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Bruna Silveira Pavlack 
  
Luis Gustavo 
  
Giacon Villani 
  
Samuel Da Silva 
  
Americo Cunha 
  
Vantagens 
  
Vantagens da expansão em polinômio de caos na propagação de incertezas em sistemas mecânicos

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Vantagens da Expansão em Polinômio de Caos na Propagação de Incertezas em Sistemas Mecânicos

Bruna Silveira Pavlack 1 -bruna.pavlack@ifms.edu.br, Luis G. G. Villani 1 -luis.villani@unesp.br Samuel da Silva 1 -samuel.silva13@unesp.br, Americo Cunha Jr 2 -americo@ime.uerj.br 1 UNESP/Ilha Solteira -Departamento de Engenharia Mecânica 2 UERJ -Departamento de Matemática Aplicada

Introdução Motivação

• Necessidade de propagar incertezas em modelos computacionais;

• Método de Monte Carlo (MC) tem convergência lenta e alto custo computacional;

• Expansão em Polinômio de Caos (PCE) apresenta-se como uma boa opção para obtenção de metamodelos.

Objetivo

• Realizar simulações em um oscilador de Duffing e comparar a propagação de incertezas com MC e PCE.

Expansão em Polinômio de Caos Propagação de incertezas

Modelo computacional sob incertezas.

PCE

Y = M(X) = α∈N M y α Ψ α (X),
sendo que y α ∈ R são os coeficientes a serem determinados e Ψ α (X) formam uma família de polinômios ortogonais.

Calculando os coeficientes

• Coeficientes podem ser calculados via regressão (Método dos Mínimos Quadrados);

   Ψ 0 (X 1 ) Ψ 1 (X 1 ) • • • Ψ P -1 (X 1 ) . . . . . . . . . Ψ 0 (X n ) Ψ 1 (X n ) • • • Ψ P -1 (X n )         y 0 (t) . . . y P -1 (t)      ≈      Y 1 (t) . . . Y n (t)      ⇔ Ψy ≈ Y

Oscilador de Duffing

Exemplo de um sistema biestável representativo do oscilador de Duffing.

Modelo determinístico para um oscilador de Duffing:

mẍ + c ẋ + kx + k 2 x 2 + k 3 x 3 = U Valores dos parâmetros k = 4, 954 × 10 3 [N/m] m = 0, 233 [kg] c = 1, 226 [Ns/m] k 2 = -3, 087 × 10 4 [N/m 2 ] k 3 = 3, 986 × 10 7 [N/m 3 ] f n = 23, 257 [Hz]
x(0) = 0 e ẋ(0) = 0

Exemplo de aplicação numérica

Caso rigidez linear aleatória

• σ k = 2, 21% e A = 0, 1 [m];
• Foram necessárias 8 amostras no método PCE para gerar os mesmos resultados utilizando o método MC com 1024 amostras. MC PCE

Caso coeficientes de inércia e amortecimento aleatórios

• σ m = 0, 057%, σ c = 0, 0216% e A = 1, 5 [m];

• Foram necessárias apenas 8 simulações com o método PCE para gerar os mesmos resultados do método MC com 128 simulações. 

Considerações Finais

• Vantagens da utilização do PCE;

• Estudar a implementação de modelos discretos do tipo não linear com entradas exógenas (NARX) e com incertezas propagadas por PCE.

  de Resposta (RFS)PDF para a estimativa m via MC PDF para a estimativa m via PCE

Agradecimentos