spi.meca.geme
J M Hernandez-Vazquez 
  
I Olabarrieta 
  
I Garitaonandia 
  
J Albizuri 
  
M H Fernandes 
  
J Muñoa 
  
Procedimiento para a melhoria de modelos de elementos finitos

Este trabalho foi desenvolvido a partir de uma fresadora de três eixos para a obtenção de um modelo de elementos finitos melhorado que simula as características dinâmicas de outras configurações. A metodologia pode ser adaptada para qualquer outra máquina de múltiplos eixos.

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INTRODUCTION

As máquinas-ferramenta de múltiplos eixos apresentam um comportamento dinâmico de grande complexidade devido, entre outros fatores, às diversas posições relativas que seus componentes apresentam quando se está produzindo uma peça. As características dinâmicas de máquina, ou seja, suas frequências naturais e modos de vibrações autoexcitadas mudam continuamente.

Esta característica reforça a necessidade de se obter modelos numéricos melhorados de máquinasferramenta que sejam capazes de reproduzir fielmente seu compartimento para, a partir daí, poder otimizar a configuração e eliminar os problemas que afetam a estabilidade.

Para a elaboração deste trabalho, primeiramente foi gerado um modelo de elementos finitos de máquina, fazendo a distinção entre as principais estruturas (barramento, coluna, cabeçote e eixo-árvore) e os elementos que as conectam e cuja modelação é especialmente crítica (guias, motores lineares e apoios sobre fundação). Ao se deslocar essas estruturas ao longo dos eixos Z, Y e Z, mantendo as características dos elementos de conexão invariáveis, foi possível construir modelos para diferentes configurações de forma rápida e eficaz.

Em seguida, foram realizados testes de análise modal para diferentes configurações da máquina, com os quais se obteve, para cada uma delas, frequências, modos de vibração e amortecimentos específicos. Como era previsto, alguns modos de vibração quase não sobrem alteração, enquanto em outros casos, a variação, tanto da frequência quanto da forma modal é significativa.

Com base neste conjunto de informações, foi feita a atualização do modelo de elementos finitos, selecionando como parâmetros as variáveis que a análise de sensibilidade mostrou que afetavam em maior grau os parâmetros dinâmicos do modelo. Ou seja, os que mais se aproximavam do comportamento dinâmico observado experimentalmente.

Os resultados mostram que é possível obter modelos numéricos melhorados mediante a seleção de dados experimentais procedentes de um conjunto de configurações críticas. Esses modelos, que permitirão analisar a necessidade de fazer modificações na configuração da máquina, também poderão ser utilizados para determinar as margens de estabilidade da máquina em funcionamento.

REVISÂO BIBLIOGRÁFICA

As máquinas-ferramenta de múltiplos eixos são sistemas mecânicos complexos, que possuem diferentes componentes e substruturas interligadas por meio de elementos de conexão de diferentes tipos e funções.Tal complexidade gera um comportamento dinâmico variável, em função do arranjo das subestruturas, e problemas de vibrações autoexcitadas [[22] .

Devido ao efeito prejudicial dessas vibrações, vários estudos para eliminá-las têm sido desenvolvidos desde a década de 1950. Os primeiros foram realizados por Tobias e Fishwick [START_REF] Tobias | Theory of regenerative machine tool chatter[END_REF] , Gurney e Tobias [START_REF] Gurney | A graphical analysis of regenerative machine tool instability[END_REF] , Tlusty e Polacek [START_REF] Tlusty | The stability of the machine tool against self-excited vibration in machining[END_REF] e Merritt [START_REF] Merritt | Theory of self-excited machine-tool chatter[END_REF] e originaram modelos de vibração com base em equações diferenciais que, posteriormente, diferentes autores transformaram em diagramas de estabilidade para os diversos processos de torneamento [START_REF] Budak | Analytical modelling of chatter stability in turning and boring operations: a multi-dimensional approach[END_REF] , fresamento [START_REF] Altintas | Analytical prediction of stability lobes in milling[END_REF][START_REF] Munoa | Interaction between Multiple Modes in Milling Processes[END_REF] e retificação [START_REF] Garitaonandia | A new perspective on the stability study of centerless grinding process[END_REF] , entre outros.

Figure 1. Modelos de elementos finitos da máquinaferramienta (em cima modelo inicial; embaixo segundo modelo).

Por isso, é necessário dispor de modelos numéricos ótimos dessas máquinas, que reproduzam o seu comportamento real. O objetivo é poder modificar a configuração de forma virtual [START_REF] Altintas | Virtual machine tool[END_REF] e, com isso, reduzir os problemas de estabilidade dinâmica de uma maneira menos trabalhosa.

O método de elementos finitos (MEF) é a ferramenta mais utilizada em projetos mecânicos. Mas, além dele, a análise modal experimental (AME) permite obter as características dinâmicas de qualquer sistema real. Ambas as técnicas possuem vantagens e inconvenientes, mas a experiência [START_REF] Friswell | Finite Element Model Updating in Structural Dynamics[END_REF][START_REF] Hernández | Un método integrado de actualización de modelos de elementos finitos utilizando datos procedentes del análisis modal experimental[END_REF] mostra que é possível usufruir das vantagens de cada uma delas de forma combinada, para obter modelos numéricos melhorados.

Para isso, são empregadas técnicas de atualização de modelos, que também têm sido utilizadas no âmbito da máquina-ferramenta [START_REF] Bais | Studies in dynamic design of drilling machine using updated finite element models[END_REF][START_REF] Garitaonandia | Modeling procedure of a machining center using updating techniques and substructure synthesis[END_REF][START_REF] Garitaonandia | Dynamic model of a centerless grinding machine based on an updated FE model[END_REF][START_REF] Houming | Z: Dynamic characteristics of conjunction of lengthened shrink-fit holder and cutting tool in high-speed milling[END_REF] , ainda que, sempre, com base em uma única configuração.

Este trabalho descreve um processo para melhorar modelos de elementos finitos de máquinas-ferramenta de múltiplos eixos, utilizando dados numéricos e experimentais procedentes de duas configurações. Assim, o modelo melhorado resultante permitirá reproduzir o comportamento dinâmico da máquina em um amplo leque de configurações intermediárias, de uma forma mais adequada.

CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS DA MÁQUINA

O centro de usinagem utilizado neste trabalho é uma máquina-ferramenta de três eixos formada por quatro subestruturas principais (barramento, coluna, cabeçote e eixo-árvore), que podem ser conectadas por diferentes sistemas de guias, como rabo de andorinha ou fusos de esfera (figura 1). O movimento de coluna, do cabeçote e do eixo-árvore é feito por três motores lineares que proporcionam deslocamentos de 1000, 800 e 630mm nos eixos X, Y e Z, respectivamente.

Em primeiro lugar, foi elaborado um modelo de elementos finitos pouco denso da máquina, com um total 12795 nós e 14980 elementos. Nos componentes principais foram empregados principalmente elementos tipo shell e, em algumas áreas sólidas, do tipo solid.

Os elementos de conexão entre as subestruturas principais foram modelados utilizando elementos spring. No caso dos rabos de andorinha, foram atribuídos valores "muito altos" para rigidez nas direções perpendicular e transversal ao movimento, e um valor praticamente nulo na direção do movimento. Nos fusos de esfera, foi considerado um alto valor para rigidez na direção do movimento [START_REF] Van Brussel | Towards a Mechatronic Compiler[END_REF] .

Os motores lineares que proporcionam o movimento dos fusos foram representados por massas pontuais, e, finalmente, as conexões da máquina à fundação também foram modeladas com base em elementos spring.

Neste modelo, não foram considerados os sistemas de proteção e controle que, embora necessários para o correto funcionamento da máquina, não influenciam seu comportamento dinâmico.

Em seguida, foi feito um segundo modelo de elementos finitos deslocando os componentes móveis da máquina nos eixos X e Z. A diferença entre este modelo e o anterior é que, neste, a coluna está posicionada no centro do barramento e o eixo-árvore está deslocado frontalmente, como se pode observar na figura 1.

Uma vez definidos os modelos de elementos finitos da máquina-ferramenta nas duas configurações, foram determinadas as frequências naturais e os modos de vibração. A faixa de frequência referencial foi definida levando em consideração os diferentes testes em condiçôes de funcionamento realizados na máquina. Observou-se que as vibrações aparecem entre 49 e 126Hz [START_REF] Munoa | Optimization of Hard Material Roughing by means of a Stability Model[END_REF] .

Consequentemente, foram obtidas frequencias numéricas ate 150Hz, como se observa na tabela 1. Para cada uma das duas confirmações, foi feita uma análise modal experimental. Utilizou-se um martelo instrumentado para excitar o sistema e acelerômetros triaxais em um total de 75 pontos para medir a resposta, de forma que foi possível extrair 225 funções de resposta em frequência para cada modelo. Os resultados também estão descritos na tabela 1.

MELHORIA DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

Uma vez feita a análise modal da máquina, tanto de forma numérica quanto experimental, obtêm-se dois modelos diferentes que representam o mesmo sistema físico para cada configuração. As técnicas de atualização permitem incorporar os resultados experimentais ao modelo de elementos finitos com o objetivo de, primeiro, validá-lo e, depois, melhorá-lo, entendendo como melhoria o fato de o novo modelo numérico ser capaz de reproduzir as características dinâmicas da máquina obtidas experimentalmente.

Existem dois tipos de técnicas de atualização: diretas e iterativas. Normalmente, no âmbito do projeto de engenharia, sâo empregadas as iterativas, que se baseiam na introdução de variações nos parâmetros que definem o modelo numérico (como módulo de elasticidade, espessura, densidade etc.), o que proporciona sentido físico ao modelo melhorado.

As técnicas iterativas de atualização são desenvolvidas em três etapas:

 Correlação de modelos,  Seleção dos parâmetros atualizáveis e  Atualização Não obstante, independentemente da técnica empregada, é imprescindível trabalhar com dados experimentais de qualidade, no que a metodologia e o equipamento empregados têm um papel fundamental. Se os dados não são confiáveis, a atualização carecerá de sentido e o novo modelo gerado não será válido para análises posteriores e melhorias no comportamento dinâmico da máquina.

Neste trabalho, foi utilizado o software FEMtools para realizar o processo de atualização em suas diferentes fases.

CORRELAÇÂO DE MODELOS

Nesta primeira fase, trata-se de quantificar a proximidade dos dois modelos utilizados.

Teoricamente, ambos deveriam proporcionar os mesmos parâmetros modais. Porém, observando as frequências naturais obtidas (tabela 1), não se verifica uma correspondência clara entre elas. Por isso, se ela não existe, significa que há algum erro no processo e que é preciso modificar o modelo de elementos finitos e repetir a análise modal experimental. Inicialmente, foi feita a correlação geométrica, já que existiam diferenças no sistema de eixos de coordenadas empregado nos modelos. Além disso, alguns dos componentes da máquina estavam ligeiramente deslocados, como se pode observar na figura 2.

Figure 2.modelos numérico y experimental (antes de ejecutar la correlación geométrica).

Em seguida, foi feita a correlação modal. Com esta operação, pretemde-se analisar a correspondência entre as frequências naturais de ambos os modelos. Para isso, podem ser empregadas diferentes formulas baseadas em funções de resposta em frequência |15,21] , por exemplo, embora a mais extensa [START_REF] Allemang | Investigation of some multiple input/output frequency response experimental modal analysis techniques[END_REF][START_REF] Allemang | The modal assurance criterion -twenty years of use and abuse[END_REF] seja o Modal Assurance Criterion (MAC), que utiliza os modos de vibração associados a cada frequência, segundo a equação (1).

𝑀𝐴𝐶({∅ 𝑛𝑢𝑚 , ∅ 𝑒𝑥𝑝 }) = ({∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝑇 • {∅ 𝑒𝑥𝑝 }) 2 ({∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝑇 • {∅ 𝑛𝑢𝑚 }) • ({∅ 𝑒𝑥𝑝 } 𝑇 • {∅ 𝑒𝑥𝑝 }) (1) 
Realmente, o MAC constitui um produto escalar de dois vectores, de tal forma que seu valor oscila entre 0 e 1. Um valor nulo indica que não existe nenhum tipo de correspondência entre modos de vibração. Mas, se o MAC é igual a 1, ambos os vetores são proporcionais, indicando que a correlação é perfeita. A tabela 2 mostra os modos de vibração que resultaram correlatos em ambas as configurações. Os valores MAC são apresentados em percentuais. Como se pode observar, na primeira configuração são obtidos dois valores altos de MAC (91.2 e 92.1), dois valores intermediários (77,5 e 70,1) e um baixo (57,4). Este último não foi desprezado porque constitui um modo importante no comportamento dinâmico da máquina, conforme se pôde observar nas funções de resposta em frequência.

Na segunda configuração, aparece um número maior de modos correlatos e valores MAC escalonados, desde um valor quase perfeito, de 97.3, até o menor, de 62,4. Estes resultados foram considerados aceitáveis e válidos para passar â fase seguinte do processo de atualização.

SELEÇÂO DOS PARÂMETROS ATUALIZÁVEIS

Nesta fase, são definidos os parâmetros físicos do modelo de elementos finitos passíveis de modificação, para que o novo modelo possua características dinâmicas mais próximas daquelas obtidas experimentalmente.

Esta é uma definição especialmente crítica. Em principio, os parâmetros a serem definidos deveriam ser aqueles cuja modelagem não foi considerada correta ou que apresentam um elevado índice de dúvida. Neste ponto é muito importante o nível de conhecimento que se tem da construção da máquina-ferramenta, além de experiência em modelação por elementos finitos.

Existem diferentes técnicas numéricas para localizar erros em modelos de elementos finitos [START_REF] Fisette | Error location and uploading of analytical dynamic models using a force balance method[END_REF][START_REF] Wei | Correction of Finite Element Model via Selected Physical Parameters[END_REF] . Neste trabalho, foi utilizada a análise de sensibilidade, que permite determinar os parâmetros que geram as maiores variações nas respostas selecionadas. Entende-se como reposta as frequências naturais e os modos de vibração associados, e, indiretamente, o MAC.

Sendo assim, o coeficiente de sensibilidade de uma resposta y ante a variação de um parâmetro p é definido como ∂y ∂p (2) Com isso, obtém-se um conjunto de m respostas e n parâmetros

∆𝑦 1 = 𝜕𝑦 1 𝜕𝑝 1 • ∆𝑝 1 + 𝜕𝑦 1 𝜕𝑝 2 • ∆𝑝 2 + ⋯ + 𝜕𝑦 1 𝜕𝑝 𝑛 • ∆𝑝 𝑛 ∆𝑦 2 = 𝜕𝑦 2 𝜕𝑝 1 • ∆𝑝 1 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑝 2 • ∆𝑝 2 + ⋯ + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑝 𝑛 • ∆𝑝 𝑛 ⋮ ∆y m = ∂y m ∂p 1 • ∆p 1 + ∂y m ∂p 2 • ∆p 2 + ⋯ + ∂y m ∂p n • ∆p n (3) 
que, na forma matricial, pode ser escrito como

{∆𝑦} = [𝑆] • {∆𝑝} (4) 
Onde: (5)

{∆𝑦} = { ∆𝑦 1 ∆𝑦 2 ⋮ ∆𝑦 𝑚 }, {∆𝑝} = { ∆𝑝 1 ∆𝑝 2 ⋮ ∆𝑝 𝑛 } [S] =
Os coeficientes de sensibilidade podem ser obtidos com o uso de dois métodos: diferenças finitas e análise diferencial. Este último é baseado em expressões explicitas das derivadas parciais das respostas, como as propostas por Fox e Kapoor [START_REF] Fox | Rates of change of eigenvalues and eigenvectors[END_REF] , e proporciona uma grande redução no custo computacional. Isso justifica a sua adoção neste trabalho.

Sendo assim, neste caso em que as respostas escolhidas foram as frequências naturais e os valores MAC, tem-se:

𝜕𝑓 𝑖 𝜕𝑝 = {∅ 𝑖 } 𝑇 •( 𝜕[𝐾] 𝜕𝑝 -4𝜋 2 𝑓 𝑖 2 • 𝜕[𝑀] 𝜕𝑝 )•{∅ 𝑖 } 8𝜋 2 𝑓 𝑖 •{∅ 𝑖 } 𝑇 •([𝑀])•{∅ 𝑖 } ( 6 
)
𝜕𝑀𝐴𝐶 𝜕𝑝 = 2 • [ ({∅ 𝑒𝑥𝑝 } 𝑇 • {∅ 𝑛𝑢𝑚 }) • ({∅ 𝑒𝑥𝑝 } 𝑇 • 𝜕{∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝜕𝑝 ) ({∅ 𝑒𝑥𝑝 } 𝑇 • {∅ 𝑒𝑥𝑝 }) • ({∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝑇 • {∅ 𝑛𝑢𝑚 }) - ({∅ 𝑒𝑥𝑝 } 𝑇 • {∅ 𝑛𝑢𝑚 }) 2 • ({∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝑇 • 𝜕{∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝜕𝑝 ) ({∅ 𝑒𝑥𝑝 } 𝑇 • {∅ 𝑒𝑥𝑝 }) • ({∅ 𝑛𝑢𝑚 } 𝑇 • {∅ 𝑛𝑢𝑚 }) ] (7) 
Após definir a técnica de localição de erros que será empregada, é necessário fazer uma primeira seleção do parâmetros com base nas possíveis fontes de erros que podem ocorrer no modelo de elementos finitos da máquina. Este passo é muito importante, já que introduzir todos os parâmetros possíveis nas expressões anteriores seria altamente trabalhoso.

No caso deste tipo de máquina-ferramenta, as principais dúvidas ocorrem na modelação das conexões entre os diferentes componentes (figura 3); nas propriedades do material, uma vez que se trata de fundidos; e no efeito inercial dos motores lineares dos fusos de esferas. Os apoios da máquina sobre fundação também sempre apresentam certa indefinição (figura4). A figura 5 mostra os coeficientes de sensibilidade para as duas configurações. Os maiores valores são registrados nos parâmetros 13 a 15 e 16 a 18, e os menores correspondem à rigidez dos elementos spring, salvo algum caso pontual. Os resultados confirmam que a definição dos parâmetros de atualização foi feita corretamente. Além disso, devido à grande diferença entre alguns, é recomendável aplicar coeficientes de ponderação para destacar aqueles que apresentam maior variação nas respostas e reduzir a influência dos que apresentam mudanças menores.

ATUALIZAÇAO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

Uma vez correlacionados os modelos numéricos e experimental, e selecionados os parâmetros físicos a serem modificados, esta última etapa irá quantificar a variação dos referidos parâmetros para que o modelo de elementos finitos reproduza os resultados experimentais.

Para isso, é utilizada a equação 4, que, para as duas configurações, pode ser escrita como:

      p S y     1 1 (8)       p S y     2 2
na qual se distinguem dois vetores de respostas, duas matrizes de sensibilidade e um único vetor de parâmetros, já que o modelo de elementos finitos também é único, e a diferença entre as duas configurações é um simples deslocamento de alguns de seus componentes, o que não altera o valor dos parâmetros físicos.

Estas expressões podem ser reagrupadas como:

          p S S y y z z                  1 1       p S y     (9) 
O objetivo da atualização é obter um vetor de parâmetros ótimo {p} ótimo para que o vetor {y} seja o mínimo possível. Isso significa que, por um lado, se tentará minimizar a diferença entre as frequências numéricas e experimentais, e, por outro, que os valores MAC se aproximem da unidade.

A solução deste problema deve observar as seguintes considerações: Por isso, se trabalhou com vetores de respostas e parâmetros relativos, atribuindo coeficientes de ponderaçâo w a cada um dos termos desses vetores. Assim, a equação 9 pode ser escrita como:

 [S]
      w r w r p S y       1 (10)
Por último, foram estabelecidos limites para a variação de parâmetros, para que o desenvolvimento em série de Taylor (equação 3) pudesse ser empregado corretamente. Dessa forma, a obtenção do vetor {p} ótimo exigirá várias iterações.

Para resolver a equação 10, é necessário considerar que o número de parâmetros e o de respostas não é o mesmo. Por isso, não existe uma solução única e é preciso utilizar o critério de mínimos quadrados [START_REF] Morris | Foundations of structural optimization: A unified approach[END_REF] .

Os resultados obtidos após a resolução são mostrados na tabela 3 (pág.79).

Nas duas configurações pode-se observar uma convergência considerável dos valores das frequências naturais comparados com os obtidos experimentalmente. A maior diferença é de aproximadamente 3Hz, e o restante inferior a 1,5Hz. Quanto ao MAC, os valores iniciais melhoram claramente na segunda configuração, enquanto na primeira se mantém integrais. Pode-se deduzir, portanto, que o processo de atualização corrige as diferenças em frequências do modelo de elementos finitos sem prejudicar sua correlação com os dados experimentais.

Consequentemente, o modelo atualizado é consideravelmente melhor do que o original.

CONCLUSOES

Este trabalho apresenta um processo para melhorar modelos de elementos finitos de máquinas-ferramenta de múltiplos eixos.

Foram utilizadas duas configurações de máquina e, para cada uma delas, foi elaborado um modelo de elementos finitos e feita uma análise modal experimental.

Esse conjunto de dados foi analisado e estabeleceu-se a correspondência entre as respostas numéricas e experimentais. Depois de definidos os parâmetros do modelo de elementos finitos a serem modificados, para o que foi empregada uma técnica de localização de erros baseada na análise de sensibilidade, estimou-se a variação ótima desses parâmetros. O resultado é um modelo de elementos finitos melhorados, cujas características dinâmicas ajustam-se às obtidas experimentalmente.

Os resultados obtidos mostram uma grande correspondência entre as respostas numéricas e experimentais para as duas configurações. Ou seja, o modelo de elementos finitos atualizado representa o sistema mecânico real com um elevado grau de exatidão.

O processo utilizado pode ser aplicado a qualquer máquina-ferramenta de múltiplos eixos, e permite obter modelos de elementos finitos melhorados, selecionando um conjunto de configurações importantes nos processos de trabalho da máquina.

Com este modelo atualizado, será possível estudar de forma mais adequada possíveis modificações na configuração da máquina, e determinar de forma mais correta os níveis de estabilidade dinâmica em condições de trabalho.

Figura 3 :

 3 Figura 3: Rabo de andorinha entre barramento e coluna

Figura 5 :

 5 Figura 5: matriz de coeficientes de sensibilidad para las dos configuraciones (superior: modelo 1, inferior: modelo 2)