Keywords: fault constitutive law, gauge particles, fault state

We review the recent researches of numerical simulations on faulting, which are interpreted in this paper as the evolution of the state of the fault plane and the evolution of fault structure. The theme includes the fault constitutive (friction) law, the properties of the gauge particles, the initial phase of the rupture, the dynamic rupture process, the interaction of the fault segments, the fault zone dynamics, and so on. Many numerical methods have been developed: boundary integral equation methods (BIEM), finite difference methods (FDM), finite or spectral element methods (FEM, SEM) as well as distinct element methods (DEM), discrete element methods (again DEM) or lattice solid models (LSM). The fault dynamics should be solved as a complex non-linear system, which shows multiple hierarchical structures on its property and behavior. The researches have progressively advanced since the 1990's both numerically and physically thanks to high performance computing environments. The interaction at small scales is modeled to provide a large scale property of the fault. The dynamic rupture has been actively studied especially for the effect on the fault geometry evolution or due to the existed fault structure. The (quasi-)static and the initial processes of the fault movement have been also explored in a seismic cycle. The effect of fluid or heat has been also taken into account in the mechanics. All these efforts help us to understand the phenomena and the unified understanding (simulation) over different spacio-temporal scales is more and more expected.

dynamic rupture, fault geometry §1. はじめに "The mechanics of earthquakes and faulting"が出版された のが 1990 年 [C. H. [START_REF] Scholz | The Mechanics of Earthquakes and Faulting[END_REF]第2版 2002) Tada (1996), [START_REF] Kame | Theoretical study on arresting mechanism of dynamic earthquake faulting[END_REF], [START_REF] Aochi | Theoretical studies on dynamic rupture propagation along a 3D non-planar fault system[END_REF], [START_REF] Aochi | Spontaneous Rupture Propagation on a Non-planar Fault in 3D Elastic Medium[END_REF], Tada and Madariaga (2001), Tada (2006)] し,半無限媒質体 への拡張 [START_REF] Zhang | Dynamic rupture on a planar fault in three-dimensional half space -I. Theory[END_REF]] や高速に計算する努 力などがされた [Ando et al. (2007)]. 純粋な数値的手法でも,差分法 (FDM) は複数のグル ープによって開発が続けられた.ここでも非平面断層の 動的問題を扱う手法が提案されているが [START_REF] Harris | Dynamics of fault interaction; parallel strike-slip faults[END_REF], [START_REF] Kase | Numerical simulation of spontaneous rupture processes on two non-coplanar faults; the effect of geometry on fault interaction[END_REF], [START_REF] Kase | Significance of fault geometry in earthquake rupture process[END_REF], [START_REF] Cruz-Atienza | Rupture dynamique des faille non-planaires en différences finies[END_REF]), Cruz-Atienza et al. (2007)],断層面上の境界条件の 扱い方については常に問題が提起されていることを指摘 しておきたい [START_REF] Madariaga | Modeling dynamic rupture in a 3D earthquake fault model[END_REF], [START_REF] Andrews | Test of two methods for faulting in finite-difference calculations[END_REF] [Ampuero, 2002;[START_REF] Festa | Fault dynamics with spectral elements and slip imaging by isochrone back-projection[END_REF]

.解が高次関数で記述され, ローカルに解かれるおかげで断層運動の記述が高精度の 割りに簡便になされるのは特筆すべきことである. また, X-FEM と呼ばれる, 有限要素内の内挿に断層により生じ る変位場の特性 (断層面での不連続や先端の応力特異性) を考慮した基底関数を用いて,要素形状によらず任意形
状の断層を扱える手法も開発されている [Sukumar, et al., 2000].有限要素法の変分原理を使わずに,要素内でのエ ネルギー保存から解く有限体積法 (FVM) も提案されて いる [START_REF] Benjemaa | Dybnamic non-planar crack rupture by a finite volume method[END_REF].要素内での基底関数の次数 [START_REF] Sakaguchi | Hybrid modeling of coupled pore fluid-solid deformation problems[END_REF], Dalgeur et al. (2003)] や,格子を仮定せ ずに粒子を配置し自由に運動させる粒子法ないし個別要 素法(DistinctEM)という手法 [e.g. [START_REF] Morgan | Numerical simulations of granular shear zones using the distinct element method -1. Shear zone kinematics and the micromechanics of localization[END_REF]

によって解の精度を向上できる点や,要素間の不連続を 原理的には苦にしない点で有限要素法と同様な長所があ る.これら数値手法のすべての努力は断層面での境界条 件を正確にいれることと,本質的に不連続な断層運動が 引き起こす数値不安定を抑えることにあると思われる. 2.2 格子・粒子モデル 断層のように十分破砕されていると思われる物を対象 に,個々の物質,粒子同士の接触・相互作用の集合とし てマクロな挙動を表現する手法もあり,さまざまな物理 現象に適用されている.断層に対して,このような手法 は,媒質の粒子性の強い断層ガウジ帯や,凹凸のある断 層面,マイクロクラック生成の再現に適している.個々 の相互作用を時々刻々解くという原理上,大規模計算が 必然である.予め格子を空間に固定し,格子間の相互作 用(連続ないし不連続)を解く格子モデル(LSM ないし DiscreteEM ) と 呼 ば れ る 手 法 [e.g.
] がある.いずれの場合にも個々の相互作用には 簡単な物理法則が与えられる場合が多く,例えば,粒子 間の接合時にはフック則による弾性,結合が切れれば単 純な摩擦則などが与えられる.しかしながら手法の命名 には注意が必要であり,各グループがどのような設定で 行っているか詳細を見る必要がある.粒子同士を格子で 結べば格子法とみなせるが,接合が切れたのちに運動を
許せば粒子法に近い [Mora andPlace (1994, 1999)].最近 Yamashita (2006)].多くの場合,流体は封圧を下げる力学 的効果 [START_REF] Miller | Earthquakes as a coupled shear stresshigh pore pressure dynamical system[END_REF], [START_REF] Yamashita | Mechanical effect of fluid migration on the complexity of seismicity[END_REF]], 熱は破壊の エネルギー消費にからんで力学と独立に強度を下げる (化学的効果) [START_REF] Shaw | Frictional weakening and slip complexity in earthquake faults[END_REF], [START_REF] Andrews | A fault constitutive relation accounting for thermal pressurization of pore fluid[END_REF], [START_REF] Rice | Heating and weakening of faults during earthquake slip[END_REF]] 'ura et al., 1992;[START_REF] Dieterich | Earthquake nucleartion on faults with rate-and state-dependent strength[END_REF] and Matsuura, 1992and Matsuura, , 1998;;[START_REF] Campillo | Initiation of antiplane shear instability under slip dependent friction[END_REF][START_REF] Lapusta | Elastodynamic analysis for slow tectonic loading with spontaneous rupture episodes on faults with rate-and state-dependent friction[END_REF] [START_REF] Harris | Dynamics of fault interaction; parallel strike-slip faults[END_REF][START_REF] Harris | Dynamic 3D simulations of earthquakes on en echelon faults[END_REF], [START_REF] Kase | Significance of fault geometry in earthquake rupture process[END_REF]Kuge (1998, 2001) 

純粋に力学的考察だけではなく,流体や熱を考慮した 断 層 の 物 理 化 学 的 モ デ ル も 盛 ん で あ る [Suzuki and
と一般に考えられる. 3.2 断層の状態変化がもたらす地震現象 一方,これらの断層面の変化はさまざまな地震現象を もたらす.断層強度の弱化過程とその空間不均質が,外 部応力の高まりに応じて準静的な破壊核形成過程がシミ ュレーションされた [Matsu
]. この準静的過程から地震の動的過程への初期破壊 過程,加速過程についても実験や解析結果とともに,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 可 能 に な り [Shibazaki

  ,例えば Oglesby (1999), Aagaard (2000),Badea et al.(2008)) .た だ計算結果はあまり定量的には議論されていない.動的 問題に関して,有限要素法の欠点である計算量を尐なく するようなスペクトラル要素法 (SEM) が開発された

  では,Hori et al. (2005)により,FEM に DiscreteEM の要 素を取り入れた手法が開発され,

  地 震 学 的 意 義 が 考 え ら れ る よ う に な っ た[START_REF] Cochard | Dynamic Faulting under Rate-Dependent Friction[END_REF],[START_REF] Ben-Zion | Dynamic simulations of slip on a smooth fault in an elastic solid[END_REF],[START_REF] Fukuyama | Rupture dynamics of a planar fault in a 3D elastic medium: rate-and slip-weakening friction[END_REF]].しかし結果として,rate (すべり速度)依存性が内包されていようとも,マクロ にはすべり弱化(slip-weakening)式の断層構成則で記述 されるという結果に戻ってきた[START_REF] Bizzarri | Solving the dynamic rupture problem with different numerical approaches and constitutive laws[END_REF].地 震破壊パラメーターの詳細が地震波形の解析から考察さ れるようになったこともあり,この結果は妥当であろう[START_REF] Ide | Determination of constitutive relations of fault slip based on seismic wave analysis[END_REF][START_REF] Mikumo | Stress-breakdown time and slip-weakening distance inferred from slip-velocity function on earthquake faults[END_REF]. そして大規模計算が 90 年代半ばには手軽に可能にな ったこともあり,破壊過程の不均一性に関するシミュレ ーションがますます盛んになった.実際の地震の自発的 動的破壊がシミュレーションされ地震波形の観測記録と 比較可能になるところまできた[START_REF] Olsen | Three-dimensional dynamic simulation of the 1992 Landers earthquake[END_REF] Aochi and Fukuyama, 2002;[START_REF] Aochi | Constraints of Fault Constitutive Parameters Inferred from Non-planar Fault Modeling[END_REF](図 2 参照)

Fig. 1 .

 1 Figure Captions

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Dynamic simulation of the M7.2 Landers, California, earthquake. After the simulation of the spontaneous rupture propagation along a non-planar fault system (left), synthetic seismograms are calculated for a stratified 1D structure and filtered between 0.07-0.5 Hz (right). Figure modified after Aochi et al. (2003).

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Snapshots of clack growth. High speed rupture propagation causes the deviation of the hoop shear traction from its initially static distribution (right), leading the branching of the crack tips (left). Figure modified after Kame and Yamashita (2003).

Fig. 4

 4 Fig.4 Snapshots of fault growth with dynamic multiple branching. The meso-branches distribute following linear scaling until (c) but the spontaneously growing macro-branch emerges as the fault attains a certain critical length in (d). The open arrows and a pair of the thin arrows indicate the direction of rupture and the slip sense, respectively. A fault zone is shaded. Figure modified after Ando and Yamashita (2007).

processes for nucleation, dynamic propagation, and stop of earthquake rupture, Geophys. Res., Lett., 19, 1189-1192. Shibazaki, B., and Matsu'ura, M., 1998,