math.math-mp math.math-dg phys.grqc phys.astr.co
Geometria Topologia 
  
Buracos Negros 
  
Fábio Dadam 
  
Yuri Ximenes 
  
Martins Prefácio 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Ainda que os benefícios de uma relação próxima entre física e matemática sejam bastante claros,

razão seja simples: para que física e matemática se aproximem, é necessário, antes de qualquer coisa, que consigam conversar. Eis que a formação atual sujeitada aos físicos é bastante diferente daquela propiciada aos matemáticos. Sem uma linguagem em comum, não há como se iniciar uma conversa, ainda que exista um objetivo comunitário.

Como contornar o problema? Evidentemente, deve-se convencer físicos de que estudar matemática é importante, ao mesmo tempo que se precisa fazer com que matemáticos vejam que a falta de rigor e de pragmatismo presente no pensamento físico pode ser utilizada como inspiração à criação de diversas ferramentas de trabalho. Assim, precisa-se de materiais de estudo que sejam compatíveis com ambos os tipos de pensamento.

No que diz respeito aos físicos, não se deve esperar que eles voltem aos fundamentos da matemática e que estudem cada etapa da mesma forma que um matemático o fez. Afinal, não se quer que físicos se tornem efetivos matemáticos, mas apenas que consigam conversar com eles. Por exemplo, ao se apresentar um texto de 500 páginas sobre topologia a um físico, dizendo-lhe que o estudo daquela disciplina é deveras importante, não se pode culpá-lo caso rejeite a leitura. Da mesma forma, não adianta lhe apresentar um material seco, com pouquíssimas páginas e que seja recheado de pré-requisitos e afirmações nas entrelinhas. Precisa-se, portanto, de um material sucinto e intuivo, mas ao mesmo tempo livre de grandes pré-requisitos.

No que se refere aos matemáticos, ao lhe entregar um texto escrito por um físico, é natural que ele logo relute em prosseguir com a leitura. Afinal, os conceitos lá desenvolvidos não são precisos o suficiente e, mesmo que o sejam, nem sempre estão presentes com a devida elegância. Além disso, os resultados não são enunciados levando-se em conta as hipóteses utilizadas ao longo da demonstração. Desta forma, para agradar aos matemáticos, precisa-se de um material que esclareça as estruturas utilizadas, assim como tenha um ar minimamente pragmático.

A ideia de escrever o presente livro surgiu da percepção dos autores de que há uma carência (especialmente em língua portugesa) de textos direcionados simultaneamente a físicos e matemáticos que tenham o espírito das condições anteriormente listadas. Assim, pode-se dizer que ao longo de toda a escrita, teve-se em mente os seguintes pontos:

1. criar um texto sucinto e, ao mesmo tempo, abrangente. Isto levou à escrita de capítulos relativamente curtos, procurando ser o mais intuitivo possível e evidenciando sempre os fatos fundamentais de cada assunto; 2. manter o mínimo de pré-requisitos. Isto fez com que os dois primeiros capítulos fossem escritos. Acreditamos que qualquer pessoa que tenha um conhecimento mínimo de álgebra (como as estruturas algébricas básicas) e de diferenciabilidade em R n possui condições de acompanhar a leitura desde o início.

3. evidenciar a relação entre física e matemática. Neste sentido, manteve-se relação direta entre os assuntos matemáticos desenvolvidos e a forma com que eles aparecem na física (especialmente em teoria da gravitação relativística).

Em alguns momentos, também se utilizou de insights físicos para introduzir novos conceitos matemáticos.

No que diz respeito à escolha dos assuntos desenvolvidos, algumas palavras devem ser ditas. Em primeiro lugar, há uma forte e crescente linha de geometrização da física, que remonta aos trabalhos de Einstein. Isto, aliado ao fato de um dos autores ser especialista em buracos negros, fez com que esta direção fosse seguida. Por outro lado, nota-se a existência de uma conexão estreita entre geometria e topologia, especialmente no que diz respeito à construção de invariantes. Juntando tudo, chegase ao apanhado apresentado: Topologia, Geometria e Buracos Negros.

Procurando respeitar essa linha de pensamento, o material foi organizado em três partes: uma para cada assunto. As partes I e II são formadas de tópicos em topologia e geometria e têm como objetivo dar ao leitor uma visão global sobre essas disciplinas, permitindo que uma pessoa com pouco conhecimento prévio (como um físico ou alguém de outras áreas da matemática, tomando contato com tais conteúdos pela primeira vez) atinja rapidamente um conhecimento geral sobre o assunto. Por exemplo, estas duas partes constituem 29 seções, as quais podem ser apresentadas numa disciplina de um único semestre, com carga horária semanal de quatro horas.

A parte III, por sua vez, corresponde ao estudo da teoria de buracos negros. Ela tem um enfoque mais específico e está voltada para um público diferente: pessoas que já são próximas à área e querem conhecer mais sobre a teoria geral de buracos negros. Por isso, fizemos essa parte do livro independente do resto, embora as partes I e II cubram todos os pré-requisitos para a leitura da parte III.

Esperamos ter construído um texto versátil e convidativo, que chame a atenção de um público alvo maior que o usual, despertando a curiosidade pelo estudo da interface entre a física e a matemática, motivando pessoas a mergulhar na intrincada teia de mistérios do universo.

Fábio Dadam gostaria de agradecer sua mãe, Rumilda Corrêa Dadam, e sua esposa, Andreia Niccioli Figueiredo, pelo companheirismo que sempre demonstraram. O mesmo autor também deseja agradecer Alberto Saa, orientador durante o mestrado, cuja dissertação serviu de base para a escrita da parte III desse livro.

Yuri Ximenes Martins gostaria de agradecer o apoio e paciência de sua família e da Lívian, com quem tem dividido não só os momentos de alegria e de felicidade, mas também aqueles de angústia e de desespero. Ele também é especialmente grato ao companheirismo da fiel amiga Pp. 

Stanford, Estados Unidos

Categorias

Assim como a física procura uma teoria que sirva para descrever todos os fenômenos da natureza, a matemática busca maneiras de unificar diferentes teorias numa só linguagem. Neste sentido, a teoria das categorias, assunto que desenvolvemos brevemente neste capítulo, se mostra bastante interessante. Grosso modo, uma categoria é simplesmente um ente composto de objetos, mapeamentos entre objetos e maneiras de compor tais mapeamentos. Assim, ao se dar uma categoria, delimita-se uma área da matemática. Ocorre que existe uma categoria cujos objetos são as próprias categorias! Isto significa que é possível falar de mapeamentos entre categorias, os quais são responsáveis por conectar as diferentes áreas da matemática delimitadas por cada uma delas.

Finalmente, fixadas duas categorias, digamos C e D, constrói-se uma nova categoria tendo como objetos os functores que partem de C e chegam em D. Portanto, tem-se mapeamentos entre functores, os quais são usualmente denominados transformações naturais. Podemos interpretá-las da seguinte maneira: se por um lado functores conectam diferentes áreas da matemática, então a existência de uma transformação natural entre dois deles indica que a forma com que realizam tais conexões não é independente, mas está sujeita a um vínculo natural.

Na primeira seção do capítulo, introduzimos o conceito de categoria e o ilustramos por meio de diversos exemplos. Em seguida, na segunda seção, apresentamos os functorese estudamos alguns fenômenos que os envolvem. Por exemplo, ali estudamos as adjunções, que abstraem o processo de "construção de objetos livres" presente na álgebra.

Na terceira e última seção, tratamos das transformações naturais, introduzimos uma noção de equivalência entre categorias e justificamos a utilidade destas (assim como dos functores) no mais importante problema dentro de teoria das categorias: o de classificação. Por exemplo, dentro da álgebra, tal problema se resume a decidir quando duas estruturas algébricas dadas são ou não equivalentes.

As referências que mais utilizamos no momento da escrita deste capítulo foram as obras clássicas [START_REF] Maclane | Categories for the Working Mathematician[END_REF][START_REF] Mitchell | Theory of Categories[END_REF]. Um texto mais moderno e que também foi utilizado é [START_REF] Leinster | Basic Category Theory[END_REF].

Estrutura

Grosso modo, definir uma categoria é o mesmo que delimitar uma área de trabalho dentro da matemática. Por exemplo, na álgebra linear lidamos com espaços vetoriais e com as transformações lineares. Isto significa que ali se olha para uma classe de objetos que são particularmente interessantes (que são os espaços vetoriais) e fixa-se uma noção natural de mapeamento entre eles (que são as transformações lineares). Este feitio há de definir uma categoria Vec K , a qual delimita o âmbito de estudo da álgebra linear.

Da mesma forma, quando estudamos cálculo em uma variável, estamos interessado nos intervalos da reta (que correspondem aos objetos interessantes) e as funções diferenciáveis (que são mapeamentos entre eles). Mais uma vez, isto define uma categoria Calc, responsável por delimitar a amplitude do cálculo em uma variável real.

Assim, pode-se dizer que uma categoria C é uma entidade consistida de três classes de informação: objetos, mapeamentos entre objetos (usualmente denotados por f : X → Y ) e maneiras de compor mapeamentos (em geral representadas por g • f ). Pede-se, em particular, que as composições sejam associativas e que a cada objeto corresponda um mapeamento id X , com a propriedade de ser a identidade da composição de mapas. Isto é, id X • f = f e g • id X = g sempre que tais composições fizerem sentido.

Advertência.

Costuma-se utilizar de Ob(C) para representar o conjunto dos objetos de uma dada categoria C. Além disso, o conjunto dos morfismos entre dois objetos fixados, digamos X e Y , é usualmente denotado por Mor C (X; Y ). Ao longo do texto, seguiremos estas práticas.

Vejamos outros exemplos de categorias: Exemplo 1.1.1. Dentro da álgebra, tem-se as categorias formadas por objetos algébricos de mesma natureza (grupos, anéis, espaços vetoriais, módulos, etc.), com morfismos dados pela respectiva noção de homomorfismo inerente a cada classe de tais objetos. Por exemplo, no que segue guardaremos as notações Grp e Mod R para denotar as categorias dos grupos e dos módulos sobre R. Observamos que, quando R é um corpo K, saímos do domínio da teoria dos módulos e caímos em Vec K , que descreve a álgebra linear.

Exemplo 1.1.2. Uma maneira de obter categorias é tomar como objetos conjuntos dotados de certas estruturas adicionais. Os morfismos são as funções entre os conjuntos subjacentes que preservam cada uma das estruturas adicionais. Finalmente, se tais estruturas forem invariantes pela composição usual de funções, poderemos tomá-la como a composição da categoria que estamos a definir. Uma categoria obtida desta maneira é dita concreta. Todos os exemplos discutidos até agora podem ser obtidos desta forma. De fato, uma estrutura algébrica nada mais é que um conjuto dotado de operações, enquanto que um homomorfismo entre duas de tais estruturas é simplesmente uma função que preserva as operações envolvidas. Como veremos ao longo do texto, nem toda categoria, no entanto, é concreta.

Exemplo 1.1.3. Diz-se que D é uma subcategoria de C (e escreve-se D ⊂ C) quando quaisquer objetos e morfismos de D também fazem parte de C. Além disso, pede-se que ambas dividam a mesma composição. No caso particular em que todo morfismo de C também é um morfismo de D, fala-se que a subcategoria D é denominada cheia (tradução para full ). Em suma, uma sucategoria cheia é obtida simplesmente reduzindo os objetos de uma categoria dada. Observamos que uma categoria concreta é precisamente uma subcategoria de Set (formada de conjuntos e funções). Estas nem sempre são cheias: as categorias algébricas constituem bons exemplos. No que segue, AbGrp ⊂ Grp denotará a subcategoria cheia dos grupos abelianos.

Dentro da álgebra linear, existe uma noção de equivalência entre dois espaços vetoriais X e Y . Com efeito, diz-se que eles são linearemente isomorfos quando existem transformações lineares f : X → Y e g : Y → X tais que g • f = id X e f • g = id Y . O mesmo se aplica ao contexto do cálculo em uma variável real. No entanto, ao invés de ter isomorfismos entre espaços vetoriais, ter-se-ia difeomorfismos entre intervalos.

De maneira análoga, pode-se utilizar de tal definição para introduzir uma noção de equivalência entre objetos de qualquer categoria. Assim, dois objetos X, Y ∈ C serão isomorfos precisamente quando existirem morfismos f e g entre eles, cujas composições g•f e f •g se igualam a identidades. Evidentemente, os isomorfismos de Vec K são os isomorfismos lineares e os isomorfismos de Calc são os difeomorfismos.

Num contexto genérico, se X e Y são isomorfos, escreve-se X ≃ Y .

Construções

Existem diversas construções que podem ser feitas com categorias e que nos serão úteis no decorrer do texto. Seguem alguns exemplos. Exemplo 1.1.4. Associada a toda categoria C existe uma outra, denotada por C op e chamada de oposta de C, obtida simplesmente "invertendo os morfismos de C".

Mais precisamente, ela se vê caracterizada pelas seguintes propriedades:

1. seus objetos são os próprios objetos de C; Exemplo 1.1.6. Uma vez fixado um objeto A ∈ C, constrói-se uma categoria C/A, chamada de over category by A, cujos objetos são aqueles X ∈ C para os quais há um mapa f : X → A, e cujos morfismos são os h : X → Y tais que, dado f , existe ao menos um g : Y → A cumprindo f = h • g. De maneira análoga define-se A/C, a qual recebe o nome de under category by A.

Exemplo 1.1.7. Seja C uma categoria e suponha a existência de uma relação de equivalência ∼ em cada conjunto Mor(X; Y ), a qual é compatível com a composição: se f ∼ g e f ′ ∼ g ′ , então f • f ′ ∼ g • g ′ . Sob estas condições, tem-se uma categoria H C, cujos objetos são os mesmos que os de C, cujos morfismos são as classes de equivalência [f ] de morfismos de C, e cuja composição é dada pela relação

[f ] • [g] = [f • g].

Functores

Um functor F : C → D é um mapeamento entre duas categorias. De maneira mais precisa, trata-se de uma regra de C em D que preserva todas as estruturas envolvidas. Assim, F deve levar objetos em objetos, morfismos em morfismos, composições em composições e, finalmente, identidades em identidades.

Observamos que categorias delimitam áreas da matemática, então functores servem para conectar áreas distintas. Em verdade, tem-se uma categoria Cat, cujos objetos são categorias e cujos mapeamentos são functores. Assim, o processo de delimitar áreas da matemática delimita, por si só, uma área da matemática! De fato, se estudar Vec K siginifica estudar álgebra linear, então estudar Cat significa estudar teoria das categorias.

No decorrer do texto, trabalharemos com diversos functores. Vejamos alguns deles.

Exemplo 1.2.1. Seja AbMon a categoria dos monoides abelianos. Isto é, cujos objetos são conjuntos dotados de uma operação associativa, comutativa e com unidade, e cujos morfismos são as funções que preservam tal operação. Assim, pode-se pensar em tais entidades como sendo simplesmente um "grupo abeliano sem inversas". Existe um procedimento, chamado de construção de Grothendieck, o qual nos permite dar inversas aos monoides abelianos, tornando-os verdadeiros grupos abelianos. Mais precisamente, tem-se um functor Grt : AbMon → AbGrp. O exemplo abaixo nos mostra que o fenômeno da adjunção generaliza o processo de construção de objetos livres da álgebra. Isto significa que os homomorfismos de (S) em M estão em bijeção com as funções de S em ı(M) = M. Em outras palavras, (S) fica caracterizado por ser o módulo tal que cada função S → M se estende, de maneira única, a um homomorfismo (S) → M. Ora, esta é justamente a condição que se pede a um módulo livremente gerado, de modo que tal adjunção realmente existe. Exemplo 1.2.5. A situação anterior se estende a outros casos. Por exemplo, diz-se que uma categoria é um grupoide quando todos os seus morfismos são isomorfismos.

Seja Gpd ⊂ Cat a subcategoria cheia dos grupoides. A inclusão ı : Gpd → Cat admite um adjunto natural (-) pd : Cat → Gpd, mostrando-nos que Cat é "livremente gerada" pelos grupoides. Com efeito, basta considerar (-) pd como sendo a regra que mantém objetos e que a cada conjunto de morfismos associa o subconjunto de isomorfismos (possivelmente vazio) ali contido.

Equivalência

Uma vez que categorias são, por si mesmas, objetos de uma categoria Cat, tem-se uma noção óbvia de isomorfismo entre elas. De fato, C e D serão isomorfas precisamente quando existirem functores F : C → D e G : D → C tais que

G • F = id C e F • G = id D .
Ocorre que, como veremos na próxima seção, Cat é uma categoria especial. Afinal, além de possuir objetos e mapeamentos, ela possui uma noção de "mapeamentos entre mapeamentos". Isto significa que, se F e G são functores, então faz sentido falar de mapeamentos ξ : F ⇒ G. Em particular, faz sentido falar de isomorfismos entre dois functores.

Tendo observado isto, parece-nos que a condição de igualdade entre dois functores (e, portanto, de isomorfismo entre categorias) é demasiadamente rígida. Isto nos leva a considerar uma outra noção de equivalência entre categorias. Isto é feito substituindo a exigência de igualdade em

G • F = id C e F • G = id D pela existência de isomorfismos G • F ≃ id C e F • G ≃ id D .
Fala-se, neste caso, que as categorias C e D são fracamente isomorfas (ou, simplesmente, que elas são equivalentes). O functor F é então chamado de isomorfismo fraco entre elas, enquanto que G é dito ser sua inversa fraca.

Como veremos, para que um functor F : C → D seja um isomorfismo fraco, é necessário e suficiente que ele seja "fracamente bijetivo" em objetos e bijetivo em morfismos. A primeira condição sigifica que F (X) ≃ F (Y ) implica X ≃ Y (injetividade fraca), ao mesmo tempo que todo A ∈ D é isomorfo a algum F (X) (sobrejetividade fraca). A segunda, por sua vez, se traduz na existência de bijeções Mor D (F (X); F (Y )) ≃ Mor C (X; Y ).

Com isto em mente, torna-se natural olhar para functores que sejam fracamente injetivos em objetos e injetivos em morfismos. Tratam-se dos mergulhos. Por exemplo, para toda subcategoria D ⊂ C, a inclusão ı : D → C é mergulho óbvio que, em geral, não é isomorfismo fraco. Exemplos menos óbvios de mergulhos são aqueles apresentados abaixo. Exemplo 1.2.6. Existem duas maneiras de mergulhar a categoria Grp dos grupos em Grpd, denotadas por B e E. A primeira delas consiste em olhar um grupo como sendo uma categoria que consiste de um único objeto. Mais precisamente, para todo grupo G, BG é categoria com um só objeto (digamos * ) e cujo único conjunto de morfismos Mor BG ( * ; * ) coincide com G. O segundo mergulho, por sua vez, é construído de maneira oposta: o conjunto dos objetos de EG coincide com o grupo G, enquanto que cada conjunto de morfismos Mor EG (x, y), com x, y ∈ G, é formado de um só ente. A saber, o único elemento g ∈ G tal que g * x = y.

Transformações

Como comentamos ao final seção anterior, a categoria Cat conta com uma noção adicional de "morfismos entre morfismos". Tal noção corresponde ao conceito de transformação natural entre dois functores, o qual passamos a discutir.

Uma transformação natural entre F, F ′ : C → D, ambos definidos e assumindo valores na mesma categoria, consiste de uma regra ξ : F ⇒ F ′ que a cada objeto X ∈ C associa um morfismo ξ X : F (X) → F ′ (X), de tal modo que o primeiro dos diagramas abaixo fica comutativo.

F (X) ξ(X) F (f ) / / F (Y ) ξ(Y ) F ′ (X) F ′ (f ) / / F ′ (Y )
Se cada ξ X é um isomorfismo, diz-se que ξ é um isomorfismo natural. Tal noção é, em verdade, o conceito de isomorfismo de uma certa categoria. Com efeito, fixadas categorias C e D, constrói-se uma nova categoria Func(C; D) cujos objetos são functores e cujos morfismos são transformações naturais. A composição é a chamada composição vertical, definida como segue: dadas ξ : F ⇒ F ′ e ξ ′ : F ′ ⇒ F ′′ , define-se

ξ ′ • ξ : F ⇒ F ′′ pondo ξ ′ • ξ(X) = ξ ′ (X)
• ξ(X), o que pode ser representado pelo seguinte diagrama:

ξ C F F ′′ G G / / ξ ′ D C F ′′ 6 6 F ( ( ξ ′ •ξ

D

Observamos então que Cat é composta de objetos (que são categorias), de morfismos (que são functores) e de "morfismos entre morfismos" (que são as transformações naturais). Além disso, a noção de "morfismo entre morfismo" introduz uma estrutura de categoria em cada conjunto de morfismos de Cat. Isto nos mostra que Cat é "mais categórica" que as categorias usuais. De fato, ela faz parte de uma classe de estruturas chamadas de 2-categorias.

O estudo destes entes "mais categóricos" faz parte da teoria das categorias em altas dimensões, a qual possui uma estreita conexão com a teoria de homotopia e com a física. Infelizmente não entraremos em detalhes a respeito de tais conexões neste texto. Para desencargo de consciência, sugerimos ao leitor as obras [START_REF] Cheng | Higher Dimensional Categories: an illustred guide book[END_REF][START_REF] Leinster | Higher Operads, Higher Categories[END_REF][START_REF] Lurie | Higher Topos Theory[END_REF].

Exemplo 1.3.1. Tem-se um functor h -: C → Func(C op ; Set), que a cada objeto X ∈ C associa o functor h X , definido por h X (Y ) = Mor C (X, Y ) e h X (f )(g) = f • g, e que a cada α : Y → X devolve uma transformação natural h α : h X ⇒ h Y , definida de maneira evidente: h α Z (f ) = f • α. Um resultado facilmente demonstrado garante-nos que h -é um mergulho sobrejetivo em morfismos. Este, que é conhecido como lema de Yoneda, possui duas grandes utilidades: em primeiro lugar, nos ensina que qualquer categoria pode ser vista como uma categoria de functores. Em segundo lugar, existe grande interesse nos functores isomorfos à h X para algum X, os quais se denominam representáveis. A razão é a seguinte: os h X possuem diversas propriedades especiais, como a preservação de limites. Ocorre que, para que exista um isomorfismo h X ≃ F é preciso, antes de qualquer coisa, que exista uma transformação natural entre eles. O fato de h -ser um mergulho sobrejetivo nos permite concluir que o conjunto de tais transformações está em bijeção com F (X).

Objetos Simpliciais

Certa categoria de functores se mostrará particularmente útil mais adiante.

Aproveitamos o momento para apresentá-la. Seja ∆ a categoria cujos objetos são os conjuntos [n] = {0, ..., n} e cujos morfismos são as aplicações f : [n] → [m] que preservam ordenamento. Isto é, tais que f (i) ≤ f (j) sempre que i ≤ j. Existem duas subcategorias evidentes ∆ + e ∆ -, respectivamente compostas dos morfismos injetivos e sobrejetivos de ∆. Estes satisfazem certas relações de compatibilidade, as quais não utilizaremos aqui (veja a quinta seção do capítulo VII de [START_REF] Maclane | Categories for the Working Mathematician[END_REF]).

Todo morfismo de ∆ pode ser decomposto em termos de um morfismo de ∆ + seguido de outro de ∆ -. Consequentemente, dar um functor X : ∆ op → C é o mesmo que dar uma sequência de objetos X n ∈ C e morfismos δ i : X n → X n-1 e s i : X n → X n+1 , os quais satisfazem relações de compatibilidade. Tais functores são chamados de objetos simpliciais de C. O termo X n recebe o nome de n-símplice, ao passo que os morfismos δ i e σ i chamam-se, respectivamente, operadores de face e operadores de degenerescência. Há uma categoria sC formada de objetos simpliciais e de transformações naturais. Isto é, sC = Func(∆ op ; C).

Há especial interesse nos objetos simplicias de Set, aos quais se dá o nome de conjuntos simpliciais. Se X é um deles, fala-se que X n é seu conjunto de n-células. A nomenclatura se deve ao seguinte: pensa-se num conjunto simplicial como sendo uma sequência de objetos de diversas dimensões (vértices, arestas, faces, etc.) que podem ser "realizados geometricamente" e depois "colados", formando um espaço específico.

Assim, a estrutura do espaço como um todo fica determinada pela estrutura de suas partes, transformando um problema global numa questão combinatória. Como veremos, em topologia, os espaços que podem ser obtidos por tal procedimento chamam-se complexos celulares. Exemplos são, evidentemente, os poliedros.

Num conjunto simplicial X, se pensamos em X 0 como coleção de vértices, em X 1 como família de arestas ligando vértices, em X 2 como lista faces completando arestas, e assim sucessivamente, conclui-se que os operadores δ i e s i possuem um papel geométrico bastante claro. Com efeito, δ i x nada mais é que a célula obtida retirando de x o i-ésimo vértice, ao passo que s i x é obtido repetindo o i-ésimo vértice. Por exemplo, se x é 2-célula (isto é, face), então δ i x é aresta oposta ao i-ésimo vértice. Tendo isto em mente, diz-se que x ∈ X é face ou degenerescência de uma outra célula x ′ ∈ X quando x = s i x ′ ou x = δ i x ′ . Se inexiste x ′ tal que x = s i x ′ , fala-se que a célula x é não-degenerada. 

Classificação

Um dos problemas básicos dentro de uma categoria C é o de classificar os seus objetos a menos de sua natural noção de equivalência. Em outras palavras, procura-se determinar a estrutura do conjunto Iso(C). Em geral, isto é feito através de bijeções f : Iso(C) → B, em que B é algum outro conjunto (diz-se que f é uma classificação da categoria C em termos de B).

Observamos que, se F : Iso(C) → Iso(D) cuja imagem por Iso : Cat → Set é um mapa injetivo, então a categoria C pode ser classificada em termos de um subconjunto de Iso(D). Um functor satisfaz tal condição se, e somente se, é fracamente injetivo em objetos. Assim, mergulhos nos permitem transferir o problema de classificação de uma categoria para outra.

Ainda que se conte com esta ferramenta, deve-se dizer que a classificação completa de uma categoria é, em geral, um problema muito difícil. O conceito de propriedade invariante assume, portanto, o seu valor. Fala-se que uma propriedade P é um invariante de C quando sua validade num objeto X ∈ C implica na sua validade em todo objeto equivalente a X. Assim, se P vale em X e encontrarmos um outro objeto Y no qual P não é válida, então estes não pertencerão à mesma classe de equivalência, o que nos dará alguma informação sobre Iso(C).

Como obter invariantes? A respeito de tal questão, façamos três observações:

1. todo functor F : C → D define um invariante de C. Este consiste da propriedade "ter, a menos de isomorfismos, uma específica imagem por F em D"; 2. functores são maneiras de associar objetos a objetos. Isto nos permitiu associar um invariante a cada um deles. Por sua vez, transformações naturais associam morfismos a objetos. Assim, dados dois functores F e G, transformações naturais ξ : F ⇒ G criam novos invariantes (que agora são morfismos) a partir dos respectivos invariantes associados a F e G. Por outro lado, a existência de tais transformações nos indica que os invariantes de F e G não são independentes, mas estão vinculados por ξ;

3. numa categoria C, sejam X um objeto e A ⊂ X. Quão diferente A é de X?

Certamente, comparar os invariantes que correspondem a eles traduz informação sobre esta questão. Seja F em C, o qual supomos preservar inclusões. Desta forma, em algum sentido, o invariante F (A) é menor que F (X). Quer-se capturar a "diferença" entre eles. Como fazer isso? Esta há de ser uma quantidade dependente não só de X, mas também de A. Assim, a ideia é tentar estender F aos pares (X, A), de modo que o invariante relativo F (X, A) forneça informações a respeito da diferença em questão.

Capítulo 2 Abstração

No presente capítulo, apresentamos construções em teorias das categorias que unificam conceitos inerentes às mais variadas áreas da matemática e que, sob um olhar não muito cuidadoso, pareceriam totalmente desconectados.

Iniciamos na primeira seção, onde introduzimos as concepções duais de limite e de colimite, as quais se prestam bem à tarefa acima descrita. Com efeito, veremos que estes conceitos englobam as noções de produto cartesiano, de soma direta, de reunião disjunta, de estruturas quocientes e também de estruturas construídas por processos indutivos, de kernels, de cokernels e de imagem de mapeamentos. Poderíamos prosseguir com esta lista infinitamente. No entanto, acreditamos que os exemplos apresentados já sejam suficientes para deixar o leitor instigado.

A segunda seção é marcada por um problema em certo sentido inverso ao de classificação que apresentamos no capítulo anterior. Trata-se do processo de categorificação. Este consiste, essencialmente, em "elevar o grau categórico" de conceitos presentes em teorias dos conjuntos (e, portanto, em toda a matemática clássica).

Neste processo, trocam-se elementos por objetos, conjuntos por categorias, funções por functores e relações entre funções por transformações naturais.

Por exemplo, a categorificação do conceito clássico de monoide (que é um conjunto dotado de uma operação associativa com elemento neutro) nos leva à noção de categoria monoidal. Trata-se de uma categoria dotada de um bifunctor associativo e de um objeto que serve de unidade. Assim as categorias monoidais são obtidas categorificando um conceito algébrico. Isto implica na possibilidade de desenvol-ver álgebra em qualquer categoria monoidal. É isto o que fazemos no restante do capítulo.

Exposições detalhadas dos assuntos aqui desenvolvidos podem ser encontradas, por exemplo, nas referências [START_REF] Maclane | Categories for the Working Mathematician[END_REF][START_REF] Aguiar | Monoidal Functors, Species and Hopf Algebras[END_REF].

Limites

Dizemos que um functor F : C → D possui limite se há um cone (X, ϕ), onde X ∈ D e ϕ é transformação natural entre o functor constante em X e F , no qual qualquer outro cone é fatorado. Isto significa que, para qualquer (X ′ , ϕ ′ ) é possível obter um único mapa µ : X ′ → X, chamado de fatoração, tal que os primeiros diagramas abaixo são sempre comutativos.

Dualmente, diz-se que F possui colimite quando admite um cocone universal.

Isto é, com um par (X, ϕ), em que X ∈ D e ϕ é transformação natural entre F e o functor constante em X, o qual fatora em todos os outros (X ′ , ϕ ′ ), como representado no segundo dos diagramas abaixo. 

F (Y ′ ) F (Y ′ ) ϕ ′ w w ϕ | | ② ② ② ② ② ② ② ② X ′ u / / ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ϕ ′ 2 2 ϕ ′ , , X ϕ < < ② ② ② ② ② ② ② ② ϕ " " ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ X ′ X u o o ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ F (Y ) F (f ) O O F (Y ) F (f ) O O ϕ ′ g g ϕ b b ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ (2.

Produtos

Uma categoria J é dita discreta quando seus únicos morfismos são as identidades.

Os objetos de J chamam-se índices. Os functores F : J → C se identificam com regras que a cada índice j ∈ J associam um objeto X j ∈ C. Fala-se que a categoria C possui produtos quando, independente de qual seja a categoria discreta J, todo

F : J → C possui limite.
Desta forma, C possuirá produtos quando, dados quaisquer objetos X j (indexados da maneira como se queira), existam X ∈ C e morfismos π j : X → X j , de tal forma que, se π ′ j : X ′ → X j é outra família de morfismos, então π ′ j = π j • f para um único f : X ′ → X. Diz-se que X é o produto dos X j . Os π j são chamados de projeções. Assim, em outras palavras, uma categoria possui produtos quando admite uma maneira universal de projetar.

Dualmente, fala-se que uma categoria C possui coprodutos quando cada functor F : J → C possui colimites. Isto significa que, dados X j em C, existem X e ı j :

X j → X tais que, para quaisquer ı ′ j : X j → X ′ há um único morfismo f : X → X ′ através do qual ı j = ı ′ j • f
. O objeto X é chamado de coproduto dos X j , ao passo que os ı j denominam-se inclusões. Desta forma, uma categoria haverá de ter coprodutos quando possuir uma maneira universal de incluir.

Exemplo 2.1.1. Tanto Set quanto cada categoria algébrica (grupos, anéis, módulos e espaços vetoriais), possuem produtos e coprodutos. Particularmente, quando Alg ⊂ Set é categoria livremente gerada por conjuntos (isto é, quando a inclusão ı : Alg → Set possui adjunto  à esquerda), então produtos em Alg são levados por ı em produtos de Set, ao passo que coprodutos de Set são levados nos respectivos coprodutos de Alg por . Assim, em tal caso, dada uma família X j de objetos em Alg, o produto entre eles é simplesmente o produto cartesiano usual dotado (se for o caso) de operações definidas componente a componente. Por sua vez, π j : X → X j nada mais é que a projeção na j-ésima entrada. O coproduto em Alg deve ser tal que, quando mandado por  em Set, caia na reunião disjunta.

Uma categoria C com produtos (resp. coprodutos) finitos é aquela na qual o limite (resp. colimite) de cada F : J → C, com J formada apenas de um número finito de índices, sempre existe. Ressaltamos que aqui se está incluindo a situação em que J é a categoria que não possui objetos nem morfismos. O limite (resp. colimite) em tal caso é chamado de objeto terminal (resp. inicial ) de C. A nomenclatura se deve ao seguinte: como imediatamente se constata, X é objeto terminal (rep. inicial) de C se, e somente se, para qualquer outro X ′ ∈ C existe um único morfismo f : X ′ → X (resp. f : X → X ′ ). Um objeto que é simultaneamente inicial e final chama-se nulo ou trivial. 

Façamos algumas observações:

1. por argumentos indutivos, vê-se que uma categoria possui produtos finitos se, e somente se, possui produtos binários (isto é, limites de functores F : J → C, com J formada de só dois índices) e um objeto terminal. Dualmente, para que uma categoria tenha coprodutos finitos é necessário e suficiente que ela admita coprodutos binários e um objeto inicial; 2. uma categoria com produtos e coprodutos finitos isomorfos é dita ter biprodutos. Assim, C têm biprodutos se, e só se, admite produtos e coprodutos binários isomorfos e um objeto nulo. Aqui se enquadram AbGrp, Mod R ; 3. numa categoria com produtos binários X × Y , para todo espaço X tem-se um morfismo ∆ X : X → X×X, chamado de mapa diagonal de X, tal que π i •∆ X = id X . Ele é obtido diretamente da universalidade das projeções. Da mesma forma, se uma categoria tem coprodutos X ⊕ Y , então, por universalidade,

existem morfismos ∇ X : X ⊕ X → X satisfazendo ∇ X • ı i = id X .
Notação. No que segue, produtos serão genericamente denotados por ou ×, ao passo que coprodutos arbitrários serão representados por .

Limites Indutivos

Diz-se que uma categoria não-vazia I é dirigida (ou que está direcionada) quando:

1. em seu conjunto de objetos (aqui também chamados de índices) está definida uma relação de ordem parcial ≤;

2. existe um morfismo f : i → j se, e somente se, i ≤ j.

Um functor covariante (resp. contravariante) F : I → C chama-se sistema dirigido (resp. codirigido) de objetos de C com coeficientes em I. Costuma-se escrever X i (resp. X i ) ao invés de F (i), e f ij (resp. f ji ) ao invés de F (f ), com Trata-se da aplicação que toma F e devolve os morfismos F (δ) e F (δ ′ ), de F (1) em

f : i → j.
F (2).
Diz-se que dois morfismos f, g : X → X ′ de C podem ser equalizados quando o respectivo functor F : (⇒) → C, correspondendo ao par (f, g) pela identificação acima descrita, possui limite. Isto acontece se, e só se, existem E ∈ C e um morfismo eq : E → X, com f •eq = g•eq, de tal maneira que, se eq ′ : E ′ → X é outro morfismo cumprindo f • eq ′ = g • eq ′ , então é possível escrever eq ′ = eq • ı para um único

ı : E ′ → E. Na presente situação, o diagrama (2.1
) se resume a:

E ′ eq ′ 4 4 ı / / ❴ ❴ ❴ E eq / / X g / / f / / Y
Uma categoria dotada de equalizadores é aquela para a qual quaisquer dois morfismos com mesmo domínio e mesmo codomínio podem ser equalizados. Dualmente, define-se de maneira natural o que vem a ser uma categoria dotada de coequalizadores.

Exemplo 2.1.5. A categoria Set possui equalizadores. Com efeito, dados f, g :

X → X ′ , basta considerar o conjunto E, formado de todo x ∈ X no qual f (x) = g(x)
, bem como a inclusão ı : E → X. Semelhantemente, as categorias algébricas abelianas também possuem equalizadores. Com efeito, o kernel da diferença fg equaliza os homomorfismos f, g : X → X ′ (daí o nome difference kernel, muitas vezes utilizado na literatura como sinônimo de equalizador).

Pullbacks e Pushouts

Seja (→ • ←) a categoria que possui somente três objetos (aqui denotados por 

′ : Pb ′ → X e ϕ ′ : Pb ′ → X ′ cumprindo a condição g • ϕ ′ = ϕ ′ • f , existe um único  : Pb ′ → Pb que torna comutativo o
primeiro dos diagramas abaixo:

Pb ′  ! ! ❉ ❉ ❉ ❉ ϕ ′ $ $ ϕ ′ Ps ′ Pb ϕ / / ϕ X ′ g Ps  a a ❈ ❈ ❈ ❈ X ′ ϕ o o ϕ ′ k k X f / / Y Y ϕ O O ϕ ′ T T X f o o g O O
Quando cada par (f, g) de morfismos de C admite pullback, fala-se que a própria categoria tem pullbacks. A versão dual do pullback, totalmente caracterizada pelo segundo dos diagramas acima, chama-se pushout.

Exemplo 2.1.6. Se uma categoria C possui produtos binários e equalizadores, então ela também possui pullbacks: o pullback de f :

X → Y e g : X ′ → Y é o equalizador de f • π 1 : X × X ′ → Y e g • π 2 : X × X ′ → Y , em que π i são as projeções do produto X × X ′ . Nestas circunstâncias, é usual escrever X × Y X ′ ao invés de Pb. Assim, dentro de Set, o pullback f, g é o conjunto X × Y X ′ de todo (x, x ′ ) tal que f (x) = g(x ′ ).
Exemplo 2.1.7. Dualmente, numa categoria com coprodutos binários e coequalizadores, sempre existem pushouts: o pushout de f : Através delas pode-se, por exemplo, descrever de maneira elegante os teoremas de isomorfismo que aparecem em teoria de grupos, de anéis, na álgebra linear, etc.

X → Y e g : X → Y ′ é o coequalizador dos morfismos ı 1 • f : X → Y ⊕ Y ′ e ı 2 • g : X → Y ⊕ Y ′ , onde ı i são inclusões de Y ⊕ Y ′ .
Pb / / ❴ ❴ ❴ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ X ′ Pb / / ❴ ❴ ❴ ✤ ✤ ✤ X ′ Pb / / ❴ ❴ ❴ ✤ ✤ ✤ Y Pb ✤ ✤ ✤ / / ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ Y Y X / / Y Y / / Z X / / Y / / Z Y / / Z
Com efeito, estes traduzem simplesmente a comutatividade entre kernels e cokernels.

Motivados por estes fatos, em qualquer categoria com objeto inicial ∅ (resp.

final * ), o pullback (resp. pushout) do par (∅, f ) (resp. ( * , f )) é chamado de kernel (resp. cokernel ) de f . Por sua vez, a imagem e a coimagem de f serão definidas como sendo ker(coker(f )) e coker(ker(f )). Em tais categorias, também faz sentido falar de sequências exatas de morfismos: uma sequência f n diz-se exata quando, para qualquer que seja o n, o kernel de f n coincide, a menos de isomorfismos, com a imagem de f n-1 . Uma sequência exata é dita curta quando possui somente dois termos não-nulos, sendo estes consecutivos.

A aplicabilidade das sequências exatas se deve ao seguinte: uma vez construídos invariantes (isto é, uma vez obtidos functores que associam a cada espaço uma estrutura), precisa-se calculá-los. Neste sentido, as sequências exatas constituem poderosas ferramentas. De maneira mais precisa, procura-se, por exemplo, por functores que associem a cada sequência exata curta de espaços uma sequência exata longa na categoria dos correspondentes invariantes. Se tal categoria for adequada, então é possível retirar informação dos invariantes de um espaço da sequência a partir dos invariantes dos outros. O estudo das sequências exatas é concernente à álgebra homológica (veja, por exemplo, [START_REF] Rotman | An Introduction to Homological Algebra[END_REF][START_REF] Weibel | An Introduction to Homological Algebra[END_REF], assim como os clássicos [START_REF] Cartan | Homological Algebra[END_REF][START_REF] Maclane | [END_REF].

O ambiente mais genérico no qual se pode estudar álgebra homológica são as categorias abelianas. Estas são construídas de maneira a abstraírem as propriedades fundamentais da álgebra clássica. Por exemplo, elas consistem no ambiente genérico no qual se tem os teoremas do isomorfismo enquanto caracterizados da maneira acima. Para a teoria em categorias abelianas, veja [START_REF] Heller | Homological Algebra in Abelian Categories[END_REF].

Completude

Diz-se que uma categoria é completa (resp. cocompleta) quando todos os functores que nela assumem valores possuem limites (resp. colimites). Na subseção anterior, vimos que algumas classes de limites podem ser criados se supomos a existência de outros. Por exemplo, mostramos que se uma categoria admite produtos binários e equalizadores, então ela possui pullbacks.

A proposição abaixo nos indica que, se reforçamos a hipótese adicionando a existência de todos os produtos (não só dos binários), ganhamos a existência não só dos pullbacks, mas de qualquer limite. Ressaltamos que a prova aqui apresentada foi inteiramente baseada em [START_REF] Maclane | Categories for the Working Mathematician[END_REF]. Como todo objeto de C é domínio e contradomínio de ao menos um morfismo (por exemplo de sua respectiva identidade), segue-se que F (α) • π domf e id • π codf definem outras projeções para f F (codf ), de tal modo que, por universalidade, existem as setas paralelas representadas no diagrama abaixo:

F (domf ) F (f ) / / F (codf ) X ′ µ / / ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ϕ ′ 2 2 ϕ ′ , , E ϕ ; ; ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ ϕ # # ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ eq / / Y F (Y ) π codf π domf O O / / / / f F (codf ) π f O O π f F (codf ) id / / F (codf )
O par (X, ϕ), em que X é o equalizador das setas paralelas e ϕ(Y ) = π Y • eq, formam um cone para F . Afirmamos que ele é o limite procurado. Com efeito, se (X ′ , ϕ ′ ) é outro cone, a universalidade dos produtos nos garante a existência de um único morfismo eq ′ : X ′ → Y F (Y ) que preserva as setas paralelas. Desta forma, a universalidade do equalizador fornece um único u : X ′ → E, garantindo o afirmado e concluindo a demonstração.

Sobre o resultado anterior, duas observações:

1. ele é uma típica situação na qual a diferença entre os conceitos de classe e de conjunto deve ser levada em consideração: durante toda a demonstração, a classe dos objetos de C foi tratada como sendo um conjunto, algo que, numa abordagem axiomática, pode não ser verdade para uma categoria arbitrária.

Mais uma vez, isto ressalta a ingenuidade com a qual temos trabalhado;

2. tem-se uma versão dual, demonstrada de maneira estritamente análoga: para que uma categoria seja cocompleta, é necessário e suficiente que ela tenha coprodutos e coequalizadores.

Espaços Pontuados

Nesta subseção, estudamos os limites e colimites em categorias pontuadas C * .

A ideia é tentar determiná-los a partir dos limites de C. 

Monoides

A matemática clássica é construída sob a linguagem da teoria dos conjuntos. A teoria das categorias, por sua vez, tem a teoria dos conjuntos como um caso particu- 

Categorias Monoidais

Para categorificar uma estrutura algébrica S, deve-se obter uma categoria C cujo conjunto das classes de isomorfismo admite uma estrutura isomorfa a S. Assim, partindo de Alg, para obter Cat Alg , a ideia é "elevar em um grau a informação categórica": elementos distinguidos tornam-se objetos distinguidos, conjuntos tornam-se categorias, operações binárias tornam-se bifunctores e equações são reformuladas por meio de isomorfismos naturais, chamados de condições de coerência.

Exemplo 2.2.2. Na álgebra clássica, um monoide é um conjunto X dotado de uma única operação binária * : X × X → X, e de um elemento distinguido 1 ∈ X, tais que as seguintes equações são satisfeitas para quaisquer x, y, z ∈ X:

1 * x = x = x * 1 e (x * y) * z = x * (y * z). (2.2) 
Seguindo o insight anterior, uma categoria em Cat Mon seria aquela C na qual se encontram definidos um bifunctor ⊗ : C × C → C e um objeto distinguido 1 ∈ C, para os quais se tem os seguintes isomorfismos naturais: O elemento neutro haverá de ser [1]. Observamos, no entanto, que as relações (2.2) nos permitem retirar os parênteses de qualquer expressão envolvendo um número arbitrário de elementos. Por exemplo,

1 ⊗ X ≃ X ≃ X ⊗ 1 e (X ⊗ Y ) ⊗ Z ≃ X ⊗ (Y ⊗ Z). ( 2 
(x * y) * (x ′ * y ′ ) = x * ((y * x) * y ′ ) = x * (y * (x ′ * y ′ ))).
Em contrapartida, as relações (2.3) não são suficientes para garantir algo análogo para a categoria obtida através do insight. São necessárias, pois, mais algumas condições de coerência (veja a segunda seção do capítulo VII de [START_REF] Maclane | Categories for the Working Mathematician[END_REF]). 

Monoides

Um monoide numa categoria monoidal C, com produto ⊗ : C × C → C, é a generalização do conceito usual de monoide presente na álgebra clássica. Tratase, pois, de um objeto X ∈ C para o qual existem morfismos * : X ⊗ X → X e e : 1 → X, obtidos de tal maneira que os diagramas abaixo se tornam comutativos.

O primeiro deles traduz a "associatividade" de * , enquanto que o segundo expressa a existência de um "elemento neutro" em X (compare com os diagramas apresentados no início do primeiro capítulo). 

X ⊗ (X ⊗ X) id⊗ * / / (X ⊗ X) ⊗ X * ⊗id / / X ⊗ X * 1 ⊗ X % % ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ e⊗id / / X ⊗ X * X ⊗ 1
F * : Mon(C, ⊗) → Mon(C ′ , ⊗ ′ ) e F * : CoMon(C, ⊗) → CoMon(C ′ , ⊗ ′ ).
Observamos que, para F ser monoidal, basta que mapeie produtos em produtos e também objeto neutro em objeto neutro. Isto é, basta existirem um morfismo

f : 1 ′ → F (1) e transformações φ xy : F (X) ⊗ ′ F (Y ) → F (X ⊗ Y ) satisfazendo
certas condições de coerência, as quais são descritas em termos da comutatividade de diagramas semelhantes àqueles satisfeitos por * e e. Um functor monoidal para o qual f e cada φ xy são isomorfismos chama-se fortemente monoidal.

Da mesma forma, para F ser comonoidal, é suficiente que existam g :

1 ′ → F (1)
e também transformações ϕ xy : 

F (X ⊗ Y ) → F (X) ⊗ ′ F (Y )

Bimonoides

Toda categoria monoidal simétrica C induz uma estrutura monoidal em Mon(C, ⊗).

Esta é definida pelo bifunctor

⊗ M : Mon(C, ⊗) × Mon(C, ⊗) → Mon(C, ⊗),
que toma dois monoides (X, * , e) e (X ′ , * ′ , e ′ ) e devolve o respectivo monoide X ⊗X ′ , tendo e ⊗ e ′ como unidade e cuja multiplicação # é obtida compondo as setas do diagrama abaixo, em que a primeira delas provém de associatividade de ⊗ e de braidings.

(X ⊗ X ′ ) ⊗ (X ⊗ X ′ ) ≃ / / (X ⊗ X) ⊗ (X ′ ⊗ X ′ ) * ⊗ * ′ / / X ⊗ X ′
O objeto neutro de Mon(C, ⊗) é o monoide formado pelo objeto neutro de C, tendo unidade dada por id 1 e multiplicação fornecida pelo isomorfismo

1 ⊗ 1 ≃ 1.
Por dualidade, a estrutura monoidal de ⊗ fixa outra em Mon(C op , ⊗) op . Tem-se equivalências

Mon(Mon(C, ⊗), ⊗ M ) ≃ c Mon(C, ⊗) e Comon(Comon(C, ⊗), ⊗ M ) ≃ c Comon(C, ⊗),
as quais são usualmente chamadas de princípio de Eckmann-Hilton (veja o artigo original [START_REF] Eckmann | Group-Like Structures in General Categories I: Multiplications and Comultiplications[END_REF] ou a seção 1.2.7 de [START_REF] Aguiar | Monoidal Functors, Species and Hopf Algebras[END_REF]). Por sua vez, dar um comonoide na categoria dos monoides é o mesmo que fornecer um monoide na categoria dos comonoides.

Isto reflete a existência de isomorfismos

Comon(Mon(C, ⊗), ⊗ M ) ≃ Mon(Comon(C, ⊗), ⊗ M ).
Os objetos de ambas as categorias (aqui indistinguivelmente denotadas por Bimon(C; ⊗)), são chamados de bimonoides de C. Assim, um bimonoide numa categoria monoidal C é um objeto que possui simultaneamente estruturas de monoide e de comonoide, tais que sua multiplicação e sua unidade são morfismos de comonoides, ao mesmo tempo que sua comultiplicação e counidade são morfismos de monoides.

Grupos

Um monoide de Hopf em ⊗ : C × C → C é um bimonoide X, o qual admite "inversos". Isto se traduz na existência de um morfismo inv : X → X, chamado de antípoda ou inversão, tal que o diagrama abaixo é comutativo. Nele, * e * ′ denotam a multiplicação e a comulitiplicação de X, ao passo que e e e ′ representam a sua unidade e a sua counidade (compare, mais uma vez, com os diagramas da seção inicial do primeiro capítulo).

X * ′ e ′ / / 1 e / / X X ⊗ X id⊗inv / / X ⊗ X * O O
Evidentemente, tem-se uma subcategoria cheia Hopf(C; ⊗) ⊂ Bimon(C; ⊗). A literatura sobre topologia é bastante vasta. Textos completos, que cobrem todos os tópicos aqui discutidos, incluem [START_REF] Kelley | General Topology[END_REF][START_REF] Munkres | Topology[END_REF]. Posto isto, seguindo a máxima apresentada ao final da primeira seção do capítulo anterior, os mapeamentos entre espaços topológicos haverão de ser as funções (ditas contínuas) que preservam proximidade. Isto é, que levam pontos próximos em pontos próximos. De maneira mais precisa, f : X → Y é dita contínua quando, para quaisquer p, q ∈ X, para fazer f (q) arbitrariamente próximo de f (p), basta tomar q suficientemente próximo de p. Em outras palavras, para que f (q) ∈ B f (p) , basta que q ∈ B p .

Estrutura

Como logo se convence, a identidade id X é sempre contínua, ao passo que a continuidade é preservada por composições (isto é, se f e g são contínuas, então g • f também o é). Portanto, está bem definida uma categoria concreta Top, cujos objetos são espaços topológicos e cujos morfismos são precisamente as funções contínuas. É ela quem delimita o domínio da topologia dentro da matemática.

Completude

Observamos que na topologia se tem maneiras universais de projetar e de incluir.

Mais precisamente, Top possui produtos e coprodutos. Com efeito, dados espaços X e Y , digamos com bases τ e τ ′ , então o produto X × Y admite uma base natural τ × τ ′ , que a cada par (p, q) faz corresponder o conjunto de todos os produtos

B p × B ′ q , com B p ∈ τ (p) e B ′ q ∈ τ ′ (q)
. Além disso, as projeções pr 1 : X × Y → X e pr 2 : X × Y → Y são contínuas, ao mesmo tempo que cumprem com propriedades universais no seguinte sentido: para quaisquer espaço X ′ e quaisquer f e g contínuas, existe uma única h, também contínua, que deixa o primeiro dos diagramas abaixo comutativo.

X X f v v ı 1 { { ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ X ′ h / / ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ f 1 1 g -- X × Y π 1 ; ; ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ π 2 # # • • • • • • • • • X ′ X ⊔ Y h o o ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ Y Y g h h ı 2 c c • • • • • • • • • • (3.1)
Dualmente, fornecidos X e Y , a reunião disjunta X ⊔Y também possui estrutura natural de espaço topológico segundo a qual as inclusões ı De outro lado, diz-se que X é conexo por caminhos quando existe um caminho contínuo ligando quaisquer dois de seus pontos. Isto é, quando para cada p, q ∈ X existe ao menos um γ : [0, 1] → X, o qual é contínuo e tal que γ(0) = p e γ(1) = q.

1 : X → X ⊔ Y e ı 2 : Y → X ⊔ Y são
Todo espaço conexo por caminhos é também conexo, como logo se convence.

Vejamos agora que, assim como conexidade, o invariante "conexidade por caminhos" também está relacionado com uma medida do número de pedaços que um espaço possui. Para tanto, observamos que a relação que identifica pontos que podem ser ligados por um caminho é de equivalência.

A reflexividade é evidente: para cada ponto, basta tomar o caminho nele constante. Para a simetria, dado γ ligando p em q, note que -γ, tal que (-γ)(t) = γ(t -1), liga q em p. Finalmente, se γ e γ ′ são respectivos caminhos ligando p em a e a em q, então a concatenação abaixo é caminho ligando p em q:

γ * γ ′ (t) =      γ(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2 γ ′ (1 -2t), 1/2 < t ≤ 1.
Posto isto, X se escreve como a reunião disjunta das classes de equivalência segundo tal relação (chamadas de componentes conexas por caminhos dados p, q ∈ R n , sejam U p e U q vizinhanças abertas de p e q, as quais supomos disjuntas (estas existem, pois já vimos que R n é de Hausdorff). O subespaço obtido reunindo-se U p e U q é evidentemente desconexo.

Exemplo 3.2.3. A esfera S n é conexa por caminhos. Com efeito, dados dois pontos p e q, se eles não são antípodas, então, para ligar p em q, basta tomar o arco de círculo γ(t)/ γ(t) , em que r : [0, 1] → R n+1 é a reta que os conecta. Isto é, γ(t) = tp+(1-t)q. Por outro lado, se p e q são antípodas (ou seja, se q = ±p), então para obter caminho ligando-os, escolhe-se um ponto auxiliar a ∈ S n e considera-se a concatenação entre os arcos de círculo ligando p em a e a em q.

Topologia Algébrica leitor o primeiro capítulo de [START_REF] Baues | Algebraic Homotopy[END_REF] e também os capítulos 5-8 de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF].

Cilindros

Um cilindro natural numa categoria C consiste de um functor C : C → C, em conjunto com transformações naturais ı 0 , ı 1 : id C → C, as quais possuem uma inversa à esquerda π : C → id C em comum e estão vinculadas por outra transformação τ : C → C, chamada de inversão. Isto significa que, para qualquer que seja o X, os diagramas abaixo são comutativos.

X X ı 1 X ı 0 X / / CX CX π X < < ③ ③ ③ ③ ③ ③ ③ ③ X id O O ı 1 X ) / / ı 0 X o o CX π X b b ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ CX τ X ; ; ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ ✇
Vejamos que, se uma categoria possui cilindro natural C, então lá está definida uma regra canônica que associa uma relação de equivalência ≃ C a cada conjunto de morfismos. Com efeito, dados f, g : X → Y , diz-se que eles são C-homotópicos (e escreve-se f ≃ C g) quando existe algum morfismo H : CX → Y , usualmente chamado de C-homotopia entre f e g, tal que Vamos concluir mostrando que a categoria Top se enquadra na classe daquelas com cilindros naturais, de modo a haver uma maneira canônica de aproximá-la.

H • ı 0 X = f e H • ı 1 X = g.
De fato, como facilmente se verifica, um cilindro pode ser obtido do functor C, tal que C(X) = X × I e C(f ) = f × id, aliado às transformações ı 0 X (p, t) = (p, 0) e ı 1 X (p, t) = (p, 1), cuja inversa em comum é a projeção na primeira entrada, estando vinculadas pela inversão τ X (p, t) = (p, 1t).

Por exemplo, com esta estrutura, uma C-homotopia entre duas funções contínuas f e g nada mais é do que outra função contínua H : X × I → Y que nos pares (p, 0) vale f (p) e nos pares (p, 1) se iguala a g.

Espaço de Caminhos

A versão dual dos cilindros naturais são os espaços de caminhos naturais. Assim, estes são functores P : C → C, dotados de transformações naturais π 0 , π 1 : P → id C , as quais possuem uma inversa à direita em comum ı : id C → P e estão vinculadas por uma certa inversão τ : P → P . Mais precisamente, os diagramas abaixo são comutativos sejam qual for o objeto X.

P X π 0 X / / X P X π 1 X o o X P X π 0 X o o τ X { { ① ① ① ① ① ① ① ① X id O O ı X b b ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ı X = = ③ ③ ③ ③ ③ ③ ③ ③ P X π 1 X O O
Observamos que a presença de espaços de caminhos naturais também nos fornece maneiras canônicas de associar relações de equivalência a conjuntos de morfismos.

Com efeito, diz-se que dois mapas f, g : X → Y são P -homotópicos (e escreve-se f ≃ P g) quando existe uma P -homotopia entre eles. Isto é, quando existe H : X → P Y , tal que

π 0 Y • H = f e π 1 Y • H = g.
De maneira análoga ao que vimos valer para cilindros naturais, verifica-se facilmente que relação de P -homotopia é de equivalência e compatível com composições.

Assim, para cada P fica bem definida a categoria quociente C/ ≃ P , representada por H P C. Os isomorfismos ali presentes chamam-se P -equivalências homotópicas.

Para terminar, mostremos que, além de cilindros naturais, a categoria Top também possui espaços de caminhos naturais, permitindo-nos aproximá-la de uma outra forma. Com efeito, ali se tem o functor P , que a cada espaço X associa o conjunto dos caminhos γ : I → X, enquanto dotado da topologia compacto-aberta (sobre tal topologia, veja, por exemplo, [START_REF] Lima | Elementos de Topologia Geral[END_REF]). Também se tem as transformações π 0 X e π 1 X , que a cada caminho associam, respectivamente, seu ponto inicial e seu ponto final. Elas estão ligadas pela inversão τ X , que toma γ e devolve outro caminho τ X (γ), que em cada instante vale γ(1t).

Nesta estrutura, uma P -homotopia entre funções contínuas f e g consiste de uma outra função contínua H, que a cada ponto p ∈ X associa um caminho H(p) : I → X, o qual parte de f (p) e chega em g(p).

Categoria Homotópica

Como vimos, Top tem tantos cilindros naturais quanto espaços de caminhos naturais. Assim, existem diversas maneiras canônicas de aproximá-la por uma outra categoria que, em princípio, é mais simples de ser classificada. Assim, como × é produto em Top, para que exista uma adjunção entre C e P (e, portanto, para que as maneiras de aproximar por eles induzidas sejam equivalentes) é preciso que Top seja cartesianamente fechada. Esta exigência, no entanto, não é satisfeita (para discussão e um contraexemplo, veja a seção 1.7 de [START_REF] May | Parametrized Homotopy Theory[END_REF]).

Uma maneira de contornar o problema é trabalhar com subcategorias de Top que sejam pequenas a ponto de serem suficientemente comportadas, mas grandes a ponto de englobarem situações corriqueiras e importantes. Em geral se concentra na subcategoria C , formada dos espaços Hausdorff e compactamente gerados. Esta última condição significa que seus abertos são precisamente os conjuntos que se mantêm abertos ao intersectarem compactos. Aqui se enquadram, por exemplo, os espaços métricos e os espaços localmente compactos (como as variedades, que serão nossos objetos de estudo em grande parte do texto). 

Intuição

Intuitivamente, o papel das homotopias H : f ⇒ g é deformar f continuamente, até que se torne g. Assim, um espaço X terá o mesmo tipo de homotopia que outro espaço Y quando nele pode ser continuamente deformado.

Exemplo 4.1.1. Os espaços que podem ser continuamente deformados (via homotopia) a pontos são ditos contráteis. Eles possuem todos os invariantes homotópicos (isto é, obtidos de functores definidos em H C ) triviais. Exemplos evidentes de es-paços contráteis incluem os subespaços convexos de R n (e, em particular, o próprio R n ). Exemplos um pouco mais elaborados, os quais nos serão fundamentalmente importantes, consistem dos EG, seja qual for o grupo topológico G.

Observamos haver uma diferença entre a deformação efetivada por um homeomorfismo e aquela proporcionada por uma equivalência homotópica: enquanto a primeira "preserva dimensões", a segunda não se submete a tal restrição. Em outras palavras, equivalências homotópicas têm a permissão para "colapsar dimensões". O exemplo abaixo ilustra este fato: Exemplo 4.1.2. Os subespaços R n -0 e S n-1 do R n não são homeomorfos: a esfera é compacta, algo não satisfeito se retiramos um ponto do R n . Em contrapartida, a aplicação x → x/ x , de R n -0 em S n-1 , é equivalência homotópica. Particularmente, ainda que o cilindro S 1 × R não seja homeomorfo ao círculo S 1 , eles possuem a mesma homotopia. 

Limites Homotópicos

Há um problema com a categoria H C : ela possui poucos limites e colimites. Por exemplo, abaixo mostramos que ela não possui pushouts e nem pullbacks. 

ker(f ) / / X f coker(f ) Y o o * / / Y * O O X o o f O O
Então, pela lei de colagem de pullbacks e pushouts, a composição sucessiva de kernels e cokernels pode ser computada pelos limites dos quadrados externos abaixo expostos, os quais são evidentemente triviais.

ker(ker(f ))

/ / ker(f )

/ / * coker(coker)(f ) coker(f ) o o * o o * / / X f / / Y * O O Y O O o o X O O f o o
Por sua vez, se olhamos para a colagem de kernels e cokernels homotópicos, Mais precisamente, são os mapas ı : X → Y tais que, para todo morfismo f : Y → Z e toda C-homotopia h partindo de ı (isto é, satisfazendo H • ı 0 X = ı), é possível obter uma outra C-homotopia H : CY → Z, esta partindo de f , a qual pode ser escolhida de modo que coincida com h quando restrita a CX. Em suma, tratam-se dos mapas para os quais o primeiro dos diagramas abaixo é comutativo.

X ı ı 0 X / / CX h } } ④ ④ ④ ④ ④ ④ ④ ④ C(ı) X  P X π 0 X o o P () Z Z f ❅❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ h ! ! ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ H = = ④ ④ ④ ④ Y f > > ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ı 0 Y / / CY H a a ❉ ❉ ❉ ❉ Y P Y π 0 Y o o
Dualmente, as fibrações estão presentes nas categorias C com espaços de caminhos naturais, sendo caracterizadas por terem a propriedade de extensão de Phomotopias, como representado no segundo dos diagramas acima.

No caso especial em que C e P coexistem e são adjuntos, as noções de Chomotopias e de P -homotopias estão em correspondência biunívoca, de modo que C-cofibrações e P -fibrações (agora chamadas simplesmente de cofibrações e de fibrações) admitem novas caracterizações.

Com efeito, uma mapa ı : X → Y será uma cofibração se, e somente se, para todo f : Y → Z e toda P -homotopia h partindo de f existe uma outra P -homotopia H, agora partindo de ı, que ao ser restrita a P X coincide com h (veja o primeiro dos diagramas abaixo). Em outras palavras, um mapa é uma cofibração se, e só se, possui a propriedade de extensão relativa a π 0 Z .

X ı h / / P Z π 0 Z Z ı 0 Z f / / X  Y H = = ④ ④ ④ ④ f / / Z CZ H = = ④ ④ ④ ④ h / / Y
De maneira análoga, a adjunção entre P e C nos permite caracterizar as fibrações como sendo os morfismos que têm a propriedade de levantamento com respeito a ı 0 Z , conforme o segundo dos diagramas acima.

Exemplo 4.2.1. Como veremos ao longo do texto, as fibrações mais importantes em C são as projeções de fibrados localmente triviais. Por sua vez, a mais importante cofibração é a simples inclusão ı : S n-1 → D n da esfera no disco.

Decomposição

A nova caracterização dada às fibrações e às cofibrações não só simplifica as suas definições como também nos permitem substituir, dentro da categoria quociente H C, qualquer morfismo por uma versão mais simples. Mais precisamente, mostraremos que, a menos de equivalências homotópicas, qualquer mapa pode ser substituído por uma fibração assim como por uma cofibração.

Dado um mapa f , definimos seu mapping path space (também chamado de mapping cocylinder ) e seu mapping cylinder como sendo, respectivamente, o pullback e o pushout abaixo apresentados. Observamos existirem morfismos s : X → ccyl(f ) e r : X → cyl(f ) tais que ambas as composições π • s e r • ı coincidem com id X .

Isto significa que podemos decompor f tanto na forma r • (β • ı 0 ) quanto na forma Para detalhes, sugerimos ao leitor os capítulos 6 e 7 de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF].

(π 0 • α) • s. ccyl(f ) α / / π P Y π 0 Y cyl(f ) CX β o o X f / / Y Y ı O O X f o o ı 0 X O O Afirmamos que o β • ı 0 é uma fibração, enquanto que π 0 • α é uma cofibração. Além disso,

Limites Homotópicos

Uma consequência da escolha de um modelo em C é a existência de uma estratégia de identificação e de cálculo para limites e colimites homotópicos. Não entraremos em detalhes aqui, mas, em boas situações, numa categoria modelo, todo limite cujos objetos são fibrantes e cujos morfismos são fibrações é homotópico.

Dualmente, todo colimite formado de cofibrações entre objetos cofibrantes é homotópico.

Por sua vez, se um limite é homotópico, então pode-se calculá-lo seguindo a seguinte receita: substitui-se os objetos por resoluções fibrantes e os morfismos por seus mapping path spaces (que são fibrações). Então, o limite do diagrama resultante é um modelo para o limite homotópico do diagrama inicial. Situação dual se aplica aos colimites homotópicos.

Para pullbacks ou pushouts homotópicos, a situação é ainda mais simples: para calculá-los não se precisa trocar os dois morfismos (que constituem o limite a ser efetuado) por seus mapping path spaces ou mapping cylinders, mas apenas um deles.

Para detalhes a respeito destes fatos, remetemos o leitor à seção A.2.4 de [START_REF] Lurie | Higher Topos Theory[END_REF] e à seção 13.3 de [START_REF] Hirschhorn | Model Categories and Their Localizations[END_REF]. Veja também o sexto e o sétimo capítulos de [START_REF] Strom | Modern Homotopy Theory[END_REF].

X ′ g CX ′ CX ′ X f / / Y CX / / CY P (CY ) / / CY CX / / CY
Acima ilustramos os passos concernentes à substituição dos objetos e de um dos morfismos por suas versões fibrantes (não há diferença em substituir f ou g, como logo se convence). É possível realizar o cálculo do diagrama final de duas maneiras, apresentadas abaixo. Na primeira delas, efetua-se dois pullbacks. Na segunda, efetua-se três.

HPb / / ccyl(f ) / / ❴ ❴ ❴ ✤ ✤ ✤ CX ′ HPb / / ccyl(f ) / / ❴ ❴ ❴ ✤ ✤ ✤ CX ′ P (CY ) / / CY ccyl(g) / / ❴ ❴ ❴ ✤ ✤ ✤ P (CY ) / / CY CX / / CY CX / / CY

Sequências Longas

Como consequência da discussão anterior, kernels e cokernels homotópicos, assim como suspensões e loops, podem todos ser comutados através de pullbacks e pushouts usuais. Por universalidade, existem então os mapas -Ωf e -Σf abaixo apresentados. Ali, ccone(f ) e cone(f ) representam, respectivamente, o kernel e o cokernel homotópicos de f , os quais são também chamados de mapping cocone e de mapping cone.

ΩX -Ωf " " ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ) ) ΣX ΩY / / ccone(f ) / / * ΣY -Σf b b ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ cone(f ) o o * o o m m * / / X f / / Y * T T O O Y o o O O X f o o O O
Iterando o primeiro diagrama, conclui-se que qualquer morfismo f : X → Y , definido na pontuação C * de uma categoria modelo C, a qual supomos ser formada somente por objetos fibrantes, origina a seguinte sequência:

• • • / / Ωccone(f ) / / ΩX -Ωf / / ΩY / / ccone(f ) / / X f / / Y
A ela se dá o nome de sequência de fibrações f . De maneira análoga, agora supondo que a categoria em questão é formada de objetos cofibrantes, ao se iterar o pushout representado no segundo dos diagramas acima, encontra-se a sequência de cofibrações de f :

X f / / Y / / cone(f ) / / ΣX -Σf / / ΣY / / Σcone(f ) / / • • •
Como todos os objetos de C são tanto fibrantes quanto cofibrantes, ambas as sequências ali existem. Observamos que, para qualquer que seja o objeto Z ∈ H C * , aplicando [Z; -] na sequência de fibrações de um morfismo f : X → Y , obtém-se uma sequência exata em Set. Dualmente, se aplicamos [-; Z] na sequência de cofibrações, também obtemos uma sequência exata de conjuntos. Para detalhes, veja a seção 6.5 de [START_REF] Hovey | Model Categories[END_REF]. Veja também o capítulo 5 de [START_REF] Strom | Modern Homotopy Theory[END_REF].

Complexos

Por diversas vezes no texto, comentamos que classificar a categoria Top é um problema muito difícil. Posto isto, elencamos duas estratégias básicas de ataque: buscar por invariantes topológicos e olhar para uma aproximação de Top que seja mais simples de ser classificada, o que nos levou à introdução da categoria homotópica H C .

No próximo capítulo, misturaremos ambas as estratégias. Mais precisamente, construiremos invariantes homotópicos, os quais se verão associados a functores H C → Ab. Em particular, buscaremos por invariantes que sejam simples de calcular. Ora, comentamos que quanto mais limites e colimites são preservados por um dado functor, mais simples se torna calcular o invariante a ele associado.

Ocorre que em H C não existem muitos limites (ao invés deles, tem-se suas versões homotópicas). Assim, no próximo capítulo focaremos em functores que preservem certos tipos de limites homotópicos.

Por exemplo, se olhamos para os espaços que podem ser construídos por um processo indutivo homotópico, então, enquanto restritos a esta classe de espaços, os invariantes associados a functores que preservam processos indutivos serão facilmente calculados. Relembramos que, para calcular um colimite homotópico, substituímos mapas usuais por cofibrações (isto é, os trocamos por seus mapping cylinders).

Assim, há especial interesse nos espaços que são obtidos por limites indutivos de cofibrações.

As cofibrações mais simples são as inclusões ı : S n-1 → D n . Além disso, cofibrações são invariantes por pushouts, de modo que, do ponto de vista calculacional, uma boa classe de espaços são aqueles obtidos por meio de limites indutivos de cofibrações resultantes de pushouts de ı. Tais espaços chamam-se complexos celulares.

X D n o o Y O O S n-1 f o o ı O O
Quando um espaço é resultado do pushout acima, fala-se que ele foi obtido de Y colando-se uma célula de dimensão n (também chamada de n-célula) ao longo de f . Desta forma, pode-se dizer que um complexo celular é um espaço obtido por um processo indutivo de colagem de células. Os mais importantes complexos são aqueles (denominados CW-complexos) que correspondem a um processo indutivo regular (ou "organizado"), no qual se colam células de dimensão n somente na n-ésima etapa do processo indutivo.

Assim, um CW-complexo é simplesmente um espaço construído da seguinte forma: parte-se de um conjunto discreto X 0 , no qual se colam células de dimensão 1, fornecendo X 1 . Neste, então, colam-se células de dimensão dois, dando-nos X 2 . Indutivamente, passa-se de X n-1 para X n por colagem de células de dimensão n. Finalmente, toma-se o colimite do sistema dirigido abaixo, onde os mapas f i (que são cofibrações) foram obtidos por universalidade.

X 0 f 0 / / X 1 f 1 / / X 2 f 2 / / X 3 / / • • •
Um morfismo entre dois CW-complexos é uma função contínua entre os espaços subjacentes que comuta com o limite indutivo. Assim, para que dois CW-complexos sejam isomorfos, é preciso que eles possuam mesma quantidade de células em cada dimensão. Tem-se uma evidente subcategoria CW ⊂ C , formada dos CW-complexos e dos morfismos assim definidos. O exemplo abaixo nos mostra que um mesmo espaço pode admitir duas estruturas celulares distintas. Isto significa, em particular, que a inclusão ı : CW → C não é fracamente injetiva.

Exemplo 4.3.1. Toda esfera S n admite uma estrutura celular formada de duas únicas células: uma em dimensão zero e outra em dimensão n. Por sua vez, a esfera S n admite também estrutura celular formada de seis células, a qual pode ser obtida assim: parte-se de um conjunto X 0 com dois pontos distintos (digamos * 0 e * 1 ).

Cola-se, então, duas células de dimensão 1 entre eles, originando X 1 . Finalmente, cola-se duas células de dimensão 2, obtendo X 2 ≃ S 2 .

Finalizamos comentando (sem grandes detalhes) haver uma maneira natural de Na primeira seção construímos os grupos de homotopia π i (X). Estes são os invariantes homotópicos e algébricos mais fáceis de serem construídos. Mostramos ser possível falar de "homotopia relativa" de um par (X, A) e que esta se relaciona com os invariantes de X e A por meio de uma sequência exata. No entanto, discutimos como tal sequência está longe de ser suficiente para que consigamos realizar bons cálculos com os π i . Com efeito, estes preservam poucos limites e colimites homotópicos.

Exemplos de limites e colimites preservados pelos π i incluem os produtos e os processos indutivos. Por este último fato, caso se comportassem bem com cofibrações, os π i seriam facilmente calculados para CW-complexos, mas este não é o caso.

Ao invés disso, tais invariantes tem melhor comportamento com respeito a fibrações.

Este fato nos leva à busca de invariantes H i que tenham comportamento determinado ao longo de cofibrações. Como os grupos de homotopia são bons para fibrações, a ideia é construir os H i via dualização dos π i . Na segunda seção mostramos que isto pode ser feito, fornecendo-nos o conceito de teorias de cohomologia.

Observamos que, durante o processo de dualização, a covariância dos π i é levada na contravariância dos H i . Assim, tem-se invariantes covariantes que conservam fibrações e invariantes contravariantes que conservam cofibrações. Existirão invariantes covariantes que se comportam bem com cofibrações? Surpreendentemente, tais invariantes existem e correspondem às chamadas teorias de homologia, as quais estudamos na terceira seção.

Sobre detalhes dos assuntos aqui discutidos, sugerimos ao leitor as obras [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF][START_REF] Whitehead | Elements of Homotopy Theory[END_REF][START_REF] Strom | Modern Homotopy Theory[END_REF][START_REF] Spanier | Algebraic Topology[END_REF].

Homotopia

Introduzimos aqui nossos primeiros invariantes topológicos por métodos estritamente algébricos. Tratam-se, pois, daqueles conhecidos como grupos de homotopia.

Em verdade, como veremos, tais invariantes são homotópicos e estão definidos para espaços pontuados.

Dado um espaço pontuado X ∈ H C * , iniciamos considerando a sua suspensão.

Relembrando tratar-se do pushout homotópico abaixo, denotado por ΣX. Em outras palavras, é o cokernel homotópico do mapa pt : X → * .

ΣX * o o * O O X o o O O
Para calculá-lo, devemos proceder da maneira padrão: substituindo tal mapa por seu mapping cylinder e então efetuando o limite. Existem duas maneiras de efetuá-lo, as quais correspondem aos outros diagramas. A primeira modela ΣX como sendo o espaço obtido do cilindro X × I identificando-se os pontos X × 0 (cujo resultado é o mapping cylinder ) e em seguida idenficando X × 1. A segunda, por sua vez, modela a suspensão em termos do espaço obtido colocando dois mapping cylinders (que, como dito, são cilindros com uma das tampas colapsadas) ao longo da outra tampa.

ΣX cyl(pt)

o o * o o ❴ ❴ ❴ ΣX / / cyl(pt) / / ❴ ❴ ❴ * X × I O O ✤ ✤ ✤ X o o O O cyl(pt) O O X × I o o ❴ ❴ ❴ O O ✤ ✤ ✤ X o o O O * O O X o o O O * O O ✤ ✤ ✤ X o o O O
Relembramos que produtos e coprodutos existem em H C * , sendo modelados pelos próprios produtos e coprodutos de C * , os quais coincidem com os produtos e coprodutos em Top * . Assim, há duas estruturas monoidais simétricas naturais em H C * . Com respeito à estrutura herdada por coprodutos, H C * possui grupos não triviais (estes são comumente chamados de H-cospaces na literatura). De fato, para todo X, sua suspensão ΣX é um cogrupo. Assim, Σ(ΣX) = Σ 2 X é um cogrupo na categoria dos cogrupos, sendo um cogrupo abeliano pelo argumento de Eckmann-Hilton.

Relembramos que, em qualquer que seja a categoria monoidal C, um objeto X é um grupo se, e somente se, cada Mor C (X; Y ) admite estrutura de grupo natural.

Assim, para todo X ∈ H C * , o functor [Σ n X, -], denotado por π X n , assume valores na categoria dos grupos e, em particular, se n ≥ 2, na categoria dos grupos abelianos.

Portanto, eles definem invariantes algébricos e homotópicos em C * .

Uma vez que a suspensão é descrita por um limite homotópico, dois espaços X e Y que tenham o mesmo tipo de homotopia terão suspensões homotópicas e, portanto,

definirão invariantes π X n e π Y n isomorfos. Isto retira o interesse dos invariantes π X n quando X é contrátil, pois Σ * ≃ * , de modo que π * n (Y ) ≃ 0 para todo Y .
O espaço com tipo de homotopia mais rudimentar depois de um ponto é S 0 , levando-nos a lançar os olhos sobre os invariantes π S 0 n , denotados simplesmente por π n . Eles são chamados de grupos de homotopia. Rapidamente se convence de que

ΣS n ≃ S n+1 , de modo que π n ≃ [S n , -].

Homotopia Relativa

Nesta subseção, mostraremos que os functores π n se estendem à categoria dos pares (X, A) de H C * , definindo invariantes relativos. Estes haverão de relacionar os grupos de homotopia do subespaço A com os de X através de uma sequência exata.

Relembramos haver uma sequência longa de fibrações associada à inclusão ı :

A → X. Como cada um dos π n é representável, eles a preservam, induzindo, em particular, uma sequência exata longa em conjuntos

• • • / / π 0 (Ωccone(ı)) / / π 0 (ΩA) / / π 0 (ΩX) / / π 0 (ccone(ı)) / / π 0 (A) / / π 0 (X)
Como a suspensão e o loop são obtidos de limites duais, então os functores que os correspondem são adjuntos. Consequentemente, π n (ΩX) ≃ π n+1 (X). Assim, a sequência anterior assume o seguinte formato

• • • / / / / π i+1 (A) / / π i+1 (X) / / π i (ccone(ı)) / / π i (A) / / π i (X) / / • • • ,
mostrando-nos que é o grupo de homotopia do mapping cocone da inclusão ı o responsável por conectar os correspondentes grupos de homotopia de X e de A. Isto nos sugere definir o grupo de homotopia relativa π i (X, A) como sendo simplesmente

π i (ccone(ı)).
Observamos, no entanto, que no caso em que A = X, tal definição nos levaria a identificar o grupo π i (X, X) com π i+1 (X), contradizendo o desejo de que um invariante relativo recaia no absoluto neste tipo de limite. Este incoveniente pode ser facilmente contornado redefinindo π i (X, A) por π i-1 (ccone(ı)). Ao se fazer isto, estende-se π i aos pares (X, A) e faz-se com que as propriedades desejadas para um invariante relativo sejam satisfeitas.

Comportamento

Questionemos a cerca da computabilidade de π i . Em primeiro lugar, observamos que tais functores são representáveis de modo que comutam com todos os limites existentes em H C * . Ocorre que tais limites existem em pouca quantidade. Ainda assim, tal categoria possui produtos, levando-nos a isomorfismos do tipo π i (X ×Y ) ≃

π i (X) × π i (Y ).
Poderíamos pensar em olhar para limites homotópicos. No entanto, estes não são geralmente preservados. Para contraexemplos, confira [START_REF] Farjoun | Fundamental Group of Homotopy Colimits[END_REF].

No que diz respeito à preservação de colimites, tem-se problemas mais sérios.

Por exemplo, os π i nem mesmo preservam coprodutos. De fato, pode-se mostrar que, para i ≥ 2, computa-se

π i (X ∨ Y ) ≃ π i (X) ⊕ π i (Y ) ⊕ π i+1 (X × Y, X ∨ Y ).
Uma exceção à regra diz respeito aos limites indutivos. Vê-se que estes são preservados pelos grupos de homotopia através de um argumento bastante simples de compacidade das esferas (confira seção 9.4 de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF]). Assim, se os π i fossem bem comportados relativamente a cofibrações, então seriam bons invariantes para se trabalhar com CW-complexos. Infelizmente, não se tem uma regra que nos ensine a calcular os π i quando fornecida uma cofibração genérica.

Em contrapartida, os grupos de homotopia são razoavelmente comportados com respeito a fibrações. De fato, pode-se mostrar que associada a toda fibração π : E → X existe uma sequência exata que relaciona a homotopia da fibra F p = π -1 (p) com a homotopia da base X e do espaço total E. Trata-se, pois, de uma sequência na forma abaixo apresentada. Tal sequência é simples de ser obtida, mas, ainda assim, preferimos omitir os detalhes. Ao leitor que se interesse, sugerimos, por exemplo, a seção 9.3 de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF].

• • • / / π i+1 (F p ) / / π i+1 (E) / / π i+1 (X) / / π i (F p ) / / π i (E) / / • • •
Como exemplificação do uso de tal sequência, observamos que o mapa canônico EG → BG é fibração com fibra isomorfa a G. Além disso, como EG é contrátil, todos os seus grupos de homotopia são triviais, de modo que cada faixa

0 ≃ / / π i+1 (EG) / / π i+1 (BG) / / π i (G) / / π i (EG) ≃ / / 0
é exata e, portanto, a seta do meio é um isomorfismo.

Cohomologia

Na seção anterior, construímos nossos primeiros invariantes homotópicos por meio de métodos algébricos: os grupos de homotopia. Estes foram relativamente simples de serem definidos. Em contrapartida, são bastante difíceis de serem computados. Isto se deve à falta de propriedades satisfeitas por eles.

Por exemplo, como vimos, CW-complexos são limites indutivos de cofibrações.

Os π n preservam limites indutivos, mas não se comportam de maneira clara para com cofibrações. Se o fizessem, então seria simples calcular os grupos de homotopia desta classe de espaços.

Posto isto, busquemos por invariantes homotópicos que possuam bom comportamento relativamente a cofibrações. Como os π n são bem comportados com respeito a fibrações, a ideia é buscar por entes que, em certo sentido, sejam duais aos

π n = [S n , -]. A tentantiva imediata é considerar os [-, S n ].
Estes são evidentemente invariantes por homotopias e, por serem representáveis, levam sequências de cofibrações em sequências exatas. Ocorre que, em geral, [X, S n ] não possui estrutura algébrica, de modo que os invariantes obtidos são fracos.

Onde está o problema? Relembramos que ΣS n ≃ S n+1 , de modo que a sequência dos π n fica representada por correspondente sequência de espaços X n , os quais estão vinculados pela condição ΣE n ≃ E n+1 . O dual completo de tal construção há de ser uma sequência de functores H n , representada por uma sequência de espaços E n , vinculados por ΩE n+1 ≃ E n . Tal sequência de espaços é dita ser um Ω-pré-espectro, enquanto que os correspondentes invariantes dizem-se constituintes da cohomologia associada a ela.

Observamos que a cohomologia de um Ω-pré-espectro cumprirá com todos os requisitos, especialmente no que tange ao fato de serem algébricos. Com efeito,

[X, S n ] ≃ [X, ΩS n+1 ] ≃ [ΣX, S n+1 ] ≃ [Σ 2 X, S n+2 ],
de modo que cada H n assumirá valores na categoria dos grupos abelianos. Uma vez que ΩS n+1 nem sempre é homotópico a S n , os [-, S n ] não são a dualização completa dos π n , daí o problema com eles.

Posto isto, a questão é: existirão tais dualizações completas? A resposta é afir- Conclusão. Existem invariantes que são contravariantes, homotópicos, abelianos e que se comportam bem com respeito a cofibrações. Eles são designados, genericamente, de invariantes de cohomologia.

Questionemos: será toda sequência de invariantes satisfazendo tais condições proveniente de algum Ω-pré-espectro? Em outras palavras, será toda cohomologia a cohomologia de um Ω-pré-espectro?

Algumas condições são certamente necessárias. De fato, se os functores advirem de um Ω-pré-espectro, então serão representáveis de modo que deverão levar colimites de H C * em limites de AbGrp. Tais colimites existem em pequena quantidade. Coprodutos, no entanto, são exemplos. Assim, em particular, para que uma sequência H n seja definida por um Ω-pré-espectro, é preciso que cada H n seja aditivo, no sentido de levar coprodutos de espaços pontuados no produto direto dos correspondentes grupos.

Deve-se observar ainda que os invariantes definidos por um Ω-pré-espectro E n são sempre estáveis. Isto é, tem-se isomorfismos naturais

H n • Σ ≃ H n+1 . Com efeito, para todo espaço X, H n (ΣX) = [ΣX, E n ] ≃ [X, ΩE n ] ≃ [X, E n+1 ] = H n+1 (X),
de modo que estabilidade é também uma condição necessária para que uma cohomologia provenha de Ω-pré-espectros. O fato surpreendente é que, em conjunto com aditividade, tal condição não só é necessária como também suficiente! Mais precisamente, tem-se o seguinte resultado, usualmente conhecido como teorema da representabilidade de Brown:

• se uma cohomologia é aditiva e estável, então ela provém de um Ω-pré-espectro.

Ou ainda, em outros termos: os únicos invariantes homotópicos, abelianos, estáveis, aditivos e que se comportam bem com respeito a cofibrações são aqueles provenientes de um Ω-pré-espectro.

Finalizamos com a seguinte observação:

Observação. Vimos que, se G é abeliano, então [-, BG] define uma teoria de cohomologia. O que acontece com tal functor no caso em que G não é abeliano?

Lembramos que a comutatividade foi crucial para que as iteradas B n G estivessem bem definidas, levando-nos à prova de que tal sequência define um Ω-pré-espectro.

Portanto, não se deve esperar que no caso não-abeliano o functor [-, BG] continue a definir uma teoria de cohomologia no sentido aqui empregado. Ainda assim, ele define uma cohomologia num sentido mais amplo. Em tal contexto, ela é chamada de cohomologia não-abeliana. Como exemplo de sua aplicabilidade, veremos no próximo capítulo que a primeira cohomologia não-abeliana de um espaço X (isto é, o conjunto [X, BG], que neste caso continua a ser um grupo) classifica os fibrados principais que tem X como base. Em ordem superior, os conjuntos [X, B n G] podem não admitir mais estruturas de grupo, mas continuam a ser úteis na tarefa de classificar "fibrados mais categóricos".

Cocadeias

Há uma boa estratégia para se obter teorias de cohomologia. Com efeito, ao invés de se buscar por uma sequência de functores H n : H C op * → AbGrp, procurase apenas um: C, definido em C e assumindo valores numa determinada categoria dAb, cujos objetos são sequências de grupos abelianos.

Esta categoria deve ser tal que objeto X * ∈ dAb induza uma correspondente sequência de functores

F n : dAb op → Ab. Posto isto, considera-se H n = F n • C e
olha-se para C, cujas propriedades haverão de refletir as propriedades que se quer para H n (como ser homotópico, preservar produtos, etc.).

Costumeiramente define-se dAb por ser a categoria dos complexos de cocadeia.

Isto é, das sequências crescentes de homomorfismos de grupos abelianos d n : X n → X n+1 , chamados de operadores de cobordo, cuja composição consecutiva é sempre nula: d n+1 • d n = 0 seja qual for o natural n. Os morfismos de tal categoria são as aplicações de cocadeia. Tratam-se, pois, das sequências de homomorfismos de grupo que comutam com os operadores de cobordo. A condição d • d = 0 faz com que os functores

H n : dAb → Ab, tais que H n (X * ) = ker(d n+1 )/img(d n )
estejam todos bem definidos, concluindo a construção.

Diversas teorias de cohomologia podem realmente ser construídas seguindo tal estratégia. Com efeito, como veremos na próxima seção, para todo grupo G, a cohomologia [-, B k G] admite uma construção nesta perspectiva. Outro exemplo com o qual nos depararemos é a cohomologia de De Rham, a qual surge de maneira natural no contexto das variedades diferenciáveis.

Homologia

Uma teoria de homologia é uma sequência de invariantes H n que satisfazem todas as boas propriedades das cohomologias, mas que ao invés de serem contravariantes, são covariantes como os grupos de homotopia. De maneira mais precisa, tratam-se dos invariantes H n : H C * → AbGrp que são aditivos (preservam produtos), estáveis (no sentido de existirem isomorfismos naturais

H n+1 • Σ ≃ H n ) e
que preservam a exatidão de sequências de cofibrações.

Observamos que os invariantes de homologia são bem menos naturais que os invariantes de cohomologia. De fato, pede-se que um ente covariante preserve cofibrações ao invés de fibrações. Assim, espera-se que eles tenham menos propriedades e que sejam mais difíceis de serem encontrados. Por exemplo, como veremos adiante, a cohomologia em geral possui uma estrutura adicional de anel, enquanto que a homologia define apenas grupos abelianos. Apesar de tudo, tais invariantes existem. A ideia é a seguinte: pensamos em homologia como sendo "homotopia adicionada das boas propriedades da cohomologia". Com isto em mente, partindo dos π n tenta-se modificá-los de modo a incluir propriedades. Eles já são aditivos e homotópicos, então neste quesitos não precisamos mexer (apenas devemos cuidar para que as mudanças a serem realizadas não os invalidem).

Para introduzir estabilidade, observemos o seguinte: dado um espaço X nem sempre é verdade que ΣX ≃ X. Em contrapartida, se tomamos o limite lim Σ k X, então o espaço resultante há de cumprir tal condição. Isto nos leva a definir

H n (X) = lim π n+k (Σ k X).
Assim, a estabilidade dos H n provém da estabilidade assintótica dos grupos de homotopia, garantida por um resultado conhecido como teorema da suspensão de Freudenthal (veja, por exemplo, a seção 11.2 de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF] ou então a seção 17.4 de [START_REF] Strom | Modern Homotopy Theory[END_REF]).

Certamente as mudanças realizadas para sair de π n e chegar em H n preservam homotopias e produtos, de modo que os H n não só são estáveis, como também homotópicos e aditivos. Além disso, são claramente abelianos.

Tais invariantes são chamados de grupos de homotopia estável e constituem um exemplo (não muito amigável) de teoria de homologia. Por exemplo, determiná-los para as esferas constitui um dos grandes problemas em aberto da topologia algébrica.

Isto reforça quão difícil é calcular os π n : mesmo depois de agregar propriedades a eles (tornando-os estáveis e bons relativamente a cofibrações), eles ainda fornecem resistência ao cálculo.

Cadeias

Assim como vimos valer para cohomologias, tem-se uma boa estratégia para obter teorias de homologia. Com efeito, ao invés de buscar por uma sequência de functores H n : H C * → AbGrp, procura-se por um só functor C, definido em C e assumindo valores numa determinada categoria ∂Ab, cujos objetos são sequências de grupos abelianos.

Esta categoria deve ser tal que cada parte da sequência de um dado X * ∈ ∂Ab defina um correspondente F n : ∂Ab → Ab. A ideia é então colocar H n como sendo a composição F n • C e traduzir as propriedades desejadas em termos de condições sobre C.

Assim, o procedimento é análogo àquele aplicado para as cohomologias, a não ser pelo fato de que o functor resultante H n deve ser covariante e não mais contravariante. Ambos os functores F n e C precisam então ser covariantes. Construiremos os F n de forma idêntica aos F n . A ideia é simples: se os F n eram contravariantes e estavam definidos numa categoria de sequências crescentes, invertemos a direção das setas e obtemos um functor F n covariante e definido numa categoria de sequências decrescentes.

De maneira mais precisa, definimos ∂Ab por ser a categoria dos complexos de cadeia -isto é, das sequências X * de homomorfismos de grupos abelianos (chamados de operadores de bordo e denotados por ∂ n :

X n → X n-1 ), cuja composição consecutiva é nula (isto é, ∂ n • ∂ n+1 = 0 para todo n).
Os morfismos de tal categoria são as sequências de mapas h n : X n → X ′ n que comutam com os correspondentes operadores de bordo ∂ n e ∂ ′ n . Sob tais colocações, fica evidentemente estabelecida uma sequência de functores covariantes

F n : ∂Ab → Ab, tais que F n (X * ) = ker(∂ n )/img(∂ n+1 ).
Assim, como vimos ocorrer em dAb, tem-se uma noção de homotopia algébrica entre morfismos de ∂Ab, de modo que, para H n = F n • C ser homotópico, basta que C leve mapas homotópicos em morfismos de cadeia algebricamente homotópicos.

Dold-Kan

No que diz respeito à construção de teorias de homologias via complexos de cadeia, o processo pode ser ainda mais fragmentado, tornando-o versátil. Vejamos como isto acontece.

Iniciamos relembrando que um objeto simplicial numa categoria C é simplesmente um functor contravariante ∆ op → C, o qual se identifica com uma sequência de objetos X n ∈ C, os quais estão ligados por operadores de face δ i : X n → X n-1 e por operadores de degenerescência σ i : X n → X n+1 , com i = 0, ..., n, satisfazendo certas identidades simpliciais.

Seja sAb a categoria dos grupos abelianos simpliciais. O fato fundamental que gostaríamos de destacar aqui é a existência de uma equivalência entre sAb e ∂Ab.

Ela é introduzida por meio de uma adjunção N ⇋ Γ, em que N : sAb → ∂Ab é o functor que a cada grupo simplicial abeliano X associa o complexo NX, chamado de complexo de Moore de X, cujo n-ésimo termo da cadeia consiste da interseção dos núcleos dos δ i : X n → X n-1 , com i = 0, ..., n -1, e cujo operador de bordo ∂ n : (NX) n → (NX) n-1 é simplesmente a restrição de (-1)δ n a tal interseção. Para detalhes, veja, por exemplo, a seção 8.4 de [START_REF] Weibel | An Introduction to Homological Algebra[END_REF] e as seções 5-8 do capítulo VIII do clássico [START_REF] Maclane | [END_REF].

De posse deste fato, segue-se que dar functores de C em Ab, a partir dos quais obtemos possíveis teorias de homologia, consiste no mesmo que dar functores de C em sAb. Ora, tem-se um functor natural Sing : C → sAb, que a cada espaço X associa o objeto simplicial SingX, cujas n-células são as funções contínuas f : ∆ n → X. Questionemos: que teoria de homologia ele define? A fim de responder tal questão, observamos que Sing é adjunto da realização geométrica, de modo que 

| • | • Γ é adjunto a N •
π k • N • Sing e | • | • Γ • (-)[k] ≃ B k , em que π k : ∂Ab → Ab é o functor que projeta o k-ésimo termo. Portanto, para todo X e todo grupo abeliano G, tem-se [X; B k G] ≃ Hom(Sing k X; G) ≃ H k (SingX, G).
Ora, o lado esquerdo é a cohomologia definida por G, enquanto que o lado direito é a cohomologia definida pelo complexo N • Sing com coeficientes no grupo G. Assim, a homologia definida por Sing é precisamente aquela cuja correspondente cohomologia com coeficientes em G coincide com a cohomologia de G. Isto nos mostra, em particular, que a cohomologia gerada por um grupo abeliano provém de uma homologia.

C Sing + + sAb |•| i i N + + ∂Ab π k , , Γ k k AbGrp (-)[k] k k

Produtos

Mostramos aqui que as teorias de cohomologia possuem uma estrutura de anel que, em geral, não está presente nas teorias de homologia. Isto ressalta o fato de que os invariantes de cohomologia são mais naturais que aqueles definidos via homologia.

Fixado espaço X ∈ H C , olhemos, pois, para o diagrama abaixo. Nele, Γ é o adjunto do functor de Moore N na correspondência de Dold-Kan, ı é a inclusão da categoria dos grupos abelianos simpliciais na categoria dos grupos simpliciais, ao mesmo tempo que | • | é a realização geométrica e K é a composição indicada.

∂Ab K 3 3 Γ / / sAb ı / / sSet |•| / / C π / / H C [X,-] / / Set
Se em ∂Ab consideramos a estrutura monoidal definida pelo produto tensorial de complexos, em sAb a estrutura monoidal herdada de Ab, em sSet a herdada de Set e, finalmente, em C e em Set aquelas vindas de produtos, então cada um de tais functores torna-se monoidal. Desta forma, toda aplicação de cadeia h :

G * ⊗ G ′ * → G ′′ * induz uma correspondente função ∪ h : [X, K(G * )] × [X, K(G ′ * )] → [X, K(G ′′ * )].
Observamos que, para qualquer que seja o grupo abeliano G, na notação da subseção anterior, tem-se

G[k +l] ≃ G[k]⊗G[l]. Daí, para h igual a tal identificação, obtém-se mapas em cohomologia ∪ : H k (X; G) × H l (X; G) → H k+l (X; G),
usualmente chamados de produto cup, os quais introduzem a estrutura de anel graduado que havíamos comentado.

Advertência. No caso em que G fizer parte de um anel R, escreveremos H * R : H C * → Rng para denotar o functor de cohomologia por ele definido.

Capítulo 6 Fibrados

Se, por um lado, CW-complexos são espaços importantes pois teorias de homologia e cohomologia podem ser mais facilmente calculadas enquanto a eles restritas, por outro, os fibrados (espaços estudados nesse capítulo) são importantes pois a partir de cada um deles se sabe construir novos invariantes, chamados de classes características.

Grosso modo, um fibrado é um mapa sobrejetivo π : E → X. Isto significa que seu domínio admite uma decomposição em termos de conjuntos não-vazios E p associados a cada ponto do contradomínio X. Estes são chamados de fibras de E e correspondem simplesmente às imagens inversas π -1 (p). Neste contexto de generalidade, fibrados não são muito úteis. No entanto, é na medida em que se adicionam propriedades a eles (como, por exemplo, estruturas algébricas às fibras, ações de grupos, etc.) que tal utilidade se evidencia.

Na primeira seção do capítulo, introduzimos propriedades pouco a pouco, de modo a definir as diferentes classes de fibrados nas quais se tem interesse. Num certo ponto, mostramos, por exemplo, que tais propriedades são suficientes para que consigamos classificar certos fibrados, chamados de G-fibrados principais. O invariante que realiza a classificação é exatamente a cohomologia não-abeliana associada ao grupo G.

Na segunda seção damos um enfoque especial aos fibrados vetoriais. Estes possuem a propriedade adicional de terem fibras dotadas de estruturas de espaço vetorial. Ali mostramos que toda operação "contínua" realizada nas fibras de um fibrado vetorial pode ser estendida ao ente inteiro. Mais precisamente, provamos um teorema que nos permite levantar todo functor contínuo da categoria Vec R para a categoria dos fibrados vetoriais. Isso significa, por exemplo, que faz sentido falar da soma direta ou do produto tensorial de fibrados vetoriais.

A terceira seção é marcada pela introdução das classes características, que são os invariantes associados aos fibrados. Estas consistem de regras que a cada classe de isomorfismo de fibrados associa uma classe de cohomologia no espaço base do fibrado em questão. Ali discutimos como a teoria para fibrados vetoriais é mais interessante.

Por exemplo, mostramos que, neste contexto, as classes características associadas à cohomologia com coeficientes em Z 2 podem ser totalmente classificadas.

As referências clássicas sobre a teoria de fibrados, as quais consistiram nas principais fontes de consulta no momento da escrita deste capítulo, são os textos [START_REF] Steenrod | The topology of Fibre Bundle[END_REF][START_REF] Husemoller | Fibre Bundles[END_REF].

Informação adicional também pode ser encontrada nos últimos capítulos de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF][START_REF] Strom | Modern Homotopy Theory[END_REF].

Estrutura

Em muitas ocasiões sabe-se associar, de maneira contínua e disjunta, um conjunto X p a cada ponto de um espaço X. Fala-se que X p é uma fibra em p de X. A reunião das fibras chama-se fibrado em X e é uma entidade que nos permite descrever simultaneamente o comportamento nas vizinhanças de pontos de X e das fibras a eles associados.

Para todo fibrado E = ∪ p X p em X, tem-se uma função contínua e sobrejetiva π : E → X, chamada de projeção canônica, que toma um elemento x na reunião ∪ p X p das fibras e devolve o ponto p que corresponde à fibra na qual x se encontra.

Observação: Costuma-se identificar X p com p × X p . Não há perda de generalidade em se fazer isso, pois as fibras são supostas disjuntas. Por outro lado, isto facilita descobrir em que fibra um determinado elemento da reunião ∪ p X p está. Por exemplo, nesta identificação, o mapa π fica caracterizado por π(p, x) = p. No que segue, adotaremos esta convenção.

Reciprocamente, vejamos que toda função contínua e sobrejetiva π : E → X determina um fibrado em X. Isto se resume à observação de que cada uma desta funções determina uma decomposição do espaço E em termos de conjuntos parametrizados por X. Mais precisamente, cada f decompõe E como a reunião das imagens inversas f -1 (p). Sob tal decomposição, f se torna a projeção canônica de um fibrado em X cujas fibras são as referidas imagens inversas.

Três observações:

1. ao se olhar para um fibrado enquanto função contínua f : E → X, fala-se que E é o espaço total, enquanto que X é chamado de espaço base;

2. tem-se uma subcategoria cheia B ⊂ Arr(C ), formada dos fibrados e tendo quadrados comutativos como morfismos. Estes últimos assumem aqui uma interpretação bastante natural. Com efeito, se f e g são fibrados e (h, h ′ ) é um morfismo entre eles, a comutatividade h ′ • π = π ′ • h nos diz simplesmente que elementos da fibra em p são levados por h em elementos da fibra em h ′ (p); 3. uma vez fixado um espaço X, é também possível falar da categoria B X dos fibrados com base em X. Esta é simplesmente a subcategoria de B formada dos fibrados que possuem X como espaço base e dos morfismos do tipo (h, id X ).

Pela observação anterior, estes últimos se identificam com os mapas que preservam fibras de um mesmo ponto. Em outras palavras, se B ⊂ Arr(C ) é subcategoria cheia dos mapas sobrejetivos, então B X é a correspondente subcategoria cheia de C /X. De maneira análoga define-se B X ⊂ X/C . Existem diversas classes de fibrados. Uns se caracterizam por terem fibras dotadas de estruturas adicionais, enquanto que outros são, em certo sentido, modelados por um fibrado mais simples. Existem ainda aqueles que, além de gozarem das duas condições anteriores, estão sujeitos à ação de um grupo em suas fibras. No restante da seção, apresentaremos algumas de tais classes.

Trivializações

Os mais simples de todos os fibrados num espaço X são os fibrados triviais padrões. Estes nada mais são que as projeções pr 1 : X × F → X na primeira entrada. Neles, F recebe o nome de fibra típica. Isto porque a fibra em cada ponto p ∈ X coincide com p × F , que se identifica com F . Assim, o fibrado trivial padrão com base num espaço X é construído associando a todos pontos de X um mesmo conjunto: a fibra típica.

Um fibrado trivial é aquele isomorfo a algum fibrado trivial padrão. A menos de conjugações, estes também são simplesmente projeções na primeira entrada. Por sua vez, um fibrado localmente trivial com base em X é aquele modelado (em B X ) por algum fibrado trivial padrão de X.

Mais precisamente, diz-se que π : E → X é localmente trivial quando cada p ∈ X admite uma vizinhança aberta U, restrita a qual π é trivial. Isto significa que existe um espaço F p , chamado de fibra típica em p, tal que π| U é conjugado à projeção pr 1 : U × F p → U. Os homeomorfismos apresentados no diagrama abaixo são chamados de trivializações locais. 

π -1 (U) π # # • • • • • • • • • ≃ / / U × F p pr 1 { { ① ① ① ① ① ① ① ① ① U Quando F p é
f * E × I pr×id ! ! h ′ ' ' u % % ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ f * E / / pr E π f * E / / ı 0 E π H * E / / Y π X ′ f / / X f * E × I h / / h ′ ; ; ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ X X ′ × I H / / X

Grupo Estrutural

Intuitivamente, um fibrado π : E → X é estruturado por um grupo topológico G quando este age, de maneira contínua e compatível, na fibra típica F de π. De maneira mais precisa, quando as transições entre trivializações locais são totalmente determinadas pela ação de G em F .

Com isto queremos dizer que existe uma ação contínua (g, v) → g •v tal que, para quaisquer trivializações locais ϕ i e ϕ j , estabelecidas em vizinhanças suficientemente pequenas U i e U j de um mesmo p ∈ X, tem-se

(ϕ j • ϕ -1 i )(p, v) = (p, u ij (p) • v)
para certas funções contínuas u ij : U i ∩ U j → G, usualmente chamadas de coordenadas de π nas trivializações ϕ i e ϕ j . Quando a ação é efetiva, tais funções satisfazem as condições de cociclo:

u ii = 1, onde 1 é a identidade de G, e u ij • u jk = u ik em U i ∩ U j ∩ U k . (6.1)
Assim como fibrados localmente triviais possuem a propriedade especial de terem uma fibração como projeção, os fibrados com grupos estruturais admitem uma particularidade: podem ser reconstruídos por meio de suas coordenadas.

Sejamos mais precisos. Dada uma ação efetiva de um grupo G num espaço F , assim como uma cobertura de um espaço X por abertos U i , nos quais estão definidas funções u ij : U i ∩ U j → G satisfazendo as condições anteriores, afirmamos existir um fibrado π : E → X, estruturado pelo grupo G, tendo fibra típica F e cujas coordenadas são as u ij . A ideia é simples: consideramos o coproduto dos U i × F e então o quocientamos pela relação que identifica cada um dos pares (p j , q) de

U i ∩ U j × F com o correspondente (p i , u ij (p j ) • q). O espaço resultante será E e a
aplicação quociente será a projeção π : E → X.

Vale mais: pode-se mostrar que, se mantemos o espaço base, a cobertura por abertos, a fibra típica, o grupo estrutural e a ação, mas trocamos as funções u ij por outras u ′ ij que também satisfazem as condições de cociclo, então o fibrado E ′ por ela definido será isomorfo a E se, e somente se, existirem funções u i :

U i → G tais que u ′ ij = u i •u ij •u -1 j .
Em particular, isto significa que se dois fibrados localmente triviais que possuam mesma base, mesma fibra típica, mesmas coordenadas e que estejam estruturados sobre o mesmo grupo que age de igual maneira em ambos, então estes são necessariamente isomorfos.

Em suma, tem-se a equação abaixo. Para detalhes sobre o assunto, remetemos o leitor aos textos clássicos [START_REF] Husemoller | Fibre Bundles[END_REF][START_REF] Steenrod | The topology of Fibre Bundle[END_REF]. Observemos que, como todo objeto em C é cofibrante, uma condição suficiente para que o pullback em questão seja homotópico é a contratibilidade do espaço total P (para um argumento mais concreto, veja, por exemplo, [START_REF] Steenrod | The topology of Fibre Bundle[END_REF]). Assim, para classificar os fibrados principais, basta construirmos um tendo espaço total contrátil. 

P π Y f / / X
(R k ) → G n (R k+1 ), cujo colimite, usualmente denotado por G n (R ∞ ), modela BO(n).
No caso particular em que n = 1, escreve-se RP ∞ , já que

G 1 (R k ) coincide com o espaço projetivo RP k-1 .

Adjunção

Um fibrado vetorial é um fibrado localmente trivial que possui fibras e fibra típica dotadas de estruturas de espaço vetorial, ao mesmo tempo que é estruturado pelo grupo linear geral. Se a fibra típica é o R n , costuma-se dizer que o fibrado é nplano. Também é comum pedir que os morfismos entre fibrados vetoriais preservem a estrutura linear das fibras.

De forma mais precisa, tem-se o costume de definir uma subcategoria Vec ⊂ B, formada dos fibrados vetoriais e dos morfismos (h, h ′ ) entre π : E → X e π ′ : E ′ → X ′ , tais que h| Ep é mapa linear de E p em E ′ h ′ (p) . Escreve-se Vec n ou Vec X no caso de se restringir aos fibrados n-planos ou àqueles com base em X. 

Levantamento

Nesta seção, mostraremos que os fibrados vetoriais possuem uma propriedade particularmente interessante: todo functor contínuo na categoria Vec R pode ser levantado a Vec X , seja qual for o espaço base X fixado. Isto significa, essencialmente, que qualquer operação contínua realizada nas fibras de um fibrado vetorial se estende ao fibrado como um todo.

Mais precisamente, mostraremos que certa classe de functores F em Vec R , os quais denominaremos contínuos, induzem outros functores em Vec X , denotados por F , tais que

F (E) p = F (E p ) e F (h)| F (E)p = F (h| Ep ). (6.2)
Ou ainda, de maneira precisa e sucinta, demonstraremos que, se F for contínuo, então o digrama abaixo pode ser completado com a seta pontilhada para qualquer p ∈ X. Nele, ı p é o functor que a cada fibrado associa sua fibra em p e que a cada morfismo faz corresponder sua restrição à fibra em p. Assim, provaremos que, para todo functor contínuo e todo p, a composição F p = F • ı p possui a propriedade de levantamento (em Cat) segundo a ı p .

Vec X ıp / / ❴ ❴ ❴ Vec X ıp Vec X ıp Vec R F / / Vec R Vec R Fp / / : : ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ Vec X
Uma vez feito isto, poderemos falar dos fibrados descendentes de um dado fibrado vetorial π : E → X. Estes serão todos aqueles que podem ser obtidos de E via levantamentos canônicos de functores contínuos. Assim, por exemplo, como consequência da functoriedade da construção, todo fibrado que descender de um trivial também será trivial.

Resultado

Diremos que um functor

F : Vec R → Vec R é contínuo se, para toda função contínua f , definida num aberto U do R n e assumindo valores em Iso(X) ≃ GL(n) para algum espaço vetorial X, a correspondente função p → F (f (p)) também é contínua.
De maneira estritamente análoga fala-se de functores contravariantes contínuos, de bifunctores contínuos, e assim por diante. Exemplos de bifunctores contínuos incluem os produtos e coprodutos binários × e ⊕, assim como o produto tensorial ⊗. Um exemplo de functor contravariante contínuo é aquele que a cada espaço X associa o seu dual X * e que a cada f :

X → Y faz corresponder f * : Y * → X * , tal que f * (g) = g • f .
Por sua vez, a tomada do bidual (e, portanto, a identidade) define um functor contínuo.

Abaixo apresentamos uma versão do resultado prometido para functores contínuos. Observamos, no entanto, que demonstração análoga se aplica a functores contravariantes, bifunctores, assim como para outras classes de mapas em Cat. Proposição 6.2.1. Se um functor F é contínuo, então F p possui a propriedade de levantamento com respeito a ı p , sejam quais forem o espaço X e o ponto p.

Demonstração. Provaremos que a continuidade de F faz com que a regra F : Vec X → B, responsável por associar a cada fibrado π sobre X a reunião (co-produto em Top) dos espaços vetoriais F (E p ) e a cada morfismo h o coproduto das funções F (h| Ep ), assuma valores em Vec X . Neste caso, as condições (6.2) estarão, por construção, imediatamente satisfeitas. Começamos verificando que, se um fibrado vetorial π tem E como fibra típica, então F (π) é localmente trivial e possui F (E) como fibra típica. A ideia é mostrar que F preserva trivializações locais. A prova deste fato segue das duas seguintes observações. Primeiramente, como F é functorial, ele leva fibrados isomorfos em fibrados isomorfos. Assim, se π| U é conjugado a pr 1 :

U × E → U por ϕ, então F (π| U ) é conjugado a F (pr 1 ) por F (ϕ).
Em segundo lugar, diretamente da definição de F , vê-se que F (pr 1 ) é a projeção

do produto U × F (E) em U. O diagrama abaixo esclarece a situação. π -1 (U) π # # • • • • • • • • • ϕ / / U × E pr 1 | | ① ① ① ① ① ① ① ① ① F (π) -1 (U) F (π) % % ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ F (ϕ) / / U × F (E) F (pr 1 ) z z t t t t t t t t t t U F + 3 U
Por fim, mostremos que F (π) é estruturado pelo grupo linear geral. Com efeito, se u ij são as coordenadas de π em trivializações locais ϕ i e ϕ j , então 

(F (ϕ j ) • F (ϕ -1 i ))(p, v) = F (ϕ j • ϕ -1 i )(p, v) = F (ϕ j • ϕ -1 i | Ep )(v) = F (u ij (p))(v

Propriedades

Nos propomos a estudar as transformações naturais ξ : [-] → H * R . Quais propriedades se deve esperar de tais entidades? Notamos, em primeiro lugar, que elas associam homomorfismos de anéis ξ X a cada X. Ora, a estrutura de semianel de

[X] é dada pelas classes de isomorfismo da soma de Whitney e do produto tensorial, enquanto que a estrutura de H * R (X) é obtida da soma direta e do produto cup. Assim, para fibrados π e π ′ sobre X, deve-se ter

ξ X (π ⊕ π ′ ) ≃ ξ X (π) ⊕ ξ X (π ′ ) e ξ X (π ⊗ π ′ ) ≃ ξ X (π) ∪ ξ X (π ′ ).
Além disso, tal aplicação deve estar bem definida: se dois fibrados π e π ′ são isomorfos, então as correspondentes classes ξ X (π) e ξ X (π ′ ) devem ser iguais. Isto Assim, toda classe característica há de satisfazer ξ X (ε) = 0 e ξ X (γ 1 ) = 0. Via fórmula de Künnet (lembre-se de que Z 2 é um corpo), chega-se a um homomorfismo injetivo de anéis

Stiefel-Whitney

H * (BO(n); Z 2 ) / / H * ((BO(1)) n ; Z 2 ) ≃ / / n H * (BO(1); Z 2 ), (6.3) 
o qual nos permite identificar as classes características com valores em H * Z 2 simplesmente calculando o anel de cohomologia de BO(1).

Para fazer isto, lembramos que o espaço classificatório BO(n) é modelado pelo limite indutivo das grassmannianas G n (R k ). Pode-se introduzir uma estrutura de CW-complexo finito em cada uma delas, de modo que a correspondente G n (R k+1 ) tenha G n (R k ) como subcomplexo (veja a sexta seção de [START_REF] Milnor E Stasheff | Characteristic Classes[END_REF]). Desta forma, o limite indutivo que computa BO(n) é homotópico e, portanto, comuta com H * Z 2 , o que nos dá um isomorfismo

H * (BO(1); Z 2 ) ≃ lim k H * (G 1 (R k ); Z 2 ) ≃ lim k H * (RP k-1 ; Z 2 ). (6.4)
Ora, o anel de cohomologia dos espaços projetivos já nos é conhecido: trata-se de um anel polinomial em uma variável α, dotado de um truncamento. Isto é, cada

α * ∈ H * Z 2 (RP n ) corresponde a uma soma do tipo α * = 1 + a 1 • α + a 2 • α 2 + ... + a n • α n , com α i = α ∪ ... ∪ α e a i ∈ Z 2 ,
mostrando-nos que a tomada de limite em (6.4) simplesmente retira o truncamento.

Assim, o anel H * Z 2 (BO(1)) é polinomial em uma variável α, enquanto que o produto tensorial de n cópias é polinominal nas n variáveis α 1 , ..., α n . Retornando à construção, vê-se a existência de um mergulho

 : H * (BO(n); Z 2 ) -→ Z 2 [α 1 , ..., α n ],
permitido-nos realmente colocar as classes características com valores em

H * Z 2 em correspondência biunívoca com uma subálgebra de Z 2 [α 1 , ..., α n ].
Pode-se mostrar que os polinômios associados a tal mergulho são simétricos em todas as suas variáveis e, portanto, são gerados por outras variáveis s 1 , ..., s n algebricamente independentes (veja, por exemplo, [START_REF] Lang | Algebra[END_REF]). Posto isto, dar uma classe característica ξ X : [-] n → H * Z 2 torna-se o mesmo que dar uma regra que a cada fibrado π associa um polinômio w * (π) em n variáveis w 1 (π), ..., w n (π) ∈ H * (X; Z 2 ) algebricamente independentes. As classes fundamentais w i (π) são chamadas de classes de Stiefel-Whitney do fibrado π.

Parte II

Geometria Capítulo 7 Análise

No presente capítulo, ainda com o problema de classificação em mente, olharemos para classes bastante restritas de espaços topológicos. A ideia será a seguinte: focaremos nos espaços com estrutura local previamente determinada (isto é, nos espaços localmente classificados). Então, tentaremos utilizar do conhecimento local (onde a estrutura é supostamente simples) para determinar resultados globais (onde a estrutura é complicada). Em outras palavras, utilizaremos um espaço fixado para modelar outro.

Observamos, desde já, que esta ideia também pode ser utilizada para estender o domínio de validade de conceitos. Com efeito, se estes fizerem sentido num objeto X, então, em princípio, também o farão em qualquer espaço modelado sobre X.

Também chamamos a atenção para a importância da escolha do ente que servirá de modelo. Afinal, diferentes escolhas de modelos haverão de produzir diferentes classes de espaços, as quais podem ser mais amplas ou mais restritas, assim como podem ter mais ou menos propriedades interessantes.

Na primeira seção do capítulo, definimos variedades como sendo espaços modelados pelo R n e, reforçando a observação acima, mostramos que a classe de objetos abrangidos por tal construção é pequena. Substituímos, então, R n pelo semi-espaço Textos clássicos sobre o assunto incluem [START_REF] Lang | Introduction to Differentiable Manifolds[END_REF][START_REF] Hirsch | Differential Topology[END_REF].

Variedades

Uma variedade de dimensão n é um espaço topológico M modelado pelo R n . Isto significa que cada p ∈ M admite um aberto U no qual está definida uma aplicação x : U → R n , chamada de sistema de coordenadas (ou carta local ) em p, tal que x(U)

é aberto e a função x : U → x(U) é um homeomorfismo. Assim, a escolha de uma carta em p nos permite identificar tal ponto como uma lista (x 1 , ...., x n ) de números reais, chamados de coordenadas de p.

Numa variedade, os sistemas de coordenadas assumem o mesmo papel que as bases dos espaços vetoriais possuem no contexto da álgebra linear: para demonstrar um teorema, escolhe-se o sistema de coordenadas que lhe parece mais conveniente, resolve-se o problema fazendo uso explícito dele e, ao final, verifica-se que o resultado obtido é independente de tal escolha. Por sua vez, quando se consegue demonstrar um teorema (ou mesmo definir um conceito) sem fazer uso de cartas locais, diz-se que ele é intrínseco.

Observamos que, se x : U → R n e y : V → R n são cartas locais nas vizinhanças de um mesmo ponto p, então as coordenadas (x 1 , ..., x n ) e (y 1 , ..., y n ) estão relacionadas pela função de transição y•x -1 , a qual mapeia homeomorficamente o aberto x(U ∩V ) em y(U ∩ V ). Assim, enquanto sistemas de coordenadas possuem papel semelhante às bases de um espaço vetorial, funções de transição são análogas às matrizes de mudança de base. Em outras palavras, tem-se o pareamento apresentado abaixo.

Logo mais vamos levá-lo adiante e veremos que, em certo sentido, ele é mais que uma simples analogia. Com efeito, por conter x, ele intersectaria S n-1 e, portanto, não seria aberto do R n . Por outro lado, como consequência do teorema da invariância do domínio (veja [START_REF] Spanier | Algebraic Topology[END_REF]), sendo homeomorfo a um aberto do R n , tal conjunto também deveria ser um aberto de tal espaço, o que é uma contradição.

Conclusão: O disco não é modelado pelo R n . Afinal, D n possui duas classes de abertos, enquanto que os espaços euclidianos possuem apenas uma.

A fim de contornar esta inconveniência, o que geralmente se faz é ampliar a definição de variedade, de modo que exemplos como o disco sejam incluídos. Assim, a ideia é defini-la não como um espaço modelado por R n , mas modelada por outros espaços (geralmente não compactos) que possuam mais de uma classe de abertos. Exemplo de entidade não compacta possuindo exatamente duas classes de abertos é o semi-espaço H n ⊂ R n . Com efeito, ou um aberto de H n é formado somente de pontos com x n > 0, ou intersecta a reta x n = 0. No primeiro caso, ele também é um aberto do R n , algo que não acontece no segundo.

Assim, poderíamos definir uma variedade de dimensão n como sendo um espaço topológico modelado por H n . Neste caso, da mesma forma que D n , tal conjunto se decomporia em duas partes disjuntas. A primeira seria intM, chamada de interior de M e formada dos pontos que admitem uma carta tendo como imagem um verdadeiro aberto do R n . A segunda seria ∂M, chamada de bordo de M, e constituída dos pontos nas vizinhanças dos quais estão definidas cartas que assumem valores em abertos de H n , mas que não são abertos de R n .

Observamos que, com esta definição, tanto o interior quanto o bordo seriam variedades no sentido inicialmente apresentado, de respectivas dimensões n e n -1.

Em suma, o estudo de uma "variedade com duas classes de abertos" se resume ao estudo de duas "variedades com uma única classe de abertos". Como contornar o problema? Isto é, como aliar a intuição das variedades com a existência de limites e colimites? Uma maneira de fazer isso é redefinir o que se entende por variedades, enfraquecendo as exigências sobre o espaço modelo, conforme ilustrado abaixo.

Por exemplo, começamos o capítulo definindo variedades como sendo entes modelados pelo espaço euclidiano. Vimos, no entanto, que isto não engloba situações corriqueiras. Então, redefinimos de modo que passa-se a incluí-las. Observemos que a colagem de duas retas ao longo de um ponto pode ser descrito como a órbita da ação de um grupo topológico. Assim, para incluir tal limite no contexto das variedade, basta que as consideremos como entes modelados por ações de grupos. Ao fazer isto, chegaríamos no conceito de orbifolds, e assim sucessivamente. modelagem por uma classe de espaços 

+ 3 categoria resultante com poucas propriedades classe que modela é rígida enfraque- cimento b j ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ Advertência.

Derivada

Tem-se uma maneira natural de aproximar uma função diferenciável f : U → R m nas vizinhanças de p ∈ U por uma transformação mais simples: basta tomar sua derivada. No âmbito das variedades, isto também pode ser feito: escolhidos sistemas de coordenadas, basta tomar a derivada da expressão y

• f • x -1 .
Ainda que este processo esteja bem definido (no sentido de independer da escolha das cartas), ele não é intrínseco. Nesta seção, obteremos uma maneira intrínseca 

v(g • f ) = f (p) • v(g) + v(f ) • g(p).
[D(id M ) p (v)](g) = v(g • id) = v(g) = [id T Mp (v)](g),
de modo que T realmente preserva identidades. A verificação de que T preserva composições é feita de forma similar. No começo do capítulo, fizemos um paralelo entre sistemas de coordenadas e bases de um espaço vetorial. Agora podemos mostrar que tal pareamento vai além de uma mera analogia. Com efeito, como toda carta é difeomorfismo, da functoriedade de T segue-se que cada x : U → R n induz um isomorfismo

Dx p : T M p → T R n x(p) , c/ Dx p (v)(g) = v(g • x).
Utilizando-se de T R n x(p) ≃ R n , vê-se que a escolha de x induz isomorfismo entre T M p e R n . Assim, cada carta define uma base em T M p , obtida da base canônica do R n pelo isomorfismo anterior, sendo formada dos vetores v i , tais que

Dx p (v i )(g) = v i (g • x) = ∂g • x ∂x i (x 1 , ...., x n ).
Observação: Na literatura, os vetores v i são usualmente denotados por ∂ ∂x i | p , o que fica justificado pela expressão anterior. Ao longo do restante do texto, adotaremos esta mesma prática. T M → T N, definido da seguinte maneira:

Fibrado

f * (p, v) = (f (p), Df p (v)).
Agora, cada sistema de coordenadas x : U → R n é difeomorfismo, de modo que seu pushforward é um isomorfismo entre os fibrados T U e T R n ≃ U × R n . Isto significa que x * é trivialização local para T M, garantindo que tal fibrado é realmente localmente trivial, tendo o espaço R n como fibra típica.

Finalmente, para mostrar que T M é estruturado por GL(n; R), tomemos quaisquer trivializações locais ϕ i = x i * e ϕ j = x j * , em que x i e x j são cartas definidas em vizinhanças U i e U j de um ponto p. Neste caso, tem-se Por exemplo, tem-se as classes de Stiefel-Whitney w 1 (M), ..., w n (M) de M, as quais, como veremos, constituem importantes obstruções à introdução de estruturas geométrias em M. Além disso, tais invariantes classificam M por meio de uma relação de equivalência, conhecida como cobordismo, a qual é ligeiramente mais fraca que a propiciada pelos difeomorfismos. Assim, as classes w i (M) se mostram importantes links entre geometria, análise e topologia algébrica.

(ϕ j • ϕ -1 i )(p, v) = (x j * • x -1 i * )(p, v) = (x j • x -1 i ) * (p, v) = (p, D(x j • x -1 i ) p (v)), permitindo-nos identificar u ij : U i ∩ U j → GL(n) com
Infelizmente não entraremos em detalhes, mas o fato de variedades serem espaços localmente homeomorfos ao R n permite simplificar bastante a análise dos w i (M), assim como de outras classes características de T M, dando a elas uma roupagem mais geométrica e intuitiva. A respeito destes fatos, sugerimos ao leitor o capítulo 17 de [START_REF] Husemoller | Fibre Bundles[END_REF], assim como o sexto capítulo de [START_REF] Spanier | Algebraic Topology[END_REF], o capítulo 11 de [START_REF] Milnor E Stasheff | Characteristic Classes[END_REF] e a obra [START_REF] Bott | Differential Forms in Algebraic Topology[END_REF].

Referenciais

Relembramos que todo espaço M induz uma adjunção Vec n M ⇆ P

GL(n) M
. Assim, além de existir um fibrado vetorial canônico associado a cada variedade, também existe um GL(n)-fibrado principal π : P → M. Este é obtido de T M mantendose a base e o grupo estrutural, mas trocando-se a fibra típica pelo próprio grupo estrutural, o qual passa a agir por translação à esquerda (ou, no nosso presente caso, por composição).

A adjunção identifica cada fibra π -1 (p) como sendo o conjunto formado de todos os isomorfismos R n → T M p , os quais, por sua vez, estão em correspondência biunívoca com as bases (neste contexto chamadas de referenciais) de T M p . Vendo desta forma, a ação de GL(n) em cada fibra traduz simplesmente mudanças de bases (denominadas troca de referenciais). Fala-se, por este motivo, que π é o fibrado dos referenciais de M e escreve-se fr(M) para denotá-lo.

Geometria

Pode-se dizer que a geometria se resume ao estudo das reduções de fr(M). A ideia é a seguinte: se existe uma estrutura geométria na variedade M, então esta define uma classe particular de referenciais (isto é, de bases). A redução é obtida olhando-se para as mudanças de base que deixam tal classe invariante.

Por exemplo, como comentamos anteriormente, a adjunção entre fibrados vetoriais e fibrados principais pode ser melhorada, de modo a associar um O(n)-fibrado (ao invés de um GL(n)-fibrado) principal a cada fibrado vetorial. Isto significa que fr(M) sempre admite redução de seu grupo estrutural para o grupo das matrizes ortogonais. A classe de bases que fica invariante sob tais mudanças é precisamente a das bases ortonormais, de modo que a existência da redução GL(n) → O(n) traduz a possibilidade de sempre ser possível falar de bases ortonormais.

Agora, se perguntarmos "quem induziu a redução?", a resposta será imediata:

um produto interno. Portanto, a existência de reduções ao grupo ortonogonal provém da possibilidade de se escolher produtos internos em cada espaço tangente. É precisamente essa a dinâmica da geometria: "alguma coisa" induz uma classe restrita de bases, o que define uma redução no grupo estrutural de fr(M).

Observamos que esta "alguma coisa" em geral se refere ao que se chama de seção de um fibrado descendente de T M. Na maior parte dos casos, trata-se simplesmente de uma maneira diferenciável de escolher mapas multilineares em cada espaço tan- Para a primeira seção, fizemos uso essencialmente do oitavo capítulo de [START_REF] Spanier | Algebraic Topology[END_REF],

assim como da última parte de [START_REF] Steenrod | The topology of Fibre Bundle[END_REF] e do quinto capítulo de [START_REF] Whitehead | Elements of Homotopy Theory[END_REF]. Para o restante do capítulo, ótimas referências incluem [START_REF] Bott | Differential Forms in Algebraic Topology[END_REF][START_REF] Greub | Connections, Curvature and Cohomology[END_REF][START_REF] Madsen | From Calculus to Cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes[END_REF].

Existência

Pode-se falar de seções no contexto de qualquer categoria. Com efeito, uma seção para um morfismo π : E → X de uma categoria C é simplesmente uma inversa à direita para π. Isto é, trata-se de um outro morfismo s :

X → E que satisfaz a igualdade π • s = id X .
A existência de uma seção possui uma interpretação bastante clara. Com efeito, como rapidamente se convence, π admite uma seção se, e somente se, possui a propriedade de levantamento relativamente a qualquer f : Y → X. Isto significa que deve ser possível obter uma g : Y → E que deixa comutativo o diagrama abaixo.

E π Y g > > ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ f / / X
No entanto, é no contexto dos fibrados que seções mostram-se intuitivas. Com efeito, as seções de um fibrado π : E → X se identificam precisamente com as regras que a cada ponto p ∈ X fazem corresponder um elemento s(p) na fibra E p . Em outras palavras, no âmbito dos fibrados, uma seção é uma maneira contínua de se escolher um elemento na fibra de cada ponto do espaço. Por exemplo, uma seção do fibrado tangente T M é uma escolha contínua de vetores tangentes a cada ponto de Fora deste tipo de situação, garantir a existência (ou inexistência) de seções consiste numa tarefa bastante difícil. Mais uma vez o que se faz é recorrer a invariantes, os quais haverão de fornecer condições necessárias (aqui mais comumente chamadas de obstruções) à existência de tais entes.

Obstruções

Como functores preservam a comutatividade de diagramas, segue-se que todo functor definido numa categoria C fornece obstruções à existência de seções. Com efeito, se s é seção para um dado π, então F (s) há de ser seção para F (π). Ou, em termos de levantamentos, se π possui propriedade de levantamento com respeito a

f , então F (π) o possui relativamente a F (f ). E π F (E) F (π) π 1 (E) π * Y g @ @ f / / X F (Y ) F (g) ; ; ✈ ✈ ✈ ✈ ✈ F (f ) / / F (X) π 1 (Y ) : : ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ f * / / π 1 (X)
Assim, em particular, para que um fibrado π admita uma seção, é preciso que a imagem do mapa induzido π * esteja contida na imagem de cada f * . No contexto de fibrados localmente triviais com fibras típicas discretas (isto é, quando π é um espaço de recobrimento), tal condição não só é necessária como também suficiente.

Este resultado é conhecido como teorema fundamental do levantamento e pode ser encontrado, por exemplo, no segundo capítulo de [START_REF] Spanier | Algebraic Topology[END_REF] e também no terceiro capítulo de [START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF].

No caso de fibrados mais gerais, necessitamos de invariantes mais fortes que π 1 .

Olhamos então para os grupos de homotopia de grau superior. Dado um fibrado π : E → X, suponhamos que o espaço base X admite uma decomposição finita em CW-complexo, com n-esqueleto X n .

Queremos construir um mapa s : X → E, tal que π • s = id X . Nossa estratégia é construí-lo por processo indutivo: partindo de uma seção s 0 : X 0 → E, tenta-se estendê-la para X 1 , depois X 2 , e assim sucessivamente, até que se obtenha uma função definida no espaço todo cumprindo com a condição requerida. Fornecida uma seção s n : X n → E, vejamos haverem obstruções à existência de sua extensão a X n+1 .

Uma vez escolhido um ponto base em p ∈ X n , observamos que s n estabelece um mapa c π n , obtido da composição abaixo, em que na primeira parte aplicamos h S n e utilizamos do fato de s n ser uma seção, enquanto que na segunda parte aplicamos π : C * → H C * e na terceira utilizamos do fato de todas as fibras serem isomorfas à fibra típica. Como as esferas são cogrupos, tal mapa é, na verdade, homomorfismo de grupos

Mor(S n ; X n ) cn 2 2 / / Mor(S n ; E p ) / / π n (E p ) ≃ / / π(F )
Em particular, c π n levam as funções que fazem a colagem de n-células em X n . Estas funções são os geradores do termo de ordem n + 1 de um complexo de cadeias associado à base X, cuja homologia equivale à homologia singular. Desta forma, c π n (e, portanto, s n ) estabelece um elemento de Hom(Sing n+1 X; π n (F )) e, portanto, uma classe de cohomologia c n π ∈ H n+1 (X; π n (F )), a qual oferece uma obstrução à existência da extensão da seção s n . 

Classes Características

Anteriormente vimos que os fibrados vetoriais sempre admitem alguma seção.

Isto significa que não existem obstruções à existência de seções gerais nestes fibrados.

Observamos, no entanto, que não está garantida a existência de quaisquer seções num dado fibrado vetorial. Em outras palavras, pode ser que as seções existentes não satisfaçam certa condição. Em termos mais precisos, para a existência de seções com propriedades adicionais, espera-se ter outras obstruções além das classes c n .

Que obstruções seriam estas? Notamos que na subseção anterior o que fizemos foi partir de um fibrado π : E → X e a ele associar uma sequência de classes de cohomologia do espaço base X, as quais correspondem às obstruções para a existência de seções. Evidentemente, tais obstruções serão as mesmas para fibrados isomorfos. Assim, as classes de obstruções c n são, na verdade, classes características.

Em termos mais precisos, se α é functor que a cada fibrado π associa um grupo abeliano graduado α(π), e H é uma teoria de cohomologia, então podemos definir a cohomologia com coeficientes em α: trata-se do functor H * α que a cada espaço X devolve a sequência dos H n+1 (X, α(π) n ). Posto isto, se [-] é functor que a cada fibrado associa sua classe de isomorfismos, então a construção da subseção anterior define uma classe característica com coeficientes em H * f , em que f é o functor tal que f (π) n = π n (F ). Trata-se, pois, da transformação natural ξ : [-] ⇒ H * f , que a cada espaço base X e cada fibrado π : E → X, associa a sequência dos c π n . Voltando à questão colocada, se obstruções à existência de seções são classes características, espera-se que o mesmo aconteça com as obstruções à existência de seções que satisfazem propriedades adicionais. Para o caso de fibrados vetoriais reais, tem-se classes características naturais: as classes de Stiefel-Whitney. Assim, deve-se esperar que sirvam de obstruções à existência de seções astutas.

Vetores

Estudamos aqui seções de fibrados descendentes de T M. Iniciamos com duas observações válidas no contexto mais genérico de fibrados vetoriais arbitrários: A primeira de tais observações nos mostra, em particular, que o estudo das seções de fibrados descentes de T M se resume ao estudo das próprias seções de T M.

Γ(E ⊕ E ′ ) ≃ Γ(E) ⊕ Γ(E ′ ) e Γ(E ⊗ E ′ ) ≃ Γ(E) ⊗ Γ(E ′ );
Estas nada mais são que regras que associam um vetor tangente a cada ponto de M, sendo usualmente chamadas de campos de vetores.

A segunda observação, por sua vez, nos será útil no seguinte sentido: se um fibrado n-plano descende do fibrado trivial, então ele também é trivial. Assim, o módulo de suas seções possui uma base que pode ser obtida de uma base de

Γ(M × R n ) ou, equivalentemente, de uma seção de fr(M × R n ).
Como caso particular lembramos que, se x : U → R n é carta na variedade M, então T U é trivial. Uma base para Γ(T U) é então dada pelos campos ∂ ∂x i (p) = ∂ ∂x i | p (ou, equivalentemente, pela seção s(p) = dx p do fibrado dos referenciais fr(U)), os quais haverão de induzir nova base no módulo das seções de qualquer fibrado descendente de T U. Em suma, a escolha de um sistema de coordenadas nos permite descrever seções locais de qualquer fibrado descendente. A justificativa para estes fatos é simples: se campos são derivações de primeira grandeza então a composição entre eles há de ser uma derivação de segunda grandeza.

Posto isto, para obter um verdadeiro campo da composição deve-se então eliminar os termos cruzados de segunda grandeza. Isto é feito subtraindo a composição em ordem contrária, pois esta conterá exatamente os termos cruzados em ordem oposta.

Nesta nova caracterização, o mapa que a cada função real associa a sua diferencial também possui uma nova roupagem. Com efeito, como o leitor rapidamente se convencerá, esta passa a ser dada pela regra d : D(M) → X(M) * , definida por df (X) = X(f ). Costuma-se denotar Ω 1 (M) para representar o módulo dual de X(M). Seus elementos são chamados de 1-formas e correspondem às seções do fibrado tangente.

Por sua vez, se escrevemos Ω 0 (M) ao invés de D(M) e chamamos funções reais diferenciáveis simplesmente de 0-formas, então fica claro que d é um mapa que "aumenta o grau das 0-formas" em uma unidade. Na última seção deste capítulo, veremos que tal processo pode ser estendido: para qualquer k, fala-se de k-formas, enquanto que existe um mapa linear d, que a cada forma de grau k associa uma outra de grau k + 1. Em particular, veremos que d • d = 0, e então estará definida uma teoria de cohomologia especialmente construída no contexto das variedades diferenciáveis.

Tensores

Existe especial interesse nas seções do fibrado descendente T s r M de T M, as quais são chamadas de campos tensoriais de tipo (r, s) em M. Assim, por exemplo, um campo de tipo (1, 0) é simplesmente um campo vetorial, enquanto que um de tipo (0, 1) é uma seção do fibrado cotangente T M * (isto é, uma 1-forma). Em acordo com as observações apresentadas no início da seção, tem-se identificações naturais

Γ(T s r M) ≃ Γ(T M) ⊗ ... ⊗ Γ(T M) ⊗ Γ(T M * ) ⊗ ... ⊗ Γ(T M * ).
Tal módulo é geralmente denotado por X r s (M) ao se considerar campos de vetores enquanto derivações. A escolha de uma carta local x : U → R n na variedade M determina uma base para X r s (M), a qual se vê formada de todos os tensores

∂ ∂x i 1 ⊗ ... ⊗ ∂ ∂x ir ⊗ dx j 1 ⊗ ... ⊗ dx js , com i k , j k = 1, ..., n, (8.1) 
onde os dx i constituem a base induzida em X(M) * .

Advertência. Quando não houver risco de confusão, escreveremos ∂ i ao invés de ∂ ∂x i para denotar os elementos da base de X(M) induzida por uma carta x. Alternativamente, identificando produtos tensoriais com aplicações multilineares, pode-se ver um campo de tipo (r, s) como sendo simplesmente uma regra T , que toma 1-formas ω 1 , ..., ω r e campos X 1 , ..., X s , e devolve uma mapa diferenciável T (ω 1 , ..., ω r , X 1 , ..., X s ) em M. A relação entre estas duas interpretações é a seguinte: escolhida uma carta x : U → R n , a expressão de um campo tensorial em (8.1) é dada exatamente por sua imagem (enquanto aplicação multilinear) nos elementos de tal base. Em outras palavras, se

T = T i 1 ,...,ir j 1 ,...,js • ∂ i 1 ⊗ ... ⊗ ∂ ir ⊗ dx j 1 ⊗ ... ⊗ dx js ,
então as funções T i 1 ,...,ir j 1 ,...,js são dadas exatamente por

T (dx i 1 , ..., dx ir , ∂ j 1 , ..., ∂ js ).
Observamos que o produto tensorial dá uma estrutura de álgebra bigraduada ao coproduto de todos os X r s (M), a qual denotaremos por T (M). Tem-se morfismos naturais C k l : T (M) → T (M), de grau -1, chamados de contrações e definidos como segue: se T é campo de tipo (r, s), então, para todo sistema de coordenadas x : U → R n em M, a expressão de C k l T na base induzida por x é obtida da expressão T i 1 ,...,ir j 1 ,...,js de T fazendo j l = i k e somando sobre este índice.

Valores Vetoriais

Pode-se generalizar o estudo das seções de fibrados descendentes de T M. Neste caso, fixam-se um fibrado π : E → M e um bifunctor G em Vec M levantado de outro em Vec R . Para cada functor F (também levantado de Vec R ), olha-se então para as seções do correspondente G (F (T M), E). Supomos que tanto F quanto G admitem extensões a Mod D(M ) . Neste caso, ao aplicar Γ podemos utilizar das observações do início da seção para obter

Γ(G (F (T M), E)) ≃ G (Γ(F (T M)), Γ(E)).
A situação de maior interesse em geometria se dá quando ambos os functores F e G são produtos tensoriais, de modo que podemos identificá-los com mapas multilineares. Assim, o isomorfismo anterior se traduz em

Γ(T M r s ⊗ E) ≃ X r s (M) ⊗ Γ(E). ≃ L(X(M) * × ... × X(M) * × X(M) × ... × X(M); Γ(E)),
levando-nos a chamar tais seções de campos tensoriais com valores em E e a denotar o conjunto de todos eles por X r s (M; E). Por exemplo, no caso particular em que E ≃ M × E é trivial, dar uma seção de T M r s ⊗ E se vê o mesmo que dar um mapa multilinear, o qual toma campos e 1-formas e, ao invés de devolver uma função de M com valores reais (como faz um campo tensorial usual), devolve uma função de M com valores vetoriais (isto é, que chegam no espaço E).

Geometria

Retomamos a máxima apresentada ao final do capítulo anterior de que a introdução de diferentes geometrias numa variedade é realizada por meio de campos tensoriais satisfazendo certas propriedades. Assim, para que uma variedade seja compatível com uma dada geometria, é preciso que nela existam determinadas seções. Espera-se, portanto, haverem obstruções topológicas (em geral dadas por classes de Stiefel-Whitney) à introdução de estruturas geométricas.

Uma exceção à regra (que corresponde à redução de GL(n) ao grupo ortogonal) diz respeito à possibilidade de escolha diferenciável de produtos internos em cada uma das fibras E p de um fibrado vetorial E. Mais precisamente, via partições da unidade na variedade base1 , verifica-se facilmente que existe uma seção diferenciável g de E * ⊗ E * tal que cada g(p) é um produto interno em E p . Vendo g como mapa D(M)-bilinear de Γ(E), isto significa que tal seção é 1. simétrica: g(s, s ′ ) = g(s ′ , s); 2. não-degenerada: fixada s ∈ Γ(E), se g(s, s ′ ) = 0 para todo s ′ , então s = 0; 3. positiva: g(s, s) > 0 sempre que s = 0.

Costuma-se dizer que g é uma métrica nas fibras de E. Quando E = T M, falase que g é uma métrica Riemanniana na variedade M. A existência de tais métricas é um fato bastante útil. Por exemplo, vê-se que g induz isomorfismo natural entre os functores M → X(M) e M → X(M) * , de modo que qualquer campo tensorial de tipo (r, s) pode ser encarado como um campo estritamente covariante de ordem r + s.

Particularmente, isto nos permite falar do pullback de campos tensoriais arbitrários por aplicações diferenciáveis quaisquer (não necessariamente difeomorfismos).

Em suma, a escolha de uma métrica realiza (via pullback da inclusão), a conexão entre campos locais e campos globais localmente definidos em qualquer caso.

Outro exemplo de como métricas são úteis é o seguinte: no capítulo anterior, mostramos que as classes de Stiefel-Whitney são obstruções à trivialidade de um fibrado vetorial. Por outro lado, há pouco comentamos que a trivialidade dos fibrados vetoriais fica inteiramente caracterizada pela existência de secções linearmente independentes. Espera-se, portanto, que tais condições estejam relacionadas. Com efeito, provaremos agora que, se π : E → M possui k seções linearmente independentes, então as k últimas classes de Stiefel-Whitney são nulas. Isto é,

w n-k+1 (E) = w n-k+2 (E) = ... = w n-1 (E) = w n (E) = 0.
A ideia é esta: as k seções s 1 , ..., s k linearmente independentes induzem um subfibrado ξ ⊂ E, cuja fibra ξ p é simplesmente o espaço gerado pelos correspondentes vetores s i (p). Tal fibrado é trivial e de dimensão k. Fixada uma métrica g nas fibras de E, esta define um complemento ortogonal para ξ. Mais precisamente, constróise um fibrado ξ ⊥ , de dimensão nk, tal que ξ ⊕ ξ ⊥ ≃ E. Desta forma, tem-se w i (E) ≃ w i (ξ ⊥ ), garantindo o afirmado.

Formas

Como vimos no começo do capítulo, campos tensoriais equivalem a regras multilineares que tomam 1-formas e campos vetoriais, fazendo corresponder funções diferenciáveis. Em particular, campos de tipo (0, s) se identificam com mapas multilineares de X(M) no anel das funções diferenciáveis f : M → R.

Uma k-forma diferencial na variedade M nada mais é que um campo de tipo (0, k) que, sob tal identificação, não só é multilinear, mas também alternado. Em outras palavras, trata-se simplesmente de uma k-forma alternada em X(M). O conjunto de todas elas define um submódulo, o qual denotamos por Ω k (M). Por exemplo, para k = 1 este corresponde exatamente a X(M) * , cujos elementos antes já havíamos chamado de 1-formas diferenciais.

Tais entidades são seções de um certo fibrado. De fato, o functor Alt k que a cada espaço vetorial associa o correspondente espaço de suas k-formas alternadas é diferenciável e, portanto, admite um levantamento a Vec M . Em particular, ele se estende à categoria Mod D(M ) , de modo que comuta com Γ. Assim,

Ω k (M) = Alt k (Γ(T M)) ≃ Γ(Alt k (T M)).
Especialmente, se T M é trivial, então o correspondente fibrado Alt k (T M) também é, de modo que bases de X(M) induzem bases em Ω k (M). Tais bases podem ser obtidas de bases em L k (M) ≃ X k 0 (M) por um processo de antissimetrização, o qual apresentamos brevemente. Assim, grosso modo, para descrever formas diferenciais, escolhe-se uma carta x : U → R n . Esta induz uma base em X k 0 (U), da qual obtemos uma base para Ω k (U) via antissimetrização. 

ξ(V )(t)(v, w) = t(v, w) -t(w, v) 2 .
Como os functores Alt k e L k se estendem à categoria dos módulos sobre D(M), o mesmo acontece com as transformações naturais ı e ξ. Assim, a cada campo tensorial T de tipo (0, k) sabe-se associar sobrejetivamente uma k-forma ω, chamada de antissimetrização de T , sendo dada por ξ(T ) = ω.

Assim, se o módulo das seções de L k (M) é livre, então a imagem de ξ por uma base êi 1 , ..., êi k gera Ω k (M), de modo que ali está contida uma base para ele. Esta é dada precisamente pelos elementos ξ(ê i 1 ), ..., ξ(ê i k ), com i 1 < i 2 < ... < i k .

Observação. Observamos que, sob a identificação de L k (M) com produtos tensoriais de X(M) * , costuma-se escrever ω ∧ ω ′ para representar a imagem de ξ por um ω ⊗ω ′ , dizendo que este é o produto exterior entre tais entidades. No que segue, adotaremos esta mesma prática. Assim, por exemplo, escolhida uma carta x : U → R n , esta induz uma base dx i 1 ⊗ ... ⊗ dx i k , mostrando-nos que as k-formas em U são simplesmente expressões do tipo

ω = i 1 <...<i k a i 1 ...i k • dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k para certas funções a i j : U → R diferenciáveis.

Complexo de De Rham

Nesta subseção, veremos que a categoria Diff das variedades diferenciáveis admite uma teoria de cohomologia natural, chamada de cohomologia de De Rham.

A ideia é a seguinte: como Ω k (M) é módulo sobre D(M), também é espaço vetorial. Além disso, a regra que a cada função f associa a sua diferencial df é linear. Através dela, definiremos outros mapas lineares d k : Ω k (M) → Ω k+1 (M), chamados de derivadas exteriores, os quais constituirão um complexo de cocadeias e comutarão com pullbacks. Assim, ficará definido um functor C dR : Diff → dVec R que ao ser composto com H : dVec R → Vec R dará a teoria de cohomologia procurada.

Para definir as derivadas exteriores, observamos que toda k-forma ω fica completamente determinada por seu comportamento local em um sistema de coordenadas.

Mas numa carta x : U → R n qualquer, ω é a combinação linear de termos do tipo 

a i 1 ...i k • dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k . Assim,
d k+1 • d k = 0 e f * k+1 • d k = d k • f * k . (8.2) 
Em outras palavras, o que deve aparecer do lado direito de

d 1 (df ) =? e d k (ω ∧ ω ′ ) =?
para que valham as expressões (8.2)? Certamente a nulidade de

d 1 (df ) é condi- ção necessária para d k+1 • d k = 0. Rapidamente se verifica que isto, junto com a antilinearidade d r+s (ω ∧ ω ′ ) = d r ω ∧ ω ′ + (-1) s ω ∧ d s ω ′
são suficientes para o que procuramos. Por exemplo, temos

d k (a i 1 ...i k dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k ) = da i 1 ...i k ∧ dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k + (-1) k a i 1 ...i k • d k (dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k ) = da i 1 ...i k ∧ dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k , (8.3) 
já que o segundo termo da soma se traduz em um combinação de coisas do tipo d 1 (df ), as quais são todas nulas. Desta forma, pela mesma justificativa,

d k+1 (d k (a i 1 ...i k dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k )) = 0.
Assim, as derivadas exteriores haverão de ser exatamente as regras d k que coincidem com a derivada usual para k = 0, que se anulam em derivadas de funções Ω k (M) → Ω k+1 (M), e a cada f : M → N associa a sequência dos pullbacks f * k . Os respectivos

H k dR : Diff → Vec R , tais que H k dR (M) = ker(d k+1 )/img(d k ),
são as cohomologias de De Rham.

. Observação. Existe uma maneira intrínseca de definir a derivada exterior, que é a seguinte: para uma dada k-forma ω, coloca-se

d k ω(X 0 , ..., X k ) = k i=0 (-1) i X i (ω(X 0 , ..., Xi , ..., X k )), + k i<j (-1) i+j ω([X i , X j ], X 0 , ..., Xi , ..., Xj , ..., X k ),
em que o chapéu indica a omissão do correspondente termo. Para ver que tal expressão de fato computa a derivada exterior, por questões de unicidade de d k , basta mostrar que em coordenadas locais ela se resume a (8.2).

Capítulo 9 Geometria

Em alguns momentos anteriores, comentamos que a geometria de uma variedade pode ser sintetizada no ato de reduzir o grupo estrutural de seu fibrado dos referenciais. No presente capítulo, reforçamos esta máxima.

Iniciamos definindo, de maneira precisa, o que vem a ser uma redução no fibrado dos referenciais: tratam-se de subfibrados principais de fr(M), estruturados por um subgrupo do grupo linear. Se este subgrupo é G, diz-se a redução corresponde a uma G-estrutura.

Em seguida mostramos que as G-estruturas estão em pareamento bijetivo com seções de um certo fibrado associado a fr(M), de modo que reduzir os referenciais possíveis é, efetivamente, dar um conjunto de transformações que preservam uma seção. Por um lado isto mostra que as reduções estão sujeitas a obstruções. Por outro, nos dá uma estratégia natural de identificar as seções que a definem.

Ainda na primeira seção, exemplificamos como a existência de tais obstruções são refletidas na física: elas impedem que consideremos qualquer variedade como modelo para o universo. De fato, quanto mais refinada for a geometria da teoria física em questão, mais restritos serão os referenciais que ela engloba e, consequentemente, as variedades que modelarão os sistemas por elas descritos estarão sujeitas a um maior número de obstruções.

Já na segunda seção, mostramos que as G-estruturas são os objetos de uma categoria (que, na verdade, é um grupoide). Em tal categoria, um morfismo entre duas G-estruturas, digamos implementadas por seções σ e σ ′ , corresponde a um difeomorfismo f tal que f * σ = σ ′ . Na sequência, estudamos as G-estruturas (ditas integráveis) que são localmente isomorfas à estrutura trivial.

Finalizamos o capítulo apresentando diversos exemplos de geometrias que podem ser descritas em termos de reduções de referenciais. Ali determinamos as seções que as definem, bem como as obstruções por elas enfrentadas. Além disso, damos uma caracterização à sua integrabilidade e comentamos seu interesse em física.

Textos clássicos sobre o assunto incluem [START_REF] Chern | The Geometry of G-Structures[END_REF][START_REF] Sternberg | Lectures on Differential Geometry[END_REF]. Outra referência interessante é a obra [START_REF] Boyer | Sasakian Geometry[END_REF]. Observamos que, de maneira análoga, pode-se falar de reduções no grupo estrutural de qualquer fibrado principal. Neste contexto genérico, a existência de reduções se depara com certas obstruções topológicas. Isto se deve ao seguinte: se π é um Hfibrado principal qualquer e G ⊂ H é subgrupo, tem-se uma ação natural de H em H/G. Mostra-se, pois, que as reduções de π a G estão em bijeção com as seções do fibrado associado a π por meio de tal ação (veja, por exemplo, o sexto capítulo de [START_REF] Husemoller | Fibre Bundles[END_REF]). Assim, a existência de reduções se resume ao problema de obtenção de seções.

Estruturas

Este último, como já vimos, admite diversas obstruções topológicas.

Se de um lado o resultado anterior evidencia a existência de dificuldades para se obter G-estruturas, de outro ele nos fornece uma estratégia bastante interessante para encontrá-las. Com efeito, a ideia é olhar para o espaço homogêneo GL(n)/G e identificá-lo com um conjunto conhecido. Feito isto, dar uma G-estrutura será o mesmo que fornecer uma regra que a cada p ∈ M faz corresponder um elemento de tal conjunto.

De forma mais precisa, a ideia é buscar por um espaço de tensores V (R n ) de R n (isto é, por um fibrado descendente de T R n ) no qual GL(n) age de maneira transitiva, tendo G como grupo de isotropia de algum destes tensores. Neste caso, poderemos escrever

V (R n ) ≃ GL(n)/G,
fornecendo-nos a identificação procurada. Assim, pode-se dizer que G-estruturas são traduzidas, em grande parte dos casos, em seções σ de fibrados que descendem de T M. E, neste caso, as obstruções oferecidas à existência de tais estruturas se resumem exatamente às classes características da variedade M.

Em suma, no diagrama abaixo, já apresentado em outros momentos do texto, a primeira seta pode ser acrescida de uma inversa:

secções classes + 3 k s caracteristicas + 3 redução dos referenciais + 3 geometria

Exemplos

Abaixo apresentamos exemplos da dinâmica apresentada pelo diagrama anterior.

Eles serão desenvolvidos com mais detalhes na última secção.

Exemplo 9.1.1. A obstrução para a existência de reduções a SL(n) é precisamente a primeira das classes de Stiefel-Whitney. Via pullback, o grupo linear geral age transitivamente no espaço das n-formas alternadas e não-nulas de R n (isto é, no espaço de suas formas de volume). Todas elas ficam estáveis pela ação do grupo linear especial. Consequentemente,

GL(n)/SL(n) ≃ Ω n (R n ) -0,
mostrando-nos que as SL(n)-reduções correspondem às formas de volume em M.

Uma variedade que admite uma forma de volume é dita orientável. não-degeneradas de R n . Além disso, qualquer um destes mapas que tenha forma canônica (-1, ..., -1, 1, ..., 1), com s termos "-1" e r termos "1" é estável pela ação de O(p, q). Assim,

GL(n)/O(r, s) ≃ g ∈ Sym 2 0 (R n ),
g é não-degenerada e de assignatura (r, s) , de modo que as reduções fr(M) ao grupo O(r, s) estão em bijeção com as métricas semi-Riemannianas de assinatura (r, s) na variedade M. Isto é, com as seções g de T 2 0 M que são simétricas, não-degeneradas e que em cada ponto possuem assinatura (r, s). 

Matriz Jacobiana

Nesta subseção discutiremos a existência de uma caracterização das G-estruturas em uma variedade M em termos de restrições ao grupo a que pertencem as matrizes jacobianas das funções de transição de M. 

Relembramos existirem adjunções Vec

Física

Uma maneira de realizar a formulação da mecânica newtoniana é a seguinte: axiomatiza-se a existência de um ponto privilegiado no espaço (o que correspondente à primeira lei) e supõe-se que em tal ponto a expressão F = m • a é verdadeira (segunda lei). Uma vez feito isto, segue-se que todo referencial obtido do absoluto por meio de uma transformação que preserva F = m•a é tão bom quanto o absoluto.

Tais referenciais dizem-se inerciais.

Ora, o conjunto das transformações que preservam a expressão anterior é for-mado das rotações em R 3 , dos movimentos rígidos e das translações. Estas definem um subgrupo GL(4) chamado de grupo de Galileu. Se olhamos para o grupo de isotropia da origem (o que equivale a retirar as translações espaciais), então toda transformação resultante preserva o produto interno de R 4 (que é uma campo tensorial).

Assim, pode-se dizer que a estrutura da mecânica newtoniana provém de uma restrição no grupo estrutural de fr(R 4 ), a qual é obtida olhando-se para as transformações que deixam um campo tensorial invariante.

As transformações do grupo de Galileu sempre mexem no espaço ou no tempo.

Assim, há uma diferença nítida entre eles. Uma maneira de colocá-los em pé de igualdade é, na construção anterior, trocar movimentos rígidos por boosts de Lorentz, que são transformações que implementam mudanças simultâneas no espaço e no tempo. Ao se fazer isto, obtém-se o grupo de Poincaré ao invés do grupo de Galileu.

Além disso, se consideramos o grupo de isotropia (que é exatamente o grupo de Lorentz), observamos que ele é formado das transformações que deixam a forma bilinear com expressão diagonal (-1, 1, 1, 1) invariante. Desta forma, mais uma vez tem-se uma teoria construída via redução no grupo estrutural do fibrado dos referenciais fr(R 4 ), a qual foi implementada olhando-se para transformações que deixam um certo campo tensorial invariante.

Tais teorias realmente existem e fazem sentido, uma vez que a contratibilidade de R 4 garante que seu fibrado dos referenciais possa ser reduzido para qualquer subgrupo de GL(4), inclusive para o grupo trivial. Observamos, no entanto, que se tentássemos generalizá-las, trocando R 4 por outras variedades, surgiriam obstruções à existência de tais reduções. Por exemplo, se quiséssemos uma teoria que generalizasse a relatividade restrita, precisaríamos de uma redução ao grupo de Lorentz, o que nem sempre existe. Do ponto de vista físico, o que corresponderia a estas generalizações? Tanto na construção da mecânica newtoniana como na da relatividade restrita, lidamos com referenciais inerciais. Assim, a generalização do processo seria permitir referenciais não-inerciais. Ora, pelo princípio da equivalência, estudar referenciais não-inerciais é estudar gravitação. Em particular, se lidarmos com teorias relativísticas, então, no olhar da física, generalizar o procedimento anterior é construir teorias de gravitação relativísticas.

A conclusão a que se chega é que nem toda variedade de dimensão quatro pode modelar um universo relativístico! A esfera S 4 é um exemplo. Em certas condições, necessita-se de outras geometrias adicionais e compatíveis àquela induzida por uma métrica lorentziana. Por exemplo, poder-se-ia pedir também orientabilidade, o que excluiria não só S 4 , mas também P 4 da lista de possíveis universos.

Categoria

Como veremos agora, existe uma categoria formada exclusivamente das reduções de fibrados dos referenciais a um determinado subgrupo estrutural. Em verdade, vamos construí-la num contexto um pouco mais amplo. Com efeito, se por um lado reduções de grupos estruturais correspondem a subgrupos de GL(n), é também possível falar de ρ-estruturas, as quais estão associadas a uma representação ρ : G → GL(n) arbitrária (ou seja, que não é necessariamente uma inclusão). 

Integrabilidade

Classificar espaços topológicos é difícil. Isto nos levou a considerar as variedades, que nada mais são que objetos com comportamento local previamente determinado.

Por sua vez, vimos que classificar fibrados também é difícil. A estratégia foi então olhar para os fibrados localmente triviais. Estas práticas nada mais são que exemplos de aplicações de uma máxima: se num certo contexto tem-se um ente que pode ser considerado trivial, a ideia é trabalhar com os objetos localmente equivalentes a ele.

Tal máxima se aplica às G-estruturas. Com efeito, para qualquer grupo G ⊂ GL(n) tem-se uma G-estrutura trivial: é aquela dada pela projeção pr 1 : R n × G → R n . Assim, tornam-se interessantes as G-estruturas localmente equivalentes à trivial.

De forma mais precisa, fala-se que π : P → M é localmente trivial (ou integrável ou mesmo localmente plano) quando cada ponto p ∈ M admite carta x : U → R n que é um isomorfismo entre π| U e ev. Isto significa que, para todo referencial b ∈ P p , o respectivo mapa Dx p • b é um elemento de G, e que para qualquer elemento g ∈ G, a correspondência Dx -1 y • g, com x(p) = y, é referencial de P p . A primeira condição é trivialmente satisfeita. A segunda, por sua vez, será válida para qualquer g se e, somente se, for válida para a identidade id R n (que é o elemento neutro de G). Assim, o fibrado π : P → M é integrável precisamente quando existe uma carta local x : U → R n nas vizinhanças de cada ponto p ∈ M tal que Dx -1

x(p) é referencial em P p . Neste caso, a regra p → Dx -1

x(p) define seção local de π e, portanto, base para Γ(T U). Como Dx -1

x(p) (ê i ) = ∂ ∂x i | p , tal base é aquela formada pelos campos coordenados ∂ ∂x i . Desta forma, se π : P → M é integrável, então cada ponto p de M admite carta cujos campos coordenados assumem valores P p .

A recíproca é verdadeira, dando-nos uma caracterização interessante para a trivialidade local: uma G-estrutura π : P → M é integrável se, e somente se, M possui atlas formado por cartas locais x : U → R n tais que, para todo p ∈ U, a base ∂ ∂x i | p está em P p . Em tal base, a seção que corresponde à estrutura π admite uma expressão especial, chamada de forma normal. Assim, uma estrutura integrável é aquela que pode ser colocada na correspondente forma normal através de cartas locais.

Obstruções

Na primeira seção do capítulo anterior, vimos que a existência de seções num fibrado arbitrário sofre obstruções. Tais obstruções não atingem os fibrados vetoriais, de modo que eles sempre possuem ao menos uma seção. Por sua vez, isso não significa que eles possuem qualquer seção. Isto reflete o fato de haverem obstruções relacionadas à existência de G-estruturas. Afinal, estas correspondem à seções de fibrados vetoriais satisfazendo condições adicionais.

Quando se olha para G-estruturas integráveis, não se está pedindo que as seções sejam somente especiais, mas que também sejam localmente triviais. Assim, mais propriedades haverão de refletir na presença de ainda mais obstruções. De fato, pode-se mostrar que as obstruções à integrabilidade fazem parte de uma sequência em cohomologia! Esta é usualmente chamada de cohomologia de Spencer da Gestrutura. A primeira das obstruções geralmente corresponde ao que se conhece como torção, enquanto que as demais obstruções estão relacionadas com curvaturas, no sentido que definiremos no próximo capítulo. Finalmente, resta dizer que alguns dos mais importantes teoremas da geometria se ocupam de dar caracterizações à condição de integrabilidade (e, portanto, à nulidade das obstruções comentadas) no contexto em que se aplicam. Este é o caso, por exemplo, do teorema de Darboux em geometria simplética, assim como do teorema de Frobenius em teoria das folheações.

Para detalhes, veja [START_REF] Silva | Lectures on Symplectic Geometry[END_REF][START_REF] Fernandes | Lições de Geometria Diferencial (notas de aula)[END_REF].

Exemplos

Ao longo desta seção, discutiremos com mais detalhes exemplos de geometrias que se enquadram no contexto das G-estruturas e que aparecem naturalmente no estudo da gravitação relativista. Analisaremos, em particular, obstruções topológicas à existência de reduções, assim como condições de integrabilidade e de simetria para tais estruturas. Um estudo mais completo sobre o assunto pode ser encontrado no capítulo VII de [START_REF] Sternberg | Lectures on Differential Geometry[END_REF]. Veja também [START_REF] Chern | The Geometry of G-Structures[END_REF].

Métricas

Olhamos aqui para as O(r, s)-reduções, que correspondem bijetivamente às métricas semi-riemannianas. Isto é, elas são campos tensoriais g de tipo (0, 2), simétricos, não-degenerados e que possuem assinatura (r, s).

Vamos mostrar que tais métricas equivalem à existência de q campos X 1 , ..., X s , um para cada autovalor negativo de g, os quais são linearmente independentes e livres de singularidades. Uma vez feito isto, as classes de Stiefel-Whitney tornarse-ão obstruções à existência de estruturas semi-riemannianas. Mais precisamente, uma variedade n-dimensional admitirá métrica g de assinatura (r, s) somente se suas últimas s classes são triviais:

w n-(s+1) (M) = .... = w n-1 (M) = w n (M) = 0.
Para a prova, suponhamos, de início, haver uma métrica g em M de assinatura (r, s). Neste caso, em cada ponto p a forma g(p) possui s autovalores negativos, os quais supomos distintos e denotamos por λ 1 (p), ..., λ s (p). Definimos então X i como sendo o mapa que a cada ponto p faz corresponder o autovetor unitário associado a λ i (p). Tais campos são evidentemente não-singulares e linearmente independentes.

Em contrapartida, se existem campos X 1 , ..., X s linearmente independentes e não-singulares na variedade M, ali definimos uma métrica de assinatura (r, s) pondo

g = -ω 1 ⊗ ω 1 -... -ω s ⊗ ω s + h,
em que h é métrica riemanniana (que sempre existe, pois é sempre possível encontrar

O(n)-reduções) e ω i é a 1-forma associada a X i .
No que diz respeito à integrabilidade das O(r, s)-estruturas, devemos dizer que esta equivale à existência de um atlas formado de cartas locais que colocam cada g p na sua forma canônica (que é η ij no caso lorentziano e δ ij no caso riemanniano).

Isto significa que cada ponto admite um sistema de coordenadas cuja base é um referencial inercial. Tal atlas nem sempre existe. Em verdade, de todas as obstruções à construção de tal atlas, a única que persiste num âmbito genérico corresponde ao que no próximo capítulo chamaremos de curvatura. Assim, pode-se dizer que uma O(r, s)-estrutura é integrável se, e somente se, sua curvatura é nula. Ou ainda, que cada ponto admite um referencial inercial se, e somente se, a curvatura do espaço é nula! Observamos, por outro lado, que é sempre possível construir uma carta de coordenadas normais nas vizinhanças de cada p, relativamente às quais a métrica g coincide com η ij no ponto p (somente no ponto, não na vizinhança inteira, como é requerido na condição de integrabilidade). Isto significa que sobre cada ponto podemos montar um referencial que é aproximadamente inercial, o que reflete o princípio da equivalência.

Orientação Temporal

O grupo de Lorentz O(n -1, 1) admite um subgrupo especialmente interessante, chamado de parte ortócrona e usualmente denotado por O ↑ (n -1, 1). Ele correspondente às transformações que, além de preservarem a estrutura lorentziana, preservam o tempo. Mais precisamente, isto significa que existe uma métrica g cujo campo de vetores sem singularidades X g que a ela corresponde satisfaz g(X g , X g ) < 0. Diz-se então que g é tempo-orientável.

Ora, na construção da subseção anterior, cada campo X i satisfaz esta condição. Assim, se uma variedade admite uma redução para o grupo de Lorentz, então também admite uma redução para a sua parte ortócrona. Em suma, se numa variedade existe uma métrica lorentziana, então sempre existe uma outra que é tempoorientável. Consequentemente, pedir orientabilidade no tempo não gera nenhuma redução aos possíveis modelos que podem ser utilizados para descrever o universo relativístico.

De um modo geral, ao se trabalhar com gravitação relativística, pede-se (além da existência de métricas lorentzianas), orientabiliade e orientabilidade temporal. Em outras palavras, trabalha-se com reduções ao grupo próprio e ortócrono L ↑ (n) = O ↑ (n -1, 1) ∩ SL(n). Isto significa que as obstruções mínimas as quais um modelo que descreve o universo está sujeito incluem a última e a primeira classes de Stiefel-Whitney.

Assim, por exemplo, em dimensão 4 os modelos do universo devem ter no máximo w 2 (M) e w 3 (M) não-nulos.

Capítulo 10

Simetrias

No presente capítulo, discutimos noções de simetria associadas às G-estruturas.

O interesse é imediato: quanto mais simétrica for uma estrutura, mais simples de descrever será a geometria que a ela corresponde.

Tem-se uma noção de simetria global natural para cada G-estrutura: tratam-se simplesmente dos seus automorfismos. No caso em que a estrutura é induzida por uma seção σ, estes são formados de difeomorfismos f que preservam σ. Isto é, tais que f * σ = σ. Tal noção, entretanto, é demasiadamente rígida. A ideia é buscar por simetrias infinitesimais.

Na primeira seção, mostramos que cada campo de vetores X define uma família a um parâmetro X t de difeomorfismos. A derivada de Lie de X é o termo em primeira ordem da expansão em Taylor do pullback X * t , denotado por L X . Para que cada difeomorfismo X t seja uma simetria global da estrutura induzida por σ, é preciso que a derivada de Lie de σ se anule. Isto nos leva a considerar os campos X tais que L X σ = 0 como sendo a noção de simetria infinitesimal procurada.

Logo no início da segunda seção, observamos que o conjunto das simetrias infinitesimais é uma subálgebra K σ (M) de Lie de X(M) com respeito ao colchete de campos de vetores. Em geral, esta possui dimensão infinita! Isto significa que, caso simetrias infinitesimais não-triviais existam, então elas existem aos montes.

Espera-se, por outro lado, que a existência de simetrias possa ser observada diretamente na seção σ. A respeito disto, o fato de K σ (M) ter dimensão infinita é um empecilho. De fato, para que consigamos observar restrições em σ introduzi-das por simetrias, precisamos de álgebras que sejam induzidas por grupos de Lie, algo que ocorre somente quando a álgebra possui dimensão finita. No restante da segunda seção, exploramos a relação entre grupos e álgebras de Lie. Em particular, mostramos ser possível reconstruir o grupo a partir da álgebra por um processo de exponenciação.

As referências mais utilizadas para a escrita do capítulo foram [START_REF] Kobayashi | Foundations of Differential Geometry[END_REF][START_REF] Fecko | Differential Geometry and Lie Groups for Physicists[END_REF].

Derivada

A geometria é rodeada por noções de derivação. Por exemplo, campos de tensores são entes através dos quais se introduz reduções no fibrado dos referenciais, as quais correspondem à geometria numa variedade. Tais campos, por sua vez, podem ser vistos como mapas multilineares no espaço dos campos de vetores. Mas campos de vetores equivalem a derivações.

Nesta seção, introduziremos uma maneira de derivar tensores com respeito a um campo de vetores (digamos X), chamada de derivada de Lie e denotada por L X . Primeiro mostraremos que todo campo de vetores X induz uma família a um parâmetro de difeomorfismos X t : M → M e é a partir de tal família que definiremos L X como sendo a "expansão em primeira ordem" da família X t . Formalmente, tal derivada será o termo caracterizado por

X * t = id + tL X + o(t 2 ).
A fim de dar uma interpretação geométrica a ela, relembremos que um morfismo entre G-estruturas em M, definidas por tensores σ e σ ′ , é um difeomorfismo f :

M → M tal que f * σ = σ ′ .
Isto nos leva a interpretar os campos X cujas famílias X t cumprem X * t σ = σ como simetrias globais da G-estrutura definida por σ. Uma condição necessária para que isto aconteça é a nulidade da quantidade L X σ. Esta, no entanto, pode não ser suficiente. Assim, a interpretação imediata de um campo X que cumpre L X σ = 0 é a de simetria infinitesimal da geometria σ. Tais campos são também chamados de campos de Killing de σ.

Dinâmica

Vamos obter a família a um parâmetro de difeomorfismos X t associada a um campo X que comentamos na subseção anterior. Iniciamos mostrando que a escolha de um ponto p ∈ M determina uma única curva γ : I → M, definida num intervalo pequeno em torno de t = 0, com γ(0) = p e cumprindo X(γ(t)) = γ ′ (t) para todo instante (esta última condição significa que o diagrama abaixo é comutativo). Ela é chamada de curva integral de X em p.

γ * T M / / T M I γ ′ O O γ / / M X O O
Com efeito, utilizando um sistema de coordenadas x : U → R n em torno de p, vêse que a existência de γ se traduz num problema de valor inicial para o pushforward

x * X, definido no aberto x(U), o qual possui solução única pelo teorema de existência e unicidade de EDO's.

Um campo X cujas curvas integrais estão definidas em toda a reta diz-se completo. Neste caso, o teorema de diferenciabilidade com respeito às condições iniciais determina um homomorfismo R → Diff(M), que a cada instante t associa um difeomorfismo X t , fornecendo a família a um parâmetro que procuramos.

Advertência. Nos contextos que trabalharemos, os campos serão todos completos.

Uma condição suficiente para que isto aconteça é que X se anule fora de um compacto o que acontece, por exemplo, quando a variedade M é compacta.

Derivada de Lie

Seja X um campo completo. Assim, está definida a família X t , com t ∈ R. Fixado um tensor σ, ela induz caminhos t → X * t σ, que denotamos por σ t . Observamos que o campo X será uma simetria se, e somente se, σ t = σ 0 = σ para todo t. Como queremos algo que traduza a noção de simetria infinitesimal, isto nos leva a definir a derivada de Lie L X σ como sendo o termo que aparece em primeira ordem na "expansão de Taylor" de σ t em torno de t = 0. Isto é, definimos

L X σ = σ ′ t (0) = lim t→0 X * t (σ) -σ t .
Diretamente de tal expressão, verifica-se que a derivada de Lie é relmente uma derivação na álgebra T (M). Em outras palavras, tem-se

L X (σ ⊗ σ ′ ) = (L X σ) ⊗ σ ′ + σ ⊗ (L X σ ′ ),
sejam quais forem os campos tensoriais. Além disso, tal derivação comuta com contrações e com a regra natural d : D(M) → Ω 1 (M), que a cada função associa a sua diferencial. Finalmente, é compatível com o pareamento natural entre 1-formas e campos vetoriais:

L X (ω(Y )) = (L X ω)(Y ) + ω(L X Y ).
Por exemplo, das condições anteriores vê-se que, para qualquer carta local x :

U → R n na variedade M, tem-se L X ∂ i = -∂ i X j ∂ j , em que X j são as componen- tes do campo X na base ∂ i definida por x. Portanto, fornecido um campo vetorial arbitrário Y , computa-se L X Y = L X ( Y k ∂ k ) = X(Y k )∂ k - Y k ∂ k X j ∂ j = [X, Y ] k ∂ k ,
mostrando-nos que a derivada de Lie de um campo Y ao longo de X é simplesmente o comutador entre os dois campos.

Outra propriedade importante da derivada de Lie é a sua naturalidade com respeito a pullbacks e pushforwards. Mais precisamente, se f é um difeomorfismo em M, então, sejam quais forem os campos σ e X, tem-se

f * (L X σ) = L f * X (f * σ) e f * (L X σ) = L f * X (f * σ).

Álgebras

Tem-se uma máxima de que simetrias facilitam o problema. Em que sentido esta máxima se aplica no contexto da geometria? Vamos mostrar que a existência de simetrias "independentes" nos permite construir reduções de uma G-estrutura dada.

Como definimos há pouco, uma simetria infinitesimal de uma G-estrura, induzida por um tensor σ, é simplesmente um campo de vetores X cujo fluxo preserva σ infinitesimalmente. Isto é, tal que L X σ = 0. Como facilmente se verifica, o conjunto K σ (M) das simetrias infinitesimais de σ constitui um subespaço vetorial de X(M).

O fato fundamental é que se realizarmos o colchete [X, Y ] entre duas simetrias infinitesimais, então o campo resultado ainda é uma simetria infinitesimal! Isto significa que K σ (M) é uma subálgebra de Lie de X(M).

O problema é que o espaço dos campos de Killing em geral possui dimensão infinita. Existe especial interesse nas subálgebras de K σ (M) que possuem dimensão finita. A razão é a seguinte: se h é uma delas, digamos de dimensão k, então existem campos linearmente independentes X 1 , ..., X k que geram K σ (M). Tais campos definem uma distribuição em M. A independência linear entre eles significa exatamente que [X i , X j ] = C k ij X k , mostrando-nos, pelo teorema de Frobenius, que tal distribuição é integrável (veja [START_REF] Fernandes | Lições de Geometria Diferencial (notas de aula)[END_REF]).

Por outro lado, ressaltamos que os elementos de h não são campos quaisquer, mas são precisamente aqueles cujo fluxo preserva σ infinitesimalmente. Assim, espera-se que as simetrias infinitesimais de h traduzam condições explícitas sobre σ. Como obtê-las? Na próxima subseção construiremos uma regra que a cada grupo de Lie G faz corresponder uma álgebra de Lie g, chamada de álgebra associada. Ocorre que tal mapeamento é sobrejetivo sobre a categoria das álgebras de dimensão finita. Isto significa que toda álgebra de Lie de dimensão finita é associada a algum grupo de Lie por um processo de exponenciação.

Dito isto, retornando à nossa questão, observamos que a integrabilidade da estrutura definida pelos campos X 1 , ..., X k é caracterizada pelo fato de todo p ∈ M pertencer a uma subvariedade imersa H p ⊂ M, cujo espaço tangente em qualquer q ∈ H p é gerado pelos vetores X i (q). Ora, a álgebra de Lie h gerada pelos X i é de dimensão finita e, portanto, associada a um certo grupo de Lie H. Este, por sua vez, age na variedade M de maneira natural, tendo como órbita em p precisamente a subvariedade H p . Assim, a seção σ induz, via pullback, outra em cada uma das H p , de modo que condições sobre as seções induzidas implicam condições sobre σ.

Associação

Relembramos que um grupo de Lie é um grupo interno a Diff . Em outras palavras, trata-se de uma variedade G que ao mesmo tempo possui estrutura de grupo dada por uma operação diferenciável, cuja inversão inv(g) = g -1 também é diferenciável. Desta forma, tais entidades são geralmente complexas, uma vez que nelas se tem tanto informação topológica (estrutura de variedade) quanto algébrica (estrutura de grupo).

Nesta subseção, verificaremos que a todo grupo de Lie G faz-se corresponder um espaço vetorial de dimensão finita, o qual vem acompanhado de uma operação binária [•, •] que o torna uma álgebra real. Ao invés de comutatividade e associatividade, tal álgebra é anticomutativa e cumpre com a identidade de Jacobi. Ela é chamada chamada de álgebra de Lie associada à G, sendo usualmente denotada por g.

De maneira mais precisa, construiremos um functor Lie : GLie → ALie, em que ALie é a categoria das álgebras de Lie de dimensão finita (isto é, a subcategoria das álgebras reais de dimensão finita que são anticomutativas e satisfazem a identidade de Jacobi).

Uma vez realizada tal associação, a ideia é analisar a álgebra g e a partir de "informações infinitesimais" fornecidas por ela tentar inferir "informações globais" sobre o grupo G. Em suma, a estratégia baseia-se no seguinte: como um grupo de Lie é complicado, olha-se para a sua versão infinitesimal e lá se faz o que precisa ser feito. Finalmente, tenta-se reconstruir as partes de modo a obter o resultado desejado.

Como sempre, a etapa de "extrapolação do local para o global" é delicada. No que segue, nos resumiremos à introdução de um mapa natural exp : g → G que reconstrói parte do grupo via um processo conhecido como exponenciação.

Realçamos, no entanto, que existem dois resultados fundamentais, usualmente conhecidos como segundo e terceiro teoremas de Lie, os quais garantem, respectivamente, que Lie é sobrejetivo em objetos (isto é, o processo de exponenciação pode ser definido para qualquer álgebra) e que tal functor é bijetivo em morfismos (e, portanto, uma equivalência) quando restrito à subcategoria GLie 1 dos grupos simplesmente conexos. Em suma, GLie 1 ≃ ALie.

A fim de definir o functor Lie, realçamos que a álgebra g em algum sentido deve descrever versões infinitesimais das transformações do grupo G. Por sua vez, vimos na subseção anterior que a derivada de Lie é justamente a ferramenta que nos permite falar de versões infinitesimais de tensores. Assim, espera-se que ela seja a peça fundamental na definição de g.

Iniciamos observando que o comutador [•,

•] de campos vetoriais introduz uma estrutura de álgebra de Lie no conjunto X(G), visto enquanto espaço vetorial real. Ora, mas [X, Y ] é exatamente L X Y quando nos restringimos a campos completos. Assim, a maneira imediata de definir g seria considerá-la igual à álgebra X(G). Ocorre que esta em geral possui dimensão infinita, o que contradiria o que procuramos. Assim, a próxima ideia é tomar g como sendo alguma subálgebra de dimensão finita de X(G), formada exclusivamente por campos completos, a qual deve ser construída de maneira canônica.

Ora, tem-se uma ação natural de G em X(G), que a cada (g, X) associa o pullback L * g X, induzindo-nos a considerar o subespaço dos campos que ficam estáveis por ela (tais campos são ditos invariantes à esquerda). Afirmamos que este subespaço possui dimensão finita. De fato, a regra X(G) → T G e , dada por X(e) é naturalmente linear e sobrejetiva. Ao ser restrita aos campos invariantes ela também se torna injetiva (e, portanto um isomorfismo).

Além disso, observamos que todos estes campos são completos. De fato, como verificaremos nos próximos capítulos1 , a única curva integral de X é aquela γ X : R → G que passa pela origem, a qual fica inteiramente determinada por γ ′ X (0) = X(e). Em particular, ela define um morfismo injetivo entre o grupo abeliano R e G, chamado de subgrupo uniparamétrico de X.

Por último, mostremos que o subespaço dos campos invariantes à esquerda é, na verdade, uma subálgebra de X(G), de modo que cumpre com todos os requisitos desejados, levando-nos à tomá-lo como sendo a álgebra de Lie g de G. Com efeito, isto segue imediatamente da comutatividade do colchete de Lie com pullbacks:

L * g [X, Y ] = L * g (L X Y ) = L L * g X (L * g Y ) = L X Y = [X, Y ].
A regra G → g define Lie em objetos. A fim de completar sua definição, relembramos haver um functor natural X : 

Diff → Vec R ,

Exponencial

Para terminar, introduzamos o processo de exponenciação que havíamos comentado. Pois bem, como o grupo aditivo R é abeliano, sua álgebra é comutativa, de modo que todo morfismo R → g é a multiplicação por um vetor fixo. Mais precisamente, a regra ϕ : g → L(R; g), definida por ϕ X (t) = tX é um isomorfismo.

Como a variedade R é simplesmente conexa, pelo segundo teorema de Lie, obtémse um único morfismo ϕ :

g → Mor(R; G) satisfazendo a condição Lie(ϕ X ) = ϕ X .
Sejam φ(X, t) = ϕ X (t) e φ definido de maneira análoga. A regra exp(X) = φ(X, 1)

é canônica: trata-se do único mapa que deixa comutativo o diagrama abaixo. Ela é chamada de mapa exponencial de G.

g × R φ / / G g × R id O O φ / / g exp O O
Que morfismo será ϕ X ? Relembramos que cada campo invariante X possui uma única curva integral γ X , a qual é um morfismo de R em G. Isto nos sugere que ϕ X = γ X . A verificação de que tal mapa realmente cumpre com o requisitado segue da seguinte observação: para todo k, os caminhos γ X (kt) e γ kX (t) partem do mesmo ponto com igual velocidade e, portanto, devem ser coincidentes. Em particular, tem-se γ X (t) = γ tX (0), de modo que

γ ′ X (t) = γ ′ tX (0) = (tX)(e) = ϕ X (t).
Capítulo 11

Gauge

Nos capítulos anteriores, vimos que G-estruturas são os entes através dos quais as mais diversas geometrias se desenvolvem. Assim, diferentes G-estruturas originam diferentes conceitos geométricos. No presente capítulo, em contrapartida, buscamos por conceitos mais fundamentais, os quais estejam presentes em todas as geometrias.

Iniciamos o capítulo na primeira seção, onde discutimos o primeiro de tais conceitos: o paralelismo. Trata-se de uma maneira de conectar as fibras de diferentes pontos de um fibrado principal π : P → M. Mostramos que a presença de tal conceito equivale à existência de uma decomposição do fibrado tangente de P em duas partes: uma definida pelo kernel de π e outra complementar a esta, cujos elementos são chamados de vetores horizontais. Assim, no fundo, paralelismo é o mesmo que horizontabilidade.

No caso de uma geometria associada a uma G-estrutura, verificamos que os mapeamentos que conectam as fibras são automorfismos da estrutura em questão (por exemplo, no caso da geometria riemanniana, são isometrias). Mais precisamente, são mapas que preservam elementos de GL(n)/G (na geometria riemanniana, tais elementos são produtos internos). Reciprocamente, toda noção de paralelismo define uma redução no grupo estrutural de fr(M) para o grupo de holonomia da conexão.

Na segunda seção, apresentamos a segunda noção geométrica intrínseca: a curvatura. Esta possui diversas caracterizações. Por exemplo, se lembrarmos que paralelismo equivale à conexão, e que esta é uma maneira de decompor o fibrado tangente, então podemos ver a curvatura como sendo a obstrução à integrabilidade da dis-tribuição assim definida. Equivalentemente, é possível interpretar curvatura como sendo a quantidade que mede quão distante a holonomia está de ser infinitesimalmente trivial (isto é, trata-se da quantidade que gera a álgebra de Lie do grupo de holonomia).

As obras clássicas sobre o assunto contemplam [START_REF] Sternberg | Lectures on Differential Geometry[END_REF][START_REF] Kobayashi | Foundations of Differential Geometry[END_REF]. Elas, assim como o primeiro capítulo de [START_REF] Besse | Einstein Manifolds[END_REF] e [START_REF] Fecko | Differential Geometry and Lie Groups for Physicists[END_REF], foram as principais referências utilizadas ao longo do capítulo.

Conexão

Todo fibrado π : P → M determina uma distribuição natural V em P . Trata-se, pois, daquela que a cada ponto a ∈ P associa o kernel de dπ a . Em outras palavras, tem-se uma parte privilegiada V (a) de T P a (e, portanto, subfibrado V P ⊂ T P ).

Seus elementos são ditos verticais em a. Uma conexão no fibrado π é simplesmente uma distribuição H em P complementar a V . Isto significa que cada espaço tangente T P a se decompõe na forma V (a) ⊕ H(a) e, consequentemente, existe fibrado HP satisfazendo T P = V P ⊕ HP . Em outras palavras, é uma maneira de falar de vetores horizontais em cada ponto.

Observamos que, no caso particular em que π é um G-fibrado principal, então "ser vertical" é propriedade invariante pela ação de G. Isto significa que, se Act :

G → Diff(P ) é a ação natural definida por π, então os difeomorfismos Act g são simetrias de V (ou seja, vale Act * g V = V ). Em outras palavras, o pushforward de Act g mapeia isomorficamente vetores verticais em vetores verticais, de modo que existe a seta pontilhada no primeiro dos diagramas abaixo.

T P

Actg * / / T P T P Actg * / / T P V P

ı 1 O O / / ❴ ❴ ❴ V P ı 1 O O HP ı 2 O O / / ❴ ❴ ❴ HP ı 2 O O
Diante disso, ao se trabalhar com fibrados principais, constuma-se pedir a mesma invariância à propriedade "ser horizontal". Mais precisamente, define-se uma conexão num G-fibrado principal π : P → M como sendo uma distribuição H em P , a qual não só é complementar a V , como também é invariante pela ação de G. Assim, pressupõe-se a existência da seta pontilhada no segundo dos diagramas acima.

Esta postura (de trabalhar com distribuições equivariantes) traz consigo diversas conveniências. A mais imediata delas é que os levantamentos horizontais de um dado vetor v ∈ T M p estão todos canonicamente ligados pelos pushforwards dos Act g . Por exemplo, mostraremos que conexões em G-fibrados principais equivalem a 1-formas em P com valores na álgebra g que satisfazem certas condições. Isto reforçará a máxima, já evidenciada no capítulo anterior pelas G-estruturas, de que estruturas geométricas numa variedade P são induzidas por seções de fibrados descendentes de T P .

Pois bem, dada uma conexão H em π : P → M, afirmamos que ela induz uma seção A do fibrado Γ(T P * ⊗ g), chamada de 1-forma de conexão, a qual é:

1. vertical, no sentido de que A a (v) = 0 para todo vetor v horizontal a a; 2. equivariante pela ação adjunta de G, significando que, para qualquer g, o pullback de A pelo difeomorfismo Act g é precisamente Ad g • ω.

A ideia é simples: verificando que cada V (a) é isomorfo a g, digamos por um isomorfismo φ a , definiremos A de modo que A a coincida com φ a quando restrita a V (a) e seja nula no complementar. Em outras palavras, de posse dos φ a colocamos A a = φ -1 a • ver, em que, sob o isomorfismo canônico abaixo, ver é simplesmente a projeção na primeira entrada (a projeção na segunda entrada é denotada por hor):

V (a) ⊕ H(a) ≃ V (a) × H(a).
Para construir os φ a , notamos que a ação Act define uma representação de G em Diff(P ) a qual, por sua vez, induz uma representação derivada g → X(P ), que a cada vetor v ∈ g associa seu campo fundamental X v . Dado a ∈ P , colocamos então φ a (v) = X v (a). Que o mapa φ a assim definido assume valores em V (a) não há dúvidas. Afinal, por definição X v (a) = γ ′ (0), com γ(t) = e tv * a, de modo que

Dπ a (X v (a)) = Dπ a (γ ′ (0)) = (π • γ) ′ (0) = 0, pois o caminho π • γ é constante.
A injetividade e a sobrejetividade de φ a vem, respectivamente, do fato da ação Act ser livre e transitiva.

Reciprocamente, dada uma 1-forma ω com valores em g, esta define uma distribuição H em P , pondo H(a) = ker(ω a ). Se ω é vertical, então H é complementar a V . Por sua vez, a equivariância de ω pela ação adjunta de G acarreta na invariância de H por tal grupo. Portanto, tem-se realmente uma correspondência bijetiva conexões num G-fibrado principal

k s + 3
1-formas com valores em g verticais e equivariantes pela ação adjunta

Transporte Paralelo

Veremos agora que, de fato, a presença de uma conexão num fibrado π : P → M induz uma noção de paralelismo de vetores tangentes.

Iniciamos observando que conexões passam ao pullback. Com efeito, se a conexão em P é definida por uma distribuição H, então, para todo mapa diferenciável f , a distribuição f * H é conexão em f * P (o fibrado f * T P decompõe-se em termos de f * V P e f * HP ). Particularmente, no contexto dos fibrados principais, se A é 1-

forma de conexão, então o correspondente f * A também o é.
Com isto em mente, diz-se que um caminho α : I → P realiza transporte paralelo se α ′ (t) é vetor horizontal para cada t. Isto é, quando α ′ é seção horizontal de α * T P .

Neste caso, fala-se que o vetor v = α ′ (0) é transportado paralelamente ao longo de α e que os outros α ′ (t) são paralelos a v segundo a curva α.

Por exemplo, qualquer curva integral de um campo horizontal em P (isto é, de uma seção do fibrado HP ) realiza transporte paralelo. Diante disso, vamos mostrar que, dado γ : I → M, a escolha de um ponto (a, t) em γ * P determina um único levantamento γ a,t de γ, o qual realiza transporte paralelo. Mais precisamente, provaremos que γ induz um campo horizontal X γ em γ * P , de modo que, pelo teorema de existência e unicidade para EDO's, este admite um única curva integral que passa por cada (a, t) ∈ γ * P . Sua projeção em P será γ a,t , como ilustrado no diagrama abaixo (para melhor entendê-lo, recomendamos girá-lo 90º no sentido horário).

HP π * * * / / P π / / M T M o o T (γ * P ) O O / / γ * P Xγ d d ■ ■ ■ ■ ■ pr 2 O O pr 1 / / I γ O O γa,t a a ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ γ ′ 6 6 γ * T M o o O O
Para definir X γ notamos que, como o espaço V (a) é o kernel de Dπ a , a restrição de tal aplicação a H(a) determina um isomorfismo deste último sobre T M π(a) . Posto isto, colocamos

X γ (a, t) = D a π -1 (γ ′ (t)).
Tal campo induz uma família a dois parâmetros de aplicações

Γ(γ) s t : P γ(t) → P γ(s) , tais que Γ(γ) s t (a) = X s-t γ (a),
usualmente chamadas de transporte paralelo de γ. Concluímos, assim, que a presença da conexão num fibrado π : P → M realmente induz uma maneira de transportar elementos de uma fibra para elementos de outra fibra, de tal modo que, ao longo do trajeto, a "direção" é sempre mantida.

As aplicações Γ(γ) s t anteriores satisfazem Dado um outro ponto q em U, seja γ q algum caminho ligando-o a p. Por exemplo, supondo x(U) convexo, γ q pode ser obtido tomando x -1 na semi-reta que liga x(p) a x(q). Fixado qualquer a ′ ∈ P (a) na fibra de p, definimos s : U → P (a) como sendo a regra que a cada q faz corresponder o ponto de chegada do levantamento horizontal de γ q , determinado por a ′ . Isto é, s(q) = γ q a ′ (1). Tal mapa é seção local, garantindo a trivialidade local de P (a).

Γ(γ) t t = id e Γ s t ′ (γ) • Γ(γ) t ′ t = Γ s t (γ),

Derivada Exterior Covariante

Provemos que toda conexão A num G-fibrado principal π : P → M induz, para cada ação efetiva G × E → E de G num espaço vetorial E, uma correspondente maneira de derivar seções que tomam valores no fibrado vetorial E associado a π, chamada de derivada exterior covariante e usualmente denotada por D A .

Para tanto, em primeiro lugar notemos que, como o functor que a cada fibrado associa o módulo de suas seções é monoidal, a decomposição V P ⊕HP proporcionada por A induz uma outra X(P ) ≃ X(HP ) ⊕ X(V P ). Sob tal identificação, utilizemos de X hor e X ver para representar as respectivas componentes horizontal e vertical de um campo vetorial arbitrário X em P . Fica então definido um homomorfismo de

D(M)-módulos hor : Ω k (P ) → Ω k H (P ) dado por (horω)(X 1 , ..., X 1 ) = ω((X 1 ) hor , ..., (X k ) hor ).
Assim, a k-forma horω (denominada parte horizontal de ω) é simplesmente aquela que ao ser avaliada em certos vetores devolve como resultado ω avaliada na projeção horizontal de tais vetores. Vê-se que a parte horizontal de uma k-forma que assume valor em E e é equivariante por ρ também possui tais propriedades. Em seguida, consideramos a regra valores em E nada mais são que seções de tal fibrado, tal regra se torna realmente uma maneira de derivar seções de E (segundo os diagramas abaixo).

Ω 0 EH (P ; E) ≃ d A / / Ω 1 EH (P ; E) ≃ Γ(E) / / ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ Ω 1 (M; E)

Compatibilidade

Como discutiremos, o seguinte fato é fundamental no estudo da geometria: os vetores de V que ficam invariantes pela ação natural do grupo de holonomia Hol(ω, a), obtida diretamente da ação de G, estão em bijeção com as seções s do fibrado associado E que são covariantemente constantes. Isto é, tais que D A s = 0 (fala-se também que s é compatível com A).

Para conexões em Fr(M) esta correspondência tem um significado bastante claro.

Com efeito, em geral toma-se V como sendo algum espaço de formas V ⊂ Ω k (R n ), dotado da ação natural de GL(n; R). Consequentemente, o fibrado associado E é um subfibrado de ∧ k T M * e, portanto, a existência de uma k-forma ω ∈ V invariante pela ação de Hol(A, a) equivale à existência de uma k-forma ω : M → E compatível com A. Observamos que, em tal situação, Hol(A, a) contém o grupo G das transformações que deixam ω invariante e, como a redução de um fibrado principal ao grupo de holonomia sempre existe, também existe a redução de Fr(M) a G, de modo que M admite uma tal G-estrutura.

Conclusão: no último capítulo vimos exemplos de que a existência de certos campos tensoriais numa variedade M induz reduções de Fr(M) ao grupo das transformações que deixam tais campos invariantes ponto a ponto. O resultado anterior, por sua vez, nos diz que a presença de uma conexão pode ser suficiente para garantir a existência destes campos. Além disso, ele nos ensina como obtê-los.

Ainda sobre tal resultado, três observações:

1. ele pode ser encarado de uma maneira bastante simples: no diagrama abaixo, a seta pontilhada existe se, e somente se, a segmentada também existe (o que é natural, em virtude da equivalência entre conexões e noções de transporte paralelo) conexões em fibrados

$ , + 3 
reduções no grupo estrutural transporte paralelo

K S + 3 ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ campos tensoriais K S
2. ele nos fornece uma estratégia de ataque ao problema de "determinar as possíveis geometrias que podem ser introduzidas numa variedade". Com efeito, primeiro procura-se pelas conexões que nela existem e depois analisa-se vetores invariantes pelas correspondentes holonomias. Para cada vetor, tem-se uma diferente geometria; 3. particularmente, ele também nos fornece uma estratégia para encarar o problema de "determinar as geometrias que são compatíveis com outra previamente estabelecida". Por exemplo, isto é exatamente o que se precisa responder ao se estudar gravitação relativista: parte-se do pressuposto que existe métrica lorentziana compatível com uma conexão. Entretanto, em alguns sistemas precisa-se de estruturas adicionais (orientabilidade, orientabilidade temporal, alguma folheação, estruturas espinoriais, etc) e que, num certo sentido, concordem com a geometria da métrica. Assim, no contexto genérico a ideia é a seguinte: dada uma conexão cuja holonomia deixa um certo vetor invariante (que é a métrica no caso da gravitação), busca-se por outros vetores invariantes pela mesma holonomia (correspondendo às demais estruturas geométricas que volta e meia se necessita utilizar).

Em suma, todas as três observações se resumem na máxima de que conhecer holonomia implica conhecer geometria, explicitada na seta abaixo trivial e isomorfo a pr 1 : P × g → P pela regra que a cada par (a, v) em P × g associa o vetor X v (a). Assim, os campos vetoriais se identificam com as funções diferenciáveis de P na álgebra g e, portanto, a curvatura R torna-se uma 2-forma horizontal em P com valores em g. Tal forma também é equivariante pela ação adjunta, uma vez que campos horizontais são invariantes por G. Em suma, Ω é um elemento de Ω 2 EH (P ; g). O fato fundamental (usualmente conhecido como teorema de Ambrose-Singer; para mais detalhes, veja [START_REF] Fernandes | Lições de Geometria Diferencial (notas de aula)[END_REF][START_REF] Nakahara | Geometry, Topology and Physics[END_REF]) é este: para todo par (A, a), a subálgebra de Lie hol(A, a) ⊂ g do grupo de holonomia Hol(A, a) é gerada pela imagem da forma de curvatura Ω enquanto restrita aos campos horizontais do fibrado holonômico P (a).

Em outras palavras, é gerada pelos vetores Ω u (v, w) ∈ g, com u ∈ P (a). Assim, uma vez conhecida a curvatura, determina-se o grupo de holonomia (ou parte dele) por exponenciação da álgebra.

Identidades

Obtenhamos agora uma porção de identidades úteis, usualmente conhecidas como identidades de Bianchi e de Ricci. Para tanto, notemos que a derivada exterior covariante d A pode ser pensada como uma "correção (ou pertubração) em primeira ordem" para a derivada exterior d, introduzida pela presença da conexão A. Mais precisamente, pode-se escrever d A = d + δ A , em que δ A é uma regra totalmente definida em termos de A, que não depende de termos de ordem superior como, por exemplo, A 2 = A ∧ A.

De fato, para uma k-forma ω com valores em E e equivariante por uma representação ρ, dados campos X 0 , ..., X k quaisquer, decompondo-os em termos de uma soma de campos horizontais e verticais, e utilizando essencialmente do fato de que a componente vertical comuta com a horizontal, chega-se à relação

dω(X 0 , ..., X k ) = dω((X 0 ) hor , ..., d(X k ) hor ) + k i=0 (-1) i+1 ρ * (A(X i )) • ω(X 0 , ..., Xi , ..., X k ) = d A ω(X 0 , ...X k ) - k i=0 (-1) i ρ * (A(X i )) • ω(X 0 , ..., Xi , ..., X k ), em que ρ * : g → gl(V ) é a representação derivada ρ, permitindo-nos realmente escrever a derivada exterior covariante d A na forma d + δ A , com δ A = ρ * (A)∧
Observamos, em particular, que ao ser avaliado em campos horizontais, d A A nada mais é que a curvatura. Com efeito, pela expressão anterior, lembrando que A é vertical e equivariante pela ação adjunta (cuja representação derivada é a identidade), temos

d A A(X hor , Y hor ) = dA(X hor , Y hor ) = -[X hor , Y hor ] ver = Ω(X, Y ),
evidenciando a motivação para introduzirmos um sinal negativo na definição de Ω.

Isto nos leva a redefinir a curvatura como sendo o próprio d A A (note que a definição inicial de curvatura foi introduzida de modo que esta fosse uma obstrução à integrabilidade da distribuição H. De fato, esta nova definição mantém tal propriedade).

Assim, a curvatura nada mais é que a derivada covariante da própria conexão.

Um cálculo direto fornece d ∇ Ω = d 2
∇ ω = 0, que é conhecida como identidade de Bianchi. Observamos, no entanto, que nem sempre se tem d 2 ∇ = 0, o que reflete o fato das derivadas exteriores covariantes não definirem uma teoria de cohomologia.

De fato, tem-se d ∇ = d + [-, Ω], de modo que a curvatura é exatamente a obstrução para d 2 ∇ = 0. Para detalhes, sugerimos a secção 20.4 de [START_REF] Fecko | Differential Geometry and Lie Groups for Physicists[END_REF] ou a quinta secção do capítulo II de [START_REF] Kobayashi | Foundations of Differential Geometry[END_REF]. Outras referências sobre os assuntos que foram aqui abordados são [START_REF] Fernandes | Lições de Geometria Diferencial (notas de aula)[END_REF] e [START_REF] Nakahara | Geometry, Topology and Physics[END_REF].

Parte III Buracos Negros

Capítulo 12

Gravitação

Nas partes I e II, foram desenvolvidos os elementos em ordem crescente de complexidade a fim de se entender a teoria proposta por Einstein no início do século XX com o objetivo de explicar a gravitação; tal teoria, que ficou conhecida como relatividade geral, passou pelo crivo de inúmeros experimentos científicos desde então e consiste na teoria mais verificada da atualidade. Recentemente, uma de suas previsões -a existência de ondas gravitacionais -foi confirmada (ver capítulo 18) dando maior credibilidade ainda para a teoria. Einstein revolucionou o pensamento científico porque a relatividade geral, assim como a mecânica quântica, reforça a ideia de que a natureza não é intuitiva do ponto de vista do homem, especialmente em regiões onde não temos acesso direto, como é o caso do mundo astronômico ou do subatômico. Diante disso, o que Einstein propõe é que a busca por uma explicação do universo passa necessariamente pela correta determinação da sua estrutura matemática. Por causa desse pensamento oriundo das teorias revolucionárias do início do século passado, a topologia e a geometria se desenvolveram tanto e a interface entre física e matemática se tornou mais robusta.

Este capítulo tem por objetivo apresentar ao leitor a estrutura matemática básica da relatividade geral, utilizando dos conceitos desenvolvidos nos capítulos precedentes. Na primeira seção, iremos mostrar como Einstein foi levado às equações do campo gravitacional e na segunda seção, como sua teoria pode ser descrita de forma concisa através da linguagem mais moderna dos fibrados vetoriais.

Essa terceira parte tem um enfoque diferente do restante do livro na medida em que se destina principalmente à interpretação física de tópicos da teoria matemática de buracos negros. Dessa forma, não é assumido que o leitor tenha feito uma leitura prévia das partes I e II. Por isso, alguns conceitos podem estar repetidos ou, inclusive, apresentados de outra forma em relação aos capítulos anteriores. Uma obra bem interessante, que procura fornecer uma sólida e moderna base matemática ao leitor, ao mesmo tempo em que esclarece a interface entre os conceitos aqui apresentados e as teorias físicas atuais, é [START_REF] Nakahara | Geometry, Topology and Physics[END_REF]. Outras referências sobre o assunto são [START_REF] Misner | Gravitation[END_REF][START_REF] Hawking | The Large-Scale Structure of Spacetime[END_REF][START_REF] Weinberg | Gravitation and Cosmology[END_REF][START_REF] Wald | General Relativity[END_REF][START_REF] Carroll | Lecture Notes on General Relativity[END_REF].

Equações de Einstein

Uma das observações mais antigas sobre a gravitação remonta a Galileu em seus experimentos jogando pesos do alto da torre de Pisa (essa é uma imagem pictórica; na verdade, Galileu chegou a suas conclusões analisando a queda de pesos em planos inclinados): no vácuo, todos os corpos caem com a mesma aceleração. Em outras palavras, é possível distinguir-se movimento de queda livre da ação de um campo eletromagnético pelas diferentes acelerações de partículas com diferentes cargas; com a gravidade isso não acontece porque a resposta da matéria à gravitação é universal.

É claro que isso é válido para regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, pois caso contrário surgem discrepâncias no campo gravitacional que são detectadas como forças de maré.

Einstein extrapolou esse raciocínio e estabeleceu o seu famoso princípio de equivalência:

Em regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, é impossível distinguir-se entre a ação da gravidade e referenciais uniformemente acelerados, não importa qual experimento seja feito.

O princípio de equivalência de Einstein afirma que a gravitação acopla não apenas com a massa de repouso (como estabeleceu Newton), mas com todas as formas de energia. Como consequência, não existe objeto gravitacionalmente neutro em relação ao qual se possa medir a aceleração devida à gravidade. Diante disso e do papel desenvolvido pelos referenciais uniformemente acelerados, definiu-se como ace-leração gravitacional zero, o movimento de corpos em queda livre. Como o princípio de equivalência de Einstein vale apenas localmente, os referenciais inerciais (corpos em queda livre) de objetos distantes são independentes, ou seja, as velocidades medidas em relação a eles não podem ser comparadas.

A ideia de que referenciais inerciais, onde valem as leis da relatividade especial (espaço plano quadridimensional), só podem existir localmente, corresponde à possibilidade de se reduzir a métrica à sua forma canônica em cada ponto de uma variedade [START_REF] Carroll | Lecture Notes on General Relativity[END_REF]. A impossibilidade de se comparar velocidades (vetores) entre dois referenciais inerciais distantes corresponde à dependência do caminho durante o transporte paralelo ao longo de uma curva. O movimento de queda livre, definido como aceleração nula (derivada covariante do vetor tangente à curva igual a zero), corresponde às geodésicas (devidamente parametrizadas). Essas considerações foram suficientes para motivar Einstein a considerar a gravitação como uma manifestação da curvatura do espaço-tempo.

Em poucas palavras, a teoria da gravitação pode ser descrita como:

O espaço-tempo consiste numa variedade riemanniana quadridimensional com uma métrica indefinida de assinatura -2 que dá origem a uma conexão riemanniana para a qual o traço reverso do tensor de curvatura é proporcional ao tensor energiamomento que descreve a matéria e os campos não gravitacionais.

A necessidade de uma métrica indefinida de assinatura -2 provém do fato de que o espaço-tempo, pelo princípio de equivalência, deve ser localmente semelhante ao espaço de Minkowski da relatividade especial, que possui uma métrica da forma

ds 2 = c 2 dt 2 -dx 2 -dy 2 -dz 2 , (12.1) 
onde c denota a velocidade da luz (geralmente tomada igual a um por escolha de unidades).

Com essa assinatura, a métrica do espaço-tempo é indefinida de modo que qualquer uma das condições abaixo pode se verificar para um vetor X: i) g(X, X) > 0, caso em que X denomina-se de tipo-tempo;

ii) g(X, X) = 0, caso em que X denomina-se de tipo-luz (ou nulo);

iii) g(X, X) < 0, caso em que X denomina-se de tipo-espaço.

Partículas materiais (massa de repouso finita) descrevem trajetórias de tipotempo, enquanto que partículas sem massa (isto é, fótons, grávitons) descrevem trajetórias de tipo-luz. O comprimento de arco das geodésicas do tipo-tempo é interpretado como o tempo próprio medido no referencial da partícula material.

Geodésicas do tipo-luz não podem ser parametrizadas pelo comprimento de arco, mas admitem parâmetros afins (para um estudo das geodésicas, sugerimos o capítulo 1 de [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]).

Uma conexão riemanniana é aquela que é compatível com a métrica e cuja torção se anula. Além de sua existência e unicidade, a escolha de uma conexão com essas propriedades se justifica pelo fato de que:

(i) a norma de um vetor transportado paralelamente sob essa conexão se preserva ao longo de qualquer curva;

(ii) os extremos do funcional de comprimento são atingidos por geodésicas relativas a essa conexão; e (iii) o tensor de Ricci é simétrico e consiste na única contração independente do tensor de curvatura de Riemann.

O item (i) acima garante o caráter (tipo-tempo, luz ou espaço) do movimento geodésico descrito pelas partículas em queda livre. O item (ii) unifica as noções de linha reta (geodésica) e caminho mais curto entre dois pontos para um espaço curvo.

Como localmente a gravitação acopla com todas as formas de energia e sua ação é manifestada pela curvatura do espaço-tempo, Einstein supôs que a relação mais simples entre essas quantidades seria uma equação tensorial de proporcionalidade entre os tensores T e G, G = kT, ambos simétricos de tipo (0,2), onde T representa o tensor energia-momento e G deveria ser obtido do tensor de Riemann,

R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z -∇ Y ∇ X Z -∇ [X,Y ] Z,
em que X, Y, Z são campos vetoriais e ∇ é a conexão, e possuir divergente nulo, ou seja,

G i j;i = 0 (12.2)
ao longo da variedade (por causa da conservação da energia, representada por T i j;i = 0) 1 .

Como em uma conexão riemanniana o tensor de Ricci, com componentes R ij , é simétrico, é a única contração independente do tensor de Riemann e seu traço reverso

G ij = R ij - 1 2 g ij R
satisfaz a condição (12.2), seguem as equações de Einstein

G = 8πG c 4 T ou, em componentes, R ij - 1 2 g ij R = 8πG c 4 T ij , (12.3) 
onde 8πG c 4 é a constante de proporcionalidade obtida a partir de comparações com o limite newtoniano 2 e R é a curvatura escalar obtida através do traço do tensor de Ricci.

Uma forma alternativa das equações (12.3) é

R ij = 8πG c 4 (T ij - 1 2 g ij T ), (T = g ij T ij ),
de forma que no vácuo (regiões do espaço-tempo em que T ij = 0), as equações de

Einstein se reduzem a

R ij = 0.
1 O ponto e vírgula corresponde à aplicação da derivada covariante.

2 O limite newtoniano consiste nas três condições abaixo:

(i) As partículas devem se mover lentamente com respeito à velocidade da luz:

dx i dτ ≪ dt dτ ,i = 1, 2 , 3. 
(ii) O campo gravitacional é fraco, podendo ser considerado como uma perturbação da métrica η do espaço plano:

g ij = η ij + h ij , |h ij |≪1,i, j = 0, 1 , 2, 3. 
(iii) O campo gravitacional é estático, ou seja, é invariante com o tempo: ∂ 0 g ij ≡0,i, j = 0, 1, 2, 3.

As equações de Einstein representam equações diferenciais de segunda ordem nas funções g ij que compõem a métrica. Como ambos os membros constituem-se de tensores simétricos de ordem (0,2), existem apenas dez equações independentes.

O fato do tensor G, denominado tensor de Einstein, satisfazer a condição (12.2) impõe mais quatro graus de liberdade à solução, reduzindo para seis o número de equações independentes. Isso condiz com a definição do espaço-tempo como uma variedade quadridimensional, pois assim todos os tensores estão definidos a menos de mudanças de coordenadas (difeomorfismos, cuja representação envolve quatro funções).

Quando o tensor energia-momento é dado pelo tensor de Maxwell do campo eletromagnético,

T ab = η cd F ac F bd - 1 4 η ab F ef F ef ,
as equações (12.3) são conhecidas como equações de Einstein-Maxwell. No capítulo 2 de [?], essas equações estão explicitadas para o caso de uma métrica suficientemente geral.

Descrição Moderna

Na seção anterior, demos um enfoque ao raciocínio que levou Einstein a construir um modelo para a gravitação baseado nos elementos da geometria riemanniana. De lá para cá, a linguagem matemática se desenvolveu muito, principalmente inspirada na física teórica. O objetivo desta seção é dar uma caracterização mais moderna para a relatividade geral, utilizando o conceito de fibrado. Para isso, vamos revisar certos conceitos já vistos em outras partes do livro, apresentando-os de forma mais específica para que o leitor entenda melhor as estruturas envolvidas e como elas se relacionam umas com as outras. Essa subseção foi construída na mesma linha de pensamento das obras [START_REF] Nakahara | Geometry, Topology and Physics[END_REF] e [START_REF] Fernandes | Lições de Geometria Diferencial (notas de aula)[END_REF]. Os resultados serão apenas enunciados e as respectivas demonstrações são deixadas para consulta a essas referências.

Fibrados

O conceito de fibrado capta a ideia da construção de um campo de força sobre um espaço base, identificando cada ponto do fibrado com uma seta aplicada a um ponto do espaço base. Um fibrado diferencial (E, π, M, F, G) consiste dos seguintes elementos:

1. Uma variedade diferenciável E chamada espaço total.

2. Uma variedade diferenciável M chamada espaço base.

3. Uma variedade diferenciável F chamada fibra.

4. Uma sobrejeção π : E → M chamada projeção. A imagem inversa π -1 (p) = F p ∼ = F é chamada a fibra em p.
5. Um grupo de Lie G chamado grupo estrutural, que age sobre F pela esquerda.

Uma cobertura aberta {U

i } de M com difeomorfismos φ i : π -1 (U i ) → U i × F tal que π • φ -1 i (p, f ) = p, chamada trivialização local.
7. Em U i ∩ U j = ∅, as funções de transição t ij : U i ∩ U j → G são mapas diferenciáveis, tais que f i = t ij (p)f j . A fim de que pedaços locais de um fibrado possam ser colados consistentemente, as funções de transição precisam satisfazer a condição de cociclo:

t ij (p) • t jk (p) = t ik (p) (p ∈ U i ∩ U j ∩ U k ).
A definição de fibrado é independente da cobertura usada. Dois fibrados coordenados Dado um fibrado π :

(E, π, M, F, G, {U i }, {φ i }) e (E, π, M, F, G, {V j }, {ψ j }) são equivalentes se (E, π, M, F, G, {U i }∪{V j }, {φ i }∪{ψ j }) é
E → M, um mapa f : N → M define um pullback f * E sobre N por f * E = {(p, u) ∈ N ×E/f (p) = π(u)}. A fibra F p de f * E é simplesmente uma cópia da fibra F f (p) de E.
A função de transição t * ij do pullback f * E é um pullback da função de transição t ij de E. Os pullbacks de mapas homotópicos serão fibrados equivalentes.

Um fibrado principal é aquele cuja fibra F é idêntica ao grupo estrutural G.

A função de transição atua na fibra pela esquerda como usual, mas em um fibrado principal podemos definir uma ação de G sobre F pela direita. Seja

φ i : π -1 (U i ) → U i × G uma trivialização local. A ação à direita de G em π -1 (U i ) é definida por ua = φ -1 i (p, g i a)
onde p = π(u), a ∈ G e φ i (u) = (p, g i ). Pode-se mostrar que essa definição independe da trivialização local. A ação à direita de G sobre a fibra π -1 (p) é transitiva e livre.

Em um fibrado principal podemos definir uma trivialização preferida, denominada trivialização local canônica, tomando uma seção s i sobre U i e definindo

u ∈ π -1 (p) como u = φ -1 i (p, g u ) onde g u ∈ G é o único elemento que efetua a decomposição u = s i (p)g u de modo que s i (p) = φ -1 i (p, e).
Dado um fibrado principal P (M, G), podemos construir um fibrado associado, com fibra F , como segue. Defina uma ação de g ∈ G em P × F por

(u, f ) → (ug -1 , ρ(g)f ), onde ρ : G → Dif f (F ) é uma representação de G sobre F . Então o fibrado associado (E, π, M, F, G, P, ρ) é o conjunto P × F ∼ no qual dois pontos (u, f ) e (ug -1 , ρ(g)f ) são identificados.
Se a fibra for um espaço vetorial V e a representação for linear, isto é, ρ : G → Gl(V ), então o fibrado associado será um fibrado vetorial.

1. Se todas as funções de transição são identidades, o fibrado chama-se trivial e, nesse caso, E = M × F .

2. Um fibrado principal é trivial se admite uma seção global.

3. Um fibrado vetorial (aquele cuja fibra é um espaço vetorial) é trivial se seu fibrado associado principal admite uma seção global.

Conexão

Seja u um elemento de um fibrado principal P (M, G) e G p a fibra em p = π(u).

Definimos o espaço vertical V u P como sendo o subespaço de T u P que é tangente à fibra G p -de modo que a projeção dos vetores de V u P pela diferencial de π é nula -e que se constrói como segue. Tome um elemento A da álgebra de Lie g. A ação à direita

R exp(tA) u = u exp(tA) define uma curva na fibra G p . Defina o campo vetorial fundamental A # ∈ T u P por A # f (u) = d dt f (uexp(tA))| t=0
que é tangente à fibra em p e, portanto, pertence a V u P . A associação A → A # é um isomorfismo entre g e V u P . Uma conexão é uma distribuição diferenciável que associa um complemento de V u P em T u P , denominado espaço horizontal H u P e tal que:

1.

T u P = V u P + H u P 2. H ug P = R g * H u P
Uma 1-forma de conexão ω ∈ T * P ⊗ g, com valores na álgebra de Lie, é uma projeção de T u P sobre a componente vertical V u P ≃ g tal que:

1. ω(A # ) = A 2. R * g ω = Ad g -1 ω
O espaço horizontal corresponde ao núcleo de ω.

Seja {U i , φ i } uma carta trivializante de M e seja σ i uma seção local definida pela trivialização canônica, isto é, σ i (p) = φ -1 (p, e). Definimos o potencial de gauge A i como sendo a forma local da conexão, isto é,

A i = σ * i ω ∈ g ⊗ Ω 1 (U i ).
A fim de que ω seja definida de forma única, isto é, ω i = ω j em U i ∩ U j , os potenciais de gauge devem satisfazer a condição de compatibilidade

A j = t -1 ij A i t ij + t -1 ij dt ij .
Seja P (M, G) um fibrado principal. Uma curva γ em P é denominada um levantamento horizontal de uma curva γ em M se π • γ = γ e o vetor tangente a γ(t)

sempre pertence a H γ(t) P . A existência e unicidade local do levantamento horizontal γ é garantida porque ω( X) = 0 é uma EDO, onde X é um vetor tangente a γ.

Dado uma curva γ em M existe um único levantamento horizontal γ dessa curva em P de modo que os pontos do levantamento são unicamente determinados a partir do ponto inicial u 0 = γ(0). Essa relação descreve uma função, denominada transporte paralelo, e pode ser mostrado que ela representa um isomorfismo de fibras.

Curvatura

A forma mais geral de uma r-forma com valores vetoriais é

φ = k α=1 φ α ⊗ e α ,
em que {e α } é uma base de um espaço vetorial V de dimensão k e φ α ∈ Ω r (P ). A derivada exterior covariante de φ é definida por

Dφ(X 1 , ..., X r+1 ) = dφ(X H 1 , ..., X H r+1 ),
onde dφ = k α=1 dφ α ⊗e α . A curvatura é a derivada covariante da conexão,Ω = Dω. A curvatura satisfaz a equação estrutural de Cartan,

Ω(X, Y ) = dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )],
ou, equivalentemente,

Ω = dω + ω ∧ ω.
A curvatura também satisfaz a identidade de Bianchi:

DΩ = D 2 ω = 0.
Em geral, o levantamento horizontal γ de um laço γ falha em se fechar. Esta falha é proporcional ao vetor vertical [X, Y ] conectando o ponto inicial e o ponto final numa mesma fibra. A curvatura mede essa distância,

Ω(X, Y ) = -ω([X, Y ]) = A onde A é um elemento de g tal que A # = [X, Y ].
Como a discrepância entre os pontos inicial e final do levantamento horizontal de uma curva fechada é definida como a holonomia, o teorema de Ambrose-Singer estabelece que o grupo de holonomia é expresso em termos da curvatura.

A intensidade de campo é a forma local da curvatura, definida de forma semelhante ao potencial de gauge por

F i = σ * i Ω.
A ação de F nos vetores de T M é dada por

F i (X, Y ) = dA i (X, Y ) + [A i (X), A i (Y )]
ou, equivalentemente,

F = dA + A ∧ A.
Além disso, as intensidades de campo satisfazem a condição de compatibilidade

F j = t -1 ij F i t ij
em U i ∩ U j , a fim de que a curvatura Ω seja única.

A partir da conexão em um fibrado principal, podemos diferenciar seções de seu fibrado associado por meio da derivada covariante. Seja a seção

s(γ(t)) = [(γ(t), η(γ(t)))]
e X o vetor tangente à curva γ em p 0 = γ(0). Definimos a derivada covariante da seção s ao longo de γ (ou na direção de X) como sendo a seção

∇ X s = [(γ(0), d dt η(γ(t))| t=0 )]
ou, equivalentemente,

∇ X s = [(γ(0), X(η(γ(0))))]
onde X corresponde ao levantamento de X.

Essa definição independe do levantamento horizontal usado; ela depende exclusivamente da curva γ e da conexão. Pode-se mostrar que a forma local da derivada covariante em um fibrado associado é determinada inteiramente pelo potencial de gauge do fibrado principal.

Gravitação

Em relatividade geral, o universo é modelado por uma estrutura denominada espaço-tempo que corresponde a uma variedade quadridimensional M com métrica lorentziana. Associado ao fibrado tangente T M, existe um fibrado principal chamado de fibrado dos referenciais em que as fibras são conjuntos de bases ordenadas de T M em cada ponto de M. Nesse fibrado, a ação à direita, que transforma os referenciais, consiste nas transformações de Lorentz que preservam a métrica de Minkowski (essa condição se traduz no fato de que as leis da relatividade especial são obedecidas localmente); por sua vez, a ação à esquerda, representada pelas funções de transição, consiste nas transformações gerais de coordenadas (tal condição nada mais é que o princípio da covariância).

A conexão do fibrado dos referenciais induz uma derivada covariante no fibrado tangente e essa, por sua vez, dá origem ao tensor de Riemann que representa a curvatura do espaço-tempo M. As equações de Einstein correspondem à imposição de que essa curvatura, interpretada como gravitação, é produzida pela energia e matéria presente no universo na forma expressa pelo acoplamento entre o tensor de Einstein e o tensor energia-momento.

Fica assim evidenciado o poder simplificador do conceito de fibrado para a descrição da relatividade geral. Outras teorias, especialmente as teorias de gauge, foram construídas especificamente a partir da teoria geral de fibrados principais. Como já foi dito antes, uma ótima referência sobre esses assuntos é a obra [START_REF] Nakahara | Geometry, Topology and Physics[END_REF].

Capítulo 13

Buracos Negros

Na primeira seção, explicitamos uma classe de soluções especiais das equações de Einstein, dotadas de importantes simetrias, que por suas propriedades físicas ficaram conhecidas como buracos negros. Na verdade, pelo fato de as equações de

Einstein serem equações diferenciais não lineares de alta complexidade, conhecemos apenas algumas soluções nas quais impomos simetrias úteis; os buracos negros talvez estejam entre as soluções mais simples (tanto que foi o buraco negro de Schwarzschild [START_REF] Schwarzschild | [END_REF] a primeira solução exata das equações da relatividade geral). Na segunda seção do capítulo, discutimos a interpretação física dessa classe de soluções: os objetos que elas definem e seus parâmetros. O texto foi escrito com base no clássico [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF].

Outras referências sobre o assunto são [START_REF] Misner | Gravitation[END_REF][START_REF] Hawking | The Large-Scale Structure of Spacetime[END_REF][START_REF] Weinberg | Gravitation and Cosmology[END_REF][START_REF] Wald | General Relativity[END_REF].

Soluções

Um vetor de Killing em uma variedade riemanniana1 é um campo K tal que L K g = 0, onde g é a métrica e L é o operador derivada de Lie. Em uma variedade riemanniana que possui um vetor de Killing, sempre é possível encontrar um sistema de coordenadas no qual a métrica é independente de uma das coordenadas [START_REF] Dadam | Oscilações de Buracos Negros[END_REF].

Uma métrica g é dita estacionária se possui um vetor de Killing K de tipo-tempo, isto é, g(K, K) > 0. Uma métrica é chamada estática se possui um vetor de Killing de tipo-tempo que é ortogonal a uma família de hipersuperfícies (uma hipersuperfície em uma variedade n-dimensional é uma subvariedade de dimensão n -1).

Uma métrica g é dita axissimétrica se possui um vetor de Killing K de tipoespaço, isto é, g(K, K) < 0. Uma métrica é chamada esfericamente simétrica se possui um vetor de Killing de tipo-espaço que é ortogonal a uma família de hipersuperfícies.

Proposição 13.1.1. A forma geral da métrica descrevendo um espaço-tempo estacionário e axissimétrico é

ds 2 = e 2ν (dt) 2 -e 2ψ (dϕ -ωdt) 2 -e 2µ 2 (dx 2 ) 2 -e 2µ 3 (dx 3 ) 2 , (13.1) 
onde ν,ψ,ω,µ 2 e µ 3 são funções das coordenadas x 2 e x 3 .

Demonstração. Inicialmente, tomam-se como coordenadas o tempo t(= x 0 ) e o ângulo azimutal ϕ(= x 1 ) em torno do eixo de simetria. Como a métrica estacionária e axissimétrica possui dois vetores de Kiling, é possível encontrar um sistema de coordenadas em que suas componentes são independentes de duas coordenadas [START_REF] Dadam | Oscilações de Buracos Negros[END_REF].

Dessa forma, as componentes da métrica são dadas por

g ij = g ij (x 2 , x 3 ),
onde x 2 e x 3 são as coordenadas espaciais restantes. Além disso, será imposta à métrica sua invariância por inversão simultânea de t e ϕ, isto é,

g 02 = g 03 = g 12 = g 13 = 0,
pois os termos da métrica com esses coeficientes mudam de sinal sob a inversão, t→t e ϕ→ϕ. A ideia por trás dessa condição é permitir que o tensor energiamomento apresente essa invariância, de modo que a fonte do campo gravitacional terá movimentos puramente rotacionais em torno do eixo de simetria. Em outras palavras, busca-se com isso descrever o espaço-tempo associado a um corpo em rotação.

Sob essas condições, a métrica adquire a forma

ds 2 = g 00 (dx 0 ) 2 + 2g 01 dx 0 dx 1 + g 11 (dx 1 ) 2 + [g 22 (dx 2 ) 2 + 2g 23 dx 2 dx 3 + g 33 (dx 3 ) 2 ].
Tal métrica pode sempre ser diagonalizada mediante uma transformação de coordenadas [START_REF] Dadam | Oscilações de Buracos Negros[END_REF], resultando em

ds 2 = e 2ν (dt) 2 -e 2ψ (dϕ -ωdt) 2 -e 2µ 2 (dx 2 ) 2 -e 2µ 3 (dx 3 ) 2 , (13.2) 
que de fato descreve uma métrica estacionária, axissimétrica e de assinatura -2

(perceba que (13.2) está diagonalizada) em uma variedade riemanniana quadridimensional.

É preciso salientar que as funções µ 2 e µ 3 na proposição acima não precisam ser distinguidas. Tal distinção foi feita com o intuito de oferecer a possibilidade -na proposição adiante -de se estabelecer o vínculo que definirá a função de horizonte, caracterizando as soluções de buracos negros: soluções das equações de Einstein que possuem um horizonte de eventos e são assintoticamente planas. Um horizonte de eventos consiste numa subvariedade diferenciável bidimensional de tipo-luz gerada por um vetor de Killing de tipo-tempo e outro de tipo-espaço. Um espaço-tempo é considerado assintoticamente plano se ele se comporta como o espaço de Minkowski em regiões distantes da fonte.

Proposição 13.1.2. Existe uma única família de soluções para as equações de Einstein-Maxwell que sejam assintoticamente planas, estacionárias e axissimétricas, com horizonte de eventos convexo e não-degeneradas fora desse horizonte.

Demonstração. Devido à sua extensão e complexidade, nos limitaremos a apenas esboçar um esquema da demonstração. Uma demonstração mais detalhada pode ser encontrada nos capítulos 6 e 11 de [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]. Pela proposição 13.1.1, uma solução estacionária e axissimétrica das equações de Einstein-Maxwell deve ter a forma (13.1) e a equação do horizonte de eventos deve ser do tipo N(x 2 , x 3 ) = 0. Como o horizonte é subvariedade de tipo-luz, segue de (13.1) que

g ij N ,i N ,j = e 2(µ 3 -µ 2 ) (N ,r ) 2 + (N ,θ ) 2 = 0, onde x 2 = r e x 3 = θ.
Utilizando a liberdade de escolha do vínculo entre µ 2 e µ 3 , garantida pela forma da métrica, impomos

e 2(µ 3 -µ 2 ) = ∆(r), (13.3) 
onde ∆ = ∆(r) é denominada função de horizonte. Como o determinante da métrica do subespaço (t, ϕ) é dado por

-e 2β , (β = ν + ψ),
segue da definição de horizonte de eventos, da equação (13.3) e da identidade

[e µ 3 -µ 2 (e β ) ,2 ] ,2 + [e µ 3 -µ 2 (e β ) ,3 ] ,3 = 0
que a solução apropriada para uma função de horizonte convexa é

∆(r) = r 2 -2Mr + M 2 0 , (13.4) 
onde M e M 0 são constantes.

Além disso, ∆(r) = 0 no horizonte de eventos e e β = ∆ [ χ

(∆δ) ∆H ,2 ] ,2 + [ χ (∆δ) δH ,3 ] ,3 = i(ω ,2 H ,3 -ω ,3 H ,2 ), (13.7) 
[ ∆ χ 2 ω ,2 -2Im(HH * ,3 )] ,2 + [ δ χ 2 ω ,3 + 2Im(HH * ,2 )] ,3 = 0 (13.8) e [∆(ln χ) ,2 ] ,2 +[δ(ln χ) ,3 ] ,3 = 1 χ 2 [∆(ω ,2 ) 2 +δ(ω ,3 ) 2 ]+ 2χ (∆δ) [∆|H ,2 | 2 +δ|H ,3 | 2 ]. (13.9) 
A solução completa do problema consiste em se determinar as soluções (χ, ω) nas equações (13.7-13.9) e depois encontrar as funções ψ e ν por meio de (13.5) e (13.6).

Uma vez determinado o par (χ, ω), a integração das equações

(ψ + ν) ,2,3 -(ψ + ν) ,2 µ 2,3 -(ψ + ν) ,3 µ 3,2 + ψ ,2 ψ ,3 + ν ,2 ν ,3 = 1 2 e 2ψ-2ν ω ,2 ω ,3 -2e -2ψ (A ,2 A ,3 + B ,2 B ,3 ) (13.10) e 4e µ 3 -µ 2 (β ,2 µ 3,2 + ψ ,2 ν ,2 ) -4e µ 2 -µ 3 (β ,3 µ 2,3 + ψ ,3 ν ,3 ) = 2e -β {[e µ 3 -µ 2 (e β ) ,2 ] ,2 -[e µ 2 -µ 3 (e β ) ,3 ] ,3 } -e 2ψ-2ν [e µ 3 -µ 2 (ω ,2 ) 2 -e µ 2 -µ 3 (ω ,3 ) 2 ] +4e -2ψ {e µ 3 -µ 2 [(A ,2 ) 2 + (B ,2 ) 2 ] -e µ 2 -µ 3 [(A ,3 ) 2 + (B ,3 ) 2 ]}, (13.11) 
juntamente com (13.3), fornece os valores de µ 2 e µ 3 . Tais equações foram obtidas a partir do uso da métrica (13.1) nas equações de Einstein-Maxwell [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF].

Resta, portanto, resolver (13.7-13.9) para χ e ω. Substituindo Φ e Ψ, definidas por

-Φ ,2 = δ χ 2 ω ,3 + 2Im(HH * ,2 ) e Φ ,3 = ∆ χ 2 ω ,2 -2Im(HH * ,3 ); Ψ = (∆δ) χ , Z = Ψ + |H| 2 + iΦ, (13.12) 
e, a partir de identidades entre elas, as equações (13.8) e (13.9) se tornam

Ψ[(∆Z ,2 ) ,2 + (δZ ,3 ) ,3 ] = ∆(Z ,2 ) 2 + δ(Z ,3 ) 2 -2H * (∆Z ,2 H ,2 + δZ ,3 H ,3 ), (13.13) 
enquanto que (13.7) resulta

Ψ[(∆H ,2 ) ,2 + (δH ,3 ) ,3 ] = ∆H ,2 Z ,2 + δH ,3 Z ,3 -2H * [∆(H ,2 ) 2 + δ(H ,3 ) 2 ]. (13.14) 
O par (13.13) e (13.14) constitui-se nas equações de Ernst.

A fim de reduzir as equações de Ernst a uma única equação, toma-se

H = Q(Z + 1), Q ∈ C, obtendo-se 1 2 [(1 -2|Q| 2 )(Z + Z * ) -2|Q| 2 (|Z| 2 + 1)][(∆Z ,2 ) ,2 + (δZ ,3 ) ,3 ] = = [1 -2|Q| 2 (Z * + 1)][∆(Z ,2 ) 2 + δ(Z ,3 ) 2 ]. (13.15) 
Com a transformação

Z = 1 + E 1 -E e η = (r -M) (M 2 -M 2 0 ) 1 2 
, a equação (13.15) se expressa como

(1 -4|Q| 2 -|E| 2 ){[(η 2 -1)E ,η ] ,η + [(1 -µ 2 )E ,µ ] ,µ } = = -2E * [(η 2 -1)(E ,η ) 2 + (1 -µ 2 )(E ,µ ) 2 ]. (13.16) 
A métrica de Kerr-Newman consiste na solução mais simples das equações de Ernst para a métrica conjugada, que é obtida pela transformação

t → iϕ, ϕ → -it, χ = - χ χ 2 -ω 2 e ω = ω χ 2 -ω 2 .
A métrica conjugada satisfaz uma equação idêntica à equação (13.16) e admite a solução simples Ẽ = -pηiqµ, onde p e q são constantes reais que obedecem à relação

p 2 + q 2 = 1 -4|Q| 2 .
(13.17)

Revertendo para a variável r e escolhendo as constantes p e q como

p = (M 2 -M 2 0 ) 1 2 
M e q = a M , pois corresponde à escolha mais simples consistente com a relação (13.17), obtém-se

∆ = r 2 -2Mr + a 2 + Q 2 * , (13.18) 
e χ = - ρ 2 ∆ -a 2 δ (∆δ) ω = aδ ∆ -a 2 δ [(r 2 + a 2 ) -∆]. (13.19) 
Retornando às variáveis originais e fazendo os cálculos descritos anteriormente, resulta

χ = e ν-ψ = ρ 2 √ ∆ Σ 2 √ δ , e 2β = e 2(ψ+ν) = ∆δ, e 2ψ = δΣ 2 ρ 2 e e 2ν = ρ 2 ∆ Σ 2 ; (13.20) ω = a Σ 2 (r 2 + a 2 -∆); (13.21) 
e µ 2 +µ 3 = ρ 2 √ ∆ , e µ 2 -µ 3 = √ ∆, e 2µ 2 = ρ 2 ∆ e e 2µ 3 = ρ 2 , (13.22) 
onde

Σ 2 = (r 2 + a 2 ) 2 -a 2 δ∆. (13.23) 
Do comportamento assintótico (r → +∞) das componentes da métrica (13.1) com as substituições acima,

e 2ν -→ 1 - 2M r + O(r -2 ), e 2ψ -→ r 2 sin 2 θ + O(r), ω -→ 2aM r 3 + O(r -4 ), e -2µ 2 -→ 1 - 2M r + O(r -2 ), e 2µ 3 -→ r 2 + O(r), (13.24) 
conclui-se que tal métrica descreve um espaço-tempo assintoticamente plano. A existência da família de soluções descrita no enunciado está provada. Para a demonstração de sua unicidade, confira [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp.292-299.

Existe também uma única família de soluções para as equações de Einstein-Maxwell que sejam assintoticamente planas, estáticas e esfericamente simétricas, com horizonte de eventos convexo e não-degeneradas fora desse horizonte. Com efeito, basta tomarmos a = 0 nas equações (13.20)- (13.24).

É importante ressaltar que as soluções pertencentes à família obtida na proposição acima estão unicamente determinadas por apenas três parâmetros, (M, a, Q * ), permitindo a classificação das mesmas. Na próxima seção, tais parâmetros serão identificados com a massa, o momento angular por unidade de massa e a carga do buraco negro, respectivamente.

A métrica obtida na proposição 13.1.2, cuja forma geral é dada por

ds 2 = ρ 2 ∆ Σ 2 (dt) 2 - Σ 2 ρ 2 (dϕ - 2aMr Σ 2 dt) 2 sin 2 θ - ρ 2 ∆ (dr) 2 -ρ 2 (dθ) 2 , (13.25) 
onde

ρ 2 = r 2 + a 2 cos 2 θ, Σ 2 = (r 2 + a 2 ) 2 -a 2 ∆ sin 2 θ (13.26)
e a função de horizonte é

∆ = r 2 -2Mr + a 2 + Q * , (13.27) 
descreve um espaço-tempo denominado buraco negro de Kerr-Newman. Para Q * = 0, tal métrica, correspondente ao buraco negro de Kerr, é formalmente idêntica à métrica (13.25), mas tem função de horizonte dada por

∆ = r 2 -2Mr + a 2 . (13.28)
Tomando-se a = 0 em (13.25), obtemos a métrica

ds 2 = ∆ r 2 (dt) 2 - r 2 ∆ (dr) 2 -r 2 [(dθ) 2 + (dϕ) 2 sin 2 θ], (∆ = r 2 -2Mr + Q * ), (13.29) 
que descreve um espaço-tempo denominado buraco negro de Reissner-Nordström.

Para Q * = 0, tal métrica se reduz a

ds 2 = (1 - 2M r )(dt) 2 -(1 - 2M r ) -1 (dr) 2 -r 2 [(dθ) 2 + (dϕ) 2 sin 2 θ], (∆ = r 2 -2Mr), (13.30) 
que corresponde ao espaço-tempo descrito pelo buraco negro de Schwarzschild, historicamente a primeira solução exata das equações de Einstein [START_REF] Schwarzschild | [END_REF] e talvez a mais importante até hoje.

Pelas equações (13.25)-(13.30) é fácil perceber que existem pontos nos quais algumas componentes do tensor métrico se tornam infinitas. Como as componentes de um tensor são dependentes do sistema de coordenadas, é necessário algum indicador invariante por mudança de coordenadas (isto é, difeomorfismos) para se concluir sobre as singularidades da métrica. Considera-se uma condição suficiente para a existência de um ponto singular no espaço-tempo o fato de algum campo escalar obtido do tensor de Riemann tender ao infinito quando se aproxima do ponto.

Utilizando-se a base de 1-formas ω 0 = e ν dt, ω 1 = e ψ (dϕωdt), ω 2 = e µ 2 dr e ω 3 = e µ 3 dθ, (13.31) é possível determinar as componentes do tensor de Riemann fazendo uso das equações de Maurer-Cartan. A partir dessas componentes, o escalar R ijkl R ijkl se torna infinito em (r, θ) = (0, π 2 ) para as métricas de Kerr e Kerr-Newman. Tomando-se a = 0, a singularidade se restringe a r = 0.

Esse resultado garante a existência de singularidades nas soluções encontradas. Surge a pergunta: existem outras singularidades em algumas dessas métricas? Uma possibilidade está em se considerar que um ponto não é singularidade no espaçotempo se as geodésicas são bem comportadas nesse ponto ( [START_REF] Carroll | Lecture Notes on General Relativity[END_REF],pp.171-172). Baseado nesse fato, nenhuma das soluções encontradas apresenta singularidades além daquelas explicitadas acima. O leitor interessado nesse assunto pode consultar, por exemplo, as obras [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], [START_REF] Misner | Gravitation[END_REF] ou [START_REF] Hawking | The Large-Scale Structure of Spacetime[END_REF].

Buracos Negros

Buracos negros são objetos no espaço-tempo constituídos de uma singularidade essencial "ocultada"por um horizonte de eventos. As soluções encontradas na seção anterior possuem essa característica. De fato, como foi visto acima, tais soluções admitem singularidades essenciais, isto é, locais do espaço-tempo em que a curvatura se torna infinita. Além disso, uma análise das geodésicas ( [START_REF] Misner | Gravitation[END_REF], [START_REF] Carroll | Lecture Notes on General Relativity[END_REF], [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]) que cruzam as superfícies descritas pelas raízes da função de horizonte ∆, descrita na equação (13.18), dadas por

r + = M + (M 2 -a 2 -Q 2 * ) e r -= M -(M 2 -a 2 -Q 2 * ), (13.32) 
mostra que tais superfícies são regulares e que r + envolve a singularidade em cada caso. Na verdade, para a = Q * = 0, r -degenera na singularidade de Schwarzschild.

A superfície r + em (13.32) funciona globalmente como um ponto sem volta, no sentido de que geodésicas direcionadas para o futuro (isto é, no sentido crescente do parâmetro afim) que cruzam tal superfície não tornam a cruzá-la, ficando presas no interior do horizonte de eventos. O nome buraco negro surge da observação acima e do fato de que a luz descreve geodésicas (de tipo-luz) no espaço-tempo.

Como foi visto na seção precedente, a família de soluções descrita na proposição 

F 02 = - Q * r 2 ,
o que permite interpretar a constante Q * como sendo a carga do buraco negro.

Como vimos, afirmar que um espaço-tempo é assintoticamente plano equivale a dizer que ele é originado por uma fonte isolada. Dessa forma, pelo que foi visto até o momento, a proposição 13.1.2 pode ser enunciada como: buracos negros isolados estão unicamente determinados por suas massas, cargas e momentos angulares.

Os buracos negros apresentam características especiais e dão margem à imaginação humana. Algumas das possibilidades que um espaço-tempo produzido por um buraco negro pode oferecer são:

• o buraco negro pode permitir a passagem a um outro universo assintoticamente plano, distinto do original;

• um viajante que, sob certas condições, atravesse o horizonte de Cauchy (superfície r -) não tem sua vida futura guiada pelo seu passado;

• ao encontrar a singularidade essencial, o viajante "sai" do universo;

• em certos buracos negros, é possível desviar da singularidade e retornar ao universo;

• em alguns casos, está prevista a existência de singularidades nuas, de modo que elas podem ser atingidas e visualizadas por serem desprovidas de horizonte de eventos.

Uma característica interessante apresentada pelo buraco negro de Como muito do que as soluções encontradas prevêem está fora da realidade física, sua importância reside principalmente na análise da estrutura matemática da teoria.

Ao lado disso, é possível que existam buracos negros na natureza provenientes do colapso de massas estelares. A vida de uma estrela é guiada pela luta entre os efeitos gravitacionais e as pressões internas. Originalmente, tais pressões surgem da queima de combustível nuclear; com o término do combustível, a pressão contrária à gravitação surge da repulsão entre elétrons (se essa pressão equilibra o efeito gravitacional, forma-se uma anã branca). Se o processo de colapso continuar, prótons e elétrons se combinam resultando numa estrela de nêutrons, a qual é formada quase que inteiramente por nêutrons. Como um fluido de nêutrons é o que existe de mais denso na natureza, acredita-se que se a massa da estrela original for suficientemente alta (superior a dez massas solares), o colapso continuará, dando origem a um buraco negro.

Dessa forma, a solução de Schwarzschild (estática e esfericamente simétrica) descreve o colapso de estrelas sem rotação enquanto que a solução de Kerr (estacionária, axissimétrica e invariante por inversões simultâneas das coordenadas t e ϕ) corresponde ao colapso de estrelas com rotação. Além disso, como tais soluções são válidas apenas no vácuo (T ij = 0, pois Q * = 0) espera-se que elas sejam úteis na descrição do espaço exterior a uma estrela. Em princípio, as métricas de Kerr-Newman e Reissner-Nordström não descrevem sistemas físicos possíveis na Natureza na medida em que não se concebe a existência de um corpo macroscópico que possua carga resultante não-nula.

Capítulo 14

Newman-Penrose relatividade geral a partir de seu espaço de twistors é aconselhado a ler as obras [START_REF] Penrose | Spinors and Space-time[END_REF] e [START_REF] Penrose | Twistor Theory: an approach to the quantisation of fields and space-time[END_REF].

Espinores

Um cone de luz consiste no conjunto dos vetores nulos (ou de tipo-luz) através de um ponto do espaço de Minkowski. A noção de espinor surge da observação de que o cone de luz em torno da origem do espaço de Minkowski admite parametrização complexa, isto é, um ponto no cone de luz pode ser representado tanto por uma matriz com quatro entradas reais como por uma matriz com duas entradas complexas.

Conceito

Os espinores de ordem 1, ξ A e ξA ′ , são vetores complexos em espaços bidimensionais, (A, A ′ = 0, 1), sujeitos às transformações

ξ A * = α A B ξ B e ξA ′ * = ᾱA ′ B ′ ξB ′ , (14.1) 
onde (α A B ) e ( ᾱA ′ B ′ ) são matrizes conjugadas complexas unimodulares (determinante real unitário), denominadas matrizes-spin.

Cada espinor de ordem 1 representa um ponto do cone de luz no espaço de Minkowski. De fato, seja ξ A ,(A = 0, 1), um espinor de ordem 1 e considere o ponto x i ,(i = 0, 1, 2, 3) no espaço de Minkowski, dado por

x 0 = + 1 √ 2 (ξ 0 ξ0 ′ + ξ 1 ξ1 ′ ), x 1 = + 1 √ 2 (ξ 0 ξ1 ′ + ξ 1 ξ0 ′ ), x 2 = - i √ 2 (ξ 0 ξ1 ′ -ξ 1 ξ0 ′ ), x 3 = + 1 √ 2 (ξ 0 ξ0 ′ -ξ 1 ξ1 ′ ),
ou, inversamente,

ξ 0 ξ0 ′ = 1 √ 2 (x 0 + x 3 ), ξ 0 ξ1 ′ = 1 √ 2 (x 1 + ix 2 ), ξ 1 ξ0 ′ = 1 √ 2 (x 1 -ix 2 ), ξ 1 ξ1 ′ = 1 √ 2 (x 0 -x 3 ).
Por essas equações, resulta

(x 0 ) 2 -(x 1 ) 2 -(x 2 ) 2 -(x 3 ) 2 = 2(ξ 0 ξ0 ′ ξ 1 ξ1 ′ -ξ 0 ξ1 ′ ξ 1 ξ0 ′ ) = 0.
Além disso, definindo-se x i * em termos de ξ A * e ξA ′ * à semelhança de (14.1), pode-se mostrar ( [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp.532-533) que as matrizes-spin constituem-se em condição necessária e suficiente para que a transformação

x i * = β i j x j seja lorentziana.
É importante observar que existem duas classes de espinores (com e sem linha) conforme as transformações às quais elas estão sujeitas. Isso se deve ao fato de que existem dois conjuntos de vetores-spin, S A e S A ′ , interligados pela relação de conjugação,

ξ A = (ξ 0 , ξ 1 ) ∈ S A → ξA ′ = ( ξ0 ′ , ξ1 ′ ) ∈ S A ′ , (14.2) 
de maneira que as componentes de ξA ′ são as conjugadas complexas das componentes de ξ A .

Consideremos agora κ = (κ 0 , κ 1 ), ω = (ω 0 , ω 1 ) ∈ S A e as operações:

(i) adição: S A × S A -→ S A , dada por κ + ω = (κ 0 , κ 1 ) + (ω 0 , ω 1 ) = (κ 0 + ω 0 , κ 1 + ω 1 );

(ii) multiplicação escalar: C × S A -→ S A , dada por λκ = λ(κ 0 , κ 1 ) = (λκ 0 , λκ 1 );

(iii) produto interno: S A × S A -→ C, dado por {κ, ω} = {(κ 0 , κ 1 ), (ω 0 , ω 1 )} = κ 0 ω 1κ 1 ω 0 .

Pode-se verificar facilmente que tais operações permanecem invariantes por transformações de spin e, sendo assim, o conjunto dos vetores-spin, S A , forma um espaço linear bidimensional sobre o corpo dos complexos e admite um produto interno antissimétrico ǫ AB , definido por

ǫ AB =   0 1 -1 0   . (14.3) 
Observação. Analogamente, pode-se demonstrar um resultado similar para o conjunto S A ′ dos vetores-spin definidos por (14.2).

Da mesma forma que no caso tensorial, podemos construir a álgebra espinorial gerada pelos espaços lineares S A e S A ′ , através de classes de equivalência de somas formais de produtos formais (para maiores detalhes, ver o capítulo 2 de [START_REF] Penrose | Spinors and Space-time[END_REF]). Assim, definimos espinores de ordem superior como, por exemplo,

X AB ∈ S A ⊗ S A ′ , X AB ′ ∈ S A ⊗ S A ′ , X AB ′ C ∈ S A ⊗ S A ′ ⊗ S A ,
onde S A denota o dual de S A .

A necessidade de se construir a álgebra espinorial a partir dos espaços S A e S A ′ , e não apenas S A , reside no fato de que, desse modo, a álgebra tensorial pode ser vista como estando incluída na álgebra espinorial, da mesma forma com que o corpo dos números reais está incluído no corpo dos complexos. Assim, um tensor real (ou simplesmente tensor ) corresponde ao espinor que é invariante pela operação de conjugação (14.2), ou seja, corresponde aos elementos da álgebra espinorial gerados por S A ⊗ S A ′ que são hermitianos. Os espinores, em geral, gerados por S A ⊗ S A ′ são denominados tensores complexos.

Sabemos que o conceito de espinor está associado à noção de vetor nulo. No entanto, a construção de uma álgebra linear não-comutativa graduada gerada, em cada ponto de uma variedade, por seus espaços tangente e cotangente, é possível e é única (demonstração no capítulo 4 de [START_REF] Kostrikin | Linear Algebra and Geometry[END_REF]). Além disso, os vetores nulos geram o espaço de Minkowski. Dessas considerações, concluímos que a álgebra tensorial induzida pela álgebra espinorial está bem definida.

Pelo que foi visto, um vetor tangente pode ser expresso através de uma base tensorial ou espinorial. A correspondência entre essas bases é feita pelos símbolos de Infeld-van der Waerden. Sejam {ξ A : A = 0, 1}, {ξ A : A = 0, 1} uma base espinorial, e sua dual, e sejam {e i : i = 0, 1, 2, 3}, {e i : i = 0, 1, 2, 3} uma base tensorial, e sua dual. Os símbolos de Infeld-van der Waerden são definidos por1 

σ AB ′ i = e i (ξ A ξ B ′ ), σ i AB ′ = (ξ A ξ B ′ )e i .
(14.4)

Com a definição acima, podemos representar as componentes do vetor K em termos das componentes do mesmo vetor numa base espinorial, e vice-versa, isto é,

K i = σ i AB ′ K AB ′ e K AB ′ = σ AB ′ i K i . (14.5) 
Das equações (14.5) segue que as matrizes-σ devem ser hermitianas quando o vetor K for real. A equação (14.5) pode ser generalizada para tensores de ordem superior de forma natural; por exemplo, as componentes do tensor métrico são dadas por

g ij = σ AB ′ i σ CD ′ j ξ AC ξ B ′ D ′ . (14.6)

Tétrades

Uma tétrade consiste numa base ortonormal de vetores tangentes definida em cada ponto de um espaço-tempo. Assim, dado qualquer tensor, basta projetá-lo no referencial tétrade a fim de encontrar suas componentes tétrades. Baseado nesse processo, é possível construir uma métrica (plana) e estabelecer diferenciação no formalismo tétrade. As demonstrações dos resultados dessa seção e da próxima, essencialmente baseadas no processo descrito acima, podem ser encontradas no capítulo 1 da referência [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF].

A derivada direcional de um vetor A, com componentes tétrades A (a) , na direção 

+γ (b)(a)(f ) [γ (f ) (c) (d) -γ (f ) (d) (c) ] + γ (f )(a)(c) γ (f ) (b) (d) -γ (f )(a)(d) γ (f ) (b) (c) , (14.12 
)

(iii) a identidade de Bianchi 2 R (a)(b)[(c)(d)|(f )] = 1 6 [(c)(d)(f )] {R (a)(b)(c)(d),(f ) -η (n)(m) [γ (n)(a)(f ) R (m)(b)(c)(d) +γ (n)(b)(f ) R (a)(m)(c)(d) + γ (n)(c)(f ) R (a)(b)(m)(d) + γ (n)(d)(f ) R (a)(b)(c)(m) ]}. (14.13) 
Tais equações substituirão as equações de Einstein nos desenvolvimentos futuros quando analisaremos as perturbações das soluções representativas de buracos negros.

Newman-Penrose

A base de Newman-Penrose (l, n, m, m) consiste em uma base tétrade formada por vetores de tipo-luz, sendo dois reais (l, n) e dois conjugados-complexos (m, m), de forma que a métrica plana é dada por Os vários coeficientes de rotação de Ricci, agora denominados coeficientes de spin, são representados pelos símbolos: Em particular, os espinores da base díade receberão símbolos especiais,

η (a)(b) = η (a)(b) =         0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0         . ( 14 
κ = γ 311 λ = γ 244 ρ = γ 314 τ = γ 312 ε = 1 2 (γ 211 + γ 341 ) α = 1 2 (γ 214 + γ 344 ) σ = γ 313 ν = γ 242 µ = γ 243 π = γ 241 γ = 1 2 (γ 212 + γ 342 ) β = 1 2 (γ 213 + γ 343 ) ( 14 
ζ A (0) = o A e ζ A (1) = ı A ,
e a condição de normalização será expressa por

ǫ AB o A ı B = o 0 ı 1 -o 1 ı 0 = o B ı B = -o A ı A = 1.
Utilizando-se dos símbolos de Infeld-van der Waerden (14.4), os espinores da base díade determinam uma base de Newman-Penrose através da correspondência

σ 0 AB ′ =   1 0 0 0   = σ AB ′ 0 , σ 1 AB ′ =   0 0 0 1   = σ AB ′ 1 , σ 2 AB ′ =   0 1 0 0   = σ AB ′ 2 , σ 3 AB ′ =   0 0 1 0   = σ AB ′ 3 .
Os elementos da base de Newman-Penrose podem ser escritos em termos da base

díade como l = o A ōB ′ , m = o A īB ′ , m = ı A ōB ′ n = ı A īB ′ .
(14.17)

Os espinores da base díade também determinam uma tétrade no espaço de Minkowski através da correspondência

σ AB ′ 0 = 1 √ 2   1 0 0 1   = σ 0 AB ′ , σ AB ′ 1 = 1 √ 2   0 1 1 0   = σ 1 AB ′ , σ AB ′ 2 = 1 √ 2   0 i -i 0   = -σ 2 AB ′ , σ AB ′ 3 = 1 √ 2   1 0 0 -1   = σ 3 AB ′ .
Pode-se demonstrar (veja o capítulo 10 de [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]) que os coeficientes de spin, resultantes da derivação intrínseca de espinores, concordam com a definição (14.16) obtida em termos da base tétrade. Mais ainda, eles são simétricos no primeiro par de índices de modo que existem apenas 12 coeficientes independentes ( [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], p.541).

São eles: pp. [42][START_REF] Kelley | General Topology[END_REF].

Γ (a)(b)(c)(d ′ ) ( 
No formalismo de Newman-Penrose, as dez componentes independentes do tensor de Weyl são representadas pelos cinco escalares complexos,

Ψ 0 = -C 1313 = -C pqrs l p m q l r m s , Ψ 1 = -C 1213 = -C pqrs l p n q l r m s , Ψ 2 = -C 1342 = -C pqrs l p m q mr n s , Ψ 3 = -C 1242 = -C pqrs l p n q mr n s , Ψ 4 = -C 2424 = -C pqrs n p mq n r ms , (14.19) 
denominados escalares de Weyl. As dez componentes independentes do tensor de Ricci são representadas pelos quatro escalares reais e pelos três complexos:

Φ 00 = - 1 2 R 11 , Φ 22 = - 1 2 R 22 , Φ 02 = - 1 2 R 33 , Φ 20 = - 1 2 R 44 ; Φ 11 = - 1 4 (R 12 + R 34 ), Φ 01 = - 1 2 R 13 , Φ 12 = - 1 2 R 23 , Λ = 1 24 = 1 12 (R 12 -R 34 ), Φ 10 = - 1 2 R 14 , Φ 21 = - 1 2 R 24 . (14.20) 
As quantidades acima são denominadas escalares de Ricci.

Projetando as equações de Maxwell, 

F [ij;k] = 0 e g ik
φ 0 = F 13 = F ij l i m j φ 1 = 1 2 (F 12 + F 43 ) = 1 2 F ij (l i n j + mi m j ) φ 2 = F 42 = F ij mi n j (14.23)
denominados escalares de Maxwell.

Adaptabilidade

Como veremos nessa seção, o formalismo de Newman-Penrose se adapta perfeitamente à descrição das soluções de buracos negros. Nos próximos capítulos, veremos que essa adaptabilidade vai além da simplificação nas expressões dos campos, sendo de importância central no desacoplamento das equações da teoria de perturbação dessas soluções. Essa seção foi escrita com base no texto [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF].

Uma congruência de tipo-luz consiste numa família de curvas integrais de um vetor l de tipo-luz. Quando as curvas são geodésicas de tipo-luz, diz-se que a congruência é geodésica (ou de raios). Os vetores l da base de Newman-Penrose formam uma congruência de geodésicas de tipo-luz se, e somente se, κ = 0. Além disso, as geodésicas estarão parametrizadas por parâmetros afins se, e somente se, Re(ε) = 0.

Para a demonstração desses resultados, sugerimos ao leitor a referência [START_REF] Dadam | Oscilações de Buracos Negros[END_REF].

A fim de se encontrar congruências de raios nos espaços-tempo que descrevem buracos negros é necessário determinar-se a forma explícita das geodésicas. Sabemos da referência [START_REF] Misner | Gravitation[END_REF], pp. 641-649, que o movimento geodésico em um espaço-tempo com tensor métrico g ij é descrito pela equação de Hamilton-Jacobi

2 ∂S ∂τ = g ij ∂S ∂x i ∂S ∂x j , (14.24) 
onde S denota a função principal de Hamilton.

Substituindo as componentes da métrica de Kerr-Newman (13.25) na equação de Hamilton-Jacobi (14.24), resulta

2 ∂S ∂τ = 1 ρ 2 ∆ [(r 2 +a 2 ) ∂S ∂t +a ∂S ∂ϕ ] 2 - 1 ρ 2 sin 2 θ [(a sin 2 θ) ∂S ∂t + ∂S ∂ϕ ] 2 - ∆ ρ 2 ( ∂S ∂r ) 2 - 1 ρ 2 ( ∂S ∂θ ) 2 .
(14.25)

Vamos supor que a equação acima admite solução da forma

S = 1 2 δ 1 τ -Et + L z ϕ + S r (r) + S θ (θ). (14.26) 
Inserindo (14.26) e utilizando-se a identidade

(aE sin 2 θ -L z ) 2 csc 2 θ = (L 2 z csc 2 θ -a 2 E 2 ) cos 2 θ + (L z -aE) 2 ,
a equação (14.25) pode ser escrita na forma

{∆( dS r dr ) 2 - 1 ∆ [(r 2 + a 2 )E -aL z ] 2 + (L z -aE) 2 + δ 1 r 2 }+ +{( dS θ dθ ) 2 + (L 2 z csc 2 θ -a 2 E 2 ) cos 2 θ + δ 1 a 2 cos 2 θ} = 0.
(14.27)

A equação acima pode ser separada no par

∆( dS r dr ) 2 = 1 ∆ [(r 2 + a 2 )E -aL z ] 2 -[L + (L z -aE) 2 + δ 1 r 2 ], ( dS θ dθ ) 2 = L -(L 2 z csc 2 θ -a 2 E 2 + δ 1 a 2 ) cos 2 θ, (14.28) 
onde L é uma constante de separação. A solução desse sistema é dada por

S = 1 2 δ 1 τ -Et + L z ϕ + r R(r) ∆ dr + θ dθ Θ(θ), (14.29) 
onde R e Θ são dadas pelas equações

R = E 2 r 4 + (a 2 E 2 -L z 2 -L)r 2 + 2Mr[L + (L z -aE) 2 ] -a 2 L -δ 1 r 2 ∆ (14.30) e Θ = L + (a 2 E 2 -L z 2 csc 2 θ) cos 2 θ -δ 1 a 2 cos 2 θ. (14.31) 
Derivando a solução S em (14.29) com respeito às quantidades conservadas, L, δ 1 , E e L z , concluímos que a equação de Hamilton-Jacobi aplicada à métrica de Kerr-Newman (e casos particulares desta) é separável e apresenta solução dada por

ρ 4 ṙ2 = R, (14.32) 
ρ 4 θ2 = Θ, (14.33)

ρ 2 φ = 1 ∆ [2aMrE + (ρ 2 -2Mr)L z csc 2 θ], (14.34 
) Além disso, κ = 0 implica que os raios da congruência são geodésicas.

ρ 2 ṫ = 1 ∆ (Σ 2 E -2aMrL z ). ( 14 
Dentre as congruências do vetor l, aquelas responsáveis por uma maior simplificação das quantidades e equações fundamentais são as congruências geodésicas sem distorção, para as quais κ = σ = 0(esse resultado decorre do teorema de Goldberg-Sachs; [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp. [START_REF] Marion | Classical Dynamics of Particles and Systems[END_REF][START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF]. O principal problema do formalismo de Newman-Penrose está em se encontrar uma base para a qual as congruências de l sejam geodésicas sem distorção. Felizmente, essa base pôde ser encontrada no caso das soluções de buracos negros. Para o espaço-tempo de Kerr-Newman, uma análise da solução (14.32)-(14.35) da equação de Hamilton-Jacobi revela que as órbitas definidas por Não é difícil constatar que κ = σ = 0 de modo que a base (14.37) define uma congruência geodésica sem distorção para o vetor l = ( r 2 +a 2 ∆ , ∆, 0, a ∆ ). Os coeficientes de spin e os escalares de Weyl e Maxwell para esse espaço-tempo, em termos dessa base, são dados por

dt dτ = r 2 + a 2 ∆ E, dr dτ = ±E, dθ dτ = 0, dϕ dτ = a ∆ E, (14.36 
κ = σ = λ = ν = ε = 0, (14.39) 
ρ = - 1 ρ * , β = cot θ ρ2 √ 2 , π = iasin θ ρ * 2 √ 2 , τ = - iasin θ ρ 2 √ 2 , (14.40) 
µ = - ∆ 2ρ 2 ρ * , γ = µ + r -M 2ρ 2 , α = π -β * ;
(14.41)

Ψ 0 = Ψ 1 = Ψ 3 = Ψ 4 = 0, (14.42) 
Ψ 2 = - M (ρ * ) 3 + Q 2 * ρ(ρ * ) 3 ;
(14.43)

φ 0 = φ 2 = 0, (14.44) 
φ 1 = -i Q * 2(ρ * ) 2 . ( 14.45) 
O resultado acima revela a adaptabilidade dos buracos negros ao formalismo de Newman-Penrose, não apenas pela descrição unificada das soluções, mas principalmente pela simplificação algébrica

(κ = σ = λ = ν = ε = Ψ 0 = Ψ 1 = Ψ 3 = Ψ 4 = 0)
proporcionada nesses casos. Tal simplificação deve-se ao fato de que os espaçostempo característicos de buracos negros permitem uma simplificação do tensor de Weyl, mediante transformações da base de Newman-Penrose, que tornam as congruências formadas pelos vetores l e n geodésicas sem distorção (para uma análise detalhada, veja [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp.62-63).

Cones de Luz

A noção de campos de tétrades, compondo bases ortonormais sujeitas ao grupo de transformações de Lorentz corresponde à construção de referenciais inerciais ao Estudar as perturbações em buracos negros consiste em se descrever a propagação de ondas de diferentes tipos pelo espaço-tempo e como elas são espalhadas e absorvidas. A necessidade de tal estudo surgiu no contexto da estabilidade de buracos negros, isto é, a configuração de colapso deve ser estável a qualquer tipo de perturbação externa a fim de que tais objetos possam se manter na natureza (e serem detectados). Em outras palavras, um buraco negro será estável se toda perturbação inicial com suporte compacto permanecer limitada durante sua evolução ( [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp.199-200).

Inicialmente as equações dos campos de partículas sem massa -fótons e grávitons -serão expressas de forma apropriada à solução de Kerr e então reduzidas e separadas nas chamadas equações de Teukolsky. A partir de uma forma padrão das equações de Teukolsky, serão determinadas condições necessárias e suficientes para transformála numa equação de onda. Em cada caso (fótons e grávitons), serão obtidas as barreiras de potencial e as soluções, denominadas modos normais, das respectivas equações de onda. Finalmente, será feita uma análise dos coeficientes de reflexão e transmissão das ondas incidentes nos buracos negros a fim de se entender como elas são espalhadas e absorvidas.

Para a escrita desse capítulo, nos guiamos essencialmente pelo texto [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF].

Equações de Teukolsky

Como a métrica de Kerr é estacionária e axissimétrica, é natural analisar uma perturbação geral desse espaço-tempo como uma superposição de ondas com diferentes frequências ω e períodos m em ϕ. Uma perturbação consiste numa superposição de diferentes modos com uma dependência nas variáveis t e ϕ, dada por

e i(ωt+mϕ) , (15.1) 
onde ω é um real positivo e m, um inteiro positivo, negativo ou zero (no buraco negro de Schwarzschild, m = 0 devido à simetria esférica).

No que segue, o fator comum (15.1), presente nas quantidades que descrevem a perturbação, será omitido de forma que tais grandezas estarão representadas por suas amplitudes. Em princípio, não há motivo para se esperar que a dependência das amplitudes nas variáveis restantes, r e θ, seja passível de separação. É um resultado surpreendente [86] que essa separação seja possível quando as equações dos campos de onda são escritas no formalismo de Newman-Penrose com a base de vetores (14.37).

Seja (l, n, m, m) essa base. Quando tais vetores atuam sobre funções com a dependência em t e ϕ especificada em (15.1), resulta

l = D = D 0 , n = ∆ = - ∆ 2ρ 2 D † 0 , m = δ = 1 ρ√ 2 L † 0 , m = δ * = 1 ρ * √ 2 L 0 , (15.2) 
onde Estabelecida a formulação matemática do problema, o objetivo agora consiste em expressar as equações das partículas sem massa -fótons e grávitons -no formalismo de Newman-Penrose, reduzi-las e separá-las a fim de se obter as equações de

D n = ∂ r + iK ∆ + 2n r -M ∆ , D † n = ∂ r - iK ∆ + 2n r -M ∆ , L n = ∂ θ + Q + ncot θ, L † n = ∂ θ -Q + ncot θ, (15.3) 
Teukolsky. Esse procedimento será feito caso a caso.

Fótons

Não é difícil deduzir que as equações de Maxwell no formalismo de Newman-Penrose são dadas por

Dφ 1 -δ * φ 0 = (π -2α)φ 0 + 2ρφ 1 -κφ 2 , (15.6) 
Dφ 2 -δ * φ 1 = -λφ 0 + 2πφ 1 + (ρ -2ε)φ 2 , (15.7 
)

δφ 1 -∆φ 0 = (µ -2γ)φ 0 + 2τ φ 1 -σφ 2 , (15.8 
)

δφ 2 -∆φ 1 = -νφ 0 + 2µφ 1 + (τ -2β)φ 2 , (15.9) 
onde φ 0 , φ 1 , φ 2 são os escalares de Maxwell, λ, π, ρ, ε, µ, γ, τ , σ, ν, β são os coeficientes de spin e D, ∆, δ, δ * representam os operadores derivada direcional (15.2) da base de Newman-Penrose.

Proposição 15.1.1. A propagação de fótons no espaço-tempo do buraco negro de Kerr é governada pelas equações

(∆D 0 D † 0 -2iωr)(∆R +1 ) = Q(∆R +1 ), (15.10) 
(∆D † 0 D 0 + 2iωr)R -1 = QR -1 , (15.11) 
(L † 0 L 1 + 2aωcos θ)S +1 = -QS +1 , (15.12 
)

(L 0 L † 1 -2aωcos θ)S -1 = -QS -1 , (15.13) 
com

φ 0 = R +1 (r)S +1 (θ) (15.14) e φ 2 = 1 2(ρ * ) 2 R -1 (r)S -1 (θ), (15.15) 
onde Q é uma constante de separação, e R ±1 e S ±1 são, respectivamente, funções de r e θ somente.

Demonstração. Substituindo nas equações de Maxwell os coeficientes de spin (14.39)-(14.41), apropriados à métrica de Kerr (Q * = 0), as derivadas direcionais definidas em (15.2), e fazendo as substituições

Φ 0 = φ 0 , Φ 1 = φ 1 ρ * √ 2 e Φ 2 = 2φ 2 (ρ * ) 2 , (15.16) 
com ρ e ρ * definidas em (15.5), obtemos um sistema de quatro equações lineares de 1 a ordem que podem ser reduzidas ao sistema

[(L † 0 + ia sin θ ρ * )(L 1 - ia sin θ ρ * ) + ∆(D 1 + 1 ρ * )(D † 1 - 1 ρ * )]Φ 0 = 0, (15.17) 
[(L 0 + ia sin θ ρ * )(L † 1 - ia sin θ ρ * ) + ∆(D † 0 + 1 ρ * )(D 0 - 1 ρ * )]Φ 2 = 0, (15.18) 
mediante a eliminação de Φ 1 , devido à comutatividade dos operadores (D 0 + 1 ρ * ) e (L † 0 + ia sin θ ρ * ), bem como dos operadores (L 0 + ia sin θ ρ * ) e ∆(D † 0 + 1 ρ * ). A equação (15.17) pode ser simplificada fazendo-se uso das identidades

∆(D 1 + 1 ρ * )(D † 1 - 1 ρ * ) = ∆D 1 D † 1 - 2iK ρ * , (L † 0 + ia sin θ ρ * )(L 1 - ia sin θ ρ * ) = L † 0 L 1 + 2ia sin θ ρ * Q, K -aQ sin θ = ρ 2 ω,
em que K e Q estão definidas por (15.4). Redução semelhante pode ser feita à equação (15.18), de modo que o sistema (15.17)-(15.18) se torna 

[∆D 1 D † 1 + L † 0 L 1 -2iω(r + ia cos θ)]Φ 0 = 0, (15.19) 
[∆D † 0 D 0 + L 0 L † 1 + 2iω(r + ia cos θ)]Φ 2 = 0. ( 15 
Φ 0 = R +1 (r)S +1 (θ) e Φ 2 = R -1 (r)S -1 (θ), (15.21 
(δ * -4α + π)Ψ 0 -(D -2ε -4ρ)Ψ 1 = 3κΨ 2 , (15.22) 
( ∆ -4γ + µ)Ψ 0 -(δ -4τ -2β)Ψ 1 = 3σΨ 2 , (15.23) 
(D -ρ -ρ * -3ε + ε * )σ -(δ -τ + π * -α * -3β)κ = Ψ 0 , (15.24) 
e nada pelas equações

(D + 4ε -ρ)Ψ 4 -(δ * + 4π + 2α)Ψ 3 = -3λΨ 2 , (15.25) 
(δ + 4β -τ )Ψ 4 -( ∆ + 2γ + 4µ)Ψ 3 = -3νΨ 2 , (15.26) 
( ∆ + µ + µ * + 3γ -γ * )λ -(δ * + 3α + β * + π -τ * )ν = -Ψ 4 . ( 15 
(∆D -1 D † 0 -6iωr)(∆ 2 R +2 ) = Q(∆ 2 R +2 ), (15.28) 
(∆D † -1 D 0 + 6iωr)R -2 = QR -2 , (15.29) 
(L † -1 L 2 + 6aωcos θ)S +2 = -QS +2 , (15.30) 
(L -1 L † 2 -6aωcos θ)S -2 = -QS -2 , (15.31) 
com

Ψ 0 = R +2 (r)S +2 (θ) (15.32) e Ψ 4 = 1 (ρ * ) 4 R -2 (r)S -2 (θ), (15.33) 
onde Q é uma constante de separação, e R ±2 e S ±2 são, respectivamente, funções de r e θ somente.

Demonstração. A demonstração é análoga ao processo descrito na obtenção das equações (15.10)-(15.13). Para o caso dos grávitons, devem ser feitas as substituições

Φ 0 = Ψ 0 , Φ 1 = Ψ 1 ρ * √ 2, k = κ (ρ * ) 2 √ 2 e s = σ ρ (ρ * ) 2 , (15.34) 
Φ 4 = Ψ 4 (ρ * ) 4 , Φ 3 = Ψ 3 (ρ * ) 3 √ 2 , l = λρ * 2 e n = ν ρ2 √ 2 , (15.35) 
e usar as identidades

Q ,θ + Q cot θ = 2aω cos θ, K -aQ sin θ = ρ 2 ω,
a fim de reduzir o sistema (15.22)-(15.27) a um sistema de duas equações lineares de 2 a ordem em Φ 0 e Φ 4 , cujas variáveis podem ser separadas mediante as substituições

Φ 0 = R +2 (r)S +2 (θ) e Φ 4 = R -2 (r)S -2 (θ).
As equações da proposição acima são também denominadas equações de Teukolsky.

Equações Gerais de Teukolsky 

{L 1-s L † s -2(2s -1)aω cos θ}S -s = -QS -s , (15.39) 
onde P +s = ∆ s R +s e P -s = R -s .

A interpretação física das perturbações de buracos negros consiste na análise das equações de Teukolsky para a parte radial, cuja resolução completa está condicionada à determinação da constante de separação, obtida através da normalização e solução da parte angular.

Perturbações

A análise matemática das perturbações do buraco negro de Kerr será feita em três passos: primeiramente, as equações gerais de Teukolsky que governam a parte radial da perturbação serão transformadas em uma equação de onda unidimensional com potenciais a determinar; após isso, soluções explícitas para os potenciais em cada caso (spins 1 e 2) serão encontradas; finalmente, o comportamento das ondas refletidas e transmitidas pelo buraco negro no horizonte será estudado.

Teoria da Transformação

A coordenada tartaruga r * é obtida da coordenada radial r por

d dr * = ∆ ̟ 2 d dr , (15.40) 
onde ∆ é a função de horizonte e ̟2 = r 2 + α 2 , com α 2 = a 2 + ( am ω ). Integrando a equação (15.40), obtemos 

r * = r + 2Mr + + ( am ω ) r + -r - ln( r r + -1) - 2Mr -+ ( am ω ) r + -r - ln( r r - - 1 
Y = |̟ 2 | -s+ 1 2 P +s , Λ 2 = Λ + Λ -= Λ -Λ + e Λ ± = d dr * ±iω, (15.43) 
na variável dependente, podemos colocar a equação geral de Teukolsky para P +s na forma

Λ 2 Y + P Λ -Y -QY = 0, (15.44) 
onde Uma vez que a equação geral de Teukolsky (para P +s ) foi posta na forma padrão (15.44), o próximo passo é reduzi-la a uma equação de onda unidimensional

P = 2s ̟ 4 [2r∆ -̟ 2 (r -M)] (15.45) e Q = ∆ ̟ 4 {Q -(2s -1)[ ∆ -2(s -1)r(r -M) ̟ 2 + (2s -3) r 2 ∆ ̟ 4 ]}. ( 15 
Λ 2 Z = V Z. (15.47) 
Em [START_REF] Dadam | Oscilações de Buracos Negros[END_REF], demonstra-se que uma condição necessária e suficiente para que isso seja possível consiste na existência de funções ℓ, β, R, T e V que satisfaçam o sistema Considere duas soluções independentes dessa equação, Z 1 e Z 2 . Não é difícil de ver que seu wronskiano (-ω) , respectivamente, assim como as funções Z (+ω) e Z (-ω) , que satisfazem as equações de onda unidimensionais associadas.

Y = ℓV Z + T Λ + Z, (15.48) 
Λ -Y = - ∆ s ̟ 4s βZ + RΛ + Z, (15.49) 
∆ s ̟ 4s KZ = RY -T Λ -Y, (15.50) 
KΛ + Z = βY + ̟ 4s ∆ s ℓV Λ -Y (15.51) ou, equivalentemente, R -ℓV = dT dr * , (15.52) 
d dr * ( ̟ 4s ∆ s R) = ̟ 4s ∆ s (QT -2iωR) + β, (15.53) 
R(R - dT dr * ) + ∆ s ̟ 4s βT = ∆ s ̟ 4s K, (15.54) 
(R -Qℓ)V = ∆ s ̟ 4s dβ dr * . ( 15 
[Z 1 , Z 2 ] r * = Z 1 Λ -Z 2 -Z 2 Λ -Z 1 (15.56) satisfaz a identidade K[Z 1 , Z 2 ] r * = -∆ 1-s ̟ 4s-2 |̟ 2 | 2s-

Potenciais

É um fato surpreendente que as condições (15.48)-(15.51) sejam satisfeitas para as partículas de spins 1 e 2, de modo que as respectivas equações de Teukolsky possam ser transformadas em equações de onda com funções potenciais explicitamente determinadas.

Para o caso dos fótons (s = 1), tais condições são satisfeitas para as funções

T = 2iω, R = ∓2ωα ∆ ̟ 4 , K = 4ω 2 (Q ± 2ωα), β = -2iω(Q -α 2 ∆ ̟ 4 ± 2ωα), (15.59) 
resultando na equação de onda

Λ 2 Z (±ω) = V Z (±ω) , (Λ 2 = d 2 dr 2 * + ω 2 ), (15.60) 
com potencial V dado por

V = ∆ ̟ 4 [Q -α 2 ∆ ̟ 4 ∓iα̟ 2 d dr * ( ∆ ̟ 4 )], (̟ 2 = r 2 + α 2 ). (15.61) 
É importante salientar que o potencial V produz duas soluções distintas de acordo com a escolha do sinal em sua fórmula. Além disso, ambos os potenciais apresentam características comuns:

(i) tornam-se complexos para ω > ω c (= -m a );

(ii) decaem exponencialmente em r * , quando se aproximam do horizonte r→r + + 0;

(iii) comportam-se como r -2 , quando r→ + ∞;

(iv) quando ω < ω s , são singulares em r = |α|.

No caso dos grávitons (s = 2), as condições (15.48)-(15.51) são satisfeitas com a escolha de funções

T = ( F ,r * -κ 2 F -β 2 ) + 2iω, β = [κ 2 -β 2 ( F ,r * -κ 2 F -β 2 )] + 2iωβ 2 , K = [Q(Q + 2) -4ω 2 β 2 ] + 2iωκ 2 , R = ∆ 2 ̟ 8 (F + β 2 ), (15.62) 
que nos fornece a equação de onda

Λ 2 Z (±ω) = V Z (±ω) , (Λ 2 = d 2 dr 2 * + ω 2 ), (15.63) 
cujo potencial é dado por

V = - ∆ 2 ̟ 8 β 2 + Q(Q + 2) F + β 2 - (F ′ -κ 2 )(κ 2 F -β 2 F ′ ) (F -β 2 )(F 2 -β 2 ) , (̟ 2 = r 2 + α 2 ), (15.64) 
em que (i) tornam-se complexos, dependendo do sinal sob a raiz quadrada na definição de κ 2 ;

F = 1 ∆ [Q̟ 4 + 3̟ 2 (r 2 -a 2 ) -3r 2 ∆], F ′ = dF dr * , (15.65) 
β 2 = ±3α 2 , (15.66) 
κ 2 = ±{36M 2 -2Q[α 2 (5Q + 6) -12a 2 ] + 2β 2 Q(Q + 2)} 1 
(ii) decaem exponencialmente em r * , quando se aproximam do horizonte r→r + + 0;

(iii) comportam-se como r -2 , quando r→ + ∞;

(iv) quando ω < ω s , são singulares em r = |α|.

Teoria de Espalhamento

De acordo com os resultados da seção anterior, todos os potenciais encontrados comportam-se como r -2 quando r→r * → + ∞ e decaem exponencialmente à medida que se aproximam do horizonte em r * → -∞. No caso real, tal comportamento caracteriza uma barreira de potencial.

Analisar o comportamento das ondas incidentes sobre uma barreira de potencial unidimensional consiste em um problema de autovalor e autovetor para o operador definido pela equação de onda (15.47), que pode ser reescrita como As amplitudes, A 1 , A 2 , A 3 , B 1 , B 2 e B 3 , são constantes de integração as quais podem ser determinadas a partir da condição de continuidade 3 da função de onda Z(r * ) e de sua derivada na fronteira de [-a, 0], ou seja, O processo aqui descrito pode ser generalizado para os potenciais complexos V j da seção anterior para os quais a reflexão e transmissão das ondas incidentes no buraco negro ocorre no infinito (r * → +∞) e no horizonte de eventos (r * → -∞).

( d 2 dr 2 * -V )Z = (-ω 2 )Z (15.68) ou, equivalentemente, d 2 Z dr 2 * + k 2 Z = 0, (15.69 
Z(-a -0) = Z(-a + 0), Z(0 -0) = Z(0 + 0), Z ′ (-a -0) = Z ′ (-a + 0), Z ′ (0 -0) = Z ′ (0 + 0). ( 15 
Como os potenciais V j , (j = 1, ..., 2s), são de curto-alcance, isto é, decaem mais rapidamente que r -1 * para r * → ± ∞, o comportamento assintótico das soluções

Z (±ω) para r * → ± ∞ será e ±iωr * , (r * → ± ∞). (15.76) 
Sejam agora Z (±ω) soluções da equação de onda unidimensional

Λ 2 Z (±ω) = V Z (±ω) , 3 
As condições de continuidade impostas à função de onda visam garantir que os autovalores em (15.68) sejam reais ( [START_REF] Prugovecki | Quantum Mechanics in Hilbert Space[END_REF], pp. [START_REF] Kokkotas | Quasi-normal modes of stars and black holes[END_REF][START_REF] Kostrikin | Linear Algebra and Geometry[END_REF].

satisfazendo as condições de fronteira Z (±ω) -→ C (±ω) e ±iωr * + A (±ω) e ∓iωr * (r * → + ∞), -→ B (±ω) e ±iωr * (r * → -∞).

(15.77)

Os coeficientes de reflexão R e transmissão T são definidos por

R = A (+ω) A (-ω) C (+ω) C (-ω) e T = B (+ω) B (-ω) C (+ω) C (-ω) . (15.78) 
Em geral, adota-se C (±ω) = 1.

As condições de fronteira (15.77) correspondem a uma onda incidente de amplitude unitária proveniente de +∞, dando origem a uma onda refletida de amplitude A (±ω) no infinito (+∞) e uma onda transmitida de amplitude B (±ω) no horizonte (-∞). Se o potencial V é real, A (+ω) e B (+ω) são conjugados complexos de A (-ω) e B (-ω) ; dessa forma, (15.78) consiste de fato numa generalização da teoria de espalhamento para o caso dos potenciais complexos, onde Z (+ω) e Z (-ω) 

(= -am 2M r + , m < 0), R -T = 1, (15.80) 
isto é, T < 0.

Demonstração. Conferir [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp. 410-417 e pp. 517-528.

Modos Normais

Nesse capítulo, vimos que as perturbações do buraco negro de Kerr pelos campos de partículas sem massa (fótons e grávitons) são descritas pelas equações de Teukolsky (15.39). Conforme a formulação matemática do problema, uma perturbação genérica propagando-se no espaço-tempo de Kerr corresponde a uma superposição de modos R(r)S(θ)e i(ωt+mϕ) (15.81) em que a parte angular S(θ) satisfaz equações dependentes da geometria do buraco negro e do campo de ondas, enquanto que a parte radial R(r) obedece à equação de onda da forma 

Λ 2 Z = V Z, (Λ 2 = d 2 dr 2 * + ω 2 ), (15.82 
β 2 = 0, κ 2 = ±6M e F = r 3 ∆ (Qr + 6M)
de modo que os quatro potenciais (15.64) degeneram em dois: 

V (+) = +κ 2 d dr * ( 1 F ) + κ 2 2 ( 1 
F ) 2 + Q(Q + 2)( 1 F ) = 2∆ r 5 ( Q 2 + 3M) 2 [ Q 2 (Q + 2) 8 r 3 + 3MQ 2 4 r 2 + 9M 2 Q 2 r + 9M 3 ] (15.85) e V (-) = -κ 2 d dr * ( 1 F ) + κ 2 2 ( 1 F ) 2 + Q(Q + 2)( 1 F ) = ∆ r 5 [(Q + 2)r -6M]. ( 15 
(δ * -4α + π)Ψ 0 -(D -2ε -4ρ)Ψ 1 = - κ (ρ * ) 3 [3(M - Q 2 * ρ ) + Q 2 * ρ * ρ2 ], (16.1) 
( ∆ -4γ + µ)Ψ 0 -(δ -4τ -2β)Ψ 1 = - σ (ρ * ) 3 [3(M - Q 2 * ρ ) -Q 2 * ρ * ρ2 ], (16.2) 
(D -ρ -ρ * -3ε + ε * )σ -(δ -τ + π * -α * -3β)κ = Ψ 0 , (16.3) 
( ∆ -3γ -γ * -2µ + µ * )κ -(δ * -3α + β * -τ * -2π)σ = -2Ψ 1 , (16.4) 
e

(D + 4ε -ρ)Ψ 4 -(δ * + 4π + 2α)Ψ 3 = λ (ρ * ) 3 [3(M - Q 2 * ρ ) -Q 2 * ρ * ρ2 ], (16.5) 
(δ + 4β -τ )Ψ 4 -( ∆ + 2γ + 4µ)Ψ 3 = ν (ρ * ) 3 [3(M - Q 2 * ρ ) + Q 2 * ρ * ρ2 ], (16.6) 
( ∆ + µ + µ * + 3γ -γ * )λ -(δ * + 3α + β * + π -τ * )ν = -Ψ 4 , (16.7) 
(δ + π * + 2τ -α * + 3β)λ -(D + 3ε + ε * + 2ρ -ρ * )ν = -2Ψ 3 , (16.8) 
onde ρ = r + ia cos θ.

Com base nesses valores, podemos mostrar que as perturbações eletromagnéticas e gravitacionais acopladas na geometria de Kerr-Newman são governadas por

(∆D 1 D † 2 + L † -1 L 2 -6iω ρ)Φ 0 = -2Q 2 * (L † -1 k ρ * ρ2 + D 0 s ρ * ρ2 ) (16.9) e (∆D † 2 D 0 + L 2 L † -1 -6iω ρ)Φ 1 = +2Q 2 * (∆D † 2 k ρ * ρ2 -L 2 s ρ * ρ2 ), (16.10) 
onde

Φ 0 = Ψ 0 , Φ 1 = Ψ 1 ρ * √ 2, k = κ (ρ * ) 2 √ 2 e s = σ ρ (ρ * ) 2 ; Φ 3 = Ψ 3 (ρ * ) 3 √ 2 , Φ 4 = Ψ 4 (ρ * ) 4 , l = λρ * 2 e n = ν ρ2 √ 2 . (16.11) 
O próximo passo seria separar as variáveis em funções puramente radiais e angulares, como nas equações de Teukolsky, mas todas as tentativas de realizar esse feito fracassaram. No entanto, uma análise das equações acima para o caso especial do buraco negro de Reissner-Nordström (a = 0) é possível.

Reissner-Nordström

A solução de Reissner-Nordstöm, que consiste num buraco negro estático (a = 0) e carregado, é estudada em detalhes no capítulo 5 da referência [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF].

Tomando a = 0 nas equações que descrevem as perturbações eletromagnéticas e gravitacionais acopladas na geometria de Kerr-Newman obtemos

L 2 Φ 0 -(D 0 + 3 r )Φ 1 = -2k(3M -2 Q 2 * r ), (16.12 
)

∆(D † 2 - 3 r )Φ 0 + L † -1 Φ 1 = +2s(3M -4 Q 2 * r ), (16.13) 
(D 0 + 3 r )s -L † -1 k = Φ 0 r , (16.14) 
∆(D † 2 - 3 r )k + L 2 s = 2 Φ 1 r , (16.15) 
e

L † 2 Φ 4 + ∆(D † -1 + 3 r )Φ 3 = +2n(3M -2 Q 2 * r ), (16.16 
)

(D 0 - 3 r )Φ 4 -L -1 Φ 3 = +2l(3M -4 Q 2 * r ), (16.17) 
(D 0 - 3 r )n -L † 2 l = 2 Φ 3 r , (16.18) 
∆(D † -1 + 3 r )l + L -1 n = Φ 4 r , (16.19) 
onde

Φ 0 = Ψ 0 , Φ 1 = Ψ 1 r √ 2, k = κ r 2 √ 2 e s = σ r ; Φ 3 = Ψ 3 r 3 √ 2 , Φ 4 = Ψ 4 r 4 , l = λr 2 e n = νr 2 √ 2 . (16.20) 
Com as substituições

Φ 0 (r, θ) = R +2 (r)S +2 (θ), Φ 1 (r, θ) = R +1 (r)S +1 (θ), k(r, θ) = k(r)S +1 (θ), s(r, θ) = s(r)S +2 (θ), (16.21) 
as equações (16.12)-(16.15 podem ser transformadas no par

Λ 2 Y +i + P i Λ -Y +i -Q i Y +i = 0 (i = 1, 2), (16.22) 
onde 

P i = d dr * ln( r 8 D i ), D i = ∆ 2 (1 + 2q i µ 2 r ), Q i = µ 2 ∆ r 4 (1 + 2q i µ 2 r )(1 + q j µ 2 r ), Y +i = ∆ 2 r 3 (R +2 + q i k µ ), q 1 = 3M + 9M 2 + 4Q 2 * µ 2 , q 2 = 3M -9M 2 + 4Q
Λ 2 Y -i + P i Λ + Y -i -Q i Y -i = 0 (i = 1, 2), (16.24) 
por meio das substituições 

Φ 4 (r, θ) = R -2 (r)S -2 (θ), Φ 3 (r, θ) = R -1 (r)S -1 (θ), n(r, θ) = n(r)S -1 (θ), l(r, θ) = l(r)S -2 (θ), Y -i = 1 r 3 (R -2 + q i n µ ), X -i = r 3 ∆ 2 (R -1 + q i l µ ), q 1 = 3M + 9M 2 + 4Q 2 * µ 2 , q 2 = 3M -9M 2 + 4Q
Λ 2 Z i = V i Z i , (16.26) 
através da substituição

Y i = ℓ i V i Z i + T i Λ + Z i , (16.27) 
desde que existam funções ℓ i , β i , T i , R i e V i que satisfaçam o sistema

- D i r 8 β i = d dr * (ℓ i V i ) + (T i -2iωℓ i )V i , (16.28) 
R i = ℓ i V i + dT i dr * , (16.29) 
- D i r 8 dβ i dr * = (Q i ℓ i -R i )V i , (16.30) 
d dr * ( r 8 D i R i ) = r 8 D i [Q i (T i -2iωℓ i ) + 2iω(Q i ℓ i -R i )] + β i , (16.31) 
r 8 D i R i ℓ i V i + β i (T i -2iωℓ i ) = K i = constante, (16.32) 
onde D i e Q i estão definidos em (16.23).

Mas o sistema acima é compatível com as soluções

β 2 i = q 2 j K i = µ 2 (µ 2 + 2) + 2iωq 2 j , (i, j = 1, 2; i = j), ℓ i = 1, R i = µ 2 ∆ r 4 (1 + 2q i µ 2 r )(1 + q j µ 2 r ), (16.33) 
e com o potencial expresso por

V i = ±q j d dr * ( 1 F i ) + q 2 j ( 1 F i ) 2 + Q(Q + 2)( 1 F i ) (i, j = 1, 2; i = j), (16.34) 
onde

q 1 = 3M + 9M 2 + 4Q 2 * µ 2 , q 2 = 3M -9M 2 + 4Q 2 * µ 2 , F i = r 3 ∆ (µ 2 r + q j ). (16.35) 
A equação (16.34) é a expressão dos potenciais associados às perturbações eletromagnéticas e gravitacionais acopladas do buraco negro de Reissner-Nordström. Na verdade, a perturbação dos buracos negros esfericamente simétricos (a = 0) pôde ser determinada tanto pela linearização das equações de Einstein como pelo formalismo de Newman-Penrose (as análises completas de ambos os casos podem ser encontradas em [START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]). Para o buraco negro axissimétrico de Kerr (a = 0, Q * = 0), a solução das equações de perturbação só foi possível mediante o uso dos tensores complexos de Newman-Penrose. Como visto no início desse capítulo, quando se considera o caso mais geral (a = 0, Q * = 0), nem mesmo através de tensores complexos é possível encontrarmos solução analítica para o problema, que continua em aberto.

Capítulo 17 Modos Quase-Normais

A teoria da perturbação, apresentada nos capítulos anteriores, pode ser generalizada para englobar frequências complexas ao espectro de radiação dos buracos negros. Esse problema foi inicialmente proposto por Vishweshwara [START_REF] Vishweshwara | Stability of the Schwarzschild metric[END_REF] no contexto da análise da estabilidade dos espaços-tempo gerados por buracos negros. Atualmente, o estudo de certas soluções para frequências complexas, denominadas modos quase-normais, é de grande importância em astrofísica na tentativa de se detectar diretamente a presença de buracos negros no universo. Isso se deve ao fato de que os modos quase-normais são definidos de forma a representar radiação gravitacional que independe do processo de perturbação, ou seja, depende exclusivamente das características que definem a geometria do buraco negro.

Inicialmente o problema dos modos quase-normais (MQN) será formalizado matematicamente. Nas seções seguintes, serão apresentados os principais métodos semi-analíticos utilizados até hoje para a determinação dos MQN, baseados na similaridade de equações da teoria de perturbação com equações da teoria quântica.

Os métodos serão confrontados e as propriedades dos MQN dos buracos negros de Schwarzschild e Kerr serão discutidas. A restrição da análise a essas soluções baseiase no fato de que elas expressam os possíveis buracos negros existentes na natureza; portanto, toda a discussão realizada nesse capítulo diz respeito aos buracos negros de Schwarzschild e Kerr, embora alguns resultados sejam válidos para a solução de Reissner-Nordström.

A principal referência que sugerimos sobre esse assunto é um artigo de revisão escrito por Kokkotas e Schmidt [START_REF] Kokkotas | Quasi-normal modes of stars and black holes[END_REF].

Matemática

Como foi visto nos capítulos anteriores, uma perturbação genérica de um buraco negro (Schwarzschild, Kerr e Reissner-Nordström) tem sua evolução governada pela superposição de modos normais, isto é, soluções Z(r * , ω) da equação de onda (15.82) com frequências ω, reais e positivas. Vishweshwara [START_REF] Vishweshwara | Stability of the Schwarzschild metric[END_REF], após estudar o comportamento do espaço-tempo de Schwarzschild para perturbações com frequências reais, sugeriu que a estabilidade dos buracos negros deveria ser também testada para frequências complexas.

Os modos quase-normais são as soluções Z(r * , ω) das equações de perturbação correspondentes a frequências complexas ω e satisfazendo as condições de fronteira Sejam R(ω) e T(ω) os coeficientes de reflexão e transmissão de uma onda incidente num buraco negro. No caso real, temos

Z -→ A(ω)e -iωr * (r * → + ∞), -→ B(ω)e +iωr * (r * → -∞), (17.1 
R(ω) = |A(ω)| 2 |C(ω)| 2 = ( Γ 2 ) 2 (ω -ω 0 ) 2 + ( Γ 2 ) 2 , (17.2) 
que consiste na resposta apropriada a uma ressonância em um oscilador harmônico amortecido, onde ω 0 corresponde à frequência de ressonância e Γ 2 determina a taxa de amortecimento do oscilador (esse resultado é apresentado em [START_REF] Iyer | Black-hole normal modes: A WKB approach. I.Foundations and application of a higher order WKB analysis of potentialbarrier scattering[END_REF]). Estendendo a função R(ω) ao plano das frequências complexas, obtemos

A(ω) C(ω) = Γ 2 ω -ω 0 + i Γ 2 . ( 17.3) 
Impondo as condições de fronteira de MQN, concluímos que os MQN correspondem aos pólos da extensão analítica de R(ω) ao plano das frequências complexas. Os vínculos Re(ω) = 0 e T(ω) R(ω) regular não-nulo servem para assegurar o cumprimento das condições de fronteira [START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF]. Segue da interpretação física da equação (17.2) que os MQN constituem-se em oscilações amortecidas.

Como vimos, o potencial V em (15.82) é invariante sob a inversão simultânea dos sinais de ω e m, no caso de frequências reais; dessa forma, R(ω) = R * (-ω * ) e T(ω) = T * (-ω * ) no plano complexo [START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF]. Assim, se ω for uma frequência quase-normal, -ω * também será. Concluímos, portanto, que os MQN dos buracos negros de Kerr e Schwarzschild estão distribuídos simetricamente em relação ao eixo imaginário do plano das frequências complexas.

Além disso, se reescrevermos a equação de onda (15.82) na forma Para uma frequência complexa ω = ω 0 + iΓ, temos que (conferir [START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF]) 

d 2 Z dr 2 * + [ω 2 -V ]Z = 0, (17.4) 
Ū ≥ 0 ⇒ Γ > 0. ( 17 

Determinação

Nessa seção apresentaremos alguns métodos semi-analíticos para a determinação de MQN de buracos negros, isto é, desenvolvimentos da teoria de perturbação que resultam em análise numérica.

Potenciais Parametrizados

Esse método baseia-se no estabelecimento de uma conexão entre modos quasenormais e os estados fundamentais1 de potenciais de buracos negros submetidos a transformações apropriadas. Vimos que os MQN correspondem às singularidades do coeficiente de reflexão quando estendido ao plano das frequências complexas.

Kramers e Heisenberg [START_REF] Kramers | [END_REF] indicaram que as singularidades das amplitudes de espalhamento estão relacionadas aos estados fundamentais do potencial. Na verdade, para um poço de potencial, as singularidades de R(ω) para ω = ω 0 + iΓ, ω 0 = 0 e Γ ≤ 0, correspondem aos estados fundamentais do poço. Como foi visto no capítulo 15, os buracos negros apresentam barreiras de potencial, caso em que a conexão não é evidente; nessas condições, Ferrari e Mashhoon [START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF] mostraram que os MQN correspondem aos estados fundamentais do potencial transformado.

Uma perturbação genérica de um buraco negro é expressa pela superposição de modos da forma (15.81) em que a parte radial R(r) satisfaz Infelizmente as tentativas em se determinar analiticamente os estados fundamentais fracassaram; para os buracos negros, essa função foi estimada por Ferrari e Mashhoon [START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF] a partir do uso de um potencial mais simples que aproxima uma barreira de potencial, especialmente nas proximidades de seu máximo (r * = r 0 ). O potencial de Pöschl-Teller U P T é dado por

Λ 2 Z = V Z, (Λ 2 = d 2 dr 2 * + ω 2 ). ( 17 
U P T = U 0 cosh 2 α(r * -r 0 ) , (17.16) 
onde U 0 e α > 0 são, respectivamente, a altura e a curvatura de uma barreira de potencial U, ou seja, Para que os MQN correspondam aos pólos de R(ω) tais que Re(ω) = 0 se verifique e T(ω) R(ω) seja regular não-nulo, devemos ter 1 + β + i ω α ou -β + i ω α iguais a -n, (n = 0, 1, 2, . . .), donde resulta Como esse é um potencial real independente do spin da perturbação, as frequências quase-normais podem ser estimadas por meio do uso do potencial de Pöschl-Teller.

U 0 = U(r 0 ) (17.17 
ω n = iα(n + 1 2 ) ± iα( α 2 -4U 0 4α 2 )

Aproximação WKB

A motivação para se utilizar esse método é a similaridade existente entre a equação de onda da teoria de perturbação dos buracos negros e a equação de Schrödinger unidimensional para uma barreira de potencial. Sabemos que os MQN são caracterizados basicamente por possuírem frequências complexas e condições de fronteira correspondentes a ondas se afastando da barreira nas direções ±∞. Mantendo a analogia com a teoria quântica, os MQN correspondem a ressonâncias do operador de Schrödinger com autovalores (energias) complexos [START_REF] Kokkotas | Normal modes of the Kerr black hole[END_REF].

Em ambos os casos, a equação básica (17.8) pode ser colocada na forma e α 2 = a 2 + am ω . Dessa forma, uma expressão explícita para as frequências quase-normais do buraco negro de Kerr não pode ser encontrada, pois a função Q(r * ; ω, α, s) é complexa e a frequência complexa ω não está separada do potencial V (r) de uma forma elementar. Assim, a equação complexa transcendental (17.36), ou sua extensão (17.39), será resolvida com r 0 calculado através da equação dQ dr * (r * ; ω, α, s) = 0. (17.45)

Kokkotas [START_REF] Kokkotas | Normal modes of the Kerr black hole[END_REF] sugere um procedimento numérico para a resolução do sistema de equações complexas não-lineares (17.36) e (17.45). A partir de um valor específico de α, são dadas três frequências e para elas a constante de separação Q é determinada.

Após isso, os coeficientes da parábola F (ω) = aω 2 + bω + c são calculados e a solução da equação F (ω) = 0 fornece uma primeira estimativa para ω; o processo continua iterativamente até que uma solução do sistema seja encontrada com a precisão desejada.

Frações Contínuas

O método das frações contínuas (para uma exposição completa, veja [START_REF] Leaver | An analytic representation for the quasi-normal modes of Kerr black holes[END_REF]) consiste no único procedimento semi-analítico capaz de fornecer as frequências de MQN com partes imaginárias pequenas e grandes. Ao contrário dos procedimentos anteriores, essa abordagem baseia-se na observação de que as equações de Teukolsky são equações de onda esferoidais generalizadas do mesmo tipo que aquelas resolvidas por George Jaffé [42] na determinação do especro eletrônico da molécula do íon de hidrogênio. As equações de Teukolsky são resolvidas analiticamente com o auxílio de uma forma generalizada da solução de Jaffé, devida a Baber e Hassé [4], eliminando a necessidade de integração numérica presente nos métodos anteriores.

No entanto, as frequências quase-normais e as constantes de separação são definidas como raízes simultâneas de duas equações envolvendo frações contínuas, as quais devem ser resolvidas numericamente (mas com grande precisão). As condições da proposição garantem a convergência da série que define a parte radial da perturbação. Para maiores detalhes, confira [START_REF] Leaver | An analytic representation for the quasi-normal modes of Kerr black holes[END_REF] e [START_REF] Onozawa | Detailed study of quasinormal frequencies of the Kerr black hole[END_REF].

Finalmente vale ressaltar que, fazendo a→0 na proposição acima, resulta que as frequências de MQN do buraco negro de Schwarzschild correspondem às raízes da equação (17.51)

0 = β 0 - α 0 γ 1 β 1 - α 1 γ 2 β 2 - α 2 γ 3 β 3 - ..., (17.50 

Discussão

Consiste numa evidência astrofísica que praticamente todo objeto estelar oscila de alguma forma. No entanto, a radiação gravitacional emitida pelas estrelas é fraca e com frequências muito baixas o que exclui sua relevância no estudo das ondas gravitacionais. Esse não é o caso quando se consideram objetos muito densos, como estrelas de nêutrons e buracos negros, pois suas oscilações podem ser fortes o bastante para serem detectadas pelos detectores de ondas gravitacionais atuais.

Um buraco negro pode ser perturbado pela incidência de ondas de diversos tipos, mas também pode oscilar e emitir radiação devido ao acréscimo de matéria ao seu redor, ou pela presença de um objeto atraído por ele, ou durante sua formação mediante um colapso estelar (supernova). No entanto, espera-se que uma perturbação irá, em seus últimos estágios, decair de uma maneira característica do buraco negro e independente da causa original, apresentando frequências e taxas de amortecimento próprias daquele objeto, da mesma forma que as últimas notas emitidas por um sino.

Essa é a ideia em que se baseia o conceito de modos quase-normais. De fato, devido à emissão de ondas gravitacionais, o buraco negro não consiste num sistema oscilante fechado e, por isso, os modos normais dão lugar a modos com frequências quase-normais (complexas), em que a parte real corresponde à frequência de oscilação e a parte imaginária indica a taxa de amortecimento. Além disso, uma comparação entre as equações (15.77) e (17.1) revela que as condições de fronteira para MQN implicam na independência da perturbação original à qual é imposta amplitude zero. Daí a importância dos MQN na tentativa de se identificar buracos negros no universo.

Vimos nesse capítulo que os MQN podem ser interpretados como ressonâncias do operador de Schrödinger, ou seja, representam uma perturbação inicial infinita.

Em outras palavras, os MQN consistem nos modos de oscilação para os quais a resposta do buraco negro a uma perturbação externa é máxima. Por isso os MQN são importantes no estudo da estabilidade de buracos negros.

Com o intuito de se determinar os MQN de buracos negros, foram desenvolvidos vários métodos [START_REF] Kokkotas | Quasi-normal modes of stars and black holes[END_REF]. Entretanto, o padrão de estudo numérico dos MQN de buracos negros segue o modelo estabelecido por Chandrasekhar e Detweiler [START_REF] Chandrasekhar | [END_REF], o qual consiste em se escolher um valor para a frequência complexa, integrar a equação de perturbação, e determinar as soluções que satisfazem as condições de fronteira. Dos métodos semi-analíticos apresentados, aquele desenvolvido por Leaver se destaca no sentido de que evita a integração em favor da determinação das raízes de equações com frações contínuas.

O cálculo dos MQN mostrou que a parte real das frequências permanece constante enquanto que suas partes imaginárias (amortecimento) crescem proporcionalmente com a ordem do modo [START_REF] Kokkotas | Quasi-normal modes of stars and black holes[END_REF]. Resultados como esse, e como o da equação (17.7), visam garantir que os MQN de fato possam representar o comportamento da radiação emitida por buracos negros, observado através de investigações numéricas as quais revelaram que, nos seus últimos estágios, a resposta dos buracos negros a perturbações externas é governada por oscilações amortecidas ( [START_REF] Ferrari | Oscillations of a black hole[END_REF], [START_REF] Kokkotas | Normal modes of the Kerr black hole[END_REF], [START_REF] Kokkotas | Quasi-normal modes of stars and black holes[END_REF]).

Outra característica dos MQN é que, ao contrário do espectro contínuo de frequências reais (modos normais), o espectro das frequências quase-normais de um buraco negro é discreto. Essa propriedade decorre do fato de que a determinação dos MQN é equivalente ao problema da teoria quântica elementar de se encontrar os estados fundamentais de uma barreira de potencial. Mais que isso, o espectro de frequências quase-normais do buraco negro de Schwarzschild é infinito enumerável, pois existem infinitas raízes para a equação (17.50), à semelhança dos espectros da molécula do íon de hidrogênio [START_REF] Leaver | An analytic representation for the quasi-normal modes of Kerr black holes[END_REF]. Como foi visto na seção 17.1, tais frequências se distribuem simetricamente em relação ao eixo imaginário, ou seja, uma perturbação real que excite um MQN também excitará seu conjugado complexo; essa condição é essencial para que a radiação emitida seja de fato real.

Como foi explicado no capítulo 15, o estudo das perturbações de buracos negros surgiu com o intuito de se analisar a estabilidade dos espaços-tempo associados a fim de se determinar a possibilidade da permanência de tais objetos na natureza.

Buracos negros astrofisicamente relevantes são consequência da coalescência de estrelas binárias de nêutrons, supostamente munidos de grande momento angular, de forma que um estudo detalhado dos MQN para o limite de Kerr (a = M) se faz necessário. Para o buraco negro de Kerr, uma análise da conservação do fluxo de radiação revela que um MQN com frequência real não pode existir no caso ordinário, mas é em princípio possível para o super-radiante [START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF]. Portanto, a amplitude de reflexão é limitada no eixo real restrito ao regime ordinário; dessa forma, se um MQN se aproxima dessa parte do eixo de frequências reais, seu resíduo se aproxima de zero. Decorre dessa observação e da equação (17.7) que MQN pouco amortecidos (Γ→0) não contribuem nos últimos estágios das oscilações de um buraco negro de Kerr. Esse resultado dá indícios de que buracos negros de Kerr sejam estáveis. Ao lado disso está a análise, feita pelo método das frações contínuas [START_REF] Onozawa | Detailed study of quasinormal frequencies of the Kerr black hole[END_REF] e demonstrada analiticamente por Detweiler [START_REF] Detweiler | [END_REF], indicando que as frequências de MQN de Kerr (para a = 0 até a = M) são limitadas pela frequência real

ω c = mc 3 2GM , (17.52) 
correspondente ao espalhamento super-radiante de uma onda incidente. Kokkotas [START_REF] Kokkotas | Normal modes of the Kerr black hole[END_REF] afirma que Whiting [START_REF] Whiting | [END_REF] provou a estabilidade dos buracos negros de Kerr a todo tipo de perturbação; Onozawa [START_REF] Onozawa | Detailed study of quasinormal frequencies of the Kerr black hole[END_REF] Em 2015, cerca de cem anos após a sua previsão, o LIGO (sigla para Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) anunciou a primeira detecção de ondas gravitacionais da história [1].

Na primeira seção, faremos considerações finais sobre os desenvolvimentos da teoria exposta na parte III e veremos como esses desenvolvimentos contribuíram para a descoberta astronômica recente. Na segunda seção, discutiremos o problema da determinação dos buracos negros no universo e o que podemos concluir dos resultados obtidos pela equipe do LIGO. Para o leitor interessado nessa descoberta revolucionária, especialmente para a astrofísica, sugerimos a leitura do artigo original [1] e de sua crítica [START_REF] Cardoso | Is the Gravitational-Wave Ringdown a Probe of the Event Horizon?[END_REF]. Nesses textos, o leitor poderá encontrar também uma lista de referências para estudos futuros.

Ondas Gravitacionais

Buracos negros consistem em soluções exatas das equações de Einstein, as quais descrevem como a matéria e a energia afetam a geometria do espaço-tempo, produzindo o que se conhece como gravitação. A identificação direta de um buraco negro no universo nunca foi feita por serem objetos distantes e isolados. No entanto, existem inúmeros indícios de que eles existam; de fato, existem vários candidatos resultantes de observações eletromagnéticas [START_REF] Webster | [END_REF][START_REF] Bolton | [END_REF][START_REF] Casares | [END_REF]. Embora não haja até o momento nenhuma evidência concreta da existência de buracos negros na natureza, imagina-se que eles sejam corpos astronômicos formados pelo colapso estelar e que constituam-se na fonte de energia responsável pela atividade observada no núcleo das galáxias.

Na década de 50, o trabalho pioneiro de Regge e Wheeler [START_REF] Regge | [END_REF] iniciou o estudo das perturbações dos buracos negros com o intuito de analisar sua estabilidade mediante influência externa. Esse estudo foi motivado pelo fato de que buracos negros, assim como as estrelas, oscilam mediante a incidência de campos de ondas, ou acréscimo de matéria, de forma que surge a questão: caso tal objeto se forme, será possível a sua permanência na natureza? Tentando responder a essa questão, Vishweshwara [START_REF] Vishweshwara | Stability of the Schwarzschild metric[END_REF] propôs a necessidade de se considerar o efeito das frequências complexas nas equações de perturbação, em que a parte real representa a frequência de oscilação e a parte imaginária representa a taxa de amortecimento; tal observação é condizente com o fato de que um buraco negro deve ser visto como uma membrana infinita ao invés de um sistema oscilante fechado, como uma corda de violão.

Quando um corpo astronômico oscila, ele emite radiação determinada principalmente pelo fenômeno que provocou tal oscilação; no entanto, acredita-se que uma perturbação irá, em seus últimos estágios, decair de uma maneira característica do objeto oscilante e independente da causa original, apresentando frequências e taxas de amortecimento determinadas exclusivamente pelos parâmetros daquele objeto, da mesma forma que as últimas notas emitidas por um sino. Soluções das equações de perturbação dos buracos negros para certas frequências complexas, os modos quase-normais (MQN), captam essa idéia e permitem caracterizar um buraco negro através da radiação gravitacional emitida por ele.

Após o trabalho de Vishweshwara, foram feitos vários desenvolvimentos numéricos e semi-analíticos, mas nos últimos anos, o interesse pelos MQN de buracos negros intensificou-se porque, diferentemente do caso estelar, a teoria prevê que a radiação gravitacional emitida por buracos negros com grande massa e rotação é suficientemente forte para ser detectada pelos detectores de ondas gravitacionais existentes. Esses avanços, juntamente com desenvolvimentos no campo da relatividade numérica na última década, tornaram possível modelar matematicamente a fusão de um sistema binário de buracos negros e fazer previsões acuradas das ondas gravitacionais resultantes desse processo. Os resultados numéricos aplicados a um buraco negro de Kerr formado por tal processo de fusão apontavam para um espectro de modos quase-normais com intensidade suficiente para serem detectados pelos observatórios existentes, como de fato aconteceu.

Buracos Negros?

A teoria desenvolvida na parte III desse livro fornece uma base teórica clara para a descrição e investigação do tipo de onda gravitacional que seria produzida durante a formação de um buraco negro. Esse corpo compacto e massivo poderia ser formado pelo colapso de uma estrela com massa superior a dez massas solares, no fenômeno que se conhece como supernova. No entanto, modelos recentes puderam ser construídos nos quais um buraco negro é formado a partir da colisão e posterior fusão de dois buracos negros. Esses foram os modelos usados na interpretação dos resultados obtidos em 2015 pela equipe do LIGO [1].

Em tese, as ondas gravitacionais são produzidas em três etapas.

inspiral stage: Antes da fusão, quando as órbitas dos dois buracos negros começam a reduzir e eles iniciam sua trajetória em direção ao lento colapso, o espectro de frequências tem separação larga e pode ser bem aproximado por teoria pósnewtoniana. Nessa fase, a intensidade da radiação emitida será tanto maior quanto menor for a distância inicial entre os buracos negros.

merger stage: Durante o processo de fusão, as frequências e amplitudes das ondas aumentam até atingir um pico característico ao momento da fusão. Essa etapa só pode ser descrita de maneira acurada por meio de simulações numéricas.

ringdown stage: Esse processo cataclísmico dá origem a um buraco negro altamente distorcido que rapidamente perde energia eliminando a deformação inicial. Essa é a fase em que o sistema "soa como um sino" produzindo radiação que perde força, decaindo exponencialmente, enquanto o objeto final da fusão se acomoda na forma de uma solução de equilíbrio das equações de Einstein.

O que vimos no capítulo 17 foi que a forma da onda gravitacional emitida por um buraco negro perturbado será, em seus estágios finais, dominada pelos modos quase-normais (MQN). Portanto, se o objeto final do processo de fusão descrito acima for um buraco negro de Kerr, todo o espectro de MQN estará caracterizado tão somente pela massa e pelo momento angular do buraco negro. Assim, a detecção de alguns poucos modos nesse espectro pode ser suficiente para se fazer medições precisas da massa e da rotação de um buraco negro, comprovando a existência de horizonte de eventos em objetos escuros e compactos. Esse raciocínio é análogo à percepção de um objeto sonoro em um quarto escuro. Imagine-se em um canto de um quarto totalmente escuro e suponha que exista uma segunda pessoa no outro canto do quarto com um violão. Como você sabe que lá naquele canto se encontra um violão se você não consegue vê-lo? Basta que a pessoa toque o violão para que você identifique a presença do instrumento por meio do som que ele emitiu. A situação é idêntica para o problema da determinação de buracos negros no universo, pois a sua evidência através da observação direta (radiação eletromagnética) é no mínimo questionável, restando-nos comprová-los indiretamente mediante as ondas gravitacionais por eles emitidas (os MQN seriam as "notas musicais" de um buraco negro).

O sinal detectado pela equipe do LIGO tem exatamente as características acima, o que levou a equipe do LIGO a concluir que as ondas gravitacionais observadas pela sua interferência no sistema de lasers de fato comprovam a existência de um buraco negro de Kerr formado a partir da fusão de um sistema binário de buracos negros com rotação. No entanto, recentemente uma equipe internacional de cientistas, liderados por Vitor Cardoso, questionou essas conclusões ao propor modelos alternativos de objetos astronômicos, sem um horizonte de eventos, que também poderiam ter emitido radiação gravitacional com o mesmo padrão detectado pelo LIGO (veja [START_REF] Cardoso | Is the Gravitational-Wave Ringdown a Probe of the Event Horizon?[END_REF] para a exposição completa do argumento).

A ideia de Cardoso baseia-se no fato de que todo objeto compacto possui um anel de luz, que consiste numa órbita circular de fótons ao redor de corpos muito compactos prevista pela relatividade geral. Estrelas de nêutrons não são compactas o suficiente para possuírem tais estruturas, mas buracos negros as possuem. O ponto é que objetos exóticos, como gravastars -objetos celestiais cujo interior é constituído de energia escura -e wormholes -variações topológicas do espaço-tempo interpretadas como túneis ligando regiões distintas do universo -também possuem esses anéis de luz, mas não possuem horizonte de eventos. A equipe de Cardoso mostrou que se um objeto é compacto o suficiente para possuir um anel de luz, então seu espectro de MQN será quase idêntico ao de um buraco negro, sendo a semelhança tanto maior quanto mais compacto for o objeto [START_REF] Cardoso | Is the Gravitational-Wave Ringdown a Probe of the Event Horizon?[END_REF]. A conclusão a que os cientistas chegaram após as simulações numéricas foi de que o espectro de modos quase-normais está associado ao anel de luz, ou seja, é o anel de luz que vibra e não o horizonte de eventos.

Cardoso [START_REF] Cardoso | Is the Gravitational-Wave Ringdown a Probe of the Event Horizon?[END_REF] afirma que, embora a presença de um buraco negro seja a hipótese mais natural, não podemos tomar conclusões precipitadas a cerca da existência de horizontes de eventos na natureza. O estudo de Cardoso e seus colegas revela que há divergência entre os MQN de objetos exóticos e buracos negros, mas o sinal detectado pelo LIGO não durou tempo suficiente para podermos fazer tal distinção.

Avanço na tecnologia utilizada e novos experimentos serão necessários a fim de que possamos ter uma comprovação efetiva da existência de buracos negros no universo.

Dito isso, devemos registrar a importância da descoberta feita pela equipe do LIGO por comprovar uma previsão da teoria de Einstein feita há um século atrás e por estabelecer um novo rumo na pesquisa astrofísica. Diante disso, encerramos nosso texto esperando que o leitor possa ter encontrado aqui uma base conceitual, orientação e, principalmente, motivação para continuar seus estudos na tentativa de entender melhor o mundo em que vivemos.

6 Fibrados 6 . 1 1

 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Functores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Abstração 2.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Topologia 3.1 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Homotopia 4.1 Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Invariantes 5.1 Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Levantamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Geometria 7 Análise 7.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Fibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Seções 8.1 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Geometria 9.1 Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Simetrias 10.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Gauge 11.1 Conexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Descrição Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Buracos Negros 13.1 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Newman-Penrose 14.1 Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Cones de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Perturbações 15.1 Equações de Teukolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Buracos Negros Carregados 16.1 Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Modos Quase-Normais 17.1 Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Determinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Atualidade 18.1 Ondas Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Buracos Negros? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 .

 2 para quaisquer X e Y , tem-se Mor C op (X; Y ) = Mor C (Y ; X). Dado um morfismo f de C, utilizaremos de f op para representar seu correspondente em C op ; 3. por definição, g op • f op = (f • g) op . Exemplo 1.1.5. Partindo de duas categorias C e D constrói-se uma terceira: o produto entre elas, denotado por C × D. Seus objetos são os pares (X, Y ), com X ∈ C e Y ∈ D. Seus morfismos são também pares (f, g), em que f é morfismo de C e g é morfismo de D.

Exemplo 1 . 2 . 2 .

 122 Existe um functor (-) op : Cat → Cat, que a cada categoria associa sua oposta, e que a cada F : C → D associa o correspondente functor F op : C op → D op , que é a identidade em objetos e que em morfismos é F op (f op ) = F (f ) op . Exemplo 1.2.3. Tem-se um functor Iso : Cat → Set, que a cada categoria C associa o conjunto das classes de isomorfismo de seus objetos, e que a cada functor F : C → D faz corresponder a função Iso(F ), tal que Iso(F )([X]) = [F (X)]. Observamos que tal função está bem definida, uma vez que functores levam equivalências em equivalências. Um fenômeno bastante interessante dentro de teoria das categorias é o da adjunção entre functores. Com efeito, diz-se que dois functores F : C → D e G : D → C são adjuntos, escrevendo-se F ⇋ G para representar este fato, quando, para todos X e Y , tem-se bijeções Mor C (G(X); Y ) ≃ Mor D (X; F (Y )).

Exemplo 1 .

 1 2.4. Tem-se um functor natural ı : Mod R → Set que esquece todas as estruturas adicionais e olha um módulo simplesmente como um conjunto. O fato de existirem módulos livremente gerados por um conjunto induz um functor  : Set → Mod R o qual afirmamos ser adjunto a ı. Com efeito, tal adjunção significa que, para cada conjunto S e cada grupo módulo M, existem bijeções Mor Set (S; ı(M)) ≃ Mor Mod R ((S); M).

  Um dos motivos que remontam o interesse à categoria sSet é a existência de um mergulho natural N s : Cat → sSet, que a cada categoria C associa o seu nervo simplicial N s C, definido como segue: as 0-células de N s C são simplesmente os objetos de C. Por sua vez, o conjunto (N s C) n das n-células é formado de todas as sequências de morfismos de C com n termos. O operador de face δ i : (N s C) n → (N s C) n-1 é aquele que retira o i-ésimo termo de cada sequência, enquanto que o operador de degenerescência s i : (N s C) n → (N s C) n+1 acrescenta uma identidade depois do i-ésimo termo. Exemplo 1.3.2. Dado um grupo G, vejamos quem é o nervo simplicial do grupoide BG. Como a categoria BG só possui um objeto, uma n-célula de N s BG se identifica com uma sequência de n morfismos * → * . Ora, tais morfismos são elementos do grupo G. Portanto, (N s BG) n ≃ G n . O operador de bordo δ i é simplesmente o mapa que toma cada lista de n-elementos de G e esquece o i-ésimo. Por sua vez, o operador de degenerescência s i : G n → G n+1 é a inclusão (isto é, o mapa que coloca o elemento neutro na i-ésima entrada).

Exemplo 2 . 1 . 2 .

 212 Se uma categoria C tem * como objeto terminal, então este é um objeto nulo para sua pontuação C * . Por exemplo, em Set qualquer conjunto formado de um só elemento é objeto terminal, de modo que este serve de objeto nulo para Set * . Quando a inclusão ı : Alg → Set preserva limites (isto é, quando a categoria algébrica é livremente gerada por conjuntos), então os objetos terminais de Alg são levados nos objetos terminais de Set. Assim, todo ente com um único elemento é terminal em Alg e, portanto, objeto nulo para Alg * . Ocorre que, se escolhemos o elemento neutro como ponto base, então todo morfismo o preserva, de modo que Alg * ≃ Alg. Portanto, estruturas triviais (com um só elemento) são objetos nulos de Alg. Exemplo 2.1.3. Em contrapartida ao exemplo anterior, observamos que nem sempre um objeto terminal é nulo. Com efeito, Set possui como terminais qualquer objeto formado de um só elemento (digamos * ). Estes, no entanto, não são objetos iniciais para tais categorias. De fato, inexiste um morfismo * → ∅. Consequentemente, o único objeto inicial em Set ou em qualquer categoria que admita o conjunto vazio como objeto, é o próprio ∅.

1, 2 e

 2 * ), e além das identidades, dois únicos morfismos δ : 1 → * e δ ′ : 2 → * . Para qualquer outra categoria C, o conjunto dos functores de (→ • ←) em C está em bijeção com a coleção dos pares de morfismos de C que têm igual codomínio. Fala-se que dois morfismos f : X → Y e g : X ′ → Y possuem pullback quando existe o limite do functor associado a (f, g) pela referida identificação. Isto significa que, dados f : X → Y e g : X ′ → Y , existem um objeto Pb ∈ C e morfismos ϕ : Pb → X e ϕ : Pb → X ′ , os quais satisfazem a igualdade g • ϕ = ϕ • f . Além disso, para quaisquer outros morfismos ϕ

  De tais propriedades de colagens segue-se que se uma categoria C possui pullbacks, então a regra C/ : C → Cat, dada por X → C/X, é functorial. Dualmente, se C possui pushouts, então /C é functorial.Sequências ExatasNa álgebra, o kernel de f : X → Y é o subconjunto ker(f ) ⊂ X formado de todo x ∈ X que é mandado no zero. Isto é, tal que f (x) = 0. Como vimos há pouco, isto significa que ker(f ) é o equalizador entre f e o mapa trivial 0 → Y . Tal equalizador, por sua vez, é isomorfo ao pullback de (f, 0). Semelhantemente, relembramos que o cokernel de f é o quociente Y /imf . Ou seja, é o coequalizador entre f e o mapa X → 0, o qual se vê isomorfo ao pushout de (f, 0). Tem-se, também, as identificações im(f ) ≃ ker(coker(f )) e coim(f ) ≃ coker(ker(f )).

Proposição 2 . 1 . 1 .

 211 Para que uma categoria D seja completa, é necessário e suficiente que ela possua todos os produtos e todos os equalizadores. Demonstração. A necessidade é evidente. Para a suficiência, fornecido F : C → D, mostraremos que as hipóteses asseguram a existência de um cone (X, ϕ) para F tal que, se (X ′ , ϕ ′ ) é qualquer outro cone de F , então há uma única fatoração u : X ′ → X. Escolhido um morfismo f : Y → Y ′ em C, escrevamos Y = domf e Y ′ = codf . Uma vez que D possui todos os produtos, seja f F (codf ) o produto dos objetos de D indexados pelo contradomínio de morfismos de C. Da mesma forma, seja Y F (Y ) o produto dos objetos de D indexados por objetos de C.

. 3 )

 3 Se C cumpre tais relações, então Iso(C) é realmente um monóide, mostrando-nos que o insight cumpriu com o seu papel. Com efeito, basta colocar [X] * [Y ] = [X ⊗Y ].

y y s s s s s s s s s s s id⊗e o o X

 o ⊗ X * / / X X Tem-se uma categoria Mon(C, ⊗) formada dos monoides de C segundo ⊗ (quando não há risco de confusão quanto ao bifunctor fixado, ele é omitido da notação). Em tal categoria, um morfismo entre (X, * , e) e (X ′ , * ′ , e ′ ) é simplesmente um morfismo f : X → X ′ que preserva * e e. Isto é, que satisfaz as igualdades f • e = e ′ e f • * = * ′ • (f ⊗ f ). Um comonoide em C é simplesmente um monoide em C op . Mais precisamente, estes se tratam dos objetos da categoria Mon(C op , ⊗) op , denotada por Comon(C; ⊗). Numa categoria monoidal simétrica, diz-se que um monoide é comutativo ou abeliano quando sua multiplicação comuta com o braiding X ⊗ X ≃ X ⊗ X. Invertendo setas obtém-se a correspondente noção de comonoides cocomutativos. Tais entidades definem categorias c Mon(C, ⊗) e c Comon(C; ⊗).

  Gostaríamos que ambas as construções (via cilindros e via espaço de caminhos) produzissem maneiras de aproximar equivalentes. Em outras palavras, gostaríamos que as categorias H C Top e H P Top fossem equivalentes. Uma vez que o que as diferencia são seus morfismos (que correspondem às classes de equivalência de morfismos de Top), isto ocorrerá se, e somente se, duas funções f e g forem C-homotópicas exatamente quando forem P -homotópicas. Ou seja, se, e só se, houver uma bijeção entre C-homotopias e P -homotopias, o que equivale a pedir uma adjunção entre os functores C e P . Em termos mais explícitos, para quaisquer que sejam os espaços X e Y , devem haver bijeções Mor Top (X × I; Y ) ≃ Mor(X; Y I ), em que Y I representa o espaço de caminhos em Y com a topologia compacto-aberta.

Advertência.

  No que segue, trabalharemos sempre na subcategoria C . No entanto, como o leitor notará, não utilizaremos explicitamente o fato de seus objetos serem de Hausdorff e compactamente gerados, mas apenas as consequências que tais propriedades acarretam. Por exemplo, ao serem restritos a C , os functores C e P tornam-se adjuntos e, portanto, as categorias H C C e H P C mostram-se equivalentes. Neste caso, escreve-se apenas H C para representar qualquer uma delas e diz-se ser esta a categoria homotópica de C . Ao invés de C-homotopias ou P -homotopias, fala-se em homotopias. Da mesma forma, os isomorfismos de H C são chamados de equivalências homotópicas. Também se tem o costume de escrever [X, Y ] para denotar o conjunto dos morfismos entre X, Y ∈ H C .

  Homotopias admitem, ainda, uma outra interpretação. Com efeito, relembrando que a categoria C é simétrica e cartesianamente completa, temosMor C (X × I; Y ) ≃ Mor C (I × X; Y ) ≃ Mor C (I; Mor(X; Y )),de modo que uma homotopia entre f, g; X → Y se identifica como um caminho em Mor(X; Y ) que parte de f e chega em g. Assim, duas aplicações são homotópicas se, e somente se, estão na mesma componente conexa por caminhos do espaço Mor(X; Y ).

Capítulo 5 InvariantesO

 5 construir CW-complexos partindo-se de qualquer conjunto simplicial. Tal procedimento é conhecido como realização geométrica e define um functor |•| : sSet → CW. Enquanto visto sobre C , tal functor é fortemente monoidal. Isto significa que, para quaisquer objetos simpliciais X * e Y * , o espaço |X * × Y * | é homeomorfo ao produto entre os espaços |X * | e |Y * |. A realização geométrica e suas propriedades podem ser estudadas, por exemplo, no capítulo 16 de [63] ou no quinto capítulo de [3]. Exemplo 4.3.2. Como exemplo, segue-se que toda categoria define um CW-complexo: trata-se da realização geométrica de seu nervo simplicial. Particularmente, todo grupo G fornece dois diferentes CW-complexos, sendo dados pelas realizações dos nervos de BG e EG. No que segue, eles serão respectivamente denotados por BG e EG. presente capítulo se ocupa essencialmente da construção de invariantes homotópicos por métodos algébricos. Em suma, o que fazemos é mesclar as duas estratégias anteriormente utilizadas na tentativa de classificar Top: buscar invariantes e olhar para aproximações providenciadas pela teoria da homotopia.

  mativa. Damos exemplos. Para tanto, relembramos que a todo grupo topológico G, associa-se um espaço BG. Ocorre que, se G é abeliano, então BG também é um grupo topológico, de modo que podemos iterar o processo. Afirmamos que a sequência dos B n G é um Ω-pré-espectro. Como cada termo da sequência é um CW-complexo, pelo teorema de Whitehead basta que ΩB n+1 G e B n G possuam grupos de homotopia isomorfos. Isto de fato ocorre. Afinal, através da sequência de fibrações associada a EG → BG, vimos que π k+1 (BG) ≃ π k (G), donde π k+1 (BG) ≃ π k+1 (ΩG).

  Sing (este passa ao quociente e fica definido em H C . Observemos ainda que para todo natural k há um functor (-)[k] : AbGrp → ∂Ab, responsável por associar a cada grupo abeliano G o seu complexo de cadeias concentrado em ordem k (isto é, todos os termos da cadeia são triviais, senão o de ordem k, que coincide com o grupo G). Finalmente, notamos que as adjunções anteriores induzem adjunções entre

  o mesmo para cada p (o que acontece, por exemplo, quando X é conexo), fala-se que ele é a fibra típica de π. Assim, pode-se dizer que um fibrado localmente trivial com fibra típica F é um fibrado localmente isomorfo ao trivial que tem F como fibra típica. Tem-se uma subcategoria cheia L B ⊂ B dos fibrados localmente triviais que possuem alguma fibra típica (não fixada). Por sua vez, também se tem subcategoria L B X ⊂ B X , formada dos fibrados com fibra típica não fixada, mas com base em X. A propriedade mais importante dos fibrados localmente triviais é que sua projeção é uma fibração. Ilustramos a relevância deste fato mostrando que o pullback de tais fibrados por mapas homotópicos produz resultados isomorfos. Feito isto, o functor [-] : C → Set, que a cada espaço X associa o conjunto das classes de isomorfismo dos fibrados que o tem como base, e que a cada mapa f : X → X ′ faz corresponder a regra f * : [X ′ ] → [X], que toma um fibrado π : E → X ′ e devolve seu pullback f * Y , passará ao quociente e ficará definido em H C . Pois bem, provemos que, se π : E → X é localmente trivial e f, g : X ′ → X são funções contínuas homotópicas, então os correspondentes pullbacks de π por elas são isomorfos. Dada homotopia H entre f e g, consideremos o mapa h, obtido compondo pr × id com H (veja o primeiro dos diagramas). Sendo π fibração, ela tem a propriedade de levantamento de homotopias, de modo que existe o mapa h ′ do segundo diagrama. Por universalidade obtém-se o u do terceiro diagrama, que é isomorfismo. Daí, fazendo o mesmo para o mapa g e utilizando de transversalidade, conclui-se o desejado.

=

  base + fibra + grupo + ação + coordenadasClassificaçãoUm caso particularmente interessante de fibrados com grupo estrutural são os fibrados principais. Estes consistem simplesmente de fibrados localmente triviais π : P → X, cuja fibra típica é um grupo topológico G que age em si mesmo por translação. Tem-se respectivas categorias P G e P G X , formadas dos fibrados principais estruturados por G e daqueles que tem X como espaço base.O interesse neste tipo de objeto é devido a dois motivos. Em primeiro lugar, eles fazem jus ao nome. Mais precisamente, pelo procedimento de reconstrução através de coordenadas, a todo fibrado com grupo estrutural G faz-se corresponder um G-fibrado principal. Reciprocamente, a partir de qualquer G-fibrado principal e de qualquer ação de G num espaço F , constrói-se um fibrado com fibra típica F e estruturado por G.Em segundo lugar, como veremos agora, eles admitem uma classificação completa. Mais precisamente, mostraremos que o functor [-] G , que a cada espaço X associa a classe de isomorfismo de G-fibrados que o tem como base é representável.A ideia é a seguinte: todo G-fibrado π : P → X define uma transformação ξ : [-, X] → [-] G , dada por ξ P (f ) = f * P . Ela está bem definida, o que se deve ao fato da parcela "f " no pullback abaixo ser homotópica. A regra ξ será um isomorfismo precisamente quando a parcela que corresponde a "π" (e, portanto, o pullback como um todo) também for homotópica. Neste caso, como a π já é fibração, o pullback poderá ser calculado tanto como um pullback ordinário quanto via substituição fibrante de f . Portanto, o fibrado classificado por f será precisamente o seu mapping path space.

  Existem diversas razões para se estudar fibrados vetoriais. Por exemplo, como veremos na próxima seção, veremos que operações nas fibras de um fibrado vetorial podem ser estendidas ao fibrado todo. Na última seção, por sua vez, mostraremos que existem novos invariantes que podem ser construídos para esta classe de entidades, realçando ainda mais sua importância. Na presente subseção apenas aguçamos o interesse por eles mostrando que, assim como os fibrados principais, estes admitem uma classificação homotópica completa. Iniciamos relembrando a equação que descreve a estrutura de um fibrado localmente trivial: fibrado localmente trivial = base + fibra + grupo + ação + coordenadas Dela, observamos que, se temos um fibrado n-plano π : E → X em mãos, a ele podemos associar um GL(n)-fibrado principal. Isto é feito mantendo o espaço base X e o grupo GL(n), trocando a fibra R n pelo próprio grupo GL(n), o qual passará a agir por translação. As coordenadas são modificadas de maneira evidente. Por outro lado, se tomamos em mãos um GL(n)-fibrado principal π : P → X, podemos construir um fibrado n-plano como segue: mantemos o espaço base e o grupo estrutural, trocamos a fibra para R n , a qual estará sob a ação natural do grupo linear. Assim para passar de fibrados n-planos para GL(n)-fibrados princiais E e (viceversa), não é preciso mexer na base e no grupo estrutural. Isto nos fornece uma adjunção Vec n X ⇆ P GL(n) X . Como consequência, fibrados n-planos podem ser classificados pelos fibrados principais a eles associados. Mais precisamente, tal adjunção induz um isomorfismo natural entre os functores [-] n : H C → Set, que a cada X associa o conjunto das classes de isomorfismo (em Vec n ) dos fibrados que o tem como base, e [-] GL(n) . Assim, [-] n ≃ [-, BGL(n)]. Observação. Como veremos adiante, os fibrados principais associados aos fibrados verticiais sempre admitem uma redução a O(n), de modo que a adjunção anterior pode ser melhorada, dando-nos [-] n ≃ [-, BO(n)]. O fibrado que corresponde a EO(n) → BO(n) pela adjunção em questão é chamado de fibrado n-plano canônico, sendo denotado por γ n .

  ressalta o uso de classes características como fontes de invariantes para fibrados vetoriais. Das condições anteriores seguem ainda outras propriedades importantes. Por exemplo, como é homomorfismo de semianéis, ξ X deve preservar unidades aditivas e multiplicativas. Observamos que, como a unidade da soma direta e do produto tensorial são, respectivamente, 0 e R, segue-se que a unidade da soma e do produto de Whitney são o fibrado 0-plano trivial e o fibrado 1-plano trivial. Portanto, ao passar ao quociente, como todo espaço vetorial é contrátil, qualquer fibrado trivial ε com base em X serve de modelo para a classe aditiva de [X]. Por sua vez, na classe multiplicativa tem-se o fibrado canônico γ 1 , o qual nos parece um bom modelo.

H

  n . Este fato nos leva à definição de variedade com bordo que generaliza as variedade usuais, mas ainda produz uma categoria com poucas propriedades. Como espaços euclidianos são o ambiente natural para se falar de diferenciabilidade, espera-se poder estender o conceito de diferenciabilidade ao domínio das variedades. Isto é feito na segunda seção, onde estudamos as chamadas variedades diferenciáveis. Ali construímos um functor T : Diff * → Vec R , que a cada ponto p ∈ M associa seu espaço tangente T M p e que a cada função f faz corresponder uma transformação linear Df p , a qual interpretamos como sendo a derivada de f em p. Finalmente, na última seção estudamos as propriedades inerentes ao fibrado vetorial T M, obtido reunindo-se todos os espaços tangentes, assim como as propriedades inerentes ao seu GL(n)-fibrado principal associado. Damos uma interpretação interessante para este último, a qual nos fornece um insight sobre o funcionamento da geometria.

  cartas locais =⇒ bases funções transição =⇒ matriz mudança base.A ideia é essencialmente a seguinte: o lado esquerdo descreve o comportamento de variedades nas vizinhanças de pontos, enquanto que o direito é parte da álgebra linear. A passagem de uma área para outra é feita através de functores. Assim, o que faremos é obter um functor T , que a cada par (M, p) associa um espaço vetorial T (M, p), usualmente denotado por T M p e chamado de espaço tangente a M em p, de modo que para cada carta local em p faz-se corresponder uma base de T M p . Ao mesmo tempo, T mapeará funções de transição y • x -1 nas respectivas matrizes de mudança entre as bases que correspondem a x e y.RedefinindoRealçamos que, da maneira como apresentada, a noção de variedade não engloba alguns espaços naturais, nos quais intuitivamente o conceito de diferenciabilidade também deveria fazer sentido. Por exemplo, esperar-se-ia ser possível falar de diferenciabilidade no disco D n ⊂ R n . Afirmamos, no entanto, que ele não é uma variedade.Iniciamos observando que o disco se decompõe como reunião disjunta da esferaS n-1 com a bola aberta B 1 (0) ⊂ R n de centro na origem e raio unitário. Assim, seus abertos se dividem em duas classes: aqueles que estão inteiramente contidos em B 1 (0) (e que, portanto, também são abertos do R n ), e aqueles que intersectam S n-1 (e que não são abertos do R n ).Pois bem, se o disco fosse uma variedade, então cada um de seus pontos admitiria uma carta em suas vizinhanças. Tais pontos estão na bola ou na esfera. Se x ∈ D n está na bola, então a identidade id : B 1 (0) → R n é carta local. No entanto, se tal ponto está sobre a esfera S n-1 , para que admitisse um sistema de coordenadas, deveria existir aberto U ⊂ D n , contendo x e homeomorfo a um aberto do R n . Ocorre que este não existe.

Advertência:

  figurações (conjunto de todas as posições permitidas) de um sistema mecânico é uma variedade S. Por exemplo, o espaço de configurações do pêndulo duplo é o toro S 1 × S 1 (um círculo para cada parte do pêndulo), enquanto que o do pêndulo esférico nada mais é que a esfera S 2 .

  de aproximar uma função diferenciável f : M → N nas vizinhanças de um dado p ∈ M por uma transformação linear, a qual coincide com a derivada de y • f • x -1 quando tomadas cartas locais. Mais precisamente, construiremos um functor T : Diff → Vec R , que a cada par (M, p) associa aquilo que chamaremos de espaço tangente a M em p e denotaremos por T M p , e que a cada par (f, p) faz corresponder uma transformação linear entre T M p e T N f (p) , a qual representará a derivada de f em p e será denotada por Df p . Observamos que a functoriedade de T se traduzirá nas condições D(id M ) p = id T Mp e D(g • f ) p = Dg f (p) • Df p , as quais abstraem a regra da cadeia e o fato da derivada levar identidade em identidade. Existem diversos caminhos que podem ser tomamos no sentido de realizar tal construção, sendo todos eles equivalentes. No que segue, utilizaremos daquele que futuramente nos fornecerá praticidade. Construamos, primeiro, os espaços T M p . Iniciamos observando que o conjunto D(M) das aplicações diferenciáveis reais f : M → R é uma álgebra associativa enquanto dotado das operações usuais de soma de funções, de multiplicação de funções por escalares e de produto de funções. Como trabalharemos localmente, só nos interessará o comportamento local das funções que compõem D(M). Para cada p, isto nos leva a considerar o quociente D p (M), obtido de D(M) identificando-se as aplicações que coincidem numa vizinhança de p. Tal conjunto, usualmente chamado de germe em p de D(M), herda a estrutura de álgebra. Finalmente, definimos T M p como sendo simplesmente o espaço das derivações pontuais em p de D p (M), dotado das operações usuais. Isto é, como sendo o espaço de todos os funcionais lineares v : D p (M) → R que satisfazem a regra de Leibnitz no ponto p:

  Concluindo a construção de T : Diff → Vec R , fornecida uma função diferenciável f : M → N e um ponto p ∈ M, definimos a derivada de f em p como sendo a transformação Df p , tal que [Df p (v)](g) = v(g • f ). Como facilmente se constata, a regra T assim construída é realmente functorial. Por exemplo,

Exemplo 7 . 2 . 1 .

 721 Se U ⊂ M é aberto, então, para todo p ∈ U, os germes D x (U) e D x (M) coincidem, de modo que se tem T U x = T M x . Assim, o espaço tangente a um aberto se identifica com o espaço tangente ao espaço todo. Além disso, para todo ponto p, T R n p é naturalmente isomorfo ao R n : um isomorfismo é aquele que toma cada a ∈ R n e associa a derivada direcional v a na direção de a, caracterizada por v a (f ) = Df p (a).

  Como vimos, a cada ponto p de uma variedade diferenciável M, sabe-se fazer corresponder um espaço vetorial: o espaço tangente a M em p. Assim, tem-se um fibrado T M, chamado de fibrado tangente de M, obtido reunindo-se todos estes espaços. Como veremos, ele é uma das peças fundamentais no estudo da geometria. Nesta subseção, mostraremos que o fibrado T M é fibrado n-plano. A ideia é simples: os sistemas de coordenadas induzem as trivializações locais e GL(n) age em R n da maneira usual. Iniciamos observando que o functor T : Diff → Vec R , induz um novo functor * : Diff → Vec, chamado de pushforward, que a cada variedade associa seu fibrado tangente, e que a cada mapa diferenciável f : M → N devolve o morfismo f * :

a regra que a cada p associa a derivada de x j • x - 1 i

 1 em tal ponto, e a ação como sendo a usual:g • v = g(v). Tal ação é C ∞ e, como M possui classe C k , as u ij são C k-1 . Portanto,o fibrado tangente é realmente estruturado pelo grupo linear geral. Como consequência das colocações da última subseção segue-se que, se M tem dimensão n e é de classe C k , então T M também é uma variedade, mas de dimensão 2n e tendo classe C k-1 .InvariantesO fato de se ter um fibrado vetorial natural associado a uma variedade nos permite construir diversos invariantes em Diff. Com efeito, da functoriedade de tal associação segue-se que, se duas variedades são difeomorfas, então seus fibrados tangentes são isomorfos e, portanto, dividem as mesmas classes características. Isto significa que as classes de T M são, na verdade, invariantes da variedade M.

  Pode parecer óbvio que todo fibrado admita uma seção. No entanto, a existência de uma seção pode ser um requerimento muito forte! Com efeito, como veremos logo mais, pedir que um fibrado principal admita uma seção é o mesmo que pedir que ele seja trivial.Observamos haver um functor Γ : B → Set, que a cada fibrado π : E → X associa o conjunto de suas seções. Assim, questionar a existência de seções equivale a questionar se Γ(E) é ou não vazio. Por exemplo, se as fibras de um fibrado E possuem alguma estrutura algébrica Alg, então Γ(E) também a possui: uma vez que seções associam elementos da fibra a pontos, basta definir as operações em seções pontualmente. Desta forma, se E é um fibrado vetorial, então Γ(E) é um espaço vetorial real (na verdade, um módulo sobre o anel D(M)) e, consequentemente, E admite seções.

Exemplo 8 . 1 . 1 .

 811 Para um fibrado com típica contrátil, todas as cohomologias anteriores são triviais, de modo que seções sempre existem. Como espaços vetoriais são contráteis, isto dá uma nova demonstração de que todo fibrado vetorial admite uma seção. Exemplo 8.1.2. No que diz respeito aos G-fibrados principais, suas fibras típicas são os próprios grupos topológicos. Além disso, pelo teorema de classificação, todo G-fibrado é isomorfo ao pullback de EG → BG para alguma função f : X → BG.Além disso, tal construção independe de classe de homotopia de f . Acontece que, se G é contrátil (o que faz com que o fibrado tenha uma seção), então BG também o é, de modo que f é homotópico ao mapa constante X → * e, portanto, o fibrado em questão é isomorfo ao trivial. Por outro lado, evidentemente todo fibrado trivial admite seções. Assim, um fibrado principal possui seções se, e só se, é trivial.

1 .

 1 qualquer n-functor diferenciável em Vec R que se estende à categoria Mod D(M ) dos módulos sobre o anel das funções diferenciáveis comuta com Γ. Por exemplo, isto faz de Γ monoidal com respeito à soma de Whitney e também segundo o produto tensorial. Mais precisamente, como ⊕ e ⊗ são functores contínuos que fazem sentido para módulos, tem-se os isomorfismos

2 .

 2 a trivialidade de um fibrado vetorial pode ser inteiramente caracterizada por propriedades algébricas do módulo de suas seções. De maneira mais precisa, um fibrado n-plano é trivial se, e só se, o módulo de suas seções é livre e de rank n. A demonstração é simples: todo fibrado n-plano π : E → M é adjunto a um GL(n)-fibrado principal fr(E). Evidentemente, π é trivial se, e só se, o correspondente fr(E) o é. Ora, isto pode ocorrer se, e só se, existe uma seção s : M → fr(E). Tais seções associam a cada p um elemento na fibra fr(E) p . Assim, dar uma seção s é o mesmo que escolher continuamente bases em cada E p , o que equivale a construir uma base em Γ(E).

  PushforwardCom a conclusão a que chegamos na subseção anterior, a ideia é conectar o conhecimento global de seções locais com o conhecimento local de seções globais.Mais precisamente, se F é um functor em Vec M , obtido por levantamento de um functor contínuo em Vec R , buscamos por uma regra Γ(F (T M)) → Γ(F (T U)) que nos permita associar a cada seção s na variedade M uma correspondente seção no aberto U, a qual haveremos de interpretar como a restrição de s a U ou como a versão local de s.Feito isto, no último diagrama poderemos trocar "seções locais descendentes" por "seções descendentes locais", de modo que a escolha de uma carta na variedade nos fornecerá informações sobre o comportamento local das seções de qualquer fibrado descendente.A questão agora é: tal regra existirá para um F dado? A resposta é afirmativa no caso em que o functor F é contravariante. Com efeito, sob tal hipótese, paratoda função diferenciável f : N → M, o mapa Γ(F (T (f ))) é homomorfismo entre Γ(F (T M)) e Γ(F (T N)).Ele é usualmente chamado de pullback de f ao longo de F , sendo denotado por f * . Assim, no caso especial da inclusão ı : U → M, seu pullback fornece a regra procurada. Por outro lado, se F é covariante, a estratégia anterior falha em nos fornecer o mapa que gostaríamos. No entanto, ainda assim, para cada função f , o correspondente Γ(F (T (f ))) está bem definido. Agora, no entanto, ele é um homomorfismo entre o módulo das seções de F (T N) e F (T M). Ele é chamado de pushforward de f ao longo de F e usualmente denotado por f * . Façamos duas observações: 1. os fibrados descendentes mais importantes na geometria (e, consequentemente, na física) são os tensoriais. Assim, pela discussão anterior, existe especial interesse naqueles formados de tensores estritamente covariantes. Isto porque, em tal situação, o respectivo functor F é contravariante e, portanto, sabe-se falar de pullbacks; 2. se nos restringimos a Diff pd (isto é, se nos restringimos às funções diferenciáveis que são sempre difeomorfismos), então, para cada f : M → N , estão definidos seu pullback e seu pushforward ao longo de qualquer functor F , seja ele covariante ou contravariante. De fato, no caso de F ser covariante, definese f * = (f -1 ) * , enquanto que, se F é contravariante, define-se f * como sendo (f -1 ) * ; Derivações Ressaltamos haver uma maneira alternativa de descrever campos de vetores (e, consequentemente, seções de qualquer fibrado descendente de T M), a qual é bastante utilizada em geometria. Com efeito, seja X(M) o módulo das derivações do anel D(M). A regra • : Γ(T M) → X(M), que a cada X associa a derivação X : D(M) → D(M), tal que X(f )(p) = X(p)(f ), é claramente um homomorfismo injetivo. Via partições da unidade mostra-se que toda derivação corresponde a um campo, de modo que tal regra fornece a caracterização mencionada. Advertência. No que segue, utilizaremos da mesma notação para representar campos de vetores enquanto seções do fibrado tangente ou enquanto derivações do anel D(M). Isto é, escreveremos simplesmente X ao invés de X. Com a caracterização anterior, faz sentido falar da composição de campos vetoriais. Isto é, dados quaisquer campos X, Y , faz sentido considerar a quantidade X • Y : D(M) → D(M). Ela é claramente uma transformação linear entre os espaços vetoriais subjacentes. No entanto, não define um campo vetorial. Isto porque tal composição não satisfaz a regra de Leibnitz e, portanto, não é uma derivação. Em contrapartida, o comutador [X, Y ] = X • Y -Y • X é um verdadeiro campo vetorial.

sistema de coordenadas + 3

 3 descrição local de campos antissim. + 3 descrição local de formas Existe uma transformação natural evidente ı : Alt k ⇒ L k , que simplesmente inclui o espaço das formas alternadas no espaço dos mapas multilineares. Tal transformação admite uma inversa à esquerda ξ : L k ⇒ Alt k , que corresponde ao processo de antissimetrização (observe que esta em geral não é inversa à direta, uma vez que os espaços dos mapas k-lineares e das k-formas possuem dimensões que costumam não coincidir). Por exemplo, para o caso k = 2, tem-se

  todo mapa com domínio em Ω k (M) fica caracterizado pela maneira como age em funções, em diferenciais de funções e em produtos exteriores, sendo estendido por linearidade. Como queremos que a derivada exterior seja uma generalização da derivada usual, seu comportamento em funções está previamente fixado. Isto é, deve-se ter d k f = df . Assim, procuramos por condições em diferenciais de funções e em produtos exteriores que façam dos d k um complexo de cocadeias e, para cada f : M → N, dos pullbacks f * k : Ω k (N) → Ω k (M) um morfismo entre os correspondentes complexos. Isto é, procuramos por condições que certifiquem

(

  isto é, que cumprem d 1 (df ) = 0) e que são antilineares. Estas existem e são únicas. Para a unicidade, observe que as condições exigidas a determinam localmente (veja expressão (8.3)). Para a existência, basta defini-las localmente por (8.3) e verificar que elas independem da carta escolhida e cumprem com o requerido. Diante disso, fica definido um functor C dR : Diff → dVec R , que a cada variedade M faz corresponder o complexo de cocadeias formado das derivadas exteriores d k :

  Um subfibrado π : P → M de fr(M) estruturado por G é usualmente chamado de G-estrutura na variedade M. Ao obter uma delas, diz-se que foi realizada uma redução no grupo estrutural do fibrado dos referenciais. Os elementos da fibra P b são precisamente os referenciais b : R n → T M p tais que, se g ∈ GL(n), então o referencial b • g está em P b se, e só se, g ∈ G.

Exemplo 9 . 1 . 2 .

 912 Como veremos mais adiante, as obstruções à redução de GL(n) ao grupo O(r, s) são as últimas s classes de Stiefel-Whitney de M. Para identificar quem são as seções associadas a tal estrutura, observamos que o grupo linear geral admite uma ação natural e transitiva no espaço das formas bilineares simétricas e

Exemplo 9 . 1 . 3 .

 913 Dois casos particulares do exemplo anterior merecem destaque: as métricas de assinatura (n -1, 1) e (n, 0) chamam-se, respectivamente, lorentzianas e riemannianas. Elas correspondem às reduções ao grupo de Lorentz O(n -1, 1) e a O(n). Pelo exemplo anterior, inexiste obstrução à existência de métricas riemannianas (o que está de acordo com o que discutimos em outras instâncias do texto), mas para que uma variedade admita métricas lorentzianas é preciso que sua última classe de Stiefel-Whitney se anule. Ou seja, é preciso que ela possua um campo de vetores que não se anula em nenhum ponto. Este não é o caso, por exemplo, das esferas em dimensão par. Exemplo 9.1.4. Reduções à interseção entre dois grupos indicam compatibilidade entre as geometrias subjacecentes. No entanto, para a existência de uma tal redução, enfrenta-se as obstruções de cada uma das partes. Por exemplo, a existência de uma redução a SO(n) = O(n) ∩ SL(n) traduz a compatibilidade entre as geometrias induzidas por métricas riemannianas e por formas de volume. Como não existem obstruções à existência de métricas riemannianas, segue-se que toda variedade orientável pode ter grupo estrutural reduzido de SL(n) para SO(n). Em termos explícitos, a compatibilidade entre O(n) e SL(n) se traduz na possibilidade de construir formas de volume partindo-se de qualquer métrica riemanniana.

.

  Observamos que, se trocamos o grupo estrutural, tal adjunção se mantém. De maneira mais precisa, dado G, tem-se functor F , que toma um G-fibrado principal π e devolve o fibrado com fibra típica R n e estruturado por G, associado a π. Ele é adjunto ao functor G , que a cada fibrado estruturado por G e com fibra típica R n faz corresponder seu fibrado principal. Desta forma, no caso particular em que π é G-estrutura em M, então F (π) é construído das funções coordenadas de T M que assumem valores em G. Ora, as funções coordenadas do fibrado tangente nada mais são que as regras que a cada ponto associam as matrizes jacobianas das funções de transição. Portanto, se M admite G-estrutura, então existe atlas em M cujas cartas têm funções de transição com jacobianas todas pertencentes a G. Reciprocamente, se conseguimos reduzir o grupo estrutural do fibrado T M, o que equivale a dizer que há um atlas em M cujas matrizes jacobianas das funções de transição estão em G, então G (T M) é redução de fr(M) e, portanto, uma Gestrutura em M. Exemplo 9.1.5. Desta caracterização segue, por exemplo, que uma variedade é orientável se, e somente se, admite um atlas coerente. Isto é, um atlas cujas jacobianas das funções de transição tem sempre determinante positivo, o qual pode ser suposto unitário sem que ocorra perda de generalidade.

  De maneira mais precisa, fixada M, consideremos o functor F , definido na categoria dos grupos de Lie e de suas representações, que a cada G faz corresponder a categoria dos G-fibrados principais com base em M, e que a toda ρ : G → GL(n) associa o respectivo F (ρ) = ρ # M , que toma o fibrado de coordenadas u ij e devolve outro de coordenadas ρ • u ij . Definimos, então, uma ρ-estrutura em M por ser um G-fibrado principal P sobre M que é levado por ρ # M no respectivo fibrado dos referenciais. Isto é, ρ # M P = fr(M). Para falar de morfismos entre ρ-estruturas, procuramos por um functor fr : Diff n → B, que a cada variedade n-dimensional associa seu fibrado dos referenciais. Afinal, uma vez obtido tal functor, poderemos definir um morfismo entre ρ-estruturas como sendo simplesmente um morfismo h entre os G-fibrados subjacentes, o qual coincide com fr(f ) para alguma aplicação diferenciável f . Em outras palavras, tal que ρ # M (h) = fr(f ) para alguma f . Procuremos, então, por fr. Observamos que para toda M o functor G : Vec M → P GL(n) M cumpre A M (T M) = fr(M). Por sua vez, a regra T também é functorial, de modo que a ideia mais natural seria definir fr(M) := G (T M) e fr(f ) := G (T (f )). (9.1) Observamos, no entanto, que da maneira como colocado, fr(f ) é um morfismo entre fibrados dos referenciais se, e somente se, f é um difeomorfismo local. Com efeito, sendo T (f ) o pushforward f * , para que ele leve referenciais em referenciais, é necessário e suficiente que cada Df p seja um isomorfismo. Desta forma, enquanto restrita ao grupoide formado das variedades de dimensão n e dos difeomorfismos (isto é, enquanto restrito a Diff n pd ), a regra fr fica bem definida por (9.1) e, consequentemente, nos dá a noção de morfismo entre ρ-estruturas que procurávamos. Por exemplo um morfismo entre G-estruturas π : P → M e π ′ : P ′ → M ′ há de ser um difeomorfismo f : M → M ′ tal que, se b : R n → T M p é referencial em P p , então Df p • b está em P ′ f (p) . Particularmente, se tais estruturas correspondem à existência de certos campos tensoriais σ e σ ′ , então os morfismos entre π e π ′ são os difeomorfismos f tais que f * σ ′ = σ. Há uma categoria Fr G M , formada das G-estruturas e dos morfismos assim definidos. Como logo se convence, tal categoria é, na verdade, um grupoide.

Holonomia

  como logo se verifica. Reciprocamente, pode-se mostrar que toda regra que associa uma família a dois parâmetros a cada caminho γ : I → M, de tal modo que as propriedades anteriores sejam satisfeitas, define conexão em P . Portanto, tem-Na subseção anterior, vimos que conexões equivalem a transportes que ligam fibras distintas preservando a direção inicial. No que segue, verificaremos que toda conexão num G-fibrado principal determina reduções de tal fibrado. Particularmente, conexões em fr(M) induzem estruturas geométricas na variedade M (a recíproca para este fato será estudada na última seção do capítulo). Em suma, contemplaremos o seguinte diagrama, onde as setas cheias existem em qualquer situação e a tracejada no âmbito dos fibrados principais. Ele representa o fato de que a presença de conexões nos permite falar de geometria num contexto mais genérico que o das G-estruturas. A redução que uma 1-forma de conexão A implementa num fibrado fibrado principal é o grupo de holonomia de A, o qual passamos a discutir. Como vimos, dados um caminho γ e um ponto em γ * P , existe um único levantamento horizontal γ a,t . Questionemos sobre as propriedades que γ a,t herda de γ. Por exemplo, se γ for um loop, seus levantamentos também o serão? Para qualquer par (a, 0) em γ * P (isto é, para cada ponto em P γ(0) ), o grupo de holonomia Hol(A, a) da conexão A em a é justamente o invariante que mede essa condição. Com efeito, define-se Hol(A, a) como sendo o conjunto de todo elemento g ∈ G tal que existe um caminho horizontal ligando a a g * a. Este constitui, na verdade, um subgrupo de G. Vamos mostrar que a informação traduzida por ele é realmente a que procuramos. Se γ é um loop em M, então, pela propriedade π • γ a = γ, certamente há um g γ satisfazendo γ a (1) = g γ * γ a (0) = g γ * a, donde g γ ∈ Hol(A, a). Particularmente, γ a é um loop se, e somente se, g γ = e. Desta forma, se o grupo de holonomia em a é trivial, então o levantamento horizontal γ a de qualquer loop γ também é um loop, que é a condição que procurávamos. Mostremos agora que o G-fibrado principal π : P → M, ditado pela conexão A, admite redução ao grupo de holomia de qualquer ponto. Com efeito, dado um certo a, seja P (a) seu fibrado holonômico. Isto é, seja P (a) ⊂ P o conjunto formado de todo a ′ que pode ser ligado em a por um caminho horizontal. Tal conjunto é exatamente aquele restrito ao qual Hol(A, a) age de forma livre e transitiva. Afirmamos que π : P (a) → M também é localmente trivial e, portanto, que consiste na redução desejada. Como um fibrado principal é trivial se, e só se, admite uma seção global, basta construirmos uma seção local de π nas vizinhanças de cada p ∈ M. Escolhido um tal ponto, seja x : U → R n uma carta em suas vizinhanças.

d

  A : Ω k E (P ; E) → Ω k+1 EH (P ; E), tal que d A ω = hor(dω). (11.1) Finalmente, definimos D A por ser o mapa obtido de d A pela correspondência entre o espaço das k-formas em P que são equivariantes por ρ e o espaço das k-formas em M com valores no fibrado E. Em outras palavras, consideramos D A como sendo a única aplicação que deixa comutativo o primeiro dos diagramas abaixo. Assim, no caso particular em que k = 0, lembrando que as 0-formas da variedade M com

holonomia + 3 geometria 11 . 2 Curvatura 3 holonomia + 3 geometria

 11233 Na seção anterior, estudamos os fibrados π : P → M dotados de alguma distribuição horizontal H, a qual nos fornecia uma correspondente decomposição T P = V P ⊕ HP e uma noção de transporte paralelo, capturada pelo levantamento horizontal γ a de caminhos γ em M. A dependência de γ a com respeito ao caminho γ, por sua vez, é medida pelo grupo de holonomia Hol(A, a), o qual traduz diversas informações geométricas.Iniciamos esta seção observando que a estrutura de Hol(A, a) está intimamente ligada com condições de integrabilidade de H. Motivamos tal relação mostrando que, se H é integrável, então a holonomia é trivial. Pois bem, dado γ : I → M loop em M, lembramos que qualquer levantamento γ a é curva integral de um campo horizontal. Sob hipótese de integrabilidade, cada ponto a ∈ P está contido numa única subvariedade S a e, em particular, a curva integral γ a está inteiramente contida em S a . Portanto, como γ a (1) está na mesma fibra que γ a (0), segue-se que tais pontos são coincidentes, mostrando que o levantamento γ a também é loop e garantindo a trivialidade da holonomia.Em seguida, notemos que o teorema de Frobenius nos fornece uma caracterização à integrabilidade de H. Com efeito, tal distribuição será integrável se, e somente se, os campos horizontais (isto é, as seções de HP ) constituírem uma subálgebra de Lie de X(M). Em outras palavras, se, e só se, para quaisquer campos horizontais X e Y , o colchete [X, Y ] entre eles também for um campo horizontal. Assim, a integrabilidade de H fica inteiramente caracterizada pela nulidade do mapa 1 Ω : X(P ) × X(P ) → X(V P ), tal que Ω(X, Y ) = -[X hor , Y hor ] ver , chamado de curvatura de H. Isto nos dá o seguinte "slogan": curvatura é obstrução para holonomia trivial. Em verdade, veremos que a curvatura determina a estrutura da holonomia, o que pode ser representado por curvatura + Observamos que, no contexto dos fibrados principais, o fibrado vertical V P é1 O sinal negativo vem por conveniência, como veremos na próxima subseção.

  um fibrado coordenado. Um fibrado é definido então como uma classe de equivalência de fibrados coordenados. Seja π : E → M um fibrado. Uma seção s : M → E é um mapa suave que satisfaz π • s = id M . O conjunto de seções em M é denotado por Γ(M, F ). Nem todos os fibrados admitem seções globais. Sejam π : E → M e π ′ : E ′ → M ′ dois fibrados e f : E ′ → E um mapa suave. O mapa f é chamado mapa de fibrados se ele preserva as fibras, isto é, cada fibra F ′ p de E ′ é mapeada sobre F f (p) de E. Um mapa de fibrados naturalmente induz um mapa f : M ′ → M. Se M ′ = M, dois fibrados são equivalentes quando existe um mapa de fibrados que é um difeomorfismo e cujo mapa induzido f : M → M é a identidade.

H

  = A + iB, χ = e ν-ψ e δ = sin 2 θ (13.6) nas equações de Einstein-Maxwell e efetuando uma série de manipulações algébricas, resultam as seguintes equações2 

e

  (b) , é dada por A (a),(b) = e j (a) A j;i e i (b) + γ (c)(a)(b) A (c) (14.7)e sua derivada intrínseca éA (a)|(b) = A (a),(b)η (n)(m) γ (n)(a)(b) A (m) ,(14.8)em que se fez uso dos coeficientes de rotação de Ricciγ (a)(b)(c) = 1 2 [λ (a)(b)(c) + λ (c)(a)(b)λ (b)(c)(a) ](14.9) onde λ (a)(b)(c) = [e (b)i,je (b)j,i ]e i (a) e j (c) . (14.10) A principal vantagem desse formalismo é que, uma vez determinada a base tétrade, toda a análise da geometria do espaço-tempo pode ser feita sem recorrer à conexão riemanniana. As equações fundamentais do formalismo tétrade são: (i) as relações de comutação [e (a) , e (b) ] = γ a identidade de Ricci R (a)(b)(c)(d) = -γ (a)(b)(c),(d) + γ (a)(b)(d),(c)

. 14 )

 14 Os vetores da base, considerados como derivadas direcionais, são denotados por símbolos especiais: a) e 1 = e 2 = D; b) e 2 = e 1 = ∆; c) e 3 = -e 4 = δ; e d) e 4 = -e 3 = δ * . (14.15)

. 16 )

 16 Deve ficar claro que o conjugado complexo de qualquer quantidade no formalismo de Newman-Penrose pode ser obtido pela substituição do índice 3, onde quer que ele ocorra, pelo índice 4, e vice-versa. Com base no fato de que o espaço-tempo é localmente semelhante ao espaço de Minkowski, é possível estabelecer, à semelhança das tétrades no caso tensorial, uma base espinorial ortonormal em cada ponto do espaço-tempo, ζ A (a) e ζ A ′ (a ′ ) (a, a ′ = 0, 1 e A, A ′ = 0, 1), denominada base díade. Devemos observar, no entanto, que a existência de campos de espinores globais depende de condições topológicas do espaço-tempo considerado. Uma condição necessária e suficiente é que o espaçotempo seja não-compacto e paralelizável (teorema de Geroch) de forma que o módulo dos vetores-spin possa ser finitamente gerado ([74], capítulo 1).

  c)(d)\(a)(b) 00 01 ou 10 do tensor de Riemann em uma conexão riemanniana numa variedade quadridimensional que o tensor de Weyl (componente de traço nulo do tensor de Riemann, responsável pela informação de como a forma de um corpo muda pela ação de forças de maré durante uma geodésica) e o tensor de Ricci (traço do tensor de Riemann, responsável por informar como o volume de um corpo muda pela ação das forças de maré) possuem dez componentes independentes cada ([START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF],

F

  ij;k = 0(14.21) em um referencial tétrade, obtemosF [(a)(b)|(c)] = 0 e η (n)(m) F (a)(n)|(m) = 0, (14.22) onde F ij denota o tensor antissimétrico de Maxwell. No formalismo de Newman-Penrose, o tensor de Maxwell é substituído pelos três escalares complexos

. 35 )

 35 Pela definição de base de Newman-Penrose, temos que l é o vetor tangente a um raio de luz N e m é um vetor complexo ortogonal a l, de modo que em um ponto p ∈ N, a parte real de m gera com l um plano. Considerando um círculo nesse plano e seguindo os raios da congruência l que interceptam o círculo, na direçãofuturo (parâmetro crescente), observamos possível contração (ou expansão), rotação e distorção do círculo (em uma elipse). A contração (ou expansão), a rotação e a distorção são medidas, respectivamente, por -Re(ρ), Im(ρ) e σ ([START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF], pp. 56-58).

1 ∆ (r 2 + a 2 , 2 (r 2 + a 2 ,

 122222 ) são geodésicas de tipo-luz ([19], pp. 347-350 e 623). A partir de (14.36), definimos a base de Newman-Penrose como l = θ, 0, 1, -icsc θ), (14.37) onde ρ = r + iacos θ, ρ * = riacos θ, e ρ 2 = ρρ * . (14.38)

eK

  = (r 2 + a 2 )ω + am, Q = aωsin θ + mcsc θ, (15.4) ρ = r + iacos θ, ρ * = riacos θ, ρ2 = r 2 + a 2 cos 2 θ.(15.5)

  ),(15.41) de modo que a coordenada tartaruga só está definida para r > r + , isto é, a análise através de r * só é válida fora do horizonte de eventos. Do comportamento de r * (r) na equação (15.41), é fácil de ver que a coordenada tartaruga é(a) univaluada quando ω > ω s , ou seja, r * → + ∞ para r→ + ∞ e r * → -∞ para r→r + + 0 2 ; (b) bivaluada quando 0 < ω < ω s , ou seja, r * → + ∞ para r→ + ∞ e r→r + +0, onde ω s = -am 2M r + (m < 0). Na equação geral de Teukolsky para P +s , [∆D 1-s D † 0 -2(2s -1)iωr]P +s = QP +s , o período m ocorre explicitamente nos operadores D e D † através de K = (r 2 + a 2 )ω + am. (15.42) Eliminando m em (15.42) mediante a mudança para a coordenada tartaruga na variável independente e a mudança

. 46 )

 46 Quando a coordenada tartaruga é bivaluada, as funções P e Q se tornam singulares em r = |α| de forma que a equação (15.44) deve ser analisada nos dois ramos da relação r * (r): r + < r < |α| e r > |α|.

. 55 )

 55 Vamos estudar agora o comportamento das soluções da equação de onda(15.47).

) onde k 2

 2 (r * ) = ω 2 -V (r * ).A teoria de espalhamento (independente do tempo) consiste no estudo da equação (15.68) para tipos diversos de funções potenciais V . O caso mais simples ocorre quando a ação do sistema se dá de maneira uniforme em uma região infinita do espaço, isto é, o suporte da função potencial V corresponde a um intervalo [-a, 0], a > 0, e V (r * ) é constante nesse intervalo. Como fora da barreira, supomos movimento livre de partículas (V (r * ) = 0), as soluções de(15.69) são da forma Z(r * ) = A 1 e +iωr * + B 1 e -iωr * , r * > 0, (15.70) Z(r * ) = A 2 e +iωr * + B 2 e -iωr * , -a ≤ r * ≤ 0, (15.71) Z(r * ) = A 3 e +iωr * + B 3 e -iωr * , r * < -a. (15.72)

. 73 )

 73 Os termos da forma e +iωr * , e +ikr * representam ondas planas propagando-se no sentido negativo de r * enquanto que os termos e -iωr * , e -ikr * correspondem às ondas que se deslocam na direção positiva de r * . Considerando que a onda incidente se propaga na direção negativa de r * e o fato de que (15.73) permite dois graus de liberdade ao conjunto das constantes de integração, segue que A 1 = 0 e B 3 = 0. (15.74) A razão entre as intensidades da onda refletida, |B 1 | 2 , e incidente, |A 1 | 2 , denominase coeficiente de reflexão R. Da mesma forma, define-se o coeficiente de transmissão T a partir das intensidades da onda transmitida, |A 3 | 2 , e da onda incidente, |A 1 | 2 . Decorre das equações (15.70)-(15.74) o resultado R + T = 1, (15.75)que expressa a lei da conservação da energia.

  ) onde r * é a coordenada tartaruga. Por comparação com a equação (15.77), concluise que (17.1) corresponde a uma onda de incidência zero sendo puramente refletida no infinito (r * → + ∞) e puramente absorvida no horizonte (r * → -∞) do buraco negro.

e

  multiplicarmos por Z * , integrando o resultado de -∞ a +∞, obteremos o valor médio do potencial efetivo U(r * ) = ω 2 -V (r * ), que é dado por Ū(r * ) = +∞ -∞ U(r * )|Z| 2 dr * +∞ -∞ |Z| 2 dr * . (17.5)

. 8 )d 2 φ dr 2 *

 82 O método consiste em associar um conjunto de parâmetros p ao potencial (eles podem já pertencer ao potencial ou podem ser introduzidos como fatores de escala) e submeter as funções envolvidas na equação acima à transformação formalr * -→ir * e p-→π(p),(17.9) de modo que o potencial transformado U(r * ; Ω; p) = V (-ir * ; ω(p ′ ); p ′ ) (17.10) constitua uma barreira de potencial real, onde Ω(p) = ω(p ′ ), (17.11) φ(r * ; p) = ψ(-ir * ; p ′ ) (17.12) e + (-Ω 2 + U)φ = 0. (17.13) As condições de fronteira para modos quase-normais se reduzem a φ(r * ; p) ∝ e -Ωr * (r * → + ∞), ∝ e +Ωr * (r * → -∞).

(17. 14 )

 14 Para Ω(p) real não-negativo, as equações(17.13) e (17.14) correspondem à equação de Schrödinger independente do tempo, -d 2 ψ dx 2 + V ψ = Eψ, onde E denota a energia do sistema, aqui identificada com -Ω 2 , o potencial é dado por -U e as condições de fronteira são apropriadas para estados fundamentais. Os MQN associados ao potencial V (r * , ω) podem ser determinados pela transformação inversa ω(p) = Ω(π -1 (p)) e ψ(r * ; p) = φ(ix; π -1 (p)) (17.15) e pelo restabelecimento dos valores originais dos parâmetros.

Proposição 17 . 2 . 1 .

 1721 As frequências de MQN para o potencial -U P T são dadas porω n = ±(U 0n = 0, 1, 2, . . .(17.19)Demonstração. Substituindo (17.16) em (17.13) e fazendo uso da definição da coordenada tartaruga, as soluções que satisfazem as condições de fronteira(17.14) produzem coeficientes de reflexão e transmissão dados porR(ω) = Γ(-i ω α )Γ(1 + β + i ω α )Γ(-β + i ω α ) Γ(i ω α )Γ(1 + β)Γ(-β) β + i ω α )Γ(-β + i ω α ) Γ(1 + i ω α )Γ(i ω α )

1 2Proposição 17 . 2 . 2 . 26 ) 28 )

 117222628 , n = 0, 1, 2, . . .(17.22) Como o buraco negro de Schwarzschild verifica as condições(17.6) e 4U 0 > α 2 , temos o resultado desejado. Segundo o método dos potenciais parametrizados, as frequências quase-normais do buraco negro de Schwarzschild são dadas pela expressão (aproximada)ω n = ω 0 + iΓ n , (n = 0, 1, 2, . . .),(17.23)ondeω 0 = γ 0 {j(j + 1Nessas equações, σ = 0 para fótons e σ = -3 para grávitons. Demonstração. A partir dos resultados do capítulo 15, podemos mostrar que o buraco negro de Schwarzschild possui um potencial efetivo dado por U(r * ) = ε(1 -Na equação (17.27), σ = 0 para fótons e σ = -3 para grávitons; o parâmetro ε > 0 vale 1 para perturbações em buracos negros. Efetuando-se a transformação (17.9) com π(M, ε) = (-iM, -ε), as frequências quase-normais do buraco negro de Schwarzschild são dadas por ω = ω 0 + iΓ = Ω(iM, -1), (17.29) mas, como dito anteriormente, não foi possível se determinar analiticamente a quantidade Ω(M, ε). As expressões (17.23)-(17.24) foram obtidas a partir da fórmula (17.19), considerando que o potencial efetivo (17.27) apresenta um único máximo r 0 que r 0 e r = My 0 estão relacionados por (17.28). Para maiores detalhes, conferiro apêndice B de[START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF].A determinação dos MQN do buraco negro de Kerr é complicada pelo fato de que os potenciais podem ser complexos e dependerem da frequência de radiação ω bem como do momento angular J = aM do buraco negro. O método descrito acima pode ser aplicado, desde que seja escolhido um conjunto de parâmetros adequado a fim de produzir um potencial real. Ferrari e Mashhoon[START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF] determinaram explicitamente os MQN do buraco negro de Kerr para um caso restrito em que se evita o aparecimento de potenciais complexos.Proposição 17.2.3. As frequências quase-normais do buraco negro de Kerr com rotação lenta (a ≪ M) e na aproximação eikonal (j ≫ 1) são dadas porω n = ω 0 + iΓ n , = 0, 1, 2, ...(n ≫ j),(17.33)onde j e γ 0 estão definidos por (17.25) e (17.26).Demonstração. Considerando apenas os termos lineares em a M , pois a ≪ M, e usando o fato de que na aproximação eikonal ω 0 é proporcional a j, o potencial efetivo para o buraco negro de Kerr é aproximadamente U(r * , ω) ≈ (1 -

d 2 ψ dr 2 * 2 r 1 [

 221 + Q(r * , ω)ψ = 0, (Q = ω 2 -V ),(17.35) onde Q(r * , ω) é o potencial efetivo que no caso quântico é real e, para os buracos negros, pode ser complexo. Proposição 17.2.4. (Fórmula de Schutz-Will) Considere a equação (17.35) na qual Q representa uma barreira de potencial efetivo com pico em r 0 . Então vale a relaçãoQ 0 = ±i[2Q ′′ 0 ] onde Q 0 = Q(r 0 ).Demonstração. Da equivalência já mencionada entre a equação (17.35) e a equação de Schrödinger unidimensional para uma partícula encontrando uma barreira de potencial, segue a validade da regra de Bohr-Sommerfeld, r Q(r * )]

Proposição 17 . 2 . 5 . 2 0= n 2 + 2 ( 17 . 47 ) e 2 3 =( ω 2 -ω 2 -

 172522217472322 As frequências de MQN do buraco negro de Kerr correspondem às raízes da equação (r 0 + 1)n + r 0 ,β r n = -2n 2 + (c 1 + 2)n + c 3 , γ r n = n 2 + (c 2 -3)n + c 4c 2 + Temos que β n -α n γ n+1 β n+1 -α n+1 γ n+2 β n+2 -α n+2 γ n+3 β n+3 -... = β n -α n γ n+1 β n+1 -α n+1 γ n+2 β n+2 -α n+2 γ n+3 β n+3 -... . c 0 = 1siωω 2 (4 + 2ba 2 ) -2amωs -1 + (2 + b)iω -Q + 4ω + 2i b am), c 4 = s + 1 -2ω 2 -(2s + 3)iω -4ω + 2i b ( am), (b = √ 1 -4a 2 ).(17.48)Demonstração. Utilizando a forma generalizada da solução de Jaffé para as equações gerais de Teukolsky, é possível expressar a parte radial da perturbação como uma expansão de potências de ( r-r + r-r -), cujos coeficientes d n obedecem à relação de recorrência α r 0 d 1 + β r 0 d 0 = 0, α r n d n+1 + β r n d n + γ r n d n-1 = 0, n = 1, 2, . . .(17.49) 

) onde α n = n 2 + ( 2 -

 22 2iω)n -2iω + 1,β n = -(2n 2 + (2 -8iω)n -8ω 2 -4iω + Q -2 -(s 2 -1)), γ n = n 2 -4iωn -4ω 2 -(s 2 -1) -1.

  Exemplo 3.1.3. Exemplos importantes de subespaços do R n incluem: o círculo S n-1 e o disco fechado D n , respectivamente formados pelos pontos p ∈ R n tais que p = 1 ou p ≤ 1, assim como o semi-espaço H n , constituído das ênuplas (x 1 , ..., x n ), com x n ≥ 0.

	Categoria
	Grosso modo, pode-se dizer que um espaço topológico é aquele no qual se
	sabe dizer qualitativamente quando dois pontos estão próximos. Com efeito, eles o
	estarão se um pertencer a uma vizinhança básica do outro. Assim, de modo ainda
	mais sucinto, um espaço topológico é um conjunto dotado de uma noção adicional
	de proximidade.
	Um subconjunto U ⊆ X que pode ser escrito em termos de vizinhanças básicas segundo τ recebe o nome de τ -aberto. Diz-se que o conjunto dos τ -abertos constitui
	a topologia gerada por τ em X. Como logo se convence, diferentes bases podem
	gerar a mesma topologia. Isto reforça o fato de que o conceito de aberto é mais
	importante que o de vizinhança.
	Exemplo 3.1.1. O R n é um espaço topológico enquanto dotado da regra τ , que a
	cada p ∈ R n faz corresponder o conjunto τ (p) das bolas abertas B r (p) de centro p e raio r. Estas são formadas de todo q cumprindo q -p < r. Com respeito a esta estrutura, os abertos do R n são simplesmente os conjuntos que se escrevem como
	reunião de bolas abertas.
	Exemplo 3.1.2. Toda base num espaço topológico X pode ser restringida a um
	subconjunto arbitrário A ⊂ X, fazendo deste um outro espaço topológico. Mais

A topologia é a parte da matemática que permite discernir o que é local daquilo que é global. Intuitivamente, uma propriedade é local quando vale nas vizinhanças de cada ponto. Por sua vez, ela é global quando vale no espaço inteiro. Assim, o conceito fundamental para discernir local do global é o de vizinhança.

Um espaço topológico é aquele dotado de uma regra que dá vizinhanças a pontos, sendo estas compatíveis num certo sentido. De maneira mais precisa, um espaço topológico é um conjunto X dotado de uma regra τ , denominada base, responsável por associar uma família de subconjuntos τ (p) de X, todos contendo p e sendo tais que • dados B p ∈ τ (p) e B q ∈ τ (q) não-disjuntos, para todo a ∈ B p ∩ B q existe um B a ∈ τ (a) inteiramente contido nesta interseção.

Os elementos de τ (p) chamam-se vizinhanças básicas (ou fundamentais) de p segundo τ . Desta forma, a condição anterior implica, em particular, que num espaço topológico cada ponto admite vizinhanças arbitrariamente pequenas. precisamente, se τ é base em X, então a regra τ | A , que a cada p ∈ A associa o conjunto formado de todas as interseções B p ∩ A, com B p ∈ τ (p), é base em A.

Enquanto dotado desta estrutura, diz-se que A é um subespaço topológico de X.

  contínuas e universais no sentido do segundo dos diagramas acima. Com efeito, dadas bases τ em X e τ ′ em Y , a regra τ ⊔ τ ′ , que a cada a em X ⊔ Y associa τ (a) ou τ ′ (a) conforme a ∈ X ou a ∈ Y , serve de base.

	continuamente deformado no outro sem que se tenha que rasgar, furar ou colap-Em topologia, pode-se construir diversos invariantes olhando-se simplesmente
	sar dimensões. Assim, por exemplo, espera-se que quaisquer duas bolas abertas para propriedades adicionais satisfeitas pelos abertos de um espaço. Exemplos inte-
	sejam homeomorfas. Com efeito, para sair de uma e chegar na outra, basta trans-ressantes são a compacidade e a propriedade de Hausdorff. Elas são restrições sobre
	ladar/esticar, que são operações contínuas. Em contrapartida, por menor que seja a quantidade de abertos que um espaço possui.
	a bola, não se deve esperar que ela seja homeomorfa a um só ponto (pois aqui se Com efeito, um espaço compacto é aquele que, de toda cobertura por abertos,
	teria que colapsar dimensões). Da mesma forma, tais bolas não haverão de ser ho-pode-se encontrar um número finito de abertos que ainda cobrem o espaço todo. Por
	meomorfas ao conjunto obtido retirando-se delas um ponto. Afinal, este processo sua vez, um espaço de Hausdorff é aquele no qual quaisquer dois pontos possuem
	consiste exatamente em furar a bola, o que é proibido para os homeomorfismos. vizinhanças básicas disjuntas.
	Na verdade, a categoria Top é completa e cocompleta. Para ver isso, uma vez que temos produtos e coprodutos, pelo teorema de existência de limites e colimites, basta construirmos equalizadores e coequalizadores. Para equalizadores, dados mapas f, g : X → Y , tome o equalizador em Set (que é o subconjunto de X no qual f e g coincidem) e considere-o com a topologia do subespaço. Para coequalizadores, mais Vejamos outro exemplo: espera-se que o cilindro infinito S 1 × R seja homeomorfo ao cilindro finito S 1 × (-ε, ε), seja qual for o ε > 0. Entretanto, por menor que se Exemplo 3.2.1. O R n é um espaço de Hausdorff: dados p, q ∈ R n , escolhendo r, s > 0 suficientemente pequenos, as bolas B r (p) e B s (q) tornam-se disjuntas. Todo escolha o ε, nunca se obterá um espaço homeomorfo ao círculo. De fato, para que subespaço de um espaço Hausdorff também admite tal propriedade. Isto significa que isto acontecesse seria necessário colapsar a "dimensão altura". o "invariante Hausdorff" é preservado por restrições. O mesmo não se passa com a Como comentamos, a topologia se diferencia da análise pela existência de ma-compacidade. Com efeito, pode-se mostrar que um subespaço do R n é compacto se, e neiras universais de projetar e incluir. Gostaríamos de evidenciar um fato crucial somente se, ele cabe dentro de alguma bola, ao mesmo tempo que seu complementar que também diferencia esta disciplina da álgebra. é aberto. Disto segue que o R n inteiro não é compacto, mas a esfera S n e o disco D n Iniciamos relembrando que duas estruturas algébricas X e Y são isomorfas o são. O semi-espaço H n também não é compacto. quando existem mapas f : X → Y e g : Y → X, os quais preservam as ope-Outros tipos de invariantes estão relacionados com a quantidade de "pedaços" que rações envolvidas e cujas composições g • f e f • g coincidem com as respectivas identidades. O fato fundamental que permeia a álgebra é o seguinte: para que um um espaço possui e com a maneira de contar esta quantidade. Os mais simples são
	uma vez calcule-o em Set, resultando no quociente de Y pela relação que identifica morfismo f seja isomorfismo, basta ser bijetivo. Pois, neste caso, sua inversa (em conexidade e conexidade por caminhos. Um espaço conexo é aquele que não admite
	Set) é obrigatoriamente linear. Em suma, na álgebra, os isomorfismos são precisa-cobertura formada por abertos, sendo todos eles disjuntos. Se admitisse, então os f (x) ∼ g(x), e então considere uma "topologia universal". Neste caso, a topologia em questão é a chamada topologia quociente. mente as funções inversíveis e lineares. abertos da cobertura seriam as componentes conexas do espaço e se refeririam aos
	Esta mesma condição não é satisfeita em Top. De fato, existem funções que "pedaços" que constituem o espaço.
	são contínuas, bijetivas, mas cuja inversa é descontínua. Este é o caso da aplicação 3.2 Classificação exp : (0, 2π] → S 1 , definida por exp(t) = (cos t, sin t) = e it .
	Consideramos aqui o problema de classificar a categoria Top. Em outras pa-
	lavras, buscamos determinar se dois espaços topológicos X e Y são ou não homeo-Invariantes
	morfos (isto é, isomorfos em Top). Eles o serão quando existirem funções contínuas Como já comentamos, problemas de classificação são, em geral, muito difíceis
	de se resolver. Neste sentido, a busca por invariantes se torna de suma importância: f : X → Y e g : Y → X cujas composições produzem identidades. Mais precisa-para cada invariante obtido tem-se uma condição necessária para que dois objetos mente, quando valem as condições g • f = id X e f • g = id Y . Intuitivamente, dois espaços serão homeomorfos se, e somente se, um puder ser sejam isomorfos.

  C , que aqui será denotado por H C C, estar bem definido. Os isomorfismos lá presentes são usualmente chamados de C-equivalências homotópicas.

	Nota-se que a relação ≃ C é compatível com composições, donde o quociente
	C/ ≃
	Afirmamos que a relação ≃ C é realmente de equivalência. Para a reflexividade, dado um morfismo f qualquer, tome H = f • π X . Para a simetria, observe que, se H é C-homotopia entre f e g, então H •τ X é C-homotopia entre g e f . A transitividade é evidente, concluindo o que havíamos afirmado.

  Se tomamos o disco D n e identificamos seu bordo num único ponto, obtemos a esfera S n , a qual não é contrátil, pois tem o mesmo tipo de homotopia que R n -0 (primeiro dos diagramas abaixo). Por sua vez, sabemos que D n é contrátil e, portanto, homotópico a um ponto. No entanto, o segundo dos pushouts abaixo resulta no próprio D n . Assim, ainda que troquemos objetos de um diagrama por

	Ainda assim, pode-se mostrar que ali existem produtos e coprodutos. Estes são simplesmente passagens ao quociente segundo o functor π : C → H C . possuir a mesma homotopia. Ps D n o o Ps ′ * o o * O O S n-1 o o ı O O * O O S n-1 o o ı O O Exemplo 4.1.4. E se ao invés de considerarmos diagramas com objetos homotópicos passarmos a olhar para diagramas com morfismos homotópicos? Ainda assim, os correspondentes limites podem não ter a mesma homotopia. Com efeito, o primeiro dos pullbacks abaixo resulta no produto S n-1 × S n-1 . Como D n é contrátil, sua identidade é homotópica a uma (e, portanto, qualquer) aplicação constante. Seja c tal aplicação. Colocando-a no lugar da identidade, vê-se que o pullback resultante ou é formado de um só ponto (se c(x) ∈ S n-1 ), ou então é vazio. Pb / / D n id Pb ′ / / D n c S n-1 ı / / D n S n-1 ı / / D n Os exemplos anteriores nos sugerem que, ao invés de limites e colimites em H C , torna-se mais coerente considerar limites e colimites homotópicos. Grosso modo, estes são obtidos substituindo-se a exigência de comutatividade e de universalidade de diagramas por "comutatividade e universalidade a menos de homotopia". Estes, diferente dos limites e colimites, sempre existem em H C . Com o intuito de exemplificar a diferença entre limites e limites homotópicos, observamos que a composição de kernels e cokernels usuais sempre é trivial. De Exemplo 4.1.3. outros com o mesmo tipo de homotopia, os correspondentes limites podem não fato, relembramos que o kernel e o cokernel de um dado f : X → Y correspondem, respectivamente, aos limites abaixo.

  r e s são equivalências homotópicas. Como consequência, dentro de

	fibrações e cofibrações. Com efeito, através delas fica fácil mostrar que fibrações
	e cofibrações são respectivamente invariantes por pullbacks e por pushouts, sendo
	ambas invariantes por composições.
	Também fica fácil mostrar que π 0 é fibração, enquanto que ı 0 é cofibração. Posto
	isto, pela invariância por pullbacks, π é fibração e ı é cofibração. De posse destes
	fatos, constrói-se homotopias H : s • π ⇒ id e H : ı • r ⇒ id, de modo que r e s são realmente equivalências homotópicas. Finalmente, utilizando de tais homotopias,
	sendo π 0 fibração e ı 0 cofibração, mostra-se que β e α também satisfazem respectivas
	propriedades. Pela invariância de tais classes por composições, segue-se, então, o
	afirmado.
	H C podemos realmente substituir qualquer mapa por uma fibração ou por uma
	cofibração. A prova de tais afirmações segue da nova caracterização dada para as

  Uma vez que Vec R possui biprodutos, segue-se que as estruturais monoidais definidas por produtos e por coprodutos são isomorfas, de modo que precisamos olhar somente para uma delas. Escolheremos a induzida por coprodutos.Da observação anterior, obtém-se duas estruturas monoidais em Vec X : uma proveniente do levantamento da soma direta ⊕ e outra associada ao levantamento do produto tensorial ⊗. Costuma-se dizer que tais levantentos são a soma e o produto de Whitney. Em particular, como ⊕ e ⊗ são compatíveis em Vec R , também o são em Vec X , fazendo de tal categoria uma categorificação dos semi-anéis.Em particular, para Top tem-se as regras X → B X e X → B X , as quais denotamos por B/ e /B . Desta forma, para um dado X, as respectivas categorias B/X e X/B são aquelas formadas dos fibrados que o tem como espaço base ou como espaço total. Por sua vez, se f : X

	Posto isto, observamos que as classes características legitimam-se na construção
	de novos invariantes a partir de um outro previamente fixado. Qual escolher? Como
	[-]

), de modo que as funções F • u ij são contínuas (pela continuidade de F ) e servem de coordenadas para F (π) nas correspondentes trivializações locais. Como consequência, F realmente assume valores em Vec X , o que é suficiente para o que havíamos proposto.

Teoria K

Como consequência do resultado anterior observamos que, se um bifunctor contínuo ⊗ define estrutura monoidal em Vec R , então seu levantamento induz estrutura monoidal em Vec X , seja qual for X. Por exemplo, se 1 ∈ Vec R é unidade para o produto ⊗, então a correspondente unidade para seu levantamento há de ser o fibrado trivial canônico com fibra típica F ≃ 1.

Ora, existem diversas estruturas monoidais naturais em Vec R : tem aquelas definidas por produtos e por coprodutos, assim como aquela definida pelo produto tensorial.

Consequentemente, o functor [-] : H C → Set, que a cada espaço X associa o conjunto das classes de isomorfismo de fibrados com base em X, em verdade assume valores na categoria dos semi-anéis. Compondo-o com a construção de Grothendieck (veja o exemplo do capítulo um), obtém-se um functor K : H C → Rng, o qual nos fornece um novo invariante algébrico e homotópico. Na verdade, ele define uma teoria de cohomologia conhecida como teoria K. Para detalhes, veja, por exemplo, o capítulo 24 de

[START_REF] May | A Concise Course on Algebraic Topology[END_REF] 

e a segunda parte do livro

[START_REF] Husemoller | Fibre Bundles[END_REF]

.

6.3 Invariantes

Relembramos haver um functor Iso, responsável por associar a cada categoria o conjunto das classes de isomorfismo de seus objetos. Se ı : C → Cat é um mergulho, então a composição Iso • ı, denotada por Iso ı , é functor de C em Set, o qual se vê covariante ou contravariante na medida em que tais condições são satisfeitas pelo mergulho ı. Fornecido um functor F : C → Set, uma classe característica de ı com valores em F é simplesmente uma transformação natural de Iso ı em F . Assim, a partir de um invariante, classes características nos fornecem outros.

No que diz respeito ao poderio e à calculabilidade destes novos invariantes, duas situações tornam-se particularmente interessantes:

1. quando cada ı(X) possui estrutura monoidal ou alguma outra estrutura algébrica interna a Cat. Neste caso, Iso ı assume valores não só em Set, mas na categoria dos monoides ou mesmo em outra categoria algébrica; 2. quando o functor Iso ı é representável, pois assim o lema de Yoneda nos diz exatamente quantas classes características com valores num dado F existem: se C é o objeto classificatório, então estas estão em bijeção com F (C). Procuremos por mergulhos que se enquadrem nas situações anteriores. Iniciamos observando que, se uma categoria C possui pullbacks ou pushouts, então existem maneiras naturais de mergulhá-la em Cat: tratam-se, pois, dos functores C/ e /C. ′ → X é uma função contínua, então B/f é o functor que a cada fibrado π : Y → X sobre X associa seu pullback f * Y → X ′ por f , ao passo que f /B é caracterizado por condição dual. Em seguida, notamos que, como as diversas classes de fibrados são invariantes por pullbacks, podemos olhar o functor B/ enquanto assume valores em cada uma delas, de modo a trabalhar com mergulhos de Top em Cat que possuam maiores propriedades e, em particular, que satisfaçam as condições requeridas. Por exemplo, como mapas homotópicos induzem pullbacks isomorfos de fibrados localmente triviais, o mergulho L B/, obtido restringindo-se a tal classe de fibrados, passa ao quociente e fica definido em H Top. Por sua vez, se olhamos para os Gfibrados principais, então Iso P G / é exatamente [-] G , de modo que, pelo teorema de classificação, é representável. Finalmente, se nos restringimos aos fibrados vetoriais, então a composição Iso Vec n corresponde a [-] n e, portanto, também é representável. Além disso, a soma de Whitney e o produto tensorial introduzem estruturas monoidais compatíveis em Vec X , fazendo com que [-] assuma valores na categoria dos semi-anéis. Assim, a categoria dos fibrados vetoriais parece ser o ambiente natural para se estudar classes características. n está definido em H Top, o invariante escolhido deve ser homotópico, o que nos leva a pensar nos functores de homotopia ou homologia. Por sua vez, sendo [-] n contravariante, há um direcionamento natural às cohomologias. Por fim, como [-] assume valores em Rng e o produto cup introduz estrutura de anél graduado nos grupos de cohomologia, é bastante razoável estudar as classes características associadas aos functores H * R . Ao longo de todo o capítulo, seguiremos esta estratégia.

  O caso não-trivial mais simples se dá quando R = Z 2 . Nesta subseção, determinaremos o anel H * (BO(n); Z 2 ), para qualquer n. Mais precisamente, mostraremos ser ele um anel de polinômios em certas variáveis w 1 , ..., w n , com coeficientes no corpo Z 2 .Iniciamos observando que a regra G → BG, que a cada grupo topológico associa o espaço classificatório a ele associado, preserva produtos a menos de homotopia. De fato, como cada parcela preserva produtos, o functor obtido da composição abaixo também os preserva.

	TGrp	2 2
	B	

Como o functor [-] n é representável, a determinação das classes características com valores em H * R se resume, pelo lema de Yoneda, ao conhecimendo do anel H * R (BO(n)). ı / / Grp B / / Gpd Ns / / sSet |-| / / Top / / H Top Há um mergulho natural de Z 2 ≃ O(1) n em O(n), o qual associa a cada lista de n números pares uma matriz diagonal formada por eles. Desta forma, aplicando B, como ele preserva produtos, obtém-se um mapa de n cópias de BO(1) em BO(n).

  Além disso, no que diz respeito ao problema de classificação, ela é suficientemente restrita a ponto de (já no contexto de diferenciabilidade) poder ser classificada. Finalmente, deve-se dizer que existem teorias de cohomologia naturais a ela associadas. Para um estudo mais geral de espaços modelados, incluindo orbifolds Numa variedade M dada, pode ser que nem todas as funções de transição sejam diferenciáveis, mas existam uma quantidade suficiente de cartas, capazes de cobrir todo o espaço subjacente, para as quais as mudanças de coordenadas tenham certa regularidade. Diz-se que tal conjunto de cartas define uma estrutura diferenciável Suponha obtida uma estrutura diferenciável A . Em tese, podem existir outras cartas cujas mudanças de coordenadas entre elas e elementos de A sejam diferenciáveis. Neste caso, adota-se a prática de redefinir A incluindo-as. Isto significa, em termos mais precisos, que sempre se toma o atlas maximal (segundo o ordenamento parcial gerado pela relação de continência) associado a um atlas diferenciável dado.Segundo as colocações anteriores, pode-se pensar numa variedade diferenciável como sendo um espaço topológico dotado de uma estrutura adicional, a qual nos permite falar de diferenciabilidade. Neste espírito, os mapeamentos entre variedades diferenciáveis haverão de ser as funções diferenciáveis. Isto é, correspondências entre os espaços subjacentes que preservam tal estrutura adicional (ou seja, que preservam o conceito de diferenciabilidade). entre eles, chamadas de difeomorfismos, cujas composições g • f e f • g coincidem com identidades. Por exemplo, as cartas locais x : U → R n são sempre difeomorfismos entre U e x(U), como rapidamente se constata.Com estas definições em mente, questões naturais são as seguintes:1. existência: admitirá, toda variedade, uma estrutura de classe C k ? Em outras palavras, admitirá a inclusão ı : Diff → Man um adjunto? A resposta é negativa. Veja[START_REF] Kervaire | A Manifold with does not admit any Differentiable Structure[END_REF][START_REF] Milnor | On manifolds homeomorphics to the 7-sphere[END_REF]. Em contrapartida, por uma resultado devido a Whitney, se uma variedade admite estrutura C 1 , então também admite estrutura C ∞

	e diffeological spaces (que são abstrações completas e cocompletas das variedades),
	sugerimos o texto [95].
	7.2 Diferenciabilidade
	(confira o segundo capítulo de [37], ou mesmo [2]);

Ainda que Man não possua muitos limites/colimites, continuaremos a trabalhar com ela. Isto por diversos motivos. Em primeiro lugar, tal classe de espaços nos permite abstrair o conceito de diferenciabilidade, como será feito na próxima seção.

As variedades M são espaços espaços modelados por algum espaço euclidiano (ou, mais geralmente, por semi-espaços destes). Posto isto, espera-se que nelas o conceito de diferenciabilidade faça sentido. A ideia é a seguinte: cada ponto de M admite uma vizinhança equivalente a um aberto do R n . Nele, sabe-se falar de diferenciabilidade. Por meio da equivalência, tal conceito pode ser estendido à referida vizinhança. Em suma: cada carta local num ponto p induz uma noção de diferenciabilidade nas vizinhanças de p.

Ocorre que um mesmo ponto pode admitir diferentes cartas, as quais, em tese, podem induzir distintas noções de diferenciabilidade. Neste espírito, uma variedade diferenciável seria aquela na qual diferentes cartas induzem noções de diferenciabilidade compatíveis. Ora, a passagem de uma carta para outra é feita através das funções de transição. Assim, a compatibilidade de sistemas de coordenadas há de se traduzir na diferenciabilidade das funções que fazem a transição entre eles. Isto é, uma variedade diferenciável há de ser aquela na qual as funções de transição são diferenciáveis. Da mesma forma, uma variedade C k seria aquela cujas mudanças de coordenadas possuem tal regularidade.

(ou um atlas diferenciável ) em M.

Observação:

De maneira mais precisa, um mapa f : M → N é dito diferenciável quando, escolhido p ∈ M ao acaso, existem cartas x e y, respectivamente definidas nas vizinhanças de p e de f (p), tais que a aplicação y • f • x -1 , chamada de expressão de f em tais cartas, é diferenciável. Definição análoga no que diz respeito a funções com maior regularidade.

Duas observações:

1. o conceito de regularidade de funções entre variedades não é intrínseco (pois faz-se uso explícito de cartas locais em sua definição), mas está bem definido.

Isto significa que, se a expressão de f tem certa regularidade com respeito a certas cartas definidas nas vizinhanças de p e de f (p), então também a terá relativamente a quaisquer outras cartas nas proximidades destes mesmos pontos; 2. os sistemas de coordenadas tem regularidade máxima. Mais precisamente, se uma variedade possui classe C k , então todas as suas cartas locais também são de classe C k . Isto faz com que a classe de diferenciabilidade de um mapa qualquer f : M → N nunca exceda a menor entre as classes de M e de N.

Juntando variedades diferenciáveis com os correspondentes mapeamentos entre elas, obtém-se uma categoria Diff, a qual delimita uma parte da análise. Nela, dois objetos são isomorfos (também ditos difeomorfos) quando existem funções diferen-ciáveis f e g 2. unicidade: se uma mesma variedade admite duas estruturas diferenciáveis maximais distintas, serão elas difeomorfas? A resposta também é negativa.

Um contraexemplo, obtido por Milnor em

[START_REF] Milnor | On manifolds homeomorphics to the 7-sphere[END_REF]

, se refere à existência de esferas exóticas. Estas são espaços homeomorfos a S n , mas que admitem estruturas diferenciáveis não difeomorfas a S n com sua estrutura usual. Sabe-se que o espaço obtido colando-se dois discos D n ao longo de seus bordos é homeomorfo à esfera S n . O que Milnor fez foi mostrar que, para n = 7, tal espaço é uma esfera exótica.

  GL(n)-fibrado principal a ele associado também admite uma interpretação em termos de referenciais. Com efeito, ele pode ser visto como o ente cujas fibras são as bases de cada E p e no qual, como antes, GL(n) age por meio de mudanças de bases. Assim, a redução GL(n) → O(n) aqui também pode ser interpretada em termos da existência de produtos internos em cada uma das fibras E p , os quais, por sua vez, correspondem a uma seção num fibrado descendente de E que satisfaz propriedades específicas. Como antes, a existência de seções deste tipo em geral estão sujeitas às obstruções fornecidas por classes caracteristicas. Em suma, o diagrama anterior faz sentido no contexto mais amplo de qualquer fibrado vetorial.Advertência. Ainda que, sob a possibilidade de estudar geometria (no sentido de construção de seções com propriedades específicas) no contexto mais amplo dos fibrados vetoriais arbitrários, manteremos nosso foco em T M. Isto por diversos motivos: em primeiro lugar, a teoria passa a admitir um caráter mais intuitivo. Por outro lado (e talvez este seja um argumento mais convincente), as seções básicas de T M são os campos de vetores. Estes, como veremos, pelo teorema de existência de soluções para EDO's, induzem um grupo a um parâmetro de difemorfismos na vari-Em particular, verificamos que d k+1 • d k = 0, de modo que a sequência de tais operadores define um complexo de cocadeias, fornecendo-nos uma teoria de cohomologia na categoria Diff . Trata-se da cohomologia de De Rham.

	Concluímos o texto na terceira seção, onde estudamos os campos tensoriais alter-
	nados, usualmente chamados de formas diferenciais. Lá generalizamos o processo de
	diferenciação clássico, que associa a cada função real sua diferencial, para o que se
	conhece como diferenciação exterior. Nele podemos diferenciar não só funções (que

gente, aos quais se requerem certas propriedades. Nem todas as variedades admitem quaisquer seções. Com efeito, as classes de Stiefel-Whitney de M costumam ser empecilhos. É neste sentido que os invariantes w i (M) são obstruções à introdução de estruturas geométricas em M. Por exemplo, tais classes impedem a introdução de uma estrutura Lorentziana em S 4 , de modo que a esfera quadridimensional não serve como modelo para descrever o universo! secções classes + 3 caractersticas + 3 redução dos referenciais + 3 geometria Observação. Os mesmos tipos de interpretações e colocações anteriores se estendem a fibrados n-planos mais genéricos que T M. De fato, se π : E → X é um fibrado n-plano arbitrário, então o edade M, permitindo-nos estudar geometrias (isto é, seções) que ficam invariantes ele. Estas possuem propriedades simétricas adicionais, facilitando seu estudo. Com as colocações anteriores em mente, no próximo capítulo estudamos as seções, enquanto que no seguinte estudamos as reduções e analisamos diversos exemplos de geometrias obtidas seguindo a linha anterior. Na sequência, estabelecemos a existência de fluxos associados a campos vetoriais e utilizamos destes para falar de geometrias localmente simétricas. Capítulo 8 Seções Como comentamos ao final do capítulo anterior, diferentes geometrias em geral se traduzem por meio de diferentes reduções no fibrado dos referenciais. Tais reduções, por sua vez, costumam ser implementadas por "seções regulares" de fibrados descendentes de T M. Ocorre que a existência de seções depende de obstruções, impedindo que, em geral, uma variedade admita muitas geometrias distintas. Com as colocações anteriores em mente, iniciamos o capítulo definindo o que vem a ser uma seção. Estas fazem sentido em qualquer categoria. No entanto, dentro do contexto dos fibrados, se traduzem simplesmente em escolhas contínuas de elementos em fibras. Na sequência, ainda na primeira seção, atacamos o problema da existência de seções e mostramos que, de fato, existem obstruções topológicas, as quais são dadas por classes características. Na segunda seção partimos, então, ao estudo das seções em fibrados vetoriais descentes de T M (afinal, são tais seções que implementam reduções no fibrado dos referenciais e, portanto, que produzem geometria). Damos especial enfoque aos campos tensoriais, os quais correspondem às seções de fibrados tensoriais.

são tidas como formas de grau zero), mas também qualquer outra forma diferencial.

Mais precisamente, definimos operadores lineares d k , responsáveis por associar a cada k-forma uma outra de grau k + 1.

  que a cada variedade associa o espaço de seus campos. Dotando cada X(M) com comutador usual de campos, vê-se que tal functor em verdade assume valores na categoria das álgebras de Lie. Além disso, ele associa cada grupo de Lie à sua correspondente álgebra. Isto nos leva a definir Lie como sendo simplesmente a restrição de X a GLie, como representado no diagrama abaixo.

	GLie	4 4
	Lie	

ı / / Diff X / / ALie Assim, fornecido um morfismo f : G → H, o mapa Lie(f ) : g → h é simplesmente aquele que a cada campo invariante devolve seu pushforward por f . Em outras palavras, como g ≃ T G e tem-se simplesmente Lie(f ) = Df e . Exemplo 10.2.1. Como rapidamente se verifica, se um grupo de Lie G é abeliano, então sua álgebra de Lie, introduzida da maneira acima, é comutativa e, consequentemente, associativa. Isto significa que o colchete nada introduz à álgebra de um grupo abeliano. Em particular, os morfismos entre g e qualquer outra álgebra nada mais são que transformações lineares entre os espaços subjacentes.

  13.1.2 está determinada de forma única por três parâmetros, denotados Q * , M e a. A interpretação física dessas quantidades decorre de uma análise dos tipos de buracos negros. A constante M corresponde à massa do buraco negro, pois das expressões(13.24) segue que a forma assintótica da métrica de Schwarzschild para

	r→+∞ representa o espaço-tempo exterior a uma distribuição esférica de massa
	inercial M. A função ω na forma geral da métrica, expressa pela equação (13.1),
	representa o arrasto do referencial inercial, isto é, uma partícula em repouso em
	relação a uma base ortonormal do espaço-tempo terá uma velocidade angular ω
	numa base canônica ([19], pp.69-70). Decorre do comportamento assintótico de ω
	em (13.24) que a deve ser interpretado como o momento angular por unidade de
	massa do buraco negro. Finalmente, segue das equações de Maxwell para a métrica
	de Reissner-Nordström que o único componente não-nulo do tensor de Maxwell é
	dado por ([19], capítulo 5)

  Kerr é o fato de que a superfície g tt = 0 não coincide com o horizonte de eventos r = r + . A região entre essas duas superfícies denomina-se ergoesfera e nela o vetor de Killing ∂

		∂t
	torna-se de tipo-espaço. Desse comportamento resulta que uma partícula material
	que se encontre na ergoesfera pode extrair energia do buraco negro; tal fenômeno
	é conhecido como processo de Penrose. Em geral, o ganho de energia δM e de
	momento angular δJ está sujeito à desigualdade	
	2r + MδM≥aδJ	(13.33)
	que, por sua vez, limita a quantidade de energia que pode ser extraída do buraco
	negro ([19], pp.366-375).	

  Nesse capítulo será introduzida a base matemática para o estudo das perturbações das métricas descritas no capítulo anterior. O estudo completo das perturbações em buracos negros só foi possível graças a uma abordagem diferenciada das equações de Einstein via formalismo de Newman-Penrose. Tratado mediante tal formalismo, o problema adquire um caráter algébrico e -o que é mais importante -as equações são extremamente simplificadas para o caso dos buracos negros. intrínseca conexão com os cones de luz foi levada adiante por Penrose no desenvolvimento do conceito de twistor, com o intuito de estabelecer a estrutura relativística do espaço-tempo como uma consequência lógica do comportamento da luz. O leitor interessado nesse assunto bem como nas tentativas de quantização da

	Inicialmente serão introduzidas as noções de base de tétrades e coeficientes de
	rotação, juntamente com as equações fundamentais da teoria. O formalismo de
	Newman-Penrose é então definido como aquele em que as tétrades são vetores de
	tipo-luz que obedecem certas condições. Também serão apresentadas as quantida-
	des fundamentais do formalismo -a saber, os escalares de Weyl, Ricci, Maxwell
	e os coeficientes de spin -bem como as transformações possíveis nessas quantida-
	des. Finalmente, será determinada a base de Newman-Penrose a ser utilizada em
	capítulos futuros bem como a expressão da solução geral para buracos negros via
	formalismo de Newman-Penrose, manifestando o caráter simplificado dos buracos
	negros quando descritos em tal formalismo.
	Nesse capítulo, a escrita foi guiada pelos textos clássicos [73] e [74] a cerca do
	formalismo espinorial, iniciado por Cartan e largamente desenvolvido por Roger Pen-
	rose e outros. O formalismo de Newman-Penrose é elegantemente descrito através de
	espinores; sua

  , σ, λ e ν, na base escolhida. Quando o buraco negro de Kerr é perturbado gravitacionalmente, tais quantidades deixam de se anular e adquirem valores de primeira ordem de grandeza. No que segue, as equações que governam as perturbações nessas

	quantidades serão obtidas e separadas de forma análoga ao procedimento realizado
	para os fótons. Um estudo completo do problema, envolvendo a perturbação nas
	demais quantidades da geometria de Kerr aqui não consideradas, é extremamente
	complexo -envolvendo as relações de comutação (14.11) e um conjunto maior de
	identidades de Ricci (14.12) e Bianchi (14.13) -e pode ser encontrado no capítulo
	9 de [19].
	Grávitons
	Ao contrário do campo eletromagnético, não se conhece uma definição geral
	para o tensor energia-momento do campo gravitacional. Dessa forma, não existe
	um análogo das equações de Maxwell para os grávitons. Portanto, a fim de se
	estudar o comportamento das ondas gravitacionais incidentes no buraco negro de
	Kerr, é preciso analisar as perturbações nas componentes da métrica.
	Como vimos no capítulo 14, a descrição do espaço-tempo de Kerr (assim como de

) resultando nas equações (15.10)-(15.13). Observação. A constante de separação Q é única porque as equações (15.12) e (15.13) são conjugadas complexas de modo que as funções S +1 e S -1 admitem o mesmo conjunto de autovalores; tais equações podem ser expandidas e resolvidas a fim de se obter a constante de separação. Além disso, observando (15.10) e (15.11), podemos concluir que ∆R +1 e R -1 também satisfazem equações conjugadas complexas. As equações (15.10)-(15.13) e as funções R ±1 e S ±1 são denominadas, respectivamente, equações de Teukolsky e funções de Teukolsky. todos os buracos negros) no formalismo de Newman-Penrose é bastante simplificada pelo anulamento dos escalares de Weyl, Ψ 0 , Ψ 1 , Ψ 3 e Ψ 4 , e dos coeficientes de spin, κO comportamento dos escalares de Weyl, Ψ 0 , Ψ 1 , Ψ 3 e Ψ 4 , e dos coeficientes de spin, κ, σ, λ e ν, é descrito pelas quatro identidades de Bianchi e pelas duas identidades de Ricci 1 , dadas por

  A razão para a escolha dessas seis equações, dentre todas possíveis, reside no fato de elas serem matematicamente simples, pois são homogêneas e lineares nas quantidades consideradas, Ψ 0 , Ψ 1 , Ψ 3 , Ψ 4 , κ, σ, λ e ν. Como as perturbações nessas quantidades são de 1 a ordem, todas as demais

	.27)
	Com essas equações em mãos, podemos determinar como se dá a evolução da per-
	turbação do campo gravitacional sobre um espaço-tempo produzido por um buraco
	negro de Kerr. Esse é o resultado da proposição seguinte.
	Proposição 15.1.2. A propagação de grávitons no espaço-tempo de Kerr é gover-

1 

quantidades podem ser substituídas por seus valores não-perturbados (

[START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]

, p.431).

  1 [P s(1), P s (2)],(15.57) onde P s (1) e P s (2) são soluções distintas da equação de Teukolsky correspondentes a Z 1 e Z 2 . Como Z 1 e Z 2 são independentes, seu wronskiano será constante. No entanto, quando 0 < ω < ω s , o potencial V se torna singular em r = |α| e a equação (15.56) precisa ser analisada, separadamente, nos dois ramos de r * (r + < r < |α| e r > |α|). Nesse caso, o wronskiano assumirá valores constantes nos dois ramos, não necessariamente idênticos. Em[START_REF] Dadam | Oscilações de Buracos Negros[END_REF], demonstra-se que os valores são, na verdade, idênticos a menos de mudança de sinal ao cruzar a singularidade r = |α| -mudança essa que traz implicações físicas importantes (ver seção 15.3).

Antes de partir para a determinação de soluções explícitas para o potencial V nos casos s = 1 e 2, precisamos ressaltar que todo o raciocínio feito para P +s pode ser aplicado à equação (15.37), que governa P -s , resultando em

Λ 2 Y + P Λ + Y -QY = 0

(15.58)

que é conjugada complexa da equação

(15.44)

. As soluções das equações (15.44) e (15.58) serão distinguidas por Y (+ω) e Y

  .86)O potencial V + denomina-se potencial de Zerilli e dá origem às perturbações polares da métrica de Schwarzschild, caracterizadas por não induzirem rotação no buraco negro. O potencial V -denomina-se potencial de Regge-Wheeler e está associado às ], pp.70-73)ds 2 = e 2ν (dt) 2e 2ψ (dϕq 2 dx 2q 3 dx 3ωdt) 2e 2µ 2 (dx 2 ) 2e 2µ 3 (dx 3 ) 2 , (15.87)a qual descreve espaços-tempo que não são estacionários nem axissimétricos. As perturbações polares da métrica de Schwarzschild (13.30) produzem alterações nas funções ν, ψ, µ 2 e µ 3 , enquanto que as perturbações axiais resultam em valores nãonulos para as quantidades ω, q 2 e q 3 . A terminologia polar/axial se justifica pelo efeito nas componentes da métrica perturbada (15.87), provocado por uma reversão no sinal da coordenada ϕ: não há efeito se a perturbação é polar, enquanto que, para o caso axial, as funções ω, q 2 e q 3 mudam de sinal 4 .Os potenciais gerados no buraco negro de Schwarzschild, assim como aqueles associados ao buraco negro de Kerr, apresentam decaimento exponencial em r

	o conceito de objeto espinorial seja um tanto abstrato, existem fenômenos físicos seguir:
	que sugerem sua existência na natureza (veja, por exemplo, [74], pp.55-56), como
	o estado de elétrons, prótons e nêutrons, provenientes de formas alternativas das
	equações de Dirac.
	Os resultados da teoria da perturbação de buracos negros possibilitaram com-provar que o buraco negro de Schwarzschild é, de fato, completamente estável [88], Capítulo 16
	isto é, assumindo a existência de fenômenos físicos que assegurem a formação de
	uma massa esférica colapsada e a consequente produção do buraco negro de Schw-arzschild, tal objeto continuará a existir. Para o buraco negro de Kerr, a questão Buracos Negros Carregados
	de sua estabilidade diante de pequenas perturbações foi alvo de muita discussão
	durante muito tempo, motivando o estudo de soluções das equações de perturbação
	para frequências complexas, denominadas modos quase-normais, que é o assunto do
	capítulo 17.
	16.1 Kerr-Newman
	pretação física, no caso mais geral dos potenciais complexos associados ao buraco O estudo das perturbações gravitacionais do buraco negro de Kerr-Newman
	negro de Kerr. Historicamente, a evidência de paridade decorreu do estudo das seguirá o mesmo caminho traçado na seção 15.1 com as alterações necessárias para
	perturbações do buraco negro de Schwarzschild através do processo de linearização englobar o efeito da presença de uma carga resultante Q * no buraco negro. Para uma
	das equações de Einstein para a métrica perturbada (15.87), enquanto que, para completa exposição do assunto, que é bem complexo, sugerimos ao leitor conferir
	o buraco negro de Kerr, a separabilidade das equações de perturbação, e sua con-as seções 110 e 111 da obra [19]. No que segue, iremos apenas expor os resultados
	perturbações axiais da métrica, cuja característica principal é a de introduzir rotação sequente resolução, só foi possível via formalismo de Newman-Penrose. Trabalhar principais para posterior discussão.
	no buraco negro de Schwarzschild, originalmente ausente. diretamente com as componentes do tensor métrico propicia maior interpretação O comportamento dos escalares de Weyl, Ψ 0 , Ψ 1 , Ψ 3 e Ψ 4 , dos coeficientes de
	física do problema, mas nos casos mais gerais, a solução completa só é possível spin, κ, σ, λ e ν, e dos escalares de Maxwell, φ 0 e φ 2 , é descrito pelas equações a
	quando consideramos a inclusão da álgebra tensorial na álgebra espinorial. Embora

Pelo teorema de Cotton-Darboux, uma métrica em um espaço tridimensional sempre pode ser diagonalizada por meio de uma transformação local das coordenadas. Desse fato, segue que a generalização natural da métrica (13.1) é dada por ([19* no horizonte e comportam-se como r -2 no infinito; eles também produzem os mesmos coeficientes de reflexão e transmissão. Os potenciais da forma (15.85) e (15.86) pertencem a uma classe de potenciais que garante a igualdade dos coeficientes de reflexão e transmissão (veja a seção 28 de

[START_REF] Chandrasekhar | The Mathematical Theory of Black Holes[END_REF]

); questiona-se sobre a possibilidade da equação (15.64) representar uma classe mais ampla de potenciais que garantam essa igualdade.

Além disso, a relação de paridade, isto é, a presença do caráter polar/axial entre as perturbações originadas pelos potenciais reais de Regge-Wheeler e Zerilli, faz surgir a indagação sobre a existência de alguma simetria íntima, passível de inter-Embora a métrica de Kerr-Newman seja uma generalização natural da métrica de Kerr, o sucesso na análise das perturbações do buraco negro de Kerr não se repete quando se aplica a teoria desenvolvida no capítulo 15 ao buraco negro de Kerr-Newman. Como veremos nesse capítulo, o acoplamento das perturbações eletromagnética e gravitacional na geometria de Kerr-Newman produz equações que, ao contrário das equações de Teukolsky, não puderam ser separadas. Para o caso especial do buraco negro de Reissner-Nordström, no entanto, as equações que governam as perturbações foram separadas e a teoria da transformação pôde ser aplicada.

  2 * µ 2 .

	(16.23)
	De forma inteiramente similar, as equações (16.16)-(16.19) podem ser transfor-
	madas em

  = 0), as equações(16.34) fornecem exatamente os potenciais de Zerilli e Regge-

	incidentes pelo buraco negro de Reissner-Nordström produz conversão de energia
	eletromagnética em gravitacional, e vice-versa.
	Resta observar que o estudo completo das equações (16.12)-(16.19), em contraste
	com o sistema (16.9)-(16.10), só foi possível por causa da simetria esférica do espaço-
	tempo de Reissner-Nordström que assegurou a separabilidade das variáveis. O que
	podemos concluir também é que a dificuldade no tratamento das perturbações do
	buraco negro de Kerr-Newman reside na presença simultânea das constantes a e
	Q * , pois elevam a complexidade das equações ao ponto de impossibilitar a busca
	por combinações entre as funções radiais -associadas aos escalares de Weyl -e os
	coeficientes de spin.
	16.3 Considerações
	Wheeler, de forma que o buraco negro de Reissner-Nordström também admite pari-
	dade nas perturbações da métrica, como afirma Chandrasekhar ([19], p.270): todas
	as barreiras de potencial pertencem a uma classe muito especial que assegura a igual-

À semelhança do buraco negro de Schwarzschild, uma análise das equações

(16.34) 

revela que o buraco negro de Reissner-Nordström é cercado por potenciais de curto-alcance, comportando-se como r -2 no infinito (r→ + ∞) e decaindo exponencialmente em r * no horizonte (r→r + +0). Além disso, no limite de Schwarzschild (Q * dade de seu poder de reflexão a ondas de tipos axial e polar. Chandrasekhar verifica ainda a igualdade dos coeficientes de reflexão e transmissão produzidos pela classe de funções à qual pertencem os potenciais

(16.34) 

e conclui que a reflexão de ondas

  .6) Mas o buraco negro de Schwarzschild produz barreiras de potencial reais que garantem a condição (17.6), pois U(r * ) ≥ 0 em (17.5). Portanto, as frequências quasenormais estão confinadas ao semiplano superior do plano das frequências complexas e |Z| → ∞ quando r * → ±∞ ([19], p.201). Concluímos assim que os MQN do buraco negro de Schwarzschild divergem no infinito (r * → + ∞) e no horizonte (r * → -∞).A condição (17.6) revela que o buraco negro de Schwarzschild admite apenas os modos quase-normais de oscilação que sejam amortecidos. Segue ainda do seu comportamento no horizonte do buraco negro de Schwarzschild que os MQN não representam perturbações pois divergem no horizonte onde a métrica é finita; esse resultado decorre da admissão implícita na definição de MQN de uma perturbação infinita no passado. Kokkotas e Schmidt[START_REF] Kokkotas | Quasi-normal modes of stars and black holes[END_REF] afirmam que não está claro ainda se, nos seus últimos estágios (isto é, para t > r * ), uma perturbação pode ser expandida pontualmente em termos de MQN. Ferrari e Mashhoon[START_REF] Ferrari | New approach to the quasinormal modes of a black hole[END_REF] determinaram que a resposta de um buraco negro a perturbações externas comporta-se, em seus últimos estágios, comoΨ re (r * , t) = 2πi s f (ω s )e iωs(t-r * ) ,(17.7)onde f (ω s ) é o resíduo, no ponto singular ω s , da função que representa a distribuição das amplitudes das componentes da perturbação com diferentes frequências.As oscilações amortecidas correspondentes aos MQN estão presentes na expansão (17.7) com amplitudes dadas pelos resíduos de R; mais que isso, tal resultado mostra que, embora os MQN não representem perturbações propriamente ditas no que diz respeito a seu comportamento espacial, quando a dependência temporal é levada em conta eles aparecem como oscilações amortecidas nos últimos estágios da perturbação.

  Para o buraco negro de Kerr, a equação(17.35) não é simples como no caso da solução de Schwarzschild. Decorre das equações do capítulo 15 para os potenciais na geometria de Kerr que o potencial efetivo correspondente a uma perturbação de spin s é dado porQ(r * ; ω, α, s) = ω 2 -2isω 2r∆ -(r -1)(r 2 + α 2 ) (r 2 + α 2 ) 2 -[ λ∆ (r 2 + α 2 ) 2 + G 2 +

			dG dr *	], (17.42)
	onde			
	λ = Q + a 2 ω 2 + 2amω -s(s + 1), G = s(r -1) r 2 + α 2 + r∆ (r 2 + α 2 ) 2 .	(17.43) (17.44)
	1 2 dr * = (n +	1 2	)π,	(17.37)

  afirma que o comportamento dos MQN para buracos negros com alta rotação (isto é, próximos do limite de Kerr) ainda não é bem conhecido.Uma confrontação entre os resultados derivados pelos métodos semi-analíticos apresentados e evolução numérica das equações de perturbação revela que o método das frações contínuas possui maior precisão e funciona para frequências com pequeno e grande amortecimento. A aproximação WKB tem a vantagem de sua precisão poder ser aumentada mediante o acréscimo de mais termos na expansão(17.39), mas só produz resultados confiáveis para pequeno amortecimento; para frequências muito amortecidas, a parte imaginária mantém a acurácia, mas a parte real não. O método dos potenciais parametrizados não é viável, pois depende de um potencial específico e sua precisão não pode ser determinada; sua importância reside no fato de ter sido a primeira tentativa de um método semi-analítico para esse tipo de problema. No limite de Schwarzschild (a = 0), a precisão dos resultados obtidos pelos métodos apresentados na seção 17.2 está em bom acordo com as frequências determinadas por outros meios. A exceção está na aproximação WKB, pois os MQN do buraco negro de Kerr surgem da solução numérica do sistema de equações(17.36) e (17.45), de forma que um erro pequeno no cálculo de um dos parâmetros, r 0 ou ω, implica em erro no outro que, por sua vez, produz o mesmo efeito no valor, já errado, do parâmetro inicial.O método de Leaver serve como padrão de comparação para qualquer novo método analítico relativo à determinação dos MQN de buracos negros. No entanto, ao contrário dos outros métodos, tal procedimento não fornece insight sobre as quantidades físicas envolvidas de modo que os resultados, muitas vezes, carecem de interpretação sobre qual configuração está sendo representada. Por isso, a importância da teoria de perturbação de buracos negros está em fornecer modelos a fim de permitir que os resultados numéricos possam ser comparados e interpretados fisicamente. Do ponto de vista matemático, o estudo dos MQN de buracos negros consiste em um campo aberto para a generalização da teoria de espalhamento da mecânica quântica.Albert Einstein apresentou a teoria da relatividade geral ao mundo no ano de 1915. No ano seguinte, o próprio Einstein previa, a partir das equações de campo linearizadas no limite de "campo fraco", a existência de ondas gravitacionais: soluções de onda que representavam perturbações no espaço-tempo provocadas pela fonte de matéria e que se moviam à velocidade da luz[26,27]. Ele também percebeu que a amplitude dessas ondas seria muito pequena para ser detectada com a tecnologia da época, o que gerou muita discussão ao longo do século passado sobre a realidade física das ondas gravitacionais.Também no ano de 1916, Schwarzschild publicou a primeira solução exata das equações de Einstein, descrevendo uma fonte compacta do campo gravitacional que posteriormente foi interpretada como aquilo que conhecemos hoje com o nome de buraco negro[START_REF] Schwarzschild | [END_REF]. O buraco negro de Schwarzschild foi mais tarde generalizado para admitir rotação, sendo denominado buraco negro de Kerr[START_REF] Kerr | [END_REF].Durante todo o século XX, questionou-se a estabilidade dos buracos negros na Natureza, especialmente por serem objetos tão exóticos e distantes da intuição humana. O estudo da estabilidade das soluções compactas das equações de Einstein levou Vishweshwara[START_REF] Vishweshwara | Stability of the Schwarzschild metric[END_REF] a criar o conceito de modos quase-normais que, por sua vez, aguçaram a pesquisa astrofísica por buracos negros na medida em que eles carregavam informações características dos objetos estudados e a evolução numérica revelava que eles poderiam ser detectados no caso de buracos negros muito massivos.Assim, o problema criado em 1916 pela possibilidade de detecção de buracos negros na natureza mediante as ondas gravitacionais emitidas por eles durante uma perturbação relativamente grande no passado se estendeu por todo o século XX. No início desse século, foram construídos vários observatórios espalhados pelo mundo: TAMA no Japão, GEO na Alemanha, VIRGO na Itália e LIGO nos Estados Unidos.

	Capítulo 18
	Atualidade

O uso de partições da unidade é dispensável, como será visto no próximo capítulo. De fato, lá mostraremos que a existência de métricas advém de uma condição puramente topológica, a qual independe de hipóteses adicionais na variedade base: o quociente GL(n; R)/O(n) é contrátil.

A razão é a seguinte: existe uma conexão afim natural em cada grupo de Lie G tal que a única geodésica que parte do elemento neutro com velocidade X é γ X .

A partir desse momento, ao falarmos em variedade riemanniana, fica entendido que os resultados são válidos também para variedades pseudo-riemannianas, as quais representam os principais modelos utilizados atualmente para se descrever o universo relativístico.

O índice

corresponde a cos θ em vez de θ.

Cada operação em (14.4) corresponde à ação do vetor e i , visto como "incluído"no espaço S A ⊗ S A ′ dos vetores complexos.

Agrupar um conjunto de índices entre colchetes significa que a quantidade em questão está sob a ação do operador de antissimetrização.

A expressão "r→r + + 0" significa que r tende a r + pela direita.

Conferir a interpretação de ω na seção 13.2.

Em física, estados fundamentais correspondem aos autovetores do operador de Schrödinger independente do tempo. Classicamente, estados fundamentais constituem trajetórias limitadas em um campo de força central.

onde r 1 e r 2 são raízes de Q. Aproximando o potencial Q por uma parábola em torno de seu máximo r 0 ,

e substituindo em (17.37), obtemos o resultado desejado.

É possível derivar-se a fórmula de Schutz-Will a partir do método descrito em [START_REF] Iyer | Black-hole normal modes: A WKB approach. I.Foundations and application of a higher order WKB analysis of potentialbarrier scattering[END_REF], baseado na determinação da matriz de conexão entre as soluções para diferentes regiões da barreira, mas a abordagem da aproximação WKB via regra de Bohr-Sommerfeld é muito mais direta e geral, podendo inclusive ser estendida a potenciais complexos (ver [START_REF] Kokkotas | Normal modes of the Kerr black hole[END_REF]). Iyer e Will [START_REF] Iyer | Black-hole normal modes: A WKB approach. I.Foundations and application of a higher order WKB analysis of potentialbarrier scattering[END_REF] estenderam a fórmula de Schutz-Will ao considerar mais termos na expansão de Q, obtendo

onde

com α = n + 1 2 . Por causa da expansão (17.38) do potencial efetivo Q em torno de seu ponto de máximo, a fórmula de Schutz-Will é tanto mais precisa quanto maior for a proximidade entre os pontos de retorno r 1 e r 2 ; essa situação é possível para frequências com partes imaginárias de pequena magnitude. Kokkotas [START_REF] Kokkotas | Normal modes of the Kerr black hole[END_REF] afirma que esta é a única fórmula analítica a fornecer explicitamente as frequências dos MQN do buraco negro de Schwarzschild com precisão satisfatória. Não é difícil ver que as frequências quase-normais do buraco negro de Schwarzschild são dadas por

onde V 0 = V (r 0 ) corresponde ao valor máximo do potencial.