トレースノルム最小化による行列補完に基づく 拡散性雑音に頑健な複数音源定位 *

☆伊藤 信貴(東大院情報理工) 、エマニュエル・ヴァンソン(INRIA) 、 小野 順貴(東大院情報理工) 、レミ・グリボンヴァル(INRIA) 、嵯峨山 茂樹 (東大院情報理工) 

1 はじめに 我々は、様々な方向から到来する拡散性雑音に頑健 な複数音源定位法を研究している。拡散性雑音の共分 散行列の部分空間モデルと、方向性信号の共分散行列 の低ランク性を用いて、雑音の寄与を含む観測共分 散行列から、方向性信号のノイズフリーな共分散行 列を推定し、これに対して MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) を適用する。論文 [2] では方向性信号 の共分散行列のランクを与えて、最尤法により推定 を行う方法を提案したが、本稿ではトレースノルム の最小化に基づく方法を提案する。 2 背景 2.1 問題設定:拡散性雑音の存在下の複数音源定位 信号を STFT 領域における零平均の確率変数で表 し、τ 、ω でフレーム番号、角周波数を表す。α(τ, ω) のパワースペクトログラム(分散)を φ αα (τ, ω) で表 し、α(τ, ω) の共分散行列を Φ αα (τ, ω) で表す。 M 素子のアレイが拡散性雑音の存在下で、未知の 方位角から水平に平面波として到来する L (L < M ) 個の信号を受信するとする。s l (τ, ω) を l 番目の信号、 x(τ, ω) ∈ C M を観測信号、v(τ, ω) ∈ C M を拡散性雑 音とする。方位角 θ に対応するステアリングベクト ルを d(ω; θ) とし、l 番目の音源の方位角を θ l とする と、観測信号は次のようにモデル化できる。 x(τ, ω) L ∑ l=1 s l (τ, ω)d(ω; θ l ) + v(τ, ω) (1) 音源と雑音、および音源同士が無相関であるとする と、共分散行列について次の関係式が成立する。 Φ xx (τ, ω) = L ∑ l=1 φ s l s l (τ, ω)d l (ω)d H l (ω)+Φ vv (τ, ω) (2) ここで、d l (ω) d(ω; θ l ) である。 本稿の問題設定は、x(τ, ω) が与えられたときに、 {θ l |l = 1, . . . , L} を推定することである。 2.2 MUSIC とその課題 複数音源定位の基本的な手法である MUSIC は、 MUSIC スペクトルと呼ばれる θ の関数 f (ω; θ) 1 V H (ω)d(ω; θ) 2 2 (3) が θ = θ 1 , θ 2 , . . . , θ L でピーク値をとるという性質に 基づく。ここで、V (ω) ∈ C M ×(M -L) は雑音部分空間 N (ω) {α ∈ C M |α H d l (ω) = 0, ∀ l} (4) の正規直交基底を列とする行列である。 f (ω; θ) の計算においては、N (ω) の正確な同定が 重要であるが、拡散性雑音の存在下でこれを正確に 同定することが課題であった。N (ω) は方向性信号の 共分散行列 [式 ( 
から、共分散行列の固有空間に影響しない空間的に 白色な雑音の場合には、観測された共分散行列の最 小固有値に属する固有空間として N (ω) を求めるこ とができる。しかし、共分散行列の固有空間を変える 拡散性雑音の場合には、観測された共分散行列から 直接 N (ω) を正確に同定することは困難である。 3 共分散行列の雑音除去のための提案法 3.1 概要 提案法では、拡散性雑音に対して頑健に複数音源 を定位するために、観測された共分散行列から方向 性信号の共分散行列を復元し、その零空間として同 定された N (ω) に対して MUSIC を適用する。拡散性 雑音に対しては、空間的な無相関性 [1] など、何らか のモデルが仮定できる場合も多い。本研究では、拡散 性雑音に対する従来のモデルの多くが、行列空間内 のある部分空間 V(ω) とみなせることに着目し、観測 された共分散行列を直交補空間 V ⊥ (ω) に射影するこ とにより、方向性信号のノイズフリーな V ⊥ (ω) 成分 を得る。一方、方向性信号の共分散行列の V(ω) 成分 はこのような方法では得られないので、方向性信号 の共分散行列が理想的には低ランクである(ランク が音源数に一致)ことに着目し、低ランク行列の要素 (もしくはそれらの線形結合)の一部分から行列全体 を復元する行列補完と呼ばれる数理的技術を用いて、 方向性信号の共分散行列を推定する。 3.2 拡散性雑音の共分散行列の部分空間モデル [2] 本稿では、拡散性雑音の共分散行列が、M × M エ ルミート行列の全体がなす R 上のベクトル空間 H ⊂ C M ×M の部分空間 V(ω) に属すと仮定する。H には Euclid 内積と Euclid ノルムが付随する。例えば、球 面等方雑音 [3] のように、コヒーレンス行列が既知 [Γ(ω) とする] の雑音の共分散行列は、 V(ω) = {kΓ(ω)|k ∈ R} (5) に属す。このとき、行列 A ∈ H の V(ω) および V ⊥ (ω) への射影演算子は次式で与えられる。 P(ω)[A] = tr(AΓ(ω)) tr(Γ 2 (ω)) Γ(ω) (6) 
P ⊥ (ω)[A] = A -P(ω)[A] (7) 3.3 方向性信号の共分散行列の復元アルゴリズム 推定すべき方向性信号の共分散行列を Θ とすると、 3.1 節に述べたように、下式でモデル化できる。 P ⊥ [Θ] = P ⊥ [Φ xx ] (8) (本節では引数 τ 、ω を省略する。 )上式を満たす Θ は無数に存在するが、ランク関数の凸緩和である [4] トレースノルム(特異値の和) Θ * を用いて min Θ∈Ψ 1 2 P ⊥ [Θ] -P ⊥ [Φ xx ] 2 F + µ Θ * (9) なる最適化問題を定義し、その解として Θ を推定す る。ここで、 • F は Frobenius ノルムであり、Ψ は M × M の半正定値行列全体の集合を表す。 以下にこの最適化問題を解くアルゴリズムを示す。 これは、制約条件が無い場合に対する Toh らのアル ゴリズム [5] を修正して、半正定値制約 Θ ∈ Ψ を伴 う本問題に適用したものである。 • Θ(0) = Θ(-1) = Φ xx ; t (0) = t (-1) = 1 • k = 0, 1, 2, • • • に対し、次を収束条件が満たされ るまで反復する。 -Y (k) = Θ(k) + t (k-1) -1 t (k) ( Θ(k) -Θ(k-1) ) -G (k) = P[Y (k) ] + P ⊥ [Φ xx ] -G (k) の固有値分解を計算する: G (k) = U (k) Λ (k) U (k)H 。但し U (k) はユニタリ。 -Θ(k+1) = U (k) (Λ (k) -µI) + U (k)H 。但し (•) + は行列の負の要素を 0 で置換する演算。 -t (k+1) = 1+ √ 1+4t (k)2 2 4 実環境雑音を用いた実験による性能評価 直径 5 cm の正方形 4 素子アレイを用いて新宿駅構 内で録音した雑音 [6] と、鏡像法 [7] により生成した 目的信号成分を加算して観測信号を得た。目的音声 は ATR 日本語データベース [8] から取った。鏡像法 における幾何学的な条件は下記の通りである。 • 部屋の寸法:9 m×7 m×3 m • アレイ位置:部屋の中央に水平に配置 • 音源数:2 • 音源位置:アレイと同一水平面内、1 m の距離、 方位角 60 • 、330 • 残響時間は 130 ms であった。1 番目のマイクロフォ ンにおける観測信号の SN 比は両音源とも -5 dB と した。信号長は 10 秒、サンプリング周波数は 16 kHz であった。 観測共分散行列から MUSIC スペクトルを計算する 従来法と、推定した信号共分散行列から MUSIC スペ クトルを計算する提案法を比較した。STFT のフレー ム長は 512 点、フレームシフトは 64 点、窓はハミン グ窓とした。Φ xx は x(τ, ω)x H (τ, ω) を全フレームに わたり時間平均して求めた。提案法では、式 (5) の部 分空間 V(ω) を用い、Γ(ω) は球面等方雑音場 [3] に 対するコヒーレンス行列とした。また、アルゴリズム の反復の停止条件は Θ(t) -Θ(t-1) F Θ(t) F < 10 -4 とした。 提案法による方向性信号の共分散行列の推定精度 を確認するため、Fig. 1 に真の方向性信号の共分散行 列に対する相対誤差 •-Θ F Θ F を周波数の関数としてプ ロットする。破線が観測された共分散行列の相対誤 差、実線が推定共分散行列の相対誤差である。提案法 による共分散行列の雑音除去により相対誤差が著し く減少しており、この技術の有効性が確認できた。 Fig. 2 に両手法で計算した平均 MUSIC スペクトル を示す。これは各帯域で得られる MUSIC スペクトル を幾何平均して得られたものである。但し、SN 比の 著しく低い 3 番目の帯域(63 Hz)までは無視し、4 番目以降の帯域を用いて平均を計算した。図中の直線 は音源の真の方位角を示す。従来法(破線)は 60 • の 音源に対応するピークが鈍く、ピーク位置が大きくず れているのに加え、偽のピークも存在する。それに対 し、提案法(実線)は比較的正確な位置に鋭いピーク があり、偽のピークも抑制されていることが分かる。

2 )

 2 の右辺第一項] の零空間に一致する * Diffuse Noise Robust Multiple Source Localization Based on Matrix Completion via Trace Norm Minimization by ITO, Nobutaka (The University of Tokyo), VINCENT, Emmanuel (INRIA), ONO, Nobutaka(The University of Tokyo), GRIBONVAL Rémi (INRIA), and SAGAYAMA, Shigeki (The University of Tokyo)

Fig. 1

 1 Fig. 1 真の方向性信号の共分散行列に対する相対誤 差。破線:観測共分散行列、実線:推定共分散行列。