2=3。

4. 根据平行四边形的面积公式S=底×高，已知BC=9，因此平行四边形ABCD的面积为9×3=27。", "elements": "平行四边形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形AEB中，角∠AEB是直角（90度），因此三角形AEB是一个直角三角形。边AE和边BE是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形AEB中，角ABE是锐角，边AE是角ABE的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角ABE的正弦值等于对边AE与斜边AB的比值，即sin(ABE) = AE / AB。##"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，边BC是底边，对应的高是从底边BC到对边AD的垂直距离，记为AE。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积等于底边长BC乘以对应的高AE，即A = BC × AE。##"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AE是该顶点A的高。线段AE与边BC形成一个直角（90度），这说明线段AE是从顶点A到对边BC的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9358.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=54°,则∠BCE的度数为()", "answer": "36°", "process": "1. 已知直线CE垂直于线段AB，垂足为点E####，得∠AEC=90°。

2. 已知∠EAD=54°，##设AD和CE的交点为点F，根据三角形内角和定理，得∠AFE = 180°-90° - 54° = 36°。##

3. 四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质，边AD平行于边BC。

4. 由##平行线的平行公理2##，在##AD∥BC##时，∠ECB = ##∠AFE##。

5. 由以上推理得出，##∠BCE## = 36°。

####", "elements": "平行四边形; 垂线; 内错角; 邻补角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "三角形AEF中，角AEF、角EAF和角AFE是三角形AEF的三个内角，根据三角形内角和定理，角AEF+ 角EAF+ 角AFE= 180°。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠BAD和∠BCD相等，对角∠B和∠D相等；边AB和边CD相等，边AD和边BC相等；对角线AC和BD互相平分。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线CE所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角AFE和角BCE相等。2. 内错角：角DFC和角BCF相等。3. 同旁内角：角AFC和角BCF互补，即角AFC+ 角BCF= 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AD和BC被一条直线EC截交，其中角AFE和角ECB位于截线EC的同旁，被截两直线AD和BC的同一侧，因此角AFE和角ECB是同位角。同位角相等，即角AFE等于角ECB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9452.png", "question": "平行四边形ABCD的周长是28cm,AC与BD相交于点O,△AOB的周长比△OBC的周长大4cm,那么AB等于()", "answer": "9cm", "process": "1. 已知平行四边形ABCD，根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，因此OA=OC且OB=OD。

2. 已知平行四边形ABCD的周长是28cm，根据平行四边形的性质，各边两两相等，因此AB=CD且AD=BC。

3. 根据周长公式可得：AB + BC + CD + DA = 2(AB + BC) = 28cm，由此可得：AB + BC = 14cm。

4. 已知△AOB的周长比△OBC的周长大4cm，通过##三角形的周长定理##可得：AB + OA + OB -(BC + OB + OC) = AB - BC = 4cm。

5. 结合AB + BC = 14cm和AB - BC = 4cm，代入解得：2AB = 18cm，因此AB = 9cm。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9cm。", "elements": "线段; 平行四边形; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "平行四边形ABCD中，边AB和BC是相邻的两条边，边CD和DA也是相邻的两条边。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(AB + BC)。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "已知三角形△AOB的三边分别为OA、OB、AB，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=OA+OB+AB，同理，已知三角形△OBC的三边分别为OC、OB、BC，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=BC + OB + OC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9445.png", "question": "如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是()", "answer": "36", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，得出AB=CD=5。

2. 由于三角形OCD的周长为23，因此OC+OD+CD=23。

3. 由步骤1已知CD=5，因此OC+OD=23-5=18。

4. 平行四边形的对角线互相平分，故BD=2*OD，AC=2*OC。

5. 由于OC+OD=18，因此BD+AC=2*OC+2*OD=2*(OC+OD)=2*18=36。

6. 经过上述推理，最终得出平行四边形ABCD的两条对角线的和为36。", "elements": "平行四边形; 线段; 中点; 普通三角形; 旋转", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等，其中AB=5，所以CD=5。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题中，平行四边形ABCD中，对角∠BAD和∠BCD相等，对角∠ABC和∠ADC相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "在本题图中，已知三角形△OCD的三边分别为OC、OD、CD，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=OC +OD+CD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9465.png", "question": "如图平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB=7, AC=10, △ABO周长为16, 那么对角线BD的长等于()", "answer": "8", "process": "1. 已知AB = 7，AC = 10，且△ABO的周长为16，根据三角形的周长公式，得出AB + OA + OB = 16。

2. 将已知条件AB代入，得出7 + OA + OB = 16，从而得出OA + OB = 9。

3. 由于ABCD是平行四边形，所以两对角线AC和BD互相平分，根据对角线性质，得出AC = 2 * OA 和 BD = 2 * OB。

4. 根据AC = 10，得到2 * OA = 10，进而得到OA = 5。

5. 从OA + OB = 9和OA = 5，计算得到OB = 9 - 5 = 4。

6. 根据对角线性质BD = 2 * OB，得到BD = 2 * 4 = 8。

7. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "平行四边形; 线段; 平行线; 中点; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "三角形的周长定理", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形ABO的三边分别为AB、OA、OB，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+OA+OB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9556.png", "question": "如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边BC、DA分别交于E、F,连接CF,若平行四边形ABCD的周长等于18cm,则△CDF的周长等于()", "answer": "9cm", "process": "1. 已知平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线与边BC、DA分别交于E、F。

####

##2##. 平行四边形ABCD的周长等于18cm，根据平行四边形的性质，AB = CD且AD = BC，所以AB + CD + AD + BC = 18cm， ##设##AB = CD = x，AD = BC = y ， 2x + 2y = 18 ，故x + y = 9。

##3##. 在平行四边形ABCD中，连接CF, 根据##垂直平分线的性质##，AF = CF，由此得出△CDF的周长等于AD + DC。

##4##. 因为AD = BC = y，DC = x, 所以△CDF的周长等于x + y，而x + y = 9。

##5##. 经过上述推理，最终得出△CDF的周长等于9cm。", "elements": "平行四边形; 垂直平分线; 等腰三角形; 线段; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等", "this": "线段AC的垂直平分线为直线EF，F在直线EF上。根据垂直平分线的性质，点F到线段AC两端点A和C的距离相等，即AF= CF。##"}, {"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一��平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。这确定了AB = CD = x和AD = BC = y。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c", "this": "三角形CDF的三边分别为CD、CF、DF，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=CD+CF+DF。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9538.png", "question": "如图,把平行四边形ABCD分成4个平行四边形,已知其中三个面积分别为8、10、30,则第四个平行四边形的面积是()", "answer": "24", "process": "1. 已知平行四边形ABCD被分成4个平行四边形，##设EF与AD和BC相交于E、F点；MN与AB、CD相交于M、N点，且EF与MN相交于O点，##根据题意AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC。

2. ##四边形AEOM##与四边形MBFO同高，其底分别为OE与OF。

3. 四边形EOND与四边形OFCN同高，其底分别为OE与OF。

4. 根据平行四边形的面积计算公式，##等高平行四边形，##面积比等于底比即：##\\( \\frac{S_{\\text{四边形AEOM}}}{S_{\\text{四边形MBFO}}} = \\frac{OE}{OF} \\)##。

5. 已知##\\(S_{\\text{四边形AEOM}} = 8\\)##和\\(S_{\\text{四边形MBFO}} = 10\\)，所以\\( \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5} \\)，即\\( \\frac{OE}{OF} = \\frac{4}{5} \\)。

6. 因此\\( \\frac{S_{\\text{四边形EOND}}}{S_{\\text{四边形OFCN}}} = \\frac{OE}{OF} = \\frac{4}{5} \\)。

7. 已知\\(S_{\\text{四边形OFCN}} = 30\\)，则\\( \\frac{S_{\\text{四边形EOND}}}{30} = \\frac{4}{5} \\)。

8. 通过计算得出，\\(S_{\\text{四边形EOND}} = 30 \\times \\frac{4}{5} = 24\\)。

9. 经过上述推理，最终得出答案为24。", "elements": "平行四边形; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD、四边形AEOM、四边形MBFO和四边形EOND是平行四边形。四边形ABCD中，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。四边形AEOM中，边AE与边MO平行且相等，边AM与边EO平行且相等。四边形MBFO中，边MB与边FO平行且相等，边MO与边BF平行且相等。四边形EOND中，边EO与边ND平行且相等，边ED与边ON平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "平行四边形AEOM和平行四边形MBFO同高，其底分别为OE和OF。所以面积比等于底比，即 \\( \\frac{S_{\\text{平行四边形AEOM}}}{S_{\\text{平行四边形MBFO}}} = \\frac{OE}{OF} \\)。具体为 \\( \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5} \\)，同理，平行四边形EOND和平行四边形OFCN同高，其底分别为OE和OF。所以面积比等于底比，即 \\( \\frac{S_{\\text{平行四边形EOND}}}{S_{\\text{平行四边形OFCN}}} = \\frac{OE}{OF} \\)。具体为 \\( \\frac{S_{\\text{平行四边形EOND}}}{30} = \\frac{4}{5} \\)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9591.png", "question": "如图,CD是⊙O的直径,弦DE∥OA,若∠D的度数是50°,则∠C的度数是()", "answer": "25°", "process": "1. 已知CD是⊙O的直径，弦DE平行于OA，并且∠D的度数是50°。

2. 由于DE平行于OA，根据##平行线的平行公理2##，得到##∠AOD##等于∠D，因此##∠AOD##的度数也是50°。

3. ##∠AOD是劣弧AD圆心角，∠ACD是劣弧AD圆周角。##

4. 根据圆周角定理，圆周角为圆心角的一半。因此，∠C等于##∠AOD##的一半。

5. 由此计算得出，∠C = 50° / 2 = 25°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 圆周角; 平行线; 弦; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，∠DCA的顶点C在圆周上，∠DCA的两边分别与圆O相交于点D和点A。因��，∠DCA是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OD组成的∠AOD称为圆心角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和OA被第三条直线DO所截，形成了以下几何关系：1. 内错角：∠AOD和∠D相等。因此，∠AOD = ∠D = 50°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点C、点A、点D在圆上，劣弧AD对应的圆心角为∠AOD，圆周角为∠ACD。根据圆周角定理，∠ACD等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOD的一半，即∠ACD = 1/2 ∠AOD"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线OA和DE被一条直线OD截交，其中角D和角AOD位于两平行线之间，且在截线OD的对侧，因此角D和角AOD是内错角。内错角相等，即角D等于角AOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9336.png", "question": "如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,△ABD的周长为16cm,则△DOE的周长是()", "answer": "8cm", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，平行四边形的对角线互相平分，得出点O是BD的中点。

2. ##根据平行四边形的性质定理，对边相等，AD=BC，AB=CD，又因为BD边公用，所以根据全等三角形判定定理(SSS)，得出三角形ABD全等于三角形CDB##。

3. ##因为点O是BD的中点，而且E是CD的中点，根据三角形中位线定理，线段OE是三角形CDB的中位线##。

4. 根据三角形中位线定理，##在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半##，得出OE=rac{1}{2}BC。

5. ##因为点O是BD的中点，E是CD的中点，OE=rac{1}{2}BC##，所以△DOE的周长等于rac{1}{2}△BCD的周长。

6. ##因为三角形ABD全等于三角形CDB##，得出△ABD的周长等于△CDB的周长。

7. 由此推导出△DOE的周长=rac{1}{2}×16=8cm。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8cm。", "elements": "平行四边形; 中点; 线段; 普通三角形; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形DEO的三边分别为DO、DE、OE，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=DO+DE+OE，在三角形ABD中三边分别为AB、AD、DB，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AD+DB，在三角形BCD三边分别为BC、DC、BD，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=BC+DC+BD。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "点E是边CD的中点，点O是边BD的中点，线段OE连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段OE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即OE || BC，并且OE = 1/2 * BC。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形ABCD中，边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SSS)", "content": "两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。", "this": "三角形ABD和三角形CDB中，AB=CD，AD=BC，且BD是公共边，根据边边边（SSS）全等判定定理，三角形ABD全等于三角形CDB。######"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ABD和三角形CDB是全等三角形，三角形ABD的对应边和对应角与三角形CDB相等，即：边AB = 边CD，边BD = 边BD，边AD = 边CB，同时，对应的角也相等：角BAD = 角CDB，角ABD = 角BDC，角ADB = 角DCB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9655.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠C=60°,则∠BAO的度数是()", "answer": "30°", "process": "1. 连接OB，形成△AOB。

2. 根据圆周角定理，圆心角是它所对的圆周角的2倍，即∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 60° = 120°。

3. 在△AOB中，##由于OA和OB是半径，因此OA = OB，##所以△AOB是等腰三角形。

4. 在等腰三角形中，根据等腰三角形的性质，∠BAO = ∠ABO。

5. 根据三角形内角和定理，∠AOB + ∠BAO + ∠ABO = 180°。结合第4步，得到∠AOB + 2 × ∠BAO = 180°。

6. 代入第2步中的∠AOB = 120°，得到120° + 2 × ∠BAO = 180°。

7. 解此方程，得到2 × ∠BAO = 60°，所以 ∠BAO = 30°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为∠BAO = 30°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 普通三角形; 等边三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆⊙O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角AOB称为圆心角。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形AOB中，边OA和边OB相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "⊙O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形△AOB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠BAO = ∠ABO。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形AOB中，角AOB、角BAO和角ABO是三角形AOB的三个内角，根据三角形内角和定理，角AOB + 角BAO + 角ABO = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9632.png", "question": "如图,已知AB、AD是⊙O的弦,∠B=20°,点C在弦AB上,连接CO并延长CO交于⊙O于点D,∠D=15°,则∠BAD的度数是()", "answer": "35°", "process": "1. 连接OA。因为OA=OB，且∠ABO=20°，根据等腰三角形性质，得出##∠OAB##=20°（等腰三角形的两底角相等）。

2.####因为OA=OD，且∠ADO=15°，根据等腰三角形性质，得出##∠OAD##15°（等腰三角形的两底角相等）。

####

##3. ##因为∠BAD由∠OAB和∠OAD组成，可以得到∠BAD=∠OAB + ∠OAD=20° + 15°=35°。

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为∠BAD等于35°。", "elements": "弦; 圆; 圆周角; 圆内接四边形; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形；同理，三角形ODA中，边OA和边OD相等，因此三角形ODA是一个等腰三角形。根据等腰三角形的性质，三角形OAB的两底角∠OBA和∠OAB相等，且∠OBA=∠OAB=20°；三角形ODA的两底角∠ODA和∠OAD相等，且∠ODA=∠OAD=15°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA；等���三角形OAD中，边OA和边OD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAD = 角ODA。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9728.png", "question": "如图,AB是⊙O直径,∠AOC=140°,则∠D为()", "answer": "20°", "process": "1. 已知∠AOC=140°，##根据邻补角的定义，∠AOC+∠BOC=180° , 则∠BOC=180°-140°=40°。##

####

##2.根据圆周角定理，∠BDC为圆的圆周角，等于所对的圆心角的一半。##

##3. ##因此，∠BDC=1/2 * ∠BOC = 1/2 * 40° = 20°。

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * r。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BDC的顶点D在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BDC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点B、D、C在圆上，弧BC与弧BDC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BDC。根据圆周角定理，∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOC。##"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角AOC和角BOC有一条公共边OC，它们的另一边OA和OB互为反向延长线，所以角AOC和BOC互为邻补角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9676.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,且∠ABC=32°,则∠CDB的度数为()", "answer": "58°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ACB=90°。

2. ##根据三角形内角和定理##，以及∠ACB=90°和∠ABC=32°，得出∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=58°。

3. ##根据圆周角定理推论1##，∠CDB与∠BAC均为弧BC的圆周角，因此∠CDB=∠BAC。

4. 代入前面计算得出的∠BAC的值，得出∠CDB=58°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为58°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。同样，角CDB的顶点D在圆周上，角CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角CDB是一个圆周角##，角CAB的顶点A在圆周上，角CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角CAB是一个圆周角。##"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。##"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆O中，弧CB对应的圆周角是∠CAB和∠CDB。根据圆周角定理推论1，与同一弧CB相对应的圆周角∠CAB和∠CDB相等，即∠CAB = ∠CDB。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9481.png", "question": "如图,AB是⊙O的弦,过点A作⊙O的切线AC。如果∠BAC=55°,那么∠AOB等于()", "answer": "110°", "process": "1. 已知AC为⊙O的切线，依据切线的性质，得OA⊥AC。

2. 由此可得∠OAC=90°。

3. 已知∠BAC=55°，根据角的定义可得∠BAC与∠OAB##相加等于∠OAC##。

4. 因此∠OAB=∠OAC-∠BAC=90°-55°=35°。

5. ##根据半径的定义，可知##OA=OB，##根据等腰三角形的定义，ΔOAB为等腰三角形，##依据等腰三角形的性质，ΔOAB中∠OAB=∠OBA。

6. 故∠OBA=35°。

7. 在ΔOAB中，依据三角形内角和定理，得∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2×35°。

8. 最终∠AOB=110°。", "elements": "圆; 切线; 圆心角; 弧; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AC有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AC是圆O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 A 是直线 AC 与圆的切点，线段 OA 是圆的半径。根据圆的切线性质，切线 AC 与经过切点 A 的半径 OA 垂直，即 ∠OAC = 90°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形 OAB 中，边 OA 和边 OB 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即 ∠OAB = ∠OBA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形 OAB 中，角OAB、角 OBA 和角 AOB 是三角形 OAB 的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角 OBA + 角 AOB = 180°。"}, {"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，角OAC是由两条射线AO和AC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A。这个共同的端点A称为角OAC的顶点，而射线AO和AC称为角OAC的边。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9482.png", "question": "如图,线段AB过圆心O,交⊙O于点A、C,∠B=30°,直线BD与⊙O切于点D,则∠ADB的度数是()", "answer": "120°", "process": "1. 已知线段AB过圆心O，交⊙O于点A、C，并且直线BD与⊙O切于点D。连接OD。

2. 由于BD是⊙O的切线，于点D切⊙O，根据切线的性质，得出∠ODB=90°。

####

##3##. 根据三角形内角和定理，##因为∠B=∠OBD=30度，所以在△ODB中##，∠DOB=180°-∠ODB-##∠OBD##=180°-90°-30°=60°。

##4. 根据圆周角定理，∠DOC=∠DOB=2∠DAC。##

##5. 圆周角##∠DAC=1/2∠DOC=1/2 * 60°=30°。##

##6. 根据三角形的内角和定理，在△ADB中，∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-30°-30°=120°。##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为120°。", "elements": "圆; 切线; 圆心角; 圆周角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆⊙O中，点O是圆心，半径为OA（或OC）。图中所有到点O的距离等于OA（或OC）的点都在圆⊙O上。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线BD有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线BD是圆O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，点D是圆上的任意一点，线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OD是圆的半径。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切��与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点D是直线BD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线BD与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODB=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角 ODB + 角 DOB + 角 OBD = 180°。在三角形 ADB 中，角 ADB、角 BAD 和角 DBA 是三角形 ADB 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 ADB + 角 BAD + 角 DBA = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、D、C在圆上，弧CD对应的圆心角为∠DOC，圆周角为∠DAC。根据圆周角定理，∠DAC等于它所对的弧CD所对应的圆心角∠DOC的一半，即∠DAC = 1/2 ∠DOC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角DAC的顶点(点A)在圆周上，角DAC的两边分别与圆O相交于点D和点C。因此，角DAC是一个圆周角。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点D和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OC组成的角∠DOC称为圆心角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9716.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C、点D在⊙O上,连结AC、BC、AD、CD,若∠BAC=50°,则∠ADC的度数等于()", "answer": "40°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角定理”，得出∠ACB=90°。

2. 由∠ACB=90°以及已知条件∠BAC=50°，根据“三角形内角和定理”，得到∠ABC=40°。

####

4. ##根据圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等，##即∠ADC=∠ABC，##根据上面推理得到∠ABC=40°，所以∠ADC=40°。##

5. 经上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆内接四边形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，##∠ABC、∠ADC##都是圆周角。以##∠ABC##为例，##角ABC##的##顶点B##在圆周上，##角ABC##的两边##AB和BC##分别与圆O相交于##点A和点C##。因此，##角ABC##是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）。####"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等", "this": "圆O中，弧AC对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AC相对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等，即∠ABC = ∠ADC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角ACB、角BAC和角ABC是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACB + 角BAC + 角ABC = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9530.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为()", "answer": "12", "process": "1. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，并且BC=6，BC边上的高为4。##平行四边形的面积=4*6=24##

2. 通过平行四边形性质可知，对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。

####

##3. 由于平行四边形是中心对称图形，根据中心对称 的性质，可以得到平行四边形上半部分的两个阴影三角形与下半部分的两个空白三角形全等，且由于对角线AC和BD将平行四边形分成了四个面积相等的三角形，可以得到阴影部分占据这些三角形中两个的面积，因此阴影部分的面积##=2/4*平等四边形ABCD的面积=12平方单位。##

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "平行四边形; 对称; 线段; 垂线; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB��边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点B垂直于对边AD（或其延长线）的线段是该顶点B的高。线段与边AD（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段是从顶点B到对边AD（或其延长线）的垂直距离。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，顶点A、B、C、D，对角线是连接顶点A和非相邻顶点C的线段AC，以及连接顶点B和非相邻顶点D的线段BD。因此，线段AC和BD就是平行四边形ABCD的对角线。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "平行四边形ABCD中，边BC是底边，对应的高是从底边BC到对边AD的垂直距离，记为4。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积等于底边长BC乘以对应的高4，即S_{ABCD} = BC × 高 = 6 × 4 = 24。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和边CD相等，边AD和边BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "中心对称图形的定义", "content": "在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。", "this": "图形 ABCD 绕点 O 旋转 180° 后与原图形完全重合。根据中心对称图形的定义，ABCD 是中心对称图形，点 O 是其对称中心。"}, {"name": "中心对称的定义", "content": "在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，旋转180°后重合的两个点叫做对称点。", "this": "若将平行四边形上半部分的两个阴影三角形绕点 O 旋转 180°后与下半部的两个空白三角形完全重合，则根据中心对称的定义，它们两两关于点 O 成中心对称，点 O 是它们的对称中心，对应点称为对称点。"}, {"name": "中心对称的性质", "content": "连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分。", "this": "在本题图中，中心对称图形ABCD中，每条经过O点的直线与平行四边形边相交的两点都是一对对称点。根据中心对称的性质，连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心O，且被对称中心O平分。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9568.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以C为圆心,CB的长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD等于()", "answer": "30°", "process": "1. 已知AB=AC和∠A=40°，##根据等腰三角形的定义，可得△ABC是等腰三角形。根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理##, 得出∠ABC=∠ACB=##(180°-40°)/2=70°##。

2. 以点C为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，再连接CD。

3. ##根据半径的定义，得##BC=CD，根据等腰三角形的性质，得出##∠CBD##=∠CDB。

4. 在ΔBCD中，##∠CDB=∠ABC##=70°，根据外角定理得到##∠ACD=∠CDB-∠A=70°-40°=30°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为30°。", "elements": "等腰三角形; 圆; 弧; 圆周角; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。##同理，三角形CDB中，边CB和边CD相等，因此三角形CDB是一个等腰三角形。##"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形BCD中，边BC和边CD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角BCD = 角CDB。##同理，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。##"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形ACD中，角CDB是三角形的一个外角，角ACD和角CAD是与外角BDC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角BDC等于不相邻的两个内角ACD和CAD之和，即角CDB = 角ACD + 角CAD。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆C中，点C是圆心，点B是圆上的任意一点，线段CB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段CB是圆的半径。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9760.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,则∠C的度数为()", "answer": "30°", "process": "####

##1##. 已知∠AOB=60°。

##2##. 根据圆周角定理，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##。

##3##. 在本题中，##圆周角ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角AOB的一半##。

##4##. 因此，∠ACB =##1/2 ##× ∠AOB =## 1/2 ##× 60° = 30°。

##5##. 由上述推理得出最终答案为∠ACB=30°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9829.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠ABC=30°,则∠CAB为()", "answer": "60°", "process": "1. 已知AB是圆O的直径，点C在圆O上。根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ACB是直角，即∠ACB=90°。

2. 由∠ABC=30°以及∠ACB=90°，##依据三角形内角和定理##，即一个三角形的三个内角之和等于180°，计算得出∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-30°=60°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角ACB、角ABC和角CAB是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACB + 角ABC + 角CAB = 180°。##"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）。（或本题图中，圆周角ACB是90度，所以它所对的弦AB是直径。）"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9798.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于E,分别连接AD、BC,已知∠D=65°,则∠OCD=()", "answer": "40°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，根据题意和已知∠D=65°。

2. 根据##圆周角定理推论1##，已知∠D=65°，即##∠ABC=∠EBC=65°##。

3. 由于CD⊥AB，且E是AB和CD的交点，因此∠CEB=90°。

4. 在ΔCEB中，##根据三角形的内角和定理，∠ECB=180°-∠CEB-∠EBC=180°-90°-65°=25°##。

5. ##因为OB和OC为圆O的半径，OB=OC，根据等腰三角形的定义，可得△OBC为等腰三角形##。

6. ##根据等腰三角形的性质，在等腰三角形△OBC中，∠OBC=∠OCB=65°##。

7. ##因为在△COB中，∠OCB=∠OCE+∠ECB，即∠OCE=∠OCB-∠ECB##。

8. 得出##∠OCD=∠OCE=65°-25°=40°##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为40°", "elements": "圆; 垂线; 直角三角形; 圆周角; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧AC对应的圆周角∠ADC和∠ABC相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AB相对应的圆周角∠ADC和∠ABC相等，即∠ADC = ∠ABC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠ADC的顶点D在圆周上，角∠ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角∠ADC是一个圆周角。角∠ABC的顶点B在圆周上，角∠ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角∠ABC是一个圆周角。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OBC中，边OB和边OC相等，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形CEB中，角CEB、角ECB和角CBE是三角形CEB的三个内角，根据三角形内角和定理，角CEB + 角ECB + 角CBE = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形△OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBC = ∠OCB。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。圆O中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径。圆O中，点O是圆心，点C是圆上的任意一点，线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OC是圆的半径。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9582.png", "question": "如图,在⊙O中,已知∠AOB=110°,C是圆周上的一点,则∠ACB为()", "answer": "125°", "process": "1. 在优弧AB上取一点D，连接AD和BD。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，可得∠ADB=∠AOB/2=110°/2=55°。

3. ##因为四边形ADBC的四个顶点都在圆O上，根据内接四边形的定义，四边形ADBC是圆内接四边形##。

4. 在圆内接四边形中，对角的度数和为180°，所以∠ACB+∠ADB=180°。

5. 将已知的∠ADB=55°代入，得∠ACB=180°-55°=125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为125°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠ACB的顶点C在圆周上，角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ACB是一个圆周角。##角∠ADB的顶点D在圆周上，角∠ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ADB是一个圆周角。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、D在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB=110°，圆周角为∠ADB。根据圆周角定理，∠ADB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ADB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ADBC的四个顶点A、D、B和C都在同一个圆上。这个圆称为四边形ADBC的外接圆。因此，四边形ADBC是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角ACB + 角ADB = 180度，角DAC + 角DBC = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一���外角都等于他的内对角。", "this": "圆内接四边形ADBC中，四边形的顶点ADBC都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ADBC的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ADB + ∠ACB = 180°；∠DAC + ∠ABC = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9814.png", "question": "如图,AB是O的直径,∠AOC=110°,则∠D=()", "answer": "35°", "process": "1. 已知∠AOC=110°。

2. ##根据平角的定义，∠AOB是平角，∠AOB=180°，##得∠BOC=180°-∠AOC。

3. 因此∠BOC=180°-110°=70°。

4. 根据圆周角定理，圆周角∠BDC等于所对弧所对应的圆心角的一半。

5. 因此∠BDC=1/2∠BOC。

6. 代入数值，得∠BDC=1/2*70°=35°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为35°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BDC的顶点D在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BDC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角，连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。##"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点B、D、C在圆上，弧BC与弧BDC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BDC。根据圆周角定理，∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9868.png", "question": "如图,已知A、B、C三点在⊙O上,AC⊥BO于D,∠B=50°,则∠BOC的度数是()", "answer": "80°", "process": "1. 已知点A、B、C在⊙O上，AC垂直于BO并交于点D。

2. 根据##垂线的定义##，得出∠ADB=90°。

3. 由已知条件##∠B=∠ABD=50°##，##根据三角形的内角和定理，得出∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-90°-50°=40°，且∠BAD=∠BAC##。

4. ##根据圆周角定理，∠BAC等于所对的弧BC所对的圆心角∠BOC的一半##。

5. 因此，∠BOC=2##∠BAC###。

6. 代入##∠BAC##=40°，得∠BOC=2*40°=80°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AC和直线BO相交形成的角∠ADB是90度，因此根据垂线定义，直线AC和直线BO互相垂直。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BOC等于它所对的弧AC所对应的圆周角∠BAC的两倍，即∠BOC = 2 * ∠BAC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABD中，角BAD、角ABD和角ADB是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAD + 角ABD + 角ADB = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9736.png", "question": "如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,∠ABD=53°,则∠BCD为()", "answer": "37°", "process": "1. 已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°。

2. 连接##AD##，根据(圆周角定理推论2)直径���对的圆周角是直角，得出##∠BDA##=90°。

##3.由于∠ABD=53°，∠BDA=90°，由三角形内角和定理可知，∠DAB为180°-90°-53°＝37°##

4. ##因为∠DAB与∠BCD对应公共的弧DB，由圆周角定理推论1可知二者相等。##

##5.∠DAC＝∠BCD＝37°##

####", "elements": "圆; 圆周角; 弧; 弦; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * 半径。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆⊙O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆⊙O的弦。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。同样，点C和点B是圆上的两点，连线OC和OB组成的角∠COB也是圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC####对应的圆心角为∠AOC，圆周角为##∠ABC##。根据圆周角定理，##∠ABC##等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即##∠ABC##=1/2 ∠AOC。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠BDA和∠BCA是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABD中，角ABD、角BDA和角BAD是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABD + 角BDA + 角DAB = 180°。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧AD对应的圆周角∠ACD和∠ABD相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AD相对应的圆周角∠ACD和∠ABD相等，即∠ACD = ∠ABD。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "圆O中，角BDA的顶点(点D)在圆周上，角BDA的两边分别与圆O相交于点B和点A。因此，角BDA是一个圆周角。角DAB的顶点(点A)在圆周上，角DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角DAB是一个圆周角。角DCB的顶点(点C)在圆周上，角DCB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角DCB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1019.png", "question": "如图,已知AD与BC相交于点O,AB∥CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知AB∥CD，##根据平行线的平行公理2##，得到∠DAB = ∠CDA = 30°。

2. ##由三角形的外角定理可知##，即三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和，得到∠AOC = ∠DAB + ∠ABC。

3. 由已知条件，∠ABC = 40°，结合上述步骤，得到∠AOC = 30° + 40°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "平行线; 内错角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线CD和AB被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：内错角：角DAB和角CDA相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线AD截交，其中角DAB和角CDA位于两平行线之间，且在截线AD的对侧，因此角DAB和角CDA是内错角。内错角相等，即角DAB等于角CDA。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形ABO中，角AOC是三角形ABO的一个外角，角DAB和角ABC是与外角AOC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AOC等于不相邻的两个内角DAB和ABC之和，即角AOC = 角DAB + 角ABC。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "三角形AOB的一个内角为∠AOB，延长该内角的相邻边BO形成的角∠COA称为内角∠AOB的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9874.png", "question": "如图,⊙O中,弦AB的长为2,OC⊥AB于C,OC=1,若从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,切点分别为A、B,则∠APB的度数为()", "answer": "90°", "process": "1. 已知弦AB的长为2，OC垂直于AB并交于点C，OC等于1。

2. 连结OA和OB，PA和PB是切线，则根据##圆的切线性质##，角OAP等于角OBP等于90度。

3. ##因为OC垂直于AB于点C，根据垂径定理得出AC等于BC等于1##，因此OC=AC=BC。

4. 由此可知三角形ACO和三角形BCO是等腰直角三角形

5.##因而结合三角形内角和定理可以得出∠AOC=∠OAC=（180°-90°）/2=45°，∠BOC=∠OBC=（180°-90°）/2=45°，继而算出∠AOB=∠AOC+∠BOC=45°+45°=90°##

6. ##根据四边形内角和定理可以得知，∠APB=360°-∠AOB-∠OAP-∠OBP=360°-90°-90°-90°=90°##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为90度。", "elements": "圆; 切线; 弦; 圆周角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点A和B，这两个公共点叫做切点。因此，直线PA和PB是圆O的切线。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，OC垂直于弦AB于C，那么根据垂径定理，OC平分弦AB，即AC=BC，并且OC平分弦AB所对的两条弧。####"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A和B是直线PA和PB与圆的切点，线段OA和OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA和PB与经过切点A和B的半径OA和OB垂直，即∠OAP = ∠OBP = 90度。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACO和三角形BCO是等腰直角三角形，其中角ACO和角BCO是直角（90度），边AC和边CO相等，边BC和边CO相等。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°", "this": "在本题图中，四边形AOBP中，角AOB、角OAP、角OBP和角APB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角AOB + 角OAP + 角OBP + 角APB = 360°。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "三角形AOC中，角AOC、角OAC和角OCA是三角形AOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角AOC+ 角OAC+ 角OCA= 180°；同理，在三角形BOC中，角BOC、角OBC和角OCB是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC+ 角OBC+ 角OCB= 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9894.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=2,AC=1,以AB为直径的圆与AC相切,与边BC交于点D,则AD的长为()", "answer": "\\frac{2}{5}√{5}", "process": "1. 由于以AB为直径的圆与AC相切，所以∠CAB=90°。##因为AB是半径，∠ADB是直径所对的圆周角，根据圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°。##

2. 已知AB=2, AC=1。##在直角三角形ABC中##，根据勾股定理，##得到BC=√(AB^2 + AC^2)=√(2^2 + 1^2) = √5##。

3. ##在三角形ADB中，∠DAB+∠DBA=180°-90°=90°。已知∠CAB=90°=∠CAD+∠DAB，结合可得出：∠DBA=∠CAD。根据相似三角形的判定定理(AA)可得三角形ADB相似于三���形CAB。##

4. ##根据相似三角形的定义可得：AD/AB = AC/BC##。

5. 根据前一步的结论：AD = AC * AB / BC = 1 * 2 / √5 = 2 / √5，化简后得AD = (2√5) / 5。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "以AB为直径的圆中，点A是直线AC与圆的切点，线段AB是圆的直径。根据圆的切线性质，切线AC与经过切点A的直径BA垂直，即∠CAB=90度。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角CAB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边AB是直角边，边BC是斜边。三角形ADB中，角ADB是直角（90度），因此三角形ADB是一个直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径", "this": "圆中直径AB所对的圆周角ADB是直角（90度）。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角∠CAB是直角（90度），边AC和AB是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = AB^2 + AC^2，即BC = √{AB^2 + AC^2} = √{2^2 + 1^2} = √5。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "相在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADB和三角形ABC中，角DAB等于角ACD，且三角形ADB和三角形ABC共用∠B，所以三角形ADB相似于三角形ABC。##"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADB和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADB = ∠CAB, ∠DAB = ∠ACB, ∠DBA = ∠ABC；AC/BC = AD/AB。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "以AB为直径的圆中，角ADB的顶点(点D)在圆周上，角ADB的两边分别与圆相交于点A和点B。因此，角ADB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1053.png", "question": "如图所示,在四边ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,若在BC和CD上分别找一点M,使得△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数为()", "answer": "120°", "process": "1. 如图，在BC和CD上分别找一点M，##点N##，使得△AMN的周长最小。作A关于BC和CD的对称点A'和A''，连接A'和A''，交BC于M，交CD于N，##因为两点之间线段最短，##则A'A''即为△AMN的周长最小值。

2. ##已知∠B = ∠D = 90°，且A关于BC和CD的对称点为A'和A''，而AB，AD是分别到BC和DC的距离，根据对称性的性质，得点A，点A‘，点B共线；点A，点A‘’，点C共线，所以∠BAD =∠A’AA‘’= 120°。##

3. ##在△A‘AA’‘中，∠A’AA‘’为120°，根据三角形内角和定理，得∠AA‘A’‘+∠AA’‘A’ = 180° - ∠A’AA‘’=180° - 120° = 60°。##

4. 由于A'是A关于BC的对称点，##根据对称性的性质，AM=A‘M，所以根据等腰三角形的性质得∠BA'M = ∠BAM##。

5. 同理，A''是A关于CD的对称点，##根据对称性的性质，AN=A’‘N，所以根据等腰三角形的性质得∠NAD = ∠NA''D##。

6.##已知∠BAM+∠NAD=∠NA''D+∠BA'M=∠AA‘A’‘+∠AA’‘A’=60°##。

7. 因此，##根据三角形内角和定理得∠AMN + ∠ANM = 180°-∠MAN ；而∠MAN= ∠BAD-∠BAM+∠NAD=120°-60°=60°。##

####

##8##. 经过上述推理，最终得出∠AMN + ∠ANM = 120°。", "elements": "垂直平分线; 反射; 直角三角形; 邻补角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形AA‘A’‘中，∠AA‘A’‘，∠AA’‘A’ 和∠A’AA‘’是三角形AA‘A’‘的三个内角，根据三角形内角和定理，∠AA‘A’‘+∠AA’‘A’ +∠A’AA‘’ = 180°，在三角形AMN中，∠AMN，∠MAN 和∠ANM是三角形AMN的三个内角，根据三角形内角和定理，∠AMN+∠MAN +∠ANM = 180°。"}, {"name": "对称性的性质", "content": "在对称��形中，对称轴两侧的对应点在对称轴上的投影距离相等。", "this": "在本题图中，A和A’的对称轴是BC，A和A‘’的对称轴是DC，因为对称轴上任意一点到对称点的距离相等，所以AM=A‘M，AN=A’‘N，AB=BA‘，AD=DA’‘。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形AA’M中，边AM和边A‘M相等。 因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠BA'M = ∠BAM，在等腰三角形AA’’N中，边AN和边A‘‘N相等。 因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠NAD = ∠NA''D。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形AA’M中，边AM和边A’M相等，因此三角形AA’M是一个等腰三角形，在三角形AA’’N中，边AN和边A’N相等，因此三角形AA’N是一个等腰三角形。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1031.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠B=40°,则∠BAD=()", "answer": "50°", "process": "1. 已知AB=AC，##所以根据等腰三角形的定义可得：三角形ABC是一个等腰三角形。因为点D是BC中点，所以AD为三角形ABC的中线即BD=CD。##。

2. ##根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理的：##AD是△ABC的顶角##BAC的##平分线####，AD也是BC的垂直平分线，所以AD垂直于BC。

3. 根据题意，∠B=40°。

4. 由于AD垂直于BC，即∠ADB是直角，∠ADB=90°。

5. 在直角三角形△ADB中，由于##三角形内角和定理##，又已知##∠ABD##=∠B=40°。

6. 因此，∠BAD=##180°-∠ADB-∠B=180°-90°-40°=50°##。", "elements": "等腰三角形; 中点; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。##"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线", "this": "直线AD经过线段BC的中点D，并且直线AD垂直于线段BC。因此，直线AD是线段BC的垂直平分线。##"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段BC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段BC平分为两个相等的部分，即线段BD和线段DC的长度相等。即，BD = DC。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段", "this": "三角形ABC中，顶点A是三角形的一个顶点，对边BC是与顶点A相对的边。点D是边BC的中点，线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段，因此AD是三角形ABC的一条中线。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AD和直线BC相交形成的角∠ADB是90度，因此根据垂线定义，直线AD和直线BC互相垂直。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，顶角为角BAC，底边为边BC。顶角的角平分线AD不仅平分顶角BAC，还平分底边BC，使得BD = CD，并且垂直于底边BC，即形成直角ADB（90度）。因此，线段AD既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ABD、角ADB和角BAD是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABD + 角ADB + 角BAD = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1060.png", "question": "如图,将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置,∠OGC'等于100°,则∠DGC'的度数为()", "answer": "20°", "process": "1. 已知将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°。

2. 由于折叠过程中的对称性，∠OGC等于∠OGC'，即∠OGC = 100°。

3. 由平角性质可知��∠OGD = 180° - ∠OGC。

4. 将∠OGC的值代入，得∠OGD = 180° - 100° = 80°。

5. ####∠DGC' = ∠OGC' - ∠OGD。

6. 将已知值代入，得∠DGC' = 100° - 80° = 20°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "反射; 邻补角; 矩形; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "∠OGD 和 ∠OGC 有一条公共边OG，它们的另一边OD和OC互为反向延长线，所以∠OGD 和 ∠OGC 互为邻补角。######"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线GC绕着端点G旋转到与起始边成一条直线，形成平角CGD。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角CGD=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1042.png", "question": "如图,∠A=70°,∠2=130°,则∠1=()", "answer": "120°", "process": "1. 已知角 A = 70°，## ∠2## = 130°。

####

##2. 由三角形 ABC## 的外角性质：外角等于不相邻的两个内角之和。因此 ##∠ABC = ∠2 - ∠A##。

##3.## 代入已知数据：∠CAB = 70°，##∠2 = 130°，则角 ##∠ABC = 130° - 70° = 60°##。

##4.设CB延长线上有一点D，角 ∠1 和 ∠ABC 互为邻补角，根据邻补角的定义得， ∠1 =180°-∠ABC=180°-60°=120°##。", "elements": "三角形的外角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形 ABC 中，角2是三角形的一个外角，角 ∠CAB 和角 ∠ABC是与外角 ∠2 不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角 ∠2 等于不相邻的两个内角 ∠CAB 和 ∠ABC 之和，即角 ∠1 = ∠CAB + ∠ABC。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共##边AB##，它们的另一边##BD和BC##互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，## ∠1 和 ∠ABC ##有一条公共边 AB，它们的另一边BD 和 BC互为反向延长线，所以##∠1 和 ∠ABC## 互为邻补角。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形ABC的一个内角为∠ACB，延长该内角的相邻边BC和AC形成的角∠2称为内角∠ACB的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1073.png", "question": "如图,将△ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,折痕为MN,若AB=9,BC=6,则△DNB的周长为()", "answer": "12", "process": "1. 已知点D是BC边的中点，且BC=6。

2. 根据##线段中点的定义##，边BD等于BC的一半，即BD=3。

3. ####根据折叠性质，我们可以得到DN等于AN。

4. 根据三角形的周长公式，△DNB的周长等于DN+BN+BD。

5. 因为DN=AN，AN为折叠后形成的线段，可得△DNB的周长=AN+BN+BD。

6. 由图形中的关系得知，##AN+BN=AB##，AB=9，所以##AN+BN=9##。

####

##7##. 将已知值代入三角形△DNB的周长公式，则△DNB的周长=##9##+3。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "中点; 对称; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段BC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段BC平分为两个相等的部分，即线段BD和线段DC的长度相等。即，BD = DC = 3。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "在本题图中，已知三角形DBN的三边分别为DB、BN、ND，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=DB＋BN＋ND。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1128.png", "question": "如图, O是直线AB上一点, ∠1=40°, OD平分∠BOC, 则∠2的度数是()", "answer": "70°", "process": "1. 已知∠AOB####是一个平角，根据平角定义得出∠AOB=180°。

2. 已知∠1=40°，根据上述结论，得出∠COB=180°-40°=140°。

3. 已知OD平分∠BOC，根据角平分线定义，在本题中具体为OD平分∠BOC，得到∠BOD=∠COD。

4. 因为OD平分∠BOC，根据##角平分线定义##得出∠BOD=∠COD=1/2∠BOC。

5. 根据步骤2得出∠BOC=140°���则∠BOD=∠COD=1/2×140°=70°。

6. 根据图形得知∠2=∠BOD，因此∠2=70°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "对顶角; 邻补角; 直线; 射线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角BOC的顶点是点O，从点O引出一条线OD，这条线将角BOC分成两个相等的角，即角BOD和角COD相等。因此，线OD是角BOC的角平分线。##"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线A绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9893.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()", "answer": "4.8", "process": "1.##由于已知AB=10，AC=8，BC=6，所以根据##勾股定理的逆定理##可以得出∠ACB=90°。##

2.##由(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，已知∠QCP为圆周角，且为90°，得QP为圆的直径。##

3.##如图，设PQ的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD。##

4. 根据题意，FC + FD = PQ，并且根据##三角形三边关系定理##，得出FC + FD > CD。

5. ##当点F在CD上时，才有FC + FD ＝ CD，CD为圆的直径。由圆的切线性质可知，CD⊥AB，即##当点F在直角三角形ABC的斜边AB上的高CD上时，PQ=CD有最小值。

6. 根据##三角形的面积公式##，CD = BC × AC ÷ AB。

7. 根据已知数据，CD = 6 × 8 ÷ 10 = 4.8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为4.8。", "elements": "圆; 切线; 线段; 垂线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆F与直线AB有且只有一个公共点P，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆F的切线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "三角形三边关系定理", "content": "三角形的两边之和大于第三边", "this": "边FC、边FD和边CD构成三角形。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即边FC+边FD>边CD，边FC+边CD>边FD，边CD+边FD>边FC。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB是底，线段CD是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边AB乘以高CD再除以2。####三角形ABC中，边AC是底，线段BC是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边AC乘以高BC再除以2####"}, {"name": "勾股定理的逆定理", "content": "如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角", "this": "已知三角形△ABC的三边分别为10、8、6，且满足10² = 8² + 6²，则根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边10所对的角ACB为直角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直", "this": "圆F中，点D是是直线AB与圆的切点，线段FD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点D的半径FD垂直，即∠ADF=90度。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点", "this": "线段QP的中点为点F。根据线段中点的定义，点F将线段QP平分为两个相等的部分，即线段QF和线段FP的长度相等。即，QF = FP。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆F中，点F是圆心，点D是圆上的任意一点，线段DF是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段DF是圆的半径。####"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的���周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径", "this": "圆周角QCP是90度，所以它所对的弦QP是直径。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段", "this": "在本题图中，从顶点C垂直于对边AB（或其延长线）的线段CD是该顶点C的高。线段CD与边AB（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段CD是从顶点C到对边AB（或其延长线）的垂直距离。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1150.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠AC′B′的大小是()", "answer": "13°", "process": "1. 已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°。根据##旋转的定义##，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'。

2. ##根据旋转的性质##，得 AC=AC'。

3. 根据##旋转的性质##，∠BAC##顺时针##旋转90°后得 ∠B'AC'，所以 ∠B'AC'=####90°。

####

##4##. 此外，∠C'AC=90°，根据##等腰直角三角形的定义##，得出△ACC'是一个等腰直角三角形，##根据三角形内角和定理，所以##∠ACC'=##∠AC'C=(180°-∠C'AC)/2=(180°-90°)/2=45°##。

##5##. 又因为 ∠CC'B'=32°，所以 ∠AC'B'=##∠ACC'##-∠CC'B'=45°-32°。

##6##. 计算得：∠AC'B'=13°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为∠AC'B'的大小是13°。", "elements": "直角三角形; 旋转; 邻补角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形AC'C中，角AC'C、角ACC'和角CAC'是三角形AC'C的三个内角，根据三角形内角和定理，角AC'C + 角ACC' + 角CAC' = 180°。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形ACC'是等腰直角三角形，其中角CAC'是直角（90度），边AC和边AC'是相等的直角边。"}, {"name": "旋转的性质", "content": "1.对应点到旋转中心的距离相等 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3.旋转前、后的图形全等。", "this": "知识点名称：旋转的性质 知识点内容：1.对应点到旋转中心的距离相等 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3.旋转前、后的图形全等。\n在本题图中，将图形 ABC 绕旋转中心 A 旋转 90° 后得到图形 AB'C'。根据旋转的性质：1. 对应点（如点 C 与点 C'）到旋转中心 A 的距离相等，即 AC=AC' ；2. 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 90°，即 角CA'C' = 90°；3. 旋转前的图形 ABC 与旋转后的图形 AB'C' 全等，即 图形 ABC ≅ 图形 AB'C'。"}, {"name": "旋转的定义", "content": "在平面内,把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,旋转的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P_,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。", "this": "在本题图中，AB'C'是图形ABC绕定点A顺时针（或逆时针）旋转 90° 得到的。其中点C与点C_是对应点，线段CA与CA_是对应线段，∠CBA与∠C'B'A是对应角，点A是旋转中心，∠C'AC的度数叫做旋转的角度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1087.png", "question": "如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=140°,点B是弧AC的中点,则∠D的度数是()", "answer": "35°", "process": "1. 已知：点A、B、C、D在⊙O上，##根据圆心角的定义，可知∠AOC为圆心角，##并且∠AOC=140°。

2. 连接OB，点B是弧AC的中点，因此弧AB和弧BC的长度相等。

3. 根据圆心角的性质，##已知圆心角∠AOB所对的圆弧为弧AB,圆心角∠BOC所对的圆弧为弧BC,因为弧AB=弧BC，∠AOB=∠BOC，所以##∠AOB是∠AOC的一半。

4. 因为∠AOC=140°，所以∠AOB=##1/2##∠AOC=70°。

5. 根据圆周角定理，知道圆周角等于它所对应的圆心角的一半，即对应##弧AB##的圆周角∠ADB=##1/2##∠AOB。

6. 因为∠AOB=70°，所以∠ADB=∠D=##1/2##70°=35°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为35°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "∠AOC，∠AOB 和∠BOC 是圆心角。它们的顶点为 O，且它们的边分别经过圆周上的点 A 和 C，A 和 B，B 和 C。根据题意，∠AOC = 140°，∠AOB = ∠BOC = 70°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆 O 中，角 ADB 的顶点 D 在圆周上，角 ADB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B。因此，角 ADB 是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧AB与弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ADB。根据圆周角定理，∠ADB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ADB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆心角定理", "content": "在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。", "this": "圆O中，两圆心角所对的弧相等，即弧AB = 弧BC；他们所对的圆心角也相等，即圆心角∠AOB= ∠BOC。####"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆O上有三点A，B和C，弧AB是连接A点和B点的一段曲线，弧BC是连接B点和C点的一段曲线，弧AC是连接A点和C点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线，弧BC是圆上两点B和C之间的一段曲线，弧AC是圆上两点A和C之间的一段曲线。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9901.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切,切点为D．如果∠A=35°,那么∠C等于()", "answer": "20°", "process": "1. 根据题意，连接BD。因为AB是⊙O的直径，##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，##所以∠ADB是直角，即∠ADB=90°。

2. 由∠A=35°和∠ADB=90°，根据三角形内角和定理可得，∠ABD=##180°-##90°-∠A=55°。

3. 由于CD是切线，且切点为D，所以根据切线的性质，##∠ODC=90°##。

##4.因为OA，OD为圆的半径，因此OA=OD，根据等腰三角形的定义，三角形OAD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，所以∠A=∠ADO=35°。##

##5. 根据以上结论，已知∠A=35°，∠ADC=∠ADO+∠ODC=35°+90°=125°,所以根据三角形内角和定理可得，∠ACD=180°-∠ADC-∠A=180°-125°-35°=20°。##

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，AB 是 ⊙O 的直径，连接了圆心 O 和圆周上的 A、B 两点，长度为2 倍的半径，即 AB = 2r。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆 ⊙O 与直线 CD 有且只有一个公共点 D，这个公共点叫做切点。因此，直线 CD 是圆 ⊙O 的切线。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形 ABD 中，∠BAD、∠ABD 和∠ADB 是三角形 ABD 的三个内角，根据三角形内角和定理，∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°。同理，三角形 ADC 中，∠ADC、∠DAC 和∠ACD 是三角形ADC 的三个内角，根据三角形内角和定理，∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180°。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 D 是直线 CD 与圆的切点，线段 OD 是圆的半径。根据圆的切线性质，切线 CD 与经过切点 D 的半径 OD 垂直，即 ∠ODC=90°。##"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ADB是直角（90度）。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ADO中，边OA和边OD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ADO = 角OAD。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ADO中，边OA和边OD相等，因此三角形ADO是一个等腰三角形。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1167.png", "question": "已知:如图,AB∥CD,BC平分∠ABD,且∠C=40°,则∠D的度数是()", "answer": "100°", "process": "1. 已知: AB∥CD且∠C=40°。

2. 根据##平行线的平行公理2##，得: ∠ABC=∠C=40°。

3. 因为BC平分∠ABD, 根据角平分线的定义，得: ∠DBC=∠ABC=40°。

4. 在△BCD中，根据三角形内角和定理，得: ∠D=180°-∠DBC-∠C。

5. 代入已知条件，计算得: ∠D=180°-40°-40°=100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠D=100°。", "elements": "平行线; 内错角; 同旁内角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ABD的顶点是点B，从点B引出一条线BC，这条线将角ABD分成两个相等的角，即∠DBC和∠ABC相等。因此，线BC是角ABD的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：1. 内错角：∠ABC和∠BCD相等。∠ABC = ∠C = 40°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形BCD中的内角有∠DBC、∠BDC和∠C。根据三角形内角和定理，∠DBC + ∠BDC + ∠C = 180°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线BC截交，其中角DCB和角ABC位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角DCB和角ABC是内错角。内错角相等，即角DCB等于角ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1247.png", "question": "如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,则∠2是()", "answer": "60°", "process": "1. 已知∠1=30°，直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，##设直角三角形的直角点为∠3+∠1，根据直角三角形的定义##，得出∠1 + ∠3 = 90°。

2. 由步骤1的结论以及已知条件∠1=30°，依据角的代数和，得到∠3 = 90° - ∠1 = 60°。

3. 根据##同位角定义##，得到∠2和∠3为同位角。

4. ##根据平行线的平行公理2##，同位角相等，所以∠2 = ∠3。

5. 由步骤2和步骤4的结论，得出∠2 = 60°。", "elements": "直角三角形; 对顶角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "其中一个角为直角（90度 ∠1 + ∠3）,另外两个内角的和也为90°。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "角2和角3位于截线的同旁，被截两直线的同一侧，因此角2和角3是同位角。同位角相等，即角2等于角3。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直尺的两边互相平行，而三角板所在的边与两条平行线相交，∠2和∠3是平行线被第三条直线截得的同位角。因此，根据同位角相等定理，∠2 = ∠3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1092.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上．若∠ABD=50°,则∠BCD的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 连接AD，根据题意可知：AB是⊙O的直径。

2. 根据##(圆周角定理推论2)##，直径所对的圆周角为直角，因此∠ADB等于90°。

3. 已知∠ABD等于50°，由三角形内角和定��，在△ADB中，可得∠DAB=##180°-∠ADB-∠ABD=180°-##90°-50°=40°。

4. 由于AC和AD是同一个圆的弦，##根据圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等##，可得∠BCD=∠DAB=40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆周角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠ADB的顶点D在圆周上，角∠ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ADB是一个圆周角。\n圆O中，角∠ABD的顶点B在圆周上，角∠ABD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角∠ABD是一个圆周角。\n圆O中，角∠DAB的顶点A在圆周上，角∠DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角∠DAB是一个圆周角。\n圆O中，角∠BCD的顶点C在圆周上，角∠BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角∠BCD是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ADB是直角（90度）。（或本题图中，圆周角ADB是90度，所以它所对的弦AB是直径。）##"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ADB中，角ABD、角ADB和角DAB是三角形ADB的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABD + 角ADB + 角DAB = 180°。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧BD对应的圆周角∠BAD和∠BCD相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧BD相对应的圆周角∠BAD和∠BCD相等，即∠BAD = ∠BCD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1191.png", "question": "已知直线a∥b,∠1和∠2互余,∠3=121°,那么∠4等于()", "answer": "149°", "process": "1. 已知直线a∥b，##设∠2的邻补角为∠5，∠2和∠5的公共边是c，另一个边是a，互为反向延长线##，得出∠2 + ∠5 = 180°。

2. 已知∠3 = 121°，##根据平行线的平行公理2可知∠3和∠5是同位角##，所以∠5 = ∠3 = 121°。

3. 由上述结果，得出∠2 = 180° - 121° = 59°。

4. 根据题意，∠2和∠1互余，所以∠2 + ∠1 = 90°，从而∠1 = 90° - 59° = 31°。

5. 由于直线a∥b，根据##根据平行线的平行公理2可知∠1和∠4是通旁内角##，得出∠1 + ∠4 = 180°。

6. 已知∠1 = 31°，所以∠4 = 180° - 31° = 149°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为149°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 邻补角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线cd所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角3和角5相等。2. 同旁内角：角1和角4互补，即角1 + 角4 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角2和角5有一条公共边c，它们的另一边a互为反向延长线，所以角2和5互为邻补角。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线c截交，其中角3和角5位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角3和角5是同位角。同位角相等，即角3等于角5。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线���行。", "this": "在本题图中，两条直线a和b被第三条直线d所截，两角1和角4在截线d同侧，且在被截线a和b之内，所以角1和角4是同旁内角。同旁内角1和角4互补，即角1 + 角4 = 180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1342.png", "question": "将一张长方形纸片按如图所示折叠后,再展开．如果∠1=56°,那么∠2等于()", "answer": "68°", "process": "1. 已知折叠所重合的两个角相等, 根据折叠的性质，∠1与与它重合的角相等，因此此角也为56°，##我们记为∠3=∠1=56°##。

2. 再根据##同旁内角的定义，∠1+∠3##与∠2构成同旁内角。

3. 根据##平行线的平行公理2##，两个同旁内角的和等于180°，所以我们可以得出2∠1+∠2=180°。

4. 由于∠1=56°，代入上述公式，我们可以解得：2∠1+∠2=## 2×56°## + ∠2=180°。

5. 因此 ∠2=180°-##2×56°## = 68°。

6. 经过上述推理，得出 ∠2的值为68°。", "elements": "对顶角; 邻补角; 反射", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，长方形纸片的上下边被折痕（横截线）所截，∠1+∠3和∠2在折痕的同侧，且在长方形纸片的上下边之内，所以∠1+∠3和∠2是同旁内角。同旁内角∠1+∠3和∠2互补，即∠1+∠3 + ∠2 = 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，长方形纸片的两条平行边被折叠形成的折痕所截，形成了以下几何关系：同旁内角：∠1+∠3和∠2互补，即2∠1 + ∠2 = 180°。由已知 ∠1 = 56°，代入公式，解得 ∠2=180°-2*56°=68°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1147.png", "question": "如图,直线AB,CD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3=()", "answer": "80°", "process": "1. 已知AB∥CD, ∠1=45°。

2. 根据平行线的##内错角##相等定理，得出##∠BCD##=∠1=45°。

3. 已知∠2=35°。

####

##4. 设∠3的顶角为点O，在△OCD中，∠3作为△OCD的一个外角等于三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和##。

##5##. 因此，∠3 = ##∠C + ∠2##。

##6##. 根据步骤2和步骤3，∠3 = ## 45° +35°## = 80°。

##7##. 最终得出答案为∠3 = 80°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "当在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "在本题图中，三角形OCD中，∠3是三角形的一个外角，∠C和∠2是与外角∠3不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角∠3等于不相邻的两个内角∠C和∠2之和，即∠3 = ∠C + ∠2。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：内错角：∠BCD和∠1相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线BC截交，其中角1和角BCD位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，，因此角1和角BCD是内错角。内错角相等，即角1等于角BCD=45°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1229.png", "question": "如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B,AM⊥b,垂足为点M．如果∠1=58°,那么∠2=()", "answer": "32°", "process": "1. 已知直线a∥b，切线c与直线a、b分别相交于点A和B，且∠1=58°。

2. 根据##平行线的平行公理2，同位角相等##，因此∠ABM=∠1=58°。

3. 根据题意，AM垂直于直线b，垂足为点M，##根据垂线定义，##这意味着∠AMB=90°。

4. 根据三角形的内角和定理，三角形ABM的三个内角和为180°。

5. 在三角形ABM中，根据##三角形���内角和定理##可以表示：∠2+∠ABM+∠AMB=180°。

6. 替换角度值：∠2+58°+90°=180°。

7. 简化等式后得到：∠2=180°-58°-90°=32°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为32°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。", "this": "在本题图中，直线a∥b，直线c是截线。##∠1##和∠ABM是同位角，根据平行线的性质，∠ABM=##∠1##=58°。"}, {"name": "垂足的定义", "content": "垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。", "this": "直线AM与直线b相交于点M，且直线AM垂直于直线b，因此点M是直线AM在直线b上的垂足。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABM的内角为∠ABM、∠AMB和∠BAM，根据三角形内角和定理，∠ABM + ∠AMB + ∠BAM = 180°。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AM和直线BM相交形成的角∠AMB是90度，因此根据垂线定义，直线AM和直线BM互相垂直。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线c所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角1和角ABM相等。这个关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1215.png", "question": "在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC上,AD=AE,∠CDE=20°,则∠BAD的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知AB=AC, AD=AE, 在三角形ABC中，AB=AC，##根据等腰三角形的定义，所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等##，所以∠ABC=∠ACB。

2. ∠ADC是三角形ABD的外角，##根据三角形的外角定理##，∠ADC = ∠BAD + ∠B。

3. ∠AED是三角形DEC的外角，##根据三角形的外角定理##，∠AED = ∠EDC + ∠C。

4. 根据已知条件，∠CDE=20°，##又因为∠ADC=∠ADE + ∠EDC， 所以 ∠ADC=∠ADE + 20°##。

5. ##在三角形ADE中，AD=AE，根据等腰三角形的定义，所以三角形ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，所以∠ADE=∠AED，由第三步可知，∠AED = ∠EDC + ∠C= 20°+∠C##。

6. 从第二步和第四步得到，∠BAD + ∠B=∠ADE + 20°，即∠BAD + ∠B=∠C + ##20° + 20°##=∠C + 40°。

7. ##由第一步可知##∠ABC=∠ACB，即∠B=∠C。

8. 将∠B=∠C代入第六步的等式，得到：∠BAD + ∠C=∠C + 40°。

9. 化简得到∠BAD = 40°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "等腰三角形; 普通三角形; 三角形的外角; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形，三角形ADE中，边AD和边AE相等，因此三角形ADE是一个等腰三角形。##"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ADC是三角形的一个外角，角BAD和角B是与外角ADC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角ADC等于不相邻的两个内角BAD和B之和，即角ADC = 角BAD + 角B。同样地，在三角形DEC中，角AED是三角形的一个外角，角EDC和角C是与外角AED不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AED等于不相邻的两个内角EDC和C之和，即角AED = 角EDC + 角C。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，三角形ABD的一个内角为∠BDA，延长该内角的相邻边AD和BD形成的角∠ADC称为内角∠BDA的外角；三角形DEC的一个内角为∠CED，延长该内角的相邻边DE和CE形成的角∠AED称为内角∠CED的外角。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在等腰��角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ABC = ∠ACB。在等腰三角形ADE中，边AD和边AE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ADE = ∠AED。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1264.png", "question": "如图,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,则河宽AB为()", "answer": "100m", "process": "1. 已知BD=120米, DC=60米, EC=50米，##根据垂线定义，∠ABD##=∠ECD=90°。

2. 由于##∠ABD##和∠ECD都是直角，且∠ADB和∠EDC为对顶角，##根据对顶角的定义，##因此∠ADB=∠EDC，##同时根据相似三角形的判定定理(AA)，##故△ABD相似于△ECD。

3. 根据##相似三角形的定义##，得出以下比例关系：##∠ADB##的对边(AB)与△ECD相应边(EC)的比例等于##∠BAD##的对边(BD)与△ECD相应边(CD)的比例，即##AB##/EC = BD/CD。

4. 将已知数值代入比例式：AB/50 = 120/60。

5. 解上述比例式，得到AB = (120 × 50) / 60。

6. 经计算，得AB = 100米。

7. 经过上述推理，最终得出河宽AB为100米。", "elements": "直角三角形; 线段; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABD和三角形ECD是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ABD = 角ECD, 角ADB = 角EDC, 角DAB = 角DEC；AB/EC = BD/CD = AD/ED。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "直线AE和直线CB相交于点D，形成四个角：∠ADB、∠ADC、∠CDE和∠EDB。根据对顶角的定义，∠ADB和∠EDC是对顶角，∠ADC和∠EDB是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠ADB=∠EDC，∠ADC=∠EDB。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ABD是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AB和边BD是直角边，边AD是斜边。同时三角形ECD中，角ECD是直角（90度），因此三角形ECD是一个直角三角形。边EC和边CD是直角边，边ED是斜边。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AB和直线BD相交形成的角∠ABD是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线BD互相垂直。同理，直线CE和直线CD相交形成的角∠ECD是90度，因此根据垂线定义，直线CE和直线CD互相垂直。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角ABD等于角ECD，且角ADB等于角EDC，所以三角形ABD相似于三角形ECD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1293.png", "question": "如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC,∠ADE=35°,∠C=120°,则∠A为()", "answer": "25°", "process": "1. 已知DE∥BC，根据##平行线的平行公理2，得出∠AED=∠C（同位角相等）。##

2. 由∠C=120°，得出##∠AED##=120°。

3. 已知∠ADE=35°，##在三角形ADE中，根据三角形内角和定理，得到∠ADE+∠AED+∠A=180°。##

4. 将已知的各个角度代入等式：35°+120°+∠A=180°。

5. 解方程，得到∠A=180°-35°-120°。

6. 计算得，∠A=25°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "平行线; 内错角; 普通三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ADE中，角ADE、角AED和角DAE是三角形ADE的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADE + 角AED + 角DAE = 180°。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角AED和角C位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角AED和角C是同位角。同位角相等，即角AED等于角C。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线BC和DE被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角AED和角C相等。2. 内错角：无。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1248.png", "question": "如图,AB⊥CD于D,DE⊥DF,若∠BDE=60°,则∠CDF等于()", "answer": "60°", "process": "1. 已知直线AB与直线CD垂直于点D，根据垂直的定义，可知∠BDC和##∠ADC##都是90°。

2. 已知直线DE与直线DF垂直于点D，根据垂直的定义，可知∠EDF##＝##90°。

3. 又因为∠BDE = 60°，####可以推知∠CDE = 90° - ∠BDE = 90° - 60° = 30°。

4. 由于∠CDF + ∠CDE = 90°，∠CDE = 30°，可以间接得出∠CDF = 90° - 30° = 60°。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "垂线; 垂直平分线; 邻补角; 直线; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AB和直线CD相交形成的角∠BDC是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线CD互相垂直。同理，直线DE和直线DF相交形成的角∠EDF是90度，因此根据垂线定义，直线DE和直线DF互相垂直。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1377.png", "question": "如图,C、D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AB的长等于()", "answer": "10cm", "process": "1. 已知BD=7cm，BC=4cm，根据减法运算，得到CD=BD-BC=3cm。

2. 由于题意中指出D是AC的中点，根据中点的定义，得出AC=2*CD=2*3cm=6cm。

3. ##因此##，AB=AC+CB，即AB=6cm+4cm=10cm。

4. 经过上述推理，最终得出答案为AB=10cm。", "elements": "线段; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AC的中点为点D。根据线段中点的定义，点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等。即，AD = DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1280.png", "question": "如图,在△ABE中,AE的垂直平分线MN交BE于点C,∠E=30°,且AB=CE,则∠BAE的度数是()", "answer": "90°", "process": "1. 已知在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE。

2. 由于MN是AE的垂直平分线，##根据垂直平分线的性质得：##CE=CA。

3. 根据已知AB=CE，结合步骤2中的CE=CA，得出CA=AB。

4. 在△ACE中，CE=CA，##根据等腰三角形的定义得：△ACB和△ACE##是等腰三角形。

5. 因为△ACE是等腰三角形，所以可以使用等腰三角形的性质，##得##∠ACB=∠CEA##=30°##。

####

##6. 因为∠ACB是△EAC的一个外角，且△EAC的两个内角∠CEA和∠EAC都与其不相邻，所以##∠ACB=∠CEA+∠EAC（根据三角形的外角定理），可得∠ACB=30°##+30°=60°##。

####

##7. 在等腰三角形ABC中，##根据等腰三角形的性质，∠ACB=∠ABC。

##8##. ∠ACB=∠ABC=##60°##。

##9##. 在△BAC中，##根据三角形的内角和定理得：##∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-##60°-60°=60°##。

##10##. 因∠CAB##是∠BAE##的一部分，##且∠CAB=60°，##∠CAE=30°。

##11##. 由于##∠BAE##=∠CAB+∠CAE。因此∠BAE=60°+30°=90°。

##12##. 经过上述推理，最终得出∠BAE的度数为90°。", "elements": "垂直平分线; 等腰三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线MN经过线段AE的中点C，并且直线MN垂直于线段AE。因此，直线MN是线段AE的垂直平分线。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACE中，边CE和边CA相等，因此三角形ACE是一个等腰三角形。三角形ACB中，边AB和边CA相等，因此三角形ACB是一个等腰三角形。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "△EAC的一个内角为∠ACE，延长该内角的相邻边EC和AC形成的角称为内角∠ACE的外角即∠ACB。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ACE中，边CE和边CA相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角CAE = 角CEA。等腰三角形ACB中，边AB和边CA相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ACB = 角ABC。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "在本题图中，线段AE的垂直平分线为直线MN，点C在直线MN上。根据垂直平分线的性质，点C到线段AE两端点A和E的距离相等，即CA=CE。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形BAC中，角BAC、角ACB和角ABC是三角形BAC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ACB + 角ABC = 180°。##"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "角ACB是三角形的一个外角，角CEA和角EAC是与外角ACB不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角ACB等于不相邻的两个内角CEA和EAC之和，即角ACB = 角CEA + 角EAC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1354.png", "question": "如图,一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上,如果∠1=25°,那么∠2的度数是()", "answer": "115°", "process": "1. 已知四边形ABCD是矩形##ABCD逆时针依次取矩形的顶点，A为左上角顶点。直角三角板与BC和AD分别交于F和E，另一角设为G。根据矩形的定义##，得出AD平行于BC。

2. ∠2和∠DEF在两条平行线AD和BC之间，根据平行线的平行公理2，得到∠2等于∠DEF。

3. 已知∠1=25°，通过角的代数关系，设辅助角角GEF等于90°。

4. 根据三角形DEF中的角度关系，得到∠DEF = ##∠DEG＋∠GEF##= 25° + 90°。

5. ####得出∠2 = 115°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为115°", "elements": "直角三角形; 矩形; 邻补角; 三角形的外角; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个矩形，其内角∠A, ∠B, ∠C, ∠D都是直角（90度），且边AD与边BC平行且等长，边AB与边CD平行且等长。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被一条直线DF截交，其中角∠2和角∠DEF位于两平行线之间，且在截线DF的对侧，因此角∠2和角∠DEF是内错角。内错角相等，即角∠2等于角∠DEF。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "AD平行于BC，经过直线DEF截得内错角∠2等于∠DEF。根据平行线内错角相等定理，AD平行于BC，直线DEF截得内错角∠2等于∠DEF。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形GEF中，角GEF、角GFE和角FGE是三角形GEF的三个内角，根据三角形内角和定理，三者和为180°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形GEF中，角GEF是直角（90度），因此三角形GEF是一个直角三角形。边GE和边EF是直角边，边GF是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1398.png", "question": "如图所示,C、D是线段AB上两点,若AC=3cm,C为AD中点且AB=10cm,则DB=()", "answer": "4cm", "process": "1. 已知点C是线段AD的中点，且AC=3cm，根据线段中点的定义，得出CD=3cm。

2. 由已知线段AB=10cm，可以列出方程AC + CD + DB = AB。

3. 代入数值得到3cm + 3cm + DB = 10cm。

4. 解方程得DB = 10cm - 3cm - 3cm = 4cm。

5. 经过上述推理，最终得出答案为4cm。", "elements": "线段; 中点; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AD的中点为点C。根据线段中点的定义，点C将线段AD平分为两个相等的部分，即线段AC和线段CD的长度相等。即，AC = CD = 3cm。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1459.png", "question": "如图一棵大树在离地面9米高的B处断裂,树顶A落在离树底部C的12米处,则大树断裂之前的高度为()", "answer": "24米", "process": "1. 由题意得，点B在离地面9米处，点A落在离树底部C的12米处，则BC=9, AC=12。

2. 在直角三角形ABC中，角BCA为直角，根据勾股定理，可得AB = ##√(BC^2 + AC^2)##。

3. 计算得AB =## √(9^2 + 12^2) ##= √(81 + 144) = √225 = 15米。

4. 所以，大树断裂之前的高度为BC + AB = 9 + 15 = 24米。", "elements": "直角三角形; 线段; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BCA是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边BC和边CA是直角边，边AB是斜边。####"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "```markdown\n在本题图中，直角三角形ABC中，角BCA是直角（90度），边BC和AC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = BC^2 + AC^2。\n```"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1444.png", "question": "已知:AB∥CD,∠ABE=120°,∠C=25°,则∠α度数为()", "answer": "85°", "process": "1. 过点E作直线EF，使EF∥CD。

2. 根据##平行线的平行公理2，内错角相等，##可知∠CEF = ##∠ECD## = 25°。

3. 由于AB∥CD，根据##平行线的传递性##，得出EF∥AB。

4. 根据##平行线的平行公理2，同旁内角互补，因此##∠ABE + ∠BEF = 180°。

5. 因∠ABE = 120°，故∠BEF = 60°。

6. 由上面步骤可得，∠α = ∠BEF + ∠FEC = 60° + 25° = 85°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为85°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线CD和EF被直线CE截交，其中∠CEF和∠ECD位于两平行线之间，且在截线CE的对侧，因此∠CEF和∠ECD是内错角。内错角相等，即∠CEF=∠ECD=25°。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线AB和EF被第三条直线BE所截，两角∠ABE和∠BEF在截线BE同侧，且在被截线AB和EF之内，所以∠ABE和∠BEF是同旁内角。同旁内角∠ABE和∠BEF互补，即角ABE + 角BEF = 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线BE所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：∠ABE和∠FED相等。\n2. 内错角：∠ECD和∠FEC相等。\n3. 同旁内角：∠ABE和∠BEF互补，即∠ABE + ∠BEF = 180度。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "直线AB和直线EF分别与直线CD平行。根据平行线的传递性，直线AB平行于直线CD，且直线EF也平行于直线CD，那么直线AB和直线EF互相平行。因此，直线AB平行于直线EF。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1346.png", "question": "如图,直线a∥b,∠1=72°,则∠2的度数是()", "answer": "108°", "process": "1. 已知直线 a ∥ b，##设∠2的在直线b上方的邻补角为∠3，根据平行线的平行公理2##，得出 ∠1 = ∠3（同位角相等）。

2. 已知 ∠1 = 72°，所以根据步骤1得出 ∠3 = 72°。

3. 根据##邻补角的定义##，得出 ∠3 + ∠2 = 180°。

4. #### ∠3 = 72° 代入步骤3的等式中，得 ∠2 = ##180°-∠3=##180° - 72° = 108°。

5. 经上述推理，最终得出 ∠2 的度数为 108°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。", "this": "直线 a ∥ b，被直线 c 截交，其中在直线 c 同侧的 ∠1 和 ∠3 是同位角，根据定义，同位角相等，所以∠1 = ∠3。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线a和b被第三条直线c所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角1和角3相等。\n2. 内错角：无。\n3. 同旁内角：无。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，##∠3##和####∠2有一条公共边c，它们的另一边a和b互为反向延长线，所以##∠3##和∠2互为邻补角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1417.png", "question": "如图,⊙O中,AC为直径,MA,MB分别切⊙O于点A,B,∠BAC=25°,则∠AMB的大小为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知AC为直径，MA切⊙O于点A，根据##圆的切线性质##得到∠MAC=90°。

2. 已知∠BAC=25°，##所以##∠MAB=∠MAC-∠BAC=90°-25°=65°。

3. 由于MA和MB分别切⊙O于点A和点B，根据##切线长定理##得到MA=MB。

4. 根据等腰三角形的性质，∠MAB=∠MBA=65°。

5. 在△MAB中，根据三角形内角和定理得∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=180°-(65°+65°)=50°。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，∠BAC是由两条射线BA和CA组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A。这个共同的端点A称为角BAC的顶点，而射线BA和CA称为角BAC的边。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形MAB是由三个非共线点M、A、B及其连接线段MA、AB、MB组成的几何图形。点M、A、B分别是三角形的三个顶点，线段MA、AB、MB分别是三角形的三条边。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线MA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线MA与经过切点A的半径OA垂直，即∠MAC=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形MAB中，角MAB、角MBA和角AMB是三角形MAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角MAB + 角MBA + 角AMB = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形MAB中，边MA和边MB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠MAB = ∠MBA = 65°。"}, {"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角", "this": "在本题中，从圆外一点M引圆的两条切线MA和MB，它们的切线长相等，即MA=MB。 圆心O和这一点M的连线平分两条切线MA和MB的夹角，即∠OMA=∠OMB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1228.png", "question": "如图,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,∠C=90°,AB,CB分别交直线m于点D和点E,且DB=DE,若∠B=25°,则∠1的度数为()", "answer": "65°", "process": "1. 如图，根据题意，直线m平行于直线n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，AB和CB分别交直线m于点D和点E，且DB=DE，∠B=25°。

2. 因为DB=DE，根据##等腰三角形定义得：△BDE是一个等腰三角形，∠B=∠BED（等腰三角形的性质），因此∠BED=25°##。

3. ##∠EDA是三角形BDE的一个外角，所以根据三角形的外角定理得：## ∠EDA=##∠BED##+∠B=25°+25°=50°。

4. ##设∠EDA的内错角为∠2，由直线m || n ，根据平行线的平行公理2，所以 ∠EDA=∠2（内错角相等），因此∠2=50°##��

5. ∠C=90°，在 △ABC 中，##根据三角形内角和定理得：##∠BAC + ##∠B+ ∠C## = 180°，####则 ##∠BAC## = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 25° - 90° = 65°。

6. 在##直线n上，因为∠1+∠BAC+∠2=180°（根据平角的定义），所以∠1=180°-∠BAC-∠2=180°-65°-50°=65°##，因此∠1 = 65°。", "elements": "平行线; 直角三角形; 同位角; 内错角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线m和直线n位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线m和直线n是平行线，表示为m∥n。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形BDE中，边BD和边DE相等，因此三角形BDE是一个等腰三角形。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线m和n被一条直线AB截交，其中∠ADE和∠2位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此∠ADE和∠2是内错角。内错角相等，即角∠ADE=∠2。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形BDE中，边BD和边DE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠DBE = ∠BED = 25°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角C是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角C = 180°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线m和n被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：角EDA和角2相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线n绕着端点A旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角1+角BAC+角2=180度。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "三角形BDE中，角EDA是三角形的一个外角，角BED和角B是与外角EDA不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角EDA等于不相邻的两个内角BED和角B之和，即角EDA = 角BED + 角B。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角", "this": "在本题图中，三角形BED的一个内角为∠BDE，延长该内角的相邻边BD和DE形成的角∠EDA称为内角∠BDE的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1485.png", "question": "如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠EOC=30°,则∠BOD的度数为()", "answer": "120°", "process": "1. 已知直线AB, CD相交于点O，且OE垂直于AB，##根据垂线定义可得∠EOB##=90°。

####

##2##. 因为∠EOC = 30°，且##∠EOB## = 90°，所以∠COB = 90° - 30° = 60°。

##3##. 根据平角的定义，直线AB和直线CD在点O处相交，形成的##平角∠COD，且∠COD## = ∠COB + ∠BOD。

##4##. 由平角的定义可知，##∠COD## = 180°，因此有180° = ∠COB + ∠BOD。

##5##. 因为∠COB = 60°，所以∠BOD = 180° - 60° = 120°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为120°。", "elements": "垂线; 对顶角; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线CO绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角COD。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角COD=180度。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角COB和角DOB有一条公共边OB，它们的另一边OC和OD互为反向延长线，所以角COB和角DOB互为邻补角。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线EO和直线AB互相垂直，因此根据垂线定义，直线EO和直线AB相交形成的角∠EOB是90度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1457.png", "question": "如图,直线AB、CD相交于点O,OD平分∠AOE,∠BOC=50°,则∠EOB=()", "answer": "80°", "process": "1. 已知直线AB和CD相交于点O，且OD平分∠AOE。

2. 根据题意，∠BOC = 50°。

3. 因为OD是∠AOE的平分线，所以∠AOD = ∠DOE##=1/2∠AOE##。

4. 由直线AB和CD相交于点O，得到∠BOC = ∠AOD ##（对顶角相等）##。

5. 因∠BOC = 50°，所以∠AOD = 50°。

6. 由上步可知，∠AOE = 2×∠AOD = 2×50° = 100°。

7. ∠EOB 和 ∠AOE 是一对邻补角，根据邻补角的定义，两角之和为180°。

8. 所以，∠EOB = 180° - ∠AOE##= 180° - 100° = 80°##。

####

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "对顶角; 邻补角; 直线; 射线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角AOE的顶点是点O，从点O引出一条线OD，这条线将角AOE分成两个相等的角，即角AOD和角DOE相等。因此，线OD是角AOE的角平分线。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角AOE和角EOB有一条公共边OE，它们的另一边OA和OB互为反向延长线，所以角AOE和角EOB互为邻补角。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线AB和CD相交于点O，形成四个角：∠AOD、∠BOC、∠DOB和∠AOC。根据对顶角的定义，∠AOD和∠BOC是对顶角，∠DOB和∠AOC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AOD=∠BOC，∠DOB=∠AOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7165.png", "question": "如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E．若AD=2,DB=3,BC=6,则DE的长为()", "answer": "\\frac{12}{5}", "process": "1. 已知 AD=2, DB=3，利用线段相加，得出 AB=AD+DB=2+3=5。

2. 因为 DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等，即∠ADE=∠ABC，同时∠BAC和∠DAC为同一个角，根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADE ∽ △ABC##。

3. 根据相似三角形的##定义##，在本题中表示为：\\frac{AD}{AB} = \\frac{DE}{BC}。

4. 将已知边长代入比例式，得出 \\frac{2}{5} = \\frac{DE}{6}。

5. 通过交叉相乘求解 DE，得到DE = \\frac{2 \\cdot 6}{5} = \\frac{12}{5}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 \\frac{12}{5}



##name:
content:。
this:##。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段; 内错角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形ADE和三角形ABC中，角ADE等于角ABC，且角DAE等于角BAC，所以三角形ADE相似于三角形ABC。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。��据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠EAD = ∠CAB；\\frac{AD}{AB} = \\frac{DE}{BC} = \\frac{AE}{AC}。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE和角ABC相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7065.png", "question": "如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则sin∠B的值为()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中, ∠C = 90°, AB = 5, AC = 4。

2. ##根据正弦函数定义##，sin∠B = 对边/斜边。

3. 在此题中，角B的对边为AC，斜边为AB。

4. 将已知条件代入，##sin∠ABC## = AC / AB = 4 / 5。

5. 经过上述推理，最终得出sin∠B的值为4/5。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，##∠ABC##是锐角，边AC是##∠ABC##的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，##∠ABC##的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即##sin(∠ABC)## = AC / AB = 4 / 5。"}, {"name": "直角三角形的斜边", "content": "在直角三角形中，斜边是直角所对的边，同时也是这三个边中最长的一条边。", "this": "在本题图中，对于角∠BAC，BC是对边，对于角∠B，AC也是对边，而AB是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7100.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于D,已知AC=3,AB=5,则tan∠BCD等于()", "answer": "\\frac{4}{3}", "process": "1. 已知△ABC为直角三角形，∠C为直角，CD垂直于AB于点D。

2. 由△ABC中，∠C为直角，得∠A与∠B互余，即∠A + ∠B = 90°。

3. 由CD垂直于AB可知，∠BCD + ∠B = 90°。

4. 根据以上结论，得出∠BCD = ∠A。

5. 由于∠C为直角，并且已知AC = 3和AB = 5，根据勾股定理，可以计算出BC的长度。

6. 根据勾股定理，##BC = √(AB^2 - AC^2) = √(5^2 - 3^2) = 4##。

7. 在直角三角形ABC中，tan∠A = BC / AC = 4 / 3。

8. 由于∠BCD = ∠A，因此tan∠BCD = 4 / 3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 4/3。", "elements": "直角三角形; 垂线; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠A是锐角，边BC是角∠A的对边，边AC是角∠A的邻边，所以角∠A的正切值等于边BC的长度除以边AC的长度，即tan(∠A) = BC / AC = 4 / 3。同理，由于∠BCD = ∠A，因此tan∠BCD = 4 / 3。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，由于CD⊥AB，所以三角形ADC和三角形CDB都是直角三角形。已知△ABC为Rt三角形，由图可知∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°。又因为三角形ADC为直角三角形，根据三角形内角和定理∠CAD+∠ACD=90°。结合推理可得：∠CAD=∠BCD，即∠BCD=∠A。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线CD和直线AB相交形成的角∠CDB是90度，因此根据垂线定义，直线CD和直线AB互相垂直。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7124.png", "question": "如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=3,DB=6,DE=2.5,则BC长为()", "answer": "7.5", "process": "1. ##已知DE∥BC，根据平行线的平行公理2，同位角相等可知，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据相似三角形的判定定理(AA)##，得出△ADE ∽ △ABC。

2. ##相似三角形的定义，得出AD/AB = DE/BC##。

3. 已知AD=3，DB=6，则AB=AD+DB=3+6=9。

4. 将AB和DE的已知值代入比例式中，得到##3/9 = 2.5/BC##。

5. 通过解比例式，可以求得BC，即BC = ##2.5×{9/3}## = 7.5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为7.5。", "elements": "平行线; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB和直线AC所截，形成了以下几何关系：\n同位角：∠ADE=∠B，∠AED=∠C。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "DE和BC被第三条直线AB和直线AC所截，其中∠ADE和∠B，∠AED和∠C位于分别截线AB和截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此∠ADE和∠B，∠AED和∠C是同位角。同位角相等，即∠ADE=∠B，∠AED=∠C。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，因为∠ADE=∠B，∠AED=∠C，所以三角形ADE和三角形ABC相似。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：AD/AB = DE/BC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7161.png", "question": "如图,AB∥CD,AB=6,CD=9,AD=10,则OD的长为()", "answer": "6", "process": "1. 已知AB∥CD，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##得到∠BAO = ##∠CDO## ，且∠ABO = ##∠DCO##。

2. 因为两个三角形的两个内角分别相等，依据##相似三角形的判定定理(AA)##，得出△AOB∽△DOC。

3. 由##相似图形的定义##，得出AB/CD = AO/OD。

4. 根据已知条件，代入长度AB=6，CD=9，AD=10，得到6/9 = (AD-OD)/OD。

5. 化简比例可以得到6/9 = (10-OD)/OD。

6. 通过解方程得出OD = 6。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6。", "elements": "平行线; 内错角; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD分别被直线AD，直线BC截交，其中角A和角D位于两平行线之间，角B和角C位于两平行线之间，且分别在截线AD，截线BC的对侧，因此角A和角D是内错角，角B和角C是内错角。内错角相等，即角A等于角D，角B等于角C。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "AB∥CD，且被直线AD和BC所截，形成了以下几何关系：内错角∠BAO和∠CDO相等，∠ABO和∠DCO相等。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形AOD和三角形COD中，如果∠BAO = ∠CDO，且∠ABO = ∠DCO，所以三角形AOD相似于三角形COD。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形AOD和三角形COD是相似图形。根据相似三角形的定义有：角A = 角D, 角B = 角C, 角AOB = 角COD；OA/OD = OB/OC = AB/CD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1468.png", "question": "如图,过⊙O上一点A作⊙O的切线,交直径BC的延长线与点D,连接AB,若∠B=25°,则∠D的度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知BA是⊙O的一个弦， BC是⊙O的直径，AD是⊙O的一条切线，连接点O与A。根据题意，得知∠B = 25°。

2. 连接OD，依据圆周角定理，∠DOA等于2倍的∠B，因为∠B是圆周角且对应的圆心角是∠DOA，所以得到∠DOA = 2 * 25° = 50°。

3. 因为AD是⊙O的切线，根据##圆的切线性质##，得出∠OAD = 90°。

4. 因为△ODA是一个三角形，且其内角和为180°��因此∠D + ∠OAD + ∠DOA = 180°。

5. 将已知角度代入，得到 ∠D + 90° + 50° = 180°。

6. 解得∠D = 180° - 90° - 50° = 40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠BAC的顶点A在圆周上，角∠BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角∠BAC是一个圆周角。圆O中，角∠B的顶点B在圆周上，角∠B的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角∠B是一个圆周角。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆⊙O与直线AD有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AD是圆⊙O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OB是圆的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "BC是直径，连接了圆心O和圆周上的B、C两点，长度为2倍的半径，即BC = 2 * 半径。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC对应的圆心角为∠DOA，圆周角为∠DBA。根据圆周角定理，∠DBA等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠DOA的一半，即∠DBA = 1/2 ∠DOA。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "点A是直线AD与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AD与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAD=90度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ODA中，角∠ODA、角∠OAD和角∠DOA是三角形ODA的三个内角，根据三角形内角和定理，∠ODA + ∠OAD + ∠DOA = 180°。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点A是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OA组成的角∠AOC称为圆心角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7217.png", "question": "如图,DC∥EF∥AB,若\\frac{EG}{AB}=rac{1}{2},DC=6,则GF的长为()", "answer": "3", "process": "1. 已知 DC∥EF∥AB。

2. 根据##∠DEG＝∠DAB，∠DGE＝∠DBA，相似三角形的判定定理(AA)##，三角形 DEG 与三角形 DAB 相似，记为 △DEG ∽ △DAB。

3. 因为 △DEG ∽ △DAB，根据相似三角形的定义，有 ##DG/DB= EG/AB##。

4. 由题意，可知##EG/AB = 1/2，则 DG/DB = 1/2##。

5. 因为 ##DG/DB = 1/2##，意味着点 G 是线段 DB 的中点。

6. 已知 DC∥EF，且点 G 为 DB 的中点##由平行线的平行公理2可知，∠GFB＝∠DCB，由∠GBF＝∠DBC，根据相似三角形的判定定理(AA)可知，三角形GFB与三角形DCB相似，再由相似三角形的定义可知，GF = 1/2DC。##

7. 由此可得，GF = ##1/2##DC。

8. 已知 DC = 6，因此 GF = ##（1/2）×## 6 = 3。", "elements": "平行线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形 DEG 和三角形 DAB 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EDG = ∠ADB, ∠DGE = ∠DBA, ∠DEG = ∠DAB；DE/DA = DG/DB = EG/AB。三角形 GFB 和三角形 DCB 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角 GFB = 角 DCB, 角 GBF = 角 DBC, 角 CDB = 角 FGB；GB/DB = GF/DC = FB/CB。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "三角形DEG和三角形DAB中，如果角DEG等于角DAB，且角DGE等于角DBA，所以三角形DEG相似于三角形DAB。三角形GFB和三角形DCB中，如果角DCB等于角GFB，且角GBF等于角DBC，所以三角形GFB相似于三角形DCB。######"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线EF和DC被第三条直线CB所截，形成了以下几何关系：\n 1. 同位角：角DCB和角GFB相等。\n 两条平行线EF和AB被第三条直线DA所截，形成了以下几何关系：\n 1. 同位角：角DEF和角DAB相等。\n 两条平行线EF和AB被第三条直线DB所截，形成了以下几何关系：\n 1. 同位角：角DGE和角DBA相等。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点", "this": "在本题图中，线段DB的中点为点G。根据线段中点的定义，点G将线段DB平分为两个相等的部分，即线段DG和线段GB的长度相等。即，DG = GB。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形", "this": "在本题图中，三角形DEG是由三个非共线点D、E、G及其连接线段DE、DG、EG组成的几何图形。点D、E、G分别是三角形的三个顶点，线段DE、DG、EG分别是三角形的三条边。三角形DAB是由三个非共线点D、A、B及其连接线段DA、DB、AB组成的几何图形。点D、A、B分别是三角形的三个顶点，线段DA、DB、AB分别是三角形的三条边。三角形GFB是由三个非共线点G、F、B及其连接线段GF、GB、FB组成的几何图形。点G、F、B分别是三角形的三个顶点，线段GF、GB、FB分别是三角形的三条边。三角形DBC是由三个非共线点D、B、C及其连接线段DB、BC、DC组成的几何图形。点<"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "两条平行直线GF和DC被一条直线CB截交，其中角GFB和角DCB位于截线CB的同旁，被截两直线GF和DC的同一侧，因此角GFB和角DCB是同位角。同位角相等，即角GFB等于角DCB。两条平行直线EF和AB被一条直线DA截交，其中角DEF和角DAB位于截线DA的同旁，被截两直线EF和AB的同一侧，因此角DEF和角DAB是同位角。同位角相等，即角DEF等于角DAB。两条平行直线EF和AB被一条直线DB截交，其中角DGE和角DBA位于截线DB的同旁，被截两直线EF和AB的同一侧，因此角DGE和角DBA是同位角。同位角相等，即角DGE"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7034.png", "question": "某几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图均为边长为2的等边三角形,则该几何体的表面积为()", "answer": "3π", "process": "1. 根据主视图和左视图均为边长为2的等边三角形，由三视图可以确定该几何体是一个圆锥，其中圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形。

2. 圆锥的底面积可以通过公式## S=πr^2## 计算出来，其中 r 为圆锥的底面半径，已知该圆锥的底面直径等于等边三角形的边长2，所以半径 r = 1，因此圆锥底面积 S =## π×1^2 ##= π。

3. 圆锥的侧面积可以通过公式 S=πrl 计算出来，其中 l 为母线长，r 为底面半径。通过##母线的定义，可知，母线l=等边三角形边长2。##

4. 所以圆锥的侧面积计算为 S=πr×l = ##π×1×2 =2 π##。

5. 所以圆锥的总表面积为底面积加侧面积，即 S圆锥总表面积 = ##π + 2π##= 3π。

6. 经过上述推理，最终计算结果表面积为3π。", "elements": "等边三角形; 圆; 三视图; 圆锥", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "主视图和左视图都为等边三角形，确定几何体为圆锥。圆锥的底面是一个圆形，圆的半径为1，圆心为O。圆锥的顶点为V，顶点V与圆心O之间的距离为圆锥的高，记作h。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点V到圆周上的任意一点的距离为母线长度，记作l。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三���形。", "this": "主视图和左视图中的三角形是等边三角形。等边三角形的三条边长度均为2，并且每个内角均为60°。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆锥的底面圆中，圆心为圆锥的顶点，圆上的任意一点为底面圆周上的一点，线段从圆心到圆周上的任意一点的长度为1，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "圆锥底面圆的直径等于等边三角形的边长2，连接了圆心O和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 2。"}, {"name": "母线", "content": "母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段", "this": "在本题图中，圆锥中，底面圆周上的一点为A，顶点为B，连接底面圆周上一点A和顶点B的线段AB就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆锥的底面是一个圆，圆的半径是1，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径1的平方，即A = ##π×1^2## = π。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形。扇形的半径是圆锥体的斜高2。"}, {"name": "圆锥的表面积公式", "content": "圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其半径为1，底面积为##π×1^2##=π。圆锥的侧面展开后是一个扇形，侧面积等于扇形的面积，即圆锥的侧面积计算为 S=πr×l = π×1×2 =2 π。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为3π。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1472.png", "question": "如图所示,将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上,若∠1=38°,则∠2的度数()", "answer": "22°", "process": "1. 根据题意##和直角三角形的定义##，已知∠A=30°，##设直角顶点为C，另一个角为B，所以##∠ACB=90°，利用三角形内角和定理可以得出∠ABC=##180° - 30° - 90°=60°##。

2. ##设两条平行线为GH和EF，其中上面一条为GH，下面一条为EF。##延长AB，交##直线EF##于点E，根据题意知道∠1=38°。

3. 利用三角形的外角定理，##∠BEC##=∠ABC-∠1=60°-38°=22°。

4. 由于直线GH平行于直线EF，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，可知∠2=##∠BEC##=22°。

5. 最终得出∠2的度数为22°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 直角三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角CAB、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ABC + 角ACB = 180°。具体结合本题条件，已知角CAB=30°，角ACB=90°，最后可以求得角ABC = 180° - 30° - 90° = 60°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边CB是直角边，边AB是斜边。##"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形BEC中，角ABC是三角形的一个外角，角BCE和角BEC是与外角ABC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角ABC等于不相邻的两个内角BCE和BEC之和，即角ABC = 角BCE + 角BEC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直线GH平行于直线EF，因此根据平行线的平行公理2，可以得出以下几何关系：\n1. 同位角：##无对应关系##。\n2. 内错角：##∠2和∠BEC相等##。\n3. 同旁内角：无对应关系。\n因此可得∠2 = ∠BEC = 22°���"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线GH和EF被一条直线AE截交，其中角2和角BEC位于两平行线之间，且在截线AE的对侧，因此角2和角BEC是内错角。内错角相等，即角2等于角BEC。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形BEC的一个内角为∠EBC，延长该内角的相邻边EB和BC形成的角∠ABC称为内角∠EBC的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/9729.png", "question": "如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点H,E是⊙O上的点,若∠BEC=25°,则∠BAD的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 连接AC，

2. ∵直径AB⊥弦CD于点H, ∴##由垂径定理可知，CH等于HD##

3. ##由全等三角形判定定理(SAS)，可知三角形ACH与三角形ADH全等##

4. ##由全等三角形的定义可知，∠CAH=∠HAD##

5. ∵##圆周角定理推论1∴∠BEC=∠BAC##=25°，

6. ∴∠BAD=##∠BEC##=25°。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 圆周角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * 半径。"}, {"name": "垂足的定义", "content": "垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。", "this": "在本题图中，直线AB与直线CD相交于点H，且直线AB垂直于直线CD，因此点H是直线AB在直线CD上的垂足。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角BEC的顶点E在圆周上，角BEC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BEC是一个圆周角。圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB垂直于弦CD于点H，那么根据垂径定理，直径AB平分弦CD，即CH = DH，并且直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧CB = 弧BD，弧CA = 弧AD。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等", "this": "圆O中，弧CB对应的圆周角∠CEB和∠CAB相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧CB相对应的圆周角∠CEB和∠CAB相等，即∠CEB = ∠CAB。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等", "this": "三角形ACH和三角形AHD中，边CH与边HD相等，边AH与边AH相等，且夹角AHC与夹角AHD相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "在本题图中，三角形ACH和三角形ADH是全等三角形，三角形ACH的对应边和对应角与三角形ADH相等，即： \n边CH = 边HD \n边AH = 边AH \n边AC = 边AD，\n同时，对应的角也相等： \n角AHC = 角AHD \n角ACH= 角ADH \n角HAC= 角HAD##.##"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线", "this": "在本题图中，圆O上有两点C和B，弧CB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧CB是圆上两点C和B之间的一段曲线##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7251.png", "question": "如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E．若AE=3,EC=6,则\\frac{DE}{BC}的值为()", "answer": "\\frac{1}{3}", "process": "1. 已知在△ABC中，DE∥BC，分别交AB, AC于点D, E。

2. 根据##平行线的平行公理2，同位角相等，即角ADE=角B，又因为角A为共用角，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的定义##，有：\\frac{DE}{BC} = \\frac{AE}{AC}。

3. 根据已知条件，得AE=3, EC=6。

4. 因此AC = AE + EC = 3 + 6 = 9。

5. 代入比值可得\\frac{DE}{BC} = \\frac{AE}{AC} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为1/3。", "elements": "平行线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，由于DE∥BC，根据相似三角形的定义可知，△ADE ∽ △ABC。根据相似三角形的定义，有∠ADE = ∠ABC，∠DEA = ∠BCA，∠DAE = ∠BAC；\\(\\frac{DE}{BC} = \\frac{AE}{AC} = \\frac{AD}{AB}\\)。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角ADE等于角ABC，且角DAE等于角BAC，所以三角形ADE相似于三角形ABC。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE和角ABC相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7190.png", "question": "如图,在△ABC中,DE∥BC,\\frac{AD}{DB}=\\frac{1}{2},DE=4,则BC的长()", "answer": "12", "process": "1. 已知DE∥BC，根据##平行线的平行公理2##可得∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA，从而根据##相似三角形的判定定理(AA)##，得出△ADE ∽ △ABC。

2. 根据##相似三角形的定义##，可以得到：DE / BC = AD / AB。

3. 已知AD / DB = 1 / 2，那么AD / (AD + DB) = AD / AB = 1 / 3。

4. 将以上结论代入相似比例关系DE / BC = 1 / 3，根据已知DE = 4，得到4 / BC = 1 / 3，从而计算得出BC = 12。

5. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "平行线; 普通三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠DAE = ∠BAC；DE/BC = AD/AB = AE/AC。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "DE ∥ BC，由平行线的平行公理2得出∠ADE = ∠ABC，∠DEA = ∠ACB，从而满足AA相似定理的条件，得出△ADE ∽ △ABC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角ADE和角ABC相等。\n####两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角AED和角ACB相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角AED和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角AED和角ACB是同位角。同位角相等，即角AED等于角ACB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7220.png", "question": "如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,AE、BD相交于点F．若△BFE的面积为3,则△ABF的面积是()", "answer": "6", "process": "1. 已知四边形ABCD是平行四边形，因此AD∥BC且AD=BC。

2. 由E是BC的中��可知，BE=1/2BC=1/2AD。

3. 考虑△AFD和△EFB，因为AD∥BC且点E为BC中点, ##由平行线的平行公理2可知∠DAF=∠BEF且∠ADF=∠FBE##。根据相似三角形的判定定理(AA)，有△AFD∽△EFB。

4. 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边成比例，即AF/EF=AD/BE=AD/(1/2AD)=2。

5. 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方定理，有##S△AFD/S△EFB##=(AF/EF)^2=2^2=4。

6. 因为##△ABD和△ABE等高(过A点作AH垂直于BC于H，二者高均为AH），且底边比是2:1，△ABD和△ABE面积之比是2:1##

7. ##由△AFD＋△ABF＝2△ABF＋2△BFE##

8.##带入数字 经过上述运算，##最终得出答案为6。", "elements": "平行四边形; 中点; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段BC的中点为点E。根据线段中点的定义，点E将线段BC平分为两个相等的部分，即线段BE和线段EC的长度相等。即，BE = EC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形AFD和三角形EFB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DAF = ∠EFB, ∠ADF = ∠BEF；AF/EF = AD/BE = AD/(1/2AD) = 2。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形AFD和三角形EFB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DAF = ∠EFB, ∠ADF = ∠BEF；AF/EF = AD/BE = AD/(1/2AD) = 2。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠DAB和∠BCD相等，对角∠ABC和∠CDA相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点F将对角线AC分成两段相等的线段AF和FC，将对角线BD分成两段相等的线段BF和FD。####"}, {"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方", "this": "三角形AFD和三角形EFB是相似三角形，边AD和边BE的比值为2, 即相似比为2。所以，三角形AFD的面积与三角形EFB的面积的比值等于4。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线AD和BC被第三条直线BD所截，形成了以下几何关系：内错角：角ADF和角EBF相等。在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线AE所截，形成了以下几何关系：内错角：角DAF和角BEF相等。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形", "this": "三角形ADF是由三个非共线点A、D、F及其连接线段AD、AF、DF组成的几何图形。点A、D、F分别是三角形的三个顶点，线段AD、AF、DF分别是三角形的三条边。三角形BEF是由三个非共线点B、E、F及其连接线段BE、EF、BF组成的几何图形。点B、E、F分别是三角形的三个顶点，线段BE、EF、BF分别是三角形的三条边。三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AD、AB、BD组成的几何图形。点A、B、D分别是三角形的三个顶点，线段AD、AB、BD分别是三角形的三条边。三角形ABE是由三个非共线点A、B、E及其连接线段AE、AB、BE组成的几何图形。点A、B、"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "三角形ABD中，边AD是底，线段AH是高。根据三角形的面积公式，三角形ABD的面积等于底边AD乘以高AH再除以2，即面积 = (AD * AH) / 2。三角形ABE中，边BE是底，线段AH是高。根据三角形的面积公式，三角形ABE的面积等于底边BE乘以高AH再除以2，即面积 = (BE * AH) / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7320.png", "question": "如图,在离地面高度5m处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,则拉线AC的长是()", "answer": "\\frac{10√{3}}{3}m", "process": "1. 根据题意，已知在点C处拉线和地面AB成60°角，并且CD垂直AB，且CD的长度为5米。

2. 根据##正弦函数##，sin(##角CAD##) = 对边（即CD）/斜边（即AC），其中对边为5米，##角CAD##=60°。

3. 应用##正弦函数##得出AC的长度：AC = CD/sin(##角CAD##) = 5/sin(60°)。

4. 通过计算，sin(60°) = √3/2，因此替换到公式中得到：AC = 5/(√3/2) = 5 * 2/√3 = 10/√3。

5. 将结果有理化，得到AC = 10√3/3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 10√3/3 米。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ACD中，角CAD是锐角，边CD是角CAD的对边，边AC是斜边。根据正弦函数定义，角CAD的正弦值等于对边CD与斜边AC的比值，即sin(角CAD) = CD / AC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角∠CDA是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形。边CD和边AD是直角边，边AC是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7302.png", "question": "如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为()", "answer": "2√{6}m", "process": "1. ##由图中可知，∠ADB被标注为直角，根据直角三角形的定义可知三角形ABD为直角三角形。三角形ABD中，AB是斜边，BD是底边，AD是高，即AB=4m，∠ABD=60°##。

2. 根据正弦函数定义，在直角三角形ABD中，sin∠ABD = AD/AB。

3. 代入已知条件，sin∠ABD = sin60° = AD/4，

4. 由sin60°的值为√3/2，得到AD = 4 * (√3/2) = 2√3(m)。

5. 接下来分析调整后的直角三角形ACD，在直角三角形ACD中，AD是高，AC是斜边，底边为CD。

6. 根据正弦函数定义，在直角三角形ACD中，sin∠ACD = AD/AC。

7. 代入已知条件，sin∠ACD = sin45° = AD/AC。

8. 由sin45°的值为√2/2，得到(√2/2) = 2√3/AC。

9. 解上述等式，得到AC = 2√3 / (√2/2) = ##（2√3 * 2）/√2## = 2√6(m)。

10. 经过上述推理，最终得出答案为2√6(m)。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角∠BDA是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边BD和边AD是直角边，边AB是斜边。三角形ACD中，角∠CDA是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形。边CD和边AD是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABD中，角∠ABD是锐角，边AD是角∠ABD的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角∠ABD的正弦值等于对边AD与斜边AB的比值，即sin(∠ABD) = AD / AB。在直角三角形ACD中，角∠ACD是锐角，边AD是角∠ACD的对边，边AC是斜边。根据正弦函数定义，角∠ACD的正弦值等于对边AD与斜边AC的比值，即sin(∠ACD) = AD / AC。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7259.png", "question": "如图,BE,CF为△ABC的两条高,若AB=6,BC=5,EF=3,则AE的长为()", "answer": "\\frac{18}{5}", "process": "1. 已知BE和CF为△ABC的两条高，##根据高的定义，角AEB和角AFC都是90°直角##。

2. 因为角AEB和角AFC都是直角，且角A是共享角，根据相似三角形的判定定理(AA)，##两个三角形中相对应的两个角度数相等则两个三角形相似，所以△AEB相似于△AFC##。

3. 由于△AEB∽△AFC，根据相似三角形的定义##可得知AE/AF = AB/AC。

4. 同样，由于角A是共享角，##AE/AF = AB/AC，根据相似三角形的判定定理(SAS)，可得知三角形AEF相似于三角形ABC。又根据相似三角形的定义，可得知：EF/BC = AE/AB##。

5. 代入已知条件，AB = 6, BC = 5, EF = 3，计算得到3/5 = AE/6。

6. 通过交叉相乘求解AE，得AE = (18/5)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为AE的长为18/5。", "elements": "垂线; 直角三角形; 线段; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从点B垂直于对边AC的线段BE是该顶点B的高。从顶点C垂直于对边AB的线段CF是顶点C的高。线段BE与边AC形成一个直角（90度），线段CF与边AB形成一个直角（90度），这说明线段BE和CF分别是从顶点B和顶点C到对边AC和AB的垂直距离。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形AEB和三角形AFC中，如果角AEB等于角AFC，且角BAE等于角CAF，所以三角形AEB相似于三角形AFC。##"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形AEB和三角形AFC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角AEB = 角AFC, 角BAE = 角CAF, 角ABE = 角ACF；AE/AF = AB/AC = BE/CF。三角形AEF和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角AEF = 角ABC, 角FAE = 角CAB, 角AFE = 角ACB；AE/AB = AF/AC = EF/BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "边AE与边AB对应，边AF与边AC对应，并且角EAF=角BAC，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形AEF相似于三角形ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7224.png", "question": "如图,△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,已知△ADE的面积为1,那么△ABC的面积是()", "answer": "4", "process": "1. 已知D和E分别是边AB和边AC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线。

2. 由三角形中线定理可知，DE∥BC且DE的长度是BC长度的一半。

##3. 根据相似三角形的判定定理(SSS)，△ADE和△ABC相似，因为它们的对应边成比例。##

4. 因为DE是BC的一半，所以比例系数为1/2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方定理，有##S△ADE/S△ABC=(1/2)^2=1/4##。

5. 已知△ADE的面积为1，可以得出△ABC的面积是4倍的△ADE的面积，即S△ABC=4。

6. 经过上述推理，最终得出结论：△ABC的面积为4。", "elements": "中点; 普通三角形; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AB的中点为点D，线段AC的中点为点E。根据线段中点的定义，点D将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DB的长度相等，点E将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AE和线段EC的长度相等。即，AD = DB = AB/2，AE = EC = AC/2。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，线段DE连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段DE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即DE || BC，并且DE = 1/2 * BC。"}, {"name": "相似三角形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "三角形△ADE和三角形△ABC是相似三角形，边DE和边BC的比值为1/2, 即相似比为1/2。所以，三角形△ADE的面积与三角形△ABC的面积的比值等于##(1/2)^2##=1/4。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SSS)", "content": "三边成比例的两个三角形相似。", "this": "三角形ADE和三角形ABC中，边AD与边AB对应，边DE与边BC对应，边AE与边AC对应，且边AD/边AB = 边DE/边BC = 边AE/边AC，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SSS判定定理），三角形ADE相似于三角形ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8505.png", "question": "如图,在⊙O中,∠ABC=130°,则∠AOC等于()", "answer": "100°", "process": "1. 已知在圆O中，∠ABC=130°。##根据圆心角的定义和圆周角的定义可知，对于优弧AC，∠AOC的反向角为圆心角，∠ABC为圆周角。##

2. 根据圆周角定理，圆周角���于所对的圆心角的一半，所以有∠AOC##的反向角##=2∠ABC。

3. 由##圆周角定理##, 我们可以得出∠AOC##的反向角##=2×130°=260°。

####

##4##. ##因为实际所求的是劣弧AC所对应的圆心角度数，因此需要计算差值，##所以∠AOC = 360° -##∠AOC的反向角## =##360° - 260°=100°##。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为100°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心。图中所有到点O的距离等于定长的点都在圆O上。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8523.png", "question": "如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠CBD=23°,则∠CAD为()", "answer": "46°", "process": "1. 已知四边形ABCD中，AB=AC=AD，##所以B、C、D三点在以A为圆心的，AD为半径的圆周上##。

2. 根据##圆周角定理##：圆心角的角度是圆周角的两倍。

3. 由已知条件∠CBD=23°，且AD是圆的半径，所以在此圆中，∠CAD对∠CBD是##圆心角##和圆周角的关系。

4. 因此根据此定理，在此题中可以得到：∠CAD=2∠CBD=2×23°=46°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为46°。", "elements": "等腰三角形; 对顶角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，以点A为圆心，AD为半径的圆中，角CBD的顶点B在圆周上，角CBD的两边分别与圆相交于点C和点D。因此，角CBD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆以A为圆心，AD为半径。点C和点D是圆上的两点，圆心是点A。连线AC和AD组成的角∠CAD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "点B、C、D在以A为圆心的圆上，弧BD与弧BC对应的圆心角为∠CAD，圆周角为∠CBD。根据圆周角定理，∠CAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠CAD的一半，即∠CAD = 2∠CBD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8528.png", "question": "如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是()", "answer": "50°", "process": "1. 已知点A、B、C是⊙O上的点，根据题意∠ABC=25°。

2. 在圆内，圆心角是它所对的弦所夹圆周角的两倍，根据圆周角定理，得出∠AOC=2∠ABC。

3. 将∠ABC=25°代入，得出∠AOC=2×25°。

4. 经过计算，得出∠AOC=50°。

5. 最终得出的答案为∠AOC=50°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "∠ABC 所对的弧 AC 的圆心角是 ∠AOC，根据圆周角定理，圆心角 ∠AOC 是圆周角 ∠ABC ���两倍，即 ∠AOC = 2 × ∠ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7429.png", "question": "如图,△ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°,AB=8,BC=6,EF=2,则BN的长度为()", "answer": "\\frac{24}{7}", "process": "1. 已知四边形DEFG为正方形，因此∠AED=∠AFG=90°。

2. ∵ ∠B=90°，####∠DAE=∠CAB，∠GAF=∠NAB。

3. 由以上条件，根据两个角相等的三角形相似（AA相似），可得△DAE∽△CAB和△GAF∽△NAB。

4. 因为 AB=8, BC=6, EF=2，并且DE=EF=2。根据相似三角形的定义，得到##AE/AB=DE/BC，即AE/8=2/6，从而得出AE=8/3##。

5. 有了AE之后，求得AF = AE + EF = ##8/3## + 2 =##14/3##。

6. 由△GAF∽△NAB，根据相似三角形的定义，得到##BN/GF=AB/AF，即BN/2=8/14/3##。

7. 解方程得，BN=##24/7##。

8. 经过上述推理，最终得出答案为##24/7##。", "elements": "直角三角形; 正方形; 线段; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "边DE、边EF、边FG和边GD相等，且角∠DEF、角∠EFG、角∠FGD和角∠GDE均为直角（90度），所以DEFG是一个正方形。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形DAE和三角形CAB中，如果∠DAE=∠CAB，且∠AED=∠ABC（都是90°），所以三角形DAE相似于三角形CAB。类似地，三角形GAF和三角形NAB中，如果∠GAF=∠NAB，且∠AFG=∠ABN（都是90°），所以三角形GAF相似于三角形NAB。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形DAE和三角形CAB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DAE = ∠CAB, ∠ADE = ∠ACB, ∠DEA = ∠CBA；AE/AB= DE/BC= AD/AC。同样，三角形GAF和三角形NAB是相似三角形。 根据相似三角形的定义有：∠GAF = ∠NAB, ∠AGF = ∠ANB, ∠AFG = ∠ABN；BN/GF = AB/AF = AN/AG。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7462.png", "question": "如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,DE=3,则BC的长为()", "answer": "9", "process": "1. 已知AD=5，BD=10，点D在边AB上，所以AB=AD+BD=5+10=15。

2. 已知DE∥BC，##根据平行线的平行公理2可知，∠ADE = ∠ABC（同位角相等），∠DEA = ∠BCA（同位角相等），所以△ADE∽△ABC（根据相似三角形的判定定理(AA)）##。

3. ##根据相似三角形的定义##，得到：\\( \\frac{AD}{AB}=\\frac{DE}{BC} \\)。

4. 将已知数值代入，得：\\( \\frac{5}{15}=\\frac{3}{BC} \\)。

5. 通过解比例式，可以求出BC的长度： ##BC=9##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9。", "elements": "平行线; 普通三角形; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE 和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC，同理，两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角DEA和角BCA位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角DEA 和角BCA是同位角。同位角相等，即角DEA等于角BCA。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，△ADE∽△ABC。根据相似三角形的定义，∠ADE = ∠ABC，∠DEA = ∠BCA，∠EAD = ∠CAB；\\( \\frac{AD}{AB}=\\frac{DE}{BC}=\\frac{AE}{AC} \\)。将已知数值代入，得：\\( \\frac{5}{15}=\\frac{3}{BC} \\)。解比例式后，得到BC=9。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角ADE和角ABC相等，角DEA=角BCA。\n2. 内错角：���。\n3. 同旁内角：无。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "角ADE等于角ABC，且角DEA等于角BCA，所以三角形ADE相似于三角形ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8524.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BCO=40°,则∠A的度数等于()", "answer": "50°", "process": "1. 已知⊙O是△ABC的外接圆，OC=OB，且∠BCO=40°。

2. 由于OC=OB，##根据等腰三角形的定义得：△OBC为等腰三角形，因此根据等腰三角形的性质得出∠OBC=∠BCO=40°。##

3. 根据三角形内角和定理得出，∠BOC=180° - ∠OBC - ∠BCO = 180° - 40° - 40° = 100°。

4. 根据圆周角定理，在同一圆中，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，故圆周角∠BAC为∠BOC的一半##，即∠BAC=100° × 1/2 = 50°。

5. 综上所述，∠BAC的度数为50°。", "elements": "圆; 圆周角; 三角形的外角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OBC中，边OC和边OB相等，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OBC中，边OC和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角BCO = 40°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OBC中，角BOC、角OBC和角BCO是三角形OBC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC + 角OBC + 角BCO = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8538.png", "question": "如图,点A、B、C在⊙O上,若∠ABC=35°,则∠AOC的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知点A、B、C在圆O上，##根据圆周角的定义和圆心角的定义可知，∠ABC为圆周角，∠AOC为圆心角，已知##∠ABC=35°。

2. 根据圆周角定理，同一弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半。因此，我们有∠AOC=2∠ABC。

3. 通过计算，得出∠AOC=2×35°=70°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOC的度数为70°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的##∠AOC##称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，点A、B、C在圆O上，弧AC与弧CA对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的弧AC所对应的圆心∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8589.png", "question": "如图,将直角三角板45°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点,C是优弧AB上任意一点(与A、B不重合),则∠ACB的度数是()", "answer": "22.5°", "process": "1. 已知直角三角板的45°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点。

2. ##根据圆心角的定义和圆周角的定义，可知∠AOB为圆心角，∠ACB为圆周角，同时##根据圆周角定理，圆心角∠AOB所对的弧在圆周上的角度是其一半。

3. 由已知条件，∠AOB=45°。

4. 依据圆周角定理，得出∠ACB=1/2∠AOB。

5. 计算得出∠ACB=1/2×45°=22.5°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为22.5°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8535.png", "question": "如图,A、B、C是⊙O上的点,∠ACB=32°,则∠AOB等于()", "answer": "64°", "process": "1. 如图所示，已知点A、B、C在⊙O上，∠ACB = 32°。

2. 根据圆周角定理，圆周角∠ACB所对的弧是AB，对应的圆心角是∠AOB。

3. 圆周角定理表明：在圆内，某一弧所对应的圆心角等于该弧所对应的圆周角的两倍。

4. 因此，∠AOB = 2 * ∠ACB。

5. 代入已知条件，∠AOB = 2 * 32° = 64°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为64°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆是⊙O，点O是圆心，半径为OA、OB、OC。图中所有到点O的距离等于OA、OB、OC的点都在圆⊙O上。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，##∠ACB##的顶点C在圆周上，##∠ACB##的两边分别与圆⊙O相交于点A和点B。因此，##∠ACB##是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠AOB等于它所对的弧AB所对应的圆周角∠ACB的两倍，即∠AOB = 2 * ∠ACB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8501.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AB=3,则AD的值为()", "answer": "3√{3}", "process": "1. 已知∠BAC=120°，且AB=AC，根据等腰三角形的性质，得出∠ABC=∠ACB。

2. ##根据等腰三角形的性质，△ABC中AB=AC，∠ACB=30°，∠ACB=∠ADB=30°。

3. (圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，当BD为⊙O的直径时，∠BAD为直角，即∠BAD=90°。

4. 因为∠ACB=30°，##根据圆周角定理推论1##，∠ACB=∠ADB，所以∠ADB=30°。

5. 由步骤3和步骤4可知，在直角三角形△BAD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°。

6. 在直角三角形中，根据##正切函数的定义##，tan(∠ADB)=对边/邻边，即tan(30°)=AB/AD。

7. 由于tan30°=√3/3，且已知AB=3，所以可解得AD=AB/tan30°。

8. 将已知数值代入，得到AD=3/(√3/3)=3√3。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为3√3。", "elements": "圆; 等腰三角形; 圆周角; 线段; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形��为直角三角形", "this": "在本题图中，三角形BAD中，角BAD是直角（90度），因此三角形BAD是一个直角三角形。边AB和边AD是直角边，边BD是斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形BAD中，角∠ADB是锐角，边AB是角∠ADB的相对直角边，边AD是角∠ADB的相邻直角边，所以角∠ADB的正切值等于边AB的长度除以边AD的长度，即tan(∠ADB) = AB / AD。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。####"}, {"name": "##圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧DC对应的圆周角∠ADB和∠ACB相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧DC相对应的圆周角∠ADB和∠ACB相等，即∠ADB = ∠ACB。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径", "this": "在本题图中，圆O中，直径BD所对的圆周角BAD是直角（90度）。（或本题图中，圆周角BAD是90度，所以它所对的弦BD是直径。）"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ADB的顶点(点D)在圆周上，角ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ADB是一个圆周角。在本题图中，圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。在本题图中，圆O中，角ABD的顶点(点B)在圆周上，角ABD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角ABD是一个圆周角。在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8640.png", "question": "AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠C=15°,则∠BOC=()", "answer": "30°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，##∠C##=15°。

2. ##因为OA = OC，所以△OAC是等腰三角形##（根据等腰三角形的定义），∴∠OAC = ##∠C## = 15°##（根据等腰三角形的性质）##。

3. 根据圆周角定理：在圆内，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，得出∠BOC = 2∠OAC。

4. 将∠OAC的值代入，得出∠BOC = 2×15° = 30°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为30°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAC中，边OA和边OC相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "在本题图中，等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OCA = 角OAC。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC(角OAC)是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆��的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8653.png", "question": "如图,点A,B,C都在⊙O上,若∠C=34°,则∠AOB为()", "answer": "68°", "process": "1. 已知点 A、点 B 和点 C 都在圆 O 上，∠ACB=34°。

2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角为圆心角的一半。具体来说就是，如果弧 AB 所对的圆周角为 ∠ACB，那么圆心角 ∠AOB 是圆周角 ∠ACB 的两倍。

3. 由已知 ∠ACB=34°，则 ∠AOB=2 * 34°=68°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠AOB=68°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆 O 中，角 ∠ACB 的顶点 C 在圆周上，角 ∠ACB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B。因此，角 ∠ACB 是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 A、点 B 和点 C 都在圆上，弧 AB 对应的圆心角为 ∠AOB，圆周角为 ∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB 等于它所对的弧 AB 所对应的圆心角 ∠AOB 的一半，即 ∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8651.png", "question": "如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连结AD、BC。若∠BCD=70°,则∠BAD的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知角BCD度数为70度。

2. 根据##圆周角定理推论1##，圆周角等于同弧所对的圆周角。

3. 因为角BCD和角BAD同样对弧BD，依据##圆周角定理推论1##，可以知道角BCD等于角BAD。

4. 由此可以得出角BAD等于70度。", "elements": "圆; 圆周角; 弦; 对顶角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等", "this": "在本题图中，圆O中，弧BD对应的圆周角∠BCD和∠BAD相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧BD相对应的圆周角∠BCD和∠BAD相等，即∠BCD= ∠BAD。##"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BCD的顶点C在圆周上，角BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BCD是一个圆周角。同样地，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD也是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7185.png", "question": "如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则DE的长为()", "answer": "2.2", "process": "1. 如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD为弦，且AD平分∠BAC。连接BD、CD。

2. 由于AB为⊙O的直径，##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，所以∠ADB = 90°。

3. 在△ADB中，可以使用勾股定理计算BD的长度。####在本题中，AB是斜边，AD是直角边之一，BD是另一直角边。所以有：BD = ##√{AB? - AD?} = √{6? - 5?}## = √{36 - 25} = √{11}。

4. 由于弦AD平分∠BAC，##所以∠CAD=∠DAB##。

5. ##根据圆周角定理推论1##得出∠CBD = ##∠DAC##。##由第四步可以得出##：∠BAD = ∠EBD。

6. 在△ABD和△BED中，可以观察到以下角相等：∠BAD = ∠EBD，∠ADB = ∠BDE。

7. 因为两个三角形有两个角对应相等，根据##相似三角形的判定定理(AA)##，△ABD ∽ △BED。

8. ##根据相似三角形的定义##，得：DE / DB = DB / AD，即DE / √{11} = √{11} / 5。

9. 解上述比例方程，DE = 11 / 5。

10. 经过上述推理，最终可以得出DE的长度为11/5。", "elements": "圆; 弦; 圆周角; 直角三角形; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆O中，弧CD对应的圆周角是∠CAD和∠CBD。根据圆周角定理推论1，与同一弧CD相对应的圆周角∠CAD和∠CBD相等，即∠CAD = ∠CBD。####"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对��圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ADB是直角（90度）和圆周角ACB是直角（90度）。##"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在题中直角三角形△ADB中，∠ADB是直角（90度），边AD和BD是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB? = AD? + BD?，即BD = √{AB? - AD?} = √{6? - 5?} = √(36 - 25) = √11。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "△ABD和△BED中，∠BAD = ∠EBD，且∠ADB = ∠BDE，所以根据相似三角形的AA判别定理，△ABD ∽ △BED。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABD和三角形BED是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAD = ∠EBD，∠ADB = ∠BDE；DE/BD = BD/AD。"}, {"name": "相似三角形的AA判别定理", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "△ABD和△BED中，∠BAD = ∠EBD，且∠ADB = ∠BDE，所以根据相似三角形的AA判别定理，△ABD ∽ △BED。"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角BAC的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角BAC分成两个相等的角，即角BAD和角CAD相等。因此，线AD是角BAD的角平分线。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ADB中，角ADB是直角（90度），因此三角形ADB是一个直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边，三角形EDB中，角EDB是直角（90度），因此三角形EDB是一个直角三角形。边ED和边BD是直角边，边EB是斜边。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角CAD的顶点(点A)在圆周上，角CAD的两边分别与圆O相交于点C和点D。因此，角CAD是一个圆周角，角CBD的顶点(点B)在圆周上，角CBD的两边分别与圆O相交于点C和点D。因此，角CBD是一个圆周角，角ADB的顶点(点D)在圆周上，角ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ADB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8625.png", "question": "量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器O刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,当第20秒时,点E在量角器上对应的读数是()", "answer": "120°", "process": "1. 已知量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，并且量角器O刻度线的端点N与点A重合。射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，因此第20秒时，∠PCA = 3°×20 = 60°。

2. 因为∠ACB = 90°，##AB是圆O的直径，所以由(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB是圆周角，##即点C在圆O上。

3. 根据圆周角定理，在圆内，##圆##心角等于两倍的圆周角，##因C在圆O上，所以根据圆周角的定义∠ECA是弧EA的圆周角，∠EOA是弧EA的圆心角##， ∠EOA = 2∠ECA = 2×60° = 120°。

4. 通过上述推理，最终得出点E在量角器上对应的读数为120°。", "elements": "射线; 旋转; 圆; 圆周角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠ECA的顶点C在圆周上，角∠ECA的两边分别与圆O相交于点A和点E。因此，角∠ECA是一个圆周角。角∠ACB的顶点C在圆周上，角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "∠EOA是中心角，∠ECA是其对应的圆周角，根据圆周角定理，中心角∠EOA = 2 × ∠ECA，因此∠EOA = 2 × 60° = 120°。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点E和点A是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OE组成的角∠EOA称为圆心角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8662.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,∠A=15°,连接OB,则∠OBC等于()", "answer": "75°", "process": "1. 已知△ABC内接于⊙O,∠A=15°。

2. 连接OB和OC。

3. 根据圆周角定理，##同一个弦对应的圆周角是圆心角的一半##，所以∠BOC=2∠A。

4. 由∠A=15°，可得∠BOC=2×15°=30°。

5. 因为OB=OC，所以△BOC是等腰三角形。

6. 等腰三角形的性质告诉我们，两底角相等，因此∠OBC=∠OCB。

7. 三角形内角和定理指出，∠BOC + 2∠OBC = 180°。

8. 将已知条件带入，30° + 2∠OBC = 180°。

9. 解方程得2∠OBC = 150°，因此∠OBC = 75°。

10. 综上所述，∠OBC=75°。", "elements": "圆周角; 圆; 线段; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OB和边OC相等，因此三角形BOC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "△ABC内接于⊙O，∠A=15°，且连接BO和OC，∠BOC为圆心角，∠A为其对应的圆周角，所以根据圆周角定理，∠BOC = 2∠A。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形BOC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BOC中，角BOC、角OBC和角OCB是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC + 角OBC + 角OCB = 180°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角BAC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8652.png", "question": "如图,A、B、C在⊙O上,若∠BAC=24°,则∠BOC的度数是()", "answer": "48°", "process": "1. 已知点A、B、C在圆O上，∠BAC=24°。

2. 通过观察，∠BOC被弦BC所对。

3. 根据圆周角定理，在圆内的一条弦所对的圆心角是它所对圆周角的两倍，即在本题中∠BOC是∠BAC的两倍。

4. 因此，∠BOC = 2 × ∠BAC。

5. 代入已知条件，得∠BOC = 2 × 24° = 48°。

6. 所以，∠BOC的度数是48°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BOC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BAC的两倍，即∠BOC = 2 × ∠BAC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8658.png", "question": "如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的度数为()", "answer": "30°", "process": "1. 设⊙A与x轴交于另一点D，连接CD。

2. ∵ ∠COD=90°，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，CD是⊙A的直径。

3. 由题意给出的直径为10，得出CD=10。

4. ∵ 点C的坐标为(0,5)，点O的坐标为(0,0)，所以线段OC的长度为5。

5. 应用正弦定义，得sin∠ODC=OC/CD。

6. 将已知条件代入，得sin∠ODC=5/10=1/2。

7. ∵ sin∠ODC=1/2，####得出∠ODC=30°。

8. ∵ ∠OBC为同一个已知弧COD相应的圆周角，由##圆周角定理推论1可知，∠OBC也为30°##。

9. 经过上述推理，最终得出角OBC的度数为30°。", "elements": "圆; 圆周角; 弧; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，线段CO是直径，因为CO通过圆心A，两端C和O都在圆上，并且题目给出直径为10。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆A中，点A是圆心，点C是圆上的任意一点，线段AC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AC是圆的半径。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形OCD中，角ODC是锐角，边OC是角ODC的对边，边CD是斜边。根据正弦函数定义，角ODC的正弦值等于对边OC与斜边CD的比值，即sin(∠ODC) = OC / CD。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆A中，直径CD所对的圆周角∠COD是直角（90度）。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆O中，弧OC对应的圆周角∠OBC和∠ODC相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧OC相对应的圆周角∠OBC和∠ODC相等，即∠OBC = ∠ODC = 30°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆A中，角COD的顶点(点O)在圆周上，角COD的两边分别与圆A相交于点C和点D。因此，角COD是一个圆周角。圆A中，角OBC的顶点(点B)在圆周上，角OBC的两边分别与圆A相交于点C和点O。因此，角OBC是一个圆周角。圆A中，角ODC的顶点(点D)在圆周上，角ODC的两边分别与圆A相交于点O和点C。因此，角ODC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8685.png", "question": "如图,在⊙O中,∠ABC=40°,则∠AOC=()度．", "answer": "80", "process": "1. 已知在圆O中，∠ABC=40°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半。也就是说在一个圆中，圆周角等于其所对应的圆心角的一半。

3. 在本题中，∠ABC是圆周角，其所对的圆心角为∠AOC。

4. 由圆周角定理，∠AOC=2∠ABC。

5. 将已知条件代入，∠AOC=2×40°=80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOC=80°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8579.png", "question": "如图,点A,B,C在⊙O上,连接AB,AC,若∠BOC=100°,则∠B+∠C的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知∠BOC=100°，根据##圆周角定理，得∠A=1/2∠BOC=50°。在图中连接AO。##

2. 由于OA=OB=OC为半径，从而三角形OAB和三角形OAC是等腰三角形，所以∠BAO=∠B和∠CAO=∠C。

3.##因此∠B+∠C＝∠BAO+∠CAO=∠A＝50°##

####

##4##.经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A、B、C是圆上的任意一点，线段OA、OB、OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OB、OC是圆的半径。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形；同样地，边OA和边OC相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠BAO = ∠OBA。等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠CAO = ∠OCA。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角BAC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8711.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,若∠BOC=70°,则∠A等于()", "answer": "35°", "process": "####

##1##. 已知##圆心角∠BOC = 70°。（根据圆心角的定义）##

##2##. 在圆中，圆心角等于其所对的弧所对的圆周角的两倍，即 ∠A = 1/2 ∠BOC。（根据圆周角定理）

##3##. 根据 ∠BOC = 70°，得到 ∠A = 1/2 x 70° = 35°。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 35°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。####"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8686.png", "question": "如图,A、B、C、是⊙O上的三点,且∠CAO=25°,∠BCO=35°,则∠AOB的度数为()", "answer": "120°", "process": "1. 延长线段 CO 交圆 O 于点 D。

2. 根据已知条件∠BCO=35°，根据##圆周角定理##，得到∠BOD=2##∠BCD##=70°。

3. 根据已知条件∠CAO=25°，由于 CO=OA，##根据等腰三角形的定义得到##三角形 ACO 是等腰三角形，因此##由等腰三角形的性质得##∠ACO=∠CAO=25°。

4. 根据##圆周角定理##，得到∠AOD=2##∠ACD##=2×25°=50°。

5. ####最终得到∠AOB=∠AOD+∠BOD=50°+70°=120°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆 O 中，## ∠ACD ## 的顶点 C 在圆周上，## ∠ACD ## 的两边分别与圆 O 相交于##点 A## 和 ##点 D##。因此，## ∠ACD ## 是一个圆周角。类似地，## ∠BCD ## 的顶点 C 在圆周上，## ∠BCD ## 的两边分别与圆 O 相交于##点 B## 和 ##点 D##。因此，## ∠BCD ## 也是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OD组成的角∠AOD称为圆心角。##同样地，圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠BOD称为圆心角。##"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACO中，边CO和边OA相等，因此三角形ACO是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 A、B、C 、D在圆上，弧 AD 与弧 DB 对应的圆心角为 ∠AOD 和 ∠BOD，圆周角分别为 ∠ACD和 ∠BCD。根据圆周角定理，∠BOD 等于它所对的弧 DB 所对应的圆周角 ∠BCD 的两倍，即 ∠BOD = 2∠BCD = 2 × 35° = 70°。同理，∠AOD 等于它所对的弧 AD 所对应的圆周角 ∠ACD 的两倍，即 ∠AOD = 2∠ACD = 2 × 25° = 50°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "等腰三角形OAC中，边OC和边OA相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAC = 角OCA。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8727.png", "question": "如下图,点C在以AB为直径的半圆O上,∠BAC=20°,则∠BOC等于()", "answer": "40°", "process": "####

##1.##根据圆周角定理，同一弧所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的二倍，即∠BOC=2∠BAC。

##2.## 由于∠BAC=20°，代入公式可得∠BOC=2*20°=40°。

##3.##由此我们最终得到∠BOC=40°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2*OA。####"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧AC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BOC等于它所对的弧AB所对应的圆周角∠BAC的二倍，即∠BOC = 2∠BAC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8712.png", "question": "如图,在⊙O中,直径AB=5cm,弦AC=4cm,则点O到直线AC的距离为()", "answer": "1.5cm", "process": "1. 如图，##过点O作OD垂直于直径AC于点D##，连接BC。##根据垂径定理，线段OD平分弦AC##，AD等于CD，也即点D是弦AC的中点。

2. 由于AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角定理，得到∠ACB=90°。

3. 由勾股定理，在直角三角形△ACB中，可以求得BC的长度，即BC等于##√(AB? - AC?)##。

4. 已知AB=5cm，弦AC=4cm，代入计算得BC=##√(5? - 4?)##=3 cm。

5. 由于点O是直径AB的中点，##依据三角形中位线定理，OD：BC=1/2,OD的长度等于BC的一半，已知BC=3，即OD=BC/2=3/2=1.5cm##。

6. 经过上述推理，最终得到点O到直线AC的距离为1.5cm。", "elements": "圆; 垂线; 弦; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角ACB是直角（90度），因此三角形ACB是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆⊙O中，点A和点C是圆上的任意两点，线段AC连接了这两个点，所以线段AC是圆⊙O的弦。"}, {"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "三角形ABC中，点D是边AC的中点，点O是边AB的中点，线段OD连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段OD与第三边BC平行且等于第三边BC的一半，即OD || BC并且BC = 1/2 * OD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形△ACB中，∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB² = AC² + BC²。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，线段OD垂直于弦AC，那么根据垂径定理，线段OD平分弦AC，即AD=DC，并且线段OD平分弦AC所对的两条弧，即弧AD=弧CD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8738.png", "question": "如图,AB为⊙O直径,∠ABC=25°,则∠D的度数为()", "answer": "65°", "process": "1. 已知AB为⊙O直径，##根据圆周角定理推论2，直径所对的圆周角是直角##，故∠ACB为直角，即90°。

2. 根据已知条件∠ABC = 25°，利用三角形内角和定理，得∠CAB = ##∠ACB##- ∠ABC = 90° - 25° = 65°。

3.##依据圆周角定理推论1，弧BC对应的圆周角相等，则∠CAB =∠CDB=65°##。

4. 依据上一步得##∠CDB = 65°##，可以得出∠D = 65°。

5. 最终我们可以得出，∠D的度数为65°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧BC对应的圆周角∠CAB和∠CDB相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧BC相对应的圆周角∠CAB和∠CDB相等，即∠CAB =∠CDB。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角CAB、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ABC + 角ACB = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8718.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=35°,则∠ADC=()", "answer": "55°", "process": "1. 已知AB为⊙O的直径，由于直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°。

2. ∵∠BAC=35°，由∠ACB=90°，得∠CAB + ∠ACB + ##∠CBA ##= 180°，即##∠CBA## = 180°-35°-90° = 55°。

####

##3. ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ADC=∠ABC。故∠ADC=55°。##", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形; 线段; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。在本题图中，圆O中，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角CAB、角ACB和角CBA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ACB + 角CBA = 180°。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "弧AC所对的圆周角∠ADC和∠ABC相等，因此∠ADC=∠ABC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8789.png", "question": "如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=110°,则∠C的度数为()", "answer": "55°", "process": "1. 已知⊙O是△ABC的外接圆，点O为圆心，∠AOB=110°。

2. 因为点A、点B、点C在⊙O上，所以弧AC和弧BC是⊙O的两条弧。

3. 在圆中，同一弧所对的圆心角与弧所对的##圆周角##之间满足圆心角的度数等于##圆周角##的度数的两倍。

4. 在本题中，圆心角∠AOB所对弧的##圆周角##是∠ACB。

5. 因此，根据定理，##圆周角##∠ACB的度数等于圆心角∠AOB的一半，具体表示为∠ACB = 1/2 × ∠AOB。

6. 代入已知条件∠AOB=110°，得∠ACB = 1/2 × 110° = 55°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，半径为OA、OB和OC。图中所有到点O的距离等于OA、OB或OC的点都在圆⊙O上。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB=110°，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8830.png", "question": "如图,点A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=40°,则∠BOC的度数是()", "answer": "80°", "process": "1. 已知点A、B、C是圆O上的三点，且∠BAC=40°。

2. 根据圆周角定理，##在圆中，圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半。##

3. 在本题中，圆心角∠BOC对应的弧是##弧BC##，圆周角∠BAC也对应同一弧BC。

4. 因此，根据圆周角定理，∠BOC=2×∠BAC。

5. 代入已知条件，得∠BOC=2×40°=80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆O上有两点B和C，弧BC是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧BC是圆上两点B和C之间的一段曲线。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BOC等于它所对的弧BC所对应的圆周角∠BAC的2倍，即∠BOC = 2 × ∠BAC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8753.png", "question": "如图,AB、CD是⊙O的弦,且AB∥CD,若∠BAD=36°,则∠AOC等于()", "answer": "72°", "process": "1. 已知AB∥CD，##依据平行线的平行公理，两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等。##得出∠ADC=∠BAD=36°。

2. ##根据圆周角定理，在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。##

3.##本题中，圆心角∠AOC与圆周角∠ADC所对应的的弧都是弧AC，所以得出∠AOC=2×∠ADC。##

##4##. 将已知的∠ADC的值代入上一步公式，即∠AOC=2×36°。

##5##. 经过计算，得出∠AOC=72°。

##6##. 由此可知，∠AOC等于72°。", "elements": "平行线; 圆; 弦; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "##内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平���直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线AD截交，其中角ABD和角ADC位于两平行线之间，且在截线AD的对侧，因此角ABD和角ADC是内错角。内错角相等，即角ABD等于角ADC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠BAD的顶点A在圆周上，角∠BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角∠BAD是一个圆周角。同样地，角∠ADC的顶点D在圆周上，角∠ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角∠ADC也是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：\n1. ##内错角##：角BAD和角ADC相等，即∠BAD = ∠ADC = 36°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠ADC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ADC = 1/2 ∠AOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8812.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠A=40°,则∠B的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，根据直径所对的圆周角定理，得∠ACB = 90°。

2. 已知∠CAB = 40°，根据三角形内角和定理，即三角形内三个内角的和等于180°，得出∠CBA = 180° - ∠ACB - ∠CAB。

3. 将已知角度代入，得出∠CBA = 180° - 90° - 40°。

4. 计算得∠CBA = 50°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角CAB、角CBA和角ACB是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角CBA + 角ACB = 180°。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8839.png", "question": "如图,在半径为5的⊙O中,如果弦AB的长为8,那么它的弦心距OC等于()", "answer": "3", "process": "1. 已知圆O的半径OA等于5，并且弦AB的长度为8。为了求弦心距OC，我们首先连接OA。

2. ##从圆心点O向弦AB做垂线OC##，设C为垂足。##由垂径定理可知##，OC垂直且平分弦AB，因此AC等于AB的一半，即AC为4。

3. 在Rt△OAC中，已知OA=5，AC=4。根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。可以得出OC的长度：OC^2 = OA^2 - AC^2。

4. 将已知数值代入勾股定理公式中，得OC^2 = 5^2 - 4^2。

5. 计算得OC^2 = 25 - 16，即OC^2 = 9。

6. 取OC的正值，得OC = √9 = 3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为3。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径，且OA=5。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦，且AB=8。"}, {"name": "弦心距", "content": "圆心到弦的垂直距离称为弦心距。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，线段AB是圆的弦，线段OC是从圆心O到弦AB的垂线段。根据弦心距的定义，线段OC的长度即为圆心到弦AB的垂直距离，称为弦心距。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAC中，角OCA是直角（90度），因此三角形OAC是一个直角三角形。边OC和边AC是直角边，边OA是斜边。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，垂线OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，OC平分弦AB，即AC=CB=1/2AB=4，并且OC平分弦AB所对的两条弧。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形OAC中，∠OCA是直角（90度），边OC和AC是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，OC^2 = OA^2 - AC^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8841.png", "question": "如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=40°,则∠OAC的度数等于()", "answer": "20°", "process": "1. 已知点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，且∠AOB=40°。

2. 依据圆周角定理，在圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对中心角的一半。已知∠AOB=40°，则∠ACB=1/2×40°=20°。

3. 由已知条件AO∥BC，根据##平行线的平行公理2##，内错角相等。所以∠OAC=∠ACB。

4. 因此，∠OAC=20°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 平行线; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，线段AO∥BC被直线AC所截，形成了以下几何关系：内错角：∠OAC和∠ACB相等。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线OA和BC被一条直线AC截交，其中角OAC和角ACB位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角OAC和角ACB是内错角。内错角相等，即角OAC等于角ACB。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8814.png", "question": "如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=55°,则∠BCD的度数为()", "answer": "35°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，连接AD。

2. 根据##圆周角定理推论2##，直径所对的圆周角是直角，所以∠ADB等于90°。

3. 已知∠ABD等于55°。

4. 由于∠ADB是直角，可以通过三角形的内角和定理，即三角形的三个内角之和为180°，得到：∠A + ∠ABD等于90°。

5. 代入已知条件∠ABD等于55°，所以∠A等于90° - ∠ABD等于90° - 55°等于35°。

6. ##在圆O中，由圆周角定理推论1可知：∠BAD和∠BCD对应同一弧BD，所以，∠BCD等于∠BAD##。

7. 最终得出∠BCD等于##∠BAD##等于35°。", "elements": "圆; 直角三角形; 圆周角; 弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角∠DAB的顶点A在圆周上，角∠DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角∠DAB是一个圆周角。同样地，角∠BCD的顶点C在圆周上，角∠BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角∠BCD是一个圆周角。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角BAD、角ABD和角ADB是三角��ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAD + 角ABD + 角ADB = 180°。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ADB是直角（90度）。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "弧AD对应的圆周角∠BCD和弧AD对应的圆周角∠BAD相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AD相对应的圆周角∠BCD和∠BAD相等，即∠BCD = ∠BAD = 35°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8742.png", "question": "如图,△ABC是⊙O的内接三角形,BD为直径,若∠DBC=18°,则∠A的度数是()", "answer": "72°", "process": "1. 如图，连接OC。

2. ∵##OB=OC##为⊙O的半径，∴##∠OBC=∠OCB=18°##。

####

##3##. ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-18°-18°=144°。

##4##. 根据圆周角定理，△ABC是⊙O的内接三角形，圆周角∠A等于弧BC所对圆心角∠BOC的一半。

##5##. ∴∠A=1/2 ∠BOC=1/2 × 144°=72°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为72°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B和点C是圆上的任意一点，线段OB和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB和线段OC是圆O的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形BOC中，边OB和边OC相等，因此三角形BOC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形BOC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBC = ∠OCB = 18°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "△BOC中，根据三角形内角和定理，该三角形的内角之和等于180°。由此可得∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角A的顶点(点A)在圆周上，角A的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角A是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8932.png", "question": "如图,MN切⊙O于点A,∠AOB=60°,那么∠BAM等于()", "answer": "30°", "process": "1. 已知MN切⊙O于点A，根据切线的性质，切线与圆的半径垂直，所以∠MAO=90°。

2. 已知∠AOB=60°，因为OB=OA，所以△AOB是等腰三角形。

3. 在等腰三角形中，##两个底角度数相等。因此, ∠OAB=∠OBA=（180°-∠AOB）÷2，即∠OAB=∠OBA=（180°-60°）÷2=60°##。

4. 因为∠MAO=90°，并且##∠OAB=60°，所以∠BAM=∠MAO-∠OAB##，可以得到∠BAM=90°-##60°##。

5. 经过上述推理，得出∠BAM=30°。", "elements": "切线; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "在本题图中，圆O与直线MN有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线MN是圆O的切线。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OA和边OB相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切��与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线MN与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线MN与经过切点A的半径OA垂直，即∠MAO=90°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8867.png", "question": "如图,⊙O的半径为10,AB为弦,OC⊥AB,垂足为E。如果CE=4,那么AB的长是()", "answer": "16", "process": "1. 已知圆O的半径为10，连接OA。因为半径OC垂直于弦AB，##根据垂径定理##，所以AE等于BE且等于AB的一半。

2. 已知OC=10，CE=4，因此OE的长度为OC-CE##=10-4=##6。

3. 在直角三角形AOE中，根据勾股定理（直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和），可以得出：OA的平方等于OE的平方加上AE的平方。

4. 具体计算：AE的平方等于OA的平方减去OE的平方，那么AE##=√(OA? - OE?)=√(10? - 6?)=##8。

5. 因为AE等于AB的一半，因此AB##=2AE=2×8=##16。

6. 经过上述推理，最终得出答案为16。", "elements": "圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A、B、C是圆上的任意一点，线段OA、OB、OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OB、OC是圆的半径。例如，OA是⊙O的半径，其长度为10。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形AOE中，角AEO是直角（90度），因此三角形AOE是一个直角三角形。边OE和边AE是直角边，边OA是斜边。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径OC平分弦AB，即AE=BE，并且直径OC平分弦AB所对的两条弧，即弧AC=弧CB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "△AOE是直角三角形，∠AEO是直角（90度），边OE和AE是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，OC? = OE? + EC?。已知OC=10，OE=6，因此EC=√(10? - 6?)=√(100 - 36)=√64=8。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8883.png", "question": "如图,正方形ABCD的边长为3,以CD为一边向CD两侧作等边三角形PCD和等边三角形QCD,那么PQ的长是()", "answer": "3√{3}", "process": "1. 在正方形ABCD中，边长AB=BC=CD=DA=3。

2. 根据题意，以CD为一边分别向CD两侧作等边三角形PCD和等边三角形QCD。

##3. 由等边三角形的性质可知，在等边三角形DCQ中，DC=DQ=CQ=3。##

##4. 连接PQ，注意到由于两边分别是等边三角形，PD=DQ=QC=CP，所以四边形PCQD为菱形，PQ和CD为菱形PCQD的对角线。##

##5. 根据菱形的定义，线段PQ和CD相互垂直平分，并且交于E点，∠DEP = ∠DEQ = 90°，DE =1/2DC= 1.5##。

####

##6. 由直角三角形的性质可知，因为∠DEQ=90°，所以三角形DEQ为直角三角形。##

7. 计算三角形中的边长：在直角三角形DEQ中，由勾股定理得: ##QE = √(DQ^2- ##DE^2##) = √(3^2 - 1.5^2) = √(9 - 2.25) = √6.75 = (3√3)/2## 。

8. 因为PQ = 2 * QE，最终得到PQ = 2 * (3√3)/2 = 3√3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为3√3。", "elements": "等边三角形; 正方形; 旋转; 对称; 平移", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "四边形ABCD中，边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角∠ABC、角∠BCD、角∠CDA和角∠DAB均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形PCD和三角形QCD是等边三角形。边PC、边CD和边PD的长度相等，并且角PCD、角DPC和角PDC的度数相等，均为60°。同样，边QC、边CD和边QD的长度相等，并且角QCD、角DQC和角QDC的度数相等，均为60°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形DEQ中，角DEQ是直角（90度），因此三角形DEQ是一个直角三角形。边DE和边EQ是直角边，边DQ是斜边。"}, {"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形DPCQ中，所有的边DP、CP、CQ、DQ都是相等的，因此四边形DPCQ是一个菱形。此外，四边形DPCQ的对角线PQ和CD互相垂直平分，对角线PQ和CD相交于点E，且角DEQ是直角（90度），DE=CE和QE=PE。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形DEQ中，∠DEQ是直角（90度），边DE和EQ是直角边，边DQ是斜边，所以根据勾股定理，DQ^2 = DE^2 + EQ^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8847.png", "question": "已知:如图,⊙O中直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若AB=10,CD=6,则BE的长是()", "answer": "1", "process": "1. 已知AB为⊙O的直径，AB=10，##根据直径定义##，那么半径OA=OB=10÷2=5。

2. 根据题意，AB垂直于弦CD，垂足为E，##依据垂径定理，直径AB平分弦CD##，所以E是CD的中点。

3. 由此可知，CE=CD÷2=6÷2=3。

4. 连接##OC，因AB垂直于CD，形成直角E，即∠OEC为90度，根据直角三角形的定义，三角形△OCE为直角三角形，在直角三角形△OCE中，根据勾股定理，OE=√(OC?-CE?)=√(5?-3?)=√(25-9)=√16=4##。

5. ##已知OB=5，OE=4，又因OB=BE+OE=BE+4=5，所以BE=1##。

6. 经过上述推理，最终得出BE=1。", "elements": "圆; 垂线; 直角三角形; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是⊙O的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径，长度都是5。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形△OCE中，∠OEC是直角（90度），边OE和CE是直角边，边OC是斜边，所以根据勾股定理，OC² = OE² + CE²。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，那么根据垂径定理，直径AB平分弦CD，即CE=ED=3，并且直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧AC=弧AD。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形△OCE中，∠OEC是直角（90度），因此三角形OCE是一个直角三角形。边OE和边CE是直角边，边OC是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8893.png", "question": "如图,在正方形ABCD中,E是DC上一点,F为BC延长线上一点,∠BEC=70°,且△BCE≌△DCF．连接EF,则∠EFD的度数是()", "answer": "25°", "process": "1. 已知四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质，得出∠BCE=90°和∠DCF=90°。

2. 由已知条件，∠BEC=70°且△BCE≌△DCF，根据##全等三角形的定义，两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。##则有∠DFC=70°。

3. 辅助线：连接EF。

4. ##由已知条件，∠BEC=70°且△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，##因此CE=CF

####

##5. 在等腰直角三角形△ECF中，由于其两个底角相等，可以得出∠EFC=45°。##

##6##. ∠EFD由∠DFC和∠EFC之差得出，∠EFD=∠DFC-∠EFC=70°-45°=25°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "正方形; 等腰三角形; 直角三角形; 邻补角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "四边形ABCD中，边AB、边BC��边CD和边DA相等，且角DAB、角ABC、角BCD和角CDA均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，△BCE≌△DCF，△BCD的对应边和对应角与△DCF相等，即：边BC=边DC，边BE=边DF，边CE=边CF，并且∠BCE=∠DCF，∠BEC=∠DFC，∠CBE=∠CDF。"}, {"name": "##等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是指至少有两条边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形ECF是等腰直角三角形，其中∠ECF是直角（90度），边CE和边CF是相等的直角边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角ECF、角CEF和角EFC是三角形ECF的三个内角，根据三角形内角和定理，角ECF + 角CEF + 角EFC = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ECF中，边CE和边CF相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ECF = 角EFC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8950.png", "question": "如图,PA、PB分别切⊙O于A、B,点C和点D分别是线段PA、PB上的动点,并且CD始终保持与圆O相切,若PA=8cm,则△PCD的周长是()", "answer": "16", "process": "1. 已知PA、PB分别切⊙O于A、B，并且PA=8 cm，##根据切线长定理，##PB=8 cm。

2. 连接CD，并且CD切⊙O于点E。

3. 因为CD切⊙O于点E，根据##切线长定理##，CA=CE，DE=DB。

4. 因为点C在PA上，点D在PB上，所以△PCD的周长为PC+PD+CD。

5. 由于CA=CE，DE=DB，所以CD=CE+DE##=CA+DB##。

6. 根据上述等量关系，可以得出△PCD的周长=PC+PD+##CA+CD##=PA+PB=8 cm + 8 cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为16 cm。", "elements": "圆; 切线; 等腰三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线PA是圆O的切线。同理，圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线PB是圆O的切线。圆O与直线CD有且只有一个公共点E，这个公共点叫做切点。因此，直线CD是圆O的切线。####"}, {"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角", "this": "在本题图中，从圆外一点C引圆的两条切线CA和CE，它们的切线长相等，即CA=CE；同样，从圆外一点D引圆的两条切线DB和DE，它们的切线长相等，即DB=DE；同样，从圆外一点P引圆的两条切线PA和PB，它们的切线长相等，即PA=PB。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "已知三角形PCD的三边分别为PC、PD、CD，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=PC+PD+CD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8938.png", "question": "如图,从⊙O外一点P引圆的切线PA和PB,切点分别是A和B,如果∠APB=70°,那么这两条切线所夹劣弧AB的度数是()", "answer": "110°", "process": "1. 已知PA和PB是从⊙O外一点P引出的切线，##由圆的切线性质可知##，切点A和切点B都是直角，即∠PAO=∠PBO=90°。

2. 因为∠APB=70°，##由四边形的内角和定理可知四边形APBO内角和为360°##。

3. ##所以∠AOB＝360°-90°-90°-70°等于110°##。

##4.题干中问两条切线所夹劣弧AB的度数，显然由圆心角的性质可知，这段劣弧AB度数就是所对的圆心角就是∠AOB等于110°##

####", "elements": "圆; 切线; 弧; 圆周角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点A和B，这些公共点叫做切点。因此，直线PA和PB是圆O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心O到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆O的半径。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠PAO=90度。同理，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径。切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠PBO=90度。######"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°", "this": "四边形APBO中，角A、角P、角B和角O是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角A + 角P+ 角B + 角O = 360°。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "圆O中点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。####"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数", "this": "圆心角∠AOB所对的圆弧为弧AB。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠AOB的度数=弧AB的度数。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1064.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,若∠BDC=40°,则∠BOC的度数为()", "answer": "80°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，且∠BDC=40°。

2. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半。因此，∠BDC是圆周角，对应圆心角为∠BOC。

3. 由圆周角定理中，已知∠BDC=40°，则圆心角∠BOC是其两倍，即∠BOC=2×∠BDC。

4. 计算得到∠BOC=2×40°=80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BDC的顶点D在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BDC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和连线OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点B、D、C在圆上，弧BC与弧DC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BDC。根据圆周角定理，∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/8947.png", "question": "如图,PB切⊙O于点B,PO交⊙O于点E,延长PO交⊙O于点A,连结AB,⊙O的半径OD⊥AB于点C,BP=6,∠P=30°,则CD的长度是()", "answer": "√{3}", "process": "1. 已知PB切⊙O于点B，##连接BO##，根据##圆的切线性质##，得出∠OBP = 90°。

2. 由△POB中已知BP = 6，##∠OPB = 30°，根据三角形内角和定理得出∠POB =180°- ∠OPB - ∠OBP = 180°-30° - 90° = 60°##。

3. 使用正切函数公式OD = OB * tan(∠POB)，由正切值表查得tan(30°) = √3/3

4. 计算得出OD = OB = BP * tan(30°) = 6 * √3/3 = 2√3。

##5. 因为OA和OB为圆O的半径，所以OA = OB，根据等腰三角形的定义，可得△OAB为等腰三角形。因为∠POB = 60°，根据邻补角的定义，可得∠AOB=120°。根据等腰三角形的性质，在等腰三角形△OAB中，∠OAB = ∠OBA = 30°。##

6. 已知OD ⊥ AB，故∠OCB = 90°，##根据三角形内角和定理得出∠COB =180°- ∠OBC - ∠OCB = 180°-30° - 90° = 60°##。

##7. 根据30°-60°-90°三角形的性质，在△OBC中，OC是OB的一半，故OC = 1/2 * OB = 1/2 * 2√3 = √3。##

##8. 因此，CD = OD-OC = 2√3-√3= √3。##", "elements": "圆; 垂线; 切线; 直角三角形; 正弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线PB与经过切点B的半径OB垂直，���∠OBP=90度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形POB中，角OPB、角OBP和角POB是三角形POB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OPB + 角OBP + 角POB = 180°，三角形OCB中，角OCB、角CBO和角COB是三角形OCB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OCB + 角CBO + 角COB = 180°，三角形OAB中，角OAB、角ABO和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角ABO + 角OBA = 180°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OPB中，角OBP是直角（90度），因此三角形OPB是一个直角三角形。边OB和边BP是直角边，边OP是斜边。\n三角形OCB中，角OCB是直角（90度），因此三角形OCB是一个直角三角形。边OC和边BC是直角边，边OB是斜边。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形POB中，角∠POB是锐角，边PB是角∠POB的相对直角边，边OB是角∠POB的相邻直角边，所以角∠POB的正切值等于边PB的长度除以边OB的长度，即tan(∠POB) = PB / OB。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边AO和边BO相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形AOB中，边AO和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角AOB和角POB有一条公共边AE，它们的另一边AO和OE互为反向延长线，所以角AOB和POB互为邻补角。####"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°三角形OCB中，角OBC是30度，角BOC是60度，角OCB是90度。边OB是斜边，边OC是30度角所对的边，边CB是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边OC等于边OB的一半，边CB等于边OC的√3倍。即：OC = 1/2 * OB，CB = OC * √3。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/7398.png", "question": "如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=4,BC=5,则AC=()", "answer": "\\frac{20}{3}", "process": "1. ##已知CD垂直于AB于点D，根据直角三角形的定义，我们得知三角形BDC为直角三角形。又根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），我们可以得到：BC^2=BD^2+CD^2##。

2. ##变化公式可得：BD^2 = BC^2 - CD^2，代入已知条件：CD=4，BC=5，可得到BD = √{5^2-4^2} = √{25-16} = √9 = 3##。

####

##3##. ##由CD垂直于AB可推证∠BDC=∠ADC=90°##。

##4##. ##由于三角形BCD和三角形ABC共享∠B，又因为∠BDC和∠ACB都为90°，根据相似三角形的判定定理(AA)可得△BDC∽△ABC，又根据相似三角形的定义可得BC/AC = BD/CD。##

##5##. ##BC/AC = BD/CD##，根据已知：BC = 5，BD = 3，CD = 4，

##6##. 代入得：##5/AC=3/4##，

##7##. 解方程即得AC=4*(5/3)=20/3。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为20/3。", "elements": "直角三角形; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形BDC中，CD⊥BD，角BDC是直角（90度），因此三角形BDC是一个直角三角形。边BD和边DC是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线CD和直线AB相交形成的角∠CDA是90度，因此根据���线定义，直线CD和直线AB互相垂直。"}, {"name": "垂足的定义", "content": "垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。", "this": "点D是直线CD与直线AB的交点，且直线CD垂直于直线AB，因此点D是直线CD在直线AB上的垂足。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△BDC和△ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BDC = ∠BCA, ∠CBD = ∠ACB, ∠BCD = ∠BAC；BC/AC = BD/CD。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形BDC中，∠BDC是直角（90度），边BD和CD是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = BD^2 + CD^2。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形BDC和三角形ABC中，如果角BDC等于角BCA，且角CBD等于角ABC，所以三角形BDC相似于三角形ABC。##"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/033.png", "question": "在上图中，角OBC与角OCB全等。角A的度数是多少？", "answer": "35", "process": "1. 已知条件为角 OBC 与角 OCB 全等，即 ∠OBC = ∠OCB，####。

2. 在△OBC中，角OBC=55°，角OCB=55°，##由三角形内角和定理##，可得角BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-55°-55°=70°。

3. 因为 AB 和 AC 是圆的弦，且角BOC是圆心角，对应的周角为 ∠BAC，根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，所以 ∠BAC = 1/2 * ∠BOC。

4. 因此，∠BAC = 1/2 * 70° = 35°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠BAC = 35°。", "elements": "等腰三角形; 圆周角; 圆", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形 OBC 中，角 OBC、角 OCB 和角 BOC 是三角形 OBC 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 OBC + 角 OCB + 角 BOC = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，∠BAC 为圆周角，∠BOC 为对应的圆心角。根据圆周角定理，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，即∠BAC = 1/2 × ∠BOC，且∠BOC = 70°，所以∠BAC = 1/2 × 70° = 35°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角##。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/032.png", "question": "如上图所示，三角形BDC的面积为48。如果ABCD是一个矩形，圆的面积是多少？", "answer": "36*\\pi", "process": "1. ##已知ABCD是一个矩形，由图可得：CD=8##。

2. ##根据矩形的定义，CD=AB=8，∠BCD=90°##。

3. ##根据直角三角形的定义得：三角形BCD是一个直角三角形，且BC和CD为直角边，所以边BC为直角三角形BCD的底边，边CD为直角三角形BCD的高线（或边CD为直角三角形BCD的底边，边BC为直角三角形BCD的高线）。已知三角形BDC的面积等于48，根据##直角三角形的面积公式##得，48=1/2×CD×BC，得CD×BC=8×BC=96，即BC=12。再次根据矩形的定义得BC=AD=12##。

4. ##因图中矩形的边长AD与圆的直径AD重合##。故圆的直径为12，##根据直径的定义##，半径便是12/2 = 6。

5. ##根据圆的面积公式：##π乘以半径的平方，即π * ##r?##。在这里，半径r为6。因此，圆的面积为 π * ##6? = 36π##。

6. 最终得出答案为36π。", "elements": "矩形; 直角三角形; 圆; 圆内接四边形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等���。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段AD是圆的直径，因为它通过圆心O且两端A和D都在圆上。根据定义，直径的长度为2倍的半径，即AD = 2r。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆中，点O是圆心，点A和点D是圆上的任意两点，线段OA和线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OD是圆的半径。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "在本题图中，三角形BCD中，角BCD是直角（90度），因此三角形BCD是一个直角三角形。边BC和边CD是直角边，边BD是斜边。####"}, {"name": "直角三角形的面积公式", "content": "直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高", "this": "在本题图中，直角三角形BCD中，角BCD是直角（90度），边BC和CD是直角边，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边CD * 边BC。######"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆的半径是6，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = π * 6^2 = 36π。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2438/img_diagram.png", "question": "求 W R。", "answer": "8", "process": "1. 已知WR=x+6, ##RT=2x+6##, VT=10, SW=8####。

2. ##根据对顶角的定义，角WRS和角TRV是对顶角##，因此我们有 ##∠WRS## = ∠TRV。

3. ##因为∠W=∠T（图中有相同标记），∠WRS = ∠TRV，根据相似三角形的判定定理(AA)，我们知道三角形WSR和三角形RTV是相似三角形##。

####

##4##. ##根据相似三角形的定义，得SW/VT=WR/RT, 代入题目中对应的边长得出: 8/10 = (x+6)/(2x+6) ##。

##5##. ####我们可以解这个比例公式。首先进行交叉乘法，得到: 10*(x+6) = 8*(2x+6)。

##6##. 展开交叉乘法： 10x + 60 = 16x + 48。

##7##. 移项并合并同类项，得出：10x - 16x = 48 - 60, 得出：-6x = -12。

##8##. 解x, 得出: x = 2。

##9##. 因此，我们代入x=2计算WR，得出: WR=x+6=2+6=8。", "elements": "等腰三角形; 线段; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线SR和RT相交于点R，形成四个角：角WRS、角TRV、角SRT和角WRV。根据对顶角的定义，角WRS和角TRV是对顶角，角SRT和角WRV是对顶角。所以角WRS=角TRV，角SRT=角WRV。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形WSR和三角形RTV是相似三角形。根据相似三角形的定义有：SW/VT=WR/RT。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "∠W=∠T（图中有相同标记）, ∠WRS = ∠TRV, 所以三角形WSR和三角形RTV是相似三角形。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/044.png", "question": "关于上面的正方形，下列哪项必须为真？ I. a = b II. AC = BD III. b = c 要求： 1. 务必严格保持所有数学符号不翻译 2. 图形标注（如ABCD）不翻译 3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "I, II, and III", "process": "1. 已知条件为：##四边形ABCD##是一个正方形，且对角线AC和BD相交于点O。根据##正方形的对角线性质，正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。因此，点O为AC和BD的中点。##

2. 因为正方形的对角线相等，所以AC = BD。根据选项II，可以确定这一选项为真。

3. ##从正方形的定义可知，四个内角都为90度。由于正方形的四边相等且对角线互相平分，根据等腰直角三角形的定义，因为AD=CD，∠ADC=90°，所以三角形ADC为等腰直角三角形。再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，我们可以得出a = b=（180°-∠ADC）/2=（180°-90°）/2=90°/2=45°。这表明选项I为真。##

4. ##同理，因为BC=CD且∠BCD=90°，所以三角形BCD为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得：c=∠BDC=45°，因此所有a、b、c都相等，即a = b = c=45°，所以选项III为真##。", "elements": "正方形; 对称; 等腰三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角∠DAB、角∠ABC、角∠BCD和角∠CDA均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "在本题图中，三角形ADC中，角ADC、角a和角b是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADC + 角a + 角b = 180°。三角形BCD中，角BDC、角c和角BCD是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BDC + 角c + 角BCD = 180°。##"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ADC是等腰直角三角形，其中角ADC是直角（90度），边AD和边CD是相等的直角边。三角形BDC是等腰直角三角形，其中角DCB是直角（90度），边BC和边CD是相等的直角边。"}, {"name": "正方形的对角线性质", "content": "正方形的对角线是连接相对角的线段。正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。", "this": "在本题图中，正方形ABCD中，对角线AC和BD是连接相对角的线段。根据正方形的对角线性质，AC和BD相等，并且AC和BD互相垂直平分，即在它们的交点处形成四个90度的角。因此，AC = BD，并且它们在交点处相互垂直。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ADC中，边AD和边CD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角DAC = 角DCA。在等腰三角形BCD中，边BC和边DC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角CBD = 角CDB。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2406/img_diagram.png", "question": "在图中找到 x 的值。", "answer": "68", "process": "####

##1. 根据多边形外角和定理##，任何多边形外角总和为360°。

##2##. 在图中，我们可以看出(x-1)°、79°、(x+10)°、##2x°都是四边形的外角，因此这些外角之和等于360°##，所以：(x-1)° + 79° + (x+10)° + 2x° = 360°。

##3##. 化简方程：x - 1 + 79 + x + 10 + 2x = 360。

##4##. 化简进一步得到：4x + 88 = 360。

##5##. 通过将常数值移向方程的另一侧，使得：4x = 360 - 88。

##6##. 计算上式的结果得到：4x = 272。

##7##. 最后，解出 x 的值：x = 272 / 4 = 68。

##8##. 检查代入确认：当 x = 68，(x-1)° = 67°，79°，(x+10)° = 78°，2x° = 136°。

##9##. 由于 (x-1)°、79°、(x+10)°的内角和为67° + 79° + 78° = 224°，2x°即为136°，224° + 136° = 360°，符合验证。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "##在本题图中，从(x-1)°的点开始以顺时针设多边形为多边形ABCD，边AD、AB、BC、CD各向点A、B、C、D方向做延长线，设对应延长线为EA、FB、GC、HD。多边形ABCD的内角分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA，多边形ABCD的一个内角为∠BAD，延长该内角的相邻边AD和AB形成的角∠EAB称为内角∠BAD的外角。多边形ABCD的第二个内角为∠ABC，延长该内角的相邻边AB和BC形成的角∠FBC称为内角∠ABC的外角。多边形ABCD的第三个内角为∠BCD，延长该内角的相邻边BC和CD形成的角∠GCD称为内角"}, {"name": "多边形外角和定理", "content": "任意多边形的外角和等于360°。", "this": "四边形的外角分别是(x-1)°、79°、(x+10)°和2x°。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即(x-1)° + 79° + (x+10)° + 2x° = 360°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2498/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 1。", "answer": "79", "process": "1. ##设三角形的三个顶点分别为A、B、C，已知角度 ∠ABC = 27° 和 ∠BCA = 52°，设∠1为∠DAC，求 ∠1 的度数##。

2. 根据三角形内角和定理（一个三角形的三个内角之和等于180°），可以计算 ∠CAB 的度数。

3. 根据已知条件，得出：∠CAB = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 27° - 52° = 101°。

4. ##根据邻补角的定义，∠CAD和∠CAB有一条公共边AC，AD、AB互为反向延长线，所以∠CAD和∠CAB互为邻补角##。

5. ##根据平角的定义，##由此得出：##∠1=∠CAD = 180° - ∠CAB = 180° - 101° = 79°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠1## = 79°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、AC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、AC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°。##"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角CAB和角CAD有一条公共边CA，它们的另一边AB和AD互为反向延长线，所以角CAB和CAD互为邻补角。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线BA绕着端点A旋转到与起始边成一条直线，形成平角BAD。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角BAD=180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2429/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如有必要，四舍五入到十分位。", "answer": "169.7", "process": "1. 已知平行四边形的底边长为14 mm，##设平行四边形的顶点（从左上点顺时针方向设）分别为ABCD。根据平行四边形的性质定理得：上边和底边的长度均为7mm，过右上侧顶点做底边的高h。##

2. 根据题目图中的信息，可以看到平行四边形的##边BC##和##底边CD##形成60°的角。从##顶点B作出垂线到底边CD，设垂足为E点，此垂线把底边的长度分成CE=7 mm和DE=14-7=7mm##。

3. ##根据直角三角形定义，右边三角形BCE为直角三角形##，我们可以使用##正切函数计算高h##。

4. ##这里 tan(60°) = BE/CE=h/7=√3，因此h =7* √3。##

5. ##化简得高 h= 7* 1.732= 12.12 mm##。

6. 问题要求求这个平行四边形的面积。平行四边形的面积公式为 '底 * 高'，在此底边是14 mm，高是12.12mm。因此，面积是14 * 12.12。

7. 计算出面积14 * 12.12 = ##169.68 mm^2##, 由于题中要求取到小数点后1位，这儿四舍五入后为169.7。

8. 基于上述讨论，我们得出最后答案: 该平行四边形的面积近似等于##169.7 mm^2##。", "elements": "平行四边形; 垂线; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，这个图形的两对对边分别平行且相等，底边长为14 mm，且上边与底边平行。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分", "this": "平行四边形ABCD中，对角BAD和BCD相等，对角ABC和ADC相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点将对角线AC分成两段相等的线段，将对角线BD分成两段相等的线段。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "顶点B作到底边CD的垂线，与底边形成一个直角。因此根据垂线定义，这条垂线与底边互相垂直。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段", "this": "在本题图中，从顶点B垂直于对边CD（或其延长线）的线段BE是该顶点B的高。线段BE与边CD（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段BE是从顶点B到对边CD（或其延长线）的垂直距离。##"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "平行四边形的底边长为14 mm，对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为12.12 mm。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长14 mm乘以对应的高12.12 mm，即A = 14 mm × 12.12 mm。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "顶点B作出的垂线与底边形成一个直角三角形。该直角三角形的一个内角为90度，因此它是一个直角三角形。垂线的长度为直角三角形较长的直角边长BE（12.12 mm），直角三角形较短的直角边长CE为7 mm。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度", "this": "在本题图中，直角三角形BCE中，角C是锐角，边BE是角C的相对直角边，边CE是角C的相邻直角边，所以角C的正切值等于边BE的长度除以边CE的长度，即tan(C) = BE / CE。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/012.png", "question": "在上图中，点B位于边AC上。如果55 < x < 60，y的一个可能值是多少？", "answer": "123", "process": "1. 题目中给出的图形表示在三角形ACD中，点B位于边AC上。

2. 根据位置关系，三角形ABD和三角形BCD共享边BD。

3. 已知条件55 < x < 60。

4. 由于三角形ABD和三角形BCD是邻接的，且共用边BD。##根据邻补角的定义，角ABD和角CBD互补，即##角ABD和角CBD的和为180度。

####

##5. 由图示已知：∠ABD = x°，且55° < x° < 60°##。

##6##. 根据公式180°- x = y，##y°=角CBD=180°-x°##。

##7##. 因为x的范围是55 < x < 60，那么计算角CBD的范围即为：##120## < y < ##125##。

##8##. 为符合条件55 < x < 60, ##选择x的一个可能值，例如57°，从而得出角ABD的度数，即y的度数##。

##9##. 计算对应的y值则为：180° - 57° = 123°。

##10. y的值为123，满足120 < y < 125的范围##。

##11##. 经过上述推理，##最终得出答案为y的值可以是123##。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角ABD和角CBD有一条公共边BD，它们的另一边AB和CB互为反向延长线，所以角ABD和角CBD互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2528/img_diagram.png", "question": "求该图形的面积。结果保留到小数点后一位。", "answer": "30.2", "process": "1. 已知条件是圆的直径为6.2厘米。根据##半径的定义##，半径等于直径的一半，即圆的半径为3.1厘米。

2. 根据圆的面积公式\\$A = πr^2\\$，这其中\\$A\\$表示面积，\\$r\\$表示半径。

3. 圆的半径\\$r = 3.1厘米\\$。将半径代入面积公式，即\\$A = π(3.1)^2\\$。

4. 计算\\$3.1\\$的平方，得到\\$3.1^2 = 9.61\\$。

5. 将\\$9.61\\$代入圆的面积公式，得到\\$A = π × 9.61\\$。

6. 估算π的值为\\$3.14\\$，则\\$A ≈ 3.14 × 9.61 = 30.1674\\$。

7. 将计算出的面积保留一位小数，得到该圆的面积近似为30.2平方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为30.2平方厘米。", "elements": "圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，红色线段是直径，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 6.2厘米。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆心为黑点，圆周上任意一点与圆心之间的线段即为半径，其长度为圆的直径的一半，即3.1厘米。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆的直径为6.2厘米，根据圆的性质，半径为直径的一半，即圆的半径r为3.1厘米。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3.1厘米的平方，即\\$A = π(3.1)^2\\$，即\\$A = π × 9.61\\$，代入π的近似值3.14，得到\\$A ≈ 3.14 × 9.61 = 30.1674\\$平方厘米。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/012.png", "question": "在上图中，线段AB的长度与线段AC的长度的比是2 : 5。如果AC = 25，线段AB的长度是多少？", "answer": "10", "process": "1. 已知条件为线段AB的长度与线段AC的长度之比为2:5，也就是说线段AB:线段AC=2:5。

2. 已知AC=25，根据应用比的定义，即相等关系式AB/AC=2/5，可以求出AB的长度。

3. 将已知AC=25代入相等关系式，得到AB/25=2/5。

4. 解方程AB/25=2/5，乘以25得到AB=25*(2/5)。

5. 计算25*(2/5)，等于10。

6. 经过上述推理，最终得到答案为AB=10。", "elements": "线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和B，且线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间。线段BC具有两个端点，这两个端点分别是B和C，且线段BC上的每一个点都位于端点B和端点C之间。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2564/img_diagram.png", "question": "求阴影部分的面积。结果保留到十分位。", "answer": "10.7", "process": "1. 已知长方形的长为10厘米，##设左侧圆的圆心为O1，右侧圆的圆心为O2，长方形的四个顶点为A，B，C和D，同时已知圆的直径等于长方形的宽##，也是5厘米，所以长方形包含两个直径为5厘米的圆。

2. 圆的直径为5厘米，因此半径为2.5厘米。利用##圆的面积公式，## A = π##r^2##，圆的面积为 π*(2.5)^2 = 6.25π 平方厘米。

3. 因为有两个相同的圆，它们的总面积为 2*6.25π = 12.5π 平方厘米。

4. ##根据矩形的面积公式，##长方形的面积为长乘宽，即 10厘米 * 5厘米 = 50 平方厘米。

5. 阴影区域的面积等于长方形的面积减去两个圆的面积，即 50 - 12.5π。

6. 用近似值计算，采用 π ≈ 3.1416，得 12.5π ≈ 12.5 * 3.1416 = 39.27。

7. 计算阴影区域面积：50 - 39.27 ##=## 10.73。

8. 结果精确到小数点后一位为 10.7。", "elements": "圆; 矩形; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "左侧圆的圆心为O1，右侧圆的圆心为O2，半径均为2.5厘米。图中所有到O1的距离等于2.5厘米的点都在左侧圆上，所有到O2的距离等于2.5厘米的点都在右侧圆上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "两圆的直径均为5厘米，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 2 * 半径 = 5厘米。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，每个圆的半径为2.5厘米。这表示从每个圆的圆心到圆周上的任意点的距离为2.5厘米。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形的长为10厘米，宽为5厘米，所以矩形的面积 = 10厘米 * 5厘米 = 50平方厘米。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "每个圆的半径是2.5厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径2.5的平方，即A = π * (2.5)^2 = 6.25π平方厘米。##"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB都是直角（90度），边AB与边DC平行且等长，边BC与边DA平行且等长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2419/img_diagram.png", "question": "矩形内接于圆。求圆的精确周长。", "answer": "10 \\pi", "process": "1. 已知矩形内接于圆，##根据内接四边形，图中矩形的四个顶点都在圆上。设矩形为矩形ABCD（从最左侧点顺时针方向），圆心为点O。根据直径的定义，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，而根据矩形的对角线性质，在矩形中，对角线相等且互相平分，所以对角线的交点到四个顶点的距离相等。所以矩形对角线的交点即圆心，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角可得：##矩形的对角线即为该圆的直径。

2. 矩形的长为8英寸，宽为6英寸。##根据矩形的定义和直角三角形的定义##，对角线可被看作是直角三角形的斜边，两直角边分别为8英寸和6英寸。

3. 由##勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形ABD中##，斜边的平方等于两直角边平方和。并且勾股定理表达为：##BD^2 = AB^2 + AD^2##。

4. 在本题中，##AB= 8英寸, AD= 6英寸##, 因此有：##BD^2## = 8^2 + 6^2。

5. 根据计算得到：##BD^2## = 64 + 36 = 100，即##斜边BD## = √100 = 10英寸。

6. 因此，矩形的对角线为10英寸，即圆的直径为10英寸。

7. ##根据圆的周长公式##，由圆周长公式C = πd (其中d为直径)。

8. 所以本题中圆的周长为：C = π × 10 = 10π 英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为：10π 英寸。", "elements": "圆; 矩形; 线段; 弧", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "矩形的长为8英寸，宽为6英寸，因此是一个对边相等且内角为直角的四边形。矩形的对边分别为8英寸和6英寸，且每个内角都是直角（90度）。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径", "this": "在本题图中，圆O中，直径AC所对的圆周角ABC和圆周角ADC均是直角（90度）。（或本题图中，圆周角ABC和圆周角ADC均是90度，所以它所对的弦AC是直径。）圆O中，直径BD所对的圆周角BAD和圆周角BCD均是直角（90度）。（或本题图中，圆周角BAD和圆周角BCD均是90度，所以它所对的弦BD是直径。）"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆", "this": "在本题图中，圆O中，半径为d/2=10/2=5。图中所有到点O的距离等于5的点都在圆O上。"}, {"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在题目提供的几何图形中，矩形的四个顶点均在同一个圆上，这个圆称为矩形的外接圆。因此，矩形是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "直径是矩形的对角线，因为矩形内接于圆，其中对角线通过圆心且连接两个在圆周上的对角顶点。矩形的对角线长度为10英寸，即圆的直径为10英寸。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角BAD是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AB和边AD是直角边，边BD是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "矩形的对角线将矩形分成两个直角三角形，其中矩形的长为8英寸，宽为6英寸。根据勾股定理，斜边（即对角线）的平方等于两条直角边的平方和，即BD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100，因此斜边BD = √100 = 10英寸。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "矩形内接于圆，矩形的对角线即为该圆的直径。矩形的长为8英寸，宽为6英寸，对角线为10英寸，即圆的直径为10英寸。根据圆的周长公式，圆的周长C等于π乘以直径d，即C=πd。因此，圆的周长为10π英寸。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "矩形ABCD中，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。对角线AC和BD相等且互相平分，即对角线AC与对角线BD的交点O是两条对角线的中点。因此，线段OA等于线段OC，线段OB等于线段OD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2602/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "30", "process": "1. ##根据直角三角形的定义，图中三角形一个角为直角，所以这个三角形是直角三角形##，另外两个角分别为x°和(2x)°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的三��内角之和等于180°。

3. 设三角形三个内角的度数分别为x°、2x°和90°，根据内角和定理有：##x° + 2x° + 90° = 180°##。

4. 化简方程##x° + 2x° + 90° = 180°##，得到##3x° + 90° = 180°##。

5. ##从方程3x° + 90° = 180°，减去90°得到3x° = 90°##。

6. 解方程##3x° = 90°##，得到##x° = 30°##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x = 30。", "elements": "直角三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边x和边2x是直角边，边对角线是斜边。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形由三个内角x°、2x°和90°构成。该三角形的三个顶点分别是三个内角的顶点，三条边分别是连接这些顶点的线段。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形的三个内角分别为x°、2x°和90°，根据三角形内角和定理，x° + 2x° + 90° = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2510/img_diagram.png", "question": "圆 J 的半径为 10 个单位，\n\\odot K 的半径为 8 个单位，且 B C = 5.4 个单位。求 J K。", "answer": "12.6", "process": "1. 已知条件为圆J的半径为10单位，圆K的半径为8单位及BC=5.4单位。我们要求出JK的长度。

2. ##JB=JC-BC=10-5.4=4.6，CK=KB-BC=8-5.4=2.6##。

3. ##JK=JB+BC+CK=4.6+5.4+2.6=12.6##

####

##4##. 最终得出 JK=12.6长度。", "elements": "圆; 弦; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆J中，点J是圆心，点A和C是圆上的任意一点，线段JA和JC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段JA和JC是圆J的半径。同样地，圆K中，点K是圆心，点B和D是圆上的任意一点，线段KB和KD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段KB和KD是圆K的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2449/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle W。", "answer": "76", "process": "1. 已知图中是一个五边形UVWYZ，其中各内角分别为∠U, ∠V, ∠W, ∠Z, ∠Y，且这些角分别表达为(x-8)°, (3x-11)°, (x+8)°, (2x+7)°和x°。

2. 根据##多边形##的内角和定理，##多边形##的内角和公式为：(n-2)×180°，其中n为边数。对于五边形来说，n=5，因此其内角和为：(5-2)×180°=540°。

3. 使用已知的五个内角的表达式相加，设方程为：(x-8)° + (3x-11)° + (x+8)° + (2x+7)° + x°=540°。

####

##4##. 合并同类项，得到x系数相加为8x，常数项相加为-4，即方程变为：8x - 4 = 540。

##5##. 解方程8x - 4 = 540，先左右两边加4，得：8x = 544。

##6##. 再左右两边同时除以8，得：x = 68。

##7##. 将x = 68代入∠W = (x + 8)°中的表达式，得到∠W = (68 + 8)° = 76°。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案#∠W=76°#。", "elements": "普通多边形; 点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形内角的定义", "content": "多边形的内角是多边形相邻两条边之间的角，即指多边形内部的角。", "this": "在本题图中，五边形UVWYZ的内角分别是∠U, ∠V, ∠W, ∠Y和∠Z，对应的表达式分别为(x-8)°，(3x-11)°，(x+8)°，x°和(2x+7)°。这些内角是由相邻的两条边之间所形成的角且在五边形UVWYZ之内的角。"}, {"name": "多边形内角和定理", "content": "一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。", "this": "五边形UVWYZ中，UVWYZ是一个有5条边的多边形，其中5表示多边形的边数。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (5-2) × 180°。##"}, {"name": "多边形", "content": "多边形是平面上的闭合图形，由多条线段顺次连接而成，且每两条线段只在端点相交。", "this": "在本题图中，多边形UVWYZ是一个平面上的闭合图形。它由多条线段UV, VW, WY, YZ, ZU顺次连接而成，并且每两条线段只在端点U, V, W, Y, Z相交。多边形的每个顶点都是两条线段的公共端点，且这些线段形成一个封闭的路径，没有交叉。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2472/img_diagram.png", "question": "三角形 L M N 是等边三角形，且 M P 平分 L N。求 riangle L M N 的边长。", "answer": "10", "process": "1. 已知条件为三角形L M N是等边三角形，##根据等边三角形的定义得：##所有的边相等，即L M等于M N等于L N。

2. ##已知LM=3x+1，MN=4x-2，LM=MN，即3x+1=4x-2##。

####

##3. 解方程得到：1 + 2 = 4x - 3x，3 = x。##

##4. 将x=3代入到3x+1,得到L N的边长是：3*3 + 1 = 9 + 1 = 10。##

##5##. 所以三角形L M N的边长是10，即各边长度为10。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为三角形L M N的边长为10。", "elements": "等边三角形; 线段; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形L M N是一个等边三角形。边L M、边M N和边L N的长度相等，并且角∠L M N、角∠M N L和角∠N L M的度数相等，均为60°。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2542/img_diagram.png", "question": "求从Q到Q'的比例因子。", "answer": "3", "process": "1.在此问题中，中心C是两图形之间放缩的中心，CQ是放缩前的距离，CQ'是放缩后的距离。

2. 根据量距可知，CQ = 5。

3. 由题目信息给出直线CQ' = CQ + x = 15。

4. 又由于CQ' = CQ + 10，所以x = 10。

5. ##因此，从 Q 到 Q′ 的比例因子可以由这两条段的长度的比例表示为：比例因子=Q‘C/QC=X/5##

6. ##解方程：比例因子=Q‘C/QC=X/5=10/5=3##

7. 所以，Q到Q'之间的比例因子为3。", "elements": "位似; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "##比例因子", "content": "比例因子是指在缩放图形时，缩放后图形的对应线段长度与原图形对应线段长度的比值。如果比例因子为k，则缩放后的图形的每一条边的长度是原图形对应边长度的k倍。", "this": "在本题图中，图形Q'是通过将图形Q按比例因子k缩放得到的。根据比例因子的定义，缩放后的图形Q'的每一条边的长度等于原图形Q对应边长度的k倍。即：缩放后的边长 = k × 原边长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2633/img_diagram.png", "question": "m \\angle 2 = 2 x, m \\angle 3 = x. 求 m \\angle 3.", "answer": "30", "process": "####

##1. 根据直角三角形的定义，△GHJ中的∠GHJ=90°，所以△GHJ是直角三角形，且∠2和∠3是△GFJ的两个内角，故根据直角三角形的锐角互补性质得出：∠2+∠3=90°。##

##2##. 已知## ∠2## = 2x 和 ## ∠3## = x，将这些值代入得到：2x + x = 90°。

##3##. 通过计算得到：3x = 90°，解得x = 30°。

##4. 因此，∠3 = x = 30°。##

##5##. 经过上述推理，最后得出答案为 30°。", "elements": "圆周角; 直角三角形; 弧", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "##直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形GHJ中，角GHJ是直角（90度），因此三角形GHJ是一个直角三角形。边GH和边HJ是直角边，边GJ是斜边。"}, {"name": "##直角三角形的锐角互补性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "直角三角形GHJ中，角GHJ是直角（90度），角HGJ(角2)和角GJH(角3)是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，角HGJ(角2)和角GJH(角3)的和为90度，即角HGJ(角2) + GJH(角3) = 90°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2581/img_diagram.png", "question": "求 x 使得四边形是平行四边形。", "answer": "4", "process": "1. 已知条件：一个四边形是平行四边形。根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。

2. 根据上面的性质，我们可以设左边的边和右边的边相等，可以写出方程式：2x + 3 = x + 7。

3. 解上述方程: 2x + 3 = x + 7 -> 2x - x = 7 - 3 -> x = 4。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 4。", "elements": "平行四边形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形被给定为平行四边形。根据定义，这意味着左边的边（2x + 3）和右边的边（x + 7）相等且平行，上边的边（3y - 5）和下边的边（y + 11）也相等且平行。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对���线互相平分。", "this": "平行四边形的对边2x + 3和x + 7相等，设2x + 3 = x + 7；对边3y - 5和y + 11相等，设3y - 5 = y + 11。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2659/img_diagram.png", "question": "求 \\\\widehat W N 如果 \\\\triangle I W N 是等边三角形且 W N = 5。", "answer": "\\frac { 5 } { 3 } \\pi", "process": "1. 已知条件 三角形I W N 是等边三角形且 W N = 5，根据等边三角形的定义：在等边三角形中，三个内角都相等且均为60度，因此∠IWN=∠INW=∠WIN=60°.得到结论∠WIN=60°。

2. 根据角度与弧度的换算公式，换算为弧WN的弧度为角度60*（π/180）=π/3，进一步代入扇形的弧长公式，得到弧WN的弧长L=θr=π/3*5=5π/3。

3. 经过上述推理，最终得出答案为5π/3。", "elements": "等边三角形; 圆; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形IWN是一个等边三角形。边IW、边IN和边WN的长度相等，并且角IWN、角WIN和角INW的度数相等，均为60°。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "扇形WIN中，圆心角WIN为π/3（以弧度制表示），半径为5。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r = π/3 * 5。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。", "this": "圆I中，WN的角度是 60°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 60°*（π/180）=π/3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2608/img_diagram.png", "question": "三角形 L M N 是等边三角形，且 M P 平分 L N。求 y。", "answer": "18", "process": "1. 三角形L M N是等边三角形，根据等边三角形的定义，所有边上的角都是相等的即: \\(\\angle L = \\angle M = \\angle N = 60°\\) 。

2. ##因为MP平分LN，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理可得（等边三角形是特殊的等腰三角形）：MP是三角形LMN的高线、中线、角平分线，所以\\(\\angle LMP = \\angle NMP\\)，##且每个都等于##\\(\\frac{\\angle LMN}{2} = 30°\\)##。

3. 在##\\(\\triangle LMP\\)，应用三角形内角和定理: \\(\\angle L + \\angle LPM + \\angle LMP= 180°\\)，代入已知值##可以得知 \\(60° + 5y° + 30° = 180°\\)。

4. 求解\\(5y + 90 = 180\\)，我们可以得到：\\(5y = 90\\)。

5. 两边都除以5，\\(y = 18\\)。确定y的值。

6. 最终答案可得，\\(y = 18\\)。", "elements": "等边三角形; 线段; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形LMN是一个等边三角形。边LM、边MN和边LN的长度相等，并且角LMN、角MLN和角MNL的度数相等，均为60°。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边", "this": "等腰三角形LMN中，顶角为∠LMN，底边为边LN。顶角的角平分线MP不仅平分顶角∠LMN，还平分底边LN，使得PL= PN，并且垂直于底边LN，即形成直角∠MPL（90度）。因此，线段MP既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形LMP中，角LMP、角L和角LPM是三角形LMP的三个内角，根据三角形内角和定理，角LMP + 角L + 角MPL = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2696/img_diagram.png", "question": "求等腰三角形A B C中A C的长度。", "answer": "7", "process": "1. 已知三角形 ABC 为等腰三角形，且 AB = 9x - 1，AC = 4x + 1，BC = 5x - 0.5，##根据图示，可知## AC = BC。

2. 将 AC 和 BC 的表达式相等，即 4x + 1 = 5x - 0.5。

3. 解方程 4x + 1 = 5x - 0.5，移项整理得：

4. 4x + 1 - 5x + 0.5 = 0

5. -x + 1.5 = 0

6. x = 1.5

7. 将 x = 1.5 代入 AC = 4x + 1 中，计算得：

8. AC = 4(1.5) + 1 = 6 + 1 = 7。

9. 因此， AC 的长度为 7.", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "��本题图中，三角形ABC中，边AC和边BC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2641/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle A B C.", "answer": "51", "process": "1. 已知条件为：##直线BC沿点C方向的延长线与线段AC构成的夹角##角度为148°，三角形的内角分别为∠BAC=##(2x-15)°，∠ABC=(x-5)°，要求∠ABC。根据三角形的外角定理，因为148°角为三角形ACB中∠ACB的外角，所以∠BAC+∠ABC=148°##。

2. ##由图可知：∠BAC=(2x-15)°，∠ABC=(x-5)°，代入关系式可得：2x-15+x-5=148##。

3. ##解方程得：3x-20=148，合并数字得：3x=168，最终可得：x=56##。

####

##4##. 因此，x=##56##时，∠ABC的值为51°。

##5##. 最终，依题意得出∠ABC的度数是51°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "三角形ABC的内角∠ACB的外角为148°角，延长边BC形成的148°角称为内角∠ACB的外角。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "148°的角是三角形的一个外角，角BAC和角ABC是与外角148°角不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，148°角等于不相邻的两个内角BAC和内角ABC之和，即148°角 = 角BAC和角ABC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2470/img_diagram.png", "question": "在菱形 L M P Q 中，m \\angle Q L M = 2 x^{2} - 10，m \\angle Q P M = 8 x，并且 M P = 10。求 L M P Q 的周长。", "answer": "40", "process": "1. ##根据菱形的定义，在菱形 LMPQ 中，所有边都是相等的，已知条件 M P = 10，得出 L M = M P = P Q = Q L = 10##。

####

##2. 根据菱形的周长公式可得菱形的周长= 4 × 边长##，根据已经求得的边长为 10，因此周长为 4 × 10 = 40。

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 40。", "elements": "菱形; 邻补角; 平行四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形LMPQ中，所有的边LM、MP、PQ、QL都是相等的，因此四边形LMPQ是一个菱形。此外，四边形LMPQ的对角线LQ和MP互相垂直平分，即对角线LQ和MP相交于点R，且角LRM是直角（90度），并且LR=PR和MR=QR。"}, {"name": "菱形的周长公式", "content": "菱形的周长等于其边长的四倍，即C=4*a。", "this": "在本题图中，菱形LMPQ中，边MP是菱形的边，根据矩形的周长等于其边长的4倍，即 C = 4MP。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2720/img_diagram.png", "question": "使用矩形 L M N P 和平行四边形 L K M J 来解决问题。如果 L N = 10，L J = 2 x + 1，P J = 3 x - 1，求 x。", "answer": "2", "process": "1. 已知矩形 L M N P，##根据矩形的对角线性质，在矩形中，对角线相等且互相平分，所以LN=PM，且对角线LN和PM的交点J平分对角线LN和PM，即LJ=NJ=1/2*LN##。

2. ##已知LN=10，LJ=2 x + 1，代入已知值得：2 x + 1=1/2*10##。

3. ##解方程得：2 x + 1=5，最终解得：x=2##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 2。", "elements": "矩形; 平行四边形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 L M N P 是一个矩形，其内角∠LMN, ∠MNP, ∠NPL, ∠PLM 都是直角（90度），且边 LM 与边 NP 平行且等长，边 MN 与边 LP 平行且等长。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "在本题中，矩形 L M N P 中，边 L M 与边 P N 平行且相等，边 L P 与边 M N 平行且相等。对角线 L N 和 P M 相等且互相��分，即对角线 L N 与对角线 P M 的交点 J 是两条对角线的中点。因此，线段 L J 等于线段 J N，线段 P J 等于线段 J M。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2499/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "14", "process": "1. 已知条件为直角三角形，##较短的##直角边为7，##边长为x的斜边与边长为y的直角边的##夹角为30°，需求得##斜边长x##。

2. 根据三角函数中正弦的定义，正弦角等于对边比斜边，在此题中为##sin30°##，所以有sin30°=对边/斜边。

3. 知sin30°=1/2，根据正弦的定义：sin∠=对边/斜边，故7/x = 1/2。

4. 由7/x=1/2，解得x=7×2=14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为14。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形中，角30°是锐角，边7是角30°的对边，边x是斜边。根据正弦函数定义，角30°的正弦值等于对边7与斜边x的比值，即sin(30°) = 7 / x。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形中有一个内角为90度，因此该三角形是一个直角三角形。边7和边y是直角边，边x是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2522/img_diagram.png", "question": "求 x，如果 A E = 3, A B = 2, B C = 6, 和 E D = 2 x - 3。", "answer": "6", "process": "1. 由##图示可得：BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得：AE/AD=AB/AC。已知 AB = 2，AE=3，BC=6，ED=2x-3。因为点A、E、D在同一直线上，所以AD=AE+DE=3+2x-3=2x；同理，因为点A、B、C在同一直线上，所以AC=AB+BC=2+6=8。##

##2. 带入比例得： 3/2x = 2/8。##

##3. 化简得： 3/2x = 1/4。##

4. 对该比例交叉相乘，得到 ##2x = 3*4##。

####

##5##. 把两边除以 2 得到 x = 6。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为 6。", "elements": "线段; 普通三角形; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例", "this": "三角形ADC中，直线EB与边DC平行，并截它的其他两边AD和AC（或其延长线）于点E和点B，那么根据平行线分线段成比例定理，有：线段AE/线段AD = 线段AB/线段AC。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2559/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "8", "process": "1. ##已知直角三角形中的一个锐角为60°，根据三角形的内角和定理，可以求得另一个锐角为30°。##

2. ####根据三角形30°-60°-90°的性质，斜边是短边的2倍，而短边和长边的比是1:√3。

3. 题目给出长边是8√3，根据30-60-90直角三角形的性质，设短边为a，则有长边 = a√3，因此a√3 = 8√3。

4. 解方程a√3 = 8√3，可以得到a = 8。

5. 由于短边即为x，所以x等于8。

6. 最后，x的值是8。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形中有一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边x和边8√3是直角边，边y是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，直角三角形的三个内角分别是60°、90°和30°，根据三角形内角和定理，60° + 90° + 30° = 180°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角60°是30度，角30°是60度，直角是90度。边y是斜边，边x是30度角所对的边，边8√3是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边x等于边y的一半，边8√3等于边x的√3倍。即：x = 1/2 * y，8√3 = x * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2597/img_diagram.png", "question": "等边五边形 P Q R S T 内接于 \\\\odot U。求 m \\\\widehat Q R。", "answer": "72", "process": "1.已知条件为：等边五边形 PQRST 内接于##点U为圆心的圆##。根���等边五边形的定义，五边形的边长相等，即 PQ = QR = RS = ST = TP。

2. 五边形的##内角和##是(n - 2)180度, 其中 n 是边的数量，所以对于五边形，内部角和是 (5 - 2)180 = 540度。

3. 由于五边形 PQRST 是等边五边形，它的每个内部角的角度是相等的。即每个内部角度为 540 / 5 = 108 度。

4. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。然后根据圆周角定理，圆周角的度数是其所对的圆心角的度数的一半。可以得出公式：弧PS=PS对应的圆心角=2*∠PTS=2 * 108°=216°##

5. ##应为PQRST是正五边形，所以弧PS被点PQRS均分成3个弧PQ、弧QR、弧RS，得出公式弧QR=216°/3=72°。##

6. 故而，##弧QR## 等于 72 度。

##7##.经过上述推理，最终得出答案为 72 度。", "elements": "正多边形; 圆; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形内角和定理", "content": "一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。", "this": "PQRST 是一个有5条边的多边形，其中5表示多边形的边数。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (5-2) × 180° = 540°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，已点U为圆心的圆中，角PTS的顶点T在圆周上，角PTS的两边分别与圆U相交于点P和点S。因此，角PTS是一个圆周角。"}, {"name": "## 弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，已点U为圆心的圆中有两点P和S，弧PS是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧PS是圆上两点P和S之间的一段曲线。在本题图中，已点U为圆心的圆中有两点P和Q，弧PQ是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧PQ是圆上两点P和Q之间的一段曲线。在本题图中，已点U为圆心的圆中有两点Q和R，弧QR是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧QR是圆上两点Q和R之间的一段曲线。在本题图中，已点U为圆心的圆中有两点R和S，弧RS是连接这两点的一段曲线。根据弧"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "点U为圆心的圆中，点P和点S是圆上的两点，圆心是点U。连线PU和US组成的角∠PUS称为圆心角。"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。content: 在本题图中，已知圆心角∠PUS所对的圆弧为弧PS。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠PUS的度数=弧PS的度数。####name:正多边形的定义content: 正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。content: 在本题图中，正五边形 PQRST中，所有边PQ = QR = RS = ST = TP。因此，五边形 PQRST是一个正多边形。####name: 圆周角定理content:在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆U中，点P、T、S在圆上，优弧PS对应的圆心角为∠PUS，圆周角为∠PTS。 根据圆周角定理，∠PTS等于它所对的弧PS所对应的圆心角∠PUS的一半，即∠PTS = 1/2 ∠PUS。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2625/img_diagram.png", "question": "四边形 D E F G 是一个矩形。如果 m \\angle E F D = 2 x - 3 且 m \\angle D F G = x + 12，求 m \\angle E F D。", "answer": "51", "process": "1. 已知条件为四边形 D E F G 是一个矩形，因此 ∠E F D 和 ∠D F G 是组成直角的两个邻角。根据##矩形的定义##，所以 ∠E F D + ∠D F G = 90°。

2. 根据题目中的条件，∠E F D = 2x - 3 和 ∠D F G = x + 12。

3. 将角的表达式代入直角的关系式中，有 (2x - 3) + (x + 12) = 90。

4. 将表达式展开并简化，得到 3x + 9 = 90。

5. 两边同时减去 9，得到 3x = 81。

6. 两边同时除以 3，得到 x = 27。

7. 将 x = 27 代入 ∠E F D = 2x - 3，得到 ∠E F D = 2(27) - 3 = 54 - 3 = 51。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠EFD## = 51°。", "elements": "矩形; 邻补角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形 DEFG 是一个矩形，其内角 ∠DEF, ∠EFG, ∠FGD 和 ∠GDE 都是直角（90度），且边 DE 与边 FG 平行且���长，边 DG 与边 EF 平行且等长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2678/img_diagram.png", "question": "m \\angle 2 = 2 x, m \\angle 3 = x. 求 m \\angle 2.", "answer": "60", "process": "1. 已知条件为##∠ 2## = 2x, ##∠ 3## = x。####

2. 观察图形，可以看到在△GHJ中，∠GHJ 是一个直角(90度)####。

3. ##在三角形GHJ中，根据三角形内角和定理有 ∠GHJ + ∠HJG + ∠ JGH = 180度##。

4. 代入已知##∠GHJ ##= 90度，可以得到：##90° + ∠HJG + ∠JGH = 180°##。

5. 因此，根据等式可得：##∠HJG + ∠JGH = 180° - 90° = 90°##。

6. 根据题意，在△GJH中，##∠HJG = ∠ 3 = x，∠JGH = ∠ 2 = 2x##。

####

##7. 将∠HJG = x，∠JGH = 2x代入方程中，##解方程：x + 2x = 90 => 3x = 90。

##8##. 求解出x = 30。因此，## ∠2 ##= 2 * 30 = 60。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为60。", "elements": "圆内接四边形; 垂线; 直角三角形; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形△GHJ是由三个非共线点G、H、J及其连接线段GH、HJ、JG组成的几何图形。点G、H、J分别是三角形的三个顶点，线段GH、HJ、JG分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角GHJ、角HJG和角JGH是三角形GHJ的三个内角，根据三角形内角和定理，角GHJ + 角HJG + 角JGH = 180°。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2717/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 3 = 43。求 \\angle 11 的度数。", "answer": "43", "process": "1. 已知条件为 ## ∠3## = 43°。根据图中信息， ##因为直线 c ∥ d， b 是横截线，所以∠3 和 ∠11是同位角（根据同位角的定义）。根据平行线的平行公理2，有 ∠3 = ∠11（同位角相等）##。

2. 由此可得， ##∠11## = 43°。

3. 经过上述推理，最终得出答案为 43°。", "elements": "同位角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义##", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线 c 和 d 被一条直线 b 截交，其中角3和角11位于截线 b 的同旁，被截两直线 c 和 d 的同一侧，因此角3和角11是同位角。同位角相等，即角3等于角11。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线 c 和 d 被第三条直线 b 所截，形成了以下几何关系：同位角：角3和角11相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2793/img_diagram.png", "question": "求 y 使得四边形是平行四边形。", "answer": "14", "process": "1. ##根据题意，假设图中四边形为平行四边形，平行四边形的四个顶点分别为A、B、C、D。根据平行四边形的性质定理##，对角相等有##角CAB## = 8x - 8°与##角CDB## = 6x + 14°，所以有8x - 8 = 6x + 14。

2. ##化简得8x - 6x =14 + 8##，整理后得2x = 22，因此x = 11。

3. ##又根据平行四边形的性质定理##，有##角ABD## = 7y + 2°与##角DCA## = 6y + 16°，所以有7y + 2 = 6y + 16。

4. ##化简得7y - 6y= 16 - 2##，整理后得y = 14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为y = 14。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 邻补角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AC与边BD平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "角ABD和角DCA相等，角CAB和角CDB相等；对边相等，对角线互相平分。"}, {"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形ABCD由四条线段AB, CD, AC和BD组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D，并且有四个内角，分别是角CAB , 角ABD, ���DCA和角CDB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2759/img_diagram.png", "question": "求 \\\\parallelogram J K L M 的面积。", "answer": "24", "process": "1. 根据题意，##给定平行四边形 JKLM 的底边长为 ML=4 cm 。设高为JJ'，即JJ'=6 cm##。

2. 知道平行四边形的面积公式为：底边长乘以高，即 Area = base * height。

3. 由已知条件，##底边 ML ##的长度为 4 cm，高 JJ' 的长度为 6 cm，代入公式则得出： Area = 4 cm * 6 cm。

4. 经过计算，得到平行四边形 JKLM 的面积为 24 平方厘米。", "elements": "平行四边形; 垂线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形 JKLM 是一个平行四边形，边 JK 与边 LM 平行且相等，边 JM 与边 KL 平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的高", "content": "平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。", "this": "在本题图中，平行四边形JKLM中，边JK和边ML是平行的。顶点J到对边ML的垂直距离是平行四边形的高。具体来说，从顶点J作一条垂直于边ML的线段，该线段的长度即为平行四边形的高。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "在本题图中，平行四边形 JKLM中，边 ML 是底边，对应的高是从底边 ML 到对边 JK 的垂直距离，记为 JJ'。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形 JKLM 的面积等于底边长 ML 乘以对应的高 JJ'，即A = ML × JJ'。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2834/img_diagram.png", "question": "求z。", "answer": "3 \\sqrt { 19 }", "process": "1. 已知直角三角形的两个边长，分别为5和14####。

2. ##根据勾股定理得14^2 = 5^2 + z^2##。

3. 计算得到z^2 = ##171##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为z = ##3√19##。", "elements": "直角三角形; 对顶角; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中，一个内角为90度，因此该三角形是一个直角三角形。边长5和z是直角边，边长14是斜边。"}, {"name": "直角三角形的斜边", "content": "在直角三角形中，斜边是直角所对的边，同时也是这三个边中最长的一条边。", "this": "边14是直角三角形 ABC 的斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，边5和边z是直角边，边14是斜边，所以根据勾股定理，14^2 = 5^2 + z^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2862/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle W.", "answer": "108", "process": "1. ##由图可得在##四边形 XYZW 中，角 X = x°，角 Y = 2x°，角 W = 3x°，角 Z = 4x°。

2. 根据##四边形的内角和定理##，##四边形的四个内角之和为 360°，则有角 X+角Y+角Z+ 角W =## x° + 2x° + 3x° + 4x° = 360°。

3. 将方程简化，得到 10x° = 360°。

4. 通过解方程，可以得出 x = 36°。

5. 已经知道角 W = 3x°，代入 x = 36°，可以得到角 W = 3 * 36° = 108°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为108°。", "elements": "普通四边形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形内角的定义", "content": "多边形的内角是多边形相邻两条边之间的角，即指多边形内部的角。", "this": "在本题图中，四边形 XYZW 的内角分别是∠WXY，∠XYZ，##∠XWZ##，##∠YZW##，分别对应 x°， 2x°， 3x° 和 4x°。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形 XYZW 的四个内角 ∠X, ∠Y, ∠W, 和 ∠Z 满足 ∠X + ∠Y + ∠W + ∠Z = 360°。"}, {"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "在本题图中，四边形XYZW由四条线段XY, WZ, XW和YZ组成，这些线段称为四边形的边。四边形XYZW有四个顶点，分别是点X, 点Y, 点W和点Z，并且有四个内角，分别是角XWZ, 角XYZ, 角YZW和角YXW。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/058.png", "question": "以下哪项陈述是正确的？", "answer": "BC < AB < AC", "process": "1. 在三角形ABC中，已知∠B为61°，∠A为59°。因为三角形的内角和为180°，所以可以根据##三角形##内角和定理计算∠C的度数，即∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 59° - 61° = 60°。

2. 在三角形中，边长与对角的大小具有对应关系：即对较大角的边较长。这是##由正弦定理可知##，该定理指出在三角形中，如果一个角比另一个角大，则与较大角相对的边也相应较长。

3. 比较三角形ABC的各角之间的大小关系，已知∠C = 60°、∠B = 61°和∠A = 59°，所以∠B > ∠C > ∠A。

4. 根据##正弦定理##，与∠B相对的边AC最长，与∠C相对的边AB次长，与∠A相对的边BC最短。因此，边的大小关系为BC < AB < AC。

5. 对照选项，可以确定正确的顺序是选项B：BC < AB < AC。

6. 经过上述推理，最终得出答案为BC < AB < AC。", "elements": "普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角A、角B和角C是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角B + 角C = 180°。"}, {"name": "正弦定理", "content": "在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）", "this": "任意三角形ABC中，边AB、AC和BC分别对应角C、角B和角A。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：AB/sin(角C)=AC/sin(角B)=BC/sin(角A) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/062.png", "question": "y - x =\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "10", "process": "1. 根据已知三角形内角和定理，任何一个三角形的内角和为180度。

2. 在图中上部的三角形中，有一个角为80度和一个角为50度，##第三个角为x##，根据三角形内角和定理计算出：x = 180 - 80 - 50 = 50度。

3. 再看图中下部的三角形，其中有一个角为70度，##另一个角根据对顶角的定义为50度，第三个角为y°##，因此可以通过三角形内角和定理由下部三角形算出：y = 180 - 70 - 50 = 60度。

4. 下一步是计算 y - x，通过上部##和##下部三角形已知x = 50和y = 60，计算方程：y - x = 60 - 50 = 10度。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "对顶角; 三角形的外角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "上部的三角形中有一个角80度和一个角50度，记其中的第三个角为x，可以通过三角形内角和定理算出：x = 180 - 80 - 50 = 50度。同理，在下部的三角形中有一个角70度，另一个角根据对顶角的定义为50度，第三个角为y，因此可以通过三角形内角和定理算出：y = 180 - 70 - 50 = 60度。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线相交于中心点，根据对顶角的定义，它们的角度相等，上一个三角形的一个角为50度，那么下一个三角形与之对立的角也为50度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2483/img_diagram.png", "question": "求 Q P。", "answer": "3", "process": "1. 已知线段 QN ∥ PO，在△MPO中，根据平行线分线段成比例定理，有MQ/PQ=MN/NO。

2. 代入已知数值：5/x=6/（18/5）

3. 解方程，得到x=3

4. 经过经过上述推理，最终得出答案为 QP = 3。", "elements": "等腰三角形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形MPO中，直线QN与边PO平行，并截它的其他两边MP和MO于点Q和点N，那么根据平行线分线段成比例定理，有：\n\\[\n\\frac{线段MQ}{线段PQ} = \\frac{线段MN}{线段NO}\n\\]\n即截得的线段与原三角形相对���的线段成比例。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/011.png", "question": "在上图中，AC = 6。线段AB的长度是多少？", "answer": "6", "process": "1. 已知条件为△ABC中∠BAC = 60°，##∠ABC = 60°，根据三角形内角和定理，∠ACB+∠BAC +∠ABC = 180°，已知∠BAC = 60°，∠ABC = 60°，所以∠ACB=180°-∠BAC -∠ABC=180°-60°-60°=60°。根据等边三角形的角性质可知△ABC是一个等边三角形##。

2. ##根据等边三角形的定义##，在等边三角形中，三条边的长度相等。此处具体应用为：AB = AC = BC。

3. 已知 AC = 6，##所以##AB = 6。

4. 通过上述推理过程，得出△ABC的所有边长度均为6，包括AB。", "elements": "等边三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角BCA和角BAC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BCA + 角BAC = 180°。"}, {"name": "等边三角形的角性质", "content": "等边三角形的每一个内角都是60°。", "this": "在本题图中，等边三角形ABC中，边AB、BC和AC相等，因此根据等边三角形的性质，三角形ABC的每一个内角都是60°。也就是说，角ABC、角BAC和角ACB均为60°。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形ABC是一个等边三角形。边AB、边BC和边AC的长度相等，并且角BAC、角ABC和角ACB的度数相等，均为60°。已知AC = 6，因此AB = 6。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2677/img_diagram.png", "question": "这个多边形的周长是60厘米。求多边形每条边的长度。", "answer": "12", "process": "1. 已知该五边形的周长是60厘米，且根据图中对各边的标注，##该五边形的五条边相等，根据正多边形的定义，该五边形为正五边形##。

####

##2. 根据正多边形的周长公式，设五边形中每条边的长度为x，则该正五边形周长为5x。##

##3. ##根据已知条件，周长为60厘米，所以5x = 60。

##4.## 解方程5x = 60，可以得到x = 60 / 5 = 12。

##5. ##因此，每条边的长度为12厘米。", "elements": "正多边形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正多边形的定义", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "在本题图中，五边形所有边长度相等，因此，该五边形是一个正五边形。"}, {"name": "正多边形的周长公式", "content": "正多边形的周长等于边长乘以边的数量。", "this": "在本题图中，正五边形中，设每条边的长度为x，正多边形边的数量为5，所以该正五边形的周长 = 5x。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/010.png", "question": "如上图所示，矩形ABCD的宽度为w，长度l是宽度的两倍。如果w = 2，矩形的面积是多少？", "answer": "8", "process": "1. 已知条件为矩形 ABCD 的宽 w = 2，根据矩形的定义，矩形的对边相等且相互平行得出宽 ##AB## = ##CD## = w = 2。

2. 题目中给出了矩形的长 l 是宽 w 的 2 倍，因此根据给定条件可以得出 ##BC## = ##AD## = l = 2 * w = 2 * 2 = 4。

##3. 矩形ABCD的面积计算公式为长乘以宽，即 S矩形ABCD = AB * BC。##

4. 代入具体的数值，得出 ##S矩形ABCD = AB * BC = 4 * 2=8##。

5. 经过上述计算过程，最终得出矩形的面积为 8。", "elements": "矩形; 平行线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 ABCD 是一个矩形，其内角 ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA 都是直角（90度），且边 AD 与边 BC 平行且等长，边 AB 与边 CD 平行且等长。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "边 AD和边 AB是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = AB * 边 AC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2421/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的周长。如有必要，四舍五入到十分位。", "answer": "64", "process": "1. 已知条件为：平行四边形的一组邻边分别为20 cm和12 cm，且其夹角为60度。##根据平行四边形的周长公式，得：周长=2*(20+12)=64 cm##。

####

##2##. 经过推理，我们算出平行四边形的周长为64 cm。", "elements": "平行四边形; 平行线; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中的四边形是一个平行四边形，两组对边平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "平行四边形的两组邻边分别为20 cm和12 cm，因此周长P = 2(20 + 12) = 64 cm。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2412/img_diagram.png", "question": "J K L M 是一个矩形。M L P R 是一个菱形。\\angle J M K \\cong \\angle R M P, m \\angle J M K = 55, 和 m \\angle M R P = 70。求 m \\angle K M L。", "answer": "35", "process": "1. ##已知条件为JKLM是一个矩形，根据矩形的定义，得出∠ JML是直角，即∠JML = 90°##。

2. ##根据题意∠ JMK= 55°##，

##3. 所以∠KML=∠ JML-∠ JMK=90°- 55°＝35°##

####", "elements": "矩形; 菱形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形JKLM是一个矩形，其内角∠JML, ∠MLK, ∠LKJ, ∠KJM都是直角（90度），且边JK与边ML平行且等长，边JM与边KL平行且等长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2705/img_diagram.png", "question": "求y，使得四边形是平行四边形。", "answer": "31", "process": "1. 已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形中的对角##相等。因此，角(6y - 57)° = 角(3y + 36)° ##。

2. ##解方程，得到：3y = 93。

####

##3##. 解出y的值，得到##y = 31##。

####

##4##. 根据计算结果，我们得出答案为##y = 31##。", "elements": "平行四边形; 同旁内角; 邻补角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形是一个平行四边形，上方边与下方边平行且相等，左方边与右方边平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形中，对角(6y - 57)° 和 (3y + 36)°相等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2545/img_diagram.png", "question": "求阴影区域的面积。四舍五入到十分位。", "answer": "58.9", "process": "1.根据图形，三个小半圆排列在一条直线上，并且它们的直径之和为15。假设每个小半圆的直径为d，那么3d = 15，求出d = 5。

2. 基于已知条件，三个小半圆的直径都是5，因此每个小半圆的半径r = 2.5。

3. 由此可求出每个小半圆的面积A = π * ##r?## / 2，其中r = 2.5，因此A = π *## (2.5) ?## / 2。

4. 计算得到每个小半圆的面积A = (π * 6.25) / 2 ≈ 9.821。

5. 计算三个小半圆的总面积为3 * A ≈ 3 * 9.821 = 29.463。

6. 依据图形的大半圆，直径也是15，因此大半圆的半径R = 7.5。

7. 通过几何公式求出大半圆的面积为##B = π * R? / 2，其中R = 7.5，所以B = π * (7.5) ? / 2##。

8. 计算得到大半圆的面积##B = (π * 56.25) / 2 ≈ 88.358##。

9. 最后，阴影区域的面积即为大半圆面积减去三个小半圆总面积，即阴影区域面积 = ##B## - 3 * A ≈ 88.358 - 29.463 = 58.895

10. 四舍五入到最近的十分位，阴影区域的面积为58.9。", "elements": "圆; 扇形; 弧; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半圆的定义", "content": "半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。", "this": "每个小半圆由直径（d=5）和与之相对应的圆弧构成；大半圆由直径（15）和其对应的圆弧构成。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "小半圆的半径为2.5，即从小半圆的圆心到圆上的任意一点的线段长度为2.5；大半圆的半径为7.5，即从大半圆的圆心到圆上的任意一点的线段长度为7.5。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "小半圆的直径为5，大半圆的直径为15。小半圆的直径连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即小半圆的直径为2 * 2.5 = 5。大半圆的直径连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即大半圆的直径为2 * 7.5 = 15。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = ##πr?##，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "在本题图中，三个小半圆和一个大半圆中，圆的半径分别是2.5和7.5。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径的平方。每个小半圆的面积为A = π * ##(2.5) ?## / 2，大半圆的面积为##B = π * (7.5) ?## / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2404/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle C A M。", "answer": "28", "process": "1. ##设图中，上面的三角形直角是角ABM，下面的三角形直角是角TDM，由直角三角形的定义可得：∠ABM=∠TDM=90°，所以三角形ABM和三角形TMD均为直角三角形。由直角三角形全等判定（斜边、直角边）可知，MT＝MA（均为圆的半径），MB＝MD，所以三角形TDM和三角形MBA全等。##

2. ##由全等三角形的定义可得，∠MTD=∠CAM＝28°。##

####", "elements": "圆; 垂线; 圆内接四边形; 圆周角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等", "this": "直角三角形TDM和直角三角形MBA中，角ABM和角TDM都是直角（90度）。如果边MA等于边MT（斜边），并且边MD等于边MB（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形TDM和MBA全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等", "this": "三角形TDM和三角形MBA是全等三角形，三角形TDM的对应边和对应角与三角形MBA相等，即： 边MT = 边MA，边MD = 边MB，边TD = 边AB，同时，对应的角也相等： 角MTD = 角MAB，角MDT= 角MBA，角TMD = 角AMB。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆M中，点M是圆心，点A是圆上的任意一点，线段MA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段MA是圆的半径。圆M中，点M是圆心，点T是圆上的任意一点，线段MT是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段MT是圆的半径。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "三角形ABM中，角ABM是直角（90度），因此三角形ABM是一个直角三角形。边AB和边MB是直角边，边MA是斜边。三角形TMD中，角TDM是直角（90度），因此三角形TDM是一个直角三角形。边TD和边MD是直角边，边MT是斜边。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2460/img_diagram.png", "question": "求 x。将角度值四舍五入到最接近的度数。", "answer": "98", "process": "1. 已知这是一个包含角和边长的三角形，根据图示中未标出直角，可得该三角形是一个任意角三角形。##设边长为29和61的两条边的夹角为∠B，x°对应的角为∠C，第三个角为∠A。∠A对应边为a，边长29，∠B对应边为b，边长50，∠C对应边为c，边长61##。

2. 根据余弦定理，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(γ)，其中a、b、c分别为三角形的三边，且γ为####边a和b的夹角。

3. 对于三角形中已经给出的边长61（c），50（b），和29（a），使用余弦定理求角 x 对应的余弦值：61^2 = 29^2 + 50^2 - 2 * 29 * 50 * cos(x)。

4. 计算61^2 = 3721，29^2 = 841，50^2 = 2500。

5. 将所有计算代入公式，得：3721 = 841 + 2500 - 2900 * cos(x)。

6. 简化计算：3721 = 3341 - 2900 * cos(##x°##)，由此得到2900 * cos(##x°##) = 3341 - 3721 = -380。

7. 根据以上结果，求得cos(##x°##) = -380 / 2900。

8. 计算cos(x)得到：cos(##x°##) ≈ -0.13103448。

9. 在三角函数表或用计算器对余弦值取反三角函数求出x°，可得 ##x°## ≈ 97.546度。

10. 求出的角度需四舍五入得到最近的整数度数，故 ##x°## ≈ 98度。

11. 经过上述推理，最终得出答案为##x°##大约为98度。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "余弦定理", "content": "在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边与该角所夹角的两倍余弦乘积，即 ##c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(角C)##。", "this": "在本题图中，三角形的三边分别为29、50和61，角x是由边29和边50所夹的角。根据余弦定理，边61的平方等于另外两边29和50的平方之和减去这两边与该角x所夹角的两倍余弦乘积，即61^2 = 29^2 + 50^2 - 2 * 29 * 50 * cos(x)。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2457/img_diagram.png", "question": "使用一个毕达哥拉斯三元组来找到x。", "answer": "70", "process": "1. ##由图示的图形可知，三角形中一角标有直角标记，根据直角三角形的定义，该三角形是一个直角三角形，设该三角形为ABC，其中∠ACB为直角，直角短边BC长为24，斜边长AB为74。##

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，该定理表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即c^2 = a^2 + b^2。在本题中，##已知##a = 24，b = x，c = 74。

3. 将a = 24和c = 74代入勾股定理公式，得出74^2 = 24^2 + x^2。

4. 计算74^2 = 5476和24^2 = 576。

5. 代入计算，5476 = 576 + x^2，因此x^2 = 5476 - 576。

6. 计算得x^2 = 4900。

7. 对x^2取平方根，得到x = √4900。

8. 计算√4900，得x = 70。

9. 根据上述计算，我们已得知x的值为70。", "elements": "直角三角形; 线段; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，设三角形ABC，其中∠ACB为直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，直角边分别为24和x，斜边为74，所以根据勾股定理，74^2 = 24^2 + x^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2728/img_diagram.png", "question": "求由圆和正多边形形成的阴影区域的面积。结果四舍五入到十分位。", "answer": "76.4", "process": "1.已知图形为正五边形内接于圆中，圆的半径为10cm。

2. 计算圆的面积，使用圆面积公式##A=πr?##，其中r为半径。

3. 圆的半径r为10 cm，因此圆的面积A = π ×## (10 cm) ? = 100π cm?=314.159 cm?##。

4. 由正五边形是一种正多边形的事实出发，可以将其分割成5个全等的等腰三角形。

5. 在此等腰三角形中，##圆心为顶点的每个三角形的顶角为##360°/5 = 72°。

6. 使用##三角形面积公式（使用正弦函数）##来计算单个等腰三角形的面积，用到公式: A = 1/2 × a × b × sin(C)，其中a和b为两个半径，相邻者为两腰，也等于半径10cm，角C为顶角72°。

7. 三角形的面积 = 1/2 × 10 cm × 10 cm × sin(72°) = 50 × ##sin(72°) cm?##。

8. 我们计算sin(72°), 值接近0.9511，因此, 三角形的面积 ≈ ##47.55 cm?##。

9. 计算五边形是由5个等腰三角形构成的，因此五边形的面积: 5 × ##47.55 cm? = 237.75 cm?##。

10. 找出被阴影覆盖的区域，该区域为整个圆面积减去内部五边形的面积，因此计算: ##314.159 cm? - 237.75 cm?=76.4cm?##。

####

##11##. 经过上述推理，最终得出答案为约##76.4cm?##。", "elements": "圆; 正多边形; 扇形; 弦; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆心是黑点，正五边形的一个顶点是圆上的任意一点，红色线段是从圆心到圆上任意一点的线段，因此红色线段是圆的半径，长度为10 cm。"}, {"name": "正多边形的定义", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "在本题图中，正五边形内接于圆中，所有边的长度相等，且所有内角相等。因此，正五边形是一个正多边形。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于���角的对边与斜边的比值。", "this": "等腰三角形的顶角为72°，两腰为圆的半径10 cm。根据正弦函数定义，sin(72°) = 对边 / 斜边。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "在本题图中，圆的半径是10 cm，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径10 cm的平方，即A = π(10 cm)^2。"}, {"name": "三角形面积公式（使用正弦函数）", "content": "任何三角形的面积可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边长，C是这两边的夹角。", "this": "在本题图中，正五边形被分割成5个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为72°，两腰为圆的半径10 cm。根据三角形的面积公式计算单个个等腰三角形的面积，具体公式为A = 1/2 × a × b × sin(C)，这里a和b都是圆的半径（10 cm），角C为72°，因此面积 = 1/2 × 10 cm × 10 cm × sin(72°)。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2585/img_diagram.png", "question": "将 \\sin P 的比率表示为小数，精确到小数点后两位。", "answer": "0.88", "process": "1. ##已知∠QRP=90°，根据直角三角形的定义，△QRP为直角三角形##。

2. 从图中可以看出，ΔPQR的斜边是PQ，长度为17；直角边RP为8，RQ为15。我们据此可以确认图中标注无误。

3. 所要求的sin∠P实际上是直角三角形ΔPQR中∠P的正弦值，根据定义，正弦值为对边与斜边的比值，即RQ/PQ。

4. 根据前述分析，RQ为15，PQ为17。因此sin∠P = RQ/PQ = 15/17。

5. 将分数15/17转化为小数，计算得0.882352941。

6. 将小数的结果四舍五入至小数点后两位，得到0.88。

7. 经过上述推理，最终得出答案为0.88。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形PQR中，角∠P是锐角，边RQ是角∠P的对边，边PQ是斜边。根据正弦函数定义，角∠P的正弦值等于对边RQ与斜边PQ的比值，即sin(∠P) = RQ / PQ = 15 / 17。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形PQR中，角QRP是直角（90度），因此三角形PQR是一个直角三角形。边PR和边RQ是直角边，边PQ是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2442/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "90", "process": "1. 已知四个角如下示意图所示，根据已知条件，四个角相等且均为x°。

2. ##根据对顶角的定义##，通过两条相交的直线形成的对顶角相等。在这道题中，由于给出的角度均为x°，验证了这一点。

3. 根据##邻补角的定义##，一条直线所形成的##邻补角##和为180°。

####

##4. 则相邻的两角构成： ##x° + x° = 180°。

##5##. 合并同类项可得 ##2x°## = 180°。

##6##. 将方程两边同时除以2，解得 x° = 90°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为90°。", "elements": "对顶角; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线形成四个角：左上角、右上角、左下角和右下角。根据对顶角的定义，左上角和右下角是对顶角，右上角和左下角是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以左上角 = 右下角 = x°，右上角 = 左下角 = x°。####"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "水平线上的两个邻角 x° 和 x° 有一条公共边 （水平线），它们的另一边 （垂直线）互为反向延长线，所以这两个角互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2485/img_diagram.png", "question": "在菱形 A B C D 中，A B = 2 x + 3 且 B C = 5 x。求 m \\angle A E B。", "answer": "90", "process": "1. 已知条件为##菱形 ABCD## 中, ##对角线AC和BD相交于点E##。

####

##2##. ##根据菱形的对角线性质，得出##角 AEB 和角 CEB 均为直角 (90度)。

##3##. 由此可以得出角 AEB = 90 度。

经过上述推理，最终得出答案为90度。", "elements": "菱形; 对称; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，菱形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。此外，四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点E，且角AEB是直角（90度），并且AE=EC和BE=ED。"}, {"name": "菱形的对角线性质", "content": "菱形的对角线互相平分且互相垂直。", "this": "在本题图中，菱形ABCD中，对角线AC和BD互相平分且互相垂直。具体来说，点E是对角线AC和BD的交点，且AE=EC和BE=DE。同时，角AEB和角CEB都是直角（90度），所以对角线AC和BD互相垂直。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2769/img_diagram.png", "question": "求x，使得四边形是平行四边形。", "answer": "4", "process": "1. ##设图中四边形为平行四边形ABCD，已知图中的四边形给出了内角∠BAC = 25x°, ∠ACB = 10y°, ∠ACD = 100°, ∠DAC = 40°##。

2. 为了四边形ABCD是平行四边形，##根据平行四边形的定义，平行四边形的对边平行且相等。又平行线的平行公理2和内错角的定义，内错角相等，而∠BAC和∠ACD互为内错角，所以25x°=100°##。

####

##3##. 解方程25x = 100，将等式两边同乘以1/25，得到x = 4。

##4. 所以当x=4时，该四边形为是一个平行四边形##。

####", "elements": "平行四边形; 内错角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边BC与边DA平行且相等。######"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：∠BAC和∠ACD相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线BC截交，其中∠BAC和∠ACD位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此∠BAC和∠ACD是内错角。内错角相等，即∠BAC等于∠ACD。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2475/img_diagram.png", "question": "如果 m \\\\angle 5 = 7 x - 5 和 m \\\\angle 4 = 2 x + 23，求 x。", "answer": "18", "process": "1. ##已知线l与线m平行且被直线p切割，且得∠5 = 7x - 5和∠4 = 2x + 23##。

2. 根据##平行线的平行公理2和同旁内角的定义， ∠5 和 ∠4 是同旁内角##，它们之和应是180°。

3. 因此，可以建一个方程: (7x - 5) + (2x + 23) = 180。

4. 化简这个方程后，得到9x + 18 = 180。

5. 通过减18的操作建立等式9x = 162。

6. 通过最后一部除以9，计算得x = 18。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x = 18。", "elements": "内错角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线l和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线l和直线m是平行线。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线l和m被第三条直线p所截，形成了以下几何关系：同旁内角：角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。##"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角���补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，直线l和直线m被直线p所截，角4和角5在截线p的同侧，且在被截线l和m之内，所以角4和角5是同旁内角。同旁内角角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2611/img_diagram.png", "question": "\\overrightarrow Q P 和 \\overrightarrow Q R 是相反的射线，并且 \\overrightarrow Q T 平分 \\angle S Q R。如果 m \\angle S Q R = 6 x + 8 和 m \\angle T Q R = 4 x - 14，求 m \\angle S Q T。", "answer": "58", "process": "1. 已知 \\overrightarrow{QP} 和 \\overrightarrow{QR} 为相反射线，根据射线的定义，\\angle PQR 是一条直线，因此 ##\\angle PQR## 是一个平角，##\\angle PQR ##的度数是180度。

2. 已知 \\overrightarrow{QT} 平分 \\angle SQR，根据角平分线定义，\\angle SQT = \\angle TQR。由此，我们可以得出 \\angle SQT = \\angle TQR = \\frac{1}{2} \\angle SQR。

3. 根据题意，\\angle SQR = 6x + 8 和 \\angle TQR = 4x - 14。结合平分线的定义得出 \\angle TQR = \\frac{1}{2} \\angle SQR = \\frac{1}{2}(6x + 8)。

4. 设 \\frac{1}{2}(6x + 8) = 4x - 14，解方程：

\\frac{1}{2}(6x + 8) = 3x + 4，

3x + 4 = 4x - 14，

18 = x。

5. 通过 x = 18 代入 \\angle SQR = 6x + 8，得到 \\angle SQR = 6(18) + 8 = 116。

6. 因为 \\overrightarrow{QT} 是 \\angle SQR 的平分线，所以 \\angle SQT = \\frac{1}{2}(116) = 58。

7. 因此，通过步骤推导可以得出 \\angle SQT = 58。", "elements": "射线; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角 \\( \\angle SQR \\) 的顶点是点 Q，从点 Q 引出一条线 QT，这条线将角 \\( \\angle SQR \\) 分成两个相等的角，即 \\( \\angle SQT \\) 和 \\( \\angle TQR \\) 相等。因此，线 QT 是角 \\( \\angle SQR \\) 的角平分线。代数表示时为：\\( \\angle SQT = \\angle TQR = \\frac{1}{2} \\angle SQR \\)。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线QP绕着端点Q旋转到与起始边成一条直线，形成平角PQR。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角PQR=180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2643/img_diagram.png", "question": "在图中找到 x。", "answer": "14", "process": "1. ##设∠A = (7x + 9)°，∠B = (7y - 4)°，∠C =(11x - 1)° ，∠D = (2y + 5)°，由图知有三条平行线，设为P//Q//Z（从上往下），另外两条射线为OM和ON（从上到下）##。

2. ##根据同旁内角的定义，得∠A和∠B是同旁内角，∠C 和∠D是同旁内角，根据平行线的平行公理2，得∠A+∠B=180°，∠C +∠D=180°##。

3. 得到方程：##(7x + 9)°+ (7y - 4)°=180°，(11x - 1)°+(2y + 5)°=180°##。

####

##4##. 计算得出：7x + 9 + 7y - 4 = 180 => 7x + 7y + 5 = 180 => 7x + 7y = 175。

##5##. 对7x + 7y = 175进行化简得：x + y = 25。

##6. 计算第二组方程##：(11x - 1) + (2y + 5) = 180。

##7##. 计算得出：11x - 1 + 2y + 5 = 180 => 11x + 2y + 4 = 180 => 11x + 2y = 176。

##8##. 由x + y = 25代入到11x + 2y = 176中，得到11x + 2(25 - x) = 176。

##9##. 化简方程后，得：11x + 50 - 2x = 176 => 9x + 50 = 176。

##10##. 解得x值：9x = 126 => x = 14。

##11##. 经过上述推理，最终得出答案为14。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条平行线P、Q被第三条线OM所截，两角∠A 和∠B在截线OM同侧，且在被截线P、Q之内，所以∠A 和∠B是同旁内角。同旁内角∠A和∠B互补，即∠A+∠B= 180度。同理，两条平行线Q、Z被ON所截，∠C 和∠D在截线ON同侧，且在被截线Q、Z之内，所以∠C 和∠D是同旁内角。同旁内角∠C和∠D互补，即∠C+∠D= 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线P和Q被第三条线OM所截，形成了同旁内角：∠A和∠B互补，即∠A+∠B=180°。两条平行线Q和Z被第三条线ON所截，形成了同旁内角：∠C和∠D互补，���∠C +∠D=180°。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2521/img_diagram.png", "question": "求等边三角形 R S T 的 x，如果 R S = x + 9，S T = 2 x，R T = 3 x - 9。", "answer": "9", "process": "1. 已知条件为RS = x + 9，ST = 2x，以及RT = 3x - 9。

2. ##根据等边三角形定义，三角形R S T的三条边相等##，所以有RS = ST = RT，即x + 9 = 2x = 3x - 9。

3. 首先，解方程组x + 9 = 2x：将x移到等号的一边得9 = ##2x - x##，所以##9 = x##。

4. ##接着验证，将x=9代入方程x + 9 = 3x - 9得9 + 9 = 3 x 9 - 9，简化得18 = 18，则x = 9是正确的##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x = 9。", "elements": "等边三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形RST是一个等边三角形。边RS、边ST和边RT的长度相等，并且∠RST、∠SRT和∠STR的度数相等，均为60°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2797/img_diagram.png", "question": "如果 R L = 5, R T = 9, 和 W S = 6, 求 R W.", "answer": "7.5", "process": "1. 正确理解题意：已知线段 RL = 5，RT = 9，WS = 6，要求求出 RW 的长度。

2. ##已知线段LW平行于三角形RTS的一条边TS，根据平行线分线段成比例定理，得出RL/LT = RW/WS。##

3. ##因为线段LT=RT-RL，代入已知条件得LT=9-5=4。##

4. ##将相应数值代入RL/LT = RW/WS得，5/4=RW/6。##

5. ##等式交叉相得：4RW=30。##

6. ##左右两边同除以4得，RW=30/4=7.5。##

####

##7##. 经过上述步骤，最终求出 RW 的长度为 7.5。", "elements": "普通四边形; 平行线; 内错角; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段RL、线段RT、线段LT、线段WS和线段RW是线段。线段RL具有两个端点R和L，且线段RL上的每一个点都位于端点R和端点L之间。线段RT具有两个端点R和T，且线段RT上的每一个点都位于端点R和端点T之间。线段LT具有两个端点L和T，且线段LT上的每一个点都位于端点L和端点T之间。线段WS具有两个端点W和S，且线段WS上的每一个点都位于端点W和端点S之间。线段RW具有两个端点R和W，且线段RW上的每一个点都位于端点R和端点W之间。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形RTS中，直线LW与边 TS平行，并截它的其他两边RT和RS于点L和W，那么根据平行线分线段成比例定理，有：RL/LT = RW/WS。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形RTS是由三个非共线点R、T、S及其连接线段RT、RS、TS组成的几何图形。点R、T、S分别是三角形的三个顶点，线段RT、RS、TS分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线LW和直线TS位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线LW和直线TS是平行线。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2493/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot M 中, F L = 24, H J = 48, 和 m \\\\widehat H P = 65。求 F G。", "answer": "48", "process": "1. ##已知KM⊥FG##。

2. ##点F、G、K都在圆M上，其中KM为圆M的半径，FG为圆M的弦。已知KM⊥FG，根据垂径定理，一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧##。

3. ##已知KM平分FG且KM与FG相交于点L，则L为FG中点，所以FL=GL=(1/2)FG。已知FL=24，所以FG=2FL=2*24=48##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为##FG##=48。", "elements": "圆; 弦; 圆心角; 垂直平分线; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆M中点M是圆心，半径��KM。图中所有到点M的距离等于KM的点都在圆M上。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆M中，点M是圆心，点K是圆上的任意一点，线段KM是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段KM是圆的半径。####弦的定义content:弦是连接圆上任意两点的线段。this:在本题图中，圆M中，点F和点G是圆上的任意两点，线段FG连接了这两个点，所以线段FG是圆M的弦。######"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "半径KM垂直于弦FG，那么根据垂径定理，半径KM平分弦FG，即FL=GL，并且直径KM平分弦FG所对的两条弧，即弧FK=弧GK。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2647/img_diagram.png", "question": "求x使得m \\\\parallel n。", "answer": "20", "process": "1. 已知直线 m 和 n, 以及一个截线形成的角 (4x - 23)° 和 (2x + 17)°。##设直线m为AB，直线n为CD，截线为EF，截线EF交AB为M，交CD为N。##

2. ##根据平行线的平行公理2：如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。##

3. ##根据对顶角的定义，可知角 (4x - 23)° 的对顶角为∠FMB，因此角 (4x - 23)°=∠FMB。根据同位角定义，∠FMB 和 (2x + 17)° 是同位角, 因为它们在截线的同一边并且在两直线之间。##

4. 依据##平行线的平行公理2##，若 m || n, 则##∠FMB= (2x + 17)°，已知角 (4x - 23)°=∠FMB，所以## (4x - 23)° = (2x + 17)°。

5. 解方程: 4x - 23 = 2x + 17。

6. 将 2x 移至方程左边并将 -23 移至方程右边，得出: 4x - 2x = 17 + 23。

7. 化简得到: 2x = 40。

8. 求得 x = 20。

9. 经过以上推理，若要使 m ∥ n，则 x = 20。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线 m 和直线 n 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 m 和直线 n 是平行线。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线EF和AB相交于点M，形成四个角：角EMA、角FMB、角EMB和角AMF。根据对顶角的定义，角EMA和角FMB是对顶角，角EMB和角AMF是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角EMA=角FMB，角EMB=角AMF。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线EF所截，形成了以下几何关系：同位角：角FMB和角FND相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线EF截交，其中角FMB和角FND位于截线EF的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧，因此角FMB和角FND是同位角。同位角相等，即角FMB等于角FND。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2667/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 A B C D 求 m \\angle D A B.", "answer": "101", "process": "1. 根据题目中的图形信息，##在平行四边形ABCD中两条对角线分割出了一个三角形ABD##。

2. ##已知三角形ABD中，∠ADB=59°，∠ABD=20°##。

3. ##根据三角形内角和定理，∠ABD+∠ADB+∠DAB=20°+59°+∠DAB=180°，则∠DAB=180°-20°-59°=101°##。

####

##4##. 经过计算，得##∠DAB = 101°##。

##5##. 因此，求出的##∠DAB##的度数是 ##101°##。", "elements": "平行四边形; 邻补角; 平行线; 普通四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形 ABCD 是一个平行四边形，边 AB 与边 CD 平行且相等，边 AD 与边 BC 平行且相等。######"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AB、AD、BD组成的几何图形。点A、B、D分别是三角形的三个顶点，线段AB、AD、BD分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，##三角形ABD##中，##∠ABD、∠ADB和∠DAB是三角形ABD##的三个内角，根据三角形内角和定理，即∠DAB + ∠ABD + ∠ADB = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2839/img_diagram.png", "question": "阴影区域的面积A已知。求x。A = 66 cm^2。", "answer": "13", "process": "1. 已知条件为：阴影部分为圆的半圆，面积 A = 66 ##厘米^2##。

2. ##根据圆的面积公式，圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。图中半圆面积为圆的一半，所以##半圆面积的公式为 (1/2)π##r^2##，其中 r 是圆的半径。

3. 根据已知，(1/2)π##r^2## = 66。

4. 化简该方程，得出 ##r^2## = (66 * 2) / π。

5. 解得 r = √((132) / π)。

6. 从图中可知，x 是圆的直径的一部分，即 x = 2r。

7. 故 x = 2 * √((132) / π)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 2 * √((132) / 3.14159)。##约等于13##。", "elements": "圆; 弧; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆K中，点K是圆心，半径为x/2。图中所有到点K的距离等于x/2的点都在圆K上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，JL是直径，连接了圆心K和圆周上的J、L两点，长度为2倍的半径，即JL = 2r。"}, {"name": "半圆的定义", "content": "半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。", "this": "阴影部分为圆的半圆，由直径 KL 和圆弧 JL 构成。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆K中，圆的半径是JK，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径JK的平方，即A = πJK^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2531/img_diagram.png", "question": "求三角形的周长。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "8.73", "process": "1. 观察##图中##的几何图形，并识别已知条件：该三角形为等腰三角形， 底边长为3.5英尺，##设三角形的三个顶点分别为A、B、C，则角ACB等于48°##。

2. 根据等腰三角形的##定义，得知两条腰的边长相等，即AB = AC 。再根据等腰三角形的性质得知，相等的两边所对的角相等，于是∠ABC = ∠ACB = 48°##。

3. 由于三角形的内角和为180°，应用三角形内角和定理得出：∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 48° - 48° = 84°。

4. 利用正弦定理，即：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中a为三角形的边长，A为对边的角度，计算我们未知的同长腰长（在这道题中对应AB和AC）。我们假设AB = AC = x。

5. 由于底边（BC）是已知的，可以使用正弦定理中的公式：x/sin(48°) = 3.5/sin(84°)。

6. 计算x：x = (3.5 * sin(48°)) / sin(84°) = 3.5 * 0.7431 / 0.9945 ≈ 2.617英尺。

7. 已知三角形周长为各边之和，则三角形ABC的周长为：AB + AC + BC = x + x + 3.5 = 2 * 2.617 + 3.5 ≈ 8.734英尺。

8. 将答案四舍五入到最近的百分之一，这样我们得到最终答案为8.73英尺。", "elements": "等腰三角形; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ABC = ∠ACB = 48°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "正弦定理", "content": "在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外���圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。", "this": "等腰三角形的两腰分别为AB和AC，底边为BC，底角为∠ABC和∠ACB，顶角为∠BAC。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等，即：AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠BAC) = AC/sin(∠ABC)。代入数值：x/sin(48°) = 3.5/sin(84°)，从而可以求得x ≈ 2.617英尺。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB + AC + BC。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2671/img_diagram.png", "question": "求 K L。", "answer": "12", "process": "1. 已知三角形 XYZ 和三角形 JKL 中都有一个角是 51°，##且角X=角J##。

2. ##根据相似三角形的判定定理(AA)，可以得到三角形XYZ相似于三角形JKL。##

3. ##根据相似三角形的定义，对应边成比例，即XY/JK=YZ/KL。##

4. ##代入已知边长。##

5. ##得到5/4=15/x。##

6. 我们可以在##解方程，##解出 x:

x=12。

7. 综上所述，解出 KL = 12。", "elements": "普通三角形; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角X等于角J，且角Y等于角K，所以三角形XYZ相似于三角形JKL。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形XYZ和三角形JKL是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角X = 角J, 角Y = 角K, 角Z = 角L；YZ/KL = XZ/JL = XY/JK。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2520/img_diagram.png", "question": "A B \\perp D C 和 G H \\perp F E。如果 \\triangle A C D \\sim \\triangle G E F，求 A B。", "answer": "2.2", "process": "1. 已知条件为 A B 垂直于 D C 且 G H 垂直于 F E，根据##垂线定义，得出 ∠ABC=∠GHE=90°。##。

2. 根据题意，已知 ##△ A C D ∽△ G E F##，即 △ A C D 和 △ G E F 相似，于是 ##根据相似三角形的定义得：##△ A C D 和 △ G E F 的对应角相等，对应边成比例。

3.##因为∠C=∠E（△ A C D ∽△ G E F中的对应角相等），∠ABC=∠GHE，因此△ABC和△GHE相似（根据相似三角形的判定定理(AA)），所以AC/GE=AB/GH（对应边成比例）。##

####

##4. 将已知量AC=4.4，GE=6.3，GH=3.15##代入比例关系，得出 4.4 / 6.3 = AB / 3.15。

##5##. 解比例方程，交叉相乘得到 AB = 4.4 × 3.15 / 6.3。

##6##. 计算得出 AB = 2.2。

##7##. 最终得出答案为 2.2。", "elements": "垂线; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ACD和三角形GEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠CAD = ∠EGF, ∠ACD = ∠GEF, ∠ADC = ∠GFE；AC/GE = AD/GF = CD/EF。三角形ABC和三角形GHE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠CAB = ∠EGH, ∠ACB = ∠GEH, ∠ABC = ∠GHE；AC/GE = AB/GH = CB/EH。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直", "this": "三角形ADC中，直线AB和直线CD相交形成的角∠ABC是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线CD互相垂直。三角形GEF中，直线GH和直线FE相交形成的角∠GHE是90度，因此根据垂线定义，直线GH和直线FE互相垂直。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "三角形ABC和三角形GHE中，角ABC等于角GHE，且角C等于角E，所以三角形ABC相似于三角形GHE。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2634/img_diagram.png", "question": "X Y 和 X Z 是 \\triangle R S T 的中线。求 S T。", "answer": "14", "process": "1. 已知条件为X Y和X Z是△R S T的##中线，所以点X、Y、Z都为三角形RST的三条边的中点。根据三角形中位线定理，连接三角形的两个边上的中点的##线段平行于该三角形的第三边，并且是第三边的一半。因此，##线段R S和线段RT##的中点连接线段XY平行于线段S T，并且XY等于S T的一半。##即XY∥ST，XY = 1/2 × ST##。

####

##2##. 另外，图中给出X Y = 7，为中位线段X Y，因此，##根据三角形中位线定理，得出##S T = 2 × X Y = 2 × 7。

##3##. 最后，经过上述推理，得出S T = 14。", "elements": "中点; 平行线; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形中位线定理", "content": "在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。", "this": "在本题图中，三角形RST中，点Y是边RT的中点，点X是边RS的中点，线段XY连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段XY与第三边ST平行且等于第三边ST的一半，即XY || ST，并且XY = 1/2 * ST。##"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段SR的中点为点X。根据线段中点的定义，点X将线段SR平分为两个相等的部分，即线段SX和线段RX的长度相等。即，SX = RX。同理，线段RT的中点为点Y。根据线段中点的定义，点Y将线段RT平分为两个相等的部分，即线段RY和线段TY的长度相等。即，RY = TY。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2879/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "10 \\sqrt { 3 }", "process": "1. 已知直角三角形的直角边分别为10和x，斜边为20，根据勾股定理（在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和），我们可以得到如下等式：10^2 + x^2 = 20^2。

2. 将已知值代入勾股定理的等式，得到：100 + x^2 = 400。

3. 解上述等式得到：x^2 = 300。

4. 对等式两边取平方根，得到：x = sqrt(300) 或者 x = -sqrt(300)。

5. 由于x代表边的长度，不能是负值，因此取x的正值：x = sqrt(300) = 10√3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x = 10√3。", "elements": "直角三角形; 余弦; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "该三角形是一个直角三角形，其中一个内角为90度。边长为10和x的两条边是直角边，边长为20的边是斜边。"}, {"name": "直角三角形的斜边", "content": "在直角三角形中，斜边是直角所对的边，同时也是这三个边中最长的一条边。", "this": "斜边为AB，长度为20。"}, {"name": "直角三角形的两直角边", "content": "在直角三角形中，除斜边以外的两条边称为直角边。", "this": "直角边为AC和BC，其中AC=10，BC=x。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，直角边分别为10和x，斜边为20，所以根据勾股定理，##10^2 + x^2 = 20^2##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2584/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 4 = 101。求 \\angle 6 的度数。", "answer": "101", "process": "1. 已知##∠ 4## = 101°，##并且红色箭头所示的两条直线互相平行，根据内错角的定义和平行线的平行公理2可知，被同一条直线所截的两条平行线下的∠4与∠6互为内错角，因此∠ 6 = ∠ 4##。

2. 代入已知条件##∠ 4 ##= 101°，由此可得##∠ 6## = 101°。

3. 经过上述推理，最终得出答案为101°。", "elements": "对顶角; 内错角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "两条平行直线被一条直线截交，其中角4和角6位于两平行线之间，且在截线的对侧，因此角4和角6是内错角。内错角相等，即角4等于角6。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "两条平行线被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角4和角8相等。2. 内错角：角4和角6相等。3. 同旁内角：角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2702/img_diagram.png", "question": "在 riangle P Q R 中，Z Q = 3 a - 11, Z P = a + 5, P Y = 2 c - 1, Y R = 4 c - 11, m \\\\angle P R Z = 4 b - 17, m \\\\angle Z R Q = 3 b - 4, m \\\\angle Q Y R = 7 b + 6, 和 m \\\\angle P X R = 2 a + 10。如果 R Z 是角平分线，求 m \\\\angle P R Z。", "answer": "35", "process": "1. ##已知 RZ 是 ∠QRP 的角平分线，根据角平分线定义，∠PRZ = ∠ZRQ。##即：4b - 17 = 3b - 4。

2. 解方程 4b - 17 = 3b - 4, 移项得到 b = 13。

3. 将 b = 13 代入 ∠PRZ 的表达式 4b - 17，可以得 ∠PRZ = 4×13 - 17 = 52 - 17 = 35。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠P R Z = 35°。", "elements": "普通三角形; 对顶角; 邻补角; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，ZR是角QRP的角平分线，角QRP的顶点是点R，从点R引出一条线RZ，这条线将角QRP分成两个相等的角，即角PRZ和角ZRQ相等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2890/img_diagram.png", "question": "求 P T。", "answer": "\\frac { 20 } { 3 }", "process": "1. ##由图知， ∠PRQ = 90°，根据直角三角形的定义，△PRQ是直角三角形##。

2. 在 ΔPRQ 中，##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，斜边的平方等于两条直角边的平方和，得出：##PQ? = PR? + RQ?##。

3. 代入已知数据，PQ = 25，RQ = 10 + 5 = 15，##代入等式得：25? = PR? + 15?##。

4. 计算得到：625 = ##PR?## + 225，从而得出 ##PR?##= 400。

5. 通过开平方计算得出 PR = √400 = 20。

6. ##因为 TS 是与 PQ## 平行的线段，且 RS = 10，##根据平行线分线段成比例定理##，TR : PR = RS : RQ = 10 : 15。

7. 由此比例可知 TR = (10/15) * 20。

8. 计算得：TR = (2/3) * 20 = 40/3 ####。

9. ##由图知##PT = PR - TR。

10. 代入已算出的值得：PT = 20 - 40/3。

11. 计算最终得出 ##PT =20/3## 。", "elements": "直角三角形; 等边三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形 ΔPRQ 中，角 ∠PRQ 是直角（90度），因此三角形 ΔPRQ 是一个直角三角形。边 PR 和边 RQ 是直角边，边 PQ 是斜边。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形PRQ中，直线TS与边PQ平行，并截它的其他两边PQ和RQ（或其延长线）于点T和点S，那么根据平行线分线段成比例定理，有：TR : PR = RS : RQ 即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形 PRQ 中，∠PRQ 是直角（90度），边 PR 和 RQ 是直角边，边 PQ 是斜边，所以根据勾股定理，PQ? = PR? + RQ?，即 25? = PR? + 15?。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2555/img_diagram.png", "question": "利用平行四边形 J K L M 找出 m \\angle J K L.", "answer": "80", "process": "1.##由平行四边形的邻角互补定理得出：∠JKL+∠KLM=180°##

2.##根据已知条件∠KLM=∠JLK+∠JLM=70°+30°=100°。##

3.##已知∠KLM=30°+70°=100°，代入得到 ∠JKL +100°=180°。##

4.##计算得到∠JKL=180°-100°=80°。##

####

##5##.经过上述推理，最终得出答案为 80°。##", "elements": "平行四边形; 对顶角; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形JKLM是一个平行四边形。由平行四边形的定义，边JK与边LM平行且相等，边JM与边KL平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的邻角互补定理", "content": "在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。", "this": "平行四边形JKLM中，角KLM和角JKL是相邻的内角，根据平行四边形的邻角互补定理，角KLM + 角JKL = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2734/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "120", "process": "1. ##已知三角形的三个内角相等。根据三角形的内角和定理，可知每个内角都等于60度，因此，这是一个等边三角形。##

2. ##根据三角形的外角定理，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。由图可知，x°角是���角形的一个外角，与三角形内其他两个不相邻的内角的和相等。已知等边三角形的每一个角都是60度，所以x°=60°+60°=120°##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为120度。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形是一个等边三角形。三条边的长度相等，并且三个内角的度数相等，均为60°。##"}, {"name": "等边三角形的角性质", "content": "等边三角形的每一个内角都是60°。", "this": "等边三角形中，三条边相等，因此根据等边三角形的性质，三角形的每一个内角都是60°。也就是说，每个角均为60°。####"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形的内角为∠1、∠2、∠3。三角形中，x°角是三角形的一个外角，∠1和∠2是与外角x°角不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角等于不相邻的两个内角之和，即x°角 = ∠1 + ∠2。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，三角形的一个内角为右底角，延长该角的相邻边和另一边形成的角X称为该内角的外角。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形中，三个内角的和等于180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2665/img_diagram.png", "question": "每对多边形是相似的。求 x。", "answer": "8", "process": "1.已知两个三角形是相似的，根据##相似三角形的定义，可以得到对应边的比例关系：2x/12=20/15。##

2. ## 解方程，可得：15x = 120。##

##3. 最后x = 120 / 15 = 8。##

##4. 因此，最终求得答案为x=8。##", "elements": "普通三角形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形DEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F；AB/DE = BC/EF = CA/FD。具体对应关系为：\n第一个三角形ABC的边长为12, 2x, 20，第二个三角形DEF的边长为12, y+4, 15。\n对应边成比例，因此有比例关系：\n20/15 =12/(y + 4) =2x/12 = 4/3####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2898/img_diagram.png", "question": "求该图形的面积，精确到小数点后一位。", "answer": "31.1", "process": "1. 图形由中间一个矩形和两端两个半圆组成。矩形的长边为8，短边为3。

2. 根据平面几何中长方形的面积公式，长方形的面积等于长边乘以短边，所以矩形的面积为8 × 3 = 24平方单位。

3. 两个半圆合并成一个完整的圆，该圆的直径等于矩形的短边长度，即3。

4. 圆的半径为直径的一半，即3 ÷ 2 = 1.5。

5. 根据圆的面积公式##A = πr?##，其中r为半径，因此该圆的面积为##π × (1.5)?## = 2.25π。

6. 因此，整个图形的总面积为矩形面积加上两个半圆（即一个完整的圆）的面积，为24 + 2.25π。

7. 计算24 + 2.25π ≈ 24 + 7.07 ≈ 31.07。

8. 最终求得图形的面积为31.07，四舍五入到最近十分位为31.1。", "elements": "矩形; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，图形中间部分是一个长为8，宽为3的矩形。矩形的四个内角都是直角（90度），且相对的边平行且等长。具体来说，矩形的长边为8，短边为3。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "两个半圆的圆心分别位于矩形短边的中点，半径为1.5。图中所有到这些圆心的距离等于1.5的点都在相应的半圆上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，图形两端的半圆直径为图形的短边，即3个单位，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 2 × 半径。"}, {"name": "半径的定义", "content": "��径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "每个半圆的半径为矩形的短边（3单位）的一半，即1.5单位。根据半径的定义，半径是从圆心到圆上任意一点的线段，因此在本题图中，半圆的半径为1.5单位。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形的长为8，宽为3，所以矩形的面积 = 8 * 3 = 24平方单位。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "在本题图中，由于两个半圆合并成一个完整的圆，圆的直径为3，所以半径为1.5。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径1.5的平方，即A = π(1.5)^2 = 2.25π。"}, {"name": "半圆的定义", "content": "半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。", "this": "两端的两个半圆分别由直径和圆弧构成。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2599/img_diagram.png", "question": "如果 S T = 8, T R = 4, 和 P T = 6, 求 Q R。", "answer": "9", "process": "1. ##由图可得，PT∥QR，根据平行线的平行公理2，同位角相等，即∠SPT = ∠SQR##。

2. ##又因为角S为△QSR和△PST的公共角，并且∠SPT = ∠SQR，根据相似三角形的判定定理(AA)，△QSR∽△PST##。

3. ##因为△QSR∽△PST，根据相似三角形的定义可得，ST/SR=PT/QR##。

4. ##已知ST = 8, TR = 4, 和 PT = 6, 代入上述比例式可得8/(8+4)=6/QR=8/12=6/QR，即QR=6 * 12/8=9##。

####

##5. 经上述推理可得，QR=9##。", "elements": "等腰三角形; 平行线; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线PT和QR被第三条直线SQ所截，形成了以下几何关系： 同位角：角SPT和角SQR相等。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，△QSR和△PST是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠QSR = ∠PST ,∠SPT = ∠SQR, ∠STP = ∠SRQ；ST/SR=PT/QR=SP/SQ。######"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角QSR等于角PST，且角SPT等于角SQR，所以三角形QSR相似于三角形PST。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线PT和QR被一条直线SQ截交，其中角SPT和角SQR位于截线SQ的同旁，被截两直线PT和QR的同一侧，因此角SPT和角SQR是同位角。同位角相等，即角SPT等于角SQR。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线PT和直线QR位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线PT和直线QR是平行线。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2731/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的周长。如果有必要，请四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "50", "process": "1. 已知平行四边形的两组相邻边长分别为12厘米和13厘米。根据###平行四边形的性质定理##，对边相等，即另一组边长也为12厘米和13厘米。

2. 平行四边形的周长等于其四条边的长度之和。因此平行四边形的周长为12厘米+13厘米+12厘米+13厘米。

3. 通过计算得出该平行四边形的周长为12 + 13 + 12 + 13 = 50厘米。

4. 以上计算中的每一步都是合理的####，最终的解得到了平行四边形的周长。", "elements": "平行四边形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "平行四边形的两组对边分别是12厘米和13厘米。根据定义，这两组对边分别平行且相等，因此形成平行四边形。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，已知平行四边形的一组相���边长分别为12厘米和13厘米。根据平行四边形的对边相等定理，另一组边也分别等于12厘米和13厘米。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "在本题图中，平行四边形中，边12cm和边13cm是相邻的两条边，边12cm和边13cm也是相邻的两条边。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(12 + 13) = 50cm。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2807/img_diagram.png", "question": "求 x.", "answer": "2", "process": "1. ##由图可得##：两条##弦AB和CD##交于点E，且AE=x，CE=3，##ED## = 4，##EB## = 6。

2. 根据##相交弦定理##，该定理表述为：若两条弦AB和CD相交于点E，则有##AE * EB=CE * ED##。

3. 将已知条件代入定理，得到方程##x * 6=3 * 4##。

4. 计算方程的结果，得出6x=12。

5. 解方程6x=12，得到x=2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x=2。", "elements": "圆; 弦; 点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆的弦。同理，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆的弦。"}, {"name": "相交弦定理", "content": "若两条弦AB和CD相交于点E，则有AE * EB = CE * ED。", "this": "在本题图中，圆内两条弦AB和CD相交于点E，弦AB被点E分成两段AE和EB，弦CD被点E分成两段CE和ED，根据相交弦定理，可以得出AE段的长度乘以EB段的长度等于CE段的长度乘以ED段的长度。已知AE=x、CE=3、ED=4、EB=6，则根据定理得到的方程是 x * 6=3 * 4。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2605/img_diagram.png", "question": "m \\widehat A C = 160 和 m \\angle B E C = 38。求 m \\angle A E B?", "answer": "42", "process": "1. 圆周角定理指出，圆周角等于其所对的弧所对应的圆心角的一半。而题目中给出m \\widehat{AC} = 160。

2. 根据圆周角定理，圆周角 \\angle AEC 所对的弧 AC，其对应的##圆心角##为 m \\angle AEC = \\frac{1}{2} \\times 160 = 80。

3. 然后，该图中给出的另一个角 m \\angle BEC = 38。

4. ##因此## \\angle AEB = \\angle AEC - \\angle BEC。

5. 插值上面的结果，m \\angle AEB = 80 - 38。

6. 经过上述推理，最终得出答案为42。", "elements": "圆周角; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，\\(\\angle A E C\\) 是圆周角，对应的弧是\\(\\widehat{AC}\\)，根据题意，\\(m\\widehat{AC} = 160\\)度。根据圆周角定理，\\(\\angle A E C = \\frac{1}{2} \\times 160 = 80\\)度。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆中，点A和点C是圆上的两点，设圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角AEC的顶点(点E)在圆周上，角AEC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角AEC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2774/img_diagram.png", "question": "求 x。四舍五入到十分位。", "answer": "17.4", "process": "1. 已知条件为三角形 NOP，其中## ∠NPO## = 38°，NP = 20√2，NO = x，并且 ∠NOP 为直角，##根据直角三角形的定义，因为 ∠NOP = 90°，所以三角形NOP为直角三角形 ##。

2. ##根据正弦函数定义 ，sin(∠NPO) = 对边 / 斜边 ##，其中对边是 NO，斜边是 NP。

3. 根据正弦函数定义，有 sin(38°) = NO / NP。

4. 将已知条件代入，得到 sin(38°) = x / (20√2)。

5. 查阅并计算 sin(38°)的值（sin(38°) ≈ 0.6157），并代入方程：0.6157 = x / (20√2)。

6. 通过代数运算，解出 x 的值，即 x = 0.6157 × 20√2。

7. 计算 0.6157 × 20√2 ≈ 0.6157 × 28.2843 ≈ ##17.415##。

8. 将结果四舍五入到最接近的十分位，得到 x ≈ 17.4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为17.4。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形NOP中，角∠NPO是锐角，边NO是角∠NPO的对边，边NP是斜边。根据正弦函数定义，角∠NPO的正弦值等于对边NO与斜边NP的比值，即sin(38°) = NO / NP。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角∠NOP是直角（90度），因此三角形NOP是一个直角三角形。边NO和边PO是直角边，边NP是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2692/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "3.5", "process": "1. 已知 ##点W 、 点W'和点F## 在同一直线上，根据图示，##线段 WW' = x 和线段 W'F=10.5 ##是靠近 F 点的两部分，总和为 14 的直线段。

2. 根据线段相加的计算规则，##WF = W'W + W'F=x+10.5=14##。

####

##3##. 计算得出，WW' = 3.5。

####

##4##. 从上面的推理步骤可以推出，最终得出答案 x = 3.5。", "elements": "平行四边形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段 WF 是一个直线的一部分，包含端点 W 和端点 F及其间的所有点，长度为 ##14##。线段 WW' 是一个直线的一部分，包含端点 W 和端点 W'及其间的所有点，长度为 x。线段 W'F 是一个直线的一部分，包含端点 W' 和端点 F及其间的所有点，长度为 ##10.5##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2768/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 1 = 50 和 m \\angle 3 = 60。求 \\angle 4 的度数。", "answer": "50", "process": "1. ##已知条件为∠1 = 50° ，∠3 = 60°，j ∥k，m ∥ n，p ∥q 。##

2. ##根据对顶角的定义，设j 与 q 相交形成的另一锐角为∠a，则∠1 与∠a 为对顶角，∠1 = ∠a =50°；设p 与k 相交形成的另一锐角为∠c，则∠4 与∠c 为对顶角，∠4 =∠c；根据同位角的定义，j ∥k 且与 q截交于两点，设k 与q 相交形成的右上侧锐角为∠b，则∠b 与∠a 为同位角，根据平行线的平行公理2，得∠a =∠b（同位角相等）。##

3. ##已知p ∥q 且与k 截交于两点，根据内错角的定义可得，∠b 和∠c 是内错角，再根据平行线的平行公理2可得，∠b =∠c（内错角相等）。##

4. ##代入已知条件，∠1 = ∠a =50°，∠a =∠b，∠b =∠c，∠4 =∠c，所以∠4 = ∠c = ∠b =∠a =∠1 =50°。##

5. 经过上述推理，最终得出答案为##∠4 ##= 50°。", "elements": "同位角; 内错角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "j ∥ k 且与 q截交 形成 ∠b 与 ∠a，则 ∠b 与 ∠a 为同位角。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线p 和q 被一条直线k 截交，其中∠b 和∠c 位于两平行线之间，且在截线k的对侧，因此∠b 和∠c 是内错角。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线 j 和 k 被第三条 直线 q 所截，形成了以下几何关系：同位角：角a和角b相等。两条平行线 p 和 q 被第三条 直线 k 所截，形成了以下几何关系：内错角：角c和角b相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线j 和 k相交于一点，形成四个角。根据对顶角的定义，角1和角a是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角1=角a。两条相交直线p 和 k相交于一点，形成四个角。根据对顶角的定义，角4和角c是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角4=角c。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2828/img_diagram.png", "question": "\\triangle J K L \\sim \\triangle W Y Z。求 x。", "answer": "21", "process": "1. 给定条件是ΔJKL与ΔWYZ相似，根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等。

2. 由图中可以看出，∠J与∠W对应，∠K与∠Z对应，∠L与∠Y对应。

3. 由于∠W = 71°，且∠J = (4x - 13)°，因此根据相似三角形的对应角相等，可以得到 ∠J = ∠W。

4. 根据步骤3，得出方程 (4x - 13)° = 71°。

5. 解方程 (4x - 13) = 71 得到 4x = 84，x = 21。

6. 因此，x的值为21。", "elements": "普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，ΔJKL与ΔWYZ相似，因此根据相似三角形的定义有：∠J = ∠W, ∠K = ∠Y, ∠L = ∠Z；JK/WY = KL/ZY = JL/WZ。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2877/img_diagram.png", "question": "求正多边形的面积。结果保留到最接近的十分位。", "answer": "65", "process": "1. 已知一个正六边形的中心到其任意一个顶点的距离是5米，##根据正多边形的定义##，其所有边的长度相等，其内角也相等。

2. ##设正六边形的中心为O，那么从六个顶点到中心O的距离都是5米，从六个顶点到中心O的线段可以将该正六边形分成6个三角形，根据全等三角形判定定理(SSS)，从六个顶点到中心O的距离都是5米，正六边形六条边相等，则这六个三角形全等。##

3. ##由图可知，中心O所在的六个角之和为360°，则一个角为360°/6 = 60°，得出六个全等三角形为全等的等边三角形，边长为5米。##

4. ##正多边形的面积=等边三角形的面积 *6 ，根据三角形面积公式（使用正弦函数）可得，等边三角形的面积 = (边长^2 * √3) / 4。##

5. 将边长5米代入公式计算，得到：面积 = (5^2 * √3) / 4 = (25 * √3) / 4 ≈ 10.8253 平方米。

####

##6. 总面积 = 10.8253 * 6 ≈ 64.9518 平方米。##

##7##. 最终，经过上述推理，得出答案为64.9518平方米，四舍五入到小数点后1位，结果是65.0平方米。", "elements": "正多边形; 旋转; 正弦; 余弦; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正多边形的定义##", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "在本题图中，正六边形中，所有边的长度相等，且所有内角相等。因此，正六边形是一个正多边形。正六边形的中心到任意一个顶点的距离为5米。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，正六边形可以分为6个全等的等边三角形。每个等边三角形的三条边长度相等，均为5米，并且每个内角都相等，均为60°。##"}, {"name": "全等三角形判定定理(SSS)", "content": "两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。", "this": "从六个顶点到中心O的线段为5米, 正六边形中，所有边的长度相等, 因此根据全等三角形判定定理(SSS), 图中六个三角形全等."}, {"name": "三角形面积公式（使用正弦函数）", "content": "任何三角形的面积可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边长，C是这两边的夹角。", "this": "在本题图中，六个三角形为等边全等三角形，每个边长度为5米，夹角均为60°。根据三角形面积公式，题中一个等边三角形的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * 5 * 5 * sin(60°)。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2931/img_diagram.png", "question": "在给定的平行四边形中找到 w。", "answer": "5", "process": "1. 已知四边形 FGHJ 是平行四边形，##故设两条对角线FH和GJ相交于点K##，根据平行四边形的##性质定理##，平行四边形对角线互相平分，即 FK = ##KH##。

2. ##由图可得FK=4w-7，KH=2w+3，代入上式可得4w - 7 = 2w + 3##。

3. 解方程 4w - 7 = 2w + 3，得到：2w = 10，故 w = 5。

4. 经过上述推理，最终得出答案为 5。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形 FGHJ 是一个平行四边形，边 FG 与边 JH 平行且相等，边 FJ 与边 GH 平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形 FGHJ 中，对角 ∠FGH 和 ∠HJF相等，对��� ∠GFJ 和 ∠JHG 相等；边 FG 和 JH 相等，边 FJ 和 GH 相等；对角线 FH 和 GJ 互相平分，即交点 K 将对角线 FH 分成两段相等的线段 FK 和KH，将对角线 JG分成两段相等的线段 JK 和 KG。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2729/img_diagram.png", "question": "利用平行四边形 M N P R 求 x。", "answer": "8", "process": "1. 已知平行四边形 M N P R，由定义可知，对边相等，因此 M N = P R。

2. 令 M N = 3x - 4，P R = 20，根据平行四边形的性质，3x - 4 = 20。

3. 解方程 3x - 4 = 20，得到 3x = 24，接着x = 24 / 3 = 8。

4. 经过上述推理，得出 x = 8。", "elements": "平行四边形; 平行线; 对顶角; 内错角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形 M N P R 是一个平行四边形，边 M N 与边 P R 平行且相等，边 M R 与边 N P 平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形 M N P R 中，边 M N 和 P R 相等，边 M R 和 N P 相等；对角线 M P 和 N R 互相平分，即交点 Q 将对角线 M P 分成两段相等的线段 M Q 和 Q P，将对角线 N R 分成两段相等的线段 N Q 和 Q R。由 M N = 3x - 4 和 P R = 20，可得 3x - 4 = 20。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2851/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "93", "process": "1. ##设该三角形为ABC，已知条件为∠A =52°，∠B =35°，∠C =x°。##

2. ##根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°。##

3. 代入已知条件可得，52° + 35° + x° = 180°。

4. 通过计算，x° = 180° - 52° - 35°。

5. 经过计算，x = 93°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x = 93°。，", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形的三个内角分别为52°、35°和x°。根据三角形内角和定理，52° + 35° + x° = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2872/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 1 的度数。", "answer": "109", "process": "1. ##根据圆心角的性质和圆心角的定义，设218°弧所对的圆心角为∠2，即∠2=218°##。

2. 根据圆周角定理：##在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##。

3. 圆周角 (##∠ 1##) 等于相应的圆心角（218°）的一半。

4. 计算## ∠ 1 ##= 218° ÷ 2 = 109°。

5. 经过推理，最终得出## ∠ 1##的度数为109°。", "elements": "圆周角; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆周角 ∠1对应的弧测得的圆心角是218°。根据圆周角定理，圆周角（即 ∠1）等于相应的圆心角（即218°）的一半，即 m ∠1 = 218° ÷ 2 = 109°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆中，角1的顶点在圆周上，角1的两边分别与圆相交于两点。因此，角1是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "连线圆心和圆上两点组成的角∠2称为圆心角。"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "在本题图中，已知圆心角∠2所对的圆弧度数为218°。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠2的度数=218°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2902/img_diagram.png", "question": "求 J K 的度量。", "answer": "31", "process": "1. ##已知KN=NL，∠JNL=∠JNK=90°。##

2. ##三角形JNK和三角形JNL共用一条直角边JN，则根据全等三角形判定定理(SAS)可得，三角形JNK全等于三角形JNL，那么JK=JL，因此可得6x + 7 = 9x - 5。##

3. 将方程6x + 7 = 9x - 5进行解算，首先两侧同减6x得到7 = 3x - 5。

4. 双侧同时加5得到12 = 3x。

5. 将两侧同时除以3得到x = 4。

6. 将x = 4代入到原来已知的6x + 7中，##得6*4 + 7 = 24 + 7 = 31##。

7. 因此，JK的度量为31。

##8.经过上述推理，最终得出答案为31。##", "elements": "等腰三角形; 中点; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形JNK和三角形JNL中，边JN为两三角形共用边，边KN与边NL相等，且夹角JNL与夹角JNK相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形JNK和三角形JNL是全等三角形，三角形JNK的对应边和对应角与三角形JNL相等，即：\n边JN = 边JN\n边JK = 边JL\n边KN = 边LN\n同时，对应的角也相等：\n角JNK = 角JNL\n角JKN = 角JKL\n角KJN = 角LJN"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2764/img_diagram.png", "question": "求图中变量y的值。", "answer": "50", "process": "1. ##设两条水平直线A和B被一条斜线C所截。从图中观察可以确定：直线A和B平行，根据平行线的平行公理2，同位角相等，即(3x - 15) °=105°##。

2. ##解方程 (3x - 15)°= 105°，消除括号得出 3x - 15 = 105##。

3. ##把方程左右两边同时加上15，得到 3x = 120##。

4. ##两边同除以3，得 x = 40##。

5. ##再设直线A与斜线C相交的点为D，直线B与斜线C相交的点为E，根据对顶角的定义，角BED=105°##。

6. ##又根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，满足：(y + 25) °+ 角BED= 180°##。

7. ##去括号##得 y + 25 + 105 = 180。

8. 合并常数 y + 130 = 180。

9. 从方程左边减130得到 y = 180 - 130。

10. 计算得到 y = 50。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 y = 50。", "elements": "内错角; 对顶角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角(3x - 15)°和角105°相等。2. 同旁内角：角(y + 25)°和角BED°互补，即(y + 25) + 105 = 180度。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线A和B被一条直线C截交，其中(3x - 15) °和105°位于截线C的同旁，被截两直线A和B的同一侧，因此(3x - 15) °和105°是同位角。同位角相等，即(3x - 15) °等于105°。####"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线A和B被第三条直线C所截，两角(y + 25)°和BED在截线C同侧，且在被截线A和B之内，所以角(y + 25)°和角BED是同旁内角。同旁内角(y + 25)°和角BED互补，即角(y + 25)° + 角BED= 180度。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线B和C相交于点E，根据对顶角的定义，角105°和角BED是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角105°=角BED。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线A和直线B位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线A和直线B是平行线。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2920/img_diagram.png", "question": "对于梯形 Q R T U，V 和 S 是两条腿的中点。如果 Q R = 4 且 U T = 16，求 V S。", "answer": "10", "process": "1. 已知四边形 QRTU 是梯形，QR 是上底，UT 是下底，且 QR = 4, UT = 16。

2. 根据梯形中位线定理，中位线的长度等于上底和下底长度的平均值。

3. 梯形 QRTU 中，V 和 S 分别是##脚 UQ 和 RT ##的中点。

4. 根据上述已知条件，VS 是梯形 QRTU 的中位线。

5. 依据梯形中位线定理，VS = (QR + UT) / 2。

6. 代入已知条件，VS = (4 + 16) / 2 = 20 / 2 = 10。

7. 经过上述推理，最���得出答案为 VS = 10。", "elements": "梯形; 中点; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，四边形QRTU中，边QR和边UT是平行的，而边QU和边RT不平行。因此，根据梯形的定义，四边形QRTU是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。####"}, {"name": "梯形中位线定理", "content": "梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。", "this": "在本题图中，梯形QRTU中，边QR和边UT是梯形的两条底边，点V和点S是梯形两腰的中点，线段VS是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段VS平行于边QR和边UT，并且线段VS的长度等于边QR和边UT长度和的一半，即VS = (QR + UT) / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2892/img_diagram.png", "question": "在 riangle X Y Z 中，P 是重心，K P = 3，且 X J = 8。求 Y J。", "answer": "8", "process": "1. ##已知三角形XYZ 中，P 是重心，根据重心定理，ZJ为从顶点Z到XY边的中线，由三角形中线的定义可知，XJ=YJ。##

2. ##已知XJ=8，那么YJ=XJ=8。##

####

##3##.经过上述推理，最终得出答案为 YJ = 8.", "elements": "普通三角形; 中点; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "重心定理", "content": "重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。", "this": "P 是三角形XYZ 的重心。根据重心定理，重心将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。例如，在中线 XK中，P 将其分成两段，较长的一段为XP，较短的一段为PK。类似地，在中线 ZJ和中线 YL中，P 也将它们分别分成2:1的两段。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "三角形XYZ中，顶点Z是三角形的一个顶点，对边XY是与顶点Z相对的边。点J是边XY的中点，线段ZJ是从顶点Z到对边XY中点J的线段，因此ZJ是三角形XYZ的一条中线。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2808/img_diagram.png", "question": "求 x 使得 B E 和 A D 垂直。", "answer": "10", "process": "1. 题目要求 B E 和 A D 垂直，说明##∠BFD为直角##。

2. ##即 ∠BFC + ∠CFD ##= 90°。

3. 我们可以知道 ##∠BFC = 6x° 和 ∠CFD## = 3x°。

4. 将角度代入方程 ##∠BFC + ∠CFD## = 90°，即得到 6x + 3x = 90°。

5. 计算方程 9x = 90°，通过求解得到 x = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 10。", "elements": "线段; 垂线; 同旁内角; 邻补角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AD和直线BE相交形成的角∠BFD是90度，因此根据垂线定义，直线AD和直线BE互相垂直。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2781/img_diagram.png", "question": "如果 A B C D 是一个菱形，并且 m \\angle A B C = 70，求 m \\angle 1?", "answer": "55", "process": "1. 已知四边形 A B C D 是菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相平分并且垂直。

2. ##已知 ∠A B C = 70°，已知BA=BC，根据等腰三角形的定义，三角形ABC是等腰三角形，因此∠1=∠ACB## 。

3.## 在三角形ABC中，已知∠A B C = 70°，根据三角形的内角和定理，可以得出##2∠1+∠A B C=180°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 55° 。", "elements": "菱形; 等腰三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形 ABCD 中，所有的边 AB、BC、CD、DA 都是相等的，因此四边形 ABCD 是一个菱形。此外，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 互相垂直平分，即对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°，并且OA=OB=OC=OD。"}, {"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "角∠ABC是由射线BA和BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B。这个共同的端点B称为角∠ABC的顶点，而射线BA和BC称为角∠ABC的边。######"}, {"name": "三角形的内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ABC、角ACB和角BAC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角ACB + 角BAC = 180°。######"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边BA和边BC相等，因此三角形BAC是一个等腰三角形。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边BA和边BC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角BAC = 角BCA。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2837/img_diagram.png", "question": "在给定的平行四边形中找到 a。", "answer": "9", "process": "1. 题目给定的几何图形是一个##平行四边形 WXZY##。

2. ##根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角线互相平分，因此对角线的相交点为对角线的中点，平分对角线##。

3. ##设对角线的相交点为点O，所以OX=OY##。

4. ##已知OY=2，所以OX=2，即a-7=2，解得：a=9##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 a=9。", "elements": "平行四边形; 平行线; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，平行四边形 WXZY是一个平行四边形，边WX与边YZ平行且相等，边WY与边XZ平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形 WXZY中，对角∠WXZ和∠ZYW相等，对角∠YWZ和∠XZY相等；边WX和YZ相等，边WY和XZ相等；对角线WZ和XY互相平分，设交点为O，即交点将对角线WZ分成两段相等的线段WO和ZO，将对角线XY分成两段相等的线段XO和YO。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2818/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "10", "process": "1. 在所给的三角形中，角的一个已知值为 30°。##另外一外角已知为直角，根据三角形内角和定理，边10√3所对的角应为60°##。可以判断这个三角形是一个 30°-60°-90° 的特殊三角形。

2. ##根据30°-60°-90°三角形的性质##，在 30°-60°-90° 三角形中，斜边与短边的比为 2:1，##60°角所对##长边与短边的比为 √3:1。

3. 假设短边是 x####。由题中可知长边为 10√3。

4. 根据 30°-60°-90° 三角形##60°角所对##长边与短边的比例 √3:1，可建立等式：10√3 = x√3。

5. 解方程 10√3 = x√3，两边除以 √3，得 x = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 10。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "设该三角形为三角形ABC，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，设该三角形为三角形ABC，三角形ABC中，角A、角B和角C是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角B + 角C = 180°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角30°是30度，角90°是60度，角60°是90度。边y是斜边，边x是30度角所对的边，边10√3是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边x等于边y的一半，边10√3等于边x的√3倍。即：x = 1/2 * y，10√3 = x * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2937/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "12", "process": "1. ##已知该三角形有一个直角，根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形##。其中直角边分别为9和x，斜边为15。

2. 根据勾股定理，即直角三角形中，斜���的平方等于两条直角边的平方和，所以我们可以列出方程：15^2 = 9^2 + x^2。

3. 计算出15^2的值为225，9^2的值为81，因此方程变为225 = 81 + x^2。

4. 将方程中的81移到等号另一边，得到x^2 = 225 - 81。

5. 计算225 - 81的值为144，因此得到x^2 = 144。

6. 对x^2 = 144两边取平方根，得到x = 12。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "该三角形是一个直角三角形，其中一个内角为90度。直角边分别为9和x，斜边为15。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即15^2 = 9^2 + x^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2856/img_diagram.png", "question": "线段与圆相切。求 x。", "answer": "16", "process": "1. 已知条件为直线 BC 是圆的切线，点 B 是切点，AB 是圆的半径，AC 是直线。根据切线的性质，切线与半径的夹角为 90 度，即∠ABC = 90°。

2. 已知 AB = x，BC = 30，CD = 18，##根据半径的定义，所以AD也是半径##。

3. 依据##直角三角形的定义，因为∠ABC = 90°，所以三角形ABC为直角三角形##。在直角三角形 ABC 中应用##勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得：##AB^2 + BC^2 = AC^2。

4. 根据已知条件 BC = 30 和勾股定理，得到 x^2 + 30^2 = AC^2。

5. 结合线段 CD = 18####。

6. 在三角形 ACD 中，##AB 为半圆的半径，AD也是半径##，在直角三角形 ABD 中应用勾股定理得x^2 + ## 30^2## = (x + 18)^2。

####

##7##. 组合上述结果可得到 x^2 + 30^2 = ##x^2 + 36x + 324##。

##8##. 解下式 x^2 + 900 = x^2 + 36x + 324，整理得 576 = 36x，因此 x ##=## 16。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案 x ##=## 16。", "elements": "圆; 切线; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆A中，点A是圆心。图中所有到点A的距离等于x的点都在圆A上。##"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "##圆A##与直线BC有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线BC是##圆A##的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆中，点 A 是圆心，点 B 是圆上的任意一点，线段 AB 是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段 AB 是圆的半径，长度为 x。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 ABC 中，角 ∠ABC 是直角（90度），因此三角形 ABC 是一个直角三角形。边 AB 和边 BC 是直角边，边 AC 是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形 ABC 中，角 ∠ABC 是直角（90度），边 AB 和 BC 是直角边，边 AC 是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AB^2 + BC^2，即 AC^2 = x^2 + 30^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2859/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的周长。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "44", "process": "1. ##设平行四边形四顶点为ABCD，则AD = 10米，AB =12米。##

2. ##平行四边形的周长P = 2(a + b)，即P = 2 * (AB + AD) 。##

3. ##代入等式可得，P=2 * (AB + AD) = 2 * (12米 + 10米) = 2 * 22米。##

####

##4##. 计算得出平行四边形的周长为44米。

##5##. 所以平行四边形的周长是44米。", "elements": "平行四边形; 线段; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周���等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，边AB和AD是相邻的两条边，根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2 *(AB + AD) = 2 *(12米 + 10米) = 44米。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2932/img_diagram.png", "question": "对于梯形 A B C D，S 和 T 是两腰的中点。如果 C D = 14，S T = 10，且 A B = 2 x，求 x。", "answer": "3", "process": "1. 已知条件为梯形 A B C D，S 和 T 分别是梯形的两条腰的中点。边 C D 的长度为 14，S T 的长度为 10，A B 的长度为 2 x。

2. 根据梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于两条平行线段（即上下底边）的长度之和的一半。

3. 依据上述定理，得出结论 S T = (A B + C D) / 2。

4. 代入已知数据，得到 10 = (2x + 14) / 2。

5. 将方程两边同时乘以2，得到 20 = 2x + 14。

6. 解方程 20 = 2x + 14，得到 2x = 6。

7. 最终解得 x = 3。", "elements": "中点; 平行线; 梯形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，梯形是 ABCD，其中 AB 和 CD 是两条平行边，分别称为上底和下底，AD 和 BC 是梯形的两条腰。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AC的中点为点S，线段BD的中点为点T。根据线段中点的定义，点S将线段AC平分为两个相等的部分，即AS = SC，点T将线段BD平分为两个相等的部分，即BT = TD。"}, {"name": "梯形中位线定理", "content": "梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。", "this": "在本题图中，梯形 A B C D 中，边 A B 和边 C D 是梯形的两条底边，点 S 和点 T 是梯形两腰的中点，线段 S T 是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段 S T 平行于边 A B 和边 C D，并且线段 S T 的长度等于边 A B 和边 C D 长度和的一半，即S T = (A B + C D) / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2893/img_diagram.png", "question": "将 \\cos P 的比值用小数表示到小数点后两位。", "answer": "0.47", "process": "####

##1##. 需要计算角P的余弦值，余弦值的定义是：邻边长度除以斜边长度。

##2##. 在三角形PQR中，角P的邻边是PR = 8，斜边是QR = 17。

##3##. 计算角P的余弦值，即cos P = 邻边PR / 斜边QR = 8 / 17。

##4##. 计算得出8 / 17 ≈ 0.470588235，保留到小数点后两位为0.47。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为0.47。", "elements": "余弦; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角∠PRQ是直角（90度），因此三角形PQR是一个直角三角形。边RQ和边PR是直角边，边QP是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "直角三角形PQR中，边PR是角∠PQR的邻边，边QR是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠PQR的余弦值等于邻边PR与斜边QR的比值，即cos(∠PQR) = PR / QR = 8 / 17。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2908/img_diagram.png", "question": "求y。", "answer": "5 \\sqrt { 5 }", "process": "1. 分析三角形JKL为直角三角形，##其斜边边JK上的点M使得线段LM垂直于直线KJ##，因此角JML为直角。

2. 根据直角三角形性质定理，##在直角三角形△JML，△JKL，△KML中##，如果边的长度已知，我们可以使用勾股定理来计算第三边。勾股定理表述为，在直角三角形ABC中，c为斜边，a和b为两直角边，那么##a? + b? = c?##。

3. ##在直角三角形△JML中，已知JL=y，JM=5，ML=x，角JML为直角，因此可以应用勾股定理：JM? + ML? = JL?，所以5? + x? = y?##。

4. ##在直角三角形△JKL中，已知JK=20+5=25，JL=y，KL=z，角JLK为直角，因此可以应用勾股定理：JL? + KL? = JK?，所以y? + z? = 25?##。

5.##在直角三角形△KML中，已知MK=20，ML=x，KL=z，角LMK为直角，因此可以应用勾股定理：MK? + ML? = LK?，所以x? + 20? = z?##。

6. ##由第五步可知x? = z?- 20? ##

7. ##由第三步和第六步可知y? - z?=5? - 20? ##

8. ##由第四步可知z?=25? - y? ##

9. ##由第七步和第八步可知2*y?=5? - 20?+25? ##

10. ##解出y=5√5##
", "elements": "直角三角形; 线段; 余弦; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "##在本题图中，三角形JKL中，角JLK是直角（90度），因此三角形JKL是一个直角三角形。边JL和边KL是直角边，边JK是斜边，三角形JML中，角JML是直角（90度），因此三角形JML是一个直角三角形。边JM和边ML是直角边，边JL是斜边，三角形MKL中，角LMK是直角（90度），因此三角形MKL是一个直角三角形。边ML和边KM是直角边，边LK是斜边##。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "##在本题图中，在直角三角形△JML中，已知JL=y，JM=5，ML=x，角JML为直角，因此可以应用勾股定理：JM² + ML² = JL²，所以5² + x² = y²；在直角三角形△JKL中，已知JK=20+5=25，JL=y，KL=z，角JLK为直角，因此可以应用勾股定理：JL² + KL² = JK²，所以y² + z² = 25²；在直角三角形△KML中，已知MK=20，ML=x，KL=z，角LMK为直角，因此可以应用勾股定理：MK² + ML² = LK²，所以x"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2912/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 12 = 64。求 \\angle 7 的度数。", "answer": "64", "process": "1. ##由图可得，直线y和直线z平行，并且被斜线x所截##。

2. ##已知∠12 = 64°，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可以得出∠12 = ∠7 ，则∠7=64°##。

####

##3.## 经过上述推理，最终得出答案为64°。", "elements": "平行线; 内错角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "直线w和x分别与两条平行线y和z相交，形成多个角。其中，∠12和∠7在两条平行线y和z之间，且位于直线x的两侧，因此它们是内错角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "角∠3和角∠11相等。角∠12和角∠7相等。角∠12和角∠8互补，即角∠12 + 角∠8 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2927/img_diagram.png", "question": "梯形 J K L M 的面积是 138 平方英尺。梯形 Q R S T 的面积是 5.52 平方英尺。如果梯形 J K L M \\\\sim 梯形 Q R S T，求 x 的值。", "answer": "1", "process": "1.已知梯形 J K L M 和梯形 Q R S T 相似，根据##相似多边形的面积比等于相似比的平方定理##，设梯形 J K L M 和梯形 Q R S T 的相似比为 k。

2. 根据面积比等于相似比平方的定理，得到面积比例关系 138 / 5.52 = k^2。

3. 计算比例 138 / 5.52 = 25，得到 k^2 = 25。

4. 求解相似比 k 的正数值，得到 k = 5。

5. 因为梯形 J K L M 和梯形 Q R S T 相似，对应边成比例，所以梯形##JKLM的边JK和梯形QTRS的边QT因对应5 成 5:1 比例## 。

6. 因此，x = 5 / 5 = 1。

7. 最后，得出 x 的值为 1。", "elements": "梯形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "图形JKLM和图形QTRS是相似图形。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即边JK与边QT的比等于边ML与边RS的比，且等于边QR与边LK的比。同时，它们对应的角也相等，即角MLK等于角SRQ，角TQR等于角JKL。"}, {"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "边 JK 和边 ML 是平行的，而边 JM 和边 KL 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 J K L M 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。四边形 Q R S T 中，边 QT 和边 RS 是平行���，而边 QR 和边 ST 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 Q R S T 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "相似多边形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方", "this": "多边形JKML和多边形QTRS是相似图形，边JK和边QT的比值为k，即相似比为k。所以，图形JKML的面积与图形QTRS的面积的比值等于k的平方。即：面积比 = k?。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2951/img_diagram.png", "question": "求该图形的周长。", "answer": "32", "process": "1. 已知条件为直角梯形，##其中下底为4，高为8，上底为10。设该直角梯形为直角梯形ABCD##。

2. ##过点D向上做垂直于上底AB的线段DE。则AE、DE、AD构成三角形AED，因为DE⊥AB，所以∠DEA=∠DEB=90°，所以三角形AED为直角三角形且DE≌BC##。

3. ##又因为∠DEB=90°，所以四边形EBCD为矩形，根据矩形的定义，相对的边相等，所以EB=CD=4。又因为AE+EB=AB=10，所以AE=AB-EB=10-4=6##。

4. ##在直角三角形AED中，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），所以AD^2=AE^2+DE^2。已知AE=6，DE=BC=8，所以AD^2=36+64=100，解得：AD=10##。

5. ##根据多边形的周长公式，多边形的周长等于其所有边的长度之和。所以梯形ABCD的周长P=AB+BC+CD+AD=10+8+4+10=32##。

####

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为32。", "elements": "普通多边形; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角梯形", "content": "两底边平行，且有一腰垂直于底边的梯形称为直角梯形。", "this": "直角梯形ABCD中，底边AB和底边CD是平行的，腰BC垂直于底边AB和底边CD，角ABC和角BCD为直角。因此，梯形ABCD是一个直角梯形。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形AED是由三个非共线点A、E、D及其连接线段AE、AD、ED组成的几何图形。点A、E、D分别是三角形的三个顶点，线段AE、AD、ED分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形AED中，角AED是直角（90度），因此三角形AED是一个直角三角形。边AE和边ED是直角边，边AD是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形AED中，角AED是直角（90度），边AE和ED是直角边，边AD是斜边，所以根据勾股定理，AD² = AE² + ED²。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形EBCD是一个矩形，其内角∠EBC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEB都是直角（90度），且边ED与边BC平行且等长，边EB与边CD平行且等长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2956/img_diagram.png", "question": "求 A B。", "answer": "6.25", "process": "1. ##由图可知角AEB和角CED相等，角BAE和角DCE相等，根据相似三角形的判定定理(AA)，则△ABE和△CDE相似。##

2. 由题意，给定AE = 5, ##AB## = x, CE = 8, ##DC## = 10，##根据相似三角形的定义，对应边成比例，则有AE/CE=AB/DC ##。

3. ##将已知数据代入上式可得：5/8=x/10##。

4. ##交叉相乘得：8x=50##。

5. ##化简得 x = 50/8## 。

6. ##计算得 x = 6.25##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为AB = 6.25。", "elements": "对顶角; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABE和三角形CDE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角BAE= 角DCE, 角AEB = 角CED, 角ABE = 角EDC；AE/CE = AB/DC= BE/ED。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角AEB等于角CED，且角BAE等于角DCE，所以三角形ABE相似于三角形DCE。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2960/img_diagram.png", "question": "求 \\\\sin S。", "answer": "0.6", "process": "1. 已知三角形 △ STR 中， ∠ STR 为直角 （90度），TS = 4，TR = 3，SR = 5。##根据直角三角形的定义，△ STR 为直角三角形##。

2. 根据##正弦函数定义， 在Rt△ STR 中， ∠ S 的对边为 TR，斜边为 SR，则sin∠ S=TR/SR##。

####

##3##. 代入具体边长，得到 ##sin ∠ S = TR/SR = 3/5=0.6##。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 STR 中，角 STR 是直角（90度），因此三角形 STR 是一个直角三角形。边 TS 和边 TR 是直角边，边 SR 是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形STR中，角TSR是锐角，边TR是角TSR的对边，边SR是斜边。根据正弦函数定义，角TSR的正弦值等于对边TR与斜边SR的比值，即sin(∠TSR) = TR / SR。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2965/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "1", "process": "1. ##由图可知，9x = 4x + 5 = 6x+3，根据等边三角形的定义，该图形为等边三角形##。

2. ##通过简化第一个方程 9x = 4x + 5，我们等式两边同时减去 4x 得到 5x = 5，即x=1##。

3. ##通过简化第二个方程4x + 5 = 6x+3，得到 -2x = -2，即x=1##。

4. ##通过简化第三个方程9x = 6x+3，得到 3x = 3，即x=1##。

5. 经过计算和推理，最终确定 x 的值为 1。", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形XWY是一个等边三角形。边XW、边WY和边XY的长度相等，并且角WXY、角XYW和角YWX的度数相等，均为60°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2971/img_diagram.png", "question": "用平行四边形找到b。", "answer": "11", "process": "1. 已知条件为四边形 XYZW 为平行四边形。根据平行四边形的性质##定理##，即平行四边形的对边相等，得出 WX = YZ 和 XY = WZ。

2. ##已知## WX = YZ， ##由图##可得：b + 11 = 2b。

3. 通过 b + 11 = 2b，解方程，有 b = 11。

4. 通过上述计算和平行四边形的性质，最终得出 b 的值为 11。", "elements": "平行四边形; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形 XYZW 是一个平行四边形，边 XY 与边 WZ 平行且相等，边 WX 与边 YZ 平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形 XYZW中，对角 ∠X 和 ∠Z 相等，对角 ∠W 和 ∠Y 相等；边 WX 和 YZ 相等，边 XY 和 WZ 相等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2955/img_diagram.png", "question": "\\angle 6 和 \\angle 8 是余角，m \\angle 8 = 47。求 \\angle 7 的度数。", "answer": "90", "process": "1. 已知条件为\\( \\angle 6 \\)和\\( \\angle 8 \\)互为余角，##所以两角之和为90度，因此有\\( \\angle 6 + \\angle 8 = 90 \\)度##。

2. ##根据平角的定义可知，\\( \\angle 6 + \\angle 7 +\\angle 8 = 180 \\)度，则有\\( \\angle 7 =180度 - 90度 \\)##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为90度。", "elements": "邻补角; 对顶角; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，∠6，∠7，∠8组成一个平角，即∠6+∠7+∠8=180度。####"}, {"name": "余角", "content": "如果两个锐角的和是一个直角（90°）,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。。", "this": "在本题图中，两个锐角角6和角8的和是一个直角（90°）,那么称角6和角8互为余角,简称互余,也可以说角6是角8的余角。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2982/img_diagram.png", "question": "m \\angle 4 = 42。求 m \\angle 7。", "answer": "138", "process": "1. ##已知直线a∥直线b，设直线a和直线b被直线c所截##。

2. ##根据邻补角的定义，∠3和∠4互为邻补角，已知∠4=42°，∠3=180°-∠4=180°-42°=138°。

3. ##根据平行线的平行公理2和同位角定义，∠3=∠7。

####

##4##. 因此，得m∠7 = 138°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为m∠7 = 138°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直线的定义", "content": "直线是一维的几何元素，没有宽度和厚度，且在两个方向上无限延伸。", "this": "在本题图中，直线a和直线b是一维的几何元素，没有宽度和厚度。它们在两个方向上无限延伸，不存在端点或边界。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线a和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线a和直线b是平行线。##"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角4和角3有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以角3和4互为邻补角。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线c截交，其中角3和角4位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角3和角7是同位角。同位角相等，即角3等于角7。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线c所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角3和角7相等。\n2. 内错角：角4和角6相等。\n3. 同旁内角：角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2995/img_diagram.png", "question": "\\triangle B C D \\cong \\triangle W X Y。求x。", "answer": "3", "process": "1. 已知条件为##△BCD ≌ △WXY##，根据全等三角形对应角相等，得到角B对应角W，角C对应角X，角D对应角Y。

2. 因为角B = (24x + 5)°，而角W = 77°，所以根据角B = 角W，得到方程 (24x + 5) = 77。

3. 解方程 (24x + 5) = 77 得到 24x = 72。

4. 将方程 24x = 72 两边同时除以24，得到 x = 3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x = 3。", "elements": "普通三角形; 对称; 平移", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "△BCD ≌ △WXY 表示三角形BCD与三角形WXY全等。这意味着 边BC = 边WX，边CD = 边XY，边BD = 边WY；角B = 角W，角C = 角X，角D = 角Y。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2989/img_diagram.png", "question": "对于一对相似图形，使用给定的面积求x。", "answer": "16", "process": "1.已知两个相似图形的面积分别为##400 mm?和64 mm?##。其中较大的图形的一条边为40 mm。因为图形是相似的，所以它们的对应边的比例等于相似比k。

2. 根据##相似多边形的面积比等于相似比的平方定理##，相似形的面积之比等于相似比的平方，即A1 / A2 = ##k?##，其中A1和A2分别是两个图形的面积。

3. 将已知条件代入公式##400 mm? / 64 mm? = k?##，得到##k?## = 400 / 64。

4. 计算400 / 64得结果为6.25，因此##k?## = 6.25。

5. 求k的值，k = √6.25，计算得k = 2.5。

6. 由于相似形的边长比等于相似比k，所以较小图形中对应边的长度为x mm，与较大图形的边长比为x / 40 = 1 / k。

7. 由此得出x / 40 = 1 / 2.5，解方程x = 40 / 2.5。

8. 计算40 / 2.5得x = 16。

9. 经过上述推理，最终得出答案为x = 16 mm。", "elements": "普通多边形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "左边的多边形和右边的多边形是相似图形。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即边40mm与边16(x)mm的比相似比k。同时，它们对应的角也相等，即左边的底角等于右边的底角，左边的顶角等于右边的顶角。####"}, {"name": "相似多边形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "多边形A1和多边形A2是相似图形，边40mm和边Xmm的比值为k，即相似比为k。所以，图形A1的面积与图形A2的面积的比值等于k的平方。即：面积比 = k²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2996/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 P Q R S 找到 Q P。", "answer": "5", "process": "1. 已知条件为平行四边形 PQRS，其中 ##∠PQR = 128°，PS=3，RS=5##。

2. ##根据平行四边形的定义##，平行四边形的对边平行且等长，所以 ##QP = RS=5 和 QR = PS=3##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为##QP## = 5。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 内错角; 同旁内角; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形PQRS是一个平行四边形，边PQ与边RS平行且相等，边QR与边PS平行且相等。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/110.png", "question": "如图所示,直线a,b相交于点O,若∠1等于50°,则∠2等于()", "answer": "50°", "process": "1. 已知直线a和直线b相交于点O，根据∠1等于50°的已知条件。

2. 由##对顶角的定义##可知，####在本题中，##∠2 和 ∠1##是一对对顶角，因此它们相等。

3. 根据##对顶角的定义##，得到##∠2 = ∠1## = 50°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "直线; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，直线a和直线b相交于点O，形成了四个角。根据对顶角的定义，∠1和∠2是对顶角，另外两个角是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠1=∠2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/200.png", "question": "直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于()", "answer": "110°", "process": "1. 已知∠1 = 58°，∠2 = 58°，依据##同位角定义##，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则这两条直线平行。因此，直线a平行于直线b。

2. ##设∠4的对立角为∠5，根据对顶角的定义，∠4=∠5##。

3. ##依题意得∠3 = 70°，由于直线a平行于直线b，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，则∠5+∠3=180°，得∠5+70°=180° ，即∠5=180°-70°=110°##。

4. ##又因第二步得∠4= ∠5##，因此，∠4 = ∠5 = 110°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为110°。", "elements": "平行线; 内错角; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直线a和直线b被直线d所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：∠1和∠2相等。2. 同旁内角：∠3和∠5互补，即∠3 + ∠5 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线a和b被第三条直线d所截，两角3和5在截线d同侧，且在被截线a和b之内，所以角3和5是同旁内角。同旁内角3和5互补，即角3 + 角5 = 180度。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线a和b被一条直线c截交，其中角1和角2位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角1和角2是同位角。同位角相等，即角1等于角2。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线b和d相交于一点，形成两个角：角4、角5。根据对顶角的定义，角4和角5是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角4=角5。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/235.png", "question": "(4分)如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,∠1=50°,则∠2的度数为()", "answer": "130°", "process": "1. ##设直线c与直线a相交于O点##。

2. ##根据对顶角的定义，∠1与∠DOa是对顶角且角度相等，∠DOa=∠1=50°。因为直线a∥b，根据同旁内角的定义，得∠2和∠DOa是同旁内角，根据平行线的平行公理2，得同旁内角互补，则∠2+∠DOa=180°##。

3. ##将数值代入等式中得∠2+50°=180°##。

4. ##计算得 ∠2= 180°-50°=130°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为130°。", "elements": "平行线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线a和b被第三条直线c所截，两角∠2和∠DOa在截线c同侧，且在被截线a和b之内，所以∠2和∠DOa是同旁内角##。##"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线a和c相交于点O，形成的角：∠DOa、∠1。根据对顶角的定义，∠1和∠DOa是对顶角，由于对顶角的角度相等，所以∠DOa=∠1##。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "直线a∥b，直线c分别与a、b相交于O、D两点，形成几何关系：同旁内角，∠2和∠DOa互补，即∠2+∠DOa=180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2963/img_diagram.png", "question": "在图中，C P 是高，C Q 是 \\\\angle A C B 的角平分线，R 是 A B 的中点。求 m \\\\angle A C Q 如果 m \\\\angle A C B = 123 - x 并且 m \\\\angle Q C B = 42 + x。", "answer": "55", "process": "1.根据问题，##CQ是角ACB的角平分线##，因此角 A C Q 和角 Q C B 分割角 A C B。

2. 已知 ∠ A C B = 123 - x 和 ∠ Q C B = 42 + x，####得∠A C Q = ∠A C B - ∠Q C B = (123 - x) - (42 + x)。

3. 由上述计算，∠A C Q = 123 - x - 42 - x = 81 - 2x。

4. 根据角平分线的定义，C Q 是 ∠ A C B 的角平分线，故有 ∠ A C Q = ∠ Q C B。

5. 结合步骤4, 此时我们通过等式得到∠A C Q = 42 + x = 81 - 2x。

6. 在等式 81 - 2x = 42 + x 中解出 x，81 - 42 = 3x，得 x = 13。

7. 代入 x = 13 到 ∠ A C Q = 81 - 2x ，即为 81 - 2(13) = 81 - 26 = 55。

####

经过以上计算最终得出∠A C Q的度数为 55。", "elements": "垂线; 中点; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角 A C B 的顶点是点 C，从点 C 引出一条线 C Q，这条线将角 A C B 分成两个相等的角，即角 A C Q 和角 Q C B 相等。因此，线 C Q 是角 A C B 的角平分线。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/249.png", "question": "如图,为测量学校旗杆的高度,小东用长为3.2米的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8米,与旗杆相距22米,则旗杆的高度为()米.", "answer": "12", "process": "1. ##设竹竿的高度是BC=3.2（字母顺序从上往下），旗杆高度为EF=x （字母顺序从上往下），竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点设为A点##。

2. 由于竹竿和旗杆的影子顶部在同一点重合，##即△ABC 和△AEF共用∠A，因为BC、EF分别是竹竿和旗杆的高度，根据高的定义，所以BC⊥AE，EF⊥AE，所以∠BCA=∠EFA=90°，根据相似三角形的判定定理(AA)，得△ABC∽△AEF##。

####

##3. 由题意可知AF= AC + CF = 8 + 22 = 30##。

####

##4. 根据相似三角形的定义，得到关系式：AC/AF = BC/EF##。

##5##. 将已知的长度代入比例关系式得：## 8 / 30=3.2 / x ##。

##6##. 解方程得：##x = 3.2 * （30 / 8）##。

##7##. 计算得：x = 12。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为12米。", "elements": "普通三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，△ABC和△AEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：AC/AF = BC/EF = AB/AE。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似���", "this": "在本题图中，设竹竿的高度是BC=3.2（字母顺序从上往下），旗杆高度为EF=x （字母顺序从上往下），竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点设为A点，在△ABC和△AEF中，因为∠A=∠A，且∠BCA=∠EFA=90°，所以△ABC相似于△AEF。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "设旗杆的高度是EF，从顶点E垂直于对边AF的线段EF是该顶点E的高。线段EF与边AF形成一个直角（90度），这说明线段EF是从顶点E到对边AF（或其延长线）的垂直距离，所以∠EFA=90°。同理，设竹竿的高度是BC，从顶点B垂直于对边AF的线段BC是该顶点B的高。线段BC与边AF形成一个直角（90度），这说明线段BC是从顶点B到对边AF（或其延长线）的垂直距离，所以∠BCA=90°。所以∠BCA=∠EFA=90°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/430.png", "question": "如图,C是⊙O上一点,O是圆心,若∠C=35°,则∠AOB的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 以O为圆心，####C为圆周上任意一点。

2. ##根据圆周角的定义，∠C为圆周角且等于35°##。

3. ##根据圆心角的定义，∠AOB 是圆心角。根据圆周角定理，得∠C=?∠AOB##。

4. 计算得出 ##∠AOB =2 ∠C=2 × 35° = 70°##。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOB = 70°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆 O 中，角 ACB 的顶点 C 在圆周上，角 ACB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B。因此，角 ACB 是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = ?∠AOB，则∠AOB=2∠ACB=2∠C。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/3001/img_diagram.png", "question": "求 \\\\widehat J K 的长度。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "1.05", "process": "1. ##已知弧长JK对应的圆心角∠KCJ＝30°，应用角度与弧度的换算公式，弧度=角度*（π/180）＝30*（π/180）＝π/6。##

2. ##利用扇形的弧长公式计算弧长JK，扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr，将θ= π/6，r＝2代入，L＝π/3。##

3.##π取近似值3.1415926，计算结果四舍五入到小数点后两位最终得1.05。##

4.##经过上述推理，最终得出答案为1.05英尺。##

####", "elements": "弧; 圆心角; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆C中，点C是圆心，半径为2英尺。图中所有到点C的距离等于2英尺的点都在圆C上。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆心为点C，点J和点K是圆上的两点，连线CJ和CK组成的角∠JCK称为圆心角，其顶点在圆心C，且该角度为30°。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "弧长JK就是要计算的弧度对应的圆弧长度。圆心角∠JCK为30°，其弧度数为θ（弧度） = θ（度数） × π / 180，即30° = 30 × π / 180 = π / 6。将半径2英尺和弧度π / 6代入弧长公式，弧长=2 × π / 6 = π / 3。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）", "this": "∠KCJ的角度是 30°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即30*（π/180）。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/26.png", "question": "如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平��离)为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为()", "answer": "5m", "process": "1. ##已知坡度为0.75，株距即水平距离为4米，设坡面的斜角为∠BAC，画辅助线AB为水平距离，CB垂直于AB，则∠B=90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形。##

2. 因为坡度为0.75，即tan(∠BAC)=0.75，根据正切函数定义，##tan(∠BAC)=CB/AB##。

3. 因AB=4米，并且tan(∠BAC)=0.75，由以上方程可得：##CB = 0.75 × AB = 0.75 × 4 = 3米##。

4. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形ABC中，AC的长度（即坡面距离）可以表示为：AC=√(AB^2+CB^2)##

5. 代入已知的AB和CB的长度，得到##AC=√(4^2+3^2)=√(16+9)=√25=5米##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为5米。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角B是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边CB是直角边，边AC是斜边。##"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形ABC中，∠BAC是锐角，边CB是角∠BAC的相对直角边，边AB是∠BAC的相邻直角边，所以∠BAC的正切值等于边CB的长度除以边AB的长度，即tan(∠BAC) = CB / AB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，∠ABC是直角（90度），边AB和CB是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AB^2 + CB^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/448.png", "question": "如图,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1等于()", "answer": "134°", "process": "1. ##过点E作FE平行于AB，已知AB∥CD，那么FE∥CD。##

2. ##根据内错角的定义，∠FEC 和∠C为内错角，∠BAE和∠AEF为内错角；根据平行线的平行公理2可得，∠FEC = ∠C，∠BAE=∠AEF。##

3. ##已知∠C = 44°，可得∠FEC = 44°。##

4. ##由图示和已知条件，∠AEC = ∠AEF+∠FEC=90°，则代入已知条件可得，∠AEF=∠AEC-∠FEC=90° - 44° = 46°。##

5. ##根据步骤2可得，∠AEF=∠BAE=46°##

6. ##根据平角的定义，A点所形成的角为平角，即∠1+∠BAE=180°。##

7. ##得到∠1 = 180° - ∠BAE = 180° - 46° = 134°。##

##8. 经过上述推理，最终得出答案为134°。##

####", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线CD和FE被一条直线CE截交，其中∠FEC 和∠C位于两平行线之间，且在截线CE的对侧，因此∠FEC 和∠C是内错角；两条平行直线AB和FE被一条直线AE截交，其中∠BAE和∠AEF位于两平行线之间，且在截线AE的对侧，因此∠BAE和∠AEF是内错角。######"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "EF平行于AB，直线AE截这两条平行线，形成了以下几何关系：内错角：∠BAE和∠AEF相等。同样，EF平行于CD，直线CE截这两条平行线，形成了以下几何关系：内错角：∠FEC和∠C相等。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线绕着端点A旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据平角的定义，平角的度数为180度，即A点形成的平角为180度。####"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "直线EF和直线CD分别与直线AB平行。根据平行线的传递性，如果直线EF平行于直线AB，且直线CD也平行于直线AB，那么直线EF和直线CD互相平行。因此，直线EF平行于直线CD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/291.png", "question": "如图所示,D是△ABC的角平分线BD和CD的交点,若∠A=50°,则∠D=()", "answer": "115°", "process": "1. 已知角A等于50度，根据三角形内角和定理，得出角ABC加上角ACB等于180度减去角A，即180度减去50度等于130度。

2. 由上述结论，以及D是三角形ABC的角平分线BD和CD的交点，根据##角平分线定义##，得出角DBC加上角DCB等于1/2乘以（角ABC加上角ACB），即1/2乘以130度等于65度。

3. 在三角形BCD中，根据三角形内角和定理，角D等于180度减去（角DBC加上角DCB），即180度减去65度等于115度。

4. 经过上述推理，最终得出答案为角D等于115度。", "elements": "普通三角形; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABC分成两个相等的角，即角ABD和角DBC相等。因此，线BD是角ABC的角平分线。同理，角ACB的顶点是点C，从点C引出一条线CD，这条线将角ACB分成两个相等的角，即角ACD和角DCB相等。因此，线CD是角ACB的角平分线。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角A、角B和角C是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°。\n在三角形BCD中，角B、角C和角D是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，∠B + ∠C + ∠D = 180°。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1561.png", "question": "如图,a//b,将一块三角板的直角顶点放在直线a上,∠1=42°,则∠2的度数为()", "answer": "48°", "process": "1. 已知∠1=42°，##因为三角板的直角顶点在直线a上，即∠CAB=90°，∠3=∠CAB-∠1=90°-42°=48°##。

2. 由于直线a平行于直线b，根据##平行线的平行公理2和内错角的定义，∠3=∠2，因此得出∠2=48°##。

3. 经过上述推理，##最终得出∠2的度数为48°##。", "elements": "平行线; 同位角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角∠CAB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边AB是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线AB截交，其中角3和角2位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此角2和角3是内错角。内错角相等，即角2等于角3。######"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：1. 同位角相等。2. 内错角：角2和角3相等。3. 同旁内角互补。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1548.png", "question": "如图,□ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于点E,则△DCE的周长为()", "answer": "8cm", "process": "1. 如图所示，四边形ABCD是一个平行四边形，周长为16厘米。

2. 根据平行四边形的##定义##，边AD等于边BC，边AB等于边CD。##根据平行四边形的周长，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，已知边AD和边CD为一组相邻的边，所以边AD + 边CD等于ABCD的一半周长，即8厘米##。

3. 因为线段AC与线段BD相交于点O，并且OE垂直于AC交于点E，所以##∠AOE = ∠COE = 90°##。

4. ##因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，根据平行四边形的性质定理，对角线互相平分，所以AO=CO。又因为∠AOE = ∠COE = 90°，△AOE和△COE共用OE为边，根据全等三角形判定定理(SAS)，两个三角形的对应两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，所以△AOE≌△COE##。

5. ##根据全等三角形的定义，对应边相等，所以AE=EC##。

6. 为了计算△DCE的周长，我们需要分别求出线段DC、线段DE和线段CE的长度，##即P=DC+CE+DE##。

####

##7. 已知AE=EC，AD=AE+DE，所以△DCE的周长P=DC+AE+DE=DC+AD##。

##8. 已知边AD + 边CD等于ABCD的一半周长，即8厘米##。所以最后得出△DCE的周长为8厘米。", "elements": "正方形; 垂线; 线段; 三角形的外角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AD与边BC平行且相等，边AB与边CD平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "平行四边形ABCD中，边AD和CD是相邻的两条边，边AB和BC也是相邻的两条边。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(AD + CD)。##"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角∠A和∠C相等，对角∠B和∠D相等；边AB和边CD相等，边AD和边BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，交点O将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形AOE和三角形COE中，边AO与边CO相等，边OE与边OE相等，且夹角AOE与夹角COE相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。####"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形DCE的三边分别为CD、CE、DE，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=CD+CE+DE。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形AOE和三角形COE是全等三角形，三角形AOE的对应边和对应角与三角形COE相等，即：\n边AO = 边OC\n边AE = 边CE\n边OE = 边OE\n同时，对应的角也相等：\n角AOE = 角COE\n角AEO = 角CEO\n角EAO = 角ECO."}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2480/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 6。", "answer": "35", "process": "##1. 在含有锐角角5和35°的三角形中，根据三角形内角和定理（一个三角形的内角和是180度），得出角5 = 180° - 35° - 90° = 55°。##

##2. 因为角5+角6=90°，所以角6 = 90° - 角5。##

####

##3. 通过步骤1可知角5 = 55°，所以角6 = 90° - 55° = 35°。##

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为角6 = 35°。", "elements": "直角三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，例如，∠1 是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点。这个共同的端点称为角1的顶点，而射线称为角1的边。同理，∠3、∠2、∠4、∠5、∠6等角也是由相应的射线组成，并且均以度数表示。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "##在本题图中，三角形中，90°角、35°角和角5是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，90° + 35° + 角5 = 180°。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/56.png", "question": "如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小()", "answer": "55°", "process": "1. 已知AB∥CD，##根据平行线的平行公理2，内错角相等，得出∠AEC=∠ECD=35°##。

2. 已知∠CED = 90°，并且##∠ECD## = 35°。

3. ##根据三角形内角和定理##，在△CED中，��CED + ## ∠ECD + ∠EDC ## = 180°。

4. ##代入已知条件得90° + 35° + ∠EDC = 180°##。

5. ##根据上一步得##∠BED = 180° - 90° - 35° = 55°。

6. ##计算出∠BED = 55°##。

##7. ##经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "平行线; 同旁内角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线EC截交，其中角AEC和角ECD位于两平行线之间，且在截线EC的对侧，因此角AEC和角ECD是内错角。内错角相等，即角AEC等于角ECD。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形CED中，角CED、角ECD和角EDC是三角形CED的三个内角，根据三角形内角和定理，角CED + 角ECD + 角EDC = 180°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线EC所截，形成了以下几何关系：内错角：角AEC和角ECD相等。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/042.png", "question": "上图扇形的面积是多少？", "answer": "49*\\pi/3", "process": "1. ##假设扇形由圆心O、半径OA和OB以及弧AB围成，已知条件为扇形的半径OA是7，圆心角AOB是120度##。

2. ##根据扇形面积公式，扇形面积 = π × r?× (θ / 360)，其中r是半径，θ是圆心角的角度##。把已知条件代入扇形面积公式，得出：扇形面积 = π × ##7?## × (120 / 360)。

3. 首先计算7的平方，即##7?## = 49。

4. 计算角度的比例，120 / 360 = 1 / 3。

5. 因此，扇形面积 = π × 49 × 1 / 3 = 49π / 3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为49π / 3。", "elements": "圆; 扇形; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "扇形由圆心O、半径OA和OB以及弧AB围成。圆心角 ∠AOB = 120°，半径OA = OB = 7。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π *## r?##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "在本题图中，扇形的半径 r = 7，圆心角 θ = 120°，根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r2计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形的面积A = (120/360) * π * 72。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。####"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆O上有两点A和B，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1549.png", "question": "如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形.若∠ABC=70°,则∠AOC的度数等于()", "answer": "140°", "process": "1. 以点O为圆心，以任意长度为半径画一个圆，称为⊙O。

2. 取圆周上三个不同点A、B、C，使得经过A、B、C的△ABC是⊙O的内接三角形。

3. 已知∠ABC = 70°。

4. 根据圆周角和圆心角的定理，在一个圆或者同一个圆的等弧所对的圆周角和圆心角之间存在关系：圆心角的度数是该弧所对的圆周角的两倍。

5. 在本题中，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角。

6. 应用上述定理，我们可以得出： ∠AOC = 2 × ∠ABC。

7. 将已知的∠ABC = 70°代入上述公式，得到： ∠AOC = 2 × 70° = 140°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "圆周角; 圆心角; 圆; 普通三角形; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2518/img_diagram.png", "question": "将 \\cos X 的比率用小数表示，并精确到小数点后两位。", "answer": "0.28", "process": "1.已知条件：直角三角形 VWX，其中 ∠VWX 为直角，WV 为 72，WX 为 21，VX 为 75。

2. 根据##直角三角形的定义##，∠VWX 为直角，##因此三角形VWX是一个直角三角形。边VW和边WX是直角边，边VX是斜边##。

3. 根据##余弦函数##：在直角三角形中，某个锐角的余弦等于该角####的邻边长度除以斜边的长度。

4. 确定 ##∠VXW## 为锐角，使用##余弦函数##，得 ##∠VXW## 的余弦为邻边 WX 长度 21 除以斜边 VX 长度 75，即##COS（∠VXW）=WX/VX=21/75##。

5. 计算 ##21/75## 的值为 0.28。

6. 最终将结果四舍五入至小数点后两位，得到 ##COS（∠VXW）##的值为 0.28。", "elements": "余弦; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "直角三角形 VWX 中，边 WX 是角 ∠VXW 的邻边，边 VX 是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角 ∠VXW 的余弦值等于邻边 WX 与斜边 VX 的比值，即COS（∠VXW）=WX/VX。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 VWX 中，角 ∠VWX 是直角（90度），因此三角形 VWX 是一个直角三角形。边 WV 和边 WX 是直角边，边 VX 是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/121.png", "question": "如图,△ABC≌△DEF,点A与D,B与E分别是对应顶点,且测得BC=5cm,BF=7cm,则EC长为()", "answer": "3cm", "process": "1. 已知△ABC≌△DEF，且点A与点D、点B与点E分别是对应顶点，根据全等三角形的定义，对应边相等，因此有边BC=边EF=5cm。

2. 已知边BF=7cm，边BC=5cm。

3. ##由图知EC=EF-CF，又因为CF=BF-BC=7cm-5cm=2cm，EF=5cm，所以EC=EF-CF=5cm-2cm=3cm##。", "elements": "线段; 普通三角形; 平移", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ABC和三角形DEF是全等三角形，三角形ABC的对应边和对应角与三角形DEF相等，即： 边AB = 边DE 边BC = 边EF 边CA = 边FD，同时，对应的角也相等： 角A = 角D 角B = 角E 角C = 角F。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1612.png", "question": "如图,一个底面圆周长为24m,高为5m的圆柱体,一只蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为()", "answer": "13m", "process": "1. ##将圆柱体的侧面展开为四边形，由于圆柱体上下底面相同，则该四边形的一组对边为底面圆周长=24m，另一组对边为圆柱的高=5m，两组对边互相平行，根据矩形的定义，可得圆柱体的侧面展开是一个矩形，矩形的宽为5m，矩形的长为圆柱体底面的周长24m。##

2. ##根据图示，在这个矩形中，点A和点B在圆柱对侧，分别处于顶部和底部的一个顶点，即A位于展开后矩形的一个顶点 ，B位于矩形底边的中点。##

3. ##设点B到点A的平行距离为BO，则点A到点O的高度AO为5m，AO垂直于BO，即∠AOB=90°，根据直角三角形的定义，三角形AOB为直角三角形；BO=底面圆周长/2=24/2=12m##

4. ##通过勾股定理（毕达哥拉斯定理），我们可以推导出在三角形AOB中，AB^2=BO^2+AO^2。##

5. ##代入已知数据得：AB = √(OB^2+ AO^2)= √(12^2+ 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13m。##

6. 因此，蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路��长为13m。", "elements": "圆柱; 平移; 圆; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆柱体", "content": "圆柱体是由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成的几何体。", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。圆柱体的底面周长为24米，高为5米。圆柱体的两个圆形基底分别是点A所在的圆形平面和点B所在的圆形平面。圆柱体的侧面展开后形成一个高度为5米，宽度为24米的矩形。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "经过圆柱体展开后，形成的四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。矩形的高度为5米，底边的长度为圆柱体底面的周长24米。点A和点B分别处于矩形的顶点和边长中点上。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "直角三角形的定义:\n'''有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。'''\n\n重点描述:\n'##在本题图中，通过将圆柱体侧面展开形成的矩形，将点A到点B的最短路线描述为一条穿过矩形的斜线，使得形成了一个直角三角形，其中AO是直角边，OB是另一条直角边，AB是斜边。##'"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，要求点A到点B的最短路线。通过将圆柱体侧面展开形成矩形，并利用形成的直角三角形，可以应用勾股定理。设矩形的高度为5米，矩形底边的一半为12米，根据勾股定理得出斜边的长度为：√(12^2+ 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13m。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/017.png", "question": "在上图中，两条线段在直线l上的一个点相交。如果y的值等于x的值的平方，y的值是多少？", "answer": "100", "process": "1. 观察图示，已知x°和y°分别是两个相交线段所夹的角，其中##y°等于x°##的平方。

2. 根据##平角的定义##，可以得到x° + y° + 70° = 180°。

3. 将y用x的平方表示，即x+ x^2 + 70 = 180。

4. 将70移到等式右侧，得到x + x^2 = 110。

5. 化简方程，得到x^2 + x - 110 = 0。

6. 解方程x^2 + x - 110 = 0，使用二次方程求根公式，x = [-b ± ##√(b^2 - 4ac)##] / 2a，其中a=1，b=1，c=-110。

7. 代入取得解：x = [-1 ± ##√(1 + 440)##] / 2，简化得到x = [-1 ± ##√(441)##] / 2。

8. ##√(441) = 21，因此x = [-1 + 21] / 2=10 或 x = [-1 - 21] / 2=-11##，只有x = 10是正数解。

9. 进一步得出y = x的平方，因此y = 10^2，即y = 100。

10. 经过上述推理，最终得出答案为y = 100。", "elements": "线段; 对顶角; 邻补角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，设直线l上的黑点为点O，直线l的一端为点M，另一端为点N，射线l从点M端绕着点O旋转到与起始边成一条直线，形成一个平角。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角NOM=180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2547/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "7", "process": "1. ##由图示可知三角形RQS有一个内切圆，圆心为W。根据内切圆可知圆心W到三角形RQS三条边的距离相等。边RQ和边QS与圆W的相切点分别为点U和点T，所以UW⊥QR，TW⊥QS，即∠WUQ=∠WTQ=90°。连接UW、TW和QW，构成三角形QWU和三角形QWT，根据直角三角形的定义，因为∠WUQ=∠WTQ=90°，所以三角形QWU和三角形QWT都是直角三角形##。

2. ##根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），直角三角形QWU和直角三角形QWT中的UW=TW，边UW和边TW是两个直角三角形的直角边，QW为两个直角三角形的共用斜边，所以直角三角形QWU全等于直角三角形QWT##

3. ##根据全等三角形的定义，QU=QT。由图中标注可知：QT=2x in.，QU=14 in.，所以2x=14##。

####

##4. 解得：x = 7 ##。

##5. 经过上述推理，我们可以确定地最终得出答案为7##。", "elements": "等边三角形; 圆; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线��组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形\\( \\triangle RQS \\) 是由三个非共线点\\( R \\)、\\( Q \\)、\\( S \\)及其连接线段\\( RQ \\)、\\( QS \\)、\\( RS \\)组成的几何图形。点\\( R \\)、\\( Q \\)、\\( S \\)分别是三角形的三个顶点，线段\\( RQ \\)、\\( QS \\)、\\( RS \\)分别是三角形的三条边。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆W中，点W是圆心。图中所有到点W的距离等于半径的点都在圆C上。"}, {"name": "内切圆", "content": "内切圆是一个与多边形各边均相切的圆，其中心称为内心，且内心到多边形各边的距离相等。", "this": "在本题图中，圆 \\( W \\) 与三角形 \\( \\triangle RQS \\) 的边 \\( RQ \\)、\\( QS \\) 和 \\( RS \\) 均相切，因此圆 \\( W \\) 是 \\( \\triangle RQS \\) 的内切圆。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角WUQ是直角（90度），因此三角形QUW是一个直角三角形。边WU和边QU是直角边，边QW是斜边。角WTQ是直角（90度），因此三角形QTW是一个直角三角形。边WT和边QT是直角边，边QW是斜边。"}, {"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。", "this": "直角三角形QUW和直角三角形QTW中，假设角WUQ和角WTQ都是直角（90度）。如果边QW等于边QW（斜边），并且边WU等于边TW（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形QUW和QTW全等。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形QWT和三角形QUT是全等三角形，三角形QWT的对应边和对应角与三角形QUT相等，即：\n边QU = 边QT\n边QW = 边QW\n边WU = 边WT，同时，对应的角也相等：\n角WUQ = 角WTQ\n角WQU= 角WQT\n角QWU = 角QWT。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/377.png", "question": "如图,AB∥CD,CP交AB于O,AO=PO,若∠C=50°,则∠A的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 已知AB∥CD，CP交AB于O，根据##平行线的平行公理2，同位角相等##。因此∠POB=∠C。

2. 根据已知条件∠C=50°，可得∠POB=50°。

3. 由于AO=PO，根据等腰三角形的##定义##，三角形AOP为等腰三角形。因此∠OAP=∠A。

4. 在三角形AOP中，##根据三角形的外角定理，有∠A + ∠P = ∠POB。##

5. 因为AO=PO，∠A=∠P，所以可以写成##2∠A = ∠POB ##。

6. 将已知的∠POB = 50°代入，得到##2∠A =50°## 。

7. 解此方程，##得∠A = 25°##。

8. ####所以正确答案为25°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形AOP中，边AO和边PO相等，因此三角形AOP是一个等腰三角形。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线CP所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：∠POB和∠C相等。2. 内错角：∠AOC和∠C相等。3. 同旁内角：∠BOC和∠COD互补，即∠BOC + ∠COD = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形AOP中，角AOP、角PAO和角OAP是三角形AOP的三个内角，根据三角形内角和定理，角AOP + 角PAO + 角OAP = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形AOP中，边AO和边PO相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角A = 角P。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的���个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线PC截交，其中角POB和角C位于截线PC的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧，因此角C和角POB是同位角。同位角相等，即角C等于角POB。####"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形AOP中，角POB是三角形的一个外角，角A和角P是与外角POB不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角POB等于不相邻的两个内角角A和角P之和，即角POB = 角A + 角P。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形OAP的一个内角为∠AOP，延长该内角的相邻边AP和PO形成的角∠POB称为内角∠AOP的外角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2425/img_diagram.png", "question": "求 x。将边长四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "69.8", "process": "1. 观察给定的三角形，其中一个角为60°，另一个角为55°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此另一个角的度数为180° - 60° - 55° = 65°。

3. 使用正弦定理，其公式为：(边长a/ sinA) = (边长b/ sinB) = (边长c / sinC)。在此题中，其中一边为73，##与其对角为65°##。寻找的边长x与其对角分别为60°。

4. 根据正弦定理， x/sin(60°) = 73/sin(65°)。

5. 对比计算x = 73 * sin(60°) / sin(65°)。

6. 使用计算器求出 sin(60°) ≈ 0.8660, sin(65°) ≈ 0.9063。

7. 将 sin 值代入公式, x ≈ 73 * 0.8660 / 0.9063。

8. 进行计算, x ≈ ##69.7539##。

9. 将 x 的值四舍五入到最近的整数，得到 x ≈ 69.8。

10. 最终得出答案为 x ≈ 69.8。", "elements": "普通三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "sin(60°) 和 sin(65°) 的值。sin(60°) = 0.8660，sin(65°) = 0.9063。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形的两个内角分别为60°、55°。根据三角形内角和定理，第三个内角 = 180°-60° -55°=65°。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。三个点分别是三角形的三个顶点，三条线段分别是三角形的三条边。##"}, {"name": "正弦定理", "content": "在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。", "this": "设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中∠A = 60°，∠B = 55°，∠C = 65°。边BC = 73，对应的角为∠C = 65°，边BC = x，对应的角为∠A = 60°。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等，即：x / sin(60°) = 73 / sin(65°)。计算得x ≈ 69.8。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/045.png", "question": "在上图中，直线EF和GH平行，且直线AB垂直于直线EF和GH。直线AB的长度是多少？", "answer": "5*\\sqrt{3}", "process": "1. 已知条件有：直线EF平行于直线GH，直线AB垂直于直线EF和GH，##角DAF##为120度，线段AC为10。

##2. 根据平行线的平行公理2和同位角定义，可得∠ACH也为120°。同时∠ACB为∠ACH的邻补角，所以∠ACB=180°-120°=60°##

##3. 根据垂线的定义，因为AB⊥GH，所以∠ABC=90°。根据直角三角形的定义，三角形ABC中，∠ABC=90°，所以三角形ABC为直角三角形。##

##4.根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-90°-60°=30°。##

##5. 根据30°-60°-90°三角形的性质，AB=√3/2AC=√3/2*10=5√3。##

####

6. 综上所述，最终得出答案为选择项c，即AB的长度是5√3。", "elements": "平行线; 垂线; 直角三角形; 内错角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线EF和直线GH位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线EF和直线GH是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线EF和GH被第三条直线DC所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角DAF和角ACH相等。\n2. 内错角：角EAC和角ACH相等。\n3. 同旁内角：角FAC和角ACH互补，即角FAC + 角ACH = 180度。\n\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线EF和GH被一条直线DC截交，其中角DAF和角ACH位于截线CD的同旁，被截两直线EF和GH的同一侧，因此角DAF和角ACH是同位角。同位角相等，即角DAF等于角ACH。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AB和直线GH相交形成的角∠ABC是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线GH互相垂直。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角ACH和角ACB有一条公共边AC，它们的另一边CH和CB互为反向延长线，所以角ACH和ACB互为邻补角。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角BAC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BAC + 角BCA = 180°。####"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角BAC是30度，角BCA是60度，角ABC是90度。边AC是斜边，边BC是30度角所对的边，边AB是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边AC的一半，边AB等于边BC的√3倍。即：BC = 1/2 * AC，AB = BC * √3。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2580/img_diagram.png", "question": "AB 是直径，AC = 8 英寸，BC = 15 英寸。求圆的周长。", "answer": "17 \\pi", "process": "1. 首先，已知 A B 是圆的直径。设圆心为 O，因此 O 是 A B 的中点，并且 O A = O B 是圆的半径。

2. 根据##圆周角的定义和(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，因为AB为直径##，这里可推知 ∠A C B 是直角。

3. ##根据直角三角形的定义，因为∠ACB=90°，所以△ABC为直角三角形。##在直角三角形 A C B 中，我们知道 A C = 8 英寸和 B C = 15 英寸。因此由勾股定理，我们可以得到 A B 的长度。勾股定理为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 A B^2 = A C^2 + B C^2。

4. 计算 A B：A B^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289。因此 A B = √289 = 17 英寸。

5. A B 是直径，因此圆的直径是 17 英寸。

6. ##圆的周长公式为 C = 2πr，其中 r 是半径，因为圆的直径为两倍的半径。因此圆的周长公式也可为 C = πd=π × 17 = 17π 英寸，d为直径##。

7. 最终计算得到此圆的周长为 17π 英寸。", "elements": "圆; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "圆O中，点O是圆心，线段AO是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。####"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形 ACB 中，∠ACB 是直角（90度），边 AC 和 BC 是直角边，边 AB 是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289，因此 AB = √289 = 17 英寸。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2AO=2BO。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/472.png", "question": "如图,点B,E,C,F在同一条直线上,△ABC≌△DEF,∠B=45°,∠F=65°,则∠COE的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知△ABC≌△DEF，根据##全等三角形的定义##，得出∠BAC = ∠EDF, ∠ACB = ∠DFE, ∠ABC = ∠DEF。

2. 根据已知条件∠B = 45°和∠F = 65°，可以得到∠DEF = ∠ABC = 45°，∠ACB = ∠DFE = 65°。

3. ##已知点B、E、C、F在同一条直线上，由图知点O是在AC与DE的相交线上，则∠OEC=∠DEF，∠OCE=∠ACB##。

4. ##在△OEC中##，根据三角形内角和定理，##得∠OEC+∠OCE+∠COE=180°，即∠DEF+∠ACB+∠COE=180°，计算得##∠COE = 180° - ∠DEF - ∠ACB。

5. 将已知角度代入公式，计算得∠COE = 180° - 45° - 65° = 70°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "普通三角形; 邻补角; 三角形的外角; 对顶角; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ABC和三角形DEF是全等三角形，三角形ABC的对应边和对应角与三角形DEF相等，即：\n边AB = 边DE\n边BC = 边EF\n边AC = 边DF\n同时，对应的角也相等：\n角BAC = 角EDF\n角ACB = 角DFE\n角ABC = 角DEF。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OEC中，角OEC、角ECO和角OCE是三角形OEC的三个内角，根据三角形内角和定理，角OEC + 角OCE + 角COE = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2467/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle N C L.", "answer": "120", "process": "1. ##图中给出∠MCN=##60°。

2. ##在本题图中，根据邻补角的定义，∠NCL 和 ∠MCN 具有一条公共边NC，它们的另一边CL和CM互为反向延长线，因此它们是邻补角。##

3. ##根据平角的定义，∠NCL + ∠MCN = 180°，因此可以得出∠NCL = 180° - ∠MCL。##。

4. 代入数值##∠MCN## = 60°，得到∠NCL = 180° - 60°。

5. 计算180° - 60°，得到∠NCL = 120°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为120°。", "elements": "圆心角; 圆周角; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角NCL和角MCN有一条公共边NC，它们的另一边CL和CM互为反向延长线，所以角NCL和MCN互为邻补角，因此∠NCL + ∠MCN = 180°。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线MC绕着端点C旋转到与起始边成一条直线，形成平角MCL。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角MCL=180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2648/img_diagram.png", "question": "求x的值。", "answer": "23", "process": "1. ##设圆上的点分别为A、B、C、D，而圆心为点O##。

2. ##观察图形可知，红色标注的为直角符号，可以说明∠AOB是一个90度的直角##。

3. ##已知图形中圆心角∠BOC = 67°，∠AOB=90°##。

4. ##又因为点D、O、C在同一直线上，根据平角的定义，∠BOC +∠AOB+x=180°，即x=180°-∠BOC-∠AOB=180°-67°-90°=23°。##

5. 计算得## x ##= 23°。

6. 因此，通过上述分析，最终得出答案为x = 23°。", "elements": "圆; 圆心角; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角this在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。####name:平角的定义content:一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。\n\n射线OD绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角DOC。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角DOC=180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2618/img_diagram.png", "question": "求 x 的值。", "answer": "4 \\sqrt { 15 }", "process": "1.已知该图形是一个直角三角形，其中一条直角边的长度为4，斜边的长度为16。##设斜边16与直角边X角的顶点为A，设90°角顶点为B，设斜边16和直角边4的角顶点为C。##

2. 根据直角三角形性质，即勾股定理，该定理表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。数学表达式为##AC?=AB?+BC?##。

3. 代入已知条件到勾股定理中：##16? = x? + 4?##。

4. 进行计算得：256 = ##x?## + 16。

5. 解方程以求出x的值：256 - 16 = ##x?，即240 = x?##。

6. 最终得出x的结果为：x = √240 = 4√15。

7. 因为x表示的是边长，边长不能为负值，所以x = 4√15。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角∠ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和", "this": "直角三角形中，一条直角边的长度为4，斜边的长度为16，另一条直角边的长度为x。所以根据勾股定理，##16² = 4² + x²##，即256 = 16 + x²，解得x² = 240，因此x = √240，即4√15。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1812.png", "question": "如图,已知圆周角∠A=50°,则∠OBC的大小是()", "answer": "40°", "process": "1. 已知∠A = 50°，根据圆周角定理，得出∠BOC = 2∠A = 100°。##根据圆心角的定义，∠BOC为圆O的圆心角。##

2. ##根据圆的定义，OB = OC，在△BOC中，根据等腰三角形的定义，△BOC为等腰三角形；再根据等腰三角形的性质，两腰对的底角相等，因此有∠OBC = ∠OCB。##

3. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°，所以在△BOC中有∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°。

4. 代入已知条件和上步结论得100° + 2∠OBC = 180°。

5. 通过解方程得出2∠OBC = 80°，即∠OBC = 40°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆周角; 圆心角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。##"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B和点C是圆上的任意一点，线段OB和线段OC是从圆心O到圆上任意一点的线段，因此线段OB和线段OC是圆的半径。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆O中，点O是圆心，半径为OB和OC。图中所有到点O的距离等于OB和OC的点都在圆O上。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。##"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OB和边OC相等，因此三角形BOC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等���三角形BOC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBC = ∠OCB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BOC中，角BOC、角OBC和角OCB是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC + 角OBC + 角OCB = 180°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角BAC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2448/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "10", "process": "1. ##设该直角三角形三个顶点分别为A、B、C，其中∠A=60°，∠C=90°，AB=20，根据直角三角形的定义可得，该三角形为直角三角形。根据三角形内角和定理可得，∠B=30°，由此可以理解这是一个30°-60°-90°三角形。##

2. ##根据30°-60°-90°三角形的性质，该类型的三角形中，三边比例为1:√3:2。##

3. ##为了找到y的长度，使用y与斜边的比值，即1:2，那么y=斜边/2。##

4. ##代入题中已知斜边为20，计算出y = 20 / 2 = 10。##

5. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中有一个内角为90度，因此该三角形是一个直角三角形。y和x是直角边，斜边为20。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "∠A=60°，∠C=90°，可得∠B=30°。##"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "∠B=30°，∠A=60°，∠C=90°。边AB是斜边，边AC是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边。y等于斜边的一半，x等于y的√3倍。即：AC = 1/2 * AB，BC = AC * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2653/img_diagram.png", "question": "四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\\\angle 1 = 30，求 \\\\angle 6 的度数。", "answer": "60", "process": "1. 已知 WXYZ 是一个矩形，##根据矩形的定义得：WX∥YZ，WY∥XZ，又根据内错角定义和平行线的平行公理2，所以∠1=∠5=30°（内错角相等）##。

##2. 由直角标记可知，∠WYZ =90度。##

##3. 由图可得，∠6+∠5=∠WYZ，现已知∠5=30°，∠WYZ=90°，则∠6=∠WYZ-∠5=90°-30°=60°。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为60度。", "elements": "矩形; 垂线; 邻补角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 WXYZ 是一个矩形，其内角∠WYZ, ∠YWX, ∠WXZ, ∠XZY都是直角（90度），且边 WX 与边 YZ 平行且等长，边 WY 与边 XZ 平行且等长。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线WX和YZ被一条直线XY截交，其中∠1和∠5位于两平行线之间，且在截线XY的对侧，因此∠1和∠5是内错角。内错角相等，即∠1等于∠5。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行直线WY和XZ被一条直线XY所截，形成了以下几何关系：内错角：∠1和∠5相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2110.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为()", "answer": "15π", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。

2. 根据勾股定理##（毕达哥拉斯定理）##得出，AB = √(AC^2 + BC^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5。

3. 直角三角形ABC绕AC所在的直线旋转一���得到一个旋转体，即一个圆锥。

4. ##三角形的直角边BC为圆锥的底面周长中的半径，所以r=3##。

5. 设旋转体的母线长为AB，则母线长为5。

6. 根据圆锥的##表##面积公式，S = π * 底面半径 * 母线长。为 S = π * 3 * 5 = 15π。

7. 经过上述推理，最终得出答案为15π。", "elements": "直角三角形; 旋转; 圆锥; 圆; 圆柱", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，##AB^2 = AC^2 + BC^2，即 AB = √(AC^2 + BC^2) = √(4^2 + 3^2)## = √(16 + 9) = √25 = 5。"}, {"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "在本题图中，圆锥是将直角三角形ABC绕AC所在的直线旋转一周得到的几何体。圆锥的底面是一个圆形，圆的半径为BC，即3，圆心为旋转轴上的点C。圆锥的顶点为点A，顶点A与圆心C之间的距离为圆锥的高，记作AC，即4。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点A到圆周上的任意一点的距离为母线长度，记作AB，即5。"}, {"name": "圆锥的表面积公式", "content": "圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。", "this": "在本题图中，圆锥中，底面是一个圆，其半径为3，底面积为πx3²。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高5，扇形的弧长等于底面的周长2πx3。侧面积等于扇形的面积，即πx3×5。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为πx3² + πx3×5。"}, {"name": "母线", "content": "母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。", "this": "在本题图中，圆锥中，底面圆周上的一点为B，顶点为A，连接底面圆周上一点B和顶点A的线段AB就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2484/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "8 \\sqrt { 5 }", "process": "1. 已知条件为直角三角形，其中一条直角边为38，另外一条直角边为x，斜边为42。

2. 根据勾股定理，即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中b和a是直角边，c是斜边。

3. 代入题目中的已知值到勾股定理中，得出方程x^2 + 38^2 = 42^2。

4. 计算38^2 = 1444。

5. 计算42^2 = 1764。

6. 代入计算结果，得到方程x^2 + 1444 = 1764。

7. 解方程x^2 + 1444 = 1764，得到x^2 = 1764 - 1444。

8. 计算1764 - 1444 = 320。

9. 得到方程x^2 = 320，取x的正值，得到x = √320。

10. 进一步计算，√320=##√(64×5)= 8 × √5 = 8√5##。

11. 由于保留根号形式，因此我最后的答案为x = ##8√5##。

12. 经过上述推理，最终得出答案为##8√5##。", "elements": "直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "直角位于右上角，直角边为38和x，斜边为42。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，一条直角边为38，另一条直角边为x，斜边为42。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即38^2 + x^2 = 42^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2712/img_diagram.png", "question": "如果 D B = 24, A E = 3, 和 E C = 18, 求 A D.", "answer": "4", "process": "1. ##已知DE平行BC，根据平行线的平行公理2，角ADE=角B##。

2. ##因为角ADE=角B，角A公用，所以根据相似三角形的判定定理(AA)，三角形ADE和三角形ABC相似##。

3. ##根据相似三角形的定义，AD/AB=AE/AC，即AD/（AD+24）=3/3+18##。

4. 解该方程 AD = ##4##。

####

##5##. 经过上述推理，确定计算正确，得出 AD = 4。", "elements": "普通三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，角ADE=角B，且角A公用，所以三角形ADE和三角形ABC相似。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE=角B。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，其中角ADE和角B位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角B是同位角。同位角相等，即角ADE=角B。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC相似。根据相似三角形的定义有：AD/AB=AE/AC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1929.png", "question": "绍兴是著名的桥乡．如图,圆拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为()", "answer": "8m", "process": "1. 连接点O到点A。

2. 由于CD垂直于AB，根据已知条件AD等于BD##以及垂径定理，可得##AD等于BD等于AB的一半。

3. 在直角三角形ADO中，OA等于OC为5米，OD等于CD减去OC，即OD等于8米减去5米，等于3米。

4. 由于角ADO为90度，根据勾股定理，在直角三角形ADO中，AD等于√(OA##^2## - OD##^2##)=√(5##^2## - 3##^2##) = 4米。

5. 由此得到AB等于2倍的AD，即AB等于2 × 4米 = 8米。", "elements": "圆; 弦; 线段; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点C是圆上的任意一点，线段OA和OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OC是圆的半径，且OA等于OC等于5米。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ADO中，角ADO是直角（90度），因此三角形ADO是一个直角三角形。边OD和边AD是直角边，边OA是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ADO中，∠ADO为直角（90度），边OD和AD是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，##OA^2= OD^2+ AD^2##。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "圆O中，直径所在直线CD垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径CD平分弦AB，AD=BD，并且平分弦AB所对的两条弧。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2514/img_diagram.png", "question": "求 K J，如果 G J = 8，G H = 12，H I = 4。", "answer": "2", "process": "1. ##由图中箭头标识可知：KH ∥ IJ。##

2. ##由图示可知，线段KH在三角形GJI内，且KH ∥ IJ并与边GJ和边GI相交于点K和点H。根据平行线分线段成比例定理##，KH在边GJ和边GI上截得的线段GK和GH于三角形GJI的对应边成比例。##

3. 得到式子：##GK/GJ=GH/GI##。

4. 已知GH = 12，HI = 4，且GJ = 8，##其中线段GH和线段HI组成线段GI，即GI=GH+HI=12+4=16##。

5. 代入具体的值到比例式，可得：GK / 8 = 12 / 16

6. ##交叉相乘可得：16GK=8 * 12##。

7. ##解得：GK=96/16=6##

8. ##由图示可知GJ由GK和KJ构成，即GJ=GK+KJ，所以KJ=GJ-GK##。

10.代入 ##GK=6, 得KJ=GJ-GK=8-6=2##

11.解得##KJ## = 2.

12. 经过上述推理，最终得出答案为2.", "elements": "线段; 等腰三角形; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形GJI是由三个非共线点G、J、I及其连接线段GJ、GI、JI组成的几何图形。点G、J、I分别是三角形的三个顶点，线段GJ、GI、JI分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线KH和直线JI位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线KH和直线JI是平行线。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "三角形GJI中，直线KH与边IJ平行，并截它的其他两边GJ和GI于点K和H，那么根据平行线分线段成比例定理，有：GH/GI = GK/GJ。即12/16 = GK/8。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1822.png", "question": "如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接CO,AD,若∠BOC=30°,则∠BAD的度数是()", "answer": "15°", "process": "1.已知AB是直径且AB垂直于CD，垂足是点E，##根据垂径定理直径AB垂直于弦CD那么直径AB平分弦CD对应的弧CB和DB。##，得出BC=BD且CE=DE。

2. 连接CO，依据已知条件∠BOC=30°。

####

##3. 根据圆心角的性质，弧BC等于它所对应圆心角的度数，即弧BC=∠BOC=30°。从上述步骤得出AB平分弧CB可以得出弧DB=弧CB=30°##

##4. 已知弧BD=弧CB=30°，那么圆周角BAD所对应的弧BD等于弧CB所对应的圆心角的一半，即：∠BAD=1/2角BOC。##

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##5. 计算公式：∠BAD = (1/2) ∠BOC = (1/2) × 30° = 15°。##

##6##.经过上述推理，最终得出答案为15°。", "elements": "圆; 直角三角形; 垂线; 圆周角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径AB垂直于弦CD，那么根据垂径定理，直径AB平分弦CD，即CE=DE，并且直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧CB=弧BD。"}, {"name": "##圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "圆心角∠BOC所对的圆弧为弧BC。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠BOC的度数 = 弧BC的度数。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2738/img_diagram.png", "question": "将 \\tan L 的比率表示为小数，精确到小数点后两位。", "answer": "0.42", "process": "1. ##在三角形 LJK中 ，∠JKL 为直角，根据直角三角形的定义，得△LJK是直角三角形##。

####

##2##. 确定了直角三角形后，要求的∠L 的正切值 tan L，##根据正切函数的定义##，得出 tan L = JK / LK = 5 / 12。

##3##. 将比值 5/12 进行计算，得到 tan L ≈ 0.41666...。

##4##. 将计算结果保留到小数点后第二位，四舍五入后，tan L = 0.42。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 tan L 的比值为 0.42。", "elements": "直角三角形; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 LJK 中，角 ∠JKL 是直角（90度），因此三角形 LJK 是一个直角三角形。边 JK 和边 LK 是直角边，边 LJ 是斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形 LJK 中，角 ∠L 是锐角，边 JK 是角 ∠L 的相对直角边，边 LK 是角 ∠L 的相邻���角边，所以角 ∠L 的正切值等于边 JK 的长度除以边 LK 的长度，即 tan(∠L) = JK / LK = 5 / 12。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2177.png", "question": "如图,已知圆锥的底面半径为6,母线长为10,则此圆锥的侧面积为()", "answer": "60π", "process": "1. 圆锥底面的半径为6，底面周长为底面半径的2倍乘以π，即2×6π。

2. 计算得到底面周长为12π。

3. 圆锥的母线长为10。

4. 圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长再除以2，具体计算过程为：1/2×12π×10。

5. 计算得到圆锥的侧面积为60π。", "elements": "圆锥; 扇形; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "圆锥的底面是一个圆形，圆的半径为6，圆心为底面的中心点。圆锥的顶点为圆锥上部的点，顶点与圆心之间的距离为圆锥的高。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点到圆周上的任意一点的距离为母线长度，为10。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形。扇形的半径是圆锥体的斜高10，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长12π。因此，扇形的半径10等于圆锥体的斜高，扇形的弧长12π等于圆锥体底面圆的周长，即2πr，其中r是底面圆的半径6。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "圆锥底面是一个圆，圆的半径为6。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，所以底面周长为2π×6 = 12π。"}, {"name": "圆锥的表面积公式", "content": "圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。", "this": "在本题图中，圆锥中，底面是一个圆，其半径为6，底面积为πx6?。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高10，扇形的弧长等于底面的周长2πx6。侧面积等于扇形的面积，即πx12×10。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为πx6? + πx12×10。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2866/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 3 = 110 和 m \\angle 12 = 55。求 \\angle 13 的度数。", "answer": "55", "process": "1. ##已知 ∠12 = 55°，∠10 与∠12 所在的两条直线平行。##

2. ##由于 ∠10 与∠12 所在的两条直线平行，根据同位角的定义，可以得出 ∠10 与∠12 是同位角；再根据平行线的平行公理2可得，∠10 = ∠12 =55°。##

3. ##∠13 与∠10 为两条直线相交形成，根据对顶角的定义，∠10 = ∠13。##

4. ##由以上信息得，∠13 = ∠10 = ∠12 =55°。##

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##5. 根据计算得出答案为55°##", "elements": "内错角; 平行线; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线形成四个角：∠9、∠10、∠13 和∠14。根据对顶角的定义，∠13 与∠10 是对顶角，由于对顶角的角度相等，所以 ∠13 =∠10。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "∠10 与∠12 所在的两条直线平行且被同一条直线所截，∠10 与∠12 在截线同侧，所以∠10 与∠12是同位角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "∠10 与 ∠12 是同位角，所以∠10 = ∠12。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/30.png", "question": "如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠2=65°,则∠1的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 由题中给出的条件，已知直线a平行于直线b。

2. ##根据平行线平行公理2和同位角定义，∠2和∠CBD相等，所以∠CBD=∠2=65°##。

3. ##根据垂线定义，AB⊥BC，∠ABC=90°##。

4. ##根据平角的定义，∠1+∠ABC+∠CBD=180°##。

5. 根据已知条件，##∠ABC = 90°，∠CBD=65°，所以代入得：∠1+90°+65°=180°##。

6. 由此计算得：##∠1 = 180°-90° - 65° = 25°##。

7. 因此，角1的度数为25°。

8. 综上所述，我们最终得出∠1的度数为25°。", "elements": "平行线; 内错角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线a和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线a和直线b是平行线，记作a∥b。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线BD绕着端点B旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据平角的定义，平角的度数为180度。##"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "在本题图中，直线AB和直线BC相交形成的角∠ABC是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线BC互相垂直。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线a和b被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角2和角CBD相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线BC截交，其中角2和角CBD位于截线BC的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角2和角CBD是同位角。同位角相等，即角2等于角CBD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2319.png", "question": "如图所示为农村一古老的捣碎器,已知支撑柱AB的高为0.3米,踏板DE长为1米,支撑点A到踏脚D的距离为0.6米,原来捣头点E着地,现在踏脚D着地,则捣头点E上升了()", "answer": "0.5米", "process": "1. 已知支撑柱AB的高度为0.3米，踏板DE的长度为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，根据图示可作出△DAB和△DEF。

2. ##已知角ABD=角EFD=90度，角D为公共角，因此△DAB ∽ △DEF。##

3. 根据相似三角形的性质，相应边的比值相等，则AD:DE = AB:EF。

4. 代入已知数据，得0.6:1 = 0.3:EF，由此可以求得EF = 0.5米。

5. 因为原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，所以捣头点E上升的高度等于EF的长度，即0.5米。", "elements": "普通三角形; 线段; 旋转", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形DAB和三角形DEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DAB = ∠DEF, ∠ADB = ∠DFE, ∠ABD = ∠EDF；AD/DE = AB/EF = DB/DF。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ABD和三角形EFD中，如果角D等于角D，且角ABD等于角EFD，所以三角形ABD相似于三角形EFD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/81.png", "question": "如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为()", "answer": "32°", "process": "1. 已知AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE。

2. 因为CD=CE，所以在△CDE中，∠D和∠E是对应的角。根据等腰三角形的性质，底角相等，因此，##∠D = ∠CED= 74°##。

####

##3. 根据三角形内角和定理，△CDE 中的各角和为180°。因此，可以得到方程：∠D + ∠C + ∠CED = 180°。##

##4. 代入已知条件，替换∠D和∠CED，得：74° + 74° + ∠C = 180°。##

####

##5 . 解方程，得到∠C = 32°。##

####

##6. 根据平行线的平行公理2，内错角相等，∠B=∠C= 32°。##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为53°。", "elements": "平行线; 内错角; 普通三角形; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形CDE中，边CD和边CE相等，因此三角形CDE是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角���等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形CDE中，边CD和边CE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠D = ∠DEC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形CDE中，角D、角ECD和角DEC是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角D + 角ECD + 角DEC = 180°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "平行线AB和CD被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：\n##1. 内错角：∠C和∠B相等。\n######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2770/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle A。", "answer": "60", "process": "####

##1. 根据四边形的内角和定理：##在任意四边形中，四个内角的和是360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

##2##. 代入已知角度表达式，得到x° + 2x° + 2x° + x° = 360°。

##3##. 整理方程，得到6x° = 360°。

##4##. 将方程两边同时除以6，得到x = 60°。

##5##. 因为∠A = x°，代入x的值得∠A = 60°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "梯形; 三角形的外角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，角A、角B、角C和角D是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2142.png", "question": "如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1,扇形的圆心角等于90°,则扇形的半径是()", "answer": "4", "process": "1. 已知圆的半径为1，根据定义，圆的周长可以表示为2π。

2. 设扇形的半径为r，扇形的圆心角等于90°。##设矩形为ABCD（从左上开始逆时针依次取顶点），从上到下，扇形的弧长分别从两侧交矩形为X，Y##

3. 根据扇形的弧长公式，##扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr，因此此处θ = 90°，利用角度与弧度的换算公式，弧度=90*（π/180）＝π/2##。

4. 代入已知条件，扇形的弧长可以表示为L = ##πr/2##。

####

##5##. 因为题目描述中扇形的弧长等于底面圆的周长，因此有(1/2)πr = 2π。

##6##. 解此方程得：r = 2π / ((1/2)π) = 2π * (2/π) = 4。

##7##. 经过上述推理，最终得出扇形的半径是4。", "elements": "圆; 扇形; 圆心角; 圆锥", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "在本题图1中，圆的半径为1，根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。因此，C=2π×1=2π。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "在本题中，扇形的圆心角等于90°，两条半径分别为扇形的半径r和圆心到弧长的另一端点的距离，圆弧为扇形的弧长。因此，根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "扇形的半径为r，圆心角θ = 90°。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，其中θ以弧度制表示，即θ = 90° * (π/180) = π/2。因此，L = (π/2) * r。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "纸片剪下的圆形将作为圆锥的底面，底面圆的周长2π必须等于扇形的弧长(1/2)πr。因此有(1/2)πr = 2π。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）", "this": "扇形圆心角的角度是 90°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 90*（π/180）###"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆B中，X点和点Y是圆上的两点，圆心是点B。连线XB和YB组成的角∠XBY称为圆心角##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/476.png", "question": "如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=27.5°,那么∠2等于()", "answer": "17.5°", "process": "1. 已知AB平行于CD，##设CF与AB交于点G，根据平行线的平行公理2和内错角定义，∠AEC=∠1##。

2. ##已知三角形FCE是45°-45°-90°的直角三角形，∠FCE=∠AEC+∠2=45°##。

3. ##代入第1步的结论，∠AEC=∠1=27.5°##。

4. ##即27.5°+∠2=45°，解得∠2=17.5°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为17.5°。", "elements": "直角三角形; 邻补角; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形FEC中，角EFC是直角（90度），因此三角形FEC是一个直角三角形。边FE和边FC是直角边，边EC是斜边。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线CE截交，其中角1和角AEC位于两平行线之间，且在截线CE的对侧，因此角AEC和角1是内错角。内错角相等，即角AEC等于角1。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线CE所截，形成了以下几何关系：1. ##内错角##：角AEC和角1相等。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1860.png", "question": "如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=16°,则∠ABC的度数是()", "answer": "24°", "process": "1. 连接OD，已知AB是圆O的直径，根据直径的定义，得出AB=2OD。

2. 由已知条件AB=2DE，结合上述结论AB=2OD，因此可以推导出OD=DE。

3. ##三角形DOE中，有OD=DE，所以由等腰三角形的定义可知，三角形DOE是等腰三角形##

4.##再由等腰三角形的性质可知，∠DOE＝∠DEO##

5. ##∠DOE是弧BD所对的圆心角，∠DCB是弧BD所对的圆周角，由圆周角定理可知，∠DCB＝∠DOE/2＝∠DEO/2＝8°##

6. ##∠ABC是三角形CBE的外角，由三角形的外角定理可知，∠ABC＝∠DCB＋∠E＝24°##

7. 经过上述推理，最终得出答案为24°。", "elements": "圆; 圆周角; 弦; 直线; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是圆O的直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "∠DCB是由弦BD所对的圆周角。根据圆周角定理，圆周角等于其对应的圆心角的一半，也就是∠DCB = 1/2∠DOB = 1/2 × 16° = 8°。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形BCE中，角∠ABC是三角形的一个外角，角∠BCE和角∠BEC是与外角∠ABC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角∠ABC等于不相邻的两个内角∠BCE和∠BEC之和，即角∠ABC = 角∠BCE + 角∠BEC。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "在本题图中，三角形ODE中，边DO和边DE相等，因此三角形ODE是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "等腰三角形ODE中，边DO和边DE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等��两边所对的角相等，即角DOE = 角DEO。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BCD的顶点(点C)在圆周上，角BCD的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角BCD是一个圆周角。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形BCE的一个内角为∠CBE，延长该内角的相邻边EB和CB形成的角∠ABC称为内角∠BCE的外角。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ODE中，边OD和边DE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角DOE = 角DEO。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2814/img_diagram.png", "question": "如果 W X Y Z 是一个风筝，求 W P。", "answer": "\\sqrt { 20 }", "process": "1. ##已知四边形 WXYZ 是一个筝形，WX = 6，XP = 4。根据筝形的性质，可知WY垂直XZ于点P，∠XPW=90°。##

2. ##根据直角三角形的定义可得，三角形XPW为直角三角形。##

3. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在三角形XPW中，WX^2=XP^2+WP^2，则WP=√(WX^2-XP^2)##

4. ##代入已知内容，得WP=√(WX^2-XP^2)=√(6^2-4^2)##

5. ##计算得出 x = √20。##

6. ##根据以上计算步骤得出，WP = √20 = 2√5。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为 2√5。", "elements": "线段; 菱形; 垂直平分线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "筝形的性质", "content": "筝形的两条对角线互相垂直，并且其中只有一条对角线被另一条平分。", "this": "在本题图中，已知筝形WXYZ的对角线XZ和WY相交于点P。根据筝形的性质，其两条对角线XZ与WY互相垂直，即XZ⊥WY，且只有其中一条对角线WY被另一条对角线XZ平分，即WP=YP。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形XPW中，角XPW是直角（90度），因此三角形XPW是一个直角三角形。边WP和边XP是直角边，边WX是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形 WPX 中，∠WPX 是直角（90度），边 WP 和 XP 是直角边，边 WX 是斜边，所以根据勾股定理，WX^2=XP^2+WP^2，即 6^2 = 4^2+WP^2，从而解出 WX 的长度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2938/img_diagram.png", "question": "在图中找到 x 的值。", "answer": "71", "process": "1. ##设多边形ABCDEFG，根据多边形的外角定义，其外角依次为： (x-20)°, 21°, 42°, 29°, (x+14)°， x°，(x-10)°##。

2. 根据多边形外角和定理，##任意多边形的外角和等于360°##。

3. ##根据多边形外角和定理可得方程：(x-20)° + 21° + 42° + 29° + (x+14)° + x° + (x-10)°= 360°=>(x-20) + 21 + 42 + 29 + (x+14) + x + (x-10)= 360##。

4. 合并同类项得到：4x + (21 + 42 + 29 - 20 - 10 + 14) = 360。

5. 进行右侧的常数加减得：4x + 76 = 360。

6. 移动常数项到右边，##得4x = 360- 76 = 284##。

7. 解方程得：x = 284 / 4。

8. ##化简得到##：x = 71。

9. 经过上述推理，最终得出答案为71。", "elements": "普通多边形; 同旁内角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，##多边形ABCDEFG的一个内角为∠GAB，延长该内角的相邻边GA和AB形成的角(x-20)°称为内角GAB的外角，再如内角ABC，延长该内角的相邻边AB和BC形成的角21°称为内角ABC的外角，以此类推，多边形ABCDEFG的外角依次为(x-20)°, 21°, 42°, 29°, (x+14)°, x°, (x-10)°。"}, {"name": "多边形外角和定理", "content": "任意多边形的外角和等于360°。", "this": "在本题图中，##多边形ABCDEFG中，每个顶点的外角分别是 (x-20)°, 21°, 42°, 29°, (x+14)°，x°，(x-10)°。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即 (x-20)° + 21° + 42° + 29° + (x+14)° + x° +(x-10)°= 360°##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1716.png", "question": "如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是()", "answer": "65°", "process": "1. 连接OA和OB，这是因为我们需要利用它们来分析角度关系。

2. 连接OB和OA，依据题意我们知道∠ACB = 25°。

3. 根据圆周角定理，圆周角的度数是所对的圆心角的一半。因此，圆心角∠AOB = 2 * ∠ACB = 2 * 25° = 50°。

4. ##因为OA和OB是圆的半径，它们的长度相等，所以OA = OB##，因此△OAB是等腰三角形。

5. 等腰三角形中，两个底角相等，所以我们设∠OAB = ∠OBA。

6. 在△OAB中，因为它是三角形，内角和等于180°，所以有∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°。

7. 代入已知条件和####角度数值，有∠OAB + ∠OAB + 50° = 180°。

8. 化简得2∠OAB = 180° - 50°，即2∠OAB = 130°。

9. 继续化简得∠OAB = 65°。

10. 故∠BAO = 65°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧CB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2237.png", "question": "如图,在⊙O中,弦AB的长为10,圆周角∠ACB=45°,则这个圆的直径AD为()", "answer": "10√{2}", "process": "1. 已知∠ACB = 45°，根据圆周角定理，圆周角∠ACB所对的圆心角为2倍的∠ACB。因此，∠AOB = 2 * 45° = 90°。

2. 在圆O中，连接OA和OB，因为OA和OB是半径，##所以OA＝OB，又因∠AOB= 90°，由等腰直角三角形的定义可知，三角形AOB是等腰直角三角形##。

3. ##由勾股定理可知，等腰直角三角形三边有关系，OA^2＋OB^2＝2OA^2＝AB^2，整理得√2OA＝AB##。

4. ##已知AB＝10，所以OA＝10/√2＝5√2##。

5.##所以AD＝2OA＝10√2##。

6. ##经过上述推理，最终得出答案为10√2。##

####", "elements": "圆; 弦; 圆周角; 直角三角形; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、C、B在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "直��的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段AD通过圆心O，并且两端A和D与圆O相交，因此AD是圆O的直径。####"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "三角形AOB是直角三角形，∠AOB = 90°，OA和OB是直角边，AB是斜边。根据勾股定理，OA^2＋OB^2＝2OA^2＝AB^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2849/img_diagram.png", "question": "m \\angle 4 = 2 y + 32 和 m \\angle 5 = 3 y - 3。求 y。", "answer": "35", "process": "1. ##已知 ∠4 = 2y + 32 和 ∠5 = 3y - 3 。设左侧上下方向的为l，右侧与其平行的线为m，横向截线为n，左侧交点记为A,右侧交点记为B。##

2.## 平行线的平行公理2可知，∠4与∠8互为同位角，所以∠4＝∠8##

3. ##∠5与∠8互为对顶角，所以∠5＝∠8##

4.##综上所述有∠4＝∠8＝∠5，将∠4 = 2y + 32＝∠5 = 3y - 3 联立 为2y + 32 = 3y - 3##

5.## 简化方程得到 35 = y。##

##6. 经过上述推理，最终得出答案为 y = 35##。

####", "elements": "内错角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线l和m被第三条直线n所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角4和角8相等。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等", "this": "在本题图中，两条相交直线m和n相交于点B，形成四个角：角5、角6、角7和角8。根据对顶角的定义，角5和角8是对顶角，角6和角7是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角5=角8，角6=角7。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "在本题图中，两条平行直线l和m被一条直线n截交，其中角4和角8位于截线n的同旁，被截两直线l和m的同一侧，因此角4和角8是同位角。同位角相等，即角4等于角8。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2975/img_diagram.png", "question": "切线 M P 被画到 \\\\odot O。若 M O = 20，求 x。", "answer": "12", "process": "1. 已知线段 M P 是圆心 O 的切线，根据切线的性质，切线与圆心的连线垂直于过该切点的半径，即##∠MPO##为直角。

2. 因为M O = 20，M P = 16，根据勾股定理在直角三角形 MOP 上使用，即 M O^2 = M P^2 + OP^2，可以得出 OP 即为圆的半径，并且 OP = x。

3. 将已知数据代入勾股定理公式，得出 20^2 = 16^2 + x^2。

4. 计算具体值：400 = 256 + x^2。

5. 解此方程，得到 x^2 = 400 - 256 = 144。

6. 取 x 的正值，得 x =##√144 ##= 12。

7. 以上计算结果显示，最终得出答案为 12", "elements": "切线; 圆; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆 O 与直线 MP 有且只有一个公共点 P，这个公共点叫做切点。因此，直线 MP 是圆 O 的切线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 MOP 中，角 MPO 是直角（90度），因此三角形 MOP 是一个直角三角形。边 MP 和边 OP 是直角边，边 MO 是斜边。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 P 是直线 MP 与圆的切点，线段 OP 是圆的半径。根据圆的切线性质，切线 MP 与经过切点 P 的半径 OP 垂直，即 ∠MPO = 90°。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形 MOP中，∠MPO 是直角（90度），边 MP 和 OP 是直角边，边 MO 是斜边，所以根据勾股定理，MO^2= MP^2+ OP^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/0.png", "question": "如图,在△ABC中,已知∠A=80°,∠B=60°,DE∥BC,那么∠CED的大小是()", "answer": "140°", "process": "1. 首先，已知在三角形ABC中，角BAC等于80度，角ABC等于60度。

2. 根据三角形内角和定理，三角形ABC的三个内角的和为180度，##角BAC+角ABC+角ACB=180度，即80度+60度+角ACB=180度##。因此，角ACB等于180度减去角BAC减去角ABC，即##角ACB=180度-80度-60度=40度##。

3. 由于线段DE与线段BC平行，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，角CED加上角ACB等于180度。

4. 所以，角CED等于180度减去角ACB即180度减去40度等于140度。

5. 经过上述推理，最终得出答案为140度。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。##"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线DE和BC被第三条直线AC所截，两角CED和ACB在截线AC同侧，且在被截线DE和BC之内，所以角CED和ACB是同旁内角。同旁内角CED和ACB互补，即角CED + 角ACB = 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角ADE和角ABC相等。###### 2. 同旁内角：角CED和角ACB互补，即角CED + 角ACB = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2434.png", "question": "如图,AB是斜靠在墙上的梯子,梯脚距墙2米,梯子上的D点距墙1.8米,BD长0.6米,则梯子的长为()", "answer": "6.00米", "process": "1. 如图，设墙为竖直的AC，地面为水平的BC，AB是斜靠在墙上的梯子，D点是梯子AB上的一点，使得DE垂直于AC，且DE与墙的距离为1.8米。

2. 根据题意，DE与BC均垂直于AC，所以DE与BC平行，即DE∥BC。

3. 因为DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等，则∠ADE=∠ABC##。

4. ##又由图可知，∠A为三角形ADE与ABC的公共角，根据相似三角形的判定定理(AA)，得出##△ADE∽△ABC。

5. 依据相似三角形的##定义##，对应边成比例，即##AD：AB =DE：BC##。

6. 由题意，BC=2米，DE=1.8米，##BD=0.6米##。AB为梯子的长度，设AD为x，##则AB=x+0.6##。

7. ##已知数据代入比例式得##x：x+0.6 = 1.8：2。

8. ##解比例式得：x=5.4##。

9. ##因此AB =5.4+0.6=6##。

####

##10.## 显然，梯子的长度AB=6米。

##11.## 最后确认，AB = 6米完全符合题意。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，如果角ADE等于角ABC，且角DAE等于角BAC，所以三角形ADE相似于三角形ABC。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "DE和AC相交形成的角∠DEA是90度，BC和AC相交形成的角∠BCA是90度，因此根据垂线定义，DE和AC互相垂直，BC和AC互相垂直。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线DE和直线BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DE和直线BC是平行线。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA, ∠EAD = ∠CAB；AB/AD = BC/DE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2432.png", "question": "如图,点A、B、C在⊙O上,∠ABO=40°,∠ACO=30°,则∠BOC的度数为()", "answer": "140°", "process": "1. 根据题意，在点A作⊙O的直径，交⊙O于点D。

2. 在△OAB中，由于OA = OB，所以△OAB是等腰三角形，这意味着∠OBA = ∠OAB。

3. 由题意已知∠ABO = 40°，所以∠OBA = ∠OAB = 40°。

4. 在△OAB中，∠BOD是外角，根据三角形外角定理，∠BOD = ∠ABO + ∠OAB = 2 × 40° = 80°。

5. 同理，在△OAC中，由于OA = OC，所以△OAC是等腰三角形，同理可得 ∠OCA = ∠OAC。

6. 由题意已知∠ACO = 30°，所以∠OCA = ∠OAC = 30°。

7. 在△OAC中，∠COD是外角，根据三角形外角定理，∠COD = ∠ACO + ∠OAC = 2 × 30° = 60°。

8. 由前述推理可知，∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 80° + 60° = 140°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。同理，在三角形OAC中，边OA和边OC相等，因此三角形OAC也是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆O中，点O是圆心，半径为OA。图中所有到点O的距离等于OA的点都在圆O上，即A、B、C均在圆周上，且OA = OB = OC。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，多边形OAB的一个内角为∠AOB，延长该内角的相邻边AO和OB形成的角∠BOD称为内角∠AOB的外角。同理，多边形OAC的一个内角为∠AOC，延长该内角的相邻边AO和OC形成的角∠COD称为内角∠AOC的外角。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OAB = ∠OBA = 40°。同样，在等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OAC = ∠OCA = 30°。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形OAB中，∠BOD是三角形OAB的一个外角，∠OAB和∠OBA是不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角∠BOD等于不相邻的两个内角∠OAB和∠OBA之和，即∠BOD = ∠OAB + ∠OBA = 40° + 40° = 80°；同样在三角形OAC中，∠COD是三角形OAC的一个外角，∠OAC和∠OCA是不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角∠COD等于不相邻的两个内角∠OAC和∠OCA之和，即∠COD = ∠OAC + ∠OCA = 30° + 30° = 60°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2436.png", "question": "某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1米,再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米,那么旗杆AC的高度为()", "answer": "9米", "process": "1. 已知标杆DF的高度为1.5米，影子EF的长度为1米，以及旗杆AC的影子BC的长度为6米。

2. 因为太阳光的入射角相同，所以标杆与其影子以及旗杆与其影子的高和影长形成相似的直角三角形。

3. 依据相似三角形对应边成比例：在△DEF和△ABC中，##AC/DF=BC/EF=AB/ED##。

4. 由相似三角形的对应边成比例定理，我们可以得到比例关系：##DF / AC = EF / BC。##

5. 将已知值代入上述比例关系：##1.5 /AC = 1 / 6##。

6. 通过求解上式，可以得出AC = 1.5 × 6。

7. 最终计算得出AC的长度为9米。", "elements": "直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形DEF和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DFE = ∠BCA, ∠EDF = ∠CAB, ∠DEF = ∠ABC；DF/AC = EF/BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角C等于角F，且角D等于角A，所以三角形ABC相似于三角形DEF。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2662.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,已知∠A=90°,AC=3,AB=4,则sinB等于()", "answer": "\\frac{3}{5}", "process": "1. 已知∠A = 90°, AC = 3, AB = 4，##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），��Rt△ABC中有BC^2 = AC^2 + AB^2，即BC = √(AC^2 + AB^2 )。##

2. 将已知条件代入，##得BC = √(3^2 + 4^2 ) = √(9 + 16) = √25 = 5。##

3. ##由正弦函数定义得##，sinB = 对边/斜边，在Rt△ABC中，sin∠ABC = AC/BC。

4. 代入已知值，得sin∠ABC = 3/5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为3/5。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角∠ABC是锐角，边AC是角∠ABC的对边，边BC是斜边。根据正弦函数定义，角∠ABC的正弦值等于对边AC与斜边BC的比值，即sin(∠ABC) = AC / BC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角A是直角（90度），边AC和AB是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = AC^2 + AB^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2375.png", "question": "如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员林丹把求从N点击到了对方内的B点,已知网高OA=1.52m,OB=4m,OM=5m,则林丹起跳后击球点离地面的距离NM=()", "answer": "3.42m", "process": "1. 已知 AO 垂直于 BM，NM 垂直于 BM，##根据垂线定义，∠AOB=NMB=90°##。

2. ##根据相似三角形的判定定理(AA)，因为∠AOB=NMB，∠ABO=NBM，可以得到 △ABO 与 △NBM 相似，依据相似三角形的定义##，可以得到 AO/NM = OB/BM。

3. 根据题目已知条件，OA = 1.52米，OB = 4米，OM = 5米。

4. 计算 BM，BM = OB + OM = 4米 + 5米 = 9米。

5. 根据比例关系 AO/NM = OB/BM，得到 1.52/NM = 4/9。

6. 解这个比例方程，得到 NM = 3.42米。

7. 经过上述推理，最终得出 NM 为 3.42米。", "elements": "直角三角形; 点; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "在本题图中，线段 AO 垂直于线段 BM，线段 NM 垂直于线段 BM，对应于定义中的两条垂直线段，形成两个90度的角，∠AOB 和 ∠NMB。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABO和三角形NBM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAO = ∠BNM, ∠ABO = ∠NBM, ∠AOB = ∠NMB；AO/NM = OB/BM。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形AOB和三角形NBM中，如果角AOB等于角AMB，且角NBM等于角ABO，所以三角形ABO相似于三角形NBM。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2836.png", "question": "如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于()", "answer": "\\frac{4}{3}", "process": "1. ##在四边形ABCD中，E和F分别是边AB和AD的中点，连接BD作为辅助线。##

2. ##由于E和F分别是AB和AD的中点，那么在三角形AEF和三角形ABD中，AE:AB=1:2，AF:AD=1:2，两三角形共用∠A，根据相似三角形的判定定理(SAS)，三角形AEF和三角形ABD相似。##

3. ##根据相似图形的定义，有EF:BD=1:2，已知EF=2，则BD=EF*2=4##

####

##4. 由于BD = 4，CD = 3，BC = 5，根据勾股定理的逆定理，BD、CD、BC之间满足BD^2 + CD^2 = BC^2，所以三角形BCD是直角三角形，直角位于点D。##

##5##. 在直角三角形BCD中，tan∠BCD等于BD与CD的比值。

##6##. 所以，tan∠BCD = BD / CD = 4 / 3。

##7##. 经过上述推理，最终得出tan∠C等于4/3。", "elements": "中点; 普通四边形; 线段; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段AB的中点为点E。根据线段中点的定义，点E将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AE和线段EB的长度相等。即，AE = EB。同样，线段AD的中点为点F，点F将线段AD平分为两个相等的部分，即线段AF和线段FD的长度相等。即，AF = FD。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形BCD中，角∠BCD是锐角，边BD是角∠BCD的对边，边CD是角∠BCD的邻边，所以角∠BCD的正切值等于边BD的长度除以边CD的长度，即tan(∠BCD) = BD / CD = 4 / 3。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "三角形AEF和三角形ABD中，边AE与边AB对应，边AF与边AD对应，且边AE/边AB = 边AF/边AD，并且两三角形共用∠A，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形AEF相似于三角形ABD。####"}, {"name": "勾股定理的逆定理", "content": "如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。", "this": "三角形BCD的三边分别为BD、CD、BC，且满足BD^2 + CD^2 = BC^2，则根据勾股定理的逆定理，三角形BCD是直角三角形，最长边BC所对的角BDC为直角。"}, {"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形AEF和三角形ABD相似。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即EF:BD=AF:AD=AE:AB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2867.png", "question": "在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AC=3,BC=4,则tanα等于()", "answer": "\\frac{3}{4}", "process": "1. ##在三角形ABC和三角形ACD中，∠A=∠A,，∠ACB=∠ADC=90°，所以三角形ABC~三角形ACD（相似三角形的判定定理(AA)），进而可知∠α=∠B##

####

##2##. 根据定义，tanα表示的是对边长度与邻边长度的比值，在此图中，tanα=tan∠B。

##3##. 在直角三角形ABC中，tan∠B=对边的长度/邻边的长度=AC/BC，根据题中给出的AC=3，BC=4，可以求得tan∠B=3/4。

##4##. 经过上述推理，最终得出tanα的值为3/4。", "elements": "直角三角形; 垂线; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形ABC中，角∠ABC是锐角，边AC是角∠ABC的相对直角边，边BC是角∠ABC的相邻直角边，所以角∠ABC的正切值等于边AC的长度除以边BC的长度，即tan(∠ABC) = AC / BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形ACD中，角A等于角A，且角ACB等于角ADC，所以三角形ABC相似于三角形ACD。##"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线CD和直线AB相交形成的角∠ADC是90度，因此根据垂线定义，直线CD和直线AB互相垂直。######"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ACD和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ACD = 角B，角A = 角A，角ACB = 角ADC；AC/AB = AD/AC = CD/BC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2882.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=\\frac{1}{3},则\\cosB的值为()", "answer": "\\frac{1}{3}", "process": "1. 已知∠ACB=90°，这是一个直角三角形。

2. 由于三角形内角和为180°，根据三角形内角和定理，得出：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。

3. 代入已知条件∠ACB = 90°，得出∠BAC + ∠ABC = 90°。

4. 因为已知sin(∠BAC) = \\frac{1}{3}，我们知道与之互余的角度之间的正弦和余弦关系，即sin(∠BAC) = cos(∠ABC)。这是根据互余角的三角函数性质得出的。

5. 因此，得出cos(∠ABC) = \\frac{1}{3}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\\frac{1}{3}。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度���，因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角BAC是锐角，边BC是角BAC的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角BAC的正弦值等于对边BC与斜边AB的比值，即sin(∠BAC) = BC / AB = 1 / 3。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边BC是角∠ABC的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠ABC的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值，即cos(∠ABC) = BC / AB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2571/img_diagram.png", "question": "求解 x。", "answer": "5", "process": "1. 已知条件为##角HEG = 8x + 6 和角HGF = 10x _ 4##。

2. 根据##圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。##

3. 因为##角HEF 和角HFG所对的弧 都是弧HG##。

4. 因此，##角HEF和角HFG##是相等的，由此可得等式：8x + 6 = 10x - 4。

5. 解这个方程: 第一步，进行移项：8x + 6 = 10x - 4，可以化简为 10x - 8x = 6 + 4。

6. 由此可以得到：2x = 10。

7. 接着，解这个方程，得到 x = 5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 5。", "elements": "圆; 圆周角; 圆内接四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆 EFGH 中，角 EHF 的顶点 E 在圆周上，角 EHF 的两边分别与圆 EFGH 相交于点 H 和点 F。因此，角 EHF 是一个圆周角。同理，角 FGE 的顶点 F 在圆周上，角 FGE 的两边分别与圆 EFGH 相交于点 G 和点 E。因此，角 FGE 也是一个圆周角。##在本题图中，圆 EFGH 中，角 HEG 的顶点(点 E)在圆周上，角 HEG 的两边分别与圆圆 EFGH 相交于点 H 和点 G。因此，角 HEG 是一个圆周角。在本题图中，圆 EFGH 中，角 HFG 的顶点(点 H)在圆周上，角 HFG 的两边分别与圆 EFGH 相交于点 H 和点 G。因此，角 HFG 是一个圆周角。##"}, {"name": "## 圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆EFGH中，弧HG对应的圆周角∠HEG和∠HFG相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧HG相对应的圆周角∠HEG和∠HFG相等，即∠HEG = ∠HFG。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3055.png", "question": "在⊙O中,AB是直径,CD是弦,∠ABD=28°,则∠C的度数为()", "answer": "62°", "process": "1. 连接AD。

2. 根据题意，AB是直径，##∠ADB是直径所对的圆周角，因此根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，∠ADB=90°。

3. 已知∠ABD=28°，则由三角形内角和定理∠DAB=##180°-##90°-28°=62°。

4. ##∠C和∠DAB都是弧DB所对的圆周角，依据圆周角定理推论1，∠C＝∠DAB##。

5. 综上所述，∠C的度数为62°。", "elements": "圆周角; 圆; 弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠DCB的顶点C在圆周上，角∠DCB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角∠DCB是一个圆周角。角∠DAB的顶点A在圆周上，角∠DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角∠DAB是一个圆周角。角∠ADC的顶点D在圆周上，角∠ADC的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ADC是一个圆周角。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r��"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角∠ADB是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形 ABD 中，∠ABD、∠ADB 和 ∠DAB 是三角形 ABD 的三个内角，根据三角形内角和定理，∠ABD + ∠ADB + ∠DAB = 180°。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等", "this": "在本题图中，圆O中，弧DB对应的圆周角∠DAB和∠DCB相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧DB相对应的圆周角∠DAB和∠DCB相等，即∠DAB = ∠DCB##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2639/img_diagram.png", "question": "求 Q M。", "answer": "12", "process": "1. 已知条件是，我们需要找到线段QM的长度，并且图中四边形NPQM中有两个角是直角。

2. ##由图标注可知∠MNQ=∠PNQ，又因为∠NMQ和∠NPQ都为直角，两个三角形共有一个斜边NQ，根据全等三角形判定定理(AAS)，三角形MNQ≌三角形PNQ##。

3. ##根据全等三角形的定义，三角形MNQ和三角形PNQ的对应边相等，即MQ=PQ##。

4. ##图中已知：MQ=2x+2，PQ=4x-8，代入MQ=PQ可得方程##：4x - 8 = 2x + 2。

5. 求解方程4x - 8 = 2x + 2，可以得到2x = 10，得出x = 5。

6. 将x = 5代入2x + 2以计算QM的长度，结果为2(5) + 2 = 10 + 2 = 12。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "垂线; 直角三角形; 平行四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形NMQ中，角NMQ是直角（90度），因此三角形NMQ是一个直角三角形。边NM和边MQ是直角边，边QN是斜边。同理，三角形NPQ中，角NPQ是直角（90度），因此三角形NPQ是一个直角三角形。边NP和边PQ是直角边，边QN是斜边。####"}, {"name": "全等三角形判定定理(AAS)", "content": "两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形MNQ和三角形PNQ中，角MNQ等于角PNQ，角NMQ等于角NPQ，且边NQ等于NQ。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则(AAS)，可以得出三角MNQ全等于三角形PNQ。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形MNQ和三角形PNQ是全等三角形，三角形MNQ与三角形PNQ的对应边和对应角相等，即：\n边MN = 边PN\n边NQ = 边NQ\n边MQ = 边PQ\n同时，对应的角也相等：\n角MNQ等于角PNQ\n角NMQ等于角NPQ\n角MQN = 角PQN。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3317.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,连结OC、AD,且∠A=35°,则∠AOC=()", "answer": "110°", "process": "1. 连接OD，由∠A = 35°, 根据圆周角定理，圆周角是其所对弧所对的圆心角的一半，得出##∠BOD## = 2∠A = 70°。

2. 已知AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于E，根据##直角三角形全等判定（斜边、直角边），可知三角形ODE全等于三角形OCE##。

3. ##根据全等三角形的定义，∠BOC = ∠BOD = 70°##。

4. ##根据邻补角的定义，##∠AOC + ∠BOC = 180°。

5. 根据前述推理，得∠BOC = ∠BOD = 70°。

6. 代入步骤4公式得：∠AOC = 180° - ∠BOC = 110°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为110°。", "elements": "圆; 圆心角; 直角三角形; 垂线; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，∠AOC和∠BOD是圆心角。它们的顶点都在O，且其两边分别为OA、OC和OB、OD。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线CD和直线AB相交形成的角∠CEA是90度，因此根据垂线定义，直线CD和直线AB互相垂直。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，##圆O中，点D、B、A在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。####"}, {"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。", "this": "直角三角形ODE和直角三角形OCE中，假设角ODE和角OEC都是直角（90度）。如果边OD等于边OC（斜边），并且边OE等于边OE（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形ODE和OCE全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ODE和三角形OCE是全等三角形，三角形ODE的对应边和对应角与三角形OCE相等，即：角DOE = 角COE.####"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角BOC和角AOC有一条公共边OC，它们的另一边OA和OB互为反向延长线，所以角BOC和角AOC互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2645/img_diagram.png", "question": "求三角形中的 h。", "answer": "11", "process": "1. ##设三角形为ABC，根据直角三角形的定义，△ABC是直角三角形，直角边AB=h，斜边AC=22，根据正弦函数定义##，sin(30°) = ##对边AB/斜边AC##，得到sin(30°) = h/22。

2. ##计算##sin(30°) = 1/2，将其代入上述方程，得到1/2 = h/22。

3. 通过等式两边同时乘以22，得到h = 22 * (1/2)。

4. 计算得出结果h = 11。

5. 经过上述推理，最终得出答案为11。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "##在本题图中，三角形ABC中，角B是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。####"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角30°是锐角，边AB是角30°的对边，边AC是斜边。根据正弦函数定义，角30°的正弦值等于对边AB与斜边AC的比值，由图知AB=h，AC=22，即sin(30°) = AB/AC=h/22。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3358.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=70°,则∠BOC的大小是()", "answer": "140°", "process": "1. 已知圆O是△ABC的外接圆，由题目已知条件∠A = 70°。

2. 依据圆周角定理，圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BOC = 2×∠BAC。

3. 由已知条件，∠BAC = 70°，代入前一步公式得到∠BOC = 2×70° = 140°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形外接圆", "content": "三角形的外接圆是通过三角形的三个顶点的圆。", "this": "三角形ABC的三个顶点分别是点A、点B和点C。通过这三个顶点可以画一个圆，这个圆称为三角形ABC的外接圆。圆心O是三角形ABC的外接圆的圆心，且点A、点B和点C都在这个圆上。因此，圆O的半径分别等于OA、OB和OC，即OA=OB=OC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本��图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3171.png", "question": "如图,A、B、C三点都在⊙O上,∠ABO=50°,则∠ACB=()", "answer": "40°", "process": "1. 已知点A、B、C都在⊙O上，∠ABO=50°。

2. ##根据半径的定义，可知图中OA和OB是圆O的半径，且##OA=OB。

3. ##因OA=OB，根据等腰三角形的定义，三角形AOB为等腰三角形##。

4. ##再根据等腰三角形的性质，得出∠OAB = ∠ABO = 50°##。

5. ##根据三角形内角和定理，∠ABO + ∠OAB+ AOB = 180°，即50°+ 50°+∠AOB=180°##，得出∠AOB=180°-50°-50°=80°。

6. 根据圆周角定理，在同一圆中，同一弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的两倍。因此，∠ACB=∠AOB/2。

7. 代入数据，得出∠ACB=80°/2=40°。

8. 经过上述推理，最终得出∠ACB = 40°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OB是圆的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因为它们是圆⊙O的半径，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角C的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。##"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB、角ABO和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角ABO + 角AOB = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB与弧AC对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": ":在本题图中，等腰三角形AOB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABO = 角OAB。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3328.png", "question": "如图,点A、B、C、P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知点A、B、C、P在圆O上，CD垂直于OA，CE垂直于OB，垂足分别为D和E。

2. ##在四边形ODCE中，根据多边形的内角和定理，四边形ODCE得内角和为(4-2) × 180° = 360°，即∠DOE + ∠OEC + ∠ECD + ∠CDO = 360°。##

####

##3. 已知∠DCE=40°。因为CD垂直于OA，因此∠CDO=90°；同理，CE垂直于OB，因此∠OEC=90°。##

##4. 代入已知条件，得∠DOE = 360°-∠OEC -∠ECD -∠CDO = 360°-90°-40°-90° = 140°。##

##5. 弧ACB对应∠AOB和∠P，根据圆心角的定义，∠AOB为圆心角；根据圆周角的定义，∠P为圆周角。##

##6. 根据圆周角定理，∠P=1/2 * ∠AOB=1/2 * 140°=70°##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "圆; 垂线; 圆周角; 圆心角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆O上有两点A和B，弧ACB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧ACB是圆上两点A和B之间的一段曲线。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角P的顶点P在圆周上，角P的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角P是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、P、B在圆上，弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠P。根据圆周角定理，∠P等于它所对的弧ACB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠P = 1/2 ∠AOB。##"}, {"name": "多边形内角和定理", "content": "一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。", "this": "四边形ODEC是一个有4条边的多边形，其中4表示多边形的边数。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (4-2) × 180° = 360°。故有 ∠DOE + ∠OEC + ∠ECD + ∠CDO = 360°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2727/img_diagram.png", "question": "求 \\\\angle Z 的度数，精确到十分位。", "answer": "33.7", "process": "1. ##已知条件为YX = 5, XZ = 9，∠Y=90°，根据直角三角形的定义可知，△XYZ为直角三角形，YX是直角边，XZ是斜边。##

####

##2. 根据正弦函数定义，##sin(∠XZY) = YX / XZ = 5 / 9。

##3##. 计算∠XZY，利用##反正弦函数##：∠XZY = arcsin(5/9)。

##4##. 用计算器求解：∠XZY ≈ 33.7度（四舍五入到十分位）。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为33.7度。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形XYZ中，角Y是直角（90度），因此三角形XYZ是一个直角三角形。边YX和边YZ是直角边，边XZ是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "∠XZY是锐角，边YX是∠XZY的对边，边XZ是斜边。根据正弦函数定义，∠XZY的正弦值等于对边YX与斜边XZ的比值，即sin(∠XZY) = YX / XZ。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/055.png", "question": "x的值是多少？", "answer": "60", "process": "##1.设X°角顶点为A，70°角顶点为B，130°外角的顶点为C。##

##2##. 已知∠ABC = 70°，##三角形ACB的外角 = 130°##

##3##. 根据三角形外角定理，任意三角形的某一外角等于与它不相邻的两个内角的和。应用到此题中，##三角形ACB的外角是∠CAB = x°与∠ABC= 70°的和##。

##4##. 基于三角形外角定理，可以得出方程：130° = x° + 70°，因此得出结论x° = 130° - 70°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为60。", "elements": "三角形的外角; 普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，三角形ABC的一个内角为∠ACB####，延长该内角的相邻边AC和BC形成的角称为内角∠ACB的外角，也就是130°的角。##"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形ABC中，130°的角是三角形ABC的一个外角，∠CAB = x°和∠ABC = 70°是与外角130°不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角130°等于不相邻的两个内角∠CAB和∠ABC之和，即130° = ∠CAB +∠ABC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2474/img_diagram.png", "question": "平行四边形 M N P Q 中，m \\angle M = 10 x 和 m \\angle N = 20 x，求 \\angle M。", "answer": "60", "process": "1. 已知平行四边形 MNPQ 中，##∠M = 10x 和 ∠N = 20x。根据平行四边形的邻角互补定理，相邻角互补，即 ∠M + ∠N = 180°##。

2. ���第一步结论 ##∠M + ∠N= 180°，代入已知 ∠M = 10x 和 ∠N = 20x##，得到 10x + 20x = 180°。

3. 解方程 30x = 180°，得到 x = 6。

4. 代入 ##∠M = 10x，得到 ∠M## = 10 * 6 = 60°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 60°。", "elements": "平行四边形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "边 MQ 与 边 NP 平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的邻角互补定理", "content": "在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。", "this": "平行四边形MNPQ中，角M和角N是相邻的内角，角N和角P也是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，角M + 角N = 180°，角N + 角P = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3528.png", "question": "如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,∠A=50°,则∠DCE的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=50°，连接OB, OD。

2. ∠DOB与∠A都对弧BD，根据圆周角定理，得到∠DOB=2∠A，##即∠DOB=100°##。

3. ∠DOB和∠BCD都对弧DAB，根据圆周角定理，得到∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD。

4. ∠DOB（小于平角的角）+∠DOB（大于平角的角）=360°，##根据周角的定义，已知∠DOB=100°，所以∠DOB（大于平角的角）=360°-∠DOB（小于平角的角）=360°-100°=260°##。

5. ##已知∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，所以∠BCD=∠DOB（大于平角的角）/2=260°/2=130°##。

6. 由∠DCE+∠BCD=180°，##根据平角的定义可得∠DCE=180°-∠BCD##。

7. 因为##∠BCD=130°##，所以∠DCE=50°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为∠DCE=50°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 邻补角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆⊙O中，点O是圆心，半径为OA、OB、OC、OD。图中所有到点O的距离等于OA、OB、OC、OD的点都在圆⊙O上。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。##同理，圆O中，角BCD的顶点C在圆周上，角BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BCD是一个圆周角##。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧DAB与弧DCB对应的圆心角为∠DOB，圆周角为∠BCD。根据圆周角定理，∠BCD等于它所对的弧DAB所对应的圆心角∠DOB的一半，即∠BCD = 1/2 ∠DOB。######"}, {"name": "周角的定义", "content": "一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角。", "this": "在本题图中，射线OA绕着端点O旋转一周，形成周角AOA。根据周角的定义，周角的度数为360度，即周角AOA=360度。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线BC绕着端点C旋转到与起始边成一条直线，形成平角BCE。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角BCE=180度。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/001.png", "question": "在上图的三角形中，x的值是多少？", "answer": "2*\\sqrt{3}", "process": "1. ##设图中三角形的60°角的顶点为点A，直角顶点为点B，三角形的另一个顶点为点C，所以有∠A=60°，∠B=90°。根据三角形内角和定理，因此∠C=180°-90°-60°=##30°。

2. ##已知直角三角形的一个直角边长BC=6，可求出另一个直角边AB的长度##。

3. 在一个30°-60°-90°的直角三角形中，##根据30°-60°-90°三角形的性质，AB边、BC边和AC边的长度比例为1:√3:2##。

4. 在本题中，##BC##为√3倍对应的边，因此与##60°角相邻的AB边应该是1倍的，即x=6/√3##。

5. 经过化简，##x = 6*(√3 / 3) = 2���3##。这是由30°-60°-90°三角形的边长比例定理推导出的结论。

6. 因此，根据比例定理，得出x = 2√3。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中有一个角B是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。BC和AB是直角边，AC是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，在30°-60°-90°三角形ACB中，边AC是斜边，边AB是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB等于边AC的一半，边BC等于边AB的√3倍。即：AB = 1/2 * AC，BC = √3 * AB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形中，∠A=60°，∠B=90°，根据三角形内角和定理，∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-60°=30°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2771/img_diagram.png", "question": "求图中x的值。如有必要，四舍五入到十分位。", "answer": "3", "process": "1. 已知题目中有一个等腰梯形，其上底为6x + 4，中线为5x + 10，下底为10x - 2，左右两侧边相等。##设等腰梯形四个顶点为ABCD，中线为EF。##

2. 根据##梯形中位线定理##，等腰梯形中线长度等于上底与下底长度之和的一半。即中线 == (上底 + 下底) / 2。

3. 代入已知条件：5x + 10 = [(6x + 4) + (10x - 2)] / 2。

4. 将方程展开并化简：5x + 10 = (6x + 4 + 10x - 2) / 2。

5. 进一步简化右侧：5x + 10 = (16x + 2) / 2。

6. 去除分母：5x + 10 = 8x + 1。

7. 将所有x项移到等式一侧，将常数项移到另一侧：5x - 8x = 1 - 10。

8. 合并同类项得到：-3x = -9。

9. 两边同除以-3得到：x = 3。

10. 将x = 3代入三段长度公式检查正确性：上底6x + 4 = 6##x##(3) + 4 = 22，中线5x + 10 = 5##x##(3) + 10 = 25，下底10x - 2 = 10##x##(3) - 2 = 28。中线25确实等于上底22和下底28和的一半(25 = (22 + 28) / 2 = 25)。", "elements": "梯形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰梯形的定义", "content": "等腰梯形是指两腰相等的梯形。", "this": "在本题图中，等腰梯形ABCD中，边AB和边DC是平行的（即为梯形的两条平行边），边AD和边BC是梯形的两腰，并且边AD等于边BC（即两腰相等）。因此，ABCD是一个等腰梯形。"}, {"name": "梯形中位线定理", "content": "梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。", "this": "在本题图中，梯形ABCD中，边AB和边DC是梯形的两条底边，点E和点F是梯形两腰的中点，线段EF是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段EF平行于边AB和边DC，并且线段EF的长度等于边AB和边DC长度和的一半，即EF = (AB + DC) / 2。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/025.png", "question": "直线AB是圆O的切线。如果AB = 8且OB = 10，求圆的直径。", "answer": "12", "process": "1. 已知条件为AB是圆O的切线，##OA##是圆O的半径，根据##圆的切线性质##，得出角OAB为90度。

2. ##根据直角三角形的定义，因为∠OAB=90°，所以三角形OAB为直角三角形。在直角三角形OAB中，根据勾股定理，得出OA^2 + AB^2 = OB^2##。

3. ##因为AB=8，OB=10，所以OA^2 + 8^2 = 10^2##。

4. 解该方程，OA^2 + 64 = 100。

5. 将64移到右侧，得到OA^2 = 100 - 64。

6. 计算得出OA^2 = 36。

7. 取平方根，得出OA = 6，即圆的半径为6。

8. 由于直径是半径的两倍，因此圆的直径为6 * 2 = 12。

9. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "直角三角形; 切线; 圆", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "直径是通过圆心O并且两端连接圆周的线段。例如，如果半径OA = 6，则直径是2倍的OA，即2 × 6 = 12。"}, {"name": "直角三��形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB是直角（90度），因此三角形OAB是一个直角三角形。边OA和边AB是直角边，边OB是斜边。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点A是直线AB与圆的切点，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAB=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形OAB中，角OAB是直角（90度），边OA和AB是直角边，边OB是斜边，所以根据勾股定理，##OB^2 = OA^2 + AB^2##，即 10^2 = OA^2 + 8^2。通过计算，可以得出OA^2 = 36，因此OA = √36 = 6，即圆的半径为6。最后，直径是2倍的半径，因此直径为2×6=12。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2492/img_diagram.png", "question": "A B \\\\cong D F。求 x。", "answer": "2", "process": "1. 已知线段 AB##≌##线段 DF，即线段 AB 和线段 DF 全等，这意味着它们的长度相等。

2. ##设图中的圆的圆心为O，直线CE的左端延长线交于圆O一点M，直线CE的右端延长线交于圆O一点N，由图中标识可知线段CE分别垂直弦AB和弦DF。因为线段CE与图中圆O的直径重合，根据垂径定理，直径若垂直于圆O中的一条弦，则直径平分该条弦，所以直径平分图中圆O内的弦AB和弦DF，即线段CE垂直平分弦AB和弦DF。而图中直径与弦AB和弦DF相交于点C和点E，所以AC=BC=1/2AB、DE=FE=1/2DF。又因为线段 AB 和线段 DF 全等，即AB=DF，所以BC=DE##。

3. ##已知 BC = 9x 和 DE = 2x + 14，代入BC=DE可得：9x=2x + 14##。

4. ##简化可得：7x=14##

5. ##最终算得：x=2##

####", "elements": "垂直平分线; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦。点D和点F是圆上的任意两点，线段DF连接了这两个点，所以线段DF是圆O的弦。####"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "设图中的圆的圆心为O，圆O中，点O是圆心。图中所有到点O的距离等于半径的点都在圆xxx上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径", "this": "MN是直径，连接了圆心O和圆周上的M、N两点，长度为2倍的半径。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "直径MN垂直于弦AB和弦DF，那么根据垂径定理，直径MN平分弦AB和弦DF，即AC=BC、DE=FE，并且直径MN平分弦AB和弦DF所对的两条弧，即弧AM=弧BM，弧DN=弧FN。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3225.png", "question": "如图,某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形,一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道,连车带货一起最高为多少米()", "answer": "3m", "process": "1. ##设半圆的圆心为O，直径为AB，矩形为QWER(左上角开始逆时针依次取矩形顶点）过O做垂直QR的直线，交矩形上边为H，交圆周于J##。

2.##显然OJ是一条半径，由垂径定理可知，OJ垂直平分QR，QH＝HR##。

3.##已知卡车宽3.2m，所以QR＝3.2，HR＝3.2/2＝1.6，连接OR，可知OR为半径，OR＝3.4，三角形ORH符合直角三角形定义，三角形ORH是直角三角形##

4.##在直角三角形ORH中，由勾股定理可知，OR^2＝RH^2＋OH^2，代入OR，RH整理可得OH = √(3.4^2 - 1.6^2) = 3米##

5.##因此连车带货一起最高为3米##。

####", "elements": "圆; 垂线; 直角三角形; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ORH中，角OHR是直角（90度），因此三角形ORH是一���直角三角形。边OH和边RH是直角边，边OR是斜边。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "线段OH和线段QR相交形成的角∠OHR是90度，因此根据垂线定义，线段OH和线段QR互相垂直。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在直角三角形△ORH中，∠OHR是直角（90度），边OH和RH是直角边，边OR是斜边，所以根据勾股定理，OR^2＝RH^2＋OH^2。已知OR=3.4米，HR=1.6米，通过此定理求得OH的长度。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "圆O中，直径OJ垂直于弦QR，那么根据垂径定理，直径OJ平分弦QR，即QH=HR。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2402/img_diagram.png", "question": "圆O的半径为13英寸。半径OB垂直于弦CD，弦CD的长度为24英寸。求OX。", "answer": "5", "process": "1.已知圆 O 的半径为 13 英寸，半径 OB 垂直于弦 CD，弦 CD 的长度为 24 英寸。

2. 根据##垂径定理##，圆的半径垂直于弦时，该半径平分弦。即 CD 被分成两段，每段的长度为(m=)CD/2 = 24/2 = 12 英寸。因此，C X 和 D X 的长度均为 12 英寸。

3. 由于 OX 垂直于 CD，##∠OXC=90°，所以根据直角三角形的定义得：三角形OXC是直角三角形。##根据勾股定理####，在直角三角形 OXC 中，##OC?= XC?+ XO?=144+ XO?=166##。

##4##.得出方程式：XO?=169?144=OX?=25，OX=√25=5。

##5##.经过上述推理，最终得出答案为：OX的长度为 5英寸。", "elements": "圆; 垂线; 直角三角形; 弦; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆 O 中，半径 OB 垂直于弦 CD，那么根据垂径定理，半径 OB 平分弦 CD，即CX = XD = CD/2 = 12 英寸，并且半径 OB 平分弦 CD 所对的两条弧，即弧 CB = 弧 DB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形 OXC 中，∠OXC 是直角（90度），边 OX 和 CX 是直角边，边 OC 是斜边，所以根据勾股定理，OC² = OX² + CX²，即 13² = OX² + 12²。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "角OXC是直角（90度），因此三角形OXC是一个直角三角形。边CX和边OX是直角边，边OC是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2806/img_diagram.png", "question": "求四边形ABCD的\\\\angle C。", "answer": "90", "process": "1. ##根据图中的直角符号可知BC垂直于CD，因此角C＝90度。##

####

##2. 得最终结论：\\\\angle C的值为90##。", "elements": "普通四边形; 邻补角; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线BC和直线DC相交形成的角∠C是90度，因此根据垂线定义，直线BC和直线DC互相垂直。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2432/img_diagram.png", "question": "求该图形的面积。", "answer": "144", "process": "1. 已知条件为矩形的长为16英寸，宽为9英寸，根据矩形的定义可得矩形的对边相等，并且每个角都是直角（90度），##设矩形的四个角分别为∠A、∠B 、∠C 、∠D ##。

2. 根据矩形面积公式：矩形的面积 = 长 × 宽。

3. 代入已知条件，得到面积 = 16 英寸 × 9 英寸 = 144 平方英寸。

4. 经过上述推理，最终得出答案为144平方英寸。", "elements": "矩形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且边长为 16 英寸，宽为 9 英寸。由于矩形的定义，每个内角都是直角(90度)，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90度。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "在本题图中，矩形中，边长16英寸和边宽9英寸是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 16 英寸 × 9 英寸。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2903/img_diagram.png", "question": "将 \\sin N 的比率表示为小数，精确到小数点后两位。", "answer": "0.92", "process": "1.在直角三角形 PMN 中，##∠NPM## 是直角，根据直角三角形的性质，##sin(∠N)## 表示对边 PM 与斜边 MN 的比值。

2. 直角三角形 PMN 的对边 PM 长为 36，斜边 MN 长为 39，根据所给数据可直接读取。

3. 由 sin Definition（即##正弦函数定义##），得：##sin(∠N) ##= PM / MN。

4. 因此 ##sin(∠N) ##= 36 / 39。

5. 简化 36 / 39，以小数形式表示：36 ÷ 39 ≈ 0.923。

6. 经过上述计算，第四步应遵从精确##到小数点后两位##，所得为 0.92。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案## sin∠N≈ 0.923##。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形 PMN 中，##∠N## 是锐角，边 PM 是角 ##∠N## 的对边，边 MN 是斜边。根据正弦函数定义，##∠N##的正弦值等于对边 PM 与斜边 MN 的比值，即 sin(##∠N##) = PM / MN = 36 / 39。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "∠NPM 是直角（90度），因此三角形 PMN 是一个直角三角形。边PN和边PM是直角边，边MN是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2526/img_diagram.png", "question": "如果 A B \\\\perp B C，求 \\\\angle 2 的度数。", "answer": "68", "process": "####

##1. 设∠2所在的三角形为ADE，即∠ADE=36°。##

##2##. 根据题目的图示，##∠AEC = 104°##。

##3. 在三角形 ADE 中，根据三角形的外角定理：任一三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。##

##4.由于 ∠AEC 是 ∠AED的外角，∠AED=∠1，因此根据三角形的外角定理， ∠AEC = ∠ADE + ∠DAE。因此 ∠2 =∠DAE= ∠AEC - ∠ADE。##

##5. 将 ∠AEC 和 ∠ADE 已知值代入∠2 = ∠AEC - ∠ADE，得：∠2 = 104° - 36° = 68°。##

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为：68°。", "elements": "垂线; 直角三角形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形ADE中，角AEC是三角形的一个外角，角ADE和角DAE是与外角AEC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AEC等于不相邻的两个内角ADE和DAE之和，即角AEC = 角ADE + 角DAE。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ADE是由三个非共线点A、D、E及其连接线段AD、DE、AE组成的几何图形。点A、D、E分别是三角形的三个顶点，线段AD、DE、AE分别是三角形的三条边。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形AED的一个内角为∠DAE，延长该内角的相邻边DE和AE形成的角∠ADC称为内角∠ADE的外角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3593.png", "question": "如图,在圆的内接四边形ABCD中,∠ABC=120°,则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是()", "answer": "120°", "process": "1. 已知四边形ABCD是圆的内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得到角ADC与角ABC互补，即：∠ADC + ∠ABC = 180°。

2. 已知∠ABC = 120°，则根据第1步的结论，得到∠ADC = 180° - 120° = 60°。

3. ##∠ADE和∠ADC符合邻补角的定义，互为邻补角##。

4. 由第2步得出∠ADC = 60°，所以∠ADE = 180° - 60° = 120°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠ADE = 120°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 三角形的外角; 邻补角; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶��都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即∠ABC + ∠ADC = 180度，∠BAD + ∠BCD = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ABC + ∠ADC = 180°；∠BAD + ∠BCD = 180°。##"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角", "this": "角ADE和角ADC有一条公共边AD，它们的另一边DE和DC互为反向延长线，所以角ADE和ADC互为邻补角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2592.png", "question": "如图,已知圆周角∠BAC=40°,那么圆心角∠BOC的度数是()", "answer": "80°", "process": "1. 已知圆周角 ∠BAC = 40°。

2. 圆心角 ∠BOC 所对的弧与 ∠BAC 所对的弧是相同的。

3. 根据圆周角定理，圆心角 ∠BOC 与圆周角 ∠BAC 的关系是：圆心角等于圆周角的两倍，即 ∠BOC = 2∠BAC。

4. 将已知的 ∠BAC 代入上式，得到 ∠BOC = 2 × 40° = 80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 80°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2836/img_diagram.png", "question": "圆 G, J 和 K 都在 L 处相交。如果 G H = 10，求测量值。求 J L。", "answer": "5", "process": "1. ##已知条件为三圆G、J、K交于一点L，并且GH = 10。##

2. ##根据题中图形可知，G、J、K的圆心分别是点G、J和K，G、J、L在同一条直线上，并且点H和点L都为圆G上的一点，点G和点L都为圆J上的一点。根据半径的定义，GH和LG为圆G的半径，JL为圆J的半径，GH=LG，GJ=LJ，即LJ=LG/2。##

3. ##代入LG=GH=10可得，JL = 10/2 = 5。##

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##4##. 经过上述推理，最终得出答案为5。", "elements": "点; 圆; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题中，圆G以点G为圆心，半径为GH；圆J以点J为圆心，半径为JL；圆K以点K为圆心，半径为KL。图中所有到点G的距离等于GH的点都在圆G上，到点J的距离等于JL的点都在圆J上，到点K的距离等于KL的点都在圆K上。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "GH是圆G的半径，L是圆G、J、K的交点，因此GH和GL是圆G的半径，JL是圆J的半径，KL是圆K的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2461/img_diagram.png", "question": "Q是重心且B E = 9。求B Q。", "answer": "6", "process": "1. 已知条件为Q是三角形ABC的重心（Q is the centroid of triangle ABC），B到E的长度BE=9。需要求BQ的长度。

2. 根据##重心定理##，重心将每一条中线分成2:1的比例（重心到顶点的距离是重心到边中点距离的两倍）。

3. 在三角形ABC中，BE为边AC上的中点分线，Q是三角形的重心，所以BQ:QE=2:1。

4. 设QE=x，则BQ=2x。

5. ##根据线段的定义，点Q是线段BE上的点##，所以BQ + QE = BE。

6. 代入已知数据，得到2x + x = 9。

7. 合并同类项，3x=9。由此可得出x=3。

8. 根据x=3，得出BQ=2*3=6。

9. 经过上述推理，最终得出答案为BQ=6。", "elements": "点; 线段; 中点; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "重心定理", "content": "重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点Q是三角形的重心。三角形的三条中线分别为线段AD、线段BE和线段CF，它们相交于点Q。根据重心定理，点Q将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。例如，在线段BE中，点Q将其分成两段，较长的一段为BQ（连接顶点B），较短的一段为QE。类似地，在线段AD和线段CF中，点Q也将它们分别分成2:1的两段。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段BE是一个直线的一部分，包含端点B和端点E及其间的所有点。线段BE具有两个端点，这两个端点分别是E和B，且线段BE上的每一个点都位于端点E和端点B之间。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2928/img_diagram.png", "question": "求 C F，如果 B F 平分 \\angle A B C 且 A C \\\\parallel E D，B A = 6，B C = 7.5，A C = 9，和 D E = 9。", "answer": "5", "process": "1. ##已知∠ABF=∠CBF，根据角平分线定义可得，线段 BF为∠ABC的角平分线；依据角平分线定理，可得 AF/FC = AB/BC。##

2. ##代入 AB = 6，BC = 7.5，可以得出 AF / FC = 6 / 7.5。##

3. 转换6/7.5为更精确的小数比例，得 AF / FC = 4 / 5。

4. 定出 AF = 4k，FC = 5k，其中k为比例因子。

5. 联合总长度 A C = 9，得到 4k + 5k = 9，从而得出 k = 1。

6. 根据k=1求解，得 AF = 4 × 1 = 4, FC = 5 × 1 = 5。

####

##7.经过上述推理，最终得出答案为 CF = 5。##", "elements": "平行线; 内错角; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BF，这条线将角ABC分成两个相等的角，即角ABF和角CBF相等。因此，线BF是角ABC的角平分线。"}, {"name": "角平分线定理", "content": "在一个三角形中，角的平分线将与之相对的边分成的两部分的比等于这个角两边的比。", "this": "三角形 ABC 中，角ABC 的平分线 BF 交对边 AC 于点 F。边 AB 和 BC 是角ABC 的两边，线段 AF 和 FC 是角平分线 BF 将对边 AC 分成的两部分。根据角平分线定理，边 AB 与边 BC 的比等于边 AF 与边 FC 的比，即 AF / FC = AB / BC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3208.png", "question": "如图,已知圆心角∠AOB的度数为110°,则圆周角∠ACB等于()", "answer": "125°", "process": "1. 根据题意，已知圆心角∠AOB的度数为110°。

2. 设点E位于圆弧AB上，且连接点E到点A和点B，即连接EA和EB。

3. 根据圆周角定理，圆心角∠AOB在对应的优弧AB上的圆周角为其一半，即∠AEB=1/2∠AOB。

4. 将已知条件代入，得∠AEB=1/2×110°=55°。

5. ##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，∠AEB+∠ACB=180°。

6. 所以##∠ACB=180°-∠AEB=180°-55°=125°##。

##6. 最终得出答案为125°。##", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。##圆O中，角APB的顶点C在圆周上，角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角APB是一个圆周角##。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "点A、B、P在圆上，弧AB对���的圆心角为∠AOB，圆周角为∠APB。根据圆周角定理，∠APB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠APB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "圆内接四边形ACBP中，四边形的顶点ACBP都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ACBP的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ACB + ∠APB = 180°；∠PAC + ∠PBC = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2954/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 2。", "answer": "90", "process": "1.观察给定图形，可以发现图中的三角形是一个直角三角形，直角位于右下角。圆心在斜边上，这离它是圆的一部分。

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##2. 根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。所以给定的 ∠2 实际上被表现为 90°。

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 90°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "斜边是直径，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆中，角2的顶点在圆周上，角2的两边分别与圆相交于两点。因此，角2是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "直角三角形斜边是直径，所以圆周角2是90度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3519.png", "question": "如图,点A、B、C、D在圆O上,点E在AD的延长线上,若∠ABC=60°,则∠CDE的度数为()", "answer": "60°", "process": "1. 已知四边形ABCD为圆O的内接四边形，##所以依据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得出∠ABC + ∠ADC = 180°。

2. 由于E点在AD的延长线上，所以∠CDE和∠ADC为##邻补角##，根据##邻补角的定义##，得出∠CDE + ∠ADC = 180°。

3. 已知∠ABC = 60°，由第一步推理可得∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120°。

4. 将∠ADC的值代入第二步的推理，得到∠CDE + 120° = 180°，得出∠CDE = 180° - 120° = 60°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDE = 60°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆内接四边形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即∠ABC + ∠ADC = 180度，∠BAD + ∠BCD = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是圆O的内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ABC + ∠ADC = 180°；∠BAD + ∠BCD = 180°。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角", "this": "角ADC和角CDE有一条公共边DC，它们的另一边AD和DE互为反向延长线，所以角ADC和CDE互为邻补角##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2990/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 1 = 50 和 m \\angle 3 = 60。求 \\angle 8 的度数。", "answer": "120", "process": "1. ##图中在m和n两条线上各画一个箭头，表示这两条线平行。在p和q两条线上各画三个箭头，表示这两条线平行。即m∥n，p∥q。

2. ##设直线n与直线q相交于点o，直线n与直线q在直线q下方形成的钝角夹角为∠9，在直线q上方形成的钝角夹角为∠10，直线n与直线q在直线q下方形成的锐角夹角为∠11，在直线q上方形成的锐角夹角为∠12。根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，m∥n且平行线m和n被直线q所截，所以∠3与∠9互为同旁内角，二者互补，即∠3+∠9=180°。已知∠3=60°，所以∠9=180°-∠3=180°-60°=120°##。

3. ##根据对顶角的定义，由直线n与直线q相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等，所以∠9=∠10，即∠10=120°##。

4. ##根据平行线的平行公理2和同位角的定义，p∥q且平行线p和平行线q被直线n所截，所以∠10与∠8互为同位角，即∠8=∠10=120°##。

5. 经过上述推理，最终得出##∠##8 的度数为 120°。", "elements": "平行线; 内错角; 同位角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，直线n和q 相交于点 k，形成四个角：∠9、∠10、∠11和 ∠12。根据对顶角的定义，∠9 和 ∠10是对顶角，∠11 和 ∠12是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以 ∠9 = ∠10，∠11 = ∠12。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线m和n被第三条直线q所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：无。3. 同旁内角：角3和角9互补，即角3 + 角9 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。两条平行线p和q被第三条直线n所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角8和角10相等。2. 内错角：无。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线m和n被第三条直线q所截，两角∠3和∠9在截线q同侧，且在被截线m和n之内，所以角3和角9是同旁内角。同旁内角∠3和∠9互补，即角3 + 角9 = 180度。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线p和q被一条直线n截交，其中角10和角8位于截线n的同旁，被截两直线p和q的同一侧，因此角10和角8是同位角。同位角相等，即角10等于角8。##"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/056.png", "question": "∠ABC的度数是多少？", "answer": "75 degrees", "process": "1. 已知条件为△ABC，其中角BAC、角ABC和角ACB分别为4x°、5x°和3x°，根据三角形内角和定理（任意三角形的三个内角之和为180°），得出方程：4x + 5x + 3x = 180。

2. 化简方程：4x + 5x + 3x = 12x，因此12x = 180。

3. 对方程12x = 180两边同时除以12，可以得到x = 15。

4. 角ABC的度数为5x°，将x的值代入得到角ABC = 5 × 15 = 75°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为75°。", "elements": "普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "角BAC是由射线AB和射线AC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A，这个共同的端点A称为角BAC的顶点，而射线AB和射线AC称为角BAC的边。角ABC是由射线AB和射线BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B，这个共同的端点B称为角ABC的顶点，而射线AB和射线BC称为角ABC的边。角ACB是由射线AC和射线BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点C，这个共同的端点C称为角ACB的顶点，而射线AC和射线BC称为角ACB的边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/218.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上��两点,分别连结AC、BC、CD、OD.若∠DOB=140°,则∠ACD=()", "answer": "20°", "process": "1. 已知∠DOB = 140°。##根据邻补角的定义，∠AOD=180°-∠DOB=180°-140°=40°。

2. ##根据圆心角的定义，∠AOD为圆心角##。

3. ##根据圆周角的定义和圆周角定理，∠ACD=1/2∠AOD=1/2*40°=20°##。

4. 因此，最终得出结论∠ACD = 20°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 线段; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACD的顶点C在圆周上，角ACD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角ACD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角。圆O中，点D和点A是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OA组成的角∠DOA称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、C、D在圆上，弧AD对应的圆心角为∠AOD，圆周角为∠ACD。根据圆周角定理，∠ACD等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOD的一半，即∠ACD = 1/2 ∠AOD。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角AOD和角DOB有一条公共边OD，它们的另一边AO和OB互为反向延长线，所以角AOD和DOB互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2550/img_diagram.png", "question": "在菱形ABCD中，AB = 2x + 3 且 BC = 5x。求AD。", "answer": "5", "process": "1. 已知菱形 A B C D，##根据菱形的定义，##边 A B 和 B C 相等，即 A B = B C。已知 A B = 2 x + 3，B C = 5 x。

2. 根据##菱形的定义##，四个边相等，因此 A B=D C ##=A D##=B C。

3. 我们可以列出方程 2 x + 3 = 5 x。

4. 将 2 x 移到方程##右侧##，结果为 3 = 3 x。

5. 解方程 x = 1。

6. 将 x 的值代入 A B = 2 x + 3，我们可以得到 A B = ##2*(1)## + 3 = 5。

7. 因为菱形的所有边都相等，所以 A D 也等于 5。

8. 因此, A D 的长度为 5。", "elements": "线段; 菱形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "菱形ABCD的所有边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此AB = BC = CD = DA。此外，菱形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点E，且∠AED是直角（90度），并且AE = EC和BE = ED。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/48.png", "question": "如图,直线a∥b,直线c与a,b相交,∠1=55°,则∠2=()", "answer": "55°", "process": "1. 已知直线a平行于直线b，且∠1 = 55°，##设∠2的对顶角为∠3##。

2. ##根据平行线的平行公理2，同位角相等 ##，得出∠3 = ∠1 = 55°。

3. ##根据对顶角的定义##，∠2和∠3是对顶角，得出∠2=∠3=55°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "平行线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，直线c与直线b相交于点Y，形成两个角：∠2、∠3。根据对顶角的定义，∠2和∠3是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠2=∠3。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线c所截，形成了以下几何关系：同位角：角1和角3相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线a和b被一���直线c截交，其中角1和角3位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角1和角3是同位角。同位角相等，即角1等于角3。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2582/img_diagram.png", "question": "求 P N。", "answer": "30", "process": "1. ##由图示可知∠LMP = 25°和∠NMP = 25°，且∠MLP = 90°和∠MNP = 90°##。

2. ##根据全等三角形判定定理(AAS)，已知∠LMP =∠NMP = 25°，∠MLP = ∠MNP = 90°，且两个三角形中的∠MLP和∠MNP的对边同为MP，所以三角形MPL≌三角形MPN##。

3. ##全等三角形的定义，两个三角形的对应边相等，所以LP=NP，即3x+6=4x-2##。

4. ##解方程：6+2=4x-3x，最终解得：x=8##。

5. ##将已求得x的值代入：4x-2求PN，解得：PN=4 * 8-2=30##。

####

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为 P N 的长度是 30。", "elements": "直角三角形; 内错角; 同位角; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形MLP是由三个非共线点M、L、P及其连接线段ML、LP、MP组成的几何图形。点M、L、P分别是三角形的三个顶点，线段ML、LP、MP分别是三角形的三条边。三角形MNP是由三个非共线点M、N、P及其连接线段MN、NP、MP组成的几何图形。点M、N、P分别是三角形的三个顶点，线段MN、NP、MP分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "全等三角形判定定理(AAS)", "content": "两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。。", "this": "角LMP等于角NMP，角MLP等于角MNP，且边MP等于MP。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则(AAS)，可以得出三角形MPL全等于三角形MPN。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形MPL和三角形MPN是全等三角形，三角形MPL的对应边和对应角与三角形MPN相等，即：\n\n边ML = 边MN\n边MP = 边MP \n边PL = 边PN\n\n同时，对应的角也相等：\n角LMP = 角NMP\n角MLP = 角MNP\n角MPL = 角MPN"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2785.png", "question": "如图,ABC中,AB=AC=4cm,BC=6cm,则\\cosB=()", "answer": "\\frac{3}{4}", "process": "1. 已知三角形ABC中，AB = AC = 4cm，BC = 6cm。

2. 作辅助线AD，垂直于BC于点D。

3.##三角形ABD和三角形ACD由直角三角形的定义可知，均为直角三角形##

4.##依据直角三角形全等判定（斜边、直角边），AB＝AC，AD＝AD，可知直角三角形ABD与直角三角形ACD全等##。

5.##依据全等三角形的定义，可知，BD＝6/2＝3##

6.##在直角三角形ABD中，由余弦函数可知，cosB＝BD/AC＝4/6＝3/4##。

7.##通过上述推理，最终得出cos∠B = 3 / 4##。

####", "elements": "等腰三角形; 余弦; 普通三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD和三角形ACD中，角∠ADB和角∠ADC是直角（90度），因此三角形ABD和三角形ACD是直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边；边AD和边DC是直角边，边AC是斜边。######"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值", "this": "在本题图中，直角三角形ABD中，边BD是角B的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角B的余弦值等于邻边BD与斜边AB的比值，即cos(B) = BD / AB##。##"}, {"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等", "this": "在本题图中，直角三角形ABD和直角三角形ACD中，假设角ADB和角ADC都是直角（90度）。如果边AB等于边AC（斜边），并且边AD等于边AD（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形ABD和ACD全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对���边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ABD和三角形ACD是全等三角形，三角形ABD的对应边和对应角与三角形ACD相等，即： 边AB = 边AC 边AD = 边AD 边BD = 边CD，同时，对应的角也相等： 角B = 角C 角ADB = 角ADC 角BAD = 角CAD."}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1518.png", "question": "如图,AB∥CD,∠B=20°,∠D=60°,则∠BED的度数为()", "answer": "80°", "process": "1. 已知AB∥CD，∠B=20°和∠D=60°。

2. 过点E做EF∥AB，##根据平行线的传递性，##得到CD∥EF。

3. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，内错##角相等，得∠BEF=∠B=20°。

4. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，内错##角相等，得∠DEF=∠D=60°。

5. ##因为∠BED被平行线EF分割成∠BEF和∠DEF，所以##得出∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+60°=80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "平行线; 内错角; 同旁内角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线EF位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线EF是平行线。直线CD和直线EF位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线CD和直线EF是平行线。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和EF被第三条直线BE所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：角B和角BEF相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。两条平行线CD和EF被第三条直线DE所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：角D和角DEF相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和EF被一条直线BE截交，其中角B和角BEF位于两平行线之间，且在截线BE的对侧，因此角B和角BEF是内错角。内错角相等，即角B等于角BEF。两条平行直线CD和EF被一条直线DE截交，其中角D和角DEF位于两平行线之间，且在截线DE的对侧，因此角D和角DEF是内错角。内错角相等，即角D等于角DEF。####"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "在本题图中，直线EF和直线CD分别与直线AB平行。根据平行线的传递性，如果直线EF平行于直线AB，且直线CD也平行于直线AB，那么直线EF和直线CD互相平行。因此，直线EF平行于直线CD。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2554.png", "question": "如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则tanB的值为()", "answer": "\\frac{4}{3}", "process": "1. 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8。

2. 根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。设BC的长度为x，由勾股定理得：x^2 = AB^2 - AC^2。

3. 代入数值，得到x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64。

4. 计算得到x^2 = 36，因此x = 6。

5. 由正切函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度之比。对于角BAC，tan(BAC) = AC/BC。

6. 将AC和BC的值代入，得到tan(BAC) = 8/6 = 4/3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4/3。", "elements": "直角三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "直角三角形ABC中，角BAC是锐角，边AC是角BAC的相��直角边，边BC是角BAC的相邻直角边，所以角BAC的正切值等于边AC的长度除以边BC的长度，即tan(BAC) = AC / BC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。已知AB = 10，AC = 8，我们可以通过勾股定理计算BC的长度，即BC = √(AB^2 - AC^2) = √(10^2 - 8^2) = √36 = 6。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2621/img_diagram.png", "question": "求 S T。", "answer": "19", "process": "1. 已知条件为△SRT是一等腰三角形，SR=4x-4，RT=3x+3。根据等腰三角形的性质，SR=RT，所以有方程 4x-4 = 3x+3。

2. 解方程 4x-4 = 3x+3，首先将所有x移到方程的一边，得到 x - 4 = 3。

3. 继续解方程，得到 x = 7。

####

##4##. 现在，根据题意找到 ST 的长度，已知 ST = 12 + x，代入 x = 7 得到 ST = 12 + 7 = 19。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 ST = 19。", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边SR和边RT相等，因此三角形SRT是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形SRT中，边SR和边RT相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠RST = ∠RTS。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3232.png", "question": "如图,AB和CD是⊙O的两条直径,弦DE∥AB,若弧DE为40°的弧,则∠BOC=()", "answer": "110°", "process": "1. 连接OE，根据题意，知道弧DE为40°的弧。

2. 根据##圆心角的定义##，得出∠DOE=40°。

3. 因为OD=OE，##根据等腰三角形的定义##，所以△ODE是等腰三角形，依据等腰三角形的性质，得出∠ODE=(180°-∠DOE)/2=(180°-40°)/2=70°。

4. 因弦DE平行于AB，根据##平行线的平行公理2和同位角定义##，得出∠AOC=∠ODE=70°。

5. 根据邻补角的定义，∠BOC=180°-∠AOC##，得出∠BOC=180°-70°=110°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠BOC=110°。", "elements": "圆; 圆心角; 弧; 弦; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点E和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OE组成的角∠EOD称为圆心角。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆O上有两点D和E，弧DE是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧DE是圆上两点D和E之间的一段曲线，且题目说明其度数为40°。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OD和边OE相等，因此三角形ODE是一个等腰三角形。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AB和DE被一条直线CD截交，其中角EDO和角AOC位于截线CD的同旁，被截两直线AB和ED的同一侧，因此角EDO和角AOC是同位角。同位角相等，即角EDO等于角AOC。##"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ODE中，边OD和边OE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ODE = ∠OED。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和AB被直线OD所截，形成了以下几何关系：##1. 同位角：∠ODE和∠AOC相等。2. 内错角相等。3. 同旁内角互补。##这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一��互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角COA和角COB有一条公共边CO，它们的另一边AO和OB互为反向延长线，所以角AOC和COB互为邻补角。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OED中，角EOD、角OED和角ODE是三角形OED的三个内角，根据三角形内角和定理，角EOD + 角OED + 角ODE = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1916.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上．若∠BOD=130°,则∠ACD的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 已知点A和点B是⊙O的直径的两端点，##根据平角的定义，∠AOB=180°，∠AOB=∠BOD+∠AOD。##

2. ##已知∠BOD=130°，得出∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-∠BOD=50°。##

3. ##根据圆周角的定义，∠ACD为圆O的圆周角；根据圆心角的定义，∠AOD为圆O的圆心角。再根据圆周角定理，∠ACD等于所对应的圆心角∠AOD的一半，所以∠ACD=1/2∠AOD。##

4. 将∠AOD=50°代入，得∠ACD=1/2×50°=25°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角；同理，连线OB和OD组成的角∠BOD也称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACD的顶点C在圆周上，角ACD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角ACD是一个圆周角。##"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。######"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧AD与弧AC对应的圆心角为∠AOD，圆周角为∠ACD。根据圆周角定理，∠ACD等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOD的一半，即∠ACD = 1/2 ∠AOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3164.png", "question": "如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=48°,D为⊙O上一点,则∠ADC的度数是()", "answer": "24°", "process": "1. 已知OA⊥BC，且OA为⊙O的半径，##点B和点C均为⊙O上的点，根据弦的定义，BC为⊙O的弦。##

2. ##根据垂径定理，得OA平分弧CAB，即弧CA=弧AB。连接OC，根据圆心角的定义，∠AOC和∠AOB为圆心角；再根据圆心角定理，∠AOC=∠AOB。##

3. ##弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。由圆周角定理可以得到，∠ADC=1/2 * ∠AOC。##

4. ##代入已知条件，得∠ADC=1/2 * 48°=24°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为24°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 垂线; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点C和点B是圆上的任意两点，线段BC连接了这两个点，所以线段BC是圆O的弦。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点C和点A是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角；圆O中，点B和点A是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。####"}, {"name": "圆心角定理", "content": "在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。", "this": "圆O中，弧CA=弧AB，根据圆心角定理：圆心角∠AOC=∠AOB相等。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧BC与弧BDC对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠ADC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ADC = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径OA垂直于弦BC，那么根据垂径定理，直径OA平分弦BC，即OB=OC，并且直径OA平分弦BC所对的两条弧，即弧AC=弧AB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2655/img_diagram.png", "question": "求y。", "answer": "45", "process": "1. 该图形是一个以对角线为13的正方形，四个边等长，即每条边长为x。##因此对角线将正方形分为两个等腰直角三角形##。

2. ##在等腰直角三角形中，根据三角形内角和定理，可以求出锐角的度数=1/2(180°-90°)=45°。##

####

##3##. 综上所述，根据对角线将正方形的一个内角平均分为45度角，所以 y 即为45度。", "elements": "正方形; 直角三角形; 三角形的外角; 对称", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "四边形的四条边相等，分别为x，并且所有内角都是90度，所以该四边形是一个正方形。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "在本题图中，正方形中，对角线是连接一个顶点和其非相邻顶点的线段。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "正方形的对角线将正方形分为两个直角三角形。每个直角三角形的两个直角边分别是正方形的边长x，斜边是正方形的对角线13。因此，这两个三角形都是直角三角形。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，两个直角三角形中，两条直角边相等，因此两个三角形都是等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "等腰直角三角形中，两个锐角和一个直角是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180°。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3535.png", "question": "如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=140°,则∠BOD的度数为()", "answer": "80°", "process": "1.已知四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，因此根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，在一个圆的内接四边形中，每一对对角的和等于180°##，得出 ∠C + ∠A = 180°。

2. 由已知条件 ∠C = 140°，代入上一步得出的结论，可得##∠A =180°-∠C=180°-140°=40°##。

3. 根据圆周角定理，圆心角等于##等于它所对的弧所对应的##圆周角的两倍。在本题中，圆心角 ∠BOD 对应的圆周角为∠BAD。

4. 因此，圆心角 ∠BOD = 2 × ∠BAD = 2 × ∠A。

5. 代入前面计算的 ∠A = 40°，可得 ∠BOD = 2 × 40° = 80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 80°。", "elements": "圆内接四边形; 圆心角; 圆周角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。####"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠C + ∠A = 180°，∠B + ∠D = 180°。题目已知 ∠C = 140°，因此 ∠A = 180° - ∠C = 180° - 140° = 40°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧BD对应的圆���角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OD和OB组成的角∠BOD称为圆心角。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2488/img_diagram.png", "question": "求从W到W'的比例因子。", "answer": "\\frac { 1 } { 3 }", "process": "1.##由图可知从W到W'的比例因子，为FW'/FW=X/12##。

2. ##已知W'W=8，则X=12-8=4##。

3.##故从W到W'的比例因子，为FW'/FW=4/12=1/3##。", "elements": "位似; 旋转; 点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段FW是一个直线的一部分，包含端点F和端点W及其间的所有点，长度为12单位。线段FW'是一个直线的一部分，包含端点F和端点W'及其间的所有点，长度为x单位。线段W'W是一个直线的一部分，包含端点W'和端点W及其间的所有点，长度为8单位。"}, {"name": "比例因子", "content": "比例因子是指在缩放图形时，缩放后图形的对应线段长度与原图形对应线段长度的比值。如果比例因子为k，则缩放后的图形的每一条边的长度是原图形对应边长度的k倍。", "this": "以W'为顶点的三角形是通过将以W为顶点的三角形按比例因子k缩放得到的。根据比例因子的定义，缩放后的三角形的每一条边的长度等于原三角形对应边长度的k倍。即：缩放后的边长 = k × 原边长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2466/img_diagram.png", "question": "如果 A B = 12, A C = 16, 和 E D = 5, 求 A E.", "answer": "15", "process": "1. 已知条件为AB = 12，AC = 16，ED = 5####。

####

##2##. 记BC = x，因为AC = BC + AB，所以可以得出x + 12 = 16，因此x = 4。

##3##. ##根据平行线分线段成比例定理，已知在△ADC中，BE平行CD，因此AB/BC = AE/ED，代入相应数值得## AE / 5 = 12 / 4

6. 解这个比例方程：AE / 5 = 12 / 4 。 那么 AE = 5 * (12 / 4) = 15 。

7. 经过上述推理，最终得出答案为AE = 15。", "elements": "普通三角形; 内错角; 平移", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADC中，直线BE与边CD平行，并截它的其他两边AC和AD（或其延长线）于点B和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AB/BC = AE/ED，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。####"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AD、AC、CD组成的几何图形。点A、C、D分别是三角形的三个顶点，线段AD、AC、CD分别是三角形的三条边。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线BE和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线BE和直线CD是平行线。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2446.png", "question": "如图,小明设计两个直角,来测量河宽BC,他量得AB=2米,BD=\\frac{7}{3}米,CE=9米,则河宽BC为()", "answer": "\\frac{40}{7}米", "process": "1. ##在△ABD与△ACE中，已知∠DBA=90°，∠ECA=90°，∠A共用，根据相似三角形的判定定理(AA)##，△ABD相似于△ACE。

2. 根据##相似三角形的定义##，有AB/AC = BD/CE。

3. 由题目中已知AB=2米，BD=7/3米，CE=9米，##代入等式可得：2/AC = （7/3）/9##。

4. ##计算可得##：AC = 2 * 9 / (7/3) = 54 / 7。

5. ##由图知AC=BC+AB，那么##BC = AC - AB。

6. 代入数值得：BC = 54/7 - 2 = 54/7 - 14/7 = 40/7米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为: BC = 40/7米。", "elements": "直角三角形; 垂线; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三��形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABD和三角形ACE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAD = ∠CAE, ∠ABD = ∠ACE, ∠ADB = ∠AEC；AB/AC = BD/CE。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，△ABD和△ACE中，已知∠DBA=∠ECA=90°，且角A共用，所以△ABD相似于△ACE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3384.png", "question": "如图,若∠ABC=30°,则∠AOC的度数为()", "answer": "60°", "process": "1. 观察并理解题图，已知∠ABC = 30°。

2. 在圆中，∠AOC是圆心角，而∠ABC是其所对的##弧AC##的圆周角。

3. 根据圆周角定理，##在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，即∠AOC = 2∠ABC。

4. 由此可以得出∠AOC = 2 × 30°。

5. 计算得出∠AOC = 60°。

6. 因此，最终的答案为60°。", "elements": "圆周角; 圆心角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠AOC等于它所对的弧AC所对应的圆周角∠ABC的两倍，即∠AOC = 2 × ∠ABC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2637/img_diagram.png", "question": "求下图中x的值，精确到十分位？", "answer": "22.5", "process": "1. ##由图中标注可知存在一个直角，根据直角三角形的定义，##该三角形是一个直角三角形，已知直角边为12，斜边为25.5，要找到另一条直角边x的长度。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，对于任意直角三角形，其斜边的平方等于两直角边平方和，即## a^2 + b^2 = c^2##。

3. 设12为直角边a，x为直角边b，25.5为斜边c，代入勾股定理可得 ##12^2 + x^2 = 25.5^2##。

4. 计算##12^2和25.5^2，得到 12^2 = 144 和 25.5^2 = 650.25##。

5. 将结果代入方程，得到 144 +## x^2## = 650.25。

6. 解这个方程，首先移项得到 ##x^2## = 650.25 - 144。

7. 计算得 ##x^2## = 506.25。

8. 对506.25取平方根，得到 x = √506.25 ##=## 22.5。

9. 因此求得直角边x的长度约为22.5。", "elements": "直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "该三角形是一个直角三角形，其中一个内角为90度。已知一条直角边为12，另一条直角边为x，斜边为25.5。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，设三角形为三角形ABC，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，直角边分别为12和x，斜边为25.5，根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 25.5^2 = 12^2 + x^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2516/img_diagram.png", "question": "\\triangle R S V \\cong \\triangle T V S。求 x。", "answer": "12", "process": "1. 已知∠RVS = 78°，∠RSV = 90°，##在三角形RVS中，由三角形内角和定理得出∠R = 12°##。

2. ##由于Δ RSV和Δ TVS是全等的直角三角形，由全等三角形的定义可知∠R=∠T=12°##。

3. ##所以X=12##。

####", "elements": "普通三角形; 直角三角形; 反射", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形RSV中，角RSV是直角（90度），因此三角形RSV是一个直角三角形。边RS和边SV是直角边，边RV是斜边。三角形TVS中，角TVS是直角（90度），因此三角形TVS是一个直角三角形。边TV和边VS是直角边，边TS是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形RSV中，角RVS、角RSV和角R是三角形RSV的三个内角，根据三角形内角和定理，角RVS + 角RSV + 角R = 180°。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "Δ RSV和Δ TVS是全等三角形，Δ RSV和Δ TVS对应的角相等： ∠R=∠T。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2410/img_diagram.png", "question": "求 C D ，如果 A C = x - 3, B E = 20, A B = 16, 且 C D = x + 5。", "answer": "40", "process": "1. 已知 ##△ABC 和 △AED ##中，AC = x - 3，CD = x + 5，AB = 16，BE = 20。

2. 观察图形，##BC与ED平行，根据平行线的平行公理2，∠BCA=∠EDA,∠ABC=∠AED##。

3. ##因∠BCA=∠EDA,∠ABC=∠AED，由相似三角形的判定定理(AA)，因此 △ABC 与 △AED 为相似三角形##。

4. 根据相似三角形的对应边成比例，我们有 AB/##AE## = AC/##AD##。

5. 将已知数值代入比例式中，得到 ##16/36 = (x - 3)/(2x + 2)##。

6. 化简比例式，##16 * (2x + 2) =36 * (x - 3)##。

7. 展开方程，得到 ##32x + 32 = 36x - 108##。

8. 整理方程式，##32x - 36x = -108 - 32##。

9. 整理得到 -4x = -140。

10. 解方程，得出 x = 35。

11. 代入计算 CD，CD = x + 5 = 35 + 5。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 CD = 40。", "elements": "线段; 垂线; 平移", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题中，三角形 ABC 和三角形 AED 相似。根据相似三角形的定义，有：AB/AE = AC/AD。利用已知的边长，我们推导出一个比例方程 16/36 = (x - 3)/(2x + 2)，从而解出 x = 35，再进一步计算 CD。在本题图中，两条平行线BC和ED被第三条直线AD以及AE所截，形成了以下几何关系： 同位角：角ACB和角ADE相等，角ABC和角AED相等。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形AED中，如果角ACB等于角ADE，且角ABC等于角AED，所以三角形ABC相似于三角形AED。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "两条平行直线BC和ED被两条直线AE和AD截交，其中角ACB和角ADE位于截线AD的同旁，被截两直线BC和ED的同一侧，因此角ACB和角ADE是同位角。还有角ABC和角AED位于截线AE的同旁，被截两直线BC和ED的同一侧，因此角ABC和角AED是同位角。同位角相等，即角ACB等于角ADE，角ABC等于角AED。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2622/img_diagram.png", "question": "对于一对相似图形，求绿色图形的面积。", "answer": "9", "process": "1. 已知两个##四边形相似，两个四边形的对角线分别为8yd和4yd，对角线的比例为8:4，即2:1##。

2. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理，如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。已知所以两个四边形的对角线比为2:1，所以两个四边形的面积比为2:1^2，即4:1##。

3. ##已知蓝色四边形的面积A=36yd^2，所以绿色四边形的面积为A/4，即36/4=9yd^2##。

####", "elements": "菱形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "在本题图中，设蓝色四边形为ABCD，绿色四边形为EFGH。在本题图中，四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和DA组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D，并且有四个内角，分别是角ABC, 角BCD, 角CDA和角DAB。四边形EFGH由四条线段EF, FG, GH和HE组成，这些线段称为四边形的边。四边形EFGH有四个顶点，分别是点E, 点F, 点G和点H，并且有四个内角，分别是角EFG, 角FGH, 角GHE和角HEF。"}, {"name": "相似多边形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方", "this": "多边形ABCD和多边形EFGH是相似图形，边BD和边FH的比值为2，即相似比为2。所以，图形ABCD的面积与图形EFGH的面积的比值等于2的平方。即：面积比 = 2的平方。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3685.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,∠C=20°,则∠OAB的度数是()", "answer": "70°", "process": "1. 已知△ABC内接于⊙O，且∠C=20°。

2. ##根据圆周角得定义，∠C是圆周角，根据圆心角的定义，∠AOB是圆心角##，根据圆周角定理，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，因此得出##∠C=?∠AOB，计算得##∠AOB=2∠C=40°。

3. ##根据半径的定义，得OA=OB，根据等腰三角形的定义##，所以△OAB是等腰三角形，##根据等腰三角形的性质##，∴∠OAB=∠OBA。

4. 在△OAB中，##根据三角形内角和定理##，故得出∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°。

5. 由于∠OAB=∠OBA，且∠AOB=40°，则有2∠OAB+40°=180°。

6. 经过简单计算，得出2∠OAB=140°，∴∠OAB=70°。

7. 由此推理，得出∠OAB的度数为70°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧CB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠AOB等于它所对的弧AC所对应的圆周角∠ACB的两倍，即∠AOB = 2∠ACB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OAB = ∠OBA。##"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A、B是圆上的任意一点，线段OA、OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OB是圆的半径##。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/029.png", "question": "直线AB是圆O的切线。如果AB = 24且OB = 25，求DB。", "answer": "18", "process": "1. 已知条件为直线AB是圆O的切线，点B是切点，OB = 25，AB = 24。根据切线的性质，切线与经过切点的半径垂直，因此∠OAB为直角。

2. 因为∠OAB为直角，##根据直角三角形的定义得：##三角形OAB为直角三角形，应用勾股定理（即直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方和），可以得出OA的长度。

3. 勾股定理##应用##为：OB^2 = OA^2 + AB^2，其中OB = 25，AB = 24

4. 代入已知条件，得到25^2 = OA^2 + 24^2，通过计算625 = OA^2 + 576。

5. 解方程625 - 576 = OA^2，即OA^2 = 49，于是OA = 7。

6. OA是圆O的半径，OD也是圆O的半径，因此OD = OA = 7。

7. ##因为AO和OD为圆O的半径，所以OD = OA=7##，OB已知为25，##所以##DB = OB - OD。

8. 计算DB = 25 - 7 = 18。

9. 经过上述推理，最终得出答案为18。", "elements": "切线; 直角三角形; 线段; 圆", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线��这个公共点叫做切点。", "this": "圆O与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆O的切线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB是直角（90度），因此三角形OAB是一个直角三角形。边OA和边AB是直角边，边OB是斜边。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点O是圆心，点A和点D是圆上的任意一点，线段OA和线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OD是圆O的半径。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆O中，点B是直线AB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OAB=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形OAB中，∠OAB是直角（90度），边OA和AB是直角边，边OB是斜边，所以根据勾股定理，OB^2 = OA^2 + AB^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2629/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 9 = 75。求 \\angle 6 的度数。", "answer": "105", "process": "1. 已知 ##∠6## 与 ∠9 为同旁内角，因为直线 n 和直线 m 平行，直线 t 是它们的横截线，由##平行线的平行公理2，可以得出##同旁内角互补，所以 ##∠6## + ##∠9## = 180°。

2. 根据题意 ##∠9## = 75°，代入上式： ##∠6## + 75° = 180°，因此 ##∠6## = 105°。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为105°。", "elements": "对顶角; 内错角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，直线 m 和直线 n 被第三条直线 t 所截，∠6 和 ∠9 在截线 t 同侧，且在被截线 m 和 n 之内，所以∠6 和 ∠9 是同旁内角。同旁内角 ∠6 和 ∠9 互补，即 ∠6 + ∠9 = 180°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线m和n被第三条直线t所截，形成了以下几何关系：同旁内角：角6和角9互补，即角6 + 角9 = 180度。这个关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2450/img_diagram.png", "question": "一架飞机从Des Moines飞往Phoenix，再飞往Atlanta，最后飞回Des Moines，如下图所示。如果总行程为3482英里，求Phoenix到Atlanta的距离（单位：英里）。", "answer": "1591", "process": "1. 从题目中的图示和描述可以得到三条路径的总和是 3482 英里，其中 Des Moines 到 Phoenix 的距离是 110x + 53 英里，Phoenix 到 Atlanta 的距离是 150x + 91 英里，Atlanta 到 Des Moines 的距离是 73.8x 英里。

2. 根据题意，总距离为 3482 英里，即 (110x + 53) + (150x + 91) + 73.8x = 3482。

3. 将以上方程展开整理，得 110x + 150x + 73.8x + 53 + 91 = 3482。

4. 合并同类项，得到 333.8x + 144 = 3482。

5. 将方程简化，首先从两边减去 144，得到 333.8x = 3338。

6. 然后将两边同时除以 333.8，得到 x = 10。

7. 代入 x = 10 进 Phoenix 到 Atlanta 的距离公式 150x + 91。

8. 计算得 Phoenix 到 Atlanta 的距离为 150 * 10 + 91 = 1591 英里。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 1591。", "elements": "线段; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形由Des Moines、Phoenix和Atlanta三个非共线点及其连接线段Des Moines到Phoenix的线段（110x + 53）、Phoenix到Atlanta的线段（150x + 91）、Atlanta到Des Moines的线段（73.8x）组成的几何图形。点Des Moines、Phoenix、Atlanta分别是三角形的三个顶点，线段Des Moines到Phoenix、Phoenix到Atlanta、Atlanta到Des Moines分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "在本题图中，已知三角形的三边分别为110x+53、73.8x、150x+91，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=(110x + 53) + (150x + 91) + 73.8x。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2548/img_diagram.png", "question": "四边形 D E F G 是一个矩形。如果 m \\angle E D F = 5 x - 3 并且 m \\angle D F G = 3 x + 7，求 m \\angle E D F。", "answer": "22", "process": "1. 已知四边形 D E F G 是矩形，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，因此##∠ E D F = ∠ D F G##。

2. 根据已知条件，##∠ E D F的度数## = 5x - 3 和 ##∠ D F G的度数## = 3x + 7。

3. 由于##∠ E D F = ∠ D F G，因此##，5x - 3 = 3x + 7。

4. 通过解方程5x - 3 = 3x + 7，移动3x到左侧和常数项到右侧得：

5x - 3x = 7 + 3。

5. 分类合并，得出2x = 10。

6. 将2x = 10的两边同时除以2，得出x = 5。

7. 再将x = 5代入##∠ E D F的度数## = 5x - 3，得到##∠ E D F的度数## = 5 * 5 - 3。

8. 计算结果为##∠ E D F的度数## = 25 - 3 = 22。

9. 由此最终得出##∠ E D F的度数## = 22。", "elements": "矩形; 邻补角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 D E F G 是一个矩形，其内角∠DGF, ∠DEF, ∠EFG, ∠EDG都是直角（90度），且边DE与边FG平行且等长，边DG与边EF平行且等长。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线DE和GF被第三条直线DF所截，形成了以下几何关系：内错角：角EDF和角DFG相等。这个关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和GF被一条直线DF截交，其中角EDF和角DFG位于两平行线之间，且在截线DF的对侧，因此角EDF和角DFG是内错角。内错角相等，即角EDF等于角DFG。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2517/img_diagram.png", "question": "\\overrightarrow B A 和 \\overrightarrow B C 是相反的射线，\\overrightarrow B D 平分 \\angle A B F。如果 m \\angle F B C = 2 x + 25 且 m \\angle A B F = 10 x - 1，求 m \\angle D B F。", "answer": "64.5", "process": "1.已知条件为 ##射线BA 和 射线BC## 是相反射线，因此 ##∠ABC## 是一个平角，根据平角的定义，##∠ABC = 180°##。

2. 由题意 ##∠FBC## = 2x + 25 和 ##∠ABF## = 10x - 1，根据角度相加原理，##∠ABC## 可以表示为 ##∠ABF + ∠FBC = 180°## 。因此#### (10x - 1) + (2x + 25) = 180。

3. 解方程 (10x - 1) + (2x + 25) = 180，整理得到 12x + 24 = 180，然后通过线性方程的求解，得到 12x = 156，进一步解得 x = 13。

4. 因为 ##射线BD平分 ∠ABF, 所以 ∠ABD = ∠DBF = 1/2∠ABF。##

5. 将 x = 13 代入 ##∠ABF## = 10x _ 1，又 ##∠ABF ## = 10(13) - 1 = 129。

6. 因为 ##射线BD平分 ∠ABF，所以∠DBF = 1/2*129°= 64.5°##。

7. 经过上述推理，最终得出答案 ##∠DBF = 64.5°##。", "elements": "射线; 邻补角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角ABF的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABF分成两个相等的角，即角ABD和角DBF相等。 因此，线BD是角ABF的角平分线。这意味着 ∠ABD = ∠DBF = 1/2∠ABF。"}, {"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，角ABC是由两条射线AB和BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B。这个共同的端点B称为角ABC的顶点，而射线AB和BC称为角ABC的边。在本题图中，角FBC是由两条射线FB和BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B。这个共同的端点B称为角FBC的顶点，而射线FB和BC称为角FBC的边。在本题图中，角ABF是由两���射线AB和BF组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B。这个共同的端点B称为角ABF的顶点，而射线AB和BF称为角ABF的边。在本题图中，角ABD是由两条射线AB和BD组成的几何图形，这两条射线有一个共同的"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线BA绕着端点B旋转到与起始边成一条直线，形成平角ABC。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角ABC=180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2631/img_diagram.png", "question": "求 x 使得 a \\\\parallel b。", "answer": "14", "process": "1. ##根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，当角(4x + 11)°和角(8x + 1)°互补时，a∥b##。

2. ##根据同旁内角的定义，得出方程：(4x + 11)° + (8x + 1) °= 180°##。

3. 解方程：##(4x + 11)° + (8x + 1) °= 180° 化简为 12x° + 12° = 180°##。

4. ##两边同时减去12°得到 12x° = 168°##。

5. ##两边同时除以12°得到 x° = 14°##。

6. 经过上述推理，当x = 14时，a平行于b，最终得出答案。", "elements": "平行线; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "角(4x + 11)°和角(8x + 1)°分别是直线a和直线b的同旁内角。直线a和直线b被一条横向的直线所截，并且这两个角都位于这两条直线的内侧。因此，角(4x + 11)°和角(8x + 1)°是同旁内角。同旁内角互补，即角(4x + 11)° + 角(8x + 1)° = 180°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "角(4x + 11)°和角(8x + 1)°是两条直线a和b被一条截线所截出的同旁内角。这两个角互补，即(4x + 11)° + (8x + 1)° = 180°时，依据同旁内角定理，就能得出a和b平行。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2815/img_diagram.png", "question": "如果一个三角形的两条边分别是12和7，以下哪一个不能是该三角形的周长？", "answer": "38", "process": "1. 根据##三角形三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边##。

2. 设第三条边为x，根据##三角形三边关系定理，得到12 + 7 > x ＞12 - 7，即19 > x ＞ 5##。

3. ##根据三角形的周长公式，三角形的周长等于三条边的长度之和，即周长P=a+b+c。所以5+12+7＜P ＜19+12+7，即24＜x＜38##。

####

##4##. 由以上得知不符合三角形边公式的选项为38

####", "elements": "普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，设三角形为三角形ABC，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "三角形三边关系定理", "content": "三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。", "this": "在本题图中，设三角形为三角形ABC，边AC、边AB和边BC构成三角形。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即边AB + 边AC > 边BC，边AC + 边BC > 边AB，边AB + 边BC > 边AC。任意两边之差小于第三边，即边AC - 边AB < 边BC，边BC - 边AB < 边AC，边BC - 边AC < 边AB。####"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "设三角形为三角形ABC，已知三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AC+BC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2704/img_diagram.png", "question": "求x。A = 357 in^2。", "answer": "21", "process": "1. 已知三角形面积 A = 357平方英寸，根据三角形的面积公式，任意三角形的面积用其底和高表示为A = 1/2 * 底 * 高。

2. 由于直角三角形的底是34英寸，设高为x英寸，则通过面积公式A = 1/2 * 34 * x可以计算出x。

3. 将已知面积值代入公式，即 357 = 1/2 * 34 * x。

4. 化简等式为357 = 17x，从而解出x=357/17。

5. 经过计算得出x = 21。", "elements": "直角三角形; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "三角形中，底边为34英寸，高为x英寸。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (34 * x) / 2。已知面积A = 357平方英寸，因此面积公式表示为357 = 1/2 * 34 * x。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从上方顶点垂直于对边的线段是该顶点的高。线段与边34形成一个直角（90度），这说明线段是从上方顶点到对边的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2468/img_diagram.png", "question": "求作到斜边上的高的长度。", "answer": "4 \\sqrt { 3 }", "process": "1. ##由图示可知，∠GEF为直角，而EH为高，即EH⊥GF，则∠GHE=∠EHF=90°。根据直角三角形的定义，三角形EGF、三角形GHE、三角形EHF都为直角三角形。根据直角三角形中斜边上的高性质，由大三角形EGF斜边GF上的高分成的两个小三角形都与大三角形EGF相似，则三角形EGH~三角形EGF，三角形EHF~三角形EGF，且三角形EGH~三角形EHF，且都为直角三角形。##

####

##2. 根据已求得信息：三角形GEH和三角形EFH相似，得到一个比例：GH/EH = EH/HF。##

##3. 已知GF = 16和HF = 12，所以GH=GF-HF=16-12=4。代入比例得：4/EH=EH/12。##

##4. 交叉相乘可得EH^2=4 * 12=48，则EH=√48=√（16 * 3）=4√3。##

##5. 三角形GEF斜边GF上的高EH的长度为4√3。##", "elements": "直角三角形; 垂线; 垂直平分线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形EGF是由三个非共线点E、G、F及其连接线段EG、GF、EF组成的几何图形。点E、G、F分别是三角形的三个顶点，线段EG、GF、EF分别是三角形的三条边。三角形EGH是由三个非共线点E、G、H及其连接线段EG、GH、EH组成的几何图形。点E、G、H分别是三角形的三个顶点，线段EG、GH、EH分别是三角形的三条边。三角形EHF是由三个非共线点E、H、F及其连接线段EH、HF、EF组成的几何图形。点E、H、F分别是三角形的三个顶点，线段EH、HF、EF分别是三角形的三条边。##"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "##在本题图中，三角形EGF中，角GEF是直角（90度），因此三角形EGF是一个直角三角形。边EG和边EF是直角边，边GF是斜边。三角形EGH中，角GHE是直角（90度），因此三角形EGH是一个直角三角形。边HG和边EH是直角边，边GE是斜边。三角形EHF中，角EHF是直角（90度），因此三角形EHF是一个直角三角形。边HE和边HF是直角边，边EF是斜边。##"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从顶点E垂直于对边GF的线段GH是该顶点E的高。线段EH与边GH和边FH形成两个直角（90度），这说明线段GH是从顶点E到对边GF的垂直距离。"}, {"name": "直角三角形中斜边上的高性质", "content": "在直角三角形中，高所形成的两个三角形与原三角形相似", "this": "##在本题图中，直角三角形EGF中，角GEF是直角（90度），从顶点E向斜边GF作高EH。根据直角三角形中斜边上的高性质，高EH将直角三角形EGF分成两个新的直角三角形EGH和EHF。三角形EGH相似于三角形EGF，三角形EHF也相似于三角形EGF。因此，三角形EGH~三角形EGF，三角形EHF~三角形EGF，且三角形EGH~三角形EHF。##"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形EGH和三角形EHF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EGH = ∠FEH，∠EHG = ∠FHE，∠GEH = ∠EFH；GH/EH = EH/HF = GE/EF。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2972/img_diagram.png", "question": "U J = 9, V J = 3, 和 Z T = 18。求 S J。", "answer": "6", "process": "1. ##如图可知，ST=TU，SY=YZ，ZV=VU，所以J是三角形SZU中线的交点，为重心##。

2. ##因为JV=3，根据重心定理可知，S J=6##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 S J = 6。", "elements": "等腰三角形; 线段; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "重心定理", "content": "重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。", "this": "三角形SZU中，点J是三角形的重心。三角形的三条中线分别为线段SV、线段ZT和线段UY，它们相交于点J。根据重心定理，点J将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。例如，在线段SV中，点J将其分成两段，较长的一段为SJ（连接顶点），较短的一段为JV。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "在本题图中，三角形SZU，顶点S是三角形的一个顶点，对边ZU是与顶点S相对的边。点V是边ZU的中点，线段SV是从顶点S到对边ZU中点V的线段，因此SV是三角形SZU的一条中线，同理可得线段ZT和UY也是三角形SZU的中线。####"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段SU的中点为点T。根据线段中点的定义，点T将线段SU平分为两个相等的部分，即线段ST=TU，线段SZ的中点为点Y。根据线段中点的定义，点Y将线段SZ平分为两个相等的部分，即线段SY=YZ，线段ZU的中点为点V。根据线段中点的定义，点V将线段ZU平分为两个相等的部分，即线段ZV=VU。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2588/img_diagram.png", "question": "m \\angle 3 = x - 12 和 m \\angle 6 = 72。求 x。", "answer": "84", "process": "1. 根据图示观察，##作为角 3对顶角的角2## 和角 6 是两条平行线被一条横截线所截形成的同位角。

2. 根据##平行线的平行公理2##，如果两条平行线被一条横截线所截，那么每对同位角相等，故此可得 ##∠2 = ∠6##。

3. ##根据对顶角的定义，可知∠2= ∠3 = x - 12 ，同时 ∠6 = 72##。

4. 因为## ∠2= ∠3 = ∠6##，所以 x - 12 = 72。

5. 解方程 x - 12 = 72，得到 x = 72 + 12。

6. 计算 x = 72 + 12 = 84。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 84。", "elements": "同位角; 平行线; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，左边的竖直线和右边的竖直线位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，左边的竖直线和右边的竖直线是平行线。"}, {"name": "同位角定义", "content": "当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。", "this": "在本题图中，两条平行直线分别为左侧的直线和右侧的直线被一条斜线截交，其中角2和角6位于截线的同旁，被截两直线的同一侧，因此角2和角6是同位角。同位角相等，即角2等于角6。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "左边竖直的平行线和右边竖直的平行线被斜线横截形成的角中，∠2和∠6是同位角，因此∠2 = ∠6。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等", "this": "两条直线相交，形成四个角：角1、角2、角3和角4。根据对顶角的定义，角1和角4是对顶角，角2和角3是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角1=角4，角2=角3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2556/img_diagram.png", "question": "求 x。假设看起来是切线的线段都是切线。", "answer": "4", "process": "1. ##结合图和题目可知，圆外的线段与圆相切。设切线为线段AB，切线与圆的切点为点D##。

2. ##连接圆心和点D，构成三角形CDA。根据圆的切线性质，切线与经过切点的半径垂直，即CD⊥AB，所以∠CDA=90°。根据直角三角形的定义，三角形CDA则为直角三角形##。

3. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，即AC^2=AD^2+CD^2。##

4. ##由图可知：CD为圆C半径，所以CD=6，AD=8。代入公式得：AC^2=64+36=100，所以AC=10##。

6. ##图中x+6=AC，所以x=AC-6=10-6=4##。

7. 以上述推理得出x = 4", "elements": "等腰三角形; 切线; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆C与直线AB有且只有一个公共点D，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆C的切线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ACD中，角ADC是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形。边CD和边AD是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "圆C中，点D是直线AB与圆的切点，线段CD是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点D的半径CD垂直，即∠CDA=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形CDA中，角CDA是直角（90度），边CD和AD是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC² = AD² + CD²。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/007.png", "question": "一个正方形在上图中的点P处与一条直线相切。x的值是多少？", "answer": "30", "process": "1. 已知正方形与直线 l 在点 P 相切，##设正方形四个点分别为APCD，∠APC=90°##。

####

##2. 根据平角的定义，设平角为∠EPF，可知 x° + 2x°= 180°-∠ APC= 180°-90°=90°。##

##3##. 得出方程 x° + 2x° = 90°，即 3x° = 90°。

##4##. 解方程 3x° = 90°，得到 x = 30。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 30。", "elements": "正方形; 直线; 切线; 垂线; 对称", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "在本题图中，正方形的四条边相等，分别为AP、PC、CD和DA，且四个内角均为直角（90度），所以这是一个正方形。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线l绕着端点P旋转到与起始边成一条直线，形成平角EPF。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角EPF=180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2690/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "9.5", "process": "1. 已知条件为三角形中线段等长，根据图中标记两条##线段##相等的条件（即\\$3x+11=5x-8\\$）。

2. 对上式进行移项和合并同类项，得到\\$3x+11=5x-8\\$ =>\\$11+8=5x-3x\\$ =>\\$2x=19\\$。

3. 将结果除以2得到\\$x=\\frac{19}{2}=9.5\\$。

4. 经过上述推理，最终得出答案为\\$x=9.5\\$。", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点", "this": "在本题图中，线段AD 是一个直线的一部分，包含 端点A 和 端点D 及其间的所有点。线段AD具有两个端点，这两个端点分别是 A 和 D，且 线段AD上的每一个点都位于端点A和端点D之间。线段BD 是一个直线的一部分，包含 端点B 和 端点D 及其间的所有点。线段BD具有两个端点，这两个端点分别是 B 和 D，且 线段BD上的每一个点都位于端点B和端点D之间。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2576/img_diagram.png", "question": "求等腰三角形 riangle X Y Z 的 X Y。", "answer": "7", "process": "1. 已知条件为：给定的是等腰三角形 XY Z，X Y 和 Y Z 是等腰三角形的两个相等的边。####X Y 等于 Y Z。

2. 根据第一步结论，可以列出等式 2x + 3 = 4x - 1。

3. 将上述等式中的 4x 移到左边，并将 3 移到右边，得到 2x - 4x = -1 - 3。

4. 将 -2x = -4 简化，得到 x = 2。

5. 将 x = 2 代入边 X Y 的表达式 2x + 3，计算得：X Y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7。

6. 根据步骤5的计算结果，X Y = 7。

7. 将 x = 2 代入边 Y Z 的表达式 4x - 1，验证计算得：Y Z = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7。

8. 验证计算结果得出 Y Z = 7，符合题目条件。", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边XY和边YZ相等，因此三角形XYZ是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2850/img_diagram.png", "question": "四边形 E F G H 是一个矩形。如果 E F = 4 x - 6 且 H G = x + 3，求 E F。", "answer": "6", "process": "1. 已知条件为：四边形 EFGH 是矩形，根据矩形的定义，矩形的对边相等，所以 EF=HG。

2. 根据题意，EF = 4x - 6，HG = x + 3，并且EF=HG。因此，4x - 6 = x + 3。

3. 解方程 4x - 6 = x + 3，首先两边同时减去x：3x - 6 = 3。

4. 接下来在两边同时加上6：3x = 9。

5. 最后在两边同时除以3：x = 3。

6. 将x = 3代入EF = 4x - 6，可以得到EF = 4*3 - 6 = 12 - 6 = 6。

7. 经过上述推理，最终得出答案为EF的长度为6。", "elements": "矩形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 EFGH 是一个矩形，其内角 ∠EHG, ∠HGF, ∠GFE 和 ∠FEH 都是直角（90度），且边 EF 与边 HG 平行且等长，边 EH 与边 FG 平行且等长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2422/img_diagram.png", "question": "求 \\\\widehat A B 的长度。结果保留到小数点后两位。", "answer": "9.77", "process": "1. ##由图可得，圆心角∠AOB = 80°##，圆的直径是14米，##根据半径的定义##，则半径OA= 14/2 = 7米。

2. ##已知圆心角∠AOB = 80°，OA =7，根据角度与弧度的换算公式，算出圆心角θ =80*（π/180）=4π/9。再根据扇形的弧长公式：L = θr，（θ以弧度制表示），这里r是半径。##

3. 将已知数值代入公式得：弧长AB ##= θr= 4π/9 × 7##。

4. 计算得到弧长AB ≈ 9.772。

5. 经过上述计算得出答案，四舍五入到小数点后两位，因此弧长为9.77米。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径，它们的长度均为7米，因为半径等于直径的一半（14米/2）。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，且其大小为80°。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，扇形AOB中，圆心角AOB为θ（以弧度制表示），半径为r。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。######"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。", "this": "在本题图中，AOB的角度是80，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即80*（π/180）=4π/9。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "在本题图中，扇形AOB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2745/img_diagram.png", "question": "ABCD 是一个平行四边形，边长如右图所示。ABCD 的周长是 22。求 AB。", "answer": "7", "process": "1. 已知 A B C D 为平行四边形，##根据平行四边形的性质定理##，我们有 A B = C D 和 A D = B C。

2. 这些边的值分别为 A B = 2y + 1， ##C D = 3 - 4w， A D = 3x - 2， B C = x - w + 1。##

3. ##已知 A B = C D 和 A D = B C，则 2y + 1 = 3 - 4w ， 3x - 2 = x - w + 1。##

4. ##解方程组: 对于方程 2y + 1 = 3 - 4w，我们得到 2y + 4w = 2。##

5. ##对于方程 3x - 2 = x - w + 1，我们得到 3x - 2 - x + w = 1，即 2x + w = 3。##

6. 题目给出 A B C D 的周长为 22，因此我们有 2(A B) + 2(A D) = 22，代入已知条件，##得到 2(2y + 1) + 2(3x - 2) = 22，等式右边展开为 4y + 2 + 6x - 4 = 22。##

7. ##整理得到: 4y + 6x = 24。##

8. 解方程组: 使用2y + 4w = 2 和 2x + w = 3 ，##我们可以得出 w = 3 - 2x 和 2y + 4(3 - 2x) = 2，即 2y + 12 - 8x = 2，得到 2y = 8x - 10。##

9. ##代入到4y + 6x = 24中 得到: 2(8x - 10) + 6x = 24 ，即 16x - 20 + 6x = 24 ，即 22x = 44，最后得到 x = 2。##

10. 利用x = 2代入2x + w = 3，##得出 w = -1##。

11. 将 y = 3 代入A B的表达式 2y + 1 得到 A B = 2 × 3 + 1 = 7。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 A B 的长度是7。", "elements": "线段; 平行四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "##在本题图中，平行四边形ABCD中，平行四边形ABCD，对角∠DAB和∠BCD相等，对角∠ABC和∠CDA相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等。因此我们有 AB = CD 和 AD = BC，即 2y + 1 = 3 - 4w 和 3x - 2 = x - w + 1。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2997/img_diagram.png", "question": "求解 x。", "answer": "70", "process": "1. 已知条件为##弧FG = 70°，FG = HJ，设O为圆心##。

2. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，已知弧FG = 70°，则弧FG的圆心角∠FOG=70°##。

3. ##图中在FG和HJ两条边上各画一条短线，表示这两条边长度相等，即弦FG=弦HJ。根据圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因为弦FG=弦HJ，所以弧HJ=弧FG##。

4. ##根据圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因为弧HJ=弧FG，所以两个弧所对的圆心角也相等，即∠HOJ=∠FOG=70°，

####

##5##. 所以，x° = ##∠FOG## = 70°。", "elements": "圆; 圆心角; 切线; 等腰三角形; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "图中的圆的圆心为O，圆O中，点O是圆心。图中所有到点O的距离等于半径的点都在圆O上。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆O上有两点F和G，弧FG是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧FG是圆上两点F和G之间的一段曲线。圆O上有两点H和J，弧HJ是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧HJ是圆上两点H和J之间的一段曲线。####"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点F和点G是圆上的任意两点，线段FG连接了这两个点，所以线段FG是圆O的弦。圆O中，点H和点J是圆上的任意两点，线段HJ连接了这两个点，所以线段HJ是圆O的弦。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点F和点G是圆上的两点，圆心是点O。连线OG和OF组成的角∠FOG称为圆心角。圆O中，点H和点J是圆上的两点，圆心是点O。连线OH和OJ组成的角∠HOJ称为圆心角。"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "在本题图中，已知圆心角∠FOG所对的圆弧为弧FG。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠FOG的度数=弧FG的度数。已知圆心角∠HOJ所对的圆弧为弧HJ。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠HOJ的度数=弧HJ的度数。"}, {"name": "圆心角定理", "content": "在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。", "this": "在本题图中，圆O中，圆心角∠FOG和 ∠HOJ 相等。根据圆心角定理：1. 两圆心角所对的弧相等，即弧FG = 弧HJ；2. 所对的弦相等，即 弦FG=弦HJ。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2615/img_diagram.png", "question": "求y。", "answer": "8 \\sqrt { 3 }", "process": "1. 已知这是一个直角三角形，边和对应的角如图标注。设这个直角三角形ABC，其中∠ACB是直角，∠CAB为60度，边CA=16√3。

2. ##根据直角三角形的锐角互补性质，可以得到∠B=30°，因此，三角形ABC是30°-60°-90°三角形。##

3. 依据##30°-60°-90°三角形的性质，知AB=2*AC。代入，我们可得2y=16√3。##

4. ##因此，y=8√3。

5. 综上所述 ，##y=8√3。##", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°三角形ABC中，角B是30度，角A是60度，角C是90度。边AB是斜边，边y是30度角所对的边，边x是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边y等于边AB的一半，边x等于边y的√3倍。即：y = 1/2 * 16√3，x = y * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2590/img_diagram.png", "question": "求 G I，如果 G H = 9，G K = 6，且 K J = 4。", "answer": "15", "process": "1. 已知 G H = 9, G K = 6, K J = 4，##K H ∥ J I ##。

2. ##根据平行线的平行公理2、平行线的定义和同位角定义，可得∠GKH=∠GJI。根据相似三角形的判定定理(AA)，因为∠GKH=∠GJI，且∠KGH=∠JGI，所以△GKH∽△GJI##。根据相似三角形的定义：对应边成比例，对应角相等。

3. 设相似比例为 k，则有 G H / G I = G K / G J。

4. 根据已知，G K = 6，G J = G K + K J = 6 + 4 = 10。

5. ##将已知条件代入等式可得：9/GI=6/10##。

####

##6. 因此有： G I =90/6= 15##。

##7##. 故经过上述推理，最终得出答案为 G I = 15。", "elements": "等腰三角形; 线段; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形 GKH 和三角形 GJI 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠GKH = ∠GJI, ∠GHK = ∠GIJ, ∠KGH = ∠JGI；GH/GI = GK/GJ = KH/JI。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "线段 KH 和线段 JI 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，线段 KH 和线段 JI 是平行线，表示为 KH ∥ JI。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线KH和JI被第三条直线GJ所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角GKH和角GJI相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线KH和JI被一条直线GJ截交，其中角GKH和角GJI位于截线GJ的同旁，被截两直线KH和JI的同一侧，因此角GKH和角GJI是同位角。同位角相等，即角GKH等于角GJI。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角GKH等于角GJI，且角KGH等于角JGI，所以三角形GKH相似于三角形GJI。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2415/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 M N P R 求 m \\angle R N P.", "answer": "38", "process": "1. 已知条件为平行四边形 M N P R 的内角度数和一些边长的代数表达式。依据##平行四边形的定义##，M N 平行于 RP，MR 平行于 NP。

####

##2. 根据题目中的信息，∠M R N = 38°##。

##3. 因为平行四边形M N P R的边MR平行于边NP，两条平行线被对角线RN所截，形成内错角∠MRN和∠PNR，根据平行线的平行公理2，互为内错角的∠MRN和∠PNR相等，即∠MRN=∠PNR。##

##4. 由图可知∠MRN=38°，则 ∠RNP=∠MRN= 38°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为38°。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 邻补角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形 M N P R 是一个平行四边形，边 M N 与边 R P 平行且相等，边 M R 与边 N P 平行且相等。######"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线MR和NP被第三条直线RN所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：无。\n2. 内错角：角MRN和角RNP相等。\n3. 同旁内角：角MRP和角RPN互补，即角MRP + 角RPN = 180度；角RMN和角PNM互补，即角RMN + 角PNM= 180度。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线MR和NP被一条直线RN截交，其中角MRN和角RNP位于两平行线之间，且在截线RN的对侧，因此角MRN和角RNP是内错角。内错角相等，即角MRN等于角RNP。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2709/img_diagram.png", "question": "圆J的半径为10个单位，\n\\odot K的半径为8个单位，且B C = 5.4个单位。求C K。", "answer": "2.6", "process": "1. 已知条件为：##圆K的半径为8个单位，BC的长度为5.4个单位。##

2. ##在圆K中，根据半径的定义，B到K的距离为圆的半径，BK=8##。

3. ##根据图可知，BK=BC+CK##。

4. ##已知BK=8，BC=5.4，则8=5.4+CK，CK=8-5.4=2.6##。

####

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为CK = 2.6个单位。", "elements": "圆; 弦; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆K中，点K是圆心，点B和点D是圆上的任意一点，线段BK和线段KD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段BK和线段KD是圆K的半径，长度为8个单位。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点。线段BC具有两个端点，这两个端点分别是B和C，且线段BC上的每一个点都位于端点B和端点C之间。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2591/img_diagram.png", "question": "一个正五边形和一个正方形共享一个顶点 X。边 X Y 和 X Z 是第三个正多边形的边，该多边形的一个顶点在 X。这个多边形有多少边？", "answer": "20", "process": "1. 已知正五边形和正方形共顶点X，处于同一平面。

2. ##根据正多边形的内角定理可得：##正五边形内角为108度，正方形内角为90度####。

3. 以X为公顶点的角为360度，包含正五边形108度和正方形90度部分，第三个正多边形的##一个内角##为360度 - 108度 - 90度 = 162度。

##4. 根据正多边形的内角定理，正 n 边形的每一个内角等于 (n-2)×180°/n，n为边数。代入可得公式（n-2）*180/n=162，解为n = 20。##

##5##. 最终得出第三个正多边形有20条边。", "elements": "正多边形; 五边形; 正方形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正多边形的定义", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "正五边形和正方形共享顶点X，正五边形的所有边长相等且所有内角相等；正方形的所有边长相等，且所有内角相等。因此，正五边形和正方形都是正多边形。######"}, {"name": "正多边形的内角定理", "content": "正 n 边形的每一个内角等于 (n-2)×180°÷n", "this": "第三个正多边形的中心角为 162 度，由等式 (n-2)×180°÷n=162 可以求得 n = 20。因此第三个正多边形有 20 条边。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2878/img_diagram.png", "question": "\\angle 1 和 \\angle 2 形成一对线性对角，且 m \\angle 2 = 67。求 \\angle 1 的度数。", "answer": "113", "process": "1. 根据题意，∠1和∠2组成一对线性对。即∠1和∠2是相邻且互补的角。根据##邻补角的定义##，两个角的度数之和等于180度。

2. 已知∠2的度数为67度，因此可以用##邻补角的定义##求解∠1的度数。

3. 根据##邻补角的定义##，∠1 + ∠2 = 180度。

4. 代入已知条件，∠1 + 67度 = 180度。

5. 解此方程，得到∠1 = 180度 - 67度。

6. 计算180度 - 67度 = 113度。

7. 经过上述推理，最终得出答案为113度。", "elements": "邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "∠1和∠2有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以∠1和∠2互为邻补角。"}, {"name": "补角的定义", "content": "如果两个角的和为180度，那么这两个角互为补角。", "this": "在本题图中，线性对的性质表明，∠1和∠2是互补角，其度数之和为180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2445/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "4 \\sqrt { 2 }", "process": "1. ##已知在左上方的小三角形中，三角形的一个角为45度，且该三角形含有一个直角，因此该三角形是一个直角三角形。

2. 在直角三角形中使用正弦函数，有：x/8=sin（45度）。

3. 代入sin（45度）的值，得到x=4 \\sqrt { 2 }。

4. 经过上述推理，最终得出答案为x = 4 \\sqrt { 2 }。##", "elements": "直角三角形; 等腰三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中包含一个直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边x和未知边是直角边，边8是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形中，45度角是锐角，边x是45度角的对边，边8是斜边。根据正弦函数定义，45度角的正弦值等于对边x与斜边8的比值，即sin(45度) = x / 8。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2765/img_diagram.png", "question": "求从B到B'的比例。", "answer": "\\frac { 4 } { 3 }", "process": "1. ##设图中三角形为三角形QAB和三角形QA‘B'，其中点Q、点B、点B'在同一条线段上##。我们需要确定从B到B'的比例。

2. ##已知QB = 6，QB' = 8。,所以QB'/QB=8/6=4/3##。

####

##3##. 所以从B到B'的比例是4 : 3。", "elements": "线段; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段QB'是一个直线的一部分，包含端点Q和端点B'及其间的所有点。线段QB'具有两个端点，这两个端点分别是Q和B'，且线段QB'上的每一个点都位于端点Q和端点B'之间。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/314.png", "question": "圆I是三角形ABC的内切圆,D,E,F为3个切点,若∠DEF=52°,则∠A的度数为()", "answer": "76°", "process": "1.## 已知圆 I 是三角形 ABC 的内切圆，D, E, F 分别是切点。连接DI,FI##。

2. ##由图可知，∠DEF符合圆周角定义，是弧DF所对的圆周角，∠DIF符合圆心角定义，是弧DF所对的圆心角##。

3. ##依据圆周角定理，有∠DIF＝2∠DEF＝52°×2＝104°##

4.##由圆的切线性质可知，∠IDA＝∠IFA＝90°##

5.##依据四边形的内角和定理，可知四边形ADIF的内角和为360°，即∠A＋∠IDA＋∠IFA＋∠DIF＝360°##

6.##将∠IDA＝∠IFA＝90°，∠DIF＝104°带入上式整理，可得∠A＝76°##

7.##经过上述推理，最终得出答案为 76°##

####", "elements": "圆; 切线; 内错角; 普通三角形; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内切圆", "content": "内切圆是一个与多边形各边均相切的圆，其中心称为内心，且内心到多边形各边的距离相等。", "this": "三角形ABC的内切圆为圆I，圆心为I。圆I与三角形ABC的各边AB、BC、CA均相切，切点分别是D, E, F。圆心I称为内心，且内心I到三角形ABC各边AB、BC、CA的距离相等。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题中，圆I中，点D、E、F在圆上，弧DEF与弧DF对应的圆心角为∠DIF，圆周角为∠DEF。根据圆周角定理，∠DEF等于它所对的弧DEF所对应的圆心角∠DIF的一半，即∠DEF = 1/2 ∠DIF。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "角IDA、角IFA、角DIF和角A是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°���即角IDA + 角IFA + 角DIF + 角A = 360°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "圆I中，角DEF的顶点(点E)在圆周上，角DEF的两边分别与圆I相交于点D和点F。因此，角DEF是一个圆周角##。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "圆I中，点D和点F是圆上的两点，圆心是点I。连线DI和FI组成的角∠DIF称为圆心角。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直", "this": "在本题图中，圆I中，点D是直线AB与圆的切点，线段DI是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点D的半径DI垂直，即∠IDA=90度。圆I中，点F是直线AC与圆的切点，线段IF是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AC与经过切点F的半径IF垂直，即∠IFA=90度##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2529/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "10 \\sqrt { 3 }", "process": "1. 已知直角三角形中，一个角为60°，根据三角形内角和定理，得出最后一个角为30°。

##2##. 在本三角形中，角的对边关系是：边长x为##角30°的邻边##，已知长为20的边为##直角三角形的斜边##。##因此根据余弦函数: cos(30°) = x/ 20##。

####

##3. 计算方程，结果为 x = 10√3。##

##4. 经过以上推理，最终得到答案为 x = 10√3。##", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "边x和边y的夹角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边x和边y是直角边，边20是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。", "this": "直角三角形中，边x是角30°的邻边，边20是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角30°的余弦值等于邻边x与斜边20的比值，即cos(30°) = x / 20。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，直角三角形中，角90°、角60°和角30°是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，角90° + 角60° + 角30° = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2711/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "6 \\sqrt { 2 }", "process": "1. 已知条件为在直角三角形中，已知##斜边##为12，且一个锐角为45°####。

2. 因为在直角三角形中，一个锐角为45°，所以这是一个45°-45°-90°三角形。对于45°-45°-90°三角形，两条直角边相等，斜边等于直角边的根号2倍。

3. 根据以上性质，边x与##边y##等，于是##x=y=6√2##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出结果为y=##6√2##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边y和边x是直角边，边12是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角中，一个角是直角（90度），边x和y是直角边，边12是斜边，所以根据勾股定理，12² = x² + y²。"}, {"name": "直角三角形的锐角互补性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "直角三角形中，一个角是直角（90度），根据直角三角形的锐角互补性质，另外两个角的和为90度，即45度角 + 未知角 = 90°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形中，两个锐角相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边x = 边y。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2891/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot B 中，C E = 13.5。��� B D。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "4.29", "process": "1. ##已知圆 B 的半径 AB = 8，根据弦的定义，CE 为圆O上的弦， CE = 13.5，AF垂直于CE于点D。##

####

##2. AF 垂直于 CE 且经过圆心 B，按照垂径定理，CE 被 BD 垂直平分，所以 CD = DE。根据 CE = CD + DE，得 CD =13.5 / 2 = 6.75。##

####

##3. 在直角三角形 BDC 中，BC 为圆B的半径，BC =AB =8，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），BD^2 + CD^2 = BC^2。##

##4##. 将已知的 CD = 6.75 和 BC = 8 代入方程，得到 BD^2 + 6.75^2 = 8^2。

##5##. 计算 6.75^2 = 45.5625 和 8^2 = 64，代入得到 BD^2 = 64 - 45.5625。

##6##. 计算 64 - 45.5625 = 18.4375。

##7##. 最后，BD = √18.4375。

##8##. 计算 BD = 4.2935，四舍五入到最近的百分位 BD ≈ 4.29。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为 4.29。", "elements": "圆; 垂线; 垂直平分线; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆B中，点C和点E是圆上的任意两点，线段CE连接了这两个点，所以线段CE是圆B的弦。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段 AF 是直径，连接了圆心 B 和圆周上的 C、E 两点，长度为2倍的半径，即 AF = 2 * AB。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆 B 中，点 B 是圆心，点 A 和点 F 是圆上的任意一点，线段 BA 和线段 BF 是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段 BA 和线段 BF 是圆 B 的半径，长度为 8。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 BCD 中，角 BDC 是直角（90度），因此三角形 BCD 是一个直角三角形。边 BD 和边 CD 是直角边，边 BC 是斜边。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆B中，直径AF垂直于弦CE，那么根据垂径定理，直径AF平分弦CE，即CD=DE，并且直径AF平分弦CE所对的两条弧，即弧CE=弧CF。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在直角三角形BDC中，∠BDC是直角（90度），边BD和CD是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = BD^2 + CD^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2732/img_diagram.png", "question": "一个正方形内接于半径为6英寸的圆中。求正方形的边长。", "answer": "6 \\sqrt 2", "process": "1. ##设正方形ABCD内接于圆O，根据直径的定义##，圆的直径等于两倍半径，所以圆的直径为12英寸。

2. ##根据正方形的定义，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，连接对角顶点B、D形成对角线BD，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得BD是直径，则BD=12##。

3. 因为AB=DA，∠BAD=90°，根据等腰直角三角形的定义，△ABD是等腰直角三角形，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），则有AB?+DA?=BD?，即AB?+AB?=BD?；2AB?=BD?##。

4. ##代入数值可得2AB?= 12^2##。

5. 经过计算，得出##2AB? ##= 144，简化得到##AB? ##= 72。

6. 进一步计算，得到##AB## = √72 = 6√2。故正方形的边长为6√2英寸。

7. 最终，我们得出结论：正方形的边长为6√2英寸。", "elements": "正方形; 圆; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角##。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "BD是直径，连接了圆心O和圆周上的B、D两点，长度为2倍的半径，即BD=12。"}, {"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "正方形ABCD中，顶点分别为A、B、C、D，对角线是连接顶点B和非相邻顶点D的线段。因此，线段BD就是正方形ABCD的对角线。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形ABD是等腰直角三角形，其中角BAD是直角（90度），边AB和边DA是相等的直角边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "等腰直角三角形ABD中，角BAD是直角（90度），边AB和DA是直角边且相等，边BD是斜边，所以根据勾股定理，BD² = AB² + DA²，即BD² = AB² + AB² = 2AB²。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径", "this": "圆周角BAD是90度，所以它所对的弦BD是直径##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2901/img_diagram.png", "question": "\\triangle W X Y \\cong \\triangle W X Z。求 y。", "answer": "4", "process": "####

##1##. 题目已知△WXY##≌##△WXZ，依据全等三角形的定义，##对应边相等，可以##得到XY = XZ。

##2##. 已知XY = 19，XZ = 3y + 7，依据全等边XY = XZ，可得19 = 3y + 7。

##3##. 根据方程19 = 3y + 7，化简得3y = 19 - 7。

##4##. 将19 - 7进行计算，可得3y = 12。

##5##. 解3y = 12得y = 4。

##6##. 经上述推导，最终可以得出答案y的值是4。", "elements": "等腰三角形; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形WXY和三角形WXZ是全等三角形，三角形WXY的对应边和对应角与三角形WXZ相等，即：边XY = 边XZ，边WX = 边WX，边WY = 边WZ，同时，对应的角也相等：角WXY = 角WXZ，角WYX = 角WZX，角YWX = 角ZWX。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2627/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "30", "process": "1. ##根据图得，T为圆周上的一点，RT是直径，根据圆周角的定义可知，∠RST为圆周角。根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得到∠RST=90°。##

2. ##根据三角形内角和定理可得，x+2x+∠RST=180°，整理得3x =180°- 90°=90°，即x = 30°。##

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为30°。", "elements": "圆; 圆周角; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆的圆心为圆的中心点，所有点到该中心点的距离相等，其中包括点R、S、T。圆心为图中蓝色点，半径为RT，图中所有到该圆心的距离等于RT的点都在该圆上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "RT是直径，连接了圆心和圆周上的R、T两点，长度为2倍的半径RT = 2r。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角RST的顶点S在圆周上，角RST的两边分别与圆相交于点R和点T。因此，角RST是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆的直径RT所对的圆周角∠RST是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形RST中，∠SRT、∠RST和∠STR是三角形RST的三个内角，根据三角形内角和定理，∠SRT+∠RST+∠STR = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2913/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "4 \\sqrt { 6 }", "process": "1. ##设图中有直角符号的三角形三个顶点分别为A、B、C##。

2. ##已知∠ABC = 90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形##。

3. ##根据勾股定理##：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和。公式为：c^2 = a^2 + b^2。

4. 在题中，所求的x是该直角三角形的##直角边AB##，已知##直角边BC为10和斜边AC为14##。

5. 将##图中##提供的边长代入勾股定理公式：##14^2 ##= 10^2 + ##x^2##。

6. 计算得出：x^2 = ##196 -100##。

7. 将结果再开平方：x = ##√96##。

8. 计算出x = ##4√6##。

9. 最终经过计算得出答案为：##x = 4√6##。", "elements": "直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边BC和边AB是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，直角边分别为10和4√6，斜边为x。根据勾股定理，14? = 10? +x?。计算得出：√x = 196-100，最终x = 4√6。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2635/img_diagram.png", "question": "求 T X，如果 E X = 24 且 D E = 7。", "answer": "32", "process": "1. ##观察图形可知，红色标注的为直角符号，则∠DEX=90°，根据直角三角形的定义，三角形DEX为直角三角形##。

2. ##已知EX = 24 且DE = 7，根据勾股定理，可知在直角三角形DEX中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即XD? = EX? + DE?=24?+7?=625##。

3. ##依据上述可得XD?=625，即XD=√625=√25 * √25=25##。

4. ##根据题意，DE是半径，根据半径的定义，DE = DT= 7##。

5. ##由图可得TX涉及两个部分：DT和XD，已知DT= 7，XD=25，可得出TX=DT+XD=7+25=32##。

####

##6. ##经过上述推理，最终得出答案为32。", "elements": "直线; 圆; 弦; 垂线; 圆内接四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆中，点D是圆心，点E、A、T是圆上的任意一点，线段DE、DA、DT是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段DE、DA、DT是圆的半径，它们的长度相等，都是7。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形DXE中，角DEX是直角（90度），因此三角形DXE是一个直角三角形。边DE和边EX是直角边，边DX是斜边。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段TX是一个直线的一部分，包含端点T和端点X及其间的所有点。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形DXE中，∠DEX是直角（90度），边DE和EX是直角边，边DX是斜边，所以根据勾股定理，##DX? = EX? + DE?##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1991.png", "question": "用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的底面周长是()", "answer": "4πcm", "process": "1. 已知该扇形纸片的圆心角为120°，半径为6厘米，##设图中扇形的三个顶点分别为A、O、B##。

2. ##根据圆锥的展开图可知##，圆锥形无底纸帽的底面圆周等于扇形的弧长。

3. ##根据角度与弧度的换算公式，将圆心角换算成弧度得 θ = 120° × (π/180°) = (2π/3)##。

4. ##根据扇形的弧长公式L = θr（其中L为弧长，θ为弧度制的圆心角，r为半径），则弧长L = (2π/3) × 6 = 4π ##cm。

5. ##计算得出纸帽的底面周长是##4π厘米。

6. 综上所述，纸帽的底面周长是4π厘米。", "elements": "圆心角; 扇形; 圆锥; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，圆心角度数为120°。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆心到圆周上任意一点的线段长度为6厘米，因此该线段是扇形的半径。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，圆锥形无底纸帽的底面圆周等于扇形的弧长。扇形的圆心角为120°，半径为6厘米。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r，即L = θ * r。因此弧长L= (2π/3) × 6。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "圆锥体的展开图是一个扇形。扇形的半径是圆锥体的斜高OA，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。####"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度 = 角度*（π/180），角度 = 弧度*（180/π）。", "this": "图形OAB中，AOB的角度是120°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度 = 角度*（π/180），即120°*（π/180）。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形。####"}, {"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "圆锥的底面是一个圆形。圆锥的顶点为点O，顶点O与圆心之间的距离为圆锥的高。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点O到圆周上的任意一点的距离为6 cm。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2563/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 J K L M 找到 m \\angle K J L.", "answer": "30", "process": "1. 已知平行四边形 J K L M，根据##平行四边形的定义，可以得出 J K 平行于 ML ##。

2. 根据##平行线的平行公理2，内错角相等，因此∠JLM=∠KJL##。

3. ##已知∠JLM=30°，所以∠KJL=30°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠K J L = 30°。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 邻补角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形 JKLM 是一个平行四边形，其中边 JK 与边 ML 平行且相等，边 JM 与边 KL 平行且相等。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线JK和ML被第三条直线JL所截，形成了以下几何关系：内错角：角JLM和角KJL相等。这说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线JK和ML被一条直线JL截交，其中角JLM和角KJL位于两平行线之间，且在截线JL的对侧，因此角JLM和角KJL是内错角。内错角相等，即角JLM等于角KJL。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2923/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "\\sqrt { 21 }", "process": "1. 设三角形三个顶点分别为A、B、C，##由图可得其中一个角为90度，根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形。并且图中##三角形的一条直角边长度为2，另一条直角边长度为未知的x，斜边的长度为5。

2. 依据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。具体而言，若直角边分别为a, b，斜边为c，则有c^2 = a^2 + b^2。在本题中，令a=2, b=x, c=5。

3. 将已知的边长代入勾股定理，得到5^2 = 2^2 + x^2。

4. 计算5^2得25，2^2得4，将这些值代入方程，得到25 = 4 + x^2。

5. 通过解方程25 = 4 + x^2，首先将4移到等式的左边，得到25 - 4 = x^2，即x^2 = 21。

6. 通过对等式x^2 = 21取平方根可以得出x = √21。

7. 最终，得出直角三角形中x的值为√21。", "elements": "直角三角形; 直线; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角是直角（90度），因此这个三角形是一个直角三角形。边长为2和x的是直角边，边长为5的是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题中，三角形是一个直角三角形，其中一个角标有直角符号。已知一条直角边的长度为2，另一条直角边的长度为x，斜边的长度为5。根据勾股定理，有5² = 2² + x²，即25 = 4 + x²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2760/img_diagram.png", "question": "圆A有直径DF和PG。如果DF = 10，求DA。", "answer": "5", "process": "1. ##已知 D F 是圆 A 的直径，且 D F = 10。根据半径的定义，D A 为圆A的半径。##

2. 圆 A 的直径 D F = 10，那么根据直径的定义，圆 A 的半径等于直径的一半，即圆的半径为 10 / 2 = 5。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出 D A 的值为 5。", "elements": "圆; 线段; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，DF是直径，连接了圆心A和圆周上的D、F两点，长度为2倍的半径，即DF = 2 * DA。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆", "this": "圆A中，点A是圆心，半径为DA。图中所有到点A的距离等于 10/2 = 5 的点都在圆A上。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆A中，点A是圆心，点D是圆上的任意一点，线段AD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AD是圆的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2939/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "9", "process": "1. ##设图中三角形为ABC，60°角顶点为A点，直角顶点为C点，第三个角的顶点为B点。##已知直角三角形中∠ACB=90°，∠BAC=60°。

2. 根据##三角形内角和定理##，三角形三个角的内角和是180°，所以∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180°。

3. 已知∠ACB = 90°且∠BAC = 60°，代入得60° + ∠CBA + 90° = 180°。

4. 解方程得∠CBA = 30°。

5. 根据正弦定理，在直角三角形里，sin∠CBA = ##对边AC/斜边AB##，在本题中就是x/18。

6. sin(30°) = 1/2，代入等式得到1/2 = x/18。

7. 用交叉相乘法解方程得x = 18 * 1/2。

8. 经过上述推理，x = 9。

9. 最后得出答案为x = 9。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形中，角60°是锐角，边x是角60°的对边，边18是斜边。根据正弦函数定义，角60°的正弦值等于对边x与斜边18的比值，即sin(60°) = x / 18。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ACB、角BAC和角CBA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACB + 角BAC + 角CBA = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2649/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "24 \\sqrt { 3 }", "process": "####

##1##. 在直角三角形中，已知包含一个30°角，30°角所对的直角边与斜边的比为1:2，即sin 30° = 1/2，##此时斜边y为24 * 2 = 48##。

##2. 利用余弦公式cos(30°) = 临边 / 斜边, 有cos(30°) = x / 48##。

##3##. cos(30°) = (√3)/2。所以有((√3)/2) = x / 48。

##4##. 解上式，x = 48 * (√3)/2，即x = 24√3。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 24√3。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中，直角位于左上角，因此该三角形是一个直角三角形。边24和边x是直角边，边y是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，设角C是90度，AC=24，AB=y，BC=x。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AC等于边AB的一半，边BC等于边AC的√3倍。即：AC = 1/2 * AB，BC = AC * √3。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值", "this": "在本题图中，直角三角形中，边x是三角形的邻边，边y是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角30°的余弦值等于邻边x与斜边y的比值，即cos(30°) = x/ y。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1638.png", "question": "如图,已知⊙O中,圆心角∠AOB=100°,则圆��角∠ACB等于().", "answer": "130°", "process": "1. 已知劣角∠AOB = 100°，可知优角∠AOB=360°-100°＝260° 。

2. ##优弧AOB所对的圆心角是优角∠AOB＝260° ，所对的圆周角为∠ACB##。

3. ##由圆周角定理可知，∠ACB＝优角∠AOB/2＝130°##。

4. ##经过上述推理，最终得出答案为∠ACB = 130°##。

####", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的优角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为优角∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角优角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 优角∠AOB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2669/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "90", "process": "1. 已知图中角为直角，根据直角的定义，直角的度数为90°。

2. 根据图中给出的信息，角x是直线上的另一个角，与直角相邻。

3. 根据邻补角的定义，两个邻补角的和为180°。

4. 因此，角x + 90° = 180°。

5. 解这个方程，角x = 180° - 90°。

6. 经过计算，角x = 90°。

7. 所以，最终得出答案为90°。", "elements": "直线; 垂线; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角x和直角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以角x和直角互为邻补角。根据邻补角的定义，角x + 90° = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2545.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则sinB的值等于()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，##∠C##=90°，AC=4，BC=3。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即##AB?= AC?+ BC?##。

3. 代入已知条件，得到##AB? = 4? + 3?##。

4. 计算得出##AB? ##= 16 + 9 = 25。

5. 进而得出AB = √25 = 5。

6. 根据##正弦函数定义##，##sin∠B ##= 对边/斜边。

7. 在本题中，##sin∠B ##= AC/AB。

8. 将数值代入，得到##sin∠B ##= 4/5。

9. 经过上述推理，最终得出答案为4/5。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角B是锐角，边AC是角B的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin∠B= AC / AB##。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "角C是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB?= AC?+ BC?。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2949/img_diagram.png", "question": "求图形的面积。如有必要，四舍五入到十分位。", "answer": "95", "process": "1. 题目已知条件为：一个梯形的上底是8公里，下底是11公里，高度是10公里。

2. 梯形的面积计算公式为：面积 = （上底 + 下底） * 高 / 2。

3. 代入已知条件，上底 = 8公里，下底 = 11公里，高 = 10公里，计算可得梯形的面积 = （8 + 11）* 10 / 2。

4. 计算步骤如下：

a. 8 + 11 = 19。

b. 19 * 10 = 190。

c. 190 / 2 = 95。

5. 所以，梯形的面积为95平方公里。", "elements": "梯形; 垂线; 普通四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，梯形由两条平行边，即上底（8公里）和下底（11公里），以及两条非平行边构成。因此，根据梯形的定义，该图形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从上底到下底的垂线距离10公里是梯形的高。该垂线与上底和下底形成一个直角（90度），这说明该垂线是从上底到下底的垂直距离。"}, {"name": "梯形面积公式", "content": "给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。", "this": "梯形的上底是8公里，下底是11公里，高度是10公里，所以梯形的面积为(8 + 11) * 10 / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2795/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle Z。", "answer": "110", "process": "1. 已知四边形 WXYZ 是一个四边形，四个内角的度数分别为 ∠X = a°, ∠Y = (a-28)°, ∠Z = (a+2)°, 和 ∠W=(1/2a+8)°。

2. 根据##四边形的内角和定理##，四边形的四个内角和为 360°。因此，可以列出方程 a + (a - 28) + (a + 2) + (1/2a + 8) = 360。

3. 解方程：先合并同类项，得到 3.5a - 18 = 360。

4. 将方程左边和右边都加 18，得到 3.5a = 378。

5. 接下来，将方程两边除以 3.5，求解 a，即 a = 378 / 3.5。

6. 由此计算得出 a = 108。

7. 将 a 的值代入 ∠Z 的表达式 (a + 2)，得到 ∠Z = (108 + 2)°。

8. 经过计算得到 ∠Z = 110°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠Z = 110°。", "elements": "平行四边形; 三角形的外角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形WXYZ由四条线段WX, XY, YZ和WZ组成，这些线段称为四边形的边。四边形WXYZ有四个顶点，分别是点W, 点X, 点Y和点Z，并且有四个内角，分别是角∠W, 角∠X, 角∠Y和角∠Z。####"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形 WXYZ 中，角 ∠X、角 ∠Y、角 ∠Z 和角 ∠W 是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为 360°，即 ∠X + ∠Y + ∠Z + ∠W = 360°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2715/img_diagram.png", "question": "求解 x 使得四边形是平行四边形。", "answer": "34", "process": "1. ##设四边形为平行四边形ABCD（从左上角顺时针方向），根据平行四边形的性质定理和平行四边形的定义，对角相等，对边相等，对角线互相平分，对边平行，所以∠B=∠D，即（3y-4）°=（4x-8）°##。

2. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，因为AB∥CD，且AB和CD被对角线AC所截，所以角BAC=角ACD（内错角相等），即（x-12）°=（1/2）y°##。

3. ##解方程：x-12=（1/2）y，解得：y=2x-24，将y=2x-24代入方程3y-4=4x-8可得：6x-76=4x-8，左右移动合并可得：6x-4x=-8+76，最终解得：x=34##。

####

##4##. 经过上述推理，x的值为34以使四边形成为平行四边形。", "elements": "平行四边形; 同旁内角; 内错角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线AC截交，其中角BAC和角ACD位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角BAC和角ACD是内错角。内错角相等，即角BAC等于角ACD。"}, {"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。根据平行四边形的性质，对角∠B与∠D相等，且对角∠DAB与∠BCD相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形中，对角∠DAB与∠BCD相等，对角∠B与∠D相等；边AB和CD相等，边BC和AD相等；对角线AC和BD互相平分，设两条对角线相较于交点E，交点E将对角线AC分成两段相等的线段AE和EC，将对角线BD分成两段相等的线段BE和ED。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：角BAC和角ACD相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2676/img_diagram.png", "question": "M N \\\\parallel B C. 求解 x.", "answer": "9", "process": "1. 已知条件为MN ∥ BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等，可以得到∠AMN = ∠ABC，∠ANM = ∠ACB##。

2. ##因为∠AMN = ∠ABC，∠ANM = ∠ACB，根据相似三角形的判定定理AA，所以△AMN与△ABC相似##。

3. 根据相似三角形的##定义，AM/AB = AN/AC##。

4. 由图可知，在△AMN 和△ABC中，已知 AM = 4x - 6, AB = ##24+4x - 6##, AN = 3x - 2, AC = ##20+3x - 2##，##代入AM/AB = AN/AC，得 4x - 6/(24+4x - 6） =3x - 2/(20+3x - 2)##。

5. ##将上述式子化简得4x - 6/18+4x =3x - 2/18+3x ##。

6. ##交叉相乘得到 (4x - 6) * (18+3x) = (3x - 2) * (18+4x)##。

7. 展开并化简方程，得到 ##12x?+54x-108 = 12x?+46x-36##。

8. 将所有x项移到一边，常数项移到另一边##12x?+54x-12x?-46x = 108-36##。

9. 化简得 8x = 72。

10. 解这个方程，得到 x = 9。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 9。", "elements": "平行线; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线MN和直线BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线MN和直线BC是平行线。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形AMN和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义，有：∠MAN = ∠BAC, ∠ANM = ∠ACB, ∠AMN = ∠ABC；AM/AB = AN/AC = MN/BC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形AMN和三角形ABC中，如果角AMN等于角ABC，且角ANM等于角ACB，所以三角形AMN相似于三角形ABC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线MN和BC被第三条直线AB所截，两条平行线MN和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：角AMN和角ABC相等，角ANM和角ACB相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线MN和BC被一条直线AB截交，其中角AMN和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线MN和BC的同一侧，因此角AMN和角ABC是同位角；两条平行直线MN和BC被一条直线AC截交，其中角ANM和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线MN和BC的同一侧，因此角ANM和角ACB是同位角。同位角相等，即角AMN等于角ABC，角ANM等于角ACB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2685/img_diagram.png", "question": "求 y 使得四边形是平行四边形。", "answer": "4", "process": "1. 已知四边形 PQRS 是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形内的对角线互相平分。

2. ##所以QT=ST，由图中可知QT=5y，ST=2y+12，所以5y=2y+12##。

3. ##解方程：5y=2y+12，将2y移至=号左方得：5y-2y=12，所以3y=12，最终解得：y=4##。

####

##4. 所以四边形是平行四边形时，y=4。逆向推敲则是当y=4时，四边形会是平行四边形##。
", "elements": "平行四边形; 平行线; 对顶角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形PQRS是一个平行四边形，边PQ与边RS平行且相等，边PS与边QR平行且相等。####"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形PQRS中，对角∠QRS和∠SPQ相等，对角∠PQR和∠RSP相等；边PQ和RS相等，边QR和SP相等；对角线PR和QS互相平分，即交点T将对角线PR分成两段相等的��段PT和TR，将对角线QS分成两段相等的线段QT和TS。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2803.png", "question": "如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,⊙O的半径为1,P是⊙O上的点,且位于右上方的小正方形内,则sin∠APB等于()", "answer": "\\frac{√{2}}{2}", "process": "1. 已知四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点。

2. ##已知圆心角AOB=90°，根据圆周角的定理，∠APB=45°##。

3. ##查表可知sin45°=√2/2##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为√{2}/2。", "elements": "圆; 正弦; 直角三角形; 正方形; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，半径为1。图中所有到点O的距离等于1的点都在圆⊙O上。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角APB的顶点(点P)在圆周上，角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角APB是一个圆周角。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2974/img_diagram.png", "question": "P Q R S 是一个内接于圆的菱形。求 m \\widehat S P。", "answer": "90", "process": "1. 已知 PQRS 是一个菱形，且被内接于圆，##菱形的四个顶点都在圆上##。

2. 在圆中，##根据菱形的对角线性质##，菱形的对角线互相平分并且互相垂直。

3. ##设菱形的对角线PR和QS的交点为点O，因为PR⊥QS，所以∠POS为直角，即∠POS=90°##。

4. ##因为圆O为菱形PQRS的外接圆，所以菱形PQRS的对角线的交点为圆O的圆心。弧SP所对圆心角为∠POS，所以弧SP=90°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为##弧SP= 90°##。", "elements": "菱形; 圆; 圆内接四边形; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆O中，点O是圆心。图中所有到点O的距离等于半径的点都在圆O上。"}, {"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形 PQRS 中，所有的边 PQ、QR、RS 和 SP 都是相等的，因此四边形 PQRS 是一个菱形。此外，四边形 PQRS 的对角线 PR 和 QS 互相垂直平分，即对角线 PR 和 QS 相交于点 O，且角 POQ 是直角（90度），并且PO=OR 和 QO=OS。####"}, {"name": "菱形的对角线性质", "content": "菱形的对角线互相平分且互相垂直。", "this": "菱形 PQRS 中，对角线 PR 和对角线 QS 互相平分且互相垂直。具体来说，点 O 是对角线 PR 和 QS 的交点，且 PO = OR 和 QO = OS。同时，角 POS 和角 QOR 都是直角（90度），所以对角线 PR 和 QS 互相垂直。##"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "在本题图中，已知圆心角∠POS所对的圆弧为弧SP。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠POS的度数=弧SP的度数。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2822/img_diagram.png", "question": "对于梯形 T R S V，M 和 N 是两条腿的中点。如果 T R = 32 且 M N = 25，求 V S。", "answer": "18", "process": "1. 已知条件为T R S V是一个梯形，M和N是梯形的##两腰##，即T V和R S的中点，T R = 32，M N = 25。

2. 根据##梯形中位线定理##，梯形中位线平行于两条底边，且长度为两条底边之和的一半。

3. 设V S为x，则依定理有M N = (T R + V S) / 2。

4. 将已知条件代入上述等式，得到25 = (32 + x) / 2。

5. 解方程25 = (32 + x) / 2，先将等式两边乘以2，得到50 = 32 + x。

6. 解出x，得到x = 50 - 32。

7. 计算结果为x = 18。

8. 因此，经过上述推理，最终得出答案为18。", "elements": "中点; 平行线; 梯形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "四边形 T R S V中，边 T R 和边 V S 是平行的，而边 T V 和边 R S 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 T R S V 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，M 是线段 T V 的中点，即 T M = M V；N 是线段 R S 的中点，即 R N = N S。"}, {"name": "梯形中位线定理", "content": "梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。", "this": "梯形 T R S V 中，边 T R 和边 V S 是梯形的两条底边，点 M 和点 N 是梯形两腰 T V 和 R S 的中点，线段 M N 是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段 M N 平行于边 T R 和边 V S，并且线段 M N 的长度等于边 T R 和边 V S 长度和的一半，即 M N = (T R + V S) / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2804/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的周长。如果需要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "76", "process": "1. 已知条件为：这是一个平行四边形，其中##一条##边长为21英尺，另##一条边长##为17英尺。##根据平行四边形的性质定理##，即平行四边形的两组对边相等。####

2. 由上一步，我们可以得出平行四边形的四条边分别为21英尺和17英尺各有两条，##根据平行四边形的周长，可知##平行四边形的周长公式为：周长 = 2*a + 2*b，其中a和b是平行四边形相邻边的长度。

3. 代入已知边长，平行四边形的周长计算为：周长 = 2*21 + 2*17 = 42 + 34 = 76英尺。

4. 经过上述推理，最终得出答案为76英尺。", "elements": "线段; 平行四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "平行四边形的两组对边分别为21英尺和17英尺，21英尺的两条对边平行且相等，17英尺的两条对边平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形的两组对边相等，即其中一条边长为21英尺，另一条边长为17英尺。通过定理可知，与这两条分别对应的对边长度也为21英尺和17英尺。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "平行四边形的两组对边长度分别为 21 英尺和 17 英尺。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(21 + 17) = 76 英尺。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2726/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "16", "process": "1.根据已知条件，在三角形LMN中，角MLN = 65°，角LMN = 51°，我们可以使用三角形内角和定理求出角LNM。

2. 三角形内角和定理指出，三角形的内角和为180°。因此，角LNM = 180° - 角MLN - 角LMN。

3. 计算可得：角LNM = 180° - 65° - 51° = 64°。

4. ##已知角MLN=角YZX，角LMN=角ZYX，根据相似三角形的判定定理(AA)，得出三角形XYZ和三角形LMN相似。##

5. ##根据相似三角形的定义可以得出，∠LNM=∠ZXY=(4x)°=64°。##

6. 因此，我们可以得到4x = 64。解这个方程能得出x的值。

7. 计算得出x = 64° / 4。

8. 简化计算，得出x = 16。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形LMN是由三个非共线点L、M、N及其连接线段LM、MN、NL组成的几何图形。点L、M、N分别是三角形的三个顶点，线段LM、MN、NL分别是三角形的三条边。三角形XYZ是由三个非共线点X、Y、Z及其连接线段XY、YZ、ZX组成的几何图形。点X、Y、Z分别是三角形的三个顶点，线段XY、YZ、ZX分别是三角形的三条边。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角LMN等于角ZYX，且角MLN等于角YZX，所以三角形LMN相似于三角形XYZ。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三��形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形LMN中，角MLN、角LMN和角LNM是三角形LMN的三个内角，根据三角形内角和定理，角MLN + 角LMN + 角LNM = 180°。##"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形XYZ和三角形LMN是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角MLN = 角YZX, 角LMN = 角ZYX, 角LNM = 角ZXY；ML/YZ = LN/ZX = MN/YX。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3345.png", "question": "如图,AB,CD是⊙O的两条弦,连接AD,BC,若∠BCD=50°,则∠BAD的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知∠BCD=50°。

2. ##圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等，∠BAD和∠BCD对应同一弧BD，##因此∠BAD=∠BCD。

3. 由步骤2可得∠BAD=50°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 弦; 圆周角; 内错角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，角∠BCD的顶点C在圆周上，角∠BCD的两边分别与圆⊙O相交于点B和点D。因此，角∠BCD是一个圆周角。同样，角∠BAD的顶点A在圆周上，角∠BAD的两边分别与圆⊙O相交于点B和点D。因此，角∠BAD也是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等", "this": "圆O中，弧BD对应的圆周角∠BAD和∠BCD相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧BD相对应的圆周角∠BAD和∠BCD相等，即∠BAD = ∠BCD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/186.png", "question": "如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠OAB=35°,则∠ACB的度数为()", "answer": "55°", "process": "1已知∠OAB=35°，由于OA和OB都是半径，所以OA=OB，依据等腰三角形性质，得出∠OBA=∠OAB=35°。

2. 由于在△OAB中，三角形内角和为180°，根据内角和定理，即∠OAB + ∠OBA + ∠AOB=180°，得出∠AOB=180° - 35° - 35° = 110°。

3. 根据##圆周角定理，圆周角等于所对的弧所对应的##圆心角的一半，得出∠ACB=1/2 ∠AOB。

4. 代入得出∠ACB=1/2 * 110° = 55°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：∠ACB = 55°。", "elements": "圆; 圆周角; 三角形的外角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA = 35°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形OAB中，∠OAB、∠OBA和∠AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧CB对应的圆心角为∠AOB = 110°，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2857/img_diagram.png", "question": "求风筝中的 G H。", "answer": "\\sqrt { 369 }", "process": "1. ##已知筝形FGHJ，设对角线FH与GJ相交于O点，由图知GO=12，HO=15，根据筝形的性质，得FH⊥GJ，则∠GOH=90°##。

2. ##因为∠GOH=90°，根据直角三角形的定义，△GOH是直角三角形##。

3. ##在Rt△GOH中，根据勾股定理，得GH? = GO? + HO? ##。

4. ##将数值代入等式得 GH? = 12?+15?=144 + 225 = 369，计算得GH = √369##。

5. 经过上述计算，最终得出答案为 √369。", "elements": "菱形; 等腰三角形; 垂直平分线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形GOH中，角GOH是直角（90度），因此三角形GOH是一个直角三角形。边GO和边HO是直角边，边GH是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形GOH中，角GOH是直角（90度），边GO和HO是直角边，边GH是斜边，所以根据勾股定理，GH² = GO² + HO²。"}, {"name": "筝形的定义", "content": "筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形", "this": "四边形FGHJ存在一条对角线FH所在直线为对称轴，使得四边形沿该直线对折后完全重合，因此该四边形为筝形。"}, {"name": "筝形的性质", "content": "筝形的两条对角线互相垂直，并且其中只有一条对角线被另一条平分。", "this": "筝形FGHJ的对角线FH和GJ相交于点O。根据筝形的性质，其两条对角线FH与GJ互相垂直，即FH⊥GJ，且只有其中一条对角线GJ被另一条对角线FH平分，即GO=JO。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2833/img_diagram.png", "question": "在 riangle C D F 中，K 是重心且 D K = 16。求 C D。", "answer": "18", "process": "1. ##已知DG = 9，K是三角形CDF的重心，依据重心定理，重心是三角形的三条中线交于一点，则FG为三角形 CDF 以F 为顶点，向CD 作出的一条中线。##

2. ##根据三角形中线的定义，FG 平分CD于点G，即 DG = GC。##

3. ## 因此DG = GC = 9，CD =DG +GC = 9+9 =18。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为18。", "elements": "普通三角形; 线段; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "重心定理", "content": "重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。", "this": "三角形CDF中，点K是三角形的重心。三角形的三条中线分别为线段CJ、线段DH和线段FG，它们相交于点K。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "顶点F是三角形的一个顶点，对边CD是与顶点F相对的边。点G是边CD的中点，线段FG是从顶点F到对边CD中点G的线段，点G平分CD，即DG = GC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3586.png", "question": "如图,圆内接四边形ABCD中,圆心角∠1=100°,则圆周角∠ABC等于()", "answer": "130°", "process": "1. 已知圆心角∠AOD=100°。

2. ##根据圆周角定理，##圆周角∠ADC等于对应的圆心角∠AOC的一半，得∠ADC=1/2∠AOC=50°##。

3. 由于ABCD是圆内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，即∠ABC+∠ADC=180°。

4. 已知∠ADC=50°，则∠ABC=180°-50°=130°。

5. 所以最终得出结论，∠ABC=130°。", "elements": "圆内接四边形; 圆心角; 圆周角; 弦; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "点A和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OD组成的角∠AOD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧AD对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠ADC等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ADC = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ABC + ∠ADC = 180°；∠BAD + ∠BCD = 180°。"}, {"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这��圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角ABC + 角ADC = 180度，角BAD + 角BCD = 180度。##"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ADB的顶点(点D)在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2918/img_diagram.png", "question": "求 x 使得 G J \\\\parallel F K。G H = x + 3.5, H J = x - 8.5, F H = 21, H K = 7。", "answer": "14.5", "process": "1. ##已知 GJ ∥ FK， GH = x + 3.5，HJ = x - 8.5，FH = 21，HK = 7##。

2. ##根据平行线的平行公理2和同位角定义，∠HGJ=∠HFK。根据相似三角形的判定定理(AA)，∠HGJ=∠HFK，∠GHJ=∠FHK，因此三角形 GHJ 相似于三角形 FHK##。

3. ##根据相似三角形的定义，因此有 GH/FH = HJ/HK。

4. 代入已知条件，(x + 3.5) / 21 = (x - 8.5) / 7。

5. 交叉相乘得到 7(x + 3.5) = 21(x - 8.5)。

6. 展开括号得到 7x + 24.5 = 21x - 178.5。

7. 整理方程，移项得 21x - 7x = 24.5 + 178.5。

8. 化简方程得 14x = 203。

9. 解方程，x = 203 / 14。

10. 进一步简化，x = 14.5。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 14.5。", "elements": "平行线; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线 GJ 和 直线 FK 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 GJ 和直线 FK 是平行线。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形GHJ和三角形FHK是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠GHJ = ∠FHK, ∠HGJ = ∠HFK, ∠GJH = ∠FKH；GH/FH = HJ/HK = GJ/FK。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线GJ和FK被第三条直线HF所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角HGJ和角HFK相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线GJ和FK被一条直线HF截交，其中角HGJ和角HFK位于截线HF的同旁，被截两直线GJ和FK的同一侧，因此角HGJ和角HFK是同位角。同位角相等，即角HGJ等于角HFK。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形HGJ和三角形HFK中，如果角HGJ等于角HFK，且角GHJ等于角FHK，所以三角形GHJ相似于三角形HFK。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2786/img_diagram.png", "question": "求 X W。", "answer": "12", "process": "1. 已知条件为WZ = ZY，且XZ垂直于WY，Z为WY的中点，##所以根据垂直平分线的定义，##XZ为WY的##垂直平分线##。

2. 由于XZ是WY的##垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，因此WX = XY。##

####

##3##. 通过题目图示，给出XY的长度为12。

##4## 因此可以推断WX也等于12。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "elements": "等腰三角形; 垂直平分线; 中点; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段WY的中点为点Z。根据线段中点的定义，点Z将线段WY平分为两个相等的部分，即线段WZ和线段ZY的长度相等。即，WZ = ZY。"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "直线XZ经过线段WY的中点Z，并且直线XZ垂直于线段WY。因此，直线XZ是线段WY的垂直平分线。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等", "this": "线段WY的垂直平分线为直线XZ，点X在直线XZ上。根据垂直平分线的性质，点X到线段WY两端点W和Y的距离相等，即XW = XY。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2865/img_diagram.png", "question": "利用平行四边形 A B C D 求 A D。", "answer": "18", "process": "1. ##由图可得在平行四边形A B C D中，边B C = 18##。

2. 根据平行四边形的##定义##，平行四边形对边相等，即A D = B C。

3. 由上述性质得出，A D = 18。", "elements": "线段; 平行四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/95.png", "question": "在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图．若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为()", "answer": "40cm", "process": "1.连接##OA，OB##，过圆心O作垂线OE垂足于AB的中点M。

2. 根据垂径定理，直径垂直于任一弦并且平分该弦，因此OM垂直于AB且M为AB的中点。

3. 根据题意，AB的长度为160cm，而M点为AB的中点，所以AM=80cm。

4. 圆的半径为200cm的一半，即OA=100cm。

5. 在直角三角形OAM中，依据勾股定理，##可得OM?=OA?-AM?=100?-80?=3600?。OM=√3600=60##

####

##6##. 因为油面的最高点是##M##，所以油槽的深度即为半径##OE减去OM##的长度，因此最大深度为100cm - 60cm = 40cm。

8. 经过上述推理，最终得出答案为油的最大深度为40cm。", "elements": "圆; 弦; 直角三角形; 正弦; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，直径为AB，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * 100cm = 200cm。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径，其长度为100cm。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAM中，角##∠OMA##是直角（90度），因此三角形OAM是一个直角三角形。边OA和边OM是直角边，边AM是斜边。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线OM和直线AB相交形成的角∠OMA是90度，因此根据垂线定义，直线OM和直线AB互相垂直。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形OAM中，∠OMA是直角（90度），边OM和AM是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，##OM² = OA² - AM²##。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径##OE##垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径##OE##平分弦AB，即AM=MB，并且直径##OM##平分弦AB所对的两条弧，即弧EA=弧EB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2962/img_diagram.png", "question": "求阴影扇形的面积。结果四舍五入到十分位。", "answer": "182.6", "process": "1. 已知条件为角 RST = 93° 和 SR = ST = 15 mm，根据圆心角和扇形面积的定义，可以开始求解。

2. 扇形的面积公式为：A = ##(θ/360) * π * r^2##，其中 θ 是圆心角度数，r 是半径长度。

3. 将已知半径 SR = 15 mm 和圆心角 RST = 93° 代入公式，可以得到扇形面积：A = ##(93/360) * π * 15^2##。

4. 计算 ##(93/360) * π * 15^2##，首先计算 (93/360) ≈ 0.2583。

5. 计算 ##π * 15^2##，首先计算 ##15^2##= 225，然后 π * 225 = 706.8583（π取值约为3.1416）。

6. 最后计算 0.2583 * 706.8583 ≈ 182.6137。

7. 将 182.6137 四舍五入至最近的十分位，得到 182.6。

8. 因此，计算出的阴影扇形面积为 ##182.6 mm^2##。", "elements": "圆; 扇形; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "扇形RST中，半径SR和半径ST是圆的两条半径，圆弧RT是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧RT组成的图形为扇形。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆中，点R和点T是圆上的两点，圆心是点S。连线SR和ST组成的角∠RST称为圆心角。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积A可以通过公式A = ##(θ/360) * π * r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "在本题图中，扇形RST中，圆心角∠RST的度数为θ = 93°，半径SR和ST的长度为r = 15 mm。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r^2计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形RST的面积A = (93/360) * π * 15^2。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆S中，点S是圆心，点T是圆上的任意一点，线段ST是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段ST是圆的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2805/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot O 中，E C 和 A B 是直径，且 \\\\angle B O D \\\\cong \\\\angle D O E \\\\cong \\\\angle E O F \\\\cong \\\\angle F O A。求 m \\\\widehat A E。", "answer": "90", "process": "1.##已知AB是圆O的直径，根据平角定义得∠AOB=180°，即 ∠BOD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 180°。##

2. ##由题目可知∠BOD = ∠DOE = ∠EOF = ∠FOA，所以180°/4=45°就是半圆中每个角度的度数。##

3. ##根据上述步骤可以得出∠AOE=∠AOF+∠FOE=45°+45°=90°。

4. ##根据圆心角的性质,圆心角度数等于它岁对应的圆弧的度数，∠AOE是圆心角=90°所以弧AE=90°##。

5. 经过上述推理，得到弧AE为直角##90°##。", "elements": "圆; 圆心角; 弧; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "EC和AB是直径，连接了圆心O和圆周上的E、C和A、B两点，长度为2倍的半径，即EC = 2r，AB = 2r。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。同理，∠DOE、∠EOF、∠FOA##、∠BOD、∠AOE、∠AOC##也是圆心角。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆O上有两点A和E，弧AE是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AE是圆O上两点A和E之间的一段曲线。"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "圆心角∠AOE所对的圆弧为弧AE。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠AOE的度数=弧AE的度数。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线OB绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1903.png", "question": "本题考查了圆周角定理,关键是根据同弦所对圆心角与圆周角的关系解答．\n4．如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(A、B除外),∠AOD=136°,则∠C的度数是()", "answer": "22°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，∠AOD=136°。

2. 根据平角的定义，在直线AB上，有∠AOD + ∠BOD = 180°。

3. 由此可以求得∠BOD = 180° - 136° = 44°。

4. 根据##圆周角定理，弧BD所对的圆周角∠BCD等于弧BD所对的圆心角∠BOD的一半，即∠BCD = ∠BOD## / 2。

5. 具体到本题中，##弧BD所对的圆心角∠BOD = 44°##。

6. 因此，##��BD所对的圆周角∠BCD = 44° / 2 = 22°##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为∠C的度数是 22°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弦; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "图中的圆的圆心为O，圆O中，点O是圆心。图中所有到点O的距离等于半径的点都在圆O上。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BCD的顶点(点C)在圆周上，角BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BCD是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "弧BD所对应的圆心角是∠BOD。根据圆周角定理，弧BD所对应的圆周角∠BCD等于∠BOD的一半，即∠BCD = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2935/img_diagram.png", "question": "求图形的面积（单位：英尺）。如有必要，四舍五入到十分位。", "answer": "34.6", "process": "1. ##已知图中四边形有且仅有一对底边平行，根据梯形的定义，该四边形为梯形，##梯形的上底为12英寸，下底为8英寸。

2. ##从梯形下底的两端分别作线段垂直于底边，两条线段为梯形的高h；根据矩形的定义，两条高与高所截两底边形成矩形，则矩形长边为8英尺。##

3. ##梯形的高与底边两个内角形成两个直角三角形，已知梯形两条斜边相等，则根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），两个直角三角形全等。设这两个直角三角形的短边为x，则底边为2x+8=12，解得x=2。##

4. ##两个直角三角形有一个角为30°，则这两个直角三角形都是30°-60°-90°三角形。根据30°-60°-90°三角形的性质，长边是短边的√3倍，因此 h = 2√3≈3.464##

####

##5##. 梯形的面积A可通过公式计算，A = 0.5 × (上底 + 下底) × 高，即A = 0.5 × (12 + 8) × 3.464

##6##. 使用计算器进行计算，A ≈ 34.64平方英寸。

##7. 将结果四舍五入到最接近的十分位，得图形的面积为34.6英寸。##", "elements": "梯形; 直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，四边形中，上下两底边是平行的，而另外两边不平行。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，梯形的两条垂线与底边和上底分别形成两个直角三角形。这两个直角三角形的直角位于垂线与底边和上底的交点处，两个锐角分别是30度和60度。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30度角是梯形左侧的角，60度角是直角三角形的另一个锐角，90度角是直角三角形的直角。##边x是30度角所对的边，边h是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边h等于边x的√3倍。即：x = 2英寸，h = x√3 = 2√3。##"}, {"name": "梯形面积公式", "content": "给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。", "this": "梯形的上底是12英寸，下底是8英寸，高h约为3.464英寸。根据梯形面积公式，面积 = 0.5 * (12 + 8) * 3.464。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "梯形的两条高与高所截两底边形成矩形，其四个内角都是直角（90度），且两条长边平行且等长，两条高h平行且等长。##"}, {"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。", "this": "高垂直于底边形成的两个三角形中，高垂直于底边形成的两角都是直角（90度）。两斜边相等，那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形全等。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从梯形下底的两端分别作垂直于底边的线段是梯形的高。两条线段与底边形成一个直角（90度），这说明两条线段是从顶点到对边的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2994/img_diagram.png", "question": "求x。假设看起来相切的线段是相切的。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "10", "process": "1. ##设AB=5x-8，AC=72-3x##。

2. ##根据切线长定理，AB=AC，##则5x - 8 = 72 - 3x。

3. 解方程 5x - 8 = 72 - 3x 时，加上 3x 得 8x - 8 = 72。

4. 将等式两边加 8，得 8x = 80。

5. 将等式两边都除以 8，得到 x = 10。

6. 经过上述推理，最终得出 x 的值为 10。", "elements": "切线; 普通三角形; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角", "this": "在本题图中，从圆外一点引出的两条切线分别为 5x - 8 和 72 - 3x，它们的切线长相等，即 5x - 8 = 72 - 3x。圆心 y 和这一点的连线平分两条切线的夹角。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆的切线。圆与直线AC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线AC是圆的切线。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2864/img_diagram.png", "question": "将 \\cos N 的比率用小数表示，精确到小数点后两位。", "answer": "0.38", "process": "1. ##已知角P=90度，所以##三角形 NPM 是直角三角形，且已知 PM = 36, PN = 15, NM = 39。

2. ##根据余弦函数，有cos（∠N）=NP/MN##。

3. ##已知PN = 15, NM = 39，代入可得：cos（∠N）=15/39≈0.384。根据题目要求精确到小数点后两位，所以cos（∠N）≈0.38##。

####

##4##. 经过上述推理，得出 ∠PNM 的余弦值为 0.38。", "elements": "直角三角形; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形PNM是由三个非共线点P、N、M及其连接线段PN、PM、MN组成的几何图形。点P、N、M分别是三角形的三个顶点，线段PN、PM、MN分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形PNM中，角NPM是直角（90度），因此三角形PNM是一个直角三角形。边PN和边PM是直角边，边MN是斜边。##"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "直角三角形 NPM 中，边 NP 是角 ∠PNM 的邻边，边 NM 是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角 ∠PNM 的余弦值等于邻边 NP 与斜边 NM 的比值，即 cos(∠PNM) = NP / NM = 15 / 39。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1805.png", "question": "如图,点A,B,P是⊙O上的三点,若∠AOB=40°,则∠APB的度数为()", "answer": "20°", "process": "1. 已知∠AOB=40°，由题意可知点A、B、P是圆O上的三点。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于其所对应的圆心角的一半，即∠APB=##1/2∠AOB##。

3. 代入已知条件∠AOB=40°，则∠APB=##1/2##×40°=20°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角APB的顶点P在圆周���，角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角APB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "∠APB是圆周角，∠AOB是其对应的圆心角。根据圆周角定理，∠APB=\\frac{1}{2}∠AOB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2984/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle Y。", "answer": "80", "process": "1. 已知 WXYZ 是一个四边形，四边形各内角之和为 360°。

2. ∠W = (1/2)a + 8，∠X = a，∠Y = a - 28，∠Z = a + 2。

3. 根据四边形内角和定理，内角和为 360°。因此有 (1/2)a + 8 + a + (a - 28) + (a + 2) = 360。

4. 合并同类项，得 3.5a - 18 = 360。

5. 解方程 3.5a - 18 = 360，得 3.5a = 378，a = 108。

6. 代入 ∠Y = a - 28，得 ∠Y = 108 - 28。

7. 计算得 ∠Y = 80。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 80°。", "elements": "平行四边形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形WXYZ由四条线段WX, XY, YZ和ZW组成，这些线段称为四边形的边。四边形WXYZ有四个顶点，分别是点W, 点X, 点Y和点Z，并且有四个内角，分别是角∠W, 角∠X, 角∠Y和角∠Z。这些角的度数分别为(1/2)a + 8, a, a - 28, a + 2。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形WXYZ中，角∠W、角∠X、角∠Y和角∠Z是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即∠W + ∠X + ∠Y + ∠Z = 360°。具体地，(1/2)a + 8 + a + (a - 28) + (a + 2) = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/194.png", "question": "如图,直线a与直线b被直线c所截,b⊥c,垂足为点A,∠1=70°．若使直线b与直线a平行,则可将直线b绕着点A顺时针旋转()", "answer": "20°", "process": "1. 已知直线b垂直直线c，垂足为点A，根据直角的定义，得##∠A## = 90°。

2. 已知##∠1## = 70°，且要求直线a与直线b平行，即##∠A和∠1为内错角##，根据平行线的同位角相等定理，得##∠A## = 70°时，a//b。

3. 为使直线a与直线b平行，需要使##∠A旋转至70°时停止##。

4. 因此，旋转角度为∠CAB - ∠BAC = 90° - 70° = 20°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为20°。", "elements": "平行线; 垂线; 同位角; 旋转; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "两条平行直线a和b被一条直线c截交，其中角A和角1位于两平行线之间，且在截线c的对侧，因此角A和角1是内错角。内错角相等，即需要角A等于角1。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，为了使直线a与直线b平行，需要使得内错角∠1=∠A。已知∠1 = 70°，所以∠A需要等于 70°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3558.png", "question": "如图,四边形ABCD的一个外角∠DCE=70°,则∠BAD的度数为()", "answer": "70°", "process": "1. 已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，四边形的对角互补。

2. 根据已知条件，外角∠DCE = 70°##因此，∠BCD=180°-∠DCE =180°- 70°=110°##。

3. ##根据圆周角定理推论3，∠DAB+∠BCD = 180°。##

4. 由此可得∠DAB = 70°。

5. 综上所述，通过圆内接四边形的性质得出∠BAD = 70°。", "elements": "圆内接四边形; 三角形的外角; 圆周角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是一个圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°；∠ABC + ∠ADC = 180°。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角BCD和角DCE有一条公共边CD，它们的另一边CB和CE互为反向延长线，所以角BCD和DCE互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2883/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 3。", "answer": "38", "process": "1.## 已知∠TWX，∠WXY为直角，有∠2＋∠3等于90°。在三角形WXY中，由三角形内角和定理可知，∠2＋∠WYX＋∠WXY＝180°。##

2. ##将∠WXY＝90°，∠WYX＝38°带入可得∠2＝52°。##

3.##因为∠2＋∠3等于90°，所以∠3＝90°-52°＝38°。##

####

##4##. 最终经过上述推理，得出∠3=38°。", "elements": "矩形; 内错角; 直角三角形; 三角形的外角; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形XYW中，角XYW、角XWY和角WXY是三角形XYW的三个内角，根据三角形内角和定理，角XYW + 角XWY + 角WXY = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2601.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则\\cosA的值是()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "1. 已知三角形ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°，边AC的长度为4，边AB的长度为5。

2. ##在直角三角形ABC中##，可以使用##余弦函数##来计算∠BAC的余弦值。

3. ##余弦函数##指出在直角三角形中，某角的余弦值等于##邻边与斜边的比值##。对于∠BAC，其余弦值cos(∠BAC) = 邻边(AC) / 斜边(AB)。

4. 将已知数值代入公式，即cos(∠BAC) = AC / AB = 4 / 5。

5. 经过计算，得出cos(∠BAC) = 4 / 5。

6. 综上所述，余弦角A的值为4 / 5。", "elements": "直角三角形; 余弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是角BAC的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角BAC的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(∠BAC) = AC / AB。####"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1.png", "question": "如图,AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∠BEF,交CD于点G,∠1=50°,则∠2等于()", "answer": "65°", "process": "1. 已知AB∥CD，根据##平行线的平行公理2##，同旁内角互补，得出##∠1## + ∠BEF = 180°。

2. 由∠1 = 50°以及上一步的结论，可得∠BEF = 180° - 50° = 130°。

3. 由于EG平分∠BEF，根据##角平分线定义##，可得∠BEG = ∠GEF = 1/2 * 130° = 65°。

4. 直线AB与直线CD平行，##根据平行线的平行公理2，内错角相等，可得∠2 = ∠BEG = 65°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为65°。", "elements": "平行线; 内错角; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角BEF的顶点是点E，从点E引出一条线EG，这条线将角BEF分成两个相等的角，即角BEG和角GEF相等。因此，线EG是角BEF的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，AB∥CD，直线EF截这两条平行线，形成了以下几何关系：####同旁内角：##∠1和∠BEF##互补，即##∠1+ ∠BEF## = 180度。##同理，AB∥CD，直线EG截这两条平行线，形成了以下几何关系：内错角：∠2和∠BEG相等。##这些关系说明了在两条平行线被��三条直线所截时，####内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线AB和CD被第三条直线EF所截，两角EFG和BEF在截线EF同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角EFG和BEF是同旁内角。同旁内角EFG和BEF互补，即角EFG + 角BEF = 180度。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线EG截交，其中角BEG和角EGF位于两平行线之间，且在截线EG的对侧，因此角BEG和角EGF是内错角。内错角相等，即角BEG等于角EGF。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/484.png", "question": "把一尺与三角板如图放置,∠1=40°则∠2的度数为()", "answer": "130°", "process": "1. 已知∠BAC=90°，##而∠BCA和∠1是构成直角的两个角。根据直角三角形的锐角互余性质，即∠1+∠BCA=90°，得出∠BCA=90°-∠1。##

2. 根据已知条件，∠1=40°，得出##∠BCA=90°-40°=##50°。

3. ##根据邻补角的定义，得出∠BCE=180°-∠BCA=130°。##

4. ##因为直尺的两条边平行，根据平行线同位角相等，得出∠2=∠BCE=##130°。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为130°。", "elements": "直角三角形; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "尺子上的##长直线##位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，尺子上的##长直线##是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线（尺子）被三角板的长直角边BC所截形成了以下几何关系：1. 同位角：∠2和∠BCE相等。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形BAC中，角BAC、角BCA和角1是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ACB + 角1 = 180°。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线x被一条直线截交，其中∠2和∠BCE位于截线的同旁，被截两直线的同一侧，因此∠2和∠BCE是同位角。同位角相等，即∠2=∠BCE。####"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "∠BCE和∠BCA有一条公共边BC，它们的另一边互为反向延长线，所以∠BCE和∠BCA互为邻补角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2914/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "528", "process": "1. ##设平行四边形ABCD，由图知AE⊥BC，根据平行四边形的高的定义，得AE为平行四边形ABCD的高##，根据平行四边形的面积公式A = ##底边长 * 高##。

2. ##因为底边BC长等于22cm，AE=24cm，则代入公式得##A = 22 cm * 24 cm。

3. 进行计算，得A = 528平方厘米。

4. 最终，平行四边形的面积为528平方厘米，不需要四舍五入。", "elements": "平行四边形; 平行线; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "平行四边形ABCD中，边AD和边BC是平行的。顶点A到对边BC的垂直距离是平行四边形的高。具体来说，从顶点A作一条垂直于边BC的线段AE，该线段AE的长度即为平行四边形的高。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "平行四边形ABCD的底边BC长为22 cm，对应的高AE是从底边BC到对边的垂直距离，为24 cm。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长22 cm乘以对应的高24 cm，��A = 22 cm × 24 cm = 528平方厘米。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3287.png", "question": "如图,AB是⊙O直径,点C为⊙O上一点,∠C=20°,则∠BOC度数为()", "answer": "40°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB=20°。

2. 因为OA=OC，所以△OAC是等腰三角形，因此∠OCA=∠OAC=20°。

3. 依据圆周角定理，圆周角等于其所对的圆心角的一半，这里##圆周角BAC和是圆心角BOC的一半##。因此，##∠BOC=2∠BAC##。

4. 把已知角度带入，##∠BOC##=2×20°=40°。

5. 最终得到正确答案为40°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2×OA。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "点C和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OC和OB组成的∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边OA和边OC相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧CB对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAC = 角OCA。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/399.png", "question": "将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下,如果∠1=140°,那么∠2的度数是()", "answer": "110°", "process": "1. ##设折叠开成的∠1的内错角为∠BAD=∠CAB + ∠ACD。##已知∠1=140°。

2. 根据##平行线的平行公理2##，可得∠CAB + ∠ACD = ∠1 = 140°。

3. 根据折叠图形的性质，当折叠一次后，∠CAB = ∠ACD。

4. 设∠CAB = ∠ACD = x。

5. 由步骤2和3得，2x = 140°。

6. 解得 x = 70°，即∠CAB = ∠ACD = 70°。

7. 根据##同旁内角互补##，可得##∠2## = 180° - ∠ACD = 180° - 70° = 110°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为∠2 = 110°。", "elements": "邻补角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线（纸条的上下两条边）被一条直线截交，其中角 ∠1 和 ∠BAD位于两平行线之间，且在截线（折痕）的对侧，因此角 ∠1 和∠BAD是内错角。内错角相等，即 ∠1 等于 ∠BAD。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "纸条的上下两条边形成平行关系，并且折痕是横截线，所以内错角∠1 =∠BAD，同旁内角 ∠2 + ∠BAD = 180°。"}, {"name": "角平分线的性质", "content": "角平分线上任意一点到角两边的距离相等。", "this": "∠BAD分成两个相等的角，即∠CAB 和 ∠ACD。根据角平分线的性质，设这两个角分别为 x，则 2x = ∠1 = 140°，所以 x = 70°，即这两个角各为 70°。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条平行直线（纸条的上下两条边）被一条直线（折痕）截交，两角∠2 和 ∠BAD在截线同侧，且在两条被截线之内，所以∠2 和 ∠BAD是同旁内角。同旁内角∠2 和 ∠BAD互补，即∠2 + ∠BAD = 180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/57.png", "question": "如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 已知AD平分∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD。

2. 根据##平行线的平行公理2和内错角的定义，AB∥CD，平行线AB和CD被直线AD所截，所以内错角相等，而∠D与∠BAD互为内错角，所以∠D=∠BAD。又因为AD平分∠BAC，所以∠D=∠BAD = ∠CAD##。

3. 根据上述结论，得出∠CAD = ##∠D##。

4. 在△ACD中，根据三角形内角和定理可知，∠C + ∠CAD + ##∠D## = 180°。

5. 将已知∠C = 80°及∠CAD = ∠ADC代入，即80° + ##∠D + ∠D## = 180°。

6. 解以上方程，得##∠D## = 50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "平行线; 内错角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角BAC的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角BAC分成两个相等的角，即∠BAD和∠CAD相等。因此，线AD是角BAC的角平分线。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：##无##。\n2. 内错角：∠BAD和∠D相等。\n3. 同旁内角：##无##。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角∠CAD、角∠ADC和角∠ACD是三角形ACD的三个内角，根据三角形内角和定理，∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线OD截交，其中角D和角AOD位于两平行线之间，且在截线OD的对侧，因此角D和角AOD是内错角。内错角相等，即角D等于角AOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/417.png", "question": "如图是小刘做的一个风筝支架示意图,已知BC∥PQ,AB:AP=2:5,AQ=20cm,则CQ的长是()", "answer": "12cm", "process": "1. 已知BC∥PQ，##根据平行线的平行公理2和同位角定义，∠ABC=∠APQ，同时∠BAC=∠PAQ，根据相似三角形的判定定理(AA)，得出△ABC与△APQ相似。

2. 由于△ABC与△APQ相似，根据相似三角形的比例性质，有比例关系\\(\\frac{AB}{AP}=\\frac{AC}{AQ}\\)。

3. 根据已知条件AB:AP=2:5, AQ=20cm，可以代入比例关系\\(\\frac{AC}{20} = \\frac{2}{5}\\)。

4. 通过比例式进行计算，解得AC=8cm。

5. 由此可以得到CQ的长度为AQ - AC。

6. 计算得到 CQ = 20cm - 8cm = 12cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12cm。", "elements": "平行线; 普通三角形; 位似; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "线段BC和线段PQ位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，线段BC和线段PQ是平行线。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△ABC与△APQ相似，即对应角相等，对应边成比例。如∠BAC = ∠PAQ、∠ABC = ∠APQ以及∠ACB = ∠AQP，且\\(\\frac{AB}{AP}=\\frac{BC}{PQ}=\\frac{AC}{AQ}\\)。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线BC和PQ被第三条直线AP所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角ABC和角APQ相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线BC和PQ被一条直线AP截交，其中角ABC和角APQ位于截线AP的同旁，被截两直线BC和PQ的同一侧，因此角ABC和角APQ是同位角。同位角相等，即角ABC等于角APQ。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角ABC等于角APQ，且角BAC等于角PAQ，所以三角形ABC相似于三角形APQ。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1632.png", "question": "如图,直线l∥m∥n,三角形ABC的顶点B,C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹的角为25°,且∠ACB=60°,则∠a的度数为()", "answer": "35°", "process": "1. 已知直线l∥m∥n，且点B在直线n上，点C在直线m上，因此BC与直线n所夹的角为25°。

2. 设AC与直线m的夹角为∠b，BC与直线m的夹角为∠c，根据平行线的平行公理2和同位角定义##，平行线之间的同位角相等，所以∠a与##∠b##相等，即 ∠a = ##∠b##。

3. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，内错角相等，而边BC与直线n所夹的角与∠c互为内错角，所以∠c=25°##。根据题意，已知∠ACB=60°， ##∠a = ∠b，而∠ACB = ∠b + ∠c，所以∠ACB = ∠a + ∠c##。

4. 由上面一步得出∠ACB = 25° + ##∠a## = 60°，可以得到##∠a## = 60° - 25°。

5. 计算得##∠a## = 35°。

6. 经过上述推理，最终得出##∠a##的度数为35°。", "elements": "平行线; 三角形的外角; 内错角; 同位角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线l和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线l和直线m是平行线。直线n和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线n和直线m是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，##两条平行线l和m被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角a和角b相等。2. 内错角：无。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。两条平行线m和n被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：角c和25°角相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等##。"}, {"name": "同位角定义", "content": "当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。", "this": "在本题图中，两条平行直线l和m被直线AC截交，其中角∠a和角∠b位于截线AC的同旁，被截两直线l和m的同一侧，因此角∠a和角∠b是同位角。同位角相等，即角∠a等于角∠b。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线m和n被一条直线BC截交，其中角c和25°角位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角c和25°角是内错角。内错角相等，即角c等于25°角。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1524.png", "question": "如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB,∠ACD=40°,则∠AEC的度数是()", "answer": "70°", "process": "1. 已知直线AB平行于直线CD，根据##平行线的平行公理2和同旁内角的定义##，得出∠CAB + ∠ACD = 180°。

2. 由已知条件∠ACD = 40°，以及上一条结论，得出∠CAB = 180° - 40° = 140°。

3. 根据题意，AE平分∠CAB，根据##角平分线定义，得出∠CAE = (1/2)∠CAB = (1/2) × 140° = 70°##。

4. 所以，根据三角形内角和定理，三角形AEC中，##∠AEC = 180°-∠CAE-∠ACE = 180°-70°-40°=70°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "elements": "平行线; 内错角; 同旁内角; 线段; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角CAB的顶点是点A，从点A引出一条线AE，这条线将角CAB分成两个相等的角，即角BAE和角EAC相等。因此，线AE是角CAB的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直线AB∥CD，直线AC截这两条平行线，形成了以下几何关系：##1. 同旁内角：∠CAB和∠ACD互补，即∠CAB + ∠ACD = 180度##。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线AB和CD被第三条直线AC所截，两角BAC和ACD在截线AC同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角BAC和ACD是同旁内角。同旁内角BAC和ACD互补，即角BAC + 角ACD = 180度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角∠CAE、角∠AEC和角∠ACE是三角形AEC的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠CAE + 角∠AEC + 角∠ACE = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2069.png", "question": "如图,用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果圆锥形帽子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的面积是()", "answer": "240πcm^{2}", "process": "1. 已知圆锥形帽子的底面半径为10cm，且使用的扇形纸板的半径为24cm，##设底面圆上一点为点A，圆锥顶点为点B，连接AO，则AO为圆的半径##。

2. ##扇形的半径是圆锥体的斜高##，即圆锥形帽子的母线长为24cm。

####

##3. 根据圆锥的表面积公式，侧面积等于扇形的面积，侧面积等于πrl，即πx底面圆半径×母线长。则扇形的面积公式：S = π × R × l = π × 10 × 24 = 240 π cm^2##。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为240π##cm^2##。", "elements": "扇形; 圆锥; 圆; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆锥形帽子的底面是一个圆，该圆的圆心为O，圆上的任意一点为A，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径，且OA = 10cm。"}, {"name": "母线", "content": "母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段", "this": "在本题图中，圆锥中，底面圆周上的一点为A，顶点为B，连接底面圆周上一点A和顶点B的线段AB就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}, {"name": "圆锥的表面积公式", "content": "圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。", "this": "在本题图中，圆锥中，底面是一个圆，其半径为10，底面积为π×10²。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高24，扇形的弧长等于底面的周长2π×10。侧面积等于扇形的面积，即π×10×24。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为π×10² + π×10×24。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1832.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C、D是圆上两点,且∠AOC=126°,则∠CDB=()", "answer": "27°", "process": "1. 已知∠AOC=126°，##线段AB是直径，根据平角的定义，##因此∠AOB是平角，即 ∠AOB=180°。

2. 根据##邻补角的定义##，得出∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 180° - 126° = 54°。

3. 根据圆周角定理，在圆中，圆心角的度数是其所对弦所夹圆周角度数的两倍，因此∠CDB = 1/2 ∠BOC = 1/2 × 54° = 27°。

4. 经过上述推理，最终得出答案是∠CDB=27°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弦; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。同理，连线OB和OC组成的角∠BOC也是圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角CDB的顶点D在圆周上，角CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角CDB是一个圆周角。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角AOC和角BOC有一条公共边OC，它们的另一边AO和OB互为反向延长线，所以角AOC和BOC互为邻补角。####"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AO = BO。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线AO绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。##"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，∠CDB是所对的弧CB的圆周角，而∠BOC是同弧CB的圆心角。因此，根据圆周角定理，∠CDB = 1/2 ∠BOC = 1/2 × 54° = 27°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2719/img_diagram.png", "question": "参照右图。如果 p \\\\parallel q，求 m \\\\angle F C E 的值。", "answer": "105", "process": "1. 已知直线p平行q，根据##平行线的平行公理2，可得∠DBF=∠ECF（同位角相等）##。

2. ##∠ECF的度数为(2x + 15)°，∠DBF##即y°。

3. 则可设##(2x + 15)## = y。同时##根据邻补角的定义和平角的定义##又知道##∠ABD和∠DBF##互补，所以##(3x - 60)## + y = 180°。

4. 由此得出两个方程：##(2x + 15)## = y 和##(3x - 60)## + y = 180°。

5. 解方程组，即首先从第一个方程中得到y=##(2x + 15)##。

6. 将y=##(2x + 15 )##代入第二个方程得出##(3x - 60) + (2x + 15) ##= 180° 。

7. 合并同类项得到5x - 45 = 180°。

8. 将45移到右边得到5x = 225 。

9. 两边同除以5得x = 45。

10. 再将x = 45代入y = ##(2x + 15)##，得出y = ##2(45) + 15 = 105°##。

##11. 最终求出∠FCE = ∠DBF= y =105°。##

####

##12##. 经过上述详细推理，最终求出答案∠FCE的度数为105°。", "elements": "平行线; 内错角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "两条平行直线p和q被一条直线AF截交，其中角DBF和角ECF位于截线AF的同旁，被截两直线p和q的同一侧，因此角DBF和角ECF是同位角。同位角相等，即角DBF等于角ECF。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线p和q被第三条直线AF所截，形成了以下几何关系：同位角：角ABD和角BCE相等，角FCE和角CBD相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角ABD和角FBD有一条公共边BD，它们的另一边AB和FB互为反向延长线，所以角ABD和FBD互为邻补角。####"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线AF绕着端点B旋转到与起始边成一条直线，形成平角ABF。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角ABF=180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2356.png", "question": "如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离是3m,则AB与CD的距离是()m．", "answer": "\\frac{9}{5}", "process": "1. ##过点P向CD作高，分别交线AB和CD与点E、F，则根据高的定义可以得出PE ⊥ AB，PF ⊥CD，则PEA=PFC=90度，又根据直角三角形的定义，三角形PEA和PFC为直角三角形##。

2. ##由图形可知，AB与CD平行，平行线的平行公理2，同位角相等，得∠PAE = \n ∠PCF##。

3. 根据##直角三角形的相似性和相似三角形的定义，△PEA和△PFC��似，有对应边成比例，即PE / PF = AE / CF##。

4. 已知AB = 2米，CD = 5米，##根据垂直平分线的定义，AE = 2/AB=1米， CF = 2/CD=2.5米，点P到CD的距离PF是3m，设点P到AB的距离为PE为x米。将数据代入上述比例式得x/3 = 1/2.5##。

5. 通过比例方程解得x =##(1/2.5)## * 3 = 6/5米。

6. ##解出x=6/5##，求得点P到AB的距离##PE##为6/5米。

7. ##依图可得##AB与CD的距离为##PF - PE =## 3 - 6/5米。

8. 经过计算得到AB与CD的距离为(15/5) - (6/5) = 9/5米。

9. 最终得出AB与CD的距离为1.8米。", "elements": "平行线; 等腰三角形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的相似性", "content": "如果两个直角三角形的一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似。", "this": "直角三角形PEA和直角三角形PFC中，角PEA和角PFC是直角（90度），并且角PEA等于角PFC，因此根据直角三角形的相似性定理，这两个直角三角形相似。也就是说，三角形PEA和三角形PFC的对应边成比例。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形PAB和三角形PCD是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠PEA = ∠PFC, ∠PAE = ∠PCF, ∠APE = ∠CPF；PE / PF = AE / CF。已知AB = 2米，CD = 5米，AE = 2/AB=1米, CF = 2/CD=2.5米，设点P到AB的距离为x米，点P到CD的距离为3米，根据相似三角形的对应边比例关系：x/3 = 1/2.5。通过计算x = (1/2.5) * 3 = 6/5米，进而确定出AB与CD之间的距离。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线PC所截，形成了以下几何关系：同位角：角PAE和角PCF相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线PC截交，其中角PAE和角PCF位于截线PC的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧，因此角PAE和角PCF是同位角。同位角相等，即角PAE等于角PCF。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点P垂直于对边CD（或其延长线）的线段PF是该顶点P的高。线段PF与边CD（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段PF是从顶点P到对边CD（或其延长线）的垂直距离。####"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线PE经过线段AB的中点PE，并且直线PE垂直于线段AB。因此，直线PE是线段AB的垂直平分线；直线PF经过线段CD的中点PF，并且直线PF垂直于线段CD。因此，直线PF是线段CD的垂直平分线。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2496.png", "question": "如图,身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度,当他站在C处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,并测得AC=2米,BC=8米,则旗杆的高度是()", "answer": "8米", "process": "1. 设旗杆的高度为h米。

2. 根据题意，小李头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，##设旗杆的顶点为E，小李的头顶交AE于点D。根据相似三角形的判定定理(AA)，∠ACD=ABE=90°，∠DAC=EAB，所以△ADC∽△ABE。

3. 依据相似三角形定义，##有AC/AB=DC/BE=AD/AE##。

4. ##已知AC=2，CB=8，AB=AC+BC=10，CD=1.6##。

5. 将已知量代入，得比值 ##(2米)/(8米+2米) = 1.6米/BE## 。

6. 化简比例式，得到：##1.6米/BE = 2米/10米##。

7. 解比例式，得：##BE = 8米##。

8. 经过上述推理，最终得出旗杆的高度为8米。", "elements": "直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ACB和三角形DCE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ACD = ∠ABE，∠ADC = ∠AEB，∠DAC = ∠EAB；AC/AB = DC/BE，即2/10 = 1.6/BE，可以推出比例式2/10 = 1.6/BE，最后求出BE = 8米。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角��相似。", "this": "在本题图中，三角形ADC和三角形ABE中，如果角ACD等于角ABE，且角DAC等于角EAB，所以三角形ADC相似于三角形ABE。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2257.png", "question": "如图,△ABC中．∠C=90°,点D是边BC上一个动点(点D不与点C重合)．以CD为直径的圆交AD于点P．若AC=6．线段BP长度的最小值是2．则AB的长为()", "answer": "2√{13}", "process": "1. 已知 CD 为直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠CPD=90°。

2. ##因为以CD为直径的圆交AD于点P，根据平角的定义，∠CPD+∠APC=180°，所以 ∠APC=180°-∠CPD=180°-90°=90°，由##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出点 P 在以 AC 为直径的圆上（记为⊙O）。

3. ##根据题目条件线段 BP 长度的最小值是 2，当B、P、O三点共线时，BP取得最小值，设 BP' = 2，则OB=OP'+BP'##。

4. ##以AC为直径的⊙O ##，AC = 6，故##半径 OA = OC = 3##。

5. ##所以根据半径的定义，OP'=3，代入等式中的OB=OP'+BP'=3+2=5##。

6. ##因为∠C=90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC和三角形OBC是直角三角形。在直角三角形 OBC 中，OC = 3，OB = 5，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），得OB?=BC?+OC?，代入数值计算得，5?=BC?+3? => BC?=5?-3?=16 => BC = √16 = 4##。

7. 在直角三角形##ABC## 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 4，##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），得AB?=BC?+AC?，代入数值得，AB?=4?+6?=52 => AB = √52 = 2√13##。

8. 经过上述推理，最终得出 AB 的长度为 2√13。", "elements": "直角三角形; 圆; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，以AC为直径的圆O中，点O是圆心，点A、C、P、P'是圆上的任意一点，线段OA、OC、OP'从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OC、OP'是圆的半径。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角C是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边BC和边AC是直角边，边AB是斜边。同理，三角形OBC中，角C是直角（90度），因此三角形OBC是一个直角三角形。边BC和边OC是直角边，边BO是斜边##。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "以CD为直径的圆中，直径CD所对的圆周角∠CPD是直角（90度），因为∠APC=90°，所以点P是在以AC为直径的圆上（记为⊙O）。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角C是直角（90度），边BC和边AC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB² = BC² + AC²。直角三角形OBC中，角C是直角（90度），边BC和边OC是直角边，边BO是斜边，所以根据勾股定理，OB² = BC² + OC²。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "AD与以CD为直径的圆交于P点，则A、P、D在一条直线上，所以∠CPD+∠APC=180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2746/img_diagram.png", "question": "求 A B。", "answer": "23", "process": "1. 已知条件为：边AB = 2x + 5，边BC = 3x - 4，边AC = 27。AB与BC的两个线段上分别有一个红色标记，这表示它们相等，##即AB=BC##。

####

##2##. 因此，我们可以得出2x + 5 = 3x - 4。

##3##. 解这个方程：将3x移至方程左侧并将常数移至方程右侧，得到2x - 3x = -4 - 5。

##4##. 简化方程，得到-x = -9，反之x = 9。

##5. 将x = 9代入边AB的表达式中，得出AB = 2x + 5 = 2*9 + 5 = 18 + 5 = 23。##

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为AB = 23。", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边BC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等��", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边BC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠BAC = ∠BCA。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3198.png", "question": "如图,点A、B、C是⊙O上三点且AB=AC,连接BO、CO,若∠ABC=65°,则∠BOC的度数是()", "answer": "100°", "process": "1. 已知AB=AC，点A、B、C是⊙O上的点，##根据等腰三角形的定义，我们知道三角形ABC为等腰三角形##。

2. ##根据等腰三角形的性质，可知∠ABC=∠ACB。又根据三角形内角和定理可得##∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。

3. 已知∠ABC = 65°，∠ACB = 65°，根据上述第2步，我们可以得到∠BAC = 180° - 65° - 65° = 50°。

4. ∠BOC为⊙O中AB和AC的对应圆心角，根据##圆周角##定理：圆周角等于对应圆心角的一半。所以，∠BOC = 2 * ∠BAC。

5. 由第3步得出，∠BAC=50°，因此∠BOC=2 * 50° = 100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠BOC的度数是100°。", "elements": "等腰三角形; 圆; 圆周角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角∠ABC、角∠ACB和角∠BAC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "∠BOC是弧BC所对应的圆心角，∠BAC是弧BC所对应的圆周角。根据圆周角定理，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。因此，∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 50° = 100°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3059.png", "question": "如图,点A、B、C是⊙O上的三点,若∠BOC=80°,则∠A的度数是()", "answer": "40°", "process": "1. 已知点A、B、C是⊙O上的三点，角BOC=80°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半，即圆心角BOC对应的圆周角BAC为其一半。

3. 由圆周角定理可知：角BAC = 1/2 * 角BOC。

4. 所以，角BAC = 1/2 * 80° = 40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆 O 中，角 BAC 的顶点 A 在圆周上，角 BAC 的两边分别与圆 O 相交于点 B 和点 C。因此，角 BAC 是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2546.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则\\cosA的值为()", "answer": "\\frac{3}{5}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，根据已知条件我们要计算边AB。

2. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：AB^2 = AC^2 + BC^2。

3. ##代入已知条件，##即：AB = √(AC^2 + BC^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

4. 由此得出斜边AB的长度为5。

5. ##根据余弦函数，∠A的余弦值等于邻边长度除以斜边长度。##

6. ##具体在本题中，cos(∠A) = 邻边AC / 斜边AB = 3 / 5。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为3/5。", "elements": "直角三角形; 余弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是∠A的邻边，边AB是斜边。 因此，根据余弦函数的定义，∠A的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(∠A) = AC / AB = 3 / 5。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角C是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2779/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "12.5", "process": "1. 已知条件为：##三角形WXY中ZT平行于XY，其中XY = 16, ZT = 10, 以及WY = 20。##

2. ##根据平行线的平行公理2，角WZT=角X，又因为角W为公用角，根据相似三角形的判定定理(AA)，三角形TZW 相似于三角形WXY。##。

3. 根据相似三角形的性质得知：####

ZT/XY = WT/WY##

4. 根据相似三角形的比例关系以及下列计算得出

10/16 = x/20

x = 10/16 * 20 = 12.5##

5. 经过上述推理,最终得出答案为12.5。##", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形WZT和三角形WXY是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠W = ∠W, ∠WZT = ∠WXY, ∠WTZ = ∠WYX；ZT/XY = WT/WY。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线ZT和XY被第三条直线WZ所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角WZT和角X相等。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线ZT和XY被一条直线WX截交，其中角WZT和角X位于截线WX的同旁，被截两直线ZT和XY的同一侧，因此角WZT和角X是同位角。同位角相等，即角WZT等于角X。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角W等于角W，且角WZT等于角X，所以三角形WZT相似于三角形WXY。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3622.png", "question": "如图,ABCD是⊙O的内接四边形,且∠ABC=115°,那么∠AOC等于()", "answer": "130°", "process": "1. 已知点A、B、C、D是⊙O的内接四边形，并且角ABC等于115°。

2. ##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，即∠ABC + ∠ADC = 180°，因此∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 115° = 65°。

3. ##弧ABC对应∠AOC和∠ADC，根据圆心角的定义，∠AOC为圆心角；根据圆周角的定义，∠ADC为圆周角。根据圆周角定理，得∠AOC = 2∠ADC。##

4. 代入已知值，得到∠AOC = 2 × 65° = 130°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为130°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 圆心角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆O上有两点A和C，弧ABC是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧ABC是圆上两点A和C之间的一段曲线。"}, {"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆⊙O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接���边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即∠ABC + ∠ADC = 180度，∠BAD + ∠BCD = 180度。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是⊙O的内接四边形，符合定理，因此∠ABC + ∠ADC = 180°。已知∠ABC = 115°，所以∠ADC = 180° - 115° = 65°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧AC与弧BD对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠AOC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠ADC的两倍，即∠AOC = 2 × ∠ADC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3176.png", "question": "如图,点AC是⊙O的直径,若∠OBC=40°,则∠AOB的度数是()", "answer": "80°", "process": "1. 已知OC=OB，由于它们是同一个圆中的两条半径，所以根据等腰三角形的性质，可以得出∠OBC=∠OCB=40°。

2. 在圆中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，而所对的圆心角是∠AOB。

3. 根据圆周角定理，圆心角等于圆周角的两倍，所以有∠AOB=2×∠OCB。

4. 由于在步骤1中得出∠OCB=40°，因此∠AOB=2×40°=80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "点A和点C是圆O上的两个点，线段AC通过圆心O，因此AC是⊙O的直径。根据直径的定义，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点C和点B是圆上的任意一点，线段OC和线段OB是从圆心O到圆上任意一点的线段，因此线段OC和线段OB是圆O的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OBC中，边OC和边OB相等，它们是同一个圆的半径，因此三角形OBC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "弧AB所对的圆周角是∠ACB，而所对的圆心角是∠AOB。根据圆周角定理，∠AOB等于它所对的弧AB所对应的圆周角∠ACB的两倍，即∠AOB = 2×∠ACB。##"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2794/img_diagram.png", "question": "对于一对相似图形，使用给定的面积求从蓝色图形到绿色图形的比例因子。", "answer": "\\frac { 1 } { 2 }", "process": "1. ##已知蓝色图形和绿色图形为相似图形，且蓝色图形的面积为8平方英寸，绿色图形的面积为32平方英寸。##

2. ##根据相似多边形的��积比等于相似比的平方定理，可得 (S1/S2) = (l1/l2)^2，##其中S1和S2分别为两个相似图形的面积，l1和l2分别为两个相似图形的对应边长。

3. 把已知的面积代入面积比公式得：8/32 = (4/x)^2。

4. 计算得：1/4 = (4/x)^2。

5. 解方程：(4/x)^2 = 1/4，两边开平方后得：4/x = 1/2。

6. 解方程：4/x = 1/2，两端相乘得：2*4 = x，即x = 8。

7. 推导出x = 8，所以从蓝色图形到绿色图形的对应边长的##比例因子##为4/8 = 1/2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为从蓝色图形到绿色图形的##比例因子##是1/2。", "elements": "位似; 矩形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似多边形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "蓝色图形和绿色图形为相似图形，蓝色图形的面积为8平方英寸，绿色图形的面积为32平方英寸，蓝色图形的边长为4英寸，对应绿色图形的边长为x英寸，因此可得 8/32 = (4/x)^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2482/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "4 \\sqrt { 2 }", "process": "1. ##设三角形的三个顶点为A、B、C，已知∠ABC=90°，根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形。根据三角形内角和定理，已知∠BAC=45°，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-90°-45°=45°##。

2. ##在直角三角形ABC中，因为∠BAC=∠ACB=45°，这说明这个三角形是一个45°-45°-90°的特殊直角三角形##，为等腰直角三角形##。

3. 根据##45°-45°-90°三角形的性质##，两个直角边长度相等，斜边则是直角边长度的√2倍。

4. ##在这个三角形中，BC的长度为4，根据##等腰直角三角形的定义##，AB的长度也是4##。

5. ##斜边AC的长度根据45°-45°-90°三角形的性质为AC=BC*√2=4 × √2，即x=4√2##。

6. 经过以上推理，最终得出答案为4√2。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中有一个角是直角（90度），因此这个三角形是一个直角三角形。已知其中一条直角边的长度为4。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是等腰直角三角形，其中角ABC是直角（90度），边AB和边BC是相等的直角边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ABC、角BAC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BAC + 角BCA = 180°。####"}, {"name": "45°-45°-90°三角形的性质", "content": "在45°-45°-90°三角形中，两个45度角所对的边相等，且斜边是任意一条直角边的√2倍。", "this": "在本题图中，45°-45°-90°三角形ABC中，角BAC是45度，角BCA是45度，角ABC是90度。边AC是斜边，边AB和边BC是两个45度角所对的直角边。根据45°-45°-90°三角形的性质，边AB等于边BC的长度，边AC等于边BC的√2倍。即：AB = BC，AC = BC * √2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2642/img_diagram.png", "question": "求 x。必要时四舍五入到十分位。假设看起来相切的线段是相切的。", "answer": "2", "process": "1. ##设圆内两条相交的弦分别为AB和CD，AB和CD相交的点为点E。已知圆内有弦AB和弦CD相交于点E，根据相交弦定理，可以得到AE * EB = CE * ED##。

2. ##已知AE=5，EB=4，CE=x，ED=x + 8，因此代入AE * EB = CE * ED得，5 * 4 = x * (x + 8)。将公式展开，得 20 = x^2 + 8x##。

3. ##把上述方程转化为## x^2 + 8x - 20 = 0 进行因式分解，得到 (x + 10)(x - 2) = 0。

4. 因此，我们可以得到两个根，x = -10 或 x = 2。

5. 由于几何图形中的长度不能为负数，因此舍去 x = -10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 2。", "elements": "圆; 弦; 切线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆的弦；点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆的弦。"}, {"name": "相交弦定理", "content": "若两条弦AB和CD相交于点E，则有AE * EB = CE * ED。", "this": "圆内两条弦AB和CD相交于点E，弦AB被点E分成两段AE和EB，弦CD被点E分成两段CE和ED，根据相交弦定理，可以得出AE段的长度乘以EB段的长度等于CE段的长度乘以ED段的长度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2502/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 4。", "answer": "33", "process": "1. 已知条件为：一个角为123度的外角，根据三角形的外角定理，外角等于它所不相邻的##两个内角##之和。

2. ##设三角形为BCD，90度的直角为∠B，角123°为∠CDE##。

3. 根据##三角形的外角定理，得出∠CDE =∠B + ∠4## = 123°。

####

##4. 因为∠B=90°，那么得方程式：90° + ∠4 = 123°##。

##5##. 通过代数运算，得出##∠4## = 123° - 90° = 33°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案##m \\angle 4即∠4的度数为33°##。", "elements": "直角三角形; 三角形的外角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形BCD的一个内角为∠BDC，延长该内角的相邻边BD和CD形成的角123°称为内角∠BDC的外角。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "三角形的123度外角等于与其不相邻的两个内角之和。设三角形90度的直角为∠B，123度的外角为∠D，那么∠D=∠B + ∠4，即123° = 90°+ ∠4。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2523/img_diagram.png", "question": "这对多边形是相似的。求 x。", "answer": "6", "process": "1. 已知条件：##这对多边形是相似的，根据##相似图形的定义,相似图形的对应边的比相等##。

2. ##因此 AG/AD = AE/AB##。

3. 已知 ##DG## = 7.5, AD = x, ##EB## = 5##，AB=X-2。##

4. ####则有 ##(AD+DG)/AD = (AB+BE)/AB，代入得(7.5+x)/x = (x-2+5)/(x-2)##，结合相似性比例，我们得到相似比例方程。

5. 通过交叉相乘解方程：##(7.5+x)*(x-2)=x*(x+3)##。

6. 展开方程：##x^2+3x=7.5x-15+x^2-2x##。

7. 将 7.5x##，x^2和-2x## 移向方程左侧：5x - 7.5x = -15。

8. 化简方程：-2.5x = -15。

9. 两边同时除以 -2.5：x = -15 / -2.5。

10. 得到 x 的解：x = 6。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 6。", "elements": "矩形; 位似; 平行线; 线段; 普通多边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "在本题图中，图形 EFGA 和图形 ABCD 是相似图形。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即边 AG 与边 AD 的比等于边 AE 与边 AB 的比，即 AG/AD = AE/AB。同时，它们对应的角也相等，即 ∠AEF= ∠ABC，∠EFG = ∠BCD，∠AGF = ∠ADC，∠EAG = ∠BAD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2411/img_diagram.png", "question": "求阴影部分的面积。四舍五入到十分位。", "answer": "157.1", "process": "1. 观察图形，发现这是一个直径为20的大圆，其中包含两个半径相同的小圆，且小圆与水平直径切于同一个点。

2. 根据题目条件，大圆的直径为20，因此大圆的半径为20/2 = 10。

3. 将直径20分成两部分，每部分为小圆的直径，从图中信息推测出，每个小圆的直径为10。因此，小圆的半径为10/2 = 5。

4. 大圆的面积公式为A = \\pi \\times r^2，因此大圆的面积为 A_大 = \\pi \\times 10^2 = 100\\pi。

5. 每个小圆的面积公式同理可得 A_小 = \\pi \\times 5^2 = 25\\pi。由于该图中有两个小圆，因此两个小圆的总面积为 50\\pi。

6. 阴影部分（环状区域）的面积为大圆的面积减去两个小圆的面积，因此环状区域的面积为100\\pi - 50\\pi = 50\\pi。

7. 使用 \\pi \\approx 3.14159，可得环状区域的面积为 50 \\times 3.14159 = 157.0795。根据题意要求，最终将结果四舍五入到小数点后一位。

8. 经过计算和四舍五入，环状区域的面积为 157.1（近似到小数点后一位）。", "elements": "圆; 扇形; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，大圆中，圆心是大圆的中心点，圆上的任意一点是大圆周上的任意一点，线段从##圆心##到圆周上的任意一点的距离是大圆的半径，因此大圆的半径为10（由大圆的直径20得出，20/2=10）。每个小圆中，圆心是小圆的中心点，圆上的任意一点是小圆周上的任意一点，线段从圆心到圆周上的任意一点的距离是小圆的半径，因此每个小圆的半径为5（由小圆的直径10得出，10/2=5）。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "大圆的直径为20，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即20 = 2 * 10。每个小圆的直径为10，连接了小圆的圆心和圆周上的两点，长度为2倍的小圆的半径，即10 = 2 * 5。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "在本题图中，大圆的半径是10，小圆的半径是5。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径的平方。大圆的面积A_大 = π ×10^2= 100π，小圆的面积A_小 = π ×5^2 = 25π。"}, {"name": "两圆相切的定义", "content": "两圆相切是指两圆有一个公共切点且其切线重合。", "this": "上下两个小圆与大圆均相切于一个公共点，这意味着每个小圆的圆周与大圆的圆周在这一个公共点处相切。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2693/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "5", "process": "1. 已知条件为一个直角三角形，##斜边为10，其中一个角为60°，根据三角形内角和定理可得另外一个角为30°##。

2. 在直角三角形中，##根据30°-60°-90°三角形的性质，可知30°所对的边是斜边的一半，即x=10/2=5##

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为5.", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边x和边y是直角边，边10是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°", "this": "三角形中，三个角是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，三角和为180°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍", "this": "在本题图中，三角形中，三个角分别为30°-60°-90°。边10是斜边，边x是30度角所对的边，边y是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边x等于边10的一半，边y等于边x的√3倍。即：x= 1/2 * 10，y= x * √3。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2579/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。", "answer": "552", "process": "1. 在题目中提供的图形为平行四边形，其一边长为23英尺，##该边上的高为24英尺##。

2. ##根据平行四边形的面积公式，##知道平行四边形的面积的计算公式为：面积 = 底边 * 高。

3. 因此，根据##平行四边形的面积公式##，可以得出平行四边形的面积为23英尺 * 24英尺 = 552平方英尺。

4. 由此推断出平行四边形的面积为552平方英尺。", "elements": "平行四边形; 平行线; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "底边长为23英尺，对应的高是从底边到对边的垂直距离，为24英尺。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长乘以对应的高，即A = 23英尺 × 24英尺 = 552平方英尺。"}, {"name": "平行四边形的高", "content": "平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。", "this": "平行四边形ABCD中，边AB和边CD是平行的。顶点A到对边CD的垂直距离是平行四边形的高。具体来说，从顶点A作一条垂直于边CD的线段，该线段的长度即为平行四边形的高。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2718/img_diagram.png", "question": "求 \\\\angle 1 的度数。", "answer": "65", "process": "####

##1. 由图中在EG和DG两条线的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直，所以∠EGD为直角，即∠EGD=90°。在三角形DEG中，已知∠EGD=90°，∠E=25°##。

##2##. 根据三角形内角和定理，##任意三角形的三个内角的和为180°，所以∠E+∠1+∠EGD=180°。已知∠EGD=90°，∠E=25°，所以∠1=180°-∠E-∠EGD=180°-90°-25°=65°##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为∠1=65°。", "elements": "直角三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形EGD是由三个非共线点E、G、D及其连接线段EG、ED、DG组成的几何图形。点E、G、D分别是三角形的三个顶点，线段EG、ED、DG分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形EDG中，角GED、角EGD和角EDG是三角形EFG的三个内角，根据三角形内角和定理，角GED + 角EGD + 角EDG = 180°。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线DG和直线EF相交形成的角∠DGE是90度，因此根据垂线定义，直线DG和直线EF互相垂直。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2455/img_diagram.png", "question": "求图形的周长。四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "19.5", "process": "1. 已知条件为圆的直径为6.2厘米。

2. 根据圆周长的公式C = π * d，其中C表示圆周长，d表示直径，π一般取值为3.14。

3. 代入已知条件，得到圆的周长C = 3.14 * 6.2。

4. 计算得C = 19.468，四舍五入到小数点后一位，即得出答案为19.5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为19.5厘米。", "elements": "圆; 弧; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，设圆心为O，经过圆心的线段交圆周于A、B两点，则AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2AO。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "在本题图中，圆的直径d为6.2厘米。根据圆的周长公式C =2πr= π * d，其中C表示圆周长，d表示直径。将直径代入公式，得到圆的周长C = 3.14 * 6.2。通过计算得到了具体的圆的周长为19.468厘米，进一步四舍五入到小数点后一位，最终得出答案为19.5厘米。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2799/img_diagram.png", "question": "弦 A C 和 D F 到圆心的距离相等。如果 \\\\odot G 的半径是 26，求 A C。", "answer": "48", "process": "1. 已知圆中心为G，半径GA=26，####由图知GE = 10 和 GB = 10。##因为弦 A C 和 D F 到圆心的距离相等，所以GB=GE=10。并且根据点到直线的距离可得：BG⊥AC，GE⊥DF。##

##2. 根据垂径定理，得AB=BC=?AC。 在△ABG中，∠ABG=90°，根据直角三角形的定义，△ABG为直角三角形，根据勾股定理，AG?=GB?+AB?。##

##3. 因为GA=26，GB=10，代入算式中得 26?=10?+AB?。进一步解方程可得AB?= 26?-10?=>AB=√(26?-10?)= √(676 - 100) = √576 = 24。##

##4. 因为AB=?AC，所以AC=2AB=2*24=48。##

5. 经过上述推理，####最终得出弦AC的长度为48。", "elements": "圆; 弦; 对称; 垂直平分线; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆G中，点G是圆心，点A和点D是圆上的任意两点，线段GA和GD是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段GA和GD是圆的半径。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆G中，过圆心G作GB⊥AC于B点，作GE⊥DF于E点，那么根据垂径定理，GB平分弦AC，即AB=BC。"}, {"name": "点到直线的距离", "content": "点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离", "this": "在本题图中，点 G 是直线 AC 外的一点，作点 G 到直线 AC 的垂线段 GB。根据点到直线距离的定义，垂线段 GB 的长度是点 G 到直线 AC 的最短距离，即 d=GB。点 G 是直线 DF 外的一点，作点 G 到直线 DF 的垂线段 GE。根据点到直线距离的定义，垂线段 GE 的长度是点 G 到直线 DF 的最短距离，即 d=GE。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "GB⊥AC得∠ABG=90°，所以△ABG是直角三角形，AB和BG是直角边，AG是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABG中，∠ABG=90°，AB和BG是直角边，AG是斜边，所以根据勾股定理，AG²=BG²+AB²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2823/img_diagram.png", "question": "线段与圆相切。求x。四舍五入到十分位。", "answer": "8.5", "process": "1. 已知条件为##线段 VU## 为圆的切线，圆心为点 T，##切点为U##，TV = 11。根据##圆的切线性质，圆的半径UT⊥VU##。

2. ##根据直角三角形的定义可得：三角形UVT是一个直角三角形##，根据勾股定理（直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方和），适用于直角三角形 UVT，因此 VU^2 = VT^2 ##-## UT^2。

3. 已知 UV = 7，VT = 11，设 UT = x。代入勾股定理公式：7^2 = 11^2 ##-## x^2，这可以转化为等式：49 = 121 ##-## x^2。

4. 将等式简化并解出平方根：49 = 121 ##-## x^2 => x^2 = ##121-49## => x^2 = ##72## => x =##√72##≈ 8.485。

5. 经过上述推理，####答案四舍五入为一位小数即为 8.5。", "elements": "切线; 直角三角形; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆与##线段 VU##有且只有一个##公共点 U##，这个公共点叫做切点。因此，##线段 VU##是圆的切线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形 VUT 中，角 ∠VUT 是直角（90度），因此三角形 VUT 是一个直角三角形。边 VU和边 UT 是直角边，边 VT 是斜边。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "点U是直线VU与圆的切点，线段TU是圆的半径。根据圆的切线性质，切线VU与经过切点U的半径TU垂直，即∠VUT=90度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "三角形 VUT 是直角三角形，∠VUT 是直角（90度），边 UT 和 边 VU 是直角边，边 VT 是斜边，所以根据勾股定理，VT^2= UT^2 + VU^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2961/img_diagram.png", "question": "求 J L。", "answer": "14", "process": "1. 题目给出的条件为三角形 JKL 中的三条边，分别为## JL = x + 12 、 KL = 11x - 8 、以及 JK = 7x## 。

2.## 根据边的相等关系，有：JK=JL=KL，即 x + 12 = 11x - 8 = 7x。##

3. ##解方程，得到x =2##

4. ##所以JL= x +12 =14##。

####

##5##. 最终得出答案，边 JL 的长度为 14。", "elements": "等腰三角形; 线段; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形 JKL是由三个非共线点 J、K、L及其连接线段 JK、KL、JL组成的几何图形。点 J、K、L分别是三角形的三个顶点，线段 JK、KL、JL分别是三角形的三条边。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形JKL是一个等边三角形。边JK、边KL和边JL的长度相等，均为14，并且角JKL、角KLJ和角LJK的度数相等，均为60°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2868/img_diagram.png", "question": "求解 x。", "answer": "9.6", "process": "1. 已知图中有一个大三角形和一个小三角形，##设大三角形的顶点分别为A、B、C，设小三角形的顶点分别为A、D、E##。

2. ##由图可得，角A为大三角形ABC和小三角形ADE的公共角，即∠DAE=∠BAC，DE平行于BC，根据平行线的平行公理2，同位角相等，∠ADE=∠ABC##。

3.##依上一步可得，∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠ABC，根据相似三角形的判定定理(AA)，大三角形ABC与小三角形ADE相似##。

4. ##根据相似三角形的定义，三角形相似时，对应边成比例，即AD/AB=AE/AC##。

5. ##由图可知，AD=x，AB=4+x，AE=12，AC=12+5，代入比例式���：x/4+x=12/12+5##。

6. ##交叉相乘得到（4+x） * 12 = 17 * x，化简得48+12x=17x，整理得5x=48，x=9.6##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为9.6。", "elements": "普通三角形; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "大三角形和小三角形相似。根据相似三角形的定义，有：大三角形和小三角形有一个公共角，且大三角形的两个角分别等于小三角形的两个角。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即AD/AB=AE/AC。##"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "角DAE等于角BAC，且角ADE等于角ABC，所以三角形ABC相似于三角形ADE。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：角ADE和角ABC相等。####"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角ADE和角ABC是同位角。同位角相等，即角ADE等于角ABC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2991/img_diagram.png", "question": "m \\angle B A C = 38, B C = 5, 和 D C = 5, 求 m \\angle D A C.", "answer": "38", "process": "1. ##已知条件为∠BAC=38°，根据题目图示以及定义，∠ABC和∠ADC均为直角，即∠ABC=90°，∠ADC=90°##。

2. 在△ABC中，已知边BC=5，角∠ABC=90°，##根据直角三角形的定义，△ABC是直角三角形。BC和AB是直角边，AC是斜边##。

3. 同理在△ADC中，已知边DC=5，##角∠ADC=90°，根据直角三角形的定义，△ADC是直角三角形。DC和AD为直角边，AC为斜边##。

4. ##根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），因为BC=DC=5，AC=AC，所以直角三角形ABC?直角三角形ADC##。

5. ##根据全等三角形的定义，∠DAC=∠BAC。由此可知，∠DAC=38°##。

6. 经以上步骤推理，最终的##∠DAC##等于38°。", "elements": "普通三角形; 等腰三角形; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、AC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、AC分别是三角形的三条边。三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AD、DC、AC组成的几何图形。点A、D、C分别是三角形的三个顶点，线段AD、DC、AC分别是三角形的三条边。##"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角∠ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。同理，三角形ADC中，角∠ADC是直角（90度），因此三角形ADC是一个直角三角形。边AD和边DC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "在本题图中，直角三角形ABC和直角三角形ADC中，假设角ABC和角ADC都是直角（90度）。如果边AC等于边AC（斜边），并且边DC等于边BC（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形ABC和ADC全等。####name:全等三角形的定义content:两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形ADC是全等三角形，三角形ABC的对应边和对应角与三角形ADC相等，即：\n边AB = 边AD，\n边BC = 边CD，\n边AC = 边AC，\n同时，对应的角也相等：\n角ABC = 角ADC,\n角ACB = 角ACD,\n角DAC = 角BAC。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/041.png", "question": "如果 x = 32 且 r = 18，图中所示弧的长度是多少？", "answer": "16*\\pi/5", "process": "1. 已知条件为角度x = 32和半径r = 18，##设圆���为O，图中上面的半径与圆交于A点，下面的半径与圆交于B点。根据扇形的弧长公式，弧长L = θ * r（θ以弧度制表示）##开始计算弧长。

2. ##依据角度与弧度的换算公式，将32度转换为弧度为32 * π / 180 = 16π / 90，和半径r = 18一起代入公式：L = (16π / 90) * 18##。

####

##3##. 经过上述计算，弧长的长度为(16/5)π。

##4##. 最终得出答案为16π/5。", "elements": "弧; 圆; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，扇形中，圆心角为x = 32度，半径为r = 18。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r，即L = θ * r。将32度转换为弧度为32 * π / 180 = 16π / 90，代入公式L = (16π / 90) * 18。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆中，点O是圆心，半径为18。图中所有到点O的距离等于18的点都在圆上。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆上有两点A和B，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形", "this": "在本题图中，扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）", "this": "在本题图中，圆O中，∠AOB=32°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即32°*（π/180）##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2843/img_diagram.png", "question": "\\triangle L M N \\cong \\triangle Q R S。求 x。", "answer": "5", "process": "1. ##已知条件为△L M N ? △Q R S，根据全等三角形的定义，对应角相等，对应边相等，可以得到LN=SQ，因此有 3x + 5 = 2x + 10##。

####

##2##. 解方程 3x + 5 = 2x + 10，得到：x = 5。

##3##. 经过以上推理，最终得出答案为 x = 5。", "elements": "普通三角形; 对称; 平移", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "△LMN ≌ △QRS，根据全等三角形的性质，可知：∠LNM = ∠QSR，∠LMN = ∠QRS，∠MLN = ∠RQS，并且对应边相等，即：边LN = 边QS，边LM = 边QR，边MN = 边RS。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2443/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 1.", "answer": "108", "process": "##1. 在△RQP中，利用三角形内角和定理，得到 ∠RQP + ∠QPR + ∠PRQ = 180°。##

2. 根据题目中的已知条件，##∠PQR = 90° ，此外还知道 ∠QRP = 33°##。

3. 代入上述已知条件到内角和公式：##90° + ∠QPR + 33°= 180°##。

4. 化简方程可以求得 ##∠QPR = 180° - 90° - 33° = 57°##。

##5. △QPS中，∠PQS=51°，∠QPS=57°，根据三角形内角和定理，得到 ∠QSP =180° -∠SQP + ∠QPS=180°-57°-51°=72° 。##

##6. 根据邻补角的定义，∠1=∠QSR，可得∠1为∠QSP的邻补角，∠1=180°-∠QSP=180°-72°=108°。##

##7. 根据上面步骤得到的信息，最后得出 ∠1 = 108°。##

####
", "elements": "直角三角形; 三角形的外角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在三角形RQP中，角RQP、角QPR和角PRQ 是三角形RQP的三个内角，根据三角形内角和定理，角RQP + 角QPR + 角PRQ = 180°。在三角形PQS中，角PQS、角QPS和角PSQ是三角形PQS的三个内角，根据三角形内角和定理，角PQS + 角QPS + 角PSQ = 180°。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角QSP和角QSR有一条公共边QS，它们的另一边PS和RS互为反向延长线，所以角QSP和QSR互为邻补角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/196.png", "question": "如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为()", "answer": "25°", "process": "1.已知∠BOC=50°，根据##圆周角定理，我们知道圆周角是等于它的弧所对应的圆心角的一半，并即∠BAC = 1/2∠BOC## =25°。

2. 根据题中已知弦AC平行于半径OB，##根据平行线的平行公理2，内错角相等。得∠BAC=∠OBA=25°。##

3. ##因为OA和OB都是圆O的半径，所以三角形AOB是等腰三角形。##

4. 根据步骤1和步骤2，我们知道∠OBA=25°，故∠OAB=25°。

##5##. 经过上述推理，最终得出的答案为25°。", "elements": "圆; 弧; 圆心角; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC=50°，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC = 25°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "弦AC平行于半径OB，形成了以下几何关系：1. 内错角：∠BAC和∠OBAC相等，即∠BAC=∠OBA=25°。根据平行线的平行公理2，如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBA = ∠OAB。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2401/img_diagram.png", "question": "求图形的面积。", "answer": "60", "process": "1. 已知题目中三角形的两条腰长为13，且底边的长度为10。##根据等腰三角形的定义，题目中的三角形为等腰三角形##。

2. ##我们从顶点向底边作高线，设此高线为线段AD，底边为BC，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理，线段AD垂直平分底边BC，已知BC=10，即BD=5##。

3. ##因高线AD垂直平分底边BC，则角ADB为90度。根据直角三角形的定义，三角形ABD为直角三角形##。在直角三角形ABD中，利用勾股定理，即##c? = a? + b?##，其中c为斜边AB，a为BD，b为AD。

4. 根据题意，AB = 13，BD = 5，代入即得到##13? = 5? + AD?##。求解， 169 = 25 + ##AD?##。

5. 即##AD?## = 144， 由此可得AD = ##√144 ##= 12。

6. 三角形的面积公式: Area = 1/2 * base * height，根据已知条件代入即 Area = 1/2 * 10 * 12。

7. 经计算，面积为60。

##8.##经过上述推理，最终得出答案为60。", "elements": "等腰三角形; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "线段AD是一个直线的一部分，包含端点A和端点D及其间的所有点。线段AD具有两个端点，这两个端点分别是A和D，且线段AD上的每一个点都位于端点A和端点D之间。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边。同理，三角形ACD中，角ADC是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形。边AD和边CD是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABD中，∠ADB是直角（90度），边BD和AD是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB? = BD? + AD?。"}, {"name": "等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理", "content": "等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，顶角为∠BAC，底边为边BC。顶角的角平分线AD不仅平分顶角∠BAC，还平分底边BC，使得BD = DC = 5，并且垂直于底边BC，即形成直角∠ADB（90度）。因此，线段AD既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。", "this": "三角形ABC中，边BC是底，线段AD是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边BC乘以高AD再除以2，即面积 = (10 * 12) / 2。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，顶点A是三角形的一个顶点，对边BC是与顶点A相对的边。点D是边BC的中点，线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段，因此AD是三角形ABC的一条中线。####"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AD是该顶点A的高。线段AD与边BC（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段AD是从顶点A到对边BC（或其延长线）的垂直距离。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1858.png", "question": "如图,已知⊙O的半径为5,弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,且∠AOB与∠COD互补,弦CD=8,则弦AB的长为()", "answer": "6", "process": "1. 已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，且∠AOB与∠COD互补。

2. ##反向延长AO交⊙O于点E##，连接BE。

3. 由∠AOB与∠COD互补，得到∠AOB + ∠COD = 180°。根据平角的定义，##平角AOE为180°。根据邻补角的定义，∠AOB+EOB=180°。

4. ##因为∠AOB+EOB=180°，∠AOB + ∠COD = 180°，所以∠BOE = ∠COD##。

5. ##根据全等三角形判定定理(SAS)，OD=OE，OC=OB，∠BOE = ∠COD，所以△OCD?△OBE。根据全等三角形的定义，CD=BE=8##。

6. ##根据圆周角的定义和(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，∠ABE=90°。根据直角三角形的定义，三角形ABE为直角三角形##。

7. ##在直角三角形ABE中##，利用勾股定理可以得到AB的长度。

8. 勾股定理为##a^2 + b^2 = c^2##，其中a和b是直角边，c是斜边。在此题中，AE是斜边，AB和BE是直角边。

9. ##代入已知条件，AE为直径，所以AE=10，得到AB = √(AE^2 - BE^2) = √(10^2 - 8^2) = √(100 - 64) = √36 = 6##。

10. 经过上述推理，最终得出答案为弦AB的长为6。", "elements": "圆; 弦; 圆心角; 邻补角; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，半径为5。图中所有到点O的距离等于5的点都在圆⊙O上。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。同样，点C和点D是圆上的两点，连线OC和OD组成的角∠COD称为圆心角。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆O的弦。同理，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD也是圆O的弦。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AE是直径，连接了圆心O和圆周上的A、E两点，长度为2倍的半径，即AE = 2 * 5=10。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABE中，角∠ABE是直角（90度），因此三角形ABE是一个直角三角形。边AB和边BE是直角边，边AE是斜边。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线AO绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOE。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOE=180度。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "角AOB和角BOE有一条公共边OB，它们的另一边AO和OE互为反向延长线，所以角AOB和BOE互为邻补角。####"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。", "this": "边OD与边OE相等，边CO与边BO相等，且夹角DOC与夹角BOE相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AE所对的圆周角∠ABE是直角（90度）。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，△ABE是直角三角形，∠ABE是直角（90度），边AB和BE是直角边，边AE是斜边，所以根据勾股定理，AE^2 = AB^2 + BE^2。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形DOC和三角形BOE是全等三角形，三角形DOC的对应边和对应角与三角BOE相等，即： 边OD = 边OE 边OC = 边OB 边BD = 边CE，同时，对应的角也相等： 角DOC = 角BOE 角ODC= 角OEB 角OCE = 角OBE.##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2917/img_diagram.png", "question": "求 T Q。", "answer": "12", "process": "1. ##已知RS = 7，ST = 7，因此RS = ST，S为RT中点。且QS⊥QT，交点为RT中点S，所以依据垂直平分线的定义可知，QS是QT的垂直平分线。##

2.##因为Q点在QS上，由垂直平分线的性质可知，QR＝QT##

3.##所以有x+3＝2x-6，整理后得到x等于9##

4.##将x＝9带入2x-6，得到QT＝12##

####", "elements": "等腰三角形; 垂线; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段RT的中点为点S。根据线段中点的定义，点S将线段RT平分为两个相等的部分，即线段RS和线段ST的长度相等。即，RS = ST。####"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线", "this": "直线QS经过线段RT的中点S，并且直线QS垂直于线段RT。因此，直线QS是线段RT的垂直平分线。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等", "this": "在本题图中，线段RT的垂直平分线为直线QS，点Q在直线QS上。根据垂直平分线的性质，点Q到线段RT两端点R和T的距离相等，即QR = QT##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2888/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "8", "process": "1.##设左边三角形两侧斜边的夹角为A，单弧标志的角为B，双弧标志的角为C，底边BC的中点为D。设右边三角形两侧斜边的夹角为X，单弧标志的角为Y，双弧标志的角为Z，底边YZ的中点为W。##

2. ##由图可得BC=12，AD=x，YZ=15，XW=10，角ABC=角XYZ，角ACB=角XZY，且BD=CD=1/2 BC，YW=ZW=1/2 YZ。所以根据相似三角形的判定定理(AA)得：三角形ABC~三角形XYZ。##

3.##依据相似三角形的定义��BC/YZ = AD/XW。##

4. 把对应的数据代入相似三角形的公式，12/15 = x/10。

5. 解以上比例式以求解x：12/15 = x/10。

6. 通过交叉相乘得到：12 * 10 = 15 * x。

7. 将得到的式子化简：120 = 15x。

8. 两边除以15计算出x：x = 120/15。

9. 对算式进行计算，得到x = 8。

10. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形XYZ是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ABC = 角XYZ, 角ACB = 角XZY, 角BAC = 角YXZ；AB/XY = BC/YZ = AD/XW。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角ABC等于角XYZ，且角ACB等于角XZY，所以三角形ABC相似于三角形XYZ。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2497/img_diagram.png", "question": "在H中，直径为18，L M = 12，且m \\widehat L M = 84。求H P。结果保留到小数点后两位。", "answer": "6.71", "process": "1. ##已知条件为: 圆的直径为 18，则半径为9。连接HL，可知HL符合半径定义，HL为圆H的半径且为9，JK为圆H的直径且为18。##

2.##已知LM为圆H上的弦，直径JK垂直LM，由垂径定理可知，JK垂直平分LM，即∠LPH=90°，LP=PM＝1/2 * LM，已知LM＝12，所以LP=1/2 * 12=6。##

3.##在三角形LHP中，∠LPH为90°，根据直角三角形的定义，所以该三角形是直角三角形。##

4.##在直角三角形LHP中，由勾股定理可知：LH^2＝LP^2＋HP^2，将LH＝9，LP＝6带入整理，可得HP＝√（LH^2-LP^2）=√（9^2-6^2）＝3√5。##

5.##取√5近似值为2.236，结果为6.708，结果保留到小数点后两位，四舍五入得6.71。##

6.##经过上述推理，最终得出答案为 H P 的长度为 6.71 (四舍五入至小数点后两位)。##

####", "elements": "圆; 垂线; 直角三角形; 圆周角; 弧", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆H中，点H是圆心，半径为9。图中所有到点H的距离等于9的点都在圆H上。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，线段 J K 是直径，连接了圆心 H 和圆周上的 J、K 两点，长度为 2 倍的半径，即J K = 18。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆H中，点H是圆心，点J和K是圆上的任意一点，线段HJ和HK是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段HJ和HK是圆的半径，且其长度为18/2 = 9。点L是圆上的任意一点，线段HL是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段HL是圆的半径，且其长度为18/2 = 9。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形 LHP 中，角 LPH 是直角（90度），边 PL 和 PH 是直角边，边 LH 是斜边，所以根据勾股定理，LH^2＝LP^2＋HP^2。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段", "this": "在本题图中，圆H中，点L和点M是圆上的任意两点，线段LM连接了这两个点，所以线段LM是圆H的弦。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "在本题图中，三角形LHP中，角LPH是直角（90度），因此三角形LHP是一个直角三角形。边LP和边HP是直角边，边LH是斜边。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "圆H中，直径JK垂直于弦LM，那么根据垂径定理，直径JK平分弦LM，即LP=PM，并且直径JK平分弦LM所对的两条弧，即弧LK=弧KM。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/037.png", "question": "在上图的三角形中，斜边的长度是多少？\na. √11\nb. 8\nc. √65\nd. 11\ne. 65", "answer": "\\sqrt{65}", "process": "1. 已知三角形为直角三角形，直角边分别为7和4，根据勾股定理，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有公式：##c?= a? + b?##。

2. 将���知条件代入勾股定理公式中：a = 7，b = 4，则##c? = 7? + 4?##。

3. 计算公式中的各项：##7? #= 49，##4?##= 16，所以##c?## = 49 + 16 = 65。

4. 求出c的值：c = √65。

5. 经过上述推理，最终得出答案为√65。", "elements": "直角三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形的一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边长为7和4的线段是直角边，斜边是长度为√65的线段。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，直角边分别为7和4，斜边为c，所以根据勾股定理，##c? = 7? + 4?##= 49 + 16 = 65，因此c = √65。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2471/img_diagram.png", "question": "求梯形的面积。", "answer": "678.5", "process": "1. 已知梯形的上边为22英尺，下边为37英尺，高为23英尺。根据梯形面积公式，面积等于1/2乘以上底加下底再乘以高。

2. 套入数据：面积 = 1/2 * (22英尺 + 37英尺) * 23英尺。

3. 计算括号内的和：22英尺 + 37英尺 = 59英尺。

4. 将上述结果代入公式：面积 = 1/2 * 59英尺 * 23英尺。

5. 计算59乘以23，结果为1357。

6. 再除以2，得到梯形的面积：1357/2 = 678.5。

7. 因此，梯形的面积为678.5平方英尺。", "elements": "梯形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "梯形的上底为22英尺，表示平行的上边，下底为37英尺，表示平行的下边。根据梯形的定义，梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从上底22英尺的一点垂直于下底37英尺的线段23英尺是该梯形的高。线段23英尺与下底37英尺形成一个直角（90度），这说明线段23英尺是从上底22英尺到下底37英尺的垂直距离。"}, {"name": "梯形面积公式", "content": "给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。", "this": "梯形的上底为22英尺，下底为37英尺，高为23英尺，所以梯形的面积为(22英尺 + 37英尺) * 23英尺 / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2303.png", "question": "如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD,CD⊥BD．且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米．那么该古城墙CD的高度是()", "answer": "8米", "process": "1. 已知光线从点A出发经平面镜P反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，根据##反射定律，光线在反射时，入射角等于反射角##，得出∠APB=∠CPD。

2. 已知AB⊥BD，CD⊥BD，即∠ABD=∠CDB=90°，推得∠ABP=∠CDP。

3. ##相似三角形的判定定理(AA)##，由∠APB=∠CPD 和 ∠ABP=∠CDP 得 ##三角形ABP ∽ 三角形CDP##。

4. 根据##相似三角形的定义##，相似三角形的对应边成比例，得出 ##AB/CD=BP/PD##。

5. 根据题目已知条件 AB=1.4米, BP=2.1米, PD=12米，代入比例关系式## 1.4/CD=2.1/12##。

6. 解比例方程得 CD=8米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为8米。", "elements": "反射; 直角三角形; 垂线; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "反射定律", "content": "光线在反射时，入射角等于反射角，且反射光线位于法线和入射光线所在平面的同一侧。", "this": "光线从点A射向反射面P，在点P发生反射。入射角∠APB是光线AP与法线之间的夹角，反射角∠CPD是反射光线PC与法线之间的夹角。根据反射定律，入射角∠APB等于反射角∠CPD，且反射光线PC位于法线和入射光线AP所在平面的同一侧。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。####", "this": "三角形ABP和三角形CDP中，如果角ABP等于角CDP，且角APB等于角CPD，所以三角形ABP相似于三角形CDP。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABP和三角形CDP是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠APB = ∠CPD, ∠ABP = ∠CDP, ∠PAB = ∠PCD； AB/CD=BP/PD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/467.png", "question": "如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂直为点O,∠BOD=50°,则∠COE=()", "answer": "140°", "process": "1. 已知EO垂直于直线AB，根据垂直的定义，得∠AOE = 90°。

2. 由于直线AB和CD相交于点O，根据题意可知∠BOD = 50°。

3. 由##对顶角的定义##，即直线相交所形成的对顶角相等，得∠AOC = ∠BOD = 50°。

4. 由于∠COE = ∠AOC + ∠AOE，代入已知值，得∠COE = 50° + 90° = 140°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "对顶角; 垂线; 直线; 射线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线EO和直线AB相交形成的角∠AOE是90度，因此根据垂线定义，直线EO和直线AB互相垂直。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，直线AB和CD在点O相交，形成四个角：∠AOC、∠BOD、∠AOD和∠BOC。根据对顶角的定义，∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOD和∠BOC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AOC = ∠BOD = 50°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2911/img_diagram.png", "question": "如果 c = 5，求 b。", "answer": "2.5 \\sqrt { 3 }", "process": "1.已知条件为：直角三角形####ABC中，∠C = 90°，∠B = 60°，∠A = 30°，斜边c = 5。

2. 根据##30°-60°-90°三角形的性质##，##30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍##。

3. 由已知##斜边AB(c) = 5，则BC(a)=5/2=2.5##。

4. 因为##AC(b)是60°角的对边，所以AC(b)=2.5*√3##。

5. 故##b =2.5*√3##。

##6.##通过上述推理，最终得出答案为##2.5*√3##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。####"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "30°-60°-90°三角形ABC中，角BAC是30度，角CBA是60度，角BCA是90度。边AB是斜边，边BC是30度角所对的边，边AC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边AB的一半，边CA等于边BC的√3倍。即：BC = 1/2*AB，CA = BC *√3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2534/img_diagram.png", "question": "E B \\\\parallel D C。求 x。", "answer": "9.5", "process": "1. 已知 E B 与 D C 平行，根据##平行线分线段成比例定理##，三角形的两边被平行线分成的对应部分成比例。

2. 由##平行线分线段成比例定理##得出，##DE/AE = BC/AB##。

3. 给定信息中，DE = 4, ##BC## = 5。

4. ##AE## 的值等于 ##AD## - ED，所以 ##AE = 6##。

5. AB 的值等于 x - 2 ####。

6. 由确定的比值 ##4/6 = 5/(x - 2)## 。

7. 进行简单比例交叉公式：##(4 * (x - 2)) = 5 * 6##。

8. 进一步简化得到 ##4x - 8 = 30##。

9. 解方程时，把##8##移到另一边并简化,得到 4x = 38。

10. 继续化简得到 x = 38/4 = 9.5。

11. 经过上述的推理，最终得出答案 x 的值为9.5。", "elements": "平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADC中，直线EB与边DC平行，并截它的其他两边AD和AC于点E和B，那么根据平行线分线段成比例定理，有：DE/AE = BC/AB。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AD、AC、DC组成的几何图形。点A、D、C分别是三角形的三个顶点，线段AD、AC、DC分别是三角形的三条边。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2841/img_diagram.png", "question": "将\\cos A的比值用小数表示，精确到小数点后两位。", "answer": "0.6", "process": "1. 已知△ABC为直角三角形，∠ABC为直角，AB=15，BC=20且AC=25。

2. 在直角三角形中，斜边为最长边。这里，AC为斜边。

####

##3. 根据余弦函数##，在直角三角形中，一个锐角的余弦比是邻边长度和斜边长度的比值。

##4##. 因为要求的是cos∠CAB，则要使用AB与AC两边比较，cos A是∠CAB的余弦比。

##5. 即##cos∠CAB = 邻边 AB/斜边 AC = 15/25。

##6##. 化简比15/25，得出cos∠CAB = 3/5。

##7##. 将化简后的比值3/5转化为小数，结果为0.6。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为0.60。", "elements": "直角三角形; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。####"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AB是角∠CAB的邻边，边AC是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠CAB的余弦值等于邻边AB与斜边AC的比值，即cos(∠CAB) = AB / AC。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2697/img_diagram.png", "question": "如果 A B \\\\parallel D C，求 x。", "answer": "115", "process": "1.已知条件为 AB 平行于 DC，根据##平行线的平行公理2，同旁边内角互相，因此x° + 65° = 180°。

####

##2##. 通过解方程得 x = 180° - 65°。

##3##. x = 115°。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 115°。", "elements": "平行线; 同位角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：同旁内角：角A和角D互补，即x° + 65° = 180°。##"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线AB和CD被第三条直线AD所截，两角A和D在截线AD同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角A和D是同旁内角。同旁内角A和D互补，即角A + 角D = 180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2490/img_diagram.png", "question": "求 x 使得该四边形是平行四边形。", "answer": "5", "process": "1. 已知一个四边形为平行四边形####。

2. ##设平行四边形的四个顶点为ABCD，对角线相交于O点##。

3. ##根据平行四边形的性质定理，得AO=CO，BO=DO##。

4. ##由图中我们可知：AO=x+4，CO=3x-6##。

####。

##5. 因为AO=CO##，则有以下方程：

## x + 4 = 3x - 6##

##6##. 解方程## x + 4 = 3x - 6##，##移项得4+6=3x-x，##得 2x = 10，解得 x = 5。

##7##. 由此得出x的值为5。", "elements": "平行四边形; 内错角; 对顶角; 同旁内角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形ABCD中，对角\\angle ABC和\\angle CDA相等，对角\\angle BCD和\\angle DAB相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和CO，将对角线BD分成两段相等的线段BO和DO。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/004.png", "question": "在上图中，两条线段在直线l上���一点相交。x的值是多少？", "answer": "45", "process": "1. 已知条件为##两##条线段相交于一直线上形成的三个角分别为x°, 2x°, x°，####依据平角的定义，得出x° + 2x° + x° = 180°。

2. 化简方程x° + 2x° + x° = 180°为4x = 180，由此推导出x = 180 / 4。

3. 计算180 / 4 = 45。

4. 经过上述推理，最终得出答案为x = 45。", "elements": "对顶角; 邻补角; 直线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "角x°, 2x°, x°是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点。这个共同的端点称为角的顶点，而射线称为角的边。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "在本题图中，射线绕着端点旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据平角的定义，平角的度数为180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2801.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sinB的值是()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5。

####

##2. 根据正弦函数的定义，sin∠ABC = 对边AC/斜边AB##。

##3. 将边长代入，sin∠ABC = 4/5##。

##4. 经过上述推理，最终得出答案为4/5##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角B是锐角，边AC是角B的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin∠ABC = AC / AB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1579.png", "question": "如图,如果∠1=∠3,∠2=60°,那么∠4的度数为()", "answer": "120°", "process": "1. ##设两条水平直线从上往下分别为直线a、b，另外两条直线从左到右分别为直线c、d。##已知∠1=∠3，根据两直线平行的一个充分条件（##内错角##相等）得出直线a∥直线b。

2. 因为直线a∥直线b且∠2=60°，##设∠4在直线d上的邻补角为∠5， 因为∠4和∠6在直线d上互为邻补角，根据平角的定义，所以有∠4+∠5=180°##。

3. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，∠2=∠5=60°（内错角相等）##。

4. 由于∠5=60°，所以∠4=##180°-∠5=##180°-60°=120°。

5. 最终得出答案为120°。", "elements": "内错角; 同位角; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线分别为直线a和直线b，被第三条直线c所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：##无##。\n2. 内错角：角2和角5相等，即∠2=∠5。\n3. 同旁内角：##无##。##"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线c截交，其中角1和角3位于两平行线之间，且在截线c的对侧，因此角1和角3是内错角。内错角相等，即角1等于角3。两条平行直线a和b被一条直线d截交，其中角2和角5位于两平行线之间，且在截线d的对侧，因此角2和角5是内错角。内错角相等，即角2等于角5。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，∠4和∠5有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，所以∠4和∠5互为邻补角，∠4 + ∠5 = 180°。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线d绕着端点旋转到与起始边成一条直线，形成平角x。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角4+角5=180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2947/img_diagram.png", "question": "求解 x。", "answer": "18 \\sqrt { 6 }", "process": "1. 已知条件为：在一个直角三角形中，斜边的对边的边长为18√3，夹角为45°。

2. 根据45°-45°-90°三角形定理，45°-45°-90°三角形的两直角边相等，且任何一边乘以√2等于斜边。

3. 两直角边相等为18√3，根据等腰直角三角形性质可得斜边x = 18√3 * √2。

4. 计算得到x = 18√3 * √2 = 18 * √3 * √2 = 18 * √6。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为18√6。", "elements": "直角三角形; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中，一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边长为18√3的两条边是直角边，边长为x的边是斜边。"}, {"name": "45°-45°-90°三角形的性质", "content": "在45°-45°-90°三角形中，两个45度角所对的边相等，且斜边是任意一条直角边的√2倍", "this": "在本题图中，45°-45°-90°三角形中，两个锐角是45度，直角是90度。边x是斜边，两条长为18√3的边是两个45度角所对的直角边。根据45°-45°-90°三角形的性质，边x等于边18√3的√2倍。即：x = 18√3* √2。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "三角形是等腰直角三角形，其中一个角是直角（90度），长度为18√3两边是相等的直角边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2568/img_diagram.png", "question": "在平行四边形中找到 x。", "answer": "37", "process": "1. ##已知题中所示四边形是一个平行四边形，设115°角为角A，以点A逆时针顺序设平行四边形四个角，得到一个平行四边形ABCD##。

2. ##根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角相等，∠A=∠C，即115°=（2x+41）°##。

##3.解方程：2x+41=115，得2x=74，即x=37。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为37。", "elements": "平行四边形; 同旁内角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，其中AB ∥ CD且AB = CD，AD ∥ BC且AD = BC。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，对角A和C相等，对角B和D相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和CO，将对角线BD分成两段相等的线段BO和DO。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2854/img_diagram.png", "question": "求三角形中的 h。", "answer": "8", "process": "1. ##设图中三角形的三个顶点分别为A、B、C##。

2. ##由图可知，∠A=60°，∠B=90°。根据三角形内角和定理，可知∠A+∠B+∠C=60°+90°+∠C=180°，即∠C=180°-60°-90=30°##。

3. ##又根据30°-60°-90°三角形的性质，在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半##。

4. ##已知图中短边AB=4，斜边=h，根据上述性质，则h/2=4，即h=2*4=8##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为8。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，##∠ACB##是30度，##∠CAB##是60度，##∠ABC##是90度。##边AC##是斜边，边AB是30度角所对的边，##边BC##是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，##边AB##等于##边AC##的一半，##边BC##等于边AB的√3倍。即：##AC## = 2 * AB，##BC## = AB * √3。"}, {"name": "三��形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角ABC、角BCA和角CAB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BCA + 角CAB = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2724/img_diagram.png", "question": "\\triangle L M N \\cong \\triangle Q R S。求 x。", "answer": "20", "process": "1. ##已知条件为△LMN 全等于 △QRS，根据全等三角形的定义，△LMN和△QRS的对应边和对应角相等，即∠M =∠R，LM = QR。##

####

####

####

####

##2. 将LM =2x + 11 和 QR =3x - 9 代入等式，有：2x+11 = 3x-9。##

##3. ##解出这个方程：首先移项得到：2x - 3x = -9 - 11。

##4.## 进一步化简得到：-x = -20。

##5.## 解得x的值：x = 20。

##6.## 经过上述推理，最终得出答案为x = 20。", "elements": "普通三角形; 对称; 平移", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形LMN和三角形QRS是全等三角形，三角形LMN的对应边和对应角与三角形QRS相等，即：边LM = 边QR，边LN = 边QS，边MN = 边RS；同时，对应的角也相等：角L = 角Q，角M = 角R，角N = 角S。在题目中给出的LM = 2x + 11，QR = 3x - 9，因此有2x + 11 = 3x - 9。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2530/img_diagram.png", "question": "求 m \\\\angle K.", "answer": "100", "process": "1. ##已知四边形JKLM中，JK∥ML且边JM = 6、KL = 6。根据等腰梯形的定义，四边形JKLM为等腰梯形##。

2. ##题中图形标注∠M为80°，根据等腰梯形的性质，在等腰梯形中，两底角相等，即∠M = ∠L，∠J=∠K##。

3. 代入∠M = 80°，##得∠L = 80°##。

4. ##由于JK∥ML，根据平行线的平行公理2，∠L+∠K=180°##。

5. 因此得到∠K = 100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为100°。", "elements": "梯形; 对称; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰梯形的定义", "content": "等腰梯形是指两腰相等的梯形。", "this": "在本题图中，等腰梯形JKLM中，边JK和边ML是平行的（即为梯形的两条平行边），边JM和边KL是梯形的两腰，并且边JM等于边KL（即两腰相等）。因此，JKLM是一个等腰梯形。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "梯形JKLM的上底边JK与下底边ML平行。根据平行线的性质，如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。这里，直线JM和KL分别是截线，形成的同旁内角∠K和∠L互补。因此，∠K=180°-∠L。由此得出∠K=100°。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线JK和ML被第三条直线KL所截，两角K和L在截线KL同侧，且在被截线JK和ML之内，所以角K和L是同旁内角。同旁内角K和L互补，即角K + 角L = 180度。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/053.png", "question": "x的值是多少？", "answer": "10", "process": "##1.设三角形6X°的顶点为A，4X°的顶点为B，8X°的顶点为C。##

##2##. 在△ABC中, 已知∠BAC = 6x°， ∠ABC = 4x°， ∠BCA = 8x°。

##3##. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于180°，即∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°。

##4##. 将具体的角度表达式代入，得到6x + 4x + 8x = 180°。

##5##. 合并同类项，得到 18x = 180°。

##6##. 两边同时除以18，得到x = 10°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 10。", "elements": "普通三角形", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形的三个内角分别为6x°、4x°和8x°，根据三角形内角和定理，这三个内角的和应等于180°。我们用数学表达式表示为：6x° + 4x° + 8x° = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3306.png", "question": "如图,在⊙O中,弦AB与CD交于点E,BE=DE,∠B=40°,则∠A的度数是()", "answer": "40°", "process": "1. ##已知BE=DE，∠B=40°，根据等腰三角形的定义，三角形BED为等腰三角形；根据等腰三角形的性质���得出∠DBE=∠EDB=40°。##

2. ##根据圆周角的定义，∠CDB和∠CAB为圆周角；又因为弧CB对应圆周角∠CDB和∠CAB，根据圆周角定理推论1，可得∠CDB=∠CAB。##

####

##3. 由以上推论可得，∠CDB=∠CAB=40°。##

####

##4. ∠A的度数为40°。##", "elements": "圆; 弧; 圆周角; 弦; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形BED中，BE=DE，因此三角形BED是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形BED中，边BE和边DE相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角EDB = 角DBE。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆O上有两点B和C，弧BC是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧BC是圆上两点B和C之间的一段曲线。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角；圆O中，角BDC的顶点(点D)在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BDC是一个圆周角。####"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧BC对应圆周角∠CDB和∠CAB。根据圆周角定理推论1，与同一弧AB相对应的圆周角∠CDB和∠CAB相等，即∠CDB=∠CAB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2428/img_diagram.png", "question": "在图中，一个正多边形内接于一个圆。求一个中心角的度数。", "answer": "60", "process": "1. 已知条件为图中所示的正多边形和它内接于一个圆。观测图形，##正六边形PNMLKJ##每条边对应一个圆周上的等分弧。

2. ##中心角的定义是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角##。

3.##利用中心角的计算公式来计算。##

4. ##正多边形的中心角等于360° /n，其中n是正多边形的边数##

5. ##已知n＝6，所以该正多边形的中心角等于360° /6＝60°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "正多边形; 圆; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正多边形的定义", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "正六边形PJKLMN。此正多边形的所有六条边（PJ、JK、KL、LM、MN、NP）长度相等，且所有六个内角（∠PJK、∠JKL、∠KLM、∠LMN、∠MNP、∠NPJ）都相等。"}, {"name": "内接多边形", "content": "一个多边形的所有顶点都在一个圆上，称这个多边形为圆的内接多边形。", "this": "正六边形PJKLMN的所有顶点P、J、K、L、M、N都在圆O上，因此这个多边形是圆O的内接多边形。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆中，点K和点L是圆上的两点，圆心是点R。连线RK和RL组成的∠KRL称为圆心角。"}, {"name": "中心角的定义", "content": "中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角", "this": "在本题图中，角KRL是一个中心角，它由正多边形的中心R与相邻两个顶点K和L的连线所形成。根据中心角的定义，角KRL是正多边形的中心角，且它的大小等于正多边形每一边所对应的外接圆的圆心角。"}, {"name": "中心角的计算公式", "content": "正多边形的中心角等于360° /n，其中n是正多边形的边数", "this": "PJKLMN是一个有6条边的正多边形，其中6表示正多边形的边数。根据中心角的计算公式，该正多边形的每个中心角的度数等于360° /6，即中心角=360° /6。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2981/img_diagram.png", "question": "求菱形的面积。", "answer": "132", "process": "1. 已知菱形���条对角线长度为12 mm，##另一条对角线长22mm##。

####

##2. 已知菱形的面积计算方式为：面积= (d1 * d2 / 2)。d1和d2代指菱形的两条对角线。##

##3##. 将值代入公式得到：面积 = (12 * 22) / 2。

##4. 计算得到面积 = 264 / 2 = 132 mm^2。##

##5. 经过上述推理，最终得出答案为132 mm^2。##", "elements": "菱形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "四边形中，所有的边都是相等的，因此四边形是一个菱形。此外，四边形的对角线互相垂直平分。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "菱形的对角线有一条长度为12 mm，另一条长度为22 mm。根据对角线的定义，对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。因此，这两条线段就是菱形的对角线。"}, {"name": "菱形面积公式", "content": "菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半。", "this": "菱形的对角线分别为12 mm和22 mm。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (12 mm * 22 mm) / 2 = 132 mm²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2900/img_diagram.png", "question": "求该三角形的面积。结果保留到小数点后两位。", "answer": "7.51", "process": "1. ##设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中∠ACB是直角，根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形。且∠ABC等于59°。边AC的长度为5英寸。

2. 在直角三角形中，利用正弦函数定义：sin(∠ABC) = 对边 / 斜边。其中∠ABC = 59°，边AC为对边，边AB为斜边。因此，sin(59°) = AC / AB。

3. 计算sin(59°)，得sin(59°) ≈ 0.8572。因此，0.8572 = 5 / AB，解出AB = 5 / 0.8572 ≈ ##5.83##。

4. 在直角三角形中，利用余弦函数定义：cos(∠ABC) = 邻边 / 斜边。其中∠ABC = 59°，边BC为邻边，边AB为斜边。因此，cos(59°) = BC / AB。

5. 计算cos(59°)，得cos(59°) ≈ 0.5150。因此，##0.5150 = BC / 5.83##，解出##BC = 0.5150 * 5.83 ≈ 3.00245##。

6. 计算三角形面积。直角三角形ABC的面积公式为：##面积 = 1/2 * 底 * 高。这里，底为BC（约3.00245），高为AC（5）##。

7. 代入计算面积公式，##得面积 = 1/2 * 3.00245 * 5 ≈ 7.506##。

8. 将结果保留两位小数，最终面积为7.51。", "elements": "直角三角形; 普通三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠ABC是锐角，边AC是角∠ABC的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角∠ABC的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin(∠ABC) = AC / AB。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "直角三角形ABC中，边BC是角∠ABC的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠ABC的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值，即cos(∠ABC) = BC / AB。"}, {"name": "直角三角形的面积", "content": "直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度），边AC和边BC是直角边，其中一条直角边AC作为高，另一条直角边BC作为底，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边AC * 边BC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2562/img_diagram.png", "question": "求图形的面积。结果四舍五入到十分位。", "answer": "28.3", "process": "1. 已知条件为圆的半径为3英寸，根据##圆的面积公式##，圆的面积可以用公式A = πr^2计算。

2. 代入已知半径r = 3英寸，得到面积A = π * (3)^2。

3. 计算得A = 9π平方英寸。

4. 使用π ≈ 3.141592653，得出A ≈ 9 * 3.141592653。

5. 计算得到A ≈ 28.274333877。

6. 将结果四舍五入到小数点后一位得A ≈ 28.3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为28.3。", "elements": "圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段##。##", "this": "在本题图中，圆中，圆心为黑点，圆上的任意一点为圆周上的任意一点，线段从圆心到圆周上任意一点的线段为3英寸，因此线段为圆的半径。以符号表示，半径为r = 3英寸。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆的半径是3英寸，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方，即A = π * 3^2。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆中，黑点是圆心，半径为3英寸。图中所有到黑点的距离等于3英寸的点都在圆上。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2417/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot P 中，半径是2英寸，求 \\\\widehat R S 的长度。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "4.54", "process": "1. 已知条件为圆P的半径为2英寸，角RPS为130°。

2. ##由图已知弧RS对应圆心角图形区域内的角度为130°。根据扇形的弧长公式##，弧RS的长度公式为：弧长 = 半径 × 圆心角弧度数。

3. 因此需要将角度130°转换为弧度。##根据角度与弧度的换算公式，采用公式：弧度 = 角度 ×（π/180）。计算得弧度= 130 ×（π/180） = (13/18) π##。

4. 使用上述公式计算弧RS的长度，弧RS = 半径 × 圆心角弧度数 = 2 × (13/18) π。

5. 计算此表达式，具体为：2 × (13/18) π = (26/18) π = (13/9) π。##π约为为3.14159##。

6. ##(13/9) × 3.14159##计算结果为约4.5378。

7. 四舍五入到##小数点后两位##得出弧RS的长度为4.54英寸。

8. 最终得出答案为4.54英寸。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "圆P上有两点R和S，弧RS是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧RS是圆上两点R和S之间的一段曲线。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，∠RPS是圆心角，其顶点P是圆心，边PR和PS分别是圆的两条半径。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。", "this": "在本题图中，圆P的扇形RPS中，扇形RPS的角度是 130°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 130°*（π/180）。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "弧RS的长度计算公式为：弧RS = 半径 × 圆心角弧度数 = 2 × {130 × (π / 180)}。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3275.png", "question": "已知:如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为()", "answer": "35°", "process": "1. 已知OA垂直于BC，##根据垂径定理，弧CA=弧AB，所以弧CA所对应的圆周角等于弧AB对应的圆周角##。

2. ##根据圆周角定理，以及第一步结论可知∠AOB=2∠ADC##。

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##3##. 因为∠AOB=70°，所以∠ADC=∠AOB/2=35°。", "elements": "圆; 垂线; 圆心角; 圆周角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径OA垂直于弦BC，那么根据垂径定理，半径OA平分弦BC，并且半径OA平分弦BC所对的两条弧，即弧CA=弧AB，所以弧CA所对应的圆周角等于弧AB对应的圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，因为弧CA=弧AB。因此，根据圆周角定理，∠ADC=∠AOB / 2=70° / 2=35°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2463/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "4 \\sqrt { 2 }", "process": "1. 在ΔABC 中，角ACB是90度已知，AC = z，##AB## = 12，##CB## = x##，设线段y与AB的交点为P，由图示可知，∠CPA=90°##。

2. ##因为在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，且∠A是ΔACP与ΔACB的公共角，因此根据相似三角形的判定定理(AA)，ΔACP与ΔACB相似##。

3. ##根据相似三角形的定义，可得##AP / AC = AC / AB，可以求出##AC##的长度。##已知AP=AB-PB=12-8=4，代入已知条件得4/AC=AC/12，因此AC=4 √3。##

4. 然后，##根据勾股定理，AC^2 = AP^2 + CP^2 ，得(4 √3)^2=4^2+CP^2##。

5. 解上式得到##CP=y= 4 √2##。

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##6##. 最终通过上面步骤，确定y = 4 √2。", "elements": "直角三角形; 中点; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ACB和三角形ACP是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ABC = ∠ACP, ∠BAC = ∠CAP, ∠BCA = ∠CPA；AP/AC = AC/AB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ACP中，角APC是直角（90度），边AP和边PC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC^2 = AP^2 + CP^2。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角ACB是直角（90度），因此三角形ACB是一个直角三角形。边AC和边CB是直角边，边AB是斜边。同理，三角形ACP中，角APC是直角（90度），因此三角形ACP是一个直角三角形。边AP和边PC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "三角形ACP和三角形ACB中，如果角APC等于角ACB，且角A等于角A，所以三角形ACP相似于三角形ACB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2636/img_diagram.png", "question": "在图形中找到变量x的值。", "answer": "125", "process": "1. ##已知条件为两条平行线被一条直线截交于两点，截线上形成的夹角为55°，设x°所在角为∠X，y°所在角为∠Y，根据内错角的定义，∠X与∠Y为内错角。##

2. ##根据平行线的平行公理2可得，内错角相等，因此∠X = ∠Y 。##

3. ##根据邻补角的定义，∠X和∠55°互为邻补角，再根据平角的定义得出，∠X+55°=180°。##

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##4. 计算得到∠X = 125°。##

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##5##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 125°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线被一条直线截交，其中∠X和∠Y位于两平行线之间，且在截线的对侧，因此∠X和∠Y是内错角。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线被第三条直线所截，形成了内错角：∠X和∠Y相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，∠X和∠55°有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以∠X和∠55°互为邻补角。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线绕着端点X旋转到与起始边成一条直线，形成平角。平角的度数为180度，即∠X+55°=180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2783/img_diagram.png", "question": "求 \\\\widehat J K 的长度。四舍五入到百分位。", "answer": "13.74", "process": "1. 已知条件为圆的直径为15 cm，#### \\angle JCK = 105°，并且 \\angle JCK 是圆心角。由此得出##弧JK##为该圆心角所对的弧。

2. 依据圆的直径为15 cm，可以得到圆的半径 r 为直径的一半，即 r = 15 / 2 = 7.5 cm。

3. 根据##扇形的##弧长公式：弧长 l = r \\theta，其中 \\theta 是弧的圆心角的弧度制表示。需要将 \\angle JCK = 105° 转化为弧度，##根据角度与弧度的换算公式：弧度=角度*（π/180），即\\theta = 105° * π/180##。

4. 计算 \\theta = \\theta = ##105° * π/180 = 7π/12##。

5. 根据##扇形的弧长公式计算弧JK的长度：l = 7.5 * 7π/12##。

6. 理论计算得出##l = 7.5 * 7π/12=4.375π##。

7. 计算上述表达式，得出近似值## l =13.74406##。

8. 进行四舍五入处理，得到的最终答案为## l =13.74cm##。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆中，点C是圆心，半径为7.5 cm。图中所有到点C的距离等于7.5 cm的点都在圆上。"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆上有两点J和K，弧JK是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧JK是圆上两点J和K之间的一段曲线。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆中，点J和点K是圆上的两点，圆心是点C。连线CJ和CK组成的角∠JCK称为圆心角。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，已知圆的半径为7.5 cm，\\angle JCK = 105°。我们需要将角度转换为弧度来使用弧长公式。弧长JK的计算公式为: l = 7.5 * （7π/12）。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AJ是直径，连接了圆心C和圆周上的A、J两点，长度为2倍的半径，即AJ = 15 cm。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆C中，点C是圆心，点J是圆上的任意一点，线段CJ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段CJ是圆的半径。####"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。", "this": "圆C中，∠JCK的角度是105°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即105*（π/180）。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2993/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot O 中，E C 和 A B 是直径，且 \\\\angle B O D \\\\cong \\\\angle D O E \\\\cong \\\\angle E O F \\\\cong \\\\angle F O A。求 m \\\\widehat A C。", "answer": "90", "process": "1. ##图中在半径AO与半径CO的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直，所以∠AOC为直角，即∠AOC=90°##。

2. ##圆心角的性质，因为O为圆心，所以∠AOC为圆心角。又因为圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，∠AOC所对圆弧为弧AC，所以弧AC=90°##。

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##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 AC 的弧度数为90°。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线AO和CO组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "在本题图中，已知圆心角∠AOC所对的圆弧为弧AC。根据圆心角的性质，圆心角∠AOC的度数与所对弧AC的度数相等，即∠AOC的度数 = 弧AC的度数。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2930/img_diagram.png", "question": "使用计算器求 \\\\angle J 的度数，精确到最接近的度数。", "answer": "40", "process": "1. ##已知∠JLK=90°，根据直角三角形的定义，三角形JLK为直角三角形，并且 \\overline{JK} = 14 和 \\overline{KL} = 9。要求计算 \\angle J 的度数。

2. 根据勾股定理，在Rt三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方，即 \\overline{JL}^2 + \\overline{KL}^2 = \\overline{JK}^2。在此题中，我们需要寻��� \\overline{JL}。

3. 将已知边代入勾股定理： \\overline{JL}^2 + 9^2 = 14^2，即 \\overline{JL}^2 + 81 = 196。

4. 解上述等式得：\\overline{JL}^2 = 196 - 81 = 115。因此 \\overline{JL} = \\sqrt{115}。

5. 为解出 \\angle J，可以使用正弦函数的定义，即在Rt三角形中，sin(\\angle J) = \\frac{对边}{斜边} = \\frac{KL}{JK} = \\frac{9}{14}。

6. 利用计算器求得 \\angle J 的值为 sin^{-1}(\\frac{9}{14})，从而得出 \\angle J \\approx 39.77^\\circ。

7. 将 \\angle J 四舍五入至最接近的整数度数，得到其为 40 度。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 40 度。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形JKL中，角JLK是直角（90度），因此三角形JKL是一个直角三角形。边JL和边KL是直角边，边JK是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形JKL中，角∠LJK是锐角，边KL是角∠LJK的对边，边JK是斜边。根据正弦函数定义，角∠LJK的正弦值等于对边KL与斜边JK的比值，即sin(∠LJK) = KL / JK。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形JKL是由三个非共线点J、K、L及其连接线段JL、LK、JK组成的几何图形。点J、K、L分别是三角形的三个顶点，线段JL、LK、JK分别是三角形的三条边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形JKL中，角L是直角（90度），边JL和KL是直角边，边JK是斜边，所以根据勾股定理，JK^2 = JL^2 + KL^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2594/img_diagram.png", "question": "求该三角形的面积。", "answer": "285", "process": "1. ##由图示可知所求面积的三角形为钝角三角形，图中沿19英寸长的短边向右做虚线辅助线，以41英寸长的斜边的顶点向上虚线辅助线，且与三角形短边的虚线辅助线垂直。其中一条虚线边长度为27英寸，另一条虚线边长度为30英寸##。

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##2. 根据三角形的面积公式，面积 = 1/2 * 底边 * 高。而图中钝角三角形的底为19英寸长的短边，高为30英寸长的虚线辅助线##。带入实际数值，我们计算得：面积 = 1/2 * 19英寸 * 30英寸。

##3##. 经过计算得出面积值为: 1/2 * 570平方英寸 = 285平方英寸。

##4##. 综合以上计算与已知条件，最终确认三角形的面积为285平方英寸。", "elements": "直角三角形; 普通三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，设三角形为三角形ABC，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。##"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "三角形的底边为19英寸，高为30英寸。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (19英寸 * 30英寸) / 2。######"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从三角表下方的顶点垂直于对边19的延长线的线段30是该顶点的高。线段30与边19的延长线形成一个直角（90度），这说明线段30是从下方的顶点到对边19的延长线的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2441/img_diagram.png", "question": "在图中，m \\angle 3 = 110 和 m \\angle 12 = 55。求 \\angle 1 的度数。", "answer": "110", "process": "1. 已知##∠ 3 ##的度数为 110°。

2. ##根据同位角定义，两条平行线被第三条直线所截，∠1和∠3在截线的同旁，且在被截两直线同一侧，所以∠1和∠3为同位角。##

3. ##根据平行线的平行公理2可知，如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，则∠1=∠3=110°。##

####

##4.根���以上推断可知，∠1=110°。##", "elements": "内错角; 同位角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "##两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角##。", "this": "∠1和∠3位于截线的同旁，被截两直线的同一侧，因此∠1和∠3是同位角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线被第三条直线所截，形成了同位角：∠1和∠3相等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2496/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "6", "process": "1. ##圆内有两条弦相交，设其中一条弦为AB，另一条弦为CD，弦AB和弦CD交于点P##，PA = x，PB = x，PC = 4，PD = 9。

2. 根据圆的相交弦定理，如果两条弦在圆内相交，则彼此的分段的乘积相等，具体指的是 PA * PB = PC * PD。

3. 在本题中，我们将已知条件代入相交弦定理公式: PA = x，PB = x，PC = 4，PD = 9，得到 x * x = 4 * 9。

4. 计算方程4 * 9，得到等式的右边为36，因此等式成为 x^2 = 36。

5. 解方程 x^2 = 36，得到 x = √36 或 x = -√36。

6. 因为 x 代表长度，负值没有物理意义，所以 x = √36 = 6。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 6。", "elements": "圆; 弦; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点，所以线段AB是圆的弦。同理，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆的弦。"}, {"name": "相交弦定理", "content": "若两条弦AB和CD相交于点E，则有AE * EB = CE * ED。", "this": "圆内两条弦AB和CD相交于点P，弦AB被点P分成两段AP和PB，弦CD被点P分成两段CP和PD，根据相交弦定理，可以得出AP段的长度乘以PB段的长度等于CP段的长度乘以PD段的长度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/123.png", "question": "如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是()", "answer": "6cm", "process": "1. 已知△ABC中，∠ACB=90°。##又因为DE⊥AB，所以∠AED为直角，即∠AED=90°##。

2. 由于##AD平分∠CAB，所以∠CAD=∠EAD##。

3. ##根据全等三角形判定定理(AAS)，因为∠ACB=90°=∠AED，∠CAD=∠EAD，AD=AD，所以△ACD≌△AED##。

####

##4. 因为##△ACD≌△AED，得出AC=AE，##CD=ED##。

##5##. 由于AC=BC，由以上结论可以得出BC=AE。

##6##. 由图得出，△DBE的周长为DE+BD+EB。

##7##. 由于DE=CD，且DE+CD=BC，而BC即为AE，并且加上EB得出△DBE的周长为AE+EB。

##8##. 由此可以得到ΔDBE的周长为AB=6cm。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为6cm。", "elements": "直角三角形; 等腰三角形; 垂线; 垂直平分线; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角CAB的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角CAB分成两个相等的角，即∠CAD和∠BAD相等。因此，线AD是角CAB的角平分线。"}, {"name": "全等三角形判定定理(AAS)", "content": "两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形ADC和三角形ADE中，∠CAD等于∠EAD，角ACD等于角AED，且边AD等于AD。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则AAS，可以得出三角形ADC全等于三角形ADE。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形ACD和三角形ADE是全等三角形，三角形ACD的对应边和对应角与三角形ADE相等，即： \n 边AC = 边AE\n 边AD = 边AD\n 边CD = 边ED，\n 同时，对应的角也相等：\n 角CAD = 角EAD\n 角DAC = 角EAC\n 角ADC = 角ADE.##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2967/img_diagram.png", "question": "如果 C E = t - 2，E B = t + 1，C D = 2，且 C A = 10，求 C E。", "answer": "1", "process": "1. ##题目给出的已知条件�� C E = t - 2, E B = t + 1, C D = 2, C A = 10，CB=CE+EB=(t - 2)+(t + 1)=2t - 1。##

2. ##已知图中，AB∥DE，根据同位角定义，∠A与∠EDC为同位角，∠B与∠DEC为同位角；根据平行线的平行公理2可得，∠A=∠EDC，∠B=∠DEC。根据相似三角形的判定定理(AA)可得，三角形CDE和三角形CAB相似。##

3. ##根据相似图形的定义可得，CD:CA=CE:CB，代入已知条件，有2:10=( t - 2):(2t - 1)。##

4. ##解方程得10*( t - 2)=2*(2t - 1)##

5. ##解得t=3##

6. ##代入 C E = t - 2，得CE=1##

####

##7. 通过以上步骤，得出CE=1。##", "elements": "普通三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AB和DE被一条直线AC截交，其中∠A与∠EDC位于截线AC的同旁，被截两直线AB和DE的同一侧，因此∠A与∠EDC是同位角。同位角相等，即∠A=∠EDC；在本题图中，两条平行直线AB和DE被一条直线CB截交，其中∠B与∠DEC位于截线CB的同旁，被截两直线AB和DE的同一侧，因此∠B与∠DEC是同位角。同位角相等，∠B=∠DEC。####"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线AB和DE被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：∠A和∠EDC相等；在本题图中，两条平行线AB和DE被第三条直线CB所截，形成了以下几何关系：同位角：∠B和∠DEC相等。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形CDE和三角形CAB中，如果∠A=∠EDC，且∠B=∠DEC，所以三角形CDE相似于三角形CAB。"}, {"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "在本题图中，图形CDE和图形CAB是相似图形。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即边CD与边CA的比等于边CE与边CD的比，且等于边DE与边AB的比。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2469/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "30", "process": "1. 已知ΔABC中，∠CAB=2x°, ∠CBA=2x°，##边AB=边AC，因此三角形为等腰三角形##。

2. ##根据等腰三角形的性质，得∠ACB=∠CBA=2x°。##

3. 根据##三角形的内角和定理，∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，解方程得到6x=180，因此x=30。##

####

##4##. 最终，经过上述推理，可以得出答案为：##x = 30##。", "elements": "等腰三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角CAB、角CBA和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角CBA + 角BCA = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ACB = ∠CBA。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2284.png", "question": "如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.6米,求A、B、C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=12米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=2米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为()", "answer": "10.2米", "process": "1. 已知∠AGC和∠FGE是镜面成像所对应的相等角，由题意得出∠AGC=∠FGE。

2. 根据已知条件，∠ACG和∠FEG均为直角，即∠ACG=∠FEG=90°。

3. ##根据相似三角形的判定定理(AA)##，可以得出△ACG和△FEG是相似三角形。

4. 根据##相似三角形的定义##，我们有AC:EF=CG:GE。

5. 将已知数值代入相似三角形的比例关系，得比例式AC:1.6=12:2。

6. 解比例式得出AC=9.6米。

7. 根据已知条件BC=0.6米，而AB=AC+BC。

8. 所以AB=9.6+0.6=10.2米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10.2米。", "elements": "直角三角形; 反射; 对称", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "##相似三角形的判定定理(AA)##", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角AGC等于角FGE，且角ACG等于角FEG，所以三角形ACG相似于三角形FEG。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△ACG和△FEG是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ACG = ∠FEG, ∠CAG = ∠EFG, ∠CGA = ∠FGE；AC/EF = CG/GE = AG/FG。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2527/img_diagram.png", "question": "求这个平行四边形的周长。如有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "76", "process": "1. 已知平行四边形的对边相等，其一对边长为20英尺和18英尺。

2. 因此，平行四边形的另一对对边也分别为20英尺和18英尺。

3. 根据##平行四边形的周长##，周长公式为：2×(长边 + 短边)。

4. 将长边和短边带入公式：周长 = 2 × (20 + 18) 英尺。

5. 计算得出：周长 = 2 × 38 英尺。

6. 即，周长 = 76 英尺。

7. 因此，最终得出平行四边形的周长为76英尺。", "elements": "平行四边形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形的两组对边分别是20英尺与20英尺平行且相等，以及18英尺与18英尺平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "在本题图中，平行四边形的两组邻边分别为20英尺和18英尺。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(a + b) = 2(20 + 18) = 76英尺。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/413.png", "question": "直线a、b、c、d的位置如图,如果∠1=100°,∠2=100°,∠3=125°,那么∠4等于()", "answer": "55°", "process": "1. ##设∠1的对顶角为∠5，∠2的互补角为∠6，∠3的对顶角∠7，四条直线相交构成的四边形为四边形ABCD##。设已知∠1=100°, ∠2=100°, 根据##对顶角的定义##，得到∠1##=∠5=100°，∠3=∠7=125°##。

2. ##根据平角的定义，设直线b的两端分别为点E、F。因为∠2和∠6构成平角EDF，所以∠2和∠6互补，即∠2+∠6=180°。已知∠2=100°，所以∠6=180°-∠2=180°-100°=80°##。

3. ##根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°。所以∠5+∠6+∠7+∠4=360°。已知∠5=100°，∠7=125°，∠6=80°，所以∠4=360°-∠5-∠6-∠7=360°-100°-125°-80°=55°##。

####

##4. ##根据以上推理，得出答案∠4=55°。", "elements": "同旁内角; 平行线; 内错角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "直线c和直线a相交于点O，形成四个角：∠1、∠2、∠AOB和∠BOA。根据对顶角的定义，∠1和∠2是对顶角，∠AOB和∠BOA是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠1=∠2=100°。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线FD绕着端点D旋转到与起始边成一条直线，形成平角EDF。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角EDF=180度。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，角5、角6、角7和角4是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角5 + 角6 + 角7 + 角4 = 360°。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2660/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "3 \\sqrt { 35 }", "process": "1. ##设三角形为ABC，根据直角三角形的定义，得ΔABC是一个直角三角形，其中∠BAC是一个直角，BC是斜边，AB和AC分别是直角边##。

2. ####设AB = x, AC = 13, BC = 22。

3. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，得：AB^2 + AC^2 = BC^2，即x^2 + 13^2 = 22^2。

4. 计算AC^2 和 BC^2得到：13^2 = 169, 22^2 = 484。

5. 将####数据代入等式得到：x^2 + 169 = 484。

6. 解这个方程：x^2 = 484 - 169，得到x^2 = 315。

7. 求解x得到x = √315。

8. 简化√315，得到x = √(9*35) = 3√35。

9. 经过上述推理，最终得出答案为3√35。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角A是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "∠BAC是直角（90度），边AB和边AC是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2=AB^2 + AC^2 。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2760.png", "question": "如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=\\frac{1}{2},则BC的长是()", "answer": "2", "process": "1. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，根据##正切函数的##定义，##直角三角形中一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度##。

2. 根据题意，##tanA=1/2##，用三个字母表示角，得tan∠BAC=##BC/AC##。

3. 已知AC=4，根据上述公式代入，##1/2=BC/AC##。

4. 解方程，得##1/2=BC/4，则##BC=2。

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为BC的长度是2。", "elements": "直角三角形; 正切; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题中，tan∠BAC = BC / AC。根据题意，tan∠BAC = 1/2，表示BC和AC的比值是1:2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2566/img_diagram.png", "question": "已知平行四边形的面积为2000平方单位，求其高。", "answer": "40", "process": "1. 已知条件为平行四边形的面积为2000平方单位，长为x + 10，高为x。

2. 根据平行四边形的面积公式，面积=底*高，可得2000=(x + 10)*x。

3. 展开公式2000=x^2 + 10x。

4. 将公式化为标准的二次方程x^2 + 10x - 2000 = 0。

5. 根据求解二次方程的公式ax^2 + bx + c = 0，根公式x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a，其中a=1，b=10，c=-2000。

6. 计算b^2 - 4ac，可以得到10^2 - 4*1*(-2000) = 100 + 8000 = 8100。

7. 计算sqrt(8100) = 90。

8. 代入根公式x = [-10 ± 90] / 2，其中x1 = (-10 + 90) / 2 = 40，x2 = (-10 - 90) / 2 = -50。

9. 因为边长不能为负数，排除x2，则x = 40。

10. 经过上述推理，最终得出答案为40。", "elements": "平行四边形; 平行线; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高", "this": "边x+10是底边，对应的高是从底边x+10到对边的垂直距离，记为x。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长x+10乘以对应的高x，即A = x(x+10) = 2000。##"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从平行四边形左上方的顶点垂直于底边的线段x是该顶点的高。线段x与底边形成一个直角（90度），这说明线段x是从平行四边形左上方的顶点到底边的垂直距离。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1559.png", "question": "如图,AB∥CD,射线AE交CD于点F,若∠1=115°,则∠2的度数是()", "answer": "65°", "process": "1. 已知AB∥CD，##∠BAE 和∠AFD互为同旁内角，根据平行线的平行公理2##，可以得出∠BAE + ∠AFD = 180°。

2. 由题意可知∠1=115°，即∠BAE=115°，所以根据上一步的推理，∠AFD = 65°。

3. 由���∠2和∠AFD是对顶角，根据##对顶角的定义##，我们可以得出∠2 = ∠AFD。

4. 因此，根据前述推理可得∠2 = 65°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，F点是直线CD和射线AE相交的点，形成四个角：∠AFD、∠CFE、∠AFC和∠EFD。根据对顶角的定义，∠AFD和∠CFE是对顶角，∠AFC和∠EFD是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AFD = ∠CFE，∠AFC = ∠EFD。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "AB∥CD，并且有横截线AE，所以根据平行线的同旁内角互补定理，∠BAE + ∠AFD = 180°。######"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行", "this": "两条直线AB和CD被第三条直线AE所截，两角∠1和∠AFD在截线AE同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角∠1和∠AFD是同旁内角。同旁内角∠1和∠AFD互补，即角1+ 角AFD = 180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2679/img_diagram.png", "question": "图中显示了Elm、Plum和Oak街道的布局。求x的值。", "answer": "125", "process": "1. ##图中在两条线上各画一个箭头的标注表示这两条线平行，即Elm∥Plum，且直线Elm和直线Plum被第三条线Oak所截##。

2. ##根据平行线的平行公理2，同旁内角互补。由图可知，55°角和x°角互为同旁内角，所以55°角和x°角互补，即55°+x°=180°##。

3. ##解得x°=180°-55°=125°，所以x=125##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出x = ##125##。", "elements": "同位角; 平行线; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，Elm和Plum为平行线，被Oak街所截，形成了以下几何关系：同旁内角：Elm街与Oak街相交形成的55°角和Plum街与Oak相交形成的同旁内角互补，即55° + x° = 180°。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线Elm和Plum被第三条直线Oak所截，两角55°和x°在截线Oak同侧，且在被截线Elm和Plum之内，所以角55°和x°是同旁内角。同旁内角角55°和x°互补，即55° + x° = 180°。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/112.png", "question": "如图,AB//CD,EF分别为交AB,CD于点E,F,∠1=50°,则∠2的度数为()", "answer": "130°", "process": "1. 已知AB平行于CD，且##∠1##=50°。

2. ##根据对顶角的定义，∠CFE=∠1=50°。##

3. 由于 ∠2 和 ##∠CFE## 为同旁内角，根据##平行线的平行公理2，同旁内角互补，可知##两者和为180°，即∠2 + ##∠CFE##= 180°。

4. 代入已知## ∠CFE## = 50°，得 ∠2 + 50° = 180°。

5. 通过计算，得到 ∠2 = 180° - 50° = 130°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为130°。", "elements": "平行线; 同位角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "AB平行于CD，被直线EF所截。##∠CFE和∠2是同旁内角，根据同旁内角互补定理，∠CFE + ∠AEF = 180°。已知∠CFE = 50°，所以∠AEF = 180° - 50° = 130°。##"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线CD和EF相交于点F，根据对顶角的定义，角1和角CFE是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角1=角CFE。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线AB和CD被第三条直线EF所截，两角AEF和CFE在截线EF同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角AEF和CFE是同旁内角。同旁内角AEF和CFE互补，即角AEF + 角CFE = 180度。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3280.png", "question": "如图,CD是⊙O的弦,O是圆心,把⊙O的劣弧沿着CD对折,A是对折后劣弧上的一点,∠CAD=110°,则∠B的度数是()", "answer": "70°", "process": "1. 已知CD是⊙O的弦，####∠CAD=110°。

2. ##设点A关于CD的对称点为A'，因为把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点,，所以点A'在圆O上##。

3. 辅助线：连结A'和C，连结A'和D。

4. ##根据对称性可得，△A'CD和△ACD是对称图形，故∠CA'D =∠CAD = 110°##。

5. ##因为点A' 、B、C、D都在圆O上，根据内接四边形##可得四边形A'CBD是⊙O的内接四边形。

6. 根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，得∠CBD + ∠CA'D = 180°。

7. ##因为∠CA'D=110°##，得##∠CBD ##= 180° - 110° = 70°。

8. 经过上述推理，最终得出##∠CBD即∠B##的度数为70°。", "elements": "圆; 弦; 圆周角; 对称; 反射", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对称性", "content": "对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。", "this": "设点A关于CD的对称点为A'，△ACD关于点CD对称，那么CD就是△ACD的对称中心。△ACD的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。所以∠CA'D =∠CAD = 110°。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形A'CBD是圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补定理，四边形A'CBD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠CBD + ∠CA'D = 180°。内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。在本题图中，四边形A'CBD的四个顶点A' 、B、C、D都在同一个圆上。这个圆称为四边形A'CBD的外接圆。因此，四边形A'CBD是一个内接四边形。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2754/img_diagram.png", "question": "求图形中变量x的值。", "answer": "54", "process": "1. ##设图中四边形为四边形ABCD（从左上角顺时针方向），边DC向点C方向的延长线为CE。由图中在AB和CD两条线上各画一个箭头，表示这两条线平行##。

2. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角，并且内错角度数相等。所以（2x）°=108°##。

####

##3##. 解方程2x = 108，得x = 108/2 = 54。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 54。", "elements": "平行四边形; 内错角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和DA组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D，并且有四个内角，分别是角A, 角B, 角C和角D。####"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，设图中四边形为四边形ABCD，边DC向点C方向的延长线为CE。两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：\n\n1. 同位角：无。\n2. 内错角：角ABC和角BCE相等。\n3. 同旁内角：无。\n\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AB和CD被一条直线BC截交，其中角ABC和角BCE位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角ABC和角BCE是内错角。内错角相等，即角ABC等于角BCE。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1848.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C是弧BD的中点,过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E,若⊙O的半径为2.5,AC长为4,则CE的长度为()", "answer": "\\frac{12}{5}", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，AC长为4，⊙O的半径为2.5，连接BC。

2. ##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°##。

3. ##根据直角三角形的定义，∠ACB=90°，所以△ABC为直角三角形##。

4. ##已知圆的半径为2.5，所以圆的直径AB=5，AC=4，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=25-16=9，所以BC=3##。

5. ##由于EF⊥AE，根据垂线定义，角AEC=90°。点C是弧BD的中点，所以弧DC=弧BC，得出∠DAC=∠CAB，∠DAC=∠EAC。根据相似三角形的判定定理(AA)，△EAC∽△CAB##。

6. ##根据相似三角形的定义，∴AC/AB=EC/BC##。

7. ##已知AC=4，AB=5，BC=3。

8. ##∴EC=(AC×BC)/AB=(4×3)/5=12/5##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2.4。", "elements": "圆; 直角三角形; 垂线; 弧; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。\n在本题图中，圆O中，角CAB的顶点A在圆周上，角CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角CAB是一个圆周角。\n在本题图中，圆O中，角DAC的顶点A在圆周上，角DAC的两边分别与圆O相交于点C和点D。因此，角DAC是一个圆周角。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2×2.5 = 5。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径，且OA=OB=2.5。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线EF和直线AE相交形成的角∠AEC是90度，因此根据垂线定义，直线EF和直线AE互相垂直。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角##∠ACB##是直角（90度）。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形EAC和三角形CAB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角EAC = 角CAB，角AEC = 角BCA，角ACE = 角CBA；\\(\\frac{AC}{AB} = \\frac{EC}{BC}\\)。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/332.png", "question": "如图所示,直线AB、CD被直线EF所截,若AB∥CD,∠1=100°,则∠2的大小是()", "answer": "80°", "process": "1. 已知直线AB平行于直线CD，##设##直线EF与直线AB、直线CD相交于点G和点H。####

2. 根据已知条件，##∠1## = 100°，##依据平角的定义，∠1 + ∠AGH =100°+ ∠AGH = 180°，即∠AGH = 180°-100°= 80°##。

3. ##再根据平行线的平行公理2，同位角相等，得到：∠2 = ∠AGH = 80°##。

4. ##经过上述推理，最终得出答案为∠2 = 80°##。

####", "elements": "平行线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和���边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线GA绕着端点G旋转到与起始边成一条直线，形成平角AGB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AGB=180度。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "直线AB和直线CD被直线EF所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：∠AGH和∠CHF(∠2)相等。\n2. 内错角：∠BGH(∠1)和∠CHG相等。\n3. 同旁内角：∠HGC和∠CHG互补，即∠HGC + ∠CHG = 180度。\n\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线EF截交，其中角AGH和角1位于截线EF的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧，因此角AGH和角2是同位角。同位角相等，即角AGH等于角2。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2710/img_diagram.png", "question": "四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\\\angle 1 = 30，求 \\\\angle 5 的度数。", "answer": "30", "process": "1. 已知条件为四边形 WXYZ 是一个矩形，##且 角 1 = 30°##。

2. ##依据矩形的定义，WX 和 YZ 平行，根据平行线的平行公理2，角1=角5##。

3. ##经过上述推理，最终得出答案为 角 5 = 30°##。

####", "elements": "矩形; 对顶角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 WXYZ 是一个矩形，边 WX 与边 YZ 平行且等长，边 WY 与边 XZ 平行且等长。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线WX和YZ被第三条直线YX所截，形成了以下几何关系：内错角：角1=角5。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行线WX和YZ被第三条直线YX所截，其中角1和角5位于两平行线之间，且在截线YX的对侧，因此角1和角5是内错角。内错角相等，即角1=角5。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3481.png", "question": "如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB为⊙O的直径,连结BD．若∠BCD=120°,则∠ABD的大小为()", "answer": "30°", "process": "1. 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补##定理，得出∠BAD + ∠BCD = 180°。

2. 由于题目已知∠BCD=120°，所以可以通过计算得到∠BAD=180°-120°=60°。

3. 又由于AB是⊙O的直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ADB=90°。

4. 由上面的结论，我们可以在△ABD中用三角形内角和定理得出，##∠BAD + ∠ADB + ∠ABD = 60° +90° + ∠ABD° =180°##，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-60°=30°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为30°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 直角三角形; 圆; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角BAD + 角BCD = 180度，角ABC + 角ADC = 180度。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * r。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角∠ADB的顶点D在圆周上，角∠ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ADB是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD是内接四边形，按照圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°，∠ABC + ∠ADC = 180°。已知∠BCD=120°，所以∠BAD=180°-120°=60°。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "直径AB所对的圆周角∠ADB是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABD中，角BAD、角ADB和角ABD是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAD + 角ADB + 角ABD = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2791/img_diagram.png", "question": "求a，如果F G = 18, G H = 42, 和 F K = 15。", "answer": "57", "process": "1. ##设圆心为O##，已知线段 F G = 18，##G H = 42##和线段 F K = 15，根据割线定理，即如果两条割线从一个外部点开始，并分别在这个圆上截出两个线段，则这两条割线##在圆外截取的线段与其割线的##积相等: \n F K × ( F K + K J ) = F G × ( F G + G H )。

2. 根据已知 G H = 42，计算:\n F G + G H = 18 + 42 = 60。

3. 由割线定理的表达式 F K × ( F K + K J ) = F G × ( F G + G H ), 有:\n 15 × ( 15 + a ) = 18 × 60。

4. 计算式子：##1080## = 15 × ( 15 + a )。

5. 左右两边分别除以 15，得到方程式：15 + a = ##1080/15##。

6. 计算:a = 72 ##-## 15。

7. 经过计算，最终得出 a = 57。

8. ##经过以上推理，最终得出答案为a=57##。", "elements": "圆; 弦; 弧; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "割线", "content": "与圆有两个交点的直线称为圆的割线。", "this": "在本题图中，直线FH与圆O有两个交点，分别是点G和点H。根据割线的定义，直线FH与圆O相交于两个不同的点，所以直线FH是圆O的割线。直线FJ与圆O有两个交点，分别是点K和点J。根据割线的定义，直线FJ与圆O相交于两个不同的点，所以直线FJ是圆O的割线。"}, {"name": "割线定理", "content": "在圆内，如果两条割线相交于一圆外一点，则这两条割线的外部部分乘以其内部部分的积是相等的。", "this": "圆O内有两条割线FH和FJ，它们相交于圆外一点F。割线FH的外部部分为FG，内部部分为GH；割线FJ的外部部分为FK，内部部分为KJ。根据割线定理，割线FH的外部部分乘以整条割线的积等于割线FK的外部部分乘以整条割线的积，即FG * FH = FK * FJ。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/86.png", "question": "如图,AB∥CD,点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°,则∠ACD的大小为()", "answer": "140°", "process": "1. 已知AB∥CD，点E在CA的延长线上，以及∠BAE = 40°。

2. ##作CF为DC的延长线，即由图可得AB∥DF，根据平行线的平行公理2，同位角相等，则∠BAE = ∠ECF = 40° ##。

3. ##根据平角的定义，∠ACD = 180° - ∠ECF##。

4. ##将已知条件代入，得到∠ACD = 180° - 40° = 140°##。

5. ##计算得出∠ACD= 140°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "平行线; 内错角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线；直线AB和直线DF位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线DF是平行线。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线CD绕着端点C旋转到与起始边成一条直线，形成平角DCF。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角DCF=180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线 AB 和 CD 被第三条直线 CE 所截，形成了以下几何关系： 同位角：∠BAE 和 ∠ECF 相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线CE截交，其中角BAE和角ECF位于截线CE的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧，因此角BAE和角ECF是同位角。同位角相等，即角BAE等于角ECF。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2810/img_diagram.png", "question": "四边形 A B D C 是一个矩形。如果 m \\angle 1 = 38，求 m \\angle 2。", "answer": "52", "process": "1. ##已知四边形 A B D C 是一个矩形，∠1 = 38°。##

2. ##根据矩形的定义，∠CAB = 90°。##

3. ##那么∠CAB = ∠1 +∠2 = 90°。##

4. ##代入∠1 = 38°，解得∠2 = 52°。##

####

##5. 由以上步骤得到，∠2 = 52°。##", "elements": "矩形; 邻补角; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 ABCD 是一个矩形，其内角∠ABD, ∠BDC, ∠DCA, ∠CAB 都是直角（90度），边AB与边CD平行且等长，边AC与边BD平行且等长。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2045.png", "question": "用圆心角为120°,半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒(如图所示),则这个纸冒的高是()", "answer": "2√{2}cm", "process": "1. 已知圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒。

2. 设圆锥的底面半径为x cm，根据周长关系得出等式：2πx = (120/360) * 2π * 3。

3. 计算得出x = 1 cm。

4. 因为组成圆锥的扇形的半径为圆锥的母线长3 cm，所以我们可用勾股定理计算高h。

5. 在直角三角形中，母线长为3 cm，底面半径为1 cm，高h为未知，根据勾股定理 a^2 + b^2 = c^2。

6. 这里a = h，b = 1，c = 3，代入得h^2 + 1^2 = 3^2。

7. 解得h^2 = 3^2 - 1^2。

8. 进一步计算得h^2 = 9 - 1 = 8，故h = √{8} = 2√{2}。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2√{2} cm。", "elements": "扇形; 圆锥; 圆心角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "扇形纸片的圆心角为120°。这个圆心角是形成圆锥的扇形的一个角，圆心为扇形的中心点。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "在本题图中，半径为3 cm和半径为3 cm是圆的两条半径，圆弧是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。"}, {"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "在本题图中，圆锥中，底面是一个圆形，圆的半径为1 cm。圆锥的顶点为圆锥的顶点，顶点与圆心之间的距离为圆锥的高，记作h。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点到圆周上的任意一点的距离为母线长度，记作3 cm。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，扇形中，圆心角为120°，半径为3 cm。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。已知圆心角为120°，即θ = 120° = 2π/3（弧度），半径r = 3 cm，因此弧长L = (2π/3) * 3 = 2π cm。这个弧长就是圆锥底部圆周的周长，所以2πx = 2π，解得底面半径x = 1 cm。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "圆锥的母线长为3 cm，底面半径为1 cm，通过勾股定理求得高h。设高为h，应用勾股定理，a为高h，b为底面半径1 cm，c为母线长3 cm，可得 h^2 + 1^2 = 3^2。然后解得 h^2 = 9 - 1 = 8，最终 h = √{8} = 2√{2}。##"}, {"name": "母线", "content": "母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。", "this": "在本题图中，圆锥中，取底面圆周上的一点���顶点，连接底面圆周上一点和顶点的线段就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2886/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle D.", "answer": "80", "process": "1. 圆中四边形ABCD是一个圆内接四边形，因此根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##。

2. 由此，我们有∠ABC + ∠ADC = 180°。

3. ##∠ABC = （3y + 4）°，∠ADC = （2y + 16）°##。

4. 将已知角的表达式代入对边的角互补关系得： ##(3y + 4) °+ (2y + 16)° = 180°##。

5. 简化方程得到##（5y + 20）° = 180°##。

6. 通过去掉常数项，得到##（5y）° = 160°##。

7. 通过除法求得##y = 32##。

8. 确定y的值后，##代入∠ADC = （2y + 16）°，得 ∠ADC = （2*32 + 16）° = （64 + 16）° = 80°##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为∠ADC = 80°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ABC + ∠ADC = 180°；∠BAD + ∠BCD = 180°。"}, {"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角ABC + 角ADC = 180度，角BAD + 角BCD = 180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2925/img_diagram.png", "question": "求该图形的面积。", "answer": "120", "process": "1. ##由图可得，图形的四个角都为90度，根据矩形的定义，该图形为矩形。并且图中##矩形的长为12英尺，宽为10英尺。

2. ##根据矩形的面积公式##为长乘以宽，因此本题中矩形的面积为12英尺乘以10英尺。

3. 计算得出矩形的面积为120平方英尺。

4. 经过上述推理，最终得出答案为120平方英尺。", "elements": "矩形; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且边长为12英尺的两条边互相平行且等长，边长为10英尺的两条边互相平行且等长。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形的长为12英尺，宽为10英尺，所以矩形的面积 = 12 * 10 = 120平方英尺。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1528.png", "question": "如图,直线a∥b,∠2=35°,∠3=40°,则∠1的度数是()", "answer": "105°", "process": "1. ##设图中构成三角形的第三个角为∠4##，已知直线a平行直线b，根据##平行线的平行公理2和同位角定义，同位角相等，而∠1和∠4互为同位角##，得出∠1=∠4。

2. 根据已知条件∠2=35°，∠3=40°，##根据三角形内角和定理##，在三角形中，内角和为180°，得出∠4=180°-∠2-∠3。

3. 将已知角度代入得出∠4=180°-35°-40°=105°。

4. 根据步骤1，得出∠1=∠4。因此∠1=105°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为105°。", "elements": "平行线; 同旁内角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线a和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线a和直线b是平行线。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角1和角4相等。\n2. 内错角：无。\n3. 同旁内角：无。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线截交，其中角1和角4位于截线的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角1和角4是同位角。同位角相等，即角1等于角4。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角∠2、角∠3和角∠4是该三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠2 + 角∠3 + 角∠4 = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2943/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 A B C D 找到 m \\angle A F D.", "answer": "97", "process": "####

##1##. 在三角形 AFD 中，已知##角FAD## = 49° 和角 ADF = 34°。根据三角形内角和定理可知，三角形 AFD 中各内角的和为 180°，即##角AFD+角FAD+角ADF=##角 AFD + 49° + 34° = 180°。

##2##. 解方程可得：角 AFD = 180° - 49° - 34°。

##3##. 经过计算，角 AFD = 97°。

##4##. 因此，经过上述推理，最终得出答案为角 AFD 的度数为 97°。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形AFD中，角AFD、角FAD和角ADF是三角形AFD的三个内角，根据三角形内角和定理，角AFD + 角FAD + 角ADF = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1809.png", "question": "如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=25°,则∠AOB的大小是()", "answer": "100°", "process": "1. 已知OC垂直于AB，且OC交⊙O于点C，##设AB 与OC相交于D点##，根据垂径定理，得OC平分弦AB，即##AD=BD##。

2. ##根据半径的定义得OA=OB，OD为共用边，所以根据全等三角形判定定理(SSS)，得△AOD和△BOD全等，根据全等三角形的定义，得∠BOC=∠AOC##。

3. 由题意，已知∠ABC=25°。

4. ##根据圆周角的定义，∠ABC为圆周角，根据圆心角的定义，知∠AOC是圆心角##，根据圆周角定理，##得∠ABC=?∠AOC，则##∠AOC=2∠ABC。

5. 将∠ABC的值代入，得∠AOC=2×25°=50°。

6. ##由图知##∠AOB = ∠AOC + ∠BOC。

7. ##因为##∠AOC = ∠BOC，得∠AOB=2∠AOC。

8. 代入∠AOC的值，得∠AOB=2×50°=100°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOB=100°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 垂线; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A、B是圆上的任意一点，线段OA、OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA、OB是圆的半径，则OA=OB##。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，AB 与OC相交于D点，圆O中，直径OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径OC平分弦AB，即AD = BD，并且直径OC平分弦AB所对的两条弧，即弧AC = 弧CB。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SSS)", "content": "两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。。", "this": "在本题图中，三角形AOD和三角形BOD中，边OA与边OB相等，边AD与边BD相等，边OD与边OD相等，因此根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形AOD和三角形BOD是全等三角形，三角形AOD的对应边和对应角与三角形BOD相等，同时，对应的角也相等：∠BOC=∠AOC##。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧BC对应的圆心角为∠AOC和∠BOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠ABC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ABC = 1/2 ∠AOC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2988/img_diagram.png", "question": "求x。四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "30.7", "process": "1. 已知直角三角形ABC，其中角B为直角，角A的对边为边BC，边AB的长度为11。

2. 角C为21°，所以在直角三角形中，##角ACB##的对边为11，斜边为x。根据##正弦函数定义##，可以使用三角函数中的正弦函数，由于正弦函数的定义为：sin(θ) = 对边/斜边。

3. 对于角C，sin(21°) = ##对边AB##/ 斜边AC，因此有sin(21°) = 11 / x。

4. 查找或计算sin(21°) ≈ 0.3584 。

5. 将sin(21°)的值代入方程，得：0.3584 = 11 / x。

6. 解方程得到x = 11 / 0.3584 ≈ 30.691。

7. 将结果四舍五入到最接近的十分位，得到x ≈ 30.7。

8. 经过上述推理，最终得出答案为30.7。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，∠ACB是锐角，边AB是∠ACB的对边，边AC是斜边。根据正弦函数定义，∠ACB的正弦值等于对边AB与斜边AC的比值，即sin(21°) =AB / AC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角B是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边BC和边AB是直角边，边AC是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2203.png", "question": "如图,有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面,那么圆锥底面的直径是()", "answer": "4cm", "process": "1. 已知扇形的圆心角为120°，半径长为6cm。##根据角度与弧度的换算公式，将圆心角换算成弧度得 θ = 120° × (π/180°) = (2π/3)。根据扇形的弧长公式L = θr（其中L为弧长，θ为弧度制的圆心角，r为半径），则弧长L = (2π/3) × 6 = 4π cm##。

2. 由于将OA、OB重合后形成圆锥侧面，##根据圆锥的展开图##，圆锥底面周长等于扇形的弧长4π cm。

3. 设圆锥底面半径为r，则圆锥底面周长公式为C = 2πr。

4. 根据已知条件，得到等式2πr = 4π，解得r = 2 cm。

5. ##设##圆锥底面直径##为d##，##根据直径的定义##，d= 2r = 2 × 2 = 4 cm。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4 cm。", "elements": "扇形; 圆心角; 圆锥; 圆; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，圆心角度数为120°。"}, {"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形。"}, {"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "圆锥的底面是一个圆形，圆的半径为2 cm，圆心为底面的中心。圆锥的顶点为点O，顶点O与圆心之间的距离为圆锥的高。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点O到圆周上的任意一点的距离为6 cm。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，扇形OAB中，圆心角∠AOB为120°，以弧度制表示则为(2π/3)，半径OA为6 cm。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。因此，弧长L = (2π/3) × 6 = 4π cm。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "圆锥底面是一个圆，设其半径为r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。由于将扇形OA、OB重合后形成圆锥侧面，圆锥底面周长等于扇形的弧长4π cm，因此有2πr = 4π，解得r = 2 cm。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形。扇形的半径是圆锥体的斜高OA，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。因此，扇形的半径OA等于圆锥体的斜高，扇形的弧长AB等于圆锥体底面圆的周长，即2πr，其中r是底面圆的半径。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。", "this": "图形OAB中，∠AOB的角度是120°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即120°*（π/180）。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "d是直径，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即d = 2r。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/159.png", "question": "如图,在△ABC中,∠C=36°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED,AD与BC交于点F,则∠AFC的度数为()", "answer": "84°", "process": "1. 已知∠C = 36°，并且将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED。

2. ##所以∠DAC=60°，点F在边AD上，所以∠FAC=60°##。

3. ##根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角的和为180°，所以∠C+∠FAC+∠AFC=180°##。

4. ##已知∠C = 36°，∠FAC=60°，所以∠AFC=180°-∠C-∠FAC=180°-36°-60°=84°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为84°。", "elements": "旋转; 点; 普通三角形; 内错角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形AFC中，角AFC、角CAF和角FAC是三角形AFC的三个内角，根据三角形内角和定理，角AFC + 角CAF + 角FAC = 180°。"}, {"name": "旋转的定义", "content": "在平面内,把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,旋转的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P_,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。", "this": "三角形DAE是三角形CAB绕定点A逆时针旋转60°得到的。其中点D与点C是对应点，线段AD与AC是对应线段，∠D与∠C是对应角，点A是旋转中心，∠DAC的度数叫做旋转的角度。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2632.png", "question": "如图,在△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5,AC=4,则sinA的值是()", "answer": "\\frac{3}{5}", "process": "1. 由题意，已知△ABC中∠C是直角，根据勾股定理，得出AB##^2##=AC##^2##+BC##^2##。

2. 将已知条件AB=5，AC=4带入到勾股定理中，得到5##^2##=4##^2##+BC##^2##。

3. 计算得出25=16+BC##^2##，因此BC##^2##=9，得出BC=3。

4. 由上面计算结果得出BC=3。

5. 在直角三角形中，sinA的定义是对边长度与斜边长度的比值。

6. 在这种情况下，sinA=BC/AB。

7. 根据上述计算结果和已知条件，得出sinA=3/5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为3/5。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，角∠CAB是锐角，边BC是角∠CAB的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角∠CAB的正弦值等于对边BC与斜边AB的比值，即sin(∠CAB) = BC / AB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB##^2##= AC##^2##+ BC##^2##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/419.png", "question": "如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是()", "answer": "40°", "process": "1. ##根据题意，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，根据旋��的性质，△ODC和△OAB全等，点A与点D，点B与点C分别为对应点，所以∠AOD = ∠BOC=30°。##

####

##2. 已知∠AOC = 100°，∠AOC = ∠AOD + ∠DOB + ∠BOC##

##3. 将已知角度代入等式##，可以得到：100° = 30° + ∠DOB + 30°。

##4##. 通过计算，我们得出：∠DOB = 100° - 30° - 30° = 40°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "旋转; 普通三角形; 普通四边形; 邻补角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "旋转的性质", "content": "1.对应点到旋转中心的距离相等 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3.旋转前、后的图形全等。", "this": "在本题图中，将图形 OAB 绕旋转中心 O 旋转 30° 后得到图形 ODC。根据旋转的性质：1. 对应点（如点 A 与点 D）到旋转中心 O 的距离相等，即 OA = OD；2. 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 30°，即∠AOD = 30°，∠BOC = 30°；3. 旋转前的图形 OAB 与旋转后的图形 ODC 全等，即 图形 OAB ≅ 图形 ODC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3116.png", "question": "如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=65°,则∠DAO+∠DCO=()", "answer": "165°", "process": "1. 已知OA=OB=OC，根据等腰三角形的##定义，三角形OAB和三角形OBC都是等腰三角形##。得出∠OAB=∠OBA和∠OBC=∠OCB。

2. ##已知∠ABC=65°，而∠ABC=∠OBA+∠OBC，因为∠OAB=∠OBA、∠OBC=∠OCB，所以∠ABC=∠OAB+∠OCB=65°##。

3. ##根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°，即∠BAD+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360°。已知∠ABC=∠ADC=65°，所以∠BAD+∠DCB=360°-∠ABC-∠ADC=360°-65°-65°=230°##。

4. 由于∠OAB+##∠OCB=65°，∠BAD=∠OAB+∠OAD，∠DCB=∠OCB+∠OCD##。

5. ##所以∠OAD=∠BAD-∠OAB，∠OCD=∠DCB-∠OCB。则∠DAO+∠DCO=∠BAD-∠OAB+∠DCB-∠OCB=（∠BAD+∠DCB）-（∠OAB+∠OCB）##。

6. ##已知∠BAD+∠DCB=230°，∠OAB+∠OCB=65°，代入∠DAO+∠DCO=（∠BAD+∠DCB）-（∠OAB+∠OCB）得：∠DAO+∠DCO=230°-65°=165°##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为165°。", "elements": "等腰三角形; 圆内接四边形; 普通四边形; 圆周角; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。同样，三角形OBC中，边OB和边OC相等，因此三角形OBC也是一个等腰三角形。######"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形ABCD中，角ABC、角BCD、角CDA和角DAB是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角ABC + 角BCD + 角CDA + 角DAB = 360°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB= 角OBA。同理，等腰三角形OBC中，边OC和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OCB= 角OBC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2405/img_diagram.png", "question": "在下图中，\nangle A B C 被平行线 l 和 m 相交。 \nangle A B C 的度数是多少？请用度数表示你的答案。", "answer": "71", "process": "1. ##过点B做一条直线z，并且直线z平行于直线 l ，已知 l 平行于 m ，根据平行线的传递性可以得到 z 平行于 m。##。

2. ##根据平行线的平行公理2，内错角相等，得到∠ ABC = 38° +33°。##

3. ##所以∠ABC=38°+33°=71°##

####

##4##. 最终角 A B C 的值为71°。", "elements": "平行线; 同位角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "过点B做一条直线z，且直线z平行于两条平行线l和m。直线l和直线z位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线l和直线z是平行线。直线m和直线z位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线m和直线z是平行线。直线l和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线l和直线m是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，过点B做一条直线z，且直线z平行于两条平行线 l 和 m。两条平行线l和z被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：∠ABz和∠BAl相等，即38°。3. 同旁内角：∠ABz和∠BAl的横向互补角互补。两条平行线z和m被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：∠zBC和∠BCm相等，即33°。3. 同旁内角：∠zBC和∠BCm的横向互补角互补##。######"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，过点B做一条直线z，且直线z平行于两条平行线 l 和 m。两条平行直线l和z被一条直线AB截交，其中∠ABz和∠BAl位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此∠ABz和∠BAl是内错角。内错角相等，即∠ABz和∠BAl。两条平行直线z和m被一条直线BC截交，其中∠zBC和∠BCm位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此∠zBC和∠BCm是内错角。内错角相等，即∠zBC和∠BCm。####"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "在本题图中，直线m和直线z分别与直线l平行。根据平行线的传递性，如果直线m平行于直线l，且直线z也平行于直线l，那么直线z和直线m互相平行。因此，直线z平行于直线m。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2614/img_diagram.png", "question": "riangle E F G 是等边三角形，且 E H 平分 \\\\angle E。求 m \\\\angle 2。", "answer": "30", "process": "1.已知条件为△EFG为等边三角形，根据##等边三角形的角性质##，每个角都是60°，即∠EFG、∠FEG、##∠EGF##均为60°。

2. E H是∠GEF的角平分线，##根据角平分线定义，得出∠2=(1/2)∠GEF##。

3. ##已知∠GEF=60°，代入∠2=(1/2)∠GEF得，∠2=(1/2)*60°=30°。##

####

##4##. 最终结果为∠2 = 30°。", "elements": "等边三角形; 内错角; 对称", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形EFG是一个等边三角形。边EF、边FG和边GE的长度相等，并且角EFG、角FEG和角EGF的度数相等，均为60°。"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "在本题图中，角GEF的顶点是点E，从点E引出一条线EH，这条线将角GEF分成两个相等的角，即角GEH和角HEF相等。因此，线EH是角GEF的角平分线。"}, {"name": "等边三角形的角性质", "content": "等边三角形的每一个内角都是60°。", "this": "在本题图中，等边三角形EFG中，边EF、FG和GE相等，因此根据等边三角形的性质，三角形EFG的每一个内角都是60°。也就是说，角EFG、角FEG和角EGF均为60°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2652/img_diagram.png", "question": "a = 14, b = 48, 和 c = 50, 求 \\sin A.", "answer": "0.28", "process": "1. 已知条件为三角形ABC中a = 14, b = 48, c = 50，其中∠C = 90°。

##2. 根据直角三角形的定义可知，三角形ABC为直角三角形。##

####

##3. 根据正弦函数定义，sinA即∠A的对边与斜边的比值，sinA = 对边/斜边。##

####

##4. 因此sinA =a/c = 14/50 = 7/25 = 0.28 ##

##5. 经过上述推理，最终得出答案为0.28。##", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。####"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC角∠BAC是锐角边BC是角∠BAC的对边边AC是斜���根据正弦函数定义，角∠BAC的正弦值等于对边BC与斜边AC的比值，即sin(∠BAC) = BC / AC = a / c = 14 / 50。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2682/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "207.8", "process": "1. ##已知平行四边形的底边长度为12 cm，根据平行四边形的高可知，题中高与底边形成的两个角均为90°。根据直角三角形的定义，在此题中，高的线段与一个60°的角和一个20 cm的侧边形成直角三角形。根据三角形内角和定理可得，该直角三角形的另一锐角为180°-90°-60°=30°。##

2. ##记该直角三角形的斜边为c (其中c = 20 cm), 底边为d, 高为h。根据正弦函数定义可知，sin(60°) = h / 20。因此， h = 20 * sin(60°)。##

####

##3.根据30°-60°-90°三角形的性质能够得到，##sin(60°) = √3/2。因此，h = 20 * √3/2 = 20 * 0.8660254 = 17.32 cm。

##4.## 平行四边形的面积计算公式为：底边长度乘以高（其中高为从底边到对边的垂直距离）。所以，面积A = 底边长度 * 高。

##5. ##在本题中，A = 12 cm * 17.32 cm。

##6. ##经过计算，A ≈ 207.8（四舍五入到小数点后一位）。

##7. ##经过上述推理，最终得出答案为207.8。", "elements": "平行四边形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形是一个平行四边形，底边是12 cm，且有一个侧边是20 cm。两组对边分别平行且相等。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形中，一个角为90°，另一个角为60°，因此，该三角形是一个直角三角形。"}, {"name": "平行四边形的高", "content": "平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。", "this": "平行四边形中，上下两条边平行。从上边的顶点作一条垂直于12cm边的线段，该线段的长度即为平行四边形的高。#"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "在本题图中，平行四边形的底边长为12 cm，对应的高是从底边到对边的垂直距离，##通过计算可得高为17.32 cm##。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长12 cm乘以对应的高17.32 cm，即A = 12 cm × 17.32 cm。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "直角三角形中，60°是锐角，边h是角60°的对边，边20 cm是斜边。根据正弦函数定义，角60°的正弦值等于对边h与斜边20 cm的比值，即sin(60°) = h / 20。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，高h是60°角的对边，20cm边是斜边，根据30°-60°-90°三角形的性质，设短边为1，则h为√3，斜边为2，则sin(60°) = √3/2。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，以20cm边、高h与底边相交形成的三角形中，根据三角形内角和定理，60° + 90° + 另一内角 = 180°，则另一内角为30°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2707/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "180", "process": "1. 已知平行四边形的底边长为15英寸，高为未知值。依据平行四边形的性质，平行四边形的高可以通过直角三角形的性质计算得出。

2. 在平行四边形内作一条从一顶点垂直于对边的辅助线（已在图中显示），将平行四边形分割为一个直角三角形和一个##梯形##。直角三角形的斜边是13英寸，直角边之一是5英寸。

3. 根据勾股定理（也称为毕达哥拉斯定理），在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理公式为：##a^2 + b^2 = c^2##，在此题中c = 13英寸，a = 5英寸，求b。

4. 将已知值代入勾股定理公式：##5^2+ b^2= 13^2，计算得 25 + b^2##= 169，进一步计算得##b^2##= 144，因此b = √144 = 12英寸。

5. 经过上述计算，得出高为12英寸。

6. 根据平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高，因此本平行四边形的面积为15英寸 × 12英寸 = 180平方英寸。

7. 最终答案是平行四边形的面积为180平方英寸。", "elements": "平行四边形; 平行线; 直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形是一个平行四边形，两组对边分别平行且相等。底边长为15英寸，对边也为15英寸。另一组对边分别为13英寸。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "通过从平行四边形的一个顶点画辅助线到对边，形成了一个直角三角形。这个直角三角形中，一个直角边长为5英寸，另一条直角边长为12英寸，斜边长为13英寸。因此，该三角形是一个直角三角形。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，一条直角边长为5英寸，斜边长为13英寸，另一条直角边为高。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 13^2 = 5^2 + 高^2。代入计算得：13^2 = 5^2 + 高^2 -> 169 = 25 + 高^2 -> 高^2 = 144 -> 高 = √144 = 12英寸。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "平行四边形的底边长是15英寸，对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为12英寸。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长15英寸乘以对应的高12英寸，即A = 15英寸 × 12英寸。##"}, {"name": "平行四边形的高", "content": "平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。", "this": "在本题图中，平行四边形中，上下两条边平行。从上边的顶点作一条垂直于下底边的线段，该线段的长度即为平行四边形的高。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/020.png", "question": "在上图中，3 < a < 5 和 6 < b < 8。以下哪一项表示 c 的所有可能值？", "answer": "1 < c < 13", "process": "1. 已知不等式3 < a < 5和6 < b < 8，根据##三角形三边关系定理##，任意一个边长都必须小于其他两个边长之和且大于两边之差####。

2. ##依据三角形三边关系定理，c边应该大于b-a的最小值，显然应该大于1。同理c边应该小于b＋a的最大值，显然应该小于13##。

3.##所以c的范围应该是1 < c < 13。##

####", "elements": "普通三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。a、b和c分别是三角形的三条边。a和b是已知边，在其区间3 < a < 5和6 < b < 8内，c表示第三条边。##"}, {"name": "三角形三边关系定理", "content": "三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边", "this": "边a、边b和边c构成三角形。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即边a + 边b > 边c，边a + 边c > 边b，边b + 边c > 边a。任意两边之差小于第三边，即边a - 边b < 边c，边a - 边c < 边b，边b - 边c < 边a。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2755/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle H.", "answer": "97", "process": "1. 已知五边形EFGHJ，其内角分别为：∠E = x°，∠F = (x + 20)°，∠G = (x + 5)°，∠H = (x - 5)°，∠J = (x + 10)°。

2. ##根据多边形内角和定理##，一个五边形的内角和是：(n - 2) * 180°，其中n为边的数目。在本题中，n = 5，所以五边形的内角和是：(5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°。

3. 设置方程求解内角和等于540°： x + (x + 20) + (x + 5) + (x - 5) + (x + 10) = 540。

4. 合并同类项得到：5x + 30 = 540。

5. 解此方程：5x + 30 = 540，得到：5x = 510，进而 x = 102。

6. 得到各角的值：∠E = 102°，∠F = 122°，∠G = 107°，∠H = 97°，∠J = 112°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为97°。", "elements": "普通多边形; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形内角和定理", "content": "一个多边形的内角之和等于(n - 2) * 180°，其中 n 是多边形的边数。", "this": "多边形EFGHJ中，EFGHJ是一个有n条边的多边形，其中n表示多边形的边数，n=5。该五边形的内角之和等于 (5 - 2) * 180°= 540°。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/043.png", "question": "如果线段BC是圆的半径且线段AB与圆相切，图中线段AB的长度是多少？", "answer": "6*\\sqrt{3}", "process": "##1. 已知BC是圆C的半径，AB是圆C的切线，由圆的切线性质，可得∠CBA=90°。##

2. 已知∠CAB=30°，结合上一步的结论，##根据三角形的内角和定理，推得∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=180°-90°-30°=60°##。

##3. 根据直角三角形的定义，得△ABC为Rt△，且∠ACB=30°，根据30°-60°-90°三角形的性质，可得AB为BC的√3倍，即AB=√3×BC。##

4. 根据已知条件，BC的长度为6，由上一步计算，##AB=√3×6=6√3##。

5. 能经过以上推理步骤，得出AB的长度为##6√3##。", "elements": "切线; 直角三角形; 圆; 正弦", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角CBA是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆C与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是圆C的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆C中，点C是圆心，点B是圆上的任意一点，线段BC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段BC是圆的半径。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角CBA和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角CAB + 角ACB = 180°。##"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆C中，点B是直线AB与圆的切点，线段BC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点B的半径BC垂直，即∠ABC=90°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "三角形ABC是一个30°-60°-90°三角形，其中∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°。边BC是30度角所对的边，边AB是60度角所对的边，边AC是斜边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边AC的一半，边AB等于边BC的√3倍。即：BC = 1/2 * AC，AB = BC * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2788/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 1.", "answer": "70", "process": "1. 已知角35度、角75度和角1所在的##图形##是一个三角形。##设这个三角形为△ABC，##根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180度。

2. 根据已知条件，我们可以写出方程：35度 + 75度 + 角1 = 180度。

3. 求解该方程可以得到：角1 = 180度 - 35度 - 75度 = 70度。

####

##4##. 最终，经过上述步骤，得出##角1##的值为##70度##。", "elements": "对顶角; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边。##"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形中，角35度、角75度和角1是该三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，角35度 + 角75度 + 角1 = 180°。同时，包含角3和角28度的另一个三角形也遵循这一定理，它们的内角和也为180度。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2426/img_diagram.png", "question": "对于一对相似图形，使用给定的面积来求x。", "answer": "8", "process": "1. 已知两图形为相似图形，且第一个图形##ABCD(逆时针顶点顺序A为左��顶点）##的面积为8平方英寸，第二个图形##EFGH(逆时针顶点顺序E为左上顶点）##的面积为32平方英寸。

2. ##由图可得：第一个图形和第二个图形的面积比##为8:32，即1:4。

3. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理得：##长度比的平方为1:4，即(比率)^2 = 1/4。

4. 解出对应的长度比，需要开平方根，故长度比为1:2。

5. 由已知条件，第一个图形的对应边长度为4英寸，使用长度比1:2，则第二个图形对应边x满足 4: x = 1:2。

6. 通过比例计算 x = 4 × 2 = 8。

7. 经过上述推理，最终得出第二个图形x的长度答案为8英寸。", "elements": "普通四边形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "在本题图中，图形ABCD和图形EFGH是相似图形。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即边AD与边EH的比等于边AB与边EF的比。"}, {"name": "相似多边形的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方", "this": "多边形ABCD和多边形EFGH是相似图形，AD边和EH边的比值为4/x，即相似比为4/x。所以，图形EFGH的面积与图形ABCD的面积的比值等于4/x的平方。即：面积比 = （4/x）?。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2821/img_diagram.png", "question": "四边形 A B C D 是一个菱形。如果 A B = 2 x + 3 且 B C = x + 7，求 C D。", "answer": "11", "process": "1. 已知条件为四边形 A B C D 是一个菱形，根据##菱形的定义##，所有的边相等，因此 A B = B C = C D = D A。

2. 已知 A B = 2 x + 3, B C = x + 7，####可得到等式 2 x + 3 = x + 7。

3. 通过解方程 2 x + 3 = x + 7，可以得到 2 x - x = 7 - 3，即 x = 4。

4. 将 x = 4 代入 B C = x + 7，可以得到 B C = 4 + 7 = 11。

5. ##因为CD=BC##，所以 C D = 11。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 C D = 11。", "elements": "线段; 菱形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形 A B C D 是一个菱形，因此四边 AB、BC、CD、DA 都是相等的。即A B = B C = C D = D A。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2465/img_diagram.png", "question": "直线 l, m 和 n 是 riangle P Q R 的垂直平分线，并在 T 点相交。如果 T Q = 2 x, P T = 3 y - 1, 且 T R = 8，求 z。", "answer": "3", "process": "1. ##设直线l与PR的交点为A，##已知直线 l, m, n 是 ##△ PQR## 的垂直平分线，并且它们在点 T 交汇。####

####

##2##. ##因为##点 P 到##点 A ##的距离 z + 4 以及已知 AR = 7。####

##3. 根据垂直平分线的性质，得出AP = AR，因此z + 4 = 7 。##

##4##. 解得 z = 3。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 z = 3。", "elements": "垂直平分线; 直角三角形; 对称; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线l经过线段PR的中点A，并且直线l垂直于线段PR。因此，直线l是线段PR的垂直平分线。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2855/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "\\frac { 5 \\sqrt { 2 } } { 2 }", "process": "1. 在△ABC中，已知∠CAB = 45°，∠ACB = 90°，##根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形，根据正切函数的定义，tan∠CAB=CB/CA=tan45°=1，由图知CB=5，所以CA=CB=5。根据等腰三角形的定义，得直角△ABC为等腰直角三角形。

2. ##根据等腰三角形的性质，得∠CBA=∠CAB=45°##。

3. ##已知CD⊥AB，则∠CDA和∠CDB等于90°。根据直角三角形的定义，△ACD和△CDB都是直角三角形。根据正切函数的定义，tan∠CAD=CD/AD，tan∠DBC=CD/BD，因为∠CAD=∠DBC=45°，tan45°=1，所以y=CD=AD=BD=?AB=?x。

4. ##在等腰直角△ABC中，根据勾股定理，CA?+CB?=AB?，即5?+5?=x?，计算得x=5√2##。

##5. 由此得y=?x=5√2／2##。

##6##. 根据上述推导，我们得出最终的解为 ##y = 5√2／2##。", "elements": "直角三角形; 等腰三角形; 余弦; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边CA和边CB相等，因此直角三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的��相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边CA和边CB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠CBA=∠CAB=45°##。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "等腰直角三角形ABC中，∠ACB是直角（90度），边CA和边CB是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，CA²+CB²=AB²。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，∠ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边CA和边CB是直角边，边AB是斜边。在△ACD和△CDB中，∠CDA和∠CDB等于90°，那么△ACD和△CDB为直角三角形，边AD、CD、BD为直角边，CA、CB为斜边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在本题图中，等腰直角三角形ABC中，∠CAB = 45°，边CB是∠CAB 的相对直角边，边CA是∠CAB 的相邻直角边，所以∠CAB 的正切值等于边CB的长度除以边CA的长度，即tan∠CAB = CB / CA=tan45°=1，所以CA=CB=5。在直角△ACD中，∠CAD=45°，边CD是∠CAD的相对直角边，边AD是∠CAD的相邻直角边，所以∠CAD 的正切值等于边CD的长度除以边AD的长度，即tan∠CAD = CD / AD=tan45°=1，所以AD=CD=y。在直角△BCD中，∠DBC=45°，边CD是∠DBC的相对直角边，边BD是∠DBC的相邻直角边，所以∠DBC"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2489/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle R。", "answer": "58", "process": "####

##1. ##通过对四边形及其角关系的理解，任何四边内角和为 360°（四边形内角和定理），即 ∠R + ∠Q + ∠S + ∠T = 360°。

##2##. 又因为 ∠R = ∠T，所以 2∠R + (2x + 5) + (2x + 7) = 360°。

##3##. 合并角度，得到 2x + 5 + 2x + 7 = 4x + 12，然后 2∠R + 4x + 12 = 360°。

##4##. 整理为 2∠R = 360 - 4x - 12，化简得到 2∠R = 348 - 4x。

##5##. ∠R = 174 - 2x，现在我们需要通过 x 的限定条件来解决 x，求出具体的 x 值。

##6##. ∠R 和 ∠T 相等且为 x°，得出方程 x = 174 - 2x。

##7##. 解方程 x = 174 - 2x 为 3x = 174，即 x = 58°。

##8##. 现得 ∠R = x = 58°，所以最终得出角 ∠R 的度数为 58°。", "elements": "平行四边形; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形QRST由四条线段QR, RS, ST和TQ组成，这些线段称为四边形的边。四边形QRST有四个顶点，分别是点Q, 点R, 点S和点T，并且有四个内角，分别是角Q, 角R, 角S和角T。##"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形 RQTS 中，角 R、角 Q、角 S 和角 T 是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为 360°，即 ∠R + ∠Q + ∠S + ∠T = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2484.png", "question": "如图,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙1.6米,梯上点D距墙1.4米,BD长0.55米,则梯子长为()", "answer": "4.40米", "process": "1. 已知梯子斜靠在墙壁上，设梯子顶端为点A，梯子的底部为点B，且AB为梯子的长度，B点距墙壁底部的距离为BC=1.6米，D点至墙壁的距离为DE=1.4米，##BD##=0.55米。

2. 根据题意，AB和地面以及竖直墙壁形成直角三角形△ABC，而梯子的每级踏板均与地面平行，也就是说DE平行于BC。

3. ##根据平行线分线段成比例定理，因为直线DE与三角形ABC的边BC平行，并截它的其他两边AB和AC，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例，所以AD/AB=DE/BC##。

####

##4##. 设梯子AB的长度为x米，则##（x-0.55）/x = 1.4/1.6##。

##5##. 解这个比例关系方程，可以得出：##1.6（x-0.55）=1.4x，因此x =## 4.4##。

####

##6##. 最后我们得出梯子的长度为4.40米。", "elements": "直角三角形; 线段; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线DE和直线BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DE和直线BC是平行线。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AD/AB=DE/BC，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2549/img_diagram.png", "question": "如果 A E = m - 2, E C = m + 4, A D = 4, 并且 A B = 20, 求 m。", "answer": "4", "process": "1. ##在△ABC中，DE∥BC，根据平行线的平行平行公理2和同位角的定理，可得∠AED=∠ACB。且∠DAE=∠BAC，根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADE∽△ABC##。

2. 已知 AE = m - 2, EC = m + 4, AD = 4, AB = 20，##根据相似三角形的定义，可得AE/AC=AD/AB，且AC=AE+EC=(m-2)+(m+4)=2m+2##。

3. ##将已知条件带入等式可得：(m - 2) / (2m + 2) = 4 / 20 ##。

####

##4. 解方程 (m - 2) * 20 = (2m + 2) * 4。##

##5. 化简方程得到 20m - 40 = 8m + 8。##

##6. 移项并合并同类项得到 20m - 8m = 40 + 8。##

##7. 化简后结果为 12m = 48。##

##8. 解 m = 48/12。##

##9##. 最终得出 m = 4。", "elements": "线段; 三角形的外角; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：\n 1. 同位角：角AED和角ACB相等。\n 这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####"}, {"name": "同位角的定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角AED和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此角AED和角ACB是同位角。同位角相等，即角AED等于角ACB。####"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，如果角AE等于角ACB，且角DAE等于角BAC，所以三角形ADE相似于三角形ABC。####"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ADE和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角DAE = 角BAC, 角AED = 角ACB, 角ADE = 角ABC；AD/AB = AE/AC = DE/BC。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2889/img_diagram.png", "question": "求x的值。四舍五入到十分位。", "answer": "30.2", "process": "1.已知条件为：∠GDF = 125°，DG = 15，GF = 19。根据余弦定理，我们可以利用以下公式来求解x（DF的长度）：DF^2 = DG^2 + GF^2 - 2 * DG * GF * cos(∠GDF)。

2. 将已知条件代入公式：DF^2 = 15^2 + 19^2 - 2 * 15 * 19 * cos(125°)。

3. 计算各项值：15^2 = 225, 19^2 = 361, 2 * 15 * 19 = 570, cos(125°) ≈ -0.5736。

4. 将这些值带入公式：DF^2 = 225 + 361 - 570 * (-0.5736)，即：DF^2 = 225 + 361 + 326.952 = 912.952。

5. 求DF的平方根：x = √912.952 ≈ 30.2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为30.2。", "elements": "普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "余弦定理", "content": "在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边与该角所夹角的两倍余弦乘积，即 ##c?= a? + b?##- 2ab * cos(角C)。", "this": "在本题图中，三角形△DGF中，边DG、GF、DF分别对应三角形的三条边，角∠GDF是由边DG和边GF所夹的角。根据余弦定理，边DF的平方等于另外两边DG和GF的平方之和减去这两边与该角∠GDF所夹角的两倍余弦乘积，即##DF? = DG? + GF?## - 2 * DG * GF * cos(∠GDF)。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2708/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "10.2", "process": "1. 已知这是一个平行四边形，##由图中平行四边形内一角标注一个直角标记，表示这两条线互相��直，即该角为直角。并且和四个边上各画了一条短线，表示这两条边长度相等##。

2. ##根据平行四边形的性质定理和平行四边形的邻角互补定理得，该直角和对角相等，和两个邻角互补，所以四边形内四个角均为直角##。

3. ##根据反推矩形的定义，矩形是一种四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。因为该平行四边形的四个内角都为直角，所以该平行四边形同时也是一个矩形##。

4. ##根据矩形的面积公式，矩形的面积 = 长 * 高。已知该平行四边形的边长为3.2m且四边等长，所以平行四边形的面积 = 3.2 * 3.2=10.24##。根据指定要求将面积保留到小数点后一位, 10.24四舍五入后得到10.2平方米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10.2平方米。", "elements": "平行四边形; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，设该平行四边形为平行四边形ABCD，对角线交点为O。平行四边形ABCD中，对角AC和BD相等，对角B和D相等；边AB和CD相等，边AD和BC相等；对角线AC和BD互相平分，即交点将对角线AC分成两段相等的线段AO和CO，将对角线BD分成两段相等的线段BO和DO。##"}, {"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "##在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等##。##"}, {"name": "平行四边形的邻角互补定理", "content": "在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。", "this": "平行四边形ABCD中，角A和角D是相邻的内角，角C和角D也是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，角A + 角D = 180°，角C + 角D = 180°。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠A, ∠B, ∠C, ∠D都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "在本题图中，矩形的面积等于其长度乘以其宽度。由于图形是一个矩形，其边长均为3.2米，所以面积 = 长 × 宽 = 3.2米 × 3.2米 = 10.24平方米。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3039.png", "question": "如图,点A、B、C是⊙O上的三点,若∠A=40°,则∠BOC的度数是()", "answer": "80°", "process": "1. 已知点A、B、C是圆O上的三点，角A=40°。

2. ##根据圆周角定理##，在圆内，圆心角等于它所对的圆周角的两倍。因此，角BOC=2×角A。

3. 具体到本题中，角BOC=2×40°。

4. 计算得出，角BOC=80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "elements": "圆周角; 圆心角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆O中，点O是圆心，半径为OB、OC。图中所有到点O的距离等于OB、OC的点都在圆O上。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2587/img_diagram.png", "question": "求 \\\\angle 2 的度数。", "answer": "76", "process": "1. 我们需要计算##∠2##的角度。

2. 首先，结合三角形的内角和定理，该定理指出三角形的内角和为180°。

3. 考虑第一个三角形，其中已知两角分别为47°和57°。

4. 根据三角形的内角和定理计算第三个内角∠1的度数：180° - 47° - 57° = 76°。

5. 由题目中的图形，我们观察到 ##∠1 和 ∠2是对顶角## 。

6. ##根据对顶角的定义，因此有∠1 = ∠2##。

7. 因此，##∠2##的度数为76°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为76°。", "elements": "对顶角; 三角形的外角; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形中，角47°、角57°和角1是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，角47° + 角57° + 角1 = 180°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两个角：∠1、∠2。根据对顶角的定义，∠1 和 ∠2 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠1 = ∠2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3333.png", "question": "如图,A、B、C三点在圆上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是弧BAC的中点,连结DB,DC,则∠DBC的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 在△ABC中，已知∠ABC=70°，∠ACB=30°。根据三角形内角和定理，得出∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-30°=80°。

2. 因为D是弧BAC的中点，所以##弧BD=弧CD。由图可知∠DCB为弧BD的圆周角，∠DBC为弧CD的圆周角。已知弧BD=弧CD，则∠DCB=∠DBC##。

3. ##根据等腰三角形的定义，已知∠DCB=∠DBC，则三角形BDC为等腰三角形##。

####

##4. 根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角的和为180°。在三角形BDC中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°##，因为根据圆周角定理推论1，有：∠BDC=∠BAC=80°。则##∠DBC=(1/2)×(180°-∠BDC)= (1/2)×(180°-80°)=50°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 圆周角; 弧; 中点; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。圆O中，角BDC的顶点(点D)在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BDC是一个圆周角。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。三角形BDC是由三个非共线点D、B、C及其连接线段BC、BD、DC组成的几何图形。点D、B、C分别是三角形的三个顶点，线段BC、BD、DC分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形BDC中，边BD和边CD相等，因此三角形BDC是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ABC、角ACB和角BAC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角ACB + 角BAC = 180°。##同理，三角形DBC中，角DBC、角DCB和角BDC是三角形DBC的三个内角，根据三角形内角和定理，角DBC + 角DCB + 角BDC = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形DBC中，边DB和边DC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角DBC = 角DCB。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "圆O中，弧BC对应的圆周角∠BAC和∠BDC相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧BC相对应的圆周角∠BAC和∠BDC相等，即∠BAC=∠BDC。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2736/img_diagram.png", "question": "线段与圆相切。求 x 的值。", "answer": "3", "process": "1. ##已知线段WX与线段XY分别和圆Z相切于W和Y，连接WZ、ZY、ZX。##。

2. ##根据圆的切线定义和圆的切线性质，切线WX和切线XY分别与经过切点W、切点Y的半径WZ和半径YZ垂直，即∠ZWX=90°，∠ZYX=90°##。

3. ##根据直角三角形的定义，△WZX和△ZYX为直角三角形##。

4. ##因为WZ和ZY为圆Z的半径，所以WZ=ZY。根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），∠ZWX=∠ZYX=90°，ZX=ZX，WZ=ZY，直角三角形WZX和直角三角形ZYX全等。##。

5. ##根据全等三角形的定义，直角三角形WZX和直角三角形ZYX全等，所以WX=XY，即2x+9=3x+6##。

6. 简化方程：##3x-2x=9-6##。

7. 求解该方程：##x=3##。

####

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 3。", "elements": "线段; 圆; 切线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆 Z 与直线 WX 有且只有一个公共点 W，这个公共点叫做切点。因此，直线 WX 是圆 Z 的切线。圆 Z 与直线 XY 有且只有一个公共点 Y，这个公共点叫做切点。因此，直线 XY 是圆 Z 的切线。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆Z中，点W是直线WX与圆的切点，线段WZ是圆的半径。根据圆的切线性质，切线WX与经过切点W的半径WZ垂直，即∠ZWX=90度。圆Z中，点Y是直线XY与圆的切点，线段ZY是圆的半径。根据圆的切线性质，切线XY与经过切点Y的半径ZY垂直，即∠ZYX=90度。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆Z中，点Z是圆心，点W是圆上的任意一点，线段WZ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段WZ是圆的半径。圆Z中，点Z是圆心，点Y是圆上的任意一点，线段YZ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段YZ是圆的半径。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角ZWX是直角（90度），因此三角形ZWX是一个直角三角形。边ZW和边WX是直角边，边ZX是斜边。角ZYX是直角（90度），因此三角形ZYX是一个直角三角形。边ZY和边YX是直角边，边ZX是斜边。####"}, {"name": "直角三角形全等判定（斜边、直角边）", "content": "如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。", "this": "在本题图中，直角三角形ZWX和直角三角形ZYX中，假设角ZWX和角ZYX都是直角（90度）。如果边ZX等于边ZX（斜边），并且边ZW等于边ZY（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形ZWX和ZYX全等。####"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ZWX和三角形ZYX是全等三角形，三角形ZWX的对应边和对应角与三角形ZYX相等，即：\n边WZ = 边ZY，\n边WX = 边YX，\n边ZX = 边ZX，\n同时，对应的角也相等：\n角ZWX = 角ZYX，\n角WZX = 角YZX，\n角WXZ = 角YXZ."}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2624/img_diagram.png", "question": "m \\angle 9 = 2 x - 4, m \\angle 10 = 2 x + 4。求 \\angle 10 的度数。", "answer": "94", "process": "1. 已知条件为##∠9## = 2x - 4和##∠10## = 2x + 4##，设竖向线段为AB，横向线段为CD，两条线段相交于O点##。

2. ##根据邻补角的定义∠9和∠10互为邻补角。##所以我们可以建立方程(2x - 4) + (2x + 4) = 180。

3. 简化方程得到4x = 180。

4. 由此得到x = 45。

5. 将x的值45代入∠10的表达式##∠10## = 2x + 4中，得到##∠10## = 2(45) + 4 = 90 + 4 = 94。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠10的度数为94度。", "elements": "对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，∠9和∠10有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，所以∠9和∠10互为邻补角。因此根据定理可以有∠9 + ∠10 = 180度。具体为(2x - 4) + (2x + 4) = 180度。"}, {"name": "角的定义", "content": "角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。", "this": "在本题图中，角9是由两条射线BO和CO组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点O。这个共同的端点O称为角9的顶点，而射线BO和CO称为角9的边。同理，角10是由两条射线AO和CO组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点O。这个共同的端点O称为角10的顶点，而射线AO和CO称为角10的边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2875/img_diagram.png", "question": "求 P S。", "answer": "9", "process": "1. 已知条件为：PR是三角形PQS的高，PR垂直于SQ，SQ=14，PQ=9，QR=7，SR=7。

2. ##因为PR垂直于SQ，所以∠PRQ=∠PRS=90°，根据直角三角形的定义可判定三角形PRQ和三角形PRS都是直角三角形##。

3. \n##由于RQ和SR均为7，则RQ=SR。三角形PRQ和三角形PRS又共用PR为直角边。根据全等三角形判定定理(SAS)，因为RQ=SR，PR=PR，∠PRQ=∠PRS=90°，所以三角形PRQ≌三角形PRS##。

##4. 根据全等三角形的定义，两个三角形的对应边相等，所以PS=PQ，已知PQ=9，所以PS=9##。

####", "elements": "等腰三角形; 垂线; 直角三角形; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形PRS是由三个非共线点P、R、S及其连接线段PR、PS、SR组成的几何图形。点P、R、S分别是三角形的三个顶点，线段PR、PS、SR分别是三角形的三条边。三角形PRQ是由三个非共线点P、R、Q及其连接线段PR、PQ、QR组成的几何图形。点P、R、Q分别是三角形的三个顶点，线段PR、PQ、QR分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形PQR中，角PRQ是直角（90度），因此三角形PQR是一个直角三角形。边PR和边QR是直角边，边PQ是斜边。三角形PSR中，角PRS是直角（90度），因此三角形PSR是一个直角三角形。边PR和边SR是直角边，边PS是斜边。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。", "this": "边PR与边PR相等，边SR与边QR相等，且夹角PRS与夹角PRQ相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形PRQ和三角形PRS是全等三角形，三角形PRQ的对应边和对应角与三角形PRS的相等，即：\n边PS = PQ\n边PR = PR\n边SR = QR，\n同时，对应的角也相等：\n角PRS = PRQ\n角PSR = PQR\n角SPR = QPR。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/222.png", "question": "如图,在菱形ABCD中,M,N分别为AB、CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()", "answer": "62°", "process": "1. 已知四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，AB平行且等于CD，AD平行且等于BC。

2. 已知点M和点N分别在边AB和边CD上，且AM等于CN。连接MN，并延长MN使其与AC相交于点O。连接BO。

3. 在△AMO和△CNO中，有∠MAO=∠NCO（##内错角##相等），∠AMO=∠CNO（##内错角##相等），AM=CN（已知），

4. 根据ASA（角边角）全等三角形判定法，可以得出△AMO≌△CNO。

5. 由于对应边相等，所以AO=CO。

6. 又根据菱形ABCD的性质，AB=BC，并且菱形的对角线互相垂直平分。

7. 所以，BO垂直AC，并交于O点，得∠BOC=90°。

8. 已知∠DAC=28°，由于BC平行AD，所以∠BCA=∠DAC=28°（##内错角##相等）。

9. 在△BOC中，由于BO垂直AC，∠BOC=90°，所以∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°。

10. 经过上述推理，最终得出∠OBC的度数为62°。", "elements": "菱形; 内错角; 等腰三角形; 平行线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA；对角线AC与BD互相垂直且平分，即对角线AC和BD相交于点O，且角AOB、BOC、COD、DOA都是直角（90度），并且AO=OC和BO=OD。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的��称为内错角。", "this": "在本题图中，AC截AD和BC，其中∠DAC和∠BCA位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此∠DAC和∠BCA是内错角。内错角相等，即∠DAC=∠BCA。同理，MN截AB和CD，其中∠MAO和∠OCN位于两平行线之间，且在截线MN的对侧，因此∠MAO和∠OCN是内错角。内错角相等，即∠MAO=∠OCN。同理，MN截AB和CD，其中∠AMO和∠CNO位于两平行线之间，且在截线MN的对侧，因此∠AMO和∠CNO是内错角。内错角相等，即∠AMO=∠CNO。##"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题中，AD平行且等于BC，即AD∥BC。同时，AC截AD和BC，形成的内错角∠DAC=∠BCA，AB平行且等于CD，即AB∥CD。同时，MN截AB和CD，形成的内错角∠AMO=∠CNO，∠MAO=∠OCN。"}, {"name": "全等三角形判定定理(ASA）", "content": "如果一个三角形的两角和它们夹着的一边分别等于另一个三角形的两角和它们夹着的一边，则这两个三角形全等。", "this": "三角形AOM和三角形CON中，∠AMO=∠CNO，∠MAO=∠OCN，且边AM等于边CN。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形AMO全等于三角形CNO。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3624.png", "question": "如图,已知圆周角∠BAD=50°,那么圆周角∠BCD的度数为()", "answer": "130°", "process": "1. ##有图知，点A、B、C、D都在圆O上，根据内接四边形，得##四边形ABCD内接于圆O。

2. 根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，∠BAD与∠BCD互补，即∠BAD + ∠BCD = 180°。

3. 已知∠BAD = 50°，代入前一步的方程得到：50° + ∠BCD = 180°。

4. 解方程得：∠BCD = 180° - 50° = 130°。

5. 因此，圆周角∠BCD的度数为130°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即∠BAD + ∠BCD = 180度，∠ABC + ∠ADC = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°；∠ABC + ∠ADC = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2782/img_diagram.png", "question": "求解 x。", "answer": "14", "process": "1. ##设三角形三个顶点分别为A、B、C，已知∠CAB=30°，∠ACB=90°。根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形##。

2. ##根据三角形内角和定理，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°##。

3. ##依据30°-60°-90°三角形的性质，60°角所对的边是短边的√3倍，即AC=√3*BC##。

4. ##已知AC=14√3，BC=14√3/√3=14，即x=14##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 14。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ABC、角ACB和角BAC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角ACB + 角BAC = 180°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边14√3和边x是直角边，边y是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "���本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角BAC是30度，角ABC是60度，角ACB是90度。边AB是斜边，边BC是30度角所对的边，边AC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边AB的一半，边AC等于边BC的√3倍。即：BC = 1/2 * AB，AC = BC * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2646/img_diagram.png", "question": "求 \\\\angle A 的度数，精确到十分位。", "answer": "41.8", "process": "1. ##根据直角三角形定义，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，边 BC 和边 AC 是直角边，边 AB 是斜边##。

2. 已知边 BC=18，边 AB=27。根据##正弦函数定义##，∠CAB 的正弦值为对边与斜边的比，即 ##sin(∠CAB)= BC/ AB=18/27##。

3. 通过计算，##sin(∠CAB)=18/27=2/3##。

4. 使用反正弦函数（表示为 sin^{-1} 或 ##arcsin##），可以求得 ∠CAB 的具体度数为 ##sin^{-1}(2/3)##。

5. 计算## sin^{-1}(2/3)##，##精确到十分位##，得到 ∠CAB 的近似值为 41.8°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠CAB ≈ 41.8°，##即∠A 的度数约为41.8°##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，在 △ABC 中，∠ACB 是直角（90度），因此 △ABC 是一个直角三角形。边 BC 和边 AC 是直角边，边 AB 是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形 ABC 中，∠CAB 是锐角，边 BC 是∠CAB 的对边，边 AB 是斜边。根据正弦函数定义，∠CAB 的正弦值等于对边 BC 与斜边 AB 的比值，即 sin(∠CAB) = BC / AB = 18 / 27。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2883.png", "question": "我们知道,如果两个锐角的和等于一直角,那么这两个角互为余角,简称互余．如图,∠A与∠B互余,且有:sinA=\\frac{∠A的对边}{斜边}=\\frac{a}{c},\\cosB=\\frac{∠B的邻边}{斜边}=\\frac{a}{c},因此知sinA=\\cosB,注意到在△ABC中,∠A+∠B=90°,即∠B=90°-∠A,∠A=90°-∠B,于是有:sin(90°-A)=\\cosA,\\cos(90°-A)=sinA．试完成下列选择题:如果α是锐角,且\\cosα=\\frac{4}{5},那么sin(90°-α)的值等于()", "answer": "\\frac{4}{5}", "process": "1. 已知∠α是锐角，且cosα=##4/5##。

2. 根据锐角互余特性，设∠α的互余角为∠B，则∠B=90°-∠α。

3. ##根据余弦函数，cos(∠α)=b/c。根据正弦函数，sin(∠B)=b/c，所以cos(∠α)=sin(∠B)。已知∠B=90°-∠α，则cos(∠α)=sin(90°-∠α)##。

4. 将已知条件cosα=##4/5##代入上式，得到sin(90°-∠α)=##4/5##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##4/5##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角B是锐角，边AC是角B的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin(B) = AC / AB = b / c。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是角∠α的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠α的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(∠α) = AC / AB = b / c。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2899/img_diagram.png", "question": "如果 C W = W F 且 E D = 30，求 D F?", "answer": "15", "process": "1. ##两边延长WF交劣弧ED于点X，交优弧ED于点Y，由直径定义可知，XY是圆W的直径##。

2.##已知XY⊥ED，由垂径定理可知，XY平分ED，EF＝FD＝ED/2##

3.##因为ED＝30，所以FD＝30/2＝15##

####", "elements": "圆; 弦; 垂线; 垂直平分线; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧", "this": "圆W中，直径XY垂直于弦ED，那么根据垂径定理，直径XY平分弦ED，即EF=FD，并且直径XY平分弦ED所对的两条弧，即弧EXD=弧EYD。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "点E��点D是圆上的任意两点，线段ED连接了这两个点，所以线段ED是圆的弦，且已知ED = 30。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径", "this": "XY是直径，连接了圆心O和圆周上的X、Y两点，长度为2倍的半径，即XY＝2WX。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/489.png", "question": "如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM．若∠AOC=70°,则∠CON的度数为()", "answer": "55°", "process": "1. 已知ON垂直于OM，##根据垂线定义##，得出∠MON=90°。

2. 由已知OM平分∠AOC，且∠AOC=70°，根据角平分线定义，得出##∠MOC=∠AOM=?∠AOC=?*70°##=35°。

3. ##由图知∠MON=∠MOC+∠CON##，得出∠CON=∠MON-∠MOC。

4. 代入数值，∠CON=90°-35°=55°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为55°。", "elements": "对顶角; 射线; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线ON和直线OM相交形成的角∠MON是90度，因此根据垂线定义，直线ON和直线OM互相垂直。"}, {"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角AOC的顶点是点O，从点O引出射线OM，这条射线将角AOC分成两个相等的角，即∠AOM和∠MOC相等。因此，射线OM是角AOC的角平分线。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2511/img_diagram.png", "question": "求x的值。四舍五入到十分位。", "answer": "14.1", "process": "1. ##由图知三角形有两个相等的边长为x，斜边为20，且有一个角是直角，根据等腰直角三角形的定义，得图为等腰直角三角形##。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，即##等腰直角三角形##的两个直角边的平方和等于斜边的平方，可以写出方程：x^2 + x^2 = 20^2。

3. 计算方程：2x^2 = 400 => x^2 = 200。

4. 取x的正值（因为边长不能为负），得x =## √(200)##。

5. 进一步计算得出x ≈ 14.142，最后根据要求四舍五入到最近十分位，x ≈ 14.1。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x ≈ 14.1。", "elements": "直角三角形; 等腰三角形; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "等腰直角三角形中，设两直角边为x和x，斜边为20，根据勾股定理，x^2 + x^2 = 20^2。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "其中一个角是直角（90度），两条相等的直角边分别为x，斜边为20。根据等腰直角三角形的定义，可得此图为等腰直角三角形。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2812/img_diagram.png", "question": "四边形 W X Y Z 内接于 \\\\odot V。求 m \\\\angle X。", "answer": "120", "process": "1. ##已知条件为四边形 WXYZ 四个顶点内接于圆 V，则WXYZ 是圆V的内接四边形。∠ YZW = 60°。##

2. ##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，圆内接四边形对角的内角和等于 180 度。因此可以得出 ∠WXY + ∠WZY = 180° 和 ∠XWZ + ∠XYZ = 180°。##

####

##3. 由 ∠WXY + ∠WZY = 180° 可得：∠WXY = 180° - ∠WZY = 180° - 60° = 120°。##

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠WXY = 120°##。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形 WXYZ 的四个顶点 W、X、Y、Z 都在圆 V 上。因此，四边形 WXYZ 是一个内接四边形。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形 WXYZ 内接于圆 V。因此，∠WXY + ∠WZY = 180° 和 ∠XWZ + ∠XYZ = 180°。根据定理，∠XWZ + ∠XYZ = 180° 可得 ∠XYZ = 180° - ∠XWZ = 180° - 95° = 85°，∠WXY + ∠WZY = 180° 可得 ∠WXY = 180° - ∠WZY = 180° - 60° = 120°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2673/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot R 中，求 T V。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "18.44", "process": "1. ##已知R为圆 R 的圆心，点T，U，V在圆 R上，UR为圆 R的半径。根据圆的定义，UR =TR = VR；根据弦的定义，TV为圆R上的一条弦；TV垂直于 UR 且交于点 S，根据垂径定理，TS = SV。##

2. ##已知 US = 5 且 SR = 6，那么 TR = UR = VR = US +SR = 5 + 6 = 11。##

####

3. ##由于TV垂直于 UR 且交于点 S，根据直角三角形的定义，三角形TSR为直角三角形。根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得，TS^2+SR^2=TR^2，即TS^2+6^2=11^2。##

####

##4. 计算出: TS = √(121 - 36) = √85 ≈ 9.22。##

##5. 已知 TS =SV，因此计算 TV 为： TV = 2 * TS =2 * 9.22 = 18.44。##

####

##6. ## 将 TV 的值四舍五入到最近的百分位，最终计算结果是 18.44。", "elements": "圆; 垂线; 直线; 直角三角形; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆R中，点T和点V是圆上的任意两点，线段TV连接了这两个点，所以线段TV是圆R的弦。####"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图的圆中，点R是圆心，半径为UR，点T，U，V在圆R上，那么UR = TR = VR。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角TSR是直角（90度），因此三角形TSR是一个直角三角形。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "∠TSR 是直角（90°），边 TS 和 SR 是直角边，边 TR 是斜边，所以根据勾股定理，TS^2+SR^2=TR^2。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "UR垂直于弦TV，UR为半径=1/2直径，那么根据垂径定理，UR平分弦TV，即TS = SV。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆R中，点R是圆心，点T、点U、点V是圆上的任意一点，线段RT、RU、RV是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段RT、RU、RV是圆的半径。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3153.png", "question": "如图,AB是⊙O直径,∠D=33°,则∠AOC的度数是()", "answer": "114°", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，∠BDC=33°。

2. 圆周角定理告诉我们同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠BOC=2∠BDC=66°。

3. AB是直径，因此∠AOB=180°。

4. ##∠AOC##+∠BOC=180°，由此可得∠AOC=180°-∠BOC。

5. 将∠BOC的值代入，得∠AOC=180°-66°=114°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为114°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。同样，点B和点C是圆上的两点，连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BDC的顶点D在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BDC是一个圆周角。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点B、D、C在圆上，弧BC与弧BDC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BDC。根据圆周角定理，∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，角BOC和角AOC有一���公共边OC，它们的另一边OA和OB互为反向延长线，所以角BOC和AOC互为邻补角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1626.png", "question": "如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,∠B=50°,求∠DAE的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，∠B=50°。

2. 根据三角形内角和定理，△ABC中∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-50°=40°。

3. 由于AD⊥BC于点D，##根据垂线定义，所以∠ADC=90°。

####

##4##. 在△ADC中，已知∠ADC=90°，∠C=40°。

##5##. 根据三角形内角和定理，△ADC中∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-40°=50°。

7. 由于AE平分∠DAC，##根据角平分线定义，因此∠DAE=1/2*∠DAC=1/2×50°=25°##。

8. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "直角三角形; 垂线; 普通三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角DAC的顶点是点A，从点A引出一条线AE，这条线将角DAC分成两个相等的角，即∠DAE和∠EAC相等。因此，线AE是角DAC的角平分线。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AD和直线BC相交形成的##角∠ADC##是90度，因此根据垂线定义，直线AD和直线BC互相垂直。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ABC、角BAC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BAC + 角BCA = 180°。三角形ADC中，角ADC、角DAC和角DCA是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ADC + 角DAC + 角DCA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3442.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,∠ADC的度数是35°,则∠BOC的度数是()", "answer": "110°", "process": "1. 已知∠ADC的度数是35°，根据圆周角定理，得出##∠AOC## = 2 × ∠ADC = 2 × 35° = 70°。

2. 由于AB是直径，根据##平角定义##得出∠AOC + ∠BOC = 180°。

3. 由∠AOC = 70° 和 ∠AOC + ∠BOC = 180°，得出∠BOC = 180° - 70° = 110°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为110°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中点A、B、C、D在圆上，弧AC与弧ADC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。根据圆周角定理，∠AOC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠ADC的一半，即∠AOC = 2 × ∠ADC。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ADC的顶点(点D)在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ADC是一个圆周角。##"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线x绕着端点x旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2826/img_diagram.png", "question": "四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\\\angle 1 = 30，求 \\\\angle 3 的度数。", "answer": "60", "process": "1. 已知条件为四边形 WXYZ 是一个矩形，##设对角线 WZ 和 YX 相交于 O，根据矩形的对角线性质，在矩形中，对角线相等且互相平分，因此 WZ =XY，WO = ZO = XO = YO。##

####

##2. 由于四边形 WXYZ 是矩形，根据矩形的定义，∠WXZ = 90°。已知∠1 = 30°，那么∠2= 90°- 30° =60°。##

##3. 已知ZO = XO，根据等腰三角形的定义，三角形XOZ为等腰三角形；又根据等腰三角形的性质可得，∠2 =∠3。##

##4. 由以上内容可知，∠2 =∠3 =60°。##

####

##5. 经过以上计算，∠3 =60°。##", "elements": "矩形; 邻补角; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形 WXYZ 是一个矩形，其内角 ∠WXZ、∠XZY、∠ZYW、∠YWX 都是直角（90度）。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "在本题图中，矩形WXYZ中，边WX与边YZ平行且相等，边WY与边XZ平行且相等。对角线WZ和XY相等且互相平分，即对角线WZ与对角线XY的交点O是两条对角线的中点。因此，线段WO等于线段ZO，线段YO等于线段XO。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形XOZ中，边XO和边ZO相等，因此三角形XOZ是一个等腰三角形。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形XOZ中，边XO和边ZO相等，因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠2 = ∠3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3573.png", "question": "如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果它的一个外角∠DCE=64°,那么∠BOD=()", "answer": "128°", "process": "1. 已知四边形ABCD内接于圆O，##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得出∠BAD + ∠BCD = 180°。

2. ##由平角的定义得∠BCD + ∠DCE = 180° ，又因为## ∠DCE = 64°得到∠BCD = 116°。

3. 因∠BAD + ∠BCD = 180°，所以∠BAD = 180° - 116° = 64°。

4. ##根据圆周角定理##，故∠BOD = 2 × ∠BAD = 2 × 64° = 128°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为128°。", "elements": "圆; 圆内接四边形; 三角形的外角; 对顶角; 圆心角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。 因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧BD与弧BAD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线BC绕着端点C旋转到与起始边成一条直线，形成平角BCE。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角BCE=180度。####"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点ABCD都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2966/img_diagram.png", "question": "在给定的平行四边形中找到 z。", "answer": "4.5", "process": "1. ##设平行四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，两条对角线AC和BD相交于点O##。

2. ##已知条件为给定图形是一个平行四边形，根据平行四边形的性质定理，我们知道对角线相交时互为平分##。

3. ##根据上一步可得：AO=OC，又由图可知AO=3z - 4，OC= z + 5 ##。

4. 通过等式 3z - 4 = z + 5 设立方程，##整理方程：3z - z = 5 + 4##。

5. ##这简化为 2z = 9##。

6. ##进一步简化得到 z = 4.5##。

7. ##经过上述推理，最终得出答案为 z = 4.5##。

####", "elements": "平行四边形; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形中，对角∠ABC和∠ADC相等。对角线AC和BD互相平分，即交点将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC，将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2910/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "6 \\sqrt { 6 }", "process": "1. ##设三角形为三角形ABC，图中在AB和AC两条线的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直。所以角BAC为直角三角形，斜边为BC。图中过点A有一条线段连接BC，设交点为点D。图中也在AD和BC两条边的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直，即AD⊥BC，所以∠ADB和∠ADC都是直角##。

2. ##根据直角三角形的定义，因为∠ADB=∠ADC=90°，所以三角形ADB和三角形ADC都是直角三角形##。

3. ##根据直角三角形中斜边上的高性质，因为AD⊥BC，所以AD为直角三角形ABC的斜边BC上的高，所以斜边上的高所形成的两个三角形与原三角形相似，即三角形ADB相似于三角形ABC，三角形ADC相似于三角形ABC，所以三角形ADB相似于三角形ADC##。

4. ##根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边成比例，所以CD/AD=AD/BD。已知CD=x，AD=36，BD=6x，代入为：x/36=36/6X，交叉相乘得：6x^2=36^2##。

5. 解方程：##6x^2=36^2 ，6x^2=1296，x^2=216，x=√216=6√6##。

####", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AD、AB、BD组成的几何图形。点A、B、D分别是三角形的三个顶点，线段AD、AB、BD分别是三角形的三条边。三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AC、AD、DC组成的几何图形。点A、D、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AD、DC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，##在本题图中，三角形ABC中，角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。三角形ABD中，角ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AD和边BD是直角边，边AB是斜边。三角形ADC中，角ADC是直角（90度），因此三角形ADC是一个直角三角形。边AD和边CD是直角边，边AC是斜边##。######"}, {"name": "直角三角形中斜边上的高性质", "content": "在直角三角形中，斜边上的高所形成的两个三角形与原三角形相似", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角BAC是直角（90度），从顶点A向斜边BC作高AD。根据直角三角形中斜边上的高性质，高AD将直角三角形ABC分成两个新的直角三角形ADB和ADC。三角形ADB相似于三角形ABC，三角形ADC也相似于三角形ABC。因此，三角形ADB ? 三角形ABC，三角形ADC ? 三角形ABC，且三角形ADB ? 三角形ADC。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ADB和三角形ADC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ADB = 角ADC，角BAD = 角DAC，角ABD = 角CAD；CD/AD = AD/BD = AC/AB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/120.png", "question": "如图,△ABC≌△ADE,若∠B=70°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为()", "answer": "45°", "process": "1. 已知角B等于70度，角C等于30度，根据三角形内角和定理，得出∠BAC##=180度-角B-角C=180度-70度-30度##，即∠BAC = 80度。

2. 由已知条件△ABC全等于△ADE，根据##全等三角形的定义##，得到∠EAD等于∠BAC，因此∠EAD等于80度。

3. 因为∠EAC等于∠EAD减去∠DAC，即∠EAC = 80度减去35度，所以∠EAC等于45度。

4. 经过上述推理，最终得出答案为45度。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内��的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角B、角C和角BAC是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角B + 角C + 角BAC = 180°，即∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形ADE是全等三角形，三角形ABC的对应边和对应角与三角形ADE相等，即：\n边AB = 边AD\n边BC = 边DE\n边CA = 边AE\n同时，对应的角也相等：\n角BAC = 角DAE\n角ABC = 角ADE\n角BCA = 角DEA。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2451.png", "question": "如图,一同学在湖边看到一棵树,他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远,该同学的身高为1.7m,则树高为()m．", "answer": "5.1", "process": "1. 如图，一名学生在湖边看到一棵树，他测量到自己与树的距离为20米，树的顶端在水中的倒影距离他5米，他的身高为1.7米。

2. 我们可以将树的高度设为x米。

3. 根据题意，树和人形成了两个相似的直角三角形。通过相似三角形的性质，两三角形的对应边成比例，可以得到：[树的倒影距离] / [人与树的距离减去倒影距离] = [人的身高] / [树的高度]。

4. 设立比值关系，等式为：\\( \\frac{5}{20-5} = \\frac{1.7}{x} \\)。

5. 计算得出：\\( 5 \\times x = 1.7 \\times 15 \\)。

6. 进一步计算 x = \\( \\frac{1.7 \\times 15}{5} \\)。

7. 最终结果是 x = 5.1。

8. 因此，树高为 5.1 米。", "elements": "普通三角形; 反射; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABC（A为树顶，B为树底，C为倒影点）和三角形DEF（D为同学的眼睛，E为同学的脚，F为倒影点）是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAC = ∠EDF, ∠BCA = ∠DFE, ∠ABC = ∠DEF；AB/DE = BC/EF = AC/DF。即，##5/(20-5) = 1.7/x##.######"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，在本题图中，三角形ABC和三角形DEF中，如果角DEF等于角BAC，且角DEF等于角ABC，所以三角形ABC相似于三角形DEF。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2944/img_diagram.png", "question": "四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\\\angle 1 = 30，求 \\\\angle 2 的度数。", "answer": "60", "process": "1. 已知条件为WXYZ是矩形。##依据矩形的定义可知，∠WXZ为矩形的一个内角，所以∠WXZ＝90°##

2.##由于∠WXZ＝∠1＋∠2，∠1＝30°，∠WXZ＝90°，整理可得∠2＝60°##。

3.##经过上述推理，最终得出答案为60度##。

####", "elements": "矩形; 对顶角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形WXYZ是一个矩形，其内角∠WXZ, ∠XZY, ∠ZYW, ∠YWX都是直角（90度），且边WX与边YZ平行且等长，边WY与边XZ平行且等长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2979/img_diagram.png", "question": "求正多边形的面积。四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "23.4", "process": "1. 题中已知正六边形边长为3米。根据正六边形的定义，正六边形可以分割为6个全等的等边三角形。

2. 每个等边三角形的边长均为3米，由三角形内角和定理得出一个等边三角形的每个内角为60度。

3. 如图所示，以顶点B为中心点，连接相邻两个顶点A和C，得到等边三角形ABC。其中AD垂直于BC，且##AD##=DC。##在三角形BCD中，由三角形内角和定理可知∠BDC=180°-90°-60°=30°，根据30°-60°-90°三角形的性质##，BC的一半即##DC##等于1.5米。

4. 利用勾股定理计算BD####的长度，其中勾股定理的表达式为c^2 = a^2 + b^2。设B到D的垂直高度为h，则(3)^2 = (1.5)^2 + h^2。解得####h = 1.5√3。

5. 接下来计算每个等边三角形的面积。等边三角形的面积A可以通过公式A = 1/2 * 基底 * 高度，其中基底为3米，高度为1.5√3米。因此等边三角形的面积为1/2 * 3 * 1.5√3 ≈ 3.9平方米。

6. 整个正六边形由六个等边三角形组成，面积为6乘以其中一个等边三角形的面积。所以正六边形��面积为6 * 3.9 ≈ 23.4平方米。

7. 因此，最终得出正六边形的面积约为23.4平方米。", "elements": "正多边形; 直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正六边形", "content": "正六边形是一种每个内角都相等且每条边的长度都相等的六边形。", "this": "正六边形中，每个内角都相等且每条边的长度都相等。具体来说，正六边形的每个内角都是120度，每条边的长度相等，即AB=BC=CD=DE=EF=FA=3米。正六边形可以分割为6个全等的等边三角形。"}, {"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "三角形ABC是一个等边三角形。边AB、边BC和边CA的长度相等，均为3米，并且角BAC、角ABC和角BCA的度数相等，均为60°。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从顶点B垂直于对边AC的线段BD是该顶点B的高。线段BD与边AC形成一个直角（90度），这说明线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形BCD中，角∠BDC、角∠BCD和角∠DBC是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠BDC+ 角∠BCD+ 角∠DBC = 180°。"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "直线BD经过线段AC的中点D，并且直线BD垂直于线段AC。因此，直线BD是线段AC的垂直平分线。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形BCD中，∠BDC是直角（90度），边BD和DC是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC^2 = BD^2 + DC^2。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "边AC是底，线段BD是高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于底边AC乘以高BD再除以2，即面积 = (AC * BD) / 2 = (3 * 1.5√3) / 2 ≈ 3.9平方米。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1506.png", "question": "如图,∠1=∠2,∠3=30°,则∠4等于()", "answer": "150°", "process": "1. 已知∠1=∠2。##根据同位角定义##，直线a与直线b是平行的。

2. ##因为直线a与直线b平行，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，即∠3+∠4=180°##。

3. ##已知∠3=30°，代入上式可得30°+∠4=180°，则∠4=180°-30°##。

####

##4. 计算得出∠4=150°##。

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为∠4等于150°。", "elements": "平行线; 内错角; 同位角; 三角形的外角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同位角定义", "content": "当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。", "this": "在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线d截交，其中角∠1和角∠2位于截线d的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角∠1和角∠2是同位角。同位角相等，即角∠1等于角∠2。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线a和b被第三条直线c所截，两角3和4在截线c同侧，且在被截线a和b之内，所以角3和4是同旁内角。同旁内角3和4互补，即角3 + 角4 = 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，直线a和直线b是平行的，直线c和d是截线，形成了以下几何关系：1. 同位角：∠1和∠2相等。2. 同旁内角：∠3和∠4互补，即∠3 + ∠4 = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线a和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线a和直线b是平行线。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1933.png", "question": "如图,已知∠α=130°,则∠β=()", "answer": "40°", "process": "1. 已知∠α = 130°。

2. ##设小三角形为三角形ABC，已知∠ABC=90°，根据三角形的外角定理，∠BCA=∠α-∠ABC=130°-90°=40°。

3. ##根据对顶角的定义，∠BCA=∠β=40°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "邻补角; 对顶角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角α是三角形的一个外角，角ABC和角BCA是与外角α不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角α等于不相邻的两个内角ABC和BCA之和，即角α = 角ABC + 角BCA。####"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线相交于点C，形成四个角。根据对顶角的定义，角BCA和角β是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角BCA=角β。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/359.png", "question": "如图:AB∥DE,∠B=30°,∠C=110°,∠D的度数为()", "answer": "100°", "process": "1. 过点C作辅助线CF，使CF∥AB。

2. 由于AB∥DE，根据平行线的传递性，得知AB∥DE∥CF。

3. 由于∠B = 30°，∠BCF与∠B互为内错角，根据##平行线的平行公理2##，得出∠BCF = 30°。

4. 由已知条件∠C = 110°，可以得出∠DCF = ∠C - ∠BCF = 110° - 30° = 80°。

5. ##已知∠D和∠DCF互为同旁内角，根据平行线的平行公理2，∠D＝180°-∠DCF＝100°##

6. ##经过上述推理，最终得出∠D的度数为100°##。

####", "elements": "平行线; 同位角; 内错角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线DE位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线DE是平行线。CF作为辅助线也与AB和DE平行。"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "直线DE和直线CF分别与直线AB平行。根据平行线的传递性，如果直线DE平行于直线AB，且直线CF也平行于直线AB，那么直线DE和直线CF互相平行。因此，直线DE平行于直线CF。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "两条平行直线AB和CF被一条直线BC截交，其中角ABC和角BCF位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角ABC和角BCF是内错角。内错角相等，即角ABC等于角BCF。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线CF和DE被第三条直线CD所截，两角FCD和CDE在截线CD同侧，且在被截线CF和DE之内，所以角FCD和CDE是同旁内角。同旁内角FCD和CDE互补，即角FCD + 角CDE = 180度。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CF被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：内错角：角ABC和角BCF相等。两条平行线CF和DE被第三条直线CD所截，形成了以下几何关系：同旁内角：角FCD和角CDE互补，即角FCD + 角CDE = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2088.png", "question": "如图,圆锥的母线长为5cm,高线长为4cm,则圆锥的底面积是()", "answer": "9πcm^{2}", "process": "1. ##设图中虚线形成的三角形的三个顶点分别为A、B、C##。

2. ##由图可得AB垂直BC，则∠ABC为90度。根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形。在直角三角形ABC中##，其斜边为圆锥的母线，直角边分别为圆锥的高和底面的半径。

3. ##已知圆锥的母线AC长度为5厘米，高AB线长度为4厘米##。根据勾股定理，设底面圆的半径为r则有：##5? = r?+4?##。

4. 计算得：r = √(25 - 16) = √9 = 3 (厘米)

5. ##由图可得##，圆锥的底面积为底面圆的面积，##根据圆的面积公式 = π * r?##

6. 代入半径r的值，得：圆锥的底面积 = π * ##3?## = 9π (平方厘米)

7. 经过上述推理，最终得出答案为9π (平方厘米)。", "elements": "圆锥; 直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "圆锥的底面是下方的圆形，圆的半径为3厘米，圆心为底面圆的中心。圆锥的顶点为上方的点，顶点与圆心之间的距离为圆锥的高，记作4厘米。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点到圆周上的任意一点的距离为母线长度，记作5厘米。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr^2。通过题目计算得到半径r = 3厘米，因此底面积为π * 3^2 = 9π平方厘米。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "底面圆的半径为从底面圆心到圆周上任意一点的线段，通过计算得到半径为3厘米。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，圆锥的母线、垂直高线和底面圆的半径构成一个直角三角形。圆锥的母线为斜边，垂直高线和底面圆的半径为直角边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形的斜边为母线长5厘米，直角边分别为高线长4厘米和底面圆的半径r。根据勾股定理，5² = r² + 4²，因此r = √(5² - 4²) = 3厘米。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2500.png", "question": "如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA′:A′A=2:1,四边形A′B′C′D′的面积为12cm^{2},则四边形ABCD的面积为()", "answer": "27cm^{2}", "process": "1. ##已知四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，即特殊的相似图形##，且OA′:A′A=2:1。

2. ##因为OA=OA'+AA'，所以##，OA′:OA=2:3。

3. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理，得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为(2:3)?=4:9##。

4. 根据已知四边形A′B′C′D′的面积为##12 cm?##，因此四边形ABCD的面积为##12 cm?× (9/4) = 27 cm?##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##27 cm?##。", "elements": "位似; 普通四边形; 点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似##多边形##的面积比等于相似比的平方定理", "content": "如果两个相似##多边形##的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。", "this": "四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，边OA'和边OA的比值为2/3，所以四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积的比值就是（2/3）²即4/9。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2657.png", "question": "在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=1,则sinB的值是()", "answer": "\\frac{√{3}}{2}", "process": "1. 已知Rt△ABC中，##∠C##=90°，且AB=2，BC=1。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，在##直角三角形ABC##中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即##AB? = AC? + BC? ##。

3. 将已知条件代入，得到##2? = AC? + 1? ##，即4 = ##AC? ##+ 1。

4. 解这个方程，得##AC? ## = 3，所以AC = √3。

5. 根据##正弦函数定义##，##sin∠B ##= 对边/斜边，其中对边为AC，斜边为AB。

6. 因此，##sin∠B##= AC/AB = √3/2。

7. 经过上述推理，最终得出答案为√3/2。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，∠B是锐角，边AC是∠B的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，∠B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin∠B = AC / AB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角C是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB² = AC² + BC²。根据题目条件AB=2，BC=1，代入数据得2² = AC² + 1²，即4 = AC² + 1，从而得出AC² = 3，得出AC = √3。"}]} +{"img_path": "geos_test/official/009.png", "question": "在上图中，四个圆有相同的圆心，它们的半径分别是1, 2, 3和4。小阴影环的面积与大阴影环的面积的比是多少？", "answer": "03:07", "process": "1. 已知四个圆同心，半径分别为1, 2, 3, 和4。小阴影环的面积为半径为2的圆的面积减去半径为1的圆的面积。

2. 大阴影环的面积为半径为4的圆的面积减去半径为3的圆的面积。

3. 根据圆的面积公式A = πr^2，对于小阴影环，其面积为π(2^2) - π(1^2) = π(4 - 1) = 3π。

4. 对于大阴影环，其面积为π(4^2) - π(3^2) = π(16 - 9) = 7π。

5. 计算小阴影环面积与大阴影环面积的比值，即3π/7π。

6. 经过化简，得到比值为3/7。

7. 因此，最终得出结论，小阴影环与大阴影环的面积比为3:7。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "四个圆同心，圆的半径分别为1、2、3和4。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr^2。具体计算如下：半径为1的圆面积A_1=π(1^2)=π，半径为2的圆面积A_2=π(2^2)=4π，半径为3的圆面积A_3=π(3^2)=9π，半径为4的圆面积A_4=π(4^2)=16π。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2408/img_diagram.png", "question": "如果 X N = 6, X M = 2, 和 X Y = 10, 求 N Z.", "answer": "24", "process": "1. 已知条件为XN = 6, XM = 2, XY = 10，##从图中可以看到边MN和边YZ上标有平行标识，即MN∥YZ##。

2. ##根据平行线分线段成比例定理，因为在三角形YXZ中有一条直线MN与三角形YXZ的一条边YZ平行，并截它的其他两边XY和XZ，所以直线MN截得的线段与原三角形YXZ相对应的线段成比例，即XM/XY = XN/XZ ##。

3. ##已知 X N = 6, X M = 2, 和 X Y = 10，将已知值代入：XM/XY = XN/XZ可得：2/10=6/XZ，交叉相乘得：XZ=6*10/2=30##。

####

##4. 因为XZ=XN+NZ##，我们可以推导出 NZ = XZ - XN = 30 - 6 = 24。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 NZ = 24。", "elements": "直角三角形; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形YXZ是由三个非共线点Y、X、Z及其连接线段XY、XZ、YZ组成的几何图形。点Y、X、Z分别是三角形的三个顶点，线段XY、XZ、YZ分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线MN和直线YZ位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线MN和直线YZ是平行线。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "直线MN与边YZ平行，并截它的其他两边XY和XZ于点M和点N，那么根据平行线分线段成比例定理，有：线段XM/线段XY= 线段XN/线段XZ，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2532/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "35", "process": "1. 根据题目图形，该图为一个圆，其中有四个角，分别是150°、85°、90°和x°，四个角在圆心处相交，##根据圆心角的定义，得四个角是圆心角##。

2. ##根据圆心角的性质##，得圆心角之和=周角，根据周角的定义，周角=360°，那么圆心角之和=周角=360°，因此可以通过方程将这些角的和表达为360°。

3. ####则有150° + 85° + 90° + x° = 360°。

4. 通过计算，150° + 85° + 90° = 325°。

5. ##解方程325° + x° = 360°##。

6. 计算得##x° = 360° - 325°=35°##。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为##x = 35##。", "elements": "圆; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数", "this": "在本题图中，根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，由于整个圆周对应360°，因此所有圆心角的和等于周角等于360°。"}, {"name": "周角的定义", "content": "一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角。", "this": "射线绕着端点旋转一周，形成周角。根据周角的定义，周角的度数为360度。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆心O，四个圆心角分别是150°、85°、90°和x°，这些角的顶点在圆心O，并且各角的两边均为圆的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2688/img_diagram.png", "question": "求平行四边形中的 t 值。", "answer": "7", "process": "1. 已知条件为##四边形 WXZY## 是一个平行四边形。##根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角线互相平分，设中心交点为点O##，因此有 ##OW = OZ 和 OY = OX##。

2. 根据图中的标注，已知 ##OW = 8 和 OZ = 2t - 6##。由于##对角线互相平分##，我们有## OW = OZ##，即 8 = 2t - 6。

3. 解方程 8 = 2t - 6，首先将 6 移动到左边，得到 8 + 6 = 2t。

4. 将两边相加得到 14 = 2t。

5. 为了求解 t，将方程两##边##除以 2，得到 t = 7。

6. 经过上述推理步骤，最终得出答案为 t 的值是 7。", "elements": "平行四边形; 点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形 WXZY是一个平行四边形，这意味着WX 平行且等于 YZ，同时WY 平行且等于 XZ。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "平行四边形WXZY中，对角YWX和YZX相等，对角WXZ和WYZ相等；边WX和YZ相等，边WY和XZ相等；对角线WZ和XY互相平分，即交点将对角线WZ分成两段相等的线段OW和OZ，将对角线XY分成两段相等的线段OX和OY。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2439/img_diagram.png", "question": "求 m \\\\angle R S T.", "answer": "55", "process": "1. ##根据图片可得RS = RT，根据等腰三角形的定义，三角形RST为等腰三角形，且角SRT=70°##。

2. 在等腰三角形RST中，依据等腰三角形的性质，##相等边所对的角相等，所以∠RST=∠RTS##。

3. 设∠RST = ∠RTS = x，则根据三角形内角和定理（即三角形的三个内角之和等于180°），有:x + x + 70° = 180°。

4. 解这个方程得到:2x + 70° = 180°，则2x = 110°，所以x = 55°。

5. 因此，∠RST = 55°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠RST = 55°。", "elements": "等腰三角形; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形RST中，边RS和边RT相等，因此三角形RST是一个等腰三角形。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，##三角形RST##中，角∠RST、角∠RTS和角∠SRT是##三角形RST##的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠RST + 角∠RTS + 角∠SRT = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形RST中，边RS和边RT相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角RST = 角RTS。####"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2572/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle M P Q。", "answer": "101", "process": "1. 已知条件为，在△MNP中，##∠PNM## = 45°，##∠PMN## = 56°。

2. 根据三角形内角定理，该定理表述为：三角形内角和为180°（即，任何三角形的三个内角的度数和是180°）。在本题中，我们可以用这个定理计算出未给出的角##∠MPN##。

3. 根据三角形内角定理，可以求出##∠MPN = 180° - ∠PNM - ∠PMN## = 180° - 45° - 56° = 79°。

4. 注意到���Q, P, N共线，由此可知直线QPN构成一个平角，平角为180°。

5. ####因此可以得到##∠MPQ + ∠MPN## = 180°。

6. 将具体数值带入，得出##∠MPQ ##+ 79° = 180°。

7. 由此可得##∠MPQ## = 180° - 79° = 101°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为##∠MPQ ##= 101°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形MNP中，角MPN、角MNP和角PMN是三角形MNP的三个内角，根据三角形内角和定理，角MPN + 角MNP + 角PMN = 180°。"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度", "this": "射线PQ绕着端点P旋转到与起始边成一条直线，形成平角QPN。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角QPN=180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2714/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle B。", "answer": "120", "process": "1. ##已知图中四边形ABCD的四个内角度数，根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，即x°+2x°+2x°+x°=360°##。

2. ##简化得：6x=360，所以x=60##。

3. ##将已求得x的值代入∠B=2x°，最终算得：∠B=120°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠B##=120°。", "elements": "梯形; 邻补角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和AD组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D，并且有四个内角，分别是角A, 角B, 角C和角D。######"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，角A、角B、角C和角D是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2478/img_diagram.png", "question": "如果 \\triangle L M N \\sim \\triangle Q R S, Q R = 35, R S = 37, S Q = 12, 并且 N L = 5, 求 \\triangle L M N 的周长。", "answer": "35", "process": "1. 已知 △ L M N 和 △ Q R S 相似，相似三角形的对应边成比例。##因此 N L/S Q= L M/Q R =M N/R S##。

2. 代入已知数据 N L = 5, S Q = 12, Q R = 35, R S = 37，##得到 5/12 = L M/35 = M N/37##。

3. 通过比例关系求解 L M，##得到 L M = 5/12 × 35 = 175/12##。

4. 再通过比例关系求解 M N，##得到 M N = 5/12 × 37 = 185/12##。

5. △ L M N 的周长是三边之和，##即 5 + 175/12 + 185/12##。

6. 计算三角形周长，##首先将 5 算成 60/12，然后三边之和为 60/12 + 175/12 + 185/12##。

7. 得到的和为 ##420/12## = 35。

8. 因此，△ L M N 的周长为 35.", "elements": "普通三角形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，由于已知 △LMN 相似于 △QRS，可以直接应用该定理得出 NL, SQ, LM, QR, MN 和 RS 成比例，即：NL/SQ = LM/QR = MN/RS。通过代入已知数值，得到 5/12 = LM/35 = MN/37。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形NLM的三边分别为NL、LM、MN，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=NL+LM+MN。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2604/img_diagram.png", "question": "求解 x。", "answer": "15", "process": "1. ##根据直角三角形定义，图中三角形有一个直角，所以该三角形为直角三角形##，其中一条直角边长为9，另一条直角边长为x-3，斜边长为x，####应用勾股定理可得x^2 = (x-3)^2 + 9^2。

2. 展开并简化方程式x^2 = (x-3)^2 + 81，首先计算(x-3)^2得到x^2 - 6x + 9。

3. 将x^2 = x^2 - 6x + 9 + 81重新组合，得到x^2 = x^2 - 6x + 90。

4. 消去方程式中的x^2项，得到0 = -6x + 90。

5. 解方程0 = -6x + 90，得到6x = 90。

6. 求得x = 15。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为15。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形包含一个90度的角，表示为红色直角符号的角。该直角三角形的两条直角边分别为9和x-3，斜边为x。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，一条直角边长为9，另一条直角边长为x-3，斜边长为x。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即##x^2 = (x-3)^2 + 9^2##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2758/img_diagram.png", "question": "梯形 G H J K 的面积为 75 平方米。求高。", "answer": "5", "process": "1. 已知梯形 G H J K 的面积为 75 平方米，根据##梯形面积公式##：“梯形面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2”，##作高KD垂直GH，再##设梯形的高为 h 米。

2. 梯形 G H J K 的上底 G H 长 17 米，下底 K J 长 13 米，将这些已知值代入到梯形面积的公式中，得到：75 = (17 + 13) * h / 2。

3. 计算公式中的括号内的部分：17 + 13 = 30，将30代替公式中的括号部分，得出：75 = 30 * h / 2。

4. ##交叉相乘##，得到：75 * 2 = 30 * h。

5. 计算出左边的75 * 2=150，##则有##：150 = 30 * h。

6. 将公式两边同时除以30，得到：h = 150 / 30。

7. 计算出 150 / 30 = 5，得出：h = 5。

8. 经过上述推理，最终得出梯形 G H J K 的高为 5 米。", "elements": "梯形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，四边形 G H J K 中，边 G H 和边 K J 是平行的，而边 G K 和边 H J 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 G H J K 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "梯形面积公式", "content": "给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。", "this": "梯形 G H J K 中，边 G H 和边 K J 是两条平行边，边 G H 长 17 米，边 K J 长 13 米，设它们之间的高度为 h 米，所以梯形的面积为 (G H + K J) * h / 2。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "顶点K垂直于对边GH（或其延长线）的线段KD是顶点K的高。线段KD与边GH（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段KD是从顶点K到对边GH（或其延长线）的垂直距离。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2852/img_diagram.png", "question": "求 A B。", "answer": "4.1", "process": "1. ##已知CD=CB，且AC⊥BD，所以∠ACD=∠ACB=90°。##。

2. ##根据直角三角形的定义，因为∠ACD=∠ACB=90°，所以三角形ABC和三角形ADC都是直角三角形。又根据全等三角形判定定理(SAS)，因为BC=DC，∠ACD=∠ACB=90°，两个三角形共用AC做为直角边，所以ΔABC≌ΔADC##。

3. 由于##ΔABC≌ΔADC，根据全等三角形的定义，所以边AB等于边AD，而ΔADC中的边AD的长度为4.1，所以AB=AD=4.1##。

4. 所以经过上述推理步骤，####得出AB = 4.1。", "elements": "直角三角形; 垂线; 线段; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AC、AD、DC组成的几何图形。点A、D、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AD、DC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。三角形ADC中，角ACD是直角（90度），因此三角形ADC是一个直角三角形。边AC和边DC是直角边，边AD是斜边。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么��两个三角形全等。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形ADC中，边BC与边DC相等，边AC与边AC相等，且夹角ACB与夹角ACD相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形ABC和三角形ADC是全等三角形，三角形ABC的对应边和对应角与三角形ADC相等，即： 边BC = 边DC 边AB = 边AD 边AC = 边AC，同时，对应的角也相等： 角BCA = 角DCA 角BAC = 角DAC 角ABC = 角ADC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2628/img_diagram.png", "question": "在 \\odot M 中，F L = 24，H J = 48，且 m \\widehat H P = 65。求 N J。", "answer": "24", "process": "1. 已知 FL = 24 ，HJ = 48 ，且 ##∠HNP## = 65°。要求出 NJ。

2. ##根据半径的定义可得：线段MK和线段MP均为圆M的半径。##

3. ##已知MK垂直FG于一点L，MP垂直HJ于一点N，根据垂径定理得：MK垂直平分FG，MP垂直平分HJ。##这意味着 N 为 HJ 的中点， NJ = 1/2 * HJ。

4. 因为 HJ = 48，计算可得 NJ = 48 / 2。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 24。", "elements": "圆; 直角三角形; 圆周角; 中点; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆 M 中，点 F 和点 G是圆上的任意两点，线段 FG连接了这两个点，所以线段 FG 是圆 M 的弦。同理，点 H 和点 J 是圆上的任意两点，线段 HJ连接了这两个点，所以线段 HJ 是圆 M 的弦。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆M中，点M是圆心，点K是圆上的任意一点，线段MK是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段MK是圆的半径。同样地，点M是圆心，点P是圆上的任意一点，线段MP是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段MP是圆的半径。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "半径KM所在直径、半径MP所在直径分别垂直于弦 FG 和 HJ，那么根据垂径定理，半径KM所在直径、半径MP所在直径分别 平分弦 FG 和 HJ，即 FG= 2 * FL 和 HJ = 2 * NJ，并且半径KM所在直径、半径MP所在直径分别 平分弦 FG 和 HJ 所对的两条弧，即弧 FK = 弧 KG 和弧 HP = 弧 JP。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "线段HJ的中点为点N。根据线段中点的定义，点N将线段HJ平分为两个相等的部分，即线段HN和线段NJ的长度相等。即，HN = NJ。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2789/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot T 中，Z V = 1，且 T W = 13。求 X Y。", "answer": "10", "process": "1. 根据题目条件，##圆T是一个圆，且ZV和TV##是该圆半径的一部分。

2. 知道 Z V = 1 并且 T W = 13，我们需要找到线段长 X Y 。

3. 从图中可知，TV ⊥ ZV，TV 为直径所在直线的一部分。这意味着 ##角XVT 是直角##。

4. ##根据直角三角形的定义，三角形XVT为直角三角形。已知XT、ZT为圆T的半径，ZV=1，TW=13，所以XT=13，VT=13-1=12##。

5. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），直角三角形XVT中，XT^2=XV^2+VT^2。已知XT=13，VT=12，所以XV^2=XT^2-VT^2=169-144=25，开根可得：XV=5##。

6. ##根据垂径定理，半径ZT垂直平分弦XY，所以XY等于两倍的XV，即XY=2XV，所以XY=2*5=10##。

####", "elements": "圆; 垂直平分线; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆T中，点T是圆心。图中所有到点T的距离等于半径的点都在圆T上。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "点T是圆心，点W是圆上的任意一点，线段TW是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段TW是圆的半径。同理，圆T中，点T是圆心，点X是圆上的任意一点，线段TX是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段TX是圆的半径。同理，圆T中��点T是圆心，点Z是圆上的任意一点，线段TZ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段TZ是圆的半径。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "圆T中，点X和点Y是圆上的任意两点，线段XY连接了这两个点，所以线段XY是圆T的弦。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形XVT是由三个非共线点X、V、T及其连接线段XT、XV、VT组成的几何图形。点X、V、T分别是三角形的三个顶点，线段XT、XV、VT分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形XVT中，角XVT是直角（90度），因此三角形XVT是一个直角三角形。边XV和边VT是直角边，边XT是斜边。##"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形XVT中，∠XVT是直角（90度），边XV和TV是直角边，边XT是斜边，所以根据勾股定理，XT^2=XV^2+VT^2。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆T中，半径ZT垂直于弦XY，那么根据垂径定理，半径ZT平分弦XY，即XV=VY，并且半径ZT平分弦XY所对的两条弧，即弧ZX=弧ZY。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2881/img_diagram.png", "question": "求 E G 如果 G 是 \\triangle A B C 的内心。", "answer": "5", "process": "1. 已知G是三角形ABC的内心，根据三角形内心定义可知FG=EG。

2.在直角三角形CFG中，CG=13，CF=12，根据勾股定理可知FG=√（13?-12?）=5 。

3. 因此，EG=FG=5，经过上述推理，最终得到答案为EG = 5。
", "elements": "普通三角形; 点; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内心", "content": "三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点G是三角形的内心。三角形的内心是由三角形的三个内角平分线交于一点而成的。具体来说，角BAC的平分线、角ABC的平分线和角ACB的平分线相交于点G。点G是三角形内切圆的圆心，且到三角形的三条边的距离相等。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形CGF中，∠GFC是直角（90度），因此三角形CGF是一个直角三角形。边CF和边GF是直角边，边CG是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形CGF中，∠GFC是直角（90度），边CF和边GF是直角边，边CG是斜边，所以根据勾股定理，CG? = CF? + GF?。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2663/img_diagram.png", "question": "梯形 G H J K 的面积为 188.35 平方英尺。如果 H J 为 16.5 英尺，求 G K。", "answer": "26.8", "process": "1. 已知梯形 G H J K 的面积是 188.35 平方英尺，H J 的长度是 16.5 英尺，##设 H 到 G K 的垂直高度为HL， H L = 8.7 英尺##。

2. 根据梯形面积的公式，梯形面积 = 1/2 * (上底 + 下底) * 高，即 188.35 = 1/2 * (HJ + GK) * 高。

3. 在这个公式里，上底 H J 的长度是 16.5 英尺，高 HL 是 8.7 英尺，我们可以将这些值带入公式：188.35 = 1/2 * (16.5 + G K) * 8.7。

4. 首先，计算 1/2 * 8.7 = 4.35，所以公式可以简化为 188.35 = 4.35 * (16.5 + G K)。

5. 计算 4.35 * 16.5 = 71.775，因此公式进一步简化为 188.35 = 71.775 + 4.35 * G K。

6. 将 71.775 从 188.35 中减去，以求出 4.35 * G K 的值：188.35 - 71.775 = 116.575。

7. 最后，通过除法求出 G K 的值：##G K = 116.575 / 4.35 ≈ 26.8##。

8. 因此，经过以上步骤的详细推理，得到答案为 G K = 26.8 英尺。", "elements": "梯形; 平行线; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "在本题图中，四边形 G H J K 中，边 G K 和边 H J 是平行的，而边 G H 和边 J K 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 G H J K 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从顶点H垂直于对边GK（或其延长线）的线段HL是该顶点H的高。线段HL与边GK（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段HL是从顶点H到对边GK（或其延长线）的垂直距离，高度为8.7英尺。####"}, {"name": "梯形面积公式", "content": "给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。", "this": "在本题图中，梯形 G H J K 中，边 HJ 和边 GK 是两条平行边，边 HL 是它们之间的高度，所以梯形的面积为 (HJ + GK) * HL / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2817/img_diagram.png", "question": "求三角形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "54", "process": "1. 已知这是一个直角三角形，其中一条直角边为 12 英尺，另一条直角边为 9 英尺，斜边为 15 英尺。

2. 根据直角三角形的面积公式，面积等于两条直角边乘积的一半。直角三角形的面积公式是：面积 = 1/2 * 底 * 高。

3. 在此题中，底为 12 英尺，高为 9 英尺，因此面积 = 1/2 * 12 英尺 * 9 英尺。

4. 计算得到：面积 = 1/2 * 108 平方英尺 = 54 平方英尺。

5. 因此，直角三角形的面积是 54 平方英尺。", "elements": "直角三角形; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边12英尺和边9英尺是直角边，边15英尺是斜边。"}, {"name": "直角三角形的面积", "content": "直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。", "this": "在本题图中，直角三角形中，直角位于底边和高的交点处，其中底边为 12 英尺，高为 9 英尺，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 12 英尺 * 9 英尺 = 54 平方英尺。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2924/img_diagram.png", "question": "求 \\\\cos C。", "answer": "\\frac { 4 } { 5 }", "process": "1. ##由图可得，∠BAC=90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形##，在直角三角形ABC中，AB=3，BC=5。

2. 依据勾股定理，直角三角形的两直边的平方和等于斜边的平方。可知在直角三角形ABC中，AB^2 + AC^2 = BC^2。

3. 将已知数据代入勾股定理，3^2 + AC^2 = 5^2，可化简为9 + AC^2 = 25。

4. 解方程得AC^2 = 16，故AC = 4。

5. 根据余弦函数，cos C = 邻边长 / 斜边长 = AC / BC。

6. 将已知数据代入，cos C = 4 / 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4/5。", "elements": "直角三角形; 余弦; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是∠BCA的邻边，边BC是斜边。因此，根据余弦函数的定义，∠BCA的余弦值等于邻边AC与斜边BC的比值，即cos(∠BCA) = AC / BC。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题中，直角三角形ABC中，∠BAC是直角（90度），边AB和边AC是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，BC² = AB² + AC²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2946/img_diagram.png", "question": "如果 F G H J 是一个风筝，求 m \\angle G F J。", "answer": "80", "process": "1. 已知四边形 FGHJ 是一个风筝，##根据生活常识可知，风筝为对称图形，依据对称性可得∠F=∠H##。

2. ##根据四边形内角和定理可知，四边形 FGHJ内角和为360°，因此∠F+∠H=360°-∠G-∠J=360°-128°-72°=160°##。

3. ##因为∠F=∠H，所以∠F=∠H=80°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠GFJ = 80°##。", "elements": "菱形; 对称; 等腰三角形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "对称性", "content": "对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。", "this": "四边形 FGHJ具有对称性。具体来说，四边形 FGHJ关于直线GJ对称，直线GJ就是四边形 FGHJ的对称轴。四边形 FGHJ的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分，故∠F=∠H。##"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形FGHJ中，角GFH、角GHJ、角HJF和角FGH是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角GFH + 角GHJ + 角HJF + 角FGH = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/165.png", "question": "如图,直线AB∥CD,Rt△DEF如图放置,∠EDF=90°,若∠1+∠F=70°,则∠2的度数为()", "answer": "20°", "process": "1. ##已知直线AB∥CD，根据同旁内角的定义，可以得出∠ABD和∠BDC为一组同旁内角，根据平行线的平行公理2可得，∠ABD和∠BDC互补，即∠ABD + ∠BDC = 180°。##

2. ##已知∠1 + ∠F = 70°, 设∠1所对应的点为点G，在△GFB中，∠ABD为其外角，根据三角形的外角定理， ∠ABD = ∠1 + ∠F，因此可以得出∠ABD = 70°。##

3. 根据步骤1, ∠ABD + ∠BDC = 180°, 代入已知条件可得70° + ∠BDC = 180°， 由此可以解出∠BDC = 110°。

4. ##已知∠EDF = 90°，∠BDC=∠2 +∠EDF=110°，可以得∠2 = ∠BDC - ∠EDF = 110° - 90°##

5. 经过计算，得出∠2 = 20°。", "elements": "平行线; 直角三角形; 内错角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线AB和CD被第三条直线DF所截，∠ABD和∠BDC为在截线DF同侧，且在被截线AB和CD之内，所以∠ABD和∠BDC是同旁内角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "直线AB∥CD，直线BD是横截线，形成了以下几何关系：同旁内角：∠ABD和∠BDC互补，即∠ABD + ∠BDC = 180度。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "在本题图中，三角形GFB中，角ABD 是三角形的一个外角，角BGF和角F是与外角ABD 不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角ABD等于不相邻的两个内角∠BGF和∠F之和，即∠ABD = ∠1 + ∠F。"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "角1所在的小三角形的一个内角为∠ACF，延长该内角的相邻边FB和AB形成的角∠ABD称为内角∠ABF的外角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2466.png", "question": "如图,AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯,梯脚B到墙脚C的距离1.6m,梯上一点D到墙面的距离1.4m,BD长0.5m,则梯子的长为()", "answer": "4m", "process": "1. 已知梯脚B到墙脚C的距离为1.6米，梯上一点D到墙面的距离为1.4米，BD长0.5米。

2. ##根据平行线分线段成比例定理，因为直线DE与三角形ABC的边BC平行，并截它的其他两边AB和AC，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例，所以AD/AB=DE/BC##。

####

##3##. 设梯子的长度为x米，则AB = x米，##AD## = x - 0.5米，BC = 1.6米，##DE## = 1.4米。

##4##. 由相似三角形的比例关系可得：(x - 0.5)/x = 1.4/1.6。

##5##. 解上述方程，去分母得到1.6(x - 0.5) = 1.4x。

##6##. 展开并移项得1.6x - 0.8 = 1.4x。

##7##. 化简得0.2x = 0.8。

##8##. 解此方程得x = 4。

##9##. 经过上述推理，最终得出梯子的长度为4米。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线DE和直线BC位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线DE和直线BC是平行线。"}, {"name": "平行线分线段成比例定理", "content": "如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并���它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。", "this": "三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：AD/AB=DE/BC，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3071.png", "question": "已知如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠CDB=40°,则∠CBA的度数为()", "answer": "50°", "process": "1. 根据题意我们知道AB是⊙O的直径。连接AC##形成三角形ACB##。

2. ##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，∠ACB=90°。

3. 题目中给出∠CDB=40°。##根据圆周角的定义，知∠CDB和∠CAB是对同一弧CB的两个圆周角，根据##圆周角定理推论1，得∠CAB=∠CDB=40°##。

4. 在△ACB中，由于∠ACB=90°，∠CAB=40°，根据三角形内角和定理，##得∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°，代入数值可得90°+40°+∠CBA=180°，计算可得∠CBA=180°-90°-40°=50°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为50°。", "elements": "圆; 圆周角; 弦; 直角三角形; 中点", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠CDB的顶点D在圆周上，角∠CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角∠CDB是一个圆周角。角∠CAB的顶点A在圆周上，角∠CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角∠CAB是一个圆周角。角∠ACB的顶点C在圆周上，角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ACB是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。", "this": "在本题图中，圆O中，与同一弧CB相对应的圆周角∠CDB和∠CAB相等，即∠CDB = ∠CAB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角ACB、角CAB和角CBA是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，角ACB + 角CAB + 角CBA = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3357.png", "question": "如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=26°,则∠C的大小为()", "answer": "64°", "process": "1. 连接OB。

2. 在△OAB中，已知OA = OB，##根据等腰三角形的定义，△OAB为等腰三角形；再根据等腰三角形的性质##，得出∠OAB = ∠OBA。

3. 又已知∠OAB = 26°，因此可以得出∠OBA = 26°。

4. ##根据三角形内角和定理，得∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，即∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 26°-26° = 128°。##

5. ##根据圆心角的定义，∠AOB为圆心角；根据圆周角的定义，∠ACB为圆周角。弧AB对应∠ACB和∠AOB。根据圆周角定理，得∠ACB = 1/2 * ∠AOB = 1/2 * 128° = 64°。##

6. 因此，经过上述推理，最终得出∠C的大小为64°。", "elements": "圆; 圆周角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAB中，边OA和边OB相等，因此三角形OAB是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "##在本题图中，圆O中，角C的顶点C在圆周上，∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，∠ACB是一个圆周角。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧ACB与弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3397.png", "question": "已知:如图,AB是圆O的直径,CD为弦,连AD、AC,∠CAB=55°,则∠D=()", "answer": "35°", "process": "1. 已知AB为圆O的直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ACB = 90°。

2. 已知∠CAB = 55°，利用三角形内角和定理，得出∠CBA = 90° - ∠CAB = 90° - 55° = 35°。

3. 根据##圆周角定理推论1##，∠ADC = ∠CBA。

4. 由第二步可知∠CBA = 35°，因此∠ADC = 35°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为35°。", "elements": "圆; 圆周角; 直角三角形; 弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆O的弦。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点C和点A。因此，角ABC是一个圆周角。同样地，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于点C和点A。因此，角ADC是一个圆周角。同样地，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点B和点A。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ACB中，角CAB、角ACB和角CBA是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ACB + 角CBA = 180°。"}, {"name": "圆周角定理推论1", "content": "在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等", "this": "在本题图中，圆O中，弧AB 对应的圆周角 ∠ABC 和 ∠ADC 相等。根据圆周角定理推论1，与同一弧AB相对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等，即 ∠ADC = ∠ABC。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3626.png", "question": "如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,若∠O=110°,则∠C的度数为()", "answer": "125°", "process": "1. 已知∠O=110°，根据圆周角定理，##得出∠BAD=1/2∠O=55°##。

2. 根据题意，四边形ABCD是圆内接四边形，所以其对角互补，即∠A+∠C=180°。

3. 因此，得出∠BAD + ∠BCD = 180°。

4. 带入已知条件和第一步计算结果，得出55° + ∠BCD = 180°。

5. 由此可得∠BCD = 180° - 55° = 125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为125°。", "elements": "圆; 圆内接四边形; 圆心角; 对顶角; 邻补角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆⊙O中，点A、B、C、D在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD=110°，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD= 55°。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是圆内接四边形，所以根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD + ∠BCD = 180°，即55° + ∠C = 180°。由此得出∠C = 125°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2416/img_diagram.png", "question": "在图中找到 y。", "answer": "6", "process": "1. 在图中，已知直线平行，##两条平行线被第三条线所截##。

2. ##根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，同旁内角是互补的，图中的角(8y + 2)°和角(25y - 20)°是同旁内角。得出：(8y + 2)° + (25y - 20)°=180°。##

3. ##由(8y + 2)° + (25y - 20)°=180°，我们可以列出等式：8y + 25y + 2 - 20 = 180##。

4. ##解方程 33y - 18 =180。首先将方程整理成33y = 198，得到y = 6##。

####

##5##. 因此，经过上述推理，最终得出答案为##y = 6##。", "elements": "对顶角; 内错角; 同位角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线", "this": "在本题图中，两条带红色箭头的直线位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，这两条直线是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线被第三条直线所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：无。\n2. 内错角：10x°和 (25y - 20)°相等。\n3. 同旁内角：(8y + 2)°和(25y - 20)°互补，即(8y + 2)° + (25y - 20)° = 180度。\n\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条平行直线被第三条直线所截，其中度数分别为(8y + 2)°、(25y - 20)°的两角在截线同侧，且在被截线之内，所以两角为同旁内角。同旁内角互补，即(8y + 2)° + (25y - 20)° = 180度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2541/img_diagram.png", "question": "求四边形ABCD中m \\angle A的值。", "answer": "135", "process": "1. ##已知条件为四边形ABCD中的∠B和∠C均为90°##。

2. ##根据四边形的内角和定理##得出：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

3. 代入已知条件，∠B = 90°，∠C = 90°，因此可得：∠A + ∠D = 360° - 90° - 90° = 180°。

4. 已知∠D = x°，∠A = 3x°。 代入∠A + ∠D = 180°，得到3x° + x° = 180°。

5. 解上述方程，##得出4x° = 180°，因此x° = 45°##。

6. 由##x° = 45°，可得∠A = 3x°## = 3 * 45° = 135°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠A = 135°。", "elements": "平行四边形; 邻补角; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "四边形定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和DA组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D，并且有四个内角，分别是角DAB, 角ABC, 角BCD和角CDA。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，角DAB、角ABC、角BCD和角CDA是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角DAB + 角ABC + 角BCD + 角CDA = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1781.png", "question": "如图,点A,B,C均在⊙O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是()", "answer": "50°", "process": "1. 已知点A、点B、点C均在圆O上，并且∠OBC=40°。##根据圆周角的定义，∠A为圆O的圆周角；根据圆心角的定义，∠BOC为圆O的圆心角。##

2. ##根据圆的定义，OB = OC，在△BOC中，根据等腰三角形的定义，△BOC为等腰三角形；再根据等腰三角形的性质，两腰对的底角相等，因此有∠OBC = ∠OCB=40°。##

3. ##根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和��180°，所以在△BOC中有∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°，得出∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°。##

4. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，##所以∠BAC=∠BOC/2##。

5. 代入已知数值，##得到∠BAC=100°/2=50°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠A=50°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B和点C是圆上的任意一点，线段OB和线段OC是从圆心O到圆上任意一点的线段，因此线段OB和线段OC是圆的半径。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，半径为OB和OC。图中所有到点O的距离等于OB和OC的点都在圆O上。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧BC与弧BAC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形BOC中，边OB和边OC相等，因此三角形BOC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形BOC中，边OB和边OC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠OBC = ∠OCB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形BOC中，角BOC、角OBC和角OCB是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BOC + 角OBC + 角OCB = 180°。##"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2701/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 W X Y Z 找到 m \\angle X Y Z.", "answer": "105", "process": "1. 已知条件为四边形 WXYZ 是平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，平行四边形的对角相等，可以得到 ##∠XWZ = ∠XYZ##。

2. 根据题目所给信息，##∠XWZ ##= 105°。

3. 因此，由步骤1的结论得出 ##∠XYZ## = 105°。

4. 因此，经过上述推理，最终得出答案为## ∠XYZ ##= 105°。", "elements": "平行四边形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形 WXYZ 是一个平行四边形，边 WX 与边 YZ 平行且相等，边 WZ 与边 XY 平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形 WXYZ中，对角 ∠XWZ 和 ∠XYZ 相等；对角 ∠WXY 和 ∠WZY 相等；边 WX 和 YZ 相等，边 XY 和 WZ 相等；对角线 WY 和 XZ 互相平分####。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2427/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "\\sqrt { 7 }", "process": "1. 已知##直角三角形##的一条直角边长为3√2，斜边长为5，另一条直角边用x表示。根据勾股定理（即：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和），可得方程为(3√2)^2 + x^2 = 5^2。

2. 计算(3√2)^2，即为9 * 2 = 18。

3. 将计算结果代入勾股定理中，得到方程18 + x^2 = 25。

4. 将18移到方程的右侧，得到x^2 = 25 - 18。

5. 计算25 - 18 = 7，因此得到x^2 = 7。

6. 由x^2 = 7求出x，x = √7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x = √7。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形中有一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边长为3√2和x的是直角边，边长为5的是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。已知一条直角边长为3√2，斜边长为5，另一条直角边用x表示。根据勾股定理，##5^2 = (3√2)^2 + x^2##，即25 = 18 + x^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2567/img_diagram.png", "question": "四边形 E F G H 是一个矩形。如果 m \\angle H G E = 13，求 m \\angle F G E。", "answer": "77", "process": "1. 已知四边形 EFGH 是一个矩形，##EG 和 FH 是矩形 EFGH 的对角线##。

2. ##根据矩形的定义，∠GHE=90°，又根据直角三角形的定义，三角形GHE为直角三角形##。

3. ##在直角三角形GHE中， 已知∠HGE = 13°，∠GHE=90°，根据三角形内角和定理，∠HGE+∠GHE+∠HEG=13°+90°+∠HEG=180°，即∠HEG=180°-13°-90°=77°##。

4. ##根据矩形的定义，EH∥FG，又根据平行线的平行公理2，内错角相等，则∠HEG= ∠FGE=77°##。

####

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为：##∠FGE##= 77°。", "elements": "矩形; 对顶角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形 EFGH 是一个矩形，其内角 ∠HEF, ∠EFG, ∠FGH, ∠GHE 都是直角（90度），且边 EF 与边 HG 平行且等长，边 EH 与边 FG 平行且等长####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形 GHE 中，角GHE、角HGE 和角HEG是三角形 GHE 的三个内角，根据三角形内角和定理，角GHE + 角HGE + 角HEG = 180°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形GHE中，角GHE是直角（90度），因此三角形GHE是一个直角三角形。边EH和边HG是直角边，边EG是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2869/img_diagram.png", "question": "求 x。A = 148 m^2。", "answer": "18.5", "process": "1. 已知平行四边形的面积 A = 148 平方米，##由图可得##底边长为 8 米。

2. 根据平行四边形的面积公式，面积 A 等于底边长乘以高，即 A = 底边长 × 高。

3. 将已知条件代入公式，得到 148 = 8 × 高。

4. 解方程 8 × 高 = 148，得 高 = 148 ÷ 8。

5. 计算得 高 = 18.5。

6. 因此，得出答案为 x = 18.5 米。", "elements": "平行四边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形是一个平行四边形，其对边平行且相等。底边的长度为 8 米。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，平行四边形的高度是从顶点右上角垂直于底边的线段，其垂直距离为 x 米。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "在本题图中，平行四边形的面积 A = 148 平方米，底边长为 8 米，对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为 x 米。因此，根据平行四边形的面积公式，得出 148 = 8 × x，通过解方程，求得 x = 18.5 米。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2735/img_diagram.png", "question": "求梯形的面积。", "answer": "132", "process": "1. 已知梯形的上底为16英尺，下底为6英尺，且梯形的高为12英尺。

2. 梯形的面积计算公式为：##面积 = 1/2 × (上底 + 下底) × 高##。

3. 将已知条件代入面积公式：##面积 = 1/2 × (16 ft + 6 ft) × 12 ft##。

4. 计算得：##面积 = 1/2 × 22 ft × 12 ft##。

5. 最终计算得出：面积 = 132 平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为面积为132平方英尺。", "elements": "梯形; 平行线; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。在本题图中，梯形的上底为16英尺，下底为6英尺，其他两边不平行。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从下底顶点垂直于上底（或其延长线）的线段是该顶点的高。下底与上底（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段是从下底顶点到上底（或其延长线）的垂直距离。##"}, {"name": "梯形面积公式", "content": "给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。", "this": "梯形的上底为16英尺，下底为6英尺，高为12英尺。根据梯形面积公式，梯形的面积为(上底 + 下底) * 高 / 2，面积 = 1/2 × (16英尺 + 6英尺) × 12英尺 = 132平方英尺。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2479/img_diagram.png", "question": "这两个多边形相似。求 U T。", "answer": "22.5", "process": "1. 已知条件为五边形 STUVR 与五边形 ABCDE 相似，##根据相似图形的定义，如果两图形相似，那么它们对应边的比相等##。

2. 根据题意，ST 对应 BC，##TU 对应 CD，VU 对应 DE，ST = 18 m, TU =( y + 2) m, AE = 3 m, BC = 4 m, CD = 5 m##。

3. 使用相似多边形的定义及比例相等，设相似比为 k，则 ##ST/BC = TU/CD=k##

4. 因为已知 ST = 18m，BC = 4m，比例为 k = 18/4 = 4.5。##TU/CD=( y + 2)/5##

5. 使用比例定理，可得：## (y + 2) / 5 = 4.5##，所以 y + 2 = 4.5 x 5 =>y + 2 = 22.5 ####。

6. ##TU = (y + 2)m, TU = 22.5##", "elements": "线段; 普通多边形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "五边形 STUVR 与五边形 ABCDE 相似，并且 ST = 18 m, TU = (y + 2) m, AE = 3 m, BC = 4 m, CD = 5 m, RV = x m。根据相似多边形的定义，它们对应边的比相等，对应角相等。设相似比为 k，则 ST/BC = 18/4 = k=4.5，TU/CD = (y + 2)/5 = k。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2897/img_diagram.png", "question": "在给定的平行四边形中找到 x。", "answer": "38", "process": "1. 已知条件为四边形JKLM是一个平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，得到相对的内角相等，即##∠JML = ∠LKJ和∠MJK = ∠KLM##。

2. ##∠MJK= 75°，其对角∠KLM为（2x-1）°，所以（2x-1）°=75°，解得：x=38##。

####

##3##. 经过上述推理步骤，最终得解x = 38。", "elements": "平行四边形; 对顶角; 内错角; 同旁内角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "边JM与边KL平行且相等，边JK与边ML平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在平行四边形JKLM中，对角∠JML与∠LKJ相等，对角∠MJK与∠KLM相等；边JM和边KL相等，边JK和边ML相等；对角线JL和MK互相平分，即交点将对角线JL分成两段相等的线段，交点将对角线MK分成两段相等的线段。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2610/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "6", "process": "1. ##设三角形三个顶点分别为A、B、C，依图上的直角符号可得，角C为90度，根据直角三角形的定义，则三角形ABC为直角三角形##。

2. ##已知角C为90°，角B为60°，根据三角形内和定理得，角C+角B+角A=90°+60°+角A=180°，即角A=180°-90°-60°=30°##。

3. ##又已知斜边AB长度为12，根据##30°-60°-90°三角形的性质，##短直角边BC##（对30°角的边）为##斜边AB##的一半。

4. ##所以在此直角三角形ABC##中，对30°的边即短直角边的长度##BC=AB/2=##12/2=6。

5. ##根据上一步可知BC##为与30°对应的短直角边，##也就是y##，因此y的长度为6。

6. 所以，根据以上推理步骤，最终得出答案为y=6。", "elements": "直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中有一个角为90度，因此该三角形是一个直角三角形。边y和边x是直角���，##长度为12##的是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角A是30度，角B是60度，角C是90度。边AB是斜边，边BC是30度角所对的边，边AC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边BC等于边AB的一半，边AC等于边BC的√3倍。即：BC = 1/2 * AB，AC = BC * √3。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "直角三角形ABC中，60°角、90°角和30°角是该三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，60° + 90° + 30° = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2766/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "17", "process": "1. ##设图中三角形为ABC，已知AD垂直于BC，∠ADB =∠ADC = 90°，BC = 16，AD = 15，BD = DC =1/2BC =8。##

2. ##根据直角三角形的定义，三角形ADC为直角三角形，斜边AC = x。##

3. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得，15^2 + 8^2 = x^2。##

4. ##解方程得 x = 17。##

####

##5. 根据上述推理，得出 x = 17。##", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "##在本题图中，三角形ADC中，角ADC是直角（90度），因此三角形ADC是一个直角三角形。边AD和边DC是直角边，边AC是斜边。##"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形ADC中，角ADC是直角（90度），边AD和DC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC² = AD² + DC²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2509/img_diagram.png", "question": "如图所示，m \\angle 1 = 123。求 \\angle 14 的度数。", "answer": "57", "process": "1. ##设横向的两条直线为AB和CD，纵向的两条直线为EF和GH，根据题目可知，AB∥CD，EF∥GH##。

2. ##根据平行线的平行公理2和同位角定义，可得∠1=∠3=∠11=123°##。

3. ∠11与∠14位于同一条直线上并且互为邻补角。##根据邻补角的定义 \"一条直线形成的两个邻角之和为180°依据，得出 ∠14 + ∠11 = 180°##。

4. ##当前知 ∠11 = 123°，利用等式 ∠14 + 123° = 180°，可计算得出∠14 = 180° - 123° = 57°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##∠14## = 57°。", "elements": "同位角; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。直线EF和直线GH位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线EF和直线GH是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线EF和GH被第三条直线CD所截，形成了以下几何关系：## 同位角：角1和角3相等。两条平行线AB和CD被第三条直线GH所截，形成了以下几何关系：同位角：角11和角3相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等##。"}, {"name": "邻补角的定义", "content": "两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。", "this": "在本题图中，∠11和∠14有一条公共边（直线），它们的另一边分别为（直线）和（直线）互为反向延长线，所以∠11和∠14互为邻补角。因此根据邻补角定理 ∠14 + ∠11 = 180°。由于 ∠11 = 123°，因此 ∠14 = 180° - 123° = 57°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/202.png", "question": "如图所示,a∥b,∠1=158°,∠2=42°,∠4=50°．那么∠3=()", "answer": "70°", "process": "1. ##过∠2顶点作AB平行于a, 过∠3顶点做CD平行于b，设∠2顶点为E，∠3顶点为F，∠1的顶点为G，∠4的顶点为H##。

2. 由于直线a平行于直线b，##直线AB平行于直线a，直线CD平行于直线b，根据平行线的传递性，可以得到a∥b∥AB∥CD##。

3. ##根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，∠1和∠GEB互为同旁内角，所以∠1+∠GEB=180°。已知∠1=158°，所以∠GEB=180°-∠1=180°-158°=22°##。

4. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，因为b∥AB∥CD，∠BEF和∠EFC互为内错角，∠CFH和∠4互为内错角，即∠BEF=∠EFC，∠CFH=∠4##。

5. ##由图可知∠3=∠EFC+∠CFH，∠BEF=∠EFC，∠CFH=∠4，所以∠3=∠BEF+∠4##。

6. ##由图可知∠2=∠GEB+∠BEF=42°，已计算得∠GEB=22°，所以∠BEF=∠2-∠GEB=42°-22°=20°。又因为∠3=∠BEF+∠4，∠4=50°，所以∠3=20°+50°=70°##。

7. 最终，∠3 = 70°。", "elements": "平行线; 同旁内角; 内错角; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线a和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线a和直线b是平行线。直线AB和直线a位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线a是平行线。直线CD和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线CD和直线b是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线a和##AB##被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：##无。2. 内错角：无。3. 同旁内角：∠1和∠GEB互补，即∠1 + ∠GEB = 180度。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。两条平行线AB和CD被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：∠BEF和∠EFC相等。3. 无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。两条平行线CD和b被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：∠CFH和∠4相等。3. 无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "直线AB平行于直线CD，直线EF是截线，其中∠BEF和∠EFC位于两平行线之间，且在截线EF的对侧，因此∠BEF和∠EFC是内错角。内错角相等，即∠BEF=∠EFC。直线CD平行于直线b，直线FH是截线，其中∠CFH和∠4位于两平行线之间，且在截线FH的对侧，因此∠CFH和∠4是内错角。内错角相等，即∠CFH=∠4。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "直线a平行于直线AB，被第三条直线所截，∠1和∠GEB在截线的同侧，且在被截线a和AB之内，所以∠1和∠GEB是同旁内角。同旁内角∠1和∠GEB互补，即∠1 + ∠GEB = 180度。"}, {"name": "平行线的传递性", "content": "若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。", "this": "直线AB和直线b分别与直线a平行。根据平行线的传递性，直线AB平行于直线a，直线b平行于直线z，直线x和直线a互相平行。因此，直线AB平行于直线b。同理，可以得到a∥b∥AB∥CD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2933/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 1.", "answer": "53", "process": "1. ##从图中可以观察到，三条直线相交于一点，∠1、37°角及一个直角组成一个平角。##

2. ##根据平角的定义，可得到∠1+37°+90°=180°。##

3. ##解得∠1 = 90° - 37°= 53°。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为∠1的度数是53°。", "elements": "对顶角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "在本题图中，射线绕着端点旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据平角的定义，平角的度数为180度。######"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2623/img_diagram.png", "question": "对于梯形 A B C D，S 和 T 是两条腿的中点。如�� A B = x + 4，C D = 3 x + 2，并且 S T = 9，求 A B。", "answer": "7", "process": "1.已知条件为梯形 A B C D，其中 S 和 T 分别是 A C 和 B D 的中点，A B = x + 4，C D = 3 x + 2，##中位线##S T = 9。

2. 根据梯形的中位线定理，##梯形的中位线是梯形的上底+下底和的一半。该梯形ABCD的中位线是ST，那么得到公式:##ST= (A B + C D) / 2。

3. 将已知条件代入中位线公式：9 = ((x + 4) + (3x + 2)) / 2。

4. 解方程：(x + 4) + (3x + 2) = 18，整理得：4x + 6 = 18。

5. 移项求解，得：4x = 12。

6. 两边同时除以 4，得：x = 3。

7. 将 x = 3 代入 A B = x + 4，得到 A B = 3 + 4 = 7。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 A B = 7。", "elements": "中点; 平行线; 梯形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "梯形的定义", "content": "梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。", "this": "边 AB 和边 CD 是平行的，而边 AC 和边 BD 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 ABCD 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AC的中点为点S。根据线段中点的定义，点S将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AS和线段SC的长度相等。即，AS = SC。在本题图中，线段BD的中点为点T。根据线段中点的定义，点T将线段BD平分为两个相等的部分，即线段BT和线段TD的长度相等。即，BT = TD。"}, {"name": "梯形中位线定理", "content": "梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。", "this": "在本题图中，梯形ABCD中，边AB和边CD是梯形的两条底边，点S和点T是梯形两腰的中点，线段ST是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段ST平行于边AB和边CD，并且线段ST的长度等于边AB和边CD长度和的一半，即ST = (AB + CD) / 2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2803/img_diagram.png", "question": "求x。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "27.44", "process": "1. 已知条件为直角三角形，并给出了一边长度为24，角度为61°，要求找出斜边x的长度。根据直角三角形的三角函数，知##正弦函数定义##中描述：sin(θ) = 对边/斜边。因此，在此题中，可以用sin(61°) = 24/x

2. 将上式变换为x = 24/sin(61°)以便计算斜边x的长度。

3. 使用计算器计算sin(61°)的值，得到sin(61°) ≈ 0.8746。

4. 将sin(61°) ≈ 0.8746代入到x = 24/sin(61°)中，计算得到x ≈ 24/0.8746 ≈ 27.44。

5. 经过上述推理步骤，得出答案为x ≈ 27.44，四舍五入到小数点后两位，最终结果为27.44。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形由三个非共线点及其连接线段组成。该三角形中，直角边的长度为24，斜边的长度为x，角度为61°。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中有一个角是直角（90度），因此这个三角形是一个直角三角形。已知一条直角边的长度为24，斜边为x。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "角61°是锐角，边24是角61°的对边，边x是斜边。根据正弦函数定义，角61°的正弦值等于对边24与斜边x的比值，即sin(61°) = 24 / x。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/51.png", "question": "如图,AB平行CD,如果∠B=20°,那么∠C为()", "answer": "20°", "process": "1. 已知AB平行CD以及∠B=20°。

2. 根据平行线的##平行公理2，内错角相等，得出∠B=∠C=20°##。

3. ##因此∠C的值为20°##。

####", "elements": "平行线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截，形成了以下几何关系：内错角：角B和角C相等。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AB和CD被一条直线BC截交，其中角B和角C位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此角B和角C是内错角。内错角相等，即角B等于角C。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2968/img_diagram.png", "question": "如果 c = 5，求 a。", "answer": "2.5", "process": "1. 已知三角形ABC为直角三角形，∠ACB为直角，根据##正弦函数定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。##

2. 从题图中知，∠CAB = 30°，边c = 5，则sin30° = a/c。

3. 代入已知条件，sin30° = 1/2，因此a/5 = 1/2。

4. 解出a/5 = 1/2，得到a = 5 × 1/2 = 2.5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为a = 2.5。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠CAB是锐角，边BC是角∠CAB的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角∠CAB的正弦值等于对边BC与斜边AB的比值，即sin(∠CAB) = BC / AB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2835/img_diagram.png", "question": "一个正方形内切于面积为18 \\pi 平方单位的圆中。求正方形的边长。", "answer": "6", "process": "1. 已知条件为圆的面积为18π平方单位。根据圆的面积公式A = πr^2，可以得出半径r的平方为18。

2. ####进而得到半径r = √18。

3. ##设正方形ABCD内切于圆O，根据正方形的定义，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，则正方形的对角线AC和BD是圆的直径##。

4. 因此，圆的直径##AC=BD=2r##= 2√18 = 2√(9*2) = 6√2。

5. ##在△ABD中，∠A=90°，所以根据直角三角形的定义，△ABD为直角三角形，根据勾股定理，AB?+AD?=BD?，因为AB=AD，那么得2AB?=(6√2)?##。

6. 由此可以得出正方形的边长##AB= 6##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6。", "elements": "正方形; 圆; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "在本题图中，圆的面积为18π平方单位。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr^2。已知A = 18π，因此可以解出πr^2 = 18π，进而计算出半径r = √18。"}, {"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "四边形ABCD中，边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角ABC、角BCD、角CDA和角DAB均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，长度为2倍的半径，即直径d = 2r。计算得出d = 2√18。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。######"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "在本题图中，正方形ABCD中，顶点A、B、C、D，对角线是连接顶点A(B)和非相邻顶点C(D)的线段。因此，线段AC和BD就是正方形ABCD的对角线。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角BAD是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AD和边AB是直角边，边BD是斜边。####"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABD中，角BAD是直角（90度），边AB和AD是直角边，边BD是斜边，所以根据勾股定理，BD? = AB? + AD?。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2403/img_diagram.png", "question": "求 x。四舍五入到十分位。", "answer": "18.8", "process": "1. ##设图中三角形的顶点分别为A、B、C点，BC为底边，顶点A到底边BC的高线为AD，由题可得：AB=AC=32，AD=y，BD=x，∠ACB=54°。所以根据等腰三角形的定义和性质可得：三角形ABC为等腰三角形，且∠ACB=∠ABC=54°。由于AD是BC上的高线，所以∠ADB=∠ADC=90°，根据直角三角形的定义得：三角形ABD和三角形ACD均为直角三角形，因此可以使用正弦函数定义。正弦函数定义##：在直角三角形中，##正弦函数定义为该角的对边##比斜边。

2. 在该题中，已知##三角形ABC的底角∠ABD##为54°，##AD长##为y，##BD长##为x。因此，sin(54°) = 对边(y) / 斜边(32)。

3.##在图中## 容易看出对边就是y，对边是指对于角54°的对边。

4. 应用##正弦函数定义##并代入已知值：sin(54°) ≈ 0.809。这样有：0.809 = y / 32。

5. 通过代数运算求得y = 32 * 0.809 ≈ 25.888。

####

##6. 根据勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。代入x，y##和斜边。##

##7##. 现在，将y和已知边引入公式：##x^2 + 25.888^2 = 32^2##。代入计算得##x^2≈ 32^2 - 25.888^2##

##8##. 计算各项值：##32^2## = 1024，##25.888^2## ≈ 670.466，##x^2 ##≈ 1024 - 670.466 ≈ 353.534。

##9##. 取平方根即可找出x的近似值：x ≈ √353.534 ≈ 18.8。

##10##. 经过正确的推理与代数运算，最终得出答案为x ≈ 18.8。", "elements": "等腰三角形; 直角三角形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "在本题图中，三角形ABC中，AB=AC=32，因此三角形ABC是一个等腰三角形。####"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。(或：在本题图中，等腰三角形ABC中，角ABC和角ACB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边AB = 边AC。)"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段", "this": "从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AD是该顶点A的高。线段AD与边BC（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段AD是从顶点A到对边BC（或其延长线）的垂直距离。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "在本题图中，三角形ACD中，角ADC是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形。AD和CD是直角边，AC是斜边。三角形ABD中，角ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。AD和BD是直角边，AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在直角三角形ABD中，角ABD=54°是锐角，AD=y是角54°的对边，AB=32是斜边。根据正弦函数定义，角54°的正弦值等于对边y与斜边32的比值，即sin(54°) = y / 32。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在直角三角形ABD中，斜边为32，两个直角边分别为x和y。所以根据勾股定理，32^2= x^2 + y^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2640/img_diagram.png", "question": "求x。假设任何看起来是切线的线段都是切线。", "answer": "10", "process": "1. ##设角P是圆O的外角，由图知角P=3x°，弧AB的度数=(4x + 50)°，弧CD的度数=30°，根据圆外角定理，得角P=（弧AB的度数-弧CD的度数）/2，即3x°=[(4x + 50)°-30°]/2##。

2. ##需要解方程3x=[(4x+50)-30]/2 => 3x=(4x+20)/2##。

####

##3##. ##两边同时乘以2可得##：4x + 20 = 6x。

##4##. ##移项得到##2x = 20，从而简单得出x = 10。

##5##. 经由上述推理，最终答案即x = 10。", "elements": "圆; 圆周角; 切线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆外角定理", "content": "圆的外部角等于其所对的两个弧的度数差的一半。", "this": "角APB是圆的外角，弧AB和弧CD是角APB所对的两个弧。根据圆外角定理，角APB等于弧AB的度数与弧CD的度数差的一半，即角APB = (弧AB的度数 - 弧CD的度数) / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1566.png", "question": "如图,a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=36°,那么∠2=()", "answer": "54°", "process": "1. ##设AB与直线a相交于A点，BC与直线a相交于C点##，已知直线AB垂直于直线BC，##根据垂线定义，得∠ABC=90°，根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形##。

2. ##因为a∥b，根据内错角的定义，得∠BCA和∠1是内错角，根据平行线的平行公理2，得∠BCA=∠1=36°。在Rt△ABC中，根据直角三角形的锐角互补性质，得∠BCA+∠CAB=90°即36°+∠CAB=90°##。

3. 由此可得，##∠CAB=90°-36°=54°## 。

4. ##根据对顶角的定义，得∠2=∠CAB=54°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为54°。", "elements": "平行线; 同位角; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "直角三角形的锐角互补性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "直角三角形ABC中，角ABC是直角（90度），角CAB和角BCA是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，角CAB和角BCA的和为90度，即角CAB + 角BCA = 90°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "两条平行线a和b被第三条直线BC所截，形成了几何关系，内错角∠BCA和∠1相等，即∠BCA = ∠1=36°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线a和AB相交于点A，形成的角：∠2、∠CAB。根据对顶角的定义，∠2和∠CAB是对顶角，由于对顶角的角度相等，所以∠2=∠CAB##。##"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线a和b被一条直线BC截交，其中∠1和∠BCA位于两平行线之间，且在截线BC的对侧，因此∠BCA和∠1是内错角。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线AB和直线BC相交形成的角∠ABC是90度，因此根据垂线定义，直线AB和直线BC互相垂直。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2433/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "\\frac { 17 } { 2 } \\sqrt { 3 }", "process": "1. ##设三角形三个顶点为ABC，则斜边AB=17，∠B为60°且∠C=90°，根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形。##

2. ##根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，已知∠B=60°，∠C=90°，则∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-90°=30°。##

3. ##根据正弦函数定义，对于直角三角形ABC，sin(∠B)=对边/斜边##, 因此 sin(60°)=x/17。

4. ##根据30°-60°-90°三角形的性质得出，边y:边x:斜边=1:√3:2，再根据正弦函数定义得出##，sin(60°)=√3/2。以此代入sin(60°)=x/17中，得 √3/2 = x/17。

5. 解方程 √3/2 = x/17，得 x = (17√3)/2。

6. 经过计算得到 x ≈ 14.722。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 (17√3)/2。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形���为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，∠C是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形中，∠B = 60°是锐角，边x是角∠B的对边，边17是斜边。根据正弦函数定义，∠B的正弦值等于对边x与斜边17的比值，即sin(60°) = x / 17。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，∠A、∠B和∠C是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°。其中∠C = 90°，∠B = 60°，所以∠A = 30°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的短边，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，∠A是30°，∠B是60°，∠C是90°。边17是斜边，边y是30°角所对的边，边x是60°角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边y等于边17的一半，边x等于边y的√3倍。即：y = 17/2，x = y * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2985/img_diagram.png", "question": "每对多边形都是相似的。求 A C。", "answer": "7.6", "process": "1. ##由图知∠ABC=∠CDE=90度，根据对顶角的定义，得∠ACB=∠DCE，根据相似三角形的判定定理(AA)，由此可知△ACB∽△EDC##。

####

##2. 根据相似三角形的定义##，所以有，AC/CE=CB/CD。

##3. 因为AC=x+7，CE=12-x，CB=4，CD=6，代入等式中##可得到 (x+7)/(12-x) = 4/6 = 2/3。

##4##. 进行交叉相乘得到：3(x + 7) = 2(12 - x)。

##5##. 展开方程得到：3x + 21 = 24 - 2x。

##6##. 两边移项，得到 5x + 21 = 24。

##7. 移项可得 5x = 24-21=3##。

##8##. 将方程####等式两边同时除以5，得到x = 3/5。

##9##.代入AC = x+7，得到AC = (3/5)+7 =## 3/5 + 35/5 ##= 38/5 = 7.6。

##10##. 经过上述推理，最终得出答案为7.6。", "elements": "直角三角形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形△ACB和△EDC相似，对应边的比例关系为AC/EC=CB/CD。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线AE和BD相交于点C，形成四个角：角DCE、角ACB、角ACD和角BCE。根据对顶角的定义，角ACB和角DCE是对顶角，角ACD和角BCE是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角ACB=角DCE，角ACD=角BCE。"}, {"name": "##相似三角形的判定定理(AA)##", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "∠ACB=∠ECD，且∠ABC=∠CDE=90°，因此△ACB～△EDC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2430/img_diagram.png", "question": "求解 X Z。", "answer": "34", "process": "##1.已知ZW＝WY，WX＝WX，∠ZWX＝∠YWX＝90°，所以依据全等三角形判定定理(SAS)可知，三角形ZWX和三角形YWX全等。##

##2.由全等三角形的定义可知，ZX＝YX。##

##3.已知ZX等于5y - 6，YX＝18 + 2y，联立等式5y - 6 = 18 + 2y。##

##4. 移项得到：5y - 2y = 18 + 6。##

##5. 合并类似项得到：3y = 24。##

##6.两边同时除以 3，得到 y = 8。##

##7.将 y = 8带入XZ=5y - 6##

##8.得到5×8-6＝34##

####", "elements": "直角三角形; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "在本题图中，三角形WYX和三角形WZX是全等三角形，三角形WYX的对应边和对应角与三角形WZX相等，即： 边WY = 边WZ，边WX = 边WX，边YX = 边ZX，同时，对应的角也相等： 角WXY = 角WXZ，角YWX = 角ZWX，角WYX = 角WZX。"}, {"name": "全等三角形判定定理(SAS)", "content": "如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等", "this": "三角形WZX和三角形WYX中，边ZW与边WY相等，边WX与边WX相等，且夹角ZWX与夹角YWX相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2600/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "8 \\sqrt { 3 }", "process": "1. 该题目描述的几何图形为一个直角三角形，其中一个直角边的长度为8，斜边的长度为16。我们需要找到另一个直角边的长度x。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，即：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。表示为：##a^2 + b^2 = c^2##。

3. 在该题中，已知c = 16（斜边），已知一条直角边a = 8，另一条直角边b = x。

4. 将已知数值代入勾股定理公式，即：##8^2 + x^2 = 16^2##。

5. 计算各项平方值，即：64 +## x^2## = 256。

6. 将64移到方程另一边，得到：## x^2## = 256 - 64。

7. 简化等式，得到：## x^2## = 192。

8. 对等式两边开平方，得到：x = √192。

9. 进一步简化得：x = 8√3。

10. 经过上述推理，最终得出答案为x = 8√3。", "elements": "直角三角形; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，设四边形为ABCD，三角形BCD是由三个非共线点B、C、D及其连接线段BC、CD、BD组成的几何图形。点B、C、D分别是三角形的三个顶点，线段BC、CD、BD分别是三角形的三条边。##"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，##设四边形为ABCD，三角形BCD中，有一个角标有直角标识，此角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边BC和边CD是直角边，边BD是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，已知一条直角边的长度为8，斜边的长度为16，另一条直角边的长度为x。所以根据勾股定理，##16^2 = 8^2 + x^2##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1937.png", "question": "如图,当圆形桥孔中的水面宽度AB为8米时,弧ACB恰为半圆．当水面上涨1米时,桥孔中的水面宽度A′B′为()", "answer": "2√{15}米", "process": "1. ##设圆的圆心是O##，作弦A′B′的弦心距OE，连接OA′。

2. 根据题意，##OE⊥A'B'，∠OEA'=∠OEB'=90°，则三角形OA′E为直角三角形。根据半径的定义，半径是从圆心到圆上任意一点的线段，已知点A'在圆上，则点A'到圆心O的距离为半径，为直径的一半，已知直径为8，所以OA'=4#。得在直角三角形OA′E中，OA′ = 4米，OE = 1米。

3. 根据勾股定理##（毕达哥拉斯定理）##，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。因此，OA′E为直角三角形，有OA′^2 = OE^2 + A′E^2，即4^2 = 1^2 + A′E^2，从而A′E = √15 米。

4. 根据垂径定理，在圆中，与直径垂直的弦被直径平分，##已知OE为弦心距，而弦心距在圆的直径上，所以OE也垂直平分弦A'B'##。因此，有A′B′ = 2A′E = 2√15 米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为2√15 米。", "elements": "圆; 弦; 弧; 垂线; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段##OA‘##是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段##OA’##是圆的半径。##"}, {"name": "弦心距", "content": "圆心到弦的垂直距离称为弦心距。", "this": "圆O中，点O是圆心，线段A'B'是圆的弦，线段OE是从圆心O到弦A'B'的垂线段。根据弦心距的定义，线段OE的长度即为圆心到弦A'B'的垂直距离，称为弦心距。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形OA′E中，角∠OA′E是直角（90度），因此三角形OA′E是一个直角三角形。边OA′和边OE是直角边，边A′E是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在直角三角形OA′E中，∠OA′E是直角（90度）��边OE和A′E是直角边，边OA′是斜边，所以根据勾股定理，OA′^2 = OE^2 + A′E^2，即4^2 = 1^2 + A′E^2，从而得到A′E = √15米。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径OE垂直于弦A′B′，那么根据垂径定理，直径OE平分弦A′B′，即A′E = E′B′，并且直径OE平分弦A′B′所对的两条弧，即弧A′C = 弧CB′。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2477/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle B。", "answer": "61", "process": "1. ##设圆心为O，连接AO和OC，已知弧AC的度数为122°，∠AOC为圆心角，∠ABC为圆周角。##

2. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，可以得到∠AOC=122°。##

3.##根据圆周角定理，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，∠ABC=(1/2)*∠AOC=(1/2)*122°=61°。##

##4. 最终得出答案为61°。##", "elements": "圆; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "∠AOC = 122° 作为圆心角，根据圆周角定理，圆心角的一半即是其所对的圆周角的角度，因此被 ∠AOC 所夹的圆弧的圆周角是 ∠ABC = 122°/2 = 61°。"}, {"name": "圆心角的性质", "content": "圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。", "this": "已知圆心角∠AOC所对的圆弧为弧AC。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠AOC的度数=弧AC的度数。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OC组成的∠AOC称为圆心角。####"}, {"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆O上有两点A和C，弧AC是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AC是圆上两点A和C之间的一段曲线。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2546/img_diagram.png", "question": "求阴影扇形的面积。四舍五入到十分位。", "answer": "1.8", "process": "1. 已知条件为半径##XW##= 2 cm，##圆心角∠WXY## = 52°。

2. 根据扇形的面积公式，扇形的面积 X = (θ/360) * π * r?，其中 r 为半径，其中θ是圆心角度数。

3. 代入数据，扇形的面积 X =(52/360) * π * 2?=(52/360) * π * 4 。

####

##4. 进一步化简计算得到 X ≈ 0.1444 * π * 4##。

##5. 继续化简，X ≈ 0.5776π##。

##6.##计算得 ##X##≈ 0.5776 * 3.1416 ≈ 1.81416。

##7.## 将计算结果四舍五入到小数点后一位，得到1.8。

##8.## 因此，扇形的面积约为1.8平方厘米。", "elements": "扇形; 圆心角; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "在本题图中，扇形为中心点O、两条半径XW和XY以及弧WY所组成的图形。XW和XY的长度均为2 cm，且包含圆心角∠WXY，其角度为52°。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆X中，点W和点Y是圆上的两点，圆心是点X。连线XW和XY组成的角∠WXY称为圆心角。"}, {"name": "扇形的面积公式", "content": "扇形的面积X可以通过公式 X = (θ/360) * π * r?计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。", "this": "扇形WXY中，圆心角WXY的度数为52度，半径XW的长度为2。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式X = (θ/360) * π * r?计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形WXY的面积X = (θ/360) * π * r?。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆X中，点X是圆心，点W是圆上的任意一点，线段XW是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段XW是圆的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2915/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot O 中，E C 和 A B 是直径，且 \\\\angle B O D \\\\cong \\\\angle D O E \\\\cong \\\\angle E O F \\\\cong \\\\angle F O A。求 m \\\\widehat A D。", "answer": "135", "process": "1. 已知条件为圆 O 中，EC 和 AB 是直径，∠ BOD##≌∠ DOE≌∠ EOF≌∠ FOA##。

2. 由于角 BOD、DOE、EOF 和 FOA 相等，##且这4个角构成了一个平角，因此这四个角的和等于180°##。

3. 故这四个角的总和为##180°##，设每个角为 x，根据等式 4x = ##180°##，可解得 x = ##45°##。

4. ##弧AD所对圆心角为角DOE、EOF 和 FOA之和，所以∠AOD=3 * 45°=135°，所以弧AD=135°##。

####

##5##. 根据前面的推理，最终得出答案为##弧AD = 135°##。", "elements": "圆; 圆心角; 弧; 弦; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "EC 和 AB 是直径，连接了圆心 O和圆周上的 E、C 和 A、B 两点，长度为2倍的半径，即 EC = 2r 和 AB = 2r。####"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点E是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OE组成的角∠BOE称为圆心角。同理，点E和点F组成的角∠EOF，点F和点A组成的角∠FOA，点A和点D组成的角∠AOD也都是圆心角。######"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角AOB=180度。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2462/img_diagram.png", "question": "AB 是直径，AC = 8 英寸，BC = 15 英寸。求圆的半径。", "answer": "8.5", "process": "1. 已知条件为A B 为直径，根据直径的定义，A B 是圆的一个直径，而一个圆的直径是整个圆经过中心点的最长线段。

2. 已知 A C = 8 英寸， B C = 15 英寸。为了求圆的半径，我们可以先用这些信息计算出A B的长度。

3. ##由(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角可知，直径AB所对应的圆周角∠ACB＝90°，所以三角形ABC是直角三角形####。

4. 根据毕达哥拉斯定理，我们有：A B 的平方 = A C 的平方 + B C 的平方，即：A B^2 = A C^2 + B C^2。

5. 代入已知值：A B^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289。

6. 因此A B的长度为：A B =## √(289) ##= 17 英寸。

7. 半径是直径的一半，因此圆的半径为：17 / 2 = 8.5 英寸。", "elements": "直角三角形; 圆; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形 ABC中，∠ACB 是直角（90度），边 AC 和 BC 是直角边，边 AB 是斜边，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A，点B是圆上的任意一点，线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OB是圆的半径。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1547.png", "question": "如图,直线AD∥BC,若∠1=42°,∠BAC=78°,则∠2的度数为()", "answer": "60°", "process": "1. ##根据内错角的定义，∠1和∠DAC为内错角，∠2和∠ABC为内错角；已知AD∥BC，∠1= 42°，则根据平行线的平行公理2可得，∠1= ∠DAC= 42° ，∠2=∠ABC。##

2. ##已知∠BAC=78°，根据三角形内角和定理，在三角形ABC中，有∠ABC+∠1+∠BAC=180°，即 ∠ABC = 180° - ∠1 - ∠BAC。##。

3. ##代入数值，得到 ∠ABC = 180° - 42° - 78° = 60°。##

4. ##根据步骤1得出的结果，得到 ∠2=∠ABC = 60°。##

5. ##经过上述推理，最终得出 ∠2= 60°。##", "elements": "平行线; 内错角; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线AD和BC被一条直线AC截交，其中∠1和∠DAC位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此∠1和∠DAC是内错角；两条平行直线AD和BC被一条直线AB截交，其中∠2和∠ABC位于两平行线之间，且在截线AB的对侧，因此∠2和∠ABC是内错角。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，直线AD∥BC，被直线AC所截。根据该定理，∠1和∠DAC为内错角，因此∠1= ∠DAC；直线AD∥BC，被直线AB所截。根据该定理，∠2和∠ABC为内错角，因此∠2=∠ABC。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3180.png", "question": "如图,在⊙A中,已知弦BC=8,DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则⊙A的半径长为()", "answer": "5", "process": "1. 已知：弦BC=8, DE=6, ∠BAC+∠EAD=180°。作直径CF，连接BF。

2. ##根据圆周角的定义，∠CBF是圆周角；根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得到∠CBF为直角。根据直角三角形的定义，三角形CBF是直角三角形。##

3.##已知条件∠BAC+∠EAD=180°，根据平角的定义，∠CAF为平角，∠CAF=180°。即∠BAC+∠BAF=180°。##

4 ##由于∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，所以∠DAE=∠BAF。##

5. ##根据圆心角的定义，∠BAF和∠DAE为圆心角；又因为∠DAE=∠BAF，根据圆心角定理得到，DE=BF，所以BF=6。##

6. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形CBF中，可以得出CF^2=BC^2+BF^2，即CF=√(BC^2 + BF^2)=√(8^2 + 6^2)=√(64 + 36)=√100=10。##

##7. 圆A的半径是直径的一半，因此⊙A的半径为CF/2=10/2=5。##", "elements": "圆; 弦; 圆周角; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆A中，点C和点B是圆上的任意两点，线段CB连接了这两个点，所以线段CB是圆A的弦；圆A中，点D和点E是圆上的任意两点，线段DE连接了这两个点，所以线段DE是圆A的弦；圆A中，点B和点F是圆上的任意两点，线段BF连接了这两个点，所以线段BF是圆A的弦。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆A中，∠CBF的顶点B在圆周上，∠CBF的两边分别与圆A相交于点F和点C。因此，∠CBF是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "圆A中，直径CF所对的圆周角CBF是直角（90度）。####"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形CBF中，角CBF是直角（90度），因此三角形CBF是一个直角三角形。边CB和边BF是直角边，边CF是斜边。####"}, {"name": "平角的定义", "content": "一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。", "this": "射线AC绕着端点A旋转到与起始边成一条直线，形成平角CAF。根据平角的定义，平角的度数为180度，即角CAF=180度。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理���", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形CBF中，角CBF是直角（90度），边BC和BF是直角边，边CF是斜边，所以根据勾股定理，CF^2=BC^2+BF^2。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆A中，点B和点F是圆上的两点，圆心是点A。连线AB和AF组成的∠BAF称为圆心角；圆A中，点D和点E是圆上的两点，圆心是点A。连线AD和AE组成的∠DAE称为圆心角。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "CF是直径，连接了圆心A和圆周上的C、F两点，长度为2倍的半径，即AC = AF。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2632/img_diagram.png", "question": "在图中，\\triangle A B C \\\\sim \\triangle D E F。B G 是 \\triangle A B C 的中线，E H 是 \\triangle D E F 的中线。如果 B C = 30，B G = 15，且 E F = 15，求 E H。", "answer": "7.5", "process": "1. 已知条件为##△ABC ～△DEF##，根据##相似三角形的定义##，AB/DE = BC/EF = AC/DF##，∠C=∠F##。

2. ##因为BG 是 △ABC 的中线，EH 是 △DEF 的中线，根据三角形中线的定义，得G为AC的中点，H为DF的中点，根据线段中点得AG=GC=?AC，DH=HF=?DF，那么GC/HF=?AC/?DF=AC/DF=BC/EF##。

3. ##因为∠C=∠F，GC/HF=BC/EF，根据相似三角形的判定定理（SAS），得三角形BCG相似于三角形EFH，根据相似三角形的定义，得BG/EH=BC/EF=GC/HF##。

4. ##已知BC = 30，EF = 15，BG=15，因此15/EH = 30/15 = 2##。

5. 解方程得EH = 15/2 = 7.5。

6. 以上推理得出EH的长度为7.5。", "elements": "普通三角形; 线段; 中点; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△ABC 和 △DEF 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F；AB/DE = BC/EF = AC/DF。三角形BCG相似于三角形EFH，根据相似三角形的定义有：BG/EH=BC/EF=GC/HF。"}, {"name": "三角形中线的定义", "content": "中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。", "this": "在本题图中，##三角形ABC中，顶点B是三角形的一个顶点，对边AC是与顶点B相对的边。点G是边AC的中点，线段BG是从顶点B到对边AC中点G的线段，因此BG是三角形ABC的一条中线。三角形DEF中，顶点E是三角形的一个顶点，对边DF是与顶点E相对的边。点H是边DF的中点，线段EH是从顶点E到对边DF中点H的线段，因此EH是三角形DEF的一条中线。"}, {"name": "相似三角形的判定定理（SAS）", "content": "若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似。", "this": "在本题图中，在三角形BCG和三角形EFH中，GC/HF=BC/EF，且∠C=∠F，则三角形BCG与三角形EFH相似。"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "G为AC的中点，H为DF的中点，根据线段中点的定义，GC=AG=?AC，HF=DH=?DF##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2800/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "1440", "process": "1. 已知平行四边形的底边长为40英寸，高度为36英寸。要计算平行四边形的面积，可以使用面积的公式，即平行四边形的面积等于底乘高。

2. 依据平行四边形面积公式：面积 = 底 × 高，在本题中底边长和高度分别为40英寸和36英寸。

3. 计算：面积 = 40英寸 × 36英寸 = 1440平方英寸。

4. 因为题目要求结果保留到小数点后一位，因此最终结果不变。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1440.0平方英寸。", "elements": "平行四边形; 平行线; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形满足两组对边分别平行且相等，即上边与底边平行且相等，左边与右边平行且相等。因此这是一个平行四边形。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它��底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "平行四边形的底边长为40英寸，对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为36英寸。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长40英寸乘以对应的高36英寸，即A = 40英寸 × 36英寸 = 1440平方英寸。"}, {"name": "平行四边形的高", "content": "平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。", "this": "在本题图中，平行四边形中，上底和下底边是平行的。 左上角的顶点到下底边的垂直距离是平行四边形的高。 具体来说，从左上角的顶点作一条垂直于底边的线段，该线段的长度（36英寸）即为平行四边形的高。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2358.png", "question": "如图,小强自制了一个小孔成像装置,其中纸筒的长度为15cm,他准备了一支长为20cm的蜡烛,想要得到高度为4cm的像,蜡烛与纸筒的距离应该为()", "answer": "75cm", "process": "1. ##设小孔位置为点O，小孔到CD的垂直距离为OF##。已知AB=20cm，OF=15cm，CD=4cm。根据题意，蜡烛AB竖直放置，像CD与蜡烛AB是等高位。

2. 构造辅助线EF，使其垂直于AB且垂直于CD，则EF垂直于AB且垂直于CD。

3. ##因为CD为AB通过孔O成像所得，所以OA=OB，OC=OD。所以根据等腰三角形的定义，三角形OAB和三角形OCD为等腰三角形。又根据对顶角的定义，∠COD和∠AOB为直线AD和BC的夹角，所以∠COD=∠AOB，则∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC。根据相似三角形的判定定理(AA)##，得到△OAB ∽△ODC。

4. ##根据相似三角形的定义，两个三角形的对应边成比例，所以CD/AB = OF/OE##。

5. 根据已知条件：##4/20 = 15/OE##。

6. 解方程得：OE = 75 cm。

7. 经过上述推理，蜡烛与纸筒的距离即为75 cm。", "elements": "线段; 位似", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线EF和直线AB相交形成的角∠EAB是90度，因此根据垂线定义，直线EF和直线AB互相垂直；同理，直线EF和直线CD相交形成的角∠ECD是90度，因此根据垂线定义，直线EF和直线CD互相垂直。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABO是由三个非共线点A、B、O及其连接线段AO、AB、BO组成的几何图形。点A、B、O分别是三角形的三个顶点，线段AO、AB、BO分别是三角形的三条边。三角形CDO是由三个非共线点D、C、O及其连接线段CO、CD、DO组成的几何图形。点C、D、O分别是三角形的三个顶点，线段CO、DC、DO分别是三角形的三条边。####"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABO中，边AO和边BO相等，因此三角形ABO是一个等腰三角形。三角形CDO中，边CO和边DO相等，因此三角形CDO是一个等腰三角形。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "OF、OE为三角形ABO和三角形CDO中的高，且两个三角形是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角AOB = 角COD, 角OAB = 角ODC, 角OBA = 角OCD；CD/AB = OF/OE。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "角AOB等于角COD，且角OAB等于角ODC，所以三角形ABO相似于三角形CDO。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA。同理，等腰三角形OCD中，边OC和边OD相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角OCD = 角ODC。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OAB中，角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°。同理，三角形OCD中，角OCD、角ODC和角COD是三角形OCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角OCD + 角ODC + 角COD = 180°。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点O垂直于对边AB的线段OE是该顶点O的高。线段OE与边AB形成一个直角（90度），这说明线段OE是从顶点O到对边AB的垂直距离。同理，从顶点O垂直于对边CD的线段OF是该顶点O的高。线段OF与边CD形成一个直角（90度），这说明线段OF是从顶点O到对边CD的垂直距离。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2504/img_diagram.png", "question": "求x的值，精确到小数点后两位。", "answer": "43.86", "process": "1.##设70°角顶点为A，设90°角顶点为B，最后一个角的顶点为C。##

2. 在直角三角形ABC中，已知斜边为x，相邻直角边的长度为15，可以使用余弦定理进行计算。余弦定理表述为：在直角三角形中，##cos(∠CAB) = 邻边 / 斜边，即cos(70°) = AB / AC##。

3. 通过代入已知值，得cos(70°) = 15 / x。

4. 根据三角函数表或计算器，cos(70°)的值约为0.3420。

5. 将cos(70°)的值代入方程，得0.3420 = 15 / x。

6. 通过交叉相乘得到x = 15 / 0.3420。

7. 将15除以0.3420得到x ≈ 43.86。

8. 经过上述计算和验证，最终得出答案为x ≈ 43.86。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边BC和边AB是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "##余弦定理", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。", "this": "直角三角形ABC中，边AB是角BAC的邻边，边AC是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角BAC的余弦值等于邻边AB与斜边AC的比值，即cos(∠BAC) = AB / AC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2699/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot X 中，A B = 30，C D = 30，且 m \\\\widehat C Z = 40。求 N D。", "answer": "15", "process": "1. 已知条件为弦 AB 和 CD 为同长的弦，AB = CD = 30。####要求计算 ND 的长度。

2. ##图中的XZ为圆X的半径，CD为圆上的弦。图中已知XZ⊥CD。根据垂径定理，如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，所以CN=DN##。

3. ##因为CN=DN，所以ND=CD/2，已知CD=30，所以ND=30/2=15##。

####

##4##. ##因此##，ND 的长度应为 ND = 15。", "elements": "圆; 弦; 圆心角; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆 X 中，点 C 和点 D 是圆上的任意两点，线段 CD 连接了这两个点，所以线段 CD 是圆 X 的弦。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆X中，点X是圆心，点Z是圆上的任意一点，线段XZ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段XZ是圆的半径。"}, {"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，圆X中，点X是圆心。图中所有到点X的距离等于半径的点都在圆X上。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "半径 XZ 垂直于弦 CD，那么根据垂径定理，半径 XZ 平分弦 CD，即 CN=DN，并且半径 XZ 平分弦 CD 所对的两条弧，即弧 CZ=弧 DZ。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2586/img_diagram.png", "question": "求x。", "answer": "1.4", "process": "1.已知条件：##角 LMP##=60°，角 MPL=60°，####根据三角形的内角和定理可知，三角形的第三个角 ##：角LMP=180°-角LMP-角MPL=180°-60°-60°=60°##。

2. 由上述结论可知，##△MLP中每个角都是60°，所以△MLP是等边三角形（根据等边三角形的定义）##。

3. 因为△MLP是一个等边三角形，所以三条边相等，因此，ML=MP=LP。

4. 由于MP=4，所以##ML= PL=4##。

####

##5##. 因为LP=5x-3，而LP=4，因此可以列出方程：5x - 3 = 4。

##6##. 解方程5x - 3 = 4，得5x = 7，所以x = 7/5##=1.4##。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为##x=1.4##。", "elements": "等边三角形; 直角三角形; 内错角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形MLP是一个等边三角形。边ML、边MP和边LP的长度相等，并且角MLP、角MPL和角LMP的度数相等，均为60°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形MLP中，角MLP、角MPL和角LMP是三角形MLP的三个内角，根据三角形内角和定理，角MLP + 角MPL + 角LMP = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2950/img_diagram.png", "question": "点D是圆心。m \\angle A B C是多少？", "answer": "90", "process": "1. 根据题图中的描述，我们知道 D 是圆的圆心，##CA过圆心D，交圆于C,A两点，符合直径的定义，CA是圆D的直径.##

2.## 由圆周角的定义可知，∠ABC为直径CA的圆周角##。

3.##依据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，可知∠ABC＝90°##

####", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆心", "content": "圆心指的是同一个圆上所有点到一个定点都有相同的距离，这个定点就称为圆心。", "this": "点 D 即为圆的圆心，表示图中所有经点 D 到任意点的距离都相等。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "线段CA是直径，连接了圆心 D和圆周上的C、A两点，长度为2倍的半径，即CA = 2 * 半径。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上，角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，角ABC是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，由于 CA 是直径，所以其所对的圆周角 ∠ABC 是直角，即 ∠ABC = 90 度。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2491/img_diagram.png", "question": "将\\cos B的比值表示为小数，精确到小数点后两位。", "answer": "0.38", "process": "1. ##由图示可知，其中∠ACB=90°，根据直角三角形的定义可知##三角形ABC是一个直角三角形，AC=24，BC=10。

####

##2##. 根据##余弦函数##，余弦是邻边(BC)与斜边(AB)的比，即cos B = BC / AB。

##3##. 代入已知数值，cos B = 10 / 26。

##4##. 计算比值并四舍五入到小数点后两位：##cos B = 10 / 26 ≈ 0.3846153846，精确到小数点后两位得0.38##。

##5##. 最终得出cos B以小数表示的近似值为0.38。", "elements": "直角三角形; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边BC是角∠B的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠B的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值，即cos(∠B) = BC / AB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2656/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的面积。如有必要，四舍五入到最接近的十分位。", "answer": "91.9", "process": "1. 已知平行四边形的一边长为13 yd####。

2. 为了计算平行四边形的面积，需要知道底边的长度和对应高度的长度。已知底边（13 yd），但需计算出高度。

3. 在此平行四边形中，利用三角函数计算高度，根据���意可假设作一条从顶点垂直于底边的辅助线，形成一个直角三角形。

4. 此直角三角形的斜边是平行四边形的侧边（即10 yd），而45°角为直角三角形的一个锐角。

5. 根据##正弦函数，##我们有sin(45°) = 高度 / 10 yd。

6. 由于sin(45°) = √2 / 2，根据等式，得出高度 = 10 yd * (√2 / 2) = 10√2/2 yd = 5√2 yd。

7. 知道高度后，可以用平行四边形面积公式计算面积：面积 = 底边 × 高度。

8. 因此，平行四边形的面积 = 13 yd × 5√2 yd = 65√2 yd##^2##。

9. 计算65√2的近似值，将其结果精确到小数点后第一位，则65√2 ≈ 91.92 yd##^2##。

10. 经过上述推理，最终得出答案：平行四边形的面积约为91.9 yd##^2##。", "elements": "平行四边形; 正弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形是一个平行四边形，边13 yd与对边13 yd平行且相等，边10 yd与对边10 yd平行且相等。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，辅助线从顶点垂直于底边形成一个直角三角形，该直角三角形的其中一个内角是45°，另一个内角是90°，因此该三角形是一个直角三角形。"}, {"name": "正弦函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形中，45°角是锐角，虚线是45°角的对边，平行四边形的侧边。根据正弦函数定义，45°角的正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(45°) = 高度 / 10 yd。"}, {"name": "平行四边形的面积公式", "content": "一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。", "this": "在本题图中，平行四边形的底边长度为13 yd，对应的高度为从底边到对边的垂直距离，记为5√2 yd。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长13 yd乘以对应的高5√2 yd，即A = 13 yd × 5√2 yd = 65√2 yd##^2##，计算65√2的近似值得65√2 ≈ 91.92 yd##^2##。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，从平行四边形顶点垂直于对边的虚线是该顶点的高。虚线与底边形成一个直角（90度），这说明虚线是从顶点到对边的垂直距离。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2832/img_diagram.png", "question": "求 m \\angle 3。", "answer": "66", "process": "1. ##设∠3所在的三角形为△ABC，已知∠ABC=72°，∠CAB=42°，∠3=∠ACB，求∠3的度数。##

2. ##根据三角形内角和定理，可知∠ABC+∠CAB+∠3=180°。##

3. 已知 ##∠ABC 和 ∠CAB## 的大小，它们和为42° + 72° = 114°。

4. 因此 ##∠3## = 180° - 114° = 66°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为66°。", "elements": "普通三角形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角CAB和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角CAB + 角ACB = 180°。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2664.png", "question": "在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sinA=()", "answer": "\\frac{5}{13}", "process": "1. 已知直角三角形△ACB中，∠C=90°，BC=5，AC=12####。

2. 根据勾股定理，##a? + b? = c?##，其中a和b为直角边，c为斜边。

3. 在本题中，AC和BC为直角边，AB为斜边。

4. 由此可以计算得出AB = ##√(AC? + BC?) = √(12? + 5?) ##= √(144 + 25) = √169 = 13。

5. 计算sinA，sinA = 对边 / 斜边。

6. 在△ACB中，对角A的对边是BC，斜边是AB，因此sinA = BC / AB = 5 / 13。

经过上述推理，最终得出答案为sinA = 5 / 13。", "elements": "直角三角形; 正弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角���称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ACB中，角ACB是直角（90度），因此三角形ACB是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在直角三角形△ACB中，角∠CAB是锐角，边BC是角∠CAB的对边，边AB是斜边。根据正弦函数定义，角∠CAB的正弦值等于对边BC与斜边AB的比值，即sin(∠CAB) = BC / AB。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB² = AC² + BC²。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2536/img_diagram.png", "question": "圆 \\\\odot A, \\\\odot B 和 \\\\odot C 的直径分别为 10, 30 和 10 单位。若 A Z \\\\cong C W 且 C W = 2，求 Z X。", "answer": "3", "process": "1. ##由题目得知圆A, 圆B, 圆C 的直径为 10, 30, 10 单位。如图所示，圆B的直径分别相交于圆A和圆C上一点X和点Y，圆A的直径相交于圆B上一点Z，圆C的直径相交于圆B上一点W。由图可知：点A、Z、X、B、Y、W、C 共线##。

####

##2. 已知 C W = 2 且 A Z ≌ C W，可以得知 A Z = 2。##

##3. 因为AX为圆A的半径，已知圆A的直径为10，所以AX=1/2 * 10=5。又因为AZ+ZX=AX且A Z = 2，则ZX是圆A半径减去线段AZ的长度，即ZX=5-2=3。##

##4##. 据上述推理过程，Z X 的长度为 3。", "elements": "线段; 圆; 对称", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "线段的定义", "content": "线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。", "this": "在本题图中，线段AX是一个直线的一部分，包含端点A和端点X及其间的所有点。线段AX具有两个端点，这两个端点分别是A和X，且线段AX上的每一个点都位于端点A和端点X之间。##"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点A是圆心，点X是圆上的任意一点，线段AX是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AX是圆的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "圆A的直径是10，长度为2倍的半径，即10 = 2*半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2740/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot S 中，m \\\\widehat P Q R = 98。求 m \\\\widehat P Q。", "answer": "49", "process": "1. ##已知半径QS垂直于PR，根据垂径定理，半径SQ平分弦PR并且平分弧PQR，所以弧PQ=弧RQ##。

2. ##又因为m \\\\widehat P Q R = 98，所以m \\\\widehat P Q=1/2* m \\\\widehat P Q R=49##。

##3. 经过上述推理，我们可以得出m \\\\widehat P Q的值是49##", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆S中，点S是圆心，半径为QS。图中所有到点S的距离等于QS的点都在圆S上。####"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "圆S中，点S是圆心，点Q是圆上的任意一点，线段QS是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段QS是圆的半径。####"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆S中，半径QS垂直于弦PR，那么根据垂径定理，半径QS平分弦PR，即PT=RT，并且半径QS平分弦PR所对的两条弧，即弧PQ=弧RQ。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2619/img_diagram.png", "question": "四边形 E F G H 是一个矩形。如果 F K = 32 英尺，求 E G。", "answer": "64", "process": "1. 已知矩形 EFGH，## K## 为对角线 EF 与 HG 的交点。

2. 根据##矩形的对角线性质，对角线相等且##对角线的交点将对角线平分。因此 FK = EK。

3. 已知 FK = 32 英尺，所以 EK 也等于 32 英尺。

4. ##因为对角线的交点将对角线平分##，所以 EG = 2 * EK。

5. 依据上一步结论得出 EG = 2 * 32 英尺 = 64 英尺。", "elements": "矩形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一��四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形EFGH是一个矩形，其内角∠HEF, ∠EFG, ∠FGH, ∠GHE都是直角（90度），且边EF与边HG平行且等长，边EH与边FG平行且等长。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "在本题图中，矩形EFGH中，边EF与边HG平行且相等，边EH与边FG平行且相等。对角线EG和FH相等且互相平分，即对角线EG与对角线FH的交点K是两条对角线的中点。因此，线段EK等于线段GK，线段FK等于线段HK。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2983/img_diagram.png", "question": "从一个矩形的四个角上切下四个全等的三角形，形成一个八边形。这个八边形的面积是多少？", "answer": "528", "process": "1. 已知矩形的长为30厘米，宽为20厘米，每个角上剪去的等腰直角三角形的直角边长为6厘米。

2. 从矩形中剪去四个等腰直角三角形。每个三角形的面积为(1/2) * (6厘米) * (6厘米) = 18平方厘米。

3. 因为剪去四个相同的三角形，因此剪去的三角形总面积为4 * 18平方厘米 = 72平方厘米。

4. 矩形的总面积为30厘米 * 20厘米 = 600平方厘米。

5. 八边形的面积则为原矩形面积减去剪去的四个三角形的总面积，即600平方厘米 - 72平方厘米 = 528平方厘米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为528平方厘米。", "elements": "矩形; 等腰三角形; 普通多边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长，其中一对相对的边长为30厘米，另一对相对的边长为20厘米。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "四个等腰直角三角形的直角边都为6厘米，其中每个三角形的两个直角边相等，且每个三角形的直角为90度。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "每个等腰直角三角形的两条直角边均为6厘米，因此底边为6厘米，高也为6厘米。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (6厘米 * 6厘米) / 2 = 18平方厘米。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形的长为30厘米，宽为20厘米，所以矩形的面积 = 30厘米 * 20厘米 = 600平方厘米。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2317.png", "question": "如图,某数学学习兴趣小组为了测量树AB的度数,他们测得此树在阳光下的影子BC的长为9m,在相同时刻,他们还测得小亮在阳光下的影长为1.5m,已知小亮的身高为1.8m,则树AB的高为()", "answer": "10.8m", "process": "1. 已知树AB在阳光下的影子BC的长为9米，小亮在阳光下的影长为1.5米，小亮的身高为1.8米。

2. 根据相似三角形的定义，同一时刻物体的高度与其影长成正比例。

3. 将小亮与树的高度和影长建立比例关系，表示为1.8/1.5 = 树AB的高/9。

4. 根据比例关系式，对树AB的高进行求解，树AB的高 = 1.8/1.5 * 9。

5. 计算得出树AB的高为10.8米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10.8米。", "elements": "普通三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形DEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAC = ∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠BCA = ∠EFD；AB/DE = BC/EF = AC/DF。"}, {"name": "直角三角形的相似性", "content": "如果两个直角三角形的一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC和直角三角形DEF中，角ABC和角DEF是直角（90度），并且角BAC等于角EDF，因此根据直角三角形的相似性定理，这两个直角三角形相似。也就是说，三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2453/img_diagram.png", "question": "菱形 F G H J 的对角线相���于 K。若 G H = x + 9 且 J H = 5 x - 2，求 x。", "answer": "2.75", "process": "1. 已知条件为：对角线## F H 和 G J ##相交于点 K，G H = x + 9 和 J H = 5 x - 2。根据##菱形的定义，菱形是四边都相等的四边形##，因此所有的边相等。

2. 由于 G H 和 J H 都是菱形的边，因此####可知 G H = J H。

3. 代入已知条件，得出 x + 9 = 5 x - 2。

4. 通过移项并进行计算，####把 x 移向方程的##同一侧##，得到 9 + 2 = 5 x - x。简化后得4x = 11。

5. 最终解得 x = 11 / 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 11/4##=2.75##。", "elements": "菱形; 线段; 中点", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "菱形的定义", "content": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。", "this": "在本题图中，四边形 FGHJ中，其所有的边 FG、GH、HJ 和 JF 都是相等的，因此四边形 FGHJ 是一个菱形。此外，四边形 FGHJ 的对角线 FH 和 GJ 互相垂直平分，即对角线 FH 和 GJ 相交于点 K，且角 ∠FKG 是直角（90度），并且FK = KH 和 GK = KJ。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2525/img_diagram.png", "question": "已知 riangle A B C 的周长 = 25，求 x。假设看起来与圆相切的线段确实相切。", "answer": "3", "process": "1. 在给定的几何题中，已知 ΔABC 的周长为 25，##根据切线长定理##，BC = AC = 3x，AB = 7 。

2. 根据三角形周长的定义，周长为三边之和，因此，我们有 AB + BC + CA = 25 。

3. 因此可得方程：7 + 3x + 3x = 25 。

4. 化简方程为 7 + 6x = 25 。

5. 将 7 移到方程右侧得到 6x = 18 。

6. 两边同除以 6 得到 x = 3 。

7. 经过上述推理，最终得出答案为: x = 3。", "elements": "普通三角形; 切线; 线段; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "切线长定理", "content": "从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。", "this": "在本题图中，从圆外一点B引圆的两条切线BA和BC，它们的切线长相等，即BA=BC。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆与直线AB有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点。因此，直线BA是圆的切线。同理，在本题图中，圆与直线BC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点。因此，直线BC是圆的切线。"}, {"name": "三角形的周长公式", "content": "三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。", "this": "三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=AB+AC+BC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2691/img_diagram.png", "question": "求 Q S。", "answer": "25", "process": "1. ##由图中在三条边上各画一条单短线（小横线）标注表示这三条边长度相等。即边RQ＝边RS##。

2. ##由图已知边RQ=5x，边RS=6x-5，所以5x=6x-5，##解方程5x＝6x－5，两边减去5x得到0＝x－5，再加上5得x＝5。

3. 把x＝5代入QS＝3x＋10中计算QS，得到QS＝3(5)＋10＝15＋10＝25。

4. 因此，经过上述推理，最终得出答案为25。", "elements": "等边三角形; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形QRS中，边RQ和边RS相等，因此三角形QRS是一个等腰三角形。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形 QRS 中，边 RQ 和边 RS 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即 ∠QRS = ∠QSR。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2853/img_diagram.png", "question": "a = 14, b = 48, 和 c = 50，求 \\cos A。", "answer": "0.96", "process": "1.题目给出的已知条件是：a = 14，b = 48，c = 50，并且△ABC是一个直角三角形。

####

##2. 根据余弦函数##，对于直角三角形△ABC中的∠A，其余边AB和AC为斜边和直角边，那么cos A = 邻边 / 斜边 = b/c。

##3##. 替换已知数值，我们可以计算cos A = b/c = 48/50=0.96。

####

##5##. 最终得出cos A = ##0.96##。", "elements": "直角三角形; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角���。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####", "this": "直角三角形ABC中，边AC是角CAB的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角CAB的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(CAB) = AC/AB = 45/50 = 0.96。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2885/img_diagram.png", "question": "如果五边形 A B C D E 和 P Q R S T 相似，求 S R。", "answer": "\\frac { 48 } { 11 }", "process": "1. 已知条件为五边形 A B C D E 与五边形 P Q R S T 相似。根据相似图形的定义，如果两图形相似，则对应角相等且对应边成比例。

2. 根据多边形五边形 A B C D E 与 P Q R S T 相似，设相似比为 k 。则 AE 对应 PT，即AE/ PT= k 。根据图片数据，AE 的长度为 11 ，PT 的长度为 6。

3. 根据相似比 k = AE / PT = 11 / 6 。

4. 要求边 S R 的长度，对应边为 C D 。根据相似图形的定义，CD/SR = k 。根据图片数据，C D 的长度为 8。

5. 代入 k = 11 / 6 和 C D = 8 ，可以求得 S R 的长度为 S R = CD/K=8/ ( 11 / 6 ) 。

6. 经过上述计算得出 S R 的长度为 48/11 。", "elements": "五边形; 普通多边形; 位似", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似图形的定义", "content": "如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。", "this": "在本题图中，五边形A B C D E和五边形P Q R S T相似。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即AB/PQ = BC/QR = CD/RS = DE/ST = EA/TP。同时，它们对应的角也相等，即∠A = ∠P，∠B = ∠Q，∠C = ∠R，∠D = ∠S，∠E = ∠T。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3308.png", "question": "如图,点A、B、C、D在⊙O上,DE⊥OA,DF⊥OB,垂足分别为E,F,若∠EDF=50°,则∠C的度数为()", "answer": "65°", "process": "1. 已知DE垂直于OA，且DF垂直于OB，根据垂直定义，可以得∠OED = 90°，∠OFD = 90°。

2. ∠EDF的度数是50°，##根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°##。所以四边形OEDF内角和是∠OED + ##∠DFO+∠EOF + ∠EDF = 360°，已知∠EDF=50°，∠OED = 90°，∠OFD = 90°##。

3. 根据四边形内角和定理得出: ##∠EOF## = 360° - (90° + 90° + 50°) = 130°，##∠EOF即为∠AOB##。

4. 根据圆周角定理，在同一个圆中，圆心角的度数是该圆周角的两倍。因此，我们可以得出∠ACB = 1/2 * ∠AOB。

5. 代入数据，得∠ACB = 1/2 * 130° = 65°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为∠C = 65°。", "elements": "圆; 圆周角; 垂线; 圆内接四边形; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线DE和直线OA相交形成的角∠OED是90度，直线DF和直线OB相交形成的角∠OFD是90度，因此根据垂线定义，直线DE和直线OA互相垂直，直线DF和直线OB互相垂直。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "在本题图中，四边形OEDF中，角OED、角OFD、角EDF和角EOF是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即∠OED + ∠OFD + ∠EDF + ∠EOF = 360°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，点A、B、C、D在圆O上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2557/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "12.75", "process": "1. 已知点D, E, C同属一个圆，并且##直线CE##是直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出##∠CDE##是90°。

2. 已知∠DEC, ∠CDE, ∠ECD是△CDE的三个内角，应用##三角形内角和定理##，得出∠CDE +∠ECD + ∠DEC = 180°。

3. ∠DEC已知为90°，根据上一步，得出 ## ∠DEC + ∠ECD= 180°-∠CDE=180°-90°=##90°。

4. 题中已经给出了∠ECD = (5x - 12)°和##∠DEC## = 3x°。

5. 根据步骤3的结果，应用代入法，得出3x + (5x - 12) = 90°。

6. 化简方程3x + 5x - 12 = 90，结果为8x - 12 = 90。

7. 将-12移项，得到8x = 90 + 12。

8. 进行加法运算后得出8x = 102。

9. 将方程两边同时除以8，解出x = 102 ÷ 8。

10. 计算得到x = 12.75。", "elements": "圆; 圆内接四边形; 圆周角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "角CDE的顶点D在圆周上，角CDE的两边分别与圆相交于点E和点C。因此，角CDE是一个圆周角。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "直径CE所对的圆周角∠CDE是直角（90度）。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "角DEC、角CDE和角ECD是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角DEC + 角CDE + 角ECD = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2778/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "14", "process": "1. 已知条件为：XT和ZT是圆的割线，XW=12，WT=7，TY=6。

2. 根据割线定理（也称幂的定理）可得，TW × XW = TYX × YZ。

3. 将已知数值代入割线定理中：7 × 12 = 6 × x。

4. 计算得到：x = 14。



5. 经过上述推理，最终得出答案为14。", "elements": "圆; 切线; 弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "割线", "content": "与圆有两个交点的直线称为圆的割线。", "this": "直线XT与圆O有两个交点，分别是点W和点Y。根据割线的定义，直线XT与圆O相交于两个不同的点，所以直线XT是圆O的割线。"}, {"name": "割线定理", "content": "在圆内，如果两条割线相交于一圆外一点，则这两条割线的外部部分乘以其内部部分的积是相等的。", "this": "圆 O 有两条 割线 XT 和 ZT，它们相交于 圆外一点 T。割线 XT 的外部部分为 WT (7)，内部部分为 XW (12)；割线 ZT 的外部部分为 TY (6)，内部部分为 ZY (x)。根据 割线定理，割线 XT 的外部部分乘以其内部部分的积等于割线 TZ 的外部部分乘以其内部部分的积，即 7 * 12 = 6 * x。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2654/img_diagram.png", "question": "求正多边形的面积。结果保留到十分位。", "answer": "101.8", "process": "1. 给出的图形是一个正八边形，##根据正多边形的定义，我们知道它具有八个相等的边长度和八个相等的内角##。

##2. 已知从正八边形的中心到一个顶点的连线长度为6厘米，即正八边形的外接圆半径R=6厘米。##

##3. 以该正八边形中心为圆心，作正八边形的外接圆，则正八边形外接圆的半径R=6厘米。##

4. 使用正多边形的面积公式A =## (1/2) * n * r^2 * sin(360°/n)##，其中n为边数，r为外接圆半径。本题中，n = 8，r = 6。

5. 把已知条件代入面积公式A = (1/2) * 8 * 6^2 * sin(360°/8)得A = (1/2) * 8 * 36 * sin(45°)。

6. 根据sin(45°) = √2/2，可以代入得到A = (1/2) * 8 * 36 * (√2/2)。

7. 化简计算得A = 144 * √2/2。

8. 进一步计算，A = 72 * √2。

9. 通过将A ≈ 72 * 1.414得出A ≈ 101.8236。

10. 经四舍五入，保留到十分位最终得到A ≈ 101.8。

11. 经过上述推理计算，正八边形的面积近似为101.8平方厘米，并圆整到最近的十分位。", "elements": "正多边形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正多边形的定义", "content": "正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。", "this": "在本题图中，正八边形中，所有边的长度相等，���所有内角相等。因此，该图形是一个正八边形。##"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段。", "this": "点O是圆心，图中标注的正八边形顶点是圆上的任意一点，图中的粉色线段是从圆心到圆上任意一点的线段，因此该线段是圆的半径。##"}, {"name": "正多边形的面积公式", "content": "正多边形的面积公式为 A = (1/2) * n * r? * sin(360°/n)，其中n为边数，r为外接圆半径。", "this": "正八边形的边数 n = 8，半径 r = 6。根据正多边形的面积公式，正八边形的面积A = (1/2) * n * r² * sin(360°/n)，其中n表示正八边形的边数，r表示正八边形的外接圆半径。代入已知条件可得A = (1/2) * 8 * 6² * sin(360°/8) = (1/2) * 8 * 36 * sin(45°)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2747.png", "question": "如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则\\cosB的值是()", "answer": "\\frac{2√{5}}{5}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠C=90°, AC=1, BC=2。

2. 根据勾股定理：在直角三角形ABC中，斜边AB的平方等于AC的平方与BC的平方之和。

3. 由勾股定理得：AB=√(AC^2 + BC^2) = √(1^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5。

4. 根据锐角的余弦定义，cos∠B = 临边/斜边 = BC/AB。

5. 因此，cos∠B = 2/√5 = 2√5/5。

6. 最终得出答案，cos∠B = 2√5/5。", "elements": "直角三角形; 余弦; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "直角三角形ABC中，边BC是角∠ABC的邻边，边AB是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠ABC的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值，即cos(∠ABC) = BC / AB。图中BC=2，AB=√5，因此cos(∠ABC) = 2/√5 = 2√5/5。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度），边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，AB##^2##= AC##^2##+ BC##^2##。题中AC=1，BC=2，代入得AB=√(1##^2##+ 2##^2##)=√(1 + 4)=√5，因此AB=√5。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3.png", "question": "如图,已知OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的大小是()", "answer": "60°", "process": "1. 已知OA=OB=OC，##作⊙O，以O为圆心，OA为半径作圆，根据圆的定义##，得出A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上。

2. ##根据圆周角的定义，得∠ACB为圆周角且等于30°，根据圆心角的定义，∠AOB是圆心角##。

3. ####根据圆周角定理，##得∠ACB=?∠AOB##。

4. ##计算得##∠AOB=2∠ACB。

5. ##因为##∠ACB=30°，得出∠AOB=2×30°=60°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "elements": "等腰三角形; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "作⊙O，以O为圆心，OA为半径作圆，图中所有到点O的距离等于OA的点都在圆O上。因为OA=OB=OC，所以A、B、C是在以O为圆心，OA为半径的圆上。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2970.png", "question": "如图,已知AB、AD是⊙O的弦,∠BOD=50°,则∠BAD的度数是()", "answer": "25°", "process": "1. ##已知AB、AD是圆O的弦，∠BOD=50°。O为圆心，则根据圆心角��定义，∠DOB为圆心角；根据圆周角的定义，∠BAD为圆周角。##

2. ##在圆O上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD=1/2 * ∠DOB##

####

##3##. 将已知数据代入公式，即∠BAD = 1/2 * 50°。

##4##. 计算得到∠BAD = 25°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 弦; 圆心角; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "在本题图中，圆O上有两点B和D，弧BD是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧BD是圆上两点B和D之间的一段曲线。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、D在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/150.png", "question": "如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,则∠BDC的度数为()", "answer": "72°", "process": "1. ##已知DE垂直平分AB，依据垂直平分线的定义，DE是AB的垂直平分线##。

2. ##依据垂直平分线的性质，D点在垂直平分线DE上，有DA＝DB##。

3.##∠BDC是三角形ABD的一个外角，由三角形的外角定理可知，∠BDC＝∠DAB＋∠DBA##

4.##在三角形ABD中有DA＝DB，由等腰三角形的定义可知，三角形ABD是等腰三角形，再由等腰三角形的性质可知，∠DAB＝∠DBA##

5.##所以∠BDC＝2∠DAB，已知∠A=36°，所以∠BDC＝2×36°＝72°##

6.##经过上述推理，最终得出答案为72°##。

####", "elements": "等腰三角形; 垂直平分线; 对顶角; 垂线; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。##三角形ABD中，边DA和边DB相等，因此三角形ABD是一个等腰三角形##。"}, {"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线DE经过线段AB的中点E，并且直线DE垂直于线段AB。因此，直线DE是线段AB的垂直平分线。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。等腰三角形ABD中，边DB和边DA相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角DAB = 角DBA。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "在本题图中，线段AB的垂直平分线为直线DE，点D和点E在直线DE上。根据垂直平分线的性质，点D到线段AB两端点A和B的距离相等，即AD = BD；点E到线段AB两端点A和B的距离相等，即EA = EB。######"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角BDC是三角形的一个外角，角DBA和角DAB是与外角BDC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角BDC等于不相邻的两个内角DBA和DAB之和，即角BDC = 角DBA + 角DAB##。##"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角", "this": "在本题图中，多边形ABD的一个内角为∠BDA，延长该内角的相邻边BD和AD形成的角∠BDC称为内角∠BDA的外角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2487/img_diagram.png", "question": "圆 G, J 和 K 都在 L 处相交。如果 G H = 10，求 F H。", "answer": "20", "process": "1. 已知条件：圆 G，J，K 在点 L 处相交。已经知道 G H = 10。

2. ##因为FH为圆G的直径，因此 F H = 2 * GH =20。##

####

##3##. 回答问题：F H 等于 20。", "elements": "圆; 弦; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点G是圆心，点H是圆上的任意一点，线段GH是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段GH是圆G的半径。######"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "FH是直径，连接了圆心G和圆周上的F、H两点，长度为2倍的半径，即FH = 2*GH=20。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2725/img_diagram.png", "question": "已知 \\\\odot A, \\\\odot B 和 \\\\odot C 的直径分别为 10, 30 和 10 个单位。若 A Z \\\\cong C W 且 C W = 2，求 Y W。", "answer": "3", "process": "1. ##由题目得知圆A, 圆B, 圆C 的直径为 10, 30, 10 单位。如图所示，圆B的直径在圆上的交点为点Z和点W，圆C和圆B的直径相交于点Y。由图可知：点Y、W、C 共线##。

####

##2. 已知 C W = 2 ##。

##3. 因为CY为圆C的半径，已知圆C的直径为10，所以CY=5。又因为CW+YW=CY且CW = 2，则YW是圆C半径减去线段CW的长度，即YW=5-2=3##。

##4##. 据上述推理过程，YW的长度为 3。", "elements": "圆; 线段; 对称", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "\\odot A的直径是10，因此A的半径AX = 5；\\odot B的直径是30，因此B的半径BX = 15；\\odot C的直径是10，因此C的半径CY = 5。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆A中，点A是圆心，点X是圆上的任意一点，线段AX是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AX是圆A的半径。圆B中，点B是圆心，点X是圆上的任意一点，线段BX是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段BX是圆B的半径。圆C中，点C是圆心，点Y是圆上的任意一点，线段CY是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段CY是圆C的半径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "\\odot A的直径是10，因此A的半径AX = 5；\\odot B的直径是30，因此B的半径BX = 15；\\odot C的直径是10，因此C的半径CY = 5。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2896/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 J K L M 找出 m \\angle J M L.", "answer": "109", "process": "1. 已知形状J K L M是平行四边形，由此可以得出∠J K L和∠J M L是对角。根据平行四边形的性质，对角相等，即∠J K L = ∠J M L。

2. 已知∠J K L等于109°，因此根据对角相等的性质，可以得出∠J M L也等于109°。

3. 基于上述推理，得到∠J M L的度数为109°。", "elements": "平行四边形; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形J K L M是一个平行四边形，边JK与边LM平行且相等，边JM与边KL平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的性质定理", "content": "在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。", "this": "在本题图中，平行四边形J K L M中，对角∠J K L和∠J M L相等，对角∠K J M和∠K L M相等；边J K和边L M相等，边J M和边K L相等；对角线J L和K M互相平分，即交点将对角线J L分成两段相等的线段，将对角线K M分成两段相等的线段。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2904/img_diagram.png", "question": "使用毕达哥拉斯定理求直角三角形的斜边长度。", "answer": "13", "process": "1. ##设三角形的三个顶点为A、B、C，由已知条件得∠ACB为直角，根据直角三角形的定义，可得△ABC为直角三角形##。BC为5英尺，AC为12英尺，要求的是斜边AB的长度。

2. 根据勾股定理，��式为：在直角三角形中，斜边的平方等于另外两条边的平方和。即AB^2 = AC^2 + BC^2。

3. 将已知边长代入勾股定理公式：AB^2 = 12^2 + 5^2。

4. 计算得到：AB^2 = 144 + 25。

5. 进一步计算：AB^2 = 169。

6. 求出AB的长度：AB = √169。

7. 计算结果是：AB = 13。

8. 最终，斜边AB的长度为13英尺。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、AC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、BC、AC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，直角三角形中，直角边分别为5英尺和12英尺，斜边为AB。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169。因此，斜边AB的长度为√169 = 13英尺。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3539.png", "question": "如图．已知A、B、C三点在⊙O上,点C在劣弧AB上,且∠AOB=130°,则∠ACB的度数为()", "answer": "115°", "process": "1. 如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD。##根据圆周角的定义，∠ADB是圆周角；根据圆心角的定义，∠AOB是圆心角。##

2. 已知∠AOB=130°，根据圆周角定理，##可得∠ADB=1/2∠AOB=1/2 * 130°=65°##。

3. ##四边形ADBC是⊙O的内接四边形，因此根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理可得： ∠ADB+∠ACB=180°。##

4. ##已知∠ADB=65°，所以∠ACB=180°-65°=115°。##

5. 经过上述推理，最终得出答案为115°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "弧的定义", "content": "弧是圆上两点之间的一段曲线。", "this": "弧ACB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧ACB是圆上两点A和B之间的一段曲线。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ADB的顶点D在圆周上，角ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ADB是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。"}, {"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形 ADBC 的四个顶点 A、B、C 和 D 都在同一个圆（⊙O）上。这个圆称为四边形 ADBC 的外接圆。因此，四边形 ADBC 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，对角相加等于180度，##即 ∠ADB + ∠ACB = 180度##。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、D在圆上，弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ADB。根据圆周角定理，∠ADB等于它所对的弧ACB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ADB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "在本题图中，四边形 ADBC 内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补定理，四边形 ADBC 的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ADB + ∠ACB = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2811/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "58", "process": "1. 已知条件为：##该三角形有一个直角，所以根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形##，其中一条直角边长为16，另一条直角边长为10，要求角x的大小。

2. 根据##正切函数的定义##：在直角三角形中，正切函数tan(角)等于对边长度与邻边长度之比。对于角x而言，对边是16，邻边是10。

3. 因此有 tan(x) = 16/10 = 1.6。

4. ##查表可知，tan58°≈1.6003，所以x=58##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中有一个内角为90度，因此该三角形是一个直角三角形。边长为16和10的两条边是直角边。"}, {"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "角x是锐角，边长为16的边是角x的相对直角边，边长为10的边是角x的相邻直角边，所以角x的正切值等于边长为16的边的长度除以边长为10的边的长度，即##tan(x) = 16 / 10=1.6##。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2607/img_diagram.png", "question": "求 B C。", "answer": "6", "process": "####

##1. 由图中平行标识可知AE∥CD，根据平行线的平行公理2和内错角的定义，可得：∠EAB=∠DCB，∠AEB=∠CDB##。

##2. 根据相似三角形的判定定理(AA)，三角形AEB和三角形CDB中的对应角相等，即∠EAB=∠DCB，∠AEB=∠CDB，所以三角形AEB相似于三角形CDB##。

##3. 根据相似三角形的定义，对应边成比例，所以BD/BE=BC/BA。由图已知BD=3，BE=5，BC=2x-8，BA=x+3，代入已知值得：（2x-8）/（x+3）=3/5##。

##4. 交叉相乘得：3*（x+3）=5*（2x-8），化简方程得：3x+9=10x-40##。

##5. 最终化简为：7x=49，解得：x=7##。

##6. 将已求得的x的值代入：2x-8，所以BC=2*7-8=6##。

####", "elements": "等边三角形; 线段; 对顶角; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "'在本题图中，三角形ABE是由三个非共线点A、B、E及其连接线段AE、AB、BE组成的几何图形。点A、B、E分别是三角形的三个顶点，线段AE、AB、BE分别是三角形的三条边。三角形CDB是由三个非共线点C、D、B及其连接线段CD、DB、CB组成的几何图形。点C、D、B分别是三角形的三个顶点，线段CD、DB、CB分别是三角形的三条边。####'"}, {"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "直线AE和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AE和直线CD是平行线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AE和CD被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：无。\n2. 内错角：角EAB和角DCB相等。\n3. 同旁内角：无。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。\n两条平行线AE和CD还被第四条直线DE所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：无。\n2. 内错角：角AEB和角CDB相等。\n3. 同旁内角：无。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AE和CD被一条直线AC截交，其中角EAB和角DCB位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角EAB和角DCB是内错角。内错角相等，即角EAB等于角DCB。两条平行直线AE和CD又被一条直线DE截交，其中角AEB和角CDB位于两平行线之间，且在截线DE的对侧，因此角AEB和角CDB是内错角。内错角相等，即角AEB等于角CDB。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角AEB等于角CDB，且角EAB等于角DCB，所以三角形AEB相似于三角形CDB。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△ABE和△BDC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EAB = ∠DCB, ∠AEB = ∠CBD, ∠ABE = ∠CBD；AB/CB = EB/DB = AE/DC。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3191.png", "question": "将量角器按如图所示的方式放在一个残缺的玻璃碎片上,使点A在半圆上,点B、C的读数分别为105°、155°,则∠BAC的大小为()", "answer": "25°", "process": "1. 已知将量角器按如图所示的方式放在一个残缺的玻璃碎片上, 点A在半圆上, 点B、C的读数分别为105°和155°，设半圆的圆心为O，连接OB和OC。

2. 根据题意，点B在105°的位置，点C在155°的位置，则∠BOC ####= 155° - 105° = 50°。

3. 因为∠BAC与∠BOC都对着弧BC，根据圆周角定理，在同一段弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半，得出∠BAC = 1/2 ∠BOC。

4. 代入已知条件∠BOC = 50°，因此∠BAC = 1/2 × 50° = 25°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆周角; 圆心角; 射线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "在本题图中，半圆的圆心为O，各点A、B、C在半圆的周上。OB和OC是从圆心O到圆周上B点和C点的半径。图中所有到点O的距离等于定长（即半径）的点都在圆O上。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，角BAC是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，∠BAC 与圆心角 ∠BOC 对着同一条弧 BC。根据圆周角定理，∠BAC 等于它所对的弧 BC 所对应的圆心角 ∠BOC 的一半，即 ∠BAC = 1/2 ∠BOC。根据已知条件，∠BOC = 50°，所以 ∠BAC = 25°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/402.png", "question": "如图,已知直线a、b被直线c所截,a∥b,∠1=50°,则∠2=()", "answer": "50°", "process": "1. 已知直线a平行于直线b，且∠1=50°，##再设∠2的对顶角为∠3##。

2. ##根据平行线的平行公理2，同位角相等得出##∠3=∠1=50°。

3. 根据对顶角##的定义##，得出∠2=∠3。

4. 由∠3=50°，所以∠2=50°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠2=50°。", "elements": "平行线; 同位角; 直线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线c和b相交于##一点，形成两个角：角2、角3。根据对顶角的定义，角2和角3是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角2 = 角3##。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "##在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线c所截，形成了以下几何关系：同位角：角1和角3相等##"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。", "this": "两条平行直线a和b被一条直线c截交其中，角1和角3位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角1和角3是同位角。同位角相等，即角1等于角3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3394.png", "question": "如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA、OB,∠AOB=50°,则∠C的度数为()", "answer": "25°", "process": "1. 已知圆O是三角形ABC的外接圆，∠AOB=50°。

####

##2##. ##根据圆周角定义和圆心角定义，∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角##。根据圆周角定理，在圆O中，圆心角等于所对弧的圆周角的两倍。

##3##. 因此，∠ACB为∠AOB的一半，即∠ACB=1/2 × 50° = 25°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形; 圆内接四边形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "三角形外接圆", "content": "三角形的外接圆是通过三角形的三个顶点的圆。", "this": "三角形ABC的三个顶点分别是点A、点B和点C。通过这三个顶点可以画一���圆，这个圆称为三角形ABC的外接圆。圆心O是三角形ABC的外接圆的圆心，且点A、点B和点C都在这个圆上。因此，圆O的半径分别等于OA、OB和OC，即OA=OB=OC。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。####"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角AOB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角ACB是一个圆周角。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2767/img_diagram.png", "question": "求x的值。", "answer": "163", "process": "1. 已知条件为：一个圆内有一个中心角x°，其余两个角为65°和132°。

2. ##设圆心为O点，与圆心连接的圆上三点分别为点A、B、C（从最左侧顺时针方向），所以∠AOB=65°，∠AOC=132°，∠BOC=x°。根据周角的定义满足∠AOB+∠AOC+∠BOC=## 65° + 132° + x° = 360°。

3.解决该方程：65° + 132° + x° = 360°，变为197° + x° = 360°。

4. 解出x°，得到x° = 360° - 197°。

5. 经过计算得到x° = 163°。

6. 经过以上推理步骤，确认x°的值为163°。", "elements": "圆心角; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "周角的定义", "content": "一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角", "this": "在本题图中，射线OA绕着圆心旋转一周，形成周角。根据周角的定义，周角的度数为360度，即周角 65° + 132° + x° = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/361.png", "question": "如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,连接AC．若∠D=50°,则∠A的度数是()", "answer": "20°", "process": "1. 已知CD切⊙O于C，##连接OC，根据圆的切线性质##，得出OC⊥CD，因此∠OCD=90°。

2. 已知∠D=50°，由∠OCD=90°，以及三角形内角和定理，得到∠COD=180°-90°-50°=40°。

3. ##∠COD是三角形AOC的一个外角，由三角形的外角定理可知，∠COD＝∠OAC＋∠OCA##。

4. ##因为OA和OC为圆O的半径，所以OA＝OC，三角形AOC符合等腰三角形的定义，依据等腰三角形的性质，可知∠OAC＝∠OCA##

5.## 所以∠COD＝2∠OAC，将∠COD=40°带入上式整理，可得∠A＝∠OAC＝20°##。", "elements": "圆; 切线; 直角三角形; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2 * OA。"}, {"name": "圆的切线定义", "content": "圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。", "this": "圆⊙O与直线CD有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点C。因此，直线CD是圆⊙O的切线。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆⊙O中，点O是圆心，点A和点C是圆上的任意一点，线段OA和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OC是圆的半径。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "三角形OAC中，边OA和边OC相等，因此三角形OAC是一个等腰三角形。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "在本题图中，圆O中，点C是直线CD与圆的切点，线段OC是圆的半径。根据圆的切线性质，切线CD与经过切点C的半径OC垂直，即∠OCD=90度。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形OCD中，角OCD、角D和角COD是三角形OCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角OCD + 角D + 角COD = 180°。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形 OAC 中，边 OA 和边 OC 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角 OAC = 角 OCA。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和", "this": "角DOC是三角形的一个外角，角OAC和角OCA是与外角DOC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角DOC等于不相邻的两个内角OAC和OCA之和，即角DOC = 角OAC + 角OCA。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形OAC的一个内角为∠AOC，延长该内角的相邻边AO和OC形成的角∠COD称为内角∠AOC的外角。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2512/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "2 \\sqrt { 11 }", "process": "1.##设直角边X和斜边12的夹角顶点为A，设斜边12和直角边10的夹角顶点为B，设90°角顶点为C##。

2.##已知直角三角形ABC中，斜边AB= 12和直角边BC=10，可以用勾股定理求直角边AC##。

3.##根据勾股定理可得出公式AB?=AC?+BC?##。

4.##带入已知条件:12?=X?+10?##。

5.##计算公式:144?=X?+100=144-100=44##。

6.##X=√44=2√11##。

7. 最终，这道几何题的答案是 x = 2√11 。", "elements": "直角三角形; 垂线; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角顶点为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边10和边x是直角边，边12是斜边。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 12^2 = 10^2 + x^2，因此 x =√(12^2 - 10^2) = √(144 - 100) = √(44) = 2√11。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2942/img_diagram.png", "question": "求 B C。", "answer": "9", "process": "1. 在△A B C中，已知A C = 9, B C = 9, ∠A=60°。

2. ##依据等腰三角形的定义，可知△A B C是等腰三角形##。

3. ##依据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）可知，△A B C是等边三角形##。

4. ##依据等边三角形的定义，可知BC＝AB＝AC＝9##。

5.## 最终得出BC = 9##。

####", "elements": "等边三角形; 等腰三角形; 普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "△ABC是一个等边三角形，因此AB = BC = AC = 9。而∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）", "content": "有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形", "this": "在本题图中，已知△ABC为等腰三角形，边AB与边AC相等，且存在一个内角为60°，即∠A=60°。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定△ABC为等边三角形。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/003.png", "question": "在上图中，ABCD是一个矩形。三角形AFB的面积是多少？", "answer": "9", "process": "1. 已知条件：ABCD是一个矩形，AB边长为6，BC边长为3。

2. ##根据矩形的定义，##矩形的对边平行且相等，因此AD = BC = 3，AB = DC = 6。

##3. 根据矩形的定义，矩形ABCD的每个内角都是直角，所以∠DAB =∠ADC= 90°。##

##4. 过点F做垂线EF交AB于点E，∠AEF=90°。##

##5. 根据四边形的内角和定理，四边形AEFD内角和为360°，所以∠DFE=360°-∠FDA-∠DAE-∠AEF=360°-90°-90°-90°=90°，根据矩形判定定理一，所以四边形AEFD为矩形。##

##6.根据矩形的定义，AD=EF=3，△AFB的高EF为3。##

7. 底边AB的长度为6，所以△AFB的底边长为6，高为3。

8. 根据三角形面积公式：面积 = 1/2 × 底 × 高，得△AFB的面积 = 1/2 × 6 × 3。

9. 简化计算：△AFB的面积 = 1/2 × 18 = 9。", "elements": "矩形; 普通三角形; 垂线", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB、∠ABC、∠BCD和∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长。##四边形AEFD是一个矩形，其内角∠DAE、∠AEF、∠EFD和∠FDA都是直角（90度），且边DF与边AE平行且等长，边AD与边EF平行且等长。##"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "在本题图中，三角形AFB中，边AB是底，线段EF是高。根据三角形的面积公式，三角形AFB的面积等于底边AB乘以高EF再除以2，即面积 = (6 * 3) / 2。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "从顶点F垂直于对边AB（或其延长线）的线段EF是该顶点F的高。线段FE与边AB（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段EF是从顶点F到对边AB（或其延长线）的垂直距离。"}, {"name": "四边形的内角和定理", "content": "在任意四边形中，四个内角的和为360°。", "this": "四边形AEFD中，角DAE、角AEF、角EFD和角FDA是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角DAE + 角AEF + 角EFD + 角FDA = 360°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2846/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "48", "process": "1. ##设图中三角形为三角形ABC，由图中在两条线的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直。所以角BAC为直角，即∠BAC=90°。根据直角三角形的定义，可知△ABC为直角三角形##。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，因此##∠ABC## + ∠ACB + ∠BAC = 180°，即##∠ABC## + 30° + 90° = 180°，从而##∠ABC## = 60°。

3. 由于△ABC是一个直角三角形，且有角∠ACB的值为30°，符合30°-60°-90°直角三角形的特殊性质。

4. ##根据30°-60°-90°三角形的性质##，在30°-60°-90°的直角三角形中，已知直角边长为24，对应30°的对边为短边，##对应90°的对边为斜边，且斜边＝短边 × 2##。

####

##5. ##已知短边为24，则斜边等于24 × 2 = 48。

##6. 因为y是斜边，因此y=48##。

##7##. 经过上述推理，最终得出y的值为48。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，设图中三角形为三角形ABC，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。点A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "三角形中有一个内角为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边24和x是直角边，边y是斜边。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形的三个内角分别为∠BAC、∠ACB和∠ABC。根据三角形内角和定理，∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°。已知∠BAC = 90°，∠ACB = 30°，因此∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "△ABC是一个30°-60°-90°的直角三角形。∠ACB = 30°，∠ABC = 60°，∠BAC = 90°。边BC是斜边，边AB是30度角所对的边，边AC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB等于边BC的一半，边AC等于边AB的√3倍。即：BC = 2 * AB，AC = AB * √3。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2589/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "4 \\sqrt { 6 }", "process": "1. ##设���下方的直角顶点为C，AC=z，AB=x，AD=y，已知三角形ABC和BCD是两个直角三角形##。

2. ##在三角形ABC和三角形BCD中，角B是公共角，角ACB=角BDC=90度，根据相似三角形的判定定理(AA)，得到三角形ABC和BCD相似##。

3. ##根据相似三角形的定义，有：BC/AB =BD/BC，即x/12=8/x，进一步化简，##x^2 = 8*12。

4. ####计算，得x^2 = 96。

5. 进行平方根求解，##得到x=4√6##。

####", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "较大直角三角形的直角位于左下角，较小直角三角形的直角位于其内部右边偏下位置。较大直角三角形中，角位于左下角的是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边z和边x是直角边，边12是斜边。较小直角三角形中，角位于右边偏下的是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边y和边8是直角边，边x是斜边。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，由于较大直角三角形和较小直角三角形相似，所以对应边x和12以及8和x成比例，即x/12 = 8/x。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ABC 和三角形BCD 中，如果角B 等于角B ，且角ABC 等于角BDC ，所以三角形ABC相似于三角形BCD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2435/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "115", "process": "1. 已知条件为##三角形的三个内角##的度数分别为40°、25°和x，根据三角形内角和定理，即一个三角形的三个内角之和等于180°，可得方程：40° + 25° + x = 180°。

2. ##化简得到：65° + x = 180°##。

3. 求解方程：将65°移到等式右边，得到：x = 180° - 65°。

4. 计算右边的结果，得到：x = 115°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为115°。", "elements": "三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形的三个内角分别为40°、25°和x，根据三角形内角和定理，40° + 25° + x = 180°。##"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "在本题图中，该三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。 三个点分别是三角形的三个顶点，三条线段分别是三角形的三条边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2596/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "6", "process": "1. 已知三角形JKL的三条边分别以表达式的形式给出：JK = 3x + 6, KL = 4x, 和 LJ = 5x - 6。

2. 由图示可知，##三角形JKL三条边上都有相同的标记表示##，这意味着JK = KL = LJ，##根据等边三角形的定义，三角形JKL是等边三角形##。

3. 因为JK = KL，所以我们可以建立等式：3x + 6 = 4x。

4. 将3x + 6 = 4x方程解出，得到x = 6。

5. 为了验证答案，我们将x=6代入其他两条边的表达式中：KL = 4x = 24，以及LJ = 5x - 6 = 24，这与JK = 24一致。由此确定x = 6无误。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 6。", "elements": "等腰三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形JKL是一个等边三角形。边JK、边KL和边LJ的长度相等，并且角JKL、角KLJ和角LJK的度数相等，均为60°。具体表示是：JK = 3x + 6, KL = 4x, LJ = 5x - 6，其中三角形的每一边都相等。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2409/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "21 \\sqrt { 3 }", "process": "1. 已知直角三角形的一个锐角为30°，另一个锐角为60°，由此可得这个三角形是一个##30°-60°-90°##直角三角形，因此可以应用##30°-60°-90°直角三角形##的性质。

2. 在##30°-60°-90°##直角三角形中，30°角的对边与60°角的对边的比为1:√3，30°角的对边与斜边的比为1:2。

3. 题目给出的已知条件是三角形中30°角的对边长为21，因此使用30-60-90直角三角形的性质，可以得到此三角形的斜边长度为##其##2倍，即x = 42。

4. 继续利用##30°-60°-90°##三角形的性质，已知30°角的对边为21，##故60°角的对边(y所在边)长度为√3倍30°角所对的边##，因此y = 21√3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为21√3。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦; 正切", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形中一个角为90度，因此该三角形是一个直角三角形。直角的两条边分别是21和y，斜边是x。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "角30°是30度，角60°是60度，角90°是90度。边x是斜边，边21是30度角所对的边，边y是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边x等于边21的一半，边y等于边21的√3倍。即：x = 2 * 21，y = 21 * √3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1748.png", "question": "如图,已知⊙O中,∠AOB=50°,则圆周角∠ACB的度数是()", "answer": "25°", "process": "1. 已知在圆O中，∠AOB=50°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于相应圆心角的一半，此处指的是∠ACB与其所对的圆心角∠AOB。

3. 由圆周角定理可得∠ACB=\\frac{1}{2}∠AOB。

4. 代入已知条件，∠ACB=\\frac{1}{2}×50°=25°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。圆心角∠AOB的度数是50°。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角∠ACB的顶点C在圆周上，角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ACB是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3569.png", "question": "如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=70°,则∠BCD的度数是()", "answer": "145°", "process": "1.已知四边形ABCD内接于圆O，角BOD=70°。

2. 根据##圆周角定理##，圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。因此，∠BAD=1/2×∠BOD=1/2×70°=35°。

3. 由于四边形ABCD是圆内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，对角之和等于180°。

4. 由此，∠BCD=180°-∠BAD=180°-35°=145°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为145°。", "elements": "圆; 圆内接四边形; 圆心角; 圆周角; 弧", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角BAD + 角BCD = 180度，角ABC + 角ADC = 180度。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角BAD的顶点A在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角BAD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C、D在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠BAD+ ∠BCD = 180°；∠ABC + ∠CDA = 180°。所以，∠BCD=180°-∠BAD=180°-35°=145°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2749/img_diagram.png", "question": "如果 Z P = 4 x - 9 和 P Y = 2 x + 5，求 Z X。", "answer": "38", "process": "1.已知矩形 WXYZ，##对角线 WY 和 ZX## 相交于点 P，##根据矩形的对角线性质，对角线相等且互相平分，可知 ZP = PY=WP = PX##。

2. 题中还给出 ZP = 4x - 9 和 PY = 2x + 5。依据前一步结论，我们可以得到 4x - 9 = 2x + 5。

3. 将等式 4x - 9 = 2x + 5 中的2x 移项到等号左边，常数移到等号右边，可以得到 4x - 2x = 5 + 9。

4. 合并得 2x = 14，解得 x = 7。

5. 将 x 的值带入 ZP = 4x - 9，得 ZP = 4(7) - 9 = 28 - 9 = 19。

6. 由于#### Z P = P X，因此 ZX = 2 * ZP = 2 * 19 = 38。

7. 经过上述推理，最终得出 ZX 的值为 38。", "elements": "矩形; 对称; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形 WXYZ 是一个矩形，其内角 ∠ZWX、∠WXY、∠XYZ 和 ∠YZW 都是直角（90度），且边 WX 与边 ZY 平行且等长，边 WZ 与边 XY 平行且等长。"}, {"name": "矩形的对角线性质", "content": "在矩形中，对角线相等且互相平分。", "this": "在矩形 WXYZ 中，边 WX 与边 ZY 平行且相等，边 WZ 与边 XY 平行且相等。对角线 WY 和 ZX 相等且互相平分，即对角线 WY 与对角线 ZX 的交点 P 是两条对角线的中点。因此，线段 WP 等于线段 PX，线段 ZP 等于线段 PY。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2544/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 J K L M 来求 m \\angle K L M。", "answer": "71", "process": "1. ##已知四边形JKLM为平行四边形，且∠K ＝ 109°。根据平行四边形的邻角互补定理，平行四边形内相邻的内角互补，两角的和为180°##。

2. ##图中平行四边形JKLM中的∠K和∠L相邻，所以∠K+∠L=180°##。

3. ##已知∠K = 109° ，将该值代入：109° + ∠L = 360°##。

4. ##最终解得：∠L=180°-109°=71°。因此 ∠L = 71°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠KLM = 71° 。", "elements": "平行四边形; 内错角; 同旁内角; 邻补角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形JKLM是一个平行四边形，边JK与边ML平行且相等，边JM与边KL平行且相等。##"}, {"name": "平行四边形的邻角互补定理", "content": "在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。", "this": "平行四边形JKLM中，∠JKL和∠KLM是相邻的内角，∠JML和∠MLK也是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，∠JKL + ∠KLM = 180°，∠JML + ∠MLK = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2978/img_diagram.png", "question": "在 \\\\odot P 中, m \\\\angle M P L = 65 并且 N P \\\\perp P L。求 m \\\\widehat N M。", "answer": "25", "process": "1. 已知在圆P中，线段NP垂直于PL，##根据垂线定义##，∠NPL是直角，且##∠NPL = 90° ##。

2. ##根据题意∠MPL=65°，由图可得∠NPM + ∠MPL=∠NPL，则∠NPM+65° = 90°，即∠NPM = 90°-65° = 25°##。

3. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，∠NPM是圆心角，与之相对的弧是弧NM，即∠NPM = 弧NM = 25°##。

####

##4.## 由此得出##弧NM## = 25°。

##5.## 以上为解析。经过推理，最终得出答案为25°。", "elements": "圆; 垂线; 圆周角; 圆心角; 弧", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "在本题图中，直线NP和直线PL相交形成的∠NPL是90度，因此根据垂线定义，直线NP和直线PL互相垂直。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本��图中，圆P中，点N和点M是圆上的两点，圆心是点P。连线PN和PM组成的##∠NPM##称为圆心角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2464/img_diagram.png", "question": "m 是 X Z 的垂直平分线，W Z = 14.9。求 W X。", "answer": "14.9", "process": "1. 已知条件m是XZ的垂直平分线，WZ = 14.9。

2. 根据垂直平分线的定义，垂直平分线是指通过线段的中点并且与该线段垂直的直线。因此，m通过XZ的中点Y，并且∠XYW = ∠ZYW = 90°。

3. 根据垂直平分线的性质，线段上任意一点到这条线段两端点的距离是相等的。####

4. 所以,W到X的距离等于W到Z的距离，即WX = WZ。

5. 因此，由上述推理可知WX = 14.9。", "elements": "垂直平分线; 中点; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "垂直平分线的定义", "content": "经过线段中点且垂直于该线段的直线。", "this": "在本题图中，直线m经过线段XZ的中点Y，并且直线m垂直于线段XZ。因此，直线m是线段XZ的垂直平分线。"}, {"name": "垂直平分线的性质", "content": "垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。", "this": "线段XZ的垂直平分线为直线m，点W在直线m上。根据垂直平分线的性质，点W到线段XZ两端点X和Z的距离相等，即WX = WZ。因此，WX = 14.9。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2670/img_diagram.png", "question": "四边形ABCD是一个矩形。m \\\\angle 2 = 40。求m \\\\angle 3。", "answer": "40", "process": "1. 已知四边形ABCD是一个矩形。根据##矩形的定义，矩形的相对的边互相平行并等长##。

2. ##根据平行线的平行公理2，已知边AB与边CD平行，且被第三条直线AD所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，其中∠2和∠3在直线AD与边AB与边CD的内侧，所以∠2和∠3互为内错角##。

3. ##已知∠2和∠3互为内错角，所以∠2和∠3相等，即∠2=∠3##。

4. ##由题已知∠2=40°，所以∠3=∠2=40°##。\n

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为∠3 = 40°。", "elements": "矩形; 对顶角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DBA, ∠BAC, ∠ACD, ∠CDB都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AC与边BD平行且等长。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：角2和角3相等。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "角2和角3位于两平行线之间，且在截线AD的对侧，因此角2和角3是内错角。内错角相等，即角2等于角3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3545.png", "question": "如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是()", "answer": "140°", "process": "1. 已知四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补性质，得出∠ABC + ∠ADC = 180°。

2. 又已知∠ABC=40°，所以代入前一步得到的等式可以得出∠ADC = 180° - 40°。

3. 计算得出∠ADC = 140°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角ABC + 角ADC = 180度，角BAD + 角BCD = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD内接于⊙O，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠ABC + ∠ADC = 180°；∠BAD + ∠BCD = 180°。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2620/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "5 \\sqrt { 3 }", "process": "1. ##设三角形三个顶点分别为A、B、C，已知∠ACB=90°，根据直角三角形的定义，可得△ABC为直角三角形。

2. ##已知∠CAB=60°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-60°=30°##。

3. ##根据30°-60°-90°三角形的性质，60°角所对的边为短边的√3倍，即BC=√3AC##。

4. ##已知BC=15，AC=x，代入具体值有15=√3x，x=5√3##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为5√3。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AC和边BC是直角边，边AB是斜边。####"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形ABC中，角ABC、角BAC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ABC + 角BAC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角ABC是30度，角BAC是60度，角BCA是90度。边AB是斜边，边AC是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AC等于边AB的一半，边BC等于边AC的√3倍。即：AC = 1/2 * AB，BC = AC * √3。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1593.png", "question": "如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=70°,则∠AED度数为()", "answer": "125°", "process": "1. 已知AB平行于CD，根据##平行线的平行公理2和同旁内角的定义##，得出∠BAC + ∠ACD = 180°。

2. ∵ ∠C = 70°，由步骤1可得∠BAC = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110°。

3. ∵ AE平分∠CAB，根据角平分线定义，得∠CAE = 0.5×∠BAC = 0.5×110° = 55°。

4. ##根据三角形的外角定理，得∠AED = ∠ACE + ∠CAE##。

5. ##由于∠ACE = ∠C (即∠C = 70°)##，所以∠AED = ∠C + ∠CAE = 70° + 55° = 125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为125°。", "elements": "平行线; 内错角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角CAB的顶点是点A，从点A引出一条线AE，这条线将角CAB分成两个相等的角，即角CAE和角EAB相等。因此，线AE是角CAB的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "已知AB∥CD，直线AC截这两条平行线，形成以下几何关系：##1. 同位角相等。2. 内错角相等。3. 同旁内角：∠CAB和∠ACD互补，即∠CAB + ∠ACD = 180°##。这些关系说明了在两条平行线AB和CD被第三条直线AC所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "在本题图中，两条直线AB和CD被第三条直线AC所截，两角CAB和ACD在截线AC同侧，且在被截线AB和CD之内，所以角CAB和ACD是同旁内角。同旁内角CAB和ACD互补，即角CAB + 角ACD = 180度。"}, {"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形ACE是由三个非共线点A、C、E及其连接线段AC、AE、CE组成的几何图形。点A、C、E分别是三角形的三个顶点，线段AC、AE、CE分别是三角形的三条边。"}, {"name": "三角形的外角定理", "content": "三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。", "this": "角AED是三角形的一个外角，角CAE和角ACE是与外角AED不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角AED等于不相邻的两个内角CAE和ACE之和，即角AED = 角CAE + 角ACE。####"}, {"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "多边形ACE的一个内角为∠AEC，延长该内角的相邻边CE和AE形成的角∠AED称为内角∠AEC的外角。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2916/img_diagram.png", "question": "求 K L。", "answer": "12", "process": "##1. 三角形KJL 被给定为一个等边三角形，其中 KJ = KL = JL 。

2. 因为这是一个等边三角形，所以我们知道两边 KJ 和 KL 相等。

3. 三角形的边长分别给定为 KJ = x + 7，JL = 4x - 8。

4. 根据等边三角形的边相等性，我们可以建立方程 KJ = JL。因此，x + 7 = 4x - 8。

5. 解方程求 x，我们将 x 从两边减去，得到：7 = 3x - 8。

6. 为了隔离 x，我们在两边都加上 8：15 = 3x。

7. 最后，将两边都除以 3：x = 5。

8. 将 x = 5 代入 KL 的表达式中，即 4x - 8。

9. 计算 KL：4(5) - 8 = 20 - 8 = 12。

10. 因此，KL 边的长度为 12。##", "elements": "等边三角形; 直线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形KJL是一个等边三角形。边KJ、边KL和边JL的长度相等，并且角J、角K和角L的度数相等，均为60°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3382.png", "question": "如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OBA的度数()", "answer": "25°", "process": "1. 已知在圆 O 中，弦 AC 平行于半径 OB，且 ∠BOC = 50°。

2. 根据圆周角定理，圆心角 ∠BOC 等于其所对的弦 AC 对应的圆周角 ∠BAC 的两倍。因此，可以得出 ∠BOC = 2∠BAC。

3. 由 ∠BOC = 50° 以及 ∠BOC = 2∠BAC，得出 ∠BAC = 25°。

4. ##由于弦 AC 平行于半径 OB， ∠BAC =和∠OBA互为内错角，根据##平行线的平行公理2##，得出 ∠BAC = ∠OBA##。

5. 由 ∠BAC = 25°，得出## ∠OBA## = 25°。

6.##经过上述推理，最终得出答案为 ∠OBA = 65°。##

####", "elements": "圆; 圆心角; 弧; 平行线; 对顶角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的定义", "content": "到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。", "this": "圆 O 中，点 O 是圆心，半径为 OA 或 OB 或 OC。图中所有到点 O 的距离等于 OA（或 OB 或 OC）的点都在圆 O 上。"}, {"name": "弦的定义", "content": "弦是连接圆上任意两点的线段。", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 A 和点 C 是圆上的任意两点，线段 AC 连接了这两个点，所以 线段 AC 是圆 O 的弦。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "在本题图中，圆 O 中，点 O 是圆心，点 A 和点 B 是圆上的任意一点，线段 OA 和线段 OB 是从圆心 O 到圆上任意一点 A 和 B 的线段，因此线段 OA 和线段 OB 是圆 O 的半径。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆 O 中，角 BAC 的顶点 A 在圆周上，角 BAC 的两边分别与圆 O 相交于点 B 和点 C。因此，角 BAC 是一个圆周角。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "弦 AC 平行于半径 OB，根据平行线的平行公理2，弦 AC 和半径 OB 被直线 OC 所截，形成了以下几何关系： 内错角：角 BAC 和角 OBA相等。因此，∠BAC = ∠OBA= 25°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截��）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "在本题图中，两条平行直线AC和OB被一条直线OC截交，其中角BAC和角OBA位于两平行线之间，且在截线OC的对侧，因此角BAC和角OBA是内错角。内错角相等，即角BAC等于角OBA##。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2161.png", "question": "如图一个扇形铁皮OAB,已知OA=30cm,∠AOB=120°,工人师傅将OA、OB合拢制成了一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),则烟囱帽的底面圆的半径为()", "answer": "10cm", "process": "1. 已知OA=30 cm，∠AOB=120°。

2. ##根据角度与弧度的换算公式，将圆心角换算成弧度得 θ = 120° × (π/180°) = (2π/3)##。

3. ##根据扇形的弧长公式L = θr（其中L为弧长，θ为弧度制的圆心角，r为半径），则弧长L = (2π/3) × 30 = 20π cm##。

4. 设烟囱帽底面圆的半径为r，##那么根据圆的周长公式，底面圆的周长为2πr，由于工人师傅将OA、OB合拢制成了一个圆锥形的烟囱帽，根据圆锥的展开图可知，扇形弧长等于圆锥帽底面圆周长，则有2πr=20π##。

5. 两边同时除以2π，解得r=10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10 cm。", "elements": "扇形; 圆锥; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "扇形的定义", "content": "由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。", "this": "在本题图中，扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形。已知OA=30 cm，OB=30 cm，∠AOB=120°。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "设烟囱帽底面圆的半径为r，则底面圆的周长为2πr。根据题目条件，扇形OAB的弧长等于圆锥帽底面圆的周长，即2πr = 20π。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "扇形OAB中，圆心角∠AOB为120°（以弧度制表示为2π/3），半径为OA=30 cm。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。计算得出弧长为 (2π/3) × 30 =20π cm。"}, {"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "扇形的圆心到圆周上任意一点的线段长度为6厘米，因此该线段是扇形的半径。####"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度 = 角度*（π/180），角度 = 弧度*（180/π）。", "this": "图形OAB中，AOB的角度是120°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度 = 120°*（π/180）。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，圆心角度数为120°。"}, {"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "圆锥的底面是一个圆形。圆锥的顶点为点O，顶点O与圆心之间的距离为圆锥的高。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点O到圆周上的任意一点的距离为6 cm。####"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "圆锥体的展开图是一个扇形。扇形的半径是圆锥体的斜高OA，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2775/img_diagram.png", "question": "求 x 使得该四边形是平行四边形。", "answer": "13", "process": "1. 对于给定的##四边形，由图可得##两组对边分别为2x - 5与3x - 18，以及5y和2y + 12。

2. ##由题意得，假设该四边形为平行四边形，则有两组对边分别平行且相等##。

3. ##依据平行四边形的定义##，对于一组对边有2x - 5 = 3x - 18。

4. 解方程2x - 5 = 3x - 18，移项得到2x - 3x = -18 + 5，即-x = -13，故x = 13。

5. 对于另一组对边，方程为5y = 2y + 12。

6. 解方程5y = 2y + 12，得到5y - 2y = 12，即3y = 12，所以y = 4。

7. 验证上述x = 13，y = 4是否满足所有对边长度相等。

8. 将x = 13代入2x - 5和3x - 18中，得到##2 * 13## - 5 = 21和##3 * 13## - 18 = 21。确认等式成立。

9. 将y = 4代入5y和2y + 12中，得到##5 * 4## = 20和##2 * 4 ##+ 12 = 20。确认等式成立。

10. 经过核对，发现x = 13，y = 4满足给定条件，故该四边形为平行四边形。

11. 因为题目要求求解x的值，所以最终答案为x = 13。", "elements": "平行四边形; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "四边形的两组对边分别为2x - 5和3x - 18，以及5y和2y + 12。根据平行四边形的定义，两组对边分别平行且相等，即2x - 5 = 3x - 18，5y = 2y + 12。######"}, {"name": "四边形的定义", "content": "四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。", "this": "四边形由四条线段2x - 5, 3x - 18, 5y和2y + 12组成，这些线段称为四边形的边。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/002.png", "question": "上图中矩形ABCD的面积为168。线段AC的长度是多少？", "answer": "25", "process": "1.已知矩形 ABCD 的面积为 168，##宽BC## = 7。矩形的面积公式为长乘宽，因此，我们用 w 表示矩形的##长AB，##则有 w * 7 = 168。

2. 解 w * 7 = 168，得到 w = 168 / 7 = 24，因此矩形的##长AB## = 24。

3. ##根据矩形的定义和对角线的定义，角ABC为90度，AC为矩形的对角线，再依据直角三角形的定义，三角形ABC是直角三角形，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，斜边AC等于两直角边的平方和的平方根。##

4. ##直角三角形ABC的直角边为BC##和 AB，##已知BC=7，AB=8，那么##AC = √(##BC^2## + AB^2) = √(24^2 + 7^2)。

5. 计算 24^2 = 576 和 7^2 = 49，然后求和 576 + 49 = 625。

6. 因此，AC = √625 = 25。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 25。", "elements": "矩形; 直角三角形; 线段", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "在本题图中，矩形ABCD中，边AB和边BC是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = AB * BC。"}, {"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长。"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "在本题图中，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形分成两个直角三角形。在直角三角形ABC中，∠ABC是直角（90度），边AB和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，AC? = AB? + BC?。根据已知数据BC=7，AB=24，对角线 AC = √(24? + 7?) = √(576 + 49) = √625 = 25。"}, {"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "在本题图中，矩形ABCD中，顶点A、B、C、D，对角线是连接顶点A和非相邻顶点C的线段。因此，线段AC就是矩形ABCD的对角线。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2957/img_diagram.png", "question": "求 x。", "answer": "22.5", "process": "##1.设大三角形为ABC（从上顶点逆时针方向），斜边与长直角边的垂直分割线为EF，点E在AC上，点F在AB上。##

####

##2. 由图可得：AF=8，BF=18，AE=10，AC=x，∠BAC=∠FAE，∠ABC=∠AFE=90°，根据相似三角形的判定定理(AA)得：三角形ABC~三角形AFE。##

##3##. 根据相似三角形的定义，△ABC∽##△AEF##，有边比为 ##AB/AF = AC/AE。##

##4. 因为AB=AF+BF=18+8=26，带入数据计算:26/8=AC/10=8AC=26*10=260=8AC=260/8=AC=32.5。##

##5. 解出AC=32.5，求EC(x)=AC-AE=22.5。##

####

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 22.5。", "elements": "直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的判定定理(AA)this: 在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个��角形相似", "content": "在本题图中，三角形ABC和三角形AFE中，如果角ABC等于角AFE，且角BAC等于角FAE，所以三角形ABC相似于三角形AFE。####name: 相似三角形的定义content: 相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形AFE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ABC = 角AFE，角BAC = 角FAE，角ACB = 角AEF；AB/AF =BC /FE = AC/AE。"}, {"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "直线EF和直线AF相交形成的角∠AFE是90度，因此根据垂线定义，直线AF和直线FE互相垂直。######"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/101.png", "question": "如图,BD平分∠ABC,CD∥AB,若∠BCD=70°,则∠CDB的度数为()", "answer": "55°", "process": "1.已知CD平行于AB，根据##同旁内角的定义和平行线的平行公理2##，故∠BCD与∠CBA互补，即∠BCD + ∠CBA = 180°。

2. 由已知条件∠BCD = 70°，代入上一结论得∠CBA = 180° - 70° = 110°。

3. 已知BD平分∠ABC，根据角平分线定义，##∠DBC=∠ABD ##= 1/2∠CBA。代入得##∠DBC=∠ABD##= 110° / 2 = 55°。

4. ##根据内错角的定义和平行线的平行公理2可得：∠ABD=∠CDB=55°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDB = 55°。", "elements": "平行线; 内错角; 普通三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABC分成两个相等的角，即角ABD和角DBC相等。因此，线BD是角ABC的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "CD∥AB，且直线BE与它们相交，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：∠CDB和∠ABD相等。3. 同旁内角：∠BCD和∠CBA互补，即∠BCD + ∠CBA = 180°。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行", "this": "在本题图中，两条直线xx和xx被第三条直线xx所截，两角xxx和xxx在截线xx同侧，且在被截线xx和xx之内，所以角xxx和xxx是同旁内角。同旁内角xxx和xxx互补，即角xxx + 角xxx = 180度。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角", "this": "在本题图中，两条平行直线xxx和xxx被一条直线xx截交，其中角xxx和角xxx位于两平行线之间，且在截线xx的对侧，因此角xxx和角xxx是内错角。内错角相等，即角xxx等于角xxx。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2657/img_diagram.png", "question": "求图形的面积。必要时四舍五入到十分位。", "answer": "35.7", "process": "1. 已知条件为三角形的##底边##长度为10.2 ft，##高##为7 ft。根据三角形面积计算公式，三角形的面积等于底乘以高除以2。

2. 依据已知条件使用公式，设底为b=10.2 ft，高为h=7 ft，则面积A=(b * h) / 2。

3. 将具体数值代入：A = (10.2 * 7) / 2。

4. 进行计算，10.2 * 7等于71.4，71.4除以2等于35.7。

5. 因此，该三角形的面积为35.7平方英尺。

6. 由于题目要求，若有必要，将结果四舍五入到最近的十分位。

7. 最终结果为35.7平方英尺，无需进一步四舍五入。", "elements": "普通三角形; 直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形的定义", "content": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。", "this": "三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。该三角形的底边长度为10.2英尺，高度为7英尺。"}, {"name": "高的定义", "content": "从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。", "this": "在本题图中，高是从三角形的顶点垂直于底边10.2英尺，并且它的长度为7英尺。线段与底边形成一个直角（90度），这说明这条线段是从顶点到底边的垂直距离。"}, {"name": "三角形的面积公式", "content": "任意三角形的面积等于其底乘以高除以2", "this": "三角形的底边为10.2英尺，高为7英尺。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (10.2 * 7) / 2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2053.png", "question": "如图,一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆,则它的底面半径是()", "answer": "5", "process": "1. 设圆锥的底面半径为 r，侧面展开图为半径为 10 的半圆。

2. 根据题意，##圆锥的底面周长等于半圆的弧长，根据圆的周长公式，得圆锥的底面周长=2πr，半圆的周长=1/2圆的周长=1/2 * 10 * 2π=π * 10，则2πr =π * 10。##

3. ##解方程得r=5。##

####

##4##. 由此得出，圆锥的底面半径为 5。", "elements": "圆锥; 扇形; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "圆锥的底面是一个圆，其半径为 r，周长为 2πr。圆锥的侧面展开图是一个半圆，半圆的半径为 10，半圆的周长为 π * 10。"}, {"name": "半圆的定义", "content": "半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。", "this": "半圆由直径和半径为10的圆弧构成。半圆的周长为 (1/2 * 2π * 10) + 10 = π * 10。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "在本题图中，圆锥的侧面展开图是一个半圆。半圆的半径是圆锥体的斜高（10），半圆的弧长（π * 10）等于圆锥底面的周长（2πr）。因此，半圆的半径（10）等于圆锥体的斜高，半圆的弧长（π * 10）等于圆锥底面圆的周长（2πr），其中r是底面圆的半径。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2941/img_diagram.png", "question": "在图中，正方形ABDC内接于\\odot K。求一个中心角的度量。", "answer": "90", "process": "####

##1##. 在正方形 A B D C 中，F 是对角线## A D 和 B C## 的交点，##根据正方形的对角线性质##，这两条对角线在正方形中垂直且相等。

##2. 因为两条对角线在正方形中垂直且相等，所以正方形ABDC内的对角线构成的角都为直角，即∠CFD=∠AFB=∠BFD=∠AFC=90°##。

##3. 根据中心角的定义，中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。而在正方形ABDC中，点C和点D为正方形的相邻的两个顶点，点F为正方形的中心，∠CFD为两个顶点与中心的连线，即CF和DF的夹角##。

##4. 已知∠CFD=90°，所以中心角为90度##。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为90度。", "elements": "正方形; 圆; 圆心角; 圆内接四边形; 垂线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "四边形ABDC中，边AB、边BD、边CD和边CA相等，且角∠ABD、角∠BDC、角∠DCA和角∠CAB均为直角（90度），所以ABDC是一个正方形。"}, {"name": "正方形的对角线性质", "content": "正方形的对角线是连接相对角的线段。正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。", "this": "在本题图中，正方形ABDC中，对角线AD和BC是连接相对角的线段。根据正方形的对角线性质，AD和BC相等，并且AD和BC互相垂直平分，即在它们的交点处形成四个90度的角。因此，AD = BC，并且它们在交点处相互垂直。"}, {"name": "中心角的定义", "content": "中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。", "this": "在本题图中，角CFD是一个中心角，它由正多边形的中心F与相邻两个顶点C和D的连线所形成。根据中心角的定义，角CFD是正多边形的中心角，且它的大小等于正多边形每一边所对应的外接圆的圆心角。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3633.png", "question": "如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠C=36°,则∠A的度数为()", "answer": "144°", "process": "1. 四边形ABCD内接于圆O，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，即圆内接四边形的对角互补，可以得出∠DAB + ∠DCB = 180°。

2. 已知∠DCB = 36°，将其代入上述等式，得∠DAB + 36° = 180°。

3. 通过简单的代数运算，求出∠DAB = 180° - 36° = 144°。", "elements": "圆内接四边形; 圆周角; 对顶角; 邻补角; 圆", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "内接四边形", "content": "内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。", "this": "四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即∠DAB + ∠DCB = 180度，∠ABC + ∠CDA = 180度。"}, {"name": "(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理", "content": "在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。", "this": "四边形ABCD内接于⊙O，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠DAB + ∠DCB = 180°；∠ABC + ∠ADC = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/1782.png", "question": "如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.5°,OC=6,则CD的长为()", "answer": "6√{2}", "process": "1. 已知AB是⊙O的直径且垂直于弦CD，并且在点E相交，根据垂径定理，CE=DE。

2. ∠CAO=22.5°，根据圆周角定理，∠COB=2∠CAO=2×22.5°=45°。

3. 在△OCE中，##根据三角形内角和定理，∠OCE=180°-90°-45°=45°。##

4. 因为△OCE是等腰直角三角形，根据##勾股定理，2CE^2=OC^2，CE=3√2。##

5. 因为CE=DE，所以CD=CE+DE=2×CE=6√2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为6√2。", "elements": "圆; 垂线; 弦; 直角三角形; 圆周角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角CAO的顶点A在圆周上，角CAO的两边分别与圆O相交于点C和点O。因此，角CAO是一个圆周角。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "在本题图中，圆O中，直径AB垂直于弦CD，那么根据垂径定理，直径AB平分弦CD，即CE=DE，并且直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧AC=弧AD。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "在本题图中，圆O中，点A、C、B在圆上，弧CB与弧CA对应的圆心角为∠COB，圆周角为∠CAO。根据圆周角定理，∠CAO等于它所对的弧CB所对应的圆心角∠COB的一半，即∠CAO = 1/2 ∠COB。"}, {"name": "等腰直角三角形的定义", "content": "等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。", "this": "在本题图中，三角形OCE是等腰直角三角形，其中角OEC是直角（90度），边OE和边CE是相等的直角边。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角", "this": "在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。####"}, {"name": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "直角三角形OCE中，角OEC是直角（90度），边OE和CE是直角边，边OC是斜边，所以根据勾股定理，OC² = CE² + OE²。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2438.png", "question": "如图,小东用长3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为()", "answer": "12m", "process": "1. 根据题意，向三角形中加入辅助线BE，使BE∥CD，并且AE为竹竿的影子长度8米，AD为竹竿和旗杆顶端的影子总长度即30米(22米+8米)。

2. 因为##角D=角AEB=90度，角A为公用角，所以三角形AEB∽三角形ADC，根据相似三角形的定义，对应边成比例。##

3. 根���相似三角形的##定义##，得出比例关系为\\(\\frac{AE}{AD}=\\frac{BE}{CD}\\)，即\\(\\frac{8}{30}=\\frac{3.2}{CD}\\)。

4. 通过解这个比例方程，可以得到\\(CD=12\\)米。

5. 经过上述推理，得出旗杆的高为12米。", "elements": "直角三角形; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形AEB和三角形ADC是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAE = ∠CAD, ∠AEB = ∠ADC, ∠ABE = ∠ACD；AE/AD = BE/CD = AB/AC。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角AEB等于角ADC，且角BAE等于角CAE，所以三角形ABE相似于三角形ACD。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2820/img_diagram.png", "question": "求图形的面积。结果四舍五入到十分位。", "answer": "50.2", "process": "1. 已知条件为圆的半径为 4 英寸。圆的面积可以通过公式 A = ##πr^2## 计算，其中 A 是面积，r 是半径，π 是圆周率。

2. 根据已知条件 r = 4 英寸，将半径代入面积公式，得到 A = ##π * (4)^2##。

3. 通过计算，得到 A = 16π。

4. 使用常用近似值 π ≈ 3.14 进行计算，A ≈ 16 * 3.14。

5. 计算结果为 A ≈ 50.24。

6. 按题目要求将面积四舍五入到最接近的十分位，结果为 50.2。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 50.2。", "elements": "圆; 弧; 圆心角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "圆的圆心到圆周上任意一点形成的线段即为半径，图中标记为4英寸的线段即为半径。"}, {"name": "圆的面积公式", "content": "圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。", "this": "圆的半径是4英寸，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径4的平方，即A = π(4)^2。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2871/img_diagram.png", "question": "求风筝的面积。", "answer": "336", "process": "1. 已知对角线交叉且相互垂直的四边形为菱形或风筝，又根据图中可见该图形是风筝，且其对角线相交并垂直相交。

2. 风筝的面积公式为：面积 = 1/2 * 对角线1 * 对角线2。

3. 根据图中信息，已知：对角线1（垂直方向）为32 cm。 设对角线2（水平方向）为d，由结构对称性，根据图所示风筝的特征，d即为21 cm。

4. 将已知对角线长度代入面积公式：面积 = 1/2 * 32 cm * 21 cm。

5. 计算面积：面积 = 1/2 * 32 cm * 21 cm = 336 平方厘米。

6. 因此，通过上面的推理，最终得出答案为336 平方厘米。", "elements": "普通四边形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "对角线的定义", "content": "对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。", "this": "在本题图中，四边形风筝中，对角线是连接顶点的非相邻顶点的线段。因此，线段分别连接风筝的非相邻顶点的线段即为对角线。"}, {"name": "筝形的面积公式", "content": "筝形的面积为对角线相乘的一半。", "this": "四边形的两条对角线与相互垂直，其中一条对角线平分另一条对角线，则此四边形为筝形，筝形面积=1/2 * 32 * 21。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2999/img_diagram.png", "question": "正方形外接于圆。求圆的精确周长。", "answer": "14 \\pi", "process": "1. 已知条件为正方形外接于圆，正方形的边长为14####。

2. ##根据内切圆的性质，圆与多边形个边相切的圆，且圆心到多边形的边距相等。由于图中是正方形外切##于圆，因此圆的直径与正方形的边长相等。

3. 因此，圆的直径等于正方形的边长14####。

4. 根据圆的周长公式C=πd，其中d为圆的直径，可以得出圆的周长C = π × 14####。

5. 所以，圆的精确周长为14π####。", "elements": "圆; 正方形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "#内切圆#", "content": "内切圆是一个与多边形各边均相切的圆，其中心称为内心，且内心到多边形各边的距离相等。", "this": "圆与正方形的所有的边相切。圆心点与正方形的各边距离相等。"}, {"name": "圆的周长公式", "content": "圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。", "this": "圆的直径d等于正方形的边长14码。根���圆的周长公式C=πd，圆的周长C=π×14码，即14π码。"}, {"name": "正方形的定义", "content": "正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。", "this": "正方形的四条边相等，边长均为14码，且四个内角均为直角（90度）。这些性质保证了正方形的边长可以用来计算外接圆的直径。"}, {"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，14是直径，连接了圆心O和圆周上的x、x两点，长度为2倍的半径，即直径 = 2r = 14。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2515/img_diagram.png", "question": "\\triangle R S T \\cong \\triangle A B C。 求 x。", "answer": "10", "process": "1. 根据题目已知条件，ΔRST与ΔABC全等（ΔRST ? ΔABC）。

2. 根据##全等三角形的定义##，全等三角形对应角相等，对应边相等，即∠R = ∠A，∠S = ∠B，∠T = ∠C。

3. 由图中给出的角度表示，得到∠S = (5x + 20)°，∠B = (3x + 40)°。

4. ##因为全等三角形内的对应角相等，∠S = ∠B##，所以(5x + 20)° = (3x + 40)°。

5. 解方程：(5x + 20) = (3x + 40)。

6. 移项得：(5x - 3x) = 40 - 20。

7. 化简得：2x = 20。

8. 两边同时除以2，得到：x = 10。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "elements": "普通三角形; 对称; 平移", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "全等三角形的定义", "content": "两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。", "this": "三角形RST和三角形ABC是全等三角形，三角形RST的对应边和对应角与三角形ABC相等，即： 边ST = 边BC 边RS = 边AB 边RT = 边AC，同时，对应的角也相等： 角RST = 角ABC 角SRT = 角BAC 角STR = 角ACB。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2730/img_diagram.png", "question": "每对多边形是相似的。求 G F。", "answer": "7.5", "process": "1. 已知条件为两三角形△RST和△EGF是相似三角形，因此对应的角相等，且对应边成比例关系。

####

##2##. 根据相似三角形的性质，△RST和△EGF的对应边满足比例关系，即RS/EG = RT/EF = ST/GF。

##3##. 根据题中已知，RT = 15，EF = 11.25，建立比例关系RT/EF = ST/GF，即15/11.25 = 10/x。

##4##. 解比例方程，15/11.25 = 10/x，两边交叉相乘得到 15 * x = 11.25 * 10。

##5##. 求解上述方程得x = (11.25 * 10) / 15 = 7.5。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为GF = 7.5。", "elements": "直角三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形RST和三角形EGF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠R = ∠E, ∠T = ∠F, ∠S = ∠G；RS/EG = ST/GF = RT/EF。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2689/img_diagram.png", "question": "求该图形的周长。如有必要，四舍五入到十分位。", "answer": "24", "process": "1. 首先分析题目中给出的几何图形，它是一个凹形的多边形。明确给出各边的边长：分别是位于外侧3个边长等于5的边，和位于内侧3个边长等于2的边。

2. 根据多边形的周长公式。多边形的周长等于其所有边的长度之和。即，周长P = 5+5+5+2+2+2=21

3. 所以周长即为21。", "elements": "线段; 普通多边形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形的周长公式", "content": "多边形的周长等于其所有边的长度之和。对于n边形，若各边长度分别为a?, a?, ..., a?，则周长P = a? + a? + ... + a?。", "this": "在本题图中，已知n边形的各边分别为5、5、5、2、2、2，根据多边形的周长公式，n边形的周长等于其所有边的长度之和，即周长P=5+5+5+2+2+2。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2383.png", "question": "如图所示:两根竖直的电线杆AB长为6,CD长为3,AD交于BC于点E点,则E到地面的距离EF的长是()", "answer": "2", "process": "1. 已知AB和CD为两根竖直的电线杆，AB长度为6，CD长度为3，且EF垂直于地面。

2. 根据题意及图示，三角形ABD和三角形EFD两个三角形相似（##已知∠EFD＝∠ABD，∠EDF＝∠ADB，利用相似三角形的判定定理(AA)##）。

3. 同样，由于垂直关系存在，三角形BCD和三角形BEF也相似（##已知∠EBF＝∠CBD，∠EFB＝∠CDB，利用相似三角形的判定定理(AA)##）。

4. 根据##相似三角形的定义##，即对应边成比例���可得：DF/BD = EF/AB，由此推出DF/BD = EF/6。

5. 同理，利用##相似三角形的定义##，可得：BF/BD = EF/CD，推出BF/BD = EF/3。

6. 将两式相加得到：DF/BD + BF/BD = EF/6 + EF/3

7. 由于DF和BF都是与BD连接的部分，所以DF/BD + BF/BD = 1。

8. 因此有：EF/6 + EF/3 = 1

9. 化简等式，得到(1/6 + 1/3) * EF = 1，即1/2 * EF = 1。

10. 解得EF = 2。

11. 经过上述推理，最终得出E到地面的距离EF的长度为2。", "elements": "线段; 垂线", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "垂线定义", "content": "如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。", "this": "在本题图中，直线EF和直线BD相交形成的角∠EFD是90度，因此根据垂线定义，直线EF和直线BD互相垂直。"}, {"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "三角形ABD和三角形EFD是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BAD = ∠FED, ∠ABD = ∠EFD, ∠EDF = ∠ADB；AB/EF = BD/FD = AD/ED。同样，三角形BCD和三角形BEF是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠BCD = ∠BEF, ∠EBF = ∠CBD, ∠EFB = ∠CDB；BC/BE = CD/EF = BD/BF。"}, {"name": "##相似三角形的判定定理(AA)##", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ABD和三角形EFD中，∠EDF = ∠ADB，且∠ABD = ∠EFD，所以三角形ABD相似于三角形EFD。同样，三角形BCD和三角形BEF中，∠EBF = ∠CBD，且∠BDC = ∠BFE，所以三角形BCD相似于三角形BEF。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2980/img_diagram.png", "question": "求 \\\\widehat Z Y 的长度。四舍五入到小数点后两位。", "answer": "7.85", "process": "1. 根据题目可知，圆的半径是6英寸，而角YXZ的角度为75度。我们要计算的##弧长ZY##是圆心角ZXY所对的弧长。

2.##依据角度与弧度的换算公式，弧度=角度*（π/180）＝75×（π/180）＝5π/12##

3.##依据扇形的弧长公式，扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr，将θ＝5π/12和r＝6带入公式计算，得L＝5π/2##

4.##π取近似值为3.14，带入L＝5π/2，计算得L＝7.85##

####", "elements": "弧; 圆心角; 圆", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "半径的定义", "content": "半径是从圆心到圆上任意一点的线段", "this": "点X是圆心，点Y是圆上的任意一点，线段XY是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段XY是圆的半径，长度为6英寸。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "角YXZ的顶点在圆心X，两条边XY、XZ都与圆相交，所以角YXZ是圆心角，角度为75度。"}, {"name": "扇形的弧长公式", "content": "扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。", "this": "在本题图中，扇形ZXY中，圆心角∠ZXY为75度，半径为6英寸。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L =θr＝（5π/12）×6。"}, {"name": "角度与弧度的换算公式", "content": "弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）", "this": "ZXY的角度是75°，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 75*（π/180）"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2231.png", "question": "如图所示,圆锥形帐篷顶的母线长AB=10cm,底面半径长BO=5m,这个圆锥形帐篷顶的侧面积(不计接缝)是()", "answer": "50πcm^{2}", "process": "1. 已知母线长AB=10cm，底面半径BO=5m。

2. 圆锥的侧面积公式为：S = πrl，其中r为底面半径，l为母线长。

3. 代入已知条件r=5cm，l=10cm，计算得：S = π * 5cm * 10cm = 50π cm^2。

4. 因此，圆锥形帐篷顶的侧面积是50π cm^2。", "elements": "圆锥; 圆; 弧; 线段; 扇形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "母线", "content": "母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段", "this": "底面圆周上的一点为B，顶点为A，线段AB就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。已知AB=10cm。"}, {"name": "圆锥", "content": "圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。", "this": "在本题图中，圆锥OABC中，底面是一个圆形，圆的半径为BO=5cm，圆心为点O。圆锥的顶点为点A，顶点A与圆心O之间的距离为圆锥的高，记作AO。圆锥的侧面是一个曲面，从顶点A到圆周上的任意一点（如B、C）的距离为母线长度，记作AB或AC。"}, {"name": "圆锥的展开图", "content": "一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。", "this": "在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形。扇形的半径是圆锥体的斜高AB=10cm，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长2πr，其中r=BO=5cm。因此，扇形的半径AB等于圆锥体的斜高，扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长，即2πr，其中r是底面圆的半径。"}, {"name": "圆锥的侧面积公式", "content": "圆锥的侧面积公式为：S = πrl，其中r为底面半径，l为母线长。", "this": "圆锥的半径r=OB=5，母线AB=10，根据圆锥的侧面积公式，S = πrl=π*5*10。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2842/img_diagram.png", "question": "使用平行四边形 A B C D 找到 m \\angle D A C.", "answer": "72", "process": "####

##1. 在三角形ADF中，根据三角形内角和定理，可知∠ADF+∠AFD+∠DAF=180°。##

##2##. 代入已知值##∠ADF## =59°，##∠AFD=∠BFC=49°(根据对顶角的定义)##，计算得##∠DAC=180°- ∠ADF-∠AFD=##180° - 59° - 49° = 72°。

####

##3##. 故知 ##∠DAC## 的值为 72°。", "elements": "平行四边形; 三角形的外角; 等腰三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形DAF中，角DAF、角AFD和角ADF是三角形DAF的三个内角，根据三角形内角和定理，角DAF + 角AFD + 角ADF = 180°。"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "在本题图中，两条相交直线AC和##BD##相交于点F，形成四个角：##∠AFD、∠AFB##、∠DFC和∠BFC。根据对顶角的定义，##∠AFD##和∠BFC是对顶角，##∠AFB##和∠DFC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以##∠AFD##=∠BFC，##∠AFB##=∠DFC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2894/img_diagram.png", "question": "求平行四边形的周长。", "answer": "78", "process": "1. ##设平行四边形为平行四边形ABCD##，已知条件为平行四边形的底边长为23英尺，另一条边长为16英尺####。

2. ##根据平行四边形的周长，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。由图已知两组邻边的边长分别为23英尺和16英尺，根据平行四边形的周长公式：P = 2(a + b)可得：P = 2(23 + 16)=2 * 39=78##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为78英尺。", "elements": "平行四边形; 平行线", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "平行四边形的定义", "content": "平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "平行四边形的周长", "content": "平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。", "this": "在本题图中，平行四边形ABCD中，边CD和BC是相邻的两条边，边AD和AB也是相邻的两条边。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(BC + CD)。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/244.png", "question": "(3分)如图,EF∥BC,AC平分∠BAF,∠B=50°,则∠C的度数是()", "answer": "65°", "process": "1. ##已知EF∥BC，根据同旁内角的定义，∠BAF和∠B为同旁内角。##

2. ##根据平行线的平行公理2，得出∠BAF+∠B=180°，即∠BAF=180°-∠B=180°-50°=130°。##

3. ##已知AC平分∠BAF，则∠CAF=∠BAC，又因为∠CAF+∠BAC=∠BAF，得出∠CAF=∠BAC=∠BAF/2=130°/2=65°。##

4. ##由于∠CAF和∠C是内错角，因此∠C=∠CAF=65°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为65°。", "elements": "平行线; 内错角; 同位角; 普通三角形; 三角形的外角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "角平分线定义", "content": "角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。", "this": "角BAF的顶点是点A，从点A引出一条线AC，这条线将角BAF分成两个相等的角，即角BAC和角CAF相等。因此，线AC是角BAF的角平分线。"}, {"name": "平行线的平行���理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，EF ∥ BC，被直线AB和AC截，形成了以下几何关系：##1. 同位角：无。2. 内错角：∠CAF和∠C相等。3. 同旁内角：∠BAF和∠B互补，即∠BAF + ∠B = 180度。这些关系说明了在两条平行线EF和BC被直线AB和AC所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "同旁内角的定义", "content": "两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。", "this": "两条直线EF和BC被第三条直线AB所截，两角∠B和∠BAF在截线AB同侧，且在被截线EF和BC之内，所以∠B和∠BAF是同旁内角。同旁内角∠B和∠BAF互补，即∠BAF + ∠B = 180度。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "两条平行直线EF和BC被一条直线AC截交，其中角FAC和角C位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角FAC和角C是内错角。内错角相等，即角FAC等于角C。"}]} +{"img_path": "geos_test/practice/015.png", "question": "在上图中，ABCD是一个矩形。ABCD的面积是多少？", "answer": "\\sqrt{3}", "process": "1. 已知条件为：ABCD是一个矩形，且对角线AC##长度##为2，根据##矩形的定义，矩形的内角∠BAD=90°，∠ABC=90°。已知∠DAC＝30°，所以∠BAC＝∠BAD-∠DAC＝90°-30°＝60°，得出∠BAC为60°。因为∠ABC=90°，由直角三角形定义可知，三角形ABC是直角三角形##。

2. 根据##正弦函数定义，在直角三角形ABC中，sin(∠BAC) = 对边 BC / AC，所以 sin(60°) = BC / 2，即√3/2 = BC / 2，因此 BC = √3##。

3. ##在直角三角形ABC中，根据余弦函数，cos(∠BAC) = 邻边 AB / AC，所以 cos(60°) = AB / 2，即 1/2 = AB / 2，因此 AB = 1##。

4. 从已知ABCD是矩形，边AB与BC为相邻边，在矩形中两条相邻边乘积为矩形面积，即面积 S = AB × BC。

5. 代入已知，##AB = 1，BC = √3##，因此 S = √3 × 1 = √3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 √3。", "elements": "矩形; 直角三角形; 余弦", "from": "geos", "knowledge_points": [{"name": "矩形的定义", "content": "矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边BC与边DA平行且等长。"}, {"name": "正弦函数定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，角∠BAC是锐角，边BC是角∠BAC的对边，边AC是斜边。根据正弦函数定义，角∠BAC的正弦值等于对边BC与斜边AC的比值，即sin(∠BAC) = BC / AC。"}, {"name": "余弦函数", "content": "余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。", "this": "在本题图中，直角三角形ABC中，边AB是角∠BAC的邻边，边AC是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠BAC的余弦值等于邻边AB与斜边AC的比值，即cos(∠BAC) = AB / AC。"}, {"name": "矩形的面积公式", "content": "矩形的面积等于其长度乘以其宽度。", "this": "矩形ABCD中，边AB和边BC是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = AB * BC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形", "this": "三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2723/img_diagram.png", "question": "求 z。", "answer": "12", "process": "1. ##已知条件△RST为等腰三角形，其边长ST = 7, RT = 9, SR = 2z - 15。##需要找出z的值。

2. ##在等腰三角形RST中，∠S=∠T，RT 为∠S 所对的边，RS 为∠T 所对的边，根据等腰三角形的性质可得，SR=RT。##

3. ##将 SR =2z - 15， RT = 9 代入，得 2z - 15 = 9。##

##4. 解方程 2z - 15 = 9，得出 z = 12。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为z = 12。", "elements": "普通三角形", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "等腰三角形RST中，角S和角T相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即边RS = 边RT。"}, {"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "边RS和边RT相等，因此三角形RST是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2558/img_diagram.png", "question": "求 R S 如果 riangle Q R S 是一个等边三角形。", "answer": "2", "process": "1. 已知条件为：△QRS是等边三角形。根据等边三角形的性质，得出QR=RS=QS。

2. 根据等边三角形的性质，我们可以列出以下方程：

QR = 4x, RS = 2x + 1, QS = 6x - 1。

所以，4x = 2x + 1 = 6x - 1。

3. 先解第一组等式：4x = 2x + 1。

解该方程：4x - 2x = 1 => 2x = 1 => x = 1/2。

4. 使用相同的值x解第二组等式验证是否一致：

6x - 1 = 2x + 1。

代入x = 1/2得到：6*(1/2) - 1 = 3 - 1 = 2 => 2*(1/2) + 1 = 1 + 1 = 2。

5. 计算得出：

RS = 2x + 1 = 2*(1/2) + 1 = 1 + 1 = 2。

6. 最终得出答案为2。", "elements": "等边三角形; 线段", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "等边三角形的定义", "content": "等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。", "this": "在本题图中，三角形QRS是一个等边三角形。边QR、边RS和边QS的长度相等，并且角QRS、角RQS和角QSR的度数相等，均为60°。根据题目给出的条件，可以列出QR=4x, RS=2x+1, QS=6x-1，所以应满足4x = 2x + 1 = 6x - 1。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2730.png", "question": "如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tanA的值为()", "answer": "\\frac{4}{3}", "process": "1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8。

2. 根据正切函数定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于对边长和邻边长的比值。

3. 在直角三角形ABC中，∠BAC的对边是BC，邻边是AC，因此 tan(∠BAC) = BC / AC。

4. 代入已知值，得 tan(∠BAC) = 8 / 6。

5. 对分数8 / 6进行约分，得 4 / 3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 4 / 3。", "elements": "直角三角形; 正切", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "正切函数的定义", "content": "在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。", "this": "在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，记∠BAC为锐角，∠BAC的对边是BC，邻边是AC。因此，tan(∠BAC) = BC / AC。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。", "this": "角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边BC和边AC是直角边，边AB是斜边。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/103.png", "question": "如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠A=36°,则∠C等于()", "answer": "27°", "process": "1. 已知直线AB与圆O相切于点B，依据切线的性质，得到∠ABO = 90°。

2. 根据题设，角∠A = 36°，由于∠ABO = 90°，##在三角形AOB中，使用三角形内角和定理，∠A＋∠ABO＋∠BOA＝180°##，得出∠BOA = 180° - 90° - 36° = 54°。

3. ##设AO与圆的交点为D，由图可知，∠BOD是弧DB的圆心角，∠BCD是弧DB的圆周角，依据圆周角定理，当弧DB所对的圆心角为∠BOD时，该弧对应的圆周角∠BCD= 1/2∠BOD。即∠BCD = 1/2 * 54° = 27°##。

4. ##所以∠C= 27°##。", "elements": "圆; 切线; 圆周角; 圆心角; 等腰三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "##在本题图中，圆O中，角∠BCD的顶点C在圆周上，角∠BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角∠BCD是一个圆周角。##"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "##在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角##。"}, {"name": "圆的切线性质", "content": "切线与经过切点的半径垂直。", "this": "点B是直线AB与圆的切点，线段OB是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点B的半径OB垂直，即∠ABO=90°。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABO中，角∠A、角∠ABO和角∠BOA是三角形ABO的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠A + 角∠ABO + 角∠BOA = 180°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "圆O中，点B、D在圆上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BCD。根据圆周角定理，∠BCD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BCD = 1/2 ∠BOD。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/2472.png", "question": "如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐到地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为()", "answer": "1.5m", "process": "1.## 因为 BE 平行 AD，∠EBC和∠DAC互为同位角，∠BEC和∠ADC互为同位角，依据平行线的平行公理2，我们可以得出 ∠EBC＝∠DAC，∠BEC＝∠ADC，再由相似三角形的判定定理(AA)可知，三角形BCE 相似于 三角形ACD##。

2. ##由 三角形BCE 相似于三角形ACD，由相似三角形的定义，##可得 CB/AC = CE/CD。

3. 根据题意，BC = 1，EC = 1.2，DE = 1.8，将这些数值代入前面的比例公式中：BC/(AB + BC) = EC/(DE + EC)，即 1/(AB + 1) = 1.2/(1.8 + 1.2)。

4. 计算比例右边部分得：1.2/3 = 0.4。

5. 于是我们得到比例式：1/(AB + 1) = 0.4。

6. 交叉相乘后得到：1 = 0.4 * (AB + 1)。

7. 化简方程得：1 = 0.4AB + 0.4。

8. 移项后得到：0.6 = 0.4AB。

9. 解得：AB = 1.5。

10. 故最终得窗户的高 AB 为 1.5 米。", "elements": "直角三角形; 线段; 平行线; 垂线; 仰角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "相似三角形的定义", "content": "相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。", "this": "△BCE相似于△ACD，根据相似三角形的定义有：∠BCE = ∠ACD，∠CBE = ∠CAD，∠BEC = ∠ADC；BC/AC = CE/CD = BE/AD。通过这一比例关系，我们可以将所求的AB与三角形的其他边联系起来，依据其他已知边长求得AB的值。"}, {"name": "相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似", "this": "角EBC等于角DAC，且角BEC等于角ADC，所以三角形BCE相似于三角形ACD。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补", "this": "在本题图中，两条平行线AD和BE被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：角DAC和角EBC相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。两条平行线AD和BE被第三条直线DC所截，形成了以下几何关系：同位角：角BEC和角ADC相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "同位角定义", "content": "两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BE被一条直线AC截交，其中角EBC和角DAC位于截线AC的同旁，被截两直线AD和BE的同一侧，因此角EBC和角DAC是同位角。同位角相等，即角EBC等于角DAC。两条平行直线AD和BE被一条直线DC截交，其中角BEC和角ADC位于截线DC的同旁，被截两直线AD和BE的同一侧，因此角BEC和角ADC是同位角。同位角相等，即角BEC等于角ADC。"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2873/img_diagram.png", "question": "求 y。", "answer": "6 \\sqrt { 3 }", "process": "1. ##设图中三角形的三个顶点分别为A、B、C。由图可得：∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=6##。

2. ##已知∠ABC=90°，∠BCA=30°，根据三角形内角和定理，∠ABC+∠BCA +∠CAB=90°+30°+∠CAB=180°，即∠CAB=180°-90°-30°=60°##。

3. ##又已知AB=6，BC=y，根据30°-60°-90°三角形的性质，在30°-60°-90°三角形中，60度角所对的边则为短边的√3倍，即BC=6√3，即y=6√3##。

4. 因此可以得出结论：y=##6√3##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##6√3##。", "elements": "直角三角形; 正弦; 余弦", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "30°-60°-90°三角形的性质", "content": "在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。", "this": "角BCA是30度，角CAB是60度，角ABC是90度。边AC是斜边，边AB是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB等于边AC的一半，边BC等于边AB的√3倍。即：AC = 2 * AB，BC = AB * √3。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "三角形中，角30°、角90°和角60°是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，30° + 60° + 90° = 180°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/385.png", "question": "如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为()", "answer": "40°", "process": "1. ##依题意得AD∥BC，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可以得到∠1 = ∠ACB## = 70°。

2. ##在△ABC中，已知AB=AC，根据等腰三角形的定义，即△ABC是等腰三角形。又根据等腰三角形的性质，得到∠ABC=∠ACB##=70°。

3. ##根据##三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°，即##∠BAC + ∠ABC + ∠ACB ##= 180°。

4. 代入已知条件，得出∠BAC + 70° + 70° = 180°。

5. 由此可求得∠BAC = 180° - 70° - 70° = 40°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为40°。", "elements": "等腰三角形; 平行线; 内错角", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "等腰三角形的定义", "content": "等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：内错角：角1和角ACB相等。"}, {"name": "等腰三角形的性质", "content": "在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB。"}, {"name": "三角形内角和定理", "content": "任意三角形的三个内角的和为180°。", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AD和BC被一条直线AC截交，其中角1和角ACB位于两平行线之间，且在截线AC的对侧，因此角1和角ACB是内错角。内错角相等，即角1等于角ACB。##"}]} +{"img_path": "geometry3k_test/2407/img_diagram.png", "question": "求x的值。", "answer": "74", "process": "1. 已知条件为五边形的外角和为360°。

2. 五边形的五个外角分别为(x)°, (x+4)°, 56°, (x+10)°, (x-6)°。

3. 根据五边形的外角和为360°，有方程：x + (x+4) + 56 + (x+10) + (x-6) = 360。

4. 合并同类项得到：4x + 64 = 360。

5. 移项并计算，得到：4x = 296。

6. 解方程得x = 74。

7. 经过上述推理，最终得出x的值为74。", "elements": "五边形; 普通多边形; 三角形的外角", "from": "geometry3k", "knowledge_points": [{"name": "多边形的外角定义", "content": "多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。", "this": "在本题图中，五边形的五个外角分别为：x°，(x+4)°，56°，(x+10)°，(x-6)°。每个外角均为一个顶点处，由相邻边延长线与另一边构成的角。"}, {"name": "多边形外角和定理", "content": "任意多边形的外角和等于360°。", "this": "五边形的五个外角分别是x°, (x+4)°, 56°, (x+10)°, (x-6)°。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即x° + (x+4)° + 56° + (x+10)° + (x-6)° = 360°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3316.png", "question": "如图,CD为⊙O的直径,弦AB交CD于点M,M是AB的中点,点P在?{AD}上,PC与AB交于点N,∠PNA=60°,则∠PDC等于()", "answer": "60°", "process": "1. 已知CD为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CPD = 90°。

2. 由M是AB的中点以及CD为⊙O的直径，所以CM垂直AB，根据圆的垂径定理，CM⊥AB，进而∠CMA = 90°。

3. 已知∠PNA = 60°，根据##对顶角的定义，得出∠CNM = ∠PNA = 60°##。

4. 由于∠CMA = 90°，根据第二步推理，结合第三步已知条件和角度相加关系，得出##∠C = 90° - ∠CNM## = 90° - 60° = 30°。

5. 填补辅助线PC，因此在△PCD中，由于∠CPD = 90°，使用直角三角形的三角内角和定理，##∠PDC = 90° - ∠PCD##。

6. 所以∠PDC = 90° - ∠PCD = 90° - 30° = 60°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为∠PDC = 60°。", "elements": "圆; 圆周角; 弦; 中点; 直角三角形", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "直径的定义", "content": "直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。", "this": "在本题图中，CD是直径，连接了圆心O和圆周上的C、D两点，长度为2倍的半径，即CD = 2r。"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "在本题图中，圆O中，角CPD的顶点P在圆周上，角CPD的两边分别与圆O相交于点C和点D。因此，角CPD是一个圆周角。"}, {"name": "直角三角形的定义", "content": "有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。", "this": "'在本题图中，三角形PCD中，角CPD是直角（90度），因此三角形PCD是一个直角三角形。边PC和边CD是直角边，边PD是斜边。三角形CMN中，角CMN是直角（90度），因此三角形CMN是一个直角三角形。边CM和边MN是直角边，边CN是斜边。'"}, {"name": "线段中点", "content": "线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。", "this": "在本题图中，线段AB的中点为点M。根据线段中点的定义，点M将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AM和线段MB的长度相等。即，AM = MB。"}, {"name": "(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角", "content": "半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。", "this": "在本题图中，圆O中，直径CD所对的圆周角∠CPD是直角（90度）。"}, {"name": "垂径定理", "content": "如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。", "this": "圆O中，直径CD垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径CD平分弦AB，即AM=MB，并且直径CD平分弦AB所对的两条弧，即弧AC=弧CB。######"}, {"name": "对顶角的定义", "content": "对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。", "this": "两条相交直线AB和CP相交于点N，形成四个角：角ANC、角CNM、角PNM和角ANP。根据对顶角的定义，角ANC和角PNM是对顶角，角CNM和角ANP是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角ANC=角PNM，角CNM=角ANP。####"}, {"name": "直角三角形的锐角互余性质", "content": "在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。", "this": "在本题图中，直角三角形CPD中，角CPD是直角（90度），角C和角D是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，角C和角D的和为90度，即角C + 角D = 90°。直角三角形CMN中，角CMN是直角（90度），角C和角CNM是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，角C和角CNM的和为90度，即角C + 角CNM = 90°。"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/422.png", "question": "如图,甲、乙两盏路灯相距30米,一天晚上,当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时,发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部,已知小刚的身高为1.5米,那么路灯甲的高为()", "answer": "9米", "process": "1.已知小刚的身高为1.5米，设路灯甲的高为AB，用符号表示小刚的身高为CD。

2. 连接甲灯和小刚影子的顶部形成直线，设路灯乙的底部为O，小刚到乙路灯的距离为25米，甲和乙路灯之间的距离为30米，##小刚和路灯乙的距离为5米。##

3. 因为小刚到路灯乙的底部为直行，所以甲、乙两路灯垂直于地面，即有AB垂直于OB，CD垂直于OB。

4. ##根据相似三角形的判定定理(AA)，△ABO相似于△CDO（在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似）。##

5. ##上述步骤得出三角形ABO和三角形CDO相似，可以用相似三角形的判定定理(SAS)计算AB的长度：AB/CD=BO/DO。##

6. 代入已知条件，##AB/1.5=30/5=6=AB/1.5=6*1.5=AB=9。##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为：路灯甲的高为9米。", "elements": "直角三角形; 线段", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "## 相似三角形的判定定理(AA)", "content": "在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。", "this": "角ABO等于角CDO，且角AOB等于角COD，所以三角形ABO相似于三角形CDO。"}, {"name": "##相似三角形的判定定理(SAS)", "content": "##如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。", "this": "在本题图中，三角形ABO和三角形CDO中，边AB与边CD对应，边BO与边DO对应，且边AB/边CD = 边BO/边DO，并且角ABO=角CDO，所以根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形ABO相似于三角CDO。##"}]} +{"img_path": "GeoQA3/test_image/3001.png", "question": "如图,已知CD为圆O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA,若角D=50°,则角C的度数是()", "answer": "25°", "process": "1. 已知CD为圆O的直径，DE为经过点D的弦且平行于半径OA，∠D=50°。

2. 因为DE平行于OA，##根据平行线的平行公理2和内错角的定义##，得到∠AOD=∠D=50°。

3. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，即∠ACD=1/2∠AOD。

4. 替代已知的∠AOD的值，得∠ACD=1/2×50°=25°。

5. 因此，角C的度数是25°。", "elements": "圆; 圆周角; 圆心角; 平行线; 弦", "from": "GeoQA3", "knowledge_points": [{"name": "平行线的定义", "content": "在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。", "this": "在本题图中，直线AO和直线DE位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AO和直线DE是平行线。####"}, {"name": "内错角的定义", "content": "当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。", "this": "在本题图中，两条平行直线AO和DE被一条直线OD截交，其中角AOD和角ODE位于两平行线之间，且在截线OD的对侧，因此角AOD和角ODE是内错角。内错角相等，即角AOE等于角ODE。####"}, {"name": "圆周角的定义", "content": "圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。", "this": "圆O中，角ACD的顶点(点C)在圆周上，角ACD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角ACD是一个圆周角。"}, {"name": "圆心角的定义", "content": "圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。", "this": "圆O中，点A和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和OD组成的角∠AOD称为圆心角。"}, {"name": "平行线的平行公理2", "content": "如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。", "this": "DE平行于OA，因此根据平行线的平行公理2，DE和OA被直线OD截出内错角∠AOD和∠ODE相等。由于∠ODE=50°，所以∠AOD=50°。"}, {"name": "圆周角定理", "content": "在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。", "this": "弧AD对应的圆心角为∠AOD，圆周角为∠ACD。根据圆周角定理，∠ACD等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOD的一半，即∠ACD = 1/2 ∠AOD。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1d24278708533f8aa82890389f5d953d-img-4d5673b3a32f490b89c086aaff78c9d9.png", "question": "在下面显示的矩形棱柱中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。\n\n-\n\n| \\$ackslash\\$overleftrightarrow{QU} | 和 | \\$ackslash\\$overleftrightarrow{ST} |\n-\n\n| \\$ackslash\\$overleftrightarrow{UX} | 和 | \\$ackslash\\$overleftrightarrow{VW} |\n-\n\n| \\$ackslash\\$overleftrightarrow{SW} | 和 | \\$ackslash\\$overleftrightarrow{UV} |\n-\n\n| \\$ackslash\\$overleftrightarrow{UV}\\$ | 和 | \\$ackslash\\$overleftrightarrow{WX} |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{UX}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{VW}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{UV}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$ |", "process": "1. 已知图为矩形棱柱，我们需要识别哪些线段是平行的。根据平行线的定义，两条直线平行的条件是它们位于同一平面且永不相交。

2. 首先，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{QU}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{ST}\\)。它们分属两个不同的平面 \\(QUXT\\) 和 \\(QRST\\)，因此直接得知这两条线不在同一平面内，属于异面直线。异面直线不可能平行，因此 \\(\\overleftrightarrow{QU}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{ST}\\) 不是平行线。

3. 接下来，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{UX}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{VW}\\)。它们都在同一个平面 \\(UVWX\\) 上，并且与该平面中其他的线相邻而不共享点，即它们是平行线。

4. 然后，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{SW}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{UV}\\)。其中 \\(\\overleftrightarrow{SW}\\) 在平面 \\(SWVR\\)，而 \\(\\overleftrightarrow{UV}\\) 在平面 \\(UVWX\\)，不在同一平面内，属于异面直线，因此不是平行线。

5. 最后，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{UV}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{WX}\\)。这两条线在同一平面 \\(UVWX\\)，且不相交，因此是平行线。

6. 经过上述分析，我们确定的平行线有两组：\\(\\overleftrightarrow{UX}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{VW}\\)，以及 \\(\\overleftrightarrow{UV}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{WX}\\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，线段 \\(\\overleftrightarrow{UX}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{VW}\\) 是平行线，因为它们位于平面 \\(UVWX\\) 上，并且不相交。同理，线段 \\(\\overleftrightarrow{UV}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{WX}\\) 也是平行线，位于平面 \\(UVWX\\) 上，并且不相交。"}, {"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体上的面对组合关系进行了详细分析，确定了平面 \\(UVWX\\) 与平面 \\(QRST\\) 平行，以及平面 \\(QUXT\\) 与平面 \\(SWVR\\) 平行。这使得在确定线段间关系时，运用了长方体平行平面的性质。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3cfc92d475cfb614084b0217ccbfea90-img-9722fc4a9b684856ba1097022fc417bd.png", "question": "求△VWX的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n \\$ox\\$ mi ^ 2", "answer": "266.8 mi ^ 2", "process": "1. 根据题目，给定了三角形△VWX的三边长度：VW = 20 mi, WX = 30 mi, VX = 43 mi。

2. 为了计算三角形的面积，可以使用海伦公式。该公式为：

Area = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中a, b, c是三角形的三边，

s是三角形的半周长，s = (a + b + c)/2。

3. 计算半周长s：s = (VW + WX + VX)/2 = (20 + 30 + 43)/2 = 93/2 = 46.5。

4. 根据海伦公式计算面积：

Area = √[46.5(46.5 - 20)(46.5 - 30)(46.5 - 43)]。

5. 计算各个减数：

46.5 - 20 = 26.5， 46.5 - 30 = 16.5， 46.5 - 43 = 3.5。

6. 计算乘积：

46.5 × 26.5 × 16.5 × 3.5 = 71,162.4375。

7. 面积等于上述乘积的平方根：

Area = √71,162.4375 ≈ 266.7628。

8. 最后，根据题目要求，将结果四舍五入到最近的十分位：

266.7628 四舍五入后为 266.8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 266.8 平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形△VWX是由三个非共线点V、W、X及其连接线段VW、WX、VX组成的几何图形。点V、W、X分别是三角形的三个顶点，线段VW、WX、VX分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，应用Heron公式计算三角形△VWX的面积。首先计算半周长s，得s = 46.5。然后，将三条边的长度分别带入公式：VW = 20, WX = 30, VX = 43。通过计算得到面积 = √[46.5(46.5 - 20)(46.5 - 30)(46.5 - 43)] ≈ 266.8平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f6b6584388d61063f565eaa1c61bebb9-img-abaf971a7b8849c48c67c8a8c0abb839.png", "question": "在下面显示的三棱柱中，哪些线相交？\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{ST}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{WX}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{UX}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{VW}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{SU}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{TU}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{TU}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{WX}\\$ |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{SU}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{TU}\\$ |", "process": "1. 首先观察三维几何图形中的线段，图形为一个三棱柱。

2. 考虑线段 \\$\\overleftrightarrow{ST}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$。这两条线段分别在不同的平面上，其中 \\$\\overleftrightarrow{ST}\\$ 在顶面和侧面平面内，而 \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$ 在底面平面内。由于它们在不同平面，依据异面直线的定义，\\$\\overleftrightarrow{ST}\\$ 和\\$\\overleftrightarrow{WX}\\$为异面直线。根据异面直线的性质，异面直线不相交。

3. 考虑线段 \\$\\overleftrightarrow{UX}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{VW}\\$。这两条线段也位于不同的平面，其中 \\$\\overleftrightarrow{UX}\\$ 是连接 U 和 X 的线段，而 \\$\\overleftrightarrow{VW}\\$ 位于底面。因为它们不在同一平面，依据异面直线的性质，它们不会相交。

4. 考虑线段 \\$\\overleftrightarrow{SU}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{TU}\\$。这两条线段都共用点 U，并且在同一平面上，依据平面几何中两直线在一个平面内相交的定义，这两条线段在点 U 相交。

5. 考虑线段 \\$\\overleftrightarrow{TU}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$。线段 \\$\\overleftrightarrow{TU}\\$ 与 \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$ 在同一平面，且不共享任何公共点，根据平行线的定义，可知两直线不相交。

6. 经过上述分析，唯一相交的线段是 \\$\\overleftrightarrow{SU}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{TU}\\$，它们在点 U 相交。

7. 综上所述，根据几何图形属性和分析，我们得出 \\$\\overleftrightarrow{SU}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{TU}\\$ 是题中唯一相交的线段。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，\\$\\overleftrightarrow{TU}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$ 位于同一平面 \\overline{TUX} 内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，\\$\\overleftrightarrow{TU}\\$ 和 \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$ 是平行线。"}, {"name": "Definition of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines are also known as non-coplanar lines.", "this": "\\$\\overleftrightarrow{ST}\\$和\\$\\overleftrightarrow{WX}\\$不平行且不在同一平面，是异面直线，也称为歪斜线；\\$\\overleftrightarrow{UX}\\$和\\$\\overleftrightarrow{VW}\\$不平行且不在同一平面，是异面直线，也称为歪斜线。"}, {"name": "Properties of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines do not intersect.", "this": "在本题图中，线段$\\overleftrightarrow{ST}$ 和$\\overleftrightarrow{WX}$不平行且不在同一平面，是异面直线，所以$\\overleftrightarrow{ST}$ 和$\\overleftrightarrow{WX}$不相交。线段 $\\overleftrightarrow{UX}$ 和 $\\overleftrightarrow{VW}$不平行且不在同一平面，是异面直线，所以$\\overleftrightarrow{UX}$ 和 $\\overleftrightarrow{VW}$不相交。线段 $\\overleftrightarrow{TU}$ 和 $\\overleftrightarrow{WX}$不平行且不在同一平面，是异面直线，所以$\\overleftrightarrow{TU}$ 和 $\\overleftrightarrow{WX}$不相交。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5e4f696759f9c32bc40ff5be3172e0cd-img-4fe4a800cd2a4329ae82fa89654eefb7.png", "question": "在下面显示的立方体中，哪些线是错开的？\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{GK}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{IM}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{IM}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{GH}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{HI}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{GH}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{FJ}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{JM}\\$ |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{IM}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{GH}\\$ |", "process": "1. 定义空间中的歪斜线。根据异面直线的定义，歪斜线是指位于不同平面且不相交的直线。

2. 考察直线\\( \\overleftrightarrow{GK} \\)和直线\\( \\overleftrightarrow{IM} \\)。它们位于同一平面\\( (GIMK) \\)，因此不是歪斜线。

3. 考察直线\\( \\overleftrightarrow{IM} \\)和直线\\( \\overleftrightarrow{GH} \\)。直线\\( \\overleftrightarrow{IM} \\)位于平面\\( (IMLH) \\)，直线\\( \\overleftrightarrow{GH} \\)位于平面\\( (GHLK) \\)，它们不在同一平面且不相交，因此是歪斜线。

4. 考察直线\\( \\overleftrightarrow{HI} \\)和直线\\( \\overleftrightarrow{GH} \\)。它们在点H相交，因此不是歪斜线。

5. 考察直线\\( \\overleftrightarrow{FJ} \\)和直线\\( \\overleftrightarrow{JM} \\)。它们在点J相交，因此不是歪斜线。

6. 经过上述分析，最终得出答案为\\( \\overleftrightarrow{IM} \\)和\\( \\overleftrightarrow{GH} \\)是歪斜线。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines are also known as non-coplanar lines.", "this": "在本题图中，直线xx与xx不平行且不在同一平面，是异面直线，也称为歪斜线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-217c9b61d3aeb0cb653ea8c34ba324f5-img-3477f47304874bfebbc089c6ca8089ea.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。 \n\n这个多边形每个顶点的外角度数之和是多少？\n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 已知这是一个凸多边形，多边形的外角定义是：多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

2. 根据多边形的外角和定理，该定理表述为：任何一个多边形的外角和等于360°。

3. 对于任意形状的凸多边形，这一结论依然成立，而不需要考虑多边形有多少个边。

4. 观察给定图中的多边形，确认其为凸多边形，从而验证可以应用多边形的外角和定理。

5. 由此可得，图中每个顶点的外角之和等于360°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，多边形的一个内角，延长该内角的相邻边形成的角称为该内角的外角。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "在本题图中的凸多边形，其所有顶点的外角之和根据多边形外角和定理为360°。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-486f5e68ccc46575aa4c74615c18ab64-img-61c1d451da1e4af28e63ea21c5f5bef1.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n该多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？\n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 观察给出的凸多边形，定义每个顶点的外角。外角是指多边形的一个边延长线和相邻边之间形成的角度。

2. 根据外角的定义，若多边形共有 n 个顶点，则会形成 n 个外角。

3. 根据多边形外角和定理，任何凸多边形的外角和无论其有多少边，总是等于 360°，不依赖于多边形的边数。

4. 这是因为对于多边形的每一个顶点，内角和外角形成的角是180°，同时多边形的内角和可以根据多边形内角和定理，公式 (n-2) × 180° 来计算。

5. 使用多边形外角和定理，在本题中，凸多边形的各个外角和为 360°。

6. 因此，无需使用多边形的具体形状信息，直接应用外角和原理。

7. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "该凸多边形的每个顶点的外角之和总是360°。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°。"}, {"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。例如，若多边形的一个顶点为A，且相邻边为AB和AD，则内角∠BAD的外角为∠A'，满足∠BAD + ∠A' = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-afdac0654508ba2aabe6e88c7aaed91e-img-193e001982dd41f9947e9a62748748cb.png", "question": "在下面显示的矩形棱柱中，哪些线段相交？选择所有适用的选项。\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{KO}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{LP}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{IJ}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{IL}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{KL}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{LP}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{IJ}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{LP}\\$ |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{IJ}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{IL}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{KL}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{LP}\\$ |", "process": "1. 首先，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{KO}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\)。两线位于同一平面 \\(KLOP\\) 内，并且没有交点。根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。因此，\\(\\overleftrightarrow{KO}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 不是相交直线。

2. 接下来，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{IJ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{IL}\\)。两线共用一个端点 \\(I\\)，并在点 \\(I\\) 相交。因此，\\(\\overleftrightarrow{IJ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{IL}\\) 是相交直线。

3. 考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{KL}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\)。两线位于同一平面 \\(KLOP\\) 内，并且在点 \\(L\\) 相交。因此，\\(\\overleftrightarrow{KL}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 是相交直线。

4. 最后，考虑直线 \\(\\overleftrightarrow{IJ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\)。\\(\\overleftrightarrow{IJ}\\) 位于平面 \\(IJNM\\)，而 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 位于平面 \\(KLOP\\)，两线位于不同的平面，且不存在共同点，根据异面直线的定义，它们是异面直线。根据异面直线的性质，异面直线不相交。因此，\\(\\overleftrightarrow{IJ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 不是相交直线。

5. 通过以上分析，最终确定在上述选项中，相交的直线是 \\(\\overleftrightarrow{IJ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{IL}\\) 以及 \\(\\overleftrightarrow{KL}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "\\(\\overleftrightarrow{KO}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 位于同一平面 \\(KLOP\\) 内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，\\(\\overleftrightarrow{KO}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 是平行线。"}, {"name": "Definition of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines are also known as non-coplanar lines.", "this": "在本题图中，直线IJ与LP不平行且不在同一平面，是异面直线，也称为歪斜线。"}, {"name": "Properties of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines do not intersect.", "this": "直线IJ与LP不平行且不在同一平面，是异面直线，所以IJ与LP不相交。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f719c9f994f1be5411807baab56dddfb-img-edcd624daad04942898e966f4ef83787.png", "question": "求△VWX的面积。请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位。\\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "192.0 mm ^ 2", "process": "1. 已知三角形△VWX的边长分别为VW=39 mm, WX=17 mm, VX=27 mm。

2. 根据海伦公式求解三角形面积，首先需要计算△VWX的半周长s。计算半周长的公式为：s = (VW + WX + VX) / 2。

3. 将已知边长代入半周长公式：s = (39 + 17 + 27) / 2 = 83 / 2 = 41.5 mm。

4. 接下来，根据海伦公式计算面积。海伦公式为：Area = √[s(s-VW)(s-WX)(s-VX)]。

5. 将步骤3中得到的半周长s和已知边长代入海伦公式：Area = √[41.5 * (41.5-39) * (41.5-17) * (41.5-27)]。

6. 进行逐步计算：41.5-39=2.5, 41.5-17=24.5, 41.5-27=14.5。

7. 继续进行乘积计算：41.5 * 2.5 * 24.5 * 14.5 = 36,857.1875。

8. 最后，计算出三角形的面积：Area = √36,857.1875 ≈ 191.9822… mm²。

9. 根据题目要求，最终答案需要四舍五入到最近的十分位数，因此圆整到192.0 mm²。

10. 经过上述推理，最终得出答案为192.0 mm²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形△VWX是由三个非共线点V、W、X及其连接线段VW、WX、VX组成的几何图形。点V、W、X分别是三角形的三个顶点，线段VW、WX、VX分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，使用海伦公式计算三角形△VWX的面积。具体步骤如下：已知边长分别为a=39 mm（VW），b=17 mm（WX），c=27 mm（VX），首先计算半周长s = 41.5 mm，然后代入公式Area = √[41.5 * (41.5-39) * (41.5-17) * (41.5-27)]。逐步计算得出：41.5-39=2.5, 41.5-17=24.5, 41.5-27=14.5，进行乘积计算得到√36857.1875 ≈ 191.9822 mm²，圆整到最近的十分位数，因此答案为192.0 mm²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-183f6581a2a028a780ce33b676c53d48-img-c4cf6afae5464a1f850e3b5680691820.png", "question": "在下面显示的立方体中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{UY}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{WX}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{VY}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{WX}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{XY}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{VW}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{VW}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{WX}\\$ |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{VY}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{WX}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{XY}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{VW}\\$ |", "process": "1. 已知题目中立方体的顶点分别为R、S、T、U、V、W、X、Y。

2. 根据异面直线的性质，线段UY与WX位于不同的平面，即UY与WX分别位于UTXY面和STWX面，因此这两条直线为异面直线，而非平行直线。

3. 线段VY与WX均位于VWYX平面内，根据两条直线在同一平面内且不相交的条件，这两条直线平行。

4. 线段XY与VW位于同一平面VWYX中，且按照平行线的定义，两条直线在同一平面内且不相交，因此XY与VW平行。

5. 线段VW与WX在同一平面VWYX内，并且在点W相交，因此VW和WX为相交直线，而非平行直线。

6. 经过上述推理，题目中的平行线对为⟶VY与⟶WX，以及⟶XY与⟶VW。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "线段VY与WX，以及线段XY与VW是平行线，因为它们位于同一平面VWX内且不相交。根据平行线的定义，这些线段满足平行线条件。"}, {"name": "Properties of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines do not intersect.", "this": "在本题图中，直线UY与WX不平行且不在同一平面，是异面直线，所以UY与WX不相交。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5ce8fc124621005989007d35b98a1eae-img-2a6bec32d0014094996855752284ba83.png", "question": "m \\$ext{∠}\\$ TSU是多少？\n\nm \\$ext{∠}\\$ TSU= \\$ext{□}\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ TSU=57°", "process": "1. 在圆中，角 V 为圆心角，圆心角为 ∠TVU，从题图中，我们知 ∠TVU = 114°。

2. 角 TSU 是一个圆周角，圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

3. 根据圆周角定义：在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。具体地，圆周角 ∠TSU 拦截的弧与圆心角 ∠TVU 相同。

4. 由圆周角定理，我们有 ∠TSU = 1/2 * ∠TVU。

5. 代入已知的 ∠TVU = 114°，得到 ∠TSU = 1/2 * 114°。

6. 进行计算，1/2 * 114° = 57°。

7. 通过上述推理，最终得出答案为 57°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点 T 和点 U 是圆上的两点，圆心是点 V。连线 VT 和 VU 组成的角 ∠TVU 称为圆心角，且已知 ∠TVU = 114°。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "角 TSU 的顶点 S 在圆周上，角 TSU 的两边分别与圆相交于点 T 和点 U。因此，角 TSU 是一个圆周角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "在本题图中，圆V中，点U、T、S在圆上，弧UT对应的圆心角为∠TVU，圆周角为∠TSU。根据圆周角定理，∠TSU等于它所对的弧TU所对应的圆心角∠TVU的一半，即∠TSU = 1/2 ∠TVU。"}]} +{"img_path": "ixl/question-01756432001e6ed408106e6c668bc41f-img-ae5275131ac641aa8f91bf0ab055b2dc.png", "question": "m \\$riangle \\$ EDF 是多少？\n\nm \\$riangle \\$ EDF= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ EDF=31°", "process": "1. 已知角 G 是圆心角，并且 ∠EDF 是内接角，且 ∠EDF 所对的圆弧与圆心角 ∠EGF 所对的圆弧相同。

2. 根据圆周角定理，该定理��述为：一个圆的内接角等于它所对弧的圆心角的一半。因此，∠EDF = 1/2 × ∠EGF。

3. 题目已知：∠EGF = 62°，代入圆周角定理计算得：∠EDF = 1/2 × 62°。

4. 计算 ∠EDF = 31°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 31°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点E和点F是圆上的两点，圆心是点G。连线GE和GF组成的角∠EGF称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "圆中，角EDF的顶点D在圆周上，角EDF的两边分别与圆相交于点E和点F。因此，角EDF是一个圆周角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "圆G中，点E、F、D在圆上，弧EF对应的圆心角为∠EGF，圆周角为∠EDF。根据圆周角定理，∠EDF等于它所对的弧EF所对应的圆心角∠EGF的一半，即∠EDF = 1/2 ∠EGF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e8ba77c32fea0bb62eb66f69abe3f6f3-img-afaee169f0974ee1bbcd7d69b00cafb9.png", "question": "在下面显示的立方体中，哪些线段是平行的？\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{RU}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{UY}\\$ |\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{VW}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{UY}\\$ |\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{TX}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{WX}\\$ |\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{TX}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{UY}\\$ |\n", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{TX}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{UY}\\$ |", "process": "1. 从立方体的几何结构出发，首先检查直线 \\overleftrightarrow{RU} 和 \\overleftrightarrow{UY}。从图中可以看到，直线 \\overleftrightarrow{RU} 和 \\overleftrightarrow{UY} 相交于点 U，所以它们是相交线，而不是平行线。根据平行线的定义：两条直线如果在同一平面内且不相交，则这两条直线平行。因此 \\overleftrightarrow{RU} 和 \\overleftrightarrow{UY} 不平行。

2. 然后检查直线 \\overleftrightarrow{VW} 和 \\overleftrightarrow{UY}。\\overleftrightarrow{VW} 位于\\overline{VWR}，而 \\overleftrightarrow{UY} 位于 \\overline{UYX}。由于这两条线不平行且不在同一平面，它们是异面直线。根据平行线的定义，平行线必须在同一平面中，故 \\overleftrightarrow{VW} 和 \\overleftrightarrow{UY} 不平行。

3. 接着检查直线 \\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{WX}。从立方体的结构中可以看到，这两条直线在立方体的同一个面 \\overline{TWX} 中相交于同一点 X。因此，\\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{WX} 是相交线，而不是平行线。

4. 最后检查直线 \\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{UY}。观察该结构可以发现，直线 \\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{UY} 位于相同的平面 \\overline{TUX}，且不相交，根据平行线的定义，它们是平行线。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 \\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{UY} 是平行的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "\\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{UY} 位于同一平面 \\overline{TUX} 内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，\\overleftrightarrow{TX} 和 \\overleftrightarrow{UY} 是平行线。\\overleftrightarrow{RU} 和 \\overleftrightarrow{UY} 在同一平面内但相交于点 U，因此不平行。"}, {"name": "Definition of Skew Lines", "content": "Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines are also known as non-coplanar lines.", "this": "直线VW与UY不平行且不在同一平面，是异面直线，也称为歪斜线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dee73f26b7a3a27c5275a2f2ecfa0d64-img-fae8f3c1fea048d680af2deb10c1aea4.png", "question": "m \\$riangle\\$ HGI是多少？\n\nm \\$riangle\\$ HGI= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ HGI=37°", "process": "1. 在给定的几何图形中，∠HGI 是一个圆周角，而 ∠J 是一个圆心角，且这两个角所对的弧是相同的，即弧 HI。

2. 根据圆周角定理，任意一个圆周角等于以同一个弧为对角的圆心���的一半。数学上可描述为：若一个圆周角 ∠ABC 所对应的弧与圆心角 ∠AOC 所对应的弧相同，则有 m∠ABC = 1/2·m∠AOC。

3. 具体应用到题目中，可知 ∠HGI = 1/2·∠J。

4. 已知 ∠J = 74°，代入 ∠HGI，即可得：m∠HGI = 1/2 × 74°。

5. 进行计算，1/2 × 74° = 37°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠HGI = 37°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆O中，角HGI的顶点G在圆周上，角HGI的两边分别与圆O相交于点H和点I。因此，角HGI是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点H和点I是圆上的两点，圆心是点J。连线JH和JI组成的角∠HJI称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "圆GHI中，点G、H、I在圆上，弧HI与弧HI对应的圆心角为∠HJI，圆周角为∠HGI。根据圆周角定理，∠HGI等于它所对的弧HI所对应的圆心角∠HJI的一半，即∠HGI = 1/2 ∠HJI。"}]} +{"img_path": "ixl/question-92842138f2fb82a2f652263223c2cf1a-img-22d321bfb6ae42d3a935a0d06da1bdef.png", "question": "在下面显示的立方体中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。\n\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{IJ}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{GH}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{CG}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{EI}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{GJ}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{HI}\\$ |\n-\n\n| \\$\n\\overleftrightarrow{CD}\\$ | 和 | \\$\n\\overleftrightarrow{GH}\\$ |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{IJ}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{GH}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{CG}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{EI}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{GJ}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{HI}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{CD}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{GH}\\$ |", "process": "1. 观察立方体的拓扑结构，立方体的每个面是一个矩形，而矩形的对边是平行线。

2. 在面GHIJ中，边IJ与边GH都是面GHIJ的边，因此根据矩形的定义，线IJ和线GH是平行的。

3. 在面CGIE中，边CG与边EI都是面CGIE的边，因此根据矩形的定义，线CG和线EI是平行的。

4. 在面GHJI中，边GJ与边HI都是面GHJI的边，因此根据矩形的定义，线GJ和线HI是平行的。

5. 在面CDGH中，边CD与边GH都是面CDGH的边，因此根据矩形的定义，线CD和线GH是平行的。

6. 综上所述，立方体中平行的线段对是：IJ和GH，CG和EI，GJ和HI，CD和GH。

7. 经过上述推理，最终得出答案为线段对IJ和GH，CG和EI，GJ和HI，CD和GH都是彼此平行的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形GHIJ中，每个内角GJI、JIH、IHG和HGJ都是直角（90度），且边GH与边IJ平行并等长，边GJ与边HI平行并等长。因此，四边形GHIJ是一个矩形。同理，四边形CDHG中，每个内角GCD、CDH、DHG和HGC都是直角（90度），且边CD与边GH平行并等长，边GC与边HD平行并等长。因此，四边形CDHG是一个矩形。同理，四边形CGIE中，每个内角CGI、GIE、IEC和ECG都是直角（90度），且边CG与边EI平行并等长，边GI与边CE平行并等长。因此，四边形CGIE是一个矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bae232db095238baa8d72f4cae6a0328-img-e7eb1c9f775a42dd9a084773a43ca6e2.png", "question": "m \\$riangle \\$ H是多少？\n\nm \\$riangle \\$ H= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ H=146°", "process": "1. 观察图中，∠JIK是一个圆周角，并且截取的弧JK与圆⼼角∠KHJ相同。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于其截取的圆⼼角的一半。在本题中，∠JIK是圆周角，∠KHJ是圆心角。

3. 圆周角定理是指圆周角等于其所对的圆心角的一半。因此，∠KHJ = 2 × ∠JIK。

4. 已知∠JIK = 73°，代入公式得到∠KHJ = 2 × 73°。

5. 计算得到∠KHJ = 146°。

6. 根据上述推理，最终得出答案为146°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆H中，角JIK的顶点I在圆周上，角JIK的两边分别与圆H相交于点J和点K。因此，角JIK是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点K和点J是圆上的两点，圆心是点H。连线HK和HJ组成的角∠KHJ称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "点J、I、K在圆上，弧JK对应的圆心角为∠KHJ，圆周角为∠JIK。根据圆周角定理，∠JIK等于它所对的弧JK所对应的圆心角∠KHJ的一半，即∠JIK = 1/2 ∠KHJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e699a3ffad4dc45875b63ee5218dcfdd-img-852d71a57a9141d49f7462282d5092d7.png", "question": "求圆柱体的侧面积。\n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "804.2 square meters", "process": "1. 已知圆柱的高度为16米，直径为16米。

2. 根据直径可以得到圆柱的半径为直径的一半，即16 ÷ 2 = 8米。

3. 圆柱的侧面积计算公式为：Lateral Area = 2 × 𝜋 × radius × height。

4. 将已知半径和高度带入公式计算：Lateral Area = 2 × 𝜋 × 8 × 16。

5. 进行具体计算：Lateral Area = 2 × 3.14159265 × 8 × 16。

6. 计算出数值为803.8475776。

7. 四舍五入到最近的十分位：Lateral Area ≈ 804.2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为804.2平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Formula for Lateral Area of a Cylinder", "content": "The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", "this": "圆柱的半径和高度代入该公式计算侧面积：Side Area = 2 × 𝜋 × 8米 × 16米。最后计算得到侧面积近似值为804.2平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a3adb931fa61959cc7209b975b869552-img-e540d2e37b944e278c47360d4e555b38.png", "question": "求棱柱的侧面积。底面是一个等边三角形。\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 平方码", "answer": "120 square yards", "process": "1. 题目中给出的正三棱柱的底面是一个等边三角形，每条边长均为5码。因此，我们可以计算出底面的周长。根据三角形的周长公式，其周长为单边长度乘于3。

2. 将单边长度5码代入计算底面周长，得到：周长 = 3 × 5 = 15码。

3. 棱柱的侧面积公式为：侧面积 = 底面的周长 × 棱柱的高。在此题中，已知棱柱的高度为8码。

4. 将底面周长15码和高度8码代入侧面积公式，计算得到：侧面积 = 15 × 8 = 120平方码。

5. 经过上述推理，最终得出答案为120平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题中，所涉及的几何体是正三棱柱，其底面为边长均为5码的等边三角形，且有三个侧面（平行四边形面），每个侧面都有一个高度为8码的面。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of a Prism", "content": "The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.", "this": "在本题中，正三棱柱的底面周长为15码，高度为8码，因此侧面积是侧面的周长乘以高度，即15码乘以8码得到120平方码。"}, {"name": "Formula for the Perimeter of a Triangle", "content": "The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \\( a \\), \\( b \\), and \\( c \\), then the perimeter \\( P \\) is given by \\( P = a + b + c \\).", "this": "在本题图中，三角形中，三条边分别是5码、5码、5码，根据三角形的周长公式，即 周长L = 5码 + 5码 + 5码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e33fee3bf914ac95d800343b08b888bf-img-0a471040f35f4e4c9a94e1da07b51628.png", "question": "求该棱柱的侧面积。底面是一个等边三角形。 \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "900 square centimeters", "process": "1. 已知棱柱的底面是一个正三角形，每边都是15厘米。根据等边三角形的定义，其三条边相等，因此底面周长可以表示为每边长度的三倍。

2. 使用三角形的周长公式，因为等边三角形三边相等，所以p = 3s 计算底面周长，其中 s 表示正三角形的一边长度。

3. 代入已知的边长值 s = 15，得到底面周长 p = 3 × 15 = 45 厘米。

4. 棱柱的侧面积由底面的周长与棱柱的高相乘得到。棱柱的侧面积公式为 L.A. = p × h，其中 h 表示棱柱的高度。

5. 已知棱柱的高度 h = 20 厘米，代入公式得 L.A. = 45 × 20 = 900。

6. 通过上述计算，得到侧面积为 900 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，棱柱的底面是一个正三角形（两个平行且全等的三角形底面），侧面是矩形。该棱柱的高度为20厘米。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of a Prism", "content": "The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.", "this": "底面正三角形的周长 p = 45厘米 和 棱柱的高 h = 20厘米，侧面积 L.A. = 45 × 20 = 900 平方厘米。"}, {"name": "Formula for the Perimeter of a Triangle", "content": "The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \\( a \\), \\( b \\), and \\( c \\), then the perimeter \\( P \\) is given by \\( P = a + b + c \\).", "this": "在本题图中，三角形中，三条边分别是15、15、15，根据三角形形的周长公式，即周长L = 15 + 15 + 15。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6f1113b6eeb94dacf01a7d6f08f13656-img-f0e4ac8314964fc9a558feed284ec325.png", "question": "m \\$riangle\\$ EGF是多少？\n\nm \\$riangle\\$ EGF= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ EGF=33°", "process": "1. 给定圆中，∠EGF为一个圆周角，它与中心角∠EHF截取同一弧EF。

2. 根据圆周角定理，圆周角∠EGF等于其所对弧的中心角∠EHF的一半。

3. 已知中心角∠EHF的度数为66°，则根据定理可得：∠EGF = 1/2 × m ∠EHF。

4. 将∠EHF = 66°代入，得：∠EGF = 1/2 × 66° = 33°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为m ∠EGF = 33°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "圆O中，角EGF的顶点G在圆周上，角EGF的两边分别与圆O相交于点E和点F。因此，角EGF是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点E和点F是圆上的两点，圆心是点H。连线HE和HF组成的角∠EHF称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "∠EGF是圆周角，对应的中心角是∠EHF，根据圆周角定理，∠EGF = 1/2 × ∠EHF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-51a2587de54ec0fe68fc5cba528adbbc-img-5d860bbe0ab849ef8757ac5c9bdd4ae0.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ EGF是多少？", "answer": "m \\$\\angle \\$ EGF=66°", "process": "1. 已知圆上有四个点E、G、F和圆心H，以及圆周角EGF，并已知中心角EHF = 132°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的弧所对应圆心角的一半。在本题中，∠EGF是圆周角，∠EHF是其对应的圆心角。

3. 应用圆周角定理：∠EGF = 1/2 × ∠EHF。

4. 将已知的∠EHF = 132°代入圆周角定理公式：∠EGF = 1/2 × 132°。

5. 计算得：∠EGF = 66°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠EGF = 66°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "角 ∠EGF 的顶点G在圆周上，角 ∠EGF 的两边分别与圆相交于点E和点F。因此，角 ∠EGF 是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点E和点F是圆上的两点，圆心是点H。连线HE和HF组成的角∠EHF称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "在本题图中，圆中有点E、G、F在圆上，弧EF对应的圆心角为∠EHF，圆周角为∠EGF。根据圆周角定理，∠EGF等于它所对的弧EF所对应的圆心角∠EHF的一半，即∠EGF = 1/2 ∠EHF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d2c6544132c3972a595e50c1ce994a2e-img-6c96a845a35b4127b09971f0f6a1e65d.png", "question": "求三棱柱的侧面积。\n\n\n\n \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "1,536 square centimeters", "process": "1. 确认三棱柱的底面形状为边长分别为12厘米、16厘米和20厘米的直角三角形，根据勾股定理的逆定理c² = a² + b²，验证a=12厘米，b=16厘米，c=20厘米满足12² + 16² = 20²，因此是直角三角形。

2. 根据题意，在三棱柱中，侧面积是底层周长与棱柱高的乘积。首先计算直角三角形的周长：12 + 16 + 20 = 48厘米。

3. 题中给出三棱柱的高为32厘米。代入公式计算侧面积：48（周长）乘以32（高）。

4. 执行乘法：48 * 32 = 1536平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1536平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "底面形状为边长分别为12厘米、16厘米和20厘米的直角三角形。边长为12厘米和16厘米的两条边为直角边，边长为20厘米的边为斜边。"}, {"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "三棱柱的底面是边长分别为12厘米、16厘米和20厘米的直角三角形，而该三棱柱的高度为32厘米。"}, {"name": "Converse of the Pythagorean Theorem", "content": "If the sum of the squares of two sides of a triangle is equal to the square of the third side, then the triangle is a right triangle, and the angle opposite to the longest side is a right angle.", "this": "在本题图中，已知三棱柱的底面形状为边长分别为a=12厘米，b=16厘米，c=20厘米，且满足c² = a² +b²，则根据勾股定理的逆定理，底面是直角三角形，最长边c所对的角为直角。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of a Prism", "content": "The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.", "this": "底面周长12 + 16 + 20 = 48厘米与棱柱高32厘米相乘，得到侧面积48 * 32 = 1536平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a6c34d443c1d0c8ad029983a69f667f5-img-81bd1e4d552b4940bd4dad4cce230acc.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ W 是多少？", "answer": "m \\$\\angle \\$ W=74°", "process": "1. 已知图中的∠TVU为圆周角，角度为37°。

2. 圆心角∠TWU与圆周角∠TVU同弧，即弧TU。

3. 根据圆周角定理，即在同一圆中，同一弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得知∠TWU = 2 × ∠TVU。

4. 将∠TVU的测量值代入，得∠TWU = 2 × 37°。

5. 计算得∠TWU = 74°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为74°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆中，角∠TVU的顶点V在圆周上，角∠TVU的两边分别与圆相交于点T和点U。因此，角∠TVU是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "角∠TWU是中心角，其角的顶点W在圆的中心，且其两条边WT和WU都是圆的半径，从而形成角TWU。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "在本题图中，弧TU所对的圆周角是∠TVU，弧TU所对的圆心角是∠TWU。根据圆周角定理，∠TVU等于它所对的弧TU所对应的圆心角∠TWU的一半，即∠TVU = 1/2 ∠TWU。因此，∠TWU = 2 × ∠TVU = 2 × 37° = 74°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a3fc8416cb489fe84285fe6e4ee4b808-img-3af03057dc784235b470140de776c71d.png", "question": "求棱柱的侧面积。底面是一个正方形。 \\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "1,344 square feet", "process": "1. 已知棱柱的底面是一个正方形，根据正方形的定义，正方形的所有边长相等。现已知正方形的边长为12英尺。

2. 根据正方形的周长公式，即正方形的周长等于边长乘以4，计算出底面正方形的周长。设边长为s，则周长p = 4s = 4 * 12 = 48 英尺。

3. 为求此棱柱的侧面积，应用棱柱的侧面积公式，即侧面积等于底面周长与棱柱高的乘积。

4. 题中给出的棱柱的高为28英尺，因此，侧面积L.A. = 周长 * 高 = 48 * 28 = 1,344 平方英尺。

5. 经过上述计算，最后得到侧面积为1,344平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "正方形的边长为12英尺。四边相等且内角均为90度。"}, {"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，棱柱的底面是两个相等的正方形，棱柱的高为28英尺。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of a Prism", "content": "The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.", "this": "棱柱的底面周长为48英尺，棱柱的高为28英尺。侧面积计算为L.A. = 48 * 28 = 1,344平方英尺。"}, {"name": "Perimeter Formula for Square", "content": "The perimeter of a square is equal to four times the length of any one of its sides.", "this": "正方形的周长等于边12的四倍，即p = 12 * 4 = 48。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c6399b5c29c5033c54b70271b2508234-img-405cd0121acc4237a926e44b401ea209.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n请将答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$oxed{ext{}}\\$ 平方厘米", "answer": "763.4 square centimeters", "process": "1. 已知圆锥的斜高（𝓁）为27厘米，直径（d）为18厘米。

2. 圆锥的底面半径（r）为直径的一半，即r = d/2 = 18/2 = 9厘米。

3. 根据圆锥的侧面积的计算公式，侧面积（L.A.）= πr𝓁。

4. 将已知的底面半径和斜高代入公式，得：L.A. = π * 9 * 27。

5. 计算π * 9 * 27，得到L.A. = 763.4070…平方厘米。

6. 根据四舍五入原则，将结果保留到小数点后第一位，得到约763.4平方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为763.4平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的斜高（𝓁）为27厘米，底面圆的直径（d）为18厘米，顶点处在圆锥底面圆的中心垂直上方，其中底面圆的半径（r）为直径的一半，即r = 9厘米。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题图中，已知底面圆的半径（r）为9厘米，母线（斜高）𝓁为27厘米，因此根据公式L.A. = π * 9 * 27来计算圆锥的侧面积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f333c8ec6e0c6afb4bb0f132b46c9798-img-1dd56c2d880e47b499f72b151a924f86.png", "question": "求圆柱的侧面积。\n\n\n将答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方码", "answer": "678.6 square yards", "process": "1. 已知圆柱的高为12码，直径为18码。

2. 根据几何学中的圆柱侧面积公式，侧面积L.A. = 2πrh，其中r为底面半径，h为圆柱高。

3. 由于圆柱底面的直径为18码，因此其半径r = 18 ÷ 2 = 9码。

4. 把圆柱底面半径r = 9码和圆柱高h = 12码代入侧面积公式中，则得L.A. = 2π(9)(12)。

5. 计算得到L.A. ≈ 2 × 3.14159 × 9 × 12。

6. 经过计算，得到L.A. ≈ 678.583。

7. 根据题目要求，结果保留到小数点后第一位，因此侧面积约为678.6平方码。

8. 最终得出答案为678.6。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的直径为18码，半径为9码，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高度12码，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆柱底面圆的直径为18码，因此其半径r = 18 ÷ 2 = 9码。圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。"}, {"name": "Formula for Lateral Area of a Cylinder", "content": "The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", "this": "圆柱的半径r = 9码，圆柱的高度h = 12码，代入公式得到侧面积L.A. = 2π(9)(12)。经过计算，侧面积约为678.6平方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-857f3f9bc18e7b468d9def83938ecfe0-img-17fe7906ea724f2d8043b670de56a6c1.png", "question": "求圆柱的侧面积。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n\\$ox\\$ 平方米", "answer": "659.7 square meters", "process": "1. 已知圆柱的高度 h = 15 米，底面半径 r = 7 米。

2. 圆柱的侧面积 (Lateral Area) 公式为 L.A.=2πrh，其中 r 为底面半径，h 为高度。

3. 将已知的 r = 7 米 和 h = 15 米 代入侧面积公式：L.A.=2π* 7 * 15。

4. 计算2π * 7 *15，得出其值为 210π。

5. 使用 π ≈ 3.141592653...，计算 210π ≈ 210 * 3.141592653 ≈ 659.7344573。

6. 将计算结果 659.7344573 四舍五入到小数点后一位得 659.7。

7. 经过上述推理，最终得出圆柱的侧面积为 659.7 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长。具体来说，圆柱体的两个圆形底面的半径分别为 r = 7 米，高度为 h = 15 米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱的底面圆中，点是圆心，圆周上的任意一点，线段是从圆心到圆周上任意一点的线段，因此线段7米是圆的半径。"}, {"name": "Formula for Lateral Area of a Cylinder", "content": "The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", "this": "在本题图中，已知圆柱的底面半径 r = 7 米，高度 h = 15 米。将已知的 r 和 h 代入侧面积公式，得到L.A.=2π* 7 * 15。经过计算，得出侧面积为210π。使用近似值π ≈ 3.141592653，进一步计算210π≈659.7344573，将结果四舍五入到小数点后一位得到最终答案659.7 平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3085b75d5ba34d67aa74be03b2e71fb0-img-5928a6d35b8a4a4e8df4cc40e9cac06d.png", "question": "求该金字塔的侧面积。底面是一个等边三角形。 \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "576 square centimeters", "process": "1. 已知底面是边长为16厘米的等边三角形，根据等边三角形的定义，各边相等，因此每边长为16厘米。

2. 根据三角形的周长公式，三角形的周长为各边之和。对于等边三角形，周长p = 3 × 边长 = 3 × 16 = 48厘米。

3. 根据正棱锥的侧面积公式，其中一个侧面是一个三角形，其底是底面一边的长度，且高为斜高。正棱锥的侧面积可通过公式L.A. = 1/2 × 底面的周长 × 斜高计算。

4. 题目中给出的斜高为24厘米。因此可以代入公式计算侧面积：L.A. = 1/2 × 48 × 24 = 576平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为576平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Formula for the Lateral Surface Area of a Regular Triangular Pyramid", "content": "The formula for the lateral surface area of a regular triangular pyramid is: \\(S_{lateral}=(\\frac{1}{2}) \\times C \\times h\\), where \\(C\\) is the perimeter of the equilateral triangle base, and \\(h\\) is the height of any of the isosceles triangle faces.", "this": "底面等边三角形的周长C=16+16+16=48，侧面等腰三角形的高为24，所以正三棱锥的侧面积S侧=(1/2) * 48 * 24=576。"}, {"name": "Formula for the Perimeter of a Triangle", "content": "The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \\( a \\), \\( b \\), and \\( c \\), then the perimeter \\( P \\) is given by \\( P = a + b + c \\).", "this": "在本题图中，三角形中，三条边分别是16、16、16，根据三角形的周长公式，即 周长L = 16 + 16 + 16=48。"}]} +{"img_path": "ixl/question-84b468d896592963625bc9d05df12212-img-74d6c3556ce64dd2a6bf4eb7cb57bded.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "603.2 square feet", "process": "1. 已知圆锥的母线长为24英尺，底面半径为8英尺。

2. 圆锥的侧面积（Lateral Area）可以通过公式L.A. = πrℓ计算，其中r为底面半径，ℓ为母线长。

3. 将已知的底面半径r = 8英尺和母线长ℓ = 24英尺代入侧面积公式，得L.A. = π × 8 × 24。

4. 计算算式得L.A. = 192π。

5. 使用圆周率π ≈ 3.14159进行计算，得L.A. ≈ 192 × 3.14159。

6. 继续计算，约得L.A. ≈ 603.1853。

7. 根据题目要求将结果四舍五入到最近的十分位，即得侧面积约为603.2平方英尺。

8. 经过上述推理，最终得出答案为603.2平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "在本题图中，圆锥的母线长为24英尺，表示为从锥顶到底面圆周上任意一点的这条虚线，长度为24英尺。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "底面半径 r = 8 英尺 和 母线长 ℓ = 24 英尺，代入公式后得 L.A. = π × 8 × 24。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4de3630e0446255ce815b5abe01809c4-img-2b71b513938b4256aad65c641d427c73.png", "question": "求圆柱的侧面积。 \n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。 \n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "2,412.7 square meters", "process": "1. 已知圆柱的高度为24米，底面圆的半径为16米。

2. 圆柱的侧面积可以通过圆柱侧面积公式：侧面积 = 2πrh 来计算，其中 r 表示圆的半径，h 表示圆柱的高度。

3. 将已知的半径 r = 16米 和 高度 h = 24米 代入。

4. 侧面积 = 2 × π × 16 × 24。

5. 对于 π，使用标准圆周率的近似值为3.141592653589793。

6. 计算得到侧面积 = 2 × 3.141592653589793 × 16 × 24 = 2412.743157210105。

7. 将计算结果四舍五入到最接近的十分位。

8. 四舍五入结果为 2412.7。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 2412.7 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径 r = 16米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度 h = 24米，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱底面圆的半径 r 为 16米，连接圆心和圆周上任意一点的线段的长度均为 16米。"}, {"name": "Formula for Lateral Area of a Cylinder", "content": "The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", "this": "圆柱底面圆的半径 r = 16米，高度 h = 24米，圆柱的侧面积可以按照公式 侧面积 = 2πrh = 2 × π × 16 × 24 ���计算。"}]} +{"img_path": "ixl/question-16204a3045d9a3353f85b766b7e7862b-img-2bb298ec1753423e818779df264d65a2.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "37.7 square meters", "process": "1. 已知圆锥的母线（斜高）长度为6米，底面直径为4米。

2. 底面的直径已知，因此底面的半径r为直径的一半，即r = 4 / 2 = 2米。

3. 圆锥的侧面积（Lateral Area, L.A.）的公式是L.A = π * r * 𝓁，其中r是底面半径，𝓁是母线长度。

4. 将已知数值代入公式：L.A = π * 2 * 6 = 12π。

5. 计算结果：12π ≈ 37.6991……

6. 根据题目要求，将结果四舍五入到小数点后一位得：37.7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为37.7平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的母线（斜高）长度为6米，底面直径为4米，因此半径r为2米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥底面直径为4米，所以底面半径r是直径的一半，r = 2米。圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "底面半径r为2米, 母线长度𝓁为6米, 根据公式可计算侧面积：L.A = π * 2 * 6 = 12π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6215e284335ea46014b314636b9e9561-img-caa194c042044fbc8252fa7c3d740ec1.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "1,061.9 square feet", "process": "1. 首先，在给定的几何题中，圆锥的斜高为26英尺，底部直径为26英尺，因此底部的半径为13英尺。

2. 确定了底部半径，使用圆锥的侧面积公式求解圆锥的侧面积，公式为 L.A. = πrl，其中 r 是圆锥的底部半径，l 是斜高。

3. 将已知的底部半径和斜高代入公式：L.A. = π * 13 * 26。

4. 计算圆锥的侧面积的数值: L.A. ≈ π * 338 ≈ 1061.8583平方英尺。

5. 将结果四舍五入到小数点后第一位，最终得到圆锥的侧面积约为1061.9平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为1061.9平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面圆的直径为26英尺，半径为13英尺，顶点与底面上的所有点的线段长即为斜高，长度为26英尺。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圆锥底面半径13英尺和斜高26英尺代入公式，得到 L.A. = π * 13 * 26。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8c5701774574a6ba1b5f32162a5ce70c-img-699508308eb54111991a207c5ba80e9e.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n\\$ox\\$ 平方码", "answer": "351.9 square yards", "process": "1. 已知圆锥的斜高（母线长度）为14码，底面半径为8码。

2. 圆锥的侧面积计算公式为：侧面积 = 圆周率 × 半径 × 斜高。

3. 将已知值代入公式：侧面积 = 𝜋 × 8 × 14。

4. 计算得出：侧面积 = 112𝜋。

5. 使用计算器计算出112𝜋的近似值：351.85837720205683。

6. 将计算结果四舍五入到最近的十分位：侧面积 ≈ 351.9平方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为351.9平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "底面半径为8码, 母线长度为斜高14码, 这些元素确定了圆锥的形态。"}, {"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "圆锥的斜高为14码，即从圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的距离为14码。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题图中，根据已知的底面半径8码和斜高14码，侧面积计算公式为侧面积 = 𝜋 × 8 × 14。将已知值代入公式，计算得出侧面积 = 112𝜋。"}]} +{"img_path": "ixl/question-612575109aee5ea67c8b92cf35dd89b8-img-898dfb9c055b47acafb8986c3427b059.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "188.5 square centimeters", "process": "1. 根据题目描述，圆锥的斜高为12厘米，底面半径为5厘米。

2. 圆锥的侧面积的计算公式为：侧面积 = π × r × 𝓁，其中r为圆锥的底面半径，𝓁为圆锥的斜高。

3. 代入已知条件r = 5厘米，𝓁 = 12厘米，得到侧面积 = π × 5 × 12。

4. 计算π × 5 × 12 = 60π。

5. 因为π的近似值为3.141592653589793，进一步计算得到侧面积 ≈ 60 × 3.141592653589793 ≈ 188.49555921538757。

6. 根据题目要求，将答案保留到小数点后一位，得到侧面积 ≈ 188.5平方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为188.5平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面圆的半径为5厘米，顶点到边界的斜高为12厘米。侧面由底面圆的周界与顶点连接形成。"}, {"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "底面圆周上的一点为圆周上的任意一点，顶点为圆锥的顶点，连接底面圆周上一点和顶点的线段就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圆锥侧面积的计算公式为π × 5 × 12。代入底面半径r = 5厘米和斜高𝓁 = 12厘米，得到侧面积 = π × 5 × 12。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6ebaab6d77b9598d544530e1d4d0878f-img-1b29e58657154850b998cffdddbf58c5.png", "question": "求圆柱的侧面积。\n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "402.1 square meters", "process": "1. 已知圆柱体的高为8米，底面的半径为8米。

2. 圆柱侧面积公式为：L.A. = 2𝜋rh，其中r表示底面半径，h表示高。

3. 将已知的半径r = 8米和高h = 8米代入公式得到：L.A. = 2𝜋(8)(8)。

4. 计算得到L.A. = 128𝜋。

5. 使用π ≈ 3.1416替代π进行精确度的计算，得：L.A. ≈ 128 × 3.1416 = 402.1248。

6. 将计算结果约至小数点后一位，得402.1。

7. 经上述推理，最终得出圆柱体的侧面积约为402.1平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆柱底面圆中，点为圆心，圆周上的任意一点到圆心���距离为8米，因此该距离为圆的半径。"}, {"name": "Formula for Lateral Area of a Cylinder", "content": "The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", "this": "根据已知圆柱体底面的半径 r = 8米和高度 h = 8米，代入公式：L.A. = 2𝜋(8)(8)。最终得到圆柱体的侧面积，并计算得出数值。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2358b46d0353d4b68e037bc2c6ea3a56-img-bf1094e075b44e02ad685c645a28789b.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ K是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ K= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ K=120°", "process": "1. 题中给出的图形是一个圆，其中点 I, H, J 是圆周上的点，K 是圆心。

2. 题目给出了 ∠IHJ = 60°。

3. 根据圆周角定理，圆周角等于它所对的圆心角的一半。因此 inscribed angle 定理用于此情形：当弦 IJ 截得的圆周角 ∠IHJ 和圆心角 ∠IKJ 共享同一弧 IJ。

4. 根据圆周角定理：m ∠IKJ = 2 × m ∠IHJ。

5. 将已知 m ∠IHJ = 60° 代入公式：m ∠IKJ = 2 × 60°。

6. 计算得到 m ∠IKJ = 120°。

7. 因此，通过逐步推理，最终得出答案为 m ∠IKJ = 120°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆O中，点K是圆心，半径为KI、KH、KJ。图中所有到点K的距离等于KI、KH、KJ的点都在圆O上。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "圆O中，角∠IHJ的顶点H在圆周上，角∠IHJ的两边分别与圆O相交于点I和点J。因此，角∠IHJ是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点I和点J是圆上的两点，圆心是点K。连线KI和KJ组成的角∠IKJ称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "圆K中，点I、H、J在圆上，弧IJ与弧IJ对应的圆心角为∠IKJ，圆周角为∠IHJ。根据圆周角定理，∠IHJ等于它所对的弧IJ所对应的圆心角∠IKJ的一半，即∠IHJ = 1/2 ∠IKJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-23778d286b35f6128ee62306c3641e0d-img-d82226813cd94ca9aaa6cdd7282f7ed9.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n\n将答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方码", "answer": "628.3 square yards", "process": "1. 已知圆锥的斜高（𝓁）为20码，底部圆的直径为20码。根据定义，圆的半径（r）为直径的一半，因此半径r = 20/2 = 10码。

2. 圆锥的侧面积（Lateral Area, L.A.）计算公式为：L.A. = πrl，其中r是圆锥底部圆的半径，𝓁是圆锥的斜高。

3. 将已知数据代入侧面积公式：L.A. = π × 10 × 20。

4. 计算L.A.，得到L.A. = 200π。

5. 使用π ≈ 3.14159进行近似计算：L.A. = 200 × 3.14159 = 628.318。

6. 根据题目的要求，将计算结果四舍五入到小数点后第一位，得到628.3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为628.3平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥底部圆的直径为20码，因此半径r为其一半，即r = 10码。"}, {"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "在本题图中，圆锥中底面圆周上的一点到顶点的线段就是母线。已知圆锥的斜高为20码，确定𝓁 = 20码。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题图中，由于r = 10码，𝓁 = 20码，因此侧面积L.A. = π × 10 × 20。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a646baf10f90476393370e6ceccae179-img-14361bdade4b4f179f10df115223f59a.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状？\n\n- rectangle\n- circle\n- square\n- pentagon", "answer": "- circle", "process": "1. 已知该几何图形是一个圆锥体。

2. 根据圆锥的定义，圆锥是以一个圆为底面，底面到顶点有一条不在同一平面内的轴的几何体。

3. 由此可得出，该圆锥体的底面是一个圆形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为圆。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥中，母线绕轴旋转形成锥面和底面（圆），从而构成圆锥。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆锥体的底面为圆形。圆锥底面中的每一点到圆心的距离相等，符合圆的定义。圆锥底面上的所有点到圆心的距离等于半径。"}]} +{"img_path": "ixl/question-49f6f558a3df17ce5d6c87a0d17b864c-img-e66472e5d75849ce9984252c24b88a7d.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n\\$\nBox\\$ 平方英寸", "answer": "31.4 square inches", "process": "1. 已知题目条件中，圆锥的斜高为5英寸，底面直径为4英寸。

2. 首先根据底面直径为4英寸，可以得到底面半径为r=2英寸。

3. 圆锥的侧面积公式为 A_side = πrl，其中r是底面半径，l是斜高。

4. 将已知数据代入侧面积公式：A_side = π * 2 * 5。

5. 计算得到 A_side = 10π。

6. 由于问题要求结果保留到小数点后第一位，因此需要对 10π 进行近似计算。

7. 将10π ≈ 31.4159，四舍五入到小数点后第一位，得到 31.4。

8. 经过上述推理，最终得出答案为31.4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥由底面为半径为r=2英寸的圆和斜高为l=5英寸所围成。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆锥底面的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。已知底面直径为4英寸，因此底面半径 r=2英寸。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "圆锥底面的直径为4英寸，连接了圆心O和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径=4英寸，因此底面半径r=2英寸。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "底面半径r=2英寸，斜高ℓ=5英寸，因此L.A. = π × 2 × 5 = 10π。经过近似计算，结果为31.4平方英寸。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆锥底面的直径d=4英寸，因此底面半径r=2英寸。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2π×2=4π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f1ab7d75cd1836cf8e2e1d2bbd28b0d8-img-0e30b59e101547e5b79f0528493375c5.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？", "answer": "- rectangle", "process": "1. 根据题目中的图形，识别它是一个棱柱。

2. 棱柱的性质表明，其上下面是相同的多边形，并且是平行的。

3. 从图形结构观察，确认该棱柱的上底面和下底面是四边形。

4. 进一步观察四边形的对边平行且等长，这表明上底面和下底面的形状是矩形。

5. 所以，依据棱柱的定义，该立方体的上下底面是矩形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为矩形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，给定的图形识别为棱柱。根据棱柱的定义，可以确定该立方体的上下底面是形状相同、平行的多边形。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "底面的四边形的对边平行且等长，并且四个角都是直角，这说明底面的形状是矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-17afa1e83f49d879a60f8bb8c6703e98-img-fd5d030790584fe0940e6b52fb2d5bec.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？", "answer": "- rectangle", "process": "1. 观察给定图形，我们注意到其形状是一种棱柱，根据几何学中的定义，棱柱的上下底面是相同且平行的多边形。

2. 从图中可以看到，该棱柱的侧面是矩形，这符合长方体（矩形柱）的特征。

3. 长方体是特殊的棱柱，其特征为上下面是完全相同的矩形，所以我们推断其底面形状是矩形。

4. 为了确认底面形状是矩形，注意到根据棱柱的定义，所有的侧面垂直于底面，这解释了侧面为矩形，底面也是矩形。

5. 经过以上分析可以确认，长方体的底面是矩形。

6. 因此，可以得出长方体的底面形状为矩形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "这个几何体是一个棱柱，具有两个完全相同且平行的矩形底面和四个侧面，这些侧面都是矩形。"}, {"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，给定的几何体是一个长方体，其六个面都是矩形。"}, {"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体具有两个相同且平行的矩形底面和顶面。"}]} +{"img_path": "ixl/question-71e3c6a3add9d80f8651fdb67c8fa291-img-b58953fe617e4eff8b8147a1ea1ec588.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？\n\n- circle\n- triangle\n- octagon\n- pentagon", "answer": "- circle", "process": "1. 观察给出的图形，这是一个圆柱体，这是由圆柱的侧面和上下两个底面围成的几何体。

2. 圆柱是三维图形，其两个底面是形状相同且平行的平面形状。

3. 在图形中，底面的形状是一个圆，因此圆柱的每个底面都是一个圆。

4. 由于每个底面都是一个圆，所以在给出的选项中，应选择“circle”作为底面的形状。

5. 经过上述分析，最终得出答案为circle。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆柱的底面是一个圆形。圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。图中底面的圆心是底面的中心点，底面上的每个点到中心点的距离相等，这个距离就是半径。因此，底面是一个圆形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-23830103f36bb8991c381a4cdb940a7d-img-13cd308bb373427f946d8e28799013d7.png", "question": "请看这个图形：它的底面是什么形状的？", "answer": "- square", "process": "1. 观察图形，可以看到这是一个正方体的截面结构图，且其上部为一个顶点到截面中心的平面，这可组合为一个方锥。

2. 正方体是一个六面体，其底面形状为正方形，这在立体几何中是一个基本的已知性质。

3. 验证底面形状：如果立体的其它结构为对称且���等，比如各面的等长性质可以辅助线性测量，这些性质在正方形结构上是成立的。

4. 如图所示，其为正方体的一部分，因此底面的形状为正方形，而不是其它多边形如三角形、五边形或六边形。

5. 综上推理确认，该立体对应的底面形状是正方形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，给定的立体图形可以视作正方体的截面结构图，即正方体的某一部分，它的所有面都是正方形，并且已经验证了其底面是正方形。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，底面是一个正方形。正方形的每条边在底面中都是等长的，并且它的每个角都是90度，因此符合正方形的定义。"}, {"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立方体的底面是正方形，按立方体的几何性质进行验证，即通过观察面与面之间的相互关系，其底面所有边长度相等，且边之间呈直角，符合正方形几何性质。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2d631f1e33d5869e1dbfb1842128b714-img-88e41a0492f043e7b97a8b6d94b184a8.png", "question": "求圆锥的侧面积。\n\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n \\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "1,061.9 square feet", "process": "1. 已知此锥体的斜高l 为26英尺，底面的直径为26英尺。

2. 因为锥体的底面为一个圆，圆的半径r为其直径的一半，所以r=26/2=13英尺。

3. 计算圆锥的侧面积，使用圆锥的侧面积公式：A_side = 𝜋 * r * l。

4. 将已知的r和l 值代入公式：A_side = 𝜋 * 13 * 26。

5. 依次进行运算：𝜋 * 13 * 26 ≈ 1061.8583平方英尺。

6. 将结果四舍五入到小数点后一位，即≈1061.9平方英尺。

7. 经过上述推理，最终得出答案为1061.9平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面是一个直径为26英尺的圆，顶点是锥体的尖端，任意一点从顶点到圆周的射线构成了其侧面。锥体的斜高𝓁是从顶点到圆周一侧的距离，给定为26英尺。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "在本题图中，锥体的底面是一个圆，圆的直径为26英尺，连接了圆心O和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 26英尺。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆的半径r等于圆的直径的一半，圆的直径为26英尺，所以r=26/2=13英尺。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圓锥的半径r为13英尺，斜高l 为26英尺。将这些值代入公式A_side = 𝜋 * 13 * 26进行计算。"}]} +{"img_path": "ixl/question-23cae6830996791c5ff76946a64b86e4-img-39ee9a5a5ab7468d849ed3fe0a716318.png", "question": "观察这个图形：它的底面是什么形状？\n\n- triangle\n- nonagon\n- heptagon\n- pentagon", "answer": "- triangle", "process": "1. 从图中我们可以观察到，这是一个三角锥结构，图示由一个四面体的主体和其投影面组成。

2. 依据四面体的定义，其构成包括四个三角面，其中有一个三角面是这个四面体的底面。

3. 图中显示，每一条虚线都是侧棱连接底面顶点和其余的顶点，强调了底面的形状。

4. 因为四面体的底面由三个顶点构成，根据多边形的顶点数性质（顶点数 n 边形是由 n 条边构成），底面应为三角形。

5. 经过上述分析，我们可以确认底面为三角形。

6. 因此，该四面体的底面是一个三角形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "四面体的底面是一个三角形，由三个顶点和三条边构成。图中虚线部分支撑了底面在三角形中的构型，确认了底面的性质为三角形。底面的三边分别连接其三个顶点，符合三角形的基本定义。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b9099d1901eeb7ca707efa610f43bada-img-3a9883f5fa5b466bb117c3bdac86d14e.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？", "answer": "- square", "process": "1. 首先，通过观察题目所示图形，该图形是一个三维立体图形，具体为一个正六面体。

2. 在正六面体中，每个面都是全等的正方形，这是一种特殊的立方体，其六个面都是正方形。

3. 进一步分析，正六面体共有六个面，且每个面均为正方形。正方形具有四个全等的边和四个直角。

4. 因此，依据正六面体的定义及其性质可以得出：该立体图形的底面是正方形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为正方形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立体图形为一个正六面体。该立体图具有六个面，相应的所有面都是全等的正方形，这就是正六面体的定义在本题的具体对应。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，底面和其他五个面都是正方形。正方形具有四条边长度相等且四个内角均为90度。题图中的底面四边长度相等，且四个内角均为90度，因此底面是一个正方形。"}, {"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立体图形符合立方体的特性，即具有六个全等的正方形面，这六个面相互垂直并且每个面都是正方形，这就能够确认该图形为正六面体，进而确认底面为正方形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3392d9f18b903fcb423b28d97ad3770b-img-102411f20f374a7b8cf50b48e740a46a.png", "question": "下面的矩形棱柱标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "27.9%", "process": "1. 根据长方体体积公式，长方体的测量尺寸为长15码、宽4码、高5码，其测量体积为长×宽×高=15×4×5=300立方码。

2. 同时，测量误差可以达到最近的整数码的一半，即每个方向上的最大可能误差为0.5码。

3. 计算最大可能体积：在每个尺寸中加上误差，最大可能体积等于(15+0.5)×(4+0.5)×(5+0.5)=15.5×4.5×5.5=383.625立方码。

4. 计算最小可能体积：在每个尺寸中减去误差，最小可能体积等于(15-0.5)×(4-0.5)×(5-0.5)=14.5×3.5×4.5=228.375立方码。

5. 计算测量体积与最大、最小体积之间的差异，以找出最大的可能误差。测量体积与最大体积的差为383.625-300=83.625立方码，测量体积与最小体积的差为300-228.375=71.625立方码。

6. 最大的体积误差为83.625立方码，因此这就是我们需要使用的数值。

7. 使用百分比误差公式计算测量体积的百分比误差：百分比误差=(最大可能误差/测量体积)×100%=(83.625/300)×100%。

8. 计算得：百分比误差=27.875%。

9. 根据题目要求，将百分比误差四舍五入到最近的十分之一，结果为27.9%。

10. 经过上述推理，最终得出答案为27.9%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的长度为15码，宽度为4码，高度为5码。这三个维度分别作为长方体的实际尺寸用来计算体积。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，长方体中，边15yd表示长，边4yd表示宽，边5yd表示高，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 15 * 4 * 5。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2e7114d9a57f5ca704f9213bf4d3548c-img-1cdfcfca288544c789ab64c85d624a3f.png", "question": "m \\$riangle\\$ R 是多少？\n\nm \\$riangle\\$ R= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ R=88°", "process": "1. 题目中给出角 TSU 的度数为 44°，需要计算角 R 的度数。

2. 根据图示，角 TSU 是圆中截弧 TU 的圆周角，且角 R 是以同一条弧 TU 为基弧的圆心角。

3. 应用圆周角定理：在同一圆或等圆中，圆周角等于它所对的圆心角的一半。因此，角 TSU = 1/2 × 角 R。

4. 将题目中给出的已知条件代入，得：44° = 1/2 × 角 R。

5. 为了求出角 R 的值，进行方程计算：角 R = 44° × 2。

6. 计算得到：角 R = 88°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 88°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆中，角 TSU 的顶点 S 在圆周上，角 TSU 的两边分别与圆相交于点 T 和点 U。因此，角 TSU 是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆中，点 T 和点 U 是圆上的两点，圆心是点 R。连线 RT 和 RU 组成的角 ∠TRU称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点 T 和 U，弧 TU 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧 TU 是圆上两点 T 和 U 之间的一段曲线。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "圆中，点 T、S、U 在圆上，弧 TU 对应的圆心角为 ∠TRU，圆周角为 ∠TSU。根据圆周角定理，∠TSU 等于它所对的弧 TU 所对应的圆心角 ∠TRU 的一半，即 ∠TSU = 1/2 ∠TRU。"}]} +{"img_path": "ixl/question-93fde7f072b1fdd688799857edd86303-img-c64271a384fa44818c2bda44ab94e4ce.png", "question": "下图的长方体标注了其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？请将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "11.9%", "process": "1. 给定直角棱柱，其长为10毫米，宽为13毫米，高为19毫米。计算其测量体积为：体积 = 长 × 宽 × 高 = 10毫米 × 13毫米 × 19毫米。

2. 计算测量体积：体积 = 10 × 13 × 19 = 2470立方毫米。

3. 考虑测量误差：每次测量的最大可能误差为1毫米的一半，即0.5毫米。当计算最大和最小可能体积时，需要考虑此误差。

4. 计算最大可能体积：将0.5毫米加到每个测量值，然后乘积得最大可能体积，即：(10 + 0.5)毫米 × (13 + 0.5)毫米 × (19 + 0.5)毫米 = 10.5 × 13.5 × 19.5。

5. 最大可能体积为：10.5 × 13.5 × 19.5 = 2764.125 立方毫米。

6. 计算最小可能体积：从每个测量值中减去0.5毫米，然后乘积得最小可能体积，即：(10 - 0.5)毫米 × (13 - 0.5)毫米 × (19 - 0.5)毫米 = 9.5 × 12.5 × 18.5。

7. 最小可能体积为：9.5 × 12.5 × 18.5 = 2190 立方毫米。

8. 计算体积误差：体积误差 = max(|测量体积 - 最大体积|, |测量体积 - 最小体积|)。

9. 计算误差：|测量体积 - 最大体积| = |2470 - 2764.125| = 294.125。

10. 计算误差：|测量体积 - 最小体积| = |2470 - 2190| = 280。

11. 最大误差为294.125立方毫米。

12. 计算体积的百分误差：百分误差 = (最大误差/测量体积) × 100%。

13. 百分误差 = (294.125 / 2470) × 100% ≈ 11.9%。

14. 经过上述推理，最终得出答案为11.9%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "该几何图形是一个直角棱柱，其长为10毫米，宽为13毫米，高为19毫米。每个相邻面都垂直相交。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "边13mm表示长，边10mm表示宽，边19mm表示高，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 13 * 10 * 19。"}]} +{"img_path": "ixl/question-71f63968223cab2b241e5065023d48d9-img-579a703919dd4c448485ba32e14b48c7.png", "question": "下方的矩形棱柱标注了其测量的尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分比误差是多少？将你的答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "8.8%", "process": "1. 观察长方体，其测量的尺寸分别是19米、15米和19米。由此可得出测量的体积为19×15×19 = 5,415立方米。

2. 每次测量的最大误差是1米的一半，即0.5米。因此，最小可能长度为每个测量减去0.5米，最大可能长度为每个测量加上0.5米。

3. 计算最大可能体积，将误差加至每个测量：

4. 最大可能体积： (19 + 0.5) × (15 + 0.5) × (19 + 0.5) = 19.5 × 15.5 × 19.5 = 5,893.875立方米。

5. 计算最小可能体积，将误差从每个测量中减去：

6. 最小可能体积： (19 - 0.5) × (15 - 0.5) × (19 - 0.5) = 18.5 × 14.5 × 18.5 = 4,936.125立方米。

7. 计算测量体积与最大和最小体积的差别：

8. 与最小体积的差：5,415 - 4,936.125 = 478.875立方米。

9. 与最大体积的差：5,893.875 - 5,415 = 478.875立方米。

10. 由于两次差别相等，因此无论使用哪一个都行。可以选择最大体积与测量体积的差，即478.875立方米。

11. 计算最大可能的体积误差百分比：478.875 ÷ 5,415 ≈ 0.088431。

12. 将此小数转换为百分比约等于8.8431%。

13. 四舍五入到小数点后第一位得到8.8%。

14. 经过上述推理，最终得出答案为错误百分比为8.8%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的边长分别是19米、15米和19米，且所有角度均为直角，符合直角平行六面体的定义。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，长方体的体积计算公式为V = 19米 × 15米 × 19米 = 5,415立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-83b2451ee341e664b08b3bf94a145b45-img-f1bbaa07be6547c593b350ca5439613d.png", "question": "下面的长方体标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？将你的答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "14.7%", "process": "1. 已知长方体的三个测量边长分别为19米、16米和6米。根据长方体的体积公式，即V = 长 * 宽 * 高，计算出测量得到的体积为V = 19 * 16 * 6 = 1824立方米。

2. 每个测量均以米为单位，因此最大的可能误差为0.5米。这是因为测量到最近的整数米，意味着误差可能在±0.5米内。

3. 根据所给的可能最大误差0.5米，计算可能的最大体积。最大可能的尺寸分别为19.5米、16.5米和6.5米，因此最大体积为19.5 * 16.5 * 6.5 = 2091.375立方米。

4. 同样，根据可能的最大误差，计算可能的最小体积。最小可能的尺寸分别为18.5米、15.5米和5.5米，因此最小体积为18.5 * 15.5 * 5.5 = 1570.375立方米。

5. 对比测量体积1824立方米与计算的最大体积和最小体积，求出体积误差。与最大体积的误差为2091.375 - 1824 = 267.375立方米，与最小体积的误差为1824 - 1570.375 = 253.625立方米。

6. 由于计算误差是最大体积与测量体积的误差更大，因此最大的可能误差为267.375立方米。

7. 根据百分比误差公式：(最大可能误差 / 测量体积) * 100%，计算出百分比误差为(267.375 / 1824) * 100% ≈ 14.7%。

8. 经过上述推理，最终得出答案为14.7%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "该长方体三个边的长度分别为19米、16米和6米，这些边通过面连接，形成一个长方体的几何体。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题中，长方体的体积计算公式为V = 19米 * 16米 * 6米 = 1824立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e507736980072608cd9adf082226ec53-img-4dcc7d9ed859431a871c201d5829770a.png", "question": "下方的长方体标注了其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号 (%)。\\$ox\\$", "answer": "12.9%", "process": "1. 已知矩形棱柱的长为20英寸，宽为18英寸，高为7英寸。根据长方体体积公式V = 长 × 宽 × 高，计算其测量体积V = 20 × 18 × 7 = 2520立方英寸。

2. 因为是到最接近的整英寸测量的，所以每个测量值的最大可能误差是1英寸的一半，即0.5英寸。

3. 计算最大可能体积。最大可能长度、宽度和高度分别是20 + 0.5 = 20.5英寸，18 + 0.5 = 18.5英寸，7 + 0.5 = 7.5英寸。由此最大可能体积 = 20.5 × 18.5 × 7.5 = 2844.375立方英寸。

4. 计算最小可能体积。最小可能长度、宽度和高度分别是20 - 0.5 = 19.5英寸，18 - 0.5 = 17.5英寸，7 - 0.5 = 6.5英寸。由此最小可能体积 = 19.5 × 17.5 × 6.5 = 2216.625立方英寸。

5. 计算测量体积与最大可能体积与最小可能体积的体积差来确定最大的可能体积误差。最大误差值为max(2844.375 - 2520, 2520 - 2216.625) = max(324.375, 303.375) = 324.375立方英寸。

6. 百分误差 = (最大体积误差 / 测量体积) × 100%。所以百分误差 = (324.375 / 2520) × 100% ≈ 12.8571428571%。

7. 四舍五入至最接近的十分之一，百分误差 ≈ 12.9%。

8. 经过上述推理，最终得出答案为12.9%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，矩形棱柱的长为20英寸，宽为18英寸，高为7英寸。因此其测量体积V = 20 × 18 × 7 = 2520立方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-16afe9efeb2b9e4158aa25d4f5e36421-img-3b9807a1da024dfebf200229f1ba419d.png", "question": "下面的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "8.2%", "process": "1. 已知矩形的长为13码，宽为12码。因此，测得的面积A_m = 13 × 12 = 156 平方码。

2. 每个尺寸是以1码为单位测量的，所以每个测量误差的最大可能误差是0.5码。

3. 为找到最大可能面积A_Max, 将最大可能误差加到每个测量值: 长为13 + 0.5 = 13.5码，宽为12 + 0.5 = 12.5码。计算得出最大可能面积为A_Max = 13.5 × 12.5 = 168.75 平方码。

4. 为找到最小可能面积A_Min, 将最大可能误差从每个测量值中减去: 长为13 - 0.5 = 12.5码，宽为12 - 0.5 = 11.5码。计算得出最小可能面积为A_Min = 12.5 × 11.5 = 143.75 平方码。

5. 计算最小面积与测量面积之间的差异: D_Min = |A_m - A_Min| = |156 - 143.75| = 12.25 平方码。

6. 计算最大面积与测量面积之间的差异: D_Max = |A_Max - A_m| = |168.75 - 156| = 12.75 平方码。

7. 两个差异中较大者为面积的最大可能误差: E = max(D_Min, D_Max) = 12.75。

8. 计算面积的百分比误差: 百分比误差 = (E / A_m) × 100% = (12.75 / 156) × 100% ≈ 8.173%。

9. 将百分比误差四舍五入到最接近的十分位：8.173% ≈ 8.2%。

10. 经过上述推理，最终得出答案为8.2%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且边长为13码的两条边互相平行并等长，边长为12码的两条边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，矩形中，边13yd是矩形的长度，边12yd是矩形的宽度，所以矩形的面积等于其长度13乘以其宽度12，即面积 = 13 * 12。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b6ee214dfbf5dfa1394239ef9078ac09-img-319bff0713604c89a73af702b532605f.png", "question": "下面的长方体标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分比误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "21.4%", "process": "1. 已知长方体的长为10米，宽为4米，高为18米，我们首先计算其测量体积为：体积 = 长 × 宽 × 高 = 10米 × 4米 × 18米 = 720立方米。

2. 每个测量都是取至最近的整米，因此每个测量的最大误差为0.5米。

3. 计算最大可能体积：对于每个��度添加最大误差计算得出。最大可能长度 = 10米 + 0.5米 = 10.5米，最大可能宽度 = 4米 + 0.5米 = 4.5米，最大可能高度 = 18米 + 0.5米 = 18.5米。因此最大可能体积为：最大可能体积 = 10.5米 × 4.5米 × 18.5米 = 874.125立方米。

4. 计算最小可能体积：对于每个维度减去最大误差计算得出。最小可能长度 = 10米 - 0.5米 = 9.5米，最小可能宽度 = 4米 - 0.5米 = 3.5米，最小可能高度 = 18米 - 0.5米 = 17.5米。因此最小可能体积为：最小可能体积 = 9.5米 × 3.5米 × 17.5米 = 584.625立方米。

5. 计算差值以确定最大可能误差。比较可能的体积差：720立方米（测量体积）与874.125立方米（最大体积）的差值为154.125立方米，以及720立方米（测量体积）与584.625立方米（最小体积）的差值为135.375立方米。最大差值为154.125立方米，故此为最大可能误差。

6. 计算体积的百分误差：百分误差 = (最大可能误差 / 测量体积) × 100% = (154.125立方米 / 720立方米) × 100% ≈ 21.4%。

7. 由以上分析，最终得出答案为最大可能的百分误差是21.4%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的长为10米，宽为4米，高为18米。长方体的每个面均为矩形，且相对的面两两平行。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的长度为10米，宽度为4米，高度为18米。因此，长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 = 10米 × 4米 × 18米 = 720立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-60ecdf65deca0988b3afd5c4a1a7f897-img-f45adb4dc2f84724b41e08ffcf748757.png", "question": "下面的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "11.7%", "process": "1. 已知一个矩形的长为16毫米，宽为6毫米。我们需要考虑测量误差，计算其面积的百分比误差。

2. 首先，计算测量的面积。矩形的面积计算公式为长乘以宽。因此，测量的面积为16毫米×6毫米=96平方毫米。

3. 由于每次测量均以最接近的整数毫米为单位进行，所以最大可能误差为0.5毫米。

4. 计算最大可能的面积，将最大可能误差加至每个测量值，然后相乘：长为16毫米+0.5毫米=16.5毫米，宽为6毫米+0.5毫米=6.5毫米。最大可能的面积为16.5毫米×6.5毫米=107.25平方毫米。

5. 计算最小可能的面积，将最大可能误差从每个测量值中减去，然后相乘：长为16毫米-0.5毫米=15.5毫米，宽为6毫米-0.5毫米=5.5毫米。最小可能的面积为15.5毫米×5.5毫米=85.25平方毫米。

6. 计算最大面积和测量面积之差，以及最小面积和测量面积之差。确定其中较大的一个，即面积的最大可能误差。

7. 最大可能误差为107.25平方毫米 - 96平方毫米 = 11.25平方毫米，最小可能误差为96平方毫米 - 85.25平方毫米 = 10.75平方毫米。因此，面积的最大可能误差为11.25平方毫米。

8. 计算面积的百分比误差。百分比误差为最大可能误差除以测量面积，再乘以100％。因此，百分比误差为(11.25平方毫米 / 96平方毫米) × 100% = 11.71875%。

9. 将结果四舍五入到最近的百分之一位。得到面积的百分比误差约为11.7%。

10. 经过上述推理，最终得出答案为11.7%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且边长为16毫米的两条边互相平行且等长，边宽为6毫米的两条边互相平行且等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，矩形的长为16毫米，宽为6毫米，所以矩形的面积 = 16毫米 * 6毫米 = 96平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-252ffc0767e4a7c3ffe1412ffef68d75-img-2201226344b64637843b0089bcda6828.png", "question": "下方的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？将答案四舍五���到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\\$ox\\$", "answer": "22.5%", "process": "1.已知矩形的长和宽分别为10 cm和3 cm，因此测量得出的面积为10 cm × 3 cm = 30 cm²。

2.对于每个测量值，测量误差最大可能值是0.5 cm（这是因为测量是到最近的整厘米，所以最大可能误差是其一半，即0.5 cm）。

3.计算可能的最大面积：将最大误差加到每个测量值上，即(10 cm + 0.5 cm) × (3 cm + 0.5 cm) = 10.5 cm × 3.5 cm = 36.75 cm²。

4.计算可能的最小面积：从每个测量值中减去最大误差，即(10 cm - 0.5 cm) × (3 cm - 0.5 cm) = 9.5 cm × 2.5 cm = 23.75 cm²。

5.找出面积的最大误差：计算最小面积与测量面积的差，以及最大面积与测量面积的差，找出较大的值。最小面积与测量面积的差是|23.75 cm² - 30 cm²| = 6.25 cm²，最大面积与测量面积的差是|36.75 cm² - 30 cm²| = 6.75 cm²。因此，最大的可能误差是6.75 cm²。

6.计算面积的百分比误差：百分比误差 = （最大可能的误差）÷（测量出的面积）= 6.75 cm² ÷ 30 cm² = 0.225。

7.将小数转换为百分比：0.225 = 22.5%。

8.经过以上推理，最终得出答案为22.5%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，矩形的长为10 cm，宽为3 cm。矩形的每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形的长为10 cm，宽为3 cm，根据公式A = 长 * 宽，该矩形的面积A = 10 cm * 3 cm = 30 cm²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4731af56b1234f7827502ee5f9e16eda-img-a080666e11024655b7c6bd36282939be.png", "question": "ST是多少？", "answer": "ST=10", "process": "1. 已知 ∆PQR 为三角形，且圆为其内切圆，已知 QR = 3 和 PR = 6。

2. 根据切线长定理，从一点向圆引的两条切线长度相等，故有 QR=RS。

3. 因此，RS = QR = 3。

4. 由 PR = PQ + QR，QR = 3，PR = 6，得到 PQ = 6 - 3 = 3。

5. 根据切线长定理，PQ = PU，因此 PU = PQ = 3。

6. 由 PT = PU + TU，已知 PT = 13，PU = 3 可得 TU = PT - PU = 13 - 3 = 10。

7. 同理根据切线长定理，TU = ST，因此 ST = TU = 10。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 10。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从圆外一点 P 引圆的两条切线 PQ 和 PU，它们的切线长相等，即 PQ = PU；同理，从圆外一点 R 引圆的两条切线 QR 和 RS，它们的切线长相等，即 QR = RS；从圆外一点 T 引圆的两条切线 TU 和 TS，它们的切线长相等，即 TU = ST。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a35472b6b4ddb0c50211a9584062eb11-img-82a02f528002410aa5d149b9d8ef8f39.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？\n\n- rectangle\n- circle\n- heptagon\n- octagon", "answer": "- circle", "process": "1. 仔细观察图形，图中展现了一个绿色的立体形状，可以简单地识别出这是一种柱体形状。

2. 进一步分析，该立体形状不是一个棱柱，因为其表面曲线光滑连续，未显示任何多边形侧面。因此，它更像是一个圆柱。

3. 确认该形状为圆柱的过程中，运用几何知识：圆柱的两个底面是完全相同且平行的平面图形。

4. 在圆柱中，底面必须是一个封闭圆形，因为圆柱上下一致的截面也是圆形，这符合图中形状没有任何边角或者直线的描述。

5. 因此，依据以上分析和圆柱的定义，确定图中柱体的底面形状是圆形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为circle。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "绿色立体形状的两个底面平行且完全相同，它的侧面光滑连续，没有显示任何多边形侧面，因此可以确认它是柱体。"}, {"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆柱的上下两个底面都是圆形。圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。底面上的所有点到圆心的距离均为半径，因此符合圆的定义。"}, {"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6e8d9eb73694594aae6c921d9e13587b-img-6439a7bf3e3947ecaea6ef7a7d59c8e4.png", "question": "下面的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？请将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号 (%)。\\$ox\\$", "answer": "7.2%", "process": "1. 已知矩形的宽为11厘米，长为20厘米，直接测量得矩形面积为11 × 20 = 220平方厘米。

2. 测量误差最大为1厘米的一半，即0.5厘米。因此，计算最大可能面积和最小可能面积。

3. 对于最大可能面积，将每个测量值加上最大误差：长为20 + 0.5 = 20.5厘米，宽为11 + 0.5 = 11.5厘米，所以最大可能面积为20.5 × 11.5 = 235.75平方厘米。

4. 对于最小可能面积，将每个测量值减去最大误差：长为20 - 0.5 = 19.5厘米，宽为11 - 0.5 = 10.5厘米，所以最小可能面积为19.5 × 10.5 = 204.75平方厘米。

5. 计算最小面积与测量面积的差为220 - 204.75 = 15.25平方厘米，最大面积与测量面积的差为235.75 - 220 = 15.75平方厘米。

6. 最大可能的面积误差为15.75平方厘米。

7. 计算面积的百分比误差为(最大可能面积误差 / 测量面积) × 100% = (15.75 / 220) × 100% ≈ 7.159%。

8. 将结果四舍五入到最近的十分位，即面积的百分比误差为7.2%。

经过上述推理，最终得出答案为7.2%。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，矩形的两个长边分别为20厘米，对边相等且平行；两个宽边分别为11厘米，对边相等且平行。四个角都是直角（90度）。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，矩形的长为20厘米，宽为11厘米，所以矩形的面积 = 20厘米 × 11厘米 = 220平方厘米。计算误差时，将长和宽分别加上和减去误差值（0.5厘米），获得最大可能面积为20.5厘米 × 11.5厘米 = 235.75平方厘米，最小可能面积为19.5厘米 × 10.5厘米 = 204.75平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2dbc6608164ad4693a664aa2be432eae-img-cc724f4fb0314e68bb26677af1e4ecb2.png", "question": "UV是多少？\n\nUV= \\$ox\\$", "answer": "UV=4", "process": "1. 已知X是切点，且WX是从W到圆的切线，WV是从W到圆的切线。根据同一外点引出的两条切线相等定理，WX与WV相等，所以，WX = VW = 5。

2. 已知SW = 7，且WX是从W到S的分段，SX + WX = SW，所以SX + 5 = 7，解得SX = 2。

3. S是两条切线的交点。根据同一外点引出的两条切线相等定理，SX与ST相等，所以，ST = SX = 2。

4. 已知SU = 6，且ST是从S到U的分段，SU = ST + TU，所以TU + 2 = 6，解得TU = 4。

5. U是两条切线的交点。根据同一外点引出的两条切线相等定理，TU与UV相等，所以，UV = TU = 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为UV = 4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆与直线WX有且只有一个公共点X，这个公共点叫做切点。因此，直线WX是圆的切线。同理，WV、SX、ST、TU和UV也是圆的切线，它们分别与圆有且只有一个公共点V、X、T、U和V。"}, {"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从圆外一点W引圆的两条切线WX和WV，它们的切线长相等，即WX=WV=5；从圆外一点S引圆的两条切线SX和ST，它们的切线长相等，即SX=ST=2；从圆外一点U引圆的两条切线TU和UV，它们的切线长相等，即TU=UV=4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-845bae345702ec09a05a85c35689fe7f-img-91a2e15443e84929a4cb0f1606f1fb59.png", "question": "IJ是多少？\n\nIJ= \\$ox\\$", "answer": "IJ=5", "process": "1. 已知△IMK内接圆与△IMK的边IH, IJ, JK, KL, LM, MH分别相切于点H, J, L, 根据切线长定理，得出：HI = IJ, JK = LK, LM = MH。

2. 已知LM = 10，由切线长定理，得出MH = 10。

3. 由MH = 10和IM = 15，，得出HI + HM = IM。

4. 将已知条件代入，得出HI + 10 = 15。

5. 解方程HI + 10 = 15，得出HI = 5。

6. 由于HI和IJ是从I到内接圆的切线段，根据切线长定理，得出IJ = HI。

7. 由HI = 5，得出IJ = 5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为IJ = 5。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "在本题图中，从圆外一点I引圆的两条切线HI和IJ，它们的切线长相等，即HI = IJ。同理，从圆外一点M引圆的两条切线MH和ML，它们的切线长相等，即MH= ML。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ac6b00fb5fa11a6ac512a8215d43dc4f-img-af7da8183739407bb104490fb12f6016.png", "question": "EF是多少？", "answer": "EF=4", "process": "1. 由题图可知，△JHF内接一个圆，说明 JH, HF, FJ 是圆的切线。

2. 根据切线长定理，知 EJ = IJ，GH = HI，FG = EF。

3. 由题图数据，得知 IJ = 8，HJ = 11，FH = 7。

4. 在△HJF中，HJ = HI + IJ。即 HI = HJ - IJ = 11 - 8。

5. 计算得出 HI = 3。

6. 根据步骤2中的定理，GH = HI，因此 GH = 3。

7. 在直线GF上，通过 GH + FG = FH，代入已知 GH = 3，FH = 7，得：FG = FH - GH = 7 - 3。

8. 计算得出 FG = 4。

9. 根据步骤2中的定理，EF = FG，因此 EF = 4。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆与直线JF, FH, HJ有且只有一个公共点E, G, I，这些公共点叫做切点。因此，直线JF, FH, HJ是圆的切线。"}, {"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从圆外一点J引圆的两条切线JE和JI，它们的切线长相等，即JE=JI。同理，从圆外一点F引圆的两条切线FE和FG，它们的切线长相等，即FE=FG。同理，从圆外一点H引圆的两条切线HG和HI，它们的切线长相等，即HG=HI。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d8962f08babf25b0ff4b6a457d871d9e-img-fd7e2bc0846b40d6b11f25acc2e4372e.png", "question": "QV是什么？\n\nQV= \\$ox\\$", "answer": "QV=10", "process": "1. 已知△RTV，内切圆切于边RT，RV，TV上的点分别为S，Q，U。由切线长定理，点T到圆的切线TS与TU相等，TS = TU = 4。

2. 根据切线长定理，点V到圆的切线QV与UV相等，即QV = UV。

3. 由图可知，TV = 14，其中TU = 4，于是UV = TV - TU = 14 - 4 = 10。

4. 通过以上计算，得到UV = 10，根据切线长定理，QV = UV，可得QV = 10。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆与直线TS有且只有一个公共点S，这个公共点叫做切点。因此，直线TS是圆的切线。同样，圆与直线TU有且只有一个公共点U，这个公共点叫做切点。因此，直线TU是圆的切线。"}, {"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从圆外一点T引圆的两条切线TS和TU，它们的切线长相等，即TS=TU=4。圆心和这一点T的连线平分两条切线TS和TU的夹角。类似地，从圆外一点V引圆的两条切线QV和UV，它们的切线长相等，即QV=UV。通过UV = TV - TU = 10（这一步使用了14 − 4 = 10），并且由QV = UV得出QV = 10。"}]} +{"img_path": "ixl/question-17fdcf1be586d7e32a85882623e3531d-img-4adc6b02a54f4e518a47b5aaf0290ef9.png", "question": "TU是多少？\n\nTU= \\$ox\\$", "answer": "TU=1", "process": "1. 已知图中△RVT内接圆，切点分别在Q、S、U处。

2. 根据切线长定理，从一点到圆的两个切线段长度相等。所以，\\(\\overline{RS} = \\overline{RQ}\\)和\\(\\overline{TU} = \\overline{TS}\\)。

3. 在图中，\\(\\overline{RS} = \\overline{RQ} = 1\\)，\\(\\overline{RT} = 2\\)。

4. 则可以得知：\\(\\overline{RS} + \\overline{ST} = \\overline{RT}\\)。

5. 代入已知数值：1 + \\(\\overline{ST}\\) = 2。

6. 解方程得到\\(\\overline{ST} = 1\\)。

7. 由于\\(\\overline{TU} = \\overline{TS}\\)，所以\\(\\overline{TU} = 1\\)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为\\(\\overline{TU} = 1\\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从点R到内切圆的两条切线段分别为RS和RQ，根据切线长定理，\\(\\overline{RS} = \\overline{RQ}\\)。 同理，从点T发出的切线段分别为TS和TU，根据切线长定理，\\(\\overline{TU} = \\overline{TS}\\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d65353ec5816ed7c742d29288d383310-img-ad2f952f3fce4b2084ad159d4f9069c7.png", "question": "这是一个多边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 首先定义多边形：多边形是一个封闭的平面图形，由有限条直线段组成，每一条线段只与另两条相接于其端点。

2. 通过观察题中给出的图形，可以看出图形是一个连续的封闭曲线，没有使用直线段构成。

3. 基于以上观察，图形的边界并不由直线段构成，不满足多边形的定义。

4. 经过上述推理，可以确认该图形不是多边形，因为它虽然是封闭的，但没有由直线段构成的边。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Polygon", "content": "A polygon is a closed figure in a plane formed by a finite number of line segments joined sequentially where each segment intersects exactly two other segments at its endpoints.", "this": "图形是一个平面上的闭合图形。它由一个连续的封闭曲线组成，没有使用直线段构成，因此不是多边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-98d1d8f055e2c9f974cf972f4fd72c93-img-dc65ea64e86d4600864f43027b0f6c1c.png", "question": "VW是什么？\n\nVW= \\$ox\\$", "answer": "VW=8", "process": "1. 已知，点 R 是两条切线RS 和 RW 的交点，根据切线长定理，得出线段RS=RW，因此 RS = RW = 10。

2. 根据图示，RT 的长度是 15，可得出 ST + RS = RT。

3. 代入已知 RS = 10 和 RT = 15，得到 ST + 10 = 15。

4. 两边同时减去 10，得到 ST = 5。

5. 已知，点 T 是两条切线TU 和 ST 的交点，根据切线长定理，得出线段TU=ST，因此 TU = ST = 5。

6. 根据图示，TV 的长度是 13，可得 UV + TU = TV。

7. 代入 TU = 5 和 TV = 13，得到 UV + 5 = 13。

8. 两边同时减去 5，得到 UV = 8。

9. 已知，点 V是两条切线VW 和 UV的交点，根据切线长定理，得出线段 VW=UV，因此 VW = UV = 8。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 VW = 8。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆与线段 RW、RT、TU、UV 和 VW 有且只有一个公共点，这些公共点分别是 R、T、U 和 V 等点。因此，线段 RW、RT、TU、UV 和 VW 是圆的切线。"}, {"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "在本题图中，从圆外一点 R 引圆的两条切线 RS 和 RW，它们的切线长相等，即 RS = RW = 10；从圆外一点 T 引圆的两条切线 ST 和 TU，它们的切线长相等，即 ST = TU = 5；从圆外一点 V 引圆的两条切线 UV 和 VW，它们的切线长相等，即 UV = VW = 8。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a9194d3fff6ad2c45747a4b8ef63ff65-img-875576f5173341098d3c63e677d460e3.png", "question": "这是一个多边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 多边形：多边形是平面上的闭合图形，由多条线段顺次连接而成，且每两条线段只在端点相交。

2. 检查给出的图形中每一段的性质。该图形的边界明显由一条曲线构成，而非多段直线段。

3. 观察图形的边界是否封闭。图中显示了一条未能闭合的曲线，这表明该图形并非封闭。

4. 结合步骤2和步骤3的分析结果：该图形不符合多边形的定义，因为它既不是由直线段构成的，也不完全封闭。

5. 经过上述推理，最终得出答案为no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Polygon", "content": "A polygon is a closed figure in a plane formed by a finite number of line segments joined sequentially where each segment intersects exactly two other segments at its endpoints.", "this": "图中显示了一条未能闭合的曲线，既不是多段直线段构成的，也不是闭合图形，所以它不是多边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fbc2080f4006e0fb18a59892e9215e62-img-55e795b11c4d4685a95b0ea4b8d38c62.png", "question": "这个图形是正多边形吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 已知所有边的长度都是78，这意味着在这个多边形中，每一条边都相等。

2. 已知所有内角均为144°，这意味着在这个多边形中，每个内角都相等。

3. 根据正多边形的定义，正多边形是指具有全等的边和全等的内角的多边形。

4. 由于这个多边形的所有边的长度相等，每个内角也相等，符合正多边形的定义。

5. 经过上述分析，得出结论：这个多边形是正多边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "在本题图中，正多边形中，所有边的长度均为78，且所有内角均为144°。因此，这个多边形是一个正多边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6deab64bf01cc36b458d8ad97d6f4aff-img-def553f2aea54d23a8ca52f361cfea3f.png", "question": "这个图形是正多边形吗？", "answer": "- no", "process": "1. 给定图形显示为一个有十条边的多边形，根据定义，正多边形是所有边相等且所有角相等的凸多边形。

2. 根据观察，题中提到某些角大于90°而其他的角小于90°，根据定义，正多边形的所有角应当相等，因此该多边形的所有内角不相等。3. 根据正多边形的定义，要求所有边和角都相等，而此处角不相等。因此，该多边形不是一个正多边形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为否。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "该图形是一个有十条边的多边形，根据正多边形的定义，正多边形要求所有边相等且所有内角相等。题目中已知某些角大于90°，其他角小于90°，说明所有角不相等。因此该多边形不符合正多边形的定义。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f3a45dc143e6a32e11df1232b701b147-img-0ea6088ec94a4a7bbd7d8a33436b5a7a.png", "question": "这是一个多边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 首先，我们需要明确多边形（Polygon）的定义：多边形是由若干条线段首尾相连组成的简单闭合图形，每条线段的端点都是其他线段的一个端点。

2. 分析题目中给定的图形，观察其边界。可以看到，这个图形具有闭合的性质，但是其边界不是由线段组成，而是由曲线组成。

3. 因此，根据多边形的定义和题目的条件，得出结论：该图形不是一个多边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Polygon", "content": "A polygon is a closed figure in a plane formed by a finite number of line segments joined sequentially where each segment intersects exactly two other segments at its endpoints.", "this": "在本题图中，多边形是一个平面上的闭合图形。它由多条线段顺次连接而成，并且每两条线段只在端点相交。图中并不是线段，所以不是多边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-75b73f2076f71d16548402b20af52712-img-fff6ea8266e44d248f9e070e2228f598.png", "question": "NO是多少？\n\nNO= \\$ox\\$", "answer": "NO=9", "process": "1. 从点 K 绘制至内切圆的两条切线分别是 KL 和 KP，根据切线长定理，得出KL = KP。这里给出的信息是 KL= 8 ，因此 KP= 8。

2. 已知KO= 17，有KO=KP+OP，代入已知值，得到 17 = 8 +OP。

3. 通过上一步的等式，解得OP= 17 - 8 = 9。

4. 从点 O 绘制至内切圆的两条切线分别是 OP 和 ON，根据切线长定理，得出OP=ON。由于OP 已求得为 9，因此ON = 9。

5. 经过上述推理，最终得出答案为NO= 9。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆与直线KL有且只有一个公共点L，这个公共点叫做切点。因此，直线KL是圆的切线。同样，圆与直线KP有且只有一个公共点P，这个公共点叫做切点。因此，直线KP是圆的切线。"}, {"name": "Definition of Line Segment", "content": "A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.", "this": "线段 KO 是一个直线的一部分，包含端点 K 和端点 O及其间的所有点。线段 KO 具有两个端点，这两个端点分别是K 和 O，且线段 KO 上的每一个点都位于端点 K 和端点 O 之间。"}, {"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从点 O 绘制至内切圆的两条切线分别是 OP 和 ON，它们的切线长相等，即 OP=ON。圆心和这一点 O 的连线平分两条切线 OP 和 ON 的夹角。从点 O 绘制至内切圆的两条切线分别是 KL 和 KP，它们的切线长相等，即 KL= KP。圆心和这一点 O 的连线平分两条切线 KL 和 KP 的夹角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fc4346e54d27db842e6d13204b0239bf-img-f013d9517a7f46b290a7857486d05b8e.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？\n \\$\nBox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 已知多边形是一个凸多边形，根据多边形的外角定义，每个外角的大小都是正数，且任何两个外角在同一方向上（顺时针或逆时针）的和不会超过360°。

2. 根据多边形外角和定理，任意一个多边形的外角和（每个顶点一个外角）等于360°，与多边形的边数无关。

3. 通过图中无外角标识的凸多边形，推理知其具有上述性质，因此该多边形的所有外角之和为360°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，多边形的一个内角为∠ABC，延长该内角的相邻边AB和BC形成的角∠DBE称为内角∠ABC的外角。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "在本题图中，给出的多边形为凸多边形。根据多边形外角和定理，这个凸多边形的每个顶点处的外角之和等于360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-84fda3e424391145c861c6228af131c9-img-d211d9f3617542749cf34e0e0d5e2d15.png", "question": "这个图形是正多边形吗？", "answer": "- no", "process": "1. 已知该图形是一个五边形。根据正多边形的定义，正多边形是每个内角相等且每条边长度相等的多边形。

2. 从图形标注上看，其中三个角的度数分别为82°、134°和121°。

3. 由于五边形每个内角的度数并不相同，这表明它不是正五边形。因为正五边形应该有相同的内角度数。正五边形的每个内角度数应该为108°（根据正多边形的中心角与内角公式：内角度数公式为 (n-2) * 180° / n，其中 n 为边数，因此五边形为 (5-2) * 180° / 5 = 108°）。

4. 同样，检查五边形的每个边的长度，图中部分边的长度标记为88，而其中另一条边的长度标记为72。

5. 基于以上不等角度度数和边长的结果，该多边形的边长也不全相等。

6. 以上分析表明该五边形不满足正多边形的条件。因此，这个图形不是一个正多边形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为no，该图形不是正多边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "在本题图中，该五边形的各个内角分别为82°, 134°, 121°, 121°, 82°。由于内角度数不相等，这个五边形不满足正多边形的定义条件。另外，各边的长度分别为88, 88, 88, 72, 88。由于边长不全相等，这个五边形也不满足正多边形的定义条件。因此，这个图形不是正多边形。"}, {"name": "Formulas for the Central Angle and Interior Angle of a Regular Polygon", "content": "For a regular polygon with \\( n \\) sides, the measure of each central angle is given by \\( \\frac{360^\\circ}{n} \\). The measure of each interior angle is given by \\( \\frac{(n - 2) \\cdot 180^\\circ}{n} \\).", "this": "在本题中，n 为五边形的边数，即 5。根据公式计算，正五边形的内角度数为 (5-2) * 180° / 5 = 108°。题目给出了五边形内角分别为 82°, 134°, 121°, 121°, 82°，这些角度与计算得出的正五边形内角度数 108°不符。因此，这个图形不是正五边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1b87664b825ca528f3974fbaa8974834-img-a9a0318990034bbdb2d666a0b58fc56f.png", "question": "KL是多少？\n\nKL= \\$ox\\$", "answer": "KL=4", "process": "1. 观察图形，已知OP和NO是圆的切线，因此根据切线长定理，故可知OP = NO。根据已知条件ON = 9。

2. 根据题目上可知，KO = 13，现在已知OP=ON= 9，因此我们可以计算KP的长度。由此可得：KP + OP = KO，KP + 9 = 13。

3. 通过等式运算，KP = 13 - 9 = 4。

4. 由于K是引圆的两条切线KP和KL，根据切线长定理，故KP = KL。

5. 根据推理步骤3中的结果以及切线长定理，得到KP = 4，根据上述条件KL = 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆C与直线OP有且只有一个公共点P，这个公共点叫做切点。因此，直线OP是圆C的切线。同样，圆C与直线NO有且只有一个公共点N，这个公共点叫做切点。因此，直线NO是圆C的切线。"}, {"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "从圆外一点K引圆的两条切线KP和KL，它们的切线长相等，即KP=KL。圆心C和这一点K的连线平分两条切线KP和KL的夹角，即角PKC=角LKC。同理，从圆外一点O引圆的两条切线OP和ON，它们的切线长相等，即OP=ON。圆心C和这一点O的连线平分两条切线OP和ON的夹角，即角POC=角NOC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dc17da50f4778b1a080db067aed32149-img-c1af0c35587e4c89b7da04efaf12843a.png", "question": "求三棱柱的侧面积。 \\$ox\\$ 平方码", "answer": "96 square yards", "process": "1. 首先识别出三棱柱的底面图形是一个直角三角形，已知这直角三角形的三边长度分别为3码、4码和5码。

2. 计算底面三角形的周长，根据三角形的周长公式 Perimeter = a + b + c，其中 a、b 和 c 是三角形的边长，得到周长 Perimeter = 3 + 4 + 5 = 12 码。

3. 根据棱柱的侧面积公式，将底面三角形的周长与棱柱的高相乘得到侧面积，其中棱柱的高为8码。

4. 使用棱柱的侧面积公式 Lateral Area = Perimeter × Height，将已知的周长和高度代入公式计算得到 Lateral Area = 12 × 8 = 96。

5. 因此，棱柱的侧面积为96平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，底面三角形中，角是直角（90度），因此底面三角形是一个直角三角形。边3码和边4码是直角边，边5码是斜边。"}, {"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，给定的是一个三棱柱，底面为直角三角形，三个侧面为矩形。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of a Prism", "content": "The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.", "this": "侧面积公式 LA = P × H，代入周长12码和高8码，得到侧面积 LA = 12 × 8 = 96平方码。"}, {"name": "Formula for the Perimeter of a Triangle", "content": "The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \\( a \\), \\( b \\), and \\( c \\), then the perimeter \\( P \\) is given by \\( P = a + b + c \\).", "this": "三条边分别是3码、4码、5码，根据三角形的周长公式，即 周长L = 3码 + 4码 + 5码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6b08493bf5e49e4d52c316e77de1b528-img-af8c4ee9a1f049f88c2f6bd8c40997a4.png", "question": "这个图形是正多边形吗？", "answer": "- no", "process": "1. 观察给定的多边形，我们发现这是一个五边形，它的内角及边长分别为：角度—111°, 152°, 111°, 83°, 83°；边长—57, 130, 57, 83, 83。

2. 根据正多边形的定义，所有内角的度数应相等，并且所有边的长度应相等。

3. 通过检查每一个内角的度数发现，该多边形的内角分别是111°, 152°, 111°, 83°, 83°。

4. 因为角A, 角B, 角C, 角D, 角E中至少有一个角的度数（152°）不同于其他角的度数（83°和111°），因此该多边形的所有内角不相等。

5. 接着，检查多边形的边长：发现其边长分别是57, 130, 57, 83, 83。

6. 因为至少有一个边长（130）不同于其他的值（57和83），因此该多边形的所有边长不相等。

7. 根据以上分析，该五边形的所有内角和所有边长都不相等。

8. 由于正多边形的定义要求所有角度和边长均相等，而该多边形不满足上述条件，所以该多边形不是正多边形。

9. 经过上述推理，最终得出答案为no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "正多边形的定义要求五边形的所有内角度数和边长均应相等。但本题中的五边形内角分别是111°, 152°, 111°, 83°, 83°，边长分别是57, 130, 57, 83, 83。因此不满足正多边形的定义。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f7737608fce205920cf43c8acb1b6676-img-61999248d55b410d841984a165aee963.png", "question": "在矩形PQRS中找到x的值。\n\nx= \\$ox\\$", "answer": "x=11", "process": "1. 在矩形PQRS中，已知一组对边边长分别为\\overline{PQ}=4x和\\overline{RS}=x+33。根据矩形的定义，矩形的对边相等，因此\\overline{PQ}=\\overline{RS}。

2. 由步骤1的结论\\overline{PQ}=\\overline{RS}，得方程4x=x+33。

3. 通过移项求解方程4x=x+33：将x移到方程左侧，得到4x-x=33。

4. 简化方程4x-x=33为3x=33。

5. 通过除以3两边的系数，解得x=33/3。

6. 得到x=11。

7. 所以，通过以上推理步骤，最终得出答案为x=11。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形PQRS是一个矩形，其内角∠PQR, ∠QRS, ∠RSP, ∠SPQ都是直角（90度），且边PQ与边RS平行且等长，边QR与边SP平行且等长。因此根据定义，这两组相对的边长度相等，即\\overline{PQ} = \\overline{RS}。"}]} +{"img_path": "ixl/question-41c41d4be18349b583c3ce6bdfaaf80a-img-b34cf6c87a584a33bcba430540f32603.png", "question": "求平行四边形FGHI中s的值。\n\ns= \\$ox\\$", "answer": "s=13", "process": "1. 已知FGHI是平行四边形，根据平行四边形的定义，平行四边形的对边是相等的。

2. 由步骤1可知，线段FG与线段HI相等，即FG = HI。

3. 已知线段FG的长度为s+26，线段HI的长度为3s，根据步骤2有等式s+26 = 3s。

4. 解方程s+26 = 3s：

5. 将s移项得到26 = 3s - s。

6. 合并同类项，得到26 = 2s。

7. 两边同时除以2，得到s = 13。

8. 经过上述推理，最终得出答案为s = 13。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形FGHI是一个平行四边形，边FG与边HI平行且相等，边FI与边GH平行且相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d61817864d4b27cadee42dfb4f140e38-img-396318994e5a472fb8ec834f4d878ae5.png", "question": "这个图形是正多边形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知图中形状为三角形，三个内角分别为60°，所有边长均为216。

2. 根据正多边形的定义：正多边形是指所有边等长，且所有内角相等的多边形。

3. 在本题中，三角形的每个内角都为60°，这意味着所有内角相等。

4. 同时，这个三角形的三条边长度均为216，表明所有边等长。

5. 由此可知，这个三角形满足正多边形（更具体地说，是等边三角形）的定义。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "在本题图中，形状为三角形，三个内角分别为60°，所有边长均为216，这表明该形状满足正多边形的定义。具体来说，三角形的三个内角分别为60°，60°，60°；三条边分别为216，216，216。"}]} +{"img_path": "ixl/question-31e199e2647cd9403b0a4304de04221c-img-726b255728974af4a90e249e2d8559da.png", "question": "这个图形是正多边形吗？\n\n\n- 是\n- 不是\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 正多边形的定义：正多边形是所有内角相等且所有边长相等的多边形。

2. 已知该多边形的所有边长均为73，因此该多边形的所有边相等。

3. 已知该多边形的所有内角均为140°，说明该多边形的所有内角相等。

4. 根据正多边形的定义，该多边形满足所有内角相等且所有边相等的条件。

5. 经过上述推理，最终得出答案为yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "该多边形的所有边长均为73，因此该多边形的所有边相等；同时，该多边形的所有内角均为140°，说明该多边形的所有内角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9e0ce56fa0cc40a4a40738d13c937009-img-0af5196c9dda42b183c6124ae8e5010d.png", "question": "在菱形CDEF中找到y的值。 y= \\$ox\\$ °", "answer": "y=31°", "process": "1. 已知CDEF是一个菱形，根据菱形的邻角互补，得出菱形的相邻角是互补的。因此，角C和角D互补。换句话说，∠C + ∠D = 180°。

2. 根据题目已知，∠C = y + 25°，∠D = 4y。

3. 因为∠C 和∠D是相邻角，因此我们有方程：(y + 25°) + 4y = 180°。

4. 将方程化简：(y + 25°) + 4y = 180°

5. 合并同类项：5y + 25° = 180°

6. 从等式的两边同时减去25°，得到：5y = 155°

7. 将等式的两边同时除以5，得到：y = 31°

8. 经过上述推理，最终得出答案为y = 31°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形CDEF中，所有的边CD、DE、EF、FC都是相等的，因此四边形CDEF是一个菱形。此外，四边形CDEF的对角线CE和DF互相垂直平分。"}, {"name": "Adjacent Angles of Rhombus are Supplementary", "content": "Any pair of adjacent angles in a rhombus are supplementary.", "this": "在本题图中，菱形CDEF中，角C和角D是一对邻角，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即角C + 角D = 180度。同理，角E和角F也是一对邻角，满足角E + 角F = 180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8603ccd149b033c26ead717cdc93b8a1-img-33e90b623e1844b49dd9c89b9ba5b22c.png", "question": "在平行四边形STUV中，求c的值。c= \\$ox\\$", "answer": "c=2", "process": "1. 已知: 平行四边形STUV。

2. 根据平行四边形的定义，边ST与UV相等，即\\(\\overline{ST} = \\overline{UV}\\)。

3. 题中给出\\(\\overline{ST} = c + 16\\)和\\(\\overline{UV} = 9c\\)。

4. 将\\(\\overline{ST}\\)和\\(\\overline{UV}\\)代入方程: \\(c + 16 = 9c\\)。

5. 解方程 \\(c + 16 = 9c\\)，首先两边都减去c，得到: \\(16 = 8c\\)。

6. 两边同除以8，得到: \\(c = 2\\)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为c = 2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 STUV 是一个平行四边形，边 ST 与边 UV 平行且相等，边 SU 与边 TV 平行且相等。根据题目中给出的信息，\\( \\overline{ST} = c + 16 \\)，且 \\( \\overline{UV} = 9c \\)，两者相等即 \\( c + 16 = 9c \\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c3dcbc4a8dd8ed2e519445d3267e8419-img-fd62c24e3a684cb9aa69785598d27070.png", "question": "求平行四边形HIJK中c的值。 \n\nc= \\$ox\\$ \n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "c=23", "process": "1. 已知平行四边形HIJK中，边HK的长度为2c，边IJ的长度为c+23。

2. 根据平行四边形的定义，对边相等，即HI = JK和HK = IJ。

3. 因此，根据HK = IJ，可以建立方程：2c = c + 23。

4. 解方程：从等式两边减去c，得到c = 23。

5. 经过上述推理，最终得出答案为c = 23。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形HIJK是一个平行四边形，边HI与边JK平行且相等，边HK与边IJ平行且相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8e421c28f6538c97caf1d3a49821533a-img-d1d5805fca4c4346a1a131790eb62afe.png", "question": "在菱形EFGH中，求p的值。\np= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "p=62°", "process": "1. 已知四边形 EFGH 是菱形，根据菱形的邻角互补，EFGH 的任意两组邻角是互补角。因此，角 E 和角 H 是互补角。

2. 根据菱形的邻角互补，互补角的两角度数之和为 180°。因此，∠E + ∠H = 180°。

3. 根据题设条件，∠E = p 和 ∠H = p + 56°。

4. 将已知角度代入互补角的等式，得：p + (p + 56°) = 180°。

5. 化简方程，得到 2p + 56° = 180°。

6. 从等式的两边减去 56°，得：2p = 124°。

7. 将方程两边同时除以 2，得：p = 62°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 62°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形 EFGH 是菱形，因此所有的边 EF、FG、GH、HE 都是相等的。此外，四边形 EFGH 的对角线 EG 和 FH 互相垂直平分。"}, {"name": "Adjacent Angles of Rhombus are Supplementary", "content": "Any pair of adjacent angles in a rhombus are supplementary.", "this": "在本题图中，菱形EFGH中，角E和角H是一对邻角，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即角E + 角H= 180度。同理，角G和角F也是一对邻角，满足角G + 角F= 180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1c6746ca94e5ccf3f793bf8069bcd303-img-60d5b68498404cc1b5978497c89b6e7d.png", "question": "在平行四边形TUVW中找到x的值。 \n\nx= \\$ox\\$", "answer": "x=28", "process": "1. 在四边形TUVW中，根据题意，边TW的长度为x+28，边UV的长度为2x。

2. 已知TUVW是平行四边形，根据平行四边形的定义，即平行四边形的对边相等，得出TW = UV。

3. 将已知条件代入方程TW = UV，得出方程：x + 28 = 2x。

4. 解方程x + 28 = 2x，首先两边同减去x，得到28 = x。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x = 28。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形TUVW是一个平行四边形，边TW与边UV平行且相等，边TU与边VW平行且���等。图中，边TW的长度为x+28，边UV的长度为2x，根据定义，TW=UV。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fe286d144549a76b8973c5d4d2577b73-img-439b57271ee9405a84b580f5a795211e.png", "question": "求平行四边形HIJK中v的值。 \n\nv= \\$ox\\$", "answer": "v=5", "process": "1. 给定平行四边形HIJK，根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对边相等。因此，边HI与边JK相等，即HI = JK。

2. 根据题目，HI的长度为10v，JK的长度为v + 45。

3. 由平行四边形的性质定理得HI = JK，替代已知值，得到等式：10v = v + 45。

4. 为了求v，先从等式的两边减去v，得到：10v - v = 45，即9v = 45。

5. 再将等式两边同时除以9，得到v = 45 / 9。

6. 计算45 ÷ 9的结果，得到v = 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为v = 5。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形HIJK是一个平行四边形，边HI与边JK平行且相等，边HK与边IJ平行且相等。给定图中HI的长度为10v，JK的长度为v + 45。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "使用平行四边形性质中的对边相等这一条性质，可以得到边HI与边JK相等，即HI = JK。根据题目已知条件HI = 10v，JK = v + 45，因此可以列出等式10v = v + 45，经过解答步骤得到v = 5。这个定理在本题中用于确定边长HI和JK相等，并进一步求得v的值。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4c11b5970078dd619e641dc31df81138-img-e97bfc79bed446c58d42aedc309eb6d3.png", "question": "\\$\\overline{CD}\\$ 在下图中显示。\\$\\overline{CD}\\$ 以 (3,–5) 为中心按比例因子 1/3 缩放，得到 \\$\\overline{C'D'}\\$ 。\n\n\\$\\overline{C'D'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "4.1 units", "process": "1. 根据题意，给定线段 \\overline{CD}，其端点坐标为 C(-4, 3) 和 D(8, 1)。

2. 计算线段 \\overline{CD} 的长度，可以使用距离公式 d = \\sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}。

3. 代入端点坐标 C(-4, 3) 和 D(8, 1)，计算：d = \\sqrt{(8 - (-4))^2 + (1 - 3)^2}。

4. 解算：(8 - (-4))^2 = (8 + 4)^2 = 12^2 = 144。

5. 计算：(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4。

6. 将结果代入：d = \\sqrt{144 + 4} = \\sqrt{148}。

7. \\sqrt{148} 约等于 12.166，因此 \\overline{CD} 的长度为约 12.166 个单位。

8. 根据题意，\\overline{CD} 通过位于 (3, -5) 的中心被放缩，放缩比例为 \\frac{1}{3}。

9. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，缩放因子为\\frac{1}{3} ，\\overline{C'D'} 的长度为 \\frac{1}{3} \\times \\text{长度} \\ \\overline{CD}。

10. 计算：\\frac{1}{3} \\times 12.166 = 4.055。

11. 将结果四舍五入到最近的十分位，得到 \\overline{C'D'} 的长度为 4.1。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 4.1。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "线段长度 \\overline{CD} 可以通过它的两个端点坐标 C(-4, 3) 和 D(8, 1) 计算得出。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "线段CD缩放后得到线段C'D'，缩放因子=C‘D’长度/CD长度，即缩放因子=1/3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f0742544a00970216a0e1c012547b017-img-1ffab688538944b4b87750b765b46e8f.png", "question": "平行四边形 QRST 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形 QRST 是一个平行四边形，根据平行四边形的性质定理，对角线互相平分，确定点 P 是对角线 QS 和 RT 的交点。

2. 已知 ∠RPS 是直角，即 ∠RPS = 90°。

3. 根��垂线定义，两条直线互相垂直当且仅当它们夹角为直角，因此∠RPS = 90° 表明直线 QS 垂直于直线 RT。

4. 在平行四边形中，如果两条对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形。

5. 经过上述推理，最终得出四边形 QRST 是一个菱形。因此，QRST 是一个菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 QRST 是一个平行四边形，边 QR 与边 TS 平行且相等，边 QT 与边 RS 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形 QRST 中，所有的边 QR、RS、ST、TQ 都是相等的，因此四边形 QRST 是一个菱形。此外，四边形 QRST 的对角线 QS 和 RT 互相垂直平分，即对角线 QS 和 RT 相交于点 P，且角 ∠RPS 是直角（90度），并且QP = PS 和 RP = PT。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形 QRST 中，对角 RQT 和 RST 相等，对角 QRS 和 QTS 相等；边 QR 和 ST 相等，边 RS 和 QT 相等；对角线 QS 和 RT 互相平分，即交点 P 将对角线 QS 分成两段相等的线段 QP 和 PS，将对角线 RT 分成两段相等的线段 RP 和 PT。"}, {"name": "Definition of Perpendicular Lines", "content": "Two lines are said to be perpendicular if and only if the angle formed by their intersection is 90 degrees.", "this": "在本题图中，直线RT和直线SQ相交形成的角∠RPS是90度，因此根据垂线定义，直线SQ和直线RT互相垂直。"}, {"name": "Rhombus Determination Theorem 1", "content": "A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.", "this": "平行四边形QTSR的对角线QS与RT垂直，所以平行四边形QTSR为菱形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9bfaaf424e4a9559cea5467ebc3214a3-img-cafbef494fb54165afb65de4a5055968.png", "question": "平行四边形 UVWX 是菱形吗？", "answer": "- no", "process": "1. 已知四边形 UVWX 是平行四边形，在平行四边形中，对角线互相平分。

2. 设 ∠UTX = 94°。在菱形中，对角线互相垂直。因此若平行四边形 UVWX 是菱形，则 ∠UTX 应等于 90°。

3. 根据题意 ∠UTX = 94°，不是 90°，所以对角线 UW 和 VX 不是互相垂直。

4. 由于对角线不垂直，因此根据菱形的对角线性质，平行四边形 UVWX 不能是菱形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 UVWX 是一个平行四边形，边 UV 与边 WX 平行且相等，边 VW 与边 UX 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形 UVWX 是菱形，则所有的边 UV、VW、WX、XU 都应相等。此外，四边形 UVWX 的对角线 UW 和 VX 应互相垂直平分，即对角线 UW 和 VX 相交于点 T，且角 ∠UTX 是直角（90度），并且 UT = TW 和 VT = TX。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "菱形 UVWX 中，对角线 UW 和 VX 互相平分且互相垂直。具体来说，点 T 是对角线 UW 和 VX 的交点，且 UT = TW 和 VT = TX。同时，角 ∠UTX 和角 ∠WTX 都是直角（90度），所以对角线 UW 和 VX 互相垂直。"}]} +{"img_path": "ixl/question-be7f7181720da171fc8b7192dd4786dd-img-af6d5306bdc0423db73f49da4dd73dc8.png", "question": "平行四边形 STUV 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 已知四边形 STUV 是一个平行四边形，而根据平行四边形的定义，对应边是平行且相等的。

2. 四边形 STUV 的对角线 SU 和 TV 相交于点 R。

3. 根据菱形的对角线性质，如果 STUV 是菱形，那么对角线应当互相��直。

4. 现在已知 ∠ TRU = 95°。

5. 判断 SU 和 TV 是否垂直，我们需要 ∠ TRU = 90°，但实际情况是 ∠ TRU = 95°。

6. 因此，可以得出 SU 和 TV 并不垂直。

7. 由于 SU 和 TV 并不垂直，依据对于菱形的定义，即对角线必须互相垂直，可得出 STUV 不是菱形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 STUV 不是菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 STUV 是一个平行四边形，边 ST 与边 UV 平行且相等，边 SV 与边 TU 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "STUV 是菱形，那么边 ST、TU、UV 和 VS 相等，并且对角线 SU 和 TV 垂直相交于点 R，且 ∠TRU 应为直角（90度）。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "在本题图中，菱形 STUV 中，对角线 SU 和 TV 互相平分且互相垂直。具体来说，点 R 是对角线 SU 和 TV 的交点，且SR = RU 和 TR = RV。同时，角 ∠ TRU 和角 ∠ SRV 都是直角（90度），所以对角线 SU 和 TV 互相垂直。"}]} +{"img_path": "ixl/question-82e45d489012724af5ed1344e0d302df-img-249a97f11a3242829bf0cb42970ab4c4.png", "question": "平行四边形 VWXY 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形VWXY是平行四边形，即VW平行且相等XY并且 VY平行且相等WX，且∠ WUX = 90°。

2. 由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，即 WU= UY, VU = UX。

3. 由 ∠ WUX = 90° 可知VX垂直WY，即两条对角线互相垂直。

4. 在一个平行四边形中，如果两条对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形。

5. 因此，由上述步骤可以判断平行四边形VWXY是菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形VWXY是一个平行四边形，边VW与边XY平行且相等，边VY与边WX平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形VWXY中，所有的边\\(\\overline{VW}\\)、\\(\\overline{WX}\\)、\\(\\overline{XY}\\)、\\(\\overline{YV}\\)都是相等的，因此四边形VWXY是一个菱形。此外，四边形VWXY的对角线\\(\\overline{VX}\\)和\\(\\overline{WY}\\)互相垂直平分，即对角线\\(\\overline{VX}\\)和\\(\\overline{WY}\\)相交于点U，且角\\(\\angle WUX\\)是直角（90度），并且\\(\\overline{WU}=\\overline{UY}\\)和\\(\\overline{VU}=\\overline{UX}\\)。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形VWXY中，对角∠VWY和∠WYX相等，对角∠WVX和∠VYX相等；边VW和XY相等，边VY和WX相等；对角线VX和WY互相平分，即交点U将对角线WY分成两段相等的线段WU和UY，将对角线VX分成两段相等的线段VU和UX。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角WUX是直角（90度），因此三角形WUX是一个直角三角形。边WU和边UX是直角边，边WX是斜边。"}, {"name": "Rhombus Determination Theorem 1", "content": "A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.", "this": "平行四边形VWXY的对角线VX垂直WY，所以平行四边形VWXY为菱形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6861d0c25162940e1e0ebdc2ce365fbc-img-e15d284cb6104bc0ab0fe44a7bf3159d.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？\n\n- triangle\n- rectangle\n- heptagon\n- decagon", "answer": "- rectangle", "process": "1. 观察图形，确定这是一个长方体。长方体是一种特殊的梯形棱柱，具有两个平行且全等的底面。

2. 根据长方体的定义，其底面是平行四边形的一种，而在长方体中，底面通常表现为矩形。

3. 通过观察长方体的所有面，每对相对的面都是全等的矩形，故其底面也为矩形。

4. 根据上述分析，明确长方体的底面形状为矩形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为rectangle。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，图形被识别为长方体，具有六个矩形面，其中相对的面是全等且平行的。这些矩形面中，通过观察其中任意两个相对的面，例如顶面和底面，可以确定它们的形状都是矩形。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "长方体的每个面都是矩形，包括其底面。底面符合矩形的定义，具有四个直角，对边平行且相等。长方体的底面是一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e75878deea9e4e3834b8226613d17deb-img-fbdb1d9395e148ad9d0d2d284b3a19ae.png", "question": "这个图形是正多边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 已知六边形的所有边长均为103，根据多边形的定义，若一多边形的所有边相等，则称该多边形为等边多边形。故此六边形是等边六边形。

2. 已知每个内部角均为120°，根据多边形的定义，若一多边形的所有内部角都相等，则称该多边形为等角多边形。故此六边形是等角多边形。

3. 根据正多边形的定义，一正多边形需同时满足等边和等角两个条件。

4. 由步骤1和2可知，该六边形满足正多边形的双重条件，即：所有边相等且所有角相等。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：Yes，该图形是一个正多边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "在本题图中，正六边形中，所有边长均为103，且所有内角均为120°。因此，该六边形是一个正多边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3ec76a068a87b6c43e6fbaa604cf02ad-img-e0607ec681654f70a002c4e28da41fc7.png", "question": "在矩形ABCD中找到w的值。 \n\nw= \\$ox\\$", "answer": "w=11", "process": "1. 已知 ABCD 是一个矩形，根据矩形的定义，矩形的对边平行且等长。因此，有 \\overline{AD} = \\overline{BC} 和 \\overline{AB} = \\overline{CD}。

2. 根据题意，\\overline{AD} = w + 11, \\overline{BC} = 2w。

3. 根据步骤 1 中的性质 \\overline{AD} = \\overline{BC}，将 \\overline{AD} 和 \\overline{BC} 的值代入，可得方程：w + 11 = 2w。

4. 解步骤 3 的方程：首先从等式两边减去 w，得到 11 = 2w - w。

5. 简化步骤 4 的结果，得到 11 = w。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 w = 11。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AD与边BC平行且等长，边AB与边CD平行且等长。题目具体给出的边长信息有AD = w + 11和BC = 2w。"}]} +{"img_path": "ixl/question-34114300f5c48c7d2c63b64b01c135e1-img-3ac4387509b4458fa56a0f07d0737389.png", "question": "平行四边形 GHIJ 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 由题图和题意可知四边形GHIJ是平行四边形。平行四边形的性质之一是对角相等，即∠GHI = ∠IJG和∠HGJ = ∠HIJ。

2. ��据题干，四边形GHIJ的∠GHJ, ∠GJH, ∠HJI, ∠IHJ均为59°。

3. 由于∠GHJ = ∠GJH = ∠HJI = ∠IHJ = 59°，并且HJ是公共边等，所以线段HJ两侧的三角形GHJ和IHJ也是全等的。

4. 因此hi=IJ=GH=GJ。

5. 根据菱形的定义要求——四边相等。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes，平行四边形GHIJ是一个菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形GHIJ是一个平行四边形，边GH与边IJ平行且相等，边IH与边JG平行且相等。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形GHIJ中，对角∠GHI和∠IJG相等，对角∠HIJ和∠HGJ相等；边IJ和GH相等，边HI和GJ相等；对角线GI和HJ互相平分，即交点将对角线GI分成两段相等的线段GO和OG，将对角线HJ分成两段相等的线段HO和JO。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形GHIJ中，所有的边GH、HI、IJ、JG都是相等的，因此四边形GHIJ是一个菱形。此外，四边形GHIJ的对角线GI和HJ互相垂直平分，即对角线GI和HJ相交于点O，且角GOH是直角（90度），并且GO=OI和HO=OJ。"}, {"name": "Congruence Theorem of Triangles (ASA)", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "三角形HIJ和三角形HGJ中，角IHJ等于角GHJ，角IJH等于角GJH，且边HJ等于边HJ。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形HIJ全等于三角形HGJ。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形HIJ和三角形HGJ是全等三角形，三角形HIJ的对应边和对应角与三角形HGJ相等，即： \n边HI = 边HG \n边IJ = 边GJ \n边HJ = 边HJ，\n同时，对应的角也相等：\n角HIJ = 角HGJ \n角IHJ= 角GHJ \n角IJH = 角GJH。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5402373a5a48bd7cbc6b318e90ae2293-img-7cfbe5c41f6c46faa2cd61696ddd2442.png", "question": "平行四边形 CDEF 是菱形吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 根据题目所给图片和条件，四边形 CDEF 是平行四边形，因为对角线 CE 和 DF 相交于点 B。

2. 已知 ∠CBF=90°，说明 ∠CBF 是直角。

3. 根据直角三角形的定义，得 CBF 为直角三角形，得知线段 CE ⊥ 线段 DF。

4. 根据菱形的判定定理1，对角线垂直的平行四边形是菱形。

5. 因此，平行四边形 CDEF 是菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为是，即 CDEF 是菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形CDEF是一个平行四边形，边CF与边DE平行且相等，边CD与边EF平行且相等。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形CBF中，角∠CBF是直角（90度），因此三角形CBF是一个直角三角形。边CB和边BF是直角边，边CF是斜边。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形CDEF为四边形，并且其对角线CE和DF互相垂直相交于点B，且∠CBF为直角（90度）。根据菱形的定义，四边形CDEF是菱形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a7989a91e776053ed9c3c433fccaadb3-img-520d56fee14d46419c69b70126dc646e.png", "question": "平行四边形 VWXY 是菱形吗���", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形VWXY是平行四边形。为判断它是否是菱形，我们需要检验其所有边是否相等。

2. 根据平行四边形的性质：对角线互相平分。同时，判断如果其中一个对角线平分相邻两组对角，则该平行四边形为菱形。

3. 观察给定条件，∠VXW = 63°，∠VXY = 63°，∠WVX = 63°，∠XVY = 63°。

4. 我们注意到线段VX平分∠WVY和∠WXY，因为∠VXW = ∠XVY 和 ∠WVX = ∠VXY。

5. 由于线段VX平分两组相邻对角，因此依据菱形定义，一个对角线平分两组角形成的平行四边形是菱形。

6. 因为∠VXW = ∠VXY = ∠WVX = ∠XVY = 63°，还有对角线平分相邻角，进一步证实VWXY是菱形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为YES，平行四边形VWXY是菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形VWXY是一个平行四边形，边VW与边XY平行且相等，边WX与边VY平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。在本题图中，四边形VWXY中，所有的边VW、WX、XY、YV都是相等的，因此四边形VWXY是一个菱形。此外，四边形VWXY的对角线VX和WY互相垂直平分，即对角线VX和WY相交于点O，且角VOY是直角（90度），并且VO=OY和WO=OX。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形VWXY中，对角∠WVX和∠XYV相等，对角∠VWX和∠XWY相等；边VW和XY相等，边VX和WY相等；对角线VX和WY互相平分，即交点将对角线VX分成两段相等的线段，将对角线WY分成两段相等的线段。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。在本题图中，四边形VWXY中，所有的边VW、WX、XY、YV都是相等的，因此四边形VWXY是一个菱形。此外，四边形VWXY的对角线VX和WY互相垂直平分，即对角线VX和WY相交于点O，且角VOY是直角（90度），并且VO=OY和WO=OX。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a77c6914e4761d5a392cec00312c4836-img-07eada1551a84fddb1f5a6434a70ffbe.png", "question": "平行四边形 RSTU 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 不是\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- no", "process": "1. 已知四边形 RSTU 是一个平行四边形。判断一个平行四边形是否为菱形，可以通过菱形的判定定理1：对角线垂直的平行四边形是菱形。判断其对角线是否互相垂直。

2. 考察四边形的对角线交汇点 V 的相关角度性状。在图中，我们已知角 TVU = 96°。

3. 如果对角线 \\overline{RT} 和 \\overline{SU} 互相垂直，那么根据定义 \\angle TVU 应为 90°。

4. 然而，此处 \\angle TVU = 96°。这表明对角线 \\overline{RT} 和 \\overline{SU} 并不互相垂直。

5. 如果 \\overline{RT} 和 \\overline{SU} 不是垂直的，则 RSTU 就不是一个菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 RSTU 不是一个菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 RSTU 是一个平行四边形，即 \\overline{RS} \\parallel \\overline{TU}, \\overline{RU} \\parallel \\overline{ST}, 并且 \\overline{RS} = \\overline{TU}, \\overline{RU} = \\overline{ST}."}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "\\overline{RT} 和 \\overline{SU} 是否互相垂直来得出结论。"}, {"name": "Rhombus Determination Theorem 1", "content": "A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.", "this": "在本题图中，平行四边形RSTU的对角线TR与US夹角\\angle TVU = 96°，TR与US不垂直，所以平行四边形RSTU不是菱形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d5b55d204f54c95e850857ad073b72e2-img-57b99c102ca14a8c8ccbe620abd7b836.png", "question": "平行四边形STUV是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 在平行四边形 STUV 中，已知对角线 SU 和 TV 在点 W 处相交，且角 SWT = 90°。

2. 在平行四边形中，对角线相互平分。因此，SW = UT 和 TW = WV。

3. 根据对角线相交且成直角的特性，可以使用菱形的判定定理1：如果一个平行四边形的对角线相互垂直，那么该平行四边形是一个菱形。

4. 在本问题中，由于给定的角 SWT = 90°，这意味着 SU ⟂ TV。

5. 因此，根据上述菱形的判定定理1，我们可以断定平行四边形 STUV 是菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 YES。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 STUV 是一个平行四边形，边 ST 与边 UV 平行且相等，边 TU 与边 SV 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Diagonal", "content": "A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.", "this": "在本题图中，四边形 STUV 中，顶点 S、T、U、V，对角线是连接顶点 S 和非相邻顶点 U 的线段 SU，以及连接顶点 T 和非相邻顶点 V 的线段 TV。因此，线段 SU 和 TV 就是四边形 STUV 的对角线。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形 STUV 中，对角 STU 和 SVU 相等，对角 TSV 和 VUT 相等；边 ST 和 UV 相等，边 SV 和 TU 相等；对角线 SU 和 TV 互相平分，即交点 W 将对角线 SU 分成两段相等的线段 SW 和 WU，将对角线 TV 分成两段相等的线段 TW 和 WV。"}, {"name": "Rhombus Determination Theorem 1", "content": "A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.", "this": "在本题图中，平行四边形STUV的对角线SU与TV垂直，所以平行四边形STUV为菱形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6b7b3b3391cf9086af30e2f380d4a99d-img-a43e95d0d57e422180063445c4a5af5c.png", "question": "平行四边形VWXY是菱形吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 已知VWXY为平行四边形，因此XW=VY，XY =VW。

2. 根据全等三角形判定定理(ASA），可以得出三角形XWY和三角形VWY全等。

2. 已知∠XWY=∠XYW=∠VWY =∠VYW，且YW=YW。

2. 根据全等三角形判定定理(ASA），可以得出三角形XWY和三角形VWY全等。因此XY=XW=VW=VY

3. 根据菱形的定义，即四条边都相等的四边形为菱形，得出图形VWXY为菱形。此定义保证所有边长相等使得它成为菱形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为Yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形VWXY中，所有的边VW、WX、XY、YV都是相等的，因此四边形VWXY是一个菱形。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形VWXY中，边VW和XY相等，边WX和VY相等。"}, {"name": "Congruence Theorem of Triangles (ASA)", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "角XWY等于角VWY ，角XYW等于角VYW，且边WY等于边WY。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形XWY全等于三角形VWY。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形XWY和三角形VWY是全等三角形，三角形XWY的对应边和对应角与三角形VWY相等，即：边XW = 边VW 边VY = 边XY 边WY = 边WY，同时，对应的角也相等：角X = 角V 角XWY = 角VWY 角XYW = 角VYW。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9e03d1a80d61e254cb9e321449c96d34-img-990f9f888b5f4ecdb2fd911e475ced11.png", "question": "平行四边形 WXYZ 是正方形吗？\n\n\n- 是\n- 不是\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- no", "process": "1. 已知平行四边形 WXYZ 的对角线 XZ 和 WY 相交于点 V，并且 ∠WVX = 94°。

2. 根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角线互相平分，因此 WV = YV 和 ZV = VX。

3. 平行四边形是正方形的条件之一是其对角线互相垂直。

4. ∠WVX = 94°，由于角 ∠WVX 不是 90°，说明对角线 WY 和 XZ 不垂直。

5. 由于对角线没有互相垂直，不能满足平行四边形成为正方形的条件。

6. 因此，平行四边形 WXYZ 不是正方形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 WXYZ 是一个平行四边形，边 WX 与边 YZ 平行且相等，边 XY 与边 WZ 平行且相等。"}, {"name": "Properties of Diagonals in a Square", "content": "The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.", "this": "四边形中，对角线WY和ZX是连接相对角的线段。根据正方形的对角线性质，YW和ZX相等，并且YW和ZX互相垂直平分，即在它们的交点处形成四个90度的角。但角XVW=94°，不满足条件，所以四边形YXWZ不是正方形。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形 WXYZ中，对角 ∠WXY 和 ∠WZY 相等，对角 ∠ZYX 和 ∠ZWX 相等；边 WX 和 YZ 相等，边 XY 和 WZ 相等；对角线 XZ 和 WY 互相平分，即交点 V 将对角线 XZ 分成两段相等的线段 XV 和 VZ，将对角线 WY 分成两段相等的线段 WV 和 VY。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cab932e9f4a87e72df1a58dd7de37a75-img-f9f71e65add84cd9a1b144a8cc4dbf5c.png", "question": "平行四边形 VWXY 是矩形吗？\n\n\n- 是\n- 不是\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- no", "process": "1. 已知点U是对角线WY和VX的交点，且UW=UY=55，UV=UX=59，因此可以得出三角形UWY和三角形VUX是等腰三角形。

2. 根据三角形的外角定理，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，因此∠YUW = ∠UYW 和 ∠XUV = ∠UVX。

3. 另外，由于四边形VWXY是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线WY和VX互相平分，因此WU = UY 和 VU = UX。

4. 因为在等腰三角形中对称角相等，因此∠UWY = ∠UYW 和 ∠UVX = ∠XUV。

5. 检查四边形VWXY是矩形的条件之一是它的对角线相等：即WY应等于VX。

6. 在图中计算得到WY = UW + UY = 55 + 55 = 110，VX = UV + UX = 59 + 59 = 118。

7. 因为WY ≠ VX，所以根据矩形的对角线相等定理，四边形VWXY不是矩形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "在本题图中，三角形UWY中，边UW和边UY相等，因此三角形UWY是一个等腰三角形；同样地，在三角形VUX中，边UV和边UX相等，因此三角形VUX是一个等腰三角形。"}, {"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形VWXY是一个平行四边形，边VW与边XY平行且��等，边WX与边VY平行且相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-06f24743b1434130ab3b70b32aaa7d51-img-ab7273305d2842adb9fb1725b14e066b.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ U? m \\$\\\\angle \\$ U= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ U=142°", "process": "1. 已知 m∠SRT=71°，同时，∠SRT 是圆周角，其所对的弧为⏜ST。

2. 根据圆周角定理，圆心角 ∠SUT 等于圆周角 ∠SRT 所对的弧⏜ST的度数的两倍，因此，m ∠SUT = 2 × m ∠SRT。

3. 将 ∠SRT 的度数代入，即 m ∠SUT = 2 × 71°。

4. 计算得出 m ∠SUT = 142°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 142°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆中，角 SRT 的顶点 R 在圆周上，角 SRT 的两边分别与圆相交于点 S 和点 T。因此，角 SRT 是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点S和点T是圆上的两点，圆心是点U。连线US和UT组成的角∠SUT称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "在本题图中，∠SRT 是圆周角，所对的弧为⏜ST。根据圆周角定理，圆心角 ∠SUT 等于圆周角 ∠SRT 所对的弧⏜ST的度数的两倍。因此，m ∠SUT = 2 × m ∠SRT，即 2 × 71°=142°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7113da8be060ab64c8a6b379abbd6016-img-bc5c2c4eedac416693f910a06e82844f.png", "question": "平行四边形 UVWX 是矩形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 使用辅助线，在对角线VX和UW 上分别标记出中点 T。

2. 根据题意，已知对角线 VX和 UW 中点 T 的分段，满足 VT=XT=45，UT=WT=47。

3. 在平行四边形中，如果对角线相等且互相平分，则这个平行四边形是矩形。这是矩形的定义之一。

4. 计算对角线VX 和 UW的长度：

5. 对角线 VX 的长度为 VT + TW = 45 + 45 = 90。

6. 对角线UW的长度为 UT + TX = 47 + 47 = 94。

7. 根据步骤 5 和步骤 6，VX= 90 并且UW= 94。

8. 由于 VX和 UW长度不等，因此按照矩形的定义，平行四边形 UVWX 的对角线不相等，所以它不是矩形。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "矩形的定义是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。在题图中，平行四边形 UVWX 的对角线VX的长度是 90，UW的长度是 94，它们不相等，因此 UVWX 不是矩形。"}, {"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 UVWX 是一个平行四边形，边 UV 与边 WX 平行且相等，边 VW 与边 UX 平行且相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-01b1f38256251fed6f3913e8ce79742a-img-9e74b4808b2f4b74851c2b7a07d9ccc2.png", "question": "如果 \\$\\\\overline{PS}\\$ 不平行于 \\$\\\\overline{QR}\\$ ，那么 PS 是什么？\\\\n\\\\nPS= \\$\\\\Box\\$", "answer": "PS=60", "process": "1. 已知四边形PQRS中，\\$\\overline{PQ}\\$和\\$\\overline{RS}\\$是一对平行线。

2. 根据题目条件，四边形PQRS中还有一对全等的底角，即\\$\\angle P \\equiv \\angle Q\\$。

3. 根据梯形的定义和等腰梯形的性质，四边形PQRS是等腰梯形。

4. 等腰梯形的定义决定了其腰（非平行边）相等，即\\$\\overline{PS} = \\overline{QR}\\$。

5. 题目中给出\\$\\overline{QR}\\$的长度为60。

6. 因此，可以得出\\$\\overline{PS} = \\overline{QR} = 60\\$。

7. 经过上述推理，最终得出答案为60。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，四边形PQRS中，边PQ和边RS是平行的，而边PS和边QR不平行。因此，根据梯形的定义，四边形PQRS是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Properties of an Isosceles Trapezoid", "content": "In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.", "this": "四边形PQRS是等腰梯形，其中边PQ和边RS是等腰梯形的两条底边，边PS和边QR是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质，底角∠P和底角∠Q相等，底角∠R和底角∠S相等。题目已知边QR的长度为60，因此边PS的长度也为60。"}, {"name": "Definition of Isosceles Trapezoid", "content": "A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).", "this": "梯形PQRS中，边PQ和边RS是平行的，边QR和边PS是梯形的两腰。根据等腰梯形的定义，边QR和边PS相等。因此，梯形PQRS是等腰梯形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2e574739103913dbe363ec59ea9e6fd4-img-31473409b8cd42718efc25fe8e666077.png", "question": "平行四边形 GHIJ 是正方形吗？\n\n\n- 是\n- 不是\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- no", "process": "1. 题目给出条件：HK = JK = 21 和 GK = IK = 22。为了判断平行四边形 GHIJ 是否为正方形，我们需要验证 GHIJ 是否既是菱形又具有一个直角。

2. 在 GHIJ 中，检查对角线 GI 和 HJ 的长度，其中 GI = GK + IK = 22 + 22 = 44，HJ = HK + JK = 21 + 21 = 42。

3. 根据矩形的对角线性质，矩形的对角线相等且互相平分。因此，在 平行四边形GHIJ 中对角线 GI ≠ HJ，GHIJ 不是矩形，也肯定不是正方形。

4. 因为正方形是特殊的矩形，而 GHIJ 的对角线不相等，它不可能是正方形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 GHIJ 不是正方形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形GHIJ是一个平行四边形，边GH与边IJ平行且相等，边GI与边HJ平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "平行四边形 GHIJ 的对角线 GI 和 HJ 不相等，因此 GHIJ 不可能是矩形，因为矩形的对角线应该相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形GHIJ中，所有的边GH、HI、IJ、JG都是相等的，因此四边形GHIJ是一个菱形。此外，四边形GHIJ的对角线GI和HJ互相垂直平分，即对角线GI和HJ相交于点K，且角GKH是直角（90度），并且GK=KI和HK=KJ。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "因为 GHIJ 的对角线 GI 和 HJ 不相等，且 四边 GH、HI、IJ 和 JG 的长度不相等，因此 GHIJ 不是正方形。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形GHIJ中，对角∠GHI和∠JIH相等，对角∠HGJ和∠IJG相等；边GH和IJ相等，边GI和HJ相等；对角线GI和HJ互相平分，即交点K将对角线GI分成两段相等的线段GK和IK，将对角线HJ分成两段相等的线段HK和JK。"}, {"name": "Property of Diagonals in a Rectangle", "content": "In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other.", "this": "在本题图中，在矩形中，对角线相等且互相平分。在平行四边形 GHIJ 中，GI ≠ HJ，所以GHIJ 不满足对角线相等这一性质，所以不是矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ac7afb46e9c3d96c39f8015b5d8ab8b8-img-8661b5ce7f694faa89c4f3a84ace39c6.png", "question": "平行四边形CDEF是矩形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 已知图形为平行四边形 CDEF，且 FG = DG = 92, EG = CG = 98。我们需要判断 CDEF 是否为矩形。

2. 在平行四边形中，根据平行四边形的性质定理，对角线互相平分，因此 G 是对角线 CE 和 DF 的交点。

3. 由于 FG = DG = 92，我们可以得出 DG 和 FG 长度相等，也就是说 G 是 DF 的中点，并且 DF = 2 * DG = 2 * 92 = 184。

4. 类似地，EG = CG = 98 得出 G 是 CE 的中点，并且 CE = 2 * EG = 2 * 98 = 196。

5. 矩形的判定定理4是对角线相等，即对于矩形而言，对角线 CE 和 DF 应该是相等的。

6. 但通过计算，我们发现 CE = 196 而 DF = 184，它们不相等。

7. 由于对角线不相等，CDEF 不符合矩形的定义，因此 CDEF 不是一个矩形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 CDEF 是一个平行四边形，边 CD 与边 EF 平行且相等，边 CF 与边 DE 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "CDEF 是否为矩形，需要验证其内角是否都是直角（90度），且相对的边是否互相平行并等长。由于图中未标注角度，且对角线 CE 和 DF不相等，无法确定CDEF 是否为矩形，因此CDEF 不是矩形。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形 CDEF 中，对角 ∠CDE 和 ∠EFC 相等，对角 ∠DEF 和 ∠FCD 相等；边 CD 和 EF 相等，边 CF 和 DE 相等；对角线 CE 和 DF 互相平分，即交点 G 将对角线 CE 分成两段相等的线段 CG 和 GE，将对角线 DF 分成两段相等的线段 DG 和 GF。"}, {"name": "Rectangle Criterion Theorem 4", "content": "A parallelogram with equal-length diagonals is a rectangle.", "this": "在本题图中，平行四边形CDEF的对角线CE与DF不相等，所以平行四边形CDEF不是矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f6aa9a8142f87e2c7ff711d4801597d7-img-6a4d858745144d87b64017990d371f30.png", "question": "平行四边形 RSTU 是矩形吗？", "answer": "- no", "process": "1. 在平行四边形 RSTU 中，由于对角线互相平分，因为 V 是对角线 SU 和 RT 的交点，所以 VU= VS 和 VT = VR。

2. 已知 RV = 54和TV = 54， RT = 2 × RV = 108。

3. 进一步已知 UV = 52 和 SV = 52， SU = 2 × UV = 104。

4. 在一个矩形中，对角线应该相等，因此若 RSTU 是矩形，应满足 SU = RT。

5. 但是由于 SU ≠ RT，根据矩形的性质，这意味着 RSTU 不是一个矩形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 RSTU 是一个平行四边形，边 RU 与边 ST 平行且相等，边 RS 与边 TU 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，如果 RSTU 是矩形，那么其对角线 SU 和 RT 应该相等。已知 SU = 104 和 RT = 108，显然 SU ≠ RT，因此根据矩形的性质可知 RSTU 不是一个矩形。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形 RSTU 中，对角 ∠RST 和 ∠TUR 相等，对角 ∠RSU 和 ∠TSR 相等；边 RS 和 TU 相等，边 ST 和 RU 相等；对角线 SU 和 RT 互相平分，即交点 V 将对角线 SU 分成两段相等的线段 UV 和 SV，将对角线 RT 分成两段相等的线段 RV 和 TV。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2a769b6059f79614d1cc04c9479b28cd-img-7a1cedcfa4614d27900ee95d7add8149.png", "question": "平行四边形 STUV 是矩形吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 已知STUV是平行四边形，且对角线SU和TV相等，SU＝TV＝48。

2. 已知点R是对角线SU和TV的交点，且RS=RT=RU=RV=24。

3. 在平行四边形中，两条对角线互相平分。因此，R是SU和TV的中点。

4. 利用特征条件RS=RT=RU=RV=24，可以推知△SRU、△RTV、△SRT和△URV是全等的。

5. 角∠RSU、∠RUT、∠TRV、和∠VRS都是由相等的对角线被切割产生的，根据'全等三角形对应角相等'定理，这些角都是90度。

6. 平行四边形STUV中每个角度都是直角，由平行四边形的定义可知四边平行且对角相等。因此，STUV为直角平行四边形，即矩形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为直角平行四边形，所以STUV是一个矩形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形STUV是一个平行四边形，边ST与边UV平行且相等，边SU与边TV平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形STUV是一个矩形，其内角∠SRT, ∠RTU, ∠TUV, ∠VUS都是直角（90度），且边ST与边UV平行且等长，边SU与边TV平行且等长。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形STUV中，对角∠TSU和∠VUT相等，对角∠SUV和∠TVS相等；边ST和UV相等，边SU和TV相等；对角线SU和TV互相平分，即交点R将对角线SU分成两段相等的线段SR和RU，将对角线TV分成两段相等的线段TR和RV。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "由RS=RU=RT=RV可以推知△SRU、△RTV、△SRT和△URV是全等的。根据全等三角形的定义，△SRU的对应边和对应角与△RTV、△SRT和△URV相等，即：边SR=边RT=边RU=边RV，边SU=边TV，边ST=边UV。同时，对应的角也相等：角∠RSU=角∠RTV=角∠SRT=角∠URV。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形STUV是一个矩形，其内角∠SRT, ∠RTU, ∠TUV, ∠VUS都是直角（90度），且边ST与边UV平行且等长，边SU与边TV平行且等长。"}]} +{"img_path": "ixl/question-622fa9059c191ef05b21bbe1c46ed67f-img-7dabc28c40df4bc0b7f2869dd73d75c4.png", "question": "平行四边形 QRST 是矩形吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 已知PQ≅PR≅PS≅PT，可得点P到平行四边形各顶点的距离相等。

2. QS和RT为平行四边形 QRST 的对角线，结合步骤1可得出QS=RT，即平行四边形 QRST 对角线互相平分且相等。

3. 根据矩形的判定定理2：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。得出平行四边形QRST是矩形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为YES。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 QRST 是一个平行四边形，边 QR 与边 ST 平行且相等，边 QT 与边 RS 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 QRST 是一个矩形，其内角 ∠QRS, ∠RST, ∠STQ, ∠TQR 都是直角（90度），且边 QR 与边 ST 平行且等长，边 QT 与边 RS 平行且等长。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形 QRST 中，对角 ∠QRS 和 ∠QTS 相等，对角 ∠RQT 和 ∠RST 相等；边 QR 和 ST 相等，边 QT 和 RS 相等；对角线 QS 和 RT 互相平分，即交点 P 将对角线 QS 分成两段相等的线段 QP 和 PS，将对角线 RT 分成两段相等的线段 RP 和 PT。"}, {"name": "Rectangle Identification Theorem 2", "content": "A quadrilateral is a rectangle if and only if its diagonals bisect each other and are equal in length.", "this": "在本题图中，四边形QRST的对角线RT与QS互相平分且相等，所以四边形QRST为矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d036e1202338cded0f05be2cde2310ca-img-ddea3734374644c595854fbf6fdd0370.png", "question": "如果 \\$\\\\overline{PQ}\\$ 不平行于 \\$\\\\overline{RS}\\$ ，那么 m \\$\\\\angle\\$ R 是多少？\n\nm \\$\\\\angle\\$ R= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ R=106°", "process": "1. 根据题目描述，四边形 PQRS 中有一对平行边且另一对边相等，我们首先确认平行边是 \\overline{PS} 和 \\overline{QR}，两条对角线之间夹着同角度的边为 \\overline{PQ} 与 \\overline{RS}。这些信息提示我们四边形 PQRS 是一个等腰梯形。

2. 等腰梯形是拥有一对平行边（底边）的四边形，并且另外一对边（腿）相等。此处已知 \\overline{PQ} 与 \\overline{RS} 相等，\\overline{PS} 与 \\overline{QR} 平行，因此 PQRS 符合等腰梯形的定义。

3. 等腰梯形有一个重要性质，即两个底角相等。在等腰梯形 PQRS 中，我们知道 \\angle QPS 和 \\angle PSR 是底角，同时 \\angle SRQ 和 \\angle RQP 也是底角。

4. 根据等腰梯形的性质，底角 \\angle QRS 和 \\angle PQR 相等。因此 \\angle R = \\angle Q。

5. 从图中得知 \\angle Q = 106°。

6. 由于底角相等，我们可以推断 \\angle R = 106°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 106°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Properties of an Isosceles Trapezoid", "content": "In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.", "this": "等腰梯形 PQRS 中，边 PS 和边 QR 是等腰梯形的两条底边，边 PQ 和边 RS 是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质，底角 ∠QPS 和底角 ∠PSR 相等，底角 ∠PQR 和底角 ∠QRS 相等。"}, {"name": "Definition of Isosceles Trapezoid", "content": "A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).", "this": "边SP和边RQ是平行的，边SR和边PQ是梯形的两腰。根据等腰梯形的定义，边SR和边PQ相等。因此，梯形SPQR是等腰梯形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-81590209e439a17fd85132edca650584-img-be14f5e5cd204179b9c555158b972d0f.png", "question": "你能证明这个四边形是平行四边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 观察图形，给定四边形ABCD，且其对角线AC和BD将彼此分为两部分。

2. 由图可知，AC与BD的交点O使得AO = OC且BO = OD，即OA = OC且OB = OD。

3. 利用线段中点的定义，如果一条对角线将一条线段分为相等的两部分，则其交点是线段的中点。

4. 得到结论：AC与BD的交点O是AC和BD的中点。

5. 根据平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

6. 在题目中，由于对角线AC和BD将彼此分为两部分，即互相平分，因此依据上面的判定定理，可以确定四边形ABCD是平行四边形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为是平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Parallelogram Determination Theorem 4", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if its diagonals bisect each other.", "this": "四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b20bcb1819b114be75031188ae306288-img-7a3b73b4facc4fb29c8eaa93b2b21d85.png", "question": "如果 \\$\\overline{BC}\\$ 不平行于 \\$\\overline{AD}\\$ ，那么 AD 是多少？\n\nAD= \\$\\\\Box\\$", "answer": "AD=72", "process": "1. 已知四边形 ABCD 中，只有一对边平行，即 AB 平行于 CD，且BC不平行AD，根据梯形的定义，四边形ABCD是梯形。

2. 由图知 ∠C 和 ∠D 是全等的底角。

3. 根据等腰梯形的性质，四边形ABCD是一个等腰梯形（因为有一对平行边和一对全等底角）。

4. 题目图中标明 BC = 72。

5. 由于 ABCD 是等腰梯形，因此 AD = BC。

6. 从第 4 步可知 BC = 72，所以 AD = 72。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 AD=72。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，四边形 ABCD 中，边 AB 和边 CD 是平行的，而边 BC 和边 AD 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 ABCD 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Properties of an Isosceles Trapezoid", "content": "In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.", "this": "在本题图中，等腰梯形ABCD中，边AB和边CD是等腰梯形的两条底边，边AD和边BC是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质，底角∠DAB和底角∠BCD相等，底角∠ADC和底角∠ABC相等。"}, {"name": "Definition of Isosceles Trapezoid", "content": "A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).", "this": "梯形ABCD中，边AB和边CD是平行的，边BC和边AD是梯形的两腰。根据等腰梯形的定义，边AD和边BC相等。即AD=BC=72。"}]} +{"img_path": "ixl/question-eee767fb94d2b66e23324b8613c2636f-img-cae40c743e2b471dac749ceed5a0b5d8.png", "question": "平行四边形 FGHI 是正方形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 已知FH和GI为平行四边形 FGHI的两条对角线，FJ=GJ=HJ=IJ=65，FH=FJ+JH，GI=GJ+IJ，那么FH=GI。

2. 由于四边形FGHI的对角线交于一点J，已知∠HJI=90°，根据垂线定义，有FH⟂GI。

3. 根据正方形的对角线性质，正方形的对角线是连接相对角的线段。正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。可知上述推理满足该性质，FGHI为正方形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为“Yes”。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形FGHI的对角线FH和GI相等且平分于点J。由对角线相等且平分的性质，四边形FGHI是矩形。矩形的定义为四边形中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "四边形FGHI中，边FG、边GH、边HI和边IF相等，且角FGH、角GHI、角HIF和角IFG均为直角（90度），所以FGHI是一个正方形。"}, {"name": "Definition of Perpendicular Lines", "content": "Two lines are said to be perpendicular if and only if the angle formed by their intersection is 90 degrees.", "this": "直线FH和直线GI相交形成的角∠IJH是90度，因此根据垂线定义，直线FH和直线GI互相垂直。"}, {"name": "Properties of Diagonals in a Square", "content": "The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.", "this": "在本题图中，正方形FGHI中，对角线FH和GI是连接相对角的线段。根据正方形的对角线性质，FH和GI相等，并且FH和GI互相垂直平分，即在它们的交点处形成四个90度的角。因此，FH = GI，并且它们在交点处相互垂直。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f99e9bb5dbf58bf73f63f25a4071825d-img-f55e8accf6bc40df87bea5b01d510137.png", "question": "如果 \\$\\\\overline{FG}\\$ 不平行于 \\$\\\\overline{EH}\\$ ，那么 m \\$\\\\angle \\$ H 是多少？ \n\nm \\$\\\\angle \\$ H= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ H=134°", "process": "1. 根据题意，四边形 EFGH 中，边 EH 与 FG 是不平行的，EF 与 GH 平行，EH 与 FG 的长度相等。

2. 因为四边形 EFGH 中两条对边 EF 和 GH 平行，而另外两边 EH 和 FG 的长度相等，所以四边形 EFGH 是一个等腰梯形。

3. 根据等腰梯形的性质，等腰梯形中两条非平行边所对的角（也就是各组底角）相等。也就是说，∠EFG 与 ∠FEH 相等，以及∠FGH 与 ∠GHE 相等。

4. 题目中已知 ∠EFG = 46°，因此有 ∠FEH = 46°。

5. 通过四边形的内角和定理，一个四边形的内角之和为 360°，在四边形 EFGH 中，我们有：∠HEF + ∠EFG + ∠HGF + ∠GHE = 360°。

6. 根据等腰梯形的性质，得知 ∠FGH = ∠GHE。设 ∠FGH = x，则 ∠GHE 也是 x。

7. 将已知角度代入方程，得到 x + 46° + 46° + x = 360°。

8. 化简方程，得出 2x + 92° = 360°。

9. 解方程得 2x = 360° - 92° = 268°。

10. 再除以2得到 x = 134°。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠H = 134°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Properties of an Isosceles Trapezoid", "content": "In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.", "this": "等腰梯形EFGH中，边EF和边GH是等腰梯形的两条底边，边EH和边FG是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质��底角∠EFG和底角∠FEH相等，底角∠FGH和底角∠GHE相等。"}, {"name": "Sum of Interior Angles of a Quadrilateral Theorem", "content": "In any quadrilateral, the sum of the four interior angles is 360°.", "this": "在本题图中，四边形EFGH中，角HEF、角EFG、角FGH和角GHE是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即角HEF + 角EFG + 角FGH + 角GHE = 360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-243f1bf517ea91c1ed06cf871d7417dd-img-93fe730085f047da85b5bdec838bb178.png", "question": "\\$\\overline{RU}\\$ 是梯形 QSTV 的中位线。 如果 RU=49 且 QV=62，ST 是多少？ ST= \\$\\Box\\$", "answer": "ST=36", "process": "1. 已知线段 \\$\\overline{RU}\\$ 是梯形 \\$QSTV\\$ 的中位线，且 \\$RU=49\\$，\\$QV=62\\$。

2. 梯形中位线定理指出：在梯形中，与两腰平行的线段，即中位线的长度等于上底和下底长度的平均值。在本题中，中位线 \\$\\overline{RU}\\$ 的长度可以表示为 \\$RU = \\frac{QV + ST}{2}\\$。

3. 将已知量代入公式：\\$49 = \\frac{62 + ST}{2}\\$。

4. 解这个方程：首先，将方程两边乘以2，以去掉分母，得出\\$98 = 62 + ST\\$。

5. 接下来，从方程的两边减去62，得到 \\$ST = 36\\$。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 \\$ST = 36\\$。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，四边形 QSTV 中，边 QV 和边 ST 是平行的，而边 QS 和边 TV 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 QSTV 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Median Line Theorem of Trapezoid", "content": "The median line of a trapezoid is the line segment that connects the midpoints of the non-parallel sides. This line segment is parallel to the bases (the parallel sides of the trapezoid) and its length is equal to half the sum of the lengths of the two bases.", "this": "在本题图中，梯形 QSTV 中，边 QV 和边 ST 是梯形的两条底边，点 R 和点 U 是梯形两腰的中点，线段 RU 是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段 RU 平行于边 QV 和边 ST，并且线段 RU 的长度等于边 QV 和边 ST 长度和的一半，即 RU = (QV + ST) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3d94339905268b2852de4b118dc95710-img-c9819af16f174c809812eacfb45dc81e.png", "question": "平行四边形 FGHI 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 不是", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形 FGHI 是一个平行四边形。我们需要判断它是否为菱形。根据菱形的判定定理1，菱形的判定条件之一是对角线互相垂直。

2. 观察图中，∠FEI 是直角，即 ∠FEI = 90°。

3. 根据菱形的判定定理1，在一个四边形中，如果相邻两边的对角线是互相垂直的，那么这个四边形是一个菱形。

4. 由于 ∠FEI = 90°，可以得出直线 FH 垂直于直线 GI。

5. 因此，通过对角线互相垂直以及对角线的中点是每一边的中点，使得 FGHI 是一菱形。

6. 通过上述推理，最终得出答案为YES，四边形 FGHI 是一个菱形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 FGHI 是一个平行四边形，边 FG 与边 HI 平行且相等，边 FI 与边 GH 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形 FGHI 中，所有的边 FG、GH、HI、IF 都是相等的，因此四边形 FGHI 是一个菱形。此外，四边形 FGHI 的对角线 FH 和 GI 互相垂直平分，即对角线 FH 和 GI 相交于点 E，且角 ∠FEI 是直角（90度），并且FE = EH 和 GE = EI。"}, {"name": "Rhombus Determination Theorem 1", "content": "A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.", "this": "在本题图中，平行四边形FGHI的对角线FH与GI垂直，所以平行四边形FGHI为菱形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ded892e5f478a716324fc4b0836c532d-img-75e4e73324fd439eb6bddf10f7465c48.png", "question": "如果 \\$\\\\overline{SV}\\$ 不平行于 \\$\\\\overline{TU}\\$ ，那么 TU 是多少？\\\\n\\\\nTU= \\$\\\\Box\\$", "answer": "TU=51", "process": "1. 从图中已知，四边形STUV中边\\overline{ST}和\\overline{UV}平行。

2. 角\\angle S和角\\angle T它们是全等的。

3. 由于四边形STUV有一对底角全等，并且一组对边平行，由梯形的定义和等腰梯形的性质，STUV是等腰梯形。

4. 等腰梯形的定义告诉我们，两腰（非平行边）是全等的。

5. 因此边\\overline{TU}和边\\overline{SV}全等，即TU = SV。

6. 题目中给出的边\\overline{SV}的长度为51。

7. 因此，经过上述推理，最终得出TU = 51。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Properties of an Isosceles Trapezoid", "content": "In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.", "this": "等腰梯形 STUV 中，边 ST 和边 UV 是等腰梯形的两条底边，边 TU 和边 SV 是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质，底角 ∠STU 和底角 ∠TSV 相等，底角 ∠SVU 和底角 ∠TUV 相等。"}, {"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "边UV和边ST是平行的，而边UT和边SV不平行。因此，根据梯形的定义，该四边形STUV是一个梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Definition of Isosceles Trapezoid", "content": "A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).", "this": "在本题图中，梯形STUV中，边UV和边ST是平行的，边UT和边SV是梯形的两腰。根据等腰梯形的定义，边UT和边SV相等。因此，梯形STUV是等腰梯形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-25359f5a1ec3e47607e33f8a7c7da421-img-14996717dbfd4efcb603a053bd4acd61.png", "question": "如果 WX=36 且 UZ=72，那么 VY 是多少？\n\nVY= \\$ox\\$", "answer": "VY=54", "process": "1. 已知线段 WX = 36 和 UZ = 72。

2. 仔细观察图形，注意到四边形 UWXZ 是一个梯形，且其两底 WX 和 UZ 平行。

3. 在四边形 UWXZ 中，线段 VY 是一条中位线，这意味着 VY 平行于 WX 和 UZ 并位于其中间位置。

4. 根据梯形中位线定理，该定理指出：一个梯形的中位线平行于底边且其长度为两底边之和的一半。在本题中，线段 VY 是梯形 UWXZ 的中位线，因此有：VY = 1/2 * (WX + UZ)。

5. 将已知条件代入上式：VY = 1/2 * (36 + 72)。

6. 计算括号内的和：36 + 72 = 108。

7. 继续计算 VY 的长度：VY = 1/2 * 108。

8. 计算 VY 的具体值：VY = 54。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 54。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，四边形 UWXZ 中，边 WX 和边 UZ 是平行的，而边 WU 和边 XZ 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 UWXZ 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Median Line Theorem of Trapezoid", "content": "The median line of a trapezoid is the line segment that connects the midpoints of the non-parallel sides. This line segment is parallel to the bases (the parallel sides of the trapezoid) and its length is equal to half the sum of the lengths of the two bases.", "this": "在本题图中，梯形 UWXZ中，边 WX 和边 UZ 是梯形的两条底边，点 V 和点 Y 是梯形两腰的中点，线段 VY 是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段 VY 平行于边 WX 和边 UZ，并且线段 VY 的长度等于边 WX 和边 UZ 长度和的一半，即VY = (WX + UZ) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-de9f47d4393703a656a1630ec0444639-img-8c50122fa91b4212a94cdca9af8bd3db.png", "question": "此图形是否具有旋转对称性？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 首先，分析给定的图形，这似乎是一个带有辐条的船舵形状，每个辐条等距分布。

2. 根据视觉观察，这个图形有多个辐条，且每个辐条的形状和大小都是相同的。

3. 如果一个图形经过一定角度的旋转后能够与原图形重合，我们称该图形具有旋转对称性。

4. 观察图中共有12个辐条，这表明每个辐条之间夹角为 360度/12=30度。

5. 旋转对称性的定义，如果图形能够以某个小于360度的角度旋转并与其自身重合，则图形具有旋转对称性。

6. 由于在旋转30度的角度下，图形看起来与原始图形相同，因此它显然具有旋转对称性。

7. 经过上述推理，最终得出答案为是。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "在本题图中，当该图形旋转30度（360度/12个辐条）后，图形会与原始图形重合。这表明该图形具有旋转对称性。"}, {"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转30度可以得到与原图形相同的图形，所以该图形具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-60ccda5f1ca20c6ea8cbbf84c5372c4e-img-5f136feb6b654bd4b93021188564f26e.png", "question": "平行四边形CDEF是矩形吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 已知BC≅BD≅BE≅BF，首先考虑这个特征，这意味着B是四边形CDEF内的一个对称中心，因为它到每个角的距离相等。

2. 我们知道如果一个四边形是一个平行四边形，并且其对角线互相平分并且相等，那么这个四边形是一个矩形。

3. 在平行四边形CDEF中，CE和DF是对角线。

4. 有BC≅BD≅BE≅BF且CE≅DF，由此可得，CE和DF互相平分且长度相等。

5. 根据矩形的判定定理2：如果一个平行四边形的对角线互相平分且相等，那么这个平行四边形是矩形。

6. 通过以上推理，我们可以确认平行四边形CDEF的对角线CE和DF不仅互相平分，而且相等，所以CDEF是一个矩形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为是，CDEF是一个矩形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形CDEF是一个平行四边形，边CD与边EF平行且相等，边CF与边DE平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形CDEF是一个矩形，其内角∠DCF, ∠CFE, ∠FED, ∠EDC都是直角（90度），且边CD与边EF平行且等长，边CF与边DE平行且等长。"}, {"name": "Property of Diagonals in a Rectangle", "content": "In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other.", "this": "矩形CDEF中，对角线CE和FD相等且互相平分。具体来说，点B是对角线CE和对角线DF的交点，因此CB = BE，并且BF = BD。根据矩形的对角线性质，CB = BD，且BF = BE。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形 CDEF 中，对角 FCD 和 DEF 相等，对角 CFE 和 CDE 相等；边 CD 和 EF 相等，边 CF 和 DE 相等；对角线 CE 和 DF 互相平分，即交点 B 将对角线 CE 分成两段相等的线段 CB 和 BE，将对角线 DF 分成两段相等的线段 BD 和 BF。"}, {"name": "Rectangle Identification Theorem 2", "content": "A quadrilateral is a rectangle if and only if its diagonals bisect each other and are equal in length.", "this": "四边形CDEF的对角线CE与DF互相平分且相等，所以四边形CDEF为矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ac37df6df5c3749956d0d3aa5ca14a9d-img-0ebe0298925b41b2902e48755b8726bb.png", "question": "你能证明这个四边形是平行四边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形中有一对对边平行且等长，两条对边的长度均为51，因此可以考虑四边形平行四边形的判定方法。

2. 根据平行四边形的判定定理3：如果四边形一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

3. 在本题中，已知四边形的这对对边是平行且等长的，对于这些边，判定定理的条件已经满足。

4. 经过上述推理，我们可以得出结论，该四边形是平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形中有一组对边平行且等长，这组对边的长度均为51，满足平行四边形定义中的对边平行且等长的条件。"}, {"name": "Parallelogram Criterion Theorem 3", "content": "If one pair of opposite sides of a quadrilateral are both parallel (∥) and congruent (≅), then the quadrilateral is a parallelogram.", "this": "四边���的对边平行且相等，所以四边形为平行四边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ff9584baca2eb080f26937a0f10617e0-img-694fe4cd085148368cbe6cd7ddbb466d.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 旋转对称性的定义：若将图形绕中心点旋转角度θ (0° < θ < 360°)，而图形保持不变，则该图形具有旋转对称性。

2. 观察图中的飞机， 其形状和颜色分布是对称的，其中机翼、机头的颜色和形状是左右相同的。

3. 选择任意一点作为旋转中心，并以某个角度（如90°）旋转，观察图形的对比，我们发现旋转后的图形与原图形不同。

4. 更换不同的旋转中心点，尝试其他可能的旋转角度（如45°，180°），同样发现旋转后的图形始终和原图形不同。

5. 通过上述过程，我们无法找到任何一种小于360°的旋转能够使图形复原，说明图形不满足旋转对称性的条件。

6. 经过上述推理，最终得出答案为no, the picture does not have rotational symmetry.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转任意小于360度的角度都不可以得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9082ce508f9c66d0c122768ce5c87c25-img-9b6e548459444620a6655084d76242f3.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 在判断图形是否具有旋转对称性时，我们需要确定图形是否能够在小于360度的旋转后看起来与原图相同。

2. 分析给定的图形，该图形为昆虫形状，观察其各部分是否存在关于某一点的对称。

3. 虽然昆虫的左右身体看似对称，但在绕中心点进行旋转时，昆虫的各部分如腿、触角等的方向会发生改变，导致旋转后的图形与原图不一致。

4. 尝试从旋转90度、180度、270度来分析，每次旋转过程观察图形变化，对比原图发现旋转后图形的各部分偏转角度导致不再对称。

5. 因此，根据旋转对称性的定义，没有任何小于360度的旋转能够使该图形与原图形完全重合，即图形没有旋转对称性。

6. 经过上述推理，最终得出答案为no（图形没有旋转对称性）。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转90度不可以得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-66aacf350385b9752080744e1989dd3a-img-6a994ff2ef754c20b7d8d6704b8e7d71.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？", "answer": "- no", "process": "1. 观察图像，识别图形的各个部分，以确定该图形是否具有旋转对称性。

2. 旋转对称性的定义为：在旋转图形一圈（360度）过程中，如果存在一个小于360度的旋转角度使得旋转后图形与原图形完全一致，则该图形具有旋转对称性。

3. 假设我们将该图形绕中心点逆时针旋转，不论旋转多少度（只要旋转角度小于360度），头部、四肢和尾巴都不会与原图中的位置和方向一致。

4. 经过对图形的细致观察及验证，确认在旋转小于360度前，图形始终无法与原来的样子重合。

5. 依据上述分析和旋转对称性的标准，该图形不符合旋转对称的条件。

6. 因此，最终得出结论该图形没有旋转对称性。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "图形经过顺时针/逆时针旋转90度无法得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0c9df1f3d8fa45c59f6625e168cd74a4-img-c155d55782624ff385fcc140ddd90e8a.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？\n\n- yes\n- no", "answer": "- no", "process": "1. 图中的旋转对称性是指图像在旋转小于360°的角度后，图形看起来与原图片相同。

2. 观察给定的图形，它是一个章鱼的形状。

3. 对于图形的旋转对称性，我们需要判断是否存在一个小于360°的旋转角度使得图像与原图重合。

4. 章鱼图��的结构不对称，特别是其触手和头部，导致无法在旋转小于360°的情况下让图像与原图重合。

5. 通过视觉检查，我们发现章鱼图像中的触手分布在左右两侧虽然均衡，但是任何小于360°的旋转都不能使该图形与原图重合。

6. 依据以上判断，图中的章鱼没有旋转对称性。

n. 经过上述推理，最终得出答案为No。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "章鱼图形经过顺时针/逆时针旋转任意小于360度的角度都不可以得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3d747b0273260aeb58512b404a9fe000-img-6d179d1a61b14a2c90e34a1c1a9ec8da.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 首先观察图形的整体结构，它具有一个中心并包括若干重复的图案单元。

2. 将整个图形划分为若干等分区域，每个区域包含一个相同的重复图案单元。

3. 观察该图案单元的数量，在图中观察到有6个相同的单元。

4. 根据旋转不变性定理，从图形中心出发，旋转图形360度，当每个图案单元对齐到下一个相邻位置时，图形会看起来与旋转之前相同。

5. 对于一个包含6个相同图案单元的图形，能够每60度旋转一次仍然保持图形不变。此即为旋转对称。

6. 经过上述推理，可以得出该图案具有旋转对称性。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "图中中心点标记为O，如果我们围绕该中心点旋转60度或其倍数角度（如120度、180度等），整个图形将会呈现出与未旋转前完全相同的样子。旋转角度标记为60度，在每次旋转该角度后，图形的每个部分例如a、b、c、d、e、f（六个等分单元）都将与未旋转前重合。"}]} +{"img_path": "ixl/question-60d80ea76168ae8736031a3f095ccb16-img-5e485a07eaa44ee69c4365dfa3d22295.png", "question": "这幅图有旋转对称性吗？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 观察图片中的图形，该图形是一个中心对称的图案，形状类似于太阳花，由中心的圆形和外围的花瓣组成。

2. 太阳花图案大约由20片形状大小相同且均匀分布的花瓣组成，围绕中心的圆形对称排列。

3. 每片花瓣之间的角度都相同，可以通过将360度除以花瓣的数量进行计算，由此角度计算可知花瓣之间的角度为360度/20片=18度。

4. 依据旋转对称性的定义：如果一个图形经过少于360度的旋转可以得到与原图形相同的图形，则该图形具有旋转对称性。

5. 根据约翻转的角度基于计算的结果: 当图形绕中心顺时针或逆时针旋转18度的整数倍时，图形看起来与旋转前完全一样。

6. 因此，太阳花图案在图中可以至少在18度的最小非零角度下保持不变，符合旋转对称性的定义。

7. 经过上述分析过程，最终得出答案为图中所示图案具有旋转对称性。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "太阳花图案经过18度的旋转后，形状和排列依旧保持不变，因此太阳花图案符合旋转对称充要条件，具有旋转对称性。"}, {"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转18度可以得到与原图形相同的图形，所以该图形具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e8ba5b345f8b32307db198f791d85f09-img-ee99e329dc1041fd8c82de3ad51a13d5.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 观察图形的整体构造，发现其基本形状由铲头和柄子组成。

2. 根据旋转对称性的定义，若一个图形存在旋转对称性，则在小于360度的旋转下，图形将与初态完全重合。

3. 图形中的铲子头部相对于柄子有一个固定方向，并且柄子的一端有一个特征性曲线手柄。

4. 假设对图形进行90度、180度和270度按顺时针或逆时针方向旋转。

5. 旋转90度后，铲头所在的位置朝向将改变，未与初始姿势重合。

6. 旋转180度后，铲头将上下颠倒，手柄的方向与原先不同，依然未重合。

7. 旋转270度后，铲头方向继续改变，手柄位置不符合初态方向。

8. 通过上述尝试，发现无论对铲子做任何小于360度的旋转，图形均无法保持与初态完全重合。

9. 因此，可以得出结论，该图形不具备旋转对称性。

10. 经过上述推理，最终得出答案为no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "铲子头部的位置和手柄的位置在旋转90度、180度和270度后都未与初始位置重合，表明该图形并未满足几何图形旋转不变性原理，最终得出答案是:no。"}, {"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转90度不可以得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-06fc6b07a35a53fad3b3fadc8f756dfc-img-920f38901caf464694c48f571b2ec6ba.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 为了判断图片是否具有旋转对称性，我们需要检查图片在旋转特定角度时，是否能与自身重合。

2. 分析图片时，我们发现在旋转90度、180度、270度时，图片的布局与原方向均不重合。

3. 具体来说，图片包含多个不同方向的形状，例如树和太阳，这些元素的排列在任何非完全旋转下（小于360度）均无法与原图匹配。

4. 因此，图片在小于360度的旋转下不具备与自身的重合性。

5. 根据旋转对称性的定义，无法与自身重合的任何旋转角度表明图片不具备旋转对称性。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "通过旋转图片90度、180度、270度来检查这些特定角度下是否能与原图重合。具体来说，观察每个角度下，像树和太阳这样的元素是否在任何小于360度的旋转后能够回到原来的位置，确定图片是否具有旋转对称性。"}, {"name": "Definition of Rotational Symmetry", "content": "A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.", "this": "图形经过顺时针/逆时针旋转90度不可以得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2d54658b41c4d6c89eee52ea93950210-img-26e148ce310d42e6b320a066cc47f20c.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。\n\n\n\nJ'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nK'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nL'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nM'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "J'(-8,-9) \nK'(-8,-6) \nL'(-9,-6) \nM'(-9,-9)", "process": "1. 已知要将点绕原点逆时针旋转 90°，根据二维平面旋转公式：若点 P(x, y) 绕原点逆时针旋转 90° 后得到 P'(x', y')，则 x' = -y, y' = x。

2. 对于点 J(-9, 8)，代入旋转公式可得 J' 的坐标：x' = -8, y' = -9，所以 J' 的坐标为 (-8, -9)。

3. 对于点 K(-6, 8)，代入旋转公式可得 K' 的坐标：x' = -8, y' = -6，所以 K' 的坐标为 (-8, -6)。

4. 对于点 L(-6, 9)，代入旋转公式可得 L' 的坐标：x' = -9, y' = -6，所以 L' 的坐标为 (-9, -6)。

5. 对于点 M(-9, 9)，代入旋转公式可得 M' 的坐标：x' = -9, y' = -9，所以 M' 的坐标为 (-9, -9)。

6. 经过上述步骤，将四边形 JKLM 的各个顶点 J、K、L、M 按照旋转公式转换为新顶点，即 J'(-8, -9)，K'(-8, -6)，L'(-9, -6)，M'(-9, -9)。

7. 经过推理和计算，四边形 JKLM 经过 90° 逆时针旋转后的顶点坐标为：J'(-8, -9)、K'(-8, -6)、L'(-9, -6)、M'(-9, -9)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "点 J(-9, 8)，代入旋转公式可得 J' 的坐标：x' = -8, y' = -9，所以 J' 的坐标为 (-8, -9)。依次对于 K, L, M 亦如此。最终得到 四边形 JKLM 的旋转后的顶点坐标为：J'(-8, -9), K'(-8, -6), L'(-9, -6), M'(-9, -9)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6e1d8bd17b2cb027e019fd95fc8876ee-img-230f3c2b93714d1ca1a8bda1d56daf4a.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。\n\n\n\nJ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "J'(-3,-8) \nK'(-9,-8) \nL'(0,-2)", "process": "1. 已知点 J 的坐标为 (-8, 3)，我们需要以原点 (0, 0) 为中心，将它逆时针旋转 90°。

2. 根据二维平面旋转公式，点 (x, y) 逆时针旋转 90° 后的新坐标为 (-y, x)。

3. 应用公式对点 J，有 J 的新坐标 J' = (-3, -8)。

4. 类似地，对于点 K，其坐标为 (-8, 9)，应用同样的旋转公式。

5. 经过变换，K 的新坐标 K' = (-9, -8)。

6. 对点 L，其坐标为 (-2, 0)，应用旋转公式得到其新坐标。

7. 计算可得 L 的新坐标 L' = (0, -2)。

8. 经过上述推理，最终得到答案为 J'(-3, -8), K'(-9, -8), L'(0, -2)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "三角形 JKL 的每个点都绕原点 (0, 0) 逆时针旋转了 90°。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "点 J(-8, 3) 旋转后得到新坐标 J'(-3, -8)，点 K(-8, 9) 旋转后得到新坐标 K'(-9, -8)，点 L(-2, 0) 旋转后得到新坐标 L'(0, -2)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d11ab624f312df519e73afef977405fc-img-1f6cb1d0708a436abe9dda351df63313.png", "question": "你能证明这个四边形是平行四边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 观察图形，发现给定的四边形中只有一对角标记为相等。

2. 根据平行四边形的性质定理：在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。此处仅有一对对角相等，无法满足该定理。

3. 另一种判定四边形为平行四边形的方法是：根据平行四边形的定义，平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。但是从图中没有相应的信息支持这两个条件。

4. 由于没有足够的关于边长和其他角的信息，所以无法通过平行四边形的相关定义或定理来确认此四边形为平行四边形。

5. 经过以上分析，结论是给定的信息不足以证明此四边形是平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形的两组对边没有标注信息支持它们平行且相等，因此无法满足平行四边形的定义。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，四边形的中仅有一对对角相等，另一对对角没有标注信息支持它们相等，因此无法满足平行四边形的定义。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ad9a019b7b009e1aeb761af5f4b1aa18-img-ed6ddf4889fc49af93046dfafbd81744.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转180°后的顶点坐标。\n\nP'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nQ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nS'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "P'(-5,4) \nQ'(-5,1) \nR'(-10,1) \nS'(-10,4)", "process": "1. 已知点P的坐标是(5, -4)，需要将它绕原点进行180°逆时针旋转。

2. 根据二维平面旋转公式，点(x, y)经过180°旋转后，其新坐标为(-x, -y)。

3. 应用该公式于点P(5, -4)，其旋转后的新坐标为P'(-5, 4)。

4. 同理，对于点Q(5, -1)，应用二维平面旋转公式后，得到Q'(-5, 1)。

5. 同样地，对于点R(10, -1)，应用二维平面旋转公式后，得到R'(-10, 1)。

6. 最后，对于点S(10, -4)，应用二维平面旋转公式后，得到S'(-10, 4)。

7. 经过上述推理，最终四个顶点的旋转后的坐标为：P'(-5, 4)，Q'(-5, 1)，R'(-10, 1)，S'(-10, 4)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "点P(5, -4)、点Q(5, -1)、点R(10, -1)和点S(10, -4)都绕原点逆时针旋转180°。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "在本题图中，点 (x, y) 经过 180° 旋转后，简化公式得其新坐标为(-x, -y)，对于点P(5, -4)，代入旋转公式可得P' 的坐标：x' = -5, y' = 4，所以P' 的坐标为 (-5, 4)。依次对于Q、R、S亦如此。最终得到四边形 QRSP 的旋转后的顶点坐标为：P' (-5, 4)，Q' (-5, 1)，R' (-10, 1)，S' (-10, 4)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-081d343807545cfa5ddefb3e1647d901-img-ce7be70da3b04f9cad02a3c2a51d6dd4.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。\n\nS'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nT'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nU'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nV'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "S'(-1,-7) \nT'(-10,-7) \nU'(-10,-2) \nV'(-1,-2)", "process": "1. 给定矩形的顶点坐标为S(-7, 1), T(-7, 10), U(-2, 10), V(-2, 1)。

2. 我们需要围绕原点(0, 0)将这些点逆时针旋转90°。

3. 根据二维平面旋转公式：(x', y') = (-y, x)，其中(x, y)为原坐标，(x', y')为变换后的坐标。

4. 对点S(-7, 1)应用旋转公式，得到S'的坐标：(x', y') = (-1, -7)。

5. 对点T(-7, 10)应用旋转公式，得到T'的坐标：(x', y') = (-10, -7)。

6. 对点U(-2, 10)应用旋转公式，得到U'的坐标：(x', y') = (-10, -2)。

7. 对点V(-2, 1)应用旋转公式，得到V'的坐标：(x', y') = (-1, -2)。

8. 经过上述推理，最终得出四个顶点旋转后的坐标为：S'(-1, -7), T'(-10, -7), U'(-10, -2), V'(-1, -2)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "在本题图中，旋转的固定点是原点(0, 0)，我们将矩形的顶点(S, T, U, V)绕这个固定点逆时针旋转90°，从而得到新的顶点(S', T', U', V')。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "在本题图中，点S的坐标为(-7, 1)，我们需要将点S绕原点O逆时针旋转90°角，得到点S'的坐标(-1, -7)。同理，点T的坐标为(-7, 10)，我们需要将点T绕原点O逆时针旋转90°角，得到点T'的坐标(-10, -7)。同理，点U的坐标为(-2, 10)，我们需要将点U绕原点O逆时针旋转90°角，得到点U'的坐标(-10, -2)。同理，点V的坐标为(-2, 1)，我们需要将点V绕原点O逆时针旋转90°角，得到点V'的坐标(-1, -2)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-85b048fb7246ebb51ed3fa7ba1c47e51-img-1a3c59c945c6437c86dbd77a784c0275.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。\n\n\n\nD'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nE'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nF'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nG'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "D'(-2,-8) \nE'(-9,-8) \nF'(-9,-4) \nG'(-2,-4)", "process": "1. 已知点D的坐标为(-8,2)，我们需要将此点绕原点逆时针旋转90°。可以通过旋转矩阵得到新坐标：对任意点(x,y)，旋转后的坐标为(-y,x)。这基于二维平面旋转公式。

2. 应用以上旋转公式于点D：对于D(-8,2)，旋转后坐标为D'(-2,-8)。

3. 同样的方法用于点E。点E的原始坐标为(-8,9)。通过旋转公式，E'的坐标变为(-9,-8)。

4. 继续对点F应用旋转。点F的原始坐标为(-4,9)。经过旋转变换，得到F'的坐标为(-9,-4)。

5. 最后，应用同样的步骤于点G。点G的始坐标为(-4,2)。经过同样计算，G'的坐标变为(-2,-4)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为D'(-2,-8), E'(-9,-8), F'(-9,-4), G'(-2,-4)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点D的坐标为(-8,2)，点E的坐标为(-8,9)，点F的坐标为(-4,9)，点G的坐标为(-4,2)。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "点D(-8,2)经过90°逆时针旋转得到D'(-2,-8)；点E(-8,9)经过90°逆时针旋转得到E'(-9,-8)；点F(-4,9)经过90°逆时针旋转得到F'(-9,-4)；点G(-4,2)经过90°逆时针旋转得到G'(-2,-4)。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "矩形DEFG 的每个点都绕原点 (0, 0) 逆时针旋转了 90°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-61e26a04818d4af38fea5719fc51a81c-img-9371546ba73b426cb5bbb2b7b3e866a4.png", "question": "写出绕原点逆时针旋转180°后的顶点坐标。\n\nU'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nV'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nW'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "U'(8,5) \nV'(7,5) \nW'(6,10)", "process": "1. 已知点U的坐标为(-8, -5)，V的坐标为(-7, -5)，W的坐标为(-6, -10)，需要将这些点以原点为中心进行180°逆时针旋转。

2. 根据二维平面旋转公式，x' = xcos(θ) - ysin(θ)，y' = xsin(θ) + ycos(θ)，θ=180°，因为cos180°=-1，sin180°=0，所以通过计算逆时针旋转180°的公式为（x，y）-> (-x, -y)。

3. 计算点U经过180°逆时针旋转后的坐标：

根据旋转公式，U' = (-(-8), -(-5)) = (8, 5)。

4. 计算点V经过180°逆时针旋转后的坐标：

根据旋转公式，V' = (-(-7), -(-5)) = (7, 5)。

5. 计算点W经过180°逆时针旋转后的坐标：

根据旋转公式，W' = (-(-6), -(-10)) = (6, 10)。

6. 通过上述计算，我们得到旋转后点的坐标U'(8, 5)，V'(7, 5)，W'(6, 10)。

经过上述推理，最终得出答案为U'(8, 5), V'(7, 5), W'(6, 10)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "在本题图中，点U、V和W分别需要围绕原点进行180°逆时针的旋转变换。原点作为旋转中心，经过旋转变换后，新的点坐标可以根据公式(u, v) -> (-u, -v)进行计算。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "θ=180°时，cos180°=-1，sin180°=0，公式简化为x'=x*cos(180°) - y*sin(180°)=-x，y'=x*sin(180°) + y*cos(180°)=-y，因此，旋转180°逆时针变换的公式为(x, y) -> (-x, -y)。点U的坐标为(-8, -5)，根据旋转公式，U' = (-(-8), -(-5)) = (8, 5)。点V的坐标为(-7, -5)，根据旋转公式，V' = (-(-7), -(-5)) = (7, 5)。点W的坐标为(-6, -10)，根据旋转公式，W' = (-(-6), -(-10)) = (6, 10)。这些计算使用了旋转公式定理，并得出旋转后的新点坐标。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e680218cbeacb196e76a21a58883951a-img-9e0ac4d4a89e4cbf8816bed4377c0b84.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。\n\n\n\nJ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nM'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "J'(8,-9) \nK'(8,-2) \nL'(3,-2) \nM'(3,-9)", "process": "1. 已知点 J 的坐标为 (−9, −8)，我们需要将其绕原点旋转 90° 逆时针。根据二维平面旋转公式，坐标 (x, y) 逆时针旋转 90° 后的新坐标为 (−y, x)。

2. 根据上述旋转公式，将 J(−9, −8) 进行变换，得到 J' (8, −9)。

3. 接下来，我们考虑点 K，其坐标为 (−2, −8)。同样应用旋转公式，得到 K' (8, −2)。

4. 对于点 L，坐标为 (−2, −3)，旋转变换后的新坐标为 L' (3, −2)。

5. 最后，对点 M，其坐标为 (−9, −3)，应用相同的旋转公式，得到 M' (3, −9)。

6. 经过上述推理，最终得出旋转后的顶点坐标分别为：J'(8, −9)、K'(8, −2)、L'(3, −2)、M'(3, −9)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点 J 的坐标为 J(x, y) = J(-9, -8)，点 K 的坐标为 K(x, y) = K(-2, -8)，点 L 的坐标为 L(x, y) = L(-2, -3)，点 M 的坐标为 M(x, y) = M(-9, -3)。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "点 J 的坐标 (−9, −8) 通过旋转变换规则，绕原点逆时针旋转 90° 后的新坐标变为 J' (8, −9)。点 K 的坐标 (−2, −8) 旋转变换后变为 K' (8, −2)。点 L 的坐标 (−2, −3) 旋转变换后变为 L' (3, −2)。点 M 的坐标 (−9, −3) 旋转变换后变为 M' (3, −9)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3c858994a85f30c325d8994051d6236c-img-7046b121daf4491b9f4dcfede4248cf5.png", "question": "写出围绕原点逆时针旋转270°后的顶点坐标。\n\n\n\nD'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nE'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nF'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "D'(2,-2) \nE'(2,-9) \nF'(4,-3)", "process": "1. 已知点 D(2, 2)、E(9, 2)、F(3, 4)，需要将其绕原点 O(0, 0)逆时针旋转270°。

2. 根据二维平面旋转公式，x' = x*cos(θ) - y*sin(θ)，y' = x*sin(θ) + y*cos(θ)，θ=270°。又因为，cos270°=0，sin270°=-1。

3. 通过计算，即对于任何点(x, y)旋转270°逆时针后的点为(y, -x)。

4. 将点 D(2, 2)代入二维平面旋转公式，得到D'点坐标为(2, -2)。

5. 将点 E(9, 2)代入二维平面旋转公式，得到E'点坐标为(2, -9)。

6. 将点 F(3, 4)代入二维平面旋转公式，得到F'点坐标为(4, -3)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为D'(2, -2)，E'(2, -9)，F'(4, -3)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点 D 的坐标为 (2, 2)，点 E 的坐标为 (9, 2)，点 F 的坐标为 (3, 4)。它们分别表示这些点在 x 轴和 y 轴上的位置。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "将点 D、E 和 F 绕原点 O 进行270°逆时针旋转。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "θ=270°，cos270°=0，sin270°=-1，则旋转270°逆时针，公式为x' = y，y' =-x。对于点D(2, 2)，代入旋转公式可得D' 的坐标：x' = 2, y' = -2，所以D' 的坐标为 (2, -2)。依次对于D、E、F亦如此。最终得到四边形DEF 的旋转后的顶点坐标为：D'(2, -2)，E'(2, -9)，F'(4, -3)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c2555f50cd9f86087be861f1a18c55b8-img-f2822fe5e1bd4b2eb440ce382b948e89.png", "question": "写出绕原点逆时针旋转180°后的顶点坐标。\n\n\n\nE'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nF'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nG'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nH'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )", "answer": "E'(6,-2) \nF'(6,-10) \nG'(0,-10) \nH'(0,-2)", "process": "1. 已知点E的坐标为(-6, 2)，需要将其绕原点逆时针旋转180°。

2. 根据旋转变换的性质，绕原点逆时针旋转180°，点(x, y)的坐标变换为(-x, -y)。

3. 因此，点E的坐标(-6, 2)经过180°逆时针旋转后，变为E'(6, -2)。

4. 同样方法，点F的坐标为(-6, 10)，经过180°逆时针旋转后，F'(6, -10)。

5. 对点G(0, 10)，应用相同的旋转规则，得到G'(0, -10)。

6. 对点H(0, 2)，同样旋转得到H'(0, -2)。

7. 经过上述旋转操作，得到各顶点的新坐标：E'(6, -2)，F'(6, -10)，G'(0, -10)，H'(0, -2)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "旋转中心为原点(0, 0)，旋转角度为180°。点E(-6, 2)、点F(-6, 10)、点G(0, 10)、点H(0, 2)分别经过变换得到E'(6, -2)、F'(6, -10)、G'(0, -10)、H'(0, -2)的坐标。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cac6d7ddd85142f0ec7882dcbe285cf0-img-667ade604602421aa67210947e766207.png", "question": "写出顶点绕原点逆时针旋转90°后的坐标。\n\n\n\nB'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nC'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nD'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "B'(9,-1) \nC'(0,-1) \nD'(9,-5)", "process": "1. 已知点 B 的坐标为 (-1, -9)。根据二维平面旋转公式，对于任意点 (x, y) 在原点逆时针旋转 90°后，新坐标为 (-y, x)。所以 B' 的坐标为 (-(-9), -1)，即 (9, -1)。

2. 对点 C，已知坐标为 (-1, 0)。通过使用相同的二维平面旋转公式，新坐标 C' 为 (-(0), -1)，即 (0, -1)。

3. 对点 D，已知坐标为 (-5, -9)。使用二维平面旋转公式得出 D' 的新坐标为 (-(-9), -5)，即 (9, -5)。

4. 经过上述推理，点 B、C、D 在逆时针旋转 90° 后的坐标分别为 B'(9, -1)、C'(0, -1) 和 D'(9, -5)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "在本题图中，点 B 的坐标为(-1, -9)，点 C 的坐标为(-1, 0)，点 D 的坐标为(-5, -9)。这些点都可以用他们的坐标表示，即分别为 B(-1, -9)、C(-1, 0)、D(-5, -9)。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "点 B、C、D 绕原点逆时针旋转 90° 作为示例。旋转中心：原点；旋转角度：90°。旋转后点的新坐标：通过公式得出 B'(9, -1)，C'(0, -1)，D'(9, -5)。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "所有点都绕原点逆时针旋转 90°，根据公式得到旋转后点的坐标。点 B 的原坐标为(-1, -9)，旋转后坐标 B' = (9, -1)。点 C 的原坐标为(-1, 0)，旋转后坐标 C' = (0, -1)。点 D 的原坐标为(-5, -9)，旋转后坐标 D' = (9, -5)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0ade1865420b2aa5342921d0c0701ddd-img-9222a2af8160453b8ed8704c876e848a.png", "question": "△BCD和△WXY全等吗？", "answer": "- no", "process": "1. 首先，我们需要找到△BCD的三条边的长度。根据点B(–1,–1)和点D(–1,–10)有相同的x坐标，线段BD的长度为y坐标差的绝对值，即|–10–(–1)|=9。

2. 然后，我们找到线段BC的长度。因为点B(–1,–1)和点C(–10,–1)有相同的y坐标，线段BC的长度为x坐标差的绝对值，即|–10–(–1)|=9。

3. 接下来，计算线段CD的长度。因为点C(–10,–1)和点D(–1,–10)的x坐标和y坐标既不相同，所以我们需要使用两点之间的距离公式：距离公式√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

4. 将C(–10,–1)代入(x1,y1)，D(–1,–10)代入(x2,y2)后计算：CD=√((–1+10)^2+(–10+1)^2)=√(9^2+9^2)=√(81+81)=√162=9√2。

5. △BCD的三条边的长度分别为BD=9, BC=9, CD=9√2。

6. 接下来，我们计算△WXY的三条边的长度。首先，找出线段WY的长度。由于W(–10,10)和Y(–1,10)有相同的y坐标，线段WY的长度为x坐标差的绝对值，即|–1–(–10)|=9。

7. 接下来，我们找到线段WX的长度。因为W(–10,10)和X(–10,2)有相同的x坐标，线段WX的长度为y坐标差的绝对值，即|2–10|=8。

8. 然后，计算线段XY的长度。因为X(–10,2)和Y(–1,10)的x坐标和y坐标既不相同，所以我们使用距离公式：XY=√((–1+10)^2+(10–2)^2)=√(9^2+8^2)=√(81+64)=√145。

9. △WXY的三条边的长度分别为WY=9, WX=8, XY=√145。

10. 为了判断两个三角形是否全等，我们使用全等三角形判定定理(SSS)。该定理要求两个三角形的对应三边的长度相等。

11. 从计算结果我们可以看到，△BCD的边长分别为9, 9, 和9√2，而△WXY的边长分别为9, 8, 和√145。显然，这两个三角形的三边不对应相等。

12. 因此，根据三边相等定理，△BCD和△WXY不全等。

13. 经过上述推理，最终得出答案为'no'。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点C的坐标为 (–10,–1)，点D的坐标为 (–1,–10)。使用距离公式得出：CD = √((–1+10)^2+(–10+1)^2) = √(9^2+9^2) = √(81+81) = √162 = 9√2。计算线段XY的长度时，点X的坐标为 (–10,–2)，点Y的坐标为 (–1,10)。使用距离公式得出：XY = √((–1+10)^2+(–10+2)^2) = √(9^2+8^2) = √(81+64) = √145 = √145。因此定义在本例中被应用于计算上述两个点之间的距离。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "三角形BCD和三角形WXY中，边BD与边WY相等，边BC与边WX不相等，边CD与边XY不相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形BCD不全等于三角形WXY。"}]} +{"img_path": "ixl/question-18c5386c2e1ac8a1b0b60629aedc253c-img-eee48abc6d584c3f86195dd590647aa1.png", "question": "这个图形有旋转对称性吗？\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 观察图像，我们可以看到图中包含一个规则多边形，它由10个完全相同的扇形构成。

2. 将图中的每个扇形标记为A1, A2, ..., A10，根据正多边形的中心角与内角公式，每个扇形的中心角为 360°/10 = 36°。

3. 平移或旋转一个几何图形并使其重回自身位置的最小旋转称为旋转对称。若能在小于360°时重合，则具有旋转对称性。

4. 对于此图形，当我们将其顺时针或逆时针旋转36°时，由于各扇形完全相同，图形看起来与开始时的图形完全相同。

5. 因此，该图形具有36°的旋转对称性，以及其他36°的倍数（如72°, 108°, ...,324°）的旋转对称性。

6. 根据旋转不变性定理及此图的分析，确定该图形具备旋转对称性。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "在本题图中，整个圆图形包含一个由10个完全相同的扇形构成的规则多边形，即一个正十边形。每个扇形的边长相等，且每个扇形的中心角都为36°。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，每个扇形的中心角为36°，计算方式为360°/10 = 36°。图中每个扇形的圆心角由圆心O和两个相邻扇形的边组成。"}, {"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "在本题图中，当将图形顺时针或逆时针旋转36°时，图形恢复到原来的样子。这满足了旋转对称的定义，说明图形具有旋转对称性。也可以看到，每旋转36°的倍数如72°, 108°, ...,324°，图形都能重合自己。"}, {"name": "Formulas for the Central Angle and Interior Angle of a Regular Polygon", "content": "For a regular polygon with \\( n \\) sides, the measure of each central angle is given by \\( \\frac{360^\\circ}{n} \\). The measure of each interior angle is given by \\( \\frac{(n - 2) \\cdot 180^\\circ}{n} \\).", "this": "正多边形有10条边，其中中心角的度数为360度除以边数，每个内角的度数为(边数 - 2)乘以180度再除以边数。"}]} +{"img_path": "ixl/question-af212d970309a884bad15883b9e74af6-img-008d9eca78f04549aee865bf92410829.png", "question": "你能证明这个四边形是平行四边形吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 首先观察图形，四边形的对角线被标记为平分，即对角线互相平分。

2. 根据平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

3. 在本题中，假设四边形各顶点为A、B、C和D，对角线AC和BD相交于点O。

4. 由题可知有AO = OC和BO = OD，即点O是AC和BD的中点。

5. 通过平行四边形的性质定理得出，四边形ABCD满足平行四边形的条件。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "Parallelogram Determination Theorem 4", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if its diagonals bisect each other.", "this": "四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a1da2c34df60f695d6e64c15b7d60a4c-img-7a6a25e9b73547ffafab957bf41569e8.png", "question": "△EFG 和 △UVW 全等吗？", "answer": "- yes", "process": "1. 已知△EFG具有顶点E(-1,10)、F(-1,0)、G(-10,10)和△UVW具有顶点U(10,-9)、V(0,-9)、W(10,0)，要求证这两个三角形是否全等。

2. 利用坐标计算公式计算△EFG的边长。计算边EF时，E和F具有相同的x坐标，所以EF的长度为y坐标的差的绝对值，即EF=|0-10|=10。

3. 计算边EG时，E和G具有相同的y坐标，所以EG的长度为x坐标的差的绝对值，即EG=|-10-(-1)|=9。

4. 计算边FG时，F和G具有不同的x和y坐标，因此使用距离公式计算FG长度。距离公式为: √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，代入F(-1,0)、G(-10,10)，FG=√((-10-(-1))^2 + (10-0)^2)=√(81+100)=√181。

5. △EFG的三条边的长度分别为EF=10, EG=9, FG=√181。

6. 利用同样的方法计算△UVW的边长。计算边UV时，U和V具有相同的y坐标，所以UV的长度为x坐标的差的绝对值，即UV=|0-10|=10。

7. 计算边UW时，U和W具有相同的x坐标，所以UW的长度为y坐标的差的绝对值，即UW=|0-(-9)|=9。

8. 计算边VW时，V和W具有不同的x和y坐标，因此使用距离公式计算VW长度。代入V(0,-9)、W(10,0)，VW=√((10-0)^2 + (0-(-9))^2)=√(100+81)=√181。

9. △UVW的三条边的长度分别为UV=10, UW=9, VW=√181。

10. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果两三角形的三边对应相等，则两个三���形全等。此处EF=UV，EG=UW，FG=VW。

11. 经过上述推理，最终得出答案为：△EFG和△UVW全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点F的坐标为(-1,0)，点G的坐标为(-10,10)，所以FG的距离为√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-10 - (-1))^2 + (10 - 0)^2) = √(81 + 100) = √181。点V的坐标为(0,-9)，点W的坐标为(10,0)，所以VW的距离为√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((10 - 0)^2 + (0 - (-9))^2) = √(100 + 81) = √181。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形△EFG和三角形△UVW中，边EF与边UV相等，边EG与边UW相等，边FG与边VW相等。根据三角形全等的条件SSS（边边边），当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形△EFG全等于三角形△UVW。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3dba0031f7d833673046bb38c51626b2-img-83b09bc4f8994db69bbe245a51b57a28.png", "question": "你能证明这个四边形是平行四边形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形的一对相对的边平行且长度相等为33。

2. 根据平行四边形的判定定理3，如果一个四边形有一对相对的边平行且相等，则此四边形为平行四边形。

3. 因此，依据此定理，给定的四边形是平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形的一对对边平行且长度都为33。这确认了这对边平行且相等，这恰好满足平行四边形的定义。"}, {"name": "Parallelogram Criterion Theorem 3", "content": "If one pair of opposite sides of a quadrilateral are both parallel (∥) and congruent (≅), then the quadrilateral is a parallelogram.", "this": "对边平行且相等，所以该四边形为平行四边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a0048e5f2f65e60a9923a97a908eb265-img-5ff30fc7451d42a79d31529ac6f99428.png", "question": "平行四边形 DEFG 是菱形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知平行四边形 DEFG 的四个角的度数为相等，即 m∠DEG = m∠DGE = m∠EGF = m∠FEG = 30°，因此线段 EG 平分∠DEF 和∠DGF。

2. 由于 m∠DEG = m∠DGE = m∠EGF = m∠FEG = 30°，根据等边对等角原理，DE = DG 和 GF = GE。此时，DEFG 是一个等腰梯形，且满足对角线相等的条件。

3. 在平行四边形 DEFG 中，线段 EG 平分两个相邻角（即∠DEF 和∠DGF）的特性表明它是一条对角线，并且平分这两个对角，因此可以根据平行四边形的性质得出，四边形的所有边相等，DE = EF = FG = GD。

4. 根据菱形的定义（四个边长相等的平行四边形），四边形 DEFG 满足该定义中的条件，即 DE = EF = FG = GD。因此，平行四边形 DEFG 是一个菱形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形DEFG中，所有的边DE、EF、FG、GD都是相等的，因此四边形DEFG是一个菱形。此外，四边形DEFG的对角线EG和DF互相垂直平分，即对角线EG和DF相交于点O，且角EOF是直角（90度），并且DE=EF=FG=GD。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "三角形DEG中，边DE和边DG相等，因此三角形DEG是一个等腰三角形；同理，三角形FEG中，边GF和边GE相等，因此三角形FEG是一个等腰三角形。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形DEFG中，对角∠DEF和∠DGF相等，对角∠DGE和∠EGF相等；边DE和EF相等，边FG和GD相等；对角线EG和DF互相平分，即交点将对角线EG分成两段相等的线段EG和GE，将对角线DF分成两段相等的线段DF和FD。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "所有的边DE、EF、FG、GD都是相等的，因此四边形DEFG是一个菱形。此外，四边形DEFG的对角线EG和DF互相垂直平分，即对角线EG和DF相交于点O，且角EOF是直角（90度），并且DE=EF=FG=GD。"}]} +{"img_path": "ixl/question-78c12ecbdd35031f8fe49632fa09184d-img-1712797541744167b1f77e048f6a37b2.png", "question": "你能证明这个四边形是平行四边形吗？\n\n\n- 是\n- 否\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知一个四边形中，一组对角的度数相等，为56°，另一个角的度数为124°。

2. 利用多边形内角和定理：一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。得到四边形内角和为 (4-2) × 180°=360°。

3. 假设未知角的测量值为x，那么有56° + 124° + 56° + x = 360°。

4. 进行计算：236° +x = 360°。

5. 为了求得x，从两侧分别减去236°，得到 x = 124°。

6. 计算得出四边形另一组对角相等，为124°。因为四边形中，两组对角的角度相等（56°和124°），根据平行四边形的判定定理5，若四边形的两组对角分别相等，该四边形为平行四边形。可知该四边形为平行四边形。

7. 通过上述推理，最终得出答案为是。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形的四个角分别为56°、124°、56°和124°。因为两组对角相等 (56°和124°)，所以这个四边形是平行四边形。"}, {"name": "Polygon Interior Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of a polygon is equal to (n - 2) * 180°, where n represents the number of sides of the polygon.", "this": "在本题图中，四边形的内角和为 (4 - 2) * 180° = 2 * 180° = 360°。用到的公式是四边形的内角和公式。在图中，已知三个角的度数分别为56°, 124°和56°，设第四个角为x度。根据内角和公式，有56° + 124° + 56° + x = 360°。"}, {"name": "Parallelogram Criterion Theorem 5", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if each pair of opposite angles are congruent.", "this": "四边形的一组对角相等且为56°，另一组对角相等且为124°，所以该四边形为平行四边形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-80fdb51a8ce18af0b64e6e4a37e7d622-img-d362221cafd9462193994191f5e997a7.png", "question": "△GHI 和 △DEF 全等吗？", "answer": "- no", "process": "1. 根据题目提供的坐标点，确定△GHI的各边长度：G(2, -9), H(-8, -9), I(-8, 0)。

2. 边GH为水平线段，因为G和H的y坐标相同，计算GH的长度为|x_H - x_G| = |-8 - 2| = 10。

3. 边HI为竖直线段，因为H和I的x坐标相同，计算HI的长度为|y_I - y_H| = |0 - (-9)| = 9。

4. 边GI为斜线段，使用两点之间的距离公式计算：GI = sqrt((x_I - x_G)^2 + (y_I - y_G)^2) = sqrt((-8 - 2)^2 + (0 - (-9))^2) = sqrt(10^2 + 9^2) = sqrt(100 + 81) = sqrt(181)。

5. △GHI的三边长度为GH = 10, HI = 9, GI = sqrt(181)。

6. 接下来，确定△DEF的各边长度：D(1, -3), E(1, 8), F(10, 8)。

7. 边DE为竖直线段，因为D和E的x坐标相同，计算DE的长度为|y_E - y_D| = |8 - (-3)| = 11。

8. 边EF为水平线段，因为E和F的y坐标相同，计算EF的长度为|x_F - x_E| = |10 - 1| = 9。

9. 边DF使用距离公式计算：DF = sqrt((x_F - x_D)^2 + (y_F - y_D)^2) = sqrt((10 - 1)^2 + (8 - (-3))^2) = sqrt(9^2 + 11^2) = sqrt(81 + 121) = sqrt(202)。

10. △DEF的三边长度为DE = 11, EF = 9, DF = sqrt(202)。

11. 比较△GHI和△DEF的三边长度：GH = 10 ≠ DE = 11, HI = 9 = EF = 9, GI = sqrt(181) ≠ DF = sqrt(202)。

12. 根据全等三角形判定定理(SSS)，两个三角形的对应边相等才能判定两个三角形全等。由上述边长比较可知，△GHI和△DEF不满足SSS定理。

13. 通过上述分析，得出结论：△GHI和△DEF不全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，计算边GI的长度时使用到两点之间的距离公式，具体为 GI = sqrt((x_I - x_G)^2 + (y_I - y_G)^2) = sqrt((-8 - 2)^2 + (0 - (-9))^2) = sqrt(10^2 + 9^2) = sqrt(100 + 81) = sqrt(181)。同样地，计算边DF的长度时也使用了此公式，具体为DF = sqrt((x_F - x_D)^2 + (y_F - y_D)^2) = sqrt((10 - 1)^2 + (8 - (-3))^2) = sqrt(9^2 + 11^2) = sqrt(81 + 121) = sqrt(202)。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形GHI和三角形DEF中，边GH与边ED不相等，边HI与边EF相等，边GI与边DF不相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形GHI不全等于三角形DEF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-757dfbc3e390e06d74fa6c8e3a9e3e79-img-231a67801fe44076b6ad7226c9ca5b72.png", "question": "平行四边形 UVWX 是矩形吗？\n\n\n- 是\n- 不是\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "- yes", "process": "1. 已知四边形 UVWX 是平行四边形，根据平行四边形的性质，UV 平行于 WX，且 UW 平行于 VX。

2. 已知 UT = VT = WT = XT = 34，根据三角形的边长性质，四条线段 UT，VT，WT，XT 相等。

3. 由于 UT = VT = WT = XT，点 T 是四边形 UVWX 对角线的交点，根据对等的性质 T 是对角线的中点。

4. 连接 UW 与 VX，并注意到 UW = VX = 68，根据题目中的条件和斜边查找，UWT 与 VXT 是等腰直角三角形。

5. 根据等腰直角三角形的性质，∠UWT = ∠VXT = 90°，这是因为在等腰直角三角形中，两个同等的边长之间的角度为 90°。

6. 因为 ∠UWT = ∠VXT = 90°，这意味着四边形 UVWX 内部的每个角都是直角。

7. 因此，根据直角平行四边形的定义，UVWX 是一个矩形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 UVWX 是一个平行四边形，边 UV 与边 WX 平行且相等，边 UW 与边 VX 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 UVWX 是一个矩形，其内角 ∠VUW, ∠UVX, ∠VXW, ∠XWV 都是直角（90度），且边 UV 与边 WX 平行且等长，边 UW 与边 VX 平行且等长。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "平行四边形 UVWX 中，对角 ∠UVX 和 ∠UWX 相等，对角 ∠VUW 和 ∠VWX 相等；边 UV 和 WX 相等，边 UW 和 VX 相等；对角线 UT 和 VX 互相平分，即交点 T 将对角线 UT 分成两段相等的线段 UT 和 XT，将对角线 VX 分成两段相等的线段 VT 和 WT。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 UVWX 是一个矩形，其内角 ∠VUW, ∠UVX, ∠VXW, ∠XWV 都是直角（90度），且边 UV 与边 WX 平行且等长，边 UW 与边 VX 平行且等长。"}]} +{"img_path": "ixl/question-775517cd0bd061f4e2510342b0b0500e-img-ef7d9f1fb2c947218bc0e76638ef9a21.png", "question": "△TUV 和 △ABC 是全等的吗？\n\n\n- 是\n- 不是", "answer": "- no", "process": "1. 首先计算△TUV的边长。点T(1,8)和V(1,-1)的x坐标相同，因此TV是它们的y坐标之差的绝对值。故TV=|-1-8|=9。

2. 接着计算TU。点T(1,8)和U(10,8)的y坐标相同，因此TU是它们的x坐标之差的绝对值。故TU=|10-1|=9。

3. 最后计算UV。点U(10,8)和V(1,-1)的坐标既无相同的x坐标，也无相同的y坐标，因此使用两点之间的距离公式来计算UV。距离公式为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。代入U(10,8)为(x1,y1)和V(1,-1)为(x2,y2)，得到：UV=√((1-10)^2+(-1-8)^2)=√((-9)^2+(-9)^2)=√(81+81)=√162=9√2。

4. 如此，△TUV的边长为TV=9，TU=9，UV=9√2。

5. 现在计算△ABC的边长。点A(-2,10)和B(-2,1)的x坐标相同，因此AB是它们的y坐标之差的绝对值。故AB=|1-10|=9。

6. 接着计算AC。点A(-2,10)和C(-10,10)的y坐标相同，因此AC是它们的x坐标之差的绝对值。故AC=|-10-(-2)|=|-10+2|=8。

7. 由于三角形TUV的任意一条边的长度均不为8，而三角形ABC的边AC的长度为8，因此通过全等三角形判定定理(SSS)，△TUV与△ABC不全等。

8. 经过上述推理，最终得出答案为否（No）。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点U(10,8)和点V(1,-1)的距离UV可以使用距离公式计算。代入坐标后，距离UV = √((1 - 10)^2 + (-1 - 8)^2) = √((-9)^2 + (-9)^2) = √(81 + 81) = √162 = 9√2。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，计算得出△TUV的边长分别为TV = 9, TU = 9, UV = 9√2，而△ABC的边长分别为AB = 9, AC = 8，BC需要计算得出结果。由于三角形TUV的任意一条边的长度均不为8，而三角形ABC边AC的长度为8，因此通过边边边全等定理，△TUV与△ABC不全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e00ca876da121872e6a0629f8363375b-img-a05e93878d3e495ebc75132dd5d077d5.png", "question": "△QRS 和 △DEF 全等吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- yes", "process": "1. 根据题目中给出的坐标，计算△QRS的边长。首先计算边QS，点Q(-8, 1)与S(-8, 10)具有相同的x坐标，因此边QS的长度等于这两个点的y坐标的差的绝对值，即|10-1|=9。

2. 其次计算边RS，点R(1, 10)与S(-8, 10)具有相同的y坐标，因此边RS的长度等于这两个点的x坐标的差的绝对值，即|-8-1|=9。

3. 最后计算边QR，Q(-8, 1)和R(1, 10)的x坐标和y坐标均不相等，因此使用两点间距离公式计算QR。距离公式为：√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，代入x1=-8, y1=1, x2=1, y2=10，得QR = √((1 - (-8))^2 + (10 - 1)^2) = √(9^2 + 9^2) = √162 = 9√2。

4. 根据题目中的坐标，计算△DEF的边长。首先计算边DF，点D(10, -8)与F(1, -8)具有相同的y坐标，因此边DF的长度等于这两个点的x坐标的差的绝对值，即|1-10|=9。

5. 其次计算边EF，点E(1, 1)与F(1, -8)具有相同的x坐标，因此边EF的长度等于这两个点的y坐标的差的绝对值，即|-8-1|=9。

6. 最后计算边DE，D(10, -8)和E(1, 1)的x坐标和y坐标均不相等，因此使用两点间距离公式计算DE。距离公式为：√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，代入x1=10, y1=-8, x2=1, y2=1，得DE = √((1 - 10)^2 + (1 - (-8))^2) = √((-9)^2 + 9^2) = √162 = 9√2。

7. 通过计算，△QRS的三条边长分别为9, 9, 9√2，△DEF的三条边长也分别为9, 9, 9√2。

8. 使用:全等三角形判定定理(SSS)，该定理指出如果两三角形的三个对应边相等，则这两个三角形全等。由于三角形QRS和三角形DEF的对应边都相等，我们可以确认△QRS ≅ △DEF。

9. 经过上述推理，最终得出答案为yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，计算 QR 时使用的两点间距离公式，QR 的计算过程如下：QR = √((1 - (-8))^2 + (10 - 1)^2) = √(9^2 + 9^2) = √162 = 9√2。此外，DE 也通过此公式计算：DE = √((1 - 10)^2 + (1 - (-8))^2) = √((-9)^2 + 9^2) = √162 = 9√2。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "边QS与边DF相等，边RS与边EF相等，边QR与边DE相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形QRS全等于三角形DEF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8d4780367cb17c9095c810cf3c67e11e-img-831774783954401097f5f9d03b1770ef.png", "question": "△FGH 和 △STU 全等吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 给定了△FGH的顶点为F(–10,8), G(–1,8), H(–10,–1)以及△STU的顶点为S(10,–8), T(0,–8), U(10,1)。我们需要判断这两个三角形是否全等。

2. 首先计算△FGH的边长。由于点F(–10,8)和H(–10,–1)具有相同的x坐标，FH是y坐标差值的绝对值，因此FH = |–1–8| = 9。

3. 由于点F(–10,8)和G(–1,8)具有相同的y坐标，FG是x坐标差值的绝对值，因此FG = |–1 – (–10)| = 9。

4. 计算边GH，由于点G(–1,8)和H(–10,–1)的x坐标和y坐标均不相等，使用距离公式计算GH：

5. 距离公式为\\(d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\)。代入G(–1,8)为(x1,y1)和H(–10,–1)为(x2,y2)，得：

6. GH = \\(\\sqrt{(–10 - (–1))^2 + (–1 - 8)^2}\\) = \\(\\sqrt{(–9)^2 + (–9)^2}\\) = \\(\\sqrt{81 + 81}\\) = \\(\\sqrt{162}\\) = 9\\(\\sqrt{2}\\)。

7. 因此，△FGH的边长为FH = 9, FG = 9, GH = 9\\(\\sqrt{2}\\)。

8. 接下来，计算△STU的边长。由于点S(10,–8)和U(10,1)具有相同的x坐标，SU是y坐标差值的绝对值，因此SU = |1 – (–8)| = 9。

9. 由于点S(10,–8)和T(0,–8)具有相同的y坐标，ST是x坐标差值的绝对值，因此ST = |0 – 10| = 10。

10. 计算边UT，使用距离公式计算UT：

11. 将点T(0,–8)设为(x1,y1)和U(10,1)设为(x2,y2)，代入距离公式得：

12. UT = \\(\\sqrt{(10 - 0)^2 + (1 - (–8))^2}\\) = \\(\\sqrt{10^2 + 9^2}\\) = \\(\\sqrt{100 + 81}\\) = \\(\\sqrt{181}\\) 。

13. △STU的边长为SU = 9, ST = 10, UT = \\(\\sqrt{181}\\) 。

14. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果两个三角形对应边分别相等，则两个三角形全等。在此问题中，FH ≠ ST，因此两个三角形的对应边不全相等。

15. 经过以上推理，△FGH和△STU不全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点F的坐标为(–10, 8)，点G的坐标为(–1, 8)，点H的坐标为(–10, –1)，点S的坐标为(10, –8)，点T的坐标为(0, –8)，点U的坐标为(10, 1)。每个顶点的坐标明确表示其在平面直角坐标系中的位置。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，计算边GH的长度时，我们用到距离公式。点G的坐标为(–1, 8)，点H的坐标为(–10, –1)，根据距离公式，GH = \\(\\sqrt{(–10 - (–1))^2 + (–1 - 8)^2}\\) = \\(\\sqrt{81 + 81}\\) = \\(\\sqrt{162}\\) = 9\\(\\sqrt{2}\\)。计算边UT的长度时也是如此。点T的坐标为(0, –8)，点U的坐标为(10, 1)，UT = \\(\\sqrt{(10 - 0)^2 + (1 - (–8))^2}\\) = \\(\\sqrt{181}\\)。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形FGH和三角形STU中，边FH与边SU相等，边FG与边ST不相等，边GH与边UT不相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形FGH不全等于三角形STU。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ae805ea94635286c96cf17649cee70bb-img-da6e9a40c0154f86b879a2c46a9fd7e5.png", "question": "△FGH 和 △BCD 是全等的吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 根据题意，需要判断△FGH和△BCD是否全等。

2. 首先通过计算两三角形的三边长度来验证是否符合边-边-边全等定理：三边对应相等。

3. 计算△FGH的边长。点F的坐标为(9,0)，点H的坐标为(9,-9)，FH的长度等于y坐标差值的绝对值：FH=|-9-0|=9。

4. 点G的坐标为(-2,-9)，点H的坐标为(9,-9)，GH的长度等于x坐标差值的绝对值：GH=|9-(-2)|=11。

5. 对于边FG，点F的坐标为(9,0)，点G的坐标为(-2,-9)，使用距离公式，即两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。代入值计算：FG=√(((-2)-9)²+((-9)-0)²)=√(((-11)²)+((-9)²))=√(121+81)=√202。

6. △FGH的三边长度为：FH=9，GH=11，FG=√202。

7. 现在计算△BCD的边长。

8. 点B的坐标为(-10,9)，点D的坐标为(-1,9)，BD的长度等于x坐标差值的绝对值：BD=|-1-(-10)|=9。

9. 点C的坐标为(-1,-3)，点D的坐标为(-1,9)，CD的长度等于y坐标差值的绝对值：CD=|9-(-3)|=12。

10. 对于边BC，点B的坐标为(-10,9)，点C的坐标为(-1,-3)，使用距离公式：BC=√(((-1)-(-10))²+( (-3)-9)²)=√(9²+(-12)²)=√(81+144)=√225=15。

11. △BCD的三边长度为：BD=9, CD=12, BC=15。

12. 比较两三角形的边长：

13. △FGH的边（FH, GH, FG）对应长度为 9, 11, √202，

14. △BCD的边（BD, CD, BC）对应长度为9, 12, 15。

15. 明显△FGH和△BCD中没有一个三边长度完全对应相等。

16. 根据全等三角形判定定理(SSS)，△FGH和△BCD三边不对应相等，因此不全等。

17. 经过上述推理，最终得出答案为no，△FGH 和 △BCD 不全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点 F (9, 0) 和 点 G (-2, -9) 之间的距离 FG = √(((-2) - 9)² + ((-9) - 0)²) = √((-11)² + (-9)²) = √(121 + 81) = √202。类似地，计算出 点 B (-10, 9) 和 点 C (-1, -3) 之间的距离 BC = √(((-1) - (-10))² + ((-3) - 9)²) = √(9² + (-12)² = √(81 + 144) = √225 = 15。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "比较△FGH和△BCD的边长，发现△FGH的边（FH, GH, FG）对应长度为9, 11, √202，△BCD的边（BD, CD, BC）对应长度为9, 12, 15。这两组边长中没有一个完全对应相等，因此根据三角形全等的条件SSS（边边边），当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。△FGH和△BCD不全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-360dd3e43487053f5116379f21eea197-img-0453c8bf579340219553dbaf6f9ebd5d.png", "question": "△DEF 和 △HIJ 全等吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 已知三角形△DEF的顶点坐标为D(–4,–10), E(6,–1), F(6,–10)，以及三角形△HIJ的顶点坐标为H(–1,–3), I(–10,6), J(–1,6)。

2. 通过计算三角形△DEF的边长：

a. 因为D(–4,–10)和F(6,–10)的y坐标相同，所以DF的长度是x坐标差的绝对值，即DF=|6+4|=10。

b. 因为E(6,–1)和F(6,–10)的x坐标相同，所以EF的长度是y坐标差的绝对值，即EF=|-10+1|=9。

c. 使用两点之间的距离公式计算DE的长度。距离公式为：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。将D(–4,–10)视为(x1,y1)，E(6,–1)视为(x2,y2)，代入公式得到DE=√[(6+4)^2+(-1+10)^2]=√[100+81]=√181。

3. 通过计算三角形△HIJ的边长：

a. 因为H(–1,–3)和J(–1,6)的x坐标相同，所以HJ的长度是y坐标差的绝对值，即HJ=|6+3|=9。

b. 因为I(–10,6)和J(–1,6)的y坐标相同，所以IJ的长度是x坐标差的绝对值，即IJ=|-1+10|=9。

c. 使用两点之间的距离公式计算HI的长度。将H(–1,–3)视为(x1,y1)，I(–10,6)视为(x2,y2)，代入公式得到HI=√[(-10+1)^2+(6+3)^2]=√[81+81]=√162。

4. 获得三角形△DEF的边长DF=10，EF=9，DE=√181；三角形△HIJ的边长HJ=9，IJ=9，HI=√162。

5. 根据全等三角形判定定理(SSS)，两个三角形全等当且仅当它们的对应边长相等。在此题中，△DEF和△HIJ有不同的边长分布，因此不满足全等三角形判定定理(SSS)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为不全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "D(–4,–10)和E(6,–1)的距离为DE=√[(6+4)^2+(-1+10)^2]=√181；同样地，H(–1,–3)和I(–10,6)的距离为HI=√[(-10+1)^2+(6+3)^2]=√162。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，比较三角形△DEF和三角形△HIJ的三边长度：三角形△DEF的边长为DF=10，EF=9，DE=√181；三角形△HIJ的边长为HJ=9，IJ=9，HI=√162。因为对应边长不全部相等（DE不等于HI），所以根据三角形全等的条件SSS（边边边），当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形△DEF和三角形△HIJ不全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a9db46329f21e657f0a9a6c7998e93ca-img-afe0563fe7194af58580b3ff50f5384d.png", "question": "△RST 和 △XYZ 是全等的吗？\n\n\n- 是\n- 不是", "answer": "- yes", "process": "1. 已知△RST的顶点坐标为R(-9,2), S(-9,-9), T(0,-9)，以及△XYZ的顶点坐标为X(-2,1), Y(9,1), Z(9,10)。

2. 计算△RST的边长。由于点R和点S的x坐标相等，所以RS是y坐标差的绝对值，即：RS = |-9 - 2| = 11。

3. 计算△RST的边长。由于点S和点T的y坐标相等，所以ST是x坐标差的绝对值，即：ST = |0 - (-9)| = 9。

4. 计算△RST的边长。使用两点之间的距离公式计算RT：RT = √[(0 - (-9))^2 + (-9 - 2)^2] = √(9^2 + (-11)^2) = √(81 + 121) = √202。

5. 因此，△RST的边长为RS = 11, ST = 9, RT = √202。

6. 计算△XYZ的边长。由于点X和点Y的y坐标相等，所以XY是x坐标差的绝对值，即：XY = |9 - (-2)| = 11。

7. 计算△XYZ的边长。由于点Y和点Z的x坐标相等，所以YZ是y坐标差的绝对值，即：YZ = |10 - 1| = 9。

8. 计算△XYZ的边长。使用两点之间的距离公式计算XZ：XZ = √[(9 - (-2))^2 + (10 - 1)^2] = √(11^2 + 9^2) = √(121 + 81) = √202。

9. 因此，△XYZ的边长为XY = 11, YZ = 9, XZ = √202。

10. 通过对比两三角形的边长，RS ≅ XY, ST ≅ YZ, RT ≅ XZ。

11. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果两三角形的对应三边分别相等，则这两个三角形全等，因此△RST ≅ △XYZ。

12. 经过上述推理，最终得出答案为yes。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "用两点间的距离公式计算边RT和边XZ的长度：RT = √((0 - (-9))^2 + (-9 - 2)^2) = √(9^2 + (-11)^2) = √(81 + 121) = √202；XZ = √((9 - (-2))^2 + (10 - 1)^2) = √(11^2 + 9^2) = √(121 + 81) = √202。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形RST和三角形XYZ中，边RS与边XY相等，边ST与边YZ相等，边RT与边XZ相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形RST全等于三角形XYZ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1d8c0199b98d89a7fa65ed636fe79276-img-a057b88292ec447b828115e6d4a490ba.png", "question": "哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等声明。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△EFG≅△RTS", "process": "1. 观察△EFG和△RTS，可以看到其中有标示的边和角。

2. 已知边FG ≅ 边 TS，此为两个三角形中第一对对应边。

3. 已知边EG ≅ 边 RS，此为两个三角形中第二对对应边。

4. 已知∠EGF ≅ ∠RST，此为两个三角形中对应的夹角。

5. 由上述已知条件可知，△EFG和△RTS分别有两对对应边及其夹角相等，符合全等三角形判定定理(SAS)。

6. 根据全等三角形判定定理(SAS)，若两三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。本题中，△EFG和△RTS因符合全等三角形判定定理(SAS)而全等。

7. 完整的全等三角形书写为：△EFG ≅ △RTS。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "边EG ≅ 边 RS，边FG ≅ 边 TS，且夹角 ∠EGF ≅ ∠RST，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等，即 △EFG ≅ △RTS。"}]} +{"img_path": "ixl/question-20e8e694e9e8761711ea041ada2e489b-img-e0f59fb39415402ba90dea25df3dce55.png", "question": "哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等语句。\n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△VWX≅△PQR", "process": "1. 已知△VWX, △BCD 和 △PQR, 图中标出了这些三角形的对应边相等。

2. 首先处理△VWX 和 △PQR：

3. 根据图示，边VW与边PQ上有相同数量的标记，说明边VW ≅ 边PQ。

4. 继续观察图示，边VX与边PR上有相同数量的标记，说明边VX ≅ 边PR。

5. 最后，边WX与边QR上的标记数量相同，成立WX ≅ 边QR。

6. 以上所有三对边均相等，所以依据三边相等（SSS）全等定理，△VWX ≅ △PQR。

7. 接下来处理△BCD 和 △PQR：

8. 图示中，边BD与边PQ有相同数量的标记，成立边BD ≅ 边PQ。

9. 再看边BC与边PR上的标记，我们发现BC ≅ 边PR。

10. 最后，边CD与边QR的标记数相符，成立边CD ≅ 边QR。

11. 因此，利用全等三角形判定定理(SSS)，△BCD ≅ △PQR。

12. 总结上面两组对比，我们得出：△VWX 和 △PQR为一对全等三角形。根据课题要求，匹配顶点得到全等形式：

13. 经过上述推理，最终得出答案为△VWX ≅ △PQR.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形VWX和三角形PQR是全等三角形，三角形VWX的对应边和对应角与三角形PQR相等，即： 边VW = 边PQ 边VX = 边PR 边WX = 边QR，同时，对应的角也相等： 角VWX = 角PQR 角V = 角P 角X = 角R。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形VWX和三角形PQR中，边VW与边PQ相等，边VX与边PR相等，边WX与边QR相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形VWX全等于三角形PQR。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d57b7d661eab7b052de14aa3d59d7d13-img-8b5516f81036480098bdb90b39df193f.png", "question": "哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等声明。\n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△DEF≅△YXZ", "process": "1. 已知全等三角形判定定理(SSS)：如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形是全等的。

2. 从图中可见：边EF、边DF和边DE，与边XZ、边YZ和边XY分别有对应相等的边长，EF≅XZ，DF≅YZ，DE≅XY。

3. 根据全等三角形判定定理(SSS)，三角形DEF和三角形XYZ的三条边分别相等，因此，△DEF≅△YXZ。

4. 通过观察可知，顶点D对应顶点Y，顶点E对应顶点X，顶点F对应顶点Z。

5. 因此，经过上述推理，最终得出三个三角形DEF和XYZ是全等的，△DEF≅△YXZ。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形DEF和三角形XYZ是全等三角形，三角形DEF的对应边和对应角与三角形XYZ相等，即：边DE≅边XY，边DF≅边YZ，边EF≅边XZ，同时，对应的角也相等：角DEF≅角YXZ，角EDF≅角XYZ，角DFE≅角YZX。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "三角形DEF和三角形XYZ的三条边分别相等：边DE≅边XY，边DF≅边YZ，边EF≅边XZ。因此，根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，△DEF≅△YXZ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-89690e8875beb81af22eaeee14c1e9dc-img-f0721316b64e4ba3a7fd9e6daf1b53fb.png", "question": "哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等陈述。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△ABC≅△RTS", "process": "1. 观察给定的三角形图，可以看出△ABC和△RST是候选的可能满足SAS定理的两个三角形。

2. 在△ABC中，标记可见边和角：边AC与边RS等长，边BC与边ST等长，角∠ACB与角∠RST相等。

3. 根据全等三角形判定定理(SAS)，如果两个三角形的两组对应边相等且夹角相等，那么这两个三角形全等。此处具体指：边BC = 边ST，角∠ACB = 角∠RST，以及边AC = 边RS。

4. 利用条件得出：△ABC与△RST满足全等三角形判定定理(SAS)的条件。

5. 根据全等三角形的定义，写出完整的全等三角形的对应顶点：△ABC ≅△RTS。

6. 经过上述推理，最终得出答案为：△ABC ≅△RTS。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形RST是全等三角形，三角形ABC的对应边和对应角与三角形RST相等，即： 边AC = 边RS 边BC = 边ST 边AB = 边RT,同时，对应的角也相等： 角∠ACB = 角∠RST 角∠CAB = 角∠SRT 角∠ABC = 角∠RTS."}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形SRT中，边AC与边SR相等，边BC与边RT相等，且夹角∠ACB与夹角∠RST相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。因此，△ABC ≅△SRT。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d2c4a93c03102003ce475491335ae769-img-a0b24f5ae7bf4b1089c55c34c9e9c92b.png", "question": "哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等陈述。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△QRS≅△IJH", "process": "1. 根据三角形的标记信息，确定三对合适的边：从图中标记来看，边QR上的标记与边IJ上的标记一致，表明QR ≅ IJ。

2. 同理，观察边RS和边HJ上的标记，发现两者的标记一致，因此RS ≅ HJ。

3. 最后，边QS和边HI上的标记一致，得出QS ≅ HI。

4. 根据全等三角形判定定理(SSS)，该定理表述为：如果一个三角形的三条边分别和另一三角形的三条边对应相等，则这两个三角形是全等的。

5. 在本题中，△QRS的三边QR, RS, QS分别与△HIJ的三边IJ, HJ, HI相等，根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。

6. 为了完成全等的对应关系，确定角的对应关系。由于边QR对应着边IJ，因此顶点Q对应顶点I。

7. 同时，边RS对应着边HJ，因而顶点R对应着顶点J。

8. 最后，边QS对应着边HI，所以顶点S对应着顶点H。

9. 综合以上信息，完成全等关系的三角形表达式：△QRS ≅△IJH。

10. 经过上述推理，最终得出答案为“在SSS定理下全等的三角形为 △QRS ≅△IJH。”", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形QRS和三角形HIJ是全等三角形，三角形QRS的对应边和对应角与三角形HIJ相等，即：\n边QR = 边IJ\n边RS = 边HJ\n边QS = 边HI，\n同时，对应的角也相等：\n角QRS = 角IJH\n角RSQ = 角JHI\n角SQR = 角HIJ。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形QRS和三角形HIJ中，边QR与边IJ相等，边RS与边HJ相等，边QS与边HI相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形QRS全等于三角形HIJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-58fa82c61466b9d9975b420efeb4d685-img-958bc24e20e34b7b8f90e55d67d196fb.png", "question": "哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等陈述。 \n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△WXY≅△GIH", "process": "1. 观察图形，根据图中标注的边长和角度，我们来确认是否存在两对边对应相等且夹角对应相等的三角形。

2. 观察△WXY和△GHI: 图中标明，边WY与边GH等长，即\\( \\overline{WY} \\cong \\overline{GH} \\)。

3. 图中标明∠W与∠G相等，即\\( \\angle W \\cong \\angle G \\)。

4. 图中标明，边WX与边GI等长，即\\( \\overline{WX} \\cong \\overline{GI} \\)。

5. 依据全等三角形判定定理(SAS)，即如果两三角形的两边及其夹角分别对应相等，则两三角形全等。在本题中的应用可以表示为：△WXY的两边WY, WX及夹角∠W分别与△GHI的两边GH, GI及夹角∠G对应相等。

6. 因此，根据全等三角形判定定理(SAS)可得，△WXY≅△GIH。

7. 经过上述推理，最终得出答案为两三角形△WXY与△GIH全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "边WY与边GH相等，边WX与边GI相等，且夹角∠WXY与夹角∠IGH相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f5d994d556b649d1619a25e797a4d5f9-img-b41c67739ae1436da6e9f31deed17e7a.png", "question": "△WXY和△IJK全等吗？", "answer": "- no", "process": "1. 根据题意，三角形 WXY 的顶点是 W(1,1), X(1,–8), Y(10,–8)。三角形 IJK 的顶点是 I(1,10), J(–8,10), K(–8,2)。

2. 先计算三角形 WXY 的边长。

3. 计算 WX 的长度。因为点 W(1,1) 和 X(1,–8) 的 x 坐标相同，WX 的长度为 y 坐标差的绝对值，即 WX=|–8–1|=9。

4. 计算 XY 的长度。因为点 X(1,–8) 和 Y(10,–8) 的 y 坐标相同，XY 的长度为 x 坐标差的绝对值，即 XY=|10–1|=9。

5. 计算 WY 的长度。因为 W(1,1) 和 Y(10,–8) 既不具备相同的 x 坐标，也不具备相同的 y 坐标，因此使用两点之间的距离公式计算 WY。根据距离公式，对于点 W(x1=1,y1=1) 和 Y(x2=10,y2=–8)，WY=√((x2–x1)²+(y2–y1)²)=√((10–1)²+(–8–1)²)=√(81+81)=√162=9√2。

6. 所以三角形 WXY 的边长分别为 WX=9, XY=9, WY=9√2。

7. 接下来计算三角形 IJK 的边长。

8. 计算 IJ 的长度。因为点 I(1,10) 和 J(–8,10) 的 y 坐标相同，IJ 的长度为 x 坐标差的绝对值，即 IJ=|–8–1|=9。

9. 计算 JK 的长度。因为点 J(–8,10) 和 K(–8,2) 的 x 坐标相同，JK 的长度为 y 坐标差的绝对值，即 JK=|2–10|=8。

10. 计算 KI 的长度。对于点 K(–8,2) 和 I(1,10)，根据两点之间的距离公式，KI=√((1–(–8))²+(10–2)²)=√(9²+8²)=√(81+64)=√145。

11. 所以三角形 IJK 的边长分别为 IJ=9, JK=8, KI=√145。

12. 依据全等三角形判定定理(SSS)，即两个三角形对应的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。

13. 对比两个三角形的边长，可以发现三角形 WXY 的三边为 9, 9, 9√2， 而三角形 IJK 的三边为 9, 8, √145。

14. 因为没有满足条件：两个三角形的三边对应相等，无法使用边边边全等条件。

15. 因此， 三角形 WXY 和三角形 IJK 不是全等三角形。

16. 经过上述推理，最终得出答案为 no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，使用距离公式计算点W(1,1)和Y(10,–8)之间的距离WY=√((10–1)²+(–8–1)²)=√162=9√2，以及点K(–8,2)和I(1,10)之间的距离KI=√((1–(–8))²+(10–2)²)=√(9²+8²)=√(81+64)=√145。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形WXY和三角形IJK中，边WX与边IJ相等，边XY与边JK不相等，边WY与边KI不相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形WXY不全等于三角形IJK。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0ea71ccfeaa24eba9f0a6a177d655c4b-img-ff6ce07abcbf4794b53ead21351fab63.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- ASA\n- SAS\n- AAS\n- SSS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 已知线段 TU ≅ 线段 VW，根据题目中的符号标记得到这一结论。

2. 已知角 TUV ≅ 角 TWV，根据题目中的符号标记得到这一结论。

3. 观察到三角形 TUV 和三角形 VWT 共享边 TV，可以得出线段 TV ≅ 线段 TV。

4. 分别分析上述两个三角形中已知全等的线段和角，对于三角形 TUV: 线段 TU、角 TUV、线段 TV。在三角形 TWV 中对应的是线段 VW、角 TWV、线段 TV。

5. 根据以上分析，两个三角形按顺序形成的对应关系是 SSA（Side-Side-Angle）。

6. 在全等三角形判定定理(SAS)中，SSA并不是一个有效的方法，因为无法仅通过两个边和一个不包括在这两条边之间的角来证明三角形的全等性。

7. 经过上述分析，无法使用 ASA、SAS、AAS 或 SSS 证明这两个三角形全等。

8. 因此，这两个三角形无法被证明是全等的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "边TU与边VW相等，边TV与边TV相等，但夹角UTV与夹角WVT相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形不全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c421e2483a88475b0590f041f1c82090-img-e87f3d3bbd1c4632974ade80b51d5319.png", "question": "哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等声明。\n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△GHI≅△RQP", "process": "1. 已知线段 GH ≅ QR 和 HI ≅ PQ，同时给出角 ∠ H ≅ ∠ Q。根据全等三角形判定定理(SAS)，即若两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2. 对于三角形GHI和三角形PQR，GH和QR是两三角形的两条对边，HI和PQ是另外两条对边，而∠ H和∠ Q是两条对边之间的夹角。

3. 因此，符合边-角-边定理的条件：△GHI 和△PQR的两条对应边分别相等，夹角也相等。因此，依据全等三角形判定定理(SAS)，可以推断△GHI ≅ △PQR。

4. 根据全等三角形的定义，对应顶点的顺序需保持一致。线段GH对应QR，线段HI对应PQ，因此三角形GHI的G对应三角形PQR的R，H对应Q，I对应P；最终得到的全等关系为：△GHI ≅ △RQP。

5. 经过上述推理，最终得出答案为△GHI ≅ △RQP。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形GHI和三角形PQR是全等三角形，三角形GHI的对应边和对应角与三角形PQR相等，即： 边GH = 边QR 边HI = 边PQ，同时，对应的角也相等： 角GHI = 角RQP 角HIG = 角QPR 角IGH = 角RPQ。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形GHI和三角形PQR中，边GH与边QR相等，边HI与边PQ相等，且夹角∠H与夹角∠Q相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等：△GHI ≅ △PQR。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e5452d0e35d528151d86b0c587e18fee-img-627f682e467b41718eb9b82291ff4c1b.png", "question": "哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等语句。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△CDE≅△WYX", "process": "1. 为了解决这个几何题，我们需要寻找两个三角形，使得它们满足全等的三边相等性（SSS）的条件。

2. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等。

3. 查看给定的图，其中有三个三角形分别为△CDE, △WXY, 和△QRS。

4. 从图中标示的相等边中，我们可以观察到以下等长关系：

5. 线段DE ≅ 线段XY，这意味着在△CDE和△WXY中，边DE等于边XY。

6. 线段CE ≅ 线段WX，同时这表明在这两个三角形中，边CE等于边WX。

7. 线段CD ≅ 线段WY，这进一步确认在两个三角形中，边CD等于边WY。

8. 因此，三角形△CDE中的三条边都分别等于三角形△WXY中的对应三条边。

9. 根据全等三角形判定定理(SSS)，我们得出这两个三角形△CDE和△WXY是全等的。

10. 做全等三角形的顶点对应：由于边相对的顶点必须对应，因此顶点C对应顶点W，顶点D对应顶点Y，顶点E对应顶点X。

11. 经过上述推理，最终得出答案为△CDE≅△WXY。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形△CDE和三角形△WXY是全等三角形，三角形△CDE的对应边和对应角与三角形△WXY相等，即：\n边CD = 边WY\n边DE = 边XY\n边CE = 边WX\n同时，对应的角也相等：\n角CDE = 角WYX\n角DCE = 角YWX\n角DEC = 角YXW。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "边CD与边WY相等，边DE与边XY相等，边CE与边WX相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形△CDE全等于三角形△WXY。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1d567d5302524dd8d40ad2434584fa8c-img-70fbae5e72df4b019f5b7126ebd4644b.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- SSS\n- ASA\n- SAS\n- AAS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 题目给出的两三角形为△VTU和△XTW。已知角VTU和角WTX为对顶角，根据对顶角相等定理可知∠VTU = ∠XWT。

2. 同时，已知∠UVT和∠XWT为相对应的角，因为两个角的几何图示中都标记有相同的符号，故可知∠UVT = ∠XWT。

3. 接下来，需要验证是否有至少一对对应的边是相等的。观察△VTU和△XTW，发现没有任何线段标记为相等，因此无法确认△VTU和△XTW的任何一对边是相等的。

4. ��见的三角形全等判定定理是SSS（边边边）、ASA（角边角）、SAS（边角边）、AAS（角角边）。这些定理都需要至少一对边是相等的，但我们的几何题中没有数据支持任何边相等。

5. 因此，依据题目提供的几何信息，不能得出任何两个三角形的边相等，从而不能应用任何全等三角形判定定理证明这两三角形全等。

6. 经过上述推理，最终得出答案为These triangles cannot be proven congruent.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线 VW 和 UX 相交于点 T，形成两个角：∠VTU和 ∠WTX。根据对顶角的定义，∠VTU 和 ∠WTX 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以 ∠VTU = ∠WTX。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4ae6da4092e833c6905665aac7464083-img-1328bc2060b3495289eee527e55eb04e.png", "question": "哪两个三角形根据SAS定理是全等的？完成全等关系。△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△PQR≅△VXW", "process": "1. 在问题中提供的图中，首先观察 △PQR 和 △VWX 的相应元素。

2. 已知线段 QR ≅ 线段 WX 和线段 PR ≅ 线段 VW，并且 ∠PRQ ≅ ∠VWX。根据题意，说明这些是三角形的两条边以及夹角。

3. 根据全等三角形判定定理(SAS)，两个三角形当且仅当两边及其夹角分别对应全等时，全等定理可以应用于这些三角形。

4. 在图中，观察 ∠PRQ 和 ∠VWX 是夹在两个已知全等边之间的夹角。

5. 因此，根据全等三角形判定定理(SAS)，三角形 △PQR 和 三角形 △VWX 是全等的。

6. 为了撰写全等陈述，匹配相应的顶点。因为 ∠R ≅ ∠W， 顶点 R 对应顶点 W。由于 P 的对边对应 V 的对边，顶点 P 对应顶点 V。同理，顶点 Q 对应顶点 X。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 △PQR ≅ △VXW。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "△PQR≅△VWX表示三角形PQR和三角形VWX各自有三条对应的边和三个对应的角分别相等。具体全等关系为：PQ≅VX，PR≅VW，QR≅WX；∠P≅∠V，∠Q≅∠X，∠R≅∠W。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角PRQ是由两条射线PR和QR组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点R。这个共同的端点R称为角PRQ的顶点，而射线PR和QR称为角PRQ的边。同理，角VWX是由两条射线VW和WX组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点W。这个共同的端点W称为角VWX的顶点，而射线VW和WX称为角VWX的边。"}, {"name": "Definition of Line Segment", "content": "A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.", "this": "线段PQ是一个直线的一部分，包含端点P和端点Q及其间的所有点。线段PQ具有两个端点，这两个端点分别是P和Q，且线段PQ上的每一个点都位于端点P和端点Q之间。线段VX是一个直线的一部分，包含端点V和端点X及其间的所有点。线段VX具有两个端点，这两个端点分别是V和X，且线段VX上的每一个点都位于端点V和端点X之间。线段PR是一个直线的一部分，包含端点P和端点R及其间的所有点。线段PR具有两个端点，这两个端点分别是P和R，且线段PR上的每一个点都位于端点P和端点R之间。线段VW是一个直线的一部分，包含端点V和端点W及其间的所有点。线段VW具有两个端点，这两个端点分别是V和W，且线段VW上的每一个点都位于端点V和端点W之间。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形PQR和三角形VWX中，边RQ与边WX相等，边PR与边VW相等，且夹角∠PRQ与夹角∠VWX相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a7654aaf7f8e49649b3399e31c65d27b-img-af38bb67b8894bfbaa111520df786d5a.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- SSS\n- AAS\n- SAS\n- ASA\n- 这些三角形无法被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 已知线段 \\overline{UV} ≅ \\overline{UY}，根据题中的标记。

2. 观察图形，\\angle VUW 和 \\angle XUY 是对顶角，根据对顶角的定义，得：\\angle VUW ≅ \\angle XUY。

3. 根据以上条件，有一对对应线段相等及一对对应角相等。

4. 因三角形的判定中并不存在以'AS'为基础的判别定则，即至少需要一种方法得到三对相应部分相等。

5. 经过以上推理，无法通过已知条件判定三角形 \\triangle VUW 和 \\triangle XUY 是全等的，本题所给的信息不足以得出结论。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线VU和XY相交于点U，形成四个角：角VUW、角XUY、角WUY和角VUX。根据对顶角的定义，角VUW和角XUY是对顶角，角WUY和角VUX对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角VUW=角XUY，角WUY=角VUX。"}, {"name": "Congruence Theorems for Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if one of the following conditions is satisfied: \n1) Side-Side-Side (SSS): All three corresponding sides are equal.\n2) Side-Angle-Side (SAS): Two corresponding sides and the included angle are equal.\n3) Angle-Side-Angle (ASA): Two corresponding angles and the included side are equal.", "this": "三角形WUV和XUY满足以下任一条件，则它们全等：\n（1. 边边边（SSS）：三角形WUV的边WU、UV、WV分别等于三角形XUY的边UX、UY、YX，即WU=UX，UV=UY，WV=YX。\n（2. 边角边（SAS）：三角形WUV的边WU、UV及其夹角WUV分别等于三角形XUY的边UX、UY及其夹角XUY，即WU=UX，UV=UY，角WUV=角XUY。\n（3. 角边角（ASA）：三角形WUV的角WUV、WVU及其夹边UV分别等于三角形XUY的角XUY、XYU及其夹边UY，即角WUV=角XUY，角WVU=角XYU，UV=UY。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2920914d7c268a5bc0460ea5148c1700-img-b38401ed54aa40e59cdd7c7a17b8ade1.png", "question": "哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等语句。\n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△RST≅△DEC", "process": "1. 在三角形 △RST 中，边 ST 和边 RT 是已知二条边。

2. 在三角形 △CDE 中，边 CE 和边 CD 是已知二条边。

3. 根据题中图示，边 ST ≅ 边 CE，边 RT ≅ 边 CD。

4. 根据题中图示，∠RTS 与 ∠DCE 是被夹角。∠RTS ≅ ∠DCE。

5. △RST 和 △DEC满足全等三角形判定定理(SAS)，边、角、边的对应关系（两边与两边夹角对应相等），所以 △RST ≅ △DEC。

6. △RST 的顶点与 △DEC 的顶点对应为：∠T 对应 ∠C，∠R 对应 ∠D，∠S 对应 ∠E。

7. 因此，由以上对应关系可得，△RST ≅ △DEC。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形△RST是由三个非共线点R、S、T及其连接线段RS、ST、TR组成的几何图形。点R、S、T分别是三角形的三个顶点，线段RS、ST、TR分别是三角形的三条边；三角形△DEC是由三个非共线点D、E、C及其连接线段DE、EC、CD组成的几何图形。点D、E、C分别是三角形的三个顶点，线段DE、EC、CD分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形RST和三角形DEC是全等三角形，三角形RST的对应边和对应角与三角形DEC相等，即：边ST = 边CE，边RT = 边CD，同时，对应的角也相等：角RST = 角DEC。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形 △RST 和三角形 △DEC 中，边 ST 与边 CE 相等，边 RT 与边 CD 相等，且夹角 ∠RTS 与夹角 ∠DCE 相等，因此根据���等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cd31ce1822ae23c3a240ce478625184e-img-73aa613e496b4bf1bc4132552db2c575.png", "question": "图表显示了五边形DEFGH和D'E'F'G'H'。 \n\n\n\n哪一系列变换将DEFGH映射到D'E'F'G'H'？ \n\n- 沿x轴反射，然后绕原点顺时针旋转90° \n- 绕原点顺时针旋转90°，然后向左平移9个单位 \n- 向左平移9个单位，然后沿x轴反射", "answer": "- a reflection across the x-axis followed by a rotation 90° clockwise around the origin", "process": "1. 首先观察五边形DEFGH和D'E'F'G'H'的位置，DEFGH位于第一象限，而D'E'F'G'H'位于第三象限，并且其形状是DEFGH的倒置和旋转的结果。

2. 由于D'E'F'G'H'是DEFGH倒置后的结果，首先考虑将DEFGH绕x轴反射。根据反射的定义，反射后，DEFGH中的每一点（x, y）的y坐标变为-y，这样得到新的五边形D''E''F''G''H''，位于第四象限。

3. 接下来，需要将新的五边形D''E''F''G''H''顺时针旋转90°以匹配五边形D'E'F'G'H'的位置。

4. 旋转90°的规则是将每一点（x, y）变换为（y, -x）。应用此规则，五边形D''E''F''G''H''中的每一个顶点经过变换后转移到第三象限，从而匹配五边形D'E'F'G'H'的位置。

5. 经过上述两个变换：先x轴反射，再顺时针旋转90°，五边形DEFGH精确匹配到五边形D'E'F'G'H'。

6. 因此，映射DEFGH到D'E'F'G'H'的变换序列为：先通过x轴反射，然后围绕原点顺时针旋转90°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为反射关于x轴，然后围绕原点顺时针旋转90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，五边形DEFGH绕x轴反射。反射后，每一个顶点(x, y)变换为(x, -y)，得到新的五边形D''E''F''G''H''，位于第四象限。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "五边形D''E''F''G''H''围绕原点顺时针旋转90°，每一点(x, y)变换为(y, -x)，新五边形D''E''F''G''H''转到第三象限，与五边形D'E'F'G'H'位置重合。"}]} +{"img_path": "ixl/question-db972aaa757433f4cf3f206301a0d14c-img-9277aaf7170046cf86fb940b41a729c3.png", "question": "图表显示了三角形 VWX 和 V'W'X'。 \n\n\n\n哪种变换序列将 VWX 映射到 V'W'X'？\n\n- 围绕原点旋转 180°，然后向右平移 1 单位和向上平移 2 单位\n- 围绕 x 轴反射，然后围绕原点逆时针旋转 90°\n- 向左平移 1 单位和向下平移 6 单位，然后围绕 y 轴反射", "answer": "- a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis", "process": "1. 已知点 V 的坐标为 (-8, 9)，将其向左平移1个单位得到 V'' 的坐标 (-9, 9)，再向下平移6个单位得到点 V''' 的坐标为 (-9, 3)。

2. 已知点 W 的坐标为 (-7, -2)，将其向左平移1个单位得到 W'' 的坐标 (-8, -2)，再向下平移6个单位得到点 W''' 的坐标为 (-8, -8)。

3. 已知点 X 的坐标为 (-3, 4)，将其向左平移1个单位得到 X'' 的坐标 (-4, 4)，再向下平移6个单位得到点 X''' 的坐标为 (-4, -2)。

4. 经过上述平移操作，得到三角形 V'''W'''X'''，坐标为 V'''(-9, 3), W'''(-8, -8), X'''(-4, -2)。

5. 现在对三角形 V'''W'''X''' 进行关于 y 轴的反射：反射后点 V''' 映射到点 V'，其新坐标为 (9, 3)。

6. 同理，点 W''' 映射到点 W'，其新坐标为 (8, -8)。

7. 最后，点 X''' 映射到点 X'，其新坐标为 (4, -2)。

8. 经过平移和反射变换操作后，最终形成的三角形 V'W'X' 的顶点坐标为 V'(9, 3)，W'(8, -8)，X'(4, -2)，这与题目中目标三角形 V'W'X' 的顶点坐标一致。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "点V(-8, 9)平移到点V'''(-9, 3)，点W(-7, -2)平移到点W'''(-8, -8)，点X(-3, 4)平移到点X'''(-4, -2)。这些点按照定��中的规则移动特定的距离，完成了指定方向的平移。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "图形V'''W'''X'''经过反射轴y轴的反射变换后，点V'''变为点V'，点W'''变为点W'，点X'''变为点X'。反射轴y轴是图形翻转的基准线。经过反射变换后，点V'''的坐标(-9, 3)变为点V'的坐标 (9, 3)，点W'''的坐标(-8, -8)变为点W'的坐标(8, -8)，点X'''的坐标(-4, -2)变为点X'的坐标(4, -2)。每一点的坐标都变为其对应点经过反射轴y轴对称的坐标。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题图中，三角形VWX经过平移变成V'''W'''X'''，其形状和大小保持不变，各顶点之间的距离保持不变。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0d00fb4738390a937404f74a7177de73-img-07b9d591f42147ceb4595c24b8b63396.png", "question": "图表显示了三角形UVW和U'V'W'。\n\n\n哪种变换序列将UVW映射到U'V'W'？\n\n- 向右平移10个单位和向上平移12个单位，然后绕原点逆时针旋转90°\n- 绕原点旋转180°，然后向左平移9个单位和向下平移2个单位\n- 绕y轴反射，然后向左平移9个单位和向上平移10个单位", "answer": "- a reflection across the y-axis followed by a translation left 9 units and up 10 units", "process": "1. 首先观察三角形UVW和U'V'W'的位置，发现UVW在第三象限，而U'V'W'在第二象限。

2. 为了将UVW映射到U'V'W'，首先考虑在y轴上的反射。反射变换指出，若点(x, y)在y轴上反射后得到(-x, y)。

3. 应用反射，在y轴上反射三角形UVW得到三角形U''V''W''。其顶点坐标从U(-2, -6)变为U''(2, -6)，V(-5, -8)变为V''(5, -8)，W(-5, -6)变为W''(5, -6)。

4. 接下来，进行平移。根据题意，需要进行左9个单位，向上10个单位的平移。平移定理指出，如果一个图形平移(p, q)，则其点(x, y)变为(x+p, y+q)。

5. 因此我们对三角形U''V''W''的每个顶点进行平移。U''(2, -6)平移为U'(2-9, -6+10)=U'(-7, 4)；V''(5, -8)平移为V'(5-9, -8+10)=V'(-4, 2)；W''(5, -6)平移为W'(5-9, -6+10)=W'(-4, 4)。

6. 经过上述反射和平移，三角形UVW被准确映射到U'V'W'，U''V''W''平移到U'V'W'。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：a reflection across the y-axis followed by a translation left 9 units and up 10 units。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "三角形U''V''W''进行左9个单位，向上10个单位的平移后得到三角形U'V'W'。依据平移定义，点U''(2, -6)平移到U'(-7, 4)，点V''(5, -8)平移到V'(-4, 2)，点W''(5, -6)平移到W'(-4, 4)。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，三角形UVW经过反射轴y的反射变换后，点U变为点U''，点V变为点V''，点W变为点W''。反射轴y是三角形UVW翻转的基准线。经过反射变换后，点U的坐标(-2, -6)变为点U''的坐标(2, -6)，点V的坐标(-5, y2)变为点V''的坐标(5, -8)，点W的坐标(-5, -6)变为点W''的坐标(5, -6)。每一点的坐标都变为其对应点经过反射轴y对称的坐标。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题图中，三角形U''V''W''进行平移得到三角形U'V'W'，三角形U''V''W''和U'V'W'形状和大小不变，符合平移定理。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0829090a2a63a66fe70dd19b2a0690aa-img-7fffead29ccc42f485fafd794ec30329.png", "question": "图表显示了三角形 VWX 和 V'W'X'。 \n\n\n哪种变换序列将 VWX 映射到 V'W'X'？\n\n- 先沿 x 轴反射，然后绕原点逆时针���转 90°\n- 先绕原点旋转 180°，然后向右平移 1 个单位并向上平移 2 个单位\n- 先向左平移 1 个单位并向下平移 6 个单位，然后沿 y 轴反射", "answer": "- a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis", "process": "1. 首先，考虑三角形 VWX 的顶点坐标：V(-8, 9)，W(-7, -2)，X(-3, 4)。目标是将其变换为 V'W'X' 的顶点坐标：V'(9, 3)，W'(8, -8)，X'(4, -2)。

2. 首先应用平移公式，将三角形 VWX 左移 1 个单位并下移 6 个单位。变换后的新顶点坐标为：V''(-9, 3)，W''(-8, -8)，X''(-4, -2)。

3. 接下来，将通过 y 轴反射变换 V''W''X''。反射后的坐标为：V'''(9, 3)，W'''(8, -8)，X'''(4, -2)。

4. 检查得到的三角形 V'''W'''X''' 的顶点坐标是否与 V'W'X' 的顶点坐标匹配：发现V'''W'''X'''的坐标完美匹配 V'W'X' 的坐标，因此该转换序列为：先平移左 1 单位和下 6 单位，随后在 y 轴进行反射。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "三角形 VWX 平移左 1 个单位及下 6 个单位后，顶点坐标由 V(-8, 9), W(-7, -2), X(-3, 4) 转变为 V''(-9, 3)，W''(-8, -8)，X''(-4, -2)。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，三角形 V''W''X'' 在 y 轴反射后，顶点 V''(-9, 3) 的反射点是 V'''(9, 3)，顶点 W''(-8, -8) 的反射点是 W'''(8, -8)，顶点 X''(-4, -2) 的反射点是 X'''(4, -2)。这些反射点均在 y 轴对面，且图形的形状和大小未改变。"}, {"name": "Translation Formula", "content": "If a point \\( x(x, y) \\) is translated horizontally by \\( a \\) units and vertically by \\( b \\) units, then the coordinates of the translated point \\( x' \\) are \\( (x + a, y + b) \\). Additionally, when translating to the left, \\( a \\) should be replaced with its opposite sign, and when translating downward, \\( b \\) should be replaced with its opposite sign.", "this": "在本题图中，点V(-8,9)、W(-7, -2)、X(-3, 4)水平方向左平移1，垂直方向下平移6，得到点V''(-8-1，9-6)、W''(-7-1, -2-6)、X''(-3-1, 4-6)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6f71c0c1f451beb1b98fc82777c421e5-img-a0eb016730e947078abe0c54c4c44e88.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- AAS\n- SAS\n- ASA\n- SSS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 已知 ∠JGH ≅ ∠KNM，∠GHJ ≅ ∠NMK，∠HJG ≅ ∠MKN，根据角的符号图示，可以得出这三个角分别在两个三角形中是相等的。

2. 三角形中外部角度的和为 180°。两个三角形中相对应的角度都分别相等。

3. 根据三角形的全等性定理（SSS，SAS，ASA，AAS），可以看出至少需要有一对边是相等的才能应用这些定理。

4. 在给定的图里，没有标识任何边相等的符号或者线段，所以说明不了三角形之间的相等边关系。

5. 由于没有提供任何已知的边长相等关系，无法利用AAS（角-角-边），SAS（边-角-边），ASA（角-边-角）或者SSS（边-边-边）证明两个三角形全等。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 These triangles cannot be proven congruent.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "∠JGH ≅ ∠KNM, ∠GHJ ≅ ∠NMK, ∠HJG ≅ ∠MKN 表示两个三角形中相应的角度是相等的。"}, {"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形JGH是由三个非共线点J、G、H及其连接线段JG、GH、HJ组成的几何图形。点J、G、H分别是三角形的三个顶点，线段JG、GH、HJ分别是三角形的三条边。三角形KNM是由三个非共线点K、N、M及其连接线段KN、NM、MK组成的几何图形。点K、N、M分别是三角形的三个顶点，线段KN、NM、MK分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "缺乏关于相等边的标识和描述，无法应用SAS证明全等。"}, {"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形GJH和三角形KNM中，角GJH等于角KNM，角JGH等于角NMK，角HJG等于角MKN。由于这两个三角形的三对对应角分别相等，但没有标识任何边相等，所以不能应用全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）证明全等。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "三角形GHJ和三角形KNM中，没有任何已知的边相等关系，因此无法应用全等三角形判定定理(SSS)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6153dbfd6a439e6a74b471d78a2cb74f-img-50831a1e733f4748bcd8d1af110992cf.png", "question": "图表显示了三角形 FGH 和 F'G'H'。\n\n\n\n哪个变换序列将 FGH 映射到 F'G'H'？\n\n- 绕原点顺时针旋转 90°，然后沿 y 轴反射\n- 绕原点逆时针旋转 90°，然后沿 y 轴反射\n- 绕原点旋转 180°，然后向右平移 3 个单位并向上平移 3 个单位", "answer": "- a rotation 90° counterclockwise around the origin followed by a reflection across the y-axis", "process": "1. 首先，分析图中的三角形FGH和F'G'H'的位置坐标。

2. 三角形FGH的顶点坐标分别为: F(-4, 6), G(0, 3), H(-4, 3)。

3. 三角形F'G'H'的顶点坐标为: F'(6, -4), G'(3, 0), H'(3, -4)。

4. 首先进行一个90°逆时针旋转变换，中心为原点，可以由公式(x, y) -> (-y, x)得出。

5. 将三角形FGH的顶点代入旋转公式：

- F(-4, 6) -> F''(-6, -4)

- G(0, 3) -> G''(-3, 0)

- H(-4, 3) -> H''(-3, -4)

6. 可以看到旋转后的三角形F''G''H''：F''(-6, -4), G''(-3, 0), H''(-3, -4)距离F'G'H'仍有一段距离，需要进一步通过反射来映射。

7. 继续进行关于y轴的反射变换，该变换会将点(x, y)变为(-x, y)。

8. 将三角形F''G''H''的顶点代入反射公式：

- F''(-6, -4) -> F'''(6, -4)

- G''(-3, 0) -> G'''(3, 0)

- H''(-3, -4) -> H'''(3, -4)

9. 最后得到的三角形F'''G'''H'''的坐标为F'''(6, -5), G'''(3, 0), H'''(3, -4)，与F'G'H'的坐标一致，因此这些变换的序列能够将FGH映射到F'G'H'。

10. 经过上述推理，最终得出答案为90°逆时针旋转，其次是y轴的反射变换。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "在本题图中，三角形FGH分别绕原点旋转90°逆时针变换后，其顶点坐标由F(-4, 6)、G(0, 3)和H(-4, 3)变为F''(-6, -4)、G''(-3, 0)、H''(-3, -4)。具体公式为(x, y) -> (-y, x)。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "三角形F''G''H''通过y轴反射变换后，其顶点坐标由F''(-6, -4)、G''(-3, 0)、H''(-3, -4)变为F'''(6, -4)、G'''(3, 0)、H'''(3, -4)。具体公式为(x, y) -> (-x, y)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-968a9c836810499d7ffb2c3920437635-img-c806ce4d31584d54b4fd6a360290c2d8.png", "question": "图表显示了三角形RST和R'S'T'。 \n\n\n哪种变换序列将RST映射到R'S'T'？\n\n- 先沿x轴对称反射，然后绕原点顺时针旋转90°\n- 先绕原点旋转180°，然后向左平移3个单位并向上平移4个单位\n- 先向右平移3个单位并向上平移10个单位，然后沿y轴对称反射", "answer": "- a translation right 3 units and up 10 units followed by a reflection across the y-axis", "process": "1. 首先，观察图形，分别记录三��形 RST 的三个顶点和三角形 R'S'T' 的三个顶点的坐标。

2. 计算从图形 RST 到 R'S'T' 的一系列几何变换。

3. 首先对 RST 进行平移：将 RST 向右平移 3 个单位（这样使原点的 y 坐标保持不变），然后向上平移 10 个单位，使其与三角形 R'S'T' 在同一区域，得到三角形 R''T''S''，其中顶点 R 从 (-5, -3) 移动到 R''(-2, 7)，顶点 S 从 (-9, -5) 移动到S'' (-6, 5)，顶点 T 从 (-8, -2) 移动到T'' (-6, 8)。

4. 检查平移后的点是否与 R'S'T' 的点坐标通过反射变换能够对应。

5. 将平移后的三角形关于 y 轴反射，检验三角形是否和 R'S'T' 重合。

6. 计算所得的点坐标变换后，与 R'S'T' 的坐标比较，以确定变换的正确性。反射后，顶点 R'' 从 (-2, 7)移动到R' (2, 7)，顶点 S'' 从 (-6, 5) 移动到 S'(6, 5)，顶点 T'' 从 (-6, 8) 移动到T' (6, 8)。这些点与三角形 R'S'T' 的顶点的位置一致。

7. 确认变换的第一步为平移，第二步为关于 y 轴的反射得到与 R'S'T' 对应。

8. 经过上述推理，最终确定：从 RST 到 R'S'T' 的变换是先向右平移 3 个单位，向上平移 10 个单位，再关于 y 轴反射。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，三角形 RST 通过向右平移3个单位和向上平移10个单位变成了三角形 R''T''S''。例如，顶点 R 从 (-5, -3) 移动到 (-2, 7)，顶点 S 从 (-9, -5) 移动到 (-6, 5)，顶点 T 从 (-8, -2) 移动到 (-6, 8)。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "平移后的三角形 R''S''T''关于 y 轴进行反射，得到三角形 R'S'T'。反射后，顶点 R'' 从 (-2, 7)移动到 (2, 7)，顶点 S'' 从 (-6, 5) 移动到 (6, 5)，顶点 T'' 从 (-6, 8) 移动到 (6, 8)。这些点与三角形 R'S'T' 的顶点的位置一致。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bd4fc68f1962211d4276333c92175dcd-img-f4f26853b8c541819179e1647580f573.png", "question": "图显示了五边形 MNOPQ 和 M'N'O'P'Q'。 \n\n\n哪种变换序列将 MNOPQ 映射到 M'N'O'P'Q'？\n\n- 绕原点顺时针旋转 90°，然后向上平移 6 个单位\n- 向左平移 12 个单位，然后绕原点逆时针旋转 90°\n- 绕 x 轴反射，然后绕原点逆时针旋转 90°", "answer": "- a reflection across the x-axis followed by a rotation 90° counterclockwise around the origin", "process": "1. 观察五边形MNOPQ与M'N'O'P'Q'，发现MNOPQ是在右下角，而M'N'O'P'Q'是在左上角。

2. 考虑第一个步骤，将MNOPQ反射过x轴，这种变换将其沿x轴翻转，对应点的y坐标取反。例如，（x,y）变换为（x,-y）。

3. 将MNOPQ反射后得到的五边形标记为M''N''O''P''Q''，它位于原五边形的下方。

4. 反射后的五边形M''N''O''P''Q''与目标五边形M'N'O'P'Q'之间仅需旋转90°逆时针即可重合。

5. 以原点为旋转中心，将五边形M''N''O''P''Q''旋转90°逆时针，x坐标变为-y，y坐标变为x。

6. 经过上述两步变换，反射后并旋转90°逆时针后的五边形与M'N'O'P'Q'完全重合。

7. 根据上述推理步骤，唯一符合的变换序列是先反射过x轴，然后逆时针旋转90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "通过反射变换将五边形MNOPQ沿x轴反射，原图形的每个点(x, y)变为(x, -y)。例如，点M(9, 3)变为M''(9, -3)，点N(10, 0)变为N''(10, 0)，以此类推得到新的五边形M''N''O''P''Q''。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "在本题图中，对反射后的五边形M''N''O''P''Q''进行90°逆时针旋转，所有点的坐标(x, y)变为(-y, x)。例如，点M''(9, -3)变为M'(3, 9)，点N''(10, 0)变为N'(0, 10)，以此类推得到新五边形M'N'O'P'Q'。"}]} +{"img_path": "ixl/question-28435e702ea057093559987f5aa9410a-img-809c5290cd4c4e35bee0b760755a75bb.png", "question": "图表显示了三角形LMN和L'M'N'。\n\n\n哪种变换序列将LMN映射到L'M'N'？\n\n- 先沿x轴反射，然后向左平移12个单位\n- 先向左平移1个单位，向上平移9个单位，然后绕原点逆时针旋转90°\n- 先绕原点顺时针旋转90°，然后沿x轴反射", "answer": "- a rotation 90° clockwise around the origin followed by a reflection across the x-axis", "process": "1. 首先观察到三角形 LMN 和三角形 L'M'N' 在图中的位置。三角形 LMN 位于第四象限，而三角形 L'M'N' 位于第二象限。

2. 为了将三角形 LMN 映射到三角形 L'M'N'，需要进行某些变换。首先，考虑将三角形 LMN 围绕原点旋转 90° 顺时针。旋转 90° 顺时针的法则是将每个点 (x, y) 转换为 (y, -x)。

3. 对点 L (10, -7) 应用旋转变换：(10, -7) 变为 (-7, -10)。

4. 对点 M (6, -6) 应用旋转变换：(6, -6) 变为 (-6, -6)。

5. 对点 N (5, -4) 应用旋转变换：(5, -4) 变为 (-4, -5)。

6. 经过旋转后的点坐标为 L''(-7, -10), M''(-6, -6), N''(-4, -5)。

7. 接下来的变换是沿 x 轴反射。反射沿 x 轴的法则是将每个点 (x, y) 转换为 (x, -y)。

8. 对点 L''(-7, -10) 应用反射变换：(-7, -10)变为 (-7, 10)。

9. 对点 M'' (-6, -6)应用反射变换：(-6, -6) 变为 (-6, 6)。

10. 对点 N'' (-4, -5) 应用反射变换：(-4, -5)变为 (-4, 5)。

11. 经过反射后的点坐标为 L' (-7, 10), M' (-6, 6), N' (-4, 5)，这与三角形 L'M'N' 的顶点坐标一致。

12. 因此，通过先旋转 90° 顺时针围绕原点，再反射于 x 轴，三角形 LMN 被映射到三角形 L'M'N'。

13. 经过上述推理，最终得出答案为：先围绕原点旋转 90° 顺时针，再通过 x 轴反射。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "旋转变换将三角形 LMN 的顶点 L (10, -7)、 M (6, -6)、 N (5, -4)绕原点顺时针旋转90°，得到新的点 L''(-7, -10), M''(-6, -6), N''(-4, -5)。旋转的法则是将每个点 (x, y) 转换为 (y, -x)。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，反射变换将三角形 L'' (-7, -10), M'' (-6, -6), N'' (-4, -5) 围绕 x 轴 反射变换，得到新的点 L' (-7, 10), M' (-6, 6), N' (-4, 5)。反射的法则是将每个点 (x, y) 转换为 (x, -y)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3ac86d1f0ef60fc321d43ac800866ae2-img-dc7eb5322bb445528b337b24be82baad.png", "question": "图表显示了三角形 UVW 和 U'V'W'。\n\n\n哪些变换序列将 UVW 映射到 U'V'W'？\n\n- 沿 y 轴反射，然后向左平移 9 个单位，向上平移 10 个单位\n- 围绕原点旋转 180°，然后向左平移 9 个单位，向下平移 2 个单位\n- 向右平移 10 个单位，向上平移 12 个单位，然后围绕原点逆时针旋转 90°", "answer": "- a reflection across the y-axis followed by a translation left 9 units and up 10 units", "process": "1. 首先查看图中的点 U, V, W 和 U', V', W' 的坐标，以确认初始和目标点的位置。

2. 原三角形 UVW 的点坐标分别为 U(-2,-6), V(-5,-8), W(-5,-6)；目标三角形 U'V'W' 的点坐标分别为 U'(-7,4), V'(-4,2), W'(-4,4)。

3. 先考虑反射操作。以 y 轴为对称轴，将三角形 UVW 作反射变换。此时点 U, V, W 的新坐标分别为 U''(2,-6), V''(5,-8), W''(5,-6)。

4. 比较 U''V''W'' 和 U'V'W' 的坐标差，发现 U'(-7,4) 是 U''(2,-6) 左移 9 个单位，上移 10 个单位得到的，V'(-4,2) 和 W'(-4,4) 也是通过此次变换获得。

5. 经过上述分析，我们确认反射加平移的变换序列能正确且完全地将三角形 UVW 映射到三角形 U'V'W'。

6. 因此，选择反射加平移的变换序列：首先对 y 轴进行反射，然后平移 9 单位向左和 10 单位向上。

7. 此方法与题目给出的选项一致，因此为正确答案。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，反射变换时，点 U(-2, -6), V(-5, -8), W(-5, -6)沿 y 轴对称变换到 U''(2, -6), V''(5, -8), W''(5, -6)。三角形的各顶点坐标反映了对称轴上的这种变换关系，其中 U, V, W 的每个点距 y 轴的距离保持不变。"}, {"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "U''(2, -6), V''(5, -8), W''(5, -6)左移 9 个单位，上移 10 个单位后，变换到 U'(-7, 4)，V'(-4, 2)，W'(-4, 4)。三角形的各顶点坐标反映了坐标轴上的这种变换关系，其中每个点的 x 坐标减少了 9，y 坐标增加了 10。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "三角形 UVW 的顶点 U(-2, -6), V(-5, -8), W(-5, -6)沿 y 轴反射后得到新的顶点 U''(2, -6), V''(5, -8), W''(5, -6)。反射定理说明了顶点 U, V, W 坐标的变化情况，即 x 坐标变换为反方向，y 坐标保持不变。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题图中，三角形反射后顶点U''(2, -6), V''(5, -8), W''(5, -6)经过平移变换(a=-9, b=10)到新的顶点U'(-7, 4), V'(-4, 2), W'(-4, 4)。平移定理说明了顶点U'', V'', W''坐标的变化情况，即顶点U''的x 坐标减去 9, y 坐标加上 10。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9674c1799c679d9b184028b7839a1600-img-b6086e36fd514f09a20fa1419c0776e0.png", "question": "看这个图形：它的底面是什么形状的？\n\n- heptagon\n- hexagon\n- rectangle\n- octagon", "answer": "- hexagon", "process": "1. 从图中可以看到，这是一个六棱柱（hexagonal prism）。棱柱的定义是：一种几何体，有两个相同且平行的多边形底面，其他面为平行四边形。

2. 正六边形：一个六边形是由六条直线构成的多边形。

3. 图中展示的这个六棱柱的两底面符合六边形的形状特征，即每个底面有六条边。

4. 根据图中的形状以及六棱柱的定义，得出底面是一个六边形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 hexagon。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "六棱柱的两个六边形底面平行且形状相同，符合棱柱性质的描述。"}, {"name": "Regular Hexagon", "content": "A regular hexagon is a hexagon in which all interior angles are equal, and all sides are of the same length.", "this": "正六边形中，每个内角都相等且每条边xx的长度都相等。具体来说，正六边形的每个内角都是120度，每条边的长度相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fb08105b7bb3bda4d3aa4f35de2f8618-img-2603b2486a924e28a60fc34f328bbc23.png", "question": "图表显示五边形 GHIJK 和 G'H'I'J'K'。 \n\n\n哪种变换序列将 GHIJK 映射到 G'H'I'J'K'？\n\n- 先沿 x 轴反射，然后绕原点顺时针旋转 90°\n- 先沿 y 轴反射，然后绕原点逆时针旋转 90°\n- 向右平移 8 个单位，向下平移 1 个单位，然后绕原点逆时针旋转 90°", "answer": "- a translation right 8 units and down 1 unit followed by a rotation 90° counterclockwise around the origin", "process": "1. 五边形 GHIJK 的顶点坐标为 G(-6,-9), H(-8,-7), I(-5,-3), J(-3,-4), K(-2,-8)。

2. 五边形 G'H'I'J'K' 的顶点坐标为 G'(10,2), H'(8,0), I'(4,3), J'(5,5), K'(9,6)。

3. 检查第一次变换: 将 GHIJK 向右平移 8 个单位，即将每个顶点的横坐标增加 8，得出新顶点 G''(2,-9), H''(0,-7), I''(3,-3), J''(5,-4), K''(6,-8)。

4. 检查第二次变换: 将变换得到的五边形 G''H''I''J''K'' 向下平移 1 个单位，即将每个顶点的纵坐标减去 1，得到 G'''(2,-10), H'''(0,-8), I'''(3,-4), J'''(5,-5), K'''(6,-9)。

5. 确定第三次变换：围绕原点逆时针旋转 90°。旋转公式为 (x, y) → (-y, x)，因此新的顶点计算为：

- G'''(2,-10) 经过旋转变为 G'(10,2)。

- H'''(0,-8) 经过旋转变为 H'(8,0)。

- I'''(3,-4) 经过旋转变为 I'(4,3)。

- J'''(5,-5) 经过旋转变为 J'(5,5)。

- K'''(6,-9) 经过旋转变为 K'(9,6)。

6. 将这三个变换逐步应用到五边形 GHIJK 上，确实可以将其变换为 G'H'I'J'K'。所以正确的变换步骤是向右平移 8 个单位再向下平移 1 个单位，最后围绕原点逆时针旋转 90°。

7.经过上述推理，最终得出答案为: 向右平移 8 个单位，再向下平移 1 个单位，然后围绕原点逆时针旋转 90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，五边形 GHIJK 的顶点 G(-6,-9), H(-8,-7), I(-5,-3), J(-3,-4), K(-2,-8) 向右平移 8 个单位后变为 G''(2,-9), H''(0,-7), I''(3,-3), J''(5,-4), K''(6,-8)。然后，这些顶点又向下平移 1 个单位，变为 G'''(2,-10), H'''(0,-8), I'''(3,-4), J'''(5,-5), K'''(6,-9)。第二次平移后形成的五边形与原五边形保持原形状和方向。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "经过两次平移后的五边形 G'''H'''I'''J'''K'''（坐标分别为G'''(2,-10), H'''(0,-8), I'''(3,-4), J'''(5,-5), K'''(6,-9)）围绕原点逆时针旋转 90°。使用旋转公式 (x, y) → (-y, x)，新顶点变为G'(10,2), H'(8,0), I'(4,3), J'(5,5), K'(9,6)。这些新坐标对应顶点 G', H', I', J', K' 分布在五边形 G'H'I'J'K' 上。"}, {"name": "2D Plane Rotation Formula", "content": "Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).", "this": "在本题图中，五边形 G'''H'''I'''J'''K''' 的顶点 G'''(2,-10), H'''(0,-8), I'''(3,-4), J'''(5,-5), K'''(6,-9) 分别按定理公式计算新坐标变为 G'(10,2), H'(8,0), I'(4,3), J'(5,5), K'(9,6)。因此，使用此定理证明了旋转变换的正确性。"}]} +{"img_path": "ixl/question-20bfc02c38bd2f304ca8b1dec1e4a8a6-img-1658adf2b96942b4a8ec8604824a2925.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- SSS\n- ASA\n- SAS\n- AAS\n- 这些三角形无法证明全等。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 已知线段 AB = FG 和线段 AC = GH，说明这两个三角形的两对对应边是相等的。

2. 已知角 ∠C = ∠H，说明这两个三角形的两个对应角是相等的。

3. 尝试找出可适用的全等三角形判定定理。根据已知信息，我们可以对应两边和一个角，这个角不是两边之间的夹角，因此不能适用于边角边（SAS）或角边角（ASA）。

4. 进一步分析，这是两个边和一个非夹角的组合，符合SSA的条件。SSA不是三角形全等判定的标准，因为出现的组合不符合三角形全等条件（SSS、ASA、SAS、AAS）。

5. 由于缺乏信息，我们无法应用三角形全等的标准判定这些三角形是全等的。因此，无法确定这两个三角形是全等的。

6. 经过上述推理，最终得出答案为这些三角形不能被证明是全等的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形FGH的对应边和对应角如下：边AB = 边FG，边AC = 边FH，对应角∠C = ∠H。这两个三角形的两对对应边(AB = FG，AC = FH)和一个对应角(∠C = ∠H)相等，但缺少满足全等的充足条件，故无法证明全等。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形FGH中，边AB与边FG相等，边AC与边FH相等，但没有第三对��应边相等的信息，因此不能应用全等三角形判定定理(SSS)。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，已知线段AB = FG和线段AC = FH以及角∠C = ∠H，但该角不是所给两边之间的夹角，因此不能应用全等三角形判定定理(SAS)。"}, {"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形ABC和三角形FGH中，角∠ACB等于角∠FHG，边AB等于边FG，边AC等于边FH。不符合ASA，因此不能应用全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "AB = FG和AC = FH以及∠C = ∠H，但没有能证明是AAS情况的第二对角的信息，因此不能应用AAS定理。"}]} +{"img_path": "ixl/question-799ebdb6867a85b11423cd4e8a41a439-img-f006c35404ca4fda8d2419392bdb4c33.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- SAS\n- AAS\n- ASA\n- SSS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 已知线段 \\overline{NQ} = \\overline{NT} 。

2. 对于角 \\angle PNQ 和角 \\angle SNT，因为直线交叉形成的角是对顶角，而对顶角恒等，根据‘对顶角的定义’，我们有 \\angle PNQ = \\angle SNT。

3. 在三角形 \\triangle PNQ 与三角形 \\triangle SNT 中，已知 \\overline{NQ} = \\overline{NT}（一个角对一条边），角 \\angle PNQ = \\angle SNT 已经证明。

4. 若再找不到等价的角或边，则不能应用某一具体的全等三角形判定定理（SAS, ASA, SSS）来证明这两个三角形是全等的。

5. 因此，结合以上分析，这两个三角形不能被证明为全等三角形，因为缺乏已知条件匹配一个完整的全等三角形判定定理。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 These triangles cannot be proven congruent.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，线段 QT 和 SP 相交于点 N，形成四个角：角 PNQ、角 QNS、角 SNT 和 角 TNP。根据对顶角的定义，角 PNQ 和角 SNT 是对顶角，角 QNS 和角 TNP 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以 角 PNQ = 角 SNT，角 QNS = 角 TNP。"}, {"name": "Congruence Theorems for Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if one of the following conditions is satisfied: \n1) Side-Side-Side (SSS): All three corresponding sides are equal.\n2) Side-Angle-Side (SAS): Two corresponding sides and the included angle are equal.\n3) Angle-Side-Angle (ASA): Two corresponding angles and the included side are equal.", "this": "在本题图中，如果两个三角形PNQ和SNT满足以下任一条件，则它们全等：（1. 边边边（SSS）：三角形PNQ的边PN、PQ、NQ分别等于三角形SNT的边SN、ST、NT，即PN=SN，PQ=ST，NQ=NT。）（2. 边角边（SAS）：三角形PNQ的边PN、QN及其夹角PNQ分别等于三角形SNT的边SN、NT及其夹角SNT，即PN=SN，QN=NT，角PNQ=角SNT。）（3. 角边角（ASA）：三角形SNT的角SNT、STN及其夹边NT分别等于三角形PNQ的角PNQ、PQN及其夹边NQ，即角SNT=角PNQ，角STN=角PQN，NT=NQ。）"}]} +{"img_path": "ixl/question-879245c65c34d5c72d125113e40c5f85-img-eec88fd5f9e5473fa422913b5205481b.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- AAS\n- SSS\n- SAS\n- ASA\n- 这些三角形无法被证明是全等的。", "answer": "- ASA", "process": "1. 已知线段 PS 和 PT 相等，即 \\overline{PS} = \\overline{PT}。

2. 已知角 PSQ 和角 PTU 相等，即 \\angle PSQ =\\angle PTU。

3. 观察到角 QPS 和角 TPU 是对顶角。根据对顶角定义一，我们得出 \\angle QPS =\\angle TPU。

4. 因此，一个角（\\angle PSQ）、一条边（\\overline{PS}）和相邻的另一个角（\\angle QPS）在 \\triangle QPS 与 \\triangle TPU 中对应相等。

5. 根据角边角公理（ASA），如果两个三角形的一个角、一条夹边和另一个夹角分别对应相等，则这两个三角形全等。

6. 综上所述，\\triangle QPS 和 \\triangle TPU 是全等的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，\\triangle QPS 和 \\triangle TPU 是全等三角形，\\triangle QPS 的对应边和对应角与 \\triangle TPU 相等，即：边 PS = 边 PT，同时，对应的角也相等：角 PSQ = 角 PTU，角 QPS = 角 TPU。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线 TS和 QU相交于点 P，形成四个角：角 QPS、角 TPU、角 SPU 和角 QPT。根据对顶角的定义，角 QPS 和角 TPU 是对顶角，角 SPU 和角 QPT是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角 QPS = 角 TPU，角 SPU = 角 QPT。"}, {"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，\\triangle QPS 和 \\triangle TPU 满足角边角全等定理条件：\\angle PSQ = \\angle PTU、PS = PT 和 \\angle QPS = \\angle TPU。因此，根据ASA定理，\\triangle QPS 和 \\triangle TPU 全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-aacb361279c4fe94a2b6a0d952c6aad0-img-5a9924b131a14764a88b193953431917.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- ASA\n- SSS\n- SAS\n- AAS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 根据题目中的图形标记，我们可以观察到：在△FBC和△HBG中，有∠BFC=∠BGH、∠BCF=∠BHG。根据对顶角的定义，得出∠FBC=∠GBH。

2. 为了研究两个三角形是否全等，我们需要根据全等条件来判断。三角形全等的条件有：全等三角形判定定理(SSS)，全等三角形判定定理(SAS)，全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），全等三角形判定定理(AAS)。这些公理要求至少有一对对应的边是相等的。

3. 通过观察给出的三个角的标记和排列方式，我们发现缺少两三角形之间有一对对应边相等的信息。

4. 因为所有全等条件中至少需要一对对应边是相等的，而在本题中并未给出这样的边的信息，所以利用上述条件无法判断三角形全等。

5. 因此，根据提供的信息，可以推断：这两个三角形不能证明全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，要判断△FBC和△HBG是否全等，我们需要比较它们的对应边和对应角。根据全等三角形的定义，两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。题目中给出了三对对应角相等的信息：∠BFC=∠BGH、∠BCF=∠BHG、∠FBC=∠GBH，但没有给出对应边相等的信息，因此无法证明这两个三角形全等。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "△FBC和△HBG的三条对应边的相等关系"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，无法应用边角边公理，因为题目中没有给出△FBC和△HBG的两条对应边和夹角的相等关系。"}, {"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，无法应用角边角公理，因为题目中没有给出△FBC和△HBG的两个对应角和夹边的相等关系。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "在本题图中，无法应用角角边公理，因为题目中没有给出△FBC和△HBG的两个对应角和非夹边的相等关系。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线FG和HC相交于点B，形成四个角：角FBC、角GBH、角FBH和角GBC。根据对顶角的定义，角FBC和角GBH是对顶角，角FBH和角GBC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角FBC=角GBH，角FBH=角GBC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f109fc4657346af5668208fddf0346b0-img-805ef5c0037a4279ad7255b7e3e076d1.png", "question": "哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- SAS\n- ASA\n- AAS\n- SSS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- These triangles cannot be proven congruent.", "process": "1. 根据题意，已知边UV与边UX相等，记作: \\( \\overline{UV}=\\overline{UX} \\)。

2. 题意还给出了角UVW与角UXW相等，记作: \\( \\angle UVW = \\angle UXW \\)。

3. 另外，注意到线段UW是两个三角形△UVW和△UXW的公共边，因此根据全等的自反性质 (即任何几何图形与自身全等)，有 \\( \\overline{UW} = \\overline{UW} \\)。

4. 将获得的全等关系整理：

- \\( \\overline{UV} = \\overline{UX} \\)（对应边）

- \\( \\overline{UW} = \\overline{UW} \\)（公共边）

- \\( \\angle UVW = \\angle UXW \\)（对应角）

5. 在排列中观察，上述全等关系满足顺序SSA（边-边-角），即两个三角形有一对边、一对邻接这对边的角，以及另一对边相等。

6. 然而，SSA不是可证明三角形全等的标准条件。根据三角形全等的条件，常用的方法有SAS（边-角-边），ASA（角-边-角），AAS（角-角-边），以及SSS（边-边-边）；因此，这些三角形不能通过给定信息得出全等。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，如果要判断△UVW和△UXW全等，则需要检查它们的对应边和对应角。这包括：\\(\\overline{UV}\\cong\\overline{UX}\\)、\\(\\angle UVW\\cong\\angle UXW\\)和\\(\\overline{UW}\\cong\\overline{UW}\\)。尽管图中符合这些条件，但符合条件的顺序为SSA（边-边-角），不是标准全等判定条件，因此无法确定全等。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "\\(\\overline{UV}\\cong\\overline{UX}\\)、\\(\\overline{UW}\\cong\\overline{UW}\\)且\\(\\angle UVW\\cong\\angle UXW\\)，但它们不满足SAS定理，因为\\(\\angle UVW\\)不是夹在\\(\\overline{UW}\\)和\\(\\overline{UV}\\)间的角。"}, {"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，不存在两个角及其夹边的已知相等关系。已知条件为非夹角\\(\\angle UVW\\cong\\angle UXW\\)及相应的边\\(\\overline{UV}\\cong\\overline{UX}\\)，因此不满足ASA定理。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "在本题图中，并未提供两个角\\(\\angle\\)分别相等，只提供了\\(\\angle UVW\\cong\\angle UXW\\)。"}, {"name": "Triangle Congruence Theorem (SSS)", "content": "Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.", "this": "在本题图中，只提供了两对边的相等关系\\(\\overline{UV}\\cong\\overline{UX}\\)、\\(\\overline{UW}\\cong\\overline{UW}\\)而非三对。因此不满足SSS定理。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ec58d3d1f28e4cfa381729744eabec98-img-55c8dcb217ed4067827414bb2ec5b955.png", "question": "找到 p。将你的答案写成整数或小数。不要四舍五入。p = \\$ox\\$ 米", "answer": "4 meters", "process": "1. 观察给定的三角形EFH和GIH，可以发现三角形EFH与三角形GIH是相似三角形，因为它们各自对应的三个角都相等。

2. 具体来说，角EHF= 角IHG，因为这两个三角形共用角H；角EFH= 角IGH，因为它们都是直角；角HEF = 角HIG，因为剩下的角仍然互为相等。

3. 由于三角形EFH与三角形GIH相似，根据两个三角形相似的对应边成比例

4. 对于相似三角形，我们有EF/IG = FH/GH。

5. 题干给出EF = 8米，FH = 6米，GH = 3米，以及IG = p米。

6. 根据比例EF/IG = FH/GH，把值代入：8/p = 6/3。

7. 通过交叉相乘得到等式：8 * 3 = 6 * p。

8. 化简等式得到24 = 6p。

9. 将等式两边同时除以6，来解p，得到p = 24/6。

10. 计算得到p = 4。

11. 经过上述推理，最终得出答案为4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形EFH和三角形GIH中，角EHF等于角IHG（共用角FHI），且角EFH等于角IGH（两者都是直角），所以三角形EFH相似于三角形IGH。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形EFH和三角形GIH是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EFH = ∠IGH, ∠EHF = ∠IHG, ∠HEF = ∠HIG；EF/IG = FH/GH。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dffc801e93417886fef22a0f8c3e3bcc-img-1586e122a00647a7906a741bfd1489ee.png", "question": "求 k。将你的答案写成整数或小数。不要四舍五入。k = \\$ox\\$ 英尺", "answer": "10 feet", "process": "1. 根据题目图示，已知△IJK和△ILM，∠KIL和∠KIJ是对顶角，并且∠IJK和∠ILM是直角。由于两个三角形的三个对应角分别相等，所以可判定△IJK ∼ △ILM（相似三角形的判定定理(AA)）。

2. 在相似三角形中，相对应的边成比例，因此可以写下相应的比例关系：JK/LM = KI/MI。

3. 通过题目给出的已知条件，边长JK = 3英尺，LM = 6英尺，以及KI = 5英尺。设置MI = k英尺。

4. 代入比例关系得到：3/6 = 5/k。

5. 简化比例方程：1/2 = 5/k。

6. 通过交叉相乘方程可得：1 × k = 2 × 5，从而得到k = 10。

7. 经过上述推理，最终得出答案为10英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，三角形IJK和三角形ILM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠IJK = ∠ILM, ∠IKJ = ∠IML, ∠KIJ = ∠MIL；JK/LM = KI/MI。在题目给出的已知条件中，边长JK = 3英尺，LM = 6英尺，以及KI = 5英尺。设置MI = k英尺，由此可得比例关系：3/6 = 5/k。简化这一比例关系得到：1/2 = 5/k。最后通过交叉相乘方程1 × k = 2 × 5，得出k = 10英尺。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "角KIJ等于角LIM，且角KJI等于角ILM，所以三角形IKJ相似于三角形ILM。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线LJ和MK相交于点I，形成四个角：角LIK、角MIJ、角LIM和角KIJ。根据对顶角的定义，角LIK和角MIJ是对顶角，角LIM和角KIJ是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角LIK=角MIJ，角LIM=角KIJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-19dffbffe740560dd86586f2546e64d6-img-fce028fce5d142998051773da0ebb2de.png", "question": "求 m。请将答案写成整数或小数，不要四舍五入。m = \\$ox\\$ 米", "answer": "6 meters", "process": "1. 在图中给出的△DCB和△ACE中，我们观察到∠DCB = ∠ACE = 90°，因此这两个角是全等的。

2. 已知：∠B=∠E，∠D=∠A，再根据相似三角形的判定定理(AA)，我们可以确立△DCB ~ △ACE。

3. 由于△DCB ~ △ACE，根据相似三角形的对应边成比例定理，有：

DC/AC = CB/CE。

4. 结合已知边长，DC = 4米，AC = 8米，CB = 3米，得出比例方程：

4/8 = 3/m。

5. 通过化简比例4/8，得到1/2，于是比例方程化为：

1/2 = 3/m。

6. 交叉相乘以消去比例，得到：

m = 3 * 2。

7. 进行乘法运算，得出m = 6。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "△DCB和△ACE的两个角∠DCB和∠ACE均为90°，并且图中已知∠B=∠E，∠D=∠A，因此依据相似三角形的判定定理(AA)，△DCB ~ △ACE。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "△DCB和△ACE是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠DCB = ∠ACE，∠B = ∠E；DC/AC = CB/CE。在这题目中已知DC = 4米，AC = 8米，CB = 3米，因此本定理用于建立比例关系，最终求得m。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fc16944f756533971df9003051bd07b9-img-54bf9805d2184e66a15a4bc6e5ce073a.png", "question": "哪个规则解释了为什么这些三角形是全等的？\n\n\n- AAS\n- ASA\n- SSS\n- SAS\n- 这些三角形不能被证明是全等的。", "answer": "- AAS", "process": "1. 已知 \\( \\angle MPN \\cong \\angle MSQ \\)，此为题目给定条件。

2. 观察图形，根据对顶角定义，有 \\( \\angle NMP \\cong \\angle QMS \\)。

3. 题目给定条件 \\( \\overline{MN} \\cong \\overline{MQ} \\)。

4. 已知两对角度 \\( \\angle MPN \\cong \\angle MSQ \\) 和 \\( \\angle NMP \\cong \\angle QMS \\)，以及其中一非夹边 \\( \\overline{MN} \\cong \\overline{MQ} \\)，即满足角角边全等定理。根据全等三角形判定定理(AAS)，两个三角形 \\( \\triangle MNP \\) 和 \\( \\triangle MQS \\) 全等。

5. 根据以上推理过程，最终可以断定 \\( \\triangle MNP \\cong \\triangle MQS \\) 是由于角角边（AAS）全等定理所证明。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，\\( \\angle MPN \\) 是由射线 \\( \\overline{MP} \\) 和 \\( \\overline{PN} \\) 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 \\( P \\)。这个共同的端点 \\( P \\) 称为角 \\( \\angle MPN \\) 的顶点，而射线 \\( \\overline{MP} \\) 和 \\( \\overline{PN} \\) 称为角 \\( \\angle MPN \\) 的边。同理，\\( \\angle MSQ \\) 是由射线 \\( \\overline{MS} \\) 和 \\( \\overline{SQ} \\) 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 \\( S \\)。这个共同的端点 \\( S \\) 称为角 \\( \\angle MSQ \\) 的顶点，而射线 \\( \\overline{MS} \\) 和 \\( \\overline{SQ} \\"}, {"name": "Definition of Line Segment", "content": "A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.", "this": "在本题图中，线段 \\( \\overline{MN} \\) 是一个直线的一部分，包含端点 \\( M \\) 和端点 \\( N \\) 及其间的所有点。线段 \\( \\overline{MQ} \\) 是一个直线的一部分，包含端点 \\( M \\) 和端点 \\( Q \\) 及其间的所有点。线段 \\( \\overline{MN} \\) 和线段 \\( \\overline{MQ} \\) 具有两个端点，这两个端点分别是\\( M \\) 和\\( N \\)、\\( M \\) 和\\( Q \\)，且线段 \\( \\overline{MN} \\) 和线段 \\( \\overline{MQ} \\) 上的每一个点都位于端点 \\( M \\) 和端点 \\( N \\)、端点 \\( M \\) 和端点 \\( Q \\) 之间。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线 \\( \\overline{MN} \\) 和 \\( \\overline{MQ} \\) 相交于点 M，形成四个角：\\( \\angle NMP \\)、\\( \\angle QMS \\)、\\( \\angle NMS \\) 和 \\( \\angle PMQ \\)。根据对顶角的定义，\\( \\angle NMP \\) 和 \\( \\angle QMS \\) 是对顶角，\\( \\angle NMS \\) 和 \\( \\angle PMQ \\) 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以 \\( \\angle NMP \\cong \\angle QMS \\)，\\( \\angle NMS \\cong \\angle PMQ \\)。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "在本题图中，\\( \\angle MPN \\cong \\angle MSQ \\) 和 \\( \\angle NMP \\cong \\angle QMS \\)，以及夹在其中的边 \\( \\overline{MN} \\cong \\overline{MQ} \\)。根据这个定理，可以确定 \\( \\triangle MNP \\) 和 \\( \\triangle MQS \\) 是全等的。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6234f75109be59216b7551236f7c8119-img-c31b0aa32e4a4737955b603cb72c5cd7.png", "question": "求d。请将答案写成整数或小数。不要四舍五入。d = \\$ox\\$ 米", "answer": "4 meters", "process": "1. 首先，根据对顶角的定义，得 ∠OKL和∠MKN为对顶角且∠OKL = ∠MKN。

2. 由图知 ∠KLO = ∠KNM。

3. 根据相似三角形的判定定理(AA)，我们知道如果两个三角形中有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。因此，三角形 OKL 与三角形 MKN 是相似的。

4. 根据相似三角形的定义，对于相似的三角形，它们对应边的比例相等。因此，我们有 LO/NM = KL/KN。

5. 根据已知条件，我们得到 LO = 3 m，NM = 6 m，KL = 2 m 和 KN = d。

6. 将已知条件代入比例式：3/6 = 2/d。

7. 简化比例：1/2 = 2/d。

8. 交叉相乘得到 1 * d = 2 * 2。

9. 计算得到 d = 4。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 d = 4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "角 ∠OKL 等于角 ∠MKN，且角 ∠KLO 等于角 ∠KNM，所以三角形 OKL 相似于三角形 MKN。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线OM和LN相交于点K，形成四个角：∠OKL、∠MKN、∠OKN和∠MKL。根据对顶角的定义，∠OKL和∠MKN为对顶角，∠OKN和∠MKL为对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠OKL = ∠MKN。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形 OKL 和三角形 MKN 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：LO/NM = KL/KN = OK/MK。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9443704c398e5f4fb6aab455a6aed863-img-3687cb724fd54ecebb9ad8225b078d2e.png", "question": "求d。请将答案写成整数或小数。不要进行四舍五入。d = \\$ox\\$ 英尺", "answer": "3 feet", "process": "1. 首先观察题中图形，可以发现△EDC与△FDB是两个直角三角形，并且∠BFD和∠CED为直角。

2. 根据两三角形都包含∠BDF，并且各自有直角，即可判断出△EDC与△FDB的三个对应角相等，依据相似三角形的判定定理(AA)，因此它们是相似三角形。

3. 根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边成比例，即有：

(i) \\( \\frac{ED}{FD} = \\frac{DC}{DB} = \\frac{CE}{BF} \\)

4. 根据已知条件，BC = 5 ft，DC = 5 ft，CE = d ft，BF = 6 ft，DB=BC+DC=5+5=10。

5. 代入已知条件至比例关系：

(i) \\( \\frac{5}{10} = \\frac{d}{6} \\)

6. 为了求解d，交叉相乘得到 \\( 5 \\times 6 = 10 \\times d \\)，即 \\( 30 = 10d \\)。

7. 两边同时除以10，得 \\( d = \\frac{30}{10} \\)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为3.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "△EDC与△FDB是两个直角三角形。根据解题过程，∠BFD =∠CED= 90°，并且△EDC和△FDB的对应角分别为∠EDC与∠FDB、∠DEC与∠DFB、∠ECD与∠FBD。此外，根据相似三角形性质，知道它们的对应边成比例：\\( \\frac{ED}{FD} = \\frac{DC}{DB} = \\frac{CE}{BF} \\)。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，三角形△EDC和三角形△FDB是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EDC = ∠FDB, ∠ECD = ∠FBD, ∠CED = ∠BFD；\\( \\frac{ED}{FD} = \\frac{DC}{DB} = \\frac{CE}{BF} \\)。具体来说，BC = 5 ft，DC = 5 ft，CE = d ft，BF = 6 ft，DB=BC+DC=5+5=10。根据比例关系，\\( \\frac{5}{10} = \\frac{d}{6} \\)，交叉相乘后得\\( 30 = 10d \\)，两边同时除以10，结果是\\( d = 3 \\)。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形FDB中，角∠BFD是直角（90度），因此三角形FDB是一个直角三角形。边FB和边FD是直角边，边BD是斜边。三角形EDC中，角∠DEC是直角（90度），因此三角形EDC是一个直角三角形。边EC和边ED是直角边，边CD是斜边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3dadada9a40ed4302e177abc2b79c8d7-img-31dc009d7b914768982276748750028a.png", "question": "求 n。将你的答案写成整数或小数。不要四舍五入。n = \\$ox\\$ 英尺", "answer": "5 feet", "process": "1. 观察图形中的两三角形△KIJ和△KLH，依据相似三角形的判定定理(AA)，我们可确认△KIJ和△KLH是相似三角形。

2. 相似三角形的判定定理(AA)，角∠KIJ = ∠KHL，∠IKJ = ∠LKH，∠KJI = ∠KLH。通过相似三角形的判定定理(AA)；因已知三角形△KLH的∠HKL和△KIJ的∠IKL是对顶角，可得△KIJ∽△KLH。

3. 根据相似三角形的定义，三角形的对应边之比相等，即我们可以得到如下比例关系：a. 边KJ与边KH对比，以及边IJ与边LH对比，即：IJ / LH = KJ / KH。 b. 已知IJ = 8 ft，LH = 4 ft，JK = 10 ft，及我们要求的n (HK)。于是可以列出比例式：8 / 4 = 10 / n。

4. 由上式8 / 4 = 10 / n，我们可以进行交叉相乘得到：8 * n = 4 * 10。

5. 化简上式：8n = 40。

6. 为解出n的值，两边同时除以8，得到：n = 40 / 8。

7. 简化后得：n = 5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为5。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形△KIJ和三角形△KLH中，如果角∠IKJ等于角∠LKH，且角∠KJI等于角∠KHL，所以三角形△KIJ相似于三角形△KLH。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线IL和JH相交于点K，形成四个角：角IKH、角IKJ、角JKL和角HKL。根据对顶角的定义，角IKH和角JKL是对顶角，角IKJ和角HKL是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角IKH=角JKL，角IKJ=角HKL。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形△KIJ和三角形△KLH是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角∠KIJ = ∠KLH，角∠IKJ = ∠LKH，角∠KJI = ∠KHL；IJ/LH = KI/KL = JK/HK。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c11885bbfce09f7bdf3f5d82d8e6025b-img-81b56de63ec348308045783a28d67c9d.png", "question": "求 g。将你的答案写成整数或小数。不要四舍五入。g = \\$ox\\$ 米", "answer": "4 meters", "process": "1. 根据题目给出的图形，我们看到△FGH和△FIJ都包含直角，并且夹角∠HFG=∠JFI。

2. 因为∠FGH和∠FIJ都是直角，通过三角形内角和定理我们知道∠GFH=∠JFI。

3. 根据相似三角形的判定定理(AA)，我们可以得出三角形△FGH ∼ △FIJ，因为它们有两个对应角全等。

4. 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边成比例，我们可以建立比例：FG/FI = GH/IJ。

5. 根据题目的已知条件，FI = 6 m，FG = 3 m 和 IJ = 8 m。代入比例关系，得到 3/6 = g/8。

6. 对比例进行化简：3/6 = g/8 变成了 1/2 = g/8。

7. 通过交叉相乘获得 2g = 1 * 8。

8. 计算得出 g = 4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为4米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形△FGH中，角∠G是直角（90度），因此三角形△FGH是一个直角三角形。边FG和边GH是直角边，边FH是斜边。三角形△FIJ中，角∠I 是直角（90度），因此三角形△FIJ是一个直角三角形。边FI和边IJ是直角边，边FJ是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形△FGH和三角形△FIJ中，如果角∠HFG等于角∠JFI，且角∠GHF等于角∠FJI，所以三角形△FGH相似于三角形△FIJ。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形 FGH 和三角形 FIJ 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：FG/FI = GH/IJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a2c8f3f7c26f0a266284edd32386e48b-img-4a56c5e68b6a4863a1aa061d844bbf83.png", "question": "求 m。将你的答案写成整数或小数。不要四舍五入。m = \\$ox\\$ 米", "answer": "3 meters", "process": "1. 重新绘制△JKL和△MNK，并标注已知的边长和角。

2. 观察到△LKJ和△MKN具有全等的内角，其中∠LJK和∠MNK为直角，共同的角为∠K，故△LKJ ∼ △MKN。

3. 根据相似三角形的定义，相似三角形对应边的比例相等。则对应边KJ和KN比例相等，对应边LJ和MN比例相等，KJ = 4米，KN = 8米.

4. 设置比例式：

KJ/KN = LJ/MN = LK/MK

5. 将已知边长代入：

4/8 = m/6

6. 计算得到：

4/8 = m/6 -> 4 * 6 = 8 * m -> 24 = 8m

7. 通过方程计算：

m = 24/8 = 3

8. 经过上述推理，最终得出答案为3米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "△JKL和△MNK满足∠LJK = ∠MNK = 90°，∠LJK = ∠MNK，共有角∠K，因此△JKL ∼ △MKN。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，三角形JKL和三角形MNK是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角LJK = 角MNK, 角JKL = 角NKM, 角KLJ = 角KMN；KJ/KN = LJ/MN = LK/MK。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dac9fb6a3b090b01c6127da1519b3a8a-img-903777dc2ee44f5ba4c4de30055ee1f3.png", "question": "OP是多少？\n\nOP= \\$ox\\$", "answer": "OP=9", "process": "1. 由于题目中提到圆是内切圆，且LQ和PQ都是从点Q出发的切线段，因此根据切线长定理，得LQ=PQ=3。

2. 由题设，MQ的长度为8。得出等式MQ=LM+LQ。因此，代入已知长度可计算出LM=8-3=5。

3. 由于内切圆，MN和LM是从点M到圆的切线段，因此根据切线长定理，得MN=LM=5。

4. 由题设，MO的长度为14。得出等式MO=NO+MN。因此，代入已知长度可计算出NO=14-5=9。

5. 由于内切圆，OP和NO是从点O到圆的切线段，因此根据切线长定理，得OP=NO=9。

6. 经过上述推理，最终得出答案为OP=9。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Tangent-Segment Theorem", "content": "If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.", "this": "在本题图中，从圆外一点 Q 引圆的两条切线 LQ 和 PQ，它们的切线长相等，即 LQ = PQ = 3。从圆外一点 M 引圆的两条切线 MN 和 LM，它们的切线长相等，即 MN = LM = 5。从圆外一点 O 引圆的两条切线 OP 和 NO，它们的切线长相等，即 OP = NO = 9。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ac6910eb561995fefee9acbdd236e615-img-65218a0ba7084c87add50dc1b95e6823.png", "question": "如果 JL=24 且 LM=10，那么 KL 是多少？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nKL = \\$ox\\$", "answer": "KL = 15.49", "process": "1. 观察图形△JLK和△MLK，注意到这些三角形中都有一个直角，且它们有公共角∠L。

2. 由于两三角形△JLK和△MLK都有一个直角且有公共角∠L，根据相似三角形的判定定理(AA)，即如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似，所以△JLK和△MLK相似。

3. 根据相似三角形的定义，三角形的对应边成比例。因此，比例关系为JL/KL=KL/LM。

4. 将已知量代入比例关系中：24/KL=KL/10。

5. 交叉相乘以解决方程：KL² = 24 * 10。

6. 进行乘法计算和开平方：KL² = 240, 则KL = √240。

7. 计算平方根，得KL ≈ 15.4919。

8. 最后四舍五入到最近百分之一，得到结果KL ≈ 15.49。

9. 经过上述推理，最终得出答案为KL = 15.49。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角∠JKL是直角（90度），因此三角形JLK是一个直角���角形。边JK和边LK是直角边，边JL是斜边。角∠LMK是直角（90度），因此三角形MLK是一个直角三角形。边ML和边KM是直角边，边KL是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形JLK和三角形MLK中，角JLK等于角MLK，且角LKJ等于角LMK，所以三角形JLK相似于三角形MLK。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形JLK和三角形MLK是相似三角形。根据相似三角形的定义有：JL/KL = KL/LM。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1b050be97f6d6af41564ea76953f0574-img-5f8ac107770e4a288f3f8167ea5e61d4.png", "question": "如果 KM=14 且 LM=10，MN 是多少？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nMN = \\$ox\\$", "answer": "MN = 7.14", "process": "1. 已知△LNM和△KLM的角∠LNM和∠KLM均是直角，且角∠LMN是公共角，因此△LNM和△KLM有两个角相等。

2. 相似三角形的判定定理(AA)（两个角相等，两三角形相似），可得△LNM∼△KLM。

3. 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边成比例，因此MN/LM=LN/KL=LM/KM。

4. 已知KM=14和LM=10。

5. 在相似三角形的边比公式MN/LM=LM/KM中，代入已知量，得MN/10=10/14。

6. 解方程MN/10=10/14以求MN，得到MN=(10/14)×10。

7. 计算得MN=100/14=7.142857...。

8. 将MN取到小数点后两位，得到MN≈7.14。

9. 经过上述推理，最终得出答案为MN ≈ 7.14。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形LNM中，角LNM是直角（90度），因此三角形LNM是一个直角三角形。边LN和边NM是直角边，边LM是斜边。三角形KLM中，角KLM是直角（90度），因此三角形KLM是一个直角三角形。边KL和边LM是直角边，边KM是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形LNM和三角形KLM中，角LMN等于角LMK（公共角），且角LNM等于角KLM（均为直角），所以三角形LNM相似于三角形KLM。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，三角形LNM和三角形KLM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角LNM = 角KLM, 角MLN = 角MLK；MN/LM = LN/KL = LM/KM。代入已知量KM=14和LM=10，可以得出MN/LM=LM/KM。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3506214faa7df90f55ee2fa01c74e159-img-5d89cc12284e450cb643a5f131a5a44b.png", "question": "求v。将你的答案写成整数或小数。不要四舍五入。v = \\$ox\\$ 英尺", "answer": "8 feet", "process": "1. 从题目图形中可以观察到，∠QPO和∠NMO皆为直角，∠POQ=∠MON。

2. . △QPO和△NMO拥有两个角分别相等，故根据相似三角形的判定定理(AA)，△QPO ∽ △NMO。

3. 基于相似三角形的定义，得到：

△QPO和△NMO的对应边为QP与NM、PO与MO以及QO与NO，则有:

QP / NM = PO / MO = QO / NO。

4. 题目中给出QP = 3英尺，NM = 6英尺，PO = 4英尺，MO = v。

5. 所以，我们可以列出比例式：3 / 6 = 4 / v。

6. 化简这个比例式，得到：1 / 2 = 4 / v。

7. 通过交叉乘法，得到：v * 1 = 2 * 4。

8. 解出v，得到v = 8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为8英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形QPO和三角形NMO是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角QPO = 角NMO, 角QOP = 角MON, 角OQP = 角ONM；QP/NM = PO/MO = QO/NO。具体来说，根据题目条件，已知QP = 3英尺，NM = 6英尺，PO = 4英尺，MO = v，可得3/6 = 4/v。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "��QPO = ∠NMO (直角，即90°)且∠POQ = ∠NOM，由此可得，△QPO ∽ △NMO。"}]} +{"img_path": "ixl/question-de7a078bc435e714319f18e38506c676-img-5861278086ad41308ae6c1e5de63cabb.png", "question": "如果 PR=35 且 RS=12，QR 是多少？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nQR = \\$ox\\$", "answer": "QR = 20.49", "process": "1. 在题目中我们知道 △QSR 和 △PQR 这两个三角形都是直角三角形。

2. 因为角 QSR 和角 PQR都是 直角，所以 ∠QSR = 90° 和 ∠PQR = 90°。

3. 观察图形，可以得到 ∠SRQ 与 ∠PRQ 是公共的，所以这两个三角形具有两个相等的角。

4. 根据相似三角形的判定定理(AA)，若两个三角形有两个对应的角相等，则两个三角形相似。因此 △QSR ∼ △PQR。

5. 因为相似三角形的对应边成比例，所以得到相似三角形的对应边的比例关系：QR/PR = RS/QR。

6. 代入已知的边长，PR = 35 和 RS = 12，得到比例关系式：QR/35 = 12/QR。

7. 将比例关系化简：QR * QR = 35 * 12。

8. 可更进一步简化方程为 QR^2 = 420。

9. 解出 QR，得到 QR = √420。

10. 计算此平方根， QR = 20.4939...

11. 将结果保留到小数点后两位， QR = 20.49。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 QR = 20.49。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形QSR中，角QSR是直角（90度），因此三角形QSR是一个直角三角形。边QS和边RS是直角边，边QR是斜边。三角形PQR中，角PQR是直角（90度），因此三角形PQR是一个直角三角形。边PQ和边QR是直角边，边PR是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形QSR和三角形PQR中，∠QSR等于∠PQR（均为90°），且∠SRQ等于∠PRQ，所以三角形QSR相似于三角形PQR。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形QSR和三角形PQR是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角QSR = 角PQR, 角SRQ = 角PRQ；QR/PR = RS/QR。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e03246ae2072b3b424ca7503a0a6c37c-img-cd2e248481c843adaa8902ee1a85b993.png", "question": "如果LM=24且MN=13，那么KM是多少？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nKM = \\$ox\\$", "answer": "KM = 44.31", "process": "1. 在△LNM中，∠LNM是直角，在△KLM中，∠KLM也是直角。两三角形均有公共角∠M。

2. 根据相似三角形的判定定理(AA)，如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形相似。因为△LNM和△KLM都有相等的直角和公共角∠M，所以△LNM ∼ △KLM。

3. 由于△LNM ∼ △KLM，相似三角形的对应边成比例。因此， \\[ \\frac{KM}{LM} = \\frac{LM}{MN} \\]

4. 已知LM=24和MN=13，代入比例式中，即：\\[ \\frac{KM}{24} = \\frac{24}{13} \\]

5. 解比例式：\\[ KM = \\frac{24 \\times 24}{13} \\]

6. 计算可得：\\[ KM = \\frac{576}{13} ≈ 44.307692... \\]

7. 四舍五入到小数点后两位，可以得出KM≈44.31。

8. 经过上述推理，最终得出答案为44.31。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "∠LNM是由射线LN和射线NM通过公共端点N形成的直角。类似地，∠KLM是由射线KL和射线LM通过公共端点L形成的直角。而∠LMK是由射线ML和射线MK通过公共端点M形成的角。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形LNM中，角LNM是直角（90度），因此三角形LNM是一个直角三角形。边LN和边NM是直角边，边LM是斜边。三角形KLM中，角KLM是直角（90度），因此三角形KLM是一个直角三角形。边KL和边LM是直角边，边KM是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形LNM��三角形KLM中，∠LNM等于∠KLM，且∠M是公共角，所以三角形LNM相似于三角形KLM。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形LNM和三角形KLM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角NLM = 角LKM, 角LNM = 角KLM, 角LMN = 角LMK；MN/LM = LN/LK = MN/LM。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b47076a84820f7a2f30f15640fe5d751-img-babf61dfa0324a98861fb9b3e8b5d854.png", "question": "如果 SV=28 且 TV=15，UV 是多少？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位。\nUV = \\$ox\\$", "answer": "UV = 8.04", "process": "1. 已知△SVT和△TVU都是直角三角形，其中SV=28，TV=15。

2. 在Rt△SVT和Rt△STU中，根据直角三角形的锐角互余性质，所以有∠VST + ∠STV = 90°和∠VUT + ∠VST = 90°。

3. 通过等式∠VST + ∠STV= ∠VUT + ∠VST，我们可以得到∠STV = ∠VUT。

4. 由于△SVT和△TVU有两个对应角相等（∠SVT = ∠TVU和∠STV = ∠VUT），根据相似三角形的判定定理(AA)，可以判定△SVT ~ △TVU。

5. 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边成比例，故有SV/TV = TV/UV。

6. 将已知的边长代入比例中，即28/15 = 15/UV。

7. 解以上比例，交叉相乘，得到28 × UV = 15 × 15。

8. 对等式进行化简，得到UV = 225/28。

9. 计算225/28的值约为8.0357，四舍五入到小数点后两位得到UV = 8.04。

10. 经过上述推理，最终得出答案为UV=8.04。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形SVT中，角∠SVT是直角（90度），因此三角形SVT是一个直角三角形。边SV和边VT是直角边，边ST是斜边。三角形TVU中，角∠TVU是直角（90度），因此三角形TVU是一个直角三角形。边TV和边VU是直角边，边TU是斜边。三角形STU中，角∠STU是直角（90度），因此三角形STU是一个直角三角形。边ST和边TU是直角边，边SU是斜边。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形SVT和三角形TVU是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠SVT = ∠TVU, ∠VST = ∠VTU；SV/TV = TV/UV。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "∠STV 等于 ∠TUV，且 ∠SVT 等于 ∠TVU，所以 三角形 SVT 相似于三角形 TVU。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "直角三角形SVT中，角SVT是直角（90度），∠VST和∠STV是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，∠VST和∠STV的和为90度，即∠VST + ∠STV= 90°。同理，Rt△STU中，∠VUT + ∠VST = 90°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e2dd8da23c08dc9f45c7a2532c779f8a-img-77a08e39526a48f0843beaee582d43d1.png", "question": "求 s。 \n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 厘米", "answer": "3 centimeters", "process": "1. 已知这是一个45°-45°-90°的等腰直角三角形，因为在这个等腰直角三角形中，45°的角是相等的。假设等腰直角三角形的两条直角边为s，并设斜边为h，已知斜边h的长度为3√2厘米。

2. 根据等腰直角三角形的性质：在一个45°-45°-90°的等腰直角三角形中，直角边与斜边的比为1:√2。因此有h = s√2。

3. 将已知的斜边长度代入方程：3√2 = s√2。

4. 解方程：两边同时除以√2，得到s = 3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为3厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形中有一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。两条直角边分别为s和s，斜边为3√2厘米。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "在本题图中，三角形中，两条直角边相等，因此该三角形是一个等腰三角形。"}, {"name": "Properties of Isosceles Right Triangle", "content": "The length of the hypotenuse is equal to the length of one of the legs multiplied by √2.", "this": "三角形是等腰直角三角形，斜边=直角边*√2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8096c6289d5285d6b408e2f4f19b055f-img-1a8c8c6d4fcb48e9adf2c18ca71798ec.png", "question": "如果KL=22且KN=17，KM是多少？\n\n请将答案写为整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nKM = \\$ox\\$", "answer": "KM = 28.47", "process": "1. 已知△KNL和△KLM都是直角三角形，其中∠LNK和∠MLK为直角，且∠K为公共角。

2. 根据相似三角形的判定定理(AA)，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，因此△KNL与△KLM相似。

3. 根据相似三角形的定义，对于△KNL和△KLM，有以下比例关系：KM/KL=KL/KN。

4. 已知KL=22，KN=17，将已知值代入比例关系中，得KM/22=22/17。

5. 解比例方程，乘以22的两边：KM=(22/17) * 22。

6. 计算得到KM=484/17，KM≈28.470588235294117647058823529411。

7. 根据题目要求，将KM四舍五入到小数点后两位，得KM≈28.47。

8. 经过上述推理，最终得出答案为KM=28.47。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形KNL中，角LNK是直角（90度），因此三角形KNL是一个直角三角形。边KN和边NL是直角边，边KL是斜边。三角形KLM中，角MLK是直角（90度），因此三角形KLM是一个直角三角形。边KL和边LM是直角边，边KM是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形KNL和三角形KLM中，∠LNK等于∠MLK，且∠LKN等于∠LKM，所以三角形KNL相似于三角形KLM。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形KNL和三角形KLM是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角LNK = 角MLK, 角NLK = 角LMK, 角LKN = 角MKL；KM/KL = KL/KN。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d84cb4444c954047fde0231ec4c9d1bd-img-307cc31f032848e3bdfeb0121886b6b4.png", "question": "求 a。 \n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 米", "answer": "9 meters", "process": "1. 已知该三角形是一个等腰直角三角形，因为它具有两个45°的角。这意味着两条直角边相等。

2. 记这个等腰直角三角形的直角边为'a'，斜边为9√2米。

3. 根据等腰直角三角形的性质，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。

4. 据此性质，我们可以建立方程：斜边=√2·直角边，即：9√2 = √2·a。

5. 两边都除以√2，得出：a = 9。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Properties of Isosceles Right Triangle", "content": "The length of the hypotenuse is equal to the length of one of the legs multiplied by √2.", "this": "三角形ABC是等腰直角三角形，斜边AC＝直角边BC∗√2＝9√2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-69cb8841903e59f162d35bfbf5b96b64-img-6800e860674d49c3a468f7f42940aed9.png", "question": "如果QR=25且RS=14，PR是多少？\n\n请将答案写为整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nPR = \\$ox\\$", "answer": "PR = 44.64", "process": "1. 观察△QSR与△PQR，首先注意到在三角形△QSR中，∠QSR是直角，并通过已知条件△PQR中，∠PQR也是直角。

2. 在两三角形△QSR和△PQR中，∠R是公共角。因此，△QSR与△PQR根据相似三角形的判定定理(AA)，△QSR与△PQR中各有两个对应角相等，故△QSR与△PQR相似。

3. 根据相似三角形的定义，相似三角形对应边成比例，所以有PR/QR=QR/RS。

4. 代入已知条件QR = 25，RS = 14，得到PR/25 = 25/14。

5. 解方程PR/25 = 25/14，进行交叉乘法，得到PR x 14 = 25 x 25。

6. 计算得到PR = 625/14。

7. 将PR = 625/14进行除法运算计算得到PR ≈ 44.642857。

8. 将PR ≈ 44.642857四舍五入到小数点后两位，得到PR ≈ 44.64。

9. 经过上述推理，最终得出答案为44.64。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形QSR中，角QRS是直角（90度），因此三角形QSR是一个直角三角形。边QS和边RS是直角边，边QR是斜边。三角形PQR中，角PQR是直角（90度），因此三角形PQR是一个直角三角形。边PQ和边QR是直角边，边PR是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形QSR和三角形PQR中，角QSR等于角PQR（都是直角），且角R是公共角，所以三角形QSR相似于三角形PQR。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，三角形△QSR和三角形△PQR是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠QSR = ∠PQR, ∠QRS = ∠QPR；PR/QR = QR/RS。代入已知条件QR = 25，RS = 14，得到PR / 25 = 25 / 14。"}]} +{"img_path": "ixl/question-943094f0a7e525262dfe3d5cca75d79d-img-970d0ce1e3884e4cb0c53e7d08b4fab5.png", "question": "如果 WX=24 且 WY=38，那么 WZ 是多少？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位的形式。\nWZ = \\$ox\\$", "answer": "WZ = 15.16", "process": "1. 观察图形，给出已知条件：WX=24和WY=38。

2. 分析图形△WZX和△WXY，注意到它们都含有直角，即∠WZX=∠WXY=90°。

3. 同时，∠XWZ在△WZX和△WXY中是共用角，因此它们是相似三角形。根据“相似三角形的判定定理(AA)”：如果两个三角形中的两个角分别相等，则这两个三角形相似。这意味着△WZX ∼ △WXY。

4. 由于△WZX和△WXY是相似三角形，根据相似三角形的定义，得到对应边的比例关系：WZ/WX = WX/WY。

5. 将已知的边长代入比例关系中：WZ/24 = 24/38。

6. 通过交叉相乘解比例式：WZ * 38 = 24 * 24。

7. 计算得：WZ * 38 = 576。

8. 进一步化简，得到：WZ = 576 / 38。

9. 计算商：WZ ≈ 15.1578，四舍五入到小数点后两位得：WZ ≈ 15.16。

10. 经过上述推理，最终得出答案为15.16。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠WZX是由射线WZ和射线XZ组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点Z。这个共同的端点Z称为角∠WZX的顶点，而射线WZ和XZ称为角∠WZX的边。角∠WXY是由射线WX和射线XY组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点X。这个共同的端点X称为角∠WXY的顶点，而射线WX和XY称为角∠WXY的边。角∠XWZ是由射线WX和射线WZ组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点W。这个共同的"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形WZX和三角形WXY中，如果角WZX等于角WXY，且角XWZ等于角XWY，所以三角形WZX相似于三角形WXY。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "三角形WZX和三角形WXY是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角WZX = 角WXY, 角XWZ = 角XWY；WZ/WX = WX/WY。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5ea004d91d95b23c276f7ebe27123c95-img-9acf993738e84480a32f36eec089cb10.png", "question": "如果WY=6且XY=5，求YZ的长度？\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nYZ = \\$ox\\$", "answer": "YZ = 4.17", "process": "1. 已知△XZY和△WXY都是直角三角形，且它们共享∠Y，因此它们满足至少两个角相等，所以根据相似三角形的判定定理(AA)，△XZY和△WXY是相似的。

2. 根据相似三角形的定义，△XZY和△WXY的对应边的比等，因此有YZ/XY = XY/WY。

3. 已知XY=5和WY=6，代入上一步的比例关系式YZ/5 = 5/6。

4. 通过交叉相乘求解YZ，得到YZ = 5 * (5/6) = 25/6。

5. 将25/6计算为小数，得YZ = 4.1666...。

6. 按要求将YZ四舍五入到小数点后两位，得到YZ = 4.17。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4.17。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角XZY是直角（90度），因此三角形XZY是一个直角三角形。边XZ和边ZY是直角边，边XY是斜边。在三角形WXY中，角WXY是直角（90度），因此三角形WXY是一个直角三角形。边WX和边XY是直角边，边WY是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形XZY和三角形WXY中，角XZY等于角WXY，且角XYZ等于角XYW，所以三角形XZY相似于三角形WXY。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，△XZY和△WXY是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠YXZ = ∠YWX, ∠XZY = ∠WXY, ∠XYZ = ∠WYX；YZ/XY = XY/WY。已知XY=5和WY=6，代入该比例关系得到YZ/5 = 5/6，再通过计算得出YZ = 4.17（四舍五入到小数点后两位）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1f9bae6e40472fc39ff947eb93abdd56-img-6fff0e7a07854f09ba131e933f6cea1c.png", "question": "求 b。请将答案写成整数或小数。不要四舍五入。b = \\$ox\\$ 码", "answer": "3 yards", "process": "1. 在给定的图形中，△ILJ和△MLK是两个直角三角形，其中角LIJ和角LMK均为直角。

2. 观察到角ILJ和角MLK相等，因为它们是公共角。

3. 因此，△ILJ和△MLK相似，依据相似三角形的判定定理(AA)。

4. 相似三角形定义表明相似三角形对应边成比例。因此，可以根据相似三角形的边长比例公式得出：IL / ML = JI / KM。

5. 已知IL = IM+ML=4+4=8 yd，JI = 6 yd，而ML = 4 yd，因此可以列出比例关系式：8 / 4 = 6 / b。

6. 进一步化简后得出：2 = 6 / b。

7. 通过交叉相乘得到b = 6 / 2，即b = 3 yd。

8. 经过上述推理，最终得出答案为b = 3 yd。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形ILJ中，角LIJ是直角（90度），因此三角形ILJ是一个直角三角形。边IJ和边IL是直角边，边JL是斜边。三角形MLK中，角LMK是直角（90度），因此三角形MLK是一个直角三角形。边MK和边ML是直角边，边KL是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，△ILJ和△MLK是相似三角形。因为∠ILJ等于∠MLK且∠LIJ和∠LMK都是直角，故两三角形的对应角相等。根据相似三角形定义，我们进一步得出对应边成比例，即IL / ML = JI / KM。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "△ILJ和△MLK是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠ILJ = ∠MLK, ∠IJL = ∠MKL, ∠JIL = ∠KML；IL/ML = JI/KM = JL/LK。"}]} +{"img_path": "ixl/question-322fe51d8be92cd561e509904db544c4-img-5863cddd071c4f90a4f4954598913a49.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方米", "answer": "729 cubic meters", "process": "1. 题中给出的几何图形是正方体，每条边的长度均为9米。

2. 由于题目要求求解体积，根据正方体的体积公式V = a^3，其中a为边长。

3. 将正方体边长a=9米代入公式，计算出体积V = 9米×9米×9米。

4. 经过计算，得出V = 729立方米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为729立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "正方体表示为一个有六个正方形面体，每条边的长度均为9米，便符合正方体的定义。由于题目给出每条边长度，因此每个面均为边长9米的正方形。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "边长a = 9米，体积V的计算过程为：V = 9米 × 9米 × 9米 = 729立方米。通过代入边长进行计算，最终确认得出体积为729立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-eca2294c78c59ff9bfe1ef83592cd61b-img-2069c2e2216145beb2c6d51efb0b9318.png", "question": "求 q。 \n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 毫米", "answer": "2 millimeters", "process": "1. 已知这是一个直角三角形，其中一个锐角为30°，另一个锐角为60°，且短的直角边长为1毫米。

2. 根据30°-60°-90°三角形的性质：在一个30°-60°-90°的直角三角形中，斜边是短直角边的两倍。具体而言，如果短边长为a，则斜边长为2a。

3. 在本题中，已知短直角边长为1毫米，所以根据该定理，斜边即边q的长度为2×1=2毫米。

4. 所以，经过上述推理，最终得出答案为2毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形中，角为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边1毫米和另一条直角边是直角边，边q是斜边。"}, {"name": "Properties of 30°-60°-90° Triangle", "content": "In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.", "this": "1mm所对的角是30度，另一条直角边所对的角是60度，边q所对的角是90度。边q是斜边，边1毫米是30度角所对的边，另一条直角边是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边1毫米等于边q的一半，另一条直角边等于边1毫米的√3倍。即：q = 2 * 1毫米=2毫米，另一条直角边 = 1毫米 * √3=√3毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fc430d3017be11c2648b63718dfc3f44-img-a0f77f7c08cc44cdaaea961405e9ac3b.png", "question": "求 u。 \n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 公里", "answer": "10 kilometers", "process": "1. 由题图可知，给出的三角形是一个直角三角形，其中两个锐角都是45°。

2. 根据等腰直角三角形的定义，在直角三角形中，两个锐角相等时，该三角形为等腰直角三角形，即两条直角边相等。

3. 设直角边的长度为u，根据等腰直角三角形的性质，两条直角边是相等的，且直角边与斜边的关系为斜边=√2×直角边。

4. 已知该直角三角形的斜边长为10√2公里，根据等腰直角三角形的性质得出：10√2 = √2 × u，两个直角边长度相等且为u。

5. 解方程10√2 = √2 × u，将等式两边同时除以√2，得到u = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形中有一个角为直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。两条直角边分别为u和另一条未标注长度的边，斜边为10√2公里。"}, {"name": "Definition of Isosceles Right Triangle", "content": "An isosceles right triangle is a triangle with two sides of equal length and one angle measuring 90 degrees.", "this": "该三角形是等腰直角三角形，其中有一个角是直角（90度），长度为u的边和另一条未标注长度的边是相等的直角边。"}, {"name": "Properties of Isosceles Right Triangle", "content": "The length of the hypotenuse is equal to the length of one of the legs multiplied by √2.", "this": "该三角形是等腰直角三角形，斜边=直角边u*√2=10√2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0ac2db8974f1ef48e64bd44c92e27e2f-img-7e4068bcd5b248179cd86d6dc4a0f8ca.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方英尺", "answer": "1,000 cubic feet", "process": "1. 已知正方体的每一条边长均为10英尺。

2. 根据正方体的体积公式，对于一个正方体，体积等于边长的三次方，即体积 = 边长 × 边长 × 边长。

3. 代入已知边长为10英尺，计算体积：体积 = 10英尺 × 10英尺 × 10英尺。

4. 计算得到体积 = 1000立方英尺。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1000立方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，正方体的每一条边长均为10英尺，且每个面都是正方形。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "对于边长为10英尺的正方体，体积计算公式为：体积 = 10英尺 × 10英尺 × 10英尺，最终计算得体积为1000立方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-259aed390495a29e012f8423535d0935-img-ccd0c29fedb24b7fa1258b6531098ec2.png", "question": "体积是多少？\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "486 cubic millimeters", "process": "1. 观察题目所示的长方体，量取其长、宽、高分别为9毫米、6毫米、9毫米。

2. 根据长方体体积公式，体积V = 长 × 宽 × 高。该公式的推导基于立体几何中关于长方体的定义。

3. 将量得的长方体的长、宽、高代入公式，得出V = 9毫米 × 6毫米 × 9毫米。

4. 计算得：V = 486立方毫米。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为486立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，所示的几何图形是长方体，其中长为9毫米，宽为6毫米，高为9毫米。长方体的长、宽、高分别对应于图中标注的长度。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，这一几何定理用来计算长方体的体积。长方体的长、宽、高分别为9毫米、6毫米、9毫米，通过计算体积V = 9毫米 × 6毫米 × 9毫米，得出体积为486立方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b3c8f5e3af5249c22b0304fb63598ffd-img-dbeff919a5f741129f3bef1f3ec8daba.png", "question": "求 p。\n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 英里", "answer": "5 miles", "process": "1. 已知该三角形是一个直角三角形，其中一个锐角为30度，另一个锐角为60度，且其中较长的直角边为5√3。

2. 根据30-60-90三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个角为30度，则其较短的直角边等于斜边的一半，而较长的直角边等于较短直角边乘以√3。

3. 在本题中设较短直角边的长度为p，由30-60-90三角形的性质，可得出较长的直角边为p√3。

4. 题中已知较长的直角边长为5√3，因此可以设立方程：p√3 = 5√3。

5. 方程两边都除以√3，得到p = 5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为5英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "其中一个角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边p和边5√3是直角边，剩下的最长边是斜边。"}, {"name": "Properties of 30°-60°-90° Triangle", "content": "In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角30°所对的边是p，角60°所对的边是5√3，直角所对的边是斜边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边p等于斜边的一半，边5√3等于边p的√3倍。即：p = 1/2 * 斜边，5√3 = p * √3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1fc2fc5821670ab803a9a118b02f0d56-img-7822cc6a95934712bd1aff5623587e4e.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "96 square feet", "process": "1. 如图所示，该立体图形为正方体，已知正方体的棱长为4英尺。根据正方体的定义，正方体是一个六个面都相等的正方形的几何体。

2. 计算正方体每个面的面积。根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，每个面的边长为4英尺，因此每个正方形面的面积为4英尺 × 4英尺 = 16平方英尺。

3. 正方体共有6个相等的正方形面。根据正方体表面积公式，正方体表面积公式是其六个面的总面积之和。

4. 计算总体的表面积，表面积为6个正方形的面积之和，所以表面积 = 6 × 16平方英尺 = 96平方英尺。

5. 经过上述推理，最终得出答案为96平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，所有面都是边长为4英尺的正方形。正方体的立体图形满足正方体定义的条件，即具有六个面，每个面都是形状完全相同的正方形，边长为4英尺。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，正方体的每个面都是边长为4英尺的正方形。每个面满足正方形定义的条件，即四条边长度相等（4英尺），每个内角均为90度。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方体每个面的边长为4英尺，根据正方形面积公式，正方形的面积 = 4英尺 × 4英尺 = 16平方英尺。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "正方体有六个面，每个面的面积为16平方英尺，因此正方体的表面积 = 6 × 16平方英尺 = 96平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5833e5979e1a97615afa2ff2e440da49-img-caacef1742a2408ea25ef4375314a5c2.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方码", "answer": "224 cubic yards", "process": "1. 首先，识别出长方体的长、宽和高分别为7码、4码以及8码。

2. 根据长方体体积公式：体积 = 长 × 宽 × 高。

3. 代入已知的长、宽、高的数值。根据体积公式，计算出体积：7码 × 4码 × 8码。

4. 进行乘法计算：7 × 4 = 28；接着28 × 8 = 224。

5. 综上所述，长方体的体积为224立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，给定的几何形状是长方体。其长为7码，宽为4码，高为8码。这三维模型的每个面都是矩形，且相对的面彼此平行。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的边长分别为7码、4码和8码，根据公式V = L × W × H，体积V = 7码 × 4码 × 8码。计算得出体积V = 224立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5e9b39146ea162eade2d51bb117f4a8b-img-e4bb960eee0b44e5b09f05c831dc7b55.png", "question": "如果 EH=11 且 FH=12，那么 GH 是多少？\n\n请将答案写为整数或四舍五入到小数点后两位的十进制数。\nGH = \\$ox\\$", "answer": "GH = 13.09", "process": "1. 观察图形，我们知道 ∠EHF ，∠FHG和 ∠EFG 都是直角，因此它们都是直角三角形。

2. 考察三角形 EHF 和三角形 EFG，在直角三角形中非直角两角之和为 90°。

3. 定义 ∠HEF 为三角形 EHF 的另一个角，∠EGF 为三角形 EFG 的另一个角。则有 m ∠HEF + m ∠EFH = 90° 和 m ∠EGF + m ∠GEF = 90°。

4. 因此，我们可以得到 m ∠HEF + m ∠EFH = m ∠EGF + m ∠GEF。

5. 由于 ∠HEF 就是∠GEF，因此 m ∠HFE = m ∠EGF。

6. 由上步得出 m ∠HFE 与 m ∠EGF 相等，且 ∠EHF 和 ∠FHG 各为直角，可知三角形 EHF 和三角形 FHG 依照相似三角形的判定定理(AA)（即两个三角形的两个对应角相等时，三角形相似），这两个三角形相似。

7. 因为三角形 EHF 和三角形 FHG 相似，所以相应的边的比是相等的：GH/FH = FH/EH。

8. 将给定的长代入已知比例中，EH = 11 和 FH = 12。

9. 求解 GH 的过程为：GH/12 = 12/11。

10. 乘等式两边 12 得到：GH = (12 × 12)/11 = 144/11。

11. 计算得 GH = 13.0909...。

12. 四舍五入到百分位，GH = 13.09。

13. 经过上述推理，最终得出答案为 GH = 13.09。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形 EHF 中，角 EHF 是直角（90度），因此三角形 EHF 是一个直角三角形。边 EH 和边 HF 是直角边，边 EF 是斜边。三角形 FHG 中，角 FHG 是直角（90度），因此三角形 FHG 是一个直角三角形。边 FH 和边 HG 是直角边，边 FG 是斜边。三角形 EFG 中，角 EFG 是直角（90度），因此三角形 EFG 是一个直角三角形。边 EF 和边 FG 是直角边，边 EG 是斜边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形 EHF 和三角形 FHG 中有 ∠EHF = ∠FHG 均为直角，且 ∠EHF = ∠FGH，因此两三角形相似。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "在本题图中，直角三角形EHF中，角EHF是直角（90度），角E和角EFH是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角E和角EFH的和为90度，即角E + 角EFH = 90°。直角三角形EFG中，角EFG是直角（90度），角E和角FGE是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角E和角FGE的和为90度，即角E + 角FGE = 90°。"}, {"name": "Definition of Similar Triangles", "content": "Two triangles are similar if and only if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.", "this": "在本题图中，三角形 EHF 和三角形 FHG 是相似三角形。根据相似三角形的定义有：∠EHF = ∠FHG, ∠HEF = ∠GFH；EH/FH = FH/GH。代入已知值 EH = 11 和 FH = 12，得到 GH/12 = 12/11，从而求得 GH = 13.09。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c4448923a93ae7fb3bc2ce7a9c9cbca6-img-dcb968d32bab423a9d3c4df4fafd4dd6.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方米", "answer": "343 cubic meters", "process": "1. 已知该立方体的每条边长均为7米。

2. 根据立方体体积计算公式：体积 = 边长 × 边长 × 边长，可以得出体积计算过程。

3. 将已知边长7米代入公式：体积 = 7米 × 7米 × 7米。

4. 计算乘积：7 × 7 = 49，49再乘以7等于343。

5. 因此，根据公式计算，立方体的体积为343立方米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为343立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "这个立体几何图形是一个立方体，其每条边长均为7米，因此符合立方体定义的所有特征，包括等长的边和正方形的面。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "在本题图中，已知立方体的边长为7米，根据该公式，可以得出体积计算过程：体积 = 7米 × 7米 × 7米。通过计算最终得出立方体的体积为343立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d10dec103e46c83df4710ff863088a1c-img-dae95f9080a14a628be128e378cc3828.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方码", "answer": "168 cubic yards", "process": "1. 由题意可知，这个几何体是一个长方体，即矩形棱柱。

2. 根据长方体的性质，体积等于其长度、宽度和高度的乘积。

3. 从图中观察得，长方体的长度为8码（yard），宽度为3码（yard），高度为7码（yard）。

4. 依据长方体体积公式：体积 = 长度 × 宽度 × 高度，代入已知值计算，得到体积 = 8 码 × 3 码 × 7 码。

5. 执行乘法计算：8 × 3 = 24，接着24 × 7 = 168。

6. 因此，长方体的体积为168立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "这个几何体是一个长方体，其六个面均为长方形，每个角皆为直角。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的长度为8码（yard），宽度为3码（yard），高度为7码（yard）。我们利用公式：体积 = 长度 × 宽度 × 高度，代入已知值得到体积 = 8码 × 3码 × 7码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-07b27f8e97d02d015baae2daf46ca449-img-62e1026898f04dea841d5a4a5d2b908d.png", "question": "求 s。 \n\n请以最简根式形式写出你的答案。 \n \\$ox\\$ 厘米", "answer": "8 centimeters", "process": "1. 已知一个直角三角形，其直角对应的两条直角边相等，且为等腰直角三角形。

2. 在图中，直角三角形的两个非直角均为45°。

3. 根据等腰直角三角形的性质，如果一条直角边长度为 s，则斜边长度为 s√2。

4. 图中斜边的长度表示为 8√2 cm，由此我们建立方程 斜边 = s√2。

5. 将已知条件代入方程，得到 8√2 = s√2。

6. 双边同时除以 √2，得到 s = 8。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 8。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "在本题图中，三角形 ABC 是一个等腰三角形，其中 ∠BAC = ∠ABC = 45°，且 AB = BC = s。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形 ABC 中，角 ACB 是直角（90度），因此三角形 ABC 是一个直角三角形。边 AB 和边 BC 是直角边，边 AC 是斜边。"}, {"name": "Properties of Isosceles Right Triangle", "content": "The length of the hypotenuse is equal to the length of one of the legs multiplied by √2.", "this": "在本题图中，三角形是等腰直角三角形，斜边8√2 = 直角边s*√2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2dc1014ee8cb407ad67721ebda35ae1d-img-7262d22972ce4aeba9c925baad3b433f.png", "question": "这个三棱柱的体积是80立方毫米。z的值是多少？z = \\$ox\\$ 毫米", "answer": "4 millimeters", "process": "1. 已知三角柱的体积为80立方毫米，底边长度为8毫米以及柱体的长度为5毫米。

2. 三角柱体的体积公式为：体积 = 1/2 × 底边 × 高 × 长度。

3. 根据题意，代入已知数值，可得到：80 = 1/2 × 8 × z × 5。

4. 对方程进行简化，1/2 × 8等于4，因此方程变为：80 = 4 × z × 5。

5. 计算4 × 5得到20，方程进一步简化为：80 = 20 × z。

6. 将等式两边除以20，得到 z = 80 / 20。

7. 计算80 / 20得到4，因此z = 4。

8. 经过上述推理，最终得出答案为4毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "三角柱由两个三角形底面、三个矩形侧面构成，其中底面边长分别为8毫米，高度为z毫米，柱体长度为5毫米。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，棱柱中，设z为底面三角形的高，则底面面积为½ * 8 * z，棱柱的高为5mm。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于½ * 8 * z * 5。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9a25cb2030f72ec69d08c784b5306a8e-img-f5b1fce5dff547ff970418374476048d.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "384 square inches", "process": "1. 已知题目中立方体的边长为8英寸。立方体的每个面都是边长为8英寸的正方形。

2. 根据正方形面积公式：面积 = 边长 × 边长，计算每个正方形面的面积。

3. 代入正方形面积计算公式：8英寸 × 8英寸 = 64平方英寸。每个面的面积为64平方英寸。

4. 立方体有6个相同的正方形面。因此，正方体表面积公式为6个正方形面的面积之和。

5. 根据表面积公式：正方体表面积公式 = 6 × 单个面的面积。

6. 计算正方体表面积公式：6 × 64平方英寸 = 384平方英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为384平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立方体的边长为8英寸，其六个面都是边长为8英寸的正方形。在解答中，计算立方体表面积涉及每个正方形面的面积。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "立方体的每个面都是边长为8英寸的正方形。正方形的四条边长度相等且四个内角均为90度，边长为8英寸。通过计算正方形的面积（8英寸 × 8英寸 = 64平方英寸），进一步求解正方体表面积公式。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "在本题图中，用立方体表面积公式计算表面积：6 × 64平方英寸 = 384平方英寸。在解答中利用该公式最终得出答案。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形的边长为8英寸，因此每个面的面积为 8英寸× 8英寸= 64平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d3c09c6912002de34204995daf470a96-img-8032c7c48aba4e1cb07bd5b7b486df20.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "384 square millimeters", "process": "1. 由于给定的立体图形是一个正方体，正方体每个面都是边长相等的正方形。

2. 根据题目提供的信息，每个面都是边长为8毫米的正方形。

3. 根据正方形的面积计算公式，面积 = 边长 × 边长= 8毫米 × 8毫米。

4. 计算得出每个正方形面的面积为64平方毫米。

5. 正方体有6个相同的正方形面，因此总表面积为6个面的面积之和。

6. 根据总表面积计算公式，总表面积 = 6 × 每个面的面积 = 6 × 64平方毫米。

7. 经过计算，总表面积为384平方毫米。

8. 由上述推理步骤，最终得出答案为384平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立体图形是一个正方体，因此它有6个面，每个面都是边长为8毫米的正方形。各个面之间相互垂直。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "每个面都是正方形，并且边长为8毫米。根据正方形的定义，正方形是指四条边长度相等且四个内角均为90度的四边形。因此，每个面都是边长为8毫米且内角均为90度的正方形。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "在本题图中，正方形的边长为8毫米，因此每个面的面积为 8毫米 × 8毫米 = 64平方毫米。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "正方体有6个面，每个面的面积为64平方毫米，因此总表面积为 6 × 64平方毫米 = 384平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-aa2bdbc77d563e603f2e2ffdaf6202b6-img-0d339f3a43134ce4a076f76c2af3f668.png", "question": "这个矩形金字塔的体积是多少？\\$ox\\$ 立方码", "answer": "672 cubic yards", "process": "1. 题目已知该矩形锥体的底面是一个边长12码的正方形，且锥体的高为14码。

2. 根据正方形面积公式，正方形底面的面积为A = 边长 × 边长 = 12码 × 12码 = 144平方码。

3. 根据棱锥体积公式，棱锥的体积可以通过公式V = (1/3) × 底面积 × 高得到。

4. 将数值代入公式，则体积V = (1/3) × 144平方码 × 14码。

5. 计算上述公式，V = (1/3) × 2016立方码 = 672立方码。

6. 经过上述推理，最终得出答案为672立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "在本题图中，底面是一个正方形，边长为12码。因此底面的面积 A = 12码 × 12码 = 144平方码。"}, {"name": "Volume Formula of Pyramid", "content": "The volume \\( V \\) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \\( V = \\frac{1}{3} \\times \\text{Base Area} \\times \\text{Height} \\).", "this": "底面积为正方形的面积，即 144平方码，高为 14码。因此体积 V = (1/3) × 144平方码 × 14码。代入公式计算得到 V = 672立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d8fbc20e878986b37a94927b9121548c-img-37a4079edb7144d198412ea298e38f19.png", "question": "这个长方体的体积是560立方码。m的值是多少？m = \\$ox\\$ 码", "answer": "16 yards", "process": "1. 已知长方体的体积公式为 V = length × width × height ，其中 V 是体积，length 是长，width 是宽，height 是高。

2. 题目中给出的条件是长方体的体积为 560 立方码，宽度为 5 码，高度为 7 码。将这些代入体积公式，则有 560 = m × 5 × 7 。

3. 将宽和高的值相乘，得�� 5 × 7 = 35 。因此，方程式变为 560 = m × 35 。

4. 为了求得未知数 m 的值，需将方程式两边同时除以 35 。因此， m = 560 ÷ 35 。

5. 计算 560 ÷ 35 ，其结果为 16 。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 m = 16 码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，长方体的长为 m 码，宽为 5 码，高为 7 码，体积为 560 立方码。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的体积 V为560立方码，宽度为 5 码，高度为 7 码，因此体积公式可以写成560 = m × 5 × 7。通过计算宽和高的乘积，得到5 × 7 = 35，然后体积公式可以简化为560 = m × 35。最终通过将560 除以 35，得到m = 16 码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6ad1e0a7380ba9fbdd369a2ff26f702c-img-bd1a655b3d214eb0aebccd18c1a7862c.png", "question": "这个三棱柱的体积是588立方米。a的值是多少？a = \\$ox\\$ 米", "answer": "7 meters", "process": "1. 已知三棱柱的体积为588立方米，底部三角形的底边为12米，对应的高为14米。

2. 根据几何体积公式，三棱柱的体积等于底面积乘以高（或称为长度在此情境下）。

3. 计算底部三角形的面积：底部三角形的面积 = 1/2 × 底 × 高 = 1/2 × 12米 × 14米 = 84平方米。

4. 设三棱柱的长度为a米，则三棱柱的体积 = 底部三角形的面积 × 长度 = 84平方米 × a。

5. 依据给出的体积信息：588 = 84 × a。

6. 求解a：a = 588 ÷ 84 = 7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为7米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "三棱柱的两个底面是两个平行且全等的三角形，底边为12米，对应的高为14米，侧面是3个矩形。其长度为a米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "本题图中，三角形中，长12m的线段是底，长14m的线段是该底上的高，所以三角形的面积等于底12m乘以高14m除以2，即面积 = (12 * 14) / 2。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，棱柱中，底面三角形的面积为14*12÷2，棱柱的高为a。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于底面积84乘以高a。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5ae896cacb499697bb48dc8c8e232531-img-3c4a986bc9f842c2b38e0281fd641ac6.png", "question": "看看这个立方体：如果边长变为原来的三倍，那么关于它的表面积，下列哪个说法是正确的？\n\n- 新表面积与旧表面积的比为3:1。\n- 新表面积与旧表面积的比为16:1。\n- 新表面积与旧表面积的比为9:1。\n- 新表面积与旧表面积的比为27:1。", "answer": "- The ratio of the new surface area to the old surface area will be 9:1.", "process": "1. 首先，设原立方体的边长为s米；那么，原正方体表面积公式为6s²平方米。

2. 若将立方体的边长变为原来的3倍，则新立方体的边长为3s米。

3. 根据立方体表面积公式，一个正方体表面积公式等于6倍的边长的平方。故新正方体表面积公式为6(3s)² = 6 × 9s² = 54s²平方米。

4. 将新表面积与原表面积相比，计算其比值为54s² ÷ 6s² = 9。

5. 因此，新立方体表面积与原立方体表面积的比为9:1。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9:1。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "原立方体的边长为s米，每个面都是一个正方形，共有六个面。因此，若边长为s米，则正方体表面积公式为6s²平方米。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "在本题图中，原立方体的边长为s米，因此其表面积是6s²平方米。变换后的立方体边长变为3s米���根据公式，新正方体表面积公式是6(3s)² = 6 × 9s² = 54s²平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cdd1f0134734f327d9eef3a0b03f62c1-img-ed0984bfe81342889a3fdcca875ec53a.png", "question": "看这个立方体：如果边长增加三倍，那么以下关于其体积的说法哪一个是正确的？\n\n- 新的体积将是旧体积的81倍。\n- 新的体积将是旧体积的9倍。\n- 新的体积将是旧体积的\n| --- |\n| 1 |\n| 8 |\n- 新的体积将是旧体积的27倍。", "answer": "- The new volume will be 27 times the old volume.", "process": "1. 已知一个正方体，其棱长为s，体积V可以表示为s的三次方，即V = s^3。

2. 题目给出的条件是，正方体的棱长变为原来的三倍。因此，新正方体的棱长为3s。

3. 根据新的棱长，新的体积V'可以表示为(3s)的三次方。

4. 计算新的正方体的体积V'：V' = (3s)^3 = 27 * (s^3)。

5. 为求出新体积与原体积的倍数关系，计算新体积与原体积的比值：V'/V = (27 * s^3) / s^3。

6. 列出的式子等于27，因此新体积是原体积的27倍。

7. 经过上述推理，最终得出答案为新体积将是原体积的27倍。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "立方体的棱长为s。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "原始立方体的体积为V = s^3，其中s是原始立方体的边长。新的立方体的边长变为3s，因此新的体积公式为V' = (3s)^3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f673613d7f7a88417a7a201704b4feb3-img-af393868303f48018e39641eec4946c4.png", "question": "这个正方体表面积公式是24平方码。它的体积是多少？\\$ox\\$ 立方码", "answer": "8 cubic yards", "process": "1. 已知一个正方体，其表面积为24平方码。根据正方体表面积公式：表面积 = 6 × 侧面积，由此可得，正方体的单个面面积为24 ÷ 6 = 4平方码。

2. 根据正方形面积公式：面积 = 边长 × 边长，由第一步结论可得，正方形的边长满足 方程u^2 = 4，其中u为正方形的边长。

3. 解方程 u^2 = 4， 可得边长u = 2码（因为边长为正数，所以u = 2）。

4. 根据正方体的体积公式：体积 = 边长 × 边长 × 边长，计算可得体积为 2 × 2 × 2 = 8立方码。

5. 经过上述推理，最终得出答案为正方体的体积为8立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "此正方体的边长为u，由于该正方体六个面全都相等，我们利用这一性质计算表面积和体积。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "正方体的每个面都是正方形，且每个正方形的四条边长度相等，均为u码，四个内角均为90度，因此面积为u^2平方码。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "正方体中，每个面都是边长相等的正方形。正方体有6个面，因此总表面积等于6个正方形的面积之和。根据正方形面积公式，边长为u的正方形面积为u²，所以正方体的总表面积为6乘以u²，即6u²。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形中，正方形的边长为u。因此，根据正方形的面积公式，正方形的面积A = u²。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "在本题中，边长为2码，因此体积为2 × 2 × 2 = 8立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-eef1a444e80c40bd3e04c84610ad287a-img-ca82a1d6d50445e4851df18b8a11fea6.png", "question": "看这个长方体：如果所有三个维度都加倍，那么关于其表面积以下哪个陈述是正确的？\n\n- 新的表面积将是旧表面积的\n| --- |\n| 1 |\n| 4 |\n。\n- 新的表面积将是旧表面积的2倍。\n- 新的表面积将是旧表面积的4倍。\n- 新的表面积将是旧表面积的16倍。", "answer": "- The new surface area will be 4 times the old surface area.", "process": "1. 假设原长方体的长为l，宽为w，高为h。

2. 根据长方体的表面积公式，原长方体的表面积为S1 = 2(lw + lh + wh)。

3. 假设双倍尺寸后长方体的新的长、宽、高分别为2l，2w，2h。表面积公式仍然适用。

4. 新长方体的表面积为S2 = 2[(2l)(2w) + (2l)(2h) + (2w)(2h)]。

5. 计算新表面积，得到S2 = 2(4lw + 4lh + 4wh)。

6. 继续化简，S2 = 2 * 4(lw + lh + wh) = 8(lw + lh + wh)。

7. 求出新表面积与原表面积的比值，即S2/S1 = 8(lw + lh + wh) / 2(lw + lh + wh)。

8. 约分后得S2/S1 = 4。

9. 根据计算结果，新表面积是原表面积的4倍。

10. 经过上述推理，最终得出答案为The new surface area will be 4 times the old surface area.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，原长方体的长为 l = 7，宽为 w = 5，高为 h = 7。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "原长方体的表面积 S1 = 2(lw + lh + wh) = 2(7 * 5 + 7 * 7 + 5 * 7)。双倍尺寸后的长方体新表面积 S2 = 2[(2l)(2w) + (2l)(2h) + (2w)(2h)] = 8(lw + lh + wh)。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "原长方体的表面积 S1 = 2(lw + lh + wh)，新长方体的表面积 S2 = 2(4lw + 4lh + 4wh)。经过计算，得到新表面积与原表面积的比值 S2/S1 = 4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-885f0dcc89bf32dc45ea17cd82b9100e-img-ee41184e55e4417197e947b26f05d884.png", "question": "看这个长方体：如果三个维度都加倍，那么关于其表面积，下列哪项陈述是正确的？\n\n- 新表面积与旧表面积的比率将是4:1。\n- 新表面积与旧表面积的比率将是16:1。\n- 新表面积与旧表面积的比率将是1:4。\n- 新表面积与旧表面积的比率将是2:1。", "answer": "- The ratio of the new surface area to the old surface area will be 4:1.", "process": "1. 已知长方体的表面积公式为：S = 2(lw + lh + wh)，其中l, w, h分别为长方体的长、宽和高。

2. 若将长方体的长、宽和高均 x 2 则新长方体的长、宽和高分别为2l, 2w, 2h。

3. 新长方体的表面积 S' = 2[(2l)(2w) + (2l)(2h) + (2w)(2h)]。

4. 计算新表面积：S' = 2(4lw + 4lh + 4wh)

5. 进一步简化：S' = 8(lw + lh + wh)

6. 将新表面积 S' 除以旧表面积 S 表示为：8(lw + lh + wh) / (2(lw + lh + wh))

7. 进一步化简，得到 S'/S = 4

8. 将S'/S的结果以比的形式表示为4:1

9. 经过上述推理，最终得出答案为：新表面积与旧表面积之比为4:1。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "给定的形状是一个直角棱柱，即长方体。其长、宽、高分别为l, w, h。"}, {"name": "Surface Area Formula of a Prism", "content": "The surface area formula for a prism is given by: \\( S = Ph + 2B \\), where \\( P \\) denotes the perimeter of the base, \\( h \\) is the height of the prism, and \\( B \\) represents the area of the base.", "this": "在本题图中，长方体的表面积计算为：S = 2(lw + lh + wh)。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "长方体作为多面体，其表面积计算为：S = 2(lw + lh + wh)。将长、宽、高分别乘以2后，新长方体的表面积S' 为2[(2l)(2w) + (2l)(2h) + (2w)(2h)]。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ece76fb424ea36002c7f6fd6c325e5b5-img-fd81ae1d8fdd4134a934ea7185546c85.png", "question": "看这个立方体：如果边长加倍，那么关于其表面积，下列哪项陈述是正确的？\n\n- 新表面积将是旧表面积的2倍。\n- 新表面积将是旧表面积的16倍。\n- 新表面积��是旧表面积的8倍。\n- 新表面积将是旧表面积的4倍。", "answer": "- The new surface area will be 4 times the old surface area.", "process": "1. 已知原立方体的边长为 s，其表面积为 A = 6s^2。

2. 如果边长翻倍，新立方体的边长将为 2s。

3. 新正方体表面积公式 B = 6(2s)^2 = 6 * 4s^2 = 24s^2。

4. 比较新立方体与原正方体表面积公式，计算比值 B/A = 24s^2 / 6s^2 = 4。

5. 经过上述推理，最终得出答案为新表面积将是原表面积的 4 倍。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，原立方体的边长为 s，我们可以看到每个面都是边长为 s 的正方形。边长翻倍后，新立方体的边长变为 2s，依然是由六个边长为 2s 的正方形面组成。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "原立方体的边长为 s，其表面积 A = 6s^2。如果边长翻倍，新立方体的边长为 2s，其表面积 B = 6(2s)^2 = 6 * 4s^2 = 24s^2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dc9f4d40b67b6125a942b84ec76dae2d-img-7ede7ad73bc946b198e75d64e4688f6d.png", "question": "看这个长方体：如果高度加倍，那么以下关于其体积的说法中哪一项是正确的？\n\n- 新体积将是旧体积的2倍。\n- 新体积将是旧体积的\n| --- |\n| 1 |\n| 2 |\n。\n- 新体积将是旧体积的4倍。\n- 新体积将是旧体积的3倍。", "answer": "- The new volume will be 2 times the old volume.", "process": "1. 已知原长方体的体积公式为体积 = 长 × 宽 × 高，设长为 l，宽为 w，高为 h，因此原长方体的体积 V = l × w × h。

2. 根据题意，新长方体的高为原高的两倍，即新高为 2h，因此新长方体的体积 V' = l × w × (2h)。

3. 推导新长方体体积公式 V' = l × w × (2h) = 2 × l × w × h。

4. 由此可得，新体积 V' 是原体积 V 的两倍。

5. 经过上述推理，最终得出答案为新体积是原体积的 2 倍。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，原长方体的长为 l，宽为 w，高为 h。新长方体的高为 2h，且长 l 和宽 w 不变。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体中，长为8mm，宽为8mm，高为9mm，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 8 * 8 * 9。高为原高两倍的新长方体体积公式V' = l × w × (2h) = 2 × l × w × h。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8e56a6a670284573de597129a674708e-img-e613a41bf1cf4d558f0299ae0592996c.png", "question": "看这个立方体：如果边长是原来的三倍，那么关于其体积，下列哪项陈述是正确的？\n\n- 新体积与旧体积的比是27:1。\n- 新体积与旧体积的比是9:1。\n- 新体积与旧体积的比是3:1。\n- 新体积与旧体积的比是1:8。", "answer": "- The ratio of the new volume to the old volume will be 27:1.", "process": "1. 已知原立方体的边长为 s，体积 V = s^3。

2. 若将边长扩大为原来的 3 倍，则新立方体的边长为 3s。

3. 根据正方体的体积公式，体积为边长的立方，则新立方体的体积 V' = (3s)^3 = 27s^3。

4. 计算新立方体体积与原立方体体积的比值，得到 V'/V = 27s^3/s^3 = 27。

5. 因此，新立方体与原立方体的体积比为 27:1。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 The ratio of the new volume to the old volume will be 27:1。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "原立方体的边长为 s，新立方体的边长为 3s。立方体的所有面都相等，为正方形。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "在本题图中，正方体中，边长s是正方体的边长。根据正方体的体积公式，体积 = 边长 × 边长 × 边长，即 V = s³。新正方体中，边长3s是正方体的边长。根据正方体的体积公式，体�� = 边长 × 边长 × 边长，即 V’ = 3s³。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3846ab6b9ce28cca39e68161ce3bbcaf-img-85ec90f70c7b4cf1ae05df71a9b12c8c.png", "question": "看这个立方体：如果边长加倍，那么关于其表面积，下列哪个说法是正确的？\n\n- 新表面积将是旧表面积的9倍。\n- 新表面积将是旧表面积的2倍。\n- 新表面积将是旧表面积的8倍。\n- 新表面积将是旧表面积的4倍。", "answer": "- The new surface area will be 4 times the old surface area.", "process": "1. 假设原始正方体的边长为s，根据正方体表面积公式，原始正方体的表面积为6s^2。

2. 若正方体的边长加倍，则新正方体的边长为2s。

3. 根据正方体表面积公式，新正方体的表面积为6*(2s)^2。

4. 计算6*(2s)^2 = 6*4s^2 = 24s^2。

5. 将新表面积除以旧表面积，得到倍数为24s^2 / 6s^2 = 4。

6. 根据上述分析，新正方体的表面积将是原正方体表面积的4倍。

7. 经过上述推理，最终得出答案为新表面积是旧表面积的4倍。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立体几何图形是一个正方体。正方体的六个面全部都是正方形。每个正方形的边长相等，且所有面之间互相垂直。因此，图形符合正方体的定义，即六个面全都是正方形的立体几何图形。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "在本题图中，正方体中，每个面都是边长为s的正方形。正方体有6个面，因此总表面积等于6个正方形的面积之和。根据正方形面积公式，边长为s的正方形面积为s²，所以正方体的总表面积为6乘以s²，即6s²。新正方体中，每个面都是边长为2s的正方形。正方体有6个面，因此总表面积等于6个正方形的面积之和。根据正方形面积公式，边长为2s的正方形面积为4s²，所以正方体的总表面积为6乘以4s²，即24s²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1684582009449cc25fa00bb7fe4d2aa0-img-fecae738fe5244a48277e3035de63e52.png", "question": "看这个立方体：如果边长加倍，那么关于其体积以下哪个说法是正确的？\n\n- 新体积将是旧体积的4倍。\n- 新体积将是旧体积的8倍。\n- 新体积将是旧体积的2倍。\n- 新体积将是旧体积的\n| --- |\n| 1 |\n| 8 |\n的一部分。", "answer": "- The new volume will be 8 times the old volume.", "process": "1. 已知一个正方体，其棱长为4英寸。根据正方体体积公式V = s^3，其中s是正方体的棱长，可得该正方体的体积为4^3 = 64立方英寸。

2. 如果将正方体的棱长加倍，那么新的棱长将为2×4 = 8英寸。

3. 依据相同的正方体体积公式V = s^3，新正方体的体积将为8^3 = 512立方英寸。

4. 要判断新正方体的体积是多少倍于原正方体的体积，我们用新体积512立方英寸除以原体积64立方英寸。

5. 计算得到512 ÷ 64 = 8。

6. 经过上述推理，最终得出答案为新体积是原体积的8倍。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，这个正方体有六个全等的正方形面，每个顶点都是三条棱（每条棱长为4英寸）的交点。它的体积V = s^3，其中s = 4英寸是正方体的棱长。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "在本题中，原正方体的棱长为4英寸，因此它的体积V = 4^3 = 64立方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bea436811403fc40c25542f23126dac1-img-b6ced6ff9a3c4bbdaf9ce25c9e586df3.png", "question": "求 q。 \n\n将你的答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 码", "answer": "7 yards", "process": "1. 根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形。设直角三角形的三个顶点为A、B、C，其中∠BAC为90°。

2. 从图中已知，斜边BC的长度为14 码，∠ACB = 30°，∠ABC = 60°。

3. 根据30°-60°-90°三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的边为最短边，长度为短边的2倍。

4. 在三角形ABC中，∠ACB=30°，因此短边即为AB边，斜边为BC边。

5. 根据定理，BC边的长度为AB边长度的2倍。因此可得 BC = 2 * AB。

6. 已知BC = 14码，因此有14 = 2 * AB。

7. 解方程，得到AB = 14 / 2。

8. 计算得到AB = 7。

9. 经过上述推理，最终得出答案为q = 7码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角BAC是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边AC是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "Properties of 30°-60°-90° Triangle", "content": "In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.", "this": "在本题图中，三角形具有一个30°的角和一个60°的角，以及一个直角。依据30-60-90定理，q是30°角所对的直角边，因此q的长度是斜边14码长度的一半，即q = 1/2 * 14 = 7码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b67b55c8d074bf98f93262a0a7743ff1-img-2bc40affe5fe49e18afb992666e2b66b.png", "question": "在矩形 UVWX 中，求 c 的值。 \n\nc= \\$ox\\$", "answer": "c=1", "process": "1. 在矩形UVWX中，由于矩形的对边相等，因此有\\( \\overline{UX} = \\overline{VW} \\)。

2. 根据题目中的已知条件\\( \\overline{UX} = c + 6 \\)和\\( \\overline{VW} = 7c \\)，代入到第一步中的等式得到\\( c + 6 = 7c \\)。

3. 将等式\\( c + 6 = 7c \\)两边同时减去c，得到\\( 6 = 6c \\)。

4. 将等式\\( 6 = 6c \\)两边同时除以6，得到\\( c = 1 \\)。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 c = 1。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形UVWX是一个矩形，其内角∠UVW, ∠VWX, ∠WXU, ∠XUV都是直角（90度），且边UX与边VW平行且等长，边UV与边WX平行且等长。因此根据矩形性质定理，有\\( \\overline{UX} = \\overline{VW} \\)，即\\( c + 6 = 7c \\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d20f6a5aab36409542ae0ddd652fc9ad-img-d807eaf144d747b492d618943267fb75.png", "question": "这个圆锥的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方米", "answer": "357.96 square meters", "process": "1. 题目已知圆锥底面半径为6米，斜高为13米。

2. 根据圆锥的表面积公式：表面积 = 圆的面积 + 侧面积，其中圆的面积 A_bas = π * r^2，侧面积 A_lat = π * r * l，这里的 r 是底面半径，l 是斜高。

3. 首先计算底面圆的面积：A_bas = 3.14 * 6^2 = 3.14 * 36 = 113.04 平方米。

4. 然后计算圆锥的侧面积：A_lat = 3.14 * 6 * 13 = 3.14 * 78 = 244.92 平方米。

5. 将底面积和侧面积相加以得到圆锥的总表面积：A_total = A_bas + A_lat = 113.04 + 244.92 = 357.96 平方米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为357.96平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题图中，圆锥的底面为圆，底面圆的半径 r = 6米。圆锥的侧面由曲面组成，且圆锥的斜高 l = 13米。顶点处为尖端。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，底面圆的半径是6米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = π6²。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圆锥底面的半径 r = 6米，斜高 l = 13米。圆锥的侧面积公式在该题的侧面积计算中被使用，即 A_lat = π * 6 * 13。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "圆锥的底面是一个圆，其半径为6米，底面积为π * 6^2。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高13米，扇形的弧长等于底面的周长2π * 6。侧面积等于扇形的面积，即π * 6 * 13。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为π * 6^2 + π * 6 * 13。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1f9e4c1a57fe4ab5649dba4cb8022c4b-img-ee19bef4bc1c447dbd7d8d6e4bab682c.png", "question": "表面积是多少？ \\$ox\\$ 平方米", "answer": "342 square meters", "process": "1. 首先观察图形可以确定其为一个长方体。已知长方体的长为9米，宽为5米，高为9米。

2. 根据长方体的表面积公式`Surface Area = 2(lw + lh + wh)`, 其中l为长，w为宽，h为高，代入已知数据：

3. 计算长和宽的乘积：9米 × 5米 = 45平方米。

4. 计算长和高的乘积：9米 × 9米 = 81平方米。

5. 计算宽和高的乘积：5米 × 9米 = 45平方米。

6. 将以上三个乘积相加：45平方米 + 81平方米 + 45平方米 = 171平方米。

7. 乘以2以得到完整的表面积：2 × 171平方米 = 342平方米。

8. 经过上述推理，得出长方体的表面积为342平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，长方体的长为9米，宽为5米，高为9米。在图中，每个面均为矩形，且这些面与其相邻面均垂直。长与宽、宽与高、长与高分别构成长方体的三个维度。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "顶面、侧面和前面分别为矩形，其内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。顶面长为9米，宽为5米；侧面长为9米，高为9米；前面宽为5米，高为9米。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "长方体的长l为9米，宽w为5米，高h为9米。表面积计算步骤如下：计算长和宽的乘积9米 × 5米 = 45平方米，计算长和高的乘积9米 × 9米 = 81平方米，计算宽和高的乘积5米 × 9米 = 45平方米。将以上三个乘积相加：45平方米 + 81平方米 + 45平方米 = 171平方米。乘以2以得到完整的表面积：2 × 171平方米 = 342平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-47bd0453842bb59c0115eb1394ada8dc-img-c9a2ba3a20344d1fa9bf3433df1b92fc.png", "question": "看看这个立方体：如果边长加倍，那么以下关于其体积的说法哪一个是正确的？\n\n- 新体积将是\n| --- |\n| 1 |\n| 8 |\n的旧体积。\n- 新体积将是旧体积的4倍。\n- 新体积将是旧体积的8倍。\n- 新体积将是旧体积的2倍。", "answer": "- The new volume will be 8 times the old volume.", "process": "1. 设原立方体的边长为 s，根据几何体积公式，得出原立方体的体积为 s^3。

2. 若边长加倍，则新立方体的边长为 2s。

3. 根据几何体积公式，新立方体的体积为 (2s)^3。

4. 计算 (2s)^3 = 8s^3。

5. 比较新立方体与旧立方体的体积，新立方体的体积为 8s^3，旧立方体的体积为 s^3。

6. 计算新立方体体积与旧立方体体积的比值为 8s^3 / s^3 = 8。

7. 据此推导出新立方体的体积是旧立方体的 8 倍。

8. 因此，答案是: 新的体积是旧体积的8倍。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立方体的一边长度为 s。六个面都是边长为 s 的正方形，也就是说每个面都是边长相等且四个角都是直角的正方形。因为题目中边长为 7 yd，所以每个面都是边长7 yd的正方形。"}, {"name": "Volume Formula of a Cube", "content": "The formula for the volume of a cube is: Volume = side length × side length × side length, i.e., \\( V = a^3 \\), where \\( a \\) is the side length of the cube.", "this": "正方体的棱长为7 yd，因此它的体积V = 7^3 = 343yd^3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cda101b5abfa47a738bb0e1f0fdae608-img-6d91e7e01a8e460a8ee18b62f0baec58.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "46 square inches", "process": "1. 已知长方体的长为2英寸，宽为1英寸，高为7英寸。根据长方体的表面积公式\\$S=2(lw+lh+wh)\\$，可以求得长方体的表面积。

2. 首先计算\\$lw\\$，其中\\$l=2\\$英寸，\\$w=1\\$英寸，因此\\$lw=2 * 1=2\\$平方英寸。

3. 接下来计算\\$lh\\$，其中\\$l=2\\$英寸，\\$h=7\\$英寸，因此\\$lh=2 * 7=14\\$平方英寸。

4. 然后计算\\$wh\\$，其中\\$w=1\\$英寸，\\$h=7\\$英寸，因此\\$wh=1 * 7=7\\$平方英寸。

5. 以上求得的三个面积依次是2平方英寸，14平方英寸，以及7平方英寸，将这些加总，即\\$2+14+7=23\\$平方英寸。

6. 根据长方体的表面积公式，可得\\$S=2 * 23=46\\$平方英寸。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为46平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长\\$l=2\\$英寸，宽\\$w=1\\$英寸，高\\$h=7\\$英寸"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "在本题图中，根据长方体表面积公式\\$S=2(lw+lh+wh)\\$，可以计算长方体的表面积。其中\\$l=2\\$英寸，\\$w=1\\$英寸，\\$h=7\\$英寸，通过计算\\$lw=2 * 1=2\\$平方英寸，\\$lh=2 * 7=14\\$平方英寸，\\$wh=1 * 7=7\\$平方英寸，然后将这些面积加总，即\\$2+14+7=23\\$平方英寸，最后根据公式可得表面积\\$S=2 * 23=46\\$平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2b9a337ff52e3bb0765f61ae9d43cd23-img-0a198a7b01e2451daebc0f7ca58aca2f.png", "question": "求 p。 \n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 厘米", "answer": "8 centimeters", "process": "1. 已知直角三角形的一个锐角为30°，另一个锐角为60°，那么这是一个30°-60°-90°三角形。

2. 在30°-60°-90°三角形中，斜边的长度是短边（与30°角相邻的直角边）的2倍，长边（与60°角相邻的直角边）的长度是短边的√3倍。

3. 已知短边长度为4厘米，根据30°-60°-90°三角形的性质，斜边的长度为2倍的短边，即2×4=8厘米。

4. 经过上述推理，最终得出答案为8厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形中，角是直角（90度），因此三角形是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "Properties of 30°-60°-90° Triangle", "content": "In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.", "this": "30°-60°-90°三角形中，角30°是30度，角60°是60度，直角是90度。边p是斜边，边4厘米是30度角所对的边，边与60度角相邻的直角边。根据30°-60°-90°三角形的性质，斜边p等于30度角所对边的一半，60度角所对的边等于30度角所对边的√3倍。即：p = 2 × 4 = 8厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0adac6565072842be77fe5cf2d90258d-img-33ba57f3db824213a7d728c4d9b1a442.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "30 square centimeters", "process": "1. 该长方体的长为 7 厘米，宽和高均为 1 厘米。

2. 长方体的表面积计算公式为：2 * (长 * 宽 + 长 * 高 + 宽 * 高)。

3. 代入已知值，计算长方体的表面积：2 * (7 cm * 1 cm + 7 cm * 1 cm + 1 cm * 1 cm)。

4. 进行计算：7 cm * 1 cm = 7 平方厘米，再次计算 7 cm * 1 cm = 7 平方厘米，1 cm * 1 cm = 1 平方厘米。

5. 将这些值相加：7 平方厘米 + 7 平方厘米 + 1 平方厘米 = 15 平方厘米。

6. 将总和乘以 2，得到表面积：2 * 15 平方厘米 = 30 平方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 30 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的长为 7 厘米，宽和高均为 1 厘米。图中显示长方体的六个面，其中长度较长的一对面为长7厘米，宽1厘米，另一对面为长7厘米，高1厘米，最后一对面为宽1厘米，高1厘米。长方体的表面积计算公式在本题中被应用到。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "长方体的长、宽和高被分别确定为7厘米、1厘米和1厘米。计算公式2 * (长 * 宽 + 长 * 高 + 宽 * 高)被应用到：2 * (7 cm * 1 cm + 7 cm * 1 cm + 1 cm * 1 cm) = 2 * (7平方厘米 + 7平方厘米 + 1平方厘米) = 2 * 15平方厘米 = 30平方厘米."}]} +{"img_path": "ixl/question-34f00996ab7579f236933326eaf25d31-img-c34910b8f0584966972e683e24c2dc9e.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "54 square feet", "process": "1. 已知这是一个正方体，每条边的长度为3英尺。

2. 根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方。因此，一个面的面积为3 × 3 = 9平方英尺。

3. 正方体共有6个面，而每个面都是相等的正方形。

4. 根据正方体表面积公式，正方体的表面积等于6个面面积的总和。

5. 所以表面积 = 6 × 9 = 54平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为54平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "正方体的每条边长度为3英尺，且由6个完全相同的正方形面围成。每个面都长3英尺，宽3英尺。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，正方体的每一个面都是一个正方形。每个正方形的四条边长度均为3英尺，且四个内角均为90度。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "在本题图中，每个面都是一个正方形，边长为3英尺，因此面积为3 × 3 = 9平方英尺。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "正方体的表面积计算公式为6个正方形面的面积之和，即6 × 9平方英尺，最终得出表面积为54平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8bc715036bbf033a2fa2a488d58ad712-img-81835387d566462aa4fd3653b616f967.png", "question": "求 t。 \n\n请将答案写成最简根式形式。\n \\$ox\\$ 码", "answer": "1 yards", "process": "1. 已知三角形是一个直角三角形，设三角形ABC，∠A=30°，∠B=90，根据三角形内角和定理可得另一个内角∠C为60°，即为30°-60°-90°三角形，根据已知条件，斜边等于2且角ABC=90°，角BAC=30°，角ACB=60°。

2. 在一个30°-60°-90°三角形中，特殊的长边比为1:√3:2，因此已知斜边长度为2，对应长边AC与BC的比值为2:1。

3. 由以上已知比值和已知斜边AC=2，可以推出，短边BC对应30°的对边，长度为斜边长度的一半，即：t=1。

4. 经过上述推理，最终得出答案为1。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形ABC中，角B是直角（90度），因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "角30°、角60°和角90°是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，30° + 60° + 90° = 180°。"}, {"name": "Properties of 30°-60°-90° Triangle", "content": "In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.", "this": "在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角30°所对的边是直角短边，角60°所对的边是直角长边，角90°所对的边是斜边。边2 yd是斜边，边t是30°角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边t等于边2 yd的一半，即t = 1/2 * 2 yd = 1 yd。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9c51c2006754ef22440d3d7f569caec5-img-b49305bccb3d4390bb88b9a994f73fde.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "120 square feet", "process": "1. 已知两个矩形组成的长方体具有相同的长和宽，而高为四边形的长度的一半，根据长方体的表面积公式S = 2(ab + ac + bc)，我们可以分别计算长、宽和高。

2. 计算底面长和宽：从图中给出的边长可知底面长为6ft，底面宽为4ft。

3. 计算长方体整体高：从图中给出的四边形区域中的三角行，两个对顶边均为5ft。

4. 该三角形为等边三角形，而不对称的是斜面面中间的点与点z，在该点，该点为正方形长宽的中点。

5. 已知正方形a的正对角分别为,基因此抑制该三角形斜率，这一点的高度恰好为<3>则在棱线处等分该点大小有两端相等。

5. 逐个计算每个表面积长度，计算六面体的总表面积：S = 2(4*6 + 6*3 + 4*3) = 108。

6. 综上所述，长方体的表面积为整个结构的面数据即等于总表面积大小。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：120 square feet。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "在本题图中，长为6 ft，宽为4 ft，高为5 ft。根据公式，表面积 S = 2(6*4 + 6*5 + 4*5) = 2(24 + 30 + 20) = 2*74 = 148 square feet。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1e477d9c86bbff3a3943ec50face5e8e-img-020ee8fe37da4911a3304fd925aee9fa.png", "question": "这个圆柱体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "16,334.28 cubic centimeters", "process": "1. 首先，根据题目给出的信息，圆柱体的直径为34厘米，高度为18厘米。

2. 由圆柱体的直径，我们可以计算出圆柱体的半径。根据直径的定义，半径是直径的一半。

3. 根据上述计算方法，半径 = 直径 / 2 = 34厘米 / 2 = 17厘米。

4. 圆柱体的体积V可以通过圆柱体积公式计算：V = πr²h，其中r是半径，h是高度。

5. 代入已知值，π ≈ 3.14，r = 17厘米，h = 18厘米。

6. 计算圆柱体截面的面积A：A = πr² = 3.14 × 17²。

7. 进一步计算，17² = 289，进而A = 3.14 × 289。

8. 计算得：A ≈ 907.46平方厘米。

9. 接下来计算体积V：V = A × h = 907.46 × 18。

10. 通过计算得：V ≈ 16,334.28立方厘米。

11. 最终根据上述推理，圆柱体的体积约为16,334.28立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆柱体的底面是一个圆，其圆心是底面的中心点。半径为17厘米，是34厘米直径的一半。图中所有到圆心的距离等于17厘米的点都在圆柱体的底面上。"}, {"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底的直径为34厘米，半径为17厘米，高度为18厘米。两个平行的圆形底面位于顶部和底部，它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高18厘米，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "r = 17厘米，h = 18厘米，我们将这些数值代入体积公式进行计算。π近似值为3.14。最终计算得出体积约为16,334.28立方厘米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱体的底面圆中，圆的半径是17厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径17的平方，即A = π17²≈ 907.46平方厘米。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "线段34cm是圆的直径。线段34cm通过圆心，并且两端点都在圆上。根据直径的定义，34cm是圆的最长弦，长度为2倍的半径，即34cm = 2 * 半径。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b34aab9cfb99528fdd17abba2534f6eb-img-ca2306d4f80f43c9b7911947ec28ccba.png", "question": "表面积是多少？\\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "400 square centimeters", "process": "1. 观察图形可以看出，这是一个长方体，其长为10厘米，宽为10厘米，高为5厘米。

2. 长方体有6个面，其中上下两个面面积相等，左右两个面面积相等，前后两个面面积相等。

3. 求上下两个面的面积：根据矩形的面积公式，长方形的面积等于长乘以宽。因此，上下面的面积为10×10=100平方厘米。

4. 利用同样的矩形的面积公式，计算左右两个面的面积。由于其高为5厘米，宽为10厘米，每个面的面积为5×10=50平方厘米。

5. 计算前后两个面的面积。长为10厘米，高为5厘米，面积为10×5=50平方厘米。

6. 将六个面的面积加在一起：2个上下面的面积为2×100平方厘米，再加上2个左右面的面积为2×50平方厘米，加上2个前后面的面积为2×50平方厘米。

7. 计算总表面积：2×100 + 2×50 + 2×50 = 200 + 100 + 100 = 400平方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为：表面积是400平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为5厘米。每个面都是长方形，其中上下两个面的面积是10×10平方厘米，左右两个面的面积是5×10平方厘米，前后两个面的面积是5×10平方厘米。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，长方体的各个面都是矩形。例如，上下面的尺寸是10厘米×10厘米，左右面的尺寸是5厘米×10厘米，前后面的尺寸是5厘米×10厘米。每个矩形的内角都是直角（90度），相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "上下两个面的面积是10厘米×10厘米 = 100平方厘米，左右两个面的面积是5厘米×10厘米 = 50平方厘米，前后两个面的面积是5厘米×10厘米 = 50平方厘米。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "在本题图中，根据长方体表面积公式，表面积为2×(10厘米×10厘米 + 10厘米×5厘米 + 5厘米×10厘米) = 2×(100平方厘米 + 50平方厘米 + 50平方厘米) = 400平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-53b2969a8889c7d1001c7ebac8fb314b-img-1a89d9170ba1442496bf98706befda82.png", "question": "这个圆锥的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14，并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方米", "answer": "204.10 square meters", "process": "1. 首先，分析给定的几何图形，这是一个圆锥，已知其斜高为8米，底面半径为5米。

2. 需要计算圆锥的表面积，表面积包括底面面积与侧面积之和。

3. 计算底面面积。底面是一个半径为r的圆，圆的面积公式为A = πr²。代入已知条件，r = 5米，得底面面积为A = 3.14 × 5² ≈ 78.5平方米。

4. 计算侧面积。圆锥的侧面积公式为L = πrl，其中r为底面半径，l为斜高。代入已知条件，r = 5米，l = 8米，得侧面积为L = 3.14 × 5 × 8 ≈ 125.6平方米。

5. 将底面面积与侧面积相加，得圆锥的表面积。表面积S = 底面面积 + 侧面积 = 78.5 + 125.6 = 204.1���方米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为204.10平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "底面是一个半径为5米的圆，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径5米的平方，即A = π × (5米)² = 3.14 × 25 ≈ 78.5平方米。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题图中，已知底面半径r = 5米，斜高l = 8米，所以侧面积为L = π × 5米 × 8米 = 3.14 × 40 ≈ 125.6平方米。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "圆锥的底面是一个圆，其半径为5米，底面积为π×5² ≈ 78.5平方米。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高8米，扇形的弧长等于底面的周长2π×5。侧面积等于扇形的面积，即π×5×8 ≈ 125.6平方米。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为78.5 + 125.6 = 204.1平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ef53dd2b8cc855a1123f41f64db130cc-img-931adcdfe5aa4753a03ca8ef8cb5a107.png", "question": "这个圆柱体的表面积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "1,073.88 square millimeters", "process": "1. 根据已知条件，圆柱的底面半径为9毫米，高为10毫米。

2. 圆柱的表面积由两个圆的面积以及一个矩形（也即侧面）的面积组成。

3. 首先计算圆柱两个底面圆的总面积。每个圆的面积公式为A = πr²，其中r为圆的半径。代入已知半径9毫米以及π ≈ 3.14，得到每个圆的面积为A = 3.14 × (9)² = 254.34平方毫米。

4. 因为圆柱有两个相同的底面圆，所以底面圆的总面积是2 × 254.34 = 508.68平方毫米。

5. 接下来计算侧面的面积。侧面展开图为一个矩形，其中一边是底面圆的周长，另一边是圆柱的高度。

6. 底面圆的周长公式为C = 2πr，代入r = 9毫米，得到C = 2 × 3.14 × 9 = 56.52毫米。

7. 圆柱侧面的面积为矩形的面积，即侧面积 = C × h = 56.52 × 10 = 565.2平方毫米。

8. 将所有部分面积相加得到圆柱的总表面积：508.68 + 565.2 = 1073.88平方毫米。

9. 经过上述推理，最终得出圆柱的表面积为约1073.88平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为9毫米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高10毫米，宽度等于圆周的周长56.52毫米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱的底面圆中，圆的半径是9毫米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径9的平方，即A = π(9)²≈254.34。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "点O是圆心，线段OA是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。底面圆的半径为r = 9毫米，得出周长为C = 2 × 3.14 × 9 = 56.52毫米。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "圆柱体侧面展开后形成矩形，其中一边为底面圆的周长，另一边为圆柱体的高度。底面圆的周长C = 56.52毫米，圆柱体的高度h = 10毫米，根据矩形面积��式，矩形的面积 = C × h = 56.52 × 10 = 565.2平方毫米。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "两个底面圆的面积，得出每个圆的面积为254.34平方毫米，因此两个圆的总面积为508.68平方毫米。然后计算侧面的面积，根据矩形面积公式，得出侧面积为565.2平方毫米。圆柱体总表面积为这两个部分面积的和：表面积 = 508.68 + 565.2 = 1073.88平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e34e0cd8c91bf72c7f32545ceb5e8312-img-04c480985c4146a988b182c751d9dc6b.png", "question": "这个圆柱体的表面积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到最近的百分位。\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "113.04 square feet", "process": "1. 已知一个圆柱体，其底面半径为3英尺，高为3英尺。

2. 根据圆柱体表面积公式，总表面积S = 2πr² + 2πrh，其中 r 是底面圆的半径，h 是圆柱的高。

3. 已知圆柱体的底面圆半径r = 3英尺，高度h = 3英尺，因此表面积S = 2πr² + 2πrh = 2 * 3.14 * (3)² + 2 * 3.14 * 3 * 3。

4. 继续计算得到 总表面积S = 56.52 + 56.52 = 113.04平方英尺。

5. 即总表面积为113.04平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为113.04平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径都是3英尺，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高3英尺，宽度等于圆周的周长18.84英尺。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱体的底面圆和顶面圆的半径都是3英尺，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方，即A = π × 3²。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体的底面圆半径r = 3英尺，高度h = 3英尺，因此表面积S = 2πr² + 2πrh = 2 * 3.14 * (3)² + 2 * 3.14 * 3 * 3 = 56.52 + 56.52 = 113.04平方英尺。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆柱体的底面圆的半径是3英尺。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，C=2πr。因此，底面圆的周长C = 2π * 3 = 18.84英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a0893638456aea5104c65273fdeecfd5-img-1db09fb4397f46ba91a6ba5ca7ac37b9.png", "question": "这个圆柱体的表面积是1,570平方英寸。它的高度是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。h ≈ \\$ox\\$ 英寸", "answer": "15 inches", "process": "1. 已知圆柱的表面积为1570平方英寸，根据圆柱体表面积公式A = 2πrh + 2πr²，我们能表示其表面积为1570平方英寸。

2. 圆柱的顶部和底部是两个相同的圆，它们的面积为2πr²。在图中已经给出圆的直径为20英寸，因此半径r = 10英寸。

3. 计算顶部圆的面积：面积A1 = πr²，当r = 10时，A1 = 3.14 * (10)² = 3.14 * 100 = 314平方英寸。

4. 两个圆的总面积为2 * 314 = 628平方英寸。

5. 根据圆柱体表面积公式1570 = 2πrh + 628，可得1570 - 628 = 2πrh。

6. 计算1570 - 628 = 942，这意味着942 = 2πrh。

7. 使用公式计算曲面面积的方程，得2πrh = 942，因此πrh = 471。

8. 把圆的周长公式C = 2πr用于计算，这里r = 10，所以C = 2π(10) = 20π。

9. 结合曲面面积的表示πrh = 471，可以得到h = 471 / (π(10))。

10. 通过近似π ≈ 3.14，计算h = 471 / (3.14 * 10) = 471 / 31.4 ≈ 15.00。

11. 对结果进行取整���小数点后两位，最终得出圆柱的高度近似为15.00英寸。

12. 经过上述推理，最终得出答案为15.00英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为10英寸，直径为20英寸，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高h，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱体顶部圆中，圆心到圆周上的任意一点的线段长度为10英寸，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆的直径是20英寸，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 20英寸。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱的顶部和底部是两个相同的圆，它们的半径是10英寸。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径10的平方，即A = π * 10²≈314。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体的表面积A = 1570平方英寸，因此1570 = 2πrh + 2πr²。通过已知r = 10，可以得出对应的方程1570 = 2πrh + 628。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆柱体的顶部和底部是两个相同的圆，其中圆的半径r为10英寸。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。当r=10时，C=2π*10=20π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0a8860aea6731a1374f96c6b84a5c5b2-img-fd0ee51e06884d8bace2078bb7abe239.png", "question": "这个圆柱体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方码", "answer": "942 square yards", "process": "1. 已知圆柱的直径为20码，由于圆柱的底面为圆，所以底面圆的半径为直径的一半，即10码。

2. 根据圆的面积公式A=πr²，可得圆柱底面圆的面积A₁=3.14×(10)²=314平方码。

3. 由于圆柱有两个相同的底面圆，因此总的底面面积A_total_circles=2×314=628平方码。

4. 根据圆的周长公式C=2πr，可得底面圆的周长C=2×3.14×10=62.8码。

5. 圆柱的侧面积相当于沿高度展开的矩形，其一边为高度，另一边为底面圆的周长。因此侧面积A_side=C×height=62.8×5=314平方码。

6. 圆柱的表面积为底面两圆面积和侧面积之和，即A_total=A_total_circles+A_side=628+314=942平方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为942平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的直径为20码，半径为10码，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高5码，宽度等于圆周的周长62.8码。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆柱的底面圆的直径为20码，则圆的半径为10码（半径等于直径的一半）。圆柱的底面圆的半径即为10码。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱底面圆的半径是10码，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径10码的平方，即A = π * 10²≈314平方码。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆柱底面圆的半径是10码。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，因此圆柱底面圆的周长C=2 * π * 10 = 62.8码。"}, {"name": "Formula for Lateral Area of a Cylinder", "content": "The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", "this": "圆柱的底面圆的周长为62.8码，高度为5码，所以圆柱的侧面积A_side = 底面圆的周长 * 高度 = 62.8 * 5 = 314平方码。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱有两个底面圆，每个底面圆的面积为314平方码，所以两个底面圆的总面积A_total_circles = 2 * 314 = 628平方码。圆柱的表面积为底面两圆面积和侧面积之和，即A_total = A_total_circles + A_side = 628 + 314 = 942平方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6e456c94a5dad422272ba243c4f63ce2-img-8001f4a365b149728359b946255deb43.png", "question": "这个三角形金字塔的表面积是多少？ \\$ox\\$ 平方米", "answer": "40.75 square meters", "process": "1. 首先确定底面三角形的边长及形状。底面为等边三角形ABC，边长为5米。

2. 计算底面△ABC的面积。利用等边三角形面积公式：A = (√3 / 4) * a²，其中a为边长。得：A = (√3 / 4) * 5² = (√3 / 4) * 25。

3. 接下来确认侧面三角形。三角形APB, APC和APC均为等腰三角形，其中AP为斜边，长为4米，BP、CP和AB皆为5米。

4. 计算每个侧面△APB的面积。使用海伦公式A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], 其中s为半周长。半周长s = (5 + 5 + 4) / 2 = 7。

5. 代入△APB的边长求面积：A = √[7(7-5)(7-5)(7-4)] = √[7*2*2*3] = √[84]。

6. 同理计算另外两个侧面△APC和△BPC的面积，它们的边长组合相同，故面积也相同。

7. 计算三角形△BPC的面积也是√[84]。

8. 将三个位于侧面的三角形面积加总：3*√[84]。

9. 已得底面积加三个侧面面积，即表面总面积：≈10.825 + 3*9.165 = 40.75平方米。

10. 经过上述推理，最终得出三棱锥的表面积为40.75平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "在本题图中，底面三角形ABC是一个等边三角形，边长为5米；侧面三角形APB、APC和BPC都是等腰三角形，其中AP为斜边，长为4米，BP、CP和AB皆为5米。因此三角形APB、APC和BPC是等腰三角形。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，计算侧面三角形APB面积时，使用了海伦公式。边长为a = 5, b = 5, c = 4，半周长s = (5 + 5 + 4) / 2 = 7；代入公式后得到面积：A = √[7(7-5)(7-5)(7-4)] = √[84]。同理，侧面三角形APC和BPC的面积相同。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "三棱锥的表面积由底面三角形ABC的面积和三个侧面三角形APB、APC、BPC的面积之和构成，最终计算��到表面积为40.75平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b69805af9b74f766b02ada3c20f18338-img-7b46f427be6c4285893c1f61b02b499b.png", "question": "这个矩形金字塔的表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "132 square feet", "process": "1. 对于一个矩形底金字塔，其表面包括一个矩形底面和四个三角形侧面。已知矩形底面为6英尺 × 6英尺的正方形。

2. 计算底面的面积。正方形面积公式等于边长的平方，因此底面的面积为6 × 6 = 36平方英尺。

3. 每个侧面都是一个等腰三角形，底为底面的一边长6英尺，高为8英尺。

4. 计算一个等腰三角形侧面的面积。这可以通过三角形的面积公式：面积 = 0.5 × 底 × 高。代入已知值，得到侧面面积为0.5 × 6 × 8 = 24平方英尺。

5. 由于金字塔有四个完全相同的三角形侧面，所有侧面的总面积为4 × 24 = 96平方英尺。

6. 整个金字塔的表面积等于底面面积加上所有侧面的总面积，即36 + 96 = 132平方英尺。

7. 经过上述推理，最终得出答案为132平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形中，6ft是正方形的一条边，边长为6ft。因此，根据正方形的面积公式，正方形的面积A = 6²=36平方英尺。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，底面是一个边长为6英尺的正方形。底面的面积计算为边长的平方，即6英尺 × 6英尺 = 36平方英尺。正方形是指四条边长度相等且四个内角均为90度的四边形。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "边6ft是底，线段8ft是该底上的高，所以三角形的面积等于底6ft乘以高8ft除以2，即面积 = (6 * 8) / 2=24平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-50447c26aaad5c24a3685a4a96b98c04-img-ade53d5c4768437a9d4de15cca5d7039.png", "question": "如果 \\$\\overline{QR}\\$ 不平行于 \\$\\overline{PS}\\$ ，那么 m \\$\\angle \\$ S 是多少？\n\nm \\$\\angle \\$ S= \\$\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ S=36°", "process": "1. 根据题目描述的条件，四边形 PQRS 中有一对平行边，即 \\overline{PQ} 平行于 \\overline{RS}，且有两条等长的腿，即 \\overline{PS} ≅ \\overline{QR}。

2. 根据等腰梯形的定义，具有一对平行边和两条等长非平行边的四边形为等腰梯形。因此，PQRS 是一个等腰梯形。

3. 等腰梯形的性质包括底角相等。因为 PQRS 是等腰梯形，所以其底角 \\angle QRS 和 \\angle RSP 相等。

4. 题目中给出 \\angle QRS = 36°。

5. 根据等腰梯形的性质，\\angle RSP 也等于 36°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 \\angle S = 36°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "线段 PQ 和线段 RS位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，线段 PQ 和线段 RS 是平行线。"}, {"name": "Properties of an Isosceles Trapezoid", "content": "In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.", "this": "在本题图中，等腰梯形 PQRS 中，边 PQ 和边 RS 是等腰梯形的两条底边，边 PS 和边 QR 是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质，底角 QRS 和底角 PSR 相等，因此 \\angle PSR = 36°。"}, {"name": "Definition of Isosceles Trapezoid", "content": "A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).", "this": "在本题图中，梯形PQRS中，边PQ和边RS是平行的，边QR和边PS是梯形的两腰。根据等腰梯形的定义，边QR和边PS相等。因此，梯形QPSR是等腰梯形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ef82f4747cecc35c8cddd8768f75df29-img-1b28adf70bb84c15b3e9bb032e17efc6.png", "question": "\\$\\overline{RU}\\$ 是梯形 PQST 的中位线。 如果 ST=44 且 PQ=72， 那么 RU 是多少？ RU= \\$\\Box\\$", "answer": "RU=58", "process": "1. 已知线段 \\overline{RU} 是梯形 PQST 的中位线。根据梯形中位线定理，在梯形中，中位线的长度等于两底边之和的一半。

2. 在梯形 PQST 中，较长的底边 PQ = 72，较短的底边 ST = 44。

3. 根据梯形中位线定理，在梯形 PQST 中，可以得出 \\overline{RU} = \\frac{1}{2} (PQ + ST)。

4. 代入已知值，得到 \\overline{RU} = \\frac{1}{2} (72 + 44)。

5. 计算底边之和，72 + 44 = 116。

6. 将底边之和除以2，得到 \\overline{RU} = \\frac{1}{2} * 116 = 58。

7. 经过上述推理，最终得出 \\overline{RU} = 58。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "四边形 PQST 中，边 PQ 和边 ST 是平行的，而边 PT 和边 QS 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 PQST 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Median Line Theorem of Trapezoid", "content": "The median line of a trapezoid is the line segment that connects the midpoints of the non-parallel sides. This line segment is parallel to the bases (the parallel sides of the trapezoid) and its length is equal to half the sum of the lengths of the two bases.", "this": "梯形 PQST 中，边 PQ 和边 ST 是梯形的两条底边，点 R 和点 U 是梯形两腰的中点，线段 RU 是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，线段 RU 平行于边 PQ 和边 ST，并且线段 RU 的长度等于边 PQ 和边 ST 长度和的一半，即 RU = \\frac{1}{2} (PQ + ST)。已知 PQ = 72 和 ST = 44，因此 \\overline{RU} = \\frac{1}{2} (72 + 44) = 58。"}]} +{"img_path": "ixl/question-50287468b01f8107ff079bc7b55b3f60-img-7ee29387e4544de3aa0d3c92871d1813.png", "question": "这个矩形金字塔的表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "260 square inches", "process": "1. 首先，识别给定的棱锥是一个底面为矩形的金字塔形状，其中底面是一个10英寸×10英寸的正方形。

2. 底面的面积计算为：10 × 10 = 100 平方英寸。

3. 金字塔具有四个侧面，每个侧面为一个等腰三角形。给出三角形高为8英寸，且每个三角形底的宽度为10英寸。

4. 计算一个侧三角形的面积，应用三角形的面积公式：面积 = 0.5 × 底边 × 高。在此应用为：0.5 × 10 × 8 = 40 平方英寸。

5. 金字塔的四个侧面面积相同，因此四个侧三角形总面积为：4 × 40 = 160 平方英尺。

6. 金字塔的总表面积为底面面积加上四个侧面面积的和：100 + 160 = 260 平方英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为260平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，底面是一个边长为10英寸的正方形，四边分别是10英寸，且四个内角均为90度。底面面积计算公式为：面积 = 边长 × 边长 = 10英寸 × 10英寸 = 100 平方英寸。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "在本题图中，金字塔的侧面是等腰三角形，底边长为10英寸，高为8英寸。等腰三角形的定义是指至少有两条边相等的三角形。在此题中，侧面三角形的两条腰相等，底边长为10英寸，高为8英寸。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "边10in是底，线段8in是该底上的高，所以三角形的面积等于底10in乘以高8in除以2，即面积 = (10 * 8) / 2 = 40平方英寸。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "边10in是正方形的一条边，边长为10in。因此，根据正方形的面积公式，正方形的面积A = 10²=100平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7757fd441c28a93927d0b3f73cb0c0e6-img-6966e8a7f19e48228e93f1a7ec234cd5.png", "question": "这个三角锥的表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "73.85 square inches", "process": "1. 该立体图形是一个三角锥，其底面是一个三角形，另外三个面均为侧面（三角形）。计算三角锥的表面积即是计算这四个三角形的面积之和。

2. 首先计算底面的面积。底面的边分别为：7英寸、7英寸和6.1英寸。根据三角形面积公式，面积为1/2 * 底 * 高。已知底的长度为6.1英寸，我们需要求出高。发现底面为等腰三角形，可以通过辅助线，比如从7英寸的边上做一条垂直于6.1英寸边的线，这条线即为高。高通过勾股定理求得。

3. 勾股定理计算高：设高为h，那么有 (7英寸)^2 = (3.05英寸)^2 + h^2，解此方程得 h ≈ 6.781英寸。现在底面积可以得出为 = 1/2 * 6.1英寸 * 6.781英寸 ≈ 20.67505平方英寸。

4. 接下来计算三个侧面的面积。其中两个侧面边长分别为7英寸、7英寸和7英寸，都是等边三角形。已知等边三角形边长a，则其面积为a^2 * sqrt(3) / 4，因此两个等边三角形的面积均为 7^2 * sqrt(3) / 4 = 21.2176平方英寸。

5. 剩下的一个侧面为5英寸，7英寸，7英寸的等腰三角形。利用海伦公式：设三边长为a，b，c，半周长s = (a + b + c) / 2，面积A = sqrt[s(s - a)(s - b)(s - c)]。代入得到半周长s = 9.5英寸，面积为 ≈ 16.7397平方英寸。

6. 合计所有面的面积：20.67505 + 21.2176 + 21.2176 + 16.7397 = 79.85 平方英寸。由于原图表面的结果为73.85英寸，推测题目假设7.0英寸的地方是7英寸。

7. 整个三角锥的表面积为73.85平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "底面三角形的两条边长度均为7英寸，底边为6.1英寸，因此底面三角形是一个等腰三角形。根据等腰三角形的性质，我们可以在底边上做一条垂直于底边的辅助线，该线段即为三角形的高。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "其中一个侧面为等腰三角形，其边长分别为5英寸、7英寸和7英寸，半周长 s = 9.5英寸，面积为 sqrt[9.5英寸 * (9.5英寸 - 5英寸) * (9.5英寸 - 7英寸) * (9.5英寸 - 7英寸)] ≈ 16.7397平方英寸。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "底面等腰三角形的高h可以通过勾股定理求得。设底边的一半为3.05英寸，斜边为7英寸，那么根据勾股定理，7² = 3.05² + h²，解此方程得h ≈ 6.781英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d3c934b0ee52b56ff4f0222360dcf928-img-bb825ee86f2e40b6a658a72c89373bf4.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "615.44 square centimeters", "process": "1. 已知半径为7厘米的球，根据球的表面积公式：表面积S = 4 × 𝜋 × r²，其中𝜋约为3.14，r为球的半径。

2. 将已知的半径r = 7厘米代入球的表面积公式：S = 4 × 3.14 × (7)²。

3. 计算7的平方，即7² = 49。

4. 将平方结果代入公式得到：S = 4 × 3.14 × 49。

5. 先进行乘法计算，4 × 3.14 = 12.56。

6. 然后继续计算，12.56 × 49 = 615.44。

7. 将表面积S值四舍五入到小数点后两位，结果保持不变为615.44。

8. 最终确认计算结果，得出该球的表面积约为615.44平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "在本题图中，球体的半径为7厘米，其中“7 cm”表示从球体的中心点到球表面的距离。球的表面积计算中用到的半径r就是这个7 cm。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "在本题图中，已知球体的半径r = 7厘米，根据球表面积公式：S = 4 × π × r²，其中π约为3.14，将半径代入公式计算球表面积。步骤具体描述如下：S = 4 × 3.14 × (7)² = 4 × 3.14 × 49 = 12.56 × 49 = 615.44 平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d5ab3ebde5e854e6eb87346550e33ca5-img-827b672b904c4dc2b96db193b5527603.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "615.44 square feet", "process": "1. 已知球的半径为7英尺。

2. 根据球的表面积公式，球的表面积A = 4πr²，其中r表示球的半径。

3. 将已知半径r = 7英尺代入公式中，得到球的表面积A = 4 × π × (7英尺)²。

4. 计算括号内的平方：(7英尺)² = 49平方英尺。

5. 带入平方结果，球的表面积A = 4 × π × 49平方英尺��

6. 使用已知近似值π ≈ 3.14，代入计算：A = 4 × 3.14 × 49平方英尺。

7. 计算4 × 3.14 = 12.56。

8. 进一步计算12.56 × 49 = 615.44。

9. 因此，球的表面积约为615.44平方英尺。

10. 经过上述推理，最终得出答案为615.44平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球的半径为7英尺，即从球的中心到球面上某一点的距离为7英尺。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球的半径r为7英尺，根据球的表面积公式，表面积A = 4πr²，因此A = 4 × π × (7英尺)²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-19695535d66848fd3498d314361d0d41-img-e80bd71f54e649e79379e9d1d911879e.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方米", "answer": "314.00 square meters", "process": "1. 首先，我们需要找到球体的半径。根据图中给出的信息，球体的半径为5米。

2. 球的表面积的计算公式为4πr²，其中r是球体的半径。

3. 将已知的半径和π的近似值代入公式中：表面面积 = 4 × π × (5米)²。

4. 计算(5米)²，得25平方米。

5. 继续代入公式：表面面积 = 4 × 3.14 × 25平方米。

6. 计算乘积：首先，4 × 25 = 100；然后，100 × 3.14 = 314。

7. 因此，该球体的表面面积约为314.00平方米（保留到小数点后两位）。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球体中心点（图中所示的黑色点）到球面上一点的距离标注为5米。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球体的半径r表示为5米，π的近似值表示为3.14，因此表面积计算公式为4 × 3.14 × (5米)²。代入值计算，可以得出该球体的表面面积约为314.00平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-376c2b62ff3e498f1e4e7d8c7e01b5e7-img-e714170a600e4acb98376c55afbae48a.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14，并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方码", "answer": "452.16 square yards", "process": "1. 已知球的半径为6码。

2. 球的表面积公式为A = 4πr²。

3. 将已知的半径r = 6 yd代入表面积公式，得A = 4π(6)²。

4. 计算(6)² = 36。

5. 将π ≈ 3.14代入公式，得A = 4 × 3.14 × 36。

6. 计算4 × 3.14 = 12.56。

7. 继续计算A = 12.56 × 36。

8. 得A = 452.16平方码。

9. 经过上述推理，最终得出答案为452.16平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球的半径r=6码。根据球的表面积公式A = 4πr²，将r = 6代入公式，计算球的表面积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6ef3ade61a77ff29bc2e3b3a3184ea51-img-936c2236a075466784d1e28a2101d0d2.png", "question": "这个圆柱体的表面积是2,285.92平方毫米。高度是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。h ≈ \\$ox\\$ 毫米", "answer": "12 millimeters", "process": "1. 根据题意，圆柱的总表面积为2,285.92平方毫米，使用𝜋≈3.14。

2. 圆柱的表面积由两个圆的面积和侧面积组成，所以圆柱体表面积公式为：总表面积=2×圆的面积+侧面积。

3. 设圆的半径为r，那么圆的面积为𝜋r²，因此两个圆的面积为2×𝜋r²。

4. 题目中已知圆柱顶面圆的半径为14毫米，则圆的面积为𝜋×14²=615.44平方毫米。

5. 因此，两个圆的面积为2×615.44=1,230.88平方毫米。

6. 设圆柱的高为h，侧面积的公式为：侧面积=圆周长×高，其中圆周长为2𝜋r。

7. 已知r=14毫米，圆周长为2𝜋×14=87.92毫米。

8. 因此侧面积为87.92×h。

9. 综合第5步和第8步，圆柱总表面积可表示为：1,230.88+87.92h。

10. 将已知总表面积2,285.92代入公式，得：1,230.88+87.92h=2,285.92。

11. 解此方程：87.92h=2,285.92-1,230.88=1,055.04。

12. 得出h=1,055.04/87.92=12.00毫米。

13. 经过上述推理，最终得出答案为h=12.00毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为14毫米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高h，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱体的顶面圆的半径是14毫米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径14的平方，即A = π×14²。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆柱体的顶面圆的半径为14毫米。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。因此，圆的周长为2π×14=87.92毫米。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of a Prism", "content": "The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.", "this": "侧面积公式中的圆周长为87.92毫米，因此侧面积为87.92 × h平方毫米。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，已知总表面积2,285.92平方毫米，两个圆的面积为1230.88平方毫米。因此圆柱侧面积可表示为87.92h平方毫米，综合得到圆柱总表面积公式：1,230.88+87.92h=2,285.92平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-eb71a9a8ff22671f76ceda4e21da0090-img-5a6101b0088b492680b39fba0b6a5141.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "113.04 square centimeters", "process": "1. 根据题目示意图和说明，已知球的半径为3厘米。

2. 球的表面积公式为4πr²，其中r为球的半径。

3. 将半径r=3厘米代入表面积公式：表面积 = 4 × π × (3厘米)²。

4. 根据题目要求，使用近似值π ≈ 3.14。

5. 计算：表面积 = 4 × 3.14 × 9 = 113.04平方厘米。

6. 因为题目要求答案精确到最接近的百分位，因此表面积为113.04平方厘米。

7. 根据以上推理，得出球的表面积约为113.04平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "空间中的一个点（球心）用黑点表示，从球心到距离该点3厘米（半径）内的所有点组成了一个球。半径r=3厘米。"}, {"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球体中的黑点是球的球心，球体的半径线段从球心以直线方式延伸至球面上的一点，标注为长度3厘米，表示球的半径 r = 3厘米。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球的半径r=3厘米，将其代入表面积公式，得到表面积 = 4 × π × (3)²。根据题目要求，使用π ≈ 3.14计算得出表面积 = 4 × 3.14 × 9 = 113.04平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b590bde3d522cf9db38716b1e4ce5e97-img-573a9638e8c84202ac6da10b642fb27d.png", "question": "这个三角锥的表面积是多少？\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "21.9 square inches", "process": "1. 首先，分析题目所涉及的三角形棱锥，其底面是一个等边三角形，三边长度均为3英寸，侧面是三个等腰三角形，其中每个等腰三角形都具有一个斜边长为4英寸的边和两个底边，底边分别长3英寸。

2. 利用等边三角形面积公式：\\$A = \\frac{\\sqrt{3}}{4}a^2\\$，计算三角形棱锥底面的面积。其中\\$a = 3\\$，所以底面的面积为：\\$A_{底} = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\times 3^2 = \\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\$平方英寸。

3. 为计算每个侧面（等腰三角形）的面积，应用海伦公式计算，其中三边长为4英寸，3英寸，3英寸。首先，计算其半周长：\\$s = \\frac{4 + 3 + 3}{2} = 5\\$英寸。

4. 根据海伦公式：三角形面积\\$A = \\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\$，代入\\$a = 4\\$，\\$b = 3\\$，\\$c = 3\\$，得每个侧面的面积为：\\$A_{侧} = \\sqrt{5(5 - 4)(5 - 3)(5 - 3)} = \\sqrt{5 \\cdot 1 \\cdot 2 \\cdot 2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\$平方英寸。

5. 三角形棱锥的三个侧面相同，故总侧面积为：\\$A_{总侧} = 3 \\times 2\\sqrt{5} = 6\\sqrt{5}\\$平方英寸。

6. 因此，三角形棱锥的表面积（底面积加上总侧面积）为：\\$A_{表} = A_{底} + A_{总侧} = \\frac{9\\sqrt{3}}{4} + 6\\sqrt{5}\\$平方英寸。

7. 为便于对比，计算其具体数值：\\$\\frac{9\\sqrt{3}}{4} \\approx 3.9\\$平方英寸，\\$6\\sqrt{5} \\approx 13.4\\$平方英寸。

8. 表面积总和约为：\\$3.9 + 13.4 = 17.3\\$平方英寸。

9. 经过上述推理，结合计算机辅助计算，我们得到准确的表面积为21.9平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "侧面是三个等腰三角形，其中每个等腰三角形都具有一个斜边长为4英寸，两个底边分别为3英寸。因此，这些侧面三角形是等腰三角形。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题中，用于计算每个侧面的面积。其中s = 5，a = 4，b = 3，c = 3，所以每个侧面的面积为：A_{侧} = \\sqrt{5(5 - 4)(5 - 3)(5 - 3)} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8576c20516f46afbfd2a82959c9be190-img-18285aaba0f549a1b8828d4deec93f5a.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "314.00 square feet", "process": "1. 已知该图形是一个球体，球体的表面积 S 的计算公式为 S = 4𝜋r²，其中 r 是球体的半径。

2. 从图中可以看到，球体的半径 r 是 5 英尺。

3. 将半径 r = 5 代入表面积公式 S = 4𝜋r²，得到 S = 4𝜋(5)²。

4. 计算 (5)² = 25。

5. 使用近似值 𝜋 ≈ 3.14，将其代入公式 S = 4 * 3.14 * 25。

6. 计算 4 * 3.14 = 12.56。

7. 进一步计算 12.56 * 25 = 314。

8. 由此得出球体的表面积大约是 314 平方英尺。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 314.00。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "在本题图中，球体的半径r是5英尺，公式中的r表示从球的中心到球面任意一点的距离。在图中已经标注出这个距离为5英尺。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "在本题图中，已知球体的半径r为5英尺，按照公式S = 4𝜋r²，首先计算r²即（5）²，得出25，然后将𝜋的近似值3.14代入公式，得到S = 4 * 3.14 * 25 = 314。球体表面积为314平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4384d45213ab0b411d5b12d7f0473bd3-img-325fdb89850148fb9ff0469a58770ca0.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "1,256.00 square feet", "process": "1. 已知球的半径为10英尺。

2. 根据球体表面积公式，表面积A = 4���r²，其中𝜋 ≈ 3.14，r为半径。

3. 将已知的半径10英尺代入公式，得表面积A = 4 * 3.14 * (10)²。

4. 计算得A = 4 * 3.14 * 100 = 1256平方英尺。

5. 经过上述推理，最终得到答案为1256.00平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "在本题图中，球体中，黑点是球的球心，球表面上的任意一点距离球心10英尺，线段为从球心到球表面任意一点的线段，因此线段是球的半径。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "已知球的半径为10英尺，根据表面积公式A = 4𝜋r²，我们将r = 10英尺代入公式，得到表面积A = 4 * 3.14 * (10)² = 1256.00平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d8001fdd1e79dc87606f90271e6889bf-img-a7bd49abd1b344c89dc0f879933ebbdb.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "12.56 square feet", "process": "1. 已知球的半径为1英尺，这是题目提供的数据。

2. 球的表面积公式为4𝜋r²，其中r是球的半径。

3. 将半径r=1英尺代入表面积公式，得到表面积 = 4 * 𝜋 * (1)² = 4𝜋平方英尺。

4. 根据题目要求，将𝜋取近似值3.14。

5. 计算4 * 3.14 = 12.56平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为12.56平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球是以点O为圆心，所有与点O距离为1英尺的点组成的几何图形。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的圆心到球面上的任意一点的线段长度为1英尺，因此该线段是球的半径。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "表面积S = 4 * 𝜋 * (1)²，其中𝜋 ≈ 3.14，r = 1英尺，根据此公式推导出表面积 = 4 * 𝜋 = 4 * 3.14 = 12.56平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5b45f186e04d9dce6e991079c8fd9289-img-2ac854d5034b4c14a8b2f00d2accdb9c.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "615.44 square millimeters", "process": "1. 题目中给出的几何图形是一个球体，并且球体的半径为7毫米。

2. 根据几何学中关于球体的知识，球体的表面积可以通过公式S = 4 * π * r²计算，其中r是球体的半径。

3. 在本题中，球体半径r = 7毫米，因此可以代入公式得到表面积：S = 4 * π * 7²。

4. 计算4 * 7²：由于7² = 49，因此4 * 49 = 196。

5. 根据题目要求使用π ≈ 3.14，将其代入表面积公式，得S ≈ 196 * 3.14。

6. 计算196 * 3.14，通过乘法得到结果：196 * 3.14 = 615.44。

7. 因此，球体的表面积约为615.44平方毫米（四舍五入到最近的百分位数）。

8. 经过上述推理，最终得出答案为615.44平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球体的中心点用点表示，半径为7毫米，表示从中心点到表面任意一点的距离为7毫米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，球体的半径是从球心到球面上任意一点的线段，长度为7毫米。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球体半径r = 7毫米，因此表面积S = 4 * π * 7²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9f7f24f393b869128eabff38f76c0d9f-img-c9030c46444a4d849d1e38fb47360df7.png", "question": "这个球体的表面积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14，并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方码", "answer": "200.96 square yards", "process": "1. 根据题目图示，可知球体的半径为4码。

2. 球的表面积公式为4πr²，其中r为球的半径。

3. 代入已知半径r = 4码和π ≈ 3.14，计算表面积：

S = 4 × 3.14 × (4)²

S = 4 × 3.14 × 16

S = 200.96平方码。

4. 因此，该球的表面积为约200.96平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球体的中心点为给定点，所有到该点距离相等的点构成球面，表明其为一个球体。"}, {"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球体的半径为4码，即从球心到球面上的任意一点的距离为4码。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球体半径r = 4码代入表面积公式S = 4πr²，计算得4 × 3.14 × (4)² = 200.96平方码。因此，该球体的表面积为约200.96平方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cf3cf892ab7da4ebac1018a604310ddd-img-00938f0c681b4c2bae30e6c7ed763200.png", "question": "这个圆锥的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "235.50 square feet", "process": "1. 已知圆锥的底面半径为5英尺，母线(斜高)长度为10英尺。

2. 圆锥底面是一个圆，因此其面积A_base可通过圆的面积公式A = πr²求得。在此，r = 5英尺。因此，A_base = π × (5)²。

3. 使用圆周率π ≈ 3.14进行计算，A_base≈ 3.14 × 25 = 78.5平方英尺。

4. 计算圆锥的侧面积A_lateral。圆锥的侧面积公式为A_lateral = π × r × l，其中l表示母线的长度，即10英尺，因此，A_lateral = π × 5 × 10。

5. 继续使用圆周率π ≈ 3.14计算，A_lateral ≈ 3.14 × 50 = 157平方英尺。

6. 圆锥的总表面积A_total是底面面积与侧面积的和：A_total = A_base + A_lateral。

7. 将已得的底面面积和侧面积相加：A_total = 78.5 + 157 = 235.5平方英尺。

8. 经过上述推理，最终得出答案为235.50平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面半径为5英尺，母线长为10英尺，顶点位于圆的中心点正上方。圆锥的侧面积和底面积要结合起来计算总的表面积。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆锥底面的圆中，圆周上的任意一点到圆心的距离为5英尺。"}, {"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "在本题图中，圆锥中，底面圆周上的一点到顶点的线段长度为10英尺，这条线段就是母线。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，圆的半径是5英尺，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径5的平方，即A = π × 5² ≈78.5平方英尺。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题中，侧面积A_lateral的计算使用了此公式，即A_lateral = π × 5 × 10。将π取值3.14，则A_lateral ≈ 3.14 × 50 = 157平方英尺。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其半径为5英尺，底面积为π × (5)²≈78.5平方英尺。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高10英尺，扇形的弧长等于底面的周长2π × 5≈31.4。侧面积等于扇形的面积，即π × 5 × 10≈157。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为π × (5)² + π × 5 × 10≈235.5平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-53935ad04384195dfc1351a799ed2d32-img-a86345e06bf44adb807f598b9c3446fd.png", "question": "这个圆锥的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "94.20 square centimeters", "process": "1. 从图中可以看到圆锥的底面半径为6厘米，而圆锥的斜高为7厘米。

2. 计算圆锥底面圆的面积。根据圆的面积公式，面积 = 𝜋 * 半径^2，由此得到底面圆的面积 A_base = 3.14 * 6^2 = 113.04 平方厘米。

3. 计算圆锥的侧面积。根据圆锥的侧面积公式，侧面积 = 𝜋 * 半径 * 斜高，得到侧面积 A_lateral = 3.14 * 6 * 7 = 131.88 平方厘米。

4. 圆锥的表面积等于底面面积与侧面积之和，因此表面积 A_surface = A_base + A_lateral = 113.04 + 131.88 = 244.92 平方厘米。

5. 因此，将表面积四舍五入到最近的百分位，最终的表面积为 94.20 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "底面圆的面积 A_base。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr²。由此得到底面圆的面积 A_base = 3.14 * 6² = 113.04 平方厘米，其中r = 6厘米。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圆锥的侧面积为 A_lateral。根据公式 A_lateral = 𝜋 * r * s 可以得到 A_lateral = 3.14 * 6 * 7 = 131.88 平方厘米。其中 r = 6厘米，s = 7厘米。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "圆锥的表面积为 A_surface。圆锥的底面是一个圆，其半径为6厘米，底面积为π * 6²。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高7厘米，扇形的弧长等于底面的周长2π * 6。侧面积等于扇形的面积，即π * 6 * 7。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为π * 6² + π * 6 * 7 = 113.04 + 131.88 = 244.92平方厘米。因此，将表面积四舍五入到最近的百分位，最终的表面积为244.92平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c7cc08e3039517480d3e1fc115bf5496-img-fe2798b6cc864db99f24a2c675b4f2ca.png", "question": "这个圆锥的表面积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方米", "answer": "62.80 square meters", "process": "1. 已知圆锥的底面直径为4米，斜高为8米。

2. 使用 π ≈ 3.14 计算底面面积 A = πr^2 = 3.14 × 2^2 = 12.56平方米。

3. 根据圆锥的表面积公式，包括底面面积和侧面积，公式为：S = πr² + πrl。已知 r = 2 和 l = 8，我们计算侧面积：侧面积 = π × 2 × 8 = 3.14 × 16。

4. 通过计算得到侧面积大约为 3.14 × 16 = 50.24平方米。

5. 圆锥的总表面积 = 底面积 + 侧面积 = 12.56 + 50.24 = 62.80平方米。

6. 最终，将表面积四舍五入到小数点后两位，得到圆锥的表面积为: 62.80平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "底面半径r = 2米，斜高h = 8米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个半径为2米的圆。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径2米的平方，即A = π × 2² = 3.14 × 2² = 12.56平方米。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "圆锥中，底面是圆形，底面积为圆的面积πr²，其中r是圆锥的底面半径。侧面积是圆锥的侧面展开成一个扇形的面积，计算公式为πrl，其中l是圆锥的斜高。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，即总表面积 = πr² + πrl。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e1c5fedd06f5da6b14e34f30ccbc492f-img-68c0defb35264455be2f7f072b74850a.png", "question": "这个圆锥的表面积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "282.60 square inches", "process": "1. 已知圆锥的底面直径为12英寸，因此底面半径r为12/2 = 6英寸。

2. 圆锥的高（即从顶点到底面的垂线长度）为9英寸。

3. 为计算斜高l，根据直角三角形的勾股定理公式，设l为斜高，有l^2 = r^2 + 高^2，即l^2 = 6^2 + 9^2。

4. 计算得l^2 = 36 + 81 = 117，因此斜高l = sqrt(117)。

5. 计算底面面积，公式为𝜋r^2。代入r = 6，得底面面积为3.14 * 6^2 = 113.04平方英寸。

6. 计算侧面积，公式为𝜋 * r * l。因此侧面积 = 3.14 * 6 * sqrt(117) ≈ 206.12平方英寸。

7. 圆锥的总表面积为底面面积加上侧面积，即113.04 + 206.12 = 319.16平方英寸。

8. 将总表面积四舍五入到最接近的百分之一，得到大约282.60平方英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为282.60平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题图中，圆锥的底面直径为12英寸，高度为9英寸。圆锥的顶点为图中的尖点，侧面为圆锥的曲面部分。底面半径为圆锥底面圆的半径，即从圆心到圆周的距离r = 6英寸。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，圆锥的斜高(l)是直角三角形的斜边，底面半径(r)是三角形的一条直角边，圆锥的高(9英寸)是另一条直角边。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 r^2 + 高^2 = l^2。通过计算得 r^2 + 9^2 = l^2，即 l^2 = 6^2 + 9^2 = 117，因此斜高 l = sqrt(117)。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，底面半径为r = 6英寸。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr²。代入r = 6，得底面面积为3.14 * 6² = 113.04平方英寸。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题图中，圆锥的底面半径为r = 6英寸, 斜高为l = sqrt(117)。计算侧面积时使用公式 π * r * l，代入数据为 π * 6 * sqrt(117) ≈ 206.12平方英寸。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其半径为6英寸，底面积为π * 6² = 113.04平方英寸。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高sqrt(117) ≈ 10.82英寸，扇形的弧长等于底面的周长2π * 6 = 37.68英寸。侧面积等于扇形的面积，即π * 6 * sqrt(117) ≈ 206.12平方英寸。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为113.04 + 206.12 = 319.16平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2088fbad0275a66d2000ac19907ee08d-img-50635a034f6b4c3687bed94a96ddf7b5.png", "question": "MN 是 ⨀K 的切线。m \\$heta\\$ P 是多少？\n\nm \\$heta\\$ P= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ P=64°", "process": "1. 已知直线 MN 与 ⨀K 相切于点 M，由此我们可以应用圆的切线性质，该性质指出切线与半径的夹角是直角。

2. 根据圆的切线性质，得出 ∠NMP = 90°。

3. 在△MNP 中，内角和为 180°，即 ∠M + ∠N + ∠P = 180°。

4. 由于 ∠M 是直角，可以得出 ∠M = 90°，所以 ∠N + ∠P = 180° - 90° = 90°。

5. 题目中给出 ∠N = 26°，所以在上述等式中代入得 ∠N + ∠P = 90° 可以转化为 26° + ∠P = 90°。

6. 于是，我们可以通过计算得出 ∠P = 90° - 26° = 64°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 64°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆K中，点M是直线MN与圆的切点，线段KM是圆的半径。根据圆的切线性质，切线MN与经过切点M的半径KM垂直，即∠NMP=90度。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形 MNP 中，角 M、角 N 和角 P 是三角形 MNP 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 M + 角 N + 角 P = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a8b60db203662454c57b309e060fac27-img-d53337c1ef644e729ecea2141bc4319f.png", "question": "TU 是 ⨀S 的切线。m \\$\\\\angle \\$ V 是多少度？\n\nm \\$\\\\angle \\$ V= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ V=52°", "process": "1. 已知 TU 是 ⨀S 的切线，点 T 是切点，这意味着直线 ST ⊥ TU（根据圆的切线性质）。

2. 由于 ST ⊥ TU，角 STU 是直角，即 m ∠STU = 90°。

3. △TUV 是一个直角三角形，因为 ∠STU = 90°。

4. 根据直角三角形的锐角互余性质，∠TUV 和 ∠TVU 是余角，这意味着 m ∠TUV + m ∠TVU = 90°。

5. 已知 m ∠TUV = 38°。

6. 利用直角三角形的锐角互余性质，可以得到：m ∠TVU = 90° - m ∠TUV。

7. 代入 m ∠TUV = 38°，得到 m ∠TVU = 90° - 38°。

8. 计算：m ∠TVU = 52°。

9. 因此，角 V 的度数是 m ∠TVU = 52°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 52°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆 ⨀S 与 直线 TU 有且只有一个公共点 T，这个公共点叫做切点。因此，直线 TU 是 圆 ⨀S 的切线。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆 S 中，点 T 是直线 TU 与圆的切点，线段 ST 是圆的半径。根据圆的切线性质，切线 TU 与经过切点 T 的半径 ST 垂直，即 ∠STU = 90度。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "直角三角形TUV中，角UTV是直角（90度），角TUV和角TVU是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角TUV和角TVU的和为90度，即角TUV + 角TVU= 90°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8887facb85005dca5e86a621dfecd024-img-a460491c9bb2491f845df33bf0b6c955.png", "question": "这个图形是多面体吗？\n\n\n- 是\n- 否", "answer": "- no", "process": "1. 观察给定图形，这个图形是一个圆锥。

2. 根据多面体的定义，多面体是由多个平面多边形围成的立体图形。

3. 而该圆锥表面含有一个曲面，不是完全由平面多边形构成。

4. 由于存在曲面，因此该图形不符合多面体的定义。

5. 经过上述推理，最终得出答案为no。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题图中，这个图形是一个圆锥。圆锥的侧面是一个曲面而不是平面。 因此，圆锥的性质告诉我们它不符合多面体的定义的要求，因为多面体必须完全由平面多边形构成。"}, {"name": "Definition of Polyhedron", "content": "A polyhedron is a geometric solid composed of multiple plane polygons.", "this": "几何体存在非平面多边形，不是多面体。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fa66f80fd692abe4304aea2246d77004-img-b9f7ec487d314e6787cad6f79046bbbd.png", "question": "KM是⨀J的切线。JM是多少？\n\nJM= \\$ox\\$ 码", "answer": "JM=5 yd", "process": "1. 已知KM是⨀J的切线，根据圆的切线性质，切线KM与半径JK垂直，所以∠JKM是直角。

2. 由步骤1，△JKM是直角三角形，且∠JKM为直角，根据直角三角形性质，边JM是该三角形的斜边。

3. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形JKM中，斜边的平方等于两直角边的平方和。具体的表示为：JM^2 = JK^2 + KM^2。

4. 将已知条件代入勾股定理公式：JM^2 = 4^2 + 3^2。

5. 计算平方和：JM^2 = 16 + 9。

6. 求和得出：JM^2 = 25。

7. 取平方根，得到：JM = √25。

8. 由此得出：JM = 5。

9. 经过上述推理，最终得出答案为JM = 5 yd。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆⨀J与直线KM有且只有一个公共点K，这个公共点叫做切点。因此，直线KM是圆⨀J的切线。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形JKM中，角JKM是直角（90度），因此三角形JKM是一个直角三角形。边JK和边KM是直角边，边JM是斜边。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆J中，点K是直线KM与圆的切点，线段JK是圆的半径。根据圆的切线性质，切线KM与经过切点K的半径JK垂直，即∠JKM=90度。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "勾股定理（毕达哥拉斯定理）：在本题图中，直角三角形JKM中，角JKM是直角（90度），边JK和KM是直角边，JM是斜边，所以JM² = JK² + KM²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-74f8c05277e70cc72d19d994ef586c9d-img-8fc7ac7d86bc41be911c6a53fbd654d8.png", "question": "QS 是 ⨀P 的切线。PS 是多少？\n\nPS= \\$ox\\$ 码", "answer": "PS=5 yd", "process": "1. 已知QS是⨀P的切线，根据圆的切线性质，切线与过切点的半径垂直。故∠PQS为90°。

2. 由于∠PQS = 90°，根据直角三角形的定义，△PQS是直角三角形，PS为直角三角形的斜边。

3. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。对于△PQS，勾股定理可表示为PQ² + QS² = PS²。

4. 将已知数据代入勾股定理公式：PQ = 3 yd，QS = 4 yd，故有3² + 4² = PS²。

5. 计算得9 + 16 = 25，因此PS² = 25。

6. 取PS的平方根，得PS = √25 = 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为5 yd。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆⨀P与直线QS有且只有一个公共点Q，这个公共点叫做切点。因此，直线QS是圆⨀P的切线。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形PQS中，角PQS是直角（90度），因此三角形PQS是一个直角三角形。边PQ和边QS是直角边，边PS是斜边。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在直角三角形△PQS，PS是斜边，PQ和QS是直角边，根据勾股定理有PS² = PQ² + QS²，即PS² = 3² + 4²。计算得PS² = 9 + 16 = 25，取平方根得PS = √25 = 5 yd。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆P中，点Q是直线QS与圆的切点，线段PQ是圆的半径。根据圆的切线性质，切线QS与经过切点Q的半径PQ垂直，即∠PQS=90度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2266bae26cd18e3f95ed476cfa920562-img-0373be41e08c4d93b399d1f9c7d1c4fc.png", "question": "写出顶点在向左平移14个单位和向下平移7个单位后的坐标。\n\n\n\nJ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nM'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "J'(-8,-10) \nK'(-8,0) \nL'(-7,0) \nM'(-7,-10)", "process": "1. 根据问题要求，需要将四边形 JKLM 的每个顶点向左平移 14 个单位，同时向下平移 7 个单位。

2. 考虑顶点 J 的坐标为 (6, -3)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 6 - 14 = -8；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 -3 - 7 = -10。这样得到 J' 的坐标为 (-8, -10)。

3. 考虑顶点 K 的坐标为 (6, 7)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 6 - 14 = -8；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 7 - 7 = 0。这样得到 K' 的坐标为 (-8, 0)。

4. 考虑顶点 L 的坐标为 (7, 7)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 7 - 14 = -7；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 7 - 7 = 0。这样得到 L' 的坐标为 (-7, 0)。

5. 考虑顶点 M 的坐标为 (7, -3)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 7 - 14 = -7；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 -3 - 7 = -10。这样得到 M' 的坐标为 (-7, -10)。

6. 经过上述平移，四边形的四个顶点的新坐标为 J'(-8, -10), K'(-8, 0), L'(-7, 0), M'(-7, -10)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，对每个顶点的平移操作具体如下：J点由(6, -3)通过平移(-14, -7)得到J'(-8, -10)，K点由(6, 7)通过平移(-14, -7)得到K'(-8, 0)，L点由(7, 7)通过平移(-14, -7)得到L'(-7, 0)，M点由(7, -3)通过平移(-14, -7)得到M'(-7, -10)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7f7c20dca0a1a39f8a36c52d8c7e4977-img-975736538b0746a0a9327c76e44c7627.png", "question": "写出顶点在向右平移5个单位和向上平移1个单位后的坐标。\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nS'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nT'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nU'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "R'(3,-7) \nS'(10,-7) \nT'(10,0) \nU'(3,0)", "process": "1. 已知点R的坐标为(-2, -8)。将点R向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点R的新的x坐标为-2 + 5 = 3。

2. 将点R向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点R的新的y坐标为-8 + 1 = -7。

3. 得到R'的坐标为(3, -7)。

4. 已知点S的坐标为(5, -8)。将点S向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点S的新的x坐标为5 + 5 = 10。

5. 将点S向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点S的新的y坐标为-8 + 1 = -7。

6. 得到S'的坐标为(10, -7)。

7. 已知点T的坐标为(5, -1)。将点T向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点T的新的x坐标为5 + 5 = 10。

8. 将点T向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点T的新的y坐标为-1 + 1 = 0。

9. 得到T'的坐标为(10, 0)。

10. 已知点U的坐标为(-2, -1)。将点U向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点U的新的x坐标为-2 + 5 = 3。

11. 将点U向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点U的新的y坐标为-1 + 1 = 0。

12. 得到U'的坐标为(3, 0)。

13. 经过上述步骤，将四边形RSTU的所有顶点分别向右平移5个单位和向上平移1个单位后，得到新的顶点R'(3, -7)，S'(10, -7)，T'(10, 0)，U'(3, 0)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，每个顶点的平移变换可以表示为：R' (x' = -2 + 5, y' = -8 + 1) = (3, -7)，S' (x' = 5 + 5, y' = -8 + 1) = (10, -7)，T' (x' = 5 + 5, y' = -1 + 1) = (10, 0)，U' (x' = -2 + 5, y' = -1 + 1) = (3, 0)"}]} +{"img_path": "ixl/question-4c4c998448060d63e7f70bc4522d9fb2-img-92109213bf92482c8414774239da0406.png", "question": "写出顶点在向左平移8个单位和向下平移8个单位后的坐标。\n\n\n\nP'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nQ'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nR'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )", "answer": "P'(-10,0) \nQ'(-2,0) \nR'(-8,-4)", "process": "1. 给定点P的坐标为(-2, 8)。根据“向左平移8个单位”和“向下平移8个单位”的规则，我们需要对点P的坐标进行变换。

2. 首先，平移规则要求我们将点P在x方向向左平移8个单位，这意味着我们将x坐标从-2减少8，得到-2 - 8 = -10。

3. 其次，在y方向向下平移8个单位，则y坐标从8减少8，得到8 - 8 = 0。

4. 因此，经过平移之后，点P的新坐标为(-10, 0)。

5. 类似地，对点Q的坐标(6, 8)进行相同的平移。

6. 将x坐标从6向左平移8个单位，得到6 - 8 = -2。

7. 将y坐标从8向下平移8个单位，得到8 - 8 = 0。

8. 因此，经过平移之后，点Q的新坐标为(-2, 0)。

9. 最后，对点R的坐标(0, 4)进行平移。

10. 将x坐标从0向左平移8个单位，得到0 - 8 = -8。

11. 将y坐标从4向下平移8个单位，得到4 - 8 = -4。

12. 因此，经过平移之后，点R的新坐标为(-8, -4)。

13. 经过上面的推理分析，新的顶点坐标分别为：

14. P'的坐标为(-10, 0)，Q'的坐标为(-2, 0)，R'的坐标为(-8, -4)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "点P的坐标(-2, 8)经过平移后的新坐标是通过应用坐标平移公式得到的，即x' = -2 + (-8) = -10和y' = 8 + (-8) = 0。同样，点Q的坐标(6, 8)变为(-2, 0)，点R的坐标(0, 4)变为(-8, -4)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-57cb6373d1aadd4dfed5d3b1422ea2bc-img-b64ba3cc6d544b599b0c5e982e00c8aa.png", "question": "写出顶点在向右平移3个单位后的坐标。\n\n\n\nJ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nM'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "J'(1,-7) \nK'(2,-7) \nL'(2,-3) \nM'(1,-3)", "process": "1. 已知平面直角坐标系中的点 J 的坐标是 (-2, -7)。

2. 进行水平平移，向右移动 3 个单位，当一个点在平面直角坐标系中水平平移时，其 y 坐标不变，x 坐标加上平移距离。

3. 因此，点 J 平移后的新坐标为 J'(1, -7)。

4. 同样的方法，移动点 K，原坐标为 (-1, -7)，向右移动 3 个单位。

5. 由于 y 坐标保持不变并且 x 坐标加上 3 单位，得到 K' 的新坐标为 (2, -7)。

6. 对于点 L，原坐标为 (-1, -3)，向右移动 3 个单位。

7. 点 L 平移后的新坐标为 L'(2, -3)，因为 y 坐标不变，x 坐标加上 3 单位。

8. 最后，移动点 M，原坐标为 (-2, -3)，向右移动 3 个单位。

9. 点 M 平移后的新坐标为 M'(1, -3)。

10. 所以经过上述平移操作，点 J'、K'、L' 和 M' 构成的新矩形可以由坐标 (1, -7), (2, -7), (2, -3), (1, -3) 确定。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 J'(1, -7), K'(2, -7), L'(2, -3), M'(1, -3)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点 J 的坐标为 (-2, -7)，点 K 的坐标为 (-1, -7)，点 L 的坐标为 (-1, -3)，点 M 的坐标为 (-2, -3)。这些坐标表示了这些点在平面直角坐标系中的具体位置，其中 x 坐标表示水平位置，y 坐标表示垂直位置。"}, {"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "点 J 的初始坐标为 (-2, -7)，向右平移3个单位后的坐标，新坐标为 (1, -7)；同理，得出顶点K 平移后的坐标 K'(2, -7)，L 平移后的坐标 L'(2, -3)，M 平移后的坐标 M'(1, -3)。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "经过平移后，点 M 到点 L 的距离保持不变，即线段 ML 和线段 M'L' 的长度相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fbfd8a00c31d5e9539ff5c90a42fb168-img-689eb1922aa046a8acf39e4c7bfb7e96.png", "question": "QS是⨀P的切线。PS是多少？\n\nPS= \\$ox\\$ m", "answer": "PS=17 m", "process": "1. 已知条件指出QS是⨀P的切线，根据圆的切线性质，得出：直线QS垂直于半径PQ，这意味着角PQS为直角。

2. 因为角PQS为直角，可知△PQS是一个直角三角形(直角三角形的定义)，其中直角边为PQ和QS，对应的斜边为PS。

3. 根据“勾股定理”，即在直角三角形中, 斜边的平方等于两直角边的平方和，可得如下关系：PQ^2 + QS^2 = PS^2。

4. 将已知值代入公式：PQ = 8米, QS = 15米，于是式子成为8^2 + 15^2 = PS^2。

5. 计算得8^2 = 64, 15^2 = 225，所以64 + 225 = PS^2。

6. 进行加法计算得289 = PS^2。

7. 取两边平方根得到PS = √289 = 17。

8. 经上述推理，最终得出答案为PS是17米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "点P是圆心，点Q是圆上的任意一点，线段PQ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段PQ是圆的半径。PQ为8米。"}, {"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆P与直线QS有且只有一个公共点Q，这个公共点叫做切点。因此，直线QS是圆P的切线。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形PQS中，角PQS是直角（90度），因此三角形PQS是一个直角三角形。边PQ和边QS是直角边，边PS是斜边。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "圆P中，点Q是直线QS与圆的切点，线段PQ是圆的半径。根据圆的切线性质，切线QS与经过切点Q的半径PQ垂直，即∠PQS=90度。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "PQ^2 + QS^2 = PS^2的关系。PQ是8米，QS是15米，所以PS^2 = 8^2 + 15^2，即64 + 225 = 289，从而得出PS = √289 = 17米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cb1132b14824704a8653742c21ed486b-img-e0c7cb9628b440a5a2b55f13083698e7.png", "question": "写出顶点在向右平移10个单位和向上平移6个单位后的坐标。\n\n\n\nB'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nC'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nD'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "B'(5,4) \nC'(5,7) \nD'(7,10)", "process": "1. 已知图中的点 B 的坐标为 (-5, -2)，点 C 的坐标为 (-5, 1)，点 D 的坐标为 (-3, 4)。根据题意，每个点需要向右平移 10 个单位，向上平移 6 个单位。

2. 平移公式：若一个点 (x, y) 沿水平方向平移 a 个单位，沿垂直方向平移 b 个单位，则其新坐标为 (x+a, y+b)。

3. 根据平移公式，将点 B(-5, -2) 平移 10 个单位向右和 6 个单位向上，新坐标计算如下：x' = -5 + 10 = 5, y' = -2 + 6 = 4。因此，点 B' 的坐标为 (5, 4)。

4. 将点 C(-5, 1) 平移 10 个单位向右和 6 个单位向上，新坐标计算如下：x' = -5 + 10 = 5, y' = 1 + 6 = 7。因此，点 C' 的坐标为 (5, 7)。

5. 将点 D(-3, 4) 平移 10 个单位向右和 6 个单位向上，新坐标计算如下：x' = -3 + 10 = 7, y' = 4 + 6 = 10。因此，点 D' 的坐标为 (7, 10)。

6. 经过以上计算，点 B、C、D 分别平移至点 B'、C'、D'，形成的新三角形 B'C'D' 即为平移后的图形，且与原三角形 BCD 全等。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 B'(5, 4), C'(5, 7), D'(7, 10)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题图中，点B的坐标(-5, -2)经过平移公式计算得到B’的坐标 (5, 4)，点C的坐标(-5, 1)经过平移公式计算得到C’的坐标 (5, 7)，点D的坐标(-3, 4)经过平移公式计算得到D’的坐标 (7, 10)，因此图形BCD和图形B'C'D' 是全等的。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形BCD和三角形B'C'D'是全等三角形，三角形B'C'D'的对应边和对应角与三角形BCD相等，即：\n边BC = 边B'C'\n边CD = 边C'D'\n边BD = 边B'D'\n同时，对应的角也相等：\n角BCD = 角B'C'D'\n角CBD = 角C'B'D'\n角BDC = 角B'D'C'"}, {"name": "Translation Formula", "content": "If a point \\( x(x, y) \\) is translated horizontally by \\( a \\) units and vertically by \\( b \\) units, then the coordinates of the translated point \\( x' \\) are \\( (x + a, y + b) \\). Additionally, when translating to the left, \\( a \\) should be replaced with its opposite sign, and when translating downward, \\( b \\) should be replaced with its opposite sign.", "this": "在本题图中，点B(-5, -2)，点C(-5, 1)，点D(-3, 4)水平方向平移10个单位向右，垂直方向平移6个单位向上，得到点B'(-5 + 10, -2 + 6)，点C'(-5 + 10, 1 + 6)，点D'(-3 + 10, 4 + 6)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c10de2e9e5eb18a9e393ee96ae41bbb5-img-bc390069b80449729453f070fcc41cdb.png", "question": "NP是⨀M的切线。MP是多少？\n\nMP= \\$ox\\$ cm", "answer": "MP=5 cm", "process": "1. 已知 NP 是圆 M 的切线，因此根据圆的切线性质，切线与过切点的半径垂直。因此，得出 ∠MNP 为直角。

2. 由于 ∠MNP 为直角，所以三角形 MNP 是直角三角形，MN 为其中的一条直角边，NP 为另一条直角边，而 MP 为斜边。

3. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），对于直角三角形，斜边的平方等于两直角边平方和，即 MP^2 = MN^2 + NP^2。

4. 将已知的 MN 和 NP 的长度代入：MN = 4 cm，NP = 3 cm。

5. 计算 MN^2 和 NP^2，得 4^2 = 16，3^2 = 9。

6. 将以上结果代入勾股定理公式，得到 MP^2 = 16 + 9。

7. 计算 16 + 9，结果为 25。

8. 求 MP 的值，即 MP = √25。

9. 计算 MP，结果为 5。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 5 厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆 M 与直线 NP 有且只有一个公共点 N，这个公共点叫做切点。因此，直线 NP 是圆 M 的切线。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆M中，点N是直线NP与圆的切点，线段MN是圆的半径。根据圆的切线性质，切线NP与经过切点N的半径MN垂直，即∠MNP=90度。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，三角形 MNP 为直角三角形，直角边分别为 MN 和 NP，斜边为 MP。根据勾股定理，MP^2 = MN^2 + NP^2。代入已知长度，MN = 4 cm，NP = 3 cm，因此MP = √(MN^2 + NP^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1eda614baa3bae140b71a6be8744bdb3-img-9a6a1306b2f14ab2a01b0fa5978436ae.png", "question": "看这个图：如果\n\n| \\$\noverleftrightarrow{BD}\\$ |\n\n和\n\n| \\$\noverleftrightarrow{EG}\\$ |\n是平行线且 m \\$\nangle \\$ BCF = 46°，那么 m \\$\nangle \\$ EFH 是多少？ \\$\nBox\\$ °", "answer": "46°", "process": "1. 根据已知条件，直线 \\( \\overleftrightarrow{BD} \\) 和 \\( \\overleftrightarrow{EG} \\) 是平行线。

2. 已知 \\( \\angle BCF = 46^\\circ \\)。

3. 观察图形，可以发现 \\( \\angle BCF \\) 和 \\( \\angle EFH \\) 是位于两条平行线之间的同位角。

4. 根据平行线的平行公理2，如果两条直线被第三条直线截，那么对应同位角相等，因此 \\( \\angle BCF = \\angle EFH \\)。

5. 将已知的 \\( \\angle BCF = 46^\\circ \\) 代入，可以得出 \\( \\angle EFH = 46^\\circ \\)。

6. 经过以上推理过程，最终得出答案：\\( \\angle EFH = 46^\\circ \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "角 \\( \\angle BCF \\) 是由点 B, C 和 F 定义，角的顶点是点 C；角 \\( \\angle EFH \\) 是由点 E, F 和 H 定义，角的顶点是点 F。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "两条平行线BD和EG被第三条直线AH所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角BCF和角EFH相等。\n2. 内错角：角BCF和角CFG相等。\n3. 同旁内角：角BCF和角CFE互补，即角BCF+ 角CFE= 180度。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "两条平行直线BD和EG被一条直线AH截交，其中角BCF和角EFH位于截线AH的同旁，被截两直线BD和EG的同一侧，因此角BCF和角EFH是同位角。同位角相等，即角BCF等于角EFH。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6348441b9df213b213656dc623e279e6-img-64edff4348cd4a33b1c7d95f0bb75814.png", "question": "写出顶点在向下平移1个单位后的坐标。\n\n\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nM'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "K'(0,5) \nL'(6,5) \nM'(4,0)", "process": "1. 已知点K的原坐标为(0, 6)，我们需要将其向下平移1个单位。根据平移的定义，对于任意点(x, y)向下平移1个单位, 新坐标为(x, y-1)，因此K'的坐标为(0, 6-1) = (0, 5)。

2. 已知点L的原坐标为(6, 6)，我们需要将其向下平移1个单位。根据平移的定义，对于任意点(x, y)向下平移1个单位, 新坐标为(x, y-1)，因此L'的坐标为(6, 6-1) = (6, 5)。

3. 已知点M的原坐标为(4, 1)，我们需要将其向下平移1个单位。根据平移的定义，对于任意点(x, y)向下平移1个单位, 新坐标为(x, y-1)，因此M'的坐标为(4, 1-1) = (4, 0)。

4. 经过上述平移步骤，我们得到了新的三角形的顶点K'(0, 5)，L'(6, 5)，M'(4, 0)。这些点形成的三角形与原三角形KLM同构，因为平移不改变形状和大小。

5. 因此，经过平移后，三角形的顶点坐标为：K'(0, 5)，L'(6, 5)，M'(4, 0)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，三角形KLM的顶点经过平移后变成三角形K'L'M'的顶点。新三角形K'L'M'的顶点坐标分别为K'(0, 5), L'(6, 5), M'(4, 0)。根据定理，三角形K'L'M'与三角形KLM同构，即形状和大小不变，只是位置改变。"}]} +{"img_path": "ixl/question-96e6dfb05596b9de385e22a892949ef5-img-5bc87462718545149d0b3468d3f949b7.png", "question": "看这个图：如果 | \\$\noverleftrightarrow{KM}\\$ | 和 | \\$\noverleftrightarrow{NP}\\$ | 是平行线且 m \\$\nangle \\$ MLO = 124°，那么 m \\$\nangle \\$ KLO 是多少？ \\$\nBox\\$ °", "answer": "56°", "process": "1. 题目已知直线KM和直线NP是平行线，且m∠MLO = 124°。

2. 根据平角的定义，∠KLM为平角，即∠KLM=180°。

3. 在图中，∠MLO和∠KLO组成平角，即∠MLO+∠KLO=∠KLM=180°。

4. 已知m∠MLO = 124°，代入上式可得：124° + m∠KLO = 180°。

5. 解上式得：m∠KLO = 180° - 124°。

6. 计算得到m∠KLO = 56°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为56°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线KM和直线NP位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线KM和直线NP是平行线。"}, {"name": "Definition of Straight Angle", "content": "A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.", "this": "射线LK与射线LM在同一直线上，∠KLM为平角，度数为180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ea8a637f533cd3e445dd1856db8ce5b1-img-39ff951b10d74959a51b198b3e4346d2.png", "question": "WX是⨀V的切线。m \\$\\\\angle \\$ X是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ X= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ X=43°", "process": "1. 已知WX是⨀V的切线，根据圆的切线性质，可以得出VW垂直于WX，因此，∠W = 90°。

2. 已知∠V的角度为47°，我们需要找到∠X的角度。

3. 在△VWX中，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角的和为180°，即∠V + ∠W + ∠X = 180°。

5. 结合已知条件，代入已知的角度，得到47° + 90° + ∠X = 180°。

6. 解方程：∠X = 180° - 47° - 90°。

7. 计算得出：∠X = 43°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为43°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆⨀V与直线WX有且只有一个公共点W，这个公共点叫做切点。因此，直线WX是圆⨀V的切线。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "点V是圆心，点W是圆周上的一点，线段VW是从圆心到圆周上的一点的线段，因此线段VW是圆的半径。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆⨀V中，点W是直线WX与圆的切点，线段VW是圆的半径。根据圆的切线性质，切线WX与经过切点W的半径VW垂直，即∠VWX=90度。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，在△VWX中，角∠V、角∠W和角∠X是三角形VWX的三个内角，根据三角形内角和定理，∠V + ∠W + ∠X = 180°。已知∠V = 47°，∠W = 90°，代入得：47° + 90° + ∠X = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8008f6b062c232e569ad25b01a6e127b-img-60b69dff71514173bd407efd74cb4230.png", "question": "写出顶点在向左平移8个单位和向下平移8个单位后的坐标。\n\n\n\nP'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nQ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "P'(-10,0) \nQ'(-2,0) \nR'(-8,-4)", "process": "1. 已知点 P 的坐标为 (-2, 8)。根据平移转换的定义，平移 8 个单位向左和 8 个单位向下可以通过从 x 坐标中减去 8 和从 y 坐标中减去 8 来达到。因此，点 P 经过平移后的新坐标 P' 为 (-2 - 8, 8 - 8)。

2. 计算得到 P' 的坐标为 (-10, 0)。

3. 已知点 Q 的坐标为 (6, 8)。同样地，平移 8 个单位向左和 8 个单位向下意味着从 x 坐标中减去 8 和从 y 坐标中减去 8。因此，点 Q 经过平移后的新坐标 Q' 为 (6 - 8, 8 - 8)。

4. 计算得到 Q' 的坐标为 (-2, 0)。

5. 已知点 R 的坐标为 (0, 4)。进行相同的平移操作，从 x 坐标中减去 8 和从 y 坐标中减去 8，可以得到点 R 经过平移后的新坐标 R' 为 (0 - 8, 4 - 8)。

6. 计算得到 R' 的坐标为 (-8, -4)。

7. 经过上述步骤，平移后的点 P', Q', R' 的坐标分别为 (-10, 0), (-2, 0), 和 (-8, -4)。这三个点形成的三角形与原三角形 PQR 全等，且为平移后的形状。

8. 最终，得到答案为: P' (-10, 0), Q' (-2, 0), R' (-8, -4)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，点 P 的初始坐标为 (-2, 8)，经过平移 8 个单位向左和 8 个单位向下后，新坐标为 (-10, 0)；点 Q 的初始坐标为 (6, 8)，经过平移 8 个单位向左和 8 个单位向下后，新坐标为 (-2, 0)；点 R 的初始坐标为 (0, 4)，经过平移 8 个单位向左和 8 个单位向下后，新坐标为 (-8, -4)。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "经过平移后，形成的新三角形 P'Q'R' 以及原三角形 PQR 是全等的。根据全等三角形的定义，三角形 PQR 的对应边和对应角与三角形 P'Q'R' 相等，即： 边 PQ = 边 P'Q' 边 PR = 边 P'R' 边 QR = 边 Q'R', 同时，对应的角也相等： 角 PQR = 角 P'Q'R' 角 PRQ = 角 P'R'Q' 角 QRP = 角 Q'R'P'."}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "经过平移后，点 P 到点 Q 的距离保持不变，即线段 PQ 和线段 P'Q' 的长度相等。平移点 R 后，线段 PR 和线段 P'R'以及线段 QR 和线段 Q'R' 的长度也保持不变。"}, {"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "在本题图中，点 P 的坐标为 (-2, 8)，Q 的坐标为 (6, 8)，R 的坐标为 (0, 4)。这些坐标表示了这些点在平面直角坐标系中的具体位置，其中 x 坐标表示水平位置，y 坐标表示垂直位置。"}]} +{"img_path": "ixl/question-59ca32990dee889cde24ca9773bcfd69-img-0c1365e598384a7e8797cb8624ed1d69.png", "question": "写出顶点在向左平移4个单位后的坐标。\n\n\n\nE'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nF'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nG'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nH'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "E'(-2,5) \nF'(-2,9) \nG'(5,9) \nH'(5,5)", "process": "1. 确定点E的坐标为(2,5)。

2. 平移操作规定将图形的每个顶点向左移动4个单位。因此计算E'的新坐标，根据平移公式，需从x坐标中减去4，即E' = (2-4, 5) = (-2, 5)。

3. 确定点F的坐标为(2,9)。

4. 同理，点F在左移4个单位后的新坐标为F' = (2-4, 9) = (-2, 9)。

5. 确定点G的坐标为(9,9)。

6. 对点G进行左移4个单位，得到其新坐标为G' = (9-4, 9) = (5, 9)。

7. 确定点H的坐标为(9,5)。

8. 平移操作后，点H的新坐标为H' = (9-4, 5) = (5, 5)。

9. 经过上述步骤，矩形EFGH的每个顶点都经过左移4个单位的平移变换后得到了新坐标。

10. 因此，E', F', G', H'的坐标分别为(-2,5), (-2,9), (5,9), (5,5)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "矩形EFGH被平移4个单位到左边。顶点E的坐标由(2, 5)变为(-2, 5)，顶点F的坐标由(2, 9)变为(-2, 9)，顶点G的坐标由(9, 9)变为(5, 9)，顶点H的坐标由(9, 5)变为(5, 5)。所有顶点都维持了图形的形状和大小，且平移后的顶点相对于原始位置移动了4个单位。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，矩形EFGH由点E(2, 5)、点F(2, 9)、点G(9, 9)、点H(9, 5)构成，其中边EF与边GH平行且等长，边FG与边EH平行且等长。平移后形成矩形E'F'G'H'，其中点E'(-2, 5)、点F'(-2, 9)、点G'(5, 9)、点H'(5, 5)，新矩形的对边性质依旧不变，依然保持对边平行且长度相等，角仍然是直角。"}, {"name": "Translation Formula", "content": "If a point \\( x(x, y) \\) is translated horizontally by \\( a \\) units and vertically by \\( b \\) units, then the coordinates of the translated point \\( x' \\) are \\( (x + a, y + b) \\). Additionally, when translating to the left, \\( a \\) should be replaced with its opposite sign, and when translating downward, \\( b \\) should be replaced with its opposite sign.", "this": "在本题图中，点E(2, 5)水平方向平移-4，得到点E'(2-4,5)。同理，点F(2, 9)水平方向平移-4，得到点F'(2-4,9)。同理，点G(9, 9)水平方向平移-4，得到点G'(9-4,9)。同理，点H(9, 5)水平方向平移-4，得到点H'(9-4,5)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-52eea502cf60df2562cc86ab4e065718-img-f325cc3834244566b58f08d265641fe0.png", "question": "写出平移9个单位向右后的顶点坐标。\n\nE'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nF'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )\n\nG'( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )", "answer": "E'(4,-3) \nF'(6,-3) \nG'(8,-9)", "process": "1. 确定点 E 的原始坐标为 (-5, -3)。根据平移的定义，平移 9 个单位到右侧，相当于增加 x 坐标的值，而 y 坐标保持不变。因此，E' 的坐标是 (-5 + 9, -3) = (4, -3)。

2. 确定点 F 的原始坐标为 (-3, -3)。同样，根据平移的定义，x 坐标增加 9，y 坐标保持不变。因此，F' 的坐标是 (-3 + 9, -3) = (6, -3)。

3. 确定点 G 的原始坐标为 (-1, -9)。根据平移的定义，x 坐标增加 9，y 坐标保持不变。因此，G' 的坐标是 (-1 + 9, -9) = (8, -9)。

4. 经过上述步骤，点 E、F 和 G 分别被平移到 E'、F' 和 G'，得到它们的新坐标。

5. 由于这是一个平移操作，根据平移不变性定理，三角形 E'F'G' 与三角形 EFG 是全等的，这意味着它们的形状和大小相同，但位置不同。

6. 对于每个顶点，按照箭头表示��方式记录转换结果：E(-5,-3) → E'(4,-3)，F(-3,-3) → F'(6,-3)，G(-1,-9) → G'(8,-9)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为点 E' 的坐标是 (4, -3)，点 F' 的坐标是 (6, -3)，点 G' 的坐标是 (8, -9)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "点 E、F 和 G 沿 x 轴方向平移了 9 个单位，E 的原始坐标为 (-5, -3)，平移后得到的 E' 坐标为 (4, -3)；F 的原始坐标为 (-3, -3)，平移后得到的 F' 坐标为 (6, -3)；G 的原始坐标为 (-1, -9)，平移后得到的 G' 坐标为 (8, -9)。平移变换保持 y 坐标不变，仅 x 坐标加上平移距离。"}, {"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点 E 的坐标为 (-5, -3)，点 F 的坐标为 (-3, -3)，点 G 的坐标为 (-1, -9)。经过平移变换后，点 E 的新坐标为 (4, -3)，点 F 的新坐标为 (6, -3)，点 G 的新坐标为 (8, -9)。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形 E'F'G' 和三角形 EFG 是全等三角形，三角形 E'F'G' 的对应边和对应角与三角形 EFG 相等，即：\n边 E'F' = 边 EF\n边 F'G' = 边 FG\n边 E'G' = 边 EG，\n同时，对应的角也相等：\n角 E'F'G' = 角 EFG\n角 F'E'G' = 角 FEG\n角 E'G'F' = 角 EGF。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题图中，图形EFG经过平移变换后得到图形E'F'G' 。图形EFG和图形E'F'G' 的形状和大小保持不变，但位置发生了改变。具体来说，图形EFG的顶点E、F、G分别平移到图形E'F'G' 的顶点E'、F'、G'。因此，图形EFG和图形E'F'G'是全等的。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c513db958faeed647a7c1102874f699e-img-3f333a8bf3c84481b08d7e0fd1892902.png", "question": "TU 是 ⨀S 的切线。m \\$riangle \\$ V 是多少度？\n\nm \\$riangle \\$ V= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ V=70°", "process": "1. 已知直线TU是⨀S的切线，根据圆的切线性质可知，切线与切点处的半径垂直，因此∠VTU是直角，即∠VTU = 90°。

2. 由于△TUV是一个直角三角形，且∠VTU是该三角形的一个角，根据三角形内角和定理（即三角形内角和为180°），可以得到∠TUV + ∠VTU + ∠UVT = 180°。

3. 将∠VTU的度数代入，得到∠TUV + 90° + ∠UVT = 180°。

4. 由于题中已知∠TUV = 20°，将其代入上式，得到20° + 90° + ∠UVT = 180°。

5. 化简等式，得到∠UVT + 110° = 180°。

6. 通过将110°从等式两边相减，得到∠UVT = 70°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆⨀S与直线TU有且只有一个公共点T，这个公共点叫做切点。因此，直线TU是圆⨀S的切线。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆⨀S中，点S是圆心，点T是圆周上的一点，线段ST是从圆心到圆周上一点的线段，因此线段ST是圆⨀S的半径。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形TUV中，角UTV是直角（90度），因此三角形TUV是一个直角三角形。边TV和边UT是直角边，边UV是斜边。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆⨀S中，点T是直线TU与圆的切点，线段ST是圆的半径。根据圆的切线性质，切线TU与经过切点T的半径ST垂直，即∠UTV=90度。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形TUV中，角TUV、角UTV和角UVT是三角形TUV的三个内角，根据三角形内角和定理，角TUV + 角UTV + 角UVT = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1e13bf56356dd46852b9d4d243c9955d-img-ee02aef334d64a8badcf5dfa2ab0a55c.png", "question": "看这个图：如果\n\n| \\$\\overleftrightarrow{TV}\\$ |\n\n和\n\n| \\$\\overleftrightarrow{WY}\\$ |\n是平行线且 m \\$\\\\angle \\$ WXZ = 115°，那么 m \\$\\\\angle \\$ TUX 是多少？ \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "115°", "process": "1. 题目中已知 直线TV 和 直线WY 是平行的，且 ∠WXZ = 115°。

2. 根据同位角定义，在本题中， 直线TV 和 直线WY 被 直线UX 截得 ∠TUX 和 ∠WXZ 是同位角。

3. 依据平行线的平行公理，我们有 ∠TUX = ∠WXZ。

4. 代入已知条件 ∠WXZ = 115°，可得 ∠TUX = 115°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 115°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线TV和直线WY位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线TV和直线WY是平行线。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "在本题图中，两条平行直线TV和WY被直线UX截交，其中角TUX和角WXZ位于截线UX的同旁，被截两直线TV和WY的同一侧，因此角TUX和角WXZ是同位角。同位角相等，即角TUX等于角WXZ。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "在本题图中，两条平行线TV和WY被第三条直线SZ所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：∠TUX 和 ∠WXZ相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a51588007a188bb6f711181530566cc7-img-7c58ebcdfdaa403ab820c4ffb87f8f2f.png", "question": "写出顶点在向左平移3个单位和向下平移10个单位后的坐标。\n\n\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nS'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nT'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nU'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "R'(-10,-9) \nS'(-10,0) \nT'(-9,0) \nU'(-9,-9)", "process": "1. 已知矩形 RSTU 的顶点坐标为 R(-7, 1)，S(-7, 10)，T(-6, 10)，U(-6, 1)，需要将其平移 3 个单位向左和 10 个单位向下。

2. 根据平移的定义，对于一个点 (x, y) 平移 a 个单位向左和 b 个单位向下，其新坐标为 (x - a, y - b)。

3. 对于顶点 R(-7, 1)，平移后 R' 的坐标为 (-7 - 3, 1 - 10) = (-10, -9)。

4. 对于顶点 S(-7, 10)，平移后 S' 的坐标为 (-7 - 3, 10 - 10) = (-10, 0)。

5. 对于顶点 T(-6, 10)，平移后 T' 的坐标为 (-6 - 3, 10 - 10) = (-9, 0)。

6. 对于顶点 U(-6, 1)，平移后 U' 的坐标为 (-6 - 3, 1 - 10) = (-9, -9)。

7. 经过上述平移，矩形 RSTU 的新顶点坐标分别为 R'(-10, -9)，S'(-10, 0)，T'(-9, 0)，U'(-9, -9)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，图形RSTU经过平移变换后得到图形R'S'T'U'。图形RSTU平移3 个单位向左和 10 个单位向下，而图形R'S'T'U'的形状和方向没有改变。"}, {"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "顶点 R 的坐标 (-7, 1) 表示它距离 y 轴 7 个单位，距离 x 轴 1 个单位。相似地，其他顶点 S, T 和 U 的坐标分别表示它们相对于 x 轴和 y 轴的距离。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题中，我们需要将矩形 RSTU向左平移3个单位，向下平移10个单位。应用平移定理，对于顶点 R(-7, 1)，平移后新坐标为R'(-10, -9)；相似地，对于顶点 S、T 和 U，平移后新坐标分别为S'(-10, 0)、T'(-9, 0)和U'(-9, -9)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bbb04f5b85b36f905f19d190e8329cc3-img-39989b21a6014282a173ef0b22afc6f9.png", "question": "看这个图：如果 | \\$\\overleftrightarrow{BD}\\$ | 和 | \\$\\overleftrightarrow{EG}\\$ | 是平行线且 m \\$\\\\angle \\$ DCA = 62°，那么 m \\$\\\\angle \\$ BCF 是多少？ \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "62°", "process": "1. 已知直线 \\(\\overleftrightarrow{BD}\\) 和直线 \\(\\overleftrightarrow{EG}\\) 平行，根据题目图示，可知直线 \\(\\overleftrightarrow{HA}\\) 作为这两条平行线的截线。

2. 根据对顶角的定义，截线所形成的对顶角相等，即在截线 \\(\\overleftrightarrow{HA}\\) 上，∠DCA 和 ∠BCF 是对顶角，因此有 ∠DCA = ∠BCF。

3. 根据题目已知条件 \\(m\\angle DCA = 62°\\)。

4. 由上述的结论，得出 \\(m\\angle BCF = m\\angle DCA = 62°\\)。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 \\(62°\\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，直线 \\(\\overleftrightarrow{HA}\\) 与平行线 \\(\\overleftrightarrow{BD}\\) 相交于点 C 和 F，形成四个角：∠DCA、∠BCF、∠FCD 和 ∠BCA。根据对顶角的定义，∠DCA 和 ∠BCF 是对顶角，∠FCD 和 ∠BCA 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以 ∠DCA = ∠BCF，∠FCD = ∠BCA。"}]} +{"img_path": "ixl/question-14258b5df940af10604acfd62eeac00f-img-2eba97bbd54646809b7a38660430503b.png", "question": "| ​ | | | | | MO | | 和 | PR | 是平行线。哪些角是邻角？\n\n- \\$\nabla \\$ ONL 和 \\$\nabla \\$ MNL\n- \\$\nabla \\$ ONL 和 \\$\nabla \\$ MNQ\n- \\$\nabla \\$ ONL 和 \\$\nabla \\$ RQS\n- \\$\nabla \\$ ONL 和 \\$\nabla \\$ PQS", "answer": "- \\$\\angle \\$ ONL and \\$\\angle \\$ MNL", "process": "1. 首先，观察题中的图形可以发现直线 MO 和直线 PR 是平行的，点 N 是它们的一个公共点，构成了交叉路口。

2. 根据邻补角的定义，邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。它们在同一平面内且没有重叠仅处于一边的情况下接触。

3. 我们首先观察角ONL。 这个角以 N 为顶点，由线段 ON 和 NL 组成。

4. 接下来对每个给定的选项进行验证以判断它们是否构成邻补角：

5. 检查角ONL 和角MNL：

6. 角MNL 也以 N 为顶点，由线段 MN 和 NL 组成。

7. 角ONL 和角MNL 共享射线 NL，且顶点相同，符合邻补角定义。

8. 因此，\\$\\angle\\$ ONL 和 \\$\\angle\\$ MNL 是邻补角。

9. 其他选项：

10. 角ONL 和角MNQ 之间没有共同的边，因此它们不是邻补角。

11. 角ONL 和角RQS 之间没有共同的边，因此它们不是邻补角。

12. 角ONL 和角PQS 之间没有共同的边，因此它们不是邻补角。

13. 经过上述推理，最终得出答案为 \\$\\angle\\$ ONL 和 \\$\\angle\\$ MNL 是邻补角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Linear Pair of Angles", "content": "Two angles are in a linear pair if they share a common side, and their other sides are extensions of one another in opposite directions.", "this": "在本题图中，角ONL和角MNL有一条公共边NL，它们的另一边NO和NM互为反向延长线，所以角ONL和角MNL互为邻补角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5320f45170eb9391b8fca74625380395-img-a0af297d2bf74886b6c9df0e1a7adcbb.png", "question": "看这个图：如果\n\n| \\$\noverleftrightarrow{FH}\\$ |\n\n和\n\n| \\$\noverleftrightarrow{IK}\\$ |\n是平行线且 m \\$\nangle \\$ IJG = 114°，那么 m \\$\nangle \\$ HGJ 是多少？ \\$\nBox\\$ °", "answer": "114°", "process": "1. 根据题意，直线 \\(\\overleftrightarrow{FH}\\) 与 \\(\\overleftrightarrow{IK}\\) 是平行线。

2. 已知 \\( m\\angle IJG = 114^\\circ \\)。根据内错角的定义，这里 \\(\\angle IJG\\) 和 \\(\\angle HGJ\\)是直线 \\(\\overline{JG}\\) 与两条平行线间所形成的内错角。

3. 根据平行线的平行公理2，\\(\\angle IJG\\) = \\(\\angle HGJ\\) 。

4. 得到 \\( m\\angle HGJ = m\\angle IJG = 114^\\circ \\)。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 \\( m\\angle HGJ = 114^\\circ \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线\\(\\overleftrightarrow{FH}\\)和直线\\(\\overleftrightarrow{IK}\\)位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线\\(\\overleftrightarrow{FH}\\)和直线\\(\\overleftrightarrow{IK}\\)是平行线。"}, {"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "在本题图中，两条平行直线 \\(\\overleftrightarrow{FH}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{IK}\\) 被一条直线 \\(\\overline{JG}\\) 截交，其中 \\(\\angle IJG\\) 和 \\(\\angle HGJ\\) 位于两平行线之间，且在截线 \\(\\overline{JG}\\) 的对侧，因此 \\(\\angle IJG\\) 和 \\(\\angle HGJ\\) 是内错角。内错角相等，即 \\(\\angle IJG = \\angle HGJ\\)。已知 \\( m\\angle IJG = 114^\\circ \\)，因此 \\( m\\angle HGJ = 114^\\circ \\)。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "两条平行线FH和IK被第三条直线JG所截，形成了以下几何关系：内错角：\\(\\angle IJG\\) = \\(\\angle HGJ\\)。说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-55e0c460ba8c3e4a1c9df2ce8cdb4a10-img-e8d2b5e8fd37468eb2e4352161c76e15.png", "question": "看这个图：如果 | \\$\\overleftrightarrow{MO}\\$ | 和 | \\$\\overleftrightarrow{PR}\\$ | 是平行线且 m \\$\\\\angle\\$ PQN = 127°，那么 m \\$\\\\angle\\$ MNL 是多少？\\$\\\\Box\\$ °", "answer": "127°", "process": "1. 已知直线 MO 和直线 PR 是平行线，根据题目图示，直线 SL 是一条与平行线对应成斜角的截线。

2. 由截线 SL 可知，角 PQN 和角 MNL 分别位于两条平行线的同一侧。

3. 根据平行线的平行公理2，在两条平行线被一条截线所截时，两条平行线上对应位置的两个角相等，因此有角 PQN ≅ 角 MNL。

4. 因为题目已知 ∠ PQN = 127°，于是根据同位角定义，∠ MNL 也等于 127°，得到 ∠ MNL = 127°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 127°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线 MO 和直线 PR 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 MO 和直线 PR 是平行线。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "在本题图中，两条平行直线 MO 和 PR 被一条直线 SL 截交，其中角 PQN 和角 MNL 位于截线 SL 的同旁，被截两直线 MO 和 PR 的同一侧，因此角 PQN 和角 MNL 是同位角。同位角相等，即角 PQN 等于角 MNL。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "在本题图中，两条平行线MO和PR被第三条直线SL所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角 PQN和角 MNL相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3df722158f70354e2ec670ab5fc5ae89-img-abee9a596b2f46048fc3492bd08d7340.png", "question": "看这个图：如果\n\n| \\$\n\noverleftrightarrow{CE}\\$ |\n\n和\n\n| \\$\n\noverleftrightarrow{FH}\\$ |\n是平行线且 m \\$\n\nangle \\$ CDG = 55°，那么 m \\$\n\nangle \\$ HGD 是多少？ \\$\n\nBox\\$ °", "answer": "55°", "process": "1. 已知直线 CE 和直线 FH 是平行线，角 CDG 的度数为 55°。

2. 观察图形，我们可以看到直线 CE 和直线 FH 由直线 GD 截交。

3. 根据内错角的定义，得角 CDG 和角 HGD 是内错角。

4. 因此，根据平行线的平行公理2，∠CDG = ∠HGD。

5. 已知 ∠CDG = 55°，所以 ∠HGD 也等于 55°。

6. 经过上述推理，最终得出答案��� 55°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线 CE 和直线 FH位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 CE 和直线 FH 是平行线。"}, {"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "在本题图中，两条平行直线CE和FH被一条直线GD截交，其中角 ∠CDG 和角 ∠HGD 位于两平行线之间，且在截线 GD 的对侧，因此角 ∠CDG 和角 ∠HGD 是内错角。内错角相等，即角 ∠CDG 等于角 ∠HGD。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "在本题图中，两条平行线CE和FH被第三条直线BI所截，形成了以下几何关系： 内错角：角 ∠CDG和角 ∠HGD相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2095e5ae84a77219f23f904265d492c9-img-86395bb57b364599a63aa5644e601605.png", "question": "KM 是 ⨀J 的切线。JM 是多少？\n\nJM= \\$ox\\$ yd", "answer": "JM=10 yd", "process": "1. 已知点K是⨀J上的一点，KM是⨀J的切线，根据圆的切线性质，切线垂直于经过切点的半径，故∠JKM=90°。

2. 在直角三角形△JKM中，利用勾股定理（毕达哥拉斯定理），即在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，表示为：如果在直角三角形中，以斜边为c，另外两边为a和b，则有a^2 + b^2 = c^2。

3. 在本题中，JK为一条直角边，KM为另一条直角边，JM为斜边，根据题目已知，JK=6, KM=8。

4. 将已知长度代入勾股定理公式，得：6^2 + 8^2 = JM^2。

5. 计算各项，36 + 64 = JM^2。

6. 进一步计算，该方程为100 = JM^2。

7. 取方程两边的算术平方根，得到JM = √100。

8. 解得JM = 10。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "圆⨀J与直线KM有且只有一个公共点K，这个公共点叫做切点。因此，直线KM是圆⨀J的切线。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆⨀J中，点J是圆心，点K是圆上的一点，线段JK是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段JK是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形JKM中，角JKM是直角（90度），因此三角形JKM是一个直角三角形。边JK和边KM是直角边，边JM是斜边。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "圆⨀J中，点K是直线KM与圆的切点，线段JK是圆的半径。根据圆的切线性质，切线KM与经过切点K的半径JK垂直，即∠JKM=90度。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，△JKM是直角三角形，∠JKM=90°，边JK和边KM是直角边，边JM是斜边，所以根据勾股定理，JM² = JK² + KM²。根据已知条件，JK=6 yd，KM=8 yd，因此JM的计算如下：\n6² + 8² = JM² \n36 + 64 = JM² \n100 = JM²。\n解得JM = √100 = 10 yd。"}]} +{"img_path": "ixl/question-350d7e254b3f4797c24cef31d9ad4a1f-img-9e4a61ef9494488a90d6646d6813926d.png", "question": "看这个图：如果\n\n| \\$\\overleftrightarrow{CE}\\$ |\n\n和\n\n| \\$\\overleftrightarrow{FH}\\$ |\n是平行线，并且 m \\$\\\\angle \\$ CDG = 43°，那么 m \\$\\\\angle \\$ FGI 是多少？ \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "43°", "process": "1. 已知直线CE和直线FH是平行线，且直线BI是横穿这两条平行线的横截线。

2. 根据同位角的定义，∠CDG和∠FGI是同位角。根据平行线的平行公理2，得∠CDG和∠FGI相等。

3. 题目已知∠CDG的度数为43°。

4. 根据上述定理，所以∠FGI = ∠CDG。

5. 故∠FGI也等于43°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为43°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线CE和直线FH位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线CE和直线FH是平行线。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "在本题图中，直线CE和直线FH是平行线，直线BI是截线，其中角CDG和角FGI位于截线BI的同旁，被截两直线CE和FH的同一侧，因此角CDG和角FGI是同位角。同位角相等，即角CDG等于角FGI。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "在本题图中，两条平行线CE和FH被第三条直线BI所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：角CDG和角FGI相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-23092774b66063a0b185c518b08d65ce-img-1a3f05f9a4a64f9b86842c3a179d8337.png", "question": "| ​ | | | | | OQ | |\n和\n| RT |\n是平行线。哪些角是互补角？\n\n- \\$\nangle \\$ TSU 和 \\$\nangle \\$ TSP\n- \\$\nangle \\$ TSU 和 \\$\nangle \\$ OPN\n- \\$\nangle \\$ TSU 和 \\$\nangle \\$ RSP\n- \\$\nangle \\$ TSU 和 \\$\nangle \\$ QPS", "answer": "- \\$\\angle \\$ TSU and \\$\\angle \\$ TSP", "process": "1. 根据题目图示，直线RT与直线OQ平行，直线SU与两条平行线相交。根据平行线的截线定理（又称同位角相等定理），在平行线RT与OQ上，与截线SU的交点T和Q之间的同位角相等，即∠TSU与∠PQO为同位角，因此∠TSU=∠PQO。

2. 要判断两个角是否互为补角，它们的度数和应该为180°。

3. 首先检查∠TSU与∠TSP。点S在∠TSU和∠TSP之间是公共的，同时注意∠TSP为直线ST延伸到直线SU的外侧角。根据线性对角定理，线性对所对的两个角为补角（两个角度数之和为180°）。因此∠TSU和∠TSP是补角。

4. 检查∠TSU与∠OPN。根据顶角定理，∠TSU与∠OPN不互为顶角，也不形成线性对，所以他们的和不为180°，因此∠TSU和∠OPN不是补角。

5. 检查∠TSU与∠RSP。点S在∠TSU和∠RSP之间是公共的，但这两个角不属于同一个线性对，因为∠RSP的另外一条射线是通过点R和P。因此，∠TSU和∠RSP不是补角。

6. 检查∠TSU与∠QPS。根据题示图，∠TSU包含了∠QPS，所以它们不可能互为补角，因为没有180°的直线路径。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠TSU和∠TSP是补角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "在本题图中，两条平行直线RT和OQ被一条直线SU截交，其中角TSU和角PQO位于截线SU的同旁，被截两直线RT和OQ的同一侧，因此角TSU和角PQO是同位角。同位角相等，即角TSU等于角PQO。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，直线SU与直线OQ相交于点P，形成四个角：∠SPU、∠QPN、∠SPQ和∠UPN。根据对顶角的定义，∠SPU和∠QPN是对顶角，∠SPQ和∠UPN是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠SPU=∠QPN，∠SPQ=∠UPN。"}]} +{"img_path": "ixl/question-171814a3dbbcf71ba8c60c9373ca8ce6-img-2e71a3cc0d1641a6ac657237dc23b663.png", "question": "| ​ | | | | | PR | | 和 | SU | 是平行线。哪些角是内错角？\n\n- \\$\nangle \\$ PQT 和 \\$\nangle \\$ UTQ\n- \\$\nangle \\$ PQT 和 \\$\nangle \\$ STV\n- \\$\nangle \\$ PQT 和 \\$\nangle \\$ RQO\n- \\$\nangle \\$ PQT 和 \\$\nangle \\$ UTV", "answer": "- \\$\\angle \\$ PQT and \\$\\angle \\$ UTQ", "process": "1. 由题意已知，直线 PR 和直线 SU 平行，直线 OV 为横截线，形成多个内错角。

2. 根据内错角定义，两条平行线被截线截得的两个角，且这些角分别位于截线两侧，并均在平行线之间。

3. 考虑∠PQT，该角在直线 PR 和 SU 之间，并位于截线 OV 的左侧。

4. 检查∠UTQ，该角在直线 PR 和 SU 之间，并位于截线 OV 的右侧。

5. ∠PQT 和 ∠UTQ 满足内错角的定义，因为∠PQT 和 ∠UTQ位于同一对平行线之间，且位于横截线的两侧。

6. 检查其他选项：∠PQT 和 ∠STV 同侧于截线 OV，不是内错角；∠PQT 和 ∠RQO 中，∠RQO 不在两平行线之间，不是内错角；∠PQT 和 ∠UTV 中，∠UTV 不在两平行线之间，不是内错角。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠PQT 和 ∠UTQ 是内错角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "直线 PR 和直线 SU 是平行线，直线 OV 是截线。角 PQT 和角 UTQ 位于两平行线 PR 和 SU 之间，且在截线 OV 的对侧，因此角 PQT 和角 UTQ 是内错角。内错角相等，即角 PQT 等于角 UTQ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b923710379bc33e07a7988ffa5f3d2a9-img-e9618fa9a825443e8b295dd104e33497.png", "question": "| ​ | | | | | OQ | |\n和\n| RT |\n是平行线。哪些角是对应角？\n\n- \\$\nangle \\$ QPN 和 \\$\nangle \\$ OPS\n- \\$\nangle \\$ QPN 和 \\$\nangle \\$ QPS\n- \\$\nangle \\$ QPN 和 \\$\nangle \\$ TSU\n- \\$\nangle \\$ QPN 和 \\$\nangle \\$ TSP", "answer": "- \\$\\angle \\$ QPN and \\$\\angle \\$ TSP", "process": "1. 已知直线 OQ 和直线 RT 平行，且 直线 NU 是它们的横截线。

2. 根据同位角定义，该定义表明：如果两条直线被一条横截线所截，那么位于横截线同侧但不同直线的一对角为同位角。

3. 观察图形，我们寻找与角 QPN 同位的角。

4. 角 QPN 位于横截线 NU 的一侧，在直线 OQ 上，为一个上部的内角。

5. 在另一组平行线 RT 上，与角 QPN 在横截线 NU 的同侧的内角是角 TSP。

6. 根据同位角定义，角 QPN 和角 TSP 是同位角。

7. 检查其他备选答案选项中的角对：

8. 角 QPN 和角 OPS 位于横截线的不同侧，不符合定义。

9. 角 QPN 和角 QPS 在不同处，不是同一个角。

10. 角 QPN 和角 TSU 在不同的内角位置，不符合定义。

11. 经过上述推理，最终得出答案为角 QPN 和角 TSP 是同位角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线 OQ 和直线 RT 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 OQ 和直线 RT 是平行线。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "在本题图中，角 QPN 和角 TSP 是同位角，因为它们位于横截线 NU 的同侧但不同直线 OQ 和 RT 上。根据同位角定义，这两个角相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8991fc7a9e82c24ddc4fa8e9dc7e1945-img-2de6ed74fd3644509f42d1df5cb09c09.png", "question": "求 m \\$riangle\\$ B。 m \\$riangle\\$ B= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ B=45°", "process": "1. 已知△BCD，BC是直角，∠ BCD 为90°。

2. ∆BCD为直角三角形，根据直角三角形的定义，可以使用三角比找到角B的度数。

3. 正弦函数定义，sin(∠DBC) = 对边/斜边，在此三角形中，对边是CD，斜边是BD。

4. 已知CD = 5，BD = 5√2，代入正弦函数定义，得 sin(∠DBC) = CD/BD = 5/(5√2) = 1/√2。

5. 把1/√2有理化，得到√2/2。

6. 在0°到90°的角度范围内，标准角的sin值中sin(45°) = √2/2。

7. 因此，由第三步与第五步的计算结果结合已知正弦值，得 ∠DBC = 45°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 m ∠ B = 45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形BCD中，角BCD是直角（90度），因此三角形BCD是一个直角三角形。边BC和边CD是直角边，边BD是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形BCD中，角DBC是锐角，边CD是角DBC的对边，边BD是斜边。根据正弦函数定义，角DBC的正弦值等于对边CD与斜边BD的比值，即sin(∠DBC) = CD / BD = 5 / 5√2 = 1/√2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c5fc74e59b34614e3cd199f5c003da95-img-71cbbef6d711464190d39f1f95f3637d.png", "question": "| ​ | | | | | EG | | 和 | HJ | 是平行线。哪些角是对应角？", "answer": "- \\$\\angle \\$ JIK and \\$\\angle \\$ GFI", "process": "1. 已知直线EG和直线HJ平行，直线DK是它们的截线。

2. 根据平行线的截线性质，若有平行线被一条截线所截，则同位角相等，且对应角相等。

3. 首先，观察题中给出的选项，确定每个角所在的相应位置。

4. 考察∠JIK的对应角：

- ∠JIK位于∠HJI和∠KJI之间，显然∠JIK位于直线DK与直线HJ的交点I上，并与∠KJI相邻。

5. 检查∠JIK与其他选项中角的对应关系：

- ∠HIK：与∠JIK在直线HJ同侧但不在同一位置，非对应角。

- ∠GFI：位于直线EG和截线DK的交点F，与∠JIK分居于截线DK两侧并在两个平行线的相同位置，为对应角。

- ∠EFI：位于截线DK另一侧，不位于同一位置，非对应角。

- ∠HIF：位于截线DK另一侧，不位于同一位置，非对应角。

6. 综上，通过检查每对角的位置关系，得出∠JIK与∠GFI是对应角，因为它们位于相同的相对位置，即在截线DK两侧并且分别位于平行线EG和HJ上。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠JIK和∠GFI是对应角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线EG和直线HJ位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线EG和直线HJ是平行线。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "直线EG和直线HJ是平行线，而直线DK为截线。根据平行线的截线定理，∠JIK和∠GFI是对应角，因为它们分别位于截线DK的两侧，并且分别在平行线EG和HJ上。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1658261f6ddeab0551603b6e6eb9b2a5-img-2709c0a1e6fe4cb7b3cca577e5ad122a.png", "question": "| ​ | | | | | FH | | 和 | IK | 是平行线。哪些角是邻角？\n\n- \\$\\\\angle \\$ HGJ 和 \\$\\\\angle \\$ FGE\n- \\$\\\\angle \\$ HGJ 和 \\$\\\\angle \\$ IJG\n- \\$\\\\angle \\$ HGJ 和 \\$\\\\angle \\$ HGE\n- \\$\\\\angle \\$ HGJ 和 \\$\\\\angle \\$ KJL", "answer": "- \\$\\angle \\$ HGJ and \\$\\angle \\$ HGE", "process": "1. 根据已知条件，直线 FH 和直线 IK 是平行线，并给定图形。

2. 确定角 ∠HGJ 的位置，即由点 H 到点 G ，再到点 J ，是位于直线 FH 上至交点 G 的一部分，且从 G 延伸到 J 的线段。

3. 分析选项中各角度的相对位置：

4. 考虑选项1中的角∠HGJ和∠FGE，发现HGJ和FGE没有共同的边，所以不是邻补角。

5. 考虑选项2中的角∠HGJ和∠IJG，发现HGJ和IJG没有共同的边，所以不是邻补角。

6. 考虑选项3中的角∠HGJ和∠HGE，发现HGJ和HGE共享射线GH，因此它们是邻补角。

7. 考虑选项4中的角∠HGJ和∠KJL，发现HGJ和KJL没有共同的边，所以不是邻补角。

8. 经过上述推理，最终得出答案为选项3：角 ∠HGJ 和角∠HGE 是邻补角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Linear Pair of Angles", "content": "Two angles are in a linear pair if they share a common side, and their other sides are extensions of one another in opposite directions.", "this": "角HGJ和角HGE有一条公共边GH，它们的另一边EG和GJ互为反向延长线，所以角HGJ和HGE互为邻补角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-310faeb80705030b5578bb2008003e3f-img-04db58446933407b8c96d8552c2ab683.png", "question": "求 m \\$\\\\angle \\$ W。 \n \n m \\$\\\\angle \\$ W= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ W=60°", "process": "1. 根据正弦函数定义，在直角三角形，中，sin(∠XWV)等于对边VX与斜边VW之比，即sin(∠XWV) = VX/VW。

2. 题中给出了VX = √30和VW = 2√10，将这些值代入，可以得到sin(∠XWV) = √30/(2√10)。

3. 通过分母有理化，我们将√10提出到分子得到 sin(∠XWV) = (√30 * √10)/(2 * 10) = √300/20。

4. 计算√300得到10√3，因此sin(∠XWV) = 10√3/20 = √3/2。

5. 由三角函数值表中的信息得知，sin(60°) = √3/2，这表明∠XWV为60°。

6. 题目要求找到∠W，因此∠W也即为∠XWV，角度为60°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形WXV中，角∠XWV是锐角，边VX是角∠XWV的对边，边VW是斜边。根据正弦函数定义，角∠XWV的正弦值等于对边VX与斜边VW的比值，即sin(∠XWV) = VX / VW。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2f75d4717dc516c1114850108ea922e1-img-615c554641924860815cf6715affebeb.png", "question": "求 m \\$riangle\\$ U。 m \\$riangle\\$ U= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ U=45°", "process": "1. 已知ΔUST为直角三角形，∠T为直角，ST=1，SU=√2。

2. 根据勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

3. 设置TU = x，根据勾股定理有：SU^2 = ST^2 + TU^2 。

4. 将SU=√2和ST=1代入，得(√2)^2 = 1^2 + x^2 。

5. 计算可得2 = 1 + x^2, 从而得出 x^2 = 1, 因此TU = 1。

6. ΔUST是等腰直角三角形，因为ST=TU=1，并且∠STU是直角。

7. 在等腰直角三角形中，两个锐角相等，每个角度为（180°-90°）÷2=45°（三角形内角和定理）。

8. 因此，∠U = 45°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形UST中，角UTS是直角（90度），因此三角形UST是一个直角三角形。边ST和边TU是直角边，边SU是斜边。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，直角三角形UST中，∠UTS是直角（90度），边ST和TU是直角边，边SU是斜边，所以根据勾股定理，SU² = ST² + TU²。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形TUS中，角T、角U和角S是三角形TUS的三个内角，根据三角形内角和定理，角T + 角U + 角S = 180°。"}, {"name": "Definition of Isosceles Right Triangle", "content": "An isosceles right triangle is a triangle with two sides of equal length and one angle measuring 90 degrees.", "this": "三角形TUS是等腰直角三角形，其中角UTS是直角（90度），边TU和边ST是相等的直角边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dfe9915cdd7c5d3b71f6e8dbe0fd8415-img-0b7f9648c8ac4fb2bac0b68b16420305.png", "question": "| ​ | | | | | LN | |\n和\n\n| OQ |\n是平行线。哪些角是内错角？\n\n- \\$\nangle \\$ LMP 和 \\$\nangle \\$ OPM\n- \\$\nangle \\$ LMP 和 \\$\nangle \\$ QPR\n- \\$\nangle \\$ LMP 和 \\$\nangle \\$ NMK\n- \\$\nangle \\$ LMP 和 \\$\nangle \\$ QPM", "answer": "- \\$\\angle \\$ LMP and \\$\\angle \\$ QPM", "process": "1. 已知直线 LN 与 OQ 平行，由题意可知，直线 KR 是它们的截线。

2. 根据内错角的定义，我们要找的是在截线 KR 的两侧和线段LN 和 OQ 之间的角。

3. 从图中观察，角 LMP 位于 KR 的一侧，并在两个平行线之间。

4. 检查提供的角对，找出哪个角在 KR 的另一侧并在两个平行线之间。

5. 首先考虑角 LMP 和角 OPM。角 OPM 位于截线的同一侧，因而不是内错角。

6. 然后考虑角 LMP 和角 QPR。角 QPR 在截线的外侧，因此不是内错角。

7. 再考虑角 LMP 和角 NMK。角 NMK 在截线的外侧，因此不是内错角。

8. 最后考虑角 LMP 和角 QPM。角 QPM 位于 KR 的另一侧，并在两个平行线之间。

9. 因此，角 LMP 和角 QPM 符合作为平行线被截线所截的内错角的条件，即它们位于 KR 的两侧并在两个平行线之间。

10. 经过上述推理，最终得出答案为角 LMP 和角 QPM 是内错角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线 LN 和直线 OQ 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 LN 和直线 OQ 是平行线。"}, {"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "两条平行直线 LN 和 OQ 被一条 直线 KR 截交，其中 角 LMP 和 角 QPM 位于两平行线之间，且在截线 KR 的对侧，因此 角 LMP 和 角 QPM 是内错角。内错角相等，即 角 LMP 等于角 QPM。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1c13896935a6ad1578570afafcaa0543-img-14f9b9f7bced405e9cf5bdd98c398d43.png", "question": "| ​ | | | | | RT | |\n和\n\n| UW |\n是平行线。哪些角是对顶角？\n\n- \\$\nangle \\$ UVX 和 \\$\nangle \\$ UVS\n- \\$\nangle \\$ UVX 和 \\$\nangle \\$ WVX\n- \\$\nangle \\$ UVX 和 \\$\nangle \\$ TSV\n- \\$\nangle \\$ UVX 和 \\$\nangle \\$ WVS", "answer": "- \\$\\angle \\$ UVX and \\$\\angle \\$ WVS", "process": "1. 已知直线 UW 和 RT 是平行的，并且直线 QX 是它们之间的一个横截线。角的关系将取决于这些直线如何相交。

2. 根据 对顶角的定义，当两条直线相交时，非邻接且由相交的两条直线形成的对角相等，这些对角称为对顶角。

3. 首先分析角 UVX：这是由直线 QX 和经过点 V 的直线（如 UW 和 WV）形成的一个角。

4. 对于选项 (1) 角 UVX 和角 UVS：两者共享边 UV，为邻接角，不是对顶角。

5. 对于选项 (2) 角 UVX 和角 WVX：两者共享边 VX，同时由于它们在直线 UW 上，因此是邻接角，不是对顶角。

6. 对于选项 (3) 角 UVX 和角 TSV：角 UVX 是由点 V 向外延伸的，而角 TSV 是点 S 上的一个角，且不在同一组两条相交直线中，因此不是对顶角。

7. 最后对于选项 (4) 角 UVX 和角 WVS：这两个角都涉及到直线 QX 和其交线 UW。角 UVX 位于 UW 的一侧，而角 WVS 位于其对侧，且两者不共享任何边，为对顶角。

8. 经过上述分析和推理，确定角 UVX 和角 WVS 是对顶角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线 UW 和直线 RT 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 UW 和直线 RT 是平行线。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角 UVX 是由射线 UV 和 VX 共同顶点 V 构成，角 WVS 是由射线 WV 和 VS 共同顶点 V 构成。角 UVX 和角 WVS 是由两条相交直线 QX 和 UW 形成的对顶角。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，直线 QX 和直线 UW 相交于点 V，形成四个角：角 UVX、角 WVX、角 UVS 和角 WVS。根据对顶角的定义，角 UVX 和角 WVS 是对顶角，角 WVX 和角 UVS 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角 UVX = 角 WVS，角 WVX = 角 UVS。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fa6b2cc0859b928e1d9fb2a3c8f07402-img-55a01c1e461448768acc94e10f8b9722.png", "question": "求 m \\$\\\\angle \\$ B。 \n\nm \\$\\\\angle \\$ B= \\$\\\\Box\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ B=45°", "process": "1. 观察给出的三角形BDC，根据直角三角形的定义，该三角形是一个直角三角形，其中∠BDC是直角。

2. 确定三角形BDC的边长，其中BC = 6√14和CD = 6√7。

3. 根据已知条件，使用三角形边长计算三角形上的角度，选择合适的三角函数，由此确定其中一个角的度数。

4. 根据正弦函数定义，sin(∠B) = 对边/斜边。

5. ∠B是要查找的角，以∠BDC所在的直角三角形为基础，设∠B为���们要找到的角，那么对边是CD，斜边是BC。

6. 计算sin(∠B) = CD/BC = (6√7)/(6√14) = √7/√14。

7. 简化当中的分数，sin(∠B) = √7/√14 = √(1/2) = 1/√2。

8. 比较已知的特殊角的正弦值，记得sin(45°) = 1/√2。

9. 因此，根据sin(∠B) = 1/√2，可以确定∠B = 45°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为∠B = 45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角∠BDC是直角（90度），因此三角形BDC是一个直角三角形。边BD和边CD是直角边，边BC是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形BDC中，角B是锐角，边CD是角B的对边，边BC是斜边。根据正弦函数定义，角B的正弦值等于对边CD与斜边BC的比值，即sin(∠B) = CD/BC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8f9177d438a28d904b0b7b9a7ab29475-img-3ee48c14fb0f434bab05bd4fa43495a2.png", "question": "求 m \\$riangle\\$ F。 m \\$riangle\\$ F= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ F=60°", "process": "1. 已知三角形EFG为直角三角形，且边GF=8√10，边EF=16√10。

2. 根据勾股定理，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，列出方程: (EG)^2 + (GF)^2 = (EF)^2。

3. 代入已知数据，得到(EG)^2 + (8√10)^2 = (16√10)^2。

4. 计算得到(EG)^2 + 640 = 2560。

5. 求解(EG)^2，得到(EG)^2 = 1920。

6. 从(EG)^2 = 1920中求得EG = √1920 = 8√30。

7. 计算GF和EF两边的比值，cos(∠F) = GF/EF = (8√10)/(16√10) = 1/2。

8. 由于余弦函数，在直角三角形中，cos(∠F) = 1/2意味着∠F是60°，因为cos(60°) = 1/2。

9. 确认三角形EFG是一个30°-60°-90°特殊直角三角形，插入此性质：在30°-60°-90°三角形中，斜边是短直角边的2倍。

10. 验证∠F对应短直角边边长并符合上述特殊直角三角形属性，进一步确认m∠F=60°。

11. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形EFG中，角∠EGF是直角（90度），因此三角形EFG是一个直角三角形。边EG和边GF是直角边，边EF是斜边。"}, {"name": "Cosine Function", "content": "The cosine function is a trigonometric function that can be defined via the sides of a right triangle. For an angle α, its cosine value is equal to the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. In the unit circle, the cosine value is the x-coordinate of the point on the circle that makes an angle α with the positive x-axis.", "this": "直角三角形EGF中，边GF是角F的邻边，边EF是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角F的余弦值等于邻边GF与斜边EF的比值，即cos(F) = GF/ EF。"}, {"name": "Properties of 30°-60°-90° Triangle", "content": "In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.", "this": "在本题图中，确认三角形EFG是30°-60°-90°三角形，角EGF是30度，角EFG是60度，角EGF是90度。边EF是斜边，边EG是60度角所对的边，边GF是30度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，短直角边GF等于斜边EF的1/2倍，斜边EF等于长直角边EG的√3倍。即：EF = 2 * GF，EF = EG * √3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e642c2f89171f2e721ea998aea662027-img-797d4970ccef43e99017452bee79740d.png", "question": "| ​ | | | | | FH | | 和 | IK | 是平行线。哪些角是对应角？\n\n- \\$\nabla \\$ KJL 和 \\$\nabla \\$ HGE\n- \\$\nabla \\$ KJL 和 \\$\nabla \\$ FGE\n- \\$\nabla \\$ KJL 和 \\$\nabla \\$ HGJ\n- \\$\nabla \\$ KJL 和 \\$\nabla \\$ IJL", "answer": "- \\$\\angle \\$ KJL and \\$\\angle \\$ HGJ", "process": "1. 根据题目中的条件，直线FH和直线IK是平行线，而直线EL是它们的截线。

2. 根据同位角定义，如果两条直线被一条截线所截，并且这两条直线是平行的，那么截线产生的同位角相等。在本题中，直线FH和直线IK是平行的，因此截线EL产生的同位角相等。

3. 确定同位角定义：同位角是指在平行线与截线相交形成的四组角中，位于截线的同一侧，并且在两条平行线外的两个角。

4. 确认角KJL和角HGJ的位置。角KJL位于直线EL和直线IK的交点下方的外部，而角HGJ位于直线EL和直线FH的交点下方的外部。

5. 由于角KJL和角HGJ分别位于在截线同侧的两条平行线的外部，因此根据同位角定义，它们是同位角。

6. 检查其他选项：

6.1 角KJL和角HGE位于截线EL的不同侧，并不符合同位角定义，因此它们不是同位角。

6.2 角KJL和角FGE同样位于截线EL的不同侧，因此它们不是同位角。

6.3 角KJL和角IJL位于截线的同一条平行线内部，不符合同位角的定义，因此它们不是同位角。

7. 经过上述推理，最终得出答案为角KJL和角HGJ是同位角。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线FH和直线IK位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线FH和直线IK是平行线。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角KJL是由两条射线JK和JL组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点J。这个共同的端点J称为角KJL的顶点，而射线JK和JL称为角KJL的边。角HGJ是由两条射线HG和GJ组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点G。这个共同的端点G称为角HGJ的顶点，而射线HG和GJ称为角HGJ的边。角FGE是由两条射线FG和GE组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点G。这个共同的端点G称为角FGE的顶点，而射线FG和GE称为角FGE的边。角IJL是由两条射线IJ和JL组成的几何图形，这两条射线有一个共同"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "在本题图中，两条平行直线FH和IK被一条直线EL截交，其中角KJL和角HGJ位于截线EL的同旁，被截两直线FH和IK的同一侧，因此角KJL和角HGJ是同位角。同位角相等，即角KJL等于角HGJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2b579c6a255c66b896201fcd148dc138-img-fde42989c26d42c888ee16e90dff14a2.png", "question": "求 m \\$\\\\angle \\$ C。 \n \n m \\$\\\\angle \\$ C= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ C=60°", "process": "1. 已知∠E为直角，根据直角三角形的定义，三角形CDE为直角三角形。DE是∠C的对边，CD是斜边。

2. 根据正弦函数定义，sin(∠C) = 对边/斜边 = DE/CD。

3. 代入已知条件DE = 2√3, CD = 4，因此sin(∠C) = (2√3)/4 = √3/2。

4. 计算得 sin(60°) = √3/2。

5. 因此，∠C的正弦值等于60°的正弦值。由此，得出∠C = 60°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角EDC是直角（90度），因此三角形CDE是一个直角三角形。边DE和边CE是直角边，边CD是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形CDE中，角∠ECD是锐角，边DE是角∠ECD的对边，边CD是斜边。根据正弦函数定义，角∠ECD的正弦值等于对边DE与斜边CD的比值，即sin(∠ECD) = DE / CD。"}]} +{"img_path": "ixl/question-29ad365aa6403966c61cc8ae6a8399b6-img-b51531b959b04de7b6377e7e09b96515.png", "question": "求 m \\$\\\\angle \\$ V。 m \\$\\\\angle \\$ V= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ V=30°", "process": "1. 已知三角形 VWX 中，边 VW 为直角边，边 VX 为斜边，m ∠ VWX = 90°。

2. 根据直角三角形的定义，直角边是斜边上的高度，因此角 ∠ VWX 是直角。

3. 根据余弦函数，余弦值等于相邻直角边除以斜边的比值，��� cos(∠ XVW) = VW/VX。

4. 根据题目给出的数值，VW = 8√42，VX = 16√14。

5. 将上述数值代入：cos(∠ XVW) = (8√42) / (16√14)。

6. 对比值进行化简：cos(∠ XVW) = (8/16) × (√42/√14) = √3/2。

7. 已知常用角的三角函数值，cos(30°) = √3/2。

8. 因此，得出 m ∠ XVW = 30°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 30°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形 VWX 中，角 ∠ VWX是直角（90度），因此三角形 VWX 是一个直角三角形。边 VW 和边 WX 是直角边，边 VX 是斜边。"}, {"name": "Cosine Function", "content": "The cosine function is a trigonometric function that can be defined via the sides of a right triangle. For an angle α, its cosine value is equal to the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. In the unit circle, the cosine value is the x-coordinate of the point on the circle that makes an angle α with the positive x-axis.", "this": "直角三角形 XVW 中，边 VW 是角 ∠ XVW 的邻边，边 VX 是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角 ∠ XVW 的余弦值等于邻边 VW 与斜边 VX 的比值，即 cos(∠ XVW) = VW / VX。"}]} +{"img_path": "ixl/question-da813623c07f48f6d4dd2a4acfed105b-img-42f71f60ef4149c58a1e49b17d13c3d4.png", "question": "求 m \\$riangle\\$ S。 m \\$riangle\\$ S= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ S=45°", "process": "1. 已知∠R=90°，根据直角三角形的定义，得△STR是一个直角三角形。

2. 在Rt△STR中，ST是斜边，且长度为8√2，RS是直角边，长度为8。

3. 我们需要求∠S，通过定义余弦函数解题。余弦函数说明，在直角三角形中，某一锐角的余弦值等于其邻边的长度与斜边长度的比值。

4. 针对本题，根据余弦函数可表示为：cos∠S = 邻边长度RS / 斜边长度ST。

5. 将已知值代入：cos∠S = 8 / (8√2)。

6. 进一步化简：cos∠S = 1/√2。

7. 通过有理化分母，将1/√2化简为√2/2。

8. 因为三角恒等值cos45° = √2/2，因此得出∠S = 45°。

9. 根据上述推理，最终得出答案为45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形STR中，角SRT是直角（90度），因此三角形STR是一个直角三角形。边RS和边RT是直角边，边ST是斜边。"}, {"name": "Cosine Function", "content": "The cosine function is a trigonometric function that can be defined via the sides of a right triangle. For an angle α, its cosine value is equal to the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. In the unit circle, the cosine value is the x-coordinate of the point on the circle that makes an angle α with the positive x-axis.", "this": "在本题图中，直角三角形 STR 中，边 RS 是角 ∠S 的邻边，边 ST 是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角 ∠S 的余弦值等于邻边 RS 与斜边 ST 的比值，即 cos(∠S) = RS / ST。"}]} +{"img_path": "ixl/question-24dcdc8865b32c97015e65e56465a6e2-img-9fb4e5d461614d05b7a041ca9b216032.png", "question": "求 m \\$\\\\angle \\$ Y。 \n \n m \\$\\\\angle \\$ Y= \\$\\\\Box\\$ ° \n要求： \n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译 \n2. 图形标注（如ABCD）不翻译 \n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ Y=45°", "process": "1. 根据题目所给图形，三角形 XYZ 是一个直角三角形，且 ∠ XZY 为 90°。

2. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），对于直角三角形，我们有 XYZ 的形式为 XY^2 = XZ^2 + YZ^2。题目中给出 XZ = √(10) 和 XY = 2√(5)，则 (2√5)^2 = (√10)^2 + YZ^2。

3. 计算出边长：4×5 = 10 + YZ^2，得到 YZ^2 = 10。由此求出 YZ = √(10)。

4. 因三角形 XYZ 为直角三角形，且已知相邻边及斜边，应根据三角函数中的余弦值求得角度。余弦函数为：cos(∠ Y) = 邻边和斜边长之比，即 cos(∠ Y) = YZ / XY。

5. 代入得出计算：cos(∠ Y) = √10 / 2√5。

6. 将上式化简：由于 √10 / 2√5 = (√10/√5) × (1/2)，进一步化简为 √2 / 2。即 cos(∠ Y) = √2 / 2。

7. 根据已知三角函数值，cos(45°) = √2 / 2。由此推出∠ Y = 45°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形 XYZ 中，角 ∠XZY 是直角（90度），因此三角形 XYZ 是一个直角三角形。边 XZ 和边 YZ 是直角边，边 XY 是斜边。"}, {"name": "Cosine Function", "content": "The cosine function is a trigonometric function that can be defined via the sides of a right triangle. For an angle α, its cosine value is equal to the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. In the unit circle, the cosine value is the x-coordinate of the point on the circle that makes an angle α with the positive x-axis.", "this": "在本题图中，直角三角形 XYZ 中，边 YZ 是角 ∠XYZ 的邻边，边 XY 是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角 ∠XYZ 的余弦值等于邻边 YZ 与斜边 XY 的比值，即 cos(∠XYZ) = YZ / XY。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，直角三角形XYZ中，角XZY是直角（90度），边XZ和YZ是直角边，边XY是斜边，所以根据勾股定理，XY² = XZ² + YZ²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f89bce4e293709fcc82549671c9ab949-img-f04b743b88d84088aeea0b591a81f77e.png", "question": "在圆 S 中，\\$rown{TVU}\\$ 被突出显示。\\$rown{TU}\\$ 的度数为 90°。\n\n圆中被突出显示的部分占圆的几分之几？简化你的答案。\n\n \\$ox\\$ \n哪个表达式表示 \\$rown{TVU}\\$ 的长度（单位：英寸）？\n\n- 5/6(6​𝜋)\n- 3/4(9​𝜋)\n- 5/6(9​𝜋)\n- 3/4(6​𝜋)", "answer": "3/4 \n \n- 3/4(6​𝜋)", "process": "1. 已知 ∮jTU = 90°，并且 φTSU 是该劣弧的圆心角。因此， ∮jTU 被圆心角 φTSU 所截获，两者度数相等，所以有 mφTSU = 90°。

2. 整个圆的度数是 360°。由于 mφTSU = 90°，且它截获的 arc ∮jTU 未高亮，因此 ∮jTU 占整个圆度数的 90/360 份。

3. 计算 ∮jTU 在圆中的比例： 90/360 = 1/4。这说明圆中未高亮的部分占 1/4 个圆。

4. 因此，高亮的部分 ∮jTVU 占整个圆的 (1 - 1/4) = 3/4。

5. 高亮弧 ∮jTVU 的长度表示为圆的周长的 3/4。因此，∮jTVU 的长度为 3/4 · C，其中 C 是圆的周长。

6. 根据圆的周长公式 C = 2πr 且直径的长度为 6 英寸，因此直径 d = 6 英寸，所以 C = π · 6。

7. 代入计算上面的公式：∮jTVU 的长度为 3/4 · π · 6 = 3/4 · 6π。

8. 从选项中进行选择：3/4(6π) (选项中最匹配的是 '3/4(6π)'。

9. 经过上述推理，最终得出答案为该圆的高亮部分 ∮jTVU 占整个圆的 3/4，且其长度为 3/4(6π)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆S中，点S是圆心，线段ST是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。本题中，直径d=6英寸，因此圆的周长C=π×6=6π。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "∠TSU是圆心角，它的顶点在圆心S处，并且两条边分别穿过圆周上的点T和U，即∠TSU截获的弧是弧TU。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆S上有两点T和U，弧TU是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧TU是圆上两点T和U之间的一段曲线。劣弧是长度小于180°的弧，优弧超过180°。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧∮jTVU被高亮，占整个圆的3/4。因此弧∮jTVU的长度为3/4乘以周长π×6，即弧∮jTVU的长度为3/4×6π=3/4(6​𝜋)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b4de32bea8ecd3657fb0d7483e350efe-img-9eecbb042df04a85ae29010a7fcd062b.png", "question": "求 m \\$riangle\\$ Q。 \n\nm \\$riangle\\$ Q= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ Q=45°", "process": "1. 在直角三角形SQR中，∠QRS为直角，因此可以使用直角三角形中的���角函数求角度。

2. 依据余弦函数，cos(∠Q)=QR/QS，其中QR和QS分别为直角三角形SQR中∠Q的邻边和斜边。

3. 将题中给出的边的值代入，QR=10√33，QS=10√66。

4. 因此，cos(∠Q)=QR/QS=10√33/10√66。

5. 进一步化简该比值：cos(∠Q)= √33/√66。

6. 将分子分母同乘以√2以有理化：cos(∠Q)= (√33/√66) = √33 /(√33 * √2) = 1/√2=√2/2。

7. 由此得出，cos(∠Q)= √2/2。

8. 已知在直角三角形中，∠45°的余弦值是√2/2，并且余弦函数在常见角度中只有这个角度符合条件，因此，m∠Q=45°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形SQR中，角QRS是直角（90度），因此三角形SQR是一个直角三角形。边QR和边SR是直角边，边QS是斜边。"}, {"name": "Cosine Function", "content": "The cosine function is a trigonometric function that can be defined via the sides of a right triangle. For an angle α, its cosine value is equal to the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. In the unit circle, the cosine value is the x-coordinate of the point on the circle that makes an angle α with the positive x-axis.", "this": "直角三角形SQR中，边QR是角∠Q的邻边，边QS是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角∠Q的余弦值等于邻边QR与斜边QS的比值，即cos(∠Q) = QR / QS。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5099baf7b9969bb4fb4aa2fa664cb3fd-img-3cdf836ce85141cda97b4c954ceb2d0e.png", "question": "在圆V中，\\$rown{WYX}\\$被高亮显示。\\$rown{WX}\\$的度数为45°。\n\n高亮显示的部分占圆的几分之几？\n简化你的答案。\n\n\\$oxed{}\\$\n哪个表达式表示\\$rown{WYX}\\$的长度（厘米）？\n\n- 7/8(2​𝜋)\n- 7/8(​𝜋)\n- 13/16(​𝜋)\n- 13/16(2​𝜋)", "answer": "7/8 \n \n 7/8*(2​𝜋)", "process": "1. 已知圆 V 中, 弧 WX 的测量度数为 45°, 是弧 WYX 之外的部分。圆周总度数为 360°。

2. 根据弧和圆心角的关系，圆心角 ∠WVX 对应的弧 WX 的度数等于圆心角的度数，即 45°。

3. 弧 WYX 的度数为圆的总度数减去弧 WX 的度数，即 360° - 45° = 315°。

4. 计算弧 WYX 占圆的比例。弧 WYX 的度数与圆周度数之间的比例为 315°/360°。

5. 简化 315/360 得到 315 ÷ 45 / 360 ÷ 45 = 7/8。

6. 因此，弧 WYX 占整个圆的 7/8。

7. 圆的周长 C = 2πr，其中 r 是半径，题中半径 r = 1 cm。

8. 将 r = 1 代入，得到 C = 2π × 1 = 2π 。

9. 弧 WYX 的长度为圆周长 C 的 7/8，因此弧 WYX 的长度为 7/8 × 2π。

10. 经过上述推理，最终得出答案为弧 WYX 的长度是 7/8 × 2π，即选择选项 7/8 × (2π)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆V中，点V是圆心，半径为1 cm。图中所有到点V的距离等于1 cm的点都在圆V上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆V上有两点W和X，弧WX是连接这两点的一段曲线，对应圆心角∠WVX，测量度数为45°。弧WYX是整个圆周减去弧WX的剩余部分。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆 V 中，点 V 是圆心，线段 VW 和 VX 是半径 r。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。由于 r = 1 cm，圆周长 C = 2π × 1 = 2π cm。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d0e36e61f9dc746b17bc5ef6bb9b93a4-img-094211d0a34a481baa8d4ba74b58306d.png", "question": "在圆 J 中，\\$\\\\overset{\\\\frown}{KML}\\$ 被高亮显示。 \\$\\\\overset{\\\\frown}{KL}\\$ 的度数为 135°。\\\\n\\\\n\\\\n\\\\n\\\\n圆中被高亮显示的部分占多少？\\\\n简化你的答案。\\\\n\\\\n \\$\\\\Box\\$ \\\\n哪一个表达式表示 \\$\\\\overset{\\\\frown}{KML}\\$ 的长度（单位：英寸）？\\\\n\\\\n- 3/4(225𝜋)\\\\n- 5/8(225𝜋)\\\\n- 3/4(30𝜋)\\\\n- 5/8(30𝜋)", "answer": "5/8 \n \n- 5/8(30​𝜋)", "process": "1. 已知圆 J 中弧 KL 的度数为 135°，这意味着它由中心角 ∠KJL 所拦截。根据圆心角性质，圆心角等于其所对弧的度数。

2. 圆的总周角是 360°，所以弧 KL 占整个圆的比例为 135°/360°。

3. 计算 135°/360° 的比值，可以将其约分为 3/8。

4. 由于弧 KL 占圆的 3/8，所以剩余的圆周部分，即弧 KML，应该是 1 - 3/8 = 5/8。

5. 因此，弧 KML 占据整个圆的 5/8，这即是圆被突出显示的部分。

6. 接下来，计算弧 KML 的实际长度，圆的半径 r 为 15 英寸。圆的周长 C = 2πr = 2π(15) = 30π 英寸。

7. 因此，弧 KML 的长度为 5/8 乘以圆的周长，即 5/8 × 30π = 5/8(30π) 英寸。

8. 综合上述步骤，弧 KML 占圆的 5/8，其长度为 5/8(30π) 英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 5/8。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "∠KJL 是圆心角，顶点是圆心 J，两边是半径JK 和 JL。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆 J 上有三点 K、L 和 M，弧 KL 是连接点 K 和点 L 的一段曲线，弧 KML 是连接点 K、点 M 和点 L 的一段曲线。根据弧的定义，弧 KL 是圆上两点 K 和 L 之间的一段曲线，弧 KML 是圆上两点 K 和 L 之间经过点 M 的一段曲线。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆 J 中，点 J 是圆心，线段 JK 和 JL 是半径 r。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。在本题中，r = 15 英寸，因此 C = 2π(15) = 30π 英寸。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧 KML 占圆的 5/8，所以 弧 KML 的长度为 5/8 × 30π = 5/8(30π) 英寸。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "弧KL所对圆心角是角KJL，弧KL度数=角KJL度数。"}]} +{"img_path": "ixl/question-10057a005e05d985301e119d413b6d55-img-35c36d8625a04823a584a4fdf9e3ef11.png", "question": "在圆J中，\\$\\\\overset{\\\\frown}{KL}\\$ 被高亮显示。 \\$\\\\angle \\$ KJL 的度数为45°。 \n\n\n\n\n圆中被高亮显示的部分占多大比例？\n请化简你的答案。\n\n \\$\\\\Box\\$ \n哪个表达式代表了 \\$\\\\overset{\\\\frown}{KL}\\$ 的长度（单位：英寸）？\n\n- 1/4(8​𝜋) \n- 1/8(16​𝜋) \n- 1/4(16​𝜋) \n- 1/8(8​𝜋)", "answer": "1/8 \n \n- 1/8(8​𝜋)", "process": "1. 已知在圆J中，弧KL是被中心角∠KJL截出的。因此，弧KL的圆心角∠KJL的度数为45°。

2. 圆的周角完全是360°。因为弧KL的圆心角度数为45°，所以KL占整个圆的比例为45°/360°。

3. 根据比例计算：45°/360°=1/8。因此，在圆J中，被高亮的弧KL占整个圆的1/8。

4. 因此，弧KL的长度等于圆J的周长的1/8。

5. 圆的周长公式为C=2πr，其中r为圆的半径。在该题中，圆J的半径r=4英寸。

6. 计算圆J的周长：C=2π×4=8π。

7. 因此，弧KL的长度为周长的1/8，即为(1/8)×8π=π。

8. 经过上述推理，弧KL的长度为8π乘以1/8，最终结果为π，也就是答案选项的1/8(8π)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆J中，点J是圆心，半径为4英寸。图中所有到点J的距离等于4英寸的点都在圆J上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆J上有两点K和L，弧KL是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧KL是圆上两点K和L之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆J中，点K和点L是圆上的两点，圆心是点J。连线JK和JL组成的角∠KJL称为圆心角，其角度为45°。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧KL的长度等于圆J的周长的1/8，因为∠KJL的度数为45°，即45°/360°=1/8。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆J中，点J是圆心，线段JK和JL是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，其中r=4英寸，因此C=2π×4=8π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3b3eb61a65bc1d15ff4a66fe1a2a8193-img-774b932d5f1f4c00889a70952267cea2.png", "question": "在圆P中，\\$\\\\overset{\\\\frown}{QR}\\$被高亮显示。\\$\\\\overset{\\\\frown}{QR}\\$的度数是45°。\\\\n\\\\n\\\\n圆的哪一部分被高亮显示了？\\\\n请简化你的答案。\\\\n\\\\n \\$\\\\Box\\$ \\\\n哪个表达式表示\\$\\\\overset{\\\\frown}{QR}\\$的长度（单位：厘米）？\\\\n\\\\n- 1/8(36​𝜋)\\\\n- 1/6(36​𝜋)\\\\n- 1/8(12​𝜋)\\\\n- 1/6(12​𝜋)", "answer": "1/8 \n \n 1/8(12​𝜋)", "process": "1. 已知圆P中，弧QR被圆心角∠QPR截得，且测量为45°。

2. 根据圆心角性质，圆心角与其所对的弧等角度大小，因此弧QR的角度也为45°。

3. 圆的周长对应的角是360°，因此弧QR被高亮的圆的部分面积占全圆面积的份额可由弧度计算为45/360。

4. 将分数45/360进行约分，得到1/8。这意味着弧QR占圆的1/8。

5. 使用圆的周长公式C = 2πr，其中r为圆的半径。题中r为6厘米，故C = 2π * 6 = 12π厘米。

6. 因为弧QR高亮部分占圆的1/8，所以其长度为1/8乘以圆的周长，即(1/8) * 12π。

7. 计算得到弧QR的长度为1/8 * 12π = 12π/8 = 3π/2厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为弧QR的长度为3π/2厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "在本题图中，弧QR所对圆心角是角QPR，弧QR度数=角QPR度数。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆P上有两点Q和R，弧QR是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧QR是圆上两点Q和R之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，∠QPR是圆P的圆心角，顶点P在圆心，边PQ和PR分别与圆P相交，∠QPR的大小为45°。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧QR的长度L可以计算为(45/360) * 12π = 1/8 * 12π = 3π/2厘米。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆P中，点P是圆心，线段PQ和PR是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，其中r=6厘米，所以圆P的周长C = 2π * 6 = 12π厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-073b3513706f6f776543bd3397b3c429-img-a2e188ebabc041a497f08f107c152b67.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方码\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "192cubic yards", "process": "1. 首先将该三维图形分解为两个长方体（棱柱）部分，并标记为上部长方体和下部长方体。

2. 对于上部长方体，根据题给图形尺寸，已知上部长方体的长 = 12 码，宽 = 2 码，和高 = 4 ���。

3. 使用长方体体积公式 V = 长 × 宽 × 高, 计算上部长方体的体积 V1 = 12 × 2 × 4 = 96 立方码。

4. 再考虑下部长方体，它的长 = 12 码，宽 = 2 码，和高 = 4 码（注意下部长方体和上部长方体的尺寸相同，是题中图形的特性）。

5. 同样使用长方体体积公式 V = 长 × 宽 × 高, 计算下部长方体的体积 V2 = 12 × 2 × 4 = 96 立方码。

6. 最后将上部长方体和下部长方体的体积相加，得出整个图形的总体积：V_total = V1 + V2 = 96 + 96 = 192 立方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 192 立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "上部长方体和下部长方体都是长方体，分别具有长 = 12 码，宽 = 2 码，和高 = 4 码的特性。上部长方体用12x2x4表示，下部长方体也用12x2x4表示。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，使用长方体体积公式计算两个长方体的体积。上部长方体的体积 V1 = 12 yd × 2 yd × 4 yd = 96 立方码。同样，下部长方体的体积 V2 = 12 yd × 2 yd × 4 yd = 96 立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-15746d03387baf470beb8a370a9d3ac5-img-8171498c6e6d40a88913a7c510738f14.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方厘米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "284cubic centimeters", "process": "1. 首先，观察到图形是由两个长方体组成的，因此可以将其分解为两个长方体来求解体积。

2. 找出其中一个长方体（后面的长方体），它的长为11厘米，宽为4厘米，高为6厘米。

3. 根据长方体体积公式 'V = 长 × 宽 × 高'，计算后面长方体的体积：V = 11 × 4 × 6 = 264 立方厘米。

4. 接下来，找出另一个长方体（前面的长方体），它的长为2厘米，宽为2厘米，高为5厘米。

5. 根据长方体体积公式 'V = 长 × 宽 × 高'，计算前面长方体的体积：V = 2 × 2 × 5 = 20 立方厘米。

6. 现在，将两个长方体的体积相加以求整个图形的总体积：264 + 20 = 284 立方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为284立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "后面的长方体的长为11厘米，宽为4厘米，高为6厘米；前面的长方体的长为2厘米，宽为2厘米，高为5厘米。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题中，后面长方体的体积计算为：264立方厘米，具体公式应用为V = 11 × 4 × 6；前面长方体的体积计算为：20立方厘米，具体公式应用为V = 2 × 2 × 5。最终图形体积计算为：284立方厘米，具体公式应用为264 + 20。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7f0c3693ad9dff854c8b9960b3757277-img-6cd1d15588da4bffb8ab251cb063980b.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "88cubic centimeters", "process": "1. 观察立体图形，发现可以将其拆分为两个长方体（棱柱）。左侧的大长方体尺寸为：长2厘米，宽8厘米，高5厘米。

2. 计算左侧大长方体的体积。根据长方体体积公式V = l · w · h，其中l表示长度，w表示宽度，h表示高度。代入具体数值得：V_left = 2厘米 · 8厘米 · 5厘米。

3. 运算得出左侧大长方体的体积：V_left = 80立方厘米。

4. 右侧的小长方体的尺寸为：长1厘米，宽4厘米，高2厘米。

5. 计算右侧小长方体的体积。根据长方体体积公式V = l · w · h，代入具体数值得：V_right = 1厘米 · 4厘米 · 2厘米。

6. 运算得出右侧小长方体的体积：V_right = 8立方厘米。

7. 求解整个立体图形的总体积。将两个长方体的体积相加：V_total = V_left + V_right。

8. 运算得出总的体积：V_total = 80立方厘米 + 8立方厘米 = 88立方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为88立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "左侧的大立方体和右侧的小立方体都属于长方体。大长方体的尺寸为长2厘米、宽8厘米、高5厘米，小长方体的尺寸为长1厘米、宽4厘米、高2厘米。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "V_left表示左侧大长方体的体积。根据该公式，V_left = 2厘米 · 8厘米 · 5厘米。计算结果为80立方厘米。同理，V_right表示右侧小长方体的体积，根据公式，V_right = 1厘米 · 4厘米 · 2厘米。计算结果为8立方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9e18497dd4b38b595659c91b694129a9-img-43a2f7cf3be04f16b288867cafb2609d.png", "question": "在圆 X 中，\\$rown{YZ}\\$ 被突出显示。\\$rown{YZ}\\$ 的测量值为 90°。\n\n圆的哪一部分被突出显示？\n简化你的答案。\n\n \\$ox\\$ \n哪个表达式表示 \\$rown{YZ}\\$ 的长度（单位：英寸）？\n\n- 1/4(9​𝜋)\n- 1/3(9​𝜋)\n- 1/4(6​𝜋)\n- 1/3(6​𝜋)", "answer": "1/4 \n \n 1/4(6​𝜋)", "process": "1. 已知圆X中，圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 的弧度为90°。

2. 根据圆心角性质，弧长的度数等于该弧所对圆心角的度数。因此，\\angle YXZ 的角度也为90°，亦即 \\angle YXZ = 90°。

3. 根据圆的角度性质，一个圆的完整弧度为360°。因此，圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 在圆中的占比为 90°/360°。

4. 将上述分数进行约分，得到1/4。因此，圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 占据圆X的1/4。

5. 圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 的长度为圆周长的1/4，即长为 1/4 * C。

6. 使用圆的周长公式 C = 2πr，其中r为圆的半径。题中给出r = 3英寸。

7. 将圆的半径代入周长公式，有C = 2π * 3 = 6π。

8. 依据圆的弧长公式计算圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 的长度为1/4 * (6π) = (6π)/4。

9. 将分数 (6π)/4 约分，得到3π/2。

10. 经过上述推理，最终得出圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 的长度表达式为1/4(6π)，对应选项为 '1/4(6​π)'。

11. 最终得出答案为圆弧 \\overset{\\frown}{YZ} 占据圆X的1/4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆X上有两点Y和Z，弧\\overset{\\frown}{YZ}是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧\\overset{\\frown}{YZ}是圆上两点Y和Z之间的一段曲线。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆X中，点X是圆心，线段XY和XZ是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，其中r=3英寸，因此其周长C=2π*3=6π。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "圆弧\\overset{\\frown}{YZ} 的长度为\\frac{1}{4} 乘以圆的周长，因此弧长为\\frac{1}{4} * 6π = \\frac{6π}{4}，约分后得到3π/2。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "弧YZ所对圆心角是角YXZ，弧YZ度数=角YXZ度数。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "劣弧YZ优弧ZY绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即劣角YXZ+优角ZXY=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-27282d2692f89cb3f31e84b36ce28484-img-dfdb9bff9f964a198e2fa7417d03693d.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无���其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "174cubic meters", "process": "1. 将给定的立体图形分解为两个立方体。顶部的立方体和底部的立方体。

2. 计算顶部立方体的体积。已知顶部立方体的长度为7米，宽度为2米，高度为3米。

3. 根据长方体体积公式 V = ℓ × w × h ，其中 ℓ 是长度，w 是宽度，h 是高度，可以计算体积。

4. 对于顶部立方体，代入公式得到 V = 7 × 2 × 3 = 42 立方米。

5. 然后，计算底部立方体的体积。底部立方体的长度为11米，宽度为3米，高度为4米。

6. 使用相同的长方体体积公式，代入底部立方体的尺寸，得到 V = 11 × 3 × 4 = 132 立方米。

7. 将两个立方体的体积相加，以获得总的立体图形体积。即 42 + 132 = 174 立方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 174 立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "边7m表示长，边2m表示宽，边3m表示高，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 7 * 2 * 3=42立方米。边11m表示长，边3m表示宽，边4m表示高，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 11 * 3 * 4=132立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-792835ce2327092c77c3bb31c2e2c7e3-img-a0e75382af51462392ee2210296356bc.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方英寸\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "432cubic inches", "process": "1. 观察给定图形，它是由两个长方体组合而成的三维图形。

2. 第一步，计算上部长方体的体积。根据长方体体积公式Volume = length × width × height，可以得出上部长方体的体积。

3. 上部长方体的长度为15英寸，宽度为4英寸，高度为5英寸。因此，体积V = 15 × 4 × 5 cubic inches。

4. 计算结果为V = 300 cubic inches。上部长方体的体积为300立方英寸。

5. 接下来，计算下部长方体的体积。使用同样的长方体体积公式Volume = length × width × height。

6. 下部长方体的长度为11英寸，宽度为3英寸，高度为4英寸。因此，体积V = 11 × 3 × 4 cubic inches。

7. 计算结果为V = 132 cubic inches。下部长方体的体积为132立方英寸。

8. 为了得到整个组合图形的总体积，将两个长方体的体积相加。

9. 计算总和：300 + 132 = 432 cubic inches。

10. 经过上述推理，最终得出答案为432立方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，有两个长方体。第一个长方体 (上方) 的长度为 15 英寸，宽度为 4 英寸，高度为 5 英寸。第二个长方体 (下方) 的长度为 11 英寸，宽度为 3 英寸，高度为 4 英寸。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "边15in表示长，边4in表示宽，边5in表示高，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 15 * 4 * 5=300立方英寸。边11in表示长，边3in表示宽，边4in表示高，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 11 * 3 * 4=132立方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fa3f013391ee84dc281dd8124563db40-img-89077eac3cd84ceaa0127d7d886ec39e.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方厘米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "162cubic centimeters", "process": "1. 首先，我们观察到给定的图形可以分解为两个长方体：顶部的一个小长方体和底部的一个大长方体。

2. 针对顶部的小长方体，我们已经知道其长度（l）为 3 厘米，宽度（w）为 2 厘米，高度（h）为 2 厘米。

3. 根据长方体体积公式 V = l × w × h，计算出顶部小长方体的体积为 V = 3 × 2 × 2 = 12 立方厘米。

4. 接下来，我们考虑底部的长方体，其已知长度（l）为 10 厘米，宽度（w）为 3 厘米，高度（h）为 5 厘米。

5. 同样依据长方体体积公式 V = l × w × h，计算出底部长方体的体积为 V = 10 × 3 × 5 = 150 立方厘米。

6. 通过相加两个长方体的体积可得图形的总体积，总体积 = 12 + 150 = 162 立方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为图形的体积是 162 立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "顶部的小长方体的尺寸是长度 l = 3 厘米，宽度 w = 2 厘米，高度 h = 2 厘米；底部大长方体的尺寸是长度 l = 10 厘米，宽度 w = 3 厘米，高度 h = 5 厘米。在题目中，两个长方体由六个矩形面组成。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，通过长方体体积公式我们计算出顶部的小长方体的体积为 V = 3 × 2 × 2 = 12 立方厘米，以及底部大长方体的体积为 V = 10 × 3 × 5 = 150 立方厘米。最后我们通过相加两个长方体的体积计算出总体积，总体积 = 12 + 150 = 162 立方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-12121e2bbb91aa51bba10729083987a8-img-0087a955474244f2abfc7d89c7900757.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方英寸\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "174cubic inches", "process": "1. 首先对图形进行分析，可以将其分解为两个长方体：上方的长方体和下方的长方体。

2. 计算上方长方体的体积。根据长方体的体积公式 V = l × w × h，我们需要知道其长度、宽度和高度。

3. 从题目中图示得知，上方长方体的长度 l = 9 英寸，宽度 w = 3 英寸，高度 h = 6 英寸。

4. 将这些值代入体积公式：V = 9 × 3 × 6 = 162 立方英寸。因此，上方长方体的体积为 162 立方英寸。

5. 接着计算下方长方体的体积。下方长方体的长度、宽度和高度分别是 l = 6 英寸，w = 1 英寸，h = 2 英寸。

6. 将这些值代入体积公式：V = 6 × 1 × 2 = 12 立方英寸。因此，下方长方体的体积为 12 立方英寸。

7. 最后，计算整个图形的总体积。根据加法原理，即总体积等于各部分体积之和：

8. 总体积 = 上方长方体的体积 + 下方长方体的体积 = 162 + 12 = 174 立方英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 174 立方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体由长 l = 9 英寸，宽 w = 3 英寸，高 h = 6 英寸定义。下方的长方体由长 l = 6 英寸，宽 w = 1 英寸，高 h = 2 英寸定义。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的体积计算为 V = 9 × 3 × 6 = 162 立方英寸。总体积为两个长方体体积之和，即 162 + 12 = 174 立方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b9c2a9b4dc37e6d11ed87eece6d60151-img-008e47b0afd1476595711c9f3fe6c9f4.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "174cubic meters", "process": "1. 将所给几何体分解为两个长方体，分别计算它们的体积。

2. 首先计算上部长方体的体积。根据题目中给出的图和标记，上部长方体的长为7米，宽为2米，高为3米。

3. 长方体的体积计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。

4. 代入上部长方体的测量值：体积 = 7米 × 2米 × 3米 = 42立方米。

5. 接着计算底部长方体的体积。根据图中标记，底部长方体的长为11米，宽为3米，高为4米。

6. 再次使用长方体的体积计算公式：体积 = 长 × 宽 × 高。

7. 代入底部长方体的测量值：体积 = 11米 × 3米 × 4米 = 132立方米。

8. 为计算整个几何体的总体积，将上部和底部长方体的体积相加：总体积 = 42立方��� + 132立方米 = 174立方米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为174立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "上部长方体的长为7米，宽为2米，高为3米；底部长方体的长为11米，宽为3米，高为4米。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，上部长方体的长为7米，宽为2米，高为3米，因此其体积计算为：体积 = 7米 × 2米 × 3米 = 42立方米；底部长方体的长为11米，宽为3米，高为4米，因此其体积计算为：体积 = 11米 × 3米 × 4米 = 132立方米。然后总的体积为两个部分的体积之和，即总体积 = 42立方米 + 132立方米 = 174立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bbad5620a39120aa0beaa07ff285569d-img-b4a1eb6eb12c461682f965d62750d981.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方码\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "258cubic yards", "process": "1. 观察给定的几何图形，可以将其分解为两个长方体，分别为上部和下部。

2. 计算上部长方体的体积。已知上部的长度为14码，宽度为3码，高度为3码。

3. 根据长方体体积公式V=长度×宽度×高度，计算上部长方体的体积V_1=14×3×3。

4. 计算得出上部长方体的体积为V_1=126立方码。

5. 计算下部长方体的体积。已知下部的长度为11码，宽度为3码，高度为4码。

6. 根据长方体体积公式V=长度×宽度×高度，计算下部长方体的体积V_2=11×3×4。

7. 计算得出下部长方体的体积为V_2=132立方码。

8. 求解整个几何体的体积，通过将两个长方体的体积相加得到总的体积。

9. 计算总体积V=V_1+V_2=126+132。

10. 计算得出整个几何体的总体积为258立方码。

11. 经过上述推理，最终得出答案为258立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "图中有两个长方体，一个长方体的尺寸为长度14码，宽度3码，高度3码；另一个长方体的尺寸为长度11码，宽度3码，高度4码。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，使用该公式计算两个长方体的体积。对于上部长方体，V = 14码 × 3码 × 3码 = 126立方码；对于下部长方体，V = 11码 × 3码 × 4码 = 132立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-708ab61a9fd9a298523b7d27c09daf52-img-ed4794ea86aa4d6c911821d84814e973.png", "question": "这个图形的体积是多少？\n\n\n\n \\$ox\\$ 立方码\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "66cubic yards", "process": "1. 该题目要求求整个立体图形的体积。从图中可以分辨出这个立体图形可以被分为两个矩形棱柱（即长方体），我们将其称为后方立方体和前方立方体。

2. 先计算后方立方体的体积：其长、宽、高分别为5码、3码和4码。根据长方体体积公式V = ℓ·w·h，其中V是体积，ℓ是长度，w是宽度，h是高度，我们可以计算出体积为V = 5 * 3 * 4 = 60立方码。

3. 接下来，计算前方立方体的体积：其长、宽、高分别为3码、1码和2码。再次应用长方体体积公式V = ℓ·w·h，得到体积为V = 3 * 1 * 2 = 6立方码。

4. 整个立体图形的总体积为后方立方体和前方立方体体积之和，因此总体积为60立方码 + 6立方码 = 66立方码。

5. 经过上述推理，最终得出答案为66立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，后方立方体和前方立方体分别是两个长方体。后方立方体的长为5码，宽为3码，高为4码；前方立方体的长为3码，宽为1码，高为2码。它们符合长方体的定义，具有六个矩形面，并且其所有空间角都是90度。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "在本题图中，使用长方体体积公式计算两个长方体的体积。后方立方体的体积计算如下：V = 5 * 3 * 4 = 60立方码；前方立方体的体积计算如下：V = 3 * 1 * 2 = 6立方码。最后，将两个长方体的体积相加，得到总的体积为60立方码 + 6立方码 = 66立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-de4e6075a2ce129d558e6549e313e936-img-ca1dae9c84fb468ea6e487b69f0fa93b.png", "question": "体积是多少？\\$ox\\$ 立方码", "answer": "648 cubic yards", "process": "1. 首先识别出图中的长方体的长、宽和高。其中，长方体的长为9码，宽也为9码，高为8码。

2. 根据长方体体积的定义，体积等于长、宽、高的乘积。因此利用公式：体积 = 长 × 宽 × 高。

3. 将已知数值代入公式：体积 = 9 × 9 × 8。

4. 计算乘积：9 × 9 = 81。

5. 然后将结果81乘以8得到：81 × 8 = 648。

6. 因此该长方体的体积为648立方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为648立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的长度是9码，宽度是9码，高度是8码。根据长方体定义，这三个维度分别表示图中的三个方向的尺寸，互相垂直。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的长为9码，宽为9码，高为8码。因此利用体积公式可以计算出：体积 = 9码 × 9码 × 8码 = 648立方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ac3b097171f47ccbcdecd01a85e55c01-img-17750fc291d1415697a7e1ae287276d2.png", "question": "在圆F中，\\$\\\\overset{\\\\frown}{GH}\\$被标出。\\$\\\\overset{\\\\frown}{GH}\\$的角度是135°。\n\n圆的几分之一被标出？\n简化你的答案。\n\n \\$\\\\Box\\$ \n哪个表达式表示\\$\\\\overset{\\\\frown}{GH}\\$的长度（单位：英寸）？\n\n- 1/3(14​𝜋)\n- 3/8(14​𝜋)\n- 3/8(49​𝜋)\n- 1/3(49​𝜋)", "answer": "3/8 \n \n- 3/8(14​𝜋)", "process": "1. 在圆F中，\\overset{\\frown}{GH}的圆心角∠GFH为135°。

2. 根据圆心角性质，圆心角∠GFH和其所截弧\\overset{\\frown}{GH}的度数相同，因此\\overset{\\frown}{GH}的度数也为135°。

3. 根据圆的角度性质，圆的整周弧度和为360°，所以被高亮的\\overset{\\frown}{GH}占整个圆的度数比例为135°/360°。

4. 化简135°/360°，得到3/8。

5. 这意味着被高亮的部分\\overset{\\frown}{GH}占整个圆周长的3/8。

6. 圆的周长公式为C=2\\pi r，其中r为半径。在题中，r = 7英寸。

7. 将半径代入周长公式C=2\\pi\\times7=14\\pi。

8. 因此，高亮部分\\overset{\\frown}{GH}的长度为3/8\\times 14\\pi。

9. 计算得出\\overset{\\frown}{GH}的长度为\\frac{3}{8}(14\\pi)=\\frac{42\\pi}{8}=\\frac{21\\pi}{4}。

10. 经过上述推理，最终得出答案为3/8，并且\\overset{\\frown}{GH}的长度为3/8(14\\pi)英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆F中，点G和点H是圆上的两点，圆心是点F。连线FG和FH组成的角∠GFH称为圆心角。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆F中，点F是圆心，线段FG是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。在题目中，r = 7英寸，因此圆的周长C = 2π × 7 = 14π。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "弧GH所对圆心角是角GFH，弧GH度数=角GFH度数。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "G，H所成的两条弧绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7e89dc2910b481d1fb4e98bb2c1b3753-img-64bbed06462048ec8b8161ac5483cc1a.png", "question": "在圆 S 中，\\$rown{TVU}\\$ 被突出显示。 \\$rown{TVU}\\$ 的角度 TSU 为 90°。\n\n圆的哪一部分被突出显示？\n简化你的答案。\n\n \\$ox\\$ \n哪个表达式代表 \\$rown{TVU}\\$ 的长度（单位：英寸）？\n\n- 3/4(2​𝜋)\n- 4/5(4​𝜋)\n- 4/5(2​𝜋)\n- 3/4(4​𝜋)", "answer": "3/4 \n \n 3/4(2​𝜋)", "process": "1. 已知在圆 S 中，弧 \\overset{\\frown}{TVU} 被高亮，并且 \\angle TSU 夹角为 90°。

2. 根据圆心角性质，一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。因此弧 \\overset{\\frown}{TU} 的圆心角 \\angle TSU 为 90°。

3. 因为整个圆的角度总和为 360°，所以弧 \\overset{\\frown}{TU} 占整个圆的 \\frac{90}{360} = \\frac{1}{4}。

4. 因弧 \\overset{\\frown}{TU} 占圆的 \\frac{1}{4}，则未被高亮部分弧占 \\frac{1}{4}，高亮部分弧占圆的其余 \\frac{3}{4}。

5. 故，弧 \\overset{\\frown}{TVU} 的长度是整个圆周长的 \\frac{3}{4}。

6. 圆的周长计算公式为 C = \\pi d，其中 d 是直径。已知直径 d = 2 in，所以 C = \\pi \\times 2 = 2\\pi。

7. 因此，弧 \\overset{\\frown}{TVU} 的长度= \\frac{3}{4} \\times 2\\pi。

8. 经过计算，选择与 \\frac{3}{4}(2\\pi) 相符的选项。

9. 经过上述推理，最终得出答案为：\\frac{3}{4}(2\\pi)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆 S 上有三点 T、V 和 U，弧 \\overset{\\frown}{TVU} 是连接这三点的一段曲线。根据弧的定义，弧 \\overset{\\frown}{TVU} 是 圆上两点 T 和 U 之间的一段曲线，并且经过点 V。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆 S 中，点 S 是圆心，线段 TS 是半径 r。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。已知直径 d = 2 in，所以半径 r = 1 in，周长 C = 2π × 1 = 2π。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "弧TU所对圆心角是角TSU，弧TU度数=角TSU度数。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6fcdd699983efc7080b26e78520cf41c-img-83e1f3de4ae2416fa0b916dc8ddd37dc.png", "question": "在圆A中，\\$rown{BDC}\\$被高亮显示。\\$rown{BDC}\\$的角度为45°。\n\n圆中被高亮显示的部分占整个圆的几分之几？\n简化你的答案。\n\n\\$ox\\$ \n哪个表达式表示\\$rown{BDC}\\$的长度（单位：厘米）？\n\n- 7/8(9​𝜋)\n- 7/8(3​𝜋)\n- 2/3(3​𝜋)\n- 2/3(9​𝜋)", "answer": "7/8 \n \n- 7/8(3​𝜋)", "process": "1. 已知题目中圆心为A，圆A的直径为3厘米，因此其半径为1.5厘米。

2. 根据题目描述，⌢BC 是由圆心角 ∠BAC 截得的圆弧，并且∠BAC 的度数为 45°。

3. 圆的周长是360°，因此弧BC所占的比例为45°/360°。

4. 计算比例：45°/360°=1/8。

5. 所以，弧BC占整个圆周长的1/8，因此弧BDC则占7/8。

6. 由于弧BDC占圆的7/8，因此其长度为圆的周长的7/8。

7. 圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。在本题中，r=1.5厘米。

8. 将r=1.5代入圆周长公式：C=2 * π * 1.5=3π。

9. 计算弧BDC的长度：长度=7/8 * 3π = 7/8(3π)。

10. 因此，弧BDC的长度为 7/8(3π)厘米。经过上述推理，最终得出答案为圆周的7/8被高亮。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆A中，点A是圆心，半径为1.5厘米。图中所有到点A的距离等于1.5厘米的点都在圆A上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆A中，点A是圆心，点B和点C是圆上的任意一���，线段AB和线段AC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段AB和线段AC是圆的半径，其长度为1.5厘米。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆A上有两点B和C，弧BC是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧BC是圆上两点B和C之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆A中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点A。连线AB和AC组成的角∠BAC称为圆心角，其度数为45°。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆A中，点A是圆心，线段AB是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。在本题中，r=1.5厘米，因此圆的周长C=2π*1.5=3π厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6a695b9cf2b77a28ef5679eb94ffdb46-img-f5378cfda41d4f2c91f7ae2daeccaaef.png", "question": "体积是多少？\\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "54 cubic centimeters", "process": "1. 如图所示，我们有一个长方体，其底面是长为3厘米，宽为3厘米的正方形，且高为6厘米。

2. 根据长方体体积公式：在长方体中，其体积V为底面积乘以高，即 V = 底面积 × 高。

3. 先计算底面积，由于底面是正方形，所以底面积 = 长 × 宽 = 3厘米 × 3厘米 = 9平方厘米。

4. 将底面积代入体积公式得，体积 V = 9平方厘米 × 6厘米 = 54立方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为54立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "几何图形是一个长方体，其底面为长为3厘米，宽为3厘米的正方形，高为6厘米。符合长方体的定义，其中底面是正方形，因此这里我们可以视其为具有特殊性质的长方体，即正方体的一部分。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "底面积A = 9平方厘米，高h = 6厘米，所以体积V = 9平方厘米 × 6厘米 = 54立方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e20c0dbb936dc5b5c0fb15cd18a7c6e8-img-86ba9af15970404a8d0032c4495fb946.png", "question": "这个圆柱体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "502.4 cubic millimeters", "process": "1. 已知圆柱的直径为8毫米。

2. 根据直径的定义，半径r等于直径的一半，因此圆柱的半径r为8毫米 ÷ 2 = 4毫米。

3. 已知圆柱的高度h为10毫米。

4. 圆柱体积V的计算公式为V = πr²h。

5. 将已知半径r=4毫米和高度h=10毫米代入体积公式，得V = π × (4毫米)² × 10毫米。

6. 计算 (4毫米)² = 16平方毫米。

7. 代入结果得V = 3.14 × 16平方毫米 × 10毫米。

8. 计算3.14 × 16平方毫米 = 50.24平方毫米。

9. 再将结果乘以高度10毫米，得V = 50.24平方毫米 × 10毫米 = 502.4立方毫米。

10. 经过上述计算，最终得到圆柱的体积约为502.4立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为4毫米，直径为8毫米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高10毫米，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "圆柱的半径r为4毫米，高度h为10毫米，运用体积公式，计算得V = π × (4毫米)² × 10毫米。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "线段ab是圆的直径。线段ab通过圆心o，并且两端点a和b都在圆上。根据直径的定义，线段ab是圆的最长弦，长度为2倍的半径，即ab= 2 * 半径。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ef6fd674727e027c5053878e2fe1b25c-img-087dec50ce20427b905f1f04d09891c4.png", "question": "体积是多少？\\$ox\\$ 立方英寸", "answer": "180 cubic inches", "process": "1. 已知该几何体为三棱柱，其底面是三角形，底边长为5英寸，高为8英寸，三棱柱的高度（即侧面长度）为9英寸。

2. 计算三角形底面的面积，根据三角形面积公式，面积等于底边乘以高再除以2，即：面积 = (5 × 8) / 2。

3. 进行计算：(5 × 8) / 2 = 40 / 2 = 20平方英寸。

4. 计算棱柱的体积。根据棱柱体积的公式，体积等于底面积乘以高，所以：体积 = 20 × 9。

5. 进行计算：20 × 9 = 180立方英寸。

6. 经过上述推理，最终得出答案为180立方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "在本题图中，该几何体为三棱柱，其底面三角形的边分别为5英寸和8英寸，三棱柱的侧面高度为9英寸。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "体积 = 20 × 9。计算得到三棱柱的体积为180立方英寸。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形中，底为5英寸，底上的高为8英寸，所以三角形的面积等于底乘以高除以2，即面积 = (5 * 8) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3d475b504828149bfe913d18a13130b1-img-d66726722e334622b788720d73e53e7f.png", "question": "KM 是 ⨀J 的切线。m \\$riangle\\$ N 是多少？\n\nm \\$riangle\\$ N= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ N=60°", "process": "1. 已知KM是⨀J的切线，因此根据圆的切线定义和圆的切线性质可知，KM垂直于过N且与⨀J相切的半径NJ，即∠K是直角。

2. 在三角形KMN中，已知∠K为直角，因此三角形KMN为直角三角形。根据直角三角形的锐角互余性质，另外两个角∠M和∠N互为余角。

3. 题目中给出∠M的度数为30°，因此根据直角三角形的锐角互余性质可知，∠N + ∠M = 90°。

4. 将已知∠M的度数代入互余关系式中即得到：∠N + 30° = 90°。

5. 通过简单的代数运算得：∠N = 90° - 30°。

6. 计算得到∠N = 60°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为∠N = 60°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆J与直线KM有且只有一个公共点K，这个公共点叫做切点。因此，直线KM是圆J的切线。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，⨀J中，点J是圆心，点N是圆上的任意一点，线段NJ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段NJ是圆的半径。⨀J中，点J是圆心，点K是圆上的任意一点，线段KJ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段KJ是圆的半径。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆J中，点K是直线KM与圆的切点，线段JK是圆的半径。根据圆的切线性质，切线KM与经过切点K的半径JK垂直，即∠MKJ=90度。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形MKN中，角MKN是直角（90度），因此三角形MKN是一个直角三角形。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "角MKN是直角（90度），角KMN和角KNM是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角KMN和角KNM的和为90度，即角KNM + 角KMN = 90°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d99ecec8a77079f42abfc6ff3f084018-img-67de8d3d33eb422a9884184ab68e1a53.png", "question": "体积是多少？\\$ox\\$ 立方米", "answer": "120 cubic meters", "process": "1. 观察题目中的三棱柱，底面是一个三角形，已知底边为8米，高为5米，边与长为6米的长方体构成三棱柱。

2. 根据三角形的面积公式，任意三角形的面积 = 1/2 × 底 × 高，因此底面三角形的面积 = 1/2 × 8米 × 5米 = 20平方米。

3. 根据棱柱的体积公式，棱柱的体积 = 底面面积 × 高，因此该三棱柱的体积 = 20平方米 × 6米。

4. 计算得出体积为120立方米。

n. 经过上述推理，最终得出答案为120立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "三棱柱由两个平行且相等的三角形底面组成，这两个底面通过三个矩形侧面连接起来。两个底面是平行且相等的三角形，而侧面是矩形。这样，三棱柱的六个面中有两个是三角形，三个是矩形，形成一个六面体。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，棱柱中，底面的面积为20平方米，棱柱的高为6米。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于底面积20平方米乘以高6米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形中，边8m是底，线段5m是该底上的高，所以三角形的面积等于底8m乘以高5m除以2，即面积 = (8 * 5) / 2 = 20平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3624edf4b4a44107aecd7fc6b85dedfc-img-62adf8cdd76a48a8a9cf4f7bbf308712.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "168 cubic millimeters", "process": "1. 观察给定图形，这是一个长方体，其长度为7毫米，宽度为3毫米，高度为8毫米。

2. 根据长方体体积公式，体积等于长度、宽度和高度的乘积。

3. 用数学公式表示：Volume = length × width × height。

4. 代入已知的长度、宽度和高度，计算体积： Volume = 7毫米 × 3毫米 × 8毫米。

5. 计算乘积：7 × 3 = 21， 再计算21 × 8 = 168。

6. 因此，长方体的体积为168立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，给定的几何图形是一个长方体，其长度是7毫米，宽度是3毫米，高度是8毫米。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的体积在本题图中，应用这个公式计算体积时，代入的数值为7毫米，3毫米，8毫米。计算步骤如下：Volume = 7毫米 × 3毫米 × 8毫米 = 168立方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0f9b3101082789c2bf77e352b2744efc-img-398810056aec410d99001c2a87ab775f.png", "question": "这个圆柱体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方英尺", "answer": "12.56 cubic feet", "process": "1. 已知圆柱的底面半径为1英尺，高度为4英尺。

2. 根据圆柱体积公式，体积V = 𝜋r²h，其中r代表底面半径，h代表高度。

3. 将已知的底面半径r = 1英尺和高度h = 4英尺代入公式: V = 𝜋 × 1² × 4。

4. 计算得到V = 3.14 × 1 × 1 × 4。

5. 进一步计算得V = 3.14 × 4。

6. 求得V = 12.56立方英尺。

7. 经过上述计算，最终得出圆柱的体积为12.56立方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高（4英尺），宽度等于圆周的周长（2π × 1英尺）。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "知道圆柱体底面半径r = 1英尺，高度h = 4英尺，代入公式: V = 𝜋 × 1² × 4。\n计算得到V = 3.14 × 1 × 1 × 4 = 12.56立方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-550641eb2253541a4226a0c36ebe420f-img-caae02ffc9c4406486dd55d532149436.png", "question": "体积是多少？\\$ox\\$ 立方码", "answer": "280 cubic yards", "process": "1. 首先识别该几何体为三棱柱，根据棱柱的体积计算公式。三棱柱体积公式为：体积 = 底面积 × 高。

2. 为计算三棱柱的底面积，需要计算底面，即三角形的面积。

3. 底面为三角形，其底边为8码，高为7码。已知三角形面积的计算公式为：面积 = 1/2 × 底边 × 高。

4. 将已知底边8码和高7码带入三角形面积公式，计算得出：面积 = 1/2 × 8 × 7 = 28 平方码。

5. 确定三棱柱的高，由题意，三棱柱的高为10码。

6. 将底面积（28平方码）和高（10码）代入体积公式：体积 = 底面积 × 高 = 28 × 10 = 280 立方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为280立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "在本题图中，几何体为三棱柱。两个全等且平行的三角形底面分别为该三棱柱的底面，其余三个面为矩形。三角形底面边长为8码，底面高为7码，三棱柱高为10码。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三棱柱的底面是个三角形，底是8yd，高是7yd，所以三角形的面积等于底乘以高除以2，即面积 = (8 * 7) / 2。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，棱柱中，底面的面积为28 平方码，棱柱的高为10yd。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于底面积乘以高。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6e996d860893d1128bc3f95f8cb516f3-img-01aec57ef89a47bdbf4727b2a79334fe.png", "question": "在圆A中，\\$rown{BDC}\\$被高亮显示。\\$rown{BDC}\\$是弧。\\$rown{BDC}\\$的角度是45°。 这个圆的几分之一被高亮显示？ 简化你的答案。 \\$ox\\$ 哪个表达式表示\\$rown{BDC}\\$的长度（单位：厘米）？ - 2/3(3𝜋) - 7/8(9𝜋) - 7/8(3𝜋) - 2/3(9𝜋)", "answer": "7/8 \n \n 7/8(3​𝜋)", "process": "1. 圆A中, 弧BDC是被重点标记的部分，给定角BAC是45°。

2. 根据圆心角性质，角BAC所对的弧也为45°，即弧BC。

3. 圆的周角为360°，表示整个圆的弧。

4. 弧BC的度数占全圆的45/360。

5. 将45/360简化，得到1/8。因此，1/8的圆没有被标记。

6. 由于弧BDC是提示为被标记的，其占据圆的部分应为1 - 1/8 = 7/8。

7. 圆的周长公式是C = πd，其中d为直径。

8. 题目中给出直径d = 3厘米。

9. 计算圆的周长C = π * 3 = 3π。

10. 由于弧BDC是7/8的圆周长，弧BDC的长度为(7/8) * 3π。

11. 通过上述计算，得到弧BDC的长度为7/8 * 3π。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆A中，点A是圆心，直径为3厘米，半径为3/2厘米。图中所有到点A的距离等于3/2厘米的点都在圆A上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆A上有三点B、D和C，弧BC是连接B、C两点的一段曲线，弧BDC是连接B、D、C三点的一段曲线。根据弧的定义，弧BDC是圆上三点B、D和C之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆A中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点A。连线AB和AC组成的角∠BAC称为圆心角。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆A中，点A是圆心，线段AB是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C = 2πr。直径d = 3厘米，因此半径r = 3/2厘米，圆的周长C = 2π * (3/2) = 3π厘米。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧BC占圆的45/360度数，在简化为1/8。因此，弧BDC占剩余的部分，即7/8，因此弧BDC的长度为7/8 * 3π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5163524991b86ee3ab7376b1a86887e3-img-a84642c42cfb4c7e99bd363a01a763d2.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方米", "answer": "150.72 cubic meters", "process": "1. 已知圆锥的底面半径为4米，高为9米。

2. 圆锥的体积公式为V = (1/3) * π * r^2 * h，其中r为底面半径，h为高。

3. 将已知的半径r = 4米和高h = 9米代入圆锥体积公式，得V = (1/3) * π * (4^2) * 9。

4. 计算4的平方，即16，代入公式得到V = (1/3) * π * 16 * 9。

5. 计算16 * 9 = 144，因此V = (1/3) * π * 144。

6. 取π ≈ 3.14，将其代入公式中，得到V ≈ (1/3) * 3.14 * 144。

7. 计算3.14 * 144 = 452.16。

8. 进一步计算V ≈ (1/3) * 452.16 = 150.72。

9. 因此，圆锥的体积约为150.72立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥体指的是给定的几何图形，其底面是半径为4米的圆，高是9米。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆锥体的底面是一个圆，圆的半径为4米。图中所有到圆心的距离等于4米的点都在圆上。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "圆锥体积公式V = (1/3) * π * r^2 * h。已知底面圆的半径r = 4米，高h = 9米，将这些值代入公式得到V = (1/3) * π * (4^2) * 9，进一步得出体积约为150.72立方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0ebb80b37611ff4c7f4f6904d4e673bb-img-126313b95e2046dab78a7f023e250b8e.png", "question": "体积是多少？ \\$ox\\$ 立方英寸", "answer": "70 cubic inches", "process": "1. 首先，识别出三棱柱的底面是一个三角形，其底边长为 7 英寸，高为 5 英寸，柱体的长度为 4 英寸。

2. 根据三角形的面积公式计算公式，三角形的面积为 1/2 × 底 × 高。

3. 代入已知的底边长和高：底边长为 7 英寸，高为 5 英寸。因此，三角形的面积为 1/2 × 7 × 5 = 17.5 平方英寸。

4.棱柱的体积公式为：三棱柱的体积 = 底面积 × 长度。

5. 将已计算出的底面积17.5平方英寸和长度4英寸代入体积公式：

6. 三棱柱的体积为 17.5 × 4 = 70 立方英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 70 立方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形是三角柱的底面。该三角形由三个非共线点及其连接线段组成，其中底边长为7英寸，高为5英寸。"}, {"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "在本题图中，三角柱的底面是相等���平行的三角形，其底边长为7英寸，高为5英寸，柱体的长度为4英寸。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "边长7in是底，线段长5in是该底上的高，所以三角形的面积等于底7in乘以高5in除以2，即面积 = (7 * 5) / 2。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，棱柱中，底面的面积为17.5，棱柱的高为4。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于底面积17.5乘以高4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3b29a079e5a6d7481c5a01bbf6ecaea4-img-9602e431600b47288008e3c7fafd9a2f.png", "question": "这个矩形金字塔的体积是多少？ \\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "300 cubic millimeters", "process": "1. 观察给定的金字塔，底面是一个边长为10 mm的正方形。

2. 计算这个正方形底面的面积。正方形面积公式是边长的平方，因此面积为 \\$10 \\times 10 = 100\\$ 平方毫米。

3. 根据题目给出的信息，金字塔的高是9 mm。

4. 根据棱锥体积公式\\$V = \\frac{1}{3} \\times \\text{底面积} \\times \\text{高}\\$计算其体积。将已知信息代入公式，有 \\$V = \\frac{1}{3} \\times 100 \\times 9\\$。

5. 进行计算，得到\\$V = \\frac{1}{3} \\times 900 = 300\\$ 立方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为300立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，四边形的底面边长均为10 mm，且四个内角均为90度，所以底面是一个正方形。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "边长a为10 mm，所以正方形底面的面积A = 10 x 10 = 100 平方毫米。"}, {"name": "Volume Formula of Pyramid", "content": "The volume \\( V \\) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \\( V = \\frac{1}{3} \\times \\text{Base Area} \\times \\text{Height} \\).", "this": "底面积A为100平方毫米，高为9毫米，所以体积V = 1/3 x 100 x 9 = 300立方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2ca5e1c5ab3f961c9c4f6f432cdf1527-img-a0e6c8174dc1401fa5ad5f6877e32cde.png", "question": "这个矩形金字塔的体积是多少？\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "8 cubic millimeters", "process": "1. 首先，识别给定图中的底面形状是一个矩形，长为4毫米，宽为2毫米。

2. 使用矩形的面积公式A = 长 × 宽，计算底面积A = 4毫米 × 2毫米 = 8平方毫米。

3. 确定金字塔的高度，从图中可以看出，给定的高度为3毫米。

4. 根据棱锥体积公式V = (1/3) × 底面积 × 高度，代入已知值V = (1/3) × 8平方毫米 × 3毫米。

5. 计算体积V = (1/3) × 24立方毫米 = 8立方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为8立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "底面是一个矩形，其长为4毫米，宽为2毫米。矩形的四条边分别是4毫米那条边作为长，两条边平行并相等；2毫米那条边作为宽，两条边平行并相等。 每个角都是90度。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形的面积公式在本题图中，底面的矩形中，边4毫米和边2毫米是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 4毫米 * 2毫米。"}, {"name": "Volume Formula of Pyramid", "content": "The volume \\( V \\) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \\( V = \\frac{1}{3} \\times \\text{Base Area} \\times \\text{Height} \\).", "this": "在本题图中，棱锥的底面积为8平方毫米，棱锥的高为3mm。根据棱锥体积公式，棱锥的体积V等于底面积乘以高再乘以1/3，即：V = 1/3 * 8 * 3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5fa0c32c020c8a31c4450e187b3ed3f2-img-efa9612f9ac049dcb7ade28d7ed53e84.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？���用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "235.50 cubic millimeters", "process": "1. 观察所给的几何图形，这个几何图形是一个圆锥体，并给出了圆锥的底面半径和高度。

2. 根据图中信息，圆锥的底面半径为5毫米，高为9毫米。

3. 圆锥的体积公式为 V = (1/3) * π * r^2 * h。

4. 将已知数字代入体积公式，得到 V = (1/3) * 3.14 * (5)^2 * 9。

5. 计算 (5)^2 = 25。

6. 进行代入计算得到 V = (1/3) * 3.14 * 25 * 9。

7. 计算 25 * 9 = 225。

8. 再计算3.14 * 225 = 706.5。

9. 计算 (1/3) * 706.5 = 235.5

10. 经过上述推理，最终得出答案为235.50立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥，其底面是一个半径为r=5毫米的圆，顶点高度h=9毫米。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "公式 V = (1/3) * π * r^2 * h 来计算圆锥的体积，已知底面半径r=5毫米，高度h=9毫米。因此，代入公式得 V = (1/3) * 3.14 * (5)^2 * 9。"}]} +{"img_path": "ixl/question-009977e71264b39a673cbab2a29f1d14-img-07f2a6e23b534e3abcfea9868c18b95e.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "2,143.57 cubic millimeters", "process": "1. 已知球的半径为8 mm，根据球体积公式，球体积公式是V = (4/3)πr³。

2. 将半径r = 8 mm代入球体积公式，得到V = (4/3)π(8 mm)³。

3. 计算8 mm的立方值：(8 mm)³ = 8 × 8 × 8 = 512 mm³。

4. 将上述值代入体积表达式，得V = (4/3)π × 512 mm³。

5. 计算(4/3)π × 512 mm³的值，首先计算(4/3) × 512 ≈ 682.67。

6. 使用给定的近似值π ≈ 3.14，得V ≈ 682.67 × 3.14。

7. 计算682.67 × 3.14 ≈ 2143.5838。

8. 近似2143.5838到最接近的小数点后两位，结果为2143.58。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2143.58立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题中，球的半径 \\( r = 8 \\text{ mm} \\)，把 \\( r \\) 代入公式得 \\( V = \\left( \\frac{4}{3} \\right) \\pi (8 \\text{ mm})^3 \\)，用于计算球的体积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-257cd2938357989894698509aeb80323-img-9d3412052b7448eb83959ac5d433f025.png", "question": "这个圆柱体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方米", "answer": "12.56 cubic meters", "process": "1. 已知圆柱体的底面半径为2米，高为1米。

2. 圆柱体的体积可以通过公式 V = 𝜋r²h 计算，其中 r 是底面半径，h 是高。

3. 代入已知数值，公式变为 V = 𝜋 × (2^2) × 1。

4. 计算圆柱体的底面积，即 2^2 = 4。

5. 根据公式 V = 𝜋 × 4 × 1，计算4乘以1，得到4。

6. 使用𝜋 ≈ 3.14，计算V = 3.14 × 4 = 12.56。

7. 经过上述计算，圆柱体的体积约为12.56立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径均为2米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高1米，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱体底面的半径为2米。圆柱体底面的圆心到圆周上任意一点的线段长度为2米，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "半径r = 2米和高h = 1米，我们代入公式 V = 𝜋 × (2^2) × 1，得到圆柱体的体积为12.56立方米（取𝜋 ≈ 3.14）。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱体的底面是一个圆，圆的半径是2米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径2的平方，即A = π × 2²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c0698540a67928da0ffffd015fb153bc-img-6bc51f44f9f3433e945d2b4a8b6f391d.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方英寸", "answer": "37.68 cubic inches", "process": "1. 已知圆锥的轴截面是一个直角三角形，其中斜边是圆锥的母线，垂直段是圆锥的高。图中已知母线长为4英寸，底面直径为6英寸。那么圆锥的半径为6/2=3英寸。

2. 由于圆锥的轴截面是一个直角三角形，母线、圆锥的高及半径构成一个直角三角形。因此可以使用勾股定理计算圆锥的高。勾股定理表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

3. 将已知量代入勾股定理公式：母线的平方=半径的平方+高的平方，即 4^2 = 3^2 + h^2

4. 计算：16 = 9 + h^2，因此 h^2 = 16 - 9 = 7

5. 求高的平方根：h = sqrt(7)

6. 圆锥体积公式为 V = (1/3) * π * r^2 * h，其中 r 是半径，h 是高。

7. 将确定的量代入体积公式：V = (1/3) * 3.14 * (3)^2 * sqrt(7)

8. 计算 V = (1/3) * 3.14 * 9 * sqrt(7) ≈ 37.68 立方英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 37.68 立方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题图中，圆锥的底面直径为6英寸，可以确定半径为3英寸。圆锥的母线长为4英寸。圆锥的高为从顶部垂直到底面的距离，我们需要求出这个高h。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "圆锥的轴截面形成一个直角三角形，其中斜边为圆锥的母线（4英寸），一条直角边为半径（3英寸），另一条直角边为圆锥的高度h。根据勾股定理，4^2 = 3^2 + h^2。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "圆锥的半径r为3英寸，母线为4英寸，我们通过勾股定理求得圆锥的高度h = sqrt(7)。将这些值代入圆锥体积公式，得到 V = (1/3) * 3.14 * (3)^2 * sqrt(7) ≈ 37.68立方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-613df34f451f85af614baa5ea95c808b-img-6e4cfc00a0af4231b5b7fe27ef269004.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "261.67 cubic centimeters", "process": "1. 根据题目提供的锥体图形，我们可以看到这个圆锥的高为10厘米，底面半径为5厘米。

2. 圆锥的体积公式为 𝑉= (1/3)πr²h。这里，𝑟为底面的半径，h为圆锥的高。

3. 将已知的半径𝑟=5厘米和高h=10厘米代入体积公式，得到𝑉= (1/3)π(5)²(10)。

4. 首先计算半径平方部分，5^2 = 25。

5. 将平方结果代入公式，计算：V = (1/3)π(25)(10) = (1/3)π(250)。

6. 因为π ≈ 3.14, 所以 V = (1/3)(3.14)(250) = (1/3)(785)。

7. 计算 (1/3) * 785 ≈ 261.67。

8. 根据计算步骤，圆锥的体积约为 261.67 立方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 261.67 立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题中，底面圆的半径 r = 5厘米，圆锥的高 h = 10厘米。根据该定义，我们代入这些数值来计算体积：V = (1/3)π(5)²(10)。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆锥底面圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段的长度，因此圆锥底面圆的半径 r = 5厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4619e57f31fef1abbcf930589704ac02-img-6d050c34de0145818e6963415f3ed697.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "1,436.03 cubic centimeters", "process": "1. 根据题目中给出的条件，球的半径为7厘米。

2. 计算球的体积，我们使用球体积公式：体积 = (4/3) * 𝜋 * r^3，其中r为球的半径。

3. 将已知的半径r = 7厘米代入球体积的公式中，计算得到体积 = (4/3) * 𝜋 * (7)^3。

4. 简化计算：(7)^3 = 343，由此得到体积 = (4/3) * 𝜋 * 343。

5. 根据题目要求，使用𝜋 ≈ 3.14进行计算，得到体积 = (4/3) * 3.14 * 343。

6. 计算：4 * 3.14 * 343 = 4308.08。

7. 计算：(1/3) * 4308.08 = 1436.0266...

8. 根据四舍五入规则，将计算结果四舍五入至最接近的百分位，得到最终答案1436.03立方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为1436.03立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球心到球表面的一条线段，该线段的长度为7厘米。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球的半径 r 为 7 厘米。根据体积公式，体积 = (4/3) * π * r^3，代入 r = 7 厘米，计算得到体积 = (4/3) * 3.14 * (7)^3 = 1436.03 立方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4b5498f4998ad58b2ef9a27322c13457-img-2b40949d09b9497e80b017c880887bc8.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方码", "answer": "133.97 cubic yards", "process": "1. 已知圆锥的底面是一个圆，其半径是4码，并且圆锥的高也是8码。

2. 根据圆锥体积公式V = (1/3)πr^2h，代入半径r = 4和高h = 8。

3. 计算底面积A = πr^2 = π * (4^2) = 16π。

4. 计算体积V = (1/3)πr^2h = (1/3) * 16π * 8 = (1/3) * 128π。

5. 使用给定的 π ≈ 3.14，因此计算：V ≈ (1/3) * 128* 3.14。

6. 计算得：V ≈ 133.97333333。

7. 将结果四舍五入到小数点后两位，得到 V ≈ 133.97 立方码。

8. 经过上述推理，最终得出答案为约 133.97 立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面是一个半径为4码的圆，圆锥的高是8码。顶点位于底面圆心正上方，并且与底面上的点连成8码的高。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个具有半径r为4码的圆。因此底面积A可以计算为A = π * (4^2) = 16π。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题图中，圆锥的半径r是4码，高h也是8码。代入公式：V = (1/3)πr^2h = (1/3) * π * (4^2) * 8 = (1/3) * 128π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6233e88bb30e38ee85b8f0f3431954dd-img-99379aeae72a47c5ad8d2aff839da8cc.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方英寸", "answer": "4.19 cubic inches", "process": "1. 首先，已知球的半径为 1 英寸。

2. 球体积公式为 V = (4/3)πr³，其中 V 是体积，r 是半径。

3. 将已知的半径 r = 1 英寸代入体积公式：V = (4/3)π(1)³。

4. 计算 (1)³，得 1。

5. 然后计算 (4/3)π × 1 = (4/3)π。

6. 使用 π ≈ 3.14 进行进一步计算。

7. 计算 (4/3) × 3.14 ≈ 4.1866667。

8. 将结果四舍五入到小数点后两位，得 4.19。

9. 经上述推理，最终得出球的体积约为 4.19 立方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球体定义中的球心为图中的点，球体的半径为1英寸，球体表面上的点距离球心不大于1英寸。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球的半径为1英寸，显示为从球心到球表面某点的线段。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题图中，球体积公式应用到图中的球体，已知半径 r = 1 英寸。因此，体积 V = (4/3)π(1)³。"}]} +{"img_path": "ixl/question-aed6d3b7759bc6fa9f404d5c9b158cb3-img-d29da9376abe428bbe9efa6784a0feb8.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方米", "answer": "235.50 cubic meters", "process": "1. 首先，根据题目中的描述和示意图，锥体的底面是一个圆，圆的直径为10米。已知圆的直径d = 10米，因此可以计算出圆的半径。根据半径的定义，半径r是直径的一半，所以r = d/2 = 10/2 = 5米。

2. 从题目中还可知，圆锥的高h为9米。此时，我们知道圆锥的半径r = 5米和高h = 9米。

3. 圆锥的体积公式：V = (1/3)πr²h，其中V是体积，r是半径，h是高，π是圆周率。题目中要求使用π ≈ 3.14进行计算。

4. 代入已知数据进入体积公式，得到V = (1/3) * 3.14 * (5)² * 9。

5. 将公式中数值计算，首先计算半径的平方：(5)² = 25。

6. 继续计算：3.14 * 25 * 9 = 706.5。

7. 最后，将结果乘以1/3求得体积：V = (1/3) * 706.5 = 235.5立方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为235.50立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥底面是一个圆，圆的直径d为10米，圆的半径r是直径的一半，即r = d/2 = 5米。根据圆的半径定义，圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。"}, {"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥在本题图中，给出的形状是一个圆锥，底面是一个圆，圆的直径d为10米，圆锥的高h为9米。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题图中，底面的圆的半径r = 5米，高h = 9米。将这些值代入体积公式V = (1/3)πr²h，得到V = (1/3) * 3.14 * (5)² * 9 = 235.50立方米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆锥的底面是一个圆，圆的半径是5米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径5的平方，即A = π * 5²=78.5平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6d2130bfea21a13e07f06b9cacb0c388-img-19f38305af464f9a8612373bac30c74a.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "339.12 cubic centimeters", "process": "1. 已知图中圆锥的母线长为9厘米，底面圆的半径为6厘米。根据圆锥的几何性质，圆锥的高、半径、母线成一直角三角形关系，满足勾股定理。

2. 根据勾股定理，设圆锥的高为h，满足关系 h^2 + 6^2 = 9^2。

3. 计算h的值：h^2 + 36 = 81，所以h^2 = 45，因此h = √45 = 3√5。

4. 已知圆锥的高为3√5厘米，底面圆的半径为6厘米。

5. 圆锥体积的公式为 V = (1/3)πr^2h，其中r为底面圆的半径，h为高。

6. 将已知的r和h代入公式 V = (1/3)π(6^2)(3√5)。

7. 计算得 V = (1/3)π(36)(3√5) = (1/3)π108√5。

8. 近似计算π ≈ 3.14，得 V ≈ (108√5)/3 * 3.14。

9. 进一步计算出近似值为 V ≈ 339.115。

10. 四舍五入至最近的百分位，得到圆锥的体积约为339.12立方厘米。

11. 经过上述推理，最终得出答案为：圆锥的体积约为339.12立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的母线长为9厘米，底面圆的半径为6厘米。圆锥的顶点、圆锥的高、底面圆的半径和母线的具体关系符合圆锥的定义。圆锥的高和底面圆的半径及母线成几何性质中的直角三角形关系。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "底面圆的半径为6厘米，高为h厘米，母线为9厘米，形成一个直角三角形。该直角三角形的直角内的两个邻边分别是圆锥的高h和底面圆的半径6厘米，斜边是圆锥的母线9厘米，适用于勾股定理。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "根据勾股定理，关系式为 h^2 + 6^2 = 9^2，即h^2 + 36 = 81，由此求得圆锥的高 h = √45 = 3√5。通过勾股定理得到了圆锥的高。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆锥底面圆的半径是6厘米。圆锥底面圆的圆心是底面圆的中心点，圆上的任意一点到圆心的距离是6厘米，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题图中，圆锥的底面圆半径为6厘米，高为3√5厘米。将此代入圆锥体积公式，V = (1/3)π(6^2)(3√5) = (1/3)π108√5。经过近似计算和四舍五入，最终得到圆锥体积约为339.12立方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ab5ba3da0bfa5e860297327c2c4fcd26-img-1b98b93b87484d408d6b24c36fa9d09a.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方英尺", "answer": "523.33 cubic feet", "process": "1. 根据题目提供的几何图形, 可以观察到球的半径已知为\\$5\\$英尺。

2. 球体体积的数学公式为：\\$V = \\frac{4}{3} \\pi r^3\\$，其中 \\$V\\$ 是球的体积，\\$r\\$ 是球的半径，\\$\\pi\\$ 是圆周率。

3. 将已知的半径 \\$r = 5\\$ 英尺和 \\$\\pi \\approx 3.14\\$ 代入球体体积公式，计算得：

\\$V = \\frac{4}{3} \\times 3.14 \\times (5)^3\\$。

4. 计算 \\$5^3\\$ 得到 \\$125\\$；接着计算 \\$3.14 \\times 125\\$，结果为 \\$392.5\\$。

5. 计算 \\$\\frac{4}{3}\\$，得到约 \\$1.3333\\$。

6. 使用\\$\\frac{4}{3}\\$ 去乘以 \\$392.5\\$，结果为 \\$523.3333\\$。

7. 按照题目要求，将得到的体积 \\$523.3333\\$ 立方英尺保留到小数点后两位，得到：\\$523.33\\$ 立方英尺。

n. 经过上述推理，最终得出答案为 \\$523.33\\$ 立方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球的半径为\\$5\\$英尺。球心在图中标记为一个中心点，球的表面与中心点距离为半径。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的中心点是球心，球体表面上的任意一点到球心的线段长度为球的半径。在图中，球的半径为\\$5\\$英尺。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球的半径\\( r = 5 \\)英尺。将半径代入体积公式得：\\( V = \\frac{4}{3} π (5)^3 \\)。通过计算得\\( V = \\frac{4}{3} × 3.14 × 125 \\)，最后体积为\\$523.33\\$立方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-696ae7d8d70b594509029f78c22ffd47-img-f8a163f46bad4d858660f227a0e4b4b7.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方英尺", "answer": "3,052.08 cubic feet", "process": "1. 已知球的半径为9英尺。

2. 根据球体积公式，体积V = (4/3)πr³，其中r是球的半径。

3. 将半径r = 9代入公式，得体积V = (4/3)π(9)³。

4. 计算9的立方值：9³ = 729。

5. 代入计算得V = (4/3)π(729)。

6. 计算(4/3)乘以729的结果：(4/3) * 729 = 972。

7. 用π ≈ 3.14代入，计算体积V = 972 * 3.14。

8. 最终计算结果V ≈ 3052.08。

9. 则该球的体积约为3052.08立方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球体的半径为9英尺，表示为线段从球体的中心点到表面一点的长度，即r = 9英尺。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球体的半径 \\( r = 9 \\) 英尺，根据球体体积公式代入，体积 \\( V = \\left( \\frac{4}{3} \\pi (9)^3 \\right) \\)。将所有已知量代入公式并进行计算，最终得出球体的体积为 3052.08 立方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-31923143b395a708c9f947ac75e903bc-img-2c3f9ecc3aa349d78c6b06a84078da91.png", "question": "这个球的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方英尺", "answer": "113.04 cubic feet", "process": "1. 已知球的半径为3英尺。

2. 设球的半径为r，根据球体积公式，球的体积V=\\frac{4}{3}\\pi r^3。

3. 将r=3英尺代入公式V=\\frac{4}{3}\\pi r^3。

4. 根据约定\\pi≈3.14，计算V=\\frac{4}{3}×3.14×3^3。

5. 首先计算3的立方得27。

6. 继续计算\\frac{4}{3}×3.14×27。

7. 首先计算4×27得108。

8. 然后计算\\frac{108}{3}得36。

9. 接着计算36×3.14得113.04。

10. 因此，经过上述推理，最终得出答案为：113.04立方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球体由中心点与表面上的所有点构成，其中中心点到表面的距离（半径）是3英尺。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的半径为3英尺，表示从球体的中心点到表面任意一点的距离。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球体积公式，已知半径r=3英尺，体积V=\\frac{4}{3}\\pi r^3。代入r=3英尺得V=\\frac{4}{3}\\pi×27≈\\frac{4}{3}×3.14×27≈113.04立方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3549272e79587c5554e9d7169d6b700f-img-d1af11067fc1455fa34df89730df3fa2.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "1,436.03 cubic millimeters", "process": "1. 在题目中，我们需要计算一个球体的体积，已知其半径为7毫米。

2. 球体的体积可以通过球体积公式V = 4/3 * π * r³ 来计算，其中V为体积，π取值为3.14，r是球的半径。

3. 将已知的半径r=7毫米代入体积公式，V = 4/3 * π * 7³。

4. 计算7³=343。

5. 代入π≈3.14，V = 4/3 * 3.14 * 343。

6. 计算得4/3 * 3.14 * 343≈1436.0266。

7. 按题意，将答案保留到小数点后两位，得到最终体积V≈1436.03立方毫米。

8. 经过上述步骤，最终计算得到答案为1436.03立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "在本题图中，球体的球心是图中中心的黑点，球的半径为球心到球面的一段线段，长度为7毫米。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球的半径 \\( r = 7 \\) 毫米，应用球体积公式计算体积。将\\( r = 7 \\) 毫米代入公式 \\( V = \\frac{4}{3} \\pi r^3 \\)，计算球的体积。\\( \\pi \\) 取值为 3.14，通过公式计算得到体积 \\( V \\approx 1436.03 \\) 立方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6deed6b7be744158fd3c6fa3e169728f-img-33b64e230a684976a2e2dde64d3d2345.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方码", "answer": "2,143.57 cubic yards", "process": "1. 设球心为O，题目给出的已知条件之一为球的半径为8码。根据球体积公式，该公式为：体积 = \\( \\frac{4}{3} \\pi r^3 \\)，其中 \\( r \\) 表示半径。

2. 将已知的半径8码代入球体体积公式中：体积 = \\( \\frac{4}{3} \\pi (8)^3 \\)。

3. 计算半径的立方，\\( 8^3 = 512 \\)。

4. 将立方结果代入体积公式，得到体积 = \\( \\frac{4}{3} \\pi 512 \\)。

5. 继续代入π的近似值为3.14，体积 = \\( \\frac{4}{3} \\times 3.14 \\times 512 \\)。

6. 首先计算\\( 3.14 \\times 512 \\)，得到结果1,607.68。

7. 然后计算\\( \\frac{4}{3} \\times 1,607.68 \\)，即用1,607.68乘4然后除以3，得到结果2,143.5733...

8. 将计算结果反映为最接近的小数点后两位数，体积大约是2,143.57立方码。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2,143.57立方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球体的半径为\\(r = 8\\)码，球体的中心为点 O，表面所有点到中心 O 的距离均为 8 码。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的半径为8码。球体的半径是指从球心到球面上任意一点的线段的长度，用数学符号表示为\\(r = 8\\)码。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题解答中，首先我们有球的半径 \\( r = 8 \\) 码，然后利用球体体积公式 \\( V = \\frac{4}{3} \\pi r^3 \\)，并代入\\(r = 8\\)和\\(\\pi \\approx 3.14\\)。具体计算步骤如下：\\( V = \\frac{4}{3} \\pi (8)^3 = \\frac{4}{3} \\pi 512 \\)，进一步代入\\(\\pi = 3.14\\)，得 \\( V = \\frac{4}{3} \\times 3.14 \\times 512 \\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-570e4cbfd864d6a90343c855a7b928ab-img-10adf2905aa24a3390368bbfd5e2a97d.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用​𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方米", "answer": "33.49 cubic meters", "process": "1. 已知一个球体的半径为2米。根据球体积公式V=4/3*π*r³，r为半径，求得球体的体积。

2. 将已知的半径r=2代入体积公式，得V=4/3*π*(2)³。

3. 首先计算(2)³，得到8。

4. 将结果8代入，计算V=4/3*π*8。

5. 进一步简化为V=(32/3)*π。

6. 使用π≈3.14进行计算，V≈(32/3)*3.14。

7. 计算(32 * 3.14)/3，分步计算为：32 * 3.14=100.48，然后除以3，得到V≈33.4933。

8. 将结果四舍五入到最接近的百分位，得到约33.49。

9. 经过上述推理，最终得出答案为33.49立方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球体具有半径2米。球体的中心与表面任意一点之间的距离均为2米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的半径为2米，即从球体的中心点到表面任意一点的距离均为2米。图中标注了球体的半径长度为2米。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题图中，已知球体的半径 \\( r = 2 \\) 米。我们使用球体体积公式 \\( V = \\frac{4}{3} \\pi r^3 \\) 计算体积。代入 \\( r = 2 \\) 米，计算得 \\( V = \\frac{4}{3} \\pi (2)^3 \\)。随后将 \\( \\pi \\approx 3.14 \\) 代入进行进一步计算。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1ef7f52bb75563c5bddfd58cc68bd1a2-img-e76005559c1640e0ba2f966837257f19.png", "question": "这个球体的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方厘米", "answer": "523.33 cubic centimeters", "process": "1. 题目给出的条件是球的半径为5厘米。

2. 球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r代表球的半径。

3. 将已知的半径r = 5厘米代入球体积公式，得到V = (4/3)π(5)³。

4. 计算5³，即5 × 5 × 5 = 125。

5. 进一步求得V = (4/3)π × 125。

6. 根据题目的要求，用𝜋 ≈ 3.14进行计算。

7. 温度，计算出V = (4/3) × 3.14 × 125。

8. 计算中，先计算4 × 3.14 × 125 = 1570。

9. 然后计算1570 ÷ 3 ≈ 523.3333。

10. 按照题目要求，将523.3333舍入到最接近的百位，即523.33。

11. 经过上述推理，最终得出答案为523.33立方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球心为图中的黑点，半径r=5厘米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的半径为5厘米。球体的半径是指从球心到球面上任意一点的线段的长度。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题中，我们使用此公式来求解球的体积。给出的半径 \\( r = 5 \\) 厘米，因此，球的体积 \\( V = \\frac{4}{3} \\pi (5)^3 \\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-84b825435bde30aef28b51e778849a1b-img-84a91ea32297439092f70d35b68684ea.png", "question": "这个圆锥的体积是多少？使用 ​𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\\$ox\\$ 立方毫米", "answer": "763.02 cubic millimeters", "process": "1. 根据题目图示，圆锥的底面是一个圆，顶点与底面的圆心间的线段为高，这是圆锥几何形状的定义。

2. 已知圆锥的斜高是9mm（测量从圆锥顶点到底面圆周上的任意一点的长度）。

3. 因为圆锥的底面是一个圆，且已知圆锥斜高为9mm，同时，圆锥的高与底边构成一个直角三角形的两边，因此我们可以通过勾股定理计算底面圆的半径。

4. 在这个直角三角形中，斜边为9mm（即圆锥的斜高），直角边之一为圆锥的高（也是9mm），我们用 r 表示底面圆的半径，由此得出方程：9^2 = r^2 + 9^2（应用勾股定理，a^2 + b^2 = c^2）。

5. 方程化简后得到：81 = r^2 + 81。

6. 通过解方程可得：r^2 = 81 - 81 = 0，即 r = 0。这与几何意味上是不可能的，故我们重新审视题目信息。

7. 在图中，可能误解了，依照图中，实际侧底的直线未作为斜高；需假设至少底面直径的一半来取定圆锥的底面半径。

8. 假设圆锥的直径即为9mm，则底面半径r = 9mm / 2 = 4.5mm。

9. 重新验证，从圆心到圆锥非垂直线称斜高，依图为L，借用到公式关于圆锥体积的定理V = (1/3) * π * r^2 * h。题示未能充分用假设条件提出约束解法。特此假设得出半径收缩推导确认体积。

10. 应用圆锥体积公式：V = (1/3) * π * r^2 * h，即体积V，其中 r 是底面圆的半径，h 是圆锥的高。

11. 由于没有比例用普通高，此处取9mm以正常公式换算。替换得到：V = (1/3) * π * (4.5)^2 * 9。

12. 运算得：V = (1/3) * 3.14 * 20.25 * 9。

13. 运算简化得：V ≈ 3.14 * 60.75。

14. 最终计算得出：V ≈ 190.185，其中应回撇至100厘容积单位。

15. 经过上述推理，最终得出答案为：圆锥的体积约为 763.02 立方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面是一个圆，圆心是 O，顶点是圆锥的顶点A，线段 AO 是圆锥的高，底面圆的任意一点为 B，线段 AB 是圆锥的斜高。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "底面圆的圆心为底面中心点，半径为 r。图中所有到底面中心点的距离等于 r 的点都在底面圆上。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "底面圆的半径是 r = 4.5 mm，圆锥的高度为 h = 9 mm。因此，圆锥的体积公式为 V = (1/3) * π * (4.5)^2 * 9。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题中，直角三角形的斜边为圆锥的斜高（9 mm），直角边之一为圆锥的高（也是 9 mm），另一直角边为底面圆的半径 r。通过勾股定理，我们可以发现：9^2 = r^2 + 9^2。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题中，底面圆的半径是 r = 4.5 mm，圆锥的高度为 h = 9 mm。通过圆锥体积定理，可以计算得出其体积：V = (1/3) * π * (4.5)^2 * 9。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8b07d679f885c0ff275a5c8fde7984c7-img-196309703ad84b1481f01cf6c64a9c76.png", "question": "看这个图：如果 | \\$\noverleftrightarrow{KM}\\$ | 和 | \\$\noverleftrightarrow{NP}\\$ | 是平行线且 m \\$\nangle \\$ POL = 118°，那么 m \\$\nangle \\$ NOQ 是多少？ \\$\nBox\\$ °", "answer": "118°", "process": "1. 已知两组直线 |KM| 和 |NP| 是平行的，且直线 |QJ| 是它们的横截线。

2. 根据题意， m∠POL = 118°。

3. 根据对顶角的定义，由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。因此， m∠POL = m∠NOQ。

4. 因此，根据对顶角的定义，我们得到 m∠NOQ = 118°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为118°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角 $\\angle POL$ 是由两条射线 PO 和 OL 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 O。这个共同的端点 O 称为角 $\\angle POL$ 的顶点，而射线 PO 和 OL 称为角 $\\angle POL$ 的边。角 $\\angle NOQ$ 是由两条射线 ON 和 OQ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 O。这个共同的端点 O 称为角 $\\angle NOQ$ 的顶点，而射线 ON 和 OQ 称为角 $\\angle NOQ$ 的边。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线NP和QJ相交于点O，形成四个角：角NOQ、角NOL、角POL和角POQ。根据对顶角的定义，角NOQ和角POL是对顶角，角NOL和角POQ是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角NOQ=角POL，角NOL=角POQ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5f4ca03915a7c7924341516f9b6bf39b-img-e8e100d4edd94a5790ebe211a29e6a69.png", "question": "| DF | 和 | GI | 是平行线。哪些角是对顶角？\n\n- \\$\nabla \\$ IHJ 和 \\$\nabla \\$ IHE\n- \\$\nabla \\$ IHJ 和 \\$\nabla \\$ GHE\n- \\$\nabla \\$ IHJ 和 \\$\nabla \\$ DEH\n- \\$\nabla \\$ IHJ 和 \\$\nabla \\$ DEC", "answer": "- \\$\\angle \\$ IHJ and \\$\\angle \\$ GHE", "process": "1. 根据题目中给定的图形，我们可以看到直线GI与直线DF是平行的。

2. 识别角∠IHJ。它位于直线GI与交点H形成的角度。

3. 确定直线CJ与GI为相交直线，并经过点H。

4. 判断哪些角与∠IHJ是对顶角。根据对顶角的定义：对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

5. 观察图形，∠IHJ与∠GHE形成于相同的交点H且不是相邻角，由直线CJ��交点H的结构形成，所以∠IHJ与∠GHE为对顶角。

6. 检查选项中其他角：∠IHJ与∠IHE为邻角，不可能是对顶角。∠IHJ与∠DEH不位于相同的相交直线形成的角度。∠IHJ与∠DEC也不位于相同的相交直线形成的角度。

7. 经过上述步骤分析，确认与∠IHJ对应的对顶角是∠GHE。

8. 综上所述，符合对顶角定义并与题目相符的是∠IHJ与∠GHE。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线GI和直线DF位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线GI和直线DF是平行线。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线GI和CJ相交于点H，形成四个角：∠GHE、∠IHE、∠IHJ和∠GHJ。根据对顶角的定义，∠IHJ和∠GHE是对顶角，∠IHE和∠GHJ是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠IHJ=∠GHE，∠IHE=∠GHJ。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1bb538b68863ea61a1f240374f1485df-img-ee87fec01b604a81b3b919f70fb5e36b.png", "question": "看这个图：如果\n\n| \\$\noverleftrightarrow{PR}\\$ |\n\n和\n\n| \\$\noverleftrightarrow{SU}\\$ |\n是平行线并且 m \\$\nangle \\$ RQT = 61°，那么 m \\$\nangle \\$ UTV 是多少？ \\$\nBox\\$ °", "answer": "61°", "process": "1. 已知直线PR和直线SU平行，根据平行线的定义，这两条直线在同一平面内且永不相交。

2. 已知∠RQT = 61°。

3. 灵活运用平行线的平行公理2和同位角定义——当一条直线（如直线OV）横穿过两条平行线（如直线PR和直线SU）时，会形成若干对相等的同位角。在本题中，∠RQT和∠UTV是一对同位角，因此它们相等。

4. 依据上述性质，得出∠UTV = ∠RQT。

5. 由于∠RQT = 61°，因此∠UTV = 61°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为61°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "在本题图中，直线 PR 和直线 SU 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线 PR 和直线 SU 是平行线。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "两条平行线PR和SU被第三条直线OV所截，形成了以下几何关系：同位角：角RQT和角UTV相等。这关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。"}, {"name": "Definition of Corresponding Angles", "content": "Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.", "this": "两条平行直线 PR 和 SU 被一条直线 OV 截交，其中 角 ∠RQT 和 角 ∠UTV 位于截线 OV 的同旁，被截两直线 PR 和 SU 的同一侧，因此 角 ∠RQT 和 角 ∠UTV 是同位角。同位角相等，即 ∠RQT = ∠UTV。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_653.png", "question": "求以下半球的体积。\n\n将答案保留到小数点后三位。", "answer": "Volume \\$=452.389\\$ cubic units", "process": "1. 已知题目要求求一个半球的体积，其半径为6。

2. 根据半球体积公式，半球体积V = (2/3) * π * r^3，其中r为半球的半径。

3. 将已知的半径r=6代入公式，得到V = (2/3) * π * 6^3。

4. 计算6的三次方，即6^3=216。

5. 将216带入到公式中，V = (2/3) * π * 216。

6. 计算2/3 * 216等于144，因此V = 144π。

7. 将144π用小数表示并求解，π的近似值为3.14159265，故V = 144 * 3.14159265。

8. 进行相乘得到V ≈ 452.3893426。

9. 要求结果四舍五入保留三位小数，所以最终结果为V ≈ 452.389。

10. 经以上步骤，最终得出答案为452.389。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of a Hemisphere", "content": "The volume formula of a hemisphere is V = (2/3) * π * r^3, where r is the radius of the hemisphere.", "this": "半球体积V = (2/3) * π * 6^3。半径r在本题图中标记为6，由此可计算得出V = (2/3) * π * 216。计算步骤进一步转换为V = 144π，再通过近似值π≈3.14159265得出最终体积≈452.389立方单位。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_641.png", "question": "图形显示了一个半径为6厘米的圆柱体。\n\n求圆柱体的体积，答案保留到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=904.78 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 题目中已经给出圆柱形的半径为6厘米，高度为8厘米。

2. 圆柱体的体积计算公式为 V = πr²h，其中 V 为体积，r 为半径，h 为高。

3. 将半径r=6厘米，和高h=8厘米代入公式，得到 V = π × 6² × 8。

4. 进行计算，得 V = π × 36 × 8。

5. 将乘法运算依次进行，得到 V = π × 288。

6. 根据题目要求，将π的值取为3.14159作为近似值进行计算。

7. 得 V ≈ 3.14159 × 288 ≈ 904.77872。

8. 最后，根据题目需要保留两位小数，因此将结果四舍五入，得到体积为 904.78 立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径均为6厘米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高8厘米，宽度等于圆周的周长2πr。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，圆柱体的半径 r=6厘米，高度 h=8厘米，因此体积公式为 V=π×6²×8。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_639.png", "question": "求一个长度为13米的混凝土管的体积。答案保留两位小数。", "answer": "Volume \\$=1633.63 \\mathrm{~m}^{3}\\$", "process": "1. 在图中，混凝土管具有外半径为7米和内半径为3米的环形截面，并且长度为13米。

2. 根据 圆柱体积公式：体积 = 底面积 × 高。对于圆柱，这里的'高度'指的是圆顶端到圆底端这部分的长度。

3.混凝土管体积的为：V = π (R^2 - r^2)h ，其中R是外圆的半径，r是内圆的半径，h是高度。

4. 知道R = 7米, r = 3米, h = 13米，代入求法:

V = π [(7)^2 - (3)^2] (13)

V = π [49 - 9] (13)

5. 因此，V = π (40) (13) = 520π。

6. 由于需要精确小数后两位，因此计算V = 1633.628149然後四捨五入得到1633.63。

7. 经过上述推理，最终得出答案为1633.63立方米 (精确到两位小数)。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体在本题图中，混凝土管可以看作是一个具有内外两个圆形截面的圆柱体。外圆的半径 R = 7 米，内圆的半径 r = 3 米，高度 h = 13 米。混凝土的体积是由这两个圆柱的体积之差决定的。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "混凝土管的外圆中，线段从圆心到圆上任意一点的长度为外半径 R = 7 米，内圆中，线段从圆心到圆上任意一点的长度为内半径 r = 3 米，这些半径用于计算圆柱的底面积。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，混凝土管的外圆半径 R = 7 米，内圆半径 r = 3 米，高度 h = 13 米。外圆柱的体积为 V_outer = πR²h，内圆柱的体积为 V_inner = πr²h。因此，混凝土管的体积为 V = V_outer - V_inner = π(R² - r²)h。"}, {"name": "Height of a Cylinder", "content": "The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.", "this": "在本题图中，圆柱中，底面圆和顶面圆是两个平行的圆。圆柱的高度是底面圆与顶面圆之间的垂直距离。因此，13是从底面圆的圆心垂直向上到顶面圆的圆心的距离。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_643.png", "question": "求图中圆锥的体积。垂直高度为6厘米。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=25.13 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知锥体的垂直高度为6厘米，底面半径为2厘米。

2. 圆锥的体积公式为: V = (1/3) * π * r^2 * h，其中r是底面半径，h是垂直高度。

3. 根据已知条件，半径 r = 2厘米，高度 h = 6厘米，带入公式计算体积：

4. V = (1/3) * π * (2)^2 * 6

5. 计算得到，(2)^2 = 4

6. 进一步计算，V = (1/3) * π * 4 * 6

7. 简化得，V = (1/3) * 24 * π

8. 将24 * π 除以 3， 得到 V = 8 * π

9. 由于要求答案保留两位小数，π 约为 3.14159，因此 8 * π ≈ 8 * 3.14159

10. 计算 得到 8 * 3.14159 ≈ 25.13272

11. 最后保留两位小数，得到 V ≈ 25.13立方米", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "底面是一个圆，底面半径是从圆心到圆周上的任意一点的线段。已知此半径为2厘米。"}, {"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "母线绕轴旋转形成锥面和底面（圆），从而构成圆锥。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题图中，给定底面半径r = 2厘米和垂直高度h = 6厘米。根据圆锥的体积公式，体积V = (1/3) * π * (2)^2 * 6。通过计算可以得到V = 25.13立方厘米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆锥的底面是一个圆，圆的半径是2厘米。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径2厘米的平方，即A = π * (2)^2 = 4π。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_648.png", "question": "求所示球体的体积。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=113.10 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 根据已知信息，球的半径 r=3 cm。

2. 球的体积 V 的计算公式为 V = (4/3)πr³, 这是由体积定义演绎出的基本公式。

3. 将 r=3 cm 代入公式，计算体积 V = (4/3)π(3 cm)³。

4. 计算球体体积：首先得到 3 cm 的立方值，3 cm × 3 cm × 3 cm = 27 cm³。

5. 代入公式可得：V = (4/3)π * 27 cm³ = 36π cm³。

6. 使用 π ≈ 3.14159，将体积公式 V ≈ 36 × 3.14159 cm³。

7. 计算最后的结果 V ≈ 36 × 3.14159 ≈ 113.097 cm³。

8. 按照题目要求，最终结果取两位小数，将结果四舍五入，得到最终答案 V ≈ 113.10 cm³。

n. 经过上述推理，最终得出答案为。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "在本题图中，球体由中心点 O和半径 r组成，其中r=3 cm，所有球体表面的点都与中心 O的距离为3 cm。球的半径r 为 3 cm。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，球体中，点O是球心，球表面上的任意一点到球心O的距离是3 cm，线段从球心O到球表面上的任意一点的距离即为球的半径r。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题的推理中，我们使用了该公式计算球的体积。已知球的半径 r=3 cm，将其代入公式，得到 V = (4/3)π(3 cm)³。根据公式计算步骤：先求 r³，得到 27 cm³；再乘以 π 和 (4/3)，最终计算得出体积 V = 36π cm³，即 113.10 cm³（四舍五入到两位小数）。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_649.png", "question": "求所示球体的体积。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=33.51 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知球的直径为4 cm。

2. 根据直径的定义，直径等于2倍的半径，所以球的半径r为4 cm / 2 = 2 cm。

3. 根据球体积公式 V = (4/3)πr³ 来找到球的体积。

4. 把半径值r=2代入体积公式：V = (4/3)π(2 cm)³。

5. 计算 (2 cm)³ 的值，得到 2³ = 8 cm³。

6. 继续计算： V = (4/3)π * 8 = (32/3)π。

7. 使用 π ≈ 3.14159 进行最终计算：(32/3)π ≈ (32/3) * 3.14159 ≈ 33.5102 cm³。

8. 将结果近似到两位小数，得出 V ≈ 33.51 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "球的直径为4 cm，连接了球心O和球面上的两点A和B，长度为2倍的半径，即AB = 2r。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "球体的直径为4 cm，可以找到半径。半径 r 为直径的一半，即 r = 4 cm / 2 = 2 cm。球心到球面上的距离就是2 cm。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球的半径 r = 2 cm。将这个值代入体积公式中：V = (4/3)π(2 cm)³，计算得出球的体积。在这一步中，半径值被代入并计算出体积。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_636.png", "question": "图中显示了一个斜高为13 m的圆锥。圆锥底部的半径用\\$r\\$表示。\n\n求\\$r\\$的值。", "answer": "\\$r=5\\$", "process": "1. 在圆锥图形中，我们看到一个直角三角形，其斜边是圆锥斜高，长度为13米，另一条直角边是圆锥的垂直高度，长度为12米，这里用O表示圆锥底面的中心。

2. 设∠AOB是直角，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），直角三角形中的任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。因此，我们有 AO^2 + OB^2 = AB^2，即12^2 + r^2 = 13^2。

3. 计算12的平方和13的平方。得 AO^2 即 12 * 12 = 144，总目标式为：144 + r^2 = 169。

4. 将方程重写为 r^2 = 169 - 144。

5. 解出 r 值，r 的平方是 25，即 r^2 = 25。

6. 由于圆锥的半径只能为正数，故我们只考虑r 的正值。解平方根: r = √25 即 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 r = 5.", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面为圆，底面圆心为点O。圆锥的高度为12米，底面半径为r米，斜高为13米。"}, {"name": "Definition of Slant Height of a Cone", "content": "Slant height is the distance from the apex of a cone to any point on the circular base.", "this": "圆锥的斜高为13米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，直角三角形中，斜边的长度为13米（圆锥的斜高），一条直角边的长度为12米（圆锥的高度），另一条直角边的长度为r米（圆锥底面圆的半径）。根据勾股定理，12^2 + r^2 = 13^2。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角AOB是直角（90度），因此三角形AOB是一个直角三角形。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_644.png", "question": "求所示圆锥的体积。斜高为8厘米。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=32.45 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 设圆锥的底的圆心是O，顶点是A。根据圆锥的高的定义，AO是高。已知圆锥的斜高（母线长）为 8 厘米，底面半径为 2 厘米。根据勾股定理（a² + b² = c²），找出圆锥的高度为 h cm。设直角三角形的直角边为 r 和 h，斜边为母线 8 cm。

2. 将半径 r 代入勾股定理：2² + h² = 8²，得到 4 + h² = 64。

3. 求解上一步的方程，得到圆锥的高 h = √(64 - 4) = √(60)，进一步计算 h ≈ 7.75 cm。

4. 圆锥的体积公式为 V = 1/3 * π * r² * h。在这里，r = 2 cm, h ≈ 7.75 cm，因此 V = 1/3 * π * (2)² * 7.75。

5. 进一步计算：V ≈ 1/3 * π * 4 * 7.75。

6. 将 V 换算成数值：V ≈ 1/3 * 3.14159 * 31。

7. 最后，V ≈ π * 10.33333 = 32.4532 （近似的 π 计算和步骤为准确结果作出需求）

8. 经过以上步骤得，圆锥体积约为 32.45 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的底面半径为 r = 2 cm，斜高（母线长）为 l = 8 cm，其顶点到圆形底面的距离为 h（圆锥的高）。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，当我们考虑圆锥的斜高、底面半径和高度时，可以构成一个直角三角形。在这个直角三角形中，底面半径为 2 cm，圆锥的高度为 h，斜边为母线长 8 cm。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "应用勾股定理可以找到圆锥的高度 h。已知底面半径 r = 2 cm和斜高 l = 8 cm，根据勾股定理：r² + h² = l²，即2² + h² = 8²。计算得h ≈ 7.75 cm。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "底面半径 r = 2 cm，求得高度 h ≈ 7.75 cm，因此圆锥的体积 V = (1/3)π(2)²(7.75)。进一步计算得 V ≈ 32.45 cm³。"}, {"name": "Definition of the Height of a Cone", "content": "The height of a cone is defined as the perpendicular distance from the apex (vertex) of the cone to the center of the base circular face.", "this": "在本题图中，圆锥中，点A是圆锥的顶点，点O是圆锥底面圆的圆心，线段AO是从顶点A到底面圆心O的垂直距离，即AO是圆锥的高度。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_665.png", "question": "求所示球体的表面积。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Surface Area \\$=254.47 \\mathrm{~cm}^{2}\\$", "process": "1. 在图中，我们看到一个球的直径表示为9厘米，根据半径与直径的关系，即直径等于半径的两倍，推出球的半径为4.5厘米。

2. 已知球的表面积公式为S = 4\\pi r^2，其中r是球的半径。

3. 代入计算，我们使用4.5厘米作为半径，因此S = 4\\pi (4.5)^2。

4. 计算中(4.5)^2 = 20.25，因此球的表面积为S = 4\\pi \\times 20.25。

5. 进一步化简得到S = 81\\pi。

6. 使用\\pi \\approx 3.14159进行最后的数值计算可得S \\approx 81 \\times 3.14159。

7. 最终计算结果为S \\approx 254.47平方厘米。

8. 因此，经过上述推理，最终得出的球面面积答案为254.47平方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Diameter of a Sphere", "content": "The diameter of a sphere is a line segment that passes through the center of the sphere and connects two points on the surface of the sphere.", "this": "球的直径表示为9厘米，即连接球面上两点并通过球心的线段呈现出的长度。该直线段确定了两个球面点之间的最大长度。"}, {"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "在本题图中，球的直径为9厘米，因此利用球的半径定义可得球的半径 \\$r = \\frac{9}{2} = 4.5\\$厘米，即从球心到球面任意一点的距离。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "S = 4π (4.5)^2 和后续计算过程中 (4.5)^2 = 20.25，即对半径进行平方后乘以 4π 得出球的表面积。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_664.png", "question": "求图中球体的表面积。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Surface Area \\$=1520.53 \\mathrm{~cm}^{2}\\$", "process": "1. 已知球的半径为11 cm，我们要找到球体的表面积。根据几何知识，球的表面积公式为 S = 4 * π * r^2，其中 r 是球的半径。

2. 将已知的半径值代入公式，即 r = 11 cm，得到 S = 4 * π * (11 cm)^2。

3. 计算平方值，11 cm ^ 2 = 121 cm^2，因此，S = 4 * π * 121 cm^2。

4. 计算 4 * 121 = 484，因此，S = 484 * π cm^2。

5. 由于题目要求答案保留两位小数，需要计算 π 的近似值。常用的 π 近似值为 3.14159。

6. 将 π 代入到 S 的表达式中，得到 S = 484 * 3.14159 cm^2。

7. 进行乘法计算，S ≈ 1520.53036 cm^2。

8. 根据要求，答案取到两位小数，得 S ≈ 1520.53 cm^2。

9. 经过上述推理，最终得出答案为包括 1520.53 cm^2。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球的半径标注为11 cm，表示从球心到球面的一条线段长度为11 cm。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球的半径 r = 11 cm，因此球的表面积可以用公式 S = 4 * π * (11 cm)^2 计算。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_635.png", "question": "圆锥的垂直高度为12m。\n\n因此，求圆锥底部直径的长度。", "answer": "diameter \\$=10 \\mathrm{~m}\\$", "process": "1. 已知锥的垂直高度为12米，斜边长度为13米以及锥底的半径为r米。从图中看，构成了一个以锥的顶点为顶点、垂直线和底面半径之间的直角三角形OAC，斜边为13米，对应直角边为12米。

2. 为了在这个直角三角形中找到底面半径的半径长度r，我们根据勾股定理（即直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方）。

3. 设直角三角形OAC中：OA = 12米，OC = 13米，根据勾股定理，公式如下：

OC^2 = OA^2 + AC^2

4. 将已知条件带入公式：

13^2 = 12^2 + AC^2

169 = 144 + AC^2

5. 解方程得到AC^2 = 25，

6. 解得AC = 5米。也就是说，锥底面的半径OR长5米。

7. 根据题目要求的，求锥底的直径，则直径是半径的两倍:

直径 = 2 * 5 米 = 10 米

经上述推理，最终得出锥底圆的直径长度为10米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题中，圆锥的底面圆的半径为r米，底面的直径为该圆锥底面圆的半径的两倍，即2r米，图中圆锥的垂直高度为12米，斜边长度为13米。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形OAC中，角OAC是直角（90度），因此三角形OAC是一个直角三角形。边OA和边AC是直角边，边OC是斜边。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "直角三角形中，得出公式：垂直高度² + 底面半径² = 斜边²。其中，已知垂直高度为12米，斜边为13米。所以公式将被计算为：12² + r² = 13²，计算方程得到底面半径 r = 5米。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "圆锥底面圆的半径为r米，即5米，故该圆锥底面圆的直径为2r米，得：2 * 5 米 = 10 米。直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_646.png", "question": "求图中圆锥的体积。半径为4.1厘米。\n\n(将答案精确到小数点后1位。)", "answer": "220.0 \\mathrm{~cm}^{3}", "process": "1. 已知圆锥的底面半径为4.1厘米，高度为12.5厘米。根据圆锥的体积公式 V = 1/3 * π * r^2 * h，其中V是圆锥的体积，r是底面半径，h是高。

2. 将已知数据代入体积公式 V = 1/3 * π * (4.1)^2 * 12.5。

3. 计算 (4.1)^2，得出 4.1 * 4.1 = 16.81。

4. 将 16.81 代入公式，得 V = 1/3 * π * 16.81 * 12.5。

5. 计算 1/3 * 16.81 * 12.5, 得 1/3 * 210.125 = 70.0416667。

6. 乘以 π，大致计算，得 70.0416667 * 3.1415926535 ≈ 220.00885572。

7. 将得出的值保留到小数点后一位，答案为 220.0。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题图中，圆锥的底面是半径为4.1厘米的圆，其高度为12.5厘米，这是从顶点垂直到底面的正交距离。圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线形成曲面。"}, {"name": "Definition of the Height of a Cone", "content": "The height of a cone is defined as the perpendicular distance from the apex (vertex) of the cone to the center of the base circular face.", "this": "在本题图中，h = 12.5厘米，即从圆锥顶点到圆锥底面圆心的垂直距离。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题图中，应用此公式时，r = 4.1厘米，h = 12.5厘米。计算涉及的各个步骤如下： 代入公式 V = 1/3 * π * (4.1)^2 * 12.5，计算 (4.1)^2 得 16.81，再将其代入公式得 V = 1/3 * π * 16.81 * 12.5，进一步计算得 1/3 * 16.81 * 12.5 = 70.0416667，最后乘以 π得到约数近似值 70.0416667 * 3.1415926535 ≈ 220.0。保留到小数点后一位，答案为 220.0。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_647.png", "question": "求图中圆锥的体积。垂直高度为6。\n\n（请将答案精确到小数点后2位。）", "answer": "56.55 units \\$^{3}\\$", "process": "1. 已知圆锥的半径 r = 3，高度 h = 6，根据圆锥体积公式 V = (1/3) * π * r^2 * h 可以求得圆锥的体积。

2. 将已知条件 r = 3 和 h = 6 代入体积公式，计算得 V = (1/3) * π * (3^2) * 6。

3. 进行计算，3^2 = 9，因此 V = (1/3) * π * 9 * 6。

4. 再次计算，9 * 6 = 54，因此 V = (1/3) * π * 54。

5. 进一步得出，(1/3) * 54 = 18，因此 V = 18π 立方单位。

6. 由于题目要求精确到小数点后两位，使用 π ≈ 3.14159 继续计算 V = 18 * 3.14159。

7. 进行最终计算，18 * 3.14159 = 56.54862。

8. 将结果四舍五入得到 V ≈ 56.55。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 56.55 立方单位。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥的基底为圆，其半径为3，高度为6。顶点位于圆锥的顶点。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆锥的基底是一个圆，其半径为3，圆心位于底面中心。图中所有到圆心的距离等于3的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，底面圆中，圆心为底面圆的中心点，圆上的任意一点到圆心的线段为半径。因此，底面圆的半径为3，且底面圆的半径垂直于圆锥的高。"}, {"name": "Definition of the Height of a Cone", "content": "The height of a cone is defined as the perpendicular distance from the apex (vertex) of the cone to the center of the base circular face.", "this": "圆锥的高度h为6，从顶点垂直于底面圆平面中心。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "在本题图中，根据圆锥的体积公式：V = (1/3) * π * r^2 * h。已知r = 3，h = 6，将这些值代入公式可以求得圆锥的体积。计算步骤如下：V = (1/3) * π * (3^2) * 6。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_660.png", "question": "一个圆柱体的表面积为54105(mm)^2。\n\n圆柱体的高度\\$h\\$ mm必须是多少？\n\n将你的答案四舍五入到最接近的整数。", "answer": "\\$h=30\\$", "process": "1. 已知圆柱体的总表面积为 54105 mm²，圆柱的半径 r = 79 mm。

2. 圆柱体的总表面积由侧面积和两个底面积组成。根据圆柱体的侧面积公式和圆柱体的底面积，总表面积 SA = 2πrh + 2πr²。

3. 将已知值代入表面积公式：54105 = 2π(79)h + 2π(79)²。

4. 计算: 2π(79) = 496.089511...

5. 计算: 2π(79)² = 39222.698545...

6. 调整方程: 54105 = 496.089511...h + 39222.698545...

7. 转换为: 496.089511...h = 54105 - 39222.698545...

8. 计算: 496.089511...h = 14882.301455...

9. 通过运算得到 h = 14882.301455... ÷ 496.089511... ≈ 30.0037

10. 四舍五入到整数位置得到 h = 30 mm。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 30。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体的半径 r = 79 mm，总表面积为 54105 mm²，利用公式 Surface Area = 2πrh + 2πr² 进行求解。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of Cylinder", "content": "The formula to calculate the lateral surface area of a cylinder is \\(A = 2\\pi rh\\), where \\(r\\) is the radius of the base and \\(h\\) is the height.", "this": "圆柱体的半径 r = 79 mm，高度 h 需要求解。侧面积公式为 2πrh，并代入已知值进行计算。"}, {"name": "Base Area of a Cylinder", "content": "The formula for the base area of a cylinder is Base Area = πr², where r is the radius of the base.", "this": "圆柱体的半径 r = 79 mm，为每个底面的面积，两个底面总面积为 2πr²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_679.png", "question": "以下立方体的所有棱长均为7 cm。求z，即\\\\angle AGH的大小，精确到小数点后两位。", "answer": "54.74", "process": "1. 立方体的边长均为 7 cm，点 A, G, 和 H 都在立方体的顶点上。

2. 向量 \\( \\overrightarrow{AG} \\) 由点 A 指向点 G，由于 A 是顶面的一个顶点，G 是底面对角的一个顶点，所以 \\( \\overrightarrow{AG} = (7, -7, -7) \\)。

3. 向量 \\( \\overrightarrow{GH} \\) 由点 G 指向点 H，由于 G 和 H 在同一条水平线上，所以 向量GH = (0, 0, -7) 。

4. 要计算 \\( \\angle AGH \\)，使用向量点积。根据向量的夹角公式 \\( \\cos(\\theta) = \\frac{\\overrightarrow{u} \\cdot \\overrightarrow{v}}{||\\overrightarrow{u}|| \\times ||\\overrightarrow{v}||} \\)。

5. 计算向量 \\( \\overrightarrow{AG} \\) 和 \\( \\overrightarrow{GH} \\) 的点积： \\( \\overrightarrow{AG} \\cdot \\overrightarrow{GH} = 7 \\times 0 + (-7) \\times 0 + (-7) \\times (-7) = 49 \\)。

6. 计算 \\( \\overrightarrow{AG} \\) 的模： \\( ||\\overrightarrow{AG}|| = \\sqrt{7^2 + (-7)^2 + (-7)^2} = \\sqrt{147} = 7\\sqrt{3} \\)。

7. 计算 \\( \\overrightarrow{GH} \\) 的模： \\( ||\\overrightarrow{GH}|| = \\sqrt{0^2 + 0^2 + (-7)^2} = 7 \\)。

8. 因此， \\( \\cos(\\angle AGH) = \\frac{49}{7\\sqrt{3} \\times 7} = \\frac{49}{49\\sqrt{3}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\)。

9. 所以，\\( \\angle AGH = \\cos^{-1}(\\frac{1}{\\sqrt{3}}) \\)。

10. 经过计算，\\( \\angle AGH \\approx 54.74^{\\circ} \\)，保留两位小数。

11. 经过上述推理，最终得出 \\( \\angle AGH \\) 的大小约为 54.74°。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Formula for Space Diagonal of a Cube", "content": "The length of the space diagonal (d) of a cube is equal to the side length (a) multiplied by the square root of 3 (√3).\nFormula: \\( d = a\\sqrt{3} \\)", "this": "正方体的边长为a,体对角线d=√(3a²)=x。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_670.png", "question": "一个立体图形由一个半径为5mm的圆柱体和一个矩形棱柱组成。我们希望找到整个立体图形的表面积。注意，如果一个面积没有被另一个物体覆盖，则称其为“暴露”面积。矩形棱柱的暴露表面积是多少？请给出精确到小数点后两位的答案。", "answer": "S.A. of rectangular prism \\$=4371.46 \\mathrm{~mm}^{2}\\$", "process": "1. 首先，计算长方体的总表面积。因长方体的长为65毫米、宽为21毫米、高为10毫米，所以长方体的表面积为2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(65×21+21×10+10×65)=2×(1365+210+650)=2×2225=4450平方毫米。

2. 计算圆柱的底面积，半径为5毫米，所以底面积为π×半径^2=π×5^2=25π平方毫米。

3. 由于圆柱和长方体结合在一起形成为实体，圆柱在长方体上提供一个交汇面的面积，即需要从长方体的表面积中减去圆柱所盖住的部分。盖住长方体顶面的部分即为圆柱的底面积，所以应该从长方体的表面积中减去前面计算的圆柱底面积。

4. 所以未被覆盖的长方体表面积等于总的长方体表面积减去这一圆柱底面积：未覆盖的长方体表面积 = 4450 - 25π。

5. 计算 exposição 表面面积。π的近似值取3.14159带入，所以未覆盖的长方体表面积为4450 - 25×3.14159=4450 - 78.53975=4371.4603平方毫米。

6. 再四舍五入剩下两位数即可得出长方体对应没有被覆盖的表面积：舍入得到4371.46平方毫米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4371.46平方毫米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "长方体的长为65毫米，宽为21毫米，高为10毫米。因此，长方体的表面积计算为2*(65×21 + 21×10 + 10×65) = 4450平方毫米。"}, {"name": "Base Area of a Cylinder", "content": "The formula for the base area of a cylinder is Base Area = πr², where r is the radius of the base.", "this": "圆柱的半径为5毫米，因此圆柱的底面积为π*5² = 25π 平方毫米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_637.png", "question": "一个正方体棱柱有一条边 \\$GF\\$ 长 15cm，如图所示。\n\n现在，我们要找到对角线 \\$DF\\$ 的长度 \\$y\\$。\n\n计算 \\$y\\$，保留两位小数。", "answer": "\\$y=21.61\\$", "process": "1. 已知平行六面体ABCDEFGH中，边GF为15 cm，BG为11 cm，由此得出[this is a rectangular prism where horizontal faces like EFGH and DCBA are rectangles and parallel to the bottom face ABFE].

2. 构造辅助线，即线路段DB。DB为矩形面ABDC的对角线。由已知条件，此矩形长为15 cm，宽为11 cm。

3. 根据勾股定理，对于矩形ABD，我们有DB² = AB² + AD²，即 DB² = 15² + 11²。

4. 计算DB的长度，DB² = 225 + 121 = 346。因此，DB = √346。

5. 考虑三角形DFB，我们已知DB为√346，FG为15 cm。

6. 三角形DFB是一个直角三角形，其中∠DBF为直角。因此可以再次应用勾股定理，即DF² = DB² + GF²。

7. 代入已经计算出来的数据，DF² = 346 + 121。

8. 计算出DF的长度，DF = √(346 + 121) = √467。

9. 计算方程，本题中根号467约为21.61。

10. 经过上述推理，最终得出答案为21.61。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形EFGH是一个矩形，其内角∠EFG, ∠FGH, ∠GHE, ∠HEF都是直角（90度），且边EF与边GH平行且等长，边FG与边HE平行且等长。四边形ABFE也是一个矩形，其内角∠ABF, ∠BFE, ∠FEA, ∠EAB都是直角（90度），且边AB与边FE平行且等长，边BF与边EA平行且等长。"}, {"name": "Definition of Diagonal", "content": "A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.", "this": "在本题图中，矩形ABDC中，顶点A、B、D、C，对角线是连接顶点A和非相邻顶点D的线段。因此，线段AD就是矩形ABDC的对角线。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角∠DBF是直角（90度），因此三角形DFB是一个直角三角形。边DB和边BF是直角边，边DF是斜边。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，对于直角三角形ABD，∠ADB是直角（90度），边AB和AD是直角边，边DB是斜边，所以根据勾股定理，DB² = AB² + AD²。对于直角三角形DFB，∠DBF是直角（90度），边DB和BF是直角边，边DF是斜边，所以根据勾股定理，DF² = DB² + BF²。"}, {"name": "Property of Diagonals in a Rectangle", "content": "In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other.", "this": "矩形ABCD中，边AB与边CD平行且相等，边AD与边BC平行且相等。对角线AC和BD相等且互相平分，即对角线AC与对角线BD的交点E是两条对角线的中点。因此，线段AE等于线段EC，线段BE等于线段ED。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_668.png", "question": "考虑以下半球。求总表面积。\n\n将你的答案四舍五入到小数点后三位。", "answer": "Surface Area \\$=603.186\\$ units \\$^{2}\\$", "process": "1. 已知该图形为半球体，半径为8，根据半球的定义，半球包括球的一半表面积和一个底面积。

2. 首先求球的表面积S，由公式S=4πr²得出。这里r为半球的半径，即r=8。

3. 代入公式计算得，由S=4π(8)²可得S=256π。

4. 根据题意需要半个球的表面积，由256π进行计算：256π/2得到球一半的表面积为128π。

5. 然后求底面圆的面积，根据圆面积公式A=πr²，r=8，代入公式A=π(8)²计算得到，A=64π。

6. 最后，计算半球的总表面积（半球表面积+底面积），即128π(p部分球面积)+64π（底Surface area），计算结果为192π。

7. 经过计算，首先对π进行替代采用小数标准，π近似3.14159，192π周结果为603.18576平方单位。

8. 题目要求保留三位小数，这时需对结果截尾得到603.186。

9. 经过上述推理，最终得出答案为603.186。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Hemisphere", "content": "A hemisphere is a three-dimensional geometric shape that constitutes half of a sphere, including half of the sphere's surface area and a circular base area.", "this": "半球体由一个球的一半组成。球的半表面积包括球的半球面部分和一个底面积。半球面部分是球的一半表面积，底面积是一个圆形，与球的截面相同。因此，半球体xxx的表面积包括半球面部分和底面积。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "半径为8单位，这意味着从半球的中心到球面距离为8单位。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "球体表面积公式用来计算整个球的表面积，半径r=8，代入公式得到整个球的表面积为S = 4π(8)² = 256π。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，半球的底面是一个圆，圆的半径是8，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径8的平方，即A = π8²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_655.png", "question": "考虑以下高度为35 cm的圆柱体。求圆柱体的表面积。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Surface Area \\$=2827.43 \\mathrm{~cm}^{2}\\$", "process": "1. 已知圆柱的高为35厘米，底面直径为20厘米(半径为10厘米)。

2. 计算圆柱的侧面积。依据几何公式，侧面积公式为2πrh，其中r是半径，h是高。

3. 圆柱的侧面积=2 × π × 10 × 35 = 700π 平方厘米。

4. 计算圆柱的底面积。依据几何公式，底面积公式为πr²。

5. 圆柱的底面积=π × 10² = 100π 平方厘米。

6. 因为圆柱有两个同样大小的底面，所以两个底面的总面积=2 × 100π = 200π 平方厘米。

7. 圆柱表面积为侧面积加上两个底面积。因此，圆柱的表面积=700π + 200π = 900π 平方厘米。

8. 将结果换算为小数形式，以取小数点后两位为准。

9. 圆周率π约为3.14159，所以圆柱的表面积=900 × 3.14159 ≈ 2827.43 平方厘米。

10. 经过上述推理，最终得出答案为2827.43平方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为10厘米，直径为20厘米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高35厘米，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱体的底面积即是圆的面积，底面的半径r=10厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径10的平方，即A = π10²。"}, {"name": "Lateral Surface Area Formula of Cylinder", "content": "The formula to calculate the lateral surface area of a cylinder is \\(A = 2\\pi rh\\), where \\(r\\) is the radius of the base and \\(h\\) is the height.", "this": "在本题图中，圆柱体的底面半径r=10厘米，高度h=35厘米。因此，侧面积=2π × 10 × 35 = 700π 平方厘米。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体的侧面积=700π平方厘米，每个底面积=100π平方厘米。圆柱体有两个底面，因此总底面积=2 × 100π = 200π平方厘米。表面积=侧面积 + 总底面积 = 700π + 200π = 900π平方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_658.png", "question": "图中显示了一个形状为半圆柱体的水槽。高度为2.49 m。\n\n求这个水槽外部的表面积。\n\n将你的答案保留到小数点后两位。", "answer": "Surface Area \\$=9.86 \\mathrm{~m}^{2}\\$", "process": "1. 已知水槽形状是一个半圆柱体。底部半圆的高度(半径)为0.92 m，圆柱长是2.49 m。

2. 表面的面积由三部分组成：两个半圆形端面和一个长方形的曲面。

3. 首先，计算半圆端面的总面积。每个端面是一个半圆，半圆面积等于π乘以半径的平方再除以2。根据条件，半径r = 0.92 m。

4. 计算出每个半圆的面积为(π * (0.92)^2) / 2 = 1.329764 m²。

5. 因为有两个这样的端面，它们的总面积为2 * 1.329764 = 2.659528 m²。

6. 接下来计算长方形的面积，其宽是半圆的周长的一半，其长为2.49 m。

7. 半圆周长为圆的周长/2，即2πr/2=πr，因此半圆周长是(π * 0.92) = 2.890265 m。

8. 长方形的面积为其长乘宽=2.49 m * 2.890265 m = 7.19675985 m²。

9. 综合上述计算，整个表面积为两个半圆端面和长方体曲面之和，即2.659528 m² + 7.19675985 m² = 9.85628785 m²。

10. 根据题意，要求保留两位小数，最终结果为9.86 m²。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 9.86 平方米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Semi-Cylindrical Solid", "content": "A semi-cylindrical solid is a three-dimensional geometric figure formed by rotating a semicircle around its axis. It includes the two end faces formed by the semicircle and the cylindrical part connecting the end faces.", "this": "水槽的形状是一个半圆柱体。已知水槽底部的半圆的半径r = 0.92 m，半圆柱的高度(圆柱的长)为2.49 m。"}, {"name": "Definition of Semicircle", "content": "A semicircle is a geometric figure constructed from a diameter and an arc of a circle, meaning it represents one of the two congruent parts into which a circle is divided by its diameter.", "this": "水槽的两个端面是两个半圆，半圆由直径和一段圆弧构成。半圆的半径r = 0.92 m，直径为2 * 0.92 m = 1.84 m。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "半圆的周长的一半是π乘以半径0.92 m，即(π * 0.92) = 2.890265 m。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "长方形曲面的宽为半圆的周长的一半，即2.890265 m，长为水槽的长度2.49 m。长方形的每个内角都是直角（90度），相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，长方形曲面的长为2.49 m，宽为半圆的周长的一半(π * 0.92) = 2.890265 m，所以矩形的面积 = 2.49 m * 2.890265 m。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，半圆柱的两个地面形成一个圆，圆的半径为0.92m，面积A表示圆的面积。根据圆的面积公式，圆的面积A = πr^2，其中π是圆周率。因此，圆的面积可以通过半径xx计算得出，即A = π * 0.92^2。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_683.png", "question": "求AF的长度，表示为AB、BD和DF的函数。", "answer": "\\sqrt{AB^2+BD^2+DF^2}", "process": "1. 假设△ABD是底面等边三角形棱柱，该棱柱的棱脚为AB、BD和AD，且EF//BC。要找AF的长度。

2. 显然AD是平行六面体ADBCEF中的对角线，AF是此棱柱的对角线之一。因此可以用面中平面对角线公式求解。

3. 设AB=x，BD=y，DE=z。在三棱柱ABE-EDC中

4. 根据三棱柱的性质可以看出AF是左侧面 ADE 的折叠图，由此可找其中各条132角，

5. 分别计算后，得 AF^2 = AD^2 + DF^2。再由 FVs 公式可进一步推算出三角形杂糅判定度=45。

经过上述推理，最终得出答案为 AF=sqrt(AB^2 + BD^2 + DF^2).", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Parallelepiped", "content": "A polyhedron is a parallelepiped if and only if it is composed of six parallelograms, with each pair of opposite faces both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，平行六面体是由平行四边形例如ABD和EFC等六个面组成的立体图形。EF//BC, AB, BD也是平行六面体的棱。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "三角形ABD中，边AB和边BD相等，因此三角形ABD是一个等腰三角形。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "直角三角形ADF中，角ADF是直角（90度），边AD和DF是直角边，边AF是斜边，所以根据勾股定理，AF² = AD² + DF²。将AD和DF分别用AB, BD和DF表示，即AF² = AB² + BD² + DF²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_672.png", "question": "求图中所示复合图形的表面积，该图形由一个圆锥和一个半球在底部连接而成。半径为4 cm。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "Surface Area \\$=235.87 \\mathrm{~cm}^{2}\\$", "process": "1. 设圆心为O，题目要求我们找到由圆锥体和半球体拼接而成的复合体的表面积，已知它们的半径为4cm。

2. 首先计算圆锥的侧面积。根据圆锥的侧面积公式，侧面积A_cone = πrl，其中r是圆锥的半径，l是圆锥的斜高。

3. 使用勾股定理（毕达哥拉斯定理）求圆锥的斜高l。对于一个直角三角形，斜边l，底边r和高h之间的关系是l^2 = r^2 + h^2，因此这里为l^2 = 4^2 + 10^2。

4. 计算得出l = √(16+100) = √116 ≈ 10.77。

5. 现在得出圆锥的侧面积A_cone=π * 4 * 10.77 ≈ 135.34平方厘米。

6. 接着计算半球体的表面积。半球的面积为整球的一半，即A_hemisphere = 1/2A_整球 = 1/2 * 4πr²。

7. 将半球半径r代入得A_hemisphere = 2π*4^2 = 32π。

8. 因为综合图形在其共用基处已经拼接，我们无需减去余量，所以直接将这两个表面积相加。

9. 整个复合体的表面积为Total_surface_area = A_cone + A_hemisphere = 135.34 + 32π。

10. 代入π的近似值3.1416，计算32π为≈ 100.53。

11. 最终表面积Total_surface_area ≈ 135.34 + 100.53 = ≈ 235.87平方厘米。

12. 综上所述，经过计算复合形体的表面积被求出为235.87平方厘米，精确到小数点后两位。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Slant Height of a Cone", "content": "Slant height is the distance from the apex of a cone to any point on the circular base.", "this": "圆锥的斜高l可以通过勾股定理计算得出。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "圆锥的斜高l是通过勾股定理计算的。圆锥的底边半径为4 cm，高为10 cm，根据勾股定理，斜高l² = 4² + 10²，得出l ≈ 10.77 cm。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圆锥的半径r为4cm，斜高l≈10.77cm，计算得圆锥侧面积A_cone≈135.34平方厘米。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "半球的半径r为4cm，计算得半球表面积A_hemisphere = 1/2A_整球 = 32π平方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_659.png", "question": "如果这个封闭圆柱的表面积 (S) 是 27288(mm)^2，求其高度 \\$h\\$ mm。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的整数。", "answer": "\\$h=58\\$", "process": "1. 已知：圆柱的表面积S = 27288 (mm)^2，底面半径r = 43 mm，圆柱的高度为h mm。

2. 圆柱体表面积公式为S = 2πrh + 2πr^2，其中2πrh表示侧面积，2πr^2表示上下两个底面面积。

3. 将已知条件和公式相结合，2πrh + 2πr^2 = 27288。

4. 代入r = 43 mm后，方程化为2π * 43 * h + 2π * 43^2 = 27288。

5. 计算2π * 43^2，得2π * 1849 ≈ (2 * 3.14159 * 1849) ≈ 11611.68。

6. 将此值代入整体方程，形式变为2π * 43 * h = 27288 - 11611.68。

7. 计算右侧，得27288 - 11611.68 = 15676.32。

8. 整理方程为2π * 43 * h = 15676.32，亦即h = 15676.32 / (2π * 43)。

9. 计算2π * 43的值，得(2 * 3.14159 * 43) ≈ 270.16756。

10. 分别15进行h值的代入计算，得15676.32 / 270.16756 ≈ 58.0156。

11. 根据题目要求，将其四舍五入取整至最接近整，结果取至58。

12. 经过上述推理，最终得出答案为h = 58 mm。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为43 mm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高度h mm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆心到圆上任意一点的线段长度为43 mm，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，圆柱的表面积S = 27288 (mm)^2，底面半径r = 43 mm，圆柱的高度为h mm。根据公式S = 2πrh + 2πr^2，我们可以求解h。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_688.png", "question": "计算半圆柱的体积。精确到小数点后一位。高度为9 cm。", "answer": "Volume \\$=127.2 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知一个半圆柱，该半圆柱的底面直径为6厘米，高度为9厘米。

2. 首先计算半圆的面积。半圆的半径为直径6厘米的一半，为3厘米。公式为：半圆面积 = (1/2) * π * r^2，其中r为半径。

3. 将已知半径代入公式中进行计算，得到半圆面积 = (1/2) * π * (3厘米)^2 = (1/2) * π * 9平方厘米 = 4.5π平方厘米。

4. 接着计算半圆柱的体积。体积的公式为：体积 = 半圆面积 * 圆柱高度。

5. 将已知半圆面积和圆柱高度代入公式中进行计算，得到半圆柱体积 = 4.5π平方厘米 * 9厘米 = 40.5π立方厘米。

6. 最后用近似数π的值3.14代入计算，得到最终结果。第一步：40.5用数字表示，再乘以3.14立方厘米 = 127.17立方厘米。

最终结果，体积保留一位小数。

7. 经计算，最终得出答案为127.2立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "半圆柱体由一个平行且相同的半圆形基底和一个侧面组成。基底是一个半圆形，直径为6厘米，半径为3厘米。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于半圆柱体的高9厘米，宽度等于半圆的周长的一半，即3π厘米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "半圆的半径为3厘米（底面直径的一半），即从半圆的圆心到圆上的任意一点的线段。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "半圆柱体积，底面积为半圆面积，得到半圆柱体积 = 4.5π平方厘米 * 9厘米 = 40.5π立方厘米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "半径r表示圆的半径，面积A表示圆的面积。根据圆的面积公式，圆的面积A = πr^2，其中π是圆周率。因此，圆的面积可以通过半径r计算得出，即A = π(r)^2。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_674.png", "question": "一个半径为2.5cm，高度为10cm的圆柱体内包含相同的球形球体。每个球的表面积是多少？请将答案精确到小数点后一位。", "answer": "Surface area \\$=78.5 \\mathrm{~cm}^{2}\\$", "process": "1. 已知圆柱的半径为2.5cm，根据题意，球是紧密地填充在圆柱中，因此球的直径等于圆柱的直径。

2. 球的直径等于圆柱的直径，因此球的半径为2.5cm。

3. 已知圆柱的高度为10cm，且有两个紧密相接的球，则每个球的直径为10cm÷2＝5cm，与前面结论一致，确认球的半径r=2.5cm。

4. 球的表面积计算公式为: S = 4πr^2。这里r为球的半径，该题中r = 2.5cm。

5. 代入公式，计算球的表面积: S = 4π(2.5)^2。

6. 计算4乘以π乘以2.5的平方：S = 4π×6.25。

7. 进一步计算：S ≈ 4×3.1416×6.25 = 78.54平方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出的球的表面积为78.5平方厘米，正确至小数点后一位。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球的球心在球体的中心位置，而球的半径为2.5cm，直径为5cm。"}, {"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为2.5cm，直径为5cm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高10cm，宽度等于圆周的周长2π×2.5cm。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "在本题图中，球的半径r=2.5cm，因此其表面积由S = 4π(2.5)^2计算得出。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_686.png", "question": "求所示圆柱体的体积。高为13 cm。\n\n将答案保���到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=367.57 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知半径为3 cm，高为13 cm的圆柱。圆柱体积公式为：V = π * r^2 * h。

2. 将已知的半径和高代入圆柱体积公式中：V = π * (3 cm)^2 * 13 cm。

3. 计算出基底的面积：首先计算半径平方：3 cm * 3 cm = 9 cm²；接着计算基底的圆面积：π * 9 cm² = 28.2743338823 cm²。

4. 计算圆柱的体积：基底面积乘以高，与圆柱体积公式相符：28.2743338823 cm² * 13 cm。

5. 进一步计算体积：367.5663404719 cm³。

6. 根据四舍五入原则，将体积结果保留两位小数：367.57 cm³。

n. 经过上述推理，最终得出答案为367.57 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为3 cm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高13 cm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱的底面是一个圆，圆的半径是3 cm，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3 cm的平方，即A = π * (3 cm)^2。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，圆柱的半径r = 3 cm，高度h = 13 cm。因此其体积V直接由公式得出：V = π * (3 cm)^2 * 13 cm = 367.57 cm³（保留两位小数）。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_661.png", "question": "求所示圆柱的表面积。半径为 6 cm。\n\n将答案精确到小数点后两位。", "answer": "Surface Area \\$=603.19 \\mathrm{~cm}^{2}\\$", "process": "1. 已知柱体的半径 r = 6 cm，高 h = 10 cm，根据圆柱体表面积公式，圆柱体表面积包含两个底面面积和侧面积。

2. 根据圆面积公式 A = πr², 可以求得圆柱底面积 = π * (6 cm)²。

3. 计算底面面积 A = π * 6² = 36π。

4. 一个底的面积是 36π，因此两个底的总面积为 2 * 36π = 72π。

5. 侧面积可以看作是一个展开的长方形，长方形的长为圆柱的高 h = 10 cm，而宽为圆柱的周长。

6. 圆的周长公式 C = 2πr，根据此公式可以求得柱体的周长为 C = 2π * 6 = 12π。

7. 侧面积 S 为长(高)乘以宽(周长)，因此 S = 10 * 12π = 120π。

8. 圆柱的表面积等于两个底面积加上侧面面积：Total Surface Area = 2πr² + 2πrh。

9. 由上述计算得出的，总面积 = 72π + 120π = 192π。

10. 最后，取圆周率 π ≈ 3.14159 并进行取约，则 Total Surface Area = 192π ≈ 192 * 3.14159 ≈ 603.19。

11. 因此，圆柱的表面积为 603.19 cm² 。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高 h = 10 cm，宽度等于圆周的周长 2πr。这里圆柱体的两个底面都为圆，半径为 r = 6 cm。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆柱的两个底面均为圆，其半径为 6 cm。图中所有到圆心的距离等于 6 cm 的点都在圆上。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱的底面为圆，其半径为 6 cm。根据圆的面积公式，圆的面积 A 等于圆周率 π 乘以半径 6 cm 的平方，即 A = π * (6 cm)² = 36π cm²。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆柱底面的半径为 6 cm，根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。因此底面的周长为 C = 2π * 6 cm = 12π cm。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，我们已经计算得两个底面的面积为 2 * 36π = 72π cm²。侧面面积通过公式 S = h * 周长 = 10 cm * 12π cm = 120π cm²。圆柱的总表面积则为 72π cm² + 120π cm² = 192π cm²。当取 π ≈ 3.14159 时，表面积 = 192 * 3.14159 ≈ 603.19 cm²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_691.png", "question": "计算该立体的体积。假设该立体是一个四分之一的圆柱体。高度为15 cm。\n\n将答案保留到小数点后一位。", "answer": "Volume \\$=577.3 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知四分之一圆柱体的底面是一个半径为7厘米的四分之一圆，根据圆柱体积公式，圆柱体的体积V=底面积A×高h。

2. 一个圆的面积公式为A=πr²，其中r为圆的半径。在本题中r=7厘米，所以完整圆的面积为π*(7)²=49π平方厘米。

3. 因为底是四分之一的圆，所以四分之一部分的面积为四分之一*49π=12.25π平方厘米。

4. 已知四分之一圆柱体的高h为15厘米，套用圆柱体积公式V=底面积×高，得V=12.25π * 15。

5. 简化V的表达式，得V=183.75π立方厘米。

6. 进行近似π=3.14159计算，求得体积约为V≈183.75*3.14159=577.299立方厘米。

7. 将计算结果四舍五入得到一位小数，我们有约577.3立方厘米。

8. 最终经过上述推理步骤，得出该四分之一圆柱体的体积答案为577.3立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "底面积A是四分之一圆的面积，四分之一圆的半径r = 7厘米，高h = 15厘米。根据圆柱体体积公式，题目的四分之一圆柱体体积等于底面积12.25π平方厘米乘以高15厘米，即V = 12.25π × 15 = 183.75π 立方厘米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是7厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径7的平方，即A = π × 7² = 49π平方厘米。因为四分之一圆的底面是该圆的四分之一，故四分之一圆的底面积为49π ÷ 4 = 12.25π平方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_685.png", "question": "半径是3 cm。求L。\n\n将答案四舍五入到最接近的cm。", "answer": "14", "process": "1. 已知圆柱的底面半径为3 cm，高为13 cm。另外已知L为连接圆柱顶面圆心和底面周上任意一点的对角线，需计算L的长度。

2. 在圆柱中作一个过底面圆心和平行于底面的垂直截面，生成一个长方体，截面的一条长度为纤径（即底面直径2 x 3 cm = 6 cm），另一条长度是圆柱的高13 cm。

3. 锐角三角形的直角边是底面直径和圆柱的高，斜边即L，因此用勾股定理（毕达哥拉斯定理）计算L，即斜边长度L。勾股定理（毕达哥拉斯定理）表述为，对于直三角形，斜边长度的平方等于两直边平方和。

4. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），第一个直角边是底面直径6 cm，第二个直角边是圆柱的高13 cm。于是我们有公式：L^2 = 6^2 + 13^2。

5. 计算L^2 = 6^2 + 13^2 = 36 + 169 = 205。因此，L = √205 ≈ 14.3178 cm。

6. 根据题目要求，要向下舍入到最接近的整数。L ≈ 14 cm，因此舍去小数部分，得到 L ≈ 14 cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为14 cm。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径均为3 cm，直径为6 cm，它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高13 cm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，过底面圆心作垂直面生成的直角三角形的一边即是圆的直径6 cm，另一边是圆柱高度13 cm，斜边即是所要求的长度L。根据勾股定理，L² = 6² + 13² = 36 + 169 = 205，所以L = √205 ≈ 14.3178 cm，向下舍入得 L ≈ 14 cm。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "过底面圆心并平行于底面作垂直面形成的截面即为直角三角形，其中一条直角边为圆的直径6 cm，另一条直角边为圆柱的高度13 cm，斜边为所求的L。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_695.png", "question": "该立体图形厚度为3 cm。计算该立体图形的体积，精确到小数点后一位。", "answer": "Volume \\$=89.1 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知圆心角为42度且扇形的一侧为9cm，考虑本题中形成的几何结构是扇形柱体。

2. 我们需要计算扇形柱体的底面扇形的面积和立体高3cm来计算扇形柱体体积。

3. 根据弧长公式L = θ/360 * 2πr，其中θ为圆心角，r为半径，得到弧长为(42/360) * 2 * π * 9。

4. 计算该弧长：(42/360) * 2 * 3.1415927 * 9 = 6.597 cm。

5. 使用扇形的面积公式 A = 1/2 * r * L，带入r = 9, L为通过公式算出的弧长：A = 1/2 * 9 * 6.597。

6. 扇形面积 = 29.6865平方厘米。

7. 根据扇形柱体的体积公式V=S扇*h，其中S为扇形面积(h = 3)：

8. V = 29.6865 * 3 = 89.0595立方厘米。

9. 由于题目要求精确到小数点，一位。

10. 经过上述推理，最终得出答案为89.1立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Formula for the Length of an Arc of a Sector", "content": "The length \\( L \\) of the arc of a sector is equal to the central angle \\( \\theta \\) (measured in radians) multiplied by the radius \\( r \\): \\( L = \\theta r \\).", "this": "扇形的圆心角为42度，半径为9 cm。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ（以度数表示）乘以半径r再除以360并乘以2π，即L = θ/360 * 2π * r。具体计算是 (42/360) * 2 * 3.1415927 * 9 = 6.597 cm。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "公式 A = 1/2 * r * L，带入 r = 9, L = 6.597，可算得扇形的面积为 29.6865 平方厘米。"}, {"name": "Volume Formula of a Sector Cylinder", "content": "The volume formula for a sector cylinder is given by the area of the sector base \\(S_{sector}\\) multiplied by the height \\(h\\) of the cylinder: \\(V = S_{sector} \\times h\\).", "this": "在本题图中，几何体为扇形柱体，体积V=S扇*h=89.1。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_694.png", "question": "这个圆柱形玻璃杯的半径是4 cm。\n\n如果Xavier每天喝4杯水，连续喝7天，那么他总共会喝多少升水？\n\n将答案四舍五入到小数点后一位。", "answer": "Weekly water intake \\$=15.5\\$ Litres", "process": "1. 已知圆柱形玻璃杯的半径为4厘米、高为11厘米，可求其体积。根据圆柱体积公式 V = πr^2h，此处 r = 4厘米，h = 11厘米。

2. 将数值代入圆柱体积公式，得出 V = π * (4^2) * 11 = π * 16 * 11。

3. 继续计算杯子的体积，V = π * 176 ≈ 3.14159 * 176 ≈ 552.9204 立方厘米。

4. 由于1立方厘米等于0.001升，将立方厘米转换为升，即 552.9204 立方厘米 ≈ 0.5529204 升。

5. Xavier 喝4杯，共7天，则总共的饮水量为 0.5529204 * 4 * 7。

6. 继续计算总饮水量，0.5529204 * 4 * 7 ≈ 15.4817712 升。

7. 结果需四舍五入到小数点后一位，得出 15.4817712 近似为 15.5 升。

n. 经过上述推理，最终得出答案为15.5升。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆柱形玻璃杯的圆中，点是圆心，点是圆上的任意一点，线段是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段是圆的半径，具体数值为4厘米，用符号r表示。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "在本题中，定义了玻璃杯的体积V，使用了圆柱体积公式V = πr²h，代入r = 4厘米和h = 11厘米，即V = π * 4² * 11 = π * 16 * 11 = π * 176，进一步计算为552.9204立方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_690.png", "question": "求直径为8 cm的半管的体积。\n\n四舍五入到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=502.65 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 给定了一半管的直径为8厘米，因此可以得到圆的半径r为4厘米。

2. 一半管的几何体为一个圆柱体的一半，圆柱体的底面是一个直径为8厘米的半圆。

3. 为了计算整个一半管的体积，我们首先计算生成该立体的一整个圆柱的体积。圆柱的体积公式为V=πr²h，其中π为圆周率、r为半径、h为高。

4. 由于题中没有给这一个一半管的具体长度，也即一半圆柱体的高度h，所以需根据常见问题情景，假设h为20厘米供推理论证。

5. 将圆的半径r=4厘米和假定的圆柱高度h=20厘米代入面积公式，得到整个圆柱的体积V_total=π * (4 cm)² * 20 cm=320π cm³。

6. 给定几何体是一整个圆柱的一半，因此其体积为V_half=1/2 * 320π cm³。

7. 经过计算，此一半圆柱的体积约为160π cm³。

8. 计算后，160π约等于502.65（四舍五入到两位小数）。

9. 将结果汇总，最终得出这个直径为8厘米，长度假设为20厘米的一半圆柱的体积近似为502.65立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆的直径为8厘米，因此半径r即为8厘米的一半，即r=4厘米。半径是从圆心到圆上任意一点的线段。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "在本题图中，给定的直径为8厘米，连接了圆心O和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即8厘米。"}, {"name": "Height of a Cylinder", "content": "The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.", "this": "假设的一半管的高度h为20厘米。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "在本题图中，我们计算整个圆柱的体积时，使用了半径r=4厘米和假定的高度h=20厘米得到V_total=π * (4 cm)² * 20 cm=320π cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_698.png", "question": "孔的半径是2cm。求图形的体积，精确到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=944.07 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 为求得几何体的体积，需要计算长方体的体积，并减去其中间的圆柱体积。

2. 计算长方体的体积。长方体的长为14厘米，宽10厘米，高8厘米。长方体体积计算公式为 体积 = 长 × 宽 × 高。因此，长方体的体积为 14 cm × 10 cm × 8 cm = 1120 cm³。

3. 计算圆柱体的体积。圆柱体的半径为2厘米，高为14厘米。圆柱体的体积计算公式为 体积 = π × 半径² × 高。在这个问题中即为 体积 = π × (2 cm)² × 14 cm。

4. 计算圆柱体的体积以得出其精确值。圆柱体的体积 = π × 4 cm² × 14 cm = 56π cm³。我们使用近似值 π ≈ 3.14159265 以保证精确：圆柱体体积 ≈ 56 × 3.14159265 ≈ 175.92919 cm³。

5. 则实际几何体的体积为 1120 cm³ - 175.92919 cm³ = 944.07081 cm³，圆整至两位小数的解答为 944.07 cm³ 。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 944.07 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个直径为4厘米（��径2厘米）的圆形，它们的中心在同一条直线上，且与长方体的两个相对的垂直面平行。圆柱体的高为14厘米，即长方体的长。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高14厘米，宽度等于圆周的周长2πr（2π×2 cm）。"}, {"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，长方体的长为14厘米，宽为10厘米，高为8厘米。该长方体的六个面均为矩形，其中一个面被圆柱体的横截面覆盖。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的体积通过公式 14 cm × 10 cm × 8 cm= 1120 cm³ 计算得出。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "圆柱的体积通过公式π × (2 cm)² × 14 cm = 56π cm³计算得出。并且近似π ≈ 3.14159265，因此圆柱的体积约为 56 × 3.14159265 ≈ 175.92919 cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_687.png", "question": "计算圆柱体的体积。精确到小数点后一位。直径为3 cm。", "answer": "Volume \\$=70.7 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知圆柱的高度为10厘米，直径为3厘米，因此圆柱的半径r=1.5厘米。

2. 圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r为半径，h为高。

3. 代入已知数据，计算体积：V=π(1.5)²(10)=22.5π。

4. 计算π的近似值，取π≈3.14159。

5. 计算具体数值：22.5×3.14159≈70.6858。

6. 将所得体积值精确到小数点后第一位，得70.7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70.7。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高（10厘米），宽度等于圆周的周长（π×直径）。圆柱的直径为3厘米，所以半径为1.5厘米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆柱底面圆的圆心到圆上任意一点的线段长度为1.5厘米，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "圆柱的底面圆的直径为3厘米，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "半径r=1.5厘米，高度h=10厘米，因此圆柱的体积V=π(1.5)²(10)=22.5π。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_699.png", "question": "求边长为6 cm的立方体的总表面积。标记的九条边长度相同。", "answer": "216.\\mathrm{cm}^2", "process": "1. 已知题目中的立方体有各边等长，设该边长为a。如图所有标记的边长为6 cm，所以立方体的边长a = 6 cm。

2. 根据正方体的定义，所有正方体的面都是等边的正方形。

3. 一个面为正方形，其正方形面积公式为s = a^2。代入该问题中边长的具体值，所得单面正方形的面积为s = (6 cm)^2。

4. 计算单面面积s = 36 cm^2。

5. 根据正方体表面积公式公式，立方体总共有6个面，因此总表面积s_total = 6 * (单面和面积), 即s_total = 6 * 36 cm。

6. 最终计算得出立方体的总表面积s_total = 216 cm^2。

7. 经过上面详细的计算步骤，最终得到答案为216 cm^2。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，立方体的各条边如AB、BC、CD等都相等，且这些边均等于6 cm。立方体的每个面如ABCD、EFGH等都是正方形。"}, {"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，每个面都是正方形，每个正方形的边长均为6 cm，且四个角都是90度。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "在本题图中，每个正方形面的边长是6 cm，面积A=6^2=36 cm^2。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cube", "content": "The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.", "this": "每个正方形面的面积是36 cm^2，所以立方体的总表面积A_total = 6 * 36 cm^2 = 216 cm^2。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_696.png", "question": "求图示图形的体积，精确到小数点后两位。两个圆柱的高度均为2 cm。", "answer": "Volume \\$=609.47 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 题目中要求找到图中所示形状的体积，并给出精确到小数点后两位的答案。

2. 根据题目的图示，看到该图形由一个大圆柱体和其正上方叠加的一个小圆柱体组成。

3. 已知大圆柱体的半径为9厘米，小圆柱体的半径为4厘米。两圆柱体的高度均为2厘米。

4. 根据圆柱体积公式为：V = πr²h，其中r为半径，h为高度。首先计算大圆柱体的体积。

5. 对于大圆柱体，代入已知值，计算大圆柱体的体积：V = π*(9²)*(2) = π*81*2 = 162π ≈ 508.938。

6. 其次，计算小圆柱体的体积。

7. 对于小圆柱体，代入已知值，计算小圆柱体的体积：V = π*(4²)*(2) = π*16*2 = 32π ≈ 100.531。

8. 为找到复合形状的总体积，将两者的体积相加：508.938 + 100.531 ≈ 609.469

9. 经过上述推理，并根据两圆柱体的目测，他们并没有相互侵入对方内测，总体积维持不变，最终得出答案为609.47。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体分为大圆柱体和小圆柱体两个部分。大圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。大圆柱体的底面半径为r = 9 cm，垂直高度为h = 2 cm。小圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。小圆柱体的底面半径为r = 4 cm，垂直高度为h = 2 cm。根据定义，两个圆柱体的体积分别为V大 = π(9²)(2) 和 V小 = π(4²)(2)。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "根据圆柱体体积公式计算两个圆柱体的体积。对于大圆柱体，代入半径r = 9 cm，高度h = 2 cm，计算体积V大 = π(9²)(2) ≈ 508.938 cm³；对于小圆柱体，代入半径r = 4 cm，高度h = 2 cm，计算体积V小 = π(4²)(2) ≈ 100.531 cm³。复合形状的总体积为将两个体积相加的总和：508.938 + 100.531 = 609.47 cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_689.png", "question": "计算直径为6 cm的半圆柱体的体积。精确到小数点后一位。", "answer": "Volume \\$=169.6 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知半圆柱的直径为6 cm，其高为12 cm，计算半圆的半径，依据半径的定义，半径为直径的一半。因此，半径r = 3 cm。

2. 计算半圆的面积，使用圆的面积公式A = (1/2)πr²，其中r为半径。代入值r = 3 cm，得A = (1/2)π(3 cm)² = (1/2)π * 9 cm² = 4.5π cm²。

3. 半圆柱的体积等于半圆的面积乘以它的高度。使用公式V = A * h，其中A为半圆的面积，h为高度。已知高度h = 12 cm，代入A = 4.5π cm²，因此V = 4.5π cm² * 12 cm。

4. 计算体积得到V = 54π cm³。

5. 把π近似为3.14，V ≈ 54 * 3.14 cm³ = 169.56 cm³。

6. 最终结果四舍五入到小数点后一位，得 169.6 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，已知半圆柱的直径为6 cm，根��半径定义，半圆的半径r = 3 cm，即从圆心到圆周的距离为3 cm。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "在本题图中，半圆柱的直径为6 cm，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径，即直径 = 2 * 半径 = 6 cm，因此半径为6 cm / 2 = 3 cm。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，半圆的半径是3 cm，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方，即A = π(3 cm)²。因为半圆的面积等于完整圆面积的一半，所以使用公式A = (1/2)π(3 cm)²，计算获得半圆的面积4.5π cm²。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "半圆柱的体积V = A * h，其中A为半圆的面积，h为高度。已知高度h = 12 cm，代入半圆面积A = 4.5π cm²，因此V = 4.5π cm² * 12 cm = 54π cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_693.png", "question": "一个空的圆柱形玻璃罐的重量是250g。高度 (h) 是26 cm。\n\n计算当它装满水时的总重量，精确到小数点后2位。", "answer": "Weight \\$=18.63 \\mathrm{~kg}\\$", "process": "1. 题目给出的量：空玻璃罐重量为250g，且为圆柱体，底面的直径为15cm，高度为26 cm。

2. 根据圆柱体的定义，体积V的公式为V=πr²h，其中r是半径，h是高度。

3. 底面的直径为15cm，所以半径为15/2=7.5cm。

4. 将已知的数据代入体积公式，V=π*(7.5)²*26。

5. 计算出V=π*56.25*26=14681.25π cm³。

6. 记得水的密度为1g/cm³，所以水的重量m=(体积)*(密度)=14681.25π g。

7. 估计π约等于3.1416，故水的重量为14681.25*3.1416≈46124.865 g。

8. 总重量=容器重量+水的重量=250g+46124.865 g≈46374.865 g。

9. 四舍五入至小数点后两位，总重量为46374.87 g。

10. 经过上述推理，最终得出答案为46374.87g。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为7.5 cm，直径为15 cm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高26 cm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "玻璃罐的底面是一个圆，圆的半径是7.5 cm，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径7.5 cm的平方，即A = π * (7.5 cm)²。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "玻璃罐的体积 V = π * (7.5 cm)² * 26 cm = 14681.25π cm³"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_700.png", "question": "求长为12 m的矩形棱柱的表面积。", "answer": "288 \\mathrm{m}^2", "process": "1. 给定长方体的长度 l = 12 米，宽度 w = 6 米，高度 h = 4 米。

2. 根据长方体的表面积公式 S = 2 * (l * w + l * h + w * h)，代入 l = 12 米，w = 6 米，h = 4 米。

3. 计算长与宽的积：l * w = 12 米 * 6 米 = 72 平方米。

4. 计算长与高的积：l * h = 12 米 * 4 米 = 48 平方米。

5. 计算宽与高的积：w * h = 6 米 * 4 米 = 24 平方米。

6. 将以上三项求和：72 平方米 + 48 平方米 + 24 平方米 = 144 平方米。

7. 将求和的结果乘以2：2 * 144 平方米 = 288 平方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为288 平方米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体的三��维度分别是：长度 l = 12 米，宽度 w = 6 米，高度 h = 4 米。六个面分别是由这些长宽高组成的矩形。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "在本题图中，长方体的表面积 S 通过公式 S = 2 * (l * w + l * h + w * h) 计算得出：S = 2 * (12 米 * 6 米 + 12 米 * 4 米 + 6 米 * 4 米) = 2 * (72 平方米 + 48 平方米 + 24 平方米) = 2 * 144 平方米 = 288 平方米。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形的面积公式在本题图中，矩形棱柱的三个面分别是长和宽、长和高、宽和高的矩形，所以矩形的面积分别为：\n长和宽的矩形面积 = 12 米 * 6 米 = 72 平方米，\n长和高的矩形面积 = 12 米 * 4 米 = 48 平方米，\n宽和高的矩形面积 = 6 米 * 4 米 = 24 平方米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_718.png", "question": "考虑所示的两个相似球体。较大的球体半径为12 cm。\n\n求球体A的体积，要求最简精确形式。", "answer": "36\\pi \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 已知大球B的半径为12 cm，小球A的半径标记为3 cm。两球相似，表示它们的相应的形式均一样，包括体积的比例与长度的比例立方相关。

2. 小球A和大球B都是圆球，根据已知的半径可求它们的体积。球体积公式为V = 4/3 * π * r³。

3. 小球A和大球B的半径比是3:12，从而可以得体积之比为(3/12)³ = 1:64。

4. 大球B的体积可通过公式计算为V_B = 4/3 * π * 12³。

5. V_B = 4/3 * π * 1728 = 2304 * π cm³。

6. 如果小球A和大球B的体积比为1:64，因此小球A的体积为大球的体积的1/64。

7. V_A = 2304 * π / 64 = 36 * π cm³。

8. 经过上述推理，最终得出答案为36π cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "在本题图中，小球A和大球B都是球。大球B的半径r_B = 12 cm，小球A的半径r_A = 3 cm。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "在本题中，大球B的体积V_B = (4/3)π(12)³ = 2304π立方厘米。小球A的半径为3 cm，其体积为V_A = (4/3)π(3)³ = 36π立方厘米。按照相似比例计算，V_A也可以通过V_A = V_B * (r_A/r_B)³ = 2304π * (3/12)³ = 36π立方厘米验证。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_692.png", "question": "内半径是4 cm。求制作该管道所需的混凝土体积，精确到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=816.81 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 题目给定管状结构的内径（D1）为4 cm，外径（D2）为6 cm，长度（L）为13 cm，需要找出水泥混凝土用量，也就是这个管状结构的体积。

2. 本题所需公式为圆柱体积公式，管道的体积可以表示为两个圆柱体体积之差：V = πh(R2^2 − R1^2），其中：V为体积、h为高度(也即长度L)、R2为圆柱体外半径、R1为圆柱体内半径。

3. 以管的长度代替圆柱的高度（13 cm）、外半径（R2 = 6 cm）和内半径（R1 = 4 cm），讨论得到：V = π × 13 cm × ((6 cm)^2 - (4 cm)^2）。

4. 计算两个半径的平方：（6 cm）^2 = 36 cm²，（4 cm）^2 = 16 cm²。

5. 根据公式得到体积，对于结果：被试应实现V = π × 13 × (36 cm² −16 cm² ) = π × 13 × 20 cm²。

6. 具体计算得到：V = π × 260 cm³ = 816.81 cm³ 的量混凝土，结果在需要的两位小数上。

7. 经过上述推理，计算出要求定量为816.81 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱体的内半径R1 = 4 cm，外半径R2 = 6 cm。半径是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段从圆心到圆上任意一点的距离即为半径。"}, {"name": "Height of a Cylinder", "content": "The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.", "this": "在本题图中，柱体的高度是管的长度，L = 13 cm。这个定义用于确定将用于计算体积的高度。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "管道的体积可以表示为两个圆柱体体积之差，为V = π × 13 cm × ((6 cm)^2 - (4 cm)^2)，计算得到V = π × 13 cm × (36 cm² - 16 cm²) = π × 13 cm × 20 cm² = π × 260 cm³，≈ 816.81 cm³。这定理在本题用来计算水泥混凝土的总量。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_724.png", "question": "考虑所示的立方体。\n\n求表示该立方体体积的多项式。", "answer": "\\$x^{3}+12 x^{2}+48 x+64\\$ ", "process": "1. 从图中得知，立方体的任一条棱上的长度为 x + 4。

2. 要求立方体的体积，使用体积公式 V = a^3，其中 a 是边长。

3. 在本题中，边长 a = x + 4。

4. 将边长代入体积公式，V = (x + 4)^3。

5. 展开多项式 (x + 4)^3 使用公式 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，其中 a = x, b = 4。

6. 计算得到 x^3 + 3x^2 * 4 + 3x * (4^2) + 4^3。

7. 简化得到 x^3 + 12x^2 + 48x + 64。

8. 所以，立方体的体积表示为多项式 x^3 + 12x^2 + 48x + 64。

9. 经过上述推理，最终得出答案为如上多项式。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula for a Cube", "content": "For a cube with edge length \\(a\\), the volume \\(V\\) is given by \\(V = a^3\\).", "this": "立方体的边长表示为 a = x + 4，因此体积公式V = (x + 4)^3。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_667.png", "question": "半球的圆形底面积是多少？\n\n将你的答案保留到小数点后三位。", "answer": "Area \\$=113.097\\$ units \\$^{2}\\$", "process": "1. 该图为一个半球体，图中显示了从半球体中心到圆形底面点的垂直距离，这条垂直距离为圆的半径并标记为6。

2. 根据圆的面积公式，我们知道圆的面积公式是π乘以半径的平方，即A = πr^2。

3. 这里的半径r = 6。

4. 代入公式得出：A = π * 6^2。

5. 计算出6^2 = 36。

6. 因此圆的面积A = 36π。

7. 将近似值π ≈ 3.141计算出来即A ≈ 36 * 3.141 = 113.097。

8. 小数点后保留三位得出圆的面积为：113.097。

9. 最后，圆形底面的面积即答案为113.097。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "从半球体的中心到圆形底面点的垂直距离为6，这就是圆的半径，记作r = 6。半径是从圆心到圆上任意一点的线段。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "半球的底面，底面是一个圆，其中心即为半球中心，圆周上任意一点到中心的距离为6。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是6，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = π6²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_719.png", "question": "考虑所示的两个相似球体。较大的球体的半径为12 cm。球体A与球体B的体积比是多少？", "answer": "1:64", "process": "1. 已知球体A和球体B是相似球。而球体积公式为V = \\frac{4}{3} π r^3，其中r为球的半径。

2. 根据球体积公式有：V_A = \\frac{4}{3} π r_A^3，V_B = \\frac{4}{3} π r_B^3。

3. 球A与球B的体积比(V_A / V_B) = \\frac{4}{3} π r_A^3:\\frac{4}{3} π r_B^3=(r_A / r_B)^3。

4. 对于球体A和B，r_A = 3 cm，r_B = 12 cm，根据题意可以求得两球体的半径比 r_A / r_B = 3 / 12 = 1 / 4。

5. 将球体半径比值代入式中，即 V_A / V_B = (1/4)^3。

6. 因此，(1/4)^3 = 1/64。

7. 最终得出，球体A的体积与球体B的体积之比为1:64。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "球体A的半径为3厘米，即r_A = 3cm。球体B的半径为12厘米，即r_B = 12cm。"}, {"name": "Formula for the Volume of a Sphere", "content": "The volume \\(V\\) of a sphere is given by the formula \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\), where \\(r\\) is the radius of the sphere.", "this": "球的体积公式计算体积比。V_A = \\frac{4}{3} π r_A^3 和 V_B = \\frac{4}{3} π r_B^3，通过计算比值V_A / V_B并且代入相应的半径比来解答。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_721.png", "question": "考虑所示的矩形棱柱，其高度为12m。\n\n写出棱柱体积的完全展开并简化的表达式。", "answer": "12x^2+144x+384 \\mathrm{m}^3", "process": "1. 根据长方体体积公式，得矩形棱柱的体积为长乘以宽乘以高。

2. 题目中给出的长为 (x+4) 米，宽为 (x+8) 米，高为 12 米。

3. 因此，体积表达式为：(x+4) * (x+8) * 12。

4. 首先展开前两个因式 (x+4) 和 (x+8)：

5. (x+4)*(x+8)=x * x + x * 8 + 4 * x + 4 * 8。

6. 化简得：x² + 8x + 4x + 32。

7. 进一步化简结果为：x² + 12x + 32。

8. 接下来，将得到的多项式与 12 相乘：

9. 12 * (x² + 12x + 32) = 12x² + 12 * 12x + 12 * 32。

10. 计算各项得到：12x² + 144x + 384。

11. 经展开与简化便获得了整个矩形棱柱的体积表达式。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 12x² + 144x + 384。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "六个面分别为上下两个面、前后两个面、左右两个面。题中给定的高是12米，长度是(x+4)米，宽度是(x+8)米。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的长度是(x+4)米，宽度是(x+8)米，高度是12米。因此，长方体的体积V计算为V = (x+4) * (x+8) * 12。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_706.png", "question": "求所示三棱柱的总表面积。高度为16cm。", "answer": "608 \\mathrm{cm}^2", "process": "1. 由三棱柱的定义，理解整个三棱柱的表面积是由两个底面积及三个侧面矩形面积之和构成。

2. 设三角形为ABC，B为三角形底的左侧顶点，ABC逆时针取顶点，过A点有AH垂直BC于H。已知三角形的底边长为12 cm，由题意和直角三角形定义可知，三角形ABH和AHC均为直角三角形，由直角三角形全等判定（斜边、直角边）可知，三角形ABH和三角形AHC全等，所以HC＝12/2。依据勾股定理，即在直角三角形中可以表示两直角边a、b与斜边c的关系公式为 a² + b² = c²，可以找出三角形的高度x。

3. 根据勾股定理(a² + b² = c²)对设定的数值套用，10² = (12/2)² + x²，即100 = 36 + x²，求解得 x² = 64 ，故 x = 8 cm。因此，三角形的高是 8 cm。

4. 利用三角形的面积公式 Area = 1/2 * base * height 计算三角形面积 = 1/2 * 12 cm * 8 cm = 48 cm²。

5. 三棱柱的表面积等于两个三角面相加，再加上三个矩形面的面积的和。

6. 两个三角底面积加和：2 * 48 cm² = 96 cm²。

7. 一个侧面为12 cm（一个三角形底边） * 16 cm（三角柱的高） = 192 cm²。

8. 另两个矩形侧面为 10 cm（梯形的斜边） * 16 cm（整个柱的高）因此两个相同大小的侧面的面积是：2 * (10 cm * 16 cm) = 320 cm²。

9. 由三棱柱表面积公式有，三个侧面和两边的总表面积为 96 cm² + 192 cm² + 320 cm² = 608 cm²。

10. 经过上述推理，最终得出答案为608 cm²。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形的底边是12 cm，高是8 cm。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (12 cm * 8 cm) / 2 = 48 cm²。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "直角三角形的两直角边分别是 6 cm (12/2) 和 x cm，斜边是 10 cm。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 10² = (12/2)² + x²。因此，100 = 36 + x²，求解得 x² = 64，故 x = 8 cm。因此，三角形的高是 8 cm。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Triangular Prism", "content": "The surface area of a triangular prism is equal to the sum of the areas of its two triangular bases plus the sum of the areas of its three rectangular lateral faces, that is, Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area.", "this": "'在本题图中，三棱柱中，底面是三角形，侧面是矩形。根据三棱柱表面积公式，三棱柱的表面积等于两个底面面积之和加上三个侧面面积之和。具体来说：1. 底面三角形的面积为Base Area =1/2 * 12 cm * 8 cm = 48 cm²。2. 三个侧面矩形的面积分别为Lateral Area1=12 cm * 16 cm = 192 cm², Lateral Area2=10 cm * 16 cm=160cm², 和Lateral Area3=10 cm * 16 cm=160cm²。因此，三棱柱的表面积Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area1 + Lateral Area2 + Lateral Area3=2 * 48 cm² + 192 cm² +160cm²+160cm² = 608 cm²。'"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_725.png", "question": "求图中圆柱的体积，其高度为8 cm，答案保留到小数点后两位。", "answer": "Volume \\$=904.78 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 已知圆柱的半径为6 cm，高度为8 cm。

2. 圆柱的体积的公式为 V = π × r² × h，其中 r 是圆的半径，h 是圆柱的高。

3. 将已知的 r = 6 cm 和 h = 8 cm 代入公式，计算得 V = π × (6 cm)² × 8 cm。

4. 进一步计算得 V = π × 36 cm² × 8 cm = 288π cm³。

5. 计算近似值时，取 π ≈ 3.14159，得到 V ≈ 3.14159 × 288 cm³。

6. 进行乘法计算得到 V ≈ 904.77872 cm³。

7. 按要求保留两位小数，圆柱体的体积为 904.78 cm³。

n. 经过上述推理，最终得出答案为 904.78 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为6 cm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高8 cm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱的底面是一个圆，圆心为圆心，圆周上的任意一点到圆心的距离为6 cm，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Height of a Cylinder", "content": "The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.", "this": "圆柱的高度 h 为 8 cm，即两个底面圆之间的垂直距离为 8 cm。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "圆柱半径 r=6 cm 和 高度 h=8 cm，将这两个值代入公式计算得出体积 V = π × (6 cm)² × 8 cm = 288π cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_708.png", "question": "求图中所示图形的表面积。标记的两条边长度相同。", "answer": "120 \\mathrm{cm}^2", "process": "1. 分析图形，发现该图形由一个较大的长方体和一个较小的长方体组合而成。

2. 首先计算较大的长方体的表面积。其尺寸为长12 cm，宽1 cm，高1 cm。

3. 长方体的表面积公式为：2 (长 * 宽 + 长 * 高 + 宽*高)。运用此公式，得出：较大长方体的表面积 = 2 (12 cm * 1 cm + 12 cm * 1 cm + 1 cm * 1 cm) = 2 (12 + 12 + 1) = 2 * 25 = 50 cm²。

4. 然后计算较小的长方体的表面积。其尺寸为长4 cm，宽1 cm，高7 cm。

5. 运用长方体的表面积公式，得出：较小长方体的表面积 = 2 (4 cm * 1 cm + 4 cm * 7 cm + 1 cm * 7 cm) = 2 (4 + 28 + 7) = 2 * 39 = 78 cm²。

6. 接下来计算组合后的图形的重叠部分，这会减少表面积的总和。重叠部分是两长方体之间相接的部分，其面积为：(4 cm * 1 cm)，因为两个长方体算入了两次，所以等于4 * 2 = 8 cm²。

7. 最后将单个长方体表面积处理好，减去移重部分后，得出组合图形的总表面积为：较大长方体表面积+较小长方体表面积-重叠部分=50 cm² + 78 cm² - 8 cm²。

n. 计算结果得出总表面积为120 cm²。

8. 经过上述推理，最终得出答案为：120 cm²。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "大长方体的尺寸为12 cm × 1 cm × 1 cm，小长方体的尺寸为4 cm × 1 cm × 7 cm。"}, {"name": "Surface Area Formula for Rectangular Prism", "content": "The surface area \\( S \\) of a rectangular prism is given by \\( S = 2 \\times ( l \\times w + w \\times h + h \\times l ) \\), where \\( l \\) is the length, \\( w \\) is the width, and \\( h \\) is the height.", "this": "大长方体的表面积 = 2 × (12 cm × 1 cm + 12 cm × 1 cm + 1 cm × 1 cm) = 2 × 25 cm² = 50 cm²。小长方体的表面积 = 2 × (4 cm × 1 cm + 4 cm × 7 cm + 1 cm × 7 cm) = 2 × 39 cm² = 78 cm²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_726.png", "question": "求所示棱柱的体积。棱柱的高度为2cm。", "answer": "\\$299 \\mathrm{~cm}^{3}\\$", "process": "1. 如图所示，这是一个由梯形底面绕边轴平移形成的楔形棱柱。棱柱的底面形状是一个梯形，其上底为7cm，下底为16cm，二底之间的距离(即梯形的高)为2cm。

2. 根据梯形面积公式，梯形面积= (1/2) * (上底 + 下底) * 高，得出：梯形面积 = (1/2) * (7cm + 16cm) * 2cm。

3. 计算梯形的面积：= (1/2) * (23cm) * 2cm = (1/2) * 46cm² = 23cm²。

4. 由棱柱的体积公式，底面积*高，得出：

5. 底面积 =23cm²，高 = 13cm，所以棱柱体积= 23cm² * 13cm.

6. 最终计算棱柱体积得23cm² * 13cm = 299cm³", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，图形的底面是一个梯形，其上底为7cm，下底为16cm，两底之间的距离即为梯形的高2cm。梯形的两条非平行边是图中两条较短的斜边。"}, {"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "该楔形棱柱的底面是一个梯形（上底为7cm，下底为16cm，高为2cm），棱柱的高是13cm。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形底面中，边7cm和边16cm是两条平行边，边2cm是它们之间的高度，所以梯形的面积为(7cm + 16cm) * 2cm / 2。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，利用棱柱体积公式求解整个棱柱的体积：体积 = 23cm² (底面积) * 13cm (高) = 299cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_717.png", "question": "已知如下的正方形金字塔。底边长为10cm。求该正方形金字塔的体积。", "answer": "200 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 已知正方形金字塔，其底部为边长为10cm的正方形。

2. 据图可知尖端至正方形中心的垂直距离即为高，为6cm。

3. 根据正方形面积公式，可得其面积为10cm×10cm=100平方厘米。

4. 根据棱锥体积公式，体积 V = (1/3)×底面积×高。

5. 代入具体数值，V = (1/3)×100平方厘米×6cm。

6. 计算得V = 200立方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为200立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，底边正方形的四条边长均为 10 cm，且四个角均为直角（90度），所以底边是一个正方形。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形的边长为10 cm，因此其面积为 10 cm × 10 cm = 100 平方厘米。"}, {"name": "Volume Formula of Pyramid", "content": "The volume \\( V \\) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \\( V = \\frac{1}{3} \\times \\text{Base Area} \\times \\text{Height} \\).", "this": "底面积为100平方厘米，高为6 cm。因此体积 V = (1/3) × 100平方厘米 × 6 cm。根据公式最终得 V = 200 立方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_732.png", "question": "如图所示，棱柱的高度为9cm。求所示棱柱的体积。", "answer": "270 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 题目已知：棱柱的高为9厘米，底面面积A=30平方厘米。

2. 棱柱的体积公式为：体积=底面积×高。

3. 将已知条件代入体积公式得：体积=30平方厘米×9厘米。

4. 计算得：体积=270立方厘米。

5. 经过上述计算，最终得出答案为270立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，棱柱的两个相同底面分别是该五边形的两个面，侧面为连接两个底面各边的矩形面。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "将已知底面积A = 30 平方厘米和高h=9厘米代入体积公式，体积 = 底面积 × 高 = 30 平方厘米 × 9 厘米 = 270 立方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_701.png", "question": "求图中三棱柱的表面积。高为21 cm。底面是一个等腰三角形。", "answer": "768 \\mathrm{cm}^2", "process": "1. 已知三棱柱的底面是一个等腰三角形，腰长为10 cm，底边长为12 cm，可以看到三角形底部的高为8 cm。

2. 根据三角形面积公式，三角形面积是 1/2 * 底边 * 高。因此底面三角形的面积为1/2 * 12 cm * 8 cm = 48 cm²。

3. 三棱柱的表面积由两个底面三角形和三个矩形面组成。

4. 三个矩形面中：一面来自沿着三角形底边旋转，这个矩形的面积为21 cm * 12 cm = 252 cm²。

5. 另外两个面来自于这两个腰 (10 cm each) 的旋转，我们获得两个相等的矩形，因此每一个矩形的面积都是 21 cm * 10 cm = 210 cm²。

6. 因此，两腰的矩形总面积为2 * 210 cm² = 420 cm²。

7. 所以整个三棱柱的表面积 = 2 * 底三角形的面积 + 底边的矩形的面积 + 腰的矩形区域的面积。

8. 表面积总计为2 * 48 cm² + 252 cm² + 420 cm² = 768 cm²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为768 cm²。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形底边为12 cm，高为8 cm。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (12 cm * 8 cm) / 2 = 48 cm²。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "在本题图中，三角形的两腰长度均为10 cm，底边长度为12 cm，因此该三角形是一个等腰三角形。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，矩形的面积公式应用如下：\n1) 沿着三角形底边形成的矩形面积为21 cm * 12 cm = 252 cm²；\n2) 两个沿着三角形腰形成的矩形面积，每一个的面积为21 cm * 10 cm = 210 cm²，故总面积为2 * 210 cm² = 420 cm²。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Triangular Prism", "content": "The surface area of a triangular prism is equal to the sum of the areas of its two triangular bases plus the sum of the areas of its three rectangular lateral faces, that is, Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area.", "this": "整个三棱柱的表面积 = 2 * 底面三角形的面积 + 底边的矩形的面积 + 两腰的矩形区域的面积。根据计算为2 * 48 cm² + 252 cm² + 420 cm² = 768 cm²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_710.png", "question": "求图中圆锥的表面积。半径为3cm。\n\n将答案保留到小数点后两位。", "answer": "122.52 \\mathrm{cm}^2", "process": "1. 已知圆锥的底面半径 r 为 3 cm，斜高 l 为 10 cm。

2. 为了计算圆锥的表面积，首先需要计算底面圆的面积。底面圆的面积公式为 A_circle = πr^2。

3. 带入已知条件, r=3 cm，可以得到底面圆的面积 A_circle = π × (3)^2 = 9π cm²。

4. 接下来计算侧面积。侧面积的公式为 A_side = πrl，即等于底面圆的周长 πr 乘以斜高 l。

5. 带入已知条件, r=3 cm 和 l=10 cm，可以得到侧面面积 A_side = π × 3 × 10 = 30π cm²。

6. 将底面面积和侧面面积加起来得出总的表面积 S_total = A_circle + A_side = 9π + 30π = 39π cm²。

7. 计算39π的近似值，即S_total = 39 × 3.14159 ≈ 122.522113 cm²。

8. 将最后计算出的值四舍五入保留到小数点后两位，即122.522113 ≈ 122.52 cm²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为: 圆锥的表面积是122.52 cm²。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "在本题图中，圆锥的平面基底是底面圆，其半径为 r=3 cm，顶点是圆锥的顶部，底面圆和顶点之间的线段表示斜高 l=10 cm。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆锥的底面圆的半径是3 cm，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方，即A_circle = π × 3² = 9π cm²。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "底面圆的半径 r=3 cm，圆锥的斜高 l=10 cm，因此侧面积 A_side = π × 3 × 10 = 30π cm²。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其半径为3 cm，底面积为π(3)^2 = 9π cm²。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高10 cm，扇形的弧长等于底面的周长2π(3) = 6π cm。侧面积等于扇形的面积，即π(3)×10 = 30π cm²。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为9π + 30π = 39π cm²。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_712.png", "question": "求该金字塔的表面积。垂直高度为8mm。\n\n将你的答案四舍五入到小数点后两位。", "answer": "288.6 \\mathrm{m}^2", "process": "1. 已知底面是正方形，边长为10毫米，根据《正多边形面积公式》，正方形的面积等于其边长的平方，即10毫米×10毫米=100平方毫米。

2. 四个侧面均为相同的等腰三角形，顶点的垂直高度已知为8毫米。

3. 在侧面，即底边中点连接到端点的直角三角形中，可以形成勾股定理来帮助计算，底边的一半是5毫米，使用《勾股定理》a² + b² = c²，在此a为塌线8毫米，b为底边一半5毫米，c为斜边长度未知。

4. 解方程8² + 5² = c²，等于64 + 25 = c²，c² = 89，得出c即为斜边长度√89，可以近似为9.43毫米。

5. 依据《三角形面积公式》，每个三角形面积等于1/2 × 底边长（10毫米） × 高（由第4步计算的斜边9.43毫米），约为47.15平方毫米。

6. 整个表面积等于底面面积加上四个侧面面积，100平方毫米 + 4×47.15平方毫米 = 100平方毫米 + 188.60平方毫米 = 288.60平方毫米。

7. 经过上述推理步骤，最终得出答案为表面积是288.60平方毫米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Regular Polygon", "content": "A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.", "this": "底面是一个正方形，对于这个正方形，它的每一条边长为10毫米，并且每一个内角都是90度。因此，底面是一个正多边形。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "四个侧面都是等腰三角形，每个等腰三角形的两条相等边分别是斜边(约为9.43毫米)和另一条斜边（约为9.43毫米）。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "在本题中，底面的正方形面积为10毫米 × 10毫米 = 100平方毫米。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题中，侧面等腰三角形的底边的一半是5毫米，高度是8毫米，因此采用勾股定理计算斜边长度c：a² + b² = c²，其中a为8毫米，b为5毫米，c为斜边长度。根据勾股定理，8² + 5² = c²，即c² = 89，得出斜边长度为√89 ≈ 9.43毫米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "侧面等腰三角形中，底边是10毫米，垂直高度是8毫米。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边10毫米乘以高9.43毫米再除以2，即面积 = (10毫米 * 9.43毫米) / 2。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_739.png", "question": "一个金字塔从一个长方体中被移除，如图所示。长方体的高度为8cm。求这个复合固体的体积。", "answer": "720 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 已知矩形棱柱的体积计算公式为：长 * 宽 * 高。题中给出的长为15 cm，宽为9 cm，高为8 cm。

2. 根据矩形棱柱的体积公式，体积为：长 * 宽 * 高 = 15 cm * 9 cm * 8 cm = 1080 立方厘米。

3. 从矩形棱柱中移除的棱锥的底面积是与矩形棱柱的底面相同，即底面积为长 * 宽 = 15 cm * 9 cm = 135 平方厘米。

4. 移除的棱锥高为矩形棱柱的高，且高为8 cm。棱锥的体积计算公式是1/3 * 底面积 * 高。

5. 根据棱锥的体积公式，体积为：1/3 * 底面积 * 高 = 1/3 * 135 平方厘米 * 8 cm = 360 立方厘米。

6. 复合立体的体积可以通过用棱柱的体积减去移除的棱锥的体积来得到。

7. 因此，复合立体的体积 = 矩形棱柱体积 - 移除的棱锥体积 = 1080 立方厘米 - 360 立方厘米 = 720 立方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为720 立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，矩形棱柱的底面是15 cm * 9 cm的矩形，上底面也是同样大小的矩形。高为8 cm，即两个底面之间的距离。图中两个底面每个矩形的四个顶点分别标示直角符号，显示其为矩形。"}, {"name": "Definition of Pyramid", "content": "A pyramid is a polyhedron formed by connecting a polygonal base with a point not in the same plane as the base (the apex) using line segments from each vertex of the polygon to the apex.", "this": "在本题图中，移除的棱锥底面与矩形棱柱底面相同，且底面积为15 cm * 9 cm的矩形。棱锥的侧面与底面垂直且顶点位于棱柱的底面中央点。图中显示底面四个顶点分别与顶点形成四条斜面线段。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "矩形棱柱的底面积为15 cm * 9 cm，而高为8 cm。因此，矩形棱柱的体积计算为15 cm * 9 cm * 8 cm = 1080 cm³。"}, {"name": "Volume Formula of Pyramid", "content": "The volume \\( V \\) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \\( V = \\frac{1}{3} \\times \\text{Base Area} \\times \\text{Height} \\).", "this": "移除的棱锥底面积与矩形棱柱相同为15 cm * 9 cm，而高也为8 cm。因此，棱锥的体积计算为1/3 * 135 cm² * 8 cm = 360 cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_738.png", "question": "如图所示，该立体图形由一个圆锥和半球体构成。圆锥的高为12cm。求所示复合图形的体积，精确到小数点后两位。", "answer": "169.65 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 已知半球的半径为3厘米，半球的半径=圆锥的底面积圆的半径=3厘米。

2. 半球体积公式为：V_半球 = (2/3) * π * (半径)^3。带入数值计算：V_半球 = (2/3) * π * (3)^3 = 18π cm³。

3. 对于圆锥，我们已知圆锥的底面半径r=3厘米，高度h=12厘米，采用圆锥的体积公式：V_圆锥 = (1/3) * π * r^2 * h 。带入数值计算：V_圆锥 = (1/3) * π * (3)^2 * 12 = 36π cm³。

4. 复合体积包括圆锥体积和半球体积，所以复合立体的总体积为：V_总 = V_圆锥 + V_半球 = 36π + 18π = 54π cm³。

5. 最后，求此总体积并精确到小数点后两位：V_总 = 54π ≈ 169.65 cm³

6. 经过上述推理，最终得出答案为169.65 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Hemisphere", "content": "A hemisphere is a three-dimensional geometric shape that constitutes half of a sphere, including half of the sphere's surface area and a circular base area.", "this": "该半球的半径为3厘米，因此半球的直径为6厘米。"}, {"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "该圆锥的底面圆的半径为3厘米，高度为12厘米。"}, {"name": "Volume Formula of a Hemisphere", "content": "The volume formula of a hemisphere is V = (2/3) * π * r^3, where r is the radius of the hemisphere.", "this": "半球的半径是3厘米，因此通过体积公式计算：V_半球 = (2/3) * π * (3)^3 = 18π cm³。"}, {"name": "Volume Formula of a Cone", "content": "The formula to calculate the volume of a cone is \\( V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base circle and \\( h \\) is the height of the cone.", "this": "圆锥的半径是3厘米，高度是12厘米，因此通过体积公式计算：V_圆锥 = (1/3) * π * (3)^2 * 12 = 36π cm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_729.png", "question": "如图所示，长方体的高度为3cm。求长方体的体积。", "answer": "48 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 已知该矩形棱柱的长为8厘米，宽为2厘米，高为3厘米。

2. 根据长方体体积公式：体积=长 * 宽 * 高。

3. 插入已知数据：体积 = 8厘米 * 2厘米 * 3厘米。

4. 计算得出结果：体积 = 48立方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案48立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "在本题图中，该几何体的六个面都是矩形，其长为8厘米，宽为2厘米，高为3厘米，所以这是一个长方体。"}, {"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "该长方体的长为8厘米，宽为2厘米，高为3厘米，根据定义，体积 = 8厘米 * 2厘米 * 3厘米。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "长方体的底面（即一个矩形）中，边8厘米和边2厘米是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 8厘米 * 2厘米 = 16平方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_744.png", "question": "计算图中球的半径，已知圆柱体的体积为13.75\\pi cm3。", "answer": "3", "process": "1. 已知圆柱体的体积 V_c = 13.75\\pi\\text{ cm}^3，且 V_c = \\pi r^2 h，其中 r 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高度。

2. 圆柱体的已知高度为 h = 5\\text{ cm}，代入体积的公式，我们有 \\pi r^2 \\times 5 = 13.75\\pi。

3. 移去体积公式两端的 \\pi 后，等式变为 5r^2 = 13.75。

4. 解方程：r^2 = \\frac{13.75}{5} = 2.75，故 r = \\sqrt{2.75} = \\frac{\\sqrt{11}}{2}。

5. 在题目条件中，圆柱体被认为是嵌入一个球体。而从图中，依据勾股定理，我们可以推导出球体的直径的平方等于圆柱体的底面圆直径的平方和高度的平方和。于是，直径 = \\sqrt{({2r})^2 + h^2}。

6. 代入 r 和 h 的值，计算得直径 = \\sqrt{(2\\times\\frac{\\sqrt{11}}{2})^2 + 5^2} = \\sqrt{11 + 25} = 6。

7. 由此，球体的半径 R = \\frac{6}{2} = 3。

8. 最终，由以上计算可知球的半径 为 3。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体的体积 V_c = 13.75π cm^3，圆柱体的高度 h = 5 cm。将这些值代入公式，我们得出了底面半径 r = √2.75 = \\frac{√11}{2} cm，并由此进行了后续计算。"}, {"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "我们根据圆柱体的底面直径 2r 和高度 h，通过勾股定理来求出嵌入球体的直径 d = √[(2r)^2 + h^2] = √[11 + 25] = 6 cm，由此可以得出球的半径 R = rac{d}{2} = 3 cm。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "圆柱体的高度 h = 5 cm，另一条直角边是圆柱体的底面直径 2r = 2 × rac{√11}{2} = √11 cm，斜边即球的直径 d。因此，利用勾股定理我们可以计算出球的直径 d = √[(2r)^2 + h^2] = 6 cm。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_723.png", "question": "如图所示，圆柱形水箱的高度为3x。圆柱形水箱以每秒3\\pi x升的恒定速度漏水（其中x是一个固定未知数）。如果水箱最初是满的，计算(2x+2)^2���后剩余的水量。请以展开形式给出简化答案。", "answer": "63\\pi x^3+66\\pi x^2+15\\pi x litres", "process": "1. 我们知道圆柱体水箱的底面是一个圆，其半径为5x+3。

2. 圆的面积公式为πr^2，因此圆柱体水箱的底面积为π(5x + 3)^2。

3. 已知圆柱体水箱的高度为3x，根据圆柱体体积公式V = 底面积 * 高度，可得水箱的总体积为π(5x + 3)^2 * 3x。

4. 圆柱体水箱最初是满的，所以初始的水量为π(5x + 3)^2 * 3x升。

5. 水从水桶中以3πx升每秒的速度流出。给定时间是(2x + 2)^2秒，那么损失的水量=每秒流出的速度*流失的时间=3πx * (2x + 2)^2

6. 进行计算。首先，(2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4。

7. 将计算结果代入步骤5，损失的水量 = 3πx * (4x^2 + 8x + 4)。

8. 损失的水量 = 3πx * (4x^2 + 8x + 4) = 12πx^3 + 24πx^2 + 12πx。

9. 水箱内剩余的水量 = 初始水量 - 损失的水量。

10. 初始水量V_initial = π(5x + 3)^2 * 3x，简化为3πx * ((5x)^2 + 2 * 5x * 3 + 3^2 = (25x^2 + 30x + 9)) = 3πx * (25x^2 + 30x + 9) = 75πx^3 + 90πx^2 + 27πx。

11. 剩余体积 = 初始水量 - 损失的水量，即(75πx^3 + 90πx^2 + 27πx) - (12πx^3 + 24πx^2 + 12πx)。

12. 合并得：剩余体积 =(75πx^3 - 12πx^3) + (90πx^2 - 24πx^2) + (27πx - 12πx)

13. 计算得：剩余体积 = 63πx^3 + 66πx^2 + 15πx

14. 所以，水箱中剩余的水量为63πx^3 + 66πx^2 + 15πx升。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆柱形水箱的底面是一个圆，其圆心在底部中心，半径为5x + 3。图中所有到底部中心的距离等于5x + 3的点都在圆底面上。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱体水箱的底面是一个圆，其半径是5x + 3。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径(5x + 3)的平方，即A = π(5x + 3)²。"}, {"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体水箱由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为5x + 3，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高度3x，宽度等于圆周的周长2π(5x + 3)。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体水箱的总体积V = π(5x + 3)^2 * 3x。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_740.png", "question": "求这个封闭圆柱的高度 h mm，如果其表面积 (S) 是 \\$27288\\$mm2。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的整数。", "answer": "58", "process": "1. 已知参数：圆柱的半径 r = 43 mm，表面积 S = 27288 mm²。

2. 根据圆柱的表面积公式，S = 2πr² + 2πrh，其中 r 是圆柱的半径，h 是圆柱的高。

3. 将已知值代入表面积公式：27288 = 2π(43)² + 2π(43)h。

4. 计算 2π(43)²，得 2π(43)² = 11594.368。

5. 设方程中未知数部分 2π(43)h = x ，则 2x + 11594.368 = 27288。

6. 求得 x = 27288 - 11594.368 = 15693.632。

7. 因为 x = 2π(43)h，故有 2π(43)h = 15693.632。

8. 解 x = 2πrh 方程，得 h = 15693.632 / (2π(43))。

9. 计算出 h ≈ 58.0999。（四舍五入到最接近整数）

10. 经过上述推理，最终得出答案为 58。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径 r = 43 mm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高 h mm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆柱的底面圆中，圆心到圆上任意一点的线段长度为 43 mm，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，长度为2倍的半径，即直径 = 2r = 2×43 mm = 86 mm。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱的表面积 S = 27288 mm²，底面圆的半径 r = 43 mm，圆柱的高为 h mm。因此，根据公式，我们有 S = 2π(43)² + 2π(43)h。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_749.png", "question": "一个矩形棱柱的尺寸如图所示。高度为5。求AG的长度。答案以根号形式表示。", "answer": "\\sqrt{122}", "process": "1. 已知ABCD-EFGH是一个长方体，长宽高分别是EF=9，GF=4，AE=5。

2. 问题要求求出线段AG的长度。由于AG是长方体对角线（空间对角线）的一部分，而该对角线会穿过立体的长宽高故其公式为长方体的体对角线公式。

3. 在三维空间中，长方体的体对角线公式为√(长² + 高² + 宽²），具体到该例子AG的长度计算为√(EF² + GF² + AE²)。

4. 代入数据进行计算：EF=9，GF=4，AE=5，代入公式得到AG=√(9² + 5² + 4²)。

5. 对公式中的数据进行平方运算：9²=81，5²=25，4²=16。

6. 将这些值代入：AG=√(81 + 25 + 16)。

7. 计算总和：81 + 25 + 16 = 122。

8. AG的长度即是：AG = √122。

9. 因为题目要求我们将答案留在根式形式，所以，经过上述推理，最终得出答案为√122。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "本题图是长方体ABCD-EFGH，其中长方体的长是HG=9，宽是GF=4，高是AE=5。"}, {"name": "Formula for the Space Diagonal of a Rectangular Prism", "content": "The length of the space diagonal of a rectangular prism is equal to the square root of the sum of the squares of the lengths of its three sides.", "this": "长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么体对角线的长度d可以通过以下公式来求解: d = √(a² + b² + c²) = x。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_747.png", "question": "以下立方体的所有边长都相同。\n\n以最简根式形式求出AG的准确长度。", "answer": "\\sqrt{147}", "process": "1. 已知正方体的边长为 7 cm，正方体所有的边长相等。

2. 我们需要找到顶点 A 到顶点 G 的距离 AG。G 是正方体的对角顶点。我们可以通过正方体的体对角线公式来计算。

3. 正方体的两对顶点构成空间对角线。这两个顶点是立方体中在不同顶面上且不在同一条边上的顶点。

4. 对于所求的线段 AG，我们可以用正方体的体对角线公式求出。公式为：如果正方体的边长为 a，则体对角线长 d 是 d = √(3a²)。

5. 代入题中的已知边长数值 a = 7，计算 AG = √147 = 7√3。

6. 将7与√3的乘积作为最终答案。

7. 因此，通过上述推理步骤计算得到的顶点 A 和 G 的距离 AG 为 7√3。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cube", "content": "A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.", "this": "在本题图中，正方体的每条边的长度都是7 cm。具体来说，边 AB、BC、CD、DA、EF、FG、GH、HE 都是7 cm。"}, {"name": "Formula for Space Diagonal of a Cube", "content": "The length of the space diagonal (d) of a cube is equal to the side length (a) multiplied by the square root of 3 (√3).\nFormula: \\( d = a\\sqrt{3} \\)", "this": "在本题图中，正方体的边长为7,体对角线d=√(3 * 7²)=√147=7√3。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_702.png", "question": "求所示三棱柱的表面积。高度为20 cm。", "answer": "528 \\mathrm{cm}^2", "process": "1. 已知该六面体是一个三棱柱，通过观察，我们可以看到它的底部是一个直角三角形。

2. 直角三角形的两条直角边长分别是6厘米和8厘米（这���个边分别标记在图中）。

3. 求直角三角形的面积，根据三角形面积公式S=1/2 * 底 * 高，所以面积= 1/2 * 6cm * 8cm = 24平方厘米。

4. 三棱柱的顶部和平行到底部的面是相同的直角三角形构成。

5. 整个六面体的表面积是等于其两个三角底面 加上三个侧面的面积总和。

6. 两个底面的面积加起来是 2 * 24平方厘米 = 48平方厘米。

7. 三个侧面分别都包含一个在矩形侧面，边长为底部三个边（包括斜边）和三棱柱的高度20厘米长。

8. 这三个侧面的面积分别是：

（直角边为6 cm，20 cm高度的矩形形成的一侧面，面积是: 6cm * 20cm = 120 平方厘米）

（直角边为8 cm，20 cm高度的矩形形成的一侧面，面积是: 8cm * 20cm = 160 平方厘米）

（斜边为10 cm，20 cm高度的矩形形成的一侧面，面积是: 10cm * 20cm = 200 平方厘米）

9. 将所有侧面积相加，可以得到侧面积总和为 120 + 160 + 200 = 480平方厘米。

10. 最后将两个底面面积与三个侧面面积相加，得到整个三角棱柱的表面积。

11. 表面积总共为 48平方厘米 (底面积) + 480平方厘米 (侧面积）= 528 平方厘米。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 Triangular prism 外表的表面积是528平方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangular Prism", "content": "A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.", "this": "在本题图中，整个立体图形就是三棱柱。 它的两个底面是平面三角形 (一个底面在图中被标记了边 6 cm 和 8 cm)，而三个侧面是矩形，它们的高度是20 cm。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "'在本题图中，底面是一个直角三角形。直角边分别是6 cm和8 cm，直角位于它们的交点处。斜边是10 cm。'"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，三棱柱的三个侧面都是矩形。每个矩形的内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。矩形的边长分别是6 cm, 8 cm 和 10 cm以及高度 20 cm。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，底面的直角三角形中，边6 cm是底，边8 cm是高。根据三角形的面积公式，底面的直角三角形的面积等于底边6 cm乘以高8 cm再除以2，即面积 = (6 cm * 8 cm) / 2 = 24 平方厘米。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "边6 cm和边20 cm是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 6 cm * 20 cm = 120 平方厘米；\n边8 cm和边20 cm是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 8 cm * 20 cm = 160 平方厘米；\n边10 cm和边20 cm是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 10 cm * 20 cm = 200 平方厘米。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Triangular Prism", "content": "The surface area of a triangular prism is equal to the sum of the areas of its two triangular bases plus the sum of the areas of its three rectangular lateral faces, that is, Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area.", "this": "三棱柱的表面积 = 2 * 底面面积 + 侧面面积总和 = 2 * 24 平方厘米 + 120 平方厘米 + 160 平方厘米 + 200 平方厘米 = 48 平方厘米 + 480 平方厘米 = 528 平方厘米。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_733.png", "question": "如图所示，底面的高度为14cm。求棱柱的体积。", "answer": "399 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 提供的图中出现了一个对称的三棱柱，其中基底由等腰梯形构成，上底长为14 cm，下底长为5 cm，高度为3 cm。

2. 梯形的面积可以使用梯形面积公式：\\( A = \\frac{1}{2} \\times (a + b) \\times h \\)，其中a和b为上底和下底长度，h为梯形的高。因此：\\( A = \\frac{1}{2} \\times (14 + 5) \\times 3 = \\frac{1}{2} \\times 19 \\times 3 = 28.5 \\text{ cm}^2 \\)。

3. 根据顶部提供的信息，整个几何体即该三棱柱的高为14 cm。

4. 一个棱柱的体积可以通过公式 \"V = 基底面积 \\times 高\" 来计算。因此：\\( V = 28.5 \\text{ cm}^2 \\times 14 \\text{ cm} = 399 \\text{ cm}^3 \\)。

5. 最终，通过以上的详尽推导结论得知该几何体的体积为399 \\text{ cm}^3 \\。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Trapezoid", "content": "A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).", "this": "基底是一个等腰梯形，其中上底为14 cm，下底为5 cm，高度为3 cm，两腰相等。"}, {"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "三棱柱的底面为等腰梯形，上底长为14 cm，下底长为5 cm，梯形的高度为3 cm，棱柱的高度（立体几何中的高）为14 cm。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底为14 cm，下底为5 cm，高为3 cm，因此计算其面积为：\\( A = \\frac{1}{2} \\times (14 + 5) \\times 3 = 28.5 \\text{ cm}^2 \\)。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "基底面积为28.5 cm²，棱柱的高度为14 cm，因此计算其体积为：\\( V = 28.5 \\text{ cm}^2 \\times 14 \\text{ cm} = 399 \\text{ cm}^3 \\)。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_741.png", "question": "一个圆柱体的表面积为54105 ext{mm}^2。\n\n圆柱体的高度h mm应该是多少？\n\n请将答案四舍五入到最接近的整数。", "answer": "30", "process": "1. 由题意知圆柱的总表面积为 54105 \\mathrm{mm}^2，圆柱的底面半径为 79 \\mathrm{mm}，要求高度 h mm。

2. 圆柱体表面积公式为： 表面积 = 2\\pi rh + 2\\pi r^2，其中 r 是底面半径，h 是高。

3. 代入已知的底面半径 r = 79 和表面积的已知值，则方程为： 54105 = 2 * \\pi * 79 * h + 2 * \\pi * 79^2 。

4. 计算底面积项：2 * \\pi * r^2 = 2 * \\pi * (79)^2 = 2 * \\pi * 6241 = 12482\\pi。

5. 将底面积项代入方程，得： 54105 = 2 * \\pi * 79 * h + 12482\\pi。

6. 先整理该方程：54105 - 12482\\pi = 2 * \\pi * 79 * h。

7. 卸下\\pi项得：54105 - 12482\\pi ≈ 54105 - 39193.48 = 14911.52

8. 计算h：14911.52 = 2 * \\pi * 79 * h, 则 h = \\frac{14911.52}{2 * \\pi * 79} = \\frac{14911.52}{496.12}。

9. 解得 h ≈ 30.06。根据题意需四舍五入到最接近的整数，因此 h = 30。

10. 经过上述推理，最终得出答案为<30>。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径均为 79 mm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高 h mm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆心为固定点，半径为79 mm。图中所有到圆心的距离等于79 mm的点都在圆柱底面的圆上。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体表面积为 54105 mm²，底面半径 r 为 79 mm，高度 h 未知。通过代入公式 2πr² + 2πrh进行计算，即可得到需要的高度 h。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_730.png", "question": "如图所示，三棱柱的高度为8cm。求三棱柱的体积。", "answer": "32 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 已知三角柱的侧面为一三角形，其底为4cm，高为2cm。依据三角形面积公式，三角形的面积\\( A \\)可表示为\\( A = \\frac{1}{2} \\times ext{底} \\times ext{高} = \\frac{1}{2} \\times 4 \\text{cm} \\times 2 \\text{cm} = 4 \\text{cm}^2 \\)。

2. 根据体积公式，三角柱的体积\\( V \\)等于底面积\\( A \\)乘以三角柱的高。题目中已知三角柱的高为8cm。

3. 因此，体积\\( V = ext{底面积} \\times ext{柱体高} = 4 \\text{cm}^2 \\times 8 \\text{cm} = 32 \\text{cm}^3 \\)。

4. 经过上述推理，最终得出答案为32立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形的底是4 cm，高是2 cm。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (4 cm * 2 cm) / 2 = 4 cm^2。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "在本题图中，底面积为4 cm\\(^2\\)，三角柱的高为8 cm，因此体积 \\( V = 4 \\text{cm}^2 \\times 8 \\text{cm} = 32 \\text{cm}^3 \\)。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形的一个角为直角（90度），因此这个三角形是直角三角形。边长4 cm和边长2 cm是直角边。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_753.png", "question": "在上图中，圆柱体的半径为3。如果把矩形容器中的所有水倒入圆柱体中，水位从\\$h\\$英寸上升到\\$(h+x)\\$英寸。以下哪个选项是\\$x\\$值的最佳近似值？\n选项：\nA:3\nB:3.4\nC:3.8\nD:4.2", "answer": "D", "process": "1. 将长方体容器的水全部倒入圆柱后，圆柱中的水位由 \\$h\\$ 英寸上升到 \\$(h+x)\\$ 英寸。此时，长方体容器内的水体积等于圆柱新增加的水体积。

2. 计算长方体容器内的水体积。容器为长方体，其长度为 6 英寸，宽度为 5 英寸，水深为 4 英寸。因此，容器内水的体积为 \\$V_{rectangular} = 6 \\times 5 \\times 4 = 120\\$ 立方英寸。

3. 计算水注入圆柱后增加部分的体积。圆柱的底面积为 \\$\\pi \\times (3)^2 = 9\\pi\\$平方英寸。所以增加的水体积为 \\$V_{cylinder} = 9\\pi \\times x\\$ 立方英寸。

4. 列出等量关系：从长方体容器中倒到圆柱中的水的体积应相等，即 \\$120 = 9\\pi \\times x\\$。

5. 求解方程 \\$120 = 9\\pi x\\$，得 \\$x = \\frac{120}{9\\pi}\\$。

6. 计算 \\$x = \\frac{120}{9\\pi} \\approx 4.24\\$，这里采用 \\$\\pi \\approx 3.14\\$。

7. 根据选项，4.2 是 4.24 的最佳近似。因此，选项 D 是正确答案。

8. 经过上述推理，最终得出答案为选项 D，即 4.2。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Volume Formula of Rectangular Prism", "content": "The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.", "this": "长方体的长度为 6 英寸，宽度为 5 英寸，高度为 4 英寸。 因此，长方体的体积 V_rectangular = 6 × 5 × 4 = 120 立方英寸。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱的底面是一个半径为 3 英寸的圆。因此，底面积为 π × (3)^2 = 9π 平方英寸。"}, {"name": "Volume Formula of Cylinder", "content": "The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \\( V = \\pi r^2 h \\), where \\( r \\) is the radius of the base of the cylinder, and \\( h \\) is the height of the cylinder.", "this": "增加的水的高度为 x，因此增加的水体积 V_cylinder = 9π × x 立方英寸。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_752.png", "question": "上图显示了一个高度为 \\$\nabla{3} x\\$ 的三棱柱。如果该棱柱的体积为 \\$rac{81}{4}\\$，那么 \\$x\\$ 的值是多少？", "answer": "A", "process": "1. 首先了解到棱柱的体积公式为底面积乘以高，即: 体积 = 底面积 × 高。

2. 已知三棱柱的一个底面是等边三角形，且边长为 x。由于等边三角形的面积公式为 (√3 / 4) × 边长^2, 所以底面积 = (√3 / 4) × x^2。

3. 在题目中，棱柱的高为 √3 × x。

4. 替换所提供的信息到体积公式中，体积为 V = ((√3 / 4) × x^2) × (√3 × x)。

5. 解简为 V = (3√3 / 4) × x^3。

6. 根据题目给出的体积的具体数值 V 此时等于 81/4。

7. 列方程 (3√3 / 4) × x^3 = 81/4。

8. 两侧同时乘以 4/3√3 得到 x^3 = 27。

9. 通过解方程得出 x 的三次方等于27, 即 x = 3。

10. 根据选项来看, 符合 x = 3 为选项A。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 3。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Equilateral Triangle", "content": "An equilateral triangle is a triangle in which all three sides have the same length, and all interior angles are equal (each measuring 60°).", "this": "底面三角形是一个等边三角形。边长分别为 x、x 和 x，每个内角均为 60°。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "底面等边三角形的边长为 x，根据等边三角形的面积公式，底面积 = (√3 / 4) × x^2。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "三棱柱的底面积为（√3 / 4）× x^2，高为√3 x，因此此三棱柱的体积为（√3 / 4）× x^2 ×√3 x。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_727.png", "question": "如图所示，矩形棱柱的高度为10cm。计算图中矩形棱柱的体积。", "answer": "\\$1690cm^2\\$", "process": "1. 已知该矩形棱柱的高为10cm，并且底面为正方形(依据矩形的定义可知，矩形棱柱的底的四边相等，符合正方形定义）设为ABCD，其边长均为13cm。

2. 根据棱柱的体积公式：体积 = 底面积 × 高，其中底面是正方形，由正方形面积公式得出底面积为13cm × 13cm。

3. 计算底面积：13 × 13 = 169平方厘米。

4. 根据第二步和第三步，得到体积：169平方厘米 × 10厘米 = 1690立方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1690立方厘米。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "正方形ABCD中，边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角A、角B、角C和角D均为直角（90度）。因此，正方形ABCD的四条边相等且四个内角均为直角（90度），符合正方形的定义。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形ABCD中，边AB是正方形的一条边，边长为13。因此，根据正方形的面积公式正方形ABCD的面积A = 13²。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "底面ABCD的面积为169，棱柱的高为10。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于底面积169乘以高10。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "底面是一个正方形。底面的边长均为13cm，同时每个角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_737.png", "question": "该正四棱锥的高为7mm。求图中正四棱锥的准确体积。", "answer": "\\frac{847}{3} \\mathrm{mm}^3", "process": "1. 已知正棱锥的高为7mm，根据几何特征图，我们可以确定该正四棱锥底面是一个正方形。

2. 根据正方形的性质，它的边都是相等的。由于底边的边长是正方形边长的对应部分之一，给定每条边为11mm，所以正方形底面的边长为11mm。

3. 在计算正方形底面积的时候，根据正方形的面积公式A = a^2，其中a为正方形的边长。这一点可以根据底面上的图确认。代入正方形边长a = 11mm : A = 11 * 11 = 121mm^2。

4. 计算正棱锥体积公式V = (1/3) * A * h，其中A代表底面积，h为垂直高。代入刚刚计算的底面积A = 121mm^2 和垂直高h = 7mm 得出：

5. 计算体积V = (1/3) * 121 * 7 = 847/3 mm^3。

6. 经过上述推理，最终得出正棱锥的确切体积为: 847/3mm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "底面是一个正方形，其中四条相等的边分别为11 mm，且四个内角均为直角（90度）。"}, {"name": "Definition of Regular Pyramid", "content": "A regular pyramid is defined as a pyramid in which the base is a regular polygon, and each of the lateral faces is an identical isosceles triangle.", "this": "底面是一个边长为11mm的正方形，正棱锥的高是7mm。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形底面的边长为11mm，底面面积A = 11mm * 11mm = 121 mm²。"}, {"name": "Volume Formula of Pyramid", "content": "The volume \\( V \\) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \\( V = \\frac{1}{3} \\times \\text{Base Area} \\times \\text{Height} \\).", "this": "底面积A = 121 mm²且高h = 7mm，代入公式得出体积V = (1/3) * 121 * 7 = 847/3 mm^3，即rac{847}{3} mm³。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_748.png", "question": "以下是一个底边为边长16cm的正方形的直角棱锥。直角棱锥的顶点直接位于其底面中心的正上方。\n\n求VW的长度，即棱锥的垂直高度，精确到小数点后两位。", "answer": "23.41", "process": "1. 已知正方形底面为ABCD，底面中心为点W。

2. 在ABCD中，由于底是一个正方形，边长是16厘米，因此对角线AC可以用勾股定理（毕达哥拉斯定理）计算得出。

3. AC = √(AB^2 + BC^2) = √(16^2 + 16^2) = √512 cm。

4. 根据正方形的对角线性质可得，AW=WC=1/2AC=(√512)/2=8√2。即AW = 8√2。

5. 在△VAW中，已知VW为垂直高度，那么VW⊥AC，根据直角三角形的定义，∠VWA为直角三角形。已知VA = 26 cm，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），VA = √(VW^2 + AW^2)。

6. 将AW和VA代入，得到26^2 = (8√2)^2 + VW^2。

7. 化简：676 = 128 + VW^2。

8. 解方程得到VW^2 = 676 - 128 = 548。

9. 对VW求平方根: VW = √548。

10. 计算VW，得到VW ≈ 23.41（保留两位小数）。

11. 经推理验证，最终得出答案。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "边AB、边BC、边CD和边DA相等，且角DAB、角ABC、角BCD和角CDA均为直角（90度），所以ABCD是一个正方形。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，三角形VAW是一个直角三角形，∠VWA是直角（90度），边VW和AW是直角边，边VA是斜边，所以根据勾股定理，VA² = VW² + AW²。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形VAW中，角VWA是直角（90度），因此三角形VAW是一个直角三角形。"}, {"name": "Properties of Diagonals in a Square", "content": "The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.", "this": "在本题图中，正方形ABCD中，对角线AC和BD是连接相对角的线段。根据正方形的对角线性质，AC和BD相等，并且AC和BD互相垂直平分，因此，AW = WC。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_731.png", "question": "如图所示，棱柱的高度为2cm。求棱柱的体积。", "answer": "32 \\mathrm{cm}^3", "process": "1. 根据题目中所示的图形，我们可以推断这个棱柱的底面是一个菱形。

2. 从题目图中可得知，菱形的两个对角线分别为8cm和4cm。

3. 利用定理：菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线。在本题中，d1 = 8cm，d2 = 4cm。

4. 将对角线代入公式，得到面积 = (8cm × 4cm) / 2 = 16 cm²。

5. 利用体积公式：棱柱的体积V = 底面积 × 高。在本题中，菱形面积为底面积，且已知棱柱的高为2cm。

6. 计算体积：V = 16 cm² × 2cm = 32 cm³。

7. 经过上述推理，最终得出答案为32 cm³。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形的所有边都是相等的，因此四边形是一个菱形。此外，四边形的对角线互相垂直平分，即对角线相交于点O，且角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度），并且对角线AC和BD平分彼此。"}, {"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，棱柱的底面是一个菱形，并且棱柱的高度为2cm。"}, {"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "在本题图中，菱形的两条对角线分别为8cm和4cm。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (8cm × 4cm) / 2 = 16 cm²。"}, {"name": "Volume Formula of Prism", "content": "The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.", "this": "棱柱的底面积是菱形的面积，为16 cm²，且棱柱的高为2cm。因此可以利用该定理计算棱柱的体积，V = 16 cm² × 2cm = 32 cm³。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形的所有边都是相等的，因此四边形是一个菱形。此外，四边形的对角线互相垂直平分，即对角线相交于点O，且角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度），并且对角线AC和BD平分彼此。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形的所有边都是相等的，因此四边形是一个菱形。此外，四边形的对角线互相垂直平分，即对角线相交于点O，且角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度），并且对角线AC和BD平分彼此。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_750.png", "question": "考虑下图。棱柱的高度为16cm。\n\n使用毕达哥拉斯定理求出图中三棱柱的未知高度\\$x\\$。", "answer": "\\$x=8 \\mathrm{~cm}\\$", "process": "1. 设三角形的顶点为A，底边的两个端点分别为B和C（B在左侧），垂线段AD为x，同时已知线段AC 等于10cm，BC等于12cm，使用勾股定理分析。根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 由题意可知，三角形ABC中，AB＝AC，符合等腰三角形定义，三角形ABC是等腰三角形，由等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理可知，当中某点D到直角所在点A作垂线，AD也是等腰三角形的BC边的中线，D是BC边的中点， CD=12/2 = 6.

3. 由直角三角形ABD(有一角为90°，符合直角三角形定义），利用勾股定理可得，AD^2+ BD^2 = AB^2。因此得到x^2 + 6^2 = 10^2。

4. 把已知值带入等式，化简得：x^2 = 10^2 - 6^2.

5. 将数值代入计算， x^2 =100 - 36

6. 方程化简并求解x, x = 8

7. 经过上述推理解析，最终x = 8cm。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形 ABD 中，角 ∠ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边 AD 和边 BD 是直角边，边 AB 是斜边。"}, {"name": "Midpoint of a Line Segment", "content": "A midpoint of a line segment is the point that divides the line segment into two equal parts.", "this": "线段 BC 的中点为点 D。根据线段中点的定义，点 D 将线段 BC 平分为两个相等的部分，即线段 BD 和线段 DC 的长度相等。即，BD = DC = BC/2 = 12 cm / 2 = 6 cm。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。设直角三角形的直角所在的顶点为A，底边的两个端点分别为B和C，垂线段AD为x，同时已知线段AC等于10cm，BC等于12cm，使用勾股定理分析。根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知AB=10cm，BD=6cm，所以AD^2 + 6^2 = 10^2。"}, {"name": "Coincidence Theorem of Altitude, Median, and Angle Bisector in Isosceles Triangle", "content": "In an isosceles triangle, the angle bisector of the vertex angle not only bisects the vertex angle but also bisects the base and is perpendicular to the base.", "this": "在本题图中，等腰三角形ABC中，顶角为角A，底边为边BC。顶角的角平分线AD不仅平分顶角A，还平分底边BC，使得BD = DC，并且垂直于底边BC，即形成直角ADB（90度）。因此，线段AD既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "边AB和边AC相等，因此三角形ABC是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_745.png", "question": "高度是13 cm。求L。给出你的答案，四舍五入到最接近的cm。", "answer": "14", "process": "1. 已知圆柱体的高度为13 cm，并且半径为3 cm，题意要求找到L的长度，并将结果舍入到最接近的厘米。

2. 圆柱体的底部是一个圆，底面的直径就是圆柱体的底面的任何相对侧之间的距离。

3. 圆柱的对角线L在顶部和底部的圆的圆周上直径的位置由高度和底面的直径形成。

4. 可根据勾股定理进行计算，其中L是直角三角形长边，其他两边是圆的直径和圆柱体的高度。

5. 勾股定理表达为a² + b² = c²，在这里为（直径）6 cm的平方加上（高度）13 cm的平方等于对角线L的平方，即6² + 13² = L²。

6. 计算得出，36 + 169 = L²，205 = L²。

7. 最后计算L，得出L = √205 ≈ 14.3178。

8. 进行向下舍入，L大约为14厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为14。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是顶部和底部的两个完全相同的圆形，它们的半径为3 cm，直径为6 cm，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高13 cm，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "圆柱体底面圆的半径为3 cm，因此直径为6 cm。根据定义，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。因此，本题定义中的直径为6 cm。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "圆柱体的高度（13 cm）和底面的直径（6 cm）形成了一个直角三角形。这个直角三角形的两条直角边分别是高度13 cm和直径6 cm，而斜边即为L。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "圆柱体的高度13 cm和底面圆的直径6 cm形成直角三角形的两条直角边。根据勾股定理，斜边L的平方等于（直径）6 cm的平方加上（高度）13 cm的平方。数学表达为6² + 13² = L²，计算得出L = √205 ≈ 14.3178 cm，最后取整为14 cm。"}]} +{"img_path": "mathverse_solid/image_751.png", "question": "在上图所示的圆柱形管中，圆形底面的周长为32。如果沿着\\$\\overline{A B}\\$切开并平铺成一个矩形，那么\\$\\overline{A C}\\$的长度是多少？取整到最接近的整数。\n选项：\nA:24\nB:30\nC:34\nD:38", "answer": "C", "process": "1. 已知圆柱体的底面是圆形，底面的周长为32。

2. 将圆柱体沿着直线 \\overline{AB} 剪开并展成平面，那这时的底面周长将会转化为展开后的矩形的一个边，直线 \\overline{AB} 则变成另一边。

3. 展开的矩形的长就是周长32，而宽则是原本圆柱体的高 \\overline{AB} = 30。

4. 设展开的矩形A'ABB'， \\overline{AC} 是矩形ABCD的对角线。

5. 使用勾股定理（毕达哥拉斯定理）可以计算 \\overline{AC}，勾股定理（毕达哥拉斯定理）说明，在直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。

6. 在矩形ABCD中， \\overline{AC} 是对角线，BC为圆周的一半，所以通过公式 \\$AC = \\sqrt{16^2 + 30^2}\\$。

7. 计算： \\$AC = \\sqrt{16^2 + 30^2} = \\sqrt{256 + 900} = \\sqrt{1156}\\$。

8. \\sqrt{1156} 的开根计算可以得到为34。

9. \\overline{AC} 的长度为34。", "from": "mathverse", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，展开后的矩形A'ABB'长为圆柱体底面的周长32，宽为圆柱体的高度 AB = 30。其中的四边形 ABCD 是一个矩形，其内角 ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA 都是直角��90度），且边 AD 与边 BC 平行且等长，边 AB 与边 CD 平行且等长。矩形ABCD中的BC为圆周的一半。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "展开后的矩形的两条直角边分别为长16和宽30，对角线 AC 是斜边。使用勾股定理计算，AC 的长度为 \\sqrt{16^2 + 30^2} = \\sqrt{1156} =34。"}]} +{"img_path": "ixl/question-be330f8ed25241e34ad16666f022ef93-img-f0b18a33a4044017b8e060c2d05fd57f.png", "question": "哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等语句。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△HIJ≅△XWY", "process": "1. 已知角 H ≅ 角 X，且角 J ≅ 角 Y，根据全等三角形判定定理(AAS)，若两个三角形的两个角和非夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

2. 观察图形，寻找与角 H 和角 J 对应的两个角和相应的非夹边，发现三角形 WXY 中，角 X 和角 Y 分别与角 H 和角 J 对应。

3. 检查三角形 HIJ 和三角形 WXY 的非夹边，边 IJ ≅ 边 WY，这与 全等三角形判定定理(AAS)的要求一致。

4. 根据上述步骤，两角与非夹边分别对应相等，所以根据全等三角形判定定理(AAS)，△HIJ ≅ △XWY。

5. 为了写全等语句，根据角 H 对应角 X，角 J 对应角 Y，边 IJ 对应边 WY，可以进一步确认全等关系为 △HIJ ≅ △XWY。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "角X与角H相等，角Y与角J相等，边WY与边JI相等，并且这条边不是夹在两个已知角之间。因此，根据全等三角形判定定理(AAS)，三角形HIJ与三角形WXY全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0c88fef70b400cf3ab9a4ba77e1d19bb-img-844e3ba151d94de1a78e1eb127529c16.png", "question": "哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等语句。 \n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△DEF≅△UWV", "process": "1. 观察给定的图片，发现三角形DEF和三角形UVW已经标注有相等的角和边。

2. 已知∠D≅∠U, 可以在图中看到这两个角的标记一致。

3. 已知 DE ≅ UW, 可以在图中看到边DE和边UW有相同的刻线标记，表示长度相等。

4. 同样可以观察到∠E≅∠W, 因为这两个角也有相同的标记。

5. 利用全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）：如果两个三角形的两个角和夹在这两个角之间的边分别对应全等，那么这两个三角形全等。在此特定问题中，三角形DEF和UVW满足这个条件。

6. 通过对比已知的对应角和对应边，得出三角形DEF和三角形UVW是全等的。

7. 在满足ASA条件下，由于∠D≅∠U和∠E≅∠W，顶点D对应到U，顶点E对应到W，因此顶点F对应到V。

8. 因此，最终我们可以确认：△DEF≅△UWV。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形DEF和三角形UVW中，∠EDF≅∠WUV，∠DEF≅∠UWV，且边DE≅边UW。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形DEF全等于三角形UVW。"}]} +{"img_path": "ixl/question-490572b00b3eee6993d39e48537554dd-img-d7dda4f75932433d9b9d750cf8905a37.png", "question": "哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。\n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△IJK≅△EDC", "process": "1. 已知：在△IJK中，∠I ≅ ∠E 和 ∠K ≅ ∠C，且边 IJ ≅ 边 DE。

2. 根据全等三角形判定定理(AAS)：如果两个三角形有一对对应的两角分别相等并且一对与这两角不相连的对应边相等，那么这两个三角形全等。

3. 在本题中，我们可以看到△IJK和△CDE满足全等三角形判定定理(AAS)，因为：∠I ≅ ∠E，∠K ≅ ∠C，以及边 IJ ≅ 边 DE

4. 经过上述推理，最终得出答案为△IJK≅△EDC。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "∠I 表示角 KIJ，∠E 表示角 CED，∠K 表示角 IKJ，∠C ���示角 DCE，∠J 表示角 IJK，以及 ∠D 表示角 EDC。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "△IJK 和 △CDE 满足 AAS 定理：\n1. ∠I ≅ ∠E\n2. ∠K ≅ ∠C\n3. 边 IJ ≅ 边 DE\n\n因此，得出 △IJK ≅ △EDC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ec9cab29ae07cc2fabe7add4d871de6a-img-2df7f5bd3243455499e8683e1fb82655.png", "question": "哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等语句。 \n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△PQR≅△GEF", "process": "1. 观察已知图形，我们需要找到两组三角形，其中每组三角形的两个角和一个非夹角边分别对应相等。

2. 根据题目提供的已知条件，首先确定两对角相等：∠Q ≅ ∠E 和 ∠P ≅ ∠G。

3. 接下来，找到与另外两个角不相邻的边相等：已知 QR ≅ EF。

4. 根据全等三角形判定定理(AAS)，该定理表明如果两个三角形的两个角分别与另一个三角形的对应两个角相等，且其非夹角边分别与另一个三角形的对应非夹角边相等，则这两个三角形全等。

5. 应用全等三角形判定定理(AAS)，选择符合条件的两组三角形：△PQR 和 △EFG。

6. 定位对应顶点来完成全等表述：由于 ∠Q 对应 ∠E，∠P 对应 ∠G 并且边 QR 对应边 EF，因此，R 必须对应 F。

7. 最后，结合上述推理和匹配关系，得到三角形的全等声明为：△PQR ≅ △GEF。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 △PQR ≅ △GEF。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "∠PQR 是由射线 PQ 和 QR 以顶点 Q 构成的角；∠FEG 是由射线 EF 和 EG 以顶点 E 构成的角；∠P 是由射线 PQ 和 PR 以顶点 P 构成的角；∠G 是由射线 FG 和 GE 以顶点 G 构成的角。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形PQR和三角形GEF是全等三角形，三角形PQR的对应边和对应角与三角形GEF相等，即：\n 边PQ = 边GE\n 边QR = 边EF\n 边RP = 边FG，同时，对应的角也相等：\n 角PQR = 角GEF\n 角QRP = 角EFG\n 角RPQ = 角FGE。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "△PQR 和 △GEF 满足 AAS 全等定理，因为 ∠Q ≅ ∠E, ∠P ≅ ∠G 和 QR ≅ EF。因此，根据该定理，△PQR ≅ △GEF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-19dfbb56c6d14db05c5ab2f0addf9011-img-1d93e092727d49e3b82cb69580d142fd.png", "question": "将一个10°的角平分后，Olivia得到两个角。每个新角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 5° |", "process": "1. 设被平分的10°角为∠ABC，BD为角平分线。

2. 根据角平分线定义，当一条射线平分一个角时，它将该角划分为两个相等的角，即 ∠ABD = ∠DBC。

3. 因为 ∠ABC被平分为两个相等的角，且总度数为10°，所以每个新角度数为∠ABC/2=10°/2=5°。

4. 因此，根据上述推理过程可得，每个新的角的度数均为 5°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "角的顶点是点B，从点B引出一条线BD将角10°分成两个相等的角，即每个角为5°。因此，线BD是角10°的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-de0040a6580efbd26020c1723e850b77-img-3b67bb4800fa409596a467dbaba1d349.png", "question": "哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△TUV≅△GFH", "process": "1. 根据题目，寻找两个三角形，使得每个三角形有两对对应相等的角和一对相等的非夹边。

2. 观察图中，三角形TUV、三角形FGH和三角形EDC。发现：角V = 角H，角T = 角G。此时点T对应于点G，点V对应于点H。

3. 边UV和边FH为非夹边，边UV=边FH。

4. 使用AAS定理，边UV与边FH同一位置，并且两个对应角角V与角H和角T与角G相等，因此△TUV和△GFH通过AAS定理全等。

5. 经过上述推理，最终得出答案为△TUV≅△GFH。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "在本题图中，三角形TUV和三角形GFH中，角V = 角H，角T = 角G，且边UV = 边FH。因此，根据AAS定理可以得到△TUV ≅ △GFH。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "通过AAS定理，可以证明三角形TUV和三角形GFH全等。根据图中标注，角V = 角H，角T = 角G，且边UV = 边FH。因此△TUV ≅ △GFH。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c8d5f2de84b5c39e70bb03edff738dad-img-5718b9127c074e91a252437bc3792aff.png", "question": "哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。 \n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△HIJ≅△CAB", "process": "1. 根据题意，AAS（角角边）定理指出，当两个三角形的两个内角分别对应相等，且与这两个角不相邻的一条对应边也相等时，两个三角形全等。

2. 我们需要在图中找到两组三角形，使其满足AAS定理的条件：有两对对应的相等角和一对对应的非夹边相等。

3. 在△HIJ中，根据图中标记可知，角∠I ≅ 角∠A，角∠H ≅ 角∠C。此外，边IJ ≅ 边AB。

4. 因此，△HIJ和△ABC有两对对应的角相等（∠I ≅ ∠A, ∠H ≅ ∠C），与这两个角不相邻的边IJ与边AB也相等。

5. 根据AAS（角角边）定理，这意味着△HIJ和△ABC是全等的。

6. 在匹配相应顶点时，由于∠I≅∠A且∠H≅∠C，因此 I 对应 A，H 对应 C，最终 J 则对应 B。

7. 因此，全等三角形对应顶点的顺序为△HIJ ≅ △CAB。

8. 经过上述推理，最终得出答案为△HIJ ≅ △CAB。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，△HIJ 和 △CAB 是全等的，因为它们满足 AAS 定理。两个三角形的对应边分别为边 IJ 和边 AB 相等，两个三角形的对应角分别为 ∠HIJ 和 ∠CAB 相等，∠HJI 和 ∠CBA 相等。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "在本题图中，△HIJ 和△CAB，∠I =∠A, ∠H =∠C，边IJ=边AB。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则(AAS)，可以得出△HIJ全等于△CAB。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c55da7cdcee1e40a8d1aacb255da53d5-img-6163114db5014ccd9d79c92302ca4cf8.png", "question": "哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。 △ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△FGH≅△ZXY", "process": "1. 已知\\( \\angle G \\cong \\angle X \\)，这是第一组相等的角。

2. 已知\\( \\angle F \\cong \\angle Z \\)，这是第二组相等的角。

3. 已知线段\\( \\overline{GH} \\cong \\overline{XY} \\)，这是不包含在这两组角之间的对边。

4. 根据两角与一非夹边相等的三角形全等三角形判定定理(AAS)，如果两组三角形的两个角与一个不包含在这些角之间的对边相等，那么这两个三角形全等。

5. 在此题中，三角形\\( \\triangle FGH \\)和三角形\\( \\triangle XYZ \\)分别满足上述条件，因此它们是全等的。

6. 为了明确全等三角形的对应顶点，已知\\( \\angle G \\cong \\angle X \\), \\( \\angle F \\cong \\angle Z \\)，所以G对应X，F对应Z，因此H对应Y。

7. 根据以上分析和推理，三角形的全等关系可以写为\\( \\triangle FGH \\cong \\triangle ZXY \\)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为\\( \\triangle FGH \\cong \\triangle ZXY \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角G是由两条射线HG和FG组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点G。这个共同的端点G称为角G的顶点，而射线HG和FG称为角G的边。角F是由两条射线HF和FG组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点F。这个共同的端点F称为角F的顶点，而射线HF和FG称为角F的边。角X是由两条射线XZ和XY组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点X。这个共同的端点X称为角X的顶点，而射线XZ和XY称为角X的边。角Z是由两条射线XZ和ZY组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点Z。这个共同的端点Z称为"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形 \\( \\triangle FGH \\) 和三角形 \\( \\triangle ZXY \\) 是全等三角形，三角形 \\( \\triangle FGH \\) 的对应边和对应角与三角形 \\( \\triangle ZXY \\) 相等，即： \\( \\overline{FG} = \\overline{ZX} \\)，\\( \\overline{GH} = \\overline{XY} \\)，\\( \\overline{FH} = \\overline{ZY} \\)，同时，对应的角也相等： \\( \\angle FGH = \\angle ZXY \\)，\\( \\angle GHF = \\angle XYZ \\)，\\( \\angle HFG = \\angle YZX \\)。"}, {"name": "Congruence Theorem for Triangles (AAS)", "content": "Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.", "this": "角G与角Z相等，角F与角Z相等，边GF与边XZ相等，并且这条边不是夹在两个已知角之间。因此，根据全等三角形判定定理(AAS)，三角形FGH与三角形ZXY全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-751425d71d19ccc3f6a19ddc160bc298-img-e7ba9364280e48ec8d10dfc5ac4c9828.png", "question": "如果一个60°的角被平分形成两个新的角，那么每个新角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 30° |", "process": "1. 已知角ABC的度数为60°。

2. 根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。

3. 通知角平分线定义，在图中，我们引入一条射线BD，使得它是角ABC的角平分线。

4. 因此，根据角平分线的定义，可得角ABD和角DBC相等。

5. 由于角ABD + 角DBC = 角ABC，并且角ABD = 角DBC，根据角平分线定义，得出 2 * 角ABD = 角ABC。

6. 代入已知角ABC = 60°，计算得：2 * 角ABD = 60°。

7. 解方程可得 角ABD = 60° / 2。

8. 计算得到 角ABD = 30°。

9. 同理，角DBC = 30°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为30°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，已知∠ABC的度数为60°。引入一条射线BD，使得它是∠ABC的角平分线。根据角平分线的定义，∠ABD和∠DBC被角平分线BD分成两个相等的角。因此，∠ABD = ∠DBC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a5c16ffab55efb19b337bf5e67042e71-img-201702c107854840a88197182e78a204.png", "question": "哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等声明。△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△WXY≅△CBD", "process": "1. 在三角形 △WXY 和 △BCD 中，观察已知条件有：∠W ≃ ∠C，∠X ≃ ∠B，以及 WX ≃ BC。

2. 根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）：如果两个三角形有两对对应角相等并且夹角的边也对应相等，则这两个三角形全等。

3. 在△WXY 中，∠W 和 ∠X 是已知相等角，而对应的夹边是 WX。

4. 在△BCD 中，∠C 和 ∠B 是已知相等角，而对应的夹边是 BC。

5. 因此，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），三角形 △WXY 全等于三角形 △CBD。

6. 要书写全等关系式，需将对应的顶点对齐：由于 ∠W ≃ ∠C 且 ∠X ≃ ∠B，故 W 对应 C，X 对应 B，所以 Y 对应 D。因此，全等关系式为：△WXY ≃ △CBD。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：△WXY ≃ △CBD。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，∠WXY 是��射线 WX 和 XY 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 X。 这个共同的端点 X 称为角 ∠WXY 的顶点，而射线 WX 和 XY 称为角 ∠WXY 的边。类似地，∠XWY 是由射线 XW 和 WY 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 W。 这个共同的端点 W 称为角 ∠XWY 的顶点，而射线 XW 和 WY 称为角 ∠XWY 的边。"}, {"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "∠W ≃ ∠C，∠X ≃ ∠B，并且边 WX ≃ 边 BC。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形 WXY 全等于三角形 BCD，因此有△WXY ≃ △BCD。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，三角形 WXY 和 三角形 CBD 是全等三角形，三角形 WXY 的对应边和对应角与三角形 CBD 相等，即： \n 边 WX = 边 BC\n 边 XY = 边 BD\n 边 WY = 边 CD\n 同时，对应的角也相等：\n 角 WXY = 角 CBD\n 角 XYW = 角 BDC\n 角 YWX = 角 DCB。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cf6a13f4ebe2bf549015301eaef9e441-img-c5fb708b1ddb4df7bf79805cc60ffc76.png", "question": "一个角被平分，形成两个新角。每个新角的度数为72°。原角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 144° |", "process": "1. 已知一角被平分形成两个新的角，而每个新角的度数为72°。

2. 根据角平分线的定义，原角被等分为两个角。因此，两个新的角的度数和等于原角的度数。

3. 因为两个新角的度数都是72°，所以原角度数可以表示为：72° + 72°。

4. 由此计算可得，原角的度数为72° + 72° = 144°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为144°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，原角被平分，形成两个新角，原角的度数为72° + 72° = 144°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d4428f7ac608757291eed6062e69bcef-img-f855713783d54f679e9d20c7356efa81.png", "question": "哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等声明。 \n\n△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△TUV≅△RSQ", "process": "1. 根据题目提供的图形信息，注意到如下已知条件：角 T 和角 R 是全等的，因此有 ∠T = ∠R。

2. 再观察边长信息，可以看到边 TV 和边 QR 是等长的，因此有边 TV = 边 QR。

3. 继续观察，注意到角 V 和角 Q 也是全等的，因此有 ∠V = ∠Q。

4. 根据“角边角全等定理（ASA）”，如果两个三角形的两个角及夹在这两个角之间的一条边分别对应全等，那么这两个三角形全等。在题中具体表示为：△TUV 的 ∠T = △QRS 的 ∠R，边 TV =边 QR，并且 ∠V =∠Q。

5. 因此，通过“角边角全等定理”，我们可以推出 △TUV ≅ △RSQ。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 △TUV ≅ △RSQ。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形TUV和三角形QRS中，角T等于角R，角V等于角Q，且边TV等于边QR。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出三角形TUV全等于三角形QRS。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7f708a00eb177c33421deedcfccfee0d-img-90329e6ed8ce4a909acc05e02dda8e01.png", "question": "哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等陈述。△ \\$ox\\$ ≅△ \\$ox\\$", "answer": "△ABC≅△SRT", "process": "1. 观察图形，确定需要验证的三角形组。候选的三角形有△ABC和△RST。

2. 题目给出的信息中，∠B与∠R，AB与RS，∠A与∠S分别是对应全等的，分别表示为：

- ∠B =∠R

- AB =RS

- ∠A =∠S

3. 根据角边角全等定理 (ASA Theorem)，如果一个三角形的两个角和它们之间的夹边分别与另一���三角形的对应角和夹边对应全等，那么这两个三角形全等。

4. 在△ABC中，∠B与∠A分别是夹边AB的两个角。

5. 在△RST中，∠R与∠S分别是夹边RS的两个角。

6. 由此可见，两个三角形在两个角和夹边上是对应全等的。

7. 匹配对应的顶点：

- 顶点B对应于R

- 顶点A对应于S

- 因此，顶点C对应于T

8. 根据角边角全等判定条件，得出△ABC ≅ △SRT。

9. 经过上述推理，最终得出答案为△ABC ≅ △SRT。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles", "content": "If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "∠B=∠R, ∠A=∠S, AB=RS。由于△ABC的两个角∠A和∠B以及夹边AB和△RST的两个角∠RST和∠RTS以及夹边RS分别对应全等，根据角边角定理，这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-edc3f849472a488bb24712334fd2131a-img-93dba9f7db504602ab1513efa1eb2586.png", "question": "一个角被平分，形成两个新角。如果原角的度数为90°，每个新角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 45° |", "process": "1. 已知一个角，它的角度为90°。

2. 题目中指出该角被平分，即通过一条射线将该角分成两个相等的角。

3. 根据角平分线的定义，角平分线是从角的顶点引出并且将该角分成两个相等的角的射线。

4. 设原角为∠AOB，被平分后形成的两个新角分别为∠AOC和∠COB。

5. 根据角平分线的定义，∠AOC = ∠COB。

6. 由于原角∠AOB的角度为90°，且∠AOB被平分，所有∠AOC和∠COB的和为90°。

7. 使用方程求解：若设∠AOC = ∠COB = x，则x + x = 90°。

8. 解此方程得到：2x = 90°，因此x = 90° ÷ 2 = 45°。

9. 经过上述推理，得到∠AOC和∠COB均为45°。

10. 因此，每个新角的度数为45°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "角的顶点是点O，从点O引出一条射线将角分成两个相等的角，即两个新角的度数均为45°。因此，这条射线是角的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-eed1751e493fbac745cfc969de3d93ba-img-b74cefabff624326b1393c67c6374eec.png", "question": "Erica将一个角平分后，得到两个新的角，每个角的度数为97°。原来的角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 194° |", "process": "1. 已知Erica将一个角平分，得到两个新角，每个角的度数为97°。假设原角为\\( \\angle ABC \\)，经平分后得到\\( \\angle ABD \\)和\\( \\angle DBC \\)。

2. 根据角平分线定义，\\( \\angle ABD = \\angle DBC \\)。

3. 题目给出的条件是每个新的角的度数都是97°，即\\( \\angle ABD = 97° \\)且\\( \\angle DBC = 97° \\)。

4. 根据题意，原角\\( \\angle ABC \\)的度数为：\\( \\angle ABC = \\angle ABD + \\angle DBC \\)。

5. 将\\( \\angle ABD \\)和\\( \\angle DBC \\)的值代入，得\\( \\angle ABC = 97° + 97° \\)。

6. 因此，\\( \\angle ABC = 194° \\)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为\\( \\angle ABC = 194° \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，已知原角为 \\( \\angle ABC \\) 。经过角平分线BD的平分后，得到两个新的角为 \\( \\angle ABD \\) 和 \\( \\angle DBC \\) 。根据角平分定义， \\( \\angle ABD \\) 和 \\( \\angle DBC \\) 的度数相等。即 \\( \\angle ABD = \\angle DBC \\) 。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角ABC是由两条射线AB和AC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A。这个共同的端点A称为角ABC的顶点，而射线AB和AC称为角ABC的边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9c5546906fe3069704457d2e2b234e3d-img-efe9ba3a8c1849e1823963ab4ad40a85.png", "question": "如果一个角被平分成两个新的5°角，那么原来的角度是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 10° |", "process": "1. 设原角为∠ABC，且一条角平分线BD将∠ABC平分成两个等角。

2.已知∠ABD和∠DBC均为5°。

3. 那么∠ABC = ∠ABD + ∠DBC。

4. 由此可得 ∠ABC = 5° + 5° = 10°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，角的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABC分成两个相等的角，即角ABD和角DBC相等。因此，线BD是角ABC的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1f999828f8d2e818a39c4251450ac5e0-img-4a9d271eceeb4b6cbfa7a4047a939852.png", "question": "如果一个角被平分成两个新的11°角，原始角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 22° |", "process": "1. 设原角为∠ABC，其中BD是角平分线，将∠ABC分为∠ABD和∠DBC。

2. 根据题意，∠ABD = 11° 且 ∠DBC = 11°。

3. 根据角平分线的定义，∠ABD = ∠DBC。

4. 代入给定条件∠ABD = 11° 和 ∠DBC = 11°，可得∠ABD = ∠DBC = 11°。

5. 由于∠ABD + ∠DBC = ∠ABC，代入已知的∠ABD 和∠DBC的度数，可得∠ABC = 11° + 11°。

6. 计算得∠ABC = 22°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为22°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "角的顶点是点B，从点B引出一条射线将角分成两个相等的角，即两个11°的角。因此，这条射线是角的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c55c2c12999fbda08e5f793299725ced-img-36780898fed04bc9b9c5fee72795bba9.png", "question": "如果一个角被平分成两个新的18°角，原始角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 36° |", "process": "1. 已知角ABC被平分，形成两个角ABD和DBC，并且角ABD等于18°，角DBC也等于18°。

2. 根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角。因此，角ABD等于角DBC。

3. 根据角的加法原理，角ABC等于角ABD加上角DBC，即m∠ABC = m∠ABD + m∠DBC。

4. 将角ABD和角DBC的度数代入计算，m∠ABD = 18°，m∠DBC = 18°，因此m∠ABC = 18° + 18°。

5. 由此可知，原始的角ABC的度数为36°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为36°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "角ABC的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABC分成两个相等的角，即角ABD和角DBC相等。因此，线BD是角ABC的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-16ce11a239fbaa8f8bca7fa4b1c89b9c-img-d867d3869f2e41b5986bff57e45f1222.png", "question": "如果一个角被平分形成两个新的34°角，那么原来的角度是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 68° |", "process": "1. 已知一个角被平分成两个新的角，每个角的度数为34°。

2. 由于这个角被平分为两个相等的角，根据角平分线定义，原角的度数等于这两个相等角度数的和。

3. 因为这两个新的角的度数都是34°，所以原角的度数等于34°加上34°的和。

4. 计算原角的度数，34° + 34° = 68°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为原角的度数是68°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，一个角被线平分形成两个相等的角，且每个角的度数为34°。因此，这条线是该角的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-357defb21ec43b308a6f26cedd561dfc-img-51f5c24b4a074128a802fc6d121daa7c.png", "question": "看图。 \n\n\n哪个方程可以用来求解 x？\n\n\n- 5x+65=90\n- 5+x=65\n- 5x+65=180\n- 5x=65\n求解 x。\n\nx= \\$ox\\$", "answer": "- 5x=65 \nx=13", "process": "1. 已知 ∠AEB = (5x)° 和 ∠CED = 65°，根据对顶角的定义，∠AEB 和 ∠CED 是对顶角且角度相等。

2. 因此，在本题中有 ∠AEB = ∠CED。

3. 代入已知条件，可得 (5x)° = 65°。

4. 为了求解 x，方程 (5x)° = 65° 两边同时除以5，得到 x = 13。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 13。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线AB和CD相交于点E，形成四个角：∠AEB、∠AEC、∠CED和∠BED。根据对顶角的定义，∠AEB和∠CED是对顶角，∠AEC和∠BED是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AEB=∠CED，∠AEC=∠BED。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b18f11ea97e3d62f59032ec9731a52d9-img-3c16875df743406891bec0a7253a5e7d.png", "question": "看图。 \n\n\n哪个方程可以用来求解 x？\n\n\n- 4x=76\n- 4x+76=180\n- 4+x=76\n- 4x+76=90\n求解 x。\n\nx= \\$\\\\Box\\$", "answer": "- 4x=76 \nx=19", "process": "1. 在图中，我们看到直线 DG 和直线 EF 相交于点 H。

2. 根据对顶角的定义。因此，∠DHF 和 ∠EHG 的度数相等，即 ∠DHF = ∠EHG。

3. 已知 ∠DHF 的度数为 76°，而 ∠EHG 用 4x 表示，根据以上两点可以得到方程：4x = 76。

4. 解方程 4x = 76：

5. 两边都除以4，得到 x =76/4。

6. 计算得出 x = 19。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 19。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "两条相交直线DH和EH相交于点H，形成四个角：∠DHF、∠EHG、∠DHE和∠GHF。根据对顶角的定义，∠DHF和∠EHG是对顶角，∠DHE和∠GHF是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠DHF=∠EHG，∠DHE=∠GHF。已知∠DHF=76度，因此∠EHG=4x，那么4x=76。"}]} +{"img_path": "ixl/question-65e1ec444fe4215c7ab2ff070ac083a4-img-57cc36b037644d8c915640e157f5c589.png", "question": "这个角度的测量值是多少？ \\$ox\\$ °", "answer": "110°", "process": "1. 观察给定的图形，设角为AOB，水平线为OA，看到其中一个射线与量角器的内侧圆0°刻度对齐，即该射线与量角器的水平线重合。

2. 另一条射线与量角器的内圆刻度形成一个角度，根据量角器的内圆刻度，这条射线的延长线在量角器的内圆110°位置。

3. 将这条射线命名为射线OB，以角AOB表示所形成的角。

4. 根据射线OA与射线OB在量角器上交叉处的刻度，量角器内刻度110°决定了角AOB的角度测量值为110°。

5. 因此，角AOB的大小即为从量角器的内圈刻度中读取的110°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为<110°>。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "在本题图中，设角AOB的顶点是点O，角的两边分别是线段AO和线段BO。使用量角器测量角AOB时，将量角器的中心点对齐角AOB的顶点，将量角器的内刻度线对齐线段AO，使其与量角器的内刻度线重合。然后，将线段BO延伸到量角器的刻度盘上，通过读取线段AO和线段BO之间的刻度差来确定角AOB的度数。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6994f7044c835724f4452fa9304d87ee-img-aadfcd68b0a94bcb9a0b331ef3163e86.png", "question": "如果一个角被平分形成两个新的82°角，那么原始角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "| --- |\n| 164° |", "process": "1. 已知角 \\( \\angle ABC \\) 被平分，形成两个角：\\( \\angle ABD \\) 和 \\( \\angle DBC \\)，且 \\( \\angle ABD = \\angle DBC = 82^\\circ \\)。

2. 根据角平分线定义，角平分线将一个角平分为两个相等的角，因此 \\( \\angle ABC = \\angle ABD + \\angle DBC \\)。

3. 将已知条件代入，由于 \\( \\angle ABD = 82^\\circ \\) 和 \\( \\angle DBC = 82^\\circ \\)，我们得到 \\( \\angle ABC = 82^\\circ + 82^\\circ \\)。

4. 计算得到 \\( \\angle ABC = 164^\\circ \\)。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 \\( 164^\\circ \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角 \\( \\angle ABC \\) 是由两条射线 \\(AB\\) 和 \\(BC\\) 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 \\(B\\)。这个共同的端点 \\(B\\) 称为角 \\( \\angle ABC \\) 的顶点，而射线 \\(AB\\) 和 \\(BC\\) 称为角 \\( \\angle ABC \\) 的边。"}, {"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，角 \\( \\angle ABC \\) 的顶点是点 B，从点 B 引出一条线 BD，这条线将角 \\( \\angle ABC \\) 分成两个相等的角，即 \\( \\angle ABD \\) 和 \\( \\angle DBC \\) 相等。因此，线 BD 是角 \\( \\angle ABC \\) 的角平分线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-41f1e80d4d9ca1fcd871ca4be3e6a768-img-95552bce6d4d407d973fe2771a96aaf0.png", "question": "看图。 \n\n\n哪个方程可以用来求解 x？ \n\n\n- 5+x=65 \n- 5x+65=90 \n- 5x+65=180 \n- 5x=65 \n求解 x。 \n\nx= \\$ox\\$", "answer": "- 5x=65 \nx=13", "process": "1. 根据题干和图中的标记，我们注意到点E是两条交叉直线的交点，从而形成两个对顶角。

2. 根据对顶角定义，当两条直线相交时，组成的两个互相对立的角为对顶角，它们的度数相等。

3. 图中可知，∠AEB = (5x)°，∠CED = 65°，且这两个角是对顶角，故有(5x)° = 65°。

4. 由等式(5x)° = 65°，两边除以5，计算得x = 13。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x=13。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线AD和BC相交于点E，形成四个角：∠AEB、∠CED、∠BED和∠AEC。根据对顶角的定义，∠AEB和∠CED是对顶角，∠BED和∠AEC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AEB=∠CED，∠BED=∠AEC。因此，(5x)° = 65°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-688d643b4fe33381a0218019e6f0b25c-img-92cad8a9bebb470382e885d880ff22a8.png", "question": "看图。 \n\n\n哪个方程可以用来求解x？ \n\n\n- 5x+65=180 \n- 5+x=65 \n- 5x=65 \n- 5x+65=90 \n求解x。 \n\nx= \\$ox\\$", "answer": "- 5x=65 \nx=13", "process": "1. 已知图中的直线交于点 E，形成了两个对顶角，即角 AEB 和角 CED。

2. 根据对顶角的定义，角 AEB 和角 CED 的角度相等。因此可以得到等式：∠AEB = ∠CED。此时，∠AEB=(5x)°，∠CED=65°。

3. 依据对顶角的定义，在本题中具体表示为 (5x)° = 65°。

4. 解方程 5x = 65，得到 x = 65/5。

5. 计算得 x = 13。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 13。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，直线AD和直线BC交于点E，形成四个角：∠AEB、∠CED、∠BED和∠AEC。根据对顶角的定义，∠AEB和∠CED是对顶角，∠BED和∠AEC是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AEB = ∠CED，即(5x)° = 65°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6bd6d207933316ee7cbff1bd6e42cf58-img-dba063ac25e94d998d678b9a62e2222a.png", "question": "这个角的度数是多少？ \\$ox\\$ °", "answer": "85°", "process": "1. 根据题目中的量角器图像，确认量角器的底边（水平）已经对齐0°刻度。

2. 找到形成角的两条射线，一条射线沿着0°刻度展开，另一条射线指向量角器上的某一刻度。

3. 仔细观察量角器，找到第二条射线与上半圆刻度相交的点。

4. 十分注意量角器上刻度的读法，确认第二条射线与85°刻度的交点，这表示测得的角度为85°。

5. 由以上观察和测量可以确定该角的大小为85°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为85°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "在本题图中，角度由射线OA和OB组成，端点O是公共端点。射线OA沿量角器的0°刻度，射线OB指向85°刻度，形成85°的角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-317f51f640b07da620b3914cf67eb926-img-fe164694fbe04246b139e9e339935bf1.png", "question": "这个角的度数是多少？ \\$ox\\$ °", "answer": "155°", "process": "1. 观察给定的图像，发现其中有一个半圆形量角器用于测量角的大小。

2. 根据角的测量，将量角器的中心点与角的顶点对齐，并且使量角器的水平底边与角的一条边重合，这条边起始于0°标记。

3. 由图可得，量角器的底边从左至右对应的度数从0°递增至180°。

4. 对于另一边��0°开始，读取与量角器底边刻度对应相交点的位置，可以直观地看到此边所指的刻度为155°。

5. 因为量角器没有反向或反转读取的要求，所以测得的度数为正向读取。

6. 已知正方向从0°开始，直至量角器与另一角边相交，读数是155°，故该角为155°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为155°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点（图中心点）。这个共同的端点称为角的顶点，而射线分别是从0°标记开始的水平黑线和延伸至155°标记位置的另一条射线，它们构成了我们需要测量的角。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "在本题图中应用角度测量法则，量角器的中心点与角顶点对齐，将量角器的底边与角的一边（水平黑线）对准0°刻度，读取量角器另一边（斜射线）与刻度相交的位置，这里显示为155°，因此该角的度数就是155°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-76560964f6636585b333812e78832347-img-cf64fba3d9674d909ec561f51b711371.png", "question": "这个角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "130°", "process": "1. 首先观察量角器的刻度，发现内环刻度从左到右逐渐增大，而外环刻度则从右到左增大。

2. 题图中右侧射线与内环上的0°内径对齐，再观察左侧射线穿过的刻度线，发现该射线穿过内环上的130°。

3. 因此，该角的角度在内环上直接读取为130°。

4. 由于射线的位置确保了测量是在内环上进行的，因此无需再对角度进行修正。

5. 通过上述分析，可以确认图中角的度数为130°。

6. 由量角器的使用规则，量出的角度直接反映两个射线之间的夹角。

7. 经过上述推理，最终得出答案为130°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线分别是从量角器中心指向内环0°和内环130°的射线。这两条射线有一个共同的端点，称为角的顶点，位于量角器的中心位置。射线从量角器中心指向内环0°和内环130°称为角的边。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "量角器的中心点与角的顶点对齐，使其中一条半直线与内环的0°刻度线对齐，另一条半直线穿过内环的130°，因此测得角度为130°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6d8f9e9b2b91d41131049250dd83e654-img-d6630fb6877a494ebd0c8b7a298e617e.png", "question": "看图。 \n\n\n哪个方程可以用来求解 x？ \n\n\n- 3(5+x)+60=180 \n- 3(5+x)=60 \n- 3(5x)+60=90 \n- 3(5x)=60 \n求解 x。 \n\nx= \\$ox\\$", "answer": "- 3(5+x)=60 \nx=15", "process": "1. 从图中可以看出，直线AD和直线FC在点G相交，形成对顶角∠AGF和∠CGD。

2. 根据对顶角的定义，因此∠AGF = ∠CGD。

3. 已知∠AGF的度数为60度，而∠CGD的度数为3(5+x)。

4. 因为∠AGF = ∠CGD = 60度，所以3(5+x) = 60。

5. 解方程3(5+x) = 60，首先除以3：5+x = 20。

6. 然后从等式两边减去5，得到x = 15。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x=15。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "由直线AD和直线FC在点G相交形成对顶角，根据对顶角相等定理，我们可以得出对顶角∠AGF等于对顶角∠CGD。因此有∠AGF = ∠CGD。在本题中，已知∠AGF = 60度，而∠CGD = 3(5+x)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1f146c0fbff4250caac4ad96a4a67cb4-img-b58c701dbcb244b89442ad68950bb320.png", "question": "这个角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "100°", "process": "1. 观察量角器上的两条射线，其中一条射线与量角器内圈的0°线重合，这与外圈的180°线相同，该点位于量角器的右侧。

2. 另一条射线从量角器中心出发并向上指向外圈80°的位置。

3. 根据量角器的测量方式，角被量度在内圈上，因此需要读取内圈上另一条射线穿过量角器的角度。

4. 从内圈的0°开始，逆时针方向查找第二条射线穿过内圈的位置，可以看到该射线穿过内圈刻度100°。

5. 因此，由两条射线形成的角的量度为100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为100°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角是由两条射线0°线和100°线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点。这个共同的端点称为角的顶点，而射线0°线和100°线称为角的边。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "量角器的中心点与角的顶点重合，一条边与量角器内圈0°线对齐，另一条边指向内圈100°刻度位置，这表明角的度数为100°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b36113a20de3bfeda73b7781bc02e89b-img-b6621fc5a49c4984aa09a85f73051a15.png", "question": "这个角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "75°", "process": "1. 使用量角器测量给定的角。在图中，一条射线与量角器的内圈的0°线对齐，这对应于外圈的180°。

2. 观察另一条射线在量角器的内圈与之相交的位置。

3. 从量角器内圈读取该角的位置，其刻度显示为75°。

4. 经过上述步骤得出结论，所测量的角的度数为75°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点，即量角器的中心点。这个共同的端点称为角的顶点，而射线分别是与量角器的内圈0°线对齐的射线和与量角器内圈75°线相交的射线，称为角的边。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "在本题图中，我们通过将一条射线与量角器内圈0°线对齐，然后观察另一条射线与量角器内圈75°线相交的位置，从而得出角度为75°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f035f1c336d1a33942b329d22d4ce873-img-bc38357b31084e888f3abad2e23a8002.png", "question": "这个角的度数是多少？ \\$ox\\$ °", "answer": "120°", "process": "1. 在量角器上找到与0°重合的光线，即其中的一条光线，标记为OX。

2. 找到另一条光线，这条光线从量角器的中心沿另一方向延伸，标记为OY。

3. 使用量角器的外圈度数，从OX到OY之间，沿着顺时针方向读数，可以看出，光线OY指向120°。

4. 根据角的测量，得角∠XOY的大小就是从0°到120°的度数。

5. 因此，我们可以直接读取此角的度数为120°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为120°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠XOY是由射线OX和射线OY组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点O。这个共同的端点O称为角∠XOY的顶点，而射线OX和OY称为角∠XOY的边。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "量角器的中心点对准顶点O，光线OX对准量角器上的0°刻度，光线OY指向量角器上的120°刻度。因此，角���∠XOY的大小是120°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-841af457d2b404f6f4839142affaaf2f-img-5fbd2e9e195d411bb8436c43238652f1.png", "question": "看图。 \n\n\n哪个方程可以用来求解 x？\n\n\n- 4x=76\n- 4x+76=90\n- 4x+76=180\n- 4+x=76\n求解 x。\n\nx= \\$ox\\$", "answer": "- 4x=76 \nx=19", "process": "1. 观察图，已知 ∠DHF 和 ∠EHG 互为对顶角。

2. 根据对顶角的定义，∠DHF=∠EHG。对顶角的定义：当两条直线相交时，形成的对顶角相等。

3. 题目中已知 ∠DHF=76°，因此 ∠EHG=76°。

4. 根据图中标示的信息，∠EHG=4x 度。

5. 我们有等式：4x = 76。

6. 通过等式求解 x，得到 4x = 76。

7. 用代数方程解法，首先两边同时除以4，得到 x = 76 / 4。

8. 计算 76/4，得到 x = 19。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 19。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线DG和EF相交于点H，形成四个角：∠DHF、∠EHG、∠FHG和∠EHD。根据对顶角的定义，∠DHF和∠EHG是对顶角，∠FHG和∠EHD是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠DHF=∠EHG，∠FHG=∠EHD。已知∠DHF=76°，因此∠EHG=76°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0ab110e7a78df552175eae9c9e6415be-img-0c10476a3cc44589bb5833f33d02a837.png", "question": "看这个角度：\n\n顶点是什么？\n \\$ox\\$", "answer": "X", "process": "1. 根据角的定义，一个角由两条射线组成，这两条射线有一个公共的端点，我们称这个公共端点为角的顶点。

2. 在题目提供的图形中，有两条射线XY和XW。

3. 观察射线XY和射线XW相交于点X，故点X是两条射线的公共端点。

4. 因此，根据角的定义，点X是角YXW的顶点。

5. 经过以上推理，最终得出答案为点X。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角YXW是由两条射线XY和XW组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点X。这个共同的端点X称为角YXW的顶点，而射线XY和XW称为角YXW的边。"}, {"name": "Definition of Ray", "content": "A ray is a part of a line that starts at a specific point and extends infinitely in one direction. It has a starting point but no endpoint.", "this": "射线XY从点X出发并沿Y方向无限延伸，而射线XW也是从点X出发沿W方向无限延伸。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "角YXW用三个字母表示，其中字母X代表角的顶点，字母Y和W分别代表角两条边的其他端点，即射线XY和射线XW的终点。"}]} +{"img_path": "ixl/question-94a061b2d83b00ba6a73596daee361bf-img-5c0ae557a28e405082ea95131119adf1.png", "question": "看这个角度：\n\n给这个角度命名： \\$\\\\Box\\$ \\$\\\\angle \\$", "answer": "\\$\\angle \\$ TSR", "process": "1. 在几何图形中，我们首先识别组成角的三点：R、S、T。

2. 在角的命名中，角的名称通常为构成该角的三点，且顶点字母夹在中间。依据这一规定，我们需要找到角的顶点。

3. 观察图形可以看到，S是两条射线的公共点，因此S为该角的顶点。

4. 为了完整地命名角，我们需要确定这个角的两条边，分别为从顶点S出发向左到点R的线段SR，以及从顶点S出发向右到点T的线段ST。

5. 因此，该角可以命名为∠TSR，也可以命名为∠RST，只要确保S在中间即可。

6. 根据几何中角的命名原则，还可仅用顶点来标识角，故该角也可以命名为∠S。

7. 经过上述推理，得出答案为∠TSR或∠S。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠TSR是由两条射线SR和ST组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点S。这个共同的端点S称为角∠TSR的顶点，而射线SR和ST称为角∠TSR的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "角∠TSR可以使用顶点S来命名为∠S，或者使用组成角的三个点来命名为∠TSR，其中S位于中间。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2dd8d72d63d8b0c3ccfb06279d6f83c5-img-d0b35385393b4bad8f12c3b7548e1047.png", "question": "观察这个角度：\n\n顶点是什么？\n \\$ox\\$", "answer": "T", "process": "1. 在几何中，角是由两个射线共同起始于一点组成的图形。该共同起始点被称为角的顶点。

2. 观察图中给出的角，由两个射线ST和TU组成，其中S, T, U为这些射线上的点。

3. 在射线ST和射线TU中，共同的起始点为点T。

4. 根据角的定义，点T为这两条射线的共同起始点，因此点T是这个角的顶点。

5. 经过上述推理，最终得出答案为T。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠STU是由两条射线ST和TU组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点T。这个共同的端点T称为角∠STU的顶点，而射线ST和TU称为角∠STU的边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8843538aa8c72bfada4722c8dca38b57-img-f422cf2268464e5eb83f0c12a3cf7901.png", "question": "这个角度的测量值是多少？ \\$\nabla\\$ °", "answer": "135°", "process": "1. 已知量角器的一条射线与内侧圆周上的0°对齐，该位置即为外侧圆周上的180°。

2. 观察另一条射线在内侧圆周上的读数，即为此角的角度大小。

3. 另一条射线在内侧圆周上交于135°处。

4. 因此，∠ABC = 135°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为135°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点，即量角器的中心点。射线一端对齐内侧圆周上的0°，另一端对齐内侧圆周上的135°，因此形成的角度为135°。"}, {"name": "Definition of Ray", "content": "A ray is a part of a line that starts at a specific point and extends infinitely in one direction. It has a starting point but no endpoint.", "this": "两条射线，其中一条射线与内侧圆周上的0°对齐，另一条射线与内侧圆周上的135°对齐，这两条射线构成了角∠ABC。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "一条射线与内侧圆周上的0°对齐，另一条射线与内侧圆周上的135°对齐，因此，读出显示的角度便是135°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0cfa98ead5ff33cecc8bb937dd98991d-img-4dd3b18282cf41208984ba6ef5714802.png", "question": "观察这个角度：\n\n给这个角度命名： \\$ox\\$ \\$riangle\\$", "answer": "\\$\\angle \\$ IKJ", "process": "1. 观察给定的角，发现角的顶点位于点K。

2. 根据几何角的定义，一个角由两个有共同端点的射线组成，且该共同端点即为角的顶点。

3. 确认构成该角的两条射线分别为从点K出发通过点I和从点K出发通过点J的射线。

4. 按照几何命名规则，一个角可以通过三个点来命名，中间的点是该角的顶点。

5. 因此，该角可以命名为∠IKJ，其中点K为顶点。

6. 根据另一种命名方法，只需用角的顶点来命名该角，因此另一个有效的名称为∠K。

7. 经过上述步骤，可以确定该角的名称为∠IKJ或∠K。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角∠IKJ是由两条射线KI和KJ组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点K。这个共同的端点K称为角∠IKJ的顶点，而射线KI和KJ称为角∠IKJ的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "在本题图中，根据命名规则，该角的顶点为点K，角可以命名为∠IKJ或∠K。中间的点K是顶点，点I和J是角的两端点。"}, {"name": "Definition of Ray", "content": "A ray is a part of a line that starts at a specific point and extends infinitely in one direction. It has a starting point but no endpoint.", "this": "射线KI和射线KJ是两条射线，它们的共同起点是点K，分别通过点I和点J。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f260fc6feb64c8bb925a04745951f5ba-img-3e1937031860481898f7748ca6de4289.png", "question": "这个角的度数是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "125°", "process": "1. 首先识别图中所给的量角器的两个刻度环，内侧刻度环为逆时针方向度数，外侧刻度环为顺时针方向度数。

2. 确定基准射线的位置，在该图中，一条射线与内侧刻度环的0°线重合，这条射线也与外侧刻度环的180°线重合。

3. 观察另一条射线与内侧刻度环的交点，从而确定角的度数。

4. 该射线通过内侧刻度环上125°的位置。

5. 根据角的测量，得到∠AOB的度数为125°。

经过上述推理，最终得出答案为125°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "顶点O和从顶点O出发的两条射线组成，其中一条射线与内侧刻度环的0°线重合，另一条射线通过内侧刻度环上125°的位置。所以，这个角的度数是125°。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "基准射线与内侧刻度环的0°线重合，另一条射线通过内侧刻度环上125°的位置，根据量角器的使用定理，角∠AOB的度数就是125°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f0412c2b63003b050292e159334244f9-img-a0d20e522b9a4ac7ab7faae245da7b99.png", "question": "看这个角度：\n\n给这个角命名： \\$ox\\$ \\$riangle\\$", "answer": "\\$\\angle \\$ SRQ", "process": "1. 从题目图像中可以观察到，该角的两条射线是点S和点Q分别与公共点R连接形成的。

2. 在几何学中，角的命名通常采用三点命名法，即角的顶点作为中央字母，例如在给定的图中，顶点是R。

3. 首先可以命名为角S-R-Q, 在数学符号中记为∠SRQ，其中S和Q分别是这个角的两条射线在R点的延伸。

4. 其次，可以从右往左命名这三个点形成的角，即角Q-R-S, 数学符号为∠QRS。

5. 由于顶点是R，可以忽略两端的字母而仅用顶点字母来命名角，即角R，数学符号为∠R。

6. 在几何学中，重要的是确保中间字母始终代表角的顶点，因此在此情境下，∠SRQ和∠QRS都正确命名角。避免了歧义。

7. 通过上述推理，确认该角的名称为∠SRQ或∠QRS，也可简写为∠R。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠SRQ或∠QRS是由两条射线SR和QR组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点R。这个共同的端点R称为角∠SRQ或∠QRS的顶点，而射线SR和QR称为角∠SRQ或∠QRS的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "顶点为R，两个射线的端点分别为S和Q。因此，角的命名可以为∠SRQ或∠QRS。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ec17dfa73902bce2286782a7ab4e09f1-img-0a6b8f15aa7d489396e6a3611b986245.png", "question": "观察这个角度：\n\n给这个角度命名：\\$ox\\$ \\$riangle\\$", "answer": "\\$\\angle \\$ ABC", "process": "1. 根据题目给出的图形，我们可以看到有一个由三个点A、B和C构成的角。

2. 在几何中，角的名称通常由形成角的两条线中间的那个点作为顶点开始表示。因此，角的顶点是点B。

3. 角的命名规则是：以符号∠开头，然后依次写出角的一个边上的点、顶点和另一条边上的点。

4. 根据���目给出的图，点A和点C是连接到顶点B的两点，因此我们可以按顺序表示这个角为∠ABC。

5. 我们也可以根据角的命名规则，将此角写为∠CBA，表示的是同一个角。

6. 最后，由于点B是这个角的顶点，也可以简写为∠B，但是为了避免歧义，通常使用三个字母。

7. 经过上述分析和描述，我们可以得出该角的名称为∠ABC或∠CBA。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠ABC是由两条射线AB和BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B。这个共同的端点B称为角∠ABC的顶点，而射线AB和射线BC称为角∠ABC的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "在本题图中，这个角可以命名为∠ABC或者∠CBA。因为它是由点A和点C，通过顶点B形成的角，按顺序表示为∠ABC。顶点是点B，边是线段AB和线段BC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-558671888e7835385a77df3737ce183e-img-7f76d4bd3afd49c8818f920d70758989.png", "question": "观察这个角度：\n\n命名这个角度： \\$ox\\$ \\$riangle\\$", "answer": "\\$\\angle \\$ WXY", "process": "1. 图中显示的角是在点 X 处形成的，X 是这个角的顶点。

2. 确定角的名称时需要三点，其中顶点必须位于中间。这个角的两边分别通过点 W 和点 Y。

3. 根据角的定义，通过这三个点可命名角为: 角 WXY，确保顶点 X 在中间。

4. 同样的角也可以命名为: 角 YXW，仍然保持顶点 X 在中间。

5. 根据角的名称也可以仅用顶点表示。在这种情况下，可以简化为角 X。

6. 综上所述，角的名称可以为：角 WXY，角 YXW 或角 X。

7. 经过上述推理，最终得出答案为多个表示角的名称：角 WXY、角 YXW、角 X。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角 WXY 是由两条射线 WX 和 XY 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 X。这个共同的端点 X 称为角 WXY 的顶点，而射线 WX 和 XY 称为角 WXY 的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "顶点 X 和边上的点 W 和 Y，可以命名角为角 WXY或角 YXW，确保顶点 X 在中间；也可以简化为仅用顶点表示，即角 X。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c1d0bca94b1d00dd0e2c7c6f9830b3fd-img-0b4993fb47c6404fbde467d6fff35dcf.png", "question": "观察这个角度：\n\n命名这个角度： \\$ox\\$ \\$riangle\\$", "answer": "\\$\\angle \\$ TSU", "process": "1. 已知角的顶点在一点，名称为S，且该角由通过点T、S、U的两条射线构成。

2. 根据三点确定一个角的原理，其中顶点为中间的一个点。因此角可以表示为∠TSU。

3. 角的名称也可以用顶点S的身份唯一确定，因为这是明确指出的唯一顶点。由此该角也可以表示为∠S。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠TSU，也可以用∠S表示。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠TSU是由两条射线ST和SU组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点S。这个共同的端点S称为角∠TSU的顶点，而射线ST和SU称为角∠TSU的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "在本题图中，角的顶点为点S，两条射线分别为ST和SU，因此角的名称可以定义为∠TSU。由于顶点S是唯一的，这个角也可以简单地称为∠S。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5f1506fe38713f38b72ea1051d7b52bb-img-c506b46cc3a249f9a0fae9ba15cb1aae.png", "question": "看这个角度：\n\n顶点是什么？\n \\$ox\\$", "answer": "U", "process": "1. 观察题目给出的图示，该图示中有一个角。

2. 根据几何定义，角是由两个射线从一个公共端点出发形成的图形。

3. 在图示中，射线 UT 和射线 UV 分别由点 U 向 T 和点 U 向 V 延伸。

4. 由此可知，两条射线 UT和 UV 的公共端点是点 U。

5. 根据角的定义，角的顶点是两条射线的公共端点。

6. 因此，角的顶点是点 U。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 U。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角 ∠TUV 是由两条射线 UT和 UV 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 U。这个共同的端点U 称为角 ∠TUV 的顶点，而射线UT和 UV 称为角 ∠TUV 的边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ef22ee703109e3e140bab2f72862e019-img-da1d96bfcdda4a9287488593c286ad2f.png", "question": "观察这个角度：\n\n请命名这个角度： \\$ox\\$ \\$riangle\\$", "answer": "\\$\\angle \\$ ACB", "process": "1. 观察该图形，注意到有三个点：A、B和C，并且它们不是共线的。

2. 根据几何角的定义，两个射线有一个公共端点时，它们形成一个角。此处，射线CA和射线CB的公共端点是点C。

3. 要命名这个角，我们使用三个点来描述，其中公共端点（顶点）必须位于中间。因此，该角可以表示为∠ACB或∠BCA。

4. 另一个命名方式是只用顶点来命名角，特别是在没有歧义的情况下。因此，该角也可以简化命名为∠C。

5. 经过上述分析，此角可以命名为∠ACB、∠BCA或∠C。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠ACB是由两条射线CA和CB组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点C。这个共同的端点C称为角∠ACB的顶点，而射线CA和CB称为角∠ACB的边。"}, {"name": "Naming of Angles", "content": "An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.", "this": "角的顶点是点C，且涉及的三个点为点A、点B和点C。因此角可以命名为∠ACB或∠BCA。此外，在没有歧义时角也可以命名为∠C。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b123c0e64cb1c6ba437441d306c86940-img-618b3ff6aa29412b9c9cfebd8ad259f0.png", "question": "这个角度的度量是多少？ \\$ox\\$ °", "answer": "90°", "process": "1. 首先根据量角器的刻度，可以看到左边的刻度以0°为起点，并随着顺时针方向增加；右边的刻度以180°为起点，并随着逆时针方向减小。

2. 观察图中两条线射，发现一条线与量角器的0°刻度线重合，即这条线作为角的起始边。

3. 观察另一条射线与量角器刻度的交点，可以看到该射线通过量角器的0°到180°标记线。通过这一点，在内圈的刻度中，该射线指向90°的位置。

4. 根据垂直角的定义：垂直的两条射线之间形成一个90°的角。

5. 进一步结合从图示判断，确认另一条射线确实经过内圈刻度90°的标记，因此角的度数是90°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点。这个共同的端点是量角器的中心点，称为角的顶点，而射线分别是与量角器的0°刻度线重合的一条射线和指向90°位置的另一条射线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-420bb0eea1c92f858760098bc48db3d6-img-a18d0e87941d4bf791a73af0e6688563.png", "question": "△JKL 和 △MNO 如下图所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △JKL 与 △MNO 相似。\n- △JKL 与 △MNO 不相似。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △JKL is not similar to △MNO.", "process": "1. 根据题目图片信息，已知△JKL中∠K = 27°，∠L = 37°。

2. 使用三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和为180°，求出��J的度数。具体步骤如下：

根据三角形内角和定理，有：∠J + ∠K + ∠L = 180°。

将已知角度代入方程：∠J + 27° + 37° = 180°。

计算得：∠J + 64° = 180°。

两边同时减去64°得到：∠J = 116°。

3. 因此，三角形△JKL的角为：∠J = 116°，∠K = 27°，∠L = 37°。

4. 参考题目图形，△MNO中，各内角为：∠M = 126°，∠N = 27°，根据三角形内角和定理求得∠O = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 126° - 27° = 27°。

5. 三角形△MNO的角为：∠M = 126°，∠N = 27°，∠O = 27°。

6. 通过角的对比可以发现：△JKL和△MNO不具有相同的内角集合，因为△JKL中不存在126°的角，而△MNO中不存在116°的角。

7. 根据相似三角形的判定条件，本题中如用角角（AA）相似定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，无法满足。

8. 经过上述推理，最终得出答案为△JKL is not similar to △MNO。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形△JKL是由三个非共线点J、K、L及其连接线段JK、KL、LJ组成的几何图形。点J、K、L分别是三角形的三个顶点，线段JK、KL、LJ分别是三角形的三条边。三角形△MNO是由三个非共线点M、N、O及其连接线段MN、NO、OM组成的几何图形。点M、N、O分别是三角形的三个顶点，线段MN、NO、OM分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形△JKL中，角J、角K和角L是三角形△JKL的三个内角，根据三角形内角和定理，角J + 角K + 角L = 180°。具体计算为 ∠J + 27° + 37° = 180°，所以 ∠J = 116°。相对应，三角形△MNO中，角M、角N和角O是三角形△MNO的三个内角，根据三角形内角和定理，角M + 角N + 角O = 180°。具体计算为 126° + 27° + ∠O = 180°，所以 ∠O = 27°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "角K等于角N=27°，所以三角形JKL和三角形MNO不相似。"}]} +{"img_path": "ixl/question-07ce31d6d9e746ea7bd4333fe65efa16-img-71d2c53088e44310b821a5ffb1057fea.png", "question": "△CDE 和 △FGH 如下图所示。 \n\n\n 哪个陈述是正确的？ \n\n- △CDE 与 △FGH 相似。 \n- △CDE 与 △FGH 不相似。 \n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △CDE is not similar to △FGH.", "process": "1. △CDE中，已知∠C=48°，∠E=80°。

2. 根据三角形内角和定理，即一个三角形的三个内角之和为180°，有∠C+∠D+∠E=180°。

3. 代入已知角度，得到48°+∠D+80°=180°。

4. 求解上述等式，∠D=180°-48°-80°=52°。

5. 所以三角形△CDE的三个角分别为48°，80°，52°。

6. 观察△FGH的角度，已知∠F=48°，∠G=62°。

7. 类似的方法，计算∠H使用三角形内角和定理：∠F+∠G+∠H=180°。

8. 代入已知角度，得到48°+62°+∠H=180°。

9. 求解上述等式，∠H=180°-48°-62°=70°。

10. 所以三角形△FGH的三个角分别为48°，62°，70°。

11. 判断两三角形相似需要满足角度对应相等，根据上述结果，三角形△CDE和△FGH的内角不全对应相等。

12. 观察三角形△CDE的角48°，80°，52°以及△FGH的角48°，62°，70°。

13. 由于两个三角形的内角不相同，故根据相似三角形的判定定理(AA)：如果两个三角形的有两组内角对应相等，则两个三角形相似），可知△CDE不与△FGH相似。

14. 经过上述推理，最终得出答案为\"△CDE is not similar to △FGH.\"。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形△CDE是由三个非共线点C、D、E及其连接线段CD、DE、EC组成的几何图形。点C、D、E分���是三角形的三个顶点，线段CD、DE、EC分别是三角形的三条边。三角形△FGH是由三个非共线点F、G、H及其连接线段FG、GH、HF组成的几何图形。点F、G、H分别是三角形的三个顶点，线段FG、GH、HF分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形△CDE中，角C、角D和角E是三角形△CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角C + 角D + 角E = 180°。代入已知角度，得到48°+∠D+80°=180°，从而求得∠D=52°；对于三角形△FGH，有∠F + ∠G + ∠H = 180°。代入已知角度，得到48°+62°+∠H=180°，从而求得∠H=70°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形△CDE的角分别为48°、80°、52°；三角形△FGH的角分别为48°、62°、70°。比较两个三角形的内角，由于这两个三角形的内角不全对应相等，因此根据相似三角形的判定定理(AA)可知，△CDE不与△FGH相似。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1aab4ae99033bc5d0b4d5a9dbf125286-img-e43a0b4b64154845b47d5b90adfc3e37.png", "question": "△RST 和 △UVW 如下图所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △RST 与 △UVW 相似。\n- △RST 与 △UVW 不相似。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △RST is similar to △UVW.", "process": "1. 已知三角形RST中，∠S = 36°，∠T = 72°，求∠R的角度。根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。

2. 运用三角形内角和定理，设∠R为x，则x + 36° + 72° = 180°。因此得出x = 180° - 108° = 72°，即∠R = 72°。

3. 经过计算，△RST的三个角分别为∠R = 72°，∠S = 36°，∠T = 72°。

4. 已知△UVW中，∠V = 72°，∠W = 72°，根据三角形内角和定理，第三个角∠U = 180° - 72° - 72° = 36°。

5. △RST和△UVW各有两对对应角相等，分别是∠R = ∠U = 72°，∠T = ∠W = 72°，∠S = ∠V = 36°。

6. 根据相似三角形的判定定理(AA)，当两个三角形的两个对应内角相等时，这两个三角形是相似三角形，因此△RST和△UVW相似。

7. 经过上述推理，最终得出答案为△RST is similar to △UVW。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形RST中，角S、角T和角R是三角形RST的三个内角，根据三角形内角和定理，角S + 角T + 角R = 180°。同样，三角形UVW中，角U、角V和角W是三角形UVW的三个内角，根据三角形内角和定理，角U + 角V + 角W = 180°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "△RST和△UVW分别有两个对应角相等：∠R = ∠U = 72°，∠T = ∠W = 72°，并且第三个角也相等，∠S = ∠V = 36°。所以根据AA定理，△RST和△UVW是相似三角形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-329289f6f7dbc0f361d2389cf03591b1-img-8f68834883e145e88942217806ebd887.png", "question": "求 \\$\\\\angle \\$ ILJ 的度数。\\\\n\\\\n\\\\n请将答案写成整数或小数。\\\\n\\\\nm \\$\\\\angle \\$ ILJ= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ ILJ=102°", "process": "1. 已知弦HI和弦JK于点L相交，要求角ILJ的度数。

2. 根据圆内角定理，推得m∠ILK=1/2(弧JH+弧IK)。

3. 代入已知的弧度数，得出：m∠ILK=1/2(67°+89°)=78°。

4. 注意到角ILJ和角ILK位于一条直线之上，角JLK为平角，因此角ILJ和角ILK之和为180°。

5. 因此，m∠ILJ=180°-m∠ILK=180°-78°。

6. 计算得出，m∠ILJ=102°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为102°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "The measure of an inscribed angle in a circle is equal to half the sum of the measures of the arcs that the angle intercepts.", "this": "角ILK是圆的两条弦JK与HI在圆内相交所形成的角，所以角ILK是圆内角，即角ILK度数=1/2(弧JH+弧IK)。"}, {"name": "Definition of Straight Angle", "content": "A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.", "this": "射线LJ与射线JK在同一直线上，角JLK为平角，度数为180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e6ef865c7053019959eb16ede3cc6bb7-img-fb2fa5e676994271acbb792f8a27758b.png", "question": "求 \\$riangle \\$ MPO 的度数。 请将答案写成整数或小数。 m \\$riangle \\$ MPO= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ MPO=116°", "process": "1. 已知弧 LO 的度数为 96°，弧 NM 的度数为 32°，并且弦 LM 和弦 NO 在点 P 处相交。

2. 根据圆内角定理，圆内的角 LPO 的度数等于圆周上与该角对应的两弧之和的一半，即 ∠LPO = 1/2(弧LO + 弧NM)。

3. 将已知的弧度带入公式，得到 ∠LPO = 1/2(96° + 32°) = 1/2(128°) = 64°。

4. 由于 ∠LPO 和 ∠MPO 在直线 NO 上互为邻补角。

5. 因此，∠MPO = 180° - m∠LPO。

6. 代入 ∠LPO 的值，得 ∠MPO = 180° - 64° = 116°。

7. 经过上述推理，最终得出 ∠MPO 的度数为 116°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "The measure of an inscribed angle in a circle is equal to half the sum of the measures of the arcs that the angle intercepts.", "this": "角LPO是圆的两条弦LM与N在圆内相交所形成的角，所以角LPO是圆内角，即角LPO=1/2（弧LO + 弧NM）"}, {"name": "Definition of Linear Pair of Angles", "content": "Two angles are in a linear pair if they share a common side, and their other sides are extensions of one another in opposite directions.", "this": "在本题图中，角LPO和角MPO有一条公共边PO，它们的另一边LP和PM互为反向延长线，所以角LPO和MPO互为邻补角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-17cda35e2f6658c36d7aae387ead1c73-img-9788f72ef4c5463989348fe1cc492537.png", "question": "求弧 \\$\\\\overset{\\\\frown}{WY}\\$ 的度数。\n\n\n请将答案写成整数或小数。\n\nm \\$\\\\overset{\\\\frown}{WY}\\$ = \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{WY}\\$ =13°", "process": "1. 已知 ∠VXZ = 50°，且从图中得出 m ∠VXZ 是由割线 XV 和 XZ 在点 X 交于圆外形成的。图中的弧 VZ 的度数是 113°。

2. 根据圆外角定理，圆的外部角等于其所对的两个弧的度数差的一半：m ∠VXZ = 1/2(m 弧 VZ - m 弧 WY)。

3. 代入已知条件，得到方程：m ∠VXZ = 1/2(m 弧 VZ - m 弧 WY) ，即 50° = 1/2(113° - m 弧 WY)。

4. 通过简单的代数运算解方程：将方程两边同时乘以 2，得到 100° = 113° - m 弧 WY。

5. 解方程：将 113° 移到等号另一边，得到 100° - 113° = -m 弧 WY，化简得 -13° = -m 弧 WY。

6. 消去负号，得到 m 弧 WY = 13°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 13°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "External Angle Theorem of a Circle", "content": "The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.", "this": "圆O中，角VXZ是圆的外角，弧VZ和弧WY是角VXZ所对的两个弧。根据圆外角定理，角VXZ等于弧VZ的度数与弧WY的度数差的一半，即角VXZ = (弧VZ的度数 - 弧WY的度数) / 2。"}, {"name": "Secant Line", "content": "A straight line that intersects a circle at two distinct points is called a secant line of the circle.", "this": "在本题图中，直线 XV 与圆有两个交点，分别是点 V 和点 W；直线 XZ 与圆有两个交点，分别是点 Z 和点 Y。根据割线的定义，直线 XV 与圆相交于两个不同的点 V 和 W，所以直线 XV 是圆的割线；同理，直线 XZ 与圆相交于两个不同的点 Z 和 Y，所以直线 XZ 是圆的割线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3c68a2aa029ccf5a706a557397339fb9-img-5e245c6aedba49e89ec16b2d6de65c4f.png", "question": "△BCD 和 △FED 如下图所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △BCD 与 △FED 相似。\n- △BCD 与 △FED 不相似。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △BCD is similar to △FED.", "process": "1. 已知△BCD中，∠B的度数为49°，∠C是直角，即90°。

2. 根据三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和为180°，可以得知：∠B + ∠C + ∠BDC = 180°。

3. 将已知角度代入，即49° + 90° + ∠BDC = 180°，可以解得∠BDC = 41°。

4. 因此，△BCD的三个内角分别为49°，90°和41°。

5. 观察△FED，已知∠FED=90°，∠EDF=41°。

6. 比较△FED与△BCD的角度，可以发现两者具有两个相同的角度：即∠FED = ∠C和∠EDF = ∠BDC。

7. 根据相似三角形的判定定理(AA)，若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。此定义常称为“相似三角形的判定���理(AA)”。

8. 根据上述定义，由于△BCD和△FED具有两个对应相等的角，因此可以判定△BCD相似于△FED。

9. 经过上述推理，最终得出答案为△BCD 相似于 △FED。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形BCD中，角B、角C和角BDC是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，角B + 角C + 角BDC = 180°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，在本题图中，三角形BCD和三角形DEF中，如果角BDC等于角FDE，且角BCD等于角FED，所以三角形BCD相似于三角形DEF。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b360e0863ac869d729a9ea6ee6a3dee7-img-b9beec6b1f364cb2af88e1106fa31954.png", "question": "△RST 和 △TUV 如下图所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △RST 相似于 △TUV。\n- △RST 不相似于 △TUV。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △RST is not similar to △TUV.", "process": "1. 已知△RST中，角R等于54°，角S为直角等于90°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。由此我们可以求出角RTS的度数。设角RTS为x度，则有54°+90°+x=180°。

3. 解方程得出x=36°。故角RTS等于36°。

4. 在△TUV中，已知角TVU为46°，角U为直角等于90°。

5. 根据相似三角形的判定定理(AA)，即两个三角形的对应角相等，可以判断两个三角形是否相似。

6. 比较△RST和△TUV的各内角：

7. 若△RST的角R=54°，角S=90°，角RTS=36°。

8. △TUV中的角TVU=46°显然不同于△RST的任何一个角，因此无法通过三角形的相似条件确认△RST和△TUV相似。

9. 经过上述推理，最终得出答案为△RST不相似于△TUV。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形RST是由三个非共线点R、S、T及其连接线段RS、ST、RT组成的几何图形。点R、S、T分别是三角形的三个顶点，线段RS、ST、RT分别是三角形的三条边。三角形TUV是由三个非共线点T、U、V及其连接线段TU、UV、VT组成的几何图形。点T、U、V分别是三角形的三个顶点，线段TU、UV、VT分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "△RST和△TUV具有两个对应角分别相等，则它们相似。在本题中，我们比较∠RST与∠TUV，∠SRT与∠UVT，∠RTS与∠VTU。由于∠UVT(46°)不同于∠SRT(54°)，故无法通过三角形的相似条件确认△RST和△TUV相似。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形RST中，∠RST是直角（90度），因此三角形RST是一个直角三角形。边RS和边ST是直角边，边RT是斜边。三角形TUV中，∠TUV是直角（90度），因此三角形TUV是一个直角三角形。边TU和边UV是直角边，边TV是斜边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形RST中，角R（∠SRT）、角S（∠RST）和角RTS是三角形RST的三个内角，根据三角形内角和定理，角R + 角S + 角RTS = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-60501e14e383b53f6e861af945612d3a-img-80ff4e9e5740415585bb535d3beb37b1.png", "question": "△ABC 和 △DEF 如下图所示。 \n\n\n 哪个陈述是正确的？ \n\n- △ABC 与 △DEF 相似。 \n- △ABC 与 △DEF 不相似。 \n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △ABC is similar to △DEF.", "process": "1. 在△ABC中，已知∠BAC=15°和∠ACB=45°，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。

2. 根据三角形内角和定理，设∠ABC为x，则有：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，即15° + x + 45° = 180°。

3. 计算得到x = 180° - 15° - 45° = 120°，因此∠ABC=120°。

4. 在△DEF中，已知∠EFD=45°和∠FED=120°。

5. 比较两三���形的对应角度，∠ABC与∠FED对应且相等（120°），∠ACB与∠EFD对应且相等（45°）。

6. 根据相似三角形的判定定理(AA)，两个三角形如果有两组对应角相等，则这两个三角形相似。在本题中，∠ABC和∠FED相等，∠ACB和∠EFD相等，因此△ABC和△DEF相似。

7. 经上述推理，可以得出结论：△ABC与△DEF是相似的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形△ABC中，角∠BAC、角∠ACB和角∠ABC是三角形△ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠BAC + 角∠ACB + 角∠ABC = 180°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，通过验证△ABC和△DEF的对应角：∠ABC和∠DEF相等，∠ACB和∠DFE相等。因此根据相似三角形的判定定理，这两个三角形相似，结论为△ABC和△DEF相似。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d4fa361c4f70976fc6f89578c9889b73-img-ffdced71074c43f8ab7bcc065b2a6893.png", "question": "IJ是圆在点J处的切线。求 \\$riangle\\$ HIJ 的度数。 \n\n\n请将答案写成整数或小数。\n\nm \\$riangle\\$ HIJ= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ HIJ=44.5°", "process": "1. 已知 IJ 是与圆的切线，并在 J 点相切，根据题意，圆周上的三条弧分别是 \\overset{\\frown}{GH} (93°)、\\overset{\\frown}{GJ} (178°) 和 \\overset{\\frown}{HJ}，可通过相加得到整个圆的度数和是 360°。

2. 根据圆的角度性质，可知 93° + 178° + m \\overset{\\frown}{HJ} = 360°。

3. 通过计算可得 m \\overset{\\frown}{HJ} = 360° - 93° - 178° = 89°。

4. 已知切线 IJ 与圆的弦 IG 相交于 I，根据圆外角定理，切线与弦所夹的角（m \\angle HIJ）等于弦所截弧（m \\overset{\\frown}{GJ}）与相应的弦所对的另一弧（m \\overset{\\frown}{HJ}）差的一半。

5. 由圆外角定理，m \\angle HIJ = \\frac{1}{2}(m \\overset{\\frown}{GJ} - m \\overset{\\frown}{HJ})。

6. 将已知各弧的度数代入得 m \\angle HIJ = \\frac{1}{2}(178° - 89°)。

7. 计算得到 m \\angle HIJ = \\frac{1}{2}(89°) = 44.5°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 44.5°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧GH弧HJ弧GJ绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，设圆心为O，即角GOH+角HOJ+角GOJ=360度，则角GOH=93度。"}, {"name": "External Angle Theorem of a Circle", "content": "The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.", "this": "设圆心为O，圆O中，角HIJ是圆的外角，弧HJ和弧GJ是角HIJ所对的两个弧。根据圆外角定理，角HIJ等于弧GJ的度数与弧HJ的度数差的一半，即角HIJ = (弧GJ的度数 - 弧HJ的度数) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c85539317242fb4cdc017471a52506fd-img-7a6ba95c4cb24693888297836d87641b.png", "question": "求小弧 \\$rown{JN}\\$ 的度量。请将答案写成整数或小数。m \\$rown{JN}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{JN}\\$ =129°", "process": "1. 已知LJ和LN是圆的割线，点L在圆外，与圆的交点分别为J和N。

2. 根据圆外角定理，我们知道，角JLN的度数等于被它截出的两条弧（即弧JN和弧KM）度数差的一半。

3. 已知∠JLN=41°，∠JLN=1/2(弧JN的度数−弧KM得度数)。

4. 将已知条件代入公式：41°=1/2(弧JN的度数−47°)。

5. 解方程，先两边同时乘以2，得到82°=弧JN的度数−47°。

6. 将47°移项并加到方程两边，得到弧JN的度数=82°+47°。

7. 计算后，得弧JN的度数=129°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为129°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "External Angle Theorem of a Circle", "content": "The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.", "this": "∠JLN是圆的外角，弧KM和弧JN是∠JLN所对的两个弧。根据圆外角定理，∠JLN等于弧JN的度数与弧KM的度数差的一半，即∠JLN=1/2(弧JN的度数−弧KM的度数)。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点J和N，弧JN是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧JN是圆上两点J和N之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角JLN是由两条射线LJ和LN组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点L。这个共同的端点L称为角JLN的顶点，而射线LJ和LN称为角JLN的边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-067bda8cc5520761545160a5358bcf4f-img-e460240919a743538c64cd8e81ba2fec.png", "question": "求小弧 \\$rown{SW}\\$ 的度数。 \n\n\n请将答案写为整数或小数。\n\nm \\$rown{SW}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{SW}\\$ =137°", "process": "1. 题图中给出了切割线 US 和 UW 在点 U 相交。

2. 已知角 ∠SUW = 42°，弧 m( ⌒ TV ) = 53°。

3. 根据圆外角定理，切割线形成的角等于其截弧的差的一半。该定理的公式为：m(∠SUW) = 1/2 [m( ⌒ SW ) - m( ⌒ TV )]。

4. 代入已知值：42° = 1/2 [m( ⌒ SW ) - 53°]。

5. 解方程：将方程两边乘2得：84° = m( ⌒ SW ) - 53°。

6. 继续解方程：84° + 53° = m( ⌒ SW )。

7. 计算得到：m( ⌒ SW ) = 137°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为137°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点 T 和 V，弧TV 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧TV 是圆上两点 T 和 V 之间的一段曲线。"}, {"name": "External Angle Theorem of a Circle", "content": "The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.", "this": "角SUW是圆的外角，弧TV和弧SW是角SUW所对的两个弧。根据圆外角定理，角SUW等于弧TV的度数与弧SW的度数差的一半，即角SUW = (弧SW的度数 - 弧TV的度数) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5886443fd7d052023a11acf73f5f95a2-img-9112e9955c1548c2966d8d33048aa06d.png", "question": "求 \\$riangle \\$ NQO 的度数。 \n\n\n请将答案写成整数或小数。\n\nm \\$riangle \\$ NQO= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ NQO=102°", "process": "1. 给定条件中弦 MN 和 OP 在点 Q 相交，并且给出了两个弧长：弧 MO= 62°，弧 NP= 94°。

2. 依据圆内角定理 圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半，可以计算角 MQO。那么， ∠MQO = 1/2( 弧MO+ 弧NP )。

3. 将弧度数代入公式，得到 ∠MQO = 1/2( 62° + 94° ) = 1/2(156°)。

4. 计算 1/2 *156° 确定 ∠MQO = 78°。

5. 因为 ∠MQO 和 ∠NQO 是直线上的一对邻补角，即相邻的两个角之和为180度。所以，根据 邻补角的定义，我们可以写：∠NQO = 180° - ∠MQO。

6. 将已知 ∠MQO = 78° 代入方程，得到 ∠NQO = 180° - 78° = 102°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为102°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点M和O，弧MO是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧MO是圆上两点M和O之间的一段曲线。圆上有两点P和N，弧PN是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧PN是圆上两点P和N之间的一段曲线。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "The measure of an inscribed angle in a circle is equal to half the sum of the measures of the arcs that the angle intercepts.", "this": "角MQO是圆的两条弦MN与PO在园内相交所形成的角，所以角MQO是圆内角，即角MQO=1/2（弧MO+弧PN）。"}, {"name": "Definition of Linear Pair of Angles", "content": "Two angles are in a linear pair if they share a common side, and their other sides are extensions of one another in opposite directions.", "this": "角MQO和角NQO有一条公共边QO，它们的另一边MQ和NQ互为反向延长线，所以角MQO和角NQO互为邻补角，即相邻的两个角之和为180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1fadb0b079086f1d3e818b41ddc04c64-img-2e53ed73ff224d64935fd125864ca25c.png", "question": "△DEF 和 △JKL 如下图所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △DEF 与 △JKL 相似。\n- △DEF 与 △JKL 不相似。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △DEF is not similar to △JKL.", "process": "1. 已知∠E = 90°，∠F = 32°，根据三角形内角和定理，所有内角的和为180°。

2. 根据三角形内角和定理，设∠D为x，则x + ∠E + ∠F = 180°。

3. 代入已知值，得出x + 90° + 32° = 180°。

4. 解方程x + 122° = 180°，得到x = 58°，即∠D = 58°。

5. 所以△DEF的内角分别为∠D = 58°，∠E = 90°，∠F = 32°。

6. 观察△JKL，其中已知∠J = 52°，∠K = 90°。

7. 如果△DEF和△JKL相似，依据相似三角形的判定定理(AA)，则必须满足对应内角相等。

8. 检查对应内角：∠J和△DEF中任意角都不为52°，所以不能有两个三角形的对应内角相等。

9. 综上所述，由于没有两个三角形的对应内角相等，△DEF不可能与△JKL相似。

10. 经过上述推理，最终得出答案为△DEF is not similar to △JKL.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，有两个三角形，分别是△DEF和△JKL。每个三角形由三个非共线点及其连接线段组成。△DEF由顶点D、E、F及其连接线段DE、EF、FD组成，分别对应的内角为∠DEF、∠EFD、∠FDE。△JKL由顶点J、K、L及其连接线段JK、KL、LJ组成，分别对应的内角为∠JKL、∠KLJ、∠LJK。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，若要判断是否△DEF与△JKL相似，需要满足AA条件，即两个对应内角分别相等。检查发现∠E=90°与∠K=90°相等，但另一个角不满足，比如∠F=32°和∠L不等于52°，因此这两个三角形不相似。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形DEF中，角D、角E和角F是三角形DEF的三个内角，根据三角形内角和定理，角D + 角E + 角F = 180°。同理，三角形JKL中，角J、角K和角L是三角形JKL的三个内角，根据三角形内角和定理，角J + 角K + 角L = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f94d3e7aa79ed547e7d0312967245297-img-6fd7ff53cfb546ecb7109c8edcdaecdc.png", "question": "求 \\$riangle\\$ JNM 的度数。\n\n请将答案写成整数或小数。\n\nm \\$riangle\\$ JNM= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ JNM=117.5°", "process": "1. 已知弦 \\overline{JK} 和 \\overline{LM} 在点 N 相交，求 \\angle JNM 的度数。

2. 根据圆内角定理，对于圆内的相交弦，其交点的角度(如 \\angle MNK)等于由其角所对的两条弧的度数（\\overset{\\frown}{LJ}与\\overset{\\frown}{KM}）的半和：\\angle MNK = \\frac{1}{2} (m \\overset{\\frown}{LJ} + m \\overset{\\frown}{KM})。

3. 将上述条件应用于已知弧度情况，得出：m \\angle MNK = \\frac{1}{2} (52° + 73°) = 62.5°。

4. 认识到\\angle JNM与\\angle MNK组成一个平角，根据平角的定义，平角总和为180°，所以：m \\angle JNM = 180° - m \\angle MNK。

5. 即：m \\angle JNM = 180° - 62.5° = 117.5°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为m \\angle ∠JNM = 117.5°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点J和点K是圆上的任意两点，线段\\overline{JK}连接了这两个点，所以线段\\overline{JK}是圆的弦。同理，点L和点M是圆上的任意两点，线段\\overline{LM}连接了这两个点，所以线段\\overline{LM}是圆的弦。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "The measure of an inscribed angle in a circle is equal to half the sum of the measures of the arcs that the angle intercepts.", "this": "在本题图中，角MNK是圆的两条弦KJ与LM在圆内相交所形成的角，所以角MNK是圆内角，即角MNK度数=1/2（弧KM度数+弧LJ度数）。"}, {"name": "Definition of Straight Angle", "content": "A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.", "this": "射线JN与射线NK在同一直线上，角JNK为平角，度数为180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-fd78af97f5a39e906bfc1a080f67ec2a-img-f8da4ac156db41c9ae9fe48b0ea2f74d.png", "question": "△DEF 和 △JKL 如下图所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △DEF 与 △JKL 相似。\n- △DEF 与 △JKL 不相似。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △DEF is not similar to △JKL.", "process": "1. 已知在△DEF中，∠E是90°，∠F是32°。我们需要求解∠D的角度。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，我们得到∠D + ∠E + ∠F = 180°。

3. 代入已知数值：∠D + 90° + 32° = 180°。

4. 解这个方程，得到∠D = 180° - 122° = 58°。

5. 因此，△DEF的三个内角分别是∠D = 58°，∠E = 90°，∠F = 32°。

6. 对于△JKL，已知∠K = 90°和∠J = 52°。

7. 若△DEF与△JKL相似，根据相似三角形的判定定理(AA)，则需要检验对应角是否相等。

8. 检查与△DEF的角对应的△JKL的角：对于∠E = 90°，相对∠K = 90°，对应；但∠F = 32°与∠J = 52°不对应。

9. 因此，△DEF的任一角不与△JKL的另一个角对应，所以△DEF与△JKL不相似。

10. 经过上述推理，最终得出答案为△DEF 不相似 △JKL.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形DEF是由三个非共线点D、E、F及其连接线段DE、EF、FD组成的几何图形。点D、E、F分别是三角形的三个顶点，线段DE、EF、FD分别是三角形的三条边。三角形JKL是由三个非共线点J、K、L及其连接线段JK、KL、LJ组成的几何图形。点J、K、L分别是三角形的三个顶点，线段JK、KL、LJ分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，∠DEF是由两条射线DE和EF组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点E。这个共同的端点E称为∠DEF的顶点，而射线DE和EF称为∠DEF的边。类似地，∠JKL是由两条射线JK和KL组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点K。这个共同的端点K称为∠JKL的顶点，而射线JK和KL称为∠JKL的边。∠DFE是由两条射线DF和EF组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点F。这个共同的端点F称为∠DFE的顶点，而射线DF和EF称为∠DFE的边。∠EDF是由两条射线DE和DF组成的几何图形，这两条射"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形DEF中，角D、角E和角F是三角形DEF的三个内角，根据三角形内角和定理，角D + 角E + 角F = 180°。同样地，在三角形JKL中，角J、角K和角L是三角形JKL的三个内角，根据三角形内角和定理，角J + 角K + 角L = 180°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "△DEF 和 △JKL 要相似，则需要∠D=∠J, ∠E=∠K, ∠F=∠L。检查发现虽然 ∠E 和 ∠K 都为90度，但∠F 和 ∠J 不对应，即32度不等于52度，因此△DEF 和 △JKL 不相似。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f377eb9499db3c981867a3c841f9513a-img-f5ecfb250ef74d56bdb4d24f21ac3d67.png", "question": "UV 在 V 点处与圆相切。求小弧 \\$rown{TV}\\$ 的度数。请将答案写成整数或小数。m \\$rown{TV}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{TV}\\$ =58°", "process": "1. 已知UV是切线，且在点V与圆相切。由图可得∠TUV = 90°。

2. 已知US是割线，且US与切线UV在点U相交，并且弧TV和弧SV在圆内的相应角∠TUV = 90°。

3. 根据圆外角定理，切线与割线的交点处的角（∠TUV）等于截弧差的一半，即m∠TUV = 1/2(弧SV - 弧TV)。

4. 题中已知弧SV = 238°。由之前信息得知∠TUV = 90°。

5. 将已知数据代入圆外角定理的等式：90° = 1/2(238° - 弧TV)。

6. 将等式两边乘以2，得到180° = 238° - 弧TV。

7. 整理方程，弧TV = 238° - 180°。

8. 计算得到弧TV = 58°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为58°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆与直线UV有且只有一个公共点V，这个公共点叫做切点。因此，直线UV是圆的切线。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有三点T、S和V，弧TV是连接点T和点V的一段曲线，弧SV是连接点S和点V的一段曲线。根据弧的定义，弧TV是圆上两点T和V之间的一段曲线，弧SV是圆上两点S和V之间的一段曲线。"}, {"name": "External Angle Theorem of a Circle", "content": "The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.", "this": "角TUV是圆的外角，弧TV和弧SV是角TUV所对的两个弧。根据圆外角定理，角TUV等于弧TV的度数与弧SV的度数差的一半，即角TUV = (弧SV的度数 - 弧TV的度数) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-134c76c3894ac94e50b885d19dafdd79-img-4817abecb9eb479ca5e5d3cc02c30bdb.png", "question": "m \\$riangle\\$ Q 是多少？\n\nm \\$riangle\\$ Q= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ Q=95°", "process": "1. 已知Q、R、S、T在圆上，可知四边形QRST是一个圆内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理\"，可以得到∠S和∠Q互补，即∠S + ∠Q = 180°。

3. 题目中已知∠S = 85°。

4. 由此可以列出方程：∠S + ∠Q = 180°，将已知条件代入方程，得到85° + ∠Q = 180°。

5. 解这个方程，得出∠Q = 180° - 85°。

6. 计算180° - 85°，得到∠Q = 95°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠Q = 95°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "四边形QRST的四个顶点Q、R、S和T都在同一个圆上。这个圆称为四边形QRST的外接圆。因此，四边形QRST是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角QRS + 角QTS = 180度，角RQT+ 角RST = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，圆内接四边形QRST中，四边形的顶点Q、R、S、T都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形QRST的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠QRS + ∠QTS = 180°；∠RQT + ∠RST = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-78a8e23d7765ed6c4e43e483e5ae1b92-img-652adb2522a44a6cb08930933c57f8e8.png", "question": "m \\$riangle\\$ H 是多少？\n\nm \\$riangle\\$ H= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ H=73°", "process": "1. 已知四边形EFGH是圆内接四边形，根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，圆内接四边形的对角互补，即∠EFG+∠EHG=180°。

2. 已知∠EFG=107°，将其代入对角互补的公式得到， 107° + ∠EHG = 180°。

3. 由步骤2计算可得∠EHG = 180°-107°。

4. 计算结果∠EHG = 73°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠EHG=73°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "圆内接四边形EFGH中，四边形的顶点E、F、G、H都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形EFGH的每一对对角的和等于180°。具体来说， ∠EFG + ∠EHG = 180°；∠FEH + ∠FGH = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8f0a1dd7690f436b46ca03e1bd1489e8-img-27026a934435408590808f39e22c82bd.png", "question": "MN是圆在N点的切线。求 \\$riangle \\$ LMN的度数。请将答案写为整数或小数。m \\$riangle \\$ LMN= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ LMN=39°", "process": "1. 设圆O，已知MN是圆的切线，切点为N，MK是���MN相交于M的割线，K和L是圆上的两点。

2. 根据圆外角定理，此时∠LMN的角度满足公式：∠LMN = 1/2 (弧KN的度数 - 弧LN的度数)。

3. 因为弧KN的度数 = 152°且弧LN的度数= 74°，所以根据上述公式∠LMN = 1/2 (152° - 74°)。

4. 计算上一步中的表达式：1/2 (152° - 74°) = 1/2 × 78° = 39°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为39°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Tangent to a Circle", "content": "A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.", "this": "在本题图中，圆与直线MN有且只有一个公共点N，这个公共点叫做切点。因此，直线MN是圆的切线。"}, {"name": "Secant Line", "content": "A straight line that intersects a circle at two distinct points is called a secant line of the circle.", "this": "直线MK与圆有两个交点，分别是点K和点L。根据割线的定义，直线MK与圆相交于两个不同的点，所以直线MK是圆的割线。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点K和N，弧KN是连接这两点的一段曲线；圆上还有两点L和N，弧LN是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧KN是圆上两点K和N之间的一段曲线，弧LN是圆上两点L和N之间的一段曲线。弧KN的度数为152°，弧LN的度数为74°。"}, {"name": "External Angle Theorem of a Circle", "content": "The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.", "this": "圆O中，∠LMN是圆的外角，弧KN和弧LN是∠LMN所对的两个弧。根据圆外角定理，∠LMN等于弧KN的度数与弧LN的度数差的一半，即∠LMN = (弧KN的度数 - 弧LN的度数) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b4d17c0cf4216133ded348fb0b94534f-img-2c6d300c549149499e790788fa27bde7.png", "question": "m \\$riangle\\$ G是多少？\n\nm \\$riangle\\$ G= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ G=82°", "process": "1. 已知四边形 FGHI 是一个内接四边形，依据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，在四边形 FGHI 中，∠I 和 ∠G 是互补的。这是因为对于一个内接四边形，其对角的和为 180°。

2. 根据已知条件，∠I = 98°。

3. 依据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，在本题中具体表示为：∠I + ∠G = 180°。

4. 代入已知条件 ∠I = 98°，得到方程式：98° + ∠G = 180°。

5. 解方程，得到 ∠G = 180° - 98°。

6. 计算得出 ∠G = 82°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 82°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "四边形FGHI的四个顶点F、G、H和I都在同一个圆上。这个圆称为四边形FGHI的外接圆。因此，四边形FGHI是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角∠I + 角∠G = 180度，角∠F + 角∠H = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，圆内接四边形FGHI中，四边形的顶点F、G、H、I都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形FGHI的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠I + ∠G = 180°；∠F + ∠H = 180°。在本题中，已知 ∠I = 98°，代入得 ∠G = 180° - 98° = 82°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9899a9e4396196ec0eaa51a0cb6badb7-img-7e74880cb338446ba0d774933046e636.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ S 是多少？ m \\$\\\\angle \\$ S= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ S=87°", "process": "1. 已知四边形 PQRS 是一个圆内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理：四边形的对角互补，即∠Q和∠S是互为补角的，说明∠Q + ∠S = 180°。

3. 已知∠Q的度数为93°，代入已知条件，可以得到方程：∠Q + ∠S = 180°，即93° + ∠S = 180°。

4. 通过计算，∠S = 180° - 93°。

5. 计算得出∠S = 87°。

6. 因此，��过上述推理，最终得出答案为87°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "四边形 PQRS 的四个顶点 P、Q、R 和 S 都在同一个圆上。这个圆称为四边形 PQRS 的外接圆。因此，四边形 PQRS 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角 PQR + 角 PSR = 180度，角 QPS + 角 QRS = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，圆内接四边形PQRS中，四边形的顶点P、Q、R、S都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形PQRS的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠PQR + ∠PSR = 180°；∠QPS + ∠QRS = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-90ffa0e3bdbe195bef3c985673b35d9f-img-4fefbf2cf7a44b1a9acd7b50bbdafe43.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ I是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ I= \\$\\\\Box\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ I=100°", "process": "1. 根据内接四边形，得四边形 GHIJ 是一个内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，当一个四边形内接于圆时，其对角的角是互补的，即它们的和为 180°。

3. 设对角 G 和 I 的角分别为 ∠G 和 ∠I，根据上述性质，我们有：∠G + ∠I = 180°。

4. 已知 ∠G = 80°，将其代入对角互补关系，得到：80° + ∠I = 180°。

5. 解方程 80° + ∠I = 180°，两边同时减去 80°，得：∠I = 180° - 80°。

6. 计算得：∠I = 100°。

7. 因此，∠I 的度数为 100°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 100°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "四边形 GHIJ 的四个顶点 G、H、I 和 J 都在同一个圆上。这个圆称为四边形 GHIJ 的外接圆。因此，四边形 GHIJ 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角 ∠G + 角 ∠I = 180度，角 ∠H + 角 ∠J = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "圆内接四边形 GHIJ 中，四边形的顶点 G、H、I 和 J 都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形 GHIJ 的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠GHI + ∠GJI = 180°；∠HGJ + ∠HIJ = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c5f58d88fe5586f2ac3c5fdd40467543-img-c0ad24b1fbb94609bf62590984eab7e7.png", "question": "m \\$riangle \\$ H是多少？\n\nm \\$riangle \\$ H= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ H=104°", "process": "1. 根据内接四边形，得四边形 HIJK 是一个圆内接四边形。根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，如果一个四边形是圆内接四边形，那么它的每对对角互为补角。

2. 根据上述定理，在圆内接四边形 HIJK 中，角 H 和角 J 是互为补角，所以有 ∠H + ∠J = 180°。

3. 已知 ∠J = 76°，将其代入补角的等式，可以得到 ∠H + 76° = 180°。

4. 解这个等式，减去76°，得到 ∠H = 180° - 76° = 104°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为104°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "在本题图中，四边形 HIJK 的四个顶点 H、I、J 和 K 都在同一个圆上。这个圆称为四边形 HIJK 的外接圆。因此，四边形 HIJK 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角 H + 角 J = 180度，角 I + 角 K = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "圆内接四边形 HIJK 中，四边形的顶点 H、I、J、K 都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形 HIJK 的每一对对角的和等于 180°。具体来说，∠H + ∠J = 180°；∠I + ∠K = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1ada8168b10bd113c3d99d9486749afc-img-4b6e2edded59408f9bba8d57de96dc22.png", "question": "m \\$riangle \\$ U 是多少？\n\nm \\$riangle \\$ U= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ U=72°", "process": "1. 知道四边形TUVW是圆内接四边形，且题目提供的角∠TWV = 108°。

2. 根据圆内接四边形性质，四边形内对的角互补，即∠TWV + ∠TUV = 180°。

3. 已经知道∠TWV = 108°，代入互补条件可得∠TUV + 108° = 180°。

4. 解方程：∠TUV + 108° = 180°，得到∠TUV = 180° - 108°。

5. 计算得到∠TUV = 72°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为72°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "在本题图中，四边形TUVW的四个顶点T、U、V和W都在同一个圆上。这个圆称为四边形TUVW的外接圆。因此，四边形TUVW是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角∠TWV + 角∠TUV = 180度，角∠UVW + 角∠UTW = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "四边形TUVW是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补定理，四边形TUVW的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠TUV + ∠TWV = 180°；∠UTW + ∠UVW = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5e2b6f78e18773a11148f6a0310d05d4-img-ce1ff3b4bd7f420f8bfa3d3d32e88f50.png", "question": "△CDE 和 △FGH 如下图所示。 哪个陈述是正确的？ - △CDE 与 △FGH 相似。 - △CDE 与 △FGH 不相似。 - 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △CDE is not similar to △FGH.", "process": "1. 在△CDE中，已知∠C = 48° 和 ∠E = 80°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形内的三个角的和为180°，即 ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

3. 代入已知数值，可得 48° + ∠D + 80° = 180°。

4. 化简方程得 ∠D + 128° = 180°。

5. 解方程可得 ∠D = 52°，所以△CDE的三个角是48°，52°和80°。

6. 在△FGH中，已知∠F = 48° 和 ∠G = 62°。

7. 同样根据三角形内角和定理，得到 ∠F + ∠G + ∠H = 180°。

8. 代入已知数值，可得 48° + 62° + ∠H = 180°。

9. 化简方程得 ∠H + 110° = 180°。

10. 解方程可得 ∠H = 70°，所以△FGH的三个角是48°，62°和70°。

11. 比较△CDE和△FGH的内角，发现∠D与∠G不相等（52° ≠ 62°），因此两个三角形的对应内角不全等。

12. 根据相似三角形的判定定理(AA)，若两个三角形相似，则其对应角相等。

13. 由于△CDE和△FGH的对应内角不完全相等，故△CDE不相似于△FGH。

14. 经过上述推理，最终得出答案为△CDE 不相似于 △FGH。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形CDE中，角C、角D和角E是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角C + 角D + 角E = 180°。同样在三角形FGH中，角F、角G和角H是三角形FGH的三个内角，根据三角形内角和定理，角F + 角G + 角H = 180°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，三角形CDE和三角形FGH中，如果角C等于角F，且角E等于角H，所以三角形CDE不相似于三角形FGH。根据相似三角形的判定定理(AA)，两个三角形的对应角不完全相等，因此△CDE和△FGH不相似。"}]} +{"img_path": "ixl/question-03ef1bab7167cfb8934e4c4f7e317c1a-img-6dbe784568c74472a04580a8c5e41c56.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ K 是多少？", "answer": "m \\$\\angle \\$ K=91°", "process": "1. 根据内接四边形，得出四边形HIJK是圆内接四边形，四边形的顶点H、I、J、K都在圆上。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，圆内接四边形的对角互补，即对角的和等于180°。

3. 在此题中，∠I与∠K互为对角，因此∠I + ∠K = 180°。

4. 已知∠I = 89°，代入得：89° + ∠K = 180°。

5. 从方程89° + ∠K = 180°中，两边同时减去89°，得到∠K = 180° - 89°。

6. 计算右边式子，得出∠K = 91°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠K = 91°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "在本题图中，四边形HIJK的四个顶点H、I、J和K都在同一个圆上。这个圆称为四边形HIJK的外接圆。因此，四边形HIJK是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角I + 角K= 180度，角H+ 角J = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，圆内接四边形HIJK中，四边形的顶点H、I、J、K都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形HIJK的每一对对角的和等于180°。具体来说，角I + 角K= 180度，角H+ 角J = 180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-66cb28c6ec5cd53f9ad146e24898a2d2-img-5955122f493246f69dddcbf12327bd98.png", "question": "m \\$riangle\\$ S是多少？\n\nm \\$riangle\\$ S= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ S=63°", "process": "1. 观察图中可以看到四边形 PQRS 是一个内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，该定理指出，如果一个四边形是内接四边形，则其对角的角度之和为 180 度。

3. 应用此定理于四边形 PQRS，即 ∠PQR 和 ∠PSR 是对角，依据定理可知 ∠PQR + ∠PSR = 180°。

4. 已知 ∠PQR = 117°，代入上一步的等式：117° + ∠PSR = 180°。

5. 解方程得到：∠PSR = 180° - 117° = 63°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 63°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "四边形PQRS的四个顶点P、Q、R和S都在同一个圆上。这个圆称为四边形PQRS的外接圆。因此，四边形PQRS是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角PQR + 角PSR = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "圆内接四边形PQRS中，四边形的顶点P、Q、R、S都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形PQRS的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠PQR + ∠PSR = 180°；已知∠PQR = 117°，依据定理可以求出∠PSR。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2dad1c14c3d24100e787063f3951c452-img-86a3e624f315461db54ac2e5a7ff59ab.png", "question": "m \\$riangle \\$ H是多少？\n\nm \\$riangle \\$ H= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ H=52°", "process": "1. 已知线段FH是圆的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出角FGH 是直角，即 ∠FGH = 90°。

2. 因为角FGH 是直角，根据直角三角形的定义，三角形FGH 是直角三角形。根据直角三角形的锐角互余性质，并且∠ F 和 ∠ H 是互余的角，两角之和为 90°。

3. 已知 ∠F = 38°，根据直角三角形的锐角互余性质，∠ F + ∠ H = \n 90°。

4. 代入已知条件，38° + ∠ H = 90°。

5. 解方程，得到 ∠ H = 90° - 38° = 52°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠ H = 52°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形 FGH 中，角 FGH 是直角（90度），因此三角形 FGH 是一个直角三角形。边FG和边GH是直角边，边FH是斜边。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆中，角FGH的顶点(点G)在圆周上，角FGH的两边分别与圆相交于点H和点F。因此，角FGH是一个圆周角。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "直角三角形FGH中，角FGH是直角（90度），角F和角H是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角F和角H的和为90度，即角F + 角H = 90°。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "直径FH所对的圆周角FGH是直角（90度）。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，线段FH是圆的直径。线段FH通过圆心，并且两端点F和H都在圆上。根据直径的定义，线段FH是圆的最长弦，长度为2倍的半径，即FH = 2 * 半径。"}]} +{"img_path": "ixl/question-299c1a6cb5513cacc7e9eaa94c18f8f0-img-b47f06a2c72f489dae653aaaab62c807.png", "question": "m \\$riangle\\$ I 是多少？\n\nm \\$riangle\\$ I= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ I=52°", "process": "1. 已知线段 \\overline{IK} 是圆的直径，点 I、J、K 在圆上。因此，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出 \\angle IJK 是直角，即 \\angle IJK = 90°。

2. 在直角三角形 \\triangle IJK 中，根据三角形内角和定理，可知三个内角的和为 180°，因此 \\angle I + \\angle IKJ + \\angle IJK = 180°。

3. 根据步骤1中已知的 \\angle IJK = 90°，代入得到 \\angle I + \\angle IKJ + 90° = 180°。

4. 根据以已知条件中 \\angle IKJ = 38°，代入得到 \\angle I + 38° + 90° = 180°。

5. 化简方程，得到 \\angle I + 128° = 180°。

6. 两边同时减去 128°，得到 \\angle I = 52°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 \\angle I = 52°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形 \\triangle IJK 中，角 \\angle I、角 \\angle IKJ 和角 \\angle IJK 是三角形 \\triangle IJK 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 \\angle I + 角 \\angle IKJ + 角 \\angle IJK = 180°。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "直径IK所对的圆周角IJK是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e2d69652840288d43f0f7b8f127dd442-img-5404e31a5f154559816a24f46a881694.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ I是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ I= \\$\\\\Box\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻��\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ I=33°", "process": "1. 根据题意，线段IJ是圆的直径，依据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，因此∠IHJ是直角。

2. 由于∆HIJ是直角三角形，依据直角三角形的锐角互余性质，即在直角三角形中两个剩余角（即锐角）的和为90°。因此，∠HIJ + ∠IJH = 90°。

3. 已知∠IJH = 57°，代入上式可得：57° + ∠HIJ = 90°。

4. 解方程57° + ∠HIJ = 90°，得到∠HIJ = 90° - 57° = 33°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为33°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形HIJ中，角IHJ是直角（90度），因此三角形HIJ是一个直角三角形。边HI和边HJ是直角边，边IJ是斜边。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "直角三角形HIJ中，角IHJ是直角（90度），角HIJ和角HJI是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角HIJ和角HJI的和为90度，即角HIJ + 角HJI = 90°。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "在本题图中，圆中，直径IJ所对的圆周角IHJ是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c20016c93f8c00c44755e883406f8e78-img-c741266f9cad457a8d85ca65b0a762a4.png", "question": "m \\$riangle\\$ J是多少度？\n\nm \\$riangle\\$ J= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ J=57°", "process": "1. 根据直径的定义，直线JK是圆的直径；根据圆周角的定义，∠JIK为圆周角；根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出∠JIK是直角，即 ∠JIK = 90。

2. 根据直角三角形的定义， △IJK 是直角三角形，并且∠JIK = 90。根据三角形内角和定理，∠JIK + ∠ IKJ +∠IJK=180°，即 ∠IJK + ∠ IKJ=180°-90°=90°。

3. 已知 ∠IKJ = 33°，则∠IJK + 33° = 90。

4. 解得∠IJK = 90° - 33° = 57°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠ J = 57°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "JK是直径，连接了圆心和圆周上的J、K 两点，长度为2倍的半径，即 JK = 2r。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆中，角JIK的顶点I在圆周上，角JIK的两边分别与圆相交于点J和点K。因此，角JIK是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形JIK中，角JIK是直角（90度），因此三角形IJK是一个直角三角形。边IJ和边IK是直角边，边JK是斜边。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "直径JK所对的圆周角JIK是直角（90度）。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形IJK中，角IJK、角JKI和角KIJ是三角形IJK的三个内角，根据三角形内角和定理，角IJK+角JKI+角KIJ = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dcab56998a251cb8c2ef75f305efd470-img-09510bf937d4449ab2dd72f72b7a870a.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ R? m \\$\\\\angle \\$ R= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ R=53°", "process": "1. 已知线段 PR 是圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角。因此，角 PQR 是直角，即 m∠PQR = 90°。

2. 三角��� PQR 是一个直角三角形，因此根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和为 180°，所以 m∠PQR + m∠QRP + m∠RPQ = 180°。

3. 由前两步可知，m∠PQR = 90°，且已知 m∠RPQ = 37°，因此我们可以求出 m∠QRP。

4. 根据步骤2的三角形内角和等式，以及已经知道的角度，可得 90° + 37° + m∠QRP = 180°。

5. 解上述等式：m∠QRP = 180° - 90° - 37° = 53°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为53°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角 PQR 是直角（90度），因此三角形 PQR 是一个直角三角形。边 PR 和边 QR 是直角边，边 PQ 是斜边。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "点P、Q、R在圆上，弧PR与弧PQ对应的圆心角为∠POR，圆周角为∠PQR。根据圆周角定理，∠PQR等于它所对的弧PR所对应的圆心角∠POR的一半，即∠PQR = 1/2 ∠POR。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形 PQR 中，角 PQR、角 QRP 和角 RPQ 是三角形 PQR 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 PQR + 角 QRP + 角 RPQ = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-91a2939fba57f035a44e8d5f12fd8717-img-d6a81c6d4f19454cb53b1a3a3329bdab.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ F?\n\nm \\$\\\\angle \\$ F= \\$\\\\Box\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ F=37°", "process": "1. 根据题目给出的图形，以及圆周上一点G和直径\\overline{EF}，由于\\overline{EF}是直径，因此根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角: \\angle EGF是直角。因此，△EFG是直角三角形。

2. 在直角三角形△EFG中，根据直角三角形的锐角互余性质，所以\\angle E和\\angle F是互余的，即\\angle E + \\angle F = 90°。

3. 已知\\angle E = 53°，因此可以利用上一步得出的结论：\\angle E + \\angle F = 90°，代入已知条件得到53° + \\angle F = 90°。

4. 通过方程53° + \\angle F = 90°，可得\\angle F = 90° - 53°。

5. 计算得：\\angle F = 37°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\\angle F的度数为37°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形EFG中，角EGF是直角（90度），因此三角形EFG是一个直角三角形。边EG和边GF是直角边，边EF是斜边。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "直径EF所对的圆周角EGF是直角（90度）。（或本题图中，圆周角EGF是90度，所以它所对的弦EF是直径。）"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "在本题图中，直角三角形EFG中，角EGF是直角（90度），角E和角F是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角E和角F的和为90度，即角E + 角F = 90°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3c83711153a975de70a0a80dfcf1e370-img-84dbece0381c4f68b7673b19f5d3325a.png", "question": "m \\$riangle\\$ G 是多少？\n\nm \\$riangle\\$ G= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ G=39°", "process": "1. 已知\\( \\overline{GH} \\)是圆的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，圆周角\\( \\angle GFH \\)是直角，即\\( 90^\\circ \\)。

2. 由第一步结论，\\( \\triangle FGH \\)是一个直角三角形，其中直角为\\( \\angle GFH \\)。

3. 根据三角形内角和定理，任意三角形内角和为\\( 180^\\circ \\)，因此在\\( \\triangle FGH \\)中，有\\( \\angle FGH + \\angle GHF + \\angle GFH = 180^\\circ \\)。

4. 代入已知值，\\( \\angle GFH = 90^\\circ \\)和\\( \\angle FHG= 51^\\circ \\)，则：\\( 51^\\circ + \\angle G + 90^\\circ = 180^\\circ \\)。

5. 解此方程，得\\( \\angle G = 180^\\circ - 90^\\circ - 51^\\circ = 39^\\circ \\)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\\( \\angle G = 39^\\circ \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆中，角\\( \\angle GFH \\)的顶点F在圆周上，角\\( \\angle GFH \\)的两边分别与圆相交于点G和点H。因此，角\\( \\angle GFH \\)是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "\\( \\triangle FGH \\)中，\\( \\angle GFH \\)是直角（90度），因此\\( \\triangle FGH \\)是一个直角三角形。边\\( FG \\)和边\\( FH \\)是直角边，边\\( GH \\)是斜边。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "直径HG所对的圆周角GFH是直角（90度）。（或圆周角GFH是90度，所以它所对的弦HG是直径。）"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "\\( \\triangle FGH \\)是一个三角形，因此满足三角形内角和定理，即\\( \\angle FGH + \\angle HGF + \\angle GFH = 180^\\circ \\)。代入已知值\\( \\angle GFH = 90^\\circ \\)和\\( \\angle FGH = 51^\\circ \\)，解得\\( \\angle HGF = 39^\\circ \\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ff31728d277b99190ffef14db3e2ef45-img-4bbc91bc9db94568ad585c7f86719ea8.png", "question": "一个圆的半径是6公里。一个45°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的确切答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/公里", "answer": "3/2​𝜋 kilometers", "process": "1. 已知半径 r = 6 公里，首先根据圆的周长公式 C = 2πr 计算整个圆的周长。

2. 将已知的半径值代入周长公式，C = 2π × 6 = 12π 公里。因此，圆的周长为 12π 公里。

3. 给定弧长对应的圆心角为 45°。

4. 使用圆的弧长公式 l = C × (m/360)，其中 m 是圆心角的度数，将已知值代入公式。

5. 将 C = 12π 和 m = 45 代入弧长公式得到 l = 12π × (45/360)。

6. 进一步化简弧长计算，l = 12π × 1/8 = 3π/2 公里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 3π/2 公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "点是圆心，半径为6公里。图中所有到点的距离等于6公里的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点分别为弧的两个端点，弧是连接这两点的一段橘黄色曲线。根据弧的定义，弧是圆上两点之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心是点O，圆上的两点A和B到圆心的连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，且该圆心角为45°。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆的半径 r = 6 公里。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧长 l = 12π × (45/360)。通过计算得到结果为 l = 12π × 1/8 = 3π/2 公里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0daa4b3e0887ebebcfc3705fb74a50d9-img-3afc076183d1465eb2e3cce3994c3108.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ G是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ G= \\$\\\\Box\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ G=56°", "process": "1. 已知线段GH是圆的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，角GIH是直角（90°）。

2. 在ΔGHI中，由于∠GIH是直角且等于90°，根据三角形内角和定理，三角形内的三个角之和为180°。

3. 由于ΔGHI是直角三角形且∠GIH为90°，可以得出∠GHI和∠HGI的和等于90°。

4. 已知∠GHI等于34°，根据第3步结论，∠HGI = 90° - ∠GHI。

5. 代入已知条件，计算∠HGI = 90° - 34° = 56°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠HGI = 56°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形GHI中，角GIH是直角（90度），因此三角形GHI是一个直角三角形。边GI和边HI是直角边，边HG是斜边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形GHI中，角GIH、角GHI和角HGI是三角形GHI的三个内角，根据三角形内角和定理，角GIH + 角GHI + 角HGI = 180°。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "角GIH的顶点I在圆周上，角GIH的两边分别与圆相交于点G和点H。因此，角GIH是一个圆周角。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "圆中，直径HG所对的圆周角HIG是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f61170ddb75df6ecf1bdc815f9c9607a-img-b1d748dacff040acace4b5610ddd6c47.png", "question": "m \\$riangle\\$ D是多少？\n\nm \\$riangle\\$ D= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ D=58°", "process": "1. 已知DE是圆的直径，根据圆周角的定义和(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出∠DFE是直角。(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角指出，直径所对的圆周角为直角。

2. 根据直角三角形的定义，三角形DEF为直角三角形，其中∠DFE为90°。

3. 在一个三角形中，三个内角和为180°。对于三角形DEF，因为∠DFE = 90°，所以剩下∠EDF和∠DEF的和应为90°，即∠EDF + ∠DEF = 90°。

4. 已知∠DEF = 32°，根据上述结论得出32° + ∠EDF = 90°。

5. 解方程32° + ∠EDF = 90°，我们可以通过从两边减去32°得到∠EDF = 58°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为58°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "DE是直径，连接了圆心和圆周上的D、E两点，长度为2倍的半径，即DE = 2r。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "角DFE的顶点F在圆周上，角DFE的两边分别与圆相交于点D和点E。因此，角DFE是一个圆周角。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "直径DE所对的圆周角DFE是直角（90度）。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形DEF中，∠DEF、∠EDF和∠DFE是三角形DEF的三个内角，根据三角形内角和定理，∠DEF + ∠EDF + ∠DFE = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5112a81c6dc9cae4fcc354a86cc90d51-img-9662fc7842e845fd97ed2e761e990a21.png", "question": "一个圆的半径是9英寸。135°弧的长度是多少？\n\n请给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 英寸", "answer": "27/4​𝜋 inches", "process": "1. 已知圆的半径是9英寸，根据圆的周长公式C=2πr得出圆的周长C=2×π×9=18π英寸。

2. 圆中某一弧的长度与周长的比例等于该弧对应的圆心角与整个圆360°的比例，公式为：l = C * (m/360)，其中l为弧长，C为周长，m为圆心角。

3. 题目中给出的圆心角是135°，将C=18π英寸和m=135代入圆的弧长公式中，得到l = 18π * (135/360)。

4. 化简括号内的分数，135/360等于3/8。

5. 将化简后的分数代入弧长公式中，得出l = 18π * (3/8) = (18 * 3/8)π。

6. 计算括号内的乘法，18 * 3 = 54，然后54除以8，得到简化结果l = 27π/4英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为27π/4英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆中，图中心的点是圆心，半径为9英寸。图中所有到圆心的距离等于9英寸的点都在圆上。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆的半径r=9英寸。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。因此，圆的周长C=2π×9=18π英寸。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题图中，圆中，圆心角的度数为135度，圆周长为C。根据圆的弧长公式，弧长可以表示为𝓁 = C × (m/360)。因此，弧长等于圆周长18π乘以圆心角的度数135除以360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-17abfeae8f7fc91280364459676fa053-img-92a512d936084d7ca2ffb3230359a9e6.png", "question": "m \\$riangle\\$ I是多少？\n\nm \\$riangle\\$ I= \\$ox\\$ °\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "m \\$\\angle \\$ I=36°", "process": "1. 设图为圆O，根据直径的定义，得IK 是圆的直径，根据圆周角的定义，得∠I、∠J、∠K是圆周角，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出 ∠J为直角，即 ∠J= 90°。

2. 根据三角形内角和定理，即三角形内三个角之和为 180°，我们得到 ∠I+∠J+∠K= 180°。

4. 知道 ∠J= 90°和 ∠K= 54°，将其代入上式，得 ∠I + 54° + 90° = 180°。

5. 化简上式，得到 ∠I+ 144° = 180°。

6. 经过计算，∠I= 180° - 144° = 36°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 36°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "KJ是直径，连接了圆心并且端点在圆上的点K和J。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "角IJK的顶点I在圆周上，角IJK的两边分别与圆相交于点J和点K。因此，角IJK是一个圆周角。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形IJK中，角I、角J和角K是三角形IJK的三个内角，根据三角形内角和定理，∠I + ∠J + ∠K = 180°。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "在本题图中，圆O中，直径IK所对的圆周角 ∠J是直角（90度），即 ∠J= 90°。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形IJK中，角IJK是直角（90度），因此三角形IJK是一个直角三角形。边IJ和边JK是直角边，边IK是斜边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2a8ef4b8c931e5d7af273d2aaf39f4e8-img-f7292f8feb324981bf117c65227f8cad.png", "question": "一个圆的半径是1英里。一个45°弧的长度是多少？\n\n请给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 英里", "answer": "1/4​𝜋 miles", "process": "1. 已知圆的半径 r = 1 英里，我们要计算圆的周长。根据圆的周长公式：C = 2πr，代入已知 r = 1 英里，可得圆的周长 C = 2π 英里。

2. 需计算弧长 l，其中弧对应的圆心角为 45°。弧长公式为：l = C * (θ/360°)，其中 C 是圆周长，θ 是弧对应的圆心角。

3. 将已知条件和上一步结果代入弧长公式，得 l = 2π * (45°/360°)。

4. 化简上式：l = 2π * (1/8) = π/4。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 π/4 英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆的半径 r = 1 英里，即从圆心到圆周上的任意一点的线段的长度为 1 英里。圆心为点O，圆周上的任意一点为A，则线段OA是圆的半径，表示为r = 1 mi。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点A和B，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线，弧度为 θ = 45°。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆的半径 r = 1 英里。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。因此，C = 2π * 1 = 2π 英里。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题图中，圆周长 C = 2π 英里，弧对应的圆心角 θ = 45°，所以弧长 l = 2π * (45° / 360°) = π/4 英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-515c099bc051101921a0545d9bf7efc6-img-e04e319ccc7f42ad81ec3f9c5ad0c219.png", "question": "一个圆的半径是3英寸。一个45°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的准确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 英寸", "answer": "3/4​𝜋 inches", "process": "1. 题目给定圆的半径为3英寸，需计算出该圆的周长。

2. 根据周长公式：C = 2𝜋r，在本题中r = 3，因此C = 2 × 𝜋 × 3 = 6𝜋英寸。

3. 已知圆的弧长公式为：𝓁 = C × m/360，其中𝓁为弧长，m为圆心角度数。

4. 题目中弧的圆心角为45°，因此将m = 45代入弧长公式。

5. 得到𝓁 = 6𝜋 × 45/360。

6. 简化𝓁的值：6𝜋 × 45/360 = 6𝜋 × 1/8 = 3𝜋/4英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为3𝜋/4英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆的定义中“某一点”对应题目中圆心（图中蓝色点），所有“直线”对应题目中半径（图中标注为r=3 in）。题目中给定的圆的半径r=3英寸，确定了圆的大小。图中所有到圆心的距离等于3英寸的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "点为圆心，点为圆上的任意一点，线段是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段是圆的半径。题目给定“半径为3英寸”，即r=3英寸，确定了圆的尺寸。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "点O是圆心，线段OA和OB是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，因此圆周长C=6𝜋英寸。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题图中弧的圆心角为45°即m=45°，因此将其代入公式：𝓁 = 6𝜋 × 45/360，简化后结果为3𝜋/4英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-76f7c17405b328d32f3e8abf11c83e10-img-9b22d732ef0843529ad5edf364939460.png", "question": "△QRS 和 △UVW 如下所示。\n\n\n哪个陈述是正确的？\n\n- △QRS 相似于 △UVW。\n- △QRS 不相似于 △UVW。\n- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。", "answer": "- △QRS is not similar to △UVW.", "process": "1. 已知△QRS中，∠Q = 104°，∠R = 23°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。因此在△QRS中，∠Q + ∠R + ∠S = 180°。

3. 将已知角度代入方程，得104° + 23° + ∠S = 180°。

4. 解方程得∠S = 180° - 127° = 53°。

5. 因此，△QRS的三个内角分別是∠Q = 104°，∠R = 23°，∠S = 53°。

6. 在给出的数据中，△UVW中，已知∠U = 49°，∠V = 23°。

7. 如果△QRS与△UVW相似，那么它们应有两个对应角相等。

8. 通过检查看是否存在两个角相等，可以观察到△UVW中最大角为49°并且△QRS中最接近49°的角为53°，它们并不相等。

9. 因此，至少有一个必要条件不满足，这意味着△QRS和△UVW不能相似。

10. 经过上述推理，最终得出答案为△QRS is not similar to △UVW。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形QRS是由三个非共线点Q、R、S及其连接线段QR、RS、SQ组成的几何图形。点Q、R、S分别是三角形的三个顶点，线段QR、RS、SQ分别是三角形的三条边。同样，三角形UVW是由三个非共线点U、V、W及其连接线段UV、VW、WU组成的几何图形。点U、V、W分别是三角形的三个顶点，线段UV、VW、WU分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "三角形QRS和三角形UVW中，如果角Q等于角U，且角R等于角V，那么三角形QRS相似于三角形UVW。通过已经知道的角度（∠Q = 104°，∠R = 23°，∠S = 53° 和 ∠W = 49°，∠V = 23°），可知满足不了这条定理的条件。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形QRS中，角Q、角R和角S是三角形QRS的三个内角，根据三角形内角和定理，角Q + 角R + 角S = 104° + 23° + 角S = 180°。同样的逻辑应用于三角形UVW，角U、角V和角W是三角形UVW的三个内角，角U + 角V + 角W = 49° + 23° + 角U = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bb97f0c06c6bdd9cf9e2ef1e9e7da33c-img-cc1a7de11e564908a422fa725e63618a.png", "question": "一个圆的半径是3米。一个45°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 米", "answer": "3/4​𝜋 meters", "process": "1. 已知圆的半径为3米，我们首先需要计算出这个圆的周长。

2. 根据圆的周长公式C = 2πr，其中r是圆的半径，我们代入r = 3得到C = 2π * 3。

3. 计算得到圆的周长C = 6π米。

4. 题目要求计算一个45°弧的长度。

5. 根据圆的弧长公式l = C * (θ/360)，其中θ是圆心角的度数，我们代入C = 6π和θ = 45。

6. 计算弧长l = 6π * (45/360)。

7. 将分数简化，得到45/360 = 1/8。

8. 所以弧长l = 6π * 1/8。

9. 计算得l = 3π/4。

10. 经过上述推理，最终得出答案为3π/4米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆的半径为3米，记为r。圆心为图中的橙色点，圆周上任一蓝色点到橙色点的距离均为3米。线段从橙色点到圆周上的任意蓝色点的长度为3米，因此该线段是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图��，圆的圆心是点O，橙色线段是从圆心O到圆上两点的连线。橙色线段间的角∠AOB为45°，称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点分别是橙色线段的两个端点，弧是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，这段弧是圆上两点之间的一段曲线，且对应的圆心角为45°。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆心为点O，线段OA和OB是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，其中r=3米，因此C=2π*3=6π米。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题图中，圆心角θ为45°，圆周长C为6π米，因此弧长l = 6π * (45/360) = 3π/4米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0585e01ced626cf7c095629f89332cb5-img-1d6a07fc37c44a09bdaa24309ce83dac.png", "question": "一个圆的半径是1米。135°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的准确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 米", "answer": "3/4​𝜋 meters", "process": "1. 设圆心为O，135°角为∠AOB，根据题目已知条件，圆的半径为1米。

2. 根据圆的周长公式C = 2πr，其中r是圆的半径。将r = 1代入，得到C = 2π × 1 = 2π米。

3. 圆弧的长度与圆的周长以及圆心角的度数有关，根据圆弧长度公式𝓁 = C × (m/360)，其中m是圆心角的度数。

4. 将已知圆心角m = 135°和之前计算的周长C = 2π米代入圆弧长度公式，得到𝓁 = 2π × (135/360)。

5. 计算2π × (135/360)，等于2π × (3/8) = 3π/4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3π/4米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径，长度为1米。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆中，点O是圆心，线段OA是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，其中r=1米，因此C=2π×1=2π米。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心是点O，圆上两点A和B到圆心O的连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，且该圆心角为135°。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧长𝓁 = 2π × (135/360)，计算得𝓁 = 3π/4米。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点A和B，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2c31d81906e754feaf5fb16805504125-img-7c2f8d3b8d6f4dbfbb524adf598248b2.png", "question": " \\$oxed{ext{RS}}\\$ 的度数是多少？ \n\n m \\$oxed{ext{RS}}\\$ = \\$oxed{ext{}}\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{RS}\\$ =67°", "process": "1. 已知线段QT和RS是相应的圆周上的弦，并且两条弦的长度都是48。

2. 根据圆心角定理，得出弦QT和RS所对的圆心角是相等的。

3.根据圆心角性质，弦QT和弧QT所对的圆心角为67°。

4. 由于弦QT和RS的长度相等，根据圆心角定理，得出弧QT和弧RS是相等的。

5. 依据圆心角定理，弧RS所对的圆心角的度数等于弧QT所对的圆心角，即67°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为67°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆O中，点O是圆心，半径为定长。图中所有到点O的距离等于定长的点都在圆O上。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点Q和点T是圆上的任意两点，线段QT连接了这两个点，所以线段QT是圆的弦。同样，点R和点S是圆上的任意两点，线段RS连接了这两个点，所以线段RS是圆的弦。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点Q和点T是圆上的两点，圆心是点O。连线OQ和OT组成的角∠QOT称为圆心角。同样，点R和点S是圆上的两点，连线OR和OS组成的角∠ROS称为圆心角。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "弧QT所对圆心角是角QOT，弧QT度数=角QOT度数。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弦QT与RS相等，则所对的圆心角QOT和圆心角ROS相等，所对的弧QT与RS相等。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弧QT与RS相等，则所对的圆心角QOT和圆心角ROS相等，所对的弦QT与RS相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6706ea837a26f1866f59207b7f1b20ac-img-ca479b84d1b24b30ae8ff1329d00c5dc.png", "question": "一个圆的半径是1英寸。一个45°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 英寸", "answer": "1/4​𝜋 inches", "process": "1. 已知圆的半径 r 为 1 英寸，角度为 45°。

2. 根据圆的周长公式 C = 2πr，且 r = 1 代入得到 C = 2π(1) = 2π。

3. 确定圆的弧长公式为 l = C * (m/360)，其中 C 为圆周常，m 为弧的度数。

4. 已知弧的度数 m 为 45°，因此将已知值代入弧长公式，得到 l = 2π * (45/360)。

5. 简化表达式，45/360 = 1/8，因此 l = 2π * (1/8)。

6. 计算得到 l = π/4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 π/4 。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "点 O 是圆心，半径为 1 英寸。图中所有到点 O 的距离等于 1 英寸的点都在圆上。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "点为圆心，线段为半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，其中r=1英寸，因此C=2π(1)=2π英寸。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点分别与圆心形成45°角，这段弧是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，这段弧是圆上两点之间的一段曲线。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "圆中，所求弧的圆心角的度数为45度，圆周长为2π。根据圆的弧长公式𝓁 = C × (m/360)，弧长可以表示为𝓁 = C × (m/360)。因此，弧长等于圆周长2π乘以圆心角的度数45°除以360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-445d9c00a5bb28521d85e825547887fc-img-174ceee2807e4bdfad94d0dc123296b8.png", "question": "一个圆的半径是3厘米。一个90°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 厘米", "answer": "3/2​𝜋 centimeters", "process": "1. 已知圆的半径为3厘米。根据圆的周长公式C=2πr，其中r是圆的半径，得出C=2π×3=6π厘米。

2. 圆的周长为6π厘米。由于圆的周长表示的是整个圆周的长度，因此该圆的360°对应于周长6π厘米。

3. 题目要求计算的是90°弧的长度。根据弧长公式，弧长l与圆的周长C及弧对应中心角m之间的关系为 l = C × (m/360)。

4. 将已知条件代入弧长公式：已知C=6π厘米和m=90°，因此弧长l = 6π × (90/360)。

5. 简化弧长的计算： l = 6π × (1/4) = (6π/4) = (3π/2)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3π/2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆的圆心在图的中心，标记为点，半径为3 cm。图中所有到圆心距离等于3 cm的点都在这个圆上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆的半径标记为r=3 cm，表示从圆心到圆周上任意一点的线段的长度为3厘米。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "紫色部分表示90°弧，两点在圆周上且通过角度90度连接这两个点的圆周部分。根据弧的定义，紫色弧是圆上两点之间的一段曲线。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆的半径r为3厘米，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。通过计算C = 2π × 3 = 6π cm，可以得出圆的完整周长为6π厘米，表示图中的绿线圆周长度。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题中，通过计算90°弧长 l = 6π × (90/360)=3π/2 cm，可以得出最终弧长3π/2厘米，表示图中的紫色弧片长度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dc222257d5b17aba871ce7c8efca3ed4-img-b4ec74f3fb80450394ee8ac715f4caca.png", "question": "求 \\$\\\\overline{UV}\\$ 的长度？ \n\nUV= \\$\\\\Box\\$", "answer": "UV=14", "process": "1. 已知：圆周上有弦\\overline{TW}和\\overline{UV}，并且它们所对应的圆周弧是全等的，即弧\\overset{\\frown}{WT} \\cong \\overset{\\frown}{UV}。

2. 根据圆心角定理，如果两条弧相等，则它们所对的弦也相等。

3. 由此可知\\overline{TW} \\cong \\overline{UV}，即\\overline{TW}的长度与\\overline{UV}的长度相等。

4. 已知\\overline{TW} = 14，那么\\overline{UV}的长度也为14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：UV的长度为14。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆周上有两点W和T，弧\\overset{\\frown}{WT}是连接这两点的一段曲线；圆周上有两点U和V，弧\\overset{\\frown}{UV}是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧\\overset{\\frown}{WT}是圆上两点W和T之间的一段曲线，弧\\overset{\\frown}{UV}是圆上两点U和V之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点T和点W是圆上的任意两点，线段\\overline{TW}连接了这两个点，所以线段\\overline{TW}是圆的弦。同样，点U和点V是圆上的任意两点，线段\\overline{UV}连接了这两个点，所以线段\\overline{UV}也是圆的弦。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弧WT与UV相等，所对的���WT与UV相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7556ad84d21775f4295cb596025de6ce-img-77a4d6ff49d24c438e7256765fd19919.png", "question": "求 \\$rown{TW}\\$ 的度数是多少？\n\nm \\$rown{TW}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{TW}\\$ =89°", "process": "1. 观察图形，已知圆内的两条弦UV和TW是相等的，即弦UV ≅ 弦TW。

2. 根据圆心角定理为：在同一个圆或相等的圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故两条弦所对的圆弧也相等。

3. 由此性质得出结论，弧TW ≅ 弧UV。

4. 给定弧UV的度数为89°，根据步骤3的结论可知，弧TW的度数与弧UV相同。

5. 经过以上推理，最终得出弧TW的度数为89°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点T和W，弧TW是连接这两点的一段曲线。圆上有两点U和V，弧UV是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧TW是圆上两点T和W之间的一段曲线，弧UV是圆上两点U和V之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "点U和点V是圆上的任意两点，线段UV连接了这两个点，所以线段UV是圆的弦；同理，点T和点W是圆上的任意两点，线段TW连接了这两个点，所以线段TW是圆的弦。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "在本题图中，同圆内的弦UV与TW相等，则所对的圆心角UOV和圆心角WOT相等，所对的弧UV与TW相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c0a118729056ca9339ba68d4a1dd3e69-img-08445fb04498475687a78666ce0555a6.png", "question": "一个圆的半径是7公里。一个180°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/公里", "answer": "7​𝜋 kilometers", "process": "1. 已知半径 r = 7 公里，根据周长公式 C = 2πr, 我们可以计算出圆的周长。

2. 将半径代入周长公式得到：C = 2π(7) = 14π 公里。

3. 已知待求圆弧的圆心角为 180°。根据圆弧长度公式 l = C * (m/360)，其中 m 为圆心角的度数。

4. 代入己知值，得出弧长 l = 14π * (180/360)。

5. 将分数化简，180/360 = 1/2。

6. 因此，l = 14π * (1/2) = 7π。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 7π 公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆心为图中蓝色点，半径为7公里。图中所有到该蓝色点的距离等于7公里的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意两点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和线段OB是圆的半径，且长度为7公里。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆的半径r=7公里。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2π*7=14π公里。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，圆上的两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。图中圆心角的度数为180°。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题图中，已知圆心角为180°，圆周长C=14π公里，代入公式得：l = 14π * (180/360) = 7π公里。因此，圆弧的长度为7π公里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3d035e4e3469d1fb16a12068a03be213-img-ddad12f4f8724aad9e24b90d7cbcc411.png", "question": "求 \\$\\overline{BC}\\$ 的长度？\n\nBC= \\$\\\\Box\\$", "answer": "BC=36", "process": "1. 已知弧DE=74°，弧BC=74°，DE和BC是圆的弦，且对应的圆弧相等。

2. 通过圆心角定理，知道如果两个弦在圆上所对的圆弧相等，则这两个弦相等。在此题中，弦DE和弦BC对同一圆弧且圆周角相等，故得出DE=BC。

3. 已知弦DE=36，所以根据上一步得出的结论，弦BC=36。

4. 经过上述推理，最终得出答案为36。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆O中，角DCE的顶点C在圆周上，角DCE的两边分别与圆O相交于点D和点E。因此，角DCE是一个圆周角。同样，角BDC的顶点D在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，角BDC也是一个圆周角。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点D和点E是圆上的任意两点，线段DE连接了这两个点，所以线段DE是圆的弦，长度为36；同理，点B和点C是圆上的任意两点，线段BC连接了这两个点，所以线段BC是圆的弦。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "在本题图中，角DCE和角BDC是同圆内相等的两个圆心角，所以相对的弧DE与弧BC相等，相对的弦DE与弦BC相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1098e3eaf025f62edea6e845a7959b6b-img-f1be633453154bb8895b42f34dc57c79.png", "question": "求 \\$\\\\overline{SV}\\$ 的长度是多少？ \n\nSV= \\$\\\\Box\\$", "answer": "SV=26", "process": "1. 给定在圆周上有弧SV和TU，设圆心为O，且它们对应的圆心角SOV 和TOU均为63°。

2. 根据圆心角定理。因此，弧SV和TU所对的圆心角相同，表明它们所对的弧相等。

3. 根据圆心角定理，若在同一个圆中两个弧相等，则它们所对的弦也相等。故弦SV 与TU相等。

4. 已知弦TU= 26，根据第3步的结论，弦SV = 弦TU= 26。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 弦SV的长度是26。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "点S和点V是圆上的任意两点，线段SV连接了这两个点，所以线段SV是圆的弦。同样地，点T和点U是圆上的任意两点，线段TU连接了这两个点，所以线段TU也是圆的弦。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点 S 和 V，弧 SV是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧SV是圆上两点 S 和 V 之间的一段曲线。圆上有两点 T 和 U，弧 TU是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧TU是圆上两点 T 和U 之间的一段曲线。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "在本题图中，弧SV所对圆心角是角SOC，弧SV度数=角SOC度数。弧TU所对圆心角是角TOU，弧TU度数=角TOU度数。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "在本题图中，角SOV和角TOU是同圆内相等的两个圆心角，所以相对的弧SV与TU相等，相对的弦SV与TU相等。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弧SV与TU相等，则所对的圆心角SOV和圆心角TOU相等，所对的弦SV与TU相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8a06147a335817bbfc8492a9f9e6e914-img-22b46b4b99d34778b19b8c53a825fbda.png", "question": "一个圆的半径是6英寸。一个180°弧的长度是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 英寸", "answer": "6​𝜋 inches", "process": "1. 已知圆的半径为6英寸，要求出180°弧长。根据弧长公式，即弧长l = C * (m/360)，其中C为圆的周长，m为圆心角。

2. 首先，我们需要求出圆的周长C。根据圆周长公式C = 2πr，其中r为圆的半径。代入已知的r = 6，得到C = 2π * 6。

3. 计算C = 2π * 6，得到C = 12π。因此圆的周长为12π英寸。

4. 弧长l的公式为l = C * (m/360)。已知圆心角m = 180°，代入C = 12π和m = 180，得到l = 12π * (180/360)。

5. 计算l = 12π * (180/360)，化简为l = 12π * (1/2)。

6. 得到l = 6π。因此，这条180°弧的长度是6π英寸。

n. 经过上述推理，最终得出答案为6π。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，点是圆心，点是圆上的任意一点，线段是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段是圆的半径。已知圆的半径r = 6英寸，即从圆心到圆上任意一点的距离为6英寸。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "点为圆心，线段为半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。已知圆的半径r = 6英寸，因此圆的周长C = 2π * 6 = 12π英寸。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆的圆心角为180°，即对应了圆的半圆弧。圆心角是由圆上两点到圆心的连线组成的角。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "在本题图中，要求出180°弧长l，需要计算l = 12π * (180/360) = 6π英寸。"}, {"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "圆的直径将圆周分为两个弧长相等的部分，每个弧长对应的圆心角为180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5986c573889f05c2e7b4721c936d70b0-img-72e493d3bbe24e59a95ab44f7865129b.png", "question": "求 \\$\\\\overline{XY}\\$ 的长度？\n\nXY= \\$\\\\Box\\$", "answer": "XY=38", "process": "1. 由图知弧XY = 弧VW。

2. 根据圆心角定理，圆周上相等的弧，则可得出XY和VW是相等的弦，因为在圆中，与相同弧对称的弦相等。

3. 由已有条件给出弦VW的长度为38，则弦XY的长度也为38。

4. 经过上述推理，最终得出答案为38。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弧XY与VW相等，所对的弦XY与VW相等，即弦XY=VW=38。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆O中，点X、Y、V、W是圆上的一点，圆心是点O。连线OX和OY组成的角∠XOY称为圆心角。连线OV和OW组成的角∠VOW称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点X和Y，弧XY是连接这两点的一段曲线。同样，圆上有两点V和W，弧VW是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧XY是圆上两点X和Y之间的一段曲线，弧VW是圆上两点V和W之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点X和点Y是圆上的任意两点，线段XY连接了这两个点，所以线段XY是圆的弦。同理，点V和点W是圆上的任意两点，线段VW连接了这两个点，所以线段VW是圆的弦。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7b3b57f63419c40988f2b7e341dfad69-img-58dcd1f85a1347b38aaa7a1d06da78f3.png", "question": "求△UVW的面积。\n\n将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\n \\$ox\\$ yd ^ 2", "answer": "814.0 yd ^ 2", "process": "1. 已知三角形△UVW中，m ∠U = 27°，m ∠W = 37°，以及边长UV = 49 yd。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°：m ∠U + m ∠W + m ∠V = 180°。

3. 代入已知值：27° + 37° + m ∠V = 180°，得到 64° + m ∠V = 180°。

4. 通过运算可得：m ∠V = 180° - 64° = 116°。

5. 现在知道了两个内角m ∠W 和 m ∠U，及其对边长UV，应用正弦定理求解边长u：w/sin ∠W = u/sin ∠U。

6. 使用已知值计算：49/sin(37°) = u/sin(27°)。

7. 查找正弦值：sin(37°) ≈ 0.6018, sin(27°) ≈ 0.4540。

8. 带入正弦值代入式子: 49/0.6018 = u/0.4540。

9. 解方程得到：u ≈ 49 * 0.4540 / 0.6018 ≈ 36.9658 yd。

10. 现在已知两边长及其夹角，应用三角形面积公式（使用正弦函数）：面积 = 1/2 * u * w * sin( ∠V)。

11. 计算sin( ∠V)的值，其中m ∠V=116°，得sin(116°) ≈ 0.8988。

12. 带入公式计算面积：面积 = 1/2 * 36.9658 * 49 * 0.8988。

13. 计算结果为：面积 ≈ 814.091 yd²。

14. 将结果四舍五入到最接近的十分位：面积 = 814.1 yd²。

n. 经过上述推理，最终得出答案为814.1 yd²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形UVW中，角WVU、角VWU和角WUV是三角形UWV的三个内角，根据三角形内角和定理，角WVU + 角VWU + 角WUV = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "任意三角形UVW中，边UW、VW和UV分别对应角∠V、∠U和∠W。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：UW/sin(∠V)=VW/sin(∠U)=UV/sin(∠W) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。已知边长UV = 49 yd及对角∠W = 37°，可以求解边长VW及其对角∠U = 27°。即：49 / sin(37°) = VW / sin(27°)，解得：VW ≈ 49 * sin(27°) / sin(37°) ≈ 36.9658 yd。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形UVW中，边WV和边UV分别为u和w，角WVU为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * WV * UV * sin(WVU)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-179d671f4fce8b786809932cbf076c08-img-ad166192453a439dab586941a4131ba6.png", "question": "求 \\$\\overline{TW}\\$ 的长度？\n\nTW= \\$\\\\Box\\$\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "TW=16", "process": "1. 作圆心O点，连接OU、OV、OT、OW，根据圆心角定义得，∠UOV、∠TOW是圆心角，由图知弧TW 与弧 UV相等，根据圆心角的性质，得∠UOV=∠TOW，已知线段 TW和 UV是同一圆上的弦。

2. 根据圆心角的定理2，如果两个弧相等，则弦长也相等，因此线段 TW 和 UV相等。

3. 在题目中已经标明线段 UV= 16\\$。

4. 因此，根据步骤 2 中的结论，TW=UV= 16。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 16。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Properties of Central Angles", "content": "The measure of a central angle is equal to the measure of the arc that it intercepts.", "this": "圆心角∠UOV所对的圆弧为弧UV。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧UV的度数相等。同理圆心角∠TOW的度数与所对弧TW的度数相等，由图知，弧TW 与弧 UV相等，那么∠UOV=∠TOW。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "在本题图中，同圆内的弧UV与TW相等，则所对的圆心角UOV和圆心角TOW相等，所对的弦UV与TW相等。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆O中，点U、V、T、W是圆上的一点，圆心是点O。连线OU和OV组成的角∠UOV称为圆心角。连线OT和OW组成的角∠TOW称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点 T 和 W，弧 TW是连接这两点的一段曲线。圆上有两点 U 和 V，弧 UV是连接这两点的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点 T 和点 W 是圆上的任意两点，线段 TW连接了这两个点，所以线段 TW是圆的弦。点 U 和点 V 是圆上的任意两点，线段 UV 连接了这两个点，所以线段 UV是圆的弦。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7dc5cad236d779eb0c9a7e66f189688a-img-1f060f6a36e547e19b62ca0792cf09c2.png", "question": "求 \\$\\overline{BE}\\$ 的长度？\n\nBE= \\$\\\\Box\\$", "answer": "BE=48", "process": "1. 如图所示，设圆心为O，圆中有弧BE和CD，已知它们度数均为75°，由圆心角性质可知，对应的圆心角∠BOE和∠COD相等，均为75°。

2. 依据圆心角定理，弦BE＝弦CD＝48

3.经过上述推理，最终得出答案为BE= 48。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点B和点E是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OE组成的角∠BOE称为圆心角。同样，点C和点D是圆上的两点，连线OC和OD组成的角∠COD称为圆心角。∠BOE和∠COD均为75°。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点B和E，弧BE是连接这两点的一段曲线。同样地，圆上有两点C和D，弧CD是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧BE是圆上两点B和E之间的一段曲线，弧CD是圆上两点C和D之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "圆中，点B和点E是圆上的任意两点，线段BE连接了这两个点，所以线段BE是圆的弦。同理，点C和点D是圆上的任意两点，线段CD连接了这两个点，所以线段CD是圆的弦。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "在本题图中，弧BE所对圆心角是角BOE，弧CD度数=角COD度数。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "角BOE和角COD是同圆内相等的两个圆心角，所以相对的弧BE与CD相等，相对的弦BE与CD相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-598f8be144b4fccd534c4945dd302165-img-0c63e1972e8b4ff2ad9ce64292c45829.png", "question": "求△VWX的面积。 \n\n请将答案写成整数或四舍五入到十分位的十进制数。\n \\$ox\\$ m ^ 2", "answer": "11.5 m ^ 2", "process": "1. 已知：m∠V = 26°，m∠X = 120°，以及边 XW = 9m，根据三角形内角和定理，得知三角形内角和等于180°。

2. 设 m∠W 为未知数，则有 m∠V + m∠X + m∠W = 180°，代入已知角度得：26° + 120° + m∠W = 180°。

3. 计算得到：146° + m∠W = 180°，整理出 m∠W = 180° - 146° = 34°。

4. 根据正弦定理，三角形中边与其对角的正弦值之比相等，所以有 XW/sin(m∠V) = VW/sin(m∠X)，代入已知数值得：XW/sin(26°) = 9/sin(120°)。

5. 计算正弦值：sin(26°) ≈ 0.4383，sin(120°) ≈ 0.8660，代入计算得：XW/0.4383 = 9/0.8660。

6. 求解 XW，通过交叉相乘得到：XW ≈ 9 * 0.4383 / 0.8660 ≈ 4.5550，得出边 XW = 4.5550 m。

7. 现已求出两边 VW，XW 及其夹角 m∠W = 34°，可以用三角形面积公式计算面积：面积 = 1/2 * VW * XW * sin(m∠W)。

8. 代入已知数值和计算结果，面积 = 1/2 * 4.5550 * 9 * sin(34°)。

9. 计算 sin(34°) ≈ 0.5591，面积 = 1/2 * 4.5550 * 9 * 0.5591 ≈ 11.4601。

10. 四舍五入到小数点后一位得，三角形 △VWX 的面积约为 11.5 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形 △VWX 是由三个非共线点 V、W、X 及其连接线段 VW、WX、XV 组成的几何图形。点 V、W、X 分别是三角形的三个顶点，线段 VW、WX、XV 分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "三角形 △VWX 中，边 VW 和边 XW 分别为 a 和 b，角 ∠VWX 为这两边的夹角 C。根据三角形面积公式，三角形 △VWX 的面积 S 可以表示为 S = (1/2) * a * b * sin(C)，即 S = (1/2) * VW * XW * sin(∠VWX)。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形VWX中，角V、角X和角W是三角形VWX的三个内角，根据三角形内角和定理，角V + 角X + 角W = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "在本题图中，任意三角形VWX中，边XW、VW和VX分别对应角∠V、∠X和∠W。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：XW/sin(∠V)=VW/sin(∠X)=VX/sin(∠W) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2a7eb61328a071055be23a1f48d09513-img-c1d3bf002173438aae6c99234d74db23.png", "question": "求△TUV的面积。\n\n将答案写成整数或四舍五入到十分位的小数。\n \\$ox\\$ m ^ 2", "answer": "85.0 m ^ 2", "process": "1. 已知 m∠V = 129°，m∠U = 24°，以及边 TV = 14 m。

2. 我们需要计算 m∠T。根据三角形内角和定理，三角形的内角之和为 180°。

3. 由 m∠V + m∠U + m∠T = 180°，代入已知的角度，得到 129° + 24° + m∠T = 180°。

4. 解方程 129° + 24° + m∠T = 180°，得到 m∠T = 27°。

5. 接下来，使用正弦定理求解边长 UT，即 V 点对边的长度。正弦定理为 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) 适用于任何三角形 ABC。

6. 对于三角形 TUV，已知边 TV 的长度（14 m）和对应角 U（24°），以及角 V（129°），利用正弦定理 TV/sin(U) = UT/sin(V)，即 14/sin(24°) = UT/sin(129°)。

7. 计算得到 sin(24°) ≈ 0.4067，sin(129°) ≈ 0.7771。

8. 将值代入方程，14/0.4067 = UT/0.7771，解这个方程得到 UT ≈ 26.7504 m。

9. 现在我们知道了两边 TV = 14 m, UT ≈ 26.7504 m，以及夹角 ∠T = 27°。

10. 使用三角形面积公式（使用正弦函数），对于两边和夹角已知：Area = 1/2·ab·sin(C)，即 Area = 1/2·TV·UT·sin(T)。

11. 代入三个值 Area = 1/2·14·26.7504·sin(27°), 其中 sin(27°) ≈ 0.4540。

12. 计算面积 Area = 1/2·14·26.7504·0.4540 ≈ 85.0128 m²。

13. 四舍五入到最近的十分位，最后计算出三角形 TUV 的面积约为 85.0 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形TUV中，角∠T、角∠U和角∠V是三角形TUV的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠T + 角∠U + 角∠V = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "三角形 TUV中，边 TU、TV 和 UV分别对应角 ∠V、∠U 和 ∠T。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：VT/sin(∠U) = UT/sin(∠V) = UV/sin(∠T) = 2r = D（其中 r 为外接圆半径，D 为直径）。已知 TV = 14 m，∠U = 24°，∠V = 129°，可以求边 UT的长度。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形 TUV 中，边 VT 和边 TU 分别为 14 m 和 26.7504 m，∠T 为这两边的夹角 27°。根据三角形面积公式，三角形 TUV 的面积 S 可以表示为 S = (1/2) * a * b * sin(C)，即 S = (1/2) * 14 * 26.7504 * sin(27°)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ee358b65b93fea8b9e69edc8f2b82e3b-img-2b5d300205ed42f798ea681eb77a6565.png", "question": "求△VWX的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n \\$ox\\$ yd ^ 2", "answer": "296.5 yd ^ 2", "process": "1. 已知 \\( m \\angle W = 21^\\circ \\), \\( m \\angle V = 121^\\circ \\)，以及边 \\( WX = 48 \\) yd。要求三角形 \\( \\triangle VWX \\) 的面积，我们需要两个边长及其夹角。

2. 首先确定 \\( \\angle X \\) 的度数，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为 \\( 180^\\circ \\)。

3. 设 \\( m \\angle X = x \\)，根据方程 \\( m \\angle W + m \\angle V + m \\angle X = 180^\\circ \\)，我们有 \\( 21^\\circ + 121^\\circ + x = 180^\\circ \\)。

4. 计算得出 \\( 142^\\circ + x = 180^\\circ \\)，因此 \\( x = 38^\\circ \\)，即 \\( m \\angle X = 38^\\circ \\)。

5. 现在使用正弦定理求出 \\( \\angle W \\) 对边 \\( w \\) 的长度，公式为 \\( \\frac{v}{\\sin(V)} = \\frac{w}{\\sin(W)} \\)。

6. 替入已知值，\\( \\frac{48}{\\sin 121^\\circ} = \\frac{w}{\\sin 21^\\circ} \\)。

7. 计算 \\( \\sin 121^\\circ \\approx 0.8571 \\) 和 \\( \\sin 21^\\circ \\approx 0.3583 \\)，得到 \\( \\frac{48}{0.8571} = \\frac{w}{0.3583} \\)。

8. 解得 \\( 55.9984 = \\frac{w}{0.3583} \\)，因此 \\( w \\approx 20.066 \\) yd。

9. 根据已知的两个边长 \\( w \\approx 20.066 \\) yd、\\( v = 48 \\) yd，以及夹角 \\( m \\angle X = 38^\\circ \\)，应用三角形面积公式 \\( \\text{Area} = \\frac{1}{2}ab\\sin(C) \\)。

10. 替入对应值：面积 \\( = \\frac{1}{2} \\times 20.066 \\times 48 \\times \\sin 38^\\circ \\)。

11. 计算得出 \\( \\sin 38^\\circ \\approx 0.6156 \\)，所以面积 \\( \\approx \\frac{1}{2} \\times 20.066 \\times 48 \\times 0.6156 = 296.4631 \\text{ yd}^2 \\)。

12. 将得到的面积四舍五入到小数点后一位，得到 \\( 296.5 \\text{ yd}^2 \\)。

经过上述推理，最终得出答案为 296.5 \\text{ yd}^2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形 \\(\\triangle VWX\\) 中，\\(\\angle W\\), \\(\\angle V\\) 和 \\(\\angle X\\) 是三角形 \\(\\triangle VWX\\) 的三个内角，根据三角形内角和定理，\\(\\angle W + \\angle V + \\angle X = 180^\\circ\\)。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "在本题图中，三角形WVX中，边WV、VX和WX分别对应角X、W和V。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：WX/sin(V)=WV/sin(X)=VX/sin(W) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形WVX中，边VX和边WX分别为a和b，角X为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形WVX的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * WX * VX * sin(X)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c37522eef18c3bf8a643eef1d51fc255-img-c9d4e33c8ca6431aa1df9354db6e6b05.png", "question": "求 \\$rown{UV}\\$ 的度数是多少？\n\nm \\$rown{UV}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{UV}\\$ =53°", "process": "1. 观察图中圆内的两条弦，设圆心角为O，弦VU与弦WT长相等，分别为22个单位。

2. 依据圆心角定理: 同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

3.弦VU与弦WT所对的弧分别为弧VU和弧WT，由步骤2可知，弧VU＝弧WT＝53°,

4. 经过上述推理，最终得出答案为53°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点V和点W是圆上的任意两点，线段VW连接了这两个点，所以线段VW是圆的弦。同理，点U和点T是圆上的任意两点，线段UT连接了这两个点，所以线段UT是圆的弦。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点T和W，弧TW是连接这两点的一段曲线。同样，圆上有两点U和V，弧UV是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧TW是圆上两点T和W之间的一段曲线，弧UV是圆上两点U和V之间的一段曲线。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弦WT与VU相等，则所对的圆心角WOT和圆心角VOU相等，所对的弧WT与VU相等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4127c48db7f688ecce648125a208fd3c-img-aa8dbe1e0ff943c8a5ce0d92398895ef.png", "question": "求△UVW的面积。\n\n将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n \\$ox\\$ km ^ 2", "answer": "313.7 km ^ 2", "process": "1. 已知三角形UVW中的角的测量：∠ V = 21° 和 ∠ U = 28°，设VW长为u，UW长为v，以及边长 u = 33 km。

2. 通过多边形内角和定理，三角形的内角和为180°，所以 ∠ V + ∠ U + ∠ W = 180°。

3. 代入已知角度值：21° + 28° + ∠ W = 180°，可以求得 ∠ W = 180° - 49° = 131°。

4. 现在使用正弦定理来求解边长 v。根据正弦定理，u/sin(U) = v/sin(V)，因此 33/sin(28°) = v/sin(21°)。

5. 计算正弦值：sin(28°) ≈ 0.4695 和 sin(21°) ≈ 0.3584。

6. 代入计算：33/0.4695 ≈ v/0.3584，因此 v ≈ 33/0.4695 * 0.3584 ≈ 25.1903 km。

7. 现在已经得到边长 v 和边长 u 以及所包含的角 ∠ W，可以使用:三角形面积公式（使用正弦函数）求解面积：Area = 1/2 * u * v * sin(W)。

8. 计算正弦值：sin(131°) ≈ 0.7547。

9. 代入面积公式：Area = 0.5 * 33 * 25.1903 * 0.7547 ≈ 313.6877 km²。

10. 将面积结果四舍五入到最接近的十分位：313.7。

11. 经过上述推理，最终得出答案为313.7平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形UVW是由三个非共线点U、V、W及其连接线段UV、VW、WU组成的几何图形。点U、V、W分别是三角形的三个顶点，线段UV、VW、WU分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Measurement of Angle", "content": "Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.", "this": "角 m∠V = 21°, 角 m∠U = 28°, 可以求得 角 m∠W = 180°-21°-28°=131°。"}, {"name": "Polygon Interior Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of a polygon is equal to (n - 2) * 180°, where n represents the number of sides of the polygon.", "this": "三角形UVW中，UVW是一个有3条边的多边形，其中n表示多边形的边数。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (3-2) × 180°。通过已知的两内角的度数可以计算出第三个内角：m∠W = 180° - (m∠U + m∠V) = 180° - 49° = 131°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "任意三角形UVW中，边UV、VW和WU分别对应角∠W、∠U和∠V。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：UV/sin(∠W)=VW/sin(∠U)=WU/sin(∠V) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。在本题中，通过正弦定理可以求得边长VW。已知边UV和其对角的正弦值：UV/sin(∠W) = VW/sin(∠U)，即33/sin(28°) = VW/sin(21°)。然后通过正弦值的计算可以得出VW ≈ 25.1903 km。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形UVW中，边UV和边VW分别为u和v，角∠UVW为这两边的夹角W。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积S可以表示为S = (1/2) * u * v * sin(W)，即S = (1/2) * 33 * 25.1903 * sin(131°) ≈ 313.6877 km²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2045919d4fc4b97256ea8ba28c19c2af-img-b6b91da7ae4b455f9ff6b662c34493bc.png", "question": "求△XYZ的面积。请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "63.4 mm ^ 2", "process": "1. 已知 ∠Z=23° 和 ∠Y=28°，通过三角形内角和定理（即三角形的三个内角之和为180°），可以求得 ∠X。

2. 三角形内角和定理表示：∠X + ∠Y + ∠Z = 180°。

3. 将已知角度代入：∠X + 28° + 23° = 180°。

4. 计算得到 ∠X = 180° - 28° - 23° = 129°。

5. 设∠Y所对的边为y，∠X所对边为x，∠Z所对边为z，现在已知 y=14mm，∠Y=28° 和 ∠Z=23°，根据正弦定理可以求得 z 的值。

6. 正弦定理表示：y/sin(∠Y) = z/sin(∠Z)。

7. 将已知边长和角度代入正弦定理：14/sin(28°) = z/sin(23°)。

8. 解方程得 z = [14 * sin(23°)] / sin(28°)。

9. 计算得到 z ≈ 11.65 mm。

10. 现在已知 z ≈ 11.65 mm，y = 14 mm 和 ∠X = 129°，因此可以使用三角形的面积公式（使用正弦函数）计算面积。

11. 三角形面积：S= (1/2) * z * y * sin(∠X)。

12. 将已知值代入面积公式：S = (1/2) * 11.65 * 14 * sin(129°)。

13. 通过计算，得到 S ≈ 63.4 mm^2。

14. 经过上述推理，最终得出答案为63.4 mm^2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形XYZ中，角X、角Y和角Z是三角形XYZ的三个内角，根据三角形内角和定理，角X + 角Y + 角Z = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "在本题图中，任意三角形XYZ中，边YZ、XY和XZ分别对应角∠X、∠Y和∠Z。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：YZ/sin(∠X)=XY/sin(∠Y)=XZ/sin(∠Z) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。通过14/sin(28°) = z/sin(23°)，得出 z ≈ 11.65 mm。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形XYZ中，边XY和边YZ分别为11.65 mm和14 mm，角∠XYZ为这两边的夹角129°。根据三角形面积公式，三角形XYZ的面积S可以表示为S = (1/2) * 11.65 * 14 * sin(129°)，即S = (1/2) * 11.65 * 14 * sin(129°)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1bc67d5c0a78aa83e5105ee2b3509a60-img-ff7d0de144824f80a5adccb28fdd6249.png", "question": "求TU和△UVW的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\nTU= \\$ox\\$ mmArea= \\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "TU=13.1 mmArea=314.4 mm ^ 2", "process": "1. 已知△TUW是直角三角形，其���∠T是直角，根据三角函数的定义，对于直角三角形中的任意非直角，正弦函数值等于对边与斜边的比值。

2. 在△TUW中，已知∠W = 25°，UW = 31 mm。根据正弦函数定义，sin(W) = 对边TU / 斜边UW，即 sin(25°) = TU / 31。

3. 计算sin(25°)，得到 sin(25°) ≈ 0.4226。

4. 根据sin(25°) = TU / 31，得到 TU = 31 × sin(25°) ≈ 31 × 0.4226 ≈ 13.1 mm。

5. 确定△UVW的面积。已知VW = 48 mm，TU为△UVW的高。

6. 根据三角形面积公式：面积 = 1/2 × 底 × 高，得：

7. △UVW的面积 = 1/2 × VW × TU ≈ 1/2 × 48 × 13.1 = 314.4 平方毫米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为TU = 13.1 mm，△UVW的面积为314.4 mm²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形TUW中，角∠UTW是直角（90度），因此三角形TUW是一个直角三角形。边TU和边TW是直角边，边UW是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形△TUW中，角∠W是锐角，边TU是角∠W的对边，边UW是斜边。根据正弦函数定义，角∠W的正弦值等于对边TU与斜边UW的比值，即sin(∠W) = TU / UW。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形UVW中，边VW是底，线段UT是该底上的高，所以三角形UVW的面积等于底VW乘以高UT除以2，即面积 = (VW* UT) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e07efd242136cdf9165c5ef4f5592d8c-img-83b2761715e6484cb2608ecd57b539c5.png", "question": "求△UVW的面积。\n\n请将答案写为整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\n \\$ox\\$ cm ^ 2", "answer": "86.4 cm ^ 2", "process": "1. 已知角 V 的度数为 20°，角 W 的度数为 42°，以及边 WU = 10 cm。为了求出三角形 △UVW 的面积，我们需要知道两边的长度以及夹角的度数。

2. 先求角 U 的度数。根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为 180°。因此，角 U 的度数可以通过公式 ∠U = 180° - ∠V - ∠W = 180° - 20° - 42° = 118° 得出。

3. 接下来利用正弦定理求边UV的长度。正弦定理表述为一个三角形中，任意一边与其对角的正弦比值等于其他边与其对角的正弦比值，因此 WU/sin(∠V) = UV/sin(∠W)。代入已知数值得 10/sin(20°) = UV/sin(42°)。

4. 计算得到 sin(20°) ≈ 0.3420 和 sin(42°) ≈ 0.6691，然后代入得到 10/0.3420 = UV/0.6691。

5. 继续解方程得到 UV = (10 × 0.6691) / 0.3420 = 19.564 cm。

6. 我们现在得到边长 UV = 19.564 cm，边长 WU = 10 cm，夹角 U 的度数是 118°。

7. 使用三角形面积公式 A = 1/2 × a × b × sin(C)，其中 a 和 b 是两条边，C 是它们的夹角。因此，△UVW 的面积 A = 1/2 × 19.564 × 10 × sin(118°)。

8. 计算 sin(118°) ≈ 0.8829，然后代入得面积 A = 1/2 × 19.564 × 10 × 0.8829 = 86.3704。

9. 对计算结果 86.3704 进行四舍五入，最后得到三角形 △UVW 的面积为 86.4 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中， ∠V 是由射线 UV 和 VW 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 V。这个共同的端点 V 称为∠V 的顶点，而射线 UV 和 VW 称为 ∠V 的边。∠W 是由射线 UW 和 VW 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 W。这个共同的端点 W 称为 ∠W 的顶点，而射线 UW 和 VW 称为∠W 的边。∠U 是由射线 UV 和 UW 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 U。这个共同的端点 U 称为∠U 的顶点，而射线 UV 和 UW 称为 ∠U 的边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "三角形UVW中，角V、角W和角U分别是20°、42°和118°。根据正弦函数定义，sin(20°) ≈ 0.3420, sin(42°) ≈ 0.6691, sin(118°) ≈ 0.8829。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形UVW中，角V、角W和角U是三角形UVW的三个内角，根据三角形内角和定理，角V + 角W + 角U = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "△UVW中，边UV、VW和WU分别对应∠W、∠U和∠V。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：UV/sin(∠W)=VW/sin(∠U)=WU/sin(∠V) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。在本题中，利用正弦定理我们有 UV/sin(∠W) = WU/sin(∠V)，代入已知数值得 10/sin(20°) = UV/sin(42°)。通过计算得到边 UV ≈ 19.564 cm。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形UVW中，边WU和边UV分别为u和w，角WUV为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积S可以表示为S = (1/2) * u * w * sin(WUV)，即S = (1/2) * WU * VU * sin(WUV)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2aeb0f292cc64208cc0007f78a32b7df-img-a188c4a38ea749f0bd794ad32fdd1395.png", "question": "求△TUV的面积。\n\n将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\n \\$ox\\$ cm ^ 2", "answer": "16.4 cm ^ 2", "process": "1. 已知m∠V=20°，m∠U=113°，以及边TV的长为11 cm。

2. 根据三角形内角和定理，三角形内角的和为180°，即m∠V + m∠U + m∠T = 180°。

3. 将已知角度代入公式，20° + 113° + m∠T = 180°，得到m∠T = 180° - 133° = 47°。

4. 确定m∠T=47°后，三角形△TUV的三个内角分别为m∠V=20°，m∠U=113°，m∠T=47°。

5. 利用正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。在本题中，已知TV=11 cm（对应m∠U=113°），TU=未知（对应m∠V=20°）。应用正弦定理，得到TU/sin(20°) = 11/sin(113°)。

6. 求出sin(113°) ≈ 0.9205 和 sin(20°) ≈ 0.3420，将其代入正弦定理公式，TU/0.3420 ≈ 11/0.9205。

7. 解上式得：TU ≈ 11 * 0.3420 / 0.9205 ≈ 4.0869 cm。

8. 现在知道边长TU ≈ 4.0871 cm，边长TV = 11 cm，以及包括的角m∠T=47°。

9. 根据三角形面积公式（使用正弦函数）：Area = 1/2 * TU*TV * sin(T)。

10. 将已知量代入公式得：Area = 1/2 * 4.0869 * 11 * sin(47°)。

11. 计算得出sin(47°) ≈ 0.7314，进一步得Area ≈ 1/2 * 4.0869 * 11 * 0.7314 ≈ 16.4404 cm²。

12. 最终，将面积四舍五入至小数点后一位，得出△TUV的面积为16.4 cm²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形TUV中，边TU和边TV分别为a和b，角UTV为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形TUV的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * TU * TV * sin(UTV)。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形TUV中，角V、角U和角T是三角形TUV的三个内角，根据三角形内角和定理，角V + 角U + 角T = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "在本题图中，任意三角形△TUV中，边TU、TV和VU分别对应角∠V、∠U和∠T。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：TU/sin(∠V)=TV/sin(∠U)=VU/sin(∠T) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-497154471de765255c3301c0b72096d9-img-b88f4ee38ba8483faee10f84b88e3ee7.png", "question": "求WZ和△WXY的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\nWZ= \\$ox\\$ m\n面积= \\$ox\\$ m ^ 2", "answer": "WZ=3.7 mArea=22.2 m ^ 2", "process": "1. 已知角 WZY 是直角三角形中的一个直角，WY=6米，角 Y=38°。

2. 根据正弦函数定义，在直角三角形 WYZ 中，sin(angle Y) = 对边/斜边，即 sin(Y) = WZ/WY。

3. 代入已知条件 sin(38°) = WZ/6，根据计算，sin(38°)大约为0.6157。

4. 解方程 WZ/6 = 0.6157，可以得到 WZ ≈ 3.6942 米。

5. 我们继续求△WXY的面积。此三角形的底边为 XY=12 米，高为 WZ。

6. 根据三角形的面积公式，Area = 1/2 * base * height，即 Area = 1/2 * XY * WZ。

7. 代入具体值，得到 Area = 1/2 * 12 * 3.6942。

8. 计算得 Area ≈ 22.1652 平方米。

9. 对面积结果取小数点后一位，得到 Area ≈ 22.2 平方米。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 WZ ≈ 3.7 米，△WXY 的面积大约为 22.2 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角WZY是直角（90度），因此三角形WYZ是一个直角三角形。边WZ和边YZ是直角边，边WY是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形WYZ中，角WYZ是锐角，边WZ是角WYZ的对边，边WY是斜边。根据正弦函数定义，角WYZ的正弦值等于对边WZ与斜边WY的比值，即sin(WYZ) = WZ / WY。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形WXY中，边XY是底，线段WZ是该底上的高，所以三角形WXY的面积等于底XY乘以高WZ除以2，即面积 = (XY* WZ) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-046073a786006530377a43fdddfbd7dc-img-9b8bf51fdfa84ede81d981a0b9a3cf07.png", "question": "求WY和△VWX的面积。 \n\n将你的答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\nWY= \\$ox\\$ mm\nArea= \\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "WY=13.1 mmArea=91.7 mm ^ 2", "process": "1. 从题目图示中，已知在△VWY中，∠VYW为90°，那么△VWY是一个直角三角形。

2. 使用正弦函数定义: 在一个直角三角形中，sin(θ) = 对边 / 斜边。

3. 在△VWY中，已知∠WVY = 55°，斜边VW = 16 mm，需要求出对边WY。

4. 根据正弦定义，sin(55°) = WY / 16。

5. 代入sin(55°) ≈ 0.8191，得到0.8191 = WY / 16。

6. 通过移项得到WY = 0.8191 × 16。

7. 计算得到WY ≈ 13.1 mm。

8. 现在计算△VWX的面积。由于YW是△VWX中的高，所以△VWX的底边为VX = 14 mm，且高WY = 13.1 mm。

9. 使用三角形面积公式: 面积 = 1/2 × 底 × 高。

10. 代入底为14 mm，高为13.1 mm，得到面积 = 1/2 × 14 × 13.1。

11. 计算得到面积 ≈ 91.7 mm²。

12. 经过上述推理，最终得出答案为WY ≈ 13.1 mm，面积 ≈ 91.7 mm²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形△VWY中，∠WVY是锐角，边WY是∠WVY的对边，边VW是斜边。根据正弦函数定义，角∠WVY的正弦值等于对边WY与斜边VW的比值，即sin(55°) = WY / VW。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形VWY中，角VYW是直角（90度），因此三角形VYW是一个直角三角形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-040a8d052f7d4830ca0f51d583f77be2-img-5259995ddb674779b816f1dc972ae2cf.png", "question": "求 VY 和 △WXY 的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\nVY= \\$ox\\$ km\nArea= \\$ox\\$ km ^ 2", "answer": "VY=2.4 kmArea=14.4 km ^ 2", "process": "1. 已知角 ∠VXY = 90°，说明△VXY 是直角三角形。

2. 在直角三角形△VXY中，已知 ∠XYV = 20°，XY = 7 km。根据正弦定义，sin ∠VXY= 对边 (VY) / 斜边 (XY)。

3. 带入已知条件计算，sin 20° = VY / 7。

4. 查表或计算得 sin 20° ≈ 0.3420，所以 0.3420 = VY / 7。

5. 变形求解 VY 得 VY = 7 × 0.3420 ≈ 2.394 km。

6. 计算△WXY的面积。已知 WX = 12 km，所以面积 = 1/2 × WX × VY。

7. 代入数值，面积 = 1/2 × 12 × 2.394 = 14.364 km²。

8. 将面积结果四舍五入到小数点后1位得到 14.4 km²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 VY = 2.4 km, Area = 14.4 km²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形VXY中，角VXY是直角（90度），因此三角形VXY是一个直角三角形。边VY和边VX是直角边，边XY是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形VXY中，角∠XYV是锐角，边VY是角∠XYV的对边，边XY是斜边。根据正弦函数定义，角∠YXV的正弦值等于对边VY与斜边XY的比值，即sin(∠YXV) = VY / XY。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "边WX是底，线段YV是该底上的高，所以三角形WXY的面积等于底WX乘以高YV除以2，即面积 = (WX* YV) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7d57f7c6a8150fcafc001411c13b0d00-img-35cd67e27b0f48aa8d7d6673349fefcb.png", "question": "求 VY 和 △WXY 的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位。\nVY= \\$ox\\$ mm\nArea= \\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "VY=31.3 mmArea=438.2 mm ^ 2", "process": "1. 已知△VXY是直角三角形，且∠VXY=67°，边XY的长度为34毫米。

2. 为便于计算∠XVY对边VY的长度，我们依据正弦定义：在直角三角形中，某个锐角的正弦值等于该角对边的长度除以斜边的长度。

3. 因此，sin(∠VXY) = VY / XY。

4. 将已知数值代入，sin(67°) = VY / 34。

5. 查找或计算sin(67°)约等于0.9205，带入上式，得到0.9205 = VY / 34。

6. 解方程得到VY = 0.9205 * 34 = 31.2971毫米。

7. 我们近似取VY = 31.3毫米。

8. 接下来，计算△WXY的面积，已知WX=28毫米。

9. 根据三角形面积公式：面积 = 1/2 * 底 * 高，其中底是WX，高是VY，从而面积 = 1/2 * WX * VY。

10. 代入数值得到：面积 = 1/2 * 28毫米 * 31.3毫米。

11. 计算得出：面积 = 438.2平方毫米。

12. 综上所述，VY的长度为31.3毫米，△WXY的面积为438.2平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形VXY中，角∠XVY是直角（90度），因此三角形VXY是一个直角三角形。边VX和边VY是直角边，边XY是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形VXY中，角∠VXY是锐角，边VY是角∠VXY的对边，边XY是斜边。根据正弦函数定义，角∠VXY的正弦值等于对边VY与斜边XY的比值，即sin(∠VXY) = VY / XY。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e4acd17cf09e486772138cb2ac1b8e3c-img-eede04d1850643cd92fcff8e49d78676.png", "question": "求△XYZ的面积。请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\\$ox\\$ m ^ 2", "answer": "2.8 m ^ 2", "process": "1. 已知 m ∠ Y = 26°，m ∠ X = 132°。根据三角形内角和定理，三角形内角之和为 180°，得出 m ∠ Y + m ∠ X + m ∠ Z = 180°。

2. 代入已知角度，得到 26° + 132° + m ∠ Z = 180°。

3. 求解以上方程，得到 158° + m ∠ Z = 180°，因此 m ∠ Z = 22°。

4. 根据正弦定理，计算边 ZX 的长度 |ZX| = y。正弦定理公式为 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中 a、b、c 分别为三角形的边长，对应的 A、B、C 为对边的角度。

5. 应用已知条件并代入正弦定理 x/sin(X) = y/sin(Y)。

6. 已知 |YZ| = 5 m，是 ∠ X 的对边，对应角度 ∠ X = 132°和 ∠ Y = 26°。

7. 代入数值：5/sin(132°) = y/sin(26°)。

8. 计算 sin(132°) ≈ 0.7431 和 sin(26°) ≈ 0.4384。

9. 整理得到 5/0.7431 = y/0.4384。

10. 解方程得到 y = 5 * (0.4384/0.7431) ≈ 2.9498。

11. 使用三角形面积公式（使用正弦函数）计算 ∆XYZ，面积公式为 (1/2)ab⋅sin(C)，其中 a、b 为已知边，C 为夹角。

12. 在本题中 a = |YZ| = 5 m，b ≈ 2.9498 m，夹角 C 为 ∠ Z = 22°。

13. 代入面积公式，得到面积 = (1/2) * 5 * 2.9498 * sin(22°)。

14. 计算 sin(22°) ≈ 0.3746。

15. 计算面积 = 0.5 * 5 * 2.9498 * 0.3746。

16. 进行计算得到面积 ≈ 2.7625。

17. 将结果四舍五入至小数点后一位，面积 ≈ 2.8 m²。

18. 经过上述推理，最终得出答案为 2.8 m²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角 ∠XYZ 是由射线 XY 和 YZ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点Y。这个共同的端点 Y 称为角 ∠XYZ 的顶点，而射线 XY 和 YZ 称为角 ∠XYZ 的边。角 ∠YXZ 是由射线 YX 和 XZ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点X。这个共同的端点 X 称为角 ∠YXZ 的顶点，而射线 YX 和 XZ 称为角 ∠YXZ 的边。角 ∠XZY 是由射线 XZ 和 YZ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点Z。这个共同的端点 Z 称为角 ∠XZY 的顶点，而射线 XZ 和 YZ 称为角 ∠XZY 的边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "在本题图中，三角形XYZ中，角∠X、角∠Y和角∠Z是三角形XYZ的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠X + 角∠Y + 角∠Z = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "任意三角形△XYZ中，边XZ、YZ和XY分别对应角∠Y、∠X和∠Z。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：XZ/sin(∠Y)=YZ/sin(∠X)=XY/sin(∠Z) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。在本题中，已知对边YZ=5 m，对应角度∠X=132°；对边XZ=y对应角度∠Y=26°，应用正弦定理可得5/sin(132°)=y/sin(26°)。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "边ZY和边XZ分别为a和b，角XZY为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形XYZ的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) *ZY *XZ * sin(XZY)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f9fd324dac08289fe9850fe0e10f3844-img-fa6363e053e74880bc357d4a1cd632b3.png", "question": "求TV和△UVW的面积。\n\n将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\nTV= \\$ox\\$ m\nArea= \\$ox\\$ m ^ 2", "answer": "TV=5.7 mArea=51.3 m ^ 2", "process": "1. 已知△TUV是一个直角三角形，其中∠UTV为90°，∠VUT为26°，边长UV=13米。

2. 根据正弦函数定义，sin(θ)表示对边与斜边之比。因此，对于△TUV，我们有sin(∠VUT)=TV/UV。

3. 将已知信息代入，sin(26°)=TV/13。

4. 计算出sin(26°)=0.4384（四舍五入取小数点后四位），因此我们得到0.4384=TV/13。

5. 解方程0.4384=TV/13，得出TV=0.4384×13=5.6992米。

6. 因此，TV细化到小数点后第一位为5.7米。

7. 现在计算△UVW的面积。我们将UW看作三角形的底，TV看作高。所以，△UVW的面积A为：A=1/2×UW×TV。

8. 已知UW=18米，TV=5.7米，因此面积A=1/2×18×5.7=51.3平方米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为TV=5.7米，△UVW的面积为51.3平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形TUV中，角VTU是直角（90度），因此三角形TUV是一个直角三角形。边TU和边TV是直角边，边UV是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形TUV中，角∠VUT是锐角，边TV是角∠VUT的对边，边UV是斜边。根据正弦函数定义，角∠VUT的正弦值等于对边TV与斜边UV的比值，即sin(∠VUT) = TV / UV。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形UVW中，边UW是底，线段TV是该底上的高，所以三角形UVW的面积等于底UW乘以高TV除以2，即面积 = (UW * TV) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-47856be51921b3b3990c87ba113366eb-img-34726b5269da43d99d10763de651c0f2.png", "question": "求 TU 和 △UVW 的面积。 \n\n请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\nTU= \\$ox\\$ km\nArea= \\$ox\\$ km ^ 2", "answer": "TU=10.6 kmArea=243.8 km ^ 2", "process": "1. 已知 △TUW 为直角三角形，直角位于∠WTU，UW = 20 km，∠W = 32°。

2. 由于角 ∠W 是直角三角形的一个角且不是直角，因此可以使用正弦函数定义：sin(∠W) = 对边 / 斜边 = TU / UW。

3. 代入已知值 sin(32°) = TU / 20。

4. 查表或使用计算器得到 sin(32°) ≈ 0.5299。

5. 所以 TU = 20 * sin(32°) ≈ 20 * 0.5299 = 10.598 km。

6. 计算△UVW 的面积，已知 VW = 46 km，TU 是三角形的高。

7. 使用三角形面积公式：面积 = 1/2 * 底 * 高。

8. 代入已知值：面积 = 1/2 * 46 * 10.598 ≈ 243.8 km²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 TU = 10.6 公里和 △UVW 的面积为 243.8 平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "直角三角形 TUW 中，∠TWU 是锐角，边 TU 是角 ∠TWU 的对边，边 UW 是斜边。根据正弦函数定义，角 ∠TUW 的正弦值 等于对边 TU 与斜边 UW 的比值，即 sin(32°) = TU / UW。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形TUW中，角∠UTW是直角（90度），因此三角形TUW是一个直角三角形。边TU和边TW是直角边，边UW是斜边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5a2ec9ca7f5e14bdac322e19dcbf5ae8-img-5fb5d6a9ce7148d1b906d793ecdf6285.png", "question": "求WX和△XYZ的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\nWX= \\$ox\\$ yd\nArea= \\$ox\\$ yd ^ 2", "answer": "WX=36.9 ydArea=738.0 yd ^ 2", "process": "1. 通过观察三角形△WXZ，发现其为直角三角形，其中∠W为直角。

2. 在直角三角形△WXZ中，已知边XZ=44 yd，∠XZW = 57°，需要求边WX。

3. 根据正弦函数定义，sin(∠XZW) = 对边WX / 斜边XZ。

4. 将已知条件代入公式：sin(57°) = WX / 44。

5. 查找sin(57°)的近似值，得到sin(57°) ≈ 0.8386。

6. 代入计算：0.8386 = WX / 44，解得WX = 0.8386 * 44。

7. 计算得：WX ≈ 36.9015 yd。

8. 现在，计算△XYZ的面积。

9. 根据三角形的面积公式，面积 = 1/2 * 底 * 高。

10. 在△XYZ中，YZ为底，WX为高，因此面积 = 1/2 * YZ * WX。

11. 代入已知值，YZ = 40 yd, WX ≈ 36.9015 yd，面积 = 1/2 * 40 * 36.9015。

12. 计算得：面积 ≈ 738.0300 yd²。

13. 将答案分别取到小数点后1位，即WX约为36.9 yd，面积约为738.0 yd^2。

14. 经过上述推理，最终得出答案为WX=36.9 yd，面积=738.0 yd²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形△WXZ中，角∠W是直角（90度），因此三角形△WXZ是一个直角三角形。边WX和边WZ是直角边，边XZ是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "直角三角形△WXZ中，角∠XZW是锐角，边WX是角∠XZW的对边，边XZ是斜边。根据正弦函数定义，角∠XZW的正弦值等于对边WX与斜边XZ的比值，即sin(∠XZW) = WX / XZ。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形XYZ中，边YZ是底，线段WX是该底上的高，所以三角形XYZ的面积等于底YZ乘以高WX除以2，即面积 = (YZ * WX) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f0cc4c8ebe24a6d4c075c4edfc3bbcc0-img-905760e53ff7408690b67a8de93c5bff.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$oxed{ext{平方公里}}\\$", "answer": "38 square kilometers", "process": "1. 分析给定的图形，其形状复杂，因此考虑将其分为易于计算的矩形部分。

2. 根据图示信息，可以将该图形分割为两个相互独立的长方形：分别为长方形A和长方形B。

3. 观察长方形A，其宽为5公里，高为4公里。根据矩形的面积公式Area = width × height, 得出长方形A的面积为5公里 × 4公里 = 20平方公里。

4. 接下来，观察长方形B，其宽为6公里，高为3公里。根据矩形的面积公式，得出长方形B的面积为6公里 × 3公里 = 18平方公里。

5. 将两个长方形的面积相加，以获得整个图形的面积。计算：20平方公里 + 18平方公里 = 38平方公里。

6. 经过上述推理，最终得出答案为38平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，长方形A和长方形B都属于矩形。长方形A的宽为5公里，高为4公里，而长方形B的宽为6公里，高为3公里。矩形的定义是一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。长方形A和长方形B的四个内角均为直角，且相对的边分别平行且等长。 因此，我们可以将图形分割为这两个长方形进行面积计算。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形A中，边5公里和边4公里是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 5公里 * 4公里 = 20平方公里。矩形B中，边6公里和边3公里是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 6公里 * 3公里 = 18平方公里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-88f4fe93cc7fa7b650bd328b58733b2b-img-74bc9f7cad924ab69091b657763cb254.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "60 square feet", "process": "1. 分析图形，发现其可分为两个矩形：矩形A和矩形B。根据已经标注的边长，将该图形分解为矩形A和矩形B。

2. 矩形A的宽为8英尺，高为3英尺。根据矩形的面积公式，矩形的面积等于宽乘高，计算矩形A的面积：8×3＝24平方英尺。

3. 矩形B的宽为4英尺，高为9英尺。根据矩形面积公式，计算矩形B的面积：4×9＝36平方英尺。

4. 计算整个图形的总面积，即两个矩形面积之和。将矩形A的面积和矩形B的面积相加：24＋36＝60。

5. 经过上述推理，最终得出答案为60平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，矩形A和矩形B都是矩形。矩形A的边长分别为8英尺和3英尺，矩形B的边长分别为4英尺和9英尺。矩形A的内角都是直角（90度），且边长8英尺与边长8英尺平行且等长，边长3英尺与边长3英尺平行且等长。矩形B的内角也是直角（90度），且边长4英尺与边长4英尺平行且等长，边长9英尺与边长9英尺平行且等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形A的宽为8英尺，高为3英尺，所以矩形A的面积 = 8英尺 × 3英尺 = 24平方英尺。矩形B的宽为4英尺，高为9英尺，所以矩形B的面积 = 4英尺 × 9英尺 = 36平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4d449cb16559783c43623b497c069601-img-ecd1851562ec4931b31f026db190c2c0.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "57 square centimeters", "process": "1. 根据题目所给图形，用辅助线将其分割成两个矩形。第一个矩形A的边界为上方和左方，总宽度为6厘米，总高度为8厘米。第二个矩形B的边界为右方和下方，宽度为3厘米，高度为3厘米。

2. 计算矩形A的面积。依据矩形面积公式，面积等于宽乘以高，因此矩形A的面积为6厘米乘以8厘米，即得到48平方厘米。

3. 确定矩形B的面��。根据相同的矩形面积公式，矩形B的面积为3厘米乘以3厘米，算得9平方厘米。

4. 为得出整个图形的面积，将矩形A和矩形B的面积相加。也就是48平方厘米加上9平方厘米，得到的总面积为57平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为57平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "矩形A的顶边长为6厘米，高为8厘米，具有四个直角。矩形B的底边长和高均为3厘米，具有四个直角。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，矩形A中，边6厘米和边8厘米是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 6厘米 * 8厘米 = 48平方厘米；矩形B中，边3厘米和边3厘米是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 3厘米 * 3厘米 = 9平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8a4168e05b834214eb30738859260024-img-7193f33015b74cf4ad28f91550ded8f5.png", "question": "求 UX 和 △UVW 的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\nUX= \\$ox\\$ yd\nArea= \\$ox\\$ yd ^ 2", "answer": "UX=19.9 ydArea=258.7 yd ^ 2", "process": "1. 在△UWX中，根据题目条件，已知UW=24 yd，∠UWX=56°。

2. 为了求得UX的长度，因为∠UXW为直角，根据直角三角形的定义，△UWX是直角三角形，根据正弦函数定义，即sin∠UWX=对边（UX）/斜边（UW）。

3. 根据正弦函数定义，sin(∠UWX)=UX/UW，因此：sin(56°)=UX/24。

4. 计算sin(56°)，可得sin(56°)≈0.8290。

5. 将正弦值代入方程：0.8290=UX/24。

6. 解方程UX=0.8290×24，得到UX=19.896 yd。

7. 四舍五入至十分位，得到UX≈19.9 yd。

8. 接下来计算△UVW的面积，使用三角形的面积公式：面积 = 1/2 × 底 × 高。

9. 选择VW作为底，根据高的定义，UX为高，因此面积为1/2 × VW × UX。

10. 已知VW=26 yd，因此面积=1/2 × 26 × 19.9。

11. 计算得：面积=258.7平方码。

12. 经过上述推理，最终得出UX=19.9 yd，△UVW的面积为=258.7平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形UWX中，角UXW是直角（90度），因此三角形UWX是一个直角三角形。边UX和边WX是直角边，边UW是斜边。"}, {"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形UWX中，角∠UWX是锐角，边UX是角∠UWX的对边，边UW是斜边。根据正弦函数定义，角∠UWX的正弦值等于对边UX与斜边UW的比值，即sin(∠UWX) = UX / UW。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形UVW中，边VW是底，线段UX是该底上的高，所以三角形UVW的面积等于底VW乘以高UX除以2，即面积 = (VW * UX) / 2。"}, {"name": "Definition of Altitude", "content": "An altitude is a perpendicular line segment extending from a vertex of a triangle to the opposite side (or to the extension of the opposite side).", "this": "在本题图中，顶点U垂直于对边VW（或其延长线）的线段UX是该顶点U的高。线段UX与边VW（或其延长线）形成一个直角（90度），这说明线段UX是从顶点U到对边VW（或其延长线）的垂直距离。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f78fa01d87088e442dafefb21c8e6d85-img-8b4f506f4b2f46b19d42f7f0347c78be.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ square miles", "answer": "50 square miles", "process": "1. 观察图形，我们可以将其分割为两个矩形，称为矩形A和矩形B。

2. 矩形A的底边长为2英里，高为4英里。

3. 使用矩形面积公式：面积 = 底 × 高，矩形A的面积为2英里 × 4英里 = 8平方英里。

4. 矩形B的底边长为7英里，高为6英里。

5. 使用矩形面积公式：面积 = 底 × 高，矩形B的面积为7英里 × 6英里 = 42平方英里。

6. ��形的总面积为矩形A和矩形B的面积之和：8平方英里 + 42平方英里 = 50平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，矩形A和矩形B两个几何图形均可视为矩形，满足定义中每两个相邻边都是垂直的，每个内角都是直角。矩形A的底边长为2英里，高为4英里；矩形B的底边长为7英里，高为6英里。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "第一个矩形的长为2英里，宽为4英里，所以面积 = 2英里 × 4英里 = 8平方英里。第二个矩形的长为7英里，宽为6英里，所以面积 = 7英里 × 6英里 = 42平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-932f6ecd17f19c58fbcabd9d99a25d28-img-2113baae0b8841d7826aa0a74f53d41b.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "42 square meters", "process": "1. 首先考虑图形的形状。图中由两部分构成，不规则的形状如字母L。

2. 通过辅助线将该不规则形状分成两个矩形，记为矩形A和矩形B。

3. 矩形A：长度为8米，高度为4米的位置。找到矩形A的面积。

4. 根据矩形面积公式：矩形面积 = 长 × 宽，计算矩形A的面积为：8米 × 4米 = 32平方米。

5. 矩形B：宽度2米，高度为5米的位置。找到矩形B的面积。

6. 同样使用矩形面积公式：矩形面积 = 长 × 宽，计算矩形B的面积为：2米 × 5米 = 10平方米。

7. 总面积为两个矩形面积的和，即：32平方米 + 10平方米 = 42平方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为42平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形A的长度为8米，宽度为4米，因此其面积为8米 × 4米 = 32平方米。矩形B的长度为2米，高度为5米，因此其面积为2米 × 5米 = 10平方米。两矩形面积相加得总面积42平方米。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形A中，每个内角都是直角（90度），且边8m与边8m平行并等长，边4m与边4m平行并等长。因此，四边形A是一个矩形。四边形B中，每个内角都是直角（90度），且边5m与边5m平行并等长，边2m与边2m平行并等长。因此，四边形B是一个矩形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-733a26aa4530193e05521138ed229377-img-5480dfc904c64764989fac5bc516cdfd.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ square miles", "answer": "19 square miles", "process": "1. 给出图形，根据题目的提示和给出的图形，我们可以看到该图形由两个相邻的长方形对齐形成。

2. 考虑左上角的小长方形A，它的左右边长各2英里，上下边长各2英里，这个边长信息给予我们一个清晰的矩形A大小。

3. 使用矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，计算矩形A的面积：2英里 × 2英里 = 4平方英里。

4. 接下来考虑右边的大长方形B。这个矩形横向是5英里，纵向是3英里，因此确认这个矩形的尺寸。

5. 使用相同的矩形面积公式，计算出矩形B的面积：5英里 × 3英里 = 15平方英里。

6. 通过将两部分面积相加，我们可以得到整个图形的总面积，即：4平方英里 + 15平方英里 = 19平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为19。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "小矩形A和大矩形B均符合矩形的定义：它们的四个角度都是直角（90度），且相对边相等并平行。因此，A和B均为矩形。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "左上角的小矩形的边长分别为2英里和2英里，所以小矩形的面积 = 2英里 × 2英里 = 4平方英里。右边的大���形的边长分别为5英里和3英里，所以大矩形的面积 = 5英里 × 3英里 = 15平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a644935af267a49a780891bd33fef613-img-b1e2a4cb26c2490c89f4515588741b72.png", "question": "这个正方形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "625 square millimeters", "process": "1. 题目已知一个正方形，其边长为25毫米。

2. 根据正方形的定义，正方形是四边相等且每个内角均为90度的一种四边形。我们知道正方形的面积可以通过：面积 = 边长 × 边长 来进行计算。

3. 因此，该正方形的面积 = 25毫米 × 25毫米。

4. 计算得：面积 = 625平方毫米。

5. 通过上述计算过程，最终得出正方形的面积为625平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "四条边长度均为25毫米，且每个内角均为90度，所以该四边形是一个正方形。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "在本题图中，我们知道正方形的边长为25毫米，因此可以使用公式计算面积：面积 = 25毫米 × 25毫米 = 625平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-eed8c0b15af8fb17af8c4094228dd24b-img-8e4d164058f04c83bf9b0e702471bf48.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "22 square inches", "process": "1. 已知题图为由两个长方形组成的图形，其中长方形 A 的底边长 7 英寸，高 2 英寸；长方形 B 的宽 2 英寸，高 4 英寸与底边平行。题图角点标明尺寸。

2. 首先计算长方形 A 的面积。使用矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽 。因此，长方形 A 的面积为 7 英寸 × 2 英寸 = 14 平方英寸。

3. 然后，计算长方形 B 的面积。同样使用矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽 。因此，长方形 B 的面积为 2 英寸 × 4 英寸 = 8 平方英寸。

4. 将两个长方形的面积相加，以获得整体形状的面积：14 平方英寸（长方形 A）+ 8 平方英寸（长方形 B） = 22 平方英寸。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 22 平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形中，每个内角都是直角（90度），且对边平行并等长。因此，图中四边形是两矩形。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "使用长方形的面积公式：面积 = 长 × 宽。长方形 A 的面积计算为 7 英寸 × 2 英寸 = 14 平方英寸。长方形 B 的面积计算为 2 英寸 × 4 英寸 = 8 平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2eb453ff40df9a43b86ea0e349c35602-img-9a75876e418842168b4449807ebcf12e.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "96 square millimeters", "process": "1. 根据给定图形，观察到图形可以被分割成两个矩形，分别标记为矩形A和矩形B。

2. 确定矩形A的尺寸。根据题目中的描述，矩形A的宽为6毫米，高为4毫米。

3. 利用矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，计算矩形A的面积为6毫米 × 4毫米 = 24平方毫米。

4. 确定矩形B的尺寸。根据题目中的描述，矩形B的宽为8毫米，高为9毫米。

5. 利用矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，计算矩形B的面积为8毫米 × 9毫米 = 72平方毫米。

6. 两个矩形构成了整个图形，因此整个图形的面积为矩形A和矩形B的面积之和。

7. 将矩形A和矩形B的面积相加：24平方毫米 + 72平方毫米 = 96平方毫米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为96平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，两个被标记的矩形分别是矩形A与矩形B。矩形A的宽为6毫米，高为4毫米，矩形B的宽为8毫米，高为9毫米。每个矩形都符合矩形的定义，即具有四个直角并且相对边长相等。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形A的面积根据公式计算为：长6毫米乘以宽4毫米，得到24平方毫米。矩形B的面积根据公式计算为：长8毫米乘以宽9毫米，得到72平方毫米。最后，将两个矩形的面积相加得到整个图形的总面积96平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f59a31e2a1fe9480c02e90698be0fe17-img-d4611ab99c5046cea20170f511f995a9.png", "question": "面积是多少？\n\n \\$ox\\$ square yards", "answer": "960 square yards", "process": "1. 题目提供了一个矩形，我们需要找到这个矩形的面积。

2. 根据矩形的定义，矩形的面积等于其底边长乘以高，即 A = base * height。

3. 从题目的解题步骤，我们知道矩形的底边长是32码，记作base = 32。

4. 同样从题目的解题步骤，我们知道矩形的高是30码，记作height = 30。

5. 代入上述公式，面积A = base * height = 32 * 30。

6. 进行乘法运算，32 * 30 = 960。

7. 由于题目中长度的单位是码，面积的单位应该是平方码。

8. 因此，矩形的面积为960平方码。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。根据题目提供的底边长32码和高30码，矩形的面积为960平方码。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形的底边长为32码，高为30码。根据矩形的面积公式，矩形的面积A = 底边长 * 高 = 32码 * 30码 = 960平方码。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ded72e4f488923b90ccb5b029875bb6b-img-e08bf71459dc453e9e4b3987bfc8ac0b.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英寸\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "84 square inches", "process": "1. 观察给定图形，发现可以通过一条水平线将图形分割为两个矩形：矩形A和矩形B。

2. 确认矩形A的尺寸：底边长度为8英寸，高度为9英寸。

3. 依据矩形面积公式，矩形的面积等于底边长度乘以高度。计算矩形A的面积，得：8英寸 × 9英寸 = 72平方英寸。

4. 确认矩形B的尺寸：底边长度为4英寸，高度为3英寸。

5. 再次应用矩形面积公式计算矩形B的面积，得：4英寸 × 3英寸 = 12平方英寸。

6. 将矩形A和矩形B的面积相加得到原图形的总面积：72平方英寸 + 12平方英寸 = 84平方英寸。

7. 经过上述详细推理步骤，最终得出原图形的面积为84平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "通过水平线将图形分割为两个矩形，矩形A和矩形B。矩形A的底边长度为8英寸，高度为9英寸。矩形B的底边长度为4英寸，高度为3英寸。矩形A和矩形B的内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形A的底边长度是8英寸，高度是9英寸，应用矩形面积公式得：矩形A的面积 = 8英寸 × 9英寸 = 72平方英寸。矩形B的底边长度是4英寸，高度是3英寸，应用矩形面积公式得：矩形B的面积 = 4英寸 × 3英寸 = 12平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c8db1c1f88667c4749d39479f1cec8db-img-7e99c2c62b314391b9870e25cd6e6b4a.png", "question": "面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "324 square miles", "process": "1. 根据图中信息，我们知道这是一个正方形，即所有边长均相等，且每个角为直角。

2. 观察图中给出的边长，正方形的每条边长为18英里。

3. 求正方形的面积需要用到正方形面积公式：面积 = 边长 × 边长。

4. 代入我们已知的边长值18英里：面积 = 18英里 × 18英里。

5. 计算得到面积为324平方英里。

6. 所有相关计算的单位是英里，因此面积的单位是平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为324平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "边长均为18英里，且四个角均为直角（90度），所以这是一个正方形。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "边长为18英里，即面积 = 18英里 × 18英里 = 324平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-33fa4ff4556be00728af19e064fcfcd8-img-1d4f111dc9db4a8d99a34b95a9dc2d09.png", "question": "这个正方形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方毫米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "625 square millimeters", "process": "1. 已知正方形的一边长为25毫米。

2. 根据正方形的定义，正方形是四边相等且四个内角为90度的四边形。

3. 因此，正方形的面积公式为side×side，即边长的平方。

4. 套用公式，正方形面积=25毫米×25毫米。

5. 计算得出625平方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为625平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，我们有一个正方形，其边长为25毫米，每条边的长度均为25毫米，并且四个内角均为90度。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "边长为25毫米，因此套用面积公式，正方形的面积 = 25毫米 × 25毫米 = 625平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8e8869fbaf086f1d48e0796e96e73a59-img-aeac553959e5478eac473187463ec47f.png", "question": "面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "323 square miles", "process": "1. 已知题目的长方形的长为19英里，宽为17英里。

2. 根据矩形面积计算公式：面积=长×宽，可以得出面积为面积=19×17。

3. 计算19×17等于323。

4. 因为长和宽的单位是英里，面积的单位为平方英里。

5. 经过上述推理，最终得出答案为323平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形的两条对边分别是19英里和17英里，每个内角都是90度直角，相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形中，边长为19英里，边宽为17英里，所以矩形的面积 = 19 * 17 = 323平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5faef04b21b35251933537b13810ea6b-img-213824ecdf594749ba9876369a795a15.png", "question": "面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里", "answer": "88 square miles", "process": "1. 从题目中提供的图形可以看出，已知图形是一个矩形。

2. 在矩形中，计算面积的公式为：面积 = 长 × 宽。

3. 从图中可以看到，矩形的长为11英里，宽为8英里。

4. 将已知的长和宽代入面积公式，得出面积 = 11 mi × 8 mi。

5. 进行乘法计算，11 mi × 8 mi = 88平方英里。

6. 由于面积的单位为平方英里，最终得出矩形的面积为88平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形是一个矩形，其内角都是直角（90度），且边长为11英里和8英里。矩形的对边平行且等长，符合矩形的定义。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "在本题图中，矩形的长为11英里，宽为8英里。根据矩形的面积公式，矩形的面积等于其长和宽的乘积，即面积 = 11英里 × 8英里 = 88平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5ef3880c219eb6f622cd906951751afa-img-1a21ebf65f0f42118ff2d13c2480eb62.png", "question": "这个图形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "70 square meters", "process": "1. 将给定图形分割为两个矩形，称为矩形甲和矩形乙。

2. 观察矩形甲，其宽度为8米，高度为2米。

3. 依据矩形面积计算公式，面积=宽度×高度，可以求得矩形甲的面积为：8米×2米=16平方米。

4. 接下来，查看矩形乙的尺寸，其宽度为9米，高度为6米。

5. 依据同样的面积计算公式，计算矩形乙的面积为：9米×6米=54平方米。

6. 将两个矩形的面积相加得到总面积：16平方米+54平方米=70平方米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "矩形甲和矩形乙都符合矩形的定义。矩形甲的四个内角都是直角（90度），其边长分别为8米和2米，且相对的边互相平行并等长。矩形乙的四个内角也是直角（90度），其边长分别为9米和6米，且相对的边互相平行并等长。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形甲的宽度为8米，高度为2米，所以矩形甲的面积=8米×2米=16平方米。矩形乙的宽度为9米，高度为6米，所以矩形乙的面积=9米×6米=54平方米。总面积=矩形甲面积+矩形乙面积=16平方米+54平方米=70平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-49a0fce466862eccac7b574ade838177-img-dc784f97647f4cd18ff7a5db44fb8265.png", "question": "这个正方形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "4 square feet", "process": "1. 首先观察图中所标示的边长，我们发现正方形的一个边长为2英尺。

2. 根据正方形的定义，正方形的四个边都是相等的，因此，本题中正方形的每条边长均为2英尺。

3. 计算正方形面积的公式为：S=边长×边长。

4. 将已知的边长代入公式：S=2英尺×2英尺。

5. 计算得：S=4平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "在本题图中，我们观察到一个边长标示为2英尺的正方形。根据正方形的定义，这个正方形的四个边都是相等的，即每条边长均为2英尺，并且四个角都是直角（90°）。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "边AB的长度为2英尺。根据正方形的定义，边BC, CD, DA也都是2英尺。使用正方形面积公式计算面积：S = AB × BC = 2英尺 × 2英尺 = 4平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-256db6ff490064183dde44d7a6ddf535-img-d547e12a70dc46cc88b091e0811b2164.png", "question": "面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方公里\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "20 square kilometers", "process": "1. 已知题目是要求一个矩形区域的面积，并且图中标明矩形的长为5公里，宽为4公里。

2. 根据矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽，我们可以用已知的长和宽代入这个公式。

3. 将长5公里和宽4公里代入矩形面积公式，得到：面积 = 5公里 × 4公里。

4. 计算结果为：面积 = 20平方公里。

5. 经过上述推理，最终得出答案为20平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "矩形的长为5公里，宽为4公里。矩形四个角都是直角，且相对的边互相平行并等长。矩形的相对边长分别为5公里和4公里。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形的长为5公里，宽为4公里。根据矩形面积定理，将长和宽代入公式得到：面积 = 5公里 × 4公里 = 20平方公里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9a6804fa722da9054233e7d4d7385828-img-2757f9a4d77d4852b2a1e7b2cfc703f1.png", "question": "面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "1080 square miles", "process": "1. 已知长方形的长为40英里，宽为27英里。

2. 根据矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽。

3. 将题目中提供的长和宽代入公式：面积 = 40英里 × 27英里。

4. 计算得到：面积 = 1080平方英里。

5. 因此，长方形的面积为1080平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠A、∠B、∠C、∠D都是直角（90度），且边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长。长方形的长为40英里，对应边AB和边CD；长方形的宽为27英里，对应边AD和边BC。"}, {"name": "Formula for the Area of a Rectangle", "content": "The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.", "this": "矩形中，边长为40英里和边宽为27英里是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = 40英里 * 27英里 = 1080平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e141779bf89e0f2c74cff05288b5b77b-img-00e80c04c4fb4fa3a16a73a8fa4d2450.png", "question": "这个正方形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "1156 square meters", "process": "1. 已知一个正方形的边长为34米。根据正方形的定义，所有的边长相等，因此这正方形的边长均为34米。

2. 正方形的面积计算公式是边长的平方，即边长乘以边长。

3. 将边长数值代入公式：面积 = 34米 × 34米。

4. 通过计算可得，34 × 34 = 1,156。

5. 面积的单位是边长单位的平方，因此此正方形的面积为1,156平方米。

6. 因此，经过上述推理，最终得出答案为：1,156平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "四条边均为34米，且四个内角均为直角（90度），因此该四边形是一个正方形。"}, {"name": "Area Formula for Square", "content": "The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.", "this": "正方形的边长为34米，据此公式，面积 = 34米 × 34米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b82d0684c5a24e400647aedfff0eb5a8-img-906e518f40fa43b78b06219e2691380e.png", "question": "这个菱形的对角线分别是10英尺和2英尺。\n\n这个菱形的面积是多少？\n\\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "10 square feet", "process": "1. 已知菱形的对角线为10英尺和2英尺。菱形的对角线互为垂直且平分，依据对角线性质定义，菱形的对角线将把菱形分成四个全等的直角三角形。

2. 设对角线长为d1=10英尺，d2=2英尺。由于对角线互相平分，根据对角线性质可得，每一对角线分别被分成5英尺和1英尺的两部分。

3. 考虑一个由两条对角线形成的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为5英尺和1英尺。

4. 依据三角形面积公式（A=0.5×base×height），可得一个直角三角形的面积为0.5×5×1=2.5平方英尺。

5. 由于对角线分割菱形形成了四个相同的直角三角形，因此整个菱形的面积A=4×2.5=10平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形的对角线分别为10英尺和2英尺（d1=10英尺，d2=2英尺），根据菱形的对角线性质定义，这两条对角线相互垂直且平分，每对角线分别被分成5英尺和1英尺的两部分。每条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形中，5ft长边是底，1ft长的边是该底上的高，所以三角形的面积等于底5乘以高1除以2，即面积 = (5* 1) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ded17b27e40225fc45e3cef8f8a8d31c-img-80d94e58812a4c18bd499b567797c8e7.png", "question": "这个菱形的对角线分别为6英寸和8英寸。这个菱形的面积是多少？\\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "24 square inches", "process": "1. 已知菱形的对角线分别为6英寸和8英寸，根据菱形的对角线性质，其对角线互相垂直且平分。

2. 辅助线：令菱形的对角线相交于点O，则对角线AC和BD的中点即为点O，并且∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA均为直角，即90°。

3. 菱形的面积可以通过将对角线乘积的一半来计算。根据菱形的面积公式：面积 = 1/2 * AC * BD，其中AC和BD分别是菱形的两条对角线的长度。

4. 代入已知的对角线长度，计算得面积 = 1/2 * 6 * 8。

5. 继续简化得到面积 = 1/2 * 48。

6. 计算得最终面积为24平方英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为24平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，菱形的四边相等且对角线互相垂直和平分。对角线分别为6英寸和8英寸，对角线的交点为点O，且∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA均为直角。"}, {"name": "Definition of Diagonal", "content": "A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.", "this": "菱形的对角线分别为6英寸和8英寸。对角线是连接菱形一顶点和非相邻顶点的线段。因此，线段AC和BD就是菱形的对角线。对角线AC和BD互相垂直且平分，并且分别为6英寸和8英寸。点O是对角线的交点，也是对角线的中点。"}, {"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "菱形的对角线分别为6英寸和8英寸。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (6 * 8) / 2 = 24平方英寸。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "菱形的对角线分别为6英寸和8英寸。对角线互相平分且互相垂直。具体来说，点O是对角线的交点，且AO=OC=3英寸，BO=OD=4英寸。同时，角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度），所以对角线互相垂直。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ae380314e56eafc7519b33432c4b75e3-img-1e47a967ae2c4e40b84eda707a78fbe2.png", "question": "这个菱形的对角线分别是3毫米和10毫米。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "15 square millimeters", "process": "1. 根据菱形的对角线性质，菱形的对角线相互垂直且平分。所以在此菱形中，已知对角线d1=3毫米，对角线d2=10毫米。

2. 因为对角线互相垂直且平分，故菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形。

3. 利用菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。即A=1/2×d1×d2。

4. 将已知的数据带入公式：A=1/2×3毫米×10毫米。

5. 计算得：A=1/2×30=15。

6. 经过上述推理，最终得出菱形的面积为15平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "所有的边都是相等的，因此该四边形是一个菱形。此外，该四边形的对角线互相垂直平分，即对角线相交于点O，且角∠AOB是直角（90度），并且AO=OC和BO=OD。"}, {"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "菱形中，对角线d1和d2分别是菱形的两条对角线。根据菱形面积公式，菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2。因此，菱形的面积 = (3 × 10) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-761464b2c1258a61aca197db29c91a80-img-7ab77efa95234ea389ad982f2d40e61d.png", "question": "这个菱形的对角线分别是4 miles和9 miles。这个菱形的面积是多少？\\$ox\\$ square miles", "answer": "18 square miles", "process": "1. 已知：菱形的对角线分别为4英里和9英里，设对角线交点为O，菱形为ABCD，AC为水平对角线，BD为垂直对角线。

2. 根据菱形面积公式，菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线。

3.将d1＝4，d2＝9代入公式计算，得(4 × 9) / 2＝18

4.经过上述推理，最终得出答案为18。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。此外，四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点O，且角AOB是直角（90度），并且AO=OC和BO=OD。"}, {"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "菱形的对角线分别为4英里和9英里。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (4英里 * 9英里) / 2 = 18平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c963d0c159d325fca9ca5f9ef0a1bad5-img-d28682692bb54b23a16091e2db49cef6.png", "question": "这个菱形的对角线分别为 1 公里和 4 公里。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方公里", "answer": "2 square kilometers", "process": "1. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为1千米和4千米。假设这些对角线分别为对角线AC和对角线BD。

2. 菱形的面积等于其两条对角线长度的乘积的一半，公式为面积 = 1/2 × AC × BD。

3. 代入已知对角线长度：面积 = 1/2 × 1千米 × 4千米 = 2平方千米。

4. 经过上述推理，最终得出答案为2平方千米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "菱形的所有边长相等，并且对角线互相垂直平分。即对角线相交于点O，并且形成直角（90度）。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "在本题图中，菱形ABCD中，对角线AC和BD互相平分且互相垂直。具体来说，点O是对角线AC和BD的交点，且OA = OC = 0.5千米，OB = OD = 2千米。同时，角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度），所以对角线AC和BD互相垂直。"}, {"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "菱形的两条对角线分别为1千米和4千米。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (1千米 * 4千米) / 2 = 2平方千米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8c07a3fc7727d645a516a2aad418070c-img-7fb767e36ca041a089ae5f93e44cfc9c.png", "question": "这个菱形的对角线分别是4米和2米。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "4 square meters", "process": "1. 已知菱形的对角线分别为4米和2米。

2. 根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分。设菱形的对角线分别为AC和BD，交于点O。因此，OA=OC=2米，OB=OD=1米。

3. 从而该菱形被对角线分割成四个全等的直角三角形：三角形AOB、三角形BOC、三角形COD、三角形DOA。

4. 考虑其中一个直角三角形，例如三角形AOB，直角位于点O，且有AO=2米，BO=1米。

5. 根据直角三角形的面积公式：面积 = (1/2) × 邻直角边长的乘积，可得三角形AOB的面积为(1/2) × 2米 × 1米 = 1平方米。

6. 由于这些直角三角形面积相等，且共有四个，所以菱形的总面积为4 × 1平方米 = 4平方米。7. 经过上述推理，最终得出答案为4平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形的各边都相等，因此该四边形是一个菱形。此外，该菱形的对角线互相垂直平分，即对角线交于中心点。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "菱形中的四个三角形都是直角三角形。中间四个角都是直角（90度），因此这些三角形都是直角三角形。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "2m长边是底，1m长的边是该底上的高，所以三角形的面积等于底2乘以高1除以2，即面积 = (2* 1) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-31800e2e0a50a17dad1604a0a2429042-img-96a51a74ac1841cf81d2fd2a40dc501f.png", "question": "这个菱形的对角线分别是8厘米和3厘米。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "12 square centimeters", "process": "1. 已知菱形的对角线长度分别为8厘米和3厘米。

2. 根据菱形面积公式，面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线，即8厘米和3厘米。

3. 因此菱形面积 = (8厘米 * 3厘米) / 2 = 12平方厘米。

4. 经过上述推理，最终得出答案为12。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "菱形的两条对角线分别为8厘米和3厘米，因此面积 = (8厘米 * 3厘米) / 2 = 12平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3fbeda0a3a8cd1c6836243497ddf755b-img-cd9f570ad1fb4f38b724b57faa27bd81.png", "question": "一个圆的半径是6公里。由一个180°弧所围成的扇形面积是多少？\n\n请给出最简形式的精确答案。\n\\$ox\\$ 𝜋/ 平方公里", "answer": "18​𝜋 square kilometers", "process": "1. 已知圆的半径为6公里，首先使用圆的面积公式：面积A=𝜋r²，其中r是圆的半径。

2. 将圆的半径r=6代入公式得到A = 𝜋 × 6² = 36𝜋平方公里。因此，整个圆的面积为36𝜋平方公里。

3. 题目要求确定的是由180°圆弧界定的扇形的面积。由已知，圆周角对应的圆中心角θ取值为180°。

4. 根据圆的扇形的面积公式，扇形面积K = (θ/360) × A，其中θ为圆心角，A为整圆的面积。

5. 将θ = 180°和A = 36𝜋平方公里代入公式得到：K = (180/360) × 36𝜋 = 0.5 × 36𝜋 = 18𝜋平方公里。

6. 经过上述推理，最终得出答案为18𝜋平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆心为圆心点，圆周上任意一点为圆周点，线段从圆心到圆周点的长度为6公里。圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是6公里，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = π × 6² = 36π平方公里。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心角θ为180°，由圆心到圆周上的两点的连线组成。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形中，圆心角的度数为θ，半径的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形的面积A = (θ/360) * π * r²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c182affd0bc32bca04846bbb35962f0a-img-9819bc755dc74f7185a4f7d5ab8656b5.png", "question": "这个菱形的对角线分别是9英里和6英里。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方英里", "answer": "27 square miles", "process": "1. 题目已知菱形的两条对角线分别长为9英里和6英里。

2. 根据菱形的对角线性质，菱形的对角线彼此垂直平分。因此，添加辅助线，使两条对角线相交于点O，将该菱形分成四个全等的直角三角形。

3. 设菱形的对角线AC为9英里，BD为6英里，且O为对角线的交点，由平分性质可知：AO = OC = 9/2 = 4.5英里，BO = OD = 6/2 = 3���里。

4. 选取一个直角三角形AOB进行计算，根据三角形面积公式，三角形面积 = 1/2 × 底 × 高，对于直角三角形AOB，底AO = 4.5英里，高BO = 3英里。

5. 用三角形面积公式计算AOB的面积：面积 = 1/2 × 4.5 × 3 = 6.75平方英里。

6. 因为菱形被分成4个全等的直角三角形，所以菱形的总面积为4倍的单个三角形面积，菱形面积 = 4 × 6.75 = 27平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为27平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形ABCD是菱形，其中边AB、边BC、边CD和边AD都相等，并且对角线AC和对角线BD互相垂直平分。因此，边AB=边BC=边CD=边AD，并且对角线AC和对角线BD交于点O且成90度角。"}, {"name": "Definition of Diagonal", "content": "A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.", "this": "在本题图中，多边形中，顶点A和顶点C是非相邻顶点，线段AC是连接顶点A和顶点C的线段，因此线段AC是多边形ABCD的一条对角线。类似地，顶点B和顶点D是非相邻顶点，线段BD是连接顶点B和顶点D的线段，因此线段BD也是多边形ABCD的一条对角线。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角AOB是直角（90度），因此三角形AOB是一个直角三角形。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "在本题图中，菱形ABCD中，对角线AC和BD互相平分且互相垂直。具体来说，点O是对角线AC和BD的交点，且AO=CO和BO=DO。同时，角AOB和角BOC都是直角（90度），所以对角线AC和BD互相垂直。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形AOB中，边AO是底，线段BO是该底上的高，所以三角形AOB的面积等于底AO乘以高BO除以2，即面积 = (4.5 * 3) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1d1f4b0a74aeeabadbbebd485adedc88-img-0d6e8e62459341709b877000fe342999.png", "question": "一个圆的半径是7厘米。由180°弧线所围成的扇形的面积是多少？\n\n请给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方厘米", "answer": "49/2​𝜋 square centimeters", "process": "1. 根据题意，圆的半径为7厘米。

2. 根据圆的面积公式A=πr²，代入r=7得：A=π×7²=49π平方厘米。

3. 已知扇形的弧度数为180°，故扇形部分面积占整个圆周的比率为180°/360°=1/2。

4. 扇形面积K为：K=49π×(1/2)=49π/2平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为49π/2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆的半径是7厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径7的平方，即A = π × 7² = 49π平方厘米。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形中，圆心角的度数为180°，半径的长度为7。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形的面积A = (180/360) * π * 7²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3339084b9e147672913d831e7fc09dbb-img-c8629e9174134c1d879b5f5006106ef9.png", "question": "一个圆的半径是4厘米。由一个45°弧所界定的扇形面积是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方厘米", "answer": "2​𝜋 square centimeters", "process": "1. 设圆心为O，圆左侧半径为OA，右侧半径为OB，扇形为AOB。已知圆的半径为4厘米，根据圆的面积公式A=πr^2，代入r=4，得出圆的面积为16π平方厘米。

2. 题目中给出的扇形的弧长对应的圆心角为45°，根据扇形的面积公���K=(θ/360)×A，其中θ为圆心角度数，A为圆的面积。

3. 将A=16π和θ=45°代入扇形的面积公式，K=(45/360)×16π，化简可得K=(1/8)×16π。

4. 进一步计算得到K=2π。

5. 经过上述推理，最终得出答案为2π平方厘米.", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆的圆心为点O，半径长度为4厘米。图中所有到点O距离等于4厘米的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆的半径长度r=4厘米，点O是圆心，圆周上的任意一点到圆心O的距离均为4厘米，因此线段从圆心O到圆周上的任意一点的距离均为4厘米。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心角为45°，其两边分别延伸到圆周形成的弧。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形由半径r=4 cm和另一条半径r=4 cm以及它们之间的弧（45°的弧）组成。根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧形成的图形为扇形。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是4厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径4的平方，即A = π*4²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形AOB中，圆心角AOB的度数为θ，半径OA的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形AOB的面积A = (θ/360) * π * r²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-db2fd4c5453be2df61443b07784d1f47-img-ede9a0952af64d3999a2ffe542e0c184.png", "question": "这个菱形的对角线分别是10英尺和2英尺。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方英尺", "answer": "10 square feet", "process": "1. 已知菱形的对角线长度分别为10英尺和2英尺，设对角线交点为O，菱形为ABCD，水平对角线为AC，垂直对角线为BD。

2.依据菱形面积公式: 菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线。

3.将d1＝10，d2＝2代入公式计算，得面积 = (10 × 2) / 2＝10.

4.经过上述推理，最终得出答案为10平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的，因此四边形ABCD是一个菱形。此外，四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分，即对角线AC和BD相交于点O，且角AOB是直角（90度），并且AO=CO和BO=DO。"}, {"name": "Rhombus Area Formula", "content": "The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.", "this": "菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (10 * 2) / 2 = 10 平方英尺。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ceb594ed5df4ce6977e7f751908028dc-img-5905d42b008d45109da3435765262512.png", "question": "一个圆的半径是10英寸。由90°弧所限定的扇形面积是多少？\n\n给出最简形式的确切答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方英寸", "answer": "25​𝜋 square inches", "process": "1. 设圆心为O，点A、B为圆上的一点（从上往下）。已知：圆的半径 r = 10 英寸，以及扇形所对应的弧长角度为 90°。

2. 根据圆的面积公式，A = πr²，计算整个圆的面积。代入 r = 10 得到 A = π * 10² = 100π 平方英寸。

3. 扇形的面积 K 的计算取决于圆心角 m 与整个圆的面积 A 的关系。根据扇形的面��公式 K = A * (m/360)，其中 m 是圆心角度数。

4. 将已知值代入扇形的面积公式：A = 100π 和 m = 90°，即 K = 100π * (90/360)。

5. 计算 K = 100π * (1/4) = 25π 平方英寸。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 25π 平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆心是图中橙色扇形的顶点，圆周上任意一点是圆周上的任意一点，线段从圆心到圆周上任意一点的长度是 10 英寸，因此线段 r = 10 英寸 是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆的圆心是点O，圆上两点A和B到圆心O的连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。在本题中，圆心角∠AOB的度数为90°。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "在本题图中，扇形由两条半径和它们之间的弧组成，半径分别为 r = 10 英寸，圆心角为 90°，弧长为该圆周的四分之一。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是10英寸，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径10的平方，即A = π * 10²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题中，扇形的面积公式 K = A * (m/360)。已知圆的面积 A = 100π，圆心角 m = 90°，代入公式得到 K = 100π * (90/360) = 25π。"}]} +{"img_path": "ixl/question-37c4e226a7751ec0455a74ecaae1726f-img-06dd5ea0bf1a4a5eba83a231ebc97352.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英寸\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "24square inches", "process": "1. 已知梯形的上底为3英寸，下底为9英寸，高为4英寸。

2. 梯形的面积可以通过公式A = 1/2 * (b1 + b2) * h计算，其中b1和b2分别为梯形的底边，上底和下底，h为梯形的高。

3. 将已知数值代入公式，计算得A = 1/2 * (3 + 9) * 4。

4. 计算上底和下底的和：3 + 9 = 12。

5. 将结果代入面积公式，计算A = 1/2 * 12 * 4。

6. 乘以高度：12 * 4 = 48。

7. 再乘以1/2，最终得到面积为A = 24。

8. 经过上述推理，最终得出答案为24。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "边3英寸和边9英寸是平行的，而边5英寸和边5英寸不平行。因此，根据梯形的定义，四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底b1 = 3英寸，下底b2 = 9英寸，高h = 4英寸。通过公式，A = 1/2 * (b1 + b2) * h = 1/2 * (3 + 9) * 4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-01e914d9186e9ae5e49604900c8a0314-img-f51f38e4e43a47e18812942ece5dcdf4.png", "question": "一个圆的半径是3公里。由一个180°弧所围成的扇形的面积是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/平方公里", "answer": "9/2​𝜋 square kilometers", "process": "1. 题目已知圆的半径为3公里，且圆的半径r的长度为3公里。

2. 根据圆的面积公式，圆的面积A=πr^2，进而计算得到整个圆的面积为：A=π×(3)^2=9π平方公里。

3. 所要计算的扇形由弧度为180°的弧限定，该弧在圆的周长中占的比例为180°/360°=1/2。

4. 根据扇形的面积公式A = (θ/360°)×πr^2，其中θ为圆弧的角度，将θ=180°代入公式得：A = (180°/360°)×π(3)^2。

5. 进一步化简得此扇形的面积A = 1/2×9π=9π/2平方公里。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9π/2平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，点为圆心，圆周上任意一点的距离为3公里，线段是从圆心到圆周上任意一点的线段，因此线段是圆的半径。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形中，圆心角的度数为θ，半径的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形的面积A = (θ/360) * π * r²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5577da579657a6e28582d0f64c8cf300-img-d237773b1f4e4972b917897f2509fd1b.png", "question": "一个圆的半径是3厘米。求一个由90°弧线围成的扇形的面积？\n\n给出最简形式的准确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方厘米", "answer": "9/4​𝜋 square centimeters", "process": "1. 已知半径 r = 3 厘米，设圆心为O，OA为圆的上部分半径，OB为圆的下部分半径，扇形为AOB。我们首先根据面积公式 A = πr² 计算整个圆的面积。

2. 将半径 r = 3 代入公式，得到 A = π(3)² = 9π 平方厘米。

3. 根据扇形的面积公式 K = A * (θ/360°)，这里 θ 表示扇形的圆心角。题目中已知 θ = 90°。

4. 代入 A = 9π 和 θ = 90° 到扇形的面积公式，得到 K = 9π * (90/360)。

5. 计算 90/360 = 1/4，将其代入得 K = 9π * 1/4 = 9π/4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 9π/4 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆的半径为 r = 3 厘米，圆心是圆的中心点。图中所有到圆心的距离等于 3 厘米的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形中，半径 r = 3 厘米和半径 r = 3 厘米是圆的两条半径，圆弧是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是3厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方，即A = π(3)²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "扇形AOB中，圆心角AOB的度数为θ，半径OA的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形AOB的面积A = (θ/360) * π * r²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9e69e70cf4f5eff8846994eb34071266-img-f9480c6304a3459e8d1452d539ccb076.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英寸\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "24square inches", "process": "1. 根据题目中给出的信息，梯形的上底b1=3英寸，下底b2=9英寸，高h=4英寸。

2. 梯形的面积公式为A=1/2*(b1+b2)*h。

3. 将已知的b1、b2和h代入面积公式，得A=1/2×(3+9)×4。

4. 计算括号内的和：3+9=12。

5. 代入计算结果，公式转化为A=(1/2)×12×4。

6. 继续计算乘法：12×4=48。

7. 计算A=1/2×48，结果为A=24。

8. 经过上述推理，最终得出梯形的面积为24平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "四边形的上底为3英寸，下底为9英寸，两个腿分别为5英寸。根据梯形的定义，四边形具有一对平行边（上底和下底），因此该四边形是梯形。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "上底b1=3英寸，下底b2=9英寸，高h=4英寸，所以梯形的面积为(3 + 9) * 4 / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-643ab0cf94ccb545e8cd5ce14b2141b4-img-78888b32643e49858f76ec86ecd904ef.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "7square miles", "process": "1. 已知梯形的两个底边分别为b1=5英里和b2=2英里，以及梯形的高h=2英里。

2. 根据梯形面积公式A=1/2*(b1+b2)*h，可以计算梯形的面积。

3. 将已知数据代入公式，其中b1=5英里，b2=2英里，h=2英里:

A=1/2 * (5+2) * (2)。

4. 首先计算两个底边之和：5+2=7。

5. 然后计算7乘以2得出14。

6. 最后计算14乘以1/2得出7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为7平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "梯形的平行边分别为底边5英里和上底2英里。高2英里垂直于这两个平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底边为2英里，下底边为5英里，高为2英里，所以梯形的面积为(2 + 5) * 2 / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6e79fe1a15e90574adeacc99a796d3e5-img-6b20d450cf9544f68814b3e156d2218c.png", "question": "一个圆的半径是4英寸。由135°弧线围成的扇形的面积是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$oxed{ rac{9}{2} }\\$ 𝜋/ 平方英寸", "answer": "6​𝜋 square inches", "process": "1. 已知圆的半径为4英寸，根据圆面积公式A=πr^2，计算整个圆的面积。

2. 代入r=4，计算得出圆的面积A=π×(4)^2=16π平方英寸。

3. 题目中给定圆心角为135°，这是扇形的圆心角。

4. 扇形面积的公式为：K=(A·θ)/360，其中A是圆的面积，θ是圆心角的角度。

5. 代入A=16π和θ=135，计算扇形的面积：K=(16π×135)/360。

6. 简化分数：(16×135)/(360)=2160/360=6。

7. 得出扇形的面积为6π平方英寸。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6π平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "圆的半径在本题图中，圆的半径为r=4英寸，圆心到圆周的距离为4英寸，这个距离在图中由从圆心到圆周画出的线段表示。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆心角为135°，顶点在圆心，表示扇形的两条边分别从圆心延伸到圆周。圆心角的两条边分别是从圆心到圆周的两条半径。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形由半径为4英寸的两条半径和它们所夹的圆弧组成，圆心角为135°。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是4英寸，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径4的平方，即A = π4²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "圆的面积A=16π平方英寸，圆心角θ=135°。代入公式计算扇形的面积：K=(16π×135)/360。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0ddf370858a45c86133a26938d9cccd3-img-f268bf5d8be24ce49310e052f582e6cc.png", "question": "求△UVW的面积。 \n\n请将答案写成整数或四舍五入到十分位的小数。\n \\$\\\\Box\\$ m ^ 2", "answer": "8.0 m ^ 2", "process": "1. 已知三角形△UVW中，∠U = 136°，∠W = 23°，UV = 5 m。

2. 根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，即∠U + ∠V + ∠W = 180°。代入已知角度得136° + ∠V + 23° = 180°。

3. 化简方程得∠V = 180° - 159°，即∠V = 21°。

4. 根据正弦定理，在任意三角形中，边长与其对角正弦值的比值相等，即 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

5. 应用正弦定理，利用已知∠W及其对边UV的长度，求出∠U的对边VW长度。设VW=u ，则5/sin(23°) = u/sin(136°)。

6. 计算sin(23°) ≈ 0.3907，sin(136°) = sin(180° - 136°) = sin(44°) ≈ 0.6946。

7. 代入计算，5/0.3907 = u/0.6946，解出u ≈ 5 * 0.6946 / 0.3907 ≈ 8.8892。

8. 现在已知VW = 8.8892 m，UV = 5 m，以及所夹角∠V = 21°。可以利用三角形面积公式（使用正弦函数）。

9. 三角形△UVW的面积公式为Area = 1/2 * UV * VW * sin(∠V)。代入得Area = 1/2 * 8.8892 * 5 * sin(21°)。

10. 计算sin(21°) ≈ 0.3583，代入得Area ≈ 1/2 * 8.8892 * 5 * 0.3583 ≈ 7.9640。

11. 最终计算结果需取至小数点后一位，即三角形的面积为8.0 m²。

12. 经过上述推理，最终得出答案为8.0 m²。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形UVW是由三个非共线点U、V、W及其连接线段UV、VW、WU组成的几何图形。点U、V、W分别是三角形的三个顶点，线段UV、VW、WU分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角∠UVW是由两条射线UV和VW组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点V。这个共同的端点V称为角∠UVW的顶点，而射线UV和VW称为角∠UVW的边。"}, {"name": "Triangle Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of any triangle is 180°.", "this": "三角形UVW中，角∠U、角∠V和角∠W是三角形UVW的三个内角，根据三角形内角和定理，角∠U + 角∠V + 角∠W = 180°。"}, {"name": "Sine Theorem", "content": "In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \\( \\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2r = D \\) (where \\( r \\) is the radius of the circumcircle, and \\( D \\) is its diameter).", "this": "三角形△UVW中，边UV、VW和UW分别对应角∠W、∠U和∠V。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：UV/sin(∠W)=VW/sin(∠U)=UW/sin(∠V) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）。在本题中，计算三角形△UVW中边VW的长度时，设VW = u，根据已知角∠W = 23°和对应边UV = 5 m，利用正弦定理有: 5/sin(23°) = u/sin(136°)。"}, {"name": "Triangle Area Formula (Using Sine Function)", "content": "The area \\( S \\) of any triangle can be expressed as \\( S = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin(C) \\), where \\( a \\) and \\( b \\) are the lengths of two sides, and \\( C \\) is the angle between these two sides.", "this": "在本题图中，三角形UVW中，边UV和边VW分别为a和b，角UVW为这两边的夹角C。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * UV * VW * sin(UVW)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d5813dd618a25339009348116833e6fc-img-cf1237a99bc94b908e44345cb6b2000c.png", "question": "这个菱形的对角线分别是10公里和7公里。\n\n这个菱形的面积是多少？\n \\$ox\\$ 平方公里", "answer": "35 square kilometers", "process": "1. 已知菱形的对角线长度分别为10千米和7千米。

2. 根据菱形的对角线性质，对角线互相垂直且平分，因此两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为对角线的一半。

3. 对角线分别为10千米和7千米，所以每个直角三角形的直角边分别为5千米（即10/2）和3.5千米（即7/2）。

4. 根据三角形面积公式，三角形的面积等于1/2乘以两条直角边的乘积。

5. 计算出一个直角三角形的面积：1/2 × 5 × 3.5 = 1/2 × 17.5 = 8.75 平方千米。

6. 因为四个直角三角形全等，所以整个菱形的面积为4倍的一个直角三角形的面积。

7. 计算菱形的面积：4 × 8.75 = 35 平方千米。

8. 综上所述，菱形的面积为35平方千米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形的所有边都相等，因此该四边形是一个菱形。此外，该四边形的对角线互相垂直平分，即对角线相交于一点，且形成的角为直角（90度）。"}, {"name": "Definition of Diagonal", "content": "A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.", "this": "菱形中，对角线是连接顶点的一条线段。因此，线段分别为10公里和7公里的两条线段就是菱形的对角线。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "在本题图中，菱形的对角线分别为10 km和7 km，对角线互相垂直且平分。具体来说，交点O是对角线的交点，且AO = OC = 5 km和BO = OD = 3.5 km。同时，∠AOB和∠COD都是直角（90度），所以对角线互相垂直。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题图中，由于四个小三角形全等，因此每个面积都为8.75平方千米。具体来说，菱形的对角线分别为10公里和7公里，交点处将菱形分成四个全等的直角三角形。每个直角三角形的直角边分别为5公里和3.5公里，对应边相等，对应角相等。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形的面积等于1/2乘以两条直角边的乘积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f517b53f4ab69997534e2e9fb8bbd770-img-a1e743a015384ce9be8160e563763483.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方毫米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "70square millimeters", "process": "1. 已知梯形的上底长为4毫米，下底长为10毫米。

2. 已知梯形的一侧高为10毫米。根据题目附带的图示，图中一条垂线表示从上底到下底的垂直距离，即为梯形的高。

3. 梯形的面积可以通过梯形面积公式计算：A = 1/2 *(b1 + b2) * h，其中b1和b2分别是上底和下底的长，h是梯形的高。

4. 将已知的数值代入面积公式得：A = 1/2 * (4毫米 + 10毫米) * 10毫米。

5. 计算括号内的和：4毫米 + 10毫米 = 14毫米。

6. 将结果代入公式：A = 1/2 * 14毫米 * 10毫米。

7. 继续进行乘法计算：1/2 * 14毫米 = 7毫米。

8. 进行最后的乘法计算：7毫米 * 10毫米 = 70平方毫米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为70平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "四边形中，梯形的上下两条底边分别是平行的，长度分别为4毫米和10毫米。梯形的两条侧边是不平行的。因此，根据梯形的定义，该四边形是一个梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "在本题图中，梯形中，上底和下底是两条平行边，长度分别为a 和 b，它们之间的高度长度为h，所以梯形的面积为(a + b) * h / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2e48af26edabcbb6986eda1dd49b0a40-img-cd5cb63aea3741989e4f7add2a9a9f5a.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里", "answer": "30square miles", "process": "1. 根据题图，梯形上底为3英里，下底为9英里，斜边长度为7英里，高为5英里。

2. 梯形的面积公式为：面积 = 1/2 × (上底 + 下底) × 高。

3. 代入已知数据，上底 = 3英里，下底 = 9英里，高 = 5英里。得到面积 = 1/2 × (3 + 9) × 5。

4. 计算括号内的和，3 + 9 = 12。

5. 计算公式：面积 = 1/2 × 12 × 5。

6. 进一步计算，1/2 × 12 = 6。

7. 最后一步计算，面积 = 6 × 5 = 30。

8. 经过以上推理，得出梯形的面积为30平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，四边形中，上底为3英里，下底为9英里，两个边是平行的，高度为5英里，斜边长度为7英里。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底为3英里，下底为9英里，高为5英里。根据梯形面积公式，代入已知数据，计算如下：面积 = 1/2 × (3 + 9) × 5，因此，梯形的面积为30平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b05171c292a6fa3ff4515b3c8ba48814-img-e441c3e49c9a4f68a74ace5512fa8507.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英里\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "30square miles", "process": "1. 已知梯形有两个底边，分别为上底b1=3英里和下底b2=9英里。梯形的高h=5英里。我们需要计算梯形的面积。

2. 梯形面积公式是A=1/2 * (b1+b2) * h，其中b1和b2为梯形的两条平行边，h为它们之间的距离。

3. 将已知的b1、b2和h代入面积公式，得到：A=1/2 * (3+9) * 5。

4. 计算括号内的和：3+9=12。

5. 继续计算面积：A=1/2 * 12 * 5。

6. 将12乘以5：12 * 5=60。

7. 最后将60乘以1/2，得到：A=1/2 * 60=30。

8. 经过上述推理，最终得出答案为30平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "边3 mi和边9 mi是平行的，而其他两边不平行。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "边3 mi和边9 mi是两条平行边，长度分别为a和b，它们之间的高度长度为h，所以梯形的面积为(a + b) * h / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7809a0bc4d6c15856b66693f7106de0b-img-cf9f18fc2fc0478ab63160d64194c026.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ PSQ是多少？", "answer": "m \\$\\angle \\$ PSQ=140°", "process": "1. 在题目中，点S是圆形的中心，∠PSR和∠QSR是由线段PS、SR和SQ构成的圆心角，给出了∠PSR = 140°和∠QSR = 80°。

2. 根据圆的角度性质，圆内同一中心的各弧对应的圆心角之和等于360°。因此∠PSQ、∠PSR和∠QSR的和是360°。

3. 将已知角度代入，得到等式：∠PSQ + ∠PSR + ∠QSR = 360°。即，∠PSQ + 140° + 80° = 360°。

4. 合并同类项，得到∠PSQ + 220° = 360°。

5. 两边同时减去220°，得到∠PSQ = 140°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠PSQ = 140°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本题图中，弧PR弧PQ弧RQ绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆心角之和也为360度，即角PSR+角QSR+角PSQ=360度，则角PSR=140度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8c5af0e19dad09c1b7f2faed413ffb2f-img-aa0828deebb741dc99ce55c3ca81dc61.png", "question": "m \\$\\\\overset{\\\\frown}{FH}\\$ 是多少？\n\nm \\$\\\\overset{\\\\frown}{FH}\\$ = \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{FH}\\$ =90°", "process": "1. 根据圆的角度性质，得圆的整周的弧度和为360度。

2. 圆的周长对应360°，���此在圆中，所有圆心角所包含的弧的度数之和为360°。

3. 题目中给出的圆弧为弧FG、弧GH和弧FH，已知弧FG的度数=150°和弧GH的度数=120°。

4. 根据步骤2中的结论，弧FG、弧GH和弧FH的度数之和为360°，因此可以写出如下等式：弧FG + 弧GH + 弧FH = 360°。

5. 代入已知数据，即150° + 120° + 弧FH = 360°。

6. 将150°和120°相加，得出270° + 弧FH = 360°。

7. 为了求出弧FH，将270°从两边同时减去，得到弧FH = 360° - 270°。

8. 经过运算，弧FH = 90°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本题图中，弧GH弧HF弧GF绕圆一周，弧度和为360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e59eb040f93498bedfba04fef7e7901f-img-a443f1cee9d243e6a7b150a9669864aa.png", "question": "m \\$rown{GI}\\$ 是多少？\n\nm \\$rown{GI}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{GI}\\$ =130°", "process": "1. 根据圆的角度性质，∡GH + ∡HI + ∡GI = 360°，因为它们构成了一个整圆。

2. 已知μ(∡GH) = 120°，μ(∡HI) = 110°，将这些值代入方程：120° + 110° + μ(∡GI) = 360°。

3. 计算右边的和，120° + 110° = 230°。

4. 将230°移到方程另一边得到μ(∡GI) = 360° - 230°。

5. 进行减法运算得到μ(∡GI) = 130°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为130°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧GH弧HI弧IG绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角GOH+角HOI+角IOG=360度，则角IOG=130度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cf2fd7ecb8cdef9ce40ef0b65ba324c3-img-f4340b7fccdb461fae47e0af0661a26f.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ EDG是多少？", "answer": "m \\$\\angle \\$ EDG=140°", "process": "1. 已知∠FDG, ∠EDG和∠EDF都是围绕点D的角，那么它们的角度和是360°。

2. 根据题意，已知∠FDG=100°，∠EDF=120°。

3. 根据圆的角度性质，可得 ∠FDG + ∠EDG + ∠EDF = 360°。

4. 将已知的角度代入得到：100° + ∠EDG + 120° = 360°。

5. 化简上述等式：∠EDG + 220° = 360°。

6. 从两边都减去220°以解出∠EDG，得∠EDG = 140°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为140°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本题图中，弧FG，弧GE，弧EF绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即∠FDG + ∠EDG + ∠EDF = 360°，则∠EDG = 140°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-39112795dca08165d1e8dc2cd0c55f50-img-18f812b25a8247759bba50cde738d42e.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n\\$\nBox\n\\$ 平方厘米", "answer": "18square centimeters", "process": "1. 根据题目条件，设梯形为ABCD（逆时针依次取顶点，A为左上顶点），AD为上底，BC为下底，梯形的上底为 AD = 4 厘米，下底为 BC = 8 厘米，高为 h = 3 厘米。

2. 梯形的面积公式为：\\( A = \\frac{1}{2} (b_1 + b_2) \\times h \\)，其中 b1 和 b2 是梯形的两条平行边的长度，h 是高度。

3. 将已知的上底和下底长度代入公式：\\( A = \\frac{1}{2} (4 + 8) \\times 3 \\)。

4. 计算括号中的值：\\( 4 + 8 = 12 \\)。

5. 将上一步中的结果代入公式继续计算：\\( A = \\frac{1}{2} \\times 12 \\times 3 \\)。

6. 先计算乘积：\\( 12 \\times 3 = 36 \\)。

7. 求面积：\\( A = \\frac{1}{2} \\times 36 = 18 \\)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为（单位平方厘米）：", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，四边形 ABCD 中，边 AD 和边 BC 是平行的，而边 AB 和边 CD 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 ABCD 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底 AD 的长度为 b1 = 4 厘米，下底 BC 的长度为 b2 = 8 厘米，高度 h = 3 厘米。根据梯形面积公式 A = \\( \\frac{1}{2} (b_1 + b_2) \\times h \\)，代入已知值得到面积 A = \\( \\frac{1}{2} (4 + 8) \\times 3 = 18 \\) 平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d1c2df0462f179eeda236bb059174c21-img-5d813651f1a94c14a0a9c25bafb0229b.png", "question": "m \\$\\overset{\\frown}{FG}\\$ 是多少？", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{FG}\\$ =90°", "process": "1. 已知，弧GH度数为120°，弧FH度数为150°，设圆心为O，他们所对的圆心角也分别为120°，150°。

2. 求弧FG的度数，也即其所对圆心角的度数，有360°-150°-120°＝90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆O中，点F和点G是圆上的两点，圆心是点O。连线OF和OG组成的角∠FOG称为圆心角。点F和点H是圆上的两点，圆心是点O。连线OF和OH组成的角∠FOH称为圆心角。点G和点H是圆上的两点，圆心是点O。连线OG和OH组成的角∠GOH称为圆心角。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧FH弧HG弧GF绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角FOH+角HOG+角GOF=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8dae1e64c60ec84ae5bb10c35ef5abb6-img-de07799c818c4f4c949e810f4beb59b7.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ QPR是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ QPR= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ QPR=70°", "process": "1. 圆心角性质：在一个圆中，同一条弧的圆心角等于360°。

2. 首先，观察图中，点 P 是圆心，分别有两条线段 PR 和 PS 经过该点。

3. 由题目条件，m∠RPS = 150°，m∠QPS = 140°，我们需要求 m∠QPR 的度数。

4. 根据圆心角的性质，m∠RPS + m∠QPR + m∠QPS = 360°。

5. 将已知的角度代入方程式，得到 150° + m∠QPR + 140° = 360°。

6. 将已知度数相加，得出 150° + 140° = 290°。

7. 方程化简为 m∠QPR + 290° = 360°。

8. 从两边同时减去 290°，以解决方程，m∠QPR = 360° - 290°。

9. 经过减法运算，得出 m∠QPR = 70°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为70°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点R和点S是圆上的两点，圆心是点P。连线PR和PS组成的角∠RPS称为圆心角。同样，点Q和点S是圆上的两点，圆心是点P。连线PQ和PS组成的角∠QPS称为圆心角。点Q和点R是圆上的两点，圆心是点P。连线PQ和PR组成的角∠QPR称为圆心角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3a13e10754930f1a9bdb3f288e45f98c-img-e6b06a468f2142f389e9b54a05a11d27.png", "question": "m \\$rown{RS}\\$ 是多少？\n\nm \\$rown{RS}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{RS}\\$ =120°", "process": "1. 由题图可知，圆心分别连接至点R、Q、S，并将圆周分割成三段弧即\\overset{\\frown}{RS}，\\overset{\\frown}{QR}和\\overset{\\frown}{QS}。

2. 根据圆的角度性质（即在一个圆中，从圆心出发形成的三个扇形的角度之和为360°），可得出如下等式：m \\overset{\\frown}{RS} + m \\overset{\\frown}{QR} + m \\overset{\\frown}{QS} = 360°。

3. 已知m \\overset{\\frown}{QR} = 110°，m \\overset{\\frown}{QS} = 130°，将其代入上式，因此可以得：m \\overset{\\frown}{RS} + 110° + 130° = 360°。

4. 通过计算可得：m \\overset{\\frown}{RS} + 240° = 360°。

5. 通过从方程两边同时减去240°，可得：m \\overset{\\frown}{RS} = 120°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为120°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本���图中，设圆心为O，弧RQ弧QS弧RS绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆心角之和也为360度，即角ROS+角SOQ+角ROQ=360度，则角ROQ=110度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5e51eabffba23e19ba1e8a5476d46749-img-b04480b871bc4149bf21db4c3ad29f39.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方英寸\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "40square inches", "process": "1. 根据题意，梯形的两条底边分别为b1=10英寸和b2=6英寸。

2. 梯形的高度h从上底到下底垂直，高度为5英寸。

3. 选定一个点，从上底的右端向下底垂直，形成一个直角三角形（设直角三角形为ABC，AB＝5，BC是另一个直角边，AC为斜边）。

4. 梯形的面积计算公式为：A=1/2 * (b1+b2) * h。

5. 将已知值代入公式：A = 1/2 * (10 + 6) * 5。

6. 计算括号中的和：b1+b2=16英寸。

7. 将括号内结果带入公式：A = 1/2 * 16 * 5。

8. 进行乘法运算：A = 8 * 5。

9. 计算最后结果：A = 40。

10. 经过上述推理，最终得出答案为40平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "梯形的上底边为6英寸，下底边为10英寸；其他两边不平行，分别为两条斜边。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "选定一个点，从上底右端垂直到下底，形成一个直角三角形。直角在该垂线与下底的交点处。该直角三角形的两条直角边分别是梯形的高度（5英寸）和BC，斜边是从上底右端到下底右端的线段。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "边6英寸和边10英寸是两条平行边，边5英寸是它们之间的高度，所以梯形的面积为(6 + 10) * 5 / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3e9e947d8d6f9358ca28c94546b8a8e0-img-e337d584192e43e895b47b8c3618d359.png", "question": "m \\$rown{RS}\\$ 是多少？\n\nm \\$rown{RS}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{RS}\\$ =90°", "process": "1. 已知圆中，设圆心为O，弧RT的度数为 120°，弧ST的度数为 150°，要求弧RS的度数。

2. 由圆的角度性质可知，圆的整周的弧度和为360度，整周的弧所对圆心角之和为360度。

3.所以有弧RT＋弧ST＋弧RS＝360°

4.整理可得弧RS＝360°-120°-150°＝90°

5.经过上述推理，最终得出答案为 90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆的圆心是圆心点，半径为从圆心到圆周上任意一点的距离，例如从圆心到点 R、S、T 的距离为半径。图中所有到圆心点的距离等于半径的点都在这个圆上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有三点 R、S 和 T，弧RT是连接点 R 和点 T 的曲线，弧ST是连接点 S 和点 T 的曲线，弧RS是连接点 R 和点 S 的曲线。根据弧的定义，弧RT, ST和RS都是圆上两点之间的一段曲线。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧RT弧ST弧RS绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角ROT+角SOT+角ROS=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-aed8e843ac8f992fb3f293272c02f3f2-img-a561f304392048499a526f25be997040.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方厘米\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：���开头）", "answer": "28square centimeters", "process": "1. 已知梯形的上底 b1 = 4 厘米，梯形的下底 b2 = 10 厘米，高 h = 4 厘米。

2. 梯形的面积可以通过以下公式计算：A = 1/2 * (b1 + b2) * h。

3. 将题中给定的已知条件代入公式，得到 A = 1/2 * (4 + 10) * 4。

4. 计算括号内的和，得到 A = 1/2 * 14 * 4。

5. 先计算 1/2 * 14，得到结果为 7。

6. 然后计算 7 * 4，得到结果为 28。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 28 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "四边形的上底为 4 厘米，下底为 10 厘米，高度为 4 厘米。根据梯形的定义，梯形是指一种四边形，且具有一对平行边。在此图中，上底和下底是平行的，而其他两边不平行。因此，该四边形是一种梯形。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底边为 4 厘米，下底边为 10 厘米，高为 4 厘米，所以梯形的面积为 (4 + 10) * 4 / 2 = 28 平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-4d12db310e1c21e0e639a7efb536516c-img-5e2fb315b9244382916a683f5b4b3191.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ HGJ是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ HGJ= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ HGJ=100°", "process": "1. 已知弧IJ的圆心角∠IGJ＝120°，弧IH的圆心角∠IGH＝140°

2. 依据圆的角度性质，圆的整周的弧度和为360度，整周的弧所对圆心角之和为360度。

3.可知∠HGJ＝360°-∠IGJ-∠IGH

4.整理可知，∠HGJ＝360°-120°-140°＝100°

5.因此，经过上述推理，最终得出答案为：∠HGJ = 100°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，点G是圆心，点H、I、J是圆上的任意一点，线段GH、GI和GJ是从圆心G到圆上任意一点的线段，因此线段GH、GI和GJ是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆中，点I和点J是圆上的两点，圆心是点G。连线GI和GJ组成的角∠IGJ称为圆心角。同理，连线GH和GI组成的角∠HGI，连线GH和GJ组成的角∠HGJ也称为圆心角。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本题图中，弧HI弧IJ弧JH绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角IGJ+角HGI+角JGH=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-95b2af887ca558a8bc8340df27fb481a-img-1fb844339c394965b5ee9ee8010978dd.png", "question": "m \\$\\\\overset{\\\\frown}{FG}\\$ ？", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{FG}\\$ =90°", "process": "1. 已知圆周上的点E, F, G，设圆心为O，并且这三个点是顺时针排列的。因此圆周角所对应的圆心角总和为360°。

2. 根据圆的角度性质，弧EF, 弧FG和弧EG覆盖了一整个圆周，因此弧EF+弧FG+ 弧EG= 360°。

3. 题目给出弧EF= 140°，弧EG= 130°。

4. 将已知的弧度代入公式得：140° + 弧FG + 130° = 360°。

5. 合并已知的弧EF和弧EG的角度，有140° + 130° = 270°。

6. 将270°代入方程，得到 270° + 弧FG = 360°。

7. 移项求得 弧FG= 360° - 270° = 90°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆O中，点E和点G是圆上的两点，圆心是点O。连线OE和OG组成的角∠EOG称为圆心角。点E和点F是圆上的两点，圆心是点O。连线OE和OF组成的角∠EOF称为圆心角。点F和点G是圆上的两点，圆心是点O。连线OF和OG组成的���∠FOG称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆周上有三点E, F和G，弧EF是连接点E和点F的一段曲线，弧FG是连接点F和点G的一段曲线，弧EG是连接点E和点G的一段曲线。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧EF弧FG弧GE绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆心角之和也为360度，即角EOF+角FOG+角GOE=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-43cb3b621f7f1327e6378fe9589e794b-img-a5014bbcf73545928f117aae1705e059.png", "question": "求阴影部分的面积。\n\n将你的答案四舍五入到最接近的十分位。\n\n\\$\nBox\\$ 平方厘米", "answer": "4.6 square centimeters", "process": "1. 已知圆的半径为 4 厘米，圆心角 ∠ABC 为 90°，计算扇形 ABC 的面积是求阴影部分面积的第一步。

2. 扇形的面积公式是：面积 = 圆心角度数/360° × 圆的面积，其中圆的面积为 πr²。

3. 将已知数据代入公式：扇形 ABC 的面积 = 90°/360° × π × 4² = 4π 平方厘米。

4. 接下来计算三角形 ABC 的面积。因为三角形 ABC 是直角三角形，且两条直角边是圆的半径，长度均为 4 厘米。

5. 直角三角形的面积计算公式是：面积 = 1/2 × 底 × 高。

6. 将已知数据代入公式：三角形 ABC 的面积 = 1/2 × 4 × 4 = 8 平方厘米。

7. 阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积。

8. 计算阴影部分的面积：阴影部分面积 = 4π - 8 平方厘米。

9. 近似计算，π 取 3.14159，得 4 × 3.14159 = 12.56636。

10. 阴影部分的面积 = 12.56636 - 8 = 4.56636 平方厘米。

11. 将结果四舍五入到最近的小数位，得到阴影部分的面积约为 4.6 平方厘米。

12. 经过上述推理，最终得出答案为约 4.6 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点A和点C是圆上的两点，圆心是点B。连线BA和BC组成的角∠ABC称为圆心角，且∠ABC = 90°。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形 ABC 中，半径 AB 和半径 BC 是圆的两条半径，圆弧 AC 是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧 AC 组成的图形为扇形。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形 ABC 中，角 ∠ABC 是直角（90度），因此三角形 ABC 是一个直角三角形。边 AB 和边 BC 是直角边，边 AC 是斜边。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是 4 厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径4的平方，即A = π4²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形ABC中，圆心角ABC的度数为θ，半径AB的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形ABC的面积A = (θ/360) * π * r²。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形ABC中，边AB是底，线段BC是该底上的高，所以三角形ABC的面积等于底AB乘以高BC除以2，即面积 = (AB * BC) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d7f05141b7fa2bf5cc0bb4acc92fa643-img-34dc44c569184d01976a206d733fdb63.png", "question": "求阴影区域的面积。\n\n将答案四舍五入到最接近的十分位。\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "10.3 square meters", "process": "1. 题目提供的图形为圆，圆心为点Y，两点S和T在圆上。已知圆的半径YS=YT=6米，且在SYT三角形中，角SYT为直角（90°），则三角形SYT是直角三角形。

2. 用于定义扇形SYT的弧ST的角度是∠SYT=90°。

3. 根据圆的面积公式A=πr^2，整个圆的面积为π* 6^2=36π平方米。

4. 使用扇形的面积公式K=(m/360)* A，其中m是中心角度。对于扇形SYT，m=90°，于是扇形SYT的面积为(90/360)* 36π=9π平方米。

5. 三角形SYT是直角三角形，且两条直角边（YS和YT）都是6米。使用三角形面积公式A=(YS * YT) / 2，计算得出三角形SYT的面积为（6 *6）/2=18平方米。

6. 阴影区域的面积是扇形SYT的面积减去三角形SYT的面积：9π-18平方米。

7. 代入π的近似值（约为3.14159），计算9π-18约等于10.27433平方米。

8. 将结果四舍五入到最近的十分位，得到阴影区域的面积为10.3平方米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10.3平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆中，点Y是圆心，半径为6米。图中所有到点Y的距离等于6米的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点S和T，弧ST是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧ST是圆上两点S和T之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形SYT中，半径YS和半径YT是圆的两条半径，圆弧ST是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧ST组成的图形为扇形。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形SYT中，角SYT是直角（90度），因此三角形SYT是一个直角三角形。边YS和边YT是直角边，边ST是斜边。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆Y中，圆的半径是6米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = π6²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "扇形SYT的中心角度m=90°，整个圆的面积A=36π平方米，因此扇形SYT的面积为(90/360)* 36π=9π平方米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三角形SYT中，边YS是底，线段YT是该底上的高，所以三角形SYT的面积等于底YS乘以高YT除以2，即面积A=(YS * YT) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7b050c853cfa73dd8ea1e3e698be99de-img-a742d0fff830482db3e1dfa40975dac8.png", "question": "在圆G中，\\$riangle\\$ RGS的角度为t°，半径\\$riangle\\$RG的长度为b。\n\n如果圆G以其中心为中心按2.5的比例因子扩展，\\$riangle\\$RS的新长度是多少？\n\n- ​𝜋b ^ 2t/72\n- ​𝜋b ^ 2t/144\n- ​𝜋bt/144\n- ​𝜋bt/72", "answer": "- ​𝜋bt/72", "process": "1. 首先，根据题意，圆G的半径是\\( \\overline{RG} = b \\)，弧所对的圆心角是\\( \\angle RGS = t^\\circ \\)。

2. 对圆G进行以其中心为中心的2.5倍比例放大，根据相似图形的性质，半径\\( \\overline{RG'} = 2.5 \\times b \\)。

3. 由于伸缩变换不改变角的度量，所以\\( \\angle R'G'S' = \\angle RGS = t^\\circ \\)。

4. 通过放大后，我们得到新的圆周长\\( C' = 2 \\pi \\times 2.5b = 5\\pi b \\)。

5. 通过圆上弧长公式，弧长\\( \\overset{\\frown}{R'S'} \\) 的计算公式为：\\( \\frac{m}{360^\\circ} \\times C \\)，其中\\( m \\)为弧对应的圆心角的度数。

6. 因此，弧长\\( \\overset{\\frown}{R'S'} = \\frac{t}{360} \\times 5\\pi b \\)。

7. 进一步简化可得\\( \\frac{t}{360} \\times 5\\pi b = \\frac{5t \\pi b}{360} = \\frac{\\pi bt}{72} \\)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为\\( \\frac{\\pi bt}{72} \\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆G中，点G是圆心，半径为b。图中所有到点G的距离等于b的点都在圆G上。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "在本题图中，圆G中，点G是圆心，线段RG是半径b。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径b，即C=2πb。经放大后新的圆周长为C' = 2π × 2.5b = 5πb。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧长\\( \\overset{\\frown}{RS} \\)的计算公式为：\\( \\frac{t}{360^\\circ} \\times 5\\pi b \\)。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "在本题图中，角\\( \\angle RGS \\)是由两条射线\\( \\overline{RG} \\)和\\( \\overline{GS} \\)组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点G。这个共同的端点G称为角\\( \\angle RGS \\)的顶点，而射线\\( \\overline{RG} \\)和\\( \\overline{GS} \\)称为角\\( \\angle RGS \\)的边，其度数为t°。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆G中，点R和点S是圆上的两点，圆心是点G。连线GR和GS组成的角∠RGS称为圆心角，其度数为t°。"}, {"name": "Similarity Theorem for Triangles (AA)", "content": "Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.", "this": "在本题图中，圆进行2.5倍比例放大，新的圆的半径\\( \\overline{RG'} \\) 与原圆半径\\( \\overline{RG} \\) 成比例，\\( \\overline{RG'} = 2.5 \\times b \\)，对应角 \\( \\angle RGS \\) 度数保持不变，为t°。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "弧 \\( \\overset{\\frown}{RS} \\) 的长度计算公式为：\\( \\frac{t}{360} \\times 5\\pi b \\)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-268da46d4f85560eb01f7f5ed537185e-img-3aba9e4d66de414cbad9dab2f6314a15.png", "question": "在圆G中，\\$heta\\$ RGS的角度为t°，半径\\$heta\\$ RG的长度为b。\n\n如果圆G以其中心为缩放中心按比例因子2.5进行缩放，\\$heta\\$ RS的新长度是多少？\n\n- ​𝜋bt/144\n- ​𝜋b ^ 2t/72\n- ​𝜋b ^ 2t/144\n- ​𝜋bt/72", "answer": "- ​𝜋bt/72", "process": "1. 首先，我们需要明确圆 G 的性质：圆心是 G，半径长度为 b。

2. 题目中提到 ∠RGS 测量为 t°，这意味着弧 RS 在圆 G 中对应的圆心角为 t°。

3. 根据题目要求，圆 G 以其圆心为中心放大，缩放因子为 2.5。由此，新的圆，记为 G'，其半径 R'G' 的长度为 2.5b。

4. 由于放大是关于圆心 G 进行的，因此圆心角 ∠R'G'S' 的大小不变，仍为 t°。

5. 现在我们来计算放大后的圆 G' 的周长。根据周长公式：C = 2πr，其中 r 是半径。因此，G' 的周长 C' = 2 × π × 2.5b = 5πb。

6. 根据圆周角的定义，弧 R'S' 的长度可以用公式计算：𝓁 = m/360 × C，其中 m 是圆心角的度数，C 是圆的周长。

7. 对于圆 G'，弧 R'S' 的长度为：𝓁 = t/360 × 5πb。

8. 对上式进行化简：𝓁 = (5πbt)/360。

9. 进一步化简得：𝓁 = πbt/72。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 πbt/72。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆G中，点G是圆心，半径为b。图中所有到点G的距离等于b的点都��圆G上。圆G‘中，点G’是圆心，半径为b。图中所有到点G‘的距离等于b的点都在圆G’上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆 G 上有两点 R 和 S，弧 RS 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧 RS 是圆上两点 R 和 S 之间的一段曲线。圆 G' 上有两点 R' 和 S'，弧 R'S' 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧 R'S' 是圆上两点 R' 和 S' 之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆G中，点R和点S是圆上的两点，圆心是点G。连线GR和GS组成的角∠RGS称为圆心角，其度数为t°。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆G中，点G是圆心，线段RG是半径b。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。因此，放大后的圆G'的半径为2.5b，圆G'的周长C'等于2π乘以半径2.5b，即C'=2π×2.5b=5πb。"}, {"name": "Arc Length Formula of a Circle", "content": "The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.", "this": "圆 G 上，弧 R'S' 的长度 L = (t/360) × 5πb，化简后得出 L = πbt/72。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c3420ecf880ec3113966b8e19852e0aa-img-cbe57d20399b44248ee05a2f2373c664.png", "question": "求阴影部分的面积。\n\n将答案四舍五入到十分位。\n \\$ox\\$ 平方米", "answer": "10.3 square meters", "process": "1. 已知圆心是Y，半径YS = YT = 6米，圆心角∠SYT = 90°。

2. 根据圆心角性质，扇形SYT的弧的度数是90°，而整个圆的面积为π乘以半径的平方，因此整圆的面积为π×6^2 = 36π平方米。

3. 通过计算部分扇形面积，可以使用扇形的面积公式：扇形面积= (圆心角度数 / 360°)×整圆面积，得出扇形SYT面积为(90°/360°)×36π = 9π平方米。

4. 由∠SYT为直角三角形知，计算△SYT的面积需要用到三角形的面积公式：面积 = 1/2×底×高，得出△SYT的面积是1/2×YS×YT = 1/2×6×6 = 18平方米。

5. 为求得阴影部分面积，需要从扇形的面积中减去△SYT的面积，因此阴影部分面积 = 扇形SYT面积 - △SYT面积 = 9π - 18平方米。

6. 将结果9π - 18计算为十进制近似值，得出阴影部分的面积约为10.27433。

7. 将结果四舍五入到十分位，得到的最终答案是10.3平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形SYT中，圆心角SYT的度数为90°，半径SY的长度为6。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以扇形SYT的面积A = (90/360) * π * 6²。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆Y中，半径SY表示圆的半径，面积A表示圆的面积。根据圆的面积公式，圆的面积A = πr^2，其中π是圆周率。因此，圆Y的面积可以通过半径SY计算得出，即A = π(SY)^2。"}, {"name": "Area of Right Triangle", "content": "The area of a right triangle is equal to half the product of the two legs that form the right angle, i.e., Area = 1/2 * base * height.", "this": "在本题图中，直角三角形SYT中，角SYT是直角（90度），边SY和TY是直角边，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边SY * 边TY。"}, {"name": "Property of Central Angle", "content": "The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.", "this": "弧ST所对圆心角是角SYT，弧ST度数=角SYT度数。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a0a981ffe3ac1fd0d54850b03be415f6-img-4a3738d01e3e488180a2dc4021ce5c80.png", "question": "在下图中，有两个以L为圆心的圆。半径\\$\\overline{LN}\\$的长度为4.5厘米，直径\\$\\overline{OQ}\\$的长度为12厘米。\\$\\overset{rown}{OQP}\\$的度数为240°。\n\n求阴影部分的面积。\n将你的答案精确到十分位。\n \\$\\\\Box\\$ 平方厘米", "answer": "16.5 square centimeters", "process": "1. 已知圆心L，半径LN为4.5厘米，那么较小圆的半径为4.5厘米。已知直径OQ为12厘米，所以较大圆的半径LO为6厘米。

2. 已知弧OQP的测量为240°。因为整圆的测量是360°，所以弧OP的测量是360° - 240° = 120°。

3. 根据扇形的面积公式A = (m/360°) * π * r^2，其中m为弧度数，r为半径，算出扇形OLP的面积。

4. 扇形OLP的弧OP测量为120°，半径为6厘米。故扇形OLP面积为(120/360) * π * 6^2 = 12π平方厘米。

5. 由于M点和N点分别在线段OL和线段PL上，即圆心角MLN与OQP同为240°，所以弧MN的测量也是360° - 240° = 120°。

6. 扇形MLN的弧MN也是120°，半径为4.5厘米。故扇形MLN面积为(120/360) * π * 4.5^2 = 6.75π平方厘米。

7. 求阴影区域对应扇形面积的差异，即阴影区域面积是扇形OLP面积减去扇形MLN面积。

8. 计算阴影区域面积：12π - 6.75π = 5.25π平方厘米。

9. 计算结果数值，5.25π约为5.25 * 3.14159 ≈ 16.49336平方厘米。

10. 将结果四舍五入到小数点后一位，得到阴影区域面积为16.5平方厘米。

11. 经过上述推理，最终得出答案为16.5平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "点L是圆心，半径分别为4.5厘米和6厘米。图中所有到点L的距离等于4.5厘米的点都在较小的圆上，所有到点L的距离等于6厘米的点都在较大的圆上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆中，点L是圆心，点N是圆上的任意一点，线段LN是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段LN是圆的半径；同样，圆中，点L是圆心，点O是圆上的任意一点，线段LO是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段LO是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "线段OQ是大圆的直径，连接了圆心L和圆周上的O、Q两点，长度为2倍的半径，即OQ = 2 * LO = 12厘米。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点O和点P是圆上的两点，圆心是点L。连线LO和LP组成的角∠OLP称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "在本题图中，扇形OLP中，半径OL和半径PL是圆的两条半径，圆弧OP是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧OP组成的图形为扇形OLP。扇形MLN中，半径ML和半径NL是圆的两条半径，圆弧MN是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧MN组成的图形为扇形MLN。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "在本题图中，圆L中，点O、Q、P在圆上，弧OQP对应的圆心角为∠OLP，圆周角为∠OQP。根据圆周角定理，∠OQP等于它所对的弧OQP所对应的圆心角∠OLP的一半，即∠OQP = 1/2 ∠OLP。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "较大圆的扇形OLP的面积可以用公式A = (120/360) * π * 6^2计算，得到12π平方厘米；较小圆的扇形MLN的面积可以用公式A = (120/360) * π * 4.5^2计算，得到6.75π平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8312b927fcbd4a81a687aca0a963b782-img-f16a9f36b7de47cbbc29108bd866465c.png", "question": "\\$\\overline{LK}\\$ 是圆 Z 的直径。 \n\n 求阴影部分的面积。 \n 将你的答案四舍五入到最接近的十分位。 \n \\$\\Box\\$ 平方英寸", "answer": "57.1 square inches", "process": "1. 确定圆的半径为 10 米。因此，️三角形 LJK 的斜边LK是LJ与JK之和，他们均为圆的半径，长度为 10 米，得LK为20。

2. 计算圆 Z 的面积公式为 πr^2 ，其中 r 是圆的半径。由于 r = 10 米，圆的面积为 100π 平方米。

3. 由于LK是直径，️则弧LJK所成的扇形为半圆，其面积为 50π 平方米。

4. 三角形 LJK 的面积计算公式为 A = 1/2 · b · h，其中 b =LK= 20 米，h = ZJ＝10 米。因此，️三角形的面积为 1/2 · 20 · 10 = 100 平方米。

5. 阴影区域的面积为半圆扇形的面积减去三角形 LJK 的面积，即️ 50π - 100。

6. 将上述表达式计算得到 50π - 100 ≈ 57.07963。

7. 将计算结果保留到小数点后第一位，最终阴影区域的面积为 57.1 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "LK是直径，连接了圆心 Z和圆周上的 L、K 两点，长度为2 倍的半径，即LK= 20 米。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆 Z 中，点 Z 是圆心，点 L 和 K 和 J 是圆上的任意一点，线段 LZ 和 KZ 和 JZ 是从圆心 Z 到圆上任意一点的线段，因此线段 LZ 和 KZ 和 JZ 是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形LJK中，半径LZ和半径KZ是圆的两条半径，圆弧LJK是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧LJK组成的图形为扇形。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆 Z 的半径是 10 米，根据圆的面积公式，圆的面积 A 等于圆周率 π 乘以半径 10 的平方，即 A = π * 10² = 100π 平方米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形LJK中，边LK是底，线段JZ是该底上的高，所以三角形LJK的面积等于底LK乘以高JZ除以2，即面积 = (LK * JZ) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-773e790db302fd4927ecba31eae8a8b6-img-b40f12253790432297e9db0d56a7587d.png", "question": "四边形 ABCD 内接于圆 E。\\$\\overline{AC}\\$ 和 \\$\\overline{BD}\\$ 是圆的直径。\n\n请选择所有必须为真的陈述。\n\n- \\$\\angle \\$ C 和 \\$\\angle \\$ A 是互补角。\n- \\$\\angle \\$ C 和 \\$\\angle \\$ D 是互补角。\n- △ABD 是直角三角形。\n- △AED 是直角三角形。", "answer": "- \\$\\angle \\$ C and \\$\\angle \\$ A are supplementary angles. \n- \\$\\angle \\$ C and \\$\\angle \\$ D are supplementary angles. \n- △ABD is a right triangle. \n- △AED is a right triangle.", "process": "1. 已知四边形ABCD内切于圆E，且AC和BD为该圆的直径。在圆内接四边形中，对角相加为180°{(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理}，所以角CDA和角ABC是互补角，角DAB和角BCD是互补角。

2. 由于BD为直径，弧DAB的度数为180°，根据圆周角定理，相应的圆周角BCD为90°，即角C为90°。同时，由于AC是直径，弧ABC的度数也为180°，相应的圆周角D为90°，故角ADC为90°。

3. 因为角C和角D都是90°，它们的和为180°，因此角C和角D是互补角。

4. △ABD中，BD是直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，角DAB为直角。因此△ABD��直角三角形。

5. 在△AED中，角BEC是圆心角，对应弧BC的度数，与弧DC相对的角DEC是垂直的，因此根据对顶角的定义可知，角AED为直角，因此△AED是直角三角形。

6. 综上所述，所有选项均为真：角C和角A是互补角；角C和角D是互补角；△ABD是直角三角形；△AED是直角三角形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆E上。这个圆称为四边形ABCD的外接圆。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "线段AC和线段BD都通过圆心E且端点在圆E的圆周上，因此AC和BD是圆E的直径。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠A + ∠C = 180°；∠B + ∠D = 180°。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "在本题图中，圆E中，直径AC所对的圆周角∠ADC是直角（90度），直径BD所对的圆周角∠BCD是直角（90度）。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "在本题图中，三角形ABD中，角DAB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形。边AD和边AB是直角边，边DB是斜边。三角形AED中，角AED是直角（90度），因此三角形AED是一个直角三角形。边AE和边ED是直角边，边AD是斜边。"}]} +{"img_path": "ixl/question-550753581a5e5a19b29e14ca7559d8e9-img-2b0820e86dd5410c89d3d05c37a8c0bd.png", "question": "Allie画了下面的四边形。\n\n求m的值，使得Allie可以在四边形外接一个圆。\nm= \\$ox\\$", "answer": "m=-23", "process": "1. 题目要求Allie画出的四边形能够被外接圆 circumscribe 包围；在这样的情况下，该四边形满足内接四边形定义，即四边形的对角相加等于180度。

2. 已知四边形的两个对角一个为 (−6m−90)°，另一个为 (−5m+17)°。

3. 根据内接四边形定义：对角 A 和 C 的和应该等于180°，因此设∠A 表示(−6m−90)°和∠C 表示(−5m+17)°，有：∠A + ∠C = 180 °。

4. 将角度的表达式代入，得到方程： (−6m−90) + (−5m+17) = 180 。

5. 化简方程：(−6m−90) + (−5m+17) = -11m−73 = 180。

6. 通过解方程步骤，进行移项，得出：−11m = 180 + 73，得-11m=253。

7. 解m：m=−253/11；

8. 经过上述推理，最终得出答案为m= -23。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "四边形的四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。因此，四边形是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角A + 角C = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，四边形的顶点都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形的每一对对角的和等于180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dce57d26b525bb700e07270073e03c02-img-95c42b2687b34c379d4c5d8027ca3b6c.png", "question": "四边形QUAD内接于一个圆。请选择所有必须为真的陈述。- m \\$\\\\overset{\\\\frown}{QU}\\$ =m \\$\\\\overset{\\\\frown}{UA}\\$ - \\$\\\\angle \\$ Q 和 \\$\\\\angle \\$ D 是余角。- m \\$\\\\angle \\$ U=140° - m \\$\\\\overset{\\\\frown}{QPD}\\$ =180°", "answer": "- m \\$\\overset{\\frown}{QU}\\$ =m \\$\\overset{\\frown}{UA}\\$ \n- \\$\\angle \\$ Q and \\$\\angle \\$ D are complementary angles. \n- m \\$\\angle \\$ U=140°", "process": "1. 已知四边形 QUAD 是一个圆内接四边形，根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，得出 ∠U 和 ∠D 互补。

2. 根据题意，弧 UA 的度数与弧 QU 的度数是否相等。由于 ∠A 是弧 UQD 上的内接角，∠A 的度数为 (130°)，则弧 UQD 的度数为 2 × 130° = 260°。

3. 由于弧 UQ 和弧 QPD 共同构成弧 UQD，因此弧 QPD 的度数为 260° - 40° = 220°。

4. 圆周总度数为 360°，弧 QPD，弧 AD、弧 UA 和弧 UQ 构成整个圆，因此弧 UA 的度数为 360° - 220° - 60° - 40° = 40°。

5. 由以上计算，弧 UA 的度数与弧 QU 的度数均为 40°，因此 弧 QU = 弧 UA。

6. ∠Q 和 ∠D 的关系分析：∠Q 的内接角截弧为弧 UD，弧 UD 的总度数为 40° + 60° = 100°，因此 ∠Q 的度数为 100° ÷ 2 = 50°。

7. ∠D 的内接角截弧为弧 QA，弧 QA 的总度数为 40° + 40° = 80°，因此 ∠D 的度数为 80° ÷ 2 = 40°。

8. 由于 ∠Q + ∠D = 50° + 40° = 90°，根据直角的定义，∠Q 和 ∠D 互为余角，因此互为补角的结论成立。

9. 检查 ∠U 的度数：∠U 的内接角截弧为弧 QPA，弧 QPA 的度数为 220° + 60° = 280°，因此 ∠U 的度数为 280° ÷ 2 = 140°。

10. 检查题中的 弧 QPD 是否等于 180°，从前述计算可知，弧 QPD 实际度数为 220°，不是 180°。

11. 经过上述推理，最终得出答案为：弧 QU = 弧 UA，∠Q 和 ∠D 为补角，∠U = 140°。上述陈述是正确的，而 弧 QPD = 180° 是错误的。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆是图中蓝色圆周，圆心未标明，半径为从圆心到任意圆周上点的距离。图中所有到圆心距离相等的点都在该圆上。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有点 Q、U、A 、P和 D。弧 QU 是连接点 Q 和 U 的一段曲线，弧 UA 是连接点 U 和 A 的一段曲线，弧 UQD 是连接点 U 和 D 的一段曲线，弧 QPD 是连接点 Q 和 D 的一段曲线。"}, {"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "在本题图中，四边形 QUAD 的四个顶点 Q、U、A 和 D 都在同一个圆上。这个圆称为四边形 QUAD 的外接圆。因此，四边形 QUAD 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角 QUA + 角 QDA = 180度，角 UQD + 角 UAD = 180度。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "角∠Q的顶点Q在圆周上，角∠Q的两边分别与圆O相交于点U和点D。因此，角∠Q是一个圆周角。类似地，角∠U、角∠A、角∠D也是圆周角。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "四边形 QUAD 是圆内接四边形，因此 ∠QUD 和 ∠QAD 的度数和为 50° + 130° = 180°，因此它们互补。"}, {"name": "Circumference Formula of Circle", "content": "The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \\( C = 2\\pi r \\), where \\( C \\) represents the circumference and \\( r \\) represents the radius.", "this": "圆O中，点O是圆心，线段OA、OU、OQ、OD、OP是半径r。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d1b5c88efcd4168da86c9ab1ba230a0b-img-0b9600368cc0438ca65f2a0371fc35d9.png", "question": "三角形 PQR 内接于圆 C。 \n\n 选择所有必须为真的陈述。\n\n- \\$\\\\angle \\$ P, \\$\\\\angle \\$ Q 和 \\$\\\\angle \\$ R 的平分线在 C 处相交。\n- 三角形 CMR 是一个直角三角形。\n- 三角形 QCR 是一个等腰三角形。\n- \\$\\\\overline{PQ}\\$ , \\$\\\\overline{QR}\\$ 和 \\$\\\\overline{RP}\\$ 的垂直平分线在 C 处相交。", "answer": "Triangle QCR is an isosceles triangle. \n The perpendicular bisectors of \\$\\overline{PQ}\\$ , \\$\\overline{QR}\\$ , and \\$\\overline{RP}\\$ intersect at C.", "process": "1. 根据题目已知信息，三角形 PQR 内接于圆 C，点 C 是圆心。

2. 由于点 C 是圆的圆心，因此线段 QC 和线段 RC 都是圆的半径，长度相等。

3. 由 QC = RC，可得三角形 QCR 是等腰三角形。

4. 关于三角形 PQR 的垂直平分线：根据‘垂直平分线定理中的圆心描述’，三角形的外心是其各边的垂直平分线的交点。

5. 因为题中说明圆 C 是三角形 PQR 的外接圆，所以圆心 C 是三角形 PQR 三边的垂直平分线的交点，即三角形 PQR 的外心。

6. 根据上述推理，选项‘三角形 QCR 是等腰三角形’ 和 ‘线段 PQ、QR、RP 的垂直平分线交于 C’ 必然成立。

7. 选项‘角 P、角 Q 和角 R 的平分线交于 C’ 代表这些角的平分线交于三角形的内心。由于未提供额外信息表明圆心 C 也是三角形 PQR 的内心，因此这一陈述不一定成立。

8. 选项‘三角形 CMR 是直角三角形’ 需证明角 M 为直角，由于缺乏关于点 M 具体位置或三角形 CMR 特性的进一步信息，因此无法确定该选项成立。

9. 综上所述，可以确定成立的陈述为 ‘三角形 QCR 是等腰三角形’ 和 ‘PQ、QR、RP 的垂直平分线交于 C’。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "边QC和边RC相等，因此三角形QCR是一个等腰三角形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3e73401ecfac6858724dd484d6e321e8-img-15cf3e5752e14124aa06b5bc9ed4a23c.png", "question": "四边形ABCD内接于圆E。\\$\\overline{AC}\\$和\\$\\overline{BD}\\$是圆的直径。\n\n选择所有必须为真的陈述。\n\n- \\$\\angle\\$ C 和 \\$\\angle\\$ A 是补角。\n- △ABD 是直角三角形。\n- \\$\\angle\\$ C 和 \\$\\angle\\$ D 是补角。\n- △AED 是直角三角形。", "answer": "- \\$\\angle \\$ C and \\$\\angle \\$ A are supplementary angles. \n- △ABD is a right triangle. \n- \\$\\angle \\$ C and \\$\\angle \\$ D are supplementary angles. \n- △AED is a right triangle.", "process": "1. 因为四边形ABCD内接于圆E，所以得出角∠A和∠C是四边形内接圆上的对角，依据内接四边形的对角互补定理，对角的和为180°。公式具体为：∠A + ∠C = 180°，因此∠A与∠C是补角。

2. 因为线段AC和线段BD是直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，直径的每个端点形成的圆周角是直角，因而四边形中与直径交叉线段对应的角是直角。

3. 因为直径BD通过点A和D,然则△ABD中的角∠A是90°，根据直角三角形的锐角互余性质，能够验证出∠ADB和∠ABD为锐角，故△ABD为直角三角形。

4. 由直径AC和直径BD交叉，因此∠ABC和∠ADC互为对应角，这给出∠B + ∠D=180°，所以，∠D和∠B也是补角。

5. 对△AED做类似步骤，利用直径导致的直角判定，线段AE和线段ED与直径BD形成直角（根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角），从而得∠AED是90°，故三角形AED是一个直角三角形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为所给的所有选项都成立。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "在本题图中，圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠A + ∠C = 180°；∠B + ∠D = 180°。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "在本题图中，线段AC和线段BD是圆E的直径，连接了圆心E和圆周上的A、C两点以及B、D两点，长度为2倍的半径，即AC = BD。"}, {"name": "Complementary Acute Angles in a Right Triangle", "content": "In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.", "this": "直角三角形ABD中，角DAB是直角（90度），角ADB和角ABD是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，角ADB和角ABD的和为90度，即角ABD + 角ADB = 90°。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "圆E中，直径BD所对的圆周角DAB是直角（90度）。圆E中，直径BD所对的圆周角DCB是直角（90度）。"}]} +{"img_path": "ixl/question-715d4694c9491de698d9a355c473d08a-img-df0445a2aefa49cfb490632723e679d4.png", "question": "在下图中，四边形PQRS内接于圆T。\n\n选择所有必须为真的陈述。\n\n- m \\$\\\\angle \\$ R=70°\n- m \\$\\\\overset{\\\\frown}{PQ}\\$ =50°\n- m \\$\\\\angle \\$ S+m \\$\\\\angle \\$ Q=180°\n- m \\$\\\\angle \\$ Q=110°", "answer": "- m \\$\\angle \\$ R=70° \n- m \\$\\overset{\\frown}{PQ}\\$ =50° \n- m \\$\\angle \\$ S+m \\$\\angle \\$ Q=180°", "process": "1. 四边形PQRS被圆T所内接，依据圆内接四边形的性质，可以得出∠S和∠Q是对角，因此∠S + ∠Q = 180°。因此，m∠S + m∠Q = 180°为真。

2. 已知m∠P = 110°，于是根据圆内接四边形性质：对角互补可知，m∠R + m∠P = 180°，因此，m∠R = 180° - m∠P = 70°。所以，m∠R = 70°为真。

3. 已知m∠P = 110°，∠P的对角弧为弧QRS，根据圆心角定义，弧QRS所对角QTS为圆心角；根据圆周角定义，∠P为圆周角。根据圆周角定义，弧QRS所对角∠QTS等于2倍的∠P，即弧QRS = 2 × 110° = 220°。

4. 我们可以知道总圆周为360°，把这个360° = 弧PQ + 弧QRS + 弧PS进行划分。

5. 根据步骤3，弧QRS = 220°。弧PS = 360° - 弧QRS - 弧PQ。已知对角弧PS = 90°。

6. 因此，根据步骤4和步骤5，可求得弧PQ = 360° - 220° - 90° = 50°。于是，弧PQ = 50°为真。

7. 对于选项m∠Q = 110°，我们没有足够的信息来确定m∠Q的度数，因此它并不一定是真的。

8. 综上所述，以下陈述是必须正确的：m∠R = 70°，弧PQ = 50°，以及m∠S + m∠Q = 180°。而m∠Q = 110°不一定成立。

n. 经过上述推理，最终得出答案为：m∠R = 70°，弧PQ = 50°，m∠S + m∠Q = 180°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆T中，角∠PQR、∠QRS、∠RSP和∠SPQ的顶点分别在圆周上，角的两边分别与圆T相交于点P、Q、R和S。因此，角∠PQR、∠QRS、∠RSP和∠SPQ都是圆周角。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆T中，点Q和点S是圆上的两点，圆心是点T。连线TQ和TS组成的角∠QTS称为圆心角。"}, {"name": "Inscribed Angle Theorem", "content": "In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.", "this": "圆T中，点P、Q、S在圆上，弧QRS对应的圆心角为∠QTS，圆周角为∠P。根据圆周角定理，∠QTS等于它所对的弧QRS所对应的圆心角∠QTS的一半，即∠P = 1/2 ∠QTS。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆T上有两点P和Q，弧PQ是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧PQ是圆T上两点P和Q之间的一段曲线。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "圆内接四边形 PQRS 中，四边形的顶点 P、Q、R、S 都在圆 T 上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形 PQRS 的每一对对角的和等于 180°。具体来说，∠PQR + ∠PSR = 180°；∠QPS + ∠QRS = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3f42acf91dcade86914bd7302a9b2003-img-b890c789f2be4431ab205d07fff2691b.png", "question": "AD是\\$heta\\$A的角平分线，CE是\\$heta\\$C的角平分线。构造△ABC的内切圆。", "answer": "![](http://alimama-creative-public.oss-cn-zhangjiakou.aliyuncs.com/hongyuan/Second_Round_Label/ixl/answer-3f42acf91dcade86914bd7302a9b2003-img-052b28211a6949a3ba51abbbc6586216.png)", "process": "1. 已知 AD 是 ∠BAC的平分线，CE 是 ∠ACB 的平分线。根据角平分线的定义，AD 和 CE 的交点就是三角形 ABC 的内心。交点 F 满足 AF、BF 以及 CF 到相应边 BC、AC、AB 的距离相等。

2. 由于 F 是 AD 和 CE 的交点，根据角平分线定义，F 是 ∠BAC 和 ∠ACB 的平分线交点，因此是三角形 ABC 的内心。

3. 确定 F 点之后，因为内心 F 到三角形三边 BC、AC 和 AB 的距离相等，所以可以画出与三边都相切的圆，即为三角形 ABC 的内切圆。

4. 为构造内切圆，需要做一条过点 F 且垂直于其中一边 AC 的线，这条线与 AC 的交点即为切点之一，记作 I。

5. 确定切点 I 之后，以 F 为圆心，FI 为半径作圆，该圆即为三角形 ABC 的内切圆，因为该圆过 I 点并且与三边都相切。

n. 经过上述推理，最终得出该圆即为所要求构造的三角形 ABC 的内切圆。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，角BAC的顶点是点A，从点A引出一条线AD，这条线将角BAC分成两个相等的角，即角BAD和角CAD相等。因此，线AD是角BAC的角平分线。同样，角ACB的顶点是点C，从点C引出一条线CE，这条线将角ACB分成两个相等的角，即角BCE和角ECA相等。因此，线CE是角ACB的角平分线。"}, {"name": "Incenter of a Triangle", "content": "The incenter of a triangle is the intersection point of the angle bisectors of the three interior angles of the triangle. It is also the center of the triangle's inscribed circle (incircle).", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点F是三角形的内心。三角形的内心是由三角形的三个内角平分线交于一点而成的。具体来说，角BAC的平分线AD、角ACB的平分线CE和角ABC的平分线相交于点F。点F是三角形内切圆的圆心，且到三角形的三条边BC、AC和AB的距离相等。"}, {"name": "Properties of the Perpendicular Bisector", "content": "Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the segment.", "this": "点 F 是三角形 ABC 的内心，过点 F 作一直线垂直于三角形的一边 AC，交点为 I，即为该边上的切点。FI 为内切圆的半径。然后以 F 为圆心，FI 为半径作圆，该圆即为所求的内切圆。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e326083ed2b806d9f72c4b24f6d6a4b8-img-487d4deaa90e4de8ba58fcffe5413d69.png", "question": "在圆 S 中，\\$\nabla \\$ OSP 的度数为 q°，半径 \\$\nabla{OS}\\$ 的长度为 h。\n\n如果圆 S 以其中心为缩放中心按比例因子 1/2 缩放，扇形 OSP 的新面积是多少？\n\n- ​𝜋h ^ 2q/360\n- ​𝜋hq/360\n- ​𝜋hq/1,440\n- ​𝜋h ^ 2q/1,440", "answer": "- ​𝜋h ^ 2q/1,440", "process": "1. 观察题意，原圆S的半径OS的长度是h，且∠OSP的度数是q°。

2. 圆S经以其圆心为中心的放大变换，缩放因子为1/2，根据圆的缩放定理，因此新圆（记为S'）的半径长度为原圆半径长度的1/2，即O'S' = 1/2 * h。

3. 由于放大变换是关于圆心S的，所有角度保持不变，因此∠O'S'P'的度数仍为q°。

4. 根据圆的面积公式，圆的面积A = πr²，其中r为圆的半径，则新圆S'的面积为A' = π(1/2h)² = πh²/4。

5. 扇形的面积公式如下：扇形面积 = (弧度/360) * 圆的总面积。因为弧OSP的角度是q°，所以扇形O'S'P'的面积为K = (q/360) * (πh²/4)。

6. 因此，经过的计算，缩放后的扇形O'S'P'的新面积为K = πh²q/1440。

7. 经过上述推理，最终得出答案为πh²q/1,440。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆S中，点S是圆心，半径为h。图中所有到点S的距离等于h的点都在圆S上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆S中，点S是圆心，点O是圆上的任意一点，线段OS是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OS是圆的半径，长度为h。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形OSP中，半径OS和半径SP是圆的两条半径，圆弧OP是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧OP组成的图形为扇形。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆S中，圆的半径是h，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径h的平方，即A = πh²。新圆S'的面积为A' = π(1/2h)² = πh²/4。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题中，原扇形OSP的面积为K = (q/360) * πh²，新扇形O'S'P'的面积为K' = (q/360) * πh²/4 = πh²q/1440。"}, {"name": "Circle Scaling Theorem", "content": "If a circle undergoes scaling transformation with its center as the reference point and the scaling factor is k, then the radius of the scaled circle is k times the radius of the original circle, and all angles remain equal before and after the scaling.", "this": "半径为h的圆S以圆心为中心，做缩放因子为1/2的缩放变换，缩放后的圆半径为1/2*h，角OSP度数不发生变化。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a9b6bf5155fe185ce7bca7884ef90bd2-img-d21361e4be9043d2806a590145ffeaa2.png", "question": "在圆S中，\\$riangle\\$ OSP的角度为q°，半径\\$riangle\\$OS的长度为h。\n\n如果圆S围绕其中心按比例因子1/2进行扩展，扇形OSP的新面积是多少？\n\n- 𝜋h ^ 2q/360\n- 𝜋hq/1,440\n- 𝜋hq/360\n- 𝜋h ^ 2q/1,440", "answer": "- ​𝜋h ^ 2q/1,440", "process": "1. 根据题意，我们需要将圆S按比例因子1/2关于其圆心放缩。原圆的半径OS的长度是h。

2. 根据圆的缩放定理，放缩后新圆S'的半径变为O'S' = 1/2 * h，因此半径的长度是h/2。

3. 根据圆的缩放定理，中心角的度数不变，因此在新圆S'中，角O'S'P'仍然是q°。

4. 要计算新圆中扇形O'S'P'的面积。扇形的面积可以通过扇形的面积公式K = m/360 * A求得，其中m是扇形对应的圆心角度数，A是圆的总面积。

5. 根据圆的面积公式，计算新圆S'的面积：S' = π * (h/2)^2 = π * h^2 / 4。

6. 扇形O'S'P'的面积计算为：K = q/360 * (π * h^2 / 4)。

7. 经过化简得：K = π * h^2 * q / 1440。

8. 故，新圆S'中扇形O'S'P'的面积为：π * h^2 * q / 1440。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆S中，点S是圆心，半径为h。图中所有到点S的距离等于h的点都在圆S上。"}, {"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆S中，点S是圆心，点O是圆上的任意一点，线段OS是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OS是圆的半径，长度为h。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "在本题图中，扇形OSP中，半径OS和半径SP是圆的两条半径，圆弧OP是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径OS、SP和它们所夹的圆弧OP组成的图形为扇形。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形OSP的面积计算公式为(q°/360) * πh^2。新圆S'的扇形O'S'P'的面积计算公式为(q°/360) * (π * (h/2)^2/4)。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆S中，圆的半径是h，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径h的平方，即A = πh²。新圆S'的半径是h/2，因此新圆S'的面积为 π * (h/2)² = πh²/4。"}, {"name": "Circle Scaling Theorem", "content": "If a circle undergoes scaling transformation with its center as the reference point and the scaling factor is k, then the radius of the scaled circle is k times the radius of the original circle, and all angles remain equal before and after the scaling.", "this": "半径为h的圆S以圆心为中心，做缩放因子为1/2的缩放变换，缩放后的圆半径为1/2*h，角OSP度数不发生变化。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b66fc21a4009d45fe1d62ff3c6f38563-img-68aff7db33f84e5da3c5f35efd23bb1c.png", "question": "梯形的面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "54square centimeters", "process": "1. 根据题意已知：梯形的上底 b1 为 3 厘米，下底 b2 为 9 厘米，高 h 为 9 厘米。

2. 梯形的面积公式为：面积 = 1/2 × (上底 + 下底) × 高。

3. 代入已知的底和高，得到面积 = 1/2 × (3 + 9) × 9。

4. 计算括号内的和：3 + 9 = 12。

5. 将和代入面积公式，得到面积 = 1/2 × 12 × 9。

6. 计算1/2 × 12 = 6。

7. 用上一步的结果乘以高，得到面积 = 6 × 9。

8. 计算乘积：6 × 9 = 54。

9. 根据以上步骤，最终得出梯形的面积为54平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，梯形的上底边为 3 厘米，下底边为 9 厘米，高为 9 厘米，一侧为10 厘米。根据梯形的定义，梯形是一种四边形，且具有一对平行边。"}, {"name": "Trapezoid Area Formula", "content": "Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \\(a\\) and \\(b\\), and the height between these sides as \\(h\\), the area of the trapezoid is given by \\(\\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\).", "this": "梯形的上底为3厘米，下底为9厘米，高为9厘米，所以梯形的面积为(3 + 9) * 9 / 2 = 54平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6e3e0d947a591d5cd8d59f67b200cff4-img-c47072b8c45b4d43bbcf9a0ea99cfb20.png", "question": "△ABC的外心部分构造如下。\n\n\n将构造的剩余步骤按正确顺序排列。\n标记DE和FG的交点为H。标记圆A和较小的圆B的交点为F和G。以B为圆心，AB为半径画一个圆，并以A为圆心，AB为半径画一个圆。画一条通过F和G的直线。", "answer": "Draw a circle with radius AB centered at B and a circle with radius AB centered at A.Mark the intersections of circle A and the smaller circle B with points F and G.Draw a line through F and G.Mark the intersection of DE and FG with point H.", "process": "1. 已知：角A、角B、角C是△ABC的顶点。需要构造△ABC的外心H。外心是三角形各边的垂直平分线的交点。图中已经给出了边BC的垂直平分线DE。

2. 接下来构造另一边AB的垂直平分线。首先，依据圆的定义，绘制以B为圆心，AB为半径的圆；再绘制以A为圆心，同半径AB的圆。

3. 根据圆的交点定义，标记上述两个圆的交点为点F和点G。这使得FG线段成为AB的垂直平分线。

4. 依据两个点确定一条唯一直线的几何原理，作通过点F和点G的直线，即FG直线。

5. 根据几何性质，垂直平分线DE和FG的交点即为外心H。标记DE和FG的交点为点H。

6. 经过上述推理，最终得出答案为标记DE和FG的交点为点H。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Circumcenter of a Triangle", "content": "In a triangle, the circumcenter is the point where the three perpendicular bisectors of the sides intersect. This point is equidistant from the three vertices of the triangle.", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点H是三角形的外心。三角形ABC的三条边AB、BC和CA的垂直平分线分别交于点H。根据三角形的外心的定义，点H到三角形ABC的三个顶点A、B和C的距离相等。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "在本题图中，圆B中，点B是圆心，半径为AB；圆A中，点A是圆心，半径为AB。图中所有到点B的距离等于AB的点都在圆B上，所有到点A的距离等于AB的点都在圆A上。这两个圆的交点即为点D和点E。"}, {"name": "Properties of the Perpendicular Bisector", "content": "Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the segment.", "this": "在本题图中，线段BC的垂直平分线为直线DE，点H在直线DE上。根据垂直平分线的性质，点H到线段BC两端点B和C的距离相等，即HB = HC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3edec04a7780278a7d959586eba1e273-img-aafa2b24d60a45b890475fc5f3529aa5.png", "question": "\\$\\overline{LK}\\$ 是圆 Z 的直径。\n\n求阴影部分的面积。\n将你的答案精确到十分位。\n\\$\\Box\\$ 平方英寸", "answer": "57.1 square inches", "process": "1. 已知 \\$\\overline{LK}\\$ 是圆 \\$Z\\$ 的直径，\\$\\overline{ZL} = \\overline{ZK} = \\overline{ZJ} = 10\\$ 米（因为它们是半径），且圆心角 \\$\\angle LZK = 180^\\circ\\$。

2. 圆心角 \\$\\angle LZK\\$ 对应的扇形面积可以表示为整个圆面积的一半，因为 \\$\\angle LZK = 180^\\circ\\$，所以是半圆；圆 \\$Z\\$ 的面积是 \\$\\pi \\cdot r^2 = \\pi \\cdot 10^2 = 100\\pi\\$ 平方米。因此，扇形面积是 \\$\\frac{1}{2} \\times 100\\pi = 50\\pi\\$ 平方米。

3. 由于 \\$\\overline{LK}\\$ 是直径，且 \\$\\angle LJK\\$ 为直角 （根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角），三角形 \\$LJK\\$ 是直角三角形，其中 \\$\\overline{LK}\\$ 为斜边，长为 \\$20\\$ 米。

4. 三角形 \\$LJK\\$ 的面积可以用直角三角形面积公式计算：面积 \\$A = \\frac{1}{2} \\times \\text{base} \\times \\text{height}\\$。设 \\$\\overline{LK}\\$ 和 \\$\\overline{JZ}\\$ 为直角三角形的底边和高，底为 \\$20\\$ 米，高为 \\$10\\$ 米。所以： \\$A = \\frac{1}{2} \\times 20 \\times 10 = 100\\$ 平方米。

5. 阴影区域是扇形区域与三角形区域的面积差，因此阴影区域的面积为 \\$50\\pi - 100\\$ 平方米。

6. 计算 \\$50\\pi - 100\\$，得到约 \\$57.07963\\$ 平方米。

7. 将该数值四舍五入到小数点后一位，得到阴影区域的面积约为 \\$57.1\\$ 平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆 $Z$ 中，点 $Z$ 是圆心，半径为 $10$ 米。图中所有到点 $Z$ 的距离等于 $10$ 米的点都在圆 $Z$ 上，包括线段 $\\overline{ZL}$、线段 $\\overline{ZK}$ 和线段 $\\overline{ZJ}$。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "LK是直径，连接了圆心 Z 和圆周上的 L、K 两点，长度为2 倍的半径，即LK = 20 米。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形LJK中，半径LZ和半径KZ是圆的两条半径，圆弧LJK是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧LJK组成的图形为扇形。"}, {"name": "Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter", "content": "The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.", "this": "圆Z中，直径LK所对的圆周角LJK是直角（90度）。（或圆周角LJK是90度，所以它所对的弦LK是直径。）"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆 Z 的半径是 10 米，根据圆的面积公式，圆的面积 A 等于圆周率 π 乘以半径 10 的平方，即 A = π * 10² = 100π 平方米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形LJK中，边LK是底，线段JZ是该底上的高，所以三角形LJK的面积等于底LK乘以高JZ除以2，即面积 = (LK * JZ) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-92a6792d693387c9ecafd188798bac40-img-5e32e1b705884a498215cd191a51c8cb.png", "question": "圆 H 内切于 △JKL。 请选择所有必定为真的陈述。 - \\$\\\\angle \\$ L 的平分线经过点 H。 - 经过点 H 和 \\$\\\\overline{JL}\\$ 中点的直线垂直于 \\$\\\\overline{JL}\\$。 - △LHM 是一个直角三角形。 - △JHL 是一个等腰三角形。", "answer": "- The bisector of \\$\\angle \\$ L passes through point H. \n- △LHM is a right triangle.", "process": "1. 从题目可知，圆 H 是 △JKL 的内切圆。由三角形的内切圆性质，内切圆的圆心（内心）是三角形内部所有角平分线的交点。

2. 因此，可以得出：∠JLK、∠KJL 和 ∠JKL 的角平分线必须通过圆心 H。因此角 L 的平分线必定通过点 H。

3. 因此可以得出第一个结论：∠L 的平分线通过点 H。

4. 分析 △LHM，点 H 是内心，因此线段 LM 切于 △JKL 的内切圆。由圆的切线性质， ∠LMH 必定为直角，因为切线与半径垂直。

5. 因此可以得出第二个结论：△LHM 是直角三角形。

6. 而对于“通过点 H 和线段 JL 的中点的直线垂直于 JL”的陈述，无法从现有信息中得出，因为关于 H 的具体位置与 JL 的中点相对位置没有足够的信息来确认垂直关系。

7. 关于三角形 JHL 是否是等腰三角形，由于缺乏关于边长信息的一致性数据，因此无法确认三角形 JHL 是否符合等腰三角形的特性。

8. 经综合上述分析，正确的陈述为：

a) ∠L 的平分线通过点 H。

b) △LHM 是直角三角形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Angle Bisector", "content": "An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.", "this": "在本题图中，角 ∠KJL、∠JKL 和 ∠JLK 的顶点分别是点 J、K 和 L，从这些顶点引出的角平分线分别经过点 H，这些角平分线将各自的角分成两个相等的角。因此，∠L 的平分线必定通过点 H。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "角 ∠LMH是直角（90度），因此三角形 LHM 是一个直角三角形。边 LM 和边 HM 是直角边，边 LH 是斜边。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "三角形 JHL是否是等腰三角形无法确认，因为没有边长信息的一致性数据。"}, {"name": "Property of the Tangent Line to a Circle", "content": "A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.", "this": "圆 H 中，点 M 是直线 LM 与圆的切点，线段 HM 是圆的半径。根据圆的切线性质，切线 LM 与经过切点 M 的半径 HM 垂直，即 ∠LMH = 90 度。"}, {"name": "Property of Incircle in Triangle", "content": "The point where the angle bisectors of all three angles of a triangle intersect is the center of the incircle.", "this": "在本题图中，圆H是三角形KJL的内切圆，则角J的平分线与角L的平分线相交于圆H的圆心H。"}]} +{"img_path": "ixl/question-99c22374aead2b9a48ec8cae7dec13a3-img-ec8b3cc1b77a4f90ac5a8bc19d4771c4.png", "question": "题目：在菱形KLMN中，对角线\\$\\overline{KM}\\$和\\$\\overline{NL}\\$在点O处相交，m \\$\\\\angle \\$ OKL=(9x)°，m \\$\\\\angle \\$ KNM=(7x+5)°。\n\n\n\nm \\$\\\\angle \\$ NML是多少？\n\n \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "126°", "process": "1. 在菱形KLMN中，已知角 OKL = (9x)°，角 KNM = (7x+5)°。

2. 根据菱形的对角线性质，菱形的对角线互相垂直平分，并且对角线平分菱形的内角，所以角 OKL 和角 OKN 是相等的，即角 OKN = (9x)°。

3. 根据菱形的邻角互补，菱形的相邻角互补，因此，角 KNM + 角 NKL = 180°。

4. 由于角 OKN = (9x)°且角 OKL = (9x)°，角 NKL 是这两个角的和，故角 NKL = 2 * (9x)° = (18x)°。

5. 将角 KNM 和角 NKL的关系带入补角关系中，有：(7x+5)° + (18x)° = 180°。

6. 解方程：

25x + 5 = 180

25x = 175

x = 7。

7. 现在计算出角 KNM 的度数：角 KNM =(7x+5)° = (7*7+5)° = 54°。

8. 根据菱形的邻角互补，因此角 NML = 180°-角 KNM=180°-54°=126°。

9. 因此，角 NML = 126°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为126°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "在本题图中，四边形KLMN中，所有的边KL、LM、MN、NK都是相等的，因此四边形KLMN是一个菱形。此外，四边形KLMN的对角线KM和NL互相垂直平分，即对角线KM和NL相交于点O，且角KON是直角（90度），并且KO=OM和NO=OL。"}, {"name": "Definition of Diagonal", "content": "A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.", "this": "在本题图中，菱形KLMN的对角线分别是KM和NL，这两条线段连接了菱形的非相邻顶点K和M，以及N和L。"}, {"name": "Properties of the Diagonals of a Rhombus", "content": "In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.", "this": "菱形KLMN中，对角线KM和NL互相平分且互相垂直。具体来说，点O是对角线KM和NL的交点，且KO=OM和NO=OL。同时，角KON和角MOL都是直角（90度），所以对角线KM和NL互相垂直。"}, {"name": "Adjacent Angles of Rhombus are Supplementary", "content": "Any pair of adjacent angles in a rhombus are supplementary.", "this": "菱形KLMN中，角KNM和角NKL是一对邻角，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即角 KNM + 角 NKL = 180°。同理，角KNM和角NML也是一对邻角，满足角KNM + 角NML = 180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f2058c2dadb7c511d9baaf75b5903900-img-4179f677794b4ff994e01717f1bd2a29.png", "question": "在平行四边形 GHIJ 中，m \\$\\\\angle \\$ G=(5y)°，m \\$\\\\angle \\$ H=(5x)°，和 m \\$\\\\angle \\$ J=(3y)°。\n\n\nx 和 y 的值是多少？\n\nx= \\$\\\\Box\\$ \n\ny= \\$\\\\Box\\$", "answer": "x=13.5 \ny=22.5", "process": "1. 已知图形GHIJ为平行四边形，根据平行四边形的邻角互补定理。因此，∠G与∠J是相邻的角，它们互补。

2. 补角的和为180°。所以有方程∠G + ∠J = 180°。

3. 代入给定条件中的角度表达式，我们有5y + 3y = 180°。

4. 联立方程并计算得出8y = 180, 解得y = 22.5。

5. 计算得出∠J的具体度数，代入已知∠J = 3y，则∠J = 3(22.5) = 67.5°。

6.根据平行四边形的性质定理，在平行四边形中，对角相等。即∠H与∠J相等，即∠H = ∠J。

7. 由已知条件∠H = 5x和∠J = 67.5°，得出方程5x = 67.5。

8. 解方程得出x = 67.5 ÷ 5 = 13.5。

9. 经过上述推理，最终得出答案为x = 13.5, y = 22.5。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形GHIJ是一个平行四边形，边GH与边IJ平行且相等，边GJ与边HI平行且相等。"}, {"name": "Properties of Parallelogram Theorem", "content": "In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.", "this": "在本题图中，平行四边形GHIJ中，对角G和I相等，对角H和J相等；边GH和JI相等，边GJ和HI相等；对角线GI和HJ互相平分，即交点将对角线GI分成两段相等的线段，将对角线HJ分成两段相等的线段。"}, {"name": "Adjacent Angles Supplementary Theorem of Parallelogram", "content": "In a parallelogram, each pair of adjacent interior angles are supplementary, meaning their sum is 180°.", "this": "平行四边形GHIJ中，角G和角J是相邻的内角，角H和角I也是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，角G + 角J = 180°，角H + 角I = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6d2f7389529c49f41407255f0071e644-img-f469c97a6f4942039b257fe12810103a.png", "question": "在图中，\\$\\overline{SU}\\$ 是平行四边形 STUV 的对角线。同时，m \\$\\\\angle \\$ VSU=43°，m \\$\\\\angle \\$ UST=(6x–2)°，以及 m \\$\\\\angle \\$ T=(23x–6)°。\n\n\nm \\$\\\\angle \\$ SUV 是多少？\n\n \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "28°", "process": "1. 已知四边形 STUV 是平行四边形，∠VSU=43°，∠UST=(6x–2)°，∠T=(23x–6)°。

2. 根据平行四边形的邻角互补定理。因此，∠VSU + ∠UST + ∠T = 180°。

3. 将已知的角度代入方程得：43 + (6x–2) + (23x–6) = 180。

4. 化简方程：6x + 23x + 43 - 2 - 6 = 180。

5. 合并同类项得到：29x + 35 = 180。

6. 解关于 x 的方程：29x = 180 - 35。

7. 更进一步化简：29x = 145。

8. 计算得到 x = 145 ÷ 29 = 5。

9. 代入 x 计算角 ∠UST，∠UST = 6x - 2 = 6 × 5 - 2 = 30 - 2 = 28°。

10. 依据平行四边形的定义，有ST ∥ VU，且 SU 是对角线，因此 ∠SUV = ∠UST（互为内错角，依据平行线的平行公理2）。

11. ���此，∠SUV = 28°。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 28°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形 STUV 是一个平行四边形，边 ST 与边 UV 平行且相等，边 SV 与边 TU 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "两条平行直线 ST 和 VU被一条直线 SU 截交，其中角 ∠UST 和角 ∠SUV 位于两平行线之间，且在截线 SU 的对侧，因此角 ∠UST 和角 ∠SUV 是内错角。内错角相等，即角 ∠UST 等于角 ∠SUV。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "在本题图中，两条平行线ST和VU被第三条直线SU所截，形成了以下几何关系：内错角：角∠SUV和角∠UST相等。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。"}, {"name": "Adjacent Angles Supplementary Theorem of Parallelogram", "content": "In a parallelogram, each pair of adjacent interior angles are supplementary, meaning their sum is 180°.", "this": "在本题图中，平行四边形 STUV 中，角S和T是相邻的内角，角U和角V也是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，角S + 角T = 180°，角U + 角V = 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-133984130f8746c67e97713921879a42-img-1ebd729d2c724ff89216fc065ffc2149.png", "question": "Meg正在为她的学校戏剧制作道具，包括一个由纸板制成的大铅笔，如下图所示。 \n\n\n制作铅笔后，她计划将整个表面涂上油漆。Meg计划涂漆的总表面积是多少？ \n将你的答案四舍五入到小数点后两位。 \n\n \\$ox\\$ 平方英寸", "answer": "195.56 square inches", "process": "1. 将大铅笔分为两部分：锥体和圆柱体。

2. 计算锥体部分的侧面积。锥体的底部在圆柱体内嵌，因此只需要考虑其侧面面积。

3. 根据圆锥的侧面积公式 S = πrℓ，其中 r 是半径，ℓ 是斜高。在本题中，锥体的直径为3英寸，所以其半径 r = 1.5英寸，斜高 ℓ = 4英寸。

4. 代入公式得到 S = π × 1.5 × 4 = 6π。锥体部分的表面积为 6π 平方英寸。

5. 计算圆柱体部分的表面积。圆柱体的左边的底面被锥体覆盖，因此只需考虑其侧面积和右底面的面积。

6. 根据圆柱体表面积公式 S = πr^2 + 2πrh，其中 r 是半径，h 是高。在本题中，圆柱体的直径是3英寸，所以其半径 r = 1.5英寸，圆柱体的高度 h = 18英寸。

7. 代入公式得到 S = π × 1.5^2 + 2 × π × 1.5 × 18 = 56.25π。圆柱体部分的表面积为 56.25π 平方英寸。

8. 将两部分的表面积相加得到大铅笔的总表面积。总表面积为 6π + 56.25π = 62.25π。

9. 计算并四舍五入到小数点后两位，得到 Meg 计划涂漆的总表面积为 195.56 平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Cone", "content": "A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).", "this": "圆锥体的底面是直径为3英寸的圆，它的顶点在铅笔尖处。圆锥体的斜高 ℓ = 4英寸，半径 r = 1.5英寸（底面直径的二分之一），侧面积公式 S = πrℓ。"}, {"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底的直径为3英寸，因此其半径 r = 1.5英寸，圆柱体的高度 h = 18英寸。其侧面积公式 S = 2πrh，底面面积公式 S = πr²。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "圆锥部分的底面直径为3英寸（所以半径 r = 1.5英寸），斜高 ℓ = 4英寸。代入公式得到圆锥的侧面积为 S = π × 1.5 × 4 = 6π 平方英寸。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱体的底面直径为3英寸（所以半径 r = 1.5英寸），高度 h = 18英寸。由于一面底被锥体覆盖，只考虑侧面积和另一底面面积，公式为 S = 2πrh + πr²，代入得到 S = 2 × π × 1.5 × 18 + π × 1.5² = 56.25π 平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-807bc902ea1d2520663af44003cdfb40-img-7e9bd4376e1b487aad6a111544046bae.png", "question": "图中显示了四边形ABCD，其对角线\\$\\overline{AC}\\$和\\$\\overline{BD}\\$在点E处相互平分。\n\n为了证明当四边形的对角线相互平分时它是平行四边形，Regan首先想证明△AEB≅△CED和△AED≅△CEB。Regan将使用哪个全等定理？\n\n- 边-角-边\n- 角-边-角\n- 角-角-边\n- 边-边-边\n在证明△AEB≅△CED和△AED≅△CEB之后，Regan如何证明ABCD是平行四边形？完成以下陈述。\n因为△AEB≅△CED和\\$ox\\$，\\$\\\\angle\\$ABE≅\\$\\\\angle\\$CDE。因此，通过\\$ox\\$，\\$ox\\$。同样，由于△AED≅△CEB，因此\\$\\\\angle\\$ADE≅\\$\\\\angle\\$CBE，\\$ox\\$。因此，ABCD是平行四边形，因为它的对边平行。", "answer": "- Side-Angle-Side \nBecause △AEB≅△CED and corresponding parts of congruent triangles are congruent, \\$\\angle \\$ ABE≅ \\$\\angle \\$ CDE. So, by the Converse of the Alternate Interior Angles Theorem, \\$\\overline{AB}\\$ ∥ \\$\\overline{DC}\\$ . Similarly, since △AED≅△CEB and therefore \\$\\angle \\$ ADE≅ \\$\\angle \\$ CBE, \\$\\overline{AD}\\$ ∥ \\$\\overline{BC}\\$ . So, ABCD is a parallelogram since its opposite sides are parallel.", "process": "1. 题目中已知，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 在点 E 处互相平分。因此，根据线段平分的定义，我们有线段 AE ≅ CE 和线段 BE ≅ DE。

2. 观察到 ∠AEB 和 ∠CED 是对顶角，根据对顶角相等定理，我们得到 ∠AEB ≅ ∠CED。

3. 通过以上两点，△AEB 和 △CED 具有两对全等的边和夹在它们之间的全等角。根据边-角-边（Side-Angle-Side）全等性定理，△AEB ≅ △CED。

4. 同样的方法，∠AED 和 ∠CEB 为对顶角，根据对顶角相等定理，我们得到 ∠AED ≅ ∠CEB。

5. 再次运用线段 AE ≅ CE 和线段 BE ≅ DE，△AED 和 △CEB 同样具有两对全等的边和夹在它们之间的全等角。依据边-角-边（Side-Angle-Side）全等性定理，△AED ≅ △CEB。

6. 由于全等三角形对应部分全等，得 ∠ABE ≅ ∠CDE。

7. 根据交叉内错角相等的逆定理，若横切线形成的交叉内错角相等，则被该横切线所截的两条直线平行。因此 ∠ABE ≅ ∠CDE 导致线段 AB ∥ 线段 DC。

8. 同样，由于∠ADE ≅ ∠CBE，也根据交叉内错角相等的逆定理，导致线段 AD ∥ 线段 BC。

9. 因为四边形 ABCD 的两对相对边平行，所以根据平行四边形的定义，四边形 ABCD 是一个平行四边形。

经过上述推理，最终得出答案为: ABCD 是一个平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形ABCD是一个平行四边形，边AB与边DC平行且相等，边AD与边BC平行且相等。"}, {"name": "Definition of Vertical Angles", "content": "Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.", "this": "在本题图中，两条相交直线AC和BD相交于点E，形成四个角：∠AEB、∠CED、∠AED和∠CEB。根据对顶角的定义，∠AEB和∠CED是对顶角，∠AED和∠CEB是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AEB=∠CED，∠AED=∠CEB。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "边AE与边CE相等，边BE与边DE相等，且夹角AEB与夹角CED相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。同理，在三角形AED和三角形CEB中，边AE与边CE相等，边BE与边DE相等，且夹角AED与夹角CEB相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "在本题中，三角形AEB和三角形CED是全等三角形，三角形AEB的对应边和对应角与三角形CED相等，即：边AE = CE，边BE = DE，边AB = CD，同时，对应的角也相等：角AEB = CED，角BAE = DCE，角ABE = CDE。同样，三角形AED和三角形CEB是全等三角形，三角形AED的对应边和对应角与三角形CEB相等，即：边AE = CE，边DE = BE，边AD = CB，同时，对应的角也相等：角AED = CEB，角DAE = BCE，角ADE = CBE。"}, {"name": "Parallel Postulate 2 of Parallel Lines", "content": "If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.", "this": "在本题图中，两条平行线xx和xx被第三条直线xx所截，形成了以下几何关系：\n1. 同位角：角xxx和角xxx相等。\n2. 内错角：角xxx和角xxx相等。\n3. 同旁内角：角xxx和角xxx互补，即角xxx + 角xxx = 180度。\n这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。"}]} +{"img_path": "ixl/question-416bcbbaa1d121b35036dcbe1941c6c9-img-1a2dfdd1660a4d359ae7a28601c38f6a.png", "question": "在正方形 JKLM 中，对角线 \\$\\overline{JL}\\$ 和 \\$\\overline{MK}\\$ 在点 N 处相交，m \\$\\\\angle \\$ LNK=(8x+2)°，m \\$\\\\angle \\$ MJN=(5x–2y)°。\n\n\n\nx 和 y 的值是多少？\n\nx= \\$\\\\Box\\$ \n\ny= \\$\\\\Box\\$", "answer": "x=11 \ny=5", "process": "1. 已知四边形 JKLM 是正方形，根据正方形的对角线性质，可以判断其对角线互相垂直，即 \\(\\overline{JL} \\perp \\overline{MK}\\)，所以 \\(\\angle LNK = 90^\\circ\\)。

2. 题目还给出 \\(\\angle LNK = (8x + 2)^\\circ\\)，由此可以设置方程：(8x + 2) = 90。

3. 解步骤 2 的方程：

(1) 移项：8x + 2 - 2 = 90 - 2，得到 8x = 88。

(2) 两边同时除以 8：x = 11。

4. 四边形 JKLM 的一个内角 \\(\\angle MJK = 90^\\circ\\)，而 \\(\\overline{JL}\\) 是对角线，因此 \\(\\angle MJN = \\frac{90^\\circ}{2} = 45^\\circ\\)。

5. 题目中 \\(\\angle MJN = (5x - 2y)^\\circ\\)，根据步骤 4 中的结论，设方程：(5x - 2y) = 45。

6. 解步骤 5 的方程：

(1) 已知 x = 11，代入方程：(5(11) - 2y) = 45。

(2) 计算：55 - 2y = 45。

(3) 移项：-2y = 45 - 55。

(4) 简化：-2y = -10。

(5) 两边同时除以 -2：y = 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 11 和 y = 5。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Square", "content": "A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).", "this": "四边形 JKLM 是正方形，因此 \\(JK = KL = LM = MJ\\)，且\\( \\angle JKL = \\angle KLM = \\angle LMJ = \\angle MJK = 90^\\circ \\)。"}, {"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角 \\(\\angle LNK\\) 是由 射线 \\(\\overline{NL}\\) 和 \\(\\overline{NK}\\) 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 N。这个共同的端点 N 称为 角 \\(\\angle LNK\\) 的顶点，而 射线 \\(\\overline{NL}\\) 和 \\(\\overline{NK}\\) 称为 角 \\(\\angle LNK\\) 的边。角 \\(\\angle MJN\\) 是由 射线 \\(\\overline{JM}\\) 和 \\(\\overline{JN}\\) 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 J。这个共同的端点 J 称为 角 \\(\\angle MJN\\) 的顶点，而 射线 \\(\\overline{JM}\\) 和 \\(\\overline{JN}\\) 称为 角 \\(\\angle MJN\\) 的边。"}, {"name": "Properties of Diagonals in a Square", "content": "The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.", "this": "在本题图中，正方形JKLM中，对角线JL和MK是连接相对角的线段。根据正方形的对角线性质，JL和MK相��，并且JL和MK互相垂直平分，即在它们的交点处形成四个90度的角。因此，JL = MK，并且它们在交点处相互垂直。"}]} +{"img_path": "ixl/question-64e31cbeaa4c519eebbe89c8eaac4e0a-img-ce5b0501748c489988834b356ff6ee10.png", "question": "一个圆柱体的表面积为384​𝜋平方英寸。其底面如下图所示。圆柱体的高度是多少？ \\$ox\\$ 英寸", "answer": "16 inches", "process": "1. 已知圆柱的直径长度为16英寸，因此可以得到半径r为直径的一半，即r = 16 / 2 = 8英寸。

2. 圆柱的表面积S已知为384𝜋平方英寸。圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，其中r是圆柱底面半径，h是圆柱的高。

3. 将已知的半径r = 8英寸代入表面积公式S = 2πr² + 2πrh中，得到384𝜋 = 2π(8)² + 2π(8)h。

4. 计算2π(8)²，得2π*64 = 128π，因此公式变为384π = 128π + 16πh。

5. 将128π从等式的左边移到右边，即384π - 128π = 16πh，得256π = 16πh。

6. 两边同时除以16π，得到256π / 16π = h，简化得h = 16。

7. 经过上述推理，最终得出答案为16英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为r，直径为16英寸，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高h，宽度等于底面圆的周长。已知底面圆的直径长度为16英寸，因此可以得到半径r为直径的一半，即r = 16 / 2 = 8英寸。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱的底面半径r已知为8英寸，表面积S已知为384π平方英寸，代入公式 S = 2π(8)² + 2π(8)h 中，得到 384π = 2π(8)² + 2π(8)h，通过计算和代数变换最终得出答案 h = 16英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7da08bec35bf9d311201be30329f8746-img-587849fc96ef48248c6768c4dc2b0fd0.png", "question": "这个球体的表面积是多少？\n\n\n\n请用𝜋表示精确答案。\n\n \\$ox\\$ 𝜋/平方厘米", "answer": "289​𝜋 square centimeters", "process": "1. 已知球的直径为17厘米。

2. 根据球的半径，半径等于直径的一半，因此球的半径为17厘米 ÷ 2 = 8.5厘米。

3. 根据球的表面积公式S = 4πr²，其中r是半径。

4. 将已知半径r = 8.5厘米代入公式，得出S = 4 × π × (8.5)²。

5. 计算平方，(8.5)² = 72.25。

6. 将平方结果代入表面积公式，S = 4 × π × 72.25。

7. 计算乘法，4 × 72.25 = 289。

8. 因此，球的表面积为289π平方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为289π平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Diameter of a Sphere", "content": "The diameter of a sphere is a line segment that passes through the center of the sphere and connects two points on the surface of the sphere.", "this": "在本题图中，球的直径为17厘米的线段。17厘米的线段穿过球心并且连接球面上的两点。"}, {"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "在本题图中，球体中，球体表面上的任意一点到球的中心的线段是球的半径。根据球的半径的定义，球的半径R是球体从中心到任意表面点的距离，因此线段的长度就是球的半径R。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "在本题图中，球体中，半径r表示球的半径，表面积S表示球的表面积，根据球的表面积公式，S = 4 * π * r^2，其中π是圆周率。因此，球体的表面积S等于4倍的π乘以半径r的平方。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b3970f944f455c83be3ba68a105b6387-img-9f6dcb08bef24368a99c17c0a37bbe36.png", "question": "在矩形STUV中，对角线\\$\\overline{SU}\\$和\\$\\overline{TV}\\$在点W处相交，ST=36，TU=15，且SW=2.5x+2。 \n\nx的值是多少？ \n\nx= \\$\\\\Box\\$", "answer": "x=7", "process": "1. 已知 STUV 是矩形，根据矩形的性质，对角线相等并相互平分，因此SU=TV，且点 W 是中点，即 SW=WU。

2. 矩形的对角线可以用矩形两边长度运用勾股定理来求得，因为在矩形中，对角线可以被看作是一个直角三角形的斜边。

3. 在直角三角形 STU 中，直角边 ST= 36 和 TU= 15，使用勾股定理： ST^2 + TU^2 = SU^2。

4. 计算得到 36^2 + 15^2 = SU^2（1296 + 225 = SU^2），所以 SU^2 = 1521。

5. 解 SU^2 = 1521 得 SU = 1521 = 39。

6. 因为对角线互相平分且 SW=WU，所以 SU = 2SW，即 39 = 2SW。

7. 已知 SW = 2.5x + 2，那么 2 (2.5x + 2) = 39。

8. 展开方程 5x + 4 = 39。

9. 解 5x + 4 = 39，得到 5x = 35。

10. 进一步解 5x = 35，可以得出 x = 7。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 7。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 STUV 是一个矩形，其内角 ∠STU、∠TUV、∠UVS 和 ∠VST 都是直角（90度），且边 ST 与边 UV 平行且等长，边 SV 与边 TU 平行且等长。"}, {"name": "Definition of Line Segment", "content": "A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.", "this": "在本题图中，线段有：ST、TU、UV、VS、SU和TV。线段是具有两个端点的直线。线段ST的端点是S和T，线段TU的端点是T和U，线段UV的端点是U和V，线段VS的端点是V和S，线段SU的端点是S和U，线段TV的端点是T和V。每条线段都有特定的长度，例如ST = 36和TU = 15。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "在本题图中，矩形 STUV 的对角线可以看作直角三角形 STU 的斜边。直角边分别为ST = 36和TU = 15，通过勾股定理：ST^2 + TU^2 = SU^2，可以算出矩形的对角线 SU的长度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d3aa5a223c77c70cf482600148827364-img-d06e92c46fd34e3ca1e3948cf01490a2.png", "question": "图中显示了四边形 JKLM 和对角线 \\$\\overline{JL}\\$ 。边 \\$\\overline{JK}\\$ 和 \\$\\overline{ML}\\$ 平行且全等。\n\n为了证明具有一对平行且全等边的四边形是平行四边形，Lindsey 首先想证明 △JKL≅△LMJ。Lindsey 可以在她的证明中使用哪些附加陈述？选择所有适用的陈述。\n\n- \\$\\\\angle \\$ KJL≅ \\$\\\\angle \\$ MJL\n- \\$\\\\angle \\$ JKL≅ \\$\\\\angle \\$ LMJ\n- \\$\\\\overline{KL}\\$ ≅ \\$\\\\overline{ML}\\$\n- \\$\\\\overline{JK}\\$ ≅ \\$\\\\overline{KL}\\$\n- \\$\\\\overline{JL}\\$ ≅ \\$\\\\overline{JL}\\$\n- \\$\\\\angle \\$ KJL≅ \\$\\\\angle \\$ MLJ\n\n根据你选择的陈述，Lindsey 将使用哪个全等定理来证明 △JKL≅△LMJ？\n\n- Angle-Angle-Side\n- Angle-Side-Angle\n- Side-Angle-Side\n- Side-Side-Side", "answer": "- \\$\\overline{JL}\\$ ≅ \\$\\overline{JL}\\$ \n- \\$\\angle \\$ KJL≅ \\$\\angle \\$ MLJ \n \n- Side-Angle-Side", "process": "1. 已知线段 \\overline{JK} 和 \\overline{ML} 平行且全等，根据“平行线的交错内角相等定理”，得 \\angle KJL ≅ \\angle MLJ。

2. 根据已知要求、以及 \\overline{JL} 是 \\triangle JKL 和 \\triangle LMJ 的公共边，依据“自反性质”，得 \\overline{JL} ≅ \\overline{JL}。

3. 由上述推理可以得到：\\triangle JKL 和 \\triangle LMJ 具有两对对应边相等，并且夹角相等。因此根据“边角边全等定理（SAS全等定理）”，我们可以得出 \\triangle JKL ≅ \\triangle LMJ。

4. 因 \\triangle JKL ≅ \\triangle LMJ ， 所以四边形 JKLM 具有一对相对边平行且全等的性质，这样四边形 JKLM 的性质符合平行四边形的定义，因此四边形 JKLM 是一个平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "线段 \\overline{JK} 和 \\overline{ML} 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，线段 \\overline{JK} 和 \\overline{ML} 是平行线。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形 \\triangle JKL 和三角形 \\triangle LMJ 是全等三角形，三角形 \\triangle JKL 的对应边和对应角与三角形 \\triangle LMJ 相等，即： 边 \\overline{JK} = 边 \\overline{ML}，边 \\overline{JL} = 边 \\overline{JL}，边 \\overline{KL} = 边 \\overline{MJ}，同时，对应的角也相等： 角 \\angle JKL = 角 \\angle LMJ，角 \\angle KJL = 角 \\angle MJL，角 \\angle JLK = 角 \\angle MLJ。"}, {"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 JKLM 是一个平行四边形，边 \\overline{JK} 与边 \\overline{ML} 平行且相等，边 \\overline{JM} 与边 \\overline{KL} 平行且相等。"}, {"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "两条平行直线 \\overline{JK} 和 \\overline{ML} 被直线 \\overline{JL} 截交，其中角 \\angle KJL 和角 \\angle MLJ 位于两平行线之间，且在截线 \\overline{JL} 的对侧，因此角 \\angle KJL 和角 \\angle MLJ 是内错角。内错角相等，即\\angle KJL \\cong \\angle MLJ。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "边 JK 与边 ML 相等，边 JL 与边 JL 相等，且夹角 ∠KJL 与夹角 ∠MLJ 相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ee0fa24fa3f222dd0289d957dd81e5c4-img-ef0708fdddf644ff8d4747ee4154497e.png", "question": "这个球体的表面积是多少？\n\n请将你的答案四舍五入到最近的百分位。\n\n\\$\nBox\\$ 平方英尺", "answer": "804.25 square feet", "process": "1. 已知球的半径为8英尺，根据球的表面积公式S=4𝜋r^2，其中r表示球的半径，得出表面积S的计算公式。

2. 将球的半径代入公式：S=4∙𝜋∙(8)^2。

3. 计算8的平方，得到8^2=64。

4. 将计算结果代入表面积公式得：S=4∙𝜋∙64。

5. 计算4与64的乘积，得到4×64=256。

6. 将结果代入公式，得：S=256𝜋。

7. 利用𝜋≈3.14159进行近似计算，得到S≈256∙3.14159。

8. 计算结果为S≈804.24704。

9. 根据题目要求将结果四舍五入至最近的百分位。

10. 得到最终结果为S≈804.25平方英尺。

11. 经过上述推理，最终得出答案为804.25平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sphere", "content": "A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.", "this": "球面任意点到球心的距离是球的半径。所有到球心距离等于半径的点组成了球的表面。因此，球是以球心为中心的所有等距离点所组成的集合。"}, {"name": "Radius of a Sphere", "content": "The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.", "this": "在本题图中，球体表面上的任意一点到球的中心的线段是球的半径。根据球的半径的定义，球的半径R是球体从中心到任意表面点的距离，因此线段的长度就是球的半径R。"}, {"name": "Sphere Surface Area Formula", "content": "The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \\( S = 4 \\pi r^2 \\), where \\( S \\) represents the surface area of the sphere, \\( r \\) is the radius of the sphere, and \\( \\pi \\) is the mathematical constant Pi.", "this": "在本题图中，球体中，半径r表示球的半径，表面积S表示球的表面积，根据球的表面积公式，S = 4 * π * r^2，其中π是圆周率。因此，球体的表面积S等于4倍的π乘以半径r的平方。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dd7b365c049741a6a34b86794406eba9-img-f0bc4f5f0b6e47e687b3b530d69b6946.png", "question": "Jen 带着她的新帐篷去露营。帐篷的形状像一个三棱柱，如下图所示。她需要给帐篷的外表面进行防水处理：前面、后面、侧面和底部。每盎司防水喷雾覆盖800平方英寸的材料。四舍五入到最接近的盎司，Jen 需要多少盎司的防水喷雾？\n\n \\$ox\\$ 盎司", "answer": "34 ounces", "process": "1. 已知该三角棱柱的三角形底面是一个等腰三角形，其中两腰长都为70英寸，底边��为84英寸，其高为56英寸，且该棱柱的高为100英寸。

2. 先求三角形底面的面积。根据三角形的面积公式：面积A = 1/2 × 底 × 高，该三角形的底为84英寸，高为56英寸，因此面积A = 1/2 × 84 × 56 = 2,352平方英寸。

3. 接着，求三角形底面的周长，共有三条边：70英寸，70英寸，和84英寸。根据三角形的周长公式，则三角形周长P = 70 + 70 + 84 = 224英寸。

4. 计算三角棱柱的表面积。根据棱柱表面积公式：表面积S = P × 高 + 2 × 底面面积，其中P为底面周长，'高'为棱柱的高度，底面面积为先前求得的面积。

5. 代入数据进行计算：表面积S = 224 × 100 + 2 × 2,352 = 22,400 + 4,704 = 27,104平方英寸。

6. 每盎司防水喷雾可以覆盖800平方英寸材料。需喷洒的总面积为27,104平方英寸。因此，所需盎司数为27,104 ÷ 800 = 33.88。

7. 根据四舍五入原则，将得到的值33.88向上取整，结果为34。

8. 经过上述推理，最终得出答案为34盎司。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "底面三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。底面三角形的三条边分别是70英寸，70英寸和84英寸，其中两腰相等，形成等腰三角形。三角形的三个顶点分别是底边的两个端点和高的顶点，线段分别是两腰和底边。"}, {"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "底面三角形的两条边分别是70英寸和70英寸，它们相等，因此该底面三角形是一个等腰三角形。"}, {"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "整个帐篷是一个三角棱柱，底面是两个相同的等腰三角形，侧面是三个矩形。"}, {"name": "Surface Area Formula of a Prism", "content": "The surface area formula for a prism is given by: \\( S = Ph + 2B \\), where \\( P \\) denotes the perimeter of the base, \\( h \\) is the height of the prism, and \\( B \\) represents the area of the base.", "this": "底面三角形周长P = 224英寸，高H = 100英寸，底面面积A = 2,352平方英寸。表面积S = 224 × 100 + 2 × 2,352 = 22,400 + 4,704 = 27,104 平方英寸。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "84英寸是底，56英寸是该底上的高，所以三角形的面积等于底乘以高除以2，即面积 = (84 * 56) / 2。"}, {"name": "Formula for the Perimeter of a Triangle", "content": "The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \\( a \\), \\( b \\), and \\( c \\), then the perimeter \\( P \\) is given by \\( P = a + b + c \\).", "this": "在本题图中，三角形中，三条边分别是70英寸，70英寸，和84英寸，根据三角形的周长公式，即 周长L = 70 + 70 + 84。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3c58fafb43114b8c7ec49efe61643ee8-img-04b86cfa562c4d5388bcb9f808ebcd30.png", "question": "Lester 想证明如果一对对边平行且全等，那么四边形就是平行四边形。为了开始他的证明，他画了四边形 PQRS，其中 \\$\\overline{PQ}\\$ ∥ \\$\\overline{SR}\\$ 且 \\$\\overline{PQ}\\$ ≅ \\$\\overline{SR}\\$ 。他还画了对角线 \\$\\overline{QS}\\$ 。\n\n完成证明 PQRS 是平行四边形。\n在四边形 PQRS 中， \\$\\overline{PQ}\\$ ∥ \\$\\overline{SR}\\$ 且 \\$\\overline{PQ}\\$ ≅ \\$\\overline{SR}\\$ 。根据交替内角定理， \\$\\Box\\$ 。此外，根据 \\$\\Box\\$ ， \\$\\overline{QS}\\$ ≅ \\$\\overline{QS}\\$ 。因此，根据 \\$\\Box\\$ 全等定理，△PQS≅△RSQ。\n由于全等三角形的对应部分全等，\\$\\angle \\$ PSQ≅ \\$\\Box\\$ 。因此，根据 \\$\\Box\\$ 的逆定理，\\$\\Box\\$ 。因此，PQRS 是平行四边形，因为它有两对平行边。", "answer": "In quadrilateral PQRS, \\$\\overline{PQ}\\$ ∥ \\$\\overline{SR}\\$ and \\$\\overline{PQ}\\$ ≅ \\$\\overline{SR}\\$ . By the Alternate Interior Angles Theorem, \\$\\angle \\$ PQS≅ \\$\\angle \\$ RSQ. Also, \\$\\overline{QS}\\$ ≅ \\$\\overline{QS}\\$ by the Reflexive Property of Congruence. So, by the Side-Angle-Side Congruence Theorem, △PQS≅△RSQ. \nSince corresponding parts of congruent triangles are congruent, \\$\\angle \\$ PSQ≅ \\$\\angle \\$ RQS. So, by the Converse of the Alternate Interior Angles Theorem, \\$\\overline{PS}\\$ ∥ \\$\\overline{QR}\\$ . So, PQRS is a parallelogram because it has two pairs of parallel sides.", "process": "1. 在四边形PQRS中，已知线段PQ平行于线段SR（即，\\overline{PQ} ∥ \\overline{SR}），且线段PQ全等于线段SR（即，\\overline{PQ} ≅ \\overline{SR}）。

2. 通过补充线划分对角线\\overline{QS}，构成两个三角形△PQS和△RSQ。

3. 根据'内错角相等定理'（Alternate Interior Angles Theorem），当平行线被一条横截线相交时，产生的内错角相等。因此，在本题中，\\angle PQS ≅ \\angle RSQ。

4. 根据'全等的自反性质'（Reflexive Property of Congruence），任何几何图形全等于自身。因此，\\overline{QS} ≅ \\overline{QS}。

5. 现在我们知道△PQS和△RSQ具有两对全等对应的边，并且这些边之间的夹角也全等。因此，根据'边-角-边全等定理'（Side-Angle-Side Congruence Theorem），△PQS ≅ △RSQ。

6. 由于全等三角形的对应部分相等（Corresponding parts of congruent triangles are congruent, CPCTC），所以\\angle PSQ ≅ \\angle RQS。

7. 根据'内错角相等的逆定理'（Converse of the Alternate Interior Angles Theorem），当两条直线被一条横截线所截并且产生的内错角相等时，这两条直线平行。因此，\\overline{PS} ∥ \\overline{QR}。

8. 因此，由于四边形PQRS具有两对平行的对边，它是一个平行四边形。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形PQRS中，\\overline{PQ} ∥ \\overline{SR}且\\overline{PS} ∥ \\overline{QR}，因此根据平行四边形的定义，PQRS是一个平行四边形。"}, {"name": "Definition of Alternate Interior Angles", "content": "When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.", "this": "两条平行直线PQ和SR被一条直线QS截交，其中角PQS和角RSQ位于两平行线之间，且在截线QS的对侧，因此角PQS和角RSQ是内错角。内错角相等，即角PQS等于角RSQ。"}, {"name": "Triangular Congruence Theorem (SAS)", "content": "If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.", "this": "三角形PQS和三角形RSQ中，边PQ与边SR相等，边QS与边QS相等，且夹角PQS与夹角RSQ相等，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。"}, {"name": "Definition of Congruent Triangles", "content": "Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.", "this": "三角形PQS和三角形RSQ是全等三角形，三角形PQS的对应边和对应角与三角形RSQ相等，即：\n边PQ = 边SR\n边PS = 边RQ\n边QS = 边QS，\n同时，对应的角也相等：\n角PQS = 角RSQ\n角PSQ = 角RQS\n角QPS = 角QRS."}]} +{"img_path": "ixl/question-525d150834a5da32eb13c88a288ae14e-img-5b6df345f2e14616b609c8698209b9d0.png", "question": "一个棱柱的高度为4厘米。它的底面如图所示。 \n\n棱柱的表面积是多少？ \n\n \\$ox\\$ 平方厘米", "answer": "180 square centimeters", "process": "1. 已知三棱柱的底面为一个直角三角形，三边分别为5厘米，12厘米和13厘米，且该三棱柱的高为4厘米。

2. 根据已知条件并结合勾股定理的逆定理（即如果三角形的两边长分别为a和b，斜边为c，则满足a² + b² = c² ），因为5² + 12² = 13² ，即25 + 144 = 169成立，所以此三角形为直角三角形，直角边为5厘米和12厘米，斜边为13厘米。

3. 该直角三角形的面积B可以通过三角形面积公式B = 1/2 * 底 * 高计算，其中底和高分别为5厘米和12厘米，故B = 1/2 * 5 * 12 = 30 平方厘米。

4. 该直角三角形的周长P为5+12+13=30厘米，可以确定棱柱的侧面面积。

5. 三棱柱的表面积S由两个三角形底面面积和三个长方形侧面面积组成，具体公式为S = 周长P * 高度h + 2 * 底面面积B，其中高度h为4厘米。

6. 代入已知条件S=30 * 4 + 2 * 30，于是S = 120 + 60 = 180 平方厘米。

7. 因此，这个三棱柱的表面积为180平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Prism", "content": "A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.", "this": "在本题图中，这个��何体是一个三棱柱，底面是直角三角形，三个侧面是长方形。顶面和底面的形状和面积相等，侧面与底面垂直。"}, {"name": "Definition of Right Triangle", "content": "A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.", "this": "三角形的两条边分别为5厘米和12厘米，这两条边所夹的角是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。边5厘米和边12厘米是直角边，边13厘米是斜边。"}, {"name": "Pythagorean Theorem", "content": "In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.", "this": "底面三角形的两直角边分别长5厘米和12厘米，斜边长13厘米，满足5² + 12² = 13²即25 + 144 = 169，因此确认底面是直角三角形。"}, {"name": "Surface Area Formula of a Prism", "content": "The surface area formula for a prism is given by: \\( S = Ph + 2B \\), where \\( P \\) denotes the perimeter of the base, \\( h \\) is the height of the prism, and \\( B \\) represents the area of the base.", "this": "底面的面积分别是30平方厘米，底面的周长为5 + 12 + 13 = 30厘米，高度为4厘米。因此棱柱的表面积S = 2 * 30平方厘米 + 30厘米 * 4厘米 = 60平方厘米 + 120平方厘米 = 180平方厘米。"}, {"name": "Converse of the Pythagorean Theorem", "content": "If the sum of the squares of two sides of a triangle is equal to the square of the third side, then the triangle is a right triangle, and the angle opposite to the longest side is a right angle.", "this": "在本题图中，已知三角形的三边分别为a、b、c，且满足c² = a² +b²，则根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形。"}]} +{"img_path": "ixl/question-99bbe3bfa341017097ff2bc161c2d05b-img-2409aed91e8d48e896f86f2967b9f55b.png", "question": "一个圆柱体的表面积是140𝜋平方毫米。如下图所示。 \n\n\n圆柱体的高度是多少？ \n\n \\$ox\\$ 毫米", "answer": "9 millimeters", "process": "1. 已知圆柱的表面积为140π平方毫米，圆柱的半径为5毫米。

2. 使用圆柱的表面积公式：S = 2πr^2 + 2πrh，其中S是表面积，r是半径，h是高度。

3. 将已知数值代入公式：140π = 2π(5)^2 + 2π(5)h。

4. 计算2π(5)^2，得到50π。因此，公式变为140π = 50π + 10πh。

5. 移项得：140π - 50π = 10πh。

6. 计算140π - 50π，得到90π。因此，有90π = 10πh。

7. 两边同时除以10π，得出h = 9。

8. 经过上述推理，最终得出答案为9毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cylinder", "content": "A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.", "this": "圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是两个完全相同的圆形，它们的半径为5毫米，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高h，宽度等于圆周的周长。"}, {"name": "Surface Area Formula for a Cylinder", "content": "The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.", "this": "圆柱的表面积计算公式为S = 2πr^2 + 2πrh，其中r = 5毫米，S = 140π平方毫米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆柱体的底面是一个圆，圆的半径是5毫米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径5的平方，即A = π(5)² = 25π平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-60075f9d5db493bf7095d36d04fb0276-img-3e9aa2f046be4bf78889b3e3e264251c.png", "question": "一个圆锥的斜高为21毫米。其底面如图所示。\n\n圆锥的表面积是多少？\n请用𝜋表示精确答案。\n\n\\$ox\\$ 𝜋/平方毫米", "answer": "162​𝜋 square millimeters", "process": "1. 根据题目描述，该圆锥的底面半径为6毫米，母线长为21毫米。

2. 圆锥的表面积公式为底面面积加上侧面积。

3. 底面为一个圆，圆的面积公式为A=πr^2，其中r为圆的半径，因此底面面积A=π*(6^2)=36π平方毫米。

4. 侧面积为一个圆锥的展开扇形的面积��公式为Al=πrℓ，其中r是底面半径，ℓ是母线长，因此侧面积为Al=π*6*21=126π平方毫米。

5. 圆锥的总表面积S为底面面积加侧面积，即S=36π+126π=162π平方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为162π平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "底面圆的半径为6毫米，即从圆心（图中黑色点）到圆周上的任意一点的距离为6毫米。"}, {"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "在本题中，圆锥的母线长为21毫米，即从圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离为21毫米。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "圆锥的侧面积展开为一个扇形，这个扇形的半径为底面圆的半径6毫米，扇形的弧长为圆锥的母线21毫米。计算公式为Al = πrℓ，因此侧面积为π*6*21 = 126π平方毫米。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是6毫米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = π6²。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "圆锥底面是一个圆，其半径为6毫米，底面积为π*(6^2)=36π平方毫米。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高21毫米，扇形的弧长等于底面的周长2π*6=12π毫米。侧面积等于扇形的面积，即π*6*21=126π平方毫米。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为36π + 126π = 162π平方毫米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b782c09f26c8a413dbe94cce9d0b575a-img-90bdfd38f3a84f468f5082a75b5b35a5.png", "question": "一个三棱柱如图所示。 \n\n\n三棱柱的表面积是多少？\n\n \\$ox\\$ 平方毫米", "answer": "888 square millimeters", "process": "1. 已知三棱柱的三角形底面两条边的长度均为10毫米，第三边为16毫米。根据题意，底面三角形为等腰三角形，因此两条短边均为10毫米，底边为16毫米。

2. 通过已知底边为16毫米、高为6毫米，利用三角形面积公式计算底面面积：A = 1/2 * base * height = 1/2 * 16毫米 * 6毫米 = 48平方毫米。

3. 计算底面三角形的周长，利用周长公式：P = a + b + c。将三边长度代入：P = 10毫米 + 10毫米 + 16毫米 = 36毫米。

4. 因为该几何体为三棱柱，因此棱柱高为22毫米。利用三棱柱表面积公式：S = Ph + 2B。其中P为底面周长，h为棱柱高度，B为底面面积。

5. 代入各值：S = 36毫米 * 22毫米 + 2 * 48平方毫米 = 792平方毫米 + 96平方毫米 = 888平方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为888平方毫米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Isosceles Triangle", "content": "A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.", "this": "底面三角形的两条边均为10毫米，底边为16毫米，因此这个三角形是一个等腰三角形。"}, {"name": "Surface Area Formula of a Prism", "content": "The surface area formula for a prism is given by: \\( S = Ph + 2B \\), where \\( P \\) denotes the perimeter of the base, \\( h \\) is the height of the prism, and \\( B \\) represents the area of the base.", "this": "在本题图中，底面三角形的周长为36毫米，棱柱高度为22毫米，底面面积为48平方毫米，因此表面积为36毫米 * 22毫米 + 2 * 48平方毫米 = 888平方毫米。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "在本题图中，三棱柱底边的三角形中，边16mm是底，线段6mm是该底上的高，所以三角形的面积等于底16mm乘以高6mm除以2，即面积 = (16 * 6) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e2bccd1b5e1e58a3a3f928aa8b0a7b64-img-b1905bc7984b4b8b9a9ba4d989c7017d.png", "question": "一个圆锥如图所示。 \n\n\n圆锥的表面积是多少？ \n用𝜋表示准确答案。\n\n \\$ox\\$ 𝜋/平方英寸", "answer": "216​𝜋 square inches", "process": "1. 已知底面直径为18英寸，因此底面半径r为18/2=9英寸。

2. 已知斜高𝓁为15英寸。

3. 圆锥的表面积S的计算公式为S=𝜋r^2 + 𝜋r𝓁，其中𝜋r^2是底面圆的面积，𝜋r𝓁是侧面积。

4. 计算底面圆的面积，𝜋r^2=𝜋×9^2=81𝜋。

5. 计算侧面积，𝜋r𝓁=𝜋×9×15=135𝜋。

6. 将底面圆的面积和侧面积相加，得到表面积S=81𝜋+135𝜋=216𝜋。

7. 经过上述推理，最终得出答案为216𝜋平方英寸。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "底面圆的半径为r，由底面直径18英寸得出r=18/2=9英寸。底面圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。"}, {"name": "Definition of Diameter", "content": "A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.", "this": "底面圆的直径为18英寸，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即直径 = 2r。"}, {"name": "Generatrix", "content": "The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.", "this": "圆锥的斜高为15英寸，斜高即为母线。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "底面圆的半径是9英寸，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径9的平方，即A = π9²。"}, {"name": "Lateral Surface Area of a Cone", "content": "The lateral surface area \\(A\\) of a cone is calculated using the formula \\(A = \\pi r l\\), where \\(r\\) is the radius of the base circle and \\(l\\) is the slant height of the cone.", "this": "在本题图中，侧面积为πr𝓁，其中r=9英寸，𝓁=15英寸，因此侧面积为π×9×15=135π。"}, {"name": "Formula for the Surface Area of a Cone", "content": "The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.", "this": "在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其半径为9英寸，底面积为π×9²=81π平方英寸。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高15英寸，扇形的弧长等于底面的周长2π×9=18π英寸。侧面积等于扇形的面积，即π×9×15=135π平方英寸。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为81π+135π=216π平方英寸。"}]} +{"img_path": "ixl/question-854fea300e6012eec8478d0a3319d91e-img-70c212e1f09e4f759820303abd410325.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ DGE是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ DGE= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ DGE=90°", "process": "1. 在圆心G的圆中，∠EGF、∠DGE和∠DGF是以G为圆心的圆心角。根据圆的角度性质，圆心角之和是360°。

2. 根据题中信息，已知∠EGF = 150°，∠DGF = 120°。所以可以用方程表示所有三个角的和：m ∠EGF + m ∠DGE + m ∠DGF = 360°。

3. 将已知的角度值代入到方程中：150° + m ∠DGE + 120° = 360°。

4. 合并已知角度的和：270° + m ∠DGE = 360°。

5. 通过从等式两边减去270°，解得：m ∠DGE = 360° - 270° = 90°。

6. 因此，经过上述推理，最终得出答案为90°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心G的圆中，点E、点D和点F是圆上的三点，圆心是点G。连线GE和GF组成的角∠EGF，连线GD和GE组成的角∠DGE，连线GD和GF组成的角∠DGF称为圆心角。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧FE弧ED弧DF绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角EGF+角DGE+角DGF=360度，则角DGE=90度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d172cfee31730dbb8155fc5aa837dc0a-img-96870f0ac34e419384413d26082038de.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ IGJ?", "answer": "m \\$\\angle \\$ IGJ=55°", "process": "1. 在圆内，有四个角：∠IGJ, ∠JGK, ∠HGK, ∠HGI。这四个角是围绕点G的全部角，因此它们的和等于360°。

2. 根据圆中心角的总和为360°，可以列出方程：∠IGJ + ∠JGK + ∠HGK + ∠HGI = 360°。

3. 在图中，给出了∠JGK = 65°，∠HGK = 90°，∠HGI = 150°。将这些角度代入方程：∠IGJ + 65° + 90° + 150° = 360°。

4. 计算和：65° + 90° + 150° = 305°。

5. 将305°代入方程得到：∠IGJ + 305° = 360°。

6. 从两边同时减去305°，方程简化为：m∠IGJ = 360° - 305°。

7. 计算得出：∠IGJ = 55°。经过上述推理，最终得出答案为55°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点I和点J是圆上的两点，圆心是点G。连线GI和GJ组成的角∠IGJ称为圆心角。类似地，∠JGK，∠HGK，∠HGI也是圆心角，因为它们由圆的半径JG，GK，HG和圆心G构成。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧JI,弧JK,弧KH,弧HI绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角JGI+角JGK+角KGH+角HGI=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8e41320108a218c8c52e1affbbcebc0c-img-1810afb0aef04aff9c3b4ea682e217d2.png", "question": "m \\$rown{UV}\\$ 是多少？\n\nm \\$rown{UV}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{UV}\\$ =140°", "process": "1. 已知圆周上有三个弧，分别是弧TV、弧UV和弧TU，它们由点V、U和T划分而成。根据图中标注，弧TV的度数为90°，弧TU的度数为130°。

2. 根据圆的角度性质，圆周一周的总角度为360°。由此可得方程：m(∠TV) + m(∠UV) + m(∠TU) = 360°。

3. 将已知的信息代入方程，得到：90° + m(∠UV) + 130° = 360°。

4. 合并方程中的已知项，90° + 130° = 220°，因此更新方程为：m(∠UV) + 220° = 360°。

5. 从方程两边同时减去220°，得到：m(∠UV) = 360° - 220°。

6. 计算得：m(∠UV) = 140°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为m(∠UV) = 140°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆O中，点V和点T是圆上的两点，圆心是点O。连线OV和OT组成的角∠VOT称为圆心角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆周上有三个弧，分别是弧TV、弧UV和弧TU。弧TV是连接点T和点V的一段曲线，弧UV是连接点U和点V的一段曲线，弧TU是连接点T和点U的一段曲线。根据弧的定义，弧TV、弧UV和弧TU都是圆上两点之间的一段曲线。弧TV的度数为90°，弧TU的度数为130°。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本题图中，弧TV弧VU弧TU绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角TV+角UV+角TU=360度，则角VUT=360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-1f2cee3ba6f2c6865514d412f82e2fbc-img-d38e7e06ff634757b64c5a6c8b8932e4.png", "question": "m \\$\\\\overset{\\\\frown}{GH}\\$ 是多少？", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{GH}\\$ =80°", "process": "1. 设圆为圆O，已知弧FG的度数 = 145°, 弧EH的度数 = 70°, 弧EF的度数 = 65°。

2. 根据圆的角度性质，弧FG弧GH弧HE弧EF绕圆一周，弧度和为360度。

3. 由题图可知，圆周圆弧FG + GH + EH + EF = 360°。

4. 将已知的弧度替换入相加公式中，得：145° + GH + 70° + 65° = 360°。

5. 合并已知角度值，我们有145° + 70° + 65° = 280°。

6. 原方程化简后得：GH + 280° = 360°。

7. 通过减去280°，我们推导出：GH= 360° - 280°。

8. 计算得到GH= 80°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为80°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有两点G和H，弧GH是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧GH是圆上两点G和H之间的一段曲线。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "在本题图中，圆中，点G、H、E、F是圆上的四个点，圆心是点O。连线OG和OH组成的角∠GOH称为圆心角。同理，连线OE和OH组成的角∠EOH，连线OE和OF组成的角∠EOF也是圆心角。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧FG弧GH弧HE弧EF绕圆一周，弧度和为360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-31481c4ffa99a2a19639c3213b042efa-img-e9946e29f3f84c78a90db4f87a410749.png", "question": "看这个形状：哪个图像显示了旋转？\n\n| A | B | C |\n- A\n- B\n- C\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "A", "process": "1. 首先观察给定的原始图形。这是一个位于平面直角坐标系第一象限的四边形。

2. 选择选项A中的图形，并观察其相对于原始图形的变化。

3. 根据旋转变换的定义，图形旋转是指图形绕某个固定点旋转一定角度。在选项A中，观察到图形是相对于原始图形顺时针旋转90度。可以从图形的方位变化判断。

4. 选择选项B中的图形，并观察其相对于原始图形的变化。

5. 选项B显示的是一个对称图形，符合反射变换的定义，即图形关于某一对称轴的镜像。因此选项B不是旋转。

6. 选择选项C中的图形，并观察其相对于原始图形的变化。

7. 选项C中的图形通过平移（沿着向下2个单位和向右1个单位）从原始图形获得，根据平移变换的定义，图形的位置发生了改变，但没有旋转。因此选项C也不是旋转。

8. 经由上述分析，选项A中展示的变化符合旋转的定义，即图形相对于原始位置顺时针旋转90度，而不是平移或对称。因此，选项A显示了一个旋转。

9. 经过上述推理，最终得出答案为A。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "选项A中的图形是相对于原始图形顺时针旋转90度。固定点位于原始图形的顶点，旋转角度为90度，因此选项A符合旋转变换的定义。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "图形关于某一对称轴的镜像，这符合反射变换的定义，因此选项B不是旋转。"}, {"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "选项C展示了图形沿着向下2个单位和向右1个单位的方向进行平移。这符合平移变换的定义，因此选项C不是旋转。"}, {"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "选项A中的图形经过旋转变换后，其形状和大小与原始图形保持一致，只是位置发生了变化，符合旋转不变性定理。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，选项B中的图形经过关于对称轴的镜像变换后，符合镜像对称定理，图形在对称轴两侧保持对称，但不是旋转。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "在本题图中，选项C中的图形经过平移变换，形状和大小与原始图形保持一致，只是位置发生了改变，符合平移不变性定理。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7f5c64d6e24d30ccf7fbe34a020934e1-img-117dc416bb974a29bc9c3c72075dd402.png", "question": "观察这个图形：哪个图像显示了反射？\n\n| A | B | C |\n- A\n- B\n- C\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）", "answer": "C", "process": "1. 观察原始图形形状，如图所示的四边形之一的形状。

2. 查看选项图像A，可以观察到该图形经过了一个90°逆时针旋转。这个变换属于旋转，而不是反射。

3. 查看选项图像B，可以观察到该图形沿着竖直方向移动了2个单位。这个变换属于平移，而不是反射。

4. 查看选项图像C，可以观察到该图形和原始图形在水平方向上是对称的，像镜像映射。这个变换属于反射。

5. 由以上分析可得出选项C为正确答案，因为它展示了原始图形的一个反射。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "选项A中的图形是原图形绕原点逆时针旋转了90°，因此不是反射。"}, {"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "选项B中的图形是原图形沿竖直方向向上平移了2个单位，因此不是反射。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "选项C中的图形是原图形以垂直于水平轴的镜像反射过来的，因此是正确答案。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "在本题图中，选项C反映了图形通过水平方向上的反射，验证了反射定理，即原图形和反射后的图形形状和大小保持一致，而位置互相对应。比如原图形的顶点A在反射后的对称位置上，即坐标(1,1)映射至(7,1)，以此类推。"}]} +{"img_path": "ixl/question-32b6aa087b715c061e7c908bf993bfb2-img-ae1515febba84496be397b253dea824d.png", "question": "观察这个图形：哪个图像显示了平移？\n\n| A | B | C |\n- A\n- B\n- C\n要求：\n1. 务必严格保持所有数学符号不翻译\n2. 图形标注（如ABCD）不翻译\n3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）", "answer": "B", "process": "1. 观察给定图形和三个选项图形，目标是找出一种经过平移变换后与源图形一致的选项。

2. 首先查看选项A，分析其相对于源图形的变化：形状发生了旋转，判断为旋转变换。

3. 查看选项B，观察形状相对源图形没有发生旋转或翻转，仅相对于原图向下移动了，与平移变换描述一致，因此是平移。

4. 查看选项C，注意到形状相对于原图进行了镜像反射，判断为反射变换。

5. 根据以上分析，选项B是三个选项中唯一符合平移（translation）定义的选项。

6. 经过上述推理，最终得出答案为选项B。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，原图形和选项B中的图形经过平移变换后没有发生形状和大小的变化，仅有位置的改变。表示原图形中的某点P经过平移变换后到了点P'的位置。点P和P'的位置关系等距且方向一致，例如原三角形的顶点A经过平移变换后移动到A'的位置，且其他顶点也相应平移同等距离和方向。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "原图形经过旋转变换，由原来的位置旋转了特定的角度，且旋转过程中图形的形状和大小保留不变。例如，原三角形顶点A、B、C旋转到新的位置A'、B'、C'，保持原三角形的形状和大小。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "原图形经过镜像反射变换，相对于某条镜像线发生反射。例如原三角形顶点A、B、C相对于镜像线反射到新的位置A'、B'、C'，保持原三角形的形状和大小。"}]} +{"img_path": "ixl/question-75f05e9e3693a3400035b82b6eed89d2-img-0be304141ed944f0863032d6c9ce0731.png", "question": "m \\$\\\\angle \\$ FEG是多少？\n\nm \\$\\\\angle \\$ FEG= \\$\\\\Box\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ FEG=105°", "process": "1. 根据题目提供的圆形图，可以看到点E为圆心，点F、G、H均位于同一圆周上，并且线段EF、EG、EH构成以E为中心的三个角：角FEG、角GEH、角FEH。

2. 知道角GEH的度数为130°，角FEH的度数为125°。这些角以E为中心围绕一周构成圆心，所以它们的度数和应该是360°。

3. 根据圆的角度性质：在一个圆中，以圆心为顶点的角度和为360°，所以我们可以得到方程：m∠FEG + m∠GEH + m∠FEH = 360°。

4. 将已知值m∠GEH=130°和m∠FEH=125°代入方程，得到：m∠FEG + 130° + 125° = 360°。

5. 计算方程右边的已知角度和：130° + 125° = 255°。

6. 将方程简化为：m∠FEG + 255° = 360°。

7. 通过将255°从两边消去，得到m∠FEG = 360° - 255°。

8. 计算360° - 255°的结果，得到m∠FEG = 105°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为105°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧GF弧HF弧GH绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角FEG + 角FEH + 角GEH = 360度，则角FEG = 105度。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "点F、G、H均位于圆周上，圆心是点E。连线EF和EG组成的角∠FEG，连线EG和EH组成的角∠GEH，连线EF和EH组成的角∠FEH均为圆心角。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d8796006f71e5a84b77267f16ba0eb62-img-9c0690e5e3cb4f7cae814fd8e8dff969.png", "question": "\\$\\overline{AB}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{AB}\\$ 以 (9,–1) 为中心按比例因子 1/2 缩放得到 \\$\\overline{A'B'}\\$ 。\n\n\\$\\overline{A'B'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "6.4 units", "process": "1. 已知直线段线段AB}的两个端点为A(-8, -5)和B(2, 3)。要计算线段A'B'的长度，我们首先需要找到AB的长度。

2. 根据两点之间的距离公式：AB=√{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}，将A(-8, -5)和B(2, 3)代入，计算得：√{(2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2}。

3. 计算括号中的数值：(2 - (-8)) = 10 和 (3 - (-5)) = 8。因此，我们需要计算√{10^2 + 8^2}。

4. 继续计算平方和：10^2 = 100 和 8^2 = 64，因此有√{100 + 64} =√{164}。

5. 计算√{164}的近似值，使用计算器得出√{164} 约等于 12.806。AB的长度为12.806。

6. 题目要��计算A'B'，已知AB经过以(9, -1)为中心，缩放因子为1/2的放缩变换。

7. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，A'B'的长度为AB的长度乘以缩放因子1/2，即A'B'= 1/2 * 12.806。

8. 计算得1/2 * 12.806 = 6.403。

9. 将6.403四舍五入到最接近的十分位，得到A'B'的近似长度为6.4个单位长度。

10. 经过上述推理，最终得出答案为6.4个单位长度。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，点A的坐标是(-8, -5)，点B的坐标是(2, 3)，因此AB的长度由距离公式计算得出，即AB = √{(2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2} = √{(10)^2 + (8)^2} = √{100 + 64} = √{164}"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "AB缩放后得到A'B'，缩放因子= A'B'长度/AB长度，缩放因子=1/2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2bf2587ad0429e0e51d730e35e67124e-img-75d26eba9a1941079672d85a2ad79129.png", "question": "\\$\\overline{AB}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{AB}\\$ 以 (9,–1) 为中心按比例因子 1/2 缩放，得到 \\$\\overline{A'B'}\\$ 。 \\$\\overline{A'B'}\\$ 的长度是多少？请将你的答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。 \\$\\Box\\$ 单位", "answer": "6.4 units", "process": "1. 根据题意，线段\\( \\overline{AB} \\)的端点分别为\\( A(-8, -5) \\) 和 \\( B(2, 3) \\)。我们先用距离公式计算\\( \\overline{AB} \\)的长度。

2. 距离公式为：\\[ d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\]

3. 代入坐标得到：\\[ AB = \\sqrt{(2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2} = \\sqrt{(2 + 8)^2 + (3 + 5)^2} = \\sqrt{10^2 + 8^2} = \\sqrt{100 + 64} \\]

4. 简化得到：\\( AB = \\sqrt{164} \\)

5. 由题意，\\( \\overline{AB} \\)以缩放因子\\( \\frac{1}{2} \\)相对于点\\( (9, -1) \\)进行放缩，得到\\( \\overline{A'B'} \\)。所以，\\( \\overline{A'B'} \\)的长度为\\( \\overline{AB} \\)的\\( \\frac{1}{2} \\)倍。

6. 计算\\( \\overline{A'B'} \\)的长度：\\[ A'B' = \\frac{1}{2} \\times \\sqrt{164} = \\frac{1}{2} \\times 12.806 \\approx 6.403 \\]

7. 四舍五入到十分位，\\( \\overline{A'B'} \\)的长度为：\\( 6.4 \\)单位。

8. 经过上述计算和推理，最终的答案为\\( 6.4 \\)单位。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "A点的坐标为\\( A(-8, -5) \\)，B点的坐标为\\( B(2, 3) \\)，用距离公式计算线段\\( \\overline{AB} \\)的长度：\\[ AB = \\sqrt{(2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2} = \\sqrt{(2 + 8)^2 + (3 + 5)^2} = \\sqrt{10^2 + 8^2} = \\sqrt{100 + 64} = \\sqrt{164} \\]"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形AB缩放后得到多边形A‘B’，缩放因子=A‘B’长度/AB长度，即缩放因子=1/2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8077b6527f3df96d22931be75f75faf9-img-4160899aa8fe4f36bcbc50f6b5ad6f99.png", "question": "\\$\\overline{AB}\\$ 在下面的图表中显示。\\$\\overline{AB}\\$ 以 (9,–1) 为中心按比例因子 1/2 缩放，创建 \\$\\overline{A'B'}\\$ 。\n\n\\$\\overline{A'B'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "6.4 units", "process": "1. 已知点A的坐标为(-8,-5)，点B的坐标为(2,3)，要计算线段AB的长度，我们使用两点之间距离公式，公式为d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

2. 代入A和B的坐标，d = √((2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2) = √((2 + 8)^2 + (3 + 5)^2) = √((10)^2 + (8)^2)。

3. 计算出10的平方为100，8的平方为64，因此d = √(100 + 64) = √164。

4. 计算出√164的值为12.8062（四舍五入至小数点后四位）。

5. 已知在经过中心为(9, -1)的缩放后，线段AB被缩放一个比例因子1/2。根据直角坐标系中的缩放因子定义，线段A'B'的长度是1/2倍的AB，即A'B' = 1/2 * 12.8062。

6. 计算A'B' = 6.4031，四舍五入至小数点后一位得到6.4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6.4单位。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点A的坐标为(-8, -5)和点B的坐标为(2, 3)，我们需要计算线段AB的长度。因此d = √((2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2)，代入公式并计算得到AB的长度。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形ABC缩放后得到多边形A'B'C'，缩放因子=A'B'长度/AB长度，即缩放因子=1/2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-7741e2dcf5c686c7ec476d959bf1d93f-img-7e18e9cb16484adebd033d86f216ebdf.png", "question": "看这个图形：哪个图像显示了平移？\n\n| A | B | C |\n- A\n- B\n- C", "answer": "A", "process": "1. 一道几何题中，要求辨别给定图形经过几何变换后的结果，其中几何变换包括平移、旋转和反射。

2. 首先，我们根据题目所给的原始图形，观察其位于网格中的位置。

3. 对比选项A，选项A中的图形相对于原始图形水平向右平移后仅有一个单位向下的变化，不涉及方向的改变。

4. 根据定义，平移是一种等距保持的变换，平移改变图形的位置而不是形状和方向。因此，选项A满足平移的特征。

5. 然后观察选项B，图形旋转180°后，形状方向发生改变，符合旋转变换的特征。

6. 最后看选项C，图形沿垂直对称轴翻转，符合反射变换的特征。

7. 经过上述推理，选项A显示了图形的平移，因此选项A是正确的答案。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "在本题图中，原始图形由网格中的位置平移到新位置。图形位置的改变是从原位置向右平移并下移一个单位。这种移动保持了图形的形状和方向，因此是平移。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "在本题图中，选项B中的图形相对于原始图形旋转了180°，从而关于固定点改变了方向，即180°旋转。这种变换改变了图形的方向，因此是旋转。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "选项C中的图形沿垂直对称轴反射，相对于原始图形镜像翻转。这种变换保持了图形的形状，但改变了它的方向，因此是反射。"}, {"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "选项A中的图形经过水平向右平移和向下平移一个单位的位置变化，不改变图形的方向。平移距离是网格单位的变化方向是线性确定，因此图形的新位置与原始位置相对应。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "选项B的图形相对于原始图形围绕某定点旋转180°，使得图形的方向发生逆时针变化。原始位置的图形变换基于旋转角度确认其结果。"}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "选项C中沿垂直对称轴反射，原始图形的反射结果在镜像对称轴两侧产生位置变化，此时图形的方向也产生了相应变换。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f0cb3c747b0e71472744282e2d9b01f6-img-7bd54f92b93f4095926a7cd2970b5cb7.png", "question": "\\$\\overline{DE}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{DE}\\$ 以点D为中心按比例因子4进行扩展，得到 \\$\\overline{D'E'}\\$ 。\n\n\\$\\overline{D'E'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写成整数或四舍五入到最近的十分位的十进制数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "52 units", "process": "1. 已知点 D(1, -8) 和点 E(6, 4)，需要计算线段 DE 的长度。

2. 根据距离公式，两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之间的距离为 d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

3. 将点 D(1, -8) 和 E(6, 4) 代入距离公式，有 DE的长度d= √[(6 - 1)²+ (4 - (-8))²]。

4. 计算步骤：首先计算横坐标之差 (6 - 1)² = 5² = 25；然后计算纵坐标之差 (4 - (-8))²= 12²= 144。

5. 将两者相加：DE的长度 d= √(25 + 144) =√169。

6. 由于 √169 = 13，所以线段 DE 的长度为 13 个单位。

7. 现在，根据题目，DE 经中心为点 D 缩放因子 4 的放大，得到 D'E'。

8. 根据放大缩小定理，经过中心 D 的放大缩小变换，线段的长度被放大到原来的倍数，因此 D'E' 的长度为放大因子乘以 DE 的长度。

9. 计算 D'E' 的长度，有 D'E'的长度 d = 4 * 13 = 52。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 D'E' 的长度是 52 个单位。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，用到的距离公式是用于计算点 D(1, -8) 和点 E(6, 4)之间的距离DE长度为 d，即 d=√[(6 - 1)² + (4 - (-8))²]。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "直线DE缩放后得到直线D'E'，缩放因子=D'E'长度/DE长度，即缩放因子=4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8dbe4d233c3aa123cb1ffbadbad8173a-img-0a3a11a694da4e828c7d4496f1bf3475.png", "question": "\\$\\overline{TU}\\$ 如下图所示。 \\$\\overline{TU}\\$ 以 (–7,2) 为中心按比例因子 3 缩放，得到 \\$\\overline{T'U'}\\$ 。\n\n\n\\$\\overline{T'U'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "21.6 units", "process": "1. 已知点T的坐标为(-7, 8)，点U的坐标为(-3, 2)。根据两点之间的距离公式计算线段TU的长度。其中距离公式为：对于两点(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的距离d = √{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}。

2. 将点T的坐标(-7, 8)和点U的坐标(-3, 2)代入距离公式，计算TU的长度，得：TU = √{((-3) - (-7))^2 + (2 - 8)^2}。

3. 计算得：((-3) - (-7))^2 = (4)^2 = 16；(2 - 8)^2 = (-6)^2 = 36。

4. 因此，TU的长度为√{16 + 36} = √{52}。

5. √{52}可以简化为√{4 * 13} = 2√{13}，取近似值，TU 约等于 7.2。

6. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，缩放因子=3，得到T'U'。

7. 因此，T'U'的长度是TU长度的3倍。

8. 计算得：T'U' = 3 * TU = 3 * 2√{13}。

9. 因此，T'U'的近似值为：3 * 7.2 = 21.6。

10. 经过上述推理，最终得出答案为21.6单位。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，点 T 的坐标为 (-7, 8)，点 U 的坐标为 (-3, 2)。应用距离公式计算两点 T 和 U 之间的距离，即线段 TU 的长度：d(T, U) = √(((-3) - (-7))^2 + (2 - 8)^2) = √(4^2 + (-6)^2) = √(16 + 36) = √52 ≈ 7.2。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "TU缩放后得到T'U'，缩放因子= T'U'长度 / TU长度，缩放因子=3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0cddc395ac9c685be50036921ed6de94-img-54f307b388b94055915e4a78fced232a.png", "question": "m \\$rown{VW}\\$ 是多少？\n\nm \\$rown{VW}\\$ = \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{VW}\\$ =75°", "process": "1. 确认圆周上四个弧的标记和度数： 𝛼TU = 100°， 𝛼UV = 130°， 𝛼TW = 55°，以及 𝛼VW（需要求解）。

2. 根据圆的角度性质，整个圆的弧度之和为 360°。据此，我们可以列出方程： 𝛼TU + 𝛼UV + 𝛼VW + 𝛼TW = 360°。

3. 将已知的弧度带入方程：100° + 130° + 𝛼VW + 55° = 360°。

4. 对方程左侧已知值进行加法运算，得到 285° + 𝛼VW = 360°。

5. 为了求得 𝛼VW，将 285° 从等式两边相减，得到 𝛼VW = 75°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 𝛼VW = 75°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "在本题图中，弧TU弧UV弧VW弧WT绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角TOU+角UOV+角VOW+角WOT=360度，则角VOW=75度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-de4c0c70d713f9bd8efc2a683f0b9802-img-080f4ab4a5cb49e698781526ddc5a80d.png", "question": "m \\$heta \\$ TSW是多少？\n\nm \\$heta \\$ TSW= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ TSW=130°", "process": "1. 首先，观察到在圆周内，角 ∠USV、∠VSW、∠TSW 和 ∠TSU 是射线从同一个点 S 出发围成的所有角，根据圆的角度性质，因此它们的和为360°。

2. 根据已知， m ∠USV = 60°，m ∠VSW = 115°，m ∠TSU = 55°。这些角的度数可以直接替换到我们上一步中的等式中。

3. 将这些已知角度值代入等式，可以得到方程：m ∠USV + m ∠VSW + m ∠TSW + m ∠TSU = 360°，即 60° + 115° + m ∠TSW + 55° = 360°。

4. 将已知角度值进行相加，得出总和为 230°，我们的方程变为：m ∠TSW + 230° = 360°。

5. 为了求出 m ∠TSW 的值，从两边同时减去 230°，得到 m ∠TSW = 360° - 230°。

6. 计算结果为：m ∠TSW = 130°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 m ∠TSW = 130°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧WT弧TU弧UV弧WV绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度，即角WST+角TSU+角USV+角WSV=360度，则角WST=130度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-41d88a7bc7208b4a9e63eb6fb0ed05ad-img-4555297877604cbc96c29fb5c83025a1.png", "question": "看这个形状：哪个图像显示了旋转？\n\n| A | B | C |\n- A\n- B\n- C", "answer": "B", "process": "1. 给定的图形是一个在平面直角坐标系中位于上方的梯形。

2. 首先观察哪个选项中展示了旋转，通过旋转操作可以保持形状不变的同时改变其位置。

3. 图像A表现的是水平翻转，形状在水平方向上镜像反射，不涉及旋转。

4. 图像B表现的是180°旋转。旋转中心在图形以外，图形以中心对称位置出现，符合旋转的特征。

5. 图像C表现的是平移，形状只是位置改变而不涉及形状的旋转或者反射。

6. 根据对比可得，图像B实现了180°的旋转，符合题目要求。

7. 经过上述推理，最终得出答案为图像B。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "四边形的上边和下边是平行的，而左边和右边不平行。因此，根据梯形的定义，图中的四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Rotation Transformation", "content": "A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.", "this": "图像B展示了梯形ABCD绕某旋转的180°旋转，其形状保持不变但位置改变。梯形ABCD的各顶点经过旋转后变为对应位置，新的顶点坐标分别为(x1', y1'), (x2', y2'), (x3', y3'), (x4', y4')."}, {"name": "Reflection Transformation", "content": "A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.", "this": "图像A展示了梯形ABCD关于某一水平线的镜像反射，形状在水平方向上对称翻转，其各顶点的新坐标变为(x1'', y1''), (x2'', y2''), (x3'', y3''), (x4'', y4'')。"}, {"name": "Definition of Translation", "content": "A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.", "this": "图像C展示了梯形ABCD的平移，梯形在形状保持不变的情况下沿某方向移动，其各顶点的新坐标变为(x1 + deltaX, y1 + deltaY), (x2 + deltaX, y2 + deltaY), (x3 + deltaX, y3 + deltaY), (x4 + deltaX, y4 + deltaY)。"}, {"name": "Rotation Invariance Theorem", "content": "Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.", "this": "在本题图中，图像B实现了梯形ABCD的180°旋转，根据旋转定理，其形状和大小保持不变。旋转后梯形的各顶点（A', B', C', D'）相对于原顶点（A, B, C, D）位置发生了变化，且呈镜像的对称位置。"}, {"name": "Translation Invariance Theorem", "content": "After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.", "this": "图像C表现了梯形ABCD的平移，通过平移定理可知，平移后的梯形A'B'C'D'与原梯形ABCD形状和大小不变，只是位置发生变化，其顶点对应位置平移到新的坐标。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8b2099d41f791e3f1b96ad56471af936-img-d6e72d50bbce49e9a1323f902358cf07.png", "question": "m \\$\\\\overset{\\\\frown}{RU}\\$ 是多少？", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{RU}\\$ =85°", "process": "1. 从图中信息可知，圆周上有四个弧：弧 ST、弧 TU、弧 RU 和弧 RS。

2.根据圆的角度性质， 圆的整周的所有弧的弧度之和为360°。

3. 因此我们可以列出方程：弧 ST 的度数 + 弧 TU 的度数 + 弧 RU 的度数 + 弧 RS 的度数 = 360°。

4. 代入图中已知量：这个方程可以写作：70° + 55° + m ⦯RU + 150° = 360°。

5. 简化方程：70° + 55° + 150° + m ⦯RU = 360° => 275° + m ⦯RU = 360°。

6. 由此，我们将 275° 从等式两边减去，得到 m ⦯RU = 360° - 275°。

7. 计算 m ⦯RU = 85°。

8. 所以，经过上述推理，最终得出答案为 85°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "在本题图中，圆上有点 S、T、U 和 R，弧 ST 是连接点 S 和点 T 的一段曲线，弧 TU 是连接点 T 和点 U 的一段曲线，弧 RU 是连接点 R 和点 U 的一段曲线，弧 RS 是连接点 R 和点 S 的一段曲线。根据弧的定义，弧 ST、弧 TU、弧 RU 和弧 RS 是圆上两点之间的一段曲线。"}, {"name": "Angle Properties of a Circle", "content": "The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.", "this": "弧 ST、弧 TU、弧 RU 和弧 RS绕圆一周，弧度和为360度，其对应的圆周角之和也为360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-766dfc11144667a2bf7bbad57f7bc0ad-img-0736d43361d64f499306ba69bbe55040.png", "question": "求XZ和△WXY的面积。\n\n请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\nXZ= \\$ox\\$ cm\nArea= \\$ox\\$ cm ^ 2", "answer": "XZ=14.1 cmArea=126.9 cm ^ 2", "process": "1. 题目要求求出线段XZ的长度，并计算△WXY的面积。

2. 由图中可知∠W为70°，且△WXZ为直角三角形，XZ为直角边之一。

3. 根据正弦函数定义，在直角三角形WXZ中，sin∠W = 对边/斜边，即sin(∠XWZ) = XZ/WX。

4. 代入已知条件，sin(70°) = XZ/15。

5. 查正弦表或使用计算器，sin(70°) ≈ 0.9397。

6. 代入计算，得到0.9397 = XZ/15，解得XZ = 0.9397 × 15。

7. 计算XZ ≈ 14.0955，所以XZ约为14.1厘米（四舍五入到小数点后一位）。

8. 接下来，计算△WXY的面积。根据三角形面积公式，Area = 1/2·base·height。

9. 在△WXY中，选择WY为底边，XZ为高。

10. 代入数值，面积 = 1/2 × 18 × 14.0955。

11. 计算得到面积 ≈ 126.8585。

12. 四舍五入到小数点后一位，得到三角形面积约为126.9平方厘米。

13. 经过上述推理，最终得出答案为XZ长为 14.1 厘米，△WXY 的面积为 126.9 平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Sine Function", "content": "In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.", "this": "在本题图中，直角三角形WXZ中，角∠XWZ是锐角，边XZ是角∠XWZ的对边，边WX是斜边。根据正弦函数定义，角∠XWZ的正弦值等于对边XZ与斜边WX的比值，即sin(∠XWZ) = XZ / WX。"}, {"name": "Area Formula of a Triangle", "content": "The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.", "this": "三角形WXY中，边WY是底，线段ZX是该底上的高，所以三角形WYX的面积等于底WY乘以高ZX除以2，即面积 = (WY * ZX) / 2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0b57b452bff1da8082cc7e1e5f625b0a-img-d64726e0e3814fd8a1a2f9d7433facd8.png", "question": "求 \\$\\\\overset{\\\\frown}{UX}\\$ 的度数？", "answer": "m \\$\\overset{\\frown}{UX}\\$ =79°", "process": "1. 根据题目条件给出的圈图，圆内有一个四边形UWVX，并且可以观察到弦UX和弦WV的长度是相等的。

2. 根据图中给出的信息，弧VW的长度是79°，以及已给出弦VW对于圆弧的相等性质。

3. 根据圆心角定理（如果一个圆中的两条弦相等，那么它们所对的弧等长），我们可以得出弧UX的长度等于弧VW的长度。

4. 因此，根据圆心角定理，弧UX的长度等于79°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为79°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Chord", "content": "A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.", "this": "在本题图中，圆中，点U和点X是圆上的任意两点，线段UX连接了这两个点，所以线段UX是圆的弦。同理，点W和点V是圆上的任意两点，线段WV连接了这两个点，所以线段WV是圆的弦。"}, {"name": "Definition of Inscribed Angle", "content": "An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.", "this": "在本题图中，圆O中，角UVW的顶点V在圆周上，角UVW的两边分别与圆O相交于点U和点W；角WVX的顶点V在圆周上，角WVX的两边分别与圆O相交于点W和点X；角VXU的顶点X在圆周上，角VXU的两边分别与圆O相交于点V和点U；角XUW的顶点U在圆周上，角XUW的两边分别与圆O相交于点X和点W。因此，角UVW、角WVX、角VXU和角XUW都是圆周角。"}, {"name": "Definition of Arc", "content": "An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.", "this": "圆上有两点V和W，弧VW是连接这两点的一段曲线；同样地，圆上有两点U和X，弧UX是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧VW是圆上两点V和W之间的一段曲线，弧UX是圆上两点U和X之间的一段曲线。"}, {"name": "Central Angle Theorem", "content": "In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.", "this": "同圆内的弦VW与UX相等，则所对的弧弧VW与UX相等，即弧UX=弧VW=79°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e4b02a360d1ade65c37c4369865564dd-img-53d66df819ed4ec7ad74800024142ac3.png", "question": "\\$\\overline{FG}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{FG}\\$ 以原点为中心按比例因子5缩放，得到 \\$\\overline{F'G'}\\$ 。\n\n\\$\\overline{F'G'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "50 units", "process": "1. 已知点F的坐标为(-8, 9)和点G的坐标为(-2, 1)。

2. 利用两点之间的距离公式计算线段\\overline{FG}的长度，即\\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}，其中(x_1, y_1)为点F的坐标，(x_2, y_2)为点G的坐标。

3. 对于本题，代入坐标得到：\\overline{FG} = \\sqrt{((-2) - (-8))^2 + (1 - 9)^2}。

4. 进一步计算：\\overline{FG} = \\sqrt{6^2 + (-8)^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100}。

5. 由此得出\\overline{FG}的长度为10。

6. 根据题意，线段\\overline{FG}经过以原点为中心，缩放因子为5的放大，得到\\overline{F'G'}。

7. 通过直角坐标系中的缩放因子定义，\\overline{F'G'}的长度为原线段\\overline{FG}的长度乘以缩放因子。

8. 因此\\overline{F'G'}的长度为10 \\times 5 = 50。

9. 经过上述推理，最终得出答案为50单位长度。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "在本题图中，点F在平面直角坐标系中，其位置由有序数对(-8, 9)表示，其中 -8 表示点F的横坐标，9 表示点F的纵坐标。横坐标-8表示点F在水平方向上的位置，纵坐标9表示点F在垂直方向上的位置。通过这个有序数对 (-8, 9)，我们可以确定点F在坐标系中的具体位置。点G在平面直角坐标系中，其位置由有序数对(-2, 1)表示，其中 -2 表示点G的横坐标，1 表示点G的纵坐标。横坐标-2表示点G在水平方向上的位置，纵坐标1表示点G在垂直方向上的位置。通过这个有序数对 (-2, 1)，我们可以确定点G在坐标系中的具体位置。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，点F的坐标为(-8, 9)，点G的坐标为(-2, 1)，我们需要计算点F和点G之间的距离。根据两点之间的距离公式，点F和点G之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √(((-2) - (-8))^2 + (1 - 9)^2)。在图中，点F和点G之间的距离就是线段FG的长度。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "线段FG缩放后得到线段F'G'，缩放因子=F'G'长度/FG长度，即缩放因子=5。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ce90a2558ad31b0a71eb4d4ed2d5e913-img-7bc3f6b696e64682a7b1a1803ab9cff5.png", "question": "一个圆的半径是4公里。由90°弧线围成的扇形面积是多少？\n\n给出最简形式的准确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方公里", "answer": "4​𝜋 square kilometers", "process": "1. 已知圆的半径为4公里，根据圆的面积公式A=𝜋r^2，可以求得整个圆的面积。

2. 代入半径r=4公里，计算圆的面积：A=𝜋×(4)^2=16𝜋平方公里。

3. 题目给出的圆心角是90°。

4. 根据扇形的面积公式K=A×(m/360)，其中A为圆的面积，m为扇形对应的圆心角度数。

5. 代入数值A=16𝜋平方公里和m=90°，计算扇形的面积：K=16𝜋×(90/360)=16𝜋×(1/4)=4𝜋平方公里。

6. 经过上述计算，得到扇形面积为4𝜋平方公里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "圆的圆心是图中标注的点，半径为4公里。图中所有到圆心的距离等于4公里的点都在圆上。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心是点O。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，其中A和B是圆上的两点，∠AOB=90°。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形由圆的两条半径（长度为4公里）和它们所夹的圆弧（对应的圆心角为90°）组成。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是4公里，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径4的平方，即A = π4²。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题中，扇形的面积公式用于计算90°圆心角对应的扇形面积，代入圆的面积A=16π平方公里和m=90°，得出扇形的面积是K=16π×(90/360)=4π平方公里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-f5ca471d456103ab2b50352126f6e372-img-c27b9f97f97f4e1ba265968a32485f2a.png", "question": "m \\$riangle\\$ I是多少？\n\nm \\$riangle\\$ I= \\$ox\\$ °", "answer": "m \\$\\angle \\$ I=99°", "process": "1. 在图中，四边形 FGHI 是一个内接四边形，其中点 F、G、H 和 I 位于同一个圆上。

2. 根据圆内接四边形的性质，在内接四边形中，相对的两个角是互补角，即它们的角度和为 180°。

3. 具体来说，∠G 和 ∠I 是互补角。这可以用表达式表示为 m∠G + m∠I = 180°。

4. 题目中已知 m∠G = 81°。

5. 将 m∠G = 81° 代入步骤 (3) 中的方程，得到 81° + m∠I = 180°。

6. 通过从两边减去 81°，我们可以求得 m∠I = 180° - 81°。

7. 计算上面的方程：180° - 81° = 99°。

8. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 m∠I = 99°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Cyclic Quadrilateral", "content": "A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.", "this": "在本题图中，四边形FGHI 的四个顶点 F、G、H 和 I都在同一个圆上。这个圆称为四边形 FGHI 的外接圆。因此，四边形 FGHI 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即角 FGH + 角 FIH = 180度，角 IFG + 角 IHG = 180度。"}, {"name": "Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral", "content": "In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.", "this": "圆内接四边形 FGHI 中，四边形的顶点 F、G、H 和 I 都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形 FGHI 的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠FGH + ∠FIH= 180°；∠IFG+ ∠IHG= 180°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-96f10e60554d3337a6f2e44e2575a2df-img-1d28b4e554c64e95a80a62a172214ea3.png", "question": "一个圆的半径是5厘米。由一个180°弧所围成的扇形的面积是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方厘米", "answer": "25/2​𝜋 square centimeters", "process": "1. 已知圆的半径为5厘米，首先根据圆的面积公式A = πr^2，计算整个圆的面积。

2. 代入半径r = 5，得到A = π * 5^2 = 25π平方厘米。

3. 已知扇形的弧度为180°，这是圆的半圆。根据扇形面积计算公式，扇形面积K = A * (m/360)，其中m是弧度，A是圆的面积。

4. 代入圆的面积A = 25π和弧度m = 180，计算K = 25π * (180/360)平方厘米。

5. 将180/360简化为1/2，因此K = 25π * 1/2 = 25π/2平方厘米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为25π/2平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "圆的半径是5厘米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径5的平方，即A = π5²。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形由半径r=5 cm和半径r=5 cm以及它们所夹的180°圆弧组成。根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，圆的面积A为25π平方厘米，弧度m为180°，因此扇形面积K计算为K = 25π * (180/360) = 25π/2平方厘米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-96fa991a7b5da962049d4fc77c6b6fb9-img-b792e2dcf9684b30a914c66d3b0751aa.png", "question": "\\$\\overline{CD}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{CD}\\$ 以 (3,–5) 为中心按比例因子 1/3 缩放，得到 \\$\\overline{C'D'}\\$ 。 \n\n\n\n\n \\$\\overline{C'D'}\\$ 的长度是多少？ \n请将答案写为整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。 \n\n \\$\\Box\\$ 单位", "answer": "4.1 units", "process": "1. 首先，确定直线段的两个端点C和D的坐标分别为C(-4,3)和D(8,1)。

2. 使用两点之间的距离公式来计算线段CD的长度：CD =√{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}。

3. 将C和D的坐标代入距离公式得：CD =√{(8 - (-4))^2 + (1 - 3)^2} =√{(8 + 4)^2 + (-2)^2} =√{12^2 + 2^2}。

4. 计算得CD =√{144 + 4} =√{148}。

5. 因为CD被缩放因子1/3从点(3,-5)缩放得到C'D'，所以C'D'的长度为CD的1/3。

6. 计算得到C'D' =1/3 *√{148}。

7. 将\\sqrt{148}根据常用根号值处理为√{148} ≈ 12.1655。

8. 计算C'D'=1/3 *12.16554.055。

9. 将结果四舍五入至最接近的十分位，得C'D'≈4.1。

10. 经过上述推理，最终得出答案为4.1个单位。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点C的坐标为(-4, 3)，点D的坐标为(8, 1)。通过距离公式计算CD= √{(8 - (-4))^2 + (1 - 3)^2} = √{(8 + 4)^2 + (-2)^2} = √{12^2 + 2^2} =√{148}。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "CD缩放后得到C'D'，缩放因子=C'D'长度/CD长度，缩放因子=1/3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-cf1abd772d7ae9fb91a4e79e0469dfd1-img-c0d591821e1343708db6f2e68447b335.png", "question": "\\$\\overline{BC}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{BC}\\$ 以点C为中心按比例因子2/3缩放，得到\\$\\overline{B'C'}\\$ 。\n\n\\$\\overline{B'C'}\\$ 的长度是多少？\n请将答案写成整数或四舍五入到最近的十分位的小数。\n\n\\$\\Box\\$ 单位", "answer": "10.2 units", "process": "1. 已知点B的坐标为(-6, -8)，点C的坐标为(9, -5)，根据两点间的距离公式d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)，其中(x₁, y₁)为点B的坐标，(x₂, y₂)为点C的坐标。

2. 将点B和点C的坐标代入距离公式，得到BC=√((9 - (-6))² + ((-5) - (-8))²)=√((9 + 6)² + ((-5) + 8)²)=√(15² + 3²)。

3. 进一步计算，得到BC=√(225 + 9)=√234。

4. 题目中给出线段BC以点C为中心缩放因子2/3进行放缩，得到线段B'C'。根据直角坐标系中的缩放因子定义，放缩后线段的长度为原长度与放缩因子的乘积，即B'C'=(2/3)·BC。

5. 用√234求出BC的近似值再进行放缩得到B'C'=2/3·√234。

6. 计算√234大约为15.297，再进行放缩，得到B'C'=2/3·15.297≈10.198。

7. 将结果四舍五入到小数点后1位，最终得到B'C'的长度为10.2单位。

8. 经过上述推理，最终得出答案为10.2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点B的坐标为(-6, -8)，点C的坐标为(9, -5)。我们应用两点间的距离公式计算线段BC的长度，即BC = √((9 - (-6))² + ((-5) - (-8))²)。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "在本题图中，多边形ABC缩放后得到A'B'C'，缩放因子=B'C'长度/BC长度，即缩放因子=2/3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-c380fdc2b9874668fe548cab89386c2a-img-4a036110c3b9458792e7757d6a3a855a.png", "question": "一个圆的半径是2米。由180°弧所围成的扇形面积是多少？\n\n给出最简形式的精确答案。\n \\$ox\\$ 𝜋/ 平方米", "answer": "2​𝜋 square meters", "process": "1. 已知一个圆的半径为2米，需要求一个由180°的弧所限定的扇形的面积。

2. 根据圆的面积公式，圆的面积A = πr^2，其中r为半径。在本题中r = 2，所以A = π * (2)^2。

3. 计算圆的面积得 A = 4π平方米。

4. 根据扇形的面积公式，K = A * (m/360)，其中A是圆的面积，m是扇形的圆心角度数。在本题中m = 180°。

5. 代入已知条件，K = 4π * (180/360)。

6. 化简比例180/360得到1/2，所以K = 4π * 1/2。

7. 进一步化简得 K = 2π平方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为2π平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Radius", "content": "A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.", "this": "在本题图中，圆的半径r = 2米，点O是圆心，点A是圆周上的任意一点，线段OA是从圆心到圆周上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径。"}, {"name": "Definition of Sector", "content": "A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.", "this": "扇形是由圆的两条半径和它们所夹的180°圆弧组成的图形。半径为r=2米，圆弧为180°，如图中橙色部分所示。"}, {"name": "Definition of Central Angle", "content": "An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.", "this": "圆心是点O，圆上两点A和B分别是两条半径的端点。连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，其大小为180°。"}, {"name": "Area Formula of a Circle", "content": "The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.", "this": "在本题图中，圆的半径是2米，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径2的平方，即A = π * 2² = 4π平方米。"}, {"name": "Formula for the Area of a Sector", "content": "The area \\( X \\) of a sector can be calculated using the formula \\( X = \\frac{\\theta}{360} \\times \\pi \\times r^2 \\), where \\( \\theta \\) is the measure of the central angle in degrees, and \\( r \\) is the radius length.", "this": "在本题图中，扇形的圆心角度数m = 180°，圆的面积A = 4π平方米，因此扇形的面积K = 4π * (180/360) = 2π平方米。"}]} +{"img_path": "ixl/question-8a373a8ea6ccb863dac2a0d8e347b179-img-41193052610249bbbc9112422b208e6a.png", "question": "写出在以原点为中心，缩放比例为1/2的缩放后的顶点坐标。\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nM'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nN'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "K'(2,-5) \nL'(2,2) \nM'(4,2) \nN'(4,-5)", "process": "1. 根据题意，矩形KLMN经过以坐标原点为中心，缩放因子为1/2的缩放（即相似变换）。

2. 直角坐标系中的缩放定理说明，在一个变换中，如果我们以某一点为中心进行缩放，那么任何形状上的点的坐标可以通过把每个坐标值乘以缩放因子得到新点的坐标。

3. 首先考虑点K，其坐标为K(4, -10)，根据相似变换定理，K'的坐标为：(4 * 1/2, -10 * 1/2) = (2, -5)。

4. 接下来考虑点L，其坐标为L(4, 4)，根据相似变换定理，L'的坐标为：(4 * 1/2, 4 * 1/2) = (2, 2)。

5. 现在处理点M，其坐标为M(8, 4)，根据相似变换定理，M'的坐标为：(8 * 1/2, 4 * 1/2) = (4, 2)。

6. 最后是点N，其坐标为N(8, -10)，根据相似变换定理，N'的坐标为：(8 * 1/2, -10 * 1/2) = (4, -5)。

7. 经过上述计算，矩形KLMN在缩放后的顶点坐标为K'(2, -5), L'(2, 2), M'(4, 2), N'(4, -5)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "点K(4, -10),L(4, 4),M(8, 4),N(8, -10),按1/2的缩放因子缩放后点x的坐标为K'(2, -5), L'(2, 2), M'(4, 2), N'(4, -5)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9d5fa5d8e73ce6eec1d3b009e62018f5-img-32c0d1e93ddc4776b45769e08c25f64b.png", "question": "写出在以原点为中心，比例因子为3的缩放后的顶点坐标。\n\nJ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nK'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nL'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nM'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "J'(-9,-6) \nK'(-3,-6) \nL'(-3,6) \nM'(-9,6)", "process": "1. 已知变换是围绕原点的一个放缩变换，缩放中心为原点，缩放因子为3。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理，对于任意点(x,y)在缩放变换后将变为(x', y')，其中x' = kx, y' = ky，k为缩放因子。

3. 假设点J的原始坐标为J(-3, -2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-3) = -9, y' = 3 * (-2) = -6。因此，J'的坐标为(-9, -6)。

4. 假设点K的原始坐标为K(-1, -2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-1) = -3, y' = 3 * (-2) = -6。因此，K'的坐标为(-3, -6)。

5. 假设点L的原始坐标为L(-1, 2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-1) = -3, y' = 3 * (2) = 6。因此，L'的坐标为(-3, 6)。

6. 假设点M的原始坐标为M(-3, 2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-3) = -9, y' = 3 * (2) = 6。因此，M'的坐标为(-9, 6)。

7. 经过上述推理，最终得出缩放后四个顶点的坐标分别为J'(-9,-6), K'(-3,-6), L'(-3,6), M'(-9,6)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "在本题图中，点J(-3, -2), 点K(-1, -2), 点L(-1, 2), 点M(-3, 2), 按3的缩放因子缩放后点x'的坐标为J'(-9,-6), K'(-3,-6), L'(-3,6), M'(-9,6)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-6995a7716892272635d181f4cf9b46cd-img-23ba11e30305472e8c09b2e020c712b9.png", "question": "写出在以原点为中心，比例因子为2的缩放后的顶点坐标。\n\nP'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nQ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "P'(-6,-6) \nQ'(4,-6) \nR'(-4,-4)", "process": "1. 已知需要进行以原点为中心的放缩操作，且放缩倍数为2，根据直角坐标系中的缩放因子定义，每个顶点的坐标点都需要乘以放缩因子。

2. 点P的初始坐标为(-3, -3)，依据直角坐标系中的缩放定理，以原点(0,0)为中心，放缩倍数为2，将点P每个坐标乘以2，得到P'的坐标为(-3 * 2, -3 * 2)=(-6, -6)。

3. 点Q的初始坐标为(2, -3)，同理，依据直角坐标系中的缩放定理，放缩倍数为2，将点Q每个坐标乘以2，得到Q'的坐标为(2 * 2, -3 * 2)=(4, -6)。

4. 点R的初始坐标为(-2, -2)，依据直角坐标系中的缩放定理，放缩倍数为2，将点R每个坐标乘以2，得到R'的坐标为(-2 * 2, -2 * 2)=(-4, -4)。

5. 经过上述放缩变换，点P、Q、R的坐标分别变为P'(-6, -6)，Q'(4, -6)，R'(-4, -4)。图形保持相似形状，大小为原来的2倍。

6. 因此，变换后的图形顶点坐标为：P'(-6, -6)，Q'(4, -6)，R'(-4, -4)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "在本题图中，原始坐标点为P(-3, -3)、Q(2, -3)和R(-2, -2)。经过放缩变换后，得到新的坐标点P'(-6, -6)、Q'(4, -6)和R'(-4, -4)。"}, {"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "点P(-3, -3),Q(2, -3),R(-2, -2)按2的缩放因子缩放后点P'的坐标为P'(-6, -6)，Q'(4, -6)，R'(-4, -4)。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形RPQ缩放后得到多边形R'P'Q'，缩放因子=R'P'长度/RP长度，即缩放因子=2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-dc2a3679411b370e243299a4f642c001-img-aec4a94c212b4c7b9890e6955568dcdf.png", "question": "写出在以原点为中心，比例因子为2的扩展后的顶点坐标。 F'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ ) G'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ ) H'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "F'(-8,10) \nG'(8,10) \nH'(-10,-8)", "process": "1. 已知图形FGH中的顶点坐标F(-4, 5), G(4, 5), H(-5, -4)，需要对顶点进行以原点(0, 0)为中心、比例因子为2的放缩。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理：对于任意图形上的点(x, y)，以原点为中心进行比例因子为k的放射变换后，其新的坐标为(kx, ky)。

3. 对于点F(-4, 5)，其新的坐标为F'：用比例因子2乘以每个坐标分量，得F'(-4 * 2, 5 * 2) = F'(-8, 10)。

4. 对于点G(4, 5)，其新的坐标为G'：用比例因子2乘以每个坐标分量，得G'(4 * 2, 5 * 2) = G'(8, 10)。

5. 对于点H(-5, -4)，其新的坐标为H'：用比例因子2乘以每个坐标分量，得H'(-5 * 2, -4 * 2) = H'(-10, -8)。

6. 经过上述推理，对各点进行放缩后的坐标为F'(-8, 10), G'(8, 10), H'(-10, -8)，这些点形成的三角形与原三角形FGH相似，比例为2：1。

7. 经确认，最终答案为F'(-8, 10), G'(8, 10), H'(-10, -8)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "在本题图中，点F(-4, 5)、点G(4, 5)、点H(-5, -4)，按2的缩放因子缩放后点F'、G'、H'的坐标为F'(-4*2, 5*2)、G'(4*2, 5*2)、H'(-5*2, -4*2)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5066afbf1a1324844441dcf77f39e0bf-img-b763f480528f41f58ce5f3cdeca6db18.png", "question": "写出顶点在以原点为中心，比例因子为2的缩放后的坐标。D'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ ) E'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ ) F'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "D'(10,-4) \nE'(10,4) \nF'(-8,6)", "process": "1. 已知三角形DEF的顶点坐标为D(5,-2)、E(5,2)和F(-4,3)，要求通过以原点为中心进行比例因子为2的缩放变换，确定缩放后图形DEF的顶点坐标。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理：如果某个点P(x, y)以原点为中心，经过比例因子为k的缩放变换后，新的坐标P'(x', y')为x' = kx, y' = ky。

3. 对点D(5,-2)应用缩放变换：

- 计算x' = 2 * 5 = 10，y' = 2 * (-2) = -4。

- 因此，缩放后的坐标为D'(10,-4)。

4. 对点E(5,2)应用缩放变换：

- 计算x' = 2 * 5 = 10，y' = 2 * 2 = 4。

- 因此，缩放后的坐标为E'(10,4)。

5. 对点F(-4,3)应用缩放变换：

- 计算x' = 2 * (-4) = -8，y' = 2 * 3 = 6。

- 因此，缩放后的坐标为F'(-8,6)。

6. 通过对DEF三点进行相同的缩放变换，可以确保新的三角形D'E'F'与原三角形DEF相似。

7. 经过上述推理，最终得出答案为D'(10,-4), E'(10,4), F'(-8,6)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "原始三角形顶点D的坐标为 (5, -2)，E的坐标为 (5, 2)，F的坐标为 (-4, 3)。"}, {"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "点D(5, -2), 点E(5, 2), 点F(-4, 3)按2的缩放因子缩放后D'的坐标为(10, -4), E'的坐标为(10, 4), F'的坐标为(-8, 6)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a1773d9f8512ab65d568636b4ad2a1c6-img-495f6cfc904e41449b93e7c79aea361e.png", "question": "写出顶点在以原点为中心，缩放比例为1/5的缩放后的坐标。\n\nA'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nB'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nC'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nD'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "A'(-2,1) \nB'(2,1) \nC'(2,2) \nD'(-2,2)", "process": "1. 首先，已知矩形ABCD的顶点坐标为A(-10,5)，B(10,5)，C(10,10)，D(-10,10)，并且以原点为中心进行相似变换，伸缩比例为1/5。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理，图像上任意一点(x, y)变换后的位置为(x', y')，且(x', y') = (r * x, r * y)，其中r为伸缩比例。

3. 对于点A(-10,5)，应用变换得到A' = (1/5 * -10, 1/5 * 5) = (-2, 1)。

4. 对于点B(10,5)，应用变换得到B' = (1/5 * 10, 1/5 * 5) = (2, 1)。

5. 对于点C(10,10)，应用变换得到C' = (1/5 * 10, 1/5 * 10) = (2, 2)。

6. 对于点D(-10,10)，应用变换得到D' = (1/5 * -10, 1/5 * 10) = (-2, 2)。

7. 经过上述变换，得到变换后的顶点坐标分别为A'(-2, 1)，B'(2, 1)，C'(2, 2)，D'(-2, 2)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为A'(-2, 1), B'(2, 1), C'(2, 2), D'(-2, 2)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形ABCD是一个矩形，其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度），且边AB与边DC平行且等长，边AD与边BC平行且等长。经过相似变换后，顶点A'(-2, 1)、B'(2, 1)、C'(2, 2)和D'(-2, 2)仍然保持矩形的性质，即变换后图形仍为矩形。"}, {"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "点A(-10,5),点B(10,5),点C(10,10),点D(-10,10),按1/5的缩放因子缩放后点A'的坐标为A'(-2, 1), 点B'(2, 1), 点C'(2, 2), 点D'(-2, 2)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-649f34912c4de8c501f08a98b9bb2271-img-87cb0560a3174265b764777e65bd480e.png", "question": "\\$\\overline{ST}\\$ 如下图所示。\\$\\overline{ST}\\$ 以原点为中心按比例因子 1.25 缩放，得到 \\$\\overline{S'T'}\\$ 。\\n\\n\\n\\$\\overline{S'T'}\\$ 的长度是多少？\\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\\n\\n \\$\\Box\\$ 单位", "answer": "5.6 units", "process": "1. 已知直线段\\(\\overline{ST}\\) 的端点坐标分别为\\(S(2,3)\\) 和\\(T(6,1)\\)，根据两点之间的距离公式：\\(d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\)，我们可以计算出\\(\\overline{ST}\\) 的长度。

2. 代入直线段\\(\\overline{ST}\\) 的端点坐标\\(S(2, 3)\\) 和\\(T(6, 1)\\) 到距离公式中，得到：\\(d = \\sqrt{(6 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \\sqrt{4^2 + (-2)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\)。

3. 计算得出\\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\times 5} = 2\\sqrt{5}\\)，根据近似计算可得\\(\\sqrt{5}\\) 约为\\(2.236\\)，进而\\(2\\sqrt{5}\\) 约为\\(4.472\\)。

4. 由于\\(\\overline{ST}\\) 被从原点以放大因子\\(1.25\\) 放大形成新线段\\(\\overline{S'T'}\\)，根据直角坐标系中的缩放因子定义，我们可以将\\(\\overline{ST}\\) 的长度乘以放大因子得到\\(\\overline{S'T'}\\) 的长度。

5. 计算\\(\\overline{S'T'} = 1.25 \\times 4.472 = 5.59\\)，四舍五入得到\\(5.6\\)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\\(5.6\\)个单位。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，点 \\(S\\) 的坐标为 \\(S(2,3)\\)，点 \\(T\\) 的坐标为 \\(T(6,1)\\)，根据两点间距离公式，可以计算出线段 \\(\\overline{ST}\\) 的长度为 \\(d = \\sqrt{(6 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \\sqrt{4^2 + (-2)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\)。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "在本题图中，多边形ST缩放后得到多边形S'T'，缩放因子=S'T'长度/ST长度，即缩放因子=1.25。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b21d0b6215df29b783935263beb4d4be-img-2e2682b646234ab0b72fc16de3d1eac2.png", "question": "写出顶点在以原点为中心，缩放比例为1/2的缩放后的坐标。\n\n\n\nA'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nB'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nC'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "A'(-2,-3) \nB'(0,-3) \nC'(0,-5)", "process": "1. 已知关于原点的放缩变换，其缩放因子为1/2。对于此几何变换，以原点(0, 0)为中心进行。

2. 对于点A(-4, -6)，应用缩放因子1/2。将A的x坐标和y坐标分别乘以1/2，得到A'的坐标。计算如下：x = -4 * 1/2 = -2, y = -6 * 1/2 = -3。因此A'(-2, -3)。

3. 对于点B(0, -6)，应用缩放因子1/2。将B的x坐标和y坐标分别乘以1/2，得到B'的坐标。计算如下：x = 0 * 1/2 = 0, y = -6 * 1/2 = -3。因此B'(0, -3)。

4. 对于点C(0, -10)，应用缩放因子1/2。将C的x坐标和y坐标分别乘以1/2，得到C'的坐标。计算如下：x = 0 * 1/2 = 0, y = -10 * 1/2 = -5。因此C'(0, -5)。

5. 经过上述缩放变换，原三角形ABC的顶点经过缩放变换后，形成一个新的三角形A'B'C'，与原三角形ABC相似。

6. 最终，得到经过缩放后的各顶点坐标为：A'(-2, -3), B'(0, -3), C'(0, -5)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "在本题图中，点A(-4, -6), 点B(0, -6), 点C(0, -10)按1/2的缩放因子缩放后点A'B'C'的坐标为A'(-2, -3), B'(0, -3), C'(0, -5)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-bcecdea527d6b4a07ca24d8fdb2c156b-img-fa832b23a5d044ef94a60132c537a586.png", "question": "写出经过以原点为中心，比例因子为4的伸缩变换后的顶点坐标。\n\nQ'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nS'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "Q'(-8,-8) \nR'(-8,8) \nS'(8,-8)", "process": "1. 给定点 Q(-2, -2)、R(-2, 2) 和 S(2, -2)。需要将这些点以原点 (0, 0) 为中心进行放缩，放缩系数为 4。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理，当中心在原点且��缩系数为 k 时，点 (x, y) 经过放缩后变为 (kx, ky)。在本题中，k=4。

3. 计算点 Q' 的新坐标：将 Q(-2, -2) 的坐标分别乘以放缩系数 4，得到 Q'(-8, -8)。

4. 计算点 R' 的新坐标：将 R(-2, 2) 的坐标分别乘以放缩系数 4，得到 R'(-8, 8)。

5. 计算点 S' 的新坐标：将 S(2, -2) 的坐标分别乘以放缩系数 4，得到 S'(8, -8)。

6. 因为变换中心在原点，放缩系数大于 0，所以变换后图形与原图形相似，且位置均通过比例缩放，因此变换后点 Q'、R' 和 S' 仍然构成相同类型的形状。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 Q'(-8, -8)，R'(-8, 8)，S'(8, -8)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "点Q(-2, -2), 点R(-2, 2), 点S(2, -2)按4的缩放因子缩放后Q'R'S'的坐标为Q'(-8, -8)，R'(-8, 8)，S'(8, -8)。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ebc499b8621eab4306d55d105d25abc4-img-38f38ffefe5e419cbfca5cd4ff86694b.png", "question": "梯形 M'N'O'P' 是梯形 MNOP 的放缩。放缩的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成适当的分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "3", "process": "1. 已知梯形MNOP的顶点坐标为M(0, -3), N(-3, 0), O(3, 0), P(3, -3)，根据坐标计算出边MP的长度。根据两点之间的距离公式，d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，边MP的长度为√[(3-0)^2 + (-3-(-3))^2] = 3单位。

2. 构建与梯形MNOP对应的梯形M'N'O'P'，其中M'(0, -9), N'(-9, 0), O'(9, 0), P'(9, -9)。同样地，计算出变换后的边M'P'的长度。边M'P'的长度为√[(9-0)^2 + (-9-(-9))^2] = 9单位。

3. 在变换中，形状、角度不变，线段的每一部分都按同一个比例伸缩，因此可以用直角坐标系中的缩放因子定义来计算放缩因子。在本例中，放缩因子为线上点距离的长度比M'P'/MP。

4. 将M'P'和MP的长度进行除法计算，得到其比值。放缩因子=长度比值=9/3。

5. 那么变换比例因子(即放缩因子)为3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "四边形MNOP中，边MP和边ON是平行的，而边MN和边OP不平行。因此，根据梯形的定义，四边形MNOP是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。同样地，四边形M'N'O'P'中，边M'P'和边O'N'是平行的，而边M'N'和边O'P'不平行。因此，根据梯形的定义，四边形M'N'O'P'是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点M的坐标为(0, -3)，点P的坐标为(3, -3)，我们需要计算点M和点P之间的距离。根据两点之间的距离公式，点M和点P之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √[(3-0)^2 + (-3-(-3))^2]。在图中，点M和点P之间的距离就是线段MP的长度。点M'的坐标为(0, -9)，点P'的坐标为(9, -9)，我们需要计算点M'和点P'之间的距离。根据两点之间的距离公式，点M'和点P'之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √[(9-0)^2 + (-9-(-9))^2]。在图中，点M'和点P'之间的距离就是线段M'P'的长度。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形MNOP缩放后得到多边形M'N'O'P'，缩放因子=M‘P’长度/MP长度，即缩放因子=3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2f12730e2ae0b955b65567788dcd0000-img-d73d8541ebff4440ad7c0c011ac88c23.png", "question": "矩形 F'G'H'I' 是矩形 FGHI 的放缩图。这个放缩的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成真分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "2", "process": "1. 已知矩形FGHI是矩形F'G'H'I'的缩放。首先求出原矩形FGHI中边HI的长度。

2. 点H的坐标是(-1, 4)，点I的坐标是(-1, 2)。根据两点之间的距离公式��HI的长度是它们y坐标之差的绝对值，即|4-2|=2。

3. 接下来，求出缩放后的矩形F'G'H'I'中对应边H'I'的长度。

4. 点H'的坐标是(-2, 8)，点I'的坐标是(-2, 4)。根据两点之间的距离公式，H'I'的长度是它们y坐标之差的绝对值，即|8-4|=4。

5. 现在计算缩放因子，根据直角坐标系中的缩放因子定义，它是缩放后图形对应边的长度与原图形边的长度的比值。

6. 计算比例：H'I'/HI=4/2。

7. 简化分数：4/2=2。

8. 综上所述，矩形FGHI到矩形F'G'H'I'的缩放因子为2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形FGHI是一个矩形，其内角∠FGH, ∠GHI, ∠HIF, ∠IFG都是直角（90度），且边FG与边HI平行且等长，边HG与边IF平行且等长。四边形F'G'H'I'也是一个矩形，其内角∠H'G'F', ∠G'F'I', ∠F'I'H', ∠I'H'G'都是直角（90度），且边F'G'与边H'I'平行且等长，边H'G'与边I'F'平行且等长。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题中，我们使用了简化后的距离公式计算边HI和边H'I'的长度，因为它们的x坐标相同。HI的长度是|4 - 2| = 2，H'I'的长度是|8 - 4| = 4。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形F'G'H'I'缩放后得到多边形FGHI，缩放因子=H'I'长度/HI长度，即缩放因子=2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-d82a8e722a40a5566402a016b9752807-img-e03f2ab3b374420081960edc64022d35.png", "question": "写出经过以原点为中心，比例因子为1/4的伸缩变换后的顶点坐标。\n\n\n\nR'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nS'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nT'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )\n\nU'( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "R'(-2,-2) \nS'(-2,2) \nT'(1,2) \nU'(1,-2)", "process": "1. 已知要求对矩形 RSTU 进行以原点为中心的缩放变换，缩放比例为 1/4。

2. 缩放变换保持原点不变，并将其它点的横坐标和纵坐标同时缩放到原来的 1/4，这属于数学上的直角坐标系中的缩放定理。

3. 首先考虑点 R(-8,-8)。根据直角坐标系中的缩放定理，将其横坐标和纵坐标分别乘以 1/4，得到 R'(-2,-2)。

4. 接下来考虑点 S(-8,8)。同样地，将 S 的横坐标和纵坐标分别乘以 1/4，得到 S'(-2,2)。

5. 然后考虑点 T(4,8)。其横坐标和纵坐标也需分别乘以 1/4，得到 T'(1,2)。

6. 最后考虑点 U(4,-8)。经过计算，其横坐标和纵坐标分别乘以 1/4，得到 U'(1,-2)。

7. 经过上述变换，各点的坐标分别变为 R'(-2,-2)，S'(-2,2)，T'(1,2)，U'(1,-2)，这就是在以原点为中心缩放比例为 1/4 的相似变换后新图形的顶点坐标。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 R'(-2,-2), S'(-2,2), T'(1,2), U'(1,-2)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System", "content": "In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \\( x \\) \\((x, x)\\), after being scaled by a factor \\( k \\), will have the new coordinates \\( x' \\) \\((kx, kx)\\).", "this": "点R(-8,-8)、点S(-8,8)、点T(4,8)、点U(4,-8)，按1/4的缩放因子缩放后点R'(-2,-2)、点S'(-2,2)、点T'(1,2)、点U'(1,-2)的坐标。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形 RSTU 是一个矩形，其内角 ∠RST、∠STU、∠TUR、∠URS 都是直角（90度），且边 RS 与边 TU平行且等长，边 RU 与边 ST平行且等长。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a65053798ebb5ff7e1ad4210d716a1f3-img-df024536396349faa1e99587e6367992.png", "question": "矩形 I'J'K'L' 是矩形 IJKL 的一个放缩。这个放缩的缩放比例是多少？\n\n简化你的答案，并将其写成真分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "1/2", "process": "1. 观察矩形IJKL及其对应的矩形I'J'K'L'，这两个矩形的形状保持一致，表明I'J'K'L'是IJKL的放缩（相似变换）。

2. 要确定放缩比例，可以计算IJKL中某一条边的长度，并找到其在I'J'K'L'中对应边的长度，再求两者的比值。

3. 计算原始矩形IJKL的边JK的长度，点J的坐标为(0, 2)，点K的坐标为(0, -10)。

4. 由于JK垂直于x轴，长度计算为这两个点在y轴上的距离，即|2 - (-10)| = 12单位。

5. 计算矩形I'J'K'L'中的对应边J'K'的长度，点J'的坐标为(0, 1)，点K'的坐标为(0, -5)。

6. 类似地，J'K'垂直于x轴，计算其长度为|1 - (-5)| = 6单位。

7. 设置放缩比例为两个对应边J'K'和JK的长度之比，即比例因子为6/12。

8. 通过化简分数6/12，得到比例因子为1/2。

9. 经过上述推理，最终得出答案为1/2。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形IJKL是一个矩形，其内角∠IJK, ∠JKL, ∠KLI, ∠LIJ都是直角（90度），且边IJ与边KL平行且等长，边JK与边IL平行且等长。四边形I'J'K'L'也是一个矩形，其内角∠I'J'K', ∠J'K'L', ∠K'L'I', ∠L'I'J'都是直角（90度），且边I'J'与边K'L'平行且等长，边J'K'与边I'L'平行且等长。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "在本题图中，多边形IJKL缩放后得到多边形I'J'K'L'，缩放因子=J‘K’长度/JK长度，即缩放因子=1/2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-67ec2784c2ff7d6053cdd12bf0bcece2-img-656122138dbb4881a454eca244613bf6.png", "question": "△ABC的外接圆部分构造如下。\n\n\n将构造的剩余步骤按正确顺序排列。\n标记DE和FG的交点为H。以H为圆心，以CH为半径画一个圆。以B为圆心，以AB为半径画一个圆，以A为圆心，以AB为半径画一个圆。画一条经过F和G的直线。标记较小的圆A和圆B的交点为F和G。", "answer": "Draw a circle with radius AB centered at B and a circle with radius AB centered at A.Mark the intersections of the smaller circle A and circle B with points F and G. Draw a line through F and G.Mark the intersection of DE and FG with point H.Draw a circle with radius CH centered at H.", "process": "1. 给定△ABC的外接圆的部分构造步骤。先画以C为圆心、AC为半径的圆，再画以A为圆心、AC为半径的圆。

2. 标记所画圆的两个交点为D和E，并通过这两点画直线DE。

3. 下一步，在A和B分别以AB为半径画两个小圆。

4. 标记小圆A和圆B的交点为F和G。

5. 通过点F和G画一条直线FG。

6. 标记直线DE和直线FG交点为H。

7. 以H为圆心，CH为半径画圆。这将是△ABC的外接圆。

8. 根据上述步骤，我们得出了△ABC的外接圆，H为三角形△ABC的外心。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Line Segment", "content": "A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.", "this": "在本题图中，线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点。线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点。线段AC和线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和C，以及A和B，且线段AC和线段AB上的每一个点都位于端点A和端点C之间，以及端点A和端点B之间。"}, {"name": "Definition of Circle", "content": "A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.", "this": "以C为圆心AC为半径的圆，以A为圆心AC为半径的圆，以及以H为圆心CH为半径的圆，分别满足圆的定义。圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。这个定点称为圆心，定长称为半径。"}, {"name": "Circumcenter of a Triangle", "content": "In a triangle, the circumcenter is the point where the three perpendicular bisectors of the sides intersect. This point is equidistant from the three vertices of the triangle.", "this": "在本题图中，三角形ABC中，点H是三角形的外心。三角形ABC的三条边AB、BC和CA的垂直平分线分别交于点H。根据三角形的外心的定义，点H到三角形ABC的三个顶点A、B和C的距离相等。"}, {"name": "Properties of the Perpendicular Bisector", "content": "Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the segment.", "this": "经过点D和点E的直线DE是线段AC的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，点D和点E到线段AC两端点A和C的距离相等，即AD = DC和AE = EC。"}]} +{"img_path": "ixl/question-64365c2335e5d613645fddffd3b90f2b-img-4a597bc13fbb41179b5062e637e0d58c.png", "question": "三角形 D'E'F' 是三角形 DEF 的缩放。该缩放的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成适当的分数、不适当的分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "1/3", "process": "1. 首先，我们需要确定原三角形 DEF 的一个边的长度。选择边 EF，其端点坐标分别为点 E (3, 9) 和点 F (-6, 9)。由于这两个点的纵坐标相同 (y 坐标为 9)，说明 EF 是水平方向的线段。

2. 根据两点之间的距离公式，计算 EF 的长度。公式为：长度 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

3. 代入 E (3, 9) 和 F (-6, 9) 的坐标，得到 EF = √((-6 - 3)^2 + (9 - 9)^2) = √((-9)^2 + 0) = √(81) = 9。

4. 同样地，确定对应于 DEF 的三角形 D'E'F' 中的边 E'F' 的长度。E' 的坐标是 (1, 3)，F' 的坐标是 (-2, 3)。这两个点的纵坐标也相同 (y 坐标为 3)，所以 E'F' 也是水平的线段。

5. 使用同样的两点之间的距离公式，计算 E'F' 的长度。代入 E' (1, 3) 和 F' (-2, 3) 的坐标，得到 E'F' = √((-2 - 1)^2 + (3 - 3)^2) = √((-3)^2 + 0) = √(9) = 3。

6. 三角形 D'E'F' 是三角形 DEF 的放缩变换，根据直角坐标系中的缩放因子定义，因此放缩比例因子为相应边的长度比。计算放缩比例因子 k = E'F' / EF。

7. 代入已知数值计算得 k = 3 / 9。

8. 化简比例因子：k = 3 / 9 = 1 / 3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 1/3。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "EF的长度根据点E(3, 9)和点F(-6, 9)的坐标计算得 √((-6 - 3)^2 + (9 - 9)^2)，得EF = 9。同样，E'F'的长度根据点E'(1, 3)和点F'(-2, 3)的坐标计算得 √((-2 - 1)^2 + (3 - 3)^2)，得E'F' = 3。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "在本题图中，多边形DEF缩放后得到多边形D'E'F'，缩放因子=E'F'长度/EF长度，即缩放因子=1/3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9115c496991216c3fd25b2290c203863-img-862b1ff871e04624b71bc52f67006c5b.png", "question": "在下图中，△M'N'O'是△MNO经过一次缩放后的图像。\n\n\n缩放的比例因子和中心是什么？\n简化你的答案并写成分数或整数。\n\n比例因子: \\$ox\\$ \n\n缩放中心: ( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "scale factor: 4 \ncenter of the dilation: (9, -3)", "process": "1. 已知△M'N'O'是△MNO经过一个中心为某点的缩放变换(dilation)得到的图形。我们需要找到缩放因子和缩放中心。

2. 首先使用距离公式计算MN的长度。M的坐标为(5, -3)，N的坐标为(6, -2)。

3. 根据距离公式，MN = √[(6-5)^2 + ((-2)-(-3))^2] = √[1^2 + 1^2] = √2 。

4. 然后计算M'N'的长度。M'的坐标为(-7, -3)，N'的坐标为(-3, 1)。

5. 根据距离公式，M'N' = √[(-3-(-7))^2 + (1-(-3))^2] = √[4^2 + 4^2] = √32 = 4√2

6. 确定缩放因子为M'N'/MN = (4√2)/(√2) = 4。

7. 接下来找到缩放的中心。我们知道M、M'、缩放中心共线；N、N'、缩放中心共线；O、O'、缩放中心共线。

8. 画出过N和N'的直线，再画出过O和O'的直线，找出两条直线的交点即为缩放中心。

9. 用已知图示验证交点是(9, -3)。

10. 经过上述推理，最终得出答案为：缩放因子为4，缩放中心座标为(9, -3)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "MN使用点M(5, -3)和点N(6, -2)的坐标计算，M'N'使用点M'(-7, -3)和点N'(-3, 1)的坐标计算。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形M'N'O'缩放后得到多边形MNO，缩放因子=M'N'长度/MN长度，即缩放因子=4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b550726aa438635e4296316140d546ed-img-ba95c5875a53472a9c2478496fbd255b.png", "question": "矩形 N'O'P'Q' 是矩形 NOPQ 的放缩。放缩的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成适当的分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "4", "process": "1. 确定原矩形NOPQ和放大后的矩形N'O'P'Q'的对应边。我们选择边NO对应于N'O'。

2. 计算边NO的长度。点N的坐标为(-1, -2)，点O的坐标为(2, -2)。根据两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，所以NO的长度为√[(2 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2] = √[3^2 + 0^2] = 3。

3. 计算边N'O'的长度。点N'的坐标为(-4, -8)，点O'的坐标为(8, -8)。根据两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，所以N'O'的长度为√[(8 - (-4))^2 + (-8 - (-8))^2] = √[12^2 + 0^2] = 12。

4. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，设置放大因子的比率，使用放大后图形对应边的长度与原图对应边的长度之比，即N'O'/NO = 12/3。

5. 简化这个比率，12/3 = 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "矩形NOPQ由点N(-1, -2)、点O(2, -2)、点P(2, 2)和点Q(-1, 2)构成，矩形N'O'P'Q'由点N'(-4, -8)、点O'(8, -8)、点P'(8, 8)和点Q'(-4, 8)构成。两个矩形都满足对边相等且平行。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点N的坐标为(-1, -2)，点O的坐标为(2, -2)，我们需要计算点N和点O之间的距离。根据两点之间的距离公式，点N和点O之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √(((-2 - (-1))^2 + (-2 - (-2)))^2)。在图中，点N和点O之间的距离就是线段NO的长度。点N'的坐标为(-4, -8)，点O'的坐标为(8, -8)，我们需要计算点N'和点O'之间的距离。根据两点之间的距离公式，点N'和点O'之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √(((8 - (-4))^2 + (-8 - (-8)))^2)。在图中，点N'和点O'之间的距离就是线段N'O'的长度。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形NOPQ缩放后得到多边形N'O'P'Q'，缩放因子=N'O'长度/NO长度，即缩放因子=4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-55ee4fda3eae84e117bffb62aee2e044-img-4037d0e419ac4c368ab23ad217d71a7c.png", "question": "三角形V'W'X'是三角形VWX的放缩。该放缩的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成真分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "3", "process": "1. 首先，确定原始三角形的顶点坐标。三角形 VWX 的顶点坐标为 V(-2, 1), W(3, -2), 和 X(-2, -3)。

2. 然后，确定经过相似变换后得到的三角形 V'W'X' 的顶点坐标。三角形 V'W'X' 的顶点坐标为 V'(-6, 3), W'(9, -6), 和 X'(-6, -9)。

3. 选择一条对应边来计算。我们选择边 VX 和 V'X'。

4. 计算原始三角形边 VX 的长度。点 V 和 X 的坐标分别为 (-2, 1) 和 (-2, -3)，因此 VX 的长度为 |1 - (-3)| = 4。

5. 计算相似变换后三角形对应边 V'X' 的长度。点 V' 和 X' 的坐标分别为 (-6, 3) 和 (-6, -9)，因此 V'X' 的长度为 |3 - (-9)| = 12。

6. 计算相似变换的比例因子，即新三角形边长与原三角形边长的比值。比例因子 f = V'X'/VX = 12/4。

7. 化简所得比值 12/4 = 3。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 3。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形 VWX 是由三个非共线点 V(-2, 1), W(3, -2), 和 X(-2, -3) 及其连接线段 VW, WX, VX 组成的几何图形。点 V, W, X 分别是三角形的三个顶点，线段 VW, WX, VX 分别是三角形的三条边。相似变换后的三角形 V'W'X' 是由三个非共线点 V'(-6, 3), W'(9, -6), 和 X'(-6, -9) 及其连接线段 V'W', W'X', V'X' 组成的几何图形。点 V', W', X' 分别是三角形的三个顶点，线段 V'W', W'X', V'X' 分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点 V 的坐标为 (-2, 1)，点 W 的坐标为 (3, -2)，点 X 的坐标为 (-2, -3)；点 V' 的坐标为 (-6, 3)，点 W' 的坐标为 (9, -6)，点 X' 的坐标为 (-6, -9)。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题中，线段 VX 的长度计算为 |1 - (-3)| = 4，线段 V'X' 的长度计算为 |3 - (-9)| = 12。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形VWX缩放后得到多边形V'W'X'，缩放因子=V‘X’长度/VX长度，即缩放因子=3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ceff7f31fe698329561bb45be74a1d60-img-f4fa92355b6b40f1bc461aaa6c04cd46.png", "question": "题目：平行四边形 H'I'J'K' 是平行四边形 HIJK 的放缩图。放缩的比例因子是多少？\n\n\n简化你的答案，并将其写成真分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "1/4", "process": "1. 已知四边形 H'I'J'K' 是四边形 HIJK 的放缩作图（dilation），首先需找到原四边形之一边的长度。

2. 取线段 \\overline{HI}，其两端点坐标为 H(-8,-8) 和 I(-4,-8)，根据两点之间的距离公式，计算线段长度 HI = \\sqrt{(-4 - (-8))^2 + (-8 - (-8))^2} = \\sqrt{4^2 + 0} = 4。故，线段 \\overline{HI} 的长度为 4 单位。

3. 观察变换后的四边形 \\overline{H'I'} 的对应线段，其端点坐标为 H'(-2,-2) 和 I'(-1,-2)。根据两点之间的距离公式，计算线段长度 H'I' = \\sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \\sqrt{1^2 + 0} = 1。故，图像线段 \\overline{H'I'} 的长度为 1 单位。

4. 计算放缩因子的比率，根据直角坐标系中的缩放因子定义，即图像线段长度对原图线段长度的比值。

5. 放缩因子 = \\frac{H'I'}{HI} = \\frac{1}{4}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\\frac{1}{4}。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Coordinates of a Point", "content": "In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).", "this": "点 H 的坐标为 (-8, -8)，点 I 的坐标为 (-4, -8)，点 H' 的坐标为 (-2, -2)，点 I' 的坐标为 (-1, -2)。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "线段 HI 的长度通过距离公式计算得出，\\( HI = \\sqrt{(-4 - (-8))^2 + (-8 - (-8))^2} = \\sqrt{4^2 + 0} = 4 \\)单位；同理，线段 H'I' 的长度为 \\( H'I' = \\sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \\sqrt{1^2 + 0} = 1 \\)单位。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形HIJK缩放后得到多边形H'I'J'K'，缩放因子=H‘I’长度/HI长度，即缩放因子=1/4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-9c45bce87b04ddb84369d484ae1cacec-img-04ac438f62404364b7c571c56ab456cf.png", "question": "矩形 K'L'M'N' 是矩形 KLMN 的放缩。放缩的���例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成真分数、假分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "1/3", "process": "1. 根据题目说明，给定的矩形 K'L'M'N' 是矩形 KLMN 的一个放大（缩小）变换。我们需要找出该变换的比例因子。

2. 先找到原矩形 KLMN 的一条边长。我们选择边 LM，它连接点 L(-6,0) 和 M(3,0)。

3. 使用两点之间的距离公式计算边 LM 的长度：已知距离公式为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) 因为 LM 垂直于 x 轴，差值仅在 x 轴方向变化，故可以简化为：|3 - (-6)| = 9。

4. 再找到图像中的对应边 L'M' 的长度。边 L'M' 连接点 L'(-2,0) 和 M'(1,0)。

5. 使用距离公式计算边 L'M' 的长度：同样，因为 L'M' 也垂直于 x 轴，简化计算为：|1 - (-2)| = 3。

6. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，通过原矩形一条边的长度与变换后矩形相应边的长度之间的比例，计算变换的比例因子。

7. 将边 L'M' 的长度与边 LM 的长度作比，得到比例因子为 3/9。

8. 将比值 3/9 化简为最简形式，得到 1/3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 1/3。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形KLMN和K'L'M'N'都是矩形，其内角∠KLM, ∠LMN, ∠MNK, ∠NKL和∠K'L'M', ∠L'M'N', ∠M'N'K', ∠N'K'L'都是直角（90度），且边KL与边MN平行且等长，边LM与边NK平行且等长，边K'L'与边M'N'平行且等长，边L'M'与边N'K'平行且等长。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "点L(-6,0)和M(3,0)计算边LM的长度通过距离公式得到|3 - (-6)| = 9。同样，使用点L'(-2,0)和M'(1,0)计算边L'M'的长度通过距离公式得到|1 - (-2)| = 3。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "四边形KLMN缩放后得到四边形K'L'M'N'，缩放因子 = L'M'长度 / LM长度，缩放因子 = 1/3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-3f5a015a159a5532c9f66b59d0a63592-img-c5a11f041d124dab904396dbf6be4607.png", "question": "在下图中，梯形 G'H'I'J' 是 GHIJ 经过放缩后的像。\n\n放缩比例和放缩中心是什么？\n简化你的答案并以分数或整数形式书写。\n\n放缩比例： \\$ox\\$ \n\n放缩中心： ( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "scale factor: 3/4 \ncenter of the dilation: (4, -5)", "process": "1. 已知梯形G'H'I'J'是梯形GHIJ经过一次放缩变换之后的图像。根据放缩变换的定义，线段的长度按照固定的比例缩放。

2. 计算HI的长度。H点的坐标为(0, 7)，I点的坐标为(4, 7)，由于HI是水平线段，所以HI的长度为|0-4|=4。

3. 计算H'I'的长度。H'点的坐标为(1, 4)，I'点的坐标为(4, 4)，由于H'I'也是水平线段，所以H'I'的长度为|1-4|=3。

4. 根据相似比公式，放缩因子k = H'I'/HI = 3/4。因此，放缩比例因子为3/4。

5. 为确定放缩中心，每对对应点和放缩中心必须共线，并且放缩中心到每个图形点的距离与到对应点的距离之比为1/(3/4)=4/3。可以用G和G'、J和J'之间的连线找到放缩中心。

6. 画线段GG'（通过G(-4, 3)和G'(-2, 1)）以及线段JJ'（通过J(8, 3)和J'(7, 1)）。

7. 计算两个线段的直线方程。根据斜率公式，GG'的斜率为(1-3)/(-2- (-4) )=-1，直线方程为y=-x-1。JJ'的斜率为(1-3)/(7-8)=2，直线方程为y=2x-13。

8. 解两个直线方程的交点。由于两个线段的方程不同，它们在位于y轴平行线上的交叉，因此不独一无二。因此采用图形分析，可以找到交点大约为(4, -5)。

9. 经过上述推理，最终得出答案为放缩比例是3/4，放缩中心坐标是(4, -5)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Trapezoid", "content": "A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.", "this": "在本题图中，梯形GHIJ和梯形G'H'I'J'分别是经过放缩变换前后的图形，其中边GH与边IJ平行，边G'H'与边I'J'平行，满足梯形的定义。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形HIGJ缩放后得到多边形H'I'G'J'，缩放因子=H‘I’/HI，H‘I’长度/HI长度，即缩放因子=3/4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-b134d8555b4cad2efaa5014356008b5a-img-bf55fa652c5d415b80ba9191e2fa60ba.png", "question": "在下图中，菱形 J'K'L'M' 是 JKLM 经过一次缩放后的图像。\n\n缩放的比例因子和中心是什么？\n简化你的答案并写成分数或整数。\n\n比例因子: \\$ox\\$ \n\n缩放中心: ( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "scale factor: 2 \ncenter of the dilation: (-3, -6)", "process": "1. 已知菱形JKLM映射为菱形J'K'L'M'，根据题意要求找到缩放因子和缩放中心。

2. 找出线段JK的长度，点J的坐标为(–6, –2)，点K的坐标为(–1, –2)。因为线段JK是水平线段，所以其长度为两个x值的绝对差。计算得 JK = |–6 - (–1)| = |–5| = 5。

3. 找出线段J'K'的长度，点J'的坐标为(–9, 2)，点K'的坐标为(1, 2)。同理，因为线段J'K'亦是水平线段，其长度亦为两个x值的绝对差。计算得 J'K' = |–9 - 1| = |–10| = 10。

4. 缩放因子可以通过J'K'与JK的比值来确定，因此得缩放因子为 J'K'/JK = 10/5 = 2。

5. 确定缩放中心的方法是找到不移动的点。在此图中，点M与点M'的坐标相同，均为(–3, –6)。因此可以确定M就是缩放的中心。

经过上述推理，最终得出答案为：缩放因子为2，缩放中心为(–3, –6)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形JKLM和四边形J'K'L'M'均为菱形。这意味着其四条边均相等，即 JK = KL = LM = MJ 和 J'K' = K'L' = L'M' = M'J'。此外，四边形JKLM的 对角线JK和LM互相垂直平分，四边形J'K'L'M'的 对角线J'K'和L'M'互相垂直平分。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "线段JK和J'K'是水平线段，所以他们的距离计算简化为x坐标的差值绝对值。JK = |-6 - (-1)| = | -5 | = 5，J'K' = |-9 - 1| = |-10| = 10。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "菱形JKLM缩放后得到菱形 J'K'L'M'，缩放因子=J'K'长度/JK长度，缩放因子=2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-066dcfc1335d6fcdab2398c24da98891-img-657274df8923454e82174b367201bd5a.png", "question": "在下面的图中，正方形 L'M'N'O' 是 LMNO 经过缩放后的图像。\n\n缩放的比例因子和中心是什么？\n简化你的答案并将其写成分数或整数。\n\n比例因子： \\$ox\\$ \n\n缩放中心： (\\$ox\\$, \\$ox\\$)", "answer": "scale factor: 3 \ncenter of the dilation: (-6, 9)", "process": "1. 确定扩大的比例因子时，首先计算线段 LM 的长度。根据坐标点公式，LM 的端点 L 为 (-6,6)，M 为 (-3,7)，代入距离公式：LM = √((−3−(−6))^2+(7−6)^2) = √(3^2+1^2) = √(9+1) = √10。

2. 然后计算线段 L'M' 的长度。L'M' 的端点 L' 为 (-6,0)，M' 为 (3,3)，代入距离公式：L'M' = √((3−(−6))^2+(3−0)^2) = √(9^2+3^2) = √(81+9) = √90 = 3√10。

3. 确定缩放因子，计算 L'M' 与 LM 的长度比，得到缩放因子：L'M'/LM = (3√10)/√10 = 3。

4. 确定扩大的中心。根据扩大的性质，图形中的每个点都会沿着过原图点与扩张后图点的直线方向扩张。取 L 和 L' 的直线方程，通过斜率公式，计算直线的斜率 m = (0-6)/(-6+6) = ∞，通过 L' 顶点的 X 坐标明确为垂线过 X=-6。

5. 类似地，确定 M 和 M' 点的直线方程，直线的斜率 m = (3-7)/(3+3) = (-4)/6 = -2/3，线性方程式为 y-7 = -2/3(x+3)。

6. 解上述两直线交点，X=-6代入 y-7 = -2/3 * (x+3)，得到 y = -2/3 * (-6+3)+7 = 9。

7. 通过相交点证明，扩张中心为 (-6,9)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为比例因子为 3，扩张中心为 (-6,9)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，线段 LM 的距离计算公式为: LM = √((-3 - (-6))^2 + (7 - 6)^2) = √(3^2 + 1^2) = √10。线段 L'M' 的距离计算公式为: L'M' = √((3 - (-6))^2 + (3 - 0)^2) = √(9^2 + 3^2) = √90 = 3√10。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "在本题图中，多边形LMNO缩放后得到多边形LM'N'O'，缩放因子=L'M'长度/LM长度，即缩放因子=3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ce7ec4efb808b00932f72d2df98bb277-img-aa979800462d4c298c65f6fa64d32af7.png", "question": "在下图中，△R'S'T'是△RST经过一次缩放后的像。\n\n\n缩放的比例因子和中心是什么？\n简化你的答案并写成分数或整数。\n\n比例因子：\\$ox\\$ \n\n缩放中心：( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "scale factor: 1/2 \ncenter of the dilation: (0, 0)", "process": "1. 首先，利用两点之间的距离公式计算线段RT的长度。点R的坐标是(2, -10)，点T的坐标是(8, -8)。距离公式为d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，代入得RT = √((8 - 2)^2 + (-8 - (-10))^2) = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40。

2. 其次，计算线段R'T'的长度。点R'的坐标是(1, -5)，点T'的坐标是(4, -4)。代入两点之间的距离公式得R'T' = √((4 - 1)^2 + (-4 - (-5))^2) = √(3^2 + 1^2) = √(9 + 1) = √10。

3. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，计算缩放因子k，与原三角形对应边的比值为k = R'T'/RT = √10/√40。

4. 计算比值k的简化形式，通过因式分解化简√10/√40 = √(10/40) = √(1/4) = 1/2，得到缩放因子k = 1/2。

5. 为了确定放缩中心，注意放缩中心、原图和图像上的对应点是共线的。因此分别画出R到R'的延长线以及T到T'的延长线。

6. 根据直线方程，R到R'的斜率是(-5 - (-10))/(1 - 2) = 5/-1 = -5。所以R，R'和(0, 0)对齐。类似地，求T到T'的斜率(-4 - (-8))/(4 - 8) = 4/-4 = -1。图示出：(0,0)在延长线上。

7. 经过以上推理，确定放缩中心为(0, 0)。

8. 综合以上步骤，放缩因子为1/2，中心为(0, 0)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "线段RT的长度时，利用点R的坐标(2, -10)和点T的坐标(8, -8)代入公式d = √((8 - 2)^2 + (-8 - (-10))^2) = √(36 + 4) = √40。同样，计算线段R'T'的长度时，利用点R'的坐标(1, -5)和点T'的坐标(4, -4)代入公式d = √((4 - 1)^2 + (-4 - (-5))^2) = √(9 + 1) = √10。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形RST缩放后得到多边形R'S'T'，缩放因子=R'T'长度/RT长度，即缩放因子=1/2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-453e70f67e6194b8a72d55af03086b6a-img-5c473aebcfef4311b4fb58cf3e11d531.png", "question": "平行四边形 M'N'O'P' 是平行四边形 MNOP 的放缩。放缩的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并写成适当的分数、不适当的分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "5", "process": "1. 首先，我们要计算原始平行四边形MNOP中的线段\\(\\overline{NO}\\)的长度。根据两点间距离公式\\(d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\)，点N的坐标是(-2, -2)，点O的坐标是(1, -2)。代入公式后，得出\\(\\overline{NO} = \\sqrt{(1 - (-2))^2 + ((-2) - (-2))^2} = \\sqrt{(3)^2 + (0)^2} = 3\\)。

2. 接下来，计算由原始平行四边形MNOP扩张而得的平行四边形M'N'O'P'中对应的线段\\(\\overline{N'O'}\\)的长度。根据两点间距离公式，点N'的坐标是(-10, -10)，点O'的坐标是(5, -10)。代入公式后，得出\\(\\overline{N'O'} = \\sqrt{(5 - (-10))^2 + ((-10) - (-10))^2} = \\sqrt{(15)^2 + (0)^2} = 15\\) 。

3. 现在，可以确定平行四边形的扩张比例因子。根据相似形的定义，扩张比例因子等于图像中对应边的长度���原形中对应边的长度的比值。因此，比例因子为 \\(\\frac{\\overline{N'O'}}{\\overline{NO}} = \\frac{15}{3}\\) 。

4. 将比值\\(\\frac{15}{3}\\)化简得到5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为5。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中，计算平行四边形MNOP中的线段\\(\\overline{NO}\\)的长度时，点N的坐标是(-2, -2)，点O的坐标是(1, -2)。代入公式后，得出\\(\\overline{NO} = \\sqrt{(1 - (-2))^2 + ((-2) - (-2))^2} = \\sqrt{(3)^2 + (0)^2} = 3\\)。同理，计算平行四边形M'N'O'P'中的线段\\(\\overline{N'O'}\\)的长度时，点N'的坐标是(-10, -10)，点O'的坐标是(5, -10)。代入公式后，得出\\(\\overline{N'O'} = \\sqrt{(5 - (-10))^2 + ((-10) - (-10))^2} = \\sqrt{(15)^2 + (0)^2} = 15\\)。"}, {"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "在本题图中，四边形MNOP是一个平行四边形，边MN与边OP平行且相等，边NO与边MP平行且相等。四边形M'N'O'P'也是一个平行四边形，边M'N'与边O'P'平行且相等，边N'O'与边M'P'平行且相等。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "多边形MNOP缩放后得到多边形M'N'O'P' ，缩放因子=N'O'长度/NO长度，即缩放因子=5。"}]} +{"img_path": "ixl/question-0302b6b2d934da5b175270847fec8739-img-4a160b1dd7d640db816be33fca3ceaf4.png", "question": "平行四边形 D'E'F'G' 是平行四边形 DEFG 的缩放。这个缩放的比例因子是多少？\n\n简化你的答案并将其写成适当的分数、不适当的分数或整数。\n\n \\$ox\\$", "answer": "3", "process": "1. 根据平行四边形的定义，平行四边形DEFG和D'E'F'G'分别以边平行且相等，边长不变及平行为条件。为了方便计算，我们先选择边\\overline{FG}和对应的边\\overline{F'G'}进行比较。

2. 计算\\overline{FG}的长度。点F=(-3,-3)和点G=(-3,-1)，根据两点之间的距离公式\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}，边\\overline{FG}的长度为\\sqrt{((-3)-(-3))^2+((-1)-(-3))^2}=\\sqrt{0+4}=2。

3. 计算\\overline{F'G'}的长度。点F'=(-9,-9)和点G'=(-9,-3)，同样适用两点之间的距离公式得边\\overline{F'G'}的长度为\\sqrt{((-9)-(-9))^2+((-3)-(-9))^2}=\\sqrt{0+36}=6。

4. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，得出原图和图形的对应边长之比，即比例因子。比例因子为\\frac{\\text{图形边长}}{\\text{原图边长}}=\\frac{6}{2}=3。

5. 最后，比例因子可以化为分数：6/2=3, 这是最终比例因子。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Parallelogram", "content": "A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形DEFG是一个平行四边形，边DE与边FG平行且相等，边EF与边DG平行且相等。对应的四边形D'E'F'G'也是一个平行四边形，边D'E'与边F'G'平行且相等，边E'F'与边D'G'平行且相等。"}, {"name": "Distance Formula Between Two Points", "content": "In a Cartesian coordinate plane, the distance \\( d \\) between two points \\((x_1, y_1)\\) and \\((x_2, y_2)\\) can be calculated using the formula \\( d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\).", "this": "在本题图中通过两点距离公式计算边长\\overline{FG}和\\overline{F'G'}的长度，其中边\\overline{FG}的长度是\\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \\sqrt{0 + 4} = 2，边\\overline{F'G'}的长度是\\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \\sqrt{0 + 36} = 6。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "在本题图中，多边形DEFG缩放后得到多边形D'E'F'G'，缩放因子=F‘G’长度/FG长度，即缩放因子=3。"}]} +{"img_path": "ixl/question-299dd00c870bf48617bb70efe6a8bb86-img-9ab3d6bf25d44a4c8c5e21992b574803.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？\n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 观察题目中的图形，这是一个凸多边形，并已知条件，求此多边形每个顶点处外角的度数和。

2. 根据已知几何原理：任意凸多边形的外角和为360°。不需要考虑多边形的边数。

3. 这个性质适用于所有的凸多边形，无论其形状如何，只要是凸多边形，其外角和始终是360°。

4. 因为多边形是凸的，所以每个顶点处的外角都是该顶点外部且平面上180°的角中与内角的余角。

5. 根据上面的推理论证，无需对图形进行任何标记或辅助线添加，直接得出结论：该凸多边形的外角和为360°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "延长该多边形的一个内角的相邻边形成的角称为这个内角的外角。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "在本题图中，我们考虑的是一个凸多边形（三角形），因此其外角和为360度，适用于所有凸多边形，不论其边数多少。如图这个凸多边形（三角形）的任意外角和为360度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-513e8b0cc881bea0c2079e229d1d3ee2-img-1d643dd3a6b14686a5c59907b402b4d6.png", "question": "在下图中，菱形 K'L'M'N' 是 KLMN 经过缩放后的图像。\n\n缩放的比例因子和中心是什么？\n简化你的答案并写成分数或整数。\n\n比例因子: \\$ox\\$ \n\n缩放中心: ( \\$ox\\$ , \\$ox\\$ )", "answer": "scale factor: 1/2 \ncenter of the dilation: (-4, 2)", "process": "1. 首先，计算原四边形 KLMN 和映射后的四边形 K'L'M'N' 对应边 NM 和 N'M' 的长度。

2. 点 N(-2,-6) 和 M(8,-6) 在同一水平线上，水平距离为 |x_2 - x_1| = |8 - (-2)| = 10。

3. 映射后的点 N'(-3,-2) 和 M'(2,-2) 也在同一水平线上，水平距离为 |x_2' - x_1'| = |2 - (-3)| = 5。

4. 根据相似多边形的定义，比例系数即为对应边长度比，可得 N'M' / NM = 5 / 10 = 1/2。

5. 确定缩放中心。由相似形的性质知，每对对应点与中心点共线。

6. 连接 N 和 N' 形成直线，并以同样方式连接 M 和 M'。

7. 计算直线 NN' 和 MM' 的方程，找出这两条直线的交点，即为缩放中心。

8. 直线 NN' 的方程为 (y + 6) / (x + 2) = (-2 + 6) / (-3 + 2) = -4，其中 b 可随意选取，通过求 x 和 y 的值找出交点。

9. 类似地推导出直线 MM' 的方程，得(b 两直线交点)。

10. 利用上面找到的交点坐标，确定缩放中心的坐标为 (-4, 2)。

11. 经过上述推理，最终得出答案为缩放中心的比例系数为 1/2，中心为 (-4, 2)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of an Angle", "content": "An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.", "this": "角∠KLM是由射线LK和射线LM组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点L。这个共同的端点L称为角∠KLM的顶点，而射线LK和射线LM称为角∠KLM的边。"}, {"name": "Definition of Rhombus", "content": "A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.", "this": "四边形KLMN和K'L'M'N'中，所有的边KL、LM、MN、NK和K'L'、L'M'、M'N'、N'K'都是相等的，因此四边形KLMN和K'L'M'N'都是菱形。此外，四边形KLMN的对角线KM和LN互相垂直平分，即对角线KM和LN相交于点O，且角KOM是直角（90度），并且KO=OM和LO=ON。"}, {"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "菱形 KLMN 缩放后得到K'L'M'N'，缩放因子=L'M'长度/LM长度，即缩放因子=1/2。"}]} +{"img_path": "ixl/question-a9289c6ce0253aa00e3d72472d4f61a7-img-4bc8b2925d9b4809a4190c94a085643b.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。每个顶点处的外角度数之和是多少？\\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 考虑一个凸多边形，在每个顶点我们都可以作出一个外角。

2. 根据“多边形的外角和定理”，一个多边形的每个顶点的一个外角的总和等于360°。

3. 这个结论适用于所有的多边形，不论其边数是多少。

4. 因此，题目所给出的凸多边形的每个顶点的一个外角的总和也是360°。

5. 综上所述，题目要求的多边形每个顶点的一个外角的总和为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在顶点A处，外角是由内角和延长边形成的角度。在顶点B和顶点C处同样存在各自的外角。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "所给出的多边形是一个凸三角形。根据多边形外角和定理，凸三角形的每个顶点的一个外角的总和等于360°。无论多边形的边数是多少，此定理均适用，因此，给定凸多边形的每个顶点的外角总和为360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-2963f9fbcdf291fae80f7f8fdc298faf-img-4a39ad91096f41c89fe99bf6d5fc9e3c.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n这个多边形每个顶点的外角度数之和是多少？\n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 已知多边形是一个凸多边形，根据凸多边形的性质，它的每一个外角和内角都是相邻的补角。

2. 对于任意一个凸多边形，其外角（每个顶点处的外角）的总和是360°。这是因为外角和定理指出：任意多边形的外角和（取每个顶点上的一个外角）等于360°。

3. 这个定理可以这样理解：从多边形的任意一个顶点开始，顺着多边形的边走一圈，转过的总角度为360°。

4. 由于题设中已经指出该多边形为凸多边形，因此我们可以直接应用外角和定理。

5. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，延长该多边形的一个内角的相邻边形成的角称为这个内角的外角。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "角A, 角B, 角C。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即角A + 角B + 角C = 360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5e0958e1ae1e627e4938ab6923cb914c-img-83a89f2cf565437e8aa3dd13baee5f9f.png", "question": "求△WXY的面积。\n\n将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\n \\$ox\\$ cm ^ 2", "answer": "226.3 cm ^ 2", "process": "1. 已知△WXY的边长分别为WX = 17 cm, WY = 39 cm, XY = 29 cm。

2. 根据三角形面积的海伦公式，首先要计算三角形的半周长s。海伦公式的半周长定义为s = (WX + WY + XY) / 2。

3. 将已知边长代入，并计算半周长，得s = (17 + 39 + 29) / 2 = 85 / 2 = 42.5 cm。

4. 海伦公式表示为：面积 = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中a, b, c分别为三角形的边长。在此题中，a = WX = 17 cm, b = WY = 39 cm, c = XY = 29 cm。

5. 代入计算：面积 = √[42.5(42.5 - 17)(42.5 - 39)(42.5 - 29)]。

6. 计算每一个括弧内的值，得: 42.5 - 17 = 25.5, 42.5 - 39 = 3.5, 42.5 - 29 = 13.5。

7. 将这些值相乘并与s相乘，得: 面积 = √[42.5 × 25.5 × 3.5 × 13.5]。

8. 计算并简化这些积，得: 42.5 × 25.5 × 3.5 × 13.5 = 51207.1875。

9. 计算平方根以得到面积: √51207.1875 ≈ 226.2900...。

10. 自题目要求取整至小数点后一位，因此最终答案为226.3。

经过上述推理，最终得出答案为226.3平方厘米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形△WXY是由三个非共线点W、X、Y及其连接线段WX、WY、XY组成的几何图形。点W、X、Y分别是三角形的三个顶点，线段WX、WY、XY分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "三角形△WXY的半周长s = 42.5 cm，边长分别为WX = 17 cm, WY = 39 cm, XY = 29 cm。通过海伦公式，代入计算：面积 = √[42.5(42.5 - 17)(42.5 - 39)(42.5 - 29)] = √[42.5 × 25.5 × 3.5 × 13.5] ≈ 226.3 cm²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-69353dcd2b9e2ce9540e5365c29b00da-img-2e2beb4fd83e4b1a9297464e37809f0b.png", "question": "在下图中，△L'M'N'是△LMN经过一次放缩后的图像。\n\n\n放缩的比例因子和中心是什么？\n简化你的答案并以分数或整数形式书写。\n\n比例因子： \\$\\\\Box\\$ \n\n放缩中心：( \\$\\\\Box\\$ , \\$\\\\Box\\$ )", "answer": "scale factor: 3/4 \ncenter of the dilation: (5, 0)", "process": "1. 已知△L'M'N'是△LMN经过一次位似变换得到的图像。首先要找到变换的比例因子。我们从线段LM开始分析。

2. 由于线段LM是水平的，根据点L(-7,-4)和点M(1,-4)的x坐标差得出LM的长度。计算得出LM=|–7–1|=|–8|=8。

3. 再计算对应的线段L'M'的长度。根据点L'(–4,–3)和点M'(2,–3)的x坐标差，得出L'M'=|–4–2|=|–6|=6。

4. 由此，可以得出比例因子为L'M'/LM=6/8=3/4。

5. 确定变换的中心，几何上每一个△L'M'N'上的点、其对应的△LMN上的点以及变换中心应该是共线的。

6. 为此，我们做出辅助直线，通过点L和L'连成一条直线，通过点N和N'连成另一条直线。

7. 找到这两条直线的交点，该点即是所求的变换中心。

8. 经过计算，得到这两条直线的交点坐标为(5, 0)。所以变换中心是(5, 0)。

9. 经过上述推理，最终得出答案为比例因子为3/4，变换中心为(5, 0)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems", "content": "In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.", "this": "△LMN缩放后得到△L'M'N'，缩放因子=L'M'长度/LM长度，即缩放因子=6/8=3/4。"}]} +{"img_path": "ixl/question-58a753b0cc3e9ddd29a11f48bb4eb3be-img-f7f4a943f65848959a8442d28e0f5a3c.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？\n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 先明确多边形的外角定义：在每一个顶点处，外角是内部角向外延长的角。在凸多边形中，每个顶点的外角和其对应的内角构成一个线性对，即两者之和为180°。

2. 根据多边形的外角定义和平角的定义，任意一个多边形的一个顶点的内角和外角之和为180°。

3. 对于任何凸多边形，根据多边形内角和定理，各个顶点的内角和等于 (n-2)×180°，其中 n 是多边形的边数。

4. 由于每一个内角和其对应的外角之和为180°，多边形的内角和可以通过“多边形全角和”与“外角和”的关系来间接确定：n×180°为多边形顶点的内外角和之和。

5. 将对每一个顶点的内角和外角之和即n×180°，减去内角和(n-2)×180°，得到其外角和：总外角和 = n×180° - (n-2)×180°。

6. 通过化简，得出外角和 = 2×180° = 360°。这说明无论该凸多边形有多少个边，外角和为360°。

7. 由以上推理过程可得出答案，凸多边形的外角和为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，例如其中一个外角可以定义为从顶点处延长相邻边形成的角。此角与内角形成线性对。"}, {"name": "Polygon Interior Angle Sum Theorem", "content": "The sum of the interior angles of a polygon is equal to (n - 2) * 180°, where n represents the number of sides of the polygon.", "this": "在本题图中，这是一个有5条边的多边形，其中5表示多边形的边数。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (5-2) × 180°=540°。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "在本题图中，任意凸多边形中，每个顶点有一个外角。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°。"}, {"name": "Definition of Straight Angle", "content": "A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.", "this": "内角射线与对应外角射线在同一直线上，组成的角为平角，度数为180度。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ce47498aa9d17e3b04963bbec9e936c8-img-d47dfe2194214562a55af05ad99e9f82.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？\n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 首先，我们需要明白题目要求为凹多边形的每个顶点的外角和。

2. 根据外角定理，凸多边形的每一个顶点的外角都是在该顶点的内角与补角形成的，也就是说，内角与其对应的外角之和为180°。

3. 要得到凸多边形的所有外角的和，我们可以利用多边形外角和定理，该定理指出：任何一个凸多边形的外角和为360°。

4. 根据多边形外角和定理，无论多边形的边数如何，外角的总和不依赖于多边形的边数，所以对于任意凸多边形，每个顶点处的外角和为360°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "对于凸多边形的每一个顶点，外角可以表示为内角与其对应的补角。若内角表示为∠ABC，则它的外角可以表示为∠ABD，其中D是点BC延长后形成的外角点。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "角A, 角B, 角C。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即角A + 角B + 角C = 360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5d45bcd37f6678c628e2179ae86345fe-img-2a255a9757c049cea036a9d71249ab6f.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。 \n\n每个顶点处的外角度数之和是多少？ \n \\$ox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 根据题目要求和所示图形，这是一个凸多边形。

2. 根据多边形外角和定理：在任何一个凸多边形中，每个顶点处的外角的总和等于360°。

3. 该定理适用于所有凸多边形，无论多边形的边数。因此，我们无需考虑多边形的边数即可应用该定理。

4. 综合以上信息，直接应用多边形外角和定理可知：该凸多边形每个顶点处的外角的总和为360°。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，多边形的一个内角为∠ABC（顶点处标注），延长该内角的相邻边AB和BC形成的角∠ABD称为内角∠ABC的外角。比如，分别在多边形的每个顶点处都有一个外角。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "角A, 角B, 角C。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即角A + 角B + 角C = 360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-285a07b1edb6ae708dc1f9111ed1ac13-img-ad627930628a47c59b9cd23d708b7e73.png", "question": "图中显示了一个凸多边形。\n\n这个多边形每个顶点的外角度数之和是多少？\n \\$\nBox\\$ °", "answer": "360°", "process": "1. 考察图中给出的凸多边形，我们要找到它的外角和。每个顶点处的外角是在延长邻边后补足内角得到的。

2. 根据‘多边形的外角和定理’，我们知道，任何多边形的外角和都是360°，此定理适用于任何多边形，不论其边数。

3. 将所有顶点的外角度数相加，由于凸多边形的外角和总是360°，我们可以确认，我们无需计算每个外角的具体值。

4. 根据以上的推理，考虑到这是一个凸多边形，我们不需要进一步知道多边形有多少条边，而直接可以确认外角和为360°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为360°。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Exterior Angle of a Polygon", "content": "An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.", "this": "在本题图中，多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。例如，顶点处的外角是通过延长相邻边形成的。"}, {"name": "Exterior Angle Sum Theorem of Polygon", "content": "For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.", "this": "角A, 角B, 角C, 角D, 角E, 角F。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即角A + 角B + 角C + 角D + 角E + 角F = 360°。"}]} +{"img_path": "ixl/question-5cee12ca4335b2819c3c629b455d295d-img-0c03bae674734c4684824231b32b94b0.png", "question": "求△VWX的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\n \\$ox\\$ in ^ 2", "answer": "178.3 in ^ 2", "process": "1. 已知三角形△VWX的三边分别为：VW = 19 英寸, WX = 32 英寸, VX = 20 英寸。

2. 根据海伦公式，计算不规则三角形的面积需要知道半周长，以及三角形的三边长。

3. 首先计算半周长 s，公式为：s = (VW + WX + VX) / 2，代入已知边长得：s = (19 + 32 + 20) / 2 = 71 / 2 = 35.5 英寸。

4. 计算三角形的面积 A，海伦公式为：A = √[s * (s - VW) * (s - WX) * (s - VX)]。

5. 将数值代入公式：A = √[35.5 * (35.5 - 19) * (35.5 - 32) * (35.5 - 20)]。

6. 计算每个部分的值：(35.5 - 19) = 16.5, (35.5 - 32) = 3.5, (35.5 - 20) = 15.5。

7. 将以上各值相乘：35.5 * 16.5 * 3.5 * 15.5，计算可得积为：31776.9375。

8. 计算该积的平方根：√31776.9375 ≈ 178.2608。

9. 四舍五入到最近的十分位，得出三角形面积 A ≈ 178.3 平方英寸。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 178.3。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "在本题图中，三角形△VWX是由三个非共线点V、W、X及其连接线段VW、WX、VX组成的几何图形。点V、W、X分别是三角形的三个顶点，线段VW、WX、VX分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，三角形WXV中，边WX, WV和VX分别是三角形的三边，记为a, b和c。首先计算三角形的半周长s，即s = (a + b + c) / 2。然后根据海伦公式，三角形的面积A可以表示为：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]。通过这个公式，可以求出三角形WXV的面积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-193aeb36d9baed80beb6d75bfc3bafe0-img-5ee17b43d95d4eb1932e1ce868b7f2e3.png", "question": "求△UVW的面积。\n\n请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\n \\$ox\\$ mi ^ 2", "answer": "728.1 mi ^ 2", "process": "1. 已知△UVW的边长为UV = 37 英里, VW = 44 英里, UW = 43 英里。依据已知的边长可以使用海伦公式求解三角形的面积。

2. 计算三角形的半周长s，上述三条边的和为37 + 44 + 43 = 124，除以2得出半周长s = 62。

3. 海伦公式为：A = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))，其中s为半周长，a、b、c分别为三角形的边长。

4. 对于△UVW，应用海伦公式中的参数包括s = 62，a = 37，b = 44，c = 43。

5. 带入海伦公式计算：A = sqrt(62 * (62 - 37) * (62 - 44) * (62 - 43))。

6. 进行计算：A = sqrt(62 * 25 * 18 * 19)。

7. 继续计算积：62 * 25 * 18 * 19 = 530100。

8. A = sqrt(530100)，计算出其平方根A ≈ 728.0797。

9. 四舍五入至小数点后一位，得到面积A ≈ 728.1。

10. 经过上述推理，最终得出△UVW的面积为728.1 平方英里。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，应用海伦公式计算△UVW的面积，已知s=62，a=37，b=44，c=43。计算过程如下：A=sqrt(62(62-37)(62-44)(62-43))=sqrt(62*25*18*19)=sqrt(530100)≈728.0796。最终得出△UVW的面积为728.1平方英里。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ec040226444e394d7b16e707c6b819bc-img-44d0f454bb01455d9c006da6479c4a96.png", "question": "求△UVW的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\n \\$ox\\$ ft ^ 2", "answer": "865.7 ft ^ 2", "process": "1. 已知三角形UVW的三边长分别为UV = 48 ft, UW = 39 ft, WV = 49 ft，根据海伦公式可以求出三角形的面积。

2. 首先计算半周长s，s = (UV + UW + WV) / 2 = (48 + 39 + 49) / 2 = 136 / 2 = 68。

3. 根据海伦公式，三角形的面积A = sqrt(s * (s - UV) * (s - UW) * (s - WV))。

4. 代入已知数据，A = sqrt(68 * (68 - 48) * (68 - 39) * (68 - 49))。

5. 计算各个差值，68 - 48 = 20, 68 - 39 = 29, 68 - 49 = 19。

6. 将差值代入，A = sqrt(68 * 20 * 29 * 19)。

7. 计算积，68 * 19 = 1292, 然后 1292 * 29 = 37468, 最后 37468 * 20 = 749360。

8. 取平方根，sqrt(749360) ≈ 865.6558。

9. 四舍五入到最接近的十分位，865.6558 ≈ 865.7。

10. 经过上述推理，最终得出答案为865.7平方英尺。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，三角形UVW中，边WV, WU和UV分别是三角形的三边，记为a, b和c。首先计算三角形的半周长s，即s = (a + b + c) / 2。然后根据海伦公式，三角形的面积A可以表示为：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]。通过这个公式，可以求出三角形UVW的面积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-17c6fdcdbf3a2751bf3f73ad5abf9a3b-img-49ce2743002a4ecb9145b997558b126a.png", "question": "求 △WXY 的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\n \\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "137.9 mm ^ 2", "process": "1. 已知三角形△WXY的三边长度为WX = 29 mm, XY = 21 mm, WY = 14 mm。

2. 根据三角形内三边求面积的Heron公式，它的形式为：Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为半周长，a, b, c为三角形的三边长。

3. 先计算三角形的半周长s：s = (WX + XY + WY) / 2 = (29 + 21 + 14) / 2 = 32 mm。

4. 将计算得到的半周长s和三边长代入Heron公式的表达式：Area = √[32(32 - 29)(32 - 21)(32 - 14)]。

5. 计算各项：32 - 29 = 3, 32 - 21 = 11, 32 - 14 = 18。

6. 将数值代入计算：Area = √[32 * 3 * 11 * 18]。

7. 计算括号内乘积的数值：32 * 3 * 11 * 18 = 19008。

8. 计算平方根：Area = √19008 ≈ 137.8695。

9. 四舍五入得到的最终答案是：137.9。

10. 经过上述推理，最终得出答案为137.9毫米平方。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形△WXY是由三个非共线点W、X、Y及其连接线段WX、XY、WY组成的几何图形。点W、X、Y分别是三角形的三个顶点，线段WX、XY、WY分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，用Heron公式计算△WXY的面积。代入对应数值如下：s = 32 mm, a = WX = 29 mm, b = XY = 21 mm, c = WY = 14 mm。计算过程如下：Area = √[32(32-29)(32-21)(32-14)] = √[32 * 3 * 11 * 18] = √19008 ≈ 137.8695 mm²，四舍五入后为137.9 mm²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-98050b66d707fbb983878d109e2aedc8-img-9957531403ed41c39e1927f03481fcb6.png", "question": "求△UVW的面积。请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\\$ox\\$ mm ^ 2", "answer": "277.0 mm ^ 2", "process": "1. 已知三角形 △UVW 的三边长分别为 UV = 22 mm, VW = 28 mm, UW = 27 mm。根据题意可以使用海伦公式来计算三角形的面积。海伦公式为：面积 A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中 s 为半周长，a, b, c 为三角形的边长。

2. 首先计算三角形的半周长，s = (a + b + c) / 2 = (22 + 28 + 27) / 2。

3. 计算 s 的值：s = 77 / 2 = 38.5。

4. 然后，代入海伦公式中继续计算面积 A。使用边长 a = 22, b = 28, c = 27：A = √[38.5 * (38.5 - 22) * (38.5 - 28) * (38.5 - 27)]。

5. 进行计算：38.5 - 22 = 16.5，38.5 - 28 = 10.5，38.5 - 27 = 11.5。

6. 继续计算：A = √[38.5 * 16.5 * 10.5 * 11.5]。

7. 计算出积：38.5 * 16.5 * 10.5 * 11.5 = 76706.4375。

8. 计算平方根以得到面积：A = √76706.4375 ≈ 277.0。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 277.0 。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "a, b, c 分别为三角形的边长 UV = 22 mm, VW = 28 mm, UW = 27 mm，其半周长 s = 38.5 mm。代入海伦公式：A = √[38.5 * (38.5 - 22) * (38.5 - 28) * (38.5 - 27)]。继续计算得到三角形的面积为 A = √76706.4375 ≈ 277.0 mm²。"}]} +{"img_path": "ixl/question-e9705331d0278797baff6026b67a0ed2-img-120d34da6c35439eb353ca1577ce0af5.png", "question": "求△VWX的面积。\n\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\n \\$ox\\$ m ^ 2", "answer": "110.8 m ^ 2", "process": "1. 已知三角形△VWX的边长分别为VW=13米、WX=20米、VX=29米。

2. 根据三角形面积的海伦公式，面积A=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中a、b、c为三角形的边长，s为半周长。

3. 首先计算半周长s，s=(13+20+29)/2=31。

4. 代入海伦公式，计算三角形△VWX的面积：A=√[31*(31-13)*(31-20)*(31-29)]。

5. 逐步计算海伦公式中的每个部分：(31-13)=18，(31-20)=11，(31-29)=2。

6. 继续计算：31 * 18=558，558 * 11=6138，6138 * 2=12276。

7. 计算平方根：√12276≈110.7971。

8. 将结果四舍五入到小数点后一位，得到110.8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为110.8平方米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形△VWX是由三个非共线点V、W、X及其连接线段VW、WX、VX组成的几何图形。点V、W、X分别是三角形的三个顶点，线段VW、WX、VX分别是三角形的三条边，边长分别为13米、20米和29米。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，三角形VXW中，边WX, VW和VX分别是三角形的三边，记为a, b和c。首先计算三角形的半周长s，即s = (a + b + c) / 2。然后根据海伦公式，三角形的面积A可以表示为：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]。通过这个公式，可以求出三角形WXV的面积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-99b67c894158f475e59d3ed78de70541-img-f4d0e3bfc8a34b489041004d0b83f0c8.png", "question": "求△VWX的面积。 \n\n请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。\n \\$ox\\$ km ^ 2", "answer": "293.8 km ^ 2", "process": "1. 已知△VWX中三边的边长分别为：VX = 47 km，WX = 35 km，WV = 19 km。

2. 根据海伦公式，三角形面积A可以由下式给出：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中a, b, c为三角形的边长，s为半周长，即s = (a + b + c) / 2。

3. 针对△VWX，设：a = 19 km，b = 35 km，c = 47 km。

4. 计算半周长s：s = (19 + 35 + 47) / 2 = 101 / 2 = 50.5。

5. 将边长及半周长代入赫伦公式计算面积：

A = √[50.5 * (50.5 - 19) * (50.5 - 35) * (50.5 - 47)].

6. 计算s - a = 50.5 - 19 = 31.5。

7. 计算s - b = 50.5 - 35 = 15.5。

8. 计算s - c = 50.5 - 47 = 3.5。

9. 将结果代入计算: A = √[50.5 * 31.5 * 15.5 * 3.5]。

10. 计算乘积：50.5 * 31.5 = 1590.75，1590.75 * 15.5 = 24656.625，24656.625 * 3.5 = 86298.1875。

11. 计算面积A的平方根：A = √86298.1875 ≈ 293.7655。

12. 四舍五入至小数点后一位，得到A ≈ 293.8。

13. 经过上述推理，最终得出答案为293.8平方千米。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Triangle", "content": "A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.", "this": "三角形△VWX是由三个非共线点V、W、X及其连接线段VX、WX、WV组成的几何图形。点V、W、X分别是三角形的三个顶点，线段VX、WX、WV分别是三角形的三条边。"}, {"name": "Heron's Formula", "content": "Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \\( A = \\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\), where \\( s \\) is the semi-perimeter, and \\( a, b, \\) and \\( c \\) are the lengths of the sides of the triangle.", "this": "在本题图中，三角形WVX中，边WV, WX和VX分别是三角形的三边，记为a, b和c。首先计算三角形的半周长s，即s = (a + b + c) / 2。然后根据海伦公式，三角形的面积A可以表示为：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]。通过这个公式，可以求出三角形WXV的面积。"}]} +{"img_path": "ixl/question-ee66f600a687107e447b23fb999dcc61-img-66a5e3fd078e475d971ac821b974712f.png", "question": "在下面显示的长方体中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。\n\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{PQ}\\$ | 和 | \\$\\overleftrightarrow{LM}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{LM}\\$ | 和 | \\$\\overleftrightarrow{MN}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{PS}\\$ | 和 | \\$\\overleftrightarrow{LP}\\$ |\n-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{NR}\\$ | 和 | \\$\\overleftrightarrow{MN}\\$ |", "answer": "-\n\n| \\$\\overleftrightarrow{PQ}\\$ | and | \\$\\overleftrightarrow{LM}\\$ |", "process": "1. 首先观察长方体结构，根据长方体的定义，在同一个面上的对边是平行的。

2. 线段 \\(\\overleftrightarrow{PQ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LM}\\) 在面 PLMQ 上，可以通过矩形的定义得出这两个线段是平行的，因为它们是面 PLMQ 的对边，且在同一平面内，不相交。

3. 线段 \\(\\overleftrightarrow{LM}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{MN}\\) 在点 M 相交，根据平面几何中，若两条直线在同一平面内并有公共点，则它们不平行。

4. 线段 \\(\\overleftrightarrow{PS}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LP}\\) 也由于交于点 P，因此它们不是平行线。

5. 线段 \\(\\overleftrightarrow{NR}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{MN}\\) 因交于点 N，也不是平行线。

6. 经上述推理，只有 \\(\\overleftrightarrow{PQ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LM}\\) 是平行线。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 \\(\\overleftrightarrow{PQ}\\) 和 \\(\\overleftrightarrow{LM}\\)。", "from": "ixl", "knowledge_points": [{"name": "Definition of Rectangular Prism", "content": "A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.", "this": "长方体由六个矩形面围成。三个相邻的面分别定义了长SR、宽RQ和高NR。每个矩形面都与其他面垂直，并且对面的面积相等。长方体的体积计算公式为：体积 = 长SR × 宽RQ × 高NR。"}, {"name": "Definition of Parallel Lines", "content": "Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.", "this": "直线PQ和直线LM位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线PQ和直线LM是平行线。"}, {"name": "Definition of Rectangle", "content": "A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).", "this": "四边形LMQP中，每个内角P、Q、L和M都是直角（90度），且边PQ与边LM平行并等长，边PQ与边LM平行并等长。因此，四边形LMQP是一个矩形。"}]}