shs.edu math
Andrade Osnildo 
  
A Carvalho 
  
D E Noção 
  
Limite 
  
Prof. Dr Marcio Luiz 
  
Santos Farias 
  
Prof. Dr Miranda Itamar 
  
Silva Da 
  
Salvador 
  
Farias -Orientador Santos 
  
_____________________________________ 
  
Itamar Miranda Da Silva 
  
Rosalina Lynn 
  
Alves Gama 
  
______________________________________________ 
  
Eleazar Gerardo 
  
Madriz Lozada___________________________________________ 
  
Renato Borges Guerra___________________________________________________ 
  
Cheick Oumar Doumbia_________________________________________________ 
  
Ana Vitória 
  
Aos Professores 
  
Luiz Marcio E Itamar 
  
Da Banca, Professores Doutores Eleazar Madriz 
  
Renato Guerra 
  
Hélio Messeder 
  
Cheick Doumbia 
  
Osnildo Carvalho 
  
A Andrade 
  
Noção 
  
Luiz Marcio 
  
Santos Farias 
  
F Il Tese 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Keywords: Notions of function limits, Evaluation praxeology, Student autonomy, Didactic moments, 5, 2 Algumas considerações acerca do percurso formativo digital

The current work is inserted in the field of Mathematics Education, more specifically in the area of Didactics of Mathematics and has as its object of knowledge the notions of limit of a function of a real variable. In the Differential and Integral Calculus course, the notions of limit are important, as they imply a better understanding of the ideas of other concepts related to this object of study, such as derivatives, integrals, convergence of series, among others. The research had as a problem the difficulties that students have in the institutional relationship with the notions of limits and in the disarticulation between the intuitive notion and the definition (, ) of limit. In addition, normally, in the didactic organization there is a naturalness and automation in the teaching process (on the part of Mathematics teachers in our context) which, many times, only signals the student's failure to do the proposed tasks, failing to promote reflection. and analysis of such errors or mistakes, thus not showing the reasons for not learning so that the student can progress in his studies. Our objective is to investigate how didactic praxeologies contribute to the teaching of notions of limits of a real function in virtual learning environments. We used the methodology of research praxeology that, through the herbartian system [S ( ; ; Q0) ➦ M] ➥ R ♥ and with the help of the study supervisors () (supervisor and co-supervisor), allowed us to create a M formed by the secondary questions Qn, secondary answers Rm ◊ , consulted works Wn, interviews, questionnaires and experimentation Dp, producing an answer R ♥ (expected answer). This Methodology contributed to guide our ideas so that the chapters and sections were able to be delineated with our research object. As a methodology for experimentation, Didactic Engineering was adopted, because, in our view, it provided us with conditions to reach the observables and answer our research question, so that we were able to observe and analyze the conditions and restrictions evidenced during the trajectory of experimentation. As an answer to our research question Q0, namely: how do didactic praxeologies contribute to the teaching of notions of limits of real functions of a real variable in a Bachelor's Degree in Exact and Technological Sciences in virtual learning environments? we have to R ♥ : the elements of formative assessment, when incorporated, promote dynamics in the didactic moments of a didactic organization capable of making the didactic system established by the teacher disappear and that the student has autonomy at the end of the study process, with other didactic systems being established by the teacher himself student, promoting other relationships with knowledge. However, we noticed that there is a didactic contract established, in which students usually do not resume the activities carried out to understand the feedback provided by the teacher. And, for student autonomy to be successfully established, there must be a rupture of the didactic contract, now established, and face the phenomenon of naturalization and automation of the evaluation process, examining the praxeologies constructed by the students. We highlight as one of the contributions, the reflections around the praxeologies of evaluation, observing the possible errors in the students' techniques, as they are their efforts to arrive at an institutionally expected technique. New works can be developed related to the phenomenon of automation and the naturalness of the evaluation process within the didactic moments, as well as related to the praxeology of evaluation. Furthermore, in our understanding, assessment for (formative) learning is at the heart of the didactic system, which is often not considered in this way, being only seen from the perspective of exams and tests to meet external interests such as external assessments (usually with the in order for the teacher to be accountable). Although assessment is at the heart of the didactic system, it has a close relationship with the entire didactic system ∑=S (x; y; φ), as it has a strong connection between knowledge (φ), the student (x) and the study advisor (y). In short, assessment cannot be the heart of learning, but the means that the teacher uses to evaluate the praxeologies constructed by the students, changing the direction of teaching if necessary, not being restricted only to the institutional pressure for results.

CARVALHO, Osnildo Andrade. La notion de limite: une étude de l'organisation didactique d'un parcours de formation numérique. 2022. Orientador: Luiz Marcio Santos Farias. 517 f. il. Tese (Doutorado em Ensino, Filosofia e História das Ciências) -Universidade Federal da Bahia, Salvador; Universidade Estadual de Feira de Santana, Feira de Santana, 2022.

RÉSUMÉ

Le travail actuel s'insère dans le domaine de l'enseignement des mathématiques, plus précisément dans le domaine de la didactique des mathématiques et a pour objet de connaissance les notions de limite d'une fonction d'une variable réelle. Dans le cours de calcul différentiel et intégral, les notions de limite sont importantes, car elles impliquent une meilleure compréhension des idées d'autres concepts liés à cet objet d'étude, tels que les dérivées, les intégrales, la convergence des séries, entre autres. La recherche avait pour problème les difficultés que les étudiants ont dans le rapport institutionnel avec les notions de limites et dans la désarticulation entre la notion intuitive et la définition (, ) de limite. De plus, normalement, dans l'organisation didactique, il y a un naturel et une automatisation dans le processus d'enseignement (de la part des professeurs de mathématiques dans notre contexte) qui, souvent, ne signale que l'échec de l'élève à faire les tâches proposées, ne favorisant pas la réflexion .et l'analyse de telles erreurs ou fautes, ne montrant ainsi pas les raisons de ne pas apprendre afin que l'étudiant puisse progresser dans ses études. Notre objectif est d'étudier comment les praxéologies didactiques contribuent à l'enseignement des notions de limites d'une fonction réelle dans des environnements d'apprentissage virtuels. Nous avons utilisé la méthodologie de la praxéologie de la recherche qui, à travers le système herbartien [S ( ; ; Q0) ➦ M] ➥ R ♥ et avec l'aide des directeurs d'étude () (directeur et co-directeur), nous a permis de créer un M formé par les questions secondaires Qn, les réponses secondaires Rm ◊ , les travaux consultés Wn, les entretiens, les questionnaires et l'expérimentation D p , produisant une réponse R ♥ (réponse attendue). Cette Méthodologie a contribué à orienter nos idées afin que les chapitres et sections puissent être délimités avec notre objet de recherche. En tant que méthodologie d'expérimentation, l'ingénierie didactique a été adoptée, car, à notre avis, elle nous a fourni les conditions pour atteindre les observables et répondre à notre question de recherche, de sorte que nous avons pu observer et analyser les conditions et les restrictions mises en évidence au cours de la trajectoire de expérimentation. En réponse à notre question de recherche Q0, à savoir : comment les praxéologies didactiques contribuent-elles à l'enseignement des notions de limites de fonctions réelles d'une variable réelle en Licence Sciences Exactes et Technologiques dans les environnements virtuels d'apprentissage ? nous devons R ♥ : les éléments d'évaluation formative, lorsqu'ils sont incorporés, favorisent la dynamique dans les moments didactiques d'une organisation didactique capable de faire disparaître le système didactique établi par l'enseignant et que l'étudiant ait une autonomie à la fin du processus d'étude, d'autres systèmes didactiques étant établis par l'enseignant lui-même élève, favorisant d'autres rapports au savoir. Cependant, nous avons remarqué qu'il existe un contrat didactique établi, dans lequel les étudiants ne reprennent généralement pas les activités réalisées pour comprendre les commentaires fournis par l'enseignant. Et, pour que l'autonomie des étudiants soit bien établie, il faut une rupture du contrat didactique, désormais établi, et faire face au phénomène de naturalisation et d'automatisation du processus d'évaluation, en examinant les praxéologies construites par les étudiants. Nous soulignons comme l'une des contributions, les réflexions autour des praxéologies de l'évaluation, en observant les erreurs possibles dans les techniques des étudiants, comme ce sont leurs efforts pour arriver à une technique attendue institutionnellement. De nouveaux travaux peuvent être développés liés au phénomène d'automatisation et à la naturalité du processus d'évaluation dans les moments didactiques, ainsi qu'à la praxéologie de l'évaluation. De plus, selon nous, l'évaluation pour l'apprentissage (formatif) est au coeur du système didactique, qui n'est souvent pas considéré de cette manière, n'étant vu que sous l'angle des examens et des tests pour répondre à des intérêts externes tels que les évaluations externes (généralement avec le afin que l'enseignant soit responsable). Bien que l'évaluation soit au coeur du système didactique, elle a une relation étroite avec l'ensemble du système didactique ∑=S (x ; y ; φ), car elle a un lien fort entre les connaissances (φ), l'élève (x) et le conseiller aux études (y). Bref, l'évaluation ne peut pas être le coeur de l'apprentissage, mais le moyen que l'enseignant utilise pour évaluer les praxéologies construites par les étudiants, en changeant si nécessaire l'orientation de l'enseignement, ne se limitant pas à la seule pression institutionnelle des résultats.

Mots clés: Notions de limites de fonction. Praxéologie de l'évaluation. Autonomie des étudiants. Instants didactiques. , x10, x15, x20, x34, y1, y35, y15, y17, y27, y30, y36, y48, z4 3.2.2 Trabalhos Nacionais...................................................................................................... 3.3 

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Avaliação Formativa e Tecnologias

CAPÍTULO 1

Este capítulo é destinado a apresentar os primeiros passos da nossa pesquisa e o desenrolar desta. Ele está composto por uma Introdução que visa apresentar o contexto investigativo do nosso objeto de estudo, bem como expor as inquietações que nos levaram a essa investigação, a partir das vivências adquiridas na nossa prática pedagógica. Além disso, o capítulo tem por intuito expor nosso problema de pesquisa, explicitando as hipóteses levantadas, além de traçar nossos objetivos. Descreveremos o percurso metodológico, além de, brevemente, apresentarmos como está dividido esse trabalho.

INTRODUÇÃO

A partir de 2015, de forma sistematizada, o ensino de limite de funções tornou-se parte do nosso tema de investigação com a aproximação das ideias da Didática da Matemática e das conexões com a nossa sala de aula ao lecionar Cálculo I1 . Tal contexto motivou-nos a investigar nossa prática. Nesse sentido, concordamos com o professor [START_REF] Ponte | Investigar a nossa própria prática[END_REF]:

Os problemas que surgem são, de um modo geral, enfrentados com boa vontade e bom senso, tendo por base a sua experiência profissional, mas, frequentemente, isso não conduz a soluções satisfatórias. Daí, a necessidade do professor se envolver em investigação que o ajude a lidar com os problemas da sua prática. Na verdade, o ensino é mais do que uma atividade rotineira onde se aplicam simplesmente metodologias pré-determinadas. Trata-se, simultaneamente, de uma atividade intelectual, política e de gestão de pessoas e recursos. Torna-se necessária a exploração constante da prática e a sua permanente avaliação e reformulação. É preciso experimentar formas de trabalho que levem os seus alunos a obter os resultados desejados. (PONTE, 2002, pp. 6-7).

Dessa forma, os problemas vivenciados no cotidiano da sala de aula contribuem para inquietações do professor e oportunizam seu enfrentamento na busca de respostas e reflexões, ainda que parciais, a fim de contribuir para com o progresso dos estudantes. Apesar de existirem pesquisas sobre limite de funções, não foi possível constatar nenhum trabalho2 tendo como fundamento a Teoria Antropológica do Didático que associasse o ensino desse saber à avaliação formativa.

Além disso, o componente curricular de Cálculo I muitas vezes apresenta elevados índices de reprovação e evasão, como apresenta os trabalhos de Lopes (1999, p. 123); Barufi (1999, p. 3); Rezende (2003, pp. 1-2), Dörr (2017, p. 8, 18, 28); Bezerra (2019, p. 18, 23, 24) dentre outros. No nosso contexto profissional da sala de aula foi possível levantar algumas dessas evidências, como altos índices de reprovação, evasão e desistência no componente de Cálculo I (e em particular o ensino de limite de funções), fato este que nos incomoda e nos preocupa como docentes. Levando em consideração essas informações, propomos investigar e

indicar reflexões e alternativas para a aprendizagem de limite de funções de uma variável real3 .

A participação como membro de um grupo de pesquisano Núcleo Interdisciplinar de Pesquisa, Ensino e Didática das Ciências, Matemática e suas Tecnologias (NIPEDICMT) na

Universidade Federal da Bahia (UFBA)possibilitou-me ter contato com Teorias da Didática da Matemática que, por sua vez, apresentaram ferramentas que proporcionaram um olhar mais atento para nossa prática no contexto da sala de aula.

Segundo Almouloud (2007, p. 17) a Didática da Matemática tem sua origem na década de 1970, no fracasso da reforma da Matemática. Esse movimento colaborou na constituição da Didática da Matemática como área de investigação. Ainda de acordo Almouloud (2007, p. 17), "a complexidade das questões estudadas exigiu uma interlocução entre diversas áreas do conhecimento, como a matemática, a psicologia, a sociologia, a história da matemática, a linguística, a epistemologia, a filosofia e a informática aplicada à educação". Assim, possibilitou a evolução de teorias relacionadas às especificidades dos objetos4 matemáticos.

Na área da Educação Matemática, tal investigação está situada no campo da Didática que, nas palavras de Chevallard, pode ser definida como "a ciência das condições e restrições da difusão socialpara pessoas e instituições -das praxeologias" (2009, p. 12, tradução nossa) 5 , ou seja, a circulação dos saberes nas diferentes instituições. Dessa forma, os conhecimentos construídos pela humanidade, que tem relevância para a sociedade nas suas respectivas instituições, têm se transformado em saberes a serem aprendidos. E, para Brousseau (2008, p. 53), a Didática da Matemática é a "ciência das condições de transmissão e apropriação dos conhecimentos matemáticos úteis aos homens e às suas instituições". Essas definições apresentam a preocupação que a Didática possui em relação à aquisição dos saberes, seja pelos estudantes ou por qualquer outra pessoa.

Como mencionado anteriormente, o objeto 6 noção de limite faz parte do nosso interesse, como também a definição de limite 7 de funções. Tanto a noção de limite quanto sua definição estão previstas em diversos cursos da área de ciências exatas e da terra, e tecnológicas. Esse objeto tem uma ligação com outros conceitos tanto do mesmo componente curricular, como continuidade, derivada, integral e de outros, quanto com convergência e divergência de séries.

Dessa forma, o ensino de limite é uma porta de entrada para o conhecimento da matemática avançada, sendo um dos fundamentos do Cálculo. Assim, na organização do currículo de Cálculo, normalmente é apresentada como pressuposto à noção de limite, integrando-o a outros saberes dentro e fora do próprio componente curricular de Cálculo.

No que se refere ao tipo de pesquisa, a consideramos qualitativa e está inserida no paradigma didático do questionamento do mundo (PQM) (CHEVALLARD, 2018b, p. 44).

Consequentemente, adotamos a Praxeologia de Pesquisa (PP) (CHEVALLARD, 2014a) como método de pesquisa em didática da matemática e a Engenharia Didática [START_REF] Artigue | Ingénierie didactique[END_REF] como metodologia da nossa experimentação por atender nossos objetivos. Posteriormente, detalharemos melhor tais elementos.

Escolhemos8 como contexto dessa investigação o curso de Bacharelado em Ciências

Exatas e Tecnológicas (BCET) da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB). Esse Bacharelado, de acordo o Projeto Pedagógico do Curso (PPC), possui seis semestre de duração e "o egresso possuirá uma formação básica sólida e generalista, com capacidade, se caso desejar, de complementar sua área de profissionalização no campo das engenharias, ou Bacharelado em Matemática ou Bacharelado em Física" (UFRB, 2011, p. 9). Além disso, o BCET possui uma considerável taxa de reprovação e o nosso objeto matemático é integrante na ementa e nos planos de disciplinas dos professores, como também é um curso de base para 6 Utilizaremos a palavra objeto no contexto da Teoria Antropológica do Didático. Esta "considera que tudo é objeto, identificando diferentes tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e as posições que os indivíduos ocupam nestas instituições, tomando os indivíduos como sujeitos das instituições". (ALMOULOULD, 2007, p. 113). Também serão esclarecidos posteriormente no capítulo 2. 7 Vale ressaltar que não fizemos a separação como alguns autores, por exemplo, Stewart (2016, p. 71, 91) entre definição formal e definição intuitiva, pois, a nosso ver, a definição em Matemática deve apresentar uma linguagem clara, precisa, com rigor e objetividade. Dessa forma, consideramos ideia intuitiva e a definição de limite (algumas vezes, nos referindo à definição formal ou definição (, ), pois é assim que se encontra na literatura). De acordo Lima et al. (2006, p. 7), as definições matemáticas consistem em atribuir nomes a objetos que gozam de certas propriedades e contribuem para clareza do discurso e a economia do pensamento.

outros cursos da área de ciências exatas ou tecnológica em que a Matemática se faz essencial.

Sendo assim, a UFRB é uma instituição adequada para nossas investigações.

A busca em investigar o progresso dos estudantes relacionados ao saber dos limites de funções está ligada fortemente à autonomia dos discentes, que é o cerne do sistema didático ∑ = S (x, y, φ). Pois, ao constituir intencionalmente o sistema didático ∑, o professor (y) (diretor de estudo) tem como missão que o estudante (x) estabeleça uma relação pretendida institucionalmente com o saber (φ). Importante salientar que, ao final, tal sistema didático tende a desaparecer (sendo estabelecidos outros sistemas sem o auxílio do professor), de modo que o estudante consiga manter uma relação prevista institucionalmente com o saber em jogo. Para isso, dispomos da avaliação formativa que, juntamente com os momentos didáticos, poderão corroborar para o propósito estabelecido que é a relação esperada institucionalmente dos estudantes com as praxeologias matemáticas.

Entretanto, para se alcançar tais praxeologias institucionais, muitas vezes os estudantes passam por tentativassem sucesso -, evocando determinados erros. E, para essa ocorrência, o professor deve estar atento a fim de identificar tais erros e estar disposto a contribuir para que o estudante consiga estabelecer uma relação adequada com o saber em questão.

Esquematicamente, a pesquisa apresenta a seguinte trajetória, representada na Figura 1, a seguir: O desenho de pesquisa traça o caminho percorrido, partindo de nossa questão de pesquisa Q0 até chegar à resposta esperada R ♥ ao final da investigação. Para tanto, destacamos alguns elementos, como o Modelo Praxeológico Dominante (MPD), com os aspectos históricos e epistemológicos que tiveram sua influência na filosofia da matemática, logicismo, intuicionismo e formalismo até chegar às notações atuais das noções de limite. Além disso, nesse desenho, temos vigente uma análise dos documentos e elementos oficiais e, finalizando o MPD, temos uma inferência sobre a epistemologia desse objeto do saber pelos estudantes e professores. Em seguida, temos o Modelo Praxeológico de Referência (MPR), destacando as noções básicas para construção da noção de limite, a saber: números reais, valor absoluto, noções de funções, noções de lógica matemática e noções de limites. Apresentamos um sistema didático S (X; PFD; φ) com um Percurso Formativo Digital (PFD) para o estudo das noções de limite. E, por último, trazemos o Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), destacando a metodologia da experimentação, a engenharia didática e a praxeologia da avaliação. Nisto, apresentamos o sistema didático formado com o PFD que desaparece ao final (estabelecendo outros sistemas didáticos compostos pelas mais variadas mídias), buscando a autonomia do estudante que apresenta uma relação institucional com o objeto do saber RI (x, φ).

A seguir, apresentaremos como estão estruturados os capítulos:

No Capítulo 1 temos a Introdução com o tema de pesquisa, a problemática, com o nosso problema docente e, posteriormente, o problema de pesquisa e a motivação que nos levou a investigar tal problema. Também, apresentamos os objetivos a serem desenvolvidos e alcançados, além de nossas hipóteses, as quais conjecturamos que possam ser verificadas através do nosso referencial teórico e nossa metodologia.

Em relação ao Capítulo 2, são apresentadas as bases teóricas que assumimos como relevantes para desenvolver a pesquisa, tendo como lente a Teoria Antropológica do Didático (TAD), com ferramentas que embasarão nosso olhar. Também, nesse capítulo, buscamos um panorama dos pressupostos e elementos da avaliação formativa e, posteriormente, com elementos da Tecnologia da Informação e da Comunicação.

No Capítulo 3 descrevemos o nosso Modelo Praxeológico Dominante (MPD) que nasce a partir da dimensão econômica do problema didático, procurando analisar o que está posto, primeiramente através dos aspectos históricos e epistemológicos da evolução do conceito de limite, tal como o problema da área, da tangente, apresentando os fundamentos do Cálculo; e, consequentemente, as influências da filosofia da matemática no século XIX que levaram ao rigor do Cálculo Diferencial e Integral. Também, buscamos um diálogo com investigações que apresentavam o ensino de limite, analisamos alguns trabalhos. Ademais, fizemos uma análise institucional por meio de documentos oficiaiscomo Projeto Pedagógico do Curso pesquisado, decretos, ementase elementos institucionais, como o livro didático, entrevista com professores e estudantes, referente ao ensino e aprendizagem do objeto limite.

No Capítulo 4 apresentamos o Modelo Praxeológico de Referência (MPR), a partir de questionamentos sobre o MPD, trazendo a razão de ser do objeto limite de funções. Em seguida, modelamos uma situação para o ensino de limites de funções, criando uma organização matemática e didática, a partir das noções básicas até chegar à definição de limite por épsilon e delta. Diante disso, exploramos tais ideias na nossa experimentação que, aliada às ferramentas da TAD, ampliaram as conexões e análises, trazendo elementos como a praxeologia da avaliação para analisar as praxeologias dos estudantes, por fim respondendo o questionamento levantado no modelo que apresentamos acima.

No Capítulo 5 apresentamos a construção do nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), observando a dimensão ecológica do problema didático e tendo como ferramenta metodológica a engenharia didática. Assim, levamos em consideração os objetivos traçados pela pesquisa que deram apoio à elaboração do nosso percurso formativo digital, como também as nossas análises e discussões, com a pretensão de verificar e validar as hipóteses que construímos. Ademais, temos também a intenção de avaliar as estratégias propostas nos objetivos, respondendo aos questionamentos expostos no modelo apresentado.

E, finalmente, apresentaremos nossas Considerações Finais, retomando a questão inicial de pesquisa Q0, os objetivos propostos e as hipóteses levantadas, fazendo uma retrospectiva dos resultados que levaram à resposta da questão inicial e os objetivos construídos da investigação. Apresentamos também as reflexões e as limitações do nosso trabalho, assim como as perspectivas para estudos futuros.

Problemática

Como toda investigação científica nasce, a princípio, de uma problemática, evidenciaremos nossas inquietações de forma que o nosso problema seja compreensível. De acordo com nossa experiência docente e com a constatação de trabalhos acadêmicos apresentados a seguir, os estudantes, no início do processo de estudo da noção de limites, normalmente não conseguem compreender de forma satisfatória esse conceito, se deparando com alguns obstáculos, em parte, segundo Job (2011, p. 57, 152), devido à "naturalidade" mantida pelos professores com o conceito de limite. Em outras palavras, a noção de limite e alguns objetos que gravitam à sua volta já não são questionados, pois são tomados como garantidos. Doumbia (2020, p. 280) apresenta, em sua tese, que é importante compreender a definição da noção de limite para enfrentar obstáculos relacionados ao conceito de limite. Esses obstáculos, de acordo Doumbia (2020, p. 9), muitas vezes estão relacionados com as noções intuitivas, impedindo compreender a definição (por épsilon e delta), em que esta possibilita corrigir obstáculos como: "o limite atingido ou não", a ausência dos quantificadores, a confusão entre o limite e a continuidade, a consideração do domínio de definição no cálculo do limite.

Tais obstáculos marcam a passagem da Álgebra para a Análise Matemática. Como mostraremos no decorrer do trabalho, os estudantes normalmente não conseguem criar e estabelecer uma relação pessoal com esse objeto matemático, evidenciando, assim, dificuldades de compreensão das ideias que o envolvem. Segundo Doumbia (2020, p. 9), a manipulação com a definição de limite favorece que os estudantes atualizem outros conceitos relacionados, entre eles a noção de intervalo, de ordem em ℝ, valor absoluto e distância.

Ainda de acordo Doumbia (2020, p. 23), as técnicas comumente implementadas para calcular o limite são fatoração, simplificação, racionalização, mudança de variável, comparação de funções etc. e não permitem compreender e construir o conhecimento da definição do limite (além disso, essas técnicas são conhecimentos já disponíveis nos alunos)9 , limitando-se ao bloco prático-técnico e ausentando-se o bloco do logos (tecnologia e teoria).

Outros estudos também têm apresentado as dificuldades no que se refere ao ensino de limite de funções reais de uma variável real. Por exemplo, para Zuchi (2005, p. 157), a definição de limite representa um grande gargalo do ensino de Cálculo. Para essa pesquisadora, a definição é colocada de maneira direta e, na sequência, já se trabalha com a demonstração do limite nos livros didáticos, o que leva muitos alunos a concluir um curso sem entender a relação entre épsilon e delta. Para Santos (2013, p. 9), a definição de limite (, ) continua a ser um desafio tanto para quem ensina quanto para quem aprende mostrando, dessa forma, que novas pesquisas e investigações precisam ser desenvolvidas para contribuir no ensino desse objeto, enfrentando, dessa forma, os obstáculos e dificuldades frequentemente apresentadas pelos estudantes.

Consideramos aqui a definição (, ) de limite como uma linguagem formal, já que apresentam elementos que possibilitam uma relação mais geral entre os termos da noção 29 intuitiva, pois esta é vaga, imprecisa. Burigato (2019, p. 21) apresenta na sua tese: "se aproximar de um número por números cada vez mais próximo dele", "tão próximo quanto queira" ou "os valores da função tendem a um número, em que os valores da função vão se tornando arbitrariamente próximos a uma curva". Essas ideias são vagas e imprecisas, mas podem se aprimorar e consolidar ao se trabalhar o conceito de limite. Dessa forma, realizar uma transição entre o intuicionismo e o formalismo10 pode corroborar para uma melhor compreensão por parte dos estudantes. O que pode corroborar para uma melhor compreensão dos estudantes, implicando em uma desarticulação entre a noção intuitiva e a definição formal em termos de épsilon e delta para estes. Igliori (2015, p. 135) informa que "o conceito matemático de limite é uma noção particularmente difícil e tem uma posição central em todo estudo de Análise Matemática como, por exemplo, fundamento para a teoria da aproximação, da continuidade e do cálculo diferencial e integral". Neste sentido, Igliori (2015, p. 135) cita o trabalho de Cornu (1981), que aponta obstáculos relacionados ao conceito de limite como, por exemplo, a noção de infinitamente grande e infinitamente pequeno e o questionamento se um limite é atingido ou não. Job (2011, p. 30) apresenta a existência de dificuldades nos estudantes para compreender o conceito de limite na transição do ensino secundário para o universitário. O autor ainda aponta que muitos artigos relatam a dificuldade de fazer esta transição e sinalizam para baixas taxas de sucesso dos estudantes, por exemplo, a questão da definição pela lógica predicada, noções de infinitamente grande e infinitamente pequeno. Essas dificuldades têm contribuído para baixo rendimento dos estudantes e, consequentemente, "os maiores entraves a uma melhoria da educação têm sido o alto índice de reprovação e a enorme evasão", como infere D'Ambrósio (2012, p. 57), estando "ambos relacionados". Ao nosso olhar, esses entraves devem ter sempre uma atenção, com o intuito de fortalecer a luta de uma educação de qualidade, apesar de que a evasão é um processo complexo e depende de muitos fatores, tanto econômicos e como políticos.

Além do olhar para o objeto limite, apresentamos inquietações no que se refere à organização didática, pois habitualmente existe uma naturalidade à automatização no processo de ensino que, muitas vezes, apenas sinaliza o não acerto do estudante nas tarefas propostas.

Essa naturalidade não promove a reflexão e a análise da ocorrência de tais erros ou equívocos, deixando de evidenciar os motivos da não aprendizagem. Destarte, faz-se necessário um olhar para a construção dos estudantes, mesmo que tal construção não seja o esperado pela universidade ou pelo professor. Com isto, buscamos um olhar para as construções do estudante, desde a compreensão do enunciado até mesmo a resolução de outros problemas envolvendo o mesmo saber matemático em questão (limite de funções).

Nisto, percebemos que é possível dar uma ênfase no momento da avaliação, que compõe um dos seis momentos didáticos apresentados na Organização Didática da TAD. E, a nosso ver, o momento da avaliação sempre está relacionado com os demais, sendo que este pode ser considerado institucional e formativo. Com isto, buscaremos melhor compreender tanto a avaliação formativa quanto a sua relação na TAD.

Ademais, ao perceber a proximidade dos estudantes cada vez maior com as tecnologias digitais, propomos trazer os ambientes virtuais de aprendizagem para o trabalho do ensino de limites, já que essas ferramentas são capazes de estender o contato e a relação do professor com os estudantes para além do ambiente físico da universidade. Assim, os ambientes virtuais poderão ser um elemento contribuidor na relação com esse saber matemático, levando em consideração a avaliação processual da construção do conhecimento pelos estudantes.

Para chegarmos a nossa questão de pesquisa, nos baseamos em Gascón (2011, p. 204) e em Farras, Bosch e Gascón (2013, p. 2) que apresentam as dimensões de um problema didático, a saber: a epistemológica, a econômica e a ecológica com o intuito de formular o nosso problema de pesquisa. A epistemológica servirá para realizarmos um estudo do ponto de vista da história, no sentido de descrever como o objeto limite de funções foi concebido e também verificar contribuições a partir dos trabalhos dos pesquisadores. Quanto à dimensão econômica, nos basearemos em documentos oficiais, analisando livros didáticos, Projeto Político do Curso e outros documentos relacionados para verificar o que está posto. E a dimensão ecológica nos servirá no sentido de compreendermos como o saber limite de funções vive e sobrevive no BCET, observando as condições e restrições institucionais. Esses conceitos serão mais detalhados posteriormente na seção 2.0.

Observamos a seguinte definição que consta na maioria dos livros e textos universitários:

Definição de limite de funções: Seja f uma função definida em algum intervalo real aberto que contenha o número a, exceto, possivelmente, no próprio a. Sejam L, a números reais.

Dizemos que "o limite de f quando x tende para a vale L", e denotamos por 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿, quando ocorrer o seguinte: ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀, onde 𝑎, 𝐿 ∈ ℝ e ∀ 𝑎 ∈ Dom (f).

Essa definição de limite de uma função real em um ponto11 apresenta elementos como funções, números reais, noções de infinito, valor absoluto e questões relacionadas à lógica matemática (como quantificadores). Para Artigue (1995, p. 107), "Quando o ensino do cálculo começa, os números e funções reais não são objetos que os alunos desconhecem completamente" (tradução nossa) 12 . Mesmo que esses conceitos estejam disponíveis para os estudantes pelo fato de já terem sidos trabalhados anteriormente, "são objetos em construção" que não podem ser considerados "inertes" à medida que ocorre a aprendizagem do cálculo. "O aprendizado do cálculo se tornará justamente um dos motores de sua conceituação." (ARTIGUE, 1995, p. 108, tradução nossa) 13 . Desse modo, o estudo de limite de funções poderá contribuir para uma melhor compreensão do conjunto dos números reais e de funções dentre outros conceitos inerentes aos objetos do Cálculo, como outrora mencionado. Assim, os conceitos relacionados ao Ensino Médio têm forte ligação aos trabalhados no ensino de Cálculo.

Considerando essas informações e com base na nossa vivência da sala de aula, foi possível perceber de forma empírica um problema inicial que, segundo Gascón (2011, p. 205), pode ser chamado problema docente P 0 : Como trabalhar com os estudantes a noção de limites de funções por épsilon e delta estabelecendo uma conexão entre os símbolos? Ainda de acordo Gascón (2011, p. 205), esse problema inicial, a partir de elementos das dimensões epistemológica, econômica e ecológica (mais detalhes na seção 2.1.1) nos fornece o seguinte problema didático (P), que será nossa questão inicial de pesquisa (Q0):

Q0: Como as praxeologias didáticas contribuem para o ensino das noções de limite de funções reais de uma variável real em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e

Tecnológicas em ambientes virtuais de aprendizagens?

Assim, consideramos esse problema didático Q0 como nossa questão de pesquisa. Para buscar respondê-la, fundamentamos essa investigação na Teoria Antropológica do Didático (TAD) por fornecer elementos indispensáveis para analisar as praxeologias didáticas para o estudo da noção de limite, verificando as condições e restrições institucionais do curso citado.

Para a realização desse trabalho investigativo, nos apoiaremos no modelo da Praxeologia de Pesquisa (PP) (CHEVALLARD, 2014a(CHEVALLARD, , 2014b(CHEVALLARD, , 2014c[START_REF] Chevallard | Sur les praxéologies de recherche en didactique 2014-2015[END_REF], que nos ajudará a descrever melhor nosso percurso, e na metodologia da Engenharia Didática 14 , pois esta nos servirá para construir tarefas relativas à construção da noção de limite por parte dos estudantes.

Em consequência, nos propomos a apresentar reflexões teóricas e práticas em torno desse objeto e da organização didática, uma vez que conjecturamos que fornecerão elementos pertinentes para o engajamento do estudante no decorrer desses cursos.

Hipóteses

A partir das nossas experiências e através das ideias das dimensões 15 do problema didático, temos como hipótese principal H0: os elementos da avaliação formativa, o feedback e autorregulação, quando considerados pelos professores nas suas organizações didáticas, tal qual proposto por Chevallard (1998, p. 109), pode permitir um melhor desempenho dos momentos didáticos que, por sua vez, deve impactar na efemeridade de um dado sistema didático instaurado, contribuindo para autonomia do estudante para a aprendizagem do objeto limites de funções. Como hipóteses secundárias, temos:

H1: Existe uma ecologia 16 para a noção de limite em que a noosfera considera perdas e ganhos, bem como a necessidade desse saber nas organizações didáticas utilizadas por diferentes professores;

H2:

A regulação e o feedback, durante um trabalho em ambientes virtuais com as noções de limite de funções, poderão contribuir com as praxeologias construídas pelos estudantes;

H3: Um dispositivo didáticocapaz de promover a regulação e o feedbackpode promover a construção da noção de limite de funções durante um trabalho com os estudantes, contribuindo para a autonomia destes.

No decorrer do trabalho, investigaremos cada uma destas hipóteses no sentido de relacioná-las à nossa questão inicial Q0. Assim, o nosso diferencial é propor um modelo didático para o estudo da noção de limite, modelo este com subsídios nos momentos didáticos propostos 14 A noção de Engenharia Didática surgiu na Didática da Matemática no início da década de 1980. Em comparação ao trabalho de um engenheiro que, para realizar um projeto específico, conta com o conhecimento científico de sua área e concorda em se submeter a um controle científico (ARTIGUE, 1995, p. 33). 15 Serão detalhados no Capítulo 2. 16 Ecologia do contexto da Teoria Antropológica do Didático designa como, por que e de que forma o saber vive ou deixa de viver em uma instituição, com perguntas: Como deveria existir? O que poderia existir? Quais são as condições que favorecem, permitem ou, pelo contrário, impedem a existência de tal objeto? Mais informações estão disponíveis em: https://ardm.eu/qui-sommes-nous-who-are-we-quienes-somos/yves-chevallard-la-theorieanthropologique-du-didactique/. Acesso em: 5 mar. 2020. Posteriormente, retomaremos e discutiremos sobre ecologia do saber.

pela TAD e nos pressupostos da avaliação formativa, promovendo, por intermédio de ambientes virtuais de aprendizagens, um diálogo e contribuindo para a autonomia dos estudantes.

A seguir, apresentaremos os objetivos da nossa investigação.

Objetivos

É importante salientar que não pretendemos em nenhuma pressuposição criar ou propor uma solução mágica capaz de zerar os índices de reprovação em Cálculo. O intuito é contribuir para que docente e pesquisadores reflitam sobre a prática da avaliação formativa, levando em consideração o objeto limite de funções, tendo como aporte pressupostos da Teoria Antropológica do Didático. Destarte, a nossa investigação é constituída do objetivo geral que nos levou a descrever outros objetivos menores (específicos) para nos amparar, fornecendo subsídios e direcionamento à nossa investigação.

Objetivo Geral:

• Investigar como as praxeologias didáticas contribuem para o ensino das noções de limite de uma função real em ambientes virtuais de aprendizagem.

Objetivos Específicos:

• Verificar como vive o modelo vigente do saber limite e as diferentes concepções dos estudantes e dos professores de cálculo em relação a esse saber;

• Construir um modelo de referência para o trabalho da noção de limite levando em consideração a noção intuitiva e a definição (épsilon e delta), como também os pressupostos da avaliação formativa em ambientes virtuais de aprendizagem;

• Analisar as potencialidades e desafios de um dispositivo didático (com pressupostos da avaliação formativa) na construção da noção de limite contribuindo para a autonomia dos estudantes.

Esses objetivos elencados foram elaborados a partir do nosso problema docente e, posteriormente, do nosso problema de pesquisa.

Metodologia da pesquisa

Descrevemos aqui tanto a metodologia utilizada para nortear o nosso trabalho, a Praxeologia de Pesquisa, como também a metodologia que corroborou com a nossa experimentação, a Engenharia Didática.

Praxeologia de Pesquisa

Para melhor apresentação desse trabalho, estruturaremos nosso percurso investigativo embasado no modelo da Praxeologia de Pesquisa de Chevallard (2007, p. 4;2008, p. 4;2014a;[START_REF] Hoffmann | Avaliação: mito & desafio[END_REF]2014c;[START_REF] Chevallard | Sur les praxéologies de recherche en didactique 2014-2015[END_REF]2016, p. 18;2018b, p. 44), que apresenta um esquema didático intitulado Esquema Herbartiano 17 . Nesse esquema, o autor substitui o paradigma escolar do inventário dos saberes (monumentalismo) pelo paradigma escolar do questionamento do mundo, pois, em vez de uma leitura invariante do universo dos saberes (visita às obras ou os conhecimentos), utiliza a leitura questionadora do Mundo (incluindo o mundo dos saberes!). A seguir apresentaremos mais detalhes do sistema Herbartiano.

Dessa forma, nesta investigação, utilizando as ideias do sistema Herbartiano proposto por Chevallard (2016, p. 17), a nossa pesquisa fica escrita da seguinte maneira [S ( ; ; Q0) ➦ M] ➥ R ♥ consideremos  (ksi) o pesquisador, o  (zeta) a ajuda ou supervisão (orientador e coorientador), com um meio M estabelecido, ou seja, o levantamento da revisão de literatura (resultados de pesquisas que coadunam com nosso objetivo para situarmos nossas discussões), os questionários de intervenção (tanto aos professores quanto aos estudantes), a intervenção que será a experimentação da Engenharia Didática construída, as orientações, a experiência docente, através da dialética mídia-milieu referente aos milieu 18 evocados da investigação, questões e respostas parciais, entre outras, que visarão responder a questão Q0 para chegar a uma resposta R ♥ (resposta esperada ao final da investigação).

Outras pesquisas de doutoramento em Didática da Matemática também já utilizaram as ideias da Praxeologia de Pesquisa como, por exemplo, Pereira (2017, p. 17, 98), Matos (2017, 17 Johann Friedrich Herbart (1776-1841). 18 Utilizaremos a própria palavra milieu, em língua francesa proposta por Chevallard, no nosso trabalho, pois, a nosso ver, a simples tradução de milieu na língua portuguesa é 'meio', mas a compreensão e o significado de um milieu, na Didática da Matemática da escola francesa, é muito mais amplo que o significado de 'meio'. Na Teoria das Situações Didáticas (TSD), frente a uma situação de aprendizagem, o milieu do aluno é "Tudo aquilo que não é o próprio aluno" e suscetível de interferir no processo de aprendizagem desse aluno (as atividades propostas pelo professor, as variáveis didáticas dessas situações, os conhecimentos/saberes que devem ser mobilizados para resolver tais atividades, os conhecimentos/saberes novos que devem ser aprendidos pelo aluno, as interações com o professor, com os outros alunos, etc.). Já o milieu na TAD, não prefixado como na TSD, inclui os elementos citados anteriormente acrescidos das obras construídas e/ou consultadas.

p. 94) e Britto (2019, p. 64, 65) que organizaram suas pesquisas através de uma questão geratriz Q0 e uma resposta esperada R ♥ para desenhar os seus percursos investigativos.

Nesse sentido, de acordo Chevallard (2016, p. 17),

A função praxeológica que uma pergunta assume é acionar ou reacender uma investigação sobre alguma coisa. Como podemos descrever o que acontece quando um aluno x ou uma classe X estuda uma pergunta Q sob a supervisão de Y? Ou quando um pesquisador  ou uma equipe de pesquisa  estuda uma pergunta Q, possivelmente sob a supervisão de um chefe de pesquisa  (zeta {ˈziːtə}) ou um coletivo de supervisores Z? (CHEVALLARD, 2016, p. 17, tradução nossa). 19Dessa forma, a TAD indica que a questão inicial deve promover inquietações (no nosso caso, no pesquisador ) de modo que se busquem incessantes respostas, criando (➦) o meio M e produzindo (➥) uma resposta R ♥ para a questão geratriz Q0. Nesse sentido, a busca na literatura (em outras pesquisas correlacionadas) produzirão respostas "validadas" por instituições ou elementos institucionais como, por exemplo, os livros, teses, dissertações e artigos científicos que tratam do mesmo tema da nossa questão (CHEVALLARD, 2018b, p. 44;2009, p. 21). Tais respostas são geralmente indicadas por Ri ◊ (1  i  m; i, m ℤ), onde a letra R é seguida por um pequeno losango, sendo considerado genericamente como a "marca registrada" de alguma instituição ou pessoa, pois essa consulta e análise "marcam" suas respostas às perguntas que está enfrentando. Nesse estágio, o meio M deve, portanto, ser escrito assim: M = {R1 ◊ , R2 ◊ ,..., Rm ◊ ; m ℤ} cujo símbolo ◊ lembra que cada uma recebeu o "carimbo" de alguma instituição (CHEVALLARD, 2009, p. 22).

Segundo Chevallard (2016, p. 18), para recorrer a tais respostas Ri ◊ , o sistema recorre a trabalhos de vários tipos, como teorias, experimentos, narrativas historiográficas, etc. Por conseguinte, o meio agora deve ser escrito como: M = {R1 ◊ , R2 ◊ ,..., Rm ◊ ,Wm+1, Wm+2,…, Wn; m, n ℤ} e, para usar esses trabalhos, o pesquisador precisa estudá-los. Entretanto, para Chevallard (2016, p. 18), o que significa estudar um trabalho W, que não é em si uma pergunta? Consiste em estudar uma série de questões Qw sobre o trabalho em questão. Assim, apesar da apresentação sequencial que acabamos de fazer, a resposta R ♥ à questão inicial emergirá de um conjunto de ciclos entrelaçados de estudo de questões. Consequentemente, o estudo de qualquer trabalho resume-se ao estudo de perguntas. Portanto, o conjunto de perguntas Qw depende da investigação sendo conduzida: como regra geral, elas podem diferir de acordo com a pergunta (geradora) de pesquisa Q0 e a maneira como a investigação é realizada. Em geral, todos os itens do meio devem levantar questões que, normalmente o sistema terá que se debruçar. Agora, o M assume a seguinte aparência: M = {R1 ◊ , R2 ◊ ,..., Rm ◊ , Wm+1, Wm+2, …, Wn, Qn+1, Qn+2,…, Qp ; m, n, pℤ}.

Ainda entre as obras em que um sistema pode se basear (ou também produzir) para chegar à resposta esperada R ♥ , são trabalhos imprescindíveis para a pesquisa empírica:

produção de dados (questionários, experimentação das tarefas,...) de vários tipos, que pode ser designado pela letra D. O meio agora pode ser escrito da seguinte forma M ={R1 ◊ , R2 ◊ ,..., Rm ◊ ,Wm+1, Wm+2,…, Wn,.… , Qn+1, Qn+2,…, Qp, Dp+1, Dp+2,…, Dq} (CHEVALLARD, 2016, p. 18).

Dessa maneira, inserimos nossa pesquisa nesse sistema, utilizando tais ideias por entender que nosso percurso investigativo fica ajustado com nossa proposta. Com o intuito de facilitar o entendimento desse percurso, iniciaremos os tópicos (seções) com questionamentos (Q j ), que delinearão o discurso destes. Tais questionamentos estão ligados à nossa questão inicial (Q0), aos objetivos, às hipóteses e às dimensões do problema didático, que produzirão respostas parciais (Ri ◊ ) e contribuirão para a nossa resposta esperada (R ♥ ).

Seguem as questões:

• Q1: Qual trajeto realizado para chegar à notação da definição atual de limite de funções?

(seção 3.1);

• Q2: O que dizem as pesquisas sobre o ensino do conceito de limite de funções? (seção

3.2);

• Q3: Como é a ecologia para a definição de limite presente em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas? (seção 3.3);

• Q4: Quais as praxeologias evocadas pelos estudantes referentes à noção de limites? (seção 3.3.3);

• Q5: O que pensam os pesquisadores e professores de Cálculo sobre esta ecologia? Existe alguma divergência acerca das perdas e ganhos, pertinência, presença, coerência, importância e necessidade desse objeto nas organizações didáticas utilizada por diferentes professores? (seção 3.3.4);

• Q6: Como acontece o feedback e regulação do processo de ensino e aprendizagem em um curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas? (seção 3.3.5);

• Q7: Quais as condições e restrições na ecologia para a noção de limite presente em um curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas? (seção 3.3.5);

• Q8: Qual a importância do conceito de limite nos cursos de Cálculo? (seção 4.1);

• Q9: Como poderia ser uma organização matemática para o trabalho com as noções de limites? (seção 4.3);

• Q9.1: Como a regulação e o feedback poderão contribuir no trabalho com a noção de limite de acordo com as praxeologias construídas pelos estudantes? (seção 4.3.2);

• Q9.2: De que forma um dispositivo digital possibilita a interação com os estudantes durante o sistema didático instaurado? (seção 4.3.3);

• Q10: Quais as possíveis potencialidades e limitações de um dispositivo didático (capaz de promover regulação e o feedback) durante um trabalho com estudantes na construção da noção de limite? (seção 5.1);

Tais questões elencadas, Q1 a Q10, foram obtidas a partir da questão Q0 juntamente com as hipóteses de pesquisa e os objetivos mencionados.

Em síntese, temos que a nossa investigação possui uma questão Q0 inicial que, de acordo com idas e vindas, com respostas parciais e provisórias (Rm ◊ )muitas vezes passageirasnos leva a outros questionamentos (Qj) e consultas a diversos outros trabalhos ou obras (Wk), e a experimentação: coleta, produção e análise de dados (Dp+1), confrontando com nossas hipóteses Hi (iℤ; 0  i  3) para chegar à resposta esperada a R ♥ .

Vale salientar que estamos em concordância com Farras, Bosch, Gascón (2013, p. 6) que as respostas (Rm ◊ ) por meio da TAD são provisórias sem pretender que seja uma resposta completa ou, muito menos, definitiva.

A Engenharia Didática

Trata-se de uma pesquisa qualitativa no que se refere ao seu método de produção e análise dos dados. Os resultados qualitativos que buscamos não necessariamente se tornarão um produto educacional, entretanto permitirão a compreensão dos efeitos promovidos pelo desenvolvimento de um percurso formativo digital no modelo praxeológico formativo alternativo.

Diante dos objetivos propostos nesse estudo, apresentamos como metodologia da nossa experimentação a Engenharia Didática. Esta, a nosso ver, viabiliza fornecer subsídios para responder a nossa questão de pesquisa Q0, pois podemos levantar nossas análises e, a partir destas, construir nossas reflexões e considerações.

Conforme Artigue (1995, p. 34), a Engenharia Didática possibilita abordar as questões cruciais relacionadas à Didática da Matemática, como: "As relações entre pesquisa e ação no sistema de ensino e o papel que deve ser feito para assumir as "realizações didáticas" em aula, dentro das metodologias de pesquisa didática" (ARTIGUE, 1995, p. 34, tradução nossa). 20Artigue (1995, p. 36) descreve a engenharia como "Um esquema experimental baseado em realizações didáticas em sala de aula, isto é, sobre as concepções, a realização, a observação e a análise de sequências de ensino" (ARTIGUE, 1995, p. 36, tradução nossa) 21 . Consoante com Pais (2011, p. 99), esse tipo de metodologia caracteriza uma forma particular de organização dos procedimentos metodológicos da pesquisa em Didática da Matemática, e que possui uma concepção que contempla tanto a dimensão teórica como experimental da pesquisa em didática. Um dos trabalhos mais interessantes realizados pelo professor, de acordo Chevallard (2009, p. 6), tem sido o de conceber, realizar, observar e analisar sequências de ensino que explorem um domínio do conhecimento. Essas sequências de atividades se apresentam como objetos da Engenharia Didática. Na nossa investigação, tais sequências têm uma importância imprescindível para explicitar fenômenos didáticos a partir das produções dos estudantes.

Segundo [START_REF] Brousseau | Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino[END_REF], citado por Chevallard (2009, p. 2), a Engenharia Didática consiste em determinar dispositivos de ensino comunicáveis e reprodutíveis. Na nossa investigação trabalharemos com a Engenharia Didática clássica ou de primeira geração que, consoante Almouloud e Silva (2012, p. 26), emergiu na Didática da Matemática no início dos anos 1980, primeiramente em 1982 por Yves Chevallard e Guy Brousseau, depois em 1989 por Michèle Artigue. De acordo com Chevallard (2009, p. 5), a Engenharia Didática foi apresentada como uma metodologia de pesquisa suscetível de fazer aparecer fenômenos didáticos em condições mais próximas possíveis do funcionamento de uma sala de aula clássica.

Mais especificamente, a Engenharia Didática que compõe essa investigação está mais próxima da abordagem apresentada por Philippe Carré em Chevallard (2009, p. 7), que trata da engenharia de tecnologias educacionais. Esta, refina o design, a implementação específica, a otimização, a avaliação, a melhoria dos meios tecnológicos utilizados, de maneira transversal a serviço das engenharias: de treinamento (que determina a posição do treinamento, com domínio sobre a logística e melhoria em geral), pedagógica (que aprimora o design, a condução, a avaliação e a melhoria dos processos pedagógicos, com base em um contrato educacional) e didática (que refina o design, a conduta, a avaliação e melhora situações de aprendizagem, com base em contrato didático).

Assim, Chevallard (2009, p. 11) menciona que a metodologia relaciona-se com as praxeologias de pesquisa colocadas em jogo em um determinado campo (ou em uma determinada pesquisa específica). Destarte, conforme o autor, hoje parece mais necessário do que nunca combater os efeitos rotineiros ou quase a naturalização de métodos utilizados.

Como pretendemos criar uma sequência para a introdução da definição de limite, essa metodologia, a nosso ver, é coerente para testar nossas hipóteses e buscar contribuições a partir de nossas análises.

De forma resumida, apresentamos as fases da Engenharia Didática:

As análises preliminares, que estarão baseadas no MPD e no MPR compreendendo uma análise epistemológica e institucional do objeto limite de funções, evidenciando as possíveis lacunas encontradas, e servirá para enrobustecer o MPFA. Na fase da análise a priori, que consiste em preparar a nossa sequência de ensino, levantaremos as prováveis considerações a respeito do que pode ocorrer, controlando possíveis desvios. A seguir, virá a fase da experimentação, onde será o momento de se colocar em prática o dispositivo didático construído. Na fase de análise a posteriori e validação recolheremos as informações e verificaremos, em confrontação com o que presumimos nas análises a priori. Cada fase está detalhada no Modelo Praxeológico Formativo Alternativo. O Capítulo 4 detalhará melhor como esses aportes estão subsidiando o processo investigativo para alcançar nosso objetivo.

Apesar de a nossa lente teórica ser a TAD, decidimos buscar também a metodologia da Engenharia Didática para auxiliar na condução da nossa investigação, pois, ao nosso entender, possibilitaria no auxílio para responder nossa questão de pesquisa e constatar nossas hipóteses.

Em síntese, no Capítulo 1, realizamos uma introdução ao nosso problema de pesquisa, abordando a nossa conjectura sobre a problemática e colocando na mesa as hipóteses.

Apresentamos os objetivos e a metodologia empregada na pesquisa, como também os aspectos metodológicos da nossa experimentação, fornecendo em linhas gerais como pretendemos abordar a questão Q0 e chegar à resposta esperada R ♥ .

CAPÍTULO 2

Nesse capítulo, apresentamos as bases teóricas que têm como aporte principal a Teoria Antropológica do Didático, e como embasamento secundário a Avaliação Formativa.

Discorreremos de que forma tais elementos serão úteis no desenvolvimento do trabalho.

BASES TEÓRICAS

A seguir, faremos um comentário sobre o quadro teórico e os pontos que se relacionam com a nossa investigação. Depois, dentro da discussão do nosso tema, evocaremos mais detalhadamente elementos do referencial adotado para dialogar e fornecer subsídios para nossas análises.

Para o desenvolvimento desse trabalho, foi necessário nos apoiarmos em um referencial teórico que permitisse analisar a relação entre os sujeitos pesquisados, o objeto do saber matemático e as instituições (como proposto por [START_REF] Chevallard | Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques: L'approche anthropologique[END_REF]). Assim, utilizamos a Teoria Antropológica do Didático (TAD), sistematizada por [START_REF] Chevallard | Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques: L'approche anthropologique[END_REF] e colaboradores, como base teórica para fundamentar todo nosso trabalho, em conformidade com pressupostos da avaliação formativa em ambientes virtuais de aprendizagens para o estudo das noções de limites.

A Teoria Antropológica do Didático

A noção de limite ocupa um lugar não negligenciável na matemática, particularmente no cálculo, através da teoria da aproximação, continuidade, cálculos diferenciais, teoria da integração, etc. Tal noção é uma das que parece, a priori, muito difícil. Uma análise mais aprofundada do currículo da Educação Básica pode, certamente, mostrar que a noção de limite é aprendida (de forma intuitiva) no Ensino Fundamental com números irracionais, dízimas periódicas, cálculo aproximado de áreas e, no Ensino Médio, com soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. Mas, sua implementação parece não satisfazer a sua compreensão, embora seja tão importante que a noção de limite se dissemine no ecossistema didático em relação à sua epistemologia.

A monotonia evidenciada na análise epistemológica do objeto limite aponta que três caminhos distintos são evidenciados no discurso dos professores (como veremos na seção 3.3.4), enquanto no conteúdo dos componentes curricular do Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas (BCET) da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB) é explícito o objeto limite (como analisaremos na seção 3.3.1) com dois caminhos distintos como evidenciamos, na prática: a relação institucional e pessoal dos professores tanto com a noção intuitiva e como a definição de limite por épsilon e delta. Com isso, ao se aproximar e conhecer o trabalho dos professores na universidade em que realizamos a experimentação, foi possível ver a epistemologia dos docentes e seus posicionamentos em relação aos dois caminhos evidenciados.

Normalmente, como veremos no MPD (seção 3.3.3) os estudantes abandonam o entendimento, ou seja, a tentativa de compreender desde quando é apresentada, ao invés de tentar apropriar-se da noção de limite. Assim, é importante, se não imprescindível, perguntar:

Como o diálogo entre a Organização Matemática (OM) e a Organização Didática (OD) pode ser adaptado ao ensino da noção de limite de uma função para superar esses obstáculos? A combinação de uma modelização dos métodos de ensino e o uso das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC 22 ) está entre as soluções possíveis? Encontramos na Didática da Matemática caminhos para respondermos essas questões.

Com o estudo dos fenômenos de ensino e aprendizagem da Matemática, tornou-se necessário o desenvolvimento de modelos teóricos que possam caracterizar o conhecimento, bem como sua evolução do ponto de vista da história e do desenvolvimento escolar. Dessa forma, um movimento de pesquisadores, preocupados com os fenômenos relativos ao ensino e aprendizagem da Matemática, emerge com algumas teorias nesse sentido, dando início ao campo da Didática da Matemática na França com interesse nos processos de transmissão e aquisição de conhecimentos relacionados a essa disciplina (FARIAS, 2010, p. 24-25). Esse movimento se preocupa com as interações entre os processos de ensino e aprendizagem da Matemática e o particular interesse para as transformações onde o saber se torne um objeto de ensino e, consequentemente, de conhecimento.

Nessa época, nasce na França na década de 1990, a Teoria Antropológica do Didático (TAD), idealizada por Yves Chevallard (Marselha, França), como uma evolução de sua pesquisa inicial que tratava dos processos da transposição didática. O conceito de transposição didática foi introduzido inicialmente por Michel Verret, em 1975, em seu trabalho Le temps des études 23 ; em seguida, esse termo foi introduzido por Yves Chevallard no âmbito da Didática da 22 Equipamentos que se utilizam do processamento de dados armazenados e funcionam através da decodificação de códigos numéricos. Extraído de: https://marceladamaris.com/tecnologia-td-tic-tdic-e-te-qual-e-a-diferencaentre-esses-termos/. Consultado em: 20 set. 2019. 23 O tempo dos estudos (tradução nossa).

Matemática através do trabalho conjunto com Marie-Alberte Johsua, em 1982, Un exemple d'analyse de la transposition didactique -La notion de distance 24 , cujo objetivo era analisar e discutir a noção matemática de distância.

Conforme Astolfi e Develay (1991, p. 48), Chevallard e Joshua examinaram as transformações sofridas por esse conceito entre o momento de sua introdução em 1906, por

Fréchet no "saber sábio", e o momento de sua introdução em 1971, nos programas de Geometria do Ensino Fundamental em relação à reta. As bases teóricas da transposição didática assentamse no estudo das transformações que um determinado saber sofre para que possa ser ensinado, ou seja, analisa as modificações do saber sábio para o saber ensinar. Assim, com a evolução do conceito de transposição didática, inseriu-se a didática no campo da antropologia tendo como foco o estudo das organizações praxeológicas didáticas intencionadas para o ensino e a aprendizagem das organizações matemáticas (ALMOULOUD, 2007, p. 111).

Para Chevallard (2018a, p. 21), "na ciência, nada é sempre concluído e, consequentemente, qualquer ensaio de totalização é, necessariamente, aproximativo e sujeito a revisões". A TAD é uma jovem teoria e, desde a sua criação, já foram organizados seis congressos internacionais para discorrer sobre ela (ALMOULOUD; FARIAS; HENRIQUES, 2018, p. 11), ocupando lugar de destaque em âmbito internacional na pesquisa em didática.

A seguir, apresentaremos alguns pressupostos dessa teoria que dialogarão com o nosso trabalho. Visto que essa investigação encontra na TAD um forte potencial no que concerne à nossa questão de pesquisa, isso permite estudar as condições (e restrições) do funcionamento de sistemas didáticos e das relações sujeito-instituição-saber e, no nosso caso, possibilitará o estudo dos sistemas didáticos que construiremos dentro da nossa engenharia didática.

As três dimensões do problema didático

Servir-nos-emos do sistema heurístico descrito por Gascón (2011, p. 205) e por Farras, Bosch e Gascón (2013, p. 2): {[(P 0  P 1 ) P 2 ] P 3 } P  , onde P  é o problema didático 25 ; P1, P2 e P3 representam as dimensões fundamentais do problema docente P0, em que P1 é a dimensão epistemológica, P2 a dimensão econômica e P3 a dimensão ecológica. O símbolo  refere-se ao fato de que P0 é um problema didático incompleto (uma formulação inicial, de certa forma pré-científica), sendo necessário adicionar, pelo menos, a dimensão epistemológica P1 para que possa ser considerado um problema.

O símbolo  não deve ser considerado como uma inclusão, porém indica que cada uma das dimensões Pi é, logicamente, anterior à dimensão Pi+1, ou seja, Pi antecede Pi+1, ou mesmo, que uma formulação completa Pi+1 requer uma formulação prévia (ainda que implícita) de Pi (GASCÓN, 2011, p. 206).

O nosso problema docente P0 está diretamente relacionado com o cotidiano da sala de aula quando ensinamos, por exemplo, um tópico de cálculo diferencial e integral aos estudantes, sendo formulados a partir de noções disponíveis na cultura escolar, usualmente importadas de documentos curriculares como noções de funções, números reais, trigonometria. No nosso caso, relembrando o que expomos na introdução, temos P0: Como trabalhar com os estudantes a noção de limites de funções por (, ) estabelecendo uma conexão entre os símbolos? Esse problema juntamente com as dimensões P1, P2 e P3 fornecerá subsídios para nosso problema didático P  : Como as praxeologias didáticas contribuem para o ensino das noções de limite de funções reais de uma variável real em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e

Tecnológicas em ambientes virtuais de aprendizagens?

Segundo Gascón (2011, p. 208), a dimensão epistemológica P1 contribui para desenvolver o modelo epistemológico de referência (MER) que tem sempre um caráter provisório, que consideramos o Modelo Praxeológico de Referência (MPR), pois através do MPR é possível desconstruir e reconstruir as praxeologias referentes ao estudo das noções de limite. Lembrando que, para Chevallard (1991;[START_REF] Chevallard | Estudiar matemáticas: El eslab´n perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. 1[END_REF] apud Gascón (2011, p. 208), não existe um sistema de referência privilegiado a partir do qual se observa, analisa e julga o mundo dos saberes, não utilizando, assim, um sistema de referência absoluto, mas sim sistemas de referências relativos. E para fazer tais análises, questionamos sobre os conhecimentos dos processos pelos quais os conceitos científicos são formados e desenvolvidos.

Além disso, na dimensão epistemológica, realizamos um estudo de elementos históricos do objeto matemático, o que possibilitou identificar a razão deste, bem como um estudo das contribuições de trabalhos de pesquisadores nacionais e internacionais que coadunam com o nosso tema.

Consoante com [START_REF] Gascón | Las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico[END_REF], p. 209) e Farras, Bosch e Gascón (2013, p. 5), o MER é imprescindível para estudar o saber matemático antes que se transforme em saber ensinado e está diretamente relacionado ao processo de transposição didática, como é apresentado na Figura 2. Na dimensão ecológica (P3), Farras, Bosch e Gascón (2013, p. 19) apresentam que é a relação institucional com o nosso objeto de pesquisa e, também, verificar quais as condições possíveis para mudá-la dentro do nosso universo de pesquisa. Segundo esses autores, as possíveis respostas dependerão, antes de tudo, da maneira de interpretar o MPR e o MPD que construímos. Assim, diversos materiais nos servirão como, por exemplo, respostas dos professores e estudantes a questionários que elaboramos, livros didáticos, documentos oficiais utilizados para analisar a ecologia referente ao limite de funções, identificando as condições e restrições institucionais. Isso tudo possibilitará a observação das lacunas existentes ao questionar o MPD na instituição de ensino do nosso contexto de investigação.

Essas dimensões nos servirão para guiar o percurso investigativo de modo a responder nossos objetivos e confrontar com nossas hipóteses.

Praxeologia

O postulado de base da TAD é que toda atividade humana, bem como suas produções, podem ser descritas em termos de um modelo único, que se resume na palavra praxeologia. Esse modelo é composto por: tipo de tarefas (T) (são identificadas por um verbo de ação: calcular, decompor, integrar ou mesmo dirigir, nadar,...); técnicas (τ) que resolvem as tarefas desse tipo; tecnologia (θ) que justifica as técnicas (τ) e garante sua validade, e a teoria (Θ) que justifica a tecnologia. Chevallard (2018b, p. 34) considera a praxeologia como coração da TAD, ou seja, está no centro das discussões.

Esta

Exemplificaremos a noção de praxeologia com um caso do cotidiano para melhor compreensão: consideremos a ação de dirigir como um gênero de tarefas. Nesse sentido, dirigir um caminhão é um tipo de tarefa T, pois pode ser um caminhão-caçamba, caminhão-baú, caminhão-tanque (com combustível ou outro produto inflamável, ou mesmo com água potável), carga-viva (com animais, a exemplo gado), caminhão-cegonha (que carrega diversos automóveis menores), guincho, bitrem, ou seja, a depender do tipo de caminhão isso requer uma técnica τ específica, existe uma tecnologia θ que justifica como dirigir o caminhão-cegonha em estradas íngremes, ou com baixa visão (devido à neblina) e, por si, existe uma teoria Θ que justifica tal técnica. Não é diferente no contexto matemático para uma pessoa (estudante) quando se propõe a realizar uma determinada tarefa (exercício, questão), uma vez que esta requer o conhecimento de uma ou mais técnicas, ou seja, estratégias distintas para resolver a tarefa.

A praxeologia, como ferramenta fundamental da TAD, servirá para descrever nossas análises a priori, ou seja, as tarefas com as possíveis técnicas esperadas dos estudantes na construção do nosso conjunto de tarefas, bem como analisar as respostas dos discentes referentes aos nossos questionários. E, servirá também para analisar as tarefas propostas nos livros didáticos e o discurso teórico que apresentam. Retomaremos aos elementos da praxeologia no decorrer da investigação.

A dialética dos ostensivos e não ostensivos

Utilizaremos a dialética dos ostensivos e não ostensivos que, resumidamente nas palavras de Bosch e Chevallard (1999, p. 86), é a distinção entre os objetos que compõem uma Organização Matemática. Os objetos ostensivos (vem do latim "ostendere", que significa apresentar com insistência) se referem aos objetos que tenham natureza sensível, certa materialidade e que, para o ser humano, adquirem uma realidade perceptível como, por exemplo, sons (entre os quais as palavras da língua), gráficos (entre os quais permitem escrever textos naturais ou constituintes das línguas formais) e gestos (por exemplo, realizados pelo corpo, ou mesmo pelas mãos). Chevallard (1994, p. 4-5) classifica tais objetos ostensivos da seguinte forma: ostensivos materiais: uma caneta, um compasso, etc.; ostensivos gestuais: os gestos; ostensivos discursivos: as palavras, e, mais genericamente, o discurso; ostensivos gráficos: os esquemas, desenhos, grafismos; ostensivos escriturais: as escritas e os formalismos.

Os objetos não ostensivos são todos os "objetos", como ideias, intuições ou conceitos, que existem institucionalmente no sentido de que alguém lhes atribui uma existênciasem poder ser visto, dito, ouvido, percebidos ou mostrados; eles só podem ser evocados pela manipulação apropriada de certos objetos ostensivos associados (uma palavra, uma frase, um desenho gráfico, uma escrita, um gesto ou um mesmo discurso longo).

Tais classificações servirão para compreender de que maneira são apresentados os ostensivos e não ostensivos referentes à definição de limite, buscando maneiras de materializar (ostensivos) procedimentos que levem os estudantes a melhor compreender as ideias de limite (não ostensivos).

Para Kaspary e Bittar (2018, p. 394), os ostensivos são o material empírico que permite compreender a atividade humana (em particular, àquelas voltadas para o estudo de um objeto matemático), sendo o modelo praxeológico um instrumento principal de desenho, evidenciado pelos ostensivos. Essas autoras chamam de ingrediente primário da técnica. Assim, os ostensivos para o nosso trabalho têm uma relação direta com o objeto limite e buscaremos, dessa forma, estabelecer essa relação no decorrer do trabalho.

Níveis de Codeterminação Didática

Existe uma hierarquia nos níveis de codeterminação proposto por Chevallard (2002, p. 41) que é responsável pela ecologia das organizações didáticas, as quais os didatas da matemática devem refletir para obter compreensão mais profunda do seu papel científico e político. De acordo Chevallard (2002, p. 50), cada nível tem referência a uma realidade e auxilia a determinar a ecologia das organizações matemáticas e didáticas relativas ao saber.

Buscaremos nos níveis de codeterminação descrever o que temos em cada nível, analisando as influências, condições e restrições entre um nível superior e inferior da escala referente ao nosso objeto limite. A TAD não se restringe apenas à classe (a sala de aula), ela investiga desde o micro (da disciplina à tarefa) até o macro (da sociedade à civilização), assim podemos ter uma melhor visão do que acontece tanto na sala de aula como na noosfera26 .

Nesse sentido, é proposta por Yves Chevallard (2007, p. 2) uma escala de níveis de codeterminação didática, como: (-3) civilização ↔ (-2) sociedade ↔ (-1) escola ↔ (0) pedagogia ↔ (1) disciplina ↔ (2) domínio ↔ (3) setores ↔ (4) temas ↔ ( 5) assunto. Temos os níveis mais genéricos (-3, -2, -1, e 0) e os mais específicos (1, 2, 3, 4, e 5).

Esta escala dos níveis de codeterminação didática constitui uma ferramenta adequada para a categorização das diferentes condições e restrições que regulam o ensino e a aprendizagem. Para Chevallard (2016, p. 9), as setas duplas entre os níveis significam simplesmente que as condições em um determinado nível podem afetar os outros níveis (por transitividade). Ainda de acordo Chevallard (2016, p. 9), uma condição (C) é chamada de restrição (K) relativa a uma posição p se uma pessoa na posição I não puder, como tal, excluir ou modificar essa condição. O autor ainda exemplifica que uma condição criada por um professor, geralmente, é uma restrição para os alunos desse professor, como também uma condição criada pelo diretor da escola é uma restrição para os professores da escola. Assim, para Chevallard (2009, p. 92, 93), a seta dupla (↔) deve ser lida na perspectiva de criação (ou modificação) de uma condição em um determinado nível.

Para Chevallard (2018b, p. 35), a TAD apresenta como definição para a didática: "como a ciência das condições e restrições da difusão social das praxeologias". Vale ressaltar a distinção entre condição e restrição apresentada na TAD: "uma restrição é uma condição observada, de uma certa posição institucional a um certo instante, como não modificável, imutável (relativamente e provisoriamente)" (CHEVALLARD, 2018b, p. 35). Ao considerar esses níveis, Chevallard (2018b, p. 36) destaca que existem condições de atuação não criadas pelo professor: as condições que são para ele, muitas vezes, restrições (que ele sabe ou desconsidera), e outras condições em outros níveis como, por exemplo, as limitações de determinado currículo comparado com outras instituições.

No Capítulo 5 detalharemos e traçaremos elementos relacionados aos níveis de codeterminação que interferem, ou mesmo colaborem, para o desenvolvimento e da construção do nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA).

Dialética mídia-milieu

Para fundamentar nossa análise, nos baseamos em [START_REF] Chevallard | Un concept en émergence: la dialectique des médias et des milieux[END_REF], o qual apresenta "la dialectique des médias et des milieux"27 . Para Chevallard (2007, p. 1) a "mídia" retrata qualquer sistema de representação de uma parte do mundo social ou natural destinado a um público específico. Como exemplos: um artigo de matemática, um jornal televisivo, um livro, uma revista ou mesmo um site.

Em relação ao "milieu", Chevallard (2007, p. 1) apresenta como qualquer sistema que pode ser visto como desprovido de intenção na resposta que ele pode apresentar, seja implicitamente ou explicitamente para uma questão específica.

Para Yves Chevallard (2007, pp. 1-2) essa dialética mídia-milieu,

A existência de uma dialética vigorosa (e rigorosa) entre mídia e meio é uma condição crucial para que um processo de estudo e pesquisa não se reduza à cópia acrítica de elementos dispersos de resposta nas instituições da sociedade. Tal exigência é, de fato, consubstancial ao espírito galileu, característico das ciências modernas da natureza e da sociedade, nas quais a submissão à autoridade dá lugar a uma cultura compartilhada de questionamento, de ser testada pela construção de ambientes apropriados, determinísticos ou estatísticos, combinando dispositivos físicos e imaterial (investigação, experimentação, raciocínio, dedução). (CHEVALLARD, 2007, pp. 1-2, tradução nossa). 28Essa dialética nos servirá na busca pela resposta esperada R ♥ , como exposta na nossa organização de pesquisa, e evidencia a dialética mídia-mileu na medida em que as respostas Ri ◊ são consultadas em meios de comunicação e difusão (mídias). Essas respostas encontradas sofrem desconstruções e reconstruções que serão estabelecidas, resultando em novos questionamentos Qj que ampliam a busca pela resposta R ♥ . Logo, precisa de instrumentos (meios) para validá-las na busca pela resposta a nossa questão geratriz Q0.

Na medida do possível foram e estarão sendo retomados elementos da dialética mídiamilieu com o intuito de analisar as respostas de alguns questionamentos durante o trabalho de investigação. Essa dialética, por exemplo, nos possibilitou analisar os questionários aplicados tanto aos estudantes como aos professores e pesquisadores sobre o estudo da definição formal de limite de funções tratados nas seções 3.3.3 e 3.3.4.

Mesogênese, cronogênese e topogênese

Nesta investigação, as funções didáticas (mesogênese, cronogênese e topogênese) têm sua relevância, pois temos como hipótese que a avaliação formativa está diretamente ligada aos momentos de estudo e podem influenciar na relação dos estudantes com os saberes.

Buscaremos, nas funções didáticas, como elas interferem no fazer didático, as formas que modificam ou se mantém de acordo a nossa proposta do percurso formativo digital. Tais funções didáticas tratam da dinâmica do relacionamento do professor e do estudante com o saber.

No caso da topogênese, esta é a função que vincula como se ocupam os espaços dos grupos de estudantes e do professor, o meio didático, relacionado à ação individual (papéis assumidos por professores e estudantes) e conjunta (papéis partilhados por professores e estudantes) em relação a suas posições em sala de aula. Essas posições estão diretamente relacionadas às responsabilidades assumidas tanto pelo professor como pelos estudantes diante dos sistemas didáticos estabelecidos, isto é, na divisão do trabalho a ser realizado.

A mesogênese tem como função o processo de construção do meio, que se elabora para gerar respostas internas do sistema didático. Nesse caso, o professor espera que os estudantes interajam para aprender, de modo que esteja no seu planejamento o como apresentar os objetos, como administrar com os saberes anteriores e, como estabelecer a relação com outros saberes.

Esse meio é construído e reconstruído constantemente, sendo melhorado com novos elementos que podem ser trazidos pelo professor ou produzido pelos estudantes integrando os sistemas didáticos posteriores.

E a cronogênese é a função que regula os tempos didáticos para os componentes distintos do sistema didático na produção do saber. Existe, dessa forma, uma ação conjunta entre as três funções didáticas pelos professores e estudantes.

A nosso ver, o fato de utilizar o ambiente virtual já modifica o funcionamento tanto do meio como do tempo didático, sendo, nesse caso, um prolongamento, ou seja, uma dilatação do tempo na sala de aula, além de uma possível mudança na posição do estudante frente à construção do conhecimento, visto que é possível uma autorregulação da aprendizagem por intermédio dos feedbacks. Buscamos elementos da "incompletude do trabalho institucional" (FARIAS, 2018, p.

3), a fim de problematizar a integração dos momentos didáticos presentes na organização didática. E, ao analisar os conceitos construtivos da Avaliação Formativa (AF) e as abordagens da TAD, modelizamos e propomos a possível entrada de um olhar mais específico e detalhado nas entrelinhas das praxeologias matemáticas. No nosso entendimento, como já mencionamos, existe uma automatização e naturalidade no que se refere ao momento da avaliação, normalmente não alcançando resultados esperados pela instituição, sendo por nós considerado um fenômeno didático que se apresenta na incompletude do trabalho institucional.

Sem dúvida, reconhecer a incompletude na praxeologia didática (ou organização didática (CHEVALLARD, 1998, p. 106)) é importante para podermos aprofundar a análise de cada um dos elementos da organização praxeológica e buscar, nas praxeologias dos estudantes, traços de técnicas corretas ou incorretas, além de estender ao bloco tecnológico-teórico para as tecnologias errôneas como propõem Grugeon-Allys e Pilet (2020, p. 150).

Em suma, reconhecendo a incompletude da atividade didática de avaliar, identificamos a dissociação dos momentos de trabalho da técnica de avaliar e do que justifica tais técnicas.

Assim, podemos reconhecer a incompletude das praxeologias da avaliação que ensejamos mitigar, não no sentido de completar, mas trazer respostas e reflexões às lacunas do processo de avaliação. Retomaremos essa discussão quando falarmos da avaliação formativa nos momentos didáticos na organização didática no MPR na seção 4.3.2.

Os Momentos Didáticos

Para analisar as práticas de ensino, Chevallard (1998, p. 97-98) menciona dois tipos de organizações: A organização matemática de um tema de estudo φ, denotado por OMφ, relacionada à realidade matemática, ou seja, à praxeologia matemática. E a organização didática (ou praxeologia didática) também de um tema de estudo φ, denotado de forma semelhante, ODφ relacionada à como construir a realidade matemática (CHEVALLARD, 1998, p. 98).

Para Chevallard (1998, p. 109) Apesar de utilizar o termo "momento", Chevallard (1998, p. 109-110) se refere, aparentemente, à apenas a uma estrutura temporal do processo de estudo, sendo entendida como uma dimensão em um espaço multidimensional, e um fator em um processo multifatorial. Nesse caso, a ordem dos momentos didáticos é, de fato, arbitrária, pois é uma realidade funcional do estudo antes de ser uma realidade cronológica (CHEVALLARD, 1998, p. 110). Além disso, para Almouloud (2007, p. 124), os momentos didáticos podem ocorrer simultaneamente, já que não existe uma sequência pré-definida para a sua ocorrência, podendo assim se repetir no decorrer do estudo. Ainda nesse sentido, Chevallard, Bosch e Gascón (1997, p. 263) mencionam que, geralmente, os momentos didáticos não são vividos apenas uma única vez, mas são dispersos ao longo do processo de estudo, podendo ser vividos diversas vezes. Observando a realidade do cotidiano da sala de aula e as ferramentas teóricas aqui apresentadas, percebemos que a avaliação contínua da aprendizagem precisa ser enfatizada com intuito de contribuir para o aprendizado das OMφ, em particular para o objeto limite. Por isso, vamos buscar compreender melhor os elementos que compõe o processo de avaliação e buscar conexões de modo que possa trazer mais reflexões teóricas para a TAD.

Avaliação Formativa

Atualmente a avaliação é entendida, na maioria das escolas, como uma política de demonstrações dos resultados e do rendimento escolar, sendo essa política balizada na aprovação e na reprovação, em que a aprendizagem fica relegada a segundo plano por conta de conteúdos e prazos a serem cumpridos e resultados a serem apresentados sem muita reflexão acerca do processo de ensino e aprendizagem. Nesse contexto, não há espaço para uma prática de avaliação que ajude na identificação e superação de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem, tanto do aluno quanto do professor. (MENEZES; SANTOS, 2018, p. 5).

Dentro do contexto da avaliação, [START_REF] Scriven | The methodology of evaluation[END_REF] apresenta dois tipos de avaliações: a somativa e a formativa. No caso da avaliação somativa, esta é realizada normalmente ao final de cada etapa do ensino, certifica se os estudantes dominam os objetivos definidos pelo sistema.

Segundo Hoffmann (2014b, p. 17), esta tem um caráter classificatório, é estática e fundamentalmente julgadora.

No caso da avaliação formativa, esta é realizada durante o processo de ensino, consistindo em um instrumento imprescindível, pois orienta o professor no seu planejamento e direciona sua ação, através de dois pressupostos: o feedback e a regulação do processo de ensino e aprendizagem. Esse tipo de avaliação é uma parte integrante do processo educativo, uma vez que informa e orienta o professor a adotar decisões convenientes. Através dela, é possível identificar os erros e dificuldades encontradas pelos estudantes no desenvolvimento das tarefas.

Esses dois pressupostosfeedback e regulaçãoe as ideias trazidas por eles terão um potencial no nosso trabalho, de forma que nos dará subsídios para elaboração das tarefas propostas. Para Perrenoud (1999, p. 79), o ensino é uma atividade parcialmente finalizada, pois sua pura e simples descrição exige que professor questione, ao final do trajeto, se atingiu os objetivos fixados, para assim verificar se houve um progresso na aprendizagem. Em outras palavras: como, quando e de que forma se avalia? E o que se faz com os resultados de uma avaliação? Luckesi (2018, p. 27) expõe que a avaliação é uma apreciação qualitativa sobre dados relevantes do processo de ensino e aprendizagem que auxilia o professor a tomar decisões sobre o seu trabalho. Nesse sentido, a atenção do professor para a construção do conhecimento dos estudantes e sobre suas dificuldades na aprendizagem é fundamental para que se tenha êxito.

De acordo Perrenoud (1999, p. 13), a avaliação não é um fim em si, sendo uma engrenagem do funcionamento do sistema didático que orienta o trabalho a serviço da aprendizagem. Não estamos nos referindo a testes e provas, notas e conceitos. Estamos, sim, nos referindo à avaliação do processo de aprendizagem que possui a intenção de acompanhar e contribuir, durante o aprendizado do estudante no seu processo de estudo, fornecendo meios para que alcance o objetivo de aprender. Nesse caso, estamos abordando a avaliação formativa, investigada por diversos pesquisadores como [START_REF] Scriven | The methodology of evaluation[END_REF], Bloom, Hasting e Madaus (1971), [START_REF] Perrenoud | Da avaliação da excelência à regulação das aprendizagens: entre duas lógicas[END_REF], [START_REF] Hadji | Avaliação Desmistificada[END_REF][START_REF] Villas | avaliação e trabalho pedagógico[END_REF][START_REF] Brousseau | Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino[END_REF]2011), [START_REF] Allal | Pedagogy, didactics and the co-regulation of learning: a perspective from the French-language world of educational research[END_REF]), Hoffman (2014a;[START_REF] Hoffmann | Avaliação: mito & desafio[END_REF][START_REF] Lopez | L'évaluation formative des apprentissages des élèves: Entre innovations, échecs et possibles renouveaux par des recherches participatives[END_REF], [START_REF] Sayac | Approche didactique de l'évaluation et de ses pratiques en mathématiques: enjeux d'apprentissages et de formation[END_REF][START_REF] Luckesi | Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições[END_REF]2014;2018), entre outros.

Por conseguinte, avaliação se constitui num processo contínuo, fornecendo informações sobre a produção dos estudantes para que seja possível promover ajustes que atendam aos propósitos almejados. Perrenoud (1999, p. 151) afirma que "toda avaliação formativa baseia-se na aposta bastante otimista de que o aluno quer aprender e deseja ajuda para isso, isto é, que está pronto para revelar as suas dúvidas, suas lacunas, suas dificuldades de compreensão da tarefa". Ou seja, o estudante faz parte do sistema didático ∑ =S (x, y, φ) estabelecido (professor (y), estudante (x) e o saber (φ)).

Diante disso, podemos perceber que o estudante deve fazer parte do processo, para assim ser auxiliado nas suas dúvidas e inquietações frente à aprendizagem. Mas, para isso, é necessário promover condições para que essa mediação aconteça, pois, ainda segundo Perrenoud (1999, p. 102), é formativa toda avaliação que ajuda o aluno a aprender e a se desenvolver, ou seja, que participa da regulação das aprendizagens e do desenvolvimento no sentido de um projeto educativo. Corroborando com o exposto, Bodin (2015, p. 4) afirma que se deve dar um lugar especial à chamada avaliação formativa nos discursos sobre avaliação, pois esta deve ser integrada ao cotidiano da ação didática.

Ainda segundo Bodin (2015, p. 3) antes do final do período letivo, ou de uma determinada etapa, a fim de auxiliar os estudantes, criando um ambiente de autonomia e de "retroalimentação".

Villas Boas (2011, p. 7) menciona que não existem práticas específicas de avaliação formativa, a maneira de desenvolvê-la e de aproveitar as informações por ela fornecidas é que a vincula a esse tipo de avaliação. Ainda, segundo Villas Boas (2011, p. 18), um educador que se refira a "um teste formativo" não compreendeu a concepção da avaliação formativa, pois uma prova, por exemplo, pode ser utilizada como instrumento de avaliação formativa ou somativa, já que os seus propósitos e o uso que se faz dos seus resultados é que indicam a que função ela serve. Dessa forma, as práticas de avaliação formativa são mais coerentes à avaliação para a aprendizagem do que a avaliação da aprendizagem, pois, segundo a autora, a primeira busca o desenvolvimento da aprendizagem, enquanto a segunda apenas os seus resultados.

Aspectos evolutivos e concepções da avaliação formativa

A palavra avaliação33 vem do substantivo francês évaluer, "para encontrar o valor de", de é-"out" (ver ex-) + valuer, do latim valere, "seja forte, seja bem; seja de valor, valha a pena".

Sua origem, segundo Philippe Perrenoud (1999, p. 9) Posteriormente, os conceitos de avaliação formativa e somativa foram elaborados por Scriven em 1967(VILLAS BOAS, 2011, p. 16;FERNANDES, 2006, p. 22), e contribuíram para diferenciá-las e, consequentemente, para promover uma mudança paradigmática referente ao sentido da avaliação educacional: avaliar para classificar versus avaliar para promover aprendizagem. Logo, a avaliação passou a ter uma função mais ampla do que a testagem e sendo considerada como tomada de decisão, possibilitando ajustamentos sucessivos e orientar os alunos na realização dos trabalhos, ajudando-os a localizar dificuldades e progredir na aprendizagem.

Em continuidade ao trabalho de [START_REF] Scriven | The methodology of evaluation[END_REF], segundo Sayac (2017, p. 10), os pesquisadores Bloom, Hasting e Madaus em 1971, mostrou que a avaliação formativa estava integrada ao processo de aprendizagem e poderia melhorar a aprendizagem dos estudantes em qualquer nível, enquanto a avaliação somativa era concebida sempre de forma pontual ao final de uma etapa do processo. Ainda de acordo a autora, os livros produzidos por Bloom, Hasting e Madaus, na década de 1970, tiveram um forte impacto em todos os trabalhos subsequentes sobre avaliação produzidos tanto por pesquisadores de língua inglesa quanto de francesa.

O termo "Avaliação para Aprendizagem" apareceu primeiramente em Black, em 1998, que o utilizou para se referir de forma mais ampla a qualquer tipo de avaliação destinada a melhorar a aprendizagem dos alunos. Para Sayac (2017, p. 14), enquanto o foco da avaliação formativa está no uso da avaliação para projetar e adaptar a instrução, na avaliação para aprendizagem tudo que pode ajudar a promover a aprendizagem do estudante é levado em conta, até a sua motivação e o impacto emocional da avaliação. Butler e Winne (1995, p. 245) apresentam o conceito de aprendizagem autorregulada como um estilo de envolvimento com tarefas em que os estudantes exercem um conjunto de habilidades com passos fornecidos e que a tarefa evolui de forma monitorada. A ideia principal é que o estudante tenha um papel ativo na sua própria aprendizagem, isso deve ser levado em conta no momento de elaboração e planejamento da avaliação formativa.

Nessa perspectiva, Wiliam (2000, p. 1) apresentou um estudo sobre a integração das funções formativas e somativas da avaliação. Esse autor evidenciou que a tensão entre essas avaliações podem ser atenuada. Rejeitando a suposta incompatibilidade desses dois tipos de avaliação, propõe ir além, recomendando um chamado 'ciclo de avaliação', formado por três partes: elicitação (coleta de informações), inferência (interpretação das informações) e ação (do professor de acordo as etapas anteriores). Wiliam (2000, p. 9) assim, defende a ideia de construir um conjunto abrangente de realizações do estudante com o propósito formativo.

Tratando da avaliação somativa, esta ocorre normalmente no final do processo, com a finalidade de certificação, ou seja, quando é atribuída uma nota ou se confere um certificado; enquanto a avaliação formativa objetiva recolher informações para a reorganização do trabalho pedagógico e didático, observando as diferenças individuais de cada estudante. Nesse sentido, Allal (1986, p. 21) citado por Villas Boas (2011, p. 17) afirma que avaliação formativa requer uma mudança de atitude, pois o erro não é mais considerado como uma falta passível de repreensão, porém como uma fonte que apresenta informações valiosas, cuja manifestação é importante favorecer, para que haja uma intervenção necessária a fim de promover o aprendizado. Nesse entendimento, a intenção é melhorar os resultados obtidos através de ajustes no processo de ensino e aprendizagem.

Normalmente, as avaliações formativas e somativas são consideradas como oposta.

Porém, autores como Taras (2005, p. 466) descrevem que a relação entre avaliação formativa e somativa é pouco explorada e existe uma interdependência no cerne da avaliação da sala de aula, uma pela função pedagógica e a outra pela função certificadora. A autora verifica, em suas No caso das notas, legitimadas e consolidadas através de uma negociação, segundo Chevallard (1986a) citado por Perrenoud (1999, p. 12), fazem parte de uma negociação entre o professor e seus alunos ou, pelo menos, de um arranjo. De acordo Perrenoud (1999, p. 12), através das notas é possível fazer os estudantes trabalharem, conseguir seu silêncio, sua concentração e sua docilidade em vista de um objetivo maior: passar de ano. Infelizmente, esse fato consolidado entre os estudantes, em relação às notas, normalmente implica nos estudantes não se preocuparem com o aprendizado dos conceitos e dos fundamentos de um determinado saber. Assim, aplicam-se apenas em obter notas acima da média de aprovação. Perrenoud (1999, p. 41) assevera que a prática da avaliação da aprendizagem não apenas classifica os alunos na sala de aula, como também essas práticas possuem um efeito social muito mais definido: a avaliação cria as hierarquias sociais que consolidam a sociedade atual. Por conta disso, tem uma influência não apenas na sala de aula, mas nos níveis de codeterminação superiores também.

Segundo Luckesi (2011, p. 79), a prática da avaliação escolar, dentro do modelo liberal conservador 36 , terá de ser obrigatoriamente autoritária, pois essa característica pertence à essência dessa sociedade, que exige um controle e enquadramento dos indivíduos nos princípios previamente estabelecidos de equilíbrio social. Nesse contexto, a avaliação educacional será um instrumento disciplinador não só das condutas cognitivas como também das sociais no contexto escolar (LUCKESI, 2011, p. 80).

Por outro lado, Luckesi (2011, p. 80) também afirma que a prática de avaliações preocupadas com a transformação deverá estar atenta a superar o autoritarismo e estabelecer a autonomia do educando, manifestando-se como um mecanismo de diagnóstico para o crescimento e avanço do aprendiz. Diante disso, podemos perceber o quão importante é o papel da avaliação, levando em consideração as especificidades da disciplina, nesse caso, da matemática, além de conseguir inferir e contribuir para o avanço dos estudantes.

Pressupostos e elementos da avaliação formativa

36 Nascido da estratificação dos empreendimentos transformadores que culminaram na Revolução Francesa.

(LUCKESI, 2011, p. 77).

De acordo Chevallard (1989, p. 19), a "avaliação" é uma criação polêmica de alguns atores do sistema de ensinoaparece pela primeira vez em seu campo de consciência como um objeto potencial de estudo. Em seguida, na década de 1990, Yves Chevallard integrou suas reflexões sobre avaliação na Teoria Antropológica do Didático, considerando a avaliação feita pelo professor como um dos momentos da organização didática (OD) 37 . Apesar de o autor dividi-los em momentos, estes podem ocorrer simultaneamente, ou até se repetir no decorrer do estudo de forma arbitrária (CHEVALLARD, 1998, p. 20). O autor ainda retoma a questão da avaliação em outras vezes, a exemplo: Chevallard (2004, p. 4) aponta que a avaliação não deve ser algo estanque, mas com um retorno para o estudante, pois muitas vezes o professor apenas corrige sem apontar o que precisa ser melhorado.

De acordo Chevallard (2004, p. 4), o vocabulário "correção" é antigo, do latim corrigere que significa "endireitar", ou seja, existe uma praxeologia antiga, e deve ser utilizada no sentido usual do termo: "se um aluno tem uma má postura, uma má maneira de fazer isso, ele deve ser endireitado". Dessa forma, a correção tem a intenção de sinalizar o que não está correto para ajudá-lo a melhorar.

Nesta pesquisa, procuramos ampliar tais ideias sobre avaliação propostas por Yves Chevallard e realizar uma conexão com os pressupostos da avaliação formativa apresentado por outros autores, pois, ao nosso olhar, é possível uma interlocução entre ambos de modo que a

Organização Didática possa apresentar uma avaliação contínua e processual, fornecendo uma atenção ao aprendizado do estudante.

Ao tratarmos da avaliação, é importante ressaltar o seu papel no ensino e aprendizagem.

Para isso, nos basearemos em Bodin (1989) citado por Almouloud (2007, p. 104) que define avaliação como um conjunto de procedimentos e de processos de coleta, de tratamento e de comunicação de informações feitos para tomar decisões, onde os procedimentos de coleta devem ser pensados considerando as informações que desejaremos recolher, enquanto o tratamento da informação deve ser organizado de forma a explorar o máximo de informações, pois qualquer produção do aluno contém, potencialmente, uma quantidade enorme de informações que, no entanto, é desprezada, quando as convertemos numa única nota, deixando transparecer uma informação muito reduzida (ALMOULOUD, 2007, p. 105).

No caso da avaliação formativa, esta é uma ferramenta importante, visto que consiste em identificar as aquisições dos estudantes no momento da aprendizagem para adequá-las, caso 37 Maneira pela qual o estudo do tema pode ser realizado.

preciso, à própria formação. Almouloud (2007, p. 105) exemplifica que o professor recolhe informações a respeito da forma como um novo saber foi adquirido pelo estudante. Diante disso, o professor poderá identificar os conhecimentos já adquiridos, os processos e as estratégias dos estudantes, além dos erros cometidos e sua significação. A intenção do professor, com essa avaliação, é ajudar o estudante a superar as dificuldades e "perceber", caso seja necessário, o motivo pelo qual suas estratégias falharam.

Nesse viés, a avaliação é um processo contínuo, no qual os estudantes, professores e os componentes da noosfera devam ser capazes de realizar ações imediatas, precisas e eficazes.

Assim, a proposta da avaliação formativa é servir em todo o percurso, promovendo, de certa forma, a correção do processo de ensino e aprendizagem em execução.

Destacaremos as características da avaliação formativa, abordados por Harlen e James [START_REF] Chevallard | Estudiar matemáticas: El eslab´n perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. 1[END_REF], p. 366) citado por Villas Boas (2011, p. 19):

• É conduzida pelo professor (essa é a principal);

• Destina-se a promover aprendizagem;

• Leva em conta o progresso individual, o esforço nele colocado e outros aspectos não especificados no currículo; em outras palavras, não é inteiramente baseada em critérios;

• São considerados vários momentos e situações em que certas capacidades e ideias são usadas, os quais poderiam classificar-se como "erros" na avaliação somativa, mas que na avaliação formativa fornecem informações diagnósticas;

• Os alunos exercem papel central, devendo atuar ativamente em sua própria aprendizagem; eles progredirão se compreenderem suas possibilidades e fragilidades e souberem como se relacionar com elas.

Essas características são fundamentais tanto no momento do planejamento da aula como na execução das atividades a serem propostas aos estudantes, pois não existe, nesse caso, uma preocupação em relação à nota ou conceito, mas se o objetivo está sendo alcançado, ou seja, se o estudante está conseguindo criar uma relação esperada institucionalmente com o saber em questão. Embora a tarefa não seja simples, é necessário promover meios para que os objetivos sejam atendidos ao final do processo educativo.

A partir da reflexão sobre avaliação, Perrenoud afirma que esta deve ser formativa em uma pedagogia diferenciada, mas choca-se com obstáculos materiais e instituições numerosas: o efetivo das turmas; a sobrecarga de programas; a concepção dos meios de ensino de didáticas, que quase não privilegiam a diferenciação; o horário escolar; a divisão do curso em graus; a ordenação dos espaços. Essas "são restrições dissuasivas para quem não sente, visceralmente, a paixão pela igualdade" (PERRENOUD, 1999, p. 16).

Percebe-se uma situação entre duas lógicas: uma lógica de seleção e uma lógica formativa. Para Perrenoud (1999, p. 16), resta muito a fazer para oportunizar aos professores a vontade e os meios de praticar uma avaliação formativa, visto que a formação dos professores trata pouco de avaliação e menos ainda de avaliação formativa. Isto é um fator que deve ser revisto e ressignificado na formação docente, visto que a avaliação está intrinsecamente ligada ao processo de ensino e aprendizagem.

Ainda de acordo Perrenoud (1999, p. 78), as condições de trabalho do maior número de instituições de ensino de massa, com rigidez nos horários, no programa, do peso da avaliação normativa tradicional (notas e boletins escolares), meios padronizados de ensino e pouco individualizados, além da formação inadequada dos professores e princípios de equidade, obrigam os professores a tratar da mesma forma os estudantes. Desse modo, fazendo quando possível, apenas uma regulação coletiva sem orientar de forma personalizada as dificuldades dos estudantes.

Sendo assim, Perrenoud considera como formativa toda prática de avaliação contínua que tem a intenção de contribuir para melhorar as aprendizagens no processo, independentemente das condições encontradas. Assim, segundo o autor, ensinar é "esforça-se para orientar o processo de aprendizagem para o domínio de um currículo definido, o que não acontece sem um mínimo de regulação dos processos de aprendizagem no decorrer do ano escolar" (PERRENOUD, 1999, p. 78). Desse modo, essa regulação apresenta intervenções corretoras, sendo baseada na análise do progresso do estudante frente ao saber a ser aprendido.

Nem toda avaliação contínua é formativa, pois, para Perrenoud (1999, p. 80), numa classe habitualmente existem várias intervenções do professor, que nem sempre tem o intuito de aprendizagem, por exemplo, para manter a ordem, animar as trocas, colocar para trabalhar e manter uma condição propícia para o trabalho intelectual. Nesse sentido, Perrenoud (1999, p. 80) distingue a regulação direta dos processos de aprendizagem, que passa por uma intervenção direta dos funcionamentos intelectuais do aluno centrado em uma tarefa, da regulação indireta, que incide sobre as condições de aprendizagem como motivação e participação.

Existem obstáculos que não proporcionam a eficiência da regulação, pois, segundo Perrenoud (1999, p. 80), o professor nem sempre consegue otimizar sua avaliação e suas intervenções. Para que isso ocorra, seria necessário dispor de informações pertinentes e confiáveis, e interpretá-las de forma hábil, além de elaborar constantemente uma intervenção apropriada e conduzi-la de forma eficiente. Assim, Perrenoud (1999, p. 81), aponta os possíveis limites das regulações:

Quantidade, confiabilidade, pertinência das informações coletadas por um professor, por mais motivado, formado e instrumentado que seja; Rapidez, segurança, coerência, imparcialidade no processamento dessas informações no nível da interpretação e da decisão; Coerência, continuidade, adequação das intervenções que ele espera serem reguladoras; Assimilação pelos alunos do feedback, das informações, questões e sugestões que recebem. (PERRENOUD, 1999, p. 81).

Assim, de acordo com os pontos elencados, há uma tendência de idealizar os agentes (professores ou tutores), para apresentar um ótimo funcionamento, porém existe uma distância entre o agente ideal e real, como mostra Perrenoud (1999, p. 81):

Uma abordagem descritiva das práticas parte do fato de que os agentes reais são com frequência pessoas apressadas, emotivas, distraídas, cansadas, irritadas, preguiçosas, esquecidas, fantasiosas ou tudo isso ao mesmo tempo. Elas têm preconceitos, contas a acertar, sonhos a realizar, muitas razões para serem menos qualificadas e menos confiáveis que um computador. Em contrapartida, os seres humanos também podem ser intuitivos, imaginativos, inventar soluções inéditas ou encontrar espontaneamente as palavras ou gestos mais judiciosos. Em relação à racionalidade abstrata de um modelo cibernético, a regulação que passa por uma avaliação e por uma intervenção humana é, certamente, menos rigorosa, menos previsível, mas também pode tirar partido da capacidade que têm os seres humanos de gerir a complexidade cognitiva e afetiva de uma maneira que nenhum método codificado poderia prescrever. De certo modo, poder-se-ia dizer que o principal instrumento de toda a avaliação formativa é, e continuará sendo, o professor comprometido em uma interação com o aluno. (PERRENOUD, 1999, p. 81).

Dessa forma, o papel do professor é essencial em promover o aprendizado, tanto no momento de elaborar condições de interação, a partir das tarefas, como também no momento de acompanhar o desenvolvimento dos estudantes. Porém, não é simples regular o processo do acompanhamento, como sinaliza Perrenoud (1999, p. 82) ao apresentar os quatro obstáculos menos triviais que interferem para uma regulação eficiente, que estão listados a seguir:

O primeiro obstáculo é aquele que se encerra em uma lógica dos conteúdos a ensinar em detrimento de uma lógica da aprendizagem. A regulação, segundo ele, não pode ser realizada senão por meio de pequenos ajustes, no momento em que o aluno está em torno de uma dificuldade concreta. Nesse caso, quando o ensino é realizado por objetivos de aprendizagem, tem-se a necessidade de transpor para alcançar a aprendizagem almejada, visto que, de acordo com Perrenoud, os professores têm alguma dificuldade em se livrar de planos de estudos criados, de certo modo, padronizando suas exposições do conteúdo.

O segundo obstáculo está em apoiar um entendimento vago dos mecanismos de aprendizagem. Conforme o autor, existe uma abstração da noção de aprendizagem, uma vez que é difícil reconstruir todos os processos de raciocínio, de compreensão, de memorização, ou seja, de aprendizagem do que o estudante diz ou faz devido ao fato de que nem toda ação se traduz em condutas observáveis.

Como terceiro obstáculo se destaca as regulações incompletas, entretanto bem começadas, uma vez que a falta de tempo é um fator que afeta muitos professores devido à grande demanda de atividades, desde administrar todo o material da aula, manter a ordem da turma até às particularidades dos estudantes, sem levar em conta as interrupções e imprevistos.

As regulações não completas acarretam em efeitos consideráveis sobre a regulação das aprendizagens, pois no momento que os estudantes começam a compreender e deveriam se aprofundar, não são capazes de avançar sobre seus estudos.

E o quarto obstáculo se refere às regulações muito centradas na tarefa em detrimento à aprendizagem. Segundo o autor, tudo depende da natureza do auxílio prestado, ou seja, fazendo perguntas e sugerindo ao estudante, sem substituí-lo. Nas palavras de Perrenoud (1999, p. 85), a questão de o professor orientar passo a passo para a conclusão da tarefa pode dar a impressão de dominar a tarefa, porém a aprendizagem não acontece de maneira eficiente, pois "todas as decisões importantes foram sugeridas pelo professor, todos os erros foram prevenidos ou corrigidos muito rapidamente, todos os obstáculos difíceis ultrapassados 'sob vigilância'". Isto nos leva a inferir que a regulação deve ter certos cuidados para não se apresentar como um obstáculo.

Todas essas ideias sobre elementos da avaliação formativa são de fundamental importância para pensarmos no nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), de modo que aproximemos do nosso problema e busquemos melhor investigá-lo. Vale ressaltar, que apesar de existir diversas vertentes e pesquisas sobre a avaliação formativa, não trazemos a discussão sobre as mesmas, diferenciando-as. Neste nosso contexto, utilizamos de formal instrumental, baseado nos autores expostos nesta seção.

Na seção seguinte, apresentamos elementos da Tecnologia Digitais da Informação e Comunicação (TDIC), voltados para educação juntamente com avaliação formativa que, embasado na TAD, poderão criar ambientes propícios para construção do nosso MPFA.

Avaliação Formativa e Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação

O século XXI está marcado por uma grande revolução tecnológica que atinge a todos na sociedade. Se formos recapitular a época da invenção da imprensa, podemos perceber que grandes obras puderam ser replicadas para que um número maior de pessoas pudesse ter acesso a elas. E, hoje, podemos ter acesso a cada vez mais informações e obras que são produzidas em diversas partes do mundo de forma instantânea, o que, por sua vez, influenciam de forma direta os múltiplos aspectos da sociedade, inclusive a educação. No que se refere ao campo da comunicação, esta tem se realizado de forma dinâmica, através de trocas de mensagens diretas de leitores com autores e teóricos, e entre pesquisadores esclarecendo dúvidas e debatendo questões pertinentes.

Dessa forma, toda mudança provocada pela Tecnologia Digitais da Informação e Comunicação (TDIC) tem uma influência direta no campo educacional, no modo como os estudantes acessam as informações, ou mesmo como se comunicam entre si. Cabe aqui indagar: como as tecnologias favorecem (ou podem favorecer) alunos e professores no que diz respeito ao processo de aprendizagem, já que seu uso se faz presente em outras instâncias da vida cotidiana? Nesse respeito, como já tratamos da avaliação no contexto educacional, no tópico anterior, vamos focalizar a avaliação formativa com a presença da tecnologia digital.

Nas palavras de Garcia (2013, p. 12),

Considerar as tecnologias de informação e comunicação como novos espaços de aprendizagem que favorecem a construção do conhecimento coletivo na e em rede, de forma interativa e hipertextual, implica conceber que as novas relações com o conhecimento na rede internet perpassam no âmbito das estratégias de negociação, de mediatização, de diálogo, de interatividade nos contextos políticos e culturais, possibilitando a busca autônoma do navegador-aprendiz em definir seus espaços individuais e sociais. Com o advento do ciberespaço, as práticas educativas evoluem e se adaptam à nova modalidade de ensino, aprendizagem e avaliação, com a utilização de ferramentas tecnológicas, não apenas para fins didáticos, mas também para a apropriação, construção e gestão de novos conhecimentos de forma colaborativa e permanente. (GARCIA, 2013, p. 12, grifos da autora).

Dentre as possibilidades mencionadas, podemos apresentar os Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA), onde se estabelece uma interação para além da sala de aula, podendo expandir tal interação tanto entre o professor e os estudantes, como também entre os estudantes.

Além disso, Garcia (2013, p. 12) infere que esses ambientes facilitam a comunicação não apenas unidirecional, mas bidirecional, ou podemos até dizer multidirecional (entre todas as pessoas envolvidas na sala de aula) e híbrida 38 permitindo, assim, o armazenamento de informação sobre todo o percurso dos aprendizes para possíveis tomadas de decisão, além de corroborar com o gerenciamento pedagógico e administrativo do processo educativo gerando novas formas de ensinar e de aprender (desafios). forma regular, de forma parcial, ou mesmo total. Porém, como nem todos os estudantes têm acesso às tecnologias e nem à internet, isso dificultou ainda mais o avanço e progresso do ensino, aumentando, desta forma, a desigualdade 41 entre os menos favorecidos (comunidades mais vulneráveis) e as classes sociais mais favorecidas. Isso demonstra a necessidade de políticas de acesso à informação através da internet de maneira mais geral.

Neste sentido, apresentamos o significado de educação online por Edméa [START_REF] Santos | Educação online para além da EAD: Um fenômeno da cibercultura. Actas do X Congresso Internacional Galego-Português de Psicopedagogia[END_REF]:

Assumimos desde já que a educação online não é apenas uma evolução das gerações da EAD, mas um fenômeno da cibercultura. É comum encontrar na literatura especializada em educação e tecnologias que a educação online é uma evolução ou nova geração da modalidade de EAD. Discordamos, mesmo sem ignorar ou descartar essa possibilidade, com essa afirmativa simplista.

[…] A educação online é o conjunto de ações de ensino-aprendizagem ou atos de currículo mediados por interfaces digitais que potencializam práticas comunicacionais interativas e hipertextuais. (SANTOS, 2009, pp. 5659-5663).

Entendemos que as TDIC têm modificado nossa forma de trabalhar, de se comunicar, de se relacionar e também de aprender. Cada vez mais as TDIC estão presentes em diversos setores da sociedade. Na educação, têm sido incorporadas nas práticas docentes, buscando aproximar-se das mudanças implementadas na sociedade. Para tanto, há a necessidade de novos estudos e pesquisas em tecnologias digitais nos meios educacionais e investimentos cada vez maiores por partes das autoridades e órgãos governamentais. Assim, é necessário que se promova a alfabetização e o letramento digital, para que as TDIC sejam acessíveis, oportunizando a inclusão digital, procurando minimizar as desigualdades.

Defendemos o feedback, através do dispositivo virtual, que permita ao estudante regular seu processo de aprendizagem e aos professores acompanhar adequadamente o estudante, certificando-se do grau de aquisição das habilidades. Além disso, o feedback fornecido de forma online permite alcançar um processo de regulação pelo estudante (autorregulação), como também permite que os professores detectem problemas específicos e reajam para corrigi-los.

As propostas sugeridas no Modelo Praxeológico Formativo Alternativo sempre serão provisórias, uma vez que poderão sofrer ajustes a fim de melhorar sua eficácia em atender o que pretendemos, nesse caso, a construção da noção de limite de uma função real. Então, diante do exposto, o feedback online poderá ser uma ferramenta eficaz, já que possibilita o estudante 41 Mais informações, disponível em: https://theconversation.com/coronavirus-school-closures-impact-1-3-billionchildren-and-remote-learning-is-increasing-inequality-138656 e https://www.un.org/development/desa/dspd/2020/04/social-impact-of-covid-19/. Acesso em: 6 jun. 2020. a autorregulação 42 da aprendizagem, e esta se configura na aprendizagem regulada pelo estudante, melhorando, assim, seu desempenho e aproveitamento. Para Perrenoud (1999, p. 97), temos que apostar na autorregulação de uma maneira mais pontual, e isso consiste em reforçar as capacidades do sujeito para gerir ele próprio seus progressos, suas estratégias diante das tarefas e dos obstáculos.

Portanto, desde as ideias iniciais da avaliação formativa, na década de 1960, percebemos seu avanço e consolidação, procurando sempre fornecer uma atenção adequada à construção do estudante sobre o saber envolvido no aprendizado e, a partir desta, propor caminhos para avançar. Diante disso, utilizaremos os construtos da avaliação formativa, como o feedback e regulação, além das características evidenciadas, com o intuito de associá-las aos elementos da Teoria Antropológica do Didático, como os momentos didáticos.

Em síntese, no Capítulo 2 apresentamos nossa lente teórica com o aporte principal que envolverá toda a pesquisa, a Teoria Antropológica do Didático (TAD), aporte este de forte relevância para a Didática da Matemática e Educação Matemática. Bem como, os aspectos e pressupostos da avaliação formativa e sua conexão com as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC).

A seguir, apresentaremos nosso Modelo Praxeológico Dominante (MPD). O capítulo nos trará uma informação do que está posto na instituição pesquisada e nos dará elementos para possíveis questionamentos e contribuir, assim, para a nossa experimentação. 42 A autorregulação é a competência de o indivíduo autogerir pensamentos, sentimentos e ações que são planejadas e ciclicamente adaptadas para a obtenção de metas e de objetivos pessoais (ZIMMERMAN, 2000 apud SIMÃO;FRISON, 2013, p. 1).

CAPÍTULO 3

Este capítulo trata do modelo praxeológico vigente, tanto na sociedade como nas instituições de ensino, mostrando as diversas influências no decorrer do tempo e apresentando outros trabalhos relacionados com a nossa pesquisa (que expõe o mesmo objeto matemático).

Ademais, explicita como os livros didáticos abordam o objeto limite, bem como exibe as concepções dos estudantes e professores sobre o referido objeto.

MODELO PARAXEOLÓGICO DOMINANTE

Apresentaremos a dimensão econômica do nosso problema de pesquisa que O termo "epistemológico" aqui se refere ao "conhecimento". Como a TSD entende todo o conhecimento como uma organização praxeológica, eles também podem ser chamados de modelos praxeológico de referência. Este último termo permite maior generalidade quando se lida com sistemas didáticos em torno de "conhecimento" que não é considerado como tal, tal como aprender para amarrar os nós nos sapatos, para organizar uma viagem às montanhas ou para trocar as cordas de um violão elétrico. (BOSCH, 2019, p. 91).

Dessa forma, realizamos questionamentos acerca do saber e buscamos nos elementos institucionais (e na instituição de referência) do trabalho didático, como Projeto Pedagógico, ementa, livro didático, notas de aula, produção dos estudantes, anotações dos estudantes, de modo que pudesse nos auxiliar na construção de elementos para o nosso Modelo Praxeológico de Referência (MPR) e o nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA). Esse eixo nos permite, junto à observação feita na instituição pesquisada, compreender como acontece o ensino da noção de limite na instituição de pesquisa, uma vez que normalmente as práticas didáticas são norteadas por esses documentos (CARVALHO, 2015, p. 14).

Aspectos históricos e epistemológicos: evolução da noção de limite de funções reais

Para responder a questão: Q1: 'Qual trajeto realizado para chegar à notação da definição atual de limite de funções?', apresentamos a evolução histórica e epistemológica do conceito de limite, sua importância e os aspectos que levaram ao seu desenvolvimento. Este tópico servirá para uma melhor compreensão dos conceitos abordados no Cálculo Diferencial e Integral I, em particular do limite. Além disso, nos ajudará na elaboração de nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo.

Uma retrospectiva, com olhar sobre a história de um conceito matemático, é fundamental para compreender a sua origem e sua evolução, com as idas e vindas de discussões entre os diversos matemáticos, além dos entraves enfrentados e superados nesse trajeto. Desta forma, isso vem a contribuir para identificar dificuldades no aprendizado de determinado conceito. Assim, coadunamos com Doumbia (2020, p. 51) que uma noção de um objeto matemático não se desenvolve por si só, sua evolução está ligada à de outras noções, outras teorias, também lança luz sobre os problemas e soluções que favoreceram no aparecimento da noção, ou seja, uma noção matemática geralmente não é inventada ou fabricada de forma abstrata, do nada. Destarte, como apresenta Doumbia (2020, p. 70), o conceito de limite não apresenta uma situação fundamental na sua introdução, ou seja, para resolver novos problemas, mas ajuda a fundar a análise matemática e ensiná-la, sendo uma noção que formaliza, unifica e generaliza outros conceitos dentro do Cálculo Diferencial e Integral como, por exemplo, derivadas, integrais, convergência de séries, dentre outros. Grayling (1996, p. 1) polissêmica, e é através da noção de limite que os matemáticos desenvolveram a noção de convergência, de infinito, de número real, de continuidade, de derivada, de integral.

De acordo Burigato (2019, p. 29), a forma de apresentação desse conceito, proposta pelo ensino, pode passar a impressão de que esse conceito foi o primeiro a ser desenvolvido pela Matemática e que os outros foram sendo desenvolvidos a partir dele. Entretanto, segundo a autora, o conceito de limite apenas foi estruturado como o conhecemos hoje após o desenvolvimento dos conceitos de derivada e de integral. Ademais, o conceito de função tem um papel fundamental para a estruturação do conceito de limite.

Para a realização da abordagem histórica e epistemológica, consideramos como início a fase grega, com a presença dos matemáticos alexandrinos 44 por volta de 300 anos antes de Cristo, apresentando, assim, características iniciais do Cálculo; passando pelos métodos de Cavalieri para calcular áreas, até chegar aos aspectos e "indícios" que levaram às ideias de Newton e Leibniz (no século XVII), que contribuíram com as suas notações. Em continuidade, exporemos as contribuições de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e Karl Weierstrass (1815-1897) que, de certa forma, apresentaram a formalização e o rigor para as ideias iniciais, permitindo o seu avanço e consolidação.

A definição atual pelos quantificadores em termos épsilon e delta, de acordo Burigato (2019, p. 28), só foi obtida muitos anos depois do surgimento do conceito de limite, em que vários matemáticos se debruçaram buscando dar um aspecto formal ao conceito de limite. Dessa forma, a questão histórica tem um fator relevante na compreensão da origem de tal definição.

Conforme Brandemberg (2017, p. 10), os primeiros trabalhos acerca do cálculo de áreas e volumes eram realizados de forma artesanais porque utilizavam métodos que não tinham os devidos cuidados como, por exemplo, as questões envolvendo o infinito ou com a convergência. E, segundo Courant e Robbins (2000, p. xi), posteriormente, com a submissão dos conceitos à discussão filosófica, os pensadores tomaram consciência das grandes dificuldades inerentes ao entendimento de conceitos matemáticos de continuidade, movimento e infinito, como também ao problema de medir quantidades arbitrárias com unidades.

Os matemáticos gregos contribuíram com o desenvolvimento do conceito de áreas e comprimentos como, por exemplo, os problemas relacionados com a quadratura do círculo e 44 O nome Alexandria corresponde a quase toda extensão do império macedônio de Alexandre Magno (355-323 a.C.), e tinha em comum uma escola de pensamento, uma língua e pertencia a uma cultura dominante, nesse caso, a Grécia. A academia de Alexandria permaneceu ativa desde sua fundação em 300 a.C. até 529 d.C. Apesar de alguns considerarem como matemática grega, nem todos os estudiosos eram gregos (BRANDEMBERG, 2017, p. 13, 14). método da exaustão. A investida dos gregos em obter a quadratura45 do círculo, como também os paradoxos de Zenão, são bases para o pensamento do Cálculo. De acordo Boyer (1992, p. 1), o Cálculo, no sentido mais formal, foi moldado no século XVII de nossa era, apesar de tais questões terem sido colocadas mais de dezessete séculos antes. Os problemas de mensuração retilínea e curvilínea pertencem ao Cálculo, encontrados nos papiros egípcios e tábuas cuneiformes babilônicas, faltando amadurecimento matemático, como distinção definida entre resultados exatos e aqueles apenas aproximados e as relações com a lógica dedutiva, não estando explicitamente reveladas.

Vale ressaltar que o desenvolvimento do Cálculo seguiu a ordem normalmente contrária à ordem dos livros, textos ou dos cursos atuais, pois é de constatar, no contexto histórico, que surgiu primeiro o Cálculo Integral e somente muito mais tarde o Cálculo Diferencial. A evolução das integrais teve origem nos somatórios ligados ao cálculo de certas áreas e certos volumes e comprimentos, enquanto a derivada, como criação bem posterior, originou-se de problemas sobre retas tangentes às curvas, taxas de variação e de questões sobre máximos e mínimos. Em seguida, constatou-se uma ligação direta entre esses dois conceitos.

Os conceitos de Cálculo Diferencial Integral começaram a serem desenvolvidos na Grécia por volta do século V a.C., mas apenas no século XVII é que houve grande parte do seu desenvolvimento, juntamente com as ciências exatas, a começar com a Astronomia, estendendo-se à Mecânica, às demais ciências físicas e à Engenharia (ÁVILA, 2003, p. 86). O filósofo Zenão de Eléia (c. 450 a.C.) propôs alguns paradoxos que influenciaram as ideias iniciais do Cálculo, entre eles:

A dicotomia: Se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossível, pois, para percorrê-lo, é preciso antes alcançar seu ponto médio, antes ainda alcançar o ponto que estabelece a marca de um quarto do segmento, e assim por diante, ad infinitum. Segue-se, então que o movimento jamais começará. A flecha: se o tempo é formado por instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada, posto que em cada instante ela está numa posição fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a flecha jamais se move. (EVES, 2011, p. 418).

Esses paradoxos desafiam as ideias intuitivas do senso comum como, por exemplo, a soma de um número infinito de quantidades positivas é infinitamente grande, ainda que cada uma delas seja muitíssima pequena, e de que a soma de um número finito ou infinito de quantidade de próxima zero é zero. Esse fato excluiu os infinitésimos da geometria demonstrativa grega (EVES, 2011, p. 418).

Essas ideias baseiam-se na noção de infinito, importantes para construção do conceito de limite, apesar de ser direta até mesmo intuitiva para os matemáticos. Entretanto, os leigos e os estudantes não compreendem de forma tranquila essa noção, muitas vezes por não compreender a noção de variável (POMMER, 2016, p. 107); ou mesmo o conceito de funções (VIANNA, 2016, p. 113); as relações entre as representações numéricas, algébricas e geométricas (GRANDE; PIRES, 2016, p. 125); as relações aritméticas e algébricas de grandezas (ALVARENGA; SAMPAIO, 2016, p. 131); e até a falta de compreensão das propriedades dos números reais (SILVA; PENTEADO, 2009, p. 351), o que pode representar um obstáculo para aprendizagem.

Esse é um ponto importante, pois tanto o professor como o estudante, ao ser apresentado os aspectos referentes ao limite, poderão melhor aceitar e compreender tais ideias, além de instigar a curiosidade na busca de ligações entre os saberes relacionados ao limite.

A seguir, na próxima seção, apresentamos problemas relacionados às ideias iniciais de limite, como o problema da área de figuras, a quadratura do círculo e o problema da reta tangente a uma curva descrita por uma função.

O problema da área

As ideias iniciais da história do Cálculo se basearam no cálculo de áreas, volumes e comprimento de arcos. Diante disso, inicialmente temos a questão da quadratura do círculo, atribuída por Antífon, o Sofista (c. 430 a. C.). Sua ideia consistia em sucessivas duplicações do número de lados de um polígono regular46 inscritas num círculo, até exaurir a diferença entre o círculo e o polígono ao final. É como ser capaz de construir um quadrado de área igual à de qualquer polígono, assim seria possível construir um quadrado de área igual à do círculo. A crítica que imediatamente se levantou contra esse argumento sustentava-se no princípio de que uma grandeza pode ser subdividida indefinidamente e que, consequentemente, o processo de Antífon jamais esgotaria a área do círculo. Não obstante, a corajosa abordagem de Antífon continha o embrionário do famoso método de exaustão grego.

Em continuidade, temos o método da exaustão de Eudoxo (c. 370 a. C.), que pode ser considerado como a resposta da escola platônica aos paradoxos de Zenão. Esse método supõe que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e se baseia na afirmação: Se de uma grandeza qualquer se subtrai uma parte não menor que sua metade, do restante subtrai-se também uma parte não menor que sua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie. (EVES, 2011, p. 175).

Para Eves (2011, p. 420), a afirmação acima, de que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente, é a base do método da exaustão, e esta se encontra no livro X dos Elementos de Euclides. Esse método, segundo o autor, pode ser considerado como uma resposta da escola platônica aos paradoxos de Zenão, que normalmente é creditado a Eudoxo (c. 370 a. C.). Ainda de acordo com Stewart (2016, p. xxx), o método da exaustão foi concebido para encontrar áreas de figuras curvas, que não é tão simples. Esse método consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos, depois aumentar o número de lados desses polígonos.

Em particular, para encontrar a área do círculo, aumentamos o número de lados do polígono regular, este se aproxima do círculo, dizemos, em termos modernos, que a área do círculo Ac é o limite das áreas (𝐴 𝑛 ) dos polígonos inscritos e denotamos por: Ac= lim 𝑛→ 𝐴 𝑛 .

A partir desse problema fundamental da área é que se desenvolveu o Cálculo Integral. E, posteriormente, com as técnicas desenvolvidas como, por exemplo, integrais definidas, integrais duplas (...), é possível também calcular o comprimento de um arco, o volume de sólidos, como também o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear água para fora de um tanque (STEWART, 2016, p. xxx).

De acordo Brandemberg (2017, p. 16), os limitados conceitos aritméticos dos gregos não possibilitavam associar figuras geométricas aos números para medir suas áreas e volumes.

Dessa forma, segundo o autor, os gregos tinham que tratar diretamente com as figuras que eles consideravam como magnitude, ou seja, que poderia ser associado a segmento, a área, a volume. Essas magnitudes eram consideradas comensuráveis e incomensuráveis, não estando necessariamente associadas a valores quantitativos, mas sim a razões entre magnitudes.

Assim, matemáticos gregos como Eudoxo, Euclides e Arquimedes, para determinar a quadratura (área) ou cubatura (volume), deviam determinar uma razão com outra figura conhecida (quadrados e cubos). Dessa forma, os gregos e, em especial, Eudoxo de Cnido, contribuíram para a teoria de magnitudes (grandezas) e proporções.

De acordo Brandemberg (2017, p.16), Na geometria grega figuras curvilíneas (círculos, segmentos de parábolas) têm áreas que são magnitudes geométricas do mesmo tipo que as figuras poligonais (quadrados, triângulos,...). Assim, dada uma figura curvilínea A para determinar sua área a(A) se busca uma sucessão de polígonos {P1, P2,..., Pn,...} que aproximem progressivamente a área A. (...) Logo, se trata de demonstrar que é possível encontrar um polígono na sucessão {P1, P2,..., Pn...} cuja área difere da área de A por uma diferença tão pequena quanto se queira. Simbolicamente: Dado se pode encontrar um polígono Pn na sequência, tal que a diferença a(A) a(Pn) < para n suficientemente grande. (BRANDEMBERG, 2017, p.16).

Ainda segundo Brandemberg (2017, p. 23), a noção de limite não era do conhecimento dos gregos, portanto a maioria das quadraturas, ou determinações de áreas, como a do círculo, era realizada pela melhor aproximação.

Através do método da exaustão desenvolvido por Eudoxo, Euclides, na sua obra "Elementos", o apresenta como uma proposição e fundamenta as demonstrações geométricas relacionadas a áreas e volumes. Tornando-se, dessa maneira, uma ferramenta capaz de resolver diversos problemas de quadraturas e cubaturas que envolvem questões infinitesimais, empregando, segundo Brandemberg (2017, p.17), uma forma de demonstração indireta e evitando a necessidade de se continuar indefinidamente, o que necessitaria do uso, ou cálculo de limite. Posteriormente também, o método da exaustão foi utilizado por Arquimedes em seu trabalho sobre áreas e volumes dos "corpos redondos".

A teoria da integração teve seus primeiros passos na Europa, mas quase não foi ativada, apesar de haver notáveis ideias em Arquimedes. De acordo Eves (2011, p. 424), apenas por volta de 1450 as ideias de Arquimedes chegaram à Europa, sendo que dois dos primeiros matemáticos dos tempos modernos utilizaram métodos similares ao de Arquimedes, que foram Simon Stevin (1548-1620) e o Luca Valerio (1552-1618), embora ambos tentaram evitar reductio ad absurdum 47 do método de exaustão, fazendo uma passagem direta ao limite.

Stevin usava esse método em seu trabalho no campo da hidrostática, para determinar a força exercida pela pressão de um fluido sobre um dique vertical. Sua ideia era similar aos textos atuais de Cálculo, que era dividir o dique em faixas horizontais e então fazer cada uma girar em torno de suas bordas superior e inferior até que elas se tornassem paralelas ao plano horizontal.

Nesse sentido, o Johann Kepler (1571-1630) foi um dos europeus a desenvolver ideias relativas a infinitésimos em trabalhos com integração, a fim de obter áreas envolvidas em sua 47 Redução ao absurdo. (tradução nossa).

segunda lei do movimento planetário e os volumes relacionados à capacidade dos barris de vinho. Assim, de acordo Eves (2011, p. 424), Como outros em seu tempo, [Kepler] tinha pouca paciência com o rigor demasiado cuidadoso do método de exaustão e, impelido pela tentação de ganhar tempo e economizar trabalho, adotava, sem preocupação nenhuma, métodos que Arquimedes consideraria tão somente heurísticos. (EVES, 2011, p. 424).

Dessa forma, esses métodos "atômicos" ainda são usados com certa regularidade por físicos e engenheiros para armar um problema, ficando o tratamento rigoroso "por limites" para os matemáticos profissionais. (EVES, 2011, p. 425).

Posteriormente, o problema da área é formalizado por Cauchy, no século XVIII, que determinou a integral definida como o limite da soma de um conjunto infinitamente crescente de partes pequenas tendendo a zero, de modo muito similar com o que fazemos hoje. O trabalho de Cauchy mostra grande preocupação com o rigor e, como tal, serviu para inspirar grandemente outros matemáticos a eliminar da análise a manipulação formal cega e as demonstrações intuitivas (EVES, 2011, p. 532).

Outra questão que possibilitou o avanço das ideias do Cálculo, em particular as ideias de limite e de derivada, foi o problema da reta tangente que dialogaremos a seguir, na próxima seção. (2)

O problema da tangente

Os primeiros passos da diferenciação, segundo Eves (2011, p. 428-429) Ainda segundo Lima (2003, p. 52) "a teoria de Newton apresentava inconsistências, pois ele, tal como Leibniz, não conseguiram explicar satisfatoriamente o que era "o", pelo menos para Berkeley, se zero ou uma quantidade finita, ou mesmo quantidades infinitamente pequenas". De acordo Struik (1992, p. 179), nesse contexto, Newton considerava as derivadas como sendo velocidades, mas também que existia uma certa imprecisão na sua expressão:

Os símbolos "o" são zeros? São infinitesimais? Ou são números finitos? Newton tentou tornar a sua posição clara pela teoria das 'primeiras e últimas razões', que introduziu nos Principia e que envolvia o conceito de limite, mas de tal maneira que é muito difícil entendê-lo. Struik (1992, p. 179).

Assim, Baron e Bos (1985, p. 16) A partir dessas ideias elencadas (Figura 4), podemos perceber conhecimentos importantes para a compreensão da definição de limite, embora, para chegar à definição atual, diversos obstáculos foram atravessados. [START_REF] Rezende | Ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica[END_REF] [START_REF] Sierpinska | Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite[END_REF] citado por Artigue (1990, pp. 253, 254), que propõe uma lista de cinco grupos de entraves para os estudantes, chamados de 'obstáculos epistemológicos' relacionados ao conceito de limite, a saber:

(i) horror ao infinito: este reúne os obstáculos ligados à recusa de estado da operação matemática até a passagem do limite, transferência automática de métodos de álgebra adequados para quantidades finitas a magnitudes infinitas; à transferência de propriedades dos termos de uma sequência convergente no seu limite e em acabar com o obstáculo de associar a passagem ao limite com um movimento físico;

(ii) os obstáculos relacionados ao conceito de função: saberes subjacentes ao conceito de função, restrição a uma sequência de monótona, sem distinção de limite inferior ou superior;

(iii) obstáculos geométricos, relacionados à intuição geométrica, sendo um sério obstáculo à formulação de uma definição impedindo a determinação do que deve ser a diferença entre duas magnitudes na noção de limite;

(iv) obstáculos lógicos relacionados à definição (, ) com a utilização dos Hosson, parece um pouco desrespeitoso e altamente questionável:

As provas de Arquimedes por exaustão podem ser escritas em um estilo diferente dos padrões atuais no primeiro ano do ensino superior; não os torna matematicamente incorretos e não atesta nenhuma falha cognitiva. Se passar o limite ou não é uma 57 "For Brousseau, an obstacle (be it didactic or epistemological) is an element of knowledge (either explicit or "in act") which proves valid and efficient in some contexts, but becomes systematically error-generating in other contexts. A standard example is that of the comparison of decimal numbers: some rules which are valid and efficient for natural numbers (for instance: the more digits it takes to write a number, the larger the number) become invalid and error-generating when applied with decimals (it takes three digits to write 1,23 and only two to write 1,3; but 1,23 < 1,3). An obstacle is epistemological if it depends on mathematical facts only, regardless of teaching paths. When confronted with an error-generating in-act-theorem, it is not always easy to tell whether it is epistemological or didactic; Brousseau suggested that a distinctive feature of epistemological obstacles was their presence in mathematics of the past." (CHORLAY; HOSSON, 2016, p. 16).

58 "The fact that, when confronted with these challenges, students do not come anywhere close to an - definition of the derivative as limit of the differential quotient probably does not qualify as an error." (CHORLAY; HOSSON, 2016, p. 16).

"operação" (e deve ser vista dessa maneira) parece discutível; o mesmo acontece com a afirmação de que a definição de limites - depende do infinito real. Quanto ao último ponto, pode-se argumentar que a definição de - é realmente muito próxima do esquema de prova arquimediana: por exemplo, para estabelecer que duas áreas são iguais, Arquimedes prova que essa diferença é menor do que qualquer outra dada área; para estabelecer isso, ele se baseia em um fato explicitado nos Elementos de Euclides e garante convergência a zero para uma classe de sequências de magnitudes. Quanto a Weierstrass, muitos de seus contemporâneos consideraram sua construção dos números reais e sua definição do limite como um grande passo em direção à redução da análise à aritmética e à subsequente eliminação de infinitos. Ao comparar provas por exaustão com a atual definição weierstrassiana, sua semelhança fundamental levanta uma série de perguntas potencialmente frutíferas: qual é a diferença entre um esquema de prova uniforme e formal e uma definição? grega "e", que significa a inicial letra da palavra "erro"), e obtemos imediatamente a definição 65 "Teachers do not help the situation if they show clearly that they feel uneasy with the limit process and so pass on their fears to their pupils. Subconscious problems such as these lead to greater difficulties later, hindering or even totally blocking further understanding. What happens when two conflicting concepts are aroused in the student's mind by the same basic data? (...) is that the existence of two 'nearby' concepts can cause mental stress arising from the emergence of unstable thoughts (just as two nearby centers of attraction in physics cause the emergence of intermediate points at which the force field is unstable). In an attempt to achieve stability, students will attempt their own rationalizations. (…) students seeking a relational understanding as part of a long term learning schema may form their own schema; this may however be quite unsuitable for future accommodation because it contains the seeds of conflict with a future schema. The two concepts involved may be two mathematical concepts in the usual sense (e.g. decimals and fractions) or else one may be a mathematical concept and the other a collection of subconscious images deriving from the language or motivation used to describe the concept. fatores que causam conflito cognitivo (quando, por exemplo, notações semelhantes são usadas para situações distintas), pois, para eles, a matemática comparada com outros campos de conhecimento é, geralmente, considerada como um assunto de grande precisão, no qual conceitos podem ser definidos com precisão para fornecer uma base sólida para a teoria matemática. Ainda, segundo os autores, muitos conceitos que nos deparamos na Matemática foram encontrados de uma forma ou de outra antes de serem formalmente definidos e existe uma estrutura cognitiva complexa na mente de todos os indivíduos, produzindo uma variedade de imagens mentais pessoais quando um conceito é evocado.

Já em relação à definição conceitual 71 , Tall e Vinner (1981, p. 152) a consideraram como uma forma de palavras usadas para especificar esse conceito. Segundo os autores, o conceito pode ser aprendido por um indivíduo de maneira mecânica72 ou aprendida de maneira mais significativa e relacionada em maior ou menor grau ao conceito como um todo. Ainda, de acordo com os autores, se a definição de conceito é dada ao estudante ou construída por ele mesmo, pode variar de tempos em tempos. Dessa forma, uma definição pessoal de um conceito pode diferir de uma definição formal de conceito, sendo este último uma definição que é aceita pela comunidade matemática em geral. Ou em alguma outra notação. E, dentro de pouco tempo, as fórmulas para derivadas são apresentadas e a notação geral de limite retrocede em segundo plano. Quando é discutida a notação de limite, de acordo Tall e Vinner (1981, p. 155), é geralmente de forma dinâmica: "f (x)→ c como x → a", ou "f (x) se aproxima de c como x se aproxima de a" 74 Assim, formar uma imagem conceitual não ajuda o estudante quando a maioria dos exemplos do processo de limite consiste em sequências dadas por fórmulas regulares que 73 "A more serious type of potential conflict factor is one in the concept image which is at variance not with another part of the concept image but with the formal concept definition itself. Such factors can seriously impede the learning of a formal theory, for they cannot become actual cognitive conflict factors unless the formal concept definition develops a concept image which can then yield a cognitive conflict. Students having such a potential conflict factor in their concept image may be secure in their own interpretations of the notions concerned and simply regard the formal theory as inoperative and superfluous." (TALL;[START_REF] Tall | Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity[END_REF]VINNER, , p. 1540).

74 "f(x) → c as x → a," or "f(x) approaches c as x approaches a". (TALL;VINNER, 1981, p. 155).

-4 -numbers as "complex numbers with imaginary part zero." Thus Ö2 was regarded as real and Ö2+i0 as complex. These were conveniently considered as being distinct entities or the same, depending on the circumstances, without causing any cognitive conflict. They only become cognitive conflict factors when evoked simultaneously.

In certain circumstances cognitive conflict factors may be evoked subconsciously with the conflict only manifesting itself by a vague sense of unease. We suggest that this is the underlying cause for such feelings in problem solving or research when the individual senses something wrong somewhere; it may be a considerable time later (if at all) that the reason for the conflict is consciously understood.

A more serious type of potential conflict factor is one in the concept image which is at variance not with another part of the concept image but with the formal concept definition itself. Such factors can seriously impede the learning of a formal theory, for they cannot become actual cognitive conflict factors unless the formal concept definition develops a concept image which can then yield a cognitive conflict. Students having such a potential conflict factor in their concept image may be secure in their own interpretations of the notions concerned and simply regard the formal theory as inoperative and superfluous.

The notions so far described are all clearly manifested in the various concepts of limit and continuity. In the remainder of the article we describe a few of the problems caused by a concept image which does not coherently relate to the concept definition and the resulting potential conflicts.

Practical curriculum problems

There are several practical problems imposed in the teaching of the concepts of limits and continuity. If we confine ourselves to the three notions set out:

(i) limit of a sequence lim n®¥ s n , (ii) limit of a function lim x®a f ( x),
(iii) continuity of a function f: D®R, then we find that in English schools these are rarely taught in a logical order. Practical considerations and the need to learn the calculus at the earliest opportunity lead to the notion of a limit of a function first being discussed in differentiation as

lim dx®0 f (x + dx) -f (x) dx
realmente nunca é igual ao limite. Caso um aluno tenha uma imagem conceitual que não permita sn igual a s (porque fica "mais próximo" de s à medida que n aumenta), então conjeturamos que o estudante pode não absorver um exemplo inventado quando lhe é apresentado (TALL; VINNER, 1981, p. 159).

Como também o limite pode ser dado de alguma forma quantificada, como "Podemos fazer f (x) o mais próximo possível de c, desde que tomemos x suficientemente perto de a", ou:

"Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 <| x -a | < δ implica | f ( x ) -c | < ε". Da mesma forma,
a noção de continuidade raramente é mencionada como uma definição formal, mas um conceito imagem é construído a partir do uso informal do termo continuidade. Porém, não nos deteremos a esse aspecto, pois não é diretamente nosso objeto de investigação.

Tall e Vinner (1981, p. 159) afirmam que quando um estudante recebe uma definição formal do conceito, a imagem de definição conceitual que ele forma em sua estrutura cognitiva pode ser muito frágil. Os autores observam que:

Quando um aluno recebe uma definição formal do conceito, a imagem de definição conceitual que ele forma em sua estrutura cognitiva pode ser muito fraca. Observamos, por exemplo, que os alunos têm grandes dificuldades iniciais com o uso de quantificadores "todos" e "alguns" e as definições padrão de limites e continuidade, todos podem apresentar problemas para o aluno. Sua imagem do conceito torna óbvio para ele que, se sn aproxima-se de s então l/sn aproxima-se de l/s (desde que o último não seja zero). Mas uma fraca compreensão da definição do conceito pode fazer a prova formal disso resultado muito difícil para ele. Este é um fenômeno típico que ocorre com uma forte imagem conceitual e uma imagem fraca de definição de conceito que permeia todo estudo universitário de análise, especialmente quando existem fatores potenciais de conflito entre os dois. (TALL; VINNER, 1981, p. 159, tradução nossa). 75 Por conseguinte, assim como o limite de sequências, os limites de funções de uma variável são abordados de maneira intuitiva, com uma explicação informal e, posteriormente, uma definição mais formal é apresentada. Em alguns casos, o processo de limite é introduzido pela primeira vez quando a diferenciação é discutida e, nesse caso, a imagem conceitual de um limite pode incluir uma imagem mental normalmente de uma tangente. Do mesmo modo, como o limite de uma sequência, o limite de uma função é frequentemente considerado como um processo dinâmico, onde x se aproxima de a, fazendo com que f (x) se aproxime de c. Mais uma 75 "We have noted, for example, that students have great initial difficulties with the use of quantifiers "all" and "some" and the standard definitions of limits and continuity all can present problems to the student. His concept image makes it obvious to him that if s n gets close to s then l/s n gets close to l/s (provided the latter is not zero). But a weak understanding of the concept definition can make the formal proof of this result very hard for him. This is a typical phenomenon occurring with a strong concept image and a weak concept definition image that permeates the whole university study of analysis, especially when there are potential conflict factors between the two." (TALL; VINNER, 1981, p. 159).

vez, os alunos podem considerar f (x) ≠ c como parte da sua imagem conceitual. Por outro lado, de acordo os autores, a definição formal do conceito pode ser dada de forma imprecisa.

De acordo os autores, implicitamente, a formalidade da definição de limite pode fazer parte da imagem conceitual, e conjecturam que a abordagem intuitiva anterior à definição (se a última for dada) é geralmente tão forte que o sentimento dos alunos é dinâmico, ou seja, com certa ideia de movimento, como x se aproxima de a então, f (x) se aproxima de c.

Por isso, baseado nas ideias desses autores, consideramos importante tanto a abordagem intuitiva como a formal, trabalhando de forma paralela ou mesma simultânea de modo que Na introdução, Cornu (1983, p. 3) afirma que a noção de limite está no coração da análise e constitui noções fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral. Conforme o autor, os estudantes possuem grandes dificuldades na aprendizagem dessa noção, tanto no ensino secundário (no caso francês) como no ensino superior, além de que os estudantes normalmente não apresentam pré-requisitos necessários à aprendizagem de limite.

Segundo Cornu (1983, p. 23), mesmo matematicamente, a noção de limite está inserida em sua definição em (, ), existindo uma lacuna entre a noção de limite como conceito e a definição do conceito de limite. O autor afirma que na atividade de resolução de um problema,

76 Aprendizagem da noção de limite: concepções e obstáculos (CORNU, 1983, tradução nossa).

a noção e a definição não funcionam a partir da mesma maneira. Através da definição, é possível demonstrar que o limite de uma soma é a soma dos limites, mas não para calcular um limite. O autor ressalta ainda que uma definição equivocada pode ser dada, caso se dê apenas a noção informal (intuitiva), mas para o conceito adquirido na íntegra devemos levar em consideração as características e as várias maneiras pelas quais o conceito funciona.

Para o autor, existem dois aspectos quando se trabalha o conceito e a definição de limite.

O aspecto dinâmico, em que tudo isso está relacionado, como "tender para" pelo fato de "se aproximar de", não é contemplado pela definição, que é considerada estática. O desafio transformou uma noção extremamente complexa (em que o infinito na ideia de aproximação, ou seja, se aproximar de algo, sem alcançá-lo ou alcançá-lo), em um objeto de outra natureza,

utilizando quantificadores e desigualdades.

Na pesquisa, Cornu afirma que: "Os símbolos (ɛ, η) equivalem ao (ɛ, ) atuais" (CORNU, 1983, p. 23, tradução nossa) 77 . Mesmo matematicamente, toda a noção de limite está contida na definição em (ɛ, η), há uma diferença entre a noção de limite como conceito e a definição da noção de limite 78 ". Para Bernad Cornu, essa diferença se encontra entre a definição e o conceito. No caso da definição, existem ideias como números reais (como conjunto denso), quantificadores, desigualdades modulares, aproximação e correspondência na função real que busca generalizar a noção intuitiva de limite. Cornu (1983, pp. 30-31) dá uma ênfase na origem dos obstáculos, fazendo referência à trabalhos de Gaston Bachellard 79 , Guy Brousseau 80 e utiliza a classificação para origens dos obstáculos de Georges Glaeser 81 , a saber: genética, didática, psicológica, social, técnica e epistemológica. Também é estabelecida uma relação entre erros e obstáculos, sendo que a partir dos erros, possivelmente, pode-se associar os obstáculos listados. Segundo Cornu (1983, p. 34), para que um obstáculo seja superado é necessário um conflito e a consciência desse conflito, de modo que o aluno desenvolverá uma dialética entre o "problema" e o conhecimento. Essa dialética pode dar uma oportunidade para um novo conhecimento pelo qual o obstáculo seja ultrapassado. Dessa forma, segundo Cornu, situações e problemas são elaborados para emergir um conhecimento de forma que precisa superar um obstáculo, e essa superação é responsabilidade do aluno (CORNU, 1983, p. 34).

Também na sua tese, Cornu (1983, p. 67) descreve que os estudantes, muitas vezes, já têm várias opiniões sobre limite através da ideia cotidiana, o que ele chama de concepções espontâneas. Por exemplo, "tender a" já existe de uma forma particular antes de serem trabalhados no ensino organizado, pois, de acordo o autor, expressões como "algo que não tem fim", "barreira" ou "linha divisória" e "aproximar-se" apresentam ideias ligadas às noções de limite. Cornu (1983, p. 122) conclui que há, ainda, muito a ser explorado com relação ao ensino e a aprendizagem do conceito de limite. E que os obstáculos precisam ser superados, de modo que conceitos relacionados, como os números reais, os quantificadores, a desigualdade, as condições suficientes e a noção de infinito estejam envolvidos. Assim, a noção desses obstáculos é importante para que possamos elaborar tarefas que tenham esse olhar e, ao mesmo tempo, trabalhe com tais conceitos.

A pesquisa de [START_REF] Cornu | Aprentissage de la notion de limite: Conceptions et obstacles[END_REF] é um clássico sobre o ensino e aprendizagem de limites na década de 1980, e levou a discussões em trabalhos posteriores. Nesse caso, evidenciou as questões dos obstáculos que tem influência considerável na construção das noções de limites pelos estudantes. Essas ideias nos ajudarão a compreender melhor as praxeologias evocadas pelos estudantes nas tarefas propostas de modo que possamos explorá-las melhor.

As contribuições dos autores citados instigaram o fomento de outras pesquisas acerca de elementos pertinentes ao limite e à didática que o envolve. A seguir, apresentaremos tais investigações.

O trabalho de tese de Pierre Job, em 2011, intitulado "Étude du rapport à la notion de définition comme obstacle à l'acquisition du caractère lakatosien de la notion de limite par la méthodologie des situations fondamentales/adidactiques" 82 , apresenta uma investigação sobre as dificuldades que os alunos possuem ao realizar a transição de uma escola secundária para uma universidade, relacionada ao objeto matemático definição padrão do conceito de limite.

82 "Estudo da relação com a noção de definição como obstáculo à aquisição do caráter lakatosiano da noção de limite pela metodologia de situações fundamentais/adidáticas". (tradução nossa).

Tal objeto possui papel central no desenvolvimento da estrutura dedutiva do Cálculo e da Análise Matemática.

Para isso, utilizou a epistemologia de Imre Lakatos83 , pois, na sua concepção, isso possibilitou formalizar e verificar o papel fundamental desempenhado pela definição padrão do conceito de limite e sua própria existência, retomando sua capacidade de lançar o Cálculo em um formato dedutivo, resultando no nascimento da análise (JOB, 2011, p. 5). O trabalho do Pierre Job possui como referencial teórico a TAD explicando os fenômenos didáticos em termos de relações institucionais e a TSD (Teoria das Situações Didáticas) através de dois conceitos:

situação fundamental e da situação adidática.

Além disso, Job (2011, p. 5) discute abordagens que envolvem a aquisição do conceito do limite e a compreensão da lógica formal que, muitas vezes, é entendida em um sentido muito restrito. Esse autor considerou cinco diferentes abordagens para a entrada no Cálculo formal e o conceito de limites (JOB, 2011, p. 24), a saber: Uma abordagem baseada na noção de "proficiência linguística" que, para ele, apesar de ser bastante vaga, poderia ser caracterizada indiretamente por observar que as abordagens que se baseiam na língua vernácula são susceptíveis de ajudar os estudantes a superar as dificuldades que eles experimentam na aquisição de conhecimentos matemáticos ou outros. Dessa forma, levanta uma questão: Como podemos adquirir conhecimento, mesmo quando temos dificuldade com a linguagem usada para transmitir esse conhecimento? E, através disso, procura levantar dificuldades encontradas pelos estudantes.

Outra abordagem levantada é baseada no "desenvolvimento axiomático" do conceito de limite. Esta considera as dificuldades dos estudantes para assimilar o formalismo do Cálculo, propõe uma abordagem axiomática do conceito de limite, buscando diminuir a "complexidade" de sua definição. Para o seu embasamento teórico utiliza as ideias de Serge Lang como também dos Bourbaki. E, ao propor esse tipo de abordagem, faz com que se considere como pressuposto didático que uma apresentação axiomática seria simplificadora.

Já a abordagem da "lógica dos predicados", de acordo Job, sugere desempenhar um papel importante no problema de transição da escola para universidade. Observa que tal definição pode ser atribuída a algo diferente de uma má compreensão da lógica dos predicados, que também poderia ser o resultado de um uso estenográfico84 dessa lógica, aliado a uma visão "dinâmica" da noção de variável. E, apresenta que tal abordagem pode estar ligada, entre outras coisas, ao fundamento da lógica dos predicados e do esforço de rigor em que está inserida.

Outra abordagem é a utilização da "análise não padrão" (no-standard) como alternativa para não utilizar a "complexidade" da definição de limite, pois Job percebe que a forma contravariante da definição usual de limite é uma importante fonte de dificuldade para entender o conceito de limite. Para contornar o problema da contravariância, pode ser proposto um trabalho, não mais no contexto do real, mas no do corpo de hiper-reais (uma extensão não arquimediana) para trabalhar com números infinitamente pequenos e infinitamente grandes, que possuem definições rigorosas para tais termos, sendo uma alternativa para o conceito de limites como já abordamos anteriormente. E, por último, uma abordagem baseada no "princípio da variedade". Job (2011, p. 47) apresenta as ideias de Malgorzata Przenioslo (2005), que propõe um problema para introduzir uma definição do conceito de limite, com base na ideia de que, ao expor os alunos à maior "variedade" possível de sequências convergentes, o estudante será capaz de compreender representações que estão em conflito com esse conceito.

Para desenvolver tais ideias relacionadas a abordagens anteriores, o Pierre Job lança mão na epistemologia de Lakatos, através de provas e refutações: uma conjectura é emitida e um conjunto de provas (tentativas) e refutações é colocado em movimento em torno dessa conjectura, sendo nesse caso uma prova matemática, no sentido de Lakatos, um consenso em que o caráter relativo de uma prova está ligado à dependência institucional de sua validade. A epistemologia de Lakatos se interliga com a TSD, postulando que o novo conhecimento matemático surge contra o antigo conhecimento matemático, juntando-se assim à ideia de adquirir conhecimento como superação de um obstáculo, enquanto a TAD oferece um olhar sobre o ciclo de vida praxeológico (nascimento, morte, sobrevivência) desses ostensivos e não ostensivos que abarcam os conceitos e definições. Ainda Pierre Job postula que a definição de um conceito é construída para realizar provas de conjecturas e é nessa fase que uma técnica construída visa resolver uma determinada tarefa. Sendo assim, seu desenvolvimento acontece de acordo com uma dialética de provas e refutações. Uma definição refutada morre ou sobrevive a depender se resiste ou não aos contraexemplos que se opõem a ela. Aquela que sobrevive tem a finalidade de residir, nesse caso, no bloco teórico-tecnológico. Job (2011, p. 167), apresenta o termo Cálculo "formalizado" que, em um sentido amplo, é uma maneira de apresentar o Cálculo de certa forma. Ainda de acordo o autor, não existe um único Cálculo "formalizado", mas várias tentativas de formalizá-lo e a Análise, como, por exemplo, a de Lagrange, Cauchy e Weierstrass, sendo que essas tentativas de formalizar progrediram até conseguir um consenso entre os matemáticos. [START_REF] Job | Étude du rapport à la notion de définition comme obstacle à[END_REF], p. 168) ainda, baseado em Maggy Shneider (2007), apresenta dois tipos de praxeologias ligadas ao conceito de limite no Cálculo (que denomina de análise "formalizada").

A especificidade das praxeologias de tipo 1 (℘1) (tabelas, sequências, gráficos,...) é propor tarefas envolvendo objetos pré-construídos, ou seja, apresentado por um certo apelo, em que o objeto aparece como óbvio e sem questionamentos. Segundo o autor, esse tipo de praxeologia é característico do Cálculo, tendo como tarefa determinar os objetos pré-construídos como, por exemplo, áreas, volumes, velocidades e tangentes em um ponto de uma curva.

Dessa forma, quando uma praxeologia de tipo 1 atinge a maturidade, pode surgir uma praxeologia de tipo 2 (℘2) (definição usual "formalizada" em termos de épsilon e delta, através da lógica dos predicados), sendo que a tarefa fundamental de uma praxeologia de tipo 2, de acordo o autor, é desconstruir os objetos que foram pré-construídos na praxeologia de tipo 1 e, posteriormente, reconstruí-los através de uma definição para fornecer uma estrutura dedutiva aos resultados que compõem a praxeologia de tipo 1, estabelecendo, assim, elementos teóricos na comunidade científica.

Conforme Job (2011, p. 171), existe na relação epistemológica de uma certa "naturalidade" por parte da instituição atual dos matemáticos e o conceito de limites, ou seja, a noção de limite e alguns dos ostensivos e não ostensivos que permeiam tal conceito já não são questionados, e são tomados como garantidos. Um exemplo de tal "naturalização" são as expressões, em linguagem vernácula da noção de limite que não significam nada em si mesmas (apresentando ambiguidades), embora sejam usadas pelos matemáticos, mas é necessário estar familiarizados com a noção de limite para serem compreendidas. Em contrapartida, de acordo o autor, certas escolhas são realizadas em torno da definição usual da noção de limite que não são explicadas, mesmo quando tal definição é expressa através da praxeologia 2, ou seja, no formalismo da lógica dos predicados. Vale ressaltar que, embora algumas escolhas possam ser motivadas por argumentos matemáticos, outras não são, mesmo que pareçam ser parte integrante da praxeologia que envolve a atual análise "formalizada".

Assim, de acordo o autor, com o contrato didático estabelecido, assegura o bom funcionamento da ecologia escolar, em que o ensino "clássico" da escola define as tarefas que ocupam os professores e os estudantes, por exemplo, a apresentação da teoria e, posteriormente, sua aplicação para resolver exercícios. Assim, normalmente, de acordo do contrato didático estabelecido, exclui a possibilidade da construção da definição por parte dos estudantes, pois o professor apresenta a definição com certo toque de perfeição. Consequentemente, o estudante imagina que apenas a única coisa a fazer é aceitar sem participar de tal construção (JOB, 2011, p. 227).

Nas suas conclusões, Job afirma que na missão de disseminar o conhecimento existe um "vínculo de obediência que liga a escola à instituição dos matemáticos como uma exigência de conformidade, com a relação que os últimos mantêm com a noção de limite" (JOB, 2011, p. 499, tradução nossa) 86 . Assim, a escola herda, com o vínculo de obediência, uma relação considerada "natural" da noção de limite, esquecendo, dessa forma, os esforços que foram realizados para chegar à definição usual de limite, impedindo a problematização tal conhecimento.

O autor enfatiza ainda que o conceito de limite não existe de uma definição construída para fins probatórios, mas como resultado do trabalho de homens através do enfrentamento de problemas envolvendo noções infinitesimais, além de frisar que o objeto mental limite e os objetos associados não se reduzem a ele, apenas descrevem "realidades" pré-existentes. E, dessa forma, afirma que o círculo está completo, pois os estudantes podem se tornar futuros platonistas 87 que aceitam a noção de limite como lhes é apresentada: uma noção que sempre existiu e cuja forma é a versão final, perfeita e bem-sucedida, e que estarão ansiosos para disseminar de forma idêntica para as gerações futuras. Finalizando, Job assegura que o problema de pesquisa permitiu, pelo menos no que diz respeito às praxeologias do tipo 1 e 2, fazê-los sair numa dialética que os apresenta não como rivais, mas como complementares (JOB, 2011, p. 526).

As concepções apresentadas por Pierre Job (2011) reforçam nossas ideias de trabalhar tanto a noção intuitiva como a definição por épsilon e delta (de forma paralela), possibilitando uma problemática e discussão em torno dos elementos que os envolvem para permitir criar uma 86 "Lien d'obedience qui lie l'ecole a l'institution des mathematiciens, lui impose de transmettre un savoir conforme, qu'elle pense conforme, au rapport que ces derniers entretiennent a la notion de limite." (JOB, 2011, p. 499). 87 Platonismo se refere, entre outras coisas, à ontologia de Platão onde o conhecido "mito da caverna" é uma metáfora em que homens são acorrentados em uma caverna e viram as costas para a única abertura; eles veem apenas suas sombras nas paredes e as dos objetos atrás deles, projetadas pela luz do dia. Ou seja, o conhecimento existe em algum lugar, mas temos apenas acesso a ele de forma indireta e imperfeita. (JOB, 2011, p. 172).

relação do estudante com o objeto noções de limite. Assim, construiremos no nosso MPR e MPFA a partir das ideias das noções de limite procurando articular tanto as intuitivas como a definição por épsilon e delta.

A tese de doutorado de Thomas Lecorre, de 2016, intitulada Des conditions de conception d'une ingénierie relative à la définition de la notion de limite 88 , vinculada a La Communauté Université Grenoble Aples, com especialidade em Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique 89 , procura determinar as condições de acesso dos alunos no final do ensino secundário e no início do ensino superior às necessidades de conhecimento complexo. O autor apresenta o caso da construção de conceitos de Cálculo e de sua formalização. Na tese é construída uma engenharia do limite compreendendo uma sucessão de três situações didáticas (números, quantificador e limite) que é desenvolvido e experimentado.

Para Lecorre (2016, p. 14), A noção de limite e sua definição em épsilon são elementos fundantes da teoria da análise padrão, na medida em que se relacionam fundamentalmente aos demais conceitos: derivadas, integral... Numerosos estudos sobre a definição de limite atestam que ela sempre constituiu uma grande dificuldade no ensino secundáriouniversitário (Tall;[START_REF] Tall | Conflicts in the learning of Real Numbers and Limits[END_REF]Robert, 1982;[START_REF] Sierpinska | Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite[END_REF]Bloch, 2000;Przenioslo, 2004...). Agora a definição de limite em épsilon é útil nesses lugares, especialmente para provar teoremas (a álgebra de limites, por exemplo), teoremas que dispensarão o uso desse formalismo. A questão da necessidade e inteligibilidade de objetos matemáticos é, portanto, particularmente a noção de limite. (LECORRE, 2016, p. 14, tradução nossa). 90 Como apresenta Lecorre, a definição de limite por épsilon e delta, apesar de apresentar uma grande dificuldade tanto no ensino secundário como universitário francês, possui uma grande utilidade na prova de teoremas. Com isso, compreender tais noções de limite é importante durante o processo do Cálculo Diferencial e Integral.

Em seu trabalho, Lecorre (2016, p. 18) apresenta três hipóteses de pesquisa: 88 Condições de projeto para engenharia relacionada à definição da noção de limite (tradução nossa). 89 Universidade Comunitária Grenoble Alpes, com especialidade em Matemática, Ciências e Tecnologia da Informação, Ciência da Computação (tradução nossa). 90 "La notion de limite et sa définition en épsilon sont des éléments fondateurs de la théorie de l'analyse standard, dans la mesure où elle fondamentalement liée aux autres concepts: dérivée, intégrale… La définition de limite constitue depuis toujours une difficulté majeure dans l'enseignement secondaire-début universitaire, les nombreuses études à son sujet en attestent [START_REF] Tall | Conflicts in the learning of Real Numbers and Limits[END_REF]Robert 1982;[START_REF] Sierpinska | Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite[END_REF]Bloch, 2000 ;Przenioslo 2004…). Or la définition de limite en epsilon est finalement utile, à ces endroits, surtout pour démontrer des théorèmes (l'algèbre des limites par exemple), théorèmes qui vont dispenser de l'usage de ce formalisme. La question du besoin et de l'intelligibilité des objets mathématiques est donc particulièrement aigüe pour la notion de limite." (LECORRE, 2016, p. 14).

H1: É possível, através da racionalidade, elaborar um modelo para caracterizar as etapas de acesso adidático a noções matemáticas avançadas, nesse caso, da definição do limite. H2: Adaptações da Teoria das Situações Didáticas à complexidade das noções matemática avançada podem ser apoiadas nos níveis heurísticos de situações pelo debate científico em sala de aula. H3: Existe um ambiente de ensino suficiente para permitir o acesso adidático à definição de limite, tornando-a necessária no sentido da necessidade de definição e à inteligibilidade de seu formalismo. (LECORRE, 2016, p. 18, tradução nossa). 91 A primeira hipótese de pesquisa diz respeito à possibilidade de acompanhar a evolução da racionalidade de um aluno ou um grupo de alunos, fazendo a Matemática como parte do seu projeto de pesquisa. Já a segunda hipótese supõe a implementação no nível didático dessa modelagem epistemológica e matemática. Essa implementação atende às necessidades de uma engenharia didática de conceitos matemáticos avançados e, mais particularmente, da definição do limite no contexto da Teoria das Situações Didáticas (TSD). A última hipótese enfatiza a efetividade dos meios teóricos para analisar, a priori, situações experimentais específicas na definição de o limite.

Quanto ao formalismo da definição de limite, Lecorre (2016, p. 27) aborda três pontos cruciais no que diz respeito às questões epistemológicas: o primeiro está relacionado à quantificação e, em particular, a dupla quantificação presente na definição de limite em épsilondelta. O segundo ponto diz respeito à noção de variável, a relação de dependência entre uma e outra variável que aparece na definição. E o terceiro ponto concerne aos números reais que possibilitam a existência de um limite e sua unicidade. Lecorre (2016, p. 73) menciona ainda que a longa história da noção de limite, que levou à sua formalização, mostra o quanto às resistências encontradas para essa formalização é forte.

De acordo o autor, essas resistências estão associadas, em parte, aos próprios desenvolvimentos tortuosos de noções múltiplas (número, quantificadores, definição,...), intrinsecamente relacionadas à definição (, ) do conceito de limite. No que diz respeito aos números, parece que quando estamos olhando para a definição (, ) algum conhecimento de números parece indispensável, ou necessidade de conhecer melhor os números reais.

91 "H1: Il est possible de modéliser la rationalité de manière à caractériser les étapes d'un accès adidactique aux notions mathématique avancées, en l'occurrence celle de la définition de la limite. H2: "Les adaptations de la TSD à la complexité des notions mathématiques avancées peuvent être prises en charge aux niveaux heuristiques du milieu des situations par le débat scientifique en classe. L'étude des transitions de rationalités permet, à son tour, de renforcer l'adidacticité des situations." H3: "Il existe un milieu didactique suffisant pour permettre l'accès adidactique à la définition de limite, la rendant nécessaire dans le sens du besoin de définition et de l'intelligibilité de son formalisme." (LECORRE, 2016, p. 18).

Nas suas considerações finais, Lecorre (2016, p. 423) afirma que a noção de limite é, na verdade, conhecida pela dificuldade que gera nos estudantes tanto na França como em outros países. Em particular, o formalismo da definição em épsilon-delta do limite determina noções de questões centrais como número, quantificadores e a ideia de definição. Segundo o autor, parece óbvio que o conhecimento dessas noções é indispensável para dar significado a esse formalismo. Ainda, conforme o autor, entre as dificuldades identificadas em relação a essas noções e outras noções associadas ao limite, o infinito e a questão da presença de obstáculos epistemológicos são recorrentes em que, muitas vezes, não é possível fugir dos tais obstáculos epistemológicos.

A pesquisa de [START_REF] Lecorre | Des conditions de conception d'une ingénierie relative à la définition de la notion de limite: Élaboration d'un cadre basé sur un modèle de rationalité pour l'accès aux objets mathématiques complexes[END_REF] vem nos auxiliar a compreender como ele propõe a sequência para o ensino das noções de limites, em particular a sua definição; a importância de apresentar elementos prévios para o trabalho da noção de limitecomo, por exemplo, noções sobre números reais, funções, valor absoluto e quantificadores (dupla quantificação)com o intuito de subsidiar nosso percurso formativo digital através da engenharia didática.

Dessa forma, é importante destacar que tais pesquisas abrem o caminho para outros trabalhos e discussões, que contribuem para o prosseguimento e o aprimoramento das ideias trabalhadas até então.

Trabalhos Nacionais

Entre os trabalhos nacionais, destacamos o trabalho de Rezende (2003, p. 9), intitulado "O ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica". Apesar de não tratar apenas de limites, tem uma relação direta com os principais tópicos do componente de Cálculo, entre eles o saber limites. O autor apresenta que muitos trabalhos partem dos pressupostos que as dificuldades no ensino de Cálculo são de natureza psicológica, sendo internas ao aprendiz.

Porém, a sua pesquisa expõe que parte significativa dos problemas de aprendizagem no ensino de Cálculo é essencialmente de natureza epistemológica e está além tanto dos métodos quanto das técnicas de ensino, sendo anterior até mesmo que o próprio Cálculo.

Com isso, [START_REF] Rezende | Ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica[END_REF] Para Rezende (2003, p. 338), essa dualidade discreto/contínuo é ignorada no ensino da matemática.

O eixo variabilidade/permanência tem origem na filosofia pré-socrática, na dialética de Heráclito e na perseguição da unidade e a invariabilidade do mundo da filosofia eleática, sendo somente desenvolvido pelos escolásticos no século XIV, com a forma embrionária do conceito de derivada que é a noção escolástica de latitude. Tal noção se insere no universo matemático através da cinemática desenvolvida por Galileu e Torricelli, tendo como marco a álgebra geométrica, passando pelo crivo dos matemáticos hindus e árabes até à escola matemática francesa nos séculos XVI e XVII, chegando à geometria analítica de Descartes e métodos analíticos de Fermat. Tais instrumentos contribuíram para Newton e Leibniz, de forma independente, trabalharem com o problema da variabilidade, desenvolvendo, respectivamente, as noções de última razão e diferencial. Porém, para chegar ao conceito de derivada era necessário o conceito de função.

A noção de permanência (invariabilidade das coisas), aliada ao conceito de variabilidade, contribuiu para o desenvolvimento do conceito de integral, sendo necessário, posteriormente, o desenvolvimento da noção de limite no cerne da dualidade discreto/contínuo. Para o Cálculo, foi interessante à relação de interdependência entre quantidades variáveis, ligado de maneira estreita à questão da variabilidade através da "medida" da taxa de variação de uma variável em relação à outra, levando, por exemplo, a ignorar o significado da derivada como a medida instantânea da variabilidade de uma grandeza.

O eixo finito/infinito, de acordo Rezende (2003, p. 355), teve como primórdios os paradoxos de Zenão (o de Aquiles e o da Dicotomia), sendo trabalhado, século após século, no problema da soma de uma série infinita ter como resultado finito. Nesse caso, a história do infinito tem uma relação direta com a história do Cálculo, sendo um ingrediente fundamental para compreender o discreto/contínuo. Durante a história da Matemática procurou-se evitar, ao invés de enfrentar, o problema do infinito, havendo resistências na época de Platão e de Arquimedes, tendo uma inserção definitiva na Idade Média (pelos escolásticos). Mais tarde, os procedimentos infinitesimais, baseados na noção intuitiva de limite, contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo. números reais, de modo que explicite as ideias do Cálculo. Para ele, os resultados, na maioria das vezes, estão implícitos, tornando-se simplesmente fórmulas algébricas ou regras aritméticas, em que se poderia trabalhar gradualmente e em forma espiral, permitindo assim a construção das redes de significações das ideias básicas e, posteriormente, buscar a sistematização dos elementos dessa rede. Portanto, o autor finaliza que é necessário, de fato, um enfrentamento do esvaziamento semântico de suas ideias do ensino de Matemática em seu sentido amplo.

Nesse sentido, as abordagens apresentadas por [START_REF] Rezende | Ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica[END_REF] nos leva a refletir para construir o nosso modelo de referência como, por exemplo, o discreto e o continuo, o finito e infinito, que estão diretamente relacionados com as noções de números reais e que, normalmente, os estudantes recém-egressos da educação básica não possuem tais compreensões e, com isto, faz-se necessário explorá-las.

A tese de doutorado de Ivanete Zuchi, de 2005, intitulada "A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional", foi defendida no Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federal de Santa Catarina. A sua investigação parte das premissas que há um obstáculo no processo de ensino e aprendizagem do conceito de limite e propõe o desenvolvimento de uma nova metodologia que possa contribuir de maneira significativa para o avanço desse objeto matemático. Nessa perspectiva, a autora apresenta uma alternativa de aprendizagem envolvendo a Didática da Matemática e a Inteligência Artificial. Dentro da Didática da Matemática foi apresentada como lente teórica a Teoria das Situações Didáticas proposto por Guy [START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques[END_REF] 92 .

Inicialmente, a autora propõe o desenvolvimento de uma sequência didática do conceito de limite no ambiente lápis e papel e, posteriormente, no ambiente informatizado utilizando-se recursos da Inteligência Artificial. Esse recurso possibilitou o desenvolvimento de Sistemas Tutoriais Inteligentes permitindo, dessa forma, um feedback permanente.

De acordo Zuchi (2005),

As dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagem do conceito de limite são há muito conhecidas. Estas dificuldades são encontradas ao longo da história da Matemática, que data de mais de 2500 anos, envolvendo os processos de conceitualização e instrumentalização do limite. [...] O grande avanço do cálculo, historicamente, foi possível no momento da formalização do limite e após isso, várias aplicações surgiram. Atualmente, com o avanço da tecnologia, várias áreas se desenvolveram graças ao cálculo, tal como compactação de impressões digitais, previsão de tempo, representação de dados, entre outras. Apesar de sua grande importância, o conceito de limite muitas vezes constitui-se o grande gargalo do ensino de cálculo. Muitos alunos saem de um curso de cálculo sem entendê-lo e nem sequer relacionar com derivada e integral, que são, geralmente, os conceitos adjacentes, apresentados nos livros didáticos e na grade curricular. Podemos perceber que há uma grande dificuldade na aprendizagem do conceito de limite quando se introduz esse, intuitivamente, pela cinemática e, após se apresenta a definição, formalmente, utilizando o ponto de vista de aproximação (ε, δ). (ZUCHI, 2005, p. 20-21). [START_REF] Zuchi | A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional[END_REF] apresenta uma sequência no ambiente lápis e papel e utiliza os resultados para descrever, a priori, a construção da sequência didática no ambiente computacional. Apesar da excelente ideia de fornecer dicas, caso o estudante não consiga a resposta correta, as questões propostas na sequência não têm articulação entre si, ou seja, não estabelece uma conexão. Esta é dividida em dois módulos: limite do ponto de vista da aproximação e do ponto de vista da cinemática.

Outra questão observada é que a construção da definição (, ) não é descrita de forma gradual, apesar de alguns problemas apresentados na sua sequência terem ideias interessantes para essa construção, os termos épsilon e delta aparecem de forma repentina, não construindo com o estudante cada parte da definição formal.

Nas suas conclusões e recomendações, Zuchi (2005, p. 208) afirma que na construção da definição formal (, ) os estudantes não demonstraram nenhum tipo de "aversão" ao formalismo matemático em questão e, em situações de demonstração, os estudantes conseguiram estabelecer corretamente a relação entre ε e δ.

Além disso, a autora afirma que a atuação do professor nesse processo é de fundamental importância, pois deve agir como mediador. E, dessa maneira, o professor não anuncia um conceito final como pronto e acabado, mas instiga, questiona, provoca o estudante de forma que, por meio dos conhecimentos adquiridos numa fase anterior, consiga construir um novo conhecimento (ZUCHI, 2005, p. 208).

Um fator importante apresentado pela autora é o tempo envolvido na aplicação dessa metodologia. Enquanto no método tradicional o conteúdo de limite é abordado normalmente na primeira aula, a sequência proposta na sua pesquisa levou quatro aulas de 50 minutos. A pesquisadora justifica que o diferencial é que o conceito limite não foi meramente exposto, mas construído pelos alunos. Desta forma, o tempo envolvido na aplicação da sequência didática é compensado pelo conhecimento adquirido pelos estudantes, pois se tornam mais ágeis, conforme constataram as professoras das classes nas quais foi aplicada a referida sequência didática (ZUCHI, 2005, p. 209). Do de [START_REF] Zuchi | A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional[END_REF], a ideia do ambiente computacional com a sequência didática, nos forneceu considerações para elaboração de nossas tarefas no percurso formativo digital, visto que a autora trabalha a ideia de função e aproximação de forma contextualizada, para chegar às noções de limites de funções em um ponto. Isso ajudou em ideias para a construção de nossa engenharia didática.

A tese de Maria Bethânia Sardeiro dos Santos, defendida em 2013, tem como título:

"Um olhar para o conceito de limite: constituição, apresentação e percepção de professores e alunos sobre o seu ensino e aprendizado" no Programa de Doutorado em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. A sua pesquisa teve como objetivo trazer novas reflexões buscando responder as seguintes questões referentes ao conceito de limites de uma função real: "De onde vem a dificuldade de aprendizagem desse conceito? Como os livros o apresentam? E as tarefas? Como são propostas? Em que os professores universitários se apoiam para ensinar esse conceito? Que elementos utilizam para motivar o aprendizado? Com quais definições trabalham? Como veem as dificuldades dos alunos? E os alunos, que testemunho nos trazem com relação aos seus aprendizados de Limite de uma função?" Em sequência, a autora apresenta elementos da História da Matemática a fim de expor reflexões com maior profundidade sobre o desenvolvimento e constituição do conceito de limite e das dificuldades que acarretaram diferentes obstáculos na aprendizagem desse conceito.

Também utilizou na sua pesquisa, como aporte teórico, a Teoria Antropológica do Didático explicitando o quarteto praxeológico formado pela teoria, tecnologia, técnica e tarefa.

Outro aporte teórico utilizado foram os Registros de Representação Semiótica, empregados para fazer uma análise específica dos tipos de tarefas e registros presentes nestas.

Além disso, a autora utilizou uma análise através da teoria de Bakhtin (2010) 93 para verificar a estruturação do discurso apresentado pelos autores dos livros didáticos.

Nas considerações finais, Santos (2013) confirmou alguns resultados de estudos anteriores, que mostraram outros elementos relacionados ao conceito de limite e trouxeram, também, novos questionamentos para pesquisas futuras, entre eles a definição (, ) de limiteque continua a ser um desafio tanto para quem ensina quanto para quem aprendeo que, para nosso trabalho, serve de ligação e contribuição na continuidade das ideias da autora.

93 BAKHTIN, M. Marxismo e filosofia da linguagem. 14. ed. São Paulo: Hucitec, 2010.

127

O trabalho de [START_REF] Santos | olhar sobre o conceito de limite: constituição, apresentação e percepção dos professores e alunos sobre seu ensino e aprendizado[END_REF] vem nos fornecer elementos sobre como se apresenta o ensino e a aprendizagem das noções de limites no contexto brasileiro, com depoimentos de professores e considerações de estudantes de Licenciatura em Matemática, confirmando dificuldades inerentes a este conceito e possíveis estratégias para lidar com ele. E, como a autora menciona, a necessidade de investigar mais sobre a definição por épsilon e delta, tanto para quem ensina como para quem aprende.

Para Santos (2013, pp. 250-251), não se deve negar conhecimento de excelência ao estudante, sendo um dos papéis da universidade:

Para tanto, há vários elementos a serem considerados, desde a maturidade do aluno até a proposta metodológica defendida/utilizada pelo professor. Não se pode, em nome da "falta de maturidade", postergar para uma série futura (em um curso de Análise) esse trabalho. Deve-se pensar em adequações e não em subtrações. Se já há algum tempo se escuta a defesa de que para se ensinar matemática é preciso saber matemática, nós precisamos refletir, inclusive, sobre que matemática tem sido ensinada e para que propósitos. O curso de Análise ministrado posteriormente garantiria a compreensão do aluno com relação ao épsilon e ao delta da definição de Weierstrass?

A pesquisa de Santos vem trazendo características relacionadas com o nosso trabalho envolvendo as noções de limites, em particular as noções de épsilon e delta, já que tais noções se mostram emblemáticas no trabalho com limites. Além disso, distinguindo do trabalho de [START_REF] Santos | olhar sobre o conceito de limite: constituição, apresentação e percepção dos professores e alunos sobre seu ensino e aprendizado[END_REF], apresentamos a concepção dos estudantes e professores frente à noção de limite, em particular a definição por épsilon e delta, e na atividade proposta temos um enfoque nos momentos didáticos e nas praxeologias apresentadas pelos estudantes.

A tese de doutorado de José Augusto Nunes Fernandes, defendida em 2015, intitulada "Ecologia do saber: o ensino de limite em um curso de engenharia", vinculada ao programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemáticas da Universidade Federal do Pará, teve como motivação a dispensabilidade do ensino de limite de uma função real de uma variável devido a mudanças na ementa e na carga horária (reduzida à metade) da disciplina de Cálculo I, para disciplina Matemática Aplicada à Engenharia I, no curso de Engenharia Civil. Devido às restrições citadas, o autor apresentou o tema limite como tópico suscetível à exclusão, fato esse que foi observado pelo pesquisador a partir de sua prática pedagógica na disciplina mencionada.

José Fernandes (2015, p. 19) apresenta como questão de pesquisa: "O que é que o objeto limite faz nesse curso?" Em outras palavras, para quê o tema serve em outras disciplinas do curso de Engenharia Civil, além daquela que trata do Cálculo Diferencial e Integral? Enfim: quais são as funcionalidades de limite no curso de Graduação em Engenharia Civil da UFPA (Universidade Federal do Parácampus Belém). Dessa forma, buscou-se a razão de ser do objeto limite, a fim de compreender o seu lugar e suas funções no referido curso. Assim, o pesquisador propõe um modelo heurístico para análise didática ecológica, visando identificar as funcionalidades do objeto limite, isto é, seus nichos, nos habitat do ecossistema do curso mencionado.

A pesquisa de José Fernandes (2015, p. 7) produziu informações a partir da imersão realizada na instituição UFPA, bem como no Projeto Pedagógico do Curso, entrevistas com professores, análises das obras de referência e praxeologias didáticas ponderadas com base no novo modelo proposto, verificando, dessa forma, modos de "vida" do objeto limite, possibilitando, assim, a não dispensabilidade do seu ensino no ecossistema investigado, permitindo sugerir modificações transpositivas para as condições desse saber na instituição94 onde a pesquisa se desenvolveu.

José Fernandes (2015, p. 149), ao descrever as técnicas para encontrar o limite, não inclui como uma técnica a definição de limite, justificando que é uma técnica: "[...] de pequeníssimo alcance por não se aplicar a uma variedade de funções, razão pela qual não é explorada" (FERNANDES, 2015, p. 151). De acordo com o autor, a definição está relacionada ao bloco teórico.

Ainda para José Fernandes (2015, p. 201), limite no ensino de engenharia, como instituição utilizadora da Matemática, é algo que não pode ser ultrapassado, ou seja, não é atingido, contrariamente ao universo matemático que o tem como aproximação e que deve igualar-se por ambos os lados. O infinito, como já dito, parece não estar muito longe, é quase alcançável, o que no universo da Matemática é absurdo. Formalizações de limite com épsilons e deltas, ou até em tarefas para "mostrar", "justificar", "provar" o resultado de certo limite, como corriqueiramente ocorre na instituição produtora do saber matemático, não fazem o menor sentido no ensino de engenharia, pois, nesse, o que importa é calcular o limite e se o seu resultado já é conhecido, a descoberta de seu valor perde a funcionalidade na instituição utilizadora.

De acordo com José Fernandes (2015, p. 204), quando os engenheiros professores dizem que não precisam de limite e que sua utilização em demais disciplinas do curso é quase nula, retirando-o do ensino no Curso de Engenharia, isso se deve ao que eles veem cotidianamente, ou seja, consideram um saber dissociado de suas práticas. As ementas de algumas disciplinas, assim como as normas, explicitamente destacam a palavra "limite" como um objeto desconectado daquele objeto matemático que é ensinado no componente de Cálculo, por meio de praxeologias didáticas. Para esse autor, reverter essa situação não é tarefa elementar, pois o conjunto das práxis dos professores engenheiros não lhes permitem outras formas de pensar.

No entendimento de José Fernandes (2015, p. 201), os modelos epistemológicos que se expressam nos livros didáticos também não atendem aos interesses do ensino da engenharia como instituição utilizadora do saber limite de uma função, pois as obras que indicam que esse saber pode ser deixado de lado, ou mesmo para depois (aos que se interessarem), não conseguindo vê-lo em outras praxeologias além dos discursos de que a derivada e a integral são justificadas por limite, e o tem como objeto unificador do Cálculo. Vale ressaltar que, de modo contrário, há obras que exploram exaustivamente esse tema, mas que também não levam "em conta que, em práticas da engenharia, ele se faz importante", "que respostas a essa prática social o objeto matemático fornece", ou seja, quais os seus nichos no habitat do ecossistema de ensino de engenharia.

Nas considerações finais, José Fernandes (2015, p. 193) apresenta que o ensino de limite de uma função foi postergado em favor da prioridade dada ao de derivada, sendo depois ensinado de forma breve, prescritiva e monumentalista. Na sua investigação, apresenta diversas situações em que esse objeto limite 'vive' no ambiente considerado, mas não necessariamente da mesma forma na instituição produtora desse saber. O autor denomina "nicho teórico" quando o limite é apresentado para justificar uma técnica ou tecnologia, e de "nicho tecnológico" quando o seu cálculo é solicitado nas tarefas e exibindo, nessas ocasiões, ostensivos textuais, algébricos, gráficos, numéricos e empíricos.

A pesquisa de José Fernandes (2015) nos mostra que nem sempre o saber trabalhado na instituição matemática tem a mesma ênfase que na instituição da engenharia, pois, enquanto o matemático se preocupa com a justificativa teórica de determinado saber, o engenheiro tem uma preocupação com questões práticas, ou seja, com o bloco prático. Isso nos ajudou a entender como o limite vive na instituição dos matemáticos e dos engenheiros, bem como compreender as atividades propostas nessas duas instituições e tal trabalho permitiu que pudéssemos ter um olhar nas especificidades do saber limite nessas diferentes instituições.

A tese de Sônia Maria Monteiro da Silva Burigato, de 2019, intitulada "Um estudo sobre a aprendizagem do conceito de limite de função por estudantes nos contextos Brasil e França", apresenta o seguinte objetivo de pesquisa: Compreender os processos mobilizados por estudantes ao lidarem com situações introdutórias do conceito de limite de funções. Burigato (2019, p. 7) menciona que o conceito de limite é considerado problemático e sua aprendizagem envolve diversos outros conceitos, sendo alguns de difícil compreensão, tais como: função, infinito e números reais. Como quadro teórico, Burigato se pautou na teoria dos campos conceituais Vergnaud (1990;2002;2007;2009;2015;2016).

Como resultados de sua análise, a autora identificou que as variações de representações utilizadas nas atividades e nas ações dos alunos foram importantes para as adaptações dos esquemas mobilizados para lidar com as situações criadas. Também, forneceram meios para associações de imagens mais próximas das definições apresentadas pelo ensino, possibilitando que mostrassem imagens que estavam se constituindo em um possível conceito de definição pessoal de limite de função, tanto de estudantes brasileiros como franceses. Burigato (2019, p. 49) chama a atenção para o caso da definição (, ), pois existem noções que estão implícitas nas expressões dadas, que geralmente são incompreensíveis para os estudantes. De acordo a pesquisadora, essas expressões envolvem conceitos de matemática básica, e que os estudantes sentem mais dificuldades, pois elas aparecem nessas expressões de forma extremamente diferente do que eles viram nos anos anteriores, misturando: módulos, inequações, funções e os quantificadores ε e δ que são números, mas que não são para serem operados na função, e sim utilizados para definir o raio das aproximações. Para Burigato (2019, p. 44) Ensino Superior e, nessa fase, o conceito é trabalhado com sua definição por épsilon e delta, entretanto sua ênfase e profundidade serão em função das especificidades dos cursos. Nas atividades propostas por Burigato (2019, p. 233), muitas delas não se referem diretamente ao conceito de limite, porém começam a construir a noção com saberes da matemática básica como, por exemplo, números reais, funções até chegar às ideias das noções de limite. A escolha teórica foi baseada na teoria dos campos conceituais (regras em ação, teoremas em ação e meios de tomada de informação e de controle na ação), permitindo investigar as adaptações dos esquemas utilizados pelos estudantes ao lidar com situações e noções de conceito imagem e conceito definição, além das filiações e rupturas no processo de aprendizagem.

Diferentemente do trabalho de Burigato (2019), possuímos como aporte teórico a Teoria Antropológica do Didático, tendo um enfoque nos momentos didáticos, praxeologias e avaliação formativa. Beneficiamos-nos em relação às análises realizadas pela autora, pois as atividades propostas por ela nos ajudaram a elaborar nossas atividades, desde os saberes da Educação Básica até chegar às noções de limites.

A tese de Cheick Oumar Doumbia, de 2020, intitulado: "Um modele didactique de reference pour la construction des savoirs et l'actualisation des connaissances sur la notion de limite au Mali"95 , inscrito no nosso Programa de Pós-Graduação, em Ensino, Filosofia e História das Ciências (PPGEFHC-UFBA-UEFS), teve como objetivo: ajudar futuros professores, participantes de projeto de pesquisa, a construir situações de ensino que lhes permitissem atribuir um significado matemático à noção de limite de uma função de uma variável real em um ponto e usá-la para mostrar que um número real é o limite de uma função em um determinado ponto (DOUMBIA, 2020, p. 14). Como referenciais teóricos, utilizou a Didática da Matemática, a Teoria das Situações Didáticas, a Teoria Antropológica do Didático, a Teoria dos Campos Conceituais e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. [START_REF] Doumbia | Um modèle didactique de référence pour la constrution des savoir et l'actualisation des connaissances sur la notion de limite eu Mali[END_REF] apresenta questões pertinentes no seu trabalho, que tem uma ligação com o nosso pelo fato de estarmos lidando com o mesmo objeto do saber limite de funções e, além disso, estarmos ligados ao mesmo grupo de pesquisa (NIPEDICMT) sob a supervisão do mesmo orientador. Tanto as experimentações realizadas por Doumbia (2020) como nossas discussões no grupo de pesquisa contribuíram para as ideias desenvolvidas no nosso trabalho de investigação. Apesar de Doumbia (2020) ter trabalho com os estudantes na República do Mali, percebemos problemas semelhantes no nosso contexto de pesquisa relativo ao trabalho com a noção de limite.

Na análise dos elementos institucionais, Doumbia (2020, p. 167) analisou, nos livros didáticos 1970 a 1991, como a noção de limite em um ponto é estudada. Normalmente, após se abordar continuidade de funções, o limite é definido utilizando as ideias de continuidade. Além disso, o autor percebeu que os antigos livros didáticos não definem intuitivamente a noção de limite; a definição formal é a que é trabalhada, provendo exemplos de aplicação e demonstrações sobre as propriedades dos limites. Ressalta o autor que a maioria desses didáticos não coloca em interação as estruturas algébrica, numérica e geométrica, nem oferece atividades sobre noções relacionadas à definição formal, como quantificadores, implicação, valor absoluto, intervalos, desigualdades e equações, infinito, números reais e sequências, etc., pois a estrutura privilegiada é a estrutura algébrica. Salienta ainda que existe uma confusão entre limite e continuidade em tais manuais.

Em relação ao trabalho com o conceito de limites no Mali, Doumbia (2020, p. 184) informa que há um abandono gradual da definição formal e sua aplicação no nível secundário, isso supõe que ela ressurgirá em outro nível, ou seja, no nível superior. Foi constatado que no nível superior a definição formal reaparece, mas não é construída, apenas é apresentada e fornece alguns casos simples. Dessa forma, é a álgebra de limites que corresponde ao modelo epistemológico dominante no Ensino Médio; as propriedades são declaradas sem nenhuma demonstração; não é estabelecida a noção de limite em conexão com todo o seu campo conceitual, por exemplo, a lógica está ausente (DOUMBIA, 2020, p. 279).

Na análise da revisão da literatura, Doumbia (2020) mostra que é a definição intuitiva que dificulta o entendimento da definição formal, pois não há uma correspondência com esta, sendo que definição formal (em termos de épsilon e delta) do conceito de limite é acessível para os estudantes. A manipulação de tal definição permite que os alunos atualizem diversos saberes como, por exemplo, a noção de intervalo numérico, as desigualdades com valor absoluto, a distância na reta real, a composição e a decomposição de funções, a noção de ordem em ℝ (conjunto dos números reais), etc. A definição formal, segundo Doumbia (2020, p. 9), permite corrigir obstáculos como "o limite atingido ou não", a ausência dos quantificadores, a confusão entre o limite e a continuidade, a consideração do domínio de definição no cálculo do limite, marca a passagem da álgebra para a análise. Doumbia (2020, p. 280), nas suas conclusões, destaca que é necessário introduzir a história e a epistemologia do conceito de limite na formação de futuros professores do lycée, mostrando a importância da definição formal no tratamento de obstáculos relacionados ao conceito de limite. Portanto, é importante construir a definição formal e fazê-lo funcionar para destacar esses diferentes aspectos. Os resultados da sua pesquisa epistemológica sobre as concepções de professores e futuros professores demonstram intensamente a necessidade de rever o ensino do conceito de limite na universidade e, mais precisamente, nas escolas de formação de professores. A introdução da história da Matemática, na formação de futuros professores de Matemática, é um fator importante, como também conhecer as dificuldades que surgem para a formalização da definição do limite em épsilon e delta. Isso mostra que é preciso um aprofundamento dessa reflexão (DOUMBIA, 2020, p. 281).

As análises levantadas por Cheick Oumar Doumbia contribuíram para consolidar a necessidade de articular as noções intuitivas com a definição formal por épsilon e delta, de modo que se faça uma articulação entre tais ideias, e que o estudante consiga compreender tal construção. Assim, as atividades propostas por Doumbia (2020) nos ajudou na estrutura, bem como na concepção das tarefas propostas.

Síntese da resposta R2 ◊ referente à questão Q2: O que dizem as pesquisas sobre o ensino do conceito de limite de funções? Podemos perceber que, nos trabalhos analisados, alguns dão ênfase na definição (, ) de limite como, por exemplo, as atividades propostas por Santos (2013, p. 346) em forma de questionários, diferentemente de Zuchi (2005), que apresentou uma sequência didática. Santos (2013, p. 9) sugere que em trabalhos futuros o estudo da definição (, ) de limite deva ser evidenciado, pois tal definição continua sendo um desafio tanto para quem ensina, quanto para quem aprende.

Já [START_REF] Burigato | Um estudo sobre a aprendizagem do conceito de limite de função por estudantes nos contextos Brasil e França[END_REF] e [START_REF] Doumbia | Um modèle didactique de référence pour la constrution des savoir et l'actualisation des connaissances sur la notion de limite eu Mali[END_REF] apresentam atividades e reflexões, como algumas articulações entre a noção intuitiva e a definição por épsilon e delta. Porém, não evidenciavam a questão da avaliação formativa (embora [START_REF] Zuchi | A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional[END_REF] apresente alguns vestígios de feedback), como também os momentos didáticos desenvolvidos na TAD. Desse modo, verificamos uma lacuna em tais trabalhos, pois percebemos que pouco deles envolve o ensino de limite e aborda a questão da avaliação, em particular, a avaliação formativa. Isto é, avaliação formativa imbricada com as ideias dos momentos didáticos de forma a identificar vestígios de praxeologias construídas pelos estudantes que não tiveram êxitos, além de trazer as atividades nos ambientes virtuais de aprendizagens.

Análise Institucional e de elementos institucionais

Nessa parte, procuraremos responder ao questionamento, Q3: Como é a ecologia para a definição de limite presente em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas? Para isso, a Teoria Antropológica do Didático (TAD) considera a instituição 96 como a quarta noção fundamental dessa teoria. Uma instituição I, de acordo com Chevallard (2018b, p. 32) é um dispositivo social, "total", que certamente pode ter pequenas extensões no espaço social, embora permita e também impõe a seus sujeitos, as pessoas x, que ocupem diferentes posições p ofertadas por I.

As três primeiras noções fundamentais apresentadas pela TAD são, respectivamente, objeto (φ) (tudo é objeto, o nome sete, o número 7, a noção de pai (...) a ideia de perseverança (ou coragem, virtude, etc.), o conceito de derivada, e também o símbolo ∂, etc., sendo objeto qualquer trabalho, ou seja, qualquer produto intencional da atividade humana); relação pessoal de um indivíduo x a um objeto (φ) denotado por R(x; φ) (todas as interações que um indivíduo

x pode ter com o objeto φ, que x manipula, usa, fala em um sonho, etc., neste caso φ existe para

x, denotado por R(x; φ)  ); pessoa (que estabelece uma relação com os objetos no decorrer da vida em diferentes instituições) (CHEVALLARD, 2018b, p. 31, 32).

Dessa forma, podemos analisar as possíveis relações institucionais estabelecidas nos documentos e elementos institucionais de modo a ajudar perceber evidências de lacunas que impeçam de viver o nosso objeto.

Análise dos documentos e elementos oficiais

A seguir, faremos uma análise do nosso objeto limite nos documentos oficiais como CNE (Conselho Nacional de Educação), na ementa do curso investigado (UFRB, 2011), nos livros didáticos referenciados na ementa, na prática da sala de aula, levantando questões secundárias para o nosso problema inicial.

O contexto da nossa investigação aconteceu em turmas de Cálculo I da UFRB campus

Cruz das Almas, em turmas formadas por estudantes do Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas (BCET 97 ), curso inicial com duração de seis semestres e com terminalidades de dois a quatro semestres em Matemática, Física ou Engenharias (Computação, Elétrica, Mecânica, Civil ou da Computação). 96 A classe é uma instituição, tendo o professor e o aluno como posições principais. A família é uma instituição, que possui como posições as pessoas dentro da família, seja a mãe, o filho ou a avó. (CHEVALLARD, 2018b, p. 32). 97 A proposta do Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas é oferecer a oportunidade de optar por uma formação inicial sólida nos conceitos gerais das Ciências Exatas, com disciplinas em núcleos de conteúdos básicos e núcleo de conteúdos de formação inicial, no período de três anos, proporcionando uma mobilidade acadêmica entre os blocos de formação inicial (isto é, nas éreas de formação: Engenharias, Matemática ou Física). (UFRB, 2011, p. 28). O Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas vislumbra orientar, formar e resgatar essa visão global dos profissionais, fornecendo conhecimentos básicos sólidos nas áreas das Ciências Exatas (Engenharias, Matemática e Física), proporcionando aos ingressos no curso a possibilidade de conhecer mais os elementos constituintes dessas áreas, e com isto, o curso torna-se um conjunto de opções de escolha dentro das áreas profissionais. Os ingressantes do curso irão estabelecer uma linguagem e visão comum aos futuros profissionais, com isto, poderão direcionar a área profissional com maior aptidão. O Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas irá contribuir para a integração do conhecimento, separando a formação básica, que é comum e permanente aos cursos de Engenharia, Matemática e Física, da formação inicial (Engenharia Civil, Sanitária, Elétrica, etc. ou Bacharelado em Matemática ou Física), que irá caracterizar o direcionamento final do egresso do curso. (UFRB, 2011, pp. 1-2, grifo dos autores).

Dessa forma, os estudantes, de acordo o PPC, poderão ter conhecimentos básicos e sólidos nas disciplinas comuns de forma que consigam prosseguir no curso que desejarem optar. E, a nosso ver, de acordo a abordagem realizada pelos componentes curriculares, possibilitará um senso crítico e científico para avançar na sua vida acadêmica, como apresenta o PPC:

O Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas busca desempenhar um papel muito importante na sociedade em geral. Como papel na educação, tem a finalidade de proporcionar aos egressos uma postura crítica, intuitiva e imaginativa, buscando iniciativa ao desenvolvimento da criatividade e à capacidade de resolver problemas e interpretar dados. Atender às demandas advindas da realidade nacional e regional, procurando formar profissionais capazes de responder aos desafios que lhes serão postos. (UFRB, 2011, p. 4).

De forma explícita, também, podemos perceber o objeto limite em ementas de outros Componentes Curriculares do BCET, como: No programa de cada Componente Curricular não se menciona avaliação contínua ou formativa do aprendizado do estudante, sendo esta, na sua maioria ou totalidade, de forma somativa.

A seguir, apresentamos análise de livros didáticos, por pressupor que este elemento institucional exerce forte influência no planejamento das aulas bem como no aprendizado dos estudantes. Consideramos dois livros das referências que constam no Anexo B do Programa do Componente Curricular Cálculo I da UFRB do BCET, a saber: Ávila (2003) e [START_REF] Guidorizzi | Um curso de Cálculo[END_REF].

Análise dos livros didáticos

Nos elementos institucionais, na análise dos livros didáticos, utilizaremos o modelo do espaço tridimensional das organizações didáticas apresentado por Gascón (2003), também utilizado na dissertação de Anjos (2014, p. 136), Silva (2017, p. 34) e Neves (2020, p. 135), como representado pela Figura 9. Tal modelo, normalmente, está diretamente relacionado a trabalhos na Didática da Matemática, em particular com a TAD. Realizaremos a análise praxeológica das tarefas propostas nos livros, bem como é apresentado e trabalhado o saber noções de limite. Com isso, vamos compreender se a noção intuitiva de limite está integrada à definição de limite por épsilon e delta ou se existe uma desarticulação.

Figura 9 -Organizações Didáticas: modelo proposto por Gascón (2003) Fonte: Gascón (2003, p. 21) Para expressar o modelo da Figura 9, Gascón (2003) divide a organização didática em três categorias: a teoricista (ligado ao momento tecnológico-teórico /), a tecnicista (ligado ao momento do trabalho da técnica T/), e a modernista (momento exploratório Ex).

A teoricista é aquela que privilegia as teorias, em que os momentos da exploração de conceitos têm uma ênfase, ignorando absolutamente os processos da atividade matemática (não concede nenhuma importância epistemológica à didática). Pressupõe, segundo Gascón (2003, p. 23), que o processo de ensino da Matemática é mecânico e totalmente controlado pelo professor.

Já a organização didática tecnicista é construída a partir do ensino das técnicas (algorítmicas), cujo ensino da matemática está relacionado aos treinamentos das técnicas ensinadas pelo professor, supervalorizando o momento de trabalho com a técnica, com o treinamento repetitivo, tendo como propósito de dominá-las.

Com a evidência das limitações e insucesso dos estudantes, dá-se origem à modernista, sendo aquela que favorece algumas situações em que o aluno não encontra a solução para a tarefa de imediato. Quando isso acontece, o estudante precisa experimentar várias técnicas para aplicar alguma solução conhecida, procura tarefas semelhantes, propõe conjecturas, testa contraexemplos, a fim de chegar às conclusões das tarefas propostas. Gascón (2003, p. 26) a considera como um processo de descobrimento indutivo e autônomo.

Em primeiro lugar, temos as Organizações Didáticas (OD) clássicas, que combinam o tecnológico-teórico e o trabalho da técnica que, de acordo Gascón (2003, p. 20), torna banalizada a atividade de resolução de problemas por considerar que o ensino da Matemática é totalmente controlável pelo professor. Em segundo lugar, a OD empirista, que integra, de certa forma, o momento exploratório e o trabalho da técnica, considerando que o processo de aprender Matemática é baseado na imitação e na prática. E, por último, a OD construtivista, que tomam, simultaneamente, os momentos tecnológico-teórico e exploratório, caracterizada por contextualizar a atividade de resolução de problema situando-a mais amplamente, considerando a aprendizagem um processo ativo de construção do conhecimento.

Na escolha do material (livro didático) a ser analisado, elegemos apenas os livros Ávila (2003) e [START_REF] Guidorizzi | Um curso de Cálculo[END_REF], que constam na ementa do PPC-BCET (UFRB, 2011, p. 68) por serem os mais utilizados pelos professores.

A) ÁVILA, G. S. S. Cálculo das funções de uma variável. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003.

Antes a análise tridimensional proposta por Gascón (2003) O início do capítulo compreende a explanação de definições, propriedades, resultados e exercícios resolvidos. Normalmente, nessa parte, os autores do livro didático trazem, mesmo de forma implícita, o que consideram que os estudantes devem aprender nesse nível de ensino e é nessa parte que os estes exploram em buscam de técnicas para resolver o que é solicitado na parte de atividades propostas.

No livro de Geraldo Ávila (2003), o autor deixa claro sua proposta no prefácio: "Todo material é desenvolvido de maneira prática, utilizando bastante a intuição e a visualização geométrica. Mas isso não significa que adotamos atitudes "dogmáticas", dando "receitas" sem justificativas" (ÁVILA, 2003, p. xv). Entendemos que, embora o autor se preocupe em apresentar um material com clareza, nem sempre é possível o estudante avançar, sem enfrentar os obstáculos que o próprio objeto apresenta e sem fazer as rupturas necessárias como, por exemplo, os obstáculos epistemológicos100 , apresentados pela primeira vez por Gastão Bachellard (1996).

Os paradoxos de Zenão de Eléia (450 a.C.), como já mencionado, são exemplos de obstáculos epistemológicos. Segundo Almouloud (2007, p. 139), estes têm origem no saber e têm uma relação direta com as dificuldades que os matemáticos encontraram, durante a história, para compreensão de um determinado conceito. Mesmo que seja possível contornar os obstáculos na concepção de um conceito, de acordo Brousseau (1983, p. 171), não se pode, nem se deve fugir dele, sendo uma passagem obrigatória.

A apresentação do curso de Cálculo pelo autor se faz com o conceito de derivada, em particular com a de reta tangente num ponto em uma função. Nesse sentido, ele afirma que o conceito de limite aparece de maneira natural, sem formalismo ou mesmo preocupação com o rigor, e enfatiza que seriam prematuras nesse momento e, ao invés de ajudar no aprendizado, poderiam atrapalhar. Desse modo, o autor afirma: Primeiro é preciso que o aluno se familiarize com a derivada e com vários exemplos de limites, apresentados intuitivamente. Só assim ele vai adquirindo maturidade, até encontra-se em condições de bem entender o porquê da definição de limite em termos de épsilons e deltas, um tratamento rigoroso que será feito no vol. 2 desta obra. (ÁVILA, 2003, p. 61).

O livro de Cálculo de Geraldo Ávila (2003) (daqui em diante chamaremos de o livro de Ávila), não apresenta de forma explícita a noção intuitiva nem a definição de limite (, ). Nesse caso, não alicerça o terreno de forma adequada para compreensão do conceito de derivadas e integrais, fornecendo, assim, ao leitor uma impressão de que essa noção tem pouca relevância para o estudo de Cálculo.

Nessa parte, para identificar melhor os elementos praxeológicos da organização matemática, apresentamos tanto a parte teórica como a das atividades, e organizamos um resumo dos tipos de tarefas e as respectivas técnicas exibidas na seção que envolve limite: Tabela 3 -Resumo dos tipos de tarefas e técnicas da seção de limite Ávila (2003) (continua) A Tabela 3 explicita todos os tipos de tarefas e as respectivas técnicas utilizadas no livro. A tecnologia está relacionada com a definição de limite e a teoria análise real.

Observando, por exemplo, na parte teórica, o autor propõe (p. 61), a seguinte tarefa: t1 -Traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado ponto da curva. Nesse caso, procura definir o que seria uma reta tangente num círculo e depois o que seria uma reta tangente a uma curva em um ponto, mostrando inconvenientes na definição de reta tangente. Como não estamos interessados na definição de derivada, focaremos no momento em que aparece a expressão do limite.

Em continuação, o autor define a razão incremental para implementar a técnica utilizada a fim de resolver a tarefa t1. Supõe que a curva seja o gráfico de uma determinada função f.

Considera a e f(a) como coordenadas do ponto P, onde deseja traçar a reta tangente. Em seguida, outro ponto Q do gráfico de f, cuja abscissa é a + h, ou seja, o valor da abscissa de P com um incremento h; e ordenada de Q por f é f(a+h). Assim, a inclinação da reta secante (Figura 10)

é dada pelo quociente 𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎) ℎ
, que denomina de razão incremental ou declive da reta secante PQ. É importante frisar que não parece clara para o leitor a parte onde a expressão 2 + h se transforma em 2. Assim, é capaz de parecer que o h se tornou nulo nesse momento, já que a interpretação geométrica apenas leva a conjecturar isso. Ávila (2003) É plausível destacar que a parte teórica, que relaciona com o conceito de limite, foi apresentada de forma "sucinta", pois apenas visualizamos de forma "tímida", não possibilitando uma ênfase nessa nova simbologia apresentada ao leitor.

Com isso, Ávila (2003) Na parte teórica, no Capítulo 3 -Limite e continuidade -, o autor inicia informando:

"vamos introduzir dois dos conceitos delicados do cálculo: os conceitos de continuidade e limite" (GUIDORIZZI, 2003, p. 54). Para isso, apresenta uma ideia intuitiva de continuidade, primeiramente, através do ostensivo gráfico e explica que "intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta "salto" em p", como apresentado na Figura 12. Figura 13 -Limite de uma função em [START_REF] Guidorizzi | Um curso de Cálculo[END_REF] Fonte: Guidorizzi (2003, p. 55) A técnica apresentada pelo Nesse momento, apresenta um limite importante, mas não traz uma motivação para que o estudante veja a necessidade ou a razão de ser desse limite, apenas procura justificar com a razão incremental (coeficiente angular da reta s), informando que "este limite aparece de forma natural ao procurar definir reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p))" (Figura 15). • Técnica na linguagem natural, NATURAL: Quando os valores de x se aproximam de a, por valores maiores (e próximos) de a e para valores menores (e próximos) de a, os valores da função se aproximam de L.

| x -p| <   | f(x) -L| < ",
• Técnica numérica, NUMÉRICA: uma possível técnica é o estudante fornecer um exemplo numérico, substituindo a e L por números reais, em seguida construir uma tabela, por exemplo, para lim 𝑥→1 5𝑥 -2 = 3.

Tabela 7 -Valores para o limite quando x = 1 Nesse caso, foi atribuído valores de x próximo de 1, tanto maiores e próximos de 1, como menores e próximos de 1. Observando que, para os valores de y = f(x) encontrados, estes se aproximam cada vez mais de 3, nesse caso lim Tecnologia para a tarefa TLIM DEF é a noção de ponto de acumulação105 , isto é, seja f : Para z11: "Incorreto, pois a intenção do limite é conforme se aproxime de 'a' e não se afaste.", a ideia apresentada na afirmação de Érica não apresenta a ideia de afastamento.

x y = 5x -2 Para x < 1 - 0,1 50,1 -2 = -1,5 0,5 50,5 -2 = 0,5 0,9 50,9 -2 = 2,5 0,99 50,99 -2 = 2,95 0,999 50,999 -2 = 2,995 0,999999 50,999999 -2 = 2,999995 Para x > 1 - 1,9 51,9 -2 = 7,5 1,5 51,5 -2 = 5,5 1,1 51,1 -2 = 3,
𝑋 → ℝ
Ainda temos respostas com a ideia de imprecisão, por exemplo, x6: "Falso, pois x tende a 'a', logo seus valores têm que estarem bem próximos.", a expressão "bem próximos" para x6 é uma ideia mais precisa, o que não é correto. Para x8: "É falso. Não é necessariamente qualquer número menor que 'a', depende da função.", para x8, a depender da função, pode ser números menores que a. Agora, observemos a resposta de x12: Para y11: "Sim, à medida que x se aproxima de a, f(x) se aproxima de L, mas como não tende de fato a a, não chegará exatamente a L.", além de não perceber a necessidade de analisar os limites laterais para existir o limite, apresenta um obstáculo, mencionado por [START_REF] Cornu | Limits[END_REF], de que o limite não pode ser alcançado.

No caso de y10: "Está correta, quando se toma valores menores do que a, ou seja, o lim 𝑥→𝑎 -𝑓(𝑥); isso se aproxima do determinado L, mas com valores inferiores.", está correto para limites laterais, porém o estudante não percebeu a diferença para a pergunta inicial. Veja a resposta de y16: "Correto. Érica explicou com o conceito de épsilon e delta para demonstrar os limites laterais.", além de não condizer com a resposta requerida, não é o conceito de épsilon e delta nesse momento. Vejamos outras respostas: y17: "Correto, pois a imagem de x se aproximando pela esquerda é menor que a imagem de a, que no caso é o limite L."; y19: "Sim, pois por limites tendendo pela direita e pela esquerda, ou seja, para valores menores pela esquerda resultará em um menor no ponto."; y27: "Correto, ao x tender a a pela "esquerda" (valores menores que a), em resposta você obterá uma imagem em y menor que L."; y22: "Correto, dependendo da função.", ou seja, para y22, existem funções que podem ser consideras como corretas.

Ainda tivemos algumas respostas, sem uma clareza, por exemplo, y36: "Correto, pois o valor muda com a aproximação de x em a", qual "valor muda"?, não está claro de qual valor está se tratando; z15: "Verdadeiro, se somente se, a função for crescente.", só será falso se a função não for crescente? Não está coerente e clara tal resposta; x33: "Metade certo. Realmente

x se aproxima de a, porém f(x) não é inferior a L."; y46: "Nem sempre, pois se f(x) for uma função inversa, quanto maior for o a menor será o valor de L.", totalmente incorreta, pois não tem ligação direta com a função inversa e a justificativa está desconexa. Tivemos alguns estudantes que deixaram em branco, não sabem afirmar ou estavam em dúvida: y1, y30: "Incorreto. Não sei explicar."; y13: "Falsa, pois eu acho que isso não se implica.", y14: "Confuso."; x27: "Não sei afirmar.", e x34 e y34 deixaram em branco.

A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Gabriel e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. Alguns estudantes deixaram em branco (y23, y48), outros não souberam opinar ou afirmar, ou mesmo estavam em dúvida (y24, y34, y29).

Apresentamos agora a afirmação da estudante fictícia de nome Vitória e as respostas representadas pelos estudantes do contexto de nossa pesquisa.

Figura 23 -Resposta da estudante fictícia de nome Vitória O objetivo, nessa afirmação, era conhecer a relação R do estudante (x) com o objeto do saber (φ) noção intuitiva de limite de uma função em um ponto. Apesar de apresentar vestígios de praxeologias relacionadas à definição de limite nessa afirmação, notamos que existe um grau de imprecisão com a palavra "muito", com isto consideramos essa afirmação como verdadeira com ressalvas. "Está parcialmente correto.". Para outros, certa desorientação, como z12: "Resposta confusa."; z20: "Está confuso."; z26: "Não entendi, não entendi esse "muito próximo", que eu saiba se aproxima ou tende a 'a'.".

A seguir, apresentamos a afirmação da estudante fictícia de nome Ana e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. Percebemos que há uma incompreensão dos termos que aparecem, fazendo uma confusão com os termos f(x), a e L. Para Cornu (1983, p. 63), a ideia de "tender a" já existe de uma forma particular, antes de serem trabalhados no ensino organizado, pois, segundo o autor, expressões como "algo que não tem fim", "barreira" ou "linha divisória" e "aproximar-se" apresentam ideias ligadas às noções de limite. Cornu as chama de concepções espontâneas, vindas da experiência do aluno em seu cotidiano.

Já o estudante y40 afirmou que "Sim, porém não sei explicar.", isso dá a entender que, apenas afirmar que é correta, não significa que o estudante compreendeu as ideias do limite de uma função. Conforme [START_REF] Cornu | Limits[END_REF], o conceito de limite é de difícil apreensão e, consequentemente, acompanha dificuldades para quem ensina. Diferentes investigações mostram muito claramente que a maioria dos alunos não domina a ideia de um limite, mesmo em um estágio mais avançado de estudos. Isso não os impede de trabalhar em exercícios, resolver problemas e ser bem-sucedido e avançar em seus exames (CORNU, 1991, p. 155).

Apesar dos professores apresentarem a definição de forma direta e sem muitos detalhes, Amorim e Reis (2013, p. 277) afirmam que a própria história da Matemática nos mostra que houve um empenho de grandes matemáticos para que o conceito de limite pudesse ser enunciado da forma que é apresentada atualmente, perpassando de formulações intuitivas até atingir um patamar e rigor com a forma ε e δ. É possível, dessa forma, apreender que não é fácil compreender a aprendizagem desse conceito.

Observando e analisando alguns dos estudantes que responderam que a afirmação de Ana estava incorreta, temos:

• x9: "Incorreta, pois o limite não se trata de uma distância.";

• x11: "Incorreto, porque não tem uma distância entre f(x) e L.";

• x17: "Não está certo, f(x) é o 'gráfico' da função e L um ponto em que ele está contido.";

• x18: "Incorreta, pois a distância entre f(x) e L é igual mesmo x tendendo a a, sem ser igual a a.";

• z12: "Incorreta, não envolve distância.";

• z14: "Incorreto. Não significa distância entre f(x) e L.";

• z17: "Incorreta. Não envolve distância.";

• z21: "Incorreto, se f(x) = L não há distância entre os mesmos.".

Observamos, nas afirmações acima, a falta de articulação dos estudantes com os diferentes ostensivos, pois não conseguiram perceber a existência do ostensivo geométrico, correspondente à questão da distância na reta real, que se articula com os demais ostensivos, tanto na linguagem natural como numérica (relacionada com as tabelas), algébrica e geométrica.

Realizar tais articulações é fundamental para que o estudante crie uma relação adequada ao objeto do saber.

A questão do ostensivo geométrico e distância, na definição de limite, é essencial para compreender as questões de aproximação e sua representação para, posteriormente, compreender as relações entre ε e δ na definição aceita e difundida pelos matemáticos.

Outras afirmações nos chamaram atenção, como a do estudante x16: "Não, porque é uma função. Toda a ideia de função foi perdida.", percebemos que a falta de articulação com ostensivo geométrico é evidente, pois o estudante não consegue intuir as conexões entre a Geometria e a Álgebra, de forma que a ideia de distância está imbricada na definição de limite, não sendo objetos disjuntos, mas que se combinam. A ideia de função não deve apenas ser trabalhada algebricamente, de forma isolada, mas requer uma articulação dos diferentes ostensivos.

Nas afirmações de outros estudantes, x28: "Está incorreto, fora do contexto."; x33:

"Errado, não são valores arbitrários, matemática trabalha com exatidão."; z10: "Está incorreto.

Confuso.", eles apresentam a ideia de que tudo em Matemática deve ter um rigor, e não pode ser aceita uma ideia intuitiva. A resposta do estudante x34: "Falso, pois uma função pode está limitada em '0'." A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome José e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Mateus e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. 

∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0; |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝑓(𝑎)| < 𝜀
No limite, estamos sempre interessados no que acontece próximo do ponto x = a, pois, de fato, "a" não precisa estar no domínio da função. Na análise variacional, a variável x assume valores arbitrariamente próximos de a, mas sempre diferentes de a. Na verdade, podemos considerar a questão da aproximação de forma metafórica, pois sempre consegue tornar f(x) tão próximo de L quanto queiramos, mediante a ação de considerar x suficientemente próximo (e diferente) de a. A definição de limite exige que a seja um ponto de acumulação do domínio da função f. Mas, não exige que a esteja no domínio da função. Por isso, exige-se que x seja diferente de a. No caso de f ser uma função contínua e a estiver no domínio de f, necessariamente se terá L = f(a), e esse é o ponto que, muitas vezes, os estudantes se confundem e acabam substituindo x por a.

Também foram apresentadas algumas respostas afirmadas como incorretas para resposta de Mateus, porém com justificativas incoerentes. Por exemplo, x2: "Falso. Porque pode haver casos de limite pela esquerda ou pela direita", ficou incompleta a afirmação; x25:

"Incorreto, positivo não é uma regra e nem definição."; x22: "Falso. A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Silas e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Lucas e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. Vale destacar outras justificativas que, apesar de ter considerado como incorreto, teve uma explicação incoerente. Por exemplo, z18: "Errado, no lugar de L, teria que ser f(x)."; z33:

"Falso. Quando os valores de x ficam próximos de a pela esquerda ou pela direita, os valores A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Ricardo e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Danilo e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. A seguir, apresentamos a afirmação da estudante fictícia de nome Ester e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Rafael e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. x18, x12, x11, x13, x21, x28, x31, y2, y6, y7, y10, y11, y12, y17, y18, y31, y34, y36, y39, y42, z2, z6, z16, z18, z24: x15, x25, y2, y3, y4, y12, y36, y37: "É quando x se aproxima de a pela direita e esquerda e os valores ficam próximo L. "; x26, x33, x34, y26, y47, z5, z6, z17, z18, z26, z30, z32, z33 x4, x5, x21, x23, x28, y6, y13, y15, y17, y24, y39, y43, y44, z2, z10, responderam envolvendo ideias de formalidade envolvendo épsilon e delta: ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀, conforme o esperado pela definição de limite de uma função em um ponto.

"
Agora, apresentamos as respostas dos estudantes que não foram coerentes em suas afirmativas, nem pelas ideias intuitivas e nem pela definição (, ). Afirma x12: "Para valores tão próximos de a quanto se queira, a função tenderá a um valor, se limites laterais forem iguais e f(a) existir a função no limite de a tenderá a L.". Nesse caso, x12 requer que a função seja definida em a, mas isto não necessariamente precisa acontecer; x13: "Que para todo limite com x tendendo a a, existe um valor próximo de L, sem ser igual a ele.", nesse caso informa que o limite não pode ser alcançado, ou seja, o valor L não pode ser atingido; x18: "O limite da função f(x) a cada vez x fica tão próximo de 'a' sem ser exatamente a, é igual a f(a) = L."; y48: "O limite quando x tende há a de uma função igual a L, obteremos o valor do limite substituindo o valor de x por a.", tanto x18 como y48 consideram que a função deve ser contínua em a; z11: "Mônica definiu de maneira correta.", porém a resposta de Mônica está incorreta.

No caso de x20: "Para todo x pertencente ao domínio de f, existe um número real a no qual x se aproxima tanto por valores maiores ou menores de a, fazendo com que f( x incorreta, temos x1, x10, x15, x20, x34, y1, y35, y15, y17, y27, y30, y36, y48, z4, z10 e z27, e apenas um ponto com coordenadas (a, L) é capaz de expressar as ideia do limite, o que não está de acordo com o esperado, já que não é apresentada a função em torno desse ponto. No caso de x14 (Figura 65), é possível observar que o valor de a, corresponde a f(x) e não a L, porém a função pode não estar definida no ponto e não coincidir com o valor de L, e temos um conjunto de segmentos, tanto horizontais como verticais, fazendo parte do gráfico, embora reconhecemos que não representa a função f. x10, x15, x20, x34, y1, y35, y15, y17, y27, y30, y36, y48, z4, z10 e z27 x2, x3, x4, x32, y16, y19, y22, y20, y25, y39, y45, z19, z29, z35, enquanto outros responderam que não lembravam (y5, y10, y40, z34) ou mesmo que não sabia, como y37. Diz z26: "Não sei representar, na verdade não sei expressar!", notamos pela afirmação que, apesar de ter uma ideia de como seria, não consegue expressá-las.

Síntese da resposta R4 ◊ referente à questão Q4: 'Quais as praxeologias evocadas pelos estudantes referentes à noção de limites?'. Em relação às observações levantadas, percebemos que os estudantes não conseguem, em sua maioria, explicitar uma relação esperada institucionalmente com o objeto noções de limite através das tarefas propostas. Como informando logo no início da seção 3.3.3, esperávamos que os estudantes explicitassem, por exemplo, as técnicas na linguagem natural (NATURAL) ou técnica numérica, (NUMÉRICA), ou técnica algébrica (ALGÉBRICA) ou técnica geométrica (ou gráfica) (GEOMÉTRICO). Normalmente, isto acontece, pois no trabalho realizado é dado ênfase nas noções intuitivas e não realizando um trabalho com a definição de limite, evidenciando os diferentes ostensivos apresentados na construção de tal definição.

Pensando nesse contexto, é nítida a dificuldade dos estudantes referentes à articulação da noção de limite, relativa aos diferentes ostensivos, mostrando é que necessário propor tarefas que articulem tais ostensivos em diferentes situações, para que os estudantes possam compreender melhor a relação entre o significado da noção de limite nesses diferentes casos apresentados. Vale observar, que não tivemos como foco a análise de um mesmo estudante durante a trajetória do questionário, entendemos que seja possível realizar isso posteriormente, em outras análises.

De acordo com as nossas análises, percebemos que os estudantes de Cálculo II não compreenderam as noções básicas do limite, o que nos possibilita questionar e propor reflexões teóricas e empíricas envolvendo esse saber matemático. Além disso, o trabalho com diferentes ostensivos são fundamentais para compreender as ideias relativas à definição de limite. O nosso intuito foi evocar ideias da definição de limite, pois existe uma praxeologia esperada pela instituição. Tal praxeologia apresenta ideias de imagem da função, distância entre números reais, intervalos, plano cartesiano, implicação lógica, quantificadores que fazem parte da construção da definição do objeto noções de limite. Também, vale salientar que as relações apresentadas pelos estudantes são marcadas fortemente pelas praxeologias expostas nos livros didáticos, como foi expresso na seção 3.3.2. Tais praxeologias vivem de forma desarticulada na instituição.

Análise das respostas dos professores e pesquisadores ao ensino da definição limite

Durante a delimitação do objeto de investigação, em uma das orientações ocorreu uma discussão sobre o ensino da definição107 de limite de funções, a razão de ser dessa definição no componente curricular de Cálculo I (definição que estamos tratando é em termos de  e ).

Indagamos-nos qual o papel da definição de limite no componente de Cálculo Diferencial e

Integral? Como vive esse objeto (limite de funções)? Qual a ligação entre esta definição e outros componentes curriculares? Nessa perspectiva, apresentamos o seguinte questionamento (que norteou essa seção), a saber, Q5: "O que pensam os pesquisadores e professores de Cálculo sobre essa ecologia? Existe alguma divergência acerca das (perdas e ganhos) da pertinência, presença, coerência, importância e necessidade desse objeto nas organizações didáticas utilizadas por diferentes professores?" Lembrado que todos esses questionamentos nos possibilitarão buscar respostas parciais e nos levarão à resposta esperada R ♥ . Para o professor e pesquisador P0, o ensino da definição (, ) de limite depende do público que se está trabalhando (ou seja, instituição de acordo a TAD), pois, para ele "é possível introduzir ideias centrais do cálculo, sem buscar formalizar tais conceitos" (P0). E uma pergunta que ele apresenta é: "O que se ganha e o que se perde com essa formalização?". Notamos que existe uma ecologia na instituição em que vive o conceito de limite, podendo evidenciar ou não, a definição (, ). Em resposta semelhante, temos P15 109 : "A depender dos objetivos do curso, o ensino de limites pode ser de uma forma mais intuitiva, sem se prender à definição.". Dessa forma, para esse professor, é possível cumprir a ementa do componente curricular de cálculo, sem a formalização que a definição apresenta. O que notamos é que existe uma ecologia na instituição em que vive o conceito de limite, podendo se evidenciar ou não a definição (, ).

Diante dos nossos questionamentos

A partir dessa resposta, foi reelaborada a questão Q5.1, de modo que explicitasse as perdas ou ganhos ao se trabalhar ou não a definição (, ) de limite por épsilon e delta, de forma a criar um meio que, nas palavras de Chevallard (2007, p. 1), "De fato, qualquer sistema que possa ser considerado desprovido de intenção na resposta que possa dar, explícita ou implicitamente, a uma dada questão será designado como meio"110 (CHEVALLARD, 2007, p.

1, tradução nossa). Portanto, lançamos a questão em aberto para verificar como se comportava com os diversos atores no contexto. Centenas de e-mails foram enviados com uma nova questão Q 5.2 (conferir no quadro 2), diversos pesquisadores e professores (de Matemática, de Educação Matemática e Didática da Matemática) se dispuseram a responder e ficaram à disposição para rediscutir tais respostas, caso nós achássemos necessário.

As respostas giram em torno dos que defendem o ensino de Cálculo por infinitésimos (sem limite), os que defendem que a definição por épsilon e delta, dependendo da instituição (do curso que está lecionando), e aqueles que defendem que a definição deve ser trabalhada em qualquer curso de Cálculo. Os contatos que responderam ao nosso questionamento, em sua maioria, foram professores do Brasil, alguns da França, Estados Unidos, Portugal, Dinamarca e Bélgica. Abaixo, no Quadro 2, a questão sobre a definição de limite enviada por e-mail.

Conforme:

109 Como descreveremos em breve, cada professor ou pesquisador que respondeu ao questionário denotamos por Pi (i  ; 0 < i <106). nesta seção, apresentamos uma parte da investigação que consiste na produção de dados relativos a algumas questões sobre o ensino da definição (𝜀, 𝛿) de limite (de funções de uma variável real), enviadas a professores e a pesquisadores em Matemática e Educação Matemática.

A Teoria Antropológica do Didático (TAD) nos possibilitou a utilização da metodologia da dialética mídia-milieu que se evidencia na medida em que as respostas Ri ◊ são consultadas em meios de comunicação e difusão (mídias). Essas respostas encontradas sofrem desconstruções e reconstruções, resultando em novos questionamentos Qj que ampliam a busca pela resposta R ♥ . A nosso ver, essa metodologia permitiu uma conexão entre as mídias levantadas e o milieu estabelecido por elas, possibilitando extrair reflexões dos diversos pontos de vista emitidos pelos envolvidos.

As ideias aqui apresentadas são apenas pontos de vista de alguns professores e pesquisadores, tanto de Cálculo como de áreas afins. Não representam, destarte, um consenso, ou seja, uma concordância geral, possibilitando conhecer e refletir o que pensam esses profissionais, o que amplifica nossas próprias reflexões.

Quanto à questão Q5.2, recebemos 105 respostas e as classificamos em três grupos relativos ao ensino da definição (, ) de limite no curso de Cálculo I. São eles: Grupo (i):

Recomendam a definição (, ) apenas para o curso de Matemática e alguns cursos da área de Ciências Exatas; Grupo (ii): Recomendam apenas o ensino das ideias intuitivas de limite; Grupo (iii): Defendem o ensino sem limite, apenas por infinitésimos.

Cada professor ou pesquisador que respondeu ao questionário denotamos por Pi (i  ; 0 < i <106). Em relação ao Grupo (i), temos 97 respostas (92,38%); em relação ao Grupo (ii), temos 7 respostas (equivale a 6,67%); e em relação ao Grupo (iii), temos apenas 1 única resposta (0,95%). Vale salientar que selecionamos as mensagens dos respondentes que foram mais diretos e claros ao nosso questionamento, o que de certa maneira representa uma amostra das mensagens dos demais. Sempre que mencionarmos "a noção intuitiva de limite" (ideia de aproximação por tabelas, gráficos,...) estamos falando de uma praxeologia 1, já a "definição (, )" (definição por épsilon e delta) estamos nos referindo a uma praxeologia 2. Assim, exibiremos, a seguir, as ideias apresentadas nas mensagens, de acordo a Q5.2: Grupo (i): Recomendam a definição (, ) apenas para o curso de Matemática ou alguns cursos da área de ciências exatas.

Os pesquisadores e professores que se enquadram no Grupo (i), normalmente apresentam ideias que dependem do público em que se está trabalhando, por exemplo, caso seja um curso de Matemática ou Física, seria interessante tal abordagem (2). A maior parte das respostas que recebemos se enquadra nesse Grupo.

Em relação à pergunta (1) Quais são as PERDAS ou GANHOS ao ensinar derivadas e integrais sem antes trabalhar a definição (, ) de limites (em termos e épsilons e deltas)?perguntamos isso porque alguns livros ensinam derivadas e integrais apenas utilizando a definição intuitiva de limite -, alguns dos professores já se questionaram e pensaram algumas vezes sobre essa questão. Para P34:

Suas indagações são interessantes. Já pensei algumas vezes sobre suas perguntas. Eu acredito que depende muito do curso que você está ministrando Cálculo. Para ilustrar, existem cursos de Biologia que tem apenas uma disciplina Cálculo. Para esses tipos de curso, acho que pode ser omitido os exercícios de definição e fazer apenas exercícios intuitivos, mas a definição deve ser apresentada.

No caso de P34, é possível perceber que, mesmo para outros cursos, ele acredita ser importante ao menos apresentar  2 . Isto se deve à formalidade que o professor busca ao trabalhar com limites no nível superior, não deixando a sensação de ideias vagas e imprecisas.

Podemos conjecturar, então, que o formalismo faz parte das suas praxeologias. Além disso, como esse professor declara, depende do curso, ou seja, depende da instituição. Como apresenta Chevallard (1998, p. 92), o saber faz parte de uma instituição e é construída uma relação pessoal entre o saber e a pessoa RI(x, o). Concerne a outros cursos, P34 responde:

Por outro lado, em cursos de engenharias (nem todos), matemática e física, acho que deve ser explorada essa definição, pois trará ganho na compreensão de conceitos futuros que o aluno terá que aprender. Por exemplo, se o aluno compreende a definição de limite, ele terá menos dificuldade na compreensão de conceitos tais como convergência de sequências e séries (cálculo III), estimativa de erros, raio de convergência, convergência de métodos numéricos para soluções de EDOs 112 e EDPs 113 (cálculo numérico), convergência de método de Newton (otimização e pesquisa operacional), entre outros. Para P34, a compreensão de 2 faz-se necessário para se entender melhor conceitos posteriores, ou seja, alguns possíveis habitat (em outras matérias de outros componentes curriculares) para as noções de limite, mesmo de forma indireta. Assim, é possível observar a importância que o professor apresenta sobre a noção de limite e concordamos nesse ponto, visto que formará uma base mais sólida para o estudante no seu percurso acadêmico. Dessa forma, 112 Equações Diferenciais Ordinárias. 113 Equações Diferenciais Parciais. negligenciar tal estudo pode apresentar um prejuízo futuro, ou mesmo omitir este pode deixar lacunas que poderão dificultar o aprendizado de outros conceitos, como apresenta P11: Sim, basta você considerar apenas a definição de limite (intuitiva). Agora irá ficar uma LACUNA, se por um lado facilita sua vida e a do aluno, por outro ele não vai entender o conceito de aproximação, na verdade o que significa x → 0, ou (infinito), coisas que somente a definição irá contemplar.

Ainda nas palavras de P11, "suas perguntas são interessantes, aliás, a definição de limite quando o aluno ingressa na universidade é um dos piores momentos para poder assimilar e duvido que a grande maioria entenda". Essa afirmação coaduna com algumas pesquisas como, por exemplo, Zuchi (2005, p. 157), em que a definição de limite representa um grande gargalo do ensino de Cálculo, e Santos (2013, p. 9), onde a definição formal de limite continua a ser um desafio tanto para quem ensina quanto para quem aprende, mostrando que novas pesquisas e investigações precisam ser desenvolvidas para contribuir no ensino desse objeto matemático.

A importância da formalização é enfatizada por P28:

Acho que a questão do cálculo com definições formais (épsilons e deltas) está intrinsecamente ligada ao processo de aproximação dos alunos com linguagem técnica-matemática, e óbvio com a formalização necessária para o aprendizado. É claro que tudo pode ser explicado exemplificando com sequências de números e posteriormente de funções para entendimento do conteúdo, mas acho de FUNDAMENTAL importância o contato dos alunos com a formalização matemática. (grifo do autor).

Apesar de defender o estudo da definição formal, P28 salienta que a forma como é estabelecida a Organização Matemática (OM) é importante, isto é, o modo como são apresentados os tipos de tarefas. E, ao nosso olhar, até como é desenvolvida a interação com os estudantes através da Organização Didática (OD) também é importante. Já P2 chama a atenção que o alicerce da Matemática não deve estar fundado na intuição: Agora, pessoalmente, acho que quem vai ensinar esses conceitos na universidade deve saber como são formalmente estabelecidos, pois a matemática não está fundada com base na intuição, mas sim em definições formais que só apelam para símbolos e conceitos já estabelecidos anteriormente, sendo todo o edifício derivado de um conjunto de princípios fundamentais (axiomas) a partir do qual tudo deve ser construído. Se um professor que é designado a ministrar um curso de cálculo na universidade, desconhece os fundamentos da matéria que está ensinando, vai passar uma visão equivocada do cálculo e, por conseguinte, da matemática, fazendo crer que também ela se baseia em conceitos intuitivos. Por isso, vemos tantos leigos que pensam que sabem provar conjecturas famosas em matemática; o problema é que não sabem o que é uma prova matemática. Enfim, a forma como são apresentados os conceitos depende do público-alvo. Se o público consiste de alunos de engenharia na universidade, por exemplo, a forma é a que falamos acima; se consiste de pessoas que pretendem pesquisar matemática, ou ensiná-la, então acho que esses conceitos devem ser ensinados com definições rigorosas, etc.

É possível perceber que P2 defende, pelo menos para os cursos de Matemática, a praxeologia 2, conhecendo os fundamentos a fim de não passar uma visão equivocada do saber em questão. Assim, os fundamentos que alicerçam o conhecimento fazem-se importantes, pois os estudantes do nível superior podem cada vez mais se aproximar da linguagem dessa comunidade científica. Já no caso de P7, nota-se que não é trabalhada a definição formal na instituição que leciona, mas acredita que é possível trabalhar dois aspectos, 1 e 2, como afirma:

Eu acredito que sempre perdemos por não conhecer algo. Normalmente se ensina sem a definição formal porque esses conceitos não são simples. Se o apelo intuitivo e depois o trabalho algébrico não conseguemaindafazer com que os alunos aprendam, como seria iniciar os estudos de maneira mais formal? Eu acho que poderíamos trabalhar os dois aspectos. O intuitivo para começar e depois o mais formalmas, se não houver uma preocupação didático-metodológica para o ensino, a aprendizagem não acontecerá.

Primeiramente, a pesquisadora menciona que ao deixarmos de conhecer algo sempre há uma perda, como menciona também P11 sobre a possível lacuna. Isto é interessante, pois tais ideias auxiliam a generalizar, trazer um rigor e ajudam a demonstrar alguns teoremas. Porém, P7 mostra que a busca pelas ideias intuitivas é importante ao iniciar o trabalho com limite para que, em seguida, apresente-se sua definição formal. Para P 29 o limite é um conceito integrador da análise padrão e muitos conceitos são definidos a partir dele: O conceito de limite é um dos fundadores da análise padrão e muitos conceitos são definidos a partir do limite. Mas a definição formal do limite é particularmente difícil de conceituar para os alunos, como mostra a maioria dos estudos. Basear derivadas e integrais em uma definição sem sentido torna difícil ensinar objetos definidos dessa maneira. Por essa razão, os currículos escolares (e, consequentemente, os professores e os livros didáticos) ignoram a definição formal e oferecem uma definição intuitiva. Isso tem a consequência de induzir representações errôneas nos objetos assim definidos e leva ao uso dessas noções em casos repetitivos e situações clássicas. A falta de fundação/significado é assim compensada pela automação. Mas então não é realmente possível mobilizar esses objetos em demonstrações gerais de teoremas quando essas demonstrações pedem para retornar à definição formal do limite (tradução nossa). 114Vale salientar que, para P29, tratar apenas das ideias intuitivas pode induzir a representações errôneas, sem um trabalho, nesse caso, dos elementos tecnológicos e teóricos como propõe a TAD. Sabemos que os ostensivos, tanto gráficos como numéricos, são capazes de trazer ideias dos não ostensivos, porém tais ostensivos são limitados em não conseguir trazer na totalidade as ideias do conceito de limite. O fato de somente realizar o apelo pelo intuitivo através de ostensivos, como tabela numérica e gráficos, não é suficiente para que o estudante consiga compreender, mas é necessário problematizar e criar situações didáticas para que haja um engajamento dos estudantes.

Reforçando as ideias apresentadas por P29, temos o professor P23, que mostra a importância de 2 para a matemática e que, a depender do público, seria importante trazê-lo também, como infere a seguir: Quanto à sua pergunta, a resposta depende muito do contexto, e qual o objetivo a ser atingido. Para um curso de Engenharia, não acho que a definição formal seja tão importante quanto para alunos de Matemática. E mesmo para estes, acho que poderia ser deixada para uma disciplina posterior de Análise. Historicamente, no início do Cálculo não havia épsilons e deltas, os conceitos eram dados de forma intuitiva. Isso funcionava muito bem em 99% dos casos, mas com o tempo se percebeu que essas ideias intuitivas levavam a resultados absurdos ou contraditórios em algumas situações importantes. E se algo às vezes dá errado, fica o medo de em algum outro caso você ter achado que estava certo e obtido uma resposta errada sem perceber. Daí veio todo um esforço de formalização, de obter definições precisas e demonstrações rigorosas para ter certeza de quais resultados estão certos, e sob quais condições. Mas, por mais importante que tal rigor possa ser, do ponto de vista didático não acho que valha à pena dificultar ainda mais um curso de Cálculo com tais demonstrações. Ainda mais para cursos de Engenharia, onde o Cálculo é uma ferramenta cujo uso precisa ser dominado, mas para quem não importa tanto o processo de construção de tal ferramenta. Por outro lado, não seria bom esconder completamente os épsilons e deltas, mesmo porque eles reaparecem em outros momentos. Por exemplo, em limites de sequências (onde também não é tão importante), ou em um nível mais avançado, em Análise Funcional, onde nossa intuição não funciona bem e os épsilons se tornam importantíssimos. Assim, na minha opinião, o ideal em um curso de Cálculo é apresentar a definição formal, mostrar como ela é usada em 1 ou 2 exemplos bem simples (uma função polinomial do 1º grau e 1/x, por exemplo), explicar que é a partir dela que se provam as propriedades de limites (mas sem realmente demonstrar), e seguir adiante sem nem cobrar em prova. Alunos de Matemática podem ver isso com mais cuidado depois, em Análise (mas tem o perigo do professor de Análise supor que eles já tenham praticado isso em Cálculo).

et proposent une définition intuitive. Cela a pour conséquence d'induire des représentations erronées sur les objets ainsi définis et conduit à utiliser ces notions dans des cas répétitifs et des situations classiques. Le manque de fondement/sens est ainsi compensé par l'automatisation. Mais alors il n'est plus vraiment possible de mobiliser ces objets dans des démonstrations générale de théorèmes quand ces démonstrations demandent de retourner à la définition formelle de la limite."

Para P23, como para P34 e P2, depende normalmente do público em que se trabalha.

Como foram apresentados nos elementos históricos e epistemológicos na seção 2.1, pela necessidade de um rigor e de uma formalização chegou-se à praxeologia 2, onde antes eram apenas trabalhadas as ideias intuitivas. Ainda de acordo com P23, ao se buscar 2, evita-se resultados absurdos ou contraditórios. Embora P23 perceba a dificuldade em se trabalhar 2, não é interessante omiti-la, mas trabalhar alguns casos simples para que o estudante possa perceber que, a partir dela, é que se demonstram as propriedades dos limites. Seguindo o raciocínio dos pesquisadores anteriores, em que depende do público-alvo, temos a opinião de P103:

Não tem uma única resposta, depende do público-alvo, quando é um curso de matemática, pode-se trabalhar o que tem por trás da definição formal, tanto a parte histórica como a questão filosófica relacionada à mesma. Foi uma questão muito "dura" conquistada depois de séculos, uma luta muito grande e complexa. Por outro lado, no curso de engenharia, não teria essa necessidade, está mais voltado às equações diferenciais e a ideia são as aplicações.

O interessante é que P103 sugere uma abordagem na Licenciatura em Matemática, enquanto para cursos de engenharia não acredita ser necessário. Ainda para a primeira pergunta, Para P10: "Sim, acho possível! Inclusive sou a favor de não se usar muito a definição clássica com épsilon e delta, contudo, acho importante que seja mostrado isso, pelo menos uma única vez, para que o aluno perceba a geometria da definição de um limite!". Converge com as ideias de P2, pois P10 alerta para os aspectos geométricos que a definição formal possibilita, o que faz reportar à resposta de P7 onde afirma que deve haver uma preocupação dos aspectos metodológicos e didáticos, pois a ideia não é apenas cumprir o conteúdo programático e a ementa, mas uma preocupação com o sistema didático formado.

Ainda de acordo P10:

Acho importante aprofundar essa ideia de épsilon e delta numa licenciatura ou bacharelado em matemática, em outros cursos não vejo a necessidade de se trabalhar minuciosamente essa "construção" utilizando vizinhanças e distâncias pela métrica dos números reais! Apesar de trabalhar com a praxeologia 2, P10 informa que não seria interessante ser aprofundado com ideias de vizinhança em um ponto, por exemplo.

Entendo que a definição de limite é central na Matemática e a matemática é construída através de axiomas, definições e teoremas (de maneira formal). Desta forma, entendo que o estudante de Matemática precisa entender o conceito de limite (formal). Isto pode ser feito no curso de cálculo e/ou no curso de análise. Não fazê-lo, passa a impressão de que na matemática apenas as áreas de álgebra e talvez geometria têm demonstrações. Para engenharia, costumo apenas apresentar e exemplificar na última aula de limite. Todos os cálculos são feitos a partir da noção intuitiva. (P20).

As afirmações de P20 se aproximam das ideias do formalismo matemático (uma das correntes filosóficas da Matemática, como apresentado na seção anterior), em que as ideias matemáticas são organizadas, provadas e consolidadas seguindo o caminho dos axiomas e teoremas.

Nesse sentido, é possível perceber que é importante conhecer os fundamentos da disciplina. Não apenas conhecê-los, mas compreendê-los, de modo que não apresentem ideias equivocadas sobre os conceitos matemáticos. Vale ressaltar que essa definição, em termos de épsilon e delta, é importante, pois todas as propriedades posteriores dependem dela. Dessa forma, compreendê-la ajuda a evitar provas incorretas. Para P31, é possível começar pelas ideias intuitivas e convergir para as ideias formais, gradativamente:

Acho esta uma excelente questão! Acredito que do ponto de vista pedagógico existam muitos ganhos em abordagens intuitivas. A literatura tem discutido o contraste entre a Matemática da educação básica e a Matemática do ensino superior do ponto de vista do rigor matemático, a qual explicita uma concepção fundamentalmente formalista, qualitativamente diferente em ambos contextos. Os altos índices de retenção e evasão em cursos de Cálculo são fomentados pelas dificuldades simbólicas/conceituais dos alunos, ou seja, na dificuldade em estabelecer conexões entre representações, entre significantes. Penso que um dos meios didáticos para superar essa dificuldade é por meio da utilização de noções intuitivas que, gradativamente, podem ser relacionadas a novas notações. O uso de tecnologias tem se mostrado importante para abordagens intuitivas/experimentais. Ainda para P31, apesar das dificuldades simbólicas, ele não descarta a possibilidade de trabalhar com a definição em termos de épsilon e delta, como pode ser visto a seguir: Acho que devemos ensinar épsilons e deltas, pois trata-se de uma definição formal importante, principalmente para os matemáticos. Para físicos, químicos, biólogos, etc., pode ser importante também. Mas note, você pode explorar noções intuitivas de um conceito utilizando primeiramente o Stewart, buscando um pequeno salto com relação à linguagem matemática do ensino médio, por exemplo, e apresentar posteriormente os mesmos conceitos utilizando o Guidorizzi. Haverá um contraste do ponto de vista do rigor, da simbologia. Quais serão as diferenças entre essas abordagens do ponto de vista simbólico? Deixe que os alunos descubram... Aprendizagem diz respeito à produção de significados, a qual se refere ao estabelecimento de conexões entre representações. E a heurística, a arte da descoberta, tem papel fundamental nesse cenário.

Assim, P31 defende que é importante começar pela praxeologia 1 (noções intuitivas) e, em seguida, apresentar uma definição com rigor, pela praxeologia 2 (definição formal em termos de épsilon e delta). Embora, esse professor pressupõe que deve deixar que os estudantes descubram, acreditamos que poderíamos problematizar tal situação em que o estudante possa conjecturar e chegar a tais ideias da praxeologia 2. Ainda em relação à primeira questão, temos as inferências de P32:

As perguntas que você faz são complexas e há uma literatura importante sobre o assunto. Podemos abordar as noções de derivada e integral em diferentes níveis de conceituação e, como mostra a história da matemática, podemos começar a entendêla e trabalhar sem uma definição formal em épsilon e delta. Hoje, além disso, as tecnologias de computação ajudam essas primeiras conceituações. As definições formais são geralmente introduzidas na universidade e, é claro, requerem uma reconstrução dessas conceituações iniciais que raramente são bem acompanhadas. Mas a pesquisa tende a mostrar que a entrada direta por meio de definições formais é difícil fazer sentido para os alunos (tradução nossa). 115 A pesquisadora P32 menciona que a formalização acontece na universidade, pois já se trabalha com limite de funções no ensino médio francês, também em outros países da Europa e da América, como dos Estados Unidos, conforme observado nas respostas P42 e P43:

Em Portugal fala-se de limites e derivadas no ensino secundário, mas a tendência é querer já dar de uma maneira formal, o que eu acho um erro. Muito por que voltamos a dar de uma maneira formal no ensino superior. Quanto ao Brasil, acho que cometem um erro quando só apresentam a definição formal no curso de matemática. A minha formação universitária foi em física, e acho que foi muito importante para a minha melhor compreensão acerca deste assunto, bem como outros. (P42) Atualmente defende-se o ensino de conceitos matemáticos com uma base intuitiva, dadas às potencialidades identificadas pela investigação, pelo que concordo com essa abordagem. No entanto, esta abordagem não deverá descartar a aprendizagem formal, pois a simbologia da definição formal também contribui para a compreensão do conceito. As duas abordagens devem ser trabalhadas de forma articulada. Em Portugal a definição formal de limite é consolidada no secundário, para depois poder apoiar a aprendizagem dos integrais que são dados no ensino superior. (P43) Apesar da maior ênfase normalmente ser nas noções intuitivas, as duas praxeologias (1 e 2) devem ser ensinadas de forma articuladas, como responde P43. Nesses casos, quando os estudantes têm uma primeira experiência na Educação Básica com as ideias de limite pela praxeologia 1, é possível que isso os ajude quando for trabalhada a praxeologia 2, posteriormente no nível superior. Como vimos, para P42, tais conceitos foram importantes para 115 "Les questions que vous posez sont complexes et il y a à ce sujet une importante littérature. On peut aborder les notions de dérivée et d'intégrale à différents niveaux de conceptualisation et comme le montre l'histoire des mathématiques, on peut commencer à en faire sens et à les travailler sans définition formelle en epsilon et delta.

Aujourd'hui, de plus, les technologies informatiques aident ces premières conceptualisations. Les définitions formelles sont en général introduites à l'université et bien sûr nécessitent une reconstruction de ces premières conceptualisations qui est rarement bien accompagnée. Mais les travaux de recherche tendent à montrer qu'une entrée directe par les définitions formelles a du mal à faire sens pour les élèves." (P32).

a sua formação inicial em Física. Ainda coadunando com essas ideias, P42 defende a importância de trabalhar com a definição de limites de forma rigorosa, pois trarão para os estudantes uma base melhor da teoria e não apenas das técnicas para responder as tarefas de cálculo do limite, como afirma a seguir: Aprender pelas bases, compreendendo os conceitos através das definições formais, dá-nos uma bagagem muito importante que apenas calculando coisas não temos. Por isso é que eu acho importante que seja dado em todos os cursos onde a matemática é muito relevante às definições formais e seja trabalhada a teoria. Fazer contas é importante, mas se não souberem a teoria, dificilmente poderão responder positivamente a um desafio novo.

Muitas das respostas não foram tão explícitas em relação às perdas e ganhos. Mas, destacamos algumas:

Perdas: Confusão de conteúdo. O aluno não sabe quem veio primeiro, o ovo ou a galinha... não houve um crescente no entendimento matemático formal. Ganhos: Facilidade de assimilação de que épsilon e delta são números reais que expressam proximidades, mas que são de difícil compreensão. Logo, se forem "omitidos" inicialmente, podem facilitar a empatia do aluno com o conteúdo. (grifo do autor) (P28).

P28 coloca que é fundamental a praxeologia 2 para que o estudante comece a se familiarizar com a formalização dos entes matemáticos e, consequentemente, compreenda melhor a generalização de tais ideias. Embora, afirme que possa ser omitido em um primeiro momento, de modo que o estudante possa se aproximar sem receio das noções de limite, mostrase que é importante o entendimento matemático formal. Esse entendimento tem sua importância, tanto na formalização das ideias até às demonstrações de teoremas e resultados genéricos, como pode ser observado em P13: Na prática ninguém usa definições formais (de limites, derivadas, integrais, etc.) para cálculos específicos. As definições formais são usadas na vida real para demonstrar teoremas e obter resultados genéricos. Assim, de modo geral, acho que definições formais deveriam ser ensinadas a pessoas que vão usar a matemática em suas atividades profissionais. Dependem do nível em que a disciplina de Cálculo será dada, o que por sua vez depende muito da plateia. Por exemplo, num curso introdutório para alunos de Ciências Biológicas, é totalmente desnecessário introduzir a definição formal de limite.

Como é possível observar, P13 ressalta que depende do público, se é realmente necessário, o que coaduna com as ideias de P56:

Em minha opinião, tudo depende do profissional que está sendo formado. A formação deve sempre ter em conta o contexto no qual está sendo realizada e os objetivos do curso de graduação no qual a disciplina de Cálculo que trabalha com o conceito de limite está presente. Se estamos formando um licenciando ou bacharel em Matemática, entendo que necessariamente a definição formal de limite deve estar presente, independentemente se antes ou após se trabalhar com derivadas e integrais. Entendo que, talvez, nesse caso, o mais adequado fosse fazer uma abordagem bastante cuidadosa da definição formal, ao estilo do que propõe, por exemplo, Spivak em seu livro Calculus. Apresentar inicialmente aquilo que ele chama de "definição provisória" de limite e ir discutindo tal definição; propondo atividades para que os estudantes possam ir formalizando cada um dos aspectos dessa definição provisória, criticando cada um desses aspectos e, consequentemente, os próprios estudantes, com a mediação do professor, irem construindo a definição formal de limite.

Assim, P56 mostra que é interessante haver uma transição -o que chama de "definição provisória"que seria de 1 para posteriormente formalizar, ou seja, introduzir e problematizar para chegar a 2. Ainda para P56: Agora, se pensarmos em cursos nos quais a Matemática está a serviço, como é o caso, por exemplo, das Engenharias, da Ciência da Computação, etc., entendo que não há nenhum prejuízo em trabalhar apenas a definição intuitiva de limite e a partir dela construir as noções de continuidade, derivada, integral. Não acho que faz sentido, diante da grande quantidade de conteúdos matemáticos que precisam ser trabalhados nesses cursos e também em função de seus objetivos específicos, enfatizar a definição de limite por épsilons e deltas. Nesse caso, entendo que há sim ganhos ao se trabalhar com a definição intuitiva apenas. Afinal, a ideia de limite está presente em tais cursos apenas para estruturar, do ponto de vista lógico-matemático, a abordagem de outros conceitos queestes simserão fundamentais à formação do profissional que se almeja como egresso de tais cursos.

De acordo P56, não há perdas ao não se trabalhar com essa definição em outros cursos, pois as ideias intuitivas colaboram para o desenvolvimento das ideias do Cálculo, mesmo sem o rigor buscado por outros professores. Notamos que as respostas sempre estão em torno do público-alvo, e depende de qual o curso em que é tratado o objeto limite, onde se pode apresentar um nível de formalização maior ou menor.

Não há perdas em começar o ensino de derivadas e/ou integrais com uma noção intuitiva de limites. Foi assim historicamente. O momento ideal de introduzir a definição formal depende do perfil do curso (Engenharia X Matemática X Física?) e do estágio de maturidade dos alunos. Não há uma resposta geral. Nos cursos de Análise Matemática tudo é formal. Nos cursos de Cálculo há grande variação. Há muitos livros de Cálculo que trabalham a definição formal. Eu gosto de motivar a definição formal de limites a partir de exemplos que não possam ser trabalhados de maneira simples. (P35).

De acordo P35, é possível perceber que o ensino de derivadas e/ou integrais com noções de limite normalmente recai no público em que se está trabalhando, isso intervém diretamente no nível de formalização que se pretende.

Sobre a primeira pergunta, é possível sim. Pois, na definição de derivada bem como de integrais, o aluno não precisa ter conhecimentos de limites em termos de épsilon e delta. Mas, é necessário mobilizar a noção de limite que pode ser apresentada juntamente com a definição em questão. O ganho seria apresentar as ideias sem a dificuldade simbólica e a perda é a falta de formalidade na definição de limite para uma compreensão completa. (P17).

Para o professor P17, certamente é possível ensinar derivadas e integrais sem antes introduzir a definição formal com épsilons e deltas; a noção de limite pode ser tomada apenas do ponto de vista intuitivo. Apesar das dificuldades em relação à simbologia, esse professor acrescenta que para uma compreensão total é necessário trabalhar a definição formal. Já P70 retoma a ideia que depende do público-alvo, e ressalta que a praxeologia 2 deve ser motivada com a interlocução de outros conceitos:

Acho que não há um método melhor para todos. Pode-se mencionar a definição formal, definir derivada só pela intuitiva, voltar a refletir sobre a definição de limite e dar várias idas e vindas. Depende de quem é o alvo, mas também cada discente aprende melhor com um método distinto, assim não há receita. Primeiro, o próprio conceito de limite fica um pouco vácuo (e não se entende para que serve) se não se explicam outros conceitos que vão ser abordáveis graças a ele (neste sentido, citar logo as derivadas pode ser uma ajuda para querer aprender os limites de verdade) -O "jogo de apostas" do épsilon e delta é mais um elo entre formalização matemática e intuição, um exercício de como escrever nossas ideias, do que de utilidade para entender as derivadas e integrais. Para isso, bastaria saber que alguns limites dão certo resultado.

A formalidade é importante para estabelecer uma conexão geral entre delta e épsilon em 2, e com isso demonstrar teoremas que, posteriormente, sejam capazes de calcular limites, como menciona P70:

Quando se calcula o limite, usa-se teoremas de limite (ou continuidade) que estão diretamente ligados a definição formal de limite, tais teoremas como limite da soma, limite do produto, etc. (e sobretudo teoremas sobre a composição). Que por sua vez, para serem demonstrados (formalmente), usam a definição formal de limite. Algumas vezes a intuitividade falha para determinar limites.

Nesse caso P70, apresenta a importância de abordar a definição formal. Além disso, para P101, possibilita uma concepção de formas diferentes de escrever o limite, sendo importante abordar as duas praxeologias, como informa abaixo:

A definição formal de limites contribui para que o aluno compreenda que há uma formalização dos conceitos, além disso, possibilita que o aluno tenha contato com formas diferentes de escrever o conceito de limite, o intuitivo (graficamente) e o formal (em termos de épsilons e deltas). Esse é o ganho que se tem ao ensinar derivadas e integrais depois de apresentar aos alunos tanto a definição intuitiva quanto a formal. E também, é por esse motivo que acho que tanto a definição formal quanto a definição intuitiva devem ser apresentadas ao aluno.

Já para P78, o conceito de limite é uma das pedras angulares do Cálculo Diferencial e

Integral, e chama de prática temerária não formalizar o conceito de limite conduzindo a uma defasagem da construção do saber científico e uma descaracterização da própria natureza do Cálculo:

O conceito de limite é uma das pedras angulares do cálculo diferencial e integral. A partir dele é possível introduzir o estudo da derivada e da integral definida. Alguns autores adentram nos estudos de derivada e integral sem uma necessária formalização do conceito de limite. No entanto, acho essa prática temerária. Esse tipo de abordagem conduz a uma defasagem da construção do saber cientifico e uma descaracterização da própria natureza do cálculo. Do ponto de vista de operacionalização da disciplina de cálculo haveria um ganho, pois seria possível contornar a imensa dificuldade que a maioria dos discentes possui em compreender o conceito formal de limites e prosseguir o ensino da disciplina abordando derivadas e integrais. No entanto, esse ganho não supera a perda na construção do saber científico que terá impacto direto na formação do aluno.

Contudo, P78 chama à atenção que o ganho ao não ser trabalhado a definição formal de limite, "não supera a perda na construção do saber científico", tendo consequências na formação do aluno. Isso é importante, pois o estudante está no nível superior de ensino e a construção dos conceitos científicos impacta na sua formação. P14 também considera importante abordar a definição de limite no curso de Cálculo:

A definição de limite é muito importante para quem deseja aprender limites, mais ainda para que está estudando o curso de Matemática, por outro lado é possível existir sim a possibilidade de estudar limites focando apenas na parte do cálculo e citando a definição de maneira intuitiva, alguns livros de cálculo fazem isto. E por isto mesmo os livros de cálculo, após da apresentação de limite não retomam o assunto. Sobre a necessidade de aprender e manipular a definição de limite, depende um pouco de você. Pode se aprofundar na definição durante o curso de cálculo. Se você é aluno de Matemática, você irá ver isto em várias disciplinas, a começar em Análise Real.

Temos professores que apenas olham para 2 como um meio de formalizar e não problematizar o trabalho com essa definição como, por exemplo, P19: "Eu entendo que sim. Gosto de falar da definição formal de limite mais como curiosidade e para que os alunos saibam da existência de um tratamento mais formal à questão.". Já P20, assim como P78, entende que a definição de limite é central na matemática, e que o estudante precisa entender tal definição no curso de Matemática, enquanto nas engenharias se faz apenas um trabalho com as noções intuitivas. Respondendo a segunda pergunta, P20 afirma: Sobre a segunda pergunta, isso tem novamente a ver com a forma como a matemática é construída. Usa-se a definição e axiomas para provar teoremas e depois usam-se esses teoremas para provar outros teoremas. No caso de limites, usa-se a definição de limite para verificar limites "simples". Em seguida, usa-se a definição de limite para provar teoremas sobre limites e só então se verificam limites mais complicados. Por exemplo, precisa-se de um teorema para calcular lim_{x → 2} (x^2-4)/(x-2). Nos casos dos trigonométricos o caminho é o seguinte: Usa-se a definição formal para provar o teorema do confronto e depois aplica o teorema para calcular o limite fundamental. Em seguida, aplica o limite fundamental para calcular outros limites trigonométricos. Ou seja, usamos a definição formal para calcular limites trigonométricos. Mas é claro que não há tempo para fazer todos esses detalhes em um curso de cálculo. Penso que o público dos cursos de licenciatura é futuro professores de matemática e não egressos de um ensino médio ruim, precisa dar uma ênfase nestas definições.

Ainda para P20, a definição formal é utilizada diversas vezes para avançar em outros tópicos como, por exemplo, nos limites fundamentais. Para P22, a perda é a questão histórica, em que, de acordo a epistemologia do objeto, primeiro aparece através das noções intuitivas e a noção de integral e derivadas para, posteriormente, chegar à definição formal que temos hoje; enquanto o ganho é trabalhar as ideias ao invés da definição de forma sintetizada:

A perda, a meu ver, é em termos da definição moderna de derivadas e integrais. Pense historicamente: primeiro, apareceu a noção de integral e depois a de derivada. Lá está presente a ideia (mas não a definição moderna) de limite. Quando a ideia de limite foi formalizada, é que, na organização dos conteúdos, se inverteu a ordem e se estabeleceu a definição de limite como primária. O ganho, naturalmente, é trabalhar mais as ideias do que aquelas sintetizadas na definição. Toda definição acaba apagando certas ideias! Porém, trabalhar com 2 não excluir ou elimina trabalhar com 1, pois elas não são mutuamente excludentes, podem viver em harmonia. Com esses diálogos, mais do que respostas prontas, estamos buscando encontrar novas perguntas, reflexões e ideias para o ensino e aprendizado desses conceitos.

P33 chama a atenção para uma interlocução entre os domínios matemáticos, algébricos, numéricos e geométricos, para que o estudante possa conseguir uma visão ampla do conceito trabalhado, já que afirma: Quanto à sua pergunta sobre ensinar derivadas e integrais sem a definição formal em épsilons e deltas naturalmente que é possível. É isso que os professores de Cálculo em geral fazem. De modo geral, trabalha-se com a ideia intuitiva, com visualização gráfica, podendo trabalhar a definição formal visualizando no gráfico o significado dos épsilons e deltas. Há muitos recursos computacionais prontos que fazem isso muito bem. Se a definição formal é apresentada sem um apelo visual fica mais difícil a compreensão por parte dos alunos. Num segundo momento, em geral nas disciplinas de Análise, essa definição formal é mais trabalhada, exigindo um pouco mais de rigor matemático.

Como respostas anteriores, a depender do nível de formalização que se pretenda no curso, pode-se apresentar um enfoque mais formal ou mais intuitivo, contudo não emite a opinião sobre as perdas e ganhos. Vejamos as inferências de P38:

Eu sinceramente nunca pesquisei/estudei sobre quais são as perdas/ganhos em ensinar derivada/integral sem a definição formal de limites. Eu imagino que trata-se de uma questão relacionada com: qual é o nível de formalismo que se deseja no curso de Cálculo I? Alguns podem advogar que em um primeiro curso de Cálculo a prioridade deva ser a ideia intuitiva de limite, derivada e integral, deixando para disciplinas mais avançadas (como Análise Real) o formalismo mais rigoroso. Outros vão advogar que desde o Cálculo I os alunos já devem ser treinados ao formalismo. Na minha opinião, acho que devemos buscar um equilíbrio entre intuição e formalismo. E como exatamente fazer isso? Eu não faço ideia! Eu acho que é na experiência cotidiana da sala de aula que o professor vai sentindo a dose que deve dar de intuição e formalismo. Para P39, a perda é apenas para o Bacharelado em Matemática, enquanto o ganho para os demais cursos com benefício da "economia didática que permite a acelerarão do ensino":

Existem livros que iniciam o ensino do cálculo a partir de taxa de variações (derivadas) e se reportam a limite, quando necessário, de forma intuitiva e sem maiores aprofundamentos. Na minha opinião, as perdas, se assim podemos dizer, seriam para aqueles que ensinam ou estudam em cursos de bacharelado em matemática, pois o ensino de Análise Real é beneficiado quando se tem essa noção mais formal de limite. Os ganhos com o negligenciamento do ensino de limite, ou por outra, com a utilização apenas da sua noção intuitiva, seriam principalmente para os cursos de licenciatura em matemática ou de outros bacharelados (engenharias, ciência da computação, estatística, etc.), propiciando aquilo que chamamos de economia didática que permite a acelerarão do ensino.

A economia didática a que P39 se refere é devido às restrições impostas pelo sistema institucional, em que o tempo didático é pequeno para a quantidade de saberes a ser ensinado.

Para P40:

Acredito que os ganhos estejam relacionados com a aplicação destes conceitos na prática, como no caso de velocidade, aceleração, problemas de otimização, cálculo de áreas, etc. Por outro lado, as perdas, imagino que você diminui o ferramentário dos alunos para compreender certos conceitos e aplicações. E evitar trabalhar com a definição, penso que possa estar ligada à falta de maturidade matemática pra realmente compreender o que está por trás destes conceitos, uma vez que os alunos acabam vendo estes conteúdos no início do 1º semestre. Além do que, conseguir prender a atenção dos alunos com estes tópicos relativamente abstratos, não é uma tarefa fácil.

Apesar de lidar diretamente com a aplicação em problemas práticos, P40 ressalta como perda a diminuição da possibilidade em se compreender melhor outros conceitos posteriormente. Para P39, o ensino de 2 deve ser realizado em cursos que possuam como um componente posterior à Análise Real, pois o trabalho com 2 pode contribuir para um melhor aproveitamento, enquanto para demais cursos (que não possuem a Análise Real) não percebe a necessidade:

De acordo com as colocações anteriores, penso que são muito úteis em cursos que, mais adiante, lidarão com Análise Real, já nos demais cursos o seu ensino, o aprofundamento em seu estudo, na minha opinião, não produz grandes vantagens e o negligenciamento no ensino por parte do professor não produz grandes perdas. (P39) Desse modo, foi possível perceber pelas respostas que não existem perdas ao tratar derivadas e integrais sem antes trabalhar com a definição formal de limites. Porém, não tratar dessa definição em alguns cursos pode dar a entender que a matemática é construída sem o rigor e a formalidade, deixando "lacunas" para imprecisão. Além disso, uma questão levantada é que depende do nível de formalização que se pretende com o público, ou seja, depende da instituição, se é um curso da área de Ciências Biológicas, por exemplo, ou um curso de Física ou Matemática.

Em relação à segunda pergunta, (2) Quando a definição formal de limites (em termos de épsilons e deltas) deve ser ensinada?perguntamos por que não vemos essa definição em outros momentos nos livros de cálculo. Além disso, os exemplos que aparecem para utilizar a definição formal são apenas funções polinomiais, quocientes ou raízes. Eles não dizem respeito a funções logarítmicas, trigonométricas ou mesmo exponenciais, por exemplo. Destacamos algumas respostas:

Em relação ao momento de ensinar a definição formal de limite com épsilon e delta, eu acho interessante fazer isso depois da definição intuitiva. Mas sei que isso não é um consenso. Sobre os exemplos que são dados nesse caso, tipicamente ficamos com funções polinomiais, racionais ou com raízes por uma questão didática de serem mais fáceis de trabalhar. No livro de Cálculo, volume 1, do Guidorizzi ele aborda a continuidade das funções trigonométricas e resolve o exemplo da função seno. A solução dele pode ser adaptada para incluir épsilon e delta e servir de exemplo de aplicação da definição formal de limite. Já para a função exponencial ou logarítmica, eu não tenho uma indicação. (P38).

Como P38 menciona, realmente não é consenso em que momento se deva ensinar a definição formal de limites, mas P38 trabalha o formalismo após a noção intuitiva de limite, o que, a nosso ver, possibilita uma conexão com conceitos já vistos como aproximação, distâncias e uma possível conexão entre tais ideias. Começar com a parte intuitiva pode motivar o estudante a compreender melhor para, em seguida, se introduzir a parte formal da definição, o que, conforme P40, pode ser "digerível": Penso que após a aplicação dela, na prática. Acredito que mostrar com aplicações, num primeiro momento, pode ser mais motivante e despertar mais interesse em se aprofundar. Após entretidos com a parte prática, trabalhar o formal pode tornar mais tragável o conteúdo.

Para P101, embora não apareça de forma explícita, a definição de limites está presente em diversos conceitos posteriores: Implicitamente a definição formal de limite se estende em todo o curso de cálculo, considerando que vai definir derivada e integral depois que definir limite. Ao definir, por exemplo, derivada utilizando limite, implicitamente está usando a definição formal de limite.

Em relação aos exemplos, muitas vezes se oferece pelo grau de dificuldade quando envolve outras funções como, por exemplo, logarítmica ou trigonométrica, e que no tempo didático ofertado não é possível realizar um trabalho com esses tipos de funções, segundo P38:

Eu acredito que exemplos de cálculo de limite por definição formal sejam poucos nos livros, justamente devido ao grau de dificuldade que pode não justificar gastar muito tempo do curso de Cálculo com isso. Além do que, mais importante é provar as propriedades operatórias dos limites usando a definição formal, pois em seguida o cálculo do limite fica facilitado com isso. Por exemplo, para calcular o limite de tg(x), bastaria escrever tg(x) = sen(x)/cos(x) e usar a propriedade da divisão de limites (considerando que anteriormente tenha sido provado os limites de sen(x) e cos(x)).

Além disso, P38 reforça a ideia que deve ser dada uma ênfase maior às propriedades operatórias, que darão subsídios para calcular outros limites. Já P22 adota a organização em espiral, em que os conceitos são retomados diversas vezes e aprofundados gradativamente: Quando, eu não sei... mas certamente não devemos começar por ela. Geralmente, os livros trazem uma organização linear dos conteúdos. Pense em outra organização: em espiral, na qual as ideias são retomadas e formalizadas. Desse modo, pode-se tomar a própria trajetória histórica do Cálculo como inspiração para a organização do ensino de integrais, derivadas e limites.

A organização do ensino em espiral116 , citada por P22, é uma proposta interessante, em que um mesmo saber consegue ser revisto em momentos diferentes, com graus de aprofundamentos distintos. Porém, de acordo Orale e Uy (2018, p. 1), há o problema da "espiral quebrada", ou seja, estudantes que não conseguiram obter domínio em um tópico e são apresentados tópicos novos, mas as práticas atuais, como a falta de qualificação dos professores e de recursos, são alguns dos fatores que impedem a produção de resultados favoráveis.

Para outros, não existe um momento particular para abordar a 2. "Em relação à segunda pergunta, não há um tempo específico, salvo o momento no qual se pretende estabelecer as relações institucionais ou pessoal com dos alunos com o referido objeto do saber" (P17). Para P29: "Devemos ensinar a definição formal de limite quando as noções de variável, função numérica, quantificadores estão disponíveis, então bastante tarde, no currículo francês, pelo menos (3º ano do ensino médio, no mínimo)." (tradução nossa)117 .

Como alude P29, normalmente se fala da praxeologia 2 ao final do Ensino Médio, pois já se tem uma bagagem praxeológica para compreender os elementos que aparecem em 2, então disponíveis, desse modo é possível articular os diversos elementos fazendo uma conexão entre eles. Como mencionamos, alguns países tratam de limites no Ensino Médio, enquanto aqui no Brasil, atualmente, sua abordagem se dá apenas no Nível Superior.

Outros opinam que a praxeologia 1 deve ser trabalhada desde o início, precedendo ao componente de Cálculo I. Vejamos o julgamento de P11: Na minha opinião, logo no início para ajudar o aluno a entender o conceito de aproximação por limites. Isso de fato não é retomado na grande parte dos livros, pois eles pressupõem que o aluno já entendeu a ideia de limites e a partir disso fazem as demais definições e propriedades somente usando a ideia intuitiva citada no início. Agora para um curso de cálculo 1 ser produtivo, deveria ter antes um pré-cálculo, mostrando a ideia intuitiva de limite e derivada e somente no cálculo 1 usar a formalização do épsilon e delta. Tenho convicção de que isso poderia melhorar a assimilação do conceito de limite.

Para P11, a praxeologia 2 deve ser trabalhada desde o início com a praxeologia 1, pois isso ajudaria o estudante a obter uma noção melhor do conceito de limite, de modo que consiga prosseguir em outros conceitos posteriores. Mas, ressalva que é importante existir um componente curricular de pré-cálculo antes de Cálculo 1, com o propósito de já se trabalhar ideias intuitivas de limite. Essa opinião converge com a ementa de diversas universidades como, por exemplo, da UEFS (2018, p. 45) P7 menciona que a formalização de limite não é encontrada em vários livros. De fato, na nossa análise de livros didáticos, dos dois livros analisados, apenas um apresenta essa definição. Ainda de acordo P7:

Eu também não encontrei essa formalização em vários livros. Acho que o Guidorizzi é um dos autores que trabalha com a definição de Weierstrass. Novamente você traz conteúdos que são complexos. Se já não fica tão simples a compreensão com essa aplicação nas funções polinomiais, imagine nas logarítmicas ou trigonométricas. Há uma série de conceitos que precisam ser dominados para que o aluno possa entender alguns procedimentos.

Os exemplos para a praxeologia 2 acontecem devido ao grau de complexidade para encontrar a relação entre épsilon e delta, como afirma P29: "Estes exemplos são usados porque é fácil calcular o delta de acordo com o épsilon... quando é possível." (tradução nossa) 118 . Para P33, é devido ao comportamento das funções como crescimento, por exemplo.

Sobre trabalhar a noção de limite com funções racionais pode ser pelo fato de ser mais interessante analisar o comportamento em termos de crescimento ou decrescimento, raízes ou pontos em que a função não está definida. As funções trigonométricas são contínuas, não apresentam esta particularidade. E, para P 10 , evitar o trabalho com as funções mencionadas é devido à facilidade de manipulação, enquanto com outros tipos de funções a tarefa é trabalhosa:

A utilização da definição formal, ou seja, utilizando épsilon e delta apenas por funções polinomiais, raízes ou quocientes, se dá pela facilidade nas operações com módulos que elas proporcionam, caso seja usado uma função exponencial ou logarítmica, por exemplo, a utilização da definição clássica de limites se torna uma tarefa bem desgastante.

Além disso, algumas respostas levantaram o grau de abstração e complexidade, como menciona P34 e um grau de complexidade que não é necessário para esse momento de ensino.

Mas, como alude P70, não há impedimento em tratar de funções mais complicadas:

Neste sentido, não há impedimento em estudar limites de funções mais complicadas (achar um delta bom em função de épsilon). Já exemplos de cálculo de derivada pela definição não incluem tais funções, por precisarem, por sua vez, de derivadas (ou de séries de Taylor). Não sou pedagogo, mas são coisas que, a depender do aluno ou da filosofia do curso, podem ser trabalhadas independentemente. Agora, eu nunca por isto deixaria atrás a formalização do limite, não por ser necessária à definição de derivada, mas sim, mais em geral, por ser desejável acostumar os alunos a este tipo de raciocínios o quanto antes. Primeiramente, cabe frisar que "a definição formal de limites" é a única definição de limite. Não existe uma "definição intuitiva": não é uma definição e de toda forma não lhe permite calcular limites. No máximo, você pode ter o dado de uma função e qual é seu limite, ou funções que você sabe que são contínuas e a fórmula que as expressa faz sentido também no limite. Portanto, não julgo que seja dispensável.

Para P70 é necessário começar a acostumar o estudante desde cedo ao raciocínio que 2 exige. Além disso, como citamos anteriormente, apesar de alguns livros trazerem como definição intuitiva de limite, na verdade consideramos noção intuitiva, pois a que consideramos definição formal pode ser considerada como definição de limite. Assim, P70 infere:

Em um curso de licenciatura, eu colocaria no início do segundo semestre. Já num bacharelado, pode estar em um programa de primeiro semestre, depois de uma introdução de pré-cálculo. Certos calculados [sic] é necessário o uso de teoremas sobre limites (ou continuidade, que usa limite para se definir), tais como limite da soma, limite do produto, etc. (e, sobretudo, teoremas sobre a composição). Que por sua vez, para serem demonstrados (formalmente), usam a definição formal de limite. A intuitividade falha, tem limites.

Assim como P11, P70 menciona com "naturalidade" a presença do pré-cálculo antes do curso de Cálculo 1. É possível conjecturar que em algumas universidades existe a presença desse componente curricular e em outras não. Por fim, P70 fala que para os cálculos que envolvem limites é utilizado teoremas, e estes só são possíveis devido à praxeologia  2 :

Volta a aparecer toda vez que você calcula ou justifica um limite, porque é o único instrumento que realmente foi usado para demonstrá-lo, embora por vezes tais demonstrações sejam omissas no curso (limites notáveis, por exemplo) Mas não é só "por dever possuir um rigor". Como você prova que o limite da soma é a soma dos limites? Como você prova que a composição de funções contínuas é contínua? Como você define, sequer, função contínua? Essa ideia de apresentar um componente curricular, que antecipe o Cálculo I, já apresentando ideias intuitivas de Limite pode colaborar para quando for consolidar as ideias da definição para um melhor compreendimento. Vejamos a opinião de P28:

Não sei quanto aos demais professores, mas eu acho (e trabalho assim) que essa formalização deve ocorrer imediatamente após a noção intuitiva de limite, fazendo assimilação direta com casos numéricos de fácil visualização. Exatamente por envolver cálculos mais complexos e de maior dificuldade de compreensão do aluno é que não se usam funções como exponenciais, logarítmicas, etc. A formalização é dada com funções mais simples e não é abordada posteriormente porque acredito que este não seja o enfoque da maioria dos cursos de cálculo, onde se espera apenas uma crescente de aprendizagem do aluno em limites, derivadas e integrais... Depois que ele aprende a calcular estes valores, não se faz mais necessário o uso de formas mais complexas com épsilons e deltas para sua compreensão e cálculo.

Coadunamos com P28 que os exemplos apresentados, com funções polinomiais, corroboram para mostrar a construção da relação na definição formal, não sendo necessários exemplos complexos para compreender como é estabelecida esta relação, como informa também P34, o "grau de abstração":

Com relação aos exercícios de definição usando funções logarítmicas, exponenciais e trigonométricas, a maioria dos livros não explora em virtude do grau de abstração. No entanto, livros como Guidorizzi fazem as demonstrações da continuidade dessas funções. Dependendo da turma, às vezes eu faço algumas demonstrações destas funções. Realmente, são poucos os alunos que conseguem abstrair. Sobretudo, é o primeiro momento que eles têm contatos com demonstrações e aplicações dos conceitos de intervalos e módulo.

Apesar de existir livros que apresentem exemplos de continuidade utilizando ideias formais de funções trigonométricas, como é o caso do Guidorizzi (2003, p. 93), tais exemplos requerem um tempo maior e técnicas mais elaboradas, o que torna o ensino desgastante, como afirmou P10. P42 defende, ao responder quando a definição formal deve ser ensinada, que os estudantes do secundário poderiam ser apresentados às noções e ideias intuitivas, e no ingresso no ensino superior seria trabalhada a definição formal:

Eu ensino no ensino superior e nunca ensinei no secundário. No entanto, eu acho que é importante que se ensine o conceito de limite, derivada e integral de uma maneira intuitiva no ensino secundário, sem recorrer à definição formal. Esta seria uma primeira abordagem ao assunto para que quando ingressassem no ensino superior fosse possível dar a definição formal. É nesta altura que a definição Épsilon-Delta deveria ser introduzida. Os alunos já teriam uma ideia destes conceitos e, portanto, a compreensão de uma definição formal seria melhor aceita. Ainda de acordo P42, é necessária tal definição, pois é uma ferramenta para futuras demonstrações e, tal como a noção de limite, deve fazer parte da praxeologia do estudante:

A definição é necessária para que o assunto seja formalmente introduzido e para que você tenha uma ferramenta para poder demonstrar algo, caso seja necessário ir à "raiz". Se você pergunta quando aparece a noção de limite, aí a resposta é que isso acontece muitas vezes. Logo na definição seguinte de derivada e de integral definida. Mesmo quando se fala de sucessões e séries, o conceito está presente. É um conceito que acompanha para sempre o aluno e deve fazer parte da sua "bagagem".

Apesar de tais perguntas enunciadas por nós serem interessantes, para P92, o momento de ensinar deve estar atrelado ao programa do curso:

As perguntas que você faz são muito interessantes, mas também são muito complexas de abordar sem conhecer precisamente o contexto do seu trabalho e o contexto institucional. Parece-me, portanto, importante integrar seu questionamento na educação que é direcionada. Deixe-me explicar: se os programas defendem a introdução intuitiva de uma noção, sem defini-la formalmente, é desnecessário dizer que você priva os alunos de parte da conceituação e que não poderá provar nada rigorosamente sem ter a definição. Mas se a conceitualização pretendida se baseia em técnicas de cálculo a serem dadas aos alunos, não há perda em termos de aprendizado. (tradução nossa). 119 Para P10 é interessante trabalhar com 2 na Licenciatura ou Bacharelado em Matemática, enquanto para outros cursos não sendo necessário aprofundá-la:

Acho importante aprofundar essa ideia de épsilon e deltas numa licenciatura ou bacharelado em matemática, em outros cursos, não vejo a necessidade de se trabalhar minuciosamente essa "Construção" utilizando vizinhanças e distâncias pela métrica dos números reais! Para P56 é importante verificar os objetivos que se pretende no curso que se trabalha o Cálculo, se o objetivo é ilustrar ou trabalhar exaustivamente. Vejamos:

Em relação aos exemplos, o mais importante é pensar nos objetivos com os quais eles estão sendo apresentados. Se a ideia é ilustrar a definição formal, permitir que os estudantes a compreendam em profundidade e em todos os seus aspectos e sutilezas, devem ser pensados quais exemplos permitem atingir esses objetivos. Se as funções polinomiais, quocientes ou raízes derem conta disso, não vejo problema em não recorrer às trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais. Há aspectos da definição formal que, nos cursos em que tal definição deve ser exaustivamente trabalhada, só podem ser efetivamente percebidos ou compreendidos por meio de funções trigonométricas, exponenciais ou logarítmicas? Se sim, essas funções devem estar presentes nos exemplos, caso contrário, se forem apenas introduzir outros tipos de dificuldades aos estudantes, dificuldades estas que poderão atrapalhar ainda mais na compreensão da definição formal de limite, objetivo maior da apresentação de tais exemplos, não vejo necessidade de recorrer a elas nesses momentos.

119 "Les questions que vous posez sont fort intéressantes mais elles sont également très complexes à aborder sans connaitre précisément le contexte de votre travail ainsi que le contexte institutionnel. Il me parait donc important d'intégrer votre questionnement dans l'enseignement qui est visé. Je m'explique: si les programmes préconisent d'introduire une notion intuitivement, sans la définir formellement, il va de soi que vous privez les étudiants d'une partie de la conceptualisation et que vous ne pourrez rien prouver rigoureusement sans avoir la définition. Mais si la conceptualisation visée relève de techniques de calculs à faire acquérir aux élèves, il n'y a pas de perte en termes d'apprentissages." (P92).

Em resumo, sobre as respostas apresentadas pelo Grupo (i) para a segunda pergunta, temos que não há um consenso, pois para alguns, por exemplo, P34, P7 e P23 as praxeologias 1 e 2 devem ser apresentadas de forma paralela; para P28, 2 imediatamente após 1; para P70 no componente posterior de Cálculo I, dependendo do tipo de curso e da existência de um componente de pré-cálculo.

Em relação à terceira pergunta: (3) Depois de apresentada a definição (, ) de limites (em termos de épsilons e deltas), em quais momentos posteriores aparece novamente no curso de Cálculo?, temos que, normalmente, relacionam a 2 posteriormente apenas no curso de Análise Real. Como, por exemplo, infere P7: "Não me recordo se ela "reapareceria" em algum momento no Cálculo. No curso de Análise, provavelmente". Como também, P39:

A definição, com épsilons e deltas, não serve para calcular o limite, mas apenas para provar sua existência e seus valores quando conhecidos, sendo que em alguns cursos, como os de engenharia, por exemplo, se precisa calcular limite, muitas vezes de funções que se apresentam de forma discreta, com o conhecimento de alguns pontos. Nesses cursos a utilização de épsilons e deltas é totalmente obsoleta. Na minha opinião, os momentos em que a definição de limite, por meio de épsilons e deltas, se faz importante, e reaparece são nos estudos de Análise Real.

Para P39, apesar de a definição servir apenas para provar valores conhecidos, na engenharia não tem a devida importância. Já para P103, embora do conceito de limite seguir uma ordem contrária aos livros, as ideias estão presentes em vários momentos do Cálculo como, por exemplo, derivadas, integrais de linha, dupla, tripla, derivadas parciais, em todos esses conceitos utiliza-se as ideias de limite:

No caso da derivada é anterior ao conceito de função e anterior ao conceito de limite também. Totalmente contrário ao curso de cálculo atual. No século XVII derivava curvas e não funções, o conceito de função só vem aparecer de forma formalizada ao final do século XVII e início do século XVIII. Revive em derivada e em integral (que por sinal é anterior até as derivadas). A definição de limite surge em torno da compreensão do número real. No curso de cálculo segue a ordem contrária. O conceito de limite está presente em todos os sentidos clássico, de linha, dupla, tripla, derivadas parciais podem ser lidas por meio de limite.

Coadunando com P103, temos P56 afirmando, mesmo de forma indireta, que a 2 é retomada assim que se trabalham outros conceitos em que a noção de limite é fundamental, como uma estrutura teórica para outros conceitos:

Se for feita a opção por trabalhar a ideia de limite por meio de sua definição formal, novamente pensando naqueles cursos nos quais tal abordagem faz sentido, essa definição, ainda que indiretamente, será retomada, em alguma medida, ao se trabalhar outros conceitos para os quais a noção de limite é essencial. Ou seja, ao trabalhar com continuidade, ao definir derivada, ao definir integral, ao apresentar e demonstrar teoremas relacionados à continuidade, diferenciação e integração. Mas, nestes momentos, tal definição estará presente, a meu ver, como embasamento teórico para a construção de tais noções. Ela não será o foco da abordagem, mas será inevitável passar por ela, de algum modo, se foi essa a conceituação de limite pela qual se optou na disciplina.

Dessa forma, a praxeologia 2, direta ou indiretamente, estará presente ao se trabalhar outros conceitos, sendo uma chave para o entendimento de outras noções.

Grupo (ii): Recomendam apenas o trabalho com as ideias intuitivas de limite no componente de Cálculo I.

Agora, veremos as respostas do Grupo (ii) que se adéquam em relação à primeira pergunta, destacamos as seguintes: "Eu creio que não é razoável ensinar Épsilons e Deltas no início do cálculo. Acho equivocado. Creio que isso deve ficar para depois. Não só acho possível, como acho que já ensinei desta forma para vários alunos, inclusive não matemáticos." (P16).

Ao emitir a sua opinião, P16 informa que é possível, mas não apresenta as perdas e ganhos ao se trabalhar dessa forma. Para P67, as ideias intuitivas são satisfatórias para apresentar o primeiro curso de Cálculo, assim como as ideias iniciais que foram desenvolvidas no Cálculo, pois as ideais formais apenas foram desenvolvidas no século XIX. Vejamos o que infere P67:

A meu ver, há muito mais ganhos que perdas nessa abordagem. As noções, significados e razões de existir de limite, derivada e integral são muito intuitivas e simples de compreender (além de belíssimas). O Cálculo, quando foi criado por Newton e Leibniz, não tinha esse rigor todo e era mais intuitivo mesmo. A necessidade do rigor só veio depois no século XIX (uns 200 anos depois) à medida que fenômenos mais complexos pediam uma análise mais fina e rigorosa dos conceitos (alguns conceitos chegaram às portas do século XX para receberem a cara atual, com matemáticos como Weierstrass). Em um primeiro contato, eu acredito que passar essa ideia bela e intuitiva do Cálculo, que foi criado para resolver problemas das ciências naturais em ascensão, deve ser enfatizado, para que o aluno entenda as ideias centrais dos conceitos sem precisar "quebrar a cabeça" com formalizações precoces. Ao fim e ao cabo são essas ideias, e não a formalidade, que vão possibilitar ao futuro profissional, a saber, usar o cálculo como ferramenta para resolver problemas de sua profissão.

Nesse mesmo sentido, P8 informa que é melhor trabalhar apenas com as ideias intuitivas, deixando o estudo formal pelo componente de Análise Real:

Concordo com os autores que, em relação ao estudo dos limites no Ensino de Cálculo, dão preferência a um ensino mais intuitivo, priorizando as ideias fundamentais do Cálculo ao invés do rigor formalista. O ensino mais rigoroso da definição formal de Limites (em termos de épsilons e deltas) pode ser trabalhado nos cursos de Análise, quando estar-se com mais rigor e formalidade as ideias essenciais da matemática e do Cálculo.

Isso também corrobora com a opinião de P68 de que, dependendo do curso, o estudante terá a oportunidade de conhecer a praxeologia 2 de forma mais aprofundada:

Acho que não há necessidade de um aluno num primeiro curso de cálculo lidar com a definição formal de limite. Se ele for para um bacharelado de matemática ou mesmo de física, aí ele terá oportunidade em um curso de análise real começar a entender esse conceito MARAVILHOSO de limite e suas aplicações no cálculo diferencial e no cálculo integral.

Já P100 faz uma ponderação entre os ganhos e perdas. Enquanto os ganhos são devido ao primeiro contato do estudante com o objeto limite, com ênfase em aspectos intuitivos, a perda é a falta de base epistemológica que o rigor matemático proporciona: Perda/ganho é sempre relativo a algo. Como não há alguma consideração antes, mas lá no 3 você fala de Cálculo, também vou considerar o estudante de Graduação (não me interessa se alguma escola do ensino médio ensina Cálculo, pois é exceção) em diferentes cursos ou diferentes níveis no mesmo curso ou ainda fazendo distinção graduação/pós-graduação. Primeiro, é sempre bom ter em mente que o Curso de Cálculo Diferencial Integral estuda funções (reais ou complexas). Limite, derivada e integral são acessórios desse estudo, mas o objeto central continua sendo a função com em domínio em R (corpo dos reais) ou R n , C (corpo dos complexos) ou C n , chegando em R, R n , C ou C n , com uma condição mínima de continuidade (ou é contínua ou é descontínua em uma quantidade finita de pontos). A perda é a falta da base epistemológica que o rigor matemático traz na definição do limite por épsilon/delta. O ganho é a possibilidade de priorizar o aspecto intuitivo. Limite costuma ser um assunto novo para a maioria dos estudantes de Cálculo 1, e, por se tratar de objeto novo, minha opinião é a de priorizar o aspecto intuitivo/construtivo na apresentação do objeto. Em um curso de Cálculo 1, entendo ser dispensável. Mas o aspecto intuitivo pode e deve ser trabalhado. (...) Eu diria que, em um curso de Cálculo, que geralmente não tem por objetivo o aprimoramento do aspecto lógico-demonstrativo da Matemática, se o professor apresenta formalmente limite por épsilons e deltas, estes logo serão esquecidos.

Assim, P100 considera que a definição possa ser esquecida, então apenas a definição formal seja o suficiente. O fato de serem esquecidos pode ser justificado na forma e na abordagem como é apresentada tal noção. Para isso, é interessante rever como é trabalhada a organização didática e matemática.

P104 não dispensa totalmente a apresentação de definição, apenas na sua concepção considera que deve ser deixado para um segundo momento do curso. A nosso ver, pode ser deixado para outro momento a depender do curso, ou mesmo do quanto o professor consegue avançar na turma, mas não subestimar a capacidade dos estudantes, visto que ajudá-los a compreender cada parte da definição pode trazer uma melhor compreensão do todo.

Eu acho mesmo que os estudantes de matemática devem ser apresentados ao conceito intuitivo de limite num primeiro curso de cálculo. Só depois, num curso de análise, deve-se ensinar os épsilons e deltas. Para os alunos de ciências, que usam cálculo como ferramenta, uma disciplina com o conceito rigoroso de limite é, na imensa maioria dos casos, dispensável. (P104).

Já o professor P44 salienta que o ensino de Cálculo pode acontecer de duas formas: na ordem lógica ou na ordem cronológica. Pela ordem lógica normalmente começa pelo conceito de limite e, a partir dele, se desencadeia os demais conceitos. Enquanto na ordem cronológica, se trabalha como os conceitos foram surgindo. Observemos as inferências de P44:

Duas possíveis formas de ensinar uma disciplina de matemática: pela ordem lógica, ou pela ordem cronológica. A ordem lógica é aquela em que existe um encadeamento perfeito das ideias: cada teorema ou definição é apresentado de forma rigorosa usando apenas outros teoremas e definições que também foram apresentados rigorosamente anteriormente. Seguindo essa ordem, a definição formal de limites precisa anteceder às definições de derivada e integral. Mas a ordem cronológicaou seja, a ordem em que os conceitos foram criados, historicamentena maioria das vezes inverte a ordem lógica, porque os matemáticos primeiro desenvolveram as ideias intuitivas e depois passaram a buscar uma formalização melhor para essas ideias. Cronologicamente, os matemáticos desenvolveram uma boa parte do Cálculo Diferencial e Integral antes de criarem o conceito rigoroso de limite. A vantagem de seguir a ordem cronológica é mais natural, porque você reproduz a ordem dos pensamentos que levaram os matemáticos a desenvolver esses conceitos, ajudando os estudantes a os assimilarem melhor. Também evita um choque muito grande para os estudantes, que veem o Cálculo assim que saíram do Ensino Médio e não têm ainda bagagem (ainda mais após demonstrações matemáticas serem praticamente extintas do Ensino Básico) para acompanhar esse nível de rigor. Por outro lado, um possível ponto negativo dessa abordagem é postergar demais o ensino da matemática rigorosa, mantendo os alunos por mais tempo acostumados com essa visão ingênua (intuitiva) da matéria, especialmente se os professores do primeiro ano não fizerem esse trabalho de introduzi-los gradativamente à demonstração matemática.

Ainda de acordo P44, apesar de ser mais natural a abordagem da forma intuitiva, esta pode adiar a forma como são tratadas a linguagem matemática no nível superior, buscando uma linguagem formal e rigorosa. Em relação à segunda pergunta, temos o que diz P100:

Em um curso de Cálculo 1, entendo ser dispensável. Mas o aspecto intuitivo pode e deve ser trabalhado. No aspecto geométrico, entendo que deve-se enfatizar a intuição da aproximação para uma certa linha ou região de tendência, por meio dos ostensivos gráficos (gráfico de função mesmo ou até mesmo uma curva no plano que não é gráfico de função). Isso geralmente já é feito no Brasil. Penso que devem ser feitas maiores considerações na intuição numérica, isto é, ao invés de usar épsilons e deltas genéricos, usaríamos números mesmo, por exemplo, faríamos contas "na unha" com uma sequência numérica finita "tendendo" a zero, sem perda (0,1; 0,01; ...; 0,00000001), para certas funções com descontinuidade ou ponto crítico no zero: aí criaríamos uma intuição numérica do que é tender a zero e penso que a intuição numérica, num momento inicial, é melhor que falar em termos de épsilons e deltas genéricos; analogamente, usaríamos uma sequência numérica finita "tendendo" a infinito, sem perda (1; 10; 100; ...; 1000000000), para certas funções e criaríamos a intuição de "tender a infinito". Entendo que a formalidade de épsilons e deltas, cria uma forte intuição geométrico-numérica no curso de cálculo, deve ser ensinada em um curso de Análise. Mas aí há um aspecto interessante, que vou transcrever: "os exemplos que aparecem para utilizar a definição formal são apenas funções polinomiais, quocientes ou raízes. Eles não dizem respeito a funções logarítmicas, trigonométricas ou mesmo exponenciais". Aí entra de novo o aspecto formal. É possível criar uma intuição das funções trigonométricas, usando o ciclo trigonométrico. É possível também falar de potências inteiras de números reais. Se a é real positivo diferente de 1, a^0=1, a^n = a*a*...*a (n-vezes), se n > 0. O análogo se faz quando n < 0. Mas o domínio da função exponencial é todo R, ou seja, as potências não são apenas inteiras, mas são reais. Então, o que é a função exponencial? O que são potências não racionais, por exemplo, o que é 2^pi? A mesma dificuldade surge com a função logarítmica. Aí nos deparamos com a dura verdade: a gente apresenta o objeto "função exponencial/logarítmica" no Cálculo e quer pensar no formalismo de épsilons/deltas, sem introduzir formalmente o objeto ou apresentar dificuldades/obstáculos epistemológicos que, historicamente, permitiu a consolidação do conceito "função exponencial/logarítmica". Aí vem outro aspecto que é tentar as funções por certas propriedades. Uma maneira de formalizar isso é por série de potências, mas série de potências geralmente é um assunto não explorado em Cálculo 1. A questão que eu quero enfatizar é a consideração que eu fiz no início: o objeto central do cálculo é função. Limite, derivada, integral são instrumentos para tentarmos entender as funções, mas não a finalidade do Cálculo. (grifo do autor).

Nesse caso, P100 enfatiza que é possível fazer diversos casos particulares com números racionais, tanto por números se aproximando de zero como se aproximando do infinito, sem ser necessária a formulação do épsilon e delta. Em relação aos exemplos com funções exponenciais e logarítmicas, P 100 descreve que existem outros obstáculos por trás dessas funções que normalmente os estudantes desconhecem, e isso dificulta a compreensão dos estudantes. Para P44, as definições rigorosas devem ser deixadas para o curso de Análise Real, que poderão trabalhar com mais aprofundamento, tanto o conceito de limite como de números reais.

A definição formal de limiteassim como a definição formal de números reaiscostuma ser apresentada numa disciplina posterior ao Cálculo, chamada Análise Real, na qual se espera que sejam feitas todas as definições e demonstrações rigorosas (inclusive das funções exponencial, logarítmicas, etc.), a partir da definição formal de limites ou de teoremas provados a partir dessa definição. Por isso os livros de Cálculo não costumam apresentar essas provas (exceto, eventualmente, em apêndices), deixando essa parte para os livros de Análise Real (no Brasil, os livros de Análise do Elon Lages Lima e do Geraldo de Ávila são as principais referências bibliográficas do assunto). (P 44 ).

Em relação à pergunta (3) Depois de apresentada a definição formal de limites (em termos de épsilons e deltas), em quais momentos posteriormente aparece novamente no curso de Cálculo? P100 contradiz sua afirmação realizada na resposta da pergunta (1), pois aqui fala que no curso de matemática ou física "entendo ser útil falar de épsilons e deltas", enquanto na resposta (1): "Em um curso de Cálculo 1, entendo ser dispensável. Mas o aspecto intuitivo pode e deve ser trabalhado (...) se o professor apresenta formalmente limite por épsilons e deltas, estes logo serão esquecidos.". Infere P100: Depende do professor da disciplina. Inclusive sobre adotar ou não o formalismo de épsilons e deltas. Em um curso de Matemática ou Física, onde há ênfase em técnicas de demonstração, eu entendo ser útil falar de épsilons e deltas, mas sem "pegar pesado" na avaliação (pega pesado no curso de Análise). Em demais cursos de Exatas ou Ciência Aplicada (Engenharias, Agronomia, etc.) acho dispensável falar disso. Há professores que retomam essa ideia de épsilons e deltas no Cálculo em várias variáveis, por exemplo, para falar de limites em um ponto no plano (no domínio da função). Há professores que usam a ideia de limite para falar de integral ou definir a convergência de uma soma de Riemann, mas acabou aí: uma vez ponderados os formalismos ou até mesmo feitas algumas demonstrações, o cálculo de integral geralmente passa a ser feito de forma exclusiva pela ideia de primitiva; no estudo de derivadas, curiosamente, geralmente são feitas manipulações de cunho algébrico para determinar o valor da derivada (exemplo, calcular a derivada da função f: R → R dada por f(x) = x², em um ponto x0 arbitrário de R). Eu diria que, em um curso de Cálculo, que geralmente não tem por objetivo o aprimoramento do aspecto lógicodemonstrativo da Matemática, se o professor apresenta formalmente limite por épsilons e deltas, estes logos serão esquecidos. (grifo do autor).

O rigor matemático, nesse nível de ensino, se faz importante, pois se trata do nível superior, ou seja, da academia, não sendo apenas um curso técnico. Uma visão mais ampla e aprofundada deve ser buscada, entendendo o porquê de cada construção e construindo bases para demandas posteriores, como outras disciplinas ou habitat que se requeiram noções de limite.

Grupo (iii): Defende o ensino sem limite de funções, apenas por infinitésimos.

A seguir, temos P30, o único professor e pesquisador que nos apresentou a resposta defendendo a retirada de limite no currículo e substituindo pelos infinitésimos representando aproximadamente 1% dos que responderam aos nossos questionamentos. É interessante, pois não é comum ver um curso de cálculo sem falar de limites. Analisemos as respostas de P30: Suas questões são muito importantes. Todos os livros de cálculo que conheço começam com a definição de limite e depois não mais a usam. Baseiam-se na evidente continuidade das operações aritméticas. Você já viu um livro que demonstre a continuidade de x 2 ? Fingem que usam limites nas somas de Riemann, mas ali não é limite de função, é de rede. Ganho: eliminar qualquer desculpa do aluno sobre estar sendo reprovado por uma arbitrariedade conceitual não fundamentada; velha crítica de Berkeley. Perda: pagamento de tributo à hipocrisia, fingimento, empáfia, intimidação e exclusão social.

O professor P30 foi o único que admitiu a retira do conceito de limite em Cálculo I, em particular a definição (, ). Iniciativas já foram propostas anteriormente para responder perguntas do tipo: Existe um número maior que zero que seja menor do que todo número real maior que zero? Existe um número maior que zero que seja maior do que todo número real maior que zero? Esses questionamentos incomodaram muitos matemáticos no decorrer da história. Normalmente, quem conhece os números reais e imagina a reta dos números reais tende a responde "não" a tais questionamentos. Entretanto, na década de 1960 foi possível criar um sistema numérico para responder "sim" a tais questões.

Há séculos matemáticos evitaram tratar dos infinitésimos ou mesmo tentaram trabalhar com as críticas. Por exemplo, Leibniz, no século XVII apresentou os infinitamente pequenos em seus manuscritos, mas recebeu críticas de vários matemáticos exigindo explicação do que seriam as tais "quantidades infinitamente pequenas" (como vimos na seção 2.1.5).

De acordo Rooney (2012, p. 160) Ainda de acordo Rooney (2012, p. 160) e Henle e Kleinberg (2003, p. 4), a objeção de Berkeley não foi totalmente respondida por mais de um século, apenas na década de 1960, o lógico Abraham Robinson (1918[START_REF] Boyer | História da Matemática[END_REF] finalmente apresentou que a ideia do infinitesimal é logicamente consistente e que os infinitesimais podem ser considerados como um tipo de número. Nesse caso, segundo Henle e Kleinberg (2003, p. vi), Robinson construiu uma estrutura para os infinitesimais, com um sistema de números hiper-reais, fornecendo um alicerce a Análise não padrão (no-standard).

As ideias que P30 apresenta têm a ver diretamente com as ideias de Abraham Robinson com números hiper-reais. Um infinitésimo, ou um número infinitesimal, é um número do sistema dos números hiper-reais, maior que zero, com a propriedade de que é menor do que qualquer número hiper-real equivalente a um número real maior que zero. É interessante que existam pensamentos diferentes dos que encontramos nos livros de Cálculo. Talvez numa disciplina com elementos da Análise não padrão seja possível mostrar que outros matemáticos pensaram distintamente do que somos acostumados a descrever.

Em vez de épsilons e deltas, deve estar lá, não só a noção intuitiva de limite, mas também a noção intuitiva de infinitésimo, sem a qual o curso de cálculo é inútil às engenharias. Os livros tentam tornar a definição de limite intuitiva com figurinhas omitindo o terceiro quantificador: para todo épsilon existe delta tal que para todo x, se,... Resultado: provar que o limite de 1/n não é 1 torna-se impossível. A definição de limite deve ser ensinada para licenciatura e bacharelado em matemática, no primeiro curso de análise. Num segundo curso é imperdoável não formalizar os infinitésimos via ultrafiltros (sem a carga lógica de Keisler). (P30).

O professor P30, em parte, mostra-se um pouco descontente com a definição por épsilon e delta. Conjecturamos que ele se aproxime da escola intuicionista, em que não sinta que é necessário formalizar. Também P30 considera de certa forma os infinitésimos via ultrafiltros, é outra forma de se trabalhar e defende a análise no-stantard (não padrão).

Quando Robinson criou a Análise não Padrão, teve a ideia de fazer outra extensão dos reais, ou seja, ampliar esse conjunto de números colocando os infinitésimos e os infinitos. Ainda em relação à pergunta (1), temos um comentário de P30:

As perdas de usar limites: É uma ideia muito "pesada". O maquinário intelectual para pôr de pé a ideia formal de limite é difícil de entender e de usar; é um maquinário extremamente desajeitado. Os ganhos: É absolutamente necessário formalizar a noção intuitiva de infinitésimo. Não se engane quanto isso: pois a noção intuitiva de infinitésimo é muito perigosaela facilmente leva o matemático a erro. Ocorre que, depois que Abraham Robinson usou o sistema dos números hiper-reais para formalizar a ideia intuitiva de infinitésimo, o conceito formal de limite, com épsilons e deltas se tornou desnecessário. A troca que você faz ao adotar o sistema dos hiperreais e ao abandonar os limites é esta: para usar os hiper-reais, o matemático deve manejar muito bem a lógica de predicados de primeira ordem. Isso não é problema para quem tem inclinação para a lógica, mas é problema para quem não tem, e, por incrível que pareça, nem todo matemático gosta de lógica. Então, efetivamente a troca é: você abandona os épsilons e deltas e passa a usar mais intensamente a lógica de predicados de primeira ordem. Eu acho essa troca vantajosa, mas, como disse, nem todo mundo pensa assim.

Coadunando com P30, Baldino (2000, p. 4) apresenta, resumidamente, que "na construção dos reais como classes de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais, identificam-se as sequências de racionais que terão, depois, o mesmo limite nos reais", levando assim à construção dos hiper-reais, que possuirão tanto os reais como números infinitos e infinitesimais, sendo cada classe de equivalência um número hiper-real. Tal construção dos infinitésimos tem, segundo o autor, uma fundamentação rigorosa (no sentido de Weierstrass). Ainda de acordo Baldino (2000, p. 4), os cursos de Matemática deveriam, além de oferecer análise real, poderia oferecer análise não padrão.

Em relação à pergunta (2), P30 afirma:

Depois que você usa a ideia formal de limite para provar certos teoremas, daí em diante você usa apenas os teoremas. Não é mais necessário usar a ideia formal de limite. É por isso que limites aparecem no começo dos livros de cálculo e depois desaparecem. Aliás, a mesma coisa acontece com hiper-reais: você usa o sistema dos hiper-reais e a lógica de predicados para provar certos teoremas, e depois disso usa apenas os teoremas.

Para P 30 , a definição formal em termos de  e  aparece apenas para provar teoremas não sendo necessário acessá-los diretamente, pois depois utiliza apenas os resultados dos teoremas, mas o mesmo processo acontece com os hiper-reais. P30 complementa com a resposta da pergunta (3):

A ideia formal de limites só volta a aparecer quando os teoremas que você provou com limites são insuficientes para provar certo ponto. Por exemplo, a prova de que existem funções contínuas em toda parte, mas não diferenciáveis em parte nenhuma, tem de ser feita ou com limites ou com hiper-reais. Os teoremas que você prova logo depois de apresentar os limites (ou os hiper-reais) não são suficientes para essa prova.

Com o que foi analisado, é possível tanto realizar uma abordagem através de limites como dos números hiper-reais. Só que, ao analisar a noosfera, tanto nas ementas dos componentes curriculares quanto nos livros didáticos, toda a construção do cálculo está fundamentada nos limites, o que pode não ser tão fácil para o professor trabalhar com os infinitésimos pelo caminho dos hiper-reais. Percebemos tal restrição e também todos os tópicos do cálculo no MPD levam a uma noção de limite como, por exemplo, derivadas, integrais, convergência de séries. Nesse caso, para utilizar ideias de hiper-reais e infinitésimos, seria necessária uma nova abordagem dos demais conceitos do cálculo.

Síntese da resposta R5 ◊ referente à questão Q5: 'O que pensam os pesquisadores e professores de Cálculo sobre esta ecologia? Existe alguma divergência acerca das (perdas e ganhos) da pertinência, presença, coerência, importância e necessidade deste objeto nas organizações didáticas utilizadas por diferentes professores?'. Esta seção nos permitiu uma conexão entre as mídias (respostas dos professores e pesquisadores) levantadas e o milieu estabelecido por estas, possibilitando extrair reflexões dos diversos pontos de vista emitidos pelos envolvidos. Assim, é possível perceber que não existe um consenso, mesmo que a maioria apresente um pensamento semelhante.

Algumas questões podem ser levantadas diante das respostas expressas, como por exemplo: Será que a maneira como é apresentada a noção intuitiva 120 é capaz de levar os estudantes a aceitar a matemática apresentada na universidade, sem rigor e formalidade? Será que apenas a definição por (, ), sem uma conexão com as ideias intuitivas, é suficiente para a compreensão dos estudantes? Será que a introdução dos hiper-reais no cálculo diferencial e integral contribuiria para a aprendizagem dos estudantes? Não estamos aqui preocupados com certo ou errado, melhor ou pior. Entretanto, buscando reflexões que poderão nos ajudar nesse trabalho de investigação, bem como em outros ligados a este. Coadunamos com as observações de P80 quando diz:

Esse debate é muito interessante visto que não há certo ou errado. Há muito o que falar sobre isso e o tema torna-se mais palpável quando utilizamos exemplos (que não pude fazer através de e-mail). De toda forma, espero ter contribuído para sua investigação.

Acabamos de apresentar as respostas ao questionário que representa as intenções e concepções dos professores. Com isso, destacamos que tanto a noção intuitiva como a definição por épsilon e delta é importante. A nosso ver, pode-se fazer uma abordagem que considerem as duas, de forma que o estudante, durante o processo, possa ser contemplado, esclarecendo suas dúvidas e inquietações, pois só apresentar as definições não favorece uma concepção sobre os aspectos do conceito de limite. Assim, defendemos que o estudante possa construir tal noção e definição relativa ao conceito de limite de funções.

Como o saber limite é trabalhado por um professor na instituição pesquisada

Primeiramente, buscaremos reflexões aos questionamentos: Q6: Como acontece o feedback e regulação do processo de ensino e aprendizagem em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas? Q7: Quais as condições e restrições na ecologia para a noção de limite, presente em um Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas? Pensando nesse contexto, a TAD propõe níveis de (co)determinação (seção 2.1.4), como exposto no esquema do Quadro 3 (abaixo), a partir de elementos micro da sala de aulacomo tópico (assunto), setor, domínio, disciplinae elementos macrocomo escola, sociedade, civilização, que compõem a noosfera com um propósito de verificar as condições e restrições entre tais níveis. A pesquisa de Burigato (2019, p. 233), que apresenta um comparativo no estudo do limite de funções entre brasileiros e franceses, propõe:

Desse modo, poderia de forma conjunta trabalhar noções intuitivas de Cálculo I imbricados de conceitos da Educação Básica. A nosso ver, poderá facilitar o entendimento dos estudantes quando for apresentado o conceito de limite de maneira que conduzisse a um caminho mais próximo da linguagem utilizada na academia 121 .

Ainda no âmbito da pedagogia, no Brasil o primeiro contato com o objeto limite é apenas no nível superior, diferentemente de outros países como Estados Unidos, França e Bélgica que é apresentado na educação básica, deixando para o nível superior à formalização e aprofundamento desse conceito. Isso poderá ser uma restrição para os estudantes que ingressam no nível superior aqui no Brasil, sem uma compreensão da noção intuitiva de limite e de um estudo mais detalhado dos comportamentos das funções de forma geral.

Retomando Burigato (2019, pp. 71-72), "na França, o conceito de limite é introduzido no lycée nas classes de Première e Terminale, equivalentes ao segundo e terceiro anos do Ensino Médio brasileiro, sendo apresentado neste nível de ensino de maneira menos formal".

O próprio Boletim Oficial do Ministério da Educação na França apresenta:

As funções estudadas são todas regulares e estamos satisfeitos com uma abordagem intuitiva da noção de limite finito em um ponto. É esperado pelo programa o cálculo de derivas simples; no caso de situações mais complexas, solicita-se um software de cálculo formal. [...] levando a uma primeira abordagem da noção de limite que será desenvolvida na classe terminal. (BO, 2010, p. 2 apud BURIGATO, 2019, pp. 72-73, tradução da autora).

Dessa forma, na França, quando são apresentadas as ideias do comportamento de funções por limite no ensino médio, isso possibilita um melhor entendimento no nível superior para a formalização e aprofundamento do conceito de limite. No caso do Brasil, temos tanto a ideia intuitiva de limite como a formalização praticamente no mesmo nível, o que pode demonstrar uma restrição em relação à maturidade para compreensão de tal conceito.

Algumas restrições, segundo nosso olhar: uma dificuldade percebida na nossa investigação é curto tempo que o professor tem na sala de aula aliado à baixa carga horária do componente curricular, o que compromete o oferecimento de forma adequada de um feedback durante a aula. Associado a essa questão, e de acordo com nossa análise, a ementa do componente curricular de Cálculo I é extensa, o que necessita de um tempo compatível para cumprir todo cronograma previsto.

De acordo com a matriz curricular do curso BCET, o primeiro semestre apresenta seis disciplinas (UFRB, 2011, p. 11). Acontece que, muitas vezes, existe uma incompatibilidade de horário entre os estudantes e o professor ou mesmo a monitoria, levando em consideração também que muitos tenham de viajar de 30 km até 70 km para estar na Universidade. Esses fatos foram observados e constatados nas conversas com os estudantes.

Como mencionado, as grandes distâncias entre a residência dos estudantes e a Universidade (muitas vezes do trabalho também, pois muitos trabalham para se manter no curso), são dificuldades que se apresentam no cotidiano da sala de aula. Dessa forma, o percurso formativo digital, proposto no nosso MPFA, pode propiciar um momento de interação com o objeto matemático em um ambiente preparado intencionalmente pelo professor, que o auxiliará nos estudos, mesmo fora do ambiente da sala presencial, já que estamos elaborando para ser executado de forma online.

Adentrando nos níveis de codeterminação de 1 a 4 e fazendo conexão com os elementos do MPD, realizamos uma observação na aula do professor Px (por questões éticas, omitiremos aqui o nome do professor). Em seguida, foi proposto, junto ao professor, iniciativas em ambientes virtuais de aprendizagens. Na turma do professor Px existia em média 47 estudantes (oriundos do semestre 2018.2). Notamos que o professor, já nas primeiras aulas, inicia as ideias do conceito de limite, formalizando-as no 3º encontro, como mostra a Figura 91, a seguir: Embora a turma, inicialmente, apresentasse 47 alunos, notamos a participação no ambiente virtual de apenas de 11 estudantes (23,40% da turma). Os estudantes da turma, ao serem interrogados por meio de um questionário sobre o acesso à plataforma, disseram que gostariam de apresentar as dúvidas no atendimento presencial ao professor, outros disseram que estavam dando prioridade a outras disciplinas, alguns não conseguiram acessar o ambiente proposto, e a maioria estavam tentando organizar os horários de estudo para, só assim, acessar o ambiente e conseguir um êxito no semestre. De acordo as respostas, percebemos que a estratégia utilizada pelos estudantes era estudar mais próximo da data das provas.

A Figura 95 consta a primeira atividade proposta no semestre, no ambiente virtual. Esta teve como objetivo verificar como os estudantes assimilaram o conceito de limite apresentado na aula. Existe uma praxeologia esperada pela instituição, ou seja, pela definição (apresentada na Figura 95). Nesse momento, procura-se uma relação em que o  (delta) dependa do  (épsilon). O estudante, de acordo a Figura 95, consegue desenvolver parte dessa manipulação algébrica com os feedbacks oferecidos pelo professor e a autorregulação, conseguindo êxito na resposta da questão após seis revisões (postagens).

Vale destacar que tarefa como essa exige um conhecimento de cada símbolo da definição formal de limite (em termos de épsilon e delta), ou seja, o estudante deve possuir uma bagagem praxeológica da linguagem matemática e possuir noções de técnicas de demonstração.

Para esse caso específico, a praxeologia esperada pela instituição é que se encontre um valor de  dependendo de . Para isso, utiliza a relação proveniente da definição formal:

Primeiro fazemos uma análise preliminar do problema, ou seja, conjecturando um valor para . Pela definição temos:

lim 𝑋→ -1,5 9 -4𝑥 2 3 + 2𝑥 = 6 ⟺ ∀ 𝜀 ∃ 𝛿 > 0; 0 < |𝑥 + 1,5| < 𝛿 ⟹ | 9 -4𝑥 2 3 + 2𝑥 -6| < ℇ
Em outras palavras, dado  um número positivo, existe pelo menos um  positivo, tal

que Se 0 < |𝑥 + 1,5| < 𝛿 então | 9-4𝑥 2 3+2𝑥 -6| < ℇ. Porém, | 9 -4𝑥 2 3 + 2𝑥 -6| = | (3 + 2𝑥) • (3 -2𝑥) 3 + 2𝑥 -6| = |3 -2𝑥 -6| = |-2𝑥 -3| = |(-2)(𝑥 + 1,5)| = |-2| • |𝑥 + 1,5| = 2|𝑥 + 1,5| < ℇ Portanto, queremos 𝛿 tal que Se 0 < |𝑥 + 1,5| < 𝛿 então 2|𝑥 + 1,5| < ℇ Se 0 < |𝑥 + 1,5| < 𝛿 então |𝑥 + 1,5| < ℇ 2
Isto nos sugere que deveríamos escolher 𝛿 = ℇ 2 O segundo passo é a demonstração, ou seja, mostrar que esse  funciona. Dado  > 0, Talvez uma das dificuldades, segundo Fonseca (2004, p. 162), é que no secundário o estudo das praxeologias matemáticas foca no bloco técnico-prático com baixa incidência do bloco tecnológico-teórico sobre a atividade matemática, visto que há uma ausência de qualquer questionamento tecnológico dos tipos de tarefas e de técnicas matemáticas. Assim, as praxeologias matemáticas no secundário são pontuais, muito isoladas (ou pouco coordenadas entre si), o que dificultae inclusive impede -, de acordo com Fonseca (2004, p. 264), que nessa instituição se reconstruam efetivamente praxeologias matemáticas locais que integrem de maneira flexível as praxeologias matemáticas pontuais.

escolha  =  / 2. Se 0 < |𝑥 + 1,5| < 𝛿 , então | 9 -4𝑥 2 3 + 2𝑥 -6| = | (3 + 2𝑥) • (3 -2𝑥) 3 + 2𝑥 -6| = |3 -2𝑥 -6| = |-2𝑥 -3| = |(-2)(𝑥 + 1,5)| = |-2| • |𝑥 + 1,5| = 2|𝑥 + 1,5| < 2𝛿 = 2 • ℇ 2 = ℇ Assim, Se 0 < |𝑥 + 1,5| < 𝛿 , então | 9-4𝑥 2 3+2𝑥 -6|< ℇ. Portanto,
Assim, calcular o limite é uma atividade normalmente contida no bloco técnico-prático, enquanto que demonstrarvia definição (épsilon e delta)requer uma articulação com o bloco tecnológico-teórico. Nesse sentido, para o estudante do primeiro semestre, isso pode ser uma restrição, pois no ensino básico (aqui no Brasil) não se trabalha nem a noção de limite nem as ideias de demonstração. A seguir, na Figura 98, é possível observar o comentário do professor e a interação mantida no ambiente virtual. Pensando nesse contexto, apesar das dificuldades enfrentadas por boa parte dos estudantes na Educação Básica, estes, dentre todas as barreiras encontradas, conseguem ingressar na Universidade. Desse modo, o que os professores podem fazer é, junto com as políticas de permanência e combate à evasão, discutir mecanismos para permanência desses estudantes e superar o fracasso na aprendizagem de Cálculo, que não é uma tarefa simples.

Considerações sobre o Modelo Praxeológico Dominante

Ao pensarmos na formação inicial, que deve ser fornecida ao estudante no componente de Cálculo, é importante salientar que a graduação não dá conta de construir, em todos os aspectos, os conhecimentos trabalhados. O estudante deverá estar sempre aprendendo, durante toda a vida. No planejamento das aulas é possível levar as reflexões sobre diversos tópicos e propor meios para um cidadão autônomo e crítico, seja capaz de aprender continuamente (autonomia do estudante). Dessa maneira, durante a graduação, aqueles que se interessam mais pelo estudo da Matemática podem ser estimulados pelos docentes a se aprofundarem nos conceitos, seja por meio de estudos dirigidos ou até mesmo por projetos de pesquisa, como iniciação científica, por exemplo.

Nessa perspectiva, durante a construção do Modelo Praxeológico Dominante (MPD) foi possível constatar que existe uma dificuldade na relação dos estudantes com o objeto limite de funções relacionado à sua compreensão, ao mesmo tempo em que não existe um consenso unânime entre todos os professores consultados sobre o ensino desse objeto matemático. No curso que estamos investigando (BCET-UFRB) é notável a presença desse objeto, ou seja, o seu habitat, bem como o seu nicho durante o curso, isto é, a sua função evidenciada pelas duas praxeologias 1 (noções intuitivas de limite) e 2 (definição de limite por épsilon e delta).

Retomando Farias (2018, p. 3), há uma incompletude no trabalho institucional, como o fenômeno do vazio didático (seção 2.1.7), devido essa desarticulação entre 1 e 2.

Ainda nesse contexto, de acordo a nossa observação, existe uma automatização e naturalidade no que se refere ao momento da avaliação, normalmente não alcançando os resultados esperados pela instituição, sendo que o modelo dominante nos evidência a sinalização de erros e acertos nas avaliações, não questionando assim as praxeologias construídas pelos estudantes para responder as tarefas propostas.

Ademais, ao observar a aula do professor Px, percebemos que era possível um trabalho além da sala de aula, em que o professor pudesse acompanhar a produção dos estudantes de forma remota online (síncrona ou assíncrona), bem como as praxeologias construídas por estes e fornecer, caso necessário, um feedback adequado para que conseguissem avançar em seus estudos.

Diante disso, e de acordo com a questão inicial de pesquisa -Q 0 : Como as praxeologias didáticas contribuem para o ensino das noções de limite de funções reais de uma variável real em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas em ambientes virtuais de aprendizagens?podemos pensar em como propor um modelo praxeológico de referência para a construção das noções de limite, levando em consideração uma articulação da noção intuitiva com a definição formal por épsilon e delta com uma atenção para as praxeologias dos estudantes através do feedback e autorregulação?

No próximo capítulo, iremos construir um modelo praxeológico de referência para o estudo da noção de limite, levando em consideração esses questionamentos levantados aqui no Modelo Praxeológico Dominante.

CAPÍTULO 4

Este capítulo apresentará, de acordo com os dados levantados nos capítulos anteriores, elementos para o nosso modelo de referência, que irá contribuir para a nossa experimentação no Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA) para a construção das noções de limites.

MODELO PRAXEOLÓGICO DE REFERÊNCIA

No capítulo anterior, no nosso Modelo Praxeológico Dominante, realizamos uma análise de como está posto o ensino de limite de funções reais, em particular no BCET-UFRB.

De acordo as condições e restrições levantadas, e os trabalhos consultados, vamos construir uma atividade para introduzir as noções de limite de forma articulada, tanto a parte intuitiva como a definição por épsilon e delta, buscando integrar elementos da avaliação formativa.

Nesse sentido, o Modelo Praxeológico de Referência (MPR) não é um modelo absoluto, mas permite a (re)construção de praxeologias matemáticas e didáticas, e sempre tem um caráter relativo e provisório, colocado à prova durante todo o processo de experimentação da pesquisa, o que contribui para responder nossa questão de pesquisa. Desse modo, o MPR abre caminho para projetar o nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), com o propósito de confrontar com nossas hipóteses.

Dessa forma, trazemos no MPR uma maneira de como descrever um dispositivo didático que denominaremos de Percurso Formativo Digital com o saber matemático, noções de limites com ambientes virtuais de aprendizagem e ferramentas da avaliação formativa. 

O limite de funções e a razão de ser

Nessa seção, apresentamos elementos da razão de ser do nosso objeto, respondendo a seguinte questão: Q8: Qual a importância do conceito de limite nos cursos de Cálculo?

Buscamos apresentar a razão de ser para ensinar a definição de limite. Ao observar alguns livros de Cálculo I como Ávila (2003), por exemplo, verificamos que nem todos apresentam a definição de limite, apenas a ideia intuitiva (a praxeologia1). Mas, o que podemos extrair da definição de limite, ou seja, o que tem por trás dessa definição?124 

Como estamos tratando de matemática acadêmica, ou seja, ensinada no nível superior, faz-se necessário verificar como a matemática atualmente é apresentada nos artigos científicos e nos livros didáticos dentro da academia. Dessa maneira, existe um formalismo que não podemos desconsiderar, e este possibilita uma troca de informações entre a comunidade que trata do mesmo assunto e da mesma área, do mesmo campo científico, expondo assim para a comunidade acadêmica suas descobertas e suas ideias. Na teoria dos limites, expressões tais como "x está próximo de 3" e "f(x) aproxima-se cada vez mais de L", muitas vezes encontradas em livros de Cálculo, são vagas e imprecisas e para evitar essa linguagem confusa é necessário um formalismo.

A Matemática como conhecimento científico necessita de uma confiabilidade e, consequentemente, validade dos axiomas e teoremas, a fim de que suas afirmações não apresentem ambiguidade, tenham coerência interna e coesão, permitindo fortalecer suas teorias e fazer com que avancem, fornecendo, desse modo, suporte a outras áreas, possibilitando o avanço tecnológico e científico. Partindo desse pressuposto, faz-se indispensável um rigor nas definições. Por exemplo, quando um programador elabora um algoritmo125 , em uma linguagem de programação, além de utilizar a lógica, necessita de um rigor, a fim de que o algoritmo descrito seja claro e exato com o propósito de chegar à conclusões precisas.

Para que conjecturas matemáticas sejam válidas é necessária uma demonstração matemática, que normalmente é chamada de prova. E, a partir disso, é que temos os teoremas.

Por exemplo, para demonstrar as propriedades (teoremas) operatórias do limite, assim como à unicidade, é imprescindível a definição de limite de forma precisa.

O estudo de funções no ensino secundário, normalmente, é realizado de forma superficial (descrevendo o comportamento de algumas funções elementares, como afim, quadrática ou trigonométrica). Quando é abordado o limite de funções, oportuniza aos estudantes compreender melhor o comportamento de funções e de seus gráficos, como o estudo das assíntotas horizontais, verticais e oblíquas. Com isso, é possível investigar tanto o comportamento nas proximidades de um ponto, como também para valores de x tendendo ao infinito, possibilitando realizar conjecturas e fazer conclusões sobre determinadas funções.

Dentro do comportamento de funções, o conceito de limite possui uma relação também com continuidade de uma função, pois as ideias intuitivas de continuidade ajudam no entendimento, porém não comprovam nem apresentam uma análise precisa desse conceito, necessitando das bases rigorosas do conceito de limite (COURANT; ROBBINS, 2000, p. 326).

O estudo do limite propicia ao estudante rever conceitos da Educação Básica como, por exemplo, distância, módulo de um número real, inequações, funções, plano cartesiano, além de conceitos de lógica como quantificadores (universal e existencial), dupla quantificação, implicação, o que poderá ajudará no progresso em outras disciplinas que envolvam ideias do cálculo.

Não aprendemos Matemática apenas para resolver problemas ou utilizá-la como ferramenta para outras áreas, ou seja, utilitarista, a serviço de demandas de outros profissionais ou interessados na sua eficiência. Mas, para desenvolver o raciocínio lógico formal, de modo que auxilie os estudantes em seu desenvolvimento intelectual.

Posteriormente, em continuação ao conhecimento de limite, outros tópicos como convergência de sequências e séries serão apresentados no curso de Cálculo Diferencial e

Integral III. Sendo assim, as ideias de aproximação desenvolvidas na definição de limite possibilitam uma melhor compreensão de convergências.

A busca para compreender as aproximações do limite pode contribuir para a compreensão das estimativas de erros em séries numéricas, buscando uma melhor precisão. Da mesma forma em que o estudo de raio de convergência e convergência de métodos numéricos contribuem para soluções de Equações Diferenciais Ordinárias e Equações Diferenciais Parciais, convergência de método de Newton em Cálculo numérico, ou mesmo em otimização e pesquisa operacional. Posto isso, presumimos que uma melhor compreensão da definição de limite contribui para um melhor aproveitamento do curso que envolva elementos do Cálculo I.

Como vimos na seção 3.1, o conceito de limite nasce em problemas como de determinar a área e da reta tangente, como também a velocidade instantânea e a convergência de uma série infinita. Em todos os casos, o conceito matemático comum é o limite, que aparece como o cálculo de uma quantidade, como limite de outras quantidades facilmente calculáveis. De acordo James Stewart, "poderíamos definir o Cálculo como o ramo da Matemática que trata de limites" (STEWART, 2016, p. xxxv). Notamos que a razão de ser do Cálculo e, em particular, é a importância de conceitos como limite.

Nesse caso, pensamos no fenômeno físico da velocidade instantânea, que está ligado diretamente a noção de limite. De acordo a nossa razão de ser, é modelar problemas envolvendo a ideia de aproximação. Com isto, o fenômeno da velocidade instantânea, a nosso ver, possibilita desenvolver a ideia de limites.

Em síntese, para a resposta R8 ◊ referente à questão Q8: 'Qual a importância do conceito de limite nos cursos de Cálculo?'. De acordo com o estudo histórico-epistemológico feito nesse trabalho, o desenvolvimento do limite de funções partiu da necessidade de justificar certos cálculos como, por exemplo, a quadratura relacionada à área, a cubatura relacionado ao volume com certas ideias que remetiam aos infinitésimos. Essas ideias acompanharam os matemáticos por muito tempo, e estavam presentes no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral desenvolvido por Leibniz e Newton no século XVII, sendo formalizado apenas no século XIX com contribuições de Cauchy e Weierstrass, entre outros. Tais formalizações acabaram fazendo parte dos manuais de matemática no Ensino Superior a partir do século XIX.

Ligado a esse conceito de limite, temos outros conceitos que permeiam o curso de Cálculo como, por exemplo, derivadas, integrais, convergência de séries, dentre outros, sendo ele importante para outros que se perpetuam em todo o Cálculo Diferencial e Integral.

Modelar uma situação através do limite de funções

Considerando que o contexto da nossa pesquisa são estudantes do primeiro semestre do Curso de Bacharelado em Ciências Exatas, em grande parte oriundos do ensino público e que concluíram o Ensino Médio recentemente, concedemos acesso a conceitos importantes e básicos como, por exemplo, números reais, valor absoluto, funções e noções de lógica matemática, que serão explicitados na organização matemática e didática apresentado no MPR.

Partindo assim, do aspecto extramatemático (conexão entre objeto matemático com objetos de outras áreas), buscamos inicialmente trabalhar com o conceito de velocidade instantânea com os ostensivos do cálculo algébricos e tabelas numéricas. Como a ideia de limite também está intimamente ligada a outras ideias, por exemplo, convergência de séries, ressaltamos que é uma restrição institucional, já que esse saber não faz parte das disciplinas do primeiro semestre do curso analisado.

Organização Matemática e Didática de limite de funções

Ao planejarmos um trabalho para o ensino das noções de limites, questionamentos como os evidenciados a seguir, aparecem: Q9: Como poderia ser uma organização matemática para o trabalho com as noções de limites? Nesse caso, estamos interessados em responder perguntas do tipo: Como ensinar as noções de limite? O que deve ser dado ênfase? Como articular os momentos didáticos? De que forma os elementos da avaliação formativa podem contribuir para o ensino desse objeto matemático?

Ao planejar a organização matemática e didática procuramos apresentar um problema que remeta à utilização da noção de limite e para que tivesse êxito no mesmo, apresentamos elementos da avaliação formativa nos momentos didáticos que pudessem contribuir para o aprendizado de limites. Com isto, explorar as restrições levantadas no MPD com o intuito de minimizá-las.

Organização Matemática para o estudo de limite de funções

Para o estudo do saber noções de limites, muitas vezes temos uma ligação direta com tabelas, gráficos, sequências, como também a definição formal por épsilon e delta, ambas importantes para a compreensão dos estudantes para esse saber, mas, normalmente, de forma desarticulada. Doumbia (2020) expõe que uma das dificuldades dos estudantes é relativa à ênfase que se apresenta da noção intuitiva em detrimento a definição formal por épsilon e delta.

O autor também ressalta, em sua investigação, a existência de obstáculos tanto didáticos como epistemológicos nesse processo, requerendo maiores investigações.

Como o nosso estudo tem foco nas noções de limites, antes analisaremos alguns objetos matemáticos que, ao nosso olhar, são importantes para compreensão das noções de limites e, posteriormente, apresentaremos as tarefas que correspondem diretamente às noções de limites e a sua definição em um ponto por épsilon e delta.

Nesse contexto, a partir das noções básicas que consideramos como pré-requisito para a noção de limite, introduzimos uma situação contextualizada envolvendo a noção de velocidade média e velocidade instantânea para desenvolver as noções de limite, com o intuito de envolver o estudante em uma situação-problema com elementos extramatemáticos.

A análise a seguir, possui elementos do estudo da parte intuitiva e formal de limite.

Contudo, convém analisar alguns saberes matemáticos que são importantes para a compreensão das noções de limite. A completeza de ℝ, de acordo Lima et al. (2006, p. 58), equivale a continuidade da reta, pois ela garante a existência de √𝑎 𝑛 e, mais geralmente, de a x para todo a>0 e todo x ∈ ℝ. É essa característica da completeza que diferencia os números reais dos racionais, pois os racionais também são um corpo ordenado, porém não é completo. Ainda segundo Lima et al. (2006, p. 58), existem várias formas de formular matematicamente a afirmação que o corpo dos números reais é completo, sendo que todas elas envolvem a ideia de aproximação ou limite.

Também existem outros subconjuntos dos números reais. Imaginemos agora os números 0 e 1 na reta real (ℝ). Se considerarmos todos os números entre eles, temos o intervalo de 0 a 1. Caso dividamos o intervalo de 0 a 1 em 10 partes, teremos: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1. Em 100 partes, teremos: 0; 0,01; 0,02; 0,03; ... ; 0,97; 0,98; 0,99; 1. Poderíamos continuar esse processo e dividir por 1.000, 1.000.000 de partes; ou um número cada vez maior.

Podemos de maneira intuitiva imaginar que existem infinitos números entre 0 e 1. Além de todos esses decimais mencionados, podemos ainda imaginar que entre dois números ainda existe outro (dado pela média aritmética deles), ou seja, se a < b então a < O Quadro 1 servirá para nortear as análises a priori e a posteriori do nosso percurso formativo digital e, dessa forma, contribuir para a validação dos dados produzidos.

A seguir abordaremos o estudo do valor absoluto de um número real. Como na tela 23 foi apresentado um ostensivo algébrico, da mesma forma na tela 25 é apresentado para o tipo de tarefa da tela 24. Agora, algebricamente, como | a | > 5 ⇔ a < -5 ou a > 5, temos: |x-3| > 5 ⇔ x-3 < -5 ou x -3 > 5, adicionando 3 a ambos dos membros de cada desigualdade, temos: x-3 +3< -5+3 ou x -3+3 > 5+3, ou seja, x < -2 ou x >8. Assim, a solução será S = {x ∈ ℝ; x < -2 ou x > 8}, agora temos uma união de intervalos, que pode ser representada S = (-∞,-2)⋃(8,+∞).

De forma geral, se tivermos a desigualdade |x-a| < ε, com ε > 0, significa que a distância de x ao ponto a é menor que ε, consequentemente as seguintes equivalências são válidas: i)

|x-a| < ε; ii) a-ε < x < a+ε; iii) x pertence ao intervalo (a -ε, a + ε). Como também, se considerarmos que x ≠ a, temos: iv) 0 < |x-a| < ε e v) a -ε < x < a + ε, com x ≠ a.
Tais ideias de módulo serão utilizadas na definição de limite.

A seguir, no Quadro 2, descrevemos algumas praxeologias relacionada com o valor absoluto de um número real. O Quadro 2, como o Quadro 1, servirá para nortear as análises a priori e a posteriori do nosso percurso formativo digital e, dessa forma, contribuir para a validação dos dados produzidos.

Noções de funções

A noção de função é de extrema importância para o desenvolvimento das noções de limites. Pois, o estudo dos limites (das funções reais) explora o comportamento e as características das funções reais. Ao recapitular, para o estudante, a noção de função, é necessário explorar a ideia de correspondência entre variáveis. Nas palavras de Eves (2011, p. 661), o conceito de função permeia grande parte da matemática, e diversos matemáticos no século XX defendiam o seu uso como princípio central e unificador na organização dos cursos elementares da matemática.

De acordo com Eves (2011, p. 660), o estudo de funções foi passou por diversas evoluções acentuadas, com diversos refinamentos do seu processo evolutivo, e tem uma presença considerável no Cálculo Diferencial e Integral. O termo função possivelmente foi introduzido por Leibniz no final do século XVII, inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a uma curva (o raio de curvatura de uma curva ou a inclinação de uma curva), tendo, conforme Eves (2011, pp. 600-661), contribuições posteriores de Johann Bernoulli, considerando uma expressão com uma variável e constantes, e de Euler, com uma fórmula ou equação envolvendo variáveis e constantes, o que corresponde ao conceito da maioria dos estudantes dos cursos elementares de matemática.

As contribuições passaram ainda por Joseph Fourier (1768-1830), através das séries geométricas e propagação de calor e, posteriormente, por Lejeune Dirichlet (1805-1859), que chegou a seguinte formulação: Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função. (EVES, 2011, p. 661).

Essa definição apresentada por Dirichlet normalmente é apresentada no curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral, destacando a relação entre dois conjuntos numéricos. Aqui adotamos a ideia da teoria dos conjuntos, isto é, que existe uma relação entre dois conjuntos ou subconjuntos dos números reais. Dado dois conjuntos A e B, uma função f: A → B (lê-se "uma função de A em B") é toda correspondência em que cada elemento x de A possui um único correspondente y de B, podendo ser representado como x↦y ou (x,y) ∈ f ou f(x) = y, em que A e B são conjuntos dos números reais ou subconjuntos destes, os elementos x são considerados conjunto domínio e os elementos y considerados conjunto imagem.

Função é um objeto essencial do Cálculo, através dele podem-se construir modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. O estudo do limite explora o comportamento de funções nos momentos de aproximação de determinados valores. Em uma função de uma variável real são apresentadas duas variáveis, uma dependente (pertencente ao conjunto chamado domínio) e outra independente (pertencente ao contradomínio). Por exemplo, uma pessoa anda com velocidade de 5 m/s. Qual a distância percorrida depois de 10 s? E depois de 20 s? E para t segundos? Nesse caso, como a velocidade é a razão de 5 metros por cada segundo, em 10 segundos percorre 50 metros (5•10 = 50) e em 20 segundos 100 m (5•20 = 100).

Considerando d distância após t segundos, temos d = 5t (metros), nesse caso t é a variável independente e d é a variável dependente de t. Essa ideia apresentada de dependência (de uma grandeza em função de outra) pode ser entendida como uma correspondência ou transformação.

A relação que d estabelece com t, (d = 5t) é chamada uma função real, e podemos utilizar a seguinte notação: d: ℝ+→ ℝ. Dessa forma, d é uma função se, e somente se, cada elemento t que considerarmos no conjunto domínio (nesse caso ℝ+) existir um único correspondente d(t) no conjunto contradomínio (neste caso ℝ). Cada elemento t do domínio possui um único correspondente d no contradomínio que será chamado de imagem de t e denotado como d(t).

A seguir, descrevemos algumas praxeologias relacionadas às noções de funções, que contribuirão para elaboração e produção do nosso percurso formativo digital. O Quadro 3, como os Quadros 1 e 2, servirá para nortear as análises a priori e a posteriori do nosso percurso formativo alternativo, e dessa forma, contribuir para a validação dos dados produzidos.

Noções de lógica matemática de primeira ordem

De acordo Eves (2011, p. 668) uma teoria matemática é resultado da interação de um conjunto de postulados (base da teoria) e de uma lógica (regras pelas quais a base pode se expandir transformando-se em um conjunto de teoremas). A lógica matemática teve contribuições desde os antigos gregos com a sistematização de Aristóteles (384-322 a.C.) com a linguagem corrente. Posteriormente tivemos para ser estudada com o caráter científico, foi introduzido a linguagem simbólica, com o intuito de fugir das ambiguidades (EVES, 2011, p. 669). Diversos matemáticos, entre eles, Augustus De Morgan (1806-1871), George Boole (1815-1864), David Hilbert (1862-1943) e Bertrand Russell (1872-1970) forneceram contribuições significantes para a lógica simbólica ou matemática. As noções de lógica matemática quase sempre não são apresentadas na educação básica. E, por conta disto, percebemos que seja necessário apresentar algumas noções. Neste caso, ressaltamos a questão dos quantificadores, tanto universal quanto existencial que tem uma ligação direta com a definição de limite por épsilon e delta.

Existem elementos importantes da lógica que destacamos neste momento, entre eles proposição ou sentença lógica e quantificadores. De acordo Iezzi e Murakami (1993, p. 1), a proposição é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Por exemplo, p: 2≠3; q: 3 é divisor de 7. Neste caso, temos sentença fechada que admitem apenas um valor lógico, verdadeiro ou falso.

Temos também, as sentenças abertas, que segundo Iezzi e Murakami (1993, p. 13), são expressões que contém variáveis e cujo o valor lógico (verdadeiro ou falso) vai depender do valor atribuído à variável. Por exemplo, x + 1 > 4; esta expressão será verdadeira se x > 3 e falso se x < 3. Para tornar uma sentença aberta em uma proposição, podemos utilizar quantificadores e o conjunto universo.

O Conjunto universo é o conjunto dos valores possíveis para a variável em questão, enquanto os quantificadores são símbolos que vindo antes de uma sentença aberta (juntamente com o conjunto universo) podem transforma-las em proposições, ou seja, em uma afirmação verdadeira ou falsa. Temos o quantificador universal, indicado pelo símbolo ∀, que se lê: "qualquer que seja", "para todo", "para cada". Por exemplo, ∀𝑥 ∈ ℕ: 𝑥 + 1 = 4, é uma proposição falsa, enquanto ∀𝑥 ∈ ℕ: 2𝑥 + 1 > 0, é uma proposição verdadeira.

Já o quantificador existencial, indicado pelo símbolo ∃, que se lê: "existe", "existe pelo menos um", "existe um". Por exemplo, ∃𝑥 ∈ ℕ: 𝑥 + 1 = 5, é uma proposição verdadeira, enquanto ∃𝑥 ∈ ℕ: 𝑥 + 1 = 0, é uma proposição falsa.

Também é possível termos uma dupla quantificação, ou seja, uma sentença aberta envolvendo dois quantificadores. Por exemplo, ∀𝑥, ∃𝑦 ∈ ℤ: 𝑥 + 𝑦 = 5, é uma proposição verdadeira, enquanto ∃𝑥, ∀𝑦 ∈ ℤ: 𝑥 + 𝑦 = 5, é uma proposição falsa.

A seguir, descrevemos algumas praxeologias relacionadas as noções de lógica matemática. Tais praxeologias estão diretamente relacionadas ao nosso MPFA proposto no capítulo seguinte.

Quadro 3 -Praxeologia matemática sobre noções de lógica matemática129 O Quadro 4, como o Quadro 1, 2 e 3, servirá para nortear as análises a priori e a posteriori do nosso percurso formativo digital e, dessa forma, contribuir para a validação dos dados produzidos.

Noções de limites

Buscamos, através de uma situação contextualizada, introduzir a noção de limite, em língua natural, de forma intuitiva e sem revelar inicialmente a intenção didática do objeto limite.

Baseamos-nos nas ideias de velocidade média em um dado intervalo de tempo e, em seguida, diminuindo cada vez mais esse intervalo, já que a velocidade média se trata de taxa de variação e, posteriormente, chegamos às ideias de taxa de variação instantânea, que apresenta a ideia de velocidade instantânea. Diante disso, com as ideias apresentadas nos aspectos históricos e epistemológicos (seção 3.1) baseado nas ideias de Cauchy e Weierstrass, chegamos à notação por épsilon e delta.

Ao expor aos estudantes as noções da matemática básica e, posteriormente, as noções de limites, pretendemos minimizar os obstáculos relativos aos conceitos envolvidos nas noções de limites de funções reais em um ponto, pois, segundo Doumbia (2020, p. 57), com um certo número de "passagens obrigatórias" comuns e com situações adequadas é possível enfrentar tais obstáculos.

A seguir, apresentamos algumas praxeologias matemáticas, relacionadas às noções de limites e que têm como base as ideias desenvolvidas anteriormente. O Quadro 5, como os Quadros de 1 a 4, servirá para nortear as análises a priori e a posteriori do nosso percurso formativo digital e, dessa forma, contribuir para a validação dos dados produzidos.

Organização Didática para o estudo de limite de funções

Q9.1: Como a regulação e o feedback poderão contribuir no trabalho com a noção de limite de acordo com as praxeologias construídas pelos estudantes? Agora, na nossa organização didática, explicitamos a relação entre a Teoria Antropológica do Didático (TAD), mais especificamente os momentos didáticos (seção 2.1.8), a incompletude do trabalho institucional (seção 2.1.7) e a avaliação formativa (seção 2.2) apresentando como está exposta no nosso modelo de referência.

Existe uma discussão na TAD sobre avaliação, porém sem tantos aprofundamentos [START_REF] Chevallard | Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques: L'approche anthropologique[END_REF]2004;2010). Por conta disso, propomos construtos teóricos, aumentando essa discussão e potencializando esse elemento tão importante do processo de construção do conhecimento. Para tanto, nos baseamos na incompletude da atividade institucional (FARIAS, 2018, p. 3), visto que existe um fenômeno didático em evidência no modelo vigente relacionado com a naturalidade por parte de alguns professores (de Matemática) em automatizar o processo de avaliação no que se refere à atribuição apenas de certo ou errado nas tarefas devolutivas dos estudantes, necessitando da execução dos elementos da avaliação formativa (feedback e autorregulação do processo de ensino e aprendizagem).

Consideramos que avaliar é uma atividade especificamente humana que pode estar relacionada a qualquer objeto, bem como ser realizada por qualquer pessoa e se concretiza em uma instituição qualquer. Nesse sentido, podemos considerar a descrição, em termos praxeológicos, do ato de avaliar. E, para isso, apresentamos a avaliação na TAD como a praxeologia da avaliação, termo apresentado por Chevallard (2004, p. 5). Nosso foco é, dentro da praxeologia didática e atrelada à praxeologia matemática, descrever a praxeologia da avaliação como a análise das diferentes estratégias emitidas pelos estudantes para alcançar as técnicas esperadas pela instituição. Porém, é possível emergir técnicas não esperadas ou fora de alcance, até mesmo inadequada, para o tipo de tarefa e, consequentemente, tecnologia e teoria incoerentes com a técnica utilizada. Ao nosso olhar, o estudante, ao produzir uma resposta mesmo que não esperada, se esforça para chegar a uma resposta institucionalizada. Tais respostas devem ser analisadas com atenção, procurando, caso necessário, fornecer uma intervenção (feedback) adequada para que o estudante possa avançar (regulação do processo de ensino e aprendizagem) e adquirir sua autonomia referente ao aprendizado de um objeto φ ou uma questão Q, ou seja, depende do objeto matemático estudado.

Nesse caso específico, é possível pensar em termos praxeológicos o ato de avaliar (como atividade humana) do professor em relação a uma organização matemática (OMφ) em: tipos de tarefas (T) para o professor avaliar uma atividade matemática em relação a uma questão Q (corrigir uma tarefa, analisar as respostas dos estudantes, verificar como foi o encontro do estudante com o enunciado do problema, analisar a resposta construída pelo estudante,...); técnicas (τ) para realizar o tipo de tarefa (T), avaliar (observar as discussões das equipes, coletar as informações, registrar as principais discussões, examinar e classificar as respostas, discutir pontos de vista distintos, verificar os tipos de respostas, apresentar um feedback adequado para o estudante,...); tecnologia (θ) que vem justificar as técnicas de um tipo de avaliação (feedback, regulação retroativa, interativa, proativa e autorregulação da aprendizagem,...); e a teoria (Θ) que vem justificar tal tecnologia (Avaliação Formativa).

Para realizar a praxeologia da avaliação é necessário verificar qual a relação que o estudante (pessoa) x cria com o objeto φ, ou seja, R (x, φ)  . Entretanto, essa relação de x com o objeto φ, não deve ser uma relação qualquer, pois existe uma intenção do professor (y) ao estabelecer um sistema didático  = S (x, y, φ). E, com isso, podemos dizer que existe uma praxeologia esperada (institucional), ou seja, uma relação do estudante com o objeto φ, esperada pela instituição I, isto é, RI (x, φ).

De acordo Grugeon-Allys e Pilet (2020, p. 141), cada estudante está sujeito às instituições em que aprende ou aprendeu, bem como aos conhecimentos relativos a essas instituições. Dessa forma, ainda segundo as autoras, a relação pessoal de um estudante com um determinado conhecimento, em uma dada instituição, é construída através do processo conhecido como 'transposição didática', este depende de programas escolares que definem a relação institucional com conhecimento ensinado.

Ao perceber que existe uma praxeologia esperada pela instituição I, analisamos as produções dos estudantes, de modo que nos aproximemos do que I tem instituído como o saber a ser ensinado e, posteriormente, o saber aprendido (processo transposição didática (CHEVALLARD, 1991). Diante disso, através da produção dos estudantes, é possível nos deparar com praxeologias não esperadas na instituição, em comparação com as análises a priori realizadas, por exemplo, pelo professor. Para que isso aconteça, a praxeologia da avaliação deve estar entrelaçada nos momentos didáticos (sendo capaz de potencializá-los).

Como apresentamos na seção 2.1.8, os momentos didáticos são divididos em seis partes, podendo se repetir e, não necessariamente, acontecer de forma ordenada (linear ou cronológica). São eles: o encontro do estudante com a organização matemática; a exploração do tipo de tarefa e elaboração da técnica (); a constituição do ambiente tecnológico-teórico [,]; o trabalho da técnica; a institucionalização (a organização matemática é definida); e a avaliação (das relações pessoais e institucionais).

O intuito é buscar a autonomia do estudante diante do trabalho com as praxeologias não institucionais (errôneas131 , imprecisas, incompletas e incoerentes) comparando-as com as praxeologias institucionais estabelecidas, ou seja, esperadas pela instituição. Para isso, de acordo Chevallard (2011, p. 159), a estrutura praxeológica da resposta funciona como um guia de estudo, porque todo estudo deve conter certos "momentos" dedicados a funções didáticas específicas.

Dessa forma, para esclarecer nossas ideias sobre os momentos didáticos, trazemos Chevallard (1998, p. 112) que apresenta o momento da avaliação. Esta se articula no momento da institucionalização (um dos seis momentos didáticos) examinando o que foi aprendido, possibilitando uma reflexão desde os primeiros esboços do encontro com a organização matemática. Na nossa análise, o momento da avaliação pode ser híbrido, tanto interna (contínua ou formativa) e como externa (institucional ou somativa). Nesse sentido, no contexto da Avaliação Formativa (AF)132 , o momento da avaliação (interna) permeia todo o processo de estudo potencializando e enrobustecendo os demais momentos, explorando a relação do estudante com o objeto em estudo.

Nesse cenário, pensando nos níveis de codeterminação (seção 2.1.4), a avaliação atua no nível macro (sociedade), como o Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE133 ), no âmbito da escola (universidade) ou da disciplina (Cálculo Diferencial e Integral I), e essas avaliações são do tipo somativa, pois normalmente têm caráter de classificar os estudantes dentro de um contexto. Enquanto no nível micro, do domínio até o assunto ou tópico, é possível termos um olhar para o caráter formativo da avaliação, trabalhando mais próximo das produções e dificuldades dos estudantes.

Por exemplo, pensemos na seguinte situação para verificar os efeitos dos elementos da AF numa OMφ: o professor, ao propor uma questão Q, pode usufruir de ferramentas da Avaliação Formativa como regulação e feedback, e observar desde os primeiros esboços do encontro a com a organização matemática explicitando a bagagem praxeológica do estudante desenvolvida em cada um dos momentos didáticos, se esta é adequada para avançar e construir a sua relação com a tarefa proposta. Nesse caso, o professor não é obrigado a ter em mãos o bloco tecnológico-teórico para, então, começar a avaliar o processo.

De acordo Britto (2019, p. 46), o professor, a partir da AF, pode acessar o Equipamento Praxeológico134 (EP) do estudante por meio das técnicas explicitadas na resolução das tarefas. E, a AF se apresenta na regulação e aprimoramento do processo de estudo, possibilitando a reconstrução da Organização Didática Matemática (ODM), explicitado pela comunicação por parte dos estudantes e pelo feedback por parte dos professores (BRITTO, 2019, p. 47).

Assim, podemos pensar nos momentos didáticos como interdependentes, e o momento da avaliação como um elemento primordial para que os demais ocorram. Ressaltando que, a avaliação pode ser considerada aqui como interna135 (a formativa), promovida entre os auxiliares do estudo (professor, colega da classe,...) e externa (a institucional), promovida pela instituição escolar normalmente de forma somativa136 . Desse modo, como já mencionamos, consideramos o momento da avaliação como híbrido, levando-se em conta tanto a parte interna como externa.

Coadunando com [START_REF] Britto | Os momentos didáticos e a avaliação formativa. 2019. 139 f. Tese[END_REF], tudo que ensinamos ou aprendemos se dá por meio de praxeologias, com isso, o autor considera: [...] a avaliação formativa como fio condutor das Organizações Didáticos-Matemáticas (ODM) construídas e reconstruídas a partir dos elementos praxeológicos [T / ô /  / ] tarefa; técnica; tecnologia e teoria, respectivamente, a fim de atingir o que foi elencado pelo professor ao construir sua ODM como práticas que o aluno (hipotético) precisa ter com determinado objeto (no nosso caso matemático). (BRITTO, 2019, pp. 42-43).

Por conseguinte, somando a esse entendimento da avaliação formativa como fio condutor das ODM, o momento da avaliação das relações pessoais e institucionais é essencial durante todos os momentos didáticos, uma vez que o estudante, por exemplo, pode não compreender o enunciado no momento do encontro com a organização matemática proposta. O estudante poderá, ainda, apresentar dificuldades para avançar numa determinada técnica relacionada ao momento da exploração da tarefa ou na elaboração das técnicas. Logo, uma intervenção adequada (com feedback pertinente) do professor pode ajudá-lo a prosseguir com a autorregulação do processo para que o estudante consiga progredir no seu objetivo. Além de que, de acordo Chevallard, Bosch e Gascón (1997, p. 284), os estudantes podem ter dificuldades em superar o obstáculo vinculado à passagem do encontro com a organização matemática para o momento exploratório.

No momento do estudo da constituição do ambiente tecnológico-teórico, o estudante pode não conseguir justificar as técnicas utilizadas, precisando de alguns feedbacks do professor, ou mesmo dos próprios colegas para fazer sua autorregulação, para prosseguir com o aprendizado. No momento do trabalho da técnica em diferentes tarefas é possível que o estudante, não compreenda algumas dessas tarefas, tanto no que se refere ao enunciando ou mesmo no emprego da técnica. No momento da institucionalização, ao verificar todo o processo, desde os esboços das técnicas como as justificativas destas, pode ser necessária alguma intervenção por parte do professor. E, no momento da avaliação (externa ou somativa), é possível considerar decisões que possam contribuir para o avanço do estudante, como rever algumas das justificativas não esperadas na instituição. Assim, como os demais momentos, o momento da avaliação, segundo Chevallard, Bosch e Gascón (1997, p. 273), não aparece apenas uma única vez, mas aparece diversas vezes no percurso do estudo.

De acordo Grugeon-Allys e Pilet (2020, p. 153), as estratégias regulatórias de aprendizagem consistem em oferecer aos alunos a oportunidade de encontrar situações em que os elementos tecnológicos, mobilizados pelos estudantes, são insuficientes ou usados fora de sua área de validade. Assim, com o movimento da avaliação formativa é possível proporcionar intervenções apropriadas no momento do trabalho da técnica, aprimorando-a, tornando-a mais eficiente e confiável.

Com isso, integrando os elementos da avaliação formativa durante os momentos precedentes com o momento da institucionalização, o estudante poderá ter mais êxito, já que superou todas as dificuldades dos momentos anteriores, especificando a OMφ desenvolvida e explicitando, dessa forma, os elementos que contribuíram para a sua construção. Isso auxilia, de certa maneira, a formalizar ou generalizar os resultados encontrados para posterior Na Figura 107 temos um conjunto de engrenagens que, metaforicamente, representam o processo da avaliação (interna) proporcionando uma integração entre os momentos didáticos, possibilitando atravessar (se movimentar) de um momento para outro, de modo que o estudante consiga prosseguir com a Organização Matemática (OMφ) fornecida através do sistema didático proposto. Vale ressaltar que, de acordo Chevallard, Bosch e Gascón (1997, p. 275), não existem momentos "nobres" e momentos "menos nobres", isto é, um mais importante que o outro, assim como não há momentos "mais matemáticos" e momentos "mais didáticos", pois todos são importantes no percurso da aprendizagem.

Uma observação: a Figura 107 é uma "fotografia" do momento didático (é um filme, isto é, um processo dinâmico). Nesse caso, a depender do momento que se realizou esta fotografia, podemos estar dando ênfase (por exemplo, um tempo maior) em um momento mais do que outro, ou um momento pode estar sendo mais recorrente do que outro. Por isso, que as engrenagens possuem tamanhos distintos. Todos os momentos apresentados nas engrenagens são dinâmicos com diversos fatores que interferem diretamente ou indiretamente durante todo o processo.

A falta de observação, por parte dos professores, em relação às dificuldades didáticas e matemáticas para avançar a cada momento, em relação aos estudantes, se pode atribuir a diversos fatores, como menciona Chevallard, Bosch e Gascón (1997, pp. 283-284):

[...] muitos alunos, depois de tomar um primeiro contato com um determinado tipo de problemas, não conseguem realizar com eles a atividade exploratória que uma cláusula do contrato lhes atribui: os alunos "não pensam" os problemas que o professor lhes propõe. Esse fato também pode ser interpretado ao se dizer que os alunos têm dificuldades em superar o obstáculo vinculado à passagem do momento do primeiro encontro para o momento exploratório, visto que estes são encenados nos dispositivos didáticos atuais. Diante desses fatos, a instituição escolar geralmente responde ignorando a natureza didática do problema (ignorando o processo de estudo) e apelando para fatores psicopedagógicos como o fato de o aluno não querer ou não poder assumir suas responsabilidades (seja por "preguiça", "falta de interesse", "falta de motivação", "preparação inadequada", "falta de habilidade", etc.) ou que os "métodos de ensino" do professor não facilitem ao aluno realizar a atividade matemática em questão. (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, pp. 283-284, tradução nossa). 137 Como já mencionamos na seção 2.2, segundo Perrenoud (1999, p. 13), "a avaliação não é um fim em si. É uma engrenagem do funcionamento didático", no sentido que orienta o trabalho a serviço da aprendizagem. Em outras palavras, a avaliação tem uma forte ligação com os demais elementos do sistema didático e ocorre em todo o processo. Dessa forma, não há como considerar a avaliação apenas de forma estanque.

A avaliação das praxeologias matemáticas das respostas dos estudantes normalmente é apresentada, como observado no modelo vigente, com certa naturalidade pelos professores, apenas com uma correção simplista, ou seja, limitando-se a sinalizar como certo ou errado as técnicas, automatizando o processo tão importante que é avaliar as praxeologias construídas 137 "[…] muchos alumnos, después de tomar un primer contacto con un determinado tipo de problemas, no llegan a realizar con ellos la actividad exploratoria que les asigna una cláusula del contrato: los alumnos "no piensan" los problemas que el profesor les propone. Este hecho también puede interpretarse diciendo que los alumnos presentan dificultades para superar el obstáculo ligado al paso del momento del primer encuentro al momento exploratorio, tal como éstos se escenifican en los dispositivos didácticos actuales. Ante estos hechos, la institución escolar responde generalmente ignorando la naturaleza didáctica del problema (ignorando el proceso de estudio) y apelando a factores psicopedagógicos tales como el hecho de que el alumno no quiere o no puede hacerse cargo de sus responsabilidades (ya sea por "desidia", "falta de interés", "falta de motivación", "preparación inadecuada", "falta de capacidad", etc.) o bien que los "métodos de enseñanza" del profesor no facilitan que el alumno lleve a cabo la actividad matemática en cuestión." (CHEVALLARD; BOSCH; GASCON,. pelos estudantes. Assim, comumente, de acordo o contexto estudado, o professor avança nos momentos didáticos sem um olhar atento aos esforços dos estudantes em produzir tais técnicas, ao mesmo tempo em que o professor pode associar o estudo de elementos tecnológico-teóricos, permitindo e possibilitando a interpretação de um erro do estudante como configuração da implementação de uma tecnologia incompleta ou inadequada nesse nível escolar. Para Chevallard (2004, p. 6):

Da perspectiva praxeológica, o que acontece com o tema do erro? O que então nós nomeamos, voltaremos ao seu significado original: vamos olhar para o erro primeiro como um sintoma do esforço para criar uma técnica (ou a tecnologia que deve acompanhá-lo), mas de um esforço que, até agora, não teve sucesso, caminho errante que, até agora, leva a lugar nenhum. O que fazer com o erro, sobre errar? Nós devemos suspender seu julgamento, e voltar ao trabalho de observação, análise, desenvolvimento! Como parte do projeto onde as "obras" dos alunos são escritas, se perguntar como a tentativa de negócios inacabados poderia ter terminado (o que muitas vezes exigirá que se pergunte o porquê não conseguiu, em que ele tropeçou). (CHEVALLARD, 2004, p. 6, tradução nossa). 138 Nesse sentido, toda produção do estudante é um potencial conjunto dos seus esforços, a fim de criar uma relação com o objeto φ. A análise do conjunto de técnicas produzidas pelos estudantes possibilita ao professor compreender os obstáculos evocados por esses no intuito de chegar à resposta esperada institucionalmente. Além disso, como ressalva do autor, é importante suspender o julgamento, e procurar verificar o que não está bem para realizar a intervenção necessária a fim de que o estudante consiga avançar. Percebemos, nesse processo, que existe uma naturalização da forma de avaliar persistindo, como já mencionado, em uma análise limitada a respostas corretas e incorretas, sem se buscar compreender as causas de tais erros apresentados pelos estudantes. Nesse caso, a atividade matemática fica incompleta, pois necessita de feedback e regulação no processo de ensino e aprendizagem de forma pontual e contínua para que, ao final, consigamos uma institucionalização de forma exitosa.

De acordo Chevallard e Feldmann (1986, p. 66), citado por Sayac (2017, p. 61), "a análise da avaliação não pode ter êxito a menos que seja, antes de tudo, uma análise didática da avaliação, ou seja, uma análise das funções didáticas da avaliação" (tradução nossa) 139 . Nesse 138 "Dans la perspective praxéologique précédente, que devient le thème de l'erreur? Ce que l'on nomme ainsi va retrouver son sens premier: on regardera l'erreur d'abord comme um symptôme de l'effort pour créer une technique (ou la technologie qui doit l'accompagner), mais d'un effort qui, jusqu'ici, n'a pas abouti, chemin d'errance qui n'a, jusqu'à présent, conduit nulle part. Que faire de l'erreur, de l'errance? Il faut là suspendre son jugement, et revenir au labeur d'observation, d'analyse, de développement ! Dans le cadre du projet collectif où s'inscrivent les "oeuvres" des élèves, on se demandera ainsi comment la tentative inaboutie aurait pu aboutir (ce qui exigera souvent de se demander pourquoi elle n'a pas abouti, sur quoi elle a buté).". 139 "L'analyse de l'évaluation ne peut aboutir si elle n'est pas d'abord une analyse didactique de l'évaluation, c'est-à-dire une analyse des fonctions didactiques de l'évaluation.". sentido, os elementos da avaliação formativa podem ajudar a modificar o meio entre o professor e o estudante, ou entre os estudantes, ou mesmo a própria relação do estudante frente ao saber, pois o feedback, a regulaçãoelementos que acarretam uma mudança na mesogênese e topogêneserelacionam-se, respectivamente, ao meio e ao lugar que ocupa cada agente do aprendizado (professor e estudante).

Destacando alguns elementos da praxeologia do ato de avaliar, que ao nosso ver possibilita uma análise nas praxeologias dos estudantes. Podemos classificar da seguinte maneira: Praxeologias institucionais, ou seja, aquelas que de acordo a análise a priori do professor e de acordo a sua epistemologia é aguardada pela instituição (escola, universidade, série, semestre do curso, ...). Nesta praxeologia, temos as técnicas (também as tecnologias e as teorias) institucionais, aquelas que é pertinente para o tipo de tarefa proposto.

Quando o estudante responde de forma distinta do esperado, temos as Praxeologias não institucionais, que são todas que não estão previstas na análise a priori pela instituição. Podendo ser classificada como técnicas incompletas, ou seja, aquelas que foram interrompidas (por algum motivo) e não chegaram a resposta esperada pela instituição. Podemos ter também as técnicas imprecisa, aquelas que não demonstra uma clareza sobre a técnica apresentada, ou mesmo, uma técnica que atende, mas com discurso confuso que tenta justifica-la.

Também propomos apresentar as técnicas inadequadas (incoerentes ou equivocadas), neste caso, utilizando argumentos inválidos para resolução do tipo de tarefa. Nesse contexto também, podemos ter as técnicas fora de alcance (mas não proibida), é uma técnica válida (mas não para o tipo de tarefa proposta), ou seja, fora do alcance para o tipo de problema. Grugeon-Allys e Pilet (2020, p. 150) apresenta as tecnologias errôneas relacionadas as técnicas incorretas e considerando o erro como objeto de estudo enquanto tal dentro da TAD. E, por último, mas não menos importante, as teorias inexistentes, relacionada a ausência de teoria na descrição da técnica e tecnologia. Ou as teorias inconsistentes, ou seja, uma teoria inadequada para o tipo de tarefa estudado.

Deste modo, coadunando com Grugeon-Allys e Pilet (2020, p. 150), esta avaliação, válida do ponto de vista da abrangência e representatividade das tarefas, propõe um olhar mais detalhado das respostas dos estudantes a todos os tipos de tarefas praxeológicas matemática em uma determinada tarefa referente a um determinado objeto.

Tudo isto, tem um propósito específico que é autonomia do estudante através do desaparecimento do sistema didático ao final da relação esperada entre o estudante e o objeto do saber (podendo ser estabelecidos outros sistemas, sem a orientação do professor, por exemplo). Essas ideias coadunam com Bessot (2015, p. 4), onde o sistema didático tem uma característica particular, a de ter a finalidade de desaparecer: se o professor tiver sucesso em sua missão, ele deve ser capaz de se retirar, e o aluno deve ser capaz de manter sua relação com o saber fora de sua presença, como apresentado na Figura 108. Articular elementos da Avaliação Formativa com construtos teóricos da TAD faz-se necessário para que o sistema didático  = S (x, y, φ) formado possa ser finalizado e desfeito com êxito, chegando à liberdade ou emancipação didática do estudante. Assim, esta lacuna nas praxeologias didáticas desenvolvidas no ensino de Cálculo, e, especificamente, das noções de limite no que se refere à praxeologia da avaliação, sinaliza para a existência de uma incompletude do trabalho institucional.

Articularemos os elementos apresentados e discutidos aqui, no nosso modelo praxeológico formativo alternativo no Capítulo 5. Pois, na nossa visão, contribui para um olhar mais detalhado nas produções dos estudantes. Sem dúvida, reconhecer a incompletude na praxeologia didática é importante para podermos aprofundar a análise de cada um dos elementos da organização praxeológica e, buscar nas praxeologias dos estudantes traços de técnicas corretas ou incorretas.

Enfim, ainda que aproximando do conceito de incompletude da atividade institucional de avaliar, esta se revela pela dissociação dos momentos de trabalho da técnica (de avaliar) e do que justifica tais técnicas. Assim, podemos dizer que há uma incompletude no que tange as praxeologias de avaliação e que ensejamos mitigar isso. Não no sentido de completar, mas trazer respostas e reflexões as lacunas do processo de avaliação.

Síntese da resposta R9.1 ◊ referente a questão Q9.1: 'Como a regulação e o feedback poderão contribuir no trabalho com a noção de limite de acordo com as praxeologias construídas pelos estudantes?'. Em resumo, ao que foi apresentado aqui, de acordo com os elementos da avaliação formativa é possível articular juntamente com os momentos didáticos identificando as praxeologias construídas pelos estudantes, para auxilia-los a chegarem a relação institucional estabelecida inicialmente com o saber matemático. As vantagens de utilizar uma plataforma digital é que mesmo de forma síncrona ou assíncrona é possível a interação com os estudantes de diferentes lugares e não se limitando as distâncias geográfica ou ao tempo da sala de aula, relacionado a cronogênese. Possibilitando desta forma outras interações entre os próprios estudantes e do professor com os estudantes que podem ser de forma híbrida (presencial e on-line) ou totalmente on-line. As desvantagens se referem-se, como já mencionamos anteriormente, a falta de acesso por parte de alguns estudantes às tecnologias digitais, seja a internet ou mesmo aos equipamentos que ajudam a ter este acesso como smartphones ou laptops.

O Percurso Formativo

Síntese da resposta R9.2 ◊ referente a questão Q9.2: 'De que forma um dispositivo digital possibilita a interação com os estudantes durante o sistema didático instaurado?'. Como mencionamos, os recursos que as plataformas digitais disponibilizam e que a cada dia está sendo aperfeiçoada, contribuem para a interação dos objetos matemáticos com os estudantes e além disto a comunicação entre o professor, estudante e o saber através dos sistemas didáticos instaurados o que é possível acompanhar a construção dos estudantes neste processo.

A síntese da resposta R9 ◊ referente a questão Q9: 'Como poderia ser uma organização matemática para o trabalho com as noções de limites?'. Nesse caso, de forma resumida, pensamos na construção de uma sequência que envolvesse desde as noções básicas sobre números reais até as noções de limites, considerando as praxeologias dos estudantes, isto é, suas produções, destacando seus possíveis 'erros', ou seja, seus esforços para produzir uma técnica.

Também levamos em conta a contribuição dos elementos da avaliação formativao feedback e a regulação do processo do ensino e aprendizagempara auxiliar na autonomia do estudante na construção das noções de limites, procurando articular tanto a noção intuitiva como a definição formal em termos de épsilon e delta.

CAPÍTULO 5

Neste momento, iremos realizar a experimentação através da Engenharia Didática e de acordo com o modelo praxeológico formativo alternativo desenvolvido, realizando ao final algumas considerações sobre o mesmo.

MODELO PRAXEOLÓGICO FORMATIVO ALTERNATIVO

Neste momento, vamos construir o Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), explicitando as condições e restrições emergidas no MPD e MPR, e materializandose em um dispositivo didático. Esse modelo é considerado alternativo, visto que é uma forma de introduzir a noção de limite. E, neste caso procuramos apresentar atividades iniciais como base para a construção da noção de limite, e uma sequência que procura realizar um link da noção intuitiva com a definição (formal por épsilon e delta) de limite, além disto, com pressupostos da praxeologia da avaliação (como discutimos na seção 2.2). Ao nosso olhar, a forma como tal saber é presente nas instituições de ensino, normalmente é estudado sem levar em considerações tais pressupostos.

De acordo Bosch e Gascón (2010, p. 61) a didática da matemática deve elaborar seus próprios modelos didáticos de referência (MDR) que podem ser considerados como uma ampliação dos citados modelos epistemológicos de referência (MER) e praxeológico de referência (MPR). Neste, nosso relatório de pesquisa consideramos o MDR como o MPFA. De acordo Josep Gascón, definido, o MDR deve estabelecer uma relação profunda entre as características do processo (OD) e o produto (OM) da atividade matemática institucionalizada (GASCÓN, 2011, p. 217). Tal modelo deve servir para questionar, analisar e avaliar (em vez de aceitar sem críticas) os modelos evidenciados nestas instituições investigadas. É importante salientar as restrições institucionais quando trabalhamos com o ambiente virtual. Normalmente na universidade não possui a quantidade de equipamentos como computador com acesso a internet disponível para todos estudantes, visto que, existem alguns laboratórios de informática para ser utilizado em diversas disciplinas em diferentes cursos (uma demanda considerável). Como, no nosso caso estamos propondo um ambiente com atividades assíncronas e podem ser acessadas tanto dos smartphones como de computadores, é possível que a maioria dos estudantes tenham acesso, sabendo que devido a suspensão das aulas presenciais (devido a pandemia provocada pelo coronavírus covid-19), os estudantes devem acompanhar as aulas de forma remota.

Como estamos com o foco na sala de aula com o nosso objeto de estudo, iremos a partir daqui procurar responder à pergunta: Q10: Quais as possíveis potencialidades e limitações de um dispositivo didático (capaz de promover regulação e o feedback) durante um trabalho com estudantes na construção da noção de limite?

Engenharia Didática para o desenvolvimento do MPFA

Com o intuito de atingir o objetivo, responder às questões propostas, construímos uma sequência didática sistematizadas pelos princípios metodológicos de uma Engenharia Didática, que nos colaborou na elaboração e aplicação dos instrumentos de intervenção e na produção dos dados.

Caracterização da Pesquisa

Esta investigação teve início com os estudantes a partir da submissão do projeto inicial ao Conselho de Ética na Pesquisa (CEP) da Universidade Federal da Bahia (UFBA), seguido pelos ajustes que foram solicitados pelo comitê de Ética da Escola de Enfermagem -UFBA por se trabalhar com seres humanos (no nosso contexto, os estudantes da Graduação). O parecer final do CEP (número 3.222.293, de 26 março de 2019) foi favorável à pesquisa e esta foi aprovada.

Também, tivemos a prudência de estar atentos a Lei Geral de Proteção de Dados Pessoais (LGPD), Lei nº 13709/2018, que entrou em vigor em 18 de setembro de 2020. Pois, como se trata de atividade de coleta e armazenamento de dados, procuramos as orientações da UFBA142 (onde está situado o nosso programa de pós-graduação). Desta forma, fizemos a exposição de forma anonimizado, não identificando o pesquisado e, pseudonimizado, depois do tratamento da informação, perde a possibilidade de associar de forma direta ou indireta um indivíduo garantindo desta forma a privacidade dos pesquisados.

O curso que estamos investigando é o de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas (UFRB). Este é um curso de três anos de duração inicial, após conclusão, o estudante pode escolher uma terminalidade, ou seja, um curso de Graduação em Matemática, Neste momento, partimos então, para a elaboração dos instrumentos de produção dos dados para nossa experimentação, observando nossos objetivos e hipóteses. Reiterando, como enunciamos na parte de aspectos teóricos e metodológicos, elaboramos um conjunto de tarefas, segundo os princípios da Engenharia Didática [START_REF] Artigue | Ingeniería didáctica en educación matemática: Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas[END_REF], e descreveremos a seguir o que foi realizado em cada fase.

Ademais, esse MPFA foi estruturado para integrar os momentos de estudos (organização didática), destacando o momento da avaliação da organização matemática, de forma que existe uma inter-relação entre o momento da avaliação com os demais momentos através do feedback e regulação da aprendizagem.

As fases da engenharia didática podem ser sintetizadas destacando os aspectos mais importantes na figura a seguir: Figura 109 -Síntese das fases da Engenharia Didática Fonte: Garcia (2019, p. 82) Consideramos os elementos da Figura 109, e no nosso entendimento, as análises preliminares foram desenvolvidas desde a construção do MPD e MPR, através das dimensões epistemológicas, ecológicas e econômicas. Na análise a priori, a partir da fase anterior construímos nossas tarefas, procurando atender as nossas hipóteses, de modo que a organização didática e matemática estivessem em consonância com os nossos objetivos. Na fase seguinte, a experimentação, não consideramos "coleta de dados", e sim a produção dos dados, visto que os dados não estão prontos para serem coletados, mas devem serem construídos. E por último e não menos importante a análise a posteriori que retomando nossas hipóteses ajudará na refutação ou constatação das mesmas.

Análises preliminares

Nessa fase é apresentada o levantamento das concepções envolvidas, que buscam referências teóricas que fundamentem a pesquisa para a elaboração da sequência didática que, de acordo Bittar (2017, p. 102), é importante buscar pesquisas correlatas, relacionadas ao objeto de estudo (no nosso caso Limite de funções), que abordem obstáculos dos estudantes relativos ao tema em estudo visando compreender, inclusive, as origens destes obstáculos que podem estar no desenvolvimento epistemológico do conteúdo. Desta forma, Bittar (2017, p. 102) ainda salienta que a análise preliminar poderá nos permitir a elaboração de hipóteses cognitivas e didáticas que fundamentarão a construção da sequência didática. Dessa maneira, de propriedade dessas informações, é possível elaborar a sequência didática acompanhada da análise a priori, descrevendo, analisando e discutindo as possíveis praxeologias (conjunto de tarefas e estratégias de resoluçãotécnicase suas justificativastecnologias).

Nesta fase, fizemos uma visita as obras como por exemplo, trabalhos relacionados tanto em relação aos aspectos históricos epistemológicos do saber (seção 3.1) e referente epistemologia dos professores e pesquisadores em relação as noções de limites (seção 3.2, seção 3.3.4), quanto a elementos da avaliação formativa como elemento da organização didática (seção 2.2). Além disto, foram realizadas uma análise institucional, seção 3.3.1 (documentos oficiais, ...) e de elementos institucionais, seção 3.3.2 (livros didáticos, ...) a fim de compreender como vive o objeto pesquisado e identificar possíveis obstáculos tanto epistemológicos como didáticos.

Análise a priori

Nessa etapa (baseada na fase anterior) levantamos certo número de variáreis do sistema de ensino que supostamente interferem no fenômeno estudado e construímos as atividades de intervenção que constituirão nosso dispositivo didático que denominaremos de Percurso Formativo Digital (PFD). Em termos gerais, percurso por se tratar de uma trajetória formada por uma sequência didática, formativo devido aos pressupostos da avaliação formativa (feedback e regulação) e digital pelo fato de estar inserido na Tecnologia da Digitais da Informação e Comunicação (internet) através dos ambientes virtuais de aprendizagens.

De acordo com Artigue (1995, p. 42), nessa fase, da análise a priori, faz-se necessário considerar um determinado número de variáveis do sistema didático verificando as variáveis não fixas por restrições. Denominada de variáveis de comando que são pertinentes ao nosso problema. Desta forma, descreveremos nossas ideias sobre a sequência e em seguida explicitaremos tais variáveis.

A TAD define a didática como a ciência das condições e restrições da difusão social das praxeologias, sendo no caso da Didática da Matemática as praxeologias matemáticas. A análise praxeológica nos permitirá construir o nosso percurso formativo, de modo que os estudantes possam participar de uma situação didática na construção da noção de limite de uma função real em um ponto, com pressupostos na avaliação formativa: o feedback e a regulação da aprendizagem.

Para Chevallard (2017, p. 31), o conceito de sistema didático sempre esteve presente na TAD. Neste momento, nos interessamos em escrever nosso percurso no sistema didático S (X; Y; φ) proposto por Chevallard, em que o símbolo φ designa o que deve ser estudado para ser "aprendido": esta é a questão didática dentro do sistema didático considerado, que no nosso caso é a noção de limite de uma função real em um ponto. A letra X designa o conjunto estudantes x. A letra Y refere-se a todos auxiliares de estudo, que podem ser professores ("de φ") ou outros tipos assistentes. Chevallard (2017, p. 31) ainda afirma que existe uma assimetria entre X e Y, de modo que o conjunto Y pode estar vazio: Y = ∅. Neste caso, se o sistema didático é tido como um sistema de autoaprendizagem, então S (X; ∅; φ). No nosso caso, em particular, pensemos num sistema formativo, onde Y = PFD, que iremos denominar de Percurso Formativo Digital (PFD), preparado e organizado pelo professor, ficando o sistema da seguinte forma S (X; PFD; φ). O PFD tem o propósito de fornecer uma ajuda ao estudante x, para aprender φ. Neste sentido, buscaremos ferramentas digitais, como a plataforma Desmos143 (ambiente virtual para aprendizagem matemática) aliadas à avaliação formativa que poderá, de acordo com certas condições e restrições, proporcionar meios para funcionar o sistema didático formativo digital.

O fato de propor o S (X; PFD; φ), não queremos apresentar uma solução pronta, definitiva e inquestionável, pois esse sistema não é único nem definitivo. O mesmo tem que ser revisto e adaptado a cada vez que colocá-lo para funcionar, de modo que possa atender a diferentes públicos, em diferentes situações.

A proposta é apresentar um percurso formativo (composto por uma sequência de tarefas) em que cada tarefa que compõe este percurso (PFD) seja pensada, a priori, em suas praxeologias.

O fato de apresentar de forma on-line facilita o acesso, visto que, por meio da internet é possível acessar tal percurso de diversos lugares. Assim, o meio que é construído por Y, ou mesmo por y (auxiliares de estudo), será chamado de M. Este meio M, para ser possível acontecer, o PFD deverá apresentar as seguintes características:

• Fornecer um feedback o mais individual144 possível;

• Os estudantes X exercem um papel central, pois atuam de forma ativa no processo de sua própria aprendizagem criando mais confiança;

• Não está preocupado em notas apenas, mas sim no aprendizado de um determinado objeto φ (no nosso caso limite de funções de uma variável real). Dessa forma, desvincula a ideia de reprovação ou aprovação, mas permite que viva a ideia que todos são capazes de aprender do objeto matemático φ;

• Proporciona uma autoavaliação dos estudantes oportunizando mais autonomia nos estudos;

• Seja construído um ambiente digital, que possibilite o estudante através da internet realizar o percurso;

• Autorregulação145 do estudante no processo de aprendizagem viabilizando o avanço e a busca pelo conhecimento.

Tais características apresentadas possibilitam ao professor:

• Uma ideia do percurso individual traçado pelo estudante x, permitindo uma reflexão das compreensões e não compreensões dos estudantes (X);

• Um conjunto, a priori, das praxeologias identificadas nas aulas e nas atividades realizadas durante o semestre;

• Uma regulação do processo de aprendizagem, com discussão de elementos do PFD na sala de aula em momentos posteriores.

O nosso sistema didático formativo digital S (X; PFD; φ), proposto com o meio M poderá ser reescrito da seguinte forma [S (X; PFD; φ) ➦ M], sendo que o meio M é um conjunto formado pelos: R: recursos digitais, T: tipos de tarefas propostas, τc: técnicas esperadas pela instituição, φ: objeto matemático para a aprendizagem, ... , ou seja, M = {R, T, τc, φ,...}. Como também as praxeologias não esperadas na proposta da praxeologia da avaliação.

De acordo com Chevallard (2013, p. 12), a partir da implementação, é possível descrever as condições e restrições, adequando o modelo para cada situação proposta podendo aumentar as possibilidades de realizar o PFD e diminuir as limitações apresentadas pelo M. Esses ajustes são fundamentais para que possa adequá-lo e ajustá-lo em semestres posteriores. Diante disto, construímos uma sequência didática para introdução da noção de limite, em particular, a sua definição por épsilon e delta. E oferecemos também aos estudantes, outras sequências anteriores, a saber: números reais, valor absoluto de um número real, noções de função, noções de lógica matemática. Tais sequências oferecem um embasamento para uma melhor compreensão da construção da noção de limite.

Assim, a fim de estabelecer uma análise criteriosa da sequência didática das atividades propostas, das trajetórias e/ou estratégias possíveis de serem usadas pelos estudantes, faremos uma validação por pares.

Validação por pares

Nessa seção, apresentamos a validação por pares dos instrumentos de intervenção utilizados na experimentação da pesquisa, bem como o processo de construção dos mesmos.

Vale salientar que esta subfase não está prevista na Engenharia Didática, mas a nosso ver, poderá apresentar contribuições e ajustes para a nossa sequência.

Ao construir os instrumentos de intervenção, e prezando pela qualidade da pesquisa, assumimos a responsabilidade de validá-los. De acordo com Pasquali (2009, p. 995), a validação por pares146 é de fundamental importância, pois nos fornece uma garantia maior, se os instrumentos de pesquisa realmente têm potencial de atingir os nossos objetivos, como também se realmente medem o que pretendemos medir, se instruem da forma como planejamos e/ou se avaliam o que pretendemos.

No caso de pesquisas acadêmicas com fins educacionais, o processo de validação (por pares ou turma piloto) de instrumentos de coleta de dados, geralmente nos garante maior confiabilidade no acesso ao traço que queremos investigar e nos fornece maior coerência interna aos procedimentos investigados (AMANTES, COELHO, MARINHO, 2015, p. 659). Assim, de acordo com Raymundo (2009, p. 86), a ausência de validação (por pares) de um questionário, ou mesmo de uma sequência numa pesquisa pode acarretar na sua inadequação por falta de critérios de qualidade levando a más interpretações no momento da análise dos dados gerados por estes.

No nosso caso, realizamos dois processos de validação por pares (profissionais da nossa área de atuação que trabalham com o nosso objeto matemático, normalmente denominado de juízes pela literatura). Para iniciar o processo de validação por pares, elaboramos um questionário de validação e este corresponde a um barema com determinados critérios para que os pares possam avaliar e julgar a nossa atividade investigativa (ver Apêndice D -Barema Validação por Pares). Na tarefa da tela 24, o objetivo é que o estudante utilize os conhecimentos sobre funções modificando os coeficientes de modo que consiga capturar as estrelas. Em relação ao tipo de Tarefa T3.24: Alterar os coeficientes da função afim, de modo que consiga capturar as estrelas;

A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.24: Através do conhecimento sobre função afim y = mx + n, é possível capturar as estrelas apenas modificando o valor do coeficiente n; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função afim; A teoria ():

Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão das características dos coeficientes da função afim.

Na tela 25 é apresentada uma orientação: " Enquanto o último item também é falso, ( )∃𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 2 + 𝑦 2 = -4, pois o quadrado de um número real sempre é não negativo, assim a soma do quadrado de dois números reais nunca será negativa.

A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica são: As noções do conjunto dos números reais e lógica e equações; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma compreensão mais expressiva sobre quantificadores e equações no universo dos números reais.

Por conseguinte, na tela 10, temos uma pergunta para a impressão do estudante sobre a atividade e as críticas e sugestões sobre a Atividade 5. Com isso, buscamos verificar se o estudante expressa suas inquietações referente à atividade proposta.

A seguir, temos a última atividade: Construindo a noção de limite de funções. Essa atividade abarca as noções trabalhadas anteriormente, ou seja, as praxeologias e os ostensivos.

As noções de números com as noções de infinito, a noção de valor absoluto entrelaçado a noção de distância na reta real, funções como uma correspondência entre valores da ordenada com a abscissa no plano cartesiano, como também as alterações realizadas em torno de um ponto no eixo das abscissas influenciam na variação em torno do eixo das ordenadas. E, por último e não menos importante, a noção de lógica envolvendo quantificadores universais e existenciais com a dupla quantificação. Dessa forma, utilizaremos tais saberes na Atividade 6.

Na Atividade 6, intitulada: "Construindo a noção de limite de uma função real em um ponto", baseada nas atividades anteriores, buscamos construir uma situação-problema envolvendo a noção de velocidade média e de velocidade instantânea. então |vm -20| < 0,2, ou seja, para a primeira desigualdade temos -0,1 < t -5 < 0,1, que implica em 5 -0,1 < t < 5 + 0,1, e para a segunda desigualdade, -0,2 < vm -20 < 0,2, consequentemente, 20 -0,2 < vm < 20 + 0,2, como mostrado na figura ao lado (gráfico da Figura 116). Enquanto a distância em torno de 5 s é de 0,1 s, a distância em torno de 20 m/s é 0,2 m/s. E como pode ter percebido no exemplo anterior, existe uma relação entre a distância em torno de 20 e em torno de 5 Com base na tarefa 6, busca-se estabelecer uma precisão maior em relação às ideias levantadas, tornando a definição mais precisa, evitando ambiguidades e imprecisão.

A tarefa 7 tem como objetivo descrever em termos matemáticos a velocidade instantânea e aproximar o estudante das notações matemáticas. Em relação ao tipo de Tarefa T6.7: Descrever, em notações matemáticas, a noção de velocidade instantânea envolvendo o conceito de limite de funções; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 6.7: Descrever, com as notações matemáticas padrão, a definição formal de limite de funções por épsilon e delta; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: Propriedades dos números reais;

A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes estão em fazer a correspondência de forma adequada através dos símbolos comumente utilizados nos livros didáticos de Cálculo I. Algumas dificuldades por parte dos estudantes é perceber que a substituição por outros símbolos não altera o significado da expressão construída, o que é um passo importante para compreender as diversas notações que aparecem nas instituições em que vive esse objeto matemático.

Na tarefa 8 é solicitado que represente de uma forma mais condensada a expressão obtida na tarefa 7. Reescrevendo-a, numa notação de Limite mais geral. Neste caso, utilizando símbolos lógicos (trabalhados na atividade 5). Foi fornecido ao estudante uma ajuda, para relembrar o significado de alguns símbolos, a saber, "para todo" ou "qualquer que seja", sendo representado pelo símbolo "∀"; "existe" ou "existe pelo menos um" ou "para algum", sendo representado pelo símbolo "∃". Também, era possível o estudante revisitar a atividade 5 (noções de lógica matemática). O objetivo da tarefa 8 é que o estudante reescreva a expressão do limite de uma forma mais geral, utilizando símbolos lógicos. Em relação ao tipo de Tarefa T6.8: A partir da expressão construída na tarefa anterior, reescrevê-la com a utilização dos símbolos lógicos; A técnica () esperada a este tipo de tarefa é: 6.8: Utilizar os símbolos lógicos, isto é, no lugar das expressões "para cada número positivo ", tem o mesmo significado de "para todo  positivo" ou "qualquer que seja  positivo", representando pelo símbolo "∀", temos "∀  > 0". Da mesma forma, quando temos a expressão "existe um número  positivo", ou seja, "existe pelo menos um  positivo" ou "para algum  positivo", sendo representado pelo símbolo "∃  > 0"; A tecnologia voltou a realizar a atividade, revendo os exemplos das páginas anteriores e conseguiu apresentar a seguinte resposta: -0,001 < x-5 < 0,001⇒ -0,001+5 < x < 0,001+5 ⇒ 4,999 < x < 5,001.

Nesse caso, respondeu com a técnica institucionalmente esperada, mas não se atentou para representar geometricamente, como solicitado também na tarefa. A estudante e27 resolveu da seguinte forma: Notamos que a explicação do raciocínio da estudante e17 está coerente, porém o resultado final não condiz com o esperado, utilizando-se de uma praxeologia incoerente, pois a justificativa e a técnica empregadas não são compatíveis. Assim, percebemos que seja necessária uma melhor compreensão da tarefa no encontro com a organização matemática e, por conseguinte, explorar de forma adequada a tarefa. Todavia, diante do feedback (ao lado direito na Figura 120) fornecido, a estudante foi capaz de rever sua resposta e refazê-la chegando ao resultado esperado, "4,99999995 < 𝑡 < 5,00000005". Apesar de estarmos interessados no processo de resolução desenvolvido pela estudante, a plataforma Desmos não possibilitava verificar esse processo de resolução, possibilitando apenas ter acesso à resposta final da estudante.

Na tarefa 3 (Atividade 6), a estudante e17 também teve êxito na primeira parte ao completar a tabela, que servia de auxílio para resolver a tarefa logo seguida (Figura 120).

Porém, não conseguiu resolver a segunda parte, que podemos considerar como o encontro com a organização praxeológica. Nesse caso, fornecemos um feedback em foi possível a estudante rever sua escolha, como pode ser observado na Figura 120:

Figura 120 -Tela 3 de parte da Atividade 6 (tarefa 3) da estudante e17 antes do feedback -f2: Apesar da explicação, eu ainda não entendi o que deve ser feito na questão.

-Pp: Você irá resolver a inequação |vm(t) -20| < 0,0000001. E, ao final, encontrar uma aproximação do tempo. Para resolver a inequação, veja outro exemplo: |x -1| < 4, ou seja, -4 < x-1< 4 (utilizando as propriedades de valor absoluto), em seguida, isolando o valor de x, somando com 1 nas desigualdades: -4+1 < x < 4+1, finalmente, -3 < x < 5.

-Pp: Olhe se consegue desenvolver agora. Qualquer dúvida, poste aqui no chat. Também foi fornecido um feedback, como apresentado no lado direito da Figura 135.

A estudante f2 respondeu da seguinte forma (conversa no chat da plataforma Desmos):

-f2: Apesar da explicação, eu ainda não entendi o que deve ser respondido. O estudante f3 também não conseguiu expressar de forma correta na tarefa 6:

-f3: 5 < t -5 < d.

Normalmente, há uma falta de compreensão dos estudantes ao considerar t diferente de 5 na mesma desigualdade envolvendo |t -5|, apenas envolvendo valor absoluto, como é o caso.

Foi fornecido o seguinte feedback:

-Pp: Olá, observe que o módulo de um número A, deve ser sempre positivo ou zero. E, como está considerando t diferente de 5, o módulo de t-5 não pode ser zero, com isso, só pode ser positivo. Olhe esses comentários e reenvie essa tarefa. Fico no aguardo. Sabemos que para haver a avaliação formativa deve haver uma ação mútua do estudante com o professor para que haja a troca de feedbacks e ocorra a autorregulação do processo de aprendizagem e que o estudante se assujeite ao processo de aprendizagem no sistema didático estabelecido, como menciona Chevallard (2018b, p. 32).

Comumente, os retornos às atividades de forma contínua não fazem parte do contrato didático, o professor naturalmente (no nosso contexto) não tem o hábito de realizar feedbacks sucessivos sobre a construção realizada pelos estudantes nas atividades do dia a dia da sala de aula, e nos exames (provas) geralmente informa se acertou ou errou, como abordamos no MPD.

Desse modo, denominamos de naturalidade e automação o processo de ensino e aprendizagem como fenômeno didático na incompletude do trabalho institucional.

Percebemos que houve uma alteração nas funções didáticas pelo fato de inserirmos elementos da praxeologia da avaliação (analisando as praxeologias não esperadas institucionalmente) e do ambiente virtual de aprendizagem, não se limitando ao tempo da sala de aula com momentos assíncronos (cronogênese) e ao espaço geográfico, já que o estudante poderia acessar as atividades de qualquer lugar que tivesse conexão com a internet (mesogênese); também houve o fornecimento de feedbacks e a autorregulação da aprendizagem (topogênese), rompendo assim ao contrato didático estabelecido, possibilitando ao estudante uma interação maior com a sua construção frente às tarefas propostas, sendo importante para a busca da sua autonomia.

Algumas considerações acerca do percurso formativo digital

Primeiramente, argumentamos que a elaboração de uma sequência didática e o uso da Engenharia Didática como propostas metodológicas foram importantes e poderão ser adaptadas no contexto presencial ou semipresencial, pois a flexibilidade quanto às atividades, sua elaboração e revisão são características da Engenharia Didática que facilita o trabalho do pesquisador diante de fatores intervenientes.

Em relação às dificuldades ao construir o Percurso Formativo Digital (PFD), ressaltamos que, a princípio, estávamos propondo uma autorregulação por intermédio do feedback automático. Para isso, chegamos a construir no Google Forms uma sequência que fornecia aos estudantes, de acordo a sua escolha, um feedback adequado para que eles pudessem avançar, como também uma opção de ajuda. Porém, percebemos que, mesmo descrevendo os a priori de cada tarefa, era limitada a escolha dos estudantes e não nos dava opções de outras ideias e praxeologias que estes pudessem apresentar. Com isso, optamos por outra plataformaa Desmosem que os feedbacks fossem de forma manual e direcionada a cada ação do estudante. Destacamos algumas limitações que nossa investigação evidenciou em relação às plataformas virtuais adotadas. Tanto na plataforma Desmos (experimentação 1) como na Schoology (experimentação 2), perdeu-se o contato visual nesse processo de comunicação das descobertas dos estudantes, ou seja, o momento que se revela o conhecimento e se cria uma relação do estudante com o saber, como também as falas e as possíveis interações entre os eles ou mesmo do próprio estudante na realização das tarefas. São pontos importantes, visto que todo o processo deve ser considerado para compreender as tomadas de decisão dos discentes.

Um ponto a ser considerado é que a plataforma Desmos, apesar de possibilitar o feedback em relação às respostas apresentadas pelos estudantes, não é possível que eles realizem algum comentário, ou seja, de acordo o feedback fornecido pelo professor (auxiliar de estudo) dizer, por exemplo, que não compreendeu, ou mesmo contra-argumentar, expor uma dúvida, uma vez que os feedbacks são fornecidos a partir das inferências do professor sobre a construção do estudante. Acreditamos que, como é uma plataforma nova, é possível haver modificações futuras com aprimoramentos capazes de fornecer uma comunicação mais eficaz, fornecendo, por exemplo, um chat mais adequado para interação. Em contato com a equipe Desmos, informaram que estudam a possibilidade, visto que a ferramenta de feedback também é recente. Como realizamos a validação por pares (seção 5.1.2.1) da sequência, antes de implementar na plataforma virtual, não foi possível evidenciar as dificuldades relacionadas aos feedbacks. Outra forma de ter detectado as limitações da plataforma era realizar uma validação com uma turma piloto (com perfil semelhante ao do contexto da investigação).

Na experiência 2 utilizamos a plataforma Schoology, que possibilitava ao estudante postar uma foto da resolução da tarefa, a partir de um smartphone, facilitando a visualização de como se deu seu raciocínio. Esta plataforma também possuía um chat para possíveis diálogos com o estudante, para esclarecer eventuais dúvidas, em que era possível fazer alguma sinalização a partir da resposta do estudante, o qual expressava suas inquietações.

Ao final da primeira experimentação (1) percebemos que as atividades ficaram longas e, consequentemente, cansativas para os estudantes, visto que algumas delas continham muitas tarefas. Por isso, muitos não chegaram a realizar as seis atividades propostas, e outros deixaram as atividades em branco (sem respostas parciais ou totais), ou nem mesmo chegaram a iniciar algumas das atividades. As respostas dos estudantes são a matéria-prima das nossas análises, portanto são relevantes para nossa investigação (mesmo que não estivessem como esperado pela instituição), sendo os seus esforços para produzir uma resposta considerados.

Outro ponto crucial foi que poucos estudantes retomaram as atividades depois dos feedbacks fornecidos. Consideramos que isso está atrelado ao contrato didático estabelecido no modelo dominante, ou seja, no modelo vigente, visto que os professores (do contexto da investigação) não retomam as atividades dos estudantes para oferecer-lhes intervenções adequadas de forma contínua, de modo que os discentes possam prosseguir. Caracterizamos essa postura dos professores como o fenômeno didático da naturalidade do processo e da automatização, pois apenas se limitam ao certo ou errado, sem intervir nas respostas dos estudantes, para destacar as praxeologias não institucionais (incompleta, imprecisa ou incoerente) de forma que o estudante possa avançar nos momentos de estudos e estabelecer uma relação com o objeto estudado.

Ao nosso olhar, tivemos um rompimento do contrato didático que era estabelecido institucionalmente, apesar de vários estudantes não retomaram as atividades, ou seja, não voltaram para verificar os feedbacks fornecidos (mesmo salientado desde o princípio que faríamos sinalizações adequadas de cada resposta fornecida para o avanço de cada um), mostrando que o estudante não estava acostumado com o processo de retomar as atividades para compreender o porquê não conseguiu avançar. Alguns estudantes conseguiram assujeitar ao que foi proposto, estabelecendo uma dialética constituída entre o diretor de estudo (y) e o estudante (x), fenômeno destacado na nossa análise a posteriori.

O contrato didático estabelecido é forte no sentido de viver com certa naturalidade na instituição por parte dos professores e estudantes, estando, dessa forma, enraizado na cultura escolar dominante. É bem sabido que a avaliação formativa (de forma processual) não é fácil e requer uma atenção muito maior por parte do professor, e as restrições institucionais às vezes dificultam estabelecer novo contrato, visto que as turmas, muitas vezes, possuem um número elevado de estudante, ou mesmo o tempo disponível pelo professor seja insuficiente. Assim, propomos que cada momento didático seja analisado minuciosamente e com cuidado para que o feedback possa ser fornecido de maneira mais individual e adequada possível.

Também, vale ressaltar, que não havia pontuação nas atividades (uma nota, como nas atividades somativas). Isso pode ter sido um fator para que os estudantes não as dessem prioridade. Percebemos que os estudantes não realizaram um assujeitamento (bom sujeito institucional, aceita a sujeição institucional, como afirma Chevallard (2018b, p. 32)) da forma esperada pelo pesquisador (que não era o professor do componente curricular dos discentes).

Assim, os estudantes não se envolveram da forma que era necessária para conseguir resolver as tarefas propostas, mesmo com os feedbacks providos e, como os professores estava sem horários disponíveis para nós, tivemos somente momentos assíncronos com as turmas. Isso dificultou a conversa com os estudantes sobre algumas dúvidas, questionamentos das atividades no momento da realização, ou eventuais inconvenientes que tivessem no percurso. Apesar de expor algumas dificuldades e limitações, tivemos progressos na execução do PFD. Alguns estudantes, tanto na experimentação 1 como na experimentação 2, conseguiram avançar, pois, ao expor suas técnicas, mesmo que incoerentes, incompletas ou imprecisas, os feedbacks foram utilizados pelos estudantes de modo que, através da autorregulação, foi possível expor uma técnica adequada (institucionalmente esperada) na exploração das tarefas.

Após a experimentação, foi elaborado um questionário 153 para saber a opinião dos estudantes referente às atividades. Destacamos algumas respostas com as respectivas perguntas.

Na pergunta (1): Qual a sua opinião sobre as atividades para a construção de limite de funções? Para e32: "Na minha opinião, foi bastante interessante, pois ajudou a reforçar alguns assuntos e o gráfico que estava em uma das questões possibilitava ver como a função se comportaria."; Não. Só achei que algumas atividades depois ficaram um pouco cansativas pela quantidade de tópicos.". Como ressaltado, talvez tarefas menores pudesse ajudar os estudantes a conseguirem realizar todas as atividades. Para e34: "Percorri na ordem apresentada, pois o assunto se dava de forma progressiva."; para e17: "Percorri na ordem em que apareceram porque considerei ter uma lógica no desenvolvimento do trabalho de vocês."; para e36: "Eu iniciei pela atividade 6, mas apareceram diversas dúvidas quando falava de função, módulo. Com isso, tive que voltar para as atividades anteriores sobre conteúdos básicos de matemática, pois minha base não era muito boa.". É possível observar novamente a questão das atividades longas, o que para alguns se tornaram cansativas.

Enquanto para e6: "A realização das atividades não foi sequenciada devido a algumas dificuldades encontradas durante a realização da mesma. O motivo para pular a ordem foi justamente a questão do tempo dado para respondê-las e na intenção de achar alguma informação complementar de uma questão para responder outra.". Ou seja, devido ao curto tempo que tinha, não conseguiu realizar a atividade de forma satisfatória, mas o estudante viuse necessário retomar algumas outras atividades que eram fornecidos saberes como prérequisito. E, para e3: "Eu fui fazendo na ordem, pois queria revisar alguns conteúdos (nunca fui bem em matemática). Com o tempo curto acabei pulando algumas questões e não tive tempo de revê-las com calma.". Na pergunta (3): O que mais chamou a atenção nas atividades? As atividades que mais chamaram a atenção dos estudantes foram as que utilizaram da calculadora gráfica. Para e32:

"O gráfico que demonstrava as funções."; para e34: "Mexer nos gráficos, ver os assuntos meio que tomar forma...", ou seja, começava a fazer sentido para os estudantes, para os parâmetros e componentes das funções. Para e17: "A atividade de recolher as estrelas foi bem interessante."; para e6: "As atividades proporcionaram maior compreensão do assunto por terem sido apresentadas de forma mais dinâmica.". Isto é: sair do modo tradicional (de apenas usar lápis e papel) e complementar com ferramentas digitais proporciona uma melhor receptividade dos estudantes. Já e36: "O que mais me chamou a atenção foram as atividades de funções, que me ajudou a revisar e entender coisas que não compreendia direito na escola.".

Podemos reconhecer que as atividades que mais chamaram atenção dos estudantes são as relacionadas com a calculadora gráfica que possibilitava ao estudante a alterar os valores das funções e movimentar o gráfico para alcançar o objetivo da atividade.

No caso de e3: "Gostei de todas as atividades, mas a de funções com a dinâmica da tartaruga foi bem bacana e a de funções das capturas de estrelas também. A de limite achei interessante a maneira que apresentou o problema de velocidade, e conseguiu chegar na definição.". O estudante e3 destaca a atividade da tartaruga, que busca integrar o movimento desta com o gráfico da função e possibilitava ao estudante verificar e extrair conclusões sobre as alterações realizadas.

Para a pergunta (4): Quais as maiores dificuldades encontradas durante as atividades?

Ou, por que achou tranquilo desenvolver as atividades? A falta de uma relação melhor com saberes matemáticos foi apontada como uma das dificuldades, de acordo alguns relatos, por exemplo, e32: "Algumas dificuldades que eu tive foi mais por não ter alguns embasamentos."; para e3: "A minha falta de base em matemática não ajudou muito e também como percebi que algumas atividades eram um pouco longas, não consegui me dedicar o suficiente para fazêlas."; para e6: "Algumas atividades foram realizadas com certa dificuldade, já que exigiram um maior conhecimento do que foram apresentados.".

Além da dificuldade em saberes elementares, alguns estudantes mostraram que estavam repletos de outros trabalhos relativos aos componentes curriculares do semestre, por exemplo, para e 36 , "Como mencionei antes, como eu não era tão bom em matemática, tive dificuldade em compreender os assuntos de funções, achei tranquila a parte de números reais. Mas, a maior dificuldade foi a falta de tempo, pois tive uma concentração grande de atividades este semestre, muito sobrecarregado.". Novamente a quantidade de tarefas na sequência foi um fator que contribuiu para dificuldade, pois segundo e34: "A primeira parte foi um pouco cansativa por conta da quantidade de questões" e e17: "Só encontrei maior dificuldade em relação à quantidade mesmo, mas apenas pelo fato de eu não estar acostumada com essa forma de aprendizado e por ter tido uma base muito boa na escola também.". Quanto ao item [START_REF]DICIONÁRIO Brasileiro da Língua Portuguesa Michaelis[END_REF]: "Liste pontos positivos e pontos negativos na realização das atividades", o intuito era saber a impressão dos estudantes sobre as atividades. Para e34: "Positivo: bastante didático. Negativo: a quantidade de tópicos deixou cansativo."; para e32: "Boa didática, o questionário interagia com a gente... um pouco longa demais.". É possível perceber que a extensão das atividades sempre foi salientada, pois requeriam um tempo considerável para realizá-las.

Enquanto para outros, a atividade foi encarada como interessante, por exemplo, e17: "-Praticidade; -Linguagem simples; -Progressão nos assuntos e exercícios, o que não encontramos em todos os livros."; e6: "-Motivação para responder as atividades, já que algumas questões foram fornecidas de forma dinâmica, -O conteúdo em sua grande parte não foi transmitido de forma rotineira e monótona, mas sim de forma mais próxima da realidade, -Proporcionou maior compreensão do assunto, tornando possível lidar melhor com a dificuldade do conteúdo. A metodologia usada na apresentação de alguns conteúdos não foi suficiente para responder algumas atividades que exigiram maior domínio do assunto.". Apesar da forma dinâmica proposta por algumas atividades, a falta de alguns conhecimentos prévios levaram à dificuldade durante a atividade. Outros não utilizaram os feedbacks fornecidos, no caso de e36: "Eu nem percebi que tinha os retornos para melhorar a atividade, pois estava preocupado apenas em dar conta dos exercícios. Normalmente, não temos comentários sobre os exercícios que fazemos apenas a nota no final, e às vezes o professor comenta as atividades de forma geral na sala.". E para e3: "Não sabia que tinha os comentários, acho que faltou eu prestar mais atenção. Estou acostumado somente em ver a nota no final, e dificilmente tem comentários com dicas para melhorar. Sempre ficamos com algumas dúvidas, mas deixo para depois ver como fazer, mas os conteúdos vão avançando muito rápido.". Nesses últimos comentários, é possível perceber, como já dito anteriormente, a influência do contrato didático estabelecido e vigente na instituição, em que os estudantes não estão familiarizados com os feedbacks nas atividades e, normalmente, nas avaliações a preocupação é com a nota e não com o processo, sendo o feedback uma importante ferramenta na avaliação formativa.

No item (7): Deixe suas considerações sobre a atividade, com críticas e sugestões, temos: para e34: "A única sugestão seria de ver a possibilidade de compactar mais os módulos.", ou seja, as questões das atividades estarem longas; para e32: "Gostei bastante.", sem fazer críticas e sugestões; para e17: "Uma sugestão é deixar a parte revisional como opcional, dessa forma, somente quem estiver com dificuldades acessa.". Não percebeu que a parte das atividades de 1 a 5 era necessária, não sendo obrigatória. Isto foi informado tanto no encontro que tivemos como na aceitação para participar da pesquisa (via formulário Google).

Para e6: "Seria interessante se o conteúdo fosse apresentado de forma mais completa e de forma que correspondesse ao que algumas questões exigem para ser realizadas Além disso, transmitir mais ainda o conteúdo de forma mais próxima da realidade, com animações e ilustrações podem ajudar os alunos que participam da experiência a alcançarem uma visão geral do assunto e relacionar o mesmo com situações do cotidiano. Dessa forma, os alunos se sentiriam mais motivados e dispostos a participarem das atividades e até mesmo podem adquirir afinidade com a matéria.". É possível perceber que, para e6, há necessidade de aprofundamento em algumas abordagens. É uma questão a ser analisada, pois algumas partes das atividades ficaram longas. Para e36: "A meu ver, as atividades no computador com a internet ajudam bastante para compreender, vejo que esses recursos são interessantes. Sobre os retornos das atividades, seria muito bom mesmo se em todas as atividades pudesse saber o que estamos errando para melhorar.". É possível ver que o ambiente virtual deve ser bem organizado, além de propor atividades desafiantes para os estudantes. Já para e3: "Sugiro que as atividades fossem mais curtas, e que tivesse um espaço para gente escrever quando tivesse alguma dúvida. Como falei antes, não sabia dos comentários (retornos), mas é uma iniciativa bem interessante para aprender o que temos dúvida.". É possível perceber que as atividades foram interessantes e podem ser adaptadas para atividades futuras.

Em síntese, para a resposta R10 ◊ referente à questão Q10: 'Quais as possíveis potencialidades e limitações de um dispositivo didático (capaz de promover autorregulação e o feedback) durante um trabalho com estudantes na construção da noção de limite?', conclui-se que:

No caso das limitações, se referem ao contrato didático forte, estabelecido pelo modelo dominante vigente, ou seja, vários estudantes são se permitem voltar às atividades propostas para verificar o que precisa aprimorar, pois normalmente os professores não fornecem feedbacks, tratando de maneira naturalizada apenas erros e acertos de forma automática nas correções, em que os estudantes, na sua maioria, não se assujeitam a esse modelo de referência.

Outra limitação diz respeito à plataforma virtual, pois não foi possível acompanhar todas as descobertas e interações dos estudantes na realização das tarefas. Como restrição, ainda se tem o excesso de tarefas online e remotas, sobrecarregando os estudantes nesse momento da pandemia da covid-19.

Em relação às potencialidades, temos que, embora poucos estudantes se assujeitassem às tarefas propostas e aos feedbacks fornecidos, estes conseguiram avançar com a autorregulação expondo suas respostas com persistência e afinco. O ambiente virtual permitiu criar um meio para consultas posteriores (ficavam registrados os ostensivos e não ostensivos), e o tempo também não era restrito ao da sala de aula, havendo, portanto, uma mudança na cronogênese habitual, uma vez que o estudante realizava as atividades de acordo seu tempo, não se restringindo também a distâncias geográficas, modificando a mesogênese, necessitando apenas de um computador ou smartphone com conexão com a internet.

Ao pensarmos e propormos atividades para a construção das noções de limite, sabemos das dificuldades em promover um sistema didático com um olhar nos momentos didáticos imbricados com a avaliação formativa. Como enfatiza Charles Hadji, A avaliação formativa não é nem um modelo científico, nem um modelo de ação diretamente operatório. Não é mais do que uma utopia promissora, capaz de orientar o trabalho dos professores no sentido de uma prática avaliativa colocada, tanto quanto possível, a serviço das aprendizagens. (...) Essa dimensão utópica possibilita compreender a impossibilidade de apresentar e de realizar o que corresponderia a um modelo acabado de avaliação formativa. Ela sempre será parcialmente sonhada. Mas isso não impossibilita trabalhar para progredir nessa direção. (HADJI, 2001, p. 25).

Como mencionou Charles Hadji, a avaliação formativa será sempre uma utopia, o que não impossibilita de batalhar nesse sentido. Desse modo, observar o erro do estudante como o esforço em explicitar uma determinada praxeologia é importante em todo o processo de aprendizagem, a fim de se realizar uma análise das praxeologias não esperadas pela instituição e conseguir não apenas fazer o estudante avançar, mas que estabeleça uma relação esperada com o objeto trabalhado φ de modo que o sistema didático ∑ = S(x, y, φ) desapareça e permaneça a relação institucional do estudante com o objeto em estudo RI(x, φ) e, com isso, evidencie a autonomia do estudante, pois todo sistema didático deve ter um caráter sempre provisório.

CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS

Iniciamos essas considerações com a consciência de que há muito a ser investigado, tanto sobre o ensino da noção de limites como também em relação à organização didática, mais especificamente sobre influência do papel da avaliação formativa com momentos didáticos, papel este importante durante todo o processo de aprendizagem. Podemos dizer que a avaliação possui uma estreita relação com todo o sistema didático ∑=S (x; y; φ), pois tem uma forte conexão com o saber (φ), o estudante (x) e o orientador de estudo (y).

De formal geral, essa pesquisa teve como problemática as dificuldades que os estudantes possuem na relação institucional com a noção de limite de função e que existe uma desarticulação entre a noção intuitiva e a definição (, ) de limite. Além disso, na organização didática normalmente existe uma naturalidade e automatização no processo de ensino, que muitas das vezes apenas sinaliza o não acerto nas tarefas propostas e não promovem uma reflexão e análise de tais erros ou equívocos, não evidenciando assim os motivos da não aprendizagem para que o estudante possa progredir nos seus estudos.

Essa problemática norteou o seguinte objetivo: Investigar como as praxeologias didáticas contribuem para o ensino da noção de limite de uma função real em ambientes virtuais de aprendizagem. Consideramos como hipótese H0: os elementos da avaliação formativa, o feedback e a autorregulação, quando considerados pelos professores nas suas organizações didáticas, tal qual proposto por Chevallard (1998, p. 109), podem permitir um melhor desempenho dos momentos didáticos que, por sua vez, devem impactar na efemeridade de um dado sistema didático instaurado, contribuindo para autonomia do estudante para a aprendizagem do objeto limites de funções.

Isto conduz à nossa questão de pesquisa: Q0: Como as praxeologias didáticas contribuem para o ensino das noções de limite de funções reais de uma variável real em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas em ambientes virtuais de aprendizagens? Para respondê-la, consideramos como ponto de partida uma investigação com estudantes e professores de Cálculo Diferencial e Integral, a ecologia do saber limite, bem como as possíveis relações entre a avaliação formativa e os momentos didáticos propostos na Teoria Antropológica do Didático (TAD). Utilizamos a metodologia da praxeologia de pesquisa que, através do sistema herbartiano [S ( ; ; Q0) ➦ M] ➥ R ♥ e com o auxílio dos orientadores de estudo () (orientador e coorientador), nos permitiu criar um meio M formado pelas perguntas secundárias Qn, respostas secundárias Rm ◊ , obras consultadas Wn, entrevistas, questionários e experimentação Dp, produzindo uma resposta R ♥ (resposta esperada). Essa metodologia contribuiu para nortear nossas ideias de modo que os capítulos e as seções conseguiram ser delineadas com nosso objeto de pesquisa.

Como metodologia da experimentação, foi adotada a Engenharia Didática, pois, a nosso ver, forneceu condições para alcançar os observáveis e atender a nossa questão de pesquisa.

Além disso, tínhamos maior aproximação dessa metodologia, considerando também o pouco tempo da experimentação, de modo que conseguimos observar e analisar as condições e restrições evidenciadas durante a trajetória desta.

Diante disso, defendemos a tese de que R ♥ : os elementos da avaliação formativa, ao serem incorporados, promovem uma dinâmica nos momentos didáticos de uma organização didática capaz de que o sistema didático instaurado pelo professor desapareça e que o estudante tenha autonomia ao final do processo de estudo, sendo estabelecidos outros sistemas didáticos pelo próprio estudante, promovendo outras relações com o saber. Entretanto, percebemos que existe um contrato didático estabelecido, em que os estudantes normalmente não retomam as atividades realizadas para compreender os feedbacks fornecidos pelo professor. E, para que o sistema didático (estabelecido pelo professor) desapareça com êxito, deve haver uma ruptura do contrato didático, ora estabelecido, e enfrentar o fenômeno da naturalização e automatização do processo de avaliação, examinando as praxeologias construídas pelos estudantes.

Ao final de nossa pesquisa, concluímos que outras pesquisas podem ser realizadas em continuação, destacando tanto o saber relativo às noções de limites como também a praxeologia da avaliação relacionado com a organização didática.

Em síntese da trajetória da pesquisa temos: no Capítulo 1, realizamos uma introdução a nossa investigação evidenciando a problemática, objetivos, questão de pesquisa, hipótese e a metodologia. Em seguida, no Capítulo 2, evidenciamos as nossas lentes teóricas que nortearam a concepção e desenvolvimento da articulação das ideias iniciais com a Teoria Antropológica do Didático (aporte principal) e Avaliação Formativa. Através das três dimensões do problema didático, pudemos compreender e levantar questões relacionadas, a saber, a epistemológica, econômica e ecológica. As praxeologias contribuíram para compreendermos a concepção dos professores, pesquisadores e estudantes referente ao objeto investigado e realizarmos a análise mais específica dos livros didáticos e das análises a priori e a posteriori da nossa Engenharia Didática, além de trazer um olhar distinto para a organização didática, em específico a praxeologia da avaliação.

A dialética dos ostensivos e não ostensivos contribuíram, juntamente com a análise praxeológica, para uma melhor análise das tarefas a serem propostas, bem como os questionários desenvolvidos com os estudantes. Em relação aos níveis de codeterminação didática, fez-nos buscar condições e restrições em cada nível e suas influências nos demais níveis percebendo as limitações e potencialidades diante das demandas atuais da sociedade e da sala de aula.

A dialética mídia-milieu contribuiu com a análise das mídias levantadas, promovendo um meio em relação à concepção dos professores e pesquisadores sobre o nosso objeto matemático limite de funções. As funções didáticas mesogênese, cronogênese e topogênese nos ajudaram a compreender como o nosso Percurso Formativo Digital (PFD), proposto no Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA) (Capítulo 5) é capaz de modificar o meio didático, o tempo didático, além do lugar do estudante frente às tarefas propostas.

Buscamos elementos da "incompletude do trabalho institucional" (FARIAS, 2018, p. 3), a fim de problematizar a integração dos momentos didáticos presentes na organização didática. Nos momentos didáticos, observamos a relação dos estudantes durante o trabalho de produção de dados na experimentação.

Em relação aos pressupostos da avaliação formativao feedback e a autorregulaçãonos permitiram uma conexão com os momentos didáticos, de forma que conseguíssemos analisar as relações entre o estudante e o objeto matemático investigado, a partir das praxeologias construídas e das nossas análises a priori e a posteriori.

A seguir, de forma resumida, retomamos as ideias produzidas durante o trabalho, para explicitar a articulação dos elementos iniciais trazidos no Capítulo 1 sobre a praxeologia de pesquisa. No modelo praxeológico dominante (Capítulo 3), buscamos responder as questões Q1 a Q7, diretamente ligadas à nossa questão inicial Q0. No caso da questão Q1: 'Qual trajeto realizado para chegar à notação da definição atual de limite de funções?', resumidamente, gerou como resposta secundária R1 ◊ : Para descrever o trajeto, foram realizadas buscas no que se refere aos elementos históricos e epistemológicos, considerando como início a fase grega (de 300 anos antes de Cristo) com evidências de ideias do Cálculo, passando pelos métodos de Cavalieri para calcular áreas até chegar aos aspectos e "indícios" que levaram às ideias de Newton e Leibniz A primeira crise dos fundamentos da Matemática ocorreu no século V a.C. Tal crise se desencadeou com a descoberta de que nem todas as grandezas geométricas da mesma espécie são comensuráveis. A segunda crise contribuiu para o desenvolvimento do Cálculo por Newton e Leibniz no final do século XVII, tendo como um antecedente os famosos paradoxos de Zenão (450 a.C.) (EVES, 2011, p. 673). Segundo [START_REF] Eves | Introdução à história da matemática[END_REF], no decorrer do tempo, começou a aparecer paradoxos e contradições em uma quantidade cada vez maior e, consequentemente, uma crise séria nos fundamentos da Matemática tornou-se evidente, sendo essa crise superada apenas no início do século XIX: "Cauchy deu os primeiros passos rumo à superação da crise, substituindo o vago método dos infinitésimos pelo preciso método dos limites." (EVES, 2011, p. 674). Os primeiros passos para a superação da segunda crise dos fundamentos da Matemática foram realizados por Cauchy e, posteriormente, com a contribuição de Weierstrass e seus seguidores.

Percebemos, durante a investigação, a influência da filosofia da matemática no século XIX relacionada à concepção de professores e pesquisadores. Nesse caso, consideramos as três principais correntes filosóficas que levam em conta tanto os avanços como também a crise atual da matemática, são elas: o formalismo, o intuicionismo e o logicismo.

O intuicionismo, como vimos, possui como princípio que a matemática tem de ser desenvolvida apenas por métodos construtivos finitos sobre a sequência dos números naturais, dada intuitivamente. Apesar de objeções levantadas contra a tese intuicionista, geralmente há concordância de que seus métodos não levam a contradições. Em relação ao logicismo, ao invés de ser apenas um instrumento da Matemática, esta passa a ser considerada como a geradora da própria Matemática. Dessa forma, os conceitos da Matemática são formulados em termos de conceitos lógicos e todos os teoremas da Matemática têm que ser desenvolvidos como teoremas da Lógica.

O formalismo considera que a Matemática, na sua essência, é o estudo dos sistemas simbólicos formais. Nesse sentido, é considerada que o alicerce da Matemática não está na lógica, mas apenas numa coleção de sinais ou símbolos pré-lógicos e num conjunto de operações com esses sinais. Dessa forma, Hilbert buscava uma consistência (demonstrações que garantem a ausência de contradições) para toda a Matemática. Entretanto, Gödel em 1931, provou, por métodos considerados válidos e irrepreensíveis pelos seguidores das três principais correntes filosóficas matemáticas, que é impossível provar a consistência de um sistema dedutivo formalizado, e suficiente para abarcar toda a matemática clássica, com os seus próprios princípios lógicos (EVES, 2011, p. 683).

Na busca do rigor para as bases do Cálculo, o desenvolvimento das notações da teoria dos limites ocorreu a partir do século XIX, antes disso o Cálculo estava centrado na noção de infinitesimal, que era utilizada por Newton e Leibniz, tidos como os idealizadores do cálculo diferencial e integral. Como foi apresentado, tanto esses como outros matemáticos dos século XVII e XVIII não conseguiram responder às críticas do físico e geômetra holandês Bernard Nieuwentijdt (1654-1718) e do filósofo e bispo irlandês George Berkeley (1685-1753) sobre a inconsistência lógica existente no conceito de quantidade infinitamente pequena (LIMA, 2003, p. 49).

Dessa forma, a teoria dos limites fora construída sobre uma noção intuitiva simples do sistema dos números reais. Porém, o sistema dos números reais tinha sido admitido sem maiores cuidados. À vista disso, Weierstrass defendeu um programa no qual o próprio sistema dos números reais, antes de qualquer coisa, fosse tornado rigoroso para que, assim, tudo que dele decorresse na análise inspirasse segurança. Ainda no Capítulo 2, vimos que esse importante programa, conhecido como aritmetização da análise, revelou-se difícil e intrincado, mas acabou se concretizando e, conforme Eves (2011, p. 610), a análise pode ser deduzida logicamente de um conjunto de postulados que caracterizem o sistema dos números reais.

Durante a investigação foi notado os obstáculos epistemológicos relacionados ao conceito de limite, a saber: horror ao infinito; obstáculos relacionados ao conceito de função; obstáculos geométricos; obstáculos lógicos relacionados à definição (, ) com a utilização dos quantificadores ou mesmo relacionados à sua ordem; obstáculo simbólico. Esses obstáculos estão presentes implicitamente ou explicitamente quando trabalhamos com o conceito de limite.

Como mencionamos, para Lecorre (2016, p. 423) Na sequência, para a questão, Q4: 'Quais as praxeologias evocadas pelos estudantes referentes à noção de limite?', temos de forma resumida R4 ◊ : Para enriquecer nosso Modelo Praxeológico Didático (MPD), realizamos inferências das respostas dos estudantes sobre a noção intuitiva e a definição de limite. Percebemos que os estudantes de Cálculo II não conseguem, em sua maioria, explicitar uma relação esperada institucionalmente com o objeto investigado através das tarefas de acordo com as praxeologias esperadas na instituição (como informando no início da seção 3.3.3) ou explicitar, por exemplo, as técnicas na linguagem natural (NATURAL) ou técnica numérica, (NUMÉRICA), técnica algébrica (ALGÉBRICA) ou técnica geométrica (ou gráfica) (GEOMÉTRICO). As relações aparentadas pelos estudantes são marcadas fortemente pelas praxeologias apresentadas nos livros didáticos e vivem de forma desarticulada na instituição.

402

No caso da questão Q5: 'O que pensam os pesquisadores e professores de Cálculo sobre essa ecologia? Existe alguma divergência acerca das (perdas e ganhos) da pertinência, presença, coerência, importância e necessidade desse objeto nas organizações didáticas utilizadas por diferentes professores?' nos conduziu a resposta R5 ◊ : Na seção 3.3.4 investigamos a concepção dos professores e pesquisadores sobre o ensino da noção intuitiva e definição de limite e consideramos, através do levantamento, que tanto a noção intuitiva como a definição por épsilon e delta é importante. A nosso ver, é possível realizar uma abordagem que contemple as duas, de forma que o estudante, durante o processo, possa ser contemplado, esclarecendo suas dúvidas e inquietações, pois só apresentar o conceito não favorece ao estudante uma concepção sobre os aspectos do conceito de limite. Com isso, defendemos que o estudante possa construir tal noção e definição relativa ao conceito de limite de funções. Não estamos aqui preocupados em 'certo ou errado', 'melhor ou pior'. Todavia, buscando reflexões que poderão nos ajudar nesse trabalho de investigação, bem como em outros ligados a este. Ainda, relacionado à questão Q5, na construção do MPD foi possível notar que existe uma dificuldade na relação dos estudantes com o objeto limite de funções acerca da sua compreensão, ao mesmo tempo em que não existe um consenso unânime entre todos os professores consultados sobre o ensino desse objeto matemático. Mas, em relação ao curso que estamos investigando (BCET) é possível perceber a presença desse objeto, ou seja, o seu habitat bem como a função dele durante o curso, o seu nicho evidenciado pelas duas praxeologias 1 (noção intuitiva) e 2 (definição (, )).

Para a questão Q6: 'Como acontece o feedback e regulação do processo de ensino e aprendizagem em um curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas?', gerou-se como resposta R6 ◊ : As aulas normalmente são expositiva-dialogadas, com um número considerável de estudantes (quase cinquenta estudantes por turma), e os feedbacks eram realizados de forma coletiva com a regulação realizada pelo professor no quadro branco quando era possível de acordo o tempo da aula para prosseguir com o conteúdo.

No caso da questão Q7: 'Quais as condições e restrições na ecologia para a noção de limite presentes em um Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas?', temos como resposta R7 ◊ : As condições são o habitat e o nicho no BCET e o acesso pelos estudantes aos Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA). Como restrições, podemos destacar a falta de articulação entre a noção intuitiva e a definição (, ) de limite, a falta de feedback e regulação do processo de ensino e aprendizagem no que se referem às tarefas propostas aos estudantes. 403 Ao conectar tais questões e questionar o MPD, levantamos reflexões teóricas referentes aos elementos da TAD com um olhar para a incompletude do trabalho institucional, abrindo espaço para outras reflexões em relação ao MPD, mostrando que existe uma naturalidade no que se refere ao ato de avaliar, automatizando o processo com sinalizações apenas de erros e acertos, sem questionar as praxeologias construídas pelos estudantes para responder as tarefas propostas. Nesse sentido, aprofundamos as noções relacionadas à praxeologia da avaliação proposta por Chevallard (2004, p. 5), apresentando-a como parte integrante do funcionamento dos momentos didáticos.

Na construção do nosso Modelo Praxeológico de Referência (MPR) (Capítulo 4), trabalhamos com as questões Q8 e Q9 que conduziram as nossas inquietações. No caso da questão Q8: 'Qual a importância do conceito de limite nos cursos de Cálculo?', sucintamente temos a seguinte resposta R8 ◊ : Quando ao aspecto histórico-epistemológico, o desenvolvimento do limite de funções partiu da necessidade de justificar certos cálculos como, por exemplo, a quadratura relacionada à área e a cubatura relacionado ao volume com certas ideias que remetiam aos infinitésimos. Tais ideias acompanharam os matemáticos por muito tempo e estavam presentes no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral desenvolvido por Leibniz e Newton no século XVII, sendo formalizado apenas no século XIX com contribuições de Cauchy e Weierstrass, entre outros. Tais formalizações fazem parte dos manuais de matemática no ensino superior a partir do século XIX. Conectado a esse conceito de limite, temos outros conceitos que permeiam o curso de Cálculo como, por exemplo, derivadas, integrais, convergência de séries, dentre outros, sendo esse conceito importante para outros que se perpetuam em todo o Cálculo Diferencial e Integral.

Na questão Q9: 'Como poderia ser uma organização matemática para o trabalho com as noções de limites?', chegamos à resposta secundária R9 ◊ : Pensamos em um percurso formativo digital, que é constituído por uma sequência com as noções básicas sobre números reais, perpassando por distância na reta real, ou seja, valor absoluto, noções de funções, noções de lógica matemática, evidenciando o trabalho com quantificadores e dupla quantificação e, por último, as noções de limites. Para isso, modelamos uma situação para o estudo de limite com aspecto extramatemático, da velocidade média e velocidade instantânea, em que surgem as ideias da noção de limite, chegando a sua definição. Com isso, apresentamos uma organização didática, através dos momentos didáticos, com elementos da avaliação formativa juntamente com as ideias do percurso formativo digital enfatizando nossas ideias do entrelaçamento da 404 avaliação formativa com os momentos didáticos e a autonomia do estudante ao final do processo.

Dessa forma, levamos em consideração os ambientes virtuais de aprendizagem (relacionado ao digital), capazes de destacar os possíveis erros, ou seja, o esforço para produzir uma técnica esperada institucionalmente. Além de considerar, a capacidade de articular os elementos da avaliação formativao feedback e a autorregulaçãocomo também os momentos didáticos no sistema didático instaurado.

Como questões ligadas à Q9, temos duas outras: Q9.1 e Q9.2. No caso da questão Q9.1:

'Como a regulação e o feedback poderão contribuir no trabalho com a noção de limite de acordo com as praxeologias construídas pelos estudantes?', destacamos de forma resumida R9.1: É possível articular os elementos da avaliação formativa com os momentos didáticos identificando as praxeologias construídas pelos estudantes, para auxiliá-los a chegarem à relação institucional estabelecida inicialmente com o saber matemático. A questão Q9.2: 'De que forma um dispositivo digital possibilita a interação com os estudantes durante o sistema didático instaurado?', nos conduziu a seguinte resposta R 9.2 ◊ : Os recursos que as plataformas digitais disponibilizam contribuem para a interação dos objetos matemáticos com os estudantes e, além disso, com a comunicação entre o professor, estudante e o saber, por meio dos sistemas didáticos instaurados, é possível acompanhar a construção dos estudantes nesse processo.

Diante disso, como construto teórico, apresentamos que existem dois tipos de avaliação nos momentos didáticos propostos na TAD: uma avaliação interna, com uma interligação entre cada momento didático através dos pressupostos da Avaliação Formativa; e uma avaliação externa, conectada com o momento da institucionalização.

Pensando nesse contexto, na busca da autonomia dos estudantes, destacamos a praxeologia da avaliação baseada nas técnicas não institucionais (errôneas, imprecisas, incompletas, inadequadas e fora de alcance), comparando-as com as praxeologias institucionais estabelecidas, ou seja, esperadas pela instituição. O fato de propormos o S (X; PFD; φ), em nossa ED para o ensino de limites de funções reais, é um desafio para o ensino online e maior ainda ao querermos analisar as praxeologias dos estudantes propondo fornecer intervenções pertinentes para que eles construíssem uma relação com o saber. Tal investigação não possuía a pretensão de apresentar uma solução definitiva e inquestionável, pois esse sistema não é único nem definitivo. Mas, apresentar reflexões sobre a implementação do sistema S (X; PFD; φ). Este deve ser revisto e adaptado a cada vez que seja colocado para funcionar, de modo que possa atender a diferentes públicos, em diferentes situações.

Quanto às limitações, elas se referem ao contrato didático forte, estabelecido pelo modelo dominante vigente (vários estudantes são se permitem voltar às atividades propostas para verificar o que precisava ser aprimorado), pois normalmente os professores não fornecem feedbacks adequados, naturalizando apenas os erros e acertos nas correções de forma automática. Como limitação, apontamos também a plataforma virtual que não permitia acompanhar todas as descobertas e interações dos estudantes na realização das tarefas. Sobre as potencialidades, intuímos que os poucos estudantes que se assujeitaram às tarefas propostas e aos feedbacks fornecidos conseguiram avançar com a autorregulação expondo suas respostas com persistência e afinco, possibilitando consultas posteriores no ambiente virtual, um tempo (cronogênese) além da sala de aula e o meio, precisando apenas de um equipamento com acesso a internet (mesogênese).

Ao final do trabalho, as perguntas e respostas produzidas nos auxiliaram a chegar à resposta esperada R ♥ , como mencionado aqui nas considerações e perspectivas.

Ressaltamos que os objetivos, tanto geral quanto específicos, foram alcançados. A metodologia de pesquisa e os procedimentos metodológicos escolhidos contribuíram de forma significativa para alcançá-los. A revisão de literatura permitiu uma melhor compreensão dos percalços relacionados ao nosso objeto noções de limites. O referencial teórico adotado teve um importante papel como uma lente para analisar os problemas e examiná-los com mais atenção.

Destacamos como diferencial, em relação às demais pesquisas, a questão do olhar para os momentos didáticos juntamente com a avaliação formativa atrelada ao ambiente virtual de aprendizagem no trabalho com as noções de limites.

Ao longo desses quase cinco anos, tivemos a oportunidade de aprender e refletir sobre nossa prática docente por meio da interação com os professores do PPGEFHC e os colegas do núcleo de pesquisa NIPEDICMT, além de participar de eventos científicos apresentando alguns 406 resultados parciais de nosso estudo, o que nos ajudou a entrar no universo da pesquisa e compreender o quão rico e complexo é este ambiente.

Podemos destacar como nossas limitações, nesse trabalho de investigação, o tempo que se levou em apropriar e amadurecer a compreensão das teorias da Didática da Matemática, bem como relacioná-las ao nosso problema de pesquisa (Q0); a dificuldade em decidir o melhor ambiente virtual para nossa experimentação, pois além de promover as atividades, estávamos buscando ativar os elementos da praxeologia da avaliação proposto no MPR (seção 4.3.2 e 4.3.3); e a questão da pandemia da covid-19, pelo confinamento, incertezas, estresses, ansiedades e preocupações tanto pelas nossas vidas como de familiares e amigos, o que nos deixou muito apreensivo diversas vezes.

Ainda em relação às nossas limitações e que precisam de mais esforços, destacamos a elaboração de outras sequências para desenvolver a construção da noção de limite, pois não é uma noção trivial para que o estudante consiga aprender de forma rápida e simples. Tais discussões não se esgotam nessa pesquisa, mas abrem caminhos para novos olhares e outras realidades a serem discutidas.

O que não conseguimos detectar ou surgiu no percurso de investigação, que culminou nessa tese, deixamos como sugestões de pesquisas futuras como, por exemplo, realizar um PEP (Percurso de Estudo e Pesquisa) em ambientes virtuais ou híbridos com o objeto noções de limites e praxeologia da avaliação. Novos trabalhos podem ser desenvolvidos relacionados ao fenômeno da automatização e da naturalidade do processo avaliativo dentro dos momentos didáticos, como também relacionados à praxeologia da avaliação, pois no nosso entendimento, a avaliação para aprendizagem (formativa) está no coração do sistema didático, muitas vezes não sendo considerada dessa forma, vista apenas como exames e provas para atender interesses externos, como avaliações externas (com o intuito do professor prestar contas).

Apesar da avaliação está no cerne do sistema didático, ela não deve se tornar o coração, que é e deve permanecer no saber a ser ensinado, na didática e na epistemologia que o envolve.

Nesse sentido, a avaliação é um aliado do professor como instrumento que deve ele ter domínio e intimidade, capaz de promover a aprendizagem e não um controle, como uma restrição imposta externamente.

Aprofundar e desenvolver trabalhos que envolvam a praxeologia da avaliação em diversos aspectos faz-se importante, pois o professor, implicitamente ou explicitamente, avalia para regular sua ação, conhecer melhor a produção dos estudantes e identificar as dificuldades referentes aos esforços de produzir uma técnica adequada para resolver as tarefas apresentadas.

Tais dificuldades devem ser efêmeras frente ao objetivo da aprendizagem.

Vale ressaltar que, para promover a praxeologia da avaliação, faz-se necessário o domínio do professor em relação ao objeto matemático, como também um domínio da didática específica da disciplina, para melhorar a capacidade em examinar os erros dos estudantes.

Diante disso, a praxeologia da avaliação comumente não chega à prática da sala de aula.

Sendo assim, insistimos na importância dos pressupostos da avaliação formativa: a autorregulação e o feedback como elementos-chave, ligando cada um dos momentos didáticos.

Com isso, afirmamos que, independentemente da ordem em que os momentos didáticos aconteçam, os estudantes poderão ser confrontados a um número mais significativo de praxeologias didáticas acompanhadas de regulação e feedback e, portanto, poderão prosseguir de um momento para outro, com um potencial de interligação dos momentos didáticos na organização didática proposta.

Infelizmente, a avaliação formativa é apenas uma das dimensões da avaliação que, muitas vezes, é subvalorizada, pois a avaliação somativa ainda tem forte influência, sendo restringida a provas e testes e refletida através de medidas como notas e/ou equivalentes. Apesar de a avaliação somativa ser legítima, defendemos que a avaliação formativa deva ser mais bem explorada e não negligenciada, promovendo assim melhores intervenções e enriquecendo o sistema didático para fomentar a autonomia do estudante.

Assim, essa lacuna nas praxeologias didáticas desenvolvidas no ensino de Cálculo e, mais especificamente, das noções de limite, no que se refere à praxeologia da avaliação, sinaliza para a existência do fenômeno da incompletude do trabalho institucional que, além da lacuna citada, possui outros fenômenos que a caracterizam. Ressaltamos que sempre é importante pensar em formas diferentes de avaliar, mas não com a pretensão de completar, pois é possível assumir que existem inúmeras formas da avaliação acontecer.

Na Figura 139 (abaixo) é possível perceber, de forma resumida, a trajetória da praxeologia de pesquisa para chegar à resposta esperada. Vale ressaltar que esta atividade está pautada nos pressupostos da avaliação formativa. Assim, propomos um feedback automático e uma autorregulação para os estudantes, de modo que eles possam chegar ao final da atividade proposta.

Denominamos esta atividade de Percurso Formativo Digital (PFD), o mesmo está sendo implementado numa plataforma virtual, de modo que fique acessível e dinâmico ao estudante. A princípio, o estudante terá acesso a alguns pré-requisitos (noções básicas) relacionados às ideias da definição de limite de uma função real. O mesmo poderá verificar esses pré-requisitos ou ainda optar em ir direto para o Percurso Formativo Digital. Caso o estudante acerte cada tarefa, seguirá para a tarefa seguinte, chegando ao final da mesma. Caso contrário, ou seja, optando por uma alternativa incorreta, receberá um feedback com uma sugestão. Assim, o estudante volta para a tarefa e continua. Se o estudante tiver uma dúvida para iniciar a resolução, poderá ter acesso a uma ajuda e voltar para a tarefa para prosseguir. radecemos a sua colaboração, e ficamos a disposição para qualquer dúvida e/ou esclarecimento.

: Agamenon Pereira Xavier e-mail: agapxavier@yahoo.com.br Orientadora: Dra. Amanda Amantes Esta tarefa pretende iniciar o conteúdo de limite de uma função em um ponto, que é uma parte importante no curso de cálculo. Partimos de ideias básicas, como taxa de variação do deslocamento em relação ao intervalo de tempo, a partir de valores próximos de um instante considerado. Vamos, a partir desta tarefa, mobilizar outras tarefas com o intuito de conduzir as ideias de limite de uma função. 

Figura 1 -Figura 5 -Figura 12 -

 1512 Figura 1 -Desenho de pesquisa ............................................................................................... Figura 2 -Etapas da transposição didática e o MER ............................................................... Figura 3 -Linha do tempo -Limites ....................................................................................... Figura 4 -Ideias que envolvem o conceito de Limite .............................................................. Figura 5 -Mapa Epistemológico -Parte I ............................................................................... Figura 6 -Mapa Epistemológico -Parte II .............................................................................. Figura 7 -Mapa Epistemológico -Parte III .......................................................................... Figura 8 -Componente Curricular de Cálculo Diferencial e Integral I ................................. Figura 9 -Organizações Didáticas: modelo proposto por Gascón (2003) ............................. Figura 10 -Reta tangente ....................................................................................................... Figura 11 -Encontrando a reta tangente à curva ................................................................... Figura 12 -Continuidade e limite .......................................................................................... Figura 13 -Limite de uma função em Guidorizzi (2003) ...................................................... Figura 14 -Solução do exemplo 3 de Guidorizzi (2003)....................................................... Figura 15 -Reta tangente ....................................................................................................... Figura 16 -Limite de uma função.......................................................................................... Figura 17 -Exemplo de representação gráfica do limite de f ................................................ Figura 18 -Resposta do estudante fictício de nome João ...................................................... Figura 19 -Resposta da estudante fictícia de nome Érica ..................................................... Figura 20 -Resposta do estudante x12 à afirmação de Érica .................................................. Figura 21 -Resposta do estudante y31 em relação à afirmação da estudante Érica: .............. Figura 22 -Resposta do estudante fictício de nome Gabriel ................................................. Figura 23 -Resposta da estudante fictícia de nome Vitória .................................................. Figura 24 -Resposta da estudante fictícia de nome Ana ....................................................... Figura 25 -Resposta do estudante y35 .................................................................................... Figura 26 -Resposta do estudante y17 .................................................................................... Figura 27 -Resposta do estudante y44 .................................................................................... Figura 28 -Resposta do estudante fictício de nome José ...................................................... Figura 29 -Repostas dos estudantes y33 e y45 em relação à afirmação do José ..................... Figura 30 -Resposta do estudante y10.................................................................................... Figura 31 -Resposta do estudante x33 ....................................................................................

  Figura x10, x15, x20, x34, y1, y35, y15, y17, y27, y30, y36, y48, z4, z10 e z27 .................................................................................................................................

  Digitais da Informação e Comunicação ............... CAPÍTULO 3 .......................................................................................................................... 3 MODELO PARAXEOLÓGICO DOMINANTE ............................................................. 3.1 Aspectos históricos e epistemológicos: evolução da noção de limite de funções reais ..... 3.1.1 O problema da área ......................................................................................................... 3.1.2 O problema da tangente .................................................................................................. 3.1.3 Os fundamentos do Cálculo ............................................................................................. 3.1.4 Influências da filosofia da Matemática no século XIX .................................................... 3.1.5 Buscando um rigor para as bases do Cálculo ................................................................. 3.2 Algumas pesquisas sobre o estudo de limites de funções ................................................3.2.1 Trabalhos Internacionais ..............................................................................................

Figura 1 -

 1 Figura 1 -Desenho de pesquisa

Figura 2 -

 2 Figura 2 -Etapas da transposição didática e o MER

  é formada por um modelo denominado de Organização Praxeológica ou Quarteto Praxeológico, denotado por ℘ = [T, τ, θ, Θ]. O bloco [T, τ] é denominado de prático-técnico ou bloco do saber-fazer; e o bloco [θ, Θ] é denominado tecnológico-teórico ou bloco do saber.

  materializará o Modelo Praxeológico Dominante (MPD), ou seja, este está relacionado com o modelo praxeológico vigente nas instituições pesquisadas. Baseamo-nos, inicialmente, nas ideias de Bosch e Gascón (2010) e Farras, Bosch e Gascón (2013) sobre ideias do Modelo Epistemológico Dominante. Posteriormente, em Chaachoua, Bessot e Kaspary (2021, p. 353, tradução nossa), que afirmam: "ser consistente com o desenvolvimento da TAD, os dois modelos MER e MED serão descritos em termos de praxeologias: Modelo Praxeológico de Referência (MPR) e Modelo Praxeológico Dominante (MPD)". Nesse caso, consideraremos o saber de referência noção de limite a fim de enriquecer nossas análises, coadunando com as ideias de Mariana Bosch sobre modelos praxeológicos:

  descreve a epistemologia como a teoria do conhecimento, composta por fontes e validade do conhecimento, uma crença verdadeira e justificada, moldada no racionalismo e no empirismo. Assim, a epistemologia oportuniza o enredo histórico sobre o limite, possibilitando o conhecimento das etapas de sua elaboração dentro do contexto do Cálculo Diferencial e Integral I 43 . O conceito limite pode ser considerado como um alicerce do Cálculo, pois conceitos posteriores como de derivada e de integral são construídos a partir dele, como limites particulares. Além disso, Doumbia (2020, p. 71) ressalta que é uma noção complexa e 43 Sempre que apresentarmos a palavra Cálculo se referenciará a Cálculo Diferencial e Integral I.

  Os matemáticos se depararam com o problema de determinar a reta tangente t: y=mx+n (m, n ) a uma curva com uma equação y=f(x), em um determinado ponto. Mas, para encontrar tal reta, é necessário encontrar a inclinação m, que em geometria analítica é denominada de coeficiente angular da reta. Para encontrar essa inclinação m, são suficientes dois pontos distintos da curva. Entretanto, a princípio só possui um ponto P(a,f(a)), o ponto de tangência. Para isso, determinamos outro ponto genérico da curva Q(x,f(x)), em que o valor de m pode ser escrita na forma: (1) Este é o coeficiente angular da reta secante. Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente, aproxima-se a reta secante da reta tangente como sua "posição-limite" o ponto Q do ponto que P, onde reescrevemos a equação (1) da seguinte forma:

  De acordoLima (2003, p. 51), enquanto Newton apresentava ideias de fluentes (variáveis que podem aumentar ou diminuir com o tempo) e fluxões (as velocidades obtidas através da variação dos fluentes ou momentos das quantidades fluentes), Leibniz considerava diferencial como uma quantidade infinitamente pequena estabelecida da diferença entre dois valores de uma variável que estão infinitamente próximos um do outro. Assim, Newton estabelecia que a fluxão era o produto da velocidade com uma quantidade infinitamente pequena "o", estabelecendo uma relação entre fluentes e fluxão.

Figura 3 -

 3 Figura 3 -Linha do tempo -Limites

Figura 4 -

 4 Figura 4 -Ideias que envolvem o conceito de Limite

Figura 5 -

 5 Figura 5 -Mapa Epistemológico -Parte I

A

  forma como são construídos os conceitos e ensinados a responder com a definição formal podem, segundoTall e Vinner (1981, p. 152), apresentar uma imagem inadequada do conceito, pois quando o conceito cumpre funções definidas em um contexto mais amplo, o estudante pode ser incapaz de lidar com esses conceitos, contendo provavelmente fatores que conflitem com a definição formal. Alguns desses fatores são sutis e podem nem ser conscientemente observados pelo indivíduo, mas eles podem causar confusão ao lidar com a teoria formal.No caso de limite, por exemplo, de acordoTall e Vinner (1981, p. 153), a definição verbal de limite "sn → s" -que pode ser escrita "podemos fazer sn tão perto de s quanto desejar, desde que tomemos n suficientemente grande"induz, em muitos estudantes, a noção de que sn não pode ser igual a s, como apresentamos emTall e Schwarzenberger (1978, p. 153). Ainda de acordo autores, no estudante, essa noção faz parte de sua imagem conceitual, mas não sendo reconhecido pelos matemáticos como parte da teoria formal.Os autores definem uma parte da imagem conceitual ou da definição conceitual que pode conflitar com outra parte da imagem ou definição conceitual como um potencial fator de conflito.(TALL; VINNER, 1981, p. 153). Segundo os autores, em certas circunstâncias, fatores de conflito cognitivo podem ser evocados subconscientemente com o conflito apenas se manifestando por uma vaga sensação de inquietação. Sendo um tipo mais sério de fator de conflito em potencial àquele na imagem conceitual que está em desacordo não com outra parte da imagem conceitual, mas com a definição formal do conceito.(TALL; VINNER, 1981, p. 154), o que pode ocasionar problemas relevantes, ou seja:Tais fatores podem impedir seriamente a aprendizagem de uma teoria formal, pois eles não podem se tornar fatores reais de conflito cognitivo a menos que a definição formal do conceito desenvolva uma imagem conceitual que possa produzir um conflito cognitivo. Os alunos com um potencial fator de conflito em sua imagem conceitual pode ser seguros em suas próprias interpretações das noções preocupados e simplesmente consideram a teoria formal inoperante e supérflua. (TALL; VINNER, 1981, p. 154, tradução nossa).73 Os autores, de acordo com sua abordagem, apresentam problemas práticos como os relacionados com limite, e exemplificam através de noções, como (i) limite de uma sequência e (ii) limite de uma função .Devido a considerações práticas e à necessidade de aprender o Cálculo o mais cedo possível, leva-nos à noção de um limite de uma função em que está sendo discutida diferenciação, como:

  possibilite aos estudantes estabelecer uma relação mais adequada com o objeto limite, corroborando para a compreensão sobre o conceito em construção. Ao passo que[START_REF] Tall | Conflicts in the learning of Real Numbers and Limits[END_REF] trabalharam com a noção de limite de sequências, buscamos trabalhar com funções reais. EnquantoTall e Vinner (1981) trabalharam com imagem conceitual e definição conceitual, nós exploraremos os ostensivos e não ostensivos e as diferentes praxeologias apresentadas pelos estudantes, de modo que auxiliem em nossas análises.Em continuação, a tese de Bernad[START_REF] Cornu | Aprentissage de la notion de limite: Conceptions et obstacles[END_REF], cujo título é Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles 76 , apresenta como objetivo detectar as concepções dos estudantes em relação ao conceito de limite e os obstáculos relativos à aprendizagem desse conceito. A fim de investigar isso, Cornu realizou testes e entrevistas para identificar as ideias que os estudantes possuíam a respeito das expressões "limite" e "tende para". Para tanto, realizou um estudo sobre os obstáculos e erros (didáticos relativos aos conceitos), bem como as origens históricas dos obstáculos epistemológicos relativos à noção de limite. Em relação às concepções espontâneas e próprias, Cornu recorre aos trabalhos de D. Tall e S. Vinner, e finaliza sua tese com uma sequência didática propondo atividades para entendimento da noção de limite.

  exprime um mapeamento conceitual do Cálculo para se chegar a tais dificuldades. Através desse mapa conceitual, o autor destaca cinco eixos que estruturam o ensino de Cálculo: O eixo discreto/contínuo, que se materializou historicamente nos paradoxos de Zenão e no problema da incomensurabilidade de certos segmentos geométricos, sendo retomado na Idade Média e, posteriormente, através dos filósofos que associaram a outras questões, como o problema da variabilidade de grandezas físicas. No auge da invenção do Cálculo, procurou-se interpretar a ideia de continuidade através da intuição de movimentos contínuos e variáveis contínuas ondealém de Newton, Euler e Lagrange -Cauchy retoma a questão e resolve o problema da fundamentação das ideias do Cálculo, mas não o da dualidade discreto/contínuo.

  todos esses problemas indicados "trazem à tona discussões sobre a necessidade de se fazer a introdução do conceito de limite de funções já no Ensino Médio". A autora articula que na França o trabalho do conceito de limite é introduzido no lycée (Ensino Médio) nas classes de Première e Terminale (equivalentes ao segundo e terceiro anos do Ensino Médio brasileiro), sendo apresentado de maneira menos formal, como mostram Boletins Oficiais Especiais do Ministério da Educação Nacional da França com indicações dos conteúdos que devem ser trabalhados, assim como orientações para o trabalho dos professores do lycée (BURIGATO, 2019, p. 73). No Brasil, a autora, citando Carvalho (1996) e Silva (2011), diz que esse conceito já́ fez parte do Ensino Médio, sendo retirado do programa em 1961, e que algumas dessas propostas apresentavam apenas uma abordagem intuitiva, e outras com o conceito de limite no estudo das sequências. Dessa forma, Burigato (2019, p. 77) informa que o conceito de limite será retomado no

  De acordo com documentos oficiais, como PPC 98 (Projeto Pedagógico do Curso), podemos verificar a ementa do componente de Cálculo Diferencial e Integral I (CET146), que possui 85 horas e nenhum pré-requisito. Assim, vemos explicitamente um dos lugares onde vive o objeto limite (Figura 8) e, implicitamente, faz parte de outros objetos também presentes na ementa como continuidade, derivadas e integrais.

Figura 8 -

 8 Figura 8 -Componente Curricular de Cálculo Diferencial e Integral I

  Métodos de integração. Integral Definida e Aplicações. Estudo das funções reais de várias variáveis: limite, continuidade, derivadas parciais e derivada total; aplicações.Integrais duplas.(UFRB, 2011, p. 35).Componente de natureza obrigatória, com carga horária de 85 horas. Nesse momento, faz-se necessário que os estudantes apresentem os conhecimentos adquiridos no componente de Cálculo I, como limite de funções de uma variável real para, portanto, compreender os assuntos abordados como limite de funções de várias variáveis e continuidade. Assim, temos de forma explícita um nicho em relação a esse objeto, onde podemos perceber o seu espaço nesse ecossistema didático.B) ANÁLISE I (CET173)Ementa: Números reais. Limite de sequências. Séries numéricas. Limite e continuidade de funções. Derivada de uma função e suas aplicações. Teorema Fundamental do Cálculo. Série de Taylor de uma função.(UFRB, 2011, p. 42).Componente de natureza obrigatória, com carga horária de 85 horas. Esse componente curricular se destina a quem deseja uma formação inicial em Matemática e, posteriormente, conseguir a terminalidade de Matemática ao concluir o BCET, pois no último ano já é possível realizar componentes da área que o estudante deseja prosseguir do bloco específico Matemática, Física ou Engenharia, podendo mudar de componente, caso este não seja do seu interesse.C) FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA (CET179)Ementa: Álgebra e Geometria dos números complexos. Limite, continuidade e derivada das funções de uma variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann: funções analíticas. Analiticidade das funções elementares. Teorema de Cauchy. Séries de potências.Resíduos e polos: aplicação ao cálculo de integrais reais.(UFRB, 2011, pp. 45-46). Componente de natureza obrigatória, com carga horária de 68 horas.Os Componentes Curriculares B e C se referem ao estudante que vai realizar o Bacharelado com uma formação inicial em Matemática. Dessa forma, o conceito de limite é aprofundado com a continuidade do conceito construído anteriormente.D) FUNÇÕES ANALÍTICAS (CET194)Ementa: Álgebra e Geometria dos números complexos. Limite, continuidade e derivada das funções de uma variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann: funções analíticas. Analiticidade das funções elementares. Teorema de Cauchy. Séries de potências.Resíduos e polos: aplicação ao cálculo de integrais reais.(UFRB, 2011, p. 50). Componente de natureza optativa, com carga horária de 68 horas.E) CÁLCULO AVANÇADO (CET189)Ementa: O estudo mais aprofundado das funções de várias variáveis: limite, continuidade e derivada, com ênfase nas funções reais. Teorema da função implícita e inversa: Aplicações: máximos e mínimos das funções reais (UFRB, 2011, p. 51). Componente de natureza optativa, com carga horária de 68 horas.Já os Componentes Curriculares D e E são de natureza optativa e são normalmente escolhidos pelos estudantes que procuram, posteriormente, continuar na área de Matemática, e notamos que aparece também de forma explícita o conceito de limite, de forma que é importante um conhecimento prévio do estudante para que possa compreender melhor tais elementos nesses componentes curriculares.Sobre a avaliação proposta no PPC (UFRB, 2011, p. 31) temos:Durante o semestre letivo o aluno será avaliado por atividades acadêmicas. Entendese por atividades escolares relatórios, viagens técnicas e estágios, pesquisas bibliográficas, elaboração de projetos, trabalhos práticos e execução de projetos, avaliações escritas e/ou orais, exercícios, seminários executados durante o semestre letivo e outras atividades estabelecidas pelos docentes e registradas nos planos de cursos.

Figura 10 -

 10 Figura 10 -Reta tangente

Figura 12 -

 12 Figura 12 -Continuidade e limite

Figura 14 -

 14 Figura 14 -Solução do exemplo 3 de[START_REF] Guidorizzi | Um curso de Cálculo[END_REF] 

Figura 15 -

 15 Figura 15 -Reta tangente

  51,001 -2 = 3,005 1,111111 51,000001 -2 = 3,000005 Fonte: Dados da pesquisa (2021)

  Figura 17:

  tende a 'a' por valores menores será a função f(x).", não está clara essa justificativa; y28: "Errado, pois o valor de f(x) pode ser inferior ou igual a L.", mas pode ser superior também, e o estudante não levou em consideração; y44: "Não, pois o módulo do intervalo para x > a e x < a podem ser tomados.", a expressão "o módulo do intervalo" não ficou esclarecida. Para z4: "Errado, não vale para somente valores menores de a. Pode ser usados valores para a positivo e negativo.", não ficou clara a questão do positivo e negativo. Conjecturamos que o estudante considere que valores negativos são menores do que a e positivo maiores que a, o que não é verdade necessariamente, só seria verdade se a for zero, pois assim, os valores próximos de a seriam negativos (menores do que a) e positivos (maiores do que a). Vejamos z10: "Está incorreto, pois o valor de L é absoluto.", ou seja, não pode ser negativo? Não tem a ver se pode ser negativo ou positivo para o valor do limite. Também, para o valor de a (ser positivo ou negativo) temos a resposta de z31: "Acho que está incorreto, pois o x ele se aproxima por valores maiores que a já que a é positivo.", não necessariamente o a tem que ser positivo.

Figura 20 -

 20 Figura 20 -Resposta do estudante x12 à afirmação de Érica

Figura 22 -

 22 Figura 22 -Resposta do estudante fictício de nome Gabriel

  [a, x] e [x, a] forem L, então f(x) = L = f(a)."; x31: "Correto, como a função é proporcional a 'a', e o limite de f(x) = L quando x tende a 'a', então o quão próximo de a, estará tão próximo de L.", não está claro o fato de a função ser proporcional a a e afirma que f(x) deve ser igual a L, o que não está correto. Dos estudantes, 21 responderam que estava correto a afirmação de Gabriel sem apresentar nenhuma justificativa, o que, ao nosso olhar, possivelmente os estudantes não sabem explicar ou mesmo justificar a sua escolha.Passemos a analisar as respostas dos estudantes que responderam que estava incorreta a afirmação do Gabriel. Para y43: "Incorreta. Não é válida, porque quando x se aproxima cada vez mais de a, a função f(x) é igual a L.", ou seja, apresenta a ideia de continuidade atrelado a existência do limite, como falamos anteriormente. No caso de y15: "Errado, porque não é sempre que x se aproxima de L.", percebemos que o estudante não compreendeu de forma satisfatória o conceito de função, como também acontece na resposta de y27: "Incorreto, pois x pode tender à a pela esquerda e f(x) se aproximar de a, por valores menores que a, e ao tender à a pela direita recebe um valor que não é próximo de a, ou vice-versa.". Para y17: "Incorreto, pois x tem que se aproximar pela direita e pela esquerda.", ou seja, para y17, a afirmação de Gabriel não possibilitou estabelecer ideias de valores próximos pela direita ou pela esquerda. Para y24: "Não. Porque há funções em que não conseguimos determinar o limite.", realmente existem funções que não existe o limite, porém não é esse o caso, pois foi afirmado que existe, e estávamos apenas perguntando se a afirmação do estudante Gabriel é verdadeira. Conjecturamos que os estudantes (em alguns casos) não tenham lembrado ou mesmo compreendido a pergunta inicial: "Qual o significado de lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿?", pois para y25: "Incorreto, não necessariamente isso pode acontecer, em determinadas funções, mas em outras funções pode haver indeterminações e nem existir.". Algumas das afirmações têm a ver com a compreensão sobre continuidade. Vejamos y26: "Incorreto. Caso a função seja descontínua em algum ponto do gráfico, o limite L não irá existir."; y40: "Não, f(x) não se aproxima de L, ele é igual a L."; z19: "Não está correta, f(x) sempre será igual a L.". Normalmente, nas respostas observadas, sempre é associada à ideia de que, para existir o limite, a função deverá ser contínua, o que é um equívoco, pois podemos ter funções descontínuas e, mesmo assim, existir o limite. Além disso, alguns estudantes apresentaram justificativas totalmente fora de contexto, como observemos em x12: "Não, é somente possível que L tenda ao infinito como as assíntotas."; y31: "Não, se x se aproxima de 'a' então L se aproxima de 'a'.", o L não pode se aproximar de a, pois um valor está no eixo das abscissas e o outro no eixo das ordenadas; z10: "Está incorreto, pois o valor de L é absoluto."; z20: "Incorreta. Porque o x pode ser tanto inferior quanto superior a L.".

Figura 24 -

 24 Figura 24 -Resposta da estudante fictícia de nome Ana

Figura 25 -

 25 Figura 25 -Resposta do estudante y35

  Figura 26 -Resposta do estudante y17

Figura 28 -

 28 Figura 28 -Resposta do estudante fictício de nome José

  Figura 29 -Repostas dos estudantes y33 e y45 em relação à afirmação do José

  Temos também os que responderam como incorreta, porém com argumentos incoerentes. Vamos destacar algumas destas respostas. Para x2: "Falso. Seria de 'f(x)'.", o estudante tem a ideia que a função não é f e sim f(x), porém é um erro comum, pois f é a função e f(x) a imagem de f em x. Outros estudantes se expressaram da mesma forma, por exemplo, x 8 : "É falso, seria a imagem de 'a' por 'f(x)' é L.".Para alguns, o valor da função não pode ser igual a L e sim tender a L, por exemplo, y28: "Errado. Cai no mesmo caso de José, x é suficientemente próximo, porém não é o próprio a.Logo, 𝑓(𝑎) ≠ 𝐿."; y18: "Incorreto, ela não é igual a 'L' ela tende a 'L'.". Para outros existe a questão de pertencer ou não ao domínio da função, por exemplo, y36: "Incorreto, pois a nem sempre pode estar no domínio da f(x).", porém pode está no domínio da f (e não f(x)) e não coincidir com o limite. Para x31: "Errado, é a imagem de f por a é L."; x10: "Incorreta. Na verdade a imagem a aplicada a f é L.", não está tão claro, mas a imagem nem sempre será L, pois pode não possuir imagem no ponto a, ou mesmo a imagem ser diferente de L.Para x 17 : "Incorreto. 'a' é apenas um ponto no intervalo de f(x).", não tem como a pertencer ao intervalo f(x), pois f(x) é a imagem do ponto x; y17: "Errado, por f(a) não é L, e sim um número muito próximo a L.", apesar de ser sutil, mas ou f(a) é igual a L ou é diferente de L, ou mesmo não está definido, não pode acontecer de f(a) ser próximo de L.Argumentações não claras: x30: "Falso, pois é a imagem de f(x) quando tende a."; z12, z17: "Incorreto, a é o contradomínio."; y44: "Não. Pois seria um valor próximo de f(x) = L."; z2: "Está incorreta, porque a por f é uma razão."; z10: "Está incorreto. A imagem (a) não f por L.".

Figura 33 -

 33 Figura 33 -Resposta do estudante z32:

Figura 34 -

 34 Figura 34 -Resposta do estudante fictício de nome Mateus

  temos que f(x) = f(a), que é uma função contínua, para todo 𝑎 ∈ ℝ.". O correto seria lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) e não f(x) = f(a) para a função ser contínua em x = a. Essas ideias aproximamse da ideia do limite de uma função em um ponto, pois na definição de limite considera-se x um ponto de acumulação. Já para y10: "Incorreta, o x não deve ser igual a a, pois isso daria uma possível quebra da definição.". Coerente à resposta de y10, pois cabe observar que, se a é um ponto isolado qualquer do domínio de uma função f, então f é contínua em a, por definição. Limite exige que a seja um ponto de acumulação do domínio da função, enquanto continuidade exige que a esteja no domínio da função. Veja, a definição de limite de uma função em um ponto, seja f uma função real e x um número pertencente ao domínio de f, lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿, temos: ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 Enquanto a definição de continuidade, seja f uma função e a um ponto do seu domínio, f será contínua se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), ou seja:

Figura 35 -

 35 Figura 35 -Resposta da estudante fictícia de nome Luísa

Figura 36 -

 36 Figura 36 -Resposta do estudante fictício de nome Silas

Figura 37 -

 37 Figura 37 -Resposta do estudante fictício de nome Lucas

Figura 38 -

 38 Figura 38 -Gráfico do estudante y43

Figura 40 -

 40 Figura 40 -Resposta da estudante fictício de nome Ricardo

Figura 42 -

 42 Figura 42 -Resposta do estudante fictício de nome Danilo

Figura 43 -

 43 Figura 43 -Resposta da estudante fictícia de nome Ester

Figura 44 -

 44 Figura 44 -Resposta da estudante fictício de nome Marcos

Figura 45 -

 45 Figura 45 -Resposta do estudante fictício de nome Rafael

  Figura 49 -Resposta do estudante x24

Figura 51 -

 51 Figura 51 -Resposta do estudante x2

Figura 54 -

 54 Figura 54 -Resposta do estudante z15

Figura 55 -

 55 Figura 55 -Resposta do estudante x10

Figura 56 -

 56 Figura 56 -Resposta dos estudantes y 7 e y 11

Figura 58 -

 58 Figura 58 -Respostas dos estudantes z29, z34

Figura 59 -

 59 Figura 59 -Resposta do estudante z23

Figura 60 -

 60 Figura 60 -Resposta do estudante z24

Figura 64 -

 64 Figura 64 -Respostas dos estudantes x1,

Fonte:

  Figura 65 -Resposta do estudante x14

Figura 66 -

 66 Figura 66 -Resposta do estudante z 13

Figura 68 -

 68 Figura 68 -Resposta do estudante y28

Figura 70 -

 70 Figura 70 -Resposta do estudante x22

Figura 72 -

 72 Figura 72 -Resposta do estudante y3

Figura 76 -

 76 Figura 76 -Resposta do estudante y11

Figura 80 -

 80 Figura 80 -Resposta do estudante

Figura 82 -

 82 Figura 82 -Resposta do estudante y12

Figura 84 -

 84 Figura 84 -Resposta do estudante y43

Figura 86 -

 86 Figura 86 -Resposta do estudante z2

Figura 87 -

 87 Figura 87 -Resposta do estudante z12

  Figura 89 -Pergunta inicial Q5.1

Quadro 2 -

 2 Quadro 2 -Questão Q5.2 sobre o ensino da definição de limite

  P9 infere: "Eu acho que é melhor explicar limites antes de Derivadas. Prefiro não ensinar Derivadas só usando as regras formais, pois com isso é difícil entender o que eles significam." Ou seja, para P9 é interessante apresentar derivadas a partir de limites para que o estudante possa compreender as justificativas de tais regras. Para P7, "O problema maior é que se priorizam os procedimentos em detrimento da compreensão conceitual. Faz-se contas, sem se entender o que se faz e/ou por que se faz dessa ou daquela forma...". Nesses casos, frequentemente, existe uma preocupação para trabalhar com o cálculo de limites, onde o cálculo direto por substituição, na maioria das vezes, não é possível, como abordamos nas técnicas apresentadas pelos livros didáticos na subseção 2.2.3, ou seja, as técnicas 8 e 15: Manipulação algébrica para eliminar a indeterminação e, em seguida, substituir o valor do que a variável está tendendo. Em Ávila (2003) e Guidorizzi (2003) tais manipulações algébricas normalmente envolvem apenas ideias da educação básica de produtos notáveis e radicais, e ao final substitui-se o valor da variável, onde, muitas vezes, o estudante não percebe o real motivo de se retirar a indeterminação ou mesmo o porquê é possível realizar tal procedimento, ao invés de trabalhar também elementos do conceito, tecnológico-teóricos (em termos da TAD), pois nesse sentido é importante compreender os conceitos, ou seja, explicações que justificam tais técnicas. Assim, o estudante poderia compreender melhor as ideias e não ficar apenas em técnicas mecanicamente ensinadas (aplicando regras). Então, a proposta não é omitir a praxeologia 2, mas propor meios diferentes de alcançar a aprendizagem. Questionamentos podem aparecer: como ensinar coisas complexas de maneira que elas façam sentido? O grande desafio do professor não é ensinar, mas fazer com que o aluno aprenda! Para nós, a falta de formalização, pode levar a representações errôneas de ideias sobre o limite de funções e, consequentemente, uma falta de fundamentação, como foi apresentado por Juter (2006) nos seus resultados com estudantes de Cálculo. Destaquemos alguns: as manipulações com símbolos eram feitas de tal maneira que mostravam que os estudantes foram incapazes de compreender o que os símbolos representavam; as representações intuitivas dos conceitos desenvolviam concepções ainda não desenvolvidas totalmente que geraram alguns erros, interferindo na representação formal dos limites pelos alunos; a questão dos quantificadores na definição formal do limite pareceu um mistério para muitos alunos durante todo o semestre; os alunos tiveram sérios problemas em preencher a lacuna entre o intuitivo ou percepção procedimental para o formal e percepção do limite.

O

  como fazer é uma questão importante para o professor que realiza a transposição do saber. É possível verificar que o ensino de Cálculo Diferencial e Integral se dá na ordem inversa de suas descobertas. O Cálculo começou lá atrás com a Integral, depois Newton e Leibniz criaram o Cálculo moderno a partir da derivada. Nesses saberes, limite se fazia presente de forma implícita, mas demandou um bom tempo até a consolidação do seu entendimento formal quase 200 anos após a descoberta da derivada. Ao estudarmos limite, muitas vezes, nos deparamos com obstáculos que os matemáticos se defrontaram em outros tempos, daí a existência de um grande número de trabalhos de pesquisa sobre os entraves epistemológicos no ensino de limite.

  e UNESP (2015, p. 78), que propõem, desde o início deste, um componente que antecede o Cálculo, atividades que possam ajudar a compreender posteriormente os conceitos do Cálculo como limites, derivadas e integrais.

  os matemáticos nunca se sentiram confortáveis com o conceito de infinito e, de alguma forma, o cálculo evidenciou essa preocupação. Como já mencionamos, o George Berkeley (1685-1753) realizou uma refutação bem argumentada sobre o cálculo exposto por Newton e Leibniz que, de acordo Ronney (2012, p. 160), acarretou em um produtivo debate que levou a uma rigorosa definição de limites e infinito, beneficiando o desenvolvimento do cálculo e emergindo dele a Análise Matemática.

Figura 91 -

 91 Figura 91 -Definição de limite pelo professor Px

Figura 95 -

 95 Figura 95 -Primeira atividade proposta em um primeiro ambiente

Figura 96 -

 96 Figura 96 -Estudante Paulo na resolução da atividade A2

Figura 97 -

 97 Figura 97 -Estudante Paulo na resolução da Atividade Complementar (Figura 96)

Figura 98 -

 98 Figura 98 -Interação do professor e o estudante Paulo sobre a atividade A2

  Consideramos como modelo alternativo que é formado a partir das análises realizadas anteriormente. Explicitado o MPR, traremos no Capítulo 5 a nossa Engenharia Didática (ED), com as atividades intencionalmente construídas através de um Percurso Formativo Digital (PFD), que compõe o nosso MPFA. O MPR foi realizado com base nas condições e restrições demonstradas no Modelo Praxeológico Dominante (MPD), sendo fundamentado nos seguintes aspectos: a razão de ser para o ensino de limites, explicitado a partir da análise dos elementos históricos e epistemológicos do saber limite de funções reais, atividades de outros trabalhos consultados e de elementos da avaliação formativa juntamente com os momentos didáticos proposto pela TAD. Assim, nesse capítulo, apresentaremos uma discussão sobre: Q8: Qual a importância do conceito de limite nos cursos de Cálculo? Q9: Como poderia ser uma organização matemática para o trabalho com as noções de limites? Q9.1: Como a regulação e o feedback poderão contribuir no trabalho com a noção de limite de acordo com as praxeologias construídas pelos estudantes? Q9.2: De que forma um dispositivo digital possibilita a interação com os estudantes durante o sistema didático instaurado? Tais questões nortearão nossas discussões sobre o modelo proposto. A partir da observação e comprovação das dificuldades dos estudantes em relação ao objeto de limite e à incompletude do trabalho institucional, ao final do MPD, é que se construiu o MPR. Por isso, nesse terceiro eixo, tratamos de um Modelo Praxeológico de Referência (MPR), não como modelo absoluto, mas relativo, que propõe um modo de ver o problema, bem como os caminhos para enfrentá-lo, ou seja, como suporte a uma resposta didática ao problema apontado. Esse modelo de referência abre caminho para projetar-se um Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), aquele que o investigador projeta para uma determinada instituição considerando as especificidades desta (BOSCH; GASCÓN, 2010).O MPR começou com atividades sobre conceitos-chave para construção das praxeologias em torno das noções de limites de funções. Em seguida, foi exposta uma tarefa com um problema real relacionado ao conceito de aproximação, envolvendo a velocidade instantânea e a velocidade média de um ciclista ao descer uma ladeira, de acordo a equação horária da posição fornecida, em função do tempo. Buscamos articular tanto as praxeologias 1 e 2, apresentadas nas respostas dos professores (seção 3.3.4) e nas dificuldades apresentadas pelos estudantes (seção 3.3.3), sendo adaptado a partir das análises nos livros didáticos (seção 3.3.2) e dos trabalhos sobre limites (seção 3.2) e de acordo com nossa hipótese (H0). Somada a tais características, colocamos também elementos da avaliação formativa como o feedback e autorregulação, como também praxeologias dos estudantes e momentos didáticos em ambientes virtuais de aprendizagens. Assim, apresentaremos o Modelo Praxeológico de Referência, que fundamenta a nossa engenharia didática.

4. 3 . 1 . 1

 311 Números reaisPara compreender as noções de limites de funções reais (cujo conjunto domínio é números reais ℝ), é necessário entender a noção do conjunto dos números reais. De acordoLima et al. (2006, p. 52), quando lidamos com grandezas ditas contínuas, estamos diretamente conduzindo a ideia de número real. Desde a época dos gregos, surgiu a necessidade do conjunto dos números reais com a questão dos segmentos comensuráveis e incomensuráveis. Mas, de acordoRibenboim (2012, p. 25), somente na segunda metade do século XIX, os números reais foram construídos de forma rigorosa e precisa com contribuições de, por exemplo, GeorgeCantor (1845-1918) e Julius Weihelm Richard Dedekind (1831-1916). Os números reais, como um conjunto numérico, são relevantes, bem como a questão de densidade do conjunto dos números reais, pois traz à tona o estudo do infinito; além da questão do infinito pequeno (infinitésimo) e infinito grande, relacionados a intervalos numéricos ilimitados superiormente e inferiormente, assim como os intervalos abertos e fechados são saberes interligados.Existem outros conjuntos que fazem parte dos números reais, como: os números inteiros, descritos como ℤ = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}; os números racionais, aqueles que podem ser escritos como a razão entre dois números inteiros, ou seja, ℚ = { os números irracionais (𝕀), que são aqueles que não podem ser expressos como razão de dois números inteiros, ou seja, são os decimais não exatos e não periódicos, por exemplo, √2 = 1,414223562373095..., √7; π = 3,141592653589793..., e = 2,71828; sen 1 = 0,8414709848... ; 𝑙𝑜𝑔 2=0,3010299957... À reunião dos elementos do conjunto dos números racionais e irracionais denominamos de números reais. Faz-se importante que o estudante perceba a infinidade de números que podemos explicitar e, por conseguinte, expor tais números na reta numérica ressaltando que cada número real tem o correspondente na reta numérica, ou seja, existe uma correspondência biunívoca entres os pontos da reta e o conjunto dos números reais (figura 99).

Figura 99 -

 99 Figura 99 -A reta real

  Figura 100 -Tela 13 da atividade sobre números reais

  Figura 101 -Representação do módulo na reta real

Figura 102 - 5 .

 1025 Figura 102 -Diferença entre números em valor absoluto na reta real

Figura 105 -

 105 Figura 105 -Tela 22 da atividade sobre valor absoluto

  Quadro 2 -Praxeologias matemáticas sobre valor absoluto 127 Tipo de tarefa (T) Técnica (τ) Discurso tecnológico-teórico [θ-ϴ] T1: Encontrar o valor absoluto de um número real; τ1: Com a definição de valor absoluto, expressar o módulo de um número real; [θ-ϴ]: Conceito de valor absoluto na Análise real.

Quadro 4 -Tipo

 4 Quadro 4 -Praxeologias matemáticas sobre noções de limite de funções 130 Tipo de tarefa (T) Técnica (τ) Discurso tecnológicoteórico [θ-ϴ] T1: Preencher uma tabela encontrando a velocidade média em um intervalo de tempo; τ1: A partir da função horária da posição em função do tempo, encontrar a velocidade média pela fórmula 𝑣 𝑚 = ∆𝑆 ∆𝑡 ;

  Figura 107 -Momentos didáticos de uma Organização Didática

Figura 108 -

 108 Figura 108 -Autonomia do estudante e a relação com objeto do saber

  Digital em uma Organização DidáticaAgora, para responder o questionamento a seguir: Q9.2: De que forma um dispositivo digital possibilita a interação com os estudantes durante o sistema didático instaurado? Vamos buscar nas tecnologias digitais recursos que possam contribuir para colocar em funcionamento a organização matemática e didática em descritas anteriormente.A nosso ver, conjecturamos que, com as ferramentas digitais disponibilizadas é possível potencializar o feedback entre os estudantes e o diretor de estudo (seja o professor ou os monitores). Primeiramente, pensamos em um ambiente de modo que os estudantes fossem capazes de postarem rascunhos das respostas das atividades proposta extraclasse, de forma que o professor ou o monitor fosse capaz de fornecer feedbacks adequados durante a resolução, e com isto, o estudante realizar uma autorregulação da sua aprendizagem.O MPR está considerando a construção do conhecimento matemático pelos estudantes, de maneira a criar situações que venha chegar a noção de limite de funções. Através do sistema criado S (X; PFD; φ), em que o conjunto de estudantes (X), o Percurso Formativo Digital (PFD) e a questão ou saber a ser aprendido(φ). Possam interagir, retroagir e desparecer ao final do processo didático como discutimos na seção 4.3.2.Ressaltando novamente que o MPR sempre terá um caráter relativo e provisório, pois novas perguntas poderão surgir, possibilitando explorar outras respostas que trarão outros modelos de forma parcial possibilitando novas abordagens.Iremos detalhar o nosso pensamento sobre o dispositivo digital de modo a atender as questões levantadas anteriormente. Inicialmente estávamos a procura de um ambiente virtual para trabalhar com o feedback automático (para facilitar o trabalho do professor), com isto, chegamos a construir na plataforma do Google forms em que cada alternativa escolhida pelo estudante levasse a um feedback distinto. Porém, percebemos que desta forma, a sequência ficaria estática e não permitiria o professor fornecer outros tipos de feedbacks aos estudantes.Partimos assim, para outra plataforma digital que tivesse ferramentas tanto matemáticas como também que oportunizasse a questão do feedback do professor e a autorregulação por parte dos estudantes.Com isto, realizamos parte da experimentação pela plataforma Desmos 141 que possibilita o trabalho com ferramentas matemática e também outra parte na plataforma Schoology já que possui uma ferramenta mais adequada para a interação com os estudantes.A plataforma Desmos com um pacote gratuito de ferramentas matemáticas, incluindo calculadora gráfica e científica proporciona uma interação entre gráficos de funções e o movimento de objetos por exemplo, simulando o que acontece com o comportamento de determinado gráfico de acordo o movimento do objeto (como por exemplo, as tarefas da 141 Disponível em: https://www.desmos.com/about?lang=pt-BR atividade 03 na parte de funções). Além disto, é possível construir atividades ou adaptar as que já existem na comunidade Desmos. Já a plataforma do Schoology é um ambiente virtual de aprendizagem que facilita o envio de fotos das atividades construídas e comunicação através de um chat dentro do próprio sistema ao lado de cada postagem. O Schoology utilizamos a versão gratuita, ou seja, sem custo para utilizarmos nas turmas.

  Assim, consoante Bosch eGascón (2010, p. 61), os MDR e os MPR podem ser considerados como instrumentos de emancipação em relação às diferentes instituições, a saber: a classe, a instituição escolar (escola), a sociedade. Dessa forma, estes instrumentos servem em particular, para questionar, analisar e avaliar os modelos epistemológicos e praxeológicos da Matemática e os modelos didáticos mais ou menos espontâneos que constituem a forma cultural de interpretar o ensino e a aprendizagem dos saberes matemáticos.Ainda, para Bosch e Gascón (2010, p. 74) é possível dizer que o professor é responsável tanto pela mesogênese (eleição dos meios necessários para gerar o estudo), quanto pela topogênese (distribuição das tarefas). Como também da cronogênese (planejamento da progressão do estudo) buscando uma maior participação dos estudantes para resolverem os diferentes problemas propostos.

  Física ou alguma Engenharia (seja Civil, Mecânica, Elétrica ou da Computação) que tem previsão de término em um a dois anos. Como mencionado anteriormente, o objeto Limite está previsto na ementa do componente curricular Cálculo I, conforme o PPC do curso e tem uma ligação a outros conceitos tanto do mesmo componente curricular como derivada, integral como de outros como convergência de séries. Desta forma, o ensino de Limite é uma porta de entrada para o conhecimento da Matemática Avançada para os cursos nas áreas de Ciências Exatas e da Terra e Tecnológicas.

  Figura 110 -Tela 4 da atividade sobre valor absoluto

  Em relação ao tipo de Tarefa T 3.2 : Arrastar o ponto que se encontra na origem e explicar sobre tal escolha. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.2: Deslocar o ponto que está na origem do plano cartesiano (centro da figura) para onde o estudante escolher e descrever sobre a sua escolha na caixa à direita; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: A noção de plano cartesiano; A teoria (): Geometria Analítica. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão sobre plano cartesiano.Na tela 3 foi apresentada a seguinte pergunta: "Funções! Para você... o que é uma função?", para podermos conhecer os conceitos prévios dos estudantes, ou seja, sua relação com o objeto função de uma variável real. Já tela 4, são apresentadas várias imagens para o estudante escolher a que melhor representa uma função, com ostensivos distintos, pictórico, gráfico, tabela de valores e conjuntos por diagramas. E, em seguida o estudante poderia explicar o raciocínio da sua escolha da imagem. Lembrando que todos os prints das telas estão no APÊNDICE E -Percurso Formativo Digital.Na tarefa da tela 4, o objetivo é que o estudante escolha a imagem que melhor represente uma função, a partir de diversos ostensivos apresentados, seja em forma de uma pictórica, tabelas, diagramas ou gráfico. Em relação ao tipo de Tarefa T3.4: Escolher a imagem que melhor represente uma função. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.4: A partir dos conhecimentos sobre funções, escolher a imagem que melhor representa uma função. Nesse caso não existem respostas incorretas, apenas opiniões distintas sobre os diferentes ostensivos apresentados; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função de uma variável real; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão sobre funções.Na tela 5 foi proposta a seguinte pergunta: "Para você: Quando escrevemos y = f (x), o que quer dizer cada letra?", para que pudéssemos ter uma noção do equipamento praxeológico que o estudante apresenta sobre o objeto função referente à notação matemática, logo no início da atividade proposta.Na tarefa da tela 5, o objetivo é que o estudante descreva o significado da notação de função normalmente apresentada nos livros didáticos. Em relação ao tipo de Tarefa T3.5:Descreva o que representa cada letra da expressão. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.5: y a imagem da função f pelo domínio x; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função de uma variável real; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão sobre funções.Na tela 6 é apresentada uma introdução com a noção de função envolvendo velocidade, distância e tempo. Tais noções serão exploradas, posteriormente, na Atividade 6 sobre a ideia de velocidade instantânea. Na tela 7, em continuação ao apresentado na tela anterior, são apresentados alguns elementos de função, como conjunto domínio, contradomínio e imagem, como também notações utilizadas. Já a tela 8 apresenta algumas noções do plano cartesiano e representação gráfica, ostensivo esse muito importante para o trabalho em cálculo diferencial e integral. Na tela 9 é apresentado exemplos de pontos e sua representação através dos ostensivos gráficos. Já na tela 10 é solicitado ao estudante que exemplifique por intermédio do ostensivo gráfico, ou seja, no plano cartesiano alguns pontos. Tais pontos estão dispostos tanto sobre os eixos coordenados como nos quadrantes. Os estudantes poderão apenas digitar e os pontos aparecerão automaticamente no plano à sua direita na plataforma Desmos.Na tarefa da tela 10, o objetivo é que o estudante, a partir do ostensivo gráfico, represente os pontos de coordenadas (x, y) no plano cartesiano. Em relação ao tipo de Tarefa T3.10: Represente no plano cartesiano os seguintes pontos C (0,0), D (3,1), E (1,3), F (-2,0), G (0,2), H (-1,-3) e I (-3,4); A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.10: Através da calculadora gráfica, digitar as coordenadas dos pontos e visualizar no plano cartesiano à direita da representação; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é a noção de representação no ℝ x ℝ (conjunto dos números reais cartesiano o conjunto dos números reais); A teoria (): Geometria Analítica. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão em relação ao ostensivo gráfico.Na tela 11 é apresentado um texto relacionado com a noção de função, solicitando uma representação por meio do ostensivo gráfico. Depois de o estudante escolher um dos gráficos, aparece uma opção para explicar o raciocínio. Tinha o seguinte enunciado na tela 11: Associe a situação apresentada a seguir a um dos gráficos dados. Explique sua escolha determinando o que representa cada um dos eixos: "Após um concerto, houve um grande silêncio. Então, uma pessoa na plateia começou a aplaudir. Gradualmente, as pessoas à sua volta também começaram a aplaudir de forma que rapidamente todos estavam aplaudindo e se manifestando". O objetivo é perceber que nem sempre é necessária uma expressão matemática para representar graficamente. Em relação ao tipo de Tarefa T3.11: Explicar a escolha de um dos gráficos que representa a situação do texto e determinar o que representa cada um dos eixos; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.11: Identificar no texto e no gráfico uma correspondência em que o eixo horizontal é o tempo e o eixo vertical a quantidade de pessoas que aplaudem; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função; A teoria ():Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão da noção de função, bem como a interpretação gráfica.Nas tarefas seguintes, buscou-se um exemplo envolvendo deslocamento, velocidade e tempo para trabalhar com a noção de função. Na tela 13 é apresentada uma figura com as seguintes partes: do lado esquerdo, grama, areia e água; do lado direito, um plano cartesiano, com algumas ferramentas na parte superior, como lápis, segmentos, caixa de texto, escrever expressões e borracha. Um plano cartesiano é apresentado da distância em função do tempo, onde o estudante poderia desenhar qualquer gráfico e depois de clicar no play, uma pequena tartaruga caminharia da parte que contém água passando pela areia e indo até a parte da vegetação, de acordo o gráfico construído. A proposta é fazer uma relação entre o objeto se movendo (tartaruga), de acordo com o gráfico desenhado pelo estudante. Tanto o ostensivo gráfico como o ostensivo do vídeo da tartaruga fornecem elementos importantes que estão conectados, evocando outros ostensivos como, por exemplo, velocidade, deslocamento. Normalmente os estudantes testam diferentes possibilidades para verificar o que acontece com a tartaruga. Após desenhar o gráfico, aparece uma caixa de texto com uma pergunta sobre o que está acontecendo com o deslocamento e velocidade da tartaruga. O formato visual contribui para a exploração e manipulação por parte do estudante, dessa forma a curiosidade proporciona uma maior relação com o objeto matemático trabalhado.

Figura 111 -

 111 Figura 111 -Tela 13 da atividade sobre noção de função -Parte 1

Figura 112 -

 112 Figura 112 -Tela 24 da atividade sobre noção de função -Parte 1

1 𝑥- 1

 11 + 3; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é o conceito de função real e o comportamento dos gráficos; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão sobre função como também manipular a calculadora gráfica. Na tela 30 temos um gráfico de uma função destacando a parte do seu domínio, indagando ao estudante que algo está errado. É solicitado que o estudante expresse, no quadro ao lado direito, o que pode estar incoerente no gráfico apresentado. Já na tela 31 é solicitado ao estudante que arraste o ponto laranja, de modo que a parte que representa o domínio da função fique coerente com o gráfico da função fornecido. Na tarefa das telas 30 e 31 o objetivo é que o estudante perceba o que existe de errado em relação ao domínio da função do gráfico fornecido. Em relação ao tipo de Tarefa T 3.30 : Descrever a opinião sobre o conjunto domínio da função representado pelo ostensivo gráfico e T3.31: Arrastar o ponto laranja para corrigir a parte sombreada, que representa o conjunto domínio; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.30: Através do conhecimento sobre conjunto domínio e intervalo numérico, observar a parte que está sombreada [0; 4,8) e o conjunto domínio é [0; 4,0) para ajustar na tela 31. É necessário deslocar o ponto laranja até o ponto de abscissa 4; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos elementos expostos pelos gráficos. Na atividade proposta na tela 32 é solicitado que o estudante represente por intermédio de ostensivos algébricos, envolvendo desigualdades, o domínio dos gráficos apresentados no lado direito da tela. Cada expressão que o estudante insere na calculadora gráfica é representada automaticamente no plano cartesiano. O objetivo é que o estudante identifique o domínio de cada função, escrevendo a expressão de cada domínio em uma linha abaixo da calculadora gráfica (Figura 113). Em relação ao tipo de Tarefa T 3.32 : Agrupe os cartões que possuam informações semelhantes; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.32: Através do conhecimento sobre domínio de uma função representado pelo ostensivo gráfico e algébrico, descrever os intervalos correspondentes a cada parte da função; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos elementos expostos pelos gráficos e falta de familiaridade com a plataforma Desmos.

Figura 113 -

 113 Figura 113 -Tela 32 da atividade sobre noções de funções -Parte 1 -Sugestão de resposta

  itens a partir do conhecimento sobre conjuntos numéricos e quantificadores lógicos. O primeiro item, ( )∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 + 1 = 0, nesse caso é falso, pois não existe número real que o quadrado dele seja -1. O item ( ) ∀ 𝑥 ∈ ℝ: x + 1 = -6 também é falso, pois existe apenas um único x real que torna a equação verdadeira. O item ( ) ∀𝑥 ∈ ℝ: 2 -4 = (𝑥 + 2)(𝑥 -2) é a única alternativa verdadeira, pois em qualquer número real a igualdade é verdadeira, como também, se utilizarmos a propriedade distributiva no segundo membro da igualdade, chegaremos à expressão do primeiro membro, ou se fatorarmos o primeiro membro da igualdade, chegaremos ao segundo membro. Enquanto o último item também é falso, pois em ( )∃𝑥 ∈ ℤ: 𝑥 + 2,5 = 0 não temos números inteiros, cuja soma com 2,5 resulte em zero.A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica são: As noções do conjunto dos números reais e lógica; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão sobre significado dos quantificadores como também as operações envolvendo números reais.Em continuidade, são apresentados, nas telas 7 e 8, quatro exemplos envolvendo dupla quantificação. A finalidade é salientar para o estudante que, apesar de se manter a mesma sentença aberta e o conjunto universo, ao comutar (modificar a posição) os quantificadores da dupla quantificação o resultado final é diferente.Na tarefa da tela 9, o objetivo é que o estudante identifique o significado de cada quantificador de acordo a sua posição na expressão. Em relação ao tipo de Tarefa T5.9: Encontre a proposição verdadeira; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 5.9: julgar os itens a partir dos quantificadores lógicos (mais especificamente, dupla quantificação), conjuntos numéricos e equações. O primeiro item, ( )∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 = 4, é falso, pois está afirmando que qualquer valor de x somado a qualquer valor de y o resultado é sempre 4, por exemplo x = 2 e y = 5, temos 2 + 5 ≠ 4. O item ( )∃𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 = 4 também é falso, pois não existe um valor de x real, em que, para qualquer valor de y real, a soma sempre seja 4, por exemplo, se x = 3, apenas existe um valor de y real em que a soma seja 4, que é o 1, e não para qualquer valor de y real. O item ( ) ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 = 4 é o único item verdadeiro, pois para qualquer valor de x = k, k ∈ ℝ, sempre é possível expressar um valor de y real da seguinte forma: y = 4 -k. O item ( )∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 -2 = 4 é falso, pois apenas existe um valor de x real que torna verdadeira a equação, e esse valor é o 6, de fato, 6 -2 = 4.

Figura 115 -

 115 Figura 115 -Tela 3, parte 2 da tarefa 3 sobre limites

Figura 116 -

 116 Figura 116 -Tela 5, parte 1 da tarefa 5 sobre limites

  As seguintes informações foram fornecidas na tarefa 8: A partir das tarefas que você ajudou o José a resolver, vamos retomar a escrita da expressão lim 𝑥→5 𝑓(𝑥) = 20, e reescrever de forma mais geral (utilizando símbolos lógicos). Para cada número positivo ε dado, existe um número δ positivo, para todo t ∈ Dv m : se 0 < |t -5|< δ, então |vm(t) -20| < ε. Marque abaixo a expressão que melhor representa a afirmação acima: (a) ( ) ∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 : se 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) -𝑎| < ε; (b) ( ) ∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 : se 0 < |𝑥 -𝑎| ≤ 𝛿, então |𝑓(𝑥) -𝑎| < ε; (c) ( ) ∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 : 𝑠e 0 ≤ |𝑥 -𝑎| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) -𝑎| < ε. Consideramos como correta a alternativa (a).

(Figura 117 -

 117 Figura 117 -Tela 11, tarefa 10 sobre limites

Figura 118 -Figura 119 -

 118119 Figura 118 -Resposta da estudante e27 referente à tarefa e T3.21 da Atividade 3

Fonte:Figura 121 -Figura 122 -Figura 124 -Figura 125 -Figura 126 -Figura 127 -Figura 129 -Figura 130 -Figura 131 -Figura 132 -Figura 133 -

 121122124125126127129130131132133 Figura 121 -Tela 5 de parte da Atividade 6 (tarefa 5) da estudante e17 antes do feedback

-f 2 :Figura 135 -

 2135 Figura 134 -Resposta do estudante f1 tarefa 5

-Figura 136 -

 136 Figura 136 -Resposta do estudante f2 tarefa 5 após o diálogo no chat

FoiFigura 137 -Figura 138 -

 137138 Figura 137 -Resposta do estudante f2 tarefa 6 após o 1º feedback

  para e34: "Muito bem elaborada e com uma ótima didática."; para e6: "De forma geral, as atividades e o conteúdo foram apresentados de forma dinâmica, o que proporcionou um maior entendimento do assunto, tornando mais fácil a resolução das questões."; para e 36 , "As atividades me permitiram olhar para os conteúdos de forma diferente. Apresentando os exercícios de forma gradual. E, também um ambiente novo com propostas diferentes.". Como é possível perceber nos comentários, as respostas foram em sua totalidade positivas em relação à atividade como um todo, proporcionando tanto uma forma dinâmica de resolução como uma maior compreensão dos saberes propostos. Para e17: "Algumas foram bem longas, mas principalmente as últimas foram bem dinâmicas.". Embora e17 afirme que foram dinâmicas, destaca que as atividades foram longas, o que pode nos levar a concluir que atividades menores poderiam ser mais bem aceitas pelos estudantes. Já e3 diz: "A proposta foi bem interessante. Porém, como todas as atividades de várias matérias se concentraram, não consegui dar conta direito das tarefas propostas. Também, o formato remoto exige muito mais disciplina e foco (e eu perco a concentração).". Com isso, notamos que esses estudantes destacaram que algumas atividades tinha um número de tarefas grande, o que exigiria um tempo maior para a realização destas, consequentemente maior disciplina e foco. Já na pergunta (2): (a) Como você desenvolveu a atividade? (b) Percorreu todas as atividades na ordem apresentadas? (c) Foi apenas para a última atividade? (d) Parou na primeira atividade? (e) Quais os motivos de tais escolhas? Para e32: "(a) Fui bem. (b) Sim. (c) Não. (d) 153 Disponível em https://forms.gle/qBF9QpU6v1XxmotL7.

  Para a pergunta (6): Você utilizou algum retorno (feedback) fornecido? Se sim, ajudou a prosseguir de que forma? Se não, qual foram os motivos? Gostaríamos de compreender se os feedbacks foram utilizados. Para e34: "Sim."; e32: "Ajudou a entender melhor o assunto."; e17: "Sim, alguns comentários foram muito úteis, outros não consegui entender direito a explicação.". Acreditamos que a falta de chat interativo na plataforma DESMOS dificultou a interação para que o estudante pudesse expor melhor suas dúvidas e considerações. Para e6: "Sim. O assunto ficou mais objetivo quando foi transmitido de forma mais próxima da realidade. Assim, foi possível visualizar melhor como o assunto é aplicado em muitas situações do cotidiano. Dessa forma, torna mais fácil que os alunos tomem gosto pela disciplina, mesmo tendo menos afinidade com o conteúdo.". Sobre o feedback, diversos estudantes que conseguiram realizar as atividades falaram que os feedbacks os ajudaram de forma considerável, pois estavam com dificuldade na tarefa 1 da Atividade 6, em relação a limites, e não estavam conseguindo preencher os valores da tabela, mas com as sinalizações apresentadas foi possível prosseguir. Isso mostra o quão importante são os pressupostos da avaliação formativa para que os estudantes fossem capazes de avançar.

(

  no século XVII), que contribuíram com as suas notações. Em continuidade, apresentamos as contribuições de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e Karl Weierstrass (1815-1897) que, de certa forma, apresentaram a formalização e o rigor para as ideias iniciais, permitindo o avanço e consolidação destas. Assim, foi possível constatar que as noções de limite é um conceito que começou a ser desenvolvido de acordo a história da Matemática, muito antes do século XVII, e um dos problemas clássicos foi ajudar a fundar a análise matemática e ensiná-la. Sendo assim, uma noção que formaliza, unifica e generaliza o Cálculo. O primeiro problema clássico envolve o cálculo de áreas e volumes. Esses eram realizados de forma artesanais, pois utilizavam métodos que não tinham os devidos cuidados como, por exemplo, as questões envolvendo o infinito ou com a convergência. Posteriormente, tivemos o segundo problema clássico, o da tangente, sendo os primeiros passos da diferenciação, se originando de problemas relativos ao traçado de tangentes a curvas e de problemas com o propósito de determinar máximos e mínimos de funções. Para as bases do Cálculo diferencial e integral, vale ressaltar a questão das crises da Matemática, que tem direta e indiretamente uma relação com a noção de infinitésimos e limites.

  , tais obstáculos são recorrentes e, muitas vezes, não é possível fugir deles. Quanto à questão Q2: 'O que dizem as pesquisas sobre o ensino do conceito de limite de funções?' (dentro do mesmo capítulo), produzimos como resposta R2 ◊ : Buscamos um diálogo com as pesquisas tanto internacionais como nacionais (seções 3.2.1 e 3.2.2) para avaliar o que está sendo estudado para o ensino do objeto limite, e o que é preciso incorporar nesse modelo que não foi encontrado nos descritos, abrindo assim novos entendimentos e perspectivas para o trabalho com os estudantes. Podemos perceber que nos trabalhos analisados alguns dão ênfase na definição (, ) de limite, outros priorizam a noção intuitiva. Entretanto, a definição (, ) de limite continua sendo um desafio tanto para quem ensina quanto para quem aprende. Em relação à questão, Q3: 'Como é a ecologia para a definição de limite presente em um Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas?', temos como resposta R3 ◊ : O saber limite tem seu habitat nos componentes curriculares do curso de BCET (PPC-UFRB) de Cálculo Diferencial e Integral I e II, e para quem seguir o Bacharelado em Matemática, em Análise I e Funções de uma variável complexa. A análise institucional e os elementos institucionais nos permitiram analisar tanto os documentos oficiais (seção 3.3.1) como os livros didáticos que constavam no plano de curso (seção 3.3.2), a saber, Ávila (2003) e Guidorizzi (2003), bem como é tratado o saber limite. Os livros analisados, que constam na ementa Cálculo I, geralmente dedicam um capítulo inteiro para o ensino de limite, com o intuito de envolver o estudante nessa nova etapa.

  Para responder a questão Q10: 'Quais as possíveis potencialidades e limitações de um dispositivo didático (capaz de promover regulação e o feedback) durante um trabalho com estudantes na construção da noção de limite?', construímos o Capítulo 5, que constituiu o nosso Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA), e chegamos a seguinte resposta R10 ◊ : Baseado nas lentes teóricas mencionadas e com a metodologia adotada da Engenharia Didática (ED), o contexto da investigação envolveu estudantes da Graduação no Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas e da Licenciatura em Matemática.

Figura 139 -

 139 Figura 139 -Esquema do processo de construção da R♥

  Garantimos a manutenção do sigilo e da privacidade dos participantes durante todas as fases da pesquisa, respaldando-se na Resolução Nº 466/12, do Conselho Nacional de Saúde, do Ministério da Saúde (CNS/MS). Desde já agradecemos as considerações e a presteza. Pesquisador: Osnildo Andrade Carvalho Orientador: Luiz Márcio dos Santos Farias Coorientador: Itamar Miranda da Silva UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA professor(a), o(a) senhor(a) está sendo convidado(a) a participar de uma pesquisa de doutorado que pretende invest do ensino médio sobre o conteúdo de Pêndulo Simples. Utilizaremos distintas abordagens metodológicas: (i) quanto à virtual e material (ii) quanto à natureza procedimental: atividades tradicional e investigativa. Para tanto, prop to dos alunos em diferentes momentos ao longo da aplicação de atividades experimentais; (b) Verificar se houve apren ganho de entendimento em cada perspectiva metodológica de ensino; (c) Traçar as trajetórias de aprendizagem; m contrapondo a natureza instrumental e procedimental das metodologias de abordagem; (d) Delinear e comparar o e tradicional e investigativa no laboratório material; (e) Delinear e comparar o entendimento dos alunos na atividade trad virtual; (f) Identificar, através das múltiplas comparações, possíveis fatores (ou preditores) que influenciam a aprend rimental. A pesquisa será realizada com alunos do Ensino Médio. a manutenção do sigilo e da privacidade dos participantes durante todas as fases da pesquisa, respaldando-se na R acional de Saúde, do Ministério da Saúde (CNS/MS).

(

  

(Feedback

  relativo a alternativa 03 da tarefa t3 Dicas para conseguir desenvolver o raciocínio da tarefa de acordo com desenvolvimento na alternativa 03 (_) Concordo Totalmente (_) Concordo (_) Discordo (_) Discordo TotalmenteAjuda para a tarefa t3(_tarefa anterior, busca-se estabelecer uma interligação entre valor absoluto de um número real e o zero na desigualdade, possibilitando escrever de forma mais resumida estabelecendo Dicas para conseguir desenvolver o raciocínio da tarefa de acordo com desenvolvimento na alternativa 03. de distância nas tarefas anteriores, busca-se nesta tarefa estabelecer uma representação gráfica dos valores de y com os valores de x através da função f. atividade sobre noções de funções -Parte 1 -Sugestão de resposta Fonte: Dados da pesquisa (2021) Telas 2, 3 e 4 da atividade sobre noções de funções -Parte 2

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  1.4.2 A Engenharia Didática ....................................................................................................

CAPÍTULO 2 .......................................................................................................................... 2 BASES TEÓRICAS ............................................................................................................. 2.1 A Teoria Antropológica do Didático .................................................................................. 2.1.1 As três dimensões do problema didático ......................................................................... 2.1.2 Praxeologia ..................................................................................................................... 2.1.3 A dialética dos ostensivos e não ostensivos..................................................................... 2.1.4 Níveis de Codeterminação Didática ................................................................................ 2.1.5 Dialética mídia-milieu ..................................................................................................... 2.1.6 Mesogênese, cronogênese e topogênese .......................................................................... 2.1.7 Incompletude do trabalho institucional ...........................................................................

2.

1.8 Os Momentos Didáticos................................................................................................... 

2.2 Avaliação

Formativa........................................................................................................... 2.2.1 Aspectos evolutivos e concepções da avaliação formativa ............................................. 2.2.2 Pressupostos e elementos da avaliação formativa ..........................................................

  Análise Institucional e de elementos institucionais .......................................................... 3.3.1 Análise dos documentos e elementos oficiais ................................................................ 3.3.2 Análise dos livros didáticos ........................................................................................... 3.3.3 Inferências das respostas dos estudantes sobre a noção de limite................................ 3.3.4 Análise das respostas dos professores e pesquisadores ao ensino da definição limite 3.3.5 Como o saber limite é trabalhado por um professor na instituição pesquisada ........... 3.4 Considerações sobre o Modelo Praxeológico Dominante ................................................

  Esses momentos29 , que descreveremos a seguir, tem uma forte interligação com os pressupostos da avaliação formativa, por esse motivo nos interessamos em apresentá-los e fazer articulação com esta. O momento de encontro com a organização matemática, normalmente através de tipos de tarefas Ti relacionadas ao saber φ, podem ocorrer diversas vezes. Conforme

	Almouloud (2007, p. 124), esse encontro possibilita o desenvolvimento das relações pessoais e
	institucionais com o objeto e essas relações permeiam todo o processo de estudo. Yves
	Chevallard menciona que a "aprendizagem existe quando a relação pessoal do sujeito com o
	objeto é modificada ou criada pela interação com o contrato institucional, ou seja, pela interação
	com a relação institucional RI(O)" (ALMOULOUD, 2007, p. 124).

O momento de exploração do tipo de tarefa Ti e o desenvolvimento de uma técnica τi, relativa a esse tipo de tarefas, posteriormente, pode evocar outras ténicas mais elaboradas, geral e completa. O momento de estudo da constituição do ambiente teórico-tecnológico [θ/Θ] referente a τi, de acordo

Chevallard (1998, p. 111)

, está intimamente relacionado com cada um dos outros momentos, com estratégias de justificar e explicar as técnicas elaboradas. O momento do trabalho da técnica possui o intuito de aprimorá-la e torná-la mais eficiente e confiável. O momento da institucionalização tem por objetivo explicitar a organização matemática desenvolvida, e o momento da avaliação, de acordo

Chevallard (1998, p. 112)

, se articula com o momento da institucionalização, examinando o que foi aprendido. Esse último momento permite avaliar OMφ com as análises a priori levantadas. A função da avaliação da OMφ é importante: em particular, verifica se as técnicas são suficientemente confiáveis e robustas, se a tecnologia é satisfatoriamente desenvolvida.

Posteriormente, no MPR, na seção 4.2.3, apresentaremos algumas inferências nossas sobre o momento da avaliação proposto por Yves

[START_REF] Chevallard | Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques: L'approche anthropologique[END_REF][START_REF] Chevallard | d'une journée de formation de formateurs tenue le 16 mars 2004 dans le cadre de l'IUFM d'Aix-Marseille[END_REF] 

e sobre a avaliação formativa (com contribuições teóricas), pois, na nossa concepção, o momento da avaliação está intimamente ligado aos demais momentos.

  noção de avaliação é, portanto, vinculado ao do valor. Ao dar esta definiçãoavaliar um objeto, está atribuindo a ele um certo valor -, estou designando o ato de avaliar como um tipo de tarefa que pode estar em qualquer lugar da sociedade, e não só na escola: é avaliada na família, na rua, na empresa, no bar, etc. Ele é avaliado em todos os lugares.(CHEVALLARD, 2010, p. 3, tradução nossa) 30 .

	E, a partir disso, é possível perceber que a tarefa de avaliar é algo construído, sempre
	relacionado a uma epistemologia de construção do saber, e de como a pessoa ou o estudante
	estabelece essa relação com determinado saber. Ainda para Chevallard (2010, p. 4), o fato de
	ser professor confere um direito incomum, ou seja, o de julgar o valor dos trabalhos e
	comportamentos dos estudantes. É lógico que, tecnicamente, isso é correto e necessário, mas

Assim, apresentaremos a avaliação formativa no contexto do ensino e aprendizagem desde o seu surgimento e evolução, bem como o que se tem produzido e discutido. Trazemos também os elementos e pressupostos, e uma discussão em torno da avaliação formativa, vindo a propiciar uma articulação teórica com TAD (apresentada na seção 4.3.2) e possibilitar contribuições com a nossa temática.

Avaliação é um tema que acompanha tanto professores quanto estudantes, em diversas modalidades e níveis de ensino. A avaliação (em suas inúmeras facetas, no nosso caso, formativa), muitas vezes, é pouco explorada como observamos no levantamento da pesquisa, sendo normalmente reduzida a medidas como provas, notas e conceitos. Mas é um tema rico e de fundamental importância no processo de ensino e aprendizagem. Para Yves Chevallard, a avaliação está em todos os lugares: A também é um direito que muitos usam de forma exagerada, de acordo o autor, sujeitando-o então à sua arbitrariedade pessoal, por não poder colocá-lo a serviço de uma causa mais nobre, de um projeto centrado na sociedade.

Coadunando com

[START_REF] Chevallard | ¿Cuál puede ser el valor de evaluar? Notas para desprenderse de la evaluación "como capricho y miniatura[END_REF]), Villas Boas (2011, p. 7

) afirma que a avaliação acontece em todos os momentos e espaços escolares, ou seja, tanto na sala de aula presencial ou mesmo em um ambiente virtual (de forma online ou remota). Diante disso, faz-se indispensável que o professor tenha um olhar diferenciado para as produções dos estudantes, para assim extrair as informações necessárias sobre os seus avanços e suas dificuldades no seu percurso de aprendizagem.

Apesar de a avaliação ser um objeto de estudo de diversos pesquisadores, esta, segundo

Fiorentini e Lorenzato (2009, p. 51)

, ainda é muito pouco investigada pelos educadores matemáticos, o que nos leva a ampliar as discussões e pesquisas sobre o tema, mais especificamente no nível superior no ensino de Cálculo I.

  , a questão da avaliação agora tem invadido o campo da Didática da Matemática, a tal ponto que não é mais possível ignorar o papel da avaliação e os efeitos do feedback da avaliação no ato de ensinar, como no processo de aprendizagem. Sob o mesmo ponto de vista, o contrato didático 31 é constituído sob o controle e a influência da avaliação no ecossistema escolar.

	Para Bodin (2015, p. 4), as pesquisas em didática geralmente distinguiram-se
	amplamente da questão da avaliação, deixando-a para os psicólogos e para os profissionais das
	ciências da educação. O autor também afirma que na França, das 400 teses em Didática da
	Matemática listadas desde 1975, apenas três contemplam o termo avaliação no título -as teses
	de Gagatsis (1982), Régnier (1983) e Pilet (2012) (Bodin, 2015, p. 4). Isto mostra que é um
	tema pouco explorado e requer uma atenção por parte das pesquisas em Didática da
	Matemática.
	O tema avaliação fez parte do Seminário Nacional em Didática da Matemática 32 ,

realizado em 6 e 7 de novembro de 2015 em Paris, mostrando tanto uma preocupação em relação ao tema quanto uma aproximação mais estreita com a Didática da Matemática. No nosso entendimento, a avaliação formativa fornecerá ao estudante um feedback sobre as dificuldades surgidas durante o processo de aprendizado, com praxeologias construídas, a priori, nas análises realizadas. Com isso, o professor, como mediador, poderá interferir nesse processo

  , não é nem medieval nem antiga. Segundo o autor, a prática avaliativa é uma invenção nascida na modernidade, com os colégios no século XVII e tornada indissociável do ensino de massa que conhecemos desde o século XIX. e memorização. É o caso do trabalho educativo dos religiosos da Companhia de Jesus que por aqui aportaram em 1549 e legaram um caráter próprio à forma de educar e ao modo de pensar a organização do processo educacional como um todo. Dessa maneira, a pedagogia dos jesuítas influenciou quase todo o mundo, inclusive o Brasil. pela força armada americana com o intuito de identificar o nível de alfabetização dos homens que eram alistados durante a Primeira Guerra Mundial.

	Ainda de acordo Villas Boas (2011, p. 15), durante o movimento da reforma educacional
	americana da década 1960, os testes padronizados de desempenho de estudantes não eram
	Segundo Luckesi (2011, p. 28), o termo "avaliação da aprendizagem" começou a ser capazes de avaliar adequadamente os resultados obtidos com o novo currículo. Assim, segundo
	Em conformidade com Sakamoto e Verástegui (2010, p. 2), os antecedentes da proposta, compreendida e divulgada a partir de 1930, entrando para o vocabulário do universo Eisner citado por Villas Boas (2011, p. 15), a reforma estava preocupada em que os estudantes
	avaliação no ocidente se encontram nas épocas da Reforma e Contrarreforma. Na Reforma com escolar, com os trabalhos de Ralph Tyler 34 (1902-1994), quando este desenvolveu análises aprendessem a pensar como cientistas e não usassem somente o produto da produção científica.
	a Didática Magna de Jan Amos Komensky Comenius (1592-1670), e na Contrarreforma através sobre uma nova concepção de aprendizagem. A preocupação de Tyler se deu pelo fato de que Dessa forma, desejava-se que os estudantes compreendessem a estrutura Matemática e não
	da Ratio Studiorum, que era o "Plano de estudos" de 1594 destinado para a educação Jesuíta, e a cada 100 crianças que ingressavam na escola, 70 eram reprovadas, ou seja, não tinham apenas fossem competentes em fazer cálculos.
	esta foi formulada definitivamente por Aquaviva em 1599. mostrado uma aprendizagem satisfatória (LUCKESI, 2011, p. 28). O autor percebeu a avaliação
	Os educadores e psicólogos educacionais americanos perceberam que esses métodos
	eram promissores e que sua prática poderia se tornar uma atividade cientificamente orientada.
	Isso teve uma grande influência na avaliação como medida e que, segundo Villas Boas (2011,

Através da Didática Magna (1627, versão latina de Didática Tcheca, 1631), Comenius tenta criar a Ciência da Educação, utilizando os mesmos métodos das Ciências Naturais na prática do ensino. À vista disso, Comenius aponta alguns padrões das práticas avaliativas como a constante forma de fazer questionamentos, a verificação da memorização e a revisão surpresa, a fim de prender a atenção dos alunos na aula como, por exemplo, no trecho: "O professor também poderá, de quando em quando, olhar pessoalmente os cadernos desse ou daquele, sem ordem específica, e punir aquele que tiver sido negligente ou desatencioso"

(COMENIUS, 2002, p. 214)

.

Para Sakamoto e Verástegui (2010, p. 3), essas modalidades de avaliação são perturbadoras e constrangedoras, pois podem parecer efetivas para a aprendizagem se apenas observarmos os resultados em curto prazo. Entretanto, ainda de acordo com os autores, se fizermos um balanço minucioso e considerarmos as consequências na personalidade dos estudantes, poderemos observar que estamos criando pessoas que tomam a dor causada pelos outros como medidas naturais e necessárias para a aprendizagem. Essa concepção identifica a educação como uma prática desagradável e, dessa forma, a escola torna-se um lugar torturante, mas necessário para quem quer aprender.

A educação Jesuítica da Contrarreforma, na Ratio Studiorum, apresentava a ideia de que "a repetição é a mãe da aprendizagem". Segundo Sakamoto e Verástegui (2010, p. 4), essa proposta é completamente compreensível, dado que eles tinham como missão converter hereges e disciplinar os cristãos vacilantes, visto que o método da Ratio Studiorum era predominantemente verbal e constava a preleção, a memorização, a expressão e a imitação. O cuidado para evitar qualquer distorção ou interpretação errada da doutrina era garantido com o zelo na repetição como um meio para se estabelecer comparações entre os resultados e os objetivos educacionais.

Desse modo, a avaliação passa a ser vista como uma atividade prática.

Sobre o termo avaliação formativa, Villas

Boas (2008, p. 39

) aponta que "no Brasil, o que se denomina de avaliação mediadora, emancipatória, dialógica, fundamentada, cidadã pode ser entendido como avaliação formativa", pois trazem concepções semelhantes.

Nas palavras de Eisner (1993) citado por Villas Boas (2011, p. 13), os laboratórios psicológicos desenvolvidos na Alemanha por Fechner e Wundt, e na Inglaterra por Galton, no final do século XIX, empreenderam forças para utilizar métodos que vinham sendo aplicados à natureza em seres humanos. Já que os seres humanos fazem parte da natureza, seria uma estratégia compreendê-los como se faz com a natureza, para assim controlar suas operações.

Assim como a natureza era percebida ordenadamente, ou seja, existia um padrão que poderia ser constatado, dessa forma existia uma admiração pelas virtudes da quantificação e, assim, a Matemática entrava em cena, pois possuía uma ordem e precisão e poderia reduzir, dessa forma, à subjetividade

(VILLAS BOAS, 2011, p. 14)

. Sendo assim, conduziu-se a uma concepção dominante da racionalidade, influenciando diretamente as Ciências Sociais.

Consequentemente, os dados fornecidos poderiam ser tratados por meio de instrumentos do novo campo da estatística em expansão. p. 15), ganhou força através do trabalho de Robert Yerkes (1929) sobre o Alpha e o Beta testes, 34 Educador americano que trabalhou no campo da avaliação.

promovidos

  Aliada à avaliação formativa, temos diversos dispositivos informáticos, dentre eles os ambientes virtuais, formulários online, quiz, que se aproximam cada vez mais dos estudantes, pois o fácil acesso aos meios de comunicação através da internet, com equipamentos eletrônicos tais como smartphones, tablets e laptops, contribuem para que haja a comunicação com e entre os estudantes. Esse aspecto comunicacional da avaliação é fundamental para o desenvolvimento da avaliação formativa. De acordo comBatista (2011, p. 48), a avaliação supõe comunicação e

vice-versa, isto é, uma não existe sem a outra, através da qual é possível estabelecer o feedback entre o professor e os estudantes, e entre os estudantes, para que aconteça, assim, a regulação entre o processo de ensino e aprendizagem.

As TDIC estão presentes nesse trabalho de investigação através do AVA, pois julgamos que é uma ferramenta essencial nos dias atuais e, além disso, poderá ser considerada como uma extensão da sala de aula, visto que o tempo na sala de aula é curto, e a ementa do componente curricular de Cálculo I (no curso investigado) é extensa

(UFRB, 2011, p. 33)

. Assim, os estudantes terão oportunidades de interação além do ambiente da sala de aula presencial, o que poderá potencializar o seu aprendizado.

Para

Garcia (2013, p. 14)

, um aspecto favorável que deve ser considerado é os cenários das políticas públicas educacionais com o aumento considerável de quantidade de pessoas conectadas à web no Brasil, uma vez que esse cenário contribui para o acesso a esses ambientes virtuais, embora ainda não seja o desejado e satisfatório, pois necessita que tais acessos sejam mais democratizados, e que todos possam estar conectados à internet.

Enquanto escrevemos essa pesquisa, uma forte necessidade de ensino remoto (online) tem forçado, de maneira inesperada, todo sistema educacional do mundo a utilizá-lo. A pandemia da covid-19 (provocada pelo novo Coronavírus) levou ao fechamento de escolas e universidades 39 , para evitar aglomerações e novos contágios a fim de salvar vidas 40 . Com isso, para não parar totalmente as atividades, diversas instituições adotaram o ensino remoto de

38 

Segundo

Horn e Staker (2015, p. 34)

, o ensino híbrido é qualquer programa educacional formal no qual um estudante aprende, pelo menos em parte, por meio do ensino online, com algum elemento de controle do estudante sobre o tempo, o lugar, o caminho e/ou ritmo.

39 

Disponível em: https://en.unesco.org/covid19/educationresponse. Acesso em: 5 jun. 2020.

40 

Disponível em: https://www.nytimes.com/2020/03/06/opinion/coronavirus-schools-closed.html. Acesso em: 5 jun. 2020.

seguir trazemos uma linha do tempo com uma análise desde as primeiras ideias até a sua formalização. Os autores Figueroa e Almoulould (2018) apresentam em três estágios a evolução desse conceito: inicial, intermediário e formal, no século XIX, conforme Figura 3, abaixo:

  

	infinitas diferentes de zero, questões sugiram: (a) Existem quantidades infinitamente pequenas? forma como isso seja considerado, será impossível ter uma concepção clara a respeito. na Matemática, a partir do século XIX. Assim, de acordo Lima (2006, p. 54), isso foi teoria dos limites: "fez a importante recomendação de que, para colocar em bases firmes os Assim, o primeiro grande progresso aconteceu em 1821 quando o matemático francês tornou-se sinônimo de "raciocínio extremamente cuidadoso", sendo "a consciência matemática
	Se não estou errado; chamo a atenção de todos os leitores pensantes para julgarem
	(b) É seguro o uso de quantidades infinitamente pequenas? Caso afirme (b) positivamente, é essa questão. E, se uma segunda fluxão for inconcebível, o que deveremos pensar de determinante para que Cauchy pudesse formalizar a definição de derivada como limite, fundamentos da análise, era preciso desenvolver uma teoria dos limites bem estruturada, mas Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) colocou em prática com êxito a sugestão de d'Alembert por excelência" e tornou-se conhecido como "o pai da análise moderna". (EVES, 2011, p. 613).
	possível prosseguir utilizando infinitesimais e afirmar que são símbolos não se preocupando terceira, quartas e quintas fluxões, etc.? (BERKELEY, 1734 apud BARON, BOS, 1985, p. 19). possibilitando que o Cálculo se deslocasse de uma área estritamente geométrica para o campo seus contemporâneos quase não lhe deram ouvidos." (EVES, 2011, p. 477). Mas, até 1821, não de desenvolver uma teoria dos limites aceitável e definir, então, continuidade,
	com o item (a), atitude esta adotada por Leibniz com respeito a esta questão. Newton considerava, no seu cálculo fluxonal, que existia uma independência na das expressões analíticas, isto é, análise real. se verificou um desenvolvimento sólido dessa teoria. Os conceitos básicos da análise, como os de limite, função, continuidade, derivada e diferenciabilidade e integral, delineadas em termos do conceito de limite. Certamente, o integral ganharam uma formulação muito mais conveniente em termos das ideias da Essa crítica de Berkeley contra o cálculo infinitesimal tinha como alvo, de acordo Lima Destarte, como infere Lima (2006, p. 59), dentro das transformações sucedidas na Uma tentativa da rigorização do Cálculo foi proposta pelo matemático Joseph Louis conceito de limite é essencial e indispensável para o desenvolvimento da análise matemática, teoria dos conjuntos. Mais importante, porém foi à oportunidade que ela abriu para
	consideração de quantidades infinitamente pequenas, introduzindo as fluxões como razões (2006, p. 53), o cálculo de Newton e os seus seguidores, entretanto acabou abrangendo também Matemática, a partir do século XIX, é possível afirmar de forma reduzida que Cauchy, ao Lagrange (1736-1813). Sua investida era baseada na representação de uma função por uma pois convergência e divergência de séries também dependem desse conceito (EVES, 2011, p. progressos matemáticos com que sequer se sonhava há 50 anos. (EVES, 2011, p. 659).
	primeiras ou últimas de quantidades nascentes ou evanescentes, surgindo uma terceira questão: o cálculo de Leibniz, uma vez que este (tal como Newton) fundamentou a sua Teoria dos fundamentar o Cálculo na noção de limite de uma função, redefine a operação de diferenciação expansão em série de Taylor e ficou muito longe de ser bem-sucedida, pois ignorava questões 610). De acordo com Brandemberg e Fernandes (2015, p. 12) "coube a Cauchy (1789-1857)
	(c) Existem razões primeiras e últimas? Essas, questões de acordo Struik (1992, p. 180), Diferenciais baseando-se nas quantidades infinitamente pequenas. de Leibniz, que associava uma quantidade infinitamente pequena a uma variável, até mesmo de necessárias sobre convergência e divergência de séries. De acordo Eves (2011, p. 610), sem De acordo com Eves (2011, p. 610), a procura de um entendimento mais profundo dos trabalhar a sua formalização numa tentativa de evitar os deslizes lógicos de uma abordagem
	deixavam evidente as dificuldades que a compreensão da teoria das fluxões de Newton Lima (2006, p. 53) ainda informa que, para os matemáticos, as suas teorias devem ser Newton, que relacionava uma velocidade finita, ou seja, as fluxões a uma variável, associando dúvida, deve-se a Gauss (1777-1855) o mérito de ter -mais do que qualquer matemático de seu fundamentos da análise ganhou uma notoriedade em 1874, poucos anos após a morte de mais intuitiva". Assim, com a aritmetização da análise, após os ajustes realizados por
	originava, conduzindo, dessa forma, a muitas confusões e a uma crítica severa do bispo construídas sob alguns conceitos sem definição que são considerados como primitivos, e agora a diferenciação de uma função à sua derivada. tempo -buscado romper com as ideias intuitivas e estabelecer padrões de rigor mais elevados Cauchy, com a publicação de um exemplo do matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) Weierstrass e seus seguidores, entendeu-se que a segunda crise nos fundamentos da Matemática
	Berkeley, em 1734. Ainda de acordo Struik (1992, p. 180), "Os equívocos não desapareceram algumas proposições que são aceitas como verdades sem demonstrações (os axiomas), com Vale ressaltar que, de acordo Baron e Bos (1985, p. 62), "Leibniz sacia que o seu cálculo para a Matemática. de uma função contínua não derivável em nenhum valor do seu domínio 53 ou, o que é tinha sido superada e que toda a estrutura da Matemática tinha sido reabilitada e colocada sobre
	até o conceito moderno de limite ter sido firmemente estabelecido". isso, prova outras afirmações que são denominadas de teoremas. As provas ou demonstrações era vulnerável devido ao uso de quantidades infinitamente pequenas. Assim, a publicação foi De acordo com Eves (2011, p. 609), existe um perigo quando se entende pouco sobre equivalente, de uma curva contínua que não admite tangente em nenhum de seus pontos. Ainda bases impecáveis (EVES, 2011, p. 674).
	são legitimadas pela suposta validade daqueles conceitos e proposições considerados um risco e Leibniz adotou uma tática radical para enfrentar esse risco: mudou a definição de uma determinada operação matemática, pois se pode aplicar de forma cega ou mesmo segundo o autor, outra contribuição foi do matemático alemão Georg Bernhard Riemann (1826-Segundo Brandemberg e Fernandes (2015, p. 12-13), através de Karl Weierstrass (1815-
	Um desejo similar de ignorar as dificuldades lógicas do infinito e infinitesimais (ou diferencial". Suas estratégias eram para evitar críticas, já que os infinitamente pequenos (os inicialmente. contraditória. Como exemplo, o autor menciona que, quase todo dia, professores de Matemática 1866) que inventou uma função que é contínua em todos os valores irracionais da variável, mas 1897), se introduz uma definição rigorosa de limite, o que propiciou uma solução para o falta de rigor na aplicação dessa lógica) levou Newton e Leibniz a enganar o cálculo. Eles trataram a realidade como discreta e contínua ao mesmo tempo, dependendo de Assim, dentro do universo da estrutura das demonstrações e do encadeamento lógico infinitesimais) não eram consistentes. Sobre as quantidades infinitamente pequenas: se deparam com erros dessa natureza cometidos por estudantes, ou seja, um aluno de álgebra descontínua para os valores racionais. Assim, exemplos como esses pareciam, de certa forma, problema dos infinitésimos. O limite se torna, caso exista, um número real fixo e o processo valores que eram tão pequenos que poderiam ser eliminados da existência quando conveniente, ou poderiam ser usados para por um fim ao infinito. No entanto, os das proposições é que se manifesta o rigor matemático. De acordo Lima (2006, p. 53), no elementar, convencido firmemente de que a 0 =1 para todo número real a, põe que 0 0 =1, da contrariar a intuição humana e tornavam cada vez mais evidente que Cauchy não tinha atingido anterior de se encontrar o limite por aproximações é agora revitalizado em uma forma onde se resultados obtidos pelo cálculo, em muitos campos, foram tão valiosos e impressionantes que as inconsistências no centro do cálculo não foram imediatamente tratadas. (ROONEY, 2012, p. 160). processo de construção dos saberes matemáticos, normalmente as teorias formuladas de Leibniz trabalhou com quantidades infinitamente pequenas. Newton hesitou sobre mesma forma que outro estudante admite que a equação ax=b sempre tem exatamente uma o verdadeiro cerne das dificuldades na procura de uma fundamentação sólida para a análise. supõe o limite (a partir de experimentos, da intuição ou de outras indicações) e verificam-se as essas quantidades. Ele as usou, mas afirmando que em seu cálculo era independente maneira perceptiva funcionam, de certo modo, com perfeição. Porém, segundo a autora, "é justamente nesse ponto que residiam as controvérsias daqueles que determinavam no discurso delas e que podia ser dada uma base rigorosa quanto ao conceito da última razão. A única solução real para um par de números reais a e b. Nesse sentido, um estudante de Cálculo, Destarte, a teoria dos limites fora construída sobre uma noção intuitiva simples do aproximações; em uma generalização de um processo aritmético (usual) em algébrico, é a fluxão de Newton não foi uma quantidade infinitamente pequena, mas uma velocidade finita. (BARON; BOS, 1985, p. 62). sistema dos números reais. Porém, o sistema dos números reais tinha sido admitido sem maiores passagem de um cálculo do limite (operações) para uma álgebra do limite (relações) ou mesmo Como mencionamos, tais inconsistências nos fundamentos do cálculo possibilitaram diversas críticas como a do filósofo e bispo George Berkeley (1685-1753), sendo organizado num trato que ficou intitulado de The analyst; a discourse addressed to na infidel extremamente minúsculos até mesmo a imaginação, faculdade que deriva do Juízo, de tempo, ou sobre os menores incrementos aí gerados: e tanto mais, para corretos, mesmo tendo inconsistências na sua fundamentação, dando àqueles que o utilizavam, Como professor, Weierstrass exerceu muita influência e suas aulas, meticulosamente fundamentos são esclarecidas pelo uso de um conceito bem definido de limite. Por isso, não está bastante intrigada e esgotada para formar ideias claras sobre as menores partículas o Cálculo infinitesimal continuou sendo utilizado porque seus algoritmos produziam resultados rigorosa para a análise. (EVES, 2011, p. 610). que caracterizem o sistema dos números reais (EVES, 2011, p. 610, 611). infinitamente pequena. Para esses autores, no Cálculo moderno essas dificuldades quanto aos se sentiram na obrigação de tentar a difícil tarefa de estabelecer uma fundamentação Agora, como nosso juízo está esgotado e intrigado pela percepção de objetos Dessa forma, Berkeley colocou evidente a questão das inconsistências do Cálculo quando apontou a fragilidade dos seus fundamentos. Entretanto, mesmo com tais contradições de Leibniz, existiam problemas graves sobre a consistência lógica dos conceitos fundamentais desordenado do intuicionismo e do formalismo, alguns matemáticos conscienciosos concretizando, e hoje a análise pode ser deduzida logicamente de um conjunto de postulados como, por exemplo, a fluxão está definida por razões últimas, e a diferencial por diferenças ser uma acumulação de absurdos, até que, como reação natural ao emprego conhecido como aritmetização da análise, revelou-se difícil e intrincado, mas acabou se maneira quase cega, muitas vezes guiada apenas pela intuição. O resultado só poderia necessitavam de maior clareza e segurança. Como podemos ver a seguir: conhecimento científico diante dos conceitos considerados metafísicos. consideram que nas fundamentações do Cálculo, tanto no cálculo de Newton quanto no cálculo dos seus fundamentos, os matemáticos manipulavam os processos analíticos de uma assim, tudo que dele decorresse na análise inspirasse segurança. Esse notável programa, Tangidos pela aplicabilidade imensa do assunto, e carecendo de um entendimento real mathematician 52 . Sua crítica foi direta, apresentando que os princípios utilizados no Cálculo científico o seu caráter privilegiado diante dos que acreditavam, por exemplo, na lógica da religião" (LIMA, 2006, p. 53). Diante disso, as fundamentações das teorias matemáticas envolviam limitações lógicas relacionadas com a exigência tanto do rigor como do discurso do Que desconheça as integrais impróprias, pode obter um resultado errado aplicando de cuidados, como ainda se faz na maioria dos textos elementares de Cálculo (na teoria dos limites, no estudo de uma estrutura Matemática. maneira aparentemente correta as regras formais da integração ou pode chegar a É possível perceber que Leibniz e Newton temiam, de alguma forma, trabalhar com as quantidades infinitamente pequenas, mas era inevitável. E, com isso, Baron e Bos (1985, p. 73) resultados paradoxais aplicando a certas séries infinitas convergentes resultados que que aconteceu com a análise durante o século seguinte à invenção do cálculo. próprio sistema dos números reais, antes de qualquer coisa, fosse tornado rigoroso para que, só valem para séries infinitas absolutamente convergentes. Foi isso essencialmente o continuidade e diferenciabilidade). Desse modo, Weierstrass defendeu um programa no qual o Como buscamos apresentar o trajeto realizado pelo objeto limite, a
	compreender os momentos, ou aqueles incrementos das quantidades fluentes em statu nascenti, em sua origem primeira ou princípio de existência, antes que elas se tornem em certa medida, segurança e garantia. Desse modo, não é por acaso que o Cálculo é encontramos no Cálculo moderno as quantidades infinitamente pequenas. Para Brandemberg (2017, p. 53), "o cálculo desenvolvido por Newton e Leibniz é o preparadas, estabeleceram um ideal para muitos futuros matemáticos. Weierstrass só ingressou
	partículas finitas. E parece ainda mais difícil conceber as velocidades abstraídas de considerado, no universo matemático, a mais significativa engenhosidade criada pela mente Notamos que é longa a trajetória do limite como ideias de aproximações no Cálculo principal tema a ser estudado a partir do século XVIII e se faz necessário uma escrita mais como professor universitário em 1864, aos 40 anos de idade, podendo se dedicar à Matemática tais entidades nascentes imperfeitas. Mas as velocidades das velocidades, a segunda, terceira, quarta e quinta velocidades, etc., ultrapassam, se não estou errado, toda mais ele se perde e se confunde; os objetos, primeiramente velozes e diminutos, logo A busca de rigor para as bases do Cálculo contribuiu para o desenvolvimento da por uma consistência na base do Cálculo, foi-se necessário construir, de forma rigorosa, esses l'Ecole Polytechnique em Paris, destacava o lado algébrico do Cálculo em detrimento dos compreensão humana. Quanto mais o cérebro analisa e persegue essas ideias fugitivas humana (LIMA, 2006, p. 54). desde Antífon (c. 430 a.C.) e Eudoxo (c. 370 a.C.) até meados do século XIX. Assim, na busca precisa, rigorosa e profissional". Dessa forma, Cauchy, na incumbência de lecionar Cálculo na avançada (passou parte do tempo no ensino secundário 54 ). Assim, o "rigor weierstrassiano"
	incipiente; o aumento nascente, ou seja, algo que não tem magnitude: não importa a proporcionou uma organização para o conceito de limite dentro dos padrões de rigor exigidos A primeira tentativa de conseguir um rigor para o Cálculo veio de Jean-le-Rond apresentam três questões básicas em torno do desaparecem de vista. Certamente, para qualquer razão, uma segunda ou terceira fluxão parece um mistério obscuro. A Celeridade incipiente de uma Celebridade construção rigorosa dos números reais e do conceito de função que, consequentemente, fundamentos. aspectos geométricos.
	fundamento do Cálculo. Enquanto o Cálculo leibniziano sugere que existam quantidades 52 O analista; um discurso dirigido a um matemático infiel. D'Alembert (1717-1783) ao observar com mais cuidado, em 1754, que era necessária uma

destaca, em sua tese, que nem sempre

  

	as dificuldades em relação aos conceitos do Cálculo são de natureza psicológica (internas ao
	sujeito aprendiz), mas sim de natureza essencialmente epistemológica, ou seja, está além dos
	métodos e das técnicas de ensino.
	Como podemos observar na Figura 5, o estágio inicial pode ser representado pelo Mapa
	Epistemológico 55 , a seguir:
	55 Mapa epistemológico é um mapa elaborado pelos autores explicitando o percurso do desenvolvimento das
	noções de limite.

de acordo Figueroa e Almouloud (2018, p. 152), apesar de não possuir o conceito de limite, nesse período de estágio intermediário, foi possível: desenvolver o cálculo da área do círculo, o método de Eudoxo (ficando conhecido posteriormente como método da exaustão) e

  

	100
	impacto nas ideias posteriores. As ligações com as ideias entre o estágio inicial (convergência, Assim, de acordo com Figueroa e Almouloud (2018, p. 155) e Zuchi (2005, p. 47), a
	infinito, indivisíveis e contínuos) e o estágio intermediário (teoria das proporções e método da construção, fundamentação e consolidação do Cálculo Diferencial e Integral só seria possível
	exaustão) podem ser observadas na Figura 6. com uma constituição rigorosa de número real, e isso acontece na segunda metade do século
	XIX, com as contribuições de Carl Friedrich Gauss (1777-1855); Georg Cantor (1845-1918);
	Figura 6 -Mapa Epistemológico -Parte II Augustin Louis Cauchy (1789-1857); Richard Dedekind (1831-1916) e Karl Weierstrass (1815-
	1897). A seguir,
	Qual é o papel das notações
	simbólicas (a questão é ainda mais complicada, pois Weierstrass trabalhou em um
	contexto parcialmente retórico ao discutir limites)? Por que o esquema de prova
	arquimediano foi criticado no século XVII e como essas críticas estão relacionadas ao
	surgimento do cálculo? (CHORLAY; HOSSON, 2016, p. 17-18, tradução nossa). 59
	Sendo assim, nem todas as dificuldades conceituais são erros como, por exemplo,
	Schubring (2005) citado por Chorlay e Hosson (2016) menciona no caso dos números
	negativos, do século XVII a meados do século XIX. Alguns matemáticos, educadores
	matemáticos e filósofos debateram o significado e a legitimidade de números negativos isolados
	e da regra de multiplicação.
	Chorlay e Hosson concluem que os conceitos abordados foram projetados para estudar
	situações de ensino e aprendizagem e, portanto, provavelmente não são adequadas para a
	investigação histórica. No entanto, quando a pergunta de pesquisa é matemática, os conceitos
	didáticos não apenas ajudam a organizar os dados em uma estrutura racional, mas também
	desempenham um papel fundamental nas primeiras fases da investigação, delineando o objeto
	de estudo.
	Voltando para o estágio intermediário, apresentado por Figueroa e Almouloud (2018,
	p. 151), apesar de que os conceitos intuitivos de limite se fazerem presente na época dos gregos, desenvolvimento de técnicas para a quadratura e/ou cubatura. Segundo Figueroa e Almouloud:
	era impensável ainda o conceito de limite. Mas, de certa forma, as ideias discutidas têm um
	Mas nenhum deles usou limites. Os resultados estavam quase todos corretos, mas cada
	um dependia de uma argumentação não algébrica, recorrendo à intuição geométrica 59 "Archimedes' proofs by exhaustion may be written in a style differing from the current standards in the first ou filosófica, questionável em algum ponto crítico. A necessidade para os limites era year of tertiary education; it does not make them mathematically incorrect, and does not testify to any cognitive shortcoming. Whether or not passing to the limit is an "operation" (and has to be seen this way) seems debatable; justa, mas não reconhecida. (FIGUEROA; ALMOULOUD, 2018, p. 152).
	so is the assertion to the effect that the - definition of limits depends on the actual infinite. As to the last point,
	one could argue that the - definition is actually very close to the Archimedian proof-scheme: for instance, to establish that two areas are equal, Archimedes proves that this difference is less than any given area; to establish Posteriormente, temos o estágio formal, como mencionamos anteriormente, sobre a
	this, he relies on a fact which is made explicit in Euclid's Elements, and warrants convergence to zero for a class of sequences of magnitudes. As to Weierstrass, many of his contemporaries regarded his construction of the real busca da Aritmetização da Análise. Diversos fatores contribuíram de forma direta e indireta
	numbers and his definition of the limit as major step toward the reduction of analysis to arithmetic, and the para chegarmos à definição que se encontra hoje nos diversos livros de Cálculo, com a
	subsequent elimination of infinites. When comparing proofs by exhaustion with the current weierstrassian definition, their fundamental similarity raises a series of potentially fruitful questions: what is the difference preocupação em construir os fundamentos do Cálculo juntamente com o surgimento do conceito
	between a uniform, formal proof-scheme, and a definition? What is the role of symbolic notations (the question is all the more tricky ince Weierstrass worked in a partly rhetorical context when discussing limits)? Why was the de função.
	Archimedian proof-scheme criticized in the 17th century, and how are these criticisms related to the emergence
	of the calculus?" (CHORLAY; HOSSON, 2016, p. 17-18).

Fonte: Figueroa e Almouloud

(2018, p. 153) 

Assim,

na Figura 7, temos uma ideia sobre esse período: Figura 7 -Mapa Epistemológico -Parte III Fonte: Figueroa e Almouloud (2018, p. 156) Tanto a filosofia como a história mostram instrumentos capazes de mobilizar meios para um melhor entendimento das dificuldades que ocorrem na evolução do conhecimento que

  

	performava um total de 1200 páginas, posteriormente passando para 3200 páginas, apresentadas nos livros atuais de Cálculo. Tais notações, como vimos, vêm fundamentar o
	incorporando temas de Álgebra, da Teoria dos Conjuntos e da Topologia, passando a se chamar ensino de Cálculo. Lembrando que as ideias atuais sobre as noções de limites receberam
	Éléments de Mathématique que, em seguida, expandiu para uma coleção de dez livros em vários influências de correntes filosóficas da Matemática como o intuicionismo, o logicismo e o
	volumes. formalismo, que estão internalizados na concepção dos livros de Cálculo, como também nos
	Ainda de acordo Esquincalha (2012, p. 32), a intenção dos Bourbaki residia na discursos de alguns professores como veremos na
	divulgação de uma síntese madura e articulada, ou seja, uma reorganização da Matemática por
	meio da utilização de estruturas, da Teoria dos Conjuntos, e do método axiomático, articulando
	quatro áreas da Matemática apresentadas, até então, de maneira totalmente desconexa:
	Aritmética, Análise, Álgebra e Geometria.
	Nesse contexto, de acordo Eves (2011, p. 462), o Cálculo, apoiado pela Geometria
	Analítica, foi "o maior instrumento matemático descoberto no século XVII. Ele se mostrou
	notavelmente poderoso e eficiente para atacar problemas inexpugnáveis em tempos anteriores",
	o que nos mostra que a sua vasta e extraordinária aplicabilidade alcançou muitos pesquisadores
	em Matemática da época, decorrendo, a partir disso, uma profusão de artigos que
	lamentavelmente não se mostravam preocupados com a falta de fundamentos do Cálculo,
	utilizando apenas que tais argumentos funcionavam.
	Ainda conforme Eves (2011, p. 462), é somente próximo do fim do século XVIII,
	"quando muitos absurdos e contradições tinham-se insinuado na matemática, sentiu-se que era
	essencial examinar as bases da análise para dar-lhes uma fundamentação lógica rigorosa". Com
	isso, uma preocupação e empenho foram empregados para construir essa fundamentação, sendo
	ponderada, em relação à intuição e formalismo do século XVII, uma tarefa nada fácil, mas que
	contribuiu para os fundamentos do Cálculo, como também de outros ramos da Matemática.
	Como consequência, Eves (2011, p. 462) informa que "a própria ideia de função teve
	que ser esclarecida e noções como as de limite, continuidade, diferenciabilidade e
	envolve o conceito de limite. Assim, verificar as causas e as dificuldades na compreensão dos integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramente definidas". Por ser uma tarefa de
	conceitos poderá ajudar o professor no trabalho com os estudantes. aperfeiçoar os conceitos básicos da Matemática, possibilitou assim em generalizações
	Uma influência para o ensino de limites que fazem parte dos livros didáticos de cálculo complexas.
	foram as contribuições de Nicolas Bourbaki, que é um pseudônimo de um grupo de Em síntese, a reposta R1 ◊ referente à questão Q1: Qual trajeto realizado para chegar à
	matemáticos, quase todos franceses, que se reuniram para escrever um tratado de Análise notação da definição atual de limite de funções? Temos que um longo caminho foi percorrido,
	Matemática e acabou, assim, por reorganizar uma parte considerável da Matemática desde as ideias iniciais do problema da área e da tangente, como também a fase grega em 300
	desenvolvida na época, considerando como princípios a unicidade da Matemática, as estruturas anos antes de Cristo, até chegar às ideias de Newton e Leibniz e, consequentemente, nos
	algébricas, topológicas e de ordem e o método axiomático (ESQUINCALHA, 2012, p. 28). trabalhos de Cauchy e Weierstrass, com a aritmetização da análise matemática, permitindo uma
	De acordo Esquincalha (2012, p. 31), para a organização do ensino de Cálculo formalização e rigor, possibilitando avanço e consolidação das notações e definição
	Diferencial e Integral pelos Bourbaki, primeiramente apresentaram o "Tratado de Análise", que

seção 3.3.4. 3.2 Algumas pesquisas sobre o estudo de limites de funções

  

	103
	3.2.1 Trabalhos Internacionais conceitual (...) o idioma informal da tradução pode conter tons não intencionais de significado seus próprios raciocínios. (...) estudantes que buscam um entendimento relacional
	Apresentaremos, primeiramente, as ideias de Tall e Schwarzenberger (1978), Tall e como parte de um longo esquema de aprendizado podem formar seu próprio esquema; coloquial." 62 (TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 44, tradução nossa). isso pode ser bastante inadequado para acomodação futura, pois contém as sementes
	Vinner (1981) e Cornu (1983) por percebermos que as pesquisas mais recentes receberam do conflito com um esquema futuro. Os dois conceitos envolvidos podem ser dois Nesse sentido, os autores apresentam como exemplo a definição de uma sequência (sn) conceitos matemáticos no sentido usual (por exemplo, decimais e frações) ou então
	influências desses autores. um pode ser um conceito matemático e o outro, uma coleção de imagens de números reais que tende a um limite de valor s é: "Dado qualquer número real positivo  > subconscientes derivadas da linguagem ou motivação usada para descrever o conceito.
	Como um dos primeiros trabalhos a se preocupar com o ensino de limite, apresentamos Para evitar o último tipo de conflito, devemos evitar o tipo de 'motivação' que o 0, existe N (que pode depender de ) como isso |sn -s| <  para todo n > N" 63 (TALL; espectador sofisticado pode ver é uma forma simples do que deve vim, mas o aluno,
	Tall e Schwarzenberger (1978), no seu artigo "Conflicts in the learning of Real numbers and sem a experiência posterior, vê apenas como algo estranho para suas ideias atuais. Por SCHWARZENBERGER, 1978, p. 45, tradução nossa). esse motivo, os professores devem manter um ceticismo crítico em relação aos Limits" 60 . Os autores trabalharam com estudantes iniciantes do 1º ano da universidade do Curso fazendo n suficientemente grande". Nesse caso, existe uma perda de precisão devido ao fato de de Matemática (não especificando se era licenciatura ou bacharelado), e na pesquisa conselhos sobre métodos de ensino daqueles que trabalham em universidades. (TALL; Uma ideia intuitiva ou informal é: "Podemos fazer sn o mais próximo possível de s, SCHWARZENBERGER, 1978, pp. 45-46, tradução nossa). 65
	Nesse tópico apresentamos respostas à questão: Q2: O que dizem as pesquisas sobre o observaram como os estudantes reagiam ao significado da seguinte pergunta: "0,999... é igual que não foi especificado o quão próximo ou quão grande, nem a relação não mencionada entre Os autores, nesse trecho, chamam atenção que, se nessa fase, decimais infinitos causam
	ensino do conceito de limite de funções?, de modo a buscar lacunas e subsídios em nosso a 1, ou pouco menos que 1?". Muitas respostas continham conceitos infinitesimais como, por  e N. certa perplexidade aos alunos, pode ser útil mencionar que os dígitos, além de certo ponto, não
	questionamento. exemplo: têm significado prático. Porém, permanece o perigo de conflito entre a exigência teórica de
	A Teoria Antropológica do Didático menciona que a busca no que se refere a pesquisas científicas relacionadas à nossa temática podem enrobustecer Modelo Praxeológico Formativo Alternativo (MPFA). Com isso, buscamos na literatura nacional e internacional o que está sendo estudado para o ensino do objeto limite, e o que é preciso incorporar nesse modelo que não foi O que é menos aparente para o matemático sofisticado são as implicações sutis que decimais infinitos e a experiência prática de que decimais finitos são convenientes e suficientes. podem atuar como uma pedra de tropeço para o leitor não iniciado. Alguém incapaz "O mesmo, porque a diferença entre eles é infinitamente pequena." de compreender toda sentença pode acender parte dela. O que a frase "o mais Além disso, muitos outros conflitos potenciais entre os conceitos intimamente relacionados "O mesmo, pois no infinito chega tão perto de um que pode ser considerado o mesmo." próximo"... "como quisermos" significa? Um décimo? Um milionésimo? O que acontece se não a satisfazermos? Se pudermos chegar o mais perto como quisermos, permanecem, por exemplo, entre decimais e limites, entre frações e números irracionais, entre "Pouco menos de um, mas é o mais próximo que você pode chegar a um sem realmente dizer é um." podemos chegar "infinitamente" perto em algum sentido peculiar? (TALL; números e limites, e entre sequências e séries. E, quando não fica claro para os estudantes, isso SCHWARZENBERGER, 1978, p. 45, tradução nossa). 64 "Pouco menos de um, mas a diferença entre ele e um é infinitamente pequena." encontrado nos descritos. (TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 44, tradução nossa) 61 . impede de criar uma estabilidade.
	Ainda diante da dimensão epistemológica do nosso problema de pesquisa, buscamos Assim, a linguagem informal de um limite permite levar à implicação oculta de que sn Para Tall e Schwarzenberger (1978, p. 48), uma sequência s1, s2,... é dita sequência de
	construir o nosso meio de análise através de trabalhos científicos produzidos que se relacionam Os autores entendem que esses estudantes foram ensinados utilizando conceitos de pode estar próximo, mas não igual a s. O que ao nosso ver, deve ser dada a devida atenção, pois aproximações ao número real s, com qualquer grau de precisão desejado, se conseguir chegar
	com nosso objeto do saber (limite) a fim de observar para onde estão apontando, além de infinitesimais ou até que a frase "pouco menos que um" tinha conotações para os alunos muitos professores podem não perceber tais dificuldades implícitas nesse conceito. Não sendo, a um número N na forma sn+1, sn+2,... (n > N) e todos os números posteriores na sequência são
	contribuir para o delineamento do estudo e colaborar com o aprimoramento de nossos distintas daquelas pretendidas pelo pesquisador; ou mais provável que tais respostas dessa forma, tão simples e direta apresentar ostensivos relacionados a esse conceito. Retomando indistinguíveis de s. Quanto maior a precisão mais termos terá a sequência. Dessa forma, para
	instrumentos e atender nossa questão de pesquisa e objetivos. Voltaremos para algumas dessas representem os próprios raciocínios dos estudantes na tentativa de resolver conflitos inerentes Tall e Schwarzenberger (1978, p. 44): descrever o grau de precisão exigido em termos de quão próximo utiliza-se o termo  (a letra
	investigações sempre que sentirmos necessidade. Nesse aspecto, o objetivo dessa seção é à experiência anterior do referente ao limite.
	compreender como foi tratado o conceito de limite e extrair algumas reflexões úteis para o nosso De acordo Tall e Schwarzenberger (1978, p. 44), a maior parte da Matemática Os professores não ajudam a situação se demonstrarem claramente que se sentem
	trabalho. encontrada no Ensino Médio consiste em ideias sofisticadas, concebidas por adultos desconfortáveis com o processo de limite e, assim, transmitem seus medos aos alunos. Problemas subconscientes como estes levam a maiores dificuldades posteriormente,
	Diversas investigações já trabalharam com o ensino e aprendizagem do componente de dificultando ou mesmo bloqueando totalmente a compreensão. O que acontece inteligentes, traduzidas de forma adequada para ensinar no desenvolvimento das crianças. Esse quando dois conceitos conflitantes são despertados na mente do aluno pelos mesmos
	Cálculo, em particular com o objeto limite (do seu ensino e da sua ecologia). Dentre essas dados básicos? (...) é que a existência de dois conceitos 'próximos' pode causar processo de transposição, segundo eles, possui dois perigos opostos: "pegar um conceito sutil estresse mental decorrente do surgimento de pensamentos instáveis (assim como dois
	de alto nível e reduzi-lo pode significar a perda de precisão e um aumento real da dificuldade centros de atração próximos na física causam o surgimento de pontos intermediários investigações, destacamos algumas internacionais, como: Tall e Schwarzenberger (1978); Tall nos quais o campo de força é instável). Para alcançar a estabilidade, os alunos tentarão
	e Vinner (1981); Cornu (1983); Job (2011) e Lecorre (2016) e outras nacionais, como Rezende
	(2003); Zuchi (2005); Santos (2013); José Fernandes (2015); Burigato (2019) e Doumbia
	(2020).
	60 Conflitos na aprendizagem de números reais e limites (TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, tradução nossa).
	61 "The same, because the difference between them is infinitely small."
	" The same, for at infinity it comes so close to one it can be considered the same."
	" Just less than one, but it is the nearest you can get to one without actually saying it is one."
	" Just less than one, but the difference between it and one is infinitely small." (TALL; SCHWARZENBERGER,
	1978, p. 44).

  O infinito é um conceito inventado para dar um ponto final aos números reais, além de quais não existem mais números reais." "Um símbolo para representar o inacessível." "O maior número possível que existe." "Um número que não existe, mas é o maior valor para qualquer número." "A ideia de um último número em uma cadeia interminável de números." Em alguns casos, a causa do conflito pode ser puramente linguística e o conflito pode ser evitado por uma escolha cuidadosa de motivação ou definição.

	Assim, os autores ressaltam:

To avoid the latter type of conflict, we must avoid the kind of 'motivation' which the sophisticated onlooker can see is a simple form of what is to come, but the learner, without the later experience, sees only as something foreign to his current ideas. For this reason teachers should retain critical skepticism about advice on teaching methods from those working at universities".

(TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, pp. 45-46)

. precisa: s1, s2,... é uma sequência de aproximações ao limite de valor s, se for dada a precisão desejada , existe um número natural correspondente N tal que, quando n> N, então | sn -s| < .

Denotamos o limite de valor s, por 𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 𝑛 nessa fase, (o autor propõe isso para evitar introdução do símbolo "∞") como 𝑠 = lim 𝑛→∞ 𝑠 𝑛 , por duas razões: em primeiro lugar, os alunos podem desenvolver ideias "estranhas" sobre o "infinito": "(TALL;

SCHWARZENBERGER, 1978, p. 48, tradução nossa). 66 

Essas afirmações são relativas às respostas dos estudantes a um questionário entregue na primeira semana em Universidade de Warwick. De acordo com os autores, estas ilustram alguns dos conflitos, aparentemente místicos, do infinito.

A segunda razão, segundo os autores, para omitir o símbolo "∞", é a impressão de que o limite nunca é realmente alcançado. Como menciona um estudante na sua pesquisa: "Infinito é um conceito imaginário inventado por matemáticos, útil na descrição limites, etc." (TALL;

SCHWARZENBERGER, 1978, p. 48, tradução nossa)

.

67 

Para evitar tais conflitos, deve ser evidenciada a construção da noção de limites, discutindo a questão do grau de precisão. Por exemplo, se limite sn = s, então, a partir de algum termo, os termos são indistinguíveis. Em um sentido prático, de acordo o valor de n, atingimos o limite dentro do grau de precisão desejado. Nesse caso, em vez de nos concentrarmos em "n muito grande", devemos nos concentrar que "sn e s" são praticamente indistinguível.

Exemplificando: a única maneira pela quais decimais diferentes podem ser tão equivalentes é quando um termina (é igual a uma expansão decimal finita) e o outro é o mesmo, exceto que o último dígito, diferente de zero, é diminuído em um e seguido por uma sequência de 9s, como 1,000... e 0,999..., ou 2,317000..., e 2,316999... Apesar de esse tópico causar muita 66 "Infinity is a concept invented in order to give an endpoint to the real numbers, beyond which there are no more real numbers." "A symbol to represent the unreachable." "The biggest possible number that exists." "A number which does not exist, but is the largest value for any number to have." "The idea of a last number in a never ending chain of numbers."

(TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 48)

. 67 s n → s means s n gets close to s as n gets large, but does not actually reach s until infinity

67 

", e o mesmo estudante afirma: "Infinity is an imaginary concept invented by mathematicians, useful in describing limits, etc." (TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 48).

dificuldade, inicialmente pode ser tratado como uma soma de uma progressão geométrica infinita da mesma maneira, mas

Tall e Schwarzenberger (1978, p. 49

) afirmam que essa prova só é possível para estudantes totalmente seguros com o processo de limite.

Tall e Schwarzenberger concluem, em seu artigo, que é necessário prestar uma atenção especial às dificuldades que surgem de conflitos conscientes e subconscientes, como por exemplo, conflitos entre 'decimal' e 'limite', entre 'decimal' e 'fração', entre 'número' e 'limite', entre 'sequências' e 'séries'.

O objetivo é construir um esquema que é livre de conflitos no sentido de que existem caminhos suaves ligando um pensamento a outro sem o estresse e a instabilidade introduzidos pela oscilação de um conceito para outro. A matemática é um assunto bastante difícil de entender sem o adicional perigo introduzido por tentativas equivocadas de fornecer o tipo errado de motivação ou ajuda; o ajudante consciente do caos causado pelo conflito entre conceitos tentará adotar uma abordagem que não entre em conflito nem com os preconceitos do aluno nem com material matemático vizinho.

(TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, pp. 55-56, tradução nossa) 

68 . Com isso, os autores ressaltam que é importante tomar certos cuidados com os conceitos introduzidos, evitando assim conflitos já constatados. Outro trabalho que foi citado em várias pesquisas atualmente é o artigo de D. Tall e S. Vinner (1981), intitulado Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity 69 , que trata de imagem conceitual e definição conceitual utilizando como objeto limite e continuidade.

Segundo

Tall e Vinner (1981, p. 151)

, a imagem conceitual 70 consiste em toda a estrutura cognitiva da mente do indivíduo que está associada a um determinado conceito, e ressaltam que isso pode não ser globalmente coerente podendo ter aspectos bastante diferentes da definição formal do conceito. Eles afirmam que várias investigações relatadas demonstram imagens conceituais individuais diferentes da teoria formal onde está o conceito e contendo 68 "Throughout, the aim is to construct a schema which is conflict free in the sense that there exist smooth paths linking one thought to another without the stress and instability introduced by oscillating from one concept to another. Mathematics is a difficult enough subject to understand without the additional hazards which are introduced by misguided attempts to provide the wrong sort of motivation or help; the helper conscious of the havoc caused by conflict between concepts will try to adopt an approach which conflicts neither with the preconceptions of the pupil nor with neighbouring mathematical material."

(TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, pp. 55-56)

.

69 

Conceito de Imagem e Definição de Conceito em Matemática com especial referência aos Limites e à Continuidade.

(TALL; VINNER, 1981, tradução nossa)

.

70 

A ideia central sobre imagem conceitual pode ser entendida quando um indivíduo ouve o nome de um conceito, ele produz um estímulo que aciona algo em sua memória caracterizado como conceito imagem, ou seja, que nossa mente associa algo não verbal ao nome do conceito.

rendus de la XXVIII, rencontre organisée par la Commission Internationale pour l'Etude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques

  

				des
	textes	philosophiques.	Disponível	em:
	http://classiques.uqac.ca/classiques/bachelard_gaston/formation_esprit_scientifique/formation_esprit_scientifiqu
	e.html. Acesso em: 2 dez. 2019.		

77 "Même si mathematiquement, toute la notion de limite est contenue dans as définition em

(ɛ,η)

."

(CORNU, 1983, p. 23)

.

78 

"Il y a un écart entre la notion de limite en tant que concept, et la définition de la notion de limite. "

(CORNU, 1983, p. 23

). 79 BACHELLARD, G. La formation de l'espirit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective. 5 e éd. Paris: Librairie philosophique J.

Vrin, 1967. 257 

p. Collection: Bibliothèque 80 BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. In: Comptes , 1976. p. 101-117. Disponível em: https://hal.archivesouvertes.fr/file/index/docid/516569/filename/Obstacles_76.pdf. Acesso em: 2 dez. 2019. Disponivel em: https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/516569/filename/Obstacles_76.pdf. Acesso em: 2 dez. 2019. 81 GLAESER, G. Epistémologie et Didactique. Cours de 3è cycle. Strasbourg: Université L. Pasteur, 1980.

  , apresentaremos, em linhas gerais, os elementos presentes e, de forma mais específica, o capítulo onde surge o objeto limite.O livro citado possui 311 páginas e está dividido de acordo com a Tabela 1:

	Tabela 2 -Estrutura organizacional regional do livro (ÁVILA, 2003)		
						(continua)
	Seção	Título da seção	Definições	Exemplos Exercícios	Quantidade
			e/ou Teoremas	propostos	de páginas
	1	Reta tangente e reta	4	3	22	6
		normal				
	2	Limite e continuidade	5	12	27	7
	Tabela 1 -Estrutura geral do livro (ÁVILA, 2003) 3 A derivada 2	3	32	6
	Capítulos 4 5 1 Fonte: Dados da pesquisa (2021) Aplicações à Cinemática Assunto Notas históricas Números reais e coordenadas na reta 3 -	Quantidade de seções 3 -3	25 Quantidade 7 -5 de páginas 16
	2	Equações e gráficos		5		18
	3	Funções		5		26
	4	Derivadas e limites		5		30
	5	Cálculo formal de derivadas	5		22
	6	Derivadas das funções trigonométricas	6		34
	7	As funções logarítmicas e exponencial	5		35
	8	Máximos e mínimos		4		30
	9	Comportamento das funções	4		25
	10	O Cálculo Integral		6		30
	11	Métodos de integração		11		35

Fonte: Dados da pesquisa

(2021) 

Cada capítulo é dividido em 3 a 11 seções, com uma média de 5 seções por cada capítulo. Cada seção é iniciada com uma abordagem de um objeto matemático chamando a atenção para a terminologia e notação empregada, trazendo exemplos com situações diretas e fazendo sempre analogia com a parte geométrica. Ao final de cada seção, sempre é apresentada uma quantidade de exercícios e após estes são exibidas as respostas, sugestões e soluções.

Ao final de cada capítulo são expostas notas históricas, na tentativa de motivar o leitor a compreender a evolução dos conceitos no decorrer do tempo, apresentando os percalços enfrentados pelos matemáticos na formação das teorias. No nosso estudo nos interessamos, particularmente, pelo capítulo 4 onde inicia o Cálculo propriamente dito 99 e aparece, pela primeira vez, o uso do limite. Aqui, o autor começa o capítulo com o conceito de reta tangente e normal. Podemos observar o detalhamento deste capítulo na Tabela 2.

  Nesse momento, o leitor acompanha outras tarefas que são os exemplos 1 e 2, que é encontrar a reta tangente por meio da expressão que determina o coeficiente angular da reta a partir da razão incremental, apesar da ideia do limite não se concretizar para o leitor de forma clara, dando a impressão de pouca importância ou de certa irrelevância.

	Em seguida, o leitor poderia perguntar: e se a função para encontrar a reta tangente não
	fosse uma função polinomial, quociente ou raiz? Caso fosse uma função trigonométrica ou
	Apesar de o autor apresentar o conceito dessa forma, isso pode contribuir para o leitor
	entender que esses conceitos foram construídos simultaneamente, durante a sua concepção
	histórica, o que não condiz com a história do Cálculo.

apresenta o limite, nesse momento, como um recurso (auxiliar) para compreender a ideia de derivada, sendo trabalhado ao longo do capítulo, mais precisamente na página 73. Porém, poderia oportunizar a discussão em torno do limite apresentando os mais ostensivos (gráficos, tabelas numéricas,...), a fim de o leitor compreender melhor o objeto limite, sendo que tanto a ideia de derivadas como limite são objetos não ostensivos. O autor propõe os seguintes objetos ostensivos para compreensão de limite e, posteriormente, de derivadas: razão incremental, o gráfico da tangente à curva num determinado ponto e o coeficiente angular da reta tangente ou declive da curva (denominado como m).

Assim, podemos observar que a técnica empregada para determinar a reta tangente utiliza a expressão que contém o limite, sem mesmo estar clara para o leitor a ideia de aproximação que vem da definição de limite. exponencial, como reagiria a esse fato? Também podemos citar exemplos em que o limite nem sempre existe ou mesmo precisa de certo cuidado como, por exemplo, na função indicadora de ℚ que é definida por 𝐼 ℚ(𝑥) = { 1, 𝑥 ∈ ℚ 0, 𝑥 ∉ ℚ , conhecida também como função característica (SPIVAK, 1967, p. 63), onde o limite não existe em nenhum ponto, ou mesmo na função parte inteira (ou menor inteiro ou floor) de x, denotada por que é definida como o único inteiro n tal que, . Tanto no caso anterior como nesse, se requer um cuidado maior, pois mostra que nem sempre é possível existir o limite.

  derivadas laterais, utilizando a definição de derivada e limites laterais, ou seja, utilizando as técnicas 9 e 10; 6 tarefas utilizando a ideia de reta tangente; 2 tarefas para encontrar a derivada segunda; e 1 tarefa para mostrar que o limite não existe.Nessa parte, apresentamos os tipos de tarefas e as respectivas técnicas relacionadas ao quarteto praxeológico, tanto com a parte teórica como a parte das atividades propostas. Para tanto, elaboramos um resumo com os tipos de tarefas e técnicas da seção que envolve limite.

	151					
	6 Tipos de	Teorema do confronto Descrição	1 Técnicas	3	12 Descrição	3
	Destacamos que o autor teve a atenção de fornecer respostas, sugestões e soluções, o que contribui para o estudante comparar as ideias do autor com suas próprias ideias, fazendo Finalizando o capítulo, o autor não apresenta a definição de limite, como afirma no Capítulos Assunto Quantidade de seções 7 Continuidade das funções 1 0 0 2 tarefas Quantidade trigonométricas outras mais simples com uma troca de de páginas 1 Números reais 7 2 Funções 4 3 Limite e continuidade 9 8 O limite fundamental lim 𝑥→0 1 2 3 4 variáveis; 𝑠𝑒𝑛 𝑥 21 Limite fundamental trigonométrico; 𝑥 9 Propriedades operatórias. 4 0 0 2 22 Limite no infinito -lim 𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 ;
	uma autoavaliação do conhecimento trabalhado na seção. Na parte teórica da seção 4.2 do livro Ávila (2003) -Limites e continuidade -o autor retoma a ideia de declive da reta tangente e define a continuidade de uma função f em um ponto, início do Capítulo 4 (p. 61). Outro fato observado é que o livro Ávila (2003) apresenta um número de exemplos muito pequeno, levando a conjecturar que o professor que adotá-lo deverá complementá-lo, fato que não é deixado explícito nas recomendações ao professor, no prefácio 4 Extensões do conceito de limite 5 5 Teorema do anulamento, do valor intermediário e de Weierstrass 1 4 6 Função exponencial e logarítmica Demonstração do teorema do confronto Fonte: Dados da pesquisa (2021) 23 Limite infinitos -lim 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑝 24 Limite exponencial -lim (1 + 1 𝑥 𝑥 ) ; 𝑥→+∞ 3 T13 Prove uma determinada 25 Utilizando a definição de limite por  e ,
	apresenta exemplos de limites de funções contínuas e o teorema do valor intermediário. Em 8 Funções inversas 2 definição de limite; do livro. Devido ao propósito do presente trabalho, não nos aprofundaremos na discussão sobre 7 Derivadas 17 propriedade utilizando a provar uma determinada propriedade;
	seguida, exemplos envolvendo ideias de limites laterais, limites infinitos e limites no infinito. 9 Estudo da variação das funções 8 T13 Prove pela definição que a 26 f é contínua em p  Para todo  > 0 dado, o autor apresentar superficialmente limites laterais, limites infinitos e no infinito. 10 Primitivas 2 função dada é contínua no existe  > 0 tal que, para todo x em Df , |x -p| Porém, no exemplo 6 (p. 70), o autor finaliza: "É natural, pois definir g(x) em x = 2, como sendo É possível perceber que, tanto na parte teórica como na parte das atividades, o livro se 11 Integral de Riemann 8 ponto dado; <   |f(x) -f(p)| < ;
	𝑓(𝑥)-𝑓(2) 𝑥-2 Apresentar descontinuidade; 11 uma √ 𝑥-√2 9 Tabela 6 -Resumo dos tipos de tarefas e técnicas da seção de limite (GUIDORIZZI, 2003) 12 Técnica de primitivação 13 Mais algumas aplicações da integral. Coordenadas polares T14 Dê exemplo de função real, função com 27 que seja contínua em todos os pontos, exceto em alguns = 𝑥-2 14 Equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis e lineares 06 15 Teorema de Rolle, do valor médio e de Cauchy 03 16 Fórmula de Taylor 03 17 Arquimedes, Pascal, Fermat e o cálculo de áreas 04 Ap.1 Propriedade do supremo pontos específicos; (continua) Tipos de Descrição Técnicas T15 Determine o valor do Descrição parâmetro da função para que tarefas T10 Esboce o gráfico da função; 12 a função seja contínua no Traça o gráfico no plano cartesiano, utilizado ponto dado; uma tabela de valores ou a partir dos pontos 04 Ap. 2 Demonstrações dos teoremas do Cap. 5 de intersecção com os eixos coordenados e 04 Ap. 3 Demonstrações do teorema da Seção 6.1 e da características das funções elementares; 02 T11 Determine os pontos ou o 13 Para verificar se é contínua em p é utilizado propriedade (7) da seção 2.2 Ap. 4 Funções integráveis segundo Riemann valor de L para que a função o limite da função quando x tende a p. 06 Ap. 5 Demonstração do teorema da seção 13.4 deva ser contínua, utilizando a T17 Sabendo que f é contínua em 30 Utiliza a definição de função contínua em 01 Ap. 6 Construção do corpo ordenado dos números ideia intuitiva de função a = 2 e que f(2) = 8, mostre termos de épsilons e delta, e considera um  08 contínua; que existe  >0 tal que para particular para mostrar o que se solicita na reais Fonte: Dados da pesquisa (2021) T12 Calcule o limite; 14 Substituição direta na função quando esta tarefa; todo x Df , 2 - < x < 2 +  não apresenta indeterminação; 15  f (x) > 7; Manipulação algébrica para eliminar a 16 Visualizar o gráfico e encontrar o valor de L, , -𝑥 2 + 3𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) < 𝑥 2 -1 𝑥-1 , valor do que a variável está tendendo; em ℝ tal que para todo 𝑥 ≠ 1 indeterminação e, em seguida, substituir o T20 Seja f uma função definida  31 Técnica do teorema do confronto.
		calcule lim 𝑥→1	𝑓(𝑥) e justifique.		tal que à medida que x se aproxima de p, tanto por valores superiores e inferiores, mais
					próximo de p, os valores de f(x) de
	Em relação ao modelo do espaço tridimensional das organizações didáticas, o livro na aproximam de L.
	17 seção analisada se aproxima do eixo teoricista e tecnicista, e poderíamos classificá-lo como Encontra o valor de L, através de uma tabela de valores próximos de p tanto maiores como
	Retomando as atividades propostas, das 22 tarefas, as 11 primeiras se referem a tarefas menores; clássico. Porém, a nosso ver, deixa a desejar ao abordar limite, permitindo algumas lacunas para Seção Título da seção Definições Exemplos Exercícios Quantidade 18 Encontrando o limite através das o estudante, visto que, normalmente quando se adota um livro-texto, os demais livros presentes e/ou propostos de páginas propriedades, explicitando o passo a passo;
	dos tipos: T2, T3, T4 e T5 da Tabela 3, requerendo as mesmas técnicas 2; 3; 4 e 5; as 6 tarefas seguintes se referem ao tipo: T6, requisitando a técnica 6; e as 5 últimas tarefas, envolvendo T4 Teoremas 19 Encontrando os limites laterais através de na ementa não são abordados. 1 Introdução 2 4 4 7 uma análise de valores próximos do ponto p,
	2	Definição de função	3	9	27	11
		contínua				
	3	Definição de limite	3	18	15	13
	4	Limite laterais	1	3	6	4
	5	Limite de função	3	7	3	6
		composta				

apresenta três exemplos (tipos de tarefas) e encerra a primeira seção institucionalizando a ideia inicial de limite. Em seguida, nas atividades propostas na seção 4.1, o autor apresenta ao leitor um total de 22 exercícios (que chamaremos de tarefas). Para respondê-los, conjecturamos que o autor deve ter pensado nas seguintes técnicas para resolvêlos: de τ1, τ2, τ3, τ4, τ5 e τ6 (como resumido na Tabela 3).

Para responder as tarefas propostas, normalmente é utilizada mais de uma técnica. São poucos os exercícios que trabalham com o conceito (definições, restrições e contraexemplos), ou mesmo a parte que utilizem tecnologias digitais como Sistema de Computação Algébrica (SCA), pois, a cada dia, a disponibilidade de softwares é maior, e são ferramentas úteis na descoberta e compreensão dos conceitos matemáticos. e T6. Essas tarefas que compõem a seção têm o mesmo propósito: ou é para determinar a reta tangente ou a reta normal, trabalhando apenas com funções polinomiais, hipérboles ou raiz e, normalmente, para utilizar a mesma técnica. É possível perceber, ainda, uma tendência do modelo clássico que se ampara em concepções que privilegiam a memorização de técnicas em detrimento à compreensão do conceito.

1/2√2: g(2) = 1/2√2". Porém, esse fato não pode ser considerado, já que a função g não é definida em x = 2, pois a função g considerada é g(𝑥) = .

Ainda seção 4.2, nas atividades propostas, 27 exercícios são apresentados, todos com o seguinte tipo de tarefa: T7: Calcule o limite. Destas tarefas, 8 são para calcular o limite diretamente (sem indeterminação), utilizando, nesse caso, a técnica 7, enquanto 6 possuem alguma indeterminação do tipo 0/0, sendo necessária utilizar a técnica 8. E, os 13 restantes envolvendo ideias de limites laterais 9, ou seja, através de uma análise de valores próximos do ponto p, menores e próximos de p (para p -) e valores maiores e próximos de p (para p + ). Vale ressaltar que não há tarefas, nessa parte, envolvendo continuidade/descontinuidade, limites no infinito e teorema do valor intermediário.

É importante destacar que o ostensivo gráfico não foi explorado, ou seja, a partir da representação gráfica determinar o limite. Nem também o cálculo do limite por auxílios de aproximações como os ostensivos (tabelas numéricas), o que poderia contribuir para a articulação entre noção intuitiva e a definição de limite.

A seção 4.3 do livro

Ávila (2003) 

trabalha o conceito de derivadas por intermédio do cálculo do limite, retomando as ideias da seção 4.1 (que trata do declive), ou seja, o limite da razão incremental, e com as ideias de limites laterais (trabalhadas na seção 4.2). Nas atividades propostas, o autor sugere 32 tarefas, sendo as 18 primeiras do tipo T8, utilizando a técnica 2; 4 tarefas para calcular aproxima da categoria mais teoricista e um pouco tecnicista, pois privilegia as teorias sem tanto aprofundamento, e as técnicas algorítmicas são incentivadas nas buscas de resolução de tarefas muitos próximas, sem buscar tarefas que ajude o estudante a procurar estratégias diferentes.

Observamos ainda que a autonomia do estudante não é incentivada pelo autor, uma vez que este solicita tarefas que supõem utilizar as mesmas técnicas (ou técnicas repetidas), não explorando as propriedades ou uma compreensão melhor do conceito.

Assim, apresentamos nossa análise, fundamentadas na TAD, a respeito do livro

Ávila (2003)

. É importante frisar que a intenção, ao realizarmos essa análise, não foi de "tecer" julgamentos em relação à obra em si, mas convidar o leitor a uma reflexão sobre alguns aspectos que, caso não sejam observados, podem refletir prejudicialmente no processo de ensino e aprendizagem. B) GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Vol.

1. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2003. Analisaremos, doravante, o livro de Hamilton Luiz Guidorizzi (2003)

, que chamaremos apenas de Guidorizzi. Apresentaremos, em linhas gerais, os elementos presentes e, de forma mais específica, o capítulo onde surge o objeto limite. O livro citado possui 635 páginas e está dividido de acordo com a Tabela 4: Tabela 4 -Estrutura geral do livro

[START_REF] Guidorizzi | Um curso de Cálculo[END_REF] 

Notamos que o capítulo que apresenta limite (juntamente com continuidade) possui nove seções e corresponde a 7,09% do livro. Vamos analisar, de forma mais específica, o capítulo que apresenta limite e, para isto, apresentamos a Tabela 5 que exibe como estão divididas as suas seções.

Tabela 5 -Estrutura organizacional regional do livro

[START_REF] Guidorizzi | Um curso de Cálculo[END_REF] 

menores e próximos de p (para p -) e valores maiores e próximos de p (para p + ); 20 Encontrando o limite de uma função composta, substituindo a expressão por 28 Encontra o valor do parâmetro que está na expressão de f através da propriedade: f contínua em p  lim 𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝); T16 Encontre o valor (caso exista) que a função deveria ter para ser contínua no ponto dado; 29 Encontra o valor do ponto que a função deveria apresentar para ser contínua através da propriedade: f contínua em p  lim 𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝); Fonte: Dados da pesquisa (2021)

  Guidorizzi é τ16: Visualizar o gráfico e encontrar o valor de L, tal que à medida que x se aproxima de p, tanto por valores superiores e inferiores, mais próximo de p, os valores de f(x) de aproximam de L. Embora apresente os dois gráficos, um ao lado do outro, a explicação não enfatiza as diferenças e semelhanças entre eles, dando a entender que o autor encara as informações com naturalidade, enquanto para os estudantes isso pode não ocorrer, visto à falta de familiaridade com o conteúdo.Nesse caso, o estudante tem contato com a expressão do limite sem nenhum exemplo numérico, nem alguma situação em que possa identificar a necessidade de estudar esse conceito.

	Em seguida, o autor apresenta uma tarefa de limite de uma função contínua, exemplo 2 (p. 55):
	utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim	
		𝑥 2 -1
	𝑥→1	𝑥-1

𝑥→1

(𝑥 + 1). Para solucionar, exibe como técnica: τ17: encontre o valor de L através de uma tabela de valores próximos de p tanto maiores como menores e a técnica τ16. Entretanto, não justifica ou mesmo detalha para o leitor qual o motivo de escolher tais técnicas, não fazendo uma conexão entre as informações apresentadas, pois estas aparecem de forma "solta". Para o autor (ou mesmo para o professor), isso pode parecer ser natural (ou existir certa naturalidade), porém, para o estudante que pela primeira vez tem contato com esse saber, isso pode gerar, possivelmente, diversas dúvidas: por que os valores da tabela são estes? Por que os valores da tabela não aparecem no gráfico? Até o estudante, que já conhece o comportamento do gráfico dessa função, pode não perceber o motivo de ter construído a tabela.

No exemplo 3 (p. 56) temos: Utilizando a ideia de limite, calcule lim . Nesse caso, diferentemente do exemplo anterior, o autor responde sem a utilização do ostensivo da tabela numérica, também não informa o motivo, apenas apresenta o argumento da figura a seguir:

  Dessa forma, apresenta e institucionaliza a definição de limite, de forma direta, em termos de épsilon e delta, com naturalidade, sem construir a ideia de infinitamente pequeno, provando quase simultaneamente a unicidade de limite (o momento da institucionalização), além de apresentar a propriedade (2) como a definição de limite de uma função em um ponto, sempre comparando com os casos em que a função é contínua ou não. Por fim, observa o autor:O limite de f em p não depende do valor (caso f esteja definida em p) que f assume em p, mas sim dos valores que f assume nos pontos próximos de p. Quando estivermos interessados no limite de f em p, basta olharmos para os valores que f assume num 'pequeno' intervalo aberto contendo p; o conceito de limite é um conceito local.(GUIDORIZZI, 2003, p. 73). contexto da nossa investigação aconteceu em três turmas de Cálculo II da UFRB 103 , que eram formadas por estudantes do Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas (BCET 104 ) e Engenharia Sanitária. Nessa conjuntura, os estudantes da pesquisa já haviam sido aprovados em Cálculo I e, como estavam cursando Cálculo II, a nosso ver, há pouco tempo haviam tido contato com o objeto limite.

	falsos (neste caso, tomando como exemplo a calculadora que possui capacidade de 10 dígitos se cada vez mais de L" são vagas e imprecisas. Dessa forma, consideramos a ideia (noção)
	no visor), a exemplo: a função 102 𝑓(𝑡) = intuitiva e a definição de limite.	√𝑡 2 +9-3 𝑡 2 , quando t assume valores menores que
	0,000001, o valor, ao invés de se aproximar de 1/6, tem como resultado 0 (zero), pois √𝑡 2 + 9 Quadro 1 -Questão inicial para entender a compreensão dos estudantes sobre limite
	fica muito próximo de 3 quando t é suficientemente pequeno, podendo também acontecer o O professor Carlos, ao terminar o curso de Cálculo I, realizou a seguinte pergunta aos
	mesmo quando é utilizado o ostensivo gráfico. Para compreensão do leitor quanto ao nosso questionário, criamos um cenário no qual estudantes sobre o entendimento do conceito de limites de funções reais:
	O livro de Guidorizzi (2003), tanto na parte teórica como nas atividades propostas, se simulamos uma turma fictícia (de um professor fictício de nome Carlos) com uma pergunta Qual o significado de lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ? 𝑥→𝑎 aproxima da categoria mais teoricista e um pouco tecnicista, pois privilegia as teorias, porém (Quadro 1) na primeira parte, com 19 itens (afirmações) de 19 estudantes também fictícios, a A seguir você encontrará as respostas dos estudantes. Observe e responda:
	sem tanto aprofundamento e as técnicas algorítmicas são incentivadas na busca de resolução de saber: João, Érica, Gabriel, Vitória, Ana, José, Paulo, Mateus, Luísa, Silas, Lucas, Ricardo, a) Quais das definições estão corretas? E por quê?
	tarefas muitos próximas. Mário, Danilo, Ester, Marcos, Rafael, Tadeu e Mônica. Simulamos uma resposta para cada Fonte: Dados da pesquisa (2021)
	3.3.3 Inferências das respostas dos estudantes sobre a noção de limite
	Como no livro do Ávila, o livro do Guidorizzi também não apresenta nenhuma atividade Vale ressaltar que não fizemos a separação, como alguns autores, a exemplo, Stewart
	que utilize tecnologias digitais, como sistema de computação algébrica (SCA), o que poderia Vamos à questão Q4: Quais as praxeologias evocadas pelos estudantes referentes à (2016, p. 71, 90), entre definição (, ) e definição intuitiva porque, a nosso ver, a definição em
	facilitar a compreensão do estudante acerca de novos conceitos. noção de limites? Elaboramos um questionário com diversos itens que tratavam do objeto noção Matemática tem que apresentar uma linguagem clara, precisa, com rigor e objetividade, o que
	Ao apresentar o cálculo do limite, através do ostensivo tabelas numéricas, na verdade de limite e solicitamos que estudantes aprovados em Cálculo I (que já estudaram essa definição) a "definição intuitiva" não exibe, pois expressões como "x está próximo de 3" e "f(x) aproxima-
	estamos estimando um valor para o limite, conjecturando através das aproximações. Essa explicitassem suas compreensões.

utilizando somente as ideias de módulo ou valor absoluto. Contudo, não fica evidente para o estudante a relação entre  e  na definição.

Nessa observação, podemos dizer que são vestígios de uma tecnologia, relacionada à vizinhança de um ponto a, neste caso a é o ponto de acumulação 101 . Em seguida, o autor apresenta as propriedades do limite referente à soma, multiplicação por uma constante, produto e divisão. Na seção 3.3 são exibidos 18 exemplos. Desses, 8 são de cálculo direto de limite utilizando as técnicas  14 e  15 ; 1 utilizando as propriedades do limite, passo a passo, que chamaremos de técnica 18; 5 utilizando ideias de continuidade, empregando as técnicas 13, 14;

3 para provar uma determinada propriedade utilizando a definição de limite, 25.

Nas atividades propostas, temos um total de 58 exercícios (incluindo os itens de cada questão). Desses, 44 são do tipo de tarefa: T12: Calcule o limite, que utiliza as técnicas 14 e 15; T11: Encontrar o valor de L para que a função seja contínua no ponto dado, utilizando a técnica  13 ; e 10 tarefas do tipo T 13 , empregando a técnica  25 . Assim, é possível perceber que o autor não apresenta motivações para que o estudante considere o conceito de limite e sua introdução é exposta simultaneamente com o de continuidade, o que pode ocasionar certas incompreensões relativas ao entendimento de limite como, por exemplo, pode existir o limite de uma função, mas a função não ser contínua. técnica pode apresentar inconveniente como, a depender da função, a calculadora dar valores 101 Seja X  R. Um número a  R chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando todo intervalo (a -, a + ), de centro a, contém algum ponto xX diferente de a. (LIMA, 2010, p. 175). Síntese da resposta R3 ◊ referente à questão Q3: 'Como é a ecologia para a definição de limite presente em um Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas?' O saber limite tem seu habitat nos componentes curriculares do BCET (PPC-UFRB) de Cálculo Diferencial e Integral I e II, e para quem seguir o Bacharelado em Matemática, estará presente em Análise I e Funções de uma variável complexa, estando também nas disciplinas optativas Funções Analíticas e Cálculo Avançado. Os livros analisados, inseridos na ementa do Cálculo Diferencial e Integral I, geralmente dedicam um capítulo inteiro para o ensino de limite, com o intuito de envolver o estudante nessa nova etapa que é o Cálculo I. Nesse caso, constatamos que os autores poderiam explorar melhor a introdução do conceito de limite, realizando uma articulação entre a noção intuitiva e a definição por épsilon e delata. Isso daria um embasamento para o estudante se familiarizar, obter confiança e autonomia na aprendizagem dos demais saberes do Cálculo. Com isso, é possível ressaltar a importância do conceito de limite no ecossistema do BCET, para melhor embasamento matemático dos graduandos. O estudante de acordo a pergunta do professor Carlos. As respostas foram manuscritas a caneta e scaneadas, as quais foram projetadas (projetor multimídia -Datashow) para que cada estudante das turmas de Cálculo II fosse capaz de julgar se eram verdadeiras ou falsas. Com isso, foram realizadas as análises das respostas dos estudantes em relação às afirmações dos estudantes fictícios. Esse cenário foi construído para que os estudantes se sentissem na posição de avaliador das repostas e não como avaliados no momento da experimentação. Na primeira parte do questionário, o propósito foi o de trabalhar com diferentes ostensivos (composto por 19 itens), tanto na linguagem natural (vernácula), com a noção intuitiva geométrica, ou seja, uma interpretação gráfica relacionada ao nosso objeto e uma algébrica da definição de limite por quantificadores, valor absoluto (distância entre números reais). Nesse primeiro momento, procurou-se perceber se os estudantes apresentariam alguma noção da definição proposta por Weierstrass em termos de ε e δ. Na segunda parte (composta por dois itens), o propósito foi verificar se os estudantes apresentariam a definição que entendiam por correta, caso não estivesse exposta nas proposições anteriores, e que apresentassem também uma representação para lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿. Descrição praxeológica esperada da tarefa relativa ao Quadro 1: Tipo de tarefa, TLIM DEF: Qual o significado de lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 ?

  uma função com valores reais, definida num subconjunto 𝑋 ⊂ ℝ. (diz-se que f é uma função real de uma variável real). Seja 𝑎 ∈ ℝ um ponto de acumulação de 𝑋, isto é, 𝑎 ∈ 𝑋′, para isto, diremos que o número real L é o limite de f(x) quando x tende para a, e escrevemos "Correto, pois esta é a definição de limite.", não justificaram o motivo que levaram a considerar como correta a afirmação.Os seguintes estudantes, embora não lembrassem, ou não sabiam, foram sinceros nas suas respostas: y30: "Está correto. Não sei explicar."; y40: "Sim. Estou deduzindo que está correta pelo contexto que foi apresentado."; z16: "Correta. Mesmo não estando escrito da forma correta.". Vejamos x3: "Correta, porque quanto mais próximo o limite de f(x) for de a, o valor se aproxima de L, não podendo ser igual a a.", nesse caso, o limite de f(x) não é próximo de a, e não está claro o valor que se aproxima de L, como também quem é próximo de a. O estudante x3, aparentemente, mostra ter certo conhecimento, porém não consegue expressar de forma coerente. Dessa forma, é possível perceber que a relação que o estudante estabelece com o objeto limite não é a que a instituição espera. Na afirmação de x19: "Correto. Porque no limite, o valor próximo tendendo para esquerda ou direita.". Talvez o estudante queira se referir "pela" esquerda ou "pela" direita, com ideias de limites laterais. Ou seja, para esses estudantes, a noção intuitiva sempre apresenta uma ideia vaga e imprecisa, não conseguindo assim um consenso.No caso do estudante x14: "Errado, pois a função se aproxima de a.", não é a função que se aproxima de a, mas os valores de x. O estudante x14 não compreendeu corretamente o conceito de função, apesar de estar cursando Cálculo II.Agora faremos uma análise de algumas afirmações de estudantes que, embora respondessem como incorreto, a justificativa está incoerente. Nesse caso, tivemos 26 respostas que se encaixam nesse contexto (representam 32,09% das respostas em conformidade com o esperado). Por exemplo, x4: "Está incorreta, pois o que era definir se L será inferior quando x

	afirmações apresentadas, fazendo um comparativo entre elas e aproximando o olhar da lente
	teórica da TAD.		
	As informações das turmas estão resumidas na Tabela 8, abaixo:	
	Tivemos respostas mais coerentes como, por exemplo, x22: "A afirmação está correta,
	𝑙𝑖𝑚 Tabela 8 -Turmas em que o questionário foi aplicado 𝑓(𝑥) = 𝐿 para significar o seguinte: para cada número real  > 0, dado arbitrariamente, pois o limite trata-se de uma aproximação tão pequena quanto se possa imaginar sem assumir 𝑥→𝑎 podemos encontrar  > 0, de modo que se tenha | f(x) -L | <  sempre que 𝑥 ∈ 𝑋 e 0 < |x -a| < Turmas Data da aplicação N.º de alunos das turmas N.º de alunos presentes determinado valor (L)."; x28: "Está correta, pois na maioria dessa função o valor de a leva a uma
	X indefinição na função, por isso usamos o limite para encontrar o valor da função quando x→ 22/04/2019 49 35  (LIMA, 2010, p. 196). Teoria : Análise Matemática. Y 08/05/2019 62 48 Z 15/05/2019 40 35 a.". Nesse caso, conjecturamos que o estudante x28 está falando de funções não definidas no
	Em suma, foram 118 questionários aplicados, com 21 respostas cada, Vale lembrar que em alguns itens apresentamos justificativas (das respostas dos ponto a. num total de 2.748 afirmações analisadas. Destacamos algumas respostas conforme o esperado, como x33: "Correta. Sabendo que
	Estudantes que	Números de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	81	68,64%
	Estudantes que Não responderam em conformidade como o esperado Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	Números de estudantes 26 11	22,03% Percentual de estudantes 9,32%
	Responderam em conformidade com o esperado	91	77,12%
	Não responderam em conformidade como o esperado	23	19,49%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	4	3,39%
	Tais análises, durante toda esta seção 3.3.3, vem contribuir para compreendermos as
	estavam presentes. dificuldades manifestadas pelos estudantes e construirmos tarefas e articulações que possam
	Na turma Z, de outra docente, o questionário foi aplicado no dia 13/05/2019 (segunda-ajudar na construção da noção de limite. Dessa forma, estamos construindo uma resposta para
	feira), às 15h00min. A turma possuía quarenta (40) estudantes matriculados e trinta e cinco (35) R4 ◊ referente à questão Q4 inicialmente apresentada no início dessa seção. y3: "Incorreto, pois engloba somente o conceito de limites laterais, exclusivamente limite pela responderam ao questionário. Ao final, ficamos com cento e dezoito (118) questionários, cada Prosseguindo, apresentamos a afirmação da estudante fictícia de nome Érica e as esquerda."; y15: "Errada, pois a definição dela foi sobre os limites laterais quando 𝑥 → 𝑎 -(x um com vinte e uma vinte e uma (21) respostas, o que totalizou duas mil, duzentas e setenta e oito (2478) afirmações produzidas e analisadas. Descrevemos a análise de cada uma das respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. tende a a pela esquerda)."; z9: "Incorreto! Pois lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 se o limite existe e lim 𝑥→𝑎 -𝑓(𝑥) =
	𝐿 = lim 𝑥→𝑎		

estudantes fictícios), às vezes falsas e outras vezes verdadeiras, no intuito de verificar se o julgamento da justificativa seria correto ou não pelos pesquisados. Esse tipo de questão teve o intuito de entender a percepção do estudante frente ao conceito de limite.

Identificamos as turmas com as letras X, Y e Z, e cada estudante identificado com uma letra da turma e um

número, a saber: x1, x2,..., y1, y2,..., z1, z2,..

. No início do questionário foram respondidos os seguintes pontos: estudante (nome completo), curso, semestre.

Aplicamos o questionário de pesquisa (Apêndice B) na primeira turma no dia 22/04/2019 (segunda-feira) logo no início da aula, às 13h00min, porque fora o horário escolhido pela docente responsável pela disciplina. A turma X contava com quarenta e nove (49) alunos matriculados, onde estavam presentes no momento da aplicação trinta e cinco (35) estudantes, cinco

[START_REF]DICIONÁRIO Brasileiro da Língua Portuguesa Michaelis[END_REF] 

estudantes chegaram atrasados e não fizeram o questionário, pois já estávamos na aplicação de mais da metade (salientando que nove (9) estavam ausentes).

Na turma Y, a docente era a mesma da turma anterior e esta escolheu o dia 08/05/2019 (quarta-feira) no horário das 13h00min para a aplicação do questionário de pesquisa. A turma Y possuía sessenta e dois (62) estudantes matriculados, sendo que apenas quarenta e oito (48) Fonte: Dados da pesquisa (2021) Com a intenção de construir um ambiente e uma relação favorável à manifestação dos estudantes, antes mesmo da aplicação dos questionários, houve uma conversa inicial com todos eles para demonstrar a finalidade da pesquisa e a importância da adesão ao Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE -Apêndice A), aprovado pela Plataforma Brasil, que adota procedimentos que impeçam a identificação dos estudantes, resguardando a privacidade destes. Após a leitura, assinatura do termo e o esclarecimento das dúvidas, realizouse a aplicação dos questionários.

Durante a experimentação, foi fornecida uma folha (Apêndice C) com espaço reservado para as respostas referentes a cada item do questionário. Um projetor multimídia (Datashow) foi utilizado para expor cada questão pausadamente, mencionando que o tempo médio era de 3 a 4 minutos para que os estudantes respondessem cada item e um tempo adicional seria dado, caso algum estudante necessitasse para concluir a tarefa. Em todas as turmas foi esclarecido que a aplicação do questionário não implicava no processo avaliativo da disciplina e, portanto, foram convocados para participar. Foi solicitado que eles deveriam escrever o que estivessem lembrando e ficassem à vontade para a realização.

A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome João e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da investigação. Figura 18 -Resposta do estudante fictício de nome João Fonte: Dados da pesquisa (2021) O objetivo, nessa afirmação, era conhecer a relação (R) do estudante (x) com o objeto do saber (φ), noção intuitiva de limite de uma função real em um ponto. Se analisarmos a luz das praxeologias descritas nesse trabalho, podemos perceber que esta ideia inicial, com o ostensivo da língua materna, é uma forma que muitos livros didáticos apresentam como noção intuitiva de limite (outros livros até chamam de definição intuitiva de limite como, por exemplo, em Stewart (2016, p. 71)). Consideramos como verdadeira a afirmação do estudante fictício João. Na Tabela 9, pudemos estabelecer as respostas dos estudantes pesquisados: Tabela 9 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante João Fonte: Dados da pesquisa (2021) Assim, 77,12% dos pesquisados responderam em conformidade com o esperado, ou seja, é um número expressivo, apesar de que apenas 14 estudantes afirmaram que estava correta sem justificar; e as 16 respostas corretas justificadas nem sempre condisseram com a afirmação analisada. Vejamos: Para x 6 : "Correto, pois a definição de limite está exata.", apesar da afirmação da resposta de João estar numa linguagem vaga e sem precisão, o estudante considera "exata". Para x12: "Sim, porém a definição não está completa, considerando que pode haver limites laterais e a função não existir no ponto a.", ou seja, considera a reposta incompleta mesmo concordando com a afirmação. Já para x27: "Verdadeiro, pois x tende a um valor a logo aplicamos na f(x) o ponto a", nesse caso, é evocada uma ideia de continuidade, o que é um erro, pois a função pode ter o limite mesmo que não seja contínua. Notemos x 25 : "Correto, pois definiu bem o conceito."; x 26 : "Correta, pois está de acordo com a definição."; y33 e y45: Outros, apesar de responderem como correto, não foram coerentes nas justificativas: z20: "Correto, no entanto esse valor de a pode ser diferente à L.", o valor de a não necessariamente tem que ser igual ou diferente de L, esta é uma justificativa equivocada. Para z26: "Correto, pois a função tende a "a" como o teste explica.". Não é a função que tende a a, e sim o valor de x. Para x13: "Está correta, pois os valores em um limite tendem a ficarem próximos, mas sem igualar." e x15: "Correta, porque a definição diz que limite é um valor próximo de b, mas não pode ser b.". Os estudantes mostram ter a ideia de que o limite não pode ser atingido, como apontado na pesquisa de Cornu (1991, p. 161). Para alguns, a expressão apresentada na resposta de João evoca uma ideia de continuidade, como afirma y9: "Está correta, mas x pode assumir o valor de 'a' já que a f(x) não está apresentando descontinuidade.". Embora não se afirme isso, tem outras respostas que levam nesse mesmo pensamento, como z12: "Correto, pois à medida que x se aproxima de 'a' a função é igual a L.". Para x9: "Está correta, pois o limite não é o valor no ponto, mas sim o quão próximo de "a" adquirindo um valor de f(x) que denominamos L.". Nem sempre é possível adquirir um valor de f(x), pois nem sempre a função é contínua mesmo existindo um número real que seja o limite. Da mesma forma, como expressa o estudante x27: "Verdadeiro, pois x tende a um valor a, logo aplicamos na f(x) o ponto a." e x35: "Correto, os valores de f(x) são iguais a L quando x tende a a.".

Entretanto, podemos apresentar alguns estudantes que foram, em parte, coerentes com as justificativas das respostas, por exemplo: x4: "Está correta, pois ao aproximarmos x de a automaticamente a função f(x) se aproximara de L, mas nunca iguala a 'a' pois o limite tende a esse número.". A justificativa está coerente, embora não é a função que se aproxima de L, mas sim a imagem de f (equívoco em erros de linguagem (muito comum), pois f é a função e f(x) é a imagem da função f em x). 'x' se aproxima de 'a', mas não é 'a' e que f(x) é um valor tão próximo de L."; y2: "Verdadeiro, pois 'x' tende a 'a', ou seja, x é um valor próximo de 'a' resultando em um valor próximo de 'L'."; y12: "Correto, ao aproximarmos x suficientemente de a, a função f(x) se aproximará de L.

Por isso, diz-se que f(x) tende a L, quando x tende a a."; y 24 : "Sim, porque à medida que x se aproxima de a os valores de f(x) se aproxima de L."; y 26 : "Correto. Na definição de limite, desejamos fazer com que a imagem da função se aproxime de um valor, tanto quanto o x tende a outro valor. Porém, o x nunca tornará neste valor."; y39: "Sim, é uma explicação informal que obedece ao padrão da definição.". Essas respostas se aproximam do esperado pela instituição.

Agora, evidenciamos estudantes que não responderam em conformidade ao esperado, ou seja, responderam como incorreta a afirmação de João. Para x1: "Incorreta, pois o valor de 'x' deve ser igual a 'a'."; y4: "Não, pois o valor de x pode se igualar.". Na definição de limite não consideramos o valor em a, mas sim nas proximidades de a; x1 e y4 consideraram que x deve assumir o valor de a. Para x5: "Incorreta, pois f(x) tem que ser igual a L"; x11: "Incorreta, pois L é o valor obtido da função após pegarmos valores de x que estão próximos de a."; x18: "A de João está errada, pois os valores de x que tendem 'a' e fica tão próximo de 'a' quanto queira, mas não são iguais à 'a'. Não é f(x) que são próximos de L, f(x) é uma função e o seu valor equivale à imagem L."; x32: "Falsa, pois f(x) é realmente igual a L para um x muito próximo de a.". Nesses casos, estão afirmando que a função necessariamente deve ser contínua, mas, como vimos, não necessariamente deve ser contínua para existir o limite. Como também na resposta de x10: "Incorreta, pois ele afirma que os valores de f(x) são próximos de L. Na verdade, x é próximo de a tanto quanto desejarmos e essa imagem é igual a L.". Nesse caso, x10 remete à questão de continuidade. Para x7: "Incorreta, pois o valor de x tem que estar tão próximo de "a" quanto desejarmos."; x30: "Incorreto, pois quanto mais aproximarmos de a, nossa imagem se aproxima cada vez mais de L."; y7: "Incorreto, pois ele errou ao dizer que f(x) se aproxima de L o quanto a gente desejar."; y19: "Errada, pois não estamos com o valor tão próximo de L, mas fazendo tender a L à medida que x tende a a.". Para z2: "Está incorreto, porque os valores de x que se aproximam de a e de f(x) para L não existe essa relação.". Nesse caso, fica claro que o estudante não consegue estabelecer uma conexão entre as proximidades em torno de a e de L, o que mostra a não compreensão das ideias de limite em torno de um ponto.

Em algumas respostas os estudantes não expressaram de forma clara o seu pensamento.

Por exemplo: x 17 : "Está errado em parte, não são os valores e sim o valor de 'a', a f(x) tem valor estático o que faz aproximar de 'L' é o valor 'a'."; x21: "Incorreta, pois tem que tomar a como próximo de x."; x23: "Está incorreta, pois no que diz respeito aos valores, deve-se tomar os valores de x e não os de f(x)."; y37: "Está incorreta, as informações estão trocadas."; y41: "Não, pois a definição está inversa. O valor de x pode ser considerado tão próximo de a quando desejarmos."; z8: "Incorreto. Pode ser a também."; z13: "Incorreto, pois não são valores próximos de L.". Essas respostas nos levam a conjecturar que os estudantes procuram justificar as suas escolhas (mesmo estando erradas), o que interfere diretamente no desenvolvimento de outros conceitos ligados a limite. Dos estudantes, apenas quatro deixaram as respostas em branco

(x16, x20, x29, y46)

. Figura 19 -Resposta da estudante fictícia de nome Érica Fonte: Dados da pesquisa (2021) O objetivo, nessa afirmação, era conhecer a relação R do estudante (x) com o objeto do saber (φ) noção intuitiva de limite de uma função em um ponto, através da noção de limites laterais, especificamente pela esquerda. Nesse caso, consideramos essa afirmação como falsa, pois não trata dos valores maiores que a, ou seja, o limite lateral à direita, apenas os valores à esquerda de a. Tabela 10 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação da estudante Érica Fonte: Dados da pesquisa (2021) Dos estudantes que responderam em conformidade com esperado, apenas quatro não buscaram justificar. Apresentaremos algumas respostas coerentes com o esperado. Para x3: "Incorreta, pois se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿, quer dizer que tanto os valores inferiores quanto superiores a a, se aproxima de L."; x5: "Incorreta, f(x) se aproxima de L enquanto permanece superior a L."; x11: "Incorreto. Porque a notação não representa que x está tomando valores menores que a (limite a esquerda). Então, de acordo com a notação, x está tomando valores maiores que a."; x13: "Não, pois a função quando tende menor que a, o valor de L pode ser maior ou menor."; x25: "Incorreto, pois o que foi questionado foi a definição de limite e não de limites laterais."; + 𝑓(𝑥) = 𝐿.". Essas justificativas estão coerentes com o que esperávamos como resposta.

Tabela 11 -

 11 Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Gabriel Tabela 11, quase 80% dos estudantes responderam que estava correto, porém nem todos justificaram ou mesmo justificaram de forma coerente. A seguir, apresentamos algumas das respostas coerentes em conformidade com o esperado. Para x4: "Está correto, na teoria quando x se aproxima de "a" obrigatoriamente f(x) se aproxima de L."; x5: "Correto, se x se aproxima de a, f(x) tende a L."; x6: "Correto, já que x está tendendo a 'a', logo f(x) está próximo de L."; x11: "Correto, porque está pegando valores próximos de a que aplicados na função me dão valores próximos de L.". Mesmo considerando a noção intuitiva de limite, está apropriado com a afirmação do Gabriel.Alguns estudantes ficaram desconfortáveis com a imprecisão da noção intuitiva da resposta de Gabriel. Por exemplo, para z16: "Correta. Ainda que escrita de uma forma sucinta e

	Como podemos perceber na		
	Estudantes que	Números de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	93	78,81%
	Não responderam em conformidade como o esperado	19	16,10%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembrava	6	5,08%

não completa."; z33: "Correto. Pareceu-me a mesma definição de João, mas de forma menos 'técnica'."; x20: "Está quase correto, mas não tão definido perfeitamente". Para os estudantes, Gabriel não mostrou exatidão ao falar de limite.

Agora traremos respostas que, apesar de consideradas corretas, a justificativa estava incoerente. Algumas dessas respostas apresentavam a ideia de que para o limite existir a função tinha que ser contínua, por exemplo, z15: "Verdadeiro, quando a função é contínua."; x7: "O valor de f(x) tem que ser iguala L."; x9: "Correta, pois quanto mais próximo for o x, mas próximo de f(a) estaremos, ou seja, mais próximo de L."; x30: "Verdadeiro, quando x se aproxima de a, ele chega cada vez mais próximo de L da sua imagem."; y44: "Sim, pois se os valores de x em

  Tabela 12 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação da estudante Vitória "Confuso, porém correta já que esta pode ser uma das definições de limite laterais.", embora considere correta, pondera que pode ser uma das definições para limites laterais, o que não está Temos ainda algumas respostas indefinidas (vagas) como, por exemplo, em: x3: "Correto, pois serve para vários valores.", a expressão "vários valores" está muito ampla, sem uma ideia clara; x2: "Verdadeiro. Porque o valor quanto maior, mais se aproxima de L.", a expressão "quanto maior" também não se aproxima das ideias do limite; x18: "Está correta, pois muitos valores de x tende a a, função tende a L."; x34: "Verdadeiro, quanto mais próximo 'x' tende a um número, mais próximo estará de um limite."; x33: "Informalmente correta."; y33: "Correto, x infinitos valores para se aproximar a 'a'.". Talvez a palavra "muitos" na afirmação de Vitória esteja influenciando e refletindo (espelhando) as respostas desses estudantes. possível observar que a palavra "muitos" causou incerteza de quais valores a estudante Vitória está escolhendo na sua afirmação (figura 23). Para y19: "Não. Pois não é qualquer valor."; y39: "Não, a explicação utiliza alguns termos vagos e que dão um sentido ambíguo.".

	Nesse caso, o estudante busca encontrar uma maior precisão. Em z8: "Incorreta. Generalizou os
	valores de x, mas há casos que não são."; z10: "Está incorreto. Não representa a expressão
	acima.", se refere à expressão do professor Carlos (Quadro 1); z34: "Não representa a função,
	errado!", acreditamos que "a função" significa "a expressão"; z16: "Não representa a
	definição.".	Estudantes que	Números de estudantes	Percentual de estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado Verificamos também que 12 estudantes responderam apenas que estava correto, talvez não 55 46,61% Alguns estudantes até evidenciaram ideias de continuidade como, por exemplo, x32:
	Não responderam em conformidade como o esperado Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembrava quisessem ou não soubessem justificar ou explicar (por exemplo, em y29: "Correto, não sei 49 41,52% 14 11,86% "Falso, pois para um valor muito próximo de x em relação à 'a' f(x) = L."; z19: "Não, pois f(x)
	explicar.").			

Fonte: Dados da pesquisa

(2021) 

Ao verificar as respostas, foi possível observar que tanto os estudantes que acharam correta a afirmação como os que a consideraram incorreta estão próximos de 40%, e tivemos quase 12% de indecisos ou que deixaram em branco a resposta. Isto nos leva a afirmar que as opiniões estão bem divididas em relação a esta afirmação. Ao nosso olhar, é que quanto mais imprecisa é a afirmação, mais os estudantes têm incertezas quanto à resposta.

Vamos, primeiramente, verificar as respostas em conformidade com o esperado, ou seja, os estudantes que responderam que estava correto, porém com ressalvas. Apresentamos algumas das respostas: para x9: "Correta, mas sem uma linguagem matemática correta."; z11: "Correto, porém possui uma justificativa confusa."; z24: "Sem clareza, mas pelo pouco que entendi, está certa.". Nesses casos, os estudantes percebem que está correta, porém verificam uma necessidade de precisão da definição.

Alguns estudantes, embora considerem como correta, não têm uma justificativa plausível para a sua escolha. Observemos em z1: "Embora confuso, correto, sendo que tal limite existe quanto mais próximo de 'a' a imagem se aproxima cada vez mais de f(x).", embora o estudante z1 considere correto, a justificativa não está adequada, pois "a imagem se aproxima cada vez mais de f(x)", na verdade a imagem f(x) se aproxima cada vez mais de L. Para z23: correto. Afirma z28: "Correto, muitos valores correspondem a valores positivos ou negativos.", para esse estudante a palavra 'muito' são significa infinitos valores próximos, mas, "valores positivos ou negativos". Diante disso, constatamos que nem sempre quando um estudante afirma que está correto realmente consegue explicar e defender a sua escolha.

Verificamos algumas respostas coerentes como, por exemplo, y2: "Verdade, pois f(x) será um valor muito próximo de L."; y10: "Correto; os valores de x, quanto mais próximos de a, o f(x) tende a ser igual a L."; y17: "Correto, pois x se aproxima de a, no caso pode ser pela direita e pela esquerda."; z 2 : "Está correta a afirmação, porque f(x) se aproxima de L a partir do que x se aproxima de a."; z4: "Correto. Cada vez mais próximo de a (os valores), f(x) será mais próximo de L.". Porém, estávamos à procura de respostas em que mais se evidenciasse a questão da imprecisão.

Examinando as respostas dos estudantes que disseram que estava incorreto, ou seja, não responderam em conformidade como o esperado, temos que 12 consideraram apenas como incorreta sem justificar e outros 2 (y1, y40), além de afirmar que estava incorreta, informaram que não sabiam explicar.

Algumas respostas, além de afirmar que estavam incorretas, buscaram realizar uma justificativa coerente. Vejamos: y9: "Errado, o certo seria para valores de x se aproximando de a, f(x) se aproxima de L."; x5: "Incorreta, pois é para todos os valores de x perto de a, então f(x) é próximo de L.". Nesses casos, omitiram a palavra "muitos". Outros evidenciaram a imprecisão que a afirmação que Vitória apresenta: x13: "Não, pois não deixa claro como se aproxima."; x16: "Não. Faltou um rigor matemático."; x25: "Incorreto, não segue o conceito correto na matemática."; x30: "Falso, pois não está definida perfeitamente."; y27: "Incorreto, x tende a a com um valor próximo de a.". É possível observar que a palavra "muitos" evidencia, de forma acentuada, a falta de rigor, precisão, clareza que os matemáticos procuraram na epistemologia da definição do conceito de limite. É = L"; z30: "Incorreto. Quanto mais x se aproxima de a, mais f(x) se aproxima de L, e igualando a ele.". Como nas observações anteriores, normalmente o conceito de continuidade se relaciona com o valor do limite. Também a palavra "muito" levou alguns estudantes a considerar que apenas um valor de x e não para vários. Vejamos: y 3 : "Incorreto, porque x tendendo a um valor a, ele toma apenas um valor por vez."; y11: "Não, para um valor de x existirá um L, logo 'para muitos valores de x' é incorreto."; y28: "Errado, pois tendemos a um valor de x suficientemente próximo de a, não para vários."; x7: "Incorreto, pois é para um único valor de x."; z18: "Errado. É necessário um valor só, e não muitos."; y24: "Não, x tem que ser apenas 1 valor."; x21: "Incorreta, pois não são para muitos valores, porque é um limite.". Para x23,: "Está incorreto, pois não é para muitos valores de a.", ao invés de relacionar a x, relacionou com a; y37: "Incorreta. Porque não pode ser muitos valores de x."; z6: "Incorreta, pois f(x) não é muito próximo de L.", conjecturamos que ao invés de dizer muito próximo, o estudante queira dizer mais próximo. E para z5: "Incorreto, pois os valores não necessitam ser necessariamente muito próximos de (a).". As palavras 'próximos', 'muito próximos' carregam em si uma imprecisão.

Outros estudantes mencionam que, ao invés de "muitos", basta trocar para "todos" os valores de x. Vejamos: y12: "Incorreto, pois a afirmação é válida para todos os valores de x próximos de a."; y16: "Incorreto. É para todos valores de x.". Houve algumas respostas sem clareza na justificativa, por exemplo, y34: "Errado, quem varia é o número que está tendendo a x apenas.".

Os estudantes (y6, y8, y26) deixaram em

branco, e (x14, y5, y13, y29, y48) 

não sabiam afirmar ou estavam em dúvida. Além disso, tivemos algumas justificativas como, x17: "Estará se esses valores forem cada vez mais próximos de a."; x20: "Quase correto, mas não bem definido."; x28:

  finalidade, nesse item, foi evidenciar que existe uma ideia do ostensivo geométrico de distância que representa um ostensivo na compreensão do conceito de limite. O ostensivo, de acordoBosch (2001, pp. 18-19), são objetos manipuláveis na realização da atividade matemática, que se percebem ou "se vem, se tocan, se oyen etc. 106 "; são objetos que possuem certa materialidade, enquanto os não ostensivos são os objetos que existem institucionalmente, como ideias, conceitos, crenças, etc., que podem ser evocados mediante a manipulação adequada de certos objetos ostensivos correlacionados como, por exemplo, palavras, frases, gráficos, diagramas ou gestos. Uma vez estabelecida essa dicotomia, se postula a coexistência permanente desses objetos ostensivos e não ostensivos através de uma dialética.Voltando à nossa observação, explicitamos algumas das respostas que mais se

	Estudantes que	Número de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	53	44,91%
	Não responderam em conformidade com o esperado	48	40,67%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam.	17	14,41%
	Fonte: Dados da pesquisa (2021)		
	A primeira observação que nos chama a atenção é a porcentagem que representa quantos
	não responderam em conformidade com o esperado (40,67%) ou estavam em dúvida, deixaram
	em branco ou não lembravam, o que representou 14,41% dos estudantes, totalizando 55,08%,
	ou seja, pouco mais da metade dos estudantes. Isto nos leva a crer que a resposta de Ana, da
	maneira que foi descrita, não mobilizou nos estudantes uma relação sobre a ideia do conceito
	de limite, mostrando alguma restrição a esse objeto. É importante também salientar que 10, dos

Tabela 13 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação da estudante Ana 53 estudantes que responderam corretamente esse item, mas não justificaram ou não souberam explicar porque conseguiram responder, sugere que não sabem com segurança o conceito limite. A destacaram em relação à afirmativa da Figura 24. Alguns dos estudantes responderam que estava correta, como mostra a resposta de x3: "Correto, pois a distância de f(x) e L é pequena.".

Podemos perceber que não há uma justificativa mais consistente, ou seja, não se buscou elementos ostensivos para sustentar sua resposta.

  Isso nos relembra correntes filosóficas na Matemática, em tempo: o formalismo, o intuicionismo, o logicismo, cada uma com um grupo considerável de seguidores que se debruçam em investigar o pensamento matemático em tais correntes. Como mencionado no Capítulo 4, segundo Eves (2011, p. 682), o que é essencial no formalismo é o estudo dos sistemas simbólicos formais e é considerado que o alicerce da matemática não está na lógica, mas apenas numa coleção de sinais ou símbolos pré-lógicos e num conjunto de operações com esses sinais. Os intuicionistas, entretanto, consideravam que o

ser humano é dotado de uma intuição primeira sobre os números naturais, defendendo uma reelaboração da Matemática desde seus fundamentos, tendo como ponto de partida a intuição, os axiomas, os teoremas e, dessa forma, toda a Matemática deveria ser reconstruída, considerando, assim, que as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela mente humana. Desse modo, o que não partisse da intuição não era Matemática

(MONDINI, 2008, p. 3)

.

Já os logicistas, como visto na seção 3.1.4, buscavam vincular a Matemática à Lógica, na tentativa de torná-la uma Ciência sem contradições

(MONDINI, 2008, p. 4)

. Apesar do movimento logicistas não conseguir executar seu objetivo inicial, reescrever toda a Matemática em um sistema lógico e livre de contradições eliminando as ideias intuitivas presentes nela foi muito importante para o avanço da Matemática

(MONDINI, 2008, p. 4)

. Esses parênteses sobre os movimentos de construção da Matemática influenciam até hoje a construção das ideias matemáticas, sendo evidente em manuais escolares e na fala dos professores. Esse fato é o que, provavelmente, tenha influenciado as respostas de x28, x33 e z10.

  Tabela 14 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante José Tais discussões estão relacionadas diretamente a esse recorte e também ao conceito de continuidade, tópicos essenciais no decorrer de todo curso de Cálculo. Tecnologia (), Teoria  ou, mais especificamente, para o caso do José, José e José), mas as tecnologias que justificam tais escolhas precisariam ser melhor explicitadas. Observe, para x16: "Não. Porque f(a) pode até não existir se a função não for contínua."É falso. Nem sempre o x pertencerá ao domínio da função, podendo ele ser uma raiz dela.", aqui não ficou claro "ser raiz dela". E, para x23: "Está incorreto, pois haverá casos que x não irá pertencer ao domínio de f, e logo o limite não existe.", percebemos que não seja o valor de x e sim o valor de a, pois só é possível analisar valores que estão no domínio da função. definido no domínio.", não apenas isso, pois o valor da função em a pode ser diferente do limite.Houve respostas não tão claras, por exemplo, para x6: "Falso, x tem que sempre tender a a.", não justificou a partir da afirmação do José. Para y39: "Não, às vezes não contém no domínio.", quem não contém o domínio, a função? E como seria uma função sem o conjunto domínio? Notamos que, tanto a noção de função como a do conjunto domínio, não é compreendida pelos estudantes. Observemos outras respostas: x29: "Incorreta, pois x não necessita pertencer ao domínio da função."; y1: "Incorreto, pois nem sempre o x irá pertencer

	Dos 62 que responderam 'incorreto', 5 não justificaram e 15 estudantes justificaram
	conforme o esperado (aproximando-se da praxeologia mínima exposta anteriormente), o que
	representa apenas 24,19% (menos da metade dos participantes).
	Algumas das praxeologias se aproximam, mesmo de forma incompleta, da praxeologia
	mínima esperada na instituição descrita anteriormente (NATURAL, NUMÉRICA, GEOMÉTRICO,
	Estudantes que Responderam em conformidade com o esperado Não responderam em conformidade como o esperado Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembrava Fonte: Dados da pesquisa (2021) Na Tabela 14 é possível perceber que quase metade dos estudantes respondeu em Números de estudantes Percentual de estudantes 62 52,54% 33 27,97% 23 19,49% ALGÉBRICA, Vejamos outras respostas. Para x18: "Incorreta, pois nem sempre existe limite para a
	conformidade com o esperado, ou seja, que está incorreta a afirmação do estudante José. Nesse função."; x21: "Incorreto, pois às vezes não há limite, ou seja, nem sempre acontece.", a

contexto, buscou-se examinar cada resposta para compreender a divisão de opiniões. As discussões apresentadas têm ligação direta a um dos conceitos fundamentais no Cálculo Diferencial e Integral, que é o conceito de limite. "; x4: "Está incorreta, pois não necessariamente a deve pertencer ao domínio de f e f(a) = L."; x9: "Incorreto, pois nem sempre o f(a) irá existir.", pode até existir, mas pode ser diferente do valor do limite em a, como afirma x34: "Falso, pois f(a) nem sempre é o valor do limite."; y3: "Incorreto, nem sempre a função f(x) está definida no seu limite. E, portanto f(a) pode ou não estar definida no domínio de f.". E, para x32: "Falso, pois se f(a) não é igual a L quando há uma indeterminação, por exemplo,". Essas respostas evidenciam que os estudantes realmente compreenderam que nem sempre é necessário a função ser contínua para existir o limite. Os demais estudantes deram respostas incoerentes com a afirmação ou não expressaram de forma clara suas ideias. Vejamos algumas das respostas. Para x2: "Falso. Ele vai sempre se aproximar ou afastar e não igual.", para esse estudante, é possível perceber que nunca vai acontecer do valor do limite ser igual ao valor da função no ponto. Da mesma forma, outros expressam nesse sentido, como x15: "Incorreta. Porque f(a) não pode ser igual a L". Também surgiram respostas envolvendo o domínio da função, como y27: "Incorreto, x pode não pertencer ao domínio de f."; x7, x10, x22, x27, y43,: "Falso. Nem sempre x pertence ao domínio da função."; x8: afirmação de José só é verdadeira caso o valor da função em a seja igual ao limite, também em a, o que é válido apenas para funções contínuas em a. Para y2: "Falso, é necessário que 'a' esteja

  e ser diferente do limite. Para x4: "Está incorreta, a imagem de x quando tende a a é L.", contudo pode não existir, como afirmou x16, ou mesmo ser diferente do valor de L. No caso de y3: "Incorreto, pois esta afirmação não se aplica aos limites."; já x34 deixou em branco. Apesar das respostas do José e do Paulo serem muito próximas e se relacionarem com limite e continuidade de funções, é possível observar que os estudantes tiveram dificuldades de expressar seus argumentos. Apenas 22 estudantes responderam como incorreto sem justificar, entre eles, y1 e y30: "Incorreto. Não sei explicar."; y27: "Incorreto, não necessariamente."; z20: "Incorreto. O motivo não lembro."; y31: "Não, porém não lembro."; z23: "Incorreta, apenas me parece errado ou que falta algo.", ou seja, apenas responder que é incorreto, não necessariamente confirma que o estudante tenha compreendido a ideia de limite.

	Estudantes que	Números de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	69	58,47%
	Não responderam em conformidade com o esperado	25	21,19%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	24	20,34%
	Fonte: Dados da pesquisa (2021)		
	Vamos examinar as respostas que estão em conformidade com o esperado, ou seja, os
	estudantes que responderam de forma coerente. Poucos estudantes se enquadraram nessa
	categoria, por exemplo, x22: "Falso, pois o limite pode existir, mas pode f(a) não existir."; y39:
	"Não, a função pode ser descontínua.", afirmaram de forma coerente e x32: "Falso, pois pode
	haver indeterminação.", ou seja, pode não estar definida em a.		

Tabela 15 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Paulo O mais interessante é que nem todos os estudantes que justificaram no item de José de forma coerente, não justificaram de forma adequada na afirmação do Paulo. Para x9: "Incorreto, pois não se trata de f(a), mas sim de f(x) próximo a 'a'.", quer dizer, os valores do limite estão relacionados aos valores correspondentes a sua imagem nas proximidades de a; para x32: "Falso, pois pode haver indeterminação.". Porém, para x16: "Não. Pode nem existir esta imagem.", mas pode existir

  , pois é possível haver o limite sem ser contínua no ponto. Para x14: "Errado, o x se aproxima de a, mas não é a.", essa resposta se aproxima de diversas outras como, por exemplo, x16: "Não. Porque x tende a a."; x26: "Incorreta, pois x não pode ser igual a a."; x30: "Falso, pois não tem que está exatamente x igual a a."; x35: "Incorreto, x tende a a, não igual."; z35: "Falso, pois se calcula a aproximação e não o próprio valor do ponto."; y7: "Incorreto, poisx não é a e sim um número muito próximo de a."; y26: "Incorreto, a função não precisa estar definida em x = a, pois sempre iremos nos aproximar de a, porém nunca irá tocar o a."; y46: "Não, o limite estuda a proximidade do ponto e não o ponto em si."; y42: "Falso, pois o valor de x se aproxima de a, mas nem sempre é igual a a."; y44: "Não necessariamente, pois para x=a

	Estudantes que	Números de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	71	60,17%
	Não responderam em conformidade como o esperado	34	28,81%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembrava	13	11,02%

Tabela 16 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Mateus Fonte: Dados da pesquisa (2021) Examinaremos agora as respostas dos estudantes que responderam em conformidade com o esperado, ou seja, que a afirmação do Mateus está incorreta. Nesse caso, foram constatadas oito respostas afirmando incorreto, mas sem justificar, dentre eles, y1: "Incorreto. Não lembro.". Destacamos algumas respostas que apontaram que a afirmativa do Mateus está incorreta e apresentaram uma justificativa coerente. Para x4: "Está incorreta, não necessariamente a função deve está definida."; x5: "Incorreto, x tem que tender a 'a', mas não precisa ser igual a 'a'."; x8: "É falso, nem sempre, às vezes não está definida em a."; x12: "Não, além disto, devemse existir os limites laterais e serem iguais.", y3: "Incorreto, porque a função nem sempre está definido nesse ponto, mas ela poderá ter um limite ou não."; y12: "Incorreto, não necessariamente a função precisa está definida em x=a para ter o limite no ponto, já que o limite analisa a vizinhança do ponto.". Essas respostas se aproximam do esperado. Tivemos também respostas que evocavam a ideia de limite e continuidade, por exemplo, para x27: "Falso. A função deve ser contínua para haver o limite no ponto.". A justificativa não está coerente

  x não precisa estar necessariamente definido em f(x).", talvez queira informar que a não necessariamente precisa estar no domínio da função; x32: "Falso, pois em caso de indeterminação a afirmação não é real.", não está claro o que não seria real. Para y11: "Não, pois o limite pode não existir quando x tende a a.", o que fica incoerente com a pergunta inicial, afirmamos que o limite existe, e foram apresentadas respostas que podem ou não se aproximar do significado do limite da função "Correto, já que a tem que pertencer ao domínio da função para retornar a imagem.", julgamos que o estudante se refira à continuidade da função, da mesma forma que para y48: "Sim, substituindo os pontos irá obter o limite." e z2: "Está correta a "Correto, caso contrário haverá uma descontinuidade e não será possível obter aquele ponto."; y41: "Sim. Porque se x não estiver definido no ponto a, o limite não existe."; y45: "Correto, pois o resultado encontrado se refere ao valo no ponto x=a."; z 11 : "Correto. Para calcularmos um limite, precisamos de uma definição do 'x'.".

	afirmação, porque, para que lim 𝑥→𝑎	𝑓(𝑥) = 𝐿 , precisa-se que a assuma valor de x no domínio da
	função.".	
	Consideramos agora algumas respostas que consideraram como correta e não
	justificaram de forma clara. Vejamos: y8: "Correta, mas faltam algumas coisas para estar
	completa."; y34:	
	Outras justificativas, por exemplo, x31: "Correto, para que haja limite num ponto, esta
	função deve pertencer ao domínio da função.", não está claro o que o estudante manifestou

no ponto x=a. Outras respostas: y33: "Incorreto, basta tender ao valor."; z1: "Errada, não tem ligações diretas, pois depende da função.". Destacamos agora algumas respostas que afirmaram que Mateus está correto. Oito estudantes que responderam como correta, mas não fizeram a tentativa de justificar, entre eles temos a resposta de y30: "Correto. Não sei explicar.", conjecturamos que os demais estudantes dessa categoria seguem nesse sentido. Apresentamos algumas respostas que afirmaram como correta, argumentando sua escolha. Vamos a elas: x3: "Correta, pois a função tem que ser definida no ponto."; x21: "Correta, pois tem que estar definida."; x13: "Correto, pois é necessário para a existência do limite."; x34: "Verdadeiro, pois para calcular um limite em um ponto, é necessário que nesse ponto a função seja definida."; x18: "É verdadeira, pois se a função não estiver definida em x = a não existe limite.", porém não é necessário estar definida para existir o limite. Para x9: "Correto, pois só assim a função será contínua e apresentará limite no ponto."; x15: "Correta. Porque para ter limite no ponto a função deve tá definida."; z2: "Está correta a afirmação, porque, para que lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 , precisa-se que a assuma valor de x no domínio da função."; y9: "Está correto, para que o limite exista a f(x) deve ser contínua no ponto x = a.", apresentar o limite e ser contínua são coisas distintas, como já mencionamos. "uma função pertencer ao domínio da função"; y24: "Parcialmente correto, faltou dizer que devemos aproximar x de 'a' para encontrarmos L.", para esse estudante, em parte, está correto, já que o valor em a está no domínio da função, faltando apenas dizer que se aproxima de a pela vizinhança. A resposta de y32: Temos que 13 estudantes, que estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam. Consideramos também aqueles que não se posicionaram como correta e incorreta, por exemplo, x 20 : "Apresentou apenas uma condição para que haja um limite no ponto a, não definiu a noção de limite."; x33: "Limite tem conexão com proporcionalidade?"; z23: "Definição correta, para a pergunta errada. Portanto incorreto.", o que é incoerente com o contexto da questão investigada.

  Tabela 17 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação da estudante Luísa a distância entre x e a possa ser infinitamente pequena, ou seja, a questão do infinito aqui é o infinito cada vez menor (infinitésimo).Outras respostas, apesar de consideradas incorretas, a justificativa foi incoerente, ou mesmo faltou alguma clareza na argumentação. Por exemplo, x23: "Está incorreta. A distância necessita de f(a) e L.", nesse caso, o valor de f(a) pode nem estar definido para a função. Para x4: "Está incorreto. Não é que a distância entre f(x) e L seja pequena, pois f(x) é uma função e L é o resultado de quando se tende x a "a".", a palavra distância talvez não tenha contribuído para concordar com a afirmação da Luísa, como também foi expresso por, x6: "Falso, uma coisa não tem haver com a outra, f(x) e L não tem distância." e x29: "Incorreto, a distância entre x e a não tem a ver, pois x se aproxima de a.". "Correto, pois não poderia ser grande.". Essas respostas, apesar de não expressar a imprecisão da palavra "pequena" na afirmação de Luísa, propagam ideias próximas das noções de limite, como também as respostas de y46: "Sim, quanto menor a distância de x a a, será de f(x) e L."; y42: "Correto, a distância entre f(x) e L depende da distância entre x e a." e x26: "Correta, porém não especificou que a distância entre x e a (não deve ser igual a 0).".Como é possível observar, para z3: "Correto, a diferença tem que ser pequena."; z5: "Correto, levando em conta que à medida que x tende a a, f(x) tende a L."; z6: "Correto. Valores pequenos, distâncias pequenas.", a palavra "pequena" não causa a menor influência. Vejamos x1: "Correta, pois o valor de x influencia o valorde f(x)." e y33: "Correto, "ambos são

	Estudantes que	Número de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	49	41,52%
	Não responderam em conformidade com o esperado	49	41,52%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	20	16,95%
	Fonte: Dados da pesquisa (2021)		
	Podemos perceber que exatamente 41,52% foram os que consideraram tanto a resposta
	como correta quanto incorreta. A forma como é expressa para os estudantes, quando não se
	busca a clareza, compromete a relação do estudante com o objeto esperado pela instituição.
	Temos também que 17 estudantes que responderam como incorreta, mas sem justificar, entre
	eles temos, y Alguns tentaram apresentar outras justificativas e destacamos algumas delas, por
	exemplo, para x2: "Verdadeiro. Porque quanto mais próximo menor a distância.", ideia correta,

1 : "Incorreto. Não lembro.", x 28 : "Está incorreta também.", y 31 : "Acredito que Luísa está errada, porém não lembro a definição de limite." e z34: "Errado! Não coerente.". A seguir, vamos examinar as respostas dos estudantes que responderam como incorreta e se posicionaram de forma coerente.

Destacamos algumas respostas, por exemplo, para y 20 : "Incorreta. pois não é 'suficiente' que seja apenas 'pequena', mas sim tão próximo quanto puder ser, sem nunca chegar a ser igual.", ou seja, para y20 é importante enfatizar o quão pequena ou o quão próximo é a distância para ficar mais próxima da ideia de limite de uma função; para y27: "Incorreto, ao calcular o limite você está fazendo x ficar cada vez mais próximo de a, e como resposta f(x) se aproxima de L.", apesar da palavra pequena, para esse estudante não houve diferença; y32: "Incorreta, a distância entre f(x) e L tem que tender a 0.", ou seja, a palavra pequena não ajuda a expressar a ideia de tão próximo quanto queira. Para y41: "Não dá significado a notação."; y47: "Não traz a definição de limites.", x25: "Incorreta, não expressa bem o conceito de limite."; y2: "Falso; não condiz com o significado de limite."; y14: "Incorreto, não condiz com as teorias de limites."; y19: "Não, não é necessário só isso para determinar limite.". Nesses casos, os estudantes perceberam uma imprecisão na afirmação de Luísa.

Para outros estudantes, a palavra distância não foi bem aceita, por exemplo, x10: "Incorreto. A distância entre x e a não é suficiente para garantir que f(x) e L sejam próximos ou não."; y45: "Incorreto, pois não existe distância entre x e a, o x tende a a."; x22: "Falso, a distância de um ponto a outro pode ser grande sem que a distância de sua imagem ao limite seja.". Para x12: "Não, x pode tender ao infinito e estar tão próximo de L quanto queira." e para y 15 : "Errada, pois às vezes a distância entre x e a possa ser ∞.", possivelmente o estudante queira informar que No caso de y13: "Está errado, pois nem sempre isso acontece.", ou seja, pode acontecer ou não. Para x16: "Não, f(x) é uma função.", ou seja, possivelmente, para o estudante f(x) não pode manter uma distância para L pelo fato de ser uma função. Para x27: "Falso. Depende da f(x)."; z1: "Errada, não tem ligações diretas, pois depende da função.", ou seja, o problema não é a palavra "pequena", nem mesmo a questão de distância, mas depende da função. Para x 30 : "Incorreto, pois a distância entre a função é independente de x e a, ou seja, os valores não precisam ser pequenos."; x30: "Não importa quanto próximo ou o quão distante o valor de x tem em relação a a.".

Vejamos mais algumas respostas consideradas incorretas. Para y39: "Não. 'Suficiente' não foi o termo adequado e não faz sentido.", provavelmente esta palavra "suficiente" não tenha sido utilizada ao ser apresentada o conceito de limite; z19: "Não, pois f(x) = L."; z21: "Incorreto.

A equação admite que f(x) =L, logo não há distância.". Nesse caso, inferimos que haja uma referência com continuidade de função, pelo fato dos estudantes fazer uma correspondência entre a imagem e o valor do limite.

Examinando as respostas em que os estudantes explicitaram como sendo correta.

Apenas 16 estudantes informaram como correta sem justificar a sua escolha, dentre eles: y16: "Correto, definição de limites.", y29: "Correto, não sei explicar.", z24: "Correta, mas incompleta." e z27: "Correto, a afirmação já é a justificativa.". porém não traz uma ideia de quão próximo o x se aproxima de a; x5: "Correta, se x se aproximar de a, f(x) se aproxima de L."; x3: "Correto, pois tem que ser suficientemente pequena."; x8 e x9: "É verdadeiro, quanto mais x tende a 'a' mais próximo f(x) está de L."; x13: "Correto, pois os valores tendem a serem próximos."; y12: "Correto, indica que x deve estar próximo de a, para que o valor de f(x) esteja próximo de L."; y5: dependentes".", apesar de não ser incorreto, percebemos que a justificativa não é coerente com a afirmação de Luísa. Para z15: "Verdadeiro, pois quanto menos x se aproxima de a menos f(x) se aproxima de L.", não ficou claro o quanto menos se aproxima, talvez fosse 'o quanto mais se aproxima'.

Alguns estudantes começaram, nesse momento, explicitar o que se aproxima do limite pela definição, por exemplo, y6: "Correto, pois isto é o que diz a fórmula de limite pela definição"; y17: "Correto, a consequência da |f(x) -L| ser pequeno é |x-a| ser pequeno também."; y23: "Correta. Devido à definição de limite: 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; e, até mesmo, mencionando que poderia realizar uma correspondência com o gráfico, como y28: "Correta, analisando graficamente conseguimos visualizar isso.". Sobre os indecisos (não lembravam, deixaram em branco), destacamos y11: "Não sei informar com propriedade sobre."; x20: "Incapaz de opinar."; z31: "Não conheço essa afirmação."; x11: "Talvez. Apesar de utilizar o termo distância, ela quis dizer que valores próximos de a, me trarão valores próximos de L.", nesse caso representa quase 17%, o que é um número considerável no contexto da pesquisa.

  Para y20: "Incorreto, pois a relação é estabelecida a partir de 'x' se aproximar tanto quanto for possível de 'a' e não 'f(x)' de 'L'.", é possível perceber que esse estudante não consegue estabelecer uma relação entre as aproximações no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas. Sobre os indecisos (não lembravam, deixaram em branco), temos x20: "Incapaz de

	Estudantes que	Números de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	98	83,05%
	Não responderam em conformidade como o esperado	12	10,17%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembrava	8	1,69%
	x toma valores tão próximos de a tal que f(x) se aproxima de L."; y5: "Correto, pois, como já
	dito acima, o que importa não é o valor em si, mas sim o quão próximo está dele.", Essas e as
	demais respostas se aproximam do esperado.		

Tabela 18 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Silas Fonte: Dados da pesquisa (2021) A maioria dos estudantes, mais de 80% responderam em conformidade com o esperado. Fazendo uma análise das respostas, notamos que 31 estudantes responderam apenas que está correta, sem apresentar nenhuma justificativa, entre eles, y1: "Correto. Não sei explicar."; y16: "Correto, não sei justificar."; x15: "Correta. Porque atende a definição de limite.", x26: "Correto, pois está de acordo com a definição.". Destacando algumas respostas que consideraram como correta e de forma coerente, temos: x11: "Correto. Valores próximos de a, trarão valores de f(x) próximos a L."; x35: "Correto, o valor da f(x) pode ser colocado tão próximo de L assim como x próximo de a."; y3: "Correto, Destacamos agora os que responderam como falso ou errado a afirmação do estudante Silas. Sete responderam dessa forma, sem justificar, entre eles, y 2 : "Falso. Não sei.". Para os demais vamos explicitar algumas das respostas. Vejamos: y9: "Errado, para que o limite exista a deve fazer parte do domínio de f(x).", nesse caso, evoca a ideia de continuidade, ou seja, deve estar definida em a. opinar.", x24: "Não sei afirmar.".

  Incorreta, pois o limite não representa um ponto.". Ainda para outros: y41: "Não. O gráfico está incompleto."; y45: "Incorreto, pois esse gráfico não representa limite."; z8: "Incorreto. A representação gráfica da forma que foi apresentada não apresenta informações suficientes."; y29: "Errado. O gráfico apresenta falta de componentes essenciais para a representação de limite."; z17: "Incorreta. Não conseguimos deduzir o gráfico."; z20: "Faltam detalhes na sua representação, uma reta, por exemplo."; z12: "Incorreto, pois o gráfico não apresenta a reta que está tendendo.". Para z20 e z12 poderia ter uma reta, talvez associe sempre a ideia de limite a uma função afim. Resumindo, para esses estudantes, a representação gráfica não é suficiente para determinar o limite de uma função.

	Estudantes que	Número de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	54	45,76%
	Não responderam em conformidade com o esperado	53	44,92%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	11	9,32%
	Fonte: Dados da pesquisa (2021)		
	Nesse caso, notamos que apenas 45,76% consideraram a alternativa como falsa. Os
	demais ou estavam em dúvida ou consideraram como verdadeira a afirmação. Apenas dez

Tabela 19 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Lucas estudantes afirmaram está incorreta (sem justificar), entre eles, y18: "Incorreto, o gráfico está errado.". Destacaremos algumas respostas com justificativas coerentes, por exemplo, x21: "Incorreta, a partir do gráfico não dá para ter a ideia do significado de lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿."; y8: 200 "Outros até tentaram explicitar como seria o gráfico correto. Por exemplo, veja a Figura 38, que por sinal traz um exemplo satisfatório:

  de f(x) se aproxima de L, mas ele precisa trocar L por f(x).", ou seja, se trocássemos L por f(x) estaria correta, o que não está de acordo. Para x32: "Falso, pois a bolinha está hachurada."; x9: "Incorreto, pois ele só está representando o limite no ponto.". Tivemos estudantes que começaram a explicitar vestígios da definição (, ), por exemplo, x6: "Não está correto, pois quem varia são os valores de 𝜀 e 𝛿."; x23: "Está incorreto, não possui 𝛿 e 𝜀 no gráfico.", porém as justificativas estão incoerentes. Outros falam de funções contínuas e descontínuas, por exemplo, y24: "Não, pois a função pode ser descontínua."; y26: "Correto, como não há descontinuidade, então quanto mais próximo x está de a, f(x) está de L."; x12: "Não, pois o limite no ponto quando x=a não deve expressado Outras respostas não estão tão claras, por exemplo, x31: "Correto, para qualquer ponto em x haverá um ponto em y."; y9: "Está correta, se 𝐿 ∈ ℝ e 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓), então está correto."; y15: "Correto, pois a = L e (x → a) x se aproxima de a."; z9: "Correto! Se f(x) for uma reta y =x."; y48: "Sim, substituindo os valores de L por a, obterá o limite."; z11: "Correto a imagem, porém faltou justificar."; z25: "Falta mostrar para onde o valor de a está tendendo, porém o raciocínio está correto.". Dentre os estudantes que deixaram em branco, não sabem afirmar ou estavam em dúvida, destacamos: x20: "Não sou capaz de opinar."; y5: "Não me lembro da representação

como f(a) = L."; y6: "Não, pois o gráfico tende a a mas não toca em a.". Ou até ideias de limites laterais, por exemplo, x11: "Incorreto. Porque ele pegou valores do lado esquerdo de a."; y32: "Incorreto, pois a depender do lado em que se aproxima de a, a imagem é diferente.". E outras respostas que não compreendemos claramente, por exemplo, x22: "Falso, pois a imagem pode se aproximar de L por valores maiores mesmo que x < a.". Analisando as respostas que afirmaram que Lucas estava correto, 13 estudantes não justificaram suas escolhas. Analisando as justificativas dos demais, destacamos as respostas: Para y14: "Correto, pois um valor de x → a tem como imagem, isto é, valor L."; x3: "Correto já que o limite tem que se aproximar de a."; x4: "Está correto. Lucas está representando a imagem que seria L quando x→ a."; x5: "Correto, pois para a função ax+b é válida.", ou seja, para as demais não, mas para a função afim. Para x16: "Sim. Uma aproximação pela esquerda e direita."; x34: "Verdadeiro, pois o limite é 'L' tanto pela direita quanto pela esquerda.", evidenciando vestígios de limites laterais. Alguns afirmaram como se realmente estivesse correto. Vejamos: x25: "Correto, a representação define bem o conceito."; x 26 : "Correto, pois se assemelha ao gráfico de limites.", y2: "Verdadeiro, corresponde com o significado de limites."; x30: "O limite nessa função existe, por isso é correta."; y46: "Pelo gráfico apresentado, sim."; z15: "Verdadeiro, pois é uma ideia de intuição de limite."; z21: "Correto. Acredito que a representação gráfica esteja correta."; y47: "Sim, confere com a definição de limite.". Outros sem uma certeza plena, como x28: "O gráfico está parcialmente correto, porém no ponto a deve ser representado com uma bola aberta em x=a."; x17: "Correto em parte, faltou sim a ligação de aproximação." e y10: "Está correto, o gráfico representa 'uma parte' da definição.". gráfica."; z27: "Não lembro da definição através do gráfico."; z23: "Não consigo interpretar.".

  Tabela 20 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Ricardo Temos 23 estudantes que afirmaram como incorreta sem justificar, dentre eles, y30: "Incorreto. Não sei explicar.". Primeiramente, vamos apresentar algumas respostas coerentes, porém, ao analisá-las, só percebemos uma única resposta coerente, x34: "Falso, pois na representação "L" não está sendo o limite."; encontramos outras duas, x25: "Incorreto, a representação não define o conceito." e y4: "Não. Pois o traçado do gráfico está errado.", porém não explicita o motivo. As demais respostas não apresentaram justificativas coerentes. Vamos destacar algumas: Para x2: "Falso. Depende da f(x)."; x3: "Incorreto, pois o gráfico não demonstra aproximação a a.", o gráfico apresenta o ponto x=a, apenas não explicita segmentos de retas pontilhadas em torno de a. Para outros, o valor de a deve estar no domínio de f, como x5: 𝑥) diz que a função deve existir para todo f(a)."; y31: "Não, pois tem um ponto fora da curva.". Essas inferências, porém, não justificam para que seja incorreto. Agora, apresentamos as respostas dos estudantes que escolheram como correta, a afirmação de Ricardo. Desses 43, apenas 21 responderam como correta sem justificar, dentre eles, z27: "Correto, o gráfico é a justificativa.". Destacaremos algumas respostas que apresentaram justificativas, mesmo que incoerentes, pois tais respostas ajudarão na construção do nosso percurso formativo digital envolvendo o conceito de limite. Para x9: "Correto, pois quanto mais próximo de 'a', mais próximo de L."; y46: "Ricardo também está correto, pois o gráfico do limite procura estudar a proximidade.", porém, não é observado que o L não está correspondendo para valores nas proximidades de a. Observe a resposta de x10: "Correto. Ele define o comportamento de um gráfico de uma função nas proximidades.", entretanto x10 não é específico. Ainda temos os que falam de descontinuidade, Tivemos outras respostas que, apesar de informar que a resposta de Mário está incorreta, justificaram de forma incoerente, por exemplo, x28: "O gráfico está incorreto, pois os valores de f(x) quando x → a devem ser próximos de f(x) em ambos os lados.", não seria de f(x), mas sim de "L". Para y30: "Incorreto, os limites laterais não existem.", existem, porém diferentes. Para x5: "Incorreta, pois 'a' não pertence ao domínio."; x30: "Incorreto, a imagem no ponto existe, mas a não faz parte do domínio da função.", porém, pelo gráfico, a pertence ao domínio da função e f(a) = L, mas o limite em x=a não existe. Para x7: "Incorreto, pois o limite de x tendendo a 'a' pela direita não pode ser exatamente 'L'."; x12: "Não, a expressão não indica limites laterais.", talvez o não queira informar que não existe, mas os limites laterais existem e são distintos.

	função não for contínua em 'a'."; y3: "Correto, porque ao fazer-se o limite, pode haver ou não
	o mesmo e possuir uma descontinuidade de salto em a."; z26: "Correta, há uma
	descontinuidade."; z31: "Correto, descontínua em um ponto."; y6: "Correto, porque esse gráfico
	apresenta um limite, só que com uma descontinuidade."; y45: "Correto, pois (a) não pertence ao
	domínio da função.". Como mencionamos acima, a função pode ser descontínua em x=a, mas
	mesmo assim apresentar o limite em x=a.
	Alguns estudantes apresentam o argumento de forma confusa, por exemplo, para x3:
	"Correto, já que representa limite de a + e a -, sem o a ser igual a zero."; x4: "Está incorreto, pois
	mostra que x → a pertence ao domínio quando a função não pertence."; x25: "Correto, mas
	como y34: "Correto, um limite de	𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)	= 𝐿
	Estudantes que	Número de	Percentual de
				estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	75	63,56%
	Não responderam em conformidade com o esperado	32	27,19%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	11	9,32%
	Para x8: "É falso. Depende da função a ser analisada.", porém nossa análise está apenas Os demais
	restrita ao gráfico apresentado por Ricardo. Outras justificativas, não apresenta uma clareza, estudantes, que deixaram em branco, não sabiam afirmar, estavam em dúvida ou mesmo pois utilizando valores próximos de a, não me dá valores próximos de L."; x17: "Incorreto, se
	por exemplo, x33: "Errado, gráfico apresenta pontos bem distintos."; x11: "Incorreto. Porque ele deixaram a resposta rasurada. pela direita tende a um valor e pela esquerda outro valor, então o limite não existe."; y36:
	Estudantes que pegou valores do lado esquerdo de a"; y15: "Errado, pois ele tá usando limites laterais."; y28: Número de estudantes A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Mário e as respostas "Incorreto. Limites laterais diferem."; y41: "Não, os valores à direita e esquerda são diferente."; Percentual de estudantes "Errado, pois não existe o intervalo, logo x=a nesse caso, logo não existe o limite de x→ a."; apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa. z1: "Errada, pois quando analisamos tanto pela esquerda quanto pela direita, resulta em valores
	Responderam em conformidade com o esperado	62	52,54%
	Não responderam em conformidade com o esperado	43	36,44%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam.	14	11,86%

Fonte: Dados da pesquisa

(2021) 

"Incorreta, pois 'a' tem que pertencer a D

(f(x)

)."; x17: "Incorreto, pois não sabemos o valor quando x=a."; y32: "Incorreto, pois a função não tá definida em a."; z6: "Incorreto, pois o valor tem que estar definido."; y48: "Não, pois a bolinha aberta afirma que o valor não pertence à função."; x20: "Incorreto, pois não existe um limite definido para x=a, pois o mesmo não pertence ao domínio da função."; x 30 : "Incorreto, pois quando x tende a a o limite no ponto não existe, pois a não faz parte do domínio da função."; y1: "Incorreto. De acordo com o gráfico, o limite não está definido no ponto."; y6: "Não está correto, pois o intervalo não pode ser aberto.". Diversos estudantes expressaram ideias de continuidade, como x16: "Não. Uma função descontínua."; y17: "Errado, pois a função não é contínua, e o limite só existe para funções contínuas no ponto, a qual está sendo feito o limite.", z8: "Incorreto, não é contínua."; z23: "Definição de função não contínua. Incorreto."; z15: "Falso, pois se trata de uma descontinuidade onde f(x) ≠ f(a)."; y26: "Incorreto, pois conforme x se aproxima de a, f(x0) não se aproxima de L, a função é descontínua e o limite não existe.". Embora no gráfico não mencione x0, conjecturamos que o estudante se lembre das notações utilizadas quando teve uma relação com esse objeto.

x32: "Falso, pois esse é somente um caso que pode ocorrer e não uma regra."; y20: "Incorreto, pois o gráfico não determina todas as possibilidades do limite."; y24: "Não, porque esse é apenas um caso de limites."; y9: "Errada, porque a f(x) representa o limite desta, f(x) não existe no ponto 204 x=a."; y10: "Errado, o lim 𝑥→𝑎 𝑓(, porém com descontinuidade no ponto."; y39: "Sim, um exemplo de descontinuidade, mas calculando o limite descobrimos a tendência do valor.". Mesmo que o limite de uma função possa existir, sem a função estar definida no ponto, a afirmação do Ricardo está incorreta, porém, para x18: "Está correta, pois em alguns casos o limite não está definido para a função.", ou para x22: "Verdadeiro, mesmo que não seja uma função contínua.". Para x26: "Correto, mesmo que os limites laterais sejam diferentes do limite no ponto a."; x31: "Correto, pois os limites laterais são iguais.", porém os limites laterais são iguais e não coincidem com o valor L. Outras respostas sem clareza nas justificativas, por exemplo, y8: "Correta em partes, pois ele não define que podem existir outros valores para a função."; y14: "Correto, o limite tende a x e tem uma função L, a curva em cima da linha é aberta."; y36: "Correto, f(x) quando x tende a a pode ser um valor diferente da f(x) quando x=a."; z5: "Correto, o gráfico demonstra (x) tendendo a (a) de forma que esteja num intervalo aberto."; z25: "Ricardo mostra que a função é contínua, com intervalo aberto e L assume o intervalo fechado. Correto".

Figura 41 -Resposta do estudante fictício de nome Mário Fonte: Dados da pesquisa (2021) O objetivo, nessa afirmação, era conhecer a relação R do estudante (x) com o objeto do saber (φ) noção intuitiva de limite de uma função em um ponto e relacionar com o ostensivo gráfico. Afirmativa de Mário é falsa, pois os limites laterais, tanto pela direita como pela esquerda são diferentes. Tabela 21 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Mário Fonte: Dados da pesquisa (2021) Analisando as respostas, foi possível observar que 22 estudantes afirmaram que estava incorreto sem justificar, dentre eles, y1: "Incorreto. Não sei explicar.". Vamos destacar algumas respostas coerentes com a pergunta como, por exemplo: x 9 e x 26 : "Incorreto, pois os limites laterais são diferentes."; x15: "Incorreta. Porque quando se aproxima pela direita e pela esquerda dá valores diferentes."; x26: "Incorreto, pois os limites laterais são diferentes."; x11: "Incorreto, diferentes. Logo limite não existe."; z15: "Falso, pois se trata de uma descontinuidade de salto.", x18: "Incorreto. Mário apresentou os limites laterais, como sendo diferentes, portanto, para esse caso, não existe o limite da função.", são respostas que coadunam com o esperado. Alguns explicitaram ideias de continuidade. Vejamos: y9: "Errado, porque a f(x) não é contínua no ponto x = a."; y19: "Não. Não é limite, pois há uma descontinuidade."; y18: "Incorreta, a função pode ser contínua."; y37: "Incorreto, pois a função tem que ser contínua."; z 5 : "Incorreto, visto que limite representa continuidade."; z 17 : "Incorreto. Pois deve ser contínuo o gráfico."; z 24 : "Não necessariamente, pois ele desenhou uma descontinuidade e não a definição de limite."; z20: "Representa uma função descontínua, no entanto ele está errado em relação à pergunta."; z30: "Incorreto, pois no gráfico o limite está descontínuo no ponto x = a.". É importante voltar a mencionar que, para existir o limite em um ponto x=a não é necessário que a função seja contínua, mas que os limites laterais em x=a devam ser iguais. Vejamos outras respostas incoerentes: z14: "Incorreto. Para o limite existir, o limite pela esquerda e pela direita deve ser igual e ter bolinha fechada.", ou seja, para z14 o valor no ponto a deve pertencer a função, o que não é necessário. Para z33: "Falso, no L a bolinha do intervalo não pode ser fechada." e z28: "Errado, pois os intervalos têm que ser abertos", entretanto não importa se o valor em a é aberto ou fechado (se pertence ou não ao domínio da função) ou a função é contínua ou não, o importante é que os limites laterais devem coincidir. Outras respostas não tem uma justificativa clara, por exemplo, x10: "Incorreto. Ele define que o limite está contendo a."; z12: "Incorreto, pois o limite está descontínuo."; x34: "Falso, pois 'L' não está limitando a função."; z6: "Incorreto, pois o valor tem que estar definido."; z7: "Errado! Pois a expressão não é definida."; y4: "Não, pois os pontos não estão coerentes."; y31: "Não, ele mostra um conjunto aberto e outro fechado.", são respostas confusas, pois os estudantes não conseguiram expor suas ideias de forma compreensível. Analisando as respostas dos estudantes que responderam que estava correta, temos apenas cinco que não justificaram a resposta, dentre eles consideramos, x13: "Correto, pois explica graficamente a definição.". Analisando os demais, temos: para x2: "Verdadeiro, pois pode ocorrer descontinuidade no limite.", sim, mas não dessa forma; x8: "Verdadeiro, se a define melhor o conceito de limites e continuidade."; y34: "Correto, um limite em salto.". Respostas contraditórias, por exemplo, z9: "Correto! Porém, o limite não existe no ponto x=a."; y26: "Correto, porém x deve se aproximar de a pela direita, para que o limite venha existir."; z32: "Correto, pois x se aproxima de a, como mostra no gráfico.". Entre os estudantes que deixaram em branco, não sabem afirmar ou estavam em dúvida, consideramos as respostas: y40: "Não sei opinar, pois não entendi o gráfico."; y5: "Não consegui entender o gráfico."; z11: "Talvez. Quase correto."; z27: "Não lembro, acredito que trata de uma função descontínua. Portanto, estará correto.".

  Tabela 22 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Danilo

	Estudantes que	Número de	Percentual de
	estudantes 26 Propriedade de limite."; x25: "Correto, o conceito está definido corretamente."; y4: "Sim. É estudantes Responderam em conformidade com o esperado 22,03%
	Não responderam em conformidade com o esperado apresentada a definição de limites analisando os pontos."; y6 e y23: "Está correto, pois é como 88 74,58%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam mostra a definição de limite."; y8, y34, y35: "Correta, é a definição precisa de limite."; y26: 4 3,39%
	Fonte: Dados da pesquisa (2021) "Correto. É a definição formal de limite."; y27: "Correto, pois a definição de limite nos prova
	Nessa parte do questionário, queríamos averiguar se o estudante tinha familiaridade e isso."; y29: "Correto. A definição atende aos quesitos necessários."; y40: "Sim, pois pelo que me
	conhecimento da definição de Weierstrass, como também compreender a relação do estudante recordo é a definição de limites."; y41: "Sim. Até onde me lembro, essa é a definição de
	com esta, ou seja, se ele seria capaz de ir além da "leitura" da definição. limites."; y43: "Corretíssimo. Essa é a fórmula da definição de limites."; y45: "Correto, pois pode
	Temos que 13 estudantes responderam como incorreta, sem justificar. Vamos apresentar ser considerada definição."; z30: "Correto. Está como no livro a definição de limites."; z23:
	algumas respostas coerentes com a situação. Vejamos x21, y2, y21: "Falso, não corresponde ∀𝜀 >
	0, ∃𝛿 > 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; x5, y21: "Incorreto, pois ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0.";
	Outras respostas um pouco confusa: y44: "Não, pois limites é para valores próximos de
	um intervalo."; z33: "Acho que os sinais de maior que e menor que estão trocados (falso).", são
	cinco desigualdades, mas o estudante não é específico para mostrar quais são as desigualdades
	trocadas.		

x10: "Incorreto. A definição está escrita ao contrário."; x11: "Incorreta. Não está de acordo a definição."; y 3 : "Incorreto, pois para um dado 𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 e não dado 𝛿 > 0 ∃𝜀 > 0."; x 23 : "Incorreto, ∀𝜀 > 0 e não 𝛿 > 0."; x26: "Incorreto, pois para todo 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, tal que

|𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀  0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", porém esse símbolo  está incorreto.

Alguns estudantes afirmaram que está incorreta, mas com uma justificativa incoerente, por exemplo: x30: "Falso, pois está inverso ao sinal.", não explicita qual é o sinal, será que apenas o sinal ou a ordem deles interfere? z12: "Incorreto, ordem está errada.", não informa a ordem de quais símbolos; x35: "Incorreto, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; 0 < |𝑓(𝑥) -𝐿| …"; x17: "Incorreto, faltou isso ∀𝛿 > 0, ∃𝜀 > 0 ↔." ; x20: "A notação está incorreta. Os sinais de maiores e menores estão inversos."; y12: "Incorreto, mas está de acordo com a definição formal de limites."; y13: "Não está correto, pois não existe 𝜀 < 0 na definição."; y19: "Falso, pois não é 𝜀 > 𝛿 e não que 0."; y39: "Não, a definição formal de limites é parecida, mas no final difere."; z31: "Não está correto, pois ∀𝜀 ≥ 0, ∃𝛿 ≥ 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀.", nesse caso, as desigualdades de épsilon e delta o estudante coloca com igualdade; z28: "Errado, errou o sinal do |x + a|.", ou seja, para esse estudante não é |x -a|. Neste item constatamos com o que imaginávamos: quase 75% dos estudantes erraram ao afirmar que a resposta de Danilo estava correta. Desses estudantes, temos que apenas 56 responderam que estava correto sem apresentar uma justificativa, dentre eles, x24, x28, x34: "Definição formal de limites correta."; x13: "Correto, pois é a definição correta."; x19: "Correto. "Correto, limite por definição com épsilon e delta."; y11 e y47: "Sim, confere com a definição de limites."; z3: "Correto, é dado por definição de limite; z10: "A definição de limite está incorreta."; z20: "Por definição essa afirmação está correta."; z25: "Está certo, pela definição."; z27: "Correto, definição de limites."; y1 e y30: "Correto. Não sei explicar.". Outros afirmaram ser correta, porém não explicitaram com clareza, como x 9 : "Correta, pois os limites laterais são diferentes."; y31: "Sim, a definição está correta com os termos matemáticos apropriados para mostrar a definição."; y32: "Correto, pois enquanto |x -a| seja pequeno |f(x) -L| também vai ser."; z13: "Correto, pois para todo 𝛿 > 0 ∃ 𝜀 > 0."; z8: "Correto. Representação genérica para qualquer limite.". No caso dos indecisos (deixaram em branco, não souberam afirmar ou estavam em dúvida), consideramos y16: "Não sei se a fórmula está correta."; y5: "Não lembro dessa expressão." e x32: "Não sei opinar.".

Essas análises correlacionam com trabalhos como

de Juter (2006, p. 62)

, que afirmou que o sentido dos quantificadores na definição do limite (𝜀 e 𝛿) pareceu um mistério para muitos alunos. Nas conclusões do seu trabalho de investigação, afirmou que a definição (, ) não foi integrada em imagens conceituais e, portanto, não está disponível para os alunos como uma ferramenta.

  explicito sobre que ordem se refere. Para x31: "Correto, só mudou o modo que escreveu com o anterior.", y31: "Sim, também mostrou a definição correta."; y32, z8 e z27: "Correto, mesma afirmação de Danilo.", y41: "Sim. Pelo mesmo motivo anterior (até onde lembro está é a

	nesse caso o estudante percebe que não está totalmente correto, percebe que faltou o definição de limites)."; z15: "Verdadeiro, mesma afirmação de Danilo, embora fora da ordem.",
	quantificador universal no início. mesmo mudando a forma de escrever, não foi possível identificar mudanças no sentido da
	Para y14: "Incorreto. Em vez de existir um delta, é para todo delta, é para todo delta expressão.
	maior que zero.", faz relembrar a afirmação do estudante Danilo, e entende que o anterior estava Dos estudantes que deixaram em branco, não souberam afirmar ou estavam em dúvida,
	correto. No caso de y30: "Incorreto, ∃ 𝜀 > 0, ∀𝛿 > 0.", acaba mantendo os quantificadores destacamos: y16: "Não sei se a fórmula está correta, mas acho que não esteja.", z11: "Não me
	trocando apenas as letras épsilon e delta. Para y36: "Incorreto. É "∀" e não "∃" a definição.", lembro ao certo desta definição."; z30: "Não lembro da definição de limite na linguagem
	porém não percebe também que o delta não está no lugar correto. matemática.".	
	Estudantes que	Número de estudantes	Percentual de estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado	63	53,39%
	Não responderam em conformidade com o esperado	43	36,44%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam	12	10,17%
	Destacamos algumas respostas coerentes, como para x5, x21 e x23: "Incorreto, pois ∀𝜀 >
	0, ∃𝛿 > 0."; x26 e x33: "Incorreta, pois ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 e ela inverteu isso."; y23: "Errado,
	acredito que é no momento que ela expõe que ∃𝛿 > 0 seria épsilon no lugar de delta"; z2: "está
	incorreto. ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; y10: "Incorreto, está "Está correto, pois é a fórmula da definição de limites."; y20: "Correto, pela definição de limite.
	apresentado de forma invertida. O começo, que não implica no mesmo sentido.", apesar de (senão me engano!)."; y47: "Sim, confere com a definição de limites."; y21, e z21: "Correto.
	explicitar o que realmente está invertido. Definição de limite.". Notamos que esses estudantes não perceberam nenhuma diferença entre
	Nas demais respostas, consideradas como incorretas, os estudantes não conseguiram a resposta da Ester e a definição (, ) de limite.

Tabela 23 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação da estudante Ester Fonte: Dados da pesquisa (2021) Dos 63 estudantes, apenas 38 responderam que estava incorreta a afirmação da Ester, sem justificar. Dentre esses estudantes, consideramos: x11: "Incorreta. Não está de acordo com a definição."; x20: "Incorreto. A notação está errada."; y1: "Incorreto. Não sei explicar."; y8: "Incorreta, confundiu a ordem das coisas."; z1: "Errado, por definição não me recordo."; z6: "Incorreto. Não lembro da definição."; z17: "Incorreto. Faltou informação."; z18: "Errado. Por que existe.", pois não deixaram de forma clara a justificativa. expor de forma clara o raciocínio, por exemplo, z3: "Incorreto, o termo ∃𝛿 > 0 está errado.", mas não informa o motivo. Para x25: "Incorreto, o final da informação está equivocado.", não percebeu que o início tem problemas. No caso de x35: "Incorreto, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; 0 < |𝑓(𝑥) -𝐿| …", até começou bem, porém a questão do módulo não está correta e deixou incompleta. Para y6: "Incorreto, pois não é para ∀𝜀.", não informou como seria o correto; x17: "Incorreto em partes, faltou o ∀ (para todo)."; z26: "Incorreto, a definição: ∃ na frente é errado.", Para y28: "Errado, por conta do |f(x) -L|. Deveria ser um valor do intervalo, não o próprio L.", percebe que o erro não está na posição do épsilon e delta, nem nos quantificadores. No caso de z31: "Incorreto, pois é para todo 𝜀 ≥ 0 ∃𝛿 ≥ 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒|𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀.", até lembrou e colocou no papel uma ideia da definição (, ), porém com erros nas duas desigualdades iniciais. Ainda tivemos respostas incoerentes e sem clareza, por exemplo, y26: "Incorreto, para todo 𝛿 > 0 também deve haver 𝜀 > 0 e não o contrário."; y27: "incorreto, na definição ∃𝛿 > 0."; z34: "Errado! ∀𝛿 > 0 e não um ∃ 𝜀 > 0.", talvez a resposta anterior do Danilo tenha influenciado, percebendo que estaria correta. Para x18: "É falso, pois ∃𝜀 > 0 não existe ∀𝛿 > 0."; x24: "Definição formal de limitesincorreta, em limites o 'a' não importa se está definido.", não percebeu as diferenças apresentadas. Partindo para os estudantes que consideraram a resposta da Ester correta, temos que, dos 43 estudantes, 21 não justificaram, dentre eles, consideramos x10: "Corretamente. Está escrita certa.". Observemos agora os seguintes estudantes: y34: "Correto, definição de limite."; y39: "Sim, a definição que conheço."; y12: "Correto, está de acordo com a definição de limites."; y13: Para outros, que escolheram como correta a afirmação de Ester, a argumentação não foi clara. Vejamos: y46: "Correta para 𝛿 > 0."; x3: "Correto, pois tem que existir 𝜀."; x13: "Está correta, pois apenas alterou o início da definição."; x28: "Está correto, porém na ordem errada.", não foi A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Marcos e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa.

  Tabela 24 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Marcos "Incorreto, não sei explicar."; z6: "Incorreta. não lembro a definição.", y2: "Falso, não corresponde.". Ou seja, mais da metade, apesar de responder em conformidade com o esperado, não foi capaz de explicitar onde estava o erro.

	Dos 36 estudantes que não responderam em conformidade com o esperado, ou seja,
	afirmando que a resposta do Marcos está correta, 24 não apresentaram justificativa, dentre eles,
	consideramos: x10: "Correta. Está escrita corretamente"; x11: "Correto. Está de acordo a
	Destacaremos respostas coerentes em conformidade com o esperado: y9: "Está errado, definição."; x34: "Verdadeiro, limite por definição."; y21: "Correta, porém incompleta."; y23:
	porque 0<|𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; y10: "Errado; o |𝑥 -𝑎| < 𝛿 que implica "Correto. Devido definição de limite."; y28: "Correto, mesmo caso dos anteriores."; y31: "Sim,
	primeiramente em ele estar entre 0<|𝑥 -𝑎| < 𝛿 e vindo antes do |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; y3: em outras palavras define limites."; y35: "Correto, pois é a definição de limite."; y1: "Correto.
	"Incorreto, pois |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿 não implica.", apesar de não mostrar como Não sei explicar.", y40: "Sim, eu acho que está correto.", ou seja, não foram capazes de perceber
	seria o correto; z26: "Incorreto. 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; x22: "Errado, a recíproca mudanças que acontecem na expressão.
	não vale.". Estas foram as poucas respostas que se aproximaram do esperado. As demais, apesar Outros, apesar de perceberam a mudança, ainda reconhecem como correta a expressão,
	de informar que está incorreta a definição do Marcos, utilizaram argumentos incoerentes ou por exemplo, y39: "Sim, mesmo em ordem diferente está correto."; z27: "Correto, só trocou os
	mesmos sem clareza.
	Além dessas respostas, tivemos outras que os estudantes não foram capazes de
	Estudantes que argumentar de forma clara, por exemplo, z25: "Incorreto o valor de 𝛿 < 0."; x13: "Incorreto, pois Número de Percentual de
	estudantes essa alteração modifica o significado."; x17: "Incorreto em partes, falta o ⇔."; x25: "Incorreto, estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado Não responderam em conformidade com o esperado "|f(x) -L|" é no final da expressão."; y4: "Não, pois a análise de 𝜀 e 𝛿 não está correta."; y6: 68 57,63% 36 30,51%
	Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam "Incorreta, pois não é para ∀𝜀."; y18: "Incorreto, 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿."; y36: "Incorreto. É "∀" e não 14 11,86%

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Dos 64 estudantes que responderam que a afirmação do Marcos está incorreta, 35 não justificaram, dentre eles consideramos: y20: "Incorreto, pela definição de limite."; y30: Para y8, z34, z18: "Incorreta, confundiu a ordem.", x33: "Final da expressão está invertido."; y 37 : "Incorreta, as informações estão trocadas."; z 21 : "Incorreto. Trocou os termos da definição."; y46: "A definição é ao contrário, nem sempre |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", porém não perceberam que |x -a| deve ser maior que zero. E, para x5 e x18: "Incorreto, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; y14: "Incorreto, [… ]|𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 , o correto!"; y27: "Incorreto, na definição de limite |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀. Logo, a volta não é necessariamente verdadeiro.", até perceberam a mudança na ordem nas desigualdades envolvendo valor absoluto, porém não perceberam que |x -a| deve ser maior do que zero. No caso de x18: "Está incorreta, pois para ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", apenas repetiu a expressão do Marcos. Para x26, y24, y32 e y47: "Incorreta, pois ele não afirmou que 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", não perceberam também que a ordem estava trocada da expressão envolvendo épsilon com a expressão envolvendo delta. Para z31: "Está incorreto, pois ∀𝜀 ≥ 0, ∃𝛿 ≥ 0; |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", defendeu a ideia de que apenas utilizar o símbolo ≥ deixaria correta a expressão. "∃" a definição."; y 44 : "Não, pois ∀𝛿 > 0, ∃𝜀 > 0; 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀, pois quem varia no intervalo dado é x.", retomando a expressão do estudante Danilo como correta. lados, porém implica no mesmo resultado."; x31: "Correto, apenas mudança de posicionamento."; y13: "Está correto, isso só é outra anotação."; z15: "Verdadeiro, mesma definição de Ester.". E respostas sem uma clareza, na argumentação, como z23: "Correto, não limitou |x -a| >0.". Os demais estudantes que deixaram em branco, não souberam afirmar ou estavam em dúvida, destacamos: x20: "Incapaz de opinar."; x30: "Não sei afirmar se está correto ou não."; z11: "Não lembro ao certo desta definição."; z30: "Não lembro a definição de limites na linguagem matemática.".

  Tabela 25 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Rafael "Incorreto, para todo 𝛿 > 0 ∃𝜀 > 0, não ao contrário, como ele se referiu.". É possível perceber que os estudantes não possuem uma relação adequada com o objeto a definição de limites de funções. objetivo, nessa afirmação, era conhecer a relação R do estudante (x) com o objeto do saber (φ) noção intuitiva de limite de uma função em um ponto e relacionar com os ostensivos que aparece na definição, o épsilon e o delta. Consideramos a afirmativa de Tadeu verdadeira, pois da definição convencional apenas ao invés de utilizar  e , utilizamos A e B.

	Estudantes que	Número de	Percentual de
		estudantes	estudantes
	Responderam em conformidade com o esperado Dos 51 estudantes que não responderam em conformidade com o esperado, ou seja, 52 44,07% errado, porque é necessário do 𝜀 e o 𝛿 para uma definição.", nesse caso, conjecturamos que Tabela 27 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação da estudante Mônica
	Não responderam em conformidade com o esperado Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam afirmando que a resposta do Rafael está correta, 37 não apresentaram justificativa, dentre eles, 51 43,22% 15 para esse estudante as letras utilizadas é que contribuem para a definição de limite, como afirma Estudantes que Número de Percentual de 12,71% Fonte: Dados da pesquisa (2021) consideramos: x10: "Correta. Está escrita de forma correta."; x13: "Está correto, pois é também Tabela 26 -Respostas dos estudantes referentes à afirmação do estudante Tadeu estudantes estudantes x11: "Incorreta. Mudou a notação, utilizando letras que não ajudam no compreendimento", ou Responderam em conformidade com o esperado 65 55,08%
	a definição."; x21: "Correta. A definição está correta"; x24: "Definição formal de limite correta."; Estudantes que Número de Percentual de mesmo para z8: "Incorreto. A substituição do 𝛿 e do 𝜀 pelas letras A e B alteraram o significado Não responderam em conformidade com o esperado 40 33,90%
	Praticamente, o número de estudantes que responderam como incorreta, também responderam como correta. Isso nos leva a conjecturar que os estudantes não perceberam o x33: "Correto. Parece está correto."; y1: "Correto. Não sei explicar."; y3: "Correto, pois é a Não responderam em conformidade com o esperado 45 38,15% incorreto com as letras do alfabeto latino, y11: "Incorreto em letras, porém, substituindo 𝐴 = 𝜀 definição de limites."; y27: "Correto, pela definição de limite."; y34: "Está correto, definição de estudantes estudantes Responderam em conformidade com o esperado 60 50,85% Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam 13 11,02% da expressão, pois 𝛿 e 𝜀 representam valores muito pequenos.", ou até mesmo consideram Fonte: Dados da pesquisa (2021)
	detalhe que a desigualdade envolvendo delta deve ser maior que zero. Dos 52 estudantes que limite."; z27: "Correto, é a mesma definição de limites." e y6: "Correta, pois condiz com a Estavam em dúvida, deixaram em branco ou não lembravam 13 11,02% e 𝐵 = 𝛿, a definição ficaria correta.". Dos 65 estudantes que responderam em conformidade com o esperado, apenas 11 não
	responderam em conformidade com o esperado, 27 não justificaram sua resposta, dentre eles fórmula da definição.".
	correta. temos que considerar o respectivamente.		
	E alguns não foram claros na justificativa, como x17: "Incorreto, não há vírgula."; x25: Dos 45 estudantes que não responderam em conformidade com o esperado, ou seja,
	"Incorreto, a expressão está equivocada."; x6: "Não está correto, pois 𝛿 < 0."; , x7: "Incorreto, afirmando que a resposta do Tadeu está incorreta, 22 estudantes não apresentaram nenhum
	pois se 𝜀 > 0, 𝛿 > 0 não pode."; x30: "Incorreto, pois 𝛿 ⇒ |x -a| não como ele escreveu."; x31: argumento, dentre eles, consideramos: y1: "Incorreto, não sei explicar."; y4: "Não, a notação

consideramos, x3 e y30: "Incorreta, não sei explicar."; x11: "Incorreta. Não está de acordo a definição."; z6: "Incorreto. Não lembra a definição.", ou seja, apenas de afirmar que está incorreta, nem sempre o aluno tem um argumento coerente para a sua escolha.

Analisando respostas em conformidade com o esperado e de forma coerente, temos: y9: "Está errado, porque 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 e não só |𝑥 -𝑎| < 𝛿."; y10: "Está incorreto. A definição está apresentada incorretamente, porque o 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 e lá está somente|𝑥 -𝑎| < 𝛿."; y13, y18, e y47: "Incorreto, 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿."; y2, y26, y32 e y39: "Falso, |x -a| tem que ser > 0."; y23: "Errado. Faltou o 0 < |𝑥 -𝑎|."; y44: "Não, pois deve-se tomar 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿, em um dado intervalo.".

Outros estudantes, apesar de afirmar que o item de Rafael estava incorreto, não justificaram de forma coerente, por exemplo, x26: "Incorreta, pois ele não afirmou que 0<|x-a|< 𝜹 e também errou ao usar ⇒ seria ⇔.", a primeira parte até que está coerente, porém na segunda apresentou um argumento equivocado, pois há diferenças em substituir a implicação lógica pela equivalência. Para z 31 : "Está incorreto, pois ∀𝜀 ≥ 0, ∃𝛿 ≥ 0; |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", além de utilizar de forma errônea o símbolo ≥, a segunda parte também não está "Errado, não delimita o intervalo."; x32: "Falso, pois foi invertida o f(x) -L e o xa."; y11: "Incorreto, definição equivocada."; y 14 : "Incorreta, ∀𝜀 > 0; ∃𝛿 < 0, o correto!"; y 21 : "Incorreta, ordem invertida."; y24: "Incorreto, porque x não pode ser igual a 'a'."; y46: "Está incorreta; pois ele trocou o 𝜀 pelo 𝛿."; z13: Para outros, como y41: "Sim. Pelos mesmos motivos anteriores."; z15: "Verdadeiro, mesma afirmação de Marcos."; z23: "Correto, igual Marcos.", não há diferença alguma em relação às expressões anteriores, não foram capazes de perceber as mudanças.

Alguns ainda tentaram apresentar uma justificativa, mesmo que errônea, por exemplo, x18: "Está correta, pois para toda distância x para a, existe a distância da função para o limite."; x22: "Verdadeiro, faltou 0 <|x -a| trata-se de distância.", o que é incoerente, afirmou que é verdadeiro, mesmo explicitando que |x -a| deve ser positivo por se tratar de distância. Para y4: "Sim, Pois a análise de 𝜀 e 𝛿 está correta."; y12: "Correto, de acordo com a definição formal de limites, se 𝑥 -𝑎 < 𝛿 então 𝑓(𝑥) -𝐿 < 𝜀."; y28: "Correta, para todo valor de x no intervalo, |𝑥 -𝑎| < 𝛿 sendo 𝛿 um dos intervalos."; y 31 : "Sim, está correto usa a afirmação e os termos de definição apropriados.". Os demais estudantes que deixaram em branco, não souberam afirmar ou estavam em dúvida como, por exemplo, z30: "Não lembro a definição de limite na linguagem matemática.". A seguir, apresentamos a afirmação do estudante fictício de nome Tadeu e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa.

Figura 46 -Resposta do estudante fictício de nome Tadeu Fonte: Dados da pesquisa (2021) O Fonte: Dados da pesquisa (2021) Dos 60 estudantes que responderam em conformidade com o esperado, 27 não justificaram a sua resposta, dentre eles, consideramos: y30: "Correto, não sei explicar.". Os que justificaram de forma coerente, temos: x21, x23, x28, y13: Está correta tomando 𝐴 = 𝜀 e 𝐵 = 𝛿."; x4: "Está correto, a definição de limite apenas com valores diferentes."; x31, y28, z26, z27: "Correto, apenas substituiu os termos."; x33, y31, y35: "Correto, porém com a notificação de diferente."; y2, z5, z28, y39: "Verdadeiro, correto, só trocou as variáveis."; y3: "Correto, pois é a definição de limites."; x25: "Correto, expresso bem o conceito."; y6, y27, y47: "Correta, pois condiz também com a fórmula de definição.". Outros apenas alegaram que estava correta a afirmação de Tadeu, mas não apresentaram argumentos coerentes, por exemplo, z31: "Sendo 𝐵 = 𝛿 e 𝐴 = 𝜀 maiores ou igual a zero."; x6: "Está correto, pois B e A > 0."; x17: "Correto em partes, não há vírgula."; x24: "Definição correta, mais com simbologia diferente."; x26: "Correto, porém faltou ele expressar a reversibilidade do processo através do ⇔ ao invés do ⇒."; y 15 : "Correto, pois a definição está certa."; y 19 : "Está dizendo a mesma coisa que Danilo, mas mudou a variável 𝜺 e 𝜹 por A e B."; y20: "Correto, trocando os valores de 𝜀 e 𝛿 por A e B. Não respectivamente, necessariamente.", nesse caso, fugiu do conceito."; y 37 : "Incorreta. A definição está errada.". Explicitaremos outras respostas que os estudantes tentaram argumentar, por exemplo, z11: "Incorreto. O pouco que lembro, inclui 𝛿 e 𝜀."; x7: "Incorreto, pois não foi utilizado 𝜀 e 𝛿."; x8: "É falso. É ∀𝜀 ou 𝛿 não para A e B."; y8: "Incorreta, mas não definiu quem é A e B, entende-se que seja 𝛿 e 𝜀."; y10: "Errado, tudo errado. Não existe nenhum A."; x13: "Incorreta, pois as variáreis são padrões."; z10: "Incorreto. Elementos extras na definição."; z20: "Está Para x5 e y9: "Incorreto. O certo seria ∀𝐴 > 0, ∃𝐵 > 0; |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝐵 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝐴.", a forma exposta não está correta, apresentando uma troca na desigualdade envolvendo o módulo. Outros argumentos também sem clareza, x3: "Incorreta, pois |f(x) -L| < B."; x10: "Incorreta. Na notação descreve x -a com maior que zero. Pode ser menor que zero também."; x30: "Incorreto por x e a ser maior que 0"; y12: "Incorreto, x -a < A, f(x) -L < B."; y26: "Incorreto, deve ser, para todo B > 0 existe A > 0, e não ao contrário."; y29: "Errado, ∀𝐵 > 0, ∃ 𝐴 > 0; e não ao contrário."; y36: "Errado. Pois inverteu o 𝜀 e 𝛿."; z3: "Incorreto, 0 < |x -a| < B está errado."; z6: "Incorreto, pois A tem que ser menor que zero."; z25: "Incorreto. O valor de zero; maior ou igual"; z34: "Errado! Não é para todo A>0, e sim ∀𝛿 > 0.". Os demais estudantes que deixaram em branco, não souberam afirmar ou estavam em dúvida, consideramos: y23: "Não conheço a notação utilizada."; x20: "Incapaz de opinar."; z16: "Não sei, não entendi."; z30: "Não lembro a definição de limite na linguagem matemática.". A seguir, apresentamos a afirmação da estudante fictícia de nome Mônica e as respostas apresentadas pelos estudantes do contexto da nossa pesquisa.

Figura 47 -Resposta da estudante fictícia de nome Mônica Fonte: Dados da pesquisa (2021) O objetivo, nessa afirmação, era conhecer a relação R do estudante (x) com o objeto do saber (φ) noção intuitiva de limite de uma função em um ponto e relacionar com os ostensivos que aparecem na definição, o épsilon e o delta. Consideramos a afirmação de Mônica como falsa, pois a última desigualdade está invertida. justificaram a sua resposta, dentre eles, y30: "Incorreto, não sei explicar."; y37: "Incorreta, a definição está errada."; y20: "Incorreto, pelo que me lembro da definição de limite.". Analisando as respostas que estavam em conformidade com o esperado e de forma coerente, temos: x4, x9,

  No caso de x17: "Incorreto, não me lembro dessa vírgula.", completamente

	sem sentido. bem próximas de cada estudante, vejamos: x7, x9, y35, z13: "Para todo valor de 'x' tendendo a
	Dos 40 estudantes que não responderam em conformidade com o esperado, ou seja, 'a', tão próximo quanto se queira, temos um valor de f(x) próximo de L."; x11, x35, y1, y9, Z12:
	afirmando que a resposta do Tadeu está incorreta, 32 estudantes não apresentaram nenhuma
	justificativa. Dentre eles, consideramos: x33: "Parece o mais correto!"; y1: "Correto, não sei
	explicar."; y5: "Correto, porque me lembrei dessa expressão.".
	Agora observando os demais argumentos, destacamos alguns: x25: "Correto, está igual
	ao de Tadeu só que com as letras diferentes."; y47: "Sim, confere com a definição de limites.";
	y4: "Sim. A notação está correta, baseado nos conceitos de 𝜀 e 𝛿."; z26: "Correto a definição.";
	certo seria ∀𝛿 > 0, ∃𝜀 > 0, 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀.", acabou trocando as letras 𝛿
	e 𝜀 no início da dupla quantificação. Assim como para y26: "Incorreto, o épsilon deve ser maior
	que | f(x) -L | e, além disso, para todo 𝛿 > 0, ∃𝜀 > 0.", acabam afirmando a mesma coisa que
	a Mônica, porém considerando igual à dupla quantificação de y9.

Está incorreta, o correto é |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; Para

x6, x8, x26, y14, y19, y21, y24, y27, y29, z8, 

z15: "Errado, pois |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀 está errado, correto |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀."; y32: "Incorreto, já que fazendo |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀 a distância não vai bem pequena."; y46, z2: "Incorreta na última parte |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀."; y3, y15: "Errado, |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 e não |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀.". Outros apresentaram argumentos inválidos como, por exemplo, x5: "Incorreta. ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; |𝑓(𝑥) -𝐿| < 𝜀 ⇒ |𝑥 -𝑎| < 𝛿.", notamos que o estudante não percebeu a diferença, optando pela troca das expressões em que há desigualdades modulares; x10: "Incorreta. Além de estar definida para valores maiores que zero e |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀, o que está errado."; z3: "Incorreto, 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 está errado, não tem."; z31: "Errado, aprendi que ∀𝜀 ≥ 0, ∃𝛿 ≥ 0, 0 < |𝑥 -𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) -𝐿| > 𝜀."; Apesar de apresentarem respostas como y 8 : "Incorreta, trocou o sinal do 'maior que'." e x32: "Falso, pois foi invertida a ordem.", não foram específicos. Ainda y9: "Está incorreta, o Alguns não apresentaram argumentos com clareza, y28: "Errado, pois a função menos L (|f(x) -L|) não pode ser maior de o intervalo.", pois não foi compreensível se estava chamando épsilon de intervalo. Para y44: "Não, pois queremos valores de f(x) próximos à L em um dado intervalo e não fora do intervalo dado.", talvez queira informar que os valores de f(x) -L deve está entre -𝜀 e + 𝜀. z27: "Correto, mesma definição."; z23: "Correto, iguais aos anteriores."; z33: "Verdadeiro, só trocou as letras A e B por 𝜀 e 𝛿 que Tadeu utilizou.". Nesses casos, notamos que os estudantes não perceberam as mudanças que houve em cada uma das afirmações, concordando com cada uma, talvez apenas por apresentar uma linguagem matemática. Já y 13 : "Não está correto, pois na definição de limites o 𝜀 > |𝑓(𝑥) -𝐿|.", afirma errado e justifica corretamente. Os demais estudantes que deixaram em branco, não souberam afirmar ou estavam em dúvida, consideramos: x24: "Não visualizei a resposta.", talvez devido à projeção no Datashow no momento da experimentação; z28: "Acho que está certo."; z30: "Não lembro a definição de limite na linguagem matemática". Ao final, na segunda parte do questionário, foi solicitada a seguinte questão: Figura 48 -As perguntas finais do questionário Fonte: Dados da pesquisa (2021) Em relação à letra (c), o objetivo era saber dos estudantes qual a definição correta na sua concepção, e verificar as dificuldades apresentadas por eles. Destacamos algumas respostas, primeiramente, as respostas que se aproximam do esperado, por exemplo, para x1: "Para a função se aproximar de L, x tem que ter o valor muito próximo de a."; agrupamos respostas "Valores de x próximos de a, ao serem aplicados em f(x), me trarão valores próximos de L.";

  , ao adentramos no nível da escola, observamos que no Brasil, nos cursos de nível superior na área de Ciências Exatas e da Terra e Tecnológicas, o ensino de Cálculo I ainda é

	1. Tópico ↓ ↑ Fonte: Dados da pesquisa (2021) Assimmarcado pelos altos índices de retenção e evasão (DÖRR, 2017; BEZERRA, 2019; entre Definição de Limite
	Vale salientar que, em geral, os níveis 5, 6, 7, 8 e 9 (da civilização à pedagogia) são outros), como evidenciamos na introdução dessa pesquisa. Esse fator tem chamado atenção
	representados pelos documentos oficiais, sem a intervenção direta do professor. Já os níveis 1, tanto de profissionais da educação como de coordenadores e dirigentes. A nossa preocupação é
	2, 3 e 4 (do tópico à disciplina) se referem às organizações praxeológicas as quais o professor que esses altos índices não sejam estimados como normal dentro do quadro atual da educação,
	exerce uma influência direta. mas que se tenham debates e discussões para melhorar o ensino e aprendizagem desse
	Como civilização, consideremos a Ocidental, mais especificamente no Brasil, situado componente curricular.
	na América do Sul. Como mencionamos na seção 2.2.3, uma pandemia relacionada ao novo Em relação ao nível pedagogia, normalmente o curso de Cálculo I é oferecido no 1º
	Coronavírus (covid 19) obrigou as escolas a fecharem (restrição) as portas físicas, permitindo semestre. Alguns cursos apresentam como condição a presença de um componente curricular
	que antecipa o Cálculo I (normalmente denominado Matemática Elementar, Introdução ao
	Física ou Engenharias.	
	A escala citada está atrelada a uma hierarquia e a uma relação de reciprocidade, nas
	quais qualquer alteração em determinado nível dependerá das condições e restrições criadas
	pelas escalas superiores. Além disso, ao alterar as condições e restrições de um nível inferior,
	teremos repercussões sobre os níveis superiores. Vale salientar que, de acordo Chevallard
	Quadro 3 -Níveis de codeterminação didática (2018b, p. 35), há distinção da TAD entre condição e restrição: "uma restrição é uma condição
	9. Civilização ↓ ↑ observada, de uma certa posição institucional a um certo instante, como não modificável, Brasil (América Latina)
	8. Sociedade ↓ ↑ 7. Escola ↓ ↑ imutável (relativamente e provisoriamente); da mesma forma, uma condição e uma restrição Noosfera Nível superior
	6. Pedagogia ↓ ↑ modificável neste mesmo sentido". Nesse caso, a restrição é imposta, não negociável no 1º semestre no BCET (UFRB)
	5. Disciplina ↓ ↑	Cálculo I
	4. Domínio ↓ ↑	Análise real
	3. Setor ↓ ↑	Funções
	2. Tema ↓ ↑	Limite

apenas o ensino remoto (condição). Isso não afetou apenas o Brasil, mas todos os continentes que, aos poucos, estão retomando algumas atividades educacionais presenciais. Contudo, o ensino remoto, a partir de plataformas online, contribuiu e está contribuindo para o acesso dos estudantes aos componentes curriculares. Como restrição, temos que nem todos os estudantes possuem acesso à internet de banda larga e aparelhos como smartphones ou laptops, mas esta está sendo, normalmente, a possibilidade de continuação dos estudos em diversas áreas e níveis de ensino. Em relação ao nível escola, a instituição do contexto de nossa pesquisa é a Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB), situada na cidade de Cruz das Almas no Estado da Bahia, na região Nordeste do Brasil. Em relação à disciplina, o nível mais específico em que o professor exerce uma influência direta é a disciplina Cálculo I, do curso de Bacharelado em Ciências e Exatas e Tecnológicas, curso este que é base para outros cursos como Matemática, momento para o bom sujeito institucional (são as sujeições de uma pessoa a uma instituição) (CHEVALLARD, 2018b, p. 32). Cálculo ou Pré-cálculo), de modo a trabalhar conceitos básicos que sejam pré-requisitos para o Cálculo I como, por exemplo, funções afim e quadrática, expressões algébricas, polinômios, trigonometria e geometria analítica. Estes se referem a pré-requisitos essenciais para o acompanhamento do curso de Cálculo I. Porém, nessas disciplinasque habitualmente antecedem o componente de Cálculo I -, não se trabalha ideias da noção intuitiva de limite, o que normalmente se faz é uma revisão da matemática do ensino básico como, por exemplo, no curso de Graduação em Matemática da UEFS (Universidade Estadual de Feira de Santana) que oferece o Pré-cálculo com carga horária de 60h e com a seguinte ementa: Conjuntos numéricos; estudo das funções elementares; gráficos (UEFS, 2018, p. 45, 79). A Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual Paulista (UNESP) dispõe, no 1º semestre, o componente Matemática Elementar I com carga horária de 60h e a seguinte ementa: Conjuntos numéricos, relações e funções, funções exponencial e logarítmica e funções trigonométricas (UNESP, 2015, p. 78).

Tabela 28 -Perfil dos juízes Perfil dos juízes que participaram da validação do percurso formativo digital

  Realizamos alterações na sequência a partir das críticas e sugestões na validação por pares, o que contribuiu para melhorar a mesma de forma significativa. Ressaltamos que, na parte das sequências de revisão das noções básicas, era apenas expositiva e não possuíam tarefas. Mas, após a validação planejamos algumas questões para ajudar os estudantes a refletir sobre o que estava sendo abordado. Vale ressaltar, que um entre os 17 juízes, detectou um equívoco importante, pois estávamos considerando erros conceituais em relação a números reais, velocidade média e instantânea, além de sugestões e críticas nos enunciados das tarefas.Sobre noções de lógica: Esse foi o que mais teve coerência com os conceitos que pretende desenvolver. Para além disso, a forma que apresentou é em geral um tanto diferente do que se encontra nos livros didáticos e nas aulas (de acordo com minha experiência). Acredito que o estudante terá a oportunidade de buscar os pré-requisitos (revisando) e agregando noções novas.Utilizando uma linguagem clara e fluente, foi possível por meio de um sequenciamento de tarefas simples desenvolver de forma bastante didática o conceito de limite. De forma geral, o trabalho alcançou o objetivo proposto. Algumas sugestões já foram elencadas acima, uma última seria a realização de uma revisão gramatical.Desmos no planejamento da sequência didática 147 , que passamos a conhecê-lo próximo da fase da experimentação, em que possibilitava fornecer feedbacks para os estudantes. Ele pode ser147 No sentido de Henriques (2019, p. 97) uma sequência didática é um esquema experimental formado por situações, problemas ou tarefas, realizadas com um determinado fim, desenvolvido por sessões de aplicação a partir de um estudo preliminar [análise institucional] em torno de um objeto do saber e de uma análise matemática /didática, caracterizando os objetivos específicos de cada situação, problema ou tarefa [tendo uma praxeologia completa]. utilizado diretamente do navegador do smartphone ou tablet ou laptop, além de oferecer uma calculadora gráfica como aplicativo para smartphone. Evitamos colocar tais prints das telas aqui no texto para não ocupar muito espaço e dificultar a leitura. visualizar o feedback; Caso o retângulo esteja totalmente em branco, o estudante não visualizou a página com o feedback.Como nas tarefas anteriores, foram apresentadas outras afirmações com o intuito que estudante explicasse o porquê, se verdadeiro, ou apresentasse um contraexemplo, caso fosse falso. A afirmativa: "Ana diz que a afirmação números irracionais são números reais nunca é verdadeira". Ana está correta? Se sim, explique o porquê. Se não, forneça um contraexemplo.

	Havíamos também apresentado um tópico sobre plano cartesiano. Diante disso, J6 vezes utilizando os conhecimentos sobre conjuntos numéricos; A técnica () esperada a esse Como anteriormente, fornecemos duas atividades para agrupar os cartões semelhantes.
	comentou: tipo de tarefa é: 1.7: A partir das propriedades sobre os conjuntos dos números numéricos, O objetivo era fazer com que os estudantes refletissem sobre o que havia sido abordado acerca
	Mestre Ao elaborarmos o Percurso Formativo Digital, nos questionamos sobre as possíveis Para o estudante, a primeira tela da Atividade 1 possui informações gerais com Nessa tarefa, o objetivo é que o estudante expresse sua compreensão sobre conjuntos dos intervalos numéricos, trazendo assim uma abordagem com diferentes ostensivos, gráfico, classificar as afirmações em nunca, sempre ou às vezes; A tecnologia () que justifica a escolha No meu entendimento se um estudante se propõe aprender sobre limite de uma função real, o que foi apresentado sobre plano cartesiano em nada ajuda, ficou por demais produções e conduções dos estudantes e, dessa forma, antecipar o seu comportamento para explicações sobre a atividade proposta. Nas telas seguintes, apresentamos inicialmente uma numéricos através de argumentos explicando o raciocínio utilizado. Em relação ao tipo de linguagem natural e linguagem algébrica. dessa técnica é: O conceito de número real; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias elementar. Provavelmente o estudante sabe isso e muito mais. Retiraria esse tópico, na parte de construção do gráfico pode se referir ao plano cartesiano e tal... construir os a priori. Em vista disso, modelizou-se um ambiente de ensino sob a perspectiva da breve noção dos números reais de modo que o aluno compreenda o conjunto dos números reais, Tarefa T1.11: Mostrar se a afirmação de Ana: os números irracionais nunca são números reais é Em tais tarefas, o objetivo é que o estudante classifique os cartões em três grupos com e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais. 8 Doutores 9 TAD, fazendo uso dos momentos didáticos. Dessa forma, na tela inicial do PFD, o estudante seus subconjuntos: inteiros, racionais e irracionais, além de intervalos numéricos. Esses itens Consideramos os seguintes agrupamentos dos cartões: "sempre": números naturais são verdadeira ou falsa; A técnica () esperada a este tipo de tarefa é: 1.11: Com a definição de diferentes ostensivos (algébrico, numérico, geométrico) e tenham características semelhantes.
	Total E, em relação ao valor absoluto, J6 afirma: pôde escolher por qual conteúdo começar, a saber, Atividade 1: números reais; Atividade 2: 17 iniciais pretendem apresentar algumas noções básicas para possibilitar construir as ideias de número irracional e real, verificar se é verdadeira ou falsa a afirmação, através das relações de Em relação ao tipo de Tarefa T1.18.19: Agrupar os diferentes cartões em grupos semelhantes, números inteiros; números inteiros são números racionais; números irracionais são números Fonte: Dados da pesquisa, 2021. A seguir, destacamos alguns comentários dos juízes que denotamos por Jk = {k ∈ ℤ, 0 < k ≤ 17}. J2: A experimentação é sempre um desafio para o pesquisador, e você está com uma proposta muito interessante para a construção da definição de limite de função. J1: A proposta de lançar uma tarefa inicial e construir as demais tarefas a partir dessa tarefa inicial foi excelente. O desenvolvimento das tarefas levando em consideração as diversas noções integrando todas as tarefas foi muito interessante. Alguns comentários foram construídos ao longo do texto enviado e ao lado de cada tarefa. J3: A sequência está bem construída e desenvolve a construção do conceito de limite. J16: De uma forma geral, gostei muito das intervenções, achei que a sequência didática de tarefas cumpriu com seus objetivos apresentados e que certamente fará toda a diferença no quesito ensino para o professor de Cálculo e no quesito aprendizagem para o estudante que estuda Cálculo. Parabéns!!! O comentário de J15: "Não. v(t) é a velocidade instantânea em t. O que você calcula é a velocidade média." foi importante, pois a princípio tínhamos descrito tais aproximações de velocidade como velocidade instantânea, porém eram de velocidades médias em intervalos menores considerados. As demais sinalizações e críticas desse juiz nos levaram a refazer a sequência, que ele chegou a ver novamente. Para J7: Uma observação sobre idas e vindas para encontrar um ambiente virtual adequado: inicialmente, pensamos no Schoology, porém não havia uma dinâmica de modo que pudéssemos construir a sequência principal (para a noção de limite) e as secundárias (para noções básicas). Depois pensamos no Google formulário (Google Forms), e chegamos a construir as sequências, com uma ideia inicial de feedback automático (em que os estudantes receberiam uma intervenção de acordo a escolha de sua resposta). Entretanto, apesar de conseguirmos conectar todas as tarefas, com as diferentes sequências, não conseguíamos ter uma ideia clara sobre a trajetória do estudante. Declinamos em relação ao feedback automático, pois, embora pudesse facilitar para o professor, não personalizava de forma adequada a intervenção para o estudante, para que ele pudesse avançar nas tarefas. Com isso, optamos pelo valor absoluto de um número real; Atividade 3: noções de funções; Atividade 4: funções abrindo caminho para a noção de limite; Atividade 5: noções de lógica; Atividade 6: construindo a noção de limite de uma função real. Para entender como estavam dispostas tais atividades no ambiente virtual, disponibilizamos os prints das telas no Percurso Formativo Digital (APÊNDICE E -Percurso Formativo Digital 148 . 5.1.2.2 Análise a priori das Atividades Na Atividade 1, ao buscar trabalhar com números reais, estamos interessados que o estudante compreenda a noção de infinito pequeno e, posteriormente, tenham uma noção sobre definição de limite de uma função real. Em seguida, apresentamos dois questionamentos sobre o conjunto dos números reais reais; π é um número irracional; números racionais podem ser escritos na forma 𝑎 inclusão é possível verificar a afirmação; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica utilizando os conhecimentos sobre intervalos numéricos; A técnica () esperada a esse tipo de em que a e b 𝑏 é: O conceito de número irracional e real; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e tarefa é: 1.18.19: Com as noções sobre intervalos numéricos e números reais, observar as são inteiros e b ≠ 0. Para o grupo "às vezes": números inteiros são números negativos; números com o intuito de refletir sobre as páginas anteriores. Nossa proposta era intercalar uma parte dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais. características comuns entre as afirmações contidas nos cartões; A tecnologia () que justifica racionais são números inteiros; a raiz quadrada de um número natural é irracional. Por último, informativa e outra questionando o que foi apresentado. Os questionamentos eram: Qual o A tela posterior possui uma apresentação do que são intervalos numéricos, como um a escolha dessa técnica é: O conceito de número real; A teoria (): Análise real. As prováveis o grupo "nunca": π é um número racional; inteiros são números irracionais; números racionais maior número real positivo? Será que existe um número real positivo maior que todos os conjunto com infinitos números reais, que não é possível enumerar. Consideramos como estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais. são números irracionais; números naturais não são números inteiros. demais? exemplo o intervalo [0,1), para trabalhar a noção de extremo fechado e aberto, propomos um Finalizando essa atividade, foi colocada uma reflexão com o objetivo de saber a opinião Seguindo, apresentamos uma questão ao estudante sobre a assertiva: "José afirma que Posteriormente, é apresentada mais informações com o intuito de explorar a questão da exemplo com duas questões, com o propósito de fazer o estudante refletir sobre o que havia da atividade realizada. Esta começava a trabalhar com ideias do espaço em duas dimensões, já números racionais são sempre números inteiros", a afirmação de José está correta? Se sim, infinidade de números reais na reta real. Nessa tarefa, o objetivo é que o estudante expresse sua visto anteriormente: Será que podemos expressar qual é o maior número real menor do que 1? que faria parte da sequência de funções a serem trabalhadas posteriormente, e contava com um informe por que e se não apresente um contraexemplo (um exemplo em que a afirmação é falsa). compreensão sobre infinito. Em relação ao tipo de Tarefa 149 : T1.4: Determinar o maior número Será que podermos nos aproximar do número 1, no conjunto dos números reais, tão próximo espaço para sugestões e críticas. Consideramos a afirmação do José como falsa e, como contraexemplo, temos que 4,5 é um real, caso exista; A técnica () esperada a este tipo de tarefa é: 1.4: Expor que no conjunto dos quanto se queira? Nesta tarefa, o objetivo é que o estudante expresse sua compreensão sobre A seguir é exposta a análise a priori da Atividade 2, valor absoluto de um número real. número racional, mas não é número inteiro. infinitésimos, como também do infinito ilimitado positivamente e negativamente. Tais noções números reais sempre existirá um número maior, pois os números crescem infinitamente; A intervalos numéricos. Em relação ao tipo de Tarefa T1.14a: Expresse qual o maior número menor Aqui, apresentamos algumas noções sobre valor absoluto como distância entre dois números Nessa tarefa, o objetivo é que o estudante expresse sua compreensão sobre conjuntos são imprescindíveis para a construção da noção de limite. Após a tela inicial, caso o estudante tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de número real; A teoria (): do que 1. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 1.14: Como existe infinitos números reais na reta numérica, em seguida trazemos noções de equações e inequações modulares, como numéricos através de argumentos explicando o raciocínio utilizado. Em relação ao tipo de escolhesse a primeira a atividade sobre números reais, ele deveria inserir seu nome para Análise real. A provável falta de estratégia ou dificuldade dos estudantes na resolução se deve entre zero e um, é impossível expressar qual é o maior número menor do que 1. E em relação noções básicas para introduzir a noção de limite de uma função em um ponto, pois, quando é Tarefa T1.8: Mostrar se a afirmação de José, os números racionais são sempre números inteiros começá-la. à incompreensão dos números reais. Como ostensivo geométrico (reta real), é apresentado ao tipo de Tarefa T1.14b: É possível aproximar de 1 tão próximo quanto se queira? A tecnologia trabalhado essa noção, normalmente também é possível trabalhar a noção de distância entre é verdadeira ou falsa; A técnica () esperada a este tipo de tarefa é: 1.8: Com a definição de Caso o estudante sentisse que no momento não era necessário estudar as noções básicas, diversos números inteiros, racionais e irracionais com a respectiva localização na reta real, que () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de número irracional e real; A teoria (): dois números reais na reta numérica. número inteiro e número racional, verificar se é verdadeira ou falsa a afirmação; A tecnologia que são pré-requisitos para a noção de limite, teria a possibilidade de voltar para a sequência inicial e voltar de onde parou ou começar pela última atividade. Para o diretor de estudo (professor/pesquisador) surge uma tela com uma visão global dentro da atividade de números reais, onde os estudantes aparecem na primeira coluna (com nomes fictícios/ou nomes atribuídos por eles), e nas colunas seguintes informando se a questão foi realizada (através de um ponto) ou não (se houver um x), ou se é apenas um traço horizontal, indicando que é uma página com informações. No canto superior direito de cada célula (retângulo) é informado se foi realizado algum feedback para o estudante. Caso esteja na cor verde, o estudante conseguiu poderia possibilitar uma melhor compreensão entre o ostensivo numérico (a expressão dos Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão Começamos com o conceito de valor absoluto. O conceito de valor absoluto (ou () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de número inteiro e racional; A teoria números) e os ostensivos geométricos na reta real. dos números reais. módulo) de um número real está presente tanto em algumas funções como na definição formal (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de Prosseguindo, apresentamos outro tipo de tarefa em que o objetivo era agrupar os Em seguida, apresentamos os tipos de intervalos, para que o estudante pudesse de limite. O valor absoluto de um número real a, representado por |a|, geometricamente é a compreensão dos números reais. cartões que pertencem ao mesmo grupo: "sempre", "às vezes" ou "nunca", relativo às compreender a diferença entre cada um deles (fechados, abertos e ilimitados). Depois distância de a até a origem (zero) na reta real, sendo sempre um número positivo ou zero, ou Posteriormente, foi solicitado ao estudante que elaborasse uma afirmação que "às vezes" afirmações que tinham em cada cartão. Tais atividades eram elaboradas por nós ou eram apresentamos exemplos com intervalos ilimitados, tanto para o infinito positivo como para seja, um número não negativo. era verdadeira. Isso o levava a pensar em uma afirmação: "Faça uma declaração sobre um ou adaptadas da própria plataforma Desmos, com os ajustes que pretendíamos. O ostensivo dos negativo. E, como informação adicional sobre o infinito, trazemos que uma observação a Prosseguindo, são apresentados alguns exemplos com uma representação geométrica do dois conjuntos numéricos", e na tela seguinte era solicitado que apresentasse um exemplo. cartões virtuais possibilitava um melhor manuseio e uma visão geral da tarefa proposta. considerar é que +∞ (infinito positivo) e -∞ (infinito negativo) não são números reais (ℝ), são valor absoluto de um número real, como uma distância entre dois números reais. Desta forma, Porém, para a elaboração era necessário responder a atividade da tela anterior. Dessa forma, os Nessa tarefa, o objetivo é que o estudante expresse sua compreensão sobre conjuntos símbolos extremamente úteis em vários contextos como, por exemplo, quando queremos pode-se estabelecer uma relação entre os ostensivos gráfico, aritmético e algébrico. Sempre estudantes voltavam para tentar realizar a atividade. numéricos. Em relação ao tipo de Tarefa T1.7: Agrupar cada afirmação em nunca, sempre ou às discutir o que acontece com valores cada vez maiores na reta real ou cada vez menores, ou buscando, a partir de exemplos, numa linguagem simples e direta para que o estudante consiga
	J3, J4, J7: Talvez não haja necessidade das tabelas verdades dos conectivos. J5: Penso que as tarefas, de um modo geral, estão bem delineadas e fazem seguidas mesmo quando aproximamos ao máximo de um número específico. compreender e estabelecer uma relação com o objeto matemático. Nesse caso, o ostensivo
	pelo estudante, lhe proporcionam um caminho ideal para aprendizagem do conceito de limite. gráfico estabelece uma relação com o ostensivo algébrico a fim de que o estudante consiga

148

  Na tela posterior, são apresentadas algumas propriedades sobre valor absoluto. Tais propriedades são importantes para compreender algumas manipulações algébricas envolvendo módulo. Em seguida, são apresentadas noções de desigualdades modulares, com a intenção de tipo de ostensivo e a noção de funções reais. O objetivo é que o estudante escolha e explique o gráfico mais coerente com o seu estado emocional (nível de estresse). Nesse caso, é uma forma de "quebrar o gelo" para começar a atividade. Em relação ao tipo de Tarefa T3.1:Escolha o gráfico que melhor represente o nível de estresse. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.1: Escolher um gráfico de acordo ao estado emocional (nível de estresse) e

	afirmação: O conjunto de pontos na reta real que possuem no máximo 4 unidades de distância E, por fim, na tela 27 é apresentado um resumo com diferentes representações da
	de 2. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 2.14: Através da noção de distância entre expressão: |x -a| < ε, envolvendo valor absoluto, desigualdade e intervalos numéricos. Também,
	números reais, representar na reta real o conjunto de pontos (números reais) que possua no colocamos a letra grega , comumente utilizado em Cálculo I, para o estudante começar a se
	construir o conhecimento sobre o intervalo relacionando com desigualdade envolvendo valor absoluto. Nesse caso, é trabalhado com um tipo de tarefa T2.9: Trace um conjunto dos pontos com "pelo menos" 3 unidades de distância de -1,... Nesse contexto, o estudante, utiliza a técnica de associar o enunciado com a reta real, que poderá ajudar a compreender o intervalo construído que será a solução buscada, estabelecendo uma relação com os ostensivos gráfico e algébrico. Entre as telas posteriores, caso o estudante não trace de forma adequada, o próprio sistema (Desmos) fornece um feedback, sinalizando para que o estudante autorregule com o que foi sinalizado. E, finaliza com os possíveis valores que satisfazem a tarefa, formando assim o intervalo procurado. Na tarefa das telas 8, 9, 10, 12 e 13, o objetivo é que o estudante, através do ostensivo geométrico, construa o lugar geométrico dos pontos que satisfaz a afirmação: O conjunto de pontos na reta real que possuem pelo menos 3 unidades de distância do ponto de abscissa -1. Em relação ao tipo de Tarefa T2.8: Construir geometricamente o significado da afirmação: O conjunto de pontos na reta real que possuem pelo menos 3 unidades de distância do ponto de abscissa -1; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 2.8: Através da noção de distância entre números reais, representar na reta real o conjunto de pontos (conjunto dos números reais); A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de números reais, mais especificamente a noção geométrica de |x + 1| > 3; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais na reta real e a noção geométrica de módulo. Já a tela posterior, utiliza um tipo de tarefa semelhante, trocando o termo "pelo menos" por "no máximo", para encontrar os pontos que se encontram no máximo 4 unidades de 2. A plataforma Desmos possibilita essa construção dinâmica, ou seja, uma interação entre as telas anteriores, contribuindo assim para a construção do conhecimento. Como na tarefa anterior, caso o estudante não realize ou a realize de forma inadequada, aparece uma possível sinalização, para a correção da tarefa. Na tarefa das telas 14, 15 e 16, o objetivo é que o estudante através do ostensivo geométrico (na reta real) construa o lugar geométrico dos pontos que satisfaz a afirmação: o conjunto de pontos na reta real que possuem no máximo 4 unidades de distância do ponto de máximo 4 unidades de distância até o 2; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de números reais, mais especificamente a noção geométrica de |x -2| < 4; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais na reta real e a noção geométrica de módulo. Posteriormente, será apresentada uma maneira precisa e formal de representar o conjunto de todos os números a com pelo menos 3 unidade de distância de -1. Nesse caso, utilizando a noção de desigualdade envolvendo valor absoluto, temos |x -(-1)| > 3. Com a atualização das etapas anteriores, é solicitada, na tela 18, uma generalização em termos formais e geral, com a possibilidade de uma representação pelo ostensivo geométrico pelo quadro à esquerda da seguinte tarefa: Qual é o modo mais eficiente de descrever "o conjunto de todos os números reais a com no máximo 4 unidades de 2"? Já na tela 19 é fornecida uma definição para inequação modular, seguido de seis exemplos, com casos distintos. Na tela 20, temos o exemplo 13, com o ostensivo geométrico e com o ostensivo dos conjuntos numéricos por intermédio de desigualdades. Mais detalhes das telas encontram-se no APÊNDICE E -Percurso Formativo Digital. Na tela 26 é apresentado um tipo de tarefa, com um número decimal relativamente pequeno, para verificar se o estudante compreendeu o tipo de tarefa trabalhado anteriormente. Também foi solicitada, para o estudante, uma representação através do ostensivo geométrico (através de um espaço reservado na própria tela). Nessa tarefa, o objetivo é resolver a inequação modular e, através do ostensivo geométrico, construir o lugar geométrico dos pontos que satisfaz a inequação. Em relação ao tipo de Tarefa T2.26: Resolva a inequação modular |x -5| < 0,001 e represente geometricamente a solução. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 2.26: Através da propriedade de valor absoluto |a| < k, onde k é um número real positivo e através da noção de distância entre números reais, representar na reta real o conjunto de pontos (números reais) que possua no máximo 0,001 unidade de distância até o 5; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de número real; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais na reta real e a noção geométrica de módulo. Esse tipo de tarefa vem contribuir diretamente na compreensão da definição de limite por épsilon e delta, pois envolve a noção de distância familiarizar com tais símbolos. Nas telas 28 e 29 são apresentados dois tipos de tarefas, para associar cartões em grupos semelhantes, envolvendo as noções de valor absoluto e desigualdades. O objetivo é que o estudante agrupe os cartões que contenham informações semelhantes, tanto referentes a ostensivos geométricos como algébricos e numéricos, referentes à inequações modulares. Em relação ao tipo de Tarefa T2.28.29: Agrupe os cartões que possuam informações semelhantes. A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 2.28.29: Através da propriedade de valor absoluto e noções sobre inequações modulares, resolver cada inequação tanto pelo ostensivo algébrico como pelo ostensivo algébrico; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de número real e as propriedades de valor absoluto; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão dos números reais na reta real e a noção geométrica de módulo. Finalizando a Atividade 2, na tela 30, colocamos uma pergunta reflexiva: "Que(ais) dúvida(s) você tem sobre a atividade de hoje?". O intuito era verificar alguma incompreensão do estudante referente ao objeto trabalhado. Em continuação, na Atividade 3: Noções de funções -Parte 1, é apresentada em linhas gerais a noção de função e algumas de suas características, pois, como o limite estuda o comportamento de funções, é essencial proporcionar aos estudantes uma breve noção de correspondência e variável relacionados à função, presente e essencial na definição de limites e continuidade de funções, derivadas e integrais. Normalmente, no início das atividades apresentamos uma tela inicial com o intuito de "quebrar o gelo", mas também associando ao objeto que estamos começando a revisar. Na tela 1 da Atividade 3 foram apresentados diversos gráficos que tinha o seguinte enunciado: Para começar, selecione o gráfico que mais representa seu nível de estresse na última semana. Assim que o estudante selecionasse (como na tela 1), aparecia uma opção, logo embaixo, para que explicasse seu raciocínio. Com isso, poderíamos inferir, a partir da justificativa do estudante, sobre a sua compreensão acerca do gráfico escolhido. O ostensivo gráfico é parte essencial da tela 1, evidenciando se o estudante compreende dessa técnica é: O conceito de funções, interpretação gráfica; A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão do movimento dos gráficos. Assim como na tela 1, na tela 2 temos outra atividade para "quebrar o gelo" e depois começar a atividade proposta. Nesse caso, a partir do deslocamento do ponto que está na origem e explicação do estudante, é possível conjecturar a disposição ou não do estudante para realizar a relação desse descrever a relação com o tipo de gráfico escolhido; A tecnologia () que justifica a escolha a atividade. O objetivo é que o estudante comece a se familiarizar com a plataforma Desmos.
	abscissa 2. Em relação ao tipo de Tarefa T2.14: Construir geometricamente o significado da entre números reais e desigualdades.

  Através do comportamento da função, realizar o desenho do gráfico de forma coerente com os obstáculos presentes, podendo utilizar noção de função crescente, decrescente, constante; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real e propriedades de valor absoluto; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão sobre gráfico de função.No caso da tela 19, diferente das telas anteriores, a tartaruga se move em direção à água.Na tela 23 é explorada a questão de imagem da função negativa e positiva, ou seja, o sinal da função através do ostensivo gráfico, por meio da seleção do intervalo correto. O objetivo é que o estudante compreenda quais os valores do domínio da função são negativos,

	4 a 8,5 segundos (aproximadamente) se movimenta com uma velocidade de 9/4 ou 2,25 ft/s e
	de 8,5 a 12 segundos em repouso; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é o
	conceito de função; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos
	estudantes é uma falta de compreensão do comportamento gráfico de funções. A tela 15 apresenta o que acontece realmente com a tartaruga, associando o seu deslocamento com o gráfico fornecido. Nessa tela tem um ícone (botão) com play para iniciar o movimento da tartaruga e, ao lado direito, o gráfico que descreve o movimento. Já a tela 16 apresenta duas questões referentes à interpretação gráfica do mesmo gráfico. O objetivo é saber se o estudante consegue interpretar cada parte do gráfico sobre o deslocamento da tartaruga, de acordo as perguntas informadas ao lado direito do gráfico. Em relação ao tipo de Tarefa T3.16a: Determinar a distância que a tartaruga está da água no instante 8 segundos, T3.16b: Determinar o tempo em que a tartaruga está a uma distância de 4 pés da água; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.16a: Situar no gráfico o ponto de abscissa 8 segundos e verificar o correspondente no eixo das ordenadas e 3.16b: situar no gráfico o ponto de ordenada 4 pés e verificar o correspondente no eixo das abscissas; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão do comportamento gráfico de funções. Para saber a relação do estudante com o objeto função, de acordo com o movimento da tartaruga e do gráfico, é fornecido na tela 17 um pequeno vídeo da tartaruga com velocidades diferentes para não ser "atacada" pelas cobras (obstáculos) que estavam na areia. Nesse contexto, na tela 18, o estudante deve construir um gráfico correspondente ao movimento da tartaruga. A construção do gráfico é realizada utilizando duas ferramentas, indicadas pelos ícones na parte superior esquerda do plano cartesiano, um lápis ou segmento de reta. Em seguida, é possível verificar se realmente o gráfico proposto pelo estudante atende ao vídeo do lado esquerdo. Na tarefa das telas 18 e 19, o objetivo é que o estudante perceba a relação entre a forma do gráfico e o movimento da tartaruga, considerando os obstáculos expostos. Em relação ao tipo de Tarefa T3.18.19: Desenhar o gráfico que corresponda ao movimento da trajetória da tartaruga, considerando o fato de não ser atacada pelas cobras; A técnica () esperada a esse indicando o início), e verificar se a tartaruga consegue ir da grama para a água evitando as cobras. Isto leva o estudante a perceber o quão rápido pode deslocar a tartaruga, de acordo a inclinação do gráfico, e perceber a importância do estudo do comportamento da função pelo ostensivo gráfico. Agora, é apresentada outra situação, na tela 20, em que é fornecido ao estudante um gráfico, mas sem o auxílio do vídeo. O objetivo é que o estudante interprete o gráfico Tarefas, coincide com os mesmos tipos de tarefas apresentados anteriormente T3.16a e T3.16b: Determinar o tempo e a distância, de acordo o gráfico apresentado. Assim como as técnicas () Na tarefa da tela 21, o objetivo é que o estudante encontre a lei (regra) da função, calcule o valor numérico e também encontre o gráfico da função f. Em relação ao tipo de Tarefa T3.21a: Construir a lei da função, T3.21b: Calcular o valor numérico e T3.21c: Traçar o gráfico da função f; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.21a: Transformar o ostensivo da língua portuguesa (linguagem natural) para o ostensivo algébrico, ou seja, f(x) = 2x +1; 3.21b: Calcular o valor numérico, ou seja, f(1) = 2•1 + 1 = 3; f(-10)=2•(-10) + 1 = -19 e f(0,001)=2•(0,001) + 1 = 1,002 e 3.21c: Para traçar o gráfico, pela tela 22, utilizando a calculadora gráfica, digite a expressão f(x) = 2x + 1; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real e propriedades de valor absoluto; A teoria (): Análise real. As prováveis faltas de ou seja, tenha imagem negativa. Em relação ao tipo de Tarefa T3.23: Escolher a opção cujo os valores de x correspondem a imagens negativas; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.23: Através da noção de imagem da função, observar para quais valores de x a função possui imagem negativa; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão das noções de domínio e imagem no gráfico. Já na tela 24 (Figura 112) é apresentada uma função afim, com o objetivo de verificar tipo de tarefa é: 3.18.19: O estudante deve desenhar o gráfico a partir do start (ponto sobre o eixo das ordenadas respondendo aos questionamentos de uma situação apresentada. Em relação aos tipos de se o estudante é capaz de alterar os coeficientes da função fornecida pelo ostensivo algébrico e,
	150 , de 2 a 4 segundos a tartaruga está parada (em repouso), de

esperadas a esse tipo de tarefa também coincidem com as apresentadas anteriormente, 3.16a e 3.16b; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão do comportamento gráfico de funções.

Partindo para o valor numérico de uma função, é fornecida, na tela 21, uma função em que cada valor do seu domínio corresponde ao seu dobro mais uma unidade. É solicitado que o estudante encontre alguns valores numéricos, bem como o gráfico correspondente (para ser realizada com o auxílio da calculadora gráfica fornecida pela própria plataforma Desmos). estratégias e dificuldades dos estudantes estão em identificar algumas semelhanças e diferenças entre os ostensivos da linguagem natural e o algébrico, operações aritméticas e, possivelmente, em compreender a utilização da calculadora gráfica. através do ostensivo gráfico, coletar (capturar) as estrelas que estão no plano cartesiano ao lado direito. A captura das estrelas é realizada quando a "bolinha" no ponto

[START_REF]Obrigado pela atenção[END_REF] 9) 

consegue se movimentar e coletar as estrelas, a partir do clique no ícone (botão) "lançar" (no canto superior direito).

  Caso você deseja redefinir a tela do Na tela 28 é apresentado um exemplo envolvendo funções trigonométricas, sendo apresentado na calculadora gráfica um parâmetro deslizante "a" com um botão de play, em que, de acordo os valores, o gráfico se movimenta ora para a esquerda, ora para a direita. O objetivo

	é que o estudante modifique o valor de a na função trigonométrica fornecida, observando o
	comportamento do gráfico. Em relação ao tipo de Tarefa T3.28: Mover o controle deslizante para
	compreender o movimento do gráfico e capturar as estrelas como nos casos anteriores; A
	técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.28: Através do conhecimento sobre função
	Marbleslides (coletor de estrelas) para a aparência original, siga estas instruções ao lado."; há trigonométrica, mover o controle deslizante e verificar a posição mais adequada para capturar
	uma tela descrevendo o movimento a ser realizado. Prosseguindo, na tela 26, é apresentada as estrelas, ou seja, o valor de a aproximadamente -2,8; A tecnologia () que justifica a escolha
	outra tarefa, com outras alterações na função fornecida para alcançar o objetivo de coletar as dessa técnica é: O conceito de número real e propriedades de valor absoluto; A teoria ():
	estrelas. Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão
	Assim como na tarefa da tela 24, a tarefa da tela 26 tem por objetivo que o estudante sobre funções trigonométrica e também manipular a calculadora gráfica.
	Na tela 27 é apresentada uma tarefa em que o estudante deve alterar os parâmetros da
	função, desta vez incluindo o conjunto domínio com o propósito de coletar as estrelas. Como
	nos casos anteriores, é possível, após cada alteração, realizar a verificação para conferir se
	realmente esta foi a mais adequada. Apesar de ainda trabalhar com a função afim, a tarefa da
	tela 27, diferentemente das duas tarefas anteriores, o objetivo é que o estudante utilize os
	conhecimentos sobre funções modificando o conjunto domínio da função de modo que consiga
	capturar as estrelas. Em relação ao tipo de Tarefa T3.27: Alterar o conjunto domínio da função
	afim, de modo que consiga capturar as estrelas; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é:
	3.26: através do conhecimento sobre função afim y = mx + n, é possível capturar as estrelas
	apenas modificando o conjunto domínio, de {𝑥 ∈ ℝ; x < 0} para { 𝑥 ∈ ℝ; x < 5,2}; A tecnologia

utilize os conhecimentos sobre funções (trigonométricas, exponenciais, ...) modificando os coeficientes de modo que consiga capturar as estrelas. Em relação ao tipo de Tarefa T 3.26 :

Alterar os coeficientes da função afim, de modo que consiga capturar as estrelas; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 3.26: Através do conhecimento sobre função afim y = mx + n, é possível capturar as estrelas apenas modificando o valor do coeficiente m; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função afim; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão das características dos coeficientes da função afim.

() que justifica a escolha dessa técnica é o conceito de função afim e domínio de uma função;

A teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de compreensão do domínio de uma função.

Na tela 29 é apresentada uma função racional, que normalmente não é trabalhada na Educação Básica, mas aparece com certa frequência na disciplina de Cálculo. Como nos casos anteriores, o objetivo é relacionar e modificar os parâmetros da função hipérbole com o ostensivo gráfico, de modo que o estudante consiga compreender a correspondência entre eles e consiga capturar as estrelas. Em relação ao tipo de Tarefa T3.29: Modificar a expressão da função para conseguir capturar as estrelas; A técnica () esperada a este tipo de tarefa é: 3.29:

Através do conhecimento sobre funções, alterando os valores apresentados na função, por análise ao gráfico fornecido ao lado direito da expressão é possível concluir que a função será 𝑦 =

  1 -Sugestão de respostaFinalizando, na Atividade 3, tela 33, foi solicitado aos estudantes: "Informe quais foram as suas experiências nessa atividade de funções. Informe também seu grau de facilidade e de dificuldade nas tarefas. Finalize com críticas e sugestões.". Para a tarefa do tipo T4.2d é proposto uma variação menor no valor da ordenada (y) e, consequentemente, encontrar um outro intervalo da abscissa (x), assim 4.2d: Como na 4.2c, para y = 76,51, temos através da função encontrada no item (b) que x deve ser igual a 53,49 kWh e A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é semelhante as técnicas 4.2c e 4.2d onde, nesse caso, temos: 4.7: função (como é uma função afim crescente), Normalmente tais noções não são apresentadas na Educação Básica, embora alguns cursos superiores apresentem um componente de pré-cálculo em que, muitas vezes, faz parte da ementa algumas noções sobre este saber. Porém, no nosso caso, nas turmas do BCET não existem esse componente do pré-cálculo no Projeto Político Pedagógico (PPC).

	Na tela 6 é apresentada uma tarefa envolvendo quantificadores. O objetivo da tarefa da
	tela 6 é encontrar a alternativa verdadeira, envolvendo noções já trabalhadas nas atividades
	bastando encontrar os correspondentes de cada valor deste e considerar o intervalo entre estes anteriores, como conjuntos numéricos e quantificadores lógicos. O tipo de tarefa é T5.6:
	Construindo a análise a priori da Atividade 4: Noções de funções -Parte 2, procuramos para y = 96,51, o valor de x, do mesmo modo deve ser igual a 73,49 kWh. Dessa forma, o valor valores. Para 86,51 - < y < 86,51 + , substituindo o valor de y, de acordo a função y = 11,51 Encontre a proposição verdadeira; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 5.6: Julgar os
	explorar o comportamento de uma função em torno de um ponto, ou seja, em um intervalo de x a ser considerado deve estar no intervalo, 53,49  x  73,49. A tecnologia () que justifica + 0,50x, temos 86,51 - < 11,51 + 0,50x < 86,51 + , subtraindo as desigualdades por 11,51,
	numérico, e diminuindo cada vez mais o tamanho deste. Tais noções ajudam a aproximar da a escolha dessas técnicas é: O conceito de função real; A teoria (): Análise real. As prováveis temos: temos 75 - < 0,50x < 75 + , que, multiplicando por 2, obtemos: 150 -2 < x < 150 +
	nossa questão Q12, para o trabalho com a noção de limite e contribuirá para a resposta parcial estratégias e dificuldades dos estudantes é construir a função que fornece o gasto em reais de 2, e pode ser reescrito na forma 2 < x -150 < 2, que é o intervalo considerado em torno de
	R ◊ 12. Com isso, em continuação à atividade anterior, buscamos explorar as noções de funções a acordo o consumo em kWh, a manipulação algébrica e a interpretação das tarefas. 150 em termos de , ou em termos de valor absoluto: |x -150| < 2 (I), e comparando com o da
	partir de um exemplo envolvendo uma conta de energia, e restrição de consumo (em kWh) e Na tela 5 é proposto que o estudante faça um esboço da função construída nos itens variação em torno de 150, temos que o item (f) informa que a variação do consumo em torno
	gasto (em R$). anteriores. Podendo tanto utilizar um quadro disposto na tela 5, como também a calculadora
	Na tarefa das telas 2, 3 e 4 o objetivo é apresentar a noção de variação em torno de um gráfica. É apresentado um item (e) que solicita que o estudante expresse o que acontece com a
	ponto. Em relação aos tipos de Tarefas temos: T4.2a: Um cliente que gasta R$ 86,51 no mês, variação cada vez menor em torno do valor R$ 86,51. Na tela 6, é apresentada a calculadora
	encontrar o consumo em kWh. T4.2b: Encontrar a função que representa o valor a ser pago de gráfica, com as orientações na parte esquerda para responder o item (e).
	acordo o consumo. T4.2c: Encontrar a variação do consumo em torno do intervalo de 150 kWh, Na tarefa das telas 5 e 6, o objetivo é que o estudante represente graficamente cada tarefa
	considerando o planejamento financeiro de gasto entre R$ 51,51 e R$ 121,51. T 4.2d : Encontrar anterior: T4.2a, T4.2b, T4.2c e T4.2d. Para isso foi oferecido um plano cartesiano e uma calculadora
	a variação do consumo em torno do intervalo de 150 kWh, considerando o planejamento gráfica e é realizado outro questionamento (f) sobre uma variação do consumo em kWh cada
	financeiro de gasto entre R$ 75,51 e R$ 96,51. vez menor de acordo o gasto em reais. Em relação ao tipo de Tarefa T4.5a: Representar
	A técnica () esperada a esses tipos de tarefas são: 4.2a1: Construir a função que graficamente as situações das tarefas T4.2a, T4.2b, T4.2c e T4.2d; e para o tipo de tarefa T4.5b:
	representa o valor a ser pago (y) em função do consumo (x), ou seja, y = 11,51 + 0,50x. E, a Explicar o que acontece com a variação do consumo em kWh quando a fatura de energia elétrica
	partir desta, encontrar o valor do consumo, substituindo o valor R$ 86,51 no lugar de y e, em está numa faixa cada vez mais estreita em torno de R$ 86,51. As técnicas () esperadas a esses
	seguida, resolver a equação determinando o valor de x, que dará 150 kWh ou 4.2a2: O estudante tipos de tarefas são 4.5a1: Desenhar no plano cartesiano fornecido utilizando o lápis ou o ícone
	pode também conseguir encontrar o valor do consumo, sem antes ter construído a função, para segmento de reta no canto superior esquerdo o gráfico da função y = 11,51 + 0,50x e os
	isso basta subtrair de R$ 86,51 o valor de R$ 11,51, que é a taxa fixa e dividir por 0,50, que é intervalos solicitados ou 4.5a2: Utilizar a calculadora gráfica fornecida, para isso o estudante
	o valor de cada kWh, ao final encontra o mesmo valor. Para a tarefa do tipo T4.2b temos 4.2b: deve digitar cada expressão em uma linha; tarefa 4.5b: Quanto menor for o intervalo do gasto
	Como temos um valor fixo de R$ 11,51 e um valor variável de R$ 0,50 por cada kWh financeiro, valores no eixo das ordenadas (y), menor será o valor do intervalo no eixo das
	consumido, a função fica como informado na 4.2a, y = 11,51 + 0,50x. abscissas (x). A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real;
	Para a tarefa do tipo T4.2c, temos 4.2c: Para isso, através da função (como é uma função A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é uma falta de
	afim crescente), basta encontrar os correspondentes de cada valor desta função e considerar o compreensão de funções reais e manipulação dos ostensivos informáticos fornecido pela Na tela 2 da Atividade 5, é apresentada ao estudante, a definição de proposição lógica,
	intervalo entre esses valores. Para y = 51,51 temos, através da função encontrada no item (b), plataforma Desmos. fornecendo um exemplo e, em seguida, introduzindo a noção de sentença aberta. No caso das
	que x deve ser igual a R$ 80,00 e para y = 121,51, o valor de x, do mesmo modo deve ser igual Na tela 7 é apresentada a tarefa do item (f) que tem como objetivo solicitar a relação da telas 3, 4 e 5, é introduzida a noção de quantificadores, os tipos de quantificadores, o
	quantificador universal e existencial acompanhado de exemplos.

a 220 kWh. Dessa forma, o valor de x a ser considerado deve estar no intervalo, 51,51  x  220. variação em torno do valor de R$ 86,51 (valor da ordenada) em relação ao correspondente, o valor de 150 kWh (valor da abscissa). Em relação ao tipo de Tarefa T4.7: Encontrar a relação entre variação em torno do valor a pagar R$ 86,51 (considerando um erro ) e o consumo 150 kWh (considerando uma variação ); de 150 é , com isto 150 - < x < 150 + , ou seja, - < x -150 < , o que segue: |x -150| <  (II). Comparando com (I) e (II) temos que  = 2. Assim, é possível perceber uma relação entre a variação nos valores da ordenada e da abscissa, ou seja, quanto menor for o intervalo do gasto financeiro, valores no eixo das ordenadas (y), menor será o valor do intervalo no eixo das abscissas (x) correspondente ao consumo em kWh; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: O conceito de função real; e a teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é não compreender como manipular as funções reais, desigualdades e valor absoluto. Finalizando a Atividade 4, a proposta era que o estudante conseguisse expressar uma correspondência entre a variação em torno do valor da ordenada com a variação em torno do valor da abscissa, de maneira que pudesse verificar que existe uma relação em tais intervalos. Em relação à Atividade 5: Noções de lógica, o propósito é fornecer aos estudantes algumas noções da lógica matemática, tais como proposição, sentença aberta e quantificadores.

Essas noções podem contribuir para uma melhor compreensão da definição de limite.

são expressões vagas e não dão a ideia precisa e necessária para que o computador execute

  tarefa 2 tem como objetivo propiciar ao estudante encontrar uma aproximação do tempo (t), a partir da aproximação da velocidade relacionando com as noções de valor absoluto.

	É fornecida a função da posição em relação ao tempo: S(t) =2t 2 (S em metros (m), t em Nesse caso, para realizar a tarefa 1, é necessário utilizar a seguinte técnica, lim1: E, quando t=4,99 s, vm = 20,02, isto é, quando Δt for 0,01s superior a 5 s, temos que será 0,02
	segundos (s)); a fórmula da velocidade média: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = encontrar a variação de tempo (t, coluna 2) e a velocidade média (vm(t)) através da fórmula da 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 , ou m/s superior a 20 m/s.
	basta calcular a razão entre a variação do deslocamento ao longo de um intervalo de tempo. É fornecida na tela 1, na primeira parte, vm(t) = 2t+10. A tarefa 1 tem como objetivo propiciar ao Em relação ao tipo de Tarefa (T): T6.2: Verificar o que acontece com o tempo, quando a Informamos na própria tarefa que o José (o personagem da nossa tarefa inicial) cursa
	estudante construir a noção de limite, através do conceito de aproximação. Em relação ao tipo velocidade está próxima de 20 m/s, quando velocidade for inferior a um número decimal Bacharelado em Sistema da Informação e gostaria de implementar a sua ideia para encontrar a também possível denotar essa expressão da velocidade média por 𝑣 𝑚 no intervalo de tempo [𝑡 𝑖 , 𝑡 𝑓 ], 𝑣 𝑚 = ∆𝑆 ∆𝑡 = de Tarefa (T): T6.1: Calcular o valor da velocidade média, dada a expressão da posição em estabelecido; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 6.2: Utilizar as propriedades velocidade com aproximações cada vez menores, ou seja, escrever para que o computador 𝑆(𝑡 𝑓 )-𝑆(𝑡 𝑖 ) 𝑡 𝑓 -𝑡 𝑖 . Como, por exemplo, no intervalo [5,7] (de 5 a 7 segundos), função do tempo em um dado intervalo de tempo; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa referentes às desigualdades envolvendo valor absoluto para encontrar o intervalo de tempo, ou pudesse processar tais informações, numa linguagem precisa, isto é, numa linguagem de
	temos: 𝑣 𝑚 = seja: programação. 𝑆(7)-𝑆(5) 7-5 é: 6.1: substituir os valores do intervalo de tempo fornecido e, em seguida, calcular o valor da = 2•7 2 -2•5 2 = 24 m/s. Onde 𝑣 𝑚 é a velocidade média; ∆𝑆 é a variação do 2 velocidade; A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: Valor numérico de uma |𝑣(𝑡) -20| < 0,0000001 Como isso, informamos para os estudantes o seguinte: "Observe que, ao escrevemos "t deslocamento; ∆𝑡 é o intervalo de tempo; 𝑡 𝑖 tempo inicial; 𝑡 𝑓 tempo final; S(t) é a posição no função real (função velocidade média); A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e se aproxima de 5 s" ou "tão próximo de 20 m/s quanto quisermos para todo t suficientemente -0,0000001 < 𝑣(𝑡) -20 < 0,0000001 tempo t. segundos, para o intervalo [5, t] é dada por: 𝑣 𝑚 = ∆𝑆 ∆𝑡 = 𝑆(𝑡 𝑓 )-𝑆(𝑡 𝑖 ) 𝑡 𝑓 -𝑡 𝑖 = 𝑆(𝑡)-𝑆(5) 𝑡 𝑓 -𝑡 𝑖 𝑡-5 = 2•𝑡 2 -2•5 2 cada vez mais próximos de zero e o cálculo da velocidade com esses números decimais. 19,9999999 < 𝑣(𝑡) < 20,0000001 Assim, é possível construir a função da velocidade para um tempo t próximo de 5 dificuldades dos estudantes para o preenchimento da tabela é trabalhar com números decimais -0,0000001 + 20 < 𝑣(𝑡) < 0,0000001 + 20 próximo de 5 s", essas
	Agora encontrando a variação do tempo para esta aproximação de velocidade:
	19,9999999 < 2𝑡 + 10 < 20,0000001
	9,9999999 < 2𝑡 < 10,0000001
	4,99999995 < 𝑡 < 5,00000005
	Para realizar a tarefa 2, baseado na tabela construída na tarefa 1, estamos à procura de Nesse caso, 4,99999995 < 𝑡 < 5,00000005, para |𝑣(𝑡) -20| < 0,0000001. Em uma precisão maior para a velocidade e o intervalo de tempo correspondente. Para isso, outras palavras, |t -0,00000005| < 5. Para uma precisão em torno da velocidade 20 m/s de podemos considerar os valores de vm(t), tão próximos de 20 quanto quisermos, tornando t suficientemente próximo de 5. Também, é possível considerar o valor absoluto da diferença 0,0000001 m/s, a variação em torno do instante de tempo 5 s, deve ser 0,00000005 s.
	entre vm(t) e 20, tão pequeno quanto desejarmos, considerando o valor absoluto da diferença A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: Propriedades do valor absoluto
	Destacamos nessa tarefa entre t e 5 suficientemente pequeno. Em símbolos matemáticos, |vm(t) -20| pode se tornar tão de um número real; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos
	o ostensivo da tabela, como também o ostensivo algébrico por intermédio da velocidade média pequeno quanto desejarmos, considerando |t -5| suficientemente pequeno. Vale lembrar que estudantes para encontrar o intervalo de tempo é compreender a manipulação envolvendo valor
	e cada intervalo considerado. vm(t) assume sempre um valor diferente de 20 m/s. Em outras palavras, as velocidades médias absoluto e números decimais próximos de zero, já que é buscado na tarefa uma aproximação
	Na tarefa 1, da Atividade 6, é fornecida uma função que estima a posição do estudante, de José consideradas se aproximam de 20 m/s, quando t se aproxima de 5 segundos, que pode tendendo cada vez mais a zero.
	de nome fictício José, em função do tempo e solicita a velocidade quando o tempo se aproxima ser reescrita como vm(t) →20 (vm(t) se aproxima da 20) quando t→5 (t se aproxima de 5), ou Na tarefa 3, baseado na construção anterior, buscamos que o estudante perceba e
	de 5 segundos. Essa tarefa pretende introduzir o conteúdo de limite de uma função real em um seja, a velocidade se aproxima tão próximo de 20 m/s quanto quisermos, para todo t estabeleça uma regularidade, quando os valores do tempo (t) se aproximam de 5 s, os valores
	ponto, que é uma parte importante na disciplina de Cálculo. Partimos de ideias básicas, como suficientemente próximo de 5 s. da velocidade (vm(t)) se aproximam de 20 m/s, mantendo uma relação entre tais valores. Por
	taxa de variação do deslocamento em relação ao intervalo de tempo, a partir de valores Vale lembrar também que nessa tarefa foi disponibilizada uma "ajuda ao aluno" (em exemplo, quando t=4,9 s, vm= 19,8 m/s, ou seja, quando Δt for 0,1s inferior a 5 s, temos que vm
	próximos de um instante considerado. Vamos, assim, mobilizar outras tarefas com o intuito de
	conduzir as noções de limite de uma função.

.

Simplificando, temos v m (t) = 2t+10, considerando t > 5. Analogamente, para o intervalo

[t, 5]

, temos vm(t) = 2t+10. Depois de apresentada as funções da posição S(t) e da velocidade média vm(t), em função do tempo, disponibilizamos uma tabela parcialmente preenchida, para que os estudantes, a partir das informações anteriores, realizassem os cálculos e completassem a tabela (Figura 114). Figura 114 -Tela 1, parte 4 da tarefa 1 sobre limites Fonte: Dados da pesquisa (2021)

A seguir, temos a tarefa 2, cujo objetivo é encontrar a variação de t, quando a diferença entre a velocidade média e 20 m/s é menor que 0,0000001 m/s. Para realizar a atividade, era solicitado ao estudante que enviasse a resposta e explicasse o raciocínio utilizado. Com base no pensamento desenvolvido na tarefa anterior, busca-se que o discente desenvolva a ideia de aproximação para encontrar a velocidade média cada vez mais próxima de um número considerado, a partir das ideias de números reais e distância. uma aba no canto inferior esquerdo): "Relembre da propriedade: Se | x | < a então -a < x < a, sendo a um número real positivo.", com o intuito de possibilitá-lo prosseguir na atividade. A será 0,2 m/s inferior a 20 m/s. E, quando t= 4,99s, vm = 19,98 m/s, isto é, quando Δt for 0,01s inferior a 5 s, temos que vm será 0,02 m/s inferior a 20 m/s. Da mesma forma, quando t=5,1s, vm = 20,2 m/s, ou seja, quando Δt for 0,1s superior a 5 s, temos que será 0,2 s superior a 20 m/s. . Dessa maneira, vamos utilizar as ferramentas Matemáticas. Como vimos nas noções básicas (atividades propostas anteriormente), vamos fazer a seguinte associação: como "t se aproxima de 5 s" apresenta uma ideia de distância, consequentemente valor absoluto, ou seja, |t -5|. Da mesma forma, "tão próximo de 20 m/s quanto quisermos" apresenta uma ideia de distância, por conseguinte, |v m -20|. Lembrando que o módulo de um número real é sempre não negativo. Com isso, o José olhando detalhadamente as tabelas construídas da tarefa, é possível encontrar os valores das colunas |t-5| e |vm(t) -20|". Por conseguinte, é solicitado aos estudantes terminar de preencher as tabelas da figura 115 a seguir:

  Com base na expressão da tarefa anterior, é possível escrevê-la utilizando notações tradicionais, mantendo as relações entre as variáreis independente da notação adotada. Em continuação a mesma tarefa, foi posto: "Quando fazemos o limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores, temos a velocidade instantânea. Para utilizarmos as notações tradicionais (utilizadas na maioria dos livros de Cálculo), convencionamos que a função vm será f e que a distância d corresponde a δ (delta, uma letra grega) e a distância E será ε (outra letra grega, épsilon), ao invés de t aproximar de 5, aproximemos x de um valor a e o valor de f(x) se aproxima de L, ao invés de vm(t) se aproximar de 20. Como ficará a expressão:

	... Se `|t-5| < 0,0000000000000001 e t ≠ 5, então |vm -20| < 0,0000000000000002. Poderíamos ou zero (nunca o módulo de um número real será negativo)", para que assim o estudante
	prosseguir e ajudar ao José a atribuir um número cada vez menor. Mas, genericamente, conseguisse prosseguir.
	podemos pensar em um valor muitíssimo pequeno (uma distância no eixo das ordenadas A tarefa 6 tem como objetivo reescrever a expressão dada somente utilizando
	(vertical)), representado pela letra E (para a precisão da velocidade), a fim de encontrar um desigualdades e valor absoluto. Essa relação aparece na maioria dos livros didáticos, mas
	valor adequado genérico para o intervalo de tempo, representando por d (para a precisão do normalmente não é compreendida pelos estudantes. Em relação ao tipo de Tarefa T6.6:
	intervalo de tempo (uma distância no eixo das abscissas (horizontal)). Em termos matemáticos, Descrever somente com desigualdades e valor absoluto a expressão |t -5| < d e t  5; A técnica
	temos: Se |t -5| < d e t ≠ 5, então |vm -20| < E. Sendo o valor de "E" um número muitíssimo () esperada a esse tipo de tarefa é: 6.6: O valor absoluto de um número real é sempre maior ou
	pequeno. Qual deve ser o valor de "d" em termos de "E"? ". igual a zero (um valor não negativo), no caso acima, |t -5| = 0 se, e somente se, t -5 = 0 se, e
	A tarefa 5 tem como objetivo propiciar ao estudante estabelecer uma relação geral entre somente se, t = 5. Logo, pela contrapositiva lógica, |t -5| ≠ 0 se, e somente se, t ≠ 5, ou seja, |t lim 𝑡→5 𝑣 𝑚 (𝑡) = 20: para cada número positivo E dado, existe um número d positivo: se 0< |t -5|
	as desigualdades da mesma sentença lógica, em que para cada valor da variação da velocidade -5| > 0 se, e somente se, t ≠ 5. Portanto, 0 < |t-5| < d; A tecnologia () que justifica a escolha < d, então |v m (t) -20| < E?.
	tem uma variação do tempo correspondente. Nesse caso, de uma forma genérica com os valores dessa técnica é: Propriedades dos números reais e valor absoluto; A teoria (): Álgebra. As
	prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes para reescrever a expressão dada é que
	normalmente não percebem que, ao considerar, por exemplo, |a -3| > 0, já está considerando
	que a  3.
	Em continuação, a tarefa 7 tem como proposta aproximar da linguagem envolvendo a
	notação de limite, comuns em livros didáticos, consolidados pela instituição (universidade) e
	normalmente aceito pela comunidade científica. Os ostensivos apresentados nas notações
	matemáticas têm como objetivo, dentre outros, de unificar e padronizar, ou seja, facilitar a
	comunicação entre os documentos e textos científicos do saber limite, em uma das definições
	construídas, como foi visto no Capítulo 3 (seção 3.1), nos elementos históricos e
	epistemológicos da evolução da noção de limite de funções reais, já consolidado no ecossistema
	do Cálculo Diferencial e Integral.
	As seguintes informações estavam dispostas na tarefa 7: "As notações em matemática
	têm um propósito de facilitar o entendimento e a manipulação dos elementos matemáticos
	construídos no decorrer da história da Matemática. Por trás de um símbolo, existe uma ideia e
	Para a tarefa 6, a proposta é reescrever a expressão obtida de forma geral na tarefa 5: |t-um conceito elaborado, evocando assim um pensamento comum na comunidade científica.
	5| < d e t  5, de uma maneira que tenha somente desigualdades. Normalmente, devido um Dessa forma, é de esperar que o José ficasse curioso analisando a variação da sua velocidade e
	pouco de sutileza, os estudantes não compreendem, ou mesmo passam despercebidos. procurou saber a sua velocidade instantânea em um dado t (instante de tempo). Como
	A partir da tarefa anterior, busca-se estabelecer uma interligação entre valor absoluto de mencionamos anteriormente: "a velocidade de José se aproxima de 20 m/s, quando t se
	um número real e o zero na desigualdade, possibilitando reescrever de forma mais resumida aproxima de 5 segundos". Podemos escrever: "vm(t) → 20 (vm(t) se aproxima de 20 m/s) quando
	estabelecendo uma equivalência entre as expressões. Primeiramente, foi disponibilizada ao
	20| < 0,002 estudante uma ajuda: "Lembre que o módulo de um número real é sempre um número positivo

. Seguindo esse raciocínio, podemos encontrar aproximações cada vez menores. Ou seja: Se |t -5| < 0,01 e t ≠ 5 então |vm -20| < 0,02. Se |t -5| < 0,001 e t ≠ 5 então |vm -d e E para o intervalo de tempo e velocidade, respectivamente. Em relação ao tipo de Tarefa (T), T6.5: Encontrar uma relação entre o valor de E um número muitíssimo pequeno e o valor de d; A técnica () esperada a esse tipo de tarefa é: 6.5a: A partir das relações anteriores estabelecidas, encontrar o valor de d em função de E, ou seja, considerando que v m (t) = 2t + 10, para valores de tempo próximos de 5 s e observando a regularidade entre a primeira e segunda desigualdades envolvendo valor absoluto, com isso é possível concluir que, sempre o valor da primeira desigualdade é metade do que os valores na segunda desigualdade, ou seja, d = E/2. Também, poderíamos pensar nessa outra técnica: 6.5b: Considerando a função, vm(t) = 2t + 10, em que t e v são números reais positivos, se | vm(t) -20| = |2t + 10 -20| = |2t -10| = |2(t -5)| = |2||t -5| = 2|t -5| < E e t  5, ou seja, |t -5| < d, concluímos que podemos considerar d = E/2.

A tecnologia () que justifica a escolha dessa técnica é: Noção de função real; A teoria (): Álgebra. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes para encontrar d em função de E, é normalmente não perceber que existe uma dependência entre tais valores e, posteriormente, estabelecer uma lei geral para esta. t → 5 (t se aproxima de 5 s)". A ideia de aproximar aqui é chamada de limite (de forma abreviada "lim") e pode ser escrita como lim 𝑡→5 𝑣 𝑚 (𝑡) = 20.".

  forma cuidadosa e processual em que, certamente, o ensino remoto e o híbrido ficarão em cena, associados ao uso das tecnologias.Em relação às atividades propostas na análise a priori, estas foram embasadas no Modelo Praxeológico de Referência (MPR), onde foram descritas, em forma de quadros, as praxeologias utilizadas na construção das noções de limites e os ostensivos evocados.Essa etapa consiste na execução, ou seja, na aplicação da atividade construída, produzindo informações referentes ao Percurso Formativo Digital que faz parte do MPFA.Nesse sentido, analisaremos os resultados dos estudantes no intuito de extrair informações sobre o desenvolvimento da atividade proposta. Como os professores do BCET estavam com ensino totalmente remoto, e a professora da disciplina de Cálculo I estava nessa época com um tempo muito restrito, optamos por realizar a experimentação totalmente de forma assíncrona, ou seja, Informações sobre os estudantes que participaram da experimentação Após a realização da experimentação, percebemos que a plataforma Desmos não foi tão adequada para algumas das tarefas, pois a comunicação com os estudantes não conseguia acontecer de forma apropriada, pelo fato destes não serem capazes de expor as dúvidas. Apenas Para essa análise, elegemos os estudantes que realizaram cada atividade em sua parcialidade ou totalidade e os que reagiram de acordo o feedback fornecido. Alguns conseguiram retomar os feedbacks e rever suas respostas, modificando-as, chegando à resposta

	unidades de 2"?, e27 respondeu: "Seria o intervalo [-2,6], ou seja, qualquer número dentro desse
	intervalo é válido, incluindo -2 e 6, pois seria um intervalo fechado, com isso incluiríamos Tabela 29 -Atividades Quantidade de Percentual de eles.". Assim, foi realizada a seguinte tentativa de diálogo: Pp (Pp: professor pesquisador): "E
	estudantes que o professor/pesquisador era capaz de fornecer os feedbacks, o estudante ficava limitado em estudantes que institucionalmente esperada como, por exemplo, e18 151 , na Atividade 1, mesmo apresentando em forma de módulos e desigualdades?", porém a estudante não respondeu. Assim, como outros
	realizaram a atividade responder, não sendo possível expor as dúvidas. Devido a isso, fizemos uma nova realizaram a atividade dificuldades, conseguiu superá-las e avançar. Outros (e1, e2, e3, e16, e17, e22, e29) viram os que forneceram como resposta: e11, e3: "|x-2| ≥4; e29: x -2> 4; e30: [-2,6]."; e16: "|x-2| ≥ 3; e3: |x-
	Números reais Valor absoluto de um número real experimentação na plataforma Schoology, como havíamos trabalhado anteriormente (detalhes 36 60% 31 feedbacks, na mesma atividade, mas mesmo assim não voltaram para refazê-la. Sobre isso, 2| ≥ 4; e25: x > ou = a 6 ou -6."; e36: "|x-(-2)| = 4; e18: |x-2| = 4."; e23, e33: "[Porque] são números."; 51,67% 5.1.3 Experimentação Noções de função 27 45% na seção 4.3.2), e percebemos que seria um ambiente mais adequado para manter o diálogo com retomamos Perrenoud (1999, p. 151), onde a avaliação formativa pressupõe que o estudante e32: "[6, 0); e31: (-2 < x > 6)."; e3: "|x-2| ≥4."; e8: "1 e, depois, 2 e assim por diante. Para a
	Funções, abrindo o caminho para a noção de limite Noções de lógica os estudantes durante a atividade. quer aprender e deseja auxílio para isso e, consequentemente, está disposto a revelar suas 27 45% 27 45% esquerda, o próximo número é -1 e, depois, -2.". Os que responderam conforme o esperado
	Construindo a noção de limite de uma função real Para essa nova experimentação -nominada de Experimentação 2 -, devido ao tempo e 26 43,33% dificuldades. Assim, faz-se necessário que o estudante se envolva, fazendo parte do processo. institucionalmente: e9, e10, e6, e34, e15, e17, e22, e35, e24: "|x-2| < 4.". Vale salientar que nenhum
	Fonte: Dados da pesquisa (2021)
	à finalização dos semestres, conseguimos três estudantes que se prontificaram a realizar a Analisaremos as tarefas juntamente com a respectiva produção dos estudantes. A tarefa dos que não responderam conforme o esperado, corrigiu a resposta após o feedback.
	É possível perceber que exatamente 60% realizaram a primeira tarefa e esse número atividade proposta (Atividade 6 com 10 tarefas).
	diminuiu um pouco em relação à segunda atividade e quase se mantendo nas demais atividades.
	Ainda na Atividade 2, consideremos um exemplo que o estudante realiza a
	autorregulação. Na tarefa da tela 26: Encontre agora os valores de x que satisfazem a
	desigualdade |x -5| < 0,001. Coloque a solução e represente geometricamente. O estudante e27
	respondeu da seguinte forma: x-5 < 0,001 ⇒ x < 0,001 +5 ⇒ x < 5,001, ou seja, x pode ser
	que justifica a escolha dessa técnica é o conceito de limite de função real; e a teoria (): Análise real. As prováveis estratégias e dificuldades dos estudantes é compreender e localizar os pontos referentes ao gráfico da função no plano cartesiano, se tais valores se aproximam do mesmo número. Caso positivo, o limite existe. Dessa forma, de acordo as nossas análises a priori, conjecturamos que o Percurso Formativo Digital (PFD) oferecerá mais oportunidades ao estudante na interação com o objeto matemático, possibilitando que tenha êxito nas tarefas propostas. A pandemia da covid-19 nos Após o encontro, foram disponibilizadas seis sequências, todas de forma assíncronas. As duas turmas juntas tinham 60 estudantes matriculados. Para todos eles foi distribuído o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), onde os estudantes confirmaram a ciência para que, em seguida, tivessem acesso às atividades. Na tabela a seguir, temos a quantidade e percentual de estudantes que chegaram a realizar pelo menos uma das seis atividades: Segundo Bittar (2017, p. 106), nessa fase, deve-se fazer uma "análise dos qualquer número menos que 5,001. Nesse caso, consideramos como uma técnica equivocada, Fatores intervenientes surgiram ao observarmos as atividades realizadas, pois muitos comportamentos cognitivos dos alunos diante das situações propostas" e validando-os a partir pois e27 desconsiderou o valor absoluto na resolução da desigualdade, sendo fornecido o iniciaram algumas das atividades, mas não as concluíram, mesmo com feedback fornecido e das análises feitas inicialmente e durante todo o desenvolvimento da sequência didática. Trata-"Porque o conjunto de números racionais sobrepõe o conjunto dos inteiros."; e4 não explicou; seguinte feedback: Pp: "Você realizou os cálculos como se não existisse o módulo, como fica com a disponibilização de ajuda. De acordo os comentário e opiniões ao final das atividades, atividades. Conseguimos essas impressões tanto por questionários, após as atividades, como Na Atividade 2 -Valor absoluto de um número real -destacaremos algumas respostas CHEVALLARD, 1999; BOSCH, 2001), a fim de compreender os ostensivos evocados nas matemática, com isso não se sentiram confortáveis ou mesmo confiantes para a realização das retomaram os feedbacks e conseguiram avançar. contexto, a lente de análise utilizada foi a dialética dos ostensivos e não ostensivos (BOSCH, dias, realizar a prova (exame individual). Outros demonstraram que não tinham uma base de responderam em conformidade com o esperado institucionalmente, poucos estudantes praxeologias esperadas pela instituição expostas nas análises a priori na seção 5.1.2. Nesse muitos foram se dedicar à matéria que o professor estava fornecendo, pois iriam, em poucos todo inteiro é racional." e os demais forneceram diversos exemplos simples. Dos que não Para análises das praxeologias evocadas pelos estudantes, foram comparadas com as tempo maior para realizá-las. Além disso, como não havia pontuação, conjecturamos que conseguiram fornecer a resposta esperada institucionalmente como, por exemplo, e29: "Nem ocorrem os resultados e quais são as contribuições para a superação do problema. percebemos que estas ficaram um pouco extensas e os estudantes não pretendiam dispor de um se de uma validação interna das hipóteses de investigação, uma vez que se analisa como e26: "Na relação dos conjuntos, os números racionais contém os números inteiros.". Outros a resposta com o módulo? Retome o exemplo da página 25, ajudará a responder". Com isso, e 27
	também por perguntas ao final de cada atividade. Por conta disso, tivemos diversas tarefas
	iniciadas, mas não concluídas.

c) lim 𝑥→4 𝑓(𝑥); A técnica () esperada a este tipo de tarefa é: 6.10: analisar os valores de x que se aproximam do ponto dado, tanto por valores menores como por valores maiores, e os respectivos os valores de y, o valor do limite será este valor (caso coincidem); A tecnologia () levou, de forma brusca, a enfrentar e buscar soluções em situações emergenciais, entre elas o ensino híbrido (parte remota e parte presencial) ou mesmo totalmente remoto. É possível que tais mudanças enraízem-se no ensino, uma vez que a volta anunciada à sala de aula está sendo planejada de disponibilizamos as sequências com as tarefas que estudantes realizariam de acordo suas disponibilidades. As tarefas foram realizadas de forma individual e, após a realização, o pesquisador fez intervenções, fornecendo feedbacks adequados para que os estudantes, através da autorregulação, conseguissem prosseguir.

Para apresentar a proposta aos estudantes, tivemos um encontro para um diálogo ao final da aula com cada uma das duas turmas com a presença da professora. Explicamos nossa proposta e, sem seguida, entramos na plataforma Desmos para que os estudantes pudessem conhecê-la. O encontro demorou em torno de 30 minutos (em cada turma).

Os estudantes receberam um link para a plataforma Desmos, onde entravam diretamente nas atividades propostas. Eles poderiam optar em começar pela sequência de limite (Atividade 6) ou com uma revisão de conceitos básicos (Atividades de 1 a 5).

Não estávamos interessados na quantidade de erros ou acertos, mas como foram expressas as respostas pelos estudantes, observando os ostensivos e não ostensivos apresentados. E, por se tratar de um estudo qualitativo, em que objetivamos observar as condições e restrições para o desenvolvimento do Percurso Formativo Digital para a construção da noção de limite de funções, não nos interessou categorizar dados quantitativos de erros e acertos.

5.1.4 Análise a posteriori e validação

Essa seção corresponde à análise e ao tratamento do conjunto dos dados produzidos na fase da experimentação e às observações realizadas durante a aplicação do Percurso Formativo Digital. O confronto das análises a priori e a posteriori fundamentam a validação das nossas hipóteses.

Nesse momento, procuramos responder ao questionamento: Q10: Quais as possíveis potencialidades e limitações de um dispositivo didático (capaz de promover regulação e o feedback) durante um trabalho com estudantes na construção da noção de limite? praxeologias dos estudantes e os possíveis conhecimentos matemáticos mobilizados. Além disso, destacar elementos da praxeologia da avaliação, como trazidos na seção 4.3.2.

1 (tela 7 da atividade sobre números reais; mais detalhes na análise a priori seção 5.1.2 e APÊNDICE E) solicitava ao estudante que classificasse algumas afirmações (em forma de cartões virtuais), agrupando-as de acordo com a categoria "às vezes", "nunca" ou "sempre".

Esse tipo de ostensivo, por cartões e categorias, possibilitava ao estudante ter uma visão global da tarefa proposta, que ao nosso olhar facilitava sua realização.

Na tarefa seguinte, ainda sobre números reais: Concorda ou discorda? José diz que "números racionais são inteiros sempre" como uma afirmação verdadeira. José está correto? Se sim, explique o porquê. Se não, forneça um contraexemplo (um exemplo que é falso).

Destacamos alguns estudantes que responderam sim, por exemplo: e2: "Porque todos os números racionais são compostos por um conjunto de números inteiros.", porém não considerou que deve ser na forma de fração, e que o número racional só será número inteiro se o quociente entre o numerador e denominador for um número inteiro; e25 e e33: "Todo número escrito p/q é racional, sendo p e q números inteiros e q não nulo, podendo ser positivo ou negativo."; e19: inadequadas e que realizamos um feedback para prosseguir. Por exemplo, na tarefa da tela 18: Qual é a maneira mais eficiente de descrever "o conjunto de todos os números no máximo 4

Os feedbacks não tinham a intenção de fornecer a resposta, mas que o estudante refletisse e pudesse rever seu raciocínio para chegar à praxeologia institucional, exemplos de feedbacks fornecidos: Para e11: "Os números no máximo 4 unidades, será que podem ser maiores que 4?"; Para e36: "Observe, ter uma distância igual a 4, uma distância no máximo 4 e uma distância de pelo menos 4, tem diferença?"; Para e 8 : "E os números decimais não leva em consideração?"; e30: "Como chegou nesta conclusão (resposta)?". Não pudemos acompanhar o avanço desses estudantes, pois eles não retomaram a atividade.

  aulas EaD e estão me cansando mais que aulas presenciais.". Nesse caso, não é de desconsiderar o contexto em que estamos vivendo com uma sobrecarga das atividades online deixando os estudantes desconfortáveis diante da situação, o que pode afetar o empenho nas atividades propostas por nós. Mas, mesmo assim, realizou as tarefas. Ainda na Atividade 3, na tarefa da tela 21, o enunciado informa: Considere uma função f:ℝ→ℝ onde cada elemento corresponde ao seu dobro mais uma unidade. Qual o valor de f para 1,-10 e 0,001? Como se comporta o gráfico? Coloque a expressão da função abaixo. Em seguida, coloque os valores encontrados. Depois, utilize a calculadora gráfica no próximo slide e trace o gráfico.

Destacando algumas respostas referentes à Atividade 3 -Noções de função. No início da atividade foi perguntado como o participante se sentia hoje com um plano cartesiano, com os extremos triste e feliz na abscissa e disposto(a) e cansado(a) nos extremos da ordenada. A estudante e27 respondeu: "Cansada de ficar em casa na pandemia, cansada de estudar em casa, odeio

  /www.dicionariodidatica.ufba.br/contrato-didatico-2/. Acessado em: 6 jul. 2021.

												ao
	conhecimento	a	ser	ensinado."	(Brousseau	et	al.	2014	p.	204).	Extraído	de
	http:/											

152 "O contrato didático é o conjunto de comportamentos do professor esperados pelo aluno e o conjunto de comportamentos esperados pelo professor durante uma situação didáticae em particular aqueles específicos

Nome: Formação acadêmica (graduação e pós-graduação): Qual a natureza das instituições que trabalha/trabalhou (particular, pública estadual, pública federal, ensino fundamental, médio, superior, etc.): Tempo de conclusão da graduação:

  

	Item	Características do item	Escala Likert	Comentários/
				sugestões
	Item: Pré-requisito	Estes itens iniciais pretendem		
	Noção de números	apresentar algumas noções básicas		
	reais	para possibilitar construir as ideias de		
	(está no anexo	definição formal de limite de uma		
	PERCURSO	função.		
	FORMATIVO	Apresentamos inicialmente uma breve		
	DIGITAL pág. 2)	noção dos números reais de modo que		
		o aluno compreenda que o conjunto		
		dos números reais é um conjunto		
		denso, compreendendo assim a		
		questão do infinito.		

Também conhecido como Cálculo Infinitesimal, Cálculo de funções de uma variável, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo A ou Cálculo I (chamaremos daqui em diante de Cálculo).

Busca no banco de tese e dissertações da CAPES https://catalogodeteses.capes.gov.br/catalogo-teses/#!/ Acesso em: 26 abr. 2017.

Daqui em diante apenas usaremos a palavra limite para designar limites de funções reais de uma variável real.

De acordo Chevallard (2018b, p. 31), objeto é qualquer entidade, material ou imaterial que existe, ao menos, individualmente. Neste caso, tudo é objeto, incluindo as pessoas.

"la science des conditions et contraintes de la diffusion socialeauprès des personnes et des institutionsdes praxéologies"Chevallard (2009, p. 12). No contexto da Didática da Matemática,Chevallard (1998, p. 91) apresenta que toda atividade humana pode ser descrita em um modelo único denominado praxeologia, composto por tarefas, técnicas, tecnologia e teoria que serão esclarecidos posteriormente no Capítulo 2.

Essa escolha tem a ver com a nossa proximidade com os docentes da UFRB, pelo fato de o curso de mestrado ter sido realizado nessa Universidade.

Chevallard (1998, p. 2), apresenta uma o quarteto praxeológico que será mais detalhado no capítulo 2.

O intuicionismo e o formalismo são tratados no Capítulo 3, na seção 3.1.4 -Influências da filosofia da Matemática no século XIX.

Abordagem de Cauchy-Weierstrass que será mais detalhado no capítulo 3, seção 3.1.5.

"Cuando se inicia la enseñanza del cálculo, los números reales y las funciones no son objetos que los estudiantes desconocen del todo".ARTIGUE (1995, p. 107).

"Son objetos en construcción" que no se pueden considerar "inertes" a medida que se efectúa el aprendizaje del cálculo. El aprendizaje del cálculo se convertirá́ justamente en uno de los motores de su conceptualización".ARTIGUE (1995, p. 108).

"The praxeological function that a question assumes is to trigger or rekindle an inquiry into something. How can we describe what happens when a student x or a class X studies a question Q under the supervision of Y? Or when a researcher  or a research team  studies a question Q, possibly under the supervision of a head of research  (zeta {ˈziːtə }) or a collective of supervisors " (CHEVALLARD,

2016, p. 17).

"Las relaciones entre la investigación y la acción en el sistema de enseñanza y el papel que conviene hacerle tomar a las "realizaciones didácticas" en clase, dentro de las metodologías de la investigación en didáctica".(ARTIGUE, 1995, p. 34).

"Un esquema experimental basado en las "realizaciones didácticas" en clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza".(ARTIGUE, 1995, p. 36).

Um exemplo de análise de transposição didática -A noção de distância (tradução nossa).

Utilizamos no mesmo sentido queGascón (2011, p. 205), problema didático como sinônimo de problema de investigação em Didática da Matemática.

Noosfera é o conjunto das fontes de influências na seleção dos conteúdos, fazem parte deste conjunto: cientistas, professores, especialistas, políticos, autores de livros e outros agentes que interferem no processo educativo(PAIS, 2011, p. 19).

A dialética da mídia e do meio (tradução nossa).

"L'existence d'une dialectique vigoureuse (et rigoureuse) entre médias et milieux est une condition cruciale pour qu'un processus d'étude et de recherche ne se réduise pas au recopiage acritique d'éléments de réponse épars dans les institutions de la société. Une telle exigence est en vérité consubstantielle à l'esprit galiléen caractéristique des sciences modernes de la nature et de la société, dans lequel la soumission à l'autorité cède la place à une culture partagée du questionnement, de la mise à l'épreuve par la construction de milieux idoines, déterministes ou statistiques, combinant dispositifs matériels et immatériels (enquête, expérimentation, raisonnement, déduction)". (CHEVALLARD, 2007, pp. 1-2).

Omitiremos a numeração ordinal presente em cada momento, pois, como mencionado, a ordem é arbitrária.

"La noción de evaluación está así ligada a la de valor. Al dar esta definiciónevaluar un objeto, es asignarle cierto valor -, estoy designando el acto de evaluar como un tipo de tareas que puede estar en cualquier parte de la sociedad, y no sólo en la escuela: se evalúa en la familia, en la calle, en la empresa, en el bar, etc. Se evalúa en todas partes"(CHEVALLARD, 2010, p. 3).

"O contrato didático é o conjunto de comportamentos do professor esperados pelo aluno e o conjunto de comportamentos esperados pelo professor durante uma situação didática -e em particular aqueles específicos ao conhecimento a ser ensinado"(BROUSSEAU et al. 2014 p. 204). Disponível em: http://www.dicionariodidatica.ufba.br/contrato-didatico-2/. Acesso em: 2 jun. 2020.

Disponível em: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01317134/document. Acesso em: 1 dez. 2019.

Dicionário de etimologia. Disponível em: https://www.etymonline.com/search?q=+evaluation). Acesso em: 20 nov. 2019.

Do Latim quadratum (quadrado). Significa o processo de encontrar um quadrado com área igual ao de uma região dada (...). A quadratura se refere à área e a cubatura ao volume de uma figura, para isto os matemáticos gregos, em destaque Eudoxo, Euclides e Arquimedes determinavam uma razão com outra figura já conhecida (quadrados e cubos)(BRANDEMBERG, 2017, p. 10, 16).

Nesta época, os gregos já conheciam a forma de encontrar áreas de um polígono qualquer dividindo em triângulos e em seguida fazendo a soma de todas as áreas obtidas (STEWART, 2016, p. xxx) (O número da página está em algarismo romano, como consta no livro).

Sobre Função Weierstrass, mais detalhes em: http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html. Acesso em: 25 fev. 2020.

Weierstrass nunca lamentou os anos gastos no ensino elementar, transferiu sua notável capacidade pedagógica para o trabalho universitário, tornando-se provavelmente o maior professor de matemática avançada que o mundo já teve (EVES, 2011, p. 612).

Utilizamos Cálculo no nosso contexto, já que se referindo à França é chamada de Análise Real.

"On the one hand, taking a subtle high level concept and talking it down can mean the loss of precision and an actual increase in conceptual difficulty (…) the informal language of the translation may contain unintended shades of colloquial meaning."(TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 44).

"Given any positive real number  > 0, there exists N (which may depend on ) such that |s n -s|< for all n>N".(TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 45).

What is less apparent to the sophisticated mathematician are the subtle implications which can act as a stumbling block for the uninitiated reader. Someone unable to comprehend the whole sentence might alight on part of it. What does the phrase "as close . . . as we please" mean? A tenth? A millionth ? What happens if we do not please? If we can get as close as we please, can we get "infinitely" close in some peculiar sense? (TALL; SCHWARZENBERGER, 1978, p. 4).

A definição verbal exata que explica, de forma precisa, um conceito. Nesse sentido, pode-se afirmar que a definição conceitual corresponde à definição matemática formal.

Deixa, em segundo lugar, o desenvolvimento de aspectos conceituais importantes para o processo de formação dos estudantes.

De acordo Job (2011, p. 60), Lakatos argumenta que o conhecimento matemático é falível, ou seja, não se desenvolve através de acumulação de verdades indubitáveis, apresentando, assim, elementos da epistemologia desenvolvida por Karl Popper, que na sua visão o que estabelece a cientificidade de uma teoria não é o fato de ser indubitável, mas o fato de ser potencialmente refutável, pois "uma teoria científica, portanto, nunca é provada, apenas sobrevive à crítica, adquirindo um certo grau de credibilidade." (JOB, 2011, p. 60, tradução nossa).

ESTENOGRAFIA. Técnica de escrita com abreviaturas, com finalidade de ser tão rápida como se fala. = TAQUIGRAFIA. In: DICIONÁRIO Priberam da língua portuguesa. Lisboa: Priberam Informática, 2021. Disponível em: https://dicionario.priberam.org/estenografia. Consultado em: 17 maio 2021.

Vale ressaltar, que segundoJob (2011, p. 103), a definição de limite proposta por Cauchy finalmente alcança um consenso dentro da instituição dos matemáticos, sendo uma ferramenta de prova, comprovando, por exemplo, as noções de derivadas e integral. Nesse caso, de acordo o autor, essa busca de Cauchy da noção de limite permitiria alcançar uma estrutura dedutiva, isto é, o microscópico (a definição de limite) sendo construído para suportar o macroscópico (o enredo de teoremas que constituem a análise). Com isso, baseado no trabalho de Lagrange sobre aproximação numérica, Cauchy define a noção de limite em termos de desigualdades de forma a ser capaz de fornecer uma base rigorosa a certos esquemas de evidência cuja realização lhe parece falhar.Assim, Pierre Job discorre que o professor na educação básica (belga) apresenta a noção de limite por uma ostentação, que herdou quando aluno e depois repete o mesmo ciclo quando professor. Dessa forma, essa noção lhe parece "natural", não sendo capaz de problematizá-la, apenas apresentá-la aos alunos esperando certa "naturalidade" e que os estudantes estabeleçam uma relação com o objeto de acordo com suas expectativas.Assim, na ecologia escolar, a definição de limite é substituída pela álgebra dos limites.Mesmo que a álgebra dos limites seja uma consequência da definição de limite, de acordo Job (2011, p. 211), não faz sentido argumentar que uma é mais instrumental que a outra, sendo mais coerente afirmar que o potencial da instrumentalidade contida na definição de limite é totalmente revelado quando uma representação simbólica é associada a ela, permitindo reduzir os cálculos de limites a manipulações simbólicas.Nesse sentido, para Pierre Job, os estudantes da educação básica não se estribam no fato de derivar da definição de limite, mas nos seguintes argumentos:Com base na relação de superior a subordinado que une professor e aluno, o professor pode argumentar que essas propriedades são aceitas porque a sua demonstração é muito difícil: "eles podem ser demonstrados, mas não no âmbito deste curso". Quantos alunos viriam para desafiar? Este argumento é tanto mais convincente quanto muitos deles são considerados "intuitivos" pelos alunos como o comportamento do limite em relação à transação de soma.(JOB, 2011, p. 211, tradução nossa).85 De acordo tais ideias, justifica o desaparecimento da arquitetura dedutiva da análise, pelo motivo dos estudantes não se preocuparem com as justificativas de tais propriedades.85 "Tablant sur le rapport de superieur a subalterne qui unit professeur et eleve, le professeur a beau jeu d'argumenter que telles proprietes sont admises parce que leur demonstration est trop ardue: "on peut les demontrer mais pas dans le cadre de ce cours". Combien d'eleves viendraient contester ? Cet argumentation est d'autant plus imparable que nombre d'entre elles sont consideres " intuitives" par les eleves comme le comportement de la limite par rapport a l'operation de somme."(JOB, 2011, p. 211).

Em relação ao eixo local/global,Rezende (2003, p. 372) informa que a história da oposição desse eixo é de meados do século XIX, sendo tal oposição um produto da nossa percepção do espaço, embora na constituição do Cálculo por Newton e Leibniz não se fazia tal distinção entre local e global, pois os conceitos de continuidade e diferenciabilidade eram definidos a partir do comportamento global. Essa lacuna para vislumbrar a dualidade local/global, de acordoRezende (2003, p. 376), era devido à ausência da noção de limite e do conceito de função.No eixo sistematização/construção, apresentado porRezende (2003, p. 388), a ideia de sistematização está diretamente relacionada às escolas filosóficas do formalismo e logicismo, ambas referentes à lógica formal. No formalismo pretende-se alcançar um estado global unitário da matemática, enquanto no logicismo a matemática é interpretada como um prolongamento da lógica. O não sucesso das escolas formalista e logicista, segundoRezende (2003, p. 388), abre espaço para a construção, ou seja, o construtivismo matemático defendido pelos intuicionistas.O autor enfatiza que o par sistematização/construção não constitui propriamente uma dualidade no sentido filosófico, pois não existe sistematização sem construção e vice-versa(REZENDE, 2003, p. 389).Assim, para que aconteça a sistematização/construção, ao invés de se construir as significações no nível do conhecimento já sistematizado, deveríamos, nesse caso, construir os campos de significações dos resultados e ideias básicas do Cálculo e, consequentemente, a sistematização dos elementos(REZENDE, 2003, p. 392). Vale ressaltar que tais macroespaços definidos não são estanques, como também não constituem fronteiras bem definidas, porém eles se entrelaçam e se inter-relacionam plenamente, sem hierarquia de valores ou mesmo grau de subordinação, pois, muitas vezes, existe uma interseção entre tais macroespaços.O autor traz à tona que existe um único lugar-matriz das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo, o da omissão/evitação das ideias básicas e dos problemas construtores do Cálculo no ensino da Matemática em sentido amplo. De acordo o autor, "a ausência das ideias e problemas essenciais do Cálculo no ensino básico de matemática [...] é, sem dúvida, a principal fonte dos obstáculos epistemológicos que surgem no ensino superior de Cálculo"(REZENDE, 2003, p. 402). Dessa forma, emergir tais saberes na educação básica faz-se importante para ideias que virão futuramente no ensino superior. Relacionado a isso, o autor propõe algumas intervenções didáticas no ensino básico de Matemática como, por exemplo, o cálculo de áreas de círculos e de volume de sólidos de revolução, soma dos termos de progressão geométrica infinita e representação decimal dos

BROUSSEAU, G. Théorie des Situations Didactiques. [Textes rassemblés et préparés par Nicolas Balacheff, Martin Cooper, Rosamund Sutherland, Virginia Warfield]. Grenoble: La Pensée Souvage -Éditions, coll. Recherches en Didactique des Mathématiques, 1998.

Instituição aqui está no sentido da TAD, como uma das noções fundamentais. Sendo um dispositivo social, por exemplo, a classe, o estabelecimento, família, linguagem (CHEVALLARD, 2018b, p. 32).

Um modelo didático de referência para a construção e a atualização do conhecimento sobre a noção do limite no Mali.

Disponível em: http://www2.ufrb.edu.br/bcet/images/documentos/cursos/PPC-BCET.pdf. Acesso em: 2 dez. 2019.

O autor informa que na ocasião da escrita do livro, em 1978, na sua primeira edição, os estudantes ingressantes ao nível superior chegavam com grande dificuldade em assuntos básicos como noções de geometria, funções, logaritmos, exponenciais e trigonometria. O autor ainda menciona que, infelizmente, essa situação não melhorou nas últimas décadas.

De acordo Bachellard (1996, p. 21), a noção de obstáculo epistemológico pode ser estudada no desenvolvimento histórico do pensamento científico. Essa noção foi apresentada na Educação Matemática por GuyBrousseau, em 1976, no CIEM (Congresso Interamericano de Educação Matemática).(IGLIORI, 2015, p. 123).

Extraído de Stewart (2016, p. 72).

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, referente ao semestre 2019.1.

Curso inicial com duração de seis semestres e com terminalidades de dois a quatro semestres em Matemática, Física ou Engenharias (Computação, Elétrica, Mecânica, Civil ou da Computação).

Seja 𝑋 ⊂ ℝ. Um número 𝑎 ∈ ℝ chama-se ponto de acumulação do conjunto X quando todo intervalo aberto (a -, a + ), de centro a, contém algum ponto 𝑥 ∈ 𝑋 diferente de a.(LIMA, 2010, p. 175).

Fonte: Dados da pesquisa(2021) 

se vêem, se tocam, se ouvem, etc. (tradução nossa).

Não iremos explicitar como definição formal (definição precisa), pois toda definição matemática tem uma formalidade e uma precisão, apesar de alguns livros trazerem como definição intuitiva e definição formal com, por exemplo:Stewart (2016, p. 71, 90). Assumiremos aqui apenas como definição (em termos de (, )) e noção ou ideia intuitiva como, por exemplo,Guidorizzi (2016, p. 54, 70).

Instituto de Matemática Pura e Aplicada.

"On désignera en effet comme étant un milieu tout système qu'on peut regarder comme dénué d'intention dans la réponse qu'il peut apporter, de manière explicite ou implicite, à telle question déterminée.".

"Le concept de limite est un fondateur de l'analyse standard et beaucoup de concept sont définis à partir de la limite. Mais la définition formelle de la limite est particulièrement difficile à conceptualiser pour les étudiants, comme le montre la majorité des études. Faire reposer les dérivées et les intégrales sur une définition qui n'a pas de sens rend forcément compliqué l'enseignement des objets définis de cette manière. C'est pour cette raison que les programmes scolaires (et par conséquents les enseignants et manuels) font l'impasse sur la définition formelle (continua)

Em uma abordagem em espiral, um aluno é apresentado aos mesmos tópicos vários anos consecutivos, avançando-os ligeiramente a cada passagem; com tópicos organizados do mais simples ao mais complexo. (ORALE, UY, 2018, p. 1).

"Il faut enseigner la définition formelle de limite quand les notions de variable, fonction numérique, de quantificateurs sont disponibles, donc plutôt tardivement, dans le cursus français au moins (terminale au plus tôt)." (P29).

"Ces exemples sont utilisés car on peut facilement calculer le delta en fonction du epsilon...quand c'est possible. " (P29).

Termos utilizados na noção intuitiva: suficiente próximo, diferença tão pequena quanto se queira, etc.Ternos vagos e imprecisos.

Podemos trabalhar com essas noções [de limites] tanto no estudo do conjunto dos números, como no estudo com as funções, sem nos referirmos diretamente ao conceito de limite, mas utilizando as noções de limite. Poderia ser realizado, por exemplo, na disciplina de Introdução ao Cálculo, mas também desde o ensino médio no decorrer do estudo do conjunto dos números reais e com as funções. Os alunos teriam oportunidade de organizar esquemas mais próximos das adaptações que são necessárias para lidar com alguns casos de limite de funções. Como também, de fazerem associações de imagens mais pertinentes para se constituírem no conceito imagem de limite.(BURIGATO, 2019, p. 233).

Esta atividade, posteriormente, possibilitou a apresentação de um artigo no I CONAAP (Congresso Nacional de Avaliação da Aprendizagem) em maio de 2019 na UFBA (http://www.conaap.ufba.br) (CARVALHO; FARIAS; MIRANDA, 2019).

A plataforma virtual de aprendizagem www.schoology.com consiste num ambiente capaz de interagir com os estudantes através da internet.

Essa explanação está baseada emCarvalho, Farias e Miranda (2021, no prelo).

Algoritmo: 1. MATEMÁTICAsequência finita de regras, raciocínios ou operações que, aplicada a um número finito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas; 2. INFORMÁTICAconjunto das regras e procedimentos lógicos perfeitamente definidos que levam à solução de um problema em um número finito de etapas. Disponível em: https://michaelis.uol.com.br/palavra/4lD9/algoritmo/#:~:text=Dicion%C3%A1rio%20Brasileiro%20da%20L%C 3%ADngua%20Portuguesa&text=1%20Mat%20%2C%20obsol%20Sistema%20de,de%20grupos%20an%C3% A1logos%20de%20problemas.. Acesso em: 2 set. 2021.

Trata-se de uma praxeologia inicial que pode ser melhor trabalhada e expandida posteriormente.

Trata-se de uma praxeologia inicial que pode ser melhor trabalhada e expandida posteriormente.

Trata-se de uma praxeologia inicial que pode ser melhor trabalhada e expandida posteriormente.

Trata-se de uma praxeologia inicial que pode ser melhor trabalhada e expandida posteriormente.

Trata-se de uma praxeologia inicial que pode ser melhor trabalhada e expandida posteriormente.

Relacionado com o termo "tecnologias errôneas", como propõem Grugeon-Allys e Pilet (2020, p. 150).

Avaliação que acontece continuamente no processo de ensino e aprendizagem, não apenas ao final de um período letivo.

Disponível em: http://enade.inep.gov.br/enade/#!/index.

De acordo Chevallard (2018b, p. 37), o equipamento praxeológico de uma pessoa são todas as praxeologias que a pessoa dispõe, ou seja, de que ela é equipada.

Quando apresentarmos apenas o termo avaliação, estamos nos referindo à avaliação interna ou formativa.

Que ocorre ao final de cada período letivo.

"dado que el conocimiento personal sólo aparece después de que desaparezcan todos los artificios didácticos" Chevallard, Bosch e Gáscon (1997, p. 276).

Disponível em: https://lgpd.ufba.br/; Disponível em: https://lgpd.ufba.br/sites/lgpd.ufba.br/files/cartilha_lgpd.pdf

Mais informações: https://www.desmos.com/

Perrenoud (1999, p. 89) apresenta que na avaliação formativa o professor deve compreender melhor as dificuldades de modo "ajustar de maneira mais sistemática e individualizada suas intervenções e as situações didáticas que propõe, tudo isso na expectativa de otimizar as aprendizagens".

De acordo Perrenoud (1999, p. 96) "nenhuma intervenção externa age se não for percebida, interpretada, assimilada por um sujeito". Ainda de segundo o mesmo autor, toda ação educativa só pode estimular o autodesenvolvimento, a autoaprendizagem, temos que apostar na autorregulação, modificando seu meio, entrando em interação com o sujeito. (PERRENOUD, 1999, p. 89).

O autor no seu texto chama apenas de validação. Porém, para não confundir com a quarta fase da engenharia didática chamaremos de validação por pares.

Cada tipo de tarefa exposta aqui, nas atividades, será Ta.b, em que a é o número que representa a atividade e b o número que representa a posição da tela da atividade.

A unidade 1 pé equivale a 0,3048 metro.

Preservando o nome real dos estudantes, optamos por representar os estudantes da primeira experimentação por ei, onde {i ∈ ℤ, 0 < 𝑖 ≤ 60}.

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 4 da atividade sobre números reais Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 17 da atividade sobre números reais Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 1 da atividade sobre noções de funções -Parte 1 Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 5 da atividade sobre noções de funções -Parte 2 Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 6 da atividade sobre noções de funções -Parte 2 Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 1, parte 1 da tarefa 1 sobre limites Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Tela 2, parte 1 da tarefa 2 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa(2021) 

Tela 2, parte 2 da tarefa 2 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa(2021) 

Fonte: Dados da pesquisa (2021) Página 4, parte 1 da tarefa 4 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Tela 5, parte 1 da tarefa 5 sobre LimitesFonte: Dados da pesquisa(2021) 

Tela 5, parte 2 da tarefa 5 sobre LimitesFonte: Dados da pesquisa(2021) 

Tela 6, parte 1 da tarefa 6 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa(2021) 

Tela 7, parte 1 da tarefa 7 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 8, parte 2 da tarefa 7 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Tela 8, parte 1 da tarefa 8 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa (2021) Tela 10, tarefa 9 sobre Limites Fonte: Dados da pesquisa (2021)

Fonte: PPC-BCET-UFRB(2011, p. 67, 68).

Pesquisadores responsáveis: Prof. Dr. Luiz Marcio Santos Farias (orientador) Osnildo Andrade Carvalho (doutorando) Você está sendo convidado a participar de uma pesquisa educacional. Nesta pesquisa iremos investigar a construção da definição de limites de funções reais de uma variável real com estudantes do ensino superior. Durante as aulas de cálculo diferencial e integral você estudará a teoria dos Limites de Funções de uma variável real com atividades presenciais e por uma plataforma virtual de aprendizagem. Serão propostas algumas atividades que envolvem leitura e questões fechadas e abertas, as quais devem ser respondidas como tarefas escolares usuais. Seu professor poderá, ou não, avaliar tais atividades e corrigi-las como parte do processo de ensino e aprendizagem do seu desempenho na disciplina de Cálculo diferencial e integral.

Caso você não autorize a análise dos registros escritos e/ou da plataforma; ainda assim eles serão coletados pelo professor para fins de ensino, porém nós não os utilizaremos em nosso estudo e nem os manteremos em bancos de dados. Eles poderão ser usados pelo professor para fins didáticos. Caso não aceite (ou não autorize), a sua recusa não acarretará nenhuma sanção. No entanto, sua recusa não o eximirá a sua participação normal das atividades escolares e do estudo da unidade de ensino Se você concordar com a utilização de seus registros nesta pesquisa, podemos lhe garantir que: (i) nos nossos procedimentos de análise adotaremos procedimentos para preservar a sua identidade e resguardar a sua privacidade; (ii) seu professor de Cálculo Diferencial e Integral não utilizará os resultados de nossa análise para lhe avaliar ou para analisar seu desempenho; (iii) ao divulgarmos os resultados do estudo adotaremos procedimentos que impeçam que você seja identificado.

Se você concordar em participar da pesquisa, nós também lhe pedimos a autorização para manter seus dados em um banco de dados para outras pesquisas educacionais a serem eventualmente realizadas no futuro. O local de guarda será na sala do grupo de pesquisa NIPEDICMT (Núcleo Interdisciplinar de Pesquisa, Ensino e Didática das Ciências, Matemática e Tecnologias) localizado na sala 303 do pavilhão de aulas IV do campus Ondina, por no tempo de no mínimo 5 (cinco) anos aos cuidados do pesquisador Osnildo Andrade Carvalho. Os compromissos assumidos acima permanecerão válidos para esse banco de dados, em arquivos digitais. Caso você não concorde com a manutenção dos seus dados no banco de dados, nós os destruiremos tão logo a pesquisa termine.

Os Riscos e danos possíveis na realização da pesquisa são: -discriminação e estigmatização a partir do conteúdo revelado; -divulgação indevida das informações ; -conflitos entre o pesquisador e o participante; -coerção para participar da pesquisa; -medo de repercussões eventuais; -situações de desconforto pela presença do pesquisador em sala de aula;

As med idas, providên ci as e ca utel a que podem ser adotadas frente aos riscos são: -garantia de acesso aos resultados; -minimização de desconfortos, garantindo momento adequado para as conversas; -garantia de confidencialidade, privacidade, proteção da imagem e não estigmatização, garantido a não utilização das informações em prejuízo das pessoas; -garantir o acesso dos participantes a todo o material que está sendo produzido: áudios, imagens, textos e transcrições; -garantia de que a pesquisa será suspensa imediatamente ao se perceber algum risco à saúde dos participantes, ainda que não previstos; -garantir que os participantes da pesquisa que vierem a sofrer qualquer tipo de dano, previsto ou não previsto no termo de consentimento, resultante da sua participação na pesquisa, além do direito à assistência integral terá direito à indenização; -garantir aos participantes a divulgação dos resultados;assumir o compromisso de comunicar os resultados da pesquisa, sempre que puderem contribuir para o ensino de cálculo diferencial e integral; -garantir a preservação da imagens e a identidade dos participantes.

Você não terá nenhum benefício direto -não receberá vantagem de qualquer espécie -pela sua participação A seguir você encontrará as respostas dos estudantes. Observe e responda:

Quais das definições estão corretas? e por que? Quais as definições estão incorretas? e por que?

-João:

-Érica:

-Gabriel:

-Vitória:

-Ana:

-José:

-Paulo:

-Mateus:

-Luísa:

-Silas:

-Lucas:

APÊNDICE E -Percurso Formativo Digital

Tela inicial do Percurso Formativo Digital