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Agradecimentos Agradeço 
  
Rosane E Ayrton 
  
Dr Patrick Kuo-Peng 
  
Patrick Dular 
  
Anderson Santos Nunes 
  
Dr Olivier Chadebec 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
MODELAGEM DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS UTILIZANDO UMA ABORDAGEM HÍBRIDA ENTRE O MÉTODO DE REDE DE RELUTÂNCIAS (MRR) E O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE FACE (MEFF)

Keywords: Finite Element Method (FEM), Reluctance Network Method (RNM), Facet Finite Elements

This work aims to convert 2 and 3-D Finite Element Method (FEM) meshes into a reluctance networks through an original magnetostatic formulation based on facet shape functions, which are used to interpolate the magnetic induction. This network is coupled with a standard reluctance network (RNM -Reluctance Network Method), characterizing a 0-D system that can be solved by a circuit solver approach. In this way, the FEM and RNM are coupled, taking advantage of specific potentialities of both sides, i.e. the regions of the domain where the magnetic behavior is known can be simplified using the RNM and those more complex regions can be meshed properly and solved in the same system. The results obtained are compared between them and with results obtained with the classical FEM. Um dos princípios fundamentais do nosso mundo é a busca por um estado ótimo (WEISE, 2009). Tal estado pode ser obtido através de técnicas de otimização, as quais requerem uma população mínima de dados e, em se tratando de modelos com razoável quantidade de variáveis, tais métodos podem requerer uma gama significativa de informações para sua aplicação.

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

Considerando-se que "modelar"consiste em construir uma estrutura matemática adequada para representar uma determinada parte da realidade [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF], pode-se inferir que estes dados necessários para possíveis otimizações podem ser obtidos através de modelagens numéricas.

Tal fato sugere a necessidade de métodos para simulação numérica capazes de fornecer dados confiáveis com esforço computacional e tempo de simulação menores possíveis. Em aplicações de engenharia, esta pode não ser uma tarefa trivial e, muitas vezes devido as consideráveis relações de aspecto, comuns em aplicações práticas como em máquinas rotativas, transformadores e atuadores.

Muitos métodos numéricos estão disponíveis para um grande número de aplicações (TONTI, 2014), sendo o Método de Rede de Relutâncias (MRR) e o Método de Elementos Finitos (MEF) alguns dos mais utilizados para modelagem de dispositivos eletromagnéticos de baixas frequências (KALTENBA-CHER, 2007).

A grande vantagem do MEF é a sua flexibilidade de aplicação, pois as formulações são aplicadas através da discretização do domínio de estudo em elementos menores (Elementos Finitos), obtidos através de processos de geração de malha que discretizam o domínio de forma automática. Foi inicialmente aplicado à mecânica, com as primeiras publicações datadas entre as décadas de 1940de e 1950de (ZIENKIEWICZ, 2000;;[START_REF] Rao | The Finite Element Method in Engineering[END_REF]. Quanto à sua aplicação em eletromagnetismo, sua base física está nas equações de [START_REF] Maxwell | A treatise on electricity and magnetism[END_REF] e as primeiras publicações remontam a década de 80, podendo-se citar (SILVESTER; [START_REF] Silvester | Software for fast interactive three-dimensional modeling of electromagnetic leakage field and magnetic shunts design in Shell type transformers[END_REF]. No entanto, obras mais recentes, como [START_REF] Jin | The Finite Element Method in Electromagnetics[END_REF]BASTOS;[START_REF] Bastos | Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods[END_REF][START_REF] Bastos | Magnetic Materials and 3D Finite Element Modeling[END_REF], sugerem que o método ainda está em pleno desenvolvimento.

Devido à larga utilização deste método, existe uma série de publicações recentes sobre a aplicação deste na otimização de dispositivos eletromagnéticos. Segundo [START_REF] Turowski | Rapid calculation of stray fields and losses in power transformers[END_REF], em alguns tipos de análise o MEF é o método mais difundido na indústria, porém pode requerer esforço compu-tacional e tempo de simulação elevado para problemas de maior porte, limitando assim sua aplicação em processos de otimização.

Considerando-se agora a análise de sistemas elétricos ou máquinas elétricas em regime transiente, o acoplamento entre circuito elétrico e o equipamento em questão se torna de suma importância. Em [START_REF] Melgoza | Strong coupling of electromagnetic transients and finite element magnetic field solvers[END_REF], um modelo de transformador implementado através do MEF é acoplado ao sistema elétrico através da relação entre fluxo concatenado nos enrolamentos e as tensões nos terminais destes. Nesta referência é mencionado que mesmo para um modelo MEF 2-D, o tempo de simulação pode ser considerável, devido ao tamanho do sistema matricial resolvido com o MEF e a quantidade de passos de tempo a serem simulados.

Por outro lado, o MRR é um dos mais antigos métodos para a modelagem de circuitos magnéticos e sua aplicação está baseada na construção de uma rede de relutâncias [START_REF] Roters | Electromagnetic devices[END_REF], ou seja, uma análise baseada em parâmetros discretos, também denominada de 0-D. Este método tem se mantido eficiente por apresentar resultados coerentes, com reduzidos custo computacional e tempo de simulação (SYKULSKI, 1995). Tem sido utilizado largamente na modelagem de transformadores, podendo-se citar: (TUROWSKI; KRAJ; KU-LASEK, 2001; TUROWSKI, 2005; LOPEZ-FERNANDEZ; PENABAD-DURAN; TUROWSKI, 2010; [START_REF] Silvester | Software for fast interactive three-dimensional modeling of electromagnetic leakage field and magnetic shunts design in Shell type transformers[END_REF]. Também foi utilizado para modelagem de acionadores magnéticos [START_REF] Romain | Modelisation des actionneurs electromagnetiques par reseaux de reluctances. Creation d'un outil metier dedie au predimensionnement par optimisation[END_REF], em máquinas elétricas [START_REF] Petrichenko | Contribution à la Modélisation et à la Conception Optimale des Turbo-Alternateurs de Faible Puissance[END_REF][START_REF] Fukuoka | A method for optimizing the design of SPM type magnetic gear based on reluctance network analysis[END_REF][START_REF] Fukuoka | A method for optimizing the design of SPM type magnetic gear based on reluctance network analysis[END_REF][START_REF] Fukuoka | A method for optimizing the design of SPM type magnetic gear based on reluctance network analysis[END_REF][START_REF] Tang | Analytical modeling of flux-switching machines using variable global reluctance networks[END_REF] e até mesmo para modelagem de linhas de transmissão (BORMANN; TAVAKOLI, 2012). Porém, vale salientar que suas aplicações são baseadas em redes de relutâncias definidas a priori, através do conhecimento preliminar da distribuição das linhas de fluxo magnético, o que limita sua aplicação de uma forma mais ampla. Esta limitação implica em redes com reduzida quantidade de ramos, fazendo com que os resultados obtidos não sejam tão precisos quanto os obtidos com o MEF.

Sendo assim, uma metodologia capaz de unificar as vantagens de ambos os métodos MEF e MRR seria de grande valia, pois parte do domínio poderia ser descrita através de parâmetros concentrados, ou seja pelo MRR, e as regiões com comportamentos magnéticos mais complexos poderiam ser discretizadas automaticamente através de malhas convenientemente refinadas, isto é, pelo MEF. Este tipo de abordagem é conhecida por fornecer um bom compromisso entre precisão e dimensões do sistema numérico, requerendo menores tempos de simulação se comparados às abordagens clássicas, nas quais os domínios são completamente discretizados (GERSEM; HAMEYER; WEILAND, 2004).

Neste âmbito, em [START_REF] Dular | Dual finite element formulations for lumped reluctances coupling[END_REF], foi apresentado um método para acoplar as formulações clássicas de MEF 3-D com redes de relutâncias. No entanto, tal metodologia requer cortes ao longo dos tubos de fluxo para modelar as variações de potencial escalar magnético e uma condição de calibre do tipo árvore/co-árvore. Além disso, em (LEHIKOINEN; ARKKIO, 2015), é apresentado um método para acoplar redes de relutâncias com uma formulação em potencial escalar magnético, a qual requer cortes nos domínios multiplamente conexos.

Outra alternativa para este acoplamento seria a conversão de uma malha gerada para o MEF em uma rede de relutâncias, o que facilitaria o acoplamento com redes externas. Neste sentido, em (DEMENKO; SYKULSKI, 2002; DEMENKO, 2008; WOJCIECHOWSKI; DEMENKO; SYKULSKI, 2010) é apresentada uma possível metodologia para esta conversão, utilizando-se elementos nodais, de aresta e de face. O MEFF (MEF com funções Whitney de face) é também aplicado em (VISHNEVSKY; LAPOVOK, 2000; VISHNEVSKY; KALIMOV; LAPOVOK, 2002) para modelar campos estáticos e pode ser uma solução apropriada para o acoplamento com o MRR, uma vez que, considerando-se a formulação magnetostática, a sua aplicação pode ser interpretada como um circuito magnético (ARAUJO, 2015;ARAUJO et al., 2015).

OBJETIVOS E PROPOSTA DE TESE

Considerando-se o exposto na seção anterior, podem-se levantar alguns pontos importantes de ambos os métodos, tais como:

• A complexidade de aplicar algumas formulações clássicas para o MEF 3-D em domínios complexos;

• O acoplamento destas formulações com redes de relutâncias externas;

• O esforço computacional requerido pelo MEF;

• A limitação de aplicabilidade do MRR devido às redes definidas manualmente;

• A grande quantidade de simulações necessárias para otimização de dispositivos eletromagnéticos em geral;

Considerando-se tais aspectos, este trabalho propõe uma solução alternativa. Uma vez que a matriz de rigidez do MEFF pode ser interpretada como um circuito magnético e desta maneira, permitindo um acoplamento relativamente fácil com MRR, este sistema completo e compatível com ambas as abordagens numéricas (MEFF e MRR) pode ser resolvido através de um simples solucionador 0-D de circuitos, o qual impõe inerentemente a livre divergência da indução magnética, B.

Esta rede pode ser resolvida considerando fontes de forças magnetomotrizes ( f mm) provenientes de ímãs permanentes, enrolamentos ou de circuitos magnéticos externos. Fontes de fluxos magnéticos são possíveis, tanto interna quanto externamente ao domínio discretizado. Neste último, utilizadas para impor induções magnéticas nas fronteiras do domínio.

Ou seja, de uma forma geral, esta tese propõe um método híbrido entre MEF e o MRR, que englobe as principais vantagens de cada um deles, conforme apresentado na Figura 1. Por conseguinte, a metodologia proposta poderá ser aplicada em uma ampla gama de modelagens. Em um extremo, modelos completamente definidos através do MRR, aproveitando todas as suas vantagens, como os diversos tipos de tubo de fluxo disponíveis (NUNES; KUO-PENG; VANTI, 2013; NUNES, 2013; [START_REF] Romain | Modelisation des actionneurs electromagnetiques par reseaux de reluctances. Creation d'un outil metier dedie au predimensionnement par optimisation[END_REF][START_REF] Roters | Electromagnetic devices[END_REF]. No outro extremo, pode-se discretizar os modelos integralmente através de malhas e resolvê-los por meio do MEFF.

No entanto, percebe-se que a metodologia proposta permite avaliar e definir o modelo ótimo em termos de precisão e custos computacionais, que se encontra entre estes dois limites. Desta maneira, contribuindo para a mo-delagem de dispositivos eletromagnéticos reais, em 2 e 3-D, com resultados coerentes obtidos com tempos de simulação inferiores, se comparados às metodologias clássicas, nas quais o domínio é completamente discretizado. Em consequência da redução dos domínios e da quantidade de graus de liberdade inerentes à formulação, a quantidade necessária de memória RAM é reduzida, permitindo que as análises possam ser realizadas em computadores com capacidades menores.

Para o desenvolvimento e implementação desta metodologia, partese das equações de Maxwell para campos magnetostáticos, bem como uma estrutura matemática contínua base, que dá suporte às equações de Maxwell e à estrutura matemática discreta. Esta última torna-se de suma importância, pois permite compreender as relações entre as diversas funções base aplicadas no MEF.

Existem diversas formulações magnetostáticas disponíveis na literatura. No entanto, a formulação baseada na indução magnética B com interpolação através das funções base de face, o MEFF, é utilizada por ser mais adequada ao propósito desta tese. Esta é similar à formulação em potencial vetor magnético A, com a qual é comparada em termos computacionais e de acurácia.

Sabendo-se de antemão que a formulação magnetostática para o MEFF requer uma solução "a priori" para o campo fonte, esta tese propõe também uma forma mais eficiente para esta solução, que é a aplicação da técnica de subproblemas. Esta técnica vem sendo aplicada através de formulações em A [START_REF] Dular | Progressive eddy current modeling via a finite element subproblem method[END_REF](DULAR et al., , 2015(DULAR et al., , 2015[START_REF] Dular | Progressive current source models in magnetic vector potential finite-element formulations[END_REF], porém, neste trabalho esta é aplicada na formulação em B, bem como com o acoplamento proposto.

Além dos conceitos físicos e matemáticos, faz-se importante analisar uma possível forma de implementação do MEFF e do seu acoplamento com o MRR. Assim, apresenta-a os fluxogramas com a sequência lógica dos códigos desenvolvidos.

Em termos práticos de implementação, o solucionador magnetostático proposto é desenvolvido em linguagem de programação Python (GAR-RIDO, 2016; SHAW, 2013; DRISCOLL, 2014; LANGTANGEN, 2010). No entanto, considerando-se o custo computacional necessário para a solução da equação de BS em domínios 3-D, programa-se esta parte em linguagem C++ (STROUS-TRUP, 2014).

Os resultados obtidos são, na maior parte dos casos de teste, comparados àqueles obtidos através do MEF clássico e resolvidos com o programa GetDP (DULAR et al., 1998a[START_REF] Dular | An evolutive software environment for teaching finite element methods in electromagnetism[END_REF]. As geometrias e malhas destes casos de teste são geradas através do programa Gmsh (GEUZAINE; REMACLE, 2009).

CONTRIBUIÇÕES ORIGINAIS

Este trabalho visa contribuir para a modelagem de dispositivos eletromagnéticos em geral, podendo-se citar máquinas elétricas rotativas, transformadores, atuadores magnéticos, etc. Sendo que as contribuições originais são:

• Implementação de um método capaz de resolver a formulação magnetostática 3-D sem a necessidade de aplicação de condições de calibre especiais ou cortes no domínio e seu acoplamento com o MRR;

• Solução do sistema completo com um simples solucionador de circuitos;

• Técnica de subproblemas aplicada ao MEFF.

ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está dividido em cinco capítulos. Neste primeiro, são expostos a revisão bibliográfica, os objetivos da tese e a proposta de como tais objetivos serão alcançados.

No Capítulo 2, são revisados alguns conceitos importantes associados ao eletromagnetismo, como equações de Maxwell, condições de contorno e de transmissão de campos. Após, apresenta-se uma revisão sobre a estrutura matemática necessária para compreender as bases do MEF e as relações entre as diversas funções de interpolação.

No Capítulo 3, a formulação em potencial vetor magnético A é detalhada. Então, a formulação em indução magnética B é apresentada, bem como suas condições de contorno e o acoplamento entre o MEFF e o MRR. Desta maneira, ambas as formulações podem ser comparadas de forma mais precisa. Após apresentar como esta metodologia foi implementada, são apresentados os casos de teste e os resultados obtidos.

No Capítulo 4, é apresentada uma forma de aplicar a técnica de subproblemas no MEFF, bem como alguns casos de teste que vão desde um caso limite simples até uma aplicação mais complexa em 3-D acoplada com o MRR.

Finalmente, no Capítulo 5, apresentam-se as conclusões finais, bem como propostas de trabalhos futuros e os artigos elaborados durante esta tese.

AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E A ESTRUTURA MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO

Nesta seção são apresentadas as equações de Maxwell, as quais descrevem as grandezas físicas tratadas neste trabalho, bem como as leis de comportamento dos materiais, as condições de contorno e de transferência de campo entre meios com propriedades distintas. Tais equações são a forma canônica das formulações que serão apresentadas no decorrer deste trabalho.

Após, é apresentada uma introdução à estrutura matemática contínua. Então, é exposta a estrutura matemática discreta, a qual origina da estrutura contínua e descreve as conhecidas funções base dos elementos finitos.

AS EQUAÇÕES DE MAXWELL EM MEIOS CONTÍNUOS

A teoria eletromagnética, a qual descreve um conjunto amplo de fenômenos, pode ser convenientemente expressa através das Equações de Maxwell,

rot H = J c + ∂ D ∂t (2.1) rot E = - ∂ B ∂t (2.2) div B=0 (2.3) div D = ρ (2.4)
onde:

• H é o campo magnético;

• J c é a densidade de corrente conduzida;

• D é a densidade de fluxo elétrico;

• E é o campo elétrico;

• B é a indução magnética ou densidade de fluxo magnético;

• ρ é a densidade volumétrica de carga elétrica.

As relações constitutivas dos materiais são:

B = µH + B r (2.5) D = εE (2.6) J = σ E (2.7)
onde:

• B r é a indução magnética remanente;

• µ é a permeabilidade magnética;

• ε é a permissividade elétrica;

• σ é a condutividade elétrica.

Em uma primeira análise, modelagem de campos magnetostáticos parece relativamente limitada quanto a aplicações, pois a maioria dos dispositivos são alimentados através de sinais com forma de onda sinusoidal. Porém, quando a estrutura é concebida de uma forma tal que os efeitos da variação da indução magnética no tempo, ∂ B/∂t, em materiais condutores possam ser ignorados, pode-se aplicar a formulação magnetostática. Mesmo que a estrutura esteja em movimento, esta pode ser modelada como várias modelagens magnetostáticas, sendo uma para cada passo de tempo, obtendo assim uma solução dinâmica (BASTOS; [START_REF] Bastos | Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods[END_REF].

Desta maneira, reescrevendo-se as equações de Maxwell a serem resolvidas para campos magnéticos e estáticos, tem-se:

rot H = J c (2.8) div B=0 
(2.9) juntamente com a relação constitutiva para materiais magnéticos,

B = µH + B r (2.10) ou H = νB + H c (2.11)
onde ν é a relutividade magnética e H c é o campo magnético coercitivo.

Condições de contorno

Dado um domínio Ω, Figura 2, para resolver as equações da Seção 2.2 é necessário definir condições de contorno adequadas ao longo de Γ para assegurar a unicidade da solução.

Figura 2: Domínio em estudo e suas superfícies externas complementares.

Γ B Γ H Ω (a) Grandezas magnéticas. Γ D Γ E Ω (b) Grandezas elétricas.
As condições homogêneas aplicadas ao longo das regiões complementares de Γ= Γ H ∪ Γ B para campos magnéticos são:

n × H| Γ H = 0 (2.12) n • B| Γ B = 0 (2.13)
enquanto que para as grandezas elétricas, com as regiões complementares Γ= Γ E ∪ Γ D , as condições de contorno são:

n × E| Γ E = 0 (2.14) n • D| Γ D = 0 (2.15)
Tais condições são aplicadas em basicamente duas situações, sendo elas: a) físicas: materiais com características perfeitas, por exemplo, condutividade ou permeabilidade infinitas e b) simetria: para impor determinada direção aos campos [START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF].

Condições de transmissão de campos

Os campos eletromagnéticos sofrem descontinuidades nas superfícies entre meios com propriedades constitutivas diferentes. Sendo assim, ao in-tegrar as equações (2.1), (2.2), (2.3) e (2.4) ao longo dos meios Ω 1 e Ω 2 ou ao longo da superfície Σ entre estes meios (Figura 3), e aplicando-se os teoremas de Stokes e da divergência, obtém-se as condições de transmissão, ou condições de interface, que seguem [START_REF] Sadiku | Elements of Electromagnetics[END_REF][START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF][START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]:

n × (H 2 -H 1 )| Σ = J s (2.16) n × (E 2 -E 1 )| Σ = 0 (2.17) n • (B 2 -B 1 )| Σ = 0 (2.18) n • (D 2 -D 1 )| Σ = -ρ s (2.19)
onde:

• J s é a densidade de corrente superficial;

• ρ s é a a densidade de carga superficial, sendo que ambas as grandezas J s e ρ s são definidas de forma concentrada ao longo da superfície Σ.

Figura 3: Superfície Σ entre dois meios contínuos Ω 1 e Ω 2 .

Ω 1 Ω 2 Σ n
Vale ressaltar que J s e ρ s podem ser definidas através das descontinuidades das componentes tangenciais ao longo de Σ. No entanto, definindo-se agora que J s é nula e reescrevendo-se H 1 e H 2 dados na Eq. (2.16) em termos das suas componentes normal e tangencial, tem-se que:

n × (H 2n n + H 2t t -H 1n n -H 1t t)| Σ = 0 (2.20) n × [n (H 2n -H 1n ) + t (H 2t -H 1t )]| Σ = 0 (2.21) H 2t -H 1t | Σ = 0 (2.22)
ou seja, a componente tangencial dos campos magnéticos são contínuas ao longo de Σ. O mesmo é válido para o campo E. Desta mesma forma, pode-se reescrever a Eq. (2.18) como:

n • (B 2n n + B 2t t -B 1n n -B 1t t)| Σ = 0 (2.23) n • [n (B 2n -B 1n ) + t (B 2t -B 1t )]| Σ = 0 (2.24) B 2n -B 1n | Σ = 0 (2.25) concluindo-se que para o campo B há continuidade na componente normal.
O mesmo é valido para o campo D, desde que ρ s = 0. Esta análise é de suma importância para o estudo das formulações de elementos finitos, mais precisamente para a definição das funções de teste a serem utilizadas, pois algumas destas funções possuem continuidade da componente tangencial e são propícias para a modelagem de grandezas do tipo campo (H e E) e outras possuem continuidade da componente normal, sendo propícias para a modelagem de grandezas do tipo fluxo (B e D).

Superfícies perfeitamente condutoras

Mesmo denotando uma modelagem magnetodinâmica, uma superfície perfeitamente condutora é um caso limite interessante no que tange a aplicação da técnica de subproblemas em formulações magnetostáticas, o que será estudado no decorrer deste trabalho.

Neste caso, as condições de transferência de campos podem ser simplificadas, já que o meio Ω 2 é perfeitamente condutor, ou seja, o campo interno à este meio é nulo. Desta maneira, a condição de transmissão de campo dado na Eq. (2.17) pode ser reescrita na forma de:

n × E| Σ = 0 (2.26) bem como a Eq. (2.18), n • B| Σ = 0 (2.27)
onde E e B são os campos no meio externo, E 1 e B 1 de acordo com a Fig 3 . É importante mencionar que a superfície Σ continua suportando as densidades superficiais de corrente (n × H = -J s ) e carga (n 2002).

• D = ρ s ) (JIN,

ESTRUTURA MATEMÁTICA CONTÍNUA

Definições de uma região delimitada

As equações aqui apresentadas são avaliadas ao longo de um domínio euclidiano tridimensional, Ω, delimitado por uma superfície ∂ Ω = Γ, conforme apresentado na Figura 4. n é um campo de vetores normal à superfície Γ e orientado em direção ao exterior de Ω, Σ é uma superfície de corte, formando assim seu limite ∂ Σ. Estes cortes são normalmente utilizados para transformar Ω em simplesmente conexo. Como o domínio pode conter regiões com aplicação de corrente elétrica, Ω s é um possível indutor imerso em Ω.

Figura 4: Domínio Ω e suas definições.

Ω s n ∂ Ω = Γ ∂ Σ Ω Σ

Conexidade simples ou múltipla

Um domínio simplesmente conexo é aquele no qual toda linha contínua e fechada, γ, forma uma superfície completamente contida em Ω (Fig 5a). Em outras palavras, γ pode ser continuamente deformada até ser reduzida a um ponto. Os domínios não conexos são ditos multiplamente conexos e são tais que possuem pelo menos uma curva que não possa ser reduzida por deformação contínua a um ponto (Fig 5b), podendo-se citar o toroide ou outras topologias que contenham uma cavidade. Pode-se ainda quantificar conexidade múltipla de um domínio através dos tipos de curvas γ suportadas. Sempre é possível traçar curvas que podem ser reduzidas a um ponto através de deformação contínua e estas são ditas do tipo γ 0 . No entanto, existem curvas que não podem ser reduzidas e estas são definidas como do tipo γ i [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF][START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF][START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]. 

Estrutura base

Os operadores que mapeiam membros de um espaço específico no conjunto dos números reais (R), ou complexos (C), são especiais e recebem o nome de funcionais [START_REF] Reddy | Introductory Functional Analysis -With Applications to Boundary Value Problems and Finite Elements[END_REF].

Consideremos agora uma estrutura formada por quatro espaços funcionais, dois escalares L 2 (Ω) e dois vetoriais L 2 (Ω), denominados por F p H , onde p = 0,1,2,3 é o grau do operador associado. L 2 (Ω) é um espaço de Hilbert (MEDEIROS; MIRANDA, 2000;[START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF].

Tais espaços são definidos e limitados no domínio de três operadores diferenciais lineares, sendo eles o gradiente (grad), o divergente (div) e o rotacional (rot). A estrutura definida pelos domínios destes operadores é denominada "complexo" (BOSSAVIT, 1988a;BOSSAVIT;[START_REF] Bossavit | Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements[END_REF]BOSSAVIT, 1988b;[START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF].

Os domínios dos operadores são tais que

grad H F 0 H ⊂ F 1 H (2.28) e rot H F 1 H ⊂ F 2 H (2.29)
formando assim a sequência conhecida como o complexo de Rham (BOSSA-VIT, 1988b),

F 0 H (Ω) grad H ---→ F 1 H (Ω) curl H ---→ F 2 H (Ω) div H --→ F 3 H (Ω) (2.30)
O fato central deste complexo é que a imagem de um operador é exata-mente o núcleo do operador subsequente, determinando assim uma sequência conhecida como "exata" (BOSSAVIT, 1988b). Esta sequência, juntamente com os domínios destes operadores e suas condições de contorno, é dada na Tabela 1.

Neste ponto, faz-se necessário introduzir o complexo dual considerandose os operadores adjuntos dos apresentados na Eq. (2.30). Os domínios destes operadores são apresentados na Tabela 2 e suas deduções podem ser verificadas em [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF].

De posse então dos quatro espaços funcionais, seus duais, os três operadores diferenciais e adjuntos organizados em uma dada estrutura, pode-se organizar o diagrama de Tonti, apresentado na Figura 6 para o caso de magnetostática, que é formulação base para esta tese. Verifica-se que as equações de Maxwell (Seção 2) são representadas através da estrutura matemática definida anteriormente.

Figura 6: Diagrama de Tonti para magnetostática -Forma dual.

F 0 H F 1 H F 2 H F 3 H grad H rot H div H H -φ J 0 H = -gradφ rotH = J divJ c = 0 F 3 B F 2 B F 1 B F 0 B grad B rot B div B B 0 A B = rotA divB = 0 B = µH Lado H Lado B
Esta estrutura pode descrever uma grande variedade de modelos em derivadas parciais, podendo-se citar o modelo para correntes induzidas. Além disso, uma representação em três dimensões deste diagrama pode descrever problemas com evolução temporal [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF].

Este tipo de análise se torna importante no momento em que se deseja entender melhor a estrutura matemática que confere suporte à física descrita através das equações de Maxwell, neste caso. Ademais, as relações entre os conjuntos e operadores contínuos aqui estudados são a base para o método de elementos finitos, pois esta estrutura é a base da estrutura discreta utilizada no MEF, ou seja, as funções de teste ou de interpolação.

Tabela 1: Operadores diferenciais e seus domínios.

Grau Operador

Domínio 0 grad H F H = {φ ∈ L (Ω); grad φ ∈ L (Ω), φ | Γ H = 0} 1 rot H F 1 H = { H ∈ L 2 (Ω); rot H ∈ L 2 (Ω), n × H| Γ H = 0} 2 div H F 2 H = {B ∈ L 2 (Ω); div B ∈ L 2 (Ω), n • B| Γ B =

0}

Tabela 2: Operadores adjuntos e seus domínios.

Grau

Operador Domínio 2

(grad B ) * = -div B F 2 B = {B ∈ L 2 (Ω); div B ∈ L 2 (Ω), n • B| Γ B * = 0 1 (rot B ) * = rot B F 1 B = { H ∈ L 2 (Ω); rot H ∈ L 2 (Ω), n × H| Γ H * = 0} 0 (div H ) * = -grad B F 0 H = {φ ∈ L 2 (Ω); grad φ ∈ L 2 (Ω), φ | Γ H * = 0} 2.4 ESTRUTURA MATEMÁTICA DISCRETA

Os elementos finitos

O papel do elemento finito é interpolar um campo em um espaço de funções com dimensões finitas, geralmente definido como campo em uma topologia simples, chamada de elemento geométrico [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF][START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF].

Um elemento é definido através da tríplice {K, P K , Σ K }, onde:

• K: É o domínio de um espaço chamado de elemento geométrico, normalmente possuindo uma estrutura simples, como triangular ou quadrangular em 2-D, e tetraédrico ou hexaédrico em 3-D;

• P K : É o espaço de funções com uma quantidade finita "n k " de termos, definido em K. Tais funções são conhecidas como funções de base;

• Σ K : É o conjunto de n k graus de liberdade representados por n k funções (funcionais) lineares φ i , definidas em P K .

Dado um ponto x, a interpolação de uma função u definida no espaço P K e determinada através dos graus de liberdade de Σ K é dada por:

u K (x) = n k ∑ i=1 a i p i , u K ∈ P K , x ∈ K (2.31)
onde a i são os coeficientes dos termos p i da função de base. Tais funções podem ser adaptadas a uma variedade de tipos de campos, podendo assim também ser aplicadas para elementos com campos escalares, como os nodais, e vetoriais, como os elementos de aresta e de face. A Eq. (2.31) pode ser reescrita como a Eq. (2.32) [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF][START_REF] Meunier | The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling[END_REF].

u K (x) = n k ∑ i=1 φ j (u) p i (x), u k ∈ P K , x ∈ K (2.32)
onde os coeficientes φ j (u) = φ j (u K ) são os graus de liberdade.

Elementos de Whitney

Uma estrutura matemática discreta similar à estrutura contínua apresentada na Seção 2.3.3 foi desenvolvida por H. Whitney. Após alguns anos, já na era dos elementos finitos, esta estrutura deu origem ao "complexo de Whitney"ou "formas de Whitney", servindo como funções de base (BOSSA-VIT, 1988b).

As funções de base podem ser nodais, de aresta, de face e de volume (BOSSAVIT, 1988a(BOSSAVIT, , 1988b)), cada uma delas com suas características intrínsecas, como por exemplo, descontinuidades dos campos entre elementos adjacentes. Como pode ser notado na Seção 2.2.2, existem descontinuidades de campo ao longo das superfícies entre meios com propriedades diferentes e as funções de base devem ser tais a garantir estas descontinuidades. Esta é uma informação de suma importância, pois permite avaliar o melhor tipo de elemento a ser utilizado para a modelagem de campos com diferentes naturezas.

As funções W são as funções de base p utilizadas na interpolação dada na Eq. (2.32) e, como comentado naquela Seção 2.4.1, as funções u k ∈ P K podem ser adaptadas a diferentes tipos de campos, que é o caso dos elementos de Whitney, conforme mencionado acima.

Desta maneira, podem-se definir os elementos de Whitney de ordem p =1, 2 e 3, tal que:

W 0 grad f ---→ W 1 rot F --→ W 2 div F --→ W 3 (2.33)

Definição da malha

Para as análises através do método de elementos finitos é definido um conjunto de elementos geométricos simples, os elementos finitos, que represente o domínio Ω. Esse conjunto de elementos é denominado malha [START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF].

Tais elementos são definidos através de sua topologia geométrica e as funções de base associadas a tal configuração. À vista disso, dado um elemento tetraédrico, por exemplo, Figura 7, as entidades geométricas são definidas da seguinte forma: os nós são indicados por n ou {i}, as arestas por a ou {i,j}, as faces por f ou {i,j,k} e os elementos volumétricos por v ou {i,j,k,l} (BOSSAVIT, 1988b). As funções de base nodais são utilizadas para discretizar grandezas escalares ao longo do domínio de cálculo, podendo-se citar o potencial elétrico V, ou temperatura. Tais elementos são largamente utilizados, principalmente como o primeiro passo no estudo da teoria de elementos finitos. No entanto, este tipo de elemento possui algumas desvantagens, sendo elas:

• Impõe continuidade entre elementos em ambas direções dos vetores de campo ao longo das interfaces entre elementos, o que pode não ser propriamente uma características destes campos (BOSSAVIT, 1988b);

• Obtenção de resultados não físicos, ou espúrios, atribuído à falta de condição de divergência (JIN, 2002);

• Dificuldade quanto ao cálculo de campos em singularidades geométricas (campo elétrico em cantos vivos, por exemplo) [START_REF] Jin | The Finite Element Method in Electromagnetics[END_REF].

As funções de interpolação nodais para um nó n={i} são obtidas como:

W n (x) = λ i (x) (2.34)
onde λ i (x) representa as funções nodais, que valem um quando x = x i , variando linearmente a zero nos outros nós e x i é a coordenada no nó i. Este é um "elemento Whitney de ordem 0", baseado no nó n (BOSSA-VIT, 1988b).

Funções de base de aresta

Em casos onde se deseja calcular grandezas vetoriais, como o campo elétrico E ou o campo magnético H, utiliza-se largamente os elementos de aresta, pois estes impõem a continuidade da componente tangencial, que é uma característica deste tipo de campo, Eq. (2.22), deixando a componente normal livre [START_REF] Dular | Coupling between edge finite elements, nodal finite elements and boundary elements for the calculation of 3-D eddy currents[END_REF][START_REF] Bíró | Edge element formulations of eddy current problems[END_REF][START_REF] Dular | The benefits of nodal and edge elements coupling for discretizing global constraints in dual magnetodynamic formulations[END_REF]. Além disso, outro aspecto importante deste tipo de elemento é que os campos são obtidos diretamente, sem a necessidade de derivação dos potenciais (BOSSAVIT, 1988b).

A função de interpolação para uma dada aresta a={i,j}, denominada como "elemento Whitney de ordem 1"ou "elemento de aresta"é:

W a = λ i gradλ j -λ j gradλ i (2.35)

Funções de base de face

Contudo, ainda há a possibilidade de modelar grandezas do tipo fluxo, onde as funções de interpolação de face W f tornam-se mais apropriadas devido à conservação da componente normal dos campos (BOSSAVIT, 1988b; VISHNEVSKY; KALIMOV; LAPOVOK, 2002; RAVIART; THOMAS, 1977) (Seção 2.2.2). Tais funções também são conhecidas como bases RWG e foram intensamente utilizadas para a representação de correntes elétricas de superfície em antenas, sendo as mais difundidas para o correto mapeamento de fluxos elétrico e magnético (VISHNEVSKY; KALIMOV; LAPOVOK, 2002; LE- VAN, 2015;[START_REF] Nguyen | An integral formulation for the computation of 3-d eddy current using facet elements[END_REF].

Considerando-se tais características intrínsecas destas funções de interpolação e que, neste trabalho, tem-se como objetivo obter uma rede de relutâncias, as quais derivam do mapeamento da distribuição de fluxo magnético, verifica-se que as funções de interpolação de face são as mais apropriadas para este tipo de modelagem.

O comportamento das funções W f é apresentado na Figura 8a para um elemento tetraédrico de referência. Como pode ser verificado na Figura 8b, a componente normal da função W f i é contínua e vale 1 ao longo da face i, ou seja, o fluxo de W f i vale 1 para a face i e zero para as outras faces, conforme apresentado na Eq. (2.36).

W f i • n i = 1 S i (2.36) onde
• W f i são as funções de base W f avaliadas ao longo da face i;

• n i é o campo de vetores normal à face i;

• S i é área da face i. Uma característica destas funções é que o divergente de W f em um determinado elemento é equivalente ao inverso do volume deste elemento (para polinômios de primeira ordem), Eq. (2.37), tendo em vista que div

W f = W v (Eq. (2.33)). div W f = 1 V e (2.37)
onde V e é o volume de um dado elemento e.

No caso de funções 2-D, as funções de face são equivalentes as funções de aresta, com uma rotação de π/2 (FERROUILLAT, 2012). De uma forma geral, dada uma face f={i,j,k}, as funções W f são definidas como:

W f = 2(λ i gradλ j × gradλ k + ... + ...) (2.38)
As funções de face e os pontos de integração para os tipos de elementos utilizados neste trabalho são apresentadas no Apêndice A. Para o mapeamento destas funções do elemento de referência para os elementos reais, utiliza-se o mapeamento "div-conform"através da transformada de Piola, dada no Apêndice B.

CONCLUSÃO

Neste capítulo foram apresentadas as equações de Maxwell, com suas condições de contorno e de transmissão de campos. Estas últimas sendo bastante importantes para o entendimento da técnica de subproblemas, a qual será apresentada na sequência do trabalho.

Também foram apresentadas as estruturas matemáticas contínua e discreta, as quais permitem um entendimento pormenorizado dos conceitos matemáticos que são a base do MEF. Por exemplo, a definição das diversas funções de base e as correlações entre elas.

De forma particular, são expostos conceitos referentes às funções de face, que são a essência deste trabalho.

No próximo capítulo serão apresentadas as formulações em si e os resultados obtidos em 2 e 3-D.

FORMULAÇÕES PARA MODELAGEM DE CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS

INTRODUÇÃO

Existe uma ampla gama de formulações para solução de campos magnetostáticos, dentre elas a formulação em potencial vetor magnético A é uma das mais estabelecidas no meio acadêmico, podendo-se citar uma série de referências acerca [START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]BASTOS;[START_REF] Bastos | Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods[END_REF][START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF]GEU-ZAINE, 2001;[START_REF] Ida | Electromagnetics and Calculation of Fields[END_REF][START_REF] Ida | Electromagnetics and Calculation of Fields[END_REF]DULAR et al., 2015).

Todavia, considerando-se ainda suas peculiaridades e que esta formulação será objeto de comparação com a formulação em B, verifica-se a importância de estudá-la com maior nível de detalhe, o que se dará no início deste capítulo.

Então a formulação em B é pormenorizada, bem como a aplicação das condições de contorno e o acoplamento com MRR.

Finalmente são apresentados os resultados obtidos em 2 e 3-D e a comparação entre as formulações, em termos de acurácia dos resultados e esforço computacional.

FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL VETOR MAG-NÉTICO

Forma forte

Considerando-se a divergência nula da indução magnética, descrita pela Lei de Gauss para campos magnéticos (Eq. (2.3)), percebe-se que as linhas de indução iniciam e terminam seus caminhos sobre elas mesmas. Isto significa que o fluxo magnético que atravessa a superfície formada por tais caminhos é nulo. Tal propriedade pode também ser referida dizendo que a indução magnética é solenoidal.

Desta forma, div B = 0 pode ser expressa através do potencial vetor magnético, A:

B = rot A (3.1)
A relação constitutiva dada na Eq. (2.5) pode ser escrita na forma da Eq. (3.2).

H = 1 µ (B -B r ) (3.2)
Assim, aplicando tal equação na Eq. (2.8), obtém-se:

rot 1 µ (B -B r ) = J (3.3)
Substituindo-se a Eq. (3.1) na Eq. (3.3), obtém-se rot 1

µ (rot A -B r ) = J (3.4)
a qual pode ser reescrita como:

rot 1 µ (rot A) -rot 1 µ (B r ) = J (3.5)
que é a forma forte da formulação em potencial vetor magnético.

A continuidade da componente normal de B, Eq. (2.18), é assegurada através da continuidade da componente tangencial de A, uma vez que a relação B = rot A está implícita na Eq. (3.5) [START_REF] Dular | P. Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systémes tridimensionnels non linéaires[END_REF][START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF].

Um aspecto importante desta formulação é que ela não apresenta dificuldades em relação à modelagem de regiões não simplesmente conexas.

Outro ponto relevante é que se A é a solução da Eq. (3.5), então A g = A + grad τ também é solução, pois rot grad τ = 0, ou seja, rotA = rotA g . τ é uma função escalar qualquer, que deve ser fixa através de uma equação de calibre, garantindo a unicidade da solução. Para tal, pode-se utilizar o calibre de Coulomb, div A = 0, que impõe a continuidade da componente normal de A (DULAR, 1996; JACKSON, 1999; MESQUITA; BASTOS, 1992), mas que pode resultar em perda de precisão em regiões metálicas com altos valores de permeabilidade magnética [START_REF] Preis | Numerical analysis of 3D magnetostatic fields[END_REF].

Também é possível aplicar uma condição de calibre baseada em uma árvore definida no domínio Ω (MESQUITA; BASTOS, 1992; DULAR, 1996; SILVA; MESQUITA, 1997; BOSSAVIT; [START_REF] Bossavit | Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements[END_REF][START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF]. Para tal, definese um campo vetorial divergente K, tal que

A • K = 0 (3.6)
As linhas de K não são fechadas e são tais que podem ligar dois pontos quaisquer, P e Q, no domínio de estudo Ω, sendo P = Q, conforme apresentado na Figura 9. Figura 9: Função vetorial K em um problema contínuo.

K P Q α Calculando a circulação de A g = A + grad f ao longo de um contorno α (Figura 9) ligando os pontos P e Q, tem-se: α A g dl = α A dl + f Q -f P (3.7)
Considerando-se que o caminho α seja definido sobre linhas do campo K, as integrais da Eq. (3.7) tornam-se nulas. Ou seja, a função f possui o mesmo valor se avaliada nos pontos P e Q, f Q = f P , e consequentemente grad f = 0. Assim, pode-se afirmar que a função f é constante ao longo de qualquer caminho entre P e Q. Desta forma, tem-se a unicidade da solução A g = A.

Forma fraca

A forma fraca da Eq. (2.8) é dada definindo o resíduo vetorial R, tal que:

R = rot H -J (3.8)
Este resíduo é ponderado através da função teste vetorial, A ∈ F 1 b , resultando na Eq. (3.11)

Ω R A dΩ = 0 (3.9) Ω (rot H -J) A = 0 (3.10) Ω rot H A dΩ = Ω J A dΩ (3.11)
Utilizando-se então a fórmula de Green do tipo rotrot

Ω V rotW dΩ - Ω W rotV dΩ = Γ (V × n) WdΩ (3.12) Ω V rotW dΩ = Ω W rotV dΩ + Γ (V × n) WdΩ (3.13) e fazendo V = A e W = H, tem-se Ω rotH A dΩ = Ω H rotA dΩ + Γ A × n H dΩ (3.14)
Considerando-se a relação constitutiva dada na Eq. (2.10), tem-se:

Ω rotH A dΩ = Ω 1 µ B rotA dΩ - Ω 1 µ B r rotA dΩ + Γ A × n HdΩ
(3.15) A indução magnética pode ser descrita através do potencial vetor magnético,

Ω rotH A dΩ = Ω 1 µ rotA rotA dΩ - Ω 1 µ B r rotA dΩ+ Γ A × n H dΩ (3.16)
Os termos da integral de superfície podem ser alternados de forma cíclica (Eq. (3.17)) e então decomposto em dois termos (Eq. (3.18)), pois

Γ = Γ H ∪ Γ B . Ω rotH A dΩ = Ω 1 µ rotA rotA dΩ - Ω 1 µ B r rotA dΩ+ Γ (n × H) A dΓ (3.17) Γ (n × H) A dΓ = Γ H (n × H) A dΓ + Γ B (n × H) A dΓ (3.18)
O último termo do lado direito da Eq. (3.17) pode ser apresentado como:

Γ B A × n H dΓ = - Γ B n × A H dΓ (3.19)
Aplicando-se a Eq. (3.19) na Eq. (3.18), tem-se:

Γ (n × H) A dΓ = Γ H (n × H) A dΓ - Γ B n × A H dΓ (3.20) Como a função de teste A ∈ F 1 B , tem-se que n × A | Γ B = 0.
Isto significa que a componente tangencial do potencial vetor magnético A é nula ao longo de Γ B , ou ainda, que a circulação de A é nula. Ou seja, a indução magnética (B = rotA) somente possui componente tangencial. Desta maneira, o segundo termo do lado direito da Eq. (3.20) se torna nulo.

No primeiro termo do lado direito desta equação, n×H| Γ H = 0 implica que a componente tangencial de H é nula, H t = 0. Isto significa que o campo somente possui componente normal ao longo de Γ H , similarmente ao que acontece para a condição de Neumann. Vale ainda ressaltar que este termo pode estar associado a grandezas globais do tipo circulação, podendo-se citar a força magnetomotriz (DULAR; LEGROS; [START_REF] Dular | Coupling of local and global quantities in various finite element formulations and its application to electrostatics, magnetostatics and magnetodynamics[END_REF][START_REF] Dular | Dual finite element formulations for lumped reluctances coupling[END_REF][START_REF] Luz | Desenvolvimento de um software para cálculo de campos eletromagnéticos 3D utilizando elementos de aresta, levando em conta o movimento e o circuito de alimentação[END_REF].

Desta forma, a Eq. (3.11) pode ser expressa como:

Ω 1 µ rotA rotA dΩ - Ω 1 µ B r rotA dΩ = Ω J A dΩ (3.21)

Implementação da condição de calibre

Em um domínio discreto, a função K referida na Eq. (3.6) é definida ao longo de uma árvore construída com base nas arestas dos elementos de um dado domínio Ω, Fig 10. Neste caso, A • K = 0 é intrínseca ao espaço de elementos finitos de aresta e é implementada anulando-se a circulação de A ao longo de todas as arestas que pertencem à árvore.

Figura 10: Função K em um domínio discreto.

Co-árvore Árvore

Ou seja, a interpolação de A em um elemento é definida através das arestas que compõem a co-árvore,

A = ∑ j∈ Ā a j s j (3.22) onde:
• Ā: é o conjunto de arestas do elemento em questão que pertencem à co-arvore;

• s j : é a função base associada a aresta j;

• a j : é a circulação de A obtida para a aresta j.

Esta condição de calibre pode ser melhor examinada em referências como (SILVA; MESQUITA, 1997; GOLIAS; TSIBOUKIS, 1994; MANGES; CENDES, 1995).

FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO

Forma forte

O campo magnético total H pode ser expresso através dos campos H s e H r ,

H = H s + H r (3.23) onde
• H s : é o campo magnético fonte e pode ser expresso através das correntes já conhecidas, J;

• H r : é o campo magnético de reação, que pode ser definido em termos do potencial escalar magnético ψ através da Eq. (3.24).

H r = -grad ψ (3.24)
Sendo assim, a Eq. (3.23) pode ser reescrita como:

H = H s -grad ψ (3.25) ou H + gradψ = H s (3.26)
Aplicando-se a Eq. (2.10) no termo para o campo magnético total H, tem-se a forma forte da formulação:

1 µ B + gradψ = H s + 1 µ Br (3.27)

Forma fraca

A forma fraca da Eq. (3.27) é dada igualando-a um resíduo vetorial R,

R = 1 µ B + gradψ -H s - 1 µ Br (3.28)
e então minimizando-se a integral deste resíduo ponderado através da função de teste vetorial

B ∈ F 2 B sobre um dado domínio Ω, Ω 1 µ B • B dΩ + Ω grad ψ • B dΩ - Ω H s • B dΩ - Ω 1 µ B r • B dΩ = 0 (3.29)
A indução magnética B pode ser obtida interpolando-se o fluxo magnético Φ de cada face através das funções de teste B ,

B = n f ∑ i=1 B i Φ i (3.30) onde
• n f : é a quantidade de faces do elemento;

• i: é o índice que identifica cada uma destas faces.

Desta forma, aplicando-se a Eq. (3.30) no primeiro termo da Eq. (3.29), chega-se na Eq. (3.31) e, consequentemente, na Eq. (3.32), que é a matriz clássica (esparsa) de elementos finitos de face.

Ω 1 µ B B dΩ = Ω 1 µ B n f ∑ i=1 B i Φ i dΩ (3.31) Ω 1 µ B B dΩ = n f ∑ i=1   Ω 1 µ B B i dΩ   Φ i (3.32)
Para resolver o segundo termo da Eq. (3.29), utiliza-se a identidade vetorial dada na Eq. (3.33), que pode ser reescrita como a Eq. (3.34).

div ( f K) = grad f • K + f divK (3.33) grad f • K = div ( f K) -f divK (3.34)
Desta forma, o segundo termo da Eq. (3.29) pode ser expresso como:

Ω grad ψ • B dΩ = Ω div ψB dΩ - Ω ψ divB dΩ (3.35)
e, aplicando-se o Teorema da Divergência no primeiro termo do lado direito desta equação,

Ω grad ψ • B dΩ = Γ ψ (n • B ) dΓ - Ω ψ div B dΩ (3.36)
O termo integral de superfície da Eq. (3.36) é nulo e deve ser avaliado para os quatro casos abaixo apresentados, considerando-se a Figura 11.

• Faces externas Γ B : Impõe que B possui somente componente tangencial ao longo destas superfícies;

• Faces internas de Ω: De acordo com as definições das funções de base de face, B é nula ao longo de todo o domínio, exceto dentro dos dois elementos que a compartilham cada uma destas faces i;

• Γ l ∪ Γ m : Este segundo caso permite limitar Ω como a união de dois elementos, Ω l e Ω m , conforme ilustrado na Figura 11 e representado na Eq. (3.37). No entanto, n • B é nula ao longo de Γ l ∪ Γ m , exceto ao longo de Γ l ∩ Γ m ;

• Γ l ∩ Γ m : As funções de base B l e B m possuem direções opostas ao longo destas faces, cancelando assim umas às outras. n

Ω l +Ω m gradψ • B dΩ = Γ l +Γ m ψ (n Γ • B ) dΓ - Ω l +Ω m ψ div B dΩ (3.37)
Ω l Ω m Γ m Γ Ω Γ l Face i Γ H Γ B
Desta forma, a Eq. (3.37) poder ser escrita como:

Ω l +Ω m gradψ • B dΩ = - Ω l +Ω m ψ div B dΩ (3.38)
ou da seguinte forma:

Ω l +Ω m grad ψ • B dΩ = Ω l ψ l div B dΩ l - Ω m ψ m div B dΩ m (3.39)
Uma propriedade importante dos elementos de face é que o divergente da função (div B ) equivale ao inverso do volume do elemento (Eq. (2.37)), permitindo escrever a Eq. (3.39) como:

Ω l +Ω m grad ψ • B dΩ = 1 V l Ω l ψ l dΩ l - 1 V m Ω m ψ m dΩ m (3.40)
Como Ω e ψ e dΩ e representa o potencial escalar médio ao longo de um dado elemento e (LE- VAN, 2015), pode-se definir que:

Ω l +Ω m grad ψ • B dΩ = ψ l -ψ m (3.41)
Voltando-se à Eq. (3.29), o campo H s em seu terceiro termo é originado por densidades de correntes elétricas impostas e pode ser obtido através da Equação de Biot-Savart, detalhada no Apêndice C, ou através do MEF. O quarto termo desta equação considera a indução remanente dos possíveis ímãs permanentes contidos no domínio. Consequentemente, o termo 1/µ B r pode ser substituído pelo campo magnético coercitivo Hc.

Sendo assim, a Eq. (3.29) pode ser reescrita como a Eq. (3.42), cuja forma matricial é dada na Eq. (3.44).

n f ∑ i=1   Ω 1 µ B j B i dΩ   Φ i + ψ a -ψ b = Ω H s B dΩ + Ω 1 µ B r B dΩ (3.42)
Caso o campo magnético coercitivo dos ímãs seja utilizado, tem-se

n f ∑ i=1   Ω 1 µ B j B i dΩ   Φ i + ψ a -ψ b = Ω H s B dΩ + Ω H c B dΩ (3.43) [ℜ] [Φ] -[ψ m ] = [ f mm] (3.44)
onde:

• [ℜ]: é a matriz rigidez do MEFF, fisicamente conhecida como matriz de relutâncias;

• [Φ]: é a matriz de incógnitas referente ao fluxo magnético através de cada face da malha;

• [ψ m ]: é o vetor de diferenças de potencial escalar magnético entre elementos adjacentes;

• [ f mm]: contém as fontes de f mm definidas através dos campos H s e/ou H c .

Em termos práticos, a matriz [ f mm] é formada através da integração de um campo H 0 , este podendo ser composto por H s e/ou H c , dependendo das excitações do modelo.

Vale ainda salientar que a Eq. (3.43) não é resolvida através da formulação, mas sim através da associação da sua forma matricial (Eq. (3.44)) com um circuito magnético, ou seja, através de um sistema 0-D, no qual a divergência nula da indução magnética (Eq. (2.9)) é imposta pela Lei de Kirchhoff para Correntes (LKC).

Circuito tal que contará com acoplamentos mútuos entre seus elementos, pois analisando a Eq. (3.42), percebe-se que para i = j, obtêm-se valores de relutâncias entre as faces i e j. Desta forma, a matriz de impedâncias, aqui utilizada como matriz de relutâncias magnéticas, possui termos fora da diagonal.

Também é necessário definir um sentido para cada ramo do circuito magnético, ou seja, para cada face global da malha de elementos finitos. Tal fato impõe a necessidade de verificar este sentido e inverter ou não as funções B , conforme apresentado na Figura 12. Faz-se importante mencionar que esta operação também é necessária durante a integração dos termos fontes

[H s ] e [H c ].
Para ilustrar a conversão da matriz de rigidez em uma rede de relutâncias, na Figura 13 é apresentada uma malha com quatro elementos triangulares e seu circuito magnético equivalente, com as relutâncias próprias e mútuas, bem como as possíveis condições de contorno n • B| Γ B = 0 e n × H| Γ H = 0. Figura 13: Malha convertida em rede de relutâncias, com as possíveis condições de contorno.

M 12 M 34 M 41 M 23 ℜ 0 ℜ 2 ℜ 3 ℜ 1 ℜ 4 ℜ 5 M 01 M 02 M 45 M 35 n • B| Γ B = 0 n • B| Γ B = 0 n × H| Γ H = 0 n × H| Γ H = 0
Cada ramo conta também com uma fonte de f mm obtida através dos campos H s e/ou H c . Para solução deste circuito, faz-se ainda necessário determinar a conexão entre os ramos através de uma matriz de incidências, delineando assim os dados necessários para a solução da Eq. (3.44) como um circuito magnético.

3.3.3 Condição de contorno n • B| Γ B = 0 A condição de contorno n • B| Γ B = 0,
já discutida na Seção 2, implica em fluxo magnético nulo através das superfícies Γ B , sugerindo que, do ponto de vista de circuitos, os ramos definidos nas faces dos elementos ao longo destas superfícies são representados como circuitos abertos. Desta maneira, estes ramos podem ser suprimidos do sistema de equações, ou seja, não são levados em conta no circuito magnético.

Por exemplo, considerando-se que n • B| Γ B = 0 seja aplicada nas arestas verticais da malha apresentada na Figura 13, as relutâncias magnéticas indicadas em cinza são suprimidas do circuito.

Condição de contorno n × H| Γ H = 0

Como verificado na Seção 3.3.2, a condição de contorno natural à formulação apresentada é n • B| Γ B = 0. No entanto, ainda faz-se necessário definir n × H| Γ H = 0, que permite a aplicação de planos de simetria.

Esta condição é imposta através de um potencial escalar magnético constante ao longo de Γ H , ou seja, ψ|

Γ H = constante, n × H| Γ H = -n × grad ψ| Γ H = 0 (3.45)
Em termos de implementação, define-se um nó externo P (Figura 14) e conecta-se este nó aos ramos equivalentes as faces ao longo de Γ H . A relutância destes ramos é estabelecida com um valor muito baixo, configurando um "curto-circuito magnético". Figura 14: Condição de contorno n × H| Γ H = 0.

Ω Γ H P

Como as relutâncias que conectam os ramos internos do domínio ao nó P são desprezíveis e, considerando-se que a variação do valor das relutâncias das faces ao longo de Γ H possa ser também desprezada, pode-se assumir que a camada de elementos que forma esta superfície está no mesmo potencial magnético, ou seja, n × grad ψ| Γ H = 0

Fonte externa de indução magnética

Pode-se ainda definir um campo de indução magnética externo ao longo de uma dada superfície Γ.

Considerando-se o formalismo para solução de circuitos, esta condição de contorno pode ser implementada definindo-se fontes de fluxo magnético ao longo da superfície Γ, mais especificamente uma fonte em cada ramo que conecta cada face i ao nó P apresentado na Figura 14. O fluxo em cada um destes ramos é dado por:

Φ i = Γ i n • B i dΓ i i = 1...,n f Γ (3.46)
onde:

• n f : é o número de faces ao longo de Γ B ;

• B i : é a indução magnética em cada uma destas faces.

Como todos os ramos são conectados a um nó externo P, tem-se divergência nula neste campo externo imposto. Ou seja, divB = 0 imposta pela LKC.

Do ponto de vista computacional, a definição desta condição não é tarefa pesada, uma vez que a integração da Eq. (3.46) é baseada nos pontos de Gauss das faces (2-D) externas da camada de elementos 3-D que compõem Γ.

Acoplamento com circuitos magnéticos externos

O nó P (Figura 14) pode ser também utilizado para conectar o domínio Ω (convertido em uma rede de relutâncias) a um circuito magnético externo, conforme ilustrado na Figura 15, onde Γ c é a superfície de conexão. Como Γ c é definida da mesma maneira que Γ H (Figura 14 e Eq. (3.44)), n × H| Γ H = 0 é também imposta ao longo de Γ c .

Em termos de implementação, este acoplamento é definido adicionandose os ramos/nós do circuito magnético externo na matriz de incidências do MEFF, inserindo-se as relutâncias deste circuito na matriz [ℜ] e as fontes de f mm na matriz [H s ] da Eq. (3.44).

Este é um processo relativamente simples devido ao formalismo utilizado para a solução de circuitos. Sem embargo, com uma consequência de suma importância, pois permite acoplar e resolver circuitos magnéticos concentrados acoplados com domínios discretizados Ω, como um único sistema 0-D. Este acoplamento permite outros tipos de conexão, como por exemplo, várias regiões discretizadas (malha) isoladas geometricamente e interconectadas através de circuitos externos. Tal característica permite reduzir os domínios mesmo quando o modelo não possui simetria, necessitando apenas das superfícies de contato, Γ c . Esta é uma importante vantagem em relação ao MEF clássico.

A solução do circuito magnético

O circuito magnético resultante pode ser resolvido através das técnicas de laços independentes ou nodal (CHUA; [START_REF] Chua | Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits: Algorithms and Computational Techniques[END_REF], ambas detalhadas no Apêndice D.

Com o objetivo de comparar estas duas abordagem para solução deste tipo de problema em específico, define-se uma malha tetraédrica com n elementos e f e faces externas. As características do circuito podem ser determinadas como:

b = 2n + f e 2 (3.47) b = i + n -1 (3.48)
onde b é a quantidade de ramos na malha dual, ou seja, faces na malha do MEFF (GUMHOLD; GUTHE; STRASSER, 1999). Assim, com as equações (3.47) e (3.48), pode-se obter a quantidade de laços independentes i,

i = n + f e 2 + 1 (3.49)
Nota-se que, dependendo das condições de contorno, a técnica de laços independentes pode gerar um número ligeiramente maior de incógnitas, i, que a técnica nodal, a qual gera n incógnitas.

Não obstante, o método de laços independentes requer um algoritmo capaz de definir a árvore/co-árvore, a título de exemplo, o algoritmo de Welsh (KUO-PENG, 2005; BASTOS; SADOWSKI, 2003) ou o método proposto por [START_REF] Nguyen | An independent loops search algorithm for solving inductive PEEC large problems[END_REF]. Como mencionado em (LE- VAN, 2015), este processo pode ser custoso computacionalmente no caso de malhas de grande porte. Por outro lado, o método nodal não requer nenhum algoritmo deste tipo, mas requer a inversão da matriz de relutâncias, que também pode ser computacionalmente pesado. Além disso, a matriz se torna cheia após essa inversão, impactando no desempenho das ferramentas matemáticas e computacionais disponíveis para a tratativa de matrizes esparsas.

Após analisar o tempo de solução de cada método, decidiu-se pelo método nodal para resolver os casos de teste apresentados neste trabalho. No entanto, uma análise futura interessante seria realizar esta comparação considerando-se modelos com materiais não-lineares, pois o método de solução acaba influenciando na quantidade de iterações dos solucionadores nãolineares [START_REF] Derbas | A comparison of nodal-and mesh-based magnetic equivalent circuit models[END_REF].

Ω rot H • A dΩ = Ω H • B dΩ + Γ A × n • H dΩ (3.53)
onde o último termo é nulo e o campo fonte H s é obtido através da equação de Biot-Savart, uma vez que rot H r = 0,

Ω rot H • A dΩ = Ω H s • B dΩ (3.54)
Ambas as formulações parecem ser equivalentes, porém são implementadas de maneiras distintas, sendo a formulação em A obtida através da Eq. (3.21) (Seção 3.2) e a formulação em B (Seção 3.3.2) através de um circuito magnético. À vista desta diferença, vale analisá-las pelos seguintes prismas:

i Dado o número de arestas de uma malha regular tetraédrica (GUMHOLD; GUTHE; STRASSER, 1999) e a quantidade de incógnitas por aresta da formulação A (TAKAHASHI et al., 1992), é possível verificar que o número de incógnitas totais são similares em ambas as formulações;

ii A formulação em A requer uma condição de calibre baseada em uma árvore/co-árvore, enquanto a formulação em B requer uma matriz de incidências.

Sendo assim, conclui-se que além de as formulações serem matemática e fisicamente iguais, pode-se assumir que são também semelhantes em termos de esforço computacional.

No entanto, no estado atual não é possível compará-las em termos de desempenho computacional, pois neste trabalho a formulação em A é resolvida através do programa GetDP, que é implementado em linguagem C++, e a formulação em B em Python.

Implementação da metodologia

Estando a formulação magnetostática em B definida, parte-se para a apresentação sobre como foi implementado o sistema computacional desenvolvido.

A metodologia de trabalho com programas computacionais baseados em métodos numéricos aplicados à engenharia tem sido consideravelmente constante, pois depende basicamente de três etapas, sendo elas: pré-processamento, processamento e pós-processamento (SOTO et al., 2008), conforme apresentado no fluxograma dado na Figura 16. Em cada uma destas etapas são executadas atividades específicas, as quais são apresentadas nas seções subsequentes. Uma vez definida a geometria no programa Gsmh, uma malha é gerada e salva em um arquivo com formato específico, que é lido pela aplicação.

Também com os dados da geometria, torna-se possível definir o material de cada região do domínio, suas possíveis excitações e acoplamentos com possíveis circuitos magnéticos externos. Isto é feito através de um arquivo denominado setup, conforme exemplificado na Figura 18.

Desta maneira, com os arquivos de malha e setup, têm-se todos os dados necessários para a modelagem em si, finalizando esta etapa.

Em termos de implementação, todos os dados de pré-processamento são organizados e centralizados em uma única estrutura Python, facilitando assim o acesso e organização do código. 

Processamento

De posse dos dados de pré-processamento, inicia-se a etapa de processamento, Figura 19.

O primeiro passo é verificar se existe alguma região do domínio na qual é imposta densidade de corrente elétrica. Caso exista, calcula-se o campo H s ao longo do domínio, neste caso, através da equação de Biot-Savart. Os resultados obtidos são escritos em um arquivo de solução de campos.

Além de densidade de corrente, o domínio pode contar com ímãs permanentes. Caso isto ocorra, precisa-se somar ao campo anterior a contribuição dos ímãs,

H 0 = H s + H c .
Após definida a solução de campo magnético H 0 , a qual é aplicada no termo fonte do sistema matricial dado na Eq. (3.43), esta é lida do arquivo escrito previamente e armazenada em memória.

Uma vez definido o campo fonte, a malha gerada precisa ser expressa como uma rede de relutâncias. Para tal, cada aresta de malha 2-D ou cada face de malha 3-D é interpretada com um ramo do circuito magnético. Para ter esse controle e arbitrar o sentido de cada um destes ramos, cria-se uma lista destas faces, contendo as seguintes informações:

• Elementos que compartilham a face: Define o sentido do ramo, pois o ramo vai do elemento a, de, para o elemento b, para, conforme ilus-trado na Figura 11;

• Nós (numeração global) da malha que compõe aquela face: Identifica cada face em relação à malha, o que é importante durante a aplicação das condições de contorno.

Com os dados de pré-processamento, resultados de campo magnético fonte e mapeamento das faces da malha, pode-se proceder com a integral dada na Eq. (3.43), resultando nas matrizes de relutâncias [ℜ] e de fontes [ f mm].

Caso o usuário tenha cadastrado algum circuito magnético externo no arquivo de setup, os valores das relutâncias magnéticas são calculados através das dimensões informadas e inseridos na matriz [ℜ]. Estes ramos são inseridos na lista de faces mencionada anteriormente e os valores de fonte de fmm são inseridos na matriz [ f mm].

O acoplamento entre a rede obtida através do MEFF com a rede externa é oriundo da modificação desta lista de faces, pois esta contém as informações de e para de cada ramo de ambos os circuitos (convertido da malha e circuitos externos). Desta forma, modificando uma destas informações (de ou para) de um ramo da malha para um nó na rede externa, acaba por conectar as duas redes. Verifica-se que este é um processo simples e computacionalmente leve.

Com a lista de faces definindo as conexões da rede como um todo, basta definir a matriz de incidências através desta e resolver o circuito magnético completo.

O resultado da solução do circuito é o fluxo para cada ramo da rede, ou seja, para cada ramo da rede externa e da rede obtida através do MEFF. Tais resultados são escritos em um arquivo para a etapa de pós-processamento. No estado atual do desenvolvimento, a etapa de pós-processamento, Figura 22, torna-se mais simples que as etapas anteriores, pois esta lê os resultados de fluxo magnético para as faces da malha e elabora a interpolação dada na Eq. (3.30). Os resultados, induções magnéticas no domínio completo ou em regiões específicas, são escritos em um arquivo de texto com formato específico para visualização no programa Gmsh ou outras ferramentas de análise. Nas soluções com o MEF clássico, resolve-se a formulação em potencial vetor magnético A através do programa GetDP (DULAR et al., 1998b).

Tubo de fluxo ideal

Uma vez definida a formulação e o processo de implementação, necessitase preferencialmente validar a matriz de relutâncias magnéticas obtidas, já que a formulação gera relutâncias próprias e mútuas entre as faces de cada elemento.

Uma possível forma de avaliar se os valores destas relutâncias estão corretos é verificar a relutância equivalente de uma região conhecida. Para tal, define-se uma região simples e sem espraiamento de fluxo acoplada a um circuito magnético externo. Tal esquema e suas condições de contorno são ilustrados na Figura 23a. Esta região possui dimensões iguais, permitindo a analogia de que, se µ 0 = 1 e a relutância do circuito magnético externo é nula, o fluxo magnético que circula pela fonte é o próprio valor da fonte. Neste caso, tem-se f mm = 2500 A, ou seja, para a relutância equivalente da região estar correta, o fluxo magnético obtido para o circuito deve ser 2500 Wb.

Esta geometria é discretizada através de uma malha triangular simplificada apresentada na Figura 23b, onde "e", "f"e "n"são os elementos, faces e nós, respectivamente. As coordenadas dos nós são dadas na Tabela 3. Tabela 3: Coordenadas dos nós da malha.

Nós X Y Z 0 1 1 0 1 -1 1 0 2 -1 -1 0 3 1 -1 0 4 0 0 0
Esta malha é convertida em uma rede de relutâncias e acoplada ao circuito magnético externo, conforme apresentado na Figura 24, onde os nós do circuito são indicados em vermelho e a matrizes de relutâncias e incidências são dadas nas Tabelas 4 e 5, respectivamente.

Figura 24: Circuito magnético obtido para a malha ilustrada na Figura 23b.

f mm ℜ 6 = 0 M 12 0 1 3 2 4 5 M 34 M 41 M 23 ℜ 0 ℜ 2 ℜ 3 ℜ 1 ℜ 4 ℜ 5 M 01 M 02 M 45 M 35
Como mencionado na Seção 3.3.4, os ramos indicados em cinza não são considerados no circuito magnético, devido a condição de contorno definida ao longo das linhas verticais da geometria. Desta maneira, resolvendo-se o circuito magnético apresentado, obtémse a matriz de fluxos apresentada na Tabela 6. Tabela 6: Matriz de fluxos magnéticos Apesar de ser um modelo simples, este caso didático exemplifica alguns pontos importantes, sendo eles: a) como a matriz de rigidez do MEFF pode ser interpretada como uma matriz de relutâncias de um circuito magnético, b) como este circuito é acoplado com uma rede externa e c) como o modelo é completamente resolvido através de um sistema único 0-D.

Relutância Fluxo magnético 0 -2,50E+03 1 1,25E+03 2 1,25E+03 3 1,25E+03 4 1,25E+03 5 2,50E+03 6 

Modelos 2-D

Nesta seção é apresentado um modelo mais realista, mas ainda em 2-D. Este é composto por um enrolamento e um núcleo magnético com um entreferro de ar, conforme apresentado na Figura 26. 

Entreferro Núcleo magnético

Definida a geometria, gera-se uma malha (Figura 27) que, para manter uma base de comparação, será utilizada para todas as análises desta seção. No passo seguinte, grande parte do núcleo magnético é simplificada por uma rede de relutâncias clássica (MRR) e somente a região do entreferro é discretizada para ser resolvida com o MEFF, pois esta requer uma solução de campos mais elaborada devido ao espraiamento de fluxo magnético. Este acoplamento é ilustrado na Figura 29.

Faz-se importante mencionar que a malha utilizada para a região do entreferro é a extraída da malha gerada para os casos anteriores (Figura 27).

Figura 29: Acoplamento MRR + MEFF.

MRR MEFF Γ c

A distribuição de indução magnética obtida com ambas as abordagens (MEF e MRR + MEFF) são apresentadas na Figura 30. Algumas pequenas diferenças na direção dos campos são percebidas ao longo das regiões superiores e inferiores próximas às interfaces Γ c . A razão deste efeito é que no modelo resolvido com MEF, o fluxo magnético muda de direção na região do canto do núcleo. Por outro lado, no caso resolvido com MRR + MEFF, a condição de contorno n × H| Γ H = 0 é imposta ao longo de Γ c , impondo a componente tangencial nula nesta superfície. Estas pequenas diferenças poderiam ser evitadas variando a dimensão da região do entreferro até que o campo tenha majoritariamente componente normal ao longo de Γ c .

Além deste acoplamento, pode-se otimizar o processo de solução numérica do MEFF através da aplicação de malhas mistas no domínio discretizado, pois é de comum conhecimento que malhas regulares, por exemplo quadrilaterais (2-D) e hexaédricas (3-D), contribuem para menores tempos computacionais e resultados mais precisos [START_REF] Maeda | Automatic hexahedral mesh generation for rotating machine[END_REF]. Como o MEFF 2-D também foi implementado para elementos quadrilaterais, o modelo apresentado na Figura 29 é resolvido através de uma malha mista (Figura 31a). A distribuição de indução magnética obtida é apresentada na Figura 31b. Para uma comparação quantitativa e local, um ponto de prova é escolhido no centro do entreferro e a indução magnética neste ponto é obtida através dos métodos apresentados anteriormente.

Além disso, para a análise de uma grandeza global, obtém-se o fluxo magnético total na região do entreferro dos casos completos através da integração da indução magnética e, nos casos acoplados, calcula-se o fluxo total que circula através das superfícies de acoplamento Γ c (Figura 29). A compa-ração entre os resultados é dada na Tabela 7.

Os resultados obtidos com o modelo completo apresentam a menor diferença (0,3%). Os resultados obtidos com o acoplamento MRR + MEFF também são considerados precisos, com diferença de 0,8% no máximo.

Quanto aos valores de fluxo magnético, as diferenças são ligeiramente maiores, mais ainda aceitáveis.

Vale salientar que de uma forma geral, e ao contrário do esperado, as diferenças calculadas com a malha mista foram sutilmente maiores. Tal diferença pode ser explicada pelo fato de as malhas serem diferentes e, consequentemente, uma melhor análise seria considerar os resultados base obtidos através de uma malha extremamente refinada.

Em termos de esforço computacional, foi possível reduzir o número de elementos para aproximadamente 32% da quantidade original. A convergência é analisada considerando-se a energia magnética calculada para um conjunto de malhas contendo desde 96 até 14482 elementos. Para tal análise, estes valores de energia são comparados com o valor obtido através do MEF clássico e com uma malha altamente refinada, com 524175 elementos. Neste caso, o valor de energia foi de 20.851 J. O comportamento da convergência em relação à quantidade de elementos é apresentado na Figura 32. Os valores de energia e convergência para cada uma das malhas consideradas são dados na Tabela 8. Agora, um dispositivo magnético 3-D é analisado. Este é composto por um enrolamento e duas regiões magnéticas separadas por um entreferro de ar (Figura 33). A permeabilidade do núcleo vale µ = 2000µ 0 e o enrolamento é excitado com NI = 3000 A. A profundidade das partes magnéticas, da região dos entreferros e da caixa externa de ar são 20, 50 e 60 mm, respectivamente. Uma linha de prova é inserida centralizada no entreferro para futuras comparações locais. Os resultados obtidos com a malha refinada são apresentados nas Figuras 35 e 36. A componente Z da indução magnética é obtida com ambas as malhas e formulações ao longo da linha de prova, apresentando uma boa correlação, conforme apresentado na Figura 37.

Quanto ao esforço computacional, as formulações B e A geraram praticamente a mesma quantidade de incógnitas, sendo 14928 e 14921, respectivamente, para a solução através da malha refinada. 

ℜ 1 ℜ 4 f mm ℜ 2 ℜ 3 ℜ 5 (a) Acoplamento 1. ℜ 1 ℜ 4 f mm ℜ 2 ℜ 3 ℜ 5 (b) Acoplamento 2.
As malhas utilizadas para estes casos (Figura 39) são cópias da malha refinada gerada para estas regiões no modelo completo. Ambos os acoplamentos são resolvidos e os parâmetros esforço computacional e precisão são comparados. A quantidade de incógnitas, tempo de solução e o fluxo magnético através da parte superior (seção transversal do núcleo no modelo completo e ℜ 1 nos acoplamentos) são comparados nas Tabelas 9 e 10. As diferenças são pequenas nas regiões de interesse, cerca de 0,1%. No entanto, elas aumentam na medida em que o ponto de análise se aproxima das faces nas quais n • B| Γ B = 0, o que é uma consequência natural, uma vez que o fluxo de espraiamento não possui somente componente na direção Z nestas regiões. Mesmo que nas proximidades destas regiões as intensidades de campo sejam baixas, este é um comportamento não desejado e pode ser minimizado aumentando-se a dimensão X da região de ar, possivelmente unificando-as. Entretanto, uma solução mais interessante e definitiva seria aplicar a técnica de elementos infinitos (MELGOZA; ESCARDA, 2014) na direção X ao longo destas faces.

Como esperado, o "Acoplamento 2"apresenta diferenças maiores, mais ainda coerentes e aceitáveis.

Como a solução ao longo dos domínios discretizados é obtida com o MEFF, podem-se pós-processar os resultados de campo. Desta forma, as distribuições de indução magnética obtidas ao longo destes domínios são apresentadas na Figura 42. Como as figuras estão com a mesma escala de cores, podem-se avaliar os resultados visualmente. Com o objetivo de ilustrar essa possibilidade, o modelo apresentado na Figura 33 é modificado como a Figura 43, onde os enrolamentos são arranjados verticalmente. As dimensões são as mesmas daquelas mostradas na Figura 33, exceto pela altura dos enrolamentos que vale 22 mm. A malha gerada para a região ativa é apresentada na Figura 44.

Figura 43: Geometria com enrolamentos verticais.

X Z

Figura 44: Malha da geometria com enrolamentos verticais.

Neste caso o campo fonte não pode ser desprezado nas superfícies Γ c utilizadas nos cortes da parte magnética móvel (Figura 38a), uma vez que pode haver uma distribuição de f mm nos elementos adjacentes à estas faces. Consequentemente, n × grad ψ| Γ H = 0, o que não está de acordo com a suposição assumida na Seção 3.3.4.

Por esta razão, este modelo é simplificado como ilustrado na Figura 45, onde a parte magnética móvel é completamente mantida. Além disso, duas metades dos enrolamentos são consideradas internas ao domínio discretizado e as outras metades são reduzidas às fontes de f mm no circuito externo. Figura 47: B z ao longo da linha de prova -Enrolamentos divididos.

Neste caso, a quantidade de incógnitas foi reduzida de 19982 (MEF com formulação em A) para 13747 (MRR + MEFF).

CONCLUSÃO

Neste capítulo é apresentada a formulação magnetostática em indução magnética B através das funções de face, o que define o MEFF, bem como a aplicação das condições de contorno clássicas à luz da teoria de circuitos. Após, foi apresentada a formulação em potencial vetor magnético A, possibilitando assim, uma comparação detalhada entre ambas as formulações.

A implementação desta metodologia é detalhada e, posteriormente, os resultados obtidos tanto em 2-D como em 3-D são apresentados e analisados.

No capítulo seguinte é apresentada a técnica de subproblemas aplicada ao MEFF, com o objetivo de reduzir o tempo de cálculo do campo fonte.

SUBPROBLEMAS APLICADOS AO MEFF

INTRODUÇÃO

O MEFF é apresentado como uma alternativa para reduzir o esforço computacional em modelagens de campos magnetostáticos [START_REF] Nunes | Magnetic devices analysis by Face FEM coupled with standard reluctance network[END_REF][START_REF] Nunes | 3-D magnetic devices analysis using facet FEM formulation coupled with reluctance network method[END_REF][START_REF] Nunes | A coupling between the facet finite element and reluctance network methods in 3-D[END_REF]. No entanto, como já visto anteriormente, quando o domínio a ser discretizado contém enrolamentos, o MEFF necessita de uma solução a priori de campo magnético fonte, o que pode representar uma desvantagem.

Uma possível solução poderia ser a técnica de subproblemas, que tem sido largamente aplicada para modelar dispositivos eletromagnéticos de uma maneira progressiva (DULAR; SABARIEGO; KRÄHENBÜHL, 2008), permitindo assim uma adaptação do modelo baseada em soluções anteriores, ao invés de iniciar uma nova solução completa a cada variação física, de propriedades dos materiais ou geométrica, por exemplo.

Esta metodologia foi aplicada para simulação de testes não destrutivos [START_REF] Badics | An effective 3-D finite element scheme for computing electromagnetic field distortions due to defects in eddy-current nondestructive evaluation[END_REF], para levar em consideração o efeitos dos entreferros em regiões magnéticas [START_REF] Dular | Magnetic model refinement via a perturbation finite element method from 1D to 3D. COMPEL[END_REF] e em modelagens gerais de magnetodinâmica [START_REF] Dular | Subdomain finite element method for efficiently considering strong skin and proximity effects[END_REF]DULAR;SABARIEGO;KRÄHENBÜHL, 2008[START_REF] Dular | Magnetic model refinement via a perturbation finite element method from 1D to 3D. COMPEL[END_REF]DULAR et al., 2015DULAR et al., , 2015[START_REF] Dular | Progressive current source models in magnetic vector potential finite-element formulations[END_REF], através da formulação A ou A-V. Foi também aplicada na modelagem de MEMS através da formulação eletrostática, onde um campo elétrico não perturbado é obtido e então um domínio condutor é inserido como uma perturbação (BOUTAAYAMOU; SABARIEGO; DULAR, 2007).

Fundamentado-se no exposto e nas referências acima é possível concluir que: i Normalmente os autores iniciam com uma solução não perturbada e após aplicam um perturbação necessária para levar em conta as características físicas ou geométricas de interesse;

ii O campo magnético fonte requerido pelo MEFF pode ser obtido pela equação de Biot-Savart, o qual pode ser considerado como não perturbado;

iii Todas as aplicações magnéticas acima mencionadas utilizam a formulação em A.

Ou seja, a aplicação da técnica de subproblemas no MEFF (formulação em B) pode ser um estudo de fato interessante, com a vantagem clara de poder auxiliar na redução do esforço computacional para a solução de problemas magnetostáticos.

Sendo assim, o objetivo deste capítulo é propor alternativas capazes de reduzir as regiões de aplicação da equação de Biot-Savart através da técnica de subproblemas. Para tal, propõe-se considerar a solução de campos obtida através de Biot-Savart como não perturbada, já que somente é válida em domínios com µ r = 1.

Então, as partes ativas são adicionadas ao domínio e o campo de reação é obtido através do MEFF, considerando um campo magnético fonte também calculado por Biot-Savart somente no interior das regiões magnéticas. Este é um ponto chave do método proposto, uma vez que permite restringir o cálculo de Biot-Savart somente às regiões magnéticas, diminuindo o tempo computacional para obtenção do campo fonte.

Além disso, é apresentado como corrigir a diferença de condições de contorno entre o MEFF e Biot-Savart, o que permite a superposição dos resultados para compor a solução total.

Uma vez estabelecida a metodologia, dois casos de teste são definidos. O primeiro deles é um caso limite simples baseado em uma malha 2-D extrudada, originando um domínio 3-D. No segundo caso, resolve-se o problema proposto na Figura 43. Finalmente, o acoplamento apresentado na Figura 45 é resolvido combinando ambas as técnicas, o acoplamento MRR + MEFF e subproblemas.

Os resultados obtidos são comparados com aqueles calculados através do MEF clássico (formulação A) ou com o MEFF (modelo completo).

DEFINIÇÃO DOS SUBPROBLEMAS

Dados dois problemas sequenciais, p e q, ambos podem ser sobrepostos, resultando na solução total. Aqui, o problema p sempre se refere ao campo de Biot-Savart, mas a solução do problema q é um campo de reação e pode diferir dependendo da aplicação.

Correção da condição de contorno não imposta por Biot-Savart

Para que a sobreposição p (Biot-Savart) + q (MEFF) seja válida, devese corrigir a condição de contorno n • B| Γ B = 0 não imposta por Biot-Savart, mas naturalmente definida no MEFF. Caso contrário, poderão ocorrer diferenças na solução total. Vale mencionar que este problema também é verificado na formulação em A, uma vez que n • B| Γ B = 0 é igualmente imposta.

Tal correção pode ser aplicada cancelando a componente n • B p ao longo de superfície externa de Ω, Γ, através da condição de contorno apresen-tada na Seção 3.3.5, com n • B q | Γ = -n • B p | Γ . Como já mencionado naquela seção, este é um processo computacionalmente leve e, além disso, pode ser incluído no problema subsequente, q.

Condição de contorno para condutor perfeito

Outra aplicação da condição de contorno definida na Seção 4.2.1, ou seja a implementação de n • B q | Γ = -n • B p | Γ , é o caso limite de um condutor perfeito. Além disso, este é um caso limite que, à luz do MEFF, implica na condição n • B| Γ = 0 descrita na Seção 3.3.5, surgindo como um caso interessante de ser analisado.

O campo interno em um condutor perfeito (σ = ∞), aqui denotado por Ω cp ∈ Ω e sua superfície γ cp , é nulo. Este efeito pode ser alcançado removendo-se Ω cp de Ω e fixando-se um fluxo magnético total nulo ao longo da sua superfície γ cp .

Assim, assumindo-se que não existam descontinuidades ao longo de γ cp na solução total, [n • B] Γ B = 0 Eq. (2.27), define-se uma perturbação no problema p,

[n • B q ] γ cp,q = B f ,q (4.1)
B f é nula em condições de transferência de campo naturais e físicos. No entanto, valores diferentes de zero definem fontes de superfície. Como na solução total B f = 0,

B f = B f ,p + B f ,q = 0 então, B f ,q = -B f ,p (4.2) consequentemente, B f ,q = -[n • B p ] γ cp,p (4.3) 
Uma vez que o campo interno à Ω pc é nulo, esta descontinuidade é tratada como uma condição de contorno,

n • B q | γ cp = -n • B p | γ cp (4.4)
Como B p somente é necessário ao longo de γ cp , que é uma camada de elementos ao redor de Ω cp , o custo computacional de resolver Biot-Savart é reduzido.

Este problema também pode ser interpretado como uma condição de contorno de Dirichlet, na qual a componente normal do campo é nula, sugerindo futuras comparações.

Fonte volumétrica (FV)

Dado o primeiro problema p, com sua relação constitutiva e equações de Maxwell,

H p = 1 µ p B p (4.5) rot H p = J (4.6) div B p = 0 (4.7)
pode-se perturbar este problema alterando-se a permeabilidade magnética de regiões específicas de µ p para µ q , onde µ p = µ 0 e q é o problema subsequente, resultando em uma nova relação constitutiva para o problema total p + q,

H p + H q = 1 µ q B p + 1 µ q B q = 1 µ q (B p + B q ) (4.8) 
A diferença entre as equações (4.5) e (4.8) resulta em

H q = 1 µ q - 1 µ p B p + 1 µ q B q (4.9)
e sugere que o problema q depende da solução do problema p somente ao longo das regiões perturbadas, de µ p para µ q , uma vez que B p é conhecida. Além disso, a solução total deve satisfazer as Leis de Ampère e Gauss, podendo-se concluir que H q é irrotacional (Eq. (4.10)) e B q é livre de divergência (Eq. (4.11)). Isto significa que o campo H q possui o mesmo comportamento que o campo gerado por ímãs permanentes, H c em (2.11), e permite que este campo seja considerado nos termos fonte da formulação do MEFF dada na Eq. (3.43).

rot (H p + H q ) = J (4.10) div (B p + B q ) = 0 (4.11)

Finalmente, rescrevendo-se a Eq. ( 4.9) e definindo-se o campo total do segundo problema em termos dos campos fonte e de reação H q = H qS + H qR , pode-se obter a formulação na forma forte, 1

µ q B q + grad ψ q = H qS - 1 µ q - 1 µ p µ 0 H p (4.12)
que contem o termo de fonte volumétrica,

FV = - 1 µ q - 1 µ p µ 0 H p (4.13)
O campo H qS é nulo porque este problema não considera o campo fonte, mas somente o campo de fontes volumétricas.

Caso o modelo contenha relutâncias externas com fontes de f mm simplificando algum enrolamento não considerado no domínio discretizado, estas fontes precisam ser corrigidas utilizando o fator definido na Eq. ( 4.13).

Em [START_REF] Dular | Finite Element Magnetic Models via a Coupling of Subproblems of Lower Dimensions[END_REF], é apresentada uma forma de corrigir o problema q quando altos valores de µ q são aplicados, uma vez que H p tende à -H q . Esta correção é importante no caso de projeções do tipo rot A (GEU-ZAINE et al., 1999) entre malhas diferentes, o que não é o caso aqui, pois o campo H p é calculado diretamente na malha utilizada para resolver o problema q.

APLICAÇÕES

Correção da condição de contorno não imposta por Biot-Savart

Estes casos de testes preliminares são baseados em uma geometria 3-D obtida pela extrusão de uma 2-D. Esta é composta por dois condutores e um núcleo, conforme apresentado na Figura 48a. Uma linha de prova horizontal é inserida no modelo e utilizada para comparar os resultados localmente. A malha gerada é exibida na Figura 48b. O campo de correção é mostrado na Figura 51 e a comparação com os resultados obtidos com o MEF clássico ao longo da linha de prova é apresentada na Figura 52, onde B p : BS é o campo calculado com Biot-Savart, B q é o campo de correção e B q + B p é a soma de ambos.

Figura 51: Campo de correção -problema q.

Figura 52: Comparação ao longo da linha de prova.

O campo obtido com Biot-Savart é continuo, e quando somado à outro que tenha sido calculado pelo MEF de primeira ordem, a solução total, B q + B p , torna-se mais suave (Figura 53). Talvez seja uma pequena diferença, mas pode representar algum ganho de precisão.

Figura 53: Comparação ao longo da linha de prova -aproximação.

Fontes volumétricas

Neste caso, para uma análise mais realista, o dispositivo magnético apresentado na Figura 43 é completamente resolvido usando o método de fontes volumétricas apresentado (Seção 4.2.3) e a correção para Biot-Savart (Seção 4.2.1).

O campo magnético fonte H p , apresentado na Figura 54, é calculado somente ao longo das partes ativas, reduzindo assim o tempo computacional para 34% se comparado com o método tradicional, no qual seria necessário calcular o campo fonte no domínio completo.

Figura 54: Campo fonte H p calculado somente nas regiões ativas.

Então a solução do problema q é obtida resolvendo-se a Eq. ( 4.12) com o MEFF, considerando-se o campo H p (Figura 54) no termo de fontes.

A solução deste problema, o campo B q , é mostrado na Figura 55b. Mesmo que não seja necessário calcular o campo fonte ao longo de todo o domínio, este é apresentado na Figura 55a apenas como pós-processamento. Assim, a solução total é a soma destes dois campos, (Figura 55a + Figura 55b). A comparação entre estes resultados (B p + B q ) e aqueles obtidos com o MEF clássico ao longo da linha de prova é dada na Figura 56. Faz-se importante mencionar que o problema p, neste caso, consiste em apenas calcular a indução magnética com Biot-Savart ao longo da linha de prova, como uma operação de pós-processamento.

Figura 56: Indução magnética ao longo da linha de prova.

Fonte volumétrica e acoplamento (MRR +MEFF)

Nesta seção o acoplamento proposto na Figura 45 é também resolvido através da técnica de subproblemas.

Neste caso, o campo H p (Figura 57a) é obtido considerando-se ambas as partes dos enrolamentos, mas somente ao longo das regiões magnéticas, reduzindo o tempo de cálculo com Biot-Savart a 12%, se comparado ao método anterior, no qual calcula-se o campo fonte ao longo de todo o domínio discretizado. A solução do problema q é dada na Figura 57b. Consequentemente, a solução total é a soma destes dois campos (Figura 57a + Figura 57b).

Figura 57: Solução dos problemas p e q para o problema acoplado. Na sequência, este problema é comparado com a solução obtida com o modelo MEFF para o caso completo (Seção 4.3.3) No entanto, vale observar que esta somente otimiza o tempo de cálculo do campo fonte e não da solução em si com o MEFF. Todavia, esta surge como uma importante ferramenta para redução dos tempos de simulação para aqueles casos que não requeiram pós-processamento ao longo de todo o domínio de uma única vez.

CONCLUSÃO

A técnica de subproblemas tem se mostrado de grande valia na redução de esforço computacional e tempo de simulação. Neste capítulo, essa técnica foi aplicada ao MEFF, já que o cálculo do campo fonte através da equação de Biot-Savart pode ser uma tarefa computacionalmente custosa.

Os resultados obtidos foram coerentes e os tempos para o cálculo dos campos fontes foram consideravelmente reduzidos.

CONCLUSÃO E PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS

CONCLUSÃO

A quantidade de aplicações dos métodos MRR e MEF em análises magnéticas de transformadores, máquinas elétricas rotativas e atuadores magnéticos em geral, sugere que trabalhos que venham a contribuir com conhecimento e aperfeiçoamento destes métodos, visando o aumento de precisão, preferencialmente, aliado à redução de esforço computacional, são bem vindos e são temas frequentes de pesquisas no âmbito acadêmico.

Deste modo, esta tese teve como objetivo principal propor um método híbrido entre o MRR e o MEF, que associasse as principais vantagens de ambos. Em linhas gerais, a capacidade de simplificar regiões com comportamento magnético simples por uma rede de relutâncias (MRR). Já aquelas regiões com comportamento magnético mais complexo, discretizá-las através de malhas convenientemente refinadas e converter essas malhas em uma rede. Desta maneira, ambos os tipos de regiões podem ser acoplados e o modelo pode ser resolvido como um todo através de um único sistema 0-D.

Durante a revisão bibliográfica foram percebidas poucas aplicações do MEFF, porém com publicações recentes, levando a conclusão que o método está em desenvolvimento e ainda há uma vasto campo de estudos. Verificouse também que o tipo de acoplamento proposto neste trabalho já havia sido implementando anteriormente, porém, através de técnicas e formulações razoavelmente mais complexas.

Antes de iniciar a exposição sobre as formulações em si, fez-se importante apresentar uma breve introdução dos conceitos matemáticos que regem a teoria do MEF, desde a estrutura matemática contínua até a discreta, a qual define as funções de interpolação utilizadas neste método. Assim, pôde-se entender de uma forma mais clara as relações entre as diversas funções de base existentes e suas origens. Muitas vezes, esses conceitos não são abordados nos cursos de pós-graduação, mas são de extrema importância no momento da escolha da formulação para resolver um determinado problema.

Este trabalho apresentou a formulação magnetostática baseada em funções de interpolação de face (MEFF), a qual possui vantagens para a modelagem de grandezas do tipo fluxo e por isso é aplicada na solução da formulação em B. Através desta, tornou-se possível converter uma malha de elementos finitos em uma rede de relutâncias magnéticas. Desta maneira, esta rede pôde ser naturalmente acoplada a um circuito magnético externo, possibilitando assim obter vantagens tanto do MRR quanto do MEFF, de uma maneira sim-ples e sem a necessidade de cortes nos domínios multiplamente conexos e sem precisar definir uma condição de calibre, necessários nas formulações em potencial escalar ou vetor magnético.

Então a formulação em B foi comparada com a já consolidada formulação em A implementada através de elementos de aresta. Verificou-se que as formulações são equivalentes física e matematicamente, além de gerar quantidades similares de incógnitas. No entanto, mesmo as formulações sendo similares, elas são implementadas de maneiras diferentes, demandando diversas comparações específicas.

Após definidos os conceitos teóricos, foi apresentado o fluxograma referente ao acoplamento proposto. Este processo seguiu o fluxo normal de trabalho com métodos numéricos (pré-processamento, processamento e pósprocessamento). O processamento foi a etapa mais complexa, pois é onde ocorre o processo de integração da formulação utilizada e o acoplamento com o MRR. Devido ao fato de o MEFF ser ainda pouco difundido, sua implementação e solução através da teoria de circuitos requer alguns cuidados que ainda não estão bem definidos na literatura. Na medida do possível, estes detalhes foram expostos e discutidos.

A validação do método e da ferramenta desenvolvidos neste trabalho foi elaborada seguindo uma ordem de complexidade nos casos de teste. O primeiro deles foi basicamente um exercício didático, para apresentar como a matriz de rigidez do MEFF pode ser interpretada como um circuito magnético e como se torna simples acoplar este circuito com uma rede externa. Através deste caso, foi possível verificar os valores da matriz de relutâncias de um circuito já conhecido.

Após, casos mais complexos em 2-D foram apresentados, nos quais o número de incógnitas foi reduzido para aproximadamente 32% através do acoplamento proposto.

Nos casos 3-D, o acoplamento permitiu reduzir a quantidade de incógnitas para aproximadamente 35% e o tempo de simulação para 7%. Foi apresentado também como enrolamentos podem ser parcialmente considerados no domínio discreto resolvido com o MEFF, o que não é possível de ser implementado com o acoplamento através da formulação em A.

Como os resultados obtidos com o MEFF para os modelos completos foram coerentes com aqueles calculados através da formulação em A, conclui-se que o MEFF pode ser considerado uma alternativa à esta formulação, mas com algumas possíveis vantagens, dentre elas, o acoplamento com o MRR.

Finalmente, foi apresentado como a técnica de subproblemas pode ser aplicada ao MEFF. Através desta foi possível reduzir o tempo computacional para cálculo do campo fonte. Para tal, foi necessário corrigir a condição de contorno não imposta pela equação de Biot-Savart.

Após a comparação com os métodos clássicos, verificou-se que o tempo computacional para a obtenção do campo fonte foi reduzido para aproximadamente 12% nos casos analisados.

Faz-se importante mencionar que os ganhos de tempo e esforço computacionais aqui apresentados são específicos para as aplicações apresentadas, pois estes variam de acordo com a relação do domínio discretizada com o MEFF e com o MRR.

De uma maneira geral, esta tese apresentou como implementar o acoplamento entre o MRR e o MEF, agregando as principais funcionalidades de cada um destes importantes métodos, e apresentou os ganhos de tempo e esforço computacionais obtidos através desta abordagem.

Com as conclusões já apontadas e considerando-se a pesquisa bibliográfica elaborada, pôde-se sumarizar as possíveis contribuições originais deste trabalho: i Resolver a formulação em B, bem como suas condições de contorno à luz da teoria de circuitos;

ii Acoplamento desta formulação com uma rede de relutâncias externas;

iii Aplicação da técnica de subproblemas no MEFF.

PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS

Durante a elaboração deste trabalho, surgiram ideias de possíveis trabalhos futuros. Estes são listados a seguir: i Aplicação de materiais magneticamente não lineares;

ii Avaliar convergência das técnicas de solução de circuitos perante a aplicação de materiais não lineares;

iii Com o objetivo de modelar domínios condutores além dos domínios somente magnéticos, pode-se avaliar a possibilidade de acoplamento com o método de PEEC [START_REF] Nguyen | An integral formulation for the computation of 3-d eddy current using facet elements[END_REF][START_REF]A new integral formulation for eddy current computation in thin conductive shells[END_REF], 2011); iv Acoplamento com circuitos elétricos para simulações transientes;

v Na formulação magnetostática em B utilizada neste trabalho, necessitase calcular o campo fonte, que pode ser uma tarefa computacionalmente custosa. Este fato sugere a necessidade de desenvolver uma formulação capaz de incorporar a densidade de corrente prescrita como excitação;

vi Implementar o cálculo de campo fonte através de elementos de aresta, conforme proposto em (BATALHA, 1995);

vii O fluxo magnético no MEFF é obtido através da integração de B n ao longo de uma determinada superfície. No entanto, seria interessante obter esta grandeza global através de integrais ao longo da geometria dos enrolamentos, como acontece com a formulação em A;

viii Aplicação de elementos infinitos nas superfícies externas do domínio, principalmente nos casos de acoplamento;

ix Aplicação de impedância de superfície para possibilitar o cálculo de perdas ôhmicas em modelos com regime harmônico;

x Aplicação em topologias ainda mais realistas, como máquinas elétricas rotativas ou transformadores;

xi Avaliar a possibilidade de aplicação de funções de base de segunda ordem;

xii Resolver caso limite de materiais perfeitamente magnéticos com a técnica de subproblemas. APÊNDICE A --Funções de interpolação de face e pontos de integração Para a avaliação das integrais definidas na Secção 3.3, é necessário apresentar as funções de face W, bem como as coordenadas dos pontos de integração utilizados no método de Gauss. Tais informações são dadas a seguir, para elementos triangulares e quadrangulares. Número da face Nós da face As funções de interpolação W f são obtidas com base em um elemento de referência, aqui denominado K. Tais campos vetoriais do tipo div-conform possuem a componente normal n contínua através de cada face da malha, Figura 8b. Já a componente tangencial não necessariamente é contínua. Tais fatos indicam que o operador divergente é globalmente definido e por isso o termo div-conform. Para estes espaços, os campos vetoriais são naturalmente mapeados de um elemento de referência para os elementos reais através da transformada de Piola "contravariant" [START_REF] Rognes | Automating the solution of PDEs on the sphere and other manifolds in FEniCS 1.2[END_REF][START_REF] Richter | Numerical Methods for Fluid-Structure Interaction Problems[END_REF][START_REF] Ferrouillat | Méthode de type éléments finis de facettes en 3D pour la résolution de problèmes de conduction électrique par calcul direct de la densité de courant[END_REF].

ARTIGOS PUBLICADOS

W f 0 0 -1 uu + vv 1 1 -2 (-1 + u)u + vv 2 2 -0 uu + (-1 + v)v Fonte:(FERROUILLAT,
u v w 0 k k 1 1 -k k 1 2 k -k 1 3 -k -k 1 k = 1/ √ 3 
W f 0 1-3-2 2 [uu + vv + (-1 + w)w] 1 2-3-4 2 [uu + vv + ww] 2 3-1-4 2 [(-1 + u)u + vv + ww] 3 4-1-2 2 [uu + (-1 + v)v + ww] Fonte:(FERROUILLAT,
Sendo V um campo vetorial definido no elemento de referência K, é possível definir tal campo no elemento real K através da Eq. (B.1).

v = 1 |Jac| Jac • v (B.1)
Figura 62: Mapeamento de campos vetorias div-conform. No entanto, em alguns casos Ω s,v pode ser simplificado por sua linha média, consequentemente requerendo uma malha 1-D ao invés de 3-D (URANKAR, 1990), o que pode representar algumas vantagens computacionais. Neste caso, o campo magnético é obtido por: O processo de integração ao longo de Ω s pode ser executado baseandose em malhas com ordem superior e não-conforme em Ω (Ω com com elementos de primeira ordem e Ω s com segunda ordem, por exemplo), incrementando assim a acurácia nos resultados, principalmente nos casos onde Ω s é composto por superfícies curvas, devido ao melhor mapeamento geométrico.

H (Q) = I 4π Ω s,l
Ainda para minimizar o custo computacional desta etapa, em análises transientes o campo pode ser obtido normalizando-se a corrente nos condutores como 1 A, por exemplo, e multiplicando-se a solução de campos pela corrente real nos condutores em cada intervalo de tempo a "posteriori". Não obstante, como os condutores estão imersos em regiões com µ r = 1, podese aplicar simetrias que, possivelmente, não ocorreriam no problema original (DULAR et al., 2015).

Uma análise detalhada a respeito do ganho de precisão ao integrar as equações com elementos curvilíneos de segunda ordem está sendo publicada no artigo mencionado na Seção 5.3.

Conforme apresentado no decorrer desta tese, o MEFF, bem como alguns métodos integrais [START_REF] Nguyen | An independent loops search algorithm for solving inductive PEEC large problems[END_REF][START_REF]New coupling between PEEC method and an integro-differential approach for modeling solid conductors in the presence of magnetic-conductive thin plates[END_REF], podem ser resolvidos através da teoria de circuitos, pois o processo de integração ao longo do domínio Ω gera elementos de parâmetros concentrados relacionados à cada face da malha definida em Ω.

A teoria existente sobre análise de circuitos elétricos de forma computacional é ampla (STAGG; EL-ABIAD, 1968; CHUA; LIN, 1975) e por isso torna-se importante detalhar as duas metodologias para a resolução de circuitos utilizadas durante a elaboração deste trabalho, sendo elas a análise nodal e de laços independentes.

Para a resolução de tais circuitos através do método de laços, precisase definir uma matriz T com as informações dos laços do circuito. Tal matriz depende de topologia do circuito e, para o MEFF clássico (LE- VAN, 2015;LE-VAN et al., 2015), pode ser obtida através das informações da malha.

No entanto, para o método proposto neste trabalho, o qual acopla a rede de relutâncias obtida através do MEFF (baseado na malha) com uma rede de relutâncias externa e genérica, o método para obtenção da matriz T precisa ser mais amplo e baseado em uma matriz de incidências G.

Desta maneira, verifica-se que as topologias dos circuitos magnéticos externos e as redes de relutâncias obtidas com MEFF podem apresentar as mais diversas configurações, pois dependem do circuito magnético a ser modelado. Ou seja, faz-se necessário analisar metodologias sistemáticas para resolução de tais circuitos.

Para tal, detalha-se ambas as metodologias clássicas, a de análise nodal e laços independentes.

D.1 ANÁLISE NODAL

Mesmo que um grafo descreva completamente a conexão entre os elementos de um circuito, esta não é a melhor maneira de armazenar este tipo de informação. Por outro lado, descrever estes dados em formato matricial é um método computacionalmente simples e efetivo. Neste caso, as informações contidas em um grafo podem ser completamente reescritas em uma matriz de incidências (Ga), formada da seguinte forma:

•Ga i j = 1: se o ramo j é incidente no nó i e a seta está na direção oposto a i;

•Ga i j = -1: se o ramo j é incidente no nó i e a seta está na direção de i;

•Ga i j = 0: se o ramo j não é incidente no nó i.

Definida a matriz de incidências, pode-se iniciar a análise da técnica nodal definindo-se um ramo padrão k, composto por um elemento resistivo b k , uma fonte independente de tensão V k e uma fonte independente de corrente I k , conforme apresentado na Figura 64. Cabe salientar que neste trabalho as matrizes Y n e I n são obtidas através das multiplicações matriciais dadas nas Equações (D.15) e (D.16). Todavia, em (CHUA; LIN, 1975) é descrito como formar tais matrizes diretamente, sem a necessidade de multiplicações matriciais.

D.2 ANÁLISE DE LAÇOS

Na análise de laços a matriz que armazena as informações de conexão do circuito é denominada como matriz de incidência de ramo/laço T e pode ser obtida da seguinte forma:

•T rs = +1: se a corrente do ramo k está na mesma direção do laço s;

•T rs = -1: se a corrente do ramo k está em direção oposta ao laço s;

•T rs = 0: se o ramo k não pertence ao laço s.

Dada a matriz de incidências, parte-se para a análise de uma ramo base, o qual é composto por uma fonte de tensão independente e uma resistência, conforme apresentado na Figura 65. Uma vez resolvido este sistema matricial e obtido vetor de correntes de laço I l , calculam-se as correntes de ramo através da Eq. (D.19).

D.2.1 Obtenção da matriz T

A matriz T pode ser obtida por inspeção, verificando-se todos laços da rede. No entanto, para topologias mais complexas, que é o caso deste trabalho, esta tarefa pode se tornar impraticável.

A definição da matriz de incidências G é relativamente simples, mesmo considerando-se que esta será obtida com base em uma malha gerada para o MEFF, pois os elementos (nós) que compartilham a mesma face (ramo) são conhecidos, Figura 11. Sendo assim, utiliza-se uma metodologia baseada na teoria de grafos, chamada algorítimo de Welsch (BASTOS; SADOWSKI, 2003), capaz de obter a matriz T através de G.

Tal metodologia organiza a matriz G, de uma forma tal que:

G = [G i1 |G i2 ] (D.23)
onde G i1 são as colunas referentes aos ramos e G i2 são as colunas referentes aos elos formados pela árvore. Assim, T pode ser obtida como segue: Com o objetivo de demonstrar o processo de obtenção da matriz T, elabora-se o circuito magnético apresentado na Figura 66a, com seu respectivo grafo ilustrado na Figura 66b.

K c2 =G i1 T G i2 ( 
Figura 66: Circuito magnético e respectivo grafo. Percebe-se a possibilidade de renumeração dos ramos definidos na matriz de incidências, uma vez que tais ramos que formam os elos devem estar nas últimas colunas da matriz.

ℜ 0 ℜ 1 ℜ 5 ℜ 6 ℜ 10 ℜ 11 ℜ 15 ℜ 16 ℜ 2 ℜ 3 ℜ 4 ℜ 7 ℜ 8 ℜ 9 ℜ 12 ℜ 13 ℜ 14 F 0 F 1 F 2 F 3 ( 

D.3 TESTE ELABORADO PARA AMBAS AS METODOLOGIAS

Para comparar os resultados obtidos com ambos os métodos, utilizase o circuito magnético apresentado na Figura 66a. Os valores de relutâncias magnéticas e fontes são gerados de forma aleatória.

Como o MEFF gera redes de relutâncias com componentes mútuas, precisa-se verificar se ambos os métodos são capazes de considerar tais efeitos. Desta forma, os fluxos magnéticos obtidos destes métodos, desconsiderandose as relutâncias mútuas são apresentados na Tabela 18. Já os fluxos magnéticos obtidos considerando-se as relutâncias mútuas são apresentadas na Tabela 19.

Tabela 18: Fuxos magnéticos desconsiderando-se as relutâncias mútuas. 

Relutância

Figura 1

 1 Figura 1 Analogia entre os métodos atuais e o método proposto. . . . . . . Figura 2 Domínio em estudo e suas superfícies externas complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 3 Superfície Σ entre dois meios contínuos Ω 1 e Ω 2 . . . . . . . . . . . . Figura 4 Domínio Ω e suas definições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 5 Domínios conexo e multiplamente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 6 Diagrama de Tonti para magnetostática -Forma dual. . . . . . . . Figura 7 Entidades geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 8 Função de face para elemento tetraédrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 9 Função vetorial K em um problema contínuo. . . . . . . . . . . . . . . Figura 10 Função K em um domínio discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 11 O domínio completo Ω com suas superfícies externas Γ = Γ H ∪ Γ B e dois elementos adjacentes Ω l e Ω m , com suas faces Γ l e Γ m . . . Figura 12 Inversão do sentido das funções B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 13 Malha convertida em rede de relutâncias, com as possíveis condições de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 14 Condição de contorno n × H| Γ H = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 15 Conexão entre redes de relutâncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 16 Fluxograma geral para programas baseados em métodos numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 17 Fluxograma para a etapa de pré-processamento. . . . . . . . . . . . . Figura 18 Exemplo de arquivo para o setup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 19 Fluxograma para o processamento -Parte 1. . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 20 Fluxograma para o processamento -Parte 2. . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 21 Fluxograma para o processamento -Parte 3. . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 22 Fluxograma para o pós-processamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 23 Tubo de fluxo ideal e a malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 24 Circuito magnético obtido para a malha ilustrada na Figura 23b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 25 Distribuição de indução magnética no tubo de fluxo. . . . . . . . . Figura 26 Dispositivo com espraiamento de fluxo magnético. . . . . . . . . . . Figura 27 Malha para o dispostivo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 28 Distribuição de indução magnética obtida para modelo com-

Figura 1 :

 1 Figura 1: Analogia entre os métodos atuais e o método proposto.

Figura 5 :

 5 Figura 5: Domínios conexo e multiplamente conexo.

Figura

  Figura 7: Entidades geométricas.

Figura 8 :

 8 Figura 8: Função de face para elemento tetraédrico.

Figura 11 :

 11 Figura 11: O domínio completo Ω com suas superfícies externas Γ = Γ H ∪ Γ B e dois elementos adjacentes Ω l e Ω m , com suas faces Γ l e Γ m .

Figura 12 :

 12 Figura 12: Inversão do sentido das funções B .

Figura

  Figura 15: Conexão entre redes de relutâncias.

Figura 16 :

 16 Figura 16: Fluxograma geral para programas baseados em métodos numéricos.

Figura

  Figura 17: Fluxograma para a etapa de pré-processamento.

Figura

  Figura 19: Fluxograma para o processamento -Parte 1.

Figura

  Figura 22: Fluxograma para o pós-processamento.

Figura 23 :

 23 Figura 23: Tubo de fluxo ideal e a malha.

Tabela 4 :

 4 Matriz de relutâncias.

  fluxo total está de acordo com o esperado. O fluxo nas relutâncias 1, 2 e 3, 4 é a metade do total, pois estes ramos fazem parte de dois caminhos que estão em paralelo. O único ramo arbitrado com sinal contrário é o primeiro e este possui o fluxo com sinal negativo. Como mencionado, a indução magnética é unitária no tubo de fluxo e para verificar este valor, os fluxos são interpolados nas faces dos elementos que compõem o tubo de fluxo e o resultado é apresentado na Figura 25.

Figura 25 :

 25 Figura 25: Distribuição de indução magnética no tubo de fluxo.

Figura 26 :

 26 Figura 26: Dispositivo com espraiamento de fluxo magnético.

Figura 27 :

 27 Figura 27: Malha para o dispostivo magnético.

Figura 28 :

 28 Figura 28: Distribuição de indução magnética obtida para modelo completo.

Figura 30 :

 30 Figura 30: Distribuição de indução magnética na região do entreferro -malha triangular

Figura 31 :

 31 Figura 31: Malha mista e a distribuição de indução magnética na região do entreferro.

  Seção 3.3.8, as formulações em B e A são similares, consequentemente apresentando o mesmo nível de convergência. Porém, como são implementadas de maneiras diferentes, vale comparar ambas em termos da convergência em relação ao refinamento da malha.Para esta comparação, cria-se um modelo 3-D composto por dois cubos, um com dimensões de 20 mm inserido no centro de outro com 50 mm. O cubo interno é definido propositalmente como um ímã permanente (H c = 890000 A/m e µ r = 1,09978 ). O cubo externo é uma região de ar. A excitação é através de um ímã permanente para evitar o cálculo de campo fonte com Biot-Savart e manter a comparação somente no contexto dos métodos numéricos.

Figura 32 :

 32 Figura 32: Comparação da convergência obtida com os métodos MEF e MEFF.

Figura

  Figura 33: Geometria com enrolamento horizontal.

Figura 35 :

 35 Figura 35: Distribuição de indução magnética -MEFF (formulação em B).

Figura 36 :

 36 Figura 36: Distribuição de indução magnética -MEF (formulação em A).

Figura 37 :

 37 Figura 37: B z ao longo da linha de prova.

Figura 38 :

 38 Figura 38: Acoplamentos MRR + MEFF em 3-D.

Figura 39 :

 39 Figura 39: Malhas para as regiões discretizadas (em corte).

Figura 40 :

 40 Figura 40: B z ao longo das linhas de prova.

Figura 42 :

 42 Figura 42: Distribuições de indução magnética dos domínios resolvidos com o MEFF, com aproximação na região do entreferro.

Figura

  Figura 45: Acoplamento MRR + MEFF -Enrolamentos divididos.

Figura 46 :

 46 Figura 46: Distribuição de indução magnética -Enrolamentos divididos.

Figura

  Figura 48: Geometria 2-D.

Figura 49 :

 49 Figura 49: Campo magnético obtido ao longo de Γ.

Figura 50 :

 50 Figura 50: Distribuição de indução magnética ao longo de Ω.

Figura 55 :

 55 Figura 55: Solução dos problemas p e q.

  (a) Campo magnético H p obtido com Biot-Savart (B p = µ 0 H p ). (b) Indução magnética B q obtida com o MEFF.

  (a) Campo magnético H p obtido com Biot-Savart. B p = µ 0 H p . (b) Indução magnética B q obtida com o MEFF.

A

  Figura 59: Elemento de referência -elementos triangulares.

Fonte

  Figura 61: Elemento de referência -elementos tetraédricos.

P

  Figura 63: Domínios para integração da equação de Biot-savart.

  dl (P) × r PQ |r PQ | 3 dΩ s,l (C.2)Adicionalmente, para simetrias 2-D a Eq. (C.2) pode ser reescrita comoH (Q) = J 2π Ω s,s ds (P) × r PQ |r PQ | 2 dΩ s,s (C.3)

Figura 64 :

 64 Figura 64: Composição de um ramo para análise nodal.

Figura

  Figura 65: Composição de um ramo.

  l1 |T l2 ] (D.26) onde T l2 é uma matriz identidade.

  , obtém-se a matriz de incidências G, dada na Figura 67.

Figura 67 :

 67 Figura 67: Matriz de incidências.

Figura 68 :

 68 Figura 68: Matriz de incidência após o algoritmo de Welsch.

  MOTIVAÇÃO DA PESQUISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 OBJETIVOS E PROPOSTA DE TESE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 CONTRIBUIÇÕES ORIGINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E A ESTRUTURA MA-TEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Condições de transmissão de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Superfícies perfeitamente condutoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 ESTRUTURA MATEMÁTICA CONTÍNUA . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Definições de uma região delimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Conexidade simples ou múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Estrutura base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 ESTRUTURA MATEMÁTICA DISCRETA . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Os elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Elementos de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Definição da malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Funções de base nodais -Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Funções de base de aresta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Funções de base de face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TOR MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Forma forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Forma fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Condição de contorno n • B| Γ B = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Condição de contorno n × H| Γ H = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonte externa de indução magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Acoplamento com circuitos magnéticos externos . . . . . . . . . . 3.3.7 A solução do circuito magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.8 Equivalência entre formulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9 Implementação da metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9.1 Pré-processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9.2 Processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9.3 Pós-processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Tubo de fluxo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Modelos 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Modelos 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3.1 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3.2 Dispositivo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condição de contorno para material eletricamente perfeito 4.3.3 Fontes volumétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Fonte volumétrica e acoplamento (MRR +MEFF) . . . . . . . .

	Siglas A A Ā B B B f B r C D dl ds dv E fmm G Ga H H c H r H s I I i i î i k I l Relutância magnética mútua [A/W b] Potencial vetor magnético [W b/m] Função de teste vetorial para elementos de aresta Conjunto de arestas da malha Indução magnética [T ] Função de teste vetorial para elementos de face Fonte superficial de indução magnética [T ] Indução magnética remanente [T ] Conjunto dos números complexos Densidade de fluxo elétrico [C/m 2 ] Elemento diferencial de comprimento Elemento diferencial de área Elemento diferencial de volume Campo elétrico [V /m] Força magnetomotriz [A] Matriz de incidências nodais (considerando o nó de referência) Matriz de incidências nodais (desconsiderando nó de referência) Campo magnético [A/m] Campo magnético coercitivo [A/m] Campo magnético de reação [A/m] Campo magnético fonte [A/m] Corrente elétrica [A] Vetor de fontes de corrente Índice de cada face do elemento Vetor de correntes nos elementos resistivos Vetor de correntes nos ramos Corrente através do elemento resistivo k Vetor de correntes de laço Campo de vetores unitários normal à superfície Quantidade de faces de um elemento Espaço de funções definidas em K Resíduo vetorial Resistência do elemento k Conjunto dos números reais Relutância magnética [A/W b] Área de uma face i [m 2 ] Campo de vetores unitários tangente à superfície Curvas redutíveis a um ponto por deformação contínua ao longo de Γ M n n f P K R R k R ℜ S i t γ ν Relutividade magnética [m/H] Ω Domínio limitado do espaço Euclidiano tridimensional Ω s Domínio condutor e filamentar Φ Fluxo magnético [W b] ψ Potencial escalar magnético [A] ρ Densidade volumétrica de carga elétrica [C/m 3 ] ρ s Densidade superficial de carga elétrica [C/m 2 ] Σ K Conjunto de graus de liberdade de P K σ Condutividade elétrica [S/m] ∑ Interface entre dois meios contínuos τ Uma função escalar qualquer LISTA DE SÍMBOLOS × Produto vetorial • Produto escalar rot Rotacional div Divergente grad Gradiente ∈ Pertence a ∪ União dos conjuntos ⊂ Está contido em SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 POSICIONAMENTO DO PROBLEMA E 2.2 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL EM MEIOS CONTÍNUOS . J Espaço das funções vetoriais de quadrado integrável em Ω T Matriz de incidências ramo-laço V Potencial escalar elétrico [V ] V Vetor de fontes de tensão v Vetor de tensões nos elementos resistivos v Vetor de tensões nos ramos v n Vetor de tensões entre cada nó e o nó de referência v k Diferença de potencial entre os terminais do elemento resis-tivo k V e Volume de um dado elemento [m 3 ] W a ,W 1 Funções base de aresta W f ,W 2 Funções base de face W n ,W 0 Funções base nodais W 3 Funções base de volume x Ponto no espaço Y b Matriz de admitâncias Z b Matriz de impedâncias ε Permissividade elétrica [F/m] ∂ ∑ Fronteira de ∑ Abreviaturas CAD Computer Aided Design FV Fonte volumétrica GRUCAD Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos LKC Lei de Kirchhoff para correntes LKT Lei de Kirchhoff para tensões MEF Método de Elementos Finitos clássico (com funções nodais ou de aresta) MEFF Método de Elementos Finitos (com funções base de face) MRR Método de Rede de Relutâncias 1-D Uma dimensão 2-D Duas dimensões 3-D Três dimensões 5 CONCLUSÃO E PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS117 2.2.1 3.2 FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL VE-5.1 CONCLUSÃO . . 5.2 PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . Siglas gregas α Caminho entre dois pontos em um espaço contínuo 5.3 ARTIGOS PUBLICADOS .
	Γ(∂ Ω)	Fronteira de Ω
	Γ c	Superfície de conexão com circuitos externos
	µ	Permeabilidade magnética [H/m]

c Densidade de corrente conduzida (impressa e induzida) [A/m 2 ] J s Densidade de corrente superficial [A/m] K Dado elemento geométrico da malha L 2 (Ω) Espaço das funções escalares de quadrado integrável em Ω L 2 (Ω) 2.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 FORMULAÇÕES PARA MODELAGEM DE CAMPOS MAG-NETOSTÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Implementação da condição de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL ES-CALAR MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Forma forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Forma fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 SUBPROBLEMAS APLICADOS AO MEFF . . . . . . . . . . . . . 4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 DEFINIÇÃO DOS SUBPROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Correção da condição de contorno não imposta por Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Condição de contorno para condutor perfeito . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Fonte volumétrica (FV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Correção da condição de contorno não imposta por Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 4.4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APÊNDICE A --Funções de interpolação de face e pontos de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APÊNDICE B --Transformada de Piola . . . . . . . . . . . . . . . . . . APÊNDICE C --A equação de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . APÊNDICE D --Métodos de resolução de circuitos . . . . . . . . 1 INTRODUÇÃO 1.1 POSICIONAMENTO DO PROBLEMA E MOTIVAÇÃO DA PESQUISA

  Tabela 9: Esforço computacional dos acoplamentos MRR + MEFF comparados com o modelo completo MEFF.Como uma comparação local, a componente Z do campo B é obtida ao longo das linhas de prova (Figura 38) e os resultados são apresentados na Figura 40 para todos os casos. As diferenças relativas podem ser visualizadas na Figura 41.

	Método	Quantidade de Quantidade de incógnitas incógnitas [%] solução [%] Tempo de
	MEFF	14928	Ref.	Ref.
	Acoplamento 1	8257	55,31	17,09
	Acoplamento 2	5295	35,47	6,96
	Tabela 10: Precisão dos acoplamentos MRR + MEFF comparados com o
	modelo completo MEFF.		
	Método	Fluxo magnético [Wb] Dif. [%] × 10 -4
	MEFF		2,531	Ref.
	Acoplamento 1	2,520	0,553
	Acoplamento 2	2,515	0,632

  e o resultado é apresentado na Figura 58.

	Figura 58: Comparação ao longo da linha de prova.
	Com o problema completo e o acoplamento solucionados através do
	MEFF e, após, via a técnica de subproblemas, comparam-se na Tabela 11 os
	tempos necessários para se obter o campo fonte em cada um desses casos.
	Tabela 11: Comparação do tempo computacional para a obtenção do campo
	fonte.		
	Modelo	Sem	Com
		subproblemas subproblemas
	Completo	Ref.	33,6%
	Acoplamento (MRR + MEFF)	52,2%	12,1 %
	Verifica-se a eficácia desta técnica em termos de tempo computacio-
	nal, pois foi possível reduzir razoavelmente o tempo de cálculo do campo
	fonte com Biot-Savart.		

. Da mesma forma, sou grato a todos os membros do ACE (Applied and Computational Electromagnetics) que me acolheram durante este período.

Agradeço de outra, me auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço mesmo seja feliz (Shantideva, século VII

Equivalência entre formulações

A formulação A baseada em elementos de aresta é amplamente utilizada para modelagem magnetostática e por isso a importância da sua comparação com a formulação em B estudada neste trabalho.

Para tal, parte-se da forma fraca da formulação em A, com as funções de teste

Através da relação entre os espaços funcionais rotA = B e Eq. (2.8), pode-se escrever:

Expressando A em termos de B (B = rot A), tem-se que:

No termo de integral de superfície, pode-se reescrever

Assim, considerando a condição de contorno para a indução magnética B, as formulações são equivalentes, uma vez que

Quanto ao último termo da Eq.