spi.meca.vibr nlin.nlin-cd spi.meca.solid spi.meca.stru spi.meca.geme
Roberto Luo 
email: cai.roberto@graduacao.uerj.br
  
João Pedro Norenberg 
email: jp.norenberg@unesp.br
  
Americo Cunha 
email: americo.cunha@uerj.br
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Keywords: Energy harversting, Asymmetric energy harvester, Basins of attractions, Test 0-1 for chaos

sistema quanto à sua regularidade através de um classificador binário. Devido à não linearidade, o sistema é sensível às condições iniciais,

INTRODUÇÃO

Nas últimas duas décadas os dispositivos coletores de energia têm sido bastante explorados, devido à capacidade de converter energia dispersa no meio ambiente (por exemplo, vibração, solar, eólica, térmica, etc.) em energia elétrica. Essa tecnologia possibilita uma alternativa sustentável ao uso de baterias em dispositivos eletrônicos de baixa potência que além de reduzir o descarte de baterias, produz energia limpa. A literatura apresenta diversas aplicações, por exemplo: em implantes médicos como o marcapasso que utiliza a energia cinética dos batimentos cardíacos como fonte de energia [START_REF] Karami | Powering pacemakers from heartbeat vibrations using linear and nonlinear energy harvesters[END_REF]. [START_REF] Wang | Energy harvesting for jet engine monitoring[END_REF] apresentaram protótipo de um sensor sem fio integrado ao dispositivo coletor de energia, alimentado pela rotação de um motor a jato; já nas estradas, [START_REF] Hong | Enhanced energy-generation performance of a landfilled road-capable piezoelectric harvester to scavenge energy from passing vehicles[END_REF] analisaram o dispositivo piezoelétrico capaz de alimentar sinalizadores verticais quando veículos passam por cima do aparelho.

O presente trabalho analisa um dispositivo coletor de energia vibratório, que pode ser utilizado em diversas aplicações como: corpo humano, veículos, aeronaves, construções civis, etc. Na qual a energia cinética dispersa pode ser convertida em energia elétrica por meio do efeito piezelétrico. Apesar da vantagem que a vibração está presente em diversos locais, criar um modelo físico capaz de gerar energia sobre diferentes níveis de excitação tem sido um desafio, visto que a vibração varia conforme a frequência e amplitude. Ademais, na literatura, coletores de energia lineares apresentam potência de saída reduzida, limitando as possibilidades de aplicação. Nesta linha, [START_REF] Cottone | Nonlinear energy harvesting[END_REF] e [START_REF] Erturk | A piezomagnetoelastic structure for broadband vibration energy harvesting[END_REF] propuseram o dispositivo coletor de energia biestável não linear, contornando a limitação na faixa de ressonância, e demonstrando um aumento substancial na potência de saída em comparação ao linear. [START_REF] Peterson | On the nonlinear dynamics of a bi-stable piezoelectric energy harvesting device[END_REF] e [START_REF] Lopes | Nonlinear Characterization of a Bistable Energy Harvester Dynamical System[END_REF] analisaram o mesmo modelo para uma faixa de parâmetros físicos, apresentando comportamento caótico ou regular na dinâmica. A presença de caos pode ser danoso e reduzir a eficiência do objeto em questão. Nesta linha, estratégias foram elaboradas para melhoria da eficiência na geração de energia, em que de la [START_REF] De La Roca | Control of chaos via ogy method on a bistable energy harvester[END_REF] utilizaram o método OGY para controlar o comportamento caótico na dinâmica do coletor de energia, podendo ser útil ou decair a eficiência energética, dependendo do sinal. Em adição, o controle de caos analisados por Telles Ribeiro et al. (2022) através de filtros digitais que permitem estabilizar a dinâmica do sistema para obter um sinal regular. Ademais, [START_REF] Peterson | Maximization of the electrical power generated by a piezomagneto-elastic energy harvesting device[END_REF] otimizaram à potência média gerada através da análise da influência dos parâmetros físicos no dispositivo coletor de energia piezoelétrico. Nesta linha, [START_REF] Cunha | Enhancing the performance of a bistable energy harvesting device via the cross-entropy method[END_REF] propôs a otimização do dispositivo coletor de energia biestável através do método da entropia cruzada, buscando as melhores combinações de parâmetros que maximizem a potência elétrica.

Assimetrias podem ser adicionadas ou inerentes à dinâmica do dispositivo coletor de energia não linear, seja por meio de inclinação, força magnética, imperfeições oriundas no processo de manufatura e não homogeneidade dos materiais. Desta forma, [START_REF] Wang | Performance enhancement of nonlinear asymmetric bistable energy harvesting from harmonic, random and human motion excitations[END_REF] modelaram um dispositivo coletor de energia não linear assimétrico, e mostraram que a presença de assimetrias apresenta um efeito negativo, por outro lado, verificaram um ângulo ótimo que pode gerar um aumento substancial. Baseado no mesmo modelo assimétrico, [START_REF] Luo | Estudo numérico sobre a influência da assimetria num dispositivo coletor de energia não linear[END_REF] analisaram para uma faixa parâmetros físicos, apresentando comportamento regular ou fractais e a eficiência energética varia conforme o ângulo de inclinação. E trabalhos recentes (Norenberg et al., 2021a) e [START_REF] Norenberg | Sensitivity analysis and uncertainty quantification of (a)symmetric bistable energy harvesters[END_REF] realizaram uma análise de sensibilidade global por meio do índice de Sobol, investigando quais parâmetros cruciais que influenciam no processo de colheita de energia, além de validar experimentalmente os resultados númericos em relação à influência da assimetria e faixas de excitação.

Neste contexto, o presente trabalho investiga o dispositivo coletor de energia não linear assimétrico sobre um determinado ângulo ótimo e faixa de parâmetros físicos e amplitude de excitação. Devido à presença da não linearidade, são avaliadas às bacias de atração baseado em teste 0-1, no que permite classificar o comportamento dinâmico do sistema.

COLETOR DE ENERGIA ASSIMÉTRICO

A Figura 1 ilustra o esquemático do dispositivo coletor de energia assimétrico, que consiste em uma base rígida com um par de ímãs fixados na parte inferior, além de apresentar um circuito resistivo acoplado na parte superior, juntamente com duas lâminas de material piezoelétrico e uma lâmina ferromagnética para que a extremidade vibre livremente. A base apresenta um certo ângulo de inclinação que produz assimetrias, juntamente com a inclinação dos imãs na dinâmica do sistema. O dispositivo é periodicamente excitado por uma fonte externa que induz a viga vibrar, assim a energia cinética é convertida em energia cinética convertida em energia elétrica através do material piezoelétrico.

Figura 1. Ilustração do dispositivo coletor de energia não linear assimétrico A dinâmica deste dispositivo é caracterizada por um problema de valor inicial

ẍ + 2 ξ ẋ - 1 2 x (1 + 2 δ x -x 2 ) -χ v -p sin φ = f cos (Ω t), (1) 
v + λ v + κ ẋ = 0, (2) 
x(0) = x 0 , ẋ(0) = ẋ0 , v(0) = v 0 , (3) 
onde, ξ a constante de amortecimento; δ o coeficiente de rigidez quadrático associado à assimetria; χ o acoplamento piezoelétrico da equação mecânica; p sin φ a força equivalente gravitacional da viga; Ω a frequência de forçamento; f a amplitude de forçamento; λ o tempo característico inverso; κ o acoplamento piezoelétrico da equação elétrica. Por fim, as condições iniciais, posição, velocidade e os parâmetros são adimensionais e a presença do ponto na parte superior é a notação da derivada em relação ao tempo.

BACIAS DE ATRAÇÃO

As bacias de atração são uma ferramenta que mapeia a sensibilidade em relação às condições inicias que levam a determinado(s) atrator(es). Para obtê-las é feita a discretização do plano deslocamento versus velocidade (x 0 × ẋ0 ) com uma malha de 1200 × 1200 pontos uniformemente espaçados. Logo, a equação do sistema dinâmico é numericamente integrada por um longo tempo, tendo cada ponto da malha como condição inicial. Em seguida, as séries temporais obtidas são utilizadas no teste 0-1 para caos indicando se a dinâmica evolui para um comportamento caótico ou regular para determinar os atratores do sistema. Por fim, os atratores são catalogados em uma esquemática de cores, determinando que condições iniciais levam para cada atrator. O processo termina até que todas os pontos da malha sejam calculados. A Fig. 2 ilustra o esquemático dessa ferramenta.

Figura 2. Ilustração esquemática do cálculo das bacias de atração O teste 0-1 para caos proposto por Gottwald and Melbourne (2016) caracteriza numericamente a dinâmica do sistema, determinando se evolui para um comportamento caótico ou regular através do classificador K c . Para realizar o teste, é necessário como parâmetros de entrada a discretização da série temporal do sistema através da integração numérica, Φ = (φ(t 1 ), φ(t 2 ), φ(t 3 ), ..., φ(t n )). Em seguida, é sorteado valores aleatórios de c em um intervalo [0, 2π) e utilizado juntamente com as séries temporais para uma mudança de coordenadas através das Eq. (4) e Eq. ( 5),

p n (c) = n j=1 x(t j ) cos (j c), (4) 
q n (c) = n j=1
x(t j ) sin (j c),

para n = 1, 2, 3,..., N. Em seguida é realizado o desvio médio padrão quadrático para analizar o comportamento difusivo de p n e q c através da Eq. ( 6),

M n (c) = lim N →∞ 1 N N j=1 [p j+n (c) -p c (c)] 2 + [q j+n (c) -q c (c)] 2 (6) 
para n = 1, 2, 3, ..., N. Se p n e q c apresentam uma trajetória limitada, a dinâmica é dita regular, caso cresçam linearmente é a dinâmica é caótica.

Por fim, a Equação ( 7) determina o classificador K c ,

K c = lim N →∞ cov(t n , M n ) var(t n )var(M n ) (7)
onde cov e var são os operadores covariância e variância respectivamente e M n = (M 1 , M 2 , M 3 , ..., M N ) e t n = (t 1 , t 2 , t 3 , ..., t n ).

Os autores [START_REF] Gottwald | The 0-1 test for chaos: A review[END_REF] provam que a saída do teste, K c , é 0 para comportamento regular e 1, caótica. Neste trabalho, considera-se K c < 0.2 para dinâmica regular e c > 0.8 dinâmica caótica, para valores entre 0.2 e 0.8 são ditos inconclusivos. Cada cor ilustrada nas bacias de atração apresenta um atrator, isto é, uma solução no regime permanente que depende da condição inicial representada na Fig. 3. Na Fig. 4a, com baixa amplitude de forçamento, f = 0.019, há somente a bacia vermelha e o seu respectivo atrator vermelho de baixa órbita energética de período 1. Ao aumentar a amplitude de forçamento para f = 0.051, surgem mais duas bacias de cor azul e verde, ambas de período 1. Ademais a bacia azul apresenta maior órbita de energia em relação ao deslocamento e velocidade, sendo uma solução desejável ao sistema, já a bacia verde com média órbita energética. Para f = 0.083 houve uma diminuição nas bacias verde e vermelha e um crescimento da bacia azul. Em f = 0.115, há o encolhimento da bacia verde conforme a Fig. 4d, mas em relação ao correspondente atrator apresenta uma órbita de período 4. Para as Fig. 4e e 4f, há a expansão da bacia vermelha em relação a azul, na qual apresenta maior chance de convergir para a solução de baixa energia e em relação aos atratores, mostra um tímido aumento. Para altas amplitudes de excitação, f = 0.211, a bacia azul se expande em comparação ao caso anterior. Aumentando para f = 0.243, há a criação da bacia de cor ciano, além da redução das bacias azul e vermelha. Em relação ao atrator, apresenta transiente caótico em relação às demais. Por fim, em f = 0.275 há a destruição das demais bacias, restando apenas as bacias azul e vermelha. Ademais, com base nos parâmetros analisados, à medida que a amplitude de forçamento aumenta, apresenta um pequeno incremento na amplitude dos atratores em comparação aos intervalos anteriores, uma vez que a viga aumenta o deslocamento e velocidade gerando maior energia de saída. No entanto, ao comparar a Fig. 4i Para uma baixa amplitude de forçamento há uma menor conversão de energia, conforme este parâmetro aumenta há mais energia no sistema, pode ser desvantajoso à geração de energia. Além da presença de bacias fractivas, surge a bacia de cor ciano de período 6 na região de alta amplitude de forçamento, ainda no regime transiente. Desta forma, analisar a dinâmica do dispositivo coletor assimétrico permite encontrar que parâmetros apresentam melhor geração de energia.

CONCLUSÃO

O presente trabalho analisou a dinâmica do dispositivo coletor de energia não linear assimétrico, por meio das bacias de atração e teste 0-1. A dinâmica do sistema é caracterizada pela sensibilidade do sistema em relação às condições iniciais, sob influência do ângulo ótimo e da amplitude de forçamento. Para cada valor da amplitude de forçamento, as bacias apresentam diferentes soluções com diferentes níveis energéticos e períodos. Um conjunto de condições iniciais foi mapeado, por levarem à trajetória de atratores de diferentes comportamentos e complexidade na dinâmica do sistema. Ademais, para os parâmetros analisados o sistema apresentou mais condições de obter média e alta órbitas de energia em uma faixa média de amplitude de forçamento.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio do CNPq, da FAPERJ, da CAPES e da ABCM.

  Figura 3. Projeção dos atratores na região (x, ẋ) ∈ [-3,3] × [-3,3] no plano deslocamento versus velocidade inicial para diferentes valores de amplitude de forçamento

  com a Fig. 4e, na faixa de alta amplitude de forçamento o sistema apresenta maiores condições de resultar em uma órbita de baixa energia, o que não é vantajoso, uma vez que o dispositivo utiliza muita energia para gerar baixa potência de saída. Já para 0.083 ≤ f ≤ 0.147, sobre diferentes condições iniciais é possível obter órbitas de média e alta energia. Pela presença do ângulo de inclinação na base, φ = 35 • , o dispositivo oscilará neste ângulo apresentando assimetria nas soluções, conforme ilustrado na Fig. 4 e pode reduzir o movimento da viga gerando menor energia, representado pelo atrator vermelho. O comportamento da dinâmica do dispositivo para uma ampla faixa de amplitude de forçamento, com determinado (a) f = 0.019 (b) f = 0.051 (c) f = 0.083 (d) f = 0.115 (e) f = 0.147 (f) f = 0.179 (g) f = 0.211 (h) f = 0.243 (i) f = 0.275 Figura 4. Projeção das bacias de atração na região (x, ẋ) ∈ [-3,3] × [-3,3] no plano deslocamento versus velocidade inicial e υ = 0 para diferentes valores de amplitude de forçamento ângulo de inclinação e próximo da faixa de ressonância é investigado, apresentando um comportamento complexo, devido à sensibilidade do sistema em relação às condições iniciais e dos parâmetros físicos, acarretando em diferentes soluções.