spi.nano
Marcos Carneiro 
  
Paulo H P De Carvalho 
  
Nathalie Deltimple 
email: nathalie.deltimple@ims-bordeaux.fr
  
Eric Kerherve 
email: eric.kerherve@ims-bordeaux.fr
  
Leonardo Da 
  
C Brito 
email: xbrito@eee.ufg.br
  
Sergio G De Araujo 
  
¸ão Otimizac 
  
Amplificador De 
  
Ência De Pot 
  
Atrav És Doherty 
  
Computac De 
  
Evolucion ¸ão 
  
E Ária 
  
Marcos L Transformada Unscented 
  
Carneiro 
  
Eric Kerherve ++ 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Otimização de amplificador de potencia Doherty atraves de computação evolucionaria e transformada unscented

Keywords: Optimization, Unscented Transform, NSGA-II, Doherty power amplifier. 1. INTRODUC ¸ÃO

A robust genetic circuit optimizer using Unscented Transform and Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II is presented. The algorithm provides significant computational cost reduction compared to Monte Carlo method. The Unscented Transform permits circuit performance uncertainties determination from components uncertainties, thus, a search through robustness can be approached. Besides reduced computational effort, a plethora of possibilities offered to circuit designer by the multi-objective search can be observed as result. Doherty power amplifier was used as case study.

Os processos de implementac ¸ão possuem incertezas inerentes e restric ¸ões que produzem um produto final com desempenho diferente do projetado. As tolerâncias percentuais dos componentes eletrônicos, por sua vez, também produzem variac ¸ões nas medidas de desempenho do circuito. Para produzir circuitos robustos, é necessário reduzir a possível variac ¸ão final de desempenho, reduzindo sua sensibilidade o máximo possível com relac ¸ão às tolerâncias dos componentes [START_REF] Yu | Hierarchical Analog/Mixed-Signal Circuit Optimization Under Process Variations and Tuning[END_REF][START_REF] Nakayama | Genetic algorithm with a robust solution searching scheme based controller parameters selection of a cart-type inverted pendulum[END_REF].

Apesar da existência de complexos modelos matemáticos que preveem o comportamento do circuito, a presenc ¸a dos parasitas dificulta ou impossibilita uma otimizac ¸ão analítica [START_REF] Bandler | Circuit optimization: the state of the art[END_REF]. Os métodos de otimizac ¸ão baseados em gradiente, por sua vez, apresentam o problema de convergência para mínimos locais quando aplicados em circuitos não lineares. O tratamento destes problemas tem sido feito cada vez mais através de métodos estocásticos, e em especial os algoritmos genéticos [START_REF] Phelps | Anaconda: simulation-based synthesis of analog circuits via stochastic pattern search[END_REF][START_REF] Silva | Genom: circuit-level optimizer based on a modified Genetic Algorithm kernel[END_REF][START_REF] Paulino | Design methodology of optimization of analog building blocks using Genetic Algorithms[END_REF][START_REF] Brito | Multi-objective evolutionary optimisation of microwave oscillators[END_REF].

A análise da incerteza do desempenho final do circuito feito a partir das tolerâncias dos componentes possui o problema de custo computacional muito elevado quando feito através do método de Monte Carlo. Este método é preciso com a utilizac ¸ão de muitas iterac ¸ões porém torna inviável o tempo computacional necessário quando aplicado em conjunto com um algoritmo genético. A transformada Unscented (UT) [START_REF] Julier | General method for approximating nonlinear transformations of probability distributions[END_REF][START_REF] De Menezes | Efficient extraction of statistical moments in electromagnetic problems solved with the method of moments[END_REF] têm fornecido resultados promissores quanto a reduc ¸ão do custo computacional sem prejudicar a precisão.

Essa pesquisa apresenta a combinac ¸ão da UT com o algoritmo genético de selec ¸ão não-dominante (NSGA-II) com o objetivo de otimizar não só níveis de desempenho determinísticos do circuito mas também a robustez, que é calculada sobre parâmetros estocásticos, como por exemplo distribuic ¸ões normais multivariadas.

Este artigo comec ¸a com a introduc ¸ão do algoritmo genético NSGA-II, na sec ¸ão 2, discutindo o conceito de não-dominância e o processo de evoluc ¸ão da populac ¸ão. Na sec ¸ão 3, uma breve apresentac ¸ão da UT é feita e em seguida, na sec ¸ão 4, o método da UT é aplicado no cálculo da incerteza do circuito. Na sec ¸ão 5, a metodologia do otimizador é apresentada utilizando a UT em conjunto com o NSGA-II. A sec ¸ão 6 apresenta os resultados e suas analises são feitas na sec ¸ão 7. Esse artigo é concluído na sec ¸ão 8 e as perspectivas para os trabalhos futuros são apresentadas na sec ¸ão 9.

NSGA-II

NSGA-II é um algoritmo genético de otimizac ¸ão multi-objetivo baseado no conceito de não-dominância de Pareto [START_REF] Kalyanmoy | A Fast Elitist Multi-objective Genetic Algorithm: NSGA-II[END_REF]. Sua baixa complexidade e melhor classificac ¸ão o torna mais efetivo que sua última versão (NSGA [START_REF] Kalyanmoy | A Fast Elitist Multi-objective Genetic Algorithm: NSGA-II[END_REF][START_REF] Srinivas | Multiobjective Optimization Using Nondominated Sorting in Genetic Algorithms[END_REF]).

Nese algoritmo, uma vez que a populac ¸ão é inicializada, cada indivíduo (circuito) é simulado e um valor de aptidão é associado a cada func ¸ão objetivo. Baseado no conceito de não-dominância, os indivíduos são distribuidos em cada frente de Pareto.

Além do valor de aptidão como meio de selecionar os melhores indivíduos, existe o parâmetro chamado de distância de agrupamento (crowding distance). Seu valor representa o quanto o indivíduo esta próximo de seus vizinhos. Quanto maior a distância de agrupamento, maior a diversidade da populac ¸ão. Um populac ¸ão diversificada pode cobrir de forma mais homogênea o espac ¸o de soluc ¸ões e combater o problema de convergência para mínimos locais.

A reproduc ¸ão é feita por cruzamento (cross-over) e mutac ¸ão polinomial [START_REF] Kalyanmoy | Simulated Binary Crossover for Continuous Search Space[END_REF][START_REF] Raghuwanshi | Survey on multiobjective evolutionary and real codded genetic algorithms[END_REF]. Os indivíduos são selecionados para reproduc ¸ão utilizando a selec ¸ão por torneio binário (SBX) [START_REF] Hans-Georg | On Self-Adaptive Features in Real-Parameter Evolutionary Algorithm[END_REF][START_REF] Kalyanmoy | Simulated Binary Crossover for Continuous Search Space[END_REF] baseado em sua frente de Pareto e em sua distância de agrupamento. Quanto menor a numerac ¸ão de sua frente de Pareto (frentes superiores) e quanto maior sua distância de agrupamento, maior a chance so indivíduo ser selecionado.

TRANSFORMADA UNSCENTED

A UT é um método utilizado para calcular estatísticas de variáveis aleatórias que sofrem uma transformac ¸ão não-linear [START_REF] Julier | General method for approximating nonlinear transformations of probability distributions[END_REF][START_REF] De Menezes | Efficient extraction of statistical moments in electromagnetic problems solved with the method of moments[END_REF]. Ela utiliza um grupo de pontos fixos (pontos sigma) e pesos para realizar a aproximac ¸ão de um mapeamento não-linear.

Os pontos sigma são valores fixos dentro da func ¸ão de distribuic ¸ão de probabilidade de uma variável aleatória. No cálculo da UT, esses pontos passam por uma transformac ¸ão não-linear e em seguida são multiplicados por pesos. Utilizando os pontos sigma transformados e balanceados, a média e a variância de uma ou mais variáveis aleatórias podem ser calculadas.

O problema pode ser definido por um vetor x de variáveis aleatórias de n dimensões com uma determinada func ¸ão de distribuic ¸ão de probabilidade, com média x e covariância P xx , que passa por uma transformac ¸ão não-linear y = g (x) [START_REF] De Menezes | Efficient extraction of statistical moments in electromagnetic problems solved with the method of moments[END_REF][START_REF] De Menezes | Efficient computation of stochastic electromagnetic problems using unscented transforms[END_REF][START_REF] De Menezes | Modeling device manufacturing uncertainty in electromagnetic simulations[END_REF][START_REF] Pereira | Statistical analysis of induced ground voltage using the TLM+UT method, Electromagnetic Compatibility[END_REF]. A UT calcula uma aproximac ¸ão para a média ȳ e a covariância P yy da variável aleatória y. A aplicac ¸ão desta transformada cria uma func ¸ão de distribuic ¸ão de probabilidade discreta w i com os mesmos momentos de sua distribuic ¸ão contínua original w (û), ou seja, mesma média e variância. Os pontos desta distribuic ¸ão discreta, quando passam pela transformac ¸ão não-linear, após a multiplicac ¸ão pelos pesos, preservam a equivalência dos momentos estatísticos da nova distribuic ¸ão. Essa igualdade é mostrada na equac ¸ão 1:

E d ûk = ∞ -∞ ûk ω (û) dû = i ω i S k i (1) 
Na equac ¸ão 1, û é o conjunto de variáveis aleatórias com distribuic ¸ão conhecida, w (û) a func ¸ão de distribuic ¸ão de probabilidade contínua, w i é a func ¸ão de distribuic ¸ão de probabilidade discreta, S i são os pontos sigma e k é a ordem de aproximac ¸ão. Depois da determinac ¸ão dos pontos sigma e dos pesos, a média de g (x), Ḡ, é calculada pela equac ¸ão 2:

Ḡ = E G( Ū + û) = i ω i G( Ū + S i ) (2) 
A variância de g (x) é calculada pela equac ¸ão 3:

E G( Ū + û) -Ḡ 2 = i ω i (G( Ū + S i ) -Ḡ) 2 (3) 
O problema do cálculo dos momentos da distribuic ¸ão que sofre uma tranformac ¸ão não-linear pode ser resolvido pelo método de Monte Carlo. A UT representa uma nova abordagem de resoluc ¸ão para ser utilizada em métodos de busca intensivos e com func ¸ões de avaliac ¸ão de alto custo computacional. Nesses casos, é desejável que seja calculado o menor número possível de func ¸ões de avaliac ¸ão para que o tempo de simulac ¸ão seja viável.

APLICAC ¸ÃO DA UT E AN ÁLISE DA REDUC ¸ÃO DO CUSTO COMPUTACIONAL

Para analisar a reduc ¸ão do custo, a UT e o método de Monte Carlo foram aplicados no mesmo problema e seus resultados foram comparados. A eficiência de potência adicionada (PAE) de um amplificador de potência Doherty (Fig. 1) foi utilizada como func ¸ão y = g (x). Na equac ¸ão 4, Pout é a potência de saída RF, Pin é a potência de entrada RF e Pdc é a potência de alimentac ¸ão DC.

P AE

= P out -P in P dc (4) 
Para a obtenc ¸ão desses resultados preliminares, um método de Monte Carlo com 1000 iterac ¸ões foi utilizado como referência de nível de maior precisão. Seu valor foi utilizado para avaliar a precisão do desempenho de uma UT de quatro variáveis aleatórias (x = [x1, x2, x3, x4]) com série de Taylor truncada no segundo termo. Utilizando os pontos sigma calculados através da técnica apresentada em [START_REF] De Menezes | Efficient computation of stochastic electromagnetic problems using unscented transforms[END_REF], são necessárias 25 simulac ¸ões [START_REF] De Menezes | A new procedure for assessing the sensitivity of antennas using the Unscented Transform[END_REF] para que a incerteza da PAE seja calculada baseada nas incertezas das quatro variáveis aleatórias do circuito. Cada uma das 25 simulac ¸ões possui uma combinac ¸ão específica de pontos sigma e pesos, como pode ser vista na Tabela 1.

A Tabela 1 mostra os pontos sigma calculados e seus respectivos pesos. O método apresentado [START_REF] De Menezes | Efficient computation of stochastic electromagnetic problems using unscented transforms[END_REF] faz com que o primeiro ponto sigma tenha um peso praticamente insignificante, contudo, sua posic ¸ão na tabela foi mantida com o intuito de apresentar os pontos calculados pela técnica. O circuito utilizado foi um amplificador de potência Doherty Lite [START_REF] Cripps | RF power amplifiers for wireless communications[END_REF] com transistores em topologia push-pull em cada amplificador (Fig. 1). Os dois primeiros transistores (parte superior da Fig. 1) implementam o amplificador principal e os últimos dois, o amplificador auxiliar. As quatro variáveis aleatórias escolhidas para otimizac ¸ão foram: a tensão de polarizac ¸ão da porta dos transistores amplificador principal SRC2 (x1), a tensão de polarizac ¸ão da porta dos transistores do amplificador auxiliar SRC3 (x2), a impedância característica da linha de transmissão TLIN3 localizada na entrada do amplificador auxiliar (x3) e a impedância da linha de transmissão TLIN5 localizada antes da carga (linha para casamento de impedância entre amplificador e a carga -x4). Todas as variáveis foram modeladas com distribuic ¸ões normais e com 5% de tolerância (incerteza) em relac ¸ão ao seu valor nominal.

Apenas quatro variáveis foram escolhidas devido à limitac ¸ões de velocidade do sistema computacional utilizado. Elas foram selecionadas com base nas variáveis mais sensíveis para o desempenho do amplificador Doherty [START_REF] Cripps | RF power amplifiers for wireless communications[END_REF]. Trabalhos futuros terão como objetivo a apresentac ¸ão de resultados com a otimizac ¸ão de uma quantidade maior de variáveis. Apesar da UT possuir uma significativa vantagem sobre o método de Monte Carlo, a medida em que o número de variáveis aumenta, o número de simulac ¸ões necessárias também aumenta. Uma UT de cinco variáveis aleatórias requer 43 simulac ¸ões, uma de 6 variáveis requer 77 e uma de 7 variávies requer 143 [START_REF] De Menezes | A new procedure for assessing the sensitivity of antennas using the Unscented Transform[END_REF].

Todas as simulac ¸ões foram realizadas com o programa Advanced Design System da Agilent. Comparac ¸ões foram feitas entre testes de Monte Carlo de 500, 100 e 25 iterac ¸ões e a UT (que utilizou 25 simulac ¸ões) com o objetivo de avaliar o custo computacional e a precisão.

Os resultados da Tabela 2 mostram que com apenas 25 simulac ¸ões, a UT foi capaz de fornecer resultados com aproximac ¸ão superior a todos os testes de Monte Carlo aplicados no cálculo da média e do desvio padrão. Como a curva de eficiência do amplificador possui vários pontos, sendo que cada ponto possui um valor de média e desvio padrão diferente, a Tabela 2 apresenta o valor máximo e mínimo de erro obtido dentre todos os pontos da curva. 

M ÉTODO DE OTIMIZAC ¸ÃO DO CIRCUITO

O método de otimizac ¸ão proposto foi aplicado em um circuito préviamente projetado. Em seguida, os componentes do circuito com maior impacto em seu desempenho foram escolhidos e suas as incertezas foram modeladas através da definic ¸ão de sua média, desvio padrão e tipo de distribuic ¸ão normal. Finalmente, um intervalo de variac ¸ão para a média foi definido. O conjunto de parâmetros para guiar do NSGA-II é o número de indivíduos da populac ¸ão, o número máximo de gerac ¸ões (critério de parada), a func ¸ão multi-objetivo, e as taxas de cruzamento e mutac ¸ão.

Nesse estudo, quatro variáveis foram escolhidas para serem otimizadas (as mesmas apresentadas acima). Durante a avaliac ¸ão da populac ¸ão, cada circuito foi simulado uma vez, sem qualquer tipo de incerteza, e em seguida mais 25 simulac ¸ões foram feitas com a aplicac ¸ão das alterac ¸ões indicadas pela UT. Esse conjunto de 25 simulac ¸ões adicionais para cada circuito permite o cálculo da média e do desvio padrão que seriam obtidos se o circuito fosse produzido em larga escala. De posse desses dados de simulac ¸ão, é possível conhecer, matematicamente, quais os níveis extremos de desempenho dos circuitos produzidos, indicando assim, a viabilidade de sua produc ¸ão, seu nível de qualidade, e/ou uma possível necessidade de revisão o projeto para que possa ser implementado na tecnologia utilizada, devido às incertezas do componentes. Portanto, 26 simulac ¸ões foram feitas para cada circuito da populac ¸ão, em cada gerac ¸ão.

A otimizac ¸ão foi feita com uma populac ¸ão de 20 indivíduos, com número máximo de 20 gerac ¸ões, taxa de cruzamento em 90% e taxa de mutac ¸ão em 10%. O processo inteiro de otimizac ¸ão simulou 10400 circuitos (20x20x26).

RESULTADOS

A otimizac ¸ão foi aplicada em um amplificador de potência Doherty com os objetivos de busca aplicados na região de backoff da PAE. Esta é a região da curva de eficiência em que ela permanece alta e praticamente constante para uma faixa de potências de saída [START_REF] Cripps | RF power amplifiers for wireless communications[END_REF]. Três objetivos foram definidos nesta otimizac ¸ão: o aumento da média da PAE na região do backoff, o aumento da faixa constante de eficiência e o aumento da robustez (reduc ¸ão do desvio padrão médio da PAE na região do backoff). Para comparar os resultados, uma busca clássica também foi realizada. A diferenc ¸a entre a otimizac ¸ão clássica e a robusta é que a clássica não possui o objetivo de robustez, ela busca apenas por circuitos com maior média de PAE e maior backoff.

O desempenho de PAE de todos os circuitos da última gerac ¸ão foram plotados tanto com os resultados da otimizac ¸ão robusta quanto da otimizac ¸ão clássica (Fig. 2). Os resultados mostraram que os indivíduos da otimizac ¸ão robusta ficaram concentrados (lado esquedo da Fig. 2), todos com desempenho muito próximos e localizados na mesma região. Os resultados da otimizac ¸ão clássica ficaram espalhados (lado direito da Fig. 2).

Os resultados de ambas otimizac ¸ões são 20 circuitos que compoem uma frente de Pareto, ou seja, considerando os três objetivos, nenhum circuito possui dominac ¸ão sobre o outro. Pelo fato de serem três objetivos, cada circuito representa um ponto em um plano tridimensional em que cada eixo representa um objetivo. Neste plano é possível encontrar circuitos com desempenho máximo em uma das características e menor desempenho nas outras duas, assim como, circuitos com desempenho equilibrado nas três características.

A Fig. 3 corresponde aos resultados da otimizac ¸ão robusta. Nessa figura, foram plotados os desempenhos dos circuitos com valores extremos de robustez, backoff e PAE, na respectiva sequência. A Fig. 4 contém os resultados da otimizac ¸ão clássica, onde foram plotados os circuitos com desempenhos extremos de backoff e PAE. Foram plotados apenas dois circuitos para a otimizac ¸ão clássica pois coincidentemente o circuito com maior robustez também foi o mesmo com maior PAE, como pode ser observado na Tabela 5.

Figura 2: Desempenho de PAE da populac ¸ão da otimizac ¸ão robusta (esquerda) e clássica (direita)

AN ÁLISE DOS RESULTADOS

Ao comparar os indivíduos de ambas otimizac ¸ões, Fig. 2, observa-se uma diferenc ¸a no número de circuitos com comportamento de eficiência constante, característico de um Doherty bem sintonizado. A otimizac ¸ão robusta apresentou três gráficos sem essa região de PAE constante e todos os circuitos clássicos apresentaram essa região. Esse resultado foi obtido pois utilizando apenas as quatro variáveis de otimizac ¸ão escolhidas, comportamentos de maior robustez também foram encontrados em circuitos sem a modulac ¸ão de carga do Doherty, com isso, três circuitos com curva de eficiência semelhante a amplificadores classe AB/B Figura 3: Circuitos da otimizac ¸ão robusta com maior desempenho em robustez, backoff e PAE, respectivamente. foram para a frente de Pareto. Esse comportamento classe AB/B pode ser observado no amplificador Doherty quando ele não esta corretamente ajustado (problemas no casamento de impedâncias e nas polarizac ¸ões).

Os resultados da Fig. 2 (lado esquerda) mostraram que os indivíduos da otimizac ¸ão robusta ficaram concentrados devido à busca por robustez. A busca clássica é cega quando a robustez do circuito, portanto, todos eles cobriram o gráfico de PAE com espac ¸amento praticamente igual. O fato da busca por robustez alterar drasticamente os resultados de níveis de eficiência reforc ¸a a hipótese de que existe uma ligac ¸ão entre a incerteza do circuito e sua eficiência. Dessa forma, alguns circuitos projetados para terem níveis ótimos de eficiência possuem baixa probabilidade de serem fabricados com sucesso. Isso ocorre devido à incerteza final de seu desempenho, resultante das incertezas individuais de seus componentes.

A busca clássica apresentou resultados com eficiência constante a partir do nível de 45%. A busca robusta apresentou todos seus circuitos com níveis de eficiência próximos de 60%, Fig. 2 (lado esquerdo), além de possuirem níveis maiores de robustez que a otimizac ¸ão clássica.

Nas Tabelas 3 e 4 os valores dos 20 circuitos que compoem as frentes de Pareto de cada otimizac ¸ão foram apresentados. Em cada uma delas é possível observar os valores das variáveis de otimizac ¸ão, o valor médio da PAE na região de backoff, o tamanho do backoff (dBm) e o desvio padrão médio na região de backoff da PAE (que representa a medida da robustez). A Tabela 5 compara os valores de desempenho dos circuitos da otimizac ¸ão clássica e robusta que tiveram maiores níveis de PAE, backoff e robustez.

O circuito com maior backoff da otimizac ¸ão clássica é apresentado na Fig. 4, gráfico da direita, e o circuito com maior backoff da otimizac ¸ão robusta foi apresentado na Fig. 3, gráfico do centro. É possível observar uma clara diferenc ¸a de robustez entre eles. Essa comparac ¸ão demonstra que utilizando a otimizac ¸ão robusta é possível obter circuitos com níveis próximos de backoff e eficiência mas com maior robustez significativamente maior.

Os demais circuitos plotados nas Fig. 4 e 3 demonstram o compromisso entre nível máximo de eficiência do circuito e o tamanho do backoff (característica própria do amplificador Doherty). Como os sistemas de comunicac ¸ão mais novos possuem alto PAPR, como por exemplo o OFDM, é mais vantajoso utilizar amplificadores com níveis um pouco menores de eficiência de pico mas com backoff mais extensos que possam fornecer eficiência máxima para todos os níveis de potência requisitados. 

CONCLUS ÃO

A técnica da UT para calcular as incertezas do desempenho do circuito, basedas nas incertezas de seus componentes, foi apresentada. Os resultados foram validados com o método de Monte Carlo com 1000 interac ¸ões e comparac ¸ões foram feitas. A reduc ¸ão de custo computacional apresentado pela UT permitiu a concepc ¸ão de um otimizador guiado por robustez com tempo computacional viável.

O otimizador genético robusto baseado na UT realiza uma varredura nas possibilidades de desempenho das func ¸ões objetivo, dentro do intervalo definido nas variáveis de otimizac ¸ão. A busca guiada pelo parâmetro de robustez permite o estudo do comportamento do circuito e a definic ¸ão de circuitos com maiores chances de terem sucesso em sua implementac ¸ão. Essa func ¸ão auxilia o projeto com múltiplas restric ¸ões, a medic ¸ão de possíveis variac ¸ões no desempenho final e evita a obtenc ¸ão de resultados inesperados no processo de fabricac ¸ão. 

Figura 1 :

 1 Figura 1: Esquemático do Amplificador de Potência Doherty

Figura 4 :

 4 Figura 4: Circuitos da otimizac ¸ão clássica com maior desempenho em PAE e backoff, respectivamente.

Tabela 2 :

 2 Comparac ¸ão entre Monte Carlo e UT com base em um Monte Carlo de 1000 iterac ¸ões

	Estatística	Método Erro Máximo(%) Erro Mínimo (%)
	Média Monte Carlo 500	1.422621426	0.052105018
		Monte Carlo 100	2.633516331	0.07266602
		Monte Carlo 25	6.75630089	0.480405393
		UT 25	0.786531344	0.027630973
	Desv. Padrão Monte Carlo 500	3.307979041	0.263539783
		Monte Carlo 100	13.88537443	0.289326638
		Monte Carlo 25	21.30773821	3.867651622
		UT 25	3.249667183	0.054493952

X Congresso Brasileiro de Inteligência Computacional (CBIC'2011), 8 a 11 de Novembro de 2011, Fortaleza, Ceará c Sociedade Brasileira de Inteligência Computacional (SBIC)