spi.nrj
Wellington Betencurte 
  
Helcio Rangel 
  
Barreto Orlande 
  
Marcelo José 
  
Colaço Olivier 
  
Fudym Tese 
  
Helcio Rangel Orlande 
  
Barreto 
  
Wilson Meiler 
  
I I Agradecimentos 
  
Agradeço 
  
Em Especial 
  
Lamien Bernard 
  
Jean Pinho 
  
José Martim 
  
Costa Junior 
  
Souleymane Zio 
  
Bianca Borem 
  
Ana Claudia Magalhães 
  
Evaldiney Monteiro 
  
Vinicius Sauer 
  
Bruno Britto 
  
Diego Cardoso Estumano 
  
José Mir Costa 
  
Apoena Calil 
  
Antonio Alves 
  
Ivana Cerqueira 
  
Milena Vilar 
  
Henrique Massard 
  
Juliane De Almeida 
  
Analice Brandi 
  
Suenia Lacerda 
  
William Montes 
  
Jacqueline Azevedo 
  
Nayane Portela 
  
Mélanie Rochoux 
  
Julio Cezar 
  
Paulo Veiga 
  
Paulo Cezar 
  
Também 
  
LMT Lavi 
  
Aos Professores 
  
Marcelo José Colaço 
  
Olivier 
  
Renato Machado Cotta 
  
Aplicação De 
  
Filtros De 
  
Partículas Para 
  
A Assimilação 
  
D E Dados 
  
E M Problemas 
  
D E Fronteira 
  
Móvel Wellington 
  
Betencurte Da 
  
Silva Novembro 
  
Olivier Fudym 
  
Da Silva 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Orientadores

Muitas áreas da engenharia requerem a

xi

LISTA DE FIGURAS

a prevenção e combate aos incêndios, como para os setores que aproveitam o fogo como fator essencial ao seu desenvolvimento. Por isso, prever a posição da fronteira da chama e estimar os parâmetros que influenciam sua velocidade em cada tempo, a partir de imagens térmicas obtidas de aviões ou satélites, é um problema inverso complexo. Esta dificuldade advém da grande quantidade de dados a serem tratados, estes com uma baixa relação sinal/ruído e a grande quantidade de parâmetros a serem estimados. Desta maneira, a implementação de técnicas de estimação são de grande importância na redução dos custos computacionais e na obtenção da solução do problema inverso em um tempo real.

Nos últimos 50 anos, inúmeras pesquisas foram realizadas sobre o comportamento dos incêndios florestais. Isso tem proporcionado o aparecimento de diversos modelos de propagação do fogo. Esses modelos são considerados ferramentas para predizer a taxa propagação da frente da chama quando os fatores de propagação são descritos; isto é, velocidade e direção do vento, inclinação do local, propriedades da vegetação como: carga combustível, umidade e etc.

Esses modelos criados para tentar simular a propagação ou comportamento do fogo, são considerados como problemas diretos. Onde o objetivo desses tipos de problemas é de determinar o campo de temperatura no meio, quando todas as características causais (condição de contorno, propriedades termofísicas, etc.) são especificadas.

O problema de predizer as fronteiras da chama e estimar os parâmetros que influenciam essa velocidade da chama é considerado um problema inverso, pois estes são matematicamente classificados como mal-postos, ou seja, sua solução é muito sensível a erros experimentais. O objetivo do problema inverso é estimar uma ou mais dessas características causais, a partir da medida da resposta do sistema.

Em problemas inversos os métodos determinísticos são baseados na minimização da norma de mínimos quadrados levam a uma estimação pontual sem considerar a natureza estatística das incertezas, e sem quantificar as incertezas na solução inversa.

Por outro lado, a inferência Bayesiana fornece a solução do problema inverso formulando uma descrição probabilística completa dos parâmetros desconhecidos e das incertezas associadas, dados os valores experimentais das medidas.

Os problemas de estimação do estado também são conhecidos como problemas inversos não estacionários (KAIPIO e [START_REF] Kaipio | Statistical and Computational Inverse Problems[END_REF]. Eles são de grande interesse em inúmeras aplicações práticas, a fim de produzir estimativas sequenciais das variáveis desejadas, através de modelos estocásticos e medidas experimentais. Isso é feito de tal maneira que o erro seja minimizado estatisticamente [START_REF] Maybeck | Stochastic models, estimation and control[END_REF].

Problemas de estimação de estado são resolvidos com os chamados filtros Bayesianos. Na abordagem Bayesiana é feita uma tentativa para utilizar todas as informações disponíveis, com o intuito de reduzir a incerteza presente em um problema de inferência ou decisão. As novas informações obtidas são combinadas com as informações anteriores para formar a base para procedimentos estatísticos. O mecanismo formal utilizado para combinar a nova informação com a informação anteriormente disponível é conhecido como teorema de Bayes.

O filtro Bayesiano mais conhecido é o filtro de [START_REF] Kalman | A new approach to linear filtering and prediction problem[END_REF] No Capítulo 5 são apresentados e discutidos os resultados obtidos pelos filtros de partículas apresentados no capítulo 3, aplicados aos problemas descritos no capítulo 4.

Finalmente, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões referentes ao trabalho.

REVISÃO BIBLIOGRAFICA

A presente seção apresenta uma revisão bibliográfica dos trabalhos disponíveis na literatura para os principais temas tratados nesta tese, que são: Inferência Bayesiana, os Filtros Bayesianos e a aplicação de filtros bayesianos da classe de filtros de partículas em problemas inversos de transferência de calor.

Inferência Bayesiana

A classe de métodos denominada Monte Carlo Sequencial (SMC), também denominado de filtro de partículas, foi originalmente introduzida no início dos anos 50 pelos físicos e se tornou muito popular nos últimos anos em estatística e campos relacionados. Tais métodos são amplamente utilizados para resolver problemas sequenciais de Inferência Bayesiana. O uso da teoria Bayesiana em estatística começou a crescer a partir da década de 60, principalmente com os avanços computacionais. Essa teoria é baseada no teorema de Bayes, em que a distribuição a priori fornece as informações disponíveis da variável desconhecida antes de se levar em consideração medidas experimentais do processo em análise. A função de verossimilhança tem como objetivo corrigir a informação inicial, embora essa idéia não significa necessariamente que a informação estivesse equivocada: essa informação poderia estar incompleta, por isso essa função vai incorporando mais e mais informação, a fim de encontrar a variável desconhecida, ou seja , a distribuição a posteriori. [START_REF] Gamerman | Markov Chain Monte Carlo -Stochastic Simulation for Bayesian Inference[END_REF] apresentou uma abordagem simples e consistente da teoria e aplicação dos métodos MCMC -Markov Chain Monte Carlo. Em seu livro, as técnicas MCMC são descritas de forma clara, objetivando alcançar uma larga faixa de público, nas diversas áreas do conhecimento, com interesse em simulação estocástica por inferência Bayesiana.

WANG e ZABARAS (2004,2005,2006), apresentaram os conceitos e aplicação da inferência Bayesiana direcionados à área de problemas inversos em transferência de calor. Nestas referências, problemas unidimensionais e bidimensionais de condução de calor por inferência Bayesiana foram resolvidos e discutidos tanto para a estimativa do fluxo de calor na fronteira de um sólido, como para a estimativa do termo fonte,

propriedades termofísicas e erro de localização de termopares. Os métodos estatísticos de inferência são apresentados para problemas de estimação de parâmetros distribuídos espacialmente.

KAIPIO

Filtros Bayesianos

Os Filtros Bayesianos são métodos probabilísticos que utilizam um algoritmo recursivo para estimativa e atualização de estados dinâmicos de um sistema a partir da leitura de sensores, comandos, modelos, bases de conhecimento e outros. Desta forma a principais contribuições deste trabalho foi à utilização do problema de estimação de estado combinado com os filtros de partículas na solução de problemas inversos para a estimação de parâmetros e funções. Desta forma, conseguiram-se resultados bem promissores para o problema de propagação de incêndio considerado complexo.

MÉTODOS DE MONTE CARLO SEQUENCIAL

Os Métodos Monte Carlo Sequencial (Sequential Monte Carlo Methods -SMC) são um conjunto de métodos de simulação que fornecem uma aproximação computacional atrativa para a distribuição a posteriori. Estes métodos são muito flexíveis, fáceis de implementar e aplicáveis em diversas áreas [START_REF] Arulampalam | A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking[END_REF]. Porém, só nos últimos anos, com o aumento do poder computacional disponível, tornou-se possível o avanço destes métodos, principalmente para a utilização da integração numérica.

Os métodos SMC são capazes de predizer uma variável desconhecida a partir de um conjunto de dados. Geralmente nestes casos é necessário que estes dados ou observações sejam geradas em tempo real e também é desejável que a estimação seja feita em tempo real.

Contudo, antes de entrar nos métodos SMC é necessário introduzir os seguintes tópicos: Inferência Bayesiana, Integração de Monte Carlo, método de simulação -A Amostragem por Importância e problemas de Estimação de Estado.

Inferência Bayesiana

A inferência Bayesiana não faz distinção entre variáveis aleatórias e os parâmetros de um modelo, no sentido de que todos são considerados aleatórios. Seja z o vetor de observação e x o vetor de parâmetros. Partindo de uma distribuição a priori

 

 x , a qual representa o grau de conhecimento ou a crença acerca do vetor de parâmetros,    z x é a distribuição de probabilidade dos dados dado o valor do vetor x (    z x é chamada de função de verossimilhança do modelo). Uma vez que os dados z contêm informação acerca de x , pode-se usar z para atualizar a informação de x determinando-se a distribuição condicional de x dado z . Usando o teorema de Bayes, esta distribuição é dada por: 

            posteriori d          z x x x x z z x x x ( 
          x z z x x (3.2)

Integração de Monte Carlo

O método de integração de Monte Carlo é utilizado para aproximar as integrais estatísticas que são difíceis ou impossíveis de serem calculadas analiticamente. Suponha que o interesse esteja na esperança da distribuição a posteriori de uma função  

f x , isto é:       f f d         x x z x x z x (3.3) Esta integral pode ser aproximada gerando amostras   , 1,..., i i L  x da distribuição   
x z e calculando a média da distribuição a posteriori, conforme segue:

    1 1 L i M i f f L    x (3.4) Onde M f converge quase certamente para   f      x z pela Lei Forte dos Grandes
Números [START_REF] Breiman | Probability[END_REF].

Método de Simulação -Amostragem por Importância

O cálculo das estimativas (3.3), que geralmente são complicados para problemas não-lineares e não gaussianos, desperta um grande desafio para os pesquisadores. A fim de superar este problema, MARSHALL, ( 1956) apresentou uma abordagem baseada na amostragem por importância (Importance Sampling -IS). Onde a idéia do método é utilizar uma densidade de importância conhecida ( | ), a qual é relacionada com a distribuição  

 x z através do peso de importância dado por       w q   x z x x z . Daí, tem- se que:                 f f q d f w q d q           x x x z x z x x z x x x x z x x z (3.2)
A aproximação é calculada por :

          1 i i i f f w N        x z x x (3.6) Onde:   0   x z e   0 q  x z
(KLOEK e [START_REF] Kloek | Bayesian estimates of equation system parameters: an application of integration of Monte Carlo[END_REF].

O processo de amostragem por importância estima numericamente o valor esperado do método de Monte Carlo, trocando valores médios, mais complicados, por médias aritméticas simples. Este tipo de procedimento proporciona uma significativa redução do custo computacional em simulação. Porém, o método IS só funciona bem quando ( | ) é uma boa aproximação para a função objetivo, isto é quando as ponderações dos pesos de importância são próximos de 1.

Problema de Estimação de Estado

Uma das principais questões em problemas de estimação de estado é a modelagem a ser utilizada para representar tanto a observação/medida quanto a evolução dos estados. Particularmente, esta modelagem é representada em espaço de estados de sistemas dinâmicos, no qual o modelo de evolução de estados junto com o modelo de observação constitui esta representação.

Os Modelos Dinâmicos ou Modelos de Espaço de Estado são formulados para permitir alterações nas variáveis de estado que serão estimadas com o passar do tempo.

Os problemas de predição de estado são utilizados para representar tanto as observações (medidas) quanto as evoluções das variáveis de estado.

O problema de estimação de estado em geral denota que as informações disponíveis são conhecidas pela variável z . Supondo um vetor desconhecido x como uma variável aleatória, e com o objetivo de calcular uma estimativa

 x para x baseada nas medidas z , na qual o critério     x, x seja minimizado, o critério normalmente utilizado é     2    x, x x x   , onde 2    indica a norma 2 L no espaço Euclidiano de x .
O estimador pode ser pensado como um mapeamento de   :  x z x . Na qual a idéia é obter o melhor desempenho médio sobre a distribuição de x . Esta analogia lembra o problema de estimativa do mínimo erro médio quadrático

 2  E x x   cuja solução é conhecida como o valor esperado condicional de x dado z , ou seja,     E x z .
O problema de estimação de estado pode ser visto como uma versão especial do caso mais geral do problema de estimativa do erro médio quadrático (VIANNA, 2010), no qual a distribuição a priori para a variável de estado desconhecida k

x no tempo k t é dada por um modelo de evolução no tempo.

Para analisar ou fazer inferência sobre sistemas dinâmicos ou de evolução de estado, faz-se uso de dois modelos: um destes modelos descreve a evolução do sistema da variável do estado no decorrer do tempo e o outro é relacionado com as medidas.

Considere o modelo de evolução da variável de estado, dado pelo vetor x de acordo com a equação (3.7). Considere agora o modelo das observações dado pela equação (3.8).

= ( , )

Onde as medidas são dadas por ∈ avaliadas no tempo. As medidas são relacionadas com a variável de estado através da função que pode ser não linear.

Também têm-se os ruídos dos dados observados, que são representados pelo vetor ∈ .

O problema de estimativa de estado tem como objetivo obter as informações sobre o vetor baseado nos modelos de evolução e de observação (medidas) dados pelas equações (3.7) e (3.8) utilizados as seguintes suposições:

(i) A sequência = 1, 2, …, é um processo Markoviano de primeira ordem, isto é, nas equações abaixo.

( | , , … , ) = ( | ) (3.9.a) (ii) A sequência = 1, 2, …, é um processo Markoviano com respeito à historia de , isto é, ( | , , … , ) = ( | ) (3.9.b) (iii)
A sequência depende somente da sua observação passada, através da sua própria história, isto é

( | , : ) = ( | ) (3.9.c)
A equação (3.9.a) significa que toda a historia das variáveis de estado é resumido só pelo estado anterior. Já a equação (3.9.b) mostra o modelo probabilístico das medidas só depende do estado atual. Alem disso, dado os estados para todos os tempos, as medidas são condicionalmente independentes. Por fim, a equação (3.9.c) mesmo tempo uma formulação diferente representa a mesma justificativa da equação (3.9.a).

Além disso, para a evolução do modelo de observação dado pelas equações (3.7 e 3.8) presume-se que os vetores de ruído e , assim como e , são mutuamente independentes entre si, para i ≠ j. Os vetores e são também independentes para todo i e j (KAIPIO e SOMERSALO, 2004).

Diferentes problemas podem ser considerados como os modelos de observação e evolução, a saber, (KAIPIO e SOMERSALO, 2004). (iv) O problema de suavização de domínio inteiro (whole-domain smoothing problem) de estado cujo objetivo é estimar π( | : ), onde { , K = 1,…,t é toda sequência de medidas.

Segundo [START_REF] Anderson | Optimal Filtering[END_REF] o problema de previsão tem seu objetivo principal em obter a partir de dados num tempo "k" a informação de dados em um tempo "k + λ", onde λ é um número inteiro maior que 1. O problema de filtro tem seu objetivo principal em obter a partir de dados num tempo "k" a informação de dados em um tempo "k+1", é o problema online. Por fim, a suavização a informação de um dado num certo período de tempo "k" não é disponível, com isso utilizam-se medidas obtidas em tempos posteriores ao "k" (como exemplo "k + λ") para obter a informação no tempo desejado. 

Filtro de Partículas

Os problemas de estimativa de estados apresentados na seção anterior podem ser resolvidos de várias formas. 

    1 1 ( ) i i k k k k k k x     w x w z x Não existe Completo SIR   ( ) i i k k k k   w x z x Reamostragem Completo ASIR   ( ) 1 ( ) ( ) i k k i k k i j k k     z x w x z u Filtro SIR+ Variável Auxiliar Completo Filtro Monte Carlo com Amostragem Sequencial   ( ) i i k k k k   w x z x , k=1     1 1 1 1 ( ) ( ) i k k i k k k k i k k x        z x w x w z x k>1 MCMC + Metropolis Hasting Incompleto Monte Carlo Sequencial sem o cálculo da função de verossimilhança   ( ) i i k k k k   w x z x , k=1     1 1 1 1 ( ) ( ) i k k i k k k k i k k x        z x w x w z x k>1
Cálculo da Distância Euclidiana Incompleto Figura 3.2: Esquema dos filtros de partículas para problemas inversos.

O filtro amostragem por importância sequencial (SIS)

Os filtros de partículas são baseados no método Amostragem por Importância 

i k i   w ,
onde a distribuição a posteriori no instante pode ser aproximada por:

Medidas k z Função de Verossimilhança   i k k z x  Distribuição a priori dos parâmetros   1 k x   Geração das partículas   1 , 1,..., i i k k k i N     x x x
Cálculo dos dados

simulados:   i k T x Distribuição a posteriori   i i posteriori k k k   x
x w

Cálculo dos pesos , 1,..,

i k i N  w
Cálculo das variáveis de estados: 

  1 ou N i i k k k i k posteriori k       x x w x x Evolução do modelo   1 k k   Até k = tfim Início do programa k = 1     1 N i i k k k k k i       x z w x x (3.
    k k i k k k w q   x z x z (3.11)
Utilizando o teorema de Bayes, junto com a simulação recursiva, [START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in Practice[END_REF], apresentaram a atualização dos pesos:

      1 1 1 , i i k k k k i i k k i k k k w w q       z x x x
x x z (3.12)

Este algoritmo foi à idéia original do método SIS [START_REF] Hammersley | Monte Carlo Methods[END_REF]. Porém, tal método apresentou o problema de degeneração das partículas, que significa um aumento gradual da variância dos pesos, ou seja, após algumas iterações, apenas uma das partículas tem um peso não desprezível [START_REF] Doucet | On sequential Monte Carlo methods for Bayesian filtering[END_REF]. Uma estratégia para limitar a degeneração das partículas está na escolha da distribuição por importância, pois é ela que determina a eficiência e a complexidade do filtro de partículas e minimiza a variância dos pesos por importância. A distribuição por importância igual à , é dada como a escolha ótima. Porém, o cálculo dos pesos seria muito complicado e em alguns casos sujeitos a condições mais restritivas [START_REF] Arulampalam | A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking[END_REF]e DOUCET et al, 2000).

A escolha mais conveniente e a mais utilizada consiste em utilizar a densidade de importância sendo a distribuição a priori, ou seja: 1996), [START_REF] Kong | Sequential imputations and Bayesian missing data problems[END_REF] utilizou esta idéia para obter a seguinte fórmula para os pesos de importância, dada pela equação (3.14). Isto é os pesos são apenas atualizados pela função de verossimilhança.

    1 1 , i i k k k k k q     x x z x x (3.13) CHEN e LIU (

=

(3.14)

O filtro amostragem por importância e reamostragem sequencial (SIR)

O filtro amostragem por importância e reamostragem sequencial (Sequential Importance Resampling -SIR) [START_REF] Gordon | Novel approach to nonlinear and non-Gaussian Bayesian state estimation[END_REF] é derivado do algoritmo SIS, no qual foi criada uma etapa adicional para evitar o problema de degeneração das partículas. Este fenômeno ocorre quando toda a amostra, exceto uma partícula, tem um peso muito pequeno após algumas evoluções do algoritmo do filtro de partícula padrão.

A degeneração faz com que um grande esforço computacional seja feito para atualizar amostras que contribuem muito pouco para a aproximação de ( | ). Uma medida de degeneração do algoritmo do filtro de partícula, dada pelo tamanho amostral efetivo foi introduzida por [START_REF] Bergman | Recursive Bayesian estimation: Navigation and tracking applications[END_REF] e LIU e CHEN (1998), o qual é definido pela equação (3.15). Valores de pequenos significam uma severa degeneração.

Como o fenômeno da degeneração é indesejável, tem-se como objetivo tentar reduzi-lo.

Um modo de tentar reduzir este efeito é escolher um valor elevado para o número de partículas, o que é em muitos casos impraticável. Por isso, o modo mais comum de reduzir este efeito é a utilização da reamostragem.

A figura 3.3 apresenta o processo de seleção das partículas através da reamostragem, onde: (1) são as partículas com peso uniforme no momento t = ; (2) são os pesos das partículas atualizados após as medições;

(3) Re-Amostragem: Embora a quantidade total de partículas seja a mesma, aquelas com menor peso são descartadas e aquelas com maior peso dão origem a novas partículas próximas às regiões de maior probabilidade e (4) são as partículas com pesos uniformes no momento .

Este procedimento foi inicialmente proposto por [START_REF] Gordon | Novel approach to nonlinear and non-Gaussian Bayesian state estimation[END_REF], denominado filtro de partículas bootstrap (FPB). Ao amostrar proporcionalmente a verossimilhança, o filtro de partículas (FP) focaliza nas regiões da distribuição onde a verossimilhança é maior, ou seja, onde as boas aproximações significam maior importância. Como dito anteriormente, a idéia da reamostragem é eliminar as partículas com pequenos pesos normalizados. Desta forma, ocorre uma seleção pelas partículas de maior peso ou de maior importância. Uma medida da degeneração do algoritmo é o tamanho efetivo da amostra ( ) (KONG et al, 2000). x , de acordo com as regiões de maior importância, dadas pela função de verossimilhança

=
    1 i k k   z x
. Assim, PITT e SHEPHARD (1999) apresentaram uma terminologia chamada de densidade preditiva empírica, dado por:

            1 1 1 1 N i i i k k k k k k k i          x z z x x x w (3.17)
Onde a equação (3.17 

        , | , | k k i k k k k k k k q q w     x β z x x z β x z z (3.20)
Adaptando esses pesos para a amostra do par 1 { , } 

PROBLEMAS FÍSICOS E FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS

Problema de Condução de Calor

Nesta seção será apresentada a formulação matemática do problema físico inicialmente estudado neste trabalho, que é um problema direto de condução de calor. O objetivo do problema direto é a determinação do campo de temperaturas, sendo conhecidas a distribuição inicial de temperatura, as propriedades termofísicas do material, e as condições de contorno nas superfícies.

O problema físico envolve condução de calor transiente unidimensional em uma placa de tamanho L, em coordenadas Cartesianas, com fluxo de calor q(t) imposto em x=0 e troca de calor por convecção x=L,conforme ilustrado na figura 4.1.

Figura 4.1: Esquema do Problema de condução de calor

A equação que governa a distribuição das temperaturas na placa é dada por:

( , ) = 1 ( , ) 0 < < > 0 (4.1)
Com condições de contorno abaixo: Assim temos a nova formulação adimensional dada por:

- ( , ) = ( ) = 0 > 0 (4.2) ( , ) + ℎ ( , ) = ℎ = > 0 (4.3) E condição inicial: ( 
Φ( , ) = Φ( , ) 0 < < 1 > 0 (4.6)
Sujeita às condições de contorno abaixo:

- Φ( , ) = ( ) = 0 > 0 (4.7) Φ( , ) + Φ( , ) = 0 = 1 > 0 (4.8)
Com a condição inicial:

Φ( , ) = Φ 0 < < 1  = 0 (4.9)
O problema direto dado pelas equações (4.6-4.9) foi resolvido pelo método implícito de diferenças finitas. A função de verossimilhança π(z|x) é dada por (BECK e ARNOLD, 1997, KAIPIO e [START_REF] Kaipio | Statistical and Computational Inverse Problems[END_REF][START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF]: 

Φ( , ) = Φ( , ) 0 < < 1 > 0, = 2, … , (4.10) - Φ( , ) = ( ) = 0 > 0 (4.11) Φ( , ) + Φ( , ) = 0 = 1 > 0 (4.12) Φ( , ) = Φ 0 < < 1  = 0 ( 
cov cov 1/2 /2 1 T 1 1 ( ) (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 U               z x W z -T x W z -T x ( 
w = = cov 1/2 /2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 U k i i k k k Q Q            W z -T W z -T 2 

Evolução do Modelo

 Faça 1 k k   . Se 1 final k k   , então pare.  Q = ( -1) + para 1,..., i N 
. Retorne para passo 2. Tabela 4.2: Algoritmo do filtro ASIR para o problema de condução de calor 1. Inicialização a. Faça k=1; b.

( ) = 1/ 2. Cálculo da amostra do estado do sistema para a Variável Auxiliar a. Calcule = Q = ( -1) + 3. Avaliação dos Pesos a. Calcule a função de verossimilhança: ]. f. Para j = 1,…, N, faça:

= cov 1/2 /2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 i i k k U k k            W z -T u W z -
 Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas j i k k
  u u 5. Calcule a função de verossimilhança de:

  cov 1/2 /2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( ( ) | )) ( ) 2 j j j U k k k k k k                 W z -T u W z -T u z u 6. Evolução do Modelo a. Calcule as partículas: Q = j k  u + para = 1, … , . 7.
Avaliação dos Pesos a. Calcule a função de verossimilhança

( ) = cov 1/2 / 2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( ) ( ( )) 2 U i i k k k k Q Q            W z -T W z -T b.
Calcule os novos pesos:

    |Q | j k k i k k k i     z z u w c. Normalize os pesos: ( ) = ( ) ∑ ( ) 8. Cálculo da Estimativa do Estado Atual  ( ) = ∑ ( ). ( )  Faça k = k + 1, se k = t
+ 1, então pare. Com as novas partículas, retorne ao segundo passo.

Nesse trabalho todos os problemas que utilizaram medidas simuladas, foram fabricados de acordo com a equação (4.14) e tiveram o cálculo das incertezas das medidas dadas de acordo com a sugestão de OZISIK e ORLANDE (2000).

Problema de Solidificação

Nesta seção será apresentada a formulação matemática do problema de solidificação. A formulação matemática apresentada aqui considera conhecidas a distribuição inicial de temperatura, as propriedades termofísicas da água no estado líquido e sólido, e as condições de contorno, que constitui um problema direto de solidificação. O objetivo do problema direto é a determinação do campo de temperatura para um problema de solidificação, unidimensional em um meio semi-infinito, transiente e em coordenadas cilíndricas, no qual têm-se um sorvedouro de calor Q W/m (line heat sink) no eixo do cilindro, como mostra a figura 4.2.

Figura 4.2: Esquema do Problema Não Linear (ÖZISIK, 1980)

A formulação matemática para a fase sólida do problema é dada por:

1 = 1 ( , ) 0 < < ( ) > 0 (4.18)
Enquanto a formulação matemática para a fase líquida do problema é dada por: As soluções para as fases sólida e líquida, retirada de (ÖZISIK, 1980), são dadas respectivamente por: 

1 = 1 ( , ) 0 < < ( ) > 0 (4.19.a) ( , ) → → ∞ > 0 (4.
( , ) = - - 4 0 < < ( ) (4.12.a) ( , ) = - - 4 
+ 4 (-) = - - = ( 
( ) = ( ) + 2 - + (4.30) Para < ( ) ( , ) = ( , ) + 4 - 4 - - 4 + Para ( ) < ( , ) = ( , ) - ( -) - - 4 - - 4 + Para ( ) < < ( ) ( , ) = ( , ) + 4 - 4 -( ) + ( -) -1 + - 4 - + ( 
w = q , s = cov 1/2 /2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( , )) ( ( , )) 2 i i i i k k k k U k k q q s s            W z -T W z -T 2 

Evolução do Modelo

o Faça 1 k k   . Se 1 final k k   , então pare. o q = ( -1) +  s = ( ) + 2 - + para 1,..., i N  .
Retorne para passo 2. ( ) = 1/ 2. Cálculo da amostra do estado do sistema para a Variável Auxiliar = q = ( -1) + = s = ( ) + 2 -+ 3. Avaliação dos Pesos a. Calcule a função de verossimilhança: 

= cov 1/ 2 /2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( 1 , 2 )) ( ( 1 , 2 )) 2 U k k i i i i k k k k            W z -T u u W z -T
 Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas e 1 1 2 2 j j i i k k k k     u u u u 5. Calculem a função de verossimilhança de:   cov 1/2 / 2 1 T cov 1 1 , 2 (2 ) exp ( ( 1 , 2 )) ( ( 1 , 2 )) 2 | i i i i i i k k k U k k k k k k              u u W z -T u u W z -T u u z 6. Evolução do Modelo a. Calcule as partículas: q = 1 j k  u + s = 2 j k  u + 2 - + para = 1, … , . 7.
Avaliação dos Pesos a. Calcule a função de verossimilhança

, s = cov 1/2 /2 1 T cov 1 (2 ) exp ( ( ) ( ( )) , , 2 i i i i k k k k k k U q s q s            W z -T W z -T b. Calcule os novos pesos:     | , , | 1 2 j j i i k i k k k k k k q s      z u u w z c. Normalize os pesos: ( ) = ( ) ∑ ( ) 8. Calculo da Estimativa do Estado Atual ( ) = ∑ ( ). ( ) e ( ) = ∑ ( ). ( ) a. Faça k = k + 1, se k = t
+ 1, então pare. Com as novas partículas, retorne ao segundo passo.

Problema de Propagação de Incêndio

Os incêndios florestais são um dos maiores desastres naturais que ameaçam o mundo. Cada ano, milhares de hectares de áreas cobertas de vegetação são consumidas pelo fogo, colocando em risco toda a fauna e flora, como mostra a figura 4.3.   , , , 

f f R R U M V   ( 4 
  1 p D Le D C            
. Esse modelo empregado foi colocado em condições estequiométricas e introduziram a variável de progresso c. Essa variável para ROCHOUX et al, (2010) representava a temperatura adimensional, tanto para c=1 que significa a área queimada, quanto para a área não queimada representada por c=0 (gás fresco). A chama é descrita na região entre 0 à 1, como mostra a figura 4.5. 

L KPP L KPP L KPP L KPP L KPP L KPP D s s aD s D a a                   (4.
   ,   1/ 2    . Logo, tem-se uma nova definição para D e a da seguinte forma. , , , 1 2 2 1 2 L KPP L KPP L KPP s aD D s D a s a                        (4.36)
A equação (4.37) permite expressar a velocidade e a espessura como sendo os coeficientes da equação de reação e difusão, onde a distribuição de combustível não é uniforme.

 

, , 

1 (1 ) 2 2 L KPP L KPP s c c s c c t                       ( 

 

(1 ) 2 2 Calcule a função de verossimilhança: ]. i.

L L S S c c c c t                        (4.
w = = 1/2 /2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 U k kpp k kp i k p i k            W z -T s W z -
= 1/2 /2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 i i k k U k k            W z -T u W z -
Para j = 1,…, N, faça:

 Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas j i k k   u u 5. Calculem a função de verossimilhança de:   1/2 /2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( ( ) | )) ( ) 2 j j j U k k k k k k                 W z -T u W z -T u z u 6. Evolução do Modelo a.
Calcule as partículas:

= j k  u + para = 1, … , .

Avaliação dos Pesos a.

Calcule a função de verossimilhança

( ) = 1/2 /2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 U k kpp k kp i k p i k            W z -T s W z -T s b. Calcule os novos pesos:     | | j k kpp i k k i k k     z z u s w c.
Normalize os pesos:

( ) = ( ) ∑ ( )
8. Calculo da Estimativa do Estado Atual a.

( ) = ∑ ( ). ( ) b. Faça k = k + 1, se k = t + 1, então pare. Com as novas partículas, retorne ao segundo passo.

4.3.3

Introdução do modelo de ROTHERMEL Nesta parte do trabalho, foi utilizado o código e a formulação de DELMOTTE et al (2011), cedido pelo CERFACS para o ROS, ilustrado pela equação (4.41).

        , , , , , , , , tan f R R M x y U x y t      (4.41) Onde,   tan  é a inclinação do terreno,  
, , U x y t é a amplitude do vento na direção normal da frente da chama.

Tem-se também que o estudo de parâmetro na formulação do ROTHERMEL mostra que, a condição de centeris paribus. A condição de centeris paribus é muito usada na economia (mas não só), em razão da complexidade da análise onde existe um número indeterminado de variáveis de influência remota que podem, eventualmente, desconectar a observação do resultado. Pelo que existe a necessidade de reduzir o número de variáveis dentro de todo o conjunto daquelas que são suscetíveis de exercer influência permanente ou esporádica sobre o fenómeno, para que este possa ser explicado:

O ROS tem uma dependência linear da espessura do combustível  

, x y  :       , , , , , R x y t x y t x y    (4.42) Com, 1 s       : a constante de proporcionalidade.         , , , , , , , , tan f x y t f M U x y t      (4.43)
A função f determina a constante de proporcionalidade, onde esta função é descrita em [START_REF] Rothermel | A Mathematical Model for Predicting Fire Spread in Wildland Fuels[END_REF].

Como a espessura é essencial para a vegetação, esta dependência linear torna-se importante para calibração dos parâmetros. Na qual foi utilizada uma espessura do combustível normalizada, ou seja: O Level Set é um método de controle que geralmente é usado para modelar a evolução de uma interfase em movimento. A idéia central deste método foi desenvolvida por [START_REF] Osher | Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on hamilton-jacobi formulations[END_REF]. Hoje em dia este modelo é mais utilizado em combustão [START_REF] Kernstein | Field equation for interface propagation in an unsteady homogeneous flow field[END_REF] 

    0 , , x y x y     ( 4 
        0 . 0, , , 0, , , 0 , , , , , , 0 , , 
f c R c x y t t t c x y c x y x y c x y t n x y x y                          

4.3.4

Problema Inverso para incêndio em escala de laboratório O problema inverso da propagação de incêndio em escala de laboratório descrito acima foi dividido em duas partes: a primeira parte o objetivo foi estimar a relação área de superfície/volume das partículas e o teor umidade do combustível representado pelo efeito da vegetação uniforme, sendo usadas medidas experimentais da chama, com intervalos de tempo de 14 segundos, ilustrada por imagens infravermelhas e pelo modelo semi-empírico de ROTHERMEL (1972) para a propagação da chama.

Na segunda etapa o objetivo foi estimar a relação área de superfície/volume das partículas, o teor umidade do leito do combustível e a velocidade do vento. Também foi utilizada uma série de imagens que mostra o tempo de evolução da área queimada do incêndio, porém com uma frequência de tempo de 28 segundos. A tarefa de estimar os parâmetros foi feita pelos filtros Bayesianos: SIR e ASIR.

A modelagem do problema inverso utilizando o problema de estimação de estado junto aos filtros de partículas é definida pelas variáveis de estados, que nesse caso são representadas pela relação área de superfície/volume das partículas, o teor umidade do leito do combustível, a amplitude do vento e pela variável de progresso, onde os modelos de evolução para cada variável de estado são apresentadas pelas equações (4.46), (4.47) e (4.48).

A equação (4.46) apresenta o modelo de evolução para relação área de superfície/volume das partículas = ( , , ), a equação (4.47) apresenta o modelo de evolução para o teor umidade do leito do combustível = ( , ,

), e a equação (4.48) apresenta o modelo de evolução para a amplitude do vento = ( , , ), já o modelo de evolução para a variável de progresso = ( , , ) é dado pela solução do problema direto usando o método de Runge-Kutta para a integração no tempo e o método redução de variação total (TVD -total variation diminishing) junto com os limitadores SUPERBEE para a discretização do espaço.

Σ = Σ + (4.46) M = M + (4.47)   1 1 ( ) ( ) v k v k k v v V t V t u t W       (4.48)
Esses modelos de evolução geram as populações de partículas, ou seja, = (valores obtidos do banco de dados de combustível de Rothermels). A propagação do incêndio está ocorrendo em condições de vento moderado, sendo uniforme e constante, com uma amplitude de 1.0m/s. Todos os detalhes desse experimento encontram-se nos sites (http:/wildfire.geog.kcl.ac.uk/index.php/ronan e http:/www.unidata.ucar.edu).

A propagação da fronteira da chama (as medidas) foram capturadas usando uma câmera de termografia por infravermelho, em que as observações evoluem com o tempo, como ilustrado na figura 4.9, e a zona de interesse tem a temperatura igual a 600K, como mostra na figura 4.10. Mais detalhes sobre essa técnica para as medidas são vista em [START_REF] Wooster | Retrieval of biomass combustion rates and totals from fire radiative power observations: FRP derivation and calibration relationships between biomass consumption and fire radiative energy release[END_REF].

Para esse problema, a função de verossimilhança (π(z|x)) dada pela equação (4.17) foi calculada entre a distância entre a fronteira real e a fronteira simulada. Para fazer o cálculo dessa distância foi necessário fazer uma discretização da fronteira simulada. Em seguida, foram selecionados os pontos dessa discretização e por fim feita a correspondência com a fronteira real, de forma que só existisse um único ponto correspondente. Toda essa formulação é vista em DELMOTTE (2011). Figura 4.9: Representação da frente da chama dado pelas linhas negras com frequência de 14 s, começando em 64 segundos até 106 segundos. Figura 4.10: Extração da frente da chama (direita) do campo de temperatura (esquerda) em t = 106s.

As tabelas 4.8 e 4.9 mostram a adaptação feita para a estimação do filtro SIR e filtro do ASIR para a estimação da velocidade do vento do problema de propagação de incêndio em escalar de laboratório.

A velocidade do vento esta em vermelho, porque essa variável de estado só foi estimada na segunda etapa, ou seja, quando foi utilizada a série de imagens, com uma frequência de tempo de 28 segundos. Na primeira etapa, em que foi usado um intervalo de tempo de 14 segundos, somente a relação área de superfície/volume das partículas e o teor umidade do leito do combustível foram estimados. Tabela 4.8: Algoritmo do filtro SIR para o problema de incêndio em escala de laboratório.

1. Inicialização 1.1 Faça k=1;

1.2 Gere um conjunto de partículas pelo modelo de evolução

Σ = Σ(k -1) + Σ Σ M = M (k -1) +   1 1 ( ) i vk v k k v v V V t u t W      
2. Avaliação dos Pesos 2.1 Calcule os pesos: 

w = Σ , M , i v k V = 1/ 2 / 2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( , , )) ( ( , , )) 2 
U k f k i i i i k k k i i v k v k f k M M V V              W z -T W z -T 2 
 Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas Σ = Σ , M = M e j i v k vk V V   Designe os pesos para w = . 4. Calculo da Média da posteriori Σ( ) = ∑ Σ ( ). ( ) , M ( ) = ∑ M ( ). ( )     1 .w N i v v k i V k V i    5. Evolução do Modelo 5.3 Faça 1 k k   . Se 1 final k k   , então pare. Σ = Σ(k -1) + Σ Σ M = M (k -1) +   1 1 ( ) i vk v k k v v V V t u t W       para 1,..., i N 
Retorne para passo 2. Tabela 4.9: Algoritmo Algoritmo do filtro ASIR para o problema de incêndio em escala de laboratório.

1. Inicialização a. Faça k=1; b.

( ) = 1/ 2. Cálculo da amostra do estado do sistema para a Variável Auxiliar

= Σ = Σ(k -1) + Σ Σ = M = M (k -1) +   1 1 3 ( ) i i k vk v k k v v V V t u t W        u 3. Avaliação dos Pesos
a. Calcule a função de verossimilhança: ]. f. Para j = 1,…, N, faça:

= 1/2 /2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( 1 , 2 , 3 )) ( ( 1 , 2 , 3 )) 2 i i i i i i k k k U k k k k k            W z -T u u u W z -T u
 Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas 1 1 2 2 e 3 3 , j j j i i i k k k k k k       u u u u u u 5. Calculem a função de verossimilhança de:   1/2 /2 1 T cov cov 1 1 , 2 , 3 (2 ) exp ( ( 1 , 2 , 3 )) ( ( 1 , 2 , 3 )) 2 | i i i i i i i i i k k k k k U k k k k k k k              u u u W z -T u u u W z -T u u u z 6. Evolução do Modelo a.
Calcule as partículas:

Σ = 1 j k  u + Σ Σ M = 2 j k  u +   1 3 j i vk k k v v V u t W       u para = 1, … , .

7.

Avaliação dos Pesos a. Calcule a função de verossimilhança

Σ , M , i v k V = 1/ 2 / 2 1 T cov cov 1 (2 ) exp ( ( , , )) ( ( , , )) 2 
U k f k i i i i k k k i i v k v k f k M M V V              W z -T W z -T b.
Calcule os novos pesos:

    , | , | 1 2 , , 3 
j j j i i i k f k k v i k k k k k k V M        z u u u w z c. Normalize os pesos: ( ) = ( ) ∑ ( ) 8. Calculo da Estimativa do Estado Atual Σ( ) = Σ ( ). ( ) M ( ) = M ( ). ( )      1 .w N i k v v i V k V i   
a. Faça k = k + 1, se k = t + 1, então pare. Com as novas partículas, retorne ao segundo passo.

Nesse problema T(x) são pontos das fronteiras de propagação do incêndio geradas pelo método de Runge-Kutta para a integração no tempo e o método redução de variação total (TVD -total variation diminishing) junto com os limitadores SUPERBEE para a discretização do espaço.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Nesse capítulo serão apresentados os resultados dos algoritmos dos filtros de partículas descritos no capitulo 3 para os problemas inversos proposto no capitulo 4. Em que, tem-se em primeiro um problema simples a fim de entender e compreender os filtros de partículas. O problema escolhido foi de condução de calor transiente unidimensional, a fim de estimar dois tipos diferentes de fluxo de calor, como mostram a figura 5.1 e a figura 5.2. Em seguida, os filtros de partículas foram aplicados a um problema de solidificação unidimensional em coordenadas cilíndricas, descrito na seção O intervalo de 99% de confiança mostrado pela equação 5.3 também foi utilizado para ajudar na avaliação dos resultados gerados. % = ± 2.576 (5.2) onde é a variável de estado estimada e é o desvio padrão da população de partículas geradas.

Resultados do problema inverso de condução de calor

Para esse problema, foi utilizado o método numérico das diferenças finitas, com uma malha de 121 nós, para obter as medidas simuladas. Tais medidas foram acrescentadas um ruído de 5% da temperatura máxima obtida, como descrito na secção 4.12. Para a estimação dos dois tipos de fluxos de calor mostrados nas figuras 5.1 e 5.2, com os filtros de partículas SIR, ASIR, Monte Carlo com Amostragem Sequencial e Monte Carlo Sequencial sem o cálculo da função de verossimilhança, foi usado o método numérico das diferenças finitas para o modelo de evolução de estado. Porém, foi usada uma malha de 21 nós, a fim de evitar o crime inverso. O filtro Monte Carlo com Amostragem Sequencial e o filtro SMC sem o cálculo da função de verossimilhança apresentaram diferentes desempenho para os dois tipos de filtros, isso mostrou que esses métodos ainda precisam ser compreendidos, isto é, precisam ser mais bem estudados. Por isso, eles não foram empregados nos próximos problemas.

Resultados do Problema Inverso de solidificação

Nesta seção apresentam-se os resultados obtidos para as estimações da fronteira de solidificação, fluxo de calor e para o campo de temperaturas, para um problema de solidificação em coordenadas cilíndricas, descrito na secção 4.2.1.

A figura 5.19 mostra a temperatura medida na posição r=0.01 m sem ruído. Por outro lado, as medidas foram simuladas com ruído Gaussiano, aditivo, com média zero e desvio padrão de 5% da temperatura ambiente da água, como mostra a figura 5.20. 

Neste problema foi utilizado 25

Resultados do Problema Inverso de Propagação de Incêndio em um Campo

Para esse problema foi proposto estimar a taxa de propagação da chama, apresentada pela figura 5.30 e toda a variável de progresso, todos os detalhes dessa tarefa é visto na secção 4.3.2. A figura 5.31 apresenta as medidas utilizadas para a estimação. 

CONCLUSÕES

Atualmente muitas áreas da engenharia passaram a exercer novas atividades e começaram a ficar expostos a ambientes dinâmicos, onde não é mais possível prever e controlar as ações através dos programas e algorítmos que eram normalmente utilizados.

Desta forma, foi necessário desenvolver novas metodologias para tratar dados de sensores (que além da informação principal trazem consigo um determinado nível de ruído) e processar em tempo real as informações que podem estar atrasadas. Enfim, esses novos programas ou algoritmos têm de tratar informações imperfeitas, reais, e mesmo assim devem ser robustos e viáveis.

O presente trabalho teve como objetivo introduzir algoritmos Bayesianos da classe de filtros de partículas em problemas de transferência de calor e combustão, como uma forma atrativa e confiável na resolução de problemas inversos. A idéia principal foi utilizar o conceito de estimativa de estado como um método não intrusivo para prever as fronteiras da chama, estimar a velocidade propagação e reconstrução do campo de temperatura de um incêndio a partir de medidas experimentais dadas por imagens infravermelhas feitas por um incêndio em um laboratório, levando em consideração incertezas provenientes do modelo de observação e do modelo de evolução.

Para tanto, foi utilizado um código em Fortran cedido pelo CERFACS, que adota um modelo simples para a propagação da chama em um campo. Este modelo foi usado para simular a evolução de um incêndio bidimensional em uma camada de superfície acima da terra, na qual baseia-se na equação de reação-difusão que integra as principais características de um incêndio, nde este modelo vai dar uma primeira visão -I p (J/m -2 / s -1 ), o fluxo de propagação.

158

ρ b (kg/m 3 ), é a densidade dos meios porosos, não é a densidade da fase sólida do meio.

ε, é o número de aquecimento efetivo, a proporção de partículas de combustível que são aquecidas até a temperatura de ignição, -Q ig (kJ/kg), é o calor de pré-ignição; O sistema linear resultante da discretização da equação da condução de calor, dado pelas equações ( . 9), ( . 12) e ( . 15) foi resolvido pelo método de Thomas [START_REF] Fortuna | Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: Conceitos básicos e aplicações[END_REF].

Figura 3. 1 :

 1 Figura 3.1: Passos da Predição e atualização para filtros Bayesianos (KAIPIO e

  e SOMERSALO (2004) apresentaram em seu livro texto desde conceitos básicos e clássicos de problemas inversos como a estimativa por Máxima Verossimilhança e o método do Gradiente Conjugado. Também foram apresentados os métodos de regularização clássicos como a regularização de Tikhonov e métodos iterativos de regularização, como o método de Landweber-Fridman e o de Kaczmarz.

ORLANDE

  et al. (2008) demonstraram a aplicação de filtros Bayesianos para a estimação de campos transientes de temperatura lineares e não lineares. Para problemas lineares, o filtro de Kalman foi usado, e para problemas não lineares, os autores utilizaram o filtro de partículas. Em ambos os casos, a temperatura estimada com o filtro de Kalman e o filtro de partículas foi mais próxima da temperatura exata do que a temperatura medida. Foi demonstrada a capacidade do método de associar medidas contendo ruídos com informação a respeito da evolução dos estados a fim de obter um resultado levando em conta todas as informações disponíveis. ORLANDE et al. (2011a) apresentaram a descrição de problemas de estimação de estado dentro de uma abordagem Bayesiana. Foram aplicados dois tipos de filtros Bayesianos, o filtro de Kalman para problemas inversos lineares, e o filtro de Partículas para o problema inverso não linear. Os autores estimaram o campo de temperatura transiente usando medidas simuladas. No artigo foi apresentado também um exemplo didático de aplicação de ambos os métodos com dois casos teste: a determinação do campo de temperaturas para um problema com um fluxo de calor constante e o problema da estimação do campo de temperatura e adicionalmente a estimação da forma de um termo fonte que varia no tempo, para o caso de uma rampa e de um degrau. ORLANDE et al. (no prelo) apresentaram um trabalho na mesma linha de ORLANDE et al. (2011a), com diversos exemplos de aplicações dos filtros de Kalman e de Particulas. Os exemplos apresentados foram a estimação de um termo fonte transiente (também apresentado em MASSARD et al. no prelo), a estimação do campo de temperatura em oleodutos, a estimação de uma fonte linear de calor e a frente de solidificação em um problema de mudança de fase e por fim a estimação de um fluxo de calor em uma fronteira em um problema de convecção natural. ORLANDE et al (2008) apresentam uma aplicação dos filtros bayesianos a problemas de condução de calor. Os autores aplicaram o filtro de Kalman e o filtro de partícula baseado no SIR em problemas de condução de calor lineares e não lineares, onde esses métodos Bayesianos foram usados para predizer a temperatura do meio. Os autores descreveram todos os dois problemas de estimação do estado, tanto para o problema linear, quanto para o problema não linear. Mostraram também que o filtro de partículas apresentou um custo computacional maior que o filtro de Kalman. VIANNA et al. (2009) apresentaram um trabalho de aplicação do filtro e de Kalman e do filtro de partículas em um problema de transferência de calor, onde os autores estimaram todo o campo de temperatura de um líquido em um óleoduto, na qual as informações fornecidas pelo sistema de monitoramento, em relação ao campo de temperatura são limitadas. Os autores comparam os resultados entre os dois filtros Bayesianos. Posteriormente VIANNA et al. (2010) apresentaram um trabalho de aplicação do filtro de partículas em um sistema Pipe-in-Pipe durante uma parada de produção, onde foi estimado todo o campo de temperaturas de um fluido produzido, a fim de evitar a formação de hidratos. Em 2010 SILVA et al apresentaram aplicação de cinco diferentes filtros de partículas em um problema de condução de calor, onde o objetivo era estimar o fluxo de calor na parte inicial da placa, a recuperação do campo de temperatura e também avaliar qual o melhor filtro entre os testados. ORLANDE et al (2011) apresentaram um trabalho das aplicações do filtro de Kalman e filtro de partículas em transferência de calor. Nesse mesmo ano SILVA et al (2011) apresentou a aplicação dos filtros SIR e ASIR em um problema de solidificação, onde os autores mostraram a melhor eficiência do filtro ASIR para a tarefa de estimar a fronteira de solidificação que variava com o tempo e o fluxo de calor. Também neste ano, COLAÇO et al (2011) compararam o desempenho do filtro SIR e ASIR para um problema de convecção natural. No ano de 2012, SILVA et al (2012) aplicaram os filtros SIR e ASIR em um problema de propagação de incêndio, onde utilizaram um modelo simplificado, em que toda a física da propagação da chama esta contida dentro da formulação da velocidade da chama. O objetivo do trabalho foi de estimar a velocidade de propagação do fogo. Neste mesmo ano, ORLANDE et al. (2012) apresentaram um trabalho de problemas de estimativa de estado em transferência de calor, onde os autores apresentaram a parte teórica do problema de estimativa de estado e aplicações. HAMILTON et al (2012) aplicaram os filtros SIR para a estimativa do coeficiente de transferência de calor durante a condensação, combustão e a expansão da fases do motor do ciclo de Otto.

  3.1) Porém na maioria das aplicações, a integral do denominador na equação (3.1) não possui forma analítica fechada e sua avaliação usando métodos numéricos em dimensões maiores que 20 torna-se impraticável (ABANTO-VALLE, 2005). Para aproximar a distribuição a posteriori (3.1), usa-se, frequentemente, métodos determinísticos e estocásticos, dentre os quais temos a integração pelo método de Monte Carlo. Estes métodos em geral usam o fato que o denominador na equação (3.1) não depende de x , o qual leva a.

  representa o instante do tempo , que varia de um tempo inicial até um tempo final no sistema dinâmico. O vetor ∈ R é chamado de vetor de estado, que contém as variáveis que serão estimadas. Este vetor avança de acordo com a evolução do estado dado pela equação (3.7), onde é considerada nos casos mais gerais uma função não linear das variáveis de estado, da variável de entrada e do vetor ∈ R , que representa o ruído do estado na forma de uma distribuição independente e identicamente distribuído (iid).

  (i) O problema de previsão de estado cujo objetivo é estimar ( | ), onde > ; (ii) O problema de filtro de estado cujo objetivo é estimar ( | : ); (iii) O problema de suavização com retardo fixo (fixed-lag domain smoothing problem) de estado cujo objetivo é estimar :

  Figura 3.1: Passos da Predição e atualização para filtros Bayesianos (KAIPIO e SOMERSALO, 2004).

  10) Como visto anteriormente, tem-se a aproximação dos pesos da distribuição a posteriori dada por   k k  x z , em que os pesos são calculados usando o princípio da amostragem por importância. Supõe-se que as partículas i k x foram obtidas de uma densidade de importância   k k q x z em que os pesos foram definidos por.

  Figura 3.3: Reamostragem (ZHE, 2002).

  ) pode ser re-parametrizada introduzindo uma variável auxiliar   1,..., N  β , para adotar uma nova densidade de importância igual a ( , | ) se o teorema de Bayes, pode-se obter o seguinte resultado (ARULAMPALAM et al, 2002): do filtro ASIR é incrementar a influência das partículas que tenham uma grande verossimilhança preditiva. Desta maneira, o algoritmo gera um novo conjunto de partículas simulando conjuntamente a variável auxiliar β (seleção) e o valor partícula da função densidade de importância (ARULAMPALAM et al, e a informação contida em cada partícula é avaliada em relação à variável e ao conjunto inicial de partículas. No filtro AFP os pesos são dados pela equação (3.20) (RISTIC et al, 2004):

  as principais etapas do filtro ASIR. Tabela 3.3: Algoritmo do filtro de Partícula ASIR 1. Inicialização a. Faça k=1; b. Tome um conjunto de partículas da distribuição inicial ( ) e obtenha ( ( ) , ( ) ); = 1, … , ; 2. Cálculo da amostra do estado do sistema para a Variável Auxiliar aReamostragem ou Seleção a. Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + para i = 1,…, N, com = 0. b. Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0, ]. c. Para j = 1,…, N, faça: Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1. k = k + 1, se k = t+ 1, então pare. Com as novas partículas, retorne ao segundo passo.Nos filtros de partículas tradicionais, a estimativa é normalmente realizada após a etapa de reamostragem, que é menos eficiente, pois apresenta variação aleatória no estado atual[START_REF] Liu | Sequential Monte Carlo methods for dynamical systems[END_REF]. O filtro Auxiliar de partículas ou filtro ASIR basicamente resolve este problema, pois esse método gera dois conjuntos de partículas o primeiro conjunto e feito aleatoriamente e seguem o mesmo procedimento que o filtro SIR, porém as partículas que passaram pela reamostragem ( ) são usadas para gerar o segundo conjunto de partículas. Esse novo conjunto de partículas vem apresenta uma melhor informação a priori, já que ele é gerado na região de lata probabilidade encontrada pelo filtro SIR. ARULAMPALAM, et al (2002), afirmaram que o filtro Auxiliar de Partícula apresenta o desempenho melhor que o filtro de Partículas SIR quando o ruído do processo é pequeno. No entanto, quando o ruído de processo é grande, as amostra de não fornecem informações adequadas sobre ( ) . Logo, a superioridade do filtro Auxiliar de Partícula não pode ser garantida. Este fato também é visto nesse trabalho, já que os resultados dos filtros SIR e ASIR são bem próximos. A idéia do filtro de Partículas ASIR também é idêntica à do método de Monte Carlo proposto por LIU e CHEN (1998), onde os autores propuseram dois métodos para extrair amostras , ( ) baseadas na distribuição marginal. Os filtros de partículas auxiliares são computacionalmente mais lentos, pois a proposta é gerar e calcular as partículas e os pesos por importâncias o dobro de vezes do filtro de partículas SIR. HIGDON (1998) diz que a etapa de reamostragem para o algoritmo do filtro de Partículas ASIR é desnecessária, porém esta afirmação não está suficientemente justificada. O filtro Monte Carlo com Amostragem Sequencial e o filtro Monte Carlo Sequencial sem o cálculo da função de verossimilhança não são descritos nesse trabalho, pois eles ainda estão sendo estudados, no entando, eles têm os mesmos procedimentos descritos na figura 3-2 e suas diferenças estão na geranção das partículas e no cálculo dos pesos. Mas detalhes desses métodos é visto em, DEL MORAL et al. (2006) e SISSON e FAN (2002).

  Adimensionalização do Problema de condução de calorPara tratar o problema de forma adimensional, as seguintes variáveis auxiliares foram definidas:

  Problema Inverso usando estimativa de estado e filtros de partículas para o problema de condução Na apresentação do Problema Direto descrito anteriormente, o campo de temperatura transiente para a região será determinado, assumindo-se conhecidas as propriedades físicas do meio, as condições de contornos em X = L e X = 0 e a condição inicial. Para esse problema, foi utilizado o método numérico das diferenças finitas, com uma malha de 121 nós, para obter as medidas simuladas.O problema inverso estudado nesse caso tem como o objetivo estimar o campo de temperatura da placa e o fluxo de calor localizado em X = 0, utilizando os seguintes algoritmos: o filtro de partículas SIR e o algoritmo filtro ASIR. Na solução dos problemas inversos, todas as outras quantidades existentes na formulação matemática do problema físico são consideradas conhecidas, porém as medidas de temperaturas foram acrescentadas um ruído de 5% da temperatura máxima obtida. Assim, as temperaturas medidas simuladas foram geradas com um desvio padrão constantes, caracterizando incertezas provenientes do sistema de medidas, como mostra a equação (4.14).z=T(x)+γ(4.14)Onde T(x) é a solução do problema direto de condução na posição x meas , que é situada no vigésimo quarto nó da malha com variação do tempo de zero a noventa para o vetor de parâmetros x, γ é o erro das medidas de temperatura, sendo ainda considerado um erro aditivo normalmente distribuído com média zero e desvio padrão conhecido.

  .2 Normalizem os pesos: w = ∑ 3. Reamostragem ou Seleção 3.1 Reamostragem das partículas são dados abaixo: 3.1.1 Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + w para i = 1,…, N, com = 0. 3.1.2 Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0, ]. 3.1.3 Para j = 1,…, N, faça:  Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas Q = Q .  Designe os pesos para w = . 4. Cálculo da Média da posteriori

  Reamostragem ou Seleção d. Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + para i = 1,…, N, com = 0. e. Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0,

  de solidificação do fluido, é a temperatura inicial do fluido, é a condutividade térmica do fluido na fase sólida, é a condutividade térmica do fluido na fase liquida, é massa específica do fluido, é o calor latente do fluido, é a temperatura na fase sólida e é a temperatura na fase líquida, é a difusividade do fluido na fase líquida e é a difusividade térmica na fase sólida.

  20.a) satisfaz a equação diferencial (4.18), enquanto a equação (4.20.b) satisfaz a equação diferencial (4.19.a). Aplicando a condição de contorno (4.19.c) e a condição inicial (4.19.d) desde que (-∞) → 0, essas condições são usadas para determinar os coeficientes , e . O balanço de energia ao redor do sorvedouro (line heat sink) 20.a), (4.20.b) e (4.21) são utilizadas na interface da equação (4.19.d), para se obter:

  dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + w para i = 1,…, N, com = 0. 3.1.2 Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0

  Reamostragem ou Seleção a. Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + para i = 1,…, N, com = 0. b. Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0, ]. c. Para j = 1,…, N, faça:

  Sendo assim o estudo do comportamento do fogo tornou-se uma necessidade para qualquer sociedade, tanto para a prevenção e combate aos incêndios, como para os setores que aproveitam o fogo como fator essencial ao seu desenvolvimento.

Figura 4

 4 Figura 4.3: Incêndios Florestais[START_REF] Rothermel | A Mathematical Model for Predicting Fire Spread in Wildland Fuels[END_REF] 

Figura 4. 5 :

 5 Figura 4.5: Modelo da variavel de progresso[START_REF] Silva | Application des filtres de particules à l estimation de la vitesse de propagation d incendies[END_REF]..

7 :

 7 das partículas são dados abaixo: 3.1.1 Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + w para i = 1,…, N, com = 0.3.1.2Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0, ].3.1.3Para j = 1,…, N, faça: Calcule = + ( -1).  Enquanto > faça = + 1.  Designe as partículas = .Algoritmo do filtro ASIR para o problema de propagação de incêndio em um campo.

  Reamostragem ou Seleção g. Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + para i = 1,…, N, com = 0. h. Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0,



  é a profundidade máxima do combustível. DELMOTTE et al (2011) utilizaram a hipótese de um incêndio florestal, numa escala macroscópica, com uma topologia que é similar as chamas pré-misturada (WEBER, 1991), onde o oxidante foi misturado com o combustível antes de atingir a frente da chama. Isso cria uma frente de chama fina, já que todos os reagentes estão prontamente disponíveis. As técnicas para lidar com interfaces finas estão disponíveis na literatura. Entre elas estão os métodos rastreamento (tracking methods), conhecidos por fornecer melhor precisão. Esses métodos têm essencialmente o mesmo objetivo: Partem de uma posição na interface, com uma velocidade de propagação e calculam a posição no tempo posterior. Cada método possui um compromisso diferente, como por exemplo: o custo computacional, a precisão, desenvolvimento e custo de implementação, e outras propriedades desejáveis. Um exemplo desses métodos é o método Level set. De acordo com DELMOTTE et al (2011) a chama foi considerada como uma interface entre gases queimados e frescos, de modo que a frente da chama pode ser descrita por uma reação escalar da variável de progresso c , como mostra esta figura 4zona da fronteira. 0 c   é o lado da interface onde se encontra a vegetação fresca.

  Figura 4.6: Variável de progresso cDELMOTTE et al (2011). 

7 :

 7 Figura 4.7: Propagação da frente da chama usando equação do Level set DELMOTTE et al (2011).

  exibido nos algoritmos dos filtros de partículas que são representados pelas equações (4.46), (4.47), (4.48) e pela solução do problema direto dado pelo CERFACS para o problema de propagação de incêndio em escala de laboratório. Onde , e são números randômicos dados por uma distribuição normal, com média zero e desvio unitário. Uma questão chave para esses modelos seria como determinar os desvios padrões, ou seja, M  e   . No entando, a avaliação desses valores foram fundamentados, em cima das estimativas de Rothermels M f = 22 e Σ = 11500 m -1 , que são apontadas como valores bases da literatura atual, porém não existe conhecimento das incertezas sobre esses parâmetros (DELMOTTE et al (2011) e ROCHOUX et al (2012)), por isso foram utilizados valores iguais a 30% dos valores obtidos do banco de dados de combustível de Rothermels. A equação (4.48) apresenta u que é a informação dada pela figura 4.8, cujos valores representam a amplitude real do vento em cada tempo. Os valores de dados u foram gerados por uma interpolação de splines cúbicos, em que os pontos utilizados por essa interpolação foram retirados de forma manual da figura 4.8 e v  igual a 10% do valor do tempo anterior.

Figura 4. 8 :

 8 Figura 4.8: Informação da velocidade do vento.

  .2 Normalizem os pesos: w = ∑ 3. Reamostragem ou Seleção 3.1 Reamostragem das partículas são dados abaixo: 3.1.1 Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + w para i = 1,…, N, com = 0. 3.1.2 Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0, ]. 3.1.3 Para j = 1,…, N, faça:

  Reamostragem ou Seleção d. Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo computada por = + para i = 1,…, N, com = 0. e. Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0,

  4.2, com o intuito de estimar a fronteira de solidificação, o campo de temperatura e o fluxo de calor, esse problema tinha como objetivo preparar para o problema de propagação de incêndio. Por fim, os filtros de partículas foram aplicados em um problema de propagação de incêndio, com o objetivo de prever a frente da chama e estimar a velocidade de propagação do fogo e os parâmetros que influenciam nessa propagação. Os algoritmos dos filtros Bayesianos da classe dos filtros de partículas, a solução numérica do problema de condução de calor e a solução analítica para o problema de solidificação foram implementados em Fortran90 e os resultados foram gerados em um notebook com processador Intel(R) Core (TM) 2 Duo CPU T5550 @1.83GHz . Para a solução dos problemas de propagação do fogo foram utilizados computadores do CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique) devido ao alto custo computacional envolvido. Para analisar melhor os resultados gerados, foi feito o cálculo do erro quadrático médio (RMS), definido pela equação 5.1. Para todos os problemas escolhidos. de estados encontrada pelo filtros de partículas, representa os valores exatos e é o total de pontos.

Figura 5. 1 :

 1 Figura 5.1: Fluxo de Calor degrau.

  Figura 5.3: Resultado Resultado do Filtro SIR para o Fluxo Degrau.

Figura 5. 4 :

 4 Figura 5.4: Melhor Resultado do filtro SIR com o Intervalo de 99% de confiança.

Figura 5. 5 :

 5 Figura 5.5: Resultado do Filtro ASIR para o Fluxo Degrau.

Figura 5. 9 :

 9 Figura 5.9: Resultado do Filtro SMC sem o cálculo da função de verossimilhança para o Fluxo Degrau.

Figura 5 .

 5 Figura 5.10: Resultado do Filtro SMC sem o cálculo da função de verossimilhança com o Intervalo de 99% de confiança.

Figura 5 .

 5 Figura 5.11: Resultado do Filtro SIR para o Fluxo Triangular.

Figura 5 .

 5 Figura 5.13: Resultado do Filtro ASIR para o Fluxo Triangular.

Figura 5 .

 5 Figura 5.15: Resultado do Filtro Monte Carlo com Amostragem Sequencial para o Fluxo Triangular

Figura 5 .

 5 Figura 5.17: Resultado do Filtro SMC sem o cálculo da função de verossimilhança para o Fluxo Triangular.

Figura 5 .

 5 Figura 5.18: Melhor Resultado do filtro SMC sem o cálculo da função de verossimilhança com o Intervalo de 99% de confiança.

  Figura 5.19: Temperatura medida sem ruído.

  Figura 5.21: Estimação da Fronteira de Solidificação.

Figura 5 .

 5 Figura 5.24: Estimação do Fluxo de Calor.

Figura 5 .

 5 Figura 5.26: Resultado do filtro ASIR para o fluxo de calor.

Figura

  Figura 5.30: Velocidade de propagação local do fogo   , L KPP s t .

Figura

  Figura 5.32: Resultados dos filtros Bayesianos

Figura 5 .

 5 Figura 5.40: Propagação do fogo em 600 segundos

Figura 5 .

 5 Figura 5.42: Comparação entre a fronteira real e a fronteira gerado pelso parâmetros de Rothermel's.

Filtro

  Figura 5.49: Comparação para as fronteiras de propagação do fogo variando constante experimental C f

  Figura 5.50: Resultado do filtro SIR para a fronteira do fogo

  Figura 5.55: Comparação entre as dados reais (à esquerda) e os resultados obtidos (à direita) pelo filtro SIR=200.

  sobre o comportamento da velocidade de frente da chama. Em termos das características de vegetação, tem-se os parâmetros que definem a velocidade de propagação do incêndio em referência. Para a estimação da velocidade de propagação local e a recuperação da evolução da chama utilizando o conceito de estimação de estado, foram utilizados o filtro de partículas SIR e o filtro ASIR.O problema inverso da propagação de incêndio usando medidas experimentais dadas por imagens de termografia por infravermelho foi dividido em duas partes: na primeira parte, o objetivo foi estimar a relação superfície/volume e o teor umidade do leito do combustível representado pelo efeito da vegetação uniforme, com uma frequência de medidas de 14 segundos. A segunda parte teve como objetivo estimar a relação superfície/volume, o teor umidade do leito do combustível e ajustar a velocidade do vento, com uma frequência de medidas de 28 segundos. Após um minucioso estudo sobre o tema, foi possível concluir que os filtros apresentaram bons resultados para o problema de propagação de incêndio em um campo. Além disso, os filtros SIR e ASIR apresentaram desempenhos semelhantes para os desafios propostos, embora o filtro ASIR necessitasse de menos partículas, o que resulta em menor tempo computacional. Observou-se ainda que os filtros de partículas revelaram que os valores de Rothermel, precisam ser estimados ou calibrados, a fim de melhorar os resultados. Esses métodos também mostraram que são capazes de estimar parâmetros em problemas complexos. Para o desenvolvimento e conclusão deste trabalho, foram encontrados alguns desafios, que servirão de base para a sugestão de trabalhos futuros. Sendo assim, são recomendados os seguintes tópicos listados abaixo: a. Realizar a paralelização do problema de propagação de incêndio de modo a diminuir o tempo computacional, bem como atenuar problemas de falta de memória. b.Tentar ajustar as imagens dentro de um domínio, onde é possivel visualizar todas as medidas, fato que não foi possível para tempos maiores que 106 segundos . c. Procurar ajustar ou otimizar a constante experimental C f dado por Rothermel, a fim de melhorar o desempenho dos filtros bayesianos. d. Em relação aos filtros de partículas, o grande objetivo é tentar gerar resposta para os problemas em tempo real (online). de modelos de simulação de fogos florestais que poderão basear-se em deduções empíricas ou provirem de modelos físicos de grande complexidade. Não existe uma grande diferença entre os resultados obtidos pelos diferentes tipos de modelos, sendo que o primeiro tipo (deduções empíricas) pode derivar do segundo por redução através de uma análise assintótica (SÉRO-GUILLAUNE ET AL., 2002). O modelo de Rothermel, derivado do modelo empírico de Frandsen, tem vindo a ser um dos modelos mais estudados e adaptados pelos diversos pesquisadores da área, tratando-se de uma compilação de inúmeros pioneiros na temática dos incêndios florestais. O modelo de Frandsen (1971) para a determinação da velocidade de propagação do fogo esta na equação (A.1). Em sua análise, a frente do fogo é vista como fixa no espaço e o elemento de volume, posicionado inicialmente em x=-∞, move-se com velocidade constante em direção à frente da chama que esta posicionada em x=0. O elemento de volume possui espessura constante z c , recebe calor emitido pela frente do fogo e alcança entra em ignição. A partir desta análise, Frandsen obteve a de propagação do fogo; I xig -fluxo de calor horizontal absorvido por uma unidade de volume de combustível durante o tempo de ignição (J m -2 s -1 fluxo vertical de calor que o volume recebe da frente do fogo. be  -é a densidade volumétrica efetiva (quantidade de combustível que é levado à ignição por volume unitário do leito do combustível) ig Q -é o calor de pré-ignição (calor necessário para conduzir uma unidade de massa de combustível até a ignição) A equação A.1 mostra que a velocidade de propagação do fogo é a razão entre o fluxo de calor recebido da frente do fogo e o calor necessário para a ignição do combustível. A equação A.1 não possui uma solução analítica, devido os mecanismos de transferência de calor dos termos fluxos de calor recebido da frente da chama serem desconhecidos. Através da utilização de métodos experimentais e analíticos cada termo da equação A.1 foi analisado e estimativas foram obtidas, além disso, novos termos foram definidos para proverem uma solução aproximada. Onde esta solução foi apresentada por Rothermel's (1972), resultante de anos de pesquisa conduzida pelo Serviço Florestal dos Estados Unidos, junto com Northern Forest Fire Laboratory, onde propõe um modelo para estimar a velocidade de propagação do fogo baseados em estudos teóricos desenvolvidos anteriormente por Frandsen (1971). Aplicando o principio da conservação da energia a um elemento de volume do leito do combustível adiante da frente do fogo. Nesta formulação, o volume de controle da região não queimada, ROS ao longo da direção normal n  da fronteira é dado pelo razão entre a energia propagada do combustível não queimado I p e energia necessária para a ignição do combustível b ig Q   . Através do uso de métodos experimentais e analíticos a equação de Frandsen pode ser estimada pela seguinte expressão,

  Neste caso o fluxo de propagação I p pode ser expresso com a proporção da reação de intensidade I R , isto é, taxa de energia emitida dos gazes da combustão liberada da matéria orgânica do combustível: é o coeficiente que representa a porcentagem da intensidade de reação que aquece as partículas de combustível adjacentes à zona de reação. E ROS é dado por R 0 . inclinação do terreno são importantes parâmetros da propagação do fogo. Para adicionar estas condições é introduzido Ф W para representar o vento e Ф S para as condições de elevação do terreno. Agora tem-se a formulação de ROS: apresentado o Método Implícito de Diferenças Finitas (ANDERSON ET AL, 1984) para a discretização do problema de condução de calor dado pela equação (4.6 -4.9). A idéia básica de qualquer método numérico consiste em se transformar um domínio contínuo em um problema discreto, com um número finito de pontos nodais. A solução é então obtida resolvendo-se um sistema de equações algébricas. No método de diferenças finitas a discretização é feita aproximando-se as derivadas das grandezas envolvidas por quocientes de diferenças dessas variáveis.Considerando o seguinte problema.Para determinação da distribuição de temperatura pelo método implícito de diferenças finitas, foi utilizado o índice i dos pontos discretos para a variável . Contudo, além de ser discretizado em relação à posição, o problema deve ser discretizado em relação ao tempo. O inteiro j é introduzido para esse propósito.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  o filtro auxiliar de partícula ou amostragem e reamostragem por importância auxiliar, etc. A tabela 3.1 apresenta os filtros de partículas estudados, suas as diferenças dos algoritmos e a o etapa de compreensão e implementação. Nota-se que as diferenças se encontram no cálculo dos pesos, porém todos utilizam a função de

	Nesta tese serão utilizados os filtros Bayesianos da classe de filtros de partículas ou Sequencial Monte Carlo (SMC). Os filtros de partículas utilizam uma distribuição inicial para o estado 0 x e procuram calcular a melhor estimativa  esboço dos do problema de estimativa de estado com filtros de partículas em problemas inversos. Tabela 3.1: Filtros de Partículas: Diferentes Algoritmos Filtros de Partículas Cálculo dos pesos Seleção das partículas Fase de compreensão x para o estado atual verossimilhança em sua formulação e na seleção das partículas. A figura 3.2 apresenta o SIS

k x , baseado na sequência de medidas k z . Existem inúmeras variações dos filtros de partículas, como (RISTIC et al, 2004): o filtro de amostragem por importância sequencial, o filtro amostragem por importância e reamostragem sequencial,

  filtro de partículas SIR tem seu principal problema dado pela exploração do espaço de estado, pois esta é realizada sem o conhecimento das observações e por isso o filtro poderá ser ineficiente. Com a reamostragem sendo feita em cada iteração do algoritmo, pode-se ter uma rápida perda de diversidade amostral (PITT e SHEPHARD

		Porém, é impossível avaliar precisamente Tabela 3.2: Algoritmo do filtro de Partícula SIR . Então, utiliza-se uma
	aproximação 1. Inicialização para o valor de	. Esta aproximação é dada por (KONG et al,
	2000):	1.1 Faça k=1;			
		1.2 Gere um conjunto de partículas da distribuição inicial	=
	= 2. Avaliação dos Pesos ∑ 2.2 Normalize os pesos: w = ( ) 2.1 Calcule os pesos: w = z x ∑ 1 (1999)).	(3.16)
		3. Reamostragem ou Seleção 3.5.3 O filtro auxiliar de particula ou amostragem e reamostagem por
		3.1 Reamostragem das partículas são dados abaixo: importância auxiliar (ASIR)
		A reamostragem pode ser realizada quando o tamanho amostral efetivo 3.1.1 Construindo a soma dos pesos acumulativos (CSW), sendo	for
	menor que uma constante , onde essa constante seria um indicador da ocorrência de computada por = + w para i = 1,…, N, com = 0. 3.1.2 Tome i = 1 e gere de uma distribuição uniforme [0, ]. O filtro de partículas SIR descrito na secção anterior apresenta uma etapa de
	3.1.3 reamostragem que tenta evitar a degeneração das partículas. Porém, como visto Para j = 1,…, N, faça:
	 anteriormente, esse processo pode gerar o empobrecimento da amostra. Calcule = + ( -1).
				Enquanto > faça = + 1.
				Designe as partículas x = x .
				Designe os pesos para w =	.
		4. Calculo da Média a posteriori	
		x =	x ( ). w	( )		
		5. Evolução do Modelo		
		5.1 Faça	1   . Se k k	k k 	final	1  , então pare.
		5.2 x = x x	para	i		1,...,	N	.
		Retorne para passo 2.		
		Inicialmente,	partículas são amostradas aleatoriamente do modelo de
	evolução ou de uma distribuição inicial		=	= (	,	,	). Em
	seguida, é feito o cálculo dos pesos de cada partícula gerada, considerando que neste
	instante têm-se medidas representadas por . A seguir, normalize os pesos obtendo
	( ) . As partículas de maior peso representam as regiões de maior importância da
	distribuição. Por isso, elas são selecionadas para ser duplicadas ou multiplicadas, como
	1 + uma seleção natural e são dados pesos uniformes iguais a	(3.15) para cada partícula
						29

degeneração. Portanto, a idéia básica da reamostragem é eliminar as amostras que têm um peso muito pequeno, mantendo apenas as amostras que têm um maior peso.

Porém a reamostragem introduz outros problemas no filtro de partícula. O principal problema é que as amostras com pesos maiores serão selecionadas estatisticamente muitas vezes. Isso gera uma perda de diversidade amostral, já que a amostra resultante apresentará muitos pontos repetidos. Esse problema é conhecido como empobrecimento amostral, e é significativo nos processos com baixo nível de ruído no modelo de evolução

[START_REF] Arulampalam | A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking[END_REF]

. A tabela 3.2 resume as principais etapas do filtro SIR na qual a reamostragem é realizada em todos os passos de tempo.

selecionada. E por fim, é feito o cálculo da média que representa a variável de estado naquele passo de tempo. Passe para o próximo tempo e repete-se o procedimento, e prossegue-se até o tempo final. O ZHE (2002) afirma que a utilização de um número finito de partículas é insuficiente para tentar prever o comportamento da cauda da densidade de probabilidade, o que se torna mais grave quando os outliers são inexistentes. Para tentar resolver este problema, PITT e SHEPHARD (1999), apresentaram o filtro auxiliar de partículas (AFP), onde este método tem como objetivo aumentar o número de "partículas boas"   1 i k 

  Para a estimação dos dois tipos de fluxos de calor, com os filtros de partículas SIR e ASIR, foi usado o método numérico das diferenças finitas para o modelo de evolução de estado. Porém, foi usada uma malha de 21 nós, a fim de evitar o crime inverso.

	Tabela 4.1: Algoritmo do filtro SIR para o problema de condução de calor
	1. Inicialização		
	1.1 Faça k=1;			
	1.2 Gere um conjunto de partículas pelo modelo de evolução No problema de condução de calor as variáveis de estados foram o fluxo de Q = ( -1) +
	calor e o campo de temperatura. A equação (4.16) apresenta o modelo de evolução para 2. Avaliação dos Pesos
	o fluxo de calor 2.2 Calcule os pesos: = (	,	,	) e a equação (4.17) exibe o modelo de
	evolução para o campo de temperatura	= (	,	,	).
	=	+	+			(4.16)
	Φ + Φ +	Φ	= Φ	+ +	(4.17)
	O conjunto de partículas	=	apresentado no algoritmo dos filtros
	onde ,	e	são valores encontrados pela discretização das diferenças finitas
	(descrita no apêndice B) em todo o domínio (i representa cada ponto da malha) e para
	cada tempo,	4.15) são números randômicos dados por uma distribuição normal com
	média zero e desvio unitário;		é o desvio padrão do modelo que foi utilizado o valor
	de 1% da temperatura máxima, ou seja,	= 0.01, esse valor foi escolhido de forma
	Em que, W é a inversa da matriz de covariâncias das medidas. De acordo com OZISIK arbitrária. Todos os modelos de evolução utilizados apresentavam incertezas aditivas e
	e ORLANDE (2000) W cov =σ 0 I nxn , onde σ 0 é a incerteza das medidas e como gaussianas.
	normalmente as medidas são fabricadas, ou seja, são medidas simuladas. Foi preferível As tabelas 4.1 e 4.2 mostram a adaptação feita para a estimação do filtro SIR e
	do filtro ASIR para a estimação do fluxo de calor.

utilizar a sugestão de OZISIK e ORLANDE

(2000)

, tomando σ 0 =1% do valor máximo das medidas e I nxn é a matriz identidade do tamanho do vetor das medidas. de partículas mostrados nas tabelas (3.2) e (3.3) foram gerados pelas equações (4.16) e (4.17). Para o fluxo de calor foi utilizado o passeio aleatório, onde W Q são números randômicos dados por uma distribuição normal com média zero e desvio unitário. A fim de descobrir a melhor opção para cada tipo de fluxo de calor examinada, foram testados três diferentes valores para , em que o menor valor representa uma pequena incerteza e os outros dois uma incerteza mais elevada.

O modelo de evolução do campo de temperatura foi dado pela equação (4.17),

Região Intacta Região Queimada Dominio 2D Velocidade da frente Posição da frente

  

	c s t   	, L KPP L KPP , 	  c    	, L KPP , L KPP  4 s	c	  1 c 	(4.35)
			No entanto, ROCHOUX et al (2010) mostraram a necessidade de introduzir um
	parâmetro numérico em termos de tamanho do passo da malha, típicamente , L KPP 	8   ,
	com	 	 min , dx dy		e um parâmetro numérico  , para garantir uma espessura
	numérica constante. Isto leva a uma nova definição , L KPP	8
								34)
			Agora re-escrevendo a equação (4.33):

5.4 Resultados do Problema Inverso de Propagação de Incêndio em Escala de laboratório

  Portanto, foram empregados valores altos para esses desvios padrões, ou seja, tem-se uma grande região de procura e com isso muitas partículas podem cair em mínimos locais ou ficarem perdidas em regiões de fraca probabilidade.

	Para a solução do problema de propagação de incêndio em escalas de laboratório
	foi utilizado o método de Level Set (código cedido pelo CERFACS) para a solução do
	problema direto. O CERFACS fixou dx e dy igual ao erro das medidas ou das Tabela 5.5: Erros RMS e tempo CPU
	Filtro observações dadas pela resolução da câmera infravermelha (4.7 cm), ou seja, Número Erro Erro Erro Erro Soma Tempo Bayesiano de RSM RSM RSM RSM dos CPU
	4.7 partículas     o dx dy cm e	0.02 1 a Frente dt  .	2 a Frente	3 a Frente	4 a Frente	erros	(min.)
	(NP)	(64 s)	(78 s)	(92 s)	(106 s)	RMS	
	O desafio proposto pelo CERFACS era tentar prever a fronteira da chama Valores de 0 0.3320 0.4062 0.4773 0.7629 1.6399
	Rothermel's controlando dois parâmetros: o teor de umidade e a relação superfície/volume das 1.9784 SIR 25 0.1417 0.1915 0.1103 0.2900 0.7335 9.0996
	partículas; usando medidas experimentais dada por uma câmera infravermelha, em SIR 50 0.1418 0.1942 0.1107 0.2837 0.7304 17.958
	SIR intervalos de tempo de 28 segundos, onde a primeira medida foi obtida em 50 segundos 100 0.1378 0.2108 0.1194 0.2797 0.7477 36.465 SIR 400 0.1791 0.2060 0.1105 0.2721 0.7677 220.80
	e a última medida em 190 segundos. Porém, os filtros não conseguiram bons resultados ASIR 25 0.1607 0.1952 0.1088 0.2826 0.7473 17.987
	ASIR numa primeira tentativa. Por isso, inicialmente foram utilizadas medidas experimentais 50 0.1461 0.1942 0.1212 0.2646 0.7261 36.030 ASIR 100 0.1811 0.2119 0.1137 0.2674 0.7741 72.678
	dada por uma câmera infravermelha, em intervalos de tempo de 14 segundos, onde a
	primeira medida foi obtida em 50 segundos e a última medida em 106 segundos.	
	A tabela 5.5, apresenta os resultados dos filtros de partículas, em que se têm os A fim de mostrar a necessidade de se ajustar o teor de umidade e a relação
	erros RMS para cada frente da chama e o tempo computacional consumido para cada superfície/volume, conforme realizado neste trabalho, apresenta-se na figura 5.42 os
	teste. Observando essa tabela, fica fácil verificar a diferença dos resultados gerados resultados obtidos com os valores de Rothemel's dados pela tabela 5.5. Esta figura
	pelos valores sugeridos por Rothermel's e os resultados gerados pelos filtros de mostra claramente o péssimo desempenho dos valores fixados por Rothermel's para
	partículas, em que os filtros apresentam os menores erros RMS. Nota-se ainda que os esse problema, já que, as fronteiras simuladas com esses valores ficaram muito distantes
	erros apresentados para cada filtro são bem próximos, com uma diferença situada na das fronteiras reais dadas pelo experimento.
	segunda casa decimal. Por isso, fica difícil afirmar qual filtro tem melhor desempenho
	para este problema. No entanto, ao somarem todos os erros RMS gerados para cada
	fronteira em cada um dos tempos analisados, tem-se um melhor desempenho do filtro
	ASIR com NP= 50.						
	Observa-se também que o aumento do número de partículas não gera menores
	erros RMS, fato que não tinha ocorrido até essa aplicação. Isso pode ser devido às
	incertezas das medidas e das variáveis de estado, pois ao utilizar o passeio aleatório, isto
	é, um modelo não informativo para os modelos de evolução, torna-se essencial ter uma

boa informação apriori para definir a variância desse modelo. Porém, nessa aplicação não é possível saber se a informação apriori é confiável, por isso, tem-se uma dificuldade enorme em definir os desvios padrões e determinar a região de procura.

  A fim de prever a fronteira da chama com a utilização de imagens a cada 28 segundos, foi feita a estimação da velocidade do vento junto à estimativa da relação superfície/volume e do teor umidade do leito do combustível.

	A tabela 5.6 mostra a diferença dos erros RMS com e sem a estimação feita na
	amplitude do vento. Fica bem evidente que é necessário o ajuste para a amplitude do
	vento, pois obtêm-se valores bem menores para os erros RMS. A influência da
	estimação é mais clara no tempo de 78 segundos, pois os menores valores dos erros
	RMS utilizando um valor médio para a amplitude do vento são de 0.1915 para o filtro
	SIR e 0.1942 para o filtro ASIR, enquanto com a estimativa da amplitude do vento os
	menores valores são de 0.0956 para o filtro SIR e 0.1043 para o filtro ASIR. Já em 106
	segundos os valores dos erros RMS ficaram bem próximos, porque nesse caso o valor
	médio utilizado na primeira etapa é bem próximo do valor estimado para a amplitude da
	velocidade do vento.			
	Tabela 5.6: Comparação com e sem a estimação da velocidade do vento
	Resultados	Filtro Bayesiano	Erro RSM	Erro RSM
			1 a Fronteira	2 a Fronteira
			(78 s)	(106 s)
	Sem a estimação da	SIR	0.1915	0.2721
	amplitude do vento			
	Com a estimação da	SIR	0.0956	0.2642
	amplitude do vento			
	Sem a estimação da	ASIR	0.1942	0.2646
	amplitude do vento			
	Com a estimação da	ASIR	0.1043	0.2647
	amplitude do vento			
	Tempo = 64 s	Tempo = 64 s	
	No entanto, mesmo estimando a velocidade do vento não foi possível prever as
	fronteiras da chama para tempos maiores que 106 segundos. No entanto, ao ser feito a
	mudança no parâmetro C f apresentado por Rothermel, mostrado no Apêndice A, tem-se
	resultados bem promissores, como mostra a figura 5.49 que resalta a necessidade deste
	de estimar. De acordo com ROTHERMEL essa constante tem o valor fixado igual a
	7.47, mostrado pela equação (A.6.c), porém para o problema proposto esse valor não

apresentou bons resultados. Por isso, foi sugerido uma variação nesse parâmetro, onde C f = 7.47 até o tempo de 106 segundos e para os tempos seguintes C f = 0.47, esse valor foi usado de forma a melhorar o resultado. 123

  7, apresenta o resultado com as modificações propostas, em que têm-Nota-se na figura 5.50 que o filtro SIR com mais de 25 partículas tem resultados bem próximos para todos os casos testes. Já a figura 5.51 tem-se o filtro ASIR com

			Tabela 5.7: Erros RMS e tempo CPU		
	Filtro	Número	Erro	Erro	Erro	Erro	Erro	Soma	Temps
	de	de	RSM	RSM	RSM	RSM	RSM	dos	CPU
	Part.	partículas	1 a Frente	2 a Frente	3 a Frente	4 a Frente	5 a Frente	erros	time
		(NP)	(78 s)	(106 s)	(134 s)	(162 s)	(190 s)		(min.)
	SIR	25	0.1037	0.2976	2.5683	2.8106	3.2251 9.005 23.833
	SIR	50	0.1002	0.2680	2.5669	2.8011	3.0948 8.831 47.854
	SIR	100	0.1067	0.2980	2.5664	2.8055	3.0966 8.873 94.786
	SIR	200	0.0956	0.2642	2.5710	2.8089	3.0989 8.838 285.78
	ASIR	25	0.1675	0.2842	2.5778	2.8121	3.0995 8.941 48.514
	ASIR	50	0.1033	0.2647	2.5681	2.8078	3.0969 8.831 95.321
	ASIR	100	0.1718	0.2883	2.5715	2.8090	3.0988 8.939 292.30
	ASIR	200	0.1139	0.2640	2.5650	2.8036	3.0965 8.843 582.15
	se os erros RMS para a estimativa da frente de chama em diferentes tempos e o tempo
	computacional gasto para cada teste. Nota-se que os erros RMS dos diferentes filtros
	são bem próximos para este caso. Por outro lado, ao somarem-se todos os erros RMS, o
	filtro ASIR com 50 partículas apresenta o menor valor para o erro total.		

Figura 5.43: Resultado do filtro SIR para a fronteira do fogo.

A equação (4.23) é válida para todos os valores no tempo. Logo, conclui-se que é constante. Os coeficientes e são obtidos pela equação (4.23), obtendo-se: Onde, 

A equação (B.9) é a equação de condução de calor discretizada. Ela é escrita para todos os nós do domínio computacional interno. Para os nós das fronteiras, onde são aplicadas as condições de contorno discretizadas, são encontradas condições fictícias para as temperaturas = 0 = 1, que podem ser eliminadas por meio das condições de contorno. Agora, substituindo a eq. ( . 6) em ( . 3) tem-se: