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Ariádne L J Bertolin 
  
Ricardo C L F Oliveira 
  
Giorgio Valmorbida 
email: giorgio.valmorbida@l2s.centralesupelec.fr
  
Pedro L D Peres 
email: peres@dt.fee.unicamp.br
  
Estabilização Quadrática por Realimentação de Saída de Sistemas Lur'e a Tempo Contínuo via LMIs ⋆

Keywords: Continuous-time Lur'e systems, output-feedback, quadratic stability, sector bounded non-linearity, linear matrix inequality Sistemas Lur'e contínuos no tempo, realimentação de saída, estabilidade quadrática

This work investigates the problem of stabilization of continuous-time Lur'e systems with sector bounded nonlinearity. The proposed control law feedbacks both the output and the nonlinearity of the system. The conditions, formulated in terms of linear matrix inequalities, are based on a quadratic Lyapunov function and solved by means of an iterative algorithm. As main novelty, the gains of the controller appear linearly and are treated as decision variables of the optimization problem. Therefore, the presented method can indistinctly handle state and output-feedback, as well as magnitude limitations or structural constraints (such as decentralization) on the gains. Numerical examples illustrate the benefits of the proposed approach, which can be computationally more effective and less conservative when compared to other existing techniques in particular contexts, such as decentralized state-feedback control. Resumo: Este trabalho investiga o problema de estabilização de sistemas Lur'e contínuos no tempo com não linearidade limitada em setor. A lei de controle proposta é constituída pela realimentação tanto da saída quanto da não-linearidade do sistema. As condições de síntese, formuladas em termos de desigualdades matriciais lineares e baseadas em uma função de Lyapunov quadrática, são resolvidas por meio de um algoritmo iterativo. Como novidade, os ganhos de controle aparecem de forma linear e são tratados como variáveis de decisão do problema de otimização. Portanto, o método apresentado pode lidar com realimentação de estados e de saída indistintamente, além de possibilitar a imposição de limitações de magnitude ou restrições estruturais (como descentralização) sobre os ganhos. Exemplos numéricos ilustram os benefícios da abordagem proposta, que pode ser computacionalmente mais eficaz e menos conservadora quando comparada a outras técnicas existentes em contextos particulares, como a realimentação de estados descentralizada.

INTRODUÇÃO

Os chamados sistemas Lur'e, isto é, sistemas que podem ser descritos por uma planta linear invariante no tempo G realimentada por uma função não-linear φ (como ilustra a Fig. 1) satisfazendo certas condições (relacionadas a limitações de setor ou inclinação), representam uma grande família de problemas de engenharia [START_REF] Khalil | Nonlinear Systems[END_REF]. O problema de análise de estabilidade dos sistemas Lur'e, contínuos ou discretos no tempo, é estudado utilizando uma abordagem temporal com a busca de funções de Lyapunov [START_REF] Gonzaga | Stability analysis of discrete-time Lur'e systems[END_REF][START_REF] Ahmad | LMI-based stability criteria for discrete-time Lur'e systems with monotonic, sector-and slope-restricted nonlinearities[END_REF][START_REF] Park | A revisited Popov criterion for nonlinear Lur'e systems with sector-restrictions[END_REF][START_REF] Park | A less conservative stability criterion for discrete-time Lur'e systems with sector and slope restrictions[END_REF][START_REF] Kapila | A multivariable extension of the Tsypkin criterion using a Lyapunov-function approach[END_REF] ⋆ Apoiado pelas agências brasileiras: CNPq, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior -Brasil (CAPES) -Código de Financiamento 001 e Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo -FAPESP (processo 2019/10947-1).

1996; [START_REF] Montagner | Robust absolute stability and stabilization based on homogeneous polynomially parameter-dependent Lur'e functions[END_REF][START_REF] Yang | Lur'e Lyapunov functions and absolute stability criteria for Lur'e systems with multiple nonlinearities[END_REF][START_REF] Kalman | Lyapunov functions for problem of Lur'e in automatic control[END_REF][START_REF] Valmorbida | Regional analysis of slope-restricted Lurie systems[END_REF], ou então utilizando multiplicadores de Zames-Falb [START_REF] Ahmad | Convex LMI approach for stability of critically stable systems with slope-restricted nonlinearities[END_REF][START_REF] Carrasco | Zames-Falb multipliers for absolute stability: From O'Shea's contribution to convex searches[END_REF]Haddad andBernstein, 1994, 1993). Nas duas metodologias, a busca por parâmetros das funções de Lyapunov candidatas, ou pelos multiplicadores, pode ser formulada em termos de problemas convexos de otimização, sendo, na maior parte dos casos, problemas de programação semidefinida descritos por desigualdades matriciais lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities -LMIs) [START_REF] Boyd | Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[END_REF].

Extensões das condições de análise para tratar o problema de síntese de leis de controle foram foco da atenção de diversos pesquisadores, considerando tanto estabilidade global quanto local [START_REF] Tarbouriech | Stability and Stabilization of Linear Systems with Saturating Actuators[END_REF][START_REF] Hu | Stability and performance for saturated systems via quadratic and nonquadratic Lyapunov functions[END_REF]. No entanto, com poucas exceções [START_REF] Lee | Robust stabilization of discrete-time nonlinear Lur'e systems with sector and slope restricted nonlinearities[END_REF][START_REF] Louis | Sufficient LMI stability conditions for Lur'e type systems governed by a control law designed on their Euler approximate model[END_REF], as condições propostas não se baseiam nas funções de Lyapunov mais complexas, restringindo-se a funções quadráticas, quase sempre associadas a uma realimentação linear dos estados. Por exemplo, [START_REF] Castelan | Control design for a class of nonlinear continuous-time systems[END_REF] estudam sistemas a tempo contínuo contendo dois tipos de não-linearidades: saturação e limitação de setor. Como lei de controle, propõem uma estratégia de síntese de ganhos de realimentação de estado e das não-linearidades baseada na estabilidade quadrática.

O objetivo deste trabalho é propor leis de controle do tipo realimentação de saída para sistemas Lur'e contínuos e invariantes no tempo com não linearidades limitadas em setor. A lei de controle é composta por ganhos de realimentação estáticos proporcionais à saída medida e ao valor da não linearidade. Utilizando uma função quadrática de Lyapunov, condições suficientes para o projeto dos ganhos estabilizantes são formuladas em termos de LMIs. Como novidade, os ganhos de controle são diretamente variáveis do problema, facilitando a imposição de estruturas particulares, como por exemplo, a descentralizada, sem conservadorismo adicional. Graças a um procedimento de relaxação adequado, as condições de síntese são resolvidas por meio de um algoritmo iterativo. Exemplos ilustram o desempenho do método proposto quando comparado com outras técnicas da literatura.

Notação

Para uma matriz simétrica X > 0 (X < 0) significa que X é definida positiva (negativa). Para as matrizes ou vetores ( ⊤ ) indica o transposto, He(X) = X + X ⊤ e diag(X 1 , . . . , X n ) representa um matriz bloco diagonal formada pelas matrizes quadradas (ou elementos) X 1 , . . . , X n . O símbolo ⋆ representa um termo induzido por simetria em matrizes quadradas formadas por blocos e o símbolo • representa o produto de Hadamard definido como (X • Y ) i, j = X i, j Y i, j . O sinal(X) é o operador sinal e ⌊X⌋ é operador piso de cada componente do vetor X. As matrizes identidade e nula são denotadas, respectivamente, por I e 0. Ao longo do texto as dimensões das matrizes podem ser omitidas por simplicidade (sendo inferidas a partir do contexto).

G (x, φ ) y u z φ (z)
Fig. 1. Diagrama de blocos de um sistema Lur'e em que G (x, φ ) é um sistema linear invariante no tempo e φ (z) é uma função não linear limitada em setor.

PRELIMINARES

Considere o sistema Lur'e a tempo contínuo dado por

ẋ(t) = Ax(t) + B φ φ (z(t)) + B u u(t) (1a) z(t) = C z x(t) + D z φ (z(t)), (1b) 
y(t) = C y x(t). ( 1c 
)
em que x ∈ R n x é o vetor de estados, u ∈ R n u a entrada de controle, y ∈ R n y a saída medida e z ∈ R n z é uma saída do bloco linear que passa pela não linearidade. As matrizes do sistema são

A ∈ R n x ×n x , B φ ∈ R n x ×n z , B u ∈ R n x ×n u , C y ∈ R n y ×n x , C z ∈ R n z ×n x e D z ∈ R n z ×n z . A não-linearidade φ : R n z → R n z é invariante no tempo, descen- tralizada, i.e. φ (z) = [φ 1 (z 1 ) • • • φ n z (z n z )]
⊤ , e satisfaz a seguinte hipótese [START_REF] Khalil | Nonlinear Systems[END_REF].

Hipótese 1. A não-linearidade φ verifica φ (z) ⊤ [φ (z) -Ωz] ≤ 0 (2) para todo z ∈ R n z , sendo Ω = diag(Ω 1 , . . . , Ω n z ) > 0 uma matriz dada. Além disso, φ (0) = 0 n z .
A Hipótese 1 corresponde à não linearidade φ (z) ser limitada em setor, como ilustra a Fig. 2. Assume-se que o sistema (1) é bem posto, ou seja, possui um bom comportamento algébrico da realimentação não-linear, propriedade que pode ser garantida mediante a seguinte hipótese. Hipótese 2.

z i φ i (z i )
He(I -ΩD z ) > 0.

(

O problema a ser investigado neste artigo é o projeto da lei de controle dada por u = Ky + Lφ (z).

(4) em que K ∈ R n u ×n y e L ∈ R n u ×n z são os ganhos de realimentação associados à saída y e à não linearidade φ (z), respectivamente.

O lema apresentado a seguir é útil para provar os principais resultados propostos neste trabalho (de Oliveira and Skelton, 2001). Lema 1. (Lema de Finsler). Considere as matrizes Q ∈ R ℓ×ℓ e B ∈ R m×ℓ , com posto(B) < ℓ e B ⊥ representando uma base para o espaço nulo de B, ou seja, BB ⊥ = 0. As seguintes condições são equivalentes: 1) sob as Hipóteses 1 e 2 é globalmente assintoticamente estável em malha fechada com a lei de controle (4).

i) ξ ⊤ Qξ < 0, ∀ξ ∈ R ℓ , ξ = 0, Bξ = 0; ii) B ⊤ ⊥ QB ⊥ < 0; iii) ∃µ ∈ R tal que Q -µB ⊤ B < 0; iv) ∃X ∈ R ℓ×m tal que Q + X B + B ⊤ X ⊤ < 0. 3. RESULTADOS PRINCIPAIS Teorema 1. Sejam Y i ∈ R n x ×n x , i = 1, 2, 4 e Y 3 ∈ R n z ×n x ma- trizes dadas. Se existirem matrizes K ∈ R n u ×n y , L ∈ R n u ×n z , Y i ∈ R n x ×n x , i = 1, 2, 4, Y 3 ∈ R n x ×n z e matrizes definidas po- sitivas P = P ⊤ ∈ R n x ×n x e T ∈ R n z ×n z diagonal, tais que    0 P C ⊤ z ΩT A T cl P 0 0 -I T ΩC z 0 He(T ΩD z -T ) B T cl A cl -I B cl 0    + He     Y 1 Y 2 Y 3 Y 4     Y [Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ] < 0 (5) é verificada, com A cl = A + B u KC y , B cl = B φ + B u L, então o sistema Lur'e (
Prova: Se a desigualdade (5) é verificada, então He(Y 4 Y 4 ) < 0 e, portanto, tanto Y 4 como Y 4 têm posto completo. Dessa maneira, observa-se que a condição (5) pode ser caracterizada como iv) do Lema de Finsler, com B = Y , e as colunas da matriz

B ⊥ =    I 0 0 0 I 0 0 0 I -Y -1 4 Y 1 -Y -1 4 Y 2 -Y -1 4 Y 3    formam uma base para o espaço nulo de Y , ou seja, Y B ⊥ = 0. Pelo lema, (5) é equivalente a B ⊤ ⊥ QB ⊥ < 0, que pode ser reescrito como   0 P C ⊤ z ΩT P 0 0 T ΩC z 0 He(T ΩD z -T )   + He   (Y -1 4 Y 1 ) ⊤ (Y -1 4 Y 2 ) ⊤ (Y -1 4 Y 3 ) ⊤   [A cl -I B cl ] < 0.
Novamente, olhando a desigualdade acima como iv) do Lema de Finsler e computando uma base para o espaço nulo de

[A cl -I B cl ], tem-se I 0 A cl B cl 0 I ⊤   0 P C ⊤ z ΩT P 0 0 T ΩC z 0 He(T ΩD z -T )   I 0 A cl B cl 0 I < 0 ou A ⊤ cl P + PA cl PB cl + C ⊤ z ΩT ⋆ He(T ΩD z -T ) < 0. ( 6 
)
Multiplicando (6) pela esquerda por [x ⊤ φ (z) ⊤ ] e pela direita pelo transposto, tem-se 

x ⊤ A ⊤ cl Px + x ⊤ PA cl x + φ (z) ⊤ T ΩC z x + φ (z) ⊤ B ⊤ cl Px + x ⊤ PB cl φ (z) + x ⊤ C ⊤ z ΩT φ (z) + φ (z) ⊤ T ΩD z φ (z) + φ (z) ⊤ D ⊤ z ΩT φ (z) -2φ (z) ⊤ T φ (z) < 0, que corresponde a V (x) -2φ (z) ⊤ T [φ (z) -Ωz] < 0, quando V (x) = x ⊤ Px é usada
Y ⊤ = [I I 0 -I] , A cl = A + B u KC y -rI, ( 7 
)
em que r é um escalar. Então, as condições do Teorema 1 sempre fornecem soluções factíveis para um valor suficientemente grande de r > 0.

Prova: Considere a expressão (5) para A cl e Y dadas em ( 7), e adote

Y 1 = Y 2 = -Y 4 = -(r/2)I, Y 3 = 0 e K = L = 0 na desigualdade (5). Então    0 P C ⊤ z ΩT A ⊤ P 0 0 -I T ΩC z 0 He(T ΩD z -T ) B ⊤ A -I B 0    - r 2 He    I I 0 -I    [I I 0 -I] < 0, ( 8 
) Escolhendo P = rI, r > 0, tem-se     -rI 0 C ⊤ z ΩT A ⋆ -rI 0 (r -1)I ⋆ ⋆ He(T ΩD z -T ) B ⊤ φ ⋆ ⋆ ⋆ -rI     < 0,
ou, de forma equivalente (por complemento de Schur),

r He(T -T ΩD z ) -B ⊤ φ ⋆ 2I - T ΩC z C ⊤ z ΩT T ΩC z A ⊤ ⋆ AA ⊤ + I > 0.
(9) Observa-se que a matriz multiplicada por r pode ser feita definida positiva, pois por complemento de Schur tem-se 2He(T (I -ΩD z )) > B ⊤ φ B φ , que sempre é verificada considerando a Hipótese 2 e T = τI > 0 com uma escolha adequada para τ > 0. Dessa forma, a condição (9) é sempre satisfeita para r > 0 suficientemente grande.

De acordo com o resultado acima, com as escolhas dadas no Teorema 2, as condições do Teorema 1 sempre produzem solução factível para um r > 0 suficientemente grande. Uma propriedade importante do fator de relaxação r é que o mesmo aparece de forma afim nas condições do Teorema 1, podendo ser utilizado como função objetivo em um problema de otimização.

Note que a estabilidade da malha fechada exige que as condições sejam satisfeitas com r = 0 (ou seja, quando as matrizes da malha fechada modificadas fornecidas em (7) se tornam iguais às matrizes originais do sistema). Em vista disso, o próximo teorema fornece um resultado importante para a implementação de um procedimento iterativo baseado nas condições do Teorema 1. Teorema 3. Se as condições do Teorema 1 com A cl dada em (7) são factíveis para algum r, a condição de estabilidade (6) continua factível para qualquer r > r.

Prova: Considere que as condições do Teorema 1 são factíveis para um dado r. Então, a condição (6), com A cl dada em (7), é verificada. Reescrevendo a desigualdade, tem-se

(A + B u KC y ) ⊤ P + P(A + B u KC y ) PB cl + C ⊤ z ΩT ⋆ He(T ΩD z -T ) -r 2P 0 0 0 < 0.
Considerando r = r + ε, a condição acima é satisfeita ∀ε > 0 e, portanto, se mantém factível para qualquer r > r.

A importância do Teorema 3 é a garantia de que se o Teorema 1 for testado com A cl dada em (7), isto é, com condições relaxadas, qualquer solução associada a um r não positivo assegura a estabilidade do sistema em malha fechada, pois a condição de estabilidade (6) permanece factível para qualquer r maior. Em particular, para r = 0, que recupera o sistema original.

O Algoritmo 1 apresenta o procedimento iterativo proposto neste trabalho para a estabilização do sistema (1) por meio da lei de controle (4). Como parâmetros de entrada, têm-se it max , o número máximo de iterações, e Y , uma condição inicial (por exemplo, a apresentada no Teorema 2). O índice (•) k representa o valor da variável na iteração k. Os resultados dos teoremas 2 e 3 garantem que o procedimento fornece uma solução factível com um valor finito para r na primeira iteração, e também que, se uma solução com r ≤ 0 for obtida, a condição (6) permanece válida com r = 0.

Algoritmo 1 Procedimento iterativo para estabilização.

Considere cl como em (7); Dados:

k = 0, Y e it max ; Enquanto k < it max faça k = k + 1; minimize r k sujeito a (5) Se r k ≤ 0 então retorna r k , K, L fim Y = Y ⊤ ; fim
Nota-se que a sequência de valores de r k produzidos pelo Algoritmo 1 é não crescente. Para ver este fato, suponha que na iteração k um valor finito para r k , associado às variáveis 

P = P k , T = T k e Y = Y k , foi obtido. Como He(YY ) = He(Y ⊤ Y ⊤ ), a escolha Y k+1 = Y k assegura que
iii) As matrizes A ← A -B φ KC y , B φ = B φ -B u L, C y , C z , D z ,
B u e K são incluídas no banco de dados.

Considerando Nota-se que CTQ08 foi capaz de estabilizar todos os sistemas e Alg1 e forneceu um desempenho ligeiramente inferior. Por outro lado, o desempenho de Alg1 s no problema de realimentação de saída foi muito próximo ao dos resultados de realimentação de estados, mostrando a eficiência do método em um problema de difícil solução (mesmo sem considerar a não linearidade) em todas as diferentes limitações de setor.

n x ∈ {2, 3, 4, 5}, n u = n z = n y = 1 e Ω ∈ {0.
Além disso, a elevada porcentagem de sistemas estabilizados pelo Alg1 e o número médio de iterações (sempre abaixo de 4) permitem concluir que a condição inicial escolhida para Y produziu bons resultados, embora não exista garantia de convergência em todos os casos.

Exemplo 2

Neste exemplo, o problema de controle descentralizado por realimentação de estados é investigado somente nos sistemas com n x = 5 pertencentes à base de dados do exemplo anterior.

As máscaras (apenas os elementos indicados com 1 fazem parte do projeto) para o ganho

K = (k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 ) são: K = [1 1 1 1 1] (M 1 ), K = [1 0 0 0 1] (M 4 ), K = [1 1 0 1 1] (M 2 ), K = [1 0 0 0 0] (M 5 ), K = [1 0 1 0 1] (M 3 ), K = [0 0 0 0 1] (M 6 ). (10) 
A garantia de que todos os sistemas podem ser estabilizados pelas máscaras propostas pode ser obtida por meio do seguinte ajuste na matriz dinâmica do sistema A dc = A + B u (KC y -KC y • M i ), em que M i é a máscara desejada, KC y é ganho de estabilização (K disponível no banco de dados). Dessa maneira, K dc = KC y • M i é o ganho de estabilização descentralizado associado à máscara M i , pois

A dc + B u (KC y • M i ) = A + B u (KC y -KC y • M i ) + B u (KC y • M i ) = A + B u KC y
O Algoritmo 1 é comparado com as condições de Castelan et al. (2008) (denotado CTQ08), ambos adaptados para tratar a descentralização dos ganhos. No Alg1 a adaptação é mais simples pois utiliza-se diretamente o ganho K como variável de otimização, enquanto que em CTQ08 o ajuste é feito por meio de restrições em algumas variáveis de otimização, como proposto em [START_REF] Geromel | Decentralized control through parameter space optimization[END_REF]. Os resultados, dados na Tabela 2, mostram uma perda de desempenho de CTQ08 quando entradas são zeradas, em relação a M 1 (estrutura completa para o ganho). Por outro lado, o Alg1 mantém a eficiência em praticamente todas as estruturas de M i , caracterizando-se como uma abordagem menos conservadora para tratar o problema de controle descentralizado.

Exemplo 3

Considere um sistema de segunda ordem na forma (1) com matrizes dadas por

A = 0 1 -ω 2 n -2ξ ω n , B φ = 2 -1 , B u = -1 1 , C z = [1 1] , C y = [1 0.5] , D φ = 0, ξ = 0.3, ω n = 1.
A função não linear φ é composta por saturação e quantização na forma φ = sat(q(z)) = sinal(q(z)) min{γ, |q(z)|}, em que γ > 0 é um escalar representando a amplitude máxima (simétrica) de φ e q(z) é a quantização uniforme de z dada por

q(z) = ∆ sinal(z) |z| ∆ ,
sendo que o escalar ∆ > 0 que determina o passo da quantização. Os valores escolhidos para este exemplo são γ = 3.25 e ∆ = 0.25 e a Fig. 3 apresenta uma ilustração gráfica de φ , que é uma não linearidade limitada pelo setor definido por Ω = 1. 

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Não-linearidade φ i limitada pelo setor Ω i (azul).

Fig. 3 .Fig. 4 .Fig. 5 .

 345 Fig. 3. Gráfico dos valores de φ (laranja) em relação a z e da região delimitada pelo setor Ω = 1 (azul), no Exemplo 3. O objetivo neste exemplo é estabilizar o sistema por meio da lei de controle dada em (4), utilizando o método proposto (Alg1). Os valores dos ganhos obtidos pelo Alg1 são K = 0.9994 e L = 0.8776. Também é possível estabilizar o sistema utilizando o Alg1 sem o ganho L, mas nesse caso é necessário trabalhar com realimentação de estados. O comportamento do sistema estabilizado é apresentado na Fig. 5, utilizando a mesma condição inicial anterior. Como pode ser observado, os

  desigualdade apresentada em (5) é uma LMI pois Y i , i = 1, . . . , 4, são matrizes dadas. Como consequência, é esperado que os resultados obtidos por meio dessa condição suficiente sejam conservadores, devido à falta de uma regra geral para escolher matrizes adequadas Y i , i = 1, . . . , 4.

	Uma alternativa
	para reduzir o conservadorismo, baseada na técnica proposta
	em Felipe et al. (2016), é introduzir relaxações, como apresen-
	tado no próximo teorema.
	Teorema 2. Seja

como uma função de Lyapunov quadrática para o sistema (1). Sob a Hipótese 1, o último termo do lado esquerdo da desigualdade acima é sempre positivo para qualquer matriz diagonal T > 0. Portanto, o sistema (1) em malha fechada é globalmente assintoticamente estável.

A

  Os parâmetros de entrada do algoritmo foram estabelecidos como Y⊤ = [I I 0 -I], conforme sugerido no Teorema 2, e it max = 15. Além disso, foi definida a estrutura de Y = [Y 1 Y 2 0 Y 4 ] ⊤ , com Y i , i ∈ {1,2, 4} matrizes simétricas. Considerar Y 3 = 0 ou impor outras estruturas para as variáveis, como diagonais, arbitrárias, ou mesmo nulas, pode gerar resultados diferentes, com complexidades numéricas distintas. A escolha proposta é a que forneceu o melhor compromisso entre esforço computacional e acurácia nos exemplos apresentados a seguir. As matrizes B u , C y , K e L são geradas tais que A -B u KC y não seja Hurwitz estável;

	r k+1 não pode crescer, ou seja, r k+1 ≤ r k . Além disso, a convergência do Algoritmo 1 para um valor negativo de r (solução estabilizante) é somente local, isto é, depende da escolha inicial Y = Y 0 . 4. EXEMPLOS Nesta seção são fornecidos exemplos que ilustram o desempe-nho do método proposto para realimentação de estados (C Exemplo 1 Neste primeiro exemplo, as condições de síntese propostas são comparadas com as de Castelan et al. (2008) em termos de uma análise estatística. Foi construída uma base de dados 1 de sistemas na forma (1) de acordo com os seguintes passos: i) As matrizes A, B φ , C z e D z são criadas com elementos aleatórios (utilizando uma distribuição normal) tais que o sistema (1) satisfaça a condição de estabilidade (6); ii)

y = I) e de saída, comparando com os resultados obtidos em

[START_REF] Castelan | Control design for a class of nonlinear continuous-time systems[END_REF]

, incluindo o problema de controle descentralizado. A programação foi implementada no MATLAB-2015 usando o parser Yalmip

[START_REF] Löfberg | YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB[END_REF] 

e o solver Mosek

[START_REF] Andersen | The MOSEK interior point optimizer for linear programming: An implementation of the homogeneous algorithm[END_REF]

, em um computador com o sistema operacional Windows 10 core i7.

  Tabela 2. Número de sistemas com n x = 5 estabilizados por Alg1 e CTQ08 para o caso de controle descentralizado utilizando as máscaras M i , i = 1, . . . , 6 dadas em (10) no Exemplo 2.

	.	Ω Máscara Alg1 CTQ08
			M 1	100	100
			M 2	100	78
		0.5	M 3	99	77
			M 4	99	57
			M 5	99	60
			M 6	98	53
			M 1	97	100
			M 2	99	82
			M 3	99	68
		1	M 4	97	58
			M 5	94	54
			M 6	98	57
			M 1	97	100
			M 2	97	84
			M 3	97	61
		2.14	M 4	98	58
			M 5	96	53
			M 6	97	63
			M 1	98	100
			M 2	100	73
			M 3	99	59
		11.43	M 4	99	53
			M 5	100	59
			M 6	96	56

Simulando o sistema com a condição inicial x 0 = [1, -1] ⊤ , percebe-se que, embora a matriz A seja Hurwitz, o sistema é instável, conforme mostra o gráfico superior da Fig.

4

. A parte inferior da Fig.

4

mostra o valor da não linearidade ao longo da simulação, ficando claro o efeito da quantização nos primeiros 5 segundos e o efeito da saturação após 10 segundos.

A base da dados está disponível em http://www.dt.fee.unicamp. br/~ricfow/programs/CBA2020/LureDatabaseCBA20.zip