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Keywords: Instrumental orchestration, Instrumental meta-orchestration, Teachers Education, Scheme, Instrumental genesis

This research aims to design and experience a teacher education model, empowering the teachers to conceive, for facing given situations (Vergnaud), instrumental orchestrations (Trouche) aiming to support students' instrumental geneses (Rabardel). This model, the Instrumental Meta-Orchestration (IMO) is defined as a systematical and intentional monitoring, by one (some) teachers trainer(s), of artefacts and teachers (or pre-service teachers) facing a Meta-Situation (MS), defined as a composition of five situations of different natures and difficulties: questioning a theoretical background; facing a mathematical situation in using digital tools; observation of on instrumental orchestration; reflection on articulating theory and practice; synthesis and analysis of the reflection. The IMO is composed of a composition of instrumental orchestrations (sequenced, imbricated or parallel ones), each of them operating on a situation component of the MS. The Design Experiments (Brown) grounded the iterative methodology supporting the design of such a model. Its first instantiation was a class of master students, specially devoted to the introduction of the notion of instrumental orchestration. It allows to design a first IMO model. A re-design of this model was tried out in a prospective mathematics teacher class with 23 students and two teacher trainers, and questioned thanks to a microgenetic-videographical analysis. It leads to the expansion of the first model: adding new concepts, such as ad hoc reactions, didactical meta-configuration, exploitation meta-model and didactical meta-performance; new features, such as flexibility and interactivity; and new phenomena, such as cascade effect. The IMO interactions give insight, not only to subjectartefact relationship, but also to collective work and mediation, essential components of any model of teacher education.

RÉSUMÉ

Cette recherche vise la construction et la mise à l'épreuve d'un modèle de formation des professeurs de mathématiques, les rendant capable de concevoir des orchestrations instrumentales (Trouche) de situations d'enseignement (Vergnaud) soutenant les genèses instrumentales (Rabardel) des élèves. Ce modèle, la Méta-Orchestration Instrumentale (MOI) est définie comme une coordination systématique et intentionnelle, par un (ou des) formateur(s), des artefacts et des enseignants en formation faisant face à une Méta-Situation (MS). Une MS est définie comme une composition de cinq situations de nature différente : questionner un cadre théorique ; traiter, avec des outils numériques, une situation mathématique ; observer une orchestration instrumentale ; réfléchir sur l'articulation entre théorie et pratique ; analyser et synthétiser les réflexions antérieures. La MOI est la composition d'orchestrations instrumentales (successives, imbriquées ou menées en parallèle), chacune d'entre elle opérant sur l'une des situations composantes de la MOI. La méthodologie de Design Experiment (Brown) fonde la conception itérative de ce modèle. Sa première instanciation a été une classe d'étudiants en master, dédiée à l'introduction de la notion d'orchestration instrumentale. Elle a abouti à la conception d'un premier modèle. Une reconception de ce modèle a été réalisée dans une classe de professeurs en formation, et questionnée grâce à une analyse microgénétique et vidéographique des schèmes en jeu. Elle a conduit à une expansion du premier modèle, incorporant : de nouveaux concepts, comme réactions ad hoc, méta-configurations didactiques, méta-modes d'exploitations, et méta-performance didactique ; de nouvelles caractéristiques, comme la flexibilité et l'interactivité ; et de nouveaux phénomènes, comme les effets de cascade. Les interactions auxquelles donnent lieu les MOI éclairent, non seulement les relations entre les sujets et les artefacts, mais aussi leur travail collectif et les médiations en jeu, composantes essentielles de tout modèle de formation des enseignants.

Mots-clés: Orchestration instrumentale. Méta-Orchestration Instrumentale. Formation des enseignants. Schème. Genèse instrumentale.

RESUMEN

Esta investigación objetiva desarrollar y experimentar un modelo de formación del profesorado que empodera el profesor a concebir, para una dada situación (Vergnaud), orquestaciones instrumentales (Trouche) para dar soporte a la génesis instrumental del estudiante. Este modelo, la Meta-Orquestación Instrumental (MOI), se define como la gestión sistemática e intencional, por un (unos) formador(es), de artefactos y profesores (o licenciandos) para resolver una Meta-Situación (MS), definida como una estructura de cinco situaciones de diferentes naturalezas y niveles de dificultad: reflexión sobre la fundamentación teórica; enfrentamiento de una situación matemática con artefactos digitales; observación de una orquestación instrumental; reflexión sobre la articulación teórica y práctica; síntesis y análisis de las reflexiones. A MOI es compuesta por una estructura de orquestaciones instrumentales (secuenciadas o imbricadas), cada una de las OI operando sobre un componente de la MS. El Design Experiments fundamentó la metodología iterativa que dio soporte al design de tal modelo. Su primera instanciación fue una clase para estudiantes de maestría, especialmente desarrollada para la introducción de la noción de la Orquestación Instrumental. Ella dio origen al design del primer modelo de la MOI. Un re-design de este modelo fue experimentado en una clase de licenciatura en matemáticas con 23 estudiantes y dos formadoras, y analizado gracias a la metodología de análisis microgenética-videografica. Tal análisis permitió la expansión el primer modelo: añadiendo nuevos conceptos como: reacción ad hoc, meta-configuración didáctica, meta-modo de ejecución y meta-performance didáctica; nuevas características, como la flexibilidad y la interactividad; y nuevos fenómenos, como efecto cascada. Las interacciones en la MOI ponen en evidencia a la relación sujeto-artefacto, sino también al trabajo colectivos y a las mediaciones, componentes esenciales del modelo de formación del profesorado.

Palabras clave: Orquestación Instrumental. Meta-Orquestación instrumental. Formación del profesorado. Esquemas. Génesis instrumental. 

LISTA DE FIGURAS

Figura 92 -1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho de tese propõe elaborar e validar um modelo para a formação de professores de matemática sobre a Orquestração Instrumental (OI)a Metaorquestração Instrumental (MOI). Esta pesquisa emergiu e se desenvolveu em um contexto de formação de professores, na perspectiva de favorecer a articulação da teoria-prática e integração das tecnologias digitais para o ensino. Uma formação que se pauta na articulação entre teoria e prática tende a facilitar o trabalho do professor, tomando aspectos teóricos nas decisões de abordagens. Além disso, lida também com uma formação que busca a integração de recursos digitais no ensino. Integração essa que representa um desafio no tanto no âmbito nacional e internacional. O desenvolvimento da Educação de um país reflete na melhoria econômica e social.

Em termos teóricos, vemos o modelo da orquestração instrumental [START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF] como um modelo flexível que fornece ao professor elementos suficientes para colocar em cena, vivenciar e refletir sobre projeto didático quando em um cenário rico em tecnologias, principalmente as digitais. Nesse sentido, tomamos como pressuposto para a tese que a formação do professor de matemática deve contemplar o modelo da Orquestração Instrumental (OI) numa perspectiva teórico prática. O refinamento teórico de um modelo que dê conta da formação teórico-prática do professor para integrar as tecnologias digitais, estudado nesta tese, busca avançar não apenas as pesquisas, ao estender o modelo da OI para o contexto da formação de professores.

A FORMAÇÃO DE PROFESSORES: O ENSINO DE MATEMÁTICA INTEGRADO ÀS TECNOLOGIAS DIGITAIS

O movimento da Educação Matemática no Brasil vem impactando cada vez mais a formação de professores de matemática, especialmente, a formação inicial. Dentre as lutas por melhorias, está a busca pela superação de um currículo ultrapassado das Práticas de Ensino de Matemática.

Durante muito tempo, o foco dessa disciplina era, essencialmente, como ensinar conteúdos matemáticos e não a formação integral do professor de matemática. No entanto, as novas abordagens teórico-metodológicas começam a apontar para a necessidade de mudanças nos componentes curriculares. Tais mudanças são evidenciadas por Valente (2014) como um processo de institucionalização de temáticas a serem tratadas, delineado pelas transformações que ocorrem no sistema educacional, como também pelos resultados de pesquisas da Educação Matemática, com desdobramentos nos currículos escolares. Segundo ele, a disciplina Prática do Ensino de Matemática deveria ser um lugar "privilegiado para análise de concepções e perspectivas para a atuação profissional dos futuros docentes" (p. 182).

Nesse processo, é inegável a importância da Resolução do Conselho Nacional de Educação e Conselho Pleno, a CNE/CP n.º 2/2002, que aumentou a carga horária das Práticas

de Ensino e Estágio Supervisionado, o que oportunizou, segundo Valente (2014, p. 188), "Uma nova proposta de valorização da disciplina como componente curricular importante para a formação de novos professores de matemática, visando não somente uma valorização teórica da matemática, mas um suporte prático e de acordo com novos conceitos de ensino".

Além do desafio da integração teoria-prática, enfrenta-se também a complexidade de se propiciar uma formação que permita integração das tecnologias digitais para dar suporte à prática docente. O universo web e sua diversidade de artefatos digitais à disposição de seus usuários é um espaço em constante evolução e fértil para o desenvolvimento de práticas educativas. No âmbito da educação matemática cada vez mais software, aplicativos entre outros dispositivos são desenvolvidos na perspectiva de favorecer o ensino e a aprendizagem de matemática. Entretanto, a integração desses artefatos está longe de ser uma realidade nas salas de aula de matemática.

Em uma revisão de literatura sobre pesquisas que investigam a formação de professores, inicial e em serviço, realizada por Zbiek e Hollebrands (2008), revelam-se concepções de professores quanto a ensinar e aprender matemática com a tecnologia digital e os aspectos que as influenciam. Os resultados apontados por essas pesquisas possibilitaram a esses autores inferir que as concepções dos professores quanto à tecnologia influenciam o uso dessa no desenrolar de sua prática docente e que sua formação para integração das tecnologias à sua prática influencia suas concepções e ações em relação a essas.

Segundo esses autores, algumas das pesquisas revisadas revelam, ainda, que, no uso de tecnologias, professores em formação ou em serviço preferem focar no ensino da tecnologia em vez do uso dessa como instrumento para aprender e ensinar matemática. Esses autores afirmam ainda que, embora esses professores mudem à medida que eles incorporam tecnologias à sua prática docente, preocupações de diferentes naturezas, muitas correlatas à sua realidade, emergem nesse percurso. As preocupações compreendem: conhecimento necessário para uso das tecnologias, impactos advindos desse uso, seleção de situações, gerenciamento do uso da tecnologia em sala de aula, impactos que podem afetar alunos, outros professores e o currículo (ZBIEK; HOLLEBRANDS, 2008).

De acordo com Bittar (2011), as tecnologias da informação e comunicação podem contribuir com a elaboração de situações de ensino pelo professor e com a aprendizagem dos estudantes, mas não por si só. Em pesquisa-ação sobre a integração de tecnologias na prática pedagógica do professor que ensina matemática na Educação Básica, Bittar aponta mudanças quanto às concepções e postura desses profissionais quanto ao uso de tecnologias em sala de aula.

Nesse contexto, podem-se perceber dois problemas: o primeiro consiste no fato da formação do professor exigir a constituição de diversos tipos de conhecimentos, que permeiam elementos do conteúdo, da formação teórica e da prática; o segundo exige uma formação que articule teoria e prática. Tais aspectos são fundamentais à mudança de concepção e conduta desses professores na perspectiva não apenas do uso, mas, principalmente, da integração de tecnologias digitais para ensinar e aprender matemática. Isso tem levado a grandes desafios à formação inicial e em serviço, presencial ou a distância, de professores de matemática.

Em pesquisa de mestrado (COUTO, 2015), foram investigadas as mediações didáticas on-line realizadas por tutores da disciplina de geometria analítica, de um curso de licenciatura a distância, em um cenário rico em tecnologia com articulação de diferentes registros de representação semiótica. Nessa pesquisa, constatou-se a dificuldade dos tutores em integrar às suas mediações as tecnologias disponibilizadas para explicar o conteúdo matemático em foco.

Ora os tutores revelavam não ter domínio dos artefatos do ambiente virtual, ora a dificuldade evidente era o fazer matemática com esses artefatos, uma vez que comumente os conteúdos demandam diferentes registros de representação semiótica.

Outro resultado relevante identificado foi a falta de planejamento e de formação dos tutores na tutoria on-line para uso dos artefatos. Um forte exemplo foi o não uso do software para construção de curvas -K3Dsurf que foi inserido pelo professor formador da disciplina no ambiente virtual Moodle, no qual funcionava a disciplina. A análise da atuação dos tutores revela indícios da falta de formação desses quanto ao uso do software, uma vez que o artefato não foi utilizado para ajudar os licenciandos a construírem e compreenderem curvas. [START_REF] Couto | Mediações Didáticas da Tutoria Online da Geometria Analítica: uma análise à luz da orquestração instrumental e das representações semióticas[END_REF] coloca em evidência que nem sempre um ambiente didático rico em tecnologias digitais e o uso ou tentativas de uso irão oferecer aos professores e estudantes um diferencial quanto ao ensino e a aprendizagem de matemática. Como visto anteriormente, a formação teórico-prático pode favorecer a mudança de concepção, as práticas docentes e dirimir dificuldades advindas da realidade do professor que busca fazer matemática com tecnologias digitais.

Nesse sentido, veem-se surgir no âmbito do estudo do uso de tecnologias digitais em sala de aula de matemática modelos teóricos que favorecem essa integração. A exemplo disso, tem-se a Abordagem Instrumental do Didático (RABARDEL, 1995), que permite analisar e compreender como o estudante faz uso dos artefatos para aprender matemática. E ainda, o modelo teórico Orquestração Instrumental (TROUCHE, 2004[START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF], que visa ao desenvolvimento de configurações didáticas e modos de execução dessas, para dar suporte à prática docente no que concerne ao uso de tecnologias para ensinar/aprender matemática.

DA ORQUESTRAÇÃO INSTRUMENTAL À MOI -A ORIGEM DA TESE

A MOI emergiu de um estudo preliminar pautado no modelo da orquestração instrumental, realizado em uma turma de mestrado de uma instituição pública de ensino superior. Um convite para ministrar uma aula sobre a orquestração instrumental foi feito pelas professoras da disciplina de Metodologia da Pesquisa, desta turma, à autora desta pesquisa.

Além do estudo da OI, interessava às professoras da disciplina e aos mestrandos compreender como os pesquisadores que fazem uso desse modelo têm definido para suas pesquisas métodos e técnicas para coleta e análise de dados.

Como discutir métodos e técnicas de pesquisa correlatas a um modelo teórico, desconhecido pelos mestrandos? Esse foi um dos primeiros desafios para a pesquisadora. Era preciso fazê-los conhecer o que é a OI, assim como uma OI. Em seguida, discutir que tipos de dados podem emergir de uma orquestra, para pensar sobre as possíveis técnicas de coleta e análise desses dados. Surge, então, um segundo desafio: como inserir os mestrandos em um contexto de coleta e análise de dados à luz do modelo teórico? Uma coisa era certa: a aula sobre Orquestração Instrumental não poderia ser uma discussão de textos lidos sobre o modelo teórico para dessa tirar os exemplos em torno dos aspectos metodológicos.

Assim, iniciou-se um trabalho de estruturação de uma formação pautada na OI com foco no ensino e compreensão desse modelo, desde seus fundamentos teóricos à experimentação e análise de uma OI. Para isso, era preciso propor mais que uma formação teórica, vislumbrouse, então, uma formação teórico-prática sobre o modelo: a Metaorquestração Instrumental. Um modelo teórico-metodológico para formação de professores de matemática sobre a OI, com foco na integração de tecnologias digitais ao ensino de matemática.

PROBLEMA DE PESQUISA

Esse panorama aponta para a emergência de formação de professores de matemática para o uso integrado de tecnologias digitais ao ensino de matemática. Uma formação que articule teoria e prática, capaz de favorecer a apreensão dos fundamentos teóricos da orquestração instrumental. A metáfora orquestração instrumental, introduzida por Trouche (2005) ao modelar a sala de aula fazendo analogia a uma orquestra, revela-se um caminho frutífero quanto ao problema que este trabalho se propõe resolver. Inicialmente, criada para estudar a integração de tecnologias em sala de aula, foi pensada, neste estudo, como base para construção de situações de formação teórico-prática para docência.

HIPÓTESE

Temos como hipótese que o modelo da Orquestração Instrumental (OI) oferece um importante arcabouço teórico e sistematização necessária para se orquestrar situações ricas em tecnologias digitais para a formação inicial do professor de matemática no que concerne à compreensão desse modelo teórico. Uma formação que articula teoria, prática e reflexão sobre o uso de tecnologia no ensino e aprendizagem da matemática. Os resultados do estudo preliminar realizado em uma turma de mestrado, analisados por Lucena, Gitirana e Trouche (2016), culminaram na proposição deste estudo de doutoramento.

1.5 OBJETIVOS

Objetivo geral

Conceber e validar o modelo teórico -Metaorquestração Instrumental (MOI)para formação teórico-prática de professor de matemática sobre o a OI.

Objetivos específicos

a) desenvolver e analisar uma orquestração instrumental com situação matemática explorada por meio de recursos tecnológicos, que façam emergir conhecimentos matemáticos e conhecimentos correlatos à teoria;

b) desenvolver e analisar uma estrutura de orquestrações instrumentais articuladas que possam favorecer a formação do licenciando sobre o modelo teórico orquestração instrumental, quando na resolução de situações de formação e matemática com artefatos tecnológicos à estas integrados; c) validar a MOI como modelo teórico para formação de professores de matemática sobre a Orquestração Instrumental; d) definir e aprimorar os conceitos base da Metaorquestração Instrumental.

ESTRUTURA DO TEXTO

O modelo MOI emergiu de um experimento de elaboração de uma aula para uma turma de mestrado para discussão da OI e métodos de pesquisa em torno desse modelo. A partir desse experimento, as primeiras definições relativas à metaorquestração instrumental surgiram e um estudo desses dados foi traçado a fim de refinar a MOI como modelo para o design de uma formação teórica-prática sobre a OI. Com as análises de dados gerados no estudo preliminar, foi possível o refinamento teórico que cunhou definições e deu maior precisão a alguns já existentes. Uma nova abordagem teórica foi inserida para complementar o estudo principal.

Também foi possível aperfeiçoar o design da OI, da MOI e de suas características. Novos instrumentos de análise foram criados e outros aperfeiçoados. A seguir, tem-se a estrutura organizacional do texto.

No capítulo 2, apresentam-se os fundamentos teóricos desta pesquisa. Inicialmente, discute-se a noção de esquema e o conceito de situação, segundo Gérard [START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF] O capítulo 4 é destinado à discussão do experimento que originou a pesquisa, e o modelo da MOI. Segue-se a descrição da metodologia já com as devidas adaptações necessárias. Nessa, também são revelados os instrumentos de análise ora criados, ora adaptados, assim como os aspectos éticos da pesquisa. Apresentam-se, ainda, as quatro orquestrações instrumentais do modelo, resultados e análise dessas.

O capítulo 5 é destinado à apresentação do estudo principal, realizado com licenciandos na formação inicial. Concentram-se fundamentos teóricos complementares, a abordagem teórica Modos de Engajamento e Modos de Destinação (REMILLARD, 2010) inserida a título de complementação do quadro teórico, uma demanda gerada a partir da análise feita no Estudo Principal, seu método. Discute-se uma análise de um dos grupos de estudantes que trabalharam coletivamente durante a MOI, focando a sua gênese instrumental relativa a cinco temas da OI: situação didática, gênese instrumental, configuração didática, modo de execução e performance didática. Uma análise e discussão da metaperformance didática sintetiza os resultados do estudo.

Por fim, segue-se o capítulo 6, destinado às considerações finais, que retomam elementos centrais da pesquisa e resultados mais relevantes. Também se abordam as limitações da pesquisa, as quais emergiram durante todo processo de estrutura, desenvolvimento e análise dos dados oriundos dos dois estudos nos quais o modelo foi testado. O capítulo é encerrado com perspectivas futuras de pesquisas a partir do estudo realizado, considerando seus resultados e limitações.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Este capítulo está dividido em quatro seções, nas quais são apresentadas as abordagens teórico-metodológicas que compõem o quadro teórico que fundamentam esta pesquisa, tanto os conceitos como a metodologia.

Na primeira seção, discute-se sobre os conceitos de Situação e Esquema, segundo [START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF]. Esses conceitos são indispensáveis e relevantes à discussão de outros fundamentos teóricos que serão apresentados, tais como a Abordagem Instrumental do Didático [START_REF] Rabardel | Les hommes et les technologies: une approche cognitive des instruments contemporains[END_REF], com foco na gênese instrumental e em seus processos de instrumentalização e instrumentação. Além dessa, discute-se o modelo da Orquestração Instrumental e a necessidade de transição entre esse e o modelo da Metaorquestração Instrumental.

Na segunda seção, o modelo MOI, desenvolvido na perspectiva da formação teóricoprática-reflexiva de professores de matemática, para o uso integrado de tecnologias digitais ao ensino de matemática é discutido. E ainda, apresentam-se sua definição, suas características e seu design. Na sequência, as questões de pesquisa, as quais serão respondidas durante o desenvolvimento deste trabalho, que é composto por um estudo preliminar e um estudo principal, são apresentadas.

A terceira seção apresenta o Design Experiments como modelo teórico-metodológico que fundamenta a criação do design da MOI. Discutem-se suas características, finalidades e função no desenvolvimento de novos designs. Também é estabelecida uma relação entre os fundamentos do Design Experiments e como eles influenciaram o desenvolvimento do modelo MOI.

A quarta e última seção deste capítulo apresenta a metodologia da pesquisa, a começar pelo Design Experiments MOI. A metodologia da pesquisa é detalhada e discutida, assim como o design da MOI, enquanto modelo de formação composto por quatro diferentes orquestrações instrumentais desenvolvidas para favorecer a compreensão dos participantes da formação quanto ao modelo teórico OI. A estrutura de coleta e a análise de dados também são apresentadas, sendo essa última pautada na técnica de análise microgenética-videográfica.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA ORQUESTRAÇÃO INSTRUMENTAL

A metáfora orquestração instrumental para ser discutida demanda uma prévia discussão sobre pressupostos teóricos que a fundamentam (Figura 1). Assim, inicialmente serão apresentadas as acepções de Situação e Esquema segundo [START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF][START_REF]Qu1est-ce que la pensée ? La nouvelle revue : de l'adaptation et de la scolarisation[END_REF], adotadas nesta pesquisa. Sem essas não se pode compreender os processos de gênese instrumental, a instrumentalização e a instrumentação, inerentes à Abordagem Instrumental do Didático [START_REF] Rabardel | Les hommes et les technologies: une approche cognitive des instruments contemporains[END_REF]. 

O conceito de situação e a noção de esquema

Nesta subseção, discutem-se os conceitos Situação e Esquema, cruciais à concepção, desenvolvimento e análise de uma OI. Para o processo de gênese instrumental, principal foco das orquestrações instrumentais, as características da situação matemática norteiam a escolha, o uso e, também, as condições de uso dos artefatos pelo indivíduo que busca resolvê-la. Ao mesmo tempo, tal resolução fica condicionada à escolha e utilização do artefato.

Essa relação entre o sujeito e o artefato, desencadeada por uma situação a ser resolvida, demanda esquemas do repertório do sujeito ou mesmo que esse os desenvolva. É a identificação e a análise desses esquemas em situação que permitem ao pesquisador inferir sobre a gênese instrumental do sujeito. Por isso, é relevante discutir sobre esses conceitos que possuem uma relação dual, como bem afirma Vergnaud (2013, p. 50): "não há situação sem esquemas, nem esquemas sem situação".

O conceito de esquema é trazido por Vergnaud dos trabalhos de [START_REF] Piaget | La formation du symbole chez l'enfant: imitation, jeu et rêve, image et représentation[END_REF], em sua discussão da teoria do conhecimento pautada nos processos de adaptação e acomodação. Para Vergnaud (2009, p. 85, tradução nossa), "[...] a teoria do conhecimento como um processo de adaptação é essencial; mas o que é que se adapta, e a que? A resposta mais razoável é que o que se adapta é a forma de organização da atividade, os esquemas, e eles adaptam-se a situações".

Segundo Vergnaud (1996, p. 171), a acepção de situação não é de sentido amplo, mas a mesma adotada pelos psicólogos, cujas funções são os processos cognitivos e as respostas dos sujeitos quando confrontados às situações. Essa acepção, de acordo com o teórico, remete a duas ideias:

1a ideia de variedade: existe uma grande variedade de situações num dado campo conceptual, e as variáveis de situação são um meio de gerar de forma sistemática o conjunto das classes possíveis; 2a ideia de história: os conhecimentos dos alunos são formados pelas situações com que eles depararam e que progressivamente dominaram, nomeadamente pelas primeiras situações susceptíveis de dar sentido aos conceitos e aos procedimentos que se pretende ensinar-lhes (VERGNAUD, 1996, p. 171).

Confrontar o indivíduo a uma variedade de situações, de uma mesma classe de situações, contribui para dar significado aos conceitos a que fazem referência. Proporcionar novas experiências a partir da diversificação e variedade de situações ao sujeito com situações relativamente conhecidas o ajuda a lidar situações inéditas, com as quais ainda não está familiarizado.

São as situações que dão sentido aos conceitos matemáticos, mas o sentido não está nas próprias situações. Também não está nas palavras nem nos símbolos matemáticos. O sentido é uma relação do sujeito com as situações e os significantes (VERGNAUD, 1996, p. 167).

De um modo geral, uma situação pode ser entendida como situação-problema. Quando em situação de resolução de problemas de uma dada classe de situações, o indivíduo pode evocar competências existentes ou ter a necessidade de desenvolver outras. Vergnaud alerta também que situações vivenciadas durante outros momentos que mobilizam o conhecimento matemático e dão sentido a esses conceitos matemáticos, precisando, desse modo, ser consideradas. As competências é a capacidade que o sujeito dispõe para realizar o tratamento de diferentes situações de diferentes classes de situações.

Há classes de situações em que: (a) o sujeito dispõe, no seu repertório, em dado momento de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, das competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação; (b) o sujeito não dispõe de todas as competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e exploração, a hesitações, a tentativas frustradas, levando-o eventualmente ao sucesso ou ao fracasso (VERGNAUD, 1993, p. 5-6).

É importante observar que as classes de situações às quais o sujeito deve ser confrontado devem remetê-lo a algo que faça sentido para ele. É preciso que o sujeito possua, ainda que em parte, competências necessárias à resolução da situação proposta.

O conceito de situação possui outras acepções, principalmente na didática da matemática, sendo uma dela a de situação didática, "[...] que compreende uma situação matemática incorporada em um sistema de condições que conduzem o sujeito à tomada de decisões determinadas pela intervenção do professor, perceba o estudante ou não a necessidade matemática" (BROUSSEAU, 2011, p. 2, tradução nossa).

Esse autor caracterizou situação matemática como estruturas simples tal como exercícios, problemas etc., as quais "têm como objetivo a representação mínima necessária para explicar ou justificar a aplicação de um enunciado matemático por um indivíduo ou grupo de indivíduos, sem interferência didática externa" (BROUSSEAU, 2011, p. 2, tradução nossa). As "situações diferem em sua estrutura, regras, funcionamento, formas de produção de conhecimento" (BROUSSEAU, 2011, p. 2, tradução nossa).

O conceito de esquema, assim como o de situação, possui diferentes acepções, mas adotou-se nesta pesquisa a definida por Vergnaud (2013, p. 284-285, tradução nossa): "o esquema é a organização invariante da atividade para uma definida classe de situações". Ainda segundo esse autor, uma definição analítica pode ser dada como o esquema consiste em uma totalidade dinâmica e funcional formada por quatro componentes, a saber: Esses subobjetivos têm íntima relação com as regras geradoras. As regras de ação, de tomada de informação e de controle são consideradas a dimensão geradora do esquema.

Segundo Vergnaud (2013), as regras geradoras são responsáveis pelo percurso de condução e da atividade.

Destacamos, ainda, os invariantes operatórios, componentes do esquema classificados por Vergnaud como: teoremas e conceitos em ação. Para [START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF], os teoremas em ação são proposições ou afirmações, conhecimentos operatórios dos esquemas, considerados como verdadeiros sobre a situação pelo sujeito, mas que podem ser verdadeiros ou falsos quando analisados do ponto de vista da área do conhecimento (como a matemática) e consistem no conhecimento matemático (ou do conhecimento em jogo) explorado durante a experiência.

Já os conceitos em ação são objetos, predicados, ou categorias de pensamento tidos pelo sujeito como pertinentes, relevantes. Por não serem afirmações, proposições não são suscetíveis de serem verdadeiras ou falsas. Os conceitos em ação são necessários ao processo de elaboração de proposiçõesteoremas em ação. Os conceitos em ação podem corresponder ou não aos conceitos matemáticos, mas a não correspondência não os fazem verdadeiros ou falsos: o teste de veracidade só existe em afirmações.

Por fim, tem-se a possibilidade de inferências. As possibilidades de inferências em situação consiste em tirar conclusões a partir de ligações, feitas pelo sujeito, entre os invariantes operatórios e o cálculo em termos de objetivos, antecipações e regras. Nesse sentido, as inferências possíveis referem-se aos novos conhecimentos inferidos. É uma operação cognitiva pela qual o sujeito afirma a verdade de uma proposição por consequência de articulação com outras proposições já reconhecidas como verdadeiras pelo sujeito. Para Vergnaud, essa articulação entre proposições é o que relaciona componentes do esquema e justifica as ações, comportamentos do sujeito.

Alguns aspectos inerentes ao esquema são relevantes para a pesquisa e, por isso, apresentados a seguir. Assim, as funções de organização e a geração de atividades, atribuídas ao esquema, visam às situações que são familiares ao sujeito, mas também o enfrentamento de novas situações, o que permite aumentar o propósito de aplicação do esquema. Nesse sentido, "o esquema é, então, um instrumento para questionar a realidade" (VERGNAUD, 2013, p. 48).

Um dos grandes desafios para quem investiga os esquemas de um sujeito é a observação desse. De acordo com Vergnaud, isso não é uma tarefa fácil, dado que componentes do esquema nem sempre são explicitados, o que indica que muito desse fica implícito. Confrontar o sujeito às classes de situações permite que, a partir de suas ações em situação, revele seus esquemas ou mesmo componentes desses.

Para Vergnaud, os esquemas, em geral, são eficazes, mas nem sempre efetivos. Um esquema é estruturado a partir de um objetivo o qual se busca atingir na situação, sendo, portanto, eficaz. Mesmo quando "[...] uma criança utiliza um esquema ineficaz para determinada situação, a experiência a leva (a) mudar de esquema (b) modificar o esquema" (VERGNAUD, 1993, p. 10). O esquema busca atingir esse objetivo, mas nem sempre de forma eficiente, nem sempre o esquema atinge excelência, sem perdas ou desperdícios, e nem mesmo atinge o objetivo apesar de ser seu foco. Com essa discussão, Vergnaud diferencia esquema de algoritmo. Um algoritmo é um esquema, mas nem todo esquema é um algoritmo, pois nem todo esquema é efetivo. O algoritmo, por sua vez, garante que ao aplica-lo se alcançará a solução da situação, ele é efetivo.

A organização invariante do comportamento do sujeito em situação favorece a observação do esquema, não apenas para identificá-lo, mas também para verificar quando esse é substituído ou modificado. Favorece, ainda, a observação do esquema ou componentes deste, individuais ou partilhados, quando o sujeito está em situação de trabalho coletivo.

Abordagem Instrumental do Didático

Nesta subseção, discute-se a diferenciação entre artefato e instrumento, os processos de gênese instrumental, instrumentalização e instrumentação, e o desenvolvimento de esquemas de uso e de ação instrumentada. Para isso, os conceitos de situação e esquema são relacionados ao comportamento dos sujeitos em situação com suporte de artefato tecnológico. Esses conceitos são importantes para se compreender a relação do sujeito com o artefato, de onde emergem os esquemas de uso de ação instrumentada.

A diferenciação entre artefato e instrumento

Nosso ponto de partida é o conceito de artefato. Não estamos interessados em uma discussão centrada no artefato em si mesmo, mas no processo de utilização desse.

O artefato é para o sujeito um objeto a conhecer, mas para conhecer para poder gerenciar o seu funcionamento para responder a alguns os critérios prescritos ou simplesmente esperados. Os artefatos não são apenas meios individuais, eles são passíveis de compartilhamento e divisão do trabalho, eles têm um significado incorporado em uma prática social. Portanto, artefatos estão em constante evolução e refletem um estado histórico da prática de usuários ao mesmo tempo que modelam tal prática (RABARDEL, 1995, p. 54, tradução nossa).

O artefato é uma produção humana, material e externa de um ou mais desenvolvedores, concebida a partir de critérios, para exercer determinadas funções, atuar como ferramenta, com as finalidades para as quais fora criado. Um indivíduo que faça uso desse artefato imprime sobre ele seus esquemas mentais de uso, transformando-o em um instrumento seu.

Um instrumento é uma produção humana, cognitiva e interna do usuário, que pode ser desenvolvida de forma individual ou coletiva, resultante de um processo denominado gênese instrumental. Segundo Rabardel, um instrumento é uma entidade mista formada por dois componentes:

[...] de uma parte, um artefato, material ou simbólico, produzido para o sujeito ou para outros; de outra parte, um ou mais esquemas de utilização associados ao artefato, resultam de uma construção própria do sujeito, autônoma ou de uma apropriação de seus ShSU já formada exteriormente (RABARDEL, 1995, p. 95, tradução nossa).

É nessa perspectiva de uma conceitualização psicológica de artefato e de instrumento que repousa a Abordagem Instrumental (RABARDEL,1995), para o campo da ergonomia e da didática, e sobre a qual buscaremos discutir a gênese instrumental.

A gênese instrumental

De acordo com [START_REF] Rabardel | Les hommes et les technologies: une approche cognitive des instruments contemporains[END_REF], a gênese instrumental é a transformação do artefato gerada pela ação do sujeito, tornando-o um instrumento à medida que o sujeito passa pelo processo de instrumentação ao integrá-lo à sua prática. A transformação do artefato em instrumento não é própria da estrutura da ferramenta, mas dos esquemas que o sujeito desenvolve para integrá-lo.

No âmbito da sala de aula, se o professor deseja guiar seus alunos em suas gêneses instrumentais, é indispensável a disponibilização de artefatos (calculadoras, softwares, transferidor, régua etc.) para que esses estudantes possam inseri-los como suporte à prática de resolver situações matemáticas (tarefas, problemas, exercícios). Ao tentar resolver a situação com suporte do artefato, os esquemas mentais dos alunos os orientarão à integração do artefato às ações de uso do dele, as quais permitirão a resolução da situação matemática ou de outra natureza, proposta. Quanto isso ocorre, tem-se o instrumento. Tais esquemas "[...] envolvem habilidade para usar o artefato de forma proficiente e conhecimento sobre as circunstâncias em que o artefato é útil" (DRIJVERS; TROUCHE, 2008, p. 8, tradução nossa).

A diferenciação dos processos que resultam na gênese instrumental, instrumentalização e instrumentação emerge à medida que a inserção e a integração do artefato à prática do aluno ou do professor ocorrem. Em síntese, segundo Drijvers e [START_REF] Drijvers | From artifacts to instruments: a theoretical framework behind the orchestra metaphor[END_REF], quando o artefato é moldado pelo usuário, tem-se a instrumentalização e, quando o primeiro molda o pensamento do segundo, tem-se a instrumentação.

Os processos de instrumentalização são direcionados para o artefato: seleção, inserção, produção e estabelecimento de funções, desvios, atribuições de propriedades, transformação do artefato, de sua estrutura, de seu funcionamento, etc. até a produção integral do artefato pelo sujeito. Os processos de instrumentação são relativos ao sujeito: à emergência e evolução de seus esquemas de uso e de ação instrumentada: sua constituição, sua evolução para acomodação, coordenação e assimilação recíproca, a assimilação de novos artefatos aos esquemas já constituídos, etc. (RABARDEL, 1995, p. 5, tradução nossa).

A Figura 2 exemplifica a gênese instrumental como resultante da atividade de um indivíduo com o artefato, ao longo do tempo, norteado por seus conhecimentos e forma de trabalho. Em sala de aula, quando o professor decide favorecer a gênese instrumental de seus estudantes, em geral, os dois processos de instrumentalização e de instrumentação ocorrem.

Para isso, é muito importante que o professor tenha domínio do conhecimento específico presente na situação, mas também conhecimento quanto às tecnologias em jogo, as quais serão disponibilizadas. Esses conhecimentos são relevantes para que o professor possa dar suporte aos estudantes, exercendo seu papel de mediador.

Esquemas de uso e de ação instrumentada

Uma consequência da relação esquemas-artefato para a Abordagem Instrumental é a distinção dos esquemas pelo objetivo da ação do sujeito sobre o artefato para realização da situação. [START_REF] Rabardel | Les hommes et les technologies: une approche cognitive des instruments contemporains[END_REF], inspirado na noção de esquema de [START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF], revela que seu interesse pela temática reside em poder identificar as características das situações que o sujeito leva em conta, sejam aquelas em que os esquemas já foram construídos ou estão em processo de construção.

(I) Esquemas de uso (Schèmes d'usage -Sh.U.) são esquemas elementares relativos às tarefas secundárias que consistem em ações e atividades diretamente ligadas ao artefato e à gestão das características e propriedades específicas desse; (II) Esquemas de ação instrumentada (Schèmes d'action instrumentée -Sh.A.I.) incorporam os esquemas elementares (Sh.U.), mas são relativos às tarefas primárias nas quais ocorrem transformações operacionais sobre o objeto da atividade, para a qual o artefato é um meio de realização.

(III) Esquemas de atividade coletiva instrumentada (SH.A.C.I.) concentramse por um lado em especificar os tipos de ação ou atividade, os tipos de resultados aceitáveis etc. quando o coletivo compartilha o mesmo instrumento ou trabalha com uma mesma classe de instrumentos; por outro lado, concentram-se sobre a coordenação de ações individuais e integração de seus resultados como uma contribuição para a realização de objetivos comuns (RABARDEL, 1995, p. 91-92, tradução nossa).

Esses esquemas de uso ou de ação instrumentada do usuário em relação ao artefato são responsáveis por transformá-lo em um instrumento para si próprio. Tais esquemas emergem durante dois processos imbricados e denominados: instrumentação e instrumentalização. Trouche (2004) afirma que, embora sejam processos interdependentes, os diferenciar é indispensável para a análise da gênese instrumental.

A instrumentalização ocorre quando o sujeito insere o artefato em sua prática na intenção de conhecer suas propriedades, sua interface e funcionalidades, desenvolvendo assim esquemas de uso. No entanto, quando o indivíduo atribui funções aos artefatos, os esquemas de ação instrumentada ou esquemas mentais evoluem, dando origem às novas formas de utilização do artefato, surge então o instrumento. Quando isso ocorre, tem-se o processo de instrumentação do sujeito que passa a integrar de fato o instrumento a sua prática. (RABARDEL, 1995, p. 93, tradução nossa).

O professor, ao propor situações com o uso de artefatos, coloca seus alunos em processo de gênese instrumental; nesse movimento, ele favorece a realização pelos alunos de ações, tais como manipular e experimentar ferramentas para resolver uma dada situação matemática. Essas ações marcam o início da instrumentalização desses estudantes. Segue-se um processo dialético entre instrumentação e instrumentalização, que culminam nas ações instrumentadas. Ao resolver a situação, o estudante estará instrumentado em relação ao artefato utilizado, integrado à sua prática, ou seja, um instrumento.

O modelo da orquestração instrumental

Nesta subseção, são apresentadas, inicialmente, acepções sobre tecnologia, com destaque àquela adotada nesta pesquisa. Esse conceito é relevante à discussão da OI, pelo fato desse modelo ter sido desenvolvido em ambiente rico em tecnologias digitais.

Na sequência, discute-se a OI a partir de sua definição e de um design desenvolvido nesta pesquisa para explicar seus elementos, característica, entre outros aspectos relevantes.

Também são apresentadas e discutidas as etapas do modelo: configuração didática, modo de execução e performance didática.

Acepção de tecnologia

A etimologia da palavra tecnologia revela os diferentes significados. Ela pode ser entendida como um conjunto de processos, métodos, técnicas e ferramentas relativos à arte, à indústria, à educação etc.; também pode ser entendida como conhecimento técnico e científico e suas aplicações a um campo particular; tudo o que é novo em matéria de conhecimento técnico e científico; linguagem peculiar a um ramo determinado do conhecimento, teórico ou prático; e ainda, aplicação dos conhecimentos científicos à produção em geral.

Uma OI, cujo foco é a gênese instrumental do aluno, é desenvolvida em uma perspectiva de inserção-integração de tecnologias à prática desses indivíduos. Mas qual o significado de tecnologia para o modelo da Orquestração Instrumental à luz da Abordagem Instrumental? Essa não é uma questão simples de se responder, haja vista as diferentes acepções existentes de tecnologia.

Há quatro significados que integram as principais acepções de tecnologia, segundo

Vieira Pinto (2005, pp. 219-220): "(I) o de valor fundamental e exato de "logos" da técnica ou epistemologia da técnica; (II) de sinônimo de técnica, equivale pura e simplesmente à técnica;

(III) de sentido de conjunto de todas as técnicas de que dispõe determinada sociedade; e (IV) de ideologia da técnica".

Esses significados da tecnologia, sejam os que provêm da etimologia ou mesmo os identificados por Vieira Pinto, a partir das acepções sobre o termo, são relevantes à discussão que aqui queremos desenvolver, ainda que em síntese. A falta de entendimento sobre acepção de tecnologia adotada nesta pesquisa pode incorrer em confusão e enganos no que concerne, por exemplo, à concepção de orquestrações instrumentais com apenas ferramentas digitais, excluindo-se as convencionais, por exemplo. Isso seria o mesmo que acreditar que as ferramentas tecnológicas dizem respeito a apenas o que é novo ou digital, atribuindo à tecnologia uma supervalorização.

O diagrama da Figura 3, inspirado nos três níveis relativos à ferramenta identificados por [START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF], sintetiza as relações estabelecidas entre o usuário e o objeto técnico. Uma ferramenta é uma criação humana na qual se imprimem funções que visam atender às finalidades para as quais foi criada. Para o seu desenvolvedor (criador), uma ferramenta designa um instrumento por ele mesmo constituído (objeto técnico + modos de utilização). Ferramentas são criadas para facilitar a execução de tarefas ou tipos de tarefas. O desenvolvedor conhece bem o objeto técnico (artefato), mas também os modos de utilização que permitem a realização das tarefas a que está destinado, sendo, para ele, a ferramenta um instrumento, mas para o usuário essa relação é diferente. A técnica, na qualidade de ato produtivo, dá origem a considerações teóricas que justificam a instituição de um setor do conhecimento, tomando-a por objeto e sobre ela edificando as reflexões sugeridas pela consciência que reflete criticamente o estado do processo objetivo, chegando ao nível da teorização. Há sem dúvida uma ciência da técnica, enquanto fato concreto e por isso objeto de indagação epistemológica. Tal ciência admite ser chamada de tecnologia (VIEIRA PINTO, 2005, p. 220).

Vieira Pinto apresenta a tecnologia como uma ciência da técnica, em que o objeto é a técnica, admitindo-se para essa o nome de tecnologia. A técnica é definida como um ato produtivo e humano, logo a máquina é a materialização da técnica. A máquina, em uma OI, pode ser entendida como uma ferramenta, constituída do objeto técnico (simbólico, material etc.) que compreende a técnica (características, funcionalidades, entre outros), resultado de um ato humano de seu desenvolvedor. Tal ferramenta pode significar para o usuário (TROUCHE, 2005), a partir de sua relação com o objeto técnico, um artefato, uma ferramenta ou um instrumento, em que há a incorporação da técnica.

Dessa forma, as técnicas incorporadas aos diferentes tipos de dispositivos materiais, sejam eles mecânicos ou eletrônicos, pressupõem tanto a analógica quanto a digital. Assim, embora o modelo teórico criado por Trouche tenha foco nas tecnologias digitais, isso não restringe outros tipos de tecnologias, como as convencionais ou ditas analógicas, por exemplo.

O modelo é flexível e passível de criação de orquestrações instrumentais que venham favorecer o fazer matemática com tecnologias, não importando sua natureza.

Orquestração instrumental

Uma orquestra, de forma geral, pode ser reconhecida como um agrupamento instrumental, composto por maestro e instrumentistas, seus instrumentos e partituras, todos dispostos em um espaço com a finalidade de executar uma música. A metáfora da orquestração instrumental (TROUCHE, 2004) compara a sala de aula a uma orquestra, em que o professor é o maestro.

Nesse contexto, o maestro (o professor) conduz os músicos (seus alunos) a usarem artefatos e transformá-los em instrumentos musicais (instrumentos didáticos), os quais lhes permitirão executar as partituras musicais resolver as situações matemáticas. A música é resultado de todos os procedimentos executados pelos instrumentistas, guiados pelos maestros, com seus instrumentos, respeitadas as condições impostas pela partitura executada.

A metáfora é um modelo teórico que muito tem contribuído com pesquisas que buscam investigar a prática docente em sala de aula rica em tecnologias, na assistência dada aos estudantes no uso de artefatos para resolução de situações propostas. Dessa forma, apresentamos, a seguir, sua definição cunhada por [START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF].

Uma orquestração instrumental é o arranjo sistemático e intencional dos elementos (artefatos e seres humanos) de um ambiente, realizado por um agente (professor) no intuito de efetivar uma situação dada e, em geral, guiar os aprendizes nas gêneses instrumentais e na evolução e equilíbrio dos seus sistemas de instrumentos. É sistemático porque, como método, desenvolve-se numa ordem definida e com um foco determinado, podendo ser entendido com um arranjo integrado a um sistema; é intencional porque uma orquestração não descreve um arranjo existente (sempre existe um), mas aponta para a necessidade de um pensamento a priori desse arranjo (TROUCHE, 2005, p. 126, tradução nossa).

Compreender uma orquestração instrumental é, antes de tudo, compreendê-la como uma organização da prática docente com propósitos, por isso é dita intencional. Essa Todas essas ações são pensadas pelo professor quando ele prevê um modo de execução no desenvolvimento da configuração didática, mesmo sabendo que há outras formas de operacionalizá-la. Tal aspecto passa a ser evidenciado quando a configuração didática começa a ser executada e diferentes modos de execução surgem e se diferenciam do proposto pelo professor inicialmente. As descrições não são importantes apenas para dar luz aos ajustes do professor, mas também para, a partir delas, permitir a caracterização de critérios que deverão ser levados em conta na execução da OI observada. Isso pode modificar, por exemplo, a configuração didática e o modo de execução da orquestração, seja para aperfeiçoá-la ou mesmo para criar novas orquestrações.

À medida que o modo de execução está em andamento e os necessários ajustes do professor são efetivados, a performance didática, a partir da descrição desses, também evidencia limitações, potencialidade e desafios correlatos. Promove-se, assim, uma reflexão por parte do professor sobre a própria prática, seu sistema de artefatos disponibilizados e seus conhecimentos docentes mobilizados para conceber, organizar e gerir a OI em jogo.

A performance didática favorece, ainda, a caracterização de eventos que tornam possíveis as análises sobre a orquestração concebida e adaptada, mas, principalmente, sobre o processo de gênese instrumental dos estudantes, por meio de seus feedbacks. A forma como utilizam o conjunto de artefatos disponibilizados, como ocorre a produção de instrumentos e que conhecimentos são evocados e revelados para resolver a situação matemática são exemplos do que pode ser evidenciado.

Quanto aos ajustes planejados pelo professor para atender às demandas ocasionadas na execução das situações, esses são evidenciados e analisados quanto à sua eficácia. Ganham visibilidade, também, as decisões ad hoc que emergem para dar conta das situações imprevistas, e que são tomadas no momento em que surgem, para atender uma necessidade momentânea, a fim de não comprometer o todo já estruturado. Essas, mesmo em um processo ad hoc, também contribuem para a evolução na instrumentação do professor.

A performance didática também permite ao professor a identificação e caracterização dos esquemas de uso e de ação instrumentada dos estudantes quando em processo de gênese instrumental. Isso põe em evidência aspectos relacionados à configuração didática e ao modo de execução que favorecem ou não o desenvolvimento da gênese instrumental dos alunos.

Esses aspectos são relevantes por permitir a caracterização de critérios que deverão ser levados em conta no redesign da orquestração concebida, seja para aperfeiçoá-la ou mesmo para criar novas orquestrações. Essa descrição é passiva de análise, a qual nos permitirá perceber limitações, potencialidades e desafios correlatos à orquestração. Promove-se, assim, uma reflexão por parte do professor sobre a própria prática, seu sistema de artefatos e seus conhecimentos docentes mobilizados para conceber, organizar e gerir a OI. O modelo teórico OI criado para estudar a integração de ferramentas digitais em sala de aula foi pensado, neste estudo, como base para dar suporte a situações de formação teóricoprática para docência. Assim, serão apresentadas, a seguir, duas definições que guiaram o estudo preliminar desta pesquisa.

Noção de metaorquestração instrumental

A metaorquestração instrumental é um modelo para formação de professores, pautado na OI que visa fazer o professor se apropriar do modelo teórico Orquestração Instrumental. O modelo é composto por uma sequência de diferentes orquestrações instrumentais, cujas situações, também, são de natureza diferentes.

Noção de metassituação

Uma metassituação é uma sequência de situações articuladas com o objetivo de formação teórico-prática de professores. A sequência é composta por situações de apresentação e discussão dos conceitos da orquestração instrumental, implementação desses conceitos para o tratamento de uma situação matemática, mobilizando tecnologias digitais, reflexão, discussão sobre a atividade realizada e criação de uma OI propriamente dita.

QUESTÕES DE PESQUISA

As noções de metaorquestração instrumental (MOI) e de metassituação (MS) apontam para outro desafio tão relevante quanto defini-los, a necessidade de um design metodológico.

A expectativa é que o design metodológico dê suporte ao desenvolvimento, testagem, análise, validação para o refinamento do modelo teórico MOI. E ainda, que nos ajude a responder às questões de pesquisa, as quais evidenciamos nos tópicos a seguir. Em seguida, discute-se o método da pesquisa em quatro seções.

2.3.

DESIGN EXPERIMENTS

A complexidade da dinâmica da sala de aula e do processo de ensino-aprendizagem exige cada vez mais do professor a criação de novas orquestrações de ensino em que as tecnologias digitais estejam integradas. Demanda, também, acompanhamento durante a execução do ensino orquestrado e a análise de suas variáveis, as quais são responsáveis pelo sucesso ou pelo fracasso do processo de ensino-aprendizagem. É relevante o desenvolvimento de metodologias que deem suporte à concepção, operacionalização, análise e reflexão sobre a prática desenvolvida em sala de aula, especialmente quando há o suporte de tecnologias digitais.

Na qualidade declarada de cientista de design e de alguém que atua como engenheiro de ambientes educativos inovadores, sobre os quais desenvolve estudos experimentais, Brown (1992, p. 141-142) afirma que "a vida em sala de aula é sinérgica: aspectos que muitas vezes são tratados de forma independente, como a formação de professores, a seleção de currículos, testes e assim por diante realmente fazem parte de um todo sistêmico". Não é possível pensar em formas de intervir no âmbito da sala de aula sem considerar a multiplicidade de variáveis que estão em jogo no processo de ensino e aprendizagem.

Assim, [START_REF] Brown | Design Experiments: theoretical and methodological challenges in creating complex interventions in classroom settings[END_REF] cria o Design Experiments (Figura 5) com características complexas do contexto educativo, sobre o qual buscou desenvolver uma Teoria da Aprendizagem. Trata-se de um ambiente de aprendizagem criado para fomentar a resolução de problemas, o pensamento crítico e a aprendizagem reflexiva.

Concentrado em estudar processos de aprendizagem a mudanças conceituais, tanto em professores quanto em alunos, Brown (1992, p. 142, tradução nossa) defende a necessidade de "criação de um ethos em uma sala de aula que promova autorreflexão da aprendizagem e, finalmente, maiores preocupações com a tecnologia, questões sobre o currículo e a avaliação" (Figura 5). A etimologia da palavra ethos vem do grego e significa característica habitual, a maneira de ser, os hábitos de uma pessoa. O currículo trabalhado preza pela recorrência de temas, visando ao aprofundamento desses, em vez de ampliá-los. Brown (1990, p. 150) apresenta mais dois aspectos relevantes:"o ambiente tecnológico que não é projetado para estimular a prática e a programação, mas, sim, incentivar a aprendizagem intencional, a reflexão e a comunicação, e os métodos de avaliação que se concentram na capacidade dos alunos de descobrir e usar o conhecimento" (Figura 5).

Transversalmente, pode-se observar, na Figura 4, que todo processo anteriormente descrito, desde a criação do ethos até a responsabilização, é desenvolvido na perspectiva de contribuir com uma teoria da aprendizagem e, também, com a melhoria da prática educativa. Design Experiments, idealmente, resultam em maior compreensão de uma ecologia de aprendizagemum sistema complexo e interagindo envolvendo múltiplos elementos de diferentes tipos e níveisprojetando seus elementos e antecipando como esses elementos funcionam juntos para apoiar a aprendizagem. Design Experiments, portanto, constituem um meio de abordar a complexidade que é uma marca registrada dos contextos educacionais. Os elementos de uma ecologia de aprendizagem tipicamente incluem as tarefas ou problemas que os alunos são solicitados a resolver, os tipos de discurso que são encorajados, as normas de participação estabelecidas, as ferramentas e os meios materiais relacionados fornecidos e os meios práticos pelos quais os professores de sala de aula podem orquestrar as relações entre esses elementos. Utilizamos a metáfora de uma ecologia para enfatizar que os contextos projetados são conceituados como sistemas interagindo e não como uma coleção de atividades ou uma lista de fatores separados que influenciam o aprendizado. Além de criar projetos que são eficazes e que às vezes podem ser afetados por "mexer na perfeição", uma teoria de design explica porque os designs funcionam e sugere como eles podem ser adaptados a novas circunstâncias (COBB et al., 2002, p. 10).

Projetar e experimentar para testar e validar, reiteradamente, são processos a serem vivenciados no Design Experiments, os quais demandam que em um primeiro momento haja controle e, em um segundo momento, a especificação das variáveis envolvidas. Para isso, devem-se especificar os tipos de variáveis a serem consideradas: "as dependentes, com as quais podemos mensurar o sucesso ou fracasso de qualquer inovação e, as independentes, que são as variáveis sobre as quais temos controle na concepção do design" (COLLINS, 1990, p.

7).

Collins investiga uma metodologia de Design Experiments para estudar a inserção de diferentes tecnologias no contexto escolar e a construção de uma ciência sistemática de como projetar ambientes educacionais para que a integração dessas tecnologias seja bem-sucedida.

Esse autor defende o trabalho de especificação das variáveis, que é de extrema relevância porque elas permitem que o engenheiro estabeleça uma relação direta entre as variáveis controladas e especificadas, com o sucesso ou o fracasso do design, na perspectiva para qual foi criado.

Outro ponto relevante a ser considerado são as características do Design Experiments.

Elas não são exatamente as mesmas em cada pesquisa que faz uso da referida metodologia, pois cada design possui especificidades para cumprir seu papel em cada pesquisa para qual é concebido. Entretanto, Cobb et al. (2002), no desenvolvimento de sua Teoria de Design para Inovações Educacionais, mapearam cinco características transversais comuns a pesquisas desenvolvidas com design Experiments. A partir da especificação feita por esses autores sobre cada uma das características, foi organizado um esquema (Figura 6) para que se percebam as relações existentes entre elas no design. Um primeiro estudo, denominado de Estudo Preliminar, realizado com estudantes de mestrado, deu origem à tese. No entanto, ele não nasce como um estudo, mas como uma aula planejada para um mestrado, em uma disciplina de metodologia. A partir da análise de tal experimentação, o estudo foi traçado, foi refinada a ideia de MOI e realizou-se uma experimentação com estudantes da licenciatura em Matemática.

DESIGN DA METAORQUESTRAÇÃO INSTRUMENTAL

Nesta seção, discute-se o design inicial da MOI. Apresentam-se, também, os sujeitos e o campo de pesquisa. Discute-se a escolha dos estudos realizados, a técnica de análise microgenética associada à técnica de videografia (MEIRA, 1994) para a realização das análises dos dados coletados, como também a estrutura de coleta e de análise de dados. As orquestrações instrumentais (Figura 8) da metaconfiguração didática possuem finalidades distintas, embora articuladas entre si. As orquestrações OI1 e OI2 são interdependentes, de caráter experimental e simultâneas, ou seja, ocorrem ao mesmo tempo (T1). Sequencialmente, a OI3 e a OI4 acontecem em tempos distintos (T2) e (T3). Ambas têm forte caráter articulador das orquestrações instrumentais. A OI3 faz articulação entre estudo introdutório da teoria, feito preliminarmente à formação, com as práticas vivenciadas nas OI1 e OI2. Já a OI4 faz articulação entre teoria e prática pautada na análise dos dados coletados.

A OI1 e a situação matemática

A OI1 é destinada à vivência prática de uma OI. A situação proposta é, essencialmente, matemática e visa ao trabalho dos sujeitos com conhecimentos específicos, explorados de forma integrada às tecnologias disponibilizadas. Trata-se de uma simulação, na qual o futuro professor em formação ficará na qualidade de estudante que busca aprender matemática com uso integrado de tecnologias.

Ao assumir o papel de estudante na OI 1 , o futuro professor poderá ter uma noção sobre as dificuldades advindas da situação matemática proposta, como também das potencialidades e restrições em relação às tecnologias disponibilizadas. Essa experimentação deve fazer emergir exemplos correlatos aos elementos da OI: configuração didática, modo de execução e performance didática.

A OI2 e a situação de observação da prática

A segunda orquestração consiste na observação da prática dos eventos que ocorrem na OI1. Por isso, a OI1 e a OI2, ocorrem simultaneamente. A OI2 possui uma situação de formação, que demanda dos sujeitos interessados em resolvê-la, conhecimentos básicos de pesquisa, integrados às tecnologias disponibilizadas. O trabalho de observação permite o registro dos eventos da OI1, e esses registros passam a compor o banco de dados da metaorquestração, produzidos pelos próprios participantes.

A observação e a coleta de dados envolvem processos de pesquisa. Trata-se de uma experiência que põe o futuro professor na condição de professor-pesquisador da própria prática.

Assim, o licenciando pode perceber as escolhas feitas pelos sujeitos que trabalham para resolver a OI1, as ações, os conhecimentos evocados, utilizados e desenvolvidos. Pode identificar as dificuldades quanto aos usos dos artefatos, situações inesperadas, decisões ad hoc das formadoras etc. Dessa observação, eventos que dizem respeito à situação matemática, aos processos de gênese instrumental ou às etapas da modelo teórico em estudo, entre outros, também podem emergir.

A OI3 e a situação de discussão teórico-prática

A OI3 foi elaborada para dar suporte à situação de formação proposta que permite aos seus resolvedores relacionarem os conhecimentos adquiridos com as leituras preliminares feitas sobre OI com as vivências nos experimentos das OI1 e OI2. Esse é um momento muito rico, no qual as primeiras relações entre a teoria e a prática começam a ser externadas pelos participantes.

À medida que participam de um dos experimentos, os sujeitos podem exercer diferentes funções. Na OI1, executam a situação matemática; logo, são estudantes-atores (EA); na OI2, observam a prática dos EA; logo, são estudantes-observadores (EO). A situação de formação da OI3 tem forte natureza articuladora entre teoria e prática. Para isso, desenvolve-se coletivamente, com participantes da formação e o formador, fomentador da discussão, que provoca com questões que ajudem na compreensão da teoria em estudo.

A OI4 e a situação de análise e reflexão sobre os dados da OI1, OI2 e OI3

A quarta OI traz à tona os dados coletados na OI2 referentes à OI1. A situação de formação proposta consiste em um trabalho analítico-reflexivo sobre tais dados relacionados aos conhecimentos adquiridos com as vivências nas OI1, OI2 e OI3. A comunicação da análise dos dados à luz do aporte teórico que está sendo estudado poderá revelar ao formador os conhecimentos dos participantes construídos durante a formação.

A OI4 consiste em um momento de reflexão sobre a própria prática. E, à medida que os participantes têm acesso ao que fizeram e como fizeram, podem refletir sobre isso e aprender a partir dessa reflexão, o que também é válido para o formador, que poderá refletir sobre sua prática e modificá-la. Adaptações à própria MOI e metassituação de formação criadas são previstas após este trabalho de análise e reflexão.

ESTRUTURA DE COLETA DE DADOS DA MOI

A estrutura de coleta de dados visa à obtenção dos dados no ato da sua produção, de forma que contribuam para identificar as escolhas, verificar conhecimentos e procedimentos e compreender as motivações das ações dos sujeitos, entre outros aspectos relevantes à análise.

Assim, optou-se por uma estrutura pautada, essencialmente, na técnica de observação, estruturada e não estruturada, feita com o auxílio de diferentes ferramentas de coleta e pelos participantes da metaorquestração.

Uma das técnicas de observação que compõe a estrutura de coleta de dados da O primeiro recomenda que a análise de processos (e.g., de resolução de problemas) é sempre mais informativa que a descrição de produtos (e.g., estratégias de resolução). O segundo princípio complementa que a análise deve inspecionar ações detalhadamente, sem perder de vista o significado da atividade em que tais ações se inserem (1994, p. 60).

O processo de análise microgenética é fortemente apoiado pela videografia, pois a partir dos registros é possível ao pesquisador acessar reiteradamente as mesmas informações do vídeo, as quais revelarão as ações cognitivas, comunicativas e gestuais dos que foram filmados em plena atividade. É possível resgatar, ainda, os diálogos e as produções, individuais ou colaborativas, dos participantes em um dado experimento, por exemplo.

A Videografia (estudo da atividade por meio de filmagens em vídeo) e a Análise Microgenética (estudo detalhado da evolução das relações entre agentes e situações) combinam-se para formar um modelo de coleta e análise de dados que permite uma interpretação robusta e consistente dos mecanismos psicológicos subjacentes à atividade humana (MEIRA, 1994, p. 59).

A escolha pela análise microgenética é justificada pelo foco da técnica nas minúcias relativas às ações desenvolvidas pelos sujeitos na resolução das situações propostas em cada orquestração que compõe a MOI, sejam essas situações-problemas de matemática ou de outra natureza.

No entanto, a busca por essas minúcias em um vídeo exige de quem o analisa a criação de um índice de eventos constituídos de extratos, feitos a partir do vídeo, que possam ser significativos à análise. É importante, entretanto, deixar claro seu significado para a análise microgenética para que não se estabeleçam relações incoerentes com esse. A seguir, tem-se o ponto de vista de Góes sobre essa questão:

Em resumo, essa análise não é micro porque se refere à curta duração dos eventos, mas sim por ser orientada para minúcias indiciaisdaí resulta a necessidade de recortes num tempo que tende a ser restrito. É genética no sentido de ser histórica, por focalizar o movimento durante processos e relacionar condições passadas e presentes, tentando explorar aquilo que, no presente, está impregnado de projeção futura (2000, p. 15).

Assim, a perspectiva microgenética que adota para analisar os dados da MOI orienta o acompanhamento preciso do processo de resolução das situações propostas em cada orquestração. Os detalhamentos do raciocínio, das estratégias de resolução, das escolhas realizadas, do uso de artefatos, das metamorfoses, entre outros aspectos, permitiram identificar, compreender e caracterizar as ações dos sujeitos envolvidos. Tal procedimento permite inferir sobre o sucesso ou fracasso da MOI para o ensino do modelo da OI.

Outro aspecto relevante a ser considerado é a estrutura organizacional que favorece as análises dos dados videografados. Para isso, à luz da análise microgenética, a estratégia de organização de dados será adotada. Trata-se da mesma utilizada e sugerida por Meira (1994, p. 62), quando em investigação da atividade matemática de crianças durante sessões de resolução de problemas. A partir da descrição feita por Meira sobre tais estratégias de organização de dados, um esquema (Figura 9) que revela as seis etapas que compõem a estrutura de análise foi elaborado.

Figura 9 -Estrutura de organização dos dados para análise microgenética Fonte: Elaborada pela autora.

A primeira etapa (Figura 9) diz respeito à familiarização com os dados e caracterização da atividade, o que exige do investigador que assista aos vídeos por completo, várias vezes e sem interrupção, fazendo anotações, ainda que preliminares, sobre os eventos identificados, os quais deverão ter relação com o problema de pesquisa; a segunda consiste na criação do índice de eventos. Esse deve ser feito a partir das observações e anotações realizadas na primeira etapa; a terceira marca o início da análise interpretativa mais rigorosa feita ao identificar, no índice, os eventos correlatos ao problema de pesquisa; a quarta consiste na descrição dos 

MÉTODO

Uma MOI criada foi vivenciada em uma turma da disciplina de Metodologia de Pesquisa de um curso de Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica, visando à formação de mestrandos sobre Orquestração Instrumental (OI) e às metodologias de pesquisa utilizadas.

Sujeitos e campo de pesquisa

A experimentação teve como sujeitos os participantes da aula, com a participação efetiva de 23 mestrandos e duas professoras pesquisadoras, em uma sessão que durou 4 h/a.

Pela própria natureza interdisciplinar do referido curso de mestrado em que se realizou o experimento, era esperado que os mestrandos participantes deste estudo tivessem formação superior diversa. Os sujeitos e campo de pesquisa não foram escolhidos, tornaram-se sujeitos após a aula. Isso se deve ao fato da pesquisa emergir a partir de um convite recebido pela autora desta tese, das professoras da referida disciplina, que objetivavam uma discussão, com os 28 mestrandos matriculados, sobre a Orquestração Instrumental.

Embora a OI não seja uma metodologia, há sempre uma necessidade do desenvolvimento de um método que atenda aos objetivos da pesquisa dos que a utilizam. Assim, as professoras da disciplina desejavam que os mestrandos conhecessem, na teoria e na prática, a OI, entretanto evidenciando a metodologia utilizada, especialmente, para essa vivência.

O convite das professoras foi motivado pelos trabalhos que a autora desta pesquisa vem desenvolvendo sobre a OI, nos quais se incluem sua dissertação de mestrado (COUTO, 2015), entre outros trabalhos já publicados dentro dessa temática.

Ao final da aula ministrada, foi solicitado formalmente aos estudantes o uso dos dados gerados durante a aula para a pesquisa. Todos os participantes concordaram em ceder os dados, após a explicação sobre o uso desses e dos objetivos da pesquisa.

Para favorecer a fluidez da leitura, serão utilizadas algumas abreviações: OI, orquestração instrumental; EA, estudante-ator; EO, estudante-observador; e F, formadora.

Enquanto sujeitos de pesquisa, os mestrandos são denominados estudantes (ator ou observador), ou seja, trata-se de, em alguns momentos, identificá-los a partir da função que exerceram durante o experimento. As pesquisadoras e professoras da disciplina também são identificadas pela função, formadoras.

O design da metaorquestração instrumental

No estudo preliminar, pensou-se a MOI para a formação teórico-prática sobre a OI e sobre metodologias de pesquisa para os mestrandos em Educação Matemática e Tecnológica, consideraram-se dois critérios: Assim, estruturou-se o design da metaorquestração como a composição de quatro orquestrações instrumentais (OI1, OI2, OI3, OI4) articuladas entre si. As orquestrações OI1 e OI2 ocorrem simultaneamente, com duração prevista de uma hora e meia. As demais orquestrações, OI3 (duração de uma hora) e OI4 (duração de uma hora e meia) ocorrem de forma sequencial.

Percebeu-se, então, a existência de uma configuração maior que engloba a composição, a qual vai sendo construída ao longo dos estudos, a metaconfiguração didática.

A turma tinha 28 estudantes matriculados; logo, planejou-se o seguinte para as orquestrações OI1 e OI2: Podem-se observar na figura os seguintes elementos da configuração didática da OI1 e da OI2: sujeitos, artefatos, ambiente didático, elementos de gestão da sala de aula, papéis e funções. Quanto ao modo de execução, dessas duas orquestrações, os estudantes devem assumir um papel ativo, enquanto as formadoras assumem um papel mais passivo, atuando como observadoras do trabalho dos estudantes, dando suporte apenas quando solicitado. Espera-se que esses estudantes reflitam sobre os métodos de coleta de dados, pois é importante à disciplina de Metodologia de Pesquisa, mas também sobre as etapas e princípios da OI, tais como processos de instrumentação e instrumentalização, a importância de cada recurso e da gestão desses na execução da situação e a relevância dos esquemas. Essas reflexões são essenciais para as fases seguintes em que todos os estudantes assumem uma mesma função. 

Coleta dados da MOI

Aos mestrandos na função de estudante-observador (EO), couberam as diferentes tarefas de coleta de dados do experimento realizado por seu grupo. Os dados coletados pelos EO, assim como vídeos da câmera e as observações feitos pelas formadoras, são dados da pesquisa que foram analisados.

Para isso, construiu-se uma estrutura de coleta de dados (Figura 12), a qual detalha as técnicas e os instrumentos de coleta de dados utilizados pelos estudantes-observadores da OI2: A técnica de análise microgenética associada à videografia foi escolhida para nortear as análises dos dados coletados. Essa técnica propõe, segundo [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF], um estudo minucioso dos eventos identificados e selecionados dos vídeos produzidos e assistidos reiteradamente, de forma que tais eventos selecionados tenham relação estreita com as questões de pesquisa que se deseja responder.

Dessa forma, buscou-se seguir a estratégia sugerida por [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF] As anotações resultantes de observações, feitas em diários de bordo, podem ajudar a complementar as análises.

ANÁLISE DOS RESULTADOS DO ESTUDO PRELIMINAR

Nesta seção, são descritas, detalhadamente, as quatro orquestrações instrumentais que compõem a MOI, evidenciando a configuração didática, o modo de execução e a performance didática de cada uma delas. Também são descritas as situações matemática/formação de cada orquestra que compõem a MS.

Para favorecer a leitura e entendimento sobre o que foi planejado (configuração didática e modo de execução) e os resultados alcançados com a operacionalização de cada orquestra da metaorquestração (performance didática), optou-se por fazer a descrição de cada orquestra, seguida dos resultados e análise dos resultados alcançados.

Na primeira subseção, tem-se a descrição da OI1 e da situação matemática a partir de uma breve discussão sobre os conceitos de proporção e simetria correlatos à situação. Em seguida, discute-se a análise microgenética da OI1, nos dados coletados na OI2. O foco dessa análise está na gênese instrumental dos estudantes-atores.

Na segunda seção, há uma descrição minuciosa da OI2 e da situação de formação.

Intenciona-se revelar tal orquestração como artefato suporte da OI1. Além disso, a OI2 é um artefato para metaoquestração, visto que os dados coletados a partir da realização da situação proposta servirão à formação e às análises que buscam validar o modelo teórico em foco.

Na terceira seção, segue-se à descrição e à análise dos dados coletados na OI3. Essa se refere à discussão entre os estudantes e formadoras, com base na experiência teórico-prática, iniciada na leitura prévia de um texto sobre a OI e vivenciada na OI1 e OI2.

Orquestração instrumental 1 -OI1

A OI1 foi especialmente desenvolvida para que os mestrandos vivenciassem os conceitos fundamentais da OI, tais como: a noção de artefato, instrumento, esquemas de uso e gênese instrumental. A noção de situação, para qual a orquestração é criada. Assim, inicialmente, serão apresentados e discutidos a situação matemática e, em seguida, os elementos da OI1. Até os dias de hoje, ainda se utiliza da técnica de desenho que estabelece as razões proporcionais de partes do corpo humano, buscando a garantia da simetria e semelhança dessas.

Um exemplo disso pode ser observado na Figura 17, pertencente à obra a Arte de Desenhar -Proporções do Corpo Humano.

Na Figura 18, pode-se perceber que a técnica de desenho apresentada consiste em traçar uma linha vertical ao desenho de um corpo humano, a qual irá representar o eixo de simetria. O uso dos dados do estudo preliminar é relevante para pilotar a estratégia de análise dos dados que emergem da MOI. Por isso, a análise de apenas um dos eventos do índice criado (Quadro 1), o segundo evento (Figura 23). Na Figura 23, podemos observar que os EA iniciam a construção do boneco pela cabeça, escolhendo para isso a ferramenta círculo dados centro e raio (08:24). Na sequência, escolhem a ferramenta reta e traçam uma reta a partir de dois pontos, vendo como funciona a ferramenta, à parte da construção da cabeça do boneco. Depois, eles deletam a reta construída e constroem uma reta que servirá como tronco do boneco. Usam dois pontos da circunferência já construída (08:24), com a reta passando visualmente pelo centro. Uma vez que eles tentaram colocar a reta "paralela ao eixo cartesiano", passando pelo centro da circunferência, apenas pelo 'olho', sem garantir as propriedades geométricas da construção, rapidamente percebem que a reta não fica paralela ao eixo vertical passando pelo centro. Então, os estudantes deletam a reta e partem para outra estratégia de construção do tronco do boneco.

Observa-se no detalhamento da análise microgenética do Evento 1 (Quadro 2) um processo de instrumentalização e instrumentação com as ferramentas do GeoGebra, à parte da construção. Observou-se, ainda, que os esquemas de uso do artefato para resolver a atividade não prezam pela construção geométrica por meio de propriedades, considerando a figura geométrica. Para os EA, as propriedades são garantidas pelo aspecto visual, apenas, considerando o desenho obtido. Assim, percebeu-se que o processo de construção do grupo C é marcado por esquemas de uso que ora resultam na construção de desenhos (que os estudantes acreditam ser figura geométrica), ora resultam na construção de figura geométrica.

Tais aspectos fazem refletir sobre a real necessidade de evidenciar mais minuciosamente os eventos do processo de resolução da situação matemática ( Figura 13). A partir daí, deve-se detalhar os esquemas de uso dos estudantes no processo de construção do boneco, inclusive quando esses esquemas resultam em desenho e, também, em construção geométrica. Essa constatação foi discutida por Lucena, Gitirana e Trouche (2017a). 

Orquestração instrumental 3 -OI3

A criação da OI3 objetivou proporcionar um espaço de discussão entre os estudantes e as formadoras a respeito da OI. Trata-se de uma orquestração centrada na formadora, mas com participação efetiva dos estudantes. Nessa direção, inicialmente, será apresentada a situação de discussão teórico-prática.

A situação de discussão teórico-prática:

A situação da OI3 consistiu em um confronto coletivo de ideias que articulassem a teoria, ora lida no texto disponibilizado, ora apresentada pela formadora e articulada com a prática vivida na OI1 e observada na OI2.

Nesse caso, as expectativas em relação a tal discussão eram que dela emergissem articulações feitas pelos estudantes, considerando os fundamentos teóricos relativos à OI, à

Abordagem Instrumental e a noção de Esquema (Figura 23), com os eventos vivenciados (OI1) ou observados (OI2).

Previu-se para essa orquestração que tais fundamentos teóricos (Figura 24), estudados anteriormente pelos participantes, trariam à tona diversos aspectos, tais como: artefatos, instrumentos, processo de instrumentalização e instrumentação, ou seja, a gênese instrumental.

E, ainda, as etapas de uma orquestração, a importância da situação matemática e sua articulação com os artefatos, a configuração da sala e os recursos disponibilizados. Isso sob o olhar de quem estava observando a orquestração e de quem estava experimentando-a. A leitura prévia desse texto é indispensável, visto que se trata de uma atividade preparatória para se apropriar do modelo teórico em estudo e participar da discussão sobre a OI.

Gestão dos recursos:

Como informado anteriormente, a OI3, diferentemente das demais orquestrações instrumentais da metaorquestração, é centrada nas formadoras. São elas que devem fomentar a discussão e articulação entre o modelo teórico e as vivências.

A gestão das tecnologias:

A forma como a OI3 está projetada dará luz à ação instrumentada das formadoras as quais devem fazer uso de tecnologias digitais para apresentar a OI e promover a discussão teórico-prática, entre elas e os estudantes. Elas também são responsáveis pelo registro das interações, por meio da filmagem e observação. Nesse cenário (Figura 25), os mestrandos ocupam o espaço da sala de aula, todos voltados para as professoras e lousa digital.

Inicialmente, sugere-se a organização da turma em forma de semicírculo.

Figura 25 -Cenário da OI3

Fonte: Elaborada pela autora.

Na Configuração didática da OI3, enquanto uma formadora explica a teoria, outra faz a filmagem de um ponto estratégico do cenário, podendo captar a turma, como um todo. A terceira professora filma com o celular e a quarta observa. Todas devem buscar fomentar a discussão, levantando questões, complementando as falas e articulando ideias apresentadas. A duração prevista para execução da a OI 3 é de 1 hora, aproximadamente. F2 também ficou responsável pela filmagem da discussão com a câmera.

Na Figura 26, pode-se observar como os estudantes resolveram se organizar no espaço da sala de aula, alterando a organização projetada inicialmente. Como essa é uma prática recorrente de estudantes, isso foi previsto pelas formadoras e não demandou decisão ad hoc, visto que o bem-estar dos estudantes era mais importante. O primeiro evento que identificado e analisado emerge do vídeo 1 e diz respeito à definição da OI. Perceba, na transcrição da fala da estudante-observadora -EO1 (Quadro 4), que ela tenta articular as palavras da definição com as experiências vividas na OI1: artefato (definição)software (OI1); seres humanos (definição)grupos, professoras (OI1); guiar os aprendizes (definição)coordenando, orientando (OI1). Perceba, ainda, que ela usa os termos "arranjo sistêmico", não os substituindo por outros, de forma que revele uma transposição destes com algo compatível na OI1. O complemento de sua fala quando diz: "[...] um arranjo sistêmico, onde foram formados os grupos práticos para se trabalhar", junta-se a essa outros elementos próprios da configuração didática de uma orquestração. Isso dá indícios de que EOI1 compreende bem que esse princípio da OI tem a ver com organização e gestão de artefatos e sujeitos em um dado espaço.

Já a transcrição da fala do EA1 revela-nos uma articulação teórica entre os componentes da definição da OI, não com a prática, mas com elementos de outra teoria, a das Situações Didáticas -TSD (BROUSSEAU, 2011). O estudante observa a definição da OI e estabelece uma comparação entre seus elementos e o da definição da teoria das Situações Didáticas, e busca algo que as diferencie, dadas as semelhanças que percebeu existir entre elas. Ele afirmou que, em ambas as definições, há: o professor; a situação matemática; a intencionalidade; o saber do aluno. Mas percebeu a relevância que a OI dá ao instrumento, destacando, inclusive, que "o instrumento está na essência da teoria das orquestrações instrumentais", e que "isto não existe na TSD". Embora, os distintos pontos de vista desses estudantes tenham relação com o mesmo eventoapresentação da definição da OIem ambos os casos, eles revelam esforço para o entendimento da OI, e que os conhecimentos que possuem sobre esse modelo teórico ainda são incipientes e todos correlatos à OI1. Isso mostra que, de alguma forma, a prática os tem ajudado na articulação e significação de aspectos do modelo teórico em foco.

Orquestração Instrumental OI4

A OI4 tem forte caráter reflexivo. De fato, todas as demais orquestrações instrumentais fomentam a reflexão do participante, individualmente e coletivamente. Essa orquestração foi criada para favorecer a análise dos dados coletados pelos estudantes-observadores da OI2 sobre a atuação dos estudantes-atores da OI1, pautada na discussão teórico-prática sobre a OI, na OI3.

Situação de reflexão e análise:

A situação da OI4 propõe aos participantes da MOI a análise dos dados gerados na execução da OI1 e OI2. Para isso, os grupos deverão acessar esses dados ou alguns deles (registro cursivo, captura de tela, vídeos) e fazer uma análise destas informações à luz do aporte teórico em estudo. Esse é um momento de reflexão e discussão nos grupos. À medida que os membros do grupo forem resolvendo a situação, eventos serão identificados, discutidos e articulados com os fundamentos teóricos da OI. Em seguida, cada grupo apresentará uma síntese da análise realizada.

Espera-se que a OI4 seja o auge da MOI. Isso porque os resultados das análises dos dados, articulados com os conhecimentos e experiências adquiridas nas orquestrações anteriores, oportunizarão uma reflexão, seja sob a ótica do professor que orquestra sua prática, seja sob a ótica do estudante sujeito da orquestração. Ao apresentar a análise feita colaborativamente em grupo, espera-se que as falas dos estudantes deem indícios de sua apropriação quanto ao modelo teórico em estudo. Para dar suporte aos estudantes à realização da situação proposta, uma configuração didática e um modo de execução foram planejados, constituindo, assim, a OI4 .

Configuração didática

A configuração didática planejada para OI4 contemplou a disponibilização de artefatos, a definição da forma de trabalho, a gestão de artefatos e pessoas e o tempo para execução da situação de reflexão e análise.

Gestão dos recursos humanos:

Ao traçar a situação da OI4, um cenário para essa orquestração foi criado (Figura 27).

Pode-se observar que os participantes devem ser reagrupados em seus grupos e organizados em círculos para facilitar a comunicação entre eles. Em seguida, cada grupo terá 30 minutos para acessar os dados e analisá-los. A proposta é que os estudantes escolham uma das fontes e selecionem extratos do que acham mais pertinente ser analisado e discutido. 

Modo de execução da OI4

O modo de execução planejado para OI4 está imbricado na situação de análise e reflexão.

Dessa forma, caberá às formadoras reagrupar os participantes em seus respectivos grupos e comunicar as condições da situação proposta. Inicialmente, os estudantes deverão discutir sobre as OI1, OI2 e OI3, dando destaque aos principais aspectos observados em cada orquestração de forma articulada à teoria. Para isso, deverão fazer uma análise sobre os dados coletados, podendo acessar: os dados de à captura de tela, feita durante a execução da situação matemática, o vídeo das interações do grupo, as anotações do observador, texto-base etc. Isso deve ser feito colaborativamente em 30 minutos. Depois, cada grupo deve fazer uma síntese dos principais pontos da discussão e análise, colocando-os em 1 ou 2 slides (15 minutos). Por fim, os grupos deverão fazer uma apresentação oral da síntese da análise, com foco na relevância das orquestrações para formação do professor de matemática com tecnologias integradas (5 min.). 

Performance didática

As primeiras orquestrações tomaram mais tempo do que o previsto pelas formadoras.

Um atraso de 30 minutos foi computado (espera por mestrandos e pelas professoras que iriam participar da metaorquestração, mas infelizmente não puderam). Esse fato se refletiu diretamente no tempo pedagógico da OI4, para o qual estava previsto 1 hora de duração, ficando apenas 45 minutos para sua execução. O atraso fez com que a OI4 seguisse em ritmo acelerado, incorrendo na diminuição do tempo para realizar a situação proposta e na mudança na forma de apresentação oral da síntese de cada grupo, feita de forma aligeirada e sem o diaporama.

A ausência de duas das quatro formadoras também prejudicou o bom andamento da OI4, haja vista que o registro que cada uma iria fazer das interações de cada grupo era determinante para analisar a performance didática da OI4 na MOI. Sendo assim, as duas formadoras presentes decidiram não filmar os grupos, mas apenas dar suporte às análises que iriam fazer sobre os dados e as vivências, à luz da teoria. Decidiram, ainda, por uma câmera em um ponto estratégico da sala para filmar a apresentação oral da síntese de cada grupo, entretanto, por esquecimento, provavelmente provocado pela exaustão das muitas atividades executadas, em curto período de tempo, a câmera filmadora não foi ligada, inviabilizando qualquer análise da OI4.

Assim, os participantes, após reunidos em seus respectivos grupos, em 25 minutos, discutiram sobre as orquestrações, seguindo as orientações dadas, na medida do possível.

Restando 20 minutos para finalizar a formação, um representante de cada grupo, em 5 minutos, foi convidado para sintetizar, oralmente, os principais pontos analisados sobre os quais refletiram. Na perspectiva de uma nova testagem da MOI, apresentam-se, a seguir, as contribuições advindas do estudo preliminar para o refinamento teórico e aperfeiçoamento do design desse modelo de formação.

CONTRIBUIÇÕES DO ESTUDO

Refinamento das definições correlatas à orquestração instrumental na MOI

O processo de concepção, teste e análises preliminares dos dados da MOI trouxeram à tona a necessidade de se repensar pressupostos e definições correlatos à OI. No contexto da MOI, alguns pressupostos e definições ganham um novo sentido, necessitando ser refinados.

A MOI fundamenta-se no modelo teórico orquestração instrumental e visa que seus participantes se apropriem desse modelo. Logo, as situações propostas, assim como as orquestrações criadas para dar suporte à resolução dessas situações, precisam levar os participantes a refletir e se apropriar durante toda formação dos pressupostos e das definições da OI.

Nessa direção, é relevante que se refine a definição de MS e se definam as etapas da MOI, a saber: metaconfiguração didática, metamodo de execução e metaperformance didática.

É importante, ainda, precisar a definição de performance didática. Alguns dessas definições foram discutidas por Lucena, Gitirana e Trouche (2018; 2017a).

Definições necessárias à metaorquestração instrumental

A performance didática das orquestrações que compõem a MOI revelou que há situações imprevistas pelas formadoras, na configuração didática e no modo de execução, que ocorrem durante a operacionalização da orquestração. Muitas dessas situações demandaram das formadoras decisões ad hoc, a exemplo disso, a decisão de reorientar a discussão teórico-prática da OI3, por causa da não leitura dos estudantes, quanto ao texto indicado.

Entretanto, há situações imprevistas para as quais os estudantes tomam decisões, agem ou reagem. Um exemplo disso foi a decisão das formadoras de não disponibilizar instrumentos de medida aos estudantes. Mas a situação demandava de seus resolvedores que tomassem um componente do grupo para servir de modelo (suas medidas seriam utilizadas para definir a unidade de medida e a razão de proporcionalidade). Sem ter artefatos para fazer as medições, os estudantes-atores do grupo D usaram o cabo de um carregador de celular como instrumento de medida.

Esse exemplo coloca em evidência a necessidade de definir precisamente essa conduta dos estudantes, sempre quando são surpreendidos por algo inesperado ou que de alguma forma interfira no que estão fazendo.

Caracterização da metaorquestração instrumental

O design da metaorquestração foi construído com o uso do Design Experiments, mas possui características próprias e que precisam ser descritas, algumas das quais são herdadas da OI, tais como: a sistematização, a intencionalidade e rica em tecnologias, especialmente, as digitais. No entanto, o processo de concepção, teste e análises preliminares das orquestrações instrumentais da metaorquestração revelaram outras características: a articulação, o sequenciamento e favorável a diferentes tipos de interação.

É relevante uma reflexão para precisar se características identificadas são apenas essas e se são descritivas ou prescritivas.

Detalhamento das situações e classe de situações MS de formação

Nesta pesquisa, tem-se usado a noção de situação segundo [START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF]. As situações que compõem a MS são de naturezas distintas: matemática, de observação da prática, de discussão teórico-prática e de reflexão e análise. É relevante, então, precisar tais situações e revelar a classe de situações a qual pertencem. O detalhamento dos objetivos da situação também deve ser apresentado e diferenciado dos objetivos para os quais a orquestra foi criada.

É importante revisar as situações propostas no estudo preliminar na perspectiva de aperfeiçoálas.

Melhoramento do design da MOI

Durante a execução da MOI, ficou evidente a necessidade de se criar uma OI que desse conta do estudo prévio da OI. Isso evitaria que a primeira discussão teórica ocorresse na OI3, exatamente no momento em que uma noção da teoria já deveria ter sido construída para favorecer a articulação desta com a prática (Figura 28), pautada nos experimentos da OI1 e OI2,. Prezar por situações introdutórias à teoria com suporte de recursos (textos, vídeos etc.)

não densos e no idioma dos sujeitos em formação parece-nos um bom começo para se pensar na estrutura dessa nova orquestração. Talvez, iniciar a metaorquestração com um estudo de fundamentação teórica, antes dos experimentos.

Outra orquestração do design que precisa ser adaptada é a OI4, ao menos, no que concerne ao tempo de sua execução (Figura 28). Acessar os dados, analisá-los, refletir e discutir sobre eles, elaborar uma síntese da análise e apresentá-la são muitas tarefas para serem feitas em pouco tempo, ainda que em grupo e com suporte das formadoras.

É importante destacar as ações dos sujeitos e, principalmente, o tempo de elas ocorrerem na metaorquestração, seja antes das orquestrações serem executadas, entre a execução de orquestrações ou quando ocorrem simultaneamente (Figura 28). É preciso pensar, também, se o que se passa nestes intervalos são elementos das orquestrações (OI1, OI2, OI3, OI4) ou da configuração didática, do modo de execução ou da performance didática da metaorquestração.

O tempo pedagógico é uma variável crucial ao bom desenvolvimento de uma OI. As A gestão de pessoas e de artefatos, em um cenário de execução didática, é um forte elemento da OI. Logo, há de se cuidar que o quantitativo de pessoas por grupo não traga prejuízo à interação entre elas, tal como à realização coletiva das situações, de forma que nenhum participante deixe de dar sua contribuição.

Há de se ter cuidado, também, com a gestão dos artefatos que são disponibilizados e no quantitativo desses para cada grupo, considerando o quantitativo de participantes. A falta de atenção com este critério poderá inviabilizar desde o trabalho dos estudantes à análise de dados.

Outro aspecto importante é a definição dos papéis e das funções dos sujeitos em cada OI. É preciso também que fiquem claros para o participante da formação os moldes da execução de papéis e funções. Questões como troca de papéis, trabalho individual ou coletivo, em dupla ou em grupo, entre outras, devem ser clarificadas.

Integração, exclusão e/ou concepção de novos artefatos à metaorquestração

Os artefatos disponibilizados em uma OI precisam ser essenciais à resolução da situação proposta. Um exemplo disso é o GeoGebra para a resolução da situação matemática da OI1. Até a decisão de não disponibilizar um artefato precisa ser bem pensada e estar alinhada aos objetivos e expectativas de aprendizagem. A decisão de não fornecer instrumentos de medidas para realizar medições na OI1 é um exemplo disso. Como a MOI é um modelo em processo de testagem para futura validação, é relevante a produção de um texto didático, em língua portuguesa, destinado ao público-alvo sobre a OI.

Enquanto artefato a ser produzido, na perspectiva de que todos os participantes da formação façam sua leitura, é preciso pensar que características esse artefato deve ter, de forma que venha não apenas fomentar a sua leitura, mas também influenciar as ações e o pensamento dos estudantes durante a formação para se apropriar da OI.

Aperfeiçoamento e/ou criação de instrumentos de análise de dados

Por fim, o estudo preliminar revelou o potencial da técnica de análise microgenética associada à videografia, que favorece a análise de dados resultantes das filmagens e observações das interações e ações dos participantes nas orquestrações instrumentais.

Por seu foco nas minúcias dos eventos ocorridos que estão sendo analisados, favorece a identificação de esquemas ou componentes de esquemas dos participantes, extremamente importantes para inferir sobre a gênese instrumental relativa às diferentes situações propostas, tal como sobre a apropriação dos participantes a respeito da OI.

Por meio da identificação e análise dos esquemas, o formador pode descobrir, por exemplo: o que os estudantes sabem, quais conhecimentos constroem no decorrer da formação, como as interações e trabalho colaborativo com os demais componentes de seu grupo ocorrem, como a turma e as formadoras os auxiliam na execução de seus papéis e funções e como se dá o processo de instrumentalização e instrumentação de cada sujeito.

Assim, a videografia se mostra uma técnica relevante à análise microgenética, pois captura ações, gestos, falas, podendo alcançar um quantitativo numeroso de participantes em formação. Mas os vídeos não dão conta de capturar tudo, em todo tempo, que se passa em um experimento, por isso a observação, acompanhada de registros cursivos do observador, não deve ser descartada.

Quando se deseja capturar ações realizadas diretamente no computador, as filmagens não se configuram em uma boa técnica, dadas as distorções causadas pelos reflexos de luz.

Assim, os softwares de captura de tela são excelentes recursos para esta finalidade.

Embora a técnica de análise microgenética-videográfica tenha se configurado em uma boa escolha para a análise dos dados que foram produzidos na MOI, é fato que os instrumentos criados ainda precisam ser aperfeiçoados. É preciso criar instrumentos que deem conta de melhor evidenciar os esquemas e os componentes de esquemas dos estudantes quando na realização das situações propostas. Sem isso, as inferências sobre as gêneses instrumentais e apropriação da OI dos participantes da formação pode ser comprometidas.

É preciso também discutir os esquemas dos estudantes perante o trabalho coletivo e caracterizar os modos em que tais esquemas mobilizados pelo coletivo são construídos individualmente.

ESTUDO PRINCIPAL -FORMAÇÃO INICIAL

Este capítulo apresenta o estudo principal desta pesquisa que consistiu do refinamento das definições e constituição do modelo teórico da MOI, de novo Design da MOI, com as adaptações justificadas a partir das análises do Estudo Preliminar, de teste e análise da MOI.

O Estudo principal foi realizado em uma situação de formação inicial de professores, da modalidade presencial. No entanto, devido a situações ad hoc resultantes das greves e manifestações diversas que ocorriam no Brasil, durante o período de testagem do modelo, parte do experimento foi realizado a distância.

Na primeira seção, discute-se o complemento do quadro teórico desta pesquisa, resultado do refinamento teórico do Modelo da MOI, inclusive da OI. Inicialmente, apresentamse avanços quanto aos elementos de um de execução didática de uma Orquestração. Em seguida, define-se a MS, a MOI, suas características e etapas. Discutem-se, ainda, os modos de destinação e modos de engajamento (REMILLARD, 2010), pressupostos teóricos utilizados para fundamentar a concepção e análise do uso de um texto webdoc, uma demanda resultante da análise da OI 3, da metaorquestração.

Na segunda seção, indicam-se os sujeitos, o campo e os aspectos éticos da pesquisa.

Discute-se o redesign da MOI, enquanto percurso metodológico. As adaptações realizadas no design da metaorquestração e que se refletem diretamente em adaptações ao método, também, são resultantes do Estudo Preliminar.

Na terceira seção, há a descrição e análise, individual, de cada situação e orquestração instrumental da MOI, considerando a performance didática dos participantes em formação relativa à resolução das situações e ao suporte dado pela orquestra para isto, na perspectiva de garantir a fluidez e melhor compreensão da leitura. Considerando o volume de dados coletados, verificou-se a real necessidade de descrição e análise dessas informações separadamente.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS COMPLEMENTARES

Nesta seção, serão discutidos os avanços relativos ao refinamento teórico de definições da MOI e do cenário de elementos de execução didática da OI. Complementam, ainda, o quadro teórico, a abordagem teórica que discute as formas de destinação e os modos de engajamento de um recurso (REMILLARD, 2010). No entanto, durante a concepção e análise de dados da MOI, percebeu-se a necessidade de localizar esses elementos dentro do cenário didático, considerando sua relação com a configuração didática, modo de execução e performance didática. Além disso, entendeu-se ser relevante informar que a orquestra se desenvolve essencialmente em dois momentos, planejamento e execução. É durante a execução da orquestra que emergem as situações imprevistas que demandam do professor as decisões ad hoc. No entanto, foi observado nas análises do Estudo Preliminar que, diante de situações imprevistas, os estudantes, participantes da metaorquestração, também tomavam decisões.

Embora estudantes e formadores façam parte do mesmo cenário didático, há de se defender que as decisões ad doc das formadoras são de natureza didática, porque buscam cumprir os objetivos didáticos para os quais a metaorquestração foi criada. Já as decisões dos estudantes, comumente, estão relacionadas aos seus objetivos correlatos à realização das situações que lhes foram propostas. Assim, para diferenciar as decisões daquele que orquestra do que vivencia a orquestra, decidimos cunhar o termo reação ad hoc para as decisões tomadas pelos estudantes ou professores na condição de estudante na vivência de uma orquestra.

Assim, reações ad hoc são as reações dos estudantes à situação proposta, às condições e às restrições impostas a estes para resolver tal situação, diante de situações inesperadas que emergem durante o trabalho, individual ou coletivo, dos estudantes na orquestração. As reações ad hoc podem ocorrer, por exemplo, por causa: das características da situação ou dos conhecimentos exigidos para sua resolução, da habilidade ou não no uso dos artefatos disponibilizados, da gestão dos sujeitos envolvidos (papéis, funções etc.), do tempo de resolução etc. As reações ad hoc, tal como as decisões ad hoc, podem alterar o planejamento da orquestraa configuração didática, o modo de execução e, até mesmo, a situação proposta.

De uma forma ou de outra, elas são extremamente relevantes à OI. Isso porque, em geral, modificam a orquestra em pleno andamento e, precisam ser consideradas pelo professor O primeiro ato, Mise en oeuvre (em azul), é orquestrado pelo professor que determina a situação, escolhe artefatos a ser disponibilizados, define os papéis, funções de cada sujeito, o tempo de duração, etc. E, também, as análises a priori de natureza didático-pedagógica (em cinza). O segundo ato, Mise en scène (em verde), é a vivência do primeiro ato, pelo professor e seus estudantes. Neste, são confirmadas as previsões feitas pelo professor e a implementação ou não de "planos B" para as situações já previstas. Também são identificadas as decisões ad hoc do professor (em cinza) e as reações ad hoc dos estudantes (em vermelho) para os eventos imprevistos.

Definição de metassituação

O design da MOI trouxe à tona as diferentes naturezas de uma situação. A Orquestração Instrumental tem por objetivo favorecer as gêneses instrumentais do sujeito, quando na resolução de situações matemáticas com integração de tecnologias digitais. Logo, é natural que a situação que interesse a esse modelo teórico seja matemática.

No entanto, a MOI é um modelo de formação para apropriação da OI, ou seja, os conhecimentos que estão em jogo são prioritariamente os correlatos à OI. Assim, as situações que são propostas no modelo de formação não são apenas de natureza matemática, mas de fundamentação teórica, de discussão teórico-prática etc.

Dessa forma, verificou-se a necessidade de precisar a definição de MS, na perspectiva de não a limitar ao conhecimento específico (no caso a matemática), tal como havia sido definida inicialmente. Não apenas para atender aos propósitos da metaorquestração no sentido da formação, mas também por compreender o potencial da OI e da MOI aplicadas a outras áreas do conhecimento.

Metassituação pode ser entendida como uma situação complexa que pode ser analisada como uma combinação de situações de natureza e dificuldade próprias. Vale salientar que tomamos por situação a noção atribuída por Vergnaud (VERGNAUD, 1991, p. 167).

Definição de MOI e características

Uma das primeiras definições que se buscou refinar foi a do modelo teórico em A sistematização tem por objetivo organizar as orquestrações da metaorquestração de acordo com parâmetros estabelecidos (objetivos, regras, métodos etc.), indivíduos, artefatos e dados, de forma composta (sequencial ou imbricada) e articulada. A sistematização está presente desde a concepção até a análise dos resultados. Isso porque não estrutura apenas o design, mas também a coleta e a análise de dados advindos da execução do modelo.

A intencionalidade está diretamente relacionada ao ato de agir conscientemente sobre o que é proposto e sobre os objetivos que se quer alcançar. Assim, a concepção, o desenvolvimento, os testes, as análises, ou seja, tudo que se propõem precisa estar relacionado a tais objetivos.

A composição de orquestrações instrumentais tem a ver com a estrutura do design de acordo com que se pretende propor e a relação disso com os objetivos. Assim, as OI podem aparecer de forma sequenciadas ou imbricadas. No primeiro caso, a execução das orquestras ocorre em tempos distintos. Independente da forma como são executadas, ainda assim, devem estar articuladas entre si. No segundo caso, a execução das orquestras é simultânea.

A articulação entre as orquestrações do modelo é uma característica extremamente relevante por dois motivos: primeiro, favorece a geração de novos artefatos produzidos pelos sujeitos em formação, susceptíveis de favorecer a compreensão dos conceitos. Segundo, favorece a realização das situações propostas, pois, por serem resolvidas na sequência em que as orquestrações são executadas, os conhecimentos adquiridos pelos sujeitos durante a orquestração anterior podem ajudar na realização da próxima situação e na apropriação de novos conhecimentos. A garantia da articulação entre as orquestrações evita que as situações propostas, tal como as suas respectivas orquestrações, se configurem em uma sequência de atividades isoladas e estanques.

O fato de as orquestrações instrumentais serem estruturas ricas em tecnologias, especialmente as digitais, tem a sua essência no objetivo central para o qual esse modelo foi criado (TROUCHE 2005), a saber, as gêneses instrumentais do sujeito. A proposta do autor da metáfora é que os artefatos que compõem o cenário didático sejam tecnologias digitais. Buscase com isso saber como o sujeito se apropria de matemática com uso de diferentes dispositivos dessa natureza. Isso significa desprezar as tecnologias digitais, mas oportunizar uma formação mais completa e cada vez mais exigida no contexto educativo, social etc. Na MOI, por exemplo, tecnologias digitais e convencionais coexistem e constituem um sistema complexo de recursos.

A característica do modelo de ser propício à interação do sujeito com o artefato e dele com outros sujeitos faz emergir formas distintas de trabalho a serem exploradas. Assim, o sujeito terá a oportunidade de executar situações individualmente com o uso de artefatos tecnológicos digitais, podendo trabalhar coletivamente, em dupla ou em grupo. As interações quando oriundas do trabalho coletivo, comumente, resultam em colaboração (trabalham juntos para alcançar um objetivo comum), cooperativo (cada um executa individualmente uma parte do trabalho para alcançar um objetivo comum) e em mediações (realizadas por quem acompanha os sujeitos que executam as situações, na intenção de dar suporte sempre que necessário ou solicitado).

Definição das etapas da MOI

Assim como o modelo OI dispõe da Configuração Didática, Modo de Execução e

Performance Didática, que estruturam e favorecem a análise da orquestração concebida e executada, entendeu-se ser relevante definir tais etapas no contexto da MOI.

O termo meta, nesta pesquisa, tem sido utilizado em uma perspectiva cognitiva, ou seja, diz respeito à capacidade de compreender e refletir sobre a sua própria compreensão. Na MOI, o sujeito que vai se apropriando dos elementos teóricos que compõem a OI também reflete sobre essa compreensão. Mas, também, refere-se sobre os princípios que compõem a metaorquestração, definidos a seguir:

A metaconfiguração didática pode ser entendida como uma arquitetura dos sujeitos (estudantes), artefatos, escolhas didáticas e as situações, definidos pelo maestro (professor/formador). Essa arquitetura pressupõe, além do conjunto de orquestrações instrumentais internas a cada orquestração, a organização, articulação e gestão das orquestrações instrumentais que irão compor a MOI.

O metamodo de execução didática consiste em diferentes formas de se colocar em execução a arquitetura de cada orquestração instrumental da metaconfiguração didática. Ao menos uma forma de execução da metaconfiguração didática precisa ser prevista.

A metaperformance didática é o desempenho alcançado pela metaorquestração instrumental, considerando a viabilidade da arquitetura criada para a apropriação do modelo teórico Orquestração Instrumental. Trata da identificação das situações imprevistas, decisões e reações ad hoc que são relevantes para determinar quão bem-sucedidas foram as orquestrações executadas, tanto interna quanto externamente a cada orquestração. Considera também a organização, a articulação, a gestão do conjunto de orquestrações e sua execução, ou seja, a metaconfiguração didática e o metamodo de execução que compõem a metaorquestração.

Formas de destinação e modos de engajamento

A produção e os usos de um recurso com perspectiva de ensino e aprendizagem de seu conteúdo, não importando sua natureza (livros, softwares, jogos etc.), demandam de seus desenvolvedores mais que conhecimento específico ou didático-pedagógico, mas também de desenvolvimento de design. O ato de pensar o design de um recurso é um fio condutor a questões como "Qual é o público-alvo?"; "O que interessa a esse público?"; "Que aspectos devem ser considerados para atrair o interesse desse público?" e "Para que este público irá utilizar esse recurso?" etc.

No entanto, muitas dessas questões não envolvem apenas o processo de produção do recurso, mas também como ele é utilizado pelos seus usuários. Isto porque os usos podem revelar o que realmente interessa ao público-alvo, novas demandas e limitações que poderiam culminar em melhoria do recurso, por exemplo. Essas ideias ganham força na pesquisa de Remillard (2010) que investiga os usos de livros textos curriculares de matemática, produzidos para orientar professores no planejamento de suas aulas. Essa pesquisadora defende que a implementação do currículo depende também da relação que o professor estabelece com os usos dos recursos. São essas interações entre professor e currículo que interessam a Remillard, não apenas para a conceitualização, mas também para a caracterização.

No que concerne à produção do recurso, Remillard (2010) defende a necessidade de se pensar no público-alvo, em seus interesses quanto ao recurso, o que eles querem, o que fazem e como fazem com o recurso, ou seja, as formas de destinação. Tais variáveis precisam ser levadas em consideração porque, segundo a pesquisadora, são elas que favorecem as projeções, feitas por designers, para atender aos desejos, necessidades e práticas desenvolvidas pelo público-alvo com o recurso. Assim, são os designers que tornam as formas de destinação, de acordo com Remillard (2010, p. 102, tradução nossa), "[...] acessíveis e visíveis para atender às necessidades de seu público principal".

A pesquisadora também esclarece:

A forma de destinação de um recurso curricular refere-se às formas físicas, visuais e substantivas que ele assume, à natureza e apresentação de seu conteúdo, os meios pelos quais ele se dirige aos professores. A forma de destinação é o que os professores realmente veem, examinam e interagem ao usar um recurso de currículo (REMILLARD, 2010, p. 108, tradução nossa).

Essas formas dizem respeito aos aspectos que compõem o recurso, daí a relevância do designer que precisa torná-los visíveis e acessíveis aos seus leitores/usuários. Em seus estudos com recursos curriculares de matemática e o uso desses por parte dos professores, Remillard afirma ter descoberto cinco categorias de formas de destinação: estrutura, aparência, voz, meio e gênero. Conforme a autora, "[...] cada categoria é relevante para como os professores se engajam e utilizam recursos. Além disso, cada categoria representa um conjunto de considerações de design e decisões que nem sempre são explicitadas" (REMILLARD, 2010, p.

110, tradução nossa).

A respeito das formas de destinação dos recursos identificadas, [START_REF] Remillard | Modes d'engagement: comprendre les transactions des professeurs avec les ressources curriculaires en mathématiques[END_REF] esclarece:

a) estrutura: refere-se à organização (conjunto de itens, outros recursos, que compõem o recurso etc.) e ao conteúdo (inclusão, exclusão e destaques dados aos conceitos, objetivos, orientações, pressupostos, representações etc.); b) aparência: refere-se ao visual do recurso (cores, imagens, brilho, estrutura gráfica etc.).

Mais precisamente, é o que os professores veem quando olham para o recurso. Além de ser resultado das diversas opções de design, é influenciada pela estrutura do programa; c) voz: é manifestada por meio da forma como os autores se comunicam com o professor (leitor/usuário). As sugestões e orientações dadas pelos autores aos professores são exemplos de como essa comunicação ocorre; d) meio: refere-se à forma de entrega do recurso. Comumente é utilizado o meio impresso, nas páginas do livro texto. No entanto, é preciso considerar o uso de recursos eletrônicos que tomam por base a web. Nesses casos, Remillard aponta para a necessidade de se pensar as interações entre professores com esses recursos e de favorecer a tomada de decisão de navegação do usuário; e) gênero: reflete o que é o recurso, as características que o identificam como tal.

Remillard exemplifica o recurso curricular, enquanto gênero, como um livro de receitas ou um manual, já que é destinado a orientar a ação de seu leitor. A pesquisadora chama a atenção, ainda, para possibilidade de um recurso ter mais de um gênero, especialmente na perspectiva das tecnologias digitais envolvidas no desenvolvimento de recursos.

É relevante destacar que a investigação de Remillard concentrou-se em recursos curriculares de matemática impressos; logo, as formas de destinação identificadas podem ser ampliadas, ou talvez, não identificadas, a depender da natureza do recurso. Não por acaso, a pesquisadora chama a atenção para os novos tipos de recursos curriculares desenvolvidos por designers na forma de páginas virtuais web. A variedade de recursos curriculares que podem dar suporte e orientação aos professores dessa natureza influencia o uso que tais professores fazem deles (REMILLARD, 2010).

As formas de destinação de um recurso curricular, produzido e utilizado, são relevantes porque elas fomentam o engajamento de seus leitores/usuários com o recurso, no desenvolvimento de suas práticas, para atingir seus objetivos em um determinado contexto.

Segundo [START_REF] Remillard | Modes d'engagement: comprendre les transactions des professeurs avec les ressources curriculaires en mathématiques[END_REF], o leitor se engaja com o recurso, podendo também se envolver com as interações dos autores do recurso, um dos motivos pelos quais as formas de destinação são tão relevantes. A pesquisadora usa o termo engajamento para se referir a como o professor interage com as formas de destinação do recurso curricular (texto, página da web etc).

Assim, é preciso observar e analisar os usos dos recursos pelos professores, pois são os usos que ajudam a identificar e explicar os modos de engajamento. Remillard (2010, p. 115, tradução nossa) "descobriu que o modo de um professor engajar um recurso curricular inclui quatro formas primárias ou tipos de leitura: o que ele lê; quais partes ele lê; quando ele lê; e quem ele é como leitor".

É nessa direção que a pesquisadora observa as relações de uso de três professores relativas ao mesmo recurso curricular. Os resultados encontrados e analisados por Remillard (2010) apontam que as formas de destinação dos recursos curriculares influenciam os modos de engajamento dos professores com estes. Além disso, revela que a experiência passada dos professores também pode influenciar seus modos de engajamento com novos recursos.

Meu interesse em como os modos de engajamento dos professores são moldados e sua tendência a ser resiliente ao longo do tempo é influenciado pelo design de materiais não convencionais que oferecem potencialmente um novo gênero de recursos e antecipam um tipo diferente de uso do professor (REMILLARD, 2010, p. 120, tradução nossa).

Esse interesse é bastante pertinente se considerarmos que recursos curriculares são projetados não apenas para guiar, orientar a prática docente, mas, como bem defende Remillard (2010, p. 120), para "alterar práticas convencionais de ensino e currículo-material". Daí a relevância da projeção desses recursos com foco em seu público-alvo. Segundo a pesquisadora, as possibilidades de sucesso quanto ao uso e funcionamento de tais recursos são maiores quando os designers os projetam para o público pretendido e que se comporta conforme suas expectativas.

As formas de destinação e os modos de engajamento são conceitos relevantes ao desenvolvimento de um texto webdoc, destinado a professores de matemática em formação inicial, participantes da MOI. A criação desse webdoc visa incentivar a leitura do texto que dará embasamento teórico sobre as Orquestrações Instrumentais a esses participantes. O primeiro contato com os pressupostos teóricos da OI objetiva favorecer a realização das situações propostas e a apropriação desses pressupostos por parte dos participantes da formação.

MÉTODO DO ESTUDO PRINCIPAL

Nesta seção, apresentam-se os sujeitos, o campo e os aspectos éticos da pesquisa, assim como se discute o (re)Design da Metaorquestração a partir de seu detalhamento, pautado nas demandas identificadas a partir do primeiro teste desse modelo. Por fim, são evidenciadas as adaptações realizadas nos métodos de coleta e de análise dos dados para esta etapa da pesquisa.

Sujeitos e campo de pesquisa

O modelo teórico de formação MOI foi adaptado para ser vivenciado, dessa vez no âmbito de uma instituição pública de ensino superior, em uma turma do 3º período do curso de licenciatura em Matemática. Essa escolha deu-se pelo fato do modelo ter sido concebido para formação de professores de matemática, embora tenha sido testado, inicialmente, em turma interdisciplinar de um curso de mestrado em Educação Matemática e Tecnológica.

As análises dos dados do Estudo Preliminar revelaram qual a dificuldade para compreender o processo de gênese instrumental dos estudantes uma vez que, nos grupos formados para a realização dos experimentos, a maioria não tinha formação em matemática.

Daí a necessidade de se testar o design da MOI em uma turma de futuros professores de matemática.

Essa escolha foi motivada também pelo fato de ser comum ao curso de licenciatura o estudo de constructos teóricos e teorias já consolidadas. Logo, tem-se um campo fértil para se promover uma formação com os licenciandos, uma vez que essa visa à apropriação de um modelo teórico, mas também favorecer as futuras orquestrações instrumentais com a integração de tecnologias digitais, nas escolas.

Assim, decidiu-se pela disciplina que incluía em seu programa o ensino de teorias da didática da matemática. Vale salientar que o curso de licenciatura em Matemática escolhido foi o da modalidade ensino presencial (a instituição oferece o mesmo curso na modalidade EaD).

Entretanto, situações de formação a distância, pautada em dispositivos digitais e na conectividade oferecida pela internet, foram promovidas e vivenciadas. Assim, nosso campo de pesquisa não ficou limitado à sala de aula física, presencial, mas se expandiu, ao associarmos novo ambiente de ensino virtual a novos recursos digitais e à internet. Após a coleta de dados, foi sugerida a inclusão de uma orquestração de criação de uma OI.

Porém, dado que a disciplina já havia finalizado, não foi possível a execução de tal Orquestração como parte da MOI.

A formação dos grupos ocorreu nas OIp e OI2, antes da execução desses experimentos É válido ressaltar que, por ser o campo de pesquisa um espaço de ensino real, não simulado, eventos comuns à dinâmica da sala de aula ocorreram, entre eles a falta de estudantes às orquestrações a distância e presenciais. E, apesar de terem sido criadas oportunidades para que tais estudantes pudessem realizar as situações propostas, os dados produzidos por esses estudantes não foram utilizados para efeito de descrição e análise do modelo de formação, ao menos em um momento em que o grupo D utiliza protocolos do grupo E como artefato na resolução da situação proposta.

Aspectos éticos da pesquisa

Os aspectos éticos explicados e garantidos aos mestrandos e professoras da disciplina em que o primeiro teste da MOI ocorreu foram mantidos, sendo esses esclarecidos à professora da disciplina e aos licenciandos da turma.

Assim, foi criada uma planilha on-line do Gdrive e compartilhada com os sujeitos da pesquisa, para que esses se posicionassem favoráveis ou não quanto à utilização restrita dos dados produzidos durante a formação, para efeito de pesquisa. Além disso, também foi garantido que seriam resguardadas a identidade e a imagem dos participantes.

Todos aceitaram participar, considerando as condições supracitadas. Já a OI4 foi estruturada para favorecer a resolução da situação S4, que propõe ao participante o acesso aos dados produzidos por ele e por seu grupo, durante a execução das orquestrações. A partir desse acesso, serão possíveis a reflexão e a análise dos dados. Em um segundo momento, participantes apresentarão uma síntese da análise realizada para discutir com toda turma. A OI4 é vivência em sala de aula presencial.

Redesign da MOI

A última orquestração instrumental (OI5), integrada ao design da MOI, foi concebida para dar suporte à resolução da situação S5. Trata-se de uma situação que propõe a prática da teoria. Na OI5, os participantes são desafiados a criar uma OI para dar suporte a uma situação escolhida ou criada por ele. Entre outros resultados que podem emergir da execução da OI5, a análise da situação e da orquestração criadas poderá revelar ou não se a apropriação dos participantes da formação quanto ao modelo teórico que buscam aprender, a Orquestração Instrumental, foi de fato consolidada.

É relevante informar que, em detrimento do tempo de conclusão da tese, a OI5 não foi executada. Os participantes da formação tiveram a oportunidade de elaborar orquestrações instrumentais em outro estudo realizado na disciplina. Mas os dados gerados não foram considerados por não atender o rigor necessário e exigido à pesquisa. Logo, as orquestrações criadas pelos participantes fora da metaorquestração instrumental não foram analisadas. Assim, a estrutura de coleta e análise apresentadas a seguir buscam atender aos dados produzidos nas orquestrações anteriores à OI5.

Método de coleta dos dados da MOI

O método de coleta de dados deste Estudo tem a ver com a realização de cada situação em cada orquestração correspondente. É a execução da situação na orquestra que produz os dados e, ao mesmo tempo, possibilita sua coleta. A estrutura (Figura 32) busca-se evidenciar as técnicas de coleta de dados, já discutidas na descrição do método do Estudo Preliminar.

Destacam-se ainda os instrumentos de coleta, os dados produzidos e quem realiza esta coleta na MOI.

Maior parte dos dados coletados emergem da execução da OI 2 . Ao observarem a prática Os dados coletados e analisados serão detalhados na descrição e análise de cada OI.

Método de análise dos dados da MOI

As análises incipientes dos dados gerados no Estudo Preliminar validaram a técnica de análise microgenética-videográfica como promissora às análises dos dados produzidos na MOI.

Ao mesmo tempo, percebeu-se a necessidade de criar uma estrutura (Figura 33) que permitisse identificar, ao longo da formação, o que deveria ser contemplado na análise, na perspectiva de inferir sobre a apropriação dos estudantes relativa ao modelo teórico estudado.

A estrutura de análise (Figura 33) dá luz à necessidade de que se observe a situação proposta e como os estudantes decidem resolvê-la, na intenção de verificar se há, por parte deles, modificações à situação. Isso é importante porque cada situação foi criada com objetivo de construir ao longo da formação conhecimentos sobre a OI.

Tem-se que observar como os estudantes fazem uso ou não dos artefatos disponibilizados (Figura 33), ou, ainda, se inserem dentro do cenário de execução didática outros artefatos para resolver a situação proposta ou alterada por eles mesmos. Os esquemas de uso dos estudantes quando no uso dos artefatos para resolver a situação podem gerar protocolos distintos que podem se constituir em verdadeiros recursos à medida que vão vivenciando as orquestrações.

Figura 33 -Estrutura de análise ao longo da formação Fonte: Elaborada pela autora. 

Possibilidades de inferência

Fonte: Elaborado pela autora.

A partir da escolha dos dados que interessam à pesquisa e que compõem o índice de eventos (análise microgenética), tais eventos serão analisados, visando identificar esquemas e classificar componentes de esquemas (Quadro 5). A possibilidade de identificar eventos e componentes de esquemas em eventos analisados foi discutida por Lucena, Gitirana e Trouche (2017a) e Rocha e Lucena (a publicar), em diferentes contextos de formação de professores, inicial e continuada.

ANÁLISE DOS RESULTADOS DAS OI DO ESTUDO PRINCIPAL

Nesta seção, destaca-se a construção de cada Orquestração, análise a priori, com os elementos das Orquestrações Instrumentais, uma a uma.

A Orquestração instrumental 1

Nesta seção, são apresentadas a situação e a orquestração instrumental 1 (OI1) suporte à introdução e discussão da OI. Apresentam-se a configuração didática, seguida de um detalhamento sobre o processo de concepção de um texto multimídia e didático sobre a OI, uma demanda criada a partir da análise dos resultados do Estudo Preliminar. E, ainda, análises a priori referentes à resolução da situação e ao suporte dado pela OI1. Em seguida, tem-se a descrição do método de análise dos dados coletados, dos resultados e análise dos resultados.

Por fim, a performance didática da OI1 é discutida.

Situação

A orquestração instrumental 1 foi criada a fim de favorecer a realização da situação de Sendo assim, levaram-se em conta características relevantes quanto à forma do webdoc durante o processo de criação. A leitura do webdoc era um dos requisitos do processo de formação sobre a OI. Assim, ao investir na forma desse recurso, buscava-se aumentar as chances de que, em primeiro lugar, esse fosse lidoum fator crucial para o bom andamento de uma formação teórica. Em segundo lugar, que a leitura se realizasse de forma reflexiva. --Apresenta-se a definição de modo de execução; -usa-se um quadro da HQ como exemplo de modo de execução. Esse é o previsto pela professora Vera para a configuração didática que criou; -discute-se a relevância de conceber uma configuração didática para a orquestra, mas também de prever pelo menos um modo de execução dessa.

Perguntas que poderiam ser geradas a partir desse trecho:

-O modo de execução da configuração didática criada pelo professor é único? -Por que o professor tem que prever pelo menos um modo de execução da configuração didática?

Fonte: Elaborado pela autora. --Apresenta-se a definição de modo de execução; -usa-se um quadro da HQ como exemplo de desempenho didático, especificamente, no que concerne a uma situação inesperadaum dos grupos não apresentou suas respostas; -discute-se a relevância das decisões ad hoc que o professor precisa tomar quando diante de uma situação imprevista.

Trecho do webdoc

Perguntas que poderiam ser geradas a partir deste trecho:

-Qual a importância de se fazer previsões para o modo de execução da orquestração instrumental? -Toda situação inesperada pede uma decisão ad hoc do professor?

Fonte: Elaborado pela autora.

Essa análise a priori não visa esgotar as possibilidades no que concerne às previsões do que e como os estudantes irão executar a configuração didática e o modo de execução previstos à OI1. No entanto, procura-se identificar: como eles fazem uso dos recursos disponibilizados (webdoc/fórum/orientações) para realizar a S1; como eles buscam apreender elementos do modelo teórico a partir de regras de ação correlatas ao tipo de leitura feita do webdoc; e como essa influencia a realização da situação proposta. Tais aspectos nos permitirão identificar os modos de engajamento dos estudantes com o webdoc.

Modo de execução

A análise a priori da OI1 tem por foco a situação de formação (S1) proposta e também os aspectos que compõem a orquestração criada para impulsionar sua realização. Assim, procurou-se prever as regras de ação no uso do fórum, e quais as regras de ação dos estudantes no uso do webdoc para discutir no fórum sobre OI os elementos da teoria. Buscou-se, também, prever a partir da leitura do webdoc as temáticas importantes e os elementos correlatos a essas, que poderiam ser destacadas pelos estudantes no fórum para perguntar ou responder.

Modo de uso do fórum:

Após a criação do webdoc, iniciou-se uma reflexão sobre a melhor forma de disponibilizá-lo aos estudantes para viabilizar a realização da situação de formação teórica.

Entretanto, as paralisações e greve previstas para o período da formação foram fatores determinantes para decidir que a situação de formação seria realizada em modalidade a distância. Para isso, um outro recurso foi escolhido, um fórum de discussão criado no G-Groups. O Google Groups (Figura 43) é um ambiente virtual, no qual se pode definir um grupo de usuários e disponibilizar a ferramenta "Fórum". As interações no fórum são on-line, mas não precisam ocorrer em tempo real. Isso permite aos estudantes realizar a situação de formações a distância e em dias e horários que lhes forem convenientes, desde que dentro do período determinado pelas formadoras. A dinâmica pergunta-respostas escolhida para discutir a OI adéqua-se bem à ferramenta "Fórum". Além disso, essa busca induzir à leitura do webdoc, uma vez que a formulação de perguntas ou o ensaio de uma resposta depende de sua leitura, total ou parcial. Se ele escolhe NOVO TÓPICO para responder, por exemplo, ele ignora a relevância de se dar resposta alinhada à pergunta à qual se refere. Logo, o melhor seria escolher a função POSTAR RESPOSTA.

Modos de execução da discussão no fórum a partir da leitura do webdoc:

No que diz respeito à realização da S1 com suporte da orquestração criada, foi previsto que haveria, certamente, dois grupos de estudantes, distinguidos pelas seguintes regras de ação: ler ou não ler o webdoc. Esses poderiam se enquadrar em um dos dois subgrupos descritos a seguir.

Essa leitura pode seguir diferentes estratégias, como: uma leitura inicial para compreensão do texto em si, com posterior busca por elementos que os permitam resolver a situação proposta; ou, ainda, uma leitura já buscando elementos para resolver a situação proposta, e que pode ser interrompida ou não após a realização da questão.

Um dos grandes desafios é identificar vestígios dessa leitura, como também da não leitura do webdoc, uma vez que isso se refletiria na qualidade da pergunta-resposta. Além disso, a leitura do webdoc é um fator determinante para o modelo de formação proposto. Daí a necessidade de se prever como a leitura ou não leitura se refletia na realização ou não de S1, ou seja, como as perguntas-respostas seriam elaboradas pelos estudantes. Previu-se, ainda, que as postagens dos estudantes revelariam as seguintes regras de ação, quanto à ação com o conhecimento da teoria: a) escolher um termo do webdoc e perguntar o que ela significa, quando a resposta já se encontra no texto. É um forte indício de:

não leitura (total/parcial); nesse caso, a regra de ação é apenas para resolver a situação;

falta de reflexão sobre a leitura (total/parcial) realizada; nesse caso a regra de ação é para obter outra explicação que o ajude entender o termo apresentado, ou ainda;

leitura (total/parcial); nesse caso, a regra de ação é para testar os conhecimentos dos colegas; b) formular uma pergunta/resposta que articule diferentes elementos do texto ou elementos do texto com a prática. É um forte indício de leitura (total/parcial). Essa regra de ação pode favorecer a reflexão sobre o modelo teórico e gerar outras perguntas alinhadas sobre a mesma temática ou até mesmo uma discussão entre os estudantes no fórum, ainda que seguindo a dinâmica pergunta-resposta; c) copiar e colar um trecho do webdoc para responder a uma pergunta de um colega. É um forte indício de leitura (total/parcial). Trata-se de uma regra de ação muito usual no ensino tradicional relacionados a questionários e lista de exercícios, geralmente com perguntas/respostas que não conduzem o estudante à reflexão; d) formular uma pergunta/resposta pautada em uma temática específica do texto.

É um forte indício da leitura (total/parcial). A regra de ação pode indicar que a pergunta/resposta é sobre uma temática do texto de interesse do estudante; e) apresentar perguntas/respostas fora do contexto do texto lido. É um forte indício de:

não leitura (total/parcial), nesse caso; a regra de ação é apenas para resolver a situação;

alta de reflexão sobre a leitura (total/parcial) realizada; nesse caso, a regra de ação é para obter outra explicação que o ajude entender o termo apresentado. c) construção de um índice de eventos relevantes à pesquisa. Para isso, as perguntas e respostas foram agrupadas de acordo com as temáticas previstas de serem discutidas após a leitura do webdoc (Figura 39). O índice de eventos é formado por quatro temáticas com as subtemáticas correlatas: gênese instrumental (artefato, instrumentos, esquemas etc.); configuração didática (situação, papéis etc.); modo de execução (uso previsto dos artefatos etc.); performance didática (situações inesperadas, decisões ad hoc etc.); d) criação de um instrumento de análise das postagens (Quadro 10). Nesse, podem-se classificar os eventos que são as temáticas identificadas nas postagens no fórum, as perguntas e respostas dos estudantes (identificados como autor ou observador), as regras de ação (estratégias de uso do webdoc para perguntar e responder no fórum) e os invariantes operatórios (os conhecimentos utilizados pelos estudantes, identificados nas postagens). As interações no fórum pressupõem-se individuais. Assim, foram analisadas as interações dos estudantes que compõem o grupo D (grupo selecionado conforme critérios definidos no método deste Estudo. Este grupo foi formado, após a vivência da OI1, durante o experimento da OIp (Orquestração Instrumental Pivot), mas para acompanhar, desde o início da MOI a evolução de seus componentes faremos referência ao grupo D. Das 37 postagens, sete são dos estudantes deste grupo, sendo quatro perguntas e três respostas. A mesma legenda de identificação dos estudantes utilizada na OIp será mantida nesta análise: dois atores (EArealizaram a situação matemática na OIp) e dois observadores (EOrealização a situação de formações na OI2).

5.3.1.6

Performance didática A discussão performance didática será feita aqui iniciando com a gênese instrumental e a análise dos modos de engajamento, seguido das análises dos efeitos na situação, configuração didática e modo de execução. Fonte: Elaborado pela autora. A forma como EO1 se refere ao esquema de uso e ao instrumento não deixa claro se entende que esses elementos teóricos são psicológicos. Também não discute em sua resposta a importância da situação para o desenvolvimento dos esquemas de uso do usuário em relação ao artefato, na perspectiva de transformá-lo em um instrumento para resolver tal situação. Isso se aplica, inclusive, à transformação que sofre o próprio usuário, como bem destacado por EO1.

EO1 e EA2: Ler texto para escolha de termo ou trecho específico:

No Quadro 12, pode-se observar a atuação de EO1 e a de EA2 do grupo D, que discutem sobre a noção de Esquema.

Há duas postagens ligadas à temática gênese instrumental; ambas tratam especificamente sobre esquema. Tais postagens (Quadro 12) são de dois estudantes do grupo D: EO1, que pergunta sobre a utilidade do esquema e EA2 que responde. EO1 faz uso de um termo presente no webdocesquemaspara perguntar sobre sua utilidade em um Novo Tópico no fórum. Já EA2, cópia e cola um trecho do webdoc para postar RESPOSTA alinhada à pergunta de EO1 no fórum. Acredita-se que ambos leram o webdoc, ainda que parcialmente, e mostram-se instrumentados em relação ao fórum para postar NOVO TÓPICO e para postar RESPOSTA alinhada, não apresentando dificuldades em utilizar tal recurso.

A pergunta feita por EO1 é uma extensão da discussão sobre a temáticagênese instrumentalque ele havia iniciado quando respondeu sobre a diferença entre artefato e instrumento. Fica claro a leitura do estudante, ao menos no que concerne a essa temática, pela forma como pergunta, responde e exemplifica os elementos teóricos no fórum. Ele entende que o esquema exerce papel importante no processo de gênese instrumental no que concerne à transformação do artefato e instrumento, tal como do usuário do artefato. Mas não deixa claro se entende o esquema como uma entidade cognitiva desenvolvida pelo indivíduo quando diante de uma situação desafiadora, a qual busca resolver.

É importante observar que EO1 não pergunta o que é um esquema, mas para que serve um esquema. Dá a entender que já sabe o que é um esquema e que agora lhe interessa entender para que ele serve. Mas a resposta a essa pergunta está imbricada no próprio significado de esquema (trecho 1). Assim, têm-se três hipóteses sobre a regra de ação que conduziu EO1 à pergunta: a) escolheu o termo esquemas e lançou a pergunta apenas para resolver a situação; b) escolheu o termo esquemas e lançou a pergunta apenas para testar seus colegas; ou c) queria compreender melhor sobre esquemas (função, relevância etc.). Fonte: elaborado pela autora. Para melhor analisar a resposta dada por EA1 à pergunta feita por EO1, é importante retomar o conceito de esquemas (trecho 1), segundo Vergnaud, apresentado no webdoc:

Trecho 1 -Webdoc: esquemas. Um esquema é "a organização invariante da conduta para uma dada classe de situações. É nos esquemas que se tem de procurar os conhecimentos em ação do sujeito, ou seja, os elementos cognitivos que permitem à ação do sujeito ser operatória (VERGNAUD, 1996, p. 157).

A pergunta -Para que serve um esquema?foi respondida pelo estudante EA1. A regra de ação por ele utilizada consistiu em copiar e colar a segunda parte de um trecho do webdoc que segue a definição de esquema (trecho 1). Para esse estudante, a possibilidade de identificação dos conhecimentos em ação, por exemplo, explica para que ele serve, embora seja possível que ele não tenha compreendido o conteúdo da própria resposta. Afinal, ele copia e cola o trecho do webdoc para responder, e não há tentativas de explicitar com suas próprias palavras para que serve, ou melhor, a função do esquema. É possível, ainda, que a forma como essa subtemática é discutida no webdoc não tenha dado suporte necessário à compreensão dos estudantes sobre esquemas. Afinal, trata-se de um elemento teórico de origem no campo da psicologia cognitiva e, por isso, sua discussão no campo didático é algo difícil. Além disso, a estratégia das autoras em discutir temáticas/subtemáticas a partir de exemplos, ainda que articulados, pode levar o estudante a se prender a apenas um destes e usá-lo para perguntar ou responder, mesmo que isso não dê conta do todo em foco. A exemplo disso, tem-se a resposta de EA1, que se apega à possibilidade de identificar os conhecimentos em ação e não contempla em sua resposta a essência do que é o esquema e de sua função. Talvez, o fato de não informar os componentes do esquema no webdoc não tenha sido uma boa escolha das autoras. A impressão que se tem é de que os estudantes reduziram o esquema aos conhecimentos em ação do indivíduo na relação sujeito artefato, apenas. Ou seja, são os conhecimentos (esquemas) evocados e/ou desenvolvidos pelo sujeito que permitem a transformação do artefato em instrumento. Há de se considerar, no entanto, a complexidade do conceito -Esquemase que os estudantes estão iniciando um primeiro contato com este fundamento teórico.

EA1: Ler texto para fundamentar resposta por si elaborada

No Quadro 14, pode-se observar a atuação de EA1, que responde sobre os processos de gênese instrumental:

A temática gênese instrumental continua sendo de interesse dos componentes do grupo D, seja ao perguntar ou responder. É foco da resposta de EA1 (Quadro 14) às subtemáticas: instrumentalização e instrumentação, na perspectiva da inserção e integração de tecnologias em sala de aula. Para responder à pergunta feita por um colega do grupo F, EA1 posta uma Resposta alinhada à pergunta, no fórum. EA1 faz isso sem apresentar dificuldades ou solicitar ajuda das formadoras, como outros dois colegas de seu grupo que participaram do fórum, revelando que é instrumentado em relação aos recursos utilizados para resolver a situação.

No que concerne ao uso do webdoc, a resposta de EA1 dá indício de que houve a leitura do recurso, podendo essa ter sido parcial. Quando perguntado no fórum se disponibilizar tecnologias ao professor e esse saber suas funcionalidades garante um melhor aproveitamento em sala de aula, a resposta de EA1 é não. Em seguida, complementa com um trecho do webdoc que foi copiado e colado após a negativa. Articular uma afirmativa (SIM ou NÃO) a um trecho do webdoc (copiar e colar) é regra de ação para perguntar e/ou responder no fórum que não previstas (trecho 2). É relevante informar que, para que EA1 pudesse responder à pergunta formulada por um estudante do grupo F, era necessário ao menos ter feito uma leitura parcial do webdoc. Só assim ele conseguiria articular à pergunta ao conteúdo lido. Isso lhe permitiria entender que o caso implícito na pergunta era de instrumentalizaçãosujeito com artefato, conhecedor de suas funções, apenas. Fonte: Elaborado pela autora. Além disso, essa articulação entre o conteúdo da pergunta e o do webdoc para poder responder, também, dá a EA1 a segurança para afirmar que a inserção e instrumentalização não garantem o aproveitamento da tecnologia para ensinar e/ou aprender matemática. Ao responder "não", EA1 já afirma conhecer que os elementos postos na pergunta não dão conta do bom aproveitamento de recursos em sala de aula e faz uso de um trecho do webdoc (trecho 2) para justificar sua resposta.

EA1: Ler texto para escolher trecho afirmativo e transformá-lo em pergunta:

No Quadro 15, pode-se observar nova atuação do estudante-ator 1 (EA1), dessa vez sobre a configuração didática. EA1 faz uso da ferramenta "Novo Tópico" e apresenta uma pergunta no fórum (Quadro 15). Com isso, traz à tona a temática já prevista, configuração didática, uma das etapas fundamentais da OI. EA1 não apresenta dificuldades em relação ao fórum para realizar pergunta.

Quanto ao uso do webdoc, a regra de ação de EA1 consistiu em copiar um trecho do webdoc e colar no fórum para fazer uma pergunta. Essa regra de ação havia sido prevista para que o trecho servisse como resposta, não como corpo de uma pergunta para afirmar e em seguida questionar. A resposta à pergunta feita também se encontrava no webdoc, na sequência do trecho selecionado por EA1. Entretanto, tal trecho apresenta um erro, provavelmente de digitação (trecho a seguir sobre webdoc: errata relacionada às etapas da OI), em que a etapa Modo de Execução é trocada por Configuração Didática. Fonte: Elaborado pela autora. Embora o erro não tenha sido observado pelas autoras, nem relatado pelos estudantes, era possível identificá-lo a partir da leitura cuidadosa do webdoc. Isso porque as definições e exemplos sobre Configuração Didática e Modo de Execução distinguem bem o significado de cada etapa na criação e execução de uma OI. Nos trechos 4 e 5, isso pode ser observado.

Trecho 4 -Webdoc: configuração didática.

A configuração didática é a organização do ambiente de ensino e aprendizagem; é a seleção dos recursos a serem disponibilizados; é a elaboração da atividade; é a escolha das técnicas de trabalho para apreensão dos objetos matemáticos por meio das tecnologias e a definição do papel dos sujeitos e artefatos envolvidos neste processo. Performance didática é a temática abordada por EA2 nas duas perguntas (Quadro 16) sequenciais feitas em uma mesma postagem por meio de Novo Tópico no fórum. A regra de ação utilizada por EA2 consiste em formular uma pergunta pautada na leitura do webdoc, o que dá indícios de leitura parcial/total desse. EA2 deseja saber a definição da terceira etapa da OI e de sua finalidade. A palavra 'terceira' indica que EA2 tem conhecimento da existência de outras duas etapas. Isso pode significar a leitura do texto, ao menos no que concerne às etapas que compõem a OI. É importante observar que há uma definição no webdoc para o desempenho didático (performance didática) (trecho 6), que revela o que é, tal como sua função e relevância.

Trecho 6 -Webdoc. O desempenho didático consiste na performance alcançada pelo cenário projetado, em que se faz possível, verificar a viabilidade das intenções e o sucesso da realização da orquestração instrumental. Contemplam-se, também, aspectos relevantes que devem ser considerados, na execução da atividade instrumentada, tais como as decisões ad hoc que devem ser tomadas diante de situações inesperadas que possam surgir numa orquestração, advindas da realização da atividade matemática ou do uso da tecnologia, por exemplo.

Considerando que há, no webdoc, resposta pautada em exemplos que favorecerem a compreensão do estudante sobre a temática, é possível que EA2 tenha feitos as perguntas visando: a) resolver a situação; ou b) na expectativa de obter uma nova explicação sobre a definição e finalidade apresentadas no webdoc.

Efeitos na situação, configuração didática e do modo de execução

A performance didática da OI1 revela que a escolha do fórum como ambiente de interação favoreceu a realização da situação de formação S1, considerando que a participação dos estudantes foi expressiva. Além disso, não houve solicitação de ajuda dos estudantes às formadoras para realizar postagens no fórum, WhatsApp ou e-mail. Isso indica que não houve dificuldades no uso do fórum, pelo menos no caso dos estudantes EA1, EA2 e EO1 do grupo D (EO2 não participou da OI1).

Em relação à instrumentalização dos estudantes com o webdoc, esses apresentaram diferentes regras de ação daquelas previstas, quatro no total. Tais regras de ação, previstas ou não, revelam que os objetivos pelos quais o webdoc foi criado foram alcançados, ainda que de forma incipiente. A exemplo disso, têm-se: No que concerne ao tempo para resolução da situação, foi definido um prazo de 15 dias, de forma que até o dia do experimento da OIp todos os estudantes já tivessem lido o webdoc e participado do fórum. O fórum foi aberto no dia 10 de outubro e seria finalizado no dia 10 de novembro. No entanto, no dia do experimento, embora a maioria dos estudantes tivesse lido o webdoc, alguns ainda não haviam lido e outros não tinham concluído a leitura. Considerando a necessidade da leitura, uma decisão ad hoc foi tomada pelas formadoras, a de manter o fórum aberto até a realização da última orquestração. Isso porque as postagens poderiam servir de recurso aos estudantes para participar das demais orquestrações.

A Orquestração instrumental pivot -OIp

Nesta seção, são apresentadas a situação (Sp) e a orquestração instrumental pivot (OIp) da MOI. Apresentam-se, ainda, as análises a priori da situação e da OIp, assim como o método de coleta e análise de dados dessa OI, um experimento que visa à vivência prática de uma aula orquestrada. Por fim, os resultados são descritos e analisados e a performance didática da OIp discutida.

A OIp foi especialmente desenvolvida para dar suporte aos participantes durante a realização da situação matemática proposta, de forma que viesse a servir de banco de exemplos sobre a OI. Trata-se de um recurso capaz de favorecer articulações feitas pelos estudantes a partir desses exemplos e da vivência das demais orquestrações que compõem a MOI. Tais articulações são importantes, uma vez que poderão contribuir com a apreensão de conceitoschave do modelo teórico em estudoa Orquestração Instrumental.

Diferentemente das demais orquestrações da MOI, a situação proposta na OIp é matemática e didática. É na relação sujeito-artefato, observada nas tentativas de resolução da situação matemática, que os estudantes colocarão em evidência processos de gênese instrumental e a relevância da orquestração em favorecê-los.

A situação matemática e didática

Vale salientar que a situação proposta é matemática e didática porque há intenções didáticas correlatas à aprendizagem da matemática em jogo com suporte de software de geometria dinâmica. Não se trata de ensinar matemática para os participantes da OIp, afinal são licenciandos de matemática, mas de inseri-los em um ambiente que simula a realização de uma situação com uso de tecnologia em sala de aula, em que ele faz o papel de estudante da educação básica.

Estão descritas a seguir a situação e a classe de situação matemática e didática da OIp: A análise a priori foi realizada segundo etapas da construção do boneco: a) uso do modelo para as razões:

humano;

o desenho feito no papel; criação das razões; b) uso do desenho como estilo de boneco:

o desenho como modelo de boneco;

criação de um modelo próprio de boneco; c) obtenção das razões:

medição com instrumento convencional;

medição com instrumento não convencional;

busca na internet por razões entre partes do corpo humano; manutenção da razão pela escolha de uma variável, controlada pelo uso de um controle deslizante;

manutenção da razão por construção geométrica;

manutenção da razão por uso de um polígono regular do software;

construção da razão por estimativa visual; e) posicionamento do corpo em relação à cabeça:

manutenção do corpo na posição convencional;

não manutenção do corpo na posição convencional; f) construção (manutenção da simetria entre os membros):

manutenção da simetria entre os membros por uso da reflexão;

manutenção da simetria por outra construção geométrica;

manutenção do mesmo comprimento, mas não a mesma posição;

manutenção da simetria visualmente;

não manutenção da simetria.

g) validação da construção:

validação a cada etapa da construção por arrasto de um ponto;

validação a cada etapa da construção por variação da variável no controle deslizante;

validação ao final da construção por arrasto de um ponto;

validação ao final da construção por variação da variável no controle deslizante; não validação.

A seguir, o detalhamento das previsões de estratégias de resolução: 

Configuração didática da OIp

Para dar suporte aos EA no processo de resolução da Sp, a OIp foi criada ( Figura 13). No processo de reestruturação da OIp, levaram-se em consideração os resultados apresentados no Estudo Preliminar, os quais apontaram para a necessidade de realizar algumas adaptações na configuração didática e no modo de execução previstos, executados e analisados anteriormente.

Tais adaptações são relevantes na perspectiva de favorecer a performance didática da orquestra e para se evitar situações inesperadas.

A configuração didática da OIp foi arranjada pelas formadoras para ser executada em sala de aula presencial, no tempo de 30 minutos, com a finalidade de favorecer a gênese instrumental dos EA na resolução da situação matemática. A ideia é fazer emergirem dessa OI exemplos dos reflexos do ensino orquestrado e pautado no uso de tecnologia digital.

Objetiva-se: na identificação da existência de um papel para cada participante, incluindo o formador (quem orquestrou);

na importância de se ter um protocolo de orientação à mão, para consultas;

na relevância da disponibilização de artefatos (computador ou tablet, software etc.) para resolver a situação, sem o qual não se poderá resolver a situação proposta;

na ausência de artefatos que possam contribuir com a resolução da situação proposta;

na forma de organização da sala de aula e distribuição de artefatos e participantes da orquestra;

na relevância de uma boa situação matemática integrada aos artefatos;

no tempo, disponibilizado para resolução da atividade, que alguns grupos podem achar pouco; b) modo de execução (ações previstas para os atores e artefatos). Durante a execução (mise en oeuvre da orquestra), exemplos relativos ao modo de execução podem ser verificados:

perceber a existência de um papel a exercer, o de estudante-ator;

verificar que as formadoras também têm diferentes maneiras de exercer o papel de mediadora;

perceber diferentes maneiras de poder executar a situação perante as condições e restrições impostas;

perceber que cada estudante-ator age diferentemente no trabalho coletivo e que essa forma de agir pode mudar; c) performance didática (situações inesperadas, decisões ad hoc, reações ad hoc, elementos do mise en scène que favoreceram o bom andamento da orquestra). A análise dos dados gerados pelos EA de cada grupo poderá gerar novos exemplos sobre a OI vivenciada, tais como:

ocorrência de situações imprevisíveis;

decisões ad hoc por parte das formadoras;

reações ad hoc por parte dos EA;

eventos imprevistos que contribuíram ou não para o bom andamento da orquestra;

eventos previstos, para os quais foram pensadas, previamente, e aplicadas soluções.

Método de análise da OIp

A OIp foi executada em sala de aula presencial, com a presença de 16 estudantes, os 

Os dados

Inicialmente, os vídeos foram assistidos várias vezes, integral e parcialmente, sempre que necessário, o que permitiu decidir pelo uso dos vídeos gerados pelo aTube Catcher e pelo estudante-observador (OI2). Esses foram assistidos várias vezes, sendo todo seu conteúdo, de um total de 35 minutos de experimento da OIp, transcrito e organizado em um sumário de eventos. Esses eventos foram classificados em sete etapas que caracterizam todo processo de resolução da situação matemática da OIp por parte dos EA.

5.3.2.7

Performance didática da OIpbanco de exemplos A análise da OI p permitiu estruturar um banco de exemplos correlatos à situação matemática, à gênese instrumental, à configuração didática, ao modo de execução e à performance didática. Os eventos do banco de exemplos foram organizados em cinco linhas do tempo de acordo com as temáticas relativas ao modelo teórico em estudo. Todas elas apresentam as seguintes etapas (Figura 46):

1. Tomada de informações sobre a situação matemática.

2. Início da construção da cabeça do boneco no tablet.

3. Construção da cabeça do boneco no tablet influenciada pela mediação da formadora.

4. Construção da cabeça do boneco no tablet em processo de troca pelo notebook.

5. Construção da cabeça do boneco no notebook.

6. Construção do corpo do boneco no notebook.

7. Construção do corpo do boneco após reiniciar o notebook (descarregamento de bateria).

Figuras foram inseridas para ilustrar alguns desses eventos:

Figura 46 -As etapas do processo da OIp Fonte: Elaborada pela autora.

194

Exemplos que dão destaque à situação matemática

A linha do tempo (Figura 47) revela os fortes exemplos de aspectos relativos à situação matemática, um dos elementos essenciais de uma OI.

Figura 47 -Linha do tempo 1 -Situação Matemática

Fonte: Elaborada pela autora.

Na Figura 47, podem-se observar alguns exemplos (eventos) que colocam em evidência aspectos pertinentes à situação matemática, às condições e às restrições impostas aos estudantes que iriam resolvê-la.

A primeira etapa [00:00 a 01:50], denominada "Preparação para resolução da situação no tablet", marca a tomada de informação pelos estudantes sobre a situação matemática a ser resolvida ( Figura 48 -Leitura, interpretação e tomada de informação no protocolo de orientação Fonte: Elaborada pela autora;

Esse momento de tomada de informação se passa nos primeiros dois minutos do experimento. A leitura realizada em dupla e acompanhada linha a linha com uma caneta, assim como as interpretações dessa, trará reflexos durante toda resolução da situação. Isso porque tais informações e interpretações são aspectos que guiaram as decisões, escolhas e estratégias.

A partir da leitura/interpretação do protocolo de orientação, os EA já identificaram a necessidade de evocar conhecimentos prévios, tais como: razão e proporção. Também identificaram a condição imposta pela situação de escolha de um modelo humano para a determinação de razão/proporção para o boneco, o que os leva a discutir sobre a real necessidade dessa condição. Outro aspecto relevante no processo de resolução da situação é a forma escolhida pela dupla para validar as construções, a qual eles acreditam ser homotetia entre os objetos construídos. Mas, na verdade, a estratégia consiste na criação de objetos atrelados, por um de seus comprimentos, a um controle deslizante, que permite a ampliação e a diminuição dos objetos construídos (Figura 53). É o que, naturalmente, ocorre com a cabeça do boneco ao mover o controle deslizante que tem por medida uma variávelo raio da circunferência (cabeça). Essa etapa é marcada pelo abandono da construção realizada na Etapa 6. Um aspecto importante nesse procedimento é que, nos últimos minutos, eles recordam que poderiam ter utilizado a ferramenta "Reflexão do software" para construir os objetos simétricos, mas não há mais tempo para tentaram o uso dessa.

Vale salientar que o vídeo da sala e o arquivo do GeoGebra eram acessados sempre que necessário para confirmar trechos que não estavam bem definidos quanto à imagem ou ao áudio dos vídeos escolhidos para análise. O protocolo impresso continha a situação matemática, restrições e orientações relativas a ela e sobre os papéis e funções de cada participante. Foi disponibilizada uma cópia ao duo de EA de cada grupo. Os softwares GeoGebra versão tablet e o aTube Catcher foram instalados nos notebooks e tablet para serem utilizados ao iniciar a resolução da situação matemática. Tal forma de utilização foi prevista na configuração, mas não foi colocada em prática a gestão desses artefatos que deveria ser particularizada, ou seja, de acordo com a necessidade de cada duo. No entanto, as formadoras não os prepararam previamente. Coube aos EA decidir pela manutenção ou não da malha quadriculada e/ou dos eixos cartesianos, pela permanência ou não de algumas ferramentas do GeoGebra e, ainda, a decisão por uma das formas forma de captura do aTube catcher, que poderia ser por seleção da área da tela ou por seleção da ferramenta janela, antes de iniciar a captura de tela.

Exemplos que dão destaque à configuração didática

A

Protocolo de informações:

As três leituras do protocolo, duas na primeira etapa [00:06 a 00:15]; [00:26 a 00:45] e uma na segunda etapa [02:25 a 03:04], realizadas pelo duo, revelaram a utilidade desse artefato para os EA no sentido de orientar a conduta de trabalho e as estratégias de resolução da situação.

A facilidade de acessar e compartilhar um artefato que estava sempre à mão tornou a tomada de informação mais simples e imediata sempre que necessário. O uso recorrente do protocolo pelo duo revela elementos importantes da configuração, tal como entregá-lo ao duo de forma impressa e entregar uma única cópia impulsionando à leitura coletiva.

GeoGebra:

Vários eventos destacam a importância do software para a resolução da situação matemática. Esses foram identificados a partir do uso de diferentes ferramentas pelo duo ao traçar estratégias de construção das partes do boneco. 

Exemplos que dão destaque ao modo de execução

Figura 60 -Linha do tempo 3modo de execução Fonte: Elaborada pela autora.

Os eventos discutidos a seguir são exemplos que destacam o modo de execução da configuração didática da OIp. A forma como os EA executam suas funções, para resolver a situação matemática com suporte dos artefatos disponibilizados e no tempo dado, evidencia aspectos previstos nessa etapa da orquestração.

Tempo:

Durante todo processo de resolução da situação matemática, os EA mostraram-se incomodados com várias interrupções: a) interrupções do estudante-observador EO2 que filmava: 

Exemplos que dão destaque à gênese instrumental

A observação e a análise das interações entre estudantes-atores, formadoras e artefatos (protocolo impresso/GeoGebra/tablet/notebook) na perspectiva de resolução da situação matemática são importantes para compreender os processos de instrumentalização e instrumentação dos sujeitos. Assim, discutiremos os eventos que evidenciam essas interações e que podem servir de exemplos sobre a gênese instrumental e seus processos.

O processo de resolução da situação matemática revela que os estudantes-atores buscam se apropriar da situação e tomar decisões para iniciar o trabalho matemático. Esse processo inicial da gênese instrumental é marcado pelo uso do artefato -Protocolo Impresso de Orientação. Os estudantes-atores não apresentam dificuldades para ler e compreender as orientações do protocolo, inclusive apresentam esquemas diferentes de explorá-lo. A segunda condição é que a proporcionalidade entre as partes construídas do boneco, ao ser aumentado ou diminuído, deveria ser mantida. Por causa da experiência com o GeoGebra para resolver situação de homotetia, anterior a esse experimento, os EA sabem que é possível construir um objeto geométrico e fazê-lo aumentar e diminuir proporcionalmente por meio da ferramenta controle deslizante. Essa condição se tornou uma estratégia de validação das construções do duo, para objetos construídos ou desenhados, uma regra de controle.

À medida que vão lendo, os estudantes-atores mostram, na ação, que objetivam preparar o software para a resolução da situação [01:20 a 01:29]. Após decidir pelo não uso do modelo humano, apenas o que está sugerido no papel, EA1/EA2 iniciam a preparação do GeoGebra, omitindo os eixos cartesianos. Essa regra de ação impulsionada pelos invariantes operatórios, ambos comuns a EA1/EA2, revela a preferência do duo de construir o boneco na área de visualização em branco (Quadro 18). Além disso, diminui-se a possibilidade de construir objetos ligados aos pontos do eixo cartesiano, muitas vezes sem considerar as propriedades do que foi construído. Esses fatores podem induzir processos de construção que não têm como resultado figuras geométricas, mas desenhos, uma vez que foram feitos pautados na visualização e não nas propriedades geométricas. Observaram-se indícios de que o esquema do duo para construir a cabeça com a possibilidade de ampliar/reduzir consistiu na construção do controle deslizante relacionada ao raio da circunferência. Entretanto, enquanto EA1 preocupa-se em refletir sobre como definir a razão entre as partes do corpo do boneco, para garantir a proporcionalidade entre elas, EA2 parte para a construção. Ele se mostra com um esquema de fazer e pensar durante o processo. Já ela (EA1) se mostra mais focada em antecipar as ações antes de tentar. De uma forma ou de outra, ambos sabiam que a medida do comprimento da circunferência é proporcional à medida do comprimento do raio e que, se conseguisse relacionar a medida do raio ao controle deslizante, a cabeça iria aumentar/diminuir proporcionalmente e, consequentemente, poderiam aplicar tal estratégia em todo processo de construção do boneco.

A segunda etapa é marcada pela experimentação de ferramentas do GeoGebra para construir a cabeça com um raio "ajustável", segundo sugestão de EA1 [01:51 a 03:23].

Inicialmente, com o objetivo de construir a cabeça do boneco "ajustável", o duo decide que a circunferência representará o formato da cabeça e EA2 faz uso da ferramenta "Círculo dados centro e um de seus pontos" para construí-la (Quadro 20). No geral, as regras de ação e invariantes operatórios dos estudantes-atores, descritos no quadro a seguir, permitem verificar a dificuldade desses quanto à construção da cabeça.

Não se trata da construção do objeto em si, mas dessa relacionada a um controle deslizante que permitisse aumentar/diminuir a cabeça construída. Enquanto EA1 busca refletir e entender como conseguir esse feito, EA2 continua experimentando as ferramentas na intenção de efetivá-lo. No entanto, a versão tablet, utilizada pelo duo, não permitia a definição de um controle deslizante com uma variável como medida, mas a inserção de uma medida numérica.

No quadro 21, pode-se observar esquemas do duo para construir um controle deslizante que faça a cabeça do boneco aumentar/diminuir proporcionalmente [02:25 a 03:20], com (I) caixa de inserção dos limites do controle deslizantevariável e depois, com (II) Caixa de inserção dos limites do controle deslizanteintervalo. O duo constrói o controle deslizante na expectativa de integrá-lo à circunferência ao atribuir a esse, uma variável como medida, a saber, medida do raio. Entretanto, isso não sendo possível, EA2 decide deletar o controle e construir outro, para experimentar substituir os valores do intervalo, pré-definidos pelo controle deslizante [-5, 5], para seu deslocamento, por uma variável. Mas isso não foi possível, e EA2 deleta a construção, evidenciando entender que não é possível a integração do controle deslizante com a circunferência usando um intervalo com medidas numéricas.

Em seguida, o duo discute e decide pela construção de um controle deslizante (trecho a seguir), objetivando atribuir uma variável como medida do raio, na busca pela definição de uma unidade para razão. No entanto, os estudantes só experimentaram esse procedimento na versão do GeoGebra para notebook, e não conseguiram (re)fazê-lo na versão tablet mesmo após algumas tentativas, pois a ferramenta só lhes dava a opção de inserir um número como medida e não uma variável. EA1 sugere relacionar o controle deslizante à circunferência, mantendo o intervalo a = [0, 10], e atribuir à medida do raio da circunferência a ser construída a variável 'a'. Para isso, EA2 faz uso da ferramenta "Círculo dado centro e raio", mas, ao tentar definir a medida 'a' do raio da circunferência, o GeoGebra do tablet não permite, pois só permite a inserção de valores numéricos.

EA 1 e EA 2 buscam a definição da unidade de medida para determinar as razões necessárias para garantir a proporcionalidade entre os objetos construídos ao aumentá-los e/ou diminuí-los (Quadro 23). EA1 colabora com as ideias de EA2, indicando ferramentas e procedimentos. EA2 seleciona as ferramentas e testa as ideias do duo. A estratégia não funciona e fica evidente para o duo que, se não é possível definir uma variável para o controle deslizante e/ou raio da circunferência, não é possível relacionar esses dois objetos. Assim, a circunferência é deletada. No entanto, o intervalo é mantido.

Quadro 23 -Tentativa de construção de um controle deslizante sem uso de variável Na terceira etapa, EA2 continua tentando construir a cabeça do boneco, dessa vez a partir de dois controles deslizantes [07:41 a 08:39], que façam a circunferência ampliar e reduzir. Para isso, EA2 mantém o controle deslizante com intervalo numérico a = [0,10], na intenção de chegar ao raio "ajustável" e, juntamente com EA1, define a=10 como medida do raio. Há evidências (Quadro 23) de que os esquemas do duo atendiam aos objetivos do duo de manter a estratégia para qual se julgavam instrumentadosuso do controle deslizantee eliminar o que estava atrapalhando: a variável.

Regras de ação

Os esquemas do duo revelam a intenção de EA1 e E2 de correlacionar a medida do raio da circunferência a = 10 às medidas dadas ao intervalo do controle deslizante a = [0,10] e ao centro A da circunferência construída. Os componentes de esquemas revelam a perspectiva do duo que buscava integrar a cabeça ao controle deslizante e, para isso, EA1 e EA2 decidem multiplicar algebricamente A (centro da circunferência) por 'a' (controle deslizante), conforme se pode observar no Figura 66. A possibilidade de outra forma de fazer, que não as estratégias já experimentadas, influencia a decisão do duo a deletar os objetos construídos. O duo, também, discute a possibilidade de garantir a ampliação/redução da circunferência, sem o uso do controle deslizante e da inserção de uma variável.

Assim, na quarta etapa, os estudantes-atores decidem por tentar uma construção geométrica e estabelecer a razão entre as partes do corpo. O primeiro evento dessa etapa, notadamente, as regras de ação, invariantes e possibilidade de inferências são de EA2. EA2 que objetivam construir a cabeça e tronco do boneco sem o controle deslizante no tablet [10:18 a 14:59]. A regra de ação para construir a cabeça é selecionar a ferramenta "Círculo dados centro e raio" e definir medida 5 para o raio. Em seguida, EA2 constrói o tronco. Para isso, a regra de ação é selecionar a ferramenta "Segmento de reta" AB sobreposto ao raio, ligado a outro segmento BC (tronco), tendo como medida o dobro do raio. O esquema de validação da construção é mantido ao arrastar os objetos para verificar se aumenta/diminui proporcionalmente.

Figura 67 -Cabeça e tronco construídos sem o controle deslizante

Os componentes de esquemas de EA2 (Quadro 25) tentam estabelecer alguma relação entre o raio da circunferência e as partes do corpo. EA2 busca definir o raio como unidade e fazer uso dessa para construir as demais partes do corpo, as quais deverão ser proporcionais.

Assim, faz uso da ferramenta "Segmento de reta" e traça um segmento AB sobreposto à reta 'r', já construída (Trecho 30). Após construir o controle deslizante como sugerido por EA1, a regra de ação de EA2 consiste em nomear "c", a mesma letra utilizada pelo software para nomear a circunferência construída. Ao movimentar o controle "c" (Figura 68), nada acontece com a construção, pois os objetos construídos não estavam vinculados a "c". A regra de ação de EA2 é sugerir a EA1 que coloque valor "a" para a variável (antes sugerida pelo próprio software), sem atrelar essa variável à construção realizada (Trecho 31). Na sexta etapa, o duo inicia o processo de construção do tronco e demais partes do corpo do boneco. Essa é a etapa mais intensa do processo de resolução da situação matemática, marcada por uma ampla experimentação de diferentes ferramentas do GeoGebra. Foram testadas as ferramentas "Reta", "Segmento de reta", "Reta perpendicular" e "Reta tangente", todas para construção do tronco, entre outras.

O primeiro evento da sexta etapa é marcado por discordância entre EA1 e EA2. Um momento ímpar no trabalho duo, que desde o início trabalham colaborativamente e em concordância. Assim, enquanto EA1 faz sugestão para colaborar com a resolução da situação, EA2 ignora a sugestão de EA1 e toma outras decisões. Regras de ação, invariantes operatórios e possibilidades de inferência que emergem desse evento são essencialmente de EA2.

Inicialmente, EA2 visa construir o tronco do boneco proporcional à cabeça. Para isso, a regra de ação de EA2 consiste em selecionar a ferramenta segmento de reta e construir um segmento a partir de um ponto da circunferência já construída. Na sequência, EA1 sugere a construção de EA 2 decide deletar o segmento de reta, ao perceber que relacionar a circunferência ao segmento por um ponto comum não garante que esses sejam proporcionais. Desse modo, EA1 e EA2 buscam repetir algumas regras em ação, associadas a outras ferramentas do software, tais como: "Reta perpendicular" e "Reta tangente". O trecho 32 coloca em evidência a escolha pela ferramenta "Reta perpendicular".

Trecho 32 -Escolha pela ferramenta reta perpendicular: EA2 seleciona "Reta perpendicular" e tenta traçar primeiro, uma reta perpendicular que parte de um ponto da circunferência, depois uma reta que parte do centro, mas não consegue. EA1: como é que a gente faz, hein? Não tem que ser perpendicular ao segmento, não? EA 2 : seleciona "Reta perpendicular" novamente, na sequência desiste dessa ferramenta e desse procedimento.

No protocolo de orientação, há o desenho de um boneco, cedido pelas formadoras para ajudar o estudantes-atores a terem um modelo, uma referência. O tronco desse boneco está na posição vertical. O duo EA1 e EA2 entende que, sendo o tronco vertical, é possível que, ao traçar as demais partes do corpo, essas aumentem/diminuam proporcionalmente, já que estarão ligadas ao tronco. Assim, o duo decide por utilizar a ferramenta "Perpendicular", construindoa a partir de um ponto qualquer da circunferência, podendo esse ser o centro dessa, também No evento descrito no Quadro 29, o duo visa construir o tronco do boneco perpendicular à cabeça. As regras de ação do duo colocam em evidência dois sentidos que envolvem o conceito em açãoperpendicular. No trecho 32, percebemos mais claramente que EA2 dá o sentido de vertical, bastando mover o segmento criado para colocá-lo nesta posição. Já EA1 faz sugestão de uso do conceito; perpendicularidade só existe entre reta e outro objeto. Por isso, também sugere que, para a construção da perpendicular, seja usada a ferramenta do GeoGebra "Perpendicular". Mas EA2 ignora a sugestão de EA1. Na sequência, o duo abandona a ideia de construção da reta perpendicular à circunferência (normal à circunferência) e EA2 decide pela construção de uma reta tangente à circunferência. Segue-se mais uma tentativa que objetiva construir o tronco do boneco proporcional à cabeça [19:12 a 19:34]. Nesse terceiro evento da sexta etapa, as regras de ação, os invariantes operatórios e as possibilidades de inferência são exclusivos de EA2. O Quadro 30, a seguir, coloca isso em evidência. No Quadro 30, as regras de ação e invariantes operatórios de EA2 revelam que o real interesse desse estudante-ator é a construção da reta normal à circunferência. Primeiro, porque ele opta pela ferramenta "Tangente" do software e clica em um ponto da circunferência para construí-la. Entretanto, os gestos de EA2, destacado pelo cursor do mouse, que ele arrasta na posição perpendicular, dá indícios de sua tentativa de construir a reta normal a partir de uma reta tangente colocada visualmente na perpendicular. EA2 não tem sucesso, haja vista não clicar sobre a área de visualização ou outros objetos.

No quarto evento, tem-se mais uma tentativa que visa construir o tronco do boneco proporcional à cabeça. Descrito no Quadro 31, o duo faz uso da ferramenta "Reta". A ideia do duo, visível em suas regras de ação, vai além da construção do tronco. EA 1 e EA 2 querem construir um tronco que esteja relacionado à circunferência, de forma que, quando se altera o valor da variável no controle deslizante (já ligado à circunferência), os objetos construídos ampliem/reduzam [19:37 a 20:39].

É possível observar no Quadro 31 que EA2 inicia a construção da reta que passa pelo centro da circunferência, intencionando que a primeira aumente/diminua proporcionalmente à segunda. Mas, sendo a reta infinita, ao tentar validar a construção, EA1/EA2 não conseguem visualizar se essa aumenta/diminui e, decidem por deletar a reta que deixa um de seus pontos na área de visualização. EA1 sugere a EA2 a construção de um segmento CD, sabendo que C é ponto da circunferência e D, ponto externo a essa. O segmento passa pelo ponto B da reta deletada que ficou na área de visualização. Após seguir a sugestão, EA2 tenta validar a construção movendo controle deslizante. EA1 e EA2 verificam que não obtiveram sucesso, pois CB (parte do segmento traçado CD) aumenta, quando a cabeça diminui, e diminui quando a cabeça aumenta. Logo, decidem deletar a construção. O trecho 33 revela que, a partir deste aviso, o duo passa a trabalhar sob pressão pelo pouco tempo que ainda restava antes do descarregamento total, provavelmente, o que pode justificar a manutenção da construção, ainda que errada. Assim, EA2 decide construir as demais partes do corpo (braços e pernas) ligados ao tronco já construído, entretanto visualmente. Essa é mais uma decisão tomada em função do desespero em relação ao tempo de descarregamento da bateria. Isto porque uma das condições impostas pela situação matemática é a simetria entre os membros do boneco construídos. EA1 alerta EA2 para a necessidade de construir os membros simétricos, pois a construção por visualização não pode garantir que os objetos sejam, de fato, simétricos. Mas, ainda assim, não deletam e tentam validar a construção. No entanto, percebem que os objetos construídos não aumentam/diminuem proporcionalmente.

Quadro 32 -2.ª tentativa de construção do tronco com a ferramenta "Segmento" O duo percebeu que, além de as partes do boneco construídas não serem proporcionais, havia deformação da construção quanto ao sentido para qual cresce ou diminui os braços e pernas do boneco ( Figura 69). A sétima e última etapa do processo de resolução da situação matemática proposta é fortemente marcada pelo desespero dos estudantes quanto ao tempo de conclusão do experimento. O duo objetiva fazer com que as partes do corpo do boneco aumentem e diminuam de forma proporcional ao alterar a posição dos braços e das pernas (Quadro 33). Assim, após um intervalo de tempo movendo a construção e tentando pensar em um esquema que desse conta do exigido pela situação [26:41 a 30:49]. Fonte: Elaborado pela autora. Na intenção de validar a construção, o duo decide mover o controle deslizante. Logo, o comprimento do tronco amplia/reduz à medida que a cabeça aumenta. Assim, a alteração da posição dos pontos dos braços e das pernas ligados ao corpo faz com que os braços alterem de comprimento, sem manter proporcionalidade, mas a simetria entre os dois braços e as duas pernas é garantida pelo uso do comando de reflexão em sua construção. O tempo acaba e os estudantes-atores EA1 e EA2, do grupo D, não conseguem concluir a resolução da situação matemática com sucesso.

Por fim, é relevante destacar três aspectos relativos aos processos de gênese instrumental: a) o trabalho dos estudantes-atores revela que estes são instrumentalizados em relação ao uso do controle deslizante no que concerne ao seu uso, numa perspectiva de usar uma variável para a animação de aumentar/diminuir objetos construídos, em especial a circunferência; b) revela, ainda, que o duo é instrumentado para posicionar o tronco perpendicularmente a uma tangente da circunferência (cabeça) com o uso de do cursor do mouse; c) e também, que para a dada situação matemática ainda estão em processo de instrumentação para construção das demais partes (tronco, braços e pernas) do corpo do boneco, de forma a ampliar/reduzir o boneco, i.e. aumentar/diminuir mantendo a semelhança entre as figuras dos bonecos obtidos.

Exemplos que dão destaque à Performance Didática (mise en scène)

Os eventos que dão luz à performance didática foram classificados de acordo com os elementos dessa etapa da OI (Figura 72): evento previsto (verde), evento imprevisto (azul), decisão ad hoc (amarelo), da formadora e reação ad hoc (vermelho), dos estudantes-atores. A legenda de cores é utilizada para facilitar a distinção entre os eventos que surgem enquanto a OI está sendo executada (mise en scène).

Eventos previstos

As análises a priori da situação matemática e da OI são fundamentais para prever eventos inerentes a essas e, também, os que possam comprometer o bom desempenho dos participantes, seja em relação à situação ou à orquestra. Essas previsões incluem a definição de ações alternativas (plano B) para resolver as que podem atrapalhar. Logo, se durante a performance didática o formador, quando percebe que algum evento que não faz parte do planejado, mas foi previsto, não favorece o trabalho dos estudantes-atores, então ele poderá colocar seu plano B em ação. Figura 77 -Mediação de F1 por meio de uma pergunta Fonte: Elaborada pela autora.

Esse evento faz refletir sobre a importância do registro da aula orquestrada para análise posterior. É impossível ao formador captar todos os eventos que ocorrem à sua volta enquanto a orquestra se desenrola, mas ter acesso a esse, ainda que posteriormente, é relevante para diagnóstico do quão favorável foi a orquestração e da identificação dos aspectos que demandam melhoramento.

A orquestração instrumental 2 -Observação da prática

Nesta seção, são apresentadas a situação (S2) e a orquestração instrumental 2 (OI2) da MOI. Apresentam-se, ainda, as análises a priori da situação e OI2, assim como método de coleta e análise de dados dessa OI, um experimento que visa à observação da prática. Por fim, os resultados são descritos e analisados e a performance didática da OI2 discutida.

A orquestração instrumental 2 (OI2) foi criada para alguns dos estudantes de cada grupo Espera-se com a realização da situação de formação: a) do ponto de vista do formador: favorecer a apropriação da OI por meio da observação da prática da realização de uma situação matemática com suporte de uma OI.

b) do ponto de vista dos estudantes:

definir critérios na execução da OI2.1, pautados nos fundamentos e princípios da Orquestração Instrumental;

identificar eventos na execução da OI2.2, na observação da OIp, que coloquem em evidência elementos do modelo teórico;

articular os critérios definidos na OI2.1 aos eventos identificados à luz do modelo teórico na OI2.2 para o registro analítico do processo de resolução da situação matemática;

gerar dados para futura análise da OIp, à luz da Orquestração Instrumental, a ser apresentada na OI4

A situação de formação da OI2 foi criada, tomando por base técnicas de coleta de dados comuns à metodologia de pesquisa. Entretanto, elas também são comuns à prática docente, tais como a observação e o registro cursivo que são mais usuais e a filmagem (vídeo e captura de tela) que cada vez mais tem ganhado espaço para registro e compartilhamento do trabalho docente.

Análise a priori da situação de formação

A situação de formação foi elaborada pressupondo que os estudantes-observadores já tenham participado do fórum realizado na OI1. E, ainda, que tenham feito a leitura do webdoc sobre a OI, que é o texto/artefato que subsidia a participação no Fórum. A Figura 78 a seguir traz a descrição detalhada da situação proposta: A condução da observação pelos critérios estabelecidos é, na verdade, um convite à reflexão, à análise dos eventos que vão sendo observados à luz do modelo teórico. Dessa forma, optou-se por prever como os estudantes-observadores poderiam resolver a situação de formação proposta. Sendo assim, entende-se que os estudantes-observadores poderão: A partir do uso dos procedimentos indicados na técnica de análise microgenética, criouse um índice de eventos, organizado em duas etapas: a) escolha dos papéis, descrita em quatro eventos; e b) a definição dos critérios de observação, descrita em apenas um evento. Estas etapas pertencem ao primeiro momento da OI2.1.

A Escolha dos papéis -OI2.1

A análise microgenética da discussão sobre a escolha dos papéis revelou os seguintes critérios de escolha: EA2 fica no controle do notebook (mexendo), dando indícios de que não aceitará o outro papel (gestos observados no vídeo). Mas, percebendo que EA1 e EO1 não reagiram bem à sua ação, EA2 propõe lançar a sorte (Trecho 39), na tentativa de ao menos na sorte conseguir a vaga.

Trecho 39 -Fala de EA2 que define e sugere uso de o "critério lançar a sorte". EA2: [...] Percebe-se na fala de EA2 uma tentativa de garantir nem que seja por sorteio o papel que tanto almejaestudante-ator. A ideia é tentar resolver a situação lançando a sorte. Mas os demais componentes do grupo D parecem não concordar com a sugestão de lançar a sorte de EA2 (Quadro 37). Já sem tempo, a partir da cobrança pela definição dos papéis, pela formadora F2, EA2 e EA1 partem para distribuição por indicação, a qual ocorre por: Os diferentes tipos de indicação, verificados nesse evento para distribuir os papéis, colocam em evidência a afinidade entre EA1 e EA2, tal como o interesse de ambos em executar o papel de estudante-ator. Esses aspectos favoreceram a formação do duo.

A definição dos critérios de observação -OI2.1

De acordo com o protocolo de orientação, a definição dos critérios de observação foi prevista como uma situação para os EO realizarem. Entretanto, não tendo o que fazer, enquanto os EO1 e EO2 trabalham, EA1 e EA2 decidem, ainda que contrariando a orientação do protocolo, ajudar os observadores na escolha dos critérios (Trecho 43).

Trecho 43 -Definição dos critérios de observação: EO2: Profa, os critérios a gente pega do texto, não é isso? Após a escolha dos critérios de observação, com o início do experimento da OIp, os estudantes-observadores EO1 e EO2 iniciam os registros dos eventos guiados por tais critérios.

A Observaçãoprotocolo de observação e filmagem -OI2.2

A segunda etapa da OI2 gerou três fontes de dados: o protocolo de observação, escrito por EO1 e o vídeo produzido por EO2, ambos pautados nos critérios de observação.

Diferentemente do protocolo escrito, a filmagem consegue capturar muito mais e com mais precisão as ações desenvolvidas pelos EO durante o experimento. Assim, verificaram-se, na filmagem, outros eventos que tinham relação com elementos do modelo teórico, não necessariamente com foco nos critérios de observação. Cinco tipos de eventos da OI2.2, os quais têm relação com os critérios inicialmente definidos pelo grupo D na OI2.1, foram identificados e analisados.

No Quadro 40, pode-se verificar que, para capturar e descrever eventos que retomam os conceitos de artefato e instrumento, o foco dos estudantes-observadores ficou sobre o uso de cada comando do GeoGebra e, consequentemente, no sucesso ou insucesso desses para a construção do boneco ou parte dele. Eventos como esses podem dizer muito sobre os processos da gênese instrumental, instrumentalização e instrumentação com o GeoGebra. O Evento 2 da OI2.2 diz respeito aos eventos registrados por EO1 e EO2 que evidenciaram o que os estudantes entendiam como esquema de EA1 e EA2, durante a resolução da situação matemática. EO1 e EO2 focam suas observações na ação e nos conhecimentos dos EA Na verdade, eles identificam dois tipos de componentes de um esquema: subobjetivos, regras de ação, invariantes operatórios e possibilidades de inferências. De fato, ao considerarem as ações e conhecimentos de EA1 e EA2, os observadores favoreceram a identificação de subobjetivos, regras em ação, invariantes operatórios e possibilidades de inferências dos estudantes-atores. Isso pode ser melhor verificado na análise da OIp.

No Quadro 42, o terceiro evento diz respeito aos conhecimentos dos EA sobre os artefatos disponibilizados, especialmente as duas versões do GeoGebra: tablet e notebook. Para isso, EO1 e EO2 focam nas escolhas certas e erradas de uso de ferramentas para construção do boneco ou parte do boneco. Os erros e acertos de EA1 e EA2 referentes às escolhas e usos de ferramentas do GeoGebra versão tablet e versão notebook permitiram inferir sobre a escolha das formadoras em disponibilizar tais versões. A depender do quanto uma ou outra favoreceu EA1 e EA2 na realização da situação matemática, pode-se verificar qual dessas versões é a melhor para dar suporte à resolução da situação proposta na OI p .

No Evento 4 (Quadro 43), o foco apresentado pelos observadores está sobre as interações e ações de EA1 e EA2 que revelem os conhecimentos matemáticos evocados. Tanto no registro escrito como no vídeo, fica nítido o interesse dos observadores em colocar em evidência tais conhecimentos. EO1 e EO2 também focam nos conhecimentos matemáticos que são demandados pela situação matemática, durante as tentativas de EA1 e EA2 para resolvê-la, mas que eles não utilizam ou fazem uso incorreto. Outro aspecto muito interessante nesse foco dado pelos observadores às ações e às interações dos estudantes-atores no que concerne aos seus conhecimentos matemáticos está em favorecer que se identifiquem quais conhecimentos são de EA1 e de EA2 e os que são de ambos. Isso é válido, por exemplo, para os conhecimentos sobre GeoGebra, ou ainda para as regras de ações e inferências.

Já no Evento 5 (Quadro 44), o foco da observação recai sobre o tempo de resolução da situação, considerando as interrupções e imprevistos que os estudantes-atores vivenciaram e que culminou na perda de tempo. Ainda que o tempo perdido não seja muito, o fato é que fará falta a EA1 e EA2 na resolução da situação.

Quadro 44 -Registro de eventos relacionados ao tempo de resolução da situação

Subobjetivo

Regras de ação Invariantes operatórios

Possibilidades de inferências

Registrar eventos da OIp segundo os critérios de observação definidos no protocolo: Na análise dos dados da OIp, interrupções de diferentes tipos foram registradas, analisadas e computadas (intervalo de tempo perdido). Isso é muito relevante porque coloca em evidência o tempo definido pelas formadoras para a realização da situação, devendo considerar nesse possíveis interrupções. Enquanto elemento da configuração didática de uma OI, o tempo de execução de uma situação precisa ser cuidadosamente estabelecido.

Durante as análises dos dados gerados pelos observadores, foi possível identificar no vídeo, produzido por EO2, mais eventos correlacionados ao modelo teórico em estudo, especificamente relativos às suas etapas: configuração didática, modo de execução e performance didática. Assim, considerando essas etapas, buscou-se organizar esses eventos que não são pautados, diretamente, nos critérios de observação definidos pelo grupo D.

Outros eventos observados apenas pela filmagem -OI2.2

No Evento 1 (Quadro 45), é possível verificar que o foco do observador está sobre o uso de artefatos disponibilizado para a realização da situação matemática, tais como: o GeoGebra, tablet e notebook. Além desses, é foco de EO2 as ações e discussões motivadas pelo uso do protocolo de orientação. Esse enfoque favorece inferências quanto ao potencial e limitações dos artefatos para dar suporte à resolução da situação proposta. Oportuniza, também, reflexões sobre a necessidade ou não de substituição ou melhoramento dos artefatos disponibilizados pelas formadoras. Outro aspecto relevante quando o foco são os artefatos é a busca pela identificação de outros artefatos que possam ser agregados pelos estudantes durante o experimento. Isso porque não houve orientação contrária ao uso de outros artefatos. No caso do grupo D, os estudantes utilizaram apenas os que foram cedidos pelas formadoras.

No Quadro 46, tem-se a descrição do Evento 2. Nesse, o foco de EO2 está na gestão dos sujeitos (estudantes-atores e formadoras), seus papéis e funções. Há um interesse em registrar as mediações realizadas pela formadora, em revelar as condutas de que controla e quem colabora na resolução da situação, por exemplo. No Quadro 47, tem-se a descrição do Evento 3 que diz respeito ao foco do observador sobre as situações imprevistas, as quais podem comprometer ou não o bom andamento da OI.

Também foca nas decisões ad hoc, tomadas pelas formadoras, na perspectiva de solucionar imprevisto. A não tomada de decisão ad hoc diante da situação imprevista também é alvo de registro. Por fim, há foco nas reações ad hoc dos estudantes-atores.

Esses elementos, pertencentes à performance didática da OI, ao serem identificados, permitem reflexão no sentido do aperfeiçoamento da OI. São eles que motivam as modificações e substituições, por exemplo, de escolhas que não favoreceram a orquestração.

Eventos relativos à configuração didática e o modo de execução

A orquestração instrumental 2 -OI2 foi estruturada para ser vivenciada em duas etapas, OI2.1 para definição de critérios e OI2.2 para observação segundo os critérios definidos.

Entretanto, algumas falhas no planejamento da configuração didática e modo de execução da orquestra culminaram no surgimento de situações imprevistas, decisões ad hoc por parte das formadoras e reações ad hoc por parte dos estudantes-observadores.

A discussão gerada para distribuição de papéis, não definida previamente pelas formadoras foi uma situação inesperada, para qual as formadoras decidiram não tomar decisão ad hoc. Isso porque, embora essa ação não tenha sido prevista e revelasse uma fragilidade da orquestra, também trouxe informações relevantes à análise da MOI.

O conteúdo dessa discussão traz à tona critérios criados pelos estudantes para tentar distribuir os papéis entre eles. Esses critérios colocam em evidência a leitura total ou parcial do webdoc didático, artefato central da orquestração instrumental 1. Tal leitura é fundamental para que se possa definir os critérios de observação e identificar eventos durante o experimento correlacionados aos elementos que fundamentam o modelo teórico em estudo.

A análise dessa primeira discussão só foi possível graças a mais uma situação inesperada: o software de captura de tela foi acionado, pelos estudantes, antes do experimento da OIp iniciar. Esse fato demanda uma reflexão para a relevância de gravar as interações dos participantes na primeira etapa da OI2, considerando nessa a distribuição de papéis e a definição dos critérios de observação.

Na sequência, outra situação inesperada ocorreu no momento de definir os critérios de observação. Isso porque foi decidido pelas formadoras que essa situação caberia aos estudantesobservadores e tal informação constava no protocolo de orientações. No entanto, elas não decidiram o que os estudantes-atores iriam fazer enquanto os observadores trabalhavam para resolver essa situação. Sendo assim, os componentes do grupo D decidiram trabalhar juntos para determinar os critérios observação.

Mesmo percebendo tal conduta do grupo D, F1 não toma decisão ad hoc, apenas busca auxiliá-lo quanto ao entendimento da situação. Esse ocorrido demanda reflexão numa perspectiva de alterações na configuração didáticaelaboração do protocolo de orientação e também, quanto ao modo de execução, em vez de apenas os observadores, todo grupo trabalhar colaborativamente para definir tais critérios. Isso porque a discussão destaca quem fez a leitura do webdoc, ainda que parcial, dá indícios de entendimento dos estudantes sobre o que foi lido e possibilita apreensão de novos conhecimentos sobre o modelo teórico a partir da discussão.

Também convém destacar a escolha acertada das formadoras quanto ao papel de observador na função filmagem. Isso porque o registro cursivo, por mais rápido e atento que seja o observador, não capta tudo que esse tenta observar, já que é muito difícil observar tudo.

Um exemplo disto são os intervalos de observação que se perdem enquanto o observador anota o que visualizou. Além disso, há de se pensar que, em um experimento, há diferentes focos de observação: gestos, ações, interações etc., e conseguir registrar tudo pela escrita é quase impossível.

É nesse contexto que a produção do vídeo é muito relevante pelo fato de conseguir capturar o áudio e a imagem durante todo tempo que o experimento se desenvolve. Além disso, trata-se de um registro em que se pode ver e rever o que foi filmado. Pode-se ouvir o que cada sujeito fala, suas reações, gestões, ações etc. Isso pode ser percebido ao comparar o conteúdo do registro cursivo de EO1 e o conteúdo de 35 minutos do vídeo realizado por EO2.

Vale salientar que EO2 deu indícios de saber a relevância de se garantir a qualidade do vídeo que estava produzindo. Durante sua atuação, por duas vezes, interrompeu o trabalho de EA1 e EA2 para solicitar: que os estudantes-atores falassem mais alto, para garantir a qualidade do áudio ( a) Trecho 44); b) que posicionasse melhor o notebook para se evitar os reflexos da luz na tela, o que comprometeria a imagem (trecho 44).

Trecho 44 -Solicitação de EO2 para EA falarem mais alto. EO2: [fala com a F1. Informa que os colegas estão falando baixo] F1: eles tão falando muito baixo, manda eles falar alto. EO2: então, eu posso falar? F1: para pedir para falar alto, sim. EO2: é, vocês podem falar mais alto porque tá ficando muito baixo aqui no vídeo. E esse tablet é muito ruim para pegar som. Eu fiz um trabalho parecido uma vez. 09:51 -EA2: ok.

Trecho 45 -Solicitação de EO2 para EA se posicionarem melhor.

EO2: coloca o tablet mais pra lá porque a câmera faz reflexo… o tablet mais pra lá…

Os

Trecho 44 e 45 colocam em evidência mais uma situação imprevistaa comunicação entre os EO e com os EA. EO2 quando pergunta se pode falar com EA1 e EA2 dá ciência de que sabia que essa era uma restrição da situação. No entanto, a decisão ad hoc da formadora consistiu em autorizar que EO2 solicitasse aos demais colegas que falassem mais alto para garantir a qualidade do áudio, assim como que posicionasse melhor o tablet para se evitar reflexos gerados da câmera que EO 2 utilizava para fazer a filmagem.

A orquestração instrumental 3 -Articulação teoria e prática

Nesta seção, são apresentadas a situação e a orquestração instrumental 3 (OI3), suporte à articulação teórico-prática entre o estudo introdutório à Orquestração Instrumental (OI1) com os experimentos vivenciados nas OI2 e OIp. Apresentam-se, ainda, análises a priori referentes à resolução da situação e à OI3. Em seguida, o método de análise dos dados coletados, a descrição e análise dos resultados são descritos e discutidos. Por fim, discute-se a performance didática da OI3.

Situação de articulação teórico-prática

A OI3 foi criada com o objetivo de dar suporte à realização da situação de formação 3 (S3). Essa situação tinha como foco promover uma discussão sobre a OI, em sala de aula presencial, entre os estudantes e as formadoras, tal como ocorreu no Estudo Preliminar.

A OI3 é centrada na mediação das formadoras, as quais conduzem a discussão de forma que os estudantes busquem articular as experiências anteriores: a leitura do webdoc e a discussão já realizada no fórum na OI1, a observação realizada na OI2 e a vivência de uma OI, a OI p . Para isso, as formadoras criam um roteiro de perguntas trazidas do fórum da OI 1 tal como foram escritas pelos estudantes ou adaptadas por elas. Outras são elaboradas para trazer à tona elementos relevantes sobre o modelo teórico não contemplados pelos estudantes na OI1.

A ideia é promover um brainstorming (tempestade de ideias) para sanar dúvidas e provocar a exposição de novas questões, respostas e reflexões sobre o modelo teórico. Isso é feito de forma articulada com as experiências vividas nas orquestrações anteriores, com o conhecimento e experiência das formadoras. A seguir, a descrição da situação S3 e classe de situação da S 3 para qual se criou a OI 3 : a) situação de formação: discutir sobre o modelo teórico da OI em sala de aula presencial a partir de leitura do modelo, vivência e observação de OI e obedecendo a certas condições de participação na discussão; b) classe de situação: discutir sobre o modelo teórico em sala de aula presencial a partir de diferentes vivências anteriores com a teoria e sob condições de participação.

A MOI se desenvolveu em um período conturbado. Foi um momento de reivindicações dos profissionais da Educação por melhores condições de trabalho e salariais, o que resultou em paralisações nacionais e estaduais, culminando em uma greve. Isso impediu a realização da S3 e OI3 tal como haviam sido idealizadas e demandou das formadoras adaptações à situação de formação, como também a elaboração de uma nova OI.

Ao considerar o pouco tempo que havia para a elaboração de uma nova orquestração, as formadoras decidiram fazer adaptações quanto à condição "sala de aula presencial" da situação S3 e aproveitar o ambiente virtual do fórum, utilizado na OI1 para resolver a situação S1. A impossibilidade da aula presencial fez emergir uma solução viável: a aula a distância via 277 fórum on-line, mesmo sem ser em tempo real. Embora os resultados do primeiro teste da MOI revelem o bom desempenho da orquestração instrumental OI3 em ambiente de aula presencial, as aulas na modalidade a distância são experiências previstas nos cursos de licenciatura da instituição em que os sujeitos de pesquisa estudam em até 20% das disciplinas. Antes de apresentar a análise a priori da situação de formação, é necessário revelar como a situação foi apresentada aos estudantes. Isso porque, diferentemente do fórum da OI1, em que os estudantes tinham de apresentar e responder ao menos uma pergunta, no fórum da OI3 os participantes irão se deparar com dez questões (retomadas, adaptadas ou elaboradas) apresentadas pelas formadoras, as quais serão respondidas pelo Prof. Luc Trouche. A partir dessas perguntas e respostas, os estudantes deverão ampliar a discussão, apresentando novas questões, respostas ou considerações.

As dez perguntas (Quadro 48), postadas no fórum da OI3 pelas formadoras, têm origem na leitura de todas as perguntas e respostas dos estudantes postadas no fórum da OI1. Essa leitura ajudou as formadoras a identificar questões de interesse dos estudantes concentradas em duas temáticas: gênese instrumental (seis perguntas) e orquestração instrumental (quatro perguntas).

Após organizar o roteiro de perguntas, o acesso ao fórum foi liberado para o criador do modelo teórico, o Prof. Luc Trouche, que respondeu a todas as perguntas. Na sequência, o acesso ao fórum foi liberado aos estudantes para que iniciassem sua participação.

Quadro 48 -Questões elaboradas para o fórum da OI3

Temática Nova questão para discutir no fórum da OI3

Gênese Instrumental 01. Qual a diferença entre artefato e instrumento? 02. O que é um esquema e como pode ser identificado pelo professor? 03. Por que a gênese instrumental dos estudantes deve ser promovida pelo professor matemática? 04. Qual a diferença entre inserir e integrar uma tecnologia à prática docente?

Essa tecnologia deve ser digital, no contexto da TOI? 05. O que é exigido do professor de matemática para que consiga integrar tecnologias, sejam elas digitais ou não, à sua prática docente? 06. O que deve ser considerado pelo professor de matemática ao acompanhar as ações instrumentadas dos estudantes ao fazerem a situação matemática?

Orquestração Instrumental 07. Qual a função da configuração didática, do modo de execução e do desempenho didático? 08. Uma das ações na configuração didática consiste em prever situações que possam contribuir ou não para o bom desempenho da orquestração instrumental. Por que essas previsões são importantes? 09. Que aspectos revelam o sucesso de uma orquestração instrumental? E quais contribuições uma orquestração pode dar à prática docente? 10. Qual(is) o(s) objetivo(s) principal(is) da TOI? Fonte: Elaborado pela autora.

5.3.4.2

Análise a priori da situação de formação -S3

A situação de formação S3 propõe discutir sobre o modelo teórico da orquestração instrumental em um fórum obedecendo a certas condições. As condições são idênticas às apresentadas no fórum da OI1: a) postar pelo menos uma pergunta; e b) responder a uma pergunta no período de tempo estabelecido para postagem no fórum que foi de uma semana.

O fórum da OI3, assim como o da OI1, foi mantido aberto para que os estudantes pudessem acessá-los para estudo enquanto durasse a formação. À exceção do fórum da OI1, dessa vez, os estudantes deveriam postar as perguntas/respostas alinhadas às respostas do Prof.

Luc Trouche, dadas as dez perguntas postadas pelas formadoras. Outro aspecto que distingue esse fórum do primeiro é a participação do pesquisador e das formadoras, que poderão continuar fazendo ou respondendo a perguntas a partir das interações dos estudantes.

O roteiro de perguntas, estruturado pelas formadoras com as respectivas respostas dadas pelo Prof. Luc Trouche, agregou ao fórum novos elementos sobre a OI, visando ampliar a discussão e aprofundar os conhecimentos dos estudantes. Nessa direção, não se buscou prever a manutenção ou a emergência de novos elementos teóricos que poderiam ser apresentados pelos estudantes, já que naturalmente para perguntar/responder uma ou outra ocorreria. No entanto, o foco dessa análise é prever as possíveis motivações de escolha das temáticas, a partir da seleção da pergunta/resposta que já estava no fórum, à qual o estudante alinhará sua pergunta/resposta.

Assim, inicialmente previu-se a motivação dos estudantes para ler e refletir sobre as perguntas e respostas já disponibilizadas no fórum, escolher ao menos uma cuja temática por algum motivo lhe interessasse para finalmente formular e postar uma nova pergunta. Ao acessar o fórum, o estudante poderá: a) escolher aleatoriamente uma das postagens para formular e alinhar a essa ao menos uma pergunta. Nesse caso, a escolha do estudante visa apenas à resolução da situação, não interessando a ele o aprofundamento teórico que poderia ser alcançado a partir da leitura do conteúdo já disponibilizado no fórum; b) ler todas ou algumas das postagens (pergunta/resposta) disponibilizadas no fórum, escolher uma das postagens para formular e alinhar a esta ao menos uma pergunta.

Nesse caso, a escolha do estudante dará indícios de que ele não visa apenas à resolução da situação, pois a sua pergunta/resposta poderá revelar outras motivações.

Assim, a escolha do estudante que ler todas ou algumas das postagens disponibilizadas pode ser motivada por:

não domínio do conteúdo ou parte dele;

interesse em aprofundar o conteúdo apresentado ou parte dele;

o domínio do conteúdo lhe permite perguntar, mas para desafiar os demais participantes do fórum.

Vale ressaltar que em ambas as situações haverá sempre a possibilidade de o estudante articular o conteúdo já disponibilizado no fórum com o conteúdo de outros protocolos de outras orquestrações por ele vivenciadas. A análise a priori de como os estudantes poderiam resolver a situação de formação S3 faz mais sentido quando são consideradas as motivações e como essas direcionam suas ações para atingir seus próprios objetivos em relação à resolução da situação. Assim, é relevante prever como os estudantes articulam os conteúdos do fórum da OI3 com de outros protocolos criados ou disponibilizados na OI1, OI2 ou OI. Essa análise a priori será realizada mais adiante, após a descrição da orquestração instrumental 3.

Configuração didática da OI3

A OI3 foi desenvolvida para dar suporte à realização da situação de formação (S3) e favorecer a gênese instrumental dos estudantes no que concerne ao uso de protocolos gerados Na Figura 80, é possível identificar a trajetória que um estudante participante dessa orquestra poderá percorrer para resolver a situação proposta. Inicialmente, ele tem acesso pela Plataforma Lematec Studium (1) às informações e às orientações de como deve proceder.

Também pode clicar em um link de acesso direto ao fórum e ao webdoc (caso deseje acessá-lo novamente). Ao acessar o fórum (2), o estudante tem a descrição da situação de formação e das condições impostas para sua resolução. Em seguida, deverá ler as questões postadas pelas formadoras e as respectivas respostas postadas pelo Prof. Luc Trouche. A partir desse ponto, o estudante pode, de forma direta, escolher uma dessas dez perguntas/repostas para ampliar a discussão, apresentando uma nova pergunta alinhada à resposta do Prof. Luc Trouche. Depois, pode localizar a pergunta de um colega e respondê-la no fórum (3).

Entretanto, após ler as respostas do pesquisador é possível que os estudantes capturem dessas outras temáticas e decidam utilizar mais que o conteúdo das respostas do pesquisador para perguntar ou responder. Assim, poderão também fazer uso do webdoc (4), das postagens do fórum da OI1 (5), do protocolo ou vídeos resultantes das observações da OIp na OI2 (6) ou da experiência prática vivida na OIp (6). O conhecimento adquirido nessas orquestrações, anteriores à OI3, aliado ao que é posto nas respostas dadas pelo pesquisador, pode ajudar aos estudantes na elaboração de novas perguntas e na precisão de suas respostas às perguntas feitas por seus colegas no fórum.

Análise a priori da orquestração instrumental OI3

Na análise a priori da situação S3, previram-se as possíveis motivações dos estudantes para perguntar/responder tomando como referência qualquer uma das dez perguntas/respostas, que já estavam no fórum quando eles iniciarem sua participação. No entanto, mais do que a motivação como ponto de partida para a realização da situação, os estudantes contavam também com diferentes conteúdos de diferentes fontes, os quais poderiam auxiliá-los no processo de elaboração de perguntas/respostas. Assim, previu-se que, ao acessar o fórum e escolher a pergunta/resposta, à qual iria alinhar sua pergunta/resposta, seja apenas para resolver a situação, ou para compreender, ou para aprofundar a temática de interesse, o estudante poderia: É importante destacar que, no fórum da OI1, EO1 (estudante-observador do grupo D) discute com um colega de outro grupo a respeito do que seria o artefato e o instrumento, inclusive ensaiando uma resposta para defini-los. Ao perceber que diferenciar artefato de instrumento era uma questão de interesse dos estudantes, além de ser relevante para a entendimento da gênese instrumental, as formadoras retomam a discussão, dessa vez, na perspectiva de diferenciá-los.

A partir da resposta do Prof. Luc Trouche (Quadros 50 e 51), pode-se perceber que as regras de ação dos estudantes EA1 e EA2 tomam como ponto de partida a leitura das perguntas das formadoras e respostas do pesquisador já descritas no fórum. Os estudantes elaboram perguntas cujas temáticas são intrínsecas a outras perguntas já postadas e respondidas no fórum retomada sobre os processos da gênese instrumentalinstrumentalização e instrumentação. No Quadro 50, podem-se observar componentes de esquema de EA1 ao se perguntar: "E como se dá o processo de instrumentação do sujeito?". Já no Quadro 51, podem-se observar componentes de esquema de EA2 ao s perguntar: "Não consegui entender: qual a diferença entre instrumentação e instrumentalização?".

É interessante observar que em momento algum o pesquisador faz menção direta aos termos instrumentação e instrumentalização (Quadros 50 e 51). Entretanto, esses estudantes EA1 e EA2 dão indícios, a partir das perguntas formuladas e apresentadas no fórum, de que sabem que há correlação entre a transformação do artefato em instrumento com tais processos.

O que eles buscam entender é a diferença entre tais processos e quando ocorrem. EA2: formular pergunta fundamentada no conteúdo da resposta do pesquisador, intrínseca a um modo de destinação do webdoc. EA2: escolher uma das dez perguntas realizadas pelas formadoras para discutir no fórum 2. EA2: ler e refletir sobre a resposta do pesquisador e decide formular pergunta dentro da temáticagênese instrumental EA2: formular pergunta intrínseca a outra feita no fórum 1 da OI e já discutida neste e no webdoc. EA2: sabe que o artefato pode se transformar em um instrumento.

EA2:

sabe da existência dos dois processos da gênese instrumental.

EA2: usa o conteúdo da pergunta/resposta que consta no fórum 2 para formular pergunta articulada a modo de destinação (HQ -A instrumentada;

Vídeo: Metodologia e tecnologia) do webdoc. EA2: usa o conteúdo da pergunta/resposta que consta no fórum 2 para formular pergunta intrínseca a conteúdo do fórum 1 e do webdoc.

Fonte: Elaborado pela autora. Embora as perguntas tenham focos diferenciados, ao retomarem aspectos já discutidos na OI1 (fórum e webdoc), esses estudantes revelam que: a) ainda tinham dúvidas sobre os processos de instrumentalização e instrumentação; b) por isso, buscaram retomar a discussão para melhorar seu entendimento sobre como identificá-los e diferenciá-los, a partir da transformação do artefato em instrumento.

Já a segunda pergunta feita por EA2 revela que a regra de ação do estudante consistiu na leitura e reflexão do conteúdo da pergunta/resposta disponibilizada no fórum OI3 (Quadro 51). EA2 é diretamente influenciado pelo conteúdo da resposta do pesquisador para fundamentar a elaboração de sua pergunta: Sobre o estudo da gênese instrumental, é possível um instrumento vir a se tornar um artefato?

Essa questão coloca em evidência, considerando o conteúdo da resposta do pesquisador: que o estudante entendeu que um artefato pode se transformar em instrumento. E mais, que sabe que essa transformação do artefato em instrumento tem relação com a gênese instrumental, até porque gênese instrumental é mais um termo que o pesquisador não utiliza em sua resposta. No entanto, tal resposta, pautada em exemplos, aguça a curiosidade do estudante em saber a possibilidade de um instrumento voltar a ser um artefato. Há da parte de EA2 um nítido interesse em ampliar a discussão e aprofundar seus conhecimentos sobre artefato e instrumento indo além da definição desses.

A pergunta de EA2 traz à tona a necessidade de revisar a discussão sobre gênese instrumental no webdoc didático, incluindo os dois possíveis sentidos da transformação apresentados nesse fórum: artefato-instrumento e instrumento-artefato. Embora as autoras do webdoc discutam por meio da história em quadrinhos A instrumentada a possibilidade de um instrumento voltar a ser um artefato para o sujeito, talvez esse aspecto precise ser melhor discutido.

As perguntas, regras de ação e invariantes operatórios de EA1 e EA2 revelam a manutenção do interesse pela gênese instrumental, tal como pelo desejo de ampliar seus conhecimentos sobre os aspectos que envolvem a temática. Isso porque, como já dito, temáticas similares e correlatas à gênese instrumental já haviam sido discutidas no fórum 1 e no webdoc.

Nesses, discutem-se, por exemplo, a diferença entre inserir e integrar uma tecnologia à prática de ensino, o que tem relação direta com os processos de instrumentação e instrumentação e as transformações artefato-instrumento/instrumento-artefato, ambos por meio de exemplos. Fonte: Elaborado pela autora. No Quadro 52, pode-se observar mais uma das perguntas elaboradas pelas formadoras com base nas interações dos estudantes no fórum da OI1. Dessa vez, a temática apresentada é sobre a inserção e a integração de tecnologias às aulas de matemática, uma das mais discutidas pelos estudantes, provavelmente pelo aspecto prático de como esses termos são explicados no webdoc.

Assim, as formadoras perguntaram: Qual a diferença entre inserir e integrar uma tecnologia à prática docente? Essa tecnologia tem que ser digital, no contexto da TOI? Na sequência, por meio de exemplos, o Prof. Luc Trouche responde à pergunta das formadoras (Quadro 52), diferenciando a inserção de tecnologias, sejam elas digitais ou não, da integração dessas. Um aspecto forte dessa resposta é o destaque que o pesquisador dá à situação matemática a ser resolvida com a tecnologia como parte integrante.

A pergunta de EO2 (Quadro 52) coloca em evidência duas possibilidades de inserção de tecnologias conhecidas pelo estudante: a primeira, após o professor instruir seus alunos quanto ao uso da tecnologia, para só depois utilizá-la nas aulas; a segunda, não instruir os alunos, disponibilizar e usar a tecnologia nas aulas.

O ponto fundamental da pergunta de EO2 é a ausência em ambas das possibilidades da situação matemática que deverá ser proposta para que os estudantes resolvam com suporte de uma tecnologia, a qual deve ser integrada à situação. Ou seja, a tecnologia faz parte da situação; sem ela, a situação não pode ser resolvida, considerando as condições e restrições dadas. EO2, ao ler e refletir sobre conteúdo da pergunta/resposta do fórum da OI3, engaja-se com esse conteúdo de forma articulada com as práticas docentes de que têm conhecimento, quando o assunto é inserção de tecnologias, para formular uma pergunta. O estudante traz à tona, por meio do seu questionamento dois problemas que precisam ser superados: a) a realidade presente em muitas salas de aula, nas quais as tecnologias são inseridas, mas não são integradas, ou seja, pode-se até aprender a utilizá-las, mas isso não quer dizer, necessariamente, que se aprenda matemática com elas; b) a necessidade de se formar professores de matemática para orquestrar suas aulas na perspectiva da integração das tecnologias em sua prática docente e de favorecer as gêneses instrumentais de seus alunos, de forma que esses venham aprender matemática com a ajuda de tais artefatos, sejam eles digitais ou não.

A última pergunta (Quadro 53) feita pelas formadoras gerou interação com um dos integrantes do grupo D que sai da temática da gênese instrumental. Trata-se de uma pergunta sobre a OI. Pergunta: Qual o objetivo principal da Orquestração Instrumental? O Prof. Luc EO1 formula sua pergunta, inicialmente, fazendo menção ao conteúdo do vídeo Tecnologia e metodologia, o qual mostra um exemplo de inserção de tecnologia digitais na sala de aula. Não se trata de uma aula orquestrada, apenas de um exemplo de como a tecnologia não deve ser utilizada pelos professores, uma vez que não oferece diferencial ao ensinoaprendizagem.

Na sequência, EO1 faz menção ao conteúdo da história em quadrinhos A tabuada, que exemplifica a integração de tecnologias convencionais, as quais oferecem um diferencial ao ensino proposto. Trata-se de uma aula que foi orquestrada, na qual as tecnologias lápis e papel estavam integradas à situação matemática.

Ao usar esses dois exemplos advindos do webdoc para formular sua pergunta, EO1 revela algumas incompreensões sobre a OI e sobre seu papel no que concerne às gêneses instrumentais dos alunos. A primeira é achar que toda aula com inserção de tecnologia é uma OI. Na verdade, a OI é necessária para se pensar o ensino de matemática com suporte tecnológico, visando favorecer o ensino e a aprendizagem de matemática com tecnologia digital ou convencional. É a OI do professor que pode aumentar as possibilidades de sucesso de uma aula rica em tecnologias, não o contrário. É isso que o conteúdo do vídeo e da história em quadrinhos exemplificam. Fonte: Elaborado pela autora. A segunda incompreensão de EO1 é revelada quando esse afirma: "Ambas as aprendizagens dão certo". Confundem-se aqui diferentes métodos, exemplificados para se ensinar a tabuada, com aprendizagem. Os exemplos dados no webdoc não discutem se houve ou não aprendizagem, mas fazem refletir sobre que aprendizagens os alunos podem alcançar a partir dos dois métodos apresentados. A ideia não é indicar se o método A é melhor que o método B, ou vice-versa, mas fazer o leitor refletir sobre as expectativas de aprendizagem para o aluno, quando o método utilizado pelo professor consiste em fazê-lo decorar a tabuada de multiplicar, fazendo repetições orais das operações na sequência em que aparecem 2 x 1, 2 x 2, 2 x3... com a ajuda de um projetor multimídias e um computador. E, ainda, refletir sobre as expectativas de aprendizagem para o aluno, quando o método utilizado pelo professor é uma aula orquestrada em que a tecnologia central é uma tabela, construída pelos próprios alunos com lápis e papel. A ideia é aprender a tabuada de dividir e de multiplicar à medida que se utiliza os algoritmos dessas operações para se descobrir padrões algébricos.

A terceira incompreensão revelada por EO1 em sua pergunta pode ser identificada no trecho "[...] por que acrescentar novos métodos de aprendizagem (com tecnologias), se os métodos antigos (lápis e papel) ainda funcionam?". É importante retomar os exemplos discutidos anteriormente porque eles destacam que a relevância de uma aula orquestrada não está nas tecnologias por si só, mas em como essas estão integradas à situação matemática proposta pelo professor, dando suporte aos estudantes na resolução da situação.

5.3.4.8

Performance didática da OI3 A OI3, diferentemente das demais orquestrações, teve de ser modificada antes mesmo de ser executada. A situação imprevistagreve dos servidores da Educação -, ao inviabilizar sua realização em sala de aula presencial, demandou adaptações à situação de formação S3 e à orquestração instrumental OI3. A decisão de trocar a sala presencial pelo ambiente virtual fórum foi determinante para que a OI3 ocorresse, como também para viabilizar a participação do Prof.

Luc Trouche e a tradução de suas postagens em francês para português, tal como as dos estudantes e formadoras, do português para o francês.

No Outra situação inesperada foi a necessidade de se realizar a análise da orquestração instrumental 3, considerando não apenas seus elementos e condições dadas, como foi feito nas orquestrações anteriores, mas articulando-os com os protocolos disponibilizados pelas formadoras ou criados pelos estudantes em formação nas outras orquestrações instrumentais vivenciadas.

As análises das postagens do grupo D, todas perguntas, revelaram indícios da motivação dos estudantes na escolha do conteúdo do fórum da OI3 para formular e alinhar sua pergunta.

Também revelam as diferentes articulações entre o conteúdo do fórum da OI3 e o de protocolos de orquestrações anteriores utilizados para fundamentar a formulação das perguntas postadas.

Essas articulações consistem em diferentes modos de engajamento dos estudantes para realizar a situação S3. Cinco modos de engajamento foram identificados.

As duas primeiras perguntas, realizadas pelos estudantes EA1 e EA2, indicam a motivação prevista (II.a) -Falta de domínio parcial sobre algum aspecto do modelo teórico.

Eles buscam sanar dúvidas de temáticas já discutidas no fórum da OI1 e no webdoc. Para isso, É relevante a identificação da motivação dos estudantes para a resolução da situação propostas, assim como da capacidade desses de articular conteúdos de diferentes fontes de orquestrações instrumentais já vivenciadas com o conteúdo da OI em pleno desenrolar. Essas revelam a busca pelo domínio de um aspecto OI que já foi estudado, mas ainda não compreendido. Também destacam interesse por aprofundamento sobre aspectos que já dominam. Além disso, os estudantes evidenciam, por meio de suas perguntas, mais que suas motivações e modos de engajamento, também suas incompreensões sobre a OI e seus pressupostos, tal como ocorreu com EO1 e EO2.

A orquestração instrumental 4 -OI4

Nesta seção, são discutidas a situação S4 e a orquestração instrumental 4 (OI4) de articulação teórico-prática. Apresentam-se as análises a priori da situação e da OI4 e descrevese o método da OI4 e os resultados das interações do fórum de discussão em que a OI foi discutida pelos estudantes, formadoras e pesquisador Luc Trouche, convidado a participar da OI4. Após a análise dos dados, segue-se a performance didática da OI4.

A situação

A OI4 foi desenvolvida para dar suporte aos estudantes à resolução da situação de formação proposta, a S4. Nessa, o foco é a análise, feita por cada grupo, dos dados produzidos por eles durante a vivência das orquestrações anteriores, pautada no modelo teórico em estudo.

A estrutura da OI4 consistiu em proporcionar aos participantes uma retomada ao A situação de formação 4 é composta por duas subsituações distintas e centrais que devem ser realizadas pelos integrantes de cada grupo: a análise e a apresentação da análise. As atividades de análise e a preparação da apresentação serão realizadas fora do alcance de observação das formadoras, ou seja, não serão feitas na sala de aula física, nem mesmo virtual. Um modo de execução foi pensado para a configuração didática da OI4, considerando os artefatos disponibilizados, os estudantes e as formadoras presentes. À frente da sala de aula, os integrantes de cada grupo deverão em 10 minutos apresentar a análise com suporte dos artefatos disponibilizados. Tal apresentação deverá estar em pelo menos um dos formatos indicados pelas formadoras.

Assim, para estruturar a análise, eles poderiam utilizar o Movie Maker, um software de edição de vídeo, ou criar uma história em quadrinhos no site de criação gratuito Pixton.

Poderiam elaborar uma apresentação em slides (diaporama) com um software de apresentação, numa página do Gdrive ou em um dos modelos do Prezzi. Também poderiam fazer uma linha do tempo no site MyHistro ou um mapa conceitual com o software Cmaptools.

A Figura 81é uma ilustração do design da configuração didática da OI4 e favorece a descrição da dinâmica da sala de aula. O modo de execução da OI4 prevê o uso da internet e do computador para salvar o arquivo dos estudantes referente à análise, via e-mail, pen drive ou outros dispositivos. Prevê, ainda, o uso do projetor multimídia e da tela de projeção para projetar a análise feita em um dos formatos sugeridos pelas formadoras. Durante a apresentação de cada grupo, os demais estudantes da turma assumem um papel importante na OI4, pois esses deverão fazer perguntas aos componentes do grupo pautadas na apresentação realizada e articuladas ao modelo teórico. Trata-se de um momento de discussão e reflexão coletiva, relevante aos participantes da formação, especialmente quanto ao aprofundamento sobre os elementos teóricos estudados.

Análise a priori da OI4

A análise a priori da OI4 revela uma clara intenção de prever esquemas dos estudantes para realizar a apresentação da análise feita pelos grupos. Busca-se prever como os grupos se organizam para realizar a apresentação, tal como, as motivações para as escolhas realizadas.

Inicialmente, foram elencados possíveis esquemas de apresentação da análise feita pelos grupos. Quadro 55 -Explicar esquemas de uso de um artefato

Eventos

Regras de ação, antecipação e controle

Invariantes Operatórios

Possibilidade de inferência

Uso de evento da OI p para exemplificar esquemas de uso de um artefato.

[00:03 a 01:10] EO2: evocar eventos da OIp, em que o duo discute [brainstorm] as condições da situação, informadas no protocolo de orientação, para exemplificar esquemas de uso dos estudantes relativos a este artefato.

EO2: como os EA fizeram uso do protocolo de orientação serve para evidenciar seus esquemas de uso em relação a este artefato.

EO2: o Brainstorm faz parte dos esquemas para a resolução da situação matemática, compondose em uma antecipação.

EO2: é na ação do sujeito que fica mais fácil identificar seus esquemas de uso de um artefato. Logo, ao se descrever como o sujeito faz uso de um artefato, descreve-se seu esquema de uso.

Fonte: Elaborado pela autora.

Nesse primeiro evento, EO1 discute conhecimento sobre a gênese instrumental, com especial atenção às antecipações presentes na discussão inicial do duo. EO2 inicia sua fala relembrando a discussão (Brainstorm) do duo (estudantes-atores da OIp) ao acessar o protocolo de orientação em que estava detalhada a situação matemática, suas condições e suas restrições.

Esse parece ser um teorema em ação implícito de EO2, tomado como antecipação. Ele fala do brainstorm como um esquema dos estudantes para favorecer a resolução da situação proposta (Quadro 55). O brainstorm que ocorre entre o duo, do ponto de vista de EO2, serviria para identificar conhecimentos que os ajudaria a resolver a situação, mas também a identificar os primeiros entraves. Nesse evento [00:03 a 01:10], a regra de ação de EO1 consiste em evocar exemplos da OIp para falar da relação artefato (protocolo de orientação) e esquemas de uso (brainstorm) do duo.

O segundo evento [01:11 a 01:56] da Etapa 1 (Quadro 56) EO2 continua no tema da gênese instrumental, com o foco na noção de instrumentalização. A regra de ação de EO2 consiste em evocar eventos ocorridos na OIp relativos às tentativas e erros do duo para exemplificar os esquemas de uso relacionados ao processo de instrumentalização destes. Isso porque, segundo EO2, o duo não chega a concluir a construção do boneco; o processo de instrumentação não está bem desenvolvido, ainda. EO2 conclui com isso que não se pode falar que os EA estão instrumentados. Assim, EO2 decide retomar as dificuldades apresentadas pelos estudantes-atores ao usar o software GeoGebra para construir objetos geométricos segundo as condições impostas pela situação. No quarto evento [02:00 a 02:38], EA2 toma à palavra. Ele busca no conteúdo do webdoc (OI1) a definição de artefato e de instrumento para diferenciar esses dois elementos teóricos. O texto-base dado para a teoria passa se compor no artefato fonte como regra de tomada de informação. Em seguida, evocam eventos da OIp, quanto ao uso do artefato GeoGebra feito pelo duo, considerando os usos em que o GeoGebra era um artefato e os que era um instrumento para os EA (Quadro 58). É interessante observar que EA2 compreende bem os conceitos em jogo e isso lhe permite estabelecer uma relação que entre a teoria (webdoc) e a prática (experimentação por ele mesmo vivenciada na OIp). O último evento [02:39 a 02:50] da Etapa 1 tem por foco a apresentação do critério de observação que destaca os conhecimentos matemáticos do duo perante as condições da situação matemática proposta (Quadro 60). Assim, o duo, partir da regra de ação evoca eventos da OIp para dar destaque ao conhecimento matemático mais utilizados por eles durante a OIpproporção, embora outros sejam citados, tais como: raio, segmento etc. EA2 busca dar ênfase à proporcionalidade porque, embora o duo (ele e EA1) revelasse dominar o conceito de proporção, utilizá-lo para cumprir a situação parece ter sido o maior desafio. Era preciso garantir a construção das partes do boneco de forma que essas fossem proporcionais entre si.

Os eventos citados por EA2 revelam que o duo usa o conhecimento de proporção para atender a uma condição da situação, mas também para validar os objetos construídos, ou seja, se ampliam e reduzem, então, são proporcionais e a construção está correta. EA1/EO1: a falta de tempo de resolver uma situação demanda uma decisão, fazer ou não em casa. EA1/EO1: se não houve tempo para terminar tarefa, na OI p , logo devese tomar uma decisão de fazer em casa ou não.

Fonte: Elaborado pela autora.

Na sequência, ainda na Etapa 2, EO1, com o objetivo de apresentar a resolução final da situação matemática (OIp), apresenta as três tentativas de construção realizadas pelo grupo, o detalhamento da versão final do boneco e a relevância da troca de papéis/funções entre os participantes do grupo neste processo, em cinco eventos.

No segundo evento da Etapa 2, EO1 continua com foco em discutir ações deles que estavam fora do planejado, em uma alusão às reações ad hoc da performance didática. Ele descreve e analisa a construção do boneco do grupo E [03:40 a 06:10], construção essa que inspirou a do grupo D (Quadro 62) e apresentada pelo grupo E semanas antes da apresentação deles. EO1 sabe que os esquemas de uso e de ação instrumentada do grupo E culminaram em procedimentos complexos de construção do boneco. EO1 explica que, na construção feita pelo grupo E, cada parte do corpo do boneco construída era vinculada a uma circunferência (ver janela gráfica na Figura 84). Além disso, as medidas de cada parte boneco foram definidas com base nas medidas de um modelo humano, tal como informava o protocolo de orientação (ver janela de protocolo na Figura 84). A regra em ação de EO1 (Quadro 66) para justificar processos de instrumentação e instrumentalização detalha a construção dos olhos, boca e demais partes do corpo do boneco, com garantia da proporcionalidade. No segundo evento [06:55 a 07:38] da Etapa 3, também tem foco na gênese instrumental, mas para discutir a diferença entre artefatos e esquemas de uso. EO1 continua EO1 e EA1, ainda que rapidamente, refletem sobre a afirmação de EA2 e de imediato concordam. EO1 retoma a fala e informa que eles usaram os mesmos comandos do GeoGebra (controle deslizante, segmentos, circunferência etc.), utilizados pelo grupo E. Entretanto, defende que de fato o boneco é diferente. EA1 e EA2 reforçam a fala de EO1, defendendo que os procedimentos utilizados por seu grupo, além de diferentes, são mais simples e, por isso, mais didáticos. Na Figura 88, podem-se observar alguns procedimentos adotados pelos dois grupos que diferenciam a construção dos bonecos, embora os comandos sejam os mesmos. Os estudantes EO1/EA1/EA2 defendem que, entre os muitos esquemas de uso do duo em relação ao artefato GeoGebra para resolver a situação, ora no tablet, ora no notebook, ainda assim, esquemas de ação instrumentada puderam ser observadas na construção da cabeça e do tronco. Essa parte da construção é considerada por EO1/EA1/EA2 a efetivação parcial da situação da OIp, ou seja, até esse ponto, pode-se dar ao duo o status de instrumentado (Quadro 71). Isso porque houve a construção geométrica da cabeça e do tronco; ambos aumentam e diminuem juntos devido ao uso do comando Interseção do GeoGebra e são proporcionais entre si, graças à escolha do raio como unidade de medida utilizada na construção destes objetos. Em alguns momentos, o grupo D revela que, se houvesse mais tempo, o duo conseguiria resolver a situação.

Nesse quarto evento da Etapa 5, referente à apresentação da análise do experimento da OIp, com foco na gênese instrumental do duo, aborda-se a relevância do conhecimento matemático como parte do esquema de uso em relação ao artefato para resolver a situação. A formadora dá continuidade à discussão apresentando mais uma questão: como os esquemas de uso dos artefatos estavam ligados ao GeoGebra? Mais uma vez, EO1/EA1/EA2 evocam eventos da OIp, regras de ação, para exemplificar como os esquemas de uso estão relacionados ao conhecimento matemático em foco. Esses estudantes revelam saber que a escolha dos comandos do GeoGebra tem a ver com os conhecimentos que possuem e que são correlatos à situação. Assim, é natural que eles busquem garantir a simetria entre as partes inferiores e superiores do boneco por meio do comando Reflexão em relação a uma reta do GeoGebra. O último evento da quinta etapa da apresentação da análise do grupo D tem por objetivo discutir sobre a influência da OI sobre a desempenho do duo diante da troca de artefatos. Assim, a formadora questiona: vocês foram uma das equipes que, por conta dos problemas técnicos, mudou de artefato. Sentiram alguma diferença quanto à configuração quando estava com o tablet, e à configuração quando estava com no computador? Para responder à pergunta da formadora, EA2 tem por regra em ação evocar aulas passadas da disciplina, em que ocorre a formação, em que o duo teve a oportunidade de passar por processo de instrumentalização com a versão do GeoGebra para notebook. Nessa, aprenderam a construir objetos em homotetia por meio do controle deslizante. Logo, por regra de antecipação, EA2 revela que utilizariam os mesmos esquemas para tentar resolver a situação que demandava garantia da proporcionalidade entre as partes do boneco. No entanto, as decisões ad hoc das formadoras, com a troca do notebook pelo tablet, depois do tablet pelo notebook, trouxeram implicações ao trabalho do duo na OIp. Na primeira troca, EA2 afirma que foi impactante ter que trabalhar com um artefatoversão do software para tabletpara qual não estavam, (ele e EA1), instrumentalizados, mas reconhece que isso os instigou a desenvolver novos esquemas para resolução da situação. Os estudantes sabiam que o conhecimento prévio de como estabelecer a homotetia com o GeoGebra no notebook os ajudaria na determinação e manutenção da proporcionalidade, mas a troca do artefato resultou em um desafio para o duo (Quadro 73).

A sexta etapa [16:36 a 18:10] observada consistiu na apresentação das conclusões do grupo D sobre a análise realizada do experimento. Nesse momento, vem à tona a discussão de elementos do modo de execução, os papéis assumidos pelos estudantes-atores. Para concluir a apresentação, EO1 reflete sobre proporção e a sua relação com a resolução do boneco. Ele busca defender que o duo sabia que a proporção era um conhecimento da álgebra e da regra de três, que conhecia o GeoGebra e sabia que seus comandos envolvem geometria. No entanto, EO1 destaca que era preciso mais que o domínio da matemática exigida pela situação em jogo. Mais que ter conhecimentos geométricos por trás dos comandos do software, era preciso conhecer como determinar a proporção na geometria do software. . A OI2, diferentemente, da OIp, estava estruturada para dar suporte à situação de observação da prática em dois momentos distintos, um antes (OI2. A OI5 emerge das iteradas vezes que o design da MOI foi discutido com grupo de pesquisa. Levou-se tempo até se entender, de fato, a necessidade de uma OI no design que oferecesse uma experiência da prática aos estudantes. Assim, concebeu-se a OI5, uma orquestração de natureza prática que visa favorecer a execução de uma situação S5 de criação de uma OI por parte dos participantes da pesquisa. Uma vez que a formação já havia sido encerrada, inclusive o período letivo, não houve tempo e executar a OI5.

Metassituação

As situações que compõem a metassituação possuem natureza e complexidade distintas. 

A metaconfiguração didática e o metamodo de execução

As situações da metassituação e as características prescritivas da MOI são pontos de partida para a estruturação de uma OI que irá dar suporte a execução das situações que compõem a metassituação, considerando a natureza e a complexidade de cada uma.

A Como já informado, a OI5 não foi prevista inicialmente, quando da realização do segundo teste da MOI e, por isso, quando concebida, não pôde ser executada. Trata-se de um prejuízo à validação do modelo em desenvolvimento, pois seria a oportunidade da efetiva prática de orquestrar, ou seja, seria o momento da pesquisa em que melhor se perceberiam os reflexos do estudo realizado na prática do futuro professor.

É relevante informar que os estudantes que participaram da formação foram convidados a elaborar uma OI para favorecer o ensino de matemática com a integração de tecnologias, mas articulado com os múltiplos registros de representação semiótica. Essas orquestrações não foram analisadas porque a atividade não foi estruturada com o rigor exigido para trabalho de pesquisa. Além disso, o tempo de finalização desta tese não permitia mais uma análise destas orquestrações.

Mise en oeuvre e o Mis en scène

As situações imprevistas, as decisões ad hoc e as reações ad hoc evidenciadas pela A resolução de cada situação proposta com suporte das OI gera protocolos: na OI1 e OI3

(postagens no fórum), na OI2 (critérios de observação, registro cursivo da observação, vídeos), na OIp (captura de tela, arquivo do GeoGebra) e na OI4 (arquivo da apresentação, vídeo da construção do boneco e da apresentação). Esses protocolos são moldados pelos estudantes a cada novo uso, transformando-se em artefato para resolver uma nova situação, em outra orquestração. À medida que as orquestrações vão sendo vivenciadas, os estudantes vão formando um sistema específico de recursos que fica até o final da formação à disposição deles.

Diz-se específico porque foi gerado para se apropriar da OI e seu conteúdo se configura em eventos que exemplificam elementos desse modelo teórico que os estudantes buscam aprender.

A relação dos esquemas com a situação e os papéis/funções

A ação dos sujeitos (estudantes e formadoras) durante a vivência da MOI depende do papel e função que recebem para exercer em cada orquestração. Eventualmente, o contrário ocorre. A relevância da ação está em favorecer a identificação dos esquemas de uso e de ação instrumentada, ambos relacionados aos processos de gênese instrumental, foco das orquestrações instrumentais. Por meio da observação e registro da ação (fala, gestos, condutas etc.) do sujeito, em especial, quando em situação de trabalho coletivo, é possível identificar seus esquemas, mas também componentes de esquemas que por ele são compartilhados.

Cada OI que compõem o design da MOI visa favorecer as gêneses instrumentais dos estudantes. Mas, à medida que vão vivenciando as orquestrações, os papéis e funções assumidos por eles mudam, e os esquemas, por sua vez, serão de naturezas diferentes. A estrutura de análise da MOI considera a análise de diferentes tipos de gênese instrumental dos participantes, em diferentes papéis/funções, na execução de diferentes situações. Para Vergnaud (2013), a existência do esquema está condicionada à da situação. Assim, é na observação do sujeito em situação que tais esquemas são passíveis de serem identificados e as gêneses instrumentais reveladas. Desse modo, os esquemas observados são os que têm a ver com os que ele evoca ou desenvolve para compreender orquestração instrumental (OI1/0I3/0I4/OI5).

Por fim, há um papel que o licenciando não assume na MOI, o de formador. Na MOI, esse papel é assumido pela professora da disciplina e pela pesquisadora. Nesse caso, os esquemas que podem ser observados são os que têm a ver com os que o formador evoca ou desenvolve para guiar os licenciandos às gêneses instrumentais para compreender a OI.

O trabalho coletivo e o desenvolvimento de esquemas

As orquestrações instrumentais da MOI promovem o trabalho coletivo e colaborativo. Na OIp, o trabalho deve ser feito pelo duo (dupla que interage para a realização de uma atividade). Essa é uma OI que fomenta a colaboração, pois o duo possui o mesmo objetivo e devem trabalhar juntos para alcançá-lo. Daí a decisão de se utilizar apenas um computador por duo. É um processo que pode resultar em acordos e desacordos entre os estudantes do duo, mas sempre na direção da resolução da situação. Esse processo é muito rico porque se pode ter acesso aos gestos, falas, registros, representações, ações do duo, e isso favorece bastante a identificação de esquemas e de seus componentes. Mais que isso, favorece a identificação de componentes de esquemas que são partilhados pelo duo em situação de trabalho coletivo.

Rabardel (1995) aponta a existência dos esquemas de atividade coletiva instrumental, ora quando o coletivo compartilha o mesmo instrumento, ora quando ações do coletivo são individuais, mas a integração de seus resultados é compatível a uma contribuição para atender objetivos comuns. Nesta pesquisa, ambos os casos foram identificados, não apenas no que concerne ao esquema, como também aos componentes de esquema.

Já na OI2, tem-se o trabalho individual dos EO, os quais são orientados a realizar a situação proposta sem interagir com os demais componentes do grupo. Nesse caso, os registros dessa atuação são importantes para observar os esquemas evocados e desenvolvidos dos EO para realizar a situação que visa à observação da prática pautada em critérios pré-definidos à luz da OI.

Por fim, tem-se a OI4, uma orquestração que visa articular protocolos, artefatos, conhecimentos e experiências dos participantes da formação para apresentar uma síntese da análise da OIp feita pelo grupo ao qual pertencem. Trata-se de uma orquestração que fomenta o trabalho coletivo, em diferentes momentos que compreendem a análise da OIp, a síntese da análise e a apresentação da síntese. Como informado, os estudantes acrescentaram à situação da OI4 a análise da construção do boneco feito em casa, algo comum a todos os demais grupos.

Também fazem uso de um protocolo de construção do boneco criado por outro grupo. A partir da análise desses dados, poder-se-á inferir sobre os esquemas que os estudantes evocaram e/ou desenvolveram para realizar a situação proposta, considerando as reações ad hoc desses estudantes: construir o boneco em casa e usar o protocolo de construção de outro grupo.

A trajetória de apropriação da orquestração ao longo da formação

A descrição e as análises realizadas em cada OI, separadamente, embora considerando as articulações existentes entre as orquestras, permitiram traçar a trajetória realizada pelos estudantes do grupo D, para observar e inferir sobre a evolução de seus esquemas rumo à apropriação da Orquestração Instrumental. Permitiram, ainda, a identificação de articulações realizadas por esses estudantes ao usar protocolos gerados por eles, na vivência de orquestrações anteriores, para resolver as situações propostas de novas orquestrações. Em uma composição de orquestrações a cada momento, o estudante ganha mais autonomia na decisão dos artefatos a utilizar. Criou-se para isso uma legenda (Figura 93), para uma linha do tempo, que permitiu descrever a trajetória individual de cada estudante do grupo.

Figura 93 -Legenda para identificação de uso de protocolos entre orquestrações Fonte: Elaborada pela autora.

A legenda destaca as interações entre os sujeitos pela dinâmica nos fóruns por postagens de pergunta/resposta na OI1 e na OI3 (linha cinza, tracejada). As formas de destinação do webdoc, artefato disponibilizado para realização da situação da OI1, tornaram-se um artefato para os estudantes em todas as orquestrações posteriores à OI1, exceto a OIp, que tinha foco no conteúdo matemático. Os registros de engajamento dos estudantes com as formas de destinação do webdoc foram registrados (seta preta, tracejada). As postagens nos fóruns da OI1 tornaramse um protocolo utilizado nas OI2 e OI3 (seta azul), assim como as postagens do fórum da OI3 foram utilizadas na OI4 (seta marrom).

Pode-se observar (Figura 93) que a elaboração dos critérios de observação OI2.1 tornouse um protocolo utilizado (seta vermelha) para a realização do registro cursivo e de produção do vídeo da observação da prática OI2.2. Os protocolos escritos e vídeo também foram utilizados na OI4 (seta verde).

Os eventos gerados pelo trabalho do duo na OIp formaram um banco de eventos, um dos protocolos mais importantes da MOI, utilizado na OI4 (seta rosa). Esse protocolo favoreceu, especialmente, a resolução da situação da OI4 (Figura 93), pois os eventos vivenciados e observados se configuraram em exemplos para discussão da Orquestração Instrumental. As discussões geradas no fórum da OI3 com forte articulação com as do fórum da OI1 e experimentos da OI2 e OIp também se tornaram protocolos utilizados na OI4 (seta azul celeste).

É válido informar que o último item da legenda ( Figura 93) foi incluído ao se perceber a situação imprevista de produção de protocolo e uso do mesmo protocolo, em uma mesma orquestra, por grupos distintos. Aceitar a inclusão desse protocolo (grupo E) no processo de realização da situação (grupo D) foi uma decisão ad hoc das formadoras durante a execução da OI4. Assim, o uso do protocolo do grupo E pelo grupo D também foi incluído na análise dos dados da OI4.

A seguir, as trajetórias de apropriação das cinco temáticas relativas à orquestração instrumental, gênese instrumental, situação matemática, configuração didática, modo de execução e performance didática são discutidas. As trajetórias revelam o interesse, do ponto de vista, coletivo e individual, dos estudantes do grupo D pelas temáticas e indícios do entendimento deles em relação a tais temáticas. 

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste capítulo, serão apresentadas as principais conclusões e, após pequeno resgate da pesquisa, um resumo estendido, seguido das limitaçõesidentificadas na pesquisa e as perspectivas de futuros estudos.

CONCLUSÕES

O uso de tecnologias digitais integrado ao ensino de matemática demanda dos professores formação específica. Em 2005, Luc Trouche desenvolveu o modelo da OI, no intuito de favorecer professores de matemática na integração de artefatos à sua prática docente em matemática. Esta pesquisa toma por pressuposto a importância da OI para a prática docente com tecnologias digitais e investiga a OI no âmbito da formação inicial de professores de matemática. Assim, objetiva-se conceber e validar um modelo teórico para a formação de professores de matemática sobre a OIa Metaorquestração Instrumental. A concepção da MOI colocou em evidência a necessidade de uso de um modelo metodológico que favorece a estruturação de um design de formação sobre a OI. Dessa forma, integrou-se ao quadro teórico-metodológico desta pesquisa o Design Experiments [START_REF] Brown | Design Experiments: theoretical and methodological challenges in creating complex interventions in classroom settings[END_REF]COLLINS, 1990;COBB et al., 2002). Os pressupostos do Design Experiments orientam o uso de teorias para conceber designs, desenvolvê-los e testá-los de forma iterativa, na perspectiva de aprimorá-los e validá-los. A própria teoria utilizada para desenvolvimento do design é passível de refinamento.

Um design foi concebido para a MOI. Trata-se de estrutura que uma visa atender à execução de uma metassituação, composta por seis situações de natureza e complexidades distintas. O design é composto por seis orquestrações instrumentais, uma para cada situação.

As orquestrações foram estruturadas para darem suporte às situações propostas e visam à: fundamentação teórica, observação da prática da vivência de uma OI, execução de uma OI, articulação entre teoria e prática vivenciadas, análise e síntese de dados produzidos à luz da orquestração instrumental e, por fim, criação de uma orquestração. Todas as situações buscam a apropriação pelos participantes da MOI sobre a Orquestração Instrumental, ou seja, são de formação, exceto a que propõe a vivência de uma OI, a qual visa à aprendizagem de matemática com integração de tecnologias digitais.

Duas testagens iteradas do modelo teórico em desenvolvimento foram realizadas. A primeira em uma turma de mestrado com 26 mestrandos e duas formadoras serviu como base da origem desta pesquisa, um Estudo Preliminar. O Estudo Principal, segundo teste da MOI, foi realizado em uma turma do curso de licenciatura em matemática de uma instituição pública de ensino superior. Participaram da formação 23 licenciandos em Matemática e duas formadoras. Esse segundo teste exigiu a inclusão dos pressupostos teóricos "formas de destinação" e "modos de engajamento" segundo Remillard (2012), no quadro teórico da pesquisa.

A coleta de dados baseou-se essencialmente na técnica de observação, estruturada e não estruturada (MARCONI; LAKATOS, 2003). A observação não estruturada culminou em registros cursivos; já a estruturada, em entrevista e filmagem. As filmagens emergem do trabalho de um observador e do acionamento de softwares de captura de tela de computador.

Além desses, os testes da MOI geraram outros protocolos criados pelos participantes da formação, e, embora sejam considerados resultados da pesquisa, esses protocolos são analisados como dados desta para efeito de validação do modelo testado.

Para analisar os dados da MOI, resultantes da execução de cada OI, utilizou-se a técnica de Análise Microgenética-Videográfica, com inspiração no estudo de Luciano [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF]. A

técnica favoreceu a organização, a classificação, a descrição e a análise dos dados coletados.

Além disso, contribuiu para a criação de instrumentos de análise que dessem conta das especificidades dos dados coletados sem perder de vista a articulação que se almeja fazer entre tais dados e os pressupostos teóricos da pesquisa. A análise foi orientada pela estrutura sugerida por Meira, a qual segue os seguintes passos: familiarização com os dados; criação do índice de eventos; análise interpretativa dos eventos correlatos ao problema de pesquisa; descrição dos acontecimentos; transcrição detalhadas de eventos; análise exaustiva das transcrições; e, por fim, divulgação dos resultados e da apresentação de interpretações ilustradas.

As análises tiveram como foco a evolução dos participantes na formação, quanto à apropriação desses, relativa aos elementos teóricos da Orquestração Instrumental em estudo.

Trata-se dos conhecimentos construídos pelos futuros professores de matemática sobre a Orquestração Instrumental, ora individualmente ora coletivamente. Já os formadores se mantêm como tal, podendo assumir, também, o papel de pesquisador, a depender de seus interesses em relação à MOI que pode ser formar professores ou futuros professores, ou investigar fenômenos ligados a esse modelo teórico.

Não são apenas os sujeitos que sofrem metamorfose ao longo da formação. Os artefatos também passam por esse processo. Em todas as orquestrações são disponibilizadas tecnologias para a realização das situações propostas. Ao iniciar tal processo de resolução, os participantes geram, a partir da relação situação-artefato-sujeito, protocolos, cujos conteúdos têm a ver com os pressupostos teóricos que se busca aprender. Esses protocolos podem ser utilizados pelos participantes, sozinhos ou em composição com outros artefatos, para realizar situações subsequentes da MOI. Esse novo processo de metamorfose, quando contínuo, ou seja, ao longo da formação, pode formar um sistema de recursos, úteis para executar as situações e para aprender sobre a OI. As trajetórias de formação dos participantes evidenciam não apenas o processo de apropriação da orquestração, mas também os usos dos artefatos e as metamorfoses desses artefatos, realizadas pelos seus usuários, individual e coletivamente.

Sobre a metaconfiguração didática e o metamodo de execução:

A metaconfiguração didática do design, internamente a cada OI, tem a ver com a configuração didática das orquestrações instrumentais que compõem o modelo. Os elementos, nesse caso, são os mesmos prescritos pela OI, modelo teórico que fundamenta a MOI.

Entretanto, externamente às OI, observou-se a necessidade de se considerar aspectos: As orquestrações instrumentais dão suporte aos participantes na execução de cada situação que compõe a metassituação. A execução da primeira situação na OI1 favorece a resolução das demais situações nas OI2, OI3, OI4 e OI5. Isso gera uma articulação entre as situações propostas e, consequentemente, entre as orquestrações correspondentes. A metaconfiguração didática foi projetada para favorecer o uso dos protocolos produzidos durante a resolução de uma situação em uma orquestração, nas demais orquestrações.

Assim, o estudo realizado na OI1 favorece a definição dos critérios de observação e a própria observação guiada pelos critérios (OI2) favorece a discussão teórico-prática e a síntese da análise da OI feita pelos participantes da formação. Ainda que os protocolos não sejam utilizados, só os conhecimentos produzidos pela participação em cada orquestração já contribuem com o trabalho a ser realizado durante toda formação. Além disso, o metamodo de execução foi projetado para garantir que a realização de cada situação de forma que o estudante perceba a OI por diferentes prismas.

Na OI1, tem-se um estudo dos fundamentos teóricos pautado em diferentes tipos de exemplos; na OI2, a observação de uma OI em pleno desenrolar, evidenciando as escolhas didáticas das formadoras, aspectos do trabalho dos estudantes com os artefatos para resolver a situação matemática, entre outros elementos; na OIp, a vivência de uma orquestração, que ajuda a perceber as dificuldades, as limitações e os desafios encontrados pelo estudante para resolver a situação matemática; já na OI3, uma discussão que articula os fundamentos teóricos estudados com as experiências vividas; na OI4, a análise de dados produzidos à luz da orquestração instrumental. O modo de execução de cada situação, em cada orquestração é o que dará aos estudantes a condição de articular o conhecimento construído ao novo, além de juntar tudo que aprendeu durante a formação para poder orquestrar uma situação de ensino de matemática com a integração de tecnologias (OI5).

Sobre gênese instrumental:

Um grande desafio à MOI foi traçar a trajetória de apropriação dos participantes da formação, ou seja, a gênese de formação da OI dos participantes no trabalho individual e coletivo. Nessa direção, a identificação e a análise de componentes de esquemas e de esquemas revelados pelos estudantes no uso dos artefatos e protocolos produzidos por eles mesmos foi essencial à construção da trajetória.

Durante o trabalho coletivo ou em duo, componentes de esquemas eram compartilhados entre sujeitos, a exemplo disso, a concordância e uso de um mesmo conhecimento matemático para a construção de um objeto geométrico no GeoGebra; ou, ainda, a junção de componentes de esquemas de diferentes estudantes para a realização de uma dada parte da situação. Por exemplo, a construção da cabeça pela ferramenta "Círculo dados centro e raio", em que um A análise dessas trajetórias deu indícios de evolução dos estudantes durante a formação.

Eles partiram de uma dinâmica de perguntas e respostas chegando a discutir uma análise à luz da OI. Do ponto de vista da formação coletiva, os estudantes do grupo analisados apresentaram indícios de evolução no entendimento de elementos e processos ligados à gênese instrumental: instrumentalização, instrumentação, artefato, instrumento. Também, revelam avanços quanto à compreensão da noção de esquema.

No tocante às etapas da OI, embora não façam conexão com os termos: configuração didática, modo de execução, performance didática, os estudantes revelam saber os elementos relevantes a cada etapa, especialmente a configuração didática. Do ponto de vista de formação I -Considere, para elaboração dos critérios, os processos de gênese instrumental, os esquemas de utilização, os aspectos de gestão que podem interferir (contribuindo ou não) com a execução da tarefa matemática (condições dadas pelas professoras para realização da tarefa, organização do grupo, escolha de recursos, as ações de cada estudante executor, etc); II -Considere, durante a observação e a anotação, os critérios elaborados por vocês e as orientações;

Critérios de Observação: Recursos: ficha de anotação, tablet (pode-se utilizar o celular), critérios de observação definidos.

CONDIÇÕES Os estudantes-observadores deverão:

(a) trabalhar em dupla, mas sem manter qualquer tipo de comunicação com os demais estudantes durante a elaboração dos critérios e coleta de dados;

(b) observar as interações e ações dos estudantes-atores durante a realização da tarefa matemática, fazendo anotações relevantes de acordo com os critérios de observação de todo processo de resolução da situação matemática

Bom trabalho!

Figura 1 -Figura 5 -Figura 6 -

 156 Figura 1 -Fundamentos teóricos da MOI ..................................................................... Figura 2 -Os dois componentes da gênese instrumental .............................................. Figura 3 -A ferramenta para o desenvolvedor e para o usuário ................................... Figura 4 -Elementos de um cenário de execução didática ........................................... Figura 5 -As complexas características do Design Experiments ................................. Figura 6 -Esquema de composição de design Experiments considerando suas características ............................................................................................... Figura 7 -Esquema da estruturação das etapas da pesquisa ......................................... Figura 8 -Design da MOI -1.ª versão ......................................................................... Figura 9 -Estrutura de organização dos dados para análise microgenética.................. Figura 10 -Metaorquestração instrumental do estudo preliminar .................................. Figura 11 -Cenário da configuração didática e modo de execução das OI1 e OI2 ......... Figura 12 -Estrutura de coleta de dados -Estudo Preliminar ........................................ Figura 13 -Situação matemática da OI -Construção de um boneco no GeoGebra ....... Figura 14 -Enunciado da situação matemática .............................................................. Figura 15 -Ilustração da ampliação e redução das partes do corpo ............................... Figura 16 -O Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci .............................................. Figura 17 -As proporções da estrutura óssea masculina ................................................ Figura 18 -A cabeça como unidade de medida .............................................................. Figura 19 -Área de visualização do software GeoGebra ............................................... Figura 20 -Alterações configuração didática e no modo de execução da OI 1 e OI 2 ...... Figura 21 -Grupo C determinando a razão de proporcionalidade .................................. Figura 22 -Início da instrumentalização do grupo C...................................................... Figura 23 -Construção da cabeça e tronco na vertical passando pelo centro da circunferência ............................................................................... Figura 24 -Pressupostos teóricos e construção da orquestração instrumental ............. Figura 25 -Cenário da OI3 ............................................................................................ Figura 26 -Disposição dos sujeitos e artefatos no cenário da OI3 ................................ Figura 27 -Cenário da OI4 ............................................................................................ Figura 28 -Design da MOI -1.ª versão testada ........................................................... Figura 29 -Refinamento do cenário de execução didática ........................................... Figura 30 -Características do modelo teórico metaorquestração instrumental ............

Figura 1 -

 1 Figura 1 -Fundamentos teóricos da MOI

  a) um objetivo, com subobjetivos e antecipações; b) regras de ação, de tomada de informação e de controle; c) invariantes operatórios que são os conceitos-em-ação e o teoremas-em-ação; d) possibilidades de inferência em situação. Esses componentes, constituintes da totalidade do esquema, são o que o torna dinâmico e funcional. O objetivo, subjetivos e antecipações, para Goigoux e Vergnaud (2005), dão o caráter intencional do esquema do sujeito em situação, consistem em eventuais resultados esperados em relação à atividade. Do objetivo emergem os subobjetivos que, segundo Vergnaud (2013), são organizados em sequência e hierarquicamente, e dão origem às muitas antecipações.

Figura 2 -

 2 Figura 2 -Os dois componentes da gênese instrumental

Figura 3 -

 3 Figura 3 -A ferramenta para o desenvolvedor e para o usuário

  Figura 4 -Elementos de um cenário de execução didática

Figura 5 -

 5 Figura 5 -As complexas características do Design Experiments

Figura 7 -

 7 Figura 7 -Esquema da estruturação das etapas da pesquisa

Figura 8 -

 8 Figura 8 -Design da MOI -1.ª versão

  Figura 10 -Metaorquestração instrumental do estudo preliminar

  Figura 11 -Cenário da configuração didática e modo de execução das OI1 e OI2

  a) o questionário estruturado aplicado para traçar o perfil dos estudantes-atores da OI1; b) a observação e diário de bordo relativo ao experimento da OI1; c) a filmagem das ações dos estudantes-atores ao resolverem a situação matemática no experimento da OI1; d) a captura de tela (em vídeo) como importante instrumento para pesquisas com o uso de recursos computacionais.

Figura 12 -

 12 Figura 12 -Estrutura de coleta de dados -Estudo Preliminar

  para estruturar as análises dos dados: a) familiarização com os dados e caracterização da atividade; b) criação do índice de eventos relevantes à pesquisa; c) análise interpretativa e rigorosa dos eventos correlatos ao problema de pesquisa; d) transcrições literais dos áudios e descrições detalhadas das ações, gestos dos sujeitos presentes nos eventos selecionados; e) assistir reiteradamente os episódios, apoiado pela análise das transcrições/descrições, e interpretar os eventos correlatos à atividade e à caracterização sólida dessa; f) divulgação dos resultados, se possível com ilustrações das interpretações realizadas.

Figura 20 -

 20 Figura 20 -Alterações configuração didática e no modo de execução da OI1 e OI2

Figura 23 -

 23 Figura 23 -Construção da cabeça e tronco na vertical passando pelo centro da circunferência

Figura 26 -Evento Síntese do Evento 1

 261 Figura 26 -Disposição dos sujeitos e artefatos no cenário da OI3

( 09 :

 09 54 a 10:26) -EO1*: "O arranjo que foi um arranjo sistêmico onde foram formados os grupos práticos se trabalhar; os artefatos que no caso foi a inserção dos recursos, que seria o software; e as pessoas que seriam os seres humanos em sala de aula, e a interação dos professores que [...] ficaram coordenando, auxiliando." *Compara elementos da definição com o que vivenciou na OI1.

( 10 :

 10 28 a 10:54) -EA1**: "quando eu vejo esta definição, eu fico pensando na Teoria das Situações Didáticas, em que você tem um professor que age com intencionalidade, trazendo uma situação [...] como é feito [...] busca o saber do aluno, aí eu fico pensando será que a diferença básica seria que esta (OI) você tem o instrumento, algo que tá na essência da teoria, e eu sei, que na teoria das situações didáticas isto não existe [...]." **Compara elementos da definição com o que vivenciou na OI1. Fonte: Elaborado pela autora.

Figura 27 -

 27 Figura 27 -Cenário da OI4

É

  importante ressaltar que, ao acessar os dados coletados, os grupos poderão focar seu trabalho de análise e síntese em trechos o registro cursivo ou extratos dos vídeos e captura de tela. Esses trechos e extratos podem ser considerados eventos, cujas informações neles contidas favorecem a análise à luz do aporte teórico em estudo: a) a captura de tela (OI1) evidencia, por meio das imagens, os processos de resolução da situação matemática, mas também, por meio de seu áudio, as interações dos estudantes-atores. Isso pode dizer muito sobre suas motivações, dificuldades e escolhas, entre outros aspectos. Esses dados são essenciais para entender o desenvolvimento da gênese instrumental de cada participante durante o trabalho coletivo; b) o vídeo (OI2) das interações do grupo permite acompanhar os gestos e tomadas de decisões externas (como uso de rascunhos, por exemplo), as quais a captura de tela não alcança; c) as respostas dadas durante a entrevista, além de ajudar na construção do perfil dos participantes, também contribui para o entendimento sobre alguns fenômenos que venham ocorrer durante o experimento. Isto põe em xeque o planejamento da configuração didática e modo de execução da (OI1), por exemplo; d) vídeo da discussão teórico-prática permite identificar como os participantes entendem a OI e as relações que consegue fazer entre ela e as orquestrações criadas para seu entendimento.

  PRELIMINAR PARA A MOI O estudo preliminar resultou na concepção de um Design Experiments para a MOI, um modelo de formação para professores de matemática com integração de tecnologias digitais (LUCENA; GITIRANA; TROUCHE, 2016). A primeira testagem da metaorquestração possibilitou a elicitação de requisitos relevantes ao melhoramento do design da metaorquestração e o refinamento teórico deste modelo em desenvolvimento. As contribuições identificadas no teste e análise dos resultados do estudo preliminar foram organizadas, considerando sua relação com: a) as metamorfoses das definições correlatas à orquestração instrumental na MOI; b) as definições necessárias de ser cunhadas na MOI; c) a caracterização da MOI; d) o detalhamento mais preciso das situações e classe de situações da metassituação de formação; e) o melhoramento da design da MOI; f) a necessidade de integração, exclusão e concepção de novos artefatos; g) o aperfeiçoamento e/ou criação de instrumentos de análise.

Figura 28 -

 28 Figura 28 -Design da MOI -1.ª versão testada

  orquestrações instrumentais que compõem a metaorquestração são articuladas e cada uma cumpre um papel relevante à formação do aporte teórico em estudo. Assim, inviabilizar a vivência de uma delas pode incorrer em prejuízo quanto à aprendizagem dos estudantes e às análises dos dados por parte do formador, pois a partir dessas análises é que se pode verificar o desempenho dos participantes na orquestração e validar o modelo em desenvolvimento.A definição do tempo de execução da situação precisa considerar as demandas e restrições impostas aos resolvedores. Precisa, ainda, levar em conta possíveis imprevistos que ocorrem na operacionalização da orquestração, além das dificuldades dos estudantes com a situação ou com o artefato disponibilizado. A definição do tempo de execução de cada orquestração para resolução das situações propostas é tão importante quanto cumprir com precisão o tempo preestabelecido. Tal cuidado é relevante não apenas para garantir a execução da orquestração planejada, mas também para que se evite que essa execução não seja aligeirada como ocorreu com a OI4. É relevante à OI1 identificar o que sabem os participantes, especialmente sobre os conhecimentos específicos e sobre os artefatos disponibilizados na orquestração demandados pela situação proposta, a qual irão tentar resolver. Traçar o perfil dos sujeitos e utilizá-lo para pensar as situações da metaoquestração pode contribuir significativamente para a validação desse modelo e para o sucesso da orquestração.

  Outro aspecto que precisa ser levado em conta é quanto o artefato precisa ser excluído da OI por não dar o suporte esperado à resolução da situação. Um claro exemplo disso é o texto indicado aos estudantes para fundamentação teórica. Denso e escrito em outro idioma que os estudantes não dominavam, culminou em uma não leitura quase que da turma toda. A leitura do texto indicado é fundamental para que o estudante tenha o primeiro contato com a teoria que se busca aprender, sendo que a não leitura pode prejudicar o bom desempenho dos estudantes durante toda formação. 120

123 5 . 1 . 1

 511 Adaptações do cenário de elementos de execução didáticaNo capítulo 2 deste trabalho, discutiu-se um cenário de elementos de execução didática para OI, sugerido por Drijvers e Trouche(2008). Esses elementos são pontos fundamentais de partida para o professor que deseja orquestrar o ensino: o ambiente, a situação, os sujeitos, os artefatos etc. Também, são consideradas configurações didáticas e os modos de execução que podem ser desenvolvidos a partir destes elementos.

(

  maestro) para repensar novos arranjos, porém algumas vezes não são percebidas pelo professor (maestro). Na Figura 29, pode-se observar os elementos do cenário de execução didática proposto por Drijvers e Trouche (2008) e os que foram identificados nas análises do Estudo Preliminar. Esse cenário é discutido por Lucena, Gitirana e Trouche (a publicar).

Figura 29 -

 29 Figura 29 -Refinamento do cenário de execução didática

  Figura 30 -Características do modelo teórico metaorquestração instrumental

Após consultar a professora

  da disciplina e os estudantes, e esclarecer sobre os objetivos e da pesquisa, o convite foi lançado e aceito. A turma tinha 24 licenciandos matriculados, participando efetivamente das aulas desde o início da disciplina. Porém, o quantitativo dos que participaram de cada uma das orquestrações foi distinto, variando em cada orquestração, como normalmente acontece no transcorrer de uma disciplina real. O quantitativo de participantes será apresentado na descrição individual de cada orquestração na próxima seção. Diferentemente do que ocorreu no Estudo Preliminar, em que a metaorquestração foi vivenciada em 4 h/a, o segundo teste da MOI ocorreu em 6 horas presenciais. Dessas, 2 horas foram destinadas aos experimentos da OI2 e OIp e 4 horas destinadas às apresentações da OI4. Já as orquestrações OI1 e OI3 foram executadas em duas semanas distintas e a distância. Essas ora foram executadas individualmente (OI1 OI2 e OI3), ora em dupla (OIp), ora em grupos (OI4).

  que correu em duo (OIp) e individualmente (OI2). No dia, quatro grupos foram formados, cada um com quatro componentes. Depois, para dar oportunidade aos estudantes que faltaram, mais dois grupos foram formados. No total, seis grupos foram formados, mas apenas três foram selecionados, para que os dados produzidos pelos seus componentes fossem analisados. Os grupos A, C e D foram selecionados por atender a todos os critérios de escolha: a) participação do grupo (ao menos dois dos componentes) em todas as orquestrações da MOI; b) participação do grupo no experimento na OIp; c) qualidade técnica dos dados do grupo a serem analisados (vídeo com imagem e áudio, arquivos do GeoGebra, captura de tela). No entanto, o volume de dados coletados fez com que fosse decidida a escolha de apenas um desses três grupos para proceder a análise. Escolheu-se o grupo D porque a frequência e a participação, individual e coletiva, na MOI dos componentes desse grupo foi superior e melhor (qualidade dos dados apresentados) que as dos grupos A e C.

  Neste estudo, tem-se um redesign da MOI (Figura 31), já com as adaptações necessárias e pautadas nas contribuições do Estudo Preliminar, entre elas a definição, os elementos e as características desse modelo. Esse redesign da MOI foi discutido por Lucena, Gitirana e Troche (2018).

Figura 31 -

 31 Figura 31 -Redesign da metaconfiguração didática -Estudo Principal

  da vivência da OIp, os estudantes-observadores da OI2 geram registro cursivo e vídeos. Os softwares também contribuem com a coleta de dados, o A-tube catcher que gera um vídeo da captura de tela do computador, o arquivo gerado pelo GeoGebra referente à construção do boneco e o formulário do Gdrive enviado por e-mail aos estudantes para responderem on-line.

Figura 32 -

 32 Figura 32 -Estrutura de coleta de dados da MOI

formação 1 (

 1 S1). Tinha-se por objetivo o estudo inicial, pautado na leitura, reflexão e discussão sobre os conceitos-chave que fundamentam o modelo teórico OI. A situação de formação 1 (S1), por sua vez, foi definida dentro de uma classe de situações, a qual visa a fundamentação inicial de uma teoria. Ambas são definidas a seguir: a) Situação de formação: introduzir e discutir o modelo teórico da orquestração instrumental em um fórum com base na leitura de um Webdoc com exemplos. b) Classe de situação de formação: introduzir e discutir sobre um modelo teórico em um fórum com base na leitura de um texto. A seguir são descritos dois pontos de vista esEspera-se com a realização da situação de formação (I) Do ponto de vista das formadoras: -introduzir o modelo teórico OI, do ponto de vista das formadoras, dada a relevância de seu estudo para formação e prática dos futuros professores de matemática; (II) Do do ponto de vista dos estudantes: a) apreciar os fundamentos teóricos da OI; b) conhecer e refletir sobre alguns exemplos práticos como suporte ao entendimento da teoria; c) expor suas dúvidas sobre o modelo teórico em estudo; d) ensaiar respostas, pautadas no modelo teórico, às questões apresentadas pelos colegas.

(

  configurados na inserção) com duas arquiteturas de webdocumentos: lista de recursos e textos com recursos embutidos (BELLEMAIN et al., 2017). Para criar o webdoc didático para formação sobre a OI, utilizou-se a arquitetura de textos com recursos embutidos.

Figura 36 -

 36 Figura 36 -Webdocs Studium

Figura 37 -

 37 Figura 37 -Interface parcial do webdoc didático sobre orquestração instrumental

Quadro 6 -

 6 Quadro 6 -A voz, o texto e as funções Trecho textual estático do webdoc -A voz das autoras e suas funções

Figura 40 -

 40 Figura 40 -Temáticas discutidas no webdoc

Figura 41 -

 41 Figura 41 -Ilustração com questões para refletir

Figura 42 -

 42 Figura 42 -HQ 1: A instrumentada

Figura 43 -

 43 Figura 43 -Parte da interface do fórum de discussão -Google Groups

  5.3.1.5 Método de análise da OI1 Dos 24 estudantes da turma, 18 participaram da OI1. Foram totalizadas 37 postagens de perguntas e respostas, no fórum da OI1. Com a análise dessas postagens, objetivava-se: a) identificar as temáticas de interesse dos grupos sobre o modelo teórico em estudo; b) verificar o processo de instrumentalização dos estudantes em relação ao webdoc para perguntar e responder no fórum; c) verificar o processo de instrumentalização dos estudantes em relação ao fórum; d) identificar componentes dos esquemas (regras de ação e invariantes operatórios) dos estudantes na realização da situação de formação no fórum. Assim, para analisar as postagens foram seguidas as etapas indicadas pela análise microgenética-videográfica, segundo Meira (1994), considerando a necessidade de adaptações em detrimento da natureza dos dados. Analisam-se postagens de um fórum, em formato textual e não extratos de vídeos. Por ser uma análise teórica, houve necessidade de criar um instrumento de análise pautado nos dados e fundamentos teóricos em análise. As etapas seguidas foram: a) leitura e releitura das postagens do fórum para conhecer os dados; b) seleção das postagens que representavam perguntas e respostas dos estudantes relacionadas à OI. Todas foram selecionadas, pois não houve postagens não direcionadas à resolução da S1;

Trecho 2 -

 2 Webdoc: artefatos e instrumentos. EA1 -NÃO. É necessário também que o professor faça uso integrado dos artefatos. O que só é possível quando esses se tornam instrumentos para o professor.

Trecho 5 -

 5 Webdoc: modo de execução. "O modo de operação é a execução da configuração didática; a forma que a atividade deverá ser desenvolvida, quando e como cada ferramenta inserida no ambiente e cada participante, seja professor ou estudante, desempenhará seu papel, visando aos benefícios das intenções didáticas. Esse princípio prevê e leva em conta possíveis resultados das ações instrumentadas." Partindo do pressuposto de que EA1 leu o texto (total/parcial), acredita-se que não percebeu o erro de digitação. Assim, é possível que EA1: a) tenha feito a pergunta apenas para resolver a situação, uma vez que havia uma resposta após o trecho selecionado; b) tenha feito a pergunta apenas para testar os colegas; c) é possível que a leitura realizada não tenha auxiliado na a compreensão do trecho, levando-o a questionar sobre sua finalidade. EA2: Ler texto para escolher trecho afirmativo e transformá-lo em pergunta: No Quadro 16, pode-se observar nova atuação do estudante-ator 2 (EA2) que pergunta sobre a performance didática.

  a) a realização da leitura (total/parcial) por maioria dos estudantes da turma (18 dos 23); b) o uso do webdoc como recurso suporte para perguntar ou responder, revelando por meio das perguntas e respostas às primeiras ideias (entendimento, incompreensões) sobre o modelo teórico. Todas as temáticas e subtemáticas tratadas pelos estudantes do grupo D no fórum já haviam sido previstas. Analisar as perguntas e respostas a partir da lista de temáticas/subtemáticas consistiu em uma estratégia relevante para identificar aquelas que interessam aos estudantes. No caso do grupo D, interessaram, inicialmente: artefato, instrumento, instrumentalização, instrumentação, esquemas, modo de execução e configuração didática. Há uma hipótese de que o interesse desses estudantes sobre tais temáticas/subtemáticas será mantido durante toda MOI. Outro fator importante revelado na análise das postagens é a necessidade de revisão do conteúdo estático do webdoctexto. Os modos de engajamento dos estudantes do grupo D com o webdoc revelaram que trechos do webdoc foram lidos e utilizados pelos estudantes para resolver a situação. Revelaram também como esses fizeram uso dos trechos lidos do texto, tais como dos conteúdos dos recursos integrados ao webdoc. Trata-se da relação dos estudantes com o webdoc, ou seja, como fizeram uso da leitura realizada para perguntar e responder. Quatro modos de engajamento com o webdoc foram identificados: a) engajamento com o recurso HQ que serviu ao leitor para entender e elaborar exemplo; b) engajamento com a parte textual produzida pelas autoras para fundamentar resposta elaborada; c) engajamento com a parte textual produzida pelas autoras para transformar trecho afirmativos em perguntas; d) engajamento com o texto das autoras para selecionar termo ou trecho lidos, como fonte para elaborar pergunta ou resposta. Exceto EO1, os demais componentes do grupo D que participaram do fórum optaram termos e trechos da parte textual escrita pelas autoras, para responder ou perguntar, não sendo evidenciada preferência pelos recursos integrados (HQ, Vídeos etc.). Já EO1 dá indícios em suas postagens de engajamento com o webdoc por meio da navegação e interação entre o texto e a HQ A instrumentada. Para responder, EO1 faz uso do texto e HQ e para perguntar faz uso do texto.

  figura, salientando a importância da ferramenta de arrasto na Geometria Dinâmica, figuras podem ser vistas como assumindo o papel da realidade em relação à teoria, bem como assumindo o papel de modelo para a teoria geométrica. Alguns fatores materiais do espaço físico real são modelados pela geometria e expressos na teoria por afirmações (em linguagens natural ou mais formal). Mas essas afirmações podem novamente ser representadas em forma material como o traçado do espaço físico em 2D. A noção de figura geométrica refere-se a essa última forma, que é resultado do processo de teorização seguida do processo de materialização.Como representação material (desenho), a figura dá origem à impressão visual enquanto aponta para conceitos teóricos. Para considerar esse papel dual, desenho e figura são distinguidos. Desenho, refere-se à entidade material enquanto figura, refere-se ao objeto teórico ou, como coloca Parzysz (1988, p. 80): "o objeto geométrico que é descrito pelo texto que o define". Assim, optamos por oferecer o desenho do boneco (Figura 44), para que os estudantes se mantivessem com um boneco simples, com foco nas razões entre os comprimentos das partes do boneco. A situação matemática proposta na OIp demandava aos EA a construção de um boneco (cabeça, tronco e

-

  criação por estimativa; d) construção (Manutenção da razão) -(a) da cabeça, (b) do corpo e (c) membros:

(

  I) Uso do modelo para as razões: para decidir o modelo, os EA podem escolher um dos estudantes de seu grupo para que as razões entre os comprimentos das partes do seu corpo sirvam como modelo para o desenho (A). Eles podem também desprezar a informação sobre o modelo humano, e decidir utilizar o desenho oferecido no protocolo, e utilizar as razões entre as partes daquele boneco já desenhado (B) como modelo. Eles podem ainda não utilizar modelo algum (C) e inventar as razões ou buscar na internet (D).(II) Uso do desenho como estilo de boneco: no que concerne à forma, os EA podem usar o desenho fornecido no protocolo como modelo de boneco (A), formado por segmentos de reta (corpo) e uma circunferência (cabeça). Também podem criar um modelo próprio de boneco (B), por exemplo, usando um único tipo de figura geométrica (retângulos) para fazer o corpo e a cabeça.(III) Obtenção das razões: para obter as razões, os EA podem fazer uso de instrumentos convencionais de medição como a régua (A), ou ainda, os não convencionais, como o palmo ou outra parte do corpo, por exemplo, o antebraço (B). É possível que façam busca na internet (C), por razões já definidas entre partes do corpo humano, em sites especializados em desenho geométrico, por exemplo. Eles podem, também, estimar (D) medidas em relação às partes do corpo e, consequentemente, chegar às razões entre essas.(IV) Construção (manutenção da razão) da cabeça: uma vez definidas as razões entre as partes do corpo, os EA poderão mantê-las a partir da escolha de uma variável, controlada pelo uso de um controle deslizante (A). Considerando a formação que receberam anteriormente, em que tal procedimento fora adotado, é possível que esta seja uma estratégia escolhida pela maioria dos EA. Assim, os estudantes podem utilizar o comando circunferência com raio dado, e inserir a variável definida no controle deslizante para fazer a circunferência representando a cabeça. É possível, ainda, que busquem manter as razões por meio da manutenção das propriedades das figuras geométricas construídas (B). Podem utilizar uma circunferência que passa por dois pontos, escolher o centro e arrastar para definir o raio. Esse raio seria a unidade utilizada para traçar as outras partes. E, também, podem optar por tentar manter as razões visualmente (C), fazem a circunferência, mas não se preocupariam em manter as razões depois.(V) Construção (manutenção da razão) do corpo: uma vez escolhido como traçar o corpo, os estudantes podem definir seu comprimento a partir do compasso a razão vezes a variável do controle deslizante (A), garantindo a proporcionalidade entre cabeça e corpo. É possível, ainda, que busquem manter a razão entre cabeça e corpo por meio do traçado de uma circunferência com centro no ponto de interseção da reta com a circunferência para a manutenção das propriedades das figuras geométricas construídas (B). Assim, traçariam circunferências consecutivas até o valor da razão. E, também, podem optar por tentar manter a razão visualmente (C).

(

  VI) Construção (manutenção da razão) dos membros: uma vez escolhido como traçar um dos membros, os estudantes podem definir seu comprimento a partir do compasso a razão vezes a variável do controle deslizante (A), garantindo a proporcionalidade entre cabeça e corpo. É possível, ainda, que busquem manter a razão entre cabeça e corpo por meio do traçado de uma circunferência com centro em um ponto, também escolhido a partir de uma razão, do segmento que faz o corpo, e com raio igual à razão vezes o raio da circunferência da cabeça, garantiriam a razão entre cabeça e membros por construção geométrica (B). E, também, podem optar por tentar manter a razão visualmente (C), ou mesmo não se preocuparem com tal razão. (VII) Posicionamento do corpo em relação à cabeça: ao tentarem construir o boneco, os EA podem manter o corpo na posição ortogonal à circunferência (A), uma posição comumente utilizada, considerando a posição do corpo humano ao qual o boneco faz referência. Nesse caso, eles podem escolher fazer uma reta que passa pelo centro da circunferência e um ponto da circunferência. E, depois, escolher como corpo um segmento sobre essa reta que inicia sob o ponto de intersecção da reta com a circunferência. É possível que desprezem a referênciacorpo humanoe construam o boneco sem manter o corpo na posição convencional (B), uma vez que essa não é uma condição imposta pela situação.(VIII) Construção (manutenção da simetria entre os membros): a simetria entre os membros é uma condição da situação, imposta aos EA. Esses poderão utilizar ferramentas do GeoGebra para manter a simetria entre os membros por uso da reflexão (A), precisando apenas construir um membro, como um segmento, e a ferramenta por reflexão garantirá a simetria.Podem não usar as ferramentas de reflexão do GeoGebra, optando por construir geometricamente o mesmo objeto duas vezes (B). Também podem tentar manter a simetria a partir da manutenção do comprimento, mas não da posição dos objetos construídos (C). É possível que tentem garantir a simetria visualmente (D) ou, ainda, que desprezem esta condição e não tentem manter a simetria (E).(IX) Validação da construção: a cada etapa construída, os EA podem tentar testar a sua construção por arrasto de um ponto (A) e/ou por mover o controle deslizante quando definido (B). Há ainda a possibilidade de os estudantes fazerem tal validação somente ao final de toda a construção, por arrasto de pontos (C), ou pelo controle deslizante (D). Eles poderiam também não buscar validar e considerar como solução da situação a construção do desenho, sem validação.

  Figura 45 -Cenário das configurações didáticas da OI2 e OIp

  Abordagem instrumental: a) a relação entre artefato e instrumento: o uso ou não dos artefatos disponibilizados (tablet, notebook, softwares, protocolo impresso etc.) por parte dos EA para realizar a Sp pode servir de exemplo para: (a) a diferenciação entre o artefato e o instrumento, que pode ser percebida em ações instrumentadas dos sujeitos, tais como: explorar o menu, utilizar aleatoriamente algumas ferramentas, tentativa e erro de algumas construções, buscando conhecer as funcionalidades da tecnologia utilizada, são exemplos de que essa, ainda, é um artefato para o sujeito; b) as ações instrumentadas, em que o sujeito começa a articular os conhecimentos necessários (específico, tecnológico, geometria dinâmica) à resolução da situação, dá início a ações coerentes rumo à resolução desta, tem-se o instrumento; c) os processos de instrumentalização e instrumentação: as estratégias de resolução da situação com suporte dos artefatos disponibilizados podem servir de exemplo para entender a diferença entre os processos de instrumentalização e instrumentação; d) perceber a necessidade de conhecimento específico para resolver a situação matemática e de conhecimento para uso dos artefatos; e) reconhecer a relação entre os conhecimentos matemáticos necessários e integrados às diferentes ferramentas do software, bem como, os esquemas de utilização e seu papel na gênese instrumental.As ações para uso dos artefatos e definição de estratégias de resolução colocam em evidência esquemas dos EA, ou componentes deles. Assim, tais ações podem ajudar a: a) identificar esquemas existentes ou em desenvolvimento, ou ainda, partes de esquemas; b) compreender a relevância dos esquemas de utilização dos artefatos para constituição do instrumento e para favorecer a gênese instrumental; c) identificar conhecimentos prévios ou a ausência desses durante o processo de resolução da situação e, consequentemente, os reflexos desses para fazer emergir ou não a gênese instrumental.Orquestração Instrumental: a) Configuração didática (situação matemática, artefatos, papéis, atores, tempo pedagógico). Na performance didática da OIp, exemplos relativos à configuração didática podem ser revelados:

  quais formaram quatro grupos (A, B, C e D) com quatro estudantes cada, quantitativo previsto em detrimento das análises do estudo preliminar que apontou para necessidade de grupos com no máximo quatro participantes. Os estudantes faltosos se organizam em mais dois grupos: o E, com três integrantes, e o F, com cinco integrantes. Esses últimos tiveram a oportunidade de realizar o experimento a distância e continuar na formação, participando das demais orquestrações instrumentais propostas, a OI4 e OI5. Isso porque esses precisavam atender às exigências do componente curricular no qual estavam matriculados. A orquestração instrumental é parte do conteúdo da disciplina, e foi estudada por meio da meta-orquestração instrumental vivenciada. Inicialmente, alguns critérios foram definidos para escolha dos grupos que deveriam ter seus dados analisados. São: a) participação presencial na OIp. Esse primeiro critério se justifica pelo fato do acompanhamento das formadoras durante a atuação dos EA, os quais deveriam seguir as orientações e restrições estabelecidas. Assim, os grupos E e F foram excluídos; b) participação de pelo menos um dos membros de cada grupo em cada orquestração. O grupo B foi excluído por nenhum de seus componentes participou da OI3; c) três grupos atenderam aos critérios (a) e (b), a saber: A, C e D. Entretanto, por motivo do tempo para conclusão desta tese, optou-se por analisar os dados de dois desses grupos apenas, sendo escolhidos o grupo A e o grupo D. O grupo A foi escolhido por ser o único grupo que participou da formação, mas não conseguiu fazer uso do modelo teórico para definir critérios de observação (OI2) e para analisar os dados da gerados na OIp. O grupo D foi escolhido porque, de todos os grupos, este revelou melhor participação na formação e conseguiu fazer uso do modelo teórico em todas suas participações nas orquestrações vivenciadas. Esses dois grupos mostraram-se extremos no que concerne ao uso do modelo teórico em cada etapa da formação. 5.3.2.6.1 Coleta de dados Todos os grupos coletaram os dados gerados por seus componentes. Isso foi feito por duplas distintasestudantes-observadores na OI2 e pelos EA na OIp, em momentos simultâneos, a execução da OI2. Foram gerados três tipos de vídeos: a) o da tela do computador ou tablet, feito pelo software já instalado -aTube Catcher, o qual registra o áudio e todas as ações dos EA no computador/tablet durante a resolução da situação matemática; b) o do estudante-observador na OI2 que filmou as interações dos EA, entre eles, com as mediadoras (formadoras), com as tecnologias utilizadas e demais colegas do grupo. Os gestos desses estudantes também foram captados; c) um vídeo realizado por uma câmera colocada em ponto estratégico da sala, para filmar a dinâmica da sala como um todo. Além dos vídeos, o arquivo de construção do boneco, com todo histórico de construção e a construção da dupla de EA, gerado pelo software GeoGebra e salvo por estes estudantes, também foi utilizado na análise dos dados da OIp. Ao considerar o grupo D promissor no que concerne a bons resultados em relação à MOI, resolveu-se iniciar a análise com os dados desse grupo. Para isto, utilizou-se a técnica de análise microgenética-videográfica (MEIRA, 1994) e realizaram-se adaptações no instrumento de análise utilizado na OI1, porque a natureza dos dados da OI1 e OIp era distinta.

  Figura 44). Três exemplos relativos à situação são evidenciados nessa etapa. Os estudantes EA1 e EA2 pegam o protocolo de orientação sobre a situação matemática e buscam: a) ler e identificar as condições e as restrições da situação [00:06 a 00:20]; b) identificar quais conhecimentos específicos serão necessários mobilizar para resolvêla [00:06 a 01:45]; c) selecionar quais informações inicialmente serão levadas em conta, assim como as que não são aceitas [00:21 a 00:26].

Figura 49 )

 49 Figura 49) para definir o controle do movimento, utilizando uma dependência entre a variável do controle e os comprimentos das partes do boneco, para obter assim a razão [02:25 a 03:10].

Figura 53 -

 53 Figura 53 -Uso de uma variável como unidade de medida no controle deslizanteraio

Figura 54 -

 54 Figura 54 -Tentativa de validação do boneco construído

Figura 55 -

 55 Figura 55 -Tentativa de conectar cabo de carregamento para evitar reinicialização

Figura 56 -

 56 Figura 56 -Tentativa de construção do boneco

Figura 58 -

 58 Figura 58 -Linha do tempo 2configuração didática

  208

e

  Figura 61 -EA1 e EA2 assumem simultaneamente o controle do tablet

Figura 62 -

 62 Figura 62 -EA1 assume o controle do notebook

Figura 63 -

 63 Figura 63 -Linha do tempo 4gênese instrumental

Figura 64 -

 64 Figura 64 -Ferramentas do GeoGebra utilizadas para construção da cabeça

Figura 65 -

 65 Figura 65 -Construção do círculo articulado ao controle deslizante

Figura 66 -

 66 Figura 66 -Multiplicação de coordenadas do centro da circunferência pela variável do controle deslizante

Figura 68 -

 68 Figura 68 -Construção de controle para vincular objetos já construídos

Figura 69 -

 69 Figura 69 -Fases da construção do bonecocabeça, tronco e membros

A

  manipulação dos objetos construídos destaca aspectos relevantes da construção, especialmente as incoerências, as quais, ao serem identificadas, podem ajudar o duo a chegar a resolução correta da situação matemática. É possível perceber que o ponto B (final do tronco) e os dos pés não dependem do controle deslizante nem do raio da cabeça, portanto ficam invariantes (Figura 70). Já os braços alteram o comprimento, pois C (extremo do segmento que faz o corpo) é ponto da cabeça. Logo, o comprimento do tronco diminui à medida que a cabeça aumenta, até que o ponto B passa para o interior da circunferência e o tronco volta a aumentar.

Figura 70 -

 70 Figura 70 -Boneco construído pelo duo

Figura 72 -

 72 Figura 72 -Linha do tempo 5performance didática

Figura 73 -

 73 Figura 73 -Desenho do boneco (1.º modelo) e condição de escolha de um modelo humano

Figura 74 -

 74 Figura 74 -EA2 fica no controle do tablet e do protocolo de orientação

Figura 75 -

 75 Figura 75 -EO2 filma com um tablet o trabalho do duo

Figura 76 -

 76 Figura 76 -F1 tenta reproduzir, no notebook, a construção feita no tablet pelo duo

(

  estudantes-observadores -EO) observarem a execução da OIp realizada pelos estudantesatores (EA) dos mesmos grupos. Os dados produzidos pelos EO, posteriormente, poderão ser observados e analisados por todos os estudantes na OI4. Isso faz da OIp um artefato para os estudantes-observadores da OI2. Enquanto os estudantes-atores buscam resolver a situação matemática, assumindo o papel do aluno de sala de aula, os estudantes-observadores assumem o papel de pesquisadores da sala de aula, o qual observa, registra, analisa o que seus estudantes fazem, como fazem e o porquê de suas ações. 5.3.3.1 A situação de observação da prática Vislumbra-se que essas observações feitas pelos EO e pelos GeoGebra (arquivo) e aTube Catcher (vídeo) sirvam para que os grupos possam identificar eventos da OIp, que compõem um banco de exemplos, relacionados aos elementos da OI. A seguir, apresentam-se a situação de formação proposta da OI2 e a classe de situação de formação definida: a) situação de formação: definir critérios, à luz do modelo teórico da orquestração instrumental, para observação de um experimento pautado nesses critérios; b) classe de situação de formação: definir critérios à luz de um modelo teórico para observação de um experimento pautado nesses critérios. É relevante notar na descrição da situação de formação da OI2 que sua essência é observar os elementos da performance didática relativa à resolução da situação matemática da OIp. A OI2 se desenrola em dois momentos distintos: o primeiro OI2.1 ocorre antes da observação. É o momento em que há a definição de critérios para guiar a observação dos estudantes-observadores (EO1 e EO2); e o segundo, OI2.2, ocorre quando se dá início à observação da OIp, pautada nos critérios já definidos, ou seja, simultaneamente.

Figura 78 -

 78 Figura 78 -Situação de formação da orquestração instrumental 2

  a) ter lido o webdoc para escolha dos EO; b) ser instrumentalizado com o GeoGebra para escolha dos EA; c) lançar a sorte para decidir o EA ou EO entre os três que conhecem o GeoGebra; d) definição do critério de indicar a si mesmo ou a outro para ser EA ou EO. No trecho 6, pode-se perceber o interesse de EA1 em decidir quem fica com o papel de estudante-observador. O critério que EA1 utiliza é a verificação de quem leu o texto (webdoc) mais ou menos.

  Na primeira tentativa de de indicação (Trecho 40), por imposição, EA2 decide que EO1 e EO2 deverão ser observadores, mesmo diante da reação negativa de EO1, que não aceita nenhuma das funções do observador (anotar ou filmar).

F 1 :

 1 é, [...] você lembra ... leu o texto? EO2: Sim. F1: o que é mais importante na orquestração instrumental? Quais são os elementos chaves? EO2: artefato e ambiente!? F1: artefato, instrumento, … EA1: a gente já colocou aqui.

F1:

  [F1 passa a ler o papel anotado por eles] relação entre artefato e instrumento, que mais? EA2: os esquemas que a gente vai utilizar… [vai baixando a voz ao final da frase]. F1: os esquemas do grupo.Assim, o grupo D, de forma colaborativa, define que o foco de sua observação (Figura 79) estará sobre os eventos em que há estreita relação com o artefato/instrumento, ou seja, vão considerar os processos de instrumentação e instrumentalização. Deve focar ainda nos conhecimentos evocados, tanto os relativos ao GeoGebra quanto os relativos à matemática; sobre os esquemas colocados em evidência e nos eventos que tenham relação com o tempo de resolução da situação matemática.

Figura 79 -

 79 Figura 79 -Critérios de observação definidos pelos componentes do grupo D

  Com a decisão de se fazer a discussão via fórum, e com a possibilidade de garantir aos estudantes um contato com o autor do modelo, outra decisão ad hoc foi tomada, oferecendo um diferencial à OI3, a participação e a distância, do criador da OI, o Prof. Luc Trouche. Além disso, os estudantes já eram instrumentalizados/instrumentados com o fórum para discussão, o que pode ser facilmente percebido no desenrolar da OI1. A participação do Prof. Luc Trouche exigiu das formadoras reflexão e decisão para resolver dois entraves: a) a diferença de 5 horas dos fusos horários Brasil-França, o que inviabilizou a participação on-line e em tempo real, do pesquisador, independente de se a aula fosse presencial ou a distância, por causa do horário noturno de funcionamento da disciplina, o qual precisava ser respeitado; b) o fato de os estudantes não falarem francês e do pesquisador não falar português. Ainda que houvesse um tradutor, boa parte do tempo da aula seria tomado, o que não seria interessante. A necessária adaptação da situação para ser realizada em um fórum foi frutífera, pois garantia a participação on-line do pesquisador e a dos estudantes em um espaço de tempo em que todos poderiam se adequar e interagir, já que era on-line, mas não em tempo real. Além disso, o fórum contava com uma ferramenta de tradução das postagens, bastando clicar nessa para se obter a tradução desejada, beneficiando a todos com traduções do francês para o português e vice-versa. A seguir, tem-se a situação de formação adaptada, seus objetivos, roteiro de discussão para o fórum e a análise a priori da situação S3. a) situação de formação: discutir sobre o modelo teórico da OI em um fórum, obedecendo, a partir da leitura do modelo, à vivência e observação de uma OI e sob certas condições de participação na discussão. b) classe de situação: discutir sobre o modelo teórico à distância a partir de diferentes vivências anteriores com a teoria. Espera-se com a realização da situação de formação que os participantes do fórum possam: a) fazer articulações, pautadas no estudo teórico-prático, entre a leitura do webdoc, a discussão sobre o modelo teórico no fórum da OI1, a observação realizada na OI2 e a vivência de uma aula orquestrada na OIp; b) expor novas questões sobre o modelo teórico para serem respondidas pelas formadoras e pelo Prof. Luc Trouche; c) aprofundar temáticas discutidas inicialmente no primeiro fórum (OI1) com as contribuições dos participantes desse fórum (estudantes, formadoras e pesquisador).

  em outras orquestrações, alguns já disponibilizados, como o webdoc, e outros gerados, tais como as postagens do fórum da OI1, o protocolo de observação e os vídeos da OIp gerados na OI2 ou eventos vivenciados na OIp com o roteiro de questões/respostas do fórum da OI3. Recursos previstos para a formação e suas respectivas funções: a) Lematec Studium: ambiente didático virtual de suporte a disciplinas. Sua função é integrar a configuração didática da orquestração instrumental OI3 como módulo da disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática I; b) fórum (Groups Google): espaço virtual de discussão. Sua função é propiciar a discussão sobre o modelo teórico a distância. O modelo escolhido compreende uma estrutura de novos tópicos e subtópicos alinhados a cada tópico já criado. O tipo de fórum (como ferramenta) escolhido foi o de inserção de tópicos e/ou subtópicos, que permite a cada aluno, individualmente, escolher e continuar uma discussão. Embora seja possível abrir um novo tópico, a orientação é que as interações estejam alinhadas às respostas do pesquisador; c) formadoras (duas): a função delas na OI 3 é de suporte técnico e didático, sempre que solicitado, podendo intervir com perguntas e respostas no Fórum 3. Considerando que os estudantes já estão cadastrados no fórum e na plataforma Lematec Studium, terão de enviar, apenas, um convite de participação aos estudantes para o novo fórum. Elas também ficam à disposição dos estudantes via whatsapp e e-mail para sanar possíveis dúvidas; d) estudantes: devem acessar o espaço virtual do Groups Google e ler as dez questões e as respostas, além de realizar postagens no fórum, interagindo com uma resposta ou lançando novas questões. A dinâmica de postagem definida solicita a postagem por cada estudante de ao menos uma interação com a interação do pesquisador ou do colega. As interações devem estar alinhadas a pelo menos uma das respostas do pesquisador, considerando as temáticas nelas discutidas; e) internet, computadores, celulares ou tablets pessoais: por meio dos quais os estudantes interagem com o webdoc e postam suas perguntas e respostas; f) protocolos: disponibilizados ou gerados em orquestrações instrumentais anteriores a OI3 e podem ser utilizados como artefatos para realizar a situação de formação proposta: webdoc (gerado pelas formadoras e disponibilizado na OI1); postagens no primeiro fórum (geradas pelos estudantes na OI1); protocolo e vídeos da observação da OIp (gerado pelos estudantes-observadores na OI2); e vivência da OIp (eventos gerados pelos estudantes-atores). 5.3.4.4 Modo de Execução -OI3 Inicialmente, um modo de execução foi pensado para OI3. No entanto, considerando a diversidade de protocolos gerados nas orquestrações anteriores à OI3, buscou-se evidenciar, a partir da configuração didática, outros modos de execução que poderiam ser adotados pelos estudantes ao resolverem a situação de formação.

Figura 80 -

 80 Figura 80 -Design da configuração didática da OI3

Fonte:

  Quadro 49 -Instrumento de análise de postagens em fórum de discussão da OI3Conteúdo do FórumEventos pergunta/ resposta (estudante)

  Trouche responde: Um desenvolvimento conjunto de artefatos e matemática como instrumentos para aprender! Essa resposta influencia nitidamente a elaboração da pergunta de EO1, uma vez que o estudante foca na relação artefatos e matemática. EO1 formula sua pergunta se engajando não apenas com o conteúdo da resposta do pesquisador, mas também com uma das formas de destinação do webdoc: o gênero. O gênero literário da história em quadrinhos A tabuada e o gênero artístico do vídeo Tecnologia e metodologia. No Quadro 53, pode-se observar que EO1 inicia afirmando: "Na TOI, é mostrado métodos diferentes para ensinar o mesmo conteúdo, porém utilizando a tecnologia". Nesse trecho, o estudante refere-se aos exemplos dados no webdoc que discute sobre o modelo teórico OI e não a métodos diferentes apresentados pelo modelo teórico.

  ambos se engajam com o conteúdo dos fóruns da OI3, OI1 e do webdoc para formular suas perguntas. Nas análises a priori da OI3, foram previstas articulações entre os conteúdos dos fóruns da OI3 e OI1, e ainda entre os conteúdos do fórum da OI3 e o webdoc. No entanto, as perguntas dão indícios de articulação entre o conteúdo dos fóruns da OI3 e o da OI1, e destes com um dos modos de destinaçãoa estrutura, especificamente, o conteúdo discutido pelas autoras do webdoc. A terceira postagem é mais uma pergunta de EA1. Essa dá indícios de que a motivação do estudante é a prevista nas análises a priori (II.b) -Aprofundar discussão sobre aspecto teórico apresentado no fórum da OI3. Para isto, EA1 se engaja com o conteúdo do dos fóruns da OI3, OI1 e com um dos modos de destinação do webdoc. O gênero é o modo de destinação escolhido por EA1, especificamente o gênero literário, história em quadrinhos A instrumentada, que exemplifica como um artefato pode se transformar em um instrumento e como um instrumento pode se transformar em artefato. Esse é mais um caso de engajamento que envolve três diferentes fontes de conteúdo sobre a mesma temática, que são articuladas pelo estudante para formular sua pergunta e, por isso, não equivalente às possibilidades previstas na análise a priori da OI3. A quarta pergunta elaborada por mais um estudante do grupo D, EO2, revela motivação (II.b) -Aprofundar discussão sobre aspecto teórico apresentado. Para isso, EO2 se engaja com o conteúdo do fórum da OI3 e o conhecimento que tem sobre algumas práticas docentes para formular sua pergunta. Essa forma de articulação para a realização da situação S3 não foi prevista na análise a priori. A última pergunta analisada foi postada por EO1, a qual indica motivação (II.a) -Falta de domínio parcial sobre algum aspecto do modelo teórico. EO1, para sanar suas dúvidas sobre tal aspecto, se engaja com o conteúdo do fórum da OI3 e com um modo de destinação do webdoc, o gênero. Dessa vez, são utilizados dois tipos de gêneros: o literário, correspondente à HQ A tabuada, e o artístico, correspondente ao vídeo Tecnologia e metodologia. EO1 articula o conteúdo dessas três diferentes fontes para formular sua pergunta na intenção de sanar uma dúvida relativa à temáticaorquestração instrumental, a única sobre essa temática, das cinco apresentadas.

  webdoc, às postagens dos fóruns 1 e 2, aos vídeos feitos durante a OIp e protocolos de observação dela, para que pudesse refletir sobre os elementos teóricos articuladamente às práticas vivenciadas. Assim, uma nova situação de síntese e análise foi proposta aos participantes da MOI. a) situação de formação: apresentar a análise de uma OI (OIp) à luz da orquestração instrumental em estudo feito pelo grupo para debate com a turma; b) classe de situação: apresentar a análise de um experimento à luz do modelo teórico em estudo. Objetiva-se que, com a realização da situação de formação S4: a) do ponto de vista as formadoras: estabelecer articulações entre os eventos vivenciados (OIp) e observados (OI2) com os elementos teóricos da Orquestração Instrumental estudados (OI1 e OI3) ao longo da formação; b) do ponto de vista dos estudantes: analisar e apresentar a análise referente ao experimento da OIp à luz dos pressupostos teóricos da Orquestração Instrumental.

Figura 81 -

 81 Figura 81 -Design da configuração didática da OI4

Figura 82 -

 82 Figura 82 -Linha do tempo da apresentação do grupo D na OI4

Figura 83 -

 83 Figura 83 -Critérios de observação escolhidos pelo grupo D

A

  Quadro 61 -O tempo e as reações ad hocEventosRegras de ação, antecipação e controle

Figura 84 -

 84 Figura 84 -Recorte da construção do boneco do grupo E

  Dado que a construção não é compatível com o modelo (Figura 85), EO1 informou que os componentes do grupo o rejeitaram como solução; logo, o grupo D optou por uma nova tentativa de construção do boneco.

Figura 85 -

 85 Figura 85 -Segunda tentativa do grupo D de construção do boneco (sem pescoço)

Trecho 46 -

 46 Figura 86 -Print da construção final do boneco do grupo D

Figura 87 -

 87 Figura 87 -Comprimento do arco AB e a relação com a construção da boca do boneco

  EO 1 explica para turma e formadoras que em ambas as construções os estudantes fizeram uso do controle deslizante para definir uma variável igual ao raio. Entretanto, enquanto o grupo D vinculou as medidas de todas as partes do corpo ao controle deslizante (1D), o que faz o boneco ampliar e reduzir proporcionalmente, o grupo E vinculou as partes do corpo do boneco à circunferência (1E).

Figura 88 -

 88 Figura 88 -Distinção entre os bonecos do grupo D e do grupo E

Fonte:

  Elaborado pela autora. Para o duo, a validação da construção se daria com a verificação da proporcionalidade e da simetria. No entanto, a definição da variável no controle deslizante vinculado a objetos construídos para garantir a proporcionalidade entre eles era algo para qual o duo acreditava estar instrumentado no notebook. Isso porque já tinha vivenciado experiência anterior em sala de aula na construção de homotetias com o controle deslizante. No entanto, nunca tinham realizado tais procedimentos no tablet, em que a forma de determinar a variável é diferente. Sendo o tablet e o notebook artefatos distintos e considerando que a experiência do duo na construção de objetos proporcionais se deu no notebook, o uso do tablet não os favorecia. Durante toda a apresentação da análise (Quadro 67), EO1/EA1/EA2 atribuem a não finalização da construção do boneco à falta de instrumentalização do duo com o tablet. Entretanto, o grupo deixa de considerar a troca realizada pela formadora, do tablet pelo notebook, em dado momento do experimento ( Figura 52). Mesmo com a troca do tablet pelo notebook, o duo mantém por certo tempo a dificuldade de construir o boneco vinculado ao controle deslizante, a partir da definição de uma variável. Até que, após algum tempo, conseguem construir a cabeça e o tronco, tendo o raio como unidade de medida atribuído ao controle deslizante. Os esquemas de uso do duo possibilitam a construção proporcional da cabeça vinculada ao tronco. Não havendo mais tempo, o duo encerra o experimento com um boneco construído, mas com apenas cabeça e tronco obedecendo às condições impostas pela situação. Nos quatro eventos da Etapa 5, EO1/EA1/EA2 discutem o processo de gênese instrumental do duo [12:06 a 14:13], respondendo a questionamentos das formadoras sobre a apresentação da análise do experimento. Essa sequência de perguntas realizadas pelas formadoras, diferentemente de outros momentos da apresentação, conduziram os estudantes a hesitações e reflexões. Os gestos, expressões faciais, pausas para pensar ou respostas imediatas (sem reflexão) dão indícios da dificuldade dos estudantes em estabelecer relação entre o conhecimento geométrico e o conhecimento de geometria dinâmica, ambos necessários à resolução da situação matemática na OIp e, portanto, aos processos de gênese instrumental. Inicialmente, a formadora questiona se as construções geométricas, considerando as propriedades geométricas com o GeoGebra, têm a ver com o conhecimento geométrico ou com o conhecimento do GeoGebra. A regra de ação utilizada pelos estudantes para responder ao questionamento consiste em evocar eventos da OIp para justificar que a proporção entre a cabeça e tronco só foi possível por causa do comando intersecção entre dois objetos.

Fonte:

  Elaborado pela autora. No Quadro 68, podem-se observar, a partir das regras de ação, invariantes operatórios e possíveis inferências dos estudantes EO1/EA1/EA2 do grupo D. Para esses três estudantes, os esquemas de uso do duo em relação ao GeoGebra e seus conhecimentos matemáticos e sobre o GeoGebra os ajudaram na construção parcial do boneco. Os estudantes sabiam que é o comando intersecção que faz com que os objetos aumentem/diminuam juntos, embora não garanta a proporcionalidade entre esses. Mas complementam, informando que é a unidade de medida (raio), definida e utilizada na construção dos objetos (cabeça e tronco) que garante a proporcionalidade.

Figura 89 -

 89 Figura 89 -Apresentação da construção da cabeça e tronco feita pelo duo na OIp

  Ao explicar os eventos evocados, EO1/EA2 colocam em evidência uma concepção deles sobre a proporção. Para eles, quando um objeto construído vinculado a outro cresce e o outro cresce ou quando diminui e o outro diminui, então, são proporcionais. Esse teorema é bastante utilizado pelo grupo na OIp e na OI4 para validar/explicar as construções realizadas. No entanto, isso não é suficiente para que se garanta a proporcionalidade. Outro conceito fundamental à construção do boneco revelado pelo duo é o de simetria entre os membros superiores e inferiores. Assim, buscam tomar o corpo humano como referência para construção de braços e pernas.

O

  último evento [23:00 a 23:45] da sétima etapa, que discute a apresentação da conclusão da análise do experimento da OIp, apresenta uma temática diferente dos quatro anteriores: a própria OIp. Com o objetivo de responder sobre a configuração didática, modo de execução e performance didática, EO1 tem por regra de ação evocar eventos da OIp para defender a configuração didática e o modo de execução relativo ao papel/função do duo. Isso porque a formadora pergunta: "a configuração com o tablet ou com o computador muda a interação a dupla?". EO 1 revela saber que o trabalho em dupla tende a ser mais rápido, considerando as interações entre os estudantes-atores e as funções que exerceram de controle e colaboração. No entanto, EO1 vincula que essas interações são favorecidas de acordo com o artefato que estão utilizando. Isso porque com o artefato que o duo estava instrumentalizado para uso do controle deslizanteo notebookas interações parecem fluir melhor e favorecem a resolução da situação do que quando o duo estava com o tablet.

Figura 90 -

 90 Figura 90 -Eventos externos do design da MOI

Figura 91 -

 91 Figura 91 -Prescrição de novas características à metaorquestração instrumental

  metaperformance didática dão luz a dois momentos responsáveis pela arquitetura da MOI, o mise en oeuvre (que compreendem a metaconfiguração didática e o metamodo de execução) e o mise en scène (metaperformance didática). Ambos necessitam de refinamento teórico. O refinamento teórico foi previsto porCobb et al. (2002),Collins (1990) e[START_REF] Brown | Design Experiments: theoretical and methodological challenges in creating complex interventions in classroom settings[END_REF] em função da natureza experimental e iterações do Design Experiments.Esses atos, o mise en oeuvre e o mise en scène, foram criados para melhor arranjar os elementos relativos à configuração didática e ao modo de execução previstos para cada orquestração que compõe a MOI. Trata-se de uma ampliação do cenário de execução didática proposto por Drijvers e[START_REF] Drijvers | From artifacts to instruments: a theoretical framework behind the orchestra metaphor[END_REF].No que diz respeito ao mise en oeuvre, melhorar sua definição pode ajudar a aumentar a precisão das escolhas didáticas feitas para a metaconfiguração didática e metamodo de execução. Embora tenha-se usado o termo planejamento para dar uma noção inicial do que entendia do mise en oeuvre, ficou nítido durante a concepção, desenvolvimento, testes e análises da MOI que esse ato é mais que planejar. O mise en oeuvre envolve planejamento, mas também previsões, das mais simples às mais complexas, as análises a priori que contemplam não apenas a situação a ser resolvida, mas também a OI que dará suporte a essa resolução.O mise en scène é o momento em que a OI é executada, em tempo real, de onde emergem os dados necessários à análise das boas escolhas didáticas que contribuíram para o bom andamento da MOI e, para alcançar os objetivos tanto da metassituação quanto da MOI.Também é o momento em que se compreendem elementos essenciais da metaperformance didática: os eventos imprevistos e as decisões ad hoc, além dos reflexos desses sobre metassituação e a MOI.Um elemento identificado durante o refinamento teórico foi a necessidade de se considerar as alterações causadas por decisões não do professor, mas do estudante, muitas vezes em reação ad hoc a um evento inesperado. Cunhou-se esse termo para diferenciar as decisões ad hoc das formadoras daquelas dos estudantes, pois, embora ambos os termos façam parte de um ambiente didático, as decisões tomadas pelos estudantes não foram percebidas como didáticas, mas com uma intenção clara no cumprimento das funções que lhes foram atribuídas, na resolução das situações que lhes foram propostas. Assim, entendeu-se que os estudantes reagem na intenção de se fazer cumprir o que lhes é proposto, visando sua formação, na busca por aprendizagem. Talvez, o termo reação não seja o mais adequado para o contexto no qual foi aplicado, mas será mantido até que novas reflexões sejam feitas rumo à escolha de um novo termo.5.4.6 O papel dos artefatos na metaorquestração instrumentalUma característica da MOI, herdada da OI, é o ambiente propício à integração de tecnologias, especialmente as digitais. Esses recursos cumprem um papel fundamental quanto à resolução da situação proposta e quanto à execução da orquestração. E, por isso, estão presentes em todas as orquestrações instrumentais da MOI. Ao longo da formação, foi possível perceber a influência desses artefatos no trabalho individual, em dupla ou coletivo dos estudantes para resolver as situações. Isto já havia sido defendido por Remillard (2012) com relação à escolha e ao uso de recursos por parte dos professores, que se engajam com os recursos para realização de suas práticas docentes. Assim, percebeu-se que os artefatos: a) moldam a forma de pensar e, consequentemente, de usar o artefato. Os modos de engajamento desenvolvidos pelos estudantes ora no uso do webdoc (OI1), ora no uso de conteúdo do fórum da OI3 articulado com outros artefatos (protocolos gerados em orquestrações anteriores), são bons exemplos. Os modos de engajamento com os artefatos permitiam aos estudantes avançar em relação à resolução da situação. Também tornavam observável a integração de outros elementos que eram transformados em artefatos para cumprir a situação. Isso porque os estudantes não se engajaram apenas com um artefato; em geral, integravam outros artefatos (conhecimentos, experiências, protocolos etc.). b) moldam as decisões de seus usuários, a depender dos conhecimentos que já possuem sobre o artefato, mas também do que pretendem fazer com o artefato. A definição da unidade de medida e razão de proporcionalidade no GeoGebra a partir de um modelo humano como referência é um exemplo de como isso pode ocorrer. Os EA tinham noção de como definir essas variáveis da situação no GeoGebra sem necessariamente utilizar o modelo humano; logo, abandonam essa condição da situação, alterando-a. A construção do boneco do grupo E tornou-se um instrumento para a construção do boneco grupo D, uma referência que guiava as decisões sobre o que fazer e como fazer o próprio boneco; c) molda as interações entre participantes. O protocolo de orientação (OIp), por exemplo, informava como devia ser a comunicação entre os estudantes durante os experimentos (OIp e OI2). Os EA e EO seguiram, até certo momento, as orientações desse artefato, que resultou em interações exclusivas entre o duo (para resolver a situação matemática) e nenhuma interação entre os observadores (que registravam a OIp). No entanto, o tablet usado para filmagem moldou a interação entre EO2 e os EA, pois, para garantir a qualidade do vídeo, o artefato demandava que os sujeitos filmados falassem mais alto e se afastassem um pouco da tela do notebook para evitar reflexos na tela ao ser filmada pelo tablet. Para isso, EO2 precisou se comunicar com os EA. Pode-se perceber uma sequência de ações sendo moldadas pelas demandas da situação associadas ao potencial ou limitações dos artefatos. Outro aspecto importante de se discutir é a criação de artefatos destinados ao seu público-alvo, considerando seus interesses e objetivos quanto ao uso. Nesse sentido, as formas de destinação foram relevantes à concepção e posterior análise dos usos do webdoc por parte dos estudantes, além de terem atraíram os participantes da formação que leram o webdoc didático e fizeram comentários positivos sobre o texto multimídia. Mais do que as diferentes mídias integradas ao texto produzido que abordava a OI, tinha-se uma série de exemplos que visam facilitar a compreensão do élitro sobre os elementos teóricos nesse discutidos. O webdoc é o único recurso utilizado pelos participantes do início ao fim da formação.

Figura 92 -

 92 Figura 92 -Relação dos esquemas e papéis/funções da MOI

É

  interessante observar que as situações propostas, mesmo quando realizadas individualmente, estão vinculadas ao que outro participante faz. Assim, nos fóruns das OI 1 e OI 3 , por exemplo, a dinâmica de fazer uma pergunta e responder à pergunta de outro estudante culmina em uma interdependência sobre o que o outro faz. Um estudante precisará ler ao menos uma pergunta sobre a qual irá refletir e tentar responder e sabe que o mesmo ocorrerá com a pergunta que postou. Tem-se um trabalho cooperativo, ainda individual, mas que pode contribuir para evolução do estudante que deseja se apropriar da OI. Cada pergunta pode revelar a dúvida de quem lê, e cada resposta pode agregar valor ao conhecimento de quem tinha dúvida. Em ambos os casos, componentes de esquemas podem ser revelados, e outros inferidos a partir do conteúdo da postagem.

A

  Figura 94 apresenta a evolução individual dos componentes do grupo D (eixo vertical), ao longo da formação (eixo horizontal) sobre a gênese instrumental, a temática mais discutida pelos componentes desse grupo. Esquemas de uso, instrumentalização, instrumentação, inserção e integração de tecnologias, distinção entre instrumento e artefato são elementos correlatos à temática que interessaram ao grupo D. Também, é a temática que apresenta maior quantidade de interações (perguntas e respostas, nos fóruns) e discussões (pautadas em protocolos, orquestrações) realizadas por este grupo. A quantidade de contribuição de cada componente sobre a temática foi praticamente a mesma.

Figura 94 -

 94 Figura 94 -Trajetória de apropriação da temática: gênese instrumental

Figura 95 -

 95 Figura 95 -Trajetória de apropriação da temática: situação matemática

Figura 96 -

 96 Figura 96 -Trajetória de apropriação da temática: configuração didática

Figura 98 -

 98 Figura 98 -Trajetória de apropriação da temática: Performance didática

A

  orquestração instrumental está fundamentada no conceito de situação e na noção de esquema desenvolvido por Gèrard Vergnaud. Esses conceitos, por sua vez, fundamentam a Abordagem Instrumental, desenvolvida por Pierre Rabardel (1995), da qual emerge o conceito de gênese instrumental, composta por dois processos denominados de instrumentalização, quando o sujeito exerce influência sobre o artefato e instrumentação e quando o artefato exerce influência sobre o sujeito. Esses são conceitos fundamentais à pesquisa, especialmente para o desenvolvimento do modelo da Metaorquestração Instrumental e expansão da Orquestração Instrumental.

  Sobre o modelo da metaorquestração instrumental:O modelo da metaorquestração instrumental é definido como a gestão sistemática e intencional, por um agente (formador(es)), dos artefatos e dos sujeitos (professores e futuros professores) confrontados com uma metassituação, com o objetivo de se apropriarem do modelo da OI. Toma-se a definição de situação, segundo[START_REF] Vergnaud | A teoria dos campos conceituais[END_REF], e define-se metassituação como uma situação complexa que pode ser analisada como uma combinação de situações de natureza e dificuldade próprias.A construção do modelo suscitou cunhar outras definições tais como: metaconfiguração didática, metamodo de execução e metaperformance didática. Nesta última, surgiu a definição de reação ad hoc. No âmbito das definições buscou-se um aperfeiçoamento do cenário de execução didática dos elementos da Orquestração Instrumental, organizando os seus elementos em duas fases mise en oeuvre e mise en scène.. Há na OI características prescritivas, tais como a sistematização, a intencionalidade e o ambiente rico em tecnologias. No entanto, embora a MOI tenha herdado tais características, essas não deram conta de caracterizá-la. Logo, havia a necessidade de se prescrever características inerentes ao design que se buscava conceber. No primeiro teste da MOI, prescreveu-se: a composição de orquestrações (sequenciada ou imbricada), a articulação e um ambiente propício a diferentes tipos de interação. No segundo teste, percebeu-se a necessidade de prescrição de mais duas características: a adaptação e a flexibilidade.As situações que compõem a metassituação visam favorecer a reflexão e a compreensão dos participantes sobre a OI. Assim, a situação S1 foi criada para oportunizar a fundamentação teórica, um primeiro contato dos estudantes com os pressupostos da orquestração instrumental, pautado em exemplos. A Sp é uma situação matemática que busca proporcionar aos seus resolvedores a vivência prática de uma OI, e a S2 visa à observação da prática, ou seja, a execução da Sp. A S3 objetiva uma articulação do estudo teórico (S1) com os experimentos (Sp e S2). A S4 visa à análise e síntese da análise dos dados produzidos durante a formação. A S5 visa à criação de uma OI para o ensino de matemática.Todas essas situações conduzem o sujeito, que busca resolvê-las, à reflexão sobre a orquestração instrumental. É fato que a Sp, no momento de sua execução, tem foco nos conhecimentos matemáticos, mas é na resolução da S4 que os participantes da formação podem evocar os eventos que emergem da performance didática com a Sp, para articulá-los com os pressupostos da Orquestração Instrumental. A metassituação consiste na composição dessas situações que, por definição, possuem natureza e complexidades próprias. A vivência de cada situação apresenta diferentes aspectos da OI, o que favorece não apenas a apropriação desse modelo teórico, como também a formação para desenvolver a prática docente pautada no modelo.A vivência das orquestrações dá aos participantes a oportunidade de experimentar diferentes papéis em uma única formação. Essas orquestrações simulam a sala de aula convencional, e os participantes podem ser o estudante (OIp) ou o professor (OI2) e assumir funções correlatas a esses papéis. Se o participante escolher ser estudante, poderá alternar-se em exercer diferentes funções, ora aquele que fica no controle das tecnologias para resolver a situação proposta, ora aquele que colabora com a resolução. Nas orquestrações OI1, OI3 e OI4, mantêm seu papel como licenciandos em formação. Na OI5, não testada nesta tese, assumem o papel de professor do âmbito escolar que orquestra seu ensino.

  a) planejamento de atividades ou ausência delas, preparatórias ou não, entre as orquestrações, mas relativas às situações propostas que serão resolvidas nessas orquestrações; b) previsão de adaptações do design que podem culminar em alterações, substituições e até na não execução de situações e, consequentemente, das orquestrações correlatas; c) equiparação do tempo de execução da MOI com o tempo disponibilizado para formação; d) a possibilidade da troca de papéis e funções entre os sujeitos, internamente e externamente às orquestrações;e) o uso de protocolos gerados pelos participantes em orquestrações para a resolução de situações subsequentes. Esse uso pode ser de um único protocolo escolhido pelos participantes ou articulado com outros protocolos ou, ainda, com artefatos disponibilizados na orquestração; f) o uso interno de protocolos gerados na mesma orquestração.

  estudante decide pela ferramenta e outro indica a medida do raio, os invariantes matemáticos e relativos ao GeoGebra se complementam e juntos conseguem a construção tal como o duo desejava. Esses aspectos ajudaram quanto à análise da gênese instrumental na OIp do duo e contribuíram para compreender a trajetória de apropriação dos estudantes quanto à OI, no entanto considerando não mais o estudo de matemática, mas teórico.Nesse caso, buscou-se identificar os esquemas ou componentes de esquemas, individuais ou compartilhados, ou quando componentes dos estudantes se complementavam para favorecer o trabalho coletivo. Um exemplo disso ocorre quando os estudantes buscam compreender a noção de esquemas, e um entende esquema como os conhecimentos do indivíduo, enquanto outro entende os esquemas como a ação do sujeito. Juntos, esses estudantes vão colaborando para o entendimento do outro. Sobre a metaperformance didática: Tinha-se como hipótese que o modelo teórico Orquestração Instrumental oferece um importante arcabouço teórico para se orquestrar situações ricas em tecnologias digitais para a formação do professor de matemática no que concerne à compreensão desse modelo teórico.Uma formação que articula teoria, prática e reflexão sobre o uso de tecnologia no ensino e aprendizagem da matemática. Na perspectiva de validar ou refutar tal hipótese, procedeu-se a análise da metaperformance didática. Essa contemplou três diferentes tipos de análise, inicialmente a análise da metassituação, da metaconfiguração didática, do metamodo de execução e do design da MOI, na perspectiva do aperfeiçoamento do modelo e refinamento teórico. Analisou-se, também, os eventos da OIp na intenção de validá-la como um banco de exemplos. De fato, as análises desses eventos, validaram o banco de exemplos, estruturado nas cinco linhas do tempo, baseadas nas temáticas de elementos teóricos da Orquestração Instrumental. Há exemplos correlatos à situação matemática, à gênese instrumental, à configuração didática, ao modo de execução e à performance didática. Analisou-se, ainda, a gênese instrumental do duo relativa à realização da Sp, na OIp, que também contribui para validar o banco de exemplos, especialmente no que concerne à gênese instrumental, seus elementos e pressupostos. Por fim, trajetórias de apropriação da OI por temática, do ponto de vista individual e coletivo, permitiram inferir sobre o processo de apropriação e a compreensão dos estudantes sobre elementos do modelo teórico em estudo.

  No tocante às demandas não realizadas do Estudo Principal, consideram-se relevantes, ainda que em uma perspectiva de continuação desta pesquisa, a execução e análise dos dados da OI 5.A S5 e OI5 são consideradas o ápice da formação, pois, com a execução dessas, os dados advindos dos protocolos criados pelos estudantes revelariam mais sobre a apropriação destes a respeito da Orquestração, aumentando a precisão das inferências em relativas às análises dos dados. Além disso, dá-se ao estudante a oportunidade de realizar uma situação que o coloca na posição que ele almeja chegar, para a qual está buscando conhecimento, a do professor que orquestra o ensino de matemática com integração de tecnologias digitais, o que também implica em desenvolvimento profissional. No entanto, a idealização delas veio a um tempo em que toda a MOI do estudo principal já havia sido realizada e a disciplina finalizada.A análise dos dados de outros grupos participantes da MOI também é importante e pode contribuir com o refinamento de definições cunhadas neste trabalho, especialmente as de reação ad hoc, mise en oeuvre e mise en scène.As metamorfoses de artefatos e protocolos ao longo da formação revelam um campo fértil para estudos sobre o sistema de recursos formado por sujeitos quando em metassituação de formação. Um sistema de recursos rico em tecnologias digitais disponibilizadas pelas formadoras, integradas pelos estudantes, transformadas pelo trabalho ora individual, ora coletivo. Acompanhar os usos desses recursos e as metamorfoses abre um caminho para investigações em torno da documentação do futuro professor de matemática quando em formação, uma articulação possível com a Abordagem Documental do Didático (GUEUDET; TROUCHE, 2009).Essa possibilidade de articulação com a Abordagem Documental do Didático não está centrada apenas no modelo da MOI e na trajetória de formação dos participantes com foco na relação desses com os artefatos. A concepção da MOI realizada pela formadora dá indícios de que as orquestrações instrumentais do professor podem revelar muito sobre seus esquemas profissionais[START_REF] Goigoux | Schèmes professionnels[END_REF][START_REF] Goigoux | Schèmes professionnels[END_REF], seu sistema de recursos e sua documentação[START_REF] Gueudet | Towards new documentational systems for mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics[END_REF][START_REF] Gueudet | Towards new documentational systems for mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics[END_REF] e, ainda, sobre seus conhecimentos docentes(SHULMAN, 1968; 2005 ). É relevante investigar a possibilidade de adaptações necessárias no design da MOI para o ensino de outras teorias. Nesse sentido, há de se pensar em uma extensão OI, na perspectiva de validar a Orquestração de Formação de aportes teóricos. : elaborar critérios para observação (anotação e filmagem) da tarefa matemática, fundamentados na Teoria da Orquestração Instrumental (TROUCHE, 2005).

  coletar dados por meio da observação e registro (anotação e filmagem) de eventos relevantes para o entendimento da orquestração instrumental, segundo os critérios de observação, elaborados previamente.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  capítulo 3 trata dos fundamentos metodológicos da pesquisa. O Design Experiments (COBB, 1990; BROWN, 1992) é apresentado como modelo teórico-metodológico no qual o design da MOI foi desenvolvido. Por fim, há o detalhamento do método de pesquisa estruturada e pautada no Design Experiments, com destaque para discussão sobre a técnica de análise de dados adotada, a análise Microgenética-videográfica (MEIRA, 1994).

	e, na
	sequência, algumas acepções de tecnologia (VEIRA PINTO, 2005; COSTA e SILVA, 2013),
	além da Abordagem Instrumental do Didático segundo Pierre Rabardel (1995) e o modelo da
	Orquestração Instrumental (TROUCHE, 2005). Apresentam-se, ainda, a definição de MOI,

seus elementos, características, avanços quanto ao refinamento do modelo teórico e questões de pesquisa correlatas ao modelo. O

  Primeiro, o esquema aborda uma classe de situações. Podem-se associar ao esquema quantificadores universais que permitem definir seu alcance e limites. Um esquema é universal, como o conceito. Segundo, é a organização que é invariante, não o comportamento observável. Esquemas geram comportamentos diferentes dependendo das variáveis da situação. Terceiro, o esquema não apenas organiza comportamento observável, mas também a atividade de pensamento subjacente (VERGNAUD, 2013, p. 138, tradução nossa).

  Drijvers et al. (2010, p. 215) afirmam que "[...] a performance didática consiste no desempenho alcançado pelo cenário projetado, em que se faz possível, verificar a viabilidade das intenções e o sucesso da realização da orquestração instrumental". Esses autores propõem o conceito de performance didática na perspectiva de que sejam descritos todos os ajustes que o professor é levado a realizar durante o modo de execução da OI, em pleno andamento. Essa descrição é relevante porque ela põe em evidência os ajustes planejados pelo professor para atender às demandas ocasionadas por situações, que poderiam ocorrer e por ele já previstas. Também dá visibilidade às decisões ad hoc que emergem para dar conta das

situações imprevistas, e que são tomadas para atender uma necessidade momentânea, a fim de não comprometer o todo já estruturado.

  Este capítulo está dividido em quatro seções. Na primeira, apresenta-se o estudo preliminar, objetivos para os quais esse foi criado e sua metodologia. Na segunda, discorre-se sobre os sujeitos e campo de pesquisa, assim como os critérios de escolha que foram adotados, e apresenta-se o design da MOI, criado e testado em situação de formação de mestrandos. Na terceira, são revelados o método de coleta de dados a partir de uma estrutura que informa as técnicas e os instrumentos de coleta utilizados, além dos sujeitos e da função desenvolvida por

	4	O ESTUDO PRELIMINAR
		a) a possibilidade de usar o modelo teórico Orquestração Instrumental para conceber
	3.6	ASPECTOS ÉTICOS DA PESQUISA um design Experiments específico para o modelo que se desejava desenvolver -a
		MOI;
		Os experimentos realizados em cada estudo proposto dependeram da autorização dos b) a possibilidade de experimentação, teste, validação e redesign da MOI numa
	participantes da formação em fornecer seus dados produzidos durante a vivência na MOI, por perspectiva de refinamento e de expansão desse modelo teórico que o fundamenta.
	meio da aplicação de técnicas de coleta de dados. As técnicas são: vídeo-gravação, aplicação

acontecimentos, acompanhados de gestos dos sujeitos e da transcrição detalhadas dos áudios referentes aos eventos selecionados na terceira etapa. Essas transcrições não substituem o vídeo, mas dão suporte à análise minuciosa dele. Entenda-se por transcrição a descrição dos acontecimentos, ações e gestos presentes nos vídeos, acompanhados da transcrição do áudio; a quinta etapa consiste em assistir reiteradamente os episódios, com análise exaustiva das transcrições, visando interpretações coerentes dos microprocessos correlatos à atividade e a caracterização sólida dessa; por fim, a sexta etapa destina-se à divulgação dos resultados e da apresentação de interpretações ilustradas por modelos advindos dos vídeos e transcrições analisados.

Tais ilustrações favorecem o entendimento do leitor aos aspectos teóricos abordados pelo investigador, mas também oportunizam interpretações outras, oriundas do leitor. Vale ressaltar que o conteúdo de diários de bordo, elaborado a partir de observações diretas, produções dos licenciandos e histórico de uso dos ambientes a distância podem ser úteis para complementar as análises referentes aos vídeos. de questionário, captura de tela de computador, entrevista e observação. Os dados analisados passam pela concordância dos estudantes. Garante-se a preservação do sigilo e a privacidade dos participantes observados e filmados.

Por se tratar de uma pesquisa a ser realizada como atividade de uma disciplina, a autorização é solicitada sobre o uso dos dados para pesquisa apenas após o final do período letivo da disciplina com todas as notas entregues. No início, é feita a solicitação de filmagem, principalmente por serem elas recursos utilizados por eles para sua atividade da disciplina. cada um durante a coleta são evidenciados. Na quarta e última seção, apresentamos o método de análise de dados, pautado na Análise Microgenética associada à Videografia e a estrutura de análise. Essa favorece o desenvolvimento de instrumentos de análise, em conformidade com a natureza dos dados coletados. 4.1 O CONTEXTO DO ESTUDO PRELIMINAR O estudo preliminar foi desenvolvido para apresentar o modelo teórico Orquestração Instrumental a estudantes da disciplina de Metodologia da Pesquisa de um curso de mestrado. Como já informado, no texto introdutório deste trabalho, objetivava-se que esses mestrandos pudessem se apropriar dos elementos teóricos que fundamentam esse modelo. Buscava-se, ainda, fazer com que os mestrandos reconhecessem técnicas de pesquisa (coleta e análise) que podem ser utilizadas no desenvolvimento do método, haja vista o modelo não ter um método próprio. À medida que o design de formação era desenvolvido, percebeu-se a relevância de se criar um modelo de formação fundamentado no modelo da orquestração instrumental, e, para o ensino desse modelo, nasce então o modelo MOI. Assim, foi iniciado um processo de concepção e de testes (estudo preliminar e estudo principal) na perspectiva de validar a MOI como modelo teórico. Trata-se de um campo fértil ao desenvolvimento e execução de situações teórico-prática-reflexiva para a formação, presencial e/ou distância, de professor de matemática. O uso da OI norteou escolhas rumo à criação de um design específico para o modelo desenvolvido e refinado, considerando as duas testagens realizadas. O design da MOI possui uma estrutura flexível e passível a adaptações. Inspirado no design Experiments (BROWN, 1992; COLLINS, 1990), que contribuiu para direcionar a concepção, os testes e o processo de validar e refutar nossas conjecturas sobre MOI e seu design. A escolha pelo design Experiments se deu essencialmente por dois motivos: 4.1.1 Objetivo geral do estudo preliminar Conceber e testar uma MOI, para a formação teórico-prática-reflexiva de professor de matemática sobre a Orquestração Instrumental, na perspectiva do refinamento do modelo que se pretende validar. 4.1.2 Objetivos específicos a) Conceber uma MOI, para a formação teórico-prática-reflexiva de professor de matemática, sobre a Orquestração Instrumental; b) testar uma MOI na perspectiva do refinamento do modelo teórico em desenvolvimento; c) analisar os resultados advindos da execução de uma MOI, na perspectiva de validar ou refutar aspectos que a compõem; d) caracterizar as contribuições resultantes do estudo preliminar para o refinamento do modelo MOI.

descrito pelo texto que o define". Assim, decidiu-se por oferecer o desenho do boneco (Figura 13), para que os estudantes se mantivessem com um boneco simples, com foco nas razões entre os comprimentos das partes do boneco.

  

	Fundamental; logo, são básicos e comuns à formação escolar de todos os participantes da formação. Além disso, foi definido que a situação deveria ser realizada em um software de geometria dinâmica. A articulação entre os dois conceitos baseou-se em Hoyles et al. (1991), em que os pesquisadores utilizam e experimentam a situação de construção de um boneco com o programa LOGO, respeitando as proporções do corpo humano, até a construção de um programa para bonecos de todos os tamanhos com a manutenção da semelhança entre eles, com base no que Laborde et al. (1993, p. 48) discutem sobre a diferença entre desenho e figura, salientando a importância da ferramenta de arrasto na Geometria Dinâmica. Figuras podem ser vistas como assumindo o papel da realidade em relação à teoria, bem como assumindo o papel de modelo para a teoria geométrica. Alguns fatores materiais do espaço físico real são modelados pela geometria e expressos na teoria por afirmações (em linguagens natural ou mais formal). Mas essas afirmações podem novamente ser representadas em forma material como o traçado do espaço físico em 2D. A noção de figura geométrica refere-se a essa última forma, que é resultado do processo de teorização seguida do processo de materialização. Como representação material (desenho), a figura dá origem à impressão visual enquanto aponta para conceitos. Para considerar esse papel dual, desenho e figura são distinguidos. Desenho refere-se à entidade material, enquanto figura refere-se ao objeto teórico ou, como observa Parzysz (1988, p. 80): "Figura é o objeto comprimentos. Sugeriu-se a adoção de um modelo vivo, sem fornecer instrumentos de medição. A hipótese é que a falta de indicação de um instrumento favorece a discussão da diferenciação entre artefato e instrumento, pois levaria os estudantes à busca de diferentes artefatos e à transformação de artefatos em diferentes instrumentos. A instrução (II) solicita a construção do boneco, com as condições (III), que exigem simetria e invariância das razões obtidas. Escolheu-se por não orientar os tipos de ferramentas que os estudantes poderiam utilizar, ficando por conta de seus conhecimentos do GeoGebra e da Geometria. Assim, diferentes experiências entre artefatos e situações seriam vivenciadas, para o enriquecimento das discussões sobre a OI traçada. A condição de manutenção da proporção, ao se arrastar qualquer das partes do boneco, explora o aspecto dinâmico do software com o uso de construção de uma figura que não se deforme ao se ampliar qualquer das partes a qual põe o estudante a pensar sobre as propriedades que definem um objeto geométrico. Eles podem utilizar a circunferência como objeto geométrico base para manutenção das distâncias, por exemplo, assim como utilizar a translação dos segmentos. Assim, a resolução dos estudantes trará oportunidade para observação e discussão da relação entre conhecimento matemático, artefato, instrumento e formação do aluno em uma configuração didática. No enunciado da situação matemática a seguir (Figura 14), pode-se perceber uma nítida geométrico que é Os primeiros conhecimentos envolvidos foram: (I) razão entre as medidas de articulação entre diferentes conhecimentos matemáticos, de diferentes blocos de conteúdos,
	4.3.1.1	A situação matemática da OI1.
		A definição da situação matemática OI1 foi um verdadeiro desafio para as formadoras,
	considerando que foi previsto que os mestrandos tinham formações diferentes, dada a natureza
	do curso de mestrado. Dessa forma, o conceito matemático proporção foi escolhido como
	essencial para se modelar a situação matemática da OI1. Além desse conceito, outros seriam
	explorados, tais como simetria. Os conceitos demandados são estudados no Ensino

Figura 13 -Situação matemática da OI -Construção de um boneco no GeoGebra Fonte: Lucena, Gitirana e Trouche (2016).

além dos inerentes à geometria dinâmica e ao software indicado. Para o entendimento e resolução dessa situação matemática, espera-se que sejam evocados os conceitos matemáticos: proporção e simetria.

  

	O recurso da Geometria Dinâmica, conjuntamente com a solicitação do boneco ser Há razões entre comprimentos de diferentes partes do corpo humano que atribui a esse denominada eixo de simetria. Dessa forma, a construção geométrica do boneco deve ter uma
	ampliado e/ou reduzido sem deformação (II), atribui à situação matemática a perspectiva do certa harmonia. A menos de pequena variação, as mesmas razões aparecem nas nas pessoas em simetria de reflexão.
	trabalho com as construções geométricas. Essas são feitas a partir das propriedades das figuras, geral. Essas razões serão base para a construção do desenho de um boneco. Conjuntamente, Além do conhecimento matemático propriamente dito, a noção intuitiva que o estudante
	com o controle da razão entre comprimentos de suas partes e da simetria entre os dois lados. O com noções de construções geométricas que preservem tais razões, garantirão a ampliação e a tem do próprio corpo, enquanto 'objeto simétrico', pode orientá-lo ao uso do conceito de
	software permite que a situação se concentre em um trabalho com as figuras geométricas em redução proporcional das partes do corpo do boneco (Figura 15), sem que haja deformações ao simetria. É sabido que existem pequenas diferenças entre as medidas de um lado e do outro do
	vez de com o desenho em si. ampliar/reduzir qualquer de suas partes (braços e pernas). corpo humano, as quais são observáveis a partir de sua medição. Um exemplo clássico dessa
	No que concerne à (I) determinação da razão, o estudante estará diante de uma situação relação entre simetria e parte do corpo humano é o desenho O Homem Vitruviano (Figura 16),
	de medição de comprimentos, a partir do qual obterá sempre um número racional, aproximação Figura 15 -Ilustração da ampliação e redução das partes do corpo criado por Leonardo da Vinci por volta de 1487, inspirado no trabalho do arquiteto Vitrúvio
	da medida real, e que "[...] em consequência podemos sempre definir a razão de duas delas do boneco Pollio.
	como o quociente de suas grandezas" (ÁVILA, 1986, p. 1). A palavra razão tem origem latina,
	ratio, que significa a divisão ou o quociente entre dois números a e b, representado por a:b ou
	ainda, a/b, sendo que ambas as formas devem ser lidas "a está para b".
	Na matemática escolar, comumente, tem-se definido razão entre números como o
	quociente de um número por outro diferente de zero. Essa ideia de razão cumpre um papel
	importante no estudo das proporções. A palavra proporção, também, emana do latim Fonte: Elaborada pela autora.
	proportione, relação entre as partes de uma grandeza, relação entre duas razões em situação de
	igualdade. Dessa forma, pode-se representar a proporção entre as razões, a/b e c/d, por meio da No processo de construção do boneco, surge outro conceito importante na elaboração
	igualdade: a/b = c/d. do desenho, o de simetria (III). Ao observar o desenho dado como modelo (Figura 15), é muito
	Logo, apresentamos a definição de proporcionalidade direta, cujo entendimento é provável que o estudante consiga perceber o segmento que representa o tronco como parte de
	necessário à resolução da situação proposta. Para isso, usaremos a definição apresentada por um eixo de simetria, a partir do qual se deve buscar garantir a congruência e espelhamento entre
	Ávila (1986, p. 1), especialmente, pelo fato de este atribuir à proporção uma perspectiva as partes do corpo (braços, pernas, por exemplo).
	algébrica, a partir do uso do termo 'variáveis', além da comumente utilizada 'grandezas' A palavra simetria origina do grego (sin = com e métron = medida). Segundo o Guia do
	correlata às estruturas multiplicativas. Livro Didático:
	Do ponto de vista matemático, mas não formal, o conceito de simetria envolve Figura 14 -Enunciado da situação matemática Definição 1. Diz-se que duas variáveis (ou grandezas) x e y são três noções básicas: um conjunto de elementos; uma transformação "interna"
	proporcionais -mais especificamente, diretamente proporcionais -se desse conjunto em si mesmo; a existência de um subconjunto desse conjunto
	estiverem assim relacionadas: maior que fica invariante quando submetido a tal transformação. Os exemplos
	mais simples de simetria surgem na geometria, nos casos em que o conjunto
	mencionado é o plano, a transformação é uma de suas isometrias e o y = kx ou y/x = k, subconjunto em causa é uma figura simétrica em relação a tal isometria. Mais
	particularmente, se a isometria é a reflexão em relação a uma reta (eixo de
	simetria), diz-se que a figura possui simetria de reflexão [...] (BRASIL, 2006, onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade. p. 33).
	De acordo com a definição anteriormente apresentada, a situação matemática em foco,
	Fonte: Elaborada pela autora.
	verifica-se um caso de simetria, cuja isometria é a de reflexão em relação a uma reta

Figura 16 -O Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci Fonte: http://www.leonardodavinci.

net/ O estudo de simetria dos templos de Vitrúvio apresenta uma proporção que relaciona partes

  do corpo humano, mas que provoca significativa "diferença entre a natural harmônica corporal" (SANTOS, 2007, p. 4). As críticas à regra de Vitrúvio faz com que Leonardo da Vinci reduza as razões apresentadas.

	Figura 17 -As proporções da estrutura óssea masculina
	Vitrúvio apresenta a proporção entre as partes do corpo tal qual a cabeça seria
	1 ⁄ 8 da altura do corpo, os pés seriam 1 ⁄ 6 do corpo e a face 1 ⁄ 10 do corpo,
	Mas, Da Vinci as modifica, e define a largura do busto como 1 ⁄ 4 da altura do
	corpo, cuja razão aplica-se sobre os ombros; o pescoço de 1 ⁄ 15 do corpo
	humano para 1 ⁄ 24 e o pé de 1 ⁄ 6 da altura do corpo para 1 ⁄ 7. (SANTOS,
	2007, p. 4).

Fonte: SILVA (2012, p. 11).

perceber na Figura 22 que aos 06:54 do início da gravação os EA começam a execução da situação. Como eles se esqueceram de ligar o áudio, não foi possível uma transcrição da discussão entre eles. Os processos de instrumentalização e instrumentação dos estudantes iniciam-se com o acesso aos seguintes ícones do menu: aos 06:54, círculos; aos

  ). Trata-se de uma escolha acertada e bem melhor do que a sugerida pelas

	instrumento, requisitado a partir do conhecimento didático dos estudantes, que já têm proporcionalidade em relação às demais partes do corpo. Os EA determinaram dois Outro recurso que contribuiu para traçar o enredo e organizar as personagens na história, ou pelo menos um de seus componentes: regras de ação, os invariantes operatórios, ou seja,
	experiência docente. instrumentos não convencionais para fazê-lo: o palmo e um cabo de carregador de celular, sendo atribuindo-lhes as falas e ações corretamente, foram os registros de um dos estudantes-teoremas em ação e os conceitos em ação, possibilidades de inferência dos sujeitos (LUCENA;
	Após a leitura da situação e das orientações, feita por uma das formadoras, os estudantes que esse último representou excelente exemplo na discussão da relação entre artefato e observadores que anotou ações e interações dos EA. Tais registros revelaram as decisões dos GITIRANA; TROUCHE, 2017a; ROCHA; LUCENA, a publicar).
	questionaram sobre qual instrumento deveriam utilizar para fazer as medições. A não instrumento. As razões foram definidas utilizando a altura da cabeça marcada no cabo do EA, haja vista o ruído da sala ter sido captado na filmagem, comprometendo seu áudio. É válido lembrar que a análise microgenética pressupõe a criação de um índice de
	disponibilização de artefatos de medição foi intencional. Nesse momento, as formadoras celular. Esse processo pode ser melhor entendido com a leitura da história em quadrinhos criada Em seguida, já com a razão de proporcionalidade estabelecida entre comprimentos das eventos, haja vista que uma de suas funções busca captar as minúcias da situação observada.
	informam que eles poderiam optar por qualquer tipo de instrumento, desde que eles o para ilustrar o passo a passo desse processo (Figura 21). partes do corpo (Figura 21), os estudantes-atores iniciaram a resolução da situação, transitando Dessa forma, fez-se uso da videografia por meio do aTube Catcher, que capturou as decisões
	providenciassem. Inesperadamente, o grupo C optou por usar um cabo de carregador de celular entre as ferramentas oferecidas no menu do software GeoGebra (Figura 22). dos EA em relação à resolução da situação com suporte do GeoGebra. Como o áudio não
	para medir, fato que chamou a atenção das formadoras que tinham previsto o uso régua ou Figura 21 -Grupo C determinando a razão de proporcionalidade funcionou, o índice de eventos da filmagem referente ao trabalho coletivo do grupo C foi
	palmo, mas jamais desse artefato. Tal fato será melhor discutido na performance didática desse construído apenas a partir das imagens da tela do computador e das interpretações sobre elas.
	grupo, na seção a seguir. Assim, o critério utilizado para definir cada evento foi a mudança de estratégia. Nas
	primeiras vezes em que o vídeo foi assistido, percebeu-se que esse grupo vai testando,
	4.3.1.5 experimentando e alternando estratégias de construção. Decidiu-se, então, pela caracterização Análise microgenética da performance didática do grupo C
	de cada evento a partir de cada nova estratégia adotada para a construção que os EA buscavam
	A partir daqui, descreveremos a performance didática do grupo C na OI1. Trata-se de fazer. No Quadro 1, pode-se observar o índice de eventos selecionados:
	um exemplo rico, cujos resultados revelam os primeiros indícios de que a MOI desenvolvida
	formadoras. No entanto, mesmo com uma organização viável, isso não implicou em ser pode de fato contribuir para formação teórico-prática da OI. A escolha do grupo C foi pautada Quadro 1 Índice dos eventos selecionados
	adequada, pois, no caso dos grupos A e B, com 5 e 7 participantes, respectivamente, não dirimiu na qualidade dos dados coletados, relativos às interações e às ações realizadas por de seus Evento Síntese do Evento
	a dificuldade de visualizar a tela e entender o que estava sendo feito, inviabilizando uma componentes, tanto na OI1 quanto na OI2. O grupo C inicia a realização da situação matemática 1 Exploração do Menu do GeoGebra
	participação mais efetiva. proposta, alterando parte da configuração didática projetada pelas formadoras (Figura 20A). O 2 Construção da cabeça e tronco na vertical passando pelo centro da circunferência
	No grupo A, o participante mais distante do notebook se jogava por cima dos colegas grupo opta por uma organização em que os três estudantes-atores ficam encostados na parede 3 Construção da cabeça com corpo sobre o eixo vertical
	da sala de aula, inviabilizando o ângulo de filmagem do estudante-observador às ações do grupo quando queria dar uma sugestão, mas, em geral, se mantinha ausente das discussões do grupo. 4 Construção de circunferência fixa ao eixo vertical do plano cartesiano
	no computador. Após questionamento de F2, os estudantes-observadores reorganizam o grupo Já no grupo B, um participante decidiu se posicionar por trás do grupo, ficando em pé e curvado. 5 Construção do corpo do boneco com um retângulo (Figura 20B), de forma que a filmagem fosse facilitada. Isso não comprometeu o acesso ao que Perceba ainda na Figura 20B que as duas professoras se dividiram, uma para observar os grupos, 06:57, cônicas; aos 06:59, polígonos; e em um intervalo de tempo maior, aos 07:01 a 08:06, o 6 Construção do braço tomando as medidas constantes faziam no notebook, uma vez que o software aTube Catcher estava capturando a tela. dando suporte a esses, e a outra ficou responsável pela filmagem. Ambas se revezaram nessas funções. A ausência de um estudante resultou na formação de três estudantes (Figura 20B) à frente da resolução da situação e não quatro (Figura 20A), como projetado. Isso favoreceu as ícone referente a retas e segmentos. Depois, passam o cursor pelos mesmos ícones, no intervalo 7 Construção dos braços horizontais tomando as medidas constantes Fonte: Elaborada pela autora. de 08:06 a 08:15, até escolherem a primeira ferramenta e iniciar, assim, a construção do boneco. 8 Construção do corpo e reposicionamento do braço Outro acontecimento simples, mas não menos importante, ocorreu quando os EA interações dos participantes e a visualização da tela. Uma estudante operava o GeoGebra no A história em quadrinhos que podemos observar na Figura 21 foi criada com base nos As diversas vezes que o processo de construção do boneco foi observado trouxeram à 9 Construção das pernas respeitando apenas a posição diagonal iniciaram a resolução da situação, a qual foi exposta na lousa digital. Nesse momento, os razão de proporcionalidade. Os EA decidiram pela medição da cabeça de um de seus PIXTON©, o qual tem uma versão gratuita que dispõe de diversas ferramentas para produção esquemas de uso e de ação instrumentada, desenvolvidos pelos estudantes-atores em sua relação participantes pela sala de aula. Revela-se, rapidamente, a busca pela inserção de mais um O primeiro desafio dos EA quanto à resolução da situação consistiu em encontrar a proporcionalidade. Para tal, foi utilizado o software de criação de história em quadrinhos dos participantes da MOI. Esses processos da gênese instrumental são determinados pelos visualizá-las. Muitas vezes, essa ação foi dificultada por causa da movimentação dos no comando, para ser entrevistada, após reclamações. reproduzir por meio dos quadrinhos as ações dos EA para determinar a razão de É relevante à pesquisa compreender como se dá a instrumentação e instrumentalização grupos em um formato impresso, evitando a necessidade de estar olhando para a lousa para dois estudantes se alternaram no controle do computador com a saída da estudante que estava quanto à imagem e identidades dos estudantes foi garantido pelas formadoras, daí a decisão de microgenética dos eventos identificados. estudantes revelaram a importância de que as orientações tivessem sido distribuídas entre os computador, enquanto os outros dois, um de cada lado, davam suporte. Vale salientar que esses trechos da filmagem realizada por um dos estudantes-observadores com o seu celular. O sigilo tona a necessidade de se criar um instrumento modelo para um melhor detalhamento da análise Fonte: Elaborado pela autora.
	participantes, escolhido como modelo. A medida da cabeça serviu para estabelecer a razão de de histórias em quadrinhos, podendo ser acessado a partir do registro de uma conta de usuário. com o artefato para resolver a situação matemática. Assim, decidiu-se por evidenciar esquemas

Figura 22 -Início da instrumentalização do grupo C Fonte: Elaborada pela autora. É possível

Ferramenta do GeoGebra Etapas do Evento 1 Regras de ação, controle e tomada de informação Teoremas em ação Conceitos em ação

  Quadro 2 -Detalhamento da análise microgenética do Evento 1

	(A) Circunferência	Construir a cabeça	Construir a cabeça		A circunferência é
	dados centro e raio	Tempo: 08:24	selecionando a		definida a partir de
			ferramenta		um ponto
			circunferência		construído no
			dados centro e raio,		plano e a distância
			a partir de um ponto		do cursor
			construído e arrasto,		(GeoGebra) ao
			resultando na		final do arrasto.
			circunferência		
			(formato da cabeça		
			do boneco dado).		
	(B)Reta que passa	Construir o tronco	Testar a ferramenta	Reta paralela	Reta paralela à
	por dois pontos	Tempo: 08:36	reta que passa por	a uma reta	outra é definida a
			dois pontos para	vertical (eixo)	partir da
			desenhar uma reta	é vertical	construção de uma
			paralela ao eixo das		reta com mesma
			ordenadas do plano		direção da outra
			cartesiano, tendo		(eixo).
			como referência a		
			posição vertical do		
			corpo do boneco		
			dado, deletando a		
			construção em		
			seguida.		
	(C) )Reta que passa	Fixar a cabeça ao	Construir o eixo de		
	por dois pontos	tronco	simetria da		
		Tempo: 09:01 a	circunferência		
		09:06	(cabeça) com a		

ferramenta reta que passa por dois pontos, a partir de

  

	respeito da matemática em jogo, sobre a construção geométrica e sobre a geometria dinâmica 4.3.2 Orquestração instrumental 2 -OI2 A restrição de comunicação com outros membros do grupo ou de outros grupos durante A gestão das tecnologias: em que estiver observando os fenômenos do experimento da OI1. Instrumentos para realização arquivo final do boneco produzido e a filmagem externa, além das anotações do estudante-no tablet. Em relação aos seus conhecimentos sobre a técnica de entrevista, percebeu-se que As formadoras acompanharam o trabalho dos grupos, dando suporte sempre que
	com maior precisão. o experimento foi mantida para os estudantes-observadores. As ferramentas digitais são disponibilizadas ou sugeridas aos estudantes-observadores das anotações não devem ser entregues. Espera-se que os EOs, além dos tradicionais artefatos observador. todos os entrevistadores conseguiram atender, de forma geral, as expectativas em relação à sua solicitado, inclusive no que concerne ao uso das tecnologias disponibilizadas. Também ficou
	Como se pode perceber, o modelo para detalhamento da análise dos eventos (Quadro 2) A OI2 foi criada para que os mestrandos pudessem vivenciar a OI com foco na para a realização da situação proposta, de acordo com o papel que cada um escolhe exercer. como papel, lápis/caneta para anotações, façam uso de outros artefatos tais como: notebook, Quanto à técnica de entrevista, foi planejado o uso de 4 tablets de forma que cada grupo atuação nessa função, pois se mostraram hábeis em: sob a responsabilidade dessas recolher, organizar e armazenar os dados coletados e
	mostra-se bastante útil, pois permite evidenciar as minúcias do evento, como também classificá-metodologia de pesquisa. Como já informado, a OI2 ocorreu simultaneamente à Orquestração 4.3.2.2 Configuração didática da OI2 Para a observação não estruturada, não foram fornecidos artefatos, apenas indicou-se o uso de tablet ou celular. ficasse com um. Assim, o entrevistador do grupo poderia ir entrevistando cada um dos a) fazer a leitura prévia do formulário, para conhecer previamente as perguntas que irá disponibilizados pelos grupos.
	las. Uma análise mais detalhada será realizada no estudo principal, quando a MOI será Instrumental OI1. Na OI2, alguns dos mestrandos de cada grupo assumem a função de estudante-materiais próprios para anotação (papel e lápis/caneta). Orienta-se que as anotações devem ser estudantes-atores. Mas um imprevisto inviabilizou a aquisição dos tablets. Tal situação exigiu fazer ao entrevistado;
	novamente testada, já com as alterações necessárias, resultantes dessa primeira experimentação. observador (EO), simulando uma situação de pesquisa, por meio da aplicação de algumas O critério de escolha das técnicas de coleta de dados demandadas pela situação a ser feitas com base nos eventos observados, articulados aos elementos do modelo da OI estudado, 4.3.2.4 Performance didática das formadoras uma decisão ad hoc: entrevistar apenas um dos estudantes-atores de cada grupo, b) criar condições favoráveis para realizar a entrevista. Ações como: convidar para
	Mas, para não finalizarmos aqui, destacamos alguns aspectos relevantes observados, na técnicas de coleta de dados em relação ao experimento realizado na O1. resolvida são bastante utilizadas por pesquisadores (TROUCHE, 2004; DRIJVERS et al., 2010; pautado no texto sobre a OI. Antes de iniciar a observação, os EO são orientados a elencar enquanto o experimento ocorresse. Depois de responder, o estudante voltava ao grupo para sentar; buscar um lugar mais silencioso; usar de cordialidade; mostrar-se imparcial
	análise do vídeo, referente ao processo de construção do boneco, pelo grupo C: COUTO, 2015) na construção do método de suas pesquisas, também fundamentadas pela OI. critérios de observação. Para a entrevista estruturada, elaborou-se um formulário no Google A previsão feita pelas formadoras a respeito da aplicação da técnica de observação direta continuar a resolução da situação matemática. com as respostas dadas, sem exprimir qualquer tipo de reação ou ação;
	a) chamou a atenção o não uso de construções geométricas pautadas na razão de A situação de observação da prática Assim, a configuração didática planejada foi pensada para dar suporte aos estudantes na 4.3.2.1 Drive (ANEXO 1) constituído por 12 questões, abertas e de múltipla escolha, na perspectiva de não estruturada, por registro recursivo, por meio de notebooks ou smartphones, não se Os dados coletados com a entrevista não foram analisados na OI4, nem serão neste c) informar ao entrevistado sobre a garantia de confidência quanto à sua identidade.
	dois pontos dela obtidos com o auxílio da caixa de identificação de objetos construídos, passando visualmente pelo centro e paralelo ao eixo das ordenadas. O detalhamento dos teoremas e dos conceitos em ação, assim como de outros Uma reta que passa por dois pontos da circunferênci a e pelo centro desta é um eixo de simetria da circunferênci a. O eixo de simetria é definido como a reta que divide a figura em duas partes iguais. Fonte: Elaborado pela autora. componentes dos esquemas, permite precisar, inclusive, que alguns esquemas desenvolvidos e que resultam em desenho são válidos para a construção geométrica fora da geometria dinâmica. proporcionalidade, anteriormente determinada (Figura 20). O grupo desenvolve um processo de construção cujos esquemas de uso são centrados na medida dos objetos geométricos com pouca articulação entre os objetos de forma a preservar a razão. Pode-se argumentar que o software foi utilizado para desenhar e não para construir um boneco com as propriedades indicadas como uma figura, na qual as razões entre as medidas seriam invariantes; b) o desenho do boneco foi realizado com base nas medidas de suas partes em relação a unidade do sistema cartesiano disponível no software, em que a altura da cabeça foi colocada como duas unidades. O grupo passa a utilizar como instrumento de medida a escala dos eixos cartesianos e pares ordenados disponíveis na área de visualização do GeoGebra. As medidas obtidas pelas coordenadas cartesianas escolhidas pelos estudantes acompanham as características geométricas do desenho; os estudantes percebem que a construção não satisfaz às condições postas quando tentam diminuir um dos braços do boneco e as demais partes (cabeça, pescoço e braço esquerdo) não variam conforme a manipulação realizada. Eles continuam tentando avançar rumo à construção proposta até que, como relatado por um dos estudantes observadores do grupo, [...] eles perdem o foco da situação e passam a colorir as partes do boneco. Percebe-se que o grupo possui pouca familiaridade com o software e pouco conhecimento da geometria como figura. Pode-se inferir que a vivência da ideia dinâmica da Geometria revelou que os EA ainda estavam em processo de gênese instrumental para resolver a situação proposta. execução de tais técnicas. traçar o perfil dos estudantes. O preenchimento do formulário deve ser feito em um tablet com consumou. Todos os observadores fizeram seus registros cursivos por meio de lápis/caneta e trabalho, pois apenas nove dos 23 estudantes, ou seja, menos de 50% dos participantes que É relevante informar que o ruído produzido pelos grupos não atrapalhou a realização da A situação de observação da prática foi criada para atender ao viés metodológico A gestão dos recursos humanos: acesso à internet, pelo entrevistador. Quanto à filmagem do trabalho coletivo de cada grupo na papel. Mesmo quando foi sugerido que digitassem as observações em seus computadores/ participaram do experimento responderam às questões. Essa decisão pauta-se no objetivo não entrevista. Após a orientação das formadoras, os entrevistadores optaram por lugares mais almejado ao estudo da OI, enquanto metodologia de pesquisa. Assim, definiu-se que a situação A organização dos sujeitos, estudantes e formadoras e de suas respectivas funções, já resolução da situação matemática, sugere-se aos EO o uso de seus celulares, pelo fato de não tablets/celulares, os observadores preferiram anotar, para depois digitar, passando a limpo as alcançado em relação à entrevista: traçar o perfil da turma, quanto à formação e experiência dos afastados dos grupos para poder fazer seu trabalho. da OI2 seria a coleta de dados por meio da observação não estruturada e estruturada, sendo foram parcialmente reveladas na OI1 (Figura 11), haja vista que as orquestrações instrumentais haver câmeras suficientes para todos os grupos. Finalmente, para a captura de tela, deve ser anotações e, em seguida, enviando por e-mail para as formadoras. estudantes, com ferramentas digitais e software de geometria dinâmica, incluindo o GeoGebra. Capturando as interações e ações do grupo, o estudante-observador, responsável pela estabelecidas as técnicas que deveriam ser executadas pelos estudantes-observadores, quanto da OI1 e OI2 ocorreram de forma simultânea. Entretanto, alguns aspectos da configuração instalado, previamente, em cada notebook disponibilizado, o software aTube Catcher, gratuito Acredita-se na possibilidade de que os estudantes-observadores sejam Entretanto, as respostas à questão "Qual a sua formação inicial?" chamaram a atenção: dos nove filmagem, atuou de forma individual e não participante, buscando um registro mais fidedigno ao uso da observação para coleta de dados e as condições para realização dessa situação: didática da OI2 serão detalhados. e ideal para este fim. Quanto às formadoras, essas tinham uma filmadora posta em um ponto instrumentalizados e instrumentados em relação à técnica da digitação, mas não em fazê-la estudantes, cinco tinha graduação diferente de matemática. Eram formados em: pedagogia, artes do trabalho coletivo dos estudantes-atores, por meio do próprio celular. Percebeu-se que os EO a) observação não estruturada ou assistemática. Intencionava-se, com a aplicação dessa Inicialmente são escolhidos três dos sete estudantes que compõem o grupo, para estratégico da sala (Figura 11) para capturar imagens da atuação da turma como um todo, além simultaneamente à observação. Observar e digitar/teclar o que está vendo e ouvindo exige do plásticas, computação e sistemas de informação. Uma diversidade que se refletiria, precisavam desenvolver esquemas de uso e de ação instrumentadas do celular para filmar, pois OI2 técnica, que o estudante-observador por ela responsável conseguisse fazer assumirem a função de observadores (EO1, EO2, EO3). Depois, os três são distribuídos entre as de seus celulares, os quais foram utilizados para fazer filmagens dos grupos. observador maior atenção quanto ao artefato utilizado, o que pode incorrer em perda de trechos especialmente, na execução da situação matemática. apresentaram certa dificuldade em relação à técnica da filmagem, precisando de um suporte anotações articuladas ao que era observado com o que fora lido no texto sobre OI técnicas de coleta de dados apresentadas pelas formadoras durante os momentos das A gestão do tempo: importantes das interações/ações enquanto digita/tecla. Diferentemente da escrita em papel, De modo geral, as expectativas em relação ao desempenho dos estudantes-observadores maior das formadoras para: (OI3), disponibilizado previamente, contribuindo com as nossas análises sobre a OI1; orientações. A OI 2 , assim como a OI 1 , é centrada na ação instrumentada dos estudantes. Para fazer as observações, EO dispõem do mesmo tempo que os EA têm para resolver essa perda pode ser menor, uma vez que permite ao sujeito observar e anotar ao mesmo tempo, sobre a técnica utilizada foi satisfatória. Verificou-se certo domínio dos EOs sobre as técnicas a) procurar movimentar-se em torno do grupo para garantir a filmagem por diferentes b) Observação estruturada ou sistemática. Nesse caso, foi definido o definimos o uso de Enquanto na OI1 os EA vão usar tecnologias para resolver a situação matemática, na OI2, os EO a situação matemática. O estudante responsável por realizar as entrevistas deve realizá-la com ainda que de forma não muito organizada, sem necessariamente fixar o olhar no artefato. de coleta de dados, pois conseguiram: prismas; três técnicas: vão utilizar tecnologias para realizar a situação de observação da prática. Já as professoras os EA, individualmente, no mesmo tempo que se realiza a situação da OI1. Cada EA é retirado Quanto à filmagem por meio dos celulares, os estudantes-observadores mostraram-se a) manter-se fora das interações do grupo, revelando que entendem a importância dessa b) encontrar uma angulação e ponto fixo capaz de captar as ações e reações do grupo; -entrevista padronizada ou estruturada, realizada de acordo com um formulário. assumem a função de formadoras (F1, F2, F3, F4), para observar a atuação do grupo como um da atividade para realizar a entrevista. bastante instrumentados em relação à ferramenta, mas revelaram um pouco de dificuldade com ação para não influenciar os dados; c) estipular o tempo de carregamento de seu celular, prevendo a necessidade de troca Objetivou-se, com a aplicação desta técnica, traçar o perfil do EA no que concerne todo e realizar a filmagem da dinâmica da sala de aula durante os experimentos. Além disso, a técnica da filmagem, para movimentar-se e definir bons ângulos de filmagem, por exemplo. b) fazer registros cursivos fidedignos dos fenômenos que observaram, não de equipamento, evitando que se percam minutos de interação enquanto providencia a sua expertise quanto ao uso de softwares dinâmicos de matemática, inclusive, o elas devem orientar a coleta de dados e explicar como cada EO deve proceder. 4.3.2.3 Modo de execução Mas, no geral, deram conta da função satisfatoriamente. O grupo B, ao atentar para o tempo de acrescentando, nem retirando fatos, visando, por exemplo, beneficiar o grupo que faz outro. GeoGebra; As ações dos estudantes-atores na OI1 é o espaço de observação da prática com suporte duração da bateria que descarregava, fazia a troca do celular. Fizeram a troca três vezes, mas parte; A respeito do aTube Catcher, por ser um instrumento de coleta de dados já instalado no -filmagem. Com esta técnica, objetivou-se a captura das interações e ações dos EA de tecnologias digitais para resolver uma situação matemática. Esse acompanhamento do O modo de execução planejado para OI2 prevê o uso do mesmo diaporama, a ser sem prejuízo da filmagem. c) estar atentos aos fatos mais marcantes das interações do grupo, registrando-os. No computador, não necessita de acompanhamento, como ocorre na filmagem. Basta ao durante o processo de resolução da situação matemática, com foco na gênese trabalho coletivo na execução da situação matemática ajuda a entender a gênese instrumental projetado por notebook, lousa e projetor digital, como na OI1. A apresentação deve ser feita Quanto à captura de tela, realizada pelo aplicativo aTube Catcher, verificou-se maior caso desse experimento, preferencialmente, à luz da OI, o que pressupõe a leitura pesquisador o download do aplicativo, a escolha dos requisitos de funcionamento e que esse instrumental desses estudantes. dos componentes de cada grupo. Se, por um lado, essa atuação serve como espaço de pelas formadoras para dar instruções aos EA e EO de cada grupo. Esses estudantes devem dificuldade por parte dos estudantes, pois não o conheciam; alguns pediram ajuda das prévia do texto disponibilizado e o elencar dos aspectos as serem observados. seja iniciado e finalizado quando o usuário assim o desejar. Essas etapas foram cumpridas -captura de tela, por meio do aTube Catcher, um software específico para este fim. conhecimento de parte dos estudantes para subsidiar a OI3; por outro, os dados coletados por iniciar sua atuação após as orientações de forma simultânea. formadoras para acioná-lo. Nenhum grupo conseguiu fazê-lo sozinho com sucesso. Mesmo Quanto ao entrevistador, esse realizou sua função de forma individual e não participante. previamente, por três dos quatro grupos. Além disso, é preciso acionar o aplicativo e, ao final Objetivou-se capturar as interações dos estudantes com o software GeoGebra eles servem também para esta pesquisa. Daí a relevância em coletar dados desse processo para O estudante-observador, responsável pela observação, deve fazer os registros cursivos após receber algumas orientações, o grupo C acionou a captura de tela sem o áudio. O grupo A Leu as perguntas do formulário on-line para o entrevistado (estudante-ator) e registrou, por do experimento, encerrar a captura. O grupo A não acionou o aplicativo e, com isso, a resolução durante a realização da situação matemática, acompanhando o processo de gênese estudantes-atores em relação aos critérios elencados. Sua atuação deve ser não participante, ou instrumentalizado e instrumentado quanto ao uso do formulário on-line e de seu preenchimento portanto não acionou o aTube Catcher nem solicitou ajuda para isso, o que incorreu na não instrumental dos EA com o GeoGebra. poder descrevê-los e analisá-los à luz dos princípios da OI. (anotações), com base em suas impressões sobre o que vê e percebe das interações e ações dos imaginou que, ao iniciar a atividade, o aplicativo já iniciaria a captura de tela automaticamente, meio do tablet, as respostas dadas. O entrevistador na aplicação dessa técnica revelou ser integral da situação não foi registrada.
	A análise desses eventos contribui para que se possa inferir sobre o domínio dos estudantes a seja, ele pertence ao grupo, mas não deve interagir com os demais integrantes, durante o período captura da tela do computador em que realizaram a situação. Desse grupo, tem-se apenas o

Regras de ação, de tomada de ação e de controle Invariantes operatórios (conceitos-em-ação e teoremas-em ação)

  Na OI1, por exemplo, as postagens do fórum podem ser consultadas sempre que o estudante em formação desejar. Ele pode utilizar esse conteúdo para auxiliá-los a resolver as situações de outras orquestrações. Pode, também, utilizar os eventos da OIp, como exemplos para entender ou explicar elementos teóricos da OI.

	No eixo horizontal, tem-se identificada a sequência de orquestrações instrumentais da
	MOI. Pode-se perceber na Figura 34 que a OI2 que ocorre simultaneamente à OI1, têm-se dois
	tempos denominados OI2.1 e OI2.2. Esses correspondem a momentos de execução das
	subsituações da situação S2 proposta. A legenda de setas indica o uso de protocolos produzidos
	Outro aspecto relevante a ser considerado na análise é o acompanhamento individual de pelos estudantes em uma orquestração, evocados para ajudá-los a resolver a situação de outra
	cada participante, mesmo quando no desenvolvimento de trabalho coletivo. É esse orquestração. Uso do protocolo da OI1 (seta azul); uso do protocolo da OI2.1 (seta vermelha);
	acompanhamento que permitirá inferir sobre a evolução do estudante ao longo da formação, tal uso do protocolo da OIp (seta rosa); da OI2.2 (seta verde); da OI3 (seta dourada); e da OI4 (seta
	como sua compreensão sobre a OI. Assim, pensou-se em traçar uma trajetória de análise azul celeste).
	individual (Figura 34) referente ao processo de apropriação do modelo teórico.
	Quadro 5 -Instrumento de análise
	Objetivos
	(subobjetivos)

A trajetória de análise individual (Figura 34) foi estruturada da seguinte forma: no eixo vertical, tem-se especificado cada componente de um mesmo grupo, estudantes-atores (EA) e estudantes-observadores (EO). Também estão inseridos outros participantes (estudantes, formadoras, autor da OI) para que façam sentido as interações desses com os componentes do grupo em análise. A linha tracejada representa as interações entre sujeitos, indicando como eles interagem entre si, em torno de uma mesma temática. A seta tracejada representa o engajamento dos sujeitos com as formas de destinação do webdoc. As setas coloridas representam os protocolos gerados em uma orquestração e utilizados em outras orquestrações pelos sujeitos, indicando como eles interagem com os protocolos, para se apropriarem de cada temática.

Figura 34 -Trajetória de análise individual de apropriação da orquestração instrumental Fonte: Elaborada pela autora.

À medida que se identifica a produção de protocolos dos estudantes de um grupo (horizontal), em cada orquestração, um quadradinho registra tal interação, segundo a temática discutida que pode ser: gênese instrumental, situação matemática, configuração didática, modo de execução e performance didática. A cada vez que o estudante volta a discutir a mesma temática ao longo da MOI isso é registrado, o que permitirá observar a evolução dos estudantes no processo de apropriação da OI.

Os esquemas dos estudantes foram analisados, neste estudo, em um quadro mais detalhado pautado na definição analítica de esquema produzido por

[START_REF] Goigoux | Schèmes professionnels[END_REF]

.

  Lematec Studium. Por meio de seu login, ele acessa ao módulo da disciplina -OI e lê as orientações. A primeira é (1) clicar em um link que dá acesso ao webdoc; em seguida, segundo semestre do curso de licenciatura em Matemática formada por jovens, buscou-se inserir exemplos que ilustrassem elementos da teoria em multimídia. O webdoc é um dos artefatos a serviço da situação, mobilizados pela OI.

	5.3.1.2	Configuração Didática -OI1 Gestão dos recursos humanos e do tempo:
		Os estudantes deveriam realizar, ao menos, duas interações durante uma semana, por
	A orquestração instrumental (OI1) foi desenvolvida para dar suporte à realização da Lematec Studium) ou em relação à situação de formação. Para isso, elas mantiveram meio do fórum após a leitura do webdoc. Uma primeira interação era para fazer um
	situação de formação (S1) e favorecer a gênese instrumental dos estudantes no que concerne ao os dois canais de interação que a professora da disciplina já fazia uso para se questionamento sobre a OI. Uma segunda destinava-se a responder a uma das questões feitas
	uso do webdoc para discutir sobre a OI em um fórum. Para isso, uma configuração didática foi comunicar com os estudantes à distância: o WhatsApp e o e-mail; pelos colegas. 5.3.1.3.1 O desenvolvimento do webdoc
	criada e modo de execução previsto, e consideraram a S1 e os recursos que os estudantes e) estudantes: devem aceitar o convite enviado pelas formadoras via e-mail, acessar o Assim, o estudante começa sua trajetória em relação à OI1 a partir do momento em que
	precisam se instrumentalizar e/ou se instrumentar para realizar tal situação. Levou-se em conta a necessidade de que os estudantes fizessem a S1 em modalidade a distância. Outro aspecto relevante é a integração do design da configuração didática da OI1 no Lematec Studium O tipo de espaço virtual do Groups Google e realizar postagens no fórum. A dinâmica de postagem definida solicita a postagem por cada estudante de ao menos uma pergunta O webdoc didático Um texto multimídia capaz de facilitar a leitura e a compreensão de um modelo teórico ele entra no 5.3.1.3 na língua materna, com articulações com exemplos da prática foi desenvolvido. Almejava-se
		fórum (como ferramenta) foi escolhido o de inserção de tópicos e/ou subtópicos, o
		que permite a cada aluno, individualmente, escolher continuar uma discussão ou abrir O Estudo Preliminar revelou as dificuldades de conseguir que os estudantes lessem um
	um novo tópico; texto em outra língua. Uma leitura inicial sobre a teoria era indispensável à introdução e à

[START_REF] Bellemain | LEMATEC Studium v. 2.0, ambiente didático virtual[END_REF]

. Isso porque a disciplina em que a MOI foi testada está integrada desde o início do período letivo ao Lematec Studium. Trata-se de um ambiente desenvolvido por

[START_REF] Bellemain | LEMATEC Studium v. 2.0, ambiente didático virtual[END_REF]

, no âmbito do grupo de Pesquisa Lematec -UFPE. É nesse espaço virtual que a professora da disciplina estrutura o conteúdo, as atividades, as orientações e cronograma a ser seguido pelos estudantes matriculados.

Gestão dos recursos:

Seguem os recursos previstos para a formação e suas respectivas funções: a) Lematec Studium: ambiente didático virtual de suporte a disciplinas. Sua função na OI1 é integrar a configuração didática da OI como módulo da disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática I. A MOI poderia ter sido vivenciada independentemente de estar nesse ambiente virtual; b) webdoc: texto multimídia didático cuja função é introduzir a OI e atrair o estudante quanto à sua leitura, para favorecer a apropriação dos leitores sobre o modelo teórico em estudo; c) fórum (Groups Google): espaço virtual de discussão. Sua função é propiciar a discussão sobre o modelo teórico à distância. O modelo escolhido compreende uma estrutura de novos tópicos e subtópicos alinhados a cada tópico já criado. d) formadoras (duas): são aquelas que orquestram e que acompanham os estudantes na execução das orquestrações. No caso da pesquisa, o papel de formador foi assumido pelas pesquisadoras. A função delas na OI1 é de suporte técnico e didático, sempre que solicitado. Não foi prevista para essa orquestração a intervenção das formadoras no Fórum (mediação). Elas são responsáveis pelo cadastro dos estudantes no Google Groups e por tirar dúvidas relativas ao uso dos recursos (fórum, webdoc, e uma resposta a uma pergunta de colega sobre o modelo teórico; f) computadores, celulares ou tablets pessoais: por meio dos quais os estudantes interagem com o webdoc e postam suas perguntas e respostas; g) acesso (pessoal) à internet.

Figura 35 -Design da Configuração Didática da OI1 Fonte: Elaborada pela autora. A Figura 35 incorpora, ainda, uma trajetória prevista para ser seguida pelos estudantes e pelas formadoras ao executá-la. O estudante, cadastrado pela professora da disciplina, é também cadastrado no Lematec Studium. deve-se (2) ler o webdoc; e, após a leitura (3), postar no Fórum -Groups Google uma pergunta e uma resposta, ao menos. Ao entrar no Fórum, o estudante encontrará: a Situação 1, as orientações e o espaço de postagens. As interações são previstas para serem feitas individualmente, porém a leitura é livre. É relevante informar que os meios de interação entre os estudantes e as formadoras são os mesmos utilizados pela professora da disciplina: e-mail e WhatsApp. Esses dispositivos foram mantidos porque as formadoras decidiram não realizar mediações no fórum, mas ficaram à disposição dos estudantes para dar suporte didático e/ou técnico para sanar dúvidas sobre o que fazer e como fazer no fórum ou como utilizar o fórum, por exemplo. Esse suporte foi dado sempre que solicitado.

A decisão de não realizar mediações no fórum, em relação às postagens dos estudantes na OI1, intencionou deixá-los à vontade para postar as questões e as respostas por eles elaboradas com base na leitura do webdoc. Esperava-se que as perguntas e respostas refletissem as dúvidas, as compreensões e incompreensões dos estudantes sobre temáticas abordadas no webdoc, tais como: artefato, instrumento, situação, noção de esquema, gênese instrumental, configuração didática, modo de execução e performance didática, entre outras. discussão da OI, não apenas para cumprir a S1, mas também para que pudessem realizar outras situações que seriam propostas durante toda a formação. Dado que a maioria dos textos sobre a OI em português eram relatos de pesquisas, optou-se por elaborar um texto em língua portuguesa com fins didáticos. E, por estar diante de uma turma do um texto que atraísse os estudantes para sua leitura. Assim, fez-se uso da interface de elaboração de webdocumentos concebida no âmbito do grupo Lematec (BELLEMAIN et al., 2017) a partir de trabalhos conjuntos com o Laboratório de pesquisa Eductice (BELLEMAIN; TROUCHE, 2016) (Figura 36).

Um webdocumento ou webdoc é como conjunto de recursos instrumentados

Trecho do webdoc Gênero textual

  O meio de publicação:O webdoc foi publicado em um servidor (lematec.net.br) e compartilhando por meio de um link de acesso fornecido aos alunos.O gênero de linguagem:O webdoc é um recurso híbrido no que concerne ao gênero de linguagem, o qual inclui gêneros textuais, de vídeos, e de outros tipos de comunicação. Embora seja de gênero texto didático, esse é composto por diferentes mídias, as quais são de diferentes gêneros textuais. No Quadro 7, elencamos tais gêneros.Quadro 7 -Gêneros textuais encontrados no webdoc

	Navegação:
	A navegação no campo da informática tem íntima relação com a internet. Trata-se de
	um movimento que não é físico, mas que permite ao usuário movimentar-se, sair de uma página Webdoc: uma perspectiva de produção e leitura:
	a outra, por exemplo. O webdoc só pode ser acessado via internet e sua navegação é possível As Formas de Destinação, sobre as quais o webdoc foi concebido, permitem entender
	por meio de diferentes dispositivos (tablet, notebook, smartphone etc.). como esse documento multimídia de gênero didático e também híbrido podem incentivar sua
	A navegação no webdoc é interna e externa, facilitada por ícones e hiperlinks. Para leitura. Ele é considerado híbrido por contemplar outros tipos de gêneros de linguagem. Tais
	navegar no texto internamente, o leitor poderá utilizar: setas de movimentação do teclado do aspectos podem contribuir também com a forma de ler do estudante e sua compreensão sobre
	computador, mouse, barra de rolagem e ícones distribuídos por todo webdoc para visualizar o conteúdo lido. Segundo Remillard (2010), os Formas de Destinação influenciam as formas

Perfil: gênero textual, comum em plataformas digitais, que traz de forma resumida informações relevantes sobre, nesse caso, as autoras do webdoc. Associa-se nesse perfil um link, também familiar ao jovem, porém com algo mais estruturado e talvez ainda distante do estudante em início do curso, que é o curriculum vitae.

História em quadrinhos: gênero literário que em geral atrai os jovens, já com estilo de engajamento e esquema de leitura familiar. Nesse gênero, muita informação é fornecida pela imagem em sequência, que é complementada essencialmente com as falas, em balões específicos que mostram fala, pensamento, susto, exclamações, enfim, buscam trazer também sentimentos. O webdoc em foco traz a história em quadrinhos para exemplificar a gênese instrumental.

Vídeo de desenho animado: gênero artístico baseado no movimento de desenhos também com linguagem próxima ao jovem, em que as informações são passadas pelo movimento de desenhos, som com fala. Em um vídeo, o leitor se engaja por meio de interação com controles de vídeo. Os vídeos permitem trazer informações sobre cenas mais detalhada de uma história. No caso, traz exemplo de uma orquestração instrumental, em que informações dos diversos elementos da configuração e modo de execução são explicitados por meio de imagens e movimento delas.

Infográfico no estilo do desenho animado, em que personaliza o teórico, deixando-o mais próximo ao leitor.

Ilustração em forma de um quadrinho de desenho animado, para destacar questionamentos e o ato de pensar. O engajamento com a informação se dá pelo gênero que destaca o questionamento como algo importante no entendimento da teoria.

Fonte: Elaborado pela autora Além das Formas de Destinação previstas por Remillard, para analisar um recurso, a natureza do texto multimídia aponta para a necessidade de inserir outras duas formas, a navegação e a interação, sobre as quais discutiremos a seguir. imagens de forma ampliada na janela de visualização. Há, ainda, a navegação externa que pode ser feita por meio dos hiperlinks que permitem que o leitor possa acessar outras páginas da internet, cujo conteúdo tem correlação com o do webdoc.

No entanto, a estrutura do webdoc (BELLEMAIN et al., 2017) foi desenvolvida para que o mapa de navegação desse não permita o leitor se perder na navegação e, ao mesmo tempo, ter acesso às mídias paralelamente ao texto que está lendo. Assim, uma área de visualização permite que a navegação interna seja feita com a disponibilização na mesma tela do texto e da mídia.

Interação:

De modo geral, a interação é o que permite ao usuário participar, agir sobre o webdoc e essa ação resulta em reação. Os recursos de navegação do webdoc permitem ao leitor mais que sair de um trecho do texto a outro ou a uma página externa, mas também a interação do leitor com os recursos/mídias distribuídos por todo texto. Os ícones, ao serem clicados (ação do usuário), ampliam os thumbnails (ilustrações ou histórias em quadrinhos, por exemplo), que são importantes não apenas para visualizá-los em tamanho aumentado, mas, acima de tudo, paralelamente ao texto a qual faz referência. O mesmo ocorre com os extratos do vídeo (desenho animado). Ao serem acionados, é possível ao usuário assistir e ler a análise destes lado a lado.

A interação com outros documentos que fundamentam o conteúdo do webdoc também é possível. Assim, o leitor pode pausar a leitura do webdoc para aprofundar sua leitura sobre algum aspecto teórico que tenha referência no texto a partir de um click sobre o link disponibilizado. Algo que aproxima leitores e autores. No entanto, as mídias incorporadas no webdoc, ainda, não trazem ao webdoc em foco um aspecto de interação participativa, que envolva alterações ou a produção do documento webdoc. O acesso do usuário para inserir dados que sejam aproveitados no webdoc, com o uso de formulário produzido, por exemplo, não foi incluído nessa versão. de engajamento do leitor com o texto, e essas podem ser reveladas na forma como a relação entre ambos se estabelece. É possível que as formas de engajamento dos estudantes com o webdoc possam ser identificadas nas análises das postagens desses no fórum de discussão de perguntas e respostas sobre o conteúdo do webdoc. É relevante salientar que a estrutura do webdoc e as mídias a esse integradas funcionam como recursos que foram pensados para exemplificar os elementos teóricos que o estudante deve aprender. Para além disso, alguns foram concebidos e integrados, outros apenas integrados pelas autoras para que o leitor possa vislumbrar como tais elementos se articulam à prática docente. E, ainda, como podem ser utilizados por eles, enquanto professores, e como esses recursos podem favorecer a compreensão do que se deseja ensinar, por parte do estudante.

As formas de destinação contribuem para a concepção de textos didáticos multimídia por fazer pensar o que seria importante ao leitor ao qual se destina. Entretanto, elas não dão conta de todos os aspectos de textos, cuja natureza envolve mídias estáticas e mídias dinâmicas, por isso inserimos navegação e interação como formas de destinação. Na concepção do webdoc, as formas de destinação auxiliam a pensá-lo, no que concerne ao público-alvo, na perspectiva de que o leitor se engaje com o documento e o leia, navegue nesse, interaja com os recursos integrados e construa a sua compreensão sobre o tema focado, no caso a teoria, e até mesmo modifique-o.

As temáticas discutidas no webdoc:

O conteúdo do webdoc está distribuído em duas partes. Na primeira, discute-se sobre a importância da gênese instrumental no que concerne a integração de tecnologias no ensino da matemática. Há uma seção intermediária que explica o processo de gênese instrumental, revelando a diferença entre inserir e integrar uma tecnologia em sala de aula (instrumentalização/instrumentação). A partir disso, discute-se a OI como um modelo teórico para dar suporte ao professor na concepção de orquestrações que favoreçam o ensino e o desenvolvimento das gêneses instrumentais dos estudantes.

A Figura 40 consiste em uma lista de temáticas e subtemáticas discutidas e exemplificadas no webdoc sobre a Abordagem Instrumental sobre a qual a OI está fundamentada. Essas são temáticas que podem interessar aos estudantes, levando-os a refletir, discutir, utilizar e analisar durante toda sua vivência na MOI.

  Quadro 8 -Trechos do webdoc: fonte para respostas e proposição de novas questões

	Trechos do webdoc Trecho do webdoc Quadro da HQ -Exemplo Possíveis novas questões Discussão
	"O que significa integrar uma tecnologia, seja ela digital ou não, Segundo Drijvers et al.	-O que seria uma tecnologia que não é -Apresenta-se a
	à prática docente?" (2010 apud COUTO, 2015,	digital?	definição de
	p. 39-40), "a configuração	-Pode-se pensar em gênese instrumental configuração didática;
	didática é a organização do	no uso de tecnologia não digital? -usa-se um quadro da
	ambiente de ensino e		HQ como exemplo de
	"Um dos maiores erros que podemos cometer em relação às aprendizagem; é a seleção	-O que o professor precisa saber para organização dos artefatos
	tecnologias digitais consiste em acreditar que elas, por si só, irão dos recursos a serem	transformar o ensino de matemática, além escolhidos para
	transformar a escola, o ensino, a aprendizagem, ou a educação disponibilizados; é a	do uso das tecnologias digitais? disponibilizar aos
	como um todo." elaboração da atividade; é a		estudantes um dos
	escolha das técnicas de		elementos da
	"O vídeo Tecnologia ou metodologia apresenta uma situação trabalho para apreensão dos	-O que significa oferecer um diferencial configuração didática;
	clássica de uso não integrado de tecnologias, ou seja, trata-se de objetos matemáticos por	ao ensino proposto?
	uma inserção de um conjunto de recursos que não passam de um meio das tecnologias e a	-Usar um artefato (tecnologia digital) em
	artefato, haja vista não terem oferecido diferencial ao ensino definição do papel dos	sala de aula já é um diferencial à aula, não?
	proposto." sujeitos e artefatos		
	Fonte: Elaborado pela autora. envolvidos neste processo".		
	O modo de execução.		
	Definiremos essa etapa,		
	segundo Drijvers et al.		
	(2010, p. 215, apud Couto,		
	2015, p. 39).		
	O modo de operação é a		
	execução da configuração		
	didática; a forma que a		
	atividade deverá ser		
	desenvolvida, quando e		
	como cada ferramenta		
	inserida no ambiente e cada		
	participante, seja professor		
	ou estudante,		
	desempenharão seu papel		
	visando aos benefícios das		
	intenções didáticas. Esse		
	princípio prevê e leva em		
	conta possíveis resultados		
	das ações instrumentadas.		

Após a discussão sobre inserir e integrar tecnologias ao ensino, a OI é apresentada como um modelo que visa favorecer à gênese instrumental, ou seja, a integração de tecnologias para ensinar e aprender matemática. Isso é feito com suporte da história em quadrinhos A tabuada, que relata o planejamento e desenvolvimento de uma aula orquestrada pela Profa. Vera, uma das personagens que compõem a história.

Essa aula foi de fato orquestrada e vivenciada com a turma na qual se aplicou tal pesquisa. Os quadros da história em quadrinhos são utilizados pelas autoras para discutir a metáfora da OI, seus elementos e como seus pressupostos podem ser utilizados pelos professores no contexto da sala de aula rica em tecnologias (Quadro 9), trazendo à tona uma prática vivenciada com a turma. Os quadros a seguir revelam como isso foi feito e algumas previsões de como os estudantes poderiam usar trechos do webdoc para responder ou elaborar novas perguntas. discute-se a relevância sobre a configuração didática e apresentam-se os elementos essenciais para concebê-la: situação matemática (tarefa), artefatos, objetivos etc.

Perguntas que poderiam ser geradas a partir desse trecho:

-O que é uma situação matemática? -Os artefatos de uma configuração didática só podem ser tecnologias digitais? -Em uma orquestração instrumental os estudantes só podem utilizar os artefatos disponibilizados pelo professor ou pode fazer uso de outros?

Quadro da HQ -Exemplo Discussão

  

	Para Drijvers et al. (2010, p.
	215, apud Couto, 2015, p. 39).
	O desempenho didático
	consiste na performance
	alcançada pelo cenário
	projetado, em que se faz
	possível, verificar a
	viabilidade das intenções e o
	sucesso da realização da
	orquestração instrumental.
	Contemplam-se, também,
	aspectos relevantes que devem
	ser considerados, na execução
	da atividade instrumentada,
	tais como as decisões ad hoc
	que devem ser tomadas diante
	de situações inesperadas que
	possam surgir numa
	orquestração, advindas da
	realização da atividade
	matemática ou do uso da
	tecnologia, por exemplo.

  Quadro 13 -Postagens sobre esquemas

	Eventos	Pergunta	Resposta	Regras de Ação	Invariantes operatórios	Modos de
	(Temáticas)				(conhecimentos)	engajamento
	Gênese	EO1/D	EA2/D	EO1/D	EO1/D	EO1 E EA2
	instrumental:	Para que serve um	Porque é neles que se tem de	-Ler o webdoc.	-Entende que esquema é algo com	-Ler texto para
	Esquema	esquema segundo	procurar os conhecimentos em ação	-escolher um termo -	utilidade.	escolha de termo ou
		VERGNAUD ?	do sujeito, ou seja, os elementos	esquema.		trecho específico.
			cognitivos que permitem à ação do	-abrir novo tópico no fórum		
			sujeito ser operatória.	para postar pergunta sobre		
				esquema.	EA2/D	
				EA2/D -Ler o webdoc; -copiar e colar trecho do webdoc, sobre esquema, postando-o como resposta	-Compreende que conhecer o esquema do aluno, permite identificar os conhecimentos mobilizados por ele durante a sua ação.	
				no fórum, alinhada à		
				pergunta sobre a temática.		

Trecho 3 -

 3 Webdoc: errata relacionada às etapas da OI. Lê-se: "Na configuração didática, o professor precisa dedicar tempo para prever o que pode ocorrer durante a execução da orquestração. Qual a finalidade disso?". Leia-se: "No modo de execução, o professor precisa dedicar tempo para prever o que pode ocorrer durante a execução da orquestração. Qual a finalidade disso?".As previsões às quais o webdocse refere são relativas ao Modo de Execução, ou seja, a forma como a Configuração Didática irá ser desenvolvida, executada. Pensar ao menos um Modo de Execução da Configuração Didática é importante porque permite ao professor prever as ações instrumentadas dos estudantes, ou seja, o que eles poderiam fazer com o artefato disponibilizado. Quadro 15 -Postagens sobre a Configuração Didática

	Eventos	Pergunta	Resposta	Regras de Ação	Invariantes operatórios	Modos de
	(Temáticas)				(conhecimentos)	engajamento
	Configuração	EA1/D	EA1/C	EA1/D	EA1/D	EA1
	Didática	Na configuração didática, o	A finalidade é evitar	-Ler o webdoc;	-O professor precisa prever o que	-Ler texto para
		professor precisa dedicar	surpresas e imprevistos em	-copiar e colar um trecho	pode ocorrer (modo de execução) no	escolher	trecho
		tempo para prever o que	sala de aula, pois o professor	do webdoc	modo de execução da orquestração;	afirmativo	e
		pode ocorrer durante a	tem de se preocupar com que	transformando-o em uma	-cada elemento da orquestração tem	transformá-lo em
		execução da orquestração.	todos os alunos	pergunta, postando-o em	uma finalidade.	pergunta.
		Qual a finalidade disto?	compreendam a	novo tópico no fórum.		
			orquestração.		EA1/C	
				EA1/C	-Entende que a finalidade das	
				-Ler o webdoc;	previsões feitas pelo professor em	
				-formular uma resposta	relação ao modo de execução da	
				com base na leitura do	configuração didática é evitar	
				webdoc -trecho sobre	imprevistos que possam impedir que	
				performance didática;	os alunos não compreendam a	
				-postar resposta	orquestração.	
				formulada, alinhando à		
				pergunta sobre a		
				temática.		

  Quadro 16 -Postagens sobre a performance didática

	Eventos	Pergunta	Resposta	Regras de Ação	Invariantes	Modos de
	(Temáticas)				operatórios	engajamento
					(conhecimentos)	
		EA2/D 10/11/16	Não	-Ler o webdoc	-A OI possui três	EA2
	Desempenho	Defina a	houve	-escolher um	etapas (princípios);	-Ler texto para
	didático	terceira etapa	resposta.	termo -	-a PD tem um	escolher trecho
		da TOI. Qual		performance	objetivo principal,	afirmativo	e
		seu objetivo		didática (PD);	que não conseguiu	transformá-lo
		fundamental?		-abrir novo tópico	identificar no webdoc	em pergunta.
				no fórum para	ou que quer testar os	
				postar a pergunta	alunos.	
				sobre o significado		
				de PD;		
				-formular nova		
				pergunta no fórum		
				e na mesma		
				postagem da		
				primeira pergunta		
				sobre o "objetivo		
				fundamental" da		
				PD.		

Fonte: Elaborado pela autora.

  Um primeiro modo de execução foi previsto para a configuração didática da OIp. Nesse, as formadoras entregam o protocolo de orientação e o notebook já carregado, com os softwares instalados, aos EA. O segundo modo é definido pelo uso do tablet que é dado para apenas um grupo. As formadoras devem mediar as interações dos EA dos grupos formados, sempre que solicitado ou necessário, durante os 30 minutos dados para resolução da Sp, além de darem suporte técnico diante de qualquer problema nos equipamentos ou softwares fornecidos. Após Catcher) que consiste em um filme do processo de resolução da Sp e enviar para pasta do GDrive, disponibilizada pelas formadoras. Eles podem atuar colaborativamente na resolução da situação, ou podem também atuar mais de forma individualizada, e a estratégia de resolução ser de fato de um só indivíduo, apesar de solicitar-Dessa experiência, espera-se que exemplos concernentes ao modelo teórico em estudo emerjam e contribuam para a apreensão dos elementos que o compõem. Na OI1, uma lista ( Figura 40) de temas correlatos ao modelo teórico Orquestração Instrumental foi elaborada. Essa lista guiou a análise a priori que prevê e relaciona eventos advindos da vivência da OIp, ou seja, a performance didática.A seguir, o detalhamento das previsões das ações do duo de EA na execução da orquestra geradoras de exemplos para a compreensão dos pressupostos e elementos que constituem o modelo teórico. Assim, procurou-se prever exemplos relacionados com os elementos da Abordagem Instrumental que fundamentam o modelo teórico em estudo e os princípios da Orquestração Instrumental.

	5.3.2.4	Modo de execução -OIp
	se a resolução em dupla.
	5.3.2.5	Análise a priori da OIp

os 30 minutos, as formadoras deverão encerrar o experimento, orientar o salvamento dos arquivos e seu envio para o ambiente virtual previamente estruturado para recebê-los (Pasta do Gdrive) e recolher os equipamentos.

Quanto ao trabalho dos EA, caberá a decisão de quem fica no controle do equipamento e de quem vai dar suporte. Os estudantes podem escolher atuar de forma alternada com relação a esses dois papéis também. Esses não poderão manter contato com outros estudantes de seu grupo ou de outros grupos durante o processo de resolução da S p . Deverão utilizar os recursos fornecidos, mas também poderão fazer uso de outros recursos que não tenham sido disponibilizados. Eles terão 30 minutos para resolver colaborativamente a Sp, seguindo as instruções do protocolo e condições impostas pela situação. É de responsabilidade dos EA salvar o arquivo (aTube A OIp é uma orquestração cuja situação é didática e matemática. No contexto da MOI, ela não foi criada para ensinar qualquer conteúdo matemático, haja vista o público-alvo serem professores de matemática em formação inicial, mas para servir como exemplo de uma aula de matemática orquestrada, a ser vivenciada.

  Nessa direção, eles sentem a necessidade de definir uma unidade para determinar a razão. Assim, decidiram que o raio do círculo construído que representava a cabeça seria a unidade. Ela confirma com EA os objetos que construíram para validar a construção que fez, mas não pergunta quais ferramentas eles utilizaram para construir aqueles objetos, ou seja, têm-se os mesmos objetos, mas procedimentos de construção diferentes. Na sequência, ela troca o tablet pelo notebook (

		Trecho 9 -Mediação da formadora 1.
		EA2: [Abre novamente a ferramenta "Círculo dados centro e raio" e coloca
		medida 1 para o raio desta). [...] professora, como podemos usar o controle
	deslizante senão pode chamar a letra (pergunta a professora]? F1: não pode chamar a letra? Ao ampliar e diminuir a circunferência construída (Figura 51), os estudantes percebem
	EA2: sim, por exemplo, para o raio a gente colocar o nome pra poder chamar a proporcionalidade existente entre o raio e comprimento da circunferência. Isso não poderia
	a letra depois, só que aqui não pode colocar letra. EA1: só aparecem números. ser diferente, haja vista ser uma propriedade do objeto construído, porém parece ser algo novo
	para eles.	F1: e não dá pra fazer sem o controle deslizante, não? [...] EA2: é isso que a gente pode tentar.
	[...] Um novo desafio surge quando os estudantes ensaiam o uso da ferramenta "Segmento"
	EA 1 : mas como é que a gente vai fazer a cabeça proporcional? EA2: ela perguntou "só dá pra fazer com isso?" para traçar o tronco do boneco, mantendo a proporcionalidade. Eles traçam o tronco sem
		EA1: é, realmente, é porque tem outro modo.
	Figura 52) com a 'mesma' construção que estava no tablet [14:20 a 14:59].

É a partir desse questionamento que os EA tentam construir a cabeça do boneco sem o controle deslizante. Isso os leva, novamente, ao desafio de definir uma unidade para a partir dela determinar as razões entre as partes do corpo do boneco e, consequentemente, garantir a proporcionalidade entre essas [09:25 a 09:31]. A mediação faz com que os EA abandonem, ainda que temporariamente, o uso do controle deslizante para pensar em uma nova estratégia de resolução independente desta ferramenta do software utilizadoo GeoGebra.

Figura 51 -Construção da cabeça no tablettentativa por propriedades geométricas Fonte: Elaborada pela autora. Na quarta etapa [10:09 a 14:59], construção da cabeça no tablet eventos relacionado à preparação para troca do tablet pelo notebook, marca o início de uma nova estratégia de construção, influenciada pela mediação realizada por F1, na etapa 3. Assim, os EA evocam os conceitos de círculo, circunferência e retas. Eles ensaiam uma construção por desenho geométrico, de forma que as propriedades dos objetos construídos validem a construção (Figura 51). conseguir manter a proporcionalidade entre a cabeça e o tronco. Esse insucesso os leva a retornar a reflexão sobre a vantagem do uso do notebook em vez do tablet. Eles acreditavam que o uso do GeoGebraversão tabletnão os favorecia na resolução da situação, haja vista que já conheciam a versão para notebook. Além disso, poderiam usar o controle deslizante, o que, para eles, significava sucesso na resolução. Trecho 10 -Discussão sobre determinação de variável no tablet. EA1: é esse aí! Pronto, a, né? Onde é que coloca a letra? EA2: [seleciona "Configurações de teclado do tablet" e observam]. EA1: [...] só tá aparecendo número. EA2: [seleciona novamente "Círculo dados centro e raio"]. EA1: Isso aí, e isso é o quê? É só pra... EA1: e como vai colocar uma letra aí, se o teclado não mostra? EA2: [vira o tablet e visualiza o GeoGebra na horizontal]. EA1: E aí? E aí? Assim é muito ruim, pô! EA2: por isso no notebook seria muito melhor. Como vai fazer um controle deslizante aqui? (Fecha a ferramenta "Círculo dados centro e raio".] Com essa nova ocorrência, a formadora tenta trocar o tablet por um notebook. Mas, antes, ela observa a construção que está no tablet e tenta reproduzi-la no notebook. Já com o notebook, os EA percebem a possibilidade de uso do controle deslizante, o que os faz abandonar a estratégia iniciada nessa etapa. Logo, decidem deletar a construção feita pela formadora 1, para começar novamente com o uso do controle deslizante. É relevante informar que eles não percebem que os procedimentos e ferramentas utilizadas por F1 para fazer a construção que fizeram no tablet não era a mesma. Figura 52 -Momento da troca do tablet pelo notebook Fonte: Elaborada pela autora. Na quinta etapa [15:00 a 17:49]construção da cabeça do boneco no notebook -, os EA manifestam seu retorno à estratégia inicialo uso do controle deslizante. Dessa vez, eles explicitam o conceito: a variável. Na busca pela determinação da razão por meio do controle deslizante, eles evocam o conceito de variável e revelam que, ao definir a variável como unidade, poderão garantir a proporcionalidade entre as partes do boneco que iriam construir. Trecho 11 -Discussão sobre a determinação de uma variável para o controle deslizante: EA1: tira essa circunferência e bota, tipo… um raio trocável. EA2: abre a caixa de edição do controle deslizante. EA2: não entendo por que não mexe. EA1 : Porque tu colocou 'c' no controle deslizante. EA2: observa a construção. EA1: 'a', o raio tá 'a'.

Regras de ação Teoremas em ação Conceitos em ação Possibilidades de Inferência

  

		Etapa 1:				
		Na primeira etapa, as discussões e decisões iniciais de EA1/EA2, em relação à resolução
	da situação com a versão do GeoGebra para tablet, dão início ao processo de instrumentalização
	com a leitura do protocolo. Assim, a regra de ação do duo é ler o protocolo [00:46 a 01:45],
	procurando entender a condição de uso das medidas do modelo humano de referência para
	definir as razões entre as partes do boneco. Pode-se perceber (Quadro 17) que duas das condições
	impostas pela situação, registradas no protocolo de orientação, conduziram o trabalho
	matemático desenvolvido pelos EA:	
		a) a definição de um modelo humano para se obter a razão de proporcionalidade; e
		b) a ampliação/redução do boneco.
	EA1/EA2: ler a situação,	EA2:	usar	como	Modelo (como uma	EA2: o modelo deve ser
	identificar, marcando no	referência	para	o	referência da relação	usado como referência para
	protocolo os conceitos	boneco "as razões de	entre as grandezas do	definir as razões entre as
	essenciais à sua resolução e	uma pessoa" é ilógico.	corpo e do boneco, a	partes do boneco a ser
	discutir sobre os conceitos				desenhar).	construído no GeoGebra. O
	identificados (no caso o				controle deslizante do
	modelo humano).					GeoGebra permite definir
							uma unidade de medida que
	EA2: analisar a manutenção	EA2: se uma condição	favorece a determinação da
	da condição imposta na	é ilógica, deve ser	razão entre as medidas dos
	situação a partir do seu	descartada.		dois objetos construídos.
	sentido na situação -				Logo,	o	modelo	é
	modelo	humano	-				desnecessário.
	considerada ilógica.				

A primeira condição parece não ser clara para os estudantes, especialmente para EA2, que a considera "ilógica", cuja regra de ação é decidir por não utilizar o modelo humano, mas obter a razão por outro caminho que será apresentado e discutido mais adiante: o uso do controle deslizante, ferramenta do GeoGebra que é evocada em quase todas estratégias de resolução do duo e articular os comprimentos à variável. Essa reação de EA2 de considerar o modelo ilógico pode ter sido influenciada por saber da existência de dois tipos de modelos: o humano, citado no enunciado da situação, e o do papel, um desenho de um boneco que consta no protocolo de orientação. E isso pode ser o que tornou o modelo ilógico, desnecessário. Usar um significa não usar o outro.

Quadro 17 -Tomada de informação e decisões iniciais Fonte: Elaborado pela autora.

  Na sequência, o duo revela as primeiras dificuldades de articular os conhecimentos matemáticos evocados pela situação com os comandos do GeoGebra. A preocupação inicial do duo é conseguir construir todas as partes do corpo do boneco proporcionais e com suporte do GeoGebra, o que parece ser o maior desafio. O que está em jogo neste primeiro momento da construção do boneco são os conhecimentos do duo em relação à geometria dinâmica.O trecho destaca um possível processo de antecipação do esquema de EA1, ao afirmar que, se a medida do raio da cabeça (circunferência) é "ajustável", a proporcionalidade entre essas medidas (raio e comprimento da circunferência) é garantida. No Quadro 19, pode-se observar uma nítida definição da razão de ampliação com relação direta com a simulação, para ampliar e reduzir o objeto construído. Os estudantes objetivam determinar as razões que tornam as partes do boneco proporcionais [01:30 a 01:45].

				Trecho 27 -Antecipações do esquema para resolver o problema:
				EA1: [...] então, quer dizer que cada parte do corpo tem que ter uma razão
				entre elas porque tá dizendo que, se aumentar ou diminuir qualquer uma das
				partes, tipo, as razões têm que ser respeitadas, então, tem que ser
				proporcional. Tipo, braço com a perna, com a cabeça. Sei lá...tem o tronco.
				Agora como a gente vai fazer isso? [...].
				EA1: a cabeça. Mas tem que pensar, né? Tipo, como vai ser proporcional?
				EA2: mas eu acho que a cabeça vai ser o que vai ser proporcional, não?
				EA1: tipo, o raio da cabeça, a gente muda o raio, sei lá, fosse ajustável, o raio
				da cabeça, sei lá, uma circunferência? Ou vai fazer uma cabeça…?
	Quadro 19 -Destaque a possível processo de antecipação em um esquema de EA1
	Regras de ação	Teoremas em ação	Conceitos em ação	Possibilidades de
						Inferência
	Quadro 18 -Preparação do GeoGebra para início da resolução da situação matemática EA1: antes de iniciar, EA1: a manutenção das razões -Razão (como razão EA1/EA2: a medida do
	Regras de ação refletir sobre como	Teoremas em ação garante a proporcionalidade Conceitos em ação entre partes do corpo).	Possibilidades de comprimento	da
	chegar às razões entre as	entre as partes do boneco.	Inferência circunferência	é
	partes do boneco, o que			proporcional à medida
	EA1/EA2: deixar a área de permite aumentar e	EA1/EA2: dado que os	Eixo cartesiano.	EA1/EA2: os eixos cartesianos do raio. Se conectar o
	visualização em branco diminuir cada uma	eixos	cartesianos	apresentam raio da circunferência à pontos que
	para proporcionalmente. a construção	dificultam a construção EA2: se a cabeça é um círculo,	-Círculo;	facilitam o desenho de figuras variável do controle
	geométrica do boneco. EA2: iniciar fazendo uma	do boneco, então é então há proporcionalidade entre	-raio;	sobre estes. A construção de deslizante, a cabeça
	parte	que	amplie	preferível trabalhar na o comprimento deste e o seu raio.	figuras sobre os pontos dos -proporcionalidade; ampliará/reduzirá.
	proporcionalmente	a	área de visualização em	eixos não garante a manutenção
	cabeça.			branco. EA1: se o raio do círculo tem	das propriedades destas ao
	EA1: prever a forma da	como medida uma variável,	-Variável.	aumentá-las ou diminuí-las.
	cabeça como um círculo,	pode-se aumentar e diminuir a	Portanto, o eixo cartesiano
	por isso já é proporcional	cabeça proporcionalmente.	atrapalha a construção de
	com o raio ajustável.			figuras geométricas.
	Fonte: Elaborado pela autora. Fonte: Elaborado pela autora.	

  Quadro 20 -Tentativa de construção da cabeça com um raio "ajustável"

	Regras de ação	Teoremas em ação	Conceitos em	Possibilidades de
							ação	inferência
	EA1/EA2: definir o formato da	EA1/EA2:	a	circunferência	-Forma;	EA1: a medida do
	cabeça do boneco como círculo.	representa a forma de uma	-circunferência.	comprimento	da
				cabeça.			circunferência	é
							-Semelhança.	proporcional	à
	EA2: selecionar a ferramenta	EA1/EA2: os círculos são sempre	medida do raio. Se o
	"Círculo com centro e um de seus	figuras	semelhantes	(eles	raio tem como
	pontos" para construção da	utilizam a palavra proporcional).	medida	uma
	cabeça.						variável,	a
	EA1: solicitar um raio que seja	EA1: a ferramenta "Círculo com	-Variável;	circunferência
	"ajustável" (variável) e EA2 deve	centro e um de seus pontos" tem	-Medida.	aumenta/diminui
	deletar	a	circunferência	a medida do raio definida pelo	proporcionalmente.
	construída.			software.			Portanto, não se
							pode definir uma
							medida	numérica
	EA2: selecionar a ferramenta	EA2: a ferramenta "Círculo	para o raio.
	"Círculo dados centro e raio" e	dados centro e raio" permite que
	busca para construção da cabeça.	o usuário defina a medida do seu
				raio.		
	EA2: definir a medida do raio de			
	valor (5).					
	EA2: testar o controle deslizante,	EA1/EA2: se o raio tem como
	se o círculo não aumenta/diminui,	medida (5), não pode ser
	deve ser deletado.		"ajustável".	

Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 21 -Tentativa de construção de um controle deslizante com uma variável como medida

	Regras de ação		Teoremas em ação	Conceitos em ação Possibilidades de
							Inferência
	EA1/EA2: construir um	EA1: a variável definida no	-círculo;	EA2: a medida que se
	controle deslizante com	controle deslizante poderá ser	-raio.	consegue definir no
	uma variável. Se não	integrada à medida do raio da	controle deslizante é
	funcionar,	deleta	o	circunferência, fazendo com	numérica. O software
	controle.			que	aumente/diminua	define
				proporcionalmente.		automaticamente os
							limites do intervalo
	EA2: construir um novo	EA2: o intervalo, ao ser	-intervalo;	no	controle
	controle deslizante com	integrado	ao	raio	da	deslizante. Portanto,
	intervalo para fazer a	circunferência, fará com que	não tem como definir
	circunferência	a	ser	essa aumente/diminua, se o	a variável.
	construída	aumentar/	controle deslizante no tablet
	diminuir, como o controle	define automaticamente os
	deslizante	apresenta	limites do intervalo, então não é
	medidas já definidas [-5, 5],	possível a definição de uma
	deletar o controle.		letra como variável.	

Fonte: Elaborado pela autora,

  Quadro 22 -Tentativa de construção de variável como raio da circunferência já construída

	Regras de ação	Teoremas em ação		Conceitos	Possibilidades de
							em ação	inferência
	EA2: construir um novo controle	EA2: se relacionar o controle	-Raio;	EA1/EA2: a versão
	deslizante denominado "a" de	deslizante "a" com o raio da	-Círculo;	tablet utilizada do
	intervalo [0, 10] que faça a	circunferência	a	ser	-	controle	GeoGebra	não
	circunferência a ser construída	construída, essa pode ser	deslizante;	permite definir a
	aumentar/diminuir.	modificada.				-intervalo.	variável no controle
	EA1/EA2: selecionar a ferramenta					-variável.	deslizante.	A
	"Círculo dados centro e o raio" para	EA1: a ferramenta "Círculo			ferramenta "Círculo
	construção da cabeça.	dados centro e o raio"			dados centro e o
	EA2: testar o controle deslizante "a"	permite inserir uma variável			raio", nessa versão do
	e verificar que "a" aumenta/diminui	como medida do raio.				GeoGebra, permite a
	no intervalo [0, 10]; se não ocorre o	EA1/EA2: se o controle			definição de uma
	mesmo com a circunferência de raio	deslizante aumenta/diminui e			medida numérica para
	com medida (1), deletar a	a circunferência não, então			o raio. Portanto, não é
	circunferência.	esses objetos ainda não estão			possível integrar a
	EA1: sugerir a construção de uma	integrados.						medida do raio do
	circunferência com medida do raio							círculo ao controle
	igual à letra que denomina o controle							deslizante.
	deslizante "a" circunferência a ser	EA1: se a medida do raio é			
	construída.	"a" e o controle deslizante é			
		denominado "a" também,			
	EA2: selecionar a ferramenta	então, estão integrados e a			
	"Círculo dados centro e o raio" para	circunferência irá aumentar e			
	construir a cabeça com raio de	diminuir.						
	medida "a".	EA 1 /EA 2 :	o	controle			
	EA2: fechar a ferramenta "Círculo	deslizante só permite a			
	dados centro e o raio", pois não	inserção	de	valores			
	consegue inserir uma variável como	numéricos, mas se é possível			
	medida para o raio.	colocar a letra (variável)			
		como medida do raio, esses			
		podem ficar integrados.				
	Fonte: Elaborado pela autora.							

  Quadro 25 -Tentativa de construção do boneco sem o uso do controle deslizante

	Regras de ação		Teoremas em ação		Conceitos em	Possibilidades de
								ação	inferência
	EA2:	selecionar	a	EA2: se o controle deslizante no	-Circunferência;	EA2: a versão tablet
	ferramenta "círculo dados	tablet só permite determinar	-variável.	utilizada do GeoGebra
	centro e raio" com medida	uma medida numérica, não tem	não permite definir a
	a=5 para o raio.		como	inserir	uma	letra	variável.	Outra
				(variável) como medida para o	tentativa de definir a
				raio.				unidade de medida
	EA2: traçar um segmento	EA2: raio da cabeça como	-Segmento;	sem	o	controle
	AB sobreposto ao raio,	unidade de medida garante a	-razão;	deslizante é testada,
	ligado a outro segmento	definição entre partes do corpo e	-proporcionalida-	mas não funciona.
	BC (tronco) tendo como	a proporcionalidade entre a	de;	Então, a versão tablet
	medida o dobro do raio.		cabeça e o tronco (é um múltiplo	-múltiplo.	do GeoGebra não
				da medida do raio).			favorece a resolução
	EA2: observar que mover a	EA2: sem o uso do controle	-controle	da situação, apenas a
	construção não aumenta e	deslizante, não é possível	deslizante;	versão do notebook.
	diminui			validar a construção.		-proporcionalida-
	proporcionalmente.						de.
	EA2: trocar o tablet pelo				
	notebook com F1.					

Fonte: Elaborado pela autora.

  Trecho 31 -Sugestão de uso da variável sem conexão com a construção. Quadro 27, a seguir, pode-se observar que as regras de ação, invariantes operatórios e possibilidade de inferências são essencialmente de EA1, nesse evento. Com o objetivo de

	EA1: e aí vai colocar controle deslizante? [...] EA2: seleciona a ferramenta "Controle deslizante" e nomeia-o "c" [...] construir a cabeça com o controle deslizante no notebook, EA1 orienta EA2. Trata-se de uma
	EA2: não entendo porque não mexe. EA1 : porque tu colocou "c" no controle deslizante. estratégia traçada, essencialmente, com base nos esquemas de EA1. É com base nas sugestões
	EA2: observa a construção apresentadas por EA1 que EA2 trabalha, ou seja, EA1 sugere e EA2 executa [16:50 a 17:49].
			EA1: "a", o raio tá "a". [...] EA2 observa a construção, seleciona os objetos já construídos e os deleta. EA2 constrói um controle deslizante com intervalo [0, 10]. Depois determina uma
	EA2 seleciona "Controle deslizante". Cria um novo controle deslizante "a" de intervalo de 0 a 10. circunferência com a ferramenta "Círculo dado centro e a medida do raio". EA2 também define
	EA1: é deixa "a". Agora tu.... mexe nele aqui. "a" como medida para o raio, um raio "ajustável", tal como sugeriu EA1(Quadro 27). Após
	EA2: testa o controle deslizante. EA1: pronto. Agora faz a "Círculo dado centro e raio" (EA2: Seleciona simulação, movimentar o controle deslizante, EA1 e EA2 verificam, finalmente, que o controle
	"Círculo dado centro e o raio" raio "a" (EA2: insere "a" como medida para deslizante está relacionado à circunferência construída, ou seja, a circunferência
	o raio). EA1: isso… Pronto, ela já tá com raio ajustável. aumenta/diminui, acompanhando o movimento do controle deslizante no intervalo definido.
					EA2: Testa o controle deslizante e percebe que a circunferência amplia e
					diminui conforme o controle deslizante aumenta e diminui.
			Mesmo após EA2 corrigir "c" por "a", ao movimentar o controle deslizante não há
	ampliação/redução dos objetos construídos. Sem saber qual a causa do insucesso, EA2 decide
	deletar e recomeçar.		
	Quadro 27 -Início da resolução da situação matemática no notebook
		Regras de ação		Teoremas em ação	Conceitos em ação	Possibilidades de
							inferência
	EA1: sugerir a determinação de	EA1: no notebook, é possível	-Proporcionalidade;	EA1:	um controle
	um	controle	deslizante	criar um controle deslizante	-variável.	deslizante de variável
	ajustável "a", se EA2 constrói	com uma variável, o que	"a" é construído. Uma
	como sugerido. dar nova	permite que os objetos	circunferência de raio
	sugestão.				construídos	sejam	com medida "a" é
						proporcionais.	construída. Logo, ao
						EA1: a proporcionalidade é	mover	o	controle
	EA1: sugerir criar uma	garantida quando a medida	deslizante,	o	raio
	circunferência	com	a	do controle deslizante é igual	aumenta/diminui	e
	ferramenta "Círculo dados	à do raio (unidade de	proporcionalmente	à
	centro e raio", com medida do	medida).	circunferência também,
	raio igual a "a", se EA2		e o controle e a
	constrói	como	sugerido,		circunferência	estão
	continuar com nova sugestão.		integrados de forma a
						EA1/EA2: se a construção é	garantir	a
	EA1 -sugerir movimentação	validada com aumento ou	proporcionalidade.
	do controle deslizante, e EA2	diminuição simultâneo do
	faz como sugerido e a	controle deslizante e da
	circunferência de raio "a"	circunferência -a construção
	aumenta	e	diminui	é proporcional.
	proporcionalmente.		A	
	construção está correta.		
	Fonte: Elaborado pela autora.	

No

  um novo controle deslizante. EA1 esperava que ao movimentar o controle No entanto, ao não atrelar o ponto escolhido ao raio da cabeça, não obtive sucesso.Quadro 28 -1.ª tentativa de construção do tronco do boneco -Segmento

	deslizante pudesse validar a construção (ampliar/reduzir). No entanto, EA2 rejeita a sugestão e opta por colocar visualmente, na vertical, o segmento BC, já que o tronco do boneco precisa ficar nessa posição. Depois, testa o segmento BC, movimentando o ponto B (comum à circunferência e ao segmento BC) na intenção de verificar se a cabeça e o tronco aumentam/diminuem proporcionalmente. Mas EA2 desenhou, por visualização, pontos sobre a Teoremas em ação Conceitos em ação Possibilidades de inferência EA2: selecionar "Segmento" para construção do tronco a partir de um ponto da circunferência já construída anteriormente. EA1: sugerir construir um novo controle deslizante para o segmento BC com mesma variável do controle deslizante construído para cabeça. EA2: colocar o segmento BC, visualmente, na perpendicular. EA2: testar o segmento BC, movendo o ponto B de BC, observando se este aumenta/diminui, juntamente com a cabeça (círculo). EA2: deletar e fazer outro segmento cada vez que o teste não funciona, por três vezes, até deletar definitivamente. EA2: se o segmento estiver relacionado a um ponto da circunferência, os objetos são proporcionais. EA1: (não consegue pensar no que fez EA1 desistir da ideia e EA 2 não segue a sugestão). Para aumentar ou diminuir, o comprimento do segmento tem de estar atrelado à variável que será modificada. EA2: o tronco de uma pessoa tem posição perpendicular, então o segmento do boneco precisa ficar nesta posição. EA2: o ponto B pertence à circunferência e ao segmento BC; ao movê-lo, os objetos construídos aumentam e diminuem proporcionalmente, validando a construção. EA2: não é suficiente mover um ponto comum à circunferência e ao segmento para garantir a proporcionalidade entre esses objetos. -Segmento; -perpendicularis-mo; -variável; -proporcionalida de. EA2: a cabeça (círculo) e o controle deslizante estão integrados. Há um ponto (B) em comum entre a cabeça (círculo) e o tronco (segmento BC). Pode-se inferir que o controle deslizante, o círculo e o segmento estão integrados. reta. Regras de ação Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 31 -Tentativa de construção do tronco do bonecoreta No quinto evento, EA1 e EA2, mesmo percebendo que a construção anterior não atendia às condições da situação matemática, arriscam a manutenção dos esquemas de construção de um segmento e optam por construir um novo segmento do mesmo modo como fizeram no evento anterior [20:47 a 23:40]. O duo faz nova simulação e, consequentemente, observam também o mesmo resultado alcançado no quarto evento. Enquanto observam a construção, o sistema do notebook avisa que a bateria está descarregando.

	Trecho 33 -Descarregamento da bateria.
	EA2: a bateria está descarregando!
	EA1: sério? Tá descarregando?	
	EA2: Tá vendo que ficou mais escura, não?
	EA1: então, corre, né?		
	Regras de ação		Teoremas em ação	Conceitos em ação	Possibilidades de
							Inferência
	EA1/EA2: usar o comando	EA2: a reta que passa pelo centro	-Reta;	EA1/EA2: não é possível
	por reta perpendicular.	da circunferência aumenta e	-circunferência;	observar uma reta que
		diminui proporcionalmente a	-proporcionalidade.	passa pelo centro de
		esta.					uma	circunferência
						-Variável;	integrada a um controle
	EA1/EA2: construir a reta	EA1/EA2: se a variável do	-segmento.	deslizante,
	perpendicular a um ponto	controle	deslizante		aumentar/diminuir.
	qualquer da circunferência,	aumenta/diminui, tanto o raio da		Deleta a reta e constrói
	inclusive ao que representa	cabeça quanto a distância entre		um segmento que passa
	seu centro.	os	dois	pontos	devem		pelo centro da mesma
		aumentar/diminuir.			circunferência e tem um
							dos pontos (D) da reta
	EA1: sugerir a construção	EA1: dado que a reta é infinita,		deletada. Pode-se inferir
	da reta perpendicular entre	não se pode ver ser crescimento.		que, ao mover o controle
	um ponto da circunferência						deslizante,	a
	e um segmento que parta	EA1/EA2: se a variável aumenta		circunferência	e	o
	desta, já construído.	e o segmento diminui, a		segmento vão aumentar
	EA2: ignorar a sugestão de	construção está incorreta.			proporcionalmente.
	EA1.					
	Fonte: Elaborado pela autora.					

  Quadro 33 -Manipulação de objetos construídos para percepção de incoerências

		Regras de ação		Teoremas em ação Conceitos em ação	Possibilidades de
							Inferência
	EA1/EA2:	continuar	a	EA1: a manipulação	-Proporcionalidade. EA1/EA2: o manuseio do
	manipulação	e	testar	a	dos objetos construídos	boneco no GeoGebra
	construção (II), movendo o	permite	identificar	ajuda	a	perceber
	controle deslizante, e observar se	aspectos da construção	incoerências	na
	a cabeça, braços e pernas	que não estão corretos,	construção, mas não a
	aumentam proporcionalmente.		o que pode facilitar a	causa desta. Portanto,
						correção de erros.	deve-se	deletar	as
	EA2: como só a cabeça		incoerências (tronco e
	aumenta/diminui				membros).
	proporcionalmente, e as pernas	
	ficam imóveis, os braços alteram		EA1: ao movimentar o
	o	comprimento,	sem		ponto final do tronco, o
	proporcionalidade, então, deve-		mesmo sai da vertical,
	se deletar tronco e membros e		portanto necessita-se que
	deixar a cabeça e o controle		esse ponto seja ponto de
	deslizante.					outro objeto.

Fonte: Elaborado pela autora.

  definir os critérios de forma individual, ou seja, por apenas um dos estudantes que tenha lido o webdoc, enquanto o outro apenas acompanha o trabalho, em caso de não

	a) definir critérios pautados no modelo teórico e utilizá-los para observar a OIp: para Configuração didática -OI2 função a mediação e o suporte técnico e didático-pedagógico, sempre que solicitado de captura de tela (aTube Catcher) já instalado e acionado, antes mesmo de o experimento EO2.2 5.3.3.3 de formação na OI2, com foco no que já estudaram na OI1 e demonstram conhecer
	definir os critérios de observação, os estudantes-observadores poderiam discutir ou quando necessário, mesmo que os EO não solicitem; e OIp iniciarem. sobre a OI.
		elencar alguns aspectos que julgassem relevantes observar a respeito do modelo Após a criação da situação, uma configuração didática e um modo de execução foram e) tempo: antes de iniciar o experimento, serão disponibilizados 30 minutos para leitura; Assim, três tipos de dados foram produzidos para análise: Um índice de eventos foi organizado considerando os diferentes momentos da execução
	teórico e estabelecer relações com o experimento observado. É possível que, para pensados para vivência da OI2, considerando os dois momentos estabelecidos OI2.1 -definição distribuir os artefatos, explicar a dinâmica do trabalho e permitir que os grupos se -definir os critérios em colaboração com os demais componentes de seu grupo, ou seja, a) a discussão que definia quem do grupo seria estudante-ator ou estudante-observador, da OI2. No momento OI2.1, têm-se duas etapas: (I) Escolha dos papéis e (II) Definição dos
	isso, sigam, inclusive, as sugestões indicadas no protocolo de orientação. Nesse caso, de critérios e OI2.2 -observações à luz dos critérios definidos. A seguir, apresentaremos os organizem, escolham os papéis e definam os critérios de observação. Também serão os estudantes-atores EA1 e EA2, uma vez que a resolução da situação, nesse registrada com ajuda do software de captura de tela; critérios de observação. No momento OI2.2, tem-se a etapa (III) Observação pautada nos
	temáticas como: uso dos artefatos, conhecimentos evocados, instrumentalização, recursos, o tempo e as funções a serem desenvolvidas pelos sujeitos envolvidos. disponibilizados mais 30 minutos para a realização da observação do experimento momento, ainda não terá sido iniciada; b) a discussão da definição dos critérios de observação segundo o modelo teórico em critérios pré-definidos.
	instrumentação, situações, configuração didática, modo de execução, eventos Recursos previstos para a OI2 e suas respectivas funções: (OIp). b) realização do registro cursivo na OI2.2 por EO1: estudo, também registrada com software de captura de tela;
	5.3.3.6	inesperados e decisões ad hoc, entre outras, podem compor a lista de critérios de a) Estudantes (dois): previram-se no mínimo dois e no máximo três estudantes para -anotações no protocolo de orientação, pautado ou não nos critérios definidos, sem c) os registros resultantes das observações de EO1 e EO2 da OIp: o protocolo de Performance didática da OI2
	5.3.3.4	observação. assumir o papel de estudante-observador. Esses devem seguir as orientações do Modo de execução -OI2 gerar interferências ao trabalho dos estudantes-atores e/ou ao outro observador, com observação com registro escrito produzido pelo EO1 e a transcrição do filme
		ou sem interação com as formadoras; produzido pelo estudante-observador 2.
		Um modo de execução para OI2 também foi previsto e consiste no trabalho colaborativo
		Nesse caso, não podemos descartar que algum critério definido tenha relação com os
	5.3.3.5	elementos teóricos em foco, entretanto os registros ajudarão ao professor identificar Método de análise da OI2 Os dados gerados foram selecionados, organizados, classificados e analisados de acordo
	indícios de uma leitura prévia sobre a temática em foco. Isso porque tais critérios algumas condições relativas às condutas a serem adotadas pelos observadores, no que com a técnica de análise microgenética-videográfica da transcrição dos vídeos produzidos pelo
	devem guiar o registro no segundo momento da OI2, logo, esses também serão diz respeito à filmagem ou ao registro escrito. Constam ainda nesse protocolo Inicialmente, procurou-se prever alguns eventos relacionados à atuação dos estudantes-A OI2, como já informado, ocorreu simultaneamente à OIp e tinha como objetivo central software aTube Catcher e pelo EO2, juntamente com o conteúdo do protocolo de observação
	discutidos à luz do modelo teórico; algumas folhas para que um dos observadores faça os registros de sua observação; observadores na OI2. Por se tratar de uma orquestra que se desenvolve em dois momentos a observação da OIp para registro dessa. Para isso, duas subsituações que compõem a situação de EO1. O instrumento criado para analisar os dados da OI1 foi adaptado e utilizado para analisar
	d) não definir critérios, apenas observar/registrar a OIp: independente da leitura ou não c) tablet/celular: as formadoras disponibilizaram um tablet para os EO que não distintos, sendo um deles simultâneo à outra orquestra, a OIp, as previsões foram realizadas com da OI2 foram definidas para os EO1 e EO2): os dados da OI2. Com a análise dos conteúdos gerados pela observação e filmagem, objetivava-
	do webdoc, pode ocorrer de os estudantes-observadores não definirem os critérios de quisessem utilizar seu próprio celular para realizar a filmagem do experimento. Ao base em duas etapas: a primeira, a definição dos critérios de observação; a segunda, o uso desses a) definição de critérios de observação correlatos a elementos que compõem o modelo se:
	observação e, ao final, elencar ou não a partir do observado. Assim, é possível que iniciar o trabalho de observação, ou um pouco antes, o software de captura de tela é critérios para executar as funções, filmar e fazer registro cursivo. teórico que se buscava apreender; e a) identificar os critérios elaborados pelos estudantes para definir seus papéis e executar
		se dediquem a filmar e escrever sobre tudo o que estão vendo ou a partir de um foco acionado por um dos observadores no computador em que os EA irão trabalhar; Assim, verificaram-se os esquemas dos estudantes observadores nas seguintes b) o registro (escrito e filmado) pautado nestes critérios. suas funções quando confrontados com a situação de formação proposta;
	específico. b) identificar componentes dos esquemas (subobjetivos, regras de ação, invariantes situações:
		operatórios, possibilidades de inferências) dos estudantes na realização da situação

b) definir critérios pautados no modelo teórico e não os utilizar para observar/registrar a OIp: pode ser que os estudantes-observadores definam os critérios, tal como descrevemos em (I), mas que não os utilize durante a observação/registro. Nesse caso, eles podem se dedicar em filmar e escrever tudo que estão vendo sem nenhum direcionamento ou relação com os elementos teóricos em foco. Pode ser, ainda, que escolham algo muito específico para focar, como a situação matemática ou o uso de um artefato. c) definir critérios sem relação com o modelo teórico para observar/registrar a OIp: é possível que alguns estudantes participem da OI2 sem ter participado da OI1 (fórum de perguntas e respostas sobre o webdoc lido). Assim, os observadores podem definir critérios de observação que nada tenham a ver com o modelo teórico em estudo.

protocolo impresso e definir entre eles quem irá assumir as funções de filmar o experimento e a de realizar registros escritos segundo critérios preestabelecidos. O observador que filmar deverá salvar e enviar o arquivo para as formadoras e o que fizer o registro escrito, utilizar para isso as folhas disponibilizadas pelas formadoras no protocolo de orientação impresso. Eles devem devolver o documento identificado com os nomes dos participantes do grupo, segundo seus papéis (estudante-ator, estudante-observador). Esse documento é então disponibilizado para todo o grupo em uma pasta virtual, para subsidiar a OI3 e OI4; b) protocolo de orientação: no formato impresso, foi elaborado para informar os estudantes-observadores sobre a situação que deveriam resolver. Também orienta a definição de critérios e apresenta sugestões para ajudar na execução dessa situação.

Há também um espaço para deixar os critérios registrados de forma que, ao iniciar o trabalho de observação, os estudantes possam sempre consultá-los. Há, também, d) formadoras: são responsáveis pela gestão da sala; apresentação da situação aos estudantes; organização e distribuição dos tablets e dos protocolos de orientação; controle do tempo e de ações dos estudantes que estejam fora do contexto da orquestra, as quais possam comprometer o bom andamento dessa. É, ainda, sua dos estudantes-observadores para, inicialmente, definir critérios de observação à luz do modelo teórico (OI2.1). Na sequência, ao iniciar a resolução da situação matemática (OIp), o trabalho passa a ser individual. Assim, EO1 faz o registro videográfico com artefato de sua escolha, tablet disponibilizado pela professora ou celular pessoal, enquanto EO2 faz registro cursivo no protocolo impresso de orientação. Simultaneamente, o trabalho do duo é registrado pelo software de captura de tela.

Os EO, durante a OI2.2, deverão seguir trabalhando individualmente, ou seja, não devem se comunicar entre si, nem com os demais componentes do grupo ou com outros colegas da sala, salvo com as formadoras, quando necessário. EO1 e EO2 devem focar em eventos que melhor poderiam exemplificar elementos teóricos da OI, bem como garantir a qualidade do áudio e da imagem, e, ainda, registrar os gestos, as frases e quaisquer outros aspectos que possam ser correlacionados à OI. a) definição dos critérios -OI2.1 -EO1 e EO2:

definir juntos os critérios, podendo um colaborar mais ou menos, a depender da leitura do webdoc sobre o modelo teórico; anotações no protocolo de orientação, pautado ou não nos critérios definidos, gerando interferências ao trabalho dos estudantes-atores e/ou ao outro observador, com ou sem interação com as formadoras; c) realização do registro videográfico na OI2.2 por EO2:

com celular e/ou tablet, com foco na captura de eventos pautados ou não nos critérios definidos, sem gerar interferências ao trabalho dos estudantes-atores e/ou ao outro observador, com ou sem interação com as formadoras;

com celular e/ou tablet, com foco na captura de eventos pautados ou não nos critérios definidos, gerando interferências ao trabalho dos estudantes-atores e/ou ao outro observador, com ou sem interação com as formadoras.

As formadoras não especificaram no protocolo quem iria realizar assumir as funções seja estudante-ator (OIp), seja estudante-observador (OI2). Isso gerou uma discussão para definir quem iria assumir tais papéis e suas funções. Essa discussão foi captada pelo software O interesse em analisar os dados gerados pelo software de captura de tela dá-se pelo potencial do software em capturar todas as ações dos EA. Isto é possível porque ele captura a tela do computador e o áudio também. Além disso, muitos dos registros feitos pela captura de tela são situações imprevistas e que revelam fragilidades da orquestração criada.

Inicialmente, tem-se a discussão dos estudantes do grupo D a partir de critérios de escolha para definir quem iria assumir os papéis das orquestrações simultâneas OI2 e OIp. Essa apresenta informações sobre os conhecimentos dos estudantes a respeito do GeoGebra e do modelo teórico em estudo. E, ainda, como estes conhecimentos influenciam as suas escolhas quanto ao que fazer em trabalhos em grupo. Na sequência, tem-se a discussão para a definição dos critérios de observação que, embora curta, apresenta a quebra de uma regra definida no protocolo de orientação. Antes de iniciar o experimento da OIp, as formadoras distribuíram, entre os quatro grupos presentes na sala de aula, um protocolo de orientação para estudantes-atores e estudantes-observadores. A partir do momento em que eles tomaram conhecimento da necessidade de distribuição de papéis, os membros do grupo D iniciaram uma discussão.

  ideia explícita no trecho 6 é que quem afirme ter lido mais será o observador, já que será necessário algum domínio sobre a OI para definir os critérios de observação e observar de forma guiada por tais critérios. Quem afirmar ler menos será o estudante-ator. Entretanto, EA1 e EO1 parecem ter interesse pelo papel de estudante-ator, por isso não entram em acordo.

		Trecho 37 -Fala de EA1 sobre leitura do webdoc. EO1: e quem vai fazer a tarefa são vocês?		
		EA1: Eu faço assim [...] já que ele leu o texto … tu leu muita coisa [pergunta EA2: é, porque ele [EO2] não entende nada do GeoGebra.
		a EO2]?				
	EA1: tu leste mais coisa do texto do que eu. EO1: eu li o texto, mas faz tempo. Eu tenho que ler de novo. O trio parece concordar com a indicação de um de seus colegas para ser EO, já que não
	EA1: eu também. EO1: eu sei uma coisa ou outra aqui. domina o GeoGebra (Quadro 36). Mas os estudantes não entram em acordo sobre quem vai
	assumir as duas vagas para estudante-ator.				
	Quadro 36 -Definição e uso do critério "ser instrumentalizado com o GeoGebra para escolha do EA".
	Subobjetivo	Regras de ação		Invariantes operatórios	Possibilidades
					de inferências
	Distribuir os	EA1: mudar o critério de escolha	EA1: se for instrumentalizado	EA1: para resolver a
	papéis entre os	de estudante-observador para	com o GeoGebra, pode assumir o	situação,	precisa
	membros do	estudante-ator -saber utilizar o	papel de ator.	saber	mexer	no
	grupo.	GeoGebra.			GeoGebra. Apenas
	Subobjetivo	Regras de ação EA1: sondar quem deseja trabalhar no GeoGebra para fazer	Invariantes operatórios EA1: se não souber mexer no GeoGebra, assume o papel de	um Possibilidades não sabe. Portanto, EO2 assume de inferências papel de Observador.
	Distribuir os	EA1: definir como critério de a situação matemática.	EA1: a partir de um critério, pode-observador.	EA1: três leram o
	papéis entre	escolha para assumir o papel	se classificar um grupo em dois	texto, mas querem
	os membros	de estudante-observador -ter	subgrupos.	ficar na resolução da
	do grupo.	lido o webdoc.			situação; logo, melhor
					partir a escolha pela
		EA1: sondar quem do grupo	EA1: se conhecer o webdoc, pode	definição de quem
		leu o webdoc para assumir o	assumir o papel de observador.	atua com o GeoGebra.
		papel de estudante-observador.				
		EA1: comparar quem leu mais	EA1: se tiver conhecimento de		
		que os demais para assumir o	elementos sobre a orquestração		
		papel de estudante-observador.	instrumental, pode assumir o papel		
			de observador.		
	Fonte: Elaborado pela autora.				
	Sem sucesso na primeira tentativa de distribuição de papéis, EA1 apresenta um novo
	critério: ser instrumentalizado com o GeoGebra para a escolha do EA. Nesse evento (trecho 2),
	EA1, EA2 e EO1 revelam interesse pelo papel de estudante-ator a partir da reação negativa de
	EA1 pela autoindicação de EA2 e da reação negativa de EO1 que percebe o interesse de EA1 e
	EA2 pelo papel. EA2 procura justificar sua permanência como estudante-ator com o fato de que
	um dos colegas do grupo não domina o GeoGebra.		

A Quadro 35 -Definição e uso do critério "ter lido o webdoc para escolha do EO" Trecho 38 -Discussão entre EA1, EA2 e EO1 pelo papel de estudante-ator. EA1: quem vai mexer no GeoGebra? Bora lá… EA2: eu! EA1: Eu? Ele já bota eu! EA1: ele [EO2] fica como observador que anota e eu filmo e, vocês dois ficam no GeoGebra já que ele [EO2] não sabe. Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 37 -Definição do critério "lançar a sorte para decidir o EA ou EO entre os três que conhecem o GeoGebra"

	Subobjetivo		Regras de ação	Invariantes	Possibilidades
						operatórios	de inferências
	Distribuir	os	EA2: abandonar a	EA2: em caso de	EA2: o critério quanto ao saber necessário
	papéis entre os	classificação e dividir	não	se	ter	para ser observador não resolve. O
	membros	do	os papéis pela sorte.	consenso, tira-se	critério quanto ao saber necessário para
	grupo.					na sorte.	ser ator deixa em dúvida ainda três
			EA2: lançar a sorte		estudantes. Portanto, usa-se a sorte.
			para definição dos	
			papéis	entre	os	
			participantes	do	
			grupo.			
	Fonte: Elaborado pela autora.			

  38 -Definição do critério "indicar a si mesmo ou a outro para ser EA ou EO"

	Subobjetivo	Regras de ação	Invariantes	Possibilidades
			operatórios	de inferências
	Distribuir os	EA2: indicar EO1 e EO2 para serem os	EA1/EA2: realizar	EA1/EA2:	o
	papéis entre os	observadores.	trabalho individual	trabalho	dos
	membros do		não	demanda	estudantes-atores
	grupo.	EA1/EA2: insistir na indicação de EO1 e EO2 para	afinidade		entre	deve	ser
		que observem.	participantes		colaborativo.	O
			(estudante-		trabalho	dos
		EO1: resistir à "indicação", mas termina sem	observador).		estudantes-
		opções, uma vez que EA1 e EA2 se autoescolhem				observadores deve
		para o papel de estudante-ator e EO2 aceita a				ser	feito
		indicação para estudante-observador responsável				individualmente.
		pela filmagem.				Logo,	é
						importante	ter
		EA1: negociar com EO1 para que seja observador,				afinidade entre os
		seja filmando, seja registrando os eventos.	EA1/EA2: realizar	estudantes-atores.
			trabalho			
		EO2: aceitar fazer a filmagem do experimento da	colaborativo	com	
		OIp, exercendo o papel de estudante-observador, o	quem	se	tem	
		qual revela ter experiência.	afinidade é mais	
			produtivo			
		EA1/EA2: escolher a si próprio e a outro por	(estudante-ator.)	
		afinidade.				
		Trecho 40 -Distribuição de papéis por imposição:		
		(a) por imposição:				
		EA2: vocês dois.				
		EO1: nós dois vamos gravar?				
		F2: não, um grava e o outro anota.				
		EO1: e quem é o que anota?				
		EA1: vai decidir agora [risos].				
		EA2: vocês dois [...] vai querer anotar ou vai querer gravar?	
		EO1: não sei.				
		EA1: tá, eu filmo e tu escreve.				
		EO1: eu tenho Parkinson, não posso.				
		EA2: vai filma.				
		EO 1 : mas tem que filmar com isso aí?				
	O segundo caso de indicação (trecho 41), por aceitação, EO2 se coloca à disposição para
	ser observador, independente da função que tenha que exercer. Por indicação de EA1, EO2 aceita
	fazer a filmagem.				

Quadro

Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 39 -Escolha de elementos da OI para serem observados e registrados

	Subobjetivo	Regras de ação	Invariantes operatórios	Possibilidades
							de inferências
	Definir	os	EO2:	escolher	o	EO2: os critérios devem ser retirados do texto que	EO2/EA1/EA2:
	critérios	de	artefato que guiará a	fundamenta.	Os	critérios
	observação.		definição dos critérios		escolhidos
			de observação.			devem	ser
							pautados	no
			F1: buscar que os	F1: para uma boa compreensão do modelo teórico,	modelo teórico.
			estudantes	se	a observação deve se concentrar nos aspectos	Logo, retomar a
			concentrem	nos	centrais da dessa.	memória sobre a
			aspectos importantes		leitura do texto
			da OI.			EO2: artefato e ambiente são elementos da OI,	(webdoc) lido é
						portanto servem como critérios.	necessário para
							definir	tais
						EA1: relação entre artefato e instrumento é	critérios.
						elemento importante da OI.	
						EA2: esquemas de uso do GeoGebra para realizar	
						a situação pelo grupo é um dos elementos	
						importantes para a OI, portanto um critério.	

Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 40 -Registro de eventos relacionados aos artefatos/instrumentos em jogo

	Subobjetivo	Regras de ação	Invariantes operatórios	Possibilidades
								de inferências
	Registrar eventos	EO1/EO2: focar no uso de cada	EO1/EO2: dificuldade quanto ao	EO1/EO2: o registro
	da OIp segundo os	comando (sucessos/insucessos).	uso das ferramentas do GeoGebra	de
	critérios	de		implica	em	falta		de	sucesso/insucessos
	observação		instrumentalização		dos	no uso do artefato
	definidos	no		estudantes-atores	para	a	favorece	a
	protocolo:		construção do boneco como todo.	identificação dos
			EO1/EO2: focar na realização	EO1/EO2:	o	sucesso	na	processos de gênese
	1.	Artefato/	com sucesso ou insucesso de	construção de partes ou de todo	instrumental:
	instrumento	partes da tarefa e da tarefa como	boneco, nas condições impostas	instrumentalização
	2. Conhecimentos	um todo.	pela	situação,	indica	e instrumentação.
	do GeoGebra		instrumentação parcial ou total
	3. Conhecimentos		dos estudante-atores.	
	matemáticos	EO1/EO2: focar nas tentativas e	EO1/EO2:	se	conseguem
	4. Esquemas de	erros de EA 1 /EA 2 para identificar	construir	dois	objetos
	uso		instrumentalização	proporcionais, há indícios de
	5. Tempo da tarefa	(artefato)/instrumentação	instrumentação, ao menos neste
			(instrumento).	caso.			

Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 41 -Registro de eventos relacionados aos esquemas de uso dos EA

		Subobjetivo	Regras de ação		Invariantes iperatórios	Possibilidades
								de inferências
	Registrar eventos da OIp	EO1/EO2:	focar	nos	EO1/EO2: a identificação dos	EO1/EO2:	as
	segundo os critérios de	conhecimentos	que	são	conhecimentos em jogo	regras de ação e
	observação definidos no	evocados pelos estudantes-	favorece a identificação de	os conhecimentos
	protocolo:	atores durante a resolução da	esquemas.	(conceitos	em
	1. Artefato/instrumento.	situação.					ação)	são
	2. Conhecimentos do						componentes dos
	GeoGebra	EO1/EO2: focar ações de	EO1/EO2: a identificação das	esquemas; logo,
	3.	Conhecimentos	EA1/EA2 que revelem acertos,	ações conjuntas/individuais	identificá-los
	matemáticos.	erros ou dificuldades quanto ao	de EA1/EA2 favorece a	favorece	a
	4. Esquemas de uso.	uso de ferramentas do	identificação de esquemas.	identificação de
	5. Tempo da tarefa.	GeoGebra para a construção		esquemas.
			proposta	na	situação	
			matemática.				

Fonte: Elaborado pela autora.

  Quadro 42 -Registro de eventos relacionados aos conhecimentos dos usuários em relação ao GeoGebra

	Subobjetivo		Regras de ação			Invariantes operatórios	Possibilidades
									de inferências
	Registrar eventos da	EO1/EO2:	focar	nas	EO1/EO2: se a ferramenta escolhida	EO1/EO2:	a
	OIp segundo os	escolhas	acertadas	de	favorecer a construção do boneco ou	escolha	de
	critérios	de	ferramentas do GeoGebra,	partes deste, então há indícios de que	ferramentas do
	observação		por EA1/EA2, para a	EA1/EA2 conhecem bem, ao menos,	GeoGebra pode
	definidos	no	construção do boneco ou	essa ferramenta do GeoGebra.	ser guiada pela
	protocolo:		parte desse.						versão que está
									sendo utilizada -
	1. Artefato/		EO1/EO2:	focar	nas	EO1/EO2: se a ferramenta escolhida	tablet	ou
	instrumento.		escolhas	"erradas"	de	não favorecer a construção do boneco	notebook, Logo,
	2.conhecimentos do	ferramentas do GeoGebra,	ou partes desse, então há indícios de	é possível que
	GeoGebra,		por EA1/EA2, para a	que	EA1/EA2	não	possui	uma	versão
	3. Conhecimentos	construção do boneco ou	conhecimento quanto ao uso da	favoreça
	matemáticos.		parte desse.			ferramenta, ou quanto ao uso dessa	EA1/EA2 mais
	4. Esquemas de uso.				integrado ao conhecimento exigido	que a outra.
	5. Tempo da tarefa.				pela situação.	
	Fonte: Elaborado pela autora.					

  Quadro 46 -Registro de eventos que tenham relação com o modo de execução foco nas interações e ações dos sujeitos para destacar a atuação desses, ao executar seus papéis e suas funções, é muito importante para favorecer a validação dessas escolhas, feitas no planejamento do modo de execução da OI pelas formadoras. As análises realizadas nos dados da OIp revelam, inclusive, se tais escolhas contribuíram ou não para o bom desempenho da orquestração.Quadro 47 -Registrar eventos que tenham relação com a performance didática

	Subobjetivo	Regras de ação		Invariantes operatórios	Possibilidades de
									inferências
	Registrar		EO2: focar nas ocorrências	EO2: os imprevistos e decisões	EO2: os imprevistos e
	eventos além dos	imprevistas e nas decisões	tomadas para resolvê-los darão	as decisões tomadas
	que têm relação	tomadas por EA1/EA2 ou pela	fortes	indícios	do	bom	para	resolvê-los
	com os critérios	formadora que dá suporte à	desempenho	exercido	pelos	podem revelar os
	de observação	dupla durante o processo de	sujeitos e artefatos, assim como	fortes	e	fracos
	previstos:		resolução da situação.		quão boas foram as escolhas feitas	aspectos do que foi
			EO2: focar nas ocorrências	pelas formadoras, ou não.	planejado	pelas
	1. Configuração	imprevistas	durante	o	EO2: os imprevistos e decisões	formadoras para ser
	didática.		trabalho de EA1/EA2 que	tomadas para garantir o registro do	vivenciado	pelos
	2. Modo de	possam	comprometer	o	trabalho de EA1/EA2 revelarão a	estudantes-atores e
	execução.		registro deste.			importância de se garantir o bom	registrado	pelos
	3. Performance					registro do experimento.	estudantes-
	Subobjetivo didática.	Regras de ação		Invariantes operatórios	Possibilidades observadores.
	Fonte: Elaborado pela autora.						de inferências
	Registrar eventos	EO2: focar na atuação de	EO2: a forma como EA1/EA2 executam	EO2: as funções,
	além dos que têm	EA1/EA2 ao executar suas	a função revelará a importância dessa	papéis e artefatos
	relação com os	funções: quem controla o	para o processo de resolução da	disponibilizados
	critérios	de	artefato e quem colabora para	situação.		são escolhas das
	observação		resolver a situação.				formadoras.
	previstos:								Logo,	a
			EO2: focar na atuação da	EO2: as mediações realizadas pela	observação	da
	1. Configuração	formadora que está dando	formadora	revelarão	se	estas	execução destes
	didática.		suporte ao grupo.		contribuíram ou não com EA1/EA2, no	papéis/funções e
	2. Modo de					processo de resolução da situação.	uso	desses
	execução.		EO2: focar nas interações e	EO2: a forma como utilizam os dois	artefatos	pode
	3. Performance	ações realizadas por EA 1 /EA 2	artefatos para resolver a situação irá	validar	tais
	didática.		no uso do tablet e no uso do	revelar qual desses é melhor para a	escolhas.
			notebook.				resolução da situação.
	Fonte: Elaborado pela autora.					

O

  entanto, embora a participação dos estudantes da turma tenha praticamente se mantidodos 23 estudantes matriculados, 18 interagiram no fórum da OI1, enquanto, 16 interagiram no fórum da OI3 -, a quantidade de postagens diminuiu. No primeiro fórum, realizaram-se 37 postagens; já no segundo, 25. É possível que o fórum não tenha sido favorável às interações a partir de um roteiro de perguntas/respostas já posto. Em sala de aula, por exemplo, a discussão em grupo permite que todos conheçam as perguntas/respostas no mesmo

	momento, tal como ocorreu no estudo preliminar. Em um fórum, para saber quais
	perguntas/respostas foram postadas, é preciso abrir cada tópico, ou postagens alinhadas. É
	possível que muitos estudantes não tenham lido todas as postagens, e isso culmina em prejuízo
	para o estudante em formação.
	Outro aspecto relevante da configuração didática e do modo de execução da OI3 é a
	participação das formadoras e do pesquisador, antes e depois da participação dos estudantes, no
	fórum. As contribuições desses favoreceram a ampliação da discussão e dos conhecimentos dos
	participantes. Diferentemente do primeiro fórum, perguntas não ficaram sem respostas. As que
	os estudantes não responderam foram respondidas pelas formadoras e pelo Prof. Luc Trouche,
	o que ajudou a melhorar a dinâmica das interações e a gerar o aprofundamento do conteúdo de
	algumas perguntas dos estudantes.

  Nesse caso, a análise foca apenas em como os estudantes-atores resolveram ou não a situação matemática proposta. Discutem-se os procedimentos e as escolhas, entre outros aspectos relacionados ao trabalho de tratamento matemático para resolver a situação com o software GeoGebra, mas ignoram-se outros aspectos que compõem a OI criada. Os EA não articulam os eventos do experimento com os elementos do modelo teórico em estudo. Não dão

	b) analisar os dados dos protocolos acessados de forma articulada com os elementos do GeoGebra (histórico dos procedimentos do duo na OIp, mas sem aúdio); vivência da
	modelo teórico em estudo por eles apreendidos; OIp (eventos vivenciados pelos estudantes-atores que podem ser compartilhados);
	Assim, é na apresentação da análise que as formadoras poderão observar indícios de quais indícios de compreensão dos processos vivenciados de instrumentalização-instrumentação, c) organizar e apresentar a análise dos dados com suporte de uma ou mais tecnologias; postagens do segundo fórum (geradas pelos estudantes, formadoras e pesquisador
	protocolos foram acessados pelos estudantes, quais elementos teóricos conseguiram articular nem da relevância da orquestra para isso. d) discutir aos elementos da análise apresentada a partir de interações de colegas e das Luc Trouche na OI3);
	com o experimento para proceder a análise, quais artefatos utilizam para estruturar e apresentar II -Centrada no experimento e articulada com o modelo teórico: formadoras. e) tempo de apresentação: 10 minutos para cada grupo apresentar, mais 10 minutos
	a análise. É na fala de cada estudante e na discussão com a classe (formadora e outros Nesse caso, os estudantes irão considerar, ainda que minimamente, os elementos É importante informar que nenhum dos duos de cada grupo conseguiu resolver a para responder às perguntas da turma e das formadoras;
	estudantes) a respeito da análise apresentada que se poderá identificar o que cada participante observáveis (situação matemática, artefatos, funções e papéis dos participantes, processo de situação matemática proposta na OIp no tempo determinado, mesmo com mais 10 minutos de f) indicação de formatos para preparo da apresentação: vídeo (Movie Maker),
	do grupo aprendeu sobre o modelo teórico. resolução da situação e uso dos artefatos, mediação e decisões das formadoras etc.) ou possíveis tolerância. Assim, as formadoras, após coletarem todos os arquivos do GeoGebra com a história em quadrinhos (Pixton), Slides (Powerpoint, apresentação do Gdrive ou
	de presumir (objetivos, expectativas de aprendizagem etc.) da OI vivenciada. Ao perceber esses construção do boneco feita durante o experimento, liberaram os estudantes para continuar a Prezzi), linha do tempo (MyHistro) ou mapa conceitual (Cmaptools).
	5.3.5.2 elementos, eles irão articulá-los com o modelo teórico em estudo, relacionando-os às temáticas: Análise a priori da situação de formação (S4) resolução em casa. A partir dessa, as formadoras procederam a definição da situação de
	situação matemática, gênese instrumental, à configuração didática, ao modo de execução ou formação S4 e a estruturação da OI4. 5.3.5.4 Modo de execução da OI4
	A análise a priori da S 4 diz respeito aos esquemas dos estudantes quanto ao uso de performance didática. Ainda que não usem os termos cunhados no modelo teórico, a explicação Uma configuração didática foi estruturada para dar suporte aos estudantes à resolução
	diferentes protocolos articulados com diferentes temáticas correlatas ao modelo teórico em ou exemplificação coerentes que deem indícios de relação com tais termos seriam indícios de da situação de formação 4. Assim como orquestrações instrumentais anteriores, a OI4 pode
	estudo para fazer a análise proposta em grupo. Mas, antes de iniciá-la, é relevante retomar aqui apreensão deles. acessar protocolos de qualquer uma das orquestrações já vivenciadas para ajudá-los na
	os elementos do modelo teórico em estudo. Esses podem ser utilizados pelos estudantes na III -Centrada no experimento e articulada com os conhecimentos sobre o modelo realização da S4. Essa característica articuladora favorece a reflexão teórico-prática dos
	apresentação da análise do experimento da OIp e, certamente, estarão inseridos em uma das teórico advindos de protocolos disponibilizados ou produzidos anteriormente: participantes da formação e, consequentemente, amplia as possibilidades de apreensão sobre o
	cinco temáticas definidas na OI1: situação matemática, gênese instrumental, configuração É possível que a análise realizada pelos grupos não tenha como foco apenas o modelo teórico.
	didática, modo de execução e performance didática. experimento (OIp) e o que já sabem sobre o modelo teórico. Talvez, interesse aos estudantes Recursos previstos para a formação e suas respectivas funções:
	Além das temáticas, há de se evidenciar os protocolos disponibilizados e os por eles fazer uma análise articulada também aos protocolos disponibilizados ou produzidos por eles a) artefatos: a sala de aula é equipada com computador, projetor multimídias e internet,
	produzidos durante a vivência das orquestrações instrumentais anteriores a OI4: webdoc (OI1), mesmos. Dessa forma, um estudante do grupo pode fazer menção a um elemento teórico para e esses foram liberados pelas formadoras para que os estudantes pudessem realizar a
	postagens do primeiro fórum (OI1), protocolo de observação cursiva (OI2), protocolo de explicar algum evento, mas fundamentado no conteúdo de um destes protocolos. apresentação da análise feita por cada grupo;
	observação em vídeo feito pelos estudantes-observadores (OI2), captura de tela com b) formadoras (F1/F2): caberá à F1 mediar a discussão entre o grupo que apresentar a
	procedimentos no computador com áudio do duo (OIp), protocolos de orientação para 5.3.5.3 Configuração didática da OI4 análise e os demais estudantes da turma, logo após a apresentação, e à F2 caberá o
	estudantes-observadores (OI2) e para estudantes-atores (OIp), arquivo do GeoGebra com registro da dinâmica da sala de aula;
	histórico dos procedimentos da situação concluída (OIp), postagens do segundo fórum (OI3) e A OI4 foi desenvolvida e proposta aos participantes da formação, essencialmente para c) estudantes: cada estudante de cada grupo deverá dar sua contribuição na análise,
	arquivo do GeoGebra com situação concluída em casa (OI4). dar às formadoras um primeiro feedback sobre o que conseguiram aprender sobre o modelo organização e apresentação desta. Após a apresentação de cada grupo, os demais
	Foram previstas, também, a partir de como poderia ser a apresentação da análise, teórico até a vivência dessa orquestração. Para isso, uma configuração didática e um modo de estudantes da turma podem apresentar perguntas pautadas na apresentação feita;
	possíveis esquemas da análise realizada pelos grupos, os quais poderiam ser revelados durante execução foram previstos, no entanto, antes de revelá-los, há de se descrever alguns fatos que d) protocolos disponibilizados ou gerados em outras orquestrações: webdoc
	a apresentação. ocorreram ao finalizar o tempo de realização do experimento da OIp. Espera-se que, com (gerado pelas formadoras e disponibilizado na OI1); postagens do primeiro fórum
	I -Centrada apenas na situação matemática sem articulação com o modelo teórico: suporte da OI4, os estudantes possam: (geradas pelos estudantes na OI1); protocolo cursivo e vídeo da observação da OIp
	a) acessar protocolos disponibilizados ou os produzidos por eles durante a participação (gerado pelos estudantes-observadores na OI2); vídeo das ações do duo no
	na formação, para refletir sobre o modelo teórico em estudo, considerando as GeoGebra, mais o áudio (gerado pelo software aTube Catcher na OIp); arquivo do
	vivências práticas;

  Isso porque o fato de ser aplicado em uma disciplina real nos levou a decidir que os oito estudantes que não participaram do experimento da OIp/OI2, deveriam se organizar em grupos de até 5 estudantes para realizar a situação matemática e de formação da OIp e OI2. Assim, além dos quatro grupos que participaram presencialmente da OIp/OI2, mais dois grupos foram formados um com três e outro com cinco integrantes.

	I -Apresentação centrada em um estudante: melhor destacar como os estudantes do grupo D resolveram estruturar a apresentação da análise,
	Esse tipo de apresentação, feita por um único estudante, daria fortes indícios de uma tal como, o conteúdo dessa.
	análise e apresentação feita por ele. A não participação, ainda que seja mínima, dos demais Uma análise microgenética-videográfica foi realizada no vídeo gerado por uma das
	participantes do grupo poderia indicar, inclusive, que a resolução final da situação matemática formadoras durante a apresentação da análise feita pelo grupo D sobre o experimento realizado 5.3.5.7 Performance didática -análise da apresentação da análise do grupo D -OI4
	foi elaborada por esse estudante. Outros aspectos podem ser somados a esses, tal como o na OIp/OI2. Com a análise do vídeo, objetivou-se:
	domínio ou não sobre o modelo teórico em estudo, por exemplo. A depender se esse estudante a) identificar esquemas ou componentes desses, no trabalho coletivo, dos componentes Na linha do tempo (Figura 82), pode-se observar que os estudantes do grupo D optam
	consegue ou não articular os elementos do modelo teórico com os eventos analisados. do grupo D no processo de análise da OIp/OI2; por usar os critérios de observação para iniciar a apresentação (Etapa I); em seguida, informam
	II -Apresentação distribuída entre os participantes do grupo: b) verificar como os estudantes, a partir das participações individuais, estabelecem que decidiram concluir a situação matemática depois do experimento e descrevem como
	Nesse caso, repousa as expectativas das formadoras, ou seja, que todos participem da correlação entre os eventos observados/vivenciados OIp/OI2 com o modelo teórico construíram o novo boneco tomando como base a construção já feita na OIp e também a
	apresentação, ainda que minimamente, revelando participação na análise e compreensão sobre OI; construção do grupo E (Etapa II); discute-se sobre a construção do boneco a partir de
	modelo teórico. Trata-se de uma apresentação centrada em todos participantes do grupo. Todos c) identificar quais protocolos de outras orquestrações instrumentais são utilizados questionamentos das formadoras (Etapa III); segue-se a apresentação da análise do
	revelam suas impressões sobre o experimento, comentando à luz do modelo teórico o que pelos estudantes como artefatos para auxiliá-los na análise e apresentação e como experimento, momento em que buscam explicar à luz do modelo teórico o que foi feito pelo
	compreenderam. Faz parte da discussão não apenas a construção final (como conseguiram fazem isso; duo na OIp, mas também como fizeram o boneco pós-experimento (Etapa IV); discute-se sobre
	responder a situação matemática) mas, principalmente, todo o processo de tentativas de d) identificar esquemas ou componentes desses, no trabalho coletivo, dos componentes a apresentação da análise do experimento a partir de questionamentos das formadoras (Etapa
	resolução da situação matemática durante o experimento da OIp e como essa vivência os do grupo D, relativos à apropriação de conhecimentos sobre a OI. V); segue-se a apresentação da conclusão do experimento (Etapa VI); por fim, discute-se sobre
	auxiliou a compreender melhor o modelo teórico em estudo. A análise microgenética-videográfica realizada no vídeo da apresentação do grupo D a apresentação da conclusão do experimento, a partir de questionamentos das formadoras
	III -Apresentação influenciada pelos papéis assumidos na OIp: possibilitou a identificação de sete etapas sob as quais estava estruturada a apresentação da (Etapa VII).
	Na OIp coube aos estudantes-atores a resolução da situação matemática e aos estudantes-análise do grupo. Os critérios de definição de cada etapa são as variações entre apresentação e
	observadores a observação pautada em critérios de observação com base no modelo teórico. discussão do que foi apresentado. Foram registrados quatro momentos de apresentação com
	Logo, é possível que, durante a apresentação da análise feita pelo grupo, os estudantes voltem temáticas distintas e intercaladas a esses três momentos de discussão. Etapas e eventos foram
	a se dividir para resolver a situação com foco na função assumida. Assim, é possível que os classificados no instrumento de análise criado, utilizado para analisar os dados das outras
	estudantes-atores apresentem e discutam o experimento com foco na situação matemática orquestrações instrumentais. Nesse instrumento ( Quadro 54), podem-se classificar os eventos,
	realizada, enquanto os estudantes-observadores discutam as ações dos estudantes-atores subobjetivos, regras de ação, antecipação e controle, invariantes operatórios e possibilidades de
	durante a OIp com base no modelo teórico em estudo. inferências dos estudantes durante a apresentação.	
	5.3.5.6 Quadro 54 -Instrumento de análise de eventos da OI 4 relativo a um subobjetivo Método de análise da OI4
	Evento	Regras de ação,	Invariantes	Possibilidades de
	controle Diferentemente das orquestrações instrumentais anteriores, a OI4 contou com a antecipação e operatórios inferência
	participação de 23 dos 24 estudantes matriculados na turma em que a MOI estava sendo testada.
	Fonte: Elaborado pela autora.		
	O instrumento de análise favoreceu a classificação dos eventos nas etapas e intervalos
	de tempo correspondentes. Isso oportunizou, ainda, a criação de uma linha do tempo para

  Há indícios de que os três compartilham de alguns elementos comuns a regras de ação para dar destaque a um elemento relevante da configuração didática da OIp, que também foi escolhido como critério de observação da OI2: o tempo (Quadro 59). Esses estudantes relembram interrupções que ocorreram durante o experimento, as quais tomaram certo tempo do duo para resolver a situação matemática. Também dão ênfase a mais um elemento da configuração didática da OIp, uma decisão ad hoc das formadoras: a inserção do artefato tablet.Esse foi um único grupo que, por problemas do notebook, teve de iniciar o trabalho no tablet.

	Quadro 59 -Elementos da configuração didática da OIp -tempo e o tablet
	Eventos	Regras de ação,		Invariantes	Possibilidade
				antecipação e		operatórios	de inferência
				controle		
	Discussão	da	EO1/EA1/EA2: evocar		EO1/EA1/EA2: o duo é	EO1/EA1/EA2: se o duo é instrumentado
	falta de tempo de	eventos da OIp para	instrumentado quanto	com o GeoGebra no notebook, então a
	resolução	da	exemplificar que a		ao uso do controle	escolha do tablet para o duo resolver a
	situação, perante	dificuldade do duo em	deslizante	no	situação poderá demandar mais tempo
	dificuldade com Quadro 58 -Distinção entre artefato e instrumentação resolver a situação no notebook, não no artefato tablet, além dos tablet.	para se instrumentalizar e depois resolver a situação.
	Eventos escolhido. [02:39 a 02:50]	Regras de ação, antecipação e controle imprevistos ocorridos desfavoreceram o trabalho do duo.	Invariantes Operatórios EO1/EA1/EA2: se o duo é instrumentado Possibilidade com o GeoGebra no notebook, e não no de inferência tablet, então a instrumentação depende
	Contraste entre teoria	EA2: fazer menção ao conteúdo do Webdoc (OI1) que distingue	EA2: o texto com as ações deles, mesmos não somente do software, mas do EA2: a definição de artefato descrita no Webdoc permite dispositivo também.
	(Webdoc) Fonte: Elaborado pela autora. e artefato de instrumento para	correlacionadas aos	identificar eventos em que o
	prática (OIp)	explicar	que	o	GeoGebra,	exemplos visto no	software ainda se configura
	para	discutir	inicialmente, era um artefato para o	Webdoc, mostra que,	um artefato para os sujeitos;
	diferença	de	duo.				para o duo, o software	logo, é possível inferir que tal
	artefato		e					GeoGebra ainda é um	artefato	só	será	um
	instrumento.						artefato em relação à	instrumento ao perceberem
								situação proposta.	que os esquemas de uso dos
	[02:00 a 02:38]	EA2: utilizar a ideia de esquemas	EA2: instrumento é o	estudantes	favorecem	a
				de uso desenvolvidos por eles,	artefato	mais	o	resolução	da	situação
				como meio de transformar o	esquema de uso.	proposta.
				artefato em instrumento.
	Fonte: Elaborado pela autora.			
	O quinto evento [02:39 a 02:50] é apresentado por três componentes do grupo D, EA1,
	EA2 e EO1. A dificuldade na instrumentalização do duo com esse artefato dificultou o processo de
	construção do boneco.			

  Na sequência, a discussão volta-se ao modo de execução, com foco nos papéis assumidos pelos estudantes, e a importância deles na execução da situação. Com o objetivo de

	Quadro 65 -Discussão sobre os procedimentos de construção do terceiro boneco
	Eventos	Regras de ação,	Invariantes operatórios	Possibilidade
		antecipação e			de inferência
	apresentar o histórico de construção dos três bonecos e as motivações do grupo para isso [05:55 controle
	a 06:54], EO1 explicita os papéis assumidos (OIp e OI2) e trocados (OI4) entre os membros do Uso de processos EO1: construir uma EO1: uma corda da EO1: para manter a
	de instrumentação grupo, assim como a relevância disso no resultado obtido (Quadro 64). EO1 estava no controle corda do círculo e circunferência é proporcional ao proporcionalidade dos olhos e e de tomar dois pontos raio. boca no rosto do boneco,
	instrumentalização do GeoGebra nas três tentativas de construção do boneco, e os demais componentes do grupo, da corda, para articula-se sua construção com na justificação da manter as EO1: um arco de círculo é segmentos construídos a partir
	o outro estudante-observador (OI2) e os estudantes-atores (OIp), assumiram as funções de construção do distâncias entre os proporcional ao seu raio. de pontos do círculo. Se o
	rosto.	pontos				ponto pertence a uma corda do
	observadores e colaboradores. proporcionais ao	EO1: a distância entre dois pontos	círculo, então sua distância em
	[06:55 a 07:38]	raio da cabeça.	de um segmento mantém-se	relação aos outros pontos do
					proporcional ao comprimento do	segmento	mantém-se
	Quadro 64 -Troca de funções/papéis e as contribuições para construção do boneco segmento na GD. proporcional.
	Eventos Fonte: Elaborado pela autora.	Regras de ação,	Invariantes	Possibilidade
				antecipação e controle	operatórios	de inferência
	Explicitação dos papéis	EO1: explicar a sua construção,	EO1: no trabalho em	EO1: se há críticas
	assumidos e trocados	reconhecer a falha e o papel dos	grupo,	as	críticas	do grupo, precisa-se
	pelos membros do grupo	colegas na crítica, revelar as	assumem um papel	reconhecer as falhas;
	e sua relevância no	novas construções e avanços	importante e levam a	logo,	é	precisa
	resultado obtido.		incluídos.		modificações e avanços.	melhorar.
	[05:55 a 06:54]					
	Fonte: Elaborado pela autora.			
	As observações e colaborações de EA1, EA2 e EO2 culminaram em reconhecimento de
	falhas ou entraves nas construções que iam sendo feitas sob controle de EO1, e na indicação da
	necessidade de modificações, resultando em três tentativas até chegar à versão final, um boneco
	semelhante ao da segunda tentativa, mas com pescoço.
	Na Etapa 3, o grupo D objetiva responder aos questionamentos das formadoras relativos
	aos procedimentos adotados na construção do terceiro boneco na sua versão final [06:55 a
	09:32]. Assim, a formadora inicia a discussão com a primeira pergunta: Por que [a construção
	dos olhos e da boca] diminuem proporcionalmente [à variação do raio da cabeça]?. A
	pergunta diz respeito a elementos adicionais que não foram sugeridos no protocolo de
	orientação, neste caso os olhos e a boca, acrescentados ao boneco do grupo D.

1

  Transposição informática: processo de criação de objetos de ensino como adaptação dos saberes de referências às restrições da modelização computacional, do computador e materiais de suporte informático. (BALACHEFF, 1993, p.15).

	respondendo aos questionamentos da formadora que, dessa vez, pergunta sobre aspectos que
	distinguem a construção do grupo E da do grupo D: A construção do grupo E é diferente da de
	vocês por causa dos comandos e artefatos diferentes utilizados? Ou por causa dos esquemas
	de uso diferentes? Inicialmente, EO1 hesita em responder e EA2 toma a palavra respondendo
	que os comandos eram os mesmos, mas que os esquemas de uso foram diferentes (Quadro 66).
	Quadro 66 -Distinção entre artefato e esquema na construção do terceiro boneco	
	Eventos		Regras de ação, antecipação e	Invariantes	Possibilidade
			controle	operatórios	de inferência
	Distinção entre	EO1/EA1/EA2: defender que os artefatos	EO1/EA1/EA2:	é	EO1/EA1/EA2:
	troca de artefato	e comandos foram os mesmos, mas os	possível		utilizar	ignorar o modelo
	e de esquema de	esquemas de uso desses é que foram	comandos iguais do	humano para definir
	uso	do	diferentes, ou seja, o grupo usou as	artefato	e	obter	as razões do corpo do
	GeoGebra.		mesmas ferramentas do GeoGebra e	resultados diferentes e	boneco	torna	a
			comandos, mas a referência para a	isto	pode	ser	construção	mais
	[07:39 a 09:32]	determinação das medidas foi diferente.	exemplificado		simples.	Logo,
			O grupo E usou um modelo humano para	considerando	as	escolher as razões
			obter medidas padronizadas. Já o grupo D	formas como os dois	entre o raio da cabeça
			atribuiu medidas ao boneco fictício,	grupos, D e E,	e as demais partes do
			tomando como referência apenas a	definiram as medidas	corpo garante uma
			medida do raio como variável e a razão	das partes do boneco.	construção do boneco
			dessa com as medidas das partes, razão				mais simples.
			criada por eles.				
	Fonte: Elaborado pela autora.				

  Quadro 68 -Esquemas de uso e os comandos do GeoGebra como artefatos

	Eventos	Regras de ação,		Invariantes operatórios	Possibilidade
				antecipação e				de inferência
				controle			
	Discussão dos	EO1/EA1/EA2: evocar	EO1/EA1/EA2:	o	comando	EO1/EA1/EA2: se o raio da
	esquemas de	eventos da OIp para	interseção entre dois objetos	circunferência (cabeça) é a
	uso	e	dos	justificar	que	a	permite articulá-los de forma que	unidade de medida utilizada
	comandos do	proporção entre a	estes aumentam e diminuem	para definir a medida do
	GeoGebra		cabeça e o tronco só	juntos. Já a proporcionalidade fica	segmento (tronco) e ambos
	como artefatos.	foi possível por causa	garantida por causa da unidade de	estão articulados, então, serão
				do	comando	medida, o raio, utilizada na	proporcionais, o tronco e a
	[12:06 a 12:21]	intersecção.			construção da cabeça e do tronco.	cabeça.

  Na discussão, buscam diferenciar esse trabalho do duo, quando no tablet e quando no notebook.Os estudantes dão ênfase à dificuldade de instrumentalização do duo para definir uma variável no tablet, o que os impossibilitou de construir objetos promocionais, diferentemente do que ocorre no notebook, uma vez que eles já possuíam esquemas de uso da versão do GeoGebra para esse artefato, para definir variável por meio do controle deslizante (Quadro 69).O fato é que, para EO1/EA1/EA2, os esquemas de ação instrumentadas que conduziram o duo à resolução da situação, ainda que parcial, emergiram no uso do notebook, daí a necessidade de mudar o artefato.O Quadro 70 diz respeito à discussão sobre o processo de instrumentação do duo na OIp.As regras de ação dos estudantes EO1/EA1/EA2 evocam eventos da OIp para exemplificar se o duo está instrumentado, considerando a pergunta da formadora sobre a temática. Pergunta-se:

	Quadro 70 -Discussão sobre o processo de instrumentação
	Eventos	Regras de ação,	Invariantes Operatórios	Possibilidade
		antecipação e controle		de inferência
	Discussão Quadro 69 -Escolha e possibilidade de troca do artefato de EO1/EA1/EA2: evocar eventos EO1/EA1/EA2: quando se está da OIp para afirmar que houve instrumentação	a e	EO1/EA1/EA2: se o sujeito faz uso de um
	Eventos instrumentado [12:51 a 13:50]	Regras de ação, antecipação e controle instrumentação do duo, apenas, no que concerne à construção da cabeça e do tronco, pois	Invariantes Operatórios instrumentalização processos imbricados, o que são permite ao sujeito ser	artefato para realizar Possibilidade parte de uma situação e de inferência consegue, logo, ao
	Discussão sobre escolha do artefato e possibilidade com a troca do	EO1/EA1/EA2: evocar eventos da OIp para explicar que o artefato disponibilizando -o tablet -não possibilitou o uso do controle deslizante para a atendiam às condições impostas proporcionalidade. pela situação quanto à	EO1/EA1/EA2: definir um controle ao deslizante com medida variável -raio (unidade de medida), as demais instrumentado, ainda que EO1/EA1/EA2: menos em parte, ele é a escolhida, depende de uma situação proposta. raio a unidade de medida outras diferentes etapas da no controle deslizante, sendo o vão se instrumentalizando em determinação de uma variável parcialmente, à medida que instrumentado.
	artefato. Fonte: Elaborado pela autora. definição de uma variável.	partes do corpo do	versão do GeoGebra que
		Entretanto, no segundo artefato	boneco	poderiam	permita esse procedimentos.
	[12:22 a 12:50]	disponibilizado notebook, o duo	receber medidas em	Logo, há a necessidade de
		conseguiu definir um controle	função da medida do	trocar a versão tablet pela
		deslizante	com	variável	raio.	versão do notebook.
		(unidade de medida = raio).	
	Fonte: Elaborado pela autora.			
	vocês veem que conseguiram mesmo nesta parte [construção da cabeça e tronco
	proporcionais] ter uma instrumentação ou ficaram só na instrumentalização?

No Quadro 69, detalha-se mais um aspecto da discussão sobre a análise do experimento, com foco na gênese instrumental do duo, perante a decisão ad hoc de mudar o artefato de tablet para notebook, elemento próprio da performance didática. Dessa vez, a discussão foi motivada pela seguinte pergunta da formadora: Mas fizeram (cabeça e tronco) pelo controle deslizante? Para respondê-la, EO1/EA1/EA2 fazem uso de eventos da OIp em que o duo tenta fazer uso do controle deslizante.

  que se pode verificar a partir da resposta dos estudantes EO 1 /EA 1 /EA 2 (Quadro 71), ao questionamento da formadora na sala de aula, é que entendem que, ao escolher um comando, os esquemas de uso do duo possuem relação com o conhecimento que se tem do artefato, mas também do conhecimento matemático, que guia a escolha e o uso do artefato, por exemplo.Ainda na Etapa 5, o quinto evento tem por objetivo discutir a respeito do conhecimento matemático do duo [14:14 a 15:21]. A formadora questiona o grupo D: proporções, como é que isto estava ligado à situação matemática? Para responder a essa questão, as regras de ação dos estudantes EO 1 /EA 2 os fazem evocar eventos da OI p para exemplificar, por meio da ação do duo no experimento, que ambos possuíam conhecimento a respeito de dois conceitos centrais à situação: proporção e simetria.

	Quadro 71 -Conhecimento matemático e os esquemas de uso
	Eventos		Regras de ação,		Invariantes operatórios	Possibilidade
			antecipação e			de inferência
			controle		
	Atenção	ao	EO1/EA1/EA2: evocar		EO1/EA1/EA2: a escolha dos	EO1/EA1/EA2: a relação
	conhecimento		eventos da OIp para		comandos está relacionada à	comando-objeto matemático
	matemático		exemplificar a relação		matemática	que	esses	coloca em evidência esquemas
	como parte do	dos esquemas de uso		conseguem representar a partir	de uso do sujeito em relação ao
	esquema de uso,	com a matemática.		do uso desses. Por isso, é	artefato. Logo, antes de se
	artefato e da				importante mostrar a escolha do	escolher ou buscar por um
	situação.					comando "reflexão em relação a	comando, o sujeito tem em
						um ponto", utilizado para	mente o objeto matemático que
	[13:51 a 14:13]				garantir a simetria entre os	deseja construir.
						membros do boneco.
	Fonte: Elaborado pela autora.			
	Quadro 72 -Conhecimentos matemáticos correlatos à situação matemática
	Eventos		Regras de ação,		Invariantes Operatórios	Possibilidade
			antecipação e			de inferência
			controle		
	Discussão dos	EO1/EA2 -Evocar	EO1/EA2 -A proporção entre as	EO1/EA2 -As condições
	conhecimentos	eventos da OIp para	partes do corpo do boneco é o que	impostas pela situação
	usados ligados à	exemplificar		a	faz com que todas ampliem e	pressupõem conhecimento
	situação		relevância	do	reduzam simultaneamente. A	prévio do duo sobre
	matemática.		conhecimento do duo	simetria entre as partes inferiores e	proporção e simetria.
	[14:14 a 15:21]	sobre proporção e	superiores do corpo do boneco é o	Logo, são essenciais à
			simetria	para	a	que aproxima o modelo do modelo	construção do boneco.
			realização da situação.		humano.

O

Fonte: Elaborado pela autora.

  Na sétima etapa, quatro eventos foram observados e são relativos ao diferencial oferecido pela geometria dinâmica na resolução da situação da OIp, pautados nas conclusões do grupo D. O primeiro evento [18:11 a 19:08] consiste na antecipação de esquemas com artefatos de desenho para discutir as dificuldades de resolução da situação proposta. Para responder, EO1 busca antecipar uma forma de construir o boneco com instrumentos de desenho, na perspectiva de mostrar que o duo não conseguiu resolver a situação porque faltava a este conhecimento do software GeoGebra. Quadro 75), o duo sabia fazer construções geométricas com instrumento de desenho; logo o que precisava era definir quais comandos do GeoGebra fariam as mesmas construções no software. Se não conseguiram fazer isso, a dificuldade só poderia estar relacionada à não instrumentalização com o software.Os estudantes fazem uma pausa, como se estivessem refletindo sobre a pergunta. EO1 tenta responder, mas hesita e volta a refletir. Assim, para responder à pergunta, EO1/EA2 evocam eventos observados/vivenciados na OIp para exemplificar o que se pode fazer com o software que não se pode fazer com lápis, papel e instrumentos de desenho. 1 /EA 2 apresentam eventos em que o software supera o uso de lápis, papel e instrumentos, evitando a necessidade de fazer cálculos ou verificações. Isso porque, para esses estudantes, os comandos do GeoGebra guardam conhecimentos matemáticos que possibilitam a construção de objetos geométricos automaticamente e com grande precisão. A exemplo disso, recordam do uso do comando Reflexão por uma reta para construir os membros do boneco. Na verdade, não foram os estudantes que construíram, mas o software. EO1/EO2/EA1/EA2 evocam seus conhecimentos sobre construção geométrica para defender a possibilidade de resolver a situação com lápis, papel e instrumentos de desenho. Eles sabem que é possível garantir as duas condições centrais da situação matemáticaproporcionalidade e simetria -; logo, acreditam que poderão fazer a mesma construção nesses moldes, tal como fariam no software. Mas esse efeito só pode ser garantido pela geometria dinâmica. Isso dá indício de que os estudantes ainda têm dificuldade de compreender os efeitos da geometria dinâmica sobre as construções geométricas, diferenciando-as de construções com instrumentos convencionais.

	Quadro 74 -Conclusão da análise do experimento Eventos Regras de ação, antecipação e controle Reflexão feita sobre o conhecimento matemático e suas aparições em diferentes blocos da matemática e a mudança do modo de execução assumido pelos estudantes. Apresentar últimos argumentos sobre a não conclusão do boneco na OIp [16:36 a 18:10] EO1: refletir sobre conhecimento de proporcionalidade e a situação de construção do boneco proporcional; identificar que o impasse estava no uso do software para colocar a proporcionalidade no boneco; refletir sobre os esquemas de uso do GeoGebra para identificar que o conhecimento de proporção na geometria era de fato uma lacuna. Fonte: Elaborado pela autora. A formadora pergunta: "isso tem a ver com o conhecimento geométrico ou com o Invariantes operatórios Possibilidade de inferência EO1: proporção é um conhecimento da álgebra e de regras de três. EO1: GeoGebra mexe com comandos que envolvem a geometria; logo, a proporção na geometria era o conhecimento-chave. EO1: conhecer proporção e saber usar o GeoGebra eram necessários, portanto saber a proporção no contexto do conhecimento utilizado no GeoGebra é crucial. conhecimento do GeoGebra? [Fala-se das construções geométricas considerando as propriedades geométricas com o GeoGebra.]". Quadro 75 -Antecipação de esquemas e artefatos de desenho geométrico Eventos Regras de ação, antecipação e controle Invariantes Operatórios Possibilidade de inferência Antecipação de esquemas com artefatos de desenho geométrico para discutir dificuldades com a situação. EO1: antecipar uma forma de construir o boneco com régua e compasso para defender que a dificuldade do duo EO1: O duo possui conhecimento de construção geométrica com régua e compasso. EO1: se o conhecimento matemático que o duo possui é suficiente para construir o boneco com lápis e papel, então a Segundo EO1 (Já no segundo evento [19:09 a 22:59], a discussão sobre o diferencial da geometria dinâmica continua. A formadora pergunta: "no papel não tem a amarração de poder aumentar. EA2 desenhou, certo? Como é que fica, a questão do dinamismo para amarrar a construção geométrica que de fato está ligada à propriedades da geometria, com os instrumentos papel, régua e compasso [...] você faria as mesmas [construções]? O que você faz aqui [refere-se à construção no GeoGebra] e não faz aqui [refere-se à construção no papel] que garanta as propriedades". Quadro 76 -Diferencial oferecido pelos comandos do software GeoGebra Eventos Regras de ação, antecipação e controle Invariantes operatórios Possibilidade de inferência Retomada do diferencial dos comandos do software e identificação de conhecimentos assumidos pelo software na construção. [19:09 a 22:59] EO1/EA2: evocar eventos da OIp para apresentar o diferencial oferecido pelo software na construção do boneco, superando algumas limitações de uma construção com lápis, papel e instrumentos de desenho geométrico. A exemplo disso, o comando de reflexão por um ponto constrói um objeto simétrico. EO1/EA2: ao utilizar comandos do software, objetos são construídos automaticamente. Não é preciso fazer cálculos para validar a construção. EO1/EA2: se o software possui comandos para a construção de objetos geométricos, esses são construídos com relativa precisão; logo, o usuário não precisa fazer cálculos para validar a construção. Fonte: Elaborado pela autora. O terceiro evento [20:13 a 21:23] diz respeito à diferenciação entre a situação resolvida com ou sem o software (Quadro 77). Assim, em uma nítida intenção de ajudar os estudantes a refletirem mais sobre o diferencial da geometria dinâmica, a formadora questiona: [...] como é que de fato houve conhecimento geométrico [...] em termo de amarração da proporcionalidade? Porque... tá... a relação entre o conhecimento da geometria e o conhecimento da construção geométrica. Você tá dizendo que faria no papel. Faria o desenho ou faria da figura geométrica? Quadro 77 -Construção do boneco com e sem software Eventos Regras de ação, antecipação e controle Invariantes operatórios Possibilidade de inferência Discussão da diferenciação da situação, com o software ou sem o software [20:13 a 21:23] EO1/EO2/EA1/EA2: evocar seus conhecimentos para defender a ideia de que a construção geométrica proposta na situação podia ser feita com lápis, papel e instrumentos geométricos. EO1/EO2/EA1/EA2: sabem fazer construções geométricas com lápis, papel e instrumento de desenho, com garantia de proporcionalidade e simetria e por isso defendem essa possibilidade como mais simples para construir o boneco. EO1/EO2/EA1/EA2: se é possível garantir simetria e proporcionalidade com lápis, papel e instrumentos de desenho, então a construção do boneco é mais simples desta forma do que com o software GeoGebra. Fonte: Elaborado pela autora. Há de se considerar que EO1/EO2/EA1/EA2, ao responderem positivamente à pergunta da formadora, desprezam uma das condições impostas pela situação da OIp: que o boneco Eventos Regras de ação, antecipação e controle Invariantes operatórios Possibilidade de inferência A interação entre o duo em função do uso dos artefatos. [23:00 a 23:45] EO1: evocar eventos da OIp para defender a importância do trabalho em duo, especialmente com o notebook. EO1: o trabalho em dupla tende a ser mais rápido e o duo era instrumentado quanto ao uso do controle deslizante no tablet. EO1: se o trabalho é colaborativo (em duo), e isso se faz com suporte de um artefato conhecido pelo duo, pode-se inferir que a escolha desse artefato e a definição dos papéis/funções favorecem a resolução da situação proposta. aumente e diminua proporcionalmente. Quadro 78 -Interação entre os estudantes-atores, estudantes-observadores e formadoras Fonte: Elaborado pela autora.
	[18:11 a 19:08]	em realizar a situação no	dificuldade apresentada é
		software	não	era	de achar os comando no
		matemática, mas em	GeoGebra.
		relação ao artefato -o
		GeoGebra -que não
		dominam.		
	Fonte: Elaborado pela autora.			

EO

  PowerPoint, apresentação do Gdrive ou Prezzi), linha do tempo (MyHistro) ou mapa conceitual (Cmaptools). Mas foi observado que todos os grupos, incluindo o grupo D, optaram pelo uso de slides por meio do programa PowerPoint.Há, ainda, a performance didática, que também tem seus elementos revelados em diferentes momentos da apresentação, mas sem explicitação de ser ou não da performance didática. Eles falam da não instrumentalização do duo com o tablet para a definição de uma variável no controle deslizante, mas não afirmam que se trata de um evento imprevista; falam troca do tablet pelo notebook, mas não informam que se trata de uma decisão ad hoc das formadoras.As falas de EA1 também dão indícios de sua participação no processo de análise da situação da OIp, como também nas três tentativas de construção do boneco. De todos performance didática: EO1 centra-se no uso de eventos inesperados da OIp relativo ao tempo e ao artefato disponibilizado para discutir tanto as decisões da formadora condições e restrições da situação da OIp que os estudantes discutem inicialmente para só então iniciar a construção do boneco. Outro aspecto gerado pelo uso do protocolo de orientação é a interação entre os estudantes-atores, o duo, prevista no modo de execução da OIp, na qual um fica no controle do artefato e o outro colabora, ambos com o objetivo comum de concluir a resolução da situação.EO2 evidencia esses elementos, mas não os relaciona ao modo de execução da OIp.Quanto à atuação individual na apresentação da análise da OI4, EO2 concentrou sua participação no primeiro momento da apresentação, não conseguindo mais atuar. EO2 iniciou sua participação dando um panorama geral da apresentação da análise, no entanto o fato de estar sendo filmado constrangeu sobremaneira o estudante, o que se refletiu negativamente em sua participação. Esse fato dá luz aos efeitos dessa técnica de coleta de dados, as quais precisam ser consideradas pelo pesquisador. Além dos aspectos éticos, prever os efeitos da técnica sobre os estudantes podem levar à definição de decisões para serem aplicadas a tais situações no sentido de evitar constrangimentos e/ou o abandono da atividade por parte do estudante.

		c) compreensão de estudantes-atores e estudantes-observadores a respeito dos conceitos -a da construção parcial do boneco feita pelo duo durante o experimento (OIp), EA1: EA1 evidenciou compreensão em suas falas, durante a apresentação da análise feita apresentação da análise, conjuntamente com EO1 e EA1, ele atribui a não conclusão de situação, EO1, acompanhado por EA2, demonstra habilidade em antecipações para
	correlatos à OI. exigida pela situação da OI4; com seu grupo, sobre: da tarefa ao artefato utilizado por eles; discutir ser possível ou não a situação proposta sem a geometria dinâmica;
		A performance didática, coletiva e individual, dos componentes do grupo D resulta de -a que tratava da construção feita por EO1 (reação ad hoc), com o suporte dos Embora a) gênese instrumental: EA1 consegue, por meio de eventos da OIp, revelar os componentes do grupo D, EA1 não troca de papel/função, mantendo-se no papel c) modo de execução: em dois momentos, EA2 mostra compreender claramente a ideia b) gênese instrumental: EO1 para discutir diversos aspectos da gênese instrumental, como as dificuldades de construção do boneco. EO1 também explicita decisões
	uma análise pautada naquela já realizada sobre a apresentação da análise do experimento da demais componentes do grupo, após o experimento da OIp. as demais opções não tenham sido exploradas, o grupo D buscou incluir outros entendimento sobre os processos de gênese instrumental, instrumentalização e de estudante-ator e na função de colaboração, sendo um dos participantes que dos papéis assumidos por cada sujeito de uma orquestração e, quando EO1 centraliza assume também o papel de ator, resolvendo a situação: discussão entre esquemas de tomadas pelo grupo D a partir de eventos não esperados, como o uso da construção
	OIp. No entanto, a performance didática visa à validação da OI4 com foco nos objetivos Durante a apresentação, isso foi bem recebido pelas formadoras, cuja decisão ad hoc artefatos. instrumentação. Exemplo: quando informa que o duo estava instrumentado em questionou a segunda tentativa de construção do boneco, feito sem pescoço. a apresentação para refletir, EA2 assume a discussão da análise feita, mas antes diz ação instrumentada e de uso e complexidade da solução, em geral baseado na análise do grupo E e a decisão do grupo de construir o boneco em casa. EO1 apresenta suas
	traçados, dando destaque às escolhas didáticas que favoreceram o bom andamento da orquestra, consistiu em aproveitar as duas análises apresentadas para ampliar as discussões As formadoras já haviam previsto que, independentemente, da escolha dos relação à construção da cabeça e do tronco (construção parcial do boneco), mesmo Durante a apresentação, em especial, os eventos vivenciados na OIp seviram para que vai assumir ali os dois papéis, como ator e como observador; conjunta do grupo, dos artefatos trazidos por eles e, por vezes, da reflexão no próprias decisões, como a de construir o boneco ele mesmo, anunciado aos outros
	sejam elas previstas (mise en oeuvre) ou não (decisões ad hoc). Também, busca-se evidenciar sobre os elementos teóricos em jogo a partir dos eventos detalhados, relativos a dispositivos, os estudantes precisariam de um kit multimídia para fazer a Embora os estudantes não façam uma correlação direta desses, entre outros não tendo tido tempo de terminar o boneco. A noção de esquema é discutida por EA1, estruturar as falas do estudante que estava no controle da apresentação -EO1. Suas d) performance didática: a decisão ad hoc de trocar o artefato-base, do tablet para o momento sobre o que está apresentando a partir dos questionamentos. EO1 se utiliza membros do grupo como provocação já na OIp, e a de construir o rosto do boneco
	as situações inesperadas que, por sua natureza, podem contribuir ou prejudicar o andamento da ambas as construções. Para isso, tiveram de reformular algumas questões em tempo apresentação. Assim, computador, tela de projeção e projetor foram disponibilizados elementos, às suas respectivas etapas da OI, em alguns momentos eles conseguem que revela entender que os esquemas são desenvolvidos pelo sujeito; que a falas foram alternadas às etapas da apresentação e centradas, especialmente nas notebook, é também percebida e dominada por EA2, mesmo que ele não o conecte da explicitação dos passos e decisões da construção de um novo elemento, inserido complementando a situação matemática. Os participantes do grupo D decidem, ainda,
	orquestra. E, por fim, os efeitos da OI4 em favorecer a gênese instrumental de cada participante real que dessem conta de discutir as duas análises; para que eles pudessem explorar a apresentação em PowerPoint e o vídeo da estabelecer essa relação, ainda que indiretamente. Isso ocorre nos momentos de transformação do artefato em instrumento depende dos esquemas de uso do sujeito temáticas: situação matemática e gênese instrumental. Como suporte, foram explicitamente aos termos da teoria. EA2 mostra também entender a falta de tempo por eles na situação (o rosto), como artefato para discutir a instrumentação e mudar a situação escolhendo eles mesmos as razões a serem utilizadas sem medir.
	do grupo, especialmente, no que concerne à compreensão desses sobre o modelo da OI. construção do boneco por eles produzido. No entanto, o grupo decidiu mostrar e ler discussão, na apresentação, quando a formadora faz perguntas e usa, por exemplo, os em relação ao artefato; que os esquemas possuem relação com a ação e os utilizados eventos da OIp, protocolo de orientação (OIp), construção do boneco do instrumentalização, deles próprios, com o GeoGebra para construir o boneco (o
		A orquestração instrumental 4 encerra uma sequência de orquestrações instrumentais as anotações feitas pelo estudante-observador durante o experimento da OIp. Fazer termos configuração didática e os estudantes conseguem situar suas respostas nesta conhecimentos dos sujeitos. Exemplo: EA1 fala: "ao usar um artefato para o qual o grupo E ( OI4) e os próprios conhecimentos matemáticos e sobre o software. rosto). Ainda discutindo sobre a diferença entre o artefato e o instrumento, ao ser
	criadas para favorecer a compreensão dos participantes da formação sobre o modelo teórico isso olhando para tela de projeção pareceu algo desconfortável para EO1, que estava etapa; duo não está instrumentalizado, este terá que desenvolver outros esquemas de uso"; questionado, EO1, conjuntamente com EA2, mostra ter claro que o uso de um mesmo
	orquestração instrumental. A OI4 foi desenvolvida para proporcionar aos participantes a síntese no controle da apresentação naquele momento. Assim, em uma reação ad hoc, artefato com esquemas diferentes leva a soluções diferentes, formando um
	e a análise dos dados por eles mesmos produzidos à luz do modelo teórico que se busca utilizou seu próprio celular para ler as informações do protocolo (etapa de conclusão instrumento diferente. Isso é feito pelos dois a partir da reflexão sobre os passos
	aprender.	da análise), enquanto EA2 passava o documento no computador, acompanhando a dados na construção da solução deles comparada à solução do grupo E. Ao ser
		Pode-se afirmar, a partir da análise realizada na apresentação grupo D, que, de modo estarem conseguindo resolver a situação matemática. Essa iniciativa de EO1 altera leitura feita por EO1; a) gênese instrumental: ele demonstra bom conhecimento dos conceitos de artefato e questionado sobre a relação entre artefato e conhecimento matemático, EO1 traz à e instrumentação. Outro conceito trazido à tona foi o de esquemas. EO2 evoca o
	geral, a configuração didática e o modo de execução previstos para OI4 e operacionalizados seu papel/função assumidos no experimento (OIp), ao se colocar como estudante-d) os questionamentos realizados pelas formadoras, todos comunicados por F1, notebook, como a definição de uma variável. Exemplo: o comando intersecção instrumento e toma como regra de ação a confrontação do texto teórico com os tona não só a instrumentalização e a instrumentação, mas o conhecimento momento de recebimento do protocolo de orientação sobre a situação matemática. O 5.4 METAPERFORMANCE DIDÁTICA -ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS
	foram bem-sucedidos. No entanto, as situações imprevistas que, geralmente, resultam em ator, uma vez que construiu o boneco, enquanto os estudantes-atores e o outro enquanto F2 filmava as apresentações, ajudaram o grupo D a discutir, refletir e permite vincular dois objetos geométricos, de forma que ambos irão aumentar e eventos do experimento vivenciado por ele mesmo. Ao discutir o conhecimento matemático em diferentes campos da matemática. Segundo ele, os colegas sabiam estudante-observador recorda da discussão gerada a partir da leitura das informações RESULTADOS
	decisões ou reações ad hoc terminam alterando muito do que foi planejado, o que se pode estudante-observador atuaram como seus colaboradores. ampliar seus conhecimentos sobre diferentes temáticas concernentes à OI. Duas diminuir juntos, mas a proporcionalidade é garantida pela definição da variável de matemático em jogo e o seu uso em esquemas para resolver a situação matemática proporção algebricamente, mas já a proporção na geometria era um desafio, elemento que constavam no protocolo. Segundo EO2, era um brainstorm sobre os Nesta seção, discutiremos a metaperformance didática da MOI, de forma a revelar os
	refletir, positiva ou negativamente, sobre o desempenho dos participantes e, consequentemente, EO1 consegue resolver a situação da OIp com o suporte dos demais integrantes do temáticas foram bastante discutidas pelos estudantes, revelando uma tendência que medida igual ao raio no controle deslizante. Múltiplos dessa medida são definidos no GeoGebra, EA2 revela conhecer dois diferentes subobjetivos de uso da proporção: esse necessário na construção geométrica pelo GeoGebra; conhecimentos matemáticos e sobre o GeoGebra, um esquema dos EA para a aspectos que contribuíram para o bom andamento do modelo teórico em desenvolvimento e,
	sobre os objetivos traçados. grupo, cuja colaboração favoreceu o aprimoramento das construções feitas por EO1. se iniciou desde a OI1, o interesse do grupo em compreender a gênese instrumental e para a construção do boneco; construir o boneco e validar a construção. Além disso, percebe serem objetivos c) configuração didática: elementos da configuração didática são focados por EO1, resolução da situação matemática. Outro exemplo que revela entendimento de EO2 ainda, as situações imprevistas, decisões e reações ad hoc tomadas, interna e externamente à
	MOI.	Performance coletiva (grupo D) na OI4: Os colaboradores indicaram a necessidade de uma construção diferente daquela feita a configuração didática. Isso pode justificar a ampla discussão sobre esquemas de c) configuração didática: embora EA1 não faça menção ao termo configuração didática, diferentes, portanto esquemas diferentes. Consegue ainda resgatar eventos quando ele analisa o artefato disponibilizado, o uso do tablet, a sobre o esquema está na relação que o estudante faz do uso do GeoGebra para
	A seguir, as ocorrências identificadas durante a execução da OI4. pelo grupo E (referência). Decidiram que a construção deveria ser mais simples e uso, artefato e instrumentos, instrumentalização e instrumentação, assim como sobre dá ênfase a dois elementos desta etapa da OI: o tempo de realização da situação vivenciados por ele no duo, ao ser confrontado entre artefatos diferentes ou esquemas outro grupo; a solução que fizeram após a OIp. instrumentalização/instrumentação do grupo com o controle deslizante, na OIp e em resolver a situação matemática por tentativa e erros. Esses esquemas foram bastante
	5.4.1	a) O evento inesperado pelo grupo D de não concluir a construção do boneco na OIp e didática que a do grupo E, para eles muito complexa. Queriam que o boneco a situação matemática, conhecimentos matemáticos, os relativos aos artefatos e à Performance didática -Gênese instrumental dos componentes do grupo D -OI4: matemática, que ficou comprometido pelas interrupções, e o artefato disponibilizado, diferentes para resolver uma situação. EA2, junto com EO1 e EA1, evoca eventos da a) situação matemática: os elementos da situação matemática são refletidos por EO1, vivências de aulas anteriores; e o tempo, ou a falta dele, perante esse entrave e a falta utilizados pelo duo, durante todo o processo de resolução. A cada objeto construído Design da Metaorquestração Instrumental
		o fato de a situação da OI4 propor uma análise sobre o processo de resolução da atendesse às condições da situação, inclusive a forma do desenho do boneco que geometria dinâmica e o tempo. Um aspecto relevante observado é que o grupo discute A seguir, serão apresentados alguns aspectos a respeito da gênese instrumental de cada ao focar na dificuldade de uso do artefato tablet. OIp, regras de ação, e revela saber que a escolha dos comandos do GeoGebra tem a em dois momentos cruciais. Primeiro, ao apresentar a solução do boneco sem de instrumentalização com o dispositivo. São eventos inesperados que jogam luz a e validado, uma nova sequência de tentativas e erros era iniciada, e, para EO2, esse é
	5.3.5.8 estudante na OI4, bem como evidenciados elementos concernentes à compreensão de Síntese da performance didática da OI4 situação matemática durante a OIp geraram uma reação ad hoc dos estudantes do constava no protocolo de orientação. Esse tinha cabeça, tronco (com pescoço), braços elementos das etapas da OI, mas não atribuem, diretamente, tais elementos a essas. No que concerne à participação de EA1 na orquestração instrumental 4, pode-se ver com os conhecimentos que possuem e que são correlatos à situação. Os pescoço, ele discute a presença do desenho do boneco no protocolo da situação (que aspectos do mise en scène, como da configuração didática; o principal esquema dos EA para resolver a situação da OIp. A noção de esquema de Na realização das situações, considerando suas condições e restrições impostas aos que
	A performance didática da OI4 será apresentada sob dois prismas: desempenho grupo D -concluir após o experimento a construção do boneco. Ficou evidente, e pernas. Por fim, EO1 decide oferecer um diferencial ao boneco que não foi posto Assim, discutem sobre o tempo, a escolha dos artefatos (tablet, notebook, protocolo estudantes-atores e estudantes-observadores a respeito dos conceitos correlatos à Orquestração afirmar que EA1 participou em diferentes momentos da apresentação, especialmente questionamentos da discussão levam EA2, assim como todos os colegas, à busca de tinha pescoço), mostrando a importância dos diversos elementos presentes em um d) modo de execução: EO1 aponta em sua análise da construção do boneco os papéis EO2 está associada ao conhecimento e à ação do sujeito, componentes do esquema. irão resolvê-las, eventos imprevistos emergem, não apenas do ponto de vista do formador, mas
	individual dos participantes do grupo durante sua atuação na OI4 e a gênese instrumental de durante a apresentação do grupo, que era relevante para seus componentes mostrar pelos colegas, que não constava na construção do grupo E, nem no protocolo de etc.), mas não os apresenta como elementos da configuração didática. Falam ainda Instrumental. para discutir a situação matemática e o processo de gênese instrumental por ela novos artefatos para refletir sobre os questionamentos. Em relação à potencialidade protocolo de situação. Segundo, ao discutir a decisão do grupo de escolher as razões assumidos pelos diferentes membros do grupo e seus efeitos, principalmente ao Ele discute ainda o conhecimento matemático que depende do software, numa também do ponto de vista do estudante. Assim, estudantes reagem para resolver o imprevisto -
	cada estudante, desenvolvida a partir do trabalho coletivo. Para isso, serão evidenciados que sabiam resolver a situação matemática e que, se o duo não conseguiu concluir, orientação: olhos, boca e um nome, a saber, Gandalf (um mago da trilogia O Senhor da relevância de suas funções para fazer a síntese e análise (estudante-observador) A performance didática, individual, dos componentes do grupo D resulta de uma análise vivenciado no papel de estudante-ator da OIp. Em suas falas, EA1 revela o uso de do software para resolver uma situação, ele busca antecipar esquemas para resolver a partir do boneco desenhado (sem medir), o que chamou de aleatório. Motivados discutir as mudanças provocadas pelas sugestões ou não aceite do grupo de solução menção a um processo de instrumentação, e aqueles que os EA já possuíam; reação ad hoc, e as formadoras tomam decisões ad hoc (DRIJVERS et al., 2010). A definição
	elementos concernentes à(ao): dos Anéis); a situação com instrumentos de desenho geométrico; por questionamentos da formadora, que, em decisão ad hoc, põe em jogo uma
		a) trabalho coletivo desenvolvido pelo grupo D durante a OI4; b) configuração didática: em diversos momentos, EA2 evoca o tempo e os artefatos situação hipotética de construção do boneco no lápis e papel, para discutir a diferença
		b) desempenho individual de cada componente na OI4; Isso resultou na apresentação de duas análises feitas pelo grupo: escolhidos como importantes aspectos da realização da situação. Durante toda a

um dos fatores foi o tempo perdido com o uso de um artefato para o qual não estavam instrumentalizados (tablet) e com as interrupções ocorridas. b) a condição imposta pela situação da OI4 que se fizesse uma síntese e análise do experimento da OIp, de forma coletiva e colaborativa, levou o grupo D a uma interessante troca de papéis/função durante a análise/apresentação. Diante da situação inesperada, de não conclusão da situação da OIp, o estudante-observador, EO1, tem reação ad hoc de fazer o boneco. Algo que EO1 já havia prometido ao duo (5.ª interrupção na OIp), durante uma provocação de EO1 ao fato de seus colegas não c) Foram previstos e sugeridos pelas formadoras diferentes dispositivos digitais para a apresentação dos grupos: vídeo (Movie Maker), história em quadrinhos (Pixton), slides (ou mesmo para a qualidade das interações e celeridade na resolução da situação pelo duo (estudantes-atores), mas não atribuem esses elementos ao modo de execução para o qual papéis/funções foram previstos. e) no tocante à atuação do grupo D quanto à apresentação, esse seguiu um padrão muito comum de organização dos estudantes quando em trabalho coletivo. Há sempre um que fica na liderança. Ficou nítido que EO1 ficou na maior parte do tempo no controle tanto da análise (não foi visto pelas formadoras, mas as falas atestam isso) e da apresentação. EA1 deixou o controle da situação e virou um dos colaboradores mais ativos de EO1 durante a apresentação. EA1 permanece na função de colaboradora, mas direciona suas falas para discutir a situação matemática e sobre alguns aspectos da gênese instrumental. EO2 foi escolhido pelo grupo para iniciar a apresentação e dar um panorama geral sobre o que seria discutido. A atuação desse estudante é mais passiva e centrada, quase que exclusivamente, a esse momento da apresentação. pautada naquela já realizada sobre a apresentação da análise do experimento da OIp. No entanto, o foco recai sobre a atuação de cada componente, no sentido de revelar se os objetivos da OI4 foram alcançados. b) situação matemática: EA1 revela entender a importância da situação para o processo de gênese instrumental, tal como dos conhecimentos matemáticos e sobre os artefatos em jogo. Mostra ter domínio dos conceitos matemáticos, especialmente os que são centrais, proporção e simetria, e, ainda, de comandos do GeoGebra na versão protocolos de outras orquestrações, tais como eventos da OIp, a construção do boneco do grupo E, protocolo de orientação, seus conhecimentos sobre a matemática e os artefatos em jogo. EA2: mantém-se na linha de colaborador na apresentação, mas vez por outra anuncia que vai fazer os dois papéis, e ser observador também. Várias das inferências realizadas por EA2 usam, além de eventos da OIp, os questionamentos da formadora e uma parada para refletir sobre a construção feita em diversos momentos: para resolver a situação na OIp como um evento que não era esperado e comenta a decisão ad hoc tomado pelo grupo, novamente sem explicitar ser isso uma decisão ad hoc. EA2 incorpora eventos de aulas de disciplinas anteriores, ao discutir os efeitos da decisão ad hoc de troca do artefato. Ele mostra um desenvolvimento de regras de busca de informação para construir seus argumentos, incorporando novos artefatos à OI4. Mas, ao mesmo tempo, reconhece que a situação gerou o momento propício para que novos esquemas fossem desenvolvidos, com o artefato levando a mudança de esquemas do sujeito.

EO1: como já discutido, a EO1 assume o papel central na apresentação, logo após EO2 ficar constrangido com a filmagem. Já anunciado durante a OI2, em que ele atua observando, ele toma para si também a tarefa de resolver a situação matemática, que é feita em conjunto com os outros, mas centrada nele. Ele traz também à tona diversos outros artefatos, eventos de situações inesperadas, reações ad hoc e decisão ad hoc, por exemplo: a solução apresentada por proposta por ele (o boneco sem pescoço). Há clareza para ele sobre a importância dos diferentes papéis assumidos, mesmo que ele não atribui isso ao modo de execução; e) EO2 evidenciou compreensão em suas falas, durante a apresentação da análise, sobre: a) gênese instrumental: os EA tinham conhecimento de muitos comandos do GeoGebra e por isso estavam instrumentalizados em relação ao software. Entretanto, EO2 afirma que o duo não era instrumentado para o objetivo da realização da situação, a construção integral do boneco. Os exemplos dados por EO2 dão indícios de que conhecia bem os processos que compõem a gênese instrumental: instrumentalização b) modo de execução: há dois aspectos fundamentais apontados por EO2 que dizem respeito ao modo de execução previsto pelas formadoras para OIp: o uso do protocolo de orientação; e o trabalho colaborativo estabelecido pelo duo. É a partir da leitura e identificação das de reação ad hoc estende a dada por Drijvers et al. (2010), no sentido de olhá-la do ponto de vista da ação do estudante que altera a OI. No entanto, ao iniciar a execução de uma situação, imprevistos podem ocorrer e os estudantes reagem diante deles. A exemplo disso, na OIp,

  Ao final do experimento da OIp, os estudantes-atores não conseguiram concluir a situação matemática e, ao serem informados pelas formadoras que na próxima aula teriam de apresentar uma síntese de uma análise do processo de resolução da situação, o grupo não queria que a análise fosse de uma situação inacabada. Assim, reagiram a essa condição da situação proposta para a OI4. Como reação ad hoc, pediram às professoras para continuar a resolução da situação matemática em casa, o que as formadoras autorizaram, mantendo, no entanto, a situação prevista para OI4.As apresentações ocorreram em dias diferentes. No primeiro dia de execução da OI4, alguns grupos se apresentaram, entre eles o grupo E. A apresentação da análise da situação matemática concluída em casa influenciou muitíssimo o grupo D. Assim, o grupo D decide por uma análise que contemple não apenas o boneco feito pelos EA na OIp, mas também os que eles fizeram após a OIp. Trata-se de uma reação ad hoc que toma como referência a construção Por fim, algo relevante a ser considerado é o fato de a MOI ter sido testada em sala de aula real. Isso colocou em evidência as diferentes variáveis inerentes à dinâmica da sala de aula, do trabalho docente. Uma dessas variáveis é a falta do aluno à formação, sendo comum que um baixo percentual de estudante falte alguma aula. No entanto, não foi previsto que os estudantes procurassem as formadoras para realizar as mesmas atividades que haviam faltado, a exemplo disso, os experimentos da OI2 e OIp. De fato, por nessa disciplina a professora, também formadora nesta pesquisa, utilizar-se de uma avaliação contínua, em que o estudante é continuamente avaliado, é provável que isso tenha levado os estudantes a procurar cumprir todas as atividades, mesmo tendo faltado algum dia da disciplina. Assim, tomaram a decisão ad hoc de autorizar a formação de grupos de estudantes que haviam faltado para fazer os experimentos, tal como descritos no protocolo de orientação. Isso garantia a participação desses estudantes na OI4. Os fóruns da OI1 e OI3 foram mantidos abertos para que os estudantes que

	Outra situação imprevista (Figura 90) foram as paralisações e greve dos funcionários de
	Educação que ocorreram durante o período de execução da meta, resultando na impossibilidade
	de a OI3 ocorrer presencialmente. Esse fato se passou a poucos dias da data prevista para
	realização da OI3. Assim, as formadoras tomaram as seguintes decisões ad hoc:
	a) mudança da situação S3; e	
	b) mudança da OI3.	1) e outro (OI2.2) durante a
	execução do experimento da OIp executada simultaneamente a OI2.2. Isso se refletiu O design de composição de orquestrações instrumentais, a serem executadas em tempo
	diretamente na forma como a situação da OI2 deveria ter sido resolvida. corrido, no mesmo dia, como ocorreu com o Estudo Preliminar, ou em dias/horários diferentes,
	No momento da OI2.1, o experimento OI2.2 e OIp não haviam começado. Cabia aos especialmente, quando há intervalos entre as orquestrações, exige de quem orquestra prever
	estudantes-observadores, na OI2.1, escolher os critérios de observação, sem que houvesse situações que venham a alterar ou mesmo impossibilitar a execução de uma das orquestras,
	atividade prevista para os estudantes-atores naquele espaço de tempo, os estudantes tiveram como ocorreu com a OI3.
	Percebe-se algo similar ao que Drijver et al. (2010) chamou de decisão ad hoc, mas que

uma reação ad hoc que consistiu em juntar-se e escolher em grupo os critérios. Aproveitaram esse momento para definir também os papéis/funções de cada componente do grupo, já que isso não havia sido definido pelas formadoras. Essas ações ocorrem minutos antes da OI2.2 e OIp iniciarem. do boneco do grupo E para construir seu próprio boneco (Figura 88). Dessa forma, a construção do boneco do grupo E passou a ser um instrumento para a construção do boneco pelo grupo D.

Além disso, percebe-se uma nítida alteração da situação por parte dos estudantes, antes mesmo de ela ser executada. Inclui-se a análise dos bonecos que farão em casa. Durante as apresentações, isso é confirmado. ocorre entre orquestrações quando em uma composição de orquestrações. Um evento inesperado entre duas OI dá origem a uma decisão própria ao momento, mas que possui tempo para reflexão e análise a priori, para uma quase reconfiguração didática. não realizaram a situação até a data prevista pudessem contribuir também. Manter os fóruns abertos foi uma estratégia de fazer com que os estudantes quenão participaram das OI1 e OI3 lessem o webdoc didático.

Essas decisões exteriores à MOI dão luz a algumas das características prescritas ao modelo, tais como a articulação, a sistematização e a composição (sequenciamento ou imbricação). Mesmo sendo decisões exteriores ao modelo, elas funcionam bem a ponto de reintegrar os faltosos à formação sem muito prejuízo dessa, afinal essas características da MOI tornam as orquestrações, de certa forma, interdependentes.

  As situações imprevistas, decisões e reações ad hoc tanto internas quanto externas às orquestrações podem se refletir, positiva ou negativamente, na metassituação ou na MOI. A

		e) dar novas oportunidades para resolver as situações propostas nas orquestrações que
		os estudantes faltaram (em toda MOI).
	exemplo disso, alterações e substituições foram observadas à medida que as orquestrações iam Essas adaptações foram realizadas pelas formadoras, mas muitas outras também foram
	sendo executadas. Na OI2 estudantes alteram o modo de execução e a situação ao decidirem realizadas pelos próprios estudantes. Isso revela mais que o potencial do modelo a adaptações,
	juntar EA e EO para realizar a situação destinada apenas aos EO. Na OI3, um fator externo mas também a característica de ser flexível (Figura 91). Na Orquestração Instrumental, Trouche
	(greve/paralisações) fez com que houvesse a substituição da situação e da orquestração. O (2005) prescreve a sistematização, a intencionalidade e o ambiente rico em tecnologias como
	esgotamento do tempo impediu a realização da OI5. características inerentes a este modelo. No entanto, considerando que a MOI não compreende
	Esses eventos dão luz à complexidade da metassituação da MOI. E, ainda, revelam que apenas uma OI mais uma composição de orquestras, foi preciso prescrever outras características
	a metaperformance didática ( mise en scène) passa a depender de um mise en oeuvre que
	contemple não apenas o que se passa dentro de cada orquestração, mas também fora delas. As
	relações entre as orquestrações também devem ser consideradas, como é o caso das a OI2 e a
	OIp.	
	5.4.3	As características da MOI
		A descrição e análise de cada OI realizadas neste trabalho evidenciaram muitas
	adaptações produzidas pelas formadoras. Essas adapatações emergiram dos resultados do
	Estudo Preliminar e do Estudo Principal, algumas efetivadas no momento da execução das
	orquestras e outras entre a execução delas. Tais modificações recaem sobre a metaconfiguração
	didática e sobre o metamodo de execução, refletindo-se diretamente nas características da MOI.
		Do Estudo Preliminar:
		a) a criação de uma orquestra com situação de fundamentação teórica (OI1);
		b) a criação do webdoc (OI1);
		c) a elaboração de protocolos impressos de orientação (OI2/OIp);
		d) o melhoramento da orquestração de análise e síntese (OI4);
		e) a criação de uma orquestra que desse oportunidade aos participantes para orquestrar
		(OI5).
		No momento da execução:
		a) troca tablet pelo notebook (OIp);
		Entre as orquestrações instrumentais:
		c) substituir situação e orquestração (OI3);
		d) decidir pela não execução de uma das orquestrações (OI5);

Todas cumprem um papel relevante na MOI e, quando bem executadas, tendem a favorecer a apropriação dos participantes na formação sobre a OI. b) disponibilizar um carregador de notebook (OIp). que dessem conta desse modelo de formação. No primeiro teste da MOI, prescreveu-se a composição de orquestras, sequenciadas ou imbricadas, a articulação entre as orquestrações e um ambiente propício a diferentes tipos de orquestrações. No segundo teste, mais duas características foram integradas: a adaptação e a flexibilidade.

  metaperformance didática observada durante o mise en scène da metaconfiguração didática e do metamodo de execução, previstas no mise en oeuvre, para o segundo teste da MOI, revelou a necessidade de revisão na arquitetura do design das orquestras. E, ainda, na forma como este design é executado. Além disso, alunos faltosos precisavam de novas oportunidades dentro da formação, afinal a MOI estava sendo testada em ambiente de ensino real, não simulado. Essas novas oportunidades culminaram em mais tempo, que não foi previsto no metamodo de execução. No entanto, essas oportunidades foram dadas sem prejuízo à formação e ao cronograma que precisava ser cumprido; logo, a pesquisa não poderia prejudicar o trabalho da docente.

	5.4.4.2	Metamodo de execução
		A metaconfiguração prevê um tempo para que as coisas ocorram na MOI, mas é o
	metamodo de execução que prevê se esse tempo será suficientemente bom para tudo que está
	sendo proposto na metaconfiguração, considerando a forma como essa será executada. Previu-
	se, por exemplo, uma semana para OI1 (a distância), duas horas aulas para execução da OI2 e
	OIp, mais uma semana para nova OI3 (a distância) e mais quatro horas aulas para execução da
	OI4.	
	5.4.4.1	A metaconfiguração didática
		Outro forte aspecto da metaconfiguração didática foi a escolha do ambiente didático
	virtual para a execução das OI1 e OI3. No mise en oeuvre da metaconfiguração, a OI1 foi
	projetada para ser de fato uma OI na modalidade à distância. O mesmo não ocorreu com a OI3,
	já que foi projetada para execução em sala de aula presencial. A OI3, nesse segundo teste da
	MOI, foi uma decisão ad hoc das formadoras, um arranjo realizado antes do dia marcado para
	a execução desta orquestra. O pouco tempo que tiveram para estruturar a nova situação e
	orquestração e substituir por aquela prevista no mise en oeuvre justifica a dificuldade de articular
	os experimentos realizados na OI2 e OIp à orquestração instrumental. Houve uma boa
	participação dos estudantes, mas as postagens ficaram centradas no modelo teórico da OI, sem
	muita articulação como experimentos, tal como almejava-se.

A arquitetura prevista no mise en oeuvre para a configuração didática não levou em consideração o intervalo de tempo entre a execução das orquestrações. No Estudo Preliminar, a MOI foi executada em tempo corrido, no mesmo dia, com curtos intervalos apenas para arranjos necessários antes de começar uma nova orquestração. Esses arranjos podem não ter sido relevantes ao Estudo Preliminar, mas, numa situação em que o intervalo de tempo é significativo, esses precisam ser levados em conta. Nesse sentido, deve-se definir bem as situações e subsituações, os papéis e funções a serem executados em concordância com o tempo preestabelecido nas configurações das orquestras (internamente) e na MOI (externamente) para que se garanta a execução e o bom andamento da formação como um todo.

  individual, verificaram-se indícios de melhor aproveitamento da formação por parte dos estudantes EA2 e EO1, especialmente no que concerne à compreensão de conceitos-chave da MOI. Esquemas desses estudantes fazem com que consigam discutir e exemplificar eventos correlatos a estes conceitos. EA1 e EO2 também revelam compreensão em relação aos conceitos da OI, mas de forma muito incipiente, especialmente EO2, que possui uma participação menos ativa durante formação. No caso de EA1, seu foco da situação matemática desviou sua atenção para aspectos correlatos ao fazer matemática com o software, mais do que discutir tais eventos à luz do modelo teórico que buscava compreender. Essas análises validam o modelo de formação metaorquestração instrumental, mas também apontam para necessidade de melhoramento em seu design, maior precisão na caracterização dos esquemas, e continuação do refinamento teórico.Um aspecto a ser considerado na concepção, desenvolvimento, testes, análises e validação da MOI consiste no volume de dados gerados a cada novo teste. No Estudo Preliminar, cinco grupos foram formados, e no Estudo Principal seis grupos foram formados, mas apenas um grupo de cada estudo foi analisado. É relevante a análise de outros grupos de forma a aumentar o rigor e precisão das inferências realizadas, além da possibilidade de surgirem novos elementos que venham a reforçar a validação do modelo, mas também contribuir com a expansão da orquestração instrumental e o refinamento teórico da MOI.

	6.2	LIMITAÇÕES DA PESQUISA

Fonte: Elaborada pela autora.

Com a filmagem pode-se reproduzir a fluência do processo pesquisado, ver aspectos do que foi ensinado e apreendido, observar pontos que muitas vezes não são percebidos. O vídeo também permite a ampliação, a transformação das qualidades, das características e particularidades do objeto observado(2008, p. 193).A filmagem também é feita de forma individual, não participante, visando um registro mais fidedigno do que será filmado. Entretanto, há de se reconhecer os riscos de distorções quanto à qualidade da filmagem em relação à tela do computador, por exemplo. Dessa forma, decidiu-se pela inserção de mais uma técnica de coleta de dados, a captura contínua de tela por filmagem. Trata-se de um tipo de filmagem feita por meio de softwares específicos para este fim. Em geral, tais softwares captam som (interno ao computador e externo) e imagem, além de acompanharem o movimento do cursor do mouse a cada ação do usuário, produzindo vídeos de boa qualidade para futuras análises.Uma última técnica é a coleta do material produzido pelos licenciandos, nas diferentes etapas do trabalho e assumindo diferentes papéis. Todos os materiais coletados compõem um banco de dados resultantes do planejamento, execução, análise e reflexão das orquestrações instrumentais pertencentes à MOI. Assim, os dados passivos de análise terão origem nas informações contidas nas anotações do observador e no formulário de entrevista, como também nas filmagens realizadas, via câmera ou software de captura de tela, e, ainda, nas produções dos licenciandos.

Quadro 10 -Estratégia de discussão teórica -Quadrinhos de uma orquestração instrumental -(Continuação)

Fonte: Recorte do protocolo de construção do grupo D.

ORIENTAÇÕES E OUTRAS CONDIÇÕES

Função: realizar a tarefa matemática proposta.

Recursos disponibilizados: notebook, internet e software geogebra instalado para realização da tarefa e o software atube catcher para captura de tela.

Os estudantes-atores:

(a) deverão trabalhar colaborativamente para executar a tarefa proposta;

(b) poderão, caso desejem, utilizar outros recursos que não os disponibilizados para facilitar a realização da tarefa;

(c) poderão escolher as ferramentas do Geogebra que desejarem para construir o desenho solicitado;

(d) terão 30 min para executar a tarefa;

(e) deverão gravar o arquivo boneco construído e identificá-lo pelo nome do grupo.

Bom trabalho!