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Délivré Par L'institut 
  
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SI IT TÉ É D DE E T TO OU UL LO OU US SE E

Keywords: 

estudados dois enfoques para a solução do problema inverso, em função do comportamento temporal do termo-fonte. Ambos os enfoques lidam com a estimação

xi

Índice de Figuras

Motivação e Objetivos

A estimação de propriedades termofísicas que variam com a posição e com o tempo, a partir de imagens térmicas obtidas por câmeras de termografia por infravermelho, é um problema inverso complexo. Esta dificuldade advém da grande quantidade de dados a serem tratados, estes com uma baixa relação sinal/ruído e a grande quantidade de parâmetros a serem estimados. Desta maneira, a implementação de técnicas de estimação linear são de grande importância na redução dos custos computacionais e na obtenção da solução do problema inverso em um tempo factível.

A minimização de um modelo de erro preditivo ao invés do modelo tradicional de erro de saída [START_REF] Ljung | System Identification: Theory for the User[END_REF] tem sido usada com êxito para tal propósito fazendo uso da chamada estratégia nodal, com dois enfoques diferentes, que são: (i) O uso de algoritmos de estimação local, baseados na correlação entre pixels [START_REF] Bamford | Simultaneous velocity and diffusivity mapping in the case of 3-D transient heat diffusion: heat pulse thermography and IR image sequence analysis[END_REF], BATSALE et al., 2004[START_REF] Bamford | Nodal and modal strategies for longitudinal thermal diffusivity profile estimation: Application to the non destructive evaluation of SiC/SiC composites under uniaxial tensile tests[END_REF][START_REF] Pradere | 9th International Conference on Quantitative Infra Red Thermography[END_REF][START_REF] Pradere | Processing of temperature field in chemical microreactors with infrared thermography[END_REF]; (ii) e o uso de técnicas Bayesianas [START_REF] Fudym | Bayseian approach for thermal diffusivity mapping from infrared images with spatially random heat pulse heating[END_REF], MASSARD et al., 2010, MASSARD et al., no prelo). Infelizmente, em ambos os enfoques a matriz de sensibilidade é calculada a partir de operações lineares dos dados experimentais, e o efeito das incertezas no algoritmo de estimação devem ser incorporadas no problema inverso [START_REF] Bamford | Simultaneous velocity and diffusivity mapping in the case of 3-D transient heat diffusion: heat pulse thermography and IR image sequence analysis[END_REF]. Por outro lado, o uso de técnicas de inferência

Bayesianas permite que informação a priori das quantidades desconhecidas sejam levadas em conta, incluindo a matriz de sensibilidade com seu compotamento estocástico [START_REF] Fudym | Bayseian approach for thermal diffusivity mapping from infrared images with spatially random heat pulse heating[END_REF], MASSARD et al., 2010 e MASSARD et al., no prelo ).

A miniaturização é a principal tendência na ciência e tecnologia moderna. Uma variedade de produtos em microescala já estão disponíveis, ou logo estarão. Sensores, atuadores, motores, válvulas, tubos de calor, células combustível, instrumentos, dispositivos médicos e robôs são apenas algumas das quase intermináveis variedades de microprodutos no mercado, ou a caminho de sair do laboratório para o mercado [START_REF] Choi | Nanofluid technology: Current Status and Future Research[END_REF]. Na área de transferência de calor, engenheiros fabricam dispositivos em microescala, como trocadores de calor com microcanais e microbombas [START_REF] Choi | Nanofluid technology: Current Status and Future Research[END_REF].

Devido ao crescente desenvolvimento de sistemas em miniatura a determinação precisa das

propriedades termofísicas e de termos-fonte em micro-escala se faz necessário. Devido à possibilidade do modelo estudado neste trabalho descrever a difusão de calor em micro-escala, este trabalho pode também ser aplicado a problemas de determinação de propriedades termofísicas e termos-fonte em meios com dimensões reduzidas.

O principal objetivo dos problemas diretos é o de determinar o campo de temperatura no meio, quando todas as características causais (condição de contorno, propriedades termofísicas, etc.) são especificadas. Por outro lado, o objetivo do problema inverso é o de estimar uma ou mais dessas características causais, a partir da medida da resposta do sistema, como o campo de temperatura.

Os métodos determinísticos de solução de problemas inversos baseados na minimização da norma de mínimos quadrados levam a uma estimação pontual, sem considerar a natureza estatística das incertezas, e sem quantificar as incertezas na solução inversa. Por outro lado, a inferência Bayesiana fornece a solução do problema inverso formulando uma descrição probabilística completa dos parâmetros desconhecidos e das incertezas associadas, dados os valores experimentais de temperatura.

A minimização de erros experimentais na medida de temperatura é de extrema importância para a solução do problema inverso, pois estes são matematicamente classificados como mal-postos, ou seja, sua solução é muito sensível a erros experimentais. A termografia por câmera de infravermelho apresenta um poderoso meio de aquisição de uma grande quantidade de dados, com baixa incerteza, além de apresentar a vantagem de realizar medidas não intrusivas no meio estudado.

Desta maneira, este trabalho pretende avançar na área da estimação de parâmetros e/ou funções pertinentes tanto em micro-escala quanto em macro-escala, utilizando medidas não intrusivas realizadas com uma câmera de termografia por infravermelho. A originalidade deste trabalho reside na combinação do uso da estratégia nodal aplicada ao problema inverso via inferência Bayesiana, tanto para um termo fonte constante no tempo como para um termo fonte que varia temporalmente, e em ambos os casos variando no espaço. Dessa forma, uma metodologia atraente pode ser fornecida para a estimação de um termo fonte ou propriedades termofísicas locais usando um grande número de medidas.

Esta tese foi desenvolvida em cotutela entre a Universidade Federal do Rio de Janeiro, no Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor da COPPE/UFRJ e a Escola de Minas de Albi-Carmaux (EMAC), no Laboratório de Microfluidos do Centro de Pesquisa de Albi em Engenharia de Processos, Sólidos Segregados, Energia e Meio Ambiente -RAPSODEE.

Organização do Texto

O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica de problemas inversos, mostrando alguns aspectos relevantes deste método, sua definição e suas características relativas à estimação de parâmetros, o uso da inferência Bayesiana e suas vantagens em problemas inversos e finalmente a utilização da câmera por infravermelho para medidas de temperatura em algumas áreas de aplicação.

O capítulo 3 apresenta o problema direto que descreve a física do problema estudado, sua

formulação matemática e a definições dos tipos de problema inverso que foram utilizadas.

O capítulo 4 apresenta a metodologia de solução do problema direto, a solução do problema inverso pela estratégia nodal, derivação do processo de estimação via inferência Bayesiana e os métodos de solução do problema inverso segundo o comportamento temporal do termo-fonte.

Também é apresentado neste capítulo o método de funcionamento da câmera de termografia por infravermelho. São apresentados os procedimentos experimentais para a realização dos experimentos com uma resistência elétrica e com um laser diodo, mostrando as vantagens de cada uma das maneiras de realizar o aquecimento da amostra. O tratamento feito nas imagens antes delas serem carregadas no programa para a determinação dos parâmetros são mostrados.

O capítulo 5 apresenta a verificação do problema direto usado neste trabalho, bem como a validação dos dois tipos de problema inverso. É feita uma análise de sensibilidade para a determinação da possibilidade da estimação dos parâmetros de interesse. Resultados para a solução dos problemas inversos envolvendo termos-fonte constante e variando no tempo são mostrados, tanto para medidas simuladas quanto para medidas experimentais reais.

Revisão Bibliográfica

A presente seção apresenta uma revisão bibliográfica dos trabalhos disponíveis na literatura para os principais temas tratados nesta tese, que são: Problemas Inversos, Inferência Bayesiana, o Filtro de Kalman e a utilização da termografia por infravermelho em problemas inversos de transferência de calor.

Problemas Inversos

Problemas inversos em transferência de calor normalmente podem estar associados à determinação das propriedades termofísicas ou fluxo de calor dadas as medidas experimentais de temperatura. O principal objetivo do problema direto é o de determinar o campo de temperatura (x,y,z,t), quando todas as características causais (condição de contorno, condição inicial, propriedades termofisicas do meio, e termo de geração de energia, se existir) são conhecidas. Por outro lado, o objetivo do problema inverso é o de estimar uma ou mais dessas características causais, a partir do conhecimento da temperatura medida (o efeito) em uma determinada região do domínio.

T
Problemas inversos podem ser resolvidos como uma metodologia de estimação de parâmetros ou de função. Se existir alguma informação sobre a forma funcional das quantidades desconhecidas, o problema inverso é reduzido à estimação de alguns parâmetros desconhecidos (OZISIK e ORLANDE, 2000).

Porém existem dificuldades associadas à solução de problemas inversos em transferência de calor. Matematicamente, eles pertencem à classe de problemas mal-postos, enquanto problemas de transferência de calor tradicionais são bem-postos. Para problemas de transferência de calor serem bem-postos sua solução deve existir ser única e deve ser estável sob pequenas alterações dos dados de entrada (OZISIK e ORLANDE, 2000). A solução de alguns problemas inversos de transferência de calor são asseguradas por razões físicas; por exemplo, se existe uma mudança nos valores da temperatura medida em um problema transiente, existe uma característica causal, como um fluxo de calor no contorno. Por outro lado, a unicidade da solução do problema inverso pode ser matematicamente provada somente para alguns casos. E de uma maneira geral, a estabilidade da solução somente é satisfeita com a utilização de alguma técnica de regularização.

Por um longo período achou-se que o problema inverso de transferência de calor não teria solução caso alguma condição para o problema ser bem-posto fosse violada. O procedimento de regularização de Tikhonov, o processo iterativo de Alifanov e o método de estimação de função de [START_REF] Cheng | A modified Tikhonov regularization method for a spherical symmetric three-dimensional inverse heat conduction problem[END_REF] estimaram a distribuição tridimensional de temperatura de uma esfera oca à partir de medidas de temperatura em um ponto fixo dentro da esfera. Um método modificado da regularização de Tikhonov é implementado. Como os autores são matemáticos, o trabalho apresenta uma extensa prova da convergência e a teoria da estabilidade proposto.

Inferência Bayesiana em Problemas Inversos

Geralmente a regularização tem por objetivo a minimização da norma de mínimos quadrados.

Do ponto de vista estatístico, esta minimização é relacionada ao estimador de máxima verossimilhança se as seguintes hipóteses estatísticas são válidas: Os erros nas variáveis medidas são aditivos, não-correlacionados, distribuídos normalmente, com média zero e desvio padrão constante. Se o problema inverso envolve a estimação de apenas alguns parâmetros desconhecidos como a condutividade térmica uniforme de um objeto, a minimização da norma de mínimos quadrados normalmente é estável. Entretanto, se o objetivo é a estimação de um grande número de parâmetros, como a distribuição da condutividade térmica em um objeto, o problema é mal-posto, e métodos de mínimos quadrados não são indicados. Neste caso, técnicas de regularização são necessárias, como a regularização de Tikhonov ou métodos iterativos, como o de Landweber ou Alifanov. Uma característica comum dos métodos de regularização é que eles forçam a estabilidade modificando o problema de mínimos quadrados, e dessa maneira não são baseados em uma análise explícita da modelagem dos parâmetros desconhecidos (KOLEHMAINEN et al. 2007).

A inferência Bayesiana é baseada na construção de modelos separados para as medidas e para a informação a priori sobre os parâmetros. O problema inverso é reformulado como um problema de inferência Bayesiana. As medidas e os parâmetros são modelados como variáveis aleatórias. A aleatoriedade, que reflete a incerteza do observador, está inserida no modelo de distribuição de probabilidade dos parâmetros. Com base na inferência Bayesiana, a solução do problema inverso é a distribuição de probabilidade a posteriori dos parâmetros de interesse, quando toda informação disponível é incorporada ao modelo. Enquanto técnicas de regularização são focadas na obtenção de estimativas dos parâmetros desconhecidos baseados nos dados disponíveis, na inferência Bayesiana a solução do problema inverso não é considerada como uma simples estimação pontual, mas na forma de uma distribuição posteriori que pode ser usada para obter estimativas pontuais e medidas confiáveis para as incertezas relacionadas com os parâmetros, dados os modelos e as medidas (KOLEHMAINEN et al. 2007).

Neste contexto, para a estimação via inferência Bayesiana, são apresentados artigos e livros textos que apresentam a técnica desde a apresentação do algoritmo de Metropolis-Hastings até a utilização desta metodologia de estimação de parâmetros aplicada à determinação de propriedades termofísicas e termos-fonte. Foi observada uma maior publicação a partir dos anos 2000, devido ao significativo avanço da capacidade de processamento dos computadores modernos, permitindo que a técnica fosse usada com mais freqüência.

HASTINGS (1970) realizaram uma generalização do método de amostragem introduzido por

Metropolis em um artigo publicado anteriormente (METROPOLIS et al 1953apud HASTINGS 1970). Foi apresentada a teoria relevante, técnicas de aplicações e métodos e dificuldades para de parâmetros presentes na equação de transferência de calor por condução em filmes finos de metal sujeitos a um pulso de laser da ordem de femtossegundos. Foram usadas medidas simuladas para a solução do problema inverso. Nesta escala de tempo existe uma condição de não equilíbrio de temperatura entre os elétrons e a estrutura cristalina do metal.

O Filtro de Kalman

O filtro de Kalman foi originalmente desenvolvido para problemas de comunicação e controle.

Ele foi inventado por [START_REF] Kalman | A new approach to linear filtering and prediction problems[END_REF] et al. no prelo), a estimação do campo de temperatura em oleodutos, a estimação de uma fonte linear de calor e a frente de solidificação em um problema de mudança de fase e por fim a estimação de um fluxo de calor em uma fronteira em um problema de convecção natural.

Problemas Inversos utilizando a Termografia por Infravermelho.

A solução de problemas inversos sempre foi de grande importância para a determinação de parâmetros e funções de uso corrente em engenharia. Com o advento das câmeras de termografia por infravermelho, um novo horizonte foi aberto para esta técnica, permitindo, por exemplo, a realização de maneira direta do mapeamento de propriedades termofísicas de materiais heterogêneos, sem a necessidade da instalação de um grande número de sensores e sem o contato direto com o corpo de prova. Nesta seção será feita uma breve revisão bibliográfica sobre a combinação bem sucedida destas duas técnicas.

LE NILIOT e GALLET (1998) utilizaram termografia por infravermelho para a resolução de um problema inverso de condução de calor bidimensional. O problema direto foi resolvido pelo método de elemento de contorno (BEM). O problema inverso consiste na determinação das condições de contorno ou de um termo fonte dependente do tempo e do espaço. O tipo de câmera usada pelos autores na época consistia em um único sensor conectado a um scanner vertical e horizontal. [START_REF] Kwon | An inverse estimation scheme to measure steady-state tool-chip interface temperatures using an infrared camera[END_REF] aproximações analíticas para as funções desconhecidas e pela compressão de dados através da técnica da transformada integral, utiliza-se aqui a estratégia nodal para possibilitar um tratamento adequado a enormidade de dados experimentais disponibilizados pela câmera de termografia de infravermelho, possibilitando a solução do problema inverso dentro de tempos computacionais aceitáveis.

Desta forma a principais contribuições deste trabalho foi a utilização da estratégia nodal na solução de problemas inversos com o uso de técnicas Bayesianas para a estimação de parâmetros.

Desta forma, consegui-se uma redução nos tempos computacionais na solução do problema inverso. A superfície inferior troca calor com um meio na temperatura T ∞ , com coeficiente de transferência de calor combinado de convecção e radiação h(x,y), que por facilidade de notação será referido ao longo do texto simplesmente por h. Um fluxo de calor g(x,y,t) foi também considerado em z=0. Foi considerado um modelo de parâmetros concentrados na direção transversal da placa.

Problema Físico e Formulação Matemática

Esta situação pode ser encontrada em casos de materiais finos com alta condutividade térmica, caso onde o número de Biot transversal (he/k) seja menor que 0.1 [START_REF] Ozisik | Heat Trasnfer: A Basic Approach, 1st edition[END_REF]. A Figura 3-1 apresenta um desenho esquemático da descrição do problema físico, bem como os eixos coordenados usados na formulação. Os quadrados intercalados brancos e pretos representam as propriedades variando com a posição.

Formulação matemática

Com as considerações da seção anterior, o problema matemático que descreve a física do problema pode ser escrito como:

( ) ( , , ) g x y t  .

( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) T T T h x y g x y t C x y k x y k x y T T g x y t t x x y y e e ∞     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + - - + +     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      (3.1) 0 T x ∂ = ∂ em x = 0 e x = L x , 0 < y < L y 0 T y ∂ = ∂ , t > 0 (3.2) em y = 0 e y = L y , 0 < x < L x 0 ( , ,0 ) ( , ) T x y T x y = , t > 0 (3.3) para t = 0, em 0 < x < L x , 0 < y < L y Onde C(x,
Nota-se que esta formulação matemática é geral e abrangente. Desta maneira, ela pode ser aplicada em problemas de engenharia (na determinação de propriedades termofísicas em micro e macro-escala) na área de bioquímica (na determinação de um termo fonte que evidencie a atividade biológica) e mesmo na área biomédica (para a determinação das propriedades termofisicas de tecidos/meios biológicos). De uma forma geral, todos esses problemas envolvem a difusão de calor transiente no meio, este sujeito a condições de contorno que dependem do problema físico em estudo. Desta maneira, uma vez caracterizada e validada esta solução, sua aplicação pode ser estendida para diversos ramos disciplinares. Para o caso particular da fonte de calor, esta pode ser o objeto de estudo (como no caso do interesse em sua determinação), como pode também ser um parâmetro de entrada do problema (como no caso da determinação de propriedades termofisicas de materiais ou de tecidos/meios biológicos).

Problema direto

Para o problema direto associado à formulação matemática deste problema físico, a espessura do meio, as variações espaciais da capacidade térmica, da condutividade térmica, de h, a variação espacial e/ou temporal do termo fonte, assim como a condição inicial, são conhecidas. O objetivo do problema direto é determinar a variação da temperatura transiente no meio.

Definições dos problemas inversos estudados

Para o presente estudo, foram considerados dois tipos de problema inverso: O problema do Tipo I, que trata da estimação da difusividade térmica, de h e do termo fonte, todos constantes no tempo, mas variando com a posição. Desta maneira, espera-se obter a estimação dos parâmetros supracitados em função dos eixos x e y do sistema de coordenadas. Para o problema inverso do tipo 

Estratégia nodal e modelo preditivo para a solução do problema inverso

Este trabalho trata da solução de um problema inverso para a estimação da difusividade térmica,

de h e do termo fonte g(x,y) ou g(x,y,t), usando a estratégia nodal desenvolvida em BAMFORD et al. (2008) e BATSALE et al. (2004).

Para a solução do problema inverso, assume-se que medidas transientes de temperatura em diversas posições do meio estão disponíveis, tendo sido feitas com uma câmera de termografia por infravermelho. Tal técnica apresenta vantagens, pois pode prover medidas acuradas e não intrusivas, com uma resolução espacial grande e altas frequências de aquisição. Porém, a grande quantidade de dados gerados pela câmera pode também ser uma característica indesejável em alguns casos. Por exemplo, se um experimento usando uma matriz de 520 por 640 pixels a 100Hz

for feito, em 1 segundo obtêm-se uma quantidade de 33280000 dados experimentais. Se o tempo de estimação por pixel for de 1 segundo, necessita-se de 1 ano para estimar os parâmetros de interesse.

Neste contexto, um enfoque é necessário para contornar esta limitação. Neste trabalho a estratégia nodal é usada para lidar com as grandes quantidades de dados experimentais fornecidos pela câmera por infravermelho, tornando o problema linear e acelerando seu tempo de solução. Para a aplicação da estratégia nodal, a equação (3.1) deve ser reescrita da seguinte forma não conservativa [START_REF] Batsale | Autoregressive algorithms and spatially random flash excitation for 3D non destructive evaluation with infrared cameras[END_REF][START_REF] Bamford | Simultaneous velocity and diffusivity mapping in the case of 3-D transient heat diffusion: heat pulse thermography and IR image sequence analysis[END_REF]:

( ) 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) T k x y T k x y T x y T H x y T T G x y t t C x y x x y y α ∞   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ + + - - +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   (4.1) onde ( , ) ( , ) ( , ) h x y H x y eC x y = , ( , , ) ( , , ) ( , ) 
g x y t G x y t eC x y = e α(x,y) é a difusividade térmica local do material, respectivamente em 1/s, K/s e m 2 A discretização explícita da Equação (4.1) usando um esquema de diferenças finitas resulta em:

/s. 1 , , , , , , , , , , ( ) 
n n n x n y n i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j Y Ax Ay t T T H tG α δ δ + ∞ = Λ + + -∆ - + ∆ (4.2)
Onde o par subscrito (i,j) denota a diferença finita entre os nós x i = iΔx, i = 1 ... I, e y i = jΔy, j = 1 ...J, e os sobrescritos n denotam o tempo t n

, x i j δ = nΔt, n=0 ... (K-1), onde K é o número total de
medidas, e , y i j δ são as componentes do gradiente da condutividade térmica local divididas pela capacidade térmica. Os termos restantes da equação (4.2) são:

1 1 , , , n n n i j i j i j Y T T + + = - (4.3) 1, , 1, , 1 , , 1 , 2 2 2 2 ( ) ( ) n n n n n n i j i j i j i j i j i j n i j T T T T T T t x y - + - +   - + - + Λ = ∆ +     ∆ ∆   (4.4) , 1, 1, ( ) 2 n n n i j i j i j t Ax T T x + - ∆ = - ∆ (4.5) , , 1 , 1 ( ) 2 n n n i j i j i j t Ay T T y + - ∆ = - ∆ (4.6)
A Equação (4.3) envolve a diferença avançada da temperatura no tempo, a equação (4.4) envolve uma aproximação para o laplaciano da temperatura no tempo t n A partir desse ponto, a solução do problema inverso pode ser escrita de duas maneiras distintas, em função do comportamento temporal do termo fonte (Problema do Tipo I ou Problema do Tipo II). Esta diferenciação se deve pelo fato das técnicas envolvidas para a estimação de parâmetros constantes no tempo terem sua formulação diferente das técnicas de estimação de parâmetros que variam com o tempo, conforme será visto ao longo da tese.

e nó (i,j) enquanto as equações (4.5) e (4.6) envolvem aproximações para os gradientes de temperatura nas direções x e y, respectivamente.

Para o caso onde o termo fonte é constante no tempo (Problema Inverso do tipo I), o problema direto é resolvido em cada nó espacial ("pixel por pixel") para todos os nós temporais. Desta forma, para cada nó na malha a solução do problema direto obtida é um vetor com comprimento correspondente ao número de passos de tempo.

Escrevendo-se a Equação (4.2) para cada nó (i,j) e todos os passos de tempo, obtemos:

ij ij ij Y = J P (4.7) onde 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 , , , , , , , , ( ) ( ) 
( )

i j i j i j i j i j i j i j i j K K K K i j i j i j i j Ax Ay t T T t Ax Ay t T T t Ax Ay t T T t ∞ ∞ ∞   Λ -∆ - ∆   Λ -∆ - ∆   =     Λ -∆ - ∆     ij J      (4.8) T 1 2 , , , 
K i j i j i j Y Y Y   =   ij Y  (4.9) e T , , , , , 
x y i j i j i j i j i j H G α δ δ   =   ij P (4.10)
O vetor de parâmetros no nó (i,j) definido na equação (4.10) contem os seguintes parâmetros: Para o caso onde o termo fonte varia no tempo (Problema Inverso do tipo II), o problema direto é resolvido em cada passo de tempo para toda malha espacial de uma vez. Desta forma, para cada passo de tempo, a solução do problema direto obtida é uma matriz com dimensões correspondentes ao número de nós utilizados na discretização espacial do problema.

α i,j é a difusividade
Escrevendo-se a Equação (4.2) na forma de um modelo de evolução de estados (necessário pra a formulação do problema inverso pelo filtro de Kalman que será apresentado na seção 4.6.1), reordenando-se sequencialmente todos os nós (i,j) com o índice m=1,...,M, onde M=IJ, conforme apresentado na Figura 4-1, a Equação (4.2) torna-se: A matriz de sensibilidade definida nas Equações (4.8) e (4.12) são funções do campo de temperaturas, e dessa maneira depende dos parâmetros do problema. Isto levaria a um procedimento de estimação não linear ao se minimizar um modelo de erro de saída, baseado na diferença entre as Equações (4.7) e (4.11) e o dado experimental correspondente.

Figura 4-1-Índices da discretização 1 n n n n + = + T T J P (4.11) Onde 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 n n n n n n n n n n n n n M M M M Ax Ay t T T t Ax Ay t T T t Ax Ay t T T t ∞ ∞ ∞   Λ -∆ - ∆   Λ -∆ - ∆   =     Λ -∆ - ∆   J      (4.12) e T 1 2 n n n n M T T T   =   T  (4.13) ( ) ( ) ( ) T , , , , , , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 , , , n n x n y n n n n x n y n n n n x n y n n n M M M M M H G H G H G α δ δ α δ δ α δ δ   =   P  (4.
Uma maneira de contornar as não linearidades do problema de estimação é usar um modelo de erro preditivo, como ilustrado na Figura 4-2. Com este método, os dados medidos x(t), são inseridos diretamente no modelo matemático do problema, para tornar possível o cálculo da predição F(t) (LJUNG, 2009, BAMFORD et al., 2008, BATSALE et al., 2004[START_REF] Bamford | Nodal and modal strategies for longitudinal thermal diffusivity profile estimation: Application to the non destructive evaluation of SiC/SiC composites under uniaxial tensile tests[END_REF][START_REF] Pradere | 9th International Conference on Quantitative Infra Red Thermography[END_REF][START_REF] Pradere | Processing of temperature field in chemical microreactors with infrared thermography[END_REF], FUDYM et al., 2008[START_REF] Massard | Nodal predictive error model and Bayesian approach for thermal diffusivity and heat source mapping[END_REF]. A função objetivo a ser minimizada para a estimação dos parâmetros presentes no modelo matemático deve ser selecionada baseada em hipóteses estatísticas com respeito aos erros de medida e dos parâmetros desconhecidos (KAIPIO e SOMERSALO, 2004b[START_REF] Beck | Parameter Estimation in Engineering and Science[END_REF].

Figura 4-2-Minimização do modelo de erro preditivo

As câmeras de termografia por infravermelho atuais são capazes de realizar medidas com alta resolução espacial e com alta frequência de aquisição de dados, que podem então serem usados diretamente para o cálculo da matriz de sensibilidade, Equações (4.8) e (4.12) [START_REF] Bamford | Simultaneous velocity and diffusivity mapping in the case of 3-D transient heat diffusion: heat pulse thermography and IR image sequence analysis[END_REF]e BATSALE et al., 2004). Neste caso, as Equações (4.7) e (4.11) fornecem uma dependência linear da resposta do sistema com relação ao vetor de parâmetros, baseado no conhecimento da matriz de sensibilidade. A resolução espacial dos parâmetros é dada pela resolução espacial do equipamento de medida, por exemplo, o número de pixels da câmera por infravermelho.

Problema Inverso

Este trabalho lida com problemas inversos em transferência de calor envolvendo um enfoque Bayesiano. O método de Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) é apresentado como forma de comparação com o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov. O método de OLS será apresentado nesta seção na introdução à metodologia de solução de problemas inversos.

Geralmente a solução de um problema inverso se dá pela minimização de uma função objetivo com alguma técnica de estabilização usada no processo de estimação. Se forem satisfeitas as hipóteses estatísticas de erros aditivos, com média zero, variância constante, erros não- (  )

Τ 1 1 2 2 ( ) y , y ,..., y K K T T T - = - - - y T P é definido como: (4.17)
Para a minimização da norma de mínimos quadrados dada pela equação (4.15), é necessário igualar a zero as derivadas de S(P) com relação a cada um dos parâmetros [P 1 , P 2 , ..., P N 

T ( ) ( ) 2 ( ) 0 S   ∂ ∇ = - - =   ∂   T P P y T P P (4.19) Onde [ ] 1 T 2 1 2 ( ) K N P T P T T T P ∂     ∂   ∂   ∂   ∂ =   ∂     ∂     ∂   P P   (4.20)
A matriz de sensibilidade, ou matriz jacobiana, J(P) é definida como a transposta da equação

(4.20), isto é, T T ( ) ( )   ∂ =   ∂   T P J P P (4.21)
De forma explicita, a matriz de sensibilidade é escrita como

1 1 1 1 1 2 3 T 2 2 2 2 T 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) N N K K K K N T T T T P P P P T T T T P P P P T T T T P P P P ∂ ∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂     ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ = =     ∂       ∂ ∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ ∂   T P J P P        (4.22)
Onde N = número total de parâmetros desconhecidos Para problemas inversos lineares, a matriz de sensibilidade não é função dos parâmetros desconhecidos. Neste caso, a Equação (4.24) pode ser resolvida em uma forma explícita para o vetor de parâmetros desconhecidos P como:

K = número
T 1 T ( ) - = P J J J y (4.25)
Esta tese lida com problemas inversos lineares, logo sua solução é obtida com a Equação (4.25).

Para o caso de problemas inversos não lineares, a matriz de sensibilidade tem alguma dependência com o vetor de parâmetros desconhecidos P. A solução da equação (4.24) para a estimação de problemas não lineares requer um procedimento iterativo, que é obtido linearizando o vetor de temperaturas estimadas, T(P), que é uma expansão em séries de Taylor em torno da solução atual 

P h , na iteração h. Esta linearização é dada por h h h ( ) ( ) ( ) = + - T P T P J P P (4.26) Onde T(P h ) e J h ( ) ( ) ( ) 1 T T h 1 h h h h h - +     = + -       P P J J J
( ) 1 1 1 1 2 1 cov( , ) cov( , ) cov( , ) cov( , ) N N N N P P P P P P P P σ - Τ     ≡ =       V J J      , b=1 

Inferência Bayesiana em Problema Inverso

Devido a existência de incertezas em qualquer sistema no mundo real, mesmo as menores perturbações em dados ou variabilidade no sistema de parâmetros se propagam e se amplificam na solução inversa (WANG e ZABARAS 2004a). Dessa maneira, uma solução inversa completa deve fornecer a quantificação das incertezas e não somente uma estimativa pontual dos parâmetros. Com a rápida expansão da computação e a demanda crítica por sistemas de engenharia robustos e confiáveis, a otimização sob incertezas está recebendo atenção crescente (WANG e ZABARAS 2004b). A estatística Bayesiana tem se destacado entre os métodos de inferência, pois fornece uma função de densidade de probabilidade dos parâmetros desconhecidos a partir de toda a informação disponível. A incorporação da verossimilhança e da distribuição a priori proporciona uma descrição probabilística completa dos parâmetros desconhecidos à luz de todas as incertezas (WANG e ZABARAS 2004a). Além do mais, a inferência Bayesiana explora a distribuição de informação em dados corrompidos, o que é crítico, pois a solução inversa é extremamente sensível a ruídos

(WANG e ZABARAS 2004a).

Segundo [START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF], na inferência Bayesiana tem-se a incorporação de todas as fontes de informação de um dado problema, o que leva a inclusão de mais componentes na análise, aumentando sua complexidade. Por isso, esta abordagem não vinha sendo desenvolvida em áreas aplicadas. Porém, a redescoberta de técnica de amostragem numéricas relativamente simples, mas extremamente poderosas, permitiu que virtualmente qualquer problema pudesse ser tratado pela abordagem Bayesiana [START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF].

A estatística Bayesiana estuda a probabilidade de uma variável randômica a partir da informação obtida e de conhecimento prévio (WANG e ZABARAS, 2004b). Assim como na inferência frequentista, a inferência Bayesiana trabalha na presença de observações y cujo valor inicial é incerto e descrito através de uma distribuição de probabilidades com densidade de função de probabilidade p(y|P), onde p(y|P) representa a probabilidade condicional de y quando P é dado.

A quantidade P serve como indexador de uma família de distribuições das observações representando características de interesse que se deseja conhecer para poder ter uma descrição completa do processo [START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF]. Porém, vale notar que em alguns casos, a quantidade P é mais do que um simples indexador, é a própria razão de tomada de medição, pois o interesse principal do estudo é a determinação do seu valor. Além do mais, é bastante provável que o pesquisador a conheça ou saiba caracterizá-la. Neste caso é possível que esse conhecimento a respeito da quantidade seja incorporado à análise e é nesse ponto que o método Bayesiano se diferencia do freqüentista. Enquanto o segundo não admite essa forma de informação por não ser observável e portanto não ser passível de comprovação empírica, o primeiro sempre incorpora essa informação à análise através de uma densidade p(P) mesmo que essa informação não seja muito precisa [START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF].

A base da inferência Bayesiana é a fórmula de Bayes (WANG e ZABARAS, 2004), que é dada por: , 1997, KAIPIO e SOMERSALO, 2004a[START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF]: , 1997, KAIPIO e SOMERSALO, 2004a[START_REF] Gamerman | Simulação Estocástica via Cadeias de Markov[END_REF]:

( ) ( ) ( | ) ( ) p 
1/ 2 /2 1 T 1 ( ) (2 ) exp ( ( )) ( ( )) 2 U p π - - -   = -   
1/2 T 1 1 ( ) (2 ) ex p( ) ( ) 2 K p π - - -   = -     P V P - μ V P -μ (4.37)
Onde μ e V são a média e matriz de covariância conhecidos para o parâmetro P, respectivamente. Substituindo a eq. (4.37) e (4.35) no teorema de Bayes, a menos da constante de normalização no denominador, obtém-se:

[ ] 1996).

1 1 ln ( | ) ( ) ln 2 ln | | ln | | ( ) 2 MAP p K N S π -   ∝ - + + + +   P y W V P (4.38) Onde [ ] [ ] T 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Para o problema de estimação linear, como o presente caso, a minimização da função objetivo de maximum a posteriori é obtida com:

T 1 1 T 1 ˆ[ ] [ ] MAP -- - = + + P J WJ V J Wy V µ (4.40)
Observa-se pela eq. (4.40) como a informação a priori é usada como um termo de regularização.

Quando a informação a priori é pobre, os termos da diagonal da matriz de covariância são grandes, e não existe o efeito de regularização. • homogênea, i.e. as probabilidades de transição de um estado para outro são invariantes;

• irredutível, i.e. cada estado pode ser atingido a partir de qualquer outro em um número finito de iterações;

• aperiódica, i.e. não haja estados absorventes;

Assim, uma condição suficiente para se obter uma única distribuição estacionária é que o processo atenda a seguinte equação de balanço (EHLERS 2003): 1. Inicialize o contador de iterações z = 0 e especifique um valor inicial P (0) 2. Gere um vetor candidato P*da distribuição q(P*/ P) usando a Equação (4.44); ; 3. Calcule a probabilidade de aceitação ( ) * , β P P usando a Equação (4.45); 4. Gere uma amostra aleatória auxiliar de uma distribuição uniforme: u ~ U(0, 1); 5. Se u ≤ β então aceite o novo estado e faça P (z+1) =P*. Caso contrário, rejeite o novo vetor e faça P (z+1) =P (z) 6. Incremente o contador de z para z + 1 e volte ao passo 2.

r u (r u) ( | ) (u
; Dessa maneira, consegue-se a seqüência que representa a distribuição posteriori e a inferência nessa distribuição é obtida pela inferência nas amostras {P 1 , P 2 ,..., P z }. Nota-se que os valores de P z 4.5.3 O método de Monte Carlo via Cadeias de Markov aplicado à estratégia nodal devem ser ignorados até que a cadeia atinja o equilíbrio.

Na estratégia nodal, descrita na seção 4.1, a matriz de sensibilidade é calculada pelas medidas.

Dessa maneira, na implementação do algoritmo de Metropolis-Hastings a incerteza no cálculo da matriz de sensibilidade deve ser levada em conta. Supondo que P e J são variáveis aleatórias independentes, a densidade de probabilidade a posteriori é então dada por: Os principais usos do filtro de Kalman têm sido em sistemas de controles modernos, em rastreamento e navegação de todo tipo de veiculo, e no projeto de previsão em estimação e sistema de controle (GREWAL e ANDREWS, 2001).

( ) ( ) ( ) ( )
Para a definição do problema de estimação de estados, considera-se um modelo de evolução do vetor de estados x na forma:

( ) O objetivo do problema de estimação de estado é de obter informação sobre x n baseado no modelo de evolução de estado (equação (4.48)) e nas medidas y 1:K ={y n Os modelos de evolução e observação dados pelas equações (4.48) e (4.49) são baseadas nas seguintes hipóteses (KAIPIO e SOMERSALO, 2004b[START_REF] Kaipio | State Estimation[END_REF], MAYBECK, 1979[START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in Practice[END_REF], RISTI et al., 2004):

1 1 n n n n , - - = x f x v (4.
,n=1…K} dadas pelo modelo de observação (equação (4.49)) (KAIPIO e SOMERSALO, 2004b, ORLANDE, 2011[START_REF] Kaipio | State Estimation[END_REF], MAYBECK, 1979[START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in Practice[END_REF], RISTI et al., 2004).

• A sequência x n ( ) ( ) 1 1 | , ,..., | k 0 1 k k k p p - - = x x x x x x
para n=1,2,...,K é um processo Markoviano, isto é (4.50)

• A sequência y n para n=1,2,...,K é um processo Markoviano com relação à história de x n ( ) ( ) [START_REF] Kaipio | State Estimation[END_REF], MAYBECK, 1979[START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in Practice[END_REF], RISTI et al., 2004).

1 1: 1 1 | , | n n n n n p p - - - = y x y x x , isto é (4.51) • A sequência x k ( ) ( ) 1 1 2 1 1 , , , ,
• O problema de previsão, que trata da determinação de ( )

1: 1 | n n p -
x y ;

• O problema de filtragem, que trata da determinação de ( )

1: | n n p x y ;
• O problema de suavização de retardos fixos, que trata da determinação de ( )

1: | n n p p + x y
, onde p≥1 é o atraso fixo;

• O problema de suavização do domínio completo, que trata da determinação de Com as hipóteses supracitadas, os modelos de evolução e observação podem ser escritos respectivamente como:

1 1 1 n n n n n + + + = + + x F x s v (4.53) 1 1 1 1 n n n n + + + + = + y H x n (4.54)
Onde F e H são matrizes conhecidas para a evolução linear dos estados x e das observações y, respectivamente, e s é um vetor conhecido para o modelo de evolução dos estados. Assumindo-se que as incertezas v e n têm média zero e matrizes de covariância Q e R, respectivamente, os passos de previsão e atualização do filtro de Kalman são dados por (KAIPIO e SOMERSALO, 2004b[START_REF] Kaipio | State Estimation[END_REF], MAYBECK, 1979[START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in Practice[END_REF], RISTI et al., 2004[START_REF] Kalman | A new approach to linear filtering and prediction problems[END_REF][START_REF] Sorenson | Least-squares estimation: from Gauss to Kalman[END_REF][START_REF] Welch | An Introduction to the Kalman Filter[END_REF] :

Previsão:

1 1 1 n n n n - + + + = + x F x s (4.55) 1 1 1 1 T n n n n n - + + + + = + E F E F Q (4.56)
Atualização:

( )

1 T 1 1 1 1 1 1 1 T n n n n n n n - - - + + + + + + + = + K E H H E H R (4.57) 1 1 1 1 1 1 ( ) n n n n n n - - + + + + + + = + - x x K y H x (4.58) ( ) 1 1 1 1 k k k k - + + + + = E I -K H E (4.59)
A matriz K é chamada de matriz de ganho de Kalman. Observa-se que após a previsão da variável de estado x e sua matriz de covariância E com as equações (4.55) e (4.56), uma estimativa a posteriori dessas variáveis são obtidas no passo de atualização fazendo-se uso das medidas y.

Para a aplicação do filtro de Kalman para o presente trabalho, a Equação (4.11) precisa ser reescrita de forma que a natureza estocástica no calculo da matriz J seja levada em conta. Dessa forma, escreve-se: Os detectores térmicos são chamados assim, pois a resposta do detector à radiação é um aumento em sua temperatura, que pode ser detectada pela alteração em alguma propriedade do material, como por exemplo, a resistência elétrica.

Os detectores quânticos emitem elétrons em função da taxa de fótons incidentes, ao invés de medirem o aquecimento do elemento devido à radiação incidente. 

Procedimento de Calibração e Medição

Ao realizar a medida, a câmera recebe radiação não somente do objeto medido. Ela recebe também a radiação refletida pela vizinhança. As intensidades de radiação são atenuadas pela atmosfera no caminho entre o objeto e a câmera. Existe ainda a terceira contribuição radiativa, que vem da própria atmosfera.

Esta descrição da situação de medida, conforme apresentado na Figura 4-6 é, com um certo grau uma aproximação real. O que foi desprezado é, por exemplo, a dispersão da luz solar na atmosfera.

Esta perturbação em geral é difícil de ser quantificada. Porém felizmente ela é pequena o suficiente para ser omitida. A partir da Figura 4-6, é possível obter a expressão para o cálculo do sinal em volts de saída da câmera. O perfil de temperatura é obtido pela resolução da equação de transferência de calor em um meio infinito. No caso particular da geometria usada no experimento com n fontes de calor circulares e concêntricas, ΔT (t) pode ser obtida pela equação (SOLORZANO et al., 2008):

( ) de condução de calor unidimensional, desprezando perdas de calor e assumindo que a energia é absorvida instantaneamente em uma pequena profundidade do corpo de prova. Considerando-se a distribuição inicial de temperatura no sólido de espessura L como T(x,0), a distribuição de temperatura em qualquer instante de tempo pode ser descrita como:

1 3 2 ( ) r 
2 2 2 1 0 0 1 2 ( , ) ( , 0) exp cos ( , 0) cos L L q q t q x q x T x t T x d x T x d x L L L L L π α π π ∞ =   -     = +             ∑ ∫ ∫ (4.76)
Onde  é a difusividade térmica. Os autores consideraram que um pulso de energia Q é instantaneamente e uniformemente absorvido (largura do pulso nula) em uma camada fina (ξ) do corpo de prova em x=0, e que as propriedades termofísicas eram constantes com o pequeno aumento de temperatura. Além disso, também assumiram que a condução de calor no corpo de prova era unidimensional, e que as perdas de calor poderiam ser desprezadas. Sob estas condições, a distribuição inicial de temperatura pode ser dada por:

, 0 ( , 0)

0, p Q x C T x x L ξ ρ ξ ξ  < <  =   < < 
Com esta condição inicial, a temperatura na face traseira (x = L) do sólido para qualquer instante de tempo pode ser descrita como:

2 2 2 1 ( , ) 1 2 ( 1) exp q q Q t T L t q CpL L α π ρ ∞ =     = + - -         ∑ (4.77)
A equação (4.77) pode ser escrita na forma adimensional, usando-se os seguintes parâmetros: Este mesmo procedimento foi repetido no laboratório de Microfluidos da EMAC, usando uma amostra de dimensões 10x10x1 (mm). Esta amostra foi posicionada em um material isolante para garantir a difusão unidimensional no meio, conforme apresentado na Figura 4-16-a. Este porta amostra foi então posicionado em frete a uma lâmpada flash modelo ComPact600, da marca Profoto, capaz de fornecer uma potência de 600 J em um tempo de 1/850 s. O experimento foi realizado posicionando a amostra em frente a câmera de termografia por infravermelho, incidindo na amostra a energia fornecida pelo flash e registrando a curva de aumento de temperatura vs tempo na face oposta à incidência do pulso de energia, conforme apresentado na Figura 4-16-b. A difusividade térmica foi obtida a partir da equação (4.81) para cada pixel da câmera e posteriormente feito uma média para todos os pixels. A Figura 4-17 apresenta o a medida de difusividade térmica com o método Flash descrito acima, para um experimento particular. Observase por essa figura a pequena dispersão dos resultados obtidos para todos os pixels. A média dos 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 As Figuras 4-19 apresentam os gráficos do aumento de temperatura em relação à temperatura no instante de tempo inicial (t 0 =0). Observa-se que o aumento de temperatura foi da ordem de 1.2 o C, o que respeita a hipótese proposta por PARKER (1961) de que o aumento de temperatura não pode ser muito elevado para que a as propriedades sejam constantes ao longo de experimento. o aumento de temperatura na amostra é uma lâmpada de Xenônio de alta potência. Ela é envolvida por um espelho parabólico (refletor) que direciona o feixe de luz para a amostra. O LFA 447/1 usa um detector de InSb-IR na faixa de comprimento de onda de 2000 a 5000 nm, resfriado por nitrogênio líquido, que permite uma leitura de temperatura rápida e sem contato direto com a amostra. Um forno integrado mantém a temperatura da amostra estável durante a medida. O forno é integrado ao suporte da amostra, que tem uma massa térmica baixa, permitindo altas taxas de aquecimento e resfriamento. As medidas de temperatura da amostra são feitas no suporte por um termopar. Um Chiller Julabo é usado para auxiliar o controle de temperatura do forno. A Figura 4-20 mostra um esquema do equipamento, que está operando no LTCC/COPPE/UFRJ. A motivação do uso desta resina se dá por suas propriedades serem próximas de um material isolante, o que faz com que a difusão de calor no meio não ocorra de forma muito rápida, como seria o caso de um metal, por exemplo. Dessa maneira a quantidade de dados experimentais obtidos é suficiente para a estimação dos parâmetros desejados. Além disso, o material mostrou uma boa emissão de radiação infravermelha no comprimento de onda da câmera utilizada nos experimentos, conforme detalhado a seguir. 

( , ) m T L t T Θ = (4.78) 2 t L τ α = (4.79) onde T m é a temperatura máxima na superfície traseira [T m ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 exp q q q τ π τ ∞ = Θ = + - - ∑ =T(L,t → ∞)].

Experimento com aquecimento por resistência elétrica

A resistência elétrica utilizada tem um formato circular com um diâmetro de 24.9 mm e com 37.2 Ω, isolada eletricamente com fita Kapton, como mostrado na Figura 4-22-a, com uma área efetiva de aquecimento de aproximadamente 3x10 -4 m 2 . Dessa maneira, a potência dissipada pela resistência é de aproximadamente 1.16 W para a tensão de 10 V. Para o caso do corpo de prova utilizado neste trabalho, com a espessura de 0.0011 m e C = 1.833 x 10 6 J/(Km 3 

Tratamento das imagens

A fim de se obter o melhor aproveitamento dos dados gerados pela câmera de termografia por infravermelho, estes precisam passar por uma etapa de pós-processamento para que a solução do problema inverso seja feito de maneira mais precisa e robusta. Os métodos de processamento usados são a filtragem e o corte, o primeiro visando a redução dos ruídos e o segundo visando a eliminação de porções da imagem que não trazem informação relevante para a análise. Além disso, é necessário a partir de uma imagem, determinar a área de leitura de cada pixel, para haver coincidência dos pixels da câmera com a discretização por diferenças finitas do problema físico estudado. Abaixo são descritos os métodos de filtragem e corte utilizados.

Filtragem

A filtragem é uma operação fundamental em tratamento de imagens. Ela permite melhorar a percepção de detalhes, reduzir ruídos, compensar certos defeitos de captura, etc. Para o caso específico deste trabalho, o interesse é a redução dos ruídos, em particular para a melhoria da relação sinal/ruído. De forma geral, o ruído apresenta uma alta frequência, e é possível reduzi-lo graças ao filtro passa-baixa (BUREL 2001), mantendo o sinal de interesse, de baixa frequência. Um filtro passa-baixa é um filtro que permite que sinais de baixa frequência passem, mas atenua (ou reduz a amplitude de) sinais com frequência maior que uma certa frequência de corte. Um filtro passa-baixa é o oposto de um filtro passa-alta, e um filtro passa-faixa é a combinação de ambos.

A filtragem foi feita em cada frame da imagem, o que equivale a filtrar a imagem em cada passo de tempo, e foi feita através da função filter2 do MATLAB, conforme apresentado em [START_REF] Burel | Introduction au Traitement d'Images -Simulation sous Matlab[END_REF]. A função filter2 filtra os dados de temperatura com o filtro bidimensional FIR, ou filtro de resposta impulsiva finita. A partir da matriz y, que é a matriz de dados experimentais, e de uma matriz de entrada h, que é o filtro FIR bidimensional, a função filter2 rotaciona a matriz filtro de 180 graus para criar o núcleo de convolução. Internamente é chamada a função conv2, que é a função bidimensional de convolução, para a implementação da operação de filtragem. As As Figuras 4-28 apresentam uma comparação das curvas de temperatura ao longo de algumas linhas particulares da Figura 4-27. Observa-se pela presente figura o efeito da atenuação do ruído de alta frequência pelo filtro passa-baixa, mantendo o sinal de menor frequência, que é o sinal de interesse para o presente estudo. Da mesma forma que as Figuras 4-28, as figuras 4-29 apresentam uma comparação das curvas de temperatura, porém temporalmente, e não no espaço. Observa-se nas Figuras 4-29 a mesma atenuação do ruído de alta frequência que observado nas Figuras 4-28. 

Corte da imagem

A câmera CEDIP Titanium, que foi utilizada neste trabalho, possui uma matriz de detectores de 640 x 512 pixels. Este tamanho de imagem deve ser ajustado ao tamanho do corpo de prova a ser estudado. A Figura 4-30 apresenta uma imagem feita com a câmera, onde pode-se observar que o aquecimento da amostra é feito na parte central da figura, o que torna a estimação fora dessa região sem interesse prático. Dessa forma, as imagens são sempre cortadas nas regiões onde a informação obtida pela leitura de temperatura da câmera de termografia por infravermelho for útil para a solução do problema inverso. Uma vez que a discretização utilizada faz com que o pixel em estudo dependa dos pixels vizinhos (Equação (4.4)), as condições de contorno no corte são satisfeitas independente da localização onde este é feito. 

Determinação da área de leitura por pixel

Como a câmera possui uma matriz de pixels, cada um destes é responsável pela leitura de uma determinada área da amostra. Esta área é equivalente aos nós da discretização do problema através da estratégia nodal, descrita na seção 4.1. Desta maneira, para que os nós da discretização coincidam com a área de cada pixel, é necessário determinar a quantidade de pixels em uma determinada área de medida. Esta área é proporcional à distância entre a câmera e a amostra, de modo que ela deve ser determinada para cada experimento, fazendo uma imagem de uma régua e contando o número de pixels em uma determinada unidade de comprimento, por exemplo, em 1 mm, conforme mostrado na Figura 4-31. Esta figura apresenta uma linha reta traçada ao longo de 1 mm para a leitura da temperatura.

Como são necessários 62 pixels para a medida nesse 1 mm, esta área foi de aproximadamente 16 µm x 16 µm neste experimento particular. Logo, na solução por diferenças finitas, o passo espacial para este caso foi de 16 µm nas direções i e j.

Resultados e Discussões

O presente capítulo apresenta a verificação da solução do problema direto, escrevendo sua solução por dois métodos clássicos: O método das diferenças finitas e o método dos volumes finitos, para os dois casos estudados nesta tese, quais sejam: o caso do termo fonte constante e o caso do termo fonte variando no tempo. Para o problema inverso do tipo I, os métodos utilizados para a solução do problema foram verificados com medidas experimentais simuladas, para dois casos-teste distintos: A estimativa simultânea de propriedades termofísicas e termo-fonte em um meio heterogêneo, e a estimativa de uma falha em um material homogêneo. Para o caso do problema inverso do tipo II, a solução do problema inverso com medidas simuladas, em um meio homogêneo sujeito a um termo fonte que varia no tempo, é apresentada. Após esta etapa, são apresentados os resultados da solução do problema inverso para o caso de medidas reais, feitas com a câmera de termografia por infravermelho para o caso do aquecimento realizado de duas maneiras distintas: com uma resistência elétrica e com um laser diodo para termos fontes constantes e variáveis no tempo.

Verificação da solução do problema direto

Para a verificação da solução do problema direto, usou-se uma formulação por volumes finitos para a comparação com a solução por diferenças finitas. Esta formulação foi desenvolvida por Observa-se por estas figuras a excelente concordância para a temperatura calculada pelos dois métodos utilizados neste trabalho, para ambos os casos estudados.

As Figuras 5-4-a-b e Figuras 5-5-a-b apresentam a diferença percentual entre a temperatura calculada pelo método de diferenças finitas e pelo método de volumes finitos, para a verificação da solução do problema direto para os problemas do tipo I e tipo II, respectivamente. Observa-se a excelente concordância entre os resultados, com diferenças entre os métodos da ordem de 0.04% para ambos os casos. A partir dos resultados apresentados, conclui-se que as soluções apresentam uma excelente concordância entre si, verificando a metodologia de cálculo utilizada na metodologia da estratégia nodal.

Casos teste foram examinados nas seções 5.2 e 5.3 para a solução do problema inverso com as técnicas desenvolvidas neste trabalho, usando medidas experimentais simuladas de dois casos diferentes no problema do tipo I e para um caso no problema do tipo II. O objetivo é verificar a solução do problema inverso pelas técnicas desenvolvidas neste trabalho. 

Solução do problema inverso do tipo I com medidas simuladas

Os casos examinados abaixo envolvem uma placa fina. A placa é composta de dois materiais A e B. Os materiais são interpostos em diferentes formas para avaliar casos-teste envolvendo diferentes formas funcionais da difusividade térmica, e do termo fonte. Primeiramente, quadrados periódicos dos materiais A e B foram testados. Depois, uma configuração representativa de uma falha em um meio homogêneo foi analisada.

O meio periódico é composto de dois materiais com as seguintes propriedades termofísicas:

k A = 10 W/(mK), C A = 3.75 10 6 J/(m 3 K), α A = 2.66 10 -6 m 2 k /s

B = 0.01 W/(mK), C B = 1 10 5 (J/m 3 K), α B = 1.0 10 -7 m 2 A difusividade térmica, o coeficiente G /s i,j e o coeficiente H i,j
Para se evitar o crime inverso de usar a mesma solução para a geração dos dados experimentais simulados e para a solução do problema inverso, a solução em volumes finitos desenvolvida por 

Análise de sensibilidade

A análise de sensibilidade é feita para estudar os efeitos do tempo de experimento e determinar áreas aonde os parâmetros apresentem maior sensibilidade para a análise inversa. Os coeficientes de sensibilidade reduzidos com respeito a H i,j , G i,j e α i,j são plotados nas Estes resultados motivaram a escolha do tempo de experimento em t = 1 s. Infelizmente, este tempo final pequeno impõe restrições no número de medidas disponíveis para o processo de estimação. Para uma freqüência de medida de 50 Hz, (passo de tempo ∆t = 0.02 s), o número de dados experimentais disponíveis para cada pixel é igual a 50.

Resultados

Casos envolvendo dois diferentes erros experimentais foram usados: σ = 0. que correspondem respectivamente a 0.15% e 1 % da máxima diferença de temperatura no meio.

-9 , 9.10 -6 ] m 2

A cadeia de Markov para cada pixel consistiu em 1600 estados, onde os 800 primeiros foram desconsiderados para o cálculo dos parâmetros estatísticos. A taxa da aceitação do algoritmo de MH foi da ordem de 40% para as medidas com desvio padrão de 0.03 °C e 60% para medidas com desvio padrão de 0.2 °C, conforme ilustram as Figuras 5-10-a-b. A amplitude de movimento dos parâmetros foi de aproximadamente 1 % para a difusividade térmica assim como para a matriz de sensibilidade e 3 % para o parâmetro relativo ao termo-fonte.

/s. Tal intervalo compreende a maioria do materiais isolantes, e não fornece nenhuma informação prática ao valores dos parâmetros a serem estimados. A informação a priori para o termo fonte é assumido como sendo uniforme no intervalo [0, 10] K/s. k A = 10 W/(mK), C A = 3.75 10 6 J/(m 3 K), α A = 2.66 10 -6 m 2 k /s B = 0.0257 W/(mK), C B = 1211025 J/(m 3 K), α B = 2.12 10 -8 m 2 A difusividade térmica e o parâmetro G /s i,j , que depende do termo fonte, estão mostrados nas Figuras 5-19-a-b. As escalas dos eixos correspondem ao número de pixels. O termo fonte aplicado foi de g i,j = 1 10 4 W/m 2 na região {I,J}, tal que a i /4 < I < 3a i /4 e a j /4 < J < 3a j /4. Desta forma, os .

A cadeia de Markov para cada pixel consistiu em 1500 estados, onde os 500 primeiros foram descartados para o cálculo das estatísticas dos parâmetros. A taxa de aceitação foi em média 10 %. Para o passo no espaço de 200 µm usado nesta verificação, observa-se que para todos os casos analisados as propriedades termofísicas e termos-fonte foram estimados de forma satisfatória com o algoritmo de Metropolis-Hastings. Dessa forma, verificou-se também a possibilidade do presente modelo matemático e do problema inverso estudado em estimar termos-fonte constantes no tempo e propriedades termofísicas em micro-escala.

Solução do problema inverso do tipo II com medidas simuladas

Para a verificação da solução do problema inverso do tipo II uma placa plana de espessura e = 0.002 m composta de um material com propriedades k=10 W/(mK) e C=3.76 10 6 J/(m 3 que estes são bem conhecidos, e que a evolução desses parâmetros não será levada em conta no vetor de estados.

Resultados

Para os resultados apresentados, assume-se que os erros nas medidas de temperatura são aditivos, não correlacionados, com distribuição normal, com média zero e desvio padrão de 0. respectivamente, ambos no passo de tempo 47 (t = 0.96 s). O intervalo de confiança de 99% para a estimação do termo fonte está também apresentado nessas figuras. A Figura 5-31apresenta a distribuição espacial da estimação do termo fonte para o passo de tempo 47 (t = 0.96s), mostrando uma boa concordância com o termo fonte de referência (Figura 5-24-a). Para o passo espacial de 500 µm utilizado nesta verificação, observa-se que para todos os casos analisados as propriedades termofísicas e termos-fonte foram estimados de forma satisfatória.

Assim como no caso do problema inverso do tipo I, verifica-se a possibilidade do presente modelo matemático e do problema inverso estudado em estimar propriedades termofísicas e termos-fonte variando no tempo em micro-escala.

A etapa de verificação é de extrema importância para que se tenha certeza de não haverem erros cometidos na implementação computacional dos métodos. Uma vez verificados os algoritmos utilizados para a estimação dos parâmetros de interesse, estes foram aplicados a problemas com medidas reais de temperatura. As medidas foram efetuadas em um corpo de provas com propriedades térmicas constantes, na qual foi feito seu aquecimento por duas diferentes maneiras, a saber: um aquecimento com um laser-diodo e um aquecimento com uma resistência elétrica. As seções 5.4 e 5.5 apresentam o resultado da estimação dos parâmetros usando medidas reais de temperatura. Os experimentos realizados foram descritos nas seções 4.8.1 e 4.8.2. O desvio padrão da medida, de acordo com a Figura 4-12-a é de 0.03 °C para o tempo de integração de 1000 µs (utilizado no experimento). Porém, como ocorre a filtragem do campo de temperaturas, é necessário calcular o desvio padrão resultante desse processamento. Isto é feito da mesma maneira descrita na seção 4.7.1, mas usando o campo de temperatura filtrado ao invés de usar o campo de temperatura original. Com isso, o desvio padrão da medida foi de 0.006 o 

Solução do problema inverso do tipo I com medidas reais

, que são a parcela da radiação que chega à câmera pela reflexão da vizinhança e a emissão da atmosfera(ver Equação (4.71)) sejam eliminados. Desta forma, todos os gráficos apresentados mostram diretamente em suas escalas o aumento de temperatura sofrido pelo corpo de prova.

Para os experimentos relativos à solução do problema inverso do tipo I, o laser diodo ou a resistência elétrica impõe um fluxo de calor na amostra de forma contínua. Como o termo fonte é constante e o corpo de prova é composto de um material cujas propriedades termofísicas não variam no tempo, a metodologia utilizada para a estimação dos parâmetros foi o algoritmo de Monte Carlo via Cadeias de Markov e o método de Mínimos Quadrados.

Experimento com a resistência elétrica

Para o caso do experimento com a resistência elétrica uma voltagem de 10 V foi aplicada resultando em um aumento máximo de 4 o Para a presente análise, foi considerada apenas uma parte do meio, devido ao elevado custo computacional de se realizar a estimação em toda a matriz de medidas de temperatura (conforme será apresentado a seguir). Este corte foi realizado na área apresentada na C em toda a amostra.

Figura 5-36, reduzindo o tamanho da imagem de 440 x 440 pixels para 98 x 98 pixels. Este corte é realizado em um local que apresente uma parte aquecida e outra não aquecida, de forma que o termo fonte estimado deve apresentar uma distribuição espacial equivalente ao campo de temperatura observado, isto é, nulo nos locais onde o meio não foi aquecido e não nulo nos locais onde o meio é aquecido.

Figura 5-36 -Área escolhida para o corte na imagem

Como consequência desse corte, na solução do problema inverso a placa é discretizada em a i = a j = 98 nós internos e 101 passos de tempo. Os valores do parâmetro α i,j

, i j H , e , i j
G foram então estimados para cada um desses nós. Cada pixel representa uma área de 76.9 x 76.9 µm, medido conforme apresentado na seção 4.10.3, de maneira que as dimensões da parte cortada na imagem da placa (Figura 5-36) são L x = L y

As Figuras 5-37-a-b apresentam a distribuição inicial de temperatura, e os pontos na figura escolhidos para serem analisados, respectivamente. Para as figuras que apresentam os resultados em pixels particulares, estes foram escolhidos de acordo com a = 0.00754 m. O tempo de experimento foi de 1.01s, e o passo de tempo foi de 0.01s, que satisfaz o critério de estabilidade do método de diferenças finitas usado na estratégia nodal. O inicio do experimento foi em 100 passos de tempo após a resistência ter sido ligada. Dessa maneira, o tempo inicial é considerado como sendo 1 segundo após o momento na qual a imagem obtida pela câmera acuse o início do aquecimento. Espera-se que assim os transientes iniciais, como o aquecimento da própria resistência elétrica tenham sido ultrapassados.

Figura 5-37-b. A cadeia de Markov para cada pixel consistiu em 6000 estados, onde os 1000 primeiros foram desconsiderados para o cálculo dos parâmetros estatísticos.

C) para h.

A taxa da aceitação do algoritmo de MH foi da ordem de 60%, conforme ilustra a Figura 5-38. A amplitude de movimento dos parâmetros foi de 2% para a difusividade térmica e G i,j , 0.2% para a matriz de sensibilidade e 10% para H i,j

As Figuras 5-39-a-b apresentam o resultado da estimação da difusividade térmica com o método de Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) e pelo método de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) respectivamente. Observa-se pelas figuras abaixo um valor médio de 0.259 mm .

2

/s para a média de todos os pixels no caso da estimação feita pelo método de OLS e 0.253 pelo método de MCMC com o algoritmo de Metropolis Hastings (MH). Estes valores são em média 4.5 e 7 % maiores do que a média dos valores de referência respectivamente. Esta diferença está dentro da incerteza da medida para os métodos apresentados na seção 4.9. Em ambos os casos, observa-se que o desvio padrão para a dispersão dos resultados em toda a matriz de medidas é da ordem de 10 -9 m 2 é, não existe uma grande variação entre os pixels, o que levaria a crer que o valor médio de toda a matriz, próximo do valor de referência, se deu de forma aleatória. A taxa da aceitação do algoritmo de MH foi da ordem de 37 % conforme ilustra a Figura 5-53. A amplitude de movimento dos parâmetros foi de 6% para a difusividade térmica e 1% para G i,j , H i,j para o tipo de aquecimento usado neste trabalho. Entretanto, a região que recebe a energia do laser pode ser bem definida em ambas as figuras.

Figura 5-58 -Estimação de G i,j para OLS. As Figuras 5-60, 5-61 e 5-62 apresentam a convergência das cadeias de Markov para 6000 estados de α para o algoritmo de MH. i,j , H i,j e G i,j respectivamente. Pode-se observar por essas figuras que após os estados de aquecimento, as cadeias atingiram a convergência rapidamente. A exceção é feita ao parâmetro H i,j , que como demonstrado acima, seu coeficiente de sensibilidade é muito baixo. A Tabela 5-2 apresenta de forma resumida os resultados obtidos para a estimação da difusividade térmica para o problema inverso do tipo I nos experimentos com aquecimento pela resistência elétrica e laser diodo para os métodos OLS e MCMC A Tabela 5-4 apresenta de forma resumida os parâmetros usados para a malha espacial e os tempos de experimento, bem como o passo de tempo usado para a solução do problema inverso do tipo I para o caso dos experimentos feitos com o laser diodo e a resistência elétrica. desenvolvido para problema de estimação de estados.

Experimento com a resistência elétrica

Para o caso do experimento com a resistência, uma tensão de 10 V foi aplicada em intervalos de tempo regulares, resultando em um aumento máximo de 15 o Para a presente análise, foi considerada apenas uma parte do meio, devido ao elevado custo computacional de se realizar a estimação em toda a matriz de temperaturas, devido às dimensões das matrizes geradas para a estimação pelo filtro de Kalman. Este corte foi realizado na área apresentada na C em toda a amostra. Este experimento foi realizado manualmente, sem a utilização do gerador de função, uma vez que a voltagem máxima fornecida pelo gerador é de 5 V, o que é insuficiente para uma amplitude de sinal que possibilite a estimação dos parâmetros. O tempo computacional para a estimação dos parâmetros com o filtro de Kalman foi da ordem de 23 minutos.

Experimento com o laser diodo

Para o caso do experimento com o laser diodo, duas formas temporais de termo fonte foram utilizadas: Um pulso e uma senóide. Para a aplicação das formas de onda, o gerador de função Agilent 33220A foi utilizado. Para a senóide, uma frequência de 1Hz foi utilizada. O pulso teve a duração de 500 ms e o tempo entre os pulsos foi de 1 segundo e uma corrente de 900 mA foi selecionada para o laser diodo. Para a senóide uma corrente de 1050 mA foi usada. Em ambos os casos, a amplitude da tensão foi de 0 a 5 V. Campo de temperatura em n=300

Figura 5-83 -Termo fonte estimado em pixels particulares comparados com o perfil de temperatura.

O tempo computacional para a solução do problema inverso com o filtro de Kalman foi da ordem de 5 minutos.

Para o experimento com um pulso de energia a matriz de temperaturas é discretizada em a i = a j n m G = 32 nós internos e 881 passos de tempo. Os valores do parâmetro foram então estimados para cada um desses nós e passos de tempo. Cada pixel representa uma área de 78.1 x 78.1 µm, de maneira que as dimensões da parte cortada na imagem da placa são L x = L y

As Figuras 5-84a-b apresentam as distribuições de temperatura no passo de tempo 379, em t = 1.9s, e os pontos na figura escolhidos para serem estudados, respectivamente. Para as figuras que apresentam os resultados em pixels particulares, estes foram escolhidos de acordo com a = 0.00249 m.. O tempo final foi de 4.4s, e o passo de tempo foi de 0.005 s. O tempo computacional para a estimação dos parâmetros com o filtro de Kalman foi da ordem de 8 minutos.

A Tabela 5-5 apresenta de forma resumida os desvios padrões utilizados no modelo de evolução de estado para a estimação dos parâmetros desconhecidos, usadas no filtro de Kalman para o problema inverso do tipo II, no caso do aquecimento ter sido realizado com a resistência elétrica ou com o laser diodo e para os tipos de pulso impostos ao corpo de prova. Para os parâmetros α i,j , H i,j e G i,j , o desvio padrão representa a incerteza usada no modelo de evolução de estados na forma de um passeio aleatório (Equação (4.62)), e no caso da temperatura o desvio padrão é feito pela propagação de incertezas devido às incertezas em J n , T n e P n Em todos os casos com medidas reais, o passo no espaço foi da ordem de 80 µm, o que confirmou a capacidade da técnica apresentada nesta tese de prover a estimação de parâmetros e termos-fonte para sistemas em micro-escala. A maior área dentre os casos-teste apresentados foi de 64 mm 2 para o problema inverso do tipo I com aquecimento por laser diodo, e a menor foi de 6.25 mm 2

Tendo em vista a enormidade de dados experimentais gerados pela câmera a estratégia nodal mostrou-se uma ferramenta eficiente e confiável para a determinação de propriedades termofísicas e termos-fonte, acelerando de forma significativa a solução do problema inverso, por tratar de um problema de estimação linear para cada pixel. A formulação por parâmetros concentrados permitiu uma aproximação para um problema bidimensional de solução mais rápida do que um problema tridimensional. Trabalhos futuros visam a implementação da formulção por parâmetros concentrados aperfeiçoado (improved lumped), onde o gradiente de temperatura em z é calculado de forma aproximada ao invés de admitir que ele seja nulo. Também foi mostrada a sua aplicação à solução de problemas inversos utilizando métodos que se enquadram dentro da teoria estatística Bayesiana, como o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov e o filtro de Kalman.

para o problema inverso do tipo II com aquecimento por laser diodo.

Figura 3- 1

 1 Figura 3-1 Esquema do problema físico ......................................................................... 15 Figura 4-1-Índices da discretização ............................................................................... 21 Figura 4-2-Minimização do modelo de erro preditivo .................................................. 22 Figura 4-3 Passos de previsão e atualização para o filtro de Kalman ............................ 36 Figura 4-4 -Espectro Eletromagnético (fonte:www.sbfisica.org.br) ............................ 39 Figura 4-5 -(a) Câmera Cedip 560M operando no laboratório e (b) imagem do software Altair ....................................................................................................................... 41 Figura 4-6 -Representação esquemática da situação de medida: 1 -Vizinhança; 2 -Objeto; 3 -Atmosfera; 4 -Câmera. ....................................................................... 42 Figura 4-7 Calibração da Câmera ................................................................................... 44 Figura 4-8 Curva de calibração típica ............................................................................ 44 Figura 4-9 Software Calibration File Manager............................................................... 45 Figura 4-10 -Curva de NUC ......................................................................................... 46 Figura 4-11 -Histograma da distribuição de temperatura da câmera ............................ 46 Figura 4-12 -Desvio padrão para (a) lentes de 50mm e (b) lentes de 10mm ................ 47 Figura 4-13 -Metodologia do Disco quente. (a) Posicionamento da Amostra e (b) Detalhe do sensor ................................................................................................... 48 Figura 4-14 -Disco quente operando no Laboratório de Propriedades Térmicas. (a) Visão geral do equipamento e (b) Detalhe do porta-amostra ................................. 50 Figura 4-15 -Medida da difusividade térmica, de acordo com PARKER et al. (1961). 52 Figura 4-16 -Experimento Flash (a) Posicionamento da amostra e (b) Montagem do aparato .................................................................................................................... 53 Figura 4-17 -Resultado do cálculo da difusividade térmica pelo método de PARKER (1961) ..................................................................................................................... 53 Figura 4-18 -Curvas de aumento de temperatura adimensionalizadas pela temperatura máxima ................................................................................................................... 54 Figura 4-19 -Curvas de aumento de temperatura subtraídas da temperatura no tempo inicial ...................................................................................................................... 54 Figura 4-20 Netzsch Nanoflash LFA 447/1 ................................................................... 55

3. 1

 1 Descrição do problema físico O problema físico examinado envolve a condução de calor transiente bidimensional em um meio heterogêneo. A condutividade térmica e o calor específico podem variar com a posição, e o fluxo de calor pode variar com a posição e com o tempo e com geração interna. O meio tem largura e comprimento L e espessura e. As condições de contorno são admitidas serem de isolamento em y=0 e y=L y , x=0 e x=L x e z=e.

Figura

  Figura 3-1 Esquema do problema físico

  termo fonte local dividido pela capacidade térmica local e pela espessura.

  14) O vetor de parâmetros definido pela equação (4.14) contem em cada nó m = 1,…,M: α, que é a difusividade térmica, H, que é h dividido pela capacidade térmica e espessura da placa, e k m G , que é o termo fonte local dividido pela capacidade térmica e espessura da placa.

  correlacionados e com distribuição normal, com os parâmetros estatísticos descrevendo o erro y(t) conhecidos, erro randômico somente nas temperaturas medidas, e finalmente sem informação a priori das quantidades a serem estimadas, a função objetivo que fornece a menor variância é a norma de mínimos quadrados, definida por (OZISIK e ORLANDE, 2000, BECK e ARNOLD, 1977, KAIPIO e SOMERSALO, 2004a): a soma dos quadrados dos erros, ou função objetivo, y n e T n são as temperaturas medidas e estimadas no tempo t n , respectivamente, P é o vetor de parâmetros P T =[P 1 , P 2 , ..., P N As temperaturas estimadas T ]. N é o número de parâmetros. n (P) são obtidas pela solução do problema direto nos pontos de medidas, usando o conhecimento dos parâmetros P b A equação (4.15) pode ser escrita na seguinte forma matricial: , b=1,...N. T indica a transposta, e (y -T(P)) T ( )

  minimização de S(P) pode ser representada em notação matricial igualando o gradiente de S(P) com relação ao parâmetros P a zero, isto é [ ]

  total de medidas Os elementos da matriz de sensibilidade são chamados de coeficientes de sensibilidade. O coeficiente de sensibilidade J n,b são definidos como a primeira derivada do parâmetro estimado no tempo t n com relação ao parâmetro desconhecido P b

  estimadas e a matriz de sensibilidade calculadas na iteração h, respectivamente. A Equação (4.26) é substituída na Equação (4.24) e a expressão resultante é rearranjada para a obtenção do seguinte procedimento iterativo para a obtenção do vetor de parâmetros desconhecidos P[START_REF] Beck | Parameter Estimation in Engineering and Science[END_REF], OZISIK e ORLANDE, 2000):(4.27)O procedimento iterativo dado pela Equação (4.27) é chamado de método de Gauss. Este método é uma aproximação do método de Newton (ou método de Newton-Raphson)[START_REF] Beck | Parameter Estimation in Engineering and Science[END_REF], OZISIK e ORLANDE, 2000).Observa-se que a Equação (4.25) assim como a implementação do procedimento iterativo dado pela Equação (4.27), requerem a matriz J 28) fornece a chamada Condição de Identificabilidade, que é caso o determinante de J T J ser zero ou mesmo muito pequeno, os parâmetro P b , para b=1...N não podem ser determinados usando o procedimento iterativo da Equação (4.27) ou a Equação (4.25). Problemas onde |J T A análise estatística dos resultados permite que se obtenha uma estimativa do grau de incerteza dos valores estimados para os parâmetros. Utilizando-se as hipóteses de que as medidas contém erros aditivos e não correlacionados, com distribuição normal, média zero e desvio padrão constante, a matriz de variância V, para P J| ≈ 0 são denominados mal-condicionados. Problemas inversos em transferência de calor são geralmente muito mal-condicionados, especialmente próximos da estimativa inicial usada para os parâmetros desconhecidos, criando dificuldades na aplicação da Equação (4.25) ou (4.27). Para contornar tal situação, foram desenvolvidas técnicas de regularização, como o método iterativo de Alifanov, a regularização de Tikhonov, e algoritmos como o de Levenbeg-Marquadt. O presente trabalho lida com esses problemas pelo uso de técnicas baseadas na teoria estatística Bayesiana, como o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov e o filtro deKalman. 

  b

  ,...,N, que são os parâmetros estimados resultante da minimização da norma de mínimos quadrados é dada por (BECK e ARNOLD, 1977, OZISIK e ORLANDE, 2000): (4.29) Onde N na Equação (4.29) é o número de parâmetros. Os desvios-padrão para os parâmetros são obtidos através dos elementos da diagonal de V, isto é: sensibilidade desempenha um papel fundamental em problemas de estimação de parâmetros, pois como demonstrado pelas Equações (4.27) e (4.25), se |J T O coeficiente de sensibilidade J J| for muito pequeno, os parâmetros P não podem ser estimados por estas Equações. Desta maneira, é feita uma breve discussão sobre o significado físico e matemático dos coeficientes de sensibilidade.nb , definido pela Equação (4.32) é uma medida da sensibilidade da temperatura T estimada no tempo t n com relação ao parâmetro P b , onde P b de magnitude de J nb significa que uma grande alteração em P b resulta em uma pequena mudança em T n . Neste caso, a estimação de P b Quando o valor do coeficiente de sensibilidade é pequeno, têm-se , e o problema inverso é mal-condicionado.Desta forma, é desejável ter coeficientes de sensibilidade grandes e linearmente independentes, de forma que o problema inverso não seja muito sensível aos erros experimentais. A maximização de J J Τ é desejável no projeto de experimentos ótimos, para a estimação de parâmetros, pois a região de confiança é minimizada.Normalmente a variação com o tempo dos coeficientes de sensibilidade e de J J Τ deve ser examinada antes de se obter a solução do problema inverso. Este estudo indica o local para o melhor posicionamento dos sensores e tempo de medida para ser usado na análise inversa, o que corresponde a coeficientes de sensibilidade linearmente independentes com valores absolutos grandes, e grandes magnitudes de J J Τ .

  y denotam o parâmetro randômico desconhecido e o dado relacionado, respectivamente. A função de densidade de probabilidade condicional p(P|y) é chamada função de densidade de probabilidade posteriori, p(y|P) é a função de verossimilhança e a função de densidade de probabilidade marginal p(P) é chamada função de densidade de probabilidade priori. A verossimilhança p(y|P) é definida a partir da seguinte relação: x=T(P)+γ (4.34) Onde T(P) é a solução do problema direto em uma determinada localização e tempo para o vetor de parâmetros P e γ é o erro das medidas de temperatura. Supondo o erro γ sendo aditivo, normalmente distribuído com média zero e desvio padrão conhecido, a função de verossimilhança p(y|P) é dada por (BECK e ARNOLD

,

  48) Onde o subscrito n=1,…,K é referente um instante de tempo t n x n R ∈ em um problema dinâmico. O vetor x é chamado de vetor de estados e contém as variáveis a serem dinamicamente estimadas. Este vetor avança de acordo com o modelo de evolução de estados dado pela equação (4.48), onde f é em um caso geral, uma função não linear das variáveis de estados y e do vetor de incertezas n=1,...,K. As medidas são relacionadas à variável de estado x pela função geral e possivelmente não linear h na forma (4.49) Onde n n n R ∈ é a incerteza da medida. A equação (4.49) é chamada de incerteza do modelo de observação (ou de medida).

  depende das observações passadas somente através de sua própria história, isto é (4.52) Além disso, para os modelos de evolução e observação dados pelas equações (4.48) e (4.49), é assumido que para i ≠ j o vetor de incerteza v i e v j , assim como n i e n j , são mutuamente independentes e também mutuamente independentes do estado inicial y 0 . Os vetores v i e n j Diversos problemas podem ser considerados com os modelos de evolução e observação apresentados (KAIPIO e SOMERSALO, 2004b): são também supostos mutuamente independentes para todo i e j (KAIPIO eSOMERSALO, 2004b, 

  Figura 4-3. A próxima seção apresenta a forma do filtro de Kalman escrito especificamente para este trabalho.

Figura 4- 3

 3 Figura 4-3 Passos de previsão e atualização para o filtro de Kalman

  com matriz de covariança Q T 1 n+ T , que é resultado da propagação de incertezas em devido às incertezas em J n , T n e P n . A matriz de covariância Q T evolução para o parâmetro P é dado na forma de um passeio aleatório, Gaussiano com matriz de covariância Q Na equação (4.62), I é a matriz identidade de dimensão (NxM)x(NxM), onde N é o número de parâmetros da equação a serem estimados.

  Desta forma, o vetor de variáveis de estado y (Equação (4.53)) é composto das variáveis T e dos parâmetros P e pode ser escrito da seguinte forma: (4.65) 0 é uma matriz de zeros.Com as variáveis de estado escritas na forma da equação (4.63), a matriz de evolução F deve ser escrita na forma apropriada para a aplicação do filtro deKalman (Equação (4.53)), isto é, é assumido que as variáveis medidas são as temperaturas transientes nos nós equidistantes da formulação nodal do problema físico em estudo. Desta maneira, a matriz H do modelo de medida (Equação (4.54)) é escrita na forma: n é Gaussiano e com matriz de covariância constante R, que é resultado da calibração da câmera por infravermelho usada para obter as medidas.4.7 Termografia por Câmera de InfravermelhoOs problemas inversos são classificados como mal-postos. Dessa maneira, a solução do problema é altamente sensível a erros. Isto significa que o projeto experimental associado ao processo de medida é um dos fatores principais na qualidade dos resultados. Para o problema inverso de condução, as variáveis medidas são temperatura e fluxo de calor. Neste contexto, a termografia por infravermelho apresenta grandes vantagens: de um lado medidas dependentes da posição e do tempo, e por outro lado, um método de investigação não intrusivo (NILIOT e[START_REF] Le Niliot | Infrared Thermography Applied to the Resolution of Inverse Heat Conduction Problems: Recovery of Heat Line Sources and Boundary Conditions[END_REF]. A última propriedade permite também aplicações industriais, onde é impossível usar sensores de contato na superfície, ou no volume, como por exemplo, em processos rotacionais.A radiação infravermelha foi descoberta em 1800 por William Herschel, um astrônomo inglês de origem alemã. Hershel colocou um termômetro de mercúrio no espectro obtido por um prisma de cristal com a finalidade de medir o calor emitido por cada cor. Descobriu que o calor era mais forte ao lado do vermelho do espectro, observando que ali não havia luz. Esta foi a primeira experiência que demonstrou que o calor pode ser captado em forma de uma onda, como acontece com a luz visível. Ainda que em seres vertebrados não seja percebida na forma de luz, a radiação infravermelha pode ser percebida como calor por terminações nervosas especializadas na pele, conhecidas como termoreceptores.Não existe diferença entre a radiação infravermelha e outras ondas eletromagnéticas, como a luz visível, ultravioleta, raios-X ou microondas. Elas se diferem somente pelo comprimento de onda. A fronteira entre o visível e a radiação infravermelha é de aproximadamente 0.7 µm e a fronteira entre o infravermelho e a região de microondas é de 1000 µm. A banda infravermelha pode ser dividida em 3 sub-regiões: a região de infravermelho curto (0.7-2) µm, a região de infravermelho médio (2-20) µm e a região de infravermelho longo (20-1000) µm[START_REF] Hain | The use of infrared radiation in measurement and non-destructive test[END_REF].A Figura 4-4 apresenta o espectro eletromagnético e apresenta alguns tipos de ondas e seus respectivos comprimentos.

Figura 4- 4 -

 4 Figura 4-4 -Espectro Eletromagnético (fonte:www.sbfisica.org.br) Em princípio, qualquer dispositivo que produza uma resposta à radiação incidente é um detector. O mais comum é o olho, pois existem células fotoreceptoras sobre as quais são formadas as imagens. Entretanto, este tipo de receptor fornece uma resposta qualitativa subjetiva, e o que se deseja ao realizar uma medida são respostas quantitativas. Os detectores que podem fornecer uma medida objetiva e quantitativa de luz podem ser divididos em dois grupos: detectores térmicos e detectores quânticos.

4. 7 . 1

 71 Câmera CEDIP Titanium 560MNeste trabalho, a câmera utilizada para a aquisição dos dados experimentais é a Titanum 560M da Cedip Infrared Systems, com detector quântico de Antimônio-Índio (InSb). Dependendo da quantidade de fótons recebidos, a câmera retorna um sinal elétrico (em volts) que expressa um nível numérico (Digital Level, DL). As funções de transferência fótons/volts e volts/DL são funções lineares crescentes. O detector tem o formato de 640 x 512 pixels, sensível no espectro entre 1.5 e 5.0 µm. Ela permite a programação da freqüência de aquisição e existe a possibilidade de realizar medidas em uma área específica da imagem, pelo comando "sub-window". O tempo de integração é ajustável entre 10 e 20000 µs através de incrementos de 1 µs. O tempo de integração é o tempo durante o qual o detector permanece aberto e coleta o fluxo de dados. Este tempo pode ser comparado com o tempo de abertura do obturador de uma máquina fotográfica convencional. Existe a possibilidade de sincronização da câmera com aparelhos externos, através do "external triggering". A câmera é equipada com um motor Stirling, de modo que a temperatura de operação seja de 75 K. O consumo de energia é de 50 W durante o tempo de resfriamento e 30 W em regime permanente, operando em uma temperatura externa entre -20 e 55°C. A NETD (Noise equivalent temperature difference) é < 25mK. Por definição, a NETD é a diferença de temperatura igual ao ruído interno do detector. Dessa forma, a NETD mede a sensibilidade do detector de radiação térmica. A câmera CEDIP Titanium operando no Laboratório de Microfluídicos do EMAC, está apresentada na Figura 4-5-a. A câmera opera fixada a um aparato responsável pelo seu deslocamento vertical.

  Figura 4-5 -(a) Câmera Cedip 560M operando no laboratório e (b) imagem do software Altair

Figura 4- 6 -EquaçãoFigura

 6 Figura 4-6 -Representação esquemática da situação de medida: 1 -Vizinhança; 2 -Objeto; 3 -Atmosfera; 4 -Câmera.

Figura

  Figura 4-7 Calibração da Câmera

Figura 4- 9 Figura

 9 Figura 4-9 Software Calibration File Manager Cada detector (com coordenadas i,j) tem seu próprio parâmetro de ganho (η ij ) e offset (λ ij

Figura 4 -

 4 Figura 4-10 -Curva de NUC Para a solução de problemas inversos dos tipos I e II com medidas reais, a técnica de medida deve respeitar as hipóteses estatísticas feitas para a obtenção do vetor de parâmetros desconhecidos pelo método MCMC e pelo filtro de Kalman. Dessa maneira, as hipóteses de erros nas medidas de temperatura serem assumidos como sendo aditivos, não-correlacionados, distribuídos normalmente, com média zero e desvio padrão conhecido σ são apresentados a seguir.A hipótese de erros não correlacionados não é respeitada nos locais onde é feita a substituição de pixels defeituosos pela média dos vizinhos, porém esses pixels representam menos de 1% do total da matriz, o que não compromete esta hipótese. A hipótese de distribuição normal com média zero pode ser observada pela Figura 4.11, onde a imagem da esquerda representa a medida feita do corpo negro a 23 o C. Observa-se pelo histograma, à direita na figura, que este é centrado em 22.3 o C e com uma distribuição Gaussiana. A diferença de 0.7 o C está dentro da incerteza da medida feita pela câmera e fornecida pelo fabricante com sendo de ± 1 o C.

Figura 4 -

 4 Figura 4-11 -Histograma da distribuição de temperatura da câmera

  dissipada pela resistência, k é a condutividade térmica do material, D(τ) é uma função geométrica que é característica do número n de anéis concêntricos e Δ (t) é o aumento de temperatura no sensor expresso em termos de uma variável τ definida como: t é o tempo de medida a partir do início do aquecimento, ϑ é o tempo característico que depende de parâmetros do sensor e da amostra, r é o raio do sensor e α é a difusividade térmica da amostra.A condutividade térmica é obtida ajustando-se os dados experimentais à curva dada pela equação (4.73); a difusividade térmica é calculada da equação (4.74), levando-se em conta o valor de τ, determinado no ajuste anterior. A capacidade térmica é calculada pela definição de difusividade térmica, isto é, 14 apresenta o equipamento utilizado para a determinação da difusividade térmica, calor específico e condutividade térmica. Pode-se observar na Figura 4-14-a a bancada experimental e na Figura 4-14-b, em detalhe, o aparato onde a amostra é posicionada.

  Figura 4-14 -Disco quente operando no Laboratório de Propriedades Térmicas. (a) Visão geral do equipamento e (b) Detalhe do porta-amostra O resultado obtido para a estimação das propriedades termofísicas do corpo de prova utilizado neste trabalho é apresentado na Tabela 4-1. Foram feitos 4 testes na temperatura ambiente (20 o C).A média das três medidas de difusividade térmica com o Disco Quente foi de 0.24 mm 2 /s, com um desvio padrão de 0.001 mm 2 /s.

Figura 4 -

 4 Figura 4-15 -Medida da difusividade térmica, de acordo com PARKER et al. (1961).

  acordo com aquela obtida pelo método do Disco Quente. O experimento foi repetido 4 vezes, e a média, levando-se em conta todos os experimentos foi de 0.2420 mm 2 /s, com desvio padrão de 0.0006 mm 2 /s. Todos os experimentos foram realizados à temperatura ambiente (20 o C). Flash (a) Posicionamento da amostra e (b) Montagem do aparato As Figuras 4-18 apresentam as variações de temperatura dividida pela temperatura máxima T m (i,j) na face oposta ao flash versus o tempo do experimento para alguns pixels particulares, a saber (i = 19, j = 28), (i = 41, j = 61), (i = 26, j = 66), (i = 60, j = 23). Observa-se por essas figuras o comportamento adiabático esperado pelo método de PARKER (1961). As medidas foram feitas com a câmera por infravermelho CEDIP Titanium 560M e os cálculos foram efetuados na plataforma MATLAB.

Figura 4 -

 4 Figura 4-17 -Resultado do cálculo da difusividade térmica pelo método de PARKER (1961)

Figura

  Figura 4-18 -Curvas de aumento de temperatura adimensionalizadas pela temperatura máxima

Figura

  Figura 4-20 Netzsch Nanoflash LFA 447/1 Para a resina utilizada neste trabalho foram feitos 3 testes na temperatura ambiente (20 o C). A média das três medidas de difusividade térmica com o LFA 447/1 foi de 0.240 mm 2 /s, com um desvio padrão de 0.001 mm 2 A

Figura 4 -

 4 Figura 4-21 -Amostra de resina com pintura de grafite (superior) e sem pintura (inferior)A Figura 4-21 apresenta uma imagem feita com duas amostras idênticas da resina utilizada. A amostra na parte superior da figura foi pintada com uma tinta de grafite enquanto a amostra na parte inferior não foi pintada. Observa-se que a distribuição de temperaturas nas linhas 3 e 4, plotadas na parte direita da imagem, apresentam o mesmo comportamento para ambos os casos, dentro da incerteza da medida da câmera. Dessa maneira, não houve a necessidade de se realizar a pintura com uma tinta de emissividade próxima de 1, o que prejudicaria o resultado em algumas condições experimentais que serão vistas na próxima seção. Além do mais, a resina utilizada apresentou uma boa absorção da energia do laser diodo utilizado em um dos experimentos.Para a estimação do termo-fonte pelos problemas I e II, assim como a estimação da difusividade térmica e de h, foram utilizados dois aparatos para o aquecimento da resina: um com aquecimento através de resistência elétrica e o outro com laser-diodo. As seções a seguir detalham o procedimento utilizado em cada um dos experimentos.

Figura

  Figura 4-22

  Figura 4-25 -Experimento com o laser diodo (a) Aparato montado e (b) amostra posicionada em frente ao colimador

  Figuras 4-27-a-b apresentam uma imagem original obtida com a câmera e a imagem após o filtro passa-baixa ter sido usado, respectivamente. Observa-se por essas imagens o efeito do filtro sobre os ruídos, melhorando sensivelmente a qualidade do sinal obtido.

  Figura 4-27 -Efeito do filtro passa baixo em uma imagem (a) original e (b) filtrada.

Figura 4 -

 4 Figura 4-28 -Comparação da imagem filtrada com a original para linhas particulares.

  Figura 4-30 -Determinação da área corte da imagem.

Figura 4 -

 4 Figura 4-31 -Determinação da área de leitura de cada pixel.

FUDYM

  et al. (2008). Como será visto adiante, esta solução por volumes finitos também será usada para evitar o crime inverso, quando medidas experimentais simuladas serão usadas para a verificação da solução dos problemas inversos. Para a verificação da solução do problema direto considerou-se as propriedades da resina medidas pelas técnicas apresentadas na Seção 4.8. As propriedades termofísicas da resina são: k = 0.44 W/(mK), a = 0.24 mm 2 /s e C = 1.83x10 6 J/(m 3 Para a verificação da solução do problema direto foi utilizada uma malha espacial de 72 x 72 nós (em x e y respectivamente), e 50 passos de tempo. A malha espacial foi escolhida como Δx=Δy=80 µm, de maneira que a espessura e comprimento da placa são 0.0058 m. O tempo final foi de 0.25 s e o passo de tempo escolhido foi de 1/200 s, o que satisfaz o critério de estabilidade do esquema de diferenças finitas explícito usado na estratégia nodal.K).Foram consideradas duas formas funcionais para o comportamento do termo fonte: o primeiro constante no tempo, mas variando espacialmente (como no problema do tipo I), aplicado em uma região definida por 0.0014 m < x < 0.0043 m e 0.0014 m < y < 0.0043 m de valor 54.56 K/s, e outro variando tanto no tempo como no espaço (como no problema do tipo II), aplicado na mesma região espacial definida anteriormente, porém de valor 54.56 K/s entre 0 < t < 0.13 s e 27.28 K/s entre 0.13 < t < 0.25s. Ambos os casos foram considerados sendo aplicados em uma placa plana de espessura e = 0.01 m. Para os dois casos, o termo-fonte foi considerado nulo fora da região apresentada acima.A Figura 5-1-a apresenta a distribuição espacial do termo fonte para a verificação da solução do problema direto para o problema do tipo I, e a Figura 5-1-b apresenta o comportamento temporal do termo fonte para a verificação da solução do problema direto para o problema do tipo II. Para o caso do termo-fonte usado para o problema do tipo II, o comportamento espacial é o mesmo do apresenta na Figura 5-1-a para 0 < t < 0.13s.As Figuras 5-2-a-b e Figuras 5-3-a-b apresentam o perfil de temperatura para dois pixels particulares para a solução do problema direto para o problema do tipo I e tipo II, respectivamente.

  Figura 5-1 -Apresentação gráfica do termo-fonte (a) constante no tempo para o problema do tipo I e (b) variando no tempo para o problema do tipo II

  ) em i = 48 e j = 38 para todos os passo de tempo passo de tempo Residuos (°C)

FUDYMFiguraδ

  Figura 5-6

  Figura 5-8 -Coeficiente de sensibilidade normalizado para um pixel no material (a) A e (b) B

  03 o C e σ = 0.2 o Para o algoritmo de Metropolis-Hastings (MH), a distribuição a priori para o campo de difusividade térmica α(x,y) é assumido como sendo uniforme no intervalo [5.10 C, o

  Figura 5-10 -Taxa de aceitação do algoritmo de MH para (a) σ = 0.03 °C e (b) σ = 0.2 °C

Figura 5 -

 5 Figura 5-13 -Comparação dos perfis de difusividade térmica estimados na linha i = 55.As Figuras 5-14-a-b e 5-15-a-b mostram as densidades marginais posteriori e os comportamentos da convergência da cadeia de Markov, respectivamente. As Figuras 5-14-a-b apresenta a distribuição marginal porteriori obtida com MCMC para a difusividade térmica e G i,j

FiguraX

  Figura 5-19

  da difusividade térmica com uma falha (a) OLS e (b) algoritmo de MH As Figuras 5-21-a-b apresentam a comparação dos campos de difusividade térmica estimados com OLS e algoritmo de MH, enquanto as Figuras 5-22-a-b apresentam o mapeamento de G i,j , estimado com OLS e algoritmo de MH. A difusividade térmica foi estimada de forma satisfatória por ambos os métodos. O OLS falhou ao realizar a estimativa de G i,j , por não ser utilizada nenhuma regularização e por este ser biased (BAMFORD et al., 2008). O algoritmo de MH é capaz de estimar o parâmetro G i,j . Este resultado é corroborado pela análise do mapeamento do desvio padrão de G i,j , mostrado nas Figuras 5-23-a-b.

  do desvio padrão posteriori (a) OLS e (b) algoritmo de MH Foi feita uma média em todo o campo do desvio padrão da distribuição marginal posteriori para se avaliar a dispersão dos parâmetros estimados. Estes valores são comparados com os desvios padrões obtidos com a estimação OLS. Estes resultados estão dados na Tabela 5-1. Os comentários sobre o desempenho do método MCMC são confirmados por esta tabela, já que o desvio padrão médio do MCMC foi menor que o do OLS. Para o caso periódico, o desvio padrão médio da estimativa da difusividade térmica para o erro de medida σ = 0.03 °C é 45% menor com o algoritmo de MH do que com o método OLS. Já para o caso com erro de medida σ = 0.2 °C, a diferença sobe para 49%. Para o parâmetro G i,j Para o material com uma falha, o comportamento foi o mesmo. O desvio padrão médio da estimativa da difusividade térmica para o erro de medida σ = 0.03 °C é 30% menor com o algoritmo de MH do que com o método OLS. Já para o parâmetro G , o desvio padrão médio da estimativa com erro de medida σ = 0.03 °C é 62% maior para a estimativa com OLS que com o método de MH. Já para o erro de medida σ = 0.2 °C, a diferença é de 72%. i,jO método de MH resultou em estimativas mais precisas para α , esta diferença é de 28%.i,j e G i,jTabela 5-1 -Desvio padrão médio para OLS e MH , para todos os casos analisados. Além disso, nota-se que a performance superior do método de MH fica mais significativa quando as medidas envolvem maiores erros experimentais.

Figura

  Figura 5-24 -(a) Distribuição espacial de G m em t=0.25s e (b) variação espacial de G m em x = 0.0175 m, y = 0.0165 m

Figura 5 -

 5 Figura 5-26 -Coeficiente de sensibilidade reduzido em x=0.0175 m, y=0.0145 m.

Figura 5 -

 5 Figura 5-27 -Determinante de J T J em x = 0.0175 m e y = 0.0145 m

  t = 0 s são considerados como tendo uma distribuição Gaussiana, com média conhecida e com desvio padrão de 4% da média. O desvio padrão para o modelo de evolução para 1 k m G + (que é considerado seguindo um passeio aleatório, Equação (4.62)) foi considerado como 4% da média do parâmetro estimado no passo de tempo anterior, isto é, 0calculadas de acordo com a Equação (4.61).As Figuras 5-28-a-b apresentam a comparação das temperaturas exata e estimada, nas posições (i = 10, j = 32) e (i = 35, j = 29), que correspondem a (x=0.005 m, y=0.016 m) e (x=0.0175 m, y=0.0145 m), respectivamente. As temperaturas estimadas foram obtidas com o filtro de Kalman.Os intervalos de confiança de 99% também estão representados nessas figuras. Como o desvio padrão para os erros experimentais foi de 0.02 o C, a melhora na estimativa da temperatura comparada com as medidas não pôde ser observada.

  Figura 5-28 -(a) Variações de temperatura em (a) x=0.005 m, y = 0.016 m e (b) x = 0.0175 m, y = 0.0145 m As Figuras 5-29-a-b apresentam os resíduos entre as temperaturas medidas e estimadas nos mesmo pontos escolhidos para as Figuras 5-28-a-b. As Figuras 5-29-a-b mostram que as temperaturas estimadas estão com excelente concordância com a temperatura exata. As descontinuidades na Figura 5-28b são devidos aos passos de tempo necessários para que o Filtro de Kalman alcance o valor de referência, como será apresentado posteriormente.

  Figura 5-31 -Termo fonte estimado em todo o meio no tempo t=0.96s As Figuras 5-32-a-b apresentam a evolução no tempo do termo fonte obtido com o filtro de Kalman nas posições (i = 44, j = 30) e (i = 35, j = 29), que correspondem a (x = 0.022 m, y = 0.015 m) e (x = 0.0175 m, y = 0.0145 m), respectivamente. Estas figuras mostram que o termo fonte obtido com o filtro de Kalman necessita de aproximadamente 15 passos de tempo (0.3 segundos) para alcançar o valor de referência, após mudanças bruscas na função degrau analisada.

  Figura 5-32 -Termo fonte estimado em (a) x = 0.022 m, y = 0.015 m e (b) x = 0.0175 m, y = 0.0145 m

Figura

  Figura 5-33

Figura 5 -

 5 Figura 5-33 -Desvio padrão médio para a imagem filtrada.As Figuras 5-34 e 5-35 apresentam as imagens da câmera de termografia por infravermelho no instante inicial de aquecimento, nos experimentos com aquecimento com a resistência elétrica e para o laser diodo, respectivamente. Os gráficos gerados pelo software Altair® são também apresentados para alguns pixels selecionados nestas figuras.

Figura

  Figura 5-34 -Aquecimento pela resistência elétrica

  Figura 5-37 -(a) Distribuição inicial de temperatura e (b) pontos escolhidos para traçar os resultados

  que a estimação para cada pixel pode ser feita com uma dispersão aceitável, isto

Figura

  Figura 5-38 -Taxa de aceitação para o algoritmo de MH.

  Figura 5-43-Comparação da estimação do parâmetro G para o método de OLS e MHAs Figuras 5-44, 5-45 e 5-46 apresentam a convergência das cadeias de Markov para 6000 estados da difusividade térmica, H i,j e G i,j respectivamente, todos nos pixels (i=38, j=40) e (i=64, j=60) que correspondem a (x = 0.00292, y = 0.00307) e (x = 0.00492, y = 0.00461) . Pode-se observar por essas figuras que após os estados de aquecimento, a cadeia atingiu a convergência rapidamente. A exceção é feita ao parâmetro H, uma vez que seu coeficiente de sensibilidade é muito baixo, como demonstrado na análise de sensibilidade.

Figura 5 -

 5 Figura 5-44 -Evolução das cadeias de Markov para α 38,40 e α

GHH

  Figura 5-48 -Comparação da estimação de α i,jAs Figuras 5-49 apresentam as temperaturas calculadas com os parâmetros estimados pelo método de OLS e MCMC, e comparadas com as temperaturas medidas pela câmera de termografia por infravermelho para os pixels (i = 38, j = 40) e (i = 64, j = 60), (i = 30, j = 90) e (i = 58, j = 59) que correspondem a (x = 0.00292 m, y = 0.00308 m), (x = 0.00492 m,y =0.00461 m), (x = 0.00231 m, y = 0.00692 m) e (x = 0.00446 m,y = 0.00454 m). Observa-se que, para ambos os métodos, as temperaturas estão em excelente concordância com a temperatura calculada na escala usada para traçar o gráfico. Os resíduos foram também calculados e estão apresentados nas Figuras 5-50.Observa-se por essas figuras que o método de MCMC apresenta o valor dos resíduos sensivelmente melhores que o método de OLS. Este fato confirma a melhora na estimação dos parâmetros pela adição de uma informação a priori, mesmo que esta não seja precisa. Os resíduos apresentam uma diferença percentual com relação à temperatura medida de no máximo 1%, e apresentam um comportamento não correlacionado.

αFigura

  Figura 5-53 -Taxa de aceitação para o algoritmo de MH.

  Figura 5-56 -Área escolhida para o cálculo do valor médio dos parâmetros.

  Figura 5-57 -Desvio padrão para a estimação da difusividade térmica para (a) OLS e (b) MH Observa-se nestas figuras que o método de MCMC via algoritmo de MH apresenta uma incerteza menor para o parâmetro estimado, fornecendo um resultado com um menor intervalo de confiança.As Figuras 5-58 e 5-59 apresentam a estimação de G i,j

  Figura 5-59 -Estimação de G i,j

Figura 5 -

 5 Figura 5-60 -Evolução das cadeias de Markov para a 45,64 e a

Figura 5 -

 5 Figura 5-64 -Comparação da estimação de α i,j

Figura

  Figura 5-65 -Comparação da temperatura calculada com os parâmetros estimados e a temperatura medida.

  Figura 5-67 -Estimação do parâmetro H para (a) OLS e (b) MH

  Εstimação de H com o método OLSΕstimação de H com o método MCMC

Figura 5 -

 5 Figura 5-68, reduzindo o tamanho da imagem de 98 x 98 pixels (a mesma usada para o problema do tipo I) para 42 x 42 pixels. Para o filtro de Kalman, o tamanho da matriz é menor, pois como pode ser visto na seção 4.6.2, o vetor de estados (Equação (4.63)) contém não somente os parâmetros, mas também a temperatura em cada pixel e em cada passo de tempo. Dessa maneira, mesmo um computador com 4 núcleos e 8 GB de memória RAM apresentou insuficiência de memória para a estimação com matrizes maiores.

Figura 5 -FiguraG

 5 Figura 5-68 -Área escolhida para o corte na imagemComo consequência desse corte, na solução do problema inverso a placa é discretizada em a i =

  Figura 5-72 -Termo fonte estimado em todo o meio no tempo t=13s

Figura

  Figura 5-74 -Pontos escolhidos para traçar os resultados de , n i j G As Figuras5-75 mostram que os termos-fonte obtidos com o filtro de Kalman são levemente defasados do perfil de temperatura, uma vez que o aquecimento é feito na face oposta à face que a câmera faz a medida. Dessa maneira, existe uma inércia térmica após a resistência ter sido ligada, e após ser desligada. Os valores de temperatura foram divididos por 8 para ajustar a escala de temperatura com a escala de , n i j G . As Figuras 5-76 mostram a comparação de , n i j G estimado pelo filtro de Kalman e o valor calculado para a potência dissipada pela resistência elétrica, calculada na seção 4.8.1. Os resultados estão de acordo com o valor calculado para a potência dissipada, e também para o obtido pelo método de MCMC para o problema inverso do tipo I (seção 5.4.1, Figura 5-42).

  Para o experimento com o aquecimento senoidal a matriz de temperaturas é discretizada em a i = internos e 604 passos de tempo. Os valores dos parâmetros foram então estimados para cada um desses nós e passos de tempo. Cada pixel representa uma área de 78.1 x 78.1 µm, de maneira que as dimensões da parte cortada na imagem da placa são L x = L y As Figuras5-77-a-b apresentam as distribuições de temperatura nos passos de tempo 300, em t = 1.5s, e os pontos na figura escolhidos para serem estudados, respectivamente. = 0.0033 m.. O tempo final foi de 3.02s, e o passo de tempo foi de 0.005.

G

  Figura 5-77 -(a) Distribuição inicial de temperatura e (b) pontos escolhidos para traçar os resultados

Figura 5 -

 5 Figura 5-78 -Variações de temperatura em pixels particularesAs Figuras 5-79 apresentam os resíduos entre as temperaturas medidas e estimadas nos mesmo pontos escolhidos para as Figuras 5-78. As Figuras 5-79 mostram que as temperaturas estimadas estão com excelente concordância com as temperaturas exatas. As descontinuidades nas Figuras 5-79 são devidos aos passos de tempo necessários para que o Filtro de Kalman reaja às variações no termo fonte.

  80 apresenta a distribuição espacial da estimação do termo fonte para o passo de tempo 454 (t = 2.27s). Observa-se por essa figura que o termo fonte estimado está de acordo com o perfil de temperatura mostrado na Figura 5-77, onde a figura foi cortada levando em conta uma parte aquecida e uma parte não aquecida, resultado que é confirmado pela Figura 5-81.As Figuras5-83 apresentam a evolução no tempo dos termos-fonte obtidos com o filtro de Kalman nas posições (i = 12, j = 12), (i = 15, j = 25), (i = 16, j = 28) e (i = 20, j = 29) , que correspondem a (x = 0.00094 m, y = 0.00094 m), (x = 0.00117 m, y = 0.00195 m), (x = 0.01245 m, y = 0.00219 m) e (x = 0.02343 m, y = 0.03397 m) , respectivamente. Estes pontos estão apresentados na Figura 5-82.

FiguraA

  Figura 5-79 -Variação dos resíduos em pixels particulares

Figura

  Figura

A

  Figura 5-85 -Variações de temperatura em pixels particulares

Figura

  Figura 5-89 -Pontos escolhidos para traçar os resultados de , n i j G As Figuras 5-90 mostram que o início e fim do termo fonte obtido com o filtro de Kalman estão com excelente concordância com o aquecimento e resfriamento do perfil de temperatura medido com a câmera. Os resultados para a estimação do termo fonte estão de acordo com o método de MCMC para o problema inverso do tipo I (seção 5.4.2, Figura 5-59) e para o problema com o termo fonte senoidal (Figura 5-83).

G

  visou a determinação de propriedades termofísicas e termos-fonte em meios cujas propriedades variam espacialmente e um termo fonte variando também temporalmente. A solução do problema inverso foi reescrita para a aplicação com a estratégia nodal. As medidas de temperatura foram feitas com a câmera por infravermelho, e o procedimento de filtragem das imagens se mostrou indispensável para que os parâmetros fossem corretamente estimados.A metodologia para a solução do problema direto por diferenças finitas foi devidamente verificadas através do método de volumes finitos, com erros percentuais máximos da ordem de 0.04 %.Para a verificação da solução do problema inverso do tipo I foram testados casos de materiais heterogêneos e simulando uma falha, todos sob o efeito de um termo fonte constante no tempo. Para a verificação do problema inverso do tipo II, um termo fonte variando no tempo em um material homogêneo foi usado. Em todos os casos, as metodologias foram devidamente verificadas, com excelente concordância entre os parâmetros de referência e os estimados pelos métodos estudados. Para o problema inverso do tipo I com o aquecimento pela resistência elétrica, os resultados experimentais com a estimação feita com o método MCMC apresentaram resultados com uma dispersão da ordem de 5% menor que o método OLS para todos os pixels. Para cada pixel estimado, o método MCMC também foi melhor, com desvios-padrão da ordem de 8 10 -8 m 2 /s para o método OLS e da ordem de 5 10 -8 m 2 /s para o método MCMC. O método MCMC apresentou valores médios da difusividade térmica 4.5% maiores que os valores de referência para a difusividade térmica, enquanto o método OLS apresentou valores 7% maiores. Para o aquecimento com o laser diodo, a dispersão em toda a matriz de parâmetros estimados foi menor para o método de OLS. Porém, esse fato é explicado pela compensação de possíveis efeitos tridimensionais pela estimação de valores irrealistas para o parâmetros H i,j Ainda com relação ao problema inverso do tipo I, o experimento feito com a resistência elétrica apresentou resultados da difusividade estimada mais próximos da média do que o experimento com . Como o método de MCMC apresenta uma restrição do valor máximo estimado, este não apresentou nem valores negativos, e nem valores com ordens de grandeza extremamente elevadas, como foi o caso do método OLS. Dessa forma, a maneira para compensar os efeitos tridimensionais para o método MCMC foi a estimativa de valores de difusividade térmica longe do valor de referência. Ainda assim o valor médio da difusividade estimada pelo método MCMC foi 1.4 vezes maior que o valor de referência, e 2.1 vezes maior para o método OLS. A estimação do termo-fonte com o método MCMC se mostrou mais suave e detalhada do que com o método OLS.o laser diodo. Além disso, o experimento com a resistência apresentou menores dispersões no meio e maior precisão para os parâmetros estimados em cada pixel. A melhor estimação com a resistência elétrica deve-se à maneira como o corpo de prova é aquecido. Conforme demonstrado nas figuras para a estimação de G i,jPara o problema inverso do tipo II as matrizes experimentais de temperatura tiveram seu tamanho drasticamente reduzido. Isto se deve ao tamanho do vetor de estados, que inclui não somente os parâmetros, mas também as próprias temperaturas em cada pixel., o aquecimento pela resistência elétrica é mais homogêneo, enquanto o aquecimento com o laser diodo apresenta diversos pontos onde o aquecimento é mais forte, provavelmente devido à variações não visíveis de emissividade do material.Para o aquecimento pela resistência elétrica as temperaturas estimadas pelo filtro de Kalman apresentaram excelente concordância com a temperatura medida, com resíduos da ordem de 2% da máxima temperatura atingida pelo meio. A forma do termo-fonte está coerente com o que foi aplicado. A amplitude de , n i j Para o aquecimento com o laser diodo as temperaturas estimadas pelo filtro de Kalman também apresentaram excelente concordância com a temperatura medida, com resíduos da ordem 1% da máxima temperatura atingida no meio. A forma do termo-fonte está coerente com o que foi aplicado, tanto para o caso da senóide, como para o caso do pulso em degrau. A amplitude está de acordo com o que foi estimado com o método de MCMC para o problema inverso do tipo I. está de acordo com o que foi calculado pelos dados da resistência elétrica, e também pela estimação com o método de MCMC para o problema inverso do tipo I.

  

  

  

  

  

  

  interesse na técnica de estimação de parâmetro por problemas inversos aumentou de forma significativa no final dos anos 50 e início dos anos 60 na chamada Era Espacial. O aquecimento de veículos espaciais é tão grande durante a reentrada na atmosfera que a temperatura no escudo térmico não pode ser medida diretamente com sensores de temperatura. Dessa forma, sensores são posicionados abaixo da superfície quente e a temperatura é determinada por análise inversa(OZISIK e ORLANDE, 2000). Devido ao grande número de trabalhos disponíveis na literatura, a revisão se limitou apenas aos considerados mais pertinentes ao presente trabalho. BECK e ARNOLD (1977) publicaram um livro texto em estimação de parâmetros que se tornou referência na área. O livro trata da estimação linear e não linear de parâmetros, introduz conceitos de probabilidade e estatística e apresenta métodos clássicos, como o método de Mínimos Quadrados. São apresentados conceitos importantes no contexto de estimação de parâmetros, como o de coeficientes de sensibilidade e do projeto de experimento ótimo. Nessa época, os autores já apresentavam técnicas de inferência Bayesiana, como teorema de Bayes e métodos de Monte Carlo. São derivados algoritmos para a solução de problemas inversos em condução de calor para a estimativa de funções e parâmetros, além da solução de métodos, tais como o método de Levenberg-Marquardt e o método do Gradiente Conjugado. É feita uma apresentação de conceitos como o do coeficiente de sensibilidade e análise do determinante da matriz de informação de Fisher e sua importância para a solução de problemas inversos. Grande parte das definições presentes nesta tese foi pautada neste livro. SU e NETO (2001) estimaram a dependência circunferencial e radial da potência de um termo fonte em uma haste cilíndrica. Esta haste é aquecida e transfere calor por convecção para um fluido que a circunda. O problema inverso é resolvido pelo método do Gradiente Conjugado. O método de regularização iterativa de Alifanov foi utilizado. Os dados experimentais de temperatura foram simulados para a solução do problema inverso. Foram testadas várias posições e número de

Beck contornaram esta limitação

(OZISIK e ORLANDE, 2000)

. O BECK et al. (1996) compararam diversos métodos para a determinação do fluxo de calor usando medidas transientes de temperatura. Dados experimentais foram usados, o que segundo os autores era uma lacuna existente em livros-texto de problemas inversos da época. Dentre os métodos apresentadas estão o de especificação de função, o de regularização de Tikhonov e o de regularização iterativa de Alifanov. O método dos Mínimos Quadrados Ordinários foi usado para a minimização da função objetivo. Os resultados apresentaram excelente concordância entre o fluxo de calor (conhecido) aplicado por uma resistência elétrica e o estimado pelos métodos estudados. WANG et al. (2002) estimaram um termo fonte volumétrico usando o método de regularização iterativa de Alifanov. Foram apresentados resultados para formulação linear e não linear do problema de condução de calor. Para o problema não linear, foi considerada uma condutividade térmica variando com a temperatura. Os autores usaram o método do Gradiente Conjugado para a estimação do termo fonte. HUANG e WANG (1999) estimaram o fluxo de calor em um domínio irregular tridimensional em regime transiente. O método inverso utilizado foi o do Gradiente Conjugado. Os autores derivaram a formulação do método para a estimação de uma condição de contorno, sem informação a priori da forma funcional dos parâmetros estimados. Na solução do problema direto foi usada a solução presente no código comercial CFX 4.2 pelo método dos volumes de controle. As medidas de temperatura foram simuladas e assumidas como sendo feitas por uma câmera por infravermelho em uma das faces amostra, como a técnica utilizada neste trabalho. Os autores usaram uma malha de 12 por 12 nós em x e y e 6 em z. Para o tempo, foram escolhidos 24 passos de tempo. Foi usado um número reduzido de nós espaciais e passos de tempo para não haver um grande custo computacional. ORLANDE e OZISIK (2000) em seu livro texto analisam o formalismo de diversos casos envolvendo o estudo de problemas inversos.

sensores para a leitura do campo de temperatura. Os autores concluíram que um excesso de sensores pode provocar uma degradação nos valores estimados.

HON e WEI (

2004

) desenvolveram um esquema numérico sem malha e sem integração para a solução de um problema inverso de condução de calor. Segundo os autores, o grande número de nós em uma malha pode resultar em um grande esforço computacional, além de questões de instabilidade numérica. Desta forma propuseram um esquema numérico sem malha baseado no uso de soluções fundamentais como funções de base radial. Assim, a solução proposta por eles somente necessita satisfazer a condição de contorno e os dados de medida. Foram utilizaram medidas simuladas para a estimação de um termo fonte em um problema unidimensional transiente. A regularização do sistema de equações mal-posto linear é feito com o uso do método de Tikhonov para obter uma aproximação numérica estável.

[START_REF] Volle | Practical application of inverse heat conduction for wall condition estimation or a rotatory cylinder[END_REF] 

analisaram a solução de um problema inverso linear em condução de calor bidimensional transiente em uma geometria cilíndrica. O cilindro rotativo está sujeito a ebulição convectiva pelo impacto de um jato de água. O trabalho focou na determinação do fluxo de calor na parede do cilindro. O método inverso para a estimativa do fluxo de calor foi o de mínimos quadrados com regularização pelo método dos passos futuros de Beck. Os autores usaram medidas simuladas para a estimação do fluxo de calor e também testaram um experimento usado para o mesmo fim. O artigo apresenta a derivação do perfil de temperatura obtido pela transformada de Laplace. Foi feita uma detalhada quantificação dos erros para serem levados em conta no resultado da estimação. Estes foram os erros de medida, os erros na solução pela transformada de Laplace, erros no posicionamento dos termopares e finalmente o erro na suposição de propriedades constantes com a variação de temperatura.

Método de solução do problema inverso Tipo I

  Esta seção apresenta a metodologia de solução de problemas inversos onde os parâmetros são constantes no tempo. O método de Monte Carlo via Cadeias de Markov implementado pelo algoritmo de Metropolis Hastings foi o método escolhido para a solução desse tipo de problema.

	4.5 4.5.1 Monte Carlo via Cadeia de Markov
			O método de Monte Carlo via Cadeia de Markov é uma versão iterativa dos métodos de Monte
	Carlo tradicionais não iterativos. A idéia é obter uma amostra da distribuição a posteriori e calcular
	estimativas amostrais de características desta distribuição usando técnicas de simulação iterativa,
	baseadas em cadeias de Markov.
			Uma cadeia de Markov é um processo estocástico {P 0 , P 1 ,...} tal que a distribuição de P z dados
	todos os valores anteriores P 0,..., P z-1 depende apenas de P z-1	. Matematicamente tem-se
	(GAMERMAN, 1996),			
	p	(	z P	∈	A	0 | ,..., P	z 1 -P	)	z = ∈ ( p A P	|	z 1 -P	)	(4.41)
			para qualquer subconjunto A.
	o estado s u	em um único passo, conforme segue:
	p	(r, u)	=	p	(r u) → =	p	(	t 1 + P	=	r s	/	t P	=	u s	)	(4.42)
			Os métodos MCMC requerem para que se obtenha uma única distribuição de equilíbrio, que a
	cadeia seja (EHLERS 2003):		
	entre elas o Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC), adotado neste trabalho, onde
	a idéia básica é simular uma busca aleatória no espaço de estados de p(P) que converge para uma
	distribuição estacionária, que é a distribuição de interesse no problema.

Entretanto, se outras funções de densidade de probabilidade a priori forem usadas, a FDPP pode não permitir um tratamento analítico como o apresentado acima. Neste caso, métodos de amostragem numéricos são necessários. O método numérico mais utilizado para explorar o espaço de estados da posteriori é a simulação de Monte Carlo. A simulação de Monte Carlo é baseada em uma amostra grande da função densidade de probabilidade (neste caso, a função de densidade de probabilidade da posteriori p(P|x). Várias estratégias de amostragem foram propostas na literatura, Uma cadeia de Markov é mais precisamente definida pelas suas probabilidades de transição p(r,u)=p(r→u), a qual define a probabilidade de que o processo, estando no estado s r mova-se para

  O problema então consiste em construir algoritmos que gerem cadeias de Markov cuja distribuição converge para a distribuição de interesse. Um destes algoritmos é o deMetropolis-Hastings (HASTINGS, 1970), descrito a seguir.

	4.5.2 Algoritmo Metropolis-Hastings
		O algoritmo de Metropolis-Hastings usa a mesma idéia dos métodos de rejeição, isto é, um valor
	é gerado de uma distribuição auxiliar e aceito com uma dada probabilidade. Este mecanismo de
	correção garante a convergência da cadeia para a distribuição de equilíbrio.
		O algoritmo Metropolis-Hastings faz uso de uma função densidade de probabilidade auxiliar
	q(P*|P), da qual é fácil obter valores amostrais. Supondo que a cadeia esteja em um estado P ,	um
	novo valor candidato, P*, será gerado da distribuição auxiliar q(P*|P), onde P é o vetor dos
	parâmetros em estudo. Para o presente trabalho, a distribuição auxiliar é dada por
	* P P = +	2(	rd	-	1)(	max P	-	min P	)	eps	(4.44)
	β	, P P	*	=	min 1,   	* ( | ) ( | ) * * ( | ) ( | ) q p p q P y P P P y P P	  
	p	→		p	P y	p = →	r) ( | ) p P y	(4.43)
		Onde ( | )				

r p P y e u ( | ) p P y são os estados distintos da distribuição de interesse. Uma questão importante de ordem prática é como os valores iniciais influenciam o comportamento da cadeia. A idéia é que conforme o número de iterações aumenta, a cadeia gradualmente se afastam dos valores iniciais e converge para uma distribuição de equilíbrio. Assim, em aplicações práticas é comum que as iterações iniciais sejam descartadas, como se formassem uma amostra de aquecimento. onde rd é um número randômico gerado de uma distribuição uniforme no intervalo aberto entre 0 e 1, P max e P min O novo valor P são os limites dos intervalos de cada parâmetro e eps é o tamanho percentual do passo para a busca aleatória no espaço de estados da posteriori. * ( ) é aceito com probabilidade dada pela Razão de Hastings (HASTINGS, 1970): (4.45) Onde ( | ) p P y é a função de densidade de probabilidade a posteriori de interesse. Uma observação importante é que só precisamos conhecer ( | ) p P y a menos de uma constante. Uma vez que estamos trabalhando com razões entre densidades, a constante de normalização se cancela. Isto é fundamental em aplicações Bayesianas, onde a densidade a posteriori não é conhecida completamente. Nota-se também que a cadeia pode permanecer no mesmo estado por muitas iterações e, na prática, costuma-se monitorar isto calculando a porcentagem média de iterações para as quais novos valores são aceitos. Em termos práticos, o algoritmo de Metropolis-Hastings pode ser especificado pelos seguintes passos (EHLERS, 2004):

Método de solução do problema inverso Tipo II

  Modelos Bayesianos para problemas inversos de estimação de estados são conhecidos como filtros Bayesianos. O método mais utilizado dentre os filtros Bayesianos é o Filtro de Kalman, que será apresentado na próxima seção. Filtro de Kalman é um algoritmo recursivo ótimo de processamento de dados. Existem várias maneiras de se definir ótimo, dependendo do critério escolhido para avaliar o desempenho do método. Pode-se mostrar que sob certas hipóteses que serão apresentadas nesta seção, o filtro de Kalman é ótimo com relação a qualquer critério. Um aspecto dessa otimização é que o filtro de Kalman incorpora toda a informação que lhe pode ser fornecida. Toda a medida é processada, Na era dos rádios de galena e tubos de vácuo, o termo foi aplicado em circuitos analógicos que filtravam sinais eletrônicos. Os sinais eram misturas de diferentes frequências, e esses dispositivos físicos atenuavam preferencialmente frequências indesejadas. Este conceito foi estendido nos anos 30 e 40 para a separação do sinal do

	ruído.
	4.6.1 Filtro de Kalman Com o filtro de Kalman o termo assumiu o significado que vai além da ideia original de
	p σ σ P, J y L = ∆ com relação a medida de temperatura, a distribuição a priori para os elementos da matriz de p p p ∝ y P, J P J (4.46) 2 2 6( ) 6( ) t x y --∆ + ∆ I. Com tal hipótese sensibilidade são também normais, com valores médios dados pela eq. (4.8) e desvio padrão deduzido da eq. (4.2) de maneira que: para , n i j L (4.47) 4.6 Em diversas aplicações, podemos encontrar situações onde as medidas que constituem os dados de um problema inverso são feitas em um meio não estacionário. Mais precisamente, a quantidade separação. Ele também incluiu a solução de um problema inverso, na qual se sabe representar as variáveis medidas em função das principais variáveis de interesse. Essas variáveis de interesse podem ser dinâmicas, cujo conhecimento dinâmico é parcialmente previsível (GREWAL e ANDREWS, 2001). O impacto do filtro de Kalman na tecnologia foi, do ponto de vista dos envolvidos em problemas O O filtro de Kalman realiza esta propagação da densidade de probabilidade condicional para de estimação de controle, a grande realização em teoria da estimação do século 20. Diversas
	física que é de interesse do problema pode ser dependente do tempo, e os dados medidos dependem problemas em que o sistema pode ser descrito por um modelo linear e na qual os ruídos do sistema
	dessas quantidades em diferentes tempos (KAIPIO e SOMERSALO, 2004b). Por exemplo, e de medidas são Gaussianos, aditivos, com médias e matrizes de covariância conhecidas. Sob estas
	considere o monitoramento contínuo do coração humano pela medida do campo magnético fora do condições, a média, moda e mediana e qualquer escolha para uma estimativa ótima coincidem,
	corpo devido ao bioeletromagnetismo. Nessas medidas, o sinal observado é fraco e o nível de ruído gerando então uma estimativa única e melhor para o valor do estado. Sob estas três restrições, o
	filtro de Kalman pode ser demonstrado como sendo o melhor filtro dentre todos os que possam ser
	concebidos (MAYBECK, 1979).

Onde p(J) é a distribuição a priori para a matriz de sensibilidade J. Os erros nas medidas de temperatura são assumidos aditivos, não-correlacionados, distribuídos normalmente, com média zero e desvio padrão conhecido σ. As medidas y usadas no modelo linear (4.7) são compostas da diferença de temperatura nodal em tempos subseqüente (eq.(

4

.3)). Desta maneira, a verossimilhança ( ) p y P, J é dada pela eq.(4.40), com matriz de covariância dada por W -1 =2 σ 2 é alto. Se a medida fosse feita em uma fonte estática, poderíamos fazer uma média da sequência de medidas para reduzir o nível de ruído. Entretanto, medidas em diferentes tempos dão informações do estado do coração naquele momento particular, e uma média das medidas em diferentes tempos proveriam um sinal sem sentido físico

(KAIPIO e SOMERSALO, 2004b)

. Problemas inversos desse tipo são conhecidos como problemas inversos não estacionários ou problemas de estimação de estados.

independente de sua precisão, para a estimação da variável de interesse, com o uso: (i) do conhecimento do sistema e da dinâmica do aparato de medida, (ii) da descrição estatística do ruído do sistema e do erro de medida e (iii) da informação da condição inicial da variável de interesse.

Por exemplo, para a determinação da velocidade de uma aeronave, pode-se usar um radar Doppler, ou a indicação de velocidade de um sistema inercial de navegação, ou ainda um pitot, a pressão estática e a informação do vento relativo no sistema de dados de ar de uma aeronave. Ao invés de ignorar algum desses dados de saída, o filtro de Kalman pode ser escrito de forma a combinar todos esses dados e conhecimentos da dinâmica do sistema para gerar uma estimação global da velocidade

(MAYBECK, 1979)

.

Conceitualmente

, o que qualquer filtro tenta fazer é obter uma estimação ótima das quantidades desejadas a partir de dados fornecidos por um meio com ruído, onde o termo ótimo significa que o erro é minimizado de alguma forma. Existem diversas formas de atingir esse objetivo. Se a inferência Bayesiana for adotada, o que desejamos é que o filtro propague a densidade de probabilidade condicional das quantidades desejadas, condicionada ao conhecimento do dado atual obtido de um dispositivo de medida (MAYBECK, 1979). O termo filtro é mais comumente empregado para dispositivos físicos utilizados na remoção de frações indesejadas em misturas. Desta forma um filtro é um dispositivo utilizado na separação de componentes indesejados de uma mistura gás-líquido-sólido. conquistas desde sua introdução não poderiam ter sido realizadas sem o filtro de Kalman. Em particular ele foi uma das tecnologias que tornou possível o desenvolvimento espacial. A navegação precisa e eficiente de espaçonaves através do sistema solar não teria sido possível sem o filtro de Kalman (GREWAL e ANDREWS, 2001).

Tabela 5-2 -Comparação dos valores médios de α para a solução do problema inverso do tipo I

  

		α (mm 2 /s)		
	Método	Resistência Elétrica	Laser Diodo	Referência
	OLS MCMC	0.259 0.253	0.501 0.336	0.24
	A Tabela 5-3 apresenta de forma resumida as distribuições a priori utilizadas para a estimação
	dos parâmetros desconhecidos, usadas no método MCMC para o problema inverso do tipo I, no
	caso do aquecimento ter sido realizado com a resistência elétrica ou com o laser diodo.

Tabela 5-

3 Parâmetros usados para o método MCMC para o problema inverso do tipo I

  

						Resistência elétrica			Laser diodo
	Taxa de Aceitação			60%				37%
	P				Priori	Min. Max. Inicial eps Min. Max. Inicial eps
	α (mm 2 s -1	)		Uniforme	8 10 9 10 -8 -7	8 10 -7	0.02	5 10 -10	9 10 -7	8 10 -7	0.06
	H i,j (s -1	)			Uniforme	0.002 0.2	0.1	0.1 0.002	0.2	0.1	0.01
	G i,j (K/m -1 s -1	)	Uniforme	0	5	4	0.02	0	20	17	0.01

Tabela 5-4 Parâmetros temporais e da malha para o problema inverso do tipo I

  

			Resistência elétrica	Laser diodo
	(n o de pixels), (L x , L y,	m)	(98,98), (0.00754, 0.00754)	(100,100), (0.0078, 0.0078)
	dx (µm)		76.9	78.1
	K (passos de tempo) (s)	(101), (1.01)	(201), (1)
	dt (s)		0.01	0.005
	5.5			

Solução do problema inverso do tipo 2 com medidas reais

  Para o presente experimento, o laser diodo ou a resistência elétrica impõe na amostra um fluxo de calor que varia com o tempo. Como o termo fonte não é constante, a metodologia utilizada para a estimação dos parâmetros foi o filtro de Kalman, que conforme descrito na seção 4.6 é um método

Na Tabela 5-5, o termo σ ΕΕ representa o desvio padrão para o modelo de evolução de estado para a estimação dos parâmetros desconhecidos, e σ PI representa o desvio padrão do parâmetro usado na propagação de incerteza para o modelo de evolução da temperatura. Estes valores não são iguais, pois neste trabalho somente o parâmetro G i,j foi estimado entre os parâmetros em estudo, porém a incerteza no conhecimento de α i,j e H i,j são levados em conta na propagação de incerteza para o modelo de evolução da temperatura. Desta forma, assume-se que existe uma incerteza associada ao conhecimento de α i,j e Η i,j A , mas por outro lado, sabe-se com certeza que estes não variam no tempo.

Tabela 5-6 apresenta de forma resumida os parâmetros usados para a malha espacial e os tempos de experimento, bem como o passo de tempo usado para a solução do problema inverso do tipo II para o caso dos experimentos feitos com o laser diodo e a resistência elétrica.