math.math-ho shs.edu
Luc Trouche 
  
Ghislaine Gueudet 
  
Birgit Pepin 
  
Adaptção Ao 
  
Cibelle Assis 
  
Katiane Rocha 
  
Sonia Igliori 
  
  
  
  
  
  
  
  
A abordagem documental do didático

Keywords: Curriculum materials, Digital resources, Documentational geneses, Operational Invariants, Resource systems, Resources in/for teaching, Teachers' collective work, Teacher professional development

. This article is a Portuguese adaptation of this updated version. It is part of a collection, gathering such adaptations in 14 languages (https://hal.archives-ouvertes.fr/DAD-MULTILINGUAL).

The documentational approach to didactics is a theory in mathematics education. Its first aim is to understand teachers' professional development by studying their interactions with the resources they use and design in/for their teaching. In this text we briefly describe the emergence of the approach, its theoretical sources, its main concepts and the associated methodology. We illustrate these aspects with examples from different research projects. This synthetic presentation is written for researchers, but also for non-specialists (e.g. master students) interested in a first discovery of the documentational approach

Introdução

Os professores de matemática interagem, em seu trabalho diário, com recursos concebidos para fins de ensino (que nós denominaremos recursos curriculares, por exemplo, um livro didático) ou com recursos que não têm finalidade de ensino (por exemplo, um artigo de periódico). Seus trabalhos com esses recursos, em sala de aula ou fora dela, incluem a seleção, a modificação e a criação de novos recursos. Esse trabalho criativo é denominado trabalho documental do professor, e seus resultados documentação do professor. Os recursos curriculares incluem, normalmente, textos (por exemplo, livros didáticos, programas oficiais ou ainda produções de alunos); recursos digitais (que podem também ser, por exemplo, textos encontrados na Internet, mas também softwares. A disponibilidade de uma profusão de recursos em Internet está causando mudanças profundas na maneira como os professores escolhem os recursos, os usos que eles fazem deles e muitos outros aspectos. Assim, o estudo de recursos e as possíveis interações que os professores podem ter com eles tornaram-se um importante campo de pesquisa (Trouche, Gueudet & Pepin 2019), em especial porque as reformas curriculares são acompanhadas em muitos países por recursos que devem ajudar os professores a implementar o novo programa, de acordo com as expectativas da instituição. Do ponto de vista teórico, o trabalho de professores com recursos curriculares tem sido estudado internacionalmente, mobilizando uma multiplicidade de conceitos [START_REF] Remillard | Examining key concepts in research on teachers' use of mathematics curricula[END_REF][START_REF] Pepin | Re-sourcing teachers' work and interactions: a collective perspective on resources, their use and transformations[END_REF]. Na literatura anglo-americana, observamos as distinções entre intended curriculum e enacted curriculum, que podem ser traduzidos, respectivamente, por currículo prescrito e currículo praticado. A transição do currículo prescrito para o currículo praticado aproxima-se de uma das etapas do processo de transposição didática [START_REF] Chevallard | Les processus de transposition didactique et leur théorisation[END_REF], a transição do saber a ser ensinado ao saber ensinado (etapa denominada, por Ravel 2005, como transposição interna). Nesse texto, apresentamos a abordagem documental do didático (doravante ADD), decorrente da tradição francesa de pesquisa em didática.

As fontes da abordagem

A abordagem documental do didático (ADD) foi introduzida por Ghislaine Gueudet e Luc Trouche [START_REF] Gueudet | Du travail documentaire des professeurs : genèses, collectifs, communautés[END_REF][START_REF] Brown | The teacher-tool relationship: Theorizing the design and use of curriculum materials[END_REF][START_REF] Gueudet | Studying Teachers' Documentation Work: Emergence of a Theoretical Approach[END_REF]) e tem se desenvolvido em trabalho conjunto com Birgit Pepin (Gueudet, Pepin & Trouche 2012). A ADD está ancorada na tradição francesa de pesquisa em didática da matemática (Trouche 2016a), na qual os conceitos de situação didática, de restrição institucional e de esquema são centrais. Ela baseia-se igualmente em uma perspectiva sociocultural, incluindo, em particular, a noção de mediação [START_REF] Vygotsky | Thought and language[END_REF]) como componente de qualquer processo cognitivo. Além disso, a ADD foi desenvolvida no contexto de uma crescente digitalização da informação e da comunicação, o que requer novas abordagens teóricas. De fato, a digitalização da informação e da comunicação, bem como o desenvolvimento da Internet têm trazido grandes mudanças em termos de facilidade e rapidez, possibilitando o acesso a inúmeros recursos e a comunicação com inúmeros interlocutores. Isso caracterizou uma metamorfose completa dos modos de pensamento e de ação, em particular na educação relativamente a novos equilíbrios entre recursos estáticos e dinâmicos, entre concepção e uso de recursos, entre trabalho coletivo e individual (Pepin, Choppin, Ruthven & Sinclair 2017). A consideração dessas mudanças levou a ADD a propor uma mudança de paradigma, analisar o trabalho dos professores pela lente dos "recursos" para o e no ensino, ou seja, os recursos que eles preparam para nutrir suas práticas de sala de aula, e o que é continuamente renovado por essas práticas. Os autores da ADD se apoiaram em trabalhos realizados internacionalmente em vários campos de pesquisa: (1) o campo do uso de tecnologias; (2) o campo do desenvolvimento profissional de professores; (3) o campo da concepção e de uso dos recursos curriculares e outros recursos e (4) o campo da arquitetura da informação. No campo do uso de tecnologias, a principal fonte da ADD é a abordagem instrumental. Essa teoria foi desenvolvida por [START_REF] Rabardel | Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments contemporains[END_REF] em ergonomia cognitiva, depois integrada em didática da matemática [START_REF] Guin | Calculatrices symboliques : transformer un outil en un instrument du travail mathématique, un problème didactique[END_REF], Guin, Ruthven e Trouche 2005). Essa teoria distingue um artefato, disponível para um usuário, e um instrumento, desenvolvido por esse usuário. O processo de desenvolvimento do instrumento é chamado de gênese instrumental. Essa gênese combina dois processos: instrumentação e instrumentalização -que a ADD assume como conceitos centrais (ver § 3). O desenvolvimento da abordagem instrumental correspondeu a um período em que as problemáticas de integração de tecnologias pelos professores envolviam uma ferramenta única (por exemplo, uma calculadora, um software de cálculo formal ou ainda um software de geometria dinâmica). No novo contexto digital que mencionamos, ficou claro que a abordagem instrumental não era mais suficiente para dar conta do fato de que os professores estavam cercados por uma profusão de recursos variados. A atenção dada aos recursos está em acordo à proposta de [START_REF] Adler | Conceptualising resources as a theme for teacher education[END_REF] que, em seu trabalho sobre o desenvolvimento profissional de professores na África do Sul, propõe "pensar em um recurso [resource em inglês] em torno do verbo inglês re-source: nutrir da fonte novamente ou de maneira diferente" (p. 207). Também em português a palavra recurso pode dar o significado pretendido por Adler (2006). Isso porque « recurso é uma palavra composta pela justaposição do prefixo « re » e do substantivo « curso », o primeiro significa repetição e o segundo um caminho já utilizado, sendo esse o sentido do latim recursus. (Negri, 2007, p..9) A abordagem documental mantém essa perspectiva e considera um amplo espectro de recursos: livros didáticos, recursos on-line, trocas de e-mail com colegas, ou ainda produções de alunos etc. É tudo o que pode realimentar o trabalho do professor, recursos que dizem algo ao professor, assim como os recursos evocados por [START_REF] Remillard | Examining key concepts in research on teachers' use of mathematics curricula[END_REF] em seu estudo de recursos curriculares, que apoiam sua atividade profissional. Essa visão ampliada dos recursos leva a uma visão ampliada do desenvolvimento profissional dos professores. Como escrevem Ball, Hill e Bass (2005), em seus estudos sobre "conhecimento matemático para o ensino", o ensino não se reduz apenas ao trabalho em sala de aula, mas inclui também a atividade de preparação, de elaboração de um planejamento, de avaliação ou de intercâmbio com diferentes atores da instituição (colegas ou pais de alunos). No quadro da ADD, estudamos o trabalho dos professores por meio de suas interações com os recursos. Nós consideramos (como Cooney,1999), que as evoluções de práticas e as evoluções de conhecimentos ou convicções profissionais se relacionam. Essa ligação é modelada em termos de esquemas e de gêneses, isso será explicado nas partes 3 e 4 desse texto. Nesse contexto de construção teórica, foi necessário escolher um termo designando o que o professor desenvolve, para um determinado objetivo, durante seu trabalho com recursos. Nós propusemos o termo documento, usado no campo da arquitetura da informação [START_REF] Salaün | Les architectes de l'information face à l'oligopole du Web[END_REF]) para designar um suporte que possui uma intenção, bem como dedicado a um determinado uso em um contexto preciso. É dessa escolha que surge naturalmente a denominação "abordagem documental do didático". Além disso, a facilidade de comunicação via Internet faz com que essa abordagem leve em consideração o surgimento de várias formas de trabalho coletivo de professores: redes, associações on-line ou, ainda, comunidades mais ou menos formais. A teoria das comunidades de prática [START_REF] Wenger | Communities of practice. Learning, meaning, identity[END_REF] e seus conceitos de participação, negociação e reificação parecia particularmente frutífera e adequada para analisar a concepção de recurso por coletivo de professores e os processos de desenvolvimento profissional associados.

A abordagem documental do didático -uma abordagem holística do trabalho dos professores

Nesta seção, descrevemos os "ingredientes" da ADD e os processos envolvidos. Para isso, são definidos os seguintes termos: recursos curriculares, documentos, gênese, instrumentação e instrumentalização. Os recursos curriculares são todos os recursos (ex. livros didáticos digitais/tradicionais, recursos interativos digitais) desenvolvidos e usados por professores e alunos em suas interações com a matemática, dentro e fora da sala de aula. Integram-se a eles os recursos curriculares digitais que Pepin e Gueudet (2018) distinguem das TICE (Tecnologias de Informação e Comunicação para o Ensino). Distinguem-se igualmente recursos curriculares materiais (livros didáticos, recursos digitais, instrumentos de manipulação ou calculadoras), recursos sociais (uma conversa na web/fórum) e recursos cognitivos (quadros/ferramentas teóricos usados para trabalhar com professores). Em termos de processo, ao interagir com um recurso específico ou conjunto de recursos, para um determinado objetivo didático, os professores desenvolvem esquemas de utilização específicos (ver seção 4 a seguir). Esses esquemas, mesmo se eles são relativos aos mesmos recursos e ao mesmo objetivo, são suscetíveis de serem diferentes, dependendo dos hábitos e conhecimentos dos professores considerados. Isso levou Gueudet e Trouche (2008[START_REF] Brown | The teacher-tool relationship: Theorizing the design and use of curriculum materials[END_REF], 2016) a introduzir o conceito de documento, desenvolvido por um determinado professor para um determinado objetivo no curso de uma gênese documental, como uma entidade híbrida composta de um conjunto de recursos e de um esquema de utilização (Figura 1). Pepin, Gueudet e Trouche (2013) propuseram perspectivas teóricas sobre a "re-alimentação" do trabalho e das interações dos professores, e a abordagem documental parece particularmente pertinente para considerar a utilização de recursos como um processo interativo e potencialmente transformador. Esse processo combina dois movimentos: as características do(s) recurso(s) influencia(m) a prática dos professores (o processo de instrumentação); enquanto os hábitos e os conhecimentos dos professores orientam as escolhas e os processos de transformação dos diferentes recursos (o processo de instrumentalização) (Figura 1). Assim, a ADD enfatiza a natureza dialética das interações professorrecurso, combinando instrumentação e instrumentalização [START_REF] Rabardel | Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments contemporains[END_REF]. Esses processos integram as práticas de concepção, re-concepção ou « concepção em uso », (em que os professores modificam um documento « no calor da ação ».

Figura 1. Uma representação de uma gênese documental

A ADD propõe um modelo de interações entre professores e recursos, considerando-os como determinantes para o desenvolvimento profissional dos professores. Embora haja uma multiplicidade de recursos potencialmente úteis na Internet, não existem ferramentas que possam apoiar uma pesquisa pertinente, ou seja, que corresponda a um objetivo de ensino específico, com características ergonômicas específicas (em termos de interatividade, por exemplo) e que sejam compatíveis, de um ponto de vista didático ou epistêmico, com os recursos já integrados pelos professores (por exemplo, os livros didáticos). Em outras palavras, o que os professores encontram na Internet constituem-se, frequentemente, um conjunto de peças, e vai caber a eles realizarem uma montagem com a perspectiva de elaborar uma trajetória coerente de aprendizagem do aluno.. Para efetivar essa montagem o professor ou procura exercícios para completar uma sequência de ensino particular, ou pensa em caminhos de aprendizagem por meio de um livro eletrônico flexível, e assim sendo, eles precisarão desenvolver novas competências e conhecimentos. Eles precisarão desenvolver suas capacidades de design (Pepin, Gueudet e Trouche 2017); consciência e sensibilidade à complexidade da matemática, aos aspectos pedagógicos dos recursos e à flexibilidade de seus usos (ver Janela 1). É esse conjunto de competências que [START_REF] Wang | Mathematics teachers' expertise in resources work and its development in collectives. A French and a Chinese Cases[END_REF] define como a expertise documental dos professores, cujo desenvolvimento requer dispositivos de sustentação específicos: trabalho coletivo dos professores ou dispositivos de formação contínua [START_REF] Pepin | Refining teacher design capacity: Mathematics teachers' interactions with digital curriculum resources[END_REF] Janela 1. Recursos para alunos de 11 a 14 anos: exemplo do trabalho documental de Vera Vera é uma das professoras de matemática de alunos de 11 a 14 anos trabalhando com o Sésamath na França [START_REF] Gueudet | Do Trabalho documental dos professores: gênesis, coletivos, comunidade. O caso da matemática[END_REF][START_REF] Pepin | Refining teacher design capacity: Mathematics teachers' interactions with digital curriculum resources[END_REF]. Sésamath é uma associação de professores de matemática para alunos nessa faixa etária na França, cujos membros concebem (e oferecem gratuitamente, desde 2001), livros eletrônicos interativos em seu site (http://www.sesamath.net/). O trabalho de documentação de Vera é analisado para uma nova aula. É a primeira vez que ela ensina porcentagens em uma turma do quarto ano do Collège e usa uma variedade de recursos em sua aula, incluindo os recursos da Sésamath. A análise concentra-se no ciclo dessa aula que envolve sua preparação, implementação, avaliação da compreensão dos alunos e reflexão da professora sobre seu trabalho. A escolha de um tal ciclo está em conformidade com as ideias subjacentes à ADD, a concepção não se limita à concepção inicial de um determinado recurso para ensinar um conteúdo específico, mas continua durante o uso desse recurso. O trabalho de concepção de Vera inclui, por exemplo, o uso do LaboMEP (uma ferramenta Sésamath), para propor diferentes exercícios a diferentes alunos -isso fez com que ela tivesse consciência da necessidade de diferenciar seu ensino. O LaboMEP propõe, igualmente, variações de exercícios com a mesma estrutura. Vera declara que isso constitui, para ela, uma forte motivação para melhorar seu ensino, uma vez que isso lhe possibilita o domínio não apenas de um conjunto de exercícios familiares, mas também das variações com a mesma estrutura matemática ligada a uma aula em particular. Esses resultados demonstram o desenvolvimento da flexibilidade didática de Vera na medida em que selecionou, usou e transformou recursos curriculares existentes em novos materiais, para dar subsídios ao seu ensino de matemática.

O ensino é, nesse contexto, considerado, essencialmente, um trabalho de concepção. Isso está de acordo com o ponto de vista de [START_REF] Brown | The teacher-tool relationship: Theorizing the design and use of curriculum materials[END_REF], para o qual deve-se compreender o ensino como um trabalho de concepção, e compreender os professores como designers, correspondendo a um conjunto de teorias cognitivas que « enfatizam a parceria vital que existe entre os indivíduos e as ferramentas que eles usam para alcançar seus objetivos. [...] E não são apenas as capacidades dos indivíduos que ditam as realizações humanas, nas também as possibilidades dos artefatos que eles utilizam » (p. 19). [START_REF] Brown | The teacher-tool relationship: Theorizing the design and use of curriculum materials[END_REF] considera, então, essa relação como uma inter-relação: a atividade de "concepção" não depende apenas da competência do professor, mas é uma inter-relação entre os professores e os recursos (curriculares), bem como o "relacionamento professor-ferramenta", podendo se considerar como possibilidades dos recursos curriculares que influenciam esse relacionamento. A ADD, na mesma perspectiva, enfatiza que o trabalho do professor sempre incorpora um ato consciente/deliberado de concepção, de criação de "alguma coisa nova", por exemplo, a combinação de elementos existentes e novos, com o intuito de atingir um certo objetivo didático. Esse trabalho de desenvolvimento é analisado graças à noção de esquema, que tornamos preciso na próxima seção.

Aprofundamento teórico: esquemas e sistemas

O conceito de esquema [START_REF] Vergnaud | Toward a cognitive theory of practice[END_REF]) é central na ADD, pois está fortemente ligado ao conceito de classe de situações, que designa, em nosso contexto, um conjunto de situações profissionais correspondentes a um mesmo objetivo da atividade. Por exemplo, « gerir a heterogeneidade de uma turma do 4 o ano -13 anos de idade » é, para Vera, uma classe de situações (ver Janela 1). Para uma classe de situações, um sujeito (no caso um professor) desenvolve uma organização estável de sua atividade: é um esquema. Uma outra maneira de definir o esquema, que também permite que ele seja descrito, é dizer que ele possui quatro componentes:

• objetivo da atividade (o que que caracteriza a classe de situações); ! regras de ação, de tomada de informação e de controle; ! invariantes operatórios, que constituem a parte epistêmica do esquema. Existem dois tipos de invariantes operatórios(associados): teoremas-em-ato, que são as proposições consideradas como verdadeiras; e os conceitos-em-ato, que são conceitos considerados relevantes (apresentamos alguns exemplos a seguir)

6

! possibilidades de inferências, de adaptação à variedade de situações.

Durante sua atividade, o professor pode enriquecer seus esquemas, integrando novas regras de ação e novos invariantes operatórios, e pode também desenvolver novos esquemas. O esquema fornece um modelo do processo de aprendizagem e do desenvolvimento profissional dos professores. No quadro da ADD, os esquemas considerados são os esquemas de uso de um recurso (ou de um conjunto de recursos). Os recursos produzidos e o esquema constituem um documento (assim como o modeliza a igualdade apresentada na Figura 1 : um documento = os recursos selecionados e recombinados + um esquema de uso).

O conjunto formado por todos os recursos utilizados pelo professor é chamado de seu sistema de recursos. Esses recursos são associados aos esquemas de uso, formando assim documentos (um mesmo recurso pode intervir em vários documentos). Os documentos desenvolvidos por um professor formam também um sistema, chamado sistema documental do professor. A estrutura desse sistema segue a das classes de situações que compõem a atividade profissional do professor, de acordo com os diferentes objetivos de sua atividade.

Quando os professores estão engajados em um trabalho documental coletivo, por exemplo em que o grupo prepara coletivamente suas aulas, eles podem também desenvolver um sistema de recursos compartilhado (Trouche, Gueudet & Pepin 2019). No entanto, os diferentes membros do grupo podem desenvolver esquemas diferentes para o mesmo recurso e, portanto, documentos diferentes (Pepin & Gueudet 2020).

A Janela 2 apresenta um estudo de caso da escola primária -de 6 a 10 anos-, ilustrando as noções de invariante operatório, de sistema de recursos e de sistema de documentos.

Janela 2. Recursos para alunos de 6 a 10 anos: exemplo do abaco virtual

O ábaco virtual1 (Figura 2) é um software livre desenvolvido na França pela associação Sésamath, uma associação de professores de matemática que cria recursos on-line (conferir a Janela 1).

Figura 2. O ábaco virtual.

O ábaco chinês é dividido em duas partes por uma barra central, chamada barra de leitura. Somente as peças posicionadas ao longo dessa barra central são consideradas ativadas. O ábaco chinês possui 13 hastes verticais. Cada haste corresponde a uma posição em nosso sistema de numeração: unidades, dezenas, centenas, etc. (da direita para a esquerda). Para um mesmo número, várias posições são possíveis no ábaco chinês. Por exemplo, o número 15 é representado acima (Figura 2) movendo 6 peças (uma unária na haste das dezenas e cinco unárias na haste das unidades). Mas ele pode também ser representado com somente duas peças, substituindo as cinco unárias da haste das unidades (parte de baixo) por uma quinaria dessa mesma haste (parte de cima). Carlos é um professor das escolas primárias experiente [START_REF] Poisard | Comprendre l'intégration de ressources technologiques en mathématiques par des professeurs des écoles[END_REF]. Ele decidiu usar o ábaco para ensinar números em classe de CE2-8 anos. Ele havia notado uma atividade com o ábaco descrita no livro didático que ele utilizava, mas ele não quiz implementá-la até que descobriu o ábaco virtual (em razão da complexidade do uso dos ábacos materiais).. Ele desenvolveu uma sequência em que os alunos manipulam primeiramente o ábaco material e formulam hipóteses sobre seu funcionamento. Em seguida, os alunos trabalham com o ábaco virtual e escrevem um modo de como usá-lo. Então Carlos propõe exercícios que envolvem escrita e leitura de um determinado número no ábaco. Para a avaliação final, tais exercícios são propostos em papel, para evitar estratégias de tentativa e erro.

Carlos desenvolveu vários documentos incorporando o ábaco virtual e outros recursos [START_REF] Poisard | Comprendre l'intégration de ressources technologiques en mathématiques par des professeurs des écoles[END_REF]. Com o objetivo de « descobrir como o ábaco funciona », ele usou os ábacos físicos e virtual, e solicitou aos alunos que escrevessem, coletivamente, cartazes apresentando, o modo de utilização do ábaco. Era importante para ele que seus alunos descobrissem por si mesmos como o ábaco funciona. Isso corresponde a um invariante operatório: « os alunos devem descobrir, tanto quanto possível, por si mesmos as novas ferramentas que encontram ». É também ligado ao conceito-em-ato associado « descoberta autônoma » ; todos dois haviam sido desenvolvidos por Carlos em sua prática anterior ao uso do ábaco. Outro invariante operatório interveio em suas escolhas: « é importante para os alunos do CE2 a manipulação de material manipulativo». O esquema desenvolvido por Carlos, com o objetivo de « descobrir o funcionamento do ábaco » inclui esses invariantes operatórios e regras de ações associadas: « é necessário propor o ábaco físico aos estudantes para que eles possam manipulá-lo », « é necessário propor o ábaco virtual para os alunos, para que eles possam verificar qual número está representado nele ». Durante o trabalho com o ábaco, Carlos observou que para o exercício « registre um determinado número no ábaco», se os alunos usassem o ábaco virtual, eles desenvolveriam estratégias de tentativa e erro, exibindo o número em algarismos com a ajuda do botão "ver número". Em consequência, ele decidiu realizar uma avaliação final no papel. Carlos desenvolveu um novo documento com o objetivo: "ensinar os alunos como registrar um número no ábaco". Esse documento incorpora o ábaco virtual, mas também o ábaco desenhado no papel, e um invariante operatório (teorema-em-ato) do tipo: "no ábaco virtual, os alunos podem utilizar estratégias de tentativa e erro". Carlos é um professor da escola primária. Para o ensino de números no CE2 -8 anos-depois de muitos anos, ele desenvolveu, um sistema de recursos e de documentos (que se pode considerar como um subsistema do sistema completo de recursos ou de documentos. O ábaco foi integrado aos seus recursos e deu origem a novos documentos. Alguns deles correspondem a objetivos diretamente relacionados ao ábaco, como « descobrir o funcionamento do ábaco », « ensinar os alunos como registrar um número no ábaco ». Em outros documentos, o ábaco não apareceu como objetivo a ser alcançado, mas foi utilizado para esse fim. Por exemplo, para o objetivo « ensinar os princípios da numeração inteira », ele usou o ábaco para destacar princípios de troca e de agrupamentos, como reunir dois grupos de cinco em uma haste e trocá-los por uma unidade da próxima haste. Outros recursos de seu sistema foram utilizados nesse documento, como os cartazes escritos pelos alunos. Alguns desses recursos foram decisivos na sua escolha de usar o ábaco : o livro didático em particular, que chamou sua atenção sobre o ábaco e suas possibilidades. O conjunto do sistema de documentos do professor inclui muitos subsistemas de documentos com uma estrutura própria ligada, por exemplo, a um conteúdo matemático ou a um tipo de atividade: subsistema para geometria, subsistema para avaliação. O sistema completo pode ser descrito em diferentes escalas, de um nível de atividade muito geral a um nível muito preciso, vinculado a um conteúdo matemático específico. Do ponto de vista da pesquisa em didática da matemática, os níveis mais precisos que levam em consideração as noções matemáticas envolvidas, (o objetivo seria, então, « avaliar as competências dos alunos em relação às porcentagens em nível de 4 o ano do collège-13 anos », são particularmente relevantes. A realização de pesquisas no âmbito da ADD requer uma metodologia específica, sendo esse o assunto da próxima seção.

A investigação reflexiva: uma construção metodológica em desenvolvimento

Esta seção apresenta a concepção da metodologia relacionada à ADD, e os princípios fundantes dessa concepção. Em seguida, descreve uma ferramenta que ilustra esses princípios e, apresenta enfim alguns problemas que essa metodologia enfrenta. A análise da atividade dos professores, por meio de seu trabalho documental necessita levar em consideração os seguintes elementos: a diversidade de recursos que alimentam esse trabalho e o que dele resultam; a variedade de interações (coletivas, institucionais e sociais) que influenciam esse trabalho; o tempo necessário para o desenvolvimento das gêneses documentais. Essas considerações epistemológicas conduziram a ADD (Gueudet, & Trouche 2010, p. 27) a desenvolver uma metodologia específica, denominada investigação reflexiva do trabalho documental dos professores.

Essa metodologia atribui um papel importante aos próprios professores, e se apoia em cinco princípios principais2 :

! o princípio de uma ampla coleção de recursos materiais usados e produzidos durante o trabalho documental; ! o princípio do acompanhamento de longa duração; as gêneses são processos em desenvolvimento e os esquemas se desenvolvem em longos períodos; ! o princípio do acompanhamento em todos os lugares (dentro e fora da sala de aula). A sala de aula é um local importante onde o ensino planejado é implementado, uma implementação que requer adaptações, revisões e improvisações. No entanto, uma parte significativa do trabalho dos professores ocorre fora da sala de aula: (na escola, por exemplo, na sala dos professores, em casa ou em cursos de formação continuada); ! o princípio do acompanhamento reflexivo do trabalho documental, em que a visão do professor sobre seu próprio trabalho é amplamente requisitada; ! o princípio de confrontação, do ponto de vista do professor com seu trabalho documental e a materialidade desse trabalho (materialidade proveniente, por exemplo, da coleção de recursos materiais ou mesmo das práticas do professor em suas aulas). O envolvimento ativo do professor é uma necessidade prática, pois é ele quem tem acesso direto ao seu trabalho de documentação (além da observação direta do pesquisador). Ele também fornece uma posição reflexiva, levando o professor a uma atitude introspectiva, tornando às vezes visível o que poderia ser recursos ou associações ocultos em seu sistema de recursos. Esse acompanhamento a longo prazo e estreitado de trabalho de documentação de professores deve ser, na medida do possível, claramente apresentado ao professor, o que o pesquisador está solicitando e com qual finalidade. Essa necessidade conduziu Sabra (2016) a propor a noção de contrato metodológico, vinculando um professor e um pesquisador que estuda seu trabalho documental. Com base nesses princípios, estratégias e ferramentas metodológicas foram projetadas e adaptadas aos diferentes contextos e questões de pesquisa. Uma ferramenta que pareceu particularmente proveitosa foi a representação esquemática do sistema de recursos de um professor (RESR, ver Figura 3). O professor é convidado a desenhar um mapa de seus recursos, evidenciando aqueles que foram identificados e aqueles que se apropriou, especificando de quais fontes e com qual finalidade (ver também [START_REF] Pepin | Developing a deeper understanding of mathematics teaching expertise: an examination of three Chinese mathematics teachers' resource systems as windows into their work and expertise[END_REF].

No topo desta representação aparecem os recursos de Sésamath: manuais, exercícios (Mathenpoche) e software. As flechas mais ou menos largas permitem distinguir diferentes tipos de atividades: flechas grossas para preparar aulas, flechas médias para preparar exercícios, flechas finas para preparar atividades. A maioria das flechas refere-se a atividades (resolução de problemas, questões abertas, que constituem o coração do ensino de Pierre).

O acompanhamento reflexivo ao longo de um ano torna Pierre mais « conciente » (seus comentários) da contribuição de seus colegas como « fontes de seus recursos ».

Pierre se « distancia » também dos recursos de Sesamath (suas palavras): em seu novo RESR, aparecem novos recursos que ele considera inspiradores (por exemplo, filmes, leituras,...).

Pierre é um professor de matemática de alunos de 11 a 16 anos . Ele está fortemente envolvido em formas coletivas de trabalho documental coletivo, notadamente em Sésamath (ver Janela 1). Solocitou-se a ele desenhar sua RESR em fevereiro de 2009 (desenho à esquerda) e, em fevereiro de 2010 (desenho à direita), após um ano de acompanhamento reflexivo. Desde o início da ADD, essa ferramenta foi desenvolvida em várias direções:

• Hammoud (2012), trabalhando em didática da química, propôs uma abordagem para analisar a RESR como mapas mentais; ela também usou as RESR para solicitar aos professores descreverem suas interações com seus colegas ou no âmbito de diferentes coletivos; • Rocha (2018) renomeou as RESR como "Mapeamentos Reflexivos do Sistema de Recursos de Professores" (MRSR), por duas razões: enfatizar o papel da reflexividade; indicar um processo de exploração progressiva de um território desconhecido (para o pesquisador, mas também, de certa forma, para o próprio professor. Rocha (ibid.), seguindo o quinto princípio (ver acima), constantemente confronta também a CRSR, feita pelo professor, e o que ela chama de « Cartografia inferida do sistema de recursos dos professores », feita pela própria pesquisadora. Além dessa ferramenta específica, foram pensados novos desenvolvimentos metodológicos de investigação reflexiva, para se obter acesso, o mais próximo possível, do trabalho documental dos professores, no momento e no local em que ele ocorre. Isso envolve a observação de um professor durante os episódios de interação com recursos, não apenas em episódios públicos como, por exemplo, em salas de aula, mas também durante episódios mais íntimos como o de preparar uma lição ou um planejamento anual, ou quando ele os revisa. Esse trabalho foi realizado para acompanhar um ciclo de uma aula (de sua preparação até a implementação e os sucessivos episódios de revisão). Ele forneceu material à valises documentais [START_REF] Bellemain | Compreender o trabalho dos professores na concepção e utilização recursos no seu ensino, um questionamento didático e informático I Simpósio Latinoamericano de Didática da Matemática, 01 a 06 de[END_REF], coletando os dados utilizados e produzidos pelos professores durante esse ciclo. Esse tipo de acompanhamento levanta certas dificuldades, dentre as quais temos:

• Em quais condições « naturais » um professor poderia trabalhar sozinho com recursos e, ao mesmo tempo, descrever o que está fazendo? Wang (2018) introduziu a noção de parceiro documental de um professor, para designar as situações em que um professor conduz regularmente seu trabalho documental com um colega. O acompanhamento de uma dupla de professores trabalhando juntos pode, assim, dar acesso a suas explicações mútuas e a certos aspectos dos conhecimentos que norteiam o seu trabalho documental (Trouche et al. 2019a). • Como é possível armazenar (para fins de análise) os dados heterogêneos e numerosos resultantes do acompanhamento do trabalho de documentação dos professores? Esse problema foi estudado no âmbito do projeto AnA.doc [START_REF] Alturkmani | Instrumenter les recherches sur le travail professeur : le projet AnA[END_REF], com base no desenvolvimento de um protótipo de plataforma. Isso permite o armazenamento de vídeos, bem como os recursos utilizados ou produzidos pelo trabalho documental dos professores, para o compartilhamento de dados e suas análises dentro de uma comunidade de pesquisa.

A análise do trabalho documental dos professores é um processo complexo. Os cinco princípios da metodologia de pesquisa reflexiva fornecem linhas diretrizes para escolhas metodológicas. Os pesquisadores que seguem esses princípios devem fazer escolhas para limitar a abundância de dados: escolha de momentos críticos do trabalho documental dos professores (ver a noção de incidentes documentais, de Sabra 2016) ou recursos críticos para o sistema de recursos de um professor (ver a noção de recurso central Gueudet 2017). Esse trabalho está em andamento, respondendo a necessidades metodológicas e conceituais estreitamente relacionadas.

Desenvolvimento e perspectivas

A abordagem documental do didático surgiu recentemente na didática da matemática. Os conceitos apresentados nas seções 2 e 3: recursos, documentos, gêneses documentais, estão agora firmemente estabelecidos. Conceitos mais sofisticados, como o sistema de recursos e o sistema de documentos, continuam a evoluir. Por exemplo, no caso de professores de matemática de alunos de 16 a 18 anos, é possível observar diferentes tipos de estruturas em seus sistemas de documentos, que podem estar associados a perfis particulares de professores? Alguns grupos de professores (comunidades de prática em particular) compartilham sistemas de documentos coletivos? Além disso, os campos de aplicação da ADD evoluíram ao longo dos anos. Em termos de níveis escolares, a pesquisa agora está focada em contextos que vão dos anos iniciais [START_REF] Besnier | Travail documentaire des professeurs et ressources technologiques : le cas de l'enseignement du nombre à l'école maternelle[END_REF]) à universidade [START_REF] Gueudet | University Teachers' Resources Systems and Documents[END_REF][START_REF] Kock | Student use of resources in Calculus and Linear Algebra[END_REF], incluem o trabalho de formadores de professores com recursos (Psycharis & Kalogeria 2018). Em termos de disciplinas, a ADD foi mobilizada em ciências experimentais, por exemplo, em física-química [START_REF] Hammoud | Le travail collectif des professeurs en chimie comme levier pour la mise en oeuvre de démarches d'investigation et le développement des connaissances professionnelles[END_REF], mas também em línguas [START_REF] Quéré | Les effets du travail de conception collaboratif entre professeur.e.s et chercheur.e.s : une étude de cas en anglais[END_REF]. Quais são as especificidades do trabalho documental dos professores nesses novos contextos? O emprego da ADD em vários contextos sociais e culturais como, por exemplo, no Brasil [START_REF] Lucena | Sistema de Recursos e o Trabalho Coletivo do Professor: Uma Via de Mão Dupla[END_REF][START_REF] Trouche | Dos artefatos aos instrumentos do trabalho matemático: a dualidade essencial instrumentação-instrumentalização, curso ministrado pelo Prof. Dr. Luc Trouche, junto ao Programa de Pós-Graduação stricto sensu em Educação Matemática e Tecnológica -EDUMATEC da UFPE, e do grupo de pesquisa LEMATEC[END_REF], Igliori 2018) na China, no Líbano, na Noruega e em Senegal, também levanta questões sobre as terminologias usadas pelo professor em seu cotidiano. Essa diversidade é o resultado de contextos históricos, sociais e culturais em que ocorre o trabalho dos professores. A realização de pesquisas sobre esse tema poderia melhorar e qualificar nossa compreensão das interações entre os professores e seus recursos, possivelmente com o aprofundamento de certos conceitos na ADD. Um estudo recente possibilitou uma nova direção, considerando o trabalho dos alunos com recursos [START_REF] Kock | Student use of resources in Calculus and Linear Algebra[END_REF]. Outros estudos (Gueudet & Pepin 2018) propuseram articulações com outras teorias. A teoria das situações didáticas (TSD) [START_REF] Brousseau | Théorie des situations didactiques[END_REF], por exemplo, propõe o conceito de meio que designa tudo com o qual o aluno interage em uma dada situação. Esses objetos podem ser considerados como recursos. Quais são as consequências de tais reconciliações teóricas? Assim, o conjunto de fenômenos de ensino e de aprendizagem considerados por essa abordagem está aumentando; isso leva a um desenvolvimento concomitante de conceitos e métodos. Isso aparece nas comunicações e publicações referentes à abordagem, em particular, nas fontes da conferência Re(s)sources 2018, a esse respeito, consultar (Gitirana et al. 2018;Trouche, Gueudet & Pepin 2019), destacando os recursos não previstos na abordagem e oferecendo pistas para o desenvolvimento [START_REF] Trouche | Evidencing missing resources of the documentational approach to didactics. Towards ten programs of research / development for enriching this approach[END_REF] de um quadro teórico vivo.

Figura 3 .

 3 Figura 3. A RESR de Pierre ( reprodução e tradução de Gueudet, Pepin & Trouche 2012, p. 314 e 318).

Para conhecer o software ábaco e outros recursos, consulte: http://seminaire-education.espe-bretagne.fr/?page_id=611

Em Gueudet e Trouche (2010), propusemos apenas os quatro primeiros princípios, então formalizamos um quinto princípio que emergiu gradualmente de estudos realizados no âmbito da ADD.