Czesław Woź 
  
Nia K Ciała 
  
PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH

Spotykane w przyrodzie odksztalcalne ciała stałe opisujemy w ramach mechaniki kla sycznej najczę ś cie j przez zastosowanie jednego z dwóch nastę pują cyc h podejś ć : struktu ralnego, zwanego też dyskretnym, oraz kontynualnego. W podejś ci u strukturalnym, typowym dla fizyki ciała stałego, uwzglę dniam y rzeczywistą, niecią gł ą strukturę materii.

Podejś ci e kontynualne polega na wprowadzeniu oś rodk a cią głeg o jako modelu ciała, a samo ciało wystę puj e pod postacią materiału, którego własnoś c i są okreś lon e w infini tezymalnym otoczeniu każ de j czą stk i wprowadzonego kontinuum. Oprócz obu tych podejść warto także zwrócić uwagę na trzecie, które nazwijmy dyskretyzowanym. W po dejś ci u dyskretyzowanym ciało stałe wystę puj e pod postacią zbioru elementów material nych o wymiarach skoń czonych , przy czym każ d y element ma skoń czon ą liczbę stopni swobody. To ostatnie podejś ci e jest typowe np. dla zagadnień mechaniki konstrukcji, gdzie mniej jesteś m y zainteresowani własnoś ciam i ciała w infinitezymalnych otoczeniach jego czą ste k (podejś ci e kontynualne, materiałowe), nie wspominając już o niecelowoś c i wnikania w jego strukturę atomową, lecz raczej interesują nas własnoś c i globalne pewnych skoń czonyc h czę ś c i ciała. Celowość wprowadzenia podejś ci a dyskretyzowanego do me chaniki uzasadnimy w punkcie 6. Ciało dyskretyzowane otrzymuje się zwykle w wyniku procesu dyskretyzacji, jako pewien uproszczony model oś rodk a cią głego , jak to ma miejsce np. w znanej metodzie elementów skoń czonyc h [7], w zagadnieniach statyki budowli lub dynamiki konstrukcji (zastą pieni e cią głeg o rozkładu masy -masami skupionymi). Jed nakże w rozważ aniach , w których bę dzi e nas interesować nie sam proces dyskretyzacji, lecz to, co w jego wyniku otrzymujemy, dogodniej poję ci e ciała dyskretyzowanego wpro wadzić a priori (w sposób zupełnie niezależ n y od poję ci a oś rodk a cią głego) , jako model rzeczywistego ciała stałego. Postę powa ć moż em y więc podobnie, jak w mechanice kon tinuum, gdzie poję ci e oś rodk a cią głeg o wprowadzamy niezależ ni e od podejś ci a struktu ralnego.

Celem uczynienia wykładu bardziej poglą dowym , za punkt wyjś ci a przyjmijmy tutaj kontinuum materialne. Uogólniając nieco proces dyskretyzacji kontinuum materialnego omówiony np. w [7] (s. 11), podzielmy umownie to kontinuum przy pomocy pewnych powierzchni materialnych (lub krzywych w przypadku kontinuum dwuwymiarowego) na co najwyż e j przeliczalny zbiór otwartych i rozłą cznyc h czę ś c i zwanych elementami skoń czonymi. Przyjmijmy nastę pnie , że elementy skoń czon e są powią zan e wyłą czni e przy po mocy pewnych, dodatkowo przez nas wprowadzonych, układów materialnych. Każ d y z tych układów nazwijmy czą stk ą ciała dyskretyzowanego. Zakładamy jednocześ nie , że cią gł y rozkład masy w kontinuum jest aproksymowany masami zaczepionymi tylko w czą stkach oraz że każ d a czą stk a jest niezależ nym 1 ) układem dynamicznym, holonomicznym, o tej samej, skoń czonej , liczbie stopni swobody (tj. czą stk a może być swobodnym punktem materialnym, ich układem lub układem punktów materialnych poddanych całkowalnym wię zom) . Zbiór wszystkich czą stek , które łą cz ą dany element z innymi elementami skoń czonymi, nazwijmy elementem dyskretnym, odpowiadają cy m danemu elementowi skoń czonemu. Podobnie,jak w [7] e wierzchołkami tych figur, po zaczepieniu w nich mas skupionych aproksymują cyc h bezwładność ciała. Każ d y element dyskretny składa się więc z trzech lub czterech czą stek . Ciało dyskretyzowane zaznaczone na rys. 2 uwzglę dni a te same elementy skoń czone , jak na rys. 1, lecz poszczególne elementy dyskret ne zawierają teraz 6 lub 9 czą stek , z których każ d a jest, jak poprzednio, swobodnym punktem materialnym; niektóre z czą ste k należą tu tylko do jednego elementu dyskretnego. Inny przykład ciała dyskretyzowanego pokazano na rys. 3, gdzie mamy do czynienia z powłoką złoż on ą z czworoką tnyc h płytek, które przyjmijmy jako elementy skoń czone .

Stosując założ eni a Love'aKirchhoffa, jako czą stk i ciała dyskretyzowanego moż em y przyjąć zaznaczone na rysunku pary punktów materialnych (wraz z przyporzą dkowanym i im masami) o stałej odległoś ci , którą jest grubość powłoki. Liczba stopni swobody każ de j czą stk i wynosi 5, a każ d y element dyskretny jest zbiorem czterech czą ste k (czterech par wierzchołków czworoką tneg o elementu skoń czonego) . Przyjmiemy jednocześ nie , że każ d y element dyskretny zawiera skoń czon ą i nie mniejszą od dwóch liczbę czą ste k oraz że dowolna czą stk a może należ e ć do przecię ci a najwyż e j skoń czone j liczby elementów dy skretnych. Liczbę stopni swobody dowolnej czą stk i oznaczymy przez n i nazwiemy liczbą lokalnych stopni swobody ciała dyskretyzowanego. Uogólnione współrzę dn e czą stk i d oznaczamy przez q"(d, r), a = 1, 2 n (т jest współrzę dn ą czasową) oraz zakładamy, że są one współrzę dnym i wektora w и wymiarowej przestrzeni wektorowej V (D d ,g t ),d e D. Z powyż szyc h uwag wynika, że mechanikę ciała dyskretyzowanego moż em y scharakteryzować jako teorię ciała odkształ calnego opisaną na podstawie założ e ń i równań mechaniki analitycznej, przy wykorzy staniu zasady determinizmu. Zwią ze k mechaniki ciał dyskretyzowanych z mechaniką oś rodkó w cią głyc h oraz uzasadnienie celowoś c i wprowadzenia poję ci a ciała dyskrety zowanego podamy w punkcie 6.

Z punktu widzenia powyż

Układy współrzę dnych i struktury róż nicow e

W celu napisania równań konstytutywnych ciała dyskretyzowanego należy uprzednio wprowadzić poję ci e układu współrzę dnyc h w dowolnym elemencie dyskretnym E, nato miast w celu napisania równań ruchu należy wprowadzić poję ci e struktury róż nicowe j dla dowolnej pary (D d , S d ). Poję ci a te pełnią podobną rolę, jak poję ci e współrzę dnyc h materialnych w mechanice oś rodkó w cią głych . 

Oznaczmy s -s(E) = E-l. Układem

= 4>{d),A A <p = <p(f Al d) - -cp{d), ...,A A /p = (pif/ud) -^).
Jednocześ ni e każ de j transformacji układu współrzę d nych T' = х 'о х ' 1 moż em y przyporzą dkowa ć macierz (s+1) x (s+1)

1 gdy T(A) = A', 1 gdy Г (Л ) = 0, 0 gdy T(A) Ф A' i Т (Л ) Ф 0, /1 '«*\ Jl gdy T(A) = 0, [О В Л А ',)> ° ~ \0 gdy Г (Л )#0, /./=1.2 5.
przy czym moż n a wykazać, że zbiór tych macierzy tworzy grupę. Podobnie łatwo zauwa ż yć , że

(2.1) Rys. 5 

( <PÓ \ /1 V'W <p 0 \ <pk = <p(a"), d' = 'У Г '(0), [AA>J<P) = [o Btj\A AI J' A A .<p = <p(f A d')<p(d'), f A d '«"'(Л ), tj. ciąg liczb <p 0 ,A Al <P, • • • ,A
rowań f A :D A * D d A ; D A <= D d , Dj A <= D d ; А = I, П , m it jednoznacznie okreś la ją cyc h w każ dy m E cz S d układ współrzę dnyc h x: E * {0, A t , A 2 ,A s }, s - = E-l m d , gdzie А 1 ,Л 2 ,Л 3 , Л 5 jest

Siły wewnę trzn e

Siły wewnę trzn e w elemencie dyskretnym E e i są to siły działają c e mię dz y czą stkam i d e E. Są one przenoszone przez element skoń czon y ciała stałego przy założ eniu , że ele ment dyskretny E jest modelem tego elementu skoń czoneg o (por. pkt 1), a sam element skoń czon y moż n a traktować niezależ ni e od reszty ciała 4) . Celem przedstawienia ruchu i sił wewnę trznyc h elementu dyskretnego E w postaci analitycznej, wprowadzimy w E układ współrzę dnyc h (3.2)

x: E* {0, А 1г A 2 A s ), s = E-l. Ruch elementu dyskretnego wyznaczają wektory ą (d, х ) e V, <{(f A d, х ) e V я , Л = A x , Л 2 , A" o składowych odpowiednio q" m (d, т ), q"(f A d, x), a = 1,

SL = T.(d, r)dql(d, r)+ T *{d, r)dq°(f A d, r) =

A.

A. (3.7) 6L = p A óy A = p A (?i a SA A q a + <I> Aa dq°) = T?dA A q a t a dq a ,

= T a (d, r)dql(d, т )+ £ T?(d, r)dq°(d, r)+ £ T?{d, r)6A A q\d, x),

A = Ai yt = Ai
w którym oznaczono И 8) Ф А д <Р л Ф д <Р л (3.8) Ф А а щ ^, Ф А а
winien zachodzić dla dowolnych óA A q" oraz 6q Q . Wynika stą d , że

(3.9) 7? = р Л Ф й а , U = р Л Ф л а Funkcje p A (d, г ), A = 1,2, K, spełniają c e zwią zk i (3.9), nazwiemy napię ciam i w ele mencie dyskretnym E, natomiast funkcje y A = y A (d, r) nazwiemy odkształceniami tego selementu. Zarówno napię cia , jak i odkształcenia okreś lon e są w danym układzie współ tzę dnych .

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne dla dowolnego elementu dyskretnego wyraż aj ą zwią ze k mię dz y siłami wewnę trznym i w tym elemencie a jego ruchem (tj. ruchem wszystkich jego czą stek) . Równania te napiszemy postulując dla każ deg o E e $ zasadę determinizmu, [4], tj. przyjmują c , że siły wewnę trzn e w elemencie dyskretnym E (siły działają c e pomię dz y czą stkam i tego elementu) w dowolnej chwili т są okreś lon e historią ruchu elementu E aż do chwili т włą cznie . Nie uwzglę dniam y więc tutaj ż adnyc h czynników działają cyc h na element skoń czon y innych od sił mię dz y czą stkam i odpowiedniego elementu dyskret nego. W dowolnym układzie współrzę dnyc h x: E * {О , Л 1г A s ) zasadę determinizmu dla ciał dyskretyzowanych wyraż aj ą więc nastę pują c e równania konstytutywne 

.., A s } omzx':E+ {0, A[,A 2 ,

A' s ) bę d ą dowolnymi dwoma takimi układami. Funkcjo nały konstytutywne w obu tych układach współrzę dnyc h oznaczmy przez S A (d, q, A A q), S a {d, q, A A ą ) oraz 'S A '(d',ą ',А А л \'),S' a (d',a',A A ,ą (4.1)

T A (d, т ) = t a {d, т ) =
W szczególnoś c i zwią zk i (4.3) mogą zachodzić tylko gdy odpowiednia podgrupa grupy przekształceń zawiera tylko element jednostkowy 'а ф -О , В Ф '® 1 = д {. Podgrupę grupy przekształceń (3.4), która spełnia (4.3), nazwiemy grupą izotropii funkcjonałów konsty tutywnych (4.1). Grupa izotropii w mechanice ciał dyskretyzowanych nie zależy od ż adne j «konfiguracji odniesienia» ciała (jak to ma miejsce w mechanice oś rodkó w cią głych) , lecz może zależ e ć od wyboru układu współrzę dnych , a ś ciś le j mówiąc od sposobu loka lizacji ruchu w elemencie dyskretnym E. Jeż el i grupa izotropii zawiera wszystkie prze kształcenia (3. (5.7),(3.6) i (4.9). Podstawowymi niewiadomymi są najczę ś cie j funkcje q"(d, т ), de D, których liczba jest równa л krotnej liczbie czą ste k w układzie, oraz przez które wyraż am y wszystkie pozostałe niewiadome funkcje (siły wewnę trzn e lub napię ci a i od kształcenia). W przypadkach szczególnych niektóre z funkcji q"(d, r) mogą być dane z góry; wtedy ich miejsce jako niewiadomych zajmują odpowiednie funkcje f a (d, r), a liczba poszukiwanych funkcji nie ulega zmianie. Łatwo sprawdzić, że liczba niewiado mych funkcji jest równa liczbie równań, którymi dysponujemy w mechanice ciał dyskre tyzowanych. Należy podkreś lić , że jedyną lecz zasadniczą trudnoś ci ą przy formułowaniu równań danego ciała dyskretyzowanego jest wyznaczenie prawych stron równań konstytu tywnych. Trudność tę moż n a pokonać albo korzystając z równań mechaniki oś rodkó w cią głyc h (co dokonano dla pewnych dyskretyzowanych ciał sprę ż ystych , [2] i sprę ż ysto plastycznych [1]) lub też ewentualnie na drodze doś wiadczalnej .

Uwagi koń cow e

Dokonajmy krótkiego porównania mechaniki ciał dyskretyzowanych z mechaniką oś rodkó w cią głych . Zaznaczmy od razu, że problemy dają c e się rozwią za ć przy pomocy równań mechaniki oś rodkó w cią głyc h nie są z reguły interesują c e jako zagadnienia me chaniki ciał dyskretyzowanych, a rozpatrywanie ich w oparciu o równania tej ostatniej jest po prostu niecelowe. Jednakże mechanika oś rodkó w cią głych , w której podstawowe równania są najczę ś cie j równaniami róż niczkowym i czą stkowymi , praktycznie umoż liwi a wyczerpują c ą analizę i rozwią zani e jedynie stosunkowo prostych zagadnień, w których mamy do czynienia z obszarami o nieskomplikowanych kształtach i regularnych brzegach, z obcią ż eniam i o niewielkiej liczbie niecią głoś c i i osobliwoś c i oraz z materiałami o wła snoś ciac h nie charakteryzują cyc h się wieloma niecią głoś ciam i lub defektami. Warunki te nie zachodzą jednak w zdecydowanej wię kszoś c i zagadnień współczesnej techniki, w któ rych mamy do czynienia z konstrukcjami o złoż onyc h kształtach, o niecią głyc h i skupio nych obcią ż eniac h oraz o materiałach, których własnoś c i doznają wielu skokowych nie cią głoś c i (materiały zbrojone). Korzystanie w tych przypadkach z równań róż niczkowyc h czą stkowyc h mechaniki oś rodkó w cią głyc h ogranicza się wtedy praktycznie do zapisania odpowiedniego zagadnienia granicznego bez moż liwoś c i sformułowania nawet najbardziej ogólnych wniosków jakoś ciowych . Również zastą pieni e równań róż niczkowyc h czą stko wych równaniami róż nicowymi , przy duż e j liczbie osobliwoś c i (zwią zanyc h np. z działa niem sił skupionych, koncentracją naprę ż eń , niecią głoś ciam i etc.) prowadzi do trudnoś c i numerycznych (bardzo wielka liczba równań) uniemoż liwiają cyc h czę st o uzyskanie roz wią zani a iloś ciowego . W zagadnieniach takich zastosowanie równań mechaniki ciał dy skretyzowanych wydaje się być obecnie jedną teoretyczną drogą, na której moż n a uzyskać tak jakoś ciową , jak i iloś ciow ą analizę problemu. Powyż sz e stwierdzenie wynika, mię dz y innymi, z nastę pują cyc h przesłanek. Przede wszystkim w mechanice ciał dyskretyzowa nych nie wystę puj ą warunki brzegowe (por. uwagi po wzorze (5.6)), a tym samym nawet najbardziej złoż on y kształt ciała nie utrudnia analizy zagadnienia. Po drugie, przy odpo wiedniej dyskretyzacji także niecią głoś ć obcią ż e ń oraz niecią głoś ć materiału nie prowadzą do bardziej złoż one j postaci równań, bowiem równania konstytutywne opisują niezależ ni e własnoś c i poszczególnych elementów skoń czonych , które zawsze moż n a traktować w przy bliż eni u jako jednorodne i nieobcią ż one . Wreszcie w mechanice ciał dyskretyzowanych nie wystę puj ą osobliwoś ci , które w mechanice oś rodkó w cią głyc h są zwią zan e z np. z wy stę powanie m sił skupionych i które czę st o komplikują problem. Z drugiej strony należy jednak pamię tać , że rozwią zania , których dostarcza mechanika ciał dyskretyzowanych, zależą od rodzaju dyskretyzacji i są róż nym i przybliż eniam i w opisie tego samego zagad nienia. Zauważ m y takż e , że równania mechaniki ciał dyskretyzowanych, przy numerycz nym rozwią zywani u poszczególnych zagadnień dotyczą cyc h statyki, drgań harmonicznych, rozchodzenie się pewnych fal etc, prowadzą od razu do równań algebraicznych znanej metody elementów skoń czonych , a więc dają się rozwią zywa ć na EMC. Tym samym me chanikę ciał dyskretyzowanych moż n a w pewnym stopniu traktować jako fizyczną nadbu dowę nad metodą elementów skoń czonyc h w zakresie mechaniki ciał odkształcalnych.

Na zakoń czeni e zaznaczmy, że przedstawione w tej pracy ogólne równania mechaniki ciał dyskretyzowanych [równania ruchu (5.5) i równania konstytutywne (4.1)] stanowią tylko punkt wyjś ci a do analizy róż nyc h problemów mechaniki ciał dyskretyzowanych (ciała sprę ż yst e i plastyczne, teoria liniowa i teoria małych odkształceń, ciała izotropowe, zagadnienia statecznoś ci , drgań etc.) oraz do rozwią zywani a róż nyc h zagadnień szczegól nych. Moż liw e jest także uogólnienie równań mechaniki ciał dyskretyzowanych celem obję ci a nimi także zagadnień termodynamicznych. Wszystkie te problemy są tematem osobnych publikacji. 

  szyc h rozważ a ń ciało dyskretyzowane jest parą (D, S), gdzie D jest skoń czony m lub przeliczalnym zbiorem czą ste k d, d e D, D > 1, oraz S' jest pokryciem zbioru D elementami dyskretnymi E, D • => E e S. Zakładamy, że czą stk i oddziaływują wyłą czni e w podzbiorach E e S 2) .

  grafu zorientowanego, przyporzą dkowują c każ de j z s par czą stek d, f A d, A = A 1 , A 2 ,..., A s , wektor o począ tk u w d oraz koń c u w f A d. Na rys. 4 podano przykład dwóch róż nyc h układów współrzę dnyc h dla elementu dyskretnego o pię ci u czą stkach , oznaczając wektor łą czą c y czą stk ę d z czą stk ą f A d symbolem A, gdzie A = = I, II, III, IV. Niech cp: E * R bę dzi e dowolną daną funkcją na E. Każ dem u układowi współrzę d nych w E moż n a wtedy przyporzą dkowa ć ciąg s+1 liczb c> 0

  podcią gie m cią g u I, II, III, ...,m d ; przyj mujemy tutaj = / л (^). Przykład pary (D d , S d ) oraz dopuszczalnej struktury róż nicowe j na (D d ,S d ) podano na rys. 5 przy pomocy grafu; obowią zuj ą tu oznaczenia podobne, jak na rys. 4, tj. wektor zaopatrzony wskaź nikie m Л łą cz y czą stk ę podzbioru D d z jej obrazem należ ą cy m do podzbioru D d A ; zbiór wszystkich wektorów zaopatrzonych wskaź nikiem Л przedstawia więc funkcję f A :D d * D d A . Oznaczmy przezf_ A : D d A > D d funkcje odwrotne do f A oraz połóż m y f_ A d' = f A (d'} dla każ deg o d' e D d л i każ deg o Л . Dla dowolnej funkcji rzeczywistej <p: D d * R i każ deg o 4* Л moż em y wtedy zdefiniować dwie funkcje A A q>: D d » R, A A cp: >т = <p(fjd')<p(d') gdy d'eD A , AMd') = <p(d')<p(fAd ') gdy rf'eZ)^ Wskaź ni k Л przebiega w (2.3) ciąg /, II, m d , a funkcje A A ę i A A cp nazywamy odpo wiednio prawymi i lewymi róż nicam i funkcji cp. Celem otrzymania grafu funkcji f_ A dla przypadku pokazanego na rys. 5, należy zmienić zwroty wektorów oznaczonych przez A. Dla niektórych ciał dyskretyzowanych dopuszczalną strukturę róż nicow ą moż n a wprowadzić dla całego (D, $). W przeciwień stwi e do struktury róż nicowe j na (D d , S d ), którą moż n a nazwać strukturą lokalną, dopuszczalną strukturę róż nicow ą na (D, S) nazwiemy globalną. Oznaczając m = max m d , d e D, dopuszczalną strukturą róż nicow ą na (D, S) nazwiemy ciąg m wzajemnie jednoznacznych odwzorowań f A : D A » D_ A ; D A cD, D_ A cz D, Л = I, II, ...,m, jednoznacznie okreś lają cyc h w każ dy m EeS układ współrzę dnyc h к : E > {О , Л х ,..., A s }, s = E-1 < m, gdzie Л ,,/1 2 , ..., A s jest podcią gie m cią g u /, II, ..., m. Każ d a struktura globalna indukuje dla dowolnego (D d , S d ),de D, strukturę lokalną; zależ noś ć odwrotna oczywiś ci e nie zawsze musi zachodzić. Strukturę róż nicow ą globalną moż n a wprowadzić, mię dz y innymi, gdy dla każ deg o EeS mamy E = m + \ = const oraz gdy każ d a czą stk a de D należy najwyż e j dom+1 róż nyc h elementów dyskretnych. Przypadek ten wystę puj e czę st o w praktyce. Jeż el i ponadto każ d y element dyskretny zawiera co najmniej jedną czą stk ę wspólną z m innymi elementami dyskretnymi, to warto dodatkowo zdefiniować poję ci e brzegu i wnę trz a pary (D, Wnę trze m pary (Z), $) nazywamy podzbiór D Q с D taki, że d e D 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~iu -m+1, tj. gdy czą stk a d należy równocześ ni e do m + 1 róż nyc h elementów dyskretnych. Brzegiem pary (D, S) nazywamy podzbiór 3D cz D zdefiniowany przez 3D = D -D Q . W przy padkach szczególnych dD = Ф (por. rys. 5A, gdzie m = 1) lub D 0 = Ф (por. rys. 5B, gdzie m = 3). Przykład globalnej struktury róż nicowe j na parze (D, $), dla której E = 4 (tj. m = 3) podano na rys. 7 w postaci grafu, na którym wektory «poziome» reprezentują funkcję // , wektory «pionowe» reprezentują funkcję f u oraz pozostałe wektory reprezentują m funkcję fi U . Moż n a wykazać, że D 0 = f) (D A n D_ A ) w każ de j dopuszczalnej struktu A = I rze róż nicowe j na (D, $).

  2, n. Korzystając z układu współrzę dnyc h x ruch ten dogodnie zlokalizować w czą stc e de E, okreś lają c go s+1 funkcjami wekto rowymi q(d, T), A A i\(d, т ), A = A lt A 2 , A s . Siły wewnę trzn e w elemencie dyskretnym moż em y okreś lić , w przyję ty m układzie współrzę dnyc h x, funkcjami T a (d, т ), T^(d, т ), gdzie T a (d, r) są uogólnionymi siłami działają cym i na czą stk ę d w danym elemencie dy skretnym E = {d,f A ,d, ...,f As d} oraz Ta{d,t) są uogólnionymi siłami działają cym i na czą stk ę f A d w tymże elemencie dyskretnym E 5) . Dogodniej jednak wprowadzić na miejsce sił uogólnionych T a (d, т ), siły uogólnione t"(d, r) Siły t a (d, T) są, zgodnie z definicją (3.1), uogólnionymi wypadkowymi wszystkich sił wewnę trznyc h w E działają cyc h na element dyskretny E. Należy pamię tać , że wszystkie wprowadzone wielkoś c i są okreś lon e tylko w dowolnym lecz przyję ty m uprzednio układzie współrzę dnyc h x. Oznaczmy przez dL = dL(E) wariację pracy sił wewnę trznyc h w na £ dowolnych prze mieszczeniach wirtualnych dq"(d, r), dq"(f A d, r) elementu dyskretnego E. Zgodnie ze znaną definicją sił uogólnionych mamy A.

  przy założ eniu , że obowią zuj e konwencja sumacyjna wzglę de m wszystkich wskaź ników . *) Współdziałanie danego elementu skoń czoneg o z resztą ciała dyskretyzowanego wyraża się wyłą czni e przez fakt istnienia czą ste k wspólnych dla róż nyc h elementów dyskretnych. *) Wskaź nik i Л , Ф ,... przebiegają w tym punkcie pracy ciąg Al tA2 As; s = s(E) = Ę -l, na tomiast wskaź nik i a,b,... przebiegają w całej pracy ciąg 1, 2 и . Z równania (3.3) wynika, że T"(d, r) są, dla każ deg o ustalonego A, d, r, składowymi kowektora w przestrzeni V* n , dualnej do przestrzeni konfiguracyjnej. Jednocześ ni e z (2.1) wynika, że s+l liczb q"(d, т ), A A q"(d, т ) dla każ deg o ustalonego a, r, moż n a traktować jako składowe pewnego s +1 wymiarowego kowektora, gdyż Korzystając z (3.3) moż em y wykazać, że .y+l liczb T^d, т ), f a (ć / , т ) (dla każ deg o usta lonego a, d, T), to składowe s+l wymiarowego wektora o regule transformacji j+1) x (j+1) wystę pują c a w (3.5) jest odwrotna (po transpozycji) wzglę dem odpowiedniej macierzy wystę pują ce j w (3.4). Wielkoś c i «primowane» odnoszą się do układu współrzę dnyc h x':E* {О , Л [, Л ' г , ..., A' s }, a wielkość dL jest niezmienni kiem tak wzglę de m zmiany układu współrzę dnyc h w £,jak i zmiany bazy w przestrzeni konfiguracyjnej V я i przestrzeni dualnej V*". Wprowadzimy teraz dla dowolnego elementu dyskretnego E i dowolnego układu współrzę dnyc h w E, ciąg złoż on y z К = K(E) (K jest liczbą całkowitą dodatnią oraz E 6 S) róż niczkowalnyc h funkcji (3.6) y A = <p A (d, ą (d, i), A A ą (d, т )), A = 1,2, K, których postać jest taka sama w każ dy m układzie współrzę dnyc h w E. Jednocześ ni e ż ą damy, by rozwią zanie m równań <p A (d, ...) = 0 były wszystkie ruchy sztywne elementu dyskretnego E (tj. ruchy nie wywołują c e zmiany sił wewnę trznyc h w tym elemencie, por. pkt 4) oraz by każ dem u ruchowi elementu E odpowiadały funkcje y A = y A (d, z) okreś lają c e ten ruch z dokładnoś ci ą do dowolnego ruchu sztywnego. Wprowadzimy nastę pni e К = K(E), E eS, funkcji q A = p A (d, т ) w ten sposób, by wyraż eni e dL = p A dy A (obo wią zuj e konwencja sumacyjna) okreś lał o dowolną wariację pracy sił wewnę trznyc h w ele mencie dyskretnym E. Tym samym zwią ze k

  '), gdzie argumenty doraz*/' oznaczają lokalizację ruchów odpowiednio w czą stkac h d lub d'. Korzystając ze zwią zkó w transfor macyjnych (3.5) i (3.4) napiszemy (4.2) S A {d, q, Zl^ą) = B A A , 'S A '(d', q', А ф ,а ') + 'а А S' a {d', q', А ф .а bę dziem y interpretować nie jako transformację T= x'o« _1 : {0, A y ,A 2 , ..., A s } > {0, A[,A' 2 , ..., A' s ) układu współrzę dnyc h w E, lecz jako przekształ cenie zbioru E, w którym obrazem czą stk i d -x 1 (0) jest czą stk a d' = 'x 1 (0), a obrazem czą stk i f At d = x~1(A i ) jest czą stk a fA t d' = 'а г 1 ^;) dla i = 1,2, ...,s. Czą stk a d w tej interpretacji zmienia swój ruch z ą (d, r) na ą {d, r) + 'a^A 0 ą (d, r), a ruch czą stk i f Ai d wzglę de m czą stk i d ulega zmianie z A At ą (d, r) na В л ' ф А ф а № , т ). Zauważ my , że zawsze istnieje podgrupa grupy przekształceń (3.4), która nie zmienia postaci funkcjonałów kon stytutywnych, tj. dla której 'S A \ = S Al , S a = S' a . Zgodnie z (4.2) istnieją więc zawsze takie 'а ф oraz B%" dla których (4.3) S A (d, q, А ф ф = B A S A '(d, а + 'а ф А ф а , BlA^ + 'a^id, q+VM^q, В ф ,А ф ,

  4), dla których 'а ф = 0, wtedy element dyskretny nazwiemy izotropowym w czą stc e d; wszystkie s wektorów A A ą , A = A lt A 2 , ...,A S , w przestrzeni konfiguracji są, mówiąc obrazowo, jednakowo uprzywilejowane z punktu widzenia własnoś c i elementu dyskretnego. Interpretując bowiem (4.3) jako zmianę ruchu elementu dyskretnego łatwo zauważ yć , że dla elementu E izotropowego w czą stc e d, zamiana miejscami czą ste k f A d, fA 2 d, • • • ,fA,d nie zmienia sił wewnę trznyc h w elemencie dyskretnym. Element dyskretny izotropowy w każ de j czą stc e nazwiemy izotropowym. Moż n a wykazać, że dla elementu izotropowego w czą stc e d równania (4.3) sprowadzają się do postaci gdzie (Q%.) jest macierzą sxs, która w każ dy m wierszu i w każ de j kolumnie ma s-l zer oraz jedynkę (macierz permutacji). Zbiór tych macierzy tworzy podgrupę grupy orto gonalnej.Jeż el i dla każ deg o elementu dyskretnego w ciele dyskretyzowanym istnieje taki układ współrzę dnych , że funkcjonały konstytutywne tych elementów są identyczne, to ciało nazwiemy równomiernym. Gdy ponadto wszystkie te układy są indukowane przez jedną globalną strukturę róż nicową , omówioną na koń c u p. 2, to ciało dyskretyzowane nazwie my jednorodnym. Podane definicje są wzorowane na odpowiednich definicjach mechaniki oś rodkó w cią głyc h[4].Rozpatrzmy teraz przypadek szczególny, w którym dla danego elementu dyskretnego E istnieje potencjał sprę ż ysty . Wprowadzając w E układ współrzę dnyc h x: E » {0, A lt A 2 , ..., A s }, potencjał ten przedstawimy w postacie[d, (d,ą т ), ą (f A d, т)], a zgodnie z definicją sił T a , T A otrzymamy (4.4)S?(d, q, А ф ф = Q%S A \d, q, Q%.A 0 ą ), S.(d, q, А ф ц ) = S a (d, q, Q$.A*q),Zdefiniujmy nastę pni e funkcję e(d, ...), zwaną potencjałem sprę ż ystym , , г ) ~ dA A q(d, r) ' są przypadkiem szczególnym równań konstytutywnych (4.1); element dyskretny, dla którego one obowią zują , nazwiemy sprę ż ystym . Jeż el i wszystkie elementy dyskretne ciała dyskretyzowanego są sprę ż yste , wtedy ciało to nazwiemy sprę ż ystym , a odpowiednie równania dla takiego ciała -równaniami dyskretnej teorii sprę ż ystoś c i [6]. Podobnie moż n a sformułować podstawowe równania dyskretyzowanych ciał sprę ż ystoplastycznyc h [1]. Korzystając ze składowych stanu napię ci a p A (d, т ) oraz składowych stanu odkształ cenia y A (d, T), A = 1, 2, K, moż n a przedstawić alternatywną postać równań konsty tutywnych T Niech deD bę dzi e dowolną czą stk ą ciała dyskretyzowanego, Q tt (d, т ) niech oznacza uogólnione siły działają c e na tę czą stk ę oraz niech (5.1) T = T(d, ...) = ia ab {d)q\d, r)q b {d, r) bę dzi e jej energią kinetyczną (wskaź nik i a, b przebiegają ciąg 1,2, и ; obowią zuj e konwencja sumacyjna). W (5.1) założ yliś my , dla uproszczenia, że czą stk a d jest układem dynamicznym skleronomicznym. Równania Lagrange'a II rodzaju dla czą stk i d mają znaną postać Celem wyraż eni a sił Q a (d, r) przez siły wewnę trzn e należy rozważ y ć parę (D d , tf d ) i przy jąć na niej daną dopuszczalną strukturę róż nicow ą (por. p. 1 i 2). Przyjmujemy, że wskaź niki Л , Ф przebiegają teraz ciąg /, //, m d oraz wprowadzamy nastę pują c e pomocnicze oznaczenia: W,T)^0, T A (d',r) a =0, gdy w d' nie jest zlokalizowany ruch ż adneg o elementu dyskretnego, Tym samym wielkoś c i T A (d', r), T A (f_ A d', r), T a (d', т ) są okreś lon e dla każ deg o d' e 6 D d oraz dla Л = /, II, m d (por. p. 3). Także wielkość t a (d, т ) moż n a teraz zdefinio wać (d, T) są uogólnionymi siłami zewnę trznym i działają cym i na czą stk ę d, oraz Г а (й ?, т ) i -T A (f_ A d, r) są siłami wewnę trznym i działają cym i na czą stk ę U? we wszystkich elemen tach dyskretnych E e S d zawierają cyc h tę czą stkę . Rugując z (5.3) i (5.4) siły uogólnione T a (d, T) oraz korzystając z (5.2), otrzymamy ostatecznie równania (5.5) A A T A (d, r) + t a (d, T)+/.(<*, T) = a ab (d)q b (d, r), w których obowią zuj e konwencja sumacyjna podług wskaź nikó w Л -I, II, III, ...,m d , oraz b -1, 2, n. Równania (5.5) są niezależ n e od własnoś c i elementów dyskretnych i w zwią zk u z tym moż em y je nazwać równaniami ruchu ciała dyskretyzowanego. Równa nia te powinny być spełnione dla każ deg o d e D, a celem ich napisania należy wprowadzić dopuszczalną strukturę róż nicow ą dla każ deg o (D d , S d ), deD, lub, gdy to jest moż liwe , globalną strukturę róż nicow ą na (D, S). W szczególnym przypadku, gdy spełnione są warunki podane na koń c u p.2, równania ruchu w postaci (5.5) dotyczą każ deg o d e D 0 (nie zachodzi wtedy potrzeba definiowania dodatkowych «zerowych» sił wewnę trznych , a wskaź ni k Л przebiega ciąg I, II, III, ...,m), natomiast dla de 3D równania ruchu mają postać [6] (56) £ T A (d, r) £ T A (f_ A d, T) + Ud, T) +f a (d, T) = a ab q\d, т ), AeR d AeL d gdzie R d cz (I, II, ...,m), L d c: (I,II,m) są podcią gam i cią g u 1,11, ...,m takimi, że (Л e R d ) o {deD A ) oraz (Л eL d ) o (de D_ A ). W pracy [6] zwią zk i postaci (5.6) nazwa no umownie «warunkami brzegowymi»; należy jednak zaznaczyć, że w mechanice ciał dyskretyzowanych warunki brzegowe w ś cisły m tego poję ci a znaczeniu nie wystę puj ą («warunki brzegowe» podane np. w [6] są tylko inną postacią równań ruchu). Alternatywną postać równań ruchu otrzymamy korzystając z (3.9), tj. po wprowadze niu składowych stanu napię ci a p A . Zgodnie z (5.5) i (3pomijając argumenty poszczególnych funkcji; obowią zuj e tu konwencja sumacyjna podług wskaź nikó w Л = I, II, m d , A = 1,2, K, orazfe = 1, 2, n. Równania ruchu (5.5) oraz równania konstytutywne (4.1) stanowią podstawowy układ równań mechaniki ciał dyskretyzowanych; alternatywna postać tego układu wyraża się wzorami

  Note on the discrete plastic bodies, Arch. Mech. Stos. (w przygotowaniu). 2. W. KUFEL, O liniowych zagadnieniach teorii sprę ż ystoś ci cial dyskretyzowanych, Mech. Teoret. Classical dynamics, Handbuch der Physik, Ш /l, Springer Verlag, 1960. 4. С . TRUSDELL, W. NOLL, The nonlinear field theories of mechanics, Handbuch der Physik, Ш /3, Springer Verlag 1965. 5. Cz. WOŹ NIAK , Basic concepts of the difference geometry, Annates Polon. Math., 28 (1972). 6. Cz. WOŹ NIAK , Discrete elasticity, Arch. Mech. Stos., 6, 23 (1971). 7. О . С . ZIENKIEWICZ, The finite element method, McGraw Hill, о д я и з о б щ е й с х е м ы д и с к р е т и з а ц и и с п л о ш н о й с р е д ы в в о д и т с я п о н я т и е д и с к р е т и з и р о в а н н о г о т е л а , а з а т е м в ы в о д я т с я д л я э т о г о т е л а у р а в н е н и я д в и ж е н и я и о п р е д е л я ю щ и е с о о т н о ш е н и я . О с о б ы м с в о й с т в о м э т и х у р а в н е н и й с л е д у е т с ч и т а т ь irx п р о с т у ю и о д н о в р е м е н н о в е с ь м а о б щ у ю ф о р м у , а т а к ж е ф о р м а л ь н о е с х о д с т в о с с о о т в е т с т в у ю щ и м и у р а в н е н и я м и м е х а н и к и с п л о ш н ы х с р е д . Р а с с м о т р е н ы п р е д е л ы п р а к т и ч е с к о й п р и м е н и м о с т и у р а в н е н и й м е х а н и к и д и с к р е т и з и р о в а н н ы х т е л .

  zakładamy, że ruch każ deg o elementu skoń czoneg o jest jednoznacznie okreś lon y przez ruch odpowiadają ceg o elementu dyskretnego. Ponadto przyjmijmy, że przestrzenią konfiguracyjną [3] dla każ de j czą stki ] jest л wymiarowa przestrzeń wektorowa.

	Rys. 1	Rys. Rys. 3
	danego trójką t a lub równoległoboku. Jako czą stk i dyskretyzowanego ciała należy tu
	przyjąć swobodne punkty materialne, bę dą c

2

Prosty przykład ciała (dyskretyzowanego płaskiego) przedstawia rys. 1. Elementami skoń czonym i są zaznaczone (otwarte) trójką t y i równoległoboki; ruch każ deg o z tych elementów skoń czonyc h jest opisany (w ramach mechaniki ciał dyskretyzowanych) przy pomocy ruchu odpowiedniego elementu dyskretnego, bę dą ceg o zbiorem wierzchołków

d otrzymujemy więc rozpatrując parę (D d , 8j), gdzie & d <=. S jest

  Postulujemy wię c , że istnieje przestrzeń V, która jest przestrzenią konfiguracyjną dla każ de j czą stk i d e D 3> . Ponieważ czą stk i d e D oddziaływują tylko w podzbiorach E с D, (tj. w poszczególnych elementach dyskretnych), dlatego siły we wnę trzn e w ciele dyskretyzowanym moż em y okreś li ć dla każ deg o elementu dyskretnego niezależ nie . Zgodnie z zasadą przyczynowoś ci , siły w elemencie dyskretnym E i w chwili T zależą od historii ruchu tego elementu aż do chwili т , a zależ noś ć tę nazwiemy równa niem konstytutywnym danego elementu dyskretnego (por. pkt 3 tej pracy). Celem otrzy mania równań ruchu dowolnej czą stk i d należy natomiast uwzglę dni ć siły wewnę trzn e działają c e na tę czą stk ę ze wszystkich elementów dyskretnych, do których czą stk a ta należ y Równania ruchu czą stk i

	zbiorem wszystkich elementów dyskretnych zawierają cyc h czą stk ę d, 8 5= 1, oraz
	Di jest zbiorem czą stek , dla którego S A jest pokryciem (por. pkt 4). Należy tu pamię tać ,
	że własnoś c i bezwładne ciała dyskretyzowanego, jako modelu ciała rzeczywistego, nie są
	rozdzielone na poszczególne elementy dyskretne, lecz są charakteryzowane masami posz
	czególnych czą stek . Jednocześ ni e widzimy, że nie zachodzi konieczność rozpatrywania
	całego ciała dyskretyzowanego w ramach rozważ a ń teoretycznych, lecz wystarczy się
	ograniczyć w równaniach konstytutywnych do dowolnego elementu dyskretnego	E,EeS,
	a w równaniach ruchu do dowolnej pary	

я , tej same dla każ deg o d e D.

: E » {0, A t , ... ,A S ) с cJTtAi < Л 2 < ... < A s . Oznaczmy

  współrzę dnyc h w elemencie dyskretnym E nazywamy dowolne wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie к

			d = ^_1 (0)>/л ^ = x _1 (A).	Sens symbolu f A ,
	Л -A lt A 2 ,	...,A S	wyjaś nim y poniż e j omawiając poję ci e struktury róż nicowej . W każ
	dym elemencie dyskretnym istnieje więc nieskoń czeni e wiele róż nyc h układów współ
	rzę dnych ; dla każ de j

pary x: E» {0, A lt А ,}, х ': E* {0, A\,A\} takich układów istnieje założ eni e T' = x'ox~l: {0, A lt ...,A S ] * {0,A\, ...,A' S }, które

  na zwiemy transformacją układu współrzę dnych . Zbiór transformacji dla każ deg o E tworzy grupę, co umoż liwi a wprowadzenie takich poję ć , jak obiekt w elemencie dyskretnym, obiekt geometryczny, komitanta obiektu itp. Każ d y układ współrzę dnyc h w E dogodnie

  Rozpatrzmy teraz parę (D d ,J> d ), gdzie d jest dowolną, lecz ustaloną czą stk ą zbioru D, oraz oznaczmy m d = max (E, 6' d ) -1, gdzie E przebiega cały zbiór S d . Dopuszczalną strukturą róż nicow ą na (D d , S d ) nazywamy ciąg m d wzajemnie jednoznacznych odwzo /

	(2.2)	y> 0, \	/1	0 \/V°\		/1	OWI V'\ /1 0
	Ciąg liczb	tp Al , \р А г ,	y As nazwiemy składowymi wektora w elemencie dyskretnym
	E. Wzory transformacyjne (2.1) oraz (2.2) wykorzystamy przy wprowadzaniu poję ci a
	grupy izotropii w p. 4.			
							' ÓDФ
				t		
				u	u	u	u	u

As (p jest cią gie m składowych obiektu geometrycznego w E, który nazwijmy kowektorem w E. Przyporzą dkujm y teraz elementowi dyskretnemu E w każ dy m układzie współrzę dnyc h s+l liczb y)°, y/* 1 , yr 42 , ...,ip A % które przy zmianie układu współrzę dnyc h transformują się zgodnie z wzorem

) Mówimy, że czą stk i de D oddziaływują wyłą czni e W podzbiorach Е е S, gdy siły wzajemnego oddzia ływania mię dz y czą stkam i należ ą cym i do każ deg o podzbioru E, nie zależą od ruchu (od położ enia , prę dkoś ci , przyspieszenia itp.) czą ste k nie należ ą cyc h do E, oraz gdy siły te zależą od ruchu Wszystkich czą ste k należ ą cych do E.

) W przypadku bardziej ogólnym, którym nie bę dziem y się tu zajmować, dla każ de j czą stk i postulu jemy istnienie osobnej przestrzeni konfiguracyjnej Vjj, wprowadzając jednocześ ni e koneksję W wią zc e takich przestrzeni nad zbiorem D, osobno dla każ deg o elementu dyskretnego E (por. [5]).

Summary BASIC CONCEPTS OF THE MECHANICS OF DISCRETIZED BODIES

The paper dels with an approximate description of the deformable body within the known assumptions of the continuous media theory and using the additional assertion that the body under consideration has only finite or countable number of degrees of freedom. Such body is said to be a discretized body. Starting from the general scheme of discretization of continuous media we arrive at the concept of discretized body and then we obtain the equations of motion and the constitutive equations of such a body. The characte ristic feature of the equations obtained is their simple and general form and their formal resemblance to the known equations of the continuous media theory. At the end of the paper the problem of applications of the mechanics of discretized bodies is also widely discussed.

uniwersytet warszawski wydział matematyki i mechaniki

Praca została złoż ona w redakcji dnia 26 kwietnia 1972 r.