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Luis Gustavo 
  
Giacon Villani 
  
Samuel Da Silva 
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Americo Cunha 
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Luis G G Villani 
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Samuel Da 
  
  
  
  
  
Quantifição de Incertezas nos Núcleos de Volterra de um Oscilador de Duffing

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Introdução

• Sistemas mecânicos podem apresentar comportamento não linear (tipo de material, geometria, junções, etc). Este comportamento deve ser considerado nos modelos de predição

• Os parâmetros dos sistema estão sujeitos a uma série de variabilidades e tais incertezas devem ser consideradas na predição da resposta dos mesmos;

Séries de Volterra

As séries de Volterra são descritas por:

y(t) = +∞ η=1 R η h η (τ 1 , τ 2 , ..., τ η ) η i=1 u(t -τ i )dτ i = y 1 (t) + y 2 (t) + y 3 (t) + ... (1)
As contribuições linear e não lineares podem ser obtidas:

y 1 (t) = R 1 h 1 (τ 1 )u(t -τ 1 )dτ 1 (2) y 2 (t) = R 2 h 2 (τ 1 , τ 2 )u(t -τ 1 )u(t -τ 2 )dτ 1 dτ 2 (3) y 3 (t) = R 3 h 3 (τ 1 , τ 2 , τ 3 )u(t -τ 1 )u(t -τ 2 )u(t -τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 (4)
Com a transformada de Fourier multidimensional, considerando excitação harmônica simples, pode-se obter expressões para os núcleos de alta ordem:

H η (ω 1 , ω 2 , ..., ω η ) = R η h η (τ 1 , τ 2 , ..., τ η ) η i=1 e -jω i τ i dτ 1 dτ 2 ...dτ η (5) 

Oscilador de Duffing

Assumindo o fator de amortecimento como uma variável aleatória o oscilador de Duffing pode ser descrito por:

m ÿ(t, θ) + c(θ) ẏ(t, θ) + k 1 y(t, θ) + k 3 y(t, θ) 3 = u(t) (6) 
Onde a função gamma foi escolhida para aproximar a distribuição de c(θ), seguindo o método da máxima entropia:

p E (e) = 1 (0,∞) 1 µ c 1 δ 2 c 1 δ 2 c 1 Γ(1/δ 2 c ) e µ c 1 δ 2 c -1 exp - e δ 2 c µ c (7) Considerando H(j±) = H(±) e u(t) = Acos(ωt) = A 2 (e jωt + e -jωt
), pode-se obter a resposta para o sistema:

y 1 (t, θ) = A 2 H 1 (ω, θ)e jωt + A 2 H 1 (-ω, θ)e -jωt (8) 
y 3 (t, θ) = A 3 8 H 3 (ω, ω, ω, θ)e 3jωt + 3A 3 8 H 3 (ω, ω, -ω, θ)e jωt + + 3A 3 8 H 3 (ω, -ω, -ω, θ)e jωt + A 3 8 H 3 (-ω, -ω, -ω, θ)e -3jωt (9) 
Finalmente, os núcleos podem ser obtidos:

H 1 (ω, θ) = 1 k 1 + jc(θ)ω -mω 2 (10) H 3 (ω, ω, ω, θ) = -k 3 H 1 (ω, θ) 3 H 1 (3ω, θ) (11) 
Tabela 1: Parâmetros utilizados nas simulações.

Parâmetro Valor Parâmetro Valor

m [kg] 1 k 1 [N/m] 1×10 4 k 3 [N/m 3 ] 1×10 9 A [N] 1 µ c [Ns/m] 10 δ c 0.05 ω n [Hz]
15.91 Fs [Hz] 1024 Valor médio Valor determinístico 98% de confiança

H 3 (ω, 1, 1, θ) Frequência [Hz]
Figura 1: Primeiro núcleo. Figura 2: Terceiro núcleo. 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -3 -2 -1 0 1 2 3 ×10 -3 98% de confiança Valor médio Valor determinístico y 1 (t, θ) [m] Tempo [s] 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -3 -2 -1 0 1 2 3 ×10 -3 98% de confiança Valor médio Valor determinístico y 3 (t, θ) [m] Tempo [s]

Concluão

Conclui-se que a presença de incertezas no coeficiente de amortecimento do oscilador de Duffing torna os núcleos também incertos e consequentemente faz com que a resposta obtida pelo modelo varie muito.

Agradecimentos

Figura 3 :Figura 5 :Figura 7 :

 357 Figura 3: Contribuiç ao linear.Figura 4: Contribuiç ao cúbica.