spi.elec spi.mat info.info-na
Pedro Zimmermann 
  
Seminário 
  
Emergentes -Gtm Verificação 
  
De Perdas Por 
  
Fluxo Disperso 
  
Em Transformadores De 
  
Grande Porte 
  
Com Validação 
  
Através De 
  
Ensaio De Aquecimento 
  
Anderson Santos Nunes 
  
Valencia Ferreira Da Luz 
  
  
  
  
  
  
XXI SNPTEE

INTRODUÇÃO

Em transformadores de grande porte, há uma grande concentração de elementos estruturais que visam fornecer apoio mecânico às partes ativas do transformador como, por exemplo, os enrolamentos e o núcleo magnético. Tais partes metálicas estão imersas em regiões de elevados campos magnéticos variantes no tempo, fazendo com que circulem correntes induzidas nestas regiões condutoras. Considerando que as perdas geradas nestas partes estruturais podem gerar regiões de sobre aquecimento, tais perdas devem ser levadas em consideração pelos projetistas [START_REF] Karsai | Large Power Transformers[END_REF] Existem diversas expressões analíticas para se calcular estas perdas. Todavia, essas equações se mostram satisfatórias dentro de um limite estabelecido pela complexidade e pela baixa tolerância admissível nos projetos atuais [START_REF] Kulkarni | Transformer Engineering Design and Practise[END_REF]. Com o advento de computadores e devido ao aumento da capacidade computacional disponível, tornase possível utilizar métodos numéricos para resolução destes problemas eletromagnéticos de grande escala. Em se tratando de cálculo de perdas por correntes induzidas, apresentam-se as duas técnicas mais encontradas na literatura, capazes de calcular as perdas por fluxo de dispersão em partes metálicas, em três dimensões (3D). São elas: a modelagem do corpo como um sólido (volumétrico) e a impedância de superfície.

Uma região que tem uma espessura reduzida quando comparada com as suas outras dimensões será chamada aqui no texto de região fina. Para alguns problemas magnetodinâmicos em regime harmônico, os condutores sólidos são caracterizados por um efeito pelicular acentuado [START_REF] Ferreira Da | Desenvolvimento de um software de campos eletromagnéticos 3D usando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]. A malha da região condutora com elementos de volume tradicionais deve ser constituída por elementos que são menores do que o valor da profundidade pelicular. Esta situação gera um número muito elevado de elementos. Elementos de superfície especial, utilizando o conceito de impedância de superfície, que descrevem a superfície da região condutora, evita o problema da malha tridimensional muito densa, diminuindo o tempo computacional [START_REF] Ferreira Da | Desenvolvimento de um software de campos eletromagnéticos 3D usando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF].

Este trabalho tem como objetivo principal apresentar: i) o cálculo das perdas por correntes induzidas em materiais condutores usando o método de elementos finitos 3D; e ii) um método analítico para o cálculo da temperatura nas regiões condutoras a partir dos resultados obtidos das perdas por elementos finitos.

TRANSFORMADOR REAL E O MODELO NUMÉRICO

A Figura 1(a) mostra a foto de um transformador monofásico de grande porte e a Figura 1(b) apresenta a geometria do modelo de elementos finitos em três dimensões. Analisando a Figura 1(a), nota-se a geometria complexa do transformador, sobretudo o enrolamento de regulação o qual é modelado na forma de um espiral com determinada quantidade de volta, como pode ser visto no detalhe da Figura 1(b). É possível notar na Figura 1(b) as barras horizontais superior e inferior, onde serão calculadas as temperaturas. 

MODELAGEM NUMÉRICA

Formulação Magnetodinâmica em Regime Harmônico

As equações de Maxwell são as leis físicas que regem os campos eletromagnéticos e constituem um sistema de equações de derivadas parciais. Neste item é apresentada a formulação forte do campo magnético na forma complexa (regime harmônico). A forma complexa das equações de Maxwell assume que a variação temporal de todas as grandezas físicas é sinusoidal com uma dada frequência. Esta formulação considera as correntes induzidas nas regiões condutoras (correntes de Foucault) e também pode considerar os efeitos peliculares e os efeitos de proximidade nas regiões condutoras. As restrições de sua aplicação são: a) todos os materiais do domínio de estudo são lineares e b) todas as fontes de campo são sinusoidais. O modelo dessa formulação aplicado ao domínio Ω, de fronteira Γ, é caracterizado pelas seguintes equações diferenciais, lei de comportamento e condições de contorno [START_REF] Ferreira Da | Desenvolvimento de um software de campos eletromagnéticos 3D usando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]:

J H = rot , B E ω - = j rot , 0 = B div , (1-2-3) H B µ = , E J σ = , (4-5) 0 = × Γ h H n , 0 = Γ b . B n com b h Γ ∪ Γ = Γ , (6-7) ou 0 = Γ h . J n , 0 = × Γ b E n com b h Γ ∪ Γ = Γ , (8-9) onde 1 - ≡ j , n é o vetor unitário normal à superfície, ω = 2π f é a freqüência angular (rad/s), µ é a permeabilidade magnética (H/m), σ é a condutividade elétrica (S/m), H é o campo magnético (A/m), J é a densidade de corrente de condução (A/m 2 ), E o campo elétrico (V/m
), e B a indução magnética ou densidade de fluxo magnético (T). A densidade de corrente de condução J é dividida em duas parcelas:

i s J J J + =
, onde s J é a densidade de corrente devido às fontes de corrente, e i J é a densidade de corrente devido às correntes induzidas em materiais condutores. Essa forma inicial do problema constitui a formulação forte da magnetodinâmica em regime harmônico. Existe uma série de formulações diferentes para resolver este problema, cada qual com suas vantagens e desvantagens. Neste trabalho é usada a formulação T-Ω.

Formulação T-Ω em Regime Harmônico

Um potencial vetor elétrico T pode ser definido por [START_REF] Ferreira Da | Desenvolvimento de um software de campos eletromagnéticos 3D usando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]:

J T = rot . ( 10 
)
De maneira que a equação de conservação de corrente div J = 0 seja verificada. De (1) e (10) deduz-se que:

H T rot rot = . (11) E então, Ω - = grad T H , ( 12 
)
onde Ω é o potencial escalar magnético definido no domínio de estudo simplesmente conexo. Nota-se que um potencial vetor elétrico fonte T s pode ser igualmente definido, isto é,

r s T T T + = . ( 13 
) Com s s rot J T = . ( 14 
)
Em uma região condutora (σ ≠ 0) a equação final a ser resolvida é dada por [START_REF] Ferreira Da | Desenvolvimento de um software de campos eletromagnéticos 3D usando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]:

0 ) ( ) ( -1 = Ω - ωµ + σ grad j rot rot T T . ( 15 
)
Na região não condutora (σ = 0), a equação resultante é [START_REF] Ferreira Da | Desenvolvimento de um software de campos eletromagnéticos 3D usando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]:

0 )) ( ( = Ω - µ grad div T . ( 16 
)
A formulação em potencial vetor elétrico, caracterizada pelas equações (15) e (16) é chamada de formulação T-Ω. Essas equações são resolvidas neste trabalho usando o método de elementos finitos 3D.

Modelagem das Regiões Condutoras

Para um material linear, homogêneo e isotrópico, a profundidade pelicular nos condutores é calculada por [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF]:

) ( 2 σωµ = δ / . ( 17 
)
Dificuldades aparecem quando a profundidade pelicular δ se torna menor em relação à dimensão característica dos condutores sólidos a ser modelada. Essa situação ocorre quando a freqüência, a permeabilidade, ou a resistividade é alta. A impedância de superfície Z s conecta o componente tangente à superfície do condutor do campo magnético H para a componente tangencial do campo elétrico E através da relação [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF]:

) ( H n n E n × × = × s Z , (18) 
onde n é o vetor unitário normal à superfície.

A fim de obter uma primeira expressão da impedância de superfície, considera-se o problema de uma placa de material linear com uma espessura infinita submetida a um campo sinusoidal uniforme paralelo com o lado da placa. A impedância complexa encontrada é constante, ou seja, independente do valor do campo e é dada por [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF]:

δ σ + = = 1 j E H Z s s s . ( 19 
)
A impedância de superfície também pode considerar não linearidades magnéticas. Para isso, existem dois casos extremos: na superfície dos condutores ou o campo magnético é assumido ser sinusoidal, ou o campo elétrico é assumido ser sinusoidal. As equações da profundidade pelicular do campo para um material não linear, e das impedâncias de superfícies no caso do campo magnético senoidal (Z sH ) e no caso do campo elétrico senoidal (Z sE ) são dadas por [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF]:

) ( 2 ) ( 2 o o o H B H H ω σ = µ ω σ = δ , ) 2 ( 1 3 8 j Z sH + δ σ π = ,       π + δ σ π = j Z sE 3 4 1 1 5 2 27 3 , (20-21-22)
onde H o é o campo magnético tangencial de pico e B(H o ) e a curva de saturação do material.

Cálculo das Perdas por Correntes Induzidas

Para as regiões condutoras modeladas com elementos volumétricos, as perdas por correntes induzidas são dadas por [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF]:

∫ ⋅ σ = V * dV P J J 2 1 , (23) 
onde J é densidade de corrente e J* é o complexo conjugado da densidade de corrente.

A equação (23) é uma integral volumétrica e esse procedimento exige um refinamento da malha nas regiões com maiores variações de campo magnético. No caso de partes estruturais de transformadores, excetuando-se partes em aço inox, elaboram-se camadas de malha refinada nas superfícies.

A Figura 2 (a) apresenta o exemplo de malha para o modelo volumétrico considerando o efeito pelicular acentuado. Visualizam-se algumas camadas com tamanho de elementos reduzidos nas extremidades da peça. (devido ao efeito pelicular). Desta forma, surge a necessidade de esforço computacional elevado. Já na Figura 2 (b), ao contrário do exposto anteriormente, não se fazem necessárias as camadas de elementos reduzidos, diminuindo assim o esforço computacional. Este método se aplica em partes nas quais o valor da profundidade de penetração do campo seja relativamente pequeno como, por exemplo, no cobre e no aço carbono. Para as regiões condutoras modeladas com o método da impedância de superfície, as perdas por correntes induzidas são dadas por [START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF]:

∫ ⋅ σ µ ω = S * t t dS P 8 H H , ( 24 
)
onde H t é a componente tangencial do campo magnético e H t * é o complexo conjugado da componente tangencial do campo magnético.

Observe que a equação (24) é uma integral de superfície. O método de impedância de superfície é aplicado ao projeto de transformadores devido ao fato de haver consideráveis perdas por correntes induzidas nas barras horizontais e verticais, e nas paredes do tanque.

Cálculo Analítico da Temperatura

Neste trabalho as perdas por correntes induzidas são determinadas usando o método de elementos finitos 3D e a temperatura é obtida por meio de um método analítico. As temperaturas nas barras (superior e inferior) podem ser obtidas por [START_REF] Incrópera | Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa. Sexta Edição[END_REF]:

s s A h q T T = -∞ , (25) 
onde T s é a temperatura na superfície da barra ( o C), T ∞ é a temperatura do fluido ( o C), q é o valor médio das perdas totais na barra (considerando que esse valor seja distribuído uniformemente na barra) (Watts) obtido usando a formulação T-Ω, e h é coeficiente de troca térmica por convecção natural (Watts/ o C.m 2 ) [START_REF] Incrópera | Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa. Sexta Edição[END_REF].

ENSAIOS DE AQUECIMENTO

Com o intuito de validar os cálculos numéricos apresentados no trabalho, observou-se a elevação de temperatura da barra horizontal superior do transformador por meio de ensaios de aquecimento. Para medição da temperatura, instala-se uma fibra óptica nesta barra (ver Figura 3) e observa-se o valor após estabilização. A Figura 5 apresenta a comparação da distribuição de perdas por correntes induzidas na superfície externa das duas barras horizontais. Verifica-se que as distribuições são equivalentes.

FIGURA 5 -Comparação da distribuição de perdas por correntes induzidas nas superfícies das barras horizontais.

Como comparação referente ao esforço computacional, apresenta-se a Tabela 1. Verifica-se que o modelo volumétrico exige esforço computacional superior ao método de impedância de superfície. Da mesma forma, o tempo para resolução e memória RAM disponível são superiores para o modelo volumétrico. O computador utilizado para resolução deste caso possui 2 processadores de 6 núcleos cada: 3.33GHz, 48GB de memória RAM DDR3.

TABELA 1 -Comparação entre esforços computacionais.

A Figura 6 apresenta a relação entre as perdas obtidas pelo método da impedância e as perdas obtidas pelo modelo volumétrico. Para as duas barras, verifica-se uma diferença de aproximadamente 26% entre os métodos apresentados.

FIGURA 6 -Comparação em pu entre os valores de perdas calculados numericamente.

A Figura 7 apresenta uma comparação entre os valores encontrados, através do método apresentado. Verificase que os valores de temperatura encontrados são próximos, com diferença de aproximadamente 2%. A Figura 8 apresenta a comparação entre os resultados medidos e calculados com o modelo híbrido (cálculo das perdas pelo método de elementos finitos 3D e cálculo da temperatura pelo método analítico). Verifica-se que as diferenças são aceitáveis, mas que o valor de perdas obtido através do método de impedância de superfície gerou uma temperatura final mais próxima do valor medido.

FIGURA 7 -Comparação entre os valores de temperatura calculados numericamente. FIGURA 8 -Comparação entre valores calculados e medidos da temperatura na barra superior do transformador.

CONCLUSÕES

Este trabalho usou uma formulação magnetodinâmica T-Ω em regime harmônico para calcular as perdas por correntes induzidas nas barras de sustentação mecânica de um transformador monofásico de grande porte. Essas perdas foram calculadas por dois modelos para as barras de sustentação mecânica: modelo volumétrico e modelo de impedância de superfície. As temperaturas nas barras foram obtidas a partir de um equacionamento analítico que usa o resultado das perdas obtidas pelo método de elementos finitos 3D. O modelo híbrido (cálculo das perdas pelo método de elementos finitos 3D e cálculo da temperatura pelo método analítico) foi validado por meio de comparação com resultados de medição da temperatura na barra superior do transformador.

Comparando as temperaturas medidas com as temperaturas obtidas pelos dois modelos para as barras, o método de impedância de superfície forneceu valores mais coerentes com menor esforço computacional.

FIGURA 1 -

 1 FIGURA 1 -Transformador modelado real (a) e o modelo numérico (b).

FIGURA 2 -

 2 FIGURA 2 -Exemplificação de malha para o modelo volumétrico considerando o efeito pelicular acentuado (a) e para o modelo volumétrico com efeito pelicular atenuado (b).

FIGURA 3 - 4 -

 34 FIGURA 3 -Instalação da fibra óptica para medição de temperatura da barra horizontal superior.5. RESULTADOSEm transformadores, o fenômeno de perdas induzidas, tanto no tanque como nas ferragens internas, há uma natureza tridimensional, devido à natureza do campo magnético de dispersão. Tal fato justifica a modelagem tridimensional apresentada neste trabalho. A Figura 4 apresenta a malha de elementos finitos 3D (a), o fluxo magnético disperso no interior do transformador (b) e a indução magnética plotada na superfície transversal do transformador. Verifica-se de forma clara a natureza tridimensional do campo magnético disperso.