Mechanika newtonowska punktów materialnych, podobnie jak i inne dział y fizyki teoretycznej, jest teorią opisują cą pewną klasę zjawisk fizycznych przy pomocy odpowiednich modeli matematycznych. Modele te formuł owane są z reguł y w ramach aparatu poję ciowego analizy matematycznej. Tym samym wszystkie wartoś c i dowolnej funkcji liczbowej (wystę pują cej w znanych w mechanice modelach zjawisk) są wielkoś ciam i "tego samego rzę du" tj. należą do tzw. archimedesowych systemów wielkoś ci . Oznacza to, że dla każ dyc h dwóch dodatnich skalarowych wielkoś c i fizycznych a, b, które są porównywalne (tj. a = b lub a < b lub a > b), istnieje zawsze liczba naturalna n taka, że na > b. Tworzenie matematycznych modeli zjawisk uwzglę dniają cych wielkoś c i "róż nyc h rzę dów" wymaga zastosowania bardziej ogólnego aparatu analitycznego, dysponują cego niearchimedesowymi systemami wielkoś ci . Systemy takie spotykamy w tzw. analizie niestandar-dowej, w której prócz liczb rzeczywistych "standardowych" mamy także do czynienia z liczbami "nieskoń czeni e mał ymi" i "nieskoń czeni e wielkimi" co do wartoś c i bezwzglę dnej.

Począ tek rozwoju analizy niestandardowej przypada na rok 1961, w którym został a ogł oszona praca A. ROBINSONA [START_REF] Robinson | Non-standard analysis[END_REF]. Wprawdzie istnienie niearchimedesowych systemów wielkoś c i był o znane już wcześ niej , niemniej dopiero w [START_REF] Robinson | Non-standard analysis[END_REF] wykazano, że mogą być one konstruowane przy pomocy pewnych procedur prowadzą cych do rozszerzenia poję cia liczby rzeczywistej. Peł ny wykł ad podstaw analizy niestandardowej zawiera monografia A. ROBIN SON A [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF] z roku 1966 (por. także opracowanie M. MACHOVERA i J. HIRSCHFEL-DA [START_REF] Machover | Lectures on the Non-Standard Analysis[END_REF] oraz monografię M. DAVIESA [START_REF] Davies | Applied Non-Standard Analysis[END_REF]). Warto nadmienić, że A. Robinson, bę dą cy twórcą niestandardowej analizy, był też współ autorem (wraz z P. J. Kelemenem) pierwszej pracy poś wię cone j zastosowaniu metod analizy niestandardowej w fizyce teoretycznej, [START_REF] Kelemen | The nonstandard A:*f(x) model[END_REF]. Przeglą d prac A. Robinsona na temat niestandardowej analizy zawiera drugi tom opracowania [START_REF] Robinson | Nonstandard Analysis and Philosophy[END_REF]. Szereg prac dotyczą cych róż nyc h zagadnień analizy niestandardowej oraz jej zastosowań moż n a znaleźć w opracowaniach pokonferencyjnych [START_REF]Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability Theory[END_REF][START_REF]Contributions to Non-Standard Analysis[END_REF]. Korzystanie z wielkoś c i "nieskoń czeni e mał ych" lub "nieskoń czeni e duż ych " w mechanice N ewtona punktu materialnego jest fizycznie umotywowane; przykł adowo skokowa zmiana prę dkoś ci punktu materialnego prowadzi do nieskoń czone j wartoś c i przyspieszenia, zderzeniom punktów materialnych towarzyszą nieskoń czon e wartoś c i sił a skończone zmiany pę du, krę tu lub energii mogą zachodzić w nieskoń czeni e mał ych przedział ach czasu. Wprowadzenie do mechaniki niearchimedesowych systemów wielkoś ci , typowych dla analizy niestandardowej, umoż liwi a nadanie wielkoś cio m nieskoń czony m charakteru iloś cioweg o (tj. traktowanie ich tak samo jak liczb skoń czonych ) i gł ę bsze wniknię cie w strukturę wymienionych powyż e j sytuacji fizycznych.

Zasadniczym celem pracy jest sformuł owanie podstaw i opis niektórych zagadnień mechaniki N ewtona (mechaniki skoń czonyc h ukł adów punktów materialnych) przy uż yci u analizy niestandardowej jako aparatu matematycznego teorii. W ramach takiego sformuł owania moż em y tworzyć nowe modele matematyczne zjawisk, które opisuje i bada mechanika. Są to modele nie mają ce znanych odpowiedników w dotychczasowym sformuł owaniu mechaniki N ewtona. W szczególnoś ci , jako przypadek równań mechaniki skończonych lecz "niestandardowych'-' ukł adów punktów materialnych otrzymamy znane równania mechaniki kontinuum. Tym samym analiza niestandardowa jest pomostem mię dzy mechaniką "dyskretną " a mechaniką kontinuum materialnego. Zastosowania analizy niestandardowej w mechanice przedstawione w pracy mają wię c dwojaki charakter; z jednej strony prowadzą do pewnych "standardowych" sformuł owań (analiza niestandardowa jest wtedy stosowana jako metoda), z drugiej strony otrzymujemy relacje, które mogą być wyraż on e wył ą cznie przy wykorzystaniu poję ć niestandardowych (np. relacja mię dzy tensorem naprę ż eni a a oddział ywaniami punktów materialnych).

Przedstawione poniż e j opracowanie skł ada się z trzech rozdział ów. Rozdział pierwszy to wprowadzenie do analizy niestandardowej, korzystają ce z cytowanych już monografii [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF][START_REF] Davies | Applied Non-Standard Analysis[END_REF] oraz pierwszych ustę pów opracowania W. A. J. LUXEMBURGA [START_REF] Luxemburg | A General Theory of Monads, Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability Theory[END_REF]. D rugi rozdział podaje podstawy mechaniki N ewtona jako fragmenty pewnego systemu relacyjnego i omawia niestandardowe rozszerzenie tego systemu. Prowadzi to do niestan-np. zbiory utworzone z elementów indywiduowych i zbiorów tych elementów. D la każ deg o reTir Ą=0, zbiór B T nie musi zawierać wszystkich relacji typu T; W szczególnoś c i może być zbiorem pustym. System relacyjny zawierają c y wszystkie relacje wszystkich typów nazwiemy zupeł nym; w systemie takim dla każ deg o r -(T, , ..., T") mamy B Ti x ... -x£ 7 "eJ? (Ti Tj|) , n> 1.

N iech 9Jt = C8 t ) T er bę dzi e danym (niezupeł nym) systemem relacyjnym oraz niech (A T )reT bę dzi e zupeł nym systemem relacyjnym takim, że A o = B o . Relacje należ ą c e do A T \ B t , x e T, nazwiemy wtedy zewnę trznym i (wzglę de m W) a relacje należ ą c e do B rrelacjami wewnę trznym i (wzglę de m 9JZ). Zbiór wszystkich relacji wewnę trznyc h wszystkich typów oznaczymy przez M. Z definicji A 0 \ B 0 = 0 <j-wszystkie relacje typu zero są wewnę trzne .

Celem opisu systemu relacyjnego W wprowadzamy pewien ję zy k formalny L. Ję zy k ten zawiera, mię dz y innymi, zbiór symboli C, zwanych stał ymi. Wprowadzając dowolne lecz ustalone i wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru M na pewien podzbiór zbioru C, stwierdzamy, że każ d a relacja systemu S0t jest oznaczona przy pomocy pewnej stał ej ję zyk a L. Prócz stał ych ję zy k formalny zawiera też inne symbole (takie jak funktory zdaniotwórcze, kwantyfikatory, nawiasy, symbole do oznaczania zmiennych, etc.) przy pomocy których, w pewien okreś lon y sposób, budujemy formuł y ję zyk a L. Spoś ró d róż nyc h formuł ję zyk a L interesować nas dalej bę d ą jedynie formuł y, które dotyczą systemu relacyjnego tyli; nazwiemy je zdaniami okreś lonym i w systemie S0t. Każ d a taka formuł a zawierać może więc jedynie te stał e ję zyk a L, które oznaczają pewne relacje systemu 9(R; ponadto wszystkie symbole formuł y oznaczają c e zmienne (jeś l i wystę pują ) muszą być związane kwantyfikatorami. Każ d e zdanie okreś lon e w systemie SOZ może być w tym systemie prawdziwe lub fał szywe.

W dalszym cią g u zał oż ymy , że dany jest pewien zupeł ny system relacyjny SOi = (Ą .) re r oraz zbiór zdań ję zyk a L prawdziwych w tym systemie. Zbiór ten oznaczymy przez K, nazywając system S01 modelem zbioru zdań K.

1.2. Modele niestandardowe. N iech teraz *9K = (*B r ) zeT bę dzi e systemem relacyjnym róż ny m od 9JJ, którego zbiór wszystkich relacji *M został wzajemnie jednoznacznie odwzorowany na pewien podzbiór zbioru C stał ych ję zyk a formalnego L (tj. ję zyk a wprowadzonego poprzednio do opisu systemu SOt). Jeż el i każ d e zdanie prawdziwe w W jest jednocześ ni e prawdziwe w *33ł to system relacyjny *2)Z nazwiemy niestandardowym modelem zbioru zdań K 2) . Ł atwo zauważ yć , że zbiór relacji M moż n a zanurzyć w *M; każ d y bowiem element w M jest oznaczony przy pomocy pewnej stał ej ję zyk a formalnego L, która jednocześ ni e oznacza pewien element w *M. Relacje systemu *Stft, które są oznaczone tymi samymi stał ymi co pewne relacje systemu $0?, bę dziem y nazywać standardowymi. W dalszym cią g u zbiór relacji standardowych systemu *9Ji bę dziem y oznaczać symbolem M, tj. symbolem oznaczają cy m zbiór relacji systemu 9JL Podobnie przez B T oznaczymy również zbiór relacji standardowych typu T, bę dą c y podzbiorem zbioru *5 T , Taka niejednoznaczność oznaczeń nie prowadzi do nieporozumień, gdyż zasadniczym przedmiotem rozważ a ń jest dalej system relacyjny *2ft. Zachodzi jednak pytanie, czy system *9K zawiera także relacje nie standardowe. Pozytywna odpowiedź na to pytanie

Z)

Podobnie każ d e zdanie prawdziwe w *5D l i okreś lon e w W. jest także prawdziwe w 9JI.

jest zwią zan a z poję cie m tzw. relacji współ bież nyc h w systemie SOI. Relację (R)eB z , gdzie r = (t l; r 2 ), nazywamy współ bież n ą (jest to więc relacja binarna) gdy dla każ deg o skoń czoneg o cią g u elementów a u a 2 , • • • , a," e dom(i?) istnieje element beran(R) 3) taki, że (a lt b) e (R), (a 2 , b) e (R), ..., (a"" b) e (ii). Każ de j relacji współ bież ne j w SOI odpowiada relacja standardowa (*i?) w *SOl (oznaczona w ję zyk u L są samą stał ą )

. Moż n a wykazać, że istnieje element c e ran (*M) speł niają c y warunek: (*«, c) e (R) dla każ deg o *fl G dom (i?). N ie uzasadniając powyż szeg o stwierdzenia (por. np. [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF]) zauważ my , że relacja =£ ("nie równa się ") , której dziedziną i przeciwdziedziną jest dowolny nieskończony zbiór B Tl , jest relacją współ bież n ą typu r = (T X , TJ W systemie relacyjnym SOI. Tym samym istnieje element c e *B Zi taki, że *a ^ c dla każ deg o *a e B Ti . Element c jest więc niestandardową relacją typu r t w *S0I. Wykazuje się takż e , że system relacyjny *S0ł , który nazwiemy rozszerzeniem zupeł nego systemu SOI, jest niezupeł ny. Tym samym bę dziem y mieć dalej do czynienia z relacjami standardowymi (które są zawsze wewnę trzne) , z relacjami wewnę trznym i niestandardowami oraz z relacjami zewnę trznym i (nie należ ącymi do *M lecz należ ą cym i do pewnego zupeł nego systemu relacyjnego, w którym *.fl 0 jest zbiorem elementów indywiduowych). W szczególnoś c i każ d y nieskoń czon y zbiór B r jest relacją zewnę trzn ą typu (T) (por. [START_REF] Robinson | Nonstandard Analysis and Philosophy[END_REF], s. 378).

W dwóch nastę pnyc h podrozdział ach pracy podamy dwa proste przykł ady ilustrują c e rozważ ani a ogólne naszkicowane powyż ej . Zgodnie z tymi rozważ aniam i bę dziem y zakł adać, ż e :

1° dany jest pewien zupeł ny system relacyjny $01 = (B r ) reT , w którym zbiór B o elementów indywiduowych jest nieskoń czony , wraz ze zbiorem zdań K prawdziwych w tym systemie (mówiąc poglą dowo , jest to zbiór zdań "opisują cych " system SOI),

2° istnieje system relacyjny niezupeł ny *9K = (*B T ) rer , bę dą c y rozszerzeniem systemu "M (tj. B T c *B r dla każ deg o r e T), "opisywany" tym samym zbiorem zdań K co system W; każ d e zdanie prawdziwe w 9ft jest więc także prawdziwe w *$ft (jednakże przy zastrzeż eniu , że dotyczy ono wył ą czni e relacji wewnę trznyc h wzglę de m *S0l!), 3° w systemie *9ft = Q"B z ) rsT istnieją relacje wewnę trzn e niestandardowe (tj. należ ą c e do *B T \ B t ), których istnienie wykazujemy tworząc relacje współ bież n e w SOt. D owolną procedurę analityczną w ramach której wprowadzamy niestandardowy model *!0ł zbioru zdań K (prawdziwych w pewnym systemie relacyjnym W) nazwiemy dalej analizą niestandardową.

1.3. Liczby rzeczywiste w analizie niestandardowej. Jako system relacyjny SOI = (B T ) r£T przyjmiemy teraz system zupeł ny w którym zbiorem B o elementów indywiduowych jest zbiór R liczb rzeczywistych. Przedmiotem rozważ a ń bę dzi e rozszerzenie *SOt = (*-fi T )rer systemu SOI. Oznaczając *R s *B 0 , również elementy zbioru *i? (tj. elementy indywiduowe systemu *9Jl) nazwiemy liczbami rzeczywistymi. Zgodnie z przyję tym i poprzednio zał oż eniam i mamy R c *R, gdzie R jest teraz zbiorem standardowych liczb rzeczywistych. Są to liczby oznaczane w ję zyk u L tymi samymi stał ymi co liczby rzeczywiste w SOI. Ponieważ relacja < ("mniejszy niż "

) w zbiorze R jest współ bież na , przeto istnieje liczba a e *R taka, że r < a dla każ deg o r e R. Tym samym istnieje liczba rzeczywista wię ksz a od wszystkich standardowych liczb rzeczywistych. Podobnie wykazujemy, że istnieje 3) Symbole dom (i?), ran (R), oznaczają odpowiednio dziedzinę i przeciwdziedzinę relacji (R).

liczba rzeczywista mniejsza od wszystkich standardowych liczb rzeczywistych. Liczby takie nazwiemy nieskoń czonymi . W zbiorze *R są okreś lon e wszystkie te relacje, które są okreś lon e dla znanych w analizie liczb rzeczywistych. Są to relacje standardowe systemu *9K. Tym samym dowolne elementy zbioru *R moż n a dodawać, mnoż yć , i dzielić (za wyją tkiem dzielenia przez zero) otrzymują c elementy zbioru *R. W szczególnoś c i istnieje liczba e = a" 1 , gdzie a jest liczbą nieskoń czoną ; liczbę taką nazwiemy infinitezymalną . Łatwo wykazać, że istnieje nieskoń czeni e wiele liczb nieskoń czonyc h (zbiór *R nie jest ograniczony gdyż nie jest ograniczony zbiór "klasycznych" liczb rzeczywistych) a wię c istnieje także nieskoń czeni e wiele liczb infinitezymalnych. Zbiór wszystkich liczb infinitezymalnych oznaczymy przez fi(0), ,M(0) C *R. Jeś l i a jest dowolną lecz ustaloną liczbą rzeczywistą to przez / x(a) oznaczymy zbiór wszystkich liczb postaci a+e, gdzie e jest dowolną liczbą infinitezymalną ; zbiór taki nazywamy monadą liczby a. Liczbę rzeczywistą , która nie jest nieskoń czona , nazwiemy skoń czoną . Moż n a wykazać, że każ d a skoń czon a liczba / * daje się jednoznacznie przedstawić w postaci sumy / • -°r + e, gdzie °r e R, • B 6 fj,(O). Liczbę standardową °r nazywamy wtedy czę ś ci ą standardową liczby skoń czone j r. Łatwo wykazać, że nie istnieje w ż adne j monadzie w *R liczba najmniejsza lub najwię ksza. Podobnie liczby takie nie istnieją w zbiorach liczb nieskoń czonyc h dodatnich i ujemnych.

Zbiór liczb naturalnych jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, jest okreś lon y pewną relacją typu (0) w 2ft. Ta sama relacja w *S0t (bę dą ca relacją standardową ) okreś l a w *R podzbiór *N, którego elementy nazywamy w dalszym cią gu liczbami naturalnymi. Oznaczmy ponadto przez iV zbiór liczb naturalnych w *N, którego elementy są oznaczane (w ję zyku L) przy pomocy tych samych stał ych co znane liczby naturalne. Elementy zbioru N, Nc *JV, nazwiemy standardowymi liczbami naturalnymi. Łatwo wykazać, że wszystkie niestandardowe liczby naturalne są nieskoń czone . Każ d y zbiór postaci {a ls ...,a"}, a k e*B T , nazwiemy skoń czony m nawet, gdy n jest nieskoń czon ą liczbą naturalną . G dy n jest skończoną (a wię c standardową ) liczbą naturalną , cią g ten nazwiemy S -skoń czony m (standardowo skoń czonym) . Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich jest systemem niearchimedesowym w tym sensie, że nie dla każ dyc h a, be *i?

+ istnieje liczba naturalna skoń czon a n taka, że na > b (liczba n, wystę pują ca w definicji archimedesowego systemu wielkoś ci , por. Wstę p, jest skoń czon ą liczbą naturalną ).

W powyż szyc h rozważ aniac h pojawiają się w sposób naturalny takie podzbiory zbioru *R jak fi(a), *R\ R, R, *N\ N, N. Jako zbiory elementów indywidualnych (relacji typu 0) są to wię c relacje typu (0). Zachodzi pytanie, czy relacje te należą do *M, tj. czy są relacjami wewnę trznymi. Celem wykazania, że relacja *N\ N jest zewnę trzna (tj. że zbiór nieskoń czonyc h liczb naturalnych nie należy do *B m ) weź m y pod uwagę zdanie "każ d y nie pusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy". Zdanie to, jako prawdziwe w systemie relacyjnym S01 (dla B o = R) jest także prawdziwe w jego rozszerzeniu *S0l (gdzie *B O -*R). Z drugiej jednakże strony nie istnieje najmniejsza nieskoń czon a liczba naturalna (gdyby n był o taką liczbą , to n -1 był oby liczbą skoń czoną , co nie jest prawdą ). Tym samym zbiór *N\ N jest relacją zewnę trzną . Podobnie zewnę trznymi są wszystkie powyż e j wymienione podzbiory zbioru *R, D owody powyż szyc h twierdzeń wraz z dokł adnym omówieniem wprowadzonych poję ć a także niestandardowe uję cie rachunku róż niczkoweg o i cał kowego jest tematem trzeciego rozdział u monografii Robinsona [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF].

1.4. Przestrzenie metryczne w analizie niestandardowej. Przestrzenią metryczną nazywamy parę (T, Q) gdzie T jest pewną przestrzenią punktową ag: TxT-* R jest funkcją, która każ de j parze punktów x, yeT przyporzą dkowuj e nieujemną liczbę Q{x,y) (odległ ość punktów x,y), przy czym dla dowolnych x, y, zeT mamy: 1° Q(X,)>) = g(y, x), 2°Q (X, y) ~ 0 tylko gdy x = y, 3° Q(x,y) + Q(y, z) > Q(X S Z). Celem zastosowania analizy niestandardowej do teorii przestrzeni metrycznych wprowadzimy zupeł ny system relacyjny 9J£ = (B r ) reT w którym 5"c B o i R <= B o , tj. w którym przestrzeń T i zbiór R są relacjami typu (0). Relacje te są standardowymi relacjami w rozszerzeniu *S0l = (*-B r ) t6 r systemu flK. Tym samym *T<= *B 0 , *R <= *B 0 , gdzie wł asnoś c i zbioru *R liczb rzeczywistych został y omówione w poprzednim rozdziale. Zbiór standardowych punktów przestrzeni *T oznaczymy przez T. Monadą dowolnego punktu x e*T nazwiemy zbiór fi(x) punktów y takich, że g(x,y) jest liczbą infinitezymalną. G alaktyką dowolnego punktu xe*T nazwiemy zbiór G(x) punktów y, takich, że Q(X, y) jest liczbą skoń czoną ; wszystkie punkty standardowe należą oczywiś cie do jednej galaktyki, którą nazywamy gł ówną.

Topologię w przestrzeni *T t której bazą jest zbiór wszystkich kul B(x,r); = = {y\ g(x, y) < / '}, xe*T, re*R + , nazywamy g-topologią. W przestrzeni *T wprowadzimy także topologię, której bazą bę dzi e zbiór tzw. S-kul, S(x, r) := {y\ °Q(x,y) < r}, x e *T, r e R + , o standardowych promieniach r (symbol °Q(x,y) oznacza czę ś ć standardową skoń czone j odległ oś c i Q(X, y) dowolnego punktu y kuli od jej ś rodk a x); wprowadzoną topologię nazywamy »S-topologią (standardową topologią )

. Topologia ta odgrywa waż n ą rolę w zastosowaniach analizy niestandardowej w mechanice. Korzystając z 5-topologii, dla dowolnego (wewnę trzneg o lub zewnę trznego ) podzbioru D, Dc *T, wprowadzimy poję ci a jego S-wnę trza , .S-domknię ci a oraz 5-brzegu. D la zbiorów wewnę trznyc h moż n a wykazać, że zbiory: istnieje n 0 eN takie, że Q{X, X") < e dla wszystkich n > n 0 ; w powyż sze j definicji e, n 0 są liczbami standardowymi. Ł atwo zauważ yć , że gdy x jest F-granicą cią g u (x") to każ d y punkt należ ą c y do monady [i(x) jest także F-granicą tego cią gu . W czwartym rozdziale tej pracy bę dziem y korzystać z nastę pują ceg o twierdzenia: eż el i x jest F-granicą cią g u wewnę trzneg o (x")" E * N w *T, to istnieje nieskoń czon a liczba naturalna X, X e *N\ N taka, że odległ ość Q(X, X") jest infinitezymalną dla wszystkich nieskoń czonyc h m speł niają cyc h warunek m < X. Tym samym każ d y punkt x m gdzie m < X i m e *N\ N jest F-granicą cią g u wewnę trzneg o (x")" e » N . Szersze omówienie wprowadzonych tu poję ć oraz dowody powyż szyc h twierdzeń moż n a znaleźć w czwartym rozdziale monografii A. ROBINSONA [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF].

S-intD := {X\/ J,(X) C D], .S-CIOSJD := {x\ / Ą x) n D j= <j)} oraz i'-boundD := {x\ (t(x)r\ D ^ 0A/ i(x)n (*7\ D ) ^ 0}
2. N iestandardowy model mechaniki N ewtona.

2.1. Analiza niestandardowa a mechanika. Analiza niestandardowa w matematyce znajduje zastosowanie jako metoda dowodzenia "standardowych" twierdzeń; celem wykazania prawdziwoś c i pewnego zdania w systemie relacyjnym 9)1 = (B T ) reT wystarczy wykazać jego prawdziwość w systemie rozszerzonym *93t = (*.8 r ) Te r co zwykle zdecydowanie upraszcza dowód. N iezależ ni e od znaczenia analizy niestandardowej jako metody dowodzenia "standardowych" twierdzeń, przedmiotem badań mogą być rozszerzone systemy *9K. Traktują c mechanikę N ewtona jako pewien fragment matematyki sformuł ujmy ją w postaci zbioru zdań prawdziwych w pewnym zupeł nym systemie relacyjnym W = = {B X ) ZS T-Tym samym relacje mechaniki N ewtona zanurzymy w zbiorze M relacji systemu 9Jt. Poję cia pierwotne mechaniki bę dą odgrywać rolę elementów indywiduowych (relacji typu zero) a prawa i twierdzenia mechaniki bę dą zdaniami prawdziwymi w systemie relacyjnym 9JI. Wprowadzają c nastę pnie rozszerzenie *SR = (*2? r ) re r systemu W bę dziemy rozpatrywać mechanikę w ramach analizy niestandardowej w podobny sposób, jak w poprzednim rozdziale w ramach analizy niestandardowej był y badane niektóre elementy teorii przestrzeni metrycznych. Wszystkie prawa i twierdzenia mechaniki nic zmieniają przy tym swej postaci bę dą c zdaniami prawdziwymi w systemie rozszerzonym *9Jt. Mówią c poglą dowo, procedura taka nie zmienia treś c i samej mechaniki lecz wyraża tą treść przy pomocy bardziej bogatego aparatu analitycznego. N awią zują c do uwag przedstawionych we wstę pie ł atwo zauważ yć , że zastosowanie analizy niestandardowej pozwoli na jednoczesne rozpatrywanie w mechanice wielkoś c i "róż neg o rzę du" (skoń czonyc h i nieskoń czonych) ; konsekwencją tego bę dzie, mię dzy innymi, nowa interpretacja wię zów w mechanice N ewtona oraz moż liwoś ć otrzymania "standardowych" równań mechaniki kontinuum jako przypadku szczególnego mechaniki skoń czonyc h (lecz niestandai-dowych) ukł adów punktów materialnych.

Przydatność mechaniki do opisu pewnych zjawisk przyrody rozstrzyga doś wiadczenie . Tym samym wartoś cio m liczbowym uzyskanym z teorii winny odpowiadać zbliż on e do nich wartoś c i liczbowe uzyskane w rezultacie pomiarów badanego zjawiska. Ponieważ wartoś c i pomiarowe są liczbami wymiernymi "standardowymi", przeto tylko liczby standardowe, uzyskane z teorii korzystają cej z aparatu niestandardowej analizy, mogą sł uż y ć za podstawę weryfikowania przydatnoś c i teorii do opisu badanego zjawiska. N ie oznacza to jednak, że wielkoś c i niestandardowe, wystę pują ce w niestandardowym modelu mechaniki N ewtona, nie mają jasnej interpretacji fizycznej. Jak wykaż em y w dalszych rozważ aniach , zastosowanie aparatu analizy niestandardowej umoż liwi a gł ę bszy i peł niejszy opis analityczny pewnej klasy zjawisk fizycznych, dostarczają c nowych modeli matematycznych tych zjawisk. 4 Wymienione powyż e j elementy indywiduowe p, v, P, f systemu 501 interpretujemy jako poję cia pierwotne mechaniki; ich zbiory E, V, Ji, F oraz zbiór R są relacjami typu (0), tj. E, V, J4,F,RE A m , • Zgodnie ze znanymi aksjomatami odnoś ni e czasu i przestrzeni w mechanice N ewtona (por. np. [START_REF] Trautman | Teoria wzglę dnoś ci[END_REF]) wprowadzimy jako relację typu (0) podzbiór S, Sc V, który interpretujemy jako trójwymiarową przestrzeń wektorową translacji czystoprzestrzennych. Ponadto wprowadzimy relację typu (0, 0, 0), daną funkcją g: ExV -* E przyjmują c, że V dział a w E jako abelowa grupa translacji, tranzytywnie i swobodnie. Podzbiory E p m {p} + S w E interpretujemy, dla dowolnego p e E, jako przestrzenie zdarzeń równoczesnych ze zdarzeniem p (przestrzenie zdarzeń równoczesnych). Wektory należ ą c e do V\ S nazywamy wektorami czasowymi.

W mechanice N ewtona moż em y posł ugiwać się róż nym i ukł adami jednostek fizycznych przy pomocy których wyraż am y dł ugoś c i przedział ów czasowych, odległ oś c i czystoprzestrzenne, wielkoś c i sił oraz masy punktów materialnych. W zwią zku z tym wyróż nim y nastę pują ce zbiory relacji:

1° Zbiór T e A( (OtO )), gdzie elementami zbioru Tsą formy liniowe T: K~> R, speł niają ce warunek Kerr = 5* (tj. r{u) -0 dla każ deg o x e Toraz u e S) przy czym dla każ de j pary r 1} r 2 eT istnieje © e R, 0 # 0, takie, że x x -0z 2 . Zbiór T nazwiemy przestrzenią form czasowych a r(p -q) nazwiemy odległ oś ci ą zdarzeń p, q e E w formie czasowej T, XBT.

2° Zbiór H e / 4( (O , o ,o))> gdzie elementami zbioru H są iloczyny skalarowe h: SxS -*• R, przy czym dla każ de j pary h x , h 2 e H istnieje s e R + takie, że h t -s 2 h 2 S) . D owolny element h, he H, nadaje przestrzeniom zdarzeń równoczesnych E p strukturę przestrzeni *' Zauważ m y takż e , że ograniczenie wielkoś c i stosowanych w teorii fizycznej do wielkoś c i "pomiarowych", które są liczbami wymiernymi, oznaczał oby rezygnację nie tylko z aparatu analizy niestandardowej lecz także z klasycznego rachunku róż niczkowego . 5) Zmiana iloczynu skalarowego h\ -> h 2 nie zmienia ką tów mię dzy dowolnymi wektorami u, WGS lecz jedynie ich dł ugoś ć :

lh(u, W) h 2 {u, w) u, u)hi(w, w) ~\ / h 2 (ii, u)h 2 (w, w) hi{u, u) -> h 2 (u, n).
metrycznych (E P ,Q); liczbę q(x,y) = \ / h(x-y,x-y),

x,ysE p , nazwiemy odległ oś ci ą zdarzeń równoczesnych x, y e E p w metryce okreś lone j iloczynem skalarowym h, h e H.

3° Zbiór <J>eA w ,o,o-», gdzie elementami zbioru 0 są iloczyny skalarowe 95: Fx F-* R, przy czym dla każ de j pary q> t , <p 2 e $ istnieje <xeR + takie, że 9^ = oup 2 . Iloczyn ten okreś l a ką ty mię dzy sił ami/ !, f 2 e Fniezależ nie od wyboru funkcji <p, natomiast wielkoś c i sił l/ l = ]/ q>{f,f) w zależ noś c i od wyboru funkcji 9?, 9? e 0. 4° Zbiór Af e^a o , 0 )), gdzie elementami zbioru M są odwzorowania m: Jt -> R + , przy czym dla każ de j pary m L ,m 2 eM oraz każ de j pary P, QeJt mamy m 1 (P)/ / m y {Q) -m 2 (P)/ m 2 (Q).

Liczbę m(P) nazywamy masą punktu materialnego dla przyję tej miary m, m e M. D la każ de j pary m 1 ,m 2 e M istnieje / j, > 0 takie, że m^ = = ł*>m 2 .

U kł ad elementów indywiduowych e t e S, a t e F, e 0 e V\ S, P o e Jt taki, że dla przyję tych (T, h, <p, m) e TxHx0xM mamy li(e it ej) = <5 y , 93(fl ; , ay) = d^, r(e o ) = 1, m(P 0 ) = 1 (wyznacza on ortonormalne bazy wektorowe w S i F) nazwiemy ukł adem odniesienia dla (T, h, CJ, m) 6 

h

Przedmiotem rozważ a ń mechaniki są pewne skoń czon e zbiory punktów materialnych, które dalej bę dziemy nazywać ciał ami. Celem wprowadzenia do rozważ a ń poję cia ciał a oznaczymy przez <?/ relację typu ((0)), °U e^( (0 », przyjmują c, że °ll jest podzbiorem zbioru 2 Ji zawierają cym skoń czeni e elementowe podzbiory zbioru Jt. Relację ^ nazwiemy uniwersum materialnym (por. np. [START_REF] Truesdell | A First Course in Rational Continuum Mechanics[END_REF], rozdział 1) a jej elementy nazwiemy ciał ami. Każ d e ciał o w mechanice N ewtona jest wię c skoń czony m zbiorem J 1 punktów materialnych, Ś H = {P u ...,P"}, Ś S e o tt 1) . N iech / , / <= R, bę dzie pewnym przedział em liczbowym. Odwzorowania (2.1) gdzie p 0 jest dowolnym lecz ustalonym zdarzeniem, p 0 e E, a funkcje r k (P, • ), f k (P, • ), speł niają znane warunki regularnoś ci , nazywamy odpowiednio ruchem i rozkł adem sił dla ciał a Ś S w przedziale czasu 7, Ic R.

Wł asnoś c i dowolnego ciał a Sfl, Ś S e "li, opiszemy dalej dwoma aksjomatami. Po pierwsze postulujemy, że istnieją takie ukł ady odniesienia (zwane inercyjnymi) w których relacja mię dzy ruchem ( 6) Wskaź nik i (' , j, k przebiegają tu i dalej cią g I, 2, 3. 7> Zał oż ym y takż e , że dla każ deg o naturalnego n istnieją ciał a jj-elementowe, 3S -{P ly ..., / >"}, oraz, że podzbiory 81 należ ą c e do uniwersum materialnego °ll są rozł ą czne (por. także uwagę po wzorze). w którym/ p(-) oraz f PQ ( • ) =./Q P (-) są znanymi dla każ deg o ciał a SS i dostatecznie regularnymi funkcjami. Jednocześ ni e zakł adamy, że dla dowolnych P,Qe& istnieje cią g. punktów P o = P,Pi, ...,P k = Q należ ą cyc h do @ i taki, że / p,p (ł l (-) & 0 dla i = = 0, 1, ...,/ c-l. Tym samym dla każ dyc h ^^JjE*,^ Ą= @ 2 , mamy Ś B l r\ Ś 8 2 = 0. Wartość funkcji fp(t, -)a k jest wypadkową sił zewnę trznych dział ają cych na punkt P w chwili t, wartość funkcji f PQ (-) jest wielkoś ci ą oddział ywania punktu Q na punkt P w ciele S3.

Równania (2.2) i (2.3) przedstawiają relacje, należ ą c e do systemu W, bę dą ce ograniczeniami narzuconymi na ruch i rozkł ad sił dla dowolnego ciał a !% e "U; po wyrugowaniu funkcji f k (P, t) otrzymamy równania N ewtona tego ciał a. W powyż szy m sformuł owaniu podstaw mechaniki N ewtona (w którym obowią zują zależ noś c i (2.3)) mamy wię c do czynienia wył ą cznie z ciał ami swobodnymi. U niwersum materialne °U jest zbiorem ciał swobodnych. Mechanikę N ewtona tych ciał bę dziemy natomiast traktować jako zbiór zdań pewnego ję zyka formalnego L, prawdziwych w systemie relacyjnym 50t = (A Z ) TET . 2.3. N iestandardowa interpretacja czasoprzestrzeni G alileusza. N iech teraz system relacyjny *S0t = (?A r ) reT bę dzie rozszerzeniem systemu relacyjnego 501 = (A r ) xeT , zawierają cego relacje mechaniki N ewtona dla swobodnych skoń czonyc h ukł adów punktów materialnych. Tym samym zbiór elementów indywiduowych *A 0 zawiera w sobie przestrzeń zdarzeń *E, przestrzeń translacji czasoprzestrzennych *V, przestrzeń materialną *Jt, przestrzeń sił *F oraz zbiór liczb rzeczywistych *R. Wszystkie relacje wymienione w poprzednim podrozdziale są relacjami standardowymi systemu *9Jl i bę dą oznaczane tymi samymi symbolami co poprzednio, poprzedzonymi gwiazdką .

N iestandardowa interpretacja czasoprzestrzeni G alileusza wykorzystuje relacje *E,. *V, g, *T, *H, *R, gdzie odwzorowania g; *Ex *V -* *E oraz %: *V -* *R, h; *Vx *V^>*JR, T e *T, li 6 *H, mają te same wł asnoś c i co poprzednio. Przestrzeń wektorową translacji czysto przestrzennych *S moż em y zdefiniować jako *S : = {u\ t{u) = 0}. Ponieważ dla każ de j pary form czasowych r x , r 2 e *T istnieje a e *R, «^0, takie, że r t = ar 2 , przeto definicja przestrzeni *S nie zależy od wyboru formy r. W zbiorze zdarzeń *E wyróż nim y podzbiór zdarzeń standardowych E, Ecz *E, podobnie w przestrzeni translacji *V wyróżnimy zbiór translacji standardowych V, V<=• *V.

Jeż el i v jest translacją standardową , tj. v e V, to każ d ą translację '» = lv, gdzie A jest dowolną liczbą infinitezymalną , 2.e/ j,(0), nazwiemy translacją infinitezymalną . Zbiór wszystkich translacji infinitezymalnych oznaczymy przez ix v {0); tworzą one podgrupę translacji zbioru zdarzeń *E. Tym samym każ dem u zdarzeniu x e*E moż em y przyporzą dkować monadę tego zdarzenia / *E(X), kł adą c fi E (x) :

= {y\ y = x + 'v, 'vefi v (0)}. D owolną translację postaci v -v Q + 'v, gdzie v 0 e V, 'v e^(0), nazwiemy skoń czoną , oznaczają c przez G v {0
) zbiór tych translacji. N iech x ~ y wtedy i tylko wtedy gdy x-y s G v (0). Relacja ~ jest w *E relacją równoważ noś c i i dzieli przestrzeń zdarzeń *E na rozł ą czne podzbiory G E (x), które nazwiemy galaktykami zdarzeń. G alaktykę zdarzeń do której należą wszystkie zdarzenia standardowe nazwiemy galaktyką gł ówną .

Zbiór / n s (0) = (t v (0)n*S nazwiemy zbiorem przestrzennych translacji infinitezymalnych, natomiast zbiór G s (0) ea G r (0)n*S nazwiemy zbiorem przestrzennych translacji skoń czonych . Zachodzi / i s (0)c G s (0), przy czym każ d ą przestrzenną translację , która nie jest skoń czon a nazwiemy nieskoń czoną . N iech x, y e *E. N iech X ~ y wtedy i tylko wtedy gdy x-ye/ j, s (0).

Relacja ~ jest relacją równoważ noś c i i dzieli zbiór zdarzeń *E na rozł ą czn e podzbiory, które nazwiemy przestrzennymi monadami. Zdarzenia należ ą c e do tej samej przestrzennej monady (są to zdarzenia równoczesne) nazwiemy nieskoń czeni e bliskimi. Podobnie relacja ~, gdzie teraz x ~ y wtedy i tylko wtedy gdy x-y e G s (0), dzieli zbiór *E na rozł ą czn e podzbiory, które nazwiemy przestrzennymi galaktykami. Zdarzenia należ ą c e do tej samej przestrzennej galaktyki (są to także zdarzenia równoczesne) nazwiemy skoń czeni e przestrzennie odległ ymi. Zdarzenia równoczesne należ ą c e do różnych przestrzennych galaktyk nazwiemy nieskoń czeni e przestrzennie odległ ymi. N iech r, h bę d ą dowolnymi lecz ustalonymi elementami standardowymi z *T, *H, odpowiednio, tj. niech T e T, h e H. Wtedy zdarzenia x, y e *E są prawie równoczesne gdy r(x-y) e fi(0), natomiast są one skoń czeni e odległ e w czasie gdy r(x~y) e G(0). Podobnie zdarzenia równoczesne x, y e *E należą do jednej przestrzennej monady gdy h{x-y, x-y) e € fi(0) natomiast należą do tej samej przestrzennej galaktyki gdy h(x-y,x-y)eG(0). Powyż sz e warunki są konieczne i wystarczają ce. Oznaczają c przez g(x, y) = \ fh(x-y, x-y) odległ ość zdarzeń równoczesnych x, y, mamy Q{X, y) e JJL{0) dla zdarzeń równoczesnych należ ą cyc h do tej samej monady (x,y są wtedy zdarzeniami nieskoń czeni e bliskimi) oraz Q{X, y) e G(0) dla zdarzeń równoczesnych należ ą cyc h do tej samej galaktyki (x, y są wtedy zdarzeniami skoń czeni e przestrzennie odległ ymi).

Oznaczmy przez °r(v) i °h(u l , u 2 ) czę ś c i standardowe liczb r(v), h(u t , u 2 ) dla dowolnych v, u t , « 2 G G v (0). Odwzorowania °r: G v {0) -+ R, °h : G v {0) x G v (0) -> R, nazwiemy odpowiednio S-miarą czasową i S-miarą przestrzenną . 8 ' 5-miara czasowa przyporzą dkowuje każ de j parze zdarzeń (x, y) skoń czeni e odległ ych w czasie, y e G E {*E X ), liczbę standardową °r(y-x) > którą nazwiemy S-upł ywem czasu od zdarzenia x do zdarzenia y mierzonym w T. jS-upł yw czasu pomię dzy zdarzeniami prawie równoczesnymi jest równy zero. S-miara przestrzenna przyporzą dkowuje każ dy m dwóm zdarzeniom skoń czeni e przestrzennie odległ ym (a wię c równoczesnym) liczbę standardową °Q(X, y) = \ / °h(y-x, y-x), którą nazwiemy 5-odległ oś ci ą przestrzenną tych zdarzeń mierzoną w h. S-odległ ość zdarzeń nieskoń czeni e bliskich jest równa zeru. D la zdarzeń nieskoń czeni e odległ ych w czasie 5-upł yw czasu nie jest okreś lony , podobnie jak dla zdarzeń nieskoń czeni e przestrzennie odległ ych nie jest okreś lon a ich ^-odległ oś ć . Zbiory S-miar czasowych i przestrzennych oznaczymy odpowiednio przez °T, °H. D la każ de j pary °rl , °r2 e°T istnieje niezerowa liczba standardowa a, taka, że °rl = «°T 2 . Podobnie dla każ de j pary °hi , °h2 e °H istnieje dodatnia liczba standardowa / ? taka, że °h1 = fi°h 2 . Zgodnie z wł asnoś ciam i ^-miar °r, °h, zdarzenia prawie równoczesne bę dziemy interpretować jako zdarzenia, których nie moż n a rozróż ni ć przy pomocy bę dą cych do naszej 8) Litera "5"' oznacza, że wartoś c i tych form są liczbami standardowymi. dyspozycji ś rodkó w pomiaru czasu; podobnie zdarzenia nieskoń czeni e bliskie i równoczesne interpretujemy jako zdarzenia, których nie moż n a rozróż ni ć przy pomocy stoją cyc h do naszej dyspozycji ś rodkó w pomiaru odległ oś ci . Zdarzenia nieskoń czeni e odległ e w czasie (nieskoń czeni e odległ e w przestrzeni) bę dziem y natomiast interpretować jako zdarzenia, upł yw czasu (odległ oś ć ) mię dz y którymi, z uwagi na ograniczoność ś rodkó w pomiarowych, również nie podlega pomiarowi. Tym samym, korzystając z aparatu analizy niestandardowej, moż em y mówić o pewnej skali rozpatrywanego zjawiska, rozróż niają c w nim wielkoś c i "róż neg o rzę du" . W powyż szyc h rozważ aniac h formy T, h (na podstawie których utworzyliś m y S-miary T°, h°) był y dowolne lecz standardowe, r e Te *T, he He *H. Celem opisu przy pomocy liczb standardowych upł ywów czasu i odległ oś c i "nieskoń czeni e mał ych" i "nieskoń czeni e wielkich", należy wprowadzić odpowiednie niestandardowe formy czasowe TE*2\ r i przestrzenne he*H\ H; przypadki takie bę d ą rozpatrzone w osobnej pracy. drugiego prawa dynamiki N ewtona, przy czym wystę pują ce w (2.2) funkcje są teraz wewnę trzne lecz nie koniecznie standardowe. Rozpatrują c wył ą cznie ciał a swobodne (uniwersum materialne * 6 U skł ada się tylko z takich ciał , por. poprzedni podrozdział ) przyjmiemy, że wypadkowe sił y dział ają ce na punkty materialne ciał a są okreś lon e wyraż enie m postaci (2.3). Tym samym przyjmiemy, że

(2.5) m(P)Y k (P, t) = h{t, r{P, t), i'(P, t)) + tel, gdzie fp(-), /PQ(-) są znanymi, dostatecznie regularnymi, funkcjami wewnę trznymi, przy czym obowią zują nadal uwagi wymienione po wzorze (2.3). Ukł ad 3/ z równań (2.5) (gdyż k = 1,2,2, oraz S$ = {P V , ..., P,,}), który nazwiemy równaniami ruchu, jest ukł adem równań róż niczkowyc h zwyczajnych dla 3n funkcji wewnę trznych r k (P, • ) : / -» *i?, okreś lają cyc h ruch ciał a SB z uniwersum materialnego *<?/ , SS e *%. Wszystkie funkcje wystę pują ce w (2.5) mogą przyjmować dowolne wartoś c i z rozszerzonego (niearchimedesowego) zbioru liczb rzeczywistych, tj. mogą przyjmować także wartoś c i infinitezymalne i nieskoń czone . Liczba n punktów materialnych ciał a 88 może być ponadto liczbą nieskoń czoną , n e *N\ N.

Równania ruchu (2.5) przedstawiają pewną relację należ ą c ą do systemu relacyjnego *9Jł = (*A r ) reTl tj. relację wewnę trzną 'wzglę dem *SH l. Tym samym wszystkie funkcje wystę pują ce w (2.5) są wewnę trzne (por. [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF], s. 49). Relacja ta nie jest nowym postulatem mechaniki N ewtona (dla swobodnych ukł adów punktów materialnych) lecz jest niestandardową interpretacją równań N ewtona tj. postacią równań N ewtona w systemie rozszerzonym *2R. Traktują c bowiem wszystkie postulaty mechaniki N ewtona jako zdania ję zyka formalnego L prawdziwe w systemie relacyjnym zupeł nym 9K = (A r ) rsT i zakł adają c, że system relacyjny *9Jl = (*A r ) reT jest rozszerzeniem niestandardowym systemu SOI, otrzymujemy odrazu prawdziwość tych zdań w systemie *90t. N ależy zauważ yć , że nie zachodzi tu konieczność przedstawiania explicite postulatów mechaniki w postaci pewnych zdań ję zyka formalnego (prawdziwych w 9Ji) lecz waż n a jest jedynie moż liwoś ć takiego przedstawienia (por. [START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF], s. 60). N ależy także pamię tać, że wszystkie znane twierdzenia analizy dotyczą ce ukł adów równań róż niczkowyc h zwyczajnych wynikają cych z (2.2) i (2.3) są nadal prawdziwe dla ukł adów równań róż niczkowyc h okreś lonyc h relacją wewnę trzną postaci (2.5). Twierdzenia te moż n a bowiem sformuł ować w ję zyku formalnym L jako zdania prawdziwe w systemie relacyjnym S0i, tym samym pozostają one również prawdziwe w systemie rozszerzonym *9JL Zapewnia to istnienie rozwią zań ukł adu (2.5) (przy speł nieniu znanych zał oż e ń regularnoś ci ) także w przypadku gdy, funkcje wystę pują ce w (2.5) są wewnę trzne lecz nie są standardowe oraz gdy n jest liczbą nieskoń czoną .

W przypadku szczególnym wszystkie funkcje wystę pują ce w (2.5) mogą być standardowe oraz liczba punktów ciał a może być standardową tj. skoń czon ą liczbą naturalną . Relacja (2.5) jest wtedy relacją standardową (standardowymi równaniami ruchu) tj. odpowiada jej relacja okreś lon a wzorami (2.2), (2.3) należ ą c a do systemu W. Tym samym standar-dowe równania ruchu opisują te same problemy fizyczne, które są opisywane znanymi równaniami mechaniki swobodnych ukł adów punktów materialnych tj. równaniami N ewtona. Aparat analizy niestandardowej nie wnosi wtedy nowych treś c i do mechaniki.

Ciał o SS, dla którego relacja (2.5) jest standardowa (dla "standardowego" inercyjnego ukł adu odniesienia), nazwiemy ciał em standardowym.

Sytuacja ulega zmianie gdy relacja (2.5) jest wewnę trzna lecz nie standardowa, tj. gdy co najmniej jedna z funkcji wystę pują cych w (2.5) jest wewnę trzna lecz nie standardowa.

Równania ruchu (2.5) rozpatrywanego ciał a opisują wtedy pewien problem fizyczny, który nie może być opisany równaniami N ewtona (2.2), (2.3). Ciał o SS, SS e *'%\ ( %J jest wtedy ciał em niestandardowym a równania (2.5) nazwiemy niestandardowymi równaniami ruchu.

Tym samym niestandardowe ciał a stanowią nowy model matematyczny zjawisk fizycznych w ramach mechaniki N ewtona swobodnych ukł adów punktów materialnych.

3. N iestandardowe podejś ci e do poję cia wię zów. 3.2. N iestandardowe podejś ci e do wię zó w zewnę trznych . Wię zam i zewnę trznym i dla ukł adu punktów materialnych nazwiemy takie ograniczenia nakł adane na poł oż eni a i prę dkoś c i punktów materialnych, które są wywoł ane sił ami zewnę trznymi . Poniż e j wykaż emy , że sił y zewnę trzn e dział ają c e na swobodny punkt materialny mogą prowadzić do pewnych ograniczeń dla czę ś c i standardowych wektorów poł oż eni a i prę dkoś c i tego punktu; ograniczenia takie mają więc charakter pewnych "standardowych" wię zów . Wykaż emy , że dla odpowiednio dobranych funkcji t PQ rozpatrywany ukł ad materialny moż n a interpretować jako pewien ukł ad ze "standardowymi" wię zam i wewnę trznymi . W tym celu przyjmiemy, że funkcje t PQ speł niają warunki °D(t PQ ) = Ii, D c (tp Q ) = » [«PQ, PPQI D x {t PQ ) = (a.p Q , p PQ ), gdzie a. PQ , f} PQ są danymi dodatnimi liczbami standardowymi, f} PQ > a P Q . Zał óż m y ponadto, że w przedziale czasu / wszystkie punkty r(P,t),Pe@,teI, znajdują się w gł ównej galaktyce przestrzeni *i? Powyż sz a relacja opisuje pewien standardowy ruch ukł adu.punktów materialnych, poddanego wię zo m wewnę trznym . G dy dla każ de j pary P,Q e3$ mamy b PQ = 0 oraz <x PQ = / 3 PQ , otrzymujemy przypadek szczególny rozpatrywanego ukł adu materialnego, który moż n a nazwać ciał em ^-sztywnym, Mówiąc poglą dowo , jest to ukł ad zachowują c y się jak ciał o sztywne gdy dział ają c e na niego sił y zewnę trzn e są skoń czone . 3.4. U wagi i wnioski. D wa podejś ci a przedstawione powyż e j moż n a ł ą czni e zastosować do jednego ukł adu punktów materialnych (swobodnego i niestandardowego) otrzymując równania ruchu opisują c e pewien ukł ad standardowy lecz nieswobodny (z wię zam i zewnę trznym i i wewnę trznymi) . Z przedstawionego prostego przykł adu zastosowania niestandardowej postaci (2.5) równań ruchu wynika, ż e : 1° Analiza niestandardowa umoż liwi a traktowanie nieswobodnych ukł adów punktów materialnych jako pewnej "aproksymacji" ukł adów swobodnych; "aproksymacja" ta polega jedynie na odpowiednim doborze niektórych funkcji (wewnę trznyc h lecz nie standardowych) wystę pują cyc h w równaniach ruchu ukł adu swobodnego i nie wymaga stosowania ani przejść granicznych, ani dodatkowych postulatów.

2° Analiza niestandardowa daje nową interpretację wię zó w (por. (3.5), (3.6), (3.9), (3.10)), zgodną z ich sensem fizycznym, tj. polegają c ą na zaniedbywaniu wielkoś c i infinitezymalnych jako nie dają cyc h się opisać przy pomocy bę dą cyc h do naszej dyspozycji ś rodkó w pomiarowych. 3° Przy formuł owaniu podstaw mechaniki N ewtona w ramach analizy niestandardowej moż n a ograniczyć się tylko do mechaniki swobodnych ukł adów punktów materialnych (których ruch opisują równania (2.5)), bowiem wię zy nakł adane na "standardowy" ruch ukł adu są rezultatem pewnych zał oż e ń co do sił dział ają cych na punkty materialne ukł adu. D ruga czę ść tego opracowania bę dzie zawierać bardziej zł oż on e przykł ady zastosowań ruchu (2.5) do formuł owania modeli matematycznych rzeczywistych ukł adów materialnych. Mię dzy innymi wykaż emy , że z niestandardowych relacji (2.5) moż na otrzymać standardowe relacje mechaniki kontinuum. U moż liw i to interpretację znanych poję ć mechaniki kontinuum (jak np. gę stość masy, gę stość sił brzegowych i obję toś ciowych , tensor naprę ż enia ) wył ą cznie przy uż yci u poję ć mechaniki N ewtona punktów materialnych. Wykaż em y takż e , że stosowanie róż nyc h ukł adów odniesienia (inercyjnych lecz nie tylko standardowych, por. podrozdział 2.2) do opisu jednego i tego samego ciał a Ś S = {Pi, ..., P n }, ne*N\ N, prowadzi do róż nyc h matematycznych standardowych modeli, tj. jedno ciał o SB może być, w zależ noś c i od przyję tego ukł adu odniesienia, trak-' towane jako ukł ad standardowy cią gł y, ukł ad dyskretny lub nawet jako jeden punkt materialny.

  są kolejno: S-wnę trzem , i'-domknieciem i 5*-brzegiem zbioru wewnę trzneg o D. N iech (x")" s *N bę dzi e dowolnym cią gie m w *T. Punkt x e :| Tnazwiemy F-granicą tego cią g u gdy dla każ deg o e e R +

  N iech D bę dzi e dowolnym podzbiorem w gł ównej galaktyce przestrzeni *T; symbolem °D oznaczymy wtedy podzbiór *Tzawarty w T (tj. zł oż on y wył ą czni e z punktów standardowych) zdefiniowany przez °D := {x\ x e TA/ J,(X)HD ^ 0}. N iech nastę pnie/ : D -+ *R bę dzi e funkcją o dziedzinie D, przyjmują c ą jedynie wartoś c i skoń czon e i taką, że dla każdego x e D mamy/ ()* (x) n D) <= ^ (f(x)). Tym samym dla każ deg o x e D istnieje dokł adnie jeden punkt °x e °D oraz dla każ deg o f(x), x e D, istnieje dokł adnie jedna liczba standardowa y,yeR, dana przez y = °f(x) (tj. bę dą c a czę ś ci ą standardową liczby / (*)) i taka sama dla wszystkich x e/ j,(°x)nD. Przyjmując °y s °f(°x) dla każ deg o °x e°D, zdefiniujemy funkcję °f: °D -*• R. Funkcję tę nazywamy czę ś ci ą standardową funkcji / : D -> *i?, Moż n a wykazać, że gdy funkcja / : D -» *R jest zdefiniowana i S-cią gla (tj. cią gł a w S-topologii) na wewnę trznym zbiorze D, to jej czę ść standardowa °f jest jednostajnie ciągł a na °D. G dy D jest zbiorem wewnę trznym w *T to °D jest zbiorem domknię tym w T.

8 '

 8 Tu i dalej oznaczamy: r s (r 1 , r 2 , r3 ), r = (f 1 , P, P), Q = (r u r 2 ) s ^P T i zakł adamy r{P, t) # r(Q, t) dla każ deg o P # g, teI.^-r 2 , r t -A V V

N

  iech *E X bę dzi e przestrzenią wszystkich zdarzeń równoczesnych ze zdarzeniem x e *E, *E X : = {y\ y = x+u,ue *£}. Każ d y zbiór p E (*E x ): = {y\ y e fi (z), z e *E X }, nazwiemy zbiorem zdarzeń prawie równoczesnych; każ d a para zdarzeń równoczesnych jest więc też parą zdarzeń prawie równoczesnych. Każ d y zbiór G E (*E X ): = {y\ y e G E (z), z e *E X ] nazwiemy zbiorem zdarzeń skoń czeni e odległ ych w czasie. Zdarzenia, które nie są skończenie odległ e w czasie nazwiemy nieskoń czeni e odległ ymi w czasie.

2 . 4 .

 24 N iestandardowa interpretacja równań N ewtona. U niwersum materialne *% jest podzbiorem zbioru T Jl (gdzie *M jest przestrzenią punktów materialnych) zawierają cy m skończenie elementowe rozł ą czn e podzbiory zbioru *Jl zwane ciał ami. Ponadto dla każ deg o me*N istnieje ciał o 38 = {P x , ..., P m }, 38 e *<W , zawierają c e dokł adnie m punktów materialnych. G dy m jest liczbą naturalną nieskoń czoną , m e *N\ N, mamy do czynienia z ciał em niestandardowym (zbiór <% jest wtedy również zbiorem skoń czony m por. 1.3). Rozkł ad masy w ciele 38 opiszemy wykorzystując dowolną, miarę me*M, m : *Jt -> *R + . Oznaczając ten rozkł ad symbolem mes, mamy m@: 3$ B P -> m(P) e *R + , Jeż el i punkt materialny P jest punktem standardowym, P e Ji, to jego masa m(P) wyraż on a w dowolnej standardowej mierze m e Mc *Mjest liczbą standardową; stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. N iech h i <p bę d ą dowolnymi ustalonymi elementami standardowymi odpowiednio w *H, *0 tj. heHc *H, pe&cz *&. N iech ponadto elementy e t e *S, a t e *F, i = 1, 2, 3, tworzą ortonormalne bazy wektorowe odpowiednio w *S, *F, tj. niech h(ei,ej) = <5y, (p(a,-, aj) -<5y. Ruch i rozkł ad sił dla ciał a Ś S w pewnym przedziale czasu / , / <= *R, jest wtedy dany odwzorowaniami postaci (2.1). D la danego zdarzenia p o e*E i wektora e 0 e *V\ *S (o których zał oż ymy , że są standardowe), mamy wtedy Ś Sxl3 (P, t) -> p o + te o + r k (P, t)e k e *E, przy czym funkcje r k (P, • ): / -> *R,f k (P, • ): / -* *R, k -1, 2, 3, są funkcjami wewnę t rznymi (mogą cym i przyjmować takie wartoś c i niestandardowe) speł niają cym i znane warunki regularnoś ci 9 '. N iech teraz ukł ad standardowych elementów indywiduowych e ; e *5, a ( £ *F, e 0 e *V\ *S, P o e Jt, bę dzi e inei'acyjnym ukł adem odniesienia dla standardowych form h, cp, T oraz standardowej funkcji rozkł adu masy 10 '. Obowią zuj e wtedy postać (2.2)9) Aby nie wprowadzać dodatkowych oznaczeń, elementy indywiduowe i relacje należ ą c e do systemu *3Jt, wystę pują c e w (2.4) i w dalszych wzorach, oznaczyliś m y tymi samymi symbolami co relacje należ ą c e do 501 i wystę pują c e w (2.1) -(2.3). 10) Z zał oż eni a tego w ostatnim rozdziale pracy zrezygnujemy, wprowadzając do rozważ a ń także niestandardowe elementy z *H, *&, *T, *M.

3. 1 .

 1 Standardowe reprezentacje funkcji wewnę trznych. Celem nie tylko jakoś cioweg o lecz także iloś cioweg o porównania rezultatów otrzymanych z teorii z wynikami eksperymentu należy funkcjom wewnę trznym wystę pują cym w równaniach ruchu (2.5) przyporzą dkować pewne relacje standardowe. G dy funkcje wewnę trzne, o których mowa, są S-cią gł e to odpowiednie relacje standardowe są funkcjami zwanymi czę ś ciam i standardowymi funkcji wewnę trznych (por.[START_REF] Robinson | Non-Standard Analysis[END_REF], s. 115 oraz podrozdział 1.4 tego opracowania). Te czę ś c i standardowe stanowić mogą podstawę do iloś cioweg o porównania teorii z eksperymentem. Ponieważ funkcje cią gł e wystę pują ce w (2.5) nie muszą być ^-cią gł e (ich czę ś c i standardowe mogą nie istnieć ), przeto należy dysponować bardziej ogólną standardową reprezentacją funkcji wewnę trznych, którą przedstawimy poniż ej .N iech (X, Q X ), (Y, g y ) bę dą danymi przestrzeniami metrycznymi, *X, *Y rozszerzeniami odpowiednio zbiorów X, Y, ova,zy:*X -* *Y--funkcję wewnę trzną cią gł ą okreś lon ą na zbiorze (wewnę trznym) D(ip). W zastosowaniach do mechaniki bę dziemy przyjmować *X = *R'", *Y = *i? fc , oraz zakł adać, że Q X , QY> są znanymi metrykami odległ oś ciowym i w przestrzeniach Euklidesa. Każ de j funkcji ip przyporzą dkujemy standardową multifunkcję S ę :X-+ 2 Y , kł adą c(3• 1) S v (x): ---{y \ y e YAMG Ony|/ i(x)njD (y)] Ą> 0}, gdzie O D( W ): = {x|x eX A[/j,(x)nD(yi)] • £ 0}. Tym samym S v (x) a °(y>[ft(x)nD(ip)]),x e°B(ip). D ziedziną S-efektywną ip nazwiemy podzbiór D e (%p) zbioru 0 D(yi), zł oż on y z punktów x dla których S v (x) i= 0:(3-2) Dfy>): = {x\ x £ °D(y>) A S 9 (X) # $},Funkcję wewnę trzn ą tp:*X-> *Y, cią gł ą i taką, że D e (ip) # 0, nazwiemy wł aś ciwą ; multifunkcję S v bę dziem y nazywać wtedy S-reprezentacją funkcji y>. Jeż el i funkcja ip jest -.S-cią gł a na D(yf) (tj. y)[fi(x)nD(y>)]<= ft[y>(x)] dla każ deg o x e D(f) oraz przyjmuje wartoś c i tylko w gł ównej galaktyce przestrzeni *7 (tj. n[y(x)]nY ^ 0 dla każ deg o x e D(y>)) wtedy jest wł aś ciw a oraz moż n a wykazać, że S y ,(x) = {°ip(x}} dla każ deg o xe°D(ip). Tym samym ^-reprezentacją funkcji S-cią gł e j %p jest jej czę ś ć standardowa °y> (jeż el i istnieje). Ogólniej: S v (x) = {>(x)} dla pewnego xe°D(y>) gdy f[p(x)nD(ip)]<= dla pewnego z e D(ip). Podzbiór dziedziny S-efektywnej D e {yi) funkcji wł aś ciwe j ip, dla którego S v (x) = {°f(x)}, oznaczymy przez (3.3) D^ip): = {x\ x e°D (y)AS"(x) = {y},yeY}, i nazwiemy dziedziną S-jednoznacznoś ci . Mamy więc D t (yi) a D e (y>) cz °D(ip). Kł adąc *X = *R, *Y = *R 3 oraz f.*R -* *ii 3 , dokonajmy teraz S-reprezentacji ruchów r:*J?-+ *J? 3 , prę dkoś c i i-:*/ ? ->• *i? 3 i przyspieszeń r:*R -> *R 3 punktu materialnego. Przyjmiemy, że / = D{r) jest standardowym przedział em czasu, D{r) = = i'o,ti) c *• & Wi e-R. oraz, że r( • ) jest funkcją cią gł ą w D (f) mają c ą w £»(»• ) cią gł e pierwszą i drugą pochodną. Zakł adamy takż e , że funkcje r, r, i' są funkcjami wł aś ciwymi . Rozróż nim y nastę pują c przypadki: 1° D t (ip) = °D(y) dla ip e{v, r,'r}.

Przyjmując 3 $

 3 = {P} rozpatrzymy ukł ad zł oż on y z tylko jednego punktu materialnego 0 standardowej masie m = m(P) e R + . Równania ruchu (2.5) redukują się wtedy do postaci mt{f) = f(t, Ą t), f (0), t e I (tu i dalej oznaczamy: t s (>• *), / = = (/ *), b m (b k ), k -1,2,3, etc). Zał óż my , że funkcja f:Ix*b:Ix *R 3 x *R 3 -• *R\ s: *R 3 -> *R\ są cią gł ym i funkcjami, przy czym °D(b) = = Z> e (6) = D 1 (b) = °IxR 3 xR 3 . N iech ponadto °D(s)\ D e (s) # 0, D^s^D^s) <£ % gdzie D e (s) jest nie pustym domknię ty m i spójnym podzbiorem w °D(s) = R 3 . Tym samym istnieje okreś lon a na °D(b) czę ś ć standardowa °b funkcji b (gdyż S b (r) = {°b(r)} dla każ deg o re°D(b)), natomiast nie istnieje na °D(b) czę ś ć standardowa funkcji s.

11 '

 11 Podamy teraz dwa przykł ady funkcji s:*R3 -> *R3 generują cych 5-wię zy zewnę trzne: 1° N iech D i(s) bę dzie regularnym obszarem D w R 3 o gł adkim brzegu 8Q oraz D e {s) = Q. N iech ponadto S s (r) = {0} dla każ deg o r e Q oraz S s (r) = {0+ln(r)\ A ^ 0} dla każ deg o r e dQ, gdzie n(r) jest wektorem wewnę trznie normalnym do dQ. Funkcja s( • ) generuje wtedy S-wię zy beztarciowe a każ d y "standardowy" tor punktu materialnego (okreś lon y relacjami (3.7)) znajduje się w Q. 2° N iech D e (s) bę dzie gł adką zamknię tą powierzchnią I I w i? 3 . N iech ponadto s s( r ) = {0 + fai(r); l G R] dla każ deg o r ell, gdzie n(r) jest wektorem normalnym do 77. Funkcja s generuje wtedy S-wię zy idealne dwustronne a każ d y "standardowy" tor punktu materialnego znajduje się na powierzchni U. W przypadku tym D t (s) -0. 3.3. N iestandardowe podejś ci e do wię zów wewnę trznych. Wię zami wewnę trznymi dla ukł adu punktów materialnych nazwiemy ograniczenia nakł adane' na wzajemne odległ oś c i poszczególnych punktów; zakł adamy jednocześ nie , że ograniczenia te są utrzymywane dział aniem wył ą cznie sił wewnę trznych. Tym samym przedmiotem rozważ a ń bę dzie teraz ukł ad zł oż on y co najmniej z dwóch punktów materialnych. Zał oż ymy , że są to punkty o standardowych masach m(P) e R + , P eSS, poddane dział aniu standardowych sił zewnę trznych, tj. sił okreś lonyc h standardowymi funkcjami f P :Ix*R 3 x*R 3 -» *R 3 . Zał oż ym y takż e , że funkcje/ pQ: *R + -> *R w równaniach ruchu (2.5) są sumami funkcji cią gł ych standardowych b PQ : *R + -* *R i funkcji cią gł ych wewnę trznych lecz niestandardowych t PQ : *R + -* -> *R, gdzie b PQ = b QP , t PQ = t QP . Równania ruchu mają wię c postać (3.8) m(P)V(P, t) = f P (t, r(P, t),V(P, t))+ QeB P C. (M t <= f n) Przytoczone tu rozważ ani a ł atwo uogólnić na przypadek, w którym s:Ix*R 3 x*R 3 -> *R 3 tj. ;cja s zależy od argumentów t, r, r. Wtedy (r,r) e De(s(t,-)) oraz p e S s (t,-)(.r, f).

  

  

  

  

  

  

  

  AN ALIZA N IESTAN D ARD OWA W MECH AN ICE N EWTON OWSKIEJ PUN KTU MATERIALN EG O

	CZESŁAW WOŹ N IA K	(WARSZAWA)
	Spis treś c i	
	Wstę p	
	1. Co to jest analiza niestandardowa?	
	1.1. Systemy relacyjne	
	1.2. Modele niestandardowe	
	1.3. Liczby rzeczywiste w analizie niestandardowej
	1.4. Przestrzenie metryczne w analizie niestandardowej
	2. N iestandardowy model mechaniki N ewtona	
	2.1. Analiza niestandardowa a mechanika	
	2.2. Podstawowe relacje mechaniki N ewtona	
	2.3. N iestandardowa interpretacja czasoprzestrzeni G alileusza
	2.4. N iestandardowa interpretacja równań N ewtona
	3. N iestandardowe podejś ci e do poję cia wię zów	
	3.1. Standardowe reprezentacje funkcji wewnę trznych
	3.2. N iestandardowe podejś ci e do wię zów zewnę trznych
	3.3. N iestandardowe podejś ci e do wię zów wewnę trznych
	3.4. U wagi i wnioski	
	Literatura cytowana	
	Wstę p	

  ' 2.2. Podstawowe relacje mechaniki N ewtona. Mechnikę N ewtona punktu materialnego będziemy rozpatrywać najpierw w ramach pewnego zupeł nego systemu relacyjnego S0t = = (A r ) xs r-Przyjmiemy w tym celu, że zbiór A o elementów indywiduowych zawiera jako podzbiory nastę pują ce przestrzenie nieskoń czeni e elementowe:

	1° czterowymiarową	rozmaitość róż niczkow ą E, bę dą cą przestrzenią zdarzeń p,
	peE,	
	2° czterowymiarową przestrzeń wektorową V, bę dą cą przestrzenią translacji czaso-
	przestrzennych v, v eV,
	3° przestrzeń Ji, której elementy nazwiemy punktami materialnymi P, P e Jt,
	4° trójwymiarową	przestrzeń wektorową której elementy nazwiemy sił ami / ,
	feF,	
	5° zbiór liczb rzeczywistych R.

  Istnieją wtedy funkcje standardowe °r, °r, °Y okreś lon e na °D(r) a tym samym dla każ de j chwili t e °D(r) ^-reprezentacja ruchów, prę dkoś c i i przyspieszeń jest jednoznaczna, tj. S v (t) -{°f(t)}, t e (t 0 , tt) <= R, dla y e {r, r, r}.2° D nie istnieje moż liwoś ć liczbowego porównania rezultatów teorii z eksperymentem. Zbiory Ą ,( 0 wartoś c i standardowych są bowiem puste dla t e °D{r)\ D e (y>) co oznacza, że niektóre spoś ró d wartoś c i r

					-reprezentacja
	ruchów, prę dkoś c i i przyspieszeń, lecz dla t e D e (ip)\ D l (f)	jest ona niejednoznaczna.
	W szczególnoś ci , standardowej chwili t e Deir^D^r)	przyporzą dkowujem y wieloele-
	mentowy zbiór prę dkoś c i S^(t)c:R	3	a chwili t eD^r^D^r)	przyporzą dkowujem y
	wieloelementowy zbiór "standardowych" poł oż e ń S-(t) punktu materialnego.
	3° °D(r)\ D			

e {%>) -°D(ip) dla ip e {r, r, r}. D la każ de j chwili t e °D(y) istnieje >Se (ip) & Q dla pewnego f e{r, r, r}. D la t e°D(r)\ D e (y>) k (s), r k (s), r k (s) są nieskoń czon e dla każ deg o s e / u(t), t e °D(r)\ D e (ip), gdzie y>e{r, >','f}.

  3 . Argument Q funkcji t PQ speł nia warunek Relację (3.9) nazwiemy relacją S-wię zó w wewnę trznych , interpretując t PQ jako wielkoś c i sił reakcji utrzymują cyc h te wię zy . S-reakcjami wię zó w nazwiemy sił y wewnę trzn e o wielkoś ciac h (3.10) <ł ?QeS ha (Q) przyjmując ponadto, że S, PQ (Q) = {0} dla cefl^y, S tpQ (fi PQ ) = ^~u{0}, S tpQ (a. PQ ) = = i? + u{0}. Oznacza to, że S-reakcje wię zó w są równe zeru gdy g e(a PQ , / S PQ ), przeciwdział ają zbliż ani u się punktów gdy Q = a PQ oraz przeciwdział ają ich oddalaniu się gdy £ ) = fipQ. N iestandardowe funkcje wewnę trzn e t PQ = t QP , P, Q e Ś S, speł niają c e powyż sz e warunki, prowadzą do standardowej relacji

	(3.9)	Q eD a (t PQ ),	em°Q(r(?,t),r(Q,t)),	te°I.

m(P)r(P,t)=f P (t,r(P,t),r(P,t))+ 2 S eS tpQ (Q(r{P,t),r(Q,t))), e (r(P, t),r(Q,t))eD e (t PQ ).

Mech. Teoret. i Stos.

3/ 81 

The aim of the present paper is to apply and to investigate the non-standard analysis as the mathematical tool of N ewtonian mechanics. Such approach introduces into mechanics non-Archimedean ordered fields and makes it possible to describe explicitly also infinite and infinitesimal values of the physical quantities. G enerally speaking, the methods of the non-standard analysis in N ewtonian mechanics of mass-point systems lead to the wider class of mathematical models of physical phenomena than that which can be obtained within the classical formulation of the discrete mechanics. For example, from the, .non-standard" formulation of the N ewton's law of motion in discrete mechanics we can derive the fundamental "standard" relations of the continuum mechanics.

In this part of the paper the general introduction into the non-standard analysis as well as the fundamentals of N ewtonian mechanics within non-standard analysis have been outlined. As an example of applications the new interpretation of the standard concept of constrains has been derived from the N ewton's law of motion of certain non-standard unconstrained mass-point systems.

IN STYTUT MECHAN IKI UN IWERSYTET WARSZAWSKI