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Anderson S Nunes 
  
Alvaro Portillo 
  
Federico Portillo 
  
Álvaro Portillo 
  
reatores do tipo shunt através do Método de Elementos Finitos em 2-D

 

A complexa geometria de reatores tipo shunt torna sua análise de forma analítica pouco trivial. Assim, o Método de Elementos Finitos (MEF) 2-D surge como uma ferramenta robusta capaz de modelar esse tipo de geometria, através da resoluc ¸ão da equac ¸ão de Poisson com simetria axissimétrica. Com o objetivo de validar esta metodologia, obtêm-se os valores de reatância indutiva para alguns reatores através do MEF 2 e 3-D. Os resultados obtidos são comparados entre si e com valores medidos. Então, propõese uma metodologia para modelar a distribuic ¸ão do fator de hot spot ao longo da sec ¸ão transversal do enrolamento, que permite analisar a diferenc ¸a de temperatura devido as correntes induzidas pelo fluxo magnético de espraiamento em consequência dos entreferros.

Index Terms-Reator Shunt, Método de Elementos Finitos, Reatância indutiva, fator de hot spot

I. Introduc ¸ão

Os reatores tipo shunt se aplicam para compensar o efeito capacitivo das linhas de transmissão longas e de cabos subterrâneos. Caso este efeito capacitivo não seja controlado, este fato pode fazer com que ocorram efeitos de sobre tensão ao longo da linha ou cabo, podendo levá-los a falha [START_REF] Cigre | Technology and utilization of oil-immersed shunt reactors[END_REF].

Estes reatores podem ser monofásicos ou trifásicos, com núcleo de ar ou com núcleo formado através de entreferros [START_REF] Cigre | Technology and utilization of oil-immersed shunt reactors[END_REF], [START_REF]Power transformers -Part 6: Reactors[END_REF]. Além das características construtivas, as particularidades operacionais também os diferenciam dos transformadores [START_REF] Cigre | Technology and utilization of oil-immersed shunt reactors[END_REF], [START_REF]Power transformers -Part 6: Reactors[END_REF], [START_REF] Saizen | 500/ √ (3) kv 50/3 MVA shunt reactors for CTM, argentina[END_REF], [START_REF] Ikeda | Technological trend in the recent development of shunt reactor[END_REF], [START_REF] Gallay | UHV shunt reactors technical problems and test facilities[END_REF].

Tendo em vista a complexidade geométrica do núcleo dos reatores do tipo shunt, sua análise através de métodos analíticos se torna complexa, principalmente devido às simplificac ¸ões que precisam ser aplicadas. Por outro lado, considerando-se a larga aplicabilidade do Método de Elementos Finitos (MEF) na resoluc ¸ão de problemas eletromagnéticos [START_REF] Bastos | Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods[END_REF], este se torna uma ferramenta suficientemente robusta para a modelagem de reatores tipo shunt proposta neste trabalho, pois permite considerar a geometria do núcleo com razoável precisão. A Fig. 1 apresenta uma geometria utilizada para a modelagem em 3-D através do MEF. Esta geometria está simplificada, se comparada com a geometria real, mas não ao ponto de influenciar nos resultados da modelagem em questão. Em transformadores, as regiões mais quentes dos enrolamentos, conhecidas como hot spot, normalmente são verificadas nas regiões superiores. Este efeito ocorre porque há a uma concentrac ¸ão de perdas nos condutores nestas regiões, devido à componente radial de campo magnético, e devido ao fato de o óleo estar em uma temperatura mais elevada, se comparado com a região inferior dos enrolamentos.

Em reatores, o fluxo magnético de espraiamento devido aos entreferros, também conhecido como ("fringing effect"), pode causar correntes induzidas nos condutores dos enrolamentos e consequentemente regiões com temperaturas mais elevadas. Sendo assim, tal fato sugere que o hot spot pode não ocorrer necessariamente na região superior dos enrolamentos de reatores shunt, como esperado no caso de transformadores. Este fenômeno é, normalmente, mais evidente em reatores com menores níveis de tensão, pois nestes casos a distância entre os enrolamentos e o núcleo é menor.

A modelagem magnética de reatores "shunt" através do MEF 2-D e com simetria axissimétrica é razoavelmente conhecida. Contudo, para analisar a precisão no cálculo dos valores de indutância obtidos através desta metodologia, comparamse tais valores com aqueles obtidos em 3-D e com valores de medic ¸ões.

Um dos fatores limitantes da vida útil dos equipamentos elétricos é a temperatura. Neste caso, o cálculo da distribuic ¸ão das perdas ôhmicas nos enrolamentos assume um papel preponderante durante o projeto do reator. Com a distribuic ¸ão de densidade de fluxo magnético obtida em 2-D, a qual leva em considerac ¸ão o efeito dos entreferros, estima-se a distribuic ¸ão de perdas nos condutores dos enrolamentos através das componentes radial e tangencial do campo densidade de fluxo magnético. De posse desta distribuic ¸ão de perdas, propõese uma metologia para calcular a elevac ¸ão de temperatura ao longo dos enrolamentos e, desta maneira, mapear a real distribuic ¸ão do fator de hot spot, que sugere a posic ¸ão com temperatura mais elevada do enrolamento.

II. Métodos analíticos vs. métodos numéricos

Os primeiros cálculos de campos magnéticos de dispersão em transformadores foram realizados por Kapp em 1898 [START_REF] Kapp | Ein beitrag zur vorausberechnung der streuung in transformatoren[END_REF], considerando-se unicamente a componente axial do fluxo de dispersão em 2-D e supondo µ r → ∞ para as regiões do núcleo magnético. Seu estudo foi complementando por Rogoswki em 1909 [START_REF] Rogowski | Ueber das streufeld und den streuinduktionskoeffizienten eines transformators mit scheibenwicklung und geteilten endspulen[END_REF], quem introduziu um fator de correc ¸ão para levar em considerac ¸ão o efeito da componente radial do fluxo magnético de dispersão. Este enfoque, conhecido como a fórmula de Kapp, é utilizado com razoável nível de precisão no cálculo de reatâncias de curto-circuito em transformadores, sempre que a geometria das bobinas seja tal que não surjam componentes radias importantes de campos de dispersão [START_REF] Morris | The influence of various factors upon the leakage reactance of transformers[END_REF], [START_REF] Kulkarni | Transformer Engineering: Design, Technology, and Diagnostics[END_REF], [START_REF] Vecchio | Transformer Design Principles[END_REF].

A fórmula de Kapp pode ser adaptada para o cálculo de reatância em reatores tipo shunt, obtendo-se resultados aceitáveis sempre que levados em conta fatores de correc ¸ões para a distorc ¸ão de fluxo magnético devido aos efeitos de borda nos entreferros do núcleo, o fluxo de espraiamento já mencionado [START_REF] Balakrishnan | Air-gap reluctance and inductance calculations for magnetic circuits using a schwarz-christoffel transformation[END_REF].

Com o advento da computac ¸ão, aumentam notavelmente o poder de cálculo e o desenvolvimento de métodos analíticos complexos que permitam determinar com precisão a distribuic ¸ão de campo magnético de dispersão em 2-D, supondo ainda µ r → ∞ para o núcleo. O método mais conhecido e aplicado é o desenvolvido por L.Rabins em 1956 [START_REF] Rabins | Transformer reactance calculations with digital computers[END_REF] que possibilita obter o potencial vetor magnético resolvendo-se a equac ¸ão de Poisson da magnetostática em 2-D, em coordenadas cilíndricas (simetria axisimétrica) e com condic ¸ões de contorno de Neumann (as linhas equipotenciais incidem perpendicularmente ao contorno), já que para o núcleo temse µ r → ∞. Mesmo este método permitindo obter resultados coerentes, está limitado a casos 2-D, não permite considerar a saturac ¸ão magnética do núcleo devido à sua condic ¸ão de contorno e a sua adaptac ¸ão aos reatores tipo shunt é complexa, uma vez que para modelar a coluna do núcleo com entreferros é necessário incluir a condic ¸ão de contorno de Neuman ao longo de todos os discos magnéticos que compõem a coluna, para representar todas as regiões de entreferro.

O MEF foi aplicado pela primeira vez para análise de transformadores em 1970 [START_REF] Silvester | Finite element solution of saturable magnetic field problems[END_REF]. Em 1972 O. W. Andersen [START_REF] Andersen | Transformer leakage flux program based on the finite element method[END_REF] o aplicou para determinar o campo magnético de dispersão em 2-D em coordenadas cilíndricas, também supondo µ r → ∞ para o núcleo.

A grande vantagem deste método é que, além de 2-D, podese elaborar modelos em 3-D, permite levar em considerac ¸ão a saturac ¸ão do núcleo magnético, é possível modelar o tanque e outros possíveis elementos metálicos do transformador e as perdas geradas nestas regiões, em consequência do fluxo de dispersão. Como uma hipótese simplificadora, permite também aplicar condic ¸ões de contorno nas regiões dos entreferros do núcleo de reatores shunt, o que permite desconsiderar tais domínios e reduzir o esforc ¸o computacional necessário para a modelagem.

III. Modelagem através do MEF

As análises apresentadas são elaboradas através de soluc ¸ões de campos magnetostáticos. Para a soluc ¸ão destes campos, parte-se das equac ¸ões de Maxwell para a magnetostática,

rot H = J (1) div B = 0 (2)
onde H é o campo magnético, B é a densidade de fluxo magnético e J é densidade de corrente.

A relac ¸ão constitutiva que relaciona o campo magnético H e a induc ¸ão magnética B éB = µH

Para a soluc ¸ão do problema magnetostático em 3-D, utilizase uma formulac ¸ão em potencial escalar magnético, φ [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF], [START_REF]Maxwell Online Help -Release R19[END_REF]. Para tal, supõe-se um domínio Ω simplesmente conexo e um campo fonte H s conhecido e com a sua condic ¸ão de contorno n×H s | Γ H = 0. O campo magnético pode ser expresso por

H = H s -grad φ (4) 
Neste caso são utilizados elementos tetraédricos de segunda ordem e a malha é gerada através de um processo autoadaptativo. Tais casos são resolvidos através do programa Ansys Maxwell [START_REF]Maxwell Online Help -Release R19[END_REF].

Para a soluc ¸ão dos modelos 2-D, utiliza-se a formulac ¸ão em em potencial vetor magnético A, onde

B = rot A (5) e consequentemente rot 1 µ rot A = J (6) 
A Eq. ( 6) é resolvida considerando-se uma simetria axissimétrica, ou seja, um domínio como a geometria 2-D apresentada na Fig. 2(a) representa matematicamente um domínio que, em 3-D, seria como a Fig. 2(b), a qual está em corte. Esta geometria confere à modelagem bidimensional uma aproximac ¸ão monofásica ao modelo real trifásico, apresentado na Fig. 1. Os casos 2-D são resolvidos através do programa FEMM [START_REF] Meeker | Finite element method magnetics -version 4[END_REF]. IV. Análise de reatância, perdas e temperatura A reatância indutiva, calculada através da indutância, confere ao reator as suas características principais. Considerandose que a formulac ¸ão utilizada é em potencial vetor magnético, a indutância conferida ao enrolamento pode ser equacionada como

L = 1 I 2 Ω A J dΩ (7) 
onde I é a corrente no enrolamento. Para o cálculo de perdas por fluxo disperso nos condutores internos ao enrolamento, necessita-se obter as componentes axial e radial do vetor densidade de fluxo magnético no centro de cada condutor,

B = B r r + B z z = - 1 r 0 ∂A ∂z r + 1 r 0 ∂A ∂r z (8) 
conforme ilustrado na Fig. 4. As perdas de curto-circuito p V em W/m 3 em cada condutor incluindo, além das perdas ôhmicas P res , as componentes das perdas por fluxo disperso axial P Bz e radial P Br podem ser calculadas como:

p V = P res + P Bz + P Br = ρ I EF S 2 + (ω B z t) 2 24ρ + (ω B r w) 2 24ρ (9) 
onde ρ é resistividade do material condutor, I EF é corrente eficaz que circula pelo condutor, S é sec ¸ão transversal do condutor. t e w são as dimensões dos condutores, conforme ilustrado na Fig. 4.

É importante salientar que os termos para das perdas por fluxo disperso, P Bz e P Br , são válidos para dimensões de condutores menores que a espessura de penetrac ¸ão de campo. Uma completa discussão sobre este tema é apresentada em [START_REF] Kulkarni | Transformer Engineering: Design, Technology, and Diagnostics[END_REF].

Pode-se obter o fator de hot spot em cada condutor com boa aproximac ¸ão para circulac ¸ão natural de óleo através da seguinte equac ¸ão: Para transformadores, a temperatura de hot spot (Θ hs ) depende da temperatura do ambiente (Θ amb ), da temperatura do topo do óleo (Θ to ), do gradiente de temperatura entre enrolamento e óleo médio (∆Θ em-om ) e do fator de hot spot H s [START_REF]Power transformers -Part 6: Reactors[END_REF],

Θ hs = θ amb + Θ to + H s ∆Θ em-om (11) 
No entanto, esta equac ¸ão considera que o fator de hot spot se encontra na região superior do enrolamento. Porém, percebese através das Figuras 3 e 5 que o fator de hot spot pode não estar localizado na parte superior, demonstrando a necessidade da análise da localizac ¸ão do maior fator, cuja temperatura deve ser avaliada através de uma equac ¸ão na forma de:

Θ hs = Θ amb + Θ bo + ∆Θ to-bo h hs h e + H s ∆Θ em-om (12) 
e que considere a real posic ¸ão do hot spot. Nesta equac ¸ão, Θ bo é a temperatura na base do enrolamento, ∆Θ to-bo é a diferenc ¸a de temperatura entre a base e topo do óleo, h e representa a altura do enrolamento, e h hs é a posic ¸ão axial do hot spot.

V. Resultados

A. Reatância indutiva

Para elaborar uma validac ¸ão numérica do método de cálculo de reatância indutiva em 2-D com simetria axissimétrica, obtém-se um projeto de um reator trifásico de 16.61 MVAr, 242 kV, e analisa-se este projeto de forma monofásica e trifásica em 3-D. Para a análise trifásica, o resultado é uma matriz de indutâncias, com indutâncias próprias e mutuas, que não pode ser comparada com uma única indutância própria, que é o caso da análise monofásica. Desta forma, analisam-se os resultados através das correntes que circulam pelo reator, considerando-se que este está submetido a uma dada tensão de fase V f e deve fornecer uma dada potência reativa indutiva por fase P f ase ,

I = P f ase V f = 16610/3 242/ √ 3 = 39, 63 A (13) 
Desta forma, o projeto do reator deve contemplar uma reatância indutiva nominal tal que, sob a tensão nominal, circulem 39.63 A no enrolamento de cada fase. A corrente medida nos testes do reator foi de 38.93A, resultando em um erro de reatância de +1,79%, o que está dentro da tolerância de ±5% estabelecida pela norma [START_REF]Power transformers -Part 6: Reactors[END_REF].

Para a análise monofásica, a corrente obtida através da indutância simulada é dada por:

I = V f X L = V f 2 π f L (14) 
onde que X L é a reatância indutiva. Para os casos trifásicos, resolve-se o sistema matricial

[I] = [X L ] -1 V f (15) 
1) Análise monofásica -MEF 2-D O valor de indutância obtida através do método proposto 2-D foi 9,636 H, ou seja, uma corrente elétrica de:

I = V f X L = V f 2 π f L = 242000/ √ 3 2 π 60 9, 636 = 38, 46 A (16) 
2) Análise monofásica -MEF 3-D A Fig. 6 abaixo apresenta a geometria tridimensional em corte elaborada para a análise monofásica. Neste caso, o valor de indutância calculado foi 9,773 H, que corresponde a

I = V f X L = V f 2 π f L = 242000/ √ 3 2 π 60 9, 773 = 37, 92 A (17) 
Figura 6. Modelo monofásico tridimensional.

3) Análise Trifásica -MEF 3-D A Fig. 7 mostra um corte na geometria elaborada para a análise trifásica. 

          (18) 
e a matriz de correntes calculada através da Eq. ( 15) é Pode-se verificar que os valores obtidos com o MEF 2-D são coerentes se comparados com os valores medidos para uma ampla gama de potência de reatores.

I =           38 

B. Fator de hot spot

Através da metodologia proposta pode-se obter a distric ¸ão do fator de hot spot H s ao longo dos enrolamentos, levando-se em considerac ¸ão o efeito do fluxo magnético disperso devido aos entreferros.

Sendo assim, define-se um reator e mapeia-se a distribuic ¸ão de H s ao longo da sec ¸ão transversal de seu enrolamento, analisando-se quatro distâncias entre o enrolamento e o núcleo. Os resultados são apresentados na Fig. 8 Percebe-se que ao passo que a distância entre o enrolamento e o núcleo aumenta, os fatores diminuem, conforme esperado. Mesmo este efeito sendo mais pronunciado em reatores sob menores níveis de tensão, devido a distâncias menores entre o núcleo e o enrolamento, a região interna do enrolamento tenderá a uma temperatura superior.

Com esta metodologia pode-se calcular o fator de hot spot de uma forma não onerosa computacionalmente, durante a etapa de projeto do equipamento e possibilitando ainda ser implementada em processos de otimizac ¸ão.

A comparac ¸ão com valores medidos é uma etapa futura à este trabalho, pois demanda protótipos complexos e de altos custos.

VI. Conclusão

O MEF 2-D e em coordenadas cilíndricas pode ser uma importante ferramenta para modelagem de reatores do tipo shunt, pois salvo algumas restric ¸ões comentadas, permite determinar com razoável precisão a distribuic ¸ão de campo magnético no interior do equipamento.

Com tal distribuic ¸ão, pode-se obter a reatância do reator, que neste trabalho foi validada através da comparac ¸ão com valores medidos.

Além da reatância, pode-se calcular as perdas nos condutores do enrolamento e, através do método proposto, obter a localizac ¸ão ponto de hot-spot no enrolamento. O método utilizado é simples, leve computacionalmente e pode ser implementado inclusive com o MEF 3-D.

Além das características estudadas neste trabalho, a modelagem de reatores shunt através do MEF 3-D permite calcular a reatância em núcleo de ar, verificar a linearidade da característica tensão-corrente e calcular as perdas nos elementos metálicos estruturais como consequência do fluxo magnético de dispersão.

Figura 1 .

 1 Figura 1. Geometria básica de reator tipo shunt trifásico.

  (a) Geometria bidimensional. (b) Representac ¸ão tridimensional.

Figura 2 .Figura 3 .

 23 Figura 2. Geometria básica de reator tipo shunt em modelagem axissimétrica.

Figura 4 .

 4 Figura 4. Fluxo de dispersão em um condutor.

8 ( 10 )

 810 H s = P res + P Bz + P Br P res 0.Para exemplificar o efeito do fluxo disperso devido aos entreferros na distribuic ¸ão do fator de hot spot ao longo da sec ¸ão transversal dos enrolamentos, analisa-se um reator e apresenta-se a distribuic ¸ão do fator H na Fig. 5. As regiões indicadas com os retângulos vermelhos representam a sec ¸ão transversal do enrolamento.

Figura 5 .

 5 Figura 5. Distribuic ¸ão do fator de hot spot.

Figura 7 .

 7 Figura 7. Modelo trifásico tridimensional.

  .18 e j0.004 38.33 e -j1.047 38.33 e j1.047 apresentados estão resumidos e comparados com o valor medido na Tabela I. Através da análise destes resultados, verifica-se que estes são coerentes entre si, validando o método em 2-D. Tabela I Comparac ¸ão entre os resultados obtidos para o reator de 16 MVAr. reatâncias indutivas obtidas através do MEF 2-D axisimetrico são comparados com valores de medic ¸ões para outros reatores e os dados são apresentados na Tabela II.

  , onde a distância entre o enrolamento e o núcleo é menor na Fig. 8(a) que na Fig. 8(b) e assim sucessivamente.

Figura 8 .

 8 Figura 8. Distribuic ¸ão do fator de hot spot para 4 distâncias entre enrolamento e núcleo.