shs.edu
E Tecnológica 
  
Curso De 
  
Doutorado Roberto 
  
Mariano De 
  
FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: um olhar Araújo Filho 
  
Mariano Roberto 
  
Araújo De 
  
Formação Filho 
  
Inicial 
  
Profª. Drª Gitirana Verônica 
  
Gomes Ferreira 
  
Filho De Araújo 
  
Inicial Formação 
  
PROFESSOR Do 
  
Dr Arthur B Powell 
  
Prof. Dr Celso André De Souza 
  
Barros Gonçalves 
  
Prof. Dr Valdir Bezerra 
  
Santos Júnior 
  
Verônica Orientadora 
  
Gitirana 
  
Prof. Dr Celso Gonçalves 
  
Profª. Drª Iranete Lima 
  
Pelas Valiosas 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUCAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Keywords: TPACK, Collaborative Learning, Teachers Initial Training, Instrumental Orchestration, Technology, LISTA

This research aims to analyze mathematics teachers' knowledge in initial training that emerge from a formation with integration of digital technology for function teaching, done in semi-presential and collaborative mode in CSCL platforms. The teaching knowledge analyzed starts from an expansion of the theoretical framework developed by Shulman that has as its principle the pedagogical knowledge and the content as essential to teacher education. With the integration of technological knowledge to the theoretical framework forming the TPACK (Mishra and Koehler), it is necessary a formation that contemplates the integration of technologies to the initial training. The experimental model uses online collaboration (Stahl) as a driving force for training, coupled with didactic and cognitive theories to promote distance and face-to-face interactions that emerge TPACK's knowledge. In the methodology the design of an experiment with five stages of formation was carried out, starting from the theoretical discussion to the planning and execution of a class simulation based on the stages of the Instrumental Orchestration (Trouche). The research had as subject a group of 21 undergraduate students in Mathematics of the present modality. For this research was made the case study of one of the researched groups, which stood out in the discussions along the stages of formation. Two data analysis methods were used, one with support for videographic analysis the microgenetic analysis model and the other with support for online collaboration, the Baker analysis model. The analyzes allowed the identification of the knowledge mobilized by the undergraduates, such as the obstacles related to collaborative interactions. The experimental model showed how knowledge emerges from collaboration, enabling other perspectives for initial teacher education with digital technologies. The results showed that pedagogical and content knowledge emerged strongly throughout the stages of the model. In addition, knowledge emerged, mainly, in situations in which collaboration between subjects was identified. However, TPACK appears in only one of the moments of the collaboration. Finally, we were able to identify that the graduates, even if implicitly, evidenced to have knowledge about the stages of planning and elaboration of teaching situations.

RESUMO

Esta pesquisa tem por objetivo analisar os conhecimentos de professores de matemática em formação inicial que emergem a partir de uma formação com integração de tecnologia digital para o ensino de função, feitos em modalidade semipresencial e colaborativa em plataformas CSCL. Os conhecimentos docentes analisados partem de uma ampliação do quadro teórico desenvolvido por Shulman que tem como princípio os conhecimentos pedagógicos e do conteúdo como essenciais a formação docente. Com a integração do conhecimento tecnológico ao quadro teórico formando a TPACK (Mishra e Koehler), se faz-se necessária uma formação que contemple a integração de tecnologias à formação inicial. O modelo experimental utiliza a colaboração online (Stahl) como propulsor da formação, aliado a teorias didáticas e cognitivas para promover interações a distância e presenciais, que façam emergir os conhecimentos da TPACK. Na metodologia foi realizado o design de um experimento com cinco etapas de formação, partindo da discussão teórica até o planejamento e execução de uma simulação de aula com base nas etapas da Orquestração Instrumental (Trouche). A pesquisa teve como sujeitos um grupo de 21 licenciandos em Matemática da modalidade presencial. Para esta pesquisa, foi analisado o caso de um dos grupos pesquisados, que se destacou nas discussões ao longo das etapas de formação. Foram utilizados dois métodos de análise de dados, um deles como suporte à análise videográfica o modelo de análise microgenética e o outro, com suporte à análise da colaboração online, o modelo de análise de Baker. As análises permitiram a identificação dos conhecimentos mobilizados pelos licenciandos, como os entraves relacionados as interações colaborativas. O modelo experimental mostrou como os conhecimentos emergem a partir da colaboração, possibilitando outros olhares para formação inicial docente com tecnologias digitais. Os resultados mostraram que os conhecimentos pedagógicos e do conteúdo surgiram fortemente ao longo das etapas do modelo. Além disso, os conhecimentos emergiram, principalmente, em situações nas quais se identificou a colaboração entre os sujeitos. No entanto, a TPACK aparece em apenas um dos momentos da colaboração. Finalmente, pudemos identificar que os licenciandos, mesmo que implicitamente, evidenciaram ter conhecimentos sobre as etapas de planejamento e elaboração de situações de ensino. 

LISTA DE FIGURAS

INTRODUÇÃO

Apesar de a tecnologia estar cada vez mais presente na sociedade atual, a integração tecnológica na Educação ainda tem se mostrado um desafio. O relatório americano sobre o uso da tecnologia na educação (NCES, 2000) aponta um descompasso entre as expectativas e a realidade sobre o uso da tecnologia e suas transformações, sobretudo no que diz respeito à prática docente. O relatório aponta que, mesmo quando computadores e Internet estão integrados à sala de aula, eles apenas reforçam práticas tradicionais de ensino [START_REF] Lins | Interações em Atividades de Docência Online em Ambientes de Imersão 3D. 264f. Tese (Doutorado em Educação)[END_REF]. [START_REF] Cantini | Anais do VI EDUCERE--Congresso Nacional de Educação[END_REF] apontam que os professores, a partir da inserção de tecnologias digitais na escola, devem estar preparados para integrá-las à sua prática docente. No entanto, segundo os autores, é necessário que haja uma expansão da formação do professor com relação ao uso dessas tecnologias, uma vez que, muitas vezes, a formação inicial é fragilizada nesse aspecto.

Em algumas instituições de ensino superior públicas mais próximas geograficamente, como a Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Universidade Federal da Paraíba (UFPB), Universidade do Estado do Rio Grande do Norte (UERN) e Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), a formação inicial do professor de Matemática apresenta poucas ou nenhuma disciplina em sua estrutura curricular que trate das tecnologias digitais para o ensino. Na UFPE, UFPB e UERN, as grades curriculares mostram disciplinas de iniciação à computação, que trabalham com algoritmos e linguagem de programação, mas não com recursos digitais voltados para o ensino. Muitas vezes, as abordagens são realizadas em outras disciplinas, como as de laboratório ou metodologias de ensino.

Alguns pesquisadores, como Borba e Penteado (2010), [START_REF] Bairral | interação e aprendizagem matemática em ambientes virtuais a distância[END_REF], Charles e Gitirana (2014), Nishio e Hora (2016), têm realizado pesquisas com o uso de tecnologias digitais na formação inicial de professores. Essas pesquisas realizadas por pesquisadores da Educação Matemática no Brasil, em sua maioria, ocorrem nos ambientes de formação inicial em que os pesquisadores atuam. No entanto, como aponta [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF] é preciso que os professores formadores, não apenas os da formação didático-pedagógica, mas também os da formação específica, reformulem suas práticas, inserindo novas metodologias, tendo em vista o impacto que esses docentes possuem na postura do futuro professor de Matemática Nesse sentido, partimos do princípio de que a formação inicial do professor precisa integrar o uso de recursos digitais, necessidade essa já apontada nas Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN) para a Licenciatura em Matemática desde 2001 [START_REF] Brasil | Diretrizes Curriculares Nacionais para a Licenciatura em Matemática[END_REF]. Segundo as DCN para a licenciatura em Matemática, na estrutura curricular do curso, o licenciando deve adquirir familiaridade com o uso do computador como instrumento de trabalho, incentivando sua utilização para o ensino da Matemática.

O perfil dos cursos de Licenciatura em Matemática tem se modificado de forma a atender à demanda da formação inicial, com disciplinas da Educação Matemática, que são necessárias na formação do licenciando. No entanto, essas disciplinas muitas vezes não contemplam artefatos digitais, computacionais e da web, que estão em constante evolução. [START_REF] Nogueira | Formação de Professores e Tecnologias da Informação e Comunicação -TIC's: uma relação necessária para o uso de recursos tecnológicos na educação. Anais do X Congresso Brasileiro de Ensino Superior a Distância[END_REF] apontam a necessidade de "... o docente, desde o início da sua formação esteja em contato direto com as tecnologias não apenas de forma técnica, mas principalmente pedagógica, para que possa de fato, inserir os recursos tecnológicos em sua prática" (NOGUEIRA et al., 2013, p. 4). Os pesquisadores apontam a necessidade de uma formação inicial e continuada pautada na utilização de tecnologias digitais, diante da complexidade da inclusão tecnológica dos que já atuam, em incorporar tecnologias em suas práticas.

A presença da tecnologia como um artefato para o ensino vai além da sua presença no ambiente escolar. O artefato tecnológico deve ser vinculado às práticas de sala de aula, tendo o professor como mediador, para que os estudantes sejam direcionados a explorar, conjecturar e formular situações a partir da manipulação da tecnologia [START_REF] Nogueira | Formação de Professores e Tecnologias da Informação e Comunicação -TIC's: uma relação necessária para o uso de recursos tecnológicos na educação. Anais do X Congresso Brasileiro de Ensino Superior a Distância[END_REF]. A partir da tecnologia como artefato para o ensino e com a evolução da comunicação em rede, as modalidades de ensino que se concentravam na modalidade presencial evoluem também para a modalidade à distância por meio de Ambientes Virtuais de Aprendizagem. Dessa forma, o perfil do professor que está em formação deve se adaptar também a essas modalidades de ensino que se desenvolvem em rede. Segundo [START_REF] Dantas | A formação inicial do professor para o uso das tecnologias de comunicação e informação[END_REF], os professores que irão fazer uso das novas tecnologias devem estar preparados para reconhecer as vantagens, as limitações e as implicações do uso destas tecnologias.

Uma vez apontada a necessidade de uma formação que contemple a utilização de artefatos tecnológicos, vemos a necessidade de estabelecer uma formação inicial que contemple este aspecto, por meio da utilização de softwares que promovam a construção do conhecimento matemático (do conteúdo), didático (pedagógico) e tecnológico e que possam ser integrados à prática dos novos professores de matemática.

A necessidade de uma formação que contemple a utilização de artefatos tecnológicos também é reforçada por Mishra e Koehler (2006), como um dos conhecimentos necessários ao professor em sua prática. Os autores integram o conhecimento tecnológico a outros dois tipos de conhecimento: o pedagógico e o do conteúdo [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF], formando uma tríade de conhecimentos que o professor precisa ter para consolidar a prática em sala de aula. Segundo Mishra e Koehler (2006) o conhecimento tecnológico está presente na vida profissional do professor, mesmo antes da evolução tecnológica digital. Isso porque os autores consideram como tecnologias não apenas os artefatos digitais, mas também os artefatos não digitais.

As pesquisas mostram, em sua maioria, uma preocupação em investigar os conhecimentos dos professores que já atuam, ou seja, que estão em pleno exercício da prática docente ou apenas, na investigação da integração tecnológica nos cursos de formação inicial (KAFYULILO, 2010;[START_REF] Niess | Guest Editorial: Preparing Teachers to Mathematics with Technology[END_REF]LEE e HOLLEBRANDS, 2008;MISHRA e KOEHLER, 2006;DURDU e DAG, 2017). Com base nessas pesquisas, começamos a pensar em um modelo de formação que contemplasse os professores no processo inicial de formação, isto é, ainda no começo da licenciatura, a fim de investigar como os conhecimentos do conteúdo, pedagógico e tecnológico emergem nesta fase inicial. Além disso, podemos, ao mesmo tempo, proporcionar a estes estudantes uma formação que contemple estes conceitos necessários à prática docente, mas que ainda estão se desenvolvendo por meio da abordagem teórico-prática que é realizada nas disciplinas de metodologia de ensino.

Nesse sentido, em nossa pesquisa, estivemos investigando a formação inicial de professores, ou seja, os alunos da licenciatura em Matemática no início da formação. Nossa investigação partiu de uma disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática, no início do curso de graduação, e que tem como objetivo fomentar discussões em Educação Matemática a partir de teóricos da área aliados a investigações práticas com atividades direcionadas para exploração dos conceitos abordados na teoria.

Nossa hipótese é que, ao promover uma formação que faça emergir estes conhecimentos (conteúdo, pedagógico e tecnológico), poderemos observar quais são os conhecimentos préexistentes. Dito de outra forma, observar o que estes estudantes já trazem ao chegarem ao curso de licenciatura em Matemática, a fim de futuramente, promover ao longo da formação, situações que possam efetivamente contribuir na constituição de um professor que abarque a tríade de conhecimentos essenciais e já construídos de forma sólida, que esteja preparado para atuar em sala de aula.

Além da necessidade da integração de conhecimentos à prática docente, outro fato deficiente na formação inicial é a formação voltada para uma aprendizagem individual. [START_REF] Zouaoui | Teacher Training Teaching Problems Encountered by Novice Teachers[END_REF] aponta que a formação inicial docente deve considerar que as aprendizagens coletiva e individual devem ser contempladas de maneira que uma não anule a outra. Ou seja, o futuro professor deve estar atento às peculiaridades do pensamento individual do aluno que, por consequência, gera contribuições significativas no processo de construção colaborativa quando envolvido em um grupo. Desse modo, o trabalho docente deve ser percebido na formação inicial como uma ação coletiva, já que os professores em sua prática estão desempenhando um trabalho de planejamento e coordenação pedagógica em um grupo de professores.

Sendo assim, para promover nosso experimento de formação inicial docente, constituímos um ambiente colaborativo online [START_REF] Stahl | Computer-Supported Collaborative Learning: an historical perspective[END_REF] de forma que os licenciandos deveriam interagir em grupo na elaboração de uma situação de ensino, que fizesse uso de ferramentas tecnológicas. Acreditamos que a colaboração desde a formação inicial pode despertar nos futuros professores a necessidade de resolver problemas e aprender juntos, tanto na prática de sala de aula, como nas ações docentes. [START_REF] Enerson | The Penn State Teacher II: Learning to teach, Teaching to Learn[END_REF] destacam que o trabalho docente colaborativo nem sempre é considerado na formação inicial, por não ser uma metodologia de ensino recorrente na prática. Sendo assim, os autores respondem a alguns questionamentos comuns levantados pelos docentes quanto ao trabalho colaborativo suportado por tecnologias digitais, como: tipos de tecnologias que suportam a colaboração, como incentivar nos alunos a prática colaborativa e como desenvolver a prática colaborativa no meio docente.

A partir da problemática apresentada, propomos uma pesquisa voltada para a formação inicial docente colaborativa, com vista à elaboração e à experimentação de um modelo de formação, a partir dos objetivos elencados a seguir.

OBJETIVOS

Objetivo Geral

Analisar os conhecimentos de professores de matemática em formação inicial que emergem a partir de uma formação com integração de tecnologia digital para o ensino de função, feitos em modalidade semipresencial e colaborativa em plataformas CSCL. 

Objetivos Específicos

ESTRUTURA DO TEXTO

O segundo capítulo desta pesquisa apresenta uma revisão da literatura de algumas pesquisas em torno da formação inicial docente em Matemática, como também a formação inicial docente com o uso da TPACK e CSCL.

Para atingir nossos objetivos, pautamo-nos no quadro teórico principal deste estudo, que consiste nos Conhecimentos Tecnológicos, Pedagógicos e Conteúdo (TPACK -Technological, Pedagogical and Content Knowledge), apresentado no terceiro capítulo desta pesquisa (MISRHA e KOEHLER, 2006). Neste capítulo discutimos como o quadro teórico da TPACK foi constituído por Mishra e [START_REF] Mishra | Technological pedagogical content knowledge: A framework for teacher knowledge[END_REF] a partir das pesquisas de [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF], sobre o Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo.

No quarto capítulo, apresentamos nosso quadro teórico do experimento de formação.

As teorias apresentadas neste capítulo nos auxiliaram a desenvolver o experimento de formação, como a Aprendizagem Colaborativa Suportada por Computador (STAHL, KOSCHMANN e SUTHERS, 2006) (CSCL -Computer Supported Collaborative Learning) que nos auxiliou no design do ambiente, na escolha dos grupos, organização dos roteiros e mediação das sessões. A Teoria dos Registros de Representação Semiótica [START_REF] Duval | Registros de Representação Semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática[END_REF][START_REF] Duval | La conversion des representations: un des deux precessus fondamentaux de la pensée. Du mota u concept: conversion[END_REF], que fez parte do programa da disciplina onde realizamos o experimento, atua como uma das teorias discutidas pelos sujeitos para sua formação didático-pedagógica. As funções enquanto objeto matemático proposto na formação e por fim, a Teoria da Orquestração Instrumental [START_REF] Trouche | Environnements informatisés et mathématiques: quels usages pour quells apprentissages[END_REF]; [START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF], (DRIVJERS et al., 2010), como uma das teorias discutidas na disciplina e suporte aos licenciandos na elaboração das aulas propostas na formação.

No quinto capítulo, trazemos uma caracterização da nossa metodologia, apresentando o experimento de formação, a caracterização dos sujeitos e o processo de coleta de dados em cada etapa. No sexto capítulo discutimos o método e a análise dos dados coletados em cada etapa do experimento de formação. No sétimo capítulo, trazemos os resultados da nossa pesquisa e as discussões pautadas em nossa teoria principal do estudo e em nossa revisão da literatura. No último capítulo, trazemos nossas conclusões, algumas limitações da pesquisa e perspectivas de pesquisas futuras.

REVISÃO DA LITERATURA

Fizemos, neste capítulo, uma discussão sobre as pesquisas em torno da TPACK (Technological, Pedagogical, and Content Knowledge). Buscamos nossa fonte bibliográfica na base de indexação de pesquisas educacionais ERIC, acessível por meio do link, eric.ed.gov, que reúne artigos completos de autores de vários lugares do mundo protegidos pelos direitos autorais de cada autor.

Nossa busca se deu a partir de termos específicos relacionados à nossa pesquisa.

Buscamos "TPACK in preservice mathematics teacher" e encontramos alguns artigos relacionados, que fomos filtrando de acordo com o período de publicação de cada um.

Primeiramente, focamo-nos nos artigos publicados nos últimos 5 anos e fomos aumentando o filtro para que pudéssemos ter uma margem maior de publicações. Ao final da busca, iniciamos um processo de filtragem mais específico, guiando-nos pelas propostas das pesquisas para o nosso estudo.

Ao final da filtragem classificamos os artigos de acordo com o que conseguimos observar na leitura e formamos as categorias: Formação Inicial Docente, Formação inicial docente para o uso da TPACK, Formação docente para integração da TPACK no ensino e Formação docente com CSCL. Além disso, fizemos uma breve discussão sobre as funções a partir das orientações propostas nos documentos oficiais vigentes.

FORMAÇÃO INICIAL DOCENTE

A formação inicial docente vem sendo objeto de pesquisa no Brasil e no mundo há alguns anos [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF]. Nesta seção discutimos as investigações dos pesquisadores sobre o panorama das pesquisas que discutem sobre políticas públicas para formação docente, os programas e cursos, as práticas de ensino e Estágios Supervisionados, o trabalho colaborativo, a formação matemática e pedagógica do professor, as propostas de reformulação das licenciaturas e os saberes docentes [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF][START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF][START_REF] Nacarato | A formação do professor de Matemática: pesquisa x políticas públicas[END_REF].

Iniciamos nossa revisão com as investigações trazidas por [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF], que trazem uma revisão de 112 teses e dissertações defendidas no período de 1978 a 2002, acerca da formação ou desenvolvimento profissional docente. Os pesquisadores abordam, nessa investigação, algumas categorias relacionadas à formação inicial, formação continuada e outros sub-focos de pesquisa.

Os estudos desses autores evidenciam que as pesquisas de pós-graduação em torno da formação inicial se iniciam na década de 70, mais precisamente em 1978, com aproximadamente 12 estudos apontados em dissertações de mestrado da Unicamp, concentrando 77,7% e em teses de doutorado, 21,4%, nos outros casos foram encontradas teses de pesquisadores brasileiros realizadas no exterior.

No final da década de 90, os pesquisadores apontam que os estudos focaram-se nos programas dos cursos, evidenciando que o perfil dos egressos mostrou uma falta de domínio dos conceitos matemáticos necessários à prática profissional. Os métodos de pesquisa também evoluíram ao longo dos anos, pois até o final da década de 80, os pesquisadores se utilizavam de questionários para o levantamento de dados exploratórios ou descritivos, passando para uma avaliação qualitativa mais efetiva com a pesquisa participante, entrevistas com formadores e licenciandos ao final da década de 90.

Uma abordagem mais focada na Licenciatura em Matemática realizada pelos pesquisadores, mostra que os problemas evoluíram pouco ao longo dos anos. Desde a década de 70 até o início dos anos 2000, a dicotomia entre teoria e prática mostrou-se um problema comum nas pesquisas. Além disso, o distanciamento entre as disciplinas pedagógicas e específicas, o distanciamento do que se aprende na licenciatura e o necessário à prática nas escolas, a pouca articulação entre os professores formadores e a realidade escolar, a predominância de métodos de avaliação tradicionais são exemplos de problemas que parecem se estender as Licenciaturas em Matemática [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF].

Segundo os autores, esses problemas estão ligados aos professores formadores que mostram ausência de uma formação histórica, epistemológica e filosófica do saber matemático.

Até o final da década de 90 as propostas de solução para esses problemas, aparecem timidamente nas pesquisas, sendo encontradas apenas nos estudos de Carneiro (1999) e Martins (2001), que evidenciam menores impactos quando há docentes da Educação Matemática que se comprometem com a formação do professor. [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF] ainda trazem, em seus estudos, a existência de grupos ou práticas colaborativas na formação de professores. No entanto, os pesquisadores mostram que essas práticas ocorrem apenas na formação continuada e no desenvolvimento profissional docente, e não na formação inicial. Em um dos estudos mapeados, mostra-se a parceria entre pesquisador e professores dos anos iniciais, na produção de material didático para sala de aula, na perspectiva do professor reflexivo. Em outras pesquisas, são evidenciadas as práticas de produção de situações didáticas coletivas, com aplicação em sala de aula. E, finalmente, a constituição de um grupo de pesquisa-ação em Educação Matemática, que atuou no desenvolvimento profissional docente por meio de oficinas que surgiram a partir de grupos colaborativos em um Laboratório de Ensino da UFPR. Os pesquisadores concluíram que, a partir dessas práticas coletivas e colaborativas, os professores tornaram-se mais reflexivos, gerando novas práticas que mudaram suas concepções de Matemática.

Em outra pesquisa, [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF] aponta aspectos da formação matemática e didático-pedagógica na formação inicial do professor de Matemática. O trabalho do autor aborda a formação do conhecimento matemático, que segundo ele, pode ser focalizado em três diferentes perspectivas: da prática acadêmica ou científica, da prática escolar e das práticas cotidianas não-formais. O autor defende que essas perspectivas estão interligadas, uma vez que a prática escolar se constitui a partir da interlocução entre as práticas acadêmica e cotidianas.

A partir das pesquisas de [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF], [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF] aponta que os problemas de dicotomia entre teoria e prática permanecem arraigados na formação inicial [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF]. Nesse sentido, o autor destaca que [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF] discute sobre um processo essencial à formação inicial do professor de Matemática, que seria a articulação do Conhecimento do Conteúdo e do Conhecimento Pedagógico, que dá origem ao Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF]MISHRA e KOEHLER, 2006).

Com isso, [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF] destaca que o futuro professor precisa conhecer como se deu o processo histórico e a negociação de significados em Matemática, de forma que possa avaliar as potencialidades do saber matemático, tendo em vista a realidade escolar onde irá atuar e os seus objetivos pedagógicos. Nesse sentido, o autor destaca que [...] para ser professor de matemática, não basta ter um domínio conceitual e procedimental da Matemática produzida historicamente. Sobretudo, necessita conhecer seus fundamentos epistemológicos, sua evolução histórica, a relação da Matemática com a realidade, seus usos sociais e as diferentes linguagens com as quais se pode representar ou expressar um conceito matemático (FIORENTINI, 2005, p. 110).

Para o autor, o professor formador tem um papel essencial na constituição do futuro professor de Matemática. Segundo Fiorentini, alguns professores formadores não tem uma dimensão dessa concepção, pois não percebem que, além da Matemática que ensinam, eles também ensinam um jeito de ser pessoa e professor. Pesquisas mostram que procedimentos do processo de escolarização e da formação matemática inicial, influenciam mais na futura prática docente, que as disciplina didático pedagógica [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF]. Isso porque essas disciplinas são fortemente prescritivas, e ditam um modelo teórico de "sucesso" a ser seguido pelos futuros docentes.

O autor aponta nas suas conclusões algumas considerações para a formação inicial e os professores formadores. Segundo [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF], é necessário que as licenciaturas em Matemática implementem a prática em todo o corpo docente, independente da formaçãomatemática ou didático-pedagógica -de que é preciso haver transformações no processo de formação, de maneira que os docentes de ambos os eixos se conscientizem da necessidade de implementação de novos modelos metodológicos para ensinar Matemática, promovendo atividades de investigação e problematizadoras, que sejam capazes de promover aprendizagens significativas. [START_REF] Nacarato | A formação do professor de Matemática: pesquisa x políticas públicas[END_REF] evidencia que os entraves relacionados à formação docente do professor de Matemática, seja inicial ou continuada, são evidenciados pela comunidade acadêmica por meio de pesquisas realizadas por educadores matemáticos. Essas pesquisas, inclusive, apontam algumas alternativas para que essas limitações sejam superadas. Um desses entraves destacados pela autora, refere-se à carga horária destinada aos programas de formação inicial que, em alguns cursos, limitam-se ao mínimo estabelecido pelas diretrizes curriculares, ou seja, de 2.800 horas, o que se mostra insuficiente para dar conta da formação necessária.

Outro aspecto destacado por [START_REF] Nacarato | A formação do professor de Matemática: pesquisa x políticas públicas[END_REF] é o despreparo que os ingressantes nos cursos de licenciatura em Matemática vêm mostrando ao longo dos últimos anos. A autora aponta que a falta de políticas públicas na Educação Básica afeta diretamente o Ensino Superior, uma vez que, os estudantes que chegam ao curso de licenciatura em Matemática mostram uma grande defasagem com relação aos conteúdos básicos da etapa de escolarização.

A partir dessas reflexões, trazemos na seção seguinte uma revisão da literatura que contempla a formação inicial docente para a TPACK no ensino.

FORMAÇÃO INICIAL DOCENTE PARA A TPACK NO ENSINO

Como destacamos em nossa problemática, a integração de tecnologias na formação inicial docente apresenta uma defasagem considerável. E isso ocorre, muitas vezes, tendo em vista que os cursos de formação inicial, quando apresentam disciplinas voltadas para formação tecnológica, são desvinculados da prática ou focados apenas no conteúdo específico da área.

Alguns autores têm se preocupado em abordar a integração tecnológica na formação inicial de professores. No surgimento do quadro teórico da TPACK, [START_REF] Niess | Preparing teachers to each science and mathematics with technology: Developing a technology pedagogical content knowledge[END_REF] adapta quatro componentes do quadro PCK (Pedagogical and Content Knowledge) de Grossmann (1990) e os amplia para o TPACK, desenvolvendo quatro aspectos para programas de formação de professores:

Uma concepção abrangente do que significa ensinar um assunto específico, como Matemática, integrando tecnologia na aprendizagem; Conhecimento de estratégias instrucionais e representações para o ensino particular de tópicos matemáticos com tecnologia; Conhecimento do entendimento, pensamento e aprendizagem dos alunos com tecnologia em um conceito como a matemática; Conhecimento de materiais curriculares e do currículo que integram a tecnologia com a aprendizagem matemática (NIESS, 2006, p.187).

A partir desses aspectos, a pesquisadora estruturou uma proposta de curso de formação inicial de professores e analisou os sujeitos ao longo da formação. Os sujeitos analisados eram formados para atuar nas áreas de Ciências e Matemática, devendo, ao longo do processo, integrar a tecnologia ao conhecimento pedagógico e específico da área. [START_REF] Niess | Preparing teachers to each science and mathematics with technology: Developing a technology pedagogical content knowledge[END_REF] estipulou alguns graus de desenvolvimento ao longo do processo formativo, observando os avanços em termos de TPACK no curso que propôs.

Em outra pesquisa Neiss (2006) discute os desafios na implementação da tecnologia no processo de formação inicial neste curso que propôs. A autora destaca que mesmo os conhecimentos inerentes à prática docente que já se encontram no currículo, como a didática e o conhecimento específico da área, nem sempre estão integrados. Dessa forma, o desafio se torna maior para as universidades, quando a integração tecnológica também se faz necessária.

A autora destaca que, no começo, os alunos do curso apresentam conhecimento tecnológico, manipulando dispositivos que estão diariamente em contato, como computadores, celulares e outras ferramentas digitais. No entanto, ao levar a proposta da interação tecnológica com outros conhecimentos, o potencial dos alunos é baixo, ou seja, faz-se necessária uma preparação para isso. Uma das formas apresentadas por [START_REF] Niess | Guest Editorial: Preparing Teachers to Mathematics with Technology[END_REF] é o design de aulas simuladas ao longo do curso, aulas onde os estudantes vão desenvolvendo a prática com base no quadro teórico da TPACK. [START_REF] Niess | Guest Editorial: Preparing Teachers to Mathematics with Technology[END_REF] destaca ainda, que ferramentas como calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de geometria dinâmica são apenas alguns dos exemplos que podem ser usados para aprender e ensinar matemática. Mas, por outro lado, alguns fatores devem ser considerados para que os professores estejam efetivamente preparados: a) necessidades curriculares em Matemática no século XXI, b) necessidades instrucionais em Matemática no século XXI, c) aprendizagem dos alunos no século XXI, d) capacidades únicas das ferramentas, e) conhecimento dos alunos, f) acesso e preocupações de gerenciamento das ferramentas e g) avaliação de novas ferramentas. A partir desses fatores, a autora elenca uma série de questões que devem ser feitas de forma reflexiva pelo professor e que podem levá-lo a buscar ou não mais formação. Kafyulilo (2010) apresenta, em sua problemática, a preocupação com a formação inicial docente, mais especificamente, em como os professores de Matemática e Ciências em formação inicial adquirem competências na integração de conhecimentos tecnológicos, pedagógicos e do conteúdo para o ensino. Além disso, o pesquisador também questiona em sua pesquisa quais ações e condições são oferecidas pela instituição formadora desses professores na efetiva promoção de competências TPACK.

A pesquisa contou com a participação de quatro instrutores da instituição formadora e de 29 estudantes de Matemática e Ciências. A participação dos instrutores na pesquisa foi necessária, tendo em vista que eles fariam parte do processo de preparação dos estudantes. Os instrumentos de coleta de dados utilizados foram o questionário com os estudantes, entrevista com os instrutores, observação e o livro de registros do pesquisador.

O questionário foi utilizado com base nas questões de pesquisa apresentadas e foi utilizado tanto no pré-teste, como no pós teste proposto, com o objetivo de observar as mudanças na integração da TPACK antes e depois da intervenção. O questionário foi baseado na proposta de Schmidt et al. (2009) A entrevista com os instrutores foi utilizada com o objetivo de saber como eles preparavam os estudantes, ou seja, como faziam a integração tecnológica em sala de aula para que os futuros professores pudessem adotar essa metodologia na prática. Além desses fatores, a entrevista poderia fornecer informações sobre quais habilidades os estudantes poderiam demonstrar na intervenção.

O registro de observação também foi baseado na proposta de Schmidt et al. (2009) 

e a

Organization for Economic Co-operation and Development (OECD) (2009), com o intuito de verificar como os estudantes realizavam a integração tecnológica durante as microaulas propostas na intervenção. Finalmente, o livro de registros do pesquisador foi utilizado para manter registros das atividades realizadas na intervenção. Dessa forma, pode ser descrito tudo que ocorreu no processo. Com esses instrumentos de pesquisa, foram propostos quatro momentos: intervenção, microaulas, treinamento com base na TPACK e finalmente, um momento de reflexão da pesquisa de maneira geral.

A pesquisa evidencia, em suas conclusões, que foram identificadas limitações nos estudantes com relação a integração TPACK. As razões destacadas foram a falta de ferramentas e recursos disponíveis na instituição realizada, além da demonstração de pouca habilidade dos instrutores ao integrar tecnologias na prática de sala de aula. Isso reflete diretamente na formação inicial dos professores, que não possuem um modelo de uso para integração TPACK em sua formação.

Também ficou claro nas conclusões da pesquisa que, ao serem colocados diante de atividades práticas de ensino, com integração de recursos digitais, eles aprendem mais a integrar tecnologia a prática docente. A participação dos licenciandos em ciência e matemática no design e apresentação de aulas, revelou competências e habilidades na integração TPACK. Isso problemas, e integração de ferramentas de softwares. Além disso, [...] também a capacidade de integrar aplicativos específicos de conteúdos com métodos de ensino centrados em projetos colaborativos que possam dar suporte a uma compreensão profunda dos alunos sobre os principais conceitos e suas aplicações na resolução de problemas complexos do mundo real. (UNESCO, 2008apud KAFYULILO, 2010, p. 12).

Com base na citação anterior, podemos dizer que é necessária uma reestruturação da formação docente, no que diz respeito ao uso da tecnologia digital. Isso por que, os professores em formação inicial não devem apenas dominar o uso de recursos básicos, mas também, compreender como utilizar as tecnologias digitais para desenvolver atividades com qualidade [START_REF] Niess | Mathematics Teacher TPACK Standards and Development Model[END_REF]. [START_REF] Balgalmis | An investigation of a pre-service elementary mathematics teacher's techno-pedagogical content knowledge within the context of teaching practices[END_REF] Padmavathi (2017) traz uma revisão teórica do quadro TPACK e tece algumas considerações sobre a TPACK e a formação de professores. Segundo a autora, se tratando de formação para o uso da TPACK é preciso que se separem professores em formação inicial e professores em formação continuada. As perspectivas para o uso da TPACK pelos dois grupos são distintas, uma vez que, professores em formação continuada já se encontram em atuação e focam na TPACK para o uso em sala de aula, não para formação docente.

No Brasil é comum haver professores em formação inicial que já atuam em sala de aula.

Neste caso, o desafio dos programas se torna maior e é necessária uma política educacional mais efetiva no que diz respeito à formação docente. [START_REF] Padmavathi | Preparing Teachers for Technology based Teaching-Learning using TPACK. I-Manager[END_REF] reforça que é necessário que os professores em formação inicial tenham um alto nível de conhecimento tecnológico, pedagógico e do conteúdo, se mantenham atualizados sobre as novas tecnologias emergentes para a sala de aula, estejam imersos na prática ao longo da formação e procurem aprender trocando ideias, informações e observando outros professores.

A autora ainda afirma que, mesmo com a expansão tecnológica no século XXI, muitos professores que já estão em atuação acreditam que as tecnologias digitais são utilizadas apenas para tornarem as aulas mais atrativas. No entanto, eles precisam se conscientizar que no século da era digital o acesso a informação não é difícil e permite organizar, colaborar, compartilhar e essas habilidades atualmente, são extremamente necessárias.

Para [START_REF] Padmavathi | Preparing Teachers for Technology based Teaching-Learning using TPACK. I-Manager[END_REF], os professores em formação inicial só podem integrar a TPACK, quando o currículo oferece oportunidade de ensinar com tecnologia de maneira prática e os conhecimentos do conteúdo e didáticos também são adquiridos de maneira efetiva.

Özgün-Koca, Meagher e Edwards (2010) também pesquisaram a TPACK na formação inicial de professores, por meio da formação para integração de tecnologia, com estudantes da licenciatura colocados em situações de prática profissional docente. Os pesquisadores realizam o experimento com seus próprios licenciandos em Matemática, uma vez que, estes estudantes tiveram contato prévio com tecnologias para o ensino, tais como calculadoras, manipulações virtuais e softwares de geometria dinâmica.

A partir disso, os licenciandos passaram por questionamentos sobre a relação entre tecnologia, matemática e didática, sendo necessário que discutissem o que pensavam acerca de tais relações. Depois, precisaram planejar aulas de matemática fazendo uso de recursos tecnológicos, mas com base no quadro teórico da TPACK. Ou seja, eles estavam cientes que precisavam desenvolver aulas que apresentassem a interseção tripla da TPACK.

No entanto, foi observado que, em algumas atividades, os conhecimentos eram abordados de forma separada ou interseccionando apenas dois conhecimentos. Por exemplo, em uma das atividades foi planejada para que o aluno realizasse atividades de medição em um software de geometria dinâmica, o que poderia ser realizado em lápis e papel. Dessa forma, os licenciandos não exploraram de forma mais efetiva a potencialidade da tecnologia digital.

De acordo com os autores (2010), a dificuldade dos licenciandos em integrarem a TPACK está, entre outros fatores, no processo de transição da posição de aluno para professor.

Outro resultado apontado na pesquisa é que os licenciandos planejam atividades ou situações problema, nas quais ele possa resolver e dessa forma, uma lacuna fica aberta no que tange ao potencial tecnológico, pois situações mais complexas que poderiam ser desveladas com o auxílio tecnológico não são exploradas.

Para os autores, é necessário que haja mais experimentos em torno da TPACK, principalmente na formação inicial. Muito embora eles acreditem também que para que a formação inicial ocorra com sucesso com integração da TPACK, seja necessária uma experimentação da sala de aula de maneira contínua, onde os sujeitos possam, de fato, ser inseridos na realidade profissional. Além disso, é preciso que haja disponibilidade de artefatos tecnológicos ao longo da formação, pondo os licenciandos em meio a ambientes ricos em tecnologia digital para aliar a formação específica e didática à tecnológica.

Até agora, voltamo-nos para uma discussão da literatura sobre a TPACK na formação inicial docente, experimentos e implicações dessas pesquisas para os futuros professores. A seguir, faremos uma discussão sobre as pesquisas em torno da integração da TPACK para ensinar, ou seja, como professores em atuação utilizam o quadro teórico da TPACK e os integra em sua prática profissional?

FORMAÇÃO DOCENTE PARA INTEGRAR A TPACK NO ENSINO

A integração da TPACK para o ensino não é algo elementar. Alguns estudos revelam a complexidade para o professor, principalmente, ao tentar integrar a tecnologia como algo inerente à prática. Harris, Mishra e Koehler (2009) apontam que muitos professores, ao tentarem integrar artefatos tecnológicos a sua prática, o fazem superficialmente, sem explorar todo o potencial que os recursos têm se forem utilizados em conjunto com os conhecimentos já existentes de conteúdo e o pedagógico. Para os autores, ensinar apenas o manuseio das ferramentas de um software não é suficiente para que os alunos, de fato, estejam incluindo a tecnologia no processo de aprendizagem.

Aprender sobre tecnologia é diferente do que fazer com ela instrutivamente. Ensinar habilidades tecnológicas (T) em isolado, pouco faz para ajudar os professores a desenvolver conhecimento sobre como usar a tecnologia para ensinar de forma mais eficaz (TPK), sua relação com o conteúdo disciplinar (TCK), ou como ajudar os alunos a atender determinados padrões de conteúdo usando tecnologias da forma mais adequada (TPACK) para gerar aprendizagem (HARRIS; MISHRA; HOEHLER, 2009, p. 402). Tradução nossa.

A partir do que foi dito anteriormente, questionamo-nos: mas utilizar TPACK de forma efetiva no ensino e aprendizagem? Harris, Mishra e Koehler (2009) trazem ainda algumas estratégias para responder essa questão. Segundo os autores, um primeiro passo para auxiliar os professores nessa tarefa é a conscientização do alcance da atividade de aprendizagem dentro de uma área do conteúdo, que pode partir do desenvolvimento de vários esquemas de uso das tecnologias digitais e não digitais, para suportar diferentes tipos de atividades.

Em outro trabalho Harris e Hofer (2011) trazem elementos adicionais a essas ideias que discutimos anteriormente. No entanto, os autores ainda afirmam que uma das deficiências no uso da TPACK para ensinar é a má escolha por parte dos professores, em atividades desconexas com a tecnologia a ser utilizada. Segundo os autores, as tecnologias, sejam elas digitais ou não, devem ser planejadas desde a concepção do conteúdo no currículo e as estratégias didáticas adotadas pelos professores.

Harris e Hofer propuseram um experimento com professores para o planejamento de atividades com o uso de tecnologias, a partir do modo como eles realizavam o planejamento, ou seja, primeiramente escolhendo os conteúdos e os integrando às tecnologias. Os autores ressaltam que o planejamento docente é feito e torno de metas de conteúdo e organizado de acordo com as atividades de aprendizagem. Sendo assim, as possibilidades de uso das tecnologias devem ser consideradas de acordo com os tipos de atividades selecionadas (HARRIS; HOFER, 2011).

Neste capítulo, foram apresentadas algumas pesquisas que investigaram a formação inicial docente do professor de matemática, com discussões sobre políticas públicas e investigações relacionadas ao currículo dos cursos de formação inicial docente. Além disso, também foram apresentadas algumas investigações em torno do uso da TPACK como elemento teórico da formação inicial docente, como também a formação docente com o uso da CSCL.

FUNÇÕES

As funções assumem um papel importante na Matemática, já que modelam diversas situações e também são a base de diversos conceitos matemáticos. Como centro de modelo, as funções são essenciais para o estudo de comportamentos de relações entre grandezas tanto na Matemática como em outras áreas do conhecimento. Em química, por exemplo, a Lei dos gases é modelada por uma função de proporcionalidade, em Física, o movimento uniformemente variado é modelado por uma função quadrática. Sendo assim, é muito importante que este objeto matemático seja abordado na Educação Básica como um tema central da Matemática e que os estudantes possam não somente estudar como um objeto matemático, mas também como uma ferramenta para as ciências, o cotidiano e para outros conteúdos da Matemática.

Podemos definir uma função real como "Dados os conjuntos X e Y, uma função (lê-se uma função de X em Y) é uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento de X um elemento de Y." (LIMA et al., 2005, p. 38). As funções são objetos matemáticos que trabalham com a correspondência entre elementos de dois conjuntos, estabelecendo dessa forma uma relação de dependência entre esses elementos via regra de associação.

O currículo brasileiro orienta, atualmente, que as funções sejam abordadas no último ano do Ensino Fundamental (9º ano) e no primeiro ano do Ensino Médio. No Ensino Fundamental se orienta que os estudantes saibam expressar a relação de dependência entre grandezas em diferentes contextos, ou seja, a preocupação nesta fase é que os estudantes saibam o significado do conceito de função sem se ater necessariamente a fórmulas, gráficos ou tabelas [START_REF] Brasil | Guia do Programa Nacional do Livro Didático[END_REF]. Por outro lado, no Ensino Médio, as orientações deixam claro que os estudantes devem identificar, classificar e manipular as funções por meio de diferentes formas de representação. Além disso, no Ensino Médio, os estudantes devem estar aptos a enxergar as situações modeladas por meio de funções. No entanto, muitas vezes, no Ensino Médio, os estudantes ainda trazem as concepções das Funções estudadas no Ensino Fundamental, acarretando, muitas vezes, em ideias equivocadas quando chegam ao Ensino Superior, principalmente, em cursos das áreas de Ciências Exatas.

A partir disso, pensamos na inserção das funções como objeto matemático central desta pesquisa, uma vez que os sujeitos são recém-egressos da Educação Básica, como também terem estudado as funções no semestre letivo anterior ao da disciplina que estavam cursando. Nas seções seguintes, fizemos uma discussão sobre a perspectiva do estudo de funções que abordamos durante o experimento, ou seja, discussões sobre questões representacionais e do uso de artefatos tecnológicos para o ensino.

As funções e suas representações

Para compreender melhor como as funções podem modelar algumas situações é preciso que os estudantes compreendam a essência do seu conceito. Desse modo, destacamos que, no estudo desse objeto matemático, é importante estabelecer conexões entre suas representações.

As representações em Matemática são fundamentais para a compreensão dos objetos matemáticos, como aponta Duval:

É suficiente observar a história do desenvolvimento da matemática para ver que o desenvolvimento das representações semióticas foi uma condição especial para evolução do pensamento matemático. [..] Primeiramente, há o fato de que as possibilidades de tratamento matemáticopor exemplo, as operações de cálculodependem do sistema de representação utilizado. [...] A seguir há o fato de que os objetos matemáticos, começando pelos números, não são objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos (DUVAL, 2003, p. 13-14).

De fato, se nos atentarmos aos objetos matemáticos, percebemos que eles só fazem sentido para nós se pudermos representa-los. Além disso, outro ponto primordial ao se investigar as representações em Matemática é o fato de que existem diversos tipos de registros de representação, ou seja, diversas formas distintas de se representar o mesmo objeto ou vários objetos matemáticos. Além dos números, existem figuras geométricas, os gráficos, expressões na forma algébrica e a própria linguagem corrente [START_REF] Duval | Registros de Representação Semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática[END_REF].

Para Duval (2011), o estudo das representações semióticas é essencial para a cognição matemática, isso porque, para o autor a ideia parte de ordem epistemológica e cognitiva. A Matemática, por sua natureza abstrata, necessita de representações para ser compreendida, pois os conceitos só podem ser externalizados quando representados. [START_REF] Duval | Registros de Representação Semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática[END_REF] O registro em língua natural é o registro escrito ou discursivo que é utilizado para expressar um conceito internalizado. O registro gráfico é muito utilizado não apenas na Matemática, mas em outras ciências como a Estatística e a Física, para expressar uma determinada situação com grande quantidade de dados escritos ou um determinado percurso durante certo intervalo de tempo. Esse tipo de registro permite uma melhor visualização de situações mais difíceis de compreender ou quando se faz necessário observar o comportamento de alguma função ou situação. Outro tipo de registro é o algébrico que na Matemática não é apenas aquele que contém expressões envolvendo incógnitas ou variáveis. Um determinado conjunto seguindo as propriedades de associatividade, distributividade, comutatividade, elemento neutro, aplicadas para a soma e a multiplicação e o elemento inverso para multiplicação, podem se configurar como álgebra e consequentemente, um registro algébrico. Já o registro tabular também utilizado em outras ciências, elenca uma série de informações distribuída em tabela e pode ou não, estar associado a outro registro de representação semiótica (LUCENA; ARAÚJO FILHO; TIBÚRCIO, 2016, p. 4).

Em nossa pesquisa enfatizamos que as articulações entre os registros de representação das funções fossem priorizadas durante a formação. Além da relevância teórica, os documentos que regem o ensino de Matemática no Brasil já apresentam orientações a respeito da articulação representacional. Na seção seguinte apresentaremos alguns pontos de como o ensino de funções está sendo orientado no Brasil e como vem sendo abordado dos materiais didáticos que chegam nas escolas públicas.

Orientações curriculares para o ensino de Funções

Comentamos anteriormente um pouco do que se orienta em termos de funções no currículo brasileiro. Aprofundaremos a discussão nesta seção comentando um pouco sobre as orientações para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura, área do círculo e raio, tempo e distância percorrida, tempo e crescimento populacional [...] entre outras.

[...] É conveniente solicitar aos alunos que expressem em palavras uma função dada de forma algébrica que, por exemplo f(x)=2x+3, como a função que associa a um dado valor real o seu dobro acrescido de três unidades; isso pode facilitar a identificação, por parte do aluno, da ideia de função em outras situações, como, por exemplo, no estudo da cinemática, em Física (BRASIL, 2006, p. 72).

O trecho anterior destaca o início do documento que aborda o estudo de funções.

Percebemos que, desde 2006, há uma constante preocupação em fazer com que os estudantes compreendam o significado das funções e suas aplicações em outras áreas do conhecimento.

Sobre as funções, alguns autores como [START_REF] Sierpinska | On understanding the notion of function. The Concept of function: aspects epistemology and pedagogy[END_REF]; Andrade e Kaiber (2011); Salgueiro e Savioli (2014); Barreto (2008); [START_REF] Barreto | A análise da compreensão do conceito de função mediado por ambientes computacionais[END_REF] e Bakar e Tall (1992) destacam que os estudantes não compreendem o significado das funções pela ausência de correlação com outras áreas, além da priorização do uso de apenas uma ou duas representações.

As OCEM destacam modelos de funções que devem ser estudadas no Ensino Médio e as suas respectivas abordagens:

Quadro 2: Abordagem para Funções no Ensino Médio

Modelo de função

Abordagem

Linear

Proporcionalidade direta e inversa; Crescimento e decrescimento; Situações que sejam modeladas por função afim. Progressão aritmética.

Quadrático

Área máxima (ponto de máximo); Posição do gráfico, coordenadas, máximo e mínimo, zeros; Forma fatorada; Identificação da curva parábola como o lugar geométrico de pontos (abordagem analítica).

Trigonométricas Extensão das razões trigonométricas no triângulo retângulo; Fenômenos de comportamento periódico.

Polinomiais

Análise qualitativa dos gráficos de funções do tipo.

Exponencial

Fenômenos de crescimento e decrescimento exponencial; Matemática Financeira; Aplicação em outras áreas do conhecimento. Progressão Geométrica.

Fonte: Brasil (2006, p. 74-75) Com as orientações da BNCC e das OCEM, se faz necessário que os livros didáticos que chegam às escolas públicas brasileiras atendam a essas orientações. Na seção seguinte, destacaremos outro aspecto fundamental para nossa pesquisa em termos de função. Abordaremos um pouco sobre os softwares para o ensino de função e seu diferencial para o ensino e a aprendizagem deste objeto matemático.

Softwares para o ensino de Funções

A partir da evolução da tecnologia e da produção de material tecnológico para o uso de empresas, também surgiu, ao longo dos anos, uma gama de produção tecnológica para a área da Educação. Como destacamos anteriormente, em Matemática, a necessidade de representar é inerente aos processos de ensino e aprendizagem, sendo assim, a tecnologia nos assiste com relação a esse e outros aspectos indispensáveis para a sala de aula e para pesquisa em Educação Matemática.

Algumas questões sobre o uso de softwares para o ensino de funções são levantadas por alguns autores, tais como [START_REF] Silva | Didatico-Informática na prototipação de um software para abordar o conceito de taxa de variação. 163f. Dissertação[END_REF][START_REF] Gomes Ferreira | GITIRANA Exploring Mathematical Functions through Dynamic Microworlds[END_REF] 2) Desenhar: reunir os objetivos de aprendizagem, dar elementos para que os participantes atinjam esses objetivos, determinar a formação do grupo e as ferramentas para os sujeitos.

3) Desenvolver: organizar os planos de aprendizagem para criar materiais que deem subsídio para os envolvidos no processo, desenvolver as mídias (recursos) que serão usadas na sessão e toda documentação que dê suporte aos sujeitos.

4)

Implementar: o instrutor do processo garante que os sujeitos possam executar o que foi planejado, com o intuito de alcançar os objetivos de aprendizagem e gerar conhecimentos de modo teórico e prático.

5)

Avaliar: finalmente, a fase de avaliação que deve estar presente durante todo o processo do design CSCL. Esta fase deve permear todas as outras fases, para que o processo seja contínuo e não estático, gerando feedbacks entre uma etapa e outra.

A partir disso, podemos perceber que os elementos do design para CSCL vão desde as primeiras ideias do planejamento até os detalhes mais complexos, como a interação dos sujeitos durante as sessões. As ferramentas tecnológicas também são essenciais no processo do design CSCL, uma vez que essas ferramentas darão subsídios para que os participantes possam se comunicar, interagir e colaborar de forma síncrona ou assíncrona. No caso das interações síncronas temos que estar atentos aos imprevistos que podem ocorrer como os que já foram citados: rede, ausência de participante, engajamento no processo colaborativo e outros fatores que podem fazer com que a interação não atinja os objetivos previstos.

Para auxiliar nesse processo de planejamento, utilizamos um script colaborativo baseado na proposta de Dillenbourg (2002). Na seção seguinte, faremos uma abordagem teórica sobre o papel dos scripts na colaboração online.

Scripts Colaborativos

A aprendizagem colaborativa e a cognição do grupo são processos que dependem totalmente da interação entre os sujeitos envolvidos. Porém, para que os indivíduos sejam integrados às sessões e tomem iniciativa diante da situação proposta para o grupo, é necessário que haja um planejamento, uma intervenção prévia que construa tudo que é inerente a esse processo. A estrutura do ambiente, as situações propostas, a finalidade da interação, tudo isso é estruturado por um agente que chamamos de mediador. O mediador planeja toda a sessão colaborativa, elencando os princípios teóricos necessários para suportar os grupos diante do que será proposto. Para isso, o mediador lança mão de um roteiro ou script colaborativo.

Segundo Dillenbourg (2002) Nossa proposta de script será baseada em nosso problema de pesquisa, ou seja, a formação inicial de professores de Matemática para e com a integração da tecnologia digital em atividade colaborativa.

O papel do mediador

Na aprendizagem colaborativa, além dos participantes envolvidos na sessão, um dos sujeitos relevantes é o mediador. O mediador de uma sessão colaborativa é o responsável por toda estrutura da atividade colaborativa, desde a sua concepção até a execução das sessões. Na estrutura dos scripts o mediador deve traçar todo o roteiro, considerando as tecnologias envolvidas no processo, a montagem dos grupos, as atividades que serão desenvolvidas, a montagem do ambiente colaborativo e durante a sessão, seu papel é encaminhar os participantes no discurso que dará subsídio para colaboração. Suthers et al., (2015) fazem referência à importância do mediador no decorrer das sessões colaborativas. Segundo os autores, além do mediador como sujeito ativo da sessão, a linguagem dos sujeitos também media a sessão uma vez que a linguagem é mediadora central do pensamento na perspectiva de Vygotsky.

Ao iniciar a sessão, o mediador, caso haja necessidade, deve conduzir o grupo para a realização da atividade. Essa condução deve ser realizada de maneira que os sujeitos compreendam a proposta da atividade e interajam entre si. Sendo assim, o mediador deve evitar ao máximo influenciar o grupo na tomada de decisões, quanto a solução do problema proposto.

Por outro lado, se o grupo não estiver interagindo, seu papel deve ser o de encaminhar o grupo a discussão ou fazer com que os sujeitos que não estiverem participando, voltem a se engajar na atividade.

Além disso, o mediador também deve alertar o grupo nas etapas da atividade, ou seja, fazer com que cumpram todas as etapas (se houver), dentro do tempo estabelecido no script.

Dessa forma, durante a interação do grupo, se o mediador julgar necessário, deve interferir na discussão para que os sujeitos colaborem o máximo possível. Nesse caso, nos referimos a colaborar no máximo de tempo, pois no modelo de Baker que será discutido a seguir, a colaboração pode ocorrer em momentos diferentes, de acordo com as discussões, onde cada participante pode estar mais engajado ou não.

Na seção seguinte, fizemos uma discussão do modelo de Baker ao qual nos referimos.

Este modelo será utilizado futuramente para análise de dados quanto à colaboração.

O modelo de análise de Baker

O modelo de [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF] nos auxiliou a investigar os aspectos relativos ao processo colaborativo em nossa pesquisa de mestrado [START_REF] Araújo Filho | Análise da colaboração para formação inicial de professores de matemática online. 163f. Dissertação[END_REF]. Este modelo permite investigar, a partir do diálogo dos participantes de uma sessão coletiva, o tipo de aprendizagem O acordo refere-se ao nível de concordância/discordância dos receptores e propositores.

Se há um alto índice de concordância dizemos que os participantes estão em acordo, caso contrário estão em desacordo. A concordância pode ser apenas afirmativa, sem comentários mais específicos como: "sim, concordo", "de fato", "é verdade...", ou pode se explicitar as razões pelas quais se está concordando com o propositor, justificando seu posicionamento; neste caso, é interessante que o mediador instigue os participantes a justificarem suas afirmações de concordância ou discordância.

Ao contrário da simetria e do acordo, que podem ser analisados apenas pelas falas dos sujeitos em cada instante, o alinhamento é uma dimensão que necessita de um trecho maior de discussão entre os participantes para ser analisada. Isto porque, essa dimensão observa se os sujeitos estão de fato engajados uns com os outros. O modelo de Baker orienta nosso processo de análise colaborativa das interações do professor. Por meio dele, conseguimos estabelecer as dimensões de análise a partir dos dados que coletamos.

Na seção metodológica, descrevemos o processo de coleta de dados, assim como o quantitativo de informações que temos contabilizado para analisar. Segundo Henriques e Almouloud:

Representação Semiótica é uma representação de uma ideia ou um objeto do saber, construída a partir da mobilização de um sistema de sinais. Sua significação é determinada, de um lado, pela sua forma no sistema semiótico e de outro lado, pela referência do objeto representado (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016, p.467).

O sistema de sinais aos quais os autores se referem, são apontados por [START_REF] Duval | La conversion des representations: un des deux precessus fondamentaux de la pensée. Du mota u concept: conversion[END_REF] como signos. Os signos são sinais que fazem parte do registro semiótico, mas não caracterizam o próprio registro, ou seja, um signo quando é dissociado da representação semiótica, apresenta qualquer funcionalidade. Por exemplo: letra a quando está sozinha, é um signo, pois pode significar uma vogal, tipo sanguíneo ou mesmo uma letra que compõe o nome de uma pessoa.

Por outro lado, a letra a quando aparece em ax+by+c=0 é um componente do registro algébrico da equação analítica da reta, deixando então de ser apenas um signo (LUCENA; MARIANO;

TIBÚRCIO, 2016).

Os registros de representação que um objeto matemático pode ter geralmente são: a língua materna, o registro algébrico, o registro gráfico e o registro numérico. Essa diversidade de registros semióticos e a necessidade do objeto matemático dependendo da situação na qual se está investigando, fazem com que o sujeito necessite transformar esse registro, de maneira que essa transformação pode ocorrer dentro do mesmo sistema de registros de representação ou de um sistema de registros para outro. Nesse sentido, Duval aponta dois tipos de transformações semióticas possíveis: o tratamento e a conversão.

Transformações semióticas: tratamento e conversão

Para Duval (2011), a diversidade de registros permite ao sujeito uma variação de representações de um mesmo objeto. Nesse sentido, o esforço cognitivo para ter acesso aos objetos matemáticos aumenta. A necessidade de uma diversidade de registros, não é apenas uma melhor caracterização do objeto, mas sim porque nenhuma representação por si só é completa, pois cada representação revela uma característica diferente do objeto matemático (DUVAL, 2011).

Nesse sentido, para [START_REF] Duval | La conversion des representations: un des deux precessus fondamentaux de la pensée. Du mota u concept: conversion[END_REF], é essencial que o sujeito coordene e mobilize vários tipos de registro, de forma que não se confunda as características que são do objeto e as que são da sua representação. As transformações semióticas são essenciais nesse processo, uma vez que, para compreender a mobilização e coordenação de diferentes registros é preciso saber como se dá esse processo.

O tratamento é uma transformação semiótica que ocorre dentro do mesmo registro de representação, e ocorre por exemplo, na fatoração algébrica, na transformação de uma equação geral em uma reduzida, no movimento de gráficos em softwares. A conversão ocorre de um registro para outro, transformando um registro algébrico em gráfico, ou uma tabela em registro algébrico.

Segundo [START_REF] Duval | Registros de Representação Semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática[END_REF], a conversão é o processo de transformação semiótica mais complexo, pois exige do sujeito a coordenação entre diferentes registros. "A coordenação é a manifestação da capacidade do indivíduo em reconhecer a representação do mesmo objeto, em dois ou mais registros distintos" (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016, p. 470). Com isso, podemos dizer que saber realizar a conversão não implica em compreensão, mas sim o reconhecimento do objeto em diferentes registros.

As Funções são objetos matemáticos que podem ser representados por diferentes registros. Sendo assim, alguns problemas de aprendizagem relacionados às funções são ligados a questão representacional como aponta [START_REF] Sierpinska | On understanding the notion of function. The Concept of function: aspects epistemology and pedagogy[END_REF] em sua pesquisa sobre obstáculos na aprendizagem de funções. Com isso, a TRRS é uma teoria essencial em nosso modelo de formação inicial, de maneira que nos dá suporte à discussão teórica de aprendizagem das Funções. Na seção seguinte, trazemos algumas questões teóricas concernentes às funções, que são o objeto matemático central nesta pesquisa.

A TEORIA DA ORQUESTRAÇÃO INSTRUMENTAL

A Teoria da Orquestração Instrumental (TOI) [START_REF] Trouche | Environnements informatisés et mathématiques: quels usages pour quells apprentissages[END_REF]2005); [START_REF] Drijvers | The teacher and the tool: instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom[END_REF] é uma teoria didática e cognitiva desenvolvida para investigar como o professor organiza, gerencia, desenvolve e valida as ações em uma prática docente que se utiliza de tecnologias. A ideia de Orquestração Instrumental é utilizada como metáfora [START_REF] Trouche | Environnements informatisés et mathématiques: quels usages pour quells apprentissages[END_REF], que comparando a sala de aula a uma orquestra, onde o professor é o maestro, os instrumentos são os artefatos e os músicos os alunos.

A TOI utiliza de elementos da Teoria da Instrumentação (RABARDEL, 1995) que investiga o processo de instrumentação do sujeito na utilização de um artefato. Um artefato pode ser qualquer objeto, ainda sem finalidade específica, que após o processo de instrumentalização passa a ser instrumento. Esse processo do artefato ao instrumento é denominado de gênese instrumental (RABARDEL, 1995).

A gênese instrumental é a transformação do artefato em instrumento gerada pela ação do sujeito, por meio da integração à sua prática [START_REF] Couto | Metaorquestração instrumental: um modelo para repensar a formação de professores. Tese de doutorado[END_REF]. No contexto da TOI, as tecnologias são artefatos que mediados pela ação do professor, podem se tornar instrumentos para os alunos, a medida que o professor as integra à sua prática docente tornando os objetos tecnológicos um recurso que possa ser utilizado para o ensino e por consequência, para a aprendizagem.

A orquestração instrumental é uma organização de um ambiente (sala de aula), seus agentes (professor) e elementos (artefatos), com o objetivo de efetivar uma situação e inserir os sujeitos na gênese instrumental [START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF]. Também é definida por [START_REF] Trouche | Environnements informatisés et mathématiques: quels usages pour quells apprentissages[END_REF] como:

Uma orquestração instrumental é definida por configurações didáticas (ou seja, o layout dos artefatos disponíveis no ambiente, com uma disposição de cada etapa do tratamento matemático) e por modos de exploração dessas configurações. Para cada orquestração, principais objetivos, oriundos da necessidade de orquestração propósitos secundários, associados à exploração escolhida modos, devem ser distinguidos. As configurações e seus modos de exploração produzem relatos de atividade (ou seja, resultados de a atividade que pode ser observada por outras pessoas que não o sujeito envolvido nesta atividade) (TROUCHE, 2004, p.296, tradução nossa).

Nesse sentido, a compreensão da OI perpassa por uma organização sistemática, baseada em etapas e critérios bem definidos. Esses critérios exigem do professor, segundo Couto (2018), uma intencionalidade de ações que o levem a uma sistematização de conceitos que guiem os estudantes nas suas gêneses instrumentais. [START_REF] Trouche | Environnements informatisés et mathématiques: quels usages pour quells apprentissages[END_REF] destaca que os princípios da OI são a configuração didática e o modo de execução, posteriormente [START_REF] Drijvers | The teacher and the tool: instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom[END_REF] incorporam a performance didática, que juntos constituem as etapas da OI.

A 

QUESTÕES DE PESQUISA

Com a definição da problemática em torno da investigação dos conhecimentos de docentes em formação inicial, que podem emergir das interações colaborativas, em um ambiente rico em tecnologias digitais, traçamos as seguintes questões de pesquisa:

• Quais os conhecimentos dos docentes em formação inicial que emergem de uma proposta de formação semipresencial colaborativa?

• Como ocorrem as interseções entre os conhecimentos Tecnológicos, Pedagógicos e do Conteúdo, a partir da colaboração online?

• A proposta de formação inicial docente com o uso de tecnologias digitais, favoreceu o trabalho colaborativo?

• A colaboração online favoreceu o surgimento da TPACK durante o processo de formação?

• Os elementos e recursos utilizados na proposta de formação, são considerados pelos licenciandos na elaboração da aula?

METODOLOGIA

Com o propósito de analisar os conhecimentos de professores de matemática em formação inicial que emergem a partir de uma formação com integração de tecnologia digital para o ensino de função, feitos em modalidade semi-presencial e colaborativa em plataformas CSCL, propomos realizar um estudo de intervenção a partir de um experimento no contexto de uma realidade de formação inicial. Nesse sentido o fizemos em turma de licenciatura em matemática de uma universidade pública do país.

O experimento fez parte da própria disciplina, aproveitando-se a sua necessidade de discutir-se integração da tecnologia. E por contar com a orquestração instrumental como conhecimento básico, que esta fosse parte da formação. Para o experimento de formação, realizamos o design e experimentação de uma sequência de atividades de formação inicial para a integração de recursos digitais no ensino de função, em situações de colaboração. Uma Nas seções seguintes, fizemos uma descrição dos sujeitos da pesquisa, o processo de formação dos grupos colaborativos, o experimento de formação, destacando dentre outras coisas recursos utilizados, por fim os dados coletados e uma estrutura de análise. A escolha da turma deveu-se ao acesso que temos à professora e a aceitação de uso do experimento como parte da disciplina. Estruturamos o experimento de forma que as ações dos sujeitos pudessem ser coletadas a distância e presencialmente [START_REF] Stahl | The constitution of group cognition[END_REF]. Além disso, a proposta da disciplina também era proporcionar aos licenciandos uma formação rica em tecnologias digitais, fazendo uso de teorias que dessem suporte à utilização desses artefatos digitais para o ensino. Uma dessas teorias foi a Teoria da Orquestração Instrumental, que foi abordada previamente ao nosso experimento, dando suporte às questões teóricas para o experimento de formação.

A disciplina contava com 28 licenciandos e desses, 21 participaram do experimento. Os sujeitos foram divididos em grupos da seguinte forma para realizarem a formação:

Quadro 4: Esquema de divisão dos sujeitos em grupo A seguir faremos uma discussão de cada etapa, descrevendo o planejamento das situações e as escolhas das tecnologias adotadas.

G1 G2 G3 G4 G5 G6 L1 L4 L7 L11 L15 L19 L2 L5 L8 L12 L16 L20 L3 L6 L9 L13 L17 

1ª Etapa -Discussão sobre as representações semióticas e sua relevância no ensino de Funções

Ao pensar em um experimento colaborativo de formação online para o ensino de funções, consideramos relevante promover uma primeira fundamentação teórica no que concerne às representações das funções e sua relevância no processo de aprendizagem, devido à importância do mesmo para a compreensão das funções (KAPUT, 1992;[START_REF] Goldenberg | Dynamic Representation and the development of a process understanding of fuction[END_REF][START_REF] Goldenberg | Dynamic Representation and the development of a process understanding of fuction[END_REF][START_REF] Goldenberg | Dynamic Representation and the development of a process understanding of fuction[END_REF]DUVAL, 2011). Sendo assim, nessa primeira etapa, planejamos uma discussão online sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS) [START_REF] Duval | La conversion des representations: un des deux precessus fondamentaux de la pensée. Du mota u concept: conversion[END_REF], com enfoque no objeto matemático função.

A TRRS foi escolhida não só pela sua relevância para o ensino e aprendizagem de função, mas também por ser uma das teorias que constam no programa da disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática. A disciplina também contava com um grupo em um aplicativo de mensagens (WHATSAPP, 2009) e, dessa forma, pensamos em integrar essa tecnologia ao processo de formação, utilizando o aplicativo para promover a discussão online.

A partir disso, a primeira etapa ficou definida da seguinte forma: Funçãoe também os conteúdos pedagógicos que estão arraigados por meio da discussão teórica. [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF] aponta que o conhecimento do conteúdo, neste caso as Funções, é necessário para a formação docente, pois é o objeto a ser ensinado e o professor precisa conhecer a natureza epistemológica do objeto. A discussão teórica contempla o desenvolvimento do conteúdo pedagógico, já que este conhecimento diz respeito além das questões didáticas, os métodos de ensino e aprendizagem [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF].

A TRRS discute a relevância da articulação de registros semióticos para a aprendizagem de conceitos Matemática, sendo assim, os futuros professores poderiam discutir acerca da importância da articulação de registros em suas aulas, e como elas importam à concepção do aluno. Os professores muitas vezes priorizam um ou dois tipos de registros para ensinarem funções, com isso, os estudantes muitas vezes mantém características do registro de representação como sendo do objeto (DUVAL, 2011), e mais, não reconhecem o objeto se representado de outra forma (BARRETO, 2008). Sendo assim, a discussão dos licenciandos a partir de elementos teóricos que deem suporte ao ensino de Funções por meio de metodologias de ensino, contempla bem o que o quadro teórico aponta sobre o conhecimento do conteúdo aliado ao conhecimento pedagógico.

Descreveremos na seção seguinte a segunda etapa do experimento, que consistiu na familiarização dos sujeitos com o software que deveria ser utilizado na elaboração das aulas.

2ª Etapa -Familiarização com o Geogebra

Na segunda etapa, previu-se uma familiarização dos licenciandos com o software a ser utilizado para a montagem da orquestração instrumental na etapa V. Nosso objetivo era que eles pudessem, a partir desta etapa, pensar em como o software pode se tornar um potencializador no ensino de funções, principalmente, para a articulação de registros de representação.

O Geogebra (HOHENWARTER, et. al., 2015) O tempo de aula presencial planejado para esta etapa foi de 1 hora/aula, com os licenciandos em duplas, sem uma definição prévia para escolha das duplas, cada dupla utilizando um dispositivo distinto: tablet, smartphone ou notebook. Apesar do nosso planejamento de executar esta etapa presencialmente, nós não pudemos finalizá-la desta forma, sendo necessária a conclusão a distância por parte dos sujeitos. Em situações com o uso de tecnologias não digitais ou nas quais sabemos manipular, fatores internos e externos, podem influenciar nas alterações do tempo didático previsto no planejamento.

Para dar prosseguimento a esta etapa postamos um vídeo com a construção da simulação em uma plataforma livre -o YouTube -e solicitamos que, individualmente ou em dupla eles executassem a construção da simulação e gravassem a tela durante o processo. Feito isso, o vídeo seria enviado por e-mail para contar a participação de cada um no processo de formação na disciplina.

Segue abaixo um esquema das duas primeiras etapas da formação: Com isso, concluímos esta etapa e demos início a terceira etapa, que descreveremos na seção a seguir.

3ª Etapa -Formação de grupos docentes colaborativos

Na A seguir, fizemos uma descrição sobre a etapa de apresentação do que foi produzido pelos licenciandos a partir dos objetivos de aula.

5ª Etapa -Socialização da aula

A última etapa do experimento ocorreu presencialmente, com a apresentação dos grupos em sala de aula, no horário da aula da disciplina. Cada grupo expôs a sua simulação construída, assim como os seus objetivos de aula para os colegas. Nosso objetivo, em termos de conhecimentos nesta fase, foi fazer surgir os conhecimentos pedagógicos aliados ao conhecimento tecnológico dos licenciandos. Uma vez que a aula estava pronta, poderíamos observar elementos da prática docente na apresentação do produto final do experimento, tais como: articulação de ideias a partir dos objetivos de aula, criatividade do grupo na elaboração da atividade com tecnologias digitais, entre outros aspectos.

Cada grupo foi gravado por meio de câmera e microfone em sua apresentação. Foram necessárias duas aulas presenciais para apresentação dos trabalhos de cada um dos grupos, onde percebemos nas apresentações poucas construções que explorassem o software de forma a evidenciar suas potencialidades para o ensino de funções. Notamos que as construções foram reproduções de práticas tradicionais de ensino, com poucas exceções. Fizemos, no processo de análise, um detalhamento do que foi exposto nas apresentações desta etapa do experimento.

COLETA DE DADOS

A coleta dos dados foi realizada a partir do desenvolvimento das etapas anteriores, levando em consideração as especificidades e os objetivos de cada uma, visando também, a análise dos dados a partir dos objetivos da pesquisa. Ao longo das etapas utilizamos de várias técnicas e instrumentos de coleta:

Figura 12: Dados coletados a cada etapa do experimento de formação Fonte: Elaborado pelo autor 

Dados coletados na 3ª Etapa

A terceira fase do experimento teve como método de coleta de dados a entrevista. Nesta etapa, utilizamos um formulário online para coletar informações sobre as concepções dos licenciandos acerca das suas habilidades. Em seguida, com os dados obtidos no formulário, estruturamos uma planilha compartilhada para que os sujeitos montassem os grupos por meio de instruções previamente definidas e já discutida na seção 4.2.3.

O formulário que utilizamos para coleta de informações das habilidades foi online e gratuito, oferecido pelo servidor do Google Drive (GOOGLE, 2012). No total, obtivemos um quantitativo de 22 respostas para as perguntas de múltipla escolha já discutidas na seção 5.2.3.

Após a coleta dos dados do formulário, pudemos criar uma planilha com as informações coletadas, disponibilizando os nomes dos sujeitos e suas habilidades.

A planilha que utilizamos foi compartilhada e disponibilizada pelo servidor do Google Drive. Por meio dela, distribuímos as informações dos formulários preenchidos para os licenciandos e criamos em outras células espaços para o preenchimento dos grupos, horários e datas a serem realizadas as etapas seguintes do experimento. A seguir, disponibilizamos um esquema da coleta de dados desta etapa:

Figura 14: Coleta de dados na 3ª etapa Fonte: Elaborado pelo autor

Dados coletados na 4ª Etapa

A quarta etapa da formação teve como métodos de coleta a filmagem e os protocolos. O esquema desta fase do experimento está disponível na seção 5.2.4, trazendo informações sobre a disposição dos licenciandos no ambiente e o papel dos instrumentos de coleta em cada momento.

Dados coletados na 5ª Etapa

Na quinta etapa do experimento, utilizamos o método da filmagem para a coleta de dados. Esta etapa do experimento consistiu na apresentação oral de forma presencial por parte dos licenciandos, acerca do que haviam construído coletivamente em ambiente online. Nesse sentido, utilizamos uma filmadora para gravar vídeo e voz durante a aula presencial para coletar os dados. O tempo necessário para coleta de dados nesta etapa foram de duas aulas presenciais, com 1h30min cada, no horário regular da disciplina.

A partir da observação dos dados coletados, percebemos que seria inviável uma análise de todos os grupos participantes da pesquisa, diante do tempo demandado para caracterizar os grupos e discutir os resultados. Nesse sentido, buscamos dentre os dados coletados em cada grupo, caracterizar um estudo de caso com base nas particularidades de um grupo de licenciandos. Na seção seguinte, fizemos uma discussão da escolha do caso a partir dos dados coletados.

O ESTUDO DE CASO

A partir da observação dos dados coletados, definimos a escolha de um caso para análise nesta pesquisa. Segundo [START_REF] Ponte | O estudo de caso na investigação em educação matemática[END_REF] 2), "um estudo de caso pode ser caracterizado como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma pessoa, ou uma entidade social". O caso escolhido nesta pesquisa, foi um dos grupos pesquisados, diante das especificidades apresentadas. Para escolha do caso é preciso que se tenha alguma característica que o diferencie dos demais pesquisados [START_REF] Yin | Estudo de caso: planejamento e métodos. 2ª Ed[END_REF].

Nesse sentido, escolhemos o Grupo A, definido na 2ª etapa do experimento, pois ele foi o único grupo que apresentou um vídeo com discussões, justificando as ações tomadas. Além disso, após analisar os grupos definidos para etapa colaborativa, de acordo com os conhecimentos estabelecidos no formulário, os sujeitos permanecem os mesmos, o que não ocorreu com os outros grupos.

Sendo assim, apresentamos na primeira etapa da análise todos os sujeitos, uma vez que a primeira etapa foi individual. A partir da segunda, fizemos a análise do caso do grupo A, na 2ª etapa e do grupo nomeado de G4 na 4ª etapa.

ANÁLISE DE DADOS

Neste capítulo trazemos a análise de dados da pesquisa. Na primeira seção, trazemos o método geral de análise que será utilizado para identificar os conhecimentos ao longo das etapas de formação. Para cada etapa da formação, descrevemos o método de análise, seguido da análise dos dados.

MÉTODO DE ANÁLISE DAS ETAPAS DE FORMAÇÃO

Os dados coletados durante as etapas da formação foram resultantes das informações que constam nas filmagens de tela, quando os encontros foram realizados à distância, e da sala de aula, quando os encontros se ocorreram na modalidade presencial. Além disso, temos os dados a partir dos registros escritos em e-mail, Google Documentos e Whatsapp.

Para analisar os dados apontados no capítulo anterior, utilizamos a técnica de análise microgenética. Segundo [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF], essa técnica de análise, consiste em uma investigação detalhada dos acontecimentos identificados pelo pesquisador, esses acontecimentos podem ser chamados de eventos ou episódios. Os eventos são selecionados a partir dos registros videográficos coletados, ou ainda, dos protocolos de pesquisa. Os vídeos devem ser assistidos várias vezes, de forma que os eventos identificados sejam correlacionados com as questões de pesquisa.

Dessa forma, buscamos seguir as etapas sugeridas pelo autor para nossa análise de Os protocolos nesta etapa foram os registros escritos dos licenciandos por meio de um aplicativo de mensagens. Ao analisar esta etapa da formação, temos como objetivos:

• Identificar quais aspectos relacionados à TRRS foram destacados pelos licenciados a partir da leitura do texto;

• Mapear na discussão os conhecimentos relativos às respostas e questionamentos levantados no grupo;

• Verificar possíveis articulações entre a teoria e a prática docente apontadas pelos licenciados durante a discussão.

Para analisar os registros escritos por meio da análise microgenética, pautamo-nos nas adaptações realizadas por Couto (2018) para análise de fóruns, uma vez que a técnica de análise microgenética, proposta por [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF], concentra-se em extratos de dados videográficos.

Couto (2018) propõe um instrumento de análise das postagens em forma de quadro, classificando os eventos identificados por temáticas de discussão realizadas em um fórum.

Assim, de acordo com as etapas da análise microgenética realizamos a análise desta etapa de acordo com a seguinte sequência:

1) Leitura e releitura dos extratos escritos nas conversas do aplicativo, que estavam relacionados a esta fase do experimento;

2) Seleção das perguntas e respostas postadas no grupo, que estavam relacionadas a discussão teóricahouve poucos extratos durante o período da atividade que não estavam relacionados a discussão;

3) Classificação dos eventos de acordo com a relevância para o experimento. foram reflexivas e 33% foram não-reflexivas, nos levando a questionar: Quais os motivos para este cenário? Uma das hipóteses para isso poderia ser os questionamentos dos próprios sujeitos a partir da teoria, ou seja, que ao ler o texto muitas dúvidas surgem e os fazem questionar a partir dos conhecimentos que eles já têm dos objetos matemáticos.

Por outro lado, observando as respostas, percebemos que 42% foram reflexivas e 58% não reflexivas. Apesar de estarem em um patamar mais próximo em termos quantitativos, também podemos inferir sobre o motivo deste quadro. Partindo do que afirmamos sobre as perguntas, podemos traçar uma hipótese que as respostas são mais "automáticas", isto é, transcritas do texto, pelo fato dos sujeitos estarem em processo de familiarização com a teoria.

Mesmo que as perguntas e respostas tenham apresentado algumas transcrições do texto, não podemos afirmar que os conhecimentos estavam inertes ao que foi colocado. Esta análise quantitativa nos mostra que a classificação dos conhecimentos feita no esquema apresentado nesta seção foi feita a partir do que os licenciandos postaram durante os dias da atividade proposta. Podemos dizer, também, que esses dados evidenciam a prematuridade dos sujeitos com reflexões teóricas, já que a disciplina lócus da pesquisa é a primeira a abordar questões teóricas inerentes à formação inicial docente, e que os sujeitos estão no 2º período do curso.

Na seção seguinte, faremos uma discussão sobre a análise da 2ª etapa da formação. Nesta etapa analisamos os aspectos da formação para o uso da tecnologia, neste caso, o software Geogebra, para familiarização dos licenciandos com ferramentas e possibilidades de uso.

MÉTODO DE ANÁLISE DA 2ª ETAPA DE FORMAÇÃO

A 2ª etapa da formação teve como objetivos específicos da pesquisa:

• Identificar os conhecimentos dos licenciandos que emergem a partir da situação proposta para familiarização com o Geogebra.

• Verificar a percepção dos sujeitos quanto à influência sobre os objetos matemáticos, proporcionada pela dinamicidade do software.

• Analisar o nível de colaboração dos licenciandos na solução da atividade proposta por meio do modelo de Baker.

• Verificar as interseções da TPACK que emergem do processo de discussão coletiva entre os sujeitos.

Para esta etapa da formação, inicialmente, planejamos o design de um encontro presencial com diferentes recursos digitais, para construir uma simulação envolvendo a função área de um polígono, a partir da medida de um dos seus lados. No entanto, devido a alguns entraves que ocorreram neste encontro e que serão discutidos adiante, tivemos que adaptar a familiarização para uma atividade a distância. Na seção seguinte, abordaremos um pouco de cada uma dessas etapas.

Para analisar os dados produzidos na etapa de familiarização, também utilizamos a análise microgenética [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF]. Na etapa presencial mapeamos os entraves que surgiram e que impossibilitaram que esta fase da pesquisa fosse concluída. Esses entraves foram determinantes no planejamento da etapa a distância, onde buscamos orientar os sujeitos a partir do que não funcionou na primeira fase. Na segunda fase desta etapa do experimento, fizemos uma análise videográfica buscando elencar os eventos ocorridos na realização da atividade proposta aos licenciandos.

Como a segunda fase do experimento foi realizada a distância e em grupos pelos licenciandos, além da análise videográfica, fizemos a análise da colaboração com base no modelo de [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF]. Para dar conta do modelo, na análise da colaboração, nos atemos às falas e ações dos sujeitos na forma transcrita dos dados, pois a simetria e o acordo utiliza da contagem e categorização das falas. Por outro lado, a terceira dimensão do modelo considera o contexto e as ações individuais e coletivas, e para isso, aproveitamos o índice de eventos da análise videográfica para determinar as condições de alinhamentos entre os sujeitos. A seguir, traremos uma descrição das fases desta etapa, como também a estrutura dos grupos e os eventos elencados.

ANÁLISE DA 2ª ETAPA DE FORMAÇÃO

Na segunda etapa de formação tivemos dois momentos: um encontro presencial e o acompanhamento a distância. O encontro presencial estava previsto no roteiro de atividades que compunham a proposta de formação inicial e foi realizado em sala de aula, no horário regular da disciplina. Devido a alguns entraves, que detalharemos nesta seção, foi necessário um ajuste da proposta inicial e optamos por dar continuidade a esta etapa a distância, de maneira assíncrona. Sendo assim, dividiremos a análise desta etapa em dois momentos: a etapa de familiarização presencial e a etapa de familiarização a distância.

Etapa de familiarização presencial

A etapa de familiarização presencial foi pensada de modo que cada licenciando pudesse participar utilizando um dispositivo próprio, ou seja, não havia uma intencionalidade de que eles trabalhassem em grupo nesta etapa. Isso porque um dos nossos objetivos, nesta fase, seria observar a gravação das telas dos dispositivos utilizados, observando como se deu a apropriação Fizemos a análise microgenética do primeiro índice de eventos considerando o que foi construído pelos licenciandos do Grupo A e reproduzindo algumas imagens que ilustram as possibilidades do software durante a construção da simulação.

Variação do raio ou razão de ampliação

Na construção da simulação da homotetia de um pentágono, por meio de construções geométricas, um dos elementos determinantes é a razão de ampliação do raio da circunferência.

A circunferência, neste caso, é criada com centro em um ponto externo ao polígono original e um de seus pontos pertencente à reta que passa pelos vértices desse polígono e pelo centro da circunferência como segue na figura abaixo: O software Geogebra possibilita ao usuário trabalhar simultaneamente com duas telas, relacionando a construção de uma a tela da outra, basta que se dê um clique na tela com a qual se deseja inserir o objeto. De acordo com a classificação de Kaput (1992) a visualização é essencial nesse processo, pois permite ao sujeito que correlacione objetos distintos. Neste caso, uma construção geométrica de um pentágono e o trabalho no plano cartesiano com uma função.

Esta característica do software, mais uma vez, nos leva a relacionar seu potencial com relação ao ambiente papel e lápis. Neste ambiente, o processo seria exaustivo e impreciso, se comparado a capacidade do software em correlacionar objetos e proporcionar uma visualização instantânea em duas telas.

Escolha do lado do polígono

Ao escolher trabalhar com duas telas, E7 deveria, em seguida, exibir a medida do lado do polígono e a área, utilizando as ferramentas comprimento e área, além disso, criar um ponto na janela de visualização 2, com as coordenadas (lado do polígono, área do polígono). Podemos ver na figura a seguir, a sequência de ações de E7 e sua respectiva fala: 

Síntese da classificação do software na construção da simulação

Ao longo do índice de eventos da primeira fase da análise do Grupo A, listamos os aspectos que percebemos no Geogebra na construção desta simulação em particular, segundo a classificação de Kaput (1992) Observando o gráfico anterior, podemos perceber que há um percentual maior de propositor para um percentual menor de receptor. Segundo [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF], a simetria entre os participantes de uma sessão colaborativa ocorre, se a troca de papéis entre eles for simultânea, ou seja, se para as proposições feitas há uma recepção recíproca. No entanto, considerando a especificidade deste caso, vemos que durante as interações presentes nos trechos de conversa que mostramos ao analisar os eventos à luz da TPACK, os sujeitos propõem mais pelo fato de estarem realizando uma construção coletiva de forma unificada. Apesar de, teoricamente, segundo o modelo de Baker, os sujeitos estarem assimétricos, as proposições feitas ao longo da conversa entre eles, ocorrem de maneira que as propostas de um, não anulam a proposta dos outros, mas se complementam. A seguir, na dimensão acordo, perceberemos que do total de falas dos receptores, o índice de concordância é alto, confirmando nossas conclusões com relação a simetria.

Dimensão Acordo

Na Dimensão Acordo utilizamos o mesmo procedimento de categorização das falas dos sujeitos na interação. Nesta dimensão, segundo [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF] Observando o gráfico, percebemos que nas mensagens receptoras às propostas lançadas no grupo, há um alto nível de concordância entre os sujeitos. Dessa forma, podemos nos voltar ao que colocamos anteriormente na análise da dimensão Simetria, isto é, apesar da assimetria observada na dimensão simetria, o alto índice de concordância entre as mensagens trocadas entre receptor e propositor, mostram que o grupo estava engajado na discussão.

Dimensão Alinhamento

A Dimensão Alinhamento, segundo o modelo de [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF], é uma das formas de analisar se os sujeitos envolvidos no processo colaborativo estão trabalhando juntos. Para isso, segundo o autor são considerados alguns fatores inerentes à aprendizagem colaborativa que devem ser observados e que são determinantes para dizer se os sujeitos estão ou não alinhados.

A CSCL tem como objeto de investigação a aprendizagem colaborativa online entre sujeitos na solução de um determinado problema. Na resolução de um problema se expõem as representações de possíveis soluções, a partir da determinação dos possíveis espaços de solução, escolha adequada de heurísticas e validação das soluções [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF]. No alinhamento os sujeitos -de forma coletiva -podem ser classificados no estado "em fase", quando estão engajados na solução do problema em determinada etapa, ou "fora de fase", quando não estão engajados na etapa determinada.

Os aspectos do alinhamento que são apontados por Baker são classificados em: Meta de solução do problema, Nível de compreensão do problema e Estágio de solução do problema.

1. Meta de solução do problema: a meta de solução do problema é uma das formas de No quadro anterior, as três colunas representam a classificação dos aspectos do alinhamento: Meta de solução, Nível de compreensão e Estágio de solução. Subdividimos a meta de solução em duas categorias: em fase e fora de fase, evidenciando os sujeitos e a linha do trecho de conversa em que podemos identificar onde ocorre a ação. Com relação ao estágio de solução, o subdividimos em compartilham o mesmo ponto de vista (CPV) e não compartilha o mesmo ponto de vista (NCPV), por ponto de vista, queremos dizer, o ponto de vista do conceito que está sendo discutido.

As análises dos próximos eventos do índice de discussão do Grupo A está baseada nesta primeira, onde buscaremos classificar o alinhamento com base nos aspectos apontados por [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF], e finalmente, sintetizando as linhas e os sujeitos segundo esses aspectos. No segundo evento do índice de eventos de discussão do Grupo A temos o trecho de conversa a seguir, que categorizamos segundo os aspectos do alinhamento no quadro trouxemos anteriormente. Nesta etapa da discussão entre os sujeitos, percebemos que há um alto nível de concordância entre eles, e além disso, uma compreensão mútua sobre a função que descreve o rastro do ponto no software. Da L14 a L23 os sujeitos estão em fase tendo em vista que não há uma discrepância na meta de solução do problema. Nas linhas que apontamos no quadro anterior, percebemos que as falas complementam-se e eles se comunicam como um grupo, sem distanciamentos ou atividades individuais. Isso pode ser notado na L15, quando o E6 destaca: "A primeira coisa, que a gente observou no gráfico, é que quando a gente desliza na função do geogebra…". A palavra em destaque na fala do licenciando denota um engajamento mútuo do grupo.

Nesse sentido, com relação ao segundo aspecto do alinhamento, o nível de compreensão do problema, notamos que a compreensão mútua ocorre e não são percebidas atividades individuais. Finalmente, com relação ao estágio de solução do problema, ou seja, ao compartilhamento dos pontos de vista conceituais o grupo também apresenta um engajamento uniforme. Para fazer a classificação do estágio de solução do problema, consideramos, neste evento, que os licenciandos apontam para o mesmo conceito, ou seja, o de Função Quadrática.

Eles percebem semelhanças no rastro do ponto com a curva que representa graficamente a função quadrática, inclusive, conjecturando sobre o domínio da função gerada. No primeiro aspecto do alinhamento, o nível de solução do problema, podemos dizer que os sujeitos estão em fase, uma vez que eles não destoam entre si nas etapas de solução do problema. Neste caso, o problema consiste na determinação do registro algébrico, a partir da curva formada pelo traço do ponto no software. Para isso, os sujeitos utilizam o tratamento algébrico escolhendo valores para as coordenadas do plano cartesiano que surgem das medidas do lado do polígono e da área, respectivamente. No entanto, observando o trecho da conversa, percebemos que apenas os licenciandos E6 e E7 discutem entre si sobre uma provável solução, enquanto o licenciando E5 se omite da discussão. Portanto, se considerarmos os sujeitos envolvidos na discussão, podemos classificá-los como em fase, por outro lado, considerando o grupo, classificamos o E5 como fora de fase.

Com relação ao segundo aspecto, o nível de solução do problema, temos duas situações: a primeira, considera a ausência do E5 na discussão e sendo assim, poderíamos dizer que os sujeitos não estão no mesmo nível, pois um dos membros não aparece na discussão coletiva. A segunda situação considera a fala dos licenciandos, que semanticamente nas linhas L24, L25, L27, L29, L33 e L34 denota uma decisão coletiva do grupo, quando os sujeitos se utilizam do termo "a gente" para designar que todos estavam cientes das tomadas de decisões. Além disso, este trecho de conversa nos faz refletir que pode ter havido uma discussão prévia dos licenciandos, momentos antes de gravarem o vídeo. Sendo assim, consideramos que a partir da análise semântica da fala dos sujeitos, podemos dizer que eles estão no mesmo nível de solução do problema.

Ao considerar que os sujeitos estavam no mesmo nível de solução do problema, levamos em consideração que eles estavam compartilhando mutuamente das tomadas de decisão para solução do problema. Nesse sentido, no terceiro aspecto, o estágio de solução do problema, podemos dizer que os sujeitos compartilham do mesmo ponto de vista conceitual e os conceitos A seguir, faremos uma seção de síntese da análise da colaboração do Grupo A, para que possamos traçar com base no modelo de Baker, se houve ou não aprendizagem colaborativa.

Síntese da análise da colaboração

Para concluir a análise da colaboração do Grupo A nesta fase do experimento faremos uma breve síntese em termos de Simetria, Acordo e Alinhamento, segundo o modelo de Baker.

Sendo assim, retomando as três dimensões analisadas temos a seguinte situação:

Quadro 19: Síntese da análise da colaboração

Simetria Acordo Alinhamento

Assimétricos Em concordância Alinhados

Fonte: Elaborado pelo autor Na dimensão simetria, os sujeitos se caracterizaram como assimétricos tendo em vista a discrepância no percentual de propositores e receptores. Tivemos um total de 76% de falas de proposição e 24% de falas de recepção, caracterizando a assimetria. Na dimensão acordo, os sujeitos estavam em concordância, pois tivemos um total de 89% de falas de concordância e 11% de falas de discordância. E finalmente, segundo nossa última análise na dimensão alinhamento, concluímos que os sujeitos estavam alinhados a partir dos aspectos de Meta de Solução do Problema, Nível de Compreensão do Problema e Estágio de Solução do Problema.

Nesse sentido, retomando o modelo de Baker, vamos evidenciar o posicionamento do grupo no esquema do modelo a partir da figura a seguir:

Figura 29: Situação do grupo A no modelo de Baker Fonte: Adaptado de [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF] Na figura anteposta, podemos observar que o grupo é classificado no modelo de Baker como estando em co-elaboração aquiescente, o que caracteriza atividade colaborativa entre os sujeitos, mas não aprendizagem colaborativa. Se observarmos a figura, a zona de colaboração é cortada pelos eixos que conectam a co-argumentação e a co-construção e em ambos os casos, a simetria é determinante para essa classificação, pois ela denota uma descentralização da argumentação entre os sujeitos invertendo os papeis de receptor e propositor.

Com relação à análise desta etapa do grupo A percebemos que a assimetria surge não da centralização da argumentação, mas pelo alinhamento dos sujeitos. Ao observar os trechos de conversa entre os sujeitos, traçamos a hipótese de que eles haviam discutido fora do vídeo gravado, isso é perceptível em alguns trechos de fala. Nesse sentido, ao iniciar a atividade, os sujeitos expõem suas concepções já estabelecidas, fazendo com que os papeis não sejam alternados durante a gravação do vídeo.

Na seção seguinte, fizemos a análise da 3ª etapa de formação, destacando o processo de escolha dos sujeitos para a 4ª etapa, a partir da nossa literatura em termos de CSCL.

ANÁLISE DA 3ª ETAPA DE FORMAÇÃO

A terceira etapa de formação teve o papel de essencialmente constituir os grupos para as duas últimas etapas do experimento. Nesse sentido, apoiamo-nos na literatura da CSCL para elaborar instrumentos que pudéssemos utilizar para atingir este objetivo. Nesta seção discutimos essencialmente sobre o processo de constituição dos grupos, como também, a análise que fizemos a partir do instrumento de coleta de dados para proceder com as etapas seguintes.

Habilidades dos sujeitos

Como descrevemos na seção metodológica, a definição de grupos para que ocorra, de fato, a aprendizagem colaborativa deve ser pautada nas habilidades de cada sujeito com o objetivo de que cada um contribua diante dos problemas a serem solucionados pelo grupo [START_REF] Stahl | The constitution of group cognition[END_REF]. Nesse sentido, buscamos coletar essas informações a partir das concepções dos próprios licenciandos, mas tomando como referência para isso, nosso quadro teórico.

A TPACK discute os conhecimentos docentes necessários à formação do professor, com isso, tomamos como referencial a teoria para construir nosso instrumento de coleta, mas As habilidades didáticas e matemáticas aparecem como as mais escolhidas, sendo a didática a mais alta no nível 2 e a matemática, a mais alta no nível 3. O fato de os licenciandos estarem no início do curso, nos remete a justificativa desses resultados. Por outro lado, a habilidade tecnológica aparece sempre intermediária, também nos níveis 2 e 3, mesmo que os sujeitos tenham contato com artefatos tecnológicos para uso pessoal e no dia a dia, eles não se rotulam como habilidosos para utilizar a tecnologia com fins didáticos.

A partir dessas informações coletadas no formulário, prosseguimos para a definição dos grupos que trabalhariam juntos nas duas últimas etapas do experimento. Na seção seguinte, faremos uma breve análise das escolhas dos sujeitos para formação desses grupos. 

Formação dos grupos pelos sujeitos

Síntese da análise da 3ª etapa de formação

Nesta etapa da análise podemos fazer algumas considerações à luz da CSCL com relação ao script. O modelo de script que seguimos nesta fase do experimento foi baseado no modelo de Dillenbourg (2002), descrito como script de instrução. Este modelo instrui os sujeitos da sessão colaborativa para seguir uma série de ações, propostas pelo mediador.

Nesta fase do experimento acreditamos na viabilidade deste modelo, pois era necessário que os sujeitos seguissem o esquema definido para escolha de grupos. Este esquema estava baseado na coleta de informações sobre as habilidades em formulário, em seguida, disponibilizar os dados em um documentoneste caso a planilha compartilhadae por fim, o preenchimento das informações sobre os grupos e os horários e datas dos encontros. Finalmente, concluímos que essa fase do experimento revelou algumas questões acerca do planejamento das sessões, portanto, não tivemos dados relacionados aos conhecimentos da TPACK, uma vez que, as sessões seguintes que dependem deste planejamento nos farão observar os sujeitos em ação de planejamento e execução de uma aula de forma colaborativa online. Nos tópicos seguintes, faremos a análise das etapas de planejamento e execução da aula.

MÉTODO DE ANÁLISE DA 4ª ETAPA DE FORMAÇÃO

A 4ª etapa de formação teve como objetivos de pesquisa:

• Identificar os conhecimentos dos licenciandos que emergem a partir da elaboração de uma aula de forma coletiva.

• Analisar a atividade coletiva dos licenciandos buscando traçar o nível de colaboração entre eles por meio do modelo de Baker.

• Verificar se os licenciandos articulam as teorias abordadas na formação com a prática do planejamento e execução da aula.

A 4ª etapa de formação teve dois momentos: o primeiro, de definição dos objetivos de Após o tratamento dos dados desta fase, iniciamos o processo de mapeamento dos eventos com base nos objetivos de pesquisa e objetivos do experimento. Com isso, os eventos identificados foram classificados em ordem cronológica crescente do vídeo de captura de tela e do chat que mostra as conversas das interações entre os sujeitos.

Entraves na compreensão do script

O primeiro evento do nosso índice são os entraves na compreensão do script. A compreensão do script para a atividade coletiva é essencial, uma vez que, ele define as diretrizes de interação e ação do grupo durante as sessões [START_REF] Dillenbourg | Flexibility in macro-scripts for CSCL[END_REF]. Embora não seja o caso deste evento em específico, os dados utilizados para classificar os eventos foram a captura de tela e o chat, com isso, tivemos que executar um trabalho de sincronização do trabalho dos licenciandos na tela compartilhada e as conversas de chat.

Neste primeiro evento do índice, as conversas foram extraídas de registros de chat e foram identificados ao longo da sessão. Um dos requisitos para que a conversa seja categorizada neste índice é a não compreensão das instruções contidas no script e nas linhas que marcamos no quadro anterior, temos trechos de conversa que denotam esta não compreensão. Para um melhor entendimento sobre os elementos do script enviado aos licenciados, o mesmo encontrase no apêndice deste trabalho. Iniciaremos nossa análise com o primeiro trecho de conversa: A seguir, abordamos sobre o segundo evento do índice desta etapa: a distribuição dos papeis segundo os conhecimentos dos licenciandos.

Distribuição dos papeis segundo os conhecimentos dos licenciandos

A partir das temáticas do script, os licenciandos se dividiram de acordo com o levantamento feito sobre suas habilidades na 3ª etapa da formação. [START_REF] Stahl | The constitution of group cognition[END_REF] aponta que em um grupo colaborativo os membros possuam habilidades distintas, de modo que cada um possa contribuir na solução do problema proposto naquele item em que é mais habilidoso. Em nosso script não deixamos claro que essa divisão de tarefas deveria ser feita com base na etapa anterior e nas habilidades de cada um, mas mesmo assim, este grupo optou por seguir as habilidades e competiu a cada um a tarefa em que poderia contribuir de maneira mais efetiva, como segue a imagem da captura de tela a seguir: No trecho anterior temos uma definição de estratégia de discussão a partir das temáticas.

Os sujeitos estão se organizando coletivamente para decidir como cada um irá colocar as suas buscas de forma compartilhada para os outros membros. O conhecimento pedagógico, segundo [START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF], envolve questões que dizem respeito à didática e aos métodos de ensino e aprendizagem que são indispensáveis à formação do professor. Nesse sentido, a partir do trecho que destacamos, os sujeitos se organizam para definir um planejamento coletivo de aula, a partir de fontes que são buscadas em torno das habilidades de cada um.

Com isso, queremos dizer que este trecho de conversa evidencia algo que não é Planejamento coletivo, divisão de tarefas, discussão após pesquisas para definição de objetivos de aula.

Fonte: Elaborado pelo autor Depois de definirem a estratégia para busca das fontes externas e a forma de compartilhamento de informações, os sujeitos discutem entre si a partir do que encontram sobre as temáticas pelas quais ficaram responsáveis.

Podemos identificar, nos trechos de conversa adiante, algumas variáveis que caracterizam os conhecimentos dos sujeitos, aspectos relativos ao alinhamento na colaboração e alguns entraves tecnológicos. Neste trecho de discussão entre os licenciandos, eles articulam as ideias a partir das pesquisas que fizeram, cada um na sua temática, a partir do que foi proposto no script.

Pelo design que estruturamos para a sessão colaborativa, não pudemos acompanhar como os licenciandos realizaram as buscas, a partir de quais fontes específicas ou se ocorreu alguma discussão fora do chat no documento. Nesse sentido, partiremos para discussão do trecho de conversa acima, com base no que eles conversam. Na L46 o E8 traz o link de uma dissertação de mestrado que aborda sobre as dificuldades dos estudantes com relação à Função Afim, propondo como alternativa uma sequência de atividades com o uso de softwares e vídeos. Não há uma discussão nas linhas seguintes sobre a dissertação trazida pelo E8, no entanto, se observarmos a distribuição de papeis feita previamente, perceberemos que o E8 auxilia o E7, responsável por investigar as questões relacionadas às dificuldades de aprendizagem das Funções. Com isso, percebemos que há uma troca de papeis entre os sujeitos, mais especificamente, o E8 está engajado na busca de informações sobre a problemática do grupo e alinhado à discussão. A primeira parte da fala caracteriza o conhecimento do conteúdo, neste caso, matemático acerca das ideias associadas à função. Em seguida, o E6 continua, mas destacando que, segundo os autores pesquisados -que não são destacados na conversa -os estudantes não conseguem distinguir as funções as equações, caracterizando o conhecimento pedagógico associado ao conhecimento matemático (PCK) em decorrência da não compreensão das ideias associadas à Função.

Seguindo o trecho de conversa dos licenciandos, a partir do comentário do E6 sobre suas pesquisas, os estudantes E7 e E8 se engajam na discussão como podemos ver a seguir:

Trecho 20 -Discussão sobre o papel das representações na aprendizagem de funções L52 E6: Segundo alguns autores, eles existem algumas noções relacionadas as funções como a relação entre grandezas, a ideia de variável, que muitos alunos não conseguem perceber a diferença entre as funções e equações. L53 E8: Acho que a representação das duas é muito parecida. Digo, das funções e equações. L54 E7: Mas as definições são diferentes. L55 E6: Isso, mas acho que o que complica é q (SIC) tem tabelas, gráficos e álgebra nas funções e os alunos relacionam só a álgebra e não percebem as outras.

L 56 E8: E os professores também não ensinam assim e ficam ligados só em gráfico e álgebra.

No trecho destacado anteriormente, surge mais um tipo de conhecimento do quadro teórico da TPACK. Das linhas L53 a L56 os licenciandos discutem sobre o papel das representações no ensino e na aprendizagem de funções. É importante ressaltar, que os licenciandos estão fazendo aqui, conexões com a TRRS discutida na primeira etapa do experimento. A perspectiva das discussões entre os sujeitos corrobora com as pesquisas em torno das funções e suas representações no processo de aprendizagem (SIERPINSKA, 1992); [START_REF] Gomes Ferreira | GITIRANA Exploring Mathematical Functions through Dynamic Microworlds[END_REF]. Nesse sentido, como a conversa está em torno do papel das representações na aprendizagem de Funções, o conhecimento que emerge é o pedagógico e do conteúdo (PCK), uma vez que se discute uma teoria cognitiva relacionada à Matemática mesmo que de forma implícita na fala dos sujeitos.

Em outro trecho de conversa, prosseguindo com as pesquisas dos licenciandos, é notável que o conhecimento pedagógico e do conteúdo (PCK) emerge mais uma vez, vejamos: Neste caso, percebemos que a conversa mais uma vez gira em torno das representações adotadas pelo professor, que possivelmente, acarretam em uma defasagem na aprendizagem dos estudantes. A conversa segue com os licenciandos já dando uma prévia "solução", a partir do planejamento da atividade a ser proposta pelo grupo, destacando-se nas linhas 66 a 68, uma proposta de atividades com enfoque em problemas associados à Função.

O conhecimento pedagógico (PK) como destaca Mishra e Koehler (2006) abarca as questões teóricas relacionadas ao ensino e aprendizagem e quando a discussão se associa ao conteúdo específico, estamos lidando com conhecimentos pedagógicos e do conteúdo (PCK).

Na TRRS, o conhecimento do conteúdo é necessário para a compreensão das peculiaridades que demanda, por exemplo, o processo de conversão entre registros funcionais só pode ser compreendido se o sujeito dominar as especificidades do conteúdo, mas uma análise da transformação semiótica, requer conhecimentos cognitivos e didáticos que são abarcados no conhecimento pedagógico.

Com isso, no trecho que destacamos anteriormente, os sujeitos envolvem conhecimentos da interseção PCK. No entanto, nas linhas 66 a 68 ao propor uma abordagem de ensino por meio da resolução de problemas, os licenciandos parecem não considerar que o registro em língua natural ou materna, também se configura como um registro funcional, e que se fazem necessários o domínio acerca da caracterização das funções para identificar o que está sendo modelado em cada situação. Do trecho de conversa 17 ao trecho 20 observamos que o alinhamento entre os licenciandos E6, E7 e E8 ocorre em todos os momentos. Tomando os aspectos do alinhamento trazidos por [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF], os sujeitos estão em fase e no mesmo nível e estágio de solução do problema, que neste caso, é caracterizado pela discussão sobre funções para elaboração dos objetivos. Por outro lado, um dos membros do grupo não participa da discussão e, ao longo do vídeo, o chat mostra que este sujeito entra e saí do documento compartilhado várias vezes, denotando com isso, problemas de conexão de rede. A seguir, trazemos um quadro-síntese dos conhecimentos identificados, alinhamento da discussão coletiva e os possíveis entraves identificados.

Quadro 24: Síntese dos conhecimentos identificados e alinhamento dos sujeitos A seguir, fizemos a análise das dimensões de simetria e acordo do trabalho coletivo dos sujeitos e, em seguida, a síntese da etapa de definição dos objetivos, destacando os conhecimentos identificados, o alinhamento nos trechos de conversa e as produções individuais e coletivas dos sujeitos.

Análise da Simetria e Acordo

Como abordamos anteriormente na análise da 2ª etapa de formação, as dimensões de simetria e acordo no modelo de [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF] são analisadas a partir da quantificação das falas dos sujeitos, de modo a identificar a troca de papeis e o nível de concordância nas falas dos receptores. Para analisar a primeira fase da 4ª etapa de formação, consideramos os trechos de conversa 20, 21 e 22, pois eles apresentam uma discussão coletiva mais evidente, onde podemos identificar os elementos necessários para análise da simetria e do acordo.

Para análise da simetria dos trechos de conversa 20, 21 e 22, contabilizamos as linhas de conversa, de maneira que pudéssemos quantifica-las. Desse modo, na contagem das linhas de conversa, identificamos um total de 55 linhas nos dois trechos e a partir disso, classificamos as linhas nos papeis de receptor e propositor, além das linhas não categorizáveis, como podemos observar no gráfico a seguir: Com relação ao acordo, também classificamos por meio do quantitativo de linhas de conversa, mas considerando apenas as linhas receptoras, já que esta dimensão analisa o nível de concordância e discordância dos receptores.

Gráfico 7: Nível de acordo entre os sujeitos Fonte: Elaborado pelo autor O gráfico acima mostra que, de um total de 18 linhas de conversas receptoras, aproximadamente 82% são de respostas assertivas, contra aproximadamente 18% de respostas divergentes. Neste caso, não temos uma classificação não categorizável, pois na análise desta dimensão, consideramos apenas a linhas receptoras, que partem da dimensão simetria e não considera o todo como um espaço de dados a ser analisado. Com isso, na classificação do modelo de Baker, nos trechos 20, 21 e 22, os sujeitos estão em concordância, uma vez que, o percentual de linhas na categoria concorda é maior.

Síntese da definição dos objetivos de aula

Primeiramente, trazemos nesta síntese uma cronologia dos eventos descritos nos trechos de conversa analisados anteriormente, como segue na figura: Finalmente, esta primeira fase da 4ª etapa do experimento de formação nos mostrou que os sujeitos colaboraram nas fases de discussão para elaboração dos objetivos, mas o que foi discutido não foi considerado na escrita dos objetivos no documento compartilhado. Além disso, mostramos também que os conhecimentos individuais do sujeito E8 mudaram ao longo do processo de discussão. Também percebemos que a atividade coletiva, quando é colaborativa, faz com que as interseções dos conhecimentos da TPACK apareçam, neste caso especificamente, os conhecimentos pedagógico e do conteúdo.

Na seção seguinte, faremos a análise da 2ª fase da 4ª etapa do experimento, ou seja, a fase de discussão e planejamento de uma Orquestração Instrumental, para o ensino de Funções partindo dos objetivos de aula aqui definidos.

Planejamento da Orquestração Instrumental

Após a etapa de discussão e elaboração dos objetivos de aula, os licenciandos partiram para o planejamento da aula, com base nas etapas da Teoria da Orquestração Instrumental (TOI). As etapas da TOI consideradas no experimento, foram a Configuração Didática e o Modo de Execução, já que seria implementado apenas o planejamento sem validação em sala de aula, nesse sentido, o Desempenho Didático não será analisado neste experimento.

Entraves teóricos e na compreensão do script

No planejamento da OI os licenciandos partiram de uma formação teórica prévia, realizada por outro pesquisador, que aqui chamaremos de P2 -Pesquisador 2 -na mesma disciplina que ocorreu este experimento. Com isso, para o desenvolvimento desta etapa, nós esperávamos que os sujeitos já viessem com essa formação teórica consolidada, de forma que não precisasse retomar os elementos da TOI. No entanto, encontramos alguns entraves na compreensão do script, justamente com relação aos elementos da teoria. No trecho adiante, veremos uma conversa dos sujeitos com o pesquisador, evidenciando os entraves teóricos e de compreensão do script: O trecho de conversa 23 evidencia os entraves do E8 na compreensão do script e dos elementos teóricos da TOI. Neste caso, foi necessário um esclarecimento por parte do mediador da sessão para que o sujeito compreendesse a atividade proposta para esta sessão a partir de outro momento vivenciado na disciplina de Metodologia de Ensino. A fala do E8 destacada nas linhas 29, 31, 33 e 50 mostra que o licenciando não tem conhecimento ou não lembra dos aspectos teóricos discutidos.

O fato de o E8 não compreender a TOI acarreta em uma falha do script, pois se faz necessário que o mediador retome o que está descrito no roteiro, tomando o tempo previsto para que a sessão ocorresse. Por outro lado, no chat os outros membros do grupo não se pronunciam, de maneira que não se sabe com certeza se eles compreenderam a proposta ou apenas visualizam as mensagens no chat para tomar conhecimento do que deve ser feito.

A falha na compreensão do script e a falta de posicionamento dos outros membros do grupo diante das dúvidas do E8, evidenciam uma não compreensão teórica e um entrave técnico do ambiente CSCL escolhido, que não possibilita ao mediador um controle dos das ações dos sujeitos no chat, ou seja, a omissão por parte dos membros só é possível de ser compreendida se houver algum tipo de manifestação no documento compartilhado ou nas conversas por meio do chat.

A partir do que o mediador coloca no chat os sujeitos vão desenvolvendo a tarefa proposta, mas os entraves com relação aos elementos da TOI aparecem mais adiante, como podemos ver no trecho a seguir:

Trecho 24 -Entraves com relação as etapas da TOI L134 E6: o tempo de aula deve estar na configuração didática? L135 P: sim L136 E8: então o q é pra fazer no modo de operação L137 P: aquilo que você me perguntou é no modo de operação, mas o tempo de aula que o E6 perguntou é na configuração didática. L138 E8: Ok. Entendi.

O trecho 24 mostra mais um momento de dúvidas dos sujeitos com relação às etapas da TOI. Desta vez, o E6 também apresenta questionamentos com relação ao que deve ou não deve constar na configuração didática, e o E8 no modo de execução. No trecho fica evidente que há uma relação de dependência dos licenciandos com relação ao mediador, sendo que eles mesmos poderiam buscar em outras fontes ou retomar a conversa do início da sessão para esclarecer as dúvidas com relação à teoria. Esses questionamentos dos licenciandos evidenciam, neste trecho, a ausência do conhecimento pedagógico e a inversão de papeis no que diz respeito ao posicionamento deles como futuros docentes e o estudante, que aparece fortemente na dependência do mediador.

A seguir, fizemos as análises dos conhecimentos que surgem a partir da discussão dos licenciandos para elaboração da aula com base nos elementos da TOI.

Desenvolvimento das etapas da Orquestração Instrumental

No desenvolvimento das etapas da orquestração, os licenciandos discutem sobre a proposta que pretendem inserir no ppt compartilhado, por meio do chat. Sendo assim, identificamos as etapas da Orquestração Instrumental (OI) como os eventos desta fase de discussão.

Configuração Didática

Na discussão da configuração didática identificamos alguns trechos que se referem a itens da desta etapa da OI: a forma como os alunos irão trabalhar (individual ou em grupo), o modo como as tarefas irão ser realizadas pelos alunos, elementos matemáticos a serem Por isso, consideramos que este não seria um conhecimento do grupo, mas sim individual deste sujeito.

A configuração didática elaborada pelos licenciandos destacou a forma de trabalho dos alunos na aula -em grupos de 4 integrantes -o papel do software Geogebra, mesmo que secundário ele aparece na discussão e, finalmente, os conceitos matemáticos a serem abordados: Domínio e imagem de funções, coeficientes da função afim e a resolução de problemas modelados por Função Afim. Na seção seguinte, analisaremos o alinhamento e os conhecimentos que emergem no modo de execução da OI dos licenciandos.

Modo de Execução

O modo de execução elaborado pelos licenciandos foi desenvolvido a partir da organização prevista na configuração didática. Dessa forma, nesta seção fizemos a análise do trecho de conversa que os licenciandos definem o modo de execução a partir da sua percepção da TOI, esclarecida no início desta fase pelo mediador da sessão e das discussões realizadas na disciplina. Buscamos identificar os elementos que constituem o alinhamento dos sujeitos, como também os conhecimentos que emergem a partir das interações.

O trecho de conversa a seguir foi selecionado com base na definição de modo de execução trazido por Bellemain e Trouche (2016), como a forma de utilização dos artefatos escolhidos na configuração didática, além das decisões de como a tarefa será introduzida e trabalhada (DRIJVERS, 2010). No trecho 27 destacado acima é possível perceber que as interações concentram-se em apenas dois membros do grupo. Neste caso, poderíamos caracterizar a falta de alinhamento, uma vez que o E7 aparece apenas com a proposta de atividade e o E6 não se pronuncia. No entanto, os registros de vídeo no instante 01:03:34 mostra o E6 escrevendo no ppt compartilhado os elementos do modo de execução, ou seja, engajada na produção coletiva para solução do problema e no mesmo nível de compreensão dos demais. Com isso, o grupo pode ser caracterizado como alinhado, já que há participação do sujeito em outros registros.

Da mesma forma que a configuração didática, no modo de execução, o grupo apresenta apenas o Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo. O conhecimento pedagógico está emergindo da discussão sobre a forma de abordagem da função por meio de uma situação problema, proposta pelo E7 e sendo uma discussão em torno da metodologia mais adequada para explorar o objeto matemático, também identificamos o conhecimento do conteúdo, atrelado ao conhecimento pedagógico.

Por outro lado, o conhecimento tecnológico fica à margem na discussão e mais uma vez aparece como algo secundário ou ilustrativo. Vejamos na fala do E5: L129 E5: um gráfico de uma função afim é entregue ao grupo que é 2 tem que representá-lo no geogebra.

Na linha 131 também podemos ver na proposta de atividade, que o primeiro item se refere a obtenção do registro algébrico da função, sendo assim, o potencial do software não é bem explorado por meio desta atividade. Neste caso, também identificamos uma reprodução de técnicas que poderiam ser realizadas com lápis e papel, mas que estão sendo propostas de serem abordadas no software, reproduzindo o objeto matemático função como ilustração, sem exploração de conjecturas e propriedades.

A seguir, fizemos a análise quantitativa da simetria e do acordo na segunda fase da 4ª etapa do experimento.

Análise da simetria e acordo na Orquestração Instrumental

Nesta seção trouxemos a análise quantitativa da simetria e do acordo entre os sujeitos na fase de elaboração da OI. No gráfico a seguir, pudemos observar o percentual de propositores e receptores: O gráfico da dimensão acordo apresenta um percentual de concordância alto entre os sujeitos receptores analisados. Aproximadamente 80% das falas dos sujeitos mostram que há concordância nas discussões do grupo. A partir disso, como nas etapas de configuração didática e do modo de execução o grupo esteve alinhado, podemos dizer que houve colaboração nesta fase do experimento. A seguir, faremos a síntese da análise desta fase do experimento.

Síntese da análise da Orquestração Instrumental

Na síntese da elaboração da OI, destacamos os conhecimentos que emergiram das interações entre os sujeitos, como também faremos a classificação do grupo com relação à atividade coletiva.

Nesta fase do experimento, o grupo se mostrou alinhado tanto na elaboração da configuração didática, como no modo de execução. Além disso, as outras dimensões da colaboração mostraram que os sujeitos estavam simétricos e em acordo, a partir do quantitativo de falas analisadas e classificadas com relação aos papeis -propositor e receptor -e ao posicionamento -concorda ou discorda. Com isso, a partir da estrutura do modelo de Baker, os sujeitos são classificados como em co-construção, inseridos na zona de colaboração como mostra o esquema do modelo a seguir: Na seção seguinte, concluímos nossa análise de dados a partir da análise da socialização da aula pelos licenciandos, de forma presencial.

MÉTODO DE ANÁLISE DA 5ª ETAPA DE FORMAÇÃO

A 5ª etapa de formação teve os seguintes objetivos:

• Socializar a aula planejada com base nas etapas da Orquestração Instrumental;

• Elucidar as ações individuais e coletivas realizadas à distância que não foram esclarecidas por meio das interações via chat;

• Identificar os conhecimentos docentes que surgem na apresentação da aula, de forma individual e por meio das discussões em sala de aula.

• Analisar as percepções dos licenciandos acerca da utilização do software Geogebra na elaboração de uma aula para o ensino de Funções.

Para analisar a 5ª etapa de formação, também utilizamos o método de análise microgenética, uma vez que os dados coletados nesta etapa foram os registros de vídeo da socialização realizada de forma presencial, no horário da aula da disciplina. A partir do vídeo e da transcrição, faremos o mapeamento dos eventos a partir dos objetivos de pesquisa evidenciados acima.

Nesta etapa da formação, além dos conhecimentos dos licenciandos, fizemos uma análise da participação da professora formadora, que atuou na mediação das discussões sobre a aula apresentada pelos sujeitos. Nesse sentido, fizemos um confrontamento do papel da formadora, a partir das pesquisas apresentadas na revisão da literatura por [START_REF] Fiorentini | Formação de professores que ensinam matemática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira[END_REF] e [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF], que destacam o papel do docente formador no processo de formação inicial.

Além da participação da professora da disciplina na discussão, outro aspecto que distingue a análise desta etapa das outras é a análise da colaboração. Nesta etapa, não faremos a análise da colaboração utilizando o modelo de Baker, pois as interações são presenciais, exceto por um dos membros do grupo que se conecta à apresentação a distância, mas neste caso, o perfil da interação entre os sujeitos não se aplica ao modelo. No entanto, fizemos as análises a partir do papel individual e coletivo por meio das discussões utilizando a análise microgenética.

Assim como nas outras etapas, ao final da análise fizemos uma síntese rebuscando elementos da nossa fundamentação teórica e revisão da literatura, com base no que for encontrado na análise. Outro aspecto a ser destacado antes da análise dos eventos é a descrição das imagens que aparecem no vídeo. Em alguns trechos da apresentação, os sujeitos utilizam o quadro para escrever o que estão explicando na aula, mas não utilizaremos imagens do vídeo para expor as anotações, pois elas não são nítidas o suficiente para mostrar o que está sendo escrito. Com isso, nas transcrições apresentaremos o que estiver sendo ilustrado por meio de texto.

Aula sobre Função Afim

Na primeira fase identificada no vídeo, destacamos a aula sobre função afim, que foi iniciada pelo E8. Apesar da organização realizada pelos sujeitos com base nas etapas da OI, o grupo não iniciou a apresentação mostrando a configuração didática prevista para aula ou os objetivos previamente definidos, que também fazem parte da configuração didática. A apresentação se inicia com o E8 mostrando como seria ministrada uma aula sobre Função Afim.

Nas subseções a seguir, trazemos alguns eventos que identificamos e os trechos transcritos a serem analisados nesta fase.

Definição geral de Função

A aula se inicia com o E8 definindo funções, apesar de em sua fala ele destacar que iria abordar sobre Função Afim, a aula inicia com uma definição geral sobre funções, vejamos no trecho a seguir: O trecho 28 evidencia algumas questões relacionadas à formação do licenciando enquanto futuro professor de Matemática e alguns conhecimentos e entraves relacionados a esses conhecimentos.

Primeiramente, com relação à formação inicial docente, a fala do sujeito na L6 reafirma as ideias de Fiorentini (2005), de que os futuros professores buscam elementos da sua formação escolar e da formação inicial nas disciplinas específicas para projetar sua prática docente. O E8 aponta que "como todo mundo aprendeu… geralmente começa assim", então essa fala reforça a ideia da reprodução de práticas docentes vivenciadas pelo sujeito enquanto estudante e isso reflete na sua atuação como professor. Mas, vale ressaltar que neste caso, esse posicionamento do E8 é esperado, pois o sujeito está vivenciando os primeiros semestres da licenciatura e as concepções que ele tem de professor, são as que vivenciou na Educação Básica.

Com relação aos conhecimentos, é evidente que o sujeito E8 inicia a apresentação trazendo elementos do conhecimento matemático, ou seja, o conhecimento do conteúdo. No entanto, a abordagem do E8 não mostra que este conhecimento matemático é um conhecimento constituído enquanto docente, pois na linha 7 a linguagem utilizada pelo licenciando mostra que ainda se faz necessário um aperfeiçoamento da abordagem do conteúdo. Mas, tomando a fala dentro do contexto da formação inicial, podemos dizer que o conhecimento do conteúdo (CK) está presente, mesmo que se apresente ainda de forma corriqueira, em uma linguagem não-formal há presença do CK quando o sujeito define Função.

Os entraves relacionados ao trecho 28 dizem respeito a forma como o E8 apresenta o conceito de Função, vejamos os destaques na L7: L7 E8: Aqui é o domínio, aqui o contradomínio (escreve no quadro um diagrama de relação com flechas), então os pontinhos, os números que estão aqui (no domínio), em geral são os números reais, são números que estão no eixo x e cada função, cada número aqui ele corresponde a apenas um número aqui no contradomínio, todos os números aqui são do conjunto do contradomínio, agora a imagem são só os números que estão ligados com os do domínio. Porque vai haver números aqui que não estão ligados, que são do contradomínio, agora os pontinhos que estão ligados são da imagem, então o conjunto da imagem tá dentro do contradomínio. Então isso é o básico, quando começa a estudar função e a primeira função geralmente é a função do primeiro grau.

Os trechos destacados na L7 evidenciam entraves de dimensão matemática e didática.

No primeiro e segundo trecho, o sujeito utiliza a palavra pontinhos, quando deveria utilizar elementos, além disso, destaca que "em geral, são os números reais", como se toda função tivesse como domínio o conjunto dos números reais. O entrave apresentado é de dimensão matemática pelos equívocos de definição e linguagem e, didática, pois uma abordagem realizada dessa forma, pode induzir os alunos a erros conceituais. No último trecho em destaque, o entrave se encontra na confusão que o licenciando faz com relação as funções. O sujeito apresenta uma definição geral das funções, como um caso particular das relações e, em seguida, dá a entender que esta definição é de uma função polinomial do primeiro grau.

A seguir, trazemos a análise do segundo evento da primeira fase das apresentações dos licenciandos.

Definição de Função Afim

O segundo evento que identificamos nesta primeira fase é a definição de função afim apresentada pelo E8, vejamos no trecho 29:

Trecho 29 -Definição de Função Afim L9 E8: Aí deixa eu explicar aqui, a função do primeiro grau é uma relação entre grandezas, tem a variável independente e dependente. A primeira função que a gente vai aprender é dada por (escreve no quadro ax+b), essa função é a parte algébrica, onde a é um número, o b é outro número, o a é o coeficiente angular, o b é o coeficiente linear, onde a reta passa pelo eixo y. Por exemplo, uma função dada por (escreve no quadro 2x+1) iria ser representada no gráfico (desenha os eixos do plano cartesiano no quadro). Aí a gente ia falar para os alunos como se faz o gráfico. Iria passar pelo 1, que todos eles são como (começa a graduar os eixos) se fosse uma régua. Então se o b passa pelo y, então a reta ia passar por aqui (desenha uma reta que passa pelo 1 no plano cartesiano). L10 E8: Então qualquer valor de x, como pertence aos reais iria ter um valor aqui do contradomínio, que só pode corresponder a um valor aqui. Então o valor que você pegar aqui (traça um ponto no plano cartesiano que pertence a reta), vai ter um y aqui.

No trecho 29, o E8 apresenta alguns equívocos na definição da Função Afim, além disso, percebemos que há uma falta de sistematização dos conceitos por parte do sujeito.

Apesar de apresentar a função afim como uma relação entre grandezas, o sujeito não destaca que essa relação, neste caso, só pode ser estabelecida de maneira linear. Nesse sentido, fica evidente que a forma pela qual o sujeito define a função afim é tal qual ele vem concebendo da Educação Básica, ou seja, na visão de aluno. No entanto, alguns elementos que são discutidos na 4ª etapa de formação são retomados, como a ideia de variável e a relação entre grandezas, discutidas pelos licenciandos para elaboração dos objetivos. O domínio e a imagem da função afim também não são bem apresentados pelo licenciando. Na linha 10, o sujeito fala sobre o domínio como sendo o conjunto dos números reais, mas não o apresenta inicialmente. Além disso, não fica claro que o valor do coeficiente a precisa ser diferente de zero, caso contrário a função se torna constante. Com essas questões elementares, mas essenciais para uma aula de Função Afim, não caracterizamos a existência do conhecimento do conteúdo, pois apesar da etapa de formação inicial do sujeito, as inconsistências conceituais apresentadas não permitem a classificação do conhecimento docente do conteúdo.

Plano Cartesiano

O terceiro evento que identificamos na primeira fase da apresentação dos licenciando, refere-se a abordagem do E8 sobre o plano cartesiano: No texto destacado, podemos perceber que há uma confusão por parte do sujeito na distinção entre função afim e função linear. O sujeito, em sua fala, evidencia que para ele, a função afim e a função linear são a mesma coisa, no entanto, sabemos que a função linear é um caso particular da função afim, quando o coeficiente linear é igual a zero, assim como a função constante, quando a=0. Apesar de algumas confusões na fala do sujeito, percebemos, ainda assim, elementos que caracterizam o conhecimento matemático que ele tem, diante do momento da formação inicial em que se encontra. Em termos de conhecimento pedagógico e do conteúdo, não podemos dizer que ele aparece, já que em cada trecho das falas do E8 transcritas, há uma incoerência na sistematização da aula.

Inequações

No momento seguinte à caracterização dos casos particulares da função afim, o E8 entra na abordagem sobre inequações, pois elas aparecem na lista dos conteúdos escolhidos na elaboração da aula a partir das etapas da OI. A discussão em torno das inequações mostra uma falta de conhecimento matemático dos sujeitos E8 e E7. Neste caso, percebemos, que os conhecimentos matemáticos dos licenciandos estão arraigados ao que eles aprenderam na Educação Básica, ainda sem o rigor matemático que a formação do professor de Matemática demanda.

Sinal do coeficiente

A discussão sobre crescimento e decrescimento da função afim continua, a partir de alguns trechos de fala do E8 e da discussão com a PF, como se destaca a seguir: No trecho 33, os apontamentos da pesquisa de Fiorentini (2005) se mostram mais evidentes. Nas linhas 13 e 19 o E8 demonstra a forma como aprendeu a identificar o crescimento e decrescimento de uma função. Fica muito claro, na fala do sujeito que o conhecimento matemático que ele possui ainda está fortemente associado ao de estudante da Educação Básica. Na L23 ele deixa ainda mais claro, quando diz que o crescimento da função afim está associado ao sinal do coeficiente e que ele aprendeu isso como regra.

Percebemos assim, que o conhecimento docente do conteúdo ainda não aparece na formação do sujeito, e que a forma como ele aborda o conteúdo matemático é resultado da concepção que ele tem enquanto professor, ou seja, a partir das duas experiências enquanto discente, como aponta [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF].

Destacamos, a partir disso, o papel da professora formadora diante da fala do sujeito. A disciplina em que foi realizado o experimento, é metodológica para o ensino de Matemática, nesse sentido, são discutidas questões pedagógicas e do conteúdo específico. A professora formadora, mostra uma postura de mediação apresentando os equívocos do sujeito por meio de alguns questionamentos e justificativas, com uma base do conteúdo matemático e pedagógico ao mesmo tempo, quando evidencia os impactos que as confusões em torno da temática discutida podem causar.

Identificação da função a partir do gráfico

Após a discussão sobre crescimento e decrescimento a partir do sinal do coeficiente angular da função afim, a apresentação do E8 se encerra com uma fala relacionada a identificação de uma função por meio do gráfico:

Trecho 34 -Identificação da função por meio do gráfico L27 E8: Uma coisa que eu aprendi bem depois. Dado um gráfico, dois gráficos na verdade (desenha dois gráficos com curvas), eu só aprendi isso bem depois na disciplina de Cálculo, falar qual é a função e qual não é função só olhando isso aí, sem fazer nada… Eu só aprendi isso aqui, não aprendi na escola não. L28 E8: Que pra você saber se é uma função ou não é só você fazer uma reta vertical, se ela cortar o gráfico em dois pontos aí não é função. Aí eu iria explicar que olhando aqui (o diagrama feito no início), que olhando os pontos do domínio e imagem se fosse ligado um do domínio pra dois na imagem, não era função. Aí você fazendo a reta aqui cortando vertical, seria um x para dois y, aí não seria função. É isso aí… O E8 aponta que já na formação inicial aprendeu que traçando uma reta paralela ao eixo y, se ela corta o gráfico em dois pontos, esse gráfico não é de uma função. A fala do E8 evidencia o conhecimento matemático que está implícito nessa estratégia, que parte da própria definição de função. No entanto, o que nos chama atenção é o primeiro trecho destacado: "eu só aprendi isso aqui, não aprendi na escola não". Essa fala do sujeito corrobora mais uma vez com a pesquisa de Fiorentini (2005), pois evidencia o impacto do professor das disciplinas específicas sobre a formação do futuro professor.

A apresentação do E8 sobre função afim mostra algumas questões que valem ser destacadas no final desta primeira fase. Primeiramente, a forma como o sujeito concebe os conhecimentos matemáticos ainda não pode ser considerada como de um docente, pois muitos elementos apresentados estão arraigados na sua experiência como discente. Segundo a abordagem dos conteúdos é realizada sem uma sistematização coerente e com métodos e técnicas que, provavelmente, são tomados a partir dos professores que o sujeito já conviveu. E, finalmente, os impactos da formação docente sobre o licenciando ainda são preliminares.

Na seção seguinte, é feita a discussão da segunda fase das apresentações que foi realizada pelo E5 na apresentação dos objetivos.

Objetivos de aula

Nesta fase da apresentação, o E5 apresenta os objetivos de aula definidos a partir da discussão do grupo realizada a distância na 4ª etapa de formação. Destacamos aqui alguns dos objetivos e as justificativas apresentadas pelo licenciando, que não foram esclarecidas na interação via chat. A partir do que o sujeito destaca na linhas 36, observamos que o conhecimento pedagógico e do conteúdo aparece na construção coletiva dos objetivos, pois o objetivo de resolver problemas a partir de diferentes registros, como gráficos e tabelas, denota uma preocupação do grupo com a coordenação de registros semióticos. Mishra e Koehler (2006), destacam que a articulação de teorias didáticas ou de aprendizagem pelo sujeito, aparece do conhecimento pedagógico. Neste caso, o PCK é caracterizado pelo objetivo de aula, ser pensado como uma forma de o estudante, a partir de situações matemáticas, mobilizar diferentes registros. Ao pensar sob a ótica da TRRS para construir esse objetivo, os licenciandos demonstram estarem na interseção PCK.

Apesar disso, a linha 37 o licenciando E5 pensa que está fugindo da temática da aula, ou seja, por estar em fase de formação inicial ainda prematura, o sujeito não percebe que a discussão em torno da TRRS associada ao objetivo de aula, faz parte do planejamento elaborado. Com isso, percebemos que os licenciados elaboram as situações, mas ainda não tem consciência de que essas situações abarcam o conhecimento pedagógico deles.

Na seção seguinte, faremos a discussão da configuração didática apresentada pelo E6.

Configuração Didática

Na configuração didática, assim como nos objetivos o E6 apresenta algumas justificativas para escolha dos itens listados na 4ª etapa de formação, mas que não aparecem na discussão do chat. O E6 destaca algumas questões importantes em sua fala para justificar a configuração didática estabelecida pelo grupo. Apesar de a configuração didática ter sido pensada de forma coletiva, no trecho 35 acima percebemos na fala do E6 que algumas justificativas e pensamentos sobre as decisões do grupo são seus, ou seja, individuais. Na L43 isso fica muito claro, quando o licenciando destaca que "A princípio eu pensei nos parâmetros da Escola Nova...", o pronome eu destacado na fala do licenciando, denota que a associação da configuração didática realizada pelo grupo com o movimento escolanovista foi ideia sua. Nesse sentido, percebemos que, assim como nas outras etapas nas quais o conhecimento do E6 foi mapeado, nesta etapa, também se destaca o Conhecimento Pedagógico (PK), pois se associa as escolhas a um movimento didático presente na literatura da Educação.

O movimento da Escola Nova apontado pelo E6, segundo ele, justifica a distribuição dos grupos em 4 integrantes, subdividindo-se em duplas, onde cada dupla realiza um tipo de tarefa que complementa a outra. Mesmo inconscientemente, percebemos que o grupo constroi uma dinâmica de trabalho coletivo, muito próximo do trabalho cooperativo apontado na CSCW, onde os integrantes se dividem, realizam tarefas e juntos produzem um produto final. Na L45 o E6 destaca que a abordagem sobre função afim seria de maneira introdutória, que na verdade o trabalho dos estudantes em grupo em uma perspectiva construtivista poderia desenvolver habilidades mais autônomas, facilitando o gerenciamento da sala de aula pelo professor. Ainda nesta linha, segundo o E6 os dispositivos tecnológicos seriam distribuídos pelo grupo e pelo que vimos, um para cada grupo.

A justificativa das escolhas do grupo para o trabalho dos alunos com as tecnologias, a dinâmica de subdivisão em grupos menores e o gerenciamento da sala de aula pelo professor, mostra que o conhecimento pedagógico aparece na configuração didática. No entanto, a classificação desse conhecimento em individual ou coletivo é um pouco complexa, pois o licenciando que apresenta esta etapa da TOI demonstra ter esse conhecimento em um nível um pouco mais aguçado que os outros. Sendo assim, não sabemos se a configuração didática foi idealizada com essa perspectiva pelo grupo como unidade, ou se as justificativas do E6 que estão embasando as escolhas do grupo. Por outro lado, como a configuração didática foi uma ação coletiva, desenvolvida a partir das interações entre o grupo via chat, classificaremos o conhecimento pedagógico desta fase como coletivo.

A seguir, fizemos a discussão do modo de operação apresentado pelos licenciandos E7 e E8.

Modo de execução

A fase do modo de execução fez emergir nas discussões três eventos: a abordagem dos conceitos nas atividades, a descrição e justificativa da atividade 1 e por fim, a atividade 2. A partir das atividades propostas, foi sendo definida a última fase das apresentações, que consistiu na discussão com a professora formadora, sobre a abordagem de alguns conceitos.

Abordagem dos conceitos

O modo de execução começou a ser discutido a partir da abordagem que seria feita pelos licenciandos das duas atividades propostas. O E7 inicia sua fala justificando isso: Na fala do E7, percebemos que a proposta do grupo seria uma aula pautada na sistematização dos conceitos pelo professor, seguida da exploração das atividades pelos alunos por meio do software. As linhas transcritas denotam também, a preocupação dos licenciandos em fazer com que os alunos pensem por meio das situações propostas, fazendo do professor um mediador e não um detentor do conhecimento.

A forma de abordagem escolhida pelo grupo revela o conhecimento pedagógico dos sujeitos, uma vez que, eles estão considerando e propondo meios para que a aprendizagem seja construída de forma compartilhada entre o professor e os alunos. Para que isso ocorra, o software seria o recurso que proporcionaria aos estudantes fazer conjecturas, para reconhecer nas situações a função afim por meio da visualização de gráficos.

Com isso, o conhecimento presente na abordagem dos conceitos se caracteriza apenas como pedagógico, uma vez que a fala do E7 neste trecho, concentra-se apenas em descrever o processo da abordagem dos conceitos.

Atividade 1

Após a discussão da abordagem no modo de execução, o E7 apresenta a primeira atividade proposta pelo grupo:

Trecho 37 -Atividade 1 L49 E7: A partir disso a gente propôs duas atividades, para saber se o aluno realmente entendeu a aula e a primeira: Atividade 1: Os alunos, utilizando o geogebra e por meio do controle deslizante, deverão construir um gráfico de uma reta, e analisar as alterações sofridas no gráfico após mudar o controle deslizante, interpretar essas modificações de acordo com o conteúdo de função de 1ª grau. L50 E7: Aí eles teriam que identificar tudo o que foi dito na aula: crescimento e decrescimento, a raiz da função, a sua função. Basicamente aquilo que a gente viu naquela questão da área, que a gente fez no geogebra. Então é basicamente isso, mostrar pro aluno uma situação no Geogebra, pra (SIC) que ele começasse a explicar cada coisa que ele aprendeu na aula:

A primeira atividade denota uma proposta de exploração dos coeficientes da função afim por meio do gráfico, utilizando o controle deslizante que automatiza o processo de mudança dos coeficientes e gera famílias de funções (KAPUT, 1992). Nesta atividade, percebemos elementos que foram explorados na 2ª etapa da formação, como a utilização do controle deslizante. Os sujeitos perceberam que a ferramenta do controle deslizante possibilita a alteração de características do objeto, a partir de um coeficiente pré-estabelecido, dentro de um intervalo e incremento dados.

Com isso, a proposta da primeira atividade ressalta o conhecimento tecnológico dos sujeitos, a partir da formação realizada em etapas anteriores. Além disso, o grupo atrelou o conhecimento matemático e pedagógico que possuem, para propor uma situação em que os alunos possam explorar nas animações o papel dos coeficientes da função no gráfico construído.

Sendo assim, os três conhecimentos da TPACK emergem a partir dessa atividade.

A identificação dos três conhecimentos nessa atividade se dá por meio de três aspectos: a proposta coletiva do grupo, a exploração da influência dos coeficientes no gráfico da função afim e finalmente, a potencialidade do software em realizar as animações e transformações nos coeficientes algébricos, ao mesmo tempo em que modifica o gráfico. Identificar a TPACK nesta atividade só foi possível, por meio da apresentação dos licenciandos, uma vez que, não ficou claro na 4ª etapa a proposta da atividade 1.

A seguir, discutiremos a proposta da segunda atividade, destacando o papel do software e a proposta de ações das duplas de alunos na solução do problema.

Atividade 2

Mesmo com uma proposta pautada na utilização do Geogebra, a abordagem dos licenciandos para utilização da tecnologia na segunda atividade, ainda torna o software, um artefato secundário. Isso porque ele seria utilizado como meio de verificação do cálculo manual entre os alunos, onde uma das duplas realiza cálculos e a outra valida as respostas, fazendo do software um recurso de visualização. Vejamos a proposta apresentada pelo E8: A atividade 2 mostra o conhecimento do conteúdo dos licenciandos, a partir da formação que eles possuem e que vivenciaram até o instante de elaboração do problema. Esta atividade foi discutida e proposta na discussão do grupo na 4ª etapa de formação, sendo assim, ela é uma produção coletiva dos sujeitos. Pela fala do E8 destacada na linha 53 o problema proposto procura fugir de uma abordagem mais conteudista da função afim, mostrando aos alunos situações que são modeladas por essas funções.

Neste trecho, ficou claro que os licenciandos externalizam um conhecimento do conteúdo que possuem ao propor a atividade 2. Mas, alguns elementos do conteúdo matemático, como a caracterização da função afim e o gráfico parecem confundir os diante da concepção que eles têm sobre função. A seguir, mostramos as discussões geradas entre a professora formadora e os licenciandos, a partir do que ela observa na fala e nas atividades propostas em termos de conteúdo matemático.

Discussão com a professora formadora

Nas discussões com a professora formadora, os sujeitos são questionados sobre elementos do conteúdo matemático de função afim, que são mal colocados ou descritos. A partir dessas discussões, estabelecemos algumas temáticas que vão surgindo na conversa, onde os sujeitos são instigados pela professora formadora à reflexão diante do que está sendo falado e da abordagem que está sendo feita, do conteúdo de função afim.

Gráfico da Função Afim

Após a finalização da apresentação pelos licenciandos a professora formadora os questiona sobre um trecho descrito na atividade 1: O primeiro questionamento lançado pela professora formadora, destacado na linha 54, lança uma discussão em sala sobre a concepção dos licenciandos de gráfico de uma função de maneira geral, a reta como lugar geométrico e o gráfico da função afim. Nas falas do trecho 39 os conhecimentos do conteúdo, pedagógicos e pedagógicos e do conteúdo ocorrem em diferentes momentos.

A discussão em torno da acepção de gráfico e, mais especificamente, o gráfico da função afim sendo representado por uma reta, faz emergir uma discussão sobre o conhecimento do conteúdo dos licenciandos. Nos trechos destacados a partir da linha 66, temos algumas das repostas dos sujeitos e de colegas que entram no debate sobre o gráfico da função afim como sendo uma reta.

A professora formadora procura encaminhar os licenciandos para reflexão de que a reta como lugar geométrico de pontos, não é representa o gráfico de uma função afim. Os sujeitos tentam justificar utilizando elementos da Geometria Analítica, que não se aplicam as funções, como os licenciandos A2 e A3. Em seguida, o E8 diz que basta escolher pontos aleatórios e ligar. Essa concepção geralmente é apresentada na Educação Básica como suficiente para gerar o gráfico de uma função afim, sendo assim, mais uma vez os conhecimentos do conteúdo do E8 mostram-se arraigados aos que foram adquiridos na Matemática escolar.

Por sua vez, na linha 83 o E8 aponta que para mostrar que o gráfico da função quadrática é uma parábola, basta escolher cinco pontos distantes. Essa ideia do licenciando se refere a cinco pontos de lados opostos do vértice da parábola, mas como o aluno faz essa escolha se ele ainda não sabe quais pontos estão de lados opostos? A professora formadora aponta essa questão na linha 84, fazendo com que o sujeito reflita que os alunos não possuem a capacidade de identificar os modelos de funções, pois ainda estão adquirindo conhecimentos sobre características do objeto matemático.

A partir das discussões trazidas no trecho 39, os licenciandos evidenciam conhecimentos matemáticos que são constituídos em sua experiência discente. Por outro lado, em algumas linhas como na 61 e 63, os licenciandos E5 e A1 apontam questões ligadas ao conhecimento pedagógico. Primeiro, o E5 concorda que é preciso realizar uma reflexão em torno de como se fala e como se propõe uma situação matemática, pois a formação inicial é o momento de começar a pensar como futuro professor. Em seguida, o licenciando A1 faz uma retomada da 1ª etapa de formação, onde reconhece o gráfico como sendo um tipo de representação da função. A associação de um elemento teórico, com as discussões em sala demonstram que os licenciandos começam a pensar no reflexo que as teorias abordadas possuem na formação inicial.

O conhecimento pedagógico e do conteúdo permeia a discussão da professora formadora com os licenciandos. As reflexões acerca da concepção de gráficos de funções e as implicações disso na prática dos licenciandos enquanto futuros professores, gera o PCK nas interações em sala de aula. Seria um processo complexo dissociar os licenciandos da discussão com a professora formadora, uma vez que, todos estão envolvidos na conversa. Na seção seguinte, trazemos a continuação da discussão entre os licenciandos e a professora formadora, na necessidade de uma caracterização da função afim para compreensão do objeto.

Caracterização da Função Quadrática e Caracterização da Função Afim

O debate sobre o gráfico de funções e da reta como gráfico da função afim foi o fio condutor da conversa descrita nesta seção. As concepções dos licenciandos fizeram com que a professora formadora direcionasse a conversa para a caracterização das funções quadrática e afim, de maneira que os licenciandos buscassem compreender a reta como gráfico da função afim e a parábola como gráfico da função quadrática. A discussão começa com a professora formadora instigando os licenciandos a refletir sobre o que seria a parábola. Assim como a discussão sobre a reta na seção anterior, a parábola também é um lugar geométrico que pode ser o gráfico da parábola desde que, a variação das imagens tenha o comportamento de uma progressão aritmética de segunda ordem.

A professora exemplifica que, em sua pesquisa, os alunos associavam a função seno como sendo várias parábolas, já que a curva senóide graficamente aparenta ter as mesmas características da curva parábola. O E8 afirma que considerando o intervalo das imagens entre -1 e 1, uma senóide seria uma parábola. Essa afirmação do licenciando denota a falta de conhecimento das características da parábola enquanto lugar geométrico e da curva parábola, enquanto gráfico de uma função. A intenção da professora formadora é conduzir os sujeitos a buscarem fontes que caracterizem as funções, de maneira que eles possam perceber a partir dessas características as situações modeladas pelas funções afim e quadrática, como também, distinguir as curvas geométricas das funcionais.

Nesta seção a professora formadora faz emergir o conhecimento matemático docente que possui, para fazer com que os licenciandos reflitam sobre elementos que eles já conhecem, mas que não sabem definir ou caracterizar. Nesse sentido, não identificamos aqui, conhecimentos por parte dos sujeitos, mas da professora formadora que traz para discussão conhecimentos matemáticos indispensáveis à formação inicial do professor de Matemática.

Conhecimentos matemáticos do professor

Em outro trecho do debate estabelecido após a apresentação da aula, o E5 destaca um ponto importante na discussão: Desta vez a conversa iniciada pelo E5 entra em uma dimensão de interseção dos conhecimentos pedagógico e do conteúdo. As escolhas do professor, quanto aos pontos de lados opostos do vértice da parábola para a construção do gráfico, constituem uma estratégia didática que parte do conhecimento matemático que o professor já possui. Como destaca a professora formadora, a omissão das razões dessas escolhas, levam o professor a ter uma certa "vantagem" sobre o aluno, pois ele não conhece as características das funções e portanto, não tem como fazer essas escolhas. As decisões que o professor toma sobre o que ele mostra ou não ao aluno, acarretam muitas vezes em uma concepção errônea das características do objeto matemático, como destaca o pesquisador na linha 84:

Trecho 43 -Destaque do pesquisador L84 P: Se ele pegar uma parábola, que ele não chega no vértice ou próximos, ele pode pegar um traço da parábola e confundir com uma reta, mas ele não vai identificar que ali tem um vértice ou que aquela equação corresponde a uma quadrática.

A seguir, encerramos a análise da aula apresentada pelos licenciandos de forma presencial. Nesta última seção, apresentaremos as concepções dos sujeitos sobre o diferencial do uso do Geogebra na aula que eles elaboraram.

Diferencial do uso de tecnologias para o ensino

Após as discussões em torno da aula que foi apresentada, a professora formadora puxa a conversa para as concepções dos sujeitos sobre o papel do Geogebra na elaboração da aula: A seguir, fizemos uma breve síntese desta análise da 5ª etapa de formação, destacando os conhecimentos em cada fase identificados nas falas dos sujeitos e da professora formadora.

Síntese da análise da 5ª etapa de formação

Para sintetizar a análise de dados da 5ª etapa de formação utilizaremos um quadro que aponta os conhecimentos identificados em cada fase da apresentação dos licenciandos. Em seguida, faremos uma breve discussão concluindo o capítulo da análise de dados. Este capítulo abordou as análises dos dados de toda a etapa de formação proposta, desde a 1ª etapa que envolveu todos os licenciandos, como nas etapas seguintes a partir do estudo de caso de um dos grupos. No capítulo seguinte, apresentamos os resultados e suas respectivas discussões, sob a ótica das teorias e revisão de literatura que embasam esta pesquisa.

ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS DAS ETAPAS DE FORMAÇÃO

Neste capítulo apresentamos os resultados da pesquisa e os discutimos com base em nossa literatura. Organizamos este capítulo fazendo as discussões de cada etapa da formação proposta.

7 Neste caso, o E7 em discussão com a professora formadora, estabelece um diálogo que faz essa articulação, a partir do que ele possui em termos de formação matemática, considerando a etapa de formação inicial em que se encontra.

Apesar de terem estabelecido uma dinâmica de discussão por meio do aplicativo sobre a TRRS, nem todos os licenciandos fizeram reflexões teóricas. Na seção seguinte, discutiremos sobre as perguntas e respostas que foram encontradas com reflexão sobre a TRRS.

Reflexões acerca da TRRS

As discussões teóricas reflexivas apareceram por meio das postagens onde os sujeitos faziam questionamentos a partir da sua interpretação enquanto licenciando, sobre aspectos da TRRS. Nem todos fizeram essas reflexões e apenas reproduziram trechos copiados do texto ou da fala de outros licenciandos na discussão. A reflexão teórica, nesta etapa, era de suma importância para que os sujeitos tivessem subsídio teórico para discutir sobre funções nas etapas seguintes.

Além das reflexões, percebemos que outro aspecto não foi considerado pelos sujeitos na elaboração dos questionamentos: as postagens já realizadas. Percebemos, ao longo das postagens, que algumas perguntas começaram a se tornar repetitivas, pois alguns licenciandos já haviam discutido sobre a mesma temática anteriormente.

Outro aspecto sobre as postagens diz respeito ao fluxo de mensagens por dia. A figura 14, mostra que o fluxo maior de mensagens foi no dia 18/10, ou seja, dia em que havia aula da disciplina. Podemos perceber que apesar de uma proposta assíncrona, os sujeitos por sua ligação com a aula presencial, desenvolveram a cultura de enviar suas postagens próximos ou no dia da disciplina.

Finalmente, percebemos que esta etapa trouxe contribuições significativas a partir das reflexões da TRRS. Como mostramos no gráfico 2, houve muitas perguntas reflexivas em torno da teoria, que podem contribuir como uma base de formação teórica para as etapas seguintes.

Na próxima seção, fizemos uma discussão sobre os resultados da etapa de familiarização, tanto na forma presencial quanto à distância. Com isso, fizemos a discussão dos resultados da etapa de familiarização presencial e a distância, investigando o caso do grupo A.

Etapa de familiarização presencial

Na etapa de familiarização presencial foram identificados alguns entraves relacionados ao planejamento e execução da formação. Esses entraves foram ligados a alguns aspectos: gerenciamento da sala de aula, dispositivos utilizados para construção da simulação e captação dos dados para análise. Essas dificuldades de planejamento e execução da etapa de familiarização presencial nos fez repensar e reformular a proposta de familiarização, nos encaminhando para uma proposta de familiarização a distância, para que não atrapalhássemos o andamento da disciplina.

Na seção seguinte, faremos a discussão dos resultados da etapa de familiarização à distância, que partiu dos entraves identificados nesta etapa.

Etapa de familiarização a distância

A partir dos entraves na etapa de familiarização presencial, encaminhamo-nos para etapa de familiarização a distância. Nesta etapa, a formação foi reconfigurada, com a utilização de outros dispositivos que nos dessem suporte, dessa forma, utilizamos os seguintes recursos de reconfiguração: atube catcher, youtube e e-mail.

O atube catcher nos possibilitou gravar um vídeo por meio da captura de tela do computador, realizando a construção da simulação proposta para ser construída em sala de aula.

Após a gravação, o vídeo foi postado no youtube e disponibilizado para os sujeitos por meio do grupo via whatsapp e por fim, o e-mail para compartilhar a atividade proposta para os sujeitos.

A atividade proposta, já apresentada na seção 6.5.1, no quadro 11, reconfigura os sujeitos para trabalharem em grupos, de forma que eles respondam os questionamentos e enviem a gravação das interações por e-mail.

A atividade apresentou um caráter formativo em matemática e tecnologia, pois propunha que os sujeitos identificassem alguns elementos da função na simulação construída. Dos e-mails que foram retornados, apenas um deles possuía registro de vídeo e áudio, além disso, era o único com a discussão sobre a construção da simulação proposta. Com isso, investigamos o caso do grupo que enviou a discussão identificando os conhecimentos e interações coletivas entre os sujeitos. A colaboração nesta fase é identificada ao final da sessão, quando os sujeitos discutem para definir os objetivos de aula. Com isso, surgem conhecimentos pedagógicos e do conteúdo, que estão imbricados pelos elementos matemáticos e do planejamento. A formação docente de forma colaborativa tem sido realizada por alguns pesquisadores, que propõem situações matemáticas como forma de discussão coletiva online entre professores de Matemática [START_REF]Construção colaborativa do conhecimento tecnológico, pedagógico e do conteúdo de professores de matemática[END_REF].

Conhecimentos e interações coletivas mobilizados pelo

Outro aspecto revelado nesta etapa são os entraves da proposta colaborativa. Neste caso, identificamos dois tipos de entraves: os entraves do script e os entraves tecnológicos. O entrave de proposta do script ocorre no início da sessão, quando os licenciandos não compreendem a proposta da atividade. Com isso, se denota uma falha no modelo de script adotado, apesar de não haver dificuldades de acesso ou de reconhecimento das ferramentas do ambiente compartilhado, mas a proposta de atividade é questionada. Na seção seguinte, fizemos a discussão dos resultados encontrados no planejamento com base nas etapas da Orquestração Instrumental.

Planejamento com base nas etapas da OI

Nesta etapa também identificamos alguns entraves com relação ao modelo de script adotado, além disso, a interseção dos conhecimentos que emergiram da colaboração e alguns conhecimentos individuais dos sujeitos. Os entraves relacionados ao script, neste caso, estão presentes pelo mesmo motivo da sessão dos objetivos de aula, as dúvidas dos sujeitos relacionadas a atividade proposta. No início da sessão é preciso que o mediador retome a discussão do script com os licenciandos para que eles compreendam a proposta.

Mas, a partir disso, surge outra questão não prevista e que denota um entrave do script:

a falta de conhecimento dos sujeitos com relação a TOI. Apesar de terem passado por uma etapa de formação teórica e prática utilizando a TOI em outras atividades na disciplina, os sujeitos não reconhecem as etapas da teoria. Com isso, é preciso que se tenha mais uma intervenção do mediador para esclarecer os licenciandos sobre as etapas. No entanto, as dúvidas permanecem ao longo da etapa de formação, caracterizando a falha no script.

Após o esclarecimento sobre as etapas da TOI os sujeitos iniciam o planejamento da aula pela configuração didática. Como apontam [START_REF] Trouche | Construction et conduite des instruments dans les apprentissages mathématiques: nécessité des orchestrations[END_REF], Bellemain e [START_REF] Trouche | O trabalho do professor com os recursos de seu ensino, um questionamento didático e informático. Anais do I Simpósio Latino-Americano da Didática da Matemática -Ladima[END_REF] na configuração didática, se determinam as escolhas para organização e gerenciamento da sala de aula e dos recursos a serem utilizados. Porém, os licenciandos não justificam as escolhas no chat e vão inserindo os elementos da configuração didática no documento compartilhado sem definirem a estrutura de organização planejada pelo grupo.

No modo de execução, as tomadas de decisão passam a ser coletivas, gerando um debate entre os sujeitos sobre as propostas de atividade a serem abordadas. Nesse instante, elementos da TRRS são evocados nas conversas em conjunto com a abordagem de funções que deve ser demonstra um forte potencial de conhecimento didático, revelado pela sua preocupação com as questões de planejamento e articulação de teorias educacionais.

Neste capítulo discutimos sobre os resultados desta pesquisa, elencando o que foi encontrado em termos de conhecimentos, colaboração e entraves do modelo de formação, a cada etapa proposta. No capítulo a seguir, fizemos as considerações finais deste estudo, delimitando as limitações da pesquisa e as perspectivas de pesquisas futuras.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este capítulo foi organizado a partir das nossas conclusões sobre esta pesquisa, as limitações identificadas e as perspectivas de pesquisas futuras.

CONCLUSÕES

Esta pesquisa teve por objetivo analisar os conhecimentos de professores de matemática em formação inicial que emergem a partir de uma formação com integração de tecnologia digital para o ensino de função, feitos em modalidade semipresencial e colaborativa em plataformas CSCL. Para pensar no modelo de formação partimos da necessidade de oferecer uma formação inicial rica em tecnologias digitais, que fizesse emergir conhecimentos tecnológicos, pedagógicos e do conteúdo a partir de situações colaborativas a distância, como suporte a uma disciplina de um curso de Licenciatura em Matemática presencial.

A concepção do modelo de formação exigiu a articulação de teorias que dessem conta da estrutura da formação, de maneira que foram articuladas as teorias propostas no programa da disciplina com as que utilizamos para promover situações de colaboração, fazendo emergir conhecimentos de docentes em formação inicial. Sendo assim, foi preciso propor algumas etapas gradativas de formação, que compreenderam a formação teórica dos licenciandos, como base para discussões posteriores. Em seguida, foi pensado na articulação das tecnologias para uso e elaboração de situações de ensino, sendo necessárias formações para familiarização com os softwares e plataformas a serem utilizados no experimento.

A TPACK (MISHRA e KOEHLER, 2006) nos ofereceu um caminho de abordagens em termos de conhecimentos a serem explorados, com isso, articulamos na proposta documentos curriculares, discussões acadêmicas sobre as Funções enquanto objeto matemático e produções tecnológicas com o uso do Geogebra. A Teoria da Orquestração Instrumental (TROUCHE, 2005) nos deu elementos para propor a estrutura e organização das propostas de aula na formação inicial, inserindo os licenciandos em início de curso, na realidade do planejamento e execução de situações de ensino. As pesquisas em torno da formação inicial nos deram um panorama do perfil de licenciando que encontraríamos, mesmo porque, nossa proposta foi voltada para sujeitos no início da formação, ainda com a percepção de alunos vislumbrando a carreira docente [START_REF] Fiorentini | A formação matemática e didático-pedagógica nas disciplinas da licenciatura em Matemática[END_REF].

Nossa metodologia concebeu o modelo de formação inicial experimental a partir do planejamento de cinco etapas bem definidas. A primeira com uma proposta de formação teórica, a segunda com uma proposta de familiarização para instrumentalizar os licenciandos, a terceira com uma dinâmica de distribuição de sujeitos em grupos por meio do aporte teórico, a quarta de planejamento da aula a partir de discussões coletivas e a última com discussões com licenciandos e professora formadora. Utilizamos como recursos diversos artefatos tecnológicos, que nos deram suporte as aulas presenciais e a distância. A partir da nossa coleta de dados, pudemos estabelecer um estudo de caso, definido por um dos grupos que apresentou uma discussão teórica rica, no uso de tecnologia para construção de uma simulação.

Nossa análise esteve pautada em dois modelos. Um deles nos deu suporte na análise dos conhecimentos docentes, por meio da análise microgenética [START_REF] Meira | Análise microgenética e videografia: ferramentas de pesquisa em psicologia cognitiva[END_REF]. O outro modelo nos deu suporte na análise das interações coletivas, nos possibilitando identificar a colaboração no grupo e os entraves no design e modelos de script [START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF]; [START_REF] Dillenbourg | Flexibility in macro-scripts for CSCL[END_REF].

Nossa hipótese foi de que ao promover uma formação que faça emergir estes conhecimentos (conteúdo, pedagógico e tecnológico), poderemos observar quais são os conhecimentos pré-existentes, ou seja, que estes estudantes já trazem ao chegarem ao curso de licenciatura em Matemática, a fim de futuramente, promover ao longo da formação situações que possam efetivamente contribuir na constituição de um professor que abarque a tríade de conhecimentos essenciais e já construídos de forma sólida, que esteja preparado para atuar em sala de aula. Por meio desta pesquisa, conseguimos confirmar nossas hipóteses e responder algumas das nossas questões de pesquisa.

Os nossos objetivos foram atingidos, apesar de algumas limitações ao longo da nossa proposta. A seguir, discutimos algumas das nossas questões de pesquisa a partir dos resultados encontrados.

Conhecimentos docentes que emergem a partir da formação colaborativa

Os conhecimentos que surgiram a partir da formação estiveram em torno dos conhecimentos pedagógicos e do conteúdo. Em poucas situações das que analisamos conseguimos identificar o conhecimento tecnológico, mesmo que fosse de forma individual, se interseção com outros conhecimentos. Acreditamos que isso se deve ao fato de que os licenciandos estavam em um processo de maturação da formação inicial, sendo a primeira proposta de formação com integração de tecnologias na qual eles estiveram como professores.

Surgimento dos conhecimentos a partir da colaboração online

Os conhecimentos surgiram na colaboração principalmente em momentos de discussão sobre algum aspecto do planejamento. Além disso, os momentos de discussão acerca do objeto matemático função, também gerou no debate alguns conhecimentos pedagógicos ou do conteúdo, ou mesmo a interseção dos dois. Apenas no caso do modo de execução, na elaboração de uma atividade surgiu a TPACK.

Favorecimento da colaboração por meio da formação

O modelo de formação, utilizando tecnologias digitais diversificadas, favoreceu a colaboração. Durante as etapas de planejamento e execução da aula, o design do ambiente e a proposta de atividade com os recursos disponibilizados aconteceu de forma efetiva. Não tivemos problemas de comunicação ou de linguagem matemática durante as interações, em todas as situações, as tecnologias digitais de suporte foram suficientes.

Favorecimento da TPACK por meio da colaboração

A TPACK em si surgiu em apenas um dos momentos de colaboração. No entanto, a colaboração claramente favoreceu as interseções dos conhecimentos pedagógico e do conteúdo.

Utilização dos elementos e dispositivos na proposta de formação pelos licenciandos

Nem todos os elementostextos, vídeos, material tecnológicoforam utilizados pelos licenciandos. Em alguns casos, as buscas e pesquisas do grupo analisado ultrapassaram aquilo que foi oferecido por nós como suporte para a formação. Enxergamos isso de forma positiva, pois mostra um processo de autonomia enquanto licenciando na pesquisa por outras fontes para planejamento de situações de ensino.

Os licenciandos mostraram saber, mesmo que de forma não sistematizada, as etapas de planejamento de uma situação de ensino. As discussões teóricas e de conteúdo matemático que ocorreram foram muito positivas. No entanto, percebemos que a articulação do planejamento de uma aula comum, para uma que utilize tecnologias digitais como recursos de ensino ainda precisa ser trabalhado ao logo da formação inicial. Recurso: ppt no gdrive para cada grupo.

As interações serão captadas por um recurso de captura de tela (pode ser o atube). Para isso irão precisar de:

a) Um computador para ter acesso aos slides colaborativos b) Ter uma compreensão da TOI

ETAPAS DA ATIVIDADE

• No slide colaborativo vocês terão acesso ao chat como na primeira sessão a partir das 22h, horário marcado para nos encontrar online. • Quando todos estiverem online vocês irão interagir para tomar as escolhas da aula com base nos objetivos. Sendo assim, deverão pensar nos princípios da TOI, ou seja:

A configuração didática é a organização do ambiente de ensino e aprendizagem; é a seleção dos recursos a serem disponibilizados; é a elaboração da atividade; é a escolha das técnicas de trabalho para apreensão dos objetos matemáticos por meio das tecnologias e a definição do papel dos sujeitos envolvidos neste processo.

O modo de operação é a execução da configuração didática; a forma que a atividade deverá ser desenvolvida, quando e como cada ferramenta inserida no ambiente e cada participante, seja professor ou estudante, desempenharão seu papel visando os benefícios das intenções didáticas. Esse princípio prevê e leva em conta possíveis resultados das ações instrumentadas.

Referências: tudo que for utilizado como fonte externa, textos, softwares, animações, deve estar nas referências de acordo com a ABNT.

Figura 1 :

 1 Figura 1: Esquema da interseção entre o conhecimento pedagógico e do conteúdo ........................................................................................................................ Figura 2: Interseção entre os conhecimentos pedagógico e tecnológico ........................ Figura 3: Diagrama da TPACK ...................................................................................... Figura 4: Três dimensões fundamentais da atividade colaborativa e as oito formas subsequentes de colaboração em CSCL. ............................................................

Figura 5 :

 5 Figura 5: Tela inicial do Geogebra na Web ...................... Erro! Indicador não definido.

Figura 6 :

 6 Figura 6: Interface do Modellus ....................................... Erro! Indicador não definido.

Figura 7 :

 7 Figura 7: Esquema geral do experimento de formação ..................................................Figura 8: Animação da homotetia e função .................................................................... Figura 9: Esquema das duas primeiras etapas de formação ........................................... Figura 10:Esquema do ambiente na elaboração dos objetivos ....................................... Figura 11: Esquema do ambiente nas etapas da orquestração ........................................

Figura 12 :

 12 Figura 12: Dados coletados a cada etapa do experimento de formação .........................Figura 13: Coleta de dados 1ª Etapa ............................................................................... Figura 14: Coleta de dados na 3ª etapa ........................................................................... Figura 15: Esquema das interações e classificação dos conhecimentos identificados ...

Figura 16 :

 16 Figura 16: Animação com homotetia e funções ............................................................. Figura 17: Esquema do encontro de familiarização presencial ...................................... Figura 18: Primeira etapa de construção do grupo A ................................................... Figura 19: Criação do controle deslizante k pelo licenciando E5 ................................ Figura 20:interseção da circunferência e da reta pelo E6 ............................................. Figura 21: Instante de omissão de objetos na simulação do Grupo A .......................... Figura 22: Criação da janela de visualização 2 ............................................................ Figura 23: Área do pentágono por automação..............................................................

Figura 24 :

 24 Figura 24: Comprimento do lado do pentágono por automação ..................................

Figura 25 :

 25 Figura 25: Criação do ponto com as coordenadas do comprimento do lado e a medida de área do polígono .......................................................................................... Figura 26: Traço do ponto ............................................................................................ Figura 27: Discussão da razão de ampliação entre os licenciandos ............................ Figura 28: Imagem da tela no instante 09:57 ..............................................................

Figura 29 :

 29 Figura 29: Situação do grupo A no modelo de Baker .................................................. Figura 30: Distribuição de tarefas segundas habilidades dos sujeitos .......................... Figura 31: Cronologia de eventos na definição de objetivos........................................ Figura 32: Conhecimentos identificados no formulário da 3ª etapa ............................. Figura 33: Conhecimentos identificados na análise dos eventos ................................. Figura 34: Classificação dos sujeitos no modelo de Baker .......................................... Figura 35: Objetivos e Configuração Didática ............................................................. Figura 36: Modo de operação elaborado pelos sujeitos ............................................... Figura 37: Classificação da atividade coletiva na elaboração da OI ............................ Figura 38: Aula baseada nas etapas da OI .................................................................... Figura 39: Classificação dos conhecimentos na OI ...................................................... Figura 40: Organização dos sujeitos na socialização da aula ....................................... Figura 41: Cronologia dos eventos no vídeo ................................................................ Figura 42: Síntese da análise dos conhecimentos dos objetivos .................................. Figura 43: Síntese de conhecimentos nas etapas da TOI .............................................

  a) Identificar os conhecimentos tecnológicos, pedagógicos e do conteúdo, individuais e coletivos, que emergem da formação em suas diferentes etapas. b) Investigar como ocorrem as intersecções entre os conhecimentos docentes que aparecem na TPACK ao longo das etapas da formação. c) Analisar os entraves e possibilidades do trabalho colaborativo, na formação, em modalidade semipresencial e colaborativa. d) Analisar os conhecimentos mobilizados pelos professores em formação durante o planejamento de uma orquestração instrumental para o ensino de funções com o auxílio de software a partir da colaboração online.

  e a Organization for Economic Co-operation and Development (OECD) (2009) com valores de confiabilidade para os conhecimentos tecnológicos e pedagógicos, mas não especificamente da TPACK.

  se deve ao fato da formação prévia realizada em torno do quadro teórico da TPACK e da sua relevância para o ensino. Os desafios que surgiram ao longo do planejamento das aulas, levantaram questões: qual o design? Por que desenvolver um design? Tecnologia, pedagogia ou conteúdo? Como integrar? A formação teórica da TPACK auxiliou esses licenciandos a responderem essas questões e se lançarem no desafio de integrar a tecnologia ao conhecimento específico e ao conhecimento pedagógico. Os resultados também mostraram a mudança positiva nos licenciandos após a intervenção, uma vez que, alguns deles desenvolviam habilidades tecnológicas antes e que foram transformadas ao pensar na integração de outros conhecimentos. A intervenção auxiliou na compreensão de quais tecnologias suportavam a aprendizagem construtivista, unindo tecnologia, conteúdo específico e pedagogia. Lee e Hollebrands (2008) usam os estudos de Niess (2005) e Mishra e Koehler (2006) sobre TPACK para a partir do quadro teórico desenvolver métodos para preparar professores em formação inicial. Os autores desenvolveram um programa educacional que combinou Matemática, Tecnologia e Pedagogia. Nesse programa, denominado de PTMT projet (Program to Teach Mathematics with Technology) foram desenvolvidos materiais para preparar os docentes em formação inicial, e foi sugerido que o programa possa ser utilizado no desenvolvimento do raciocínio com base no quadro teórico da TPACK. Outros autores também desenvolveram propostas didáticas para professores em formação inicial com integração tecnológica. Haciomeroglu et al. (2011) utilizaram o quadro teórico da TPACK no desenvolvimento de atividades em grupo com professores em formação inicial, utilizando o software Geogebra. A coleta dos dados foi baseada no planejamento das atividades, reflexões escritas e apresentações realizadas pelos cursistas. Segundo os autores, o uso do Geogebra no design das aulas e apresentações, ajudou os professores em formação inicial a desenvolver sua TPACK e que o software também foi um recurso bastante positivo na elaboração das aulas. Kafyulilo (2010) apresenta algumas questões levantadas pela UNESCO (2008) com relação à formação de professores e competências relacionadas a conhecimentos tecnológicos, pedagógicos e do conteúdo. Segundo o autor, a UNESCO (2008) evidencia que tais competências incluem a habilidade no gerenciamento de informações, estruturar tarefas e

  quadro teórico TPACK: T (Tecnologia), TPK (Conhecimento tecnológico e pedagógico) e TCK (Conhecimento do conteúdo e tecnológico). Os resultados mostraram que antes do curso os professores em formação inicial tinham um conhecimento muito elementar sobre tecnologias digitais. Por exemplo, eles associavam o PowerPoint como uma tecnologia digital para ensinar Matemática, representando fórmulas e diagramas. Também deixaram claro que não tinham conhecimento sobre o Geogebra, um dos

  defende ainda que, para o sujeito compreender um determinado conceito matemático, precisa transitar entre diferentes registros de representação. Ao lidar com um conceito matemático por meio de apenas uma representação, o sujeito incorpora em sua concepção, características do conceito e característica da representação ou mesmo do registro. Conceito e representação formam um amalgama que para o sujeito conseguir identificar as características que são do conceito precisa transitar entre múltiplas representações de um mesmo objeto matemático. Duval aponta ainda que há dois modos de se transformar registros: o tratamento e a conversão. O tratamento pode ser definido como uma transformação em que se permanece no mesmo registro, por exemplo, ao fatorar uma expressão algébrica, nós transformamos aquela expressão sem sair do registro algébrico. Por outro lado, a conversão é uma transformação em que se saí de um registro para outro, como por exemplo, sair da álgebra para o gráfico ou o oposto. Lucena, Araújo Filho e Tibúrcio (2016) fazem uma abordagem teórica discutindo sobre a relevância da articulação de representações no ensino de funções. Nesse texto são destacados quatro tipos de registros funcionais: a língua natural, o registro gráfico, o algébrico e o tabular.

OFigura 2 :

 2 Figura 1: Tela inicial do Geogebra na Web

  , o script é um guia das sessões colaborativas, que é previamente elaborado pelo mediador, mas que deve ser flexível para que seja adaptado às mudanças que podem surgir ao longo da sessão ou às sugestões dos grupos. Mas, o mediador da sessão deve estar atento ao que se deve considerar como flexível. A flexibilidade do script deve ser tratada com cautela, pois algumas coisas devem permanecer rígidas, enquanto outras podem ser alteradas. Por exemplo, a intencionalidade pedagógica previamente pensada pelo mediador deve ser algo rígido, por outro lado, os papeis dos membros do grupo podem ser alterados pelos próprios membros do grupo (DILLENBOURG; TCHOUNIKINE, 2007). Segundo os autores, é possível classificar os scripts em duas categorias: macro scripts os micro scripts. O macro script é um método pedagógico que visa produzir interações desejadas, estipulando como devem ser as argumentações entre os membros. Já o micro script difere do macro pelas fases em que são necessários. Por exemplo, o micro script pode ser uma atividade que dure apenas uma sessão, já o macro script é pode durar várias semanas.

  exercido pelo grupo ou por parte dele. Para tanto, Baker traçou um modelo que utiliza um eixo tridimensional que considera, as seguintes dimensões: os papeis assumidos por cada um, o nível de concordância por tema discutido e o engajamento dos sujeitos durante as interações. Este modelo toma como base três dimensões principais: a simetria, o acordo e o alinhamento. A simetria refere-se ao papel que o sujeito assume no decorrer da sessão, que segundo o autor, pode ser dividido entre receptor e propositor. O propositor é aquele que lança questionamentos para os outros participantes ao longo da conversa, por outro lado, o receptor é aquele que responde ou dá o feedback ao propositor. Se os papéis se invertem durante a discussão dizemos que houve simetria, caso contrário, classificamos como assimetria.

Figura 6 :

 6 Figura 6: Três dimensões fundamentais da atividade colaborativa e as oito formas subsequentes de colaboração em CSCL

4. 2 A

 2 TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICAA Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS)[START_REF] Duval | Sémiosis et pensée humaine[END_REF] é uma teoria cognitiva, que foi desenvolvida pelo psicólogo e filósofo francês Raymond Duval. As pesquisas discutem a TRRS e apresentam suas contribuições na Educação Matemática, uma vez que, a teoria discute elementos essenciais ao fazer matemática: os registros de representação.A atividade matemática é essencialmente cognitiva, e sendo assim, é necessário que sejam utilizados registros para representar os objetos matemáticos. Apesar de haver publicações científicas (LUCENA, MARIANO; TIBÚRCIO, 2016); (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016) apontando as TRRS como essencial ao fazer matemática, muitas vezes em sala de aula isso passa despercebido pelos professores. Ensinar matemática utilizando registros de representação é tão corriqueiro, que os professores não se atentam para o pensar matemática, ou mesmo que só é possível conceber a Matemática se pudermos representar. A partir desses apontamentos, percebemos a relevância para um aprofundamento teórico da TRRS, dessa forma, vamos discutir os aspectos que são essenciais para compreendê-la e destacar sua correlação com a Matemática.Primeiramente, devemos compreender as distinções entre objeto matemático e registros de representação. Como destacamos anteriormente, a concepção que temos de Matemática só é possível porque podemos representar os objetos matemáticos. Sendo assim, os objetos matemáticos se configuram como conceitos internalizados em nossos esquemas. Por sua vez, os registros de representação, nos permitem externalizar esses conceitos de diferentes formas.

  configuração didática é a primeira etapa da OI e compreende todo o planejamento das ações do professor em sala de aula. Na configuração didática os elementos prévios de um planejamento de aula são incorporados, como os objetivos do professor, o tempo didático, o posicionamento dos artefatos e dos sujeitos, a organização dos sujeitos, os conceitos matemáticos a serem explorados, enfim, todos os elementos prévios as ações de execução. Bellemain e Trouche (2016) e Drijvers et al., (2010) apontam o conjunto de escolhas e situações que concernem à configuração didática: a) a análise do currículo escolar; b) a escolha da situação matemática; c) a organização dos sujeitos e seus respectivos papeis diante da situação proposta; e por fim d) a escolha dos modos de apropriação dos conceitos por meio das tecnologias (COUTO, 2018). Nesse sentido, é preciso que ao definir a configuração didática da aula, o professor justifique suas ações, inclusive, deixando claro sua atuação diante da situação matemática a ser trabalhada de modo que a intencionalidade fique clara. O modo de execução é a execução da configuração didática, ou seja, é o momento em sala de aula que se pratica o que foi planejado. No entanto, o planejamento é algo que deve ser flexível e, diante disso, durante o modo de execução pode ser necessário ajustar a configuração didática, de maneira que outras configurações surjam. Sendo assim, a performance didática (DRIVJERS et al., 2010) é a etapa da OI onde se descrevem os ajustes necessários à configuração didática proposta, de modo que se possa avaliar a arquitetura da OI após o modo de execução.A caracterização da TOI é necessária para esclarecer os elementos teóricos utilizados pelos licenciandos na elaboração da aula. Com base na formação teórica eles irão propor com base em algumas etapas da TOI, uma aula com a utilização de softwares para o ensino de Matemática. No capítulo a seguir, trazemos nossa revisão da literatura apontando algumas pesquisas em torno da formação inicial docente do professor de Matemática, formação inicial com o uso da TPACK e também, com o uso da CSCL.

  formação rica em tecnologias digitais e CSCL com uso de recursos materiais tecnológicos e matemáticos: de conteúdo (geogebra; vídeos; textos em pdf, simulações com o geogebra); de compartilhamento e colaborativa, como Lematec Studium, geogebratube; e o Gdrive, e de comunicação como whatsapp[START_REF] Silva | Concepção de um suporte para elaboração de webdocumentos destinados ao ensino da Geometria: o caso das curvas cônicas. 175f. Dissertação de Mestrado[END_REF].O experimento foi dividido em 5 etapas. Nas iniciais, desenvolvemos um trabalho coletivo para proporcionar a discussão entre os sujeitos o objeto matemático Função, com foco em suas representações. Assim como na primeira etapa, pensamos que a segunda etapa de familiarização com o software que seria utilizado para construção da orquestração pelos licenciandos, o Geogebra. Após nossa delimitação dos sujeitos e do ambiente em que eles estão inseridos, passamos a pensar na escolha dos grupos para a formação nas etapas seguintes. Então, com base na nossa literatura, para constituir os grupos traçamos um perfil das habilidades desses sujeitos e a partir dessas habilidades os grupos foram formados. Buscamos constituir grupos com diferentes conhecimentos, de forma a permitir um bom mapeamento das habilidades e conhecimentos.

5. 1

 1 SUJEITOSTomamos como sujeitos da pesquisa licenciandos em Matemática, ou seja, professores em processo inicial de formação que estavam cursando uma disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática de uma universidade pública e que concordaram na utilização dos dados coletados no experimento. A disciplina foi escolhida por possuir como conteúdo o ensino e aprendizagem de funções e construtos relativos à construção de sequência de atividades, como a orquestração instrumental. Uma das características da disciplina é oferecer aos futuros professores, fundamentos, métodos e técnicas para o ensino da Matemática em diferentes campos desta ciência.

Figura 7 :

 7 Figura 7: Esquema geral do experimento de formação

  ler o texto Representação e Conhecimento Matemático (LUCENA; ARAÚJO FILHO; TIBÚRCIO, 2016), assistir o vídeo Representações e Aprendizagem da Matemática (GITIRANA, 2014). O texto e o vídeo serviram como base teórica para que os licenciandos pudessem refletir sobre seus fundamentos teóricos sobre o papel das representações na aprendizagem de funções. No texto e no vídeo, os autores fazem um primeiro estudo sobre a TRRS e exemplificam, por meio de algumas situações, as transformações semióticas de tratamento e conversão no ensino de funções. b) A partir do vídeo e da leitura do texto, os licenciandos tiveram uma semana para lançar um questionamento, no grupo do aplicativo de mensagens, e responder a pelo menos um dos questionamentos feitos pelos colegas. Com essa proposta, percebemos que as mensagens não ficaram limitadas a apenas uma das perguntas, ou seja, sempre havia mais respostas a algumas das perguntas feitas no grupo. Pensamos neste formato de discussão sobre o objeto matemático, buscando motivá-los a se envolver com discussão que abarcasse conhecimentos do conteúdo e pedagógicos (MISHRA; KOHELER, 2006). Nesta etapa, nossa proposta era que os licenciandos se apropriassem de conhecimentos relacionados ao conteúdo específicoo objeto matemático

  é um software de geometria dinâmica criado por Markus Hohenwarter em 2001 na Universidade de Salzburg. Atualmente o Geogebra é conhecido mundialmente e, por ser um software livre de geometria dinâmica, é um dos mais utilizados no ensino de Matemática. Por ser um software que articula geometria e álgebra, escolhemos trabalhar com o Geogebra pela sua dinamicidade e capacidade de explorar, representações de funções como algébricas, gráficas, tabulares, dentre outras, de maneira simples, sem necessidade de conhecimentos avançados de informática.Procuramos evidenciar, nesta fase, os conhecimentos do conteúdo e tecnológicos a partir do uso do software Geogebra na construção de uma simulação com função. Além disso, também trouxemos elementos que foram discutidos na etapa anterior, ou seja, a articulação de registros de representação. Com a familiarização do software, buscamos evidenciar os conhecimentos tecnológicos dos sujeitos e mostrar como a tecnologia transforma o conhecimento matemático.A tecnologia tem a potencialidade de nos proporcionar oportunidades na construção de elementos geométricos, algébricos e gráficos, que se fossem em lápis e papel poderíamos não perceber as relações entre os objetos ou realizar essas relações de forma mais lenta.Na TPACK,Mishra e Koehler (2006) apontam que o conhecimento tecnológico é o que incide sobre o domínio de tecnologias digitais e não digitais. Em nosso caso, buscamos nesta etapa desenvolver uma familiarização com os licenciandos a partir do uso de um dos softwares que seriam utilizados na etapa de elaboração. Atualmente sabemos que muitas pessoas têm acesso às tecnologias digitais para uso pessoal ou no trabalho. No entanto, o uso do artefato tecnológico para o ensino, ou seja, a formação docente com tecnologias digitais, ainda, se faz necessária, uma vez que os softwares educacionais exigem formas de utilização diferentes das que utilizamos no cotidiano para fins pessoais. Após pensarmos em como poderíamos explorar o conhecimento tecnológico nesta etapa, prosseguimos com a descrição desta fase da pesquisa.A etapa se deu em um horário de aula da disciplina. Inicialmente, solicitou-se aos licenciandos que possuíssem smartphone que fizessem o download do Geogebra no seu aparelho e usarão alguns tablets como o software já instalado e com dispositivo de captura de tela. Dessa maneira, na oficina de familiarização, diversos tipos de dispositivos (tablets, smartphones e computador) com a mesma finalidade. Além do que os licenciandos também utilizaram microfone e software de captura de tela. A aula relativa à oficina foi filmada.Nosso objetivo com a oficina, além da familiarização com o Geogebra, era que os licenciandos pudessem perceber o potencial do software para ensinar funções. Sendo assim, utilizamos a construção de uma simulação que permitisse essa percepção por parte deles.Imaginamos então em não nos ater apenas na demonstração de ferramentas e construções simples. Na construção da simulação, eles poderiam intuitivamente observar esses aspectos. A construção foi pouco a pouco feita pelo formador no quadro e acompanhada pelos estudantes em seus dispositivos, com auxílio e mediação do formador, para a dúvidas. O formador atuou nesta fase do experimento como um tutor para auxiliar os licenciandos na familiarização com o software.Além do conhecimento tecnológico, outro elemento do quadro teórico da TPACK que pretendíamos que fosse explorado nesta etapa foi o conhecimento do conteúdo. Este conhecimento, diferente da primeira etapa, foi valorizado devido à simulação tratar da relação entre o comprimento de um dos lados de um polígono e sua área, em situação de homotetia do polígono. Criamos então uma simulação da homotetia de um polígono sem utilizar a ferramenta do próprio software. Dessa maneira, durante a construção licenciandos poderiam experimentar várias ferramentas do software e perceber como cada uma trabalha. Em um contexto que salienta as potencialidades da geometria dinâmica e da multirrepresentacionalidade, a simulação foi passo a passo construída com os licenciandos. Além de cumprir esse objetivo de evidenciar ferramentas do software e algo relacionado a funções, trabalhamos com duas telas, mostrando o traço do gráfico da área do polígono semelhante, em função do comprimento de um dos seus lados.

Figura 8 :

 8 Figura 8: Animação da homotetia e função

Figura 9 :

 9 Figura 9: Esquema das duas primeiras etapas de formação

  dados. Essas etapas compreendem: a) Assistir por completo e sem interrupções os vídeos, realizando anotações preliminares sobre os eventos associados ao problema de pesquisa. b) Produzir um índice de eventos, que pode ser elaborado paralelamente à atividade do item (a). c) Por meio do índice, identificar os eventos relacionados ao problema de pesquisa. d) Transcrever literalmente os eventos selecionados, com o maior número de detalhes possível. e) Assistir persistente e repetidamente estes episódios, apoiado pela análise exaustiva das transcrições. f) Apresentar interpretações ilustradas por exemplos prototípicos colhidos diretamente dos vídeos e transcrições, ao divulgar os resultados. 6.2 MÉTODO DE ANÁLISE DA 1ª ETAPA DE FORMAÇÃO Na primeira etapa da proposta de formação inicial docente a partir do uso de tecnologias digitais, propusemos uma discussão teórica com os licenciandos sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Nesse sentido, a análise desta etapa visa caracterizar os conhecimentos que emergem da discussão, como também, os aspectos correlacionados com a TRRS apontados pelos licenciandos.

  Figura 16: Animação com homotetia e funções

Figura 18 :

 18 Figura 18: Primeira etapa de construção do grupo A

Figura 22 :

 22 Figura 22: Criação da janela de visualização 2

  Para classificar as falas, utilizamos o software de análise qualitativa MaxQda (VERBI GmbH, 2017) e ao final, estruturamos um gráfico para sintetizar a classificação que fizemos, com base nas informações da nossa fonte transcrita inserida no software. A seguir, podemos observar o gráfico que distribui as falas dos sujeitos, de acordo com seu papel na sessão: Gráfico 3: Papel dos sujeitos do Grupo A na interação Fonte: Elaborado pelo autor

  , consideramos as falas dos sujeitos receptores, pois analisamos o posicionamento do receptor quanto à concordância ou discordância da fala do propositor. Foram analisadas 9 falas de receptores que identificamos na dimensão simetria, dessas falas, criamos as categorias concorda e discorda, estruturando um gráfico para sintetizar as informações: Gráfico 4: Posicionamento dos sujeitos do Grupo A Fonte: Elaborado pelo autor 123

  Nas linhas L22 e L23 os licenciandos deixam implícito o conhecimento matemático que está por trás do domínio da função. Eles não apontam que o domínio e a imagem é o conjunto dos números reais positivos, pelo fato das grandezas envolverem o comprimento do lado do polígono e a medida de área. Além disso, percebemos que o E5, neste instante, não se pronuncia na discussão, o que não nos possibilita classificar seu posicionamento diante do estágio de solução do problema. A atividade colaborativa à distância possui algumas inanidades no que diz respeito ao papel dos sujeitos. Isto porque, em alguns casos como o E5 no trecho anterior, não é possível visualizar as ações do sujeito enquanto ele não se pronuncia nas discussões do grupo. Com isso, tendemos a descrever o sujeito como concordante da situação que está sendo discutida ou mesmo impossibilitando uma classificação sua na atuação do grupo ao resolver um problema ou situação específica. Ao decidir que a função quadrática seria o modelo adequado ao rastro do ponto deixado na tela, os licenciandos partiram para discussão do tratamento algébrico, utilizando as medidas apresentadas pelo software para aproximar um registro algébrico da função, como podemos observar no seguinte trecho:

  modificando a nomenclatura para que ficasse mais explícito para os licenciandos o que estávamos querendo identificar: habilidades matemáticas (Conhecimento do Conteúdo), habilidades didáticas (Conhecimento Pedagógico) e habilidades tecnológicas (Conhecimento tecnológico). Na seção metodológica trouxemos o método de coleta desses dados e pudemos obter o seguinte gráfico: Gráfico 5: Habilidades dos sujeitos a partir do formulário Fonte: Elaborado pelo autorNo gráfico anterior, as habilidades foram escolhidas pelos licenciandos enumeradas de 1 a 4, sendo 1 menos habilidoso e 4 mais habilidoso. Nesta escala, percebemos que os sujeitos se colocam mais em nível intermediário com relação às habilidades que deveriam ser escolhidas, pois os níveis 2 e 3 aparecem como os mais escolhidos em ambos os perfis (matemático, tecnológico e didático).

  Quadro 20: Distribuição dos sujeitos com base nos conhecimentos

Dillenbourg ( 2002 )

 2002 aponta que um dos riscos que este modelo de script pode trazer ao planejamento das sessões é o não cumprimento por parte dos sujeitos das ações propostas. No nosso caso, tivemos alguns entraves: a) Não cumprimento das orientações para a escolha dos grupos do G2 e G5; b) Dificuldades no agendamento das seções colaborativas.Inicialmente propusemos aos sujeitos algumas datas e horários para que a sessões ocorressem, no entanto, os horários propostos foram inviáveis para a participação de todos os membros do grupo. Nos dispusemos a propor datas e horários para que o experimento não se prolongasse e pudéssemos gerenciar melhor o tempo para coleta dos dados, mas com esse entrave de horários, nós deixamos a cargo dos sujeitos a escolha dos horários e datas.

Figura 30 :

 30 Figura 30: Distribuição de tarefas segundas habilidades dos sujeitos

  Neste trecho, o E7 compartilha as informações com o grupo acerca de suas buscas nos documentos oficiais que regem o ensino, mais especificamente os Parâmetros Curriculares do estado de Pernambuco. A partir disso, os outros licenciandos E6 e E8 se engajam na conversa, retomando a discussão anterior acerca das representações no ensino e aprendizagem de Funções. Por um lado, o E6 questiona se o ensino de Funções está pautado na algebrização e como consequência, o E7 aponta que os estudantes fazem confusão entre funções e equações por causa do registro algébrico da variável, representada quase sempre pela letra "x" (xis) do alfabeto.

Gráfico 6 :

 6 Papel dos sujeitos Fonte: Elaborado pelo autor A partir desse do gráfico acima podemos observar que o papel do sujeitos está sendo alternado, pois o percentual de linhas de conversa classificadas evidenciam uma diferença de apenas 8% entre os papeis de propositor e receptor. Nesse sentido, com relação a simetria dos trechos 20, 21 e 22 os sujeitos estão em simetria, já que não há uma centralização de proposições ou recepções de questionamentos. A terceira coluna do gráfico evidencia os trechos não categorizáveis, ou seja, linhas que não apresentam perguntas ou afirmações propositoras ou receptoras.

Figura 31 :

 31 Figura 31: Cronologia de eventos na definição de objetivos

Figura 32 :

 32 Figura 32: Conhecimentos identificados no formulário da 3ª etapa

  Figura 35: Objetivos e Configuração Didática

Trecho 27 -

 27 Figura 36: Modo de operação elaborado pelos sujeitos

Gráfico 8 :

 8 Simetria na elaboração da OI Fonte: Elaborado pelo autor Observando o gráfico acima, percebemos que o percentual de falas de propositores e receptores são bastante próximos. Observe que temos uma diferença de aproximadamente 15%, o que nos permite caracterizar o grupo como simétrico nesta segunda fase desta etapa do experimento. O gráfico de posicionamento quanto a concordância dos sujeitos, segue abaixo: Gráfico 9: Acordo na elaboração da OI Fonte: Elaborado pelo autor

Figura 37 :

 37 Figura 37: Classificação da atividade coletiva na elaboração da OI

6. 9

 9 Figura 40: Organização dos sujeitos na socialização da aula

Figura 41 :

 41 Figura 41: Cronologia dos eventos no vídeo

  Os itens da L9 que destacamos, foram escritos tal qual o sujeito apresenta no quadro, com isso o E8 não apresenta o sinal de igualdade, que nas funções estabelece a relação entre a variável dependente e independente. Leinhardt, Zaslavsky e Stein (1990) destacam que os estudantes não compreendem o sinal de igualdade, o símbolo que estabelece a relação de dependência na representação algébrica das Funções. Nesse sentido, da forma como estão apresentados os registros ax+b e 2x+1, caracterizam-se como binômios e não como Funções.

  No trecho 30 destacamos dois aspectos na fala do E8. O primeiro, com relação à reta como gráfico da função afim. Na fala do sujeito, ele diz que a reta é representada pelo gráfico, quando na verdade o gráfico da função que é representado por uma reta. O segundo, com relação ao gráfico da função ser sempre uma reta. É possível perceber que não há uma justificativa, que caracterize o gráfico da função afim como sendo sempre uma reta.O trecho 30, como um todo, apresenta o conhecimento matemático do sujeito E8 quando se define o plano cartesiano, no entanto, como vem acontecendo nos trechos anteriores, o conhecimento pedagógico e do conteúdo, que seria denotado por uma abordagem dos conceitos em uma sequência lógica não acontece. Assim como identificamos na 4ª etapa de formação, o E8 apresenta um conhecimento que difere do que foi assumido por ele na 3ª etapa do experimento, que foi o conhecimento tecnológico.6.9.1.4 Função Linear e Função AfimO quarto evento identificado no vídeo diz respeito aos casos particulares da função afim. O E8 apresenta certa dúvida no que distingue a função afim e a função linear: Trecho 31 -Casos particulares da Função Afim L12 E8: Falaria das retas crescentes, retas decrescentes, (escreve no quadro quando a é negativo… a>0 é crescente, quando a<0 é decrescente, quando a=0 é a função constante, não tem coeficiente angular), o b é… não temos mistério é o lugar em que a reta corta o eixo y. Aí a função linear é ax… É ax ou ax+b, é pra mim é a mesma coisa, ax+b é a função linear ou afim, onde b=0, daria o gráfico onde a reta passa pelo (0,0), é a função linear é só a função afim com o b sendo zero.

O

  trecho 32 mostra o primeiro momento de intervenção da professora formadora, na apresentação do grupo. Na L14 o E8 apresenta dúvidas com relação à abordagem das inequações e sua relação com as funções. Associamos esta indagação a um entrave relacionado ao conhecimento pedagógico, pois a abordagem dos conceitos e sua relação com outros, está presente no currículo escolar. Neste caso, o E8 mostra que não tem esse conhecimento, pois na fase da formação inicial em que se encontra ainda não foi discutido o currículo da matemática escolar, geralmente apresentado nos Estágios Supervisionados. Em seguida, o E7 intervém após o questionamento do E8, dizendo que as inequações são utilizadas para determinar o crescimento e decrescimento das funções. Nesta fala, complementada pela que aparece na L17, percebemos que o E7 associa as inequações ao estudo do sinal das funções, onde utilizamos desigualdades para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. No entanto, a PF esclarece que as inequações são utilizadas na comparação de números, e não estão diretamente relacionadas ao crescimento e decrescimento das funções.

  As linhas que trouxemos acima destacam alguns dos objetivos de aula traçados pelos sujeitos, o objetivo geral e alguns específicos. Não elencamos todos os objetivos, pois eles já foram apresentados na etapa anterior, apenas os que são justificados ou discutidos pelo licenciando.Na linha 30, o licenciando destaca o objetivo geral da aula, justificando que eles pretendem com a aula esclarecer para o estudante que as funções estabelecem uma relação entre grandezas. No entanto, o objetivo apresentado não está associado ao objeto matemático principal, que seria a função afim. Em seguida, na linha 34 o E5 aponta um dos exemplos que eles pensam como relação entre grandezas funcionais, já na linha 36 o sujeito traz para discussão, a TRRS como uma base teórica que justifique a exploração de situações envolvendo funções em diferentes registros.

  Diferente da proposta da primeira atividade, a segunda coloca o software como um artefato de ilustração e verificação das respostas encontradas pela dupla que realiza o cálculo manual. O problema apresentado pelos licenciandos é coerente diante do conteúdo de função afim, mas os itens (a) e (b) não mostram como o Geogebra poderia trazer um diferencial para a aprendizagem dos alunos, pois ao encontrar a lei de formação da função que modela o problema, a automação do software gera o gráfico e o item (b) poderia ver verificado facilmente.

7. 2

 2 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS DA 2ª ETAPA DE FORMAÇÃO Nesta seção discutimos os resultados encontrados nas análises da 2ª etapa de formação.

  a) Gerenciamento da sala de aula: durante a realização da aula, tivemos dificuldades de gerenciar os licenciandos na construção da simulação. Como tínhamos vários sujeitos, aproximadamente 20 presentes, não conseguimos dar assistência a todos com relação as dúvidas relacionadas ao software. Com isso, perdemos muito tempo de aula, onde tivemos que parar em alguns instantes para auxiliar os sujeitos na manipulação dos dispositivos. b) Dispositivos utilizados para construção da simulação: outro aspecto que não previmos no planejamento da aula, foi as diferentes formas de construção em diferentes dispositivos tecnológicos. Durante a execução da aula, percebemos que os diferentes dispositivos que oferecemos aos sujeitos, aliados aos que eles já possuíam, como os dispositivos móveis, tinham diferentes formas de construção da mesma simulação. Nos dispositivos móveis, a dificuldade em manipular o controle deslizante foi um fator determinante para o fracasso da construção, pois o touchscreen era sensível as manipulações necessárias. Em outros dispositivos, o problema encontrado estava na versão baixada pelo sujeito, que era diferente da versão que planejamos utilizar. c) Captação dos dados para análise: na época em que realizamos o experimento, a gravação de tela em dispositivos móveis como celulares e tablets, não era tão comum. Com isso, não pudemos realizar a gravação de tela de alguns dispositivos, inviabilizando a coleta de dados nesta etapa.Além das dificuldades técnicas e de planejamento, também ocorreram outros fatores que contribuíram para readaptação desta etapa do experimento. Um desses fatores foi a organização dos sujeitos em grupos para construção da simulação. Em nosso planejamento, os sujeitos deveriam trabalhar individualmente, mas dividiram-se em grupos na hora da aula. Acreditamos que essa divisão em grupos, se deve ao fato das habilidades de cada um na manipulação do software ou o conhecimento matemático que cada um possui. Sendo assim, esse fator nos leva a corroborar com[START_REF] Stahl | The constitution of group cognition[END_REF], que afirma que a constituição de grupos com habilidades distintas, promove interações colaborativas mais efetivas.

  Figura 42: Síntese da análise dos conhecimentos dos objetivos

  Em outro momento da sessão, o entrave do script ocorre quando os sujeitos realizam atividades individuais que deveriam acontecer de forma coletiva. Ao definirem os objetivos, o E8 e os licenciandos E6 e E7 o fazem sem uma justificativa da decisão coletiva do grupo para as tomadas de decisões. Segundo[START_REF] Dillenbourg | Flexibility in macro-scripts for CSCL[END_REF], o script deve ser flexível e com isso modificável ao longo da sessão, quando não dá conta das ações previstas. No entanto, pelo fato do tempo definido para cada grupo, não pudemos remodelar a proposta em consenso com os licenciandos.O entrave técnico ocorre com o licenciando E5, quando ele não consegue acessar o ambiente e interagir com o grupo. Com isso, outro entrave surge, o de identificação do sujeito, quando o licenciando E5 entra logado por meio de uma conta que não é a sua, então o Google Drive, insere um codinome anônimo para identificar a pessoa que está utilizando o acesso.

  feita na aula, utilizando o software. Porém, não fica claro na discussão como o software seria utilizado, eles apontam a proposta de atividade para variação de coeficientes por meio do controle deslizante sem justificativa. Na análise da colaboração, o modelo de Baker aponta que o grupo está na zona de colaboração. Com isso, seguimos com nossa hipótese que as interseções entre os conhecimentos surgem quando há colaboração entre o grupo e que por meio dela, surgem conhecimentos individuais. Na figura a seguir, apontamos no esquema de Mishra e Koehler (2006), os conhecimentos identificados:

Figura 43 :

 43 Figura 43: Síntese de conhecimentos nas etapas da TOI

8. 2 ✓

 2 LIMITAÇÕES DA PESQUISAA pesquisa teve algumas limitações no tocante à concepção dos scripts como guia para o modelo de formação. Durante as etapas de planejamento percebemos claramente uma limitação de instrução com relação às atividades a serem desenvolvidas. Além disso, as ações dos sujeitos enquanto grupo para colaboração precisam ser mais bem explicitadas. Percebemos que as escolhas do grupo não foram justificadas, o que pode ter ocorrido devido à falta de orientação por parte do script.8.3 PERSPECTIVAS DE PESQUISAS FUTURASO modelo de formação que foi proposto aqui nos dá suporte para análises dos outros grupos que participaram do experimento. No entanto, a perspectiva de análise poderia ser voltada para a Orquestração Instrumental colaborativa de uma formação inicial, buscando elucidar os conhecimentos da TPACK.É preciso que haja mais análises em torno do modelo proposto, em outras situações e análises de mais grupos de licenciandos. Além disso, podemos aperfeiçoar o modelo a partir de novas experimentações, buscando destacar outras variáveis como o tempo didático, que influenciou as etapas de formação apesar de alguns entraves ocorrerem por problemas de outras ordens. Explorar as ferramentas do software geogebra para o ensino de funções; 1º Momento: Neste primeiro momento iremos construir, de forma individual, uma simulação de homotetia de um quadrilátero qualquer e, a partir dela, uma articulação com o gráfico da sua área em função de um dos seus lados. Cada um deverá acompanhar o professor durante a construção, executando os passos para elaborar a simulação. 2º Momento: Após a construção da simulação de forma individual passaremos a trabalhar coletivamente. Para isso, deverão ser formados grupos com no máximo 3 integrantes por aparelho. Cada grupo deverá solucionar o seguinte desafio com o auxílio do geogebra: Desafio: com base na simulação entregue no dispositivo pelo professor encontrar a fórmula da função traçada pelo rastro do ponto e construir seu gráfico. As ações do grupo deverão ser captadas pelo software de captura de tela instalado no dispositivo. 3º Momento: Após a discussão coletiva sobre a fórmula e o gráfico da função na simulação voltaremos a trabalhar individualmente. Nesta etapa da oficina, cada um deve responder ao formulário lançado na plataforma da disciplina, para responder aos questionamentos: a) O que você conseguiu aprender na oficina? b) Qual é o diferencial do geogebra para ensinar funções? c) Como este recurso poderia ser utilizado em sala de aula? Neste mesmo formulário vocês encontrarão algumas perguntas sobre suas habilidades com relação a alguns conhecimentos. Cada grupo deverá pesquisar material para um embasamento teórico da sua aula. Sendo assim, cada participante deverá pesquisar sobre um aspecto e a partir daí traçar o que será necessário para a sua aula. Quantidade de sessões: duas sessões (manhã e tarde) -1h30min cada Metodologia: cada participante será responsável por um material a pesquisar. BNCC) sobre o ensino de funções A partir disso, o grupo deverá discutir estratégias para construir sua aula com o geogebra levando em consideração as dificuldades apresentadas e as propostas curriculares encontradas.

✓

  22/10/2016 -Elaboração da aula com o geogebra -Etapa II Nesta aula os licenciandos deverão continuar as discussões iniciadas na aula anterior sobre a elaboração da aula. Será disponibilizado um ppt no gdrive 05/11/2016 -Conclusão da aula Os licenciandos irão concluir a elaboração da sua aula finalizando cada um seu ppt. 10/11/2016 -11/11/2016 -17/11/2016 -22/11/2016 -Apresentações dos grupos Cada grupo irá apresentar em forma de exposição oral a sua aula. Captaremos as apresentações e coletaremos dados de vídeo e áudio, por meio de recursos de filmagem e gravação.Observação: Todo material disponibilizado para os licenciandos serão inseridos na página da disciplina, exceto os que forem recursos do gdrive, como por exemplo os docs e ppt lançados.Com base nos objetivos elaborados na etapa anterior vocês irão construir a aula nos princípios da TOI (Teoria da Orquestração Instrumental). O tempo para elaboração da aula é de 1h a contar do tempo sugerido pelo grupo.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Área de conhecimento: Matemática Unidade temática Objeto de Conhecimento Habilidades

  Atualmente, o Ensino Fundamental no Brasil possui como documento norteador a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), homologada no ano de 2018 e que já está em vigor. Com relação ao ensino de Funções especificamente, o documento traça algumas habilidades a serem cumpridas pelos estudantes nesta fase. As funções são objetos de conhecimento da unidade temática Álgebra e com relação as funções, a BNCC define que: Quadro 1: Habilidades requeridas no Ensino Fundamental para Funções

	Álgebra	Funções:	Compreender as funções como relações de
		representação	dependência unívoca entre duas variáveis e suas
		numérica, algébrica e	representações numérica, gráfica e algébrica e utilizar
		gráfica	este conceito para analisar situações que envolvam
			relações funcionais entre duas variáveis.

Fonte:

Brasil (2018, p. 315) 

Com relação ao Ensino Médio, o documento norteador em vigor são as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM)

[START_REF] Brasil | Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias[END_REF]

. As OCEM deixam claro as orientações para o ensino de funções destacando para o professor os conceitos e metodologias a serem adotadas para se ensinar funções. No documento, para cada tipo de função é explicitada alguma atividade a ser aplicada e o que é relevante que o aluno aprenda sobre aquele tipo de função específico.

  BRASIL, 2014) é possível destacar que as obras têm se preocupado em como as funções são abordadas nos livros. As resenhas mostram que na maioria das coleções aprovadas há conexão das funções com outras áreas do conhecimento, como também na matemática, como é o caso

	das funções linear e quadrática e a progressão aritmética e a função logarítmica e a progressão
	geométrica.
	Na versão mais atualizada, ou seja, o PNLD 2018 (BRASIL, 2017), a obra de Paiva
	(2018) apresenta as funções de maneira contextualizada, com o uso de diferentes representações
	e softwares que favorecem a percepção da regularidade de funções. Além disso, um aspecto
	relevante é acerca da relação estabelecida entre as funções e as sequências, com demonstrações
	de propriedades e fórmulas. As funções são concentradas no 1º ano do Ensino Médio como

Desde 1985, foi criado no Brasil o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que consiste na distribuição de livros gratuitamente para as escolas públicas do país. A partir do ano de 1996, o programa passou também a coordenar e avaliar o conteúdo das obras a serem distribuídas. O PNLD, por meio da análise das coleções, evidencia os aspectos mais relevantes dos conteúdos matemáticos para a aprendizagem e que são destacados na comunidade acadêmica. Na análise das obras da penúltima edição do programa para o Ensino Médio -PNLD 2015 (estabelece a BNCC, exceto as funções trigonométricas que são enfatizadas no 2º ano a partir do estudo da trigonometria no triângulo e arco trigonométrico.

Com base no Guia do PNLD 2018 (BRASIL, 2017), pudemos observar que, além da obra citada anteriormente, mais sete coleções foram aprovadas na última edição do programa para o Ensino Médio. Dessas coleções, as resenhas das obras disponíveis no guia nos permitem perceber que, em sua maioria, a exploração do conceito de função está se afastando da supervalorização algébrica, permeando por outras representações e fazendo conexões com situações que são modeladas por funções. Além disso, nas obras também se percebe que há indicações pertinentes sobre o uso de alguns softwares para o ensino de funções, que permitem explorar representações e regularidades. Também se destaca nessas obras a ligação estabelecida por alguns autores entre as funções e outros objetos matemáticos, a saber, as sequências que caracterizam as funções e possibilitam uma melhor compreensão sobre os objetos modelados por elas.

.1 O Conhecimento do Conteúdo -Content Knowledge (CK)

  Podemos perceber que a dinamização oferecida pelo Geogebra é diferente do Modellus, uma vez que os softwares foram criados com diferentes propósitos. Por ser um software de geometria dinâmica, o Geogebra permite que se façam alterações no próprio gráfico, e com isso, que se transformem os outros registros. O Modellus, por sua vez, evidencia por meio das

	3. CONHECIMENTOS NA FORMAÇÃO INICIAL DOCENTE básicos da disciplina são organizados para incorporar seus fatos. A estrutura sintática é o
	conjunto de maneiras em que as verdades ou falsidades, validades ou invalidades do
	Este capítulo apresenta nosso referencial teórico principal, que discute sobre os conhecimento são estabelecidas (SHULMAN, 1986).
	conhecimentos docentes na ótica da TPACK. Apresentamos os conhecimentos com base no A partir dos conceitos apresentados por Shulman, podemos perceber que o papel do
	simulações as situações modeladas pelas funções definidas no modelo matemático, e com isso, modelo teórico de Mishra e Koehler (2006), começando pelos conhecimentos pedagógicos e docente na compreensão dos conhecimentos não é apenas do domínio específico. O autor
	que o usuário possa relacionar elementos matemáticos -gráficos e tabelas -com fenômenos do conteúdo, e por fim, inserindo o conhecimento tecnológico como terceiro conhecimento defende ainda que o professor não se atenha apenas a compreender "o que" ou "qual", mas
	que podem ser reais. essencial à formação do professor. também o "porque", garantindo que ao se transpor o conhecimento do conteúdo para o
	Destacamos, nesta seção, a relevância das funções em nossa pesquisa, bem como pedagógico, não enfrente algumas barreiras próprias do conhecimento do conteúdo e se possa
	algumas questões didáticas e teóricas que envolvem o objeto matemático função. Na seção 3.1 CONHECIMENTOS DOCENTES compreender a razão de ser do conhecimento a ser ensinado e aprendido. Podemos dizer que o
	seguinte abordaremos sobre a Teoria da Orquestração Instrumental e seu papel no experimento autor basicamente defende que o professor conheça a epistemologia do conteúdo, pois a
	de formação. Quando falamos em Aprendizagem Colaborativa com Suporte Computacional (CSCL), compreensão estrutural e de validação ou invalidação do conhecimento só pode ser
	No próximo capítulo, fizemos a discussão teórica da pesquisa trazendo uma imaginamos que os sujeitos (futuros professores de matemática em formação inicial) compreendida de fato, se o sujeito entender a raiz epistemológica dos fatos.
	fundamentação sobre os conhecimentos na formação inicial do professor. envolvidos em um determinado grupo irão produzir algum tipo de conhecimento. Estamos
	diante do campo de formação docente. Nesse sentido, buscamos entender em que consiste a 3.1
	aprendizagem do futuro professor em formação inicial (licenciandos). Eles(as) deverão articular
	por meio da interação algum tipo de conhecimento. Mas, o que é conhecimento? Quais os tipos
	de conhecimento que iremos considerar? Para responder a esses questionamentos, realizamos
	uma discussão baseada em Shulman (1986), Mishra e Koehler (2006) e Powell (2014) sobre os
	Conhecimentos Tecnológico, Pedagógico e do Conteúdo (CTPC).
	3.1Shulman (1986) já discutia sobre a importância de conhecimentos do conteúdo e do
	pedagógico para a ação e formação docente. Estes dois tipos de conhecimento, apresentados
	pelo autor, durante muito tempo foram vistos de maneira distinta, sem conexão um com o outro
	dentro da formação docente. O conhecimento do conteúdo pode ser descrito como o
	componente específico da formação, sobre o qual deva ser aprendido e ensinado em sua prática
	docente. Segundo o autor, esse é um tipo de conhecimento que o professor precisa dominar
	claramente, uma vez que, se precisa ser ensinado, precisa-se compreender a natureza
	epistemológica no conteúdo.
	Shulman ainda discute que pensar adequadamente sobre o conhecimento do conteúdo
	vai além do domínio do próprio conhecimento, conceitos ou fatos. Segundo ele, isso requer
	uma compreensão maior, que envolve a estrutura do conteúdo da maneira como define Schwab
	(1978). Schwab defende que essa estrutura é dividida entre substantivas e sintáticas. A estrutura
	substantiva é caracterizada pela variedade de maneiras pelas quais os conceitos e princípios

). A simulação construída é plotada na tela em branco do software e o usuário pode pausar a simulação dentro do intervalo estabelecido para a variável independente no modelo. Apesar de as representações serem diversificadas no software, elas ocorrem em apenas um sentido, isto é, todos os registros dependem do registro algébrico para serem modificados. Diferente do que ocorre no Geogebra, o Modellus não permite que se altere gráfico ou tabela manualmente. O Modellus também não define a escala de gráficos ou da simulação construída automaticamente, sendo necessário que o usuário ajuste a escala de acordo com a necessidade do modelo ou defina uma escala automática disponível no próprio software.

.2 Conhecimento Pedagógico -Pedagogical Knowledge (PK)

  

	Com base na preocupação de Shulman em conectar conhecimentos pedagógicos e do
	conteúdo, Mishra e Koehler (2006) introduzem a tecnologia dentro dessa díade. Segundo os
	autores, a tecnologia, na época das pesquisas de Shulman, ainda não era avançada como
	conhecemos hoje, mas já se fazia presente de outras maneiras não-digitais como: tabelas
	periódicas, quadro, giz, projetores, máquinas de escrever, etc. Atualmente, as tecnologias
	digitais se fazem presentes no cotidiano das pessoas, inclusive, nas salas de aula, onde possuem
	o poder de potencializar o ensino. Entretanto, a incorporação da tecnologia à prática docente
	anda lentamente, principalmente nos cursos de formação. A seguir, faremos uma discussão
	sobre o conhecimento tecnológico, que faz parte do quadro teórico que estamos abordando e
	que fecha a tríade de conhecimentos em conjunto com o do conteúdo e o pedagógico.
	3.1
	O segundo tipo de conhecimento do quadro teórico proposto por Mishra e Koehler
	(2006), é o conhecimento pedagógico. Este tipo de conhecimento também parte de Shulman
	(1986) e, segundo o autor, diz respeito às questões didáticas da prática docente, da relação entre
	professor e aluno e de conhecimento social do aluno, métodos de ensino e aprendizagem que
	também são essenciais na formação do professor.
	Há algumas décadas no Brasil, o Movimento da Matemática Moderna defendia que a
	ênfase no conhecimento do conteúdo era necessária e suficiente para suprir todas as deficiências
	que se tinha em termos de Matemática. Com o surgimento da Educação Matemática, outras
	questões foram surgindo, questões ligadas aos conhecimentos de conteúdo e pedagógicos que,
	além de métodos e práticas de ensino, envolviam outros propósitos educacionais, tais como
	avaliação, cognição e teorias de aprendizagem.
	Shulman (1987) afirma que os conhecimentos pedagógicos e do conteúdo eram tratados
	como sendo mutuamente excludentes, já que alguns programas de formação docente
	enfatizavam apenas um desses conhecimentos, ou apenas pedagógico ou apenas de conteúdo.
	O autor, com base nisso, propôs se pensar na junção desses conhecimentos, formando uma
	intersecção entre conhecimento pedagógico e do conteúdo. Mishra e Koehler (2006)
	apresentam esse quadro teórico baseado em Shulman (1986; 1987) afirmando que para haver
	uma boa formação docente é necessário que se transforme o conteúdo, em conteúdo para o
	ensino.

.3 Conhecimento Tecnológico -Technological Knowledge (TK)

  

	3.1
	Apesar do distanciamento entre professores e tecnologias digitais, é pertinente afirmar
	que, aos poucos, este fator vem se transformando. Nesse sentido, Mishra e Koehler (2006)
	propõem mais um tipo de conhecimento docente a ser incorporado na prática do professor: o
	conhecimento tecnológico. Os autores definem este tipo de conhecimento como o
	conhecimento que incide sobre as tecnologias padrão como: giz, quadro, livros e tecnologias
	mais avançadas como as tecnologias digitais. O domínio desse conhecimento requer do
	professor habilidade para operar com hardware e software, e-mail, planilhas, arquivos,
	documentos e etc.
	As tecnologias digitais são hoje utilizadas para diferentes atividades, inclusive, para a
	Educação. Embora haja uma propagação dessas tecnologias na vida das pessoas, a inclusão
	delas no meio educacional vem ocorrendo de forma tímida. Sabemos que essas ferramentas
	digitais possuem um potencial grande para mudar a sala de aula e isso é muito necessário, uma
	vez que, muitas escolas ainda hoje estão no padrão das escolas de vinte, até trinta anos atrás,
	com poucas mudanças.
	A inclusão da tecnologia em sala de aula não é algo de agora, ou seja, não parte apenas
	da propagação da internet e o do acesso aos recursos digitais. Os documentos oficiais, como os
	PCN (BRASIL, 1998) e as OCEM (BRASIL, 2006), já estimulavam os professores à inclusão
	de recursos digitais. Sendo assim, é bastante pertinente que se espere e que se formem
	professores com habilidades tecnológicas, que aliados aos conhecimentos do conteúdo e
	pedagógicos, sejam capazes de transformar o quadro atual da Educação.

.4 Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo -Pedagogical and Content Knowledge (PCK)

  

	três tipos de conhecimento mencionados, denominaremos de conhecimento didático, a relação
	existente entre o conhecimento pedagógico e do conteúdo. Esta relação ocorre quando o saber
	é realmente ensinado, ou seja, quando os conhecimentos estão imbricados e permitem ao
	O conhecimento Pedagógico e do Conteúdo é a denominação dada à interseção entre o estudante uma compreensão do saber a partir das estratégias didáticas utilizadas pelo professor.
	conhecimento Pedagógico e do Conteúdo. Segundo Mishra e Koehler (2006) historicamente as Segue na figura um diagrama da interseção dos conhecimentos pedagógico e do conteúdo:
	bases de conhecimento da formação de professores partem do conhecimento do conteúdo
	(SHULMAN, 1986). No entanto, a formação dos professores vem também se voltando para Figura 3: Esquema da interseção entre o conhecimento pedagógico e do conteúdo
	questões mais pedagógicas, onde as práticas pedagógicas em sala de aula tomam forma a partir
	da conexão dos conteúdos.
	Shulman (1986) aponta que tratar isoladamente os conhecimentos pedagógicos e do
	conteúdo não é suficiente para que o professor apresente uma "boa formação", uma vez que, os
	conceitos que envolvem esses dois tipos de conhecimento são dissociados. A partir disso,
	percebemos que para que haja uma boa formação em termos de conhecimento por parte dos
	professores é necessária uma dialética entre os conhecimentos pedagógicos e do conteúdo.
	Segundo Mishra e Khoeler:
	A ideia de conhecimento pedagógico e do conteúdo é similar a ideia de Shulman de
	que a pedagogia é aplicável ao ensino do conteúdo específico. Este conhecimento
	inclui saber o que ensinar, as abordagens de acordo com o conteúdo e da mesma
	forma, saber como elementos do conteúdo podem ser organizados para melhorar o
	ensino (MISHRA; KOEHLER, 2006, p. 1027).
	Nesse sentido, os professores devem saber incorporar os conteúdos de maneira que eles
	estejam conectados, mas ao mesmo tempo, possam ser caracterizados como tal, isto é, possamos
	identificar quais são conhecimentos do conteúdo e quais são os pedagógicos. Mishra e Koehler
	(2006) destacam que o ponto central do PCK -Pedagogical Content Knowledge, se concentra
	na maneira pela qual o conteúdo é transformado para ser ensinado, ou seja, o professor deve
	procurar maneiras de interpretar o objeto e encontrar diferentes maneiras de representá-lo e
	torná-lo acessível.
	O PCK envolve várias questões como o currículo, o planejamento de aula ou de curso,
	as estratégias didáticas dos professores e as experiências dos alunos utilizadas pelos professores
	para constituir as aulas. Essas questões, são pontos isolados de como o PCK aparece na prática
	docente, a sua constituição se dá, de fato, no desenrolar das ações promovidas em sala de aula
	e que constam nos planos elaborados pelo professor e na execução desses planos.
	A didática do professor compete no desenvolvimento de metodologias e práticas
	aplicadas a um conhecimento específico, sendo assim, a fim de facilitar a correlação entre os

Fonte: Adaptado de Misrha e Khoeler (

2006) Na seção seguinte abordamos sobre a interseção de mais dois conhecimentos, o conhecimento pedagógico e o tecnológico, que compõe parte do quadro teórico da TPACK. 3.1.5 Conhecimento Pedagógico e Tecnológico -Pedagogical and Technological Knowledg (PTK)

  

	O Conhecimento Tecnológico e Pedagógico (TPK) é o conhecimento da existência
	de diversos componentes e recursos tecnológicos e, como eles podem ser utilizados Figura 4: Interseção entre os conhecimentos pedagógico e tecnológico
	no cenário de ensino e aprendizagem, e vice-versa, sabendo como o ensino pode
	mudar como resultado do uso de tecnologias específicas. Isto pode incluir um
	conhecimento de uma gama de ferramentas existentes para uma determinada tarefa,
	a capacidade de escolher a ferramenta com base na sua finalidade, estratégias para
	o uso de affordances da ferramenta e, conhecimento de estratégias pedagógicas e a
	capacidade de aplicar tais estratégias para o uso de tecnologias. Isso inclui o
	conhecimento de ferramentas para manutenção de registros de classe, participação
	e classificação e conhecimento genérico de ideias baseadas em tecnologia, como
	WebQuests, fóruns de discussão e salas de bate-papo.
	Sendo assim, podemos observar que o TPK se refere a como as tecnologias podem ser
	atreladas aos objetivos de aprendizagem, os objetivos de aula, enfim, o planejamento de forma
	geral do que rege o ensino e a aprendizagem. No entanto, não podemos dizer que o simples uso
	de uma tecnologia para ensinar seja ela digital ou não digital, se aplique ao TPK.
	Segundo Harris, Mishra e Khoeler (2009), um dos aspectos importantes na TPK é a
	flexibilidade criativa com as ferramentas disponíveis e necessárias no planejamento para o uso
	de fins pedagógicos específicos. A autora evidencia sua afirmação por meio do exemplo de uma
	tecnologia não digital muito utilizada em sala de aula: o quadro branco. O quadro branco é uma
	ferramenta que pressupõe sua utilização em sala de aula, no entanto, cabe ao professor destacar
	sua localização na sala e como vai utilizá-lo para ensinar. Se sairmos do contexto educacional,
	podemos ver que a autonomia sobre o uso do quadro muda. Segundo Harris,
	[...] seria incorreto dizer que existe apenas uma forma de utilização do quadro
	branco. Basta comparar o uso do quadro branco em uma sessão de brainstorming
	em um estúdio de design para ver um pouco diferente a aplicação da tecnologia.
	Nesse contexto, o quadro branco não é controlado por um indivíduo. Pelo contrário,
	pode ser utilizado por qualquer pessoa da equipe colaboradora e nessa situação
	torna-se o ponto em torno do qual a discussão e a negociação e construção de
	significado morre (HARRIS; MISHRA; KOEHLER, 2009, p. 398).
	A flexibilidade na TPK é ainda mais importante do que destaca a autora, pelo fato de
	que a maioria dos softwares utilizados pelos professores para fins educacionais, não foram
	O conhecimento Pedagógico e Tecnológico (TPK) segundo Harris, Mishra e Koehler desenvolvidos para isso. Nesse sentido, o TPK garante que as especificidades dos softwares
	(2009) é a compreensão de como o ensino e a aprendizagem são modificados quando sejam exploradas pelos professores, incluindo as limitações e potencialidades. Softwares como
	tecnologias são utilizadas. Além disso, desenvolver TPK requer uma visão dos benefícios e planilhas eletrônicas, editores de texto, blogs e a própria Web são alguns exemplos de
	limitações de tecnologias que podem ser aplicadas a situações de ensino, de aprendizagem, ferramentas com fins não educacionais, mas que foram chegando à sala de aula por
	contextos educacionais e compreender como essas tecnologias podem melhor dar suporte a apresentarem potencial para o ensino e a aprendizagem.
	essas atividades.
	Segundo Mishra e Koehler (2006, p. 1028):

Fonte: Adaptado de Mishra e Khoeler (2006) Na seção seguinte, abordaremos sobre a interseção entre conhecimento tecnológico e conhecimento do conteúdo.

3.1.6 Conhecimento Tecnológico e do Conteúdo -Technological and Content Knowledge (TCK)

  

	Como apontam os autores, as tecnologias podem oferecer uma gama de possibilidades
	representacionais e de dinamização que muitas vezes não são possíveis estaticamente em
	quadro ou papel. Se nos ativermos à Matemática, é preciso apontar também, que os softwares
	podem modificar o conhecimento para que ele se adeque à necessidade tecnológica. Por
	exemplo, em Matemática podemos a partir do gráfico de uma função realizar conversões para
	a forma algébrica a partir de elementos matemáticos como os zeros da função, máximos,
	mínimos, concavidade… Tecnologicamente nem sempre é possível que a partir do gráfico
	possamos migrar para álgebra ou tabela, pois é necessário que a tecnologia dê suporte para que
	isso ocorra.
	O conhecimento tecnológico e do conteúdo nos permite enxergar que a tecnologia pode
	transformar o conteúdo, assim como, necessidades de natureza epistemológica fazem com que
	a tecnologia seja constantemente atualizada. Essa correlação entre tecnologia e conteúdo é
	essencial ao se ensinar, uma vez que, para que o professor possa explorar, de fato, os softwares
	em seu máximo potencial ele necessita dessa díade.
	Na próxima seção abordaremos sobre o TPACK (Technological, Pedagogical and
	Content Knowledge), ou seja, o Conhecimento Tecnológico, Pedagógico e do Conteúdo,
	formando a tríade dos conhecimentos necessários à formação do professor com tecnologias.
	3.1
	O conhecimento tecnológico e do conteúdo consiste na relação entre as tecnologias e o
	conteúdo a ser ensinado ou aprendido (MISHRA; KHOELER, 2006). As tecnologias digitais
	para a Educação foram desenvolvidas no intuito de oferecer novos desafios e possibilidades a
	cada área. Nesse sentido, parece óbvio dizer que quem utiliza de tecnologias digitais para
	ensinar necessariamente possui o domínio sobre o software e o conteúdo a ser ensinado. No
	entanto, muitas vezes professores utilizam tecnologias digitais para reproduzir o que se faz no
	quadro ou no papel, deixando de lado as possibilidades de explorar o potencial tecnológico, por
	meio do uso de softwares (LINS, 2010).
	Segundo Mishra e Khoeler,
	Conhecimento Tecnológico e do Conteúdo: é um conhecimento sobre a maneira
	como tecnologia e conteúdo são reciprocamente relacionados. Embora a tecnologia
	restrinja alguns tipos de representação possíveis, tecnologias mais recentes muitas
	vezes oferecem representações mais novas e com maior flexibilidade (MISHRA;
	KOEHLER, 2006, p. 1028).

.7 Conhecimento Tecnológico, Pedagógico e do Conteúdo -Tecnological, Pedagogical and Content Knowledge (TPACK)

  

	4 O	Figura 5: Diagrama da TPACK pedagogia geral, é o conhecimento compartilhado pelos professores em todas as c) A natureza da aprendizagem: as formações inadequadas em tecnologia também
			disciplinas. A TPACK é a base do bom ensino com tecnologia e requer uma
		compreensão da representação de conceitos usando tecnologias ; técnicas podem levar o professor a aprender a usar determinado software fora de contexto. A
		pedagógicas que usam tecnologias de maneiras construtivas para ensinar o conteúdo; conhecimento que torna os conceitos difíceis ou fáceis de aprender e aprendizagem em sala de aula está inserida em um contexto específico, então,
		como a tecnologia pode ajudar a corrigir alguns dos problemas que os estudantes enfrentam; conhecimento prévio dos alunos; teorias da epistemologia; e o formar o professor para usar pacotes de software genéricos como o pacote Office se
		conhecimento de como as tecnologias podem ser usadas para construir o conhecimento existente e desenvolver novas epistemologias ou fortalecer as antigas torna desnecessário. Esses softwares fora do contexto específico não formam o
		(MISHRA; KOEHLER, 2006, p. 1028). professor para explorar o potencial da tecnologia em sala de aula, uma vez que, eles
		não oferecem suporte ao ensino na maioria das vezes.
		Segundo Powell (2014) e Mishra e Khoeler (2006), é importante observar as díades dos d) Ênfase no que fazer e não como fazer: outro erro recorrente nas formações
	conhecimentos (CTK, CPK e TPK) para chegar a TPACK. No entanto, Khoeler e Mishra (2008) tecnológicas é fazer com que os professores participem de workshops de pacotes de
	apontam que olhar os conhecimentos isoladamente seria um desserviço ao bom ensino. Os hardware e software, isto é, formações genéricas. Os professores muitas vezes
	autores ainda apontam que a TPACK pode partir não apenas de uma aula, como também da precisam descobrir sozinhos como utilizar esses recursos em sala de aula. Dessa
	necessidade da integração entre quaisquer desses conhecimentos. forma, é possível concluir que saber usar a tecnologia não é garantia de saber ensinar
		Fonte: Powell (2014, p. 9) Mais claramente, a TPACK pode partir de uma situação de ensino, onde o professor com ela (MISHRA; KHOELER, 2006).
	perceba que a tecnologia precisa de um suporte didático ou de conteúdo, como também onde o A partir desses fatores que levam a uma formação tecnológica docente equivocada, os
	conteúdo precise de um suporte tecnológico ou didático. Ao ensinar Matemática, o professor é autores desenvolveram um método de formação denominado de Learning Technology by
	levado à necessidade de representar (figuras, expressões algébricas, gráficos e etc), e existem Design. O modelo de formação se caracteriza pelo aprender fazendo com a tecnologia para o
	situados em uma área maior, o contexto. Para análise, Powell destaca que os conhecimentos tecnologias que podem lhe oferecem esse suporte. Se por acaso, a tecnologia disponível não ensino e não aprender apenas a tecnologia isoladamente.
	oferece esse suporte, o professor pode desenvolver novas formas de representar o mesmo objeto devem ser enxergados separadamente, ou ainda, em pares de acordo com as interseções A formação consiste na composição de elementos tradicionais (palestras e cursos), com implicando assim em um conhecimento pedagógico atrelado a tecnologia e ao conteúdo. mostradas na ilustração: CTP (conhecimento tecnológico e pedagógico), CPC (conhecimento o aprender fazendo. Os autores defendem que a partir da ideia construtivista o
	pedagógico e do conteúdo) e CTC (conhecimento tecnológico e do conteúdo. O quadro teórico da TPACK, segundo Mishra e Khoeler (2006) esbarra em um professor/estudante participa diretamente do processo formativo, elaborando materiais
	Segundo Mishra e Koehler (2006), questionamento em termos de formação docente: Como os professores adquirem uma didáticos, cursos online, vídeos digitais e outras possibilidades que envolva o conteúdo da área
	O CTPC (Conhecimento Tecnológico, Pedagógico e do Conteúdo) surge a partir da necessidade de integração do conhecimento tecnológico no quadro teórico trazido por Shulman (1987), que integrava apenas os conhecimentos pedagógicos e do conteúdo. Segundo Khoeler compreensão das relações complexas entre conteúdo, pedagogia e tecnologia? A partir desse de formação específica e elementos didáticos que são acompanhados pelos instrutores e Conhecimento Tecnológico e do Conteúdo: é um conhecimento sobre a maneira como tecnologia e conteúdo são reciprocamente relacionados. Embora a tecnologia questionamento os autores apontam algumas deficiências formativas em tecnologia para compartilhados com outros membros durante o processo de formação. restrinja alguns tipos de representação possíveis, tecnologias mais recentes muitas docentes: vezes oferecem representações mais novas e com maior flexibilidade (MISHRA; No capítulo seguinte, abordamos um pouco sobre esse aspecto do trabalho docente KOEHLER, 2006, p. 1028). Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo: a ideia de conhecimento pedagógico e a) A velocidade da mudança tecnológica: os programas formativos oferecem aos compartilhado, na perspectiva de uma teoria que investiga o trabalho colaborativo e cooperativo e Mishra (2008), o conhecimento é visto como proposições e habilidades que uma pessoa constrói e exerce (POWELL, 2014). Mishra e Khoeler (2006) mostram o modelo da TPACK em forma de diagrama de Venn, articulando as interseções entre os três tipos de conhecimento, Conhecimento Tecnológico e Pedagógico: é o conhecimento da existência e da softwares que não foram desenvolvidos para a Educação, como o Excel por além de interseções entre os conhecimentos dois a dois: do conteúdo é similar a ideia de Shulman de que a pedagogia é aplicável ao ensino professores pacotes de software que momentaneamente informam, mas mudam online. Também discutiremos sobre as teorias que nos dão suporte no quadro teórico do do conteúdo específico. Este conhecimento inclui saber o que ensinar, as abordagens de acordo com o conteúdo e da mesma forma, saber como elementos do conteúdo 1027). b) O design de softwares: os professores muitas vezes são remetidos a utilizar podem ser organizados para melhorar o ensino (MISHRA; KOEHLER, 2006, p. rapidamente, sem garantir uma formação continuada e atualizada desses materiais. experimento, em termos de design e formação dos licenciandos.
		capacidade de usar tecnologias em configurações de ensino e aprendizagem [...] isso inclui a compreensão de que existe uma variedade de ferramentas para uma exemplo. Nesse caso, os professores precisariam de habilidades tecnológicas, de
		determinada tarefa e a capacidade de escolher essas ferramentas de acordo com as necessidades didáticas específicas (MISHRA; KOEHLER, 2006, p. 1028). conteúdo e pedagógicas específicas, dando ênfase a aprendizagem tecnológica (ou
		Conhecimento Tecnológico, Pedagógico e do Conteúdo: é uma forma de seja, aprender a usar apenas o software), sem levar em conta o conteúdo e a
		pedagogia.	conhecimento que vai além dos três componentes [...] Este conhecimento é diferente do conhecimento de um especialista disciplinar ou tecnológico, e também da

[START_REF]Construção colaborativa do conhecimento tecnológico, pedagógico e do conteúdo de professores de matemática[END_REF] 

destaca que um professor que atua na CTPC reconhece que não há uma maneira padrão de engajamento dos estudantes, uma vez que as possibilidades para o trabalho com tecnologia se diversificam de acordo com a especificidade deles. Por isso, os círculos estão

QUADRO TEÓRICO DO EXPERIMENTO DE FORMAÇÃO

  

	complexa com o envolvimento do computador, uma vez que essas interações nem sempre
	ocorrem face a face, fazendo com que as pessoas se engajem para aprender juntas usando
	Neste capítulo apresentamos nosso quadro teórico do experimento de formação, que ferramentas computacionais. Já a aprendizagem por cooperação integra concepções individuais
	abarca as teorias que dão suporte à nossa metodologia. O quadro é composto pela dos membros do grupo gerando uma concepção final, que passa a ser considerada como
	Aprendizagem Colaborativa com Suporte Computacional, Teoria dos Registros de coletiva. Na cooperação os sujeitos podem trabalhar juntos ou separados do grupo, ao contrário
	Representação Semiótica, Teoria da Orquestração Instrumental e Funções. da colaboração.
	Apesar de constituir uma ideia do que seja a CSCL, observam-se constantes evoluções
	4.1 APRENDIZAGEM COLABORATIVA COM SUPORTE COMPUTACIONAL das pesquisas nessa área com o avanço da tecnologia, o que torna a tarefa de uma definição
	(CSCL) que contemple o todo mais complexa, sempre em evolução. Uma das ideias que vem sendo
	pesquisadas em conjunto com a CSCL é a CSCW (Computer Supported Cooperative Work),
	A aprendizagem colaborativa suportada por computador, segundo Stahl, Koschmann e ou seja, o trabalho cooperativo com suporte computacional ou auxiliado por computador.
	Suthers (2006), é uma das ciências educacionais, que emergiu a partir da década de 1990 com 4.1
	o surgimento da internet. Inicialmente a CSCL preocupava-se com o fato dos softwares
	existentes na época obrigarem os estudantes a trabalharem isoladamente. A internet surge como
	um propulsor à pesquisa da aprendizagem colaborativa, a mesma permitiu às pessoas uma
	comunicação de forma inovadora (STAHL; KOSCHMANN; SUTHERS, 2006). A princípio, a
	internet possibilitava que as pessoas se comunicassem por correio eletrônico -e-mail -saindo
	das correspondências por carta ou telegrama, tornando a comunicação mais rápida e eficiente.
	Atualmente, esse cenário se tornou ainda mais completo e complexo, com o surgimento das
	redes sociais e aplicativos de mensagens instantâneas, que permitem, assim como os e-mails,
	anexar arquivos em formato de texto, vídeo, imagens e áudio de maneira instantânea, a partir
	dos telefones móveis. Mais recentemente, viu-se surgir as plataformas que permitem edições
	simultâneas em textos, imagens, e até mesmo, ambientes específicos como os de geometria
	dinâmicas.
	Com a evolução das tecnologias digitais e o avanço da internet no mundo, as questões
	de investigação em CSCL também vão se modificando, uma vez que esta ciência está se
	adequando às novas formas de comunicação em rede. Atualmente a CSCL expande seu campo
	de investigação para o design de ambientes, a influência social na colaboração, os discursos e
	os tipos de aprendizagem que são elencados, elaboração de macro e micro scripts e formas de
	interação à distância, pois este têm sido seu foco inicial.
	No contexto da CSCL (STAHL; KOSCHMANN; SUTHERS, 2006), a aprendizagem
	colaborativa é compreendida como o processo de construção em que os sujeitos interagem e
	aprendem juntos, com ideias e argumentos que podem ser convergentes ou divergentes, mas
	que constituem o produto final como uma construção coletiva. Essa investigação se torna mais

.1 CSCL e CSCW -Aspectos teóricos

  

	Diferentemente, a CSCL está intimamente ligada aos processos de aprendizagem em do cenário ou da "interface" da plataforma que iremos utilizar. Nesta seção iremos discorrer deve identificar os problemas e as possíveis fontes dos problemas. É a partir desta fase que se
	grupo por meio do uso do computador. Rossitto, Hernwall e Collin (2015) destacam os desafios sobre algumas discussões teóricas acerca do design para cenários CSCL. definirá os aspectos da próxima fase.
	pedagógicos em torno do uso de recurso digital por parte de professores e profissionais da área De acordo com Prieto et al., (2015), um grande número de ambientes contendo objetos
	de desenvolvimento desses recursos. Os autores destacam que em um workshop realizado com e ferramentas digitais tem sido proposta para diferentes cenários CSCL. No entanto, esses
	esses sujeitos ficou evidente que muitos deles usam materiais disponibilizados online como ambientes se baseiam em alguns projetos que ainda estão em transição para a prática. Sendo
	recurso às suas aulas, mas que não há um controle de qualidade desses recursos. Segundo a assim, isso causa um impacto quando é posto em situações reais já que não há como estabelecer
	análise dos dados, este é um dos grandes desafios quanto ao uso desses recursos. Os previsões quanto às reações dos sujeitos inseridos nos ambientes CSCL.
	participantes relatam que o uso desses recursos é mais acessível, se comparados a outros como Os autores ainda levantam alguns aspectos referentes ao design colaborativo que por se
	livros e publicações científicas. tratar de um ambiente que estabelece relações sociais entre os sujeitos, devem estar atentos
	Gaydos e Jan (2015) exploram os aspectos do design de jogos baseado na aprendizagem para: romper os limites das aulas formais ou de aulas online pré-estabelecidas, configuração
	online, segundo os autores, esses aspectos podem ser relacionados ao design CSCL de qualquer colaborativa dos dispositivos utilizados e aprendizagem ubíqua [1] em diferentes contextos.
	forma, pois apresentam as mesmas preocupações: desenvolver a prática dos participantes no Além disso, os ambientes devem fornecer aos sujeitos envolvidos ou stakeholders a
	ambiente, interação e colaboração e necessidade de mudanças adaptativas no sistema. Araújo possibilidade de concepção, realização e avaliação de tarefas.
	Enquanto a CSCL investiga a colaboração com suporte computacional visando à Filho (2015) investiga os conhecimentos docentes mobilizados em um ambiente de colaboração Ainda na concepção de Prieto et al. (2015), os ambientes CSCL devem integrar diversas
	aprendizagem coletiva, a CSCW observa o trabalho cooperativo em grupo, sem online. Evidenciou-se uma série de dificuldades do cenário para promoção da colaboração, ferramentas digitais, que podem estar inseridas em um sistema ou na junção de diferentes
	necessariamente atentar para a aprendizagem dos sujeitos. como linguagem, comunicação e limitações do sistema. Enfim, podemos destacar aqui que a ambientes. Neste último caso, os entraves que podem surgir em sua maioria serão isolados, uma
	Shmidt e Bannon (1992) fazem um resgate do surgimento da CSCW como um campo CSCL e a CSCW possuem aspectos teóricos similares em relação ao design de cenário, pois os vez que cada ferramenta corresponde a um ambiente diferente, por exemplo, ferramentas de
	científico que passa a observar no trabalho cooperativo o grupo como unidade. Segundo os dois campos buscam destacar algumas lacunas em termos de colaboração online. áudio, imagem, conexão de rede, etc.
	autores, o termo Computer Supported Cooperative Work foi usado primeiramente por Irene No entanto, percebemos que os aspectos de investigação da CSCL estão intimamente Nas últimas décadas as ferramentas que integram os cenários CSCL dependem da
	Greif e Paul Cashman em 1984 para descrever o tópico de um workshop que estava sendo ligados à aprendizagem do sujeito, em como o grupo se une para aprender por meio do uso do necessidade dos sujeitos envolvidos -professores e estudantes -que podem integrar diferentes
	organizado por eles, sobre como as pessoas poderiam ter o auxílio do computador em seus computador. Já na CSCW esse aspecto da união do grupo é relevante se considerarmos o ambientes de acordo com os objetivos da atividade colaborativa. Stahl (2009) desenvolveu o
	trabalhos em grupo (GREIF, 1988). A partir de então alguns autores, a exemplo de Bannon e produto final do que for desenvolvido pelo grupo, ou seja, a finalidade é unicamente Virtual Math Theams Project para dar suporte ao discurso matemático e as atividades
	Shmidt (1989), começaram a investigar o tema mais profundamente, buscando elencar profissional, sem preocupações com o que os sujeitos aprenderam durante o processo. No colaborativas para aprendizagem em Matemática. Neste projeto podem ser estruturados grupos
	significados para o termo CSCW. Evidentemente, os esclarecimentos sobre o campo foram entanto, ao tratar da profissão docente, é natural que essas duas áreas tenham muitas de estudo para discutir sobre Matemática por meio de construções geométricas, chat e
	surgindo ao longo dos anos e uma das preocupações girou em torno do design para o trabalho intersecções. O trabalho docente visa a aprendizagem por parte do aluno. incorporação do Geogebra para uso de grupos de usuários. Segundo o autor, neste ambiente as
	coletivo e sobre a eficácia deste design em termos de sistema de informação. Na seção seguinte discutimos um pouco sobre o design para CSCL, ou seja, quais os salas podem ser criadas por professores e pesquisadores, que tenham a necessidade de utilizar
	Observando as pesquisas em torno da CSCW no The Journal of Collaborative aspectos discutidos na literatura como essenciais para o planejamento de uma sessão as produções dos seus alunos como coleta de dados ou feedback de construções.
	Computing and Work Practices percebemos que as investigações giram em torno da busca em colaborativa. Inaba et al., (20??) baseiam-se no Design Instrucional (DI) para trazer algumas
	melhorias para o trabalho colaborativo nos mais diversos campos. Investigam um tipo de 4.1.2 Design em CSCL contribuições para o Design CSCL. Segundo os autores, as fases do DI podem ser subdivididas
	design público, o SpazioD utilizado para explorar a dislexia, por meio de contribuições públicas em: analisar, desenhar, desenvolver, implementar e avaliar. Vamos descrever as fases que os
	em uma rede social. Esses pesquisadores apresentam um tipo de infraestrutura para discussão Ao planejar uma sessão baseada nos princípios da CSCL devemos nos atentar para autores dividem no que concerne ao design CSCL:
	de políticas públicas, por meio de um estudo de caso em uma oficina educacional sobre design alguns aspectos importantes. O design ao que nos reportamos nesta seção refere-se ao design 1) Analisar: identificar o fenômeno da aprendizagem colaborativa e construir um
	participativo e teoria da atividade. modelo de aprendizagem colaborativa. Esta fase é fundamental para as outras fases, pois se

  partir desses dados, estruturamos uma planilha com as escolhas de cada sujeito, solicitamos que eles escolhessem os grupos de no máximo 4 participantes. No entanto, esses participantes deveriam ser escolhidos de forma a compor um grupo de pessoas com habilidades distintas, ou seja, um de habilidade didática, um de habilidade tecnológica e outro de habilidade matemática. Como a habilidade matemática apresentava mais estudantes que se auto avaliava com habilidoso na matemática foi solicitado que se contemplassem dois sujeitos com habilidade maior em matemática. Com estudantes com mais habilidades nos três tipos de conhecimentos elencados pela TPACK, buscamos que eles pudessem ser auxiliados uns pelos outros em determinadas tarefas que exigissem habilidades diferentes das quais eles escolheram.No mesmo momento em que os grupos eram escolhidos solicitamos que eles marcassem entre os horários disponíveis na planilha dos grupos para que ocorressem as sessões. Mas, Nesta etapa, pensamos no design do ambiente colaborativo para dar suporte à elaboração de aulas para o ensino de funções. O nosso ambiente de formação foi construído completamente online, de forma que os licenciandos pudessem estabelecer uma comunicação síncrona e a partir daí traçar o que fosse necessário para elaboração da aula. Assim sendo, pensamos em utilizar o ambiente do Google Drive (GOOGLE, 2012), mais especificamente, o Google Documentos, , uma vez que se discute o que é orientado pelos órgãos oficiais da Educação no Brasil. O item (c) objetiva emergir os conhecimentos tecnológicos, pois a busca do que há em termos de produção tecnológica pode auxiliar na formação de ideias e argumentos na elaboração da aula. E finalmente, o item (d) objetiva emergir os conhecimentos do conteúdo e pedagógicos que estão sendo desenvolvidos em sala de aula por professores que já estão em pleno exercício da prática docente. A partir do nosso quadro teórico, procuramos, nesta etapa, observar em quais momentos os conhecimentos aparecem individualmente, em pares ou se há momentos em que os sujeitos atingem a tríade da TPACK.Pensamos nesses tópicos de acordo com a proposta do experimento que era de elaboração de aula. Dessa forma, ao pesquisar sobre as dificuldades de aprendizagem, os por cada membro e daí surgiam as ideias para os objetivos da aula a ser planejada e executada por meio do software.Em quase todos os casos, percebemos que o tempo estabelecido não foi suficiente para que os grupos estabelecessem seu plano de aula e construção de simulações, por causa de alguns entraves encontrados na sessão. Sendo assim, foi necessária outra sessão para que os sujeitos construíssem as simulações e fechassem as ideias para as aulas.No segundo momento, ou seja, o momento das construções das atividades, disponibilizamos outro ambiente do Google Drive, as Apresentações Google, ou simplesmente os slides, para que os licenciandos trabalhassem colaborativamente. Com a definição dos objetivos de aula, eles deveriam apresentar um roteiro para o desenvolvimento dessas aulas,

	Utilizamos o formulário do Google Drive (GOOGLE, 2012), no qual utilizamos uma 26/11/2016 -19h G5
	escala linkert de 1 a 4, sendo 1 menos habilidoso e 4 mais habilidoso. Com isto, os sujeitos 03/12/2016 -19h G6 poderiam se autoavaliar em relação a todas as habilidades disponibilizadas. Por meio do Fonte: Elaborado pelo autor
	formulário online do Google as respostas foram gravadas automaticamente e encaminhadas a
	uma planilha do Google Drive, que organiza as respostas e permite que observemos cada uma Quadro 7: Horários dos encontros da 2ª sessão por grupo
	individualmente.
		2ª Sessão -Orquestração
	Quando os licenciandos começaram a gravar suas respostas no formulário, percebemos
		Data -horário	Grupo
	27/11/2016 -10h	G2
	21/11/2016 -22h (não ocorreu)	G3
	03/12/2016 -20:30h	G5
	30/11/2016 -20:30h (não ocorreu)	G1
	01/12/2016 -20h	G4
	04/12/2016 -19h (não ocorreu)	G6
	03/12/2016 -9h	G1
	05/12/2016 -22h	G3
	05/12/2016 -19h (não ocorreu)	G6
	b)	Propostas curriculares da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e dos
	Parâmetros Curriculares de Pernambuco.
	c)	Material disponível do Geogebra Tube
	habilidades tecnológicas. Essas habilidades refletem nos conhecimentos que trazemos da TPACK: o conhecimento do conteúdo (habilidades matemáticas), o conhecimento pedagógico 1ª Sessão -Objetivos Data -horário Grupo habilidades apresentadas e os conhecimentos identificados. Pretendemos com esses dados d) Abordagens em livros didáticos do último Programa Nacional do Livro Didático verificar se as habilidades que os licenciandos escolheram são equivalentes aos conhecimentos (PNLD, 2014). Documentos funciona apenas como editor de textos coletivos com um chat, não permitindo o que encontramos durante as sessões. (habilidades didáticas) e o conhecimento tecnológico (habilidades tecnológicas). Após definirmos as habilidades pensamos em um meio pelo qual os licenciandos iriam 15/11/2016 -8h G2 16/11/2016 -19h G3 compartilhamento de telas. No entanto, acreditamos que isso não interferiu em nossa proposta As tarefas solicitadas aos licenciandos, nesta etapa, buscam fazer emergir os Na seção seguinte, fizemos a descrição da quarta etapa do experimento. Nesta etapa descrevemos o design colaborativo para estrutura das sessões e o como se desenvolveu a conhecimentos que discutimos em nosso quadro teórico. No item (a) a busca de artigos que e a partir das análises, podemos traçar as potencialidades e limitações do ambiente proposto.
	19/11/2016 -20h atividade proposta.	G4
	16/11/2016 -20:30h	G1

terceira etapa, apoiamo-nos na CSCL que nos traz os princípios norteadores para constituir os grupos. Sendo assim, resolvemos traçar um perfil das habilidades dos sujeitos para constituir os grupos

[START_REF] Stahl | The constitution of group cognition[END_REF]

. Pensamos que as habilidades deveriam refletir nos aspectos futuros da análise dos dados. Portanto, as três habilidades que seriam inerentes à proposta do processo de formação docente: habilidades matemáticas, habilidades didáticas e realizar a escolha. Para uma coleta de dados mais eficiente, imaginamos um formulário online, pelo qual os sujeitos pudessem escolher suas habilidades e resolvemos que poderiam ser definidas no mesmo formulário de feedback da oficina na segunda etapa. que eles se consideravam mais habilidosos em uma etapa e menos habilidosos em outra, como já esperávamos. Com os dados coletados no formulário conseguimos obter o gráfico a seguir: Gráfico 1: Habilidades escolhidas pelos sujeitos Fonte: Elaborado pelo autor A partir deste gráfico podemos observar que a maioria dos licenciandos não se considerava muito habilidosa (nível 4) nos conhecimentos listados. Percebe-se que eles ficaram nos níveis intermediários (2 e 3) e a habilidade didática aparece como o ponto mais deficiente segundo eles. Acreditamos que, pelo fato de estarem nos semestres iniciais do curso de Licenciatura em Matemática, cria-se um efeito de que necessitam de uma formação didática que está iniciando, mas por outro lado, se considerem habilidosos em Matemática por estarem em um curso de licenciatura. A percebemos que fixar os horários não deu certo, pois muitos não conseguiriam estar online nos horários marcados, então, disponibilizamos as datas e eles marcariam os horários de acordo com a disponibilidade do grupo. Sendo assim, foram necessárias duas sessões e os grupos se formaram da seguinte maneira: Quadro 5: Distribuição dos grupos pelas habilidades Fonte: Elaborado pelo autor. Legenda: D -Didático, M -Matemático, T -Tecnológico Quadro 6: Horários da 1ª sessão por grupo Fonte: Elaborado pelo autor No quadro 7, nas datas da segunda sessão, constam alguns grupos que estão marcados em duas datas diferentes. Isso se deu porque, em alguns casos, ocorreram alguns entraves e isso nos impossibilitou de prosseguir com a sessão. Outro aspecto que pudemos explorar, a partir das autoavaliações das habilidades dos sujeitos, foram o cruzamento de dados a respeito das 5.2.4 4ª Etapa -Objetivos de aula e elaboração da aula a partir das etapas da TOI que possui uma ferramenta de chat e um espaço de editor de documentos para a escrita coletiva do grupo. Segue abaixo um esquema da proposta de ambiente colaborativo que utilizamos: Figura 10:Esquema do ambiente na elaboração dos objetivos Fonte: Elaborado pelo autor Figura 11: Esquema do ambiente nas etapas da orquestração Fonte: Elaborado pelo autor Com a definição dos horários pelos participantes, responsabilizamo-nos de enviar o script uma hora antes do início da sessão, por e-mail, como mostramos na figura 11, para que eles não pudessem estabelecer planejamentos antecipados, fora do que poderíamos observar como pesquisa, e deixassem de explicitar as ideias coletivas na hora da sessão. Ao iniciar a sessão, um breve retrospecto do script era feito para uma melhor compreensão dos participantes e definimos as tarefas a serem realizadas por eles, a saber: a) Pesquisa de textos (artigos) sobre dificuldades na aprendizagem de funções.

abordassem as dificuldades sobre a aprendizagem de Funções, objetiva gerar uma discussão em torno do conhecimento do conteúdo, bem como do pedagógico do conteúdo, com as abordagens atuais desse objeto matemático em sala de aula. No item (b), as propostas curriculares em torno do conhecimento do conteúdo, objetivaram emergir os conhecimentos pedagógicos e também do próprio conteúdolicenciandos poderiam traçar estratégias didáticas por meio do uso do software que dessem respaldo a essas dificuldades. No entanto, para isso, eles precisariam ter uma noção do que orientam os documentos oficiais que regem a educação básica no Brasil e no estado de Pernambuco, daí a proposta de pesquisa sobre esses documentos. No Geogebra Tube, eles poderiam encontrar o que está sendo produzido no geogebra para o ensino de funções e a partir disso, criar algumas simulações com base nestas ou que pudessem contemplar algo que eles achassem que poderia ser melhorado. Por fim, o Guia do livro didático (PNLD 2014) (BRASIL, 2013) foi utilizado para orientar os licenciandos no que os autores de livros de Matemática para escolas públicas vêm abordando, dando subsídio para as simulações a serem construídas. Acreditamos que, ao executar essas tarefas individualmente, não se pode identificar as interseções de conhecimentos que discutimos em nossa fundamentação. A colaboração nesse sentido é um elemento essencial para que os conhecimentos individuais, quando aliados ao conhecimento coletivo, possam fazer com que as interseções apareçam. Com isso, como os grupos geralmente tinham 4 participantes, eles deveriam distribuir as tarefas entre si, com ordem definida pelo grupo; no segundo momento, as pesquisas de cada um deveriam ser colocadas à disposição do grupo para que houvesse uma discussão e, finalmente, a elaboração dos objetivos de aula. Essa subdivisão entre os participantes foi necessária, pois o Google Cada sessão durou aproximadamente 1h30min, na qual o grupo tinha 30 minutos para realizar a pesquisa, 30 minutos para definição dos objetivos de aula e 30 minutos para a construção da simulação no geogebra. Após a pesquisa, havia o momento de socialização do que foi encontrado com base em outro ponto do nosso quadro teórico, a Orquestração Instrumental (OI) (TROUCHE, 2005). A OI é segundo Trouche (2005, p. 126): Uma orquestração instrumental é o arranjo sistemático e intencional dos elementos (artefatos e seres humanos) de um ambiente, realizado por um agente (professor) no intuito de efetivar uma situação dada e, em geral, guiar os aprendizes nas gêneses instrumentais e na evolução e equilíbrio dos seus sistemas de instrumentos. Como a OI se propõe a auxiliar e investigar a ação docente em um ambiente rico em tecnologia, buscamos utilizar duas, das três bases essenciais da teoriaconfiguração didática e modo de execução -para que os licenciandos construíssem suas aulas. Além disso, na disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática, os licenciandos estavam discutindo a OI a partir da realização de atividades que utilizavam artefatos tecnológicos digitais, durante o processo formativo. Dessa forma, utilizamos deste conhecimento pedagógico que estava sendo trabalhado na disciplina para o desenvolvimento do nosso experimento. A sessão de construção do experimento durou o mesmo tempo que a sessão de discussão para elaboração dos objetivos.

  Na primeira etapa do experimento, utilizamos a observação como método de coleta, tendo como instrumentos o aplicativo de mensagens e a plataforma Lematec Studium.

	O aplicativo de mensagens foi um instrumento de coleta de dados extremamente
	relevante em nossa pesquisa. A partir dele pudemos propor, na primeira etapa do experimento,
	uma atividade a distância aos licenciandos, com o propósito de interagir na discussão teórica 5.3.2 Dados coletados na 2ª Etapa
	sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS).
	No aplicativo, as falas dos sujeitos ficavam armazenadas em tempo real, registrando o Na segunda etapa do experimento, utilizamos o método da filmagem para a coleta de
	nome, horário e data na qual o licenciando se manifestava no grupo. Além da primeira etapa da dados. A filmagem foi realizada a partir da captura de tela dos computadores com o auxílio do
	pesquisa, o aplicativo também auxiliou os licenciandos na interação com os professores software Atube Catcher. Os instrumentos de coleta nesta etapa foram o Atube Catcher e o E-
	formadores nas fases seguintes, podendo esclarecer dúvidas quanto à prazos ou atividades a mail.
	serem desenvolvidas.

5.3.1 Dados coletados na 1ª Etapa

A plataforma Lematec Studium atuou como ambiente virtual para postagem de textos e organização das semanas de aula da disciplina. Em nosso experimento, na primeira fase, inserimos o texto-base e o vídeo sobre a TRRS para que os licenciandos pudessem ler, assistir e a partir dessas informações, postar as perguntas e respostas sugeridas no aplicativo de mensagens. A seguir, temos um esquema da coleta de dados na primeira fase: Figura 13: Coleta de dados 1ª Etapa Fonte: Elaborado pelo autor Em termos quantitativos de dados, esta etapa teve um total de 21 perguntas e 19 respostas ao final da coleta. No capítulo seguinte, na análise dos dados, trouxemos um esquema das perguntas e respostas dos licenciandos atreladas ao quadro teórico dos conhecimentos docentes mobilizados. Na seção seguinte, descrevemos o processo de coleta de dados da 2ª etapa da formação. O Atube Catcher é um software gratuito utilizado para gravação de tela e download de vídeos. Na segunda etapa do experimento utilizamos o software para gravação de um vídeo de orientação para os licenciandos, com o objetivo de mostrar a construção de uma simulação no software Geogebra. Além disso, os próprios licenciandos utilizaram este recurso para responder à atividade proposta nesta etapa, reproduzindo a simulação sugerida. O e-mail foi utilizado como um recurso secundário para o envio dos vídeos gravados pelos licenciandos. Os sujeitos fizeram a gravação de tela e nos enviaram os vídeos por e-mail compartilhando o link do repositório ou o vídeo em formato MP4.

  Nas discussões surgem muitos questionamentos sobre a necessidade da coordenação de registros semióticos, além de questões sobre as dificuldades de aprendizagem que surgem com o predomínio de um registro de representação da abordagem de um determinado objeto esquema mostra as perguntas e respostas classificadas de acordo com os conhecimentos já elencados na seção anterior. Estruturamos o esquema pela data das postagens e separamos os sujeitos de acordo com os grupos que foram definidos nas etapas posteriores.Nesse trecho de conversa, percebemos que o licenciando E7G4 fez uma reflexão a partir da leitura do texto da teoria proposto para esta fase da formação. A reflexão do licenciando parte de dois aspectos importantes que são discutidos na TRRS: a distinção entre objeto e representação e a necessidade de coordenar diferentes registros semióticos. Essa capacidade do licenciando de discutir sobre a TRRS refletindo, a partir da leitura do texto, sobre aspectos relacionados ao objeto matemático Função, evidencia uma das interseções dos conhecimentos que a TPACK aponta: o Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo. Observando o esquema, percebe-se que o PCK aparece apenas na fala do E7G4. Além disso, o esquema também nos mostra que o conhecimento pedagógico é o único que aparece nesta etapa da formação. De fato, já tínhamos uma certa previsão que isto aconteceria, uma vez que pretendíamos nesta fase que os licenciandos discutissem sobre a TRRS. Sendo assim, a discussão de uma teoria estaria diretamente relacionada ao conhecimento pedagógico.

	pelo estudante 1 ou o primeiro estudante a	pergunta 1, postada pelo estudante 2 ou o
	partir do quadro proposto por Couto (2018), estruturamos alguns eventos com base fazer a postagem. segundo a fazer a postagem.
	na TPACK, com o objetivo de identificar os conhecimentos presentes durante a Fonte: Elaborado pelo autor
	discussão. Como nas interações desta etapa os licenciandos deveriam discutir sobre matemático. Apesar da atividade nesta etapa ser individual procuramos evidenciar os conhecimentos que os
	a TRRS, na observação dos dados percebemos que os conhecimentos que emergem Para classificar os conhecimentos que emergem das conversas durante a primeira etapa, Para classificar os conhecimentos, utilizamos cores diferentes, vermelho para o sujeitos mobilizaram nesta etapa, com a intenção de observar quais conhecimentos desta etapa
	da conversa são essencialmente pedagógicos (PK). Além disso, também consideramos como unidade para classificação, as perguntas e respostas dos sujeitos que se Conhecimento Pedagógico Epistemológico, verde para o Conhecimento Pedagógico Didático foram mobilizados nas etapas posteriores. Apesar dos grupos serem formados apenas na 3ª
	identificamos em um dos licenciandos o conhecimento Pedagógico e do Conteúdo adequam ao conhecimento correspondente. Destacamos que os conhecimentos aos quais nos e azul para o Conhecimento Pedagógico Cognitivo. Além disso, utilizamos a cor roxa para o etapa da formação, escolhemos distribuir os sujeitos no esquema da 1ª etapa, para ter um
	(PCK). referimos nesta etapa da formação, não necessariamente são conhecimentos adquiridos ou Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo. Além das cores, também utilizamos setas para panorama geral das postagens por grupo formado. Com isso, também podemos analisar nas
	O conhecimento pedagógico (PK), segundo Shulman (1986), engloba diversos aspectos, demonstrados pelos sujeitos com relação a TRRS, mesmo porque, este foi o primeiro contato definir o sentido da interação, ou seja, saindo da pergunta até a(s) resposta(s) correspondente(s). etapas posteriores, quais os tipos de conhecimento pedagógico relacionados à TRRS que
	como as questões didáticas inerentes à prática docente, a relação professor-aluno, conhecimento deles com a teoria. Além das siglas que utilizamos para identificar os estudantes -E1...E19 -utilizamos a letra "F" aparecem e se eles correspondem ao que foi discutido pelos licenciandos nesta etapa.
	para identificar os professores formadores.
	6.3 ANÁLISE DA 1ª ETAPA DE FORMAÇÃO
	Após a classificação dos conhecimentos no quadro mencionado na seção anterior, P9: 18/10/16, 08:44 -Professor formador: Qual seria um exemplo de tal
	confusão possível? estruturamos um esquema para ilustrar as interações entre os sujeitos durante a atividade R8P9: 18/10/16, 14:33 -E7G4: Mostrar apenas 1 tipo de representação
	proposta.	semióptica (SIC), pode levar ao aluno um entendimento errado sobre o assunto. Por exemplo, o caso de funções, em q é muita representada por um
	signo f(X) sendo apenas uma expressão algébrica. Quando na verdade ela é A estrutura da classificação dos dados no esquema foi realizada da seguinte forma: uma grandeza com variáveis dependentes e independentes. Conhecimento Epistemológico: O conhecimento epistemológico corresponde aos R8P9 18/10/16, 14:35 -E7G4: Mostrando, por exemplo, apenas a
	questionamentos acerca da teoria que envolvem sua origem, ou seja, os signos e outros representação algébrica de uma função, o aluno não conseguirá aprender que Quadro 8: Estrutura de classificação de dados um gráfico, e a álgebra apenas descreve o seu gráfico.
	elementos da semiótica que partem da linguística. Além disso, classificamos as definições R8P9 18/10/16, 14:36 -E7G4: Fora q (SIC) ele n (SIC) conseguirá
		Perguntas	Respostas
	P1E1 -corresponde a primeira pergunta na	R1P1E2 -corresponde a primeira resposta na
	ordem cronológica da conversa, postada	ordem cronológica da conversa, relativa a

Identificamos aspectos da teoria e dos conhecimentosdocentes ou não -que puderam ser classificados depois da leitura do texto proposto aos licenciandos. A social do aluno e os métodos de ensino e aprendizagem essenciais à formação do professor.

Nesse sentido, considerando as características da TRRS

(DUVAL, 2011) 

como uma teoria epistemológica e cognitiva, como também as características do (PK) dividimos o conhecimento pedagógico em três partes: conhecimento didático, conhecimento cognitivo e conhecimento epistemológico. A divisão do conhecimento pedagógico nos possibilita uma classificação dos dados de maneira mais eficiente. Além disso, podemos observar um conhecimento a partir de suas nuances durante uma discussão. O conhecimento pedagógico e do conteúdo também foi identificado em uma das interações. Sendo assim, para observar a interseção dos conhecimentos também classificamos o (PCK) dividindo o conhecimento pedagógico e do conteúdo e apontamos em qual ponto a interseção aparece na fala do sujeito. Para uma compreensão das escolhas dos eventos, fizemos uma caracterização deles, buscando destacar sua relevância para a pesquisa: Conhecimento Didático: o conhecimento didático nas discussões aparece nos momentos em que os sujeitos discutem o papel do professor considerando a TRRS. Na classificação surgem apontamentos relacionados ao posicionamento do professor diante da falta de habilidade dos estudantes na coordenação de registros semióticos. questionadas, como: tratamento e conversão, quando não envolvem aspectos cognitivos. Conhecimento Cognitivo: por ser uma teoria que discute aspectos epistemológicos e cognitivos, o conhecimento cognitivo também foi identificado como um evento relevante à pesquisa.

Sendo assim, classificamos cada pergunta e resposta com relação ao conhecimento que mais se adéqua, uma vez que, a discussão teórica da TRRS faz emergir questões de metodologia de ensino que, por sua vez, faz parte da formação do professor segundo

[START_REF] Shulman | Those who understand: Knowledge growth in teaching[END_REF]

.

Apesar de observarmos que alguns questionamentos não eram propriamente do licenciando, surgiram algumas perguntas e respostas que foram reflexivas a partir da leitura do texto proposto. Com base nisso, também classificamos as perguntas e respostas com relação ao tipo de pergunta e resposta: reflexivo e não-reflexivo. As perguntas e/ou respostas reflexivas são aquelas nas quais o sujeito demonstra uma reflexão teórica a partir da leitura, por outro lado, as não-reflexivas evidenciam perguntas e respostas retiradas diretamente do texto proposto, sem deixar margem para uma discussão ampla.

No eixo vertical do esquema, apresentamos os grupos de G1 a G6, que foram definidos mais à frente na 3ª etapa da formação. Além dos grupos, apresentamos também os licenciandos que participaram da formação, mas que não estavam atrelados a um grupo específico e os denominamos pela sigla "SG" (sem grupo) e, finalmente, as falas do professor formador. No eixo horizontal, apresentamos as datas mensagens postadas no aplicativo.

No esquema a seguir, podemos observar os conhecimentos que surgiram nesta etapa da formação:

Figura 15: Esquema das interações e classificação dos conhecimentos identificados Fonte: Elaborado pelo autor O A contagem das falas dos sujeitos não foi considerada no esquema, isto é, não registramos no esquema as respostas que tiveram mais de uma postagem, pois consideramos apenas os conhecimentos que emergiram. Vale salientar que poucas perguntas tiveram respostas com mais de uma postagem -pelo mesmo estudantecomo também, não registramos debates a partir de uma pergunta específica, ou seja, não houve respostas para uma mesma pergunta gerando uma ampla discussão.

Se observarmos o esquema, podemos perceber que apenas uma pergunta apresenta duas setas correspondendo a duas respostas. Neste caso, tivemos um questionamento da professora formadora, respondido por um licenciando a partir das concepções dele sobre a TRRS. Esta resposta do licenciando E7 evidencia uma apropriaçãomesmo que preliminarda TRRS e a correlação da teoria com aspectos do objeto matemático função. Vejamos o trecho da interação a seguir: transcrever uma função em forma algébrica, para R8 uma função gráfica, ou tabular R8P9 18/10/16, 14:40 -E7G4: Até porque, para se ter um entendimento mais completo sobre qualquer assunto, deve-se aprender todas as formas de representar aquele assunto. Aprender como o assunto é tratado sob todos os ângulos.

Além da classificação dos conhecimentos dos sujeitos que fizemos no esquema, contabilizamos as perguntas e respostas dos sujeitos e classificamos em duas categorias: reflexivo e não-reflexivo. O objetivo, com esta classificação, foi analisar quais os tipos de perguntas e respostas que foram feitas de forma reflexiva a partir da leitura do texto, ou seja, o licenciando formulou a pergunta ou resposta de forma que não fosse um extrato do que estava escrito no texto proposto.

Gráfico 2: Gráfico dos tipos de pergunta e resposta Fonte: Elaborado pelo autor Contabilizamos um total de 21 perguntas e 19 respostas e observamos que as perguntas foram mais reflexivas que as respostas. Do total de perguntas realizadas pelos licenciandos 67%

  Além disso, vale ressaltar que a escolha da simulação a ser construída, também é importante para que estes aspectos sejam revelados.Na seção seguinte, fizemos a análise do segundo índice de eventos, criados a partir da discussão dos sujeitos sobre a construção da simulação e a resposta à atividade proposta aos licenciandos nesta fase do experimento. Neste índice, buscamos desvelar os conhecimentos que emergem da discussão, bem como os aspectos do software na classificação de Kaput, que aparecem nas interações entre os sujeitos.No entanto, no instante [15:52], os licenciandos deixam claro que o processo de tratamento é extenso, por isso, mostram apenas os valores encontrados para os coeficientes a e b. as aproximações feitas pelo software, ou seja, os valores que eles apresentam já sofreram alterações e podem não ser ideais para os coeficientes da função que tem o gráfico próximo ao traço do ponto. Para conferir essa afirmação, os sujeitos devem validar

	Observando a conversa dos licenciandos do instante [10:00 -10:50] notamos que a Podemos perceber que os licenciandos E7 e E6 partem de pressupostos para a função 6.5.2.1.14 Ausência de validação com o software e com papel e lápis 6.5.2.3 Dimensão Simetria
	discussão está em torno de: o que faz com que o traço do ponto siga àquele trajeto? Qual o gerada, que dependem diretamente da pergunta do E5. As setas que saem da razão de ampliação, 11:35 E6 -Então, o intervalo só pode ser de 0 a mais infinito.
	objeto matemático ou tecnológico que possibilita isso? Além disso, no instante [10:16] a fala do E5 nos faz pensar que a discussão foi iniciada previamente, pois há um hiato entre a fala do E6 no instante [10:00] e o questionamento no E6 em [10:16]. A fala do E5 se refere à razão de ampliação do polígono gerado pela homotetia, mas não é explicitada na linguagem matemática formal. O licenciando questiona sobre o que gera o traço do ponto: a distância do ponto externo ao pentágono? Ou a variação da área? Em ambos os casos, percebemos que a razão de ampliação do polígono semelhante é o que faz com que ele significam que a variação da área e o traço do ponto, só ocorrem pelo artifício utilizado na construção que define a razão de ampliação: o controle deslizante. Por sua vez, a seta que sai da variação da área para a variação do traço do ponto, quer dizer que o ponto se move por meio da variação da área, já que ele depende das coordenadas traçadas. Os conhecimentos que surgem nesse instante da interação são classificados como conhecimentos do conteúdo, uma vez que, estão ligados a uma situação de aprendizagem dos licenciandos. Segundo Mishra e Koheler (2006) e Shulman (1987) o conhecimento do conteúdo Após a fala do E6 sobre a irregularidade dos pentágonos, destacada na seção anterior, A análise da simetria entre os sujeitos durante a construção e discussão da simulação se O conhecimento matemático que identificamos no trecho 6 da conversa entre os Acreditamos que os sujeitos optaram por não mostrar o tratamento algébrico realizado a resposta com o software ou com lápis e papel. os licenciandos do Grupo A finalizam a atividade proposta. Com isso, os sujeitos não deu a partir da contagem das falas que fizemos na transcrição do áudio. Nesta dimensão foram licenciandos, se refere ao domínio da função a partir da simulação. Fica evidente na discussão pela demora em inserir os dados em um editor de texto. No entanto, poderiam ter mostrado esse A partir da conversa dos licenciandos sobre aproximações, no instante [17:10], eles evidenciam as afirmações que fazem sobre o registro gráfico e algébrico, sob o traço do ponto categorizadas um total de 37 falas, que ocorreram ao longo da sessão entre os três sujeitos dos sujeitos, que eles reconhecem as restrições do domínio apresentadas a partir do traço do tratamento em papel e lápis e colado como imagem na tela para que a estratégia utilizada ficasse seguem a partir da ideia das aproximações, com a afirmação do valor do coeficiente b como presente na construção da simulação. Com isso, destacamos que as afirmações: a função que participantes. Esta dimensão segundo Baker (2002) observa a troca de informações entre os ponto. Como na simulação as variáveis independentes são os valores do comprimento do lado mais clara. Apesar disso, os licenciandos seguem a discussão apresentando os resultados sendo tão próximo de zero, que eles o desconsideram. Neste caso, especificamente, é representa o traço do ponto é fx=2,12x2; o valor do coeficiente b é igual a zero e o registro sujeitos durante a sessão colaborativa, classificando-os em propositor ou receptor. O sujeito do polígono, e as dependentes a medida de área, os sujeitos afirmam que o intervalo a ser encontrados, que discutiremos na seção seguinte. perceptível que os licenciandos apresentam o conhecimento matemático, mas não percebem gráfico da função encontrada se aproxima do traço do gráfico, não puderam ser validadas. Os propositor é aquele que propõe algum questionamento, proposta de solução ou apresenta considerado para o domínio da função deve ser de zero a infinito. sujeitos poderiam ter mostrado as aproximações que fizeram em ambiente papel e lápis, como alguma estratégia para que o grupo avalie sua pertinência ou não, diante do que está sendo como a tecnologia transforma a Matemática, para adequar as representações às situações 6.5.2.1.8 Razão de ampliação varie o comprimento dos lados e, consequentemente, sua área. Como discutimos anteriormente, (CK) é aquele sobre o que deve ser ensinado ou aprendido, considerando os fatos, ideias, teorias colocadas em um ambiente tecnológico. também, poderiam utilizar o software para traçar o registro gráfico da função e fazer com que realizado. Em contrapartida, o sujeito receptor é aquele que recebe a mensagem do propositor,
	a razão de ampliação parte da construção do controle deslizante, sua atribuição ao raio da o ponto se movesse simulando o traçado do gráfico sob a curva da função encontrada. concordando ou não com sua colocação.
	circunferência e o ponto da circunferência que pertence a uma das retas que passa pelo vértice
	do pentágono. 6.5.2.2 Análise Colaborativa do Grupo A
	:
	Trecho 7 -Tratamento algébrico Quadro 14: Eventos e potencialidades do software 11:38 E7 -Primeiro, a gente pegou dois pontos, daquela função -Nos primeiros momentos da discussão, os estudantes E5, E6 e E7 discutem ideias de Transcrição de imagem: mostra a janela com a construção no geogebra -
	Evento qual função estaria sendo representada a partir do traço do ponto, buscando elementos Potencialidades do software dessa função aqui. Escolhemos dois pontos que nesse caso foi: 1,02 e 2.23;
	Variação do raio (ou razão de ampliação) 2,01 e 8.71. matemáticos para fundamentar a discussão inicia: 12:17 E6 -Então, a gente montou um sistema -escreve no editor de texto x = Automação
	1,02 Podemos destacar, a partir da fala do E6, dois aspectos: o primeiro se refere ao Interseção entre as retas e o traço das paralelas Histórico Função esconder/apagar objetos Visualização Trabalho simultâneo entre duas telas Visualização Escolha do lado do polígono Automação Rastro do ponto Automação Fonte: Elaborado pelo autor Analisando o quadro anterior, percebemos que o software Geogebra, apesar das 12:22 E7 -substituindo esses dois pontos. 12:23 E6 -Na função quadrática, e antes da gente substituir todos os valores, conhecimento matemático envolvido, ou seja, a capacidade de percepção do licenciando, Trecho 4 -Discussão inicial sobre a simulação 10:00 E6 -Primeiro que a gente observou, é que tipo de função, ela deve representar. A gente vê que é uma função que relaciona, o lado do pentágono, com... 10:10 E7 -com a área do polígono a gente percebeu que c é igual a zero, porque o gráfico corta o eixo nas... mesmo que implicitamente, em reconhecer que a irregularidade dos pentágonos influencia Transcrição: (Na tela do editor de texto x1= 1,02 y1 = 2,02) 12:36 E7 -Na origem... Com isso concluímos que o c é zero. Por ser um trecho de conversa pequeno, juntamos dois eventos que identificamos neste diretamente na variação dos valores do coeficiente das funções. O segundo diz respeito, não A primeira dimensão, Simetria, busca analisar o papel dos sujeitos na interação como 13:03 E7 -O segundo ponto é 2,01 Transcrição: Fala enquanto digita no editor mesmo tópico. O primeiro, diz respeito às aproximações que os licenciandos apontam que necessariamente a um conhecimento, mas sim ao fato do licenciando "consultar" ou recorrer a aquele que propõe ou recebe a mensagem. Nesse sentido, as categorias de simetria foram 10:11 E6 -Isso aí!E aí a gente observou... 10:16 E5 -Não, mas não era isso que eu estava perguntando não. Eu estava perguntando, não era o lado do pentágono não, era o ponto ao pentágono. 10:26 E6 -Ah eu... 10:26 E5 -A distância do ponto ao pentágono ou a área do pentágono que 10:28 E6 -Pronto... é a discussão de E5 é aquele ponto que desliza no gráfico 10:37 E5 -Isso... um pouco demorado, nós vamos mostrar só o final. O software Geogebra, ao ser instalado, vem com uma configuração definida para os colaborativos envolvidos na resolução da atividade proposta. Nesse sentido, buscamos mais obter o valor de a e b. Como, o desenvolvimento, para chegar ao resultado, é faz aquela função? E7 -e 8,71 fizeram para encontrar os valores de a e b. No instante [16:52-17:10] os sujeitos afirmam que outros grupos que estavam fazendo a mesma simulação, para observar o comportamento dos definidas como propositor e receptor. A segunda dimensão, Acordo, busca analisar o 13:36 E7 -Aí a gente vai substituir esses dois pontos, na fórmula de uma função quadrática em função de a e b. f(x) = ax^2+bx. Primeiro substituímos fizeram aproximações para encontrar os valores de a e b, mas desconsideram as aproximações pentágonos. Esta atitude do Grupo A nos mostra que a atividade foi, de fato, relevante na posicionamento do receptor diante das mensagens do propositor. As categorias de acordo foram (SIC) o primeiro ponto. 15:52 E7 -Com isso montamos um sistema, com essas duas equações, para feitas pelo próprio software para atribuir valores aos pontos no plano cartesiano. formação dos licenciandos e neste grupo, podemos perceber a partir das interações, aspectos definidas como concorda ou discorda.

limitações comuns aos softwares de maneira geral, apresenta os aspectos relevantes segundo Kaput para classificação de softwares educacionais para o ensino de Matemática.

A discussão da construção da simulação entre os sujeitos traz algumas questões que competem ao conhecimento matemático e conhecimento tecnológico, para resolver as questões da atividade que sugerimos ao final da etapa de familiarização presencial. Na atividade, os licenciandos foram desafiados a identificar o registro gráfico do traço do ponto, quando animamos o controle deslizante e o registro algébrico da função. O Grupo A, durante a gravação da tela, ao final da construção da simulação, discute a construção e ao mesmo tempo, tenta identificar os registros gráfico e algébrico. 10:37 E6 -Na verdade, aquele ponto que desliza no gráfico, é a relação entre o lado do pentágono e o seu lado. 10:47 E7 -Por que aquele ponto ali, não é um ponto fixo, ele tá variando. 10:50 E6 -Ou seja, quanto mais eu aumento o lado, mais eu aumento a área do pentágono. No trecho 4 da conversa entre os licenciandos, conseguimos identificar questionamentos sobre a função gerada a partir de diferentes olhares. O conhecimento matemático, na TPACK Conhecimento do Conteúdo, aparece fortemente nessa conversa entre os sujeitos. Primeiramente, em termos de conhecimento matemático, a discussão revela o domínio dos sujeitos com relação ao conceito de Função. Os E6 e E7 no primeiro instante da conversa, já reconhecem que a função é gerada a partir da relação entre o lado e a área do pentágono. Por sua vez, o E5 levanta questionamentos sobre o que faz o traço do ponto, deixando implicitamente a concepção da razão de ampliação como um dos fatores determinantes para isso. Para compreender melhor, observe o esquema a seguir: Figura 27: Discussão da razão de ampliação entre os licenciandos Fonte: Elaborado pelo autor e estrutura organizacional. Dessa forma, mesmo que eles não sejam docentes, já que neste caso eles estão em fase de familiarização e não em uma situação de ensino, podemos classificá-los no quadro teórico da TPACK como Conhecimento do Conteúdo (CK). 6.5.2.1.9 Reconhecimento da família de funções quadráticas e fórmula geral da função quadrática Seguindo a discussão dos licenciandos sobre a simulação, identificamos outro conhecimento matemático que surge na interação. No instante [09:55-09:59], o E7 mostra a imagem de outra janela, externa ao software em um editor de texto, dando início a discussão e deixando claro que já haviam identificado a função quadrática como sendo o modelo da simulação. Figura 28: Imagem da tela no instante 09:57 Fonte: Elaborado pelos licenciandos 11:25 E7 -Só que limitada, já que as medidas, não podem ser negativas. 6.5.2.1.11 Tratamento algébrico utilizando a fórmula geral da função quadrática Com a identificação do domínio da função quadrática, os licenciandos passaram para o tratamento algébrico utilizando a fórmula geral da função quadrática. Novamente nesta situação, o conhecimento matemático dos sujeitos é evidente e a estratégia utilizada foi montar um sistema de equações polinomiais do 1º grau, uma vez que, eles reconheceram o valor do coeficiente c como sendo igual a zero, a partir da observação do traço do ponto. Analisando as falas dos sujeitos, percebemos que eles tomam os valores a partir do que o software mostra, para construir as equações do sistema. Nesse sentido, observamos no trecho de conversa o tratamento algébrico realizado para solucionar a situação proposta na atividade. 6.5.2.1.12 Aproximações feitas pelo software e atribuição do valor do coeficiente "b" na função quadrática utilizando aproximações Na sequência da discussão para resolver a atividade proposta, os licenciandos apresentaram os valores que encontraram após o tratamento algébrico: Trecho 8 -Aproximações 16:09 E7 -Ao final, encontramos a = 2,12 e o b, deu um valor muito próximo de zero. 16:37 E6 -Aí é onde eu consigo observar alguma coisa. Provavelmente, esse b deve ser igual a zero por erro de alguma precisão no cálculo, visto que... 16:52 E7 -Como fizemos vários arredondamentos, para facilitar o cálculo. 16:56 E6 -Então, por isso que esse b deu próximo de zero, mas provavelmente esse b é igual a zero. 17:10 E7 -Achamos b valendo -0,03. Aí, durante a discussão, nós concluímos que o b era muito próximo de zero. 17:48 E5 -Não significativamente à curva, mas consequentemente achamos que a função é dada, por f(x) = 2,12*x^2 e que essa função varia a cada x. números de casas decimais a serem consideradas no plano cartesiano. Nesse sentido, as coordenadas dos pontos traçados na tela do software sofrem alterações, considerando sua préconfiguração. Ao realizar aproximações para chegar aos valores dos coeficientes a e b, os licenciandos desconsideraram 6.5.2.1.13 Pentágonos irregulares Ao final da realização da atividade proposta, na fala de um dos licenciandos, o conhecimento matemático aparece na seguinte afirmação do E6: Trecho 8 -Pentágonos irregulares 18:43 E6 -O que a gente pode perceber também, é que cada pentágono, que cada grupo tá (SIC) fazendo que a gente notou nos outros grupos, é que foram feitos os cálculos também e eles variam. No caso, o valor de a varia para cada tipo de pentágono, por quê? Porque eles são irregulares, então lá, a relação entre o lado e a área varia também.

adiante, analisar as interações desses sujeitos, utilizando o Modelo de

[START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF]

.

Antes disso, faremos algumas considerações, com relação a ausência de validação do Grupo A na seção seguinte.

O último índice de eventos que selecionamos apresentou discussões entre os sujeitos sobre o conhecimento matemático envolvido na construção da simulação, como também as estratégias utilizadas para solucionar os problemas propostos na atividade. Percebemos que as estratégias traçadas pelos sujeitos para resolução da atividade proposta foram discutidas de forma coletiva, considerando as opiniões e questionamentos de cada um, para chegar à solução final. Sendo assim, esses eventos serão analisados a partir do modelo de Baker, buscando identificar aspectos colaborativos que emergiram das interações.

Para analisar as interações coletivas entre os sujeitos, consideramos criar categorias sugeridas no modelo de Baker segundo as dimensões da colaboração. As duas primeiras dimensões, consideram a fala do sujeito como unidade de análise.

Finalmente, a dimensão Alinhamento não considera a fala do sujeito como unidade de análise, mas sim o contexto da conversa entre os participantes, buscando apontar os instantes nos quais os sujeitos se encontram inseridos na discussão ou dispersos formando subgrupos que interagem fora da temática que está sendo observada.

Nesse sentido, nossa análise está baseada na classificação das falas dos sujeitos em propositor ou receptor, diante do que foi discutido ao longo da interação do Grupo A. Vale salientar, que na contagem das falas dos sujeitos nesta dimensão, não é necessário separar as falas de acordo com o índice de eventos que apresentamos anteriormente, isso porque, a simetria segundo

[START_REF] Baker | Forms of cooperation in dyadic problems-solving[END_REF] 

considera a participação dos sujeitos de acordo com os papéis que eles assumiram na interação, ao longo de toda a sessão, não especificamente por evento.

  envolvidos aparecem nitidamente nos trechos da conversa. No quadro 17 a seguir, trazemos os conceitos matemáticos compartilhados pelos sujeitos e as linhas em que eles aparecem: Assim como na etapa anterior percebemos neste trecho de conversa um alinhamento coerente entre os sujeitos. Isso por que eles mostram na conversa que estão em fase, no mesmo nível de solução do problema e compartilham o mesmo ponto de vista conceitual, ou seja, estão

	Linhas	L1 -L3	L4	L5 -L11	L5 -L11	L4 -L11
	Trecho 10					
	Quadro 17: Conceitos matemáticos compartilhados pelos sujeitos no mesmo estágio de solução do problema. Primeiramente, eles estão em fase, pois nenhum
	Objeto matemático deles está tentando compreender a metodologia de solução, pelo contrário, demonstram um Linhas de conversa Procedimento Sujeitos E5-E6-E7 Não há E5 -E6 -E7 E5 -E6 -E7 Não há
	Coordenadas cartesianas conhecimento mútuo do que está sendo colocado. L24 -L25	Tratamento algébrico
	Valor da função no ponto problema, isto é, para encontrar o registro algébrico da função, eles discutiram coletivamente, L26 -L27 -L28 Tratamento algébrico Com relação ao nível de solução do problema é perceptível que para solucionar o Linhas L14 -L23 Não há L14 -L23 L14 -L23 Não há
	Interseção do gráfico com o eixo das ordenadas sem ações individuais, ao menos no trecho de conversa que mostramos acima. Além disso, L27 -L29 Conversão a partir da visualização gráfica Trecho 11
	Valor da função no ponto final, encontramos...; L37: Como fizemos…; L39: Achamos b. L30 -L31 -L32 -L33 -L34 Tratamento algébrico semanticamente, mais uma vez eles utilizam palavras que denotam uma ação coletiva: L35: Ao Sujeitos E6 -E7 E5 E5 -E6 -E7 E5 -E6 -E7 Não há
	Linhas	L 24 -L34	L24 -L34	L24 -L34	L24 -L34	Não há
	Trecho 12					
	Sujeitos	E5 -E6 -E7 Não há	E5 -E6 -E7 E5 -E6 -E7 Não há
	Linhas	L35 -L40	Não há	L35 -L40	L35 -L40	Não há
	Fonte: Elaborado pelo autor				
	Observando o quadro temos um panorama geral dos quatro trechos de conversa
	analisados. Com isso, percebemos que o E5 ficou fora de fase nos trechos 9 e 12, mas por outro
	Trecho 12 -Determinação do registro algébrico da função quadrática lado, com relação aos aspectos restantes, houve um engajamento do grupo e as tomadas de
	L35 16:09 E7 -Ao final, encontramos a = 2,12 e o b, deu um valor muito próximo de zero. decisões coletivas evidenciadas no nível de compreensão e no estágio de solução do problema,
	L 36 16:37 E6 -Aí é onde eu consigo observar alguma coisa. Provavelmente, esse b deve ser igual a zero por erro de alguma precisão no cálculo, visto nos fazem concluir que os sujeitos estavam alinhados. Porém, para inferir com relação à
	que... aprendizagem colaborativa, devemos observar as outras dimensões e classificar o grupo de
	L37 16:52 E7 -Como fizemos vários arredondamentos, para facilitar o cálculo. Meta Nível Estágio acordo com os níveis do modelo de Baker.
		L38 16:56 E6 -Então, por isso que esse b deu próximo de zero, mas
		provavelmente esse b é igual a zero. Em Fase Fora de Fase	CPV	NCPV
		L39 17:10 E7 -Achamos b valendo -0,03. Aí, durante a discussão, nós
	Trecho 9	concluímos que o b era muito próximo de zero.	
	Sujeitos	E6-E7	E5	E5 -E6 -E7 E6 -E7	E5

Fonte: Elaborado pelo autor Neste trecho de conversa o procedimento realizado pelos licenciandos é uma conversão do registro figural (geométrico), para o registro algébrico. Eles partem do pentágono, utilizando as coordenadas já aproximadas e dadas pelo software, como também, utilizam as coordenadas aproximadas do ponto que aparece na janela de visualização 2 e que traça o rastro do gráfico da função que eles querem determinar. No entanto, elencamos os objetos matemáticos e o procedimento utilizado no processo a cada etapa, para evidenciar que os sujeitos apresentam vários pontos de vista conceituais em cada linha de conversa. O último trecho de conversa entre os sujeitos que apresenta uma atividade coletiva nesta etapa de formação é o seguinte: L40 17:48 E5 -Não significativamente à curva, mas consequentemente achamos que a função é dada, por f(x) = 2,12*x^2 e que essa função varia a cada x. Finalmente, o estágio de solução do problema, mostra que os objetos matemáticos e procedimentos utilizados foram compartilhados e que eles não demonstram pontos de vista conceituais diferentes ou esboçam representações de soluções distintas. Neste aspecto, os licenciandos utilizam o tratamento algébrico para resolver um sistema de equações e utilizam aproximações para determinar o valor do coeficiente b.

No entanto, vale destacar novamente a ausência de validação da metodologia de solução do problema. Em termos colaborativos, não podemos discutir este aspecto, já que na discussão os membros do grupo concordam entre si sobre a solução encontrada. Mas, destacamos que seria necessária uma validação da solução, que do ponto de vista da TPACK destacaria o conhecimento matemático dos sujeitos, e além disso, uma validação por meio de software evidenciando o TCK que emerge da atividade.

Para concluir a análise desta dimensão da colaboração, elaboramos um quadro síntese de todos os trechos de conversa analisados do Grupo A:

Quadro 18: Síntese da análise do alinhamento

  aula, de forma coletiva e guiado por meio de um script. O segundo, também guiado por script, No nosso caso, utilizamos áreas afins ao nosso quadro teórico, ou seja, os conhecimentos docentes.

	Quadro 21: Dados analisados na 4ª Etapa
	Etapa Nesse sentido, o grupo A foi definido como caso desta pesquisa e os sujeitos a partir da Tempo de vídeo
	Objetivos de aula classificação dos conhecimentos, foram os mesmos que participaram da 2ª etapa do 1h41min51s
	experimento, com exceção de um deles, que entrou como quarto membro e com habilidades Elementos da OI Fonte: Elaborado pelo autor tecnológicas. Assim, os membros do grupo em termos de conhecimento foram assim
	constituídos: E5 -Matemático; E6 -Didático; E7 -Matemático e E8 -Tecnológico. Estamos
	chamando de E8 o novo membro do grupo A e os demais membros permanecem com a mesma
	Para análise do G4, na 4ª etapa de formação, dividimos esta seção em duas subseções: nomenclatura das etapas anteriores.
	Discussão e definição dos objetivos de aula e Planejamento a partir das etapas da OI. Em cada
	etapa, partimos do modelo de análise microgenética elencando os eventos de cada subseção e
	articulando as conversas de chat com as capturas de tela, mostrando de forma temporal
	crescente os eventos identificados.
	ANÁLISE DA 4ª ETAPA DE FORMAÇÃO
	para definir a configuração didática e o modo de execução (TROUCHE, 2005; DRIJVERS; Para análise da 4ª etapa de formação, dividimos a seção em duas subseções de acordo
	TROUCHE, 2008) da aula, pautado nos conhecimentos teóricos dos sujeitos na formação com o que foi realizado no experimento.
	durante a disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática. 6.8.1 Discussão e definição dos objetivos de aula
	Os dados coletados nesta etapa, como abordamos no capítulo anterior, foram os vídeos das interações, por meio de captura de tela durante as sessões. Para análise dos dados nesta Na fase de discussão e definição dos objetivos de aula, os licenciandos interagiram à

etapa, utilizamos as capturas de tela dos vídeos, como também as conversas geradas no chat entre os sujeitos. A seguir, temos um quadro que descreve os dados coletados do G4 e que serão analisados nesta etapa: Definido o índice de eventos, buscamos identificar os conhecimentos à luz da TPACK, identificando as interseções que ocorrem em cada evento. Além disso, articulamos a dimensão alinhamento do modelo de Baker mapeando em quais interseções e/ou conhecimentos identificados o alinhamento ocorre. As dimensões simetria e acordo foram analisadas separadamente em outra subseção, uma vez que, para analisar estas dimensões, foi necessário distribuir os papeis dos sujeitos e o posicionamento a partir do percentual do total de falas em todos os eventos. Ao final de cada subseção, fizemos a síntese da análise e a discussão com base em nossa literatura. distância, em um ambiente online e compartilhado. Analisando o caso do Grupo A, identificamos, a partir dos nossos objetivos de pesquisa, os eventos que emergiram das discussões e ações neste ambiente. Como abordamos na seção 5.5, os critérios de constituição dos grupos para a 4ª e 5ª etapa do experimento foram as habilidades dos sujeitos em determinadas áreas.

  L93 E6: então era apenas o objetivo? A gente já ta indo além kkkkEste trecho de conversa entre o pesquisador e o E6 ocorre ao final da sessão. Mesmo o script evidenciando que esta etapa compreenderia apenas a definição dos objetivos de aula, o licenciando questiona sobre isso. Neste caso não se compreende uma falha do roteiro, mas sim um relapso de atenção ou de leitura por parte do licenciando com relação ao documento. De maneira geral, percebemos que houve falhas pontuais no script, pois foi necessário retomar o que deveria ser feito no início da sessão. Mas, em sua totalidade, as temáticas distribuídas foram claras e acatadas pelos licenciandos, levando-nos a afirmar que parte das informações do roteiro foram claras.

	L7 P: Então coloquem
	L8 E8: queria q vc desse auxílio nessa montagem
	L9 E8: Pq basicamente eu ainda estou perdido no que iremos fazer
	L10 P: Como assim?
	L11 P: Bom. Então... Primeiramente cada um deve pesquisar sobre um dos
	temas que está relacionado na tabela
	L12 L: como vai ser a organização desse documento?
	L13 P: Depois devem discutir sobre os temas listados no roteiro aqui no bate
	papo e depois estabelecer objetivo(s) de aula. Caso não saibam o que é um
	objetivo de aula, devem pesquisar sobre isso e inserir as ideias de como criar
	os objetivos de vocês aqui. Também devem constar no documento as
	referências do que for pesquisado. Ou seja... Os sites e artigos. Não vou
	interferir nas interações. O documento é de vocês e vocês decidem como o
	organizam. A interação irá até as 21h30. O grupo deve justificar a
	distribuição dos temas e TODAS as decisões devem estar claras aqui.
	L14 P: Alguma dúvida pessoal?
	L15 E8: Por enquanto não.
	L16 P: Ok. A página é de vocês. Teremos uma próxima sessão que será
	marcada na planilha.
	Legenda: P -Pesquisador; E6 -Estudante 6; E8 -Estudante 8
	As falas dos sujeitos E6 e E8 denotam uma falha do script estruturado para esta sessão.
	Isso porque o roteiro não deveria deixar lacunas de compreensão quanto às tarefas a serem
	realizadas pelo grupo. A fala do sujeito E8 na L9 evidencia isso claramente, pois foi necessária
	uma intervenção do pesquisador/mediador para esclarecer o texto do script. Outro trecho que
	Trecho 13 -Entraves na compreensão do script L1 P: Olá Boa noite! denota falha do roteiro é o seguinte:
	L2 E8: Boa noite td bem?
	L3 E6: Boa noite.
	L4 P: As instruções estão no documento. Alguma dúvida?
	L5 E8: então
	L6 E6: algumas

No trecho 13, observamos nas linhas destacadas, as falas dos sujeitos que caracterizam os entraves na compreensão do script. Em CSCL, o papel do mediador concentra-se apenas em breves interações com os participantes da sessão, acerca de aspectos técnicos e tecnológicos.

Sendo assim, o pesquisador neste primeiro trecho na L4, questiona os sujeitos sobre possíveis dúvidas na realização da atividade, que neste caso, seria a discussão a partir de temas prédefinidos, pesquisa e compartilhamento de informações com o grupo, para enfim, criar objetivos de aula para o ensino de Funções.

O nosso modelo de script está baseado no micro script

[START_REF] Dillenbourg | Flexibility in macro-scripts for CSCL[END_REF]

, que se caracteriza pelo número de sessões que realizamos, além da flexibilidade e alternância de papeis entre os sujeitos. Além disso, outra característica do nosso modelo é o script de instrução

(DILLENBOURG, 2002)

, que visa listar instruções de ações para os sujeitos de como se posicionar e como agir no decorrer de uma sessão.

Trecho 14 -Entraves na compreensão do script -Parte 2 L91 E6: qual vai ser a metodologia de ensino e nossos recursos? L92 P: isso vai ser decidido em outra sessão.

  os conhecimentos produzidos são individuais ou coletivos. Na seção seguinte, trazemos as discussões dos licenciandos para definição dos objetivos de aula. No trecho não há manifestação de um dos membros do grupo, fazendo com que, as decisões sejam dissociadas e separem o grupo como unidade. Embora possamos analisar o alinhamento, a caracterização do grupo enquanto colaborativo ou cooperativo só poderá ser feita mais adiante com a análise das outras dimensões do modelo.

	6.8.1.3 Discussões a partir dos temas elencados no script
	Quadro 22: Conhecimentos identificados no trecho 16
	Quando os licenciandos começam a discutir sobre as temáticas propostas no script, Conhecimento Trabalho Caracterização
	percebemos algumas subdivisões em torno do que está sendo colocado. Essas subdivisões se (TPACK) Coletivo
	caracterizam por decisões coletivas, individuais e aspectos relacionados aos conhecimentos da Conhecimento Não alinhados Escolha do conteúdo de aula pelos
	TPACK. Pedagógico (PK)	licenciandos E6 e E8.
	pedagógico. Na TPACK, o conhecimento pedagógico está relacionado aos aspectos de
	Dos quatro licenciandos que constituem o grupo, apenas um deles justifica a sua planejamento e execução da aula (MISHRA; KOEHLER, 2006), e como a escolha de conteúdo
	habilidade com base em uma formação prévia; os demais justificam as habilidades com base está diretamente ligada ao planejamento, podemos classificar este trecho como pertencente ao
	no questionário respondido na terceira etapa deste experimento. A partir das interações nesta (PK).
	etapa, podemos observar como os sujeitos desenvolvem suas habilidades (autodeclarada) e se
	elas se confirmam mais adiante, na análise dos conhecimentos que surgirão nas demais Além disso, observando ainda o trecho destacado à luz da CSCL, mais especificamente
	conversas. o alinhamento do modelo de Baker (2002), podemos dizer que os sujeitos estão desalinhados

Trecho 15 -Distribuição de papeis L17 E8: Eu fiquei encarregado da parte tecnológica e interações com software pelo fato de eu já ter feito um técnico em informática. L34 E7: eu fiquei responsável pelo tema de dificuldades na aprendizagem de funções, pelo fato de que sua divisão me colocou na categoria matemático e partindo desse ponto buscar o entendimento desse problema. L35 E6: Como na divisão eu fiquei com a parte didática, serei o estudante 4. L36 E5: Eu fiquei com a parte de abordagem de livros didáticos, pois minha melhor habilidade é a matemática.

Outro aspecto que podemos confrontar, com as informações das habilidades dos sujeitos, são as interseções entre os conhecimentos. A partir da TPACK podemos determinar se há ou não interseções entre os conhecimentos que emergem da discussão entre os licenciandos e se No começo da discussão os sujeitos começam a conversar entre si, agora sem a presença do pesquisador de forma direta, sobre o tipo de função que eles abordarão na aula: Trecho 16 -Definição do tipo de função a ser abordada na aula L26 E6: o mais importante não foi falado, nós escolhemos tratar da função afim. L27 P: devem também justificar o porquê L28 E8: porque é mais fácil, mais simples de trabalhar. É a primeira função apresentada na escola. L29 P: o grupo concorda? L30 E6: Sim L31 E6: porque é o primeiro contato com função que o aluno tem.

Neste trecho, o pesquisador ainda parece mediando as interações entre os sujeitos e questionando-os sobre a escolha da função afim como objeto matemático central da aula. A escolha da função afim como objeto de ensino da aula a partir da justificativa apresentada nos remete ao primeiro conhecimento que se destaca das interações do grupo: o conhecimento pelo nível de compreensão do problema. Com relação à meta de solução e ao estágio de solução do problema, podemos dizer que os sujeitos estão em fase e no mesmo ponto de vista conceitual, ou seja, em torno da temática de funções, mas o nível de compreensão envolve as decisões coletivas, que neste caso, concentram-se apenas no E6 e E8, que concordam entre si.

Fonte: Elaborado pelo autor Após definir o tipo de função a ser abordada na aula os sujeitos partem para busca de fontes externas com base no que está definido no script, como mostra o trecho a seguir:

Trecho 17 -Pesquisa para definir os objetivos de aula L37 E8: Bora falar aí galera! L38 E7: Gente, essas propostas curriculares são os parâmetros? L39 E8: eu achei um site do geogebra tube aqui L40 E6: Estou pesquisando sobre o meu tema L41 E8: eu acho q (SIC) vou botar um print na folha ai sobre o site L42 E6: eu acho que é isso aí. L43 E8: Estou buscando aqui no site do Geogebra Tube. Tem vários materiais, vou fazer um print e trazer o site pra cá. L44 E6: Eu acho que cada um deve postar os seus aqui para discutir. L45 E7: Também acho. Vamos colocar o print e as fontes.

  é quase sempre individual, remetendo o futuro professor a não se adaptar ao planejamento coletivo, mais comum na realidade escolar.

	Compreendemos então, que o trecho de L37 a L45 mostra o conhecimento pedagógico
	dos licenciandos, sendo revelado de forma coletiva, na tomada de decisões do
	compartilhamento de informações para planejar. As ações coletivas evidenciam que os sujeitos,
	apesar da divisão de tarefas, constituem um alinhamento do grupo, pois há uma proposta de
	discussão das buscas de cada um a partir do que foi definido no script. Em termos de
	conhecimento docente e CSCL, temos:	
	Quadro 23: Conhecimentos identificados no trecho 17
	Conhecimento	Trabalho Coletivo	Caracterização
	(TPACK)			
	Conhecimento	Alinhamento do grupo ao se
	Pedagógico (PK)	lançarem	propostas	de
		discussão posterior às buscas
		de cada um.		

corriqueiro na formação inicial de professores: o planejamento coletivo. Segundo Borowicc e Zotti (2018, p.74) "O planejamento coletivo é um processo que dá unidade à escola e, na partilha de conhecimentos, amplia o aprendizado de todos, além de possibilitar a colaboração e troca entre os educadores com mais e menos experiência." Com isso, na formação inicial de professores esse processo

  Prosseguindo na discussão, da L48 a L68 os sujeitos discutem claramente a partir do que foi buscado e a partir daí fazendo com que alguns dos conhecimentos emergissem. As discussões as quais nos referimos começam na L52 com o E6 se colocando sobre o que encontrou em suas pesquisas e podemos destacar a interseção de dois conhecimentos, o pedagógico e do conteúdo. Esses conhecimentos aparecem juntos, pois na fala do E6:Trecho 19 -Resultados das buscas do E6 L52 E6: Segundo alguns autores, eles existem algumas noções relacionadas as funções como a relação entre grandezas, a ideia de variável, que muitos alunos não conseguem perceber a diferença entre as funções e equações.

	Trecho 18 -Link externo
	L46 E8
	http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31620/000783851.pdf

  No trecho de conversa 22 da L70 a L75, observamos que, por estarem no início da licenciatura, os sujeitos E6 e E7 demonstram não compreenderem como elaborar um objetivo de aula. Com isso, o mediador propõe que os licenciandos pesquisem e construam esses objetivos, e a partir disso, identificamos um entrave com relação ao conhecimento pedagógico dos sujeitos, que claramente, se justifica por estarem em processo de formação inicial. Ainda na L88 o E8 questiona quem é o participante identificado como porco-espinho anônimo, outro entrave desta vez de identificação do sujeito. A plataforma do Google Drive (GOOGLE, 2012) identifica com apelidos os usuários não identificados por login no Google, ou seja, que acessam por meio do link disponibilizado sem acessar sua conta.Por fim, nas últimas linhas do trecho 22, os sujeitos se articulam para finalizar a sessão, inserindo os objetivos específicos no documento. Mais uma vez, acreditamos que houve um meio de comunicação paralelo entre os sujeitos, pois eles escrevem os objetivos no documento, mas não discutem no chat como chegaram a eles. Nesse sentido, o conhecimento pedagógico aparece pelo planejamento da aula, a partindo neste momento dos objetivos, no entanto, o alinhamento não é identificado ao longo do trecho 22, pois há uma dispersão do grupo dentro do ambiente criado para interação.

		L83 E5 entrou no bate papo.	
		L84 E5 saiu do bate papo.	
		L85 E8: vou colocar algumas coisas a mais na minha parte, com minhas
		palavras.		
		L86 E8: porco-espinho anônimo qm (SIC) é? Acho que é o E5.
		L87 E5 entrou no bate papo.	
		L88 E8: P, o E5 tem um pc mto (SIC) lento, e por isso n (SIC) está falando no
	Trecho de conversa	Conhecimentos identificados chat, fica complicado pra ele digitar e acessar a internet. Achei outro material Aspectos da colaboração Entraves sobre funções. (alinhamento) L89 P: Ok.
	Trecho 16	Pedagógico (PK) L90 E6 e E7 digitam no documento os objetivos específicos. Não alinhados Não
		L91 E8 apaga os prints de tela.	identificado
		L92 E7: qual vai ser a metodologia de ensino e nossos recursos?
	Trecho 17	Pedagógico (PK) L93 P: isso vai ser decidido em outra sessão. Alinhados	Não
				identificado
	Trecho 18	Pedagógico (PK)	Não se aplica	Não
				identificado
	Trecho 19	Pedagógico (PK)	Alinhados	Não
				identificado
	Trecho 20	Pedagógico e do	Alinhados	Não
		Conteúdo (PCK)		identificado
	Trecho 21 Outro aspecto destacado nas linhas de L70 a L75 é o alinhamento entre os sujeitos E6, Pedagógico e do Alinhados Entrave
	Conteúdo (PCK) E7 e E8. Após E6 e E7 mostrarem dúvidas com relação à definição dos objetivos, o E8 toma a tecnológico
	Fonte: Elaborado pelo autor iniciativa pelo grupo de elaborar um objetivo de aula. Essa atitude demonstra uma ausência de
	alinhamento entre os membros do grupo, pois além de estarem fora de fase por não
	6.8.1.4 Objetivos de aula compreenderem o problema, ou seja, como definir um objetivo de aula, o nível de compreensão
	e o estágio de solução são diferentes, uma vez que, os sujeitos E5, E6 e E7 não participam,
	Após a discussão acerca das temáticas propostas, os sujeitos são alertados pelo mediador enquanto E8 parte para elaboração.
	sobre o tempo definido para a sessão, de forma que os objetivos de aula sejam definidos a partir Nas linhas L77 e L78, após o E8 definir o objetivo geral da aula para o grupo, o E7
	das conversas anteriores. aponta a necessidade de objetivos específicos, deixando claro que o objetivo do E8 é geral.
	Trecho 22 -Definição dos objetivos de aula Apesar de a concordância entre os membros não ser explícita, percebe-se que também não se
	L70 P: vcs precisam definir os objetivos. L71 E6: Ok. discorda e eles prosseguem na elaboração dos objetivos. O E8, ao tomar a iniciativa pelo grupo,
	L72 E7: como fazer isso? demonstra fortemente o conhecimento pedagógico, definindo o objetivo geral da aula.
	L73 E6: Boa pergunta. L74 P: vocês podem pesquisar. Como não cursaram algumas disciplinas Outro aspecto identificado no trecho de conversa 22 são os entraves tecnológicos do E5.
	como didática ainda, se justifica não saberem. L75 E8: Eu estou tentando elaborar esse objetivo. Da L80 a L84 podemos observar sucessivas entradas e saídas do E5 do documento
	L76 P: Vcs (SIC) precisam definir os objetivos de aula juntos. compartilhado e, em seguida, nas linhas L86 e L88 o E8 justifica a ausência do E5 e seus
		L77 E8: o objetivo é basicamente fazer com que o aluno entenda oq (SIC) é
		uma função, não só dita como f(x) mas tb como uma grandeza entre variáveis
		dependentes e independentes.	

L78 E7: Esse é o objetivo geral, tem os objetivos específicos. L80 E5 saiu do bate papo. L81 E5 entrou no bate papo. L82 E5 saiu do bate papo.

problemas com o computador utilizado para acessar o documento. Os entraves tecnológicos e técnicos em sessões colaborativas, são caracterizados por Araújo Filho (2015), que os define como problemas relacionados à conexão de rede e problemas específicos do dispositivo utilizado pelo participante de uma sessão, respectivamente.

  Por outro lado, podemos identificar os conhecimentos que emergem deste trecho, como na linha 90, onde o E6 se preocupa com o cumprimento dos objetivos estabelecidos, evidenciando o Conhecimento Pedagógico no sujeito. Em outro momento, na linha 106 o Apesar da formação na disciplina, os sujeitos tentam reforçar práticas tradicionais por meio do uso da tecnologia ou que não exploram o potencial dos softwares (LINS, 2010). Por outro lado, os licenciandos podem estar se questionando sobre as razões de se estudar Funções, pois como destaca Sierpinska (1992), no Ensino Médio os estudantes não enxergam aplicações práticas das funções. Os sujeitos E8 e E5 estão propondo atividades em que o software Geogebra aparece como item secundário, como fica claro nas linhas 102, 106, 107 e 108, onde os sujeitos afirmam que os alunos precisam calcular fora e depois inserir o gráfico no software, sem explorar o potencial dinâmico que eles discutiram na etapa de familiarização. Além disso, eles também não mostram uma valorização da diversidade de trecho 26 evidencia o planejamento dos licenciandos para elaboração da atividade.Nesse contexto, aparecem variáveis ligadas ao conhecimento pedagógico e do conteúdo. As variáveis pedagógicas e matemáticas aparecem no ato de planejamento coletivo dos sujeitos, na busca de situações que sejam coerentes para o trabalho em grupo dos alunos e que explore algumas propriedades das Funções de uma forma geral, como também, específicos da função afim, como vemos a seguir:

	licenciando E6 também demonstra preocupação com a valorização do pensamento estratégico
	dos alunos na resolução da situação proposta, evidenciando também, o conhecimento
	pedagógico.
	Outros elementos que aparecem neste trecho demonstram afirmações que trazemos em
	Trecho 26 -Extrato das linhas 90 a 116 L90 E6: e essa aula teria que abordar todos os objetivos L102 E5: Por exemplo, poderemos fazer com que os alunos construam o gráfico do problema no geogebra e depois pedir que eles achem o domínio e imagem da função L107 E5: para isso eles teriam que calcular fora do software e é aí que entra o professor L108 E8: teria que ser um problema na qual os alunos terão que montar a equação da função nossa problemática. registros que as funções possuem na configuração didática, mas destacaram a teoria nos L110 E6: isso.
	objetivos traçados, ou seja, eles podem ter se perdido um pouco não sabendo explorar essa
	diversidade.
	No entanto, na linha 117, o sujeito E7 mostra que uma possibilidade de exploração da
	automação no Geogebra (KAPUT, 1992). A proposta de criação do controle deslizante para
	explorar propriedades da função afim é denota um conhecimento tecnológico, pedagógico e do
	conteúdo no E7, pois ele sugere uma situação na qual os alunos poderão articular o uso do
	software para explorar propriedades funcionais, discutindo o papel de cada coeficiente.
	Analisando os sujeitos como unidades individuais, conseguimos identificar
	conhecimentos distintos a cada fala na discussão do grupo. Por isso, observaremos o grupo
	como unidade investigando o alinhamento entre os sujeitos e o conhecimento coletivo no trecho
	26. Em termos de alinhamento, podemos dizer que no trecho 26 os sujeitos estão alinhados,
	pois o grupo está engajado na discussão sobre a atividade a ser elaborada e os aspectos do

Trecho 25 -Método de distribuição dos grupos L63 E8: estou dando uma olhada em alguma atividade no geogebra que tenha função. L64 E8: mas e aí os alunos vão fazer de que maneira? Em grupo? Individual? Em dupla? L65 E6: Em grupo L66 E8: a sala toda junta? L67 E5: por exemplo: uma parte do grupo fala a atividade no geo L68 E8: em grupos de quanto? L69 E5: 4 L71 E6: E aí? Como faremos? Ideias? L78 E8: minha ideia é a seguinte: separamos a sala em grupos de 4 e após a explicação sobre função afim, passamos uma atividade para que eles (que ainda sera elaborada) L79 E5: precisamos estabelecer os objetivos L80 E8: e os grupos terão q se dividir em duplas para realizar a tarefa L81 E8: já tem os objetivos L82 E8: já estão nos slides alunos. modelo de Baker evidenciam que eles estão em fase, ou seja, no mesmo instante de discussão sem disparidades, no mesmo nível e estágio de solução do problema, pois não estão dissociados uns dos outros na busca de uma atividade coerente ao planejamento da aula. O .. Poderia ser uma situação do cotidiano L116 E7: a gente poderia mandar eles criarem uma reta e analisarem as consequências de acordo com as alterações feitas tipo fazer um controle deslizante pro coeficiente a e outro pro b Sendo assim, com relação ao conhecimento do grupo como unidade, consideramos que o Conhecimento Pedagógico e do Conteúdo (PCK) aparece ao longo da discussão. No entanto, o conhecimento tecnológico não aparece a não ser pela fala do licenciando E7, na linha 116.

  cada função, cada número aqui ele corresponde a apenas um número aqui no contradomínio, todos os números aqui são do conjunto do contradomínio, agora a imagem são só os números que estão ligados com os do domínio. Porque vai haver números aqui que não estão ligados, que são do contradomínio, agora os pontinhos que estão ligados são da imagem, então o conjunto da imagem tá dentro do contradomínio. Então isso é o básico, quando começa a estudar função e a primeira função geralmente é a função do primeiro grau. L8 E8: Aí começaria a falar sobre a função propriamente, porque a função tem sua parte algébrica e a parte gráfica (apaga o quadro).

	Trecho 28 -Definição geral de função
	L5 E8: Bom, eu sou o professor E8 e vou falar sobre função do primeiro grau.
	Quando você vai falar de função do primeiro grau o objetivo é fazer com que
	o aluno entre no mundo das funções, então você tem que primeiro começar
	do básico, domínio e imagem de uma função.
	L6 E8: Aí como todo mundo aprendeu, a gente começa assim, geralmente
	começa assim:
	L7 E8: Aqui é o domínio, aqui o contradomínio (escreve no quadro um
	diagrama de relação com flechas), então os pontinhos, os números que estão
	aqui (no domínio), em geral são os números reais, são números que estão no
	eixo x e

essas funções de ax+b seriam sempre retas lineares, é retas lineares, sempre

  vem do infinito e vai pro infinito, que esse plano cartesiano é infinito.

	Trecho 30 -Plano Cartesiano
	L11 E8: Então ajudaria a criança a como encontrar o x, como encontrar o y,
	como encontrar os zeros da função linear. Ajudar ela a montar o gráfico
	cartesiano, falar sobre o eixo y, o eixo x, falar que esse plano cartesiano é
	composto por pontos. E a reta que o gráfico representa, que a equação
	representa, passaria por pontos e que esses pontos eram o que a gente iria
	encontrar, as coordenadas x e y. Iria explicar que por exemplo, o ponto (2,1)
	-(escreve no quadro seria a reta vertical que passa em 2 e a horizontal que
	passa em um, o cruzamento das duas) -teria que falar tudo isso aí para que
	a criança entenda o que é uma função. E

Isso foi uma forma que eu aprendi, pra ver se a função é crescente ou decrescente. Olhando desse jeito pensando em uma pessoa, se estiver descendo tá decrescente, se estiver subindo é crescente

  Função crescente e função decrescente. Você sempre olha o gráfico da esquerda pra direita. Você olhando pra direita, vai ver que parece uma descida, então a função tá decrescente. Quando a função está crescente parece uma subida. E tem que olhar da esquerda pra direita, porque se você olhar ao contrário, vai dar errado.

	Trecho 33 -Sinal do coeficiente
	L13 E8: .
	L19 E8: Pra (SIC) saber se é crescente ou decrescente é só isso aqui (circula
	no quadro onde tem a<0, a>0 e a=0), a positivo crescente, a negativo
	decrescente. Isso

aí você já sabe pelo sinal do coeficiente.

  

	L20 PF: Funciona como regra? No ensino funciona como regra?
	L21 E8: Regra? Pra função linear?
	L22 PF: Sim, o aluno aprende como regra?
	L23 E8: Eu aprendi como regra. Podia até explicar o porque, o coeficiente
	representaria um ângulo, quando você olha a partir daqui (desenha uma linha
	horizontal no quadro) isso aqui é o ângulo zero. (Depois faz o sinal com a
	mão direita para o lado esquerdo, começando na linha horizontal, como se
	estivesse movimentando a reta), pra lá é positivo.
	L24 PF: Seria bom você ler um pouquinho o livro do Elon Lages, A
	Matemática do Ensino Médio, porque essa identificação entre o coeficiente
	angular e o ângulo geométrico, ela só existe se você trabalhar com o sistema
	cartesiano monométrico, ou seja, que as escalas dos eixos são iguais. Se
	mudar isso, aí a geometria não dá o ângulo. Aí ele mesmo aconselha… E o
	Elon é da Matemática, não nem é da Educação Matemática, que não se faça
	essa correlação. Porque se vai pra Física, vai colocar S=100t, como é que tu
	vai fazer um gráfico monométrico? Você vai pra Estatística, também tudo é…
	Não dá pra trabalhar com as mesmas escalas… Assim, com o mesmo tamanho
	né, nos eixos. Porque aí o ângulo, você não consegue mais essa
	correspondência geométrica do ângulo com o a. Existe a correspondência da
	declividade, mas não, do ângulo em si. Porque você lida com a tangência,
	com a declividade e não com o ângulo.
	L25 E8: Mas esse é o coeficiente da tangente.
	L26 PF: Porque quando a gente fala em ângulo, muitas vezes o aluno vai
	olhar a diagonal do sistema cartesiano e vai achar que a diagonal é sempre
	f(x)=x, a identidade. Nem sempre, dependendo do sistema cartesiano que você
	botar. Entendeu? Aí tem que ter um certo cuidado, porque isso dá a maior
	bronca pros meninos.

  L34 E5: O aluno tem que perceber que no dia a dia da gente, a gente se depara com vários tipos de grandezas. Por exemplo, um taxista que vai percorrer uma certa distância, tudo isso está no cotidiano. L36 E5: Resolver e elaborar a partir de informações em um gráfico ou tabela. Eu fiz uma pesquisa com a professora, quer dizer, ela estava me orientando em uma pesquisa, que para que o aluno tenha uma boa compreensão da matéria ele precisa visualizar por diversos… é… representações semióticas né? Uma delas seria gráfica, a outra seria algébrica, outra tabela, onde eu relacionaria o eixo x e o eixo y, onde o aluno pode se desprender do objeto matemático e chegar no conceito né. L37 E5: Eu acredito que esteja saindo um pouco do que seria uma aula né? L38 PF: Não, tudo bem. Você está explicando o por que da aula.

	Trecho 34 -Objetivos da aula
	L30 E5: Aí basicamente o objetivo é fazer com que o aluno entenda o que é
	uma função, não só dita como f(x). Porque o aluno quando ele vê a função lá
	f(x)=ax+b (escreve no quadro). O que é que a gente quer que o aluno entenda
	com isso? É… O aluno visualizar a variação entre grandezas que ele vê no
	dia a dia.
	L33 E5: Construir uma associações da proporcionalidade entre grandezas. É
	perceber que uma grande varia com relação a outra de maneira linear né. É
	uma coisa que o aluno tem que observar. A gente escolheu essa função porque
	é uma função mais fácil de maneira introdutória, a primeira coisa, o primeiro
	contato que o aluno tem com função com esse tipo de função é mais simples.
	Onde você tem aqui um coeficiente angular, um coeficiente linear e aqui eu
	tenho uma variável (escreve no quadro), onde eu tenho uma relação entre
	essas duas variáveis aqui, eu posso chamar de y e o x. Que seriam o que?
	Duas grandezas.

  Aí a gente iria dar uma pincelada rápida no assunto de função e traria o problema para os alunos resolverem. Aí com os dispositivos oferecidos por nós, o aluno tentaria resolver o problema no Geogebra, que a gente propôs. Aí seguindo o parâmetro da escola nova, seria mais fácil do que a gente dar atenção aos grupos… Aí seria mais fácil o desenvolvimento da aula e o aluno aprenderia de uma forma mais dinâmica até. É só isso.

	Trecho 35 -Configuração didática
	L41 E6: No caso, o objetivo era a gente elaborar uma aula com os parâmetros
	da teoria. É isso?
	L42 PF: Certo.
	L43 E6: A princípio eu pensei nos parâmetros da Escola Nova, não sei se tá
	ligado com a teoria, que no caso o aluno ele é o centro, o responsável pela
	própria aprendizagem e o professor ele só media a aprendizagem.
	L44 E6: Por isso que a gente decidiu dividir a sala em grupos de 4
	integrantes e cada grupo se dividiu em duas duplas, onde uma dupla
	resolveria o problema algebricamente e a segunda dupla, resolvia o problema
	no geogebra, no software.
	L45 E6:

  Trecho 36 -Abordagem das atividades propostas L46 E7: Bom, como E6 falou, a gente queria voltar a aula para o aluno. Porque é muito fácil a gente ficar aqui no quadro só dando aula e o aluno absorvendo informações, decorando, memorizando e no final das contas não aprende, ou seja, é melhor a gente colocar de uma forma dinâmica jogar pra eles, como ela falou, dividir em grupos. L47 E7: Aí eles devem operar em capacidade máxima, e trazer a participação do aluno, destacando a importância do professor na aprendizagem e isso vai totalmente contra a metodologia tradicional, das escolas antigas onde o professor ficava só falando, falando, falando e o aluno só memorizava.

	L48 E7: o centro passa a ser o aluno e não só o professor. Aí, antes como E8
	falou, a gente tem que dar uma aula primeiramente, porque a gente não pode
	chegar e jogar pro aluno uma atividade, por mais dinâmica que seja, no
	geogebra, em vídeo, não pode jogar pro aluno e esperar que ele aprenda
	sozinho. A gente tem que preparar o terreno pra ele receber aquela
	expectativa de aula melhor.

eles iam ver que a função linear não serve só pra fazer uma prova, também serve para resolver problemas do dia a dia. Entendeu?

  

	4, dois iriam fazer a atividade no Geogebra e dois iam calcular. A atividade
	seria assim:
	Atividade 2: Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$
	16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o
	número de peças unitárias produzidas, determine:
	a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;
	b) Calcule o custo de produção de 400 peças.
	L52 E8: 16 seria o custo fixo, a função linear (áudio não identificado), a
	constante seria 16 é sempre o 16. O valor do custo variável porquê? Porque
	esse valor vai ser calculado para fazer as peças, vai ser 16 mais esse valor.
	Seria ⅗ já coloquei em fração vezes o número de peças que é o x. Eles teriam
	que ter a noção que o valor que muda, saber a constante que nunca muda.
	Montaria o gráfico, o x seria o número de peças e o y seria o valor.
	L53 E8: Achando a função eles teriam que criar o gráfico, assim, o 16 ficaria
	lá em cima. Poderia até criar outros valores para eles acharem, assim, 10
	peças, vai custar quanto, se for 20 peças vai custar quanto. E o (b) eles não
	conseguiriam sem fazer o (a), é só substituir na no lugar de x mais 16 seria o
	valor. Aí
	Trecho 38 -Atividade 2
	L51 E8: E a segunda atividade, seria uma atividade prática, que é um
	probleminha para desenvolver e como E6 já havia falado, seria em grupos de

Porque no gráfico eu tô relacionando grandezas e essa grandeza é representada através da figura que está no gráfico.

  

	Trecho 39 -Gráfico da função afim
	L54 PF: Eu queria saber o seguinte, é… O E5 estava falando da questão das
	representações semióticas, aí vocês escreveram assim: deverão construir um
	gráfico de uma reta. O que é um gráfico de uma reta? O que é um gráfico?
	L55 E5: O gráfico é a reta né?
	L56 PF: O gráfico é a reta, não existe o gráfico de uma reta.
	L57 E7: Então seria construir um gráfico.
	L58 PF: O gráfico de uma função afim. Porque a reta já é a representação
	do gráfico, é um tipo de gráfico.
	L59 E8: Mas no dia a dia a gente acaba falando, o gráfico da parábola…
	L60 PF: Mas existe o gráfico da parábola? A parábola é uma curva, que pode
	representar o gráfico de uma função.
	L61 E5: A gente tem que corrigir o erro daqui né? Porque a gente tá
	ensinando…
	L62 PF: É porque tá meio enrolado. É o gráfico de uma função.
	L63 A1: Pelo que eu entendi, gráfico seria um tipo de representação, eu acho
	que quando ele fala: gráfico de uma reta, seria a representação do gráfico
	como uma reta.
	L64 PF: Qual é a diferença, por exemplo, você pode ter uma reta que não é
	gráfico, certo? Você pode desenhar uma reta ali e não ser um gráfico.
	L65 PF: Qual é a diferença de gráfico, de reta como elemento geométrico e
	da reta representando o gráfico de uma relação, de uma função? São coisas
	diferentes que estão emboladas.
	L66 E5: L67 PF: Porque que o gráfico de uma função afim é uma reta? Porque que
	não é uma curva?
	L68 E7: É uma propriedade dela.
	L69 PF: Propriedade de que?
	L70 E8: Porque é de uma função linear.
	L71 PF: Sim, e porque que de uma função linear é uma reta? Uma reta é um
	tipo de objeto geométrico, certo? E porque que toda função afim é uma reta
	e não é uma curva?
	L72 E8:

Porque vai fazer com que todos os pontos sejam ligados. L73 PF

  : Sim, todos os pontos são colineares. Qualquer ponto que você obter em uma função afim, ele é colinear a outro? L74 E8:

Se ele não for colinear, não é função afim. L75 A2: Se você pegar qualquer três pontos da função, ai você faz delta y sobre delta x que é a inclinação é a mesma. L76 A3: Ou por contradição. Dados três pontos no plano, se você provar que eles não tem área aí eles estão alinhados.

  

	L77 PF: Mas aí como você faria isso a partir da função?
	L78 A3: Aí seria uma álgebra linear professora.
	L79 PF: Porque assim, a gente chega pra (SIC) o aluno e diz: o gráfico da
	função afim é uma reta. Mas como a gente convence ele de que é uma reta?
	Que não é uma curva.
	L80 E8:

Pega cinco valores de x e liga eles, aí vê que não é uma curva. L81 PF

  : Aí tem que usar algo bem certinho, senão eles ligam como uma curva. Então, tem alguns conhecimentos que a gente precisa puxar um pouco, que a gente trabalha com o aluno, que o aluno não sabe. Por exemplo, ele não sabe que aquela equação determina uma reta, a equação do 1º grau ela determina uma reta. Porque aí ele chega na função quadrática e a gente diz que é uma parábola. L82 E5: Aí ele vai tentar fazer a mesma coisa que ele fez na reta, vai juntar os pontos e tentar ligar. L83 E8: Mas aí é só pegar três pontos longe um do outro e ver que não dá pra ligar. L84 PF: Mas aí você está desenvolvendo uma coisa que o adolescente não tem, que é o reconhecimento de qual tipo de equação, tá ligado a qual modelo de função.

  Não. Tente fazer um farol de carro ou uma antena parabólica com uma curva de seno, pra ver se fica. L101 PF: O que seria uma parábola? Existem características da curva, que aí também eu acho que vocês deveriam ir um pouco atrás do livro do Elon, a Matemática para o Ensino Médio, no volume 1 ele faz todo um trabalho sobre o que caracteriza cada um desses tipos de função, cada uma dessas famílias de funções. O que caracteriza a Função Afim? Tem alguns elementos, que faz a caracterização que é muito bem feita, pra gente entender quais são as características desse grupo de funções, assim como o grupo da Função Afim, que está muito ligado com a questão da reta, as características de uma reta. L102 E8: Porque se você pegar uma reta e colocar no plano cartesiano, ela vira o gráfico de uma função. L103 PF: Ela representa o gráfico de uma função.

	L91 PF: Mas que tipo de curva é a parábola? Por exemplo, meus alunos que
	eu entrevistei, eles diziam que o seno eram várias parábolas… E não é não?
	L92 E5: Mas a parábola tem sua propriedades né?
	L93 PF: E que propriedades são essas?
	L94 E7: Aquela distância que ela fica ali do ponto de fuga né?
	L95 E8: A parábola seguiria a mesma coisa da função linear né? Ela vem e
	vai pro infinito.
	L96 PF: Mas o valor absoluto também. E não é curva.
	L97 E8: Mas no caso do seno não poderia ser porque ele não vem e vai pro
	infinito, vai o x, mas o y não.
	L98 PF: Mas mesmo se você pegar só aquele pedacinho que parece uma
	parábola, mesmo assim, seria uma parábola?
	L99 E8: Se considerar só os valores entre 1 e -1 sim.
	L100 PF:
	Trecho 40 -Caracterização das funções

  Geralmente os livros mostram que pegando vários pontos, você chega no gráfico. Mas nem sempre vai mostrar, por que assim, o professor que conhece mais o comportamento da função, ele sabe mais ou menos o lugar do vértice e ele vai jogar valores para o lado direito e valores para o lado esquerdo, mas o aluno que não sabe ele vai jogar valores ali que podem não ser… Na linha 85, o licenciando destaca que os livros didáticos apresentam como estratégia para construção de gráficos, a escolha de alguns pontos dentro do domínio da função apresentada, mas que nem sempre isso dá certo, pois os pontos escolhidos podem levar o aluno ao erro. Por outro lado, o professor tem um conhecimento prévio do comportamento da função, Pois é… O professor já tem o conhecimento que muitas vezes ele não passa para o aluno, ele não trabalha com o aluno a questão do vértice, a questão do coeficiente do x ao quadrado, que dependendo do valor, ela vai ser tão fechada que vai colidir um lado com o outro.Então, tem várias escolhas que o professor já sabe fazer, mas o aluno não sabe. L87 E5: Aí ele sofre na hora de fazer o gráfico.

	Trecho 41 -Destaque do E5
	L85 E5: escolhendo pontos estratégicos que fazem com que a ideia do gráfico apareça no plano
	cartesiano diante dos pontos que foram escolhidos. A professora formadora concorda com o
	licenciando destacando que neste caso:
	Trecho 42 -Resposta da professora formadora
	L86 PF:

PF: Qual o diferencial de usar o recurso Geogebra para aula que vocês prepararam? Por quê?

  Eu senti falta de vocês manipularem mais o software, usarem mais elementos aqui na aula de vocês. Vocês fizeram muitas coisas no quadro que poderiam ter sido feitas no software, e poderiam ter mostrado mais o potencial da tecnologia na aula de vocês. Eu acho que o software poderia potencializar mais a aula de vocês, porque vocês lançaram apenas como proposta para que os alunos utilizassem, mas o que vocês fizeram aqui, poderia ter sido feito utilizando o Geogebra.O questionamento levantado pela professora formadora levantou respostas de cada um dos licenciandos do grupo que elaborou a aula, exceto pelo E6, que esteve presente apenas na apresentação da configuração didática. As respostas apresentaram diferentes caminhos: Quadro 25: Percepção dos licenciandos sobre o uso do Geogebra na aula

	Trecho 44 -Discussão sobre o papel da tecnologia na aula L104 PF: Agora a pergunta que não quer calar: A4 é o diretor da escola e vocês preparam uma aula para usar o Geogebra. Como convencer ele a comprar os tablets, o computador, montar o laboratório, pra dar uma aula no estilo que vocês prepararam. L105 PF: Qual o diferencial de usar o recurso Geogebra para aula que vocês prepararam? Por quê? L106 E7: A demonstração né? A gente pode colocar a função e ele mesmo gerar o gráfico pra gente, pra o aluno. L107 PF: E qual a vantagem? L108 E7: Ter uma imagem mais precisa, porque o professor no quadro não tem a precisão, nem uma visão ampla daquela função. L109 E8: O Geogebra ele serve para mostrar que o gráfico, o gráfico que você fez ou que você está imaginando está certo ou não. L110 E5: Outra coisa que você pode fazer com aquele gráfico é mexer com cada um, eu tenho aqui a e b e posso variar somente o a, e ver o que acontece. Se eu fosse fazer isso aqui no cálculo, ia ter que fazer um por um e lá não, eu usaria um controle deslizante. L111 E7: Com o controle deslizante a gente pode controlar qualquer um dos coeficientes e o gráfico se modificar e o aluno pode observar essas modificações, de forma mais rápida, senão teria que fazer uns 4 ou 5 gráficos para fazer a mesma coisa. L112 E5: E a gente poderia fazer com que eles mesmos percebessem o que ia acontecendo, até colocando assim, um aluno como monitor. Um grupo faz, constrói o gráfico, pra ele dizer o que ia acontecendo, assim tomando nota. L113 PF: Perguntas? Concepção Automação, visualização gráfica e transformação simultânea dos registros algébrico e gráfico pelo controle deslizante. Validação das respostas realizadas manualmente. Variação dos coeficientes e alteração do gráfico utilizando controle deslizante. Fonte: Elaborado pelo autor E7 E8 E5 As respostas dos licenciandos evidenciam em sua maioria que o diferencial do software Geogebra na elaboração da aula, seria a automação e a dinamicidade. Os licenciandos E7 e E5 no mapeamento das habilidades em torno dos conhecimentos, estiveram classificados como habilidosos no conhecimento matemático, segundo as suas próprias escolhas. No entanto, as análises mostraram, inclusive nesta etapa da formação, que os sujeitos permeiam os conhecimentos didáticos, matemáticos e tecnológicos em diferentes situações. Já o E8 que foi apontado como habilidoso no conhecimento tecnológico, aparece ao longo da formação com a habilidade matemática mais evidente. Ao final da apresentação o pesquisador aponta que os sujeitos poderiam ter explorado L114 P: Licenciando mais o software durante a apresentação da aula, mostrando inclusive, a resolução da atividade

1 assim como foi discutida a atividade 2 utilizando o quadro. O software não aparece na apresentação da aula, abrindo o questionamento do pesquisador sobre o posicionamento dos licenciandos.

  .1 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS DA 1ª ETAPA DE FORMAÇÃO A primeira etapa de formação propôs a discussão pelos licenciandos da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, uma vez que, esta teoria faz parte do quadro teórico abordado na disciplina que serviu de campo para o desenvolvimento da pesquisa. Nesta seção fizemos a discussão dos resultados em termos do ambiente e recursos-base para a discussão proposta, conhecimentos docentes identificados e reflexão teórica por parte dos sujeitos. postadas não foram identificadas associações reflexivas diretas ligadas ao texto ou exemplos utilizados para explicar as falas. Com isso, criamos subcategorias adjacentes ao conhecimento pedagógico, mas que estão especificamente ligadas as discussões dos sujeitos em torno da TRRS.

	Silva (2018) faz uma classificação de recursos materiais com base em Adler (2000), a) Conhecimento pedagógico-didático: algumas perguntas trouxeram questionamentos
	classificando-os em: tecnológicos, matemáticos, objetos matemáticos e objetos do cotidiano. acerca do papel do professor e sua responsabilidade diante da falta de habilidade dos
	Na 1ª etapa do experimento, utilizamos três tipos de recursos: os recursos materiais alunos na coordenação de registros semióticos.
	tecnológicos, no caso do vídeo e do aplicativo, os recursos materiais matemáticos, no caso do b) Conhecimento pedagógico-epistemológico: também foram identificados
	texto-base da teoria e o objeto do cotidiano, que no caso foi o celular e o aplicativo. questionamentos relacionados a questões dos signos, registros, tratamento,
	Com a classificação de Silva (2018) estruturamos um ambiente de formação rico em conversão, enfim, aspectos relacionados a epistemologia da teoria.
	diferentes tipos de recursos, moldando o ambiente de forma que a interação para discussão c) Conhecimento pedagógico-cognitivo: este conhecimento abarcou as questões que
	teórica ocorresse. Ao final do período demandado para as postagens, conseguimos que os envolviam as dificuldades de aprendizagem relacionadas à TRRS e a capacidade de
	licenciandos fizessem uma discussão teórica sobre a TRRS, destacando o conhecimento coordenação de registros semióticos pelos sujeitos.
	pedagógico necessário a algumas das etapas seguintes. Na próxima seção, discutimos os
	conhecimentos que emergiram desta etapa de formação.
	7.1.2 Conhecimentos docentes identificados
	Como a primeira etapa de formação propôs uma discussão em torno da TRRS, já
	esperávamos que o conhecimento pedagógico aparecesse mais evidente nas falas dos sujeitos.
	Por outro lado, também tínhamos a expectativa que os licenciandos articulassem os
	conhecimentos do conteúdo que eles tinham com as questões teóricas apresentadas no texto e
	no vídeo disponibilizado. No entanto, identificamos apenas o Conhecimento Pedagógico e
	mapeamos este conhecimento criando outras perspectivas desse conhecimento.
	Shulman (1986) aponta o conhecimento pedagógico como o que está relacionado as
	A utilização do aplicativo também corresponde à nossa proposta de uma formação questões didáticas, da relação professor e aluno, planejamento, formação e métodos de ensino
	inicial docente rica em tecnologias digitais. Com isso, conseguimos iniciar uma discussão e aprendizagem. Sendo assim, as discussões de Duval (2011) na TRRS estão relacionadas ao
	teórica assíncrona, em um espaço de tempo limitado. Outra potencialidade que o aplicativo conhecimento pedagógico, mas traz em sua essência algumas questões relacionadas ao
	apresentou como recurso para formação foi a possibilidade de o sujeito retomar algum conhecimento matemático e a cognição. Sendo assim, classificar os conhecimentos dos
	questionamento ou material após as postagens dos outros sujeitos. Na discussão teórica, isso licenciandos, nesta etapa, como sendo apenas pedagógico, não seria suficiente para abarcar as
	ocorreu para aqueles que não tiveram acesso ao material disponibilizado próximo ao horário questões colocadas pelos sujeitos em suas perguntas e respostas.
	postado, fazendo com que os próprios licenciandos reencaminhassem o vídeo e o texto postado A partir das perguntas e respostas lançadas no aplicativos pelos sujeitos, identificamos
	no grupo da disciplina.

7.1.1 Ambiente e recursos-base para discussão da TRRS

O aplicativo de mensagens Whatsapp se mostrou um recurso forte para discussão teórica proposta no experimento. A ideia de utilização deste recurso era que os sujeitos pudessem acessar os outros recursos disponibilizados, como texto-base da teoria e o vídeo sobre a TRRS e discutir em um só dispositivo, a qualquer hora e em qualquer lugar. Além disso, o aplicativo nos dias de hoje está presente na realidade de muitas pessoas ligadas a era digital, nesse sentido, as interações poderiam ocorrer de forma assíncrona e abarcar todos os licenciandos.

Os recursos-base para esta etapa de formação se mostraram satisfatórios, pois eles são retomados nas discussões pelos licenciandos nas postagens. No entanto, percebemos que o texto foi o recurso mais utilizado pelos sujeitos como referência à teoria. Apesar disso, nas perguntas e respostas que havia questionamentos de diferentes vertentes sobre a TRRS: o papel do professor, questões de dificuldades de aprendizagem dos alunos, tratamento e conversão, signos e registro de representação e coordenação de registros semióticos.

O conhecimento pedagógico e do conteúdo (PCK) aparece em um dos trechos de conversa entre um licenciando e a professora formadora. Neste caso, o sujeito articula o que ele já possui em termos de conhecimento matemático com o que ele aprendeu a partir das leituras e debates no aplicativo sobre a TRRS. Segundo

Mishra e Khoeler (2006)

, uma das características do PCK é a articulação entre teorias para melhorar as metodologias de ensino.

Fonte: Elaborado pelo autor

OCEM -Orientações Curriculares para

O trecho 25 mostra a discussão dos licenciandos em torno da organização da sala de aula para execução da atividade, mas a configuração didática dos sujeitos não se inicia aqui, mas na primeira fase desta etapa do experimento com a definição dos objetivos de aula. No entanto, não percebemos uma justificativa coletiva para distribuição dos alunos em grupos de 4 integrantes, assim como também, os objetivos específicos não foram discutidos ou justificados no chat na fase anterior.

Outro elemento que os licenciandos discutem para configuração didática é a forma como os alunos irão trabalhar a situação matemática. No trecho 26 a seguir, trazemos a discussão do grupo: A conversa mostrada no trecho acima evidencia a forma como os licenciandos escolhem para determinar a dinâmica de resolução da atividade pelos alunos. A partir dessa discussão, percebemos que eles pretendem que os alunos utilizem o ambiente papel e lápis e o software Geogebra, no entanto, não fica clara na discussão a real intenção dessa forma de trabalho pelos