math shs.edu
Estadual Universidade 
  
Feira De 
  
Santana De 
  
E M Programa De Pós-Graduação 
  
Ensino 
  
E Filosofia 
  
Das História 
  
Jany Santos Ciências 
  
Goulart Souza 
  
Proposta Uma 
  
Para O Didática 
  
D A Ensino 
  
Vetorial Álgebra 
  
Pelo Fundamentada 
  
T4tel Modelo 
  
Contexto No 
  
U M De 
  
Híbrido Ambiente 
  
Aprendizagem De 
  
Defesa Realizada 
  
Jany Santos Souza 
  
Goulart Uma 
  
Proposta Didática 
  
Para O Ensino 
  
D A Álgebra 
  
Vetorial Fundamentada 
  
Pelo Modelo 
  
T4tel No 
  
Contexto De 
  
U M Ambiente 
  
Híbrido De Aprendizagem 
  
Prof. Dr Luiz Márcio 
  
Santos Farias 
  
Dr Hamid Chaachoua Salvador 
  
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

Keywords: Anthropological Theory of the Didactic -ATD, T4TEL, Teaching and Learning, Hybrid Learning Environment -HLE

This research discusses Vector Algebra teaching and learning in the Mathematics Teaching Course at Universidade Estadual de Feira de Santana (Feira de Santana Federal University, in free translation), which will be called CLM -UEFS in this text. It is based on the pillars provided by the Anthropological Theory of the Didactic (ATD) and on studies developed in the scope of Didactics of Mathematics, which have shown peculiarities of the vector notion as a concept that is difficult to learn. Starting from those preliminary ideas, our research followed a path that led us to vectors as a mathematical object and to their institutional structure in CLM -UEFS, based on a double perspective: the first one refers to the application and institutional relevance of vectors, while the second aspect specifies the conceptual multiplicity and its links with the obstacles detected in the mathematical-didactical context and reflected in the teaching and learning process of said mathematical object. In this setting, we admit the existence and functioning of Didactical Systems (DS), coordinated by a set of conditions and restrictions. We introduced the notion of Personal Practice Paths (PPP) in order to analyze students' productions and interactions in the scope of vectors based on a Alternative Praxeological Reference Model (APRM), materialized through a Hybrid Learning Environment (HLE). The models were developed and structured through the didactical reference framework T4TEL. More specifically, we studied the question "How to harness praxeological recombinationsguided by conditions and restrictionswhich can mediate personal and institutional interactions in the DS related to vector knowledge in CLM -UEFS?" In the methodological scope, Didactical Engineering (DE) presented itself as an inspiration and allowed to trace possible praxeological recombinationspath mapping and the reach of the techniques in each Didactical Device (DD) that "lives" in the HLE -, in addition to enabling an immersion into the descriptions of the personal praxeological complex produced by the players in this setting. Regarding results, we point to the susceptibility of dialogues that might contribute to removing obstacles related to choices that are dominant and widely crystalized in the functioning of DS in CLM -UEFS. Moreover, there is the emergence of a Didactical Device repertoire aimed at vector teaching and learning.

AGRADECIMENTOS

Ao Rei eterno imortal, invisível, mas real, o único Deusa Ele sejam dadas a honra e a glória, para todo sempre! Amém! (1 Timóteo 1:17) que esteve comigo em cada instante desta caminhada. Agradeço a ti, Senhor Jesus, pela tua presença, pelos direcionamentos e pela sabedoria concedida a mim, nos momentos em que pensava em desistir, pois achava que tudo tinha dado errado e que não teria forças para prosseguir. Mas o Senhor mostrou-me que minhas batalhas também eram suas, como esta que se concretiza hoje.

Ao meu esposo, amigo e companheiro Claudiano que susteve, sabiamente, as minhas inquietações fornecendo o suporte necessário para conseguir conciliar todas as demandas do curso frente às atribuições de mãe e esposa.

Às minhas princesas Ana Clara e Isabela, bênçãos concedidas a mim pelo meu Senhor, uma das razões do meu viver. Amo muito vocês.

Aos meus amados irmãos: Ubiratan (Birinha) pelo incentivo constante e Wilton (Tinho) pelo apoio incondicional em todas as etapas desta caminhada, por se alegrarem com as conquistas e me apoiarem em situações difíceis que se assemelharam às barreiras instransponíveis. À minha amada, querida e amiga irmã Eliane que sempre assumiu o papel de tia/mãe nos momentos em que eu estava ausente.

À minha linda e abençoada mãe Isaltina/Jury (in memoriam). A ela eu devo grande parte do que sou hoje, uma mulher guerreira que me amou, me educou e sabiamente me corrigiu no intuito de que eu fosse um ser humano melhor, os meus sinceros agradecimentos e o meu eterno "te amo mainha!". A meu pai Ubiratan/ Bira por oportunizar e prover condições para que alcançasse o estudo, um dos elementos que alegra o meu viver.

Sou muito grata ao professor Doutor Luiz Marcio Santos Farias pela confiança, disponibilidade e acolhimento nesta importante etapa da minha vida acadêmica, bem como pelos direcionamentos no âmbito da pesquisa em Didática.

Destaco também minha gratidão ao professor Doutor Hamid Chaachoua que aceitou a coorientação deste trabalho com ricas e imensuráveis contribuições no seio da Didática da Matemática.

Agradeço aos professores do Programa de Pós-graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências pelos momentos de interlocuções e aprendizado.

Ao professor André Mattedi por ter sido instrumento de Deus para abrir portas que se apresentavam fechadas na fase embrionária do doutorado, que acreditou que seria capaz de cumprir essa missão ao intermediar o diálogo com professor Luiz Márcio, saiba que será sempre meu orientador. 

Aos professores André Luís

RESUMO

A pesquisa concentra-se no ensino e aprendizagem da Álgebra Vetorial no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana, denotado por nós como CLM-UEFS, a qual se alicerça nos pilares da Teoria Antropológica da Didática -TAD e se respalda em estudos pertencentes ao campo da Didática da Matemática, os quais têm revelado particularidades acerca da noção vetorial como um conceito de difícil aprendizado. A partir dessas ideias preliminares, o interesse de pesquisa trilhou caminhos que direcionou ao objeto matemático vetor e sua estrutura institucional dentro do CLM-UEFS, a partir da dupla perspectiva: a primeira, que se refere à empregabilidade e à relevância institucional dos vetores, e a segunda, especificou à multiplicidade conceitual e à vinculação aos obstáculos detectados no contexto matemático e didático refletidos no processo de ensino e aprendizagem deste ente matemático. Diante dessa problemática, admite-se a existência e o funcionamento dos Sistemas Didáticos -SD, regidos por um conjunto de condições e restrições. Introduziu-se a noção de Caminhos de Prática Pessoal -PPP -para analisar as produções e interações entre estudantes, no campo dos vetores baseados em um Modelo de Referência Praxeológico Alternativo -MPRA, materializado por meio do Ambiente de Aprendizagem Híbrido -AHA. Esses modelos foram desenvolvidos e estruturados utilizando o quadro de referência didático T4TEL. Mais precisamente, estudou-se a questão: como mobilizar recombinações praxeológicas, orientadas por condições e restrições, que promovam mediações entre relações pessoais e instituições no contexto dos Sistemas Didáticos -SD, subjacentes ao saber vetorial do CLM-UEFS? No âmbito metodológico, à Engenharia Didática -ED se apresentou como inspiração e permitu testar hipóteses, traçar possíveis recombinações praxeológicas, mapear o escopo das técnicas dentro de cada Dispositivo Didático -DD que "vive" em AHA, além de permitir a imersão nas descrições do complexo de praxeologias pessoais produzidas pelos protagonistas deste cenário. No que pode ser discutido em termos de resultados, referiu-se à suscetibilidade dos diálogos que contribuem para a quebra das obstruções inerentes às escolhas dominantes, amplamente cristalizadas, no funcionamento dos Sistemas Didáticos dentro da CLM-UEFS.

Palavras Chave: Teoria Antropológica do Didático -TAD; T4TEL; Vetores; Ensino-Aprendizagem; Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA.

RÉSUMÉ

La recherche se concentre sur l´enseignement et l´apprentissage de l´algèbre vectoriel dans le cadre du Cours de Licence en Mathématiques de l´Université d´État de Feira de Santana, désigné par CLM-UEFSA. Elle repose sur les piliers de la Théorie Anthropologique de la Didactique -TAD et s´appuie sur des études relevant du domaine de la Didactique des Mathématiques, lesquelles ont révélé des particularités qui configurent la notion vectorielle comme un concept difficile pour l´apprentissage. À partir de ces idées préliminaires, notre intérêt de recherche a pris des orientations qui nous ont emmenés à l´objet mathématique vecteur et sa structure institutionnelle au sein de CLM-UEFS, sous la perspective de deux aspects : le premier, qui se réfère à l´employabilité et à la relevance institutionnelle des vecteurs, et le second, qui se rapporte à la multiciplicité conceptuelle de ces derniers qui peuvent renforcer les obstacles détectés dans le contexte mathématique et didactique répercuté dans le processus d´enseignement et d´apprentissage de cette entité mathématique. Face à cette problématique, sont admis l´existence et le fonctionnement de Systèmes Didactiques -SD, régi par un ensemble de conditions et contraintes. Nous avons introduit la notion de Parcours de Pratiques Personnelles -PPP -pour analyser les productions et les interactions entre des étudiants, dans le domaine des vecteurs en s'appuyant sur un Modèle Praxéologique de Référence Alternatif -MPRA, matérialisé au moyen de l´Environnement Hybride d´Apprentissage -EHR. Ces modélisations ont été développées et structurées en sppuyant sur le cadre de référence didactique T4TEL. Plus précisément, nous avons étudié la question: comment mobiliser des recombinaisons praxéologiques, guidées par des conditions et des restrictions, qui favorisent des médiations entre les rapports personnelles et les institutions dans le contexte des Systèmes Didactiques -SD, sous-jacents au savoir vectoriel du CLM-UEFS? Dans notre méthodologie, Nous avons fait recours à l´Ingénierie Didactique -ID, s'est présenté comme une inspiration et a permis tester des hypothèses, tracer les recombinaisons praxéologiques possibles, mais aussi cartographier les parcours et les portées des techniques au sein de chaque Dispositif Didactique -DD qui « vit » dans un EHA, en plus de permettre l´immersion dans les descriptions du complexe de praxéologies personnelles produites par les protagonistes de ce contexte. Dans ce qui se discute à la vue des résultats, nous désignons la susceptibilité de dialogues qui contribuent à la rupture d´obstructions inhérentes aux choix dominants, amplement cristallisés, dans le fonctionnement des Systèmes Didactiques au sein du CLM-UEFS.

Mots-Clés: Théorie Anthropologique de la Didactique -TAD; T4TEL; Vecteurs; Enseignement-Apprentissage; Environnement Hybride d´Apprentissage -EHA

RESUMEN

Esta investigación se concentra en la enseñanza y el aprendizaje del álgebra vectorial en la Carrera de Enseñanza de las Matemáticas en la Universidade Estadual de Feira de Santana, Brasil, -denominada como CLM -UEFS en este documentoy está fundamentada en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (ATD) y en investigaciones en el ámbito de la Didáctica de las Matemáticas, los cuales han revelado particularidades acerca de la noción vectorial como un concepto de difícil aprendizaje. A partir de esas ideas preliminares, nuestro interés de investigación siguió un caminó que nos direccionó al objeto matemático vector y a su estructura institucional en CLM -UEFS, a partir de una doble perspectiva: la primera se refiere a la aplicación y a la relevancia institucional de los vectores, mientras la segunda especificó la multiplicidad conceptual y la vinculación a los obstáculos detectados en el contexto matemático y didáctico y reflejados en el proceso de enseñanza y aprendizaje de este elemento matemático. Con este problema, admitimos la existencia e el funcionamiento de Sistemas Didácticos (SD) coordenados por un conjunto de condiciones y restricciones. Introducimos la noción de Caminos y Prácticas Personales (CPP) para analizar las producciones e interacciones entre los estudiantes en el ámbito de los vectores basados en un Modelo Praxeológico de Referencia Alternativo (MPRA), materializado a través de un Ambiente Híbrido de Aprendizaje (AHA). Esos modelos fueron desarrollados y estructurados a partir del cuadro de referencia didáctica T4TEL. Más precisamente, estudiamos la cuestión ¿cómo se puede movilizar recombinaciones praxeológicas, coordenadas por condiciones y restricciones, que puedan intermediar las relaciones personales y institucionales en el contexto de los Sistemas Didácticos (SD) relacionados con el saber vectorial en CLM-UEFS? En el ámbito metodológico, la Ingeniería Didáctica se presentó como una inspiración y permitió testar las hipótesis y trazar las posibles recombinaciones praxeológicasel mapeo de las rutas, el alcance de las técnicas en cada Dispositivo Didáctico (DD) que <<vive>> en el AHAademás de permitir la inmersión en las descripciones del complejo de praxeologías personales producidas por los actores en ese contexto. Sobre los resultados, destacamos la susceptibilidad de diálogos que contribuyan al rompimiento de las obstrucciones relacionadas a las opciones dominantes y ampliamente cristalizadas en el funcionamiento de los Sistemas Didácticos en CLM-UEFS. Asimismo, hay la emergencia de un repertorio de Dispositivos Didácticos direccionados a la enseñanza y al aprendizaje vectorial.

Palabras Clave: Teoría Antropológica de lo Didáctico -TAD; T4TEL; Enseñanza y Aprendizaje; Ambiente Híbrido de Aprendizaje -AHA. 

LISTA DE FIGURAS

INTRODUÇÃO O CONTEXTO E DELINEAMENTO DA PESQUISA

Ao relembrar os caminhos trilhados no processo de formação, emergiram inquietações que constituíram uma das bases de inspiração para esse estudo. Dentre elas, destaca-se a predominância do modelo tradicional de ensino em que uma "suposta aprendizagem" ocorria guiada pela memorização de resolução de exercícios engendrados em um exaustivo processo de repetição de técnicas. Nessa lógica, o aprender se resumia ao emprego e à reprodução de técnicas e expressões eivadas de simbolismos as quais deveriam ser utilizadas em momentos pré-estabelecidos. Nesse contexto, o ato de ensinar e aprender matemática era caracterizado como um processo mecânico, desprovido de sentido, extremamente abstrato e desconectado do real. Em outras palavras, a matemática era descrita como uma disciplina de difícil entendimento para os estudantes não tipificados como bons memorizadores, reduzidos a genuínos observadores. Nuance essa, que comunga com a descrição de [START_REF] Dantas | Ensino da Matemática: um processo entre a exposição e a descoberta / Martha Maria de Souza Dantas[END_REF]:

O professor de Matemática (...), continua recitando a sua lição. Recita receitas para calcular coisas mal definidas, propriedades que devem ser decoradas e apresenta modelos que devem ser utilizados sem que haja justificação anterior para tal. (...). Os alunos, em geral, devem aceitar o que o mestre afirma, mesmo que não tenham compreendido a lição. (DANTAS, 1987, p.13) Integra-se a esse cenário a figura do professor de matemática, que geralmente, assumia um status de detentor do saber associado a um caráter de superioridade que, concomitantemente, ditava as regras que regiam as aulas, enquanto que o aluno assumia o papel de subordinação imbricado à incumbência de receptor desse conhecimento, resultando em um cenário de lembranças em que traços paradigmáticos se mesclavam a uma cultura de exatidão inerente ao conhecimento matemático. Essa vertente foi vivenciada em diversas situações, hoje guardadas na memória, as quais foram gradualmente sedimentadas em aulas de matemática no limiar do Ensino Fundamental e se expandiram nos níveis subsequentes, adquirindo maior força no momento em que integrei o elenco de discentes do curso de graduação em Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana -Ba.

Parafraseando as palavras de [START_REF] Dias | Uma crítica aos fundamentos do ensino autoritário e reprodutivo da matemática[END_REF] esse ponto de vista pode ser denominado como absolutização reprodutiva da matemática no ensino, que tem como um de seus efeitos a objetivação dos seus sujeitos, do aluno e do professor, metamorfoseados em auxiliares marginais do processo.

O professor, que na maioria das vezes aparece como autoritário, não passa de um mediador, um instrumento, pois sua competência restringe-se ao "saber fazer", ao "o que" e ao "como", ao conhecimento "correto" do ponto de vista técnico e à capacidade de comunicação "elegante" do ponto de vista lógico. (DIAS,1994, p.14).

O autor também ressalta que o autoritarismo advém do processo de ensino que absolutiza a matemática e objetiva o professor e o aluno. Soma-se a esse aspecto o que sublinha Douady (1994, p.35): "a memória é cada vez mais solicitada, mas há pouca possibilidade de estruturá-la. O recurso aos exercícios repetitivos é incontornável. Os alunos compreendem cada vez menos por que são obrigados a aprender Matemática." Assim, se volta para uma aprendizagem de técnicas e algoritmos mais ou menos bem memorizados, mas que distanciam os estudantes do que poderia fazer sentido para eles.

Ademais, [START_REF] Gascón | La necessidade de utilizar modelos em didáctica de la matemáticas[END_REF] discute esse aspecto a partir de três modelos: teoricista, tecnicista e modernista.

Os modelos docentes teoricistas e tecnicistas compartilham uma concepção psicologista ingênua do processo didático que tem no behaviorismo sua mais clara referência. Em ambos os casos se concebe o processo de ensino como um processo mecânico e trivial totalmente controlável pelo professor: o teoricismo tende a conceber o aluno como uma "caixa vazia" que deve ser preenchida ao longo de um processo gradual que parte dos conceitos logicamente mais simples até chegar, passo a passo, aos sistemas conceituais mais complexos; o tecnicismo, por sua vez, considera o aluno como um "autômato" que melhora o domínio das técnicas mediante a simples repetição. Por todas essas razões denominaremos "clássicos" ambos modelos docentes em oposição aos "modernistas" [...] que identificam "ensinar" e "aprender Matemática" com ensinar e aprender uma atividade exploratória, livre e criativa, de problemas não triviais. (GASCÓN, 2003, p. 136) Sob a lente teórica da Teoria Antropológica do Didático -TAD o paradigma que legitima essas ações é caracterizado por um conjunto de princípios que prescrevem, mesmo que implicitamente, o que é estudado. Parafraseando Chevallard (2013) trata-se de um ciclo devocional de uma peregrinação intelectual guiada por professores e aceita pelos alunos, os quais são reduzidos a meros espectadores do espetáculo de visita às cristalizadas obras matemáticas, as quais são apresentadas "como um monumento de valor em si mesmo, que os alunos devem admirar e desfrutar, mesmo que não saibam quase nada sobre seus motivos e razões de ser" (Chevallard, 2013, p. 164).

Em outro nível de assujeitamento institucional, o da prática docente, esse aspecto não foi abandonado e ganhou novos direcionamentos que apontaram para necessidade de reconstruções da minha prática, ou seja, consistiu em pensar acerca das possiblidades que contribuíssem para mitigar a nuance descontextualizada dos conceitos matemáticos que vivem nas instituições de ensino. A partir desse cenário, a capacitação profissional e os vínculos que foram criados no âmbito da pesquisa e da extensão, emergiram como um percurso de promoção de possíveis respostas, a exemplo desta tese. Também pode-se citar o projeto de extensão, da Universidade Estadual de Feira de Santana, direcionado aos estudantes do Ensino Fundamental II intitulado "O visual e o concreto no ensino de geometria: uma abordagem sobre a observação, estudo e construção de objetos geométricos com a participação de alunos da rede pública de ensino de Feira de Santana", que inaugurou algumas ações e produções que ratificaram a existência de um distanciamento entre o ensino e o entorno social dos estudantes.

O recorte dialoga com uma das noções da TAD, respaldada por uma crônica de sujeições pessoais, visto que, "uma pessoa x é o resultado de suas sujeições passadas e presentes" (CHEVALLARD, 2018, p. 37). De maneira geral, as nossas relações pessoais são resultados das nossas subordinações institucionais. De igual modo, as especificidades matemáticas estão intimamente ligadas ao contexto institucional em que operam. Pautado nesse escopo biográfico, é possível discorrer sobre uma das primeiras motivações que nos direcionaram a idealizar um estudo que também integrasse as relações pessoais e institucionais dos protagonistas dos Sistemas Didáticos -SD do Curso de Licenciatura de Matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana -UEFS, o qual denotaremos por CLM-UEFS mediatizados por Dispositivos Didáticos -DD, assim denotado por nós, em interação com um referido saber. Respaldada pela concepção de Bosch e Chevallard (1999), Afastando esta visão comum, é preciso, pelo contrário, examinar o modo como a atividade matemática é condicionada pelos instrumentos materiais, visuais, sonoros e táteis que põe em jogo. Sabemos que a ausência de um conceito pode bloquear a evolução do "pensamento" matemático, tanto no nível histórico de uma comunidade quanto no nível individual do pesquisador ou aluno. Agora podemos nos perguntar em que medida essa ausência seria apenas a ausência de uma idealidade, de uma forma de "pensar" ou de "conceber" o mundo, e não de um complexo de ferramentas de trabalho, na sua maioria de natureza material, cuja disponibilidade -ou, pelo contrário, a ausência -pode alterar de forma "catastrófica" o curso da atividade. Acreditamos que, a análise didática do desenvolvimento do conhecimento matemático -apreendido no percurso histórico, na história de vida de uma pessoa, ou na vida de uma classenão pode considerar esta dimensão do conhecimento como uma atividade secundária, atribuindo-lhe uma função puramente instrumental na construção de conceitos.

(BOSCH e CHEVALLARD, 1999, p. 90, grifos nossos, tradução nossa 1 ) Aditado a essa perspectiva, [START_REF] Chevallard | Teaching Mathematics in Tomorrow's Society: a Case for an Oncoming Counterparadigm[END_REF] também aponta para a emergência de um processo que abandone a peregrinação intelectual, relações antidemocráticas com o ato de 1 Mettant à distance cette vision commune, il convient au contraire d'examiner la manière dont l'activité mathématique est conditionnée par les instruments matériels, visuels, sonores et tactiles qu'elle met en jeu. On sait que l'absence d'un concept peut bloquer l'évolution de la « pensée » mathématique, aussi bien au niveau historique d'une communauté qu'au niveau individuel du chercheur ou de l'élève. Or on peut se demander jusqu'à quel point cette absence serait seulement l'absence d'une idéalité, d'une façon de « penser » ou de « concevoir » le monde, et non celle d'un complexe d'outils de travail, la plupart de nature matérielle, dont la disponibilitéou, au contraire, l'absence -pourrait modifier de façon « catastrophique » le déroulement de l'activité. Nous croyons en effet que l'analyse didactique du développement du savoir mathématiquesaisi dans la durée historique, dans l'histoire de vie d'une personne, ou dans la vie d'une classene peut considérer comme secondaire cette dimension de l'activité, en lui assignant une pure fonction instrumentale dans la construction des concepts. aprender e o abuso do poder pedagógico. Para então, assumir a criação de um novo ethos cognitivo que objetive enfrentar questões e problemas em um currículo proposto e definido em termo de perguntas. Neste sentido, o engessamento dos currículos se apresenta como uma das restrições que obstaculizam a existência de uma cultura institucional de ensino pautada em inquéritos. Em síntese, significa dizer que, deve-se abandonar a postura retro cognitiva e assumir um comportamento pro cognitivo, ou seja, direcionar a atenção para uma "pedagogia de perguntas", o que consiste em afirmar que devemos deixar o mundo "encantado e enganoso do turismo matemático para chegarmos ao universo de uma engenharia de precisão" (CHEVALLARD, 2011, não paginado).

Esse aspecto, abre um leque de possiblidades que nos direciona a pensar em aulas de matemática projetadas nos alicerces do Paradigma de Questionamento do Mundo [START_REF] Chevallard | Théorie Anthopologique du Didactique & Ingénierie Didactique du Développement[END_REF]2010;2012), permitindo que os professores e estudantes mergulhem num contrato diferente daquele que historicamente moldou as escolhas e práticas dominantes amplamente cristalizadas, pois na concepção de Chevallard (2018) deve-se abandonar o paradigma escolar do inventário dos saberes e substituí-lo por um paradigma escolar do questionamento do mundo: "em vez de uma leitura inventariante do universo dos saberes, então, uma leitura questionadora do Mundo (incluindo o mundo dos saberes)." (CHEVALLARD, 2018, p.44) Desse modo, essa investigação se situa no âmbito da Teoria Antropológica do Didático -TAD [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF]1998;1999;2001;2006), ao promover um desenho praxeológico 2 institucional entre saberes e fenômenos didáticos, em diálogo com o quadro teórico de referência didática T4TEL 3 (CHAACHOUA, 2018). Assim, a pesquisa se desenvolveu no contexto de um curso de formação inicial de professores de matemática, especificamente o Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana, o qual denota-se CLM-UEFS, no intuito de favorecer a articulação entre teoria e prática no que tange ao ensino e aprendizagem dos vetores no âmbito da Geometria Analítica no seio dos componentes curriculares Geometria Analítica e Álgebra Linear I (EXA 180) e Geometria Analítica (EXA 374).

É relevante destacar que, o objeto matemático em questão se integra, não somente, aos Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática no Brasil, mas também aos cursos 2 Uma praxeologia é o quarteto [𝑇; 𝜏; 𝜃; Θ], em que T é o tipo de tarefas, 𝜏 é a técnica utilizada na resolução de T , 𝜃 o discurso que fundamenta a técnica 𝜏 respalda por uma teoria Θ. 3 T4TEL: T4 refere-se ao quádruplo praxeológico (tipo de tarefas, técnica, tecnologia, teoria) e TEL para aprendizado aprimorado por tecnologia. situados no âmbito das ciências exatas em nível superior de ensino. Sua abrangência institucional é refletida em conteúdos presentes em disciplinas como Física, Cálculo, Álgebra Linear e Geometria. No entanto, na contramão dessa relevância institucional, nos deparamos com um elevado índice de retenção e consequente reprovação de estudantes no que se refere a componente curricular que porta em sua ementa os vetores. Esse contexto despertou também nossa atenção, assim preliminarmente emergiu uma primeira questão: que condições se requerem e que restrições dificultam ou impedem que os vetores sejam ensinados, apreendidos, estudados e utilizados no contexto das salas de aulas do CLM-UEFS? Destarte, os questionamentos constituíram um dos fios condutores da investigação, pois "(…) não devemos esquecer que quando nos perguntamos como são as coisas, surgem questões que só podem ser respondidas investigando o que acontece quando tentamos mudar as coisas em um determinado sentido (…)" (CHEVALLARD, 2010, p.213).

Em específico, essa indagação também pode ser respaldada pelas concepções de Barquero, Bosch e Gascón (2010, 240, tradução nossa 4 ) ao declararem que "levar em consideração a dimensão ecológica do problema da modelização matemática significa assumir a existência de restrições que resultam de subjugações que lhes são impostas, independentemente da vontade dos sujeitos incidem sobre a vida institucional da modelização matemática." O que significa dizer que, as restrições salientam o viés transpositivo que emergem quando as matemáticas são "manipuladas" e "transformadas" para poderem ser ensinadas sob um conjunto de condições institucionais.

Ainda pautados no processo transpositivo, os estudos de Chevallard (1991;1994) ampliam a generalização da Teoria da Transposição Didática (TTD), partindo de uma concepção que envolvia apenas a ecologia dos saberes para uma abordagem que contempla a antropologia dos saberes, como assevera o autor: "Nesta perspectiva, a primeira teoria da transposição didática não serve apenas como ponto de partida, mas como ponto de apoio e orientação, pois de acordo com Barquero, Bosch e Gascón (2010), A transposição pode facilitar a entrada no sistema de ensino de certos objetos (os conceitos, modelos e sistemas conceituais que tenham uma existência clara na instituição sabia) e dificultar a entrada de outros (em particular dos objetos "extramatemáticos" que não tenham uma existência clara no saber sábio). BARQUERO, BOSCH e GASCÓN, 2010, p. 240, tradução nossa 5 ) Na contemporaneidade, os pressupostos da transposição didática encontram-se inseridos no estudo da ecologia dos saberesque se interessa pelas condições e restrições sob as quais um determinado saber "vive" em determinada instituição. A TTD é, assim, parte constituinte da Teoria Antropológica do Didático -TAD. Diante dessas ponderações, infere-se que, possivelmente, existem lacunas que precisam ser analisadas através de um arcabouço teórico que contemple a estrutura organizacional do saber em pauta. No caso do estudo em questão, a estrutura organizacional concentra-se no seio da TAD, em como as funções (nicho) 6 dos vetores são tratadas no desenvolvimento de aulas direcionadas para estudantes de um Curso de Licenciatura em Matemática -UEFS.

As razões pelas quais foi eleito o objeto matemático vetor se respaldam em suas características conceituais singulares, as quais extrapolam uma abordagem unicamente numérica, sejam elas: módulo, direção e sentido. Vertente que se atrela a concepção de Dorier (2000) ao distingui-lo em três "habitats ecológicos 7 ": o vetor geométrico, o vetor algébrico e o vetor físico. Nessa perspectiva, esse objeto reside em três ambientes diferentes, com especificidades próprias em cada um deles. Ou seja, "(...) um saber S sobre o qual um certo número de instituições reconhece que ele vive dentro delas" (CHEVALLARD, 1994, p. 22, tradução nossa 8 ). Concepção essa, que se permite pensar acerca da multiplicidade conceitual deste objeto matemático, o qual pode constituir um obstáculo à aprendizagem, pois, de acordo com [START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Willy Vanhamme et Jacqueline Vanhamme. La problématique et l'enseignement de la mathématique[END_REF], todas as concepções podem constituir obstáculos às aquisições futuras.

Essas peculiaridades se configuram como um conceito considerado problemático, de acordo com pesquisas realizadas em torno da noção vetorial, notadamente as pesquisas de [START_REF] Pavlopoulou | Propédeutique de l'algèbre linéaire: la coordination des registres de représentation sémiotique[END_REF], [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF], Lê [START_REF] Thi | Etude didactique et épistémologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions: la classe de dixième au Viêt-nam et la classe de seconde en France[END_REF], [START_REF] Bittar | Les vecteurs dans l'enseignement secondaire -aspects outil et objet dans les manuels -étude de difficultés d'élèves dans deux environnements: papier crayon et cabrigéomètre II[END_REF], [START_REF] Pressiat | Aspects epistemologiques et didactiques de la liaison points-vecteurs: histoire et perspectives sur les math_ematiques[END_REF], [START_REF] Côté | Analyse Épistemologique des Concepts Vectoriels Élèmentaires[END_REF],

Cissé Ba e Dorier (2006), [START_REF] Hayfa | L'enseignement de la notion de vecteur au Liban après la réforme de[END_REF] dentre outras. Todavia é relevante destacar que se opta estudar os vetores nos limites e contextos das componentes curriculares EXA -180 Geometria Analítica e Álgebra Linear I e EXA 374 -Geometria Analítica, como mais um dos pilares da nossa pesquisa. Essa escolha se justifica por se tratar do primeiro contato, em nível superior de ensino, que os professores em formação inicial têm com os vetores, além do trânsito desses em outros conteúdos inerentes ao próprio componente curricular, como os produtos (escalar, vetorial, misto), retas e planos. Essa empregabilidade, também se reflete em outras disciplinas como dito anteriormente. 6 Termo vinculado à ecologia dos saberes que indica as funções que o objeto de saber exerce em interação com outros objetos assim como situam o objeto em termos de localização institucional. [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF]. 7 Idem nota 6. 8 "(…) Soit un savoir S dont un certain nombre d'institutions reconnaissent qu'il vit en leur sein".

Outro ponto que será situado no transcorrer desta investigação encontra-se atrelado à relevância institucional ou razão de ser institucional desse ente matemático e sua associação a alguns aspectos controversos, pois, mesmo diante de um número acentuado de pesquisas que têm como tema o ensino e aprendizagem da Geometria Analítica, e consequentemente dos vetores, não existem repercussões, em mesma dimensão, quanto às intervenções em sala de aula. Fato destacado pelos estudos de Sena e Dorneles (2013) e [START_REF] Santos | Tese (Doutorado em Educação Matemática) -Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática[END_REF], que retratam mapeamentos de pesquisas cujo enfoque é a Geometria Analítica em suas diferentes nuances e configurações em salas de aula.

Esse cenário se contrapõe e pouco ressoa no ensino da componente mencionada, aspecto ratificado pelos trabalhos de Di Pinto (2000), [START_REF] Passos | Análise dos Índices de Reprovações nas Disciplinas Cálculo I e Geometria Analítica nos Cursos de Engenharia da Univasf[END_REF] e [START_REF] Silva | Estudo sobre o uso do Geogebra na Aprendizagem de Geometria Analítica no Ensino Médio[END_REF], que evidenciaram a existência de lacunas apontadas por índices de reprovação. Nas universidades Universidade Estadual de Campinas -UNICAMP e Universidade de São Paulo -USP, por exemplo, o nível de reprovação em Geometria Analítica chega a 35%. [START_REF] Richit | Projetos em Geometria Analítica usando software de Geometria Dinâmica: repensando a formação inicial docente em matemática[END_REF] pontuou, neste setor, que em muitas Instituições do Ensino Superior -IES esta disciplina é caracterizada como um fator problema. Outro exemplo citado pelo autor é a UNESP -RC, que apresentou média de reprovação na matéria em torno de 39% em 2004.

Com a finalidade de reforçar ou refutar esta hipótese, foi solicitado ao setor de Divisão de Assuntos Acadêmicos (DAA) da Universidade Estadual de Feira de Santana -UEFS, um levantamento do número de aprovações e reprovações por disciplina. Toma-se como marco o ano de 2004, momento em que se inicia a primeira transição, abordada por nós, na reformulação curricular. Os dados encontram-se organizados em três tabelas e seus respectivos gráficos (anexo).

Até o ano de 2018 a estrutura curricular do referido curso teve como componente curricular Geometria Analítica e Álgebra Linear I (EXA 180) advinda da nova organização curricular herdando alguns temas que compunham as ementas de Geometria Analítica (EXA 129) e Álgebra Linear I-A (EXA 143), porém com redução de carga horária. Assim, EXA 180 começou a compor a grade curricular do curso a partir do primeiro semestre de 2004. Diante dessa constatação, direciona-se a atenção para os índices de aprovação, reprovação e trancamento detectados no período entre 2004 e 2018, conforme discrimina-se no gráfico 3 em anexo.

Ao estabelecer um comparativo entre o número amostral de aprovações e reprovações nas componentes EXA 129, EXA 143 (currículo 314) e EXA 180, substituta direta no currículo 318, compreende-se que, agregada à redução da carga horária designada ao componente Geometria Analítica e Álgebra Linear I, surgem fatores que limitam o desenvolvimento dos momentos de estudo (CHEVALLARD, BOSCH e GASCÓN, 2001) inerentes às aulas, os quais sintetizam as organizações de estudo, pois se os docentes e discentes têm reduzido tempo para trabalhar com determinados assuntos que compõem a ementa, é inevitável a emergência de diferentes condições e restrições que se vinculam às delimitações e fragmentações as quais, possivelmente, não serão precisas e coerentes no que tange à natureza dos objetos matemáticos que integram o corpus de EXA 180 e hodiernamente EXA 374.

Em síntese, as reformulações, no âmbito institucional do CLM -UEFS, continuaram a acontecer, e propiciaram um trânsito entre o currículo 314 para o 318, regulamentado pelas Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática (CNE/CES 1.302/2001). Ao focar na estrutura organizacional desse curso, coadunada pela reestruturação curricular, constata-se que desde o primeiro semestre de 2004 as disciplinas EXA 129 -Geometria Analítica, com 90 horas de carga horária, e EXA 143 -Álgebra Linear I-A, com 60 horas, foram extintas e deram lugar a uma nova componente curricular, denominada por EXA 180 -Geometria Analítica e Álgebra Linear I, com carga horária de 90 horas e atualmente representada por EXA 374 -Geometria Analítica com 60h, contemplando o corpus de conteúdos de Geometria Analítica. Como esquematicamente exposto na figura 1: . Fonte: Esquema realizado pela autora a partir de dados da UEFS, 2018 Neste sentido é possível identificar que houve reduções no tempo cronológicocarga horária das componentes curriculareso que implica suprimir os tempos didático e/ou de estudos, já que as atividades matemáticas sempre pressupõem ações de estudos. Vertente esta, que desencadeia novos gerenciamentos nos momentos de trabalho coletivo e individual entre EXA 143 -Álgebra Linear I-A -60h.

EXA 180 -Geometria Analítica e Álgebra Linear I -90h.

Currículo 314

EXA 374 -Geometria Analítica 60h.

Figura 1 -Esboço do processo de transição entre os currículos 314 e 318 docentesdiscentes. O que em termos didáticos provocam modificações nas funções didáticas denominadas por [START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]2009) como cronogênese, a qual se encarrega da "gênese do tempo didático, ou seja, o tempo da construção praxeológica." (Chevallard, 2009, p.79) cuja missão é regular os tempos didáticos para os diferentes componentes do sistema didático (SD), refletindo de forma direta ou indireta na gestão desse conhecimento (mesogênese) caracterizada como a gênese do ambiente didático, ou seja, do sistema de dispositivos utilizados no processo de construção praxeológica, a qual constitui e repercute no processo de construção do meio e intervenções dos sujeitos do processo (topogênese) que, por sua vez, encarrega-se da posição dos alunos e do professor no tocante à Organização Matemática -OM construída ou em vias de construção, ou seja, a gênese de equipamentos praxeológicos.

Dessa forma, a argumentação desse trabalho se apoia em todos os elementos descritos até o momento e tacitamente em alguns dos seus desdobramentos, os quais foram nutridos por inquietações advindas de uma trajetória formativa e profissional imersa numa problemática didática. A partir desse contexto, caracterizado por faces antagônicas, que evidenciam divergências entre a relevância institucional dos vetores, em Cursos de Licenciatura em Matemática, especificamente CLM-UEFS, e os obstáculos de natureza epistemológica 9 e/ou didática 10 que advém da conceituação vetorial, a implementação desse encadeamento de ideias levou a pensar em uma análise que também contemplasse o cenário praxeológico de funcionamento dos Sistemas Didáticos -SD, já que, tanto os Sistemas Didáticos -SD como as praxeologias são tidos por Chevallard (2011;2018) como o coração da TAD.

Neste sentido, o interesse acerca das concepções vetoriais está pautado em como sua conceituação é construída ao longo do tempo por meio da mediação propostas aos estudantes.

Assim, retomamos a essência da indagação apresentada a priori, certamente exposta ainda de forma pouco lapidada, para caracterizar a questão que nos acompanhará e direcionará esta investigação: como mobilizar recombinações praxeológicas 11 , pautadas por condições e restrições, que promovam mediações entre as relações pessoais e institucionais no âmbito dos SD subjacentes ao saber vetorial no CLM-UEFS?

Agrega-se a esse questionamento outras inferências e indagações derivadas desta, em maior grau de especificidade, que também nortearão e comporão a melodia do percurso investigativo ao se integrarem aos arranjos que conduzirão o estudo. Dentre elas pode-se citar: 9 Consultar [START_REF] Bachelard | A formação do espírito científico: contribuição para uma psicanálise do conhecimento. Tradução Esteia dos Santos Abreu[END_REF]. 10 Ver [START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Willy Vanhamme et Jacqueline Vanhamme. La problématique et l'enseignement de la mathématique[END_REF]. 11 Em que modificaremos a prática Π e manteremos o logos Λ caracterizado por uma praxeologia transposta (Π * ) ⊕ Λ (Chevallard, 2018).

que tipo de tarefas T e técnicas τ integram as praxeologias institucionais onde se faz intervir o conceito de vetorial? Quais elementos tecnológicos θ e teóricos Θ descrevem e justificam essas práticas? Em outras palavras, quais são os ingredientes que compõem as técnicas τ quando os objetos de estudos são os vetores? Que praxeologias podem ser reformuladas, construídas, implementadas e mediadas por um Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA? Que Caminhos de Práticas Pessoais -CPP podem ser desenvolvidos pelos sujeitos do CLM-UEFS no trabalho com o AHA? Quais são os alcances das técnicas τ criadas por meio de amalgamações de uma estrutura didática existente e executada no AHA?

Atrelam-se aos questionamentos elencados anteriormente a hipótese de que as práxis dos sujeitos (docentes / discentes) serão modificadas a partir do Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA, configurado por nós, como um espaço constituído por uma variedade de recursos didáticos (mídias12 ) ao permitir um trânsito entre distintas mídias que se vinculam às modificações no millieu propiciando um encadeamento de alterações nas funções didáticas inerentes ao Sistema Didático -SD no âmbito vetorial do CLM-UEFS, pois concebe-se que ao disponibilizar distintas mídias aos estudantes (Goulart e Farias, 2018, p.308), diferentes das convencionais, é possível integrar uma abordagem flexível [START_REF] Dreyfus | Advanced mathematical thinking processes[END_REF] em detrimento à rigidez matemática [START_REF] Silva | O Currículo de Matemática e as Actividades de Investigação[END_REF]. Nesses termos, advém a intenção de identificar, implementar e formalizar uma espécie de complementação das ferramentas de ensino no contexto vetorial, amalgamando novas às já existentes.

Frente a essa perspectiva, tem-se por primeiro objetivo, de natureza ecológica, identificar em que pressupostos documentais e práticos se apoia o Modelo Praxeológico Dominante -MPD, ou seja, o que existe e o que deveria ou poderia existir no contexto do MPD? Para situar, segundo a concepção de Gascón (1994), o MPD destaca as existências de certas práticas e impede o aparecimento de outras. Em outras palavras, essa função foi assumida pelo AHA que se apresentou como um "sistema de referência para analisar e interpretar os modelos dominantes na instituição." (GASCÓN, 2018, p. 59), ou melhor, se revelou como uma ferramenta para questionar o MPD e mapear um campo de possibilidades no intuito de romper com as barreiras das escolhas dominantes amplamente cristalizadas. Assim, no nosso caso, a observação e análise do cenário de utilização de distintas mídias constituem as sessões de ensino, possibilitou configurar um desenho que poderia existir no âmbito dos SD do CLM-UEFS.

A partir dessas concepções, distintos "entretons" emergem e revelam traços da robustez do estudo. Nestes termos, fomos conduzidos a realizar análises que descortinaram as diferenças e os distanciamentos entre as relações pessoais e institucionais que se agregam às praxeologias dos discentes do CLM-UEFS em correlações com os vetores em sua nuance geométrica.

Em igual nível de relevância evidencia-se também na dinâmica dos Sistemas Didáticos -o que X (grupos de alunos) e Y (equipe de professores ou diretores de estudo) fazem para evoluir -as condições e as restrições que possibilitam e dificultam essa dinâmica, também são dimensões significativas que compõe o cerne do questionamento apresentado, correlacionandose à economia e à ecologia de Sistemas Didáticos -SD, o que estabelece conexões com a concepção de Chevallard (2010, p. 213) ao sinalizar que a atividade que deve ser realizada para responder às questões relativas à dimensão econômico-institucional de um problema didático está intimamente ligado à análise clínica da didática, e engloba o que se costuma chamar de Engenharia Didática.

A esse respeito idealiza-se propor situações alicerçadas no AHA por meio da amalgamação de diversos Dispositivos Didáticos que convergem para alterações nos polos de ações (professoraluno) ao investir nas movimentações das funções didáticas (mesogênese, topogênese e cronogênese) em que o professor "não é mais o profeta das verdades que devem ser transmitidas, mas um espírito livre que convoca outros espíritos livres a desenvolver e assumir suas responsabilidades" (REVUZ, 2000, p17, tradução nossa 13 ). Ao assumir a posição de coordenadora de estudos, o olhar se direciona para as resoluções de tarefas e problemas propostos à turma como o intuito de conduzir os discentes a trilharem percursos que possibilitem construções, individuais ou coletivas, que promovam alcançar certos conhecimentos vetoriais. Pois de acordo com Llano e Otero (2017), (...) a cronogênese, função que governa os tempos didáticos para os distintos componentes do Sistema Didático -SD. Enquanto que, a topogênese rege a ocupação de espaço de grupos de estudantes X e do professor Y. Sem esquecer que, modificações nas funções referenciadas anteriormente, repercute em mudanças na mesogênese, pois alterações no tempo e no papel dos autores do SD afetam o meio.

(LLANOS; OTERO, 2017, p. 221, grifos nossos) Frente ao que foi abordado, revela-se mais um dos objetivos desse trabalho, o qual consiste em propor condições ao meio (milieu) no intuito de promover articulações entre conceitos e propriedades vetoriais com técnicas de diferentes naturezas (manipulativas, informática e tradicionais) que desencadeiam modificações nas relações pessoais dos sujeitos em interação com os vetores. Outro propósito, caracteriza-se no afastamento do Sistema Didático Principal -SDP (professoralunossaber) e na aproximação dos Sistemas Didáticos Auxiliares -SDA e dos Sistemas Didáticos Induzidos -SDI de acordo com a concepção de Chevallard (2011 14 ). A partir deste viés, tornou-se possível direcionar atenção para noção de Praxeologia Pessoal (CROSET, CHAACHOUA, 2016) fundamentada pela noção do equipamento praxeológico [START_REF] Chevallard | Théorie Anthopologique du Didactique & Ingénierie Didactique du Développement[END_REF] na formalização de recombinações praxeológicas.

Em síntese, significa coordenar variados Dispositivos Didáticos em prol do processo de construção do conhecimento em salas de aula. Ou seja, o núcleo desse estudo se apoia na elaboração e coordenação de um AHA (sob uma perspectiva de desenvolvimento), intermediado pela identificação de condições e restrições (perspectiva de pesquisa) e metodologicamente organizado por fases da Engenharia Didática, que proporciona interligar ação e investigação [START_REF] Artigue | Didática das Matemáticas[END_REF] no intuito de contribuir no processo de ensino e aprendizagem dos vetores.

Neste sentido, a intenção é de abrir diálogos com esses distintos dispositivos postos em funcionamento no processo de ensino e aprendizagem vetorial, viabilizando não somente, um novo olhar sobre as práticas que sobrevivem nas aulas de Geometria Analítica, mas também a inserção, no seu "campo de jurisdição", de abordagens diferenciadas. Nestes termos, emergiu o propósito de identificar, implementar e formalizar uma espécie de complementação das ferramentas de ensino no contexto vetorial. Aspecto esse que dialoga com a recomendação de Bosch e [START_REF] Bosch | La praxéologie comme unité d'analyse des processus didactiques[END_REF] acerca do emprego de sistemas relativos que se adequem a cada problema ou situação.

Em sintonia à abordagem descrita, também foram eleitas as tarefas como elementos de observação e análise, visto que, Bessot e Chaachoua (2016, p. 3) defendem "que um dos objetos de observação do pesquisador são tarefas e que um tipo de tarefa é definido por um verbo de ação e um complemento fixo", sem contradizer a perspectiva antropológica que não há práxis sem logos. Pois na concepção de Chevallard (1998, p.91) "toda atividade humana pode ser modelada em termos de praxeologias." Guiadas por essas concepções emergiram os Geradores de Tipo de Tarefas -GT, determinados por um tipo de tarefa e por um sistema de variáveis.

Para os autores ora referidos, esse novo objeto permite estruturar um conjunto de tipo de tarefas para fins de pesquisa. Nessa perspectiva, um GT tem a seguinte configuração: GT = [Verbo de Ação; Complemento Fixo; Sistema de Variáveis] (CHAACHOUA; [START_REF] Chaachoua | Introduction de la notion de variable dans le modele praxéologique[END_REF].

Os Geradores de Tipo de Tarefas em conjunto com o Sistema de Variáveis será alimentado pelas distintas combinações dos Dispositivos Didáticos provenientes do AHA.

Assim, empreende-se a interpretação metafórica de que os geradores atuam como uma "máquina" que produz tarefas, no qual o Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA fornecerá "combustível" para o funcionamento operacional em interação com as mídias, nos moldes da Dialética Media Milieu (CHEVALLARD, 2007), regulados pelos valores das variáveis inerentes a natureza de cada Dispositivo Didático.

A partir do que foi descrito preliminarmente, apresenta-se a estrutura organizacional da tese. A introdução tem por objetivo situar o leitor acerca dos elementos que dão sustentação teórica e metodológica, pautados na emergência da problemática de pesquisa em conexão com alguns traços que dela advém, além da exposição dos aspectos motivacionais que acompanham o percurso investigativo.

O primeiro capítulo traz, em seu escopo, uma versão embrionária e sintética do Modelo Epistemológico que vai servir de referência para análise dos aspectos relacionados ao ensino e aprendizagem no âmbito vetorial, o que em termos de uma modelação epistemológica revela alguns observáveis empíricos necessários para descrever o MPD. E assim, por meio dessa trajetória investigativa, o MPR será enriquecido e assumirá sua verdadeira forma enquanto Modelo Praxeológico de Referência Alternativo -MPRA, advindo inicialmente dessa modelização epistemológica de referência presente no Capítulo I.

Recorremos também, ao viés transpositivo de um Saber Vetorial a Ensinar por meio de uma análise dos livros textos recomendados nas ementas das componentes curriculares EXA 180 e EXA374, os quais compõem o Capítulo II e os traços do Saber Vetorial Ensinado extraído dos diálogos protagonizados pelos sujeitos dos SD imersos num primeiro aporte do Modelo Praxeológico Dominante -MPD, extraído da instituição CLM-UEFS, presente no Capítulo III.

Aspectos estes ratificados por García et al (2019),

O ponto de partida é um conteúdo ou tópico específico a ser ensinado e, geralmente, um problema didático relacionado a ele. A primeira fase, análise preliminar, inclui a análise epistemológica do conteúdo matemático, da sua necessidade de inserção numa determinada instituição escolar e das condições e restrições que podem afetar o seu estudo nessa instituição. Esta fase é crucial, pois envolve a construção de um modelo epistemológico de referência (MER) do conhecimento em questão, bem como a identificação de hipotéticos fenômenos didáticos (GARCÍA et al, 2019, p.81).

Esses aspectos foram observados e analisados nos três primeiros capítulos os quais serviram de aporte para nutrir e complementar a emergência do MPRA, que surge no Capítulo IV, em meio ao desenho das análises prévias a partir de um minicurso ministrado em parceria com o docente responsável pela disciplina no semestre 2018.1, em que foram abordadas articulações entre o GeoGebra e a Álgebra Vetorial, o qual foi fortalecido no Capítulo V a partir das construções de estruturas didáticas e matemáticas direcionadas para o ensino e aprendizagem do vetores à luz do T4TEL. Momento este, em que a Engenharia Didática -ED aparece, por se tratar de uma metodologia de pesquisa caracterizada como um esquema experimental com base em realizações didáticas em classe, ou seja, promovendo o encadeamento entre concepção, realização, observação e análise das sequências de ensino.

A partir desta perspectiva o MPRA passa a fornecer novas lentes de observação e análises com as quais se torna possível questionar o MPD e mapear um campo de possibilidades no intuito de romper com as barreiras das escolhas dominantes amplamente cristalizadas, ou seja, retoma-se com MPR para promover uma reanálise e olhar com maior propriedade o MPD.

Em sentido complementar, na Teoria Antropológica do Didático (TAD), o desenho de tarefas integra-se dentro da sua metodologia experimental formulada em termos de Engenharia Didática. (GARCIA, BARQUERO, FLORENSA E BOSCH, 2019, p.75). No qual não se pode perder de vista a aproximação entre as concepções da Didática da Matemática com a Epistemologia Experimental (BROUSSEAU, 2002), ou seja, o objetivo constitui na exploração de outras formas de organizar a atividade matemática por meio de processos de estudo nas instituições escolares, de maneira que, potencialmente, possam ser modificados, os efeitos manifestados na forma de fenômenos didáticos identificados pelo pesquisador (GARCÍA et al, 2019, p.79).

A composição das análises, a priori, é o foco do Capítulo VI, alicerçadas nas hipóteses que serão testadas no desenvolvimento da ED como sublinhado por Artigue (2014),

No desenho e análise a priori, hipóteses de pesquisa são engajadas no processo. O design requer uma série de escolhas, do global ao local. Eles determinam variáveis didáticas, que condicionam as interações entre alunos e conhecimentos, entre alunos e entre alunos e professores, daí as oportunidades que os alunos têm de aprender. (ARTIGUE, 2014, p. 160) No Capítulo VII, intitulado "Um Estudo sobre os Vetores: uma análise experimental no contexto de CLM-UEFS" manifesta a terceira fase, de análise in vivo da experimentação em condições dos SD, inclui a implementação em sala de aula do processo de estudo desenhado, a

sua observação e a recolha de dados. Tendo em vista que, na fase experimental, as características tecidas acerca do AHA se tornaram mais latentes e adquiriram uma maior consistência ao integrar-se a Dialética Mídia Meio, descrita por Chevallard (2007) e aos Dispositivos Didáticos que delinearão às técnicas τ provenientes da resolução de certos tipo de tarefas T.

As experimentações foram apresentadas e analisadas a partir de três níveis: global, local e pontual. O primeiro nível apresentou uma configuração mais geral em termos das praxeologias dos grupos dos estudantes. No nível local ocorreu um afunilamento e a atenção se voltou para as praxeologias pessoais de alguns estudantes. E no nível pontual buscou -se um maior detalhamento na resolução de uma tarefa especifica, a saber a quarta tarefa, em que gerou oportunidades para teorizar acerca dos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP.

Em paralelo a esse aspecto, no quinto e sexto capítulos foram projetadas as produções de discentes do CLM-UEFS, participantes de dois minicursos ministrados pela autora. Nessa etapa foi possível a apropriação dos elementos do quadro teórico T4TEL 15 inscrito no domínio da TAD, por meio de uma nova formalização ao modelo praxeológico a partir de duas extensões:

as praxeologias pessoais (CROSET; CHAACHOUA, 2016) fundamentada pela noção do equipamento praxeológico (CHEVALLARD, 2009) e a noção de variável (CHAACHOUA;

BESSOT, 2016).

Desse modo, surgiram recombinações praxeológicas oriundas das resoluções dos tipo de tarefas vetoriais 𝑇 𝑣 ⃗ que demandaram diferenciadas técnicas τ integradas aos distintos Dispositivos Didáticos (Materiais Manipuláveis -MM, Papel Lápis -PL e o GeoGebra -GG) próprios do AHA. Nesta perspectiva, assumindo a posição de professora e pesquisadora, eclodiu a intenção em apontar caminhos que possibilitem aos estudantes uma construção de conhecimentos vetoriais, pois segundo Chevallard (1996, p. 141) "o funcionamento e as produções dos SD dependem do meio 16 , e em particular do sistema de ensino de que participa", etapa que serve de ponte ou elo de ligação entre a fase anterior e a próxima.

No Capítulo VIII dedica-se atenção para um recorte da quarta fase da ED ou análise a posteriori em associação a validação do AHA, com base nas evidências empíricas recolhidas na fase anterior, a qual visa contrastar, validar e desenvolver as hipóteses que integraram o desenho da tese e, em particular, as hipóteses formuladas sobre possíveis fenômenos didáticos.

Nessa etapa aponta-se caminhos que poderão ser trilhados em estudos futuros a partir da formulação de novos problemas e / ou novos fenômenos didáticos.

15 T4TEL: T4 refere-se ao quarteto praxeológico (Tipos de tarefas, Técnica, Tecnologia, Teoria) e TEL Technology Enhanced Learning. 16 Na TAD, as mídias correspondem a todo sistema que propõe certas condições ao meio, a propor certa realidade de mensagens.

E por fim e não menos importante são apresentadas as considerações finais, não como uma finalização em si, mas o início de uma nova etapa no âmbito da pesquisa, pois não se acredita que o encerramento dessa fase signifique apenas o fechamos de uma porta no processo investigativo, mas sim que se abre um leque de possibilidades para que futuros estudos se estabeleçam.

CAPÍTULO I

ASPECTOS DA GÊNESE ANTROPÓLOGICA DOS VETORES NA PERSPECTIVA DA TEORIA DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA-TTD Descrever as distintas conjunturas históricas de um objeto de estudo não se integra, em sua plenitude, às funções dos pesquisadores em didática. No entanto, sua relevância não é omitida em seus estudos, visto que as buscas por registros originais se instauram como premissas basilares provenientes de leituras e interpretações historiográficas. Assim, análises sob diferentes olhares permitem descrever traços da trajetória histórica, a qual não ocorre de forma isolada, pois leva-se em consideração as delimitações contextuais em conexão com o cenário político, econômico e social de uma determinada época.

Nesse sentido, emergem exigências que requerem dos pesquisadores perspicácia ao lidar com os perigos e armadilhas no que tange à busca por fundamentações que se entrelaçam aos caminhos percorridos pelos precursores e estudiosos de determinado saber. Como descrito por Lima (2012), significa construir novos olhares sobre velhos objetos, os quais são (re)colocados, como se fossem peças, numa espécie de mosaico que permite várias possibilidades de encaixes, inserindo outros até então ignorados pela historiografia vigente dos grandes paradigmas. (LIMA, 2012, p.11) A partir desse ponto de vista, é relevante destacar que este trabalho não tem a pretensão de seguir os passos dos estudiosos em história da matemática, visto que o didata tem um enfoque diferenciado do historiador. Contudo, suas análises sob fatos constituintes da história são elementos de suma importância e se revelam como pilares que fundamentam a trajetória institucional do ente matemático em estudo nessa tese. Assim, faz-se pertinente buscar fatos históricos e epistemológicos que contribuam para o delineamento do processo ecológico dos vetores no intuito de fazer emergir a razão de ser (BOSCH; GASCÓN, 2010) institucional imersa nos cenários de cursos de formação inicial de professores de matemática. Aditado a isso é relevante destacar que, O processo de transposição didática destaca a relatividade do conhecimento institucional e situa os problemas didáticos a nível institucional, além de características individuais dos sujeitos das instituições. Sua principal consequência é que a unidade mínima de análise de qualquer problema didático não pode ser limitada à consideração de como os alunos aprendem (e os professores ensinam matemática). Deve incluir todas as etapas do processo de transposição didática, incluindo dados provenientes de todas e de cada uma das instituições envolvidas como uma base empírica. Neste sentido, podemos dizer que os fenômenos de transposição didática estão no cerne de qualquer problema didático. (BOSCH, CHEVALLARD e GASCÓN, 2005, p.4, grifos dos autores, tradução nossa 17 )

Frente a essa perspectiva, não se almeja aqui traçar de forma absoluta, a história dos vetores, mas tecer algumas considerações em torno do assunto guiadas por nuances e particularidades desse elemento, a partir de uma análise ecológica transpositiva. Nesse sentido, do ponto de vista teórico da análise, situa-se a apreciação no âmbito da ecologia dos saberes [START_REF] Chevallard | Les processus de transposition didactique et leur théorisation[END_REF], o que significa encontrar os diferentes lugares ocupados por esse objeto de estudo e contrastar mudanças nos habitat e nicho, conforme definido por [START_REF] Chevallard | Les processus de transposition didactique et leur théorisation[END_REF]:

Os ecologistas distinguem, em termos de um organismo, seu habitat e seu nicho. Para colocá-lo em uma linguagem voluntariamente antropomórfica, o habitat é, em certo sentido, o endereço, o local de residência da organização. O nicho são as funções que a organização cumpre: é de alguma forma a profissão que exerce lá. (CHEVALLARD, 1994, p. 142, tradução nossa 18 )

O aspecto salientado direciona o olhar do pesquisador em didática numa escala díspare dos historiadores, pois a esta pesquisa busca sustentação em arcabouços teóricos como a Teoria Antropológica do Didático (TAD) (CHEVALLARD, 1999), estruturada a partir do delineamento das Organizações Matemáticas (OM) e Organizações Didáticas (OD) que se revelam no âmbito institucional de ensino. No entanto, como dito anteriormente, os estudiosos em didática valorizam e não negligenciam a força do caráter histórico-epistemológico, pautados na formação e estruturação do conhecimento científico, o que, sob o nosso ângulo de visão, embasa-se na fundamentação praxeológica do objeto de estudo.

De igual modo, essa investigação se apoia nas Organizações Matemáticas Vetoriais (OMV) em nível superior de ensino, como abordado neste capítulo, encarregando dos argumentos didático-matemáticos, com a finalidade de fazer emergir nuances do universo de constituição da geometria, em particular dos vetores. Por meio dessa concepção, emerge mais um eixo norteador que se configura em termos de fundamentações das possíveis recombinações praxeológicas (CHEVALLARD, 2018), as quais se atrelam a vertente histórica-epistemológica 17 The process of didactic transposition highlights the institutional relativity of knowledge and situates didactic problems at an institutional level, beyond individual characteristics of the institutions' subjects. Its main consequence is that the minimal unity of analysis of any didactic problem cannot be limited to the consideration of how students learn (and teachers teach) mathematics. It must include all the steps of the process of didactic transposition, including data coming from each and every one of the involved institutions as an empirical basis. In this sense we can say that phenomena of didactic transposition are at the very core of any didactic problem. (1975), em seu trabalho O tempo dos estudos,19 difundida e teorizada por [START_REF] Chevallard | La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]1992;1994) através da Teoria da Transposição Didática (TTD), conforme evidenciou, ao declarar que: "eu introduzi o tema da transposição didática na comunidade francesa da didática matemática no início dos anos 80." (CHEVALLARD, 1994, p. 1, tradução nossa). 20Assim, a estruturação de um percurso transformativo pelo qual transita o saber o que, para Conne (1996, p. 240), "(...) é acompanhada por uma alteração do significado dos saberes (...) é o princípio que liga os saberes e as suas significações para além desse relativismo". Assim, é possível sintetizar a partir das palavras de Bosch, Chevallard e Gascón (2005), Nós, portanto, precisamos ir ao lugar onde esses fenômenos iniciam, ou seja, as instituições de produção do conhecimento matemático. Esta é a primeira contribuição da teoria da transposição didática (CHEVALLARD,1985). Se quisermos entender (e, portanto, modelar de forma adequada) que tipo de atividade matemática é feita na escola, é preciso conhecer os outros tipos de atividades matemáticas que motivam e justificam o ensino e a aprendizagem da primeira. E também precisamos saber a forma como estas outras atividades são interpretadas em diferentes instituições. Dito isso, é possível perceber que o domínio da didática vai além das instituições de ensino e, a partir desse direcionamento, é viável notar que os pilares teóricos da transposição didática se assentam no estudo das transformações que um determinado saber sofre para que possa ser ensinado. Nestes termos, [START_REF] Chevallard | Les processus de transposition didactique et leur théorisation[END_REF] pontua a existência de lacunas entre a matemática ensinada e a matemática apreendida:

O conceito de transposição didática, somente por isso, refere-se à passagem do saber acadêmico para o saber ensinado, portanto, a eventual distância obrigatória que os separa, testemunha a necessidade de questionamento, enquanto que ao mesmo tempo é a primeira ferramenta. Para o didático, é uma ferramenta que lhe permite dar um passo atrás, questionar as evidências, erodir ideias simples, retirar-se da familiaridade enganosa de seu objeto de estudo, em suma, exercer sua vigilância epistemológica (CHEVALLARD, 1982, p. 3, grifos dos autores, tradução nossa. 22 )

Questionar o distanciamento entre o saber científico e o saber ensinado é o mesmo que questionar as deformações que este saber sofreu ao longo de um percurso transpositivo, o que evidencia a necessidade de acompanhamentos (vinculados ao âmbito histórico no qual reside a razão de ser dos objetos matemáticos) e de uma análise epistemológica das hipóteses de aprendizagem e do contexto social. [START_REF] Brousseau | Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática[END_REF] também revelou sua concepção acerca da transposição didática ao afirmar que:

Ela mascara o verdadeiro funcionamento da ciência, impossível de comunicar e de descrever fielmente a partir de fora, para colocar no seu lugar uma génese (sic) fictícia. Para tornar mais fácil o seu ensino, isola determinadas noções e propriedades do tecido de atividades em que elas tiveram a sua origem, o seu sentido, a sua motivação e a sua utilização transpondo-as para o contexto escolar (BROUSSEAU, 1996, p. 36).

A crítica empreendida por [START_REF] Brousseau | Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática[END_REF] nos leva a inquirir sobre a forma fragmentada com que o saber é difundido e decomposto sob o intento de torná-lo acessível aos membros do contexto escolar. Em sentido análogo, Lagrange (1795, p. 271) já afirmava que:

"enquanto a Álgebra e a Geometria estiveram separadas, o seu progresso foi lento e o seu uso 21 We thus need to go to the place where these phenomena start, that is, the institutions of production of mathematical knowledge. This is the first contribution of the theory of didactic transposition [START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF].

If we want to understand (and thus to model in an appropriate manner) what kind of mathematical activity is done at school, we need to know the other kinds of mathematical activities that motivate and justify the teaching and learning of the former. And we also need to know the way these other activities are interpreted in the different institutions. 22 Le concept de transposition didactique, par cela seulement qu'il renvoie au passage du savoir savant au savoir enseigné, donc à l'éventuelle, à l'obligatoire distance qui les sépare, témoigne de ce questionnement nécessaire, en même temps qu'il en est l'outil premier. Em síntese, a transposição didática, caracterizada como uma teoria que abarca os fenômenos que se vinculam ao trânsito do saber entre instituições 31 (GUERRA; ANDRADE,

28 Qu'est-ce qui existe, et pourquoi? Mais aussi, qu'est-ce qui n'existe pas, et pourquoi? Et qu'est-ce qui pourrait exister? Sous quelles conditions? Inversement, étant donné un ensemble de conditions, quels objets sont-ils poussés à vivre, ou au contraire sont-ils empêchés de vivre dans ces conditions? Telles sont les questions caractéristiques de la problématique écologique. 29 Teaching and learning mathematics is not considered as teaching and learning mathematical ideas, notions or concepts, but as teaching and learning a situated human activity performed in concrete institutions. Moreover, a situation includes the "raison d'être" or rationale that gives sense to the performed mathematical activity. And it also contains institutional restrictions that provide and limit the application of the corresponding mathematical knowledge. 30 (...) objets mathématiques et objets didactiques vivente em association, dès lors que les organisations mathématiques se mettent à vivre, pour despersonnes ou des institutions, par un processos d'étude. Mais ces organisations mathématiques acquièrent três vite une autonomie par rapport à leurs conditions de production, et c'est d'ailleurs cette autonomie qui les rend instrumentales dans l'accomplissement de tâches diferentes de celles qui out suscite leur naissance. 31 Segundo [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] "uma instituição pode ser quase o que quer que seja. [...] Uma escola é uma instituição, tal como o é uma sala de aula; mas existe igualmente a instituição 'trabalhos orientados', a instituição 'curso', a instituição 'família'" etc.

2013), pode ser entendida como a propagação do que foi produzido na esfera científica de um saber de referência no domínio do ensino e da aprendizagem deste saber. A título de ilustração, parafraseamos [START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF] quando este apresenta a similitude entre uma música executada por múltiplos instrumentos e a transposição, pois quando uma música é transformada do violão ao piano, por exemplo, é a mesma peça, a mesma música, mas a diferença é que ela está escrita de maneira distinta para ser interpretada com um instrumento diverso.

Anos mais tarde, como um alargamento da TTD, [START_REF] Chevallard | La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]1992) apresenta uma primeira introdução sobre a Teoria Antropológica do Didático (TAD), em estado embrionário, nas primeiras formulações relativas à TTD, "a qual deve ser encarada como um desenvolvimento e uma articulação das noções cuja elaboração visa permitir pensar de maneira unificada um grande número de fenômenos didáticos, que surgem ao final de múltiplas análises" (CHEVALLARD, 1996, p. 126). O alargamento do quadro teórico conduziu [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF],

Assim

A propor uma teorização em que qualquer objeto pudesse aparecer: a função logarítmica é, evidentemente, um objeto matemático, mas existe igualmente o objeto escola, o objeto professor, o objeto aprender, o objeto saber, [...] etc. Assim, se passa de uma máquina para pensar um universo didático restrito para uma maquinaria de

TTD TAD

Fundamentado pelo saber de referência, onde reside a razão de ser (BOSCH; GASCÓN, 2010) dos objetos matemáticos.

O saber dos especialistassaber de referênciaconstruído ao longo do desenvolvimento histórico-epistemológico. Antes de se discutir, de forma mais densa, as praxeologias, é relevante abordar alguns conceitos centrais, como os três temas primitivos (os objetos O, as pessoas X, as instituições I), que constituem a base da construção teórica e foram expostos por [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] de maneira quase que axiomática.

Os objetos ocupam, contudo, uma posição privilegiada: são o "material de base" da construção teórica considerada. Da mesma maneira que, no universo matemático contemporâneo, fundado na teoria dos conjuntos, tudo é um conjunto (os próprios números inteiros são conjuntos), assim também, no universo que estou a considerar, todas as coisas são objetos. As pessoas X e as instituições I, bem como as entidades restantes que serei levado a introduzir, são, pois, objetos de um tipo particular (CHEVALLARD, 1996, p. 127, grifos do autor).

A ênfase dada à noção genérica de objeto O compõe o pilar desta teorização, fato evidenciado ao se estabelecer um comparativo entre a teoria dos conjuntos pertencente ao universo matemático, em que tudo pode ser caracterizado como conjunto, e a TAD, em que Figura 3 -Esquema representativo das interligações entre a TTD e a TAD tudo é caracterizado como objeto O. [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] também descreveu as relações entre os elementos primitivos da teoria ao declarar que:

Um objeto existe a partir do momento em que uma pessoa X ou uma instituição I o reconhece como existente (para ela). Mais precisamente, podemos dizer que o objeto O existe para X (respectivamente, para I se existir um objeto, que denotarei por R (X, O) (resp. RI (O)), a que chamarei relação pessoal de X com O (resp. relação institucional de I com O). Por outras palavras, o objeto O existe se existir ao menos para uma pessoa X ou para uma instituição I, isto é, se pelo menos uma pessoa ou uma instituição tiver uma relação com esse objeto (CHEVALLARD, 1996, p. 127, grifos do autor).

Assim, o autor parte de uma teoria, cujo interesse de estudo limitava-se aos objetos matemáticos, para um prolongamento que abarca todos os tipos de objetos, sem distinção. A respeito do SD, [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] toma como ponto de partida que qualquer instituição é, em essência, didática, regulada por intenções didáticas que se manifestam como um Sistema Didático (SD), que integra sujeitos de I os quais ocupam as posições: professor P ou aluno a em prol de um ou vários "investimentos didáticos" (CHEVALLARD, 1996, p. 133).

O autor também ressalta que é necessário que seja satisfeita uma série de condições "ecológicas" para que um SD possa, não apenas existir, mas continuar a existir e funcionar.

Nestes termos, Chevallard (1996, p. 141) It then proposes specific epistemological models of mathematical knowledge -the situations-that are to be experimentally tested: a mathematical notion can only be analysed as far as it appears as the solution to a situation. This is the fundamental methodological principle of the TSD: a piece of mathematical knowledge is represented by a "situation" that involves problems that can be solved in an optimal manner using this knowledge.

do sistema de ensino de que ele participa". Fato este que revela dependências ecológicas de outros tipos de Sistemas Didáticos (SD) e do meio, que no cerne da TAD institui a condição sine qua non das aprendizagens:

o importante é perceber que a formação de um sistema didáticoseja ele qual forpressupõe um ambiente sistémico (sic), cujo papel é essencialmente criar todo conjunto de condições necessárias à existência do sistema didático (...). Tomemos então para I um sistema didático SD (x,y,O), em que x aluno, y professor e O o investimento didático. Como qualquer instituição, um sistema didático como este só pode existir em determinadas condições do meio (CHEVALLARD, 1996, p. 138).

A partir deste aporte teórico, foi desenhada uma análise ecológica na abordagem dos fenômenos antropológicos (e, em particular, didáticos) da Álgebra Vetorial. Os autores supracitados também assinalam que, se as práticas não vivem com normalidade, o que faz emergir a tendência de envelhecimento e desuso destas, assim, torna iminente a ausência de sentido para os sujeitos da instituição e tais práticas acabam por serem substituídas por outra(s). Em direção análoga, Chaachoua e Bittar (2016) apresentam as seguintes proposições:

(1) todo saber é saber de uma instituição, (2) um mesmo objeto do saber pode viver em diferentes instituições, (3) para que um saber possa viver em uma instituição, é necessário que ele se submeta a uma série de restrições, o que implica em modificações sobre o saber, caso contrário, ele não consegue se manter na instituição.

(CHAACHOUA E BITTAR, 2016, p. 2)

Essas premissas são eixos que ratificam as interligações entre a TTD à ecologia dos saberes, visto que a Teoria da Transposição Didática estuda o processo que possibilita que um 33 Segundo Bosch e Gascón (2010), as praxeologias apresentam uma estrutura composta por dois blocos inseparáveis: o bloco prático-técnico (a prática ou o saber-fazer didático) e o bloco tecnológico-teórico (o logo ou saber didático).

34 "Como sucede em todas las actividades humanas, la praxis didáctica, constituida por las tareas y las técnicas didácticas, sólo puede vivir con normalidad en una institución si em ésta hay disponible um discurso tecnológicoteórico didáctico capaz de describir, justificar, interpretar y desarrollar la praxis, aportando además criterios para diseñarla y gestionarla". Nesta prefação, podemos sobrelevar que as pesquisas desenvolvidas por Chevallard (1996) permitem a criação de cenários metafóricos e significativamente transpositivos, cujos princípios encontram-se nas condições de vida dos objetos matemáticos dominados por critérios institucionais. Com essa lente teórica, direciona-se a atenção ao foco deste estudo: os vetores, mais especificamente a Álgebra Vetorial que habita as salas de aula de alguns semestres do CLM-UEFS. Contudo, antes de habitar as classes, esse objeto do saber foi protagonista dos palcos da matemática e da física, cercado por distintas tramas em meio a diálogos controversos.

Através desse enfoque, foi descrita a visita teórica de alguns aspectos de cunho histórico e epistemológico, o que colaborará para compreender o que aparece refletido, contemporaneamente, nas salas de aula em questão. Ressalta-se que a teorização a seguir, apresentada sucintamente, possui uma gama de conexões e termos, os quais, por razões econômicas no tocante à extensão do texto, não serão descritos em sua totalidade e para tal transitaríamos para uma tese com enfoque histórico, o que não é nosso objetivo, visto que, o intento neste tópico é suscitar e situar a presente investigação na referida teorização.

Nuances históricas e epistemológicas dos vetores

Primeiramente, atenta-se para acepção da palavra vetor, disposta num formato multifacetado, de acordo com áreas do conhecimento a que pertence. De acordo com Táboas (2010, p.1), "a palavra "vetor" tem sido utilizada com um sentido algébrico mais moderno, ou seja, como diferença entre dois pontos no espaço, a partir do trabalho de Sir William R. , vehend, vection, vectum, revector, revectum, revehend, revection, revectum, provector, ... transvector, ... factor, ... profactor, ...versor, ...and quadrantal versor, which is of course a semi-inversor (...) 36 The early history of vectorial analysis is most appropriately viewed within the context of two broad traditions in the history of science. One of these traditions relates to mathematics, the other to physical science.The first tradition, that within the history of mathematics, extends from the time of the Egyptians and Babylonians to the present and consists in the progressive broadening of the concept of number. Throughout time the concept of number has been expanded so as to include not only positive integers, bus negative numbers, fractions, and algebraic and transcendental irrationals. Eventually complex and higher complex numbers (including vectors) were introduced. The activities of some of the figures in the history of vector analysis may be viewed as belonging to this tradition. Nestes termos, o limiar da história da análise vetorial pode ser concebida imersa em dois contextos tradicionais da História das Ciências: a Matemática e a Física. Nas primícias históricas da física, para [START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF], [START_REF] Eves | Introdução à História da Matemática[END_REF] e Boyer e Gomide (1998), a preocupação 37 Le vecteur se retrouve ainsi dans trois lieux différents de l'enseignement: la géométrie, l'algèbre linéaire et la physique.

38 L'approche synthétique par le calcul vectoriel du monde géométrique a montré ses avantages par rapport à la méthode analytique héritée de Descartes. L'introduction du langage géométrique en analyse fonctionnelle déplace ce débat en dimension infinie favorisant ainsi l'abandon de la représentation analytique pour une approche traitant la fonction comme un objet indépendant de ses représentations.

central consistia em modelar matematicamente a realidadeperíodo ainda em que os objetos físicos foram modificados em suas representações.

Essa transformação consistiu na mudança de ênfase de tais quantidades escalares como posição e peso para tais quantidades vetoriais como velocidade, força, impulso e aceleração. A transição não foi abrupta e nem confinada ao século XVII. Mais tarde o desenvolvimento na eletricidade, magnetismo e ótica atuaram facilitando a transformação do espaço da matemática física num espaço preenchido com vetores. (CROWE, 1994, p. 1, tradução nossa 39 )

A matemática e a física convergiram em vários períodos da história; um desses períodos foi no século XIX, marcado pela criação e pelo desenvolvimento de métodos vetoriais.

Entre a Geometria Posicional, Cálculo do Baricentro e Cálculo das Equipolências

A criação da noção de espaço vetorial resultou de um longo processo, o que nos faz rastrear os principais registros que se imbuíram na elaboração dessa estruturação. [START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF] aborda as principais contribuições acerca das ideias evolutivas que envolvem a história do sistema vetorial. Dentre as várias colaborações elencadas pelo autor, destaca-se as que, ao nosso ver, imprimirá maior significância ao repertório do método vetorial. Nesses termos, [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF] revela sua concepção acerca do fracasso do método de Leibniz,

Gottfried Wilhelm Leibniz criticou o método analítico e tentou -embora sem sucesso -criar uma análise geométrica intrínseca que ele chamou de "geometria da situação".

As razões de seu fracasso, tão óbvias para um leitor moderno, são menos interessantes do que o conteúdo de suas críticas, que deram uma análise precisa não apenas da fraqueza do método analítico, mas também da natureza do que deveria ser uma análise geométrica intrínseca. (DORIER, 1995, p. 234, tradução nossa 41 ) 39 This transformation consisted in the shift in emphasis fromsuch scalar quantities as position and weight to such vectorial quantities as velocity, force, momentum, and acceleration. The transition was neither abrupt nor was it confined to the sevevteenth century. Later developments in electricty, magnetism, and optics acted further to transform the space of mathematical physics into a space filled with vectors. 40 Leibniz discussed the possibility of creating a system which would serve as a direct method of space analysis.

Although the details of this idea were never fully worked out by Leibniz, he advanced far enough to be ranked as a conceptual forerrunner of the first vectorial analysts. Moreover his essay, which was first published in 1833, played a part in the later history of vectorial analysis. 41 Gottfried Wilhelm Leibniz criticized the analytical method and tried--although unsuccessfully-to create an intrinsic geometric analysis which he called the "geometry of situation". The reasons for his failure, so obvious to Dentre as principais ideias de Leibniz, algumas estavam contidas em uma carta, datada de 8 de setembro de 1679, escrita para Christian Huygens. Nesta carta, Leibniz (apud CROWE, 1994) registrou:

Ainda não estou satisfeito com a álgebra, porque não dá os métodos mais curtos nem as mais belas construções em geometria. É por isso que, no que diz respeito à geometria, precisamos ainda de outra análise que seja distintamente geométrica ou linear e que expresse diretamente a situação como álgebra expressa diretamente a magnitude. Sintetizamos seu posicionamento ao apontar para as dificuldades de análises das propriedades de uma figura por cálculo e, ainda mais complexo, encontrar demonstrações e construções geométricas muito convenientes, mesmo quando o cálculo algébrico fosse concluído. Mas essa nova característica, que segue as figuras visuais em termos da construção e a demonstração geométrica simultaneamente, de maneira natural e em uma análise, isto é, através de um procedimento determinado. Nesse sentido, o sistema de Leibniz, como esboçado por ele, mostra indícios de uma análise vetorial primitiva, o qual centrou-se na ideia da congruência de conjuntos de pontos. [START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF] destaca:

Ele usou A, B, . . . para representar pontos fixos e X, Y, . . . para representar pontos desconhecidos. O símbolo ᴕ foi usado para expressar a relação de congruência; assim ele escreveu ABC ᴕ DEF para expressar que um conjunto de três pontos A, B, C, cada um do qual estaria a uma distância fixa dos outros dois pontos, poderia ser feito para coincidir com outro conjunto de pontos fixos similarmente D, E, F. Ele então discutiu as relações de localidade geométrica e afirmou que o local de pontos congruentes a a modern reader, are less interesting than the content of his criticism, which gave an accurate analysis not only of the weakness of the analytical method but also of the nature of what an intrinsic geometric analysis should be. 42 I am still not satisfied with álgebra, because it does not give the shortest methods or the most beautiful constructions in geometry. This is why I believe that, so far as geometry is concerned, we need still another analysis which is distinctly geometrical or linear and which will express situation directly as algebra expresses magnitude directly. And I believe that I have found the way and that we can represent figures and even machines and movements by characters, as algebra representes numbers or magnitudes. I am sending you essay which seems to me to be importante. 43 I have discovered certain elements of a new characteristic which is entirely diferente from álgebra and which will have great advantages in representing to the mind, exactly and in a way faithful to its nature, even without figures, everything which depends on sense perception. Algebra is the characteristic for undetermined numbers or magnitudes only, but it does not express situation, angles, and motion directly. A representação de pontos, relações de congruências, equidistâncias e as interações algébricas e geométricas apontam para aproximações com a abordagem vetorial que se tem 44 He used A, B, . . . to represent fixed points and X, Y, . . . to represent unknown points. The symbol ᴕ was used to express the relation congruence; thus he wrote ABC ᴕ DEF to express that a set of there points A, B, C, each of which was a fixed distance from the other two points, could be made to coincide with another set of similarly fixed points D, E, F. He then discussed locus relations and stated that the locus of points congruent to a fixed point "will be a space infinite in all directions". If it is given that AB ᴕ AY, the point values of Y will be points on a sphere with center at A and radius of length AB. The relation AX ᴕ BX determines a plane whose points (X) are equidistant from A and B, and the relation ABC ᴕ ABY determines a circle. Leibniz then discussed the locus of points Y satisfying the relation AY ᴕ BY ᴕ CY and concluded that "the locus of all que y's will be a straight line". After showing that the relation AY ᴕ BY ᴕ CY ᴕ DY determines a point, Leibniz applied his analysis to four simple problems. One of these may be discussed as typical. The problem is to show that the intersection of two planes is a straight line. The relation AY ᴕ BY determines one plane, and the relation AY ᴕ CY determines a second plane.

By combining these we have AY ᴕ BY ᴕ CY, which, as it was shown before, determines a straight line. 45 The view of Leibniz system, taken by Couturat, though stated in relation to Grassmann's system, is also applicable in relation to modern vector analysis; Couturat wrote: "in summary, the calculus os Grassmann seems to bring fully into reality the geometrical characteristic conceived by Leibniz, and shows that Leibniz' idea was not simply a dream. But there is such a disproportion between Leibniz' conception of a system and the very defective essay which he actually produced that Grassmann felt a sharp distinction should be made between the ideal conceived and the sketch actually written. 46 Bellavitis herein described geometrical entities that are in all ways equivalent in bahavior to complex numbers as geometrically represented. Numerous mathematicians, including Bellavitis recognized this equivalence. It should however be stressed that Bellavitis did not view his system as based on the complex number system; indeed, throughout his entire life he was opposed to imaginary numbers as algebraic entities. Thus he viewed his lines as essentially geometrical entities, rather than as geometrical representations. 47 Though he neither construted an original vectorial system nor decisely influenced anyone who did, nevertheless August Ferdinand Möbius holds an important position in the history of vector analysis for number of reasons. The chief of these is that Möbius constructed a mathematical system (his barycentric calculus) which is in many ways similar to vectorial systems. In his system of space analysis, geometrical entities (Points rather than vectors) were dealt with directly and (as he hoped) Advantageously. Möbius positioned points, with which numerical magnitudes are usually associated, are added in such a way that both position and magnitude are included in the addition. Thus both in aim and in method his system has kinship with vectorial systems. In the case where the sum of the coefficients equals zero, M/~bius noted, without further comment, that the point is sent to infinity. 49 With his Calcolo delle Equipollenze, Giusto Bellavitis may be considered as the first mathematician to have defined, in 1833, the addition of vectors in space: (2 °) Two straight lines are called equipollent if they are equal, parallel and directed in the same sense. (3 °) If two or more straight lines are related in such a way that the second extremity of each line coincides with the first extremity of the following, then the line which together with these forms a polygon (regular or irregular), and which is drawn from the first extremity of the last line is called the equipollent-sum. He also defined the multiplication of coplanar directed line segments. In fact, the calculus of equipollences offered no more possibilities than complex numbers. Bellavitis himself admitted that his discovery was based on his reading of Bu6e's work, but throughout his life, he refused to accept complex numbers as part of mathematics. , 2002, p. 55).

Outro aspecto relevante foi sublinhado por [START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF], ao destacar que, 1844), which I did not meet with till after years had elapsed from the invention and communication of the quaternions. Not withstanding these, and perhaps some other coincidences of view, Prof. Grassmann's system and mine appear to be perfectly distinct and independent of each other, in their conceptions, methods, and results. At least, that the profound and philosophical author of the Ausdehnungslehre was not, at the time of its publication, in possession of the theory of the quaternions, which had in the preceding year (1843) been applied by me as a sort of organ or calculus for spherical trigonometry, seems clear from a passageof his Preface [...] 52 I have recently been reading (and it is curious that sometimes, when otherwise in mental activity, I seem to myself unable to read a page, or almost a sentence of German) more than a hundred pages of Grassmann's Ausdehnungslehre, with great admiration and interest. Previously I had only the most slight and general knowledge of the book, and thought that it would require me to learn to smoke in order to read it. If I could hope to be put in rivalship with Des Cartes on the one hand, and with Grassmann on the other, my scientific ambition would be Mais uma vez Hamilton (apud CROWE, 1994, p. 86) em outra carta de 2 de fevereiro de 1853 também direcionada a De Morgan, revela mais sobre suas impressões ao pontuar algumas similitudes entre a sua obra e a de Grassmann,

Li quase tudo o que pude obter de seus escritos, incluindo um comentário posterior (em alemão) de Möbius. Grassmann é um grande e genial alemão; sua visão do espaço é pelo menos tão nova e abrangente quanto a minha do tempo; mas ele não antecipou, nem alcançou a concepção dos quaternions, mesmo quase como eu imaginava que ele poderia ter feito, a partir de uma noção precipitadamente retomada do que poderia ter sido seu significado (e o que era, eu sei muito pouco mesmo agora), em sua doutrina de "multiplicação eingewandre". (...) seus produtos internos, na verdade, os "produtos internos" de Grassmann têm muita analogia com "partes escalares" de um quaternion, e seus "produtos externos" com as "partes vetoriais." (...). (HAMILTON apud CROWE, 1994, p. 87, tradução nossa 53 )

Acredita-se que nesse cenário histórico existam motivos que apontam para superação da obra de Grassmann em relação a Hamilton, como conclui [START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF],

de que a obra é um clássico, que é muito difícil de ler e que contém uma grande poção de análise vetorial moderna, que estava profundamente embutida dentro de um sistema muito mais amplo, e embutida de tal forma que só poderia ser extraída com dificuldade. (CROWE, 1994, p. 65, tradução nossa 54 )

Pode-se perceber traços dessa perspectiva que contempla a ideia de um sistema mais amplo a partir dos elementos destacados por Grassmann acerca da existência de elementos encobertos relacionados ao espaço tridimensional.

Somente desta forma as leis apareceram em toda sua extensão e generalidade, e suas relações essenciais também apareceram, e muitas conexões, que 3 dimensões ainda estão ocultas ou apenas parcialmente visíveis, foram aqui claramente reveladas em sua generalidade total. (GRASSMANN, 1947, p. 13, tradução nossa 55 )

Nesse direcionamento, [START_REF] Grassmann | Teoría de La Extensión: Nueva disciplina matemática expuesta y aclarada mediante aplicaciones[END_REF] institui a teoria da extensão vinculada à teoria do espaço que, para ele, podem ser caracterizadas como:

fulfilled! But it is curious to see how narrowly, yet how completely, Grassman failed to hit off the Quaternions. He published in 1844, a little later than myself but with the most obvious and perfect independence. 53 I am not quite so enthusiastic to-day about Grassmann as I was when I last wrote. But I have read through nearly all of what I could procure of his writings, including a subsequent commentary (in German) by Möbius. Grassmann is a great and most German genius; his view of space is at least as new and comprehensive as mine of time; but he has not anticipated, nor attained the conception of, the quaternions, even so nearly as I guessed he might have done, from a notion hastily taken up of what might have been his meaning (and what it was, I very dimly Know even now), in his doctrine of " eingewandre multiplikation." (...) And even his inner products, pubIn fact, the "inner products" of Grassmann have much analogy to my "scalar parts" of a quaternion, and his "outer produts" to my "vector parts."(...) 54 the work is a classic, that it is very difficult to read, and that it contains a large potion of modern vector analysis, which was hiwever deeply embedded within a far broader system, and embedded in such a way that it could be extracted only with difficulty. 55 Recién así aparecían las leyes en toda su extensión y generalidad, apareciendo tanbién sus relaciones esenciales, y muchas conexiones que 3 dimensiones todavía permanecen ocultas o visibles sólo parcialmente, resultaban aquí claramente en toda su generalidade. Nesse sentido, a partir desta caracterização de ciência, vista sob uma vertente de materialização em associação ao aspecto abstrato e formal, nos faz dá um passo a frente e pensar acerca do viés ostensivo e não ostensivo (BOSCH; CHEVALLARD, 1999) dos objetos matemáticos e, de igual modo, pontuar a relevância de uma materialização apregoada por meio do AHA, o qual será revelado posteriormente nesta investigação.

Ao dirigirmos atenção para os números complexos, é inevitável mencionar que a representação geométrica dos mesmos pode ser, legitimamente, considerada, em termos gerais, como um sistema vetorial. Boyer e Gomide (1998) expõem resumidamente as considerações de William R. Hamilton (1805-1865) ao perceber que pares ordenados complexos poderiam ser pensados como entidades orientadas no plano objetivando estender a ideia para três dimensões, 56 (...) En la teoria del espacio aparece como elemento el punto, como sua variación continua el desplazamiento o movimento, como sus diversos estados las diferentes posiciones del punto em el espaci (...). Como ejemplo tomemos outra vez la teoria del espacio. Em ésta se generan mediante dos direcciones distintas y a partir de un elemento, todos los elementos de un plano, desplazándose el elemento generador em ambas direcciones arbitrariamente y reuniéndose conceptualmente el conjunto de todos los puntos (elementos) así engendrados. El plano es pues el sistema de segundo grado; él contiene uma cantidad infinita de direcciones que dependen de las primitivas. Agregando una terceira dorección independiente, se genera con su ayuda todo el espacio infinito (como sistema de tercer grado); más allá de estas direcciones (leyes de variación) independientes, no se puede aqui llegar, mientras que em la teoria pura de la extensión, la cantidad de ellas se puede aumentar hasta el infinito. 57 The primary division in all the sciences is into the real and formal. The former represent in thought the existent as existing independently of thought, and their trth consist in their correspondence with the existent. The formal sciences on the other hand have as their object what has been produced by thought alone, and their truth consists in the correspondence between the thought processes themelves.

passando dos números complexos binários bi a  às triplas ordenadas

cj bi a  
. No entanto, a base estrutural dos complexos apresentou aspectos controversos, referentes à aceitação de números como √-1 na tentativa de estabelecer comparações de ordem ou equivalência com o zero, questionando-as como legítimas entidades matemáticas para determinar os quarternions:

"Um quaternion deve consistir assim de uma parte real e um vetor." (CROWE, 1994, p. 31, tradução nossa 58 ). Nesse pensamento, o vetor consistiria, na teoria dos quarternions, na parte imaginária dos números complexos, mas discorreremos, a seguir, outros aspectos que envolveram os estudos de Hamilton.

As adaptações feitas por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside em associação com o Cálculo Vetorial

O físico americano Josiah Willard Gibbs (1839Gibbs ( -1903)), um estudante de física elementar, foi quem utilizou o conceito gráfico de vetor como um segmento de reta orientado, obedecidas as definições de igualdade, adição e multiplicação. Dentre as obras de Gibbs, destaca-se a que abordou os princípios fundamentais da análise vetorial, datada de 1901, direcionada a alunos de matemática e física, em que foi apresentada a seguinte definição:

Se qualquer coisa tem magnitude e direção, sua magnitude e direção em conjunto, constituem o que é chamado de vetor. A descrição numérica de um vetor requer três números, mas nada impede de usar uma única letra para sua designação simbólica. Uma álgebra ou método de análise em que uma única letra ou uma expressão é usada para especificar um vetor pode ser denominado álgebra vetorial. (GIBBS, 1901, p. 2) Contudo, a efetiva sistematização da Álgebra Vetorial ocorreu no século XIX por meio dos trabalhos de Willian Hamilton com a álgebra dos quatérnions. A motivação dessa teoria partiu da estruturação e representação geométrica dos números complexos, como pontua A álgebra de quatérnions, formalmente construída por Hamilton com o desígnio de estabelecer um sistema fechado, reduz-se à álgebra de Gibbs-Heaviside, através de adaptações que, na prática correspondem a: -Separação das partes escalar e vetorial do produto de dois quatérnions puros em dois produtos independentes, hoje conhecidos como escalar e vetorial; -Eliminação do sinal negativo presente na parte escalar do produto de dois quatérnions puros; -Substituição das unidades imaginárias por versores da base retangular. (MENON, 2009, p.5) Nestes termos, esse autor também sinaliza que, constrói-se, nessa conjuntura, a álgebra de Gibbs-Heaviside, a qual possui amplas aplicações na Física Clássica (Mecânica Newtoniana e Eletromagnetismo)embora tudo isso caracterize, de fato, as origens dos produtos escalar e vetorial e da conhecida "Álgebra Vetorial". (...) De fato, as correlações e contrastes, entre quatérnions e vetores, envolvem várias sutilezas conceituais e foram motivo de intenso debate entre os eminentes criadores das duas abordagens. (op. cit., p.5) No âmbito dos cursos de álgebra linear o conceito vetorial ganha uma "roupagem" mais genérica defenindo-se um espaço vetorial por um conjunto V qualquer, sob um corpo de escalares K, no qual se definem duas operações (adição e multiplicação por escalar) com a exigência da validade de propriedades como: fechamento, comutatividade, associatividade, 59 These are hypercomplexnumbers of the form w+ix+jy+kz, where w,x, y, and z are real numbers, and i, j and k are unit vectors, directed along the x, y, and z axes respectively. The i, j, and k units obey the following laws: 𝑖𝑗 = 𝑘; 𝑗𝑘 = 𝑖; 𝑘𝑖 = 𝑗, 𝑗𝑖 = -𝑘; 𝑘𝑗 = -𝑖; 𝑖𝑘 = -𝑗, 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 = -1. It is to be noted that for two quaternions q and q', qq' does not in general equal q'q. The loss of commutayivity in quaternions, while it is very important historically, is also significant mathematically, because this complicates calculations in which quaternions are used. Thus it may be verified that quaternion multiplication is associative and quaternion division is unambiguous. The direct product of two vectors A and B is the scalar quantity obtained by multiplying the product of the magnitudes of the vectors by the cosine of the angle be tween them. The direct product is denoted by writing the two vectors with a dot between them as A.B. This is read A dot B and therefore may often be called the dot product instead of the direct product. It is also called the scalar product owing to the fact that its value is scalar. If A be the magnitude of A and B that of B, then by definition A.B = A B cos (A, B).

62 Definition: The skew product of the vector A into the vector B is the vector quantity C whose direction is the normal upon that side of the plane of A and B on whic rotation from A to B through an angle of less than one hundred and eighty degrees appears positive or counter clockwise ; and whose magnitude is obtained by multiplying the product of the magnitudes of A and B by the sine of the angle from A to B. The direction of A x B may also be defined as that in which an ordinary right-handed screw advances as it turns so as to carry A toward B The skew product is denoted by a cross as the direct product was by a dot. It is written C = A x B. (...) More frequently, however, it is called the vector product, owing to the fact that it is a vector quantity and in contrast with the direct or scalar product whose value is scalar.The vector product is by definition C = A x B = A B sin (A, B) c, when A and B are the magnitudes of A and B respectively and where c is a unit vector in the direction of C. Nessa linha de raciocínio é pertinente "retornar às raízes" e considerar que para tratarmos do contexto no domínio vetorial é crucial atentar-se para os caminhos de institucionalização da geometria e da álgebra linear no Brasil. Em outras palavras, faremos incidir uma luz acerca do Saber a Ensinar -SaE difundido no período em que são inaugurados os cursos de Licenciatura em Matemática no cenário brasileiro e para tanto os estudos de [START_REF] Ziccardi | O curso de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: uma história de sua construção[END_REF] Os estudos de [START_REF] Dias | matemáticos: interesses e disputas na profissionalização da matemática na Bahia, 1896-1968[END_REF] revelam também que os esforços de Martha Dantas, e Omar Catunda, contribuíram significativamente para o processo de institucionalização de novos padrões de exercícios de Matemática na UBa, a qual foi fortalecida com a implantação do Instituto de Matemática e Física idealizado pela professora Arlete Cerqueira Lima após confrontar a forma em que a matemática era difundida na Faculdade de Filosofia e na USP, pois ao equiparar e "comparar a matemática que estudara na Faculdade de Filosofia -FF com a 65 Atualmente Universidade Federal da Bahia -UFBA. 66 Foi professora de Didática da Matemática na Faculdade de Filosofia da Universidade da Bahia. 67 Foi professor catedrático da Faculdade de Filosofia da Universidade de São Paulo e, depois, diretor do Instituto de Matemática e Física da Universidade da Bahia. matemática moderna que conhecera em São Paulo, ela construiu seu próprio julgamento: a situação baiana era de atraso e anacronismo." (DIAS, 2002, p.149, grifos do autor).

Nesse ínterim, a união e os esforços desses professores recebem apoio do professor de física, Ramiro de Porto Alegre Muniz, do reitor Edgar Santos e do matemático Leopoldo Nachbin. A partir deste cenário, o que mais se aproxima do nosso foco de interesse refere-se ao movimento de algebrização da geometria que, segundo [START_REF] Camargo | Ensino da Geometria nas Coleções Didáticas em Tempos do Movimento da Matemática Moderna na Capital da Bahia[END_REF], Ao que tudo indica o ensino da geometria durante o MMM assumiu uma dinâmica particular em relação aos outros conteúdos da matemática, pelo fato do ideário do MMM ter a intenção de trazer para o ensino secundário a algebrização da geometria. Segundo documentos da época, a algebrização poderia ser realizada por três linhas: via modificações dos axiomas de Euclides, por meio dos grupos das transformações geométricas ou via espaços vetoriais. (CAMARGO, 2009, p.25, grifos nossos) Nesses termos, é possível perceber que a introdução da abordagem vetorial era apresentada aos alunos desde o final do ginasial (contemporaneamente Ensino Fundamental II série finais), tornando-se gradualmente mais rebuscada no secundário e no nível universitário.

Aspecto este evidenciado no trecho do prefácio do livro 3 de Catunda e colaboradores, No terceiro ano ginasial, estudam-se, primeiramente, as transformações geométricas na reta. Em seguida, partindo da observação e tomando por base propriedades bastante intuitivas, introduz-se a estrutura de espaço vetorial do conjunto das translações no plano. O conjunto dos pontos do plano é, então, o espaço afim bi-dimensional associado ao espaço vetorial assim definido. Desta maneira se apresentam, naturalmente, as coordenadas cartesianas ligadas a um sistema de referência constituído por um ponto O e dois vetores não paralelos u e v (sistema Ouv). [START_REF] Catunda | Matemática 1: segundo ciclo ensino atualizado[END_REF], p. VII, apud CAMARGO, 2009, p. 84, grifos nossos).

Sob a orientação de Catunda, foi elaborado um projeto direcionado ao ensino atualizado de matemática, em parceria com professoras da Faculdade de Educação da Universidade Federal da Bahia, as quais tinham formação e experiência no âmbito metodológico do ensino de matemática, tendo como objetivo principal preencher algumas lacunas do conhecimento e subsidiar a orientação no estudo da matemática superior. Nestes termos, dedica-se o terceiro capítulo à introdução da geometria afim no espaço, de modo análogo ao que foi desenvolvido para o plano, no curso ginasial. Assim, as translações figuram o limiar do capítulo, A introdução dos vetores como representando translações no plano se aplica, sem alterações, ao caso do espaço ordinário (chama-se, assim, o meio onde estão imersos todos os corpos da natureza). As translações se compõem no espaço da mesma maneira no plano, e essa composição satisfaz às mesmas propriedades já vistas. Também se estende ao caso do espaço ordinário a operação chamada multiplicação por um escalar. Em conclusão, o conjunto das translações no espaço ordinário tem a estrutura de espaço vetorial, razão pela qual cada translação é representada por um vetor. O conjunto desses vetores será indicado por V. (CATUNDA et al, 1971, p. 77, grifos nossos) Em outra obra, Catunda e colaboradoras (1988), destacam aspectos que demonstram preocupações com o ensino de geometria, atribuindo ausência de renovação, formalismo excessivo e vínculos exclusivos de medida como causas primeiras para a perda de vigor no ensino geométrico. Os autores conduzem o texto evidenciando que o ensino de geometria deve se basear na ideia de vetor, refletido no conceito intuitivo de translação, acompanhada das noções de simetria axial e de multiplicação por escalar, exploradas até a introdução das figuras planas elementares: triângulo, paralelogramo e trapézio. Desse modo, estabelecem um comparativo entre a Geometria Euclidiana e a Geometria das Transformações.

A Geometria de Euclides foi desenvolvida por ele e por seus continuadores de uma maneira estática. Isto quer dizer que as figuras são apresentadas e descritas como resultados de observação. Só depois é que se consideram as transformações dessas figuras. Se o ensino da Geometria começa a partir das transformações (o que já poderá ser feito na escola primária, através de jogos) a Geometria adquirirá um aspecto dinâmico porque as figuras passarão a ser construídas por meio do uso dessas transformações. (CATUNDA et al., 1988, p.11) A partir de perspectiva semelhante, [START_REF] Gascón | Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato ¿Dos mundos completamente separados?[END_REF] também retoma e relembra, em um dos seus artigos, aspectos constituintes de um palco de controvérsias e discussões, ocorrido na década de sessenta, cuja pauta principal fazia referência a que tipo de geometria que deveria estar presente na formação matemática básica de todo cidadão. Simplificando abusivamente a questão, pode-se dizer que a discussão polarizada entre adeptos de uma geometria sintética, típico do modelo "euclidiano" que basea-se em uma axiomática mais ou menos explícita, e os apoiantes de uma geometria analítica, específica do modelo "cartesiano", em que suas práticas se fundamentam em técnicas de álgebra linear por meio de uma axiomática implícita. Este autor ressaltou que se trata de uma controvérsia "curricular" que raramente envolve argumentos didático-matemáticos, pois Embora no momento tenha alcançado certo consenso -pelo menos aparentementeconfirmando geometria sintética no ensino obrigatório e geometria analítica no pósobrigatório, é previsível que a controvérsia mencionada reapareça, já que não foi encerrada com argumentos sólidos e, o que é mais óbvio, nenhuma resposta foi dada à descontinuidade flagrante entre a geometria sintética do ensino secundário e a geometria analítica do bacharelado. (GASCÓN, 2002, p.13, tradução nossa 68 ) Aspecto este também pontuado pelo próprio [START_REF] Dieudonné | Algèbre Linéaire et Géométrie Élémentaire[END_REF] ao destacar que: Ensinamos nos últimos anos do ensino médio e até recentemente nas aulas preparatórias para grandes escolas (assim como em muitas universidades estrangeiras), uma lista impressionante de "ciências": geometria pura, geometria analítica, trigonometria, geometria projetiva, geometria conforme, geometria não euclidiana e teoria dos números complexos. Não só todas essas disciplinas as quais, são geralmente apresentadas isoladamente, mas também é comum ver cada uma delas tentando ignorar completamente as outras e vangloriando-se de sua independência: as grotescas discussões dos geômetras sintéticos e analíticos também. incompreensível para nós como discussões bizantinas sobre o modo desde o programa de Ganho de Felix Klein que desobstruiu outra era e ainda esconde uma única disciplina, a álgebra linear dos matemáticos modernos, que também inclui, é claro, a teoria clássica dos sistemas de equações lineares, mas tornou-se, com suas ramificações atuais (que vão muito além até mesmo do ensino do universitário), uma das teorias mais centrais e eficazes da matemática contemporânea, rica nas mais variadas aplicações, da Teoria dos Números à Física Teórica, por meio de Análise, Geometria e Topologia. (DIEUDONNÉ, 1964, p. 11-12, grifos nossos, tradução nossa69 )

As ramificações da geometria são denominadas por Dieudonné como "pseudociências" e seu anseio é que fossem esquecidas o quanto antes, até mesmo seu nome. A exemplo da Geometria Analítica, É urgente, entre outras coisas, libertar o nome de Geometria Analítica, que é certamente a melhor para designar uma das teorias mais vivas e profundas da matemática moderna, as das "variedades analíticas", que se assemelham à "Geometria Algébrica", estudo de variedades algébricas. (DIEUDONNÉ, 1964, p. 12, tradução nossa 70 ) No entanto, Dieudonné em seus discursos transitou por argumentações contraditórias, que nos direcionou a pensar se ele realmente tentava se desvencilhar das "amarras" do campo geométrico, contudo nem sempre isso ocorria. Neste sentido, Hans Freudenthal (1967( , apud GASCÓN, 2002) ) descreve esse aspecto um tanto contraditório, pois em sua crítica a Dieudonné enfatiza que ele usa o modelo epistemológico "euclidiano" no desenvolvimento do texto Álgebra Linear e Geometria Elementar, especialmente paradoxal, quando o autor (Dieudonné) é o mesmo que lançou o famoso "Abaixo Euclides!". Embora Freudenthal não tenha expressado com muita clareza esse aspecto, parece que o que ele critica do ponto de vista de Dieudonné é o fato de que este esconda os problemas por trás de suposições, razões para escolher alguns axiomas em detrimento de outros e, em última instância, a ocultação dos problemas que dão origem à geometria como organização matemática. (FREUDENTHAL, 1967, apud GASCÓN, 2002, p.15, tradução nossa 71 ) Nesse sentido, essa concepção, torna-se mais evidente ao observar a declaração de [START_REF] Dieudonné | Algèbre Linéaire et Géométrie Élémentaire[END_REF], O que me oponho totalmente, por outro lado, é o que se poderia chamar de "método de andaime preliminar". Sob o pretexto de que o sistema de axiomas da Álgebra Linear é 'muito abstrato', gostaríamos, antes de introduzí-lo, a partir de outro sistema de axiomas, considerado mais acessível, e daí deduzir os axiomas da Álgebra Linear. Em suma, o que Hilbert fez em seus famosos trabalhos sobre os fundamentos da geometria, tomando como ponto de partida os axiomas euclidianos devidamente preenchidos. Todos sabem que esse feito ultrapassa, em muito, o nível do ensino médio, mas desde então foram feitas tentativas de se chegar a um acordo entre o andaime de Euclid-Hilbert e a simples axiomática da álgebra linear; o mais conhecido é, sem dúvida, o sistema de axiomas recentemente proposto por Choquet, de notável engenhosidade que atesta o grande talento do seu autor, mas que considero perfeitamente inútil e até prejudicial. Só se justificaria se os conceitos que estão na base dos axiomas do plano euclidiano, adição de vetores, multiplicação por um escalar e produto escalar de dois vetores, eram extremamente abstratos e difíceis de representar graficamente; todo mundo sabe que não é assim e alguns meses de experimentos em papel quadrado deveriam bastar para acostumar o aluno ao manuseio e prepará-lo para admitir sem hesitação que o edifício algébricogeométrico se baseia em propriedades das quais é fácil verificar a precisão experimental. Então, de que adianta sobrecarregar sua memória com os chamados axiomas que ele terá que se apressar em esquecer? Na verdade, estamos simplesmente testemunhando aqui um sistema tradicional de axiomas, mais frequente do que se pensa entre os matemáticos profissionais, mesmo muito além do nível da geometria elementar, e que não me comprometerei a explicar. (DIEUDONNÉ, 1964, p.17, grifos nossos, tradução nossa 72 ) Figura 4 -Triângulo de opiniões Ao mesmo tempo em que tece elogios para o trabalho de Choquet, ressalta que suas construções teóricas são desnecessárias e prejudiciais. Parece-nos que ele também considera relevante o caráter experimental ao recomendar o uso do papel quadriculado como uma ferramenta que auxiliaria a compreensão dos estudantes no que tange ao edifício algébricogeométrico. Enfim, em termos transpositivos [START_REF] Gascón | Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato ¿Dos mundos completamente separados?[END_REF] apoia interpretações primeiras, no âmbito da noosfera [START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF] e completa seus preceitos citando Artin (1963( , apud GASCÓN, 2002, p.14) , p.14) que caracterizou a "controvérsia inicial como um "conjunto convexo" de opiniões delimitado por três opiniões extremas." Fonte: (Artin, 1963, apud Gascón 2002, p.15) Nuances dessas concepções já eram propagadas e estavam pautadas no advento da curricularização difundida no século XIX, a demanda de uma integralização entre cálculo, geometria e álgebra interligava-se aos discursos dos autores interessados na temática retratando traços controvertidos acerca das modificações propostas para geometria, visto que, (...) parece muito difícil obter um acordo geral sobre as mudanças na geometria. (...), mas não é o desenvolvimento de um vínculo mais estreito entre álgebra e geometria, pelo qual um indivíduo não as considera mais como duas disciplinas independentes, de importância ainda maior? A geometria vetorial oferece uma excelente oportunidade para tal desenvolvimento. (...). Em primeiro lugar, os dados para o estudo da geometria são: a) A aquisição de informações sobre figuras geométricas no plano e no espaço; b) O desenvolvimento de uma compreensão do método dedutivo como forma de pensar, e uma habilidade razoável em aplicar este método a situações matemáticas; c) A oferta de oportunidades para o pensamento original e criativo dos alunos. (TROYER, 1963 p.290, tradução nossa 73 ) Nos moldes da TTD guiados pela argumentação de [START_REF] Gascón | Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato ¿Dos mundos completamente separados?[END_REF] fitamos a atenção no problema didático-matemático subjacente a essa problemática. Este autor também aponta em sua investigação, alguns elementos que consideramos pertinentes destacar. O primeiro enfoque refere-se às concepções de renomados matemáticos, a exemplo Choquet (1964) que considerou que as axiomáticas de Euclides-Hilbert ocultam a estrutura vetorial do espaço porque são baseados nas noções de comprimento, ângulo e triângulo. Nestas axiomáticas é possível ver o triângulo, mas estava cego ao paralelogramo que levaria à noção de vetor. (CHOQUET, 1964, apud GASCÓN, 2002, p.15) Neste sentido, ele expõe seu posicionamento favorável ao ensino de geometria elementar a partir de álgebra linear. Dieudonné (1964, apud GASCÓN, 2002, p15, tradução nossa 74 ) "concorda com Choquet em relação ao avanço e simplificação que a álgebra linear representa quando comparado com os axiomas de Euclides-Hilbert." No entanto, [START_REF] Gascón | Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato ¿Dos mundos completamente separados?[END_REF] também aborda o posicionamento de Dieudonné ao revelar uma força em favor do ensino da álgebra linear, suprimindo e rejeitando as figuras e questionando a utilização dos instrumentos de desenho como régua e compasso, mesmo ao trabalhar com espaços de dimensões 2 e 3 e ao corpo ℝ dos escalares, expondo que: a continuidade do ensino, ou seja, a vantagem de ensinar um tipo de geometria que não exigirá que ocorra mais tarde para matemática superior; aprendizagem precoce de métodos "modernos", que por si só não são mais difíceis que os tradicionais; e a unificação das disciplinas ensinadas (trigonometria, geometria projetiva, geometria não-euclidiana, números complexos, geometria pura ...), em vez de tratá-las independentemente, como se fossem universos não relacionados. [START_REF] Dieudonné | Algèbre Linéaire et Géométrie Élémentaire[END_REF], apud GASCÓN, 2002, p.15, tradução nossa 75 ) [START_REF] Gascón | Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato ¿Dos mundos completamente separados?[END_REF] também inclui em suas infrerências as concepções de Santaló (1980), um matemático espanhol que criticou o ponto de vista de Dieudonné (dominante durante a development. (...)First, the objectives given for the study of geometry are: a) The acquisition of information about geometric figures in the plane and in space; b) The development of an understanding of the deductive method as a way of thinking, and a reasonable skill in appying this method to mathematical situations; c) The provision of opportunities for original and creative thinking by students. 74 [START_REF] Dieudonné | Algèbre Linéaire et Géométrie Élémentaire[END_REF] también coincide con Choquet en lo que respecta al avance y simplificación que representa el álgebra lineal si se compara con los axiomas de Euclides-Hilbert. 75 la continuidad de la enseñanza,esto es, la ventaja de enseñar un tipo degeometría que no precisará de ningún rompimiento para pasar posteriormente a la matemática superior;5el aprendizaje precoz de losmétodos «modernos»que, de por sí, no son más difícilesque los tradicionales; y la unificación de las disciplinasenseñadas (trigonometría, geometría proyectiva, geometríano euclídea, números complejos, geometría pura...), enlugar de tratarlas independientemente, como si se tratasede universos no relacionados entre sí. revolução da chamada "matemática moderna"), dando voz à problemática que acompanhou o ensino da geometria, pautados no MMM ao destacar que, (...) Mas na geometria o fenômeno tradicional ocorreu novamente. Procurou-se inviabilizar uma construção rigorosa e impecável da Geometria sem sair do nível elementar ou da capacidade de aprendizagem dos alunos e, como isso é impossível, decidiu-se, drasticamente, suprimir a Geometria ou transferí-la para a Álgebra Linear, com perda total de suas próprias características de beleza e harmonia que a adornavam desde os tempos antigos. (SANTALÓ, 1980, p. 24, tradução nossa 76 ) O ponto de vista de [START_REF] Santaló | Situación de la enseñanza de la Geometría frente a las nuevas tendencias de la educación matemática[END_REF] dialoga e coaduna diretamente, além de apresentar similitudes, com o posicionamento de Catunda e equipe, ao demonstrar em poucas palavras um comparativo entre geometria afim e geometria métrica, Não há dúvida de que pensar a matemática como uma construção intelectual, construída sob uma ordem estrita de complexidade crescente (a geometria afim aparece antes da métrica), suas regras são mais simples e são mais facilmente preservadas em deduções e, além disso, a passagem posterior ou simultânea para espaços vetoriais é mais fácil (a geometria afim algebriza linearmente). (SANTALÓ, 1980, p.26, tradução nossa 77 ) Soma-se a esses aspectos o cenário descrito por Dorier (2002) acerca do currículo de matemática no domínio geométrico, na França, o qual nos fornece pistas e características inerentes ao período em que MMM protagonizou e guiou alterações no ensino.

Muitos departamentos de matemática decidiram criar um curso de segundo ano sobre geometria cartesiana e vetorial como pré-requisito para o curso mais formal de teoria do espaço vetorial. No entanto, essa atitude mostra que a geometria é vista pela maioria dos matemáticos como um contexto natural para a introdução dos principais conceitos de linearidade. Essa idéia foi explícita no famoso livro de Dieudonné, Algebra Linear e Geométria Elementar [START_REF] Dieudonné | Algèbre Linéaire et Géométrie Élémentaire[END_REF] (...) o papel crucial que desempenhou na reforma da Matemática Moderna no ensino secundário na França. Portanto, há uma forte ênfase cultural (pelo menos na França) que sugere uma relação natural entre geometria e álgebra linear. No entanto, do ponto de vista histórico, a questão está longe de ser tão simples. (DORIER, 2002, p.12, tradução nossa 78 ) 76 Pero en la geometria volvió a ocurrir el fenómeno tradicional. Se intentó hacer el imposible de una construcción rigurosa e impecacable de la Geometria sin salirse del nivel elemental ni de la capacidad de aprendizaje de los alumnos y, como esto resulta imposible, se optó, drásticamente, para suprimir la Geometria o trasladaria al álgebra lineal, con pérdida total de sus características de belleza y armonia propias que la habian ido adornando desde la antiguedad. 77 Geometria afin y geometria métrica. No hay duda de que pensando en la matemática como una contrucción intelectual, edificada baio un estricto orden de compleiidad creciente (la geometria afin aparece antes que la métrica) sus reglas son más simples y se conservan más fácilmente en las deduciones y, además, el posterior o simultáneo paso a los espacios vectoriales es más fácil (La geometria afin se algebriza linealmente). 78 Many mathematics departments decided to create a sophomore course on Cartesian and vector geometry as a prerequisite for the more formal course on vector space theory. Nevertheless, this attitude shows that geometry is seen by most mathematicians as a natural context for introducing the main concepts of linearity. This idea was explicit in Dieudonné's famous book Algèbre linéaire et géométrie élémentaire [START_REF] Dieudonné | Algèbre Linéaire et Géométrie Élémentaire[END_REF]) and we will show, at the end of this paper, the crucial role it played in the reform of Modern Mathematics in secondary teaching in France. Therefore, there is a strong cultural emphasis (at least in France) that suggests a natural relationship between geometry and linear algebra. Nevertheless, from a historical viewpoint, the question is far from being so simple.

Retornando ao contexto baiano, contagiado pelas premissas do MMM difundido no ensino europeu, nota-se que [START_REF] Catunda | As transformações Geometricas e o Ensino da Geometria[END_REF] embasam e fundamentam suas escolhas pelas transformações geométricas baseadas em recomendações, a exemplo de Félix Klein que afirmou: "o conceito de transformação desempenha um vasto papel coordenador e simplificador no estudo da Geometria" (KLEIN, 1872, apud CATUNDA et al., 1988, p.13). Enfoque este, evidenciado em um dos escritos de Felix Klein (1939, p. 47 Atrelada às quatros interpretações apresentou, respectivamente, as figuras, segundo a seguinte ordem:

81 is not customary to give primary importance, as we do here, to an investigation of the behavior of certain analytic expressions under transformation of the coordinates, i.e., to a rational and simple theory of invariants.

82 Interpretation of 1. The interpretation of the so-called sum of the two vectors, defined here, is well known. If the two vectors are drawn from the same point, then the diagonal, drawn from that point, of parallelogram formed from them represents this sum. Interpretation of 2. If the vectors have the lengths 𝑟 1 and 𝑟 2 , and if the angle 𝜙 between their directions is, then the bilinear combination is 𝑟 1 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜙. Interpretation of 3. We consider, again, a parallelogrm, whose sides are parallel to the vectors 1 and 2, and we think of it as traversed in the sense given by the succession of the directions of 1 and 2; then we have a completely determined free plane-magnitude, precisely the one defined above by its three coordinates. Moreover, the absolute value of its area is given by 𝑟 1 𝑟 2 |𝑠𝑖𝑛𝜙|.Interpretation of 4. If the three vectors all start from one point, they form the three edges of a parallelopiped whose volume, with properly determined sign, will be equal to the scalar of the second kind defined by the determinant.

(1)

(3) (4) Fonte: Klein (1939, p. 49-50) A respeito dessas interpretações pode-se fazer as seguintes leituras: a primeira trata da definição de soma vetorial; a segunda refere-se ao cálculo do produto escalar entre dois vetores, Em [START_REF] Dantas | Ensino da Matemática: um processo entre a exposição e a descoberta / Martha Maria de Souza Dantas[END_REF] não é abordada a homotetia. Contudo em [START_REF] Catunda | As transformações Geometricas e o Ensino da Geometria[END_REF], existe um aprofundamento nas abordagens próprias das transformações geométricas e a homotetia é definida: "Seja C um ponto fixo do plano e K um número real diferente de 0.

Chama-se homotetia de centro C e razão K a correspondência que leva um ponto P qualquer do plano num ponto P', tal que 𝐶𝑃 ′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐾𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ . O ponto P' é chamado homotético de P." (CATUNDA et al., 1988, p. 85).

Se atentarmos de forma análoga para os vetores, pode-se referenciar os vetores homotéticos, pois de acordo com Bruter (1998): 83 Ver [START_REF] Chevallard | Les processus de transposition didactique et leur théorisation[END_REF]. 84 Therefore, since the counter-reform, the syllabus concerning geometry has been profoundly modified. Although the fundamentals of Cartesian and vectorial geometry are still taught, the teaching of geometry is now essentially centered on a synthetic approach. For instance, transformations are more often introduced through the study of their action on figures than through their properties as transformations on a set of points with structural features.

In the late eighties, this change started to affect the teaching of linear algebra at university. O que foi apresentado até o momento, em termos do estudo das transformações adaptativas imprimidas a um saber, conforme a instituição em que vivem, se apresentam como resultado de um processo descrito por [START_REF] Chevallard | La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]1994) como transposição didática.

Este se revela por meio de quatro níveis interligados entre si e também pode ser melhor especificado ao estabelecer ligações com as escolhas metodológicas e ampliar o esquema para a seguinte estruturação em termos dos processos didáticos (Figura 10).

Fonte : Bosch, M., & Gascón, J. (2004) Na interpretação de Tang (2014), é possível tecer esclarecimentos acerca do que foi esquematizado na Figura 10. O autor argumenta que, A OM2 a ser ensinada constitui um modelo praxeológico do currículo de matemática. A base empírica para o desenvolvimento desse modelo pode ser encontrada em documentos curriculares (programas oficiais) e livros didáticos. Sua influência sobre δ (OM) é central, embora nem o professor nem a instituição educacional tenham esse modelo explicitamente, mas apenas materiais praxeológicos mais ou menos bem articulados entre eles. Mas essa influência não pode ser interpretada adequadamente se não tivermos um ponto de vista epistemológico. Esse ponto de vista é fornecido por uma OM de referência, cuja descrição geralmente é feita a partir das OMs aprendidas que legitimam o processo de ensino. A OM de referência é aquela considerada pelo pesquisador para sua análise. Não coincide necessariamente com as OMs aprendidas das quais se origina (porque os inclui na análise), mas é expresso em termos muito semelhantes. A OM de referência é aquela que o pesquisador põe à O fluxograma revela de forma mais detalhada a interdependência entre as componentes curriculares. 

Um olhar para o recorte ecológico e praxeológico da obra de Camargo e Boulos

A partir do panorama estrutural desta obra, direciona-se a atenção para um escopo ecológico em termos de nicho e habitat [START_REF] Chevallard | Les processus de transposition didactique et leur théorisation[END_REF][START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] e das praxeologias que O prefácio desta obra é bastante sucinto, dividido em duas partes: a primeira destaca que a primeira publicação ocorreu em 1971 e que, até 1985, teve a configuração de um livro de

Álgebra Linear e Geometria Analítica, sendo posteriormente transformado em dois livrosum de Geometria Analítica e outro de Álgebra Linearno intuito de tornar os conteúdos mais acessíveis. Essa vertente, aponta para aspectos síncronos com as modificações ocorridas nas reformulações curriculares no que tange a junção ou a dissociação entre Geometria Analítica e Álgebra Linear.

A segunda parte destaca que, no processo de revisão, conceitos foram reformulados e a obra foi enriquecida com exercícios que o livro de Álgebra Linear e Geometria Analítica não continha, ou seja, segundo os autores o texto se tornou mais prático e mais simples para atender ao objetivo maior, que é o de ser útil no processo de ensino-aprendizagem.

Em termos de representatividade, se comparado com a obra abordada anteriormente, observa-se que o número de exemplares presentes no acervo da BCJC -UEFS é aproximadamente um terço do número de exemplares de Carmago e [START_REF] Boulos | à quantidade de exemplares disponibilizados na Biblioteca Central Julieta Carteado -BCJC, da referida instituição, o que comunga com a representatividade da obra como já relatado anteriormente. Nestes termos, foram identificados[END_REF].

Na estrutura do texto foi identificada a seguinte organização: apresentação do conteúdo a partir de definições, observações, propriedades, problemas resolvidos e problemas propostos. Nestes termos, o discurso tecnológico-teórico que legitima cada nível de "sub-tarefas" (técnica) permanece oculto. Contudo, sob outro ângulo de visão, pode-se supor que os autores delegaram aos sujeitos mais uma forma de interação com a obra, por meio das descobertas das interligações que respaldam cada etapa imersa no bojo do caminho resolutivo.

Já no parágrafo introdutório do Capítulo 2 é destacado que:

No capítulo 1, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. No presente capítulo, vamos mostrar uma outra forma de representa-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço.

(STEINBRUCH e WINTERLE, 1987, p.15)

A partir desta perspectiva, introduz-se a decomposição de vetores no plano e no espaço, O projeto do livro é exposto no prefácio, denotado como um "primeiro curso de Geometria Analítica plana e espacial" e apresenta os pré-requisitos necessários ao estudante para compreensão dos tópicos abordados nesta obra. Adota-se como introdução o método analítico e a vinculação de ideias familiares que se apresentam como suporte para inserção de novos conceitos da Geometria Analítica, por meio dos artigos introdutórios que abrem cada 95 Sistematizado na obra Géométrie Descriptive de 1799.

capítulo, com o objetivo de suprimir as dificuldades advindas de fases posteriores. Assim, como forma de contemplar esse aspecto, um dos apêndices traz uma lista de referências de fórmulas, definições e teoremas que abordam esses temas.

Em atenção aos leitores, a forma de exposição de Lehmann (1998) segue uma ordem de apresentação em termos de orientação, motivação, discussão e exemplos em conformidade com a exposição de uma aula, com ênfase para o processo de raciocínio em detrimento da simples memorização dos conceitos. Além disso, o autor destaca que os resultados da discussão de um tópico particular remetem para construção de um teorema. Procedimento este que, além de resumir o conteúdo estudado, servirá de referências para tópicos futuros. Contudo, agrega-se a esse aspecto a concepção de um material suplementar, apontando para a necessidade de acesso e de consulta a outras fontes. Outra vertente identificada é que o autor segue sua construção sem mencionar o termo vetor e segue introduzindo os conceitos de orientação e sinal para os segmentos retilíneos em conjunto com a ideia de comprimento formalizada por meio do Teorema 1. Num sistema linear de coordenadas o comprimento do segmento retilíneo orientado determinado por dois pontos dados é obtido, tanto em grandeza como em sinal, subtraindo-se a coordenada do ponto inicial da coordenada da extremidade. (LEHMANN, 1991, p.4).

O que significa dizer que existe uma correspondência biunívoca entre pontos de uma reta e o conjunto dos números reais, o que, segundo este autor, possibilita "aplicar os métodos da Análise à Geometria, donde a designação Geometria Analítica" (LEHMANN, 1991, p. 9).

Este direcionamento é seguido de igual modo para o plano e para o espaço.

Em outro momento do texto, o autor recomenda o uso de papel de coordenadas retangulares, conhecido atualmente como papel milimetrado ou quadriculado, que se apresenta dividido em quadrados iguais, formados por retas paralelas aos eixos coordenados, sugerindo que o estudante empregue o papel milimetrado sempre que seja requerido um gráfico detalhado, como apresentado na figura 16.

Figura 16 -Recomendação do papel de coordenadas retangulares Fonte: Lehmann (1991, p.6) Assim, foi possível perceber indícios que apontam para a recorrência e a necessidade do uso de um dispositivo didático que não é utilizado com frequência, como destacado em nossa investigação. Lehmann (1991) também pontua acerca da natureza da Geometria Analítica, ratificando a relevância de uma abordagem histórica epistemológica, denominada como a natureza da Geometria Analítica, pois segundo ele, A Geometria Elementar anteriormente estudada pelo aluno é denominada Geometria pura a fim de distingui-la de nosso presente assunto. Vimos há pouco que por meio de um sistema de coordenadas é possível obter uma correspondência biunívoca entre pontos e números reais; isto nos possibilita aplicar os métodos da Análise à Geometria, donde a designação Geometria Analítica. À medida que progredimos em nosso trabalho veremos, por exemplo, como equações e processos algébricos podem ser vantajosamente empregados na solução de problemas geométricos. Inversamente, os métodos da Geometria Analítica podem ser usados para obter uma representação de equações e relações funcionais. (LEHMANN, 1991, p.9, grifos do autor)

O discurso prossegue revelando concepções que apontam vantagens que advém da Geometria Analítica com o uso de sistema de coordenadas na resolução de um grande número de problemas. Nesse sentido, o autor ressalta que "o estudante deve ter em mente que agora ele está seguindo um curso de Geometria Analítica e que a solução de um problema geométrico não terá sido efetuada por métodos analíticos a menos que tenha sido empregado um sistema de coordenadas." (LEHMANN, 1991, p.9, grifos do autor).

Em seu texto, Lehmann (1991) dá sinais da relevância da representação gráfica, seja por solicitar no primeiro grupo de exercícios o desenho relativo a cada questão de uma série de 20 ou ao recomendar que o estudante inicie a sua resolução pela construção de um sistema de coordenadas cartesianas. Destaca, também, que esse aspecto é particularmente importante nas etapas iniciais do estudo de Geometria Analítica, evitando um retorno aos métodos da Geometria Pura.

A abordagem segue situada no âmbito da reta e do plano em conexão com o tratamento de todos os objetos unidimensionais ou bidimensionais, respectivamente. Somente no capítulo XIII inicia-se a perspectiva do ponto no espaço tridimensional, permitindo que este assuma qualquer posição no espaço. Dito de outra forma, muda-se o referencial que agora passa a ser assumido por um sistema coordenado no espaço, ou seja, "um sistema tridimensional obtido como uma extensão do sistema bidimensional," (LEHMANN, 1991, p.281), solicitando dos estudantes um olhar mais atento para a dimensionalidade e para o tratamento analítico do espaço. Assim, Lehmann (1991) sublinha que, o estudante deverá sentir que a terceira dimensão da Geometria Analítica do espaço exigirá maiores esforços de seu poder de visualização de figuras no espaço do que era necessário para figuras no plano. (...) O estudante pode visualizar facilmente o primeiro octante considerando um canto de um quarto retangular onde duas paredes adjacentes e o piso representam os planos coordenados. (LEHMANN, 1991, p.281-282) Essa concepção torna-se evidente e é reforçada a partir de um paralelepípedo retângulo como exposto na figura 17, No conjunto V está definida uma adição (de vetores), conforme figura 18, adição essa dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência de elemento neutro (vetor nulo) e do oposto para cada vetor de V. não é possível interpretar adequadamente a matemática escolar sem levar em conta os 97 "[...] it is not possible to interpret school mathematics properly without taking into account the phenomena related to the school reconstruction of mathematics, whose origin has to be found in the institutions that produce mathematical knowledge".

fenômenos relacionados à reconstrução escolar da matemática, cuja origem deve ser encontrada nas instituições que produzem conhecimento matemático". Em direcionamento semelhante, Chacón (2008, p. 51, tradução nossa)98 ressalta que "o processo de transposição didática sublinha, portanto, a relatividade institucional do conhecimento", originando as submissões ou os assujeitamentos institucionais, a exemplo do uso regular de um livro didático para o ensino de uma Organização Matemática (OM).

Ao concentrar a atenção na esfera institucional das salas de aula, verifica-se as inferências e as interpretações do professor perante o saber que está institucionalmente posto sob a vigilância da noosfera,99 conforme ressaltou [START_REF] Almouloud | As transformações do saber científico ao saber ensinado: o caso do logaritmo[END_REF]:

O professor não transforma por iniciativa própria o saber sábio em objeto de ensino.

A escolha dos objetos a ensinar é definida institucionalmente por meio de propostas curriculares, e é controlada de alguma forma pela sociedade (autoridades locais, pais de alunos, autoridades administrativas da educação). (ALMOULOUD, 2011, p.196) Nesse aspecto, Chevallard (1982, p. 3, Denominamos "problemas de ensino" aos quais o professor se considera como tal professor quando ele tem que ensinar um tema matemático a seus alunos. Os problemas de ensino são formulados usando as noções disponíveis na cultura escolar geralmente importadas de documentos curriculares (como, por exemplo, as noções de motivação, aprendizagem significativa, individualização do ensino, aquisição de um conceito, abstração, competência, etc.). Os problemas de ensino são formulados, normalmente, assumindo e sem questionar não apenas as noções, mas também as ideias dominantes na cultura escolar citada. Em particular, na formulação de um problema de ensino, geralmente, assumido de maneira acrítica a forma como se interpreta a cultura escolar da matemática envolvida no problema em questão (FARRAS; BOSCH; GASCÓN, 2013, p. 3, grifos do autor, tradução nossa). 101

A partir desse entendimento, emerge a pertinência da vigilância epistemológica no processo transpositivo, pois, de acordo com Chevallard e Joshua (1991, p. 43), "existe uma distância, muitas vezes imensa, entre o conhecimento científico, o conhecimento a ensinar e, consequentemente, o conhecimento ensinado".

Torna-se pertinente ressaltar também o motivo pelo qual foram reconstruídas impressões acerca dos fenômenos didáticos detectados nos discursos e ações dos atores de duas aulas em que o tema de estudo foi vetores. Essas sessões de estudo foram observadas, gravadas em áudio e transcritas (com o consentimento dos docentes e discentes envolvidos). É relevante destacar que a observação diz respeito à Álgebra Vetorial e ao que efetivamente foi implementado na sala de aula. Trata-se de levantar as limitações da instituição através da análise 101 "Denominamos 'problemas docentes' a los que se plantea el profesor como tal profesor cuando tiene que enseñar un tema matemático a sus alumnos. Los problemas docentes se formulan utilizando las nociones disponibles en la cultura escolar importadas habitualmente de los documentos curriculares (como, por ejemplo, las nociones de motivación, aprendizaje significativo, individualización de la enseñanza, adquisición de un concepto, abstracción, competencia, etc.). Los problemas docentes se formulan, normalmente, asumiendo y sin cuestionar no sólo las nociones sino también las ideas dominantes en la citada cultura escolar. En particular, en la formulación de un problema docente se suele asumir de manera acrítica la forma como se interpreta en la cultura escolar la matemática involucrada en el problema en cuestión". Parafraseando os autores supracitados, no caso da observação de classes, a dinamicidade do processo vivenciado pelos atores dos SD no contexto da Álgebra Vetorial não é descrito em lugar algum. Portanto, é necessário "reconstruí-la" por meio da crônica da classe. A interpretação dos discursos e diálogos dos protagonistas em cada cena observada permitiu explanar um retrato do contexto da pesquisa, além de ser defendido aqui o postulado proposto por Chevallard (1997, p. 14) "de que toda ação humana procede de uma praxeologia". Assim, evocaremos as praxeologias que vivem neste ambiente, pois, segundo o referido autor, [...] defendemos aqui um postulado de que toda ação humana procede de uma praxeologia, admitindo, é claro, que esta praxeologia pode estar em processo de elaboração ou, ainda, que sua construção tenha paradotalvez permanentemente, na escala de uma vida humana ou institucional -bloqueando-a em um estado de incompletude ou subdesenvolvimento, um tipo de tarefas que não são bem identificadas, uma técnica mal esboçada, uma tecnologia incerta, uma teoria inexistente (CHEVALLARD, 1997, p. 14, tradução nossa 103 )

Nesse sentido, ratifica-se a problemática ecológica que se apresenta como um dos fios condutores do estudo, evidenciada desde o início e retomada reiteradas vezes, como forma de questionar a realidade.

O que há e por quê? Mas também, o que não existe, e por quê? E o que poderia existir? Sob quais condições? Por outro lado, dado um conjunto de condições, quais objetos são forçados a viver ou, pelo contrário, são impedidos de viver nessas condições? (ARTAUD, 1998, p.101, tradução nossa 104 ).

102 Nous appelons chronique de la classe le document écrit résultant de l'observation: sa constitution intègre certaines notes recueillies par l'observateur sur ce qu'il a jugé important de relever. Le travail de sa recomposition est, lui aussi, sous-tendu par des choix méthodologiques et par la problématique de la recherche. La chronique obtenue est ensuite découpée en épisodes dont le chercheur fait l'hypothèse qu'ils sont significatifs. 103 Ainsi qu'on l'a suggéré, on tient ici pour un postulat que toute action humaine procède d'une praxéologie, en admettant bien sûr que cette praxéologie puisse être en cours d'élaboration, ou, aussi bien, que sa construction se soit arrêtéepeut-être définitivement, à l'échelle d'une vie humaine ou institutionnelle -, en la figeant dans un état d'incomplétude ou de sous-développement, avec, par exemple, un type de tâches mal identifié, une technique à peine ébauchée, une technologie incertaine, une théorie inexistante. 104 La problématique écologique se présente, d'emblée, comme um moyen de questionner le réel. Qu'est-ce qui existe, et pourquoi? Mais aussi, qu'est-ce qui n'existe pas, et pourquoi? Et qu'est-ce qui pourrait exister? Sous quelles conditions? Inversement, étant donné un ensemble de conditions, quels objets sont-ils poussés à vivre, ou au contraire sont-ils empêchés de vivre dans ces conditions?

Pautado nesta concepção pode-se questionar: O que existe nas salas de aula quando o tema abordado são os vetores? E o que deveria existir? A declaração de [START_REF] Matheron | Analyser les praxéologies quelques exemples d'organisations mathématiques[END_REF] amplia estes questionamentos e traz à tona a abordagem de OMs de naturezas diferentes.

Essa organização permite estudar uma mesma noção matemática designada por um mesmo nome, mas com organizações matemáticas de naturezas diferentes se desenvolvidas no seio de instituições diferentes. Esse ponto de vista ressalta o aspecto ecológico relativo a um objeto O, quer dizer, o aspecto do questionamento da existência real ou da inexistência desse objeto na instituição onde vive uma dada organização matemática. Essa dimensão ecológica nos permite questionar como é ensinado um objeto identificado num livro didático, que tipo de técnica será utilizada na resolução de determinado exercício e qual é a organização matemática, e por consequência, que tipo de programa considerar (MATHERON, 2000, p. 52).

Em síntese, a noção de OM se configura enquanto uma estruturação praxeológica de natureza matemática, o que representa, para Chevallard (1997),

[...] um ou mais tipos de tarefas matemáticas, mais ou menos bem identificados, chamando a criação de técnicas matemáticas mais ou menos adaptadas, e mais ou menos bem justificadas por tecnologias matemáticas mais ou menos sólidas, elas próprias desenvolvidas no quadro de uma teoria matemática mais ou menos explícita. (CHEVALLARD, 1997, p.18, tradução nossa105 )

Perspectiva esta, que nos conduz a agregar mais elementos à questão que guiará a construção deste capítulo, a qual ganha a seguinte configuração: "como vive e se estrutura praxeologicamente o objeto matemático, Álgebra Vetorial, no CLM-UEFS?" Como respaldo a este questionamento, encontram-se os direcionamentos de Bosch e Gascón (2010, p. 60, tradução nossa),106 que expõem a hipótese de que "toda organização ou praxeologia didática (a seguir OD) que vive em uma instituição particular, está sustentada e fortemente condicionada pelo modelo epistemológico dominante da matemática naquela instituição." De acordo com os autores aludidos, esta hipótese toma como base a afirmação de Brousseau (1998) de que os modelos docentes espontâneos são simplistas.

Na concepção de [START_REF] Gascón | Os Modelos Epistemológicos de Referencia como Instrumentos de Emancipação da Didática e da História da Matemática[END_REF], os modelos são instrumentos de emancipação que devem interagir (isto é, devem poder ser avaliados, corrigidos e contrastados) não apenas como os dados históricos, mas também com os fatos didáticos (uma vez interpretados como fenômenos), ou seja, permitem construir ("tornar visíveis") fenômenos que tinham permanecido invisíveis. (GASCÓN, 2018, p.60) Este autor também pontua que, para estudar e revelar os fenômenos que vivem ocultamente nos sistemas de ensino, deve-se estudar e produzir artificialmente engenharias didáticas que ataquem essa problemática. Além disso, O modelo epistemológico dominante de certo domínio do saber matemático ensinado (numa determinada instituição) condiciona fortemente não apenas o tipo de atividades matemáticas que são possíveis de realizar nessa instituição em torno do campo matemático em questão, mas também as atividades didáticas correspondentes que são materializadas em um modelo docente (Ibid, 2018, p.60) Pautados nessa perspectiva, torna-se evidente a incidência do Modelo Epistemológico Dominante -MED, atualmente formulado por meio da emancipação das condições e restrições inerentes aos níveis da escala de codeterminação didática (Chevallard, 2002), que abarcam a estrutura e a dinâmica das praxeologias matemáticas (Chevallard, 1999(Chevallard, , 2000)), sendo denotado como Modelo Praxeológico Dominante -MPD.

Neste segmento, mesmo tendo ciência de que o Modelo Dominante é, em essência, descrito pelos pesquisadores em didática, a descrição deste estudo extrapola uma narração neutra, não deixando, contudo, de revelar traços do MPD107 . O intuito é entender e questionar o que está posto e que não funciona, a fim de propor mudanças, sob determinadas condições e restrições institucionais, confrontando com a realidade das ações produzidas pelos protagonistas dos SDs (CHEVALLARD, 2011) que desenham os cenários nas salas de aula.

Destarte, admite-se como fundamentação e direcionamento deste modelo praxeológico no qual as ideias dominantes vivem, a descrição do saber matemático em termos de organizações ou praxeologias matemáticas institucionais, como propõe a TAD (CHEVALLARD, 1999). Essa teoria tem como base a premissa de que "toda praxeologia é um sistema de tarefas em torno do qual técnicas, tecnologias e teorias são desenvolvidas e organizadas" (CHEVALLARD, 1997, p. 17, tradução nossa). 108 No intuito de fazer emergir os fenômenos que ocorrem no seio do ensino e aprendizagem vetorial no âmbito do CLM-UEFS, focaremos nos elementos identificados nas aulas e transcritos na sequência.

TRANSCRIÇÕES E ANÁLISE DAS AULAS OBSERVADAS

Inicialmente, será transcrita uma das aulas cuja duração foi de aproximadamente 2 horas, de um professor encarregado, no semestre 2016.2, por uma das turmas da componente curricular Geometria Analítica e Álgebra Linear I EXA -180, contexto desta pesquisa. A título de compor o cenário matemático e didático, será preservada a identidade dos sujeitos envolvidos no processo, caracterizando-os, respectiva e adequadamente, como Professor 1 -P1 e Professor 2 -P2. De igual modo, os estudantes serão identificados como Estudantes e representados pela letra E acrescida de um número quando houver necessidade de menção a um discente em especial.

É relevante salientar, que sempre que os diálogos transcritos revelarem elementos de cunho didático ou matemático, considerados significativos e pertinentes, para estruturar o delineamento deste modelo, serão projetados intercâmbios com a abordagem teórica pertencente ao âmbito da didática da matemática. Segundo Bittar (2017):

A atividade do professor também pode ser modelada por meio do quarteto praxeológico: sua tarefa é "Ensinar o teorema de Pitágoras". Para resolver essa tarefa didática é preciso fazer escolhas didáticas [...]. Tem-se, assim, a praxeologia didática ou organização didática (OD). [...], haja vista que uma organização didática está diretamente relacionada aos paradigmas de aprendizagem do "sujeito autor" da praxeologia. (Bittar, 2017, p. 368) Soma-se a essa concepção o que assevera [START_REF] Conne | Saber e Conhecimento na Perspectiva da Transposição Didática[END_REF], ao pressupor que o docente tenha refletido sobre o saber que o aluno deverá aprender. Regulada pelas escolhas e decisões do professor, enquanto um dos atores que movimenta parte do processo de uma Transposição Interna (ARSAC; DEVELAY; TIBERGHIEN, 1989), a transcrição aqui empreendida terá como norte este e outros elementos que serão revelados no percurso reproduzido.

Transcrição da aula 1

O professor adentra a sala de aula e cumprimenta os estudantes:

P1: -Bom dia! Estudantes: -Bom dia! (Em forma de coro).

E prossegue:

P1: -Bom, no semestre passado eu comecei uma prática e aí o pessoal gostou e desde então, estou seguindo-a direto. Eu tenho uma coleção de textos de Júlio Machado, que em 2012 ministrou uma palestra no município de Araci em uma semana pedagógica. Ele escreve sobre os mais variados temas, os quais comecei a ler. Percebi que são textos que nos induz a refletir e pensar sobre a vida. O de hoje é de um "cara" do século XVIII que fala sobre a questão da iniciativa, de tomar decisões, de assumir compromisso. Então diz assim.

Após esta fala introdutória, começa a leitura:

P1: -Deixo como reflexão para hoje as sábias palavras do escritor e filósofo alemão Goethe . "Antes do compromisso há a hesitação, a oportunidade de recuar, uma ineficácia permanente. Em todo ato de iniciativa (e de criação), há uma verdade elementar cujo desconhecimento destrói muitas ideias e planos esplêndidos. No momento em que nos comprometemos, de fato, a providência também age. Ocorre toda espécie de coisas para nos ajudar, coisas que de outro modo nunca ocorreriam. Toda uma cadeia de eventos emana da decisão, fazendo vir em nosso favor todo tipo de encontros, de incidentes e de apoio material imprevistos, que ninguém poderia sonhar que surgiriam em seu caminho.

Começa tudo o que possas fazer ou que sonhas poder fazer. A ousadia traz em si o gênio, o poder e a magia".

Devemos confessar que o fato foi um tanto inusitado. Nunca tínhamos presenciado uma aula de matemática iniciada com tal abordagem, o que despertou em nós um misto de surpresa e estranheza. Possivelmente, esta sensação esteja diretamente ligada ao caráter formal e aos procedimentos padronizados produzidos pela visão de uma matemática rígida, como abordado nos estudos de Lucas et al (2014) acerca dos reflexos do fenômeno didático da rigidez das OMs.

Contudo, devemos inferir que este feitio estabelece uma zona fronteiriça entre elementos de cunho psicogenético, e a nossa investigação não projeta como desígnio atribuir juízo de valor, e sim registrar o desenvolvimento da aula, identificando as intenções e fenômenos didáticos.

P1: -Ok? O texto fala justamente da iniciativa, de ação. Se eu quero alguma coisa, não adianta ficar parado. Comece! E aí trazendo um pouco para nossa situação, quando tem uma questão, o pessoal fica olhando para a questão e a questão olhando para ele..., não vai sair nada daí, tem que tomar a iniciativa, fazer alguma coisa, movimenta-se. É o mesmo quando estamos paquerando uma menina, se ficarmos parado não sairá nada. O que você tem que fazer? Dizer oi, tudo bem? Aí a coisa acontece... em matemática é a mesma coisa, teste uma ideia, rabisque alguma coisa, vai fazendo algo para sair da inércia.

Ao finalizar a leitura do texto, o professor demonstra uma intenção didática de caráter motivacional ao incentivar os estudantes a agir diante das dificuldades na realização de tarefas propostas. Nestes termos, [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] revela a estrutura de base de um SD, exposta pela Intenção didática manifesta-se através da formação de instituições a que chamo, genericamente, sistemas didáticos. Um sistema didático (SD) comporta um ou vários sujeitos de I, que nele ocupam uma posição de professor P, um ou vários sujeitos de I que nele ocupam uma posição de aluno a, e finalmente um objeto O, pertencente a PI(a), que é o conjunto de investimentos didáticos para I. (CHEVALLARD, 1996, p. 133, grifos do autor) O professor prossegue, relembrando o que foi abordado no último encontro: P1: -Na última aula, nós vimos a definição básica de vetor. Vocês lembram a definição de vetor? E1: -É uma classe de equipolência de segmentos orientados. P1: -Ou seja, nós temos segmentos equipolentes que possuem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Então, esses infinitos que existem, se eu "pegar" um deles como meu representante ele vai ser "meu" vetor. As escolhas de [START_REF] Conde | Geometria Analítica[END_REF] e [START_REF] Corrêa | Álgebra Linear e Geometria[END_REF] se debruçam, num primeiro momento, sobre o trato com as representações vetoriais no plano (ℝ 2 ) e no espaço (ℝ 3 ), para só então explanar a conceituação de vetores. Estes teóricos apresentam em seus textos um elemento que nos despertou atenção e pode constituir obstáculos no processo de aprendizagem, relativo à introdução da formalização do conceito de vetor:

Primeiramente, a definição de flechas. Flecha é, intuitivamente, um segmento no qual se fixou uma orientação. E fixar uma orientação é escolher um sentido. No caso da figura, o segmento orientado representado tem orientação de A para B. Na verdade não precisamos da flecha toda para os nossos objetivos. Bastam os pontos A e B, e a ordem: primeiro A e depois B (CAMARGO; BOULOS, 2005, p. 4).

A ilustração, referida na citação, apresenta a representação da figura 23: Outro aspecto que merece ênfase, neste primeiro trecho transcrito, faz alusão ao caráter ostensivo da representação vetorial, denominado por Bosch (1994, p. 47) "como todo objeto dotado de uma natureza sensível, de certa materialidade e que se apresenta ao sujeito como uma materialidade perceptível." Devido à pujança deste assunto, retornaremos, sempre que necessário, a essa abordagem em capítulo subsequente para tratarmos de maneira mais detida sobre a dialética dos ostensivos e não ostensivos (BOSCH, CHEVALLARD, 1999) imbricada a caracterização vetorial. Retomemos, então, a aula:

P1: -Hoje eu começo com as operações básicas dos vetores. A primeira é operação da soma que vocês já viram no ensino médio.

109 "[...] including the finding that different relative arrow orientations can prompt different solution paths and different kinds of mistakes, which suggests that students need to practice with a variety of relative orientations". A introdução da noção de Vetores no R 2 no 1° ano do Ensino Médio pretende lançar mão de um instrumento importante e prático no estudo dos conteúdos expostos em sequência, mas principalmente da Trigonometria e Função Afim, reduzindo cálculos desnecessários que estes temas recorrem quando seu ensino é feito de maneira isolada. A organização dos conteúdos estruturados e baseados nos Vetores pretende conduzir o aluno a interpretações geométricas de fatos algébricos (ASSEMANY, 2011, p. 130).

Nesse sentido, Bittar (2013) relata que esse objeto pertencia aos programas curriculares desde o ensino fundamental, como ocorria, por exemplo, em escolas francesas: "[...] a noção de vetor aparece nesse nível como um ente geométrico que deverá servir para resolver problemas de geometria: trata-se de introduzir uma nova ferramenta para resolver problemas por vezes já conhecidos dos alunos" (BITTAR, 2013, p. 2).

Os aspectos históricos e epistemológicos também evidenciam a recorrência da representação vetorial para exprimir movimentos, representar forças, compreender fenômenos e reafirmar a existência de números negativos e imaginários. Conforme declarou [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF], o desenvolvimento do conceito de vetor se deu na busca do entendimento de resultados algébricos, uma vez que essa grandeza proporciona contribuições para a geometria, através da direção e do sentido e não só do comprimento (grandeza escalar), permitindo assim a ideia de movimento.

Pesquisadores da área de Matemática Pura e Educação Matemática, como [START_REF] Lima | Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio[END_REF], [START_REF] Rodrigues | Geometria analítica com enfoque vetorial no ensino médio[END_REF], [START_REF] Reis | Ensinando operações com grandezas físicas vetoriais no ensino médio através de uma unidade de ensino potencialmente significativa[END_REF] e Vaz e Ferreira (2016) sinalizam acerca da ausência dos vetores nos currículos e nos livros destinados a este nível de ensino. Aspecto este sublinhado nas palavras de Vaz, Ferreira e Nasser (2017), Observando as dificuldades apresentadas por alunos ao chegar à universidade, o grupo começou a questionar o que se ensina de vetores e retas no EM. Para nossa surpresa, verificou-se que "vetores" é um tópico que, em geral, não faz parte dos currículos de EM de Matemática. Em alguns casos, aparece no currículo de Física, mas, não está claro se os alunos conseguem aplicar esse conhecimento para usar vetores em Matemática. (VAZ, FERREIRA e NASSER, 2017, p. 57) Vertente essa que se une à preocupação já sinalizada pelo professor Elon Lages [START_REF] Lima | Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio[END_REF] que, em conjunto com alguns de seus pares, declarou de maneira enfática suas inquietações, após ter analisado diversos livros de matemática para o Ensino Médio, e o descontentamento ao fazer referência à exiguidade dos vetores, expondo estas sensações em vários trechos da obra em foco: "Por alguma obscura razão, ou por nenhuma em especial, o importante conceito matemático de vetor [...], é personagem ausente deste e dos demais compêndios brasileiros, sendo usado apenas pelos professores de Física." (LIMA et al, 2001, p. 62).

Fato esse que se confirma por meio da análise de outra obra:

O livro consegue vencer muito bem a dificuldade gerada pelo fato dos programas da maioria das escolas não incluírem vetores, construindo, disfarçadamente, um "cálculo vetorialzinho" de soma e produto por número para ser usado nesse contexto. [...] um dos defeitos deste livro e de todos os livros de Matemática para Ensino Médio existentes no mercado é a completa omissão de vetores. Estranhamente, vetores são ensinados nos livros de Física, não nos de Matemática (LIMA et al, 2001, p. 130).

As considerações, neste sentido, ganham cada vez mais força quando [START_REF] Lima | Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio[END_REF] prossegue com reflexões e críticas ao observar outros livros:

O primeiro capítulo trata da geometria analítica da reta, começando pela noção de medida algébrica de um segmento orientado (mas sem nunca dizer o que é um segmento orientado) (LIMA et al,Op.cit.,p. 156). [...] A falta de uma apresentação vetorial (no livro nenhum sentido é atribuído a 𝑥 1 -𝑥 2 apenas a |𝑥 1 -𝑥 2 |) torna a dedução da fórmula das coordenadas do ponto de um segmento médio algo extremamente complicado (Ibid., p. 210). [...] Cabe aqui uma reflexão a respeito do conteúdo de Geometria Analítica dos livros nacionais para o ensino médio. Por que não falam em vetores? A noção de vetor é necessária ao aluno, a Física a utiliza e a Geometria Analítica fica muito mais rica com esta ferramenta, simplificando demonstrações e possibilitando soluções melhores para os problemas (Ibid., p. 259).

Hodiernamente, constatamos que o cenário examinado não apresenta significativas mudanças, fato este evidenciado ao consultarmos o Guia do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de Matemática (2017). Encontramos no tópico que contempla a distribuição de conteúdo apenas uma ocorrência que faz alusão aos vetores: "[...] é importante que o estudo dos complexos seja uma oportunidade privilegiada de articulação com tópicos como vetores e geometria no plano, com trigonometria e com as equações algébricas" (BRASIL, 2017, p. 24, grifos nossos).

Em mesmo direcionamento, a Base Nacional Comum Curricular -BNCC (2017) apresenta implicitamente a temática vetorial na área destinada à matemática e suas tecnologias, ao abordar movimento e posição:

[...] estão presentes na localização de números em retas, de figuras ou configurações no plano cartesiano e no espaço tridimensional; direção e sentido, ângulos, paralelismo e perpendicularidade, transformações geométricas isométricas (que preservam as medidas) e homotéticas (que preservam as formas) e padrões das distribuições de dados (BRASIL, 2017, p. 521).

Elementos esses que corroboram com o que foi constatado por um grupo de pesquisadores da matemática pura há quase duas décadas. Diante desse aspecto incompleto, encontrado na organização curricular matemática do nível de ensino citado, evocaremos elementos que darão suporte à análise didática aqui empreendida.

Assim, surge a seguinte indagação: no âmbito da didática, como podemos analisar o que foi pontuado por [START_REF] Lima | Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio[END_REF] e seus colaboradores? Preliminarmente, podemos interpretar a existência de uma problemática ecológica identificada por membros da noosfera, já que, de acordo com Bosch e Chevallard (1999, p. 4, tradução nossa),110 "o problema ecológico expandirá o campo de análise e abordará as restrições criadas entre os diferentes objetos de conhecimento a serem ensinados". Em outras palavras, os vetores não possuem habitat no currículo de matemática do Ensino Médio. Perspectiva essa que repercute na aprendizagem da Geometria Vetorial presente nas ementas dos cursos de nível superior atrelados à área de ciências exatas. Neste diapasão, frente à fragilidade do ensino de vetores evidenciado no Ensino Médio, torna-se patente a necessidade de implementarmos ações didáticas que considerem o caráter incompleto e/ou inexistente dos vetores no nível superior de ensino. Ante o notório, exporemos um esboço da bagagem praxeológica da turma.

Quadro 1 -Primeira questão preliminar

Questões preliminares 1-Conte-nos como é a sua relação com os vetores: a) já teve contato com o assunto no ensino médio? Se sim, em qual ou quais disciplinas? b) caso tenha respondido afirmativamente a questão anterior, descreva como foi a abordagem deste conteúdo. c) você considera um tema de fácil aprendizagem? Justifique.

Fonte: acervo dos autores (2016).

A primeira reação dos estudantes expressou surpresa e certa apreensão na leitura da solicitação do item a. Assim, demonstraremos alguns desses registros: Alguns discentes limitaram-se a responder o item a apenas com a palavra "não", ou seja, com a negativa do contato com os vetores em sua trajetória escolar, sem justificarem suas respostas. Este fator nos impossibilita de avançar em direção a uma análise mais profunda.

Contudo, considerando-se os relatos verbais, a amostra sinaliza a existência de fragilidades e incompletudes no que tange ao conhecimento vetorial. Após a finalização de sua escrita no quadro, o docente aguarda os estudantes terminarem a cópia do apontamento como exposto abaixo, um trecho do que foi registrado na lousa, por meio de um recorte da nota de aula do professor. A aula prossegue:

P1: -Posso começar? Estudantes: -Não! (em coro). Por intermédio da explicação do professor acerca da adição e soma de vetores, identificamos alguns elementos que podem constituir obstáculos à aprendizagem, segundo a concepção de Brousseau (1976). O primeiro refere-se à representação vetorial, que nos reporta à dialética dos ostensivos e não ostensivos (BOSCH, CHEVALLARD, 1999), visto que se os autores dos livros adotam na definição algébrica vetores e pontos no espaço, no entanto suas representações são construídas no plano, como já apresentado, ou seja, sem qualquer alusão à representação tridimensional 𝐸 3 . Perspectiva essa, já destacada por Bosch (2001, p. 16, grifos nossos): "a análise da atividade matemática requer a utilização de noções apropriadas que permitam descrever seus distintos componentes, assim como suas condições de produção e reprodução."

O segundo fator diz respeito ao questionamento realizado pelo professor, P1: -Então como seria a soma? O professor faz e responde a pergunta lançada por ele mesmo, refletido um efeito do contrato didático ou fenômeno relacionado à atividade de ensino, como uma metáfora de um "diálogo no espelho", situação em que o próprio professor responde às próprias perguntas (FARIAS, 2010, p.202). Neste sentido, [START_REF] Chevallard | Les savoirs enseignés et leurs formes scolaires de transmission: un point de vue didactique[END_REF] é mais enfático, e tece a seguinte declaração:

O aluno deve aceitar o professor como diretor de estudo e, ao mesmo tempo, renunciar, quase violentamente, às facilidades enganosas que ele lhe traz enquanto professor -e isso, em princípio, a cada momento do estudo. Incluindo avaliação e institucionalização. O "drama didático" que a palavra topos resume é assim formado Figura 26 -Recorte de uma nota de aula do professor 1 em torno do jogo do professor: sempre sutilmente presente, mesmo que seja em ausência, contudo deve saber estar ausente mesmo que presente, para deixar o aluno livre para conquistar uma independência que a figura tutelar do professor faz ao mesmo tempo possível e incerta. (CHEVALLARD, 1997, p. 25, tradução nossa, grifos nossos 112 ) Todavia, não identificamos qualquer incômodo por parte dos discentes, no tocante à explanação monologar do professor. E, finalmente, a afirmação: P1: -A soma vai ser representada pela origem do primeiro com a extremidade do último, projetando uma maneira de fazer, uma técnica que aborda o tipo de tarefa soma de vetores no âmbito geométrico.

Dessa forma, podemos atentar para as tarefas, as técnicas, as tecnologias e as teorias inerentes ao postulado de base da TAD, o qual foi denominado por Chevallard (1998;1999) de praxeologia. A premissa desta teoria assevera que qualquer atividade humana, regularmente realizada, pode ser integrada a um único modelo, que é sintetizado pela palavra praxeologia (CHEVALLARD, 1998). Segundo esse mesmo direcionamento, o autor ora citado estruturou a organização praxeológica: [...] em torno de um tipo de tarefas T, que encontramos em princípio, um tripleto formado de uma técnica (pelo menos), τ, de uma tecnologia de τ, θ e uma teoria de θ, Θ. O conjunto, denotado [T / τ / θ / Θ], constitui uma praxeologia específica, este qualificador significa que se trata de uma praxeologia relacionada a um único tipo de tarefas, T. Essa praxeologia -ou organização praxeológica -portanto, consiste em um bloco técnico prático, [T / τ], e um bloco tecnológico-teórico, [θ / Θ] (CHEVALLARD, 1998, p. 5, tradução nossa 113 ).

A partir deste olhar praxeológico, e de suas múltiplas interligações, infere-se que devemos aprender ou ensinar matemática enquanto ação humana, admitindo-se que toda atividade humana pode ser modelada praxeologicamente, ou seja, em outros termos, ensinar matemática consiste em realizar uma tarefa t de um determinado tipo T, cumprida por uma determinada técnica τ, fundamentada por uma tecnologia θ, legitimada por meio de uma teoria 112 "L'élève doit accepter le professeur comme directeur d'étude, et, dans le même temps, renoncer presque violemment aux trompeuses facilités qu'il lui apporte comme enseignantet cela, em principe, à propos de chacun des moments de l'étude, évaluation et institutionnalisation comprises. Le « drame didactique » que le mot de topos résume se noue ainsi autour du jeu du professeur: toujours subtilement présent, fût-ce in absentia, celui-ci doit savoir se faire absent même in praesentia, pour laisser l'élève libre de conquérir une indépendance que la figure tutélaire du professeur rend tout à la fois possible et incertaine". O professor continua apresentando técnicas que poderão ser utilizadas na determinação da soma entre vetores. Porém, no último discurso transcrito, notamos ingredientes tecnológicos que regem a técnica, isto é, uma possível justificativa da técnica, ao apresentar as razões da diagonal principal do paralelogramo coincidir com a soma vetorial, fundamentada pelas propriedades do paralelogramo.

P1: -Qual a desvantagem de obter a soma usando a regra do paralelogramo? No paralelogramo eu só somo dois vetores a cada vez. Enquanto na definição geral, que chamamos regra do polígono, eu posso somar quatro, cinco ou mais vetores. É só ir fazendo coincidir extremidade com origem, sequencialmente, até obter a soma final.

Exemplificaremos a seguir graficamente a soma vetorial aludida:

Origem coincide com a extremidade.

Composto pela origem do primeiro e extremidade do segundo.

Fonte: caderno do professor 1.

A característica limitada da técnica do paralelogramo é posta em evidência. 115 O ensino tradicional apresenta como características "ensinar e praticar". 116 In the framework of the anthropological theory of the didactic, this paradigm is known as the paradigm of "visiting works" oraccording to a metaphor used in ATD -"of visiting monuments", for each of those pieces of knowledge.

Figura 28 -Propriedades da soma Essa descrição do professor dialoga com o que descreve [START_REF] Hayfa | L'enseignement de la notion de vecteur au Liban après la réforme de[END_REF].

A comutatividade é demonstrada através do paralelogramo, construindo os representantes dos vetores em um ponto; então, sua soma é a diagonal do paralelogramo construído nesses dois vetores. E isso usando os vetores iguais e a relação de Chasles. A associatividade da adição de vetor é mencionada. Além disso, a diferença do vetor é deduzida da adição. (HAYFA, 2006, p.15, tradução nossa117 )

Após descrever e simbolizar geometricamente as propriedades A1 e A2, o professor destaca:

P1: -Muitos de vocês, talvez não lembrem o significado deste "a de cabeça para baixo", (fazendo menção ao símbolo ∀ ).

Assim, P1: -Qualquer que seja, ou para todo 𝑢 ⃗ pertencente a V 3 , temos:

𝑢 ⃗ + 0 ⃗ = 0 ⃗ + 𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗ .
Nesse momento, percebe-se um clima de inquietação, impulsionando um aluno a questionar: Neste trecho do discurso do professor, foi identificada a ausência de uma tecnologia que justificasse a inexistência da divisão entre vetores. Daí, reformulamos o questionamento de E4: Figura 31 -2º esquema representativo da multiplicação por escalar -"Quais as razões da inexistência da divisão entre vetores?" Indagações dessa natureza poderiam ter sido retidas para o desenvolvimento de um estudo mais acurado por parte dos estudantes e do professor. Visto que questões como essas oportunizam e induzem uma busca por justificativas que habitam no âmbito histórico-epistemológico que se relaciona diretamente com a natureza do objeto do saber, ou melhor dizendo, a razão de ser vetorial.

E3: -
Assim, sob o nosso ponto de vista, o docente perdeu uma oportunidade em delegar aos estudantes o princípio do compromisso com a construção do conhecimento. Já que, possivelmente, se constituiria em uma escolha didática a qual poderia ser o primeiro passo para o despertar de ações proativas por parte dos discentes. Admitindo, em linhas gerais, que a conceitualização de divisão se baseia na concepção do oposto multiplicativo e, como os vetores têm como uma das fundamentações a orientação, não há significado em dividir direções e sentidos, pois o que está definido são as operações de dividir e multiplicar pelo comprimento de um vetor, este sim é um escalar.

P1: -E as propriedades para multiplicação de um número real com vetor são quatro: M1, M2, M3 e M4.

Fonte: caderno do professor 1.

P1: -Vale a propriedade distributiva em relação à soma de vetores, vale também a distributiva em relação à soma dos números reais por um vetor, ou seja, eu posso aplicar a distributiva 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑢 ⃗ . E também eu posso aplicar a associativa em qualquer ordem. E o elemento neutro da multiplicação que é um número que pertence aos reais, o que significa que se multiplicar 1 por qualquer vetor será mantido módulo, direção e sentido. As quatro propriedades relacionada à soma de vetores com as quatro propriedades relacionada à multiplicação por escalar é o que chamamos de estrutura algébrica básica dos vetores. Que dá a ideia de espaço vetorial. O que é um espaço vetorial? É um espaço munido de duas operações: soma e multiplicação por escalar, as quais podem ser definidas de várias formas, valendo as oitos propriedades (quatro da soma e quatro da multiplicação). Eu posso olhar para os vetores como um espaço vetorial, certo? Vocês vão ver isso de forma mais detalhada em álgebra linear. Lá Figura 32 -Propriedades da multiplicação por escalar vocês vão ver algumas coisas interessantes, pois em um espaço vetorial, não necessariamente, os seus elementos serão vetores. Provavelmente vocês irão questionar: espaço vetorial com matrizes? Espaços vetoriais com derivadas, integrais? .... É porque nestes conjuntos são válidas as duas operações (soma e multiplicação) acrescida das respectivas propriedades. Esses objetos, que podem ser quaisquer, pertencem aos espaços vetoriais e se comportam como se vetores fossem, ok?

O professor apresenta uma explicação que suplanta o âmbito da Geometria Analítica, ao fornecer elementos que serão abordados em Álgebra Linear, por meio de uma definição que se desvencilha da ideia formal de espaço vetorial em que seus elementos são denotados vetores.

Contudo, a tentativa de explicação do docente constitui em revelar que: o conjunto das matrizes, polinômios, conjunto das funções, dentre outros, definidas as operações de adição e multiplicação por escalar e verificadas as propriedades associadas a cada operação, constitui assim, um espaço vetorial. Ele também declara que os alunos ficarão surpresos com os espaços vetoriais cujos elementos são, por exemplo, matrizes. Contudo, os estudantes não esboçam reações que indiquem interesse pelo tema. O cenário que se configura fortalece o que Chevallard (2012, p. 174, tradução nossa121 ) denominou de "aclamar e estudar autoridades e obras-primas", o que, gradualmente, foi transformado em um paradigma escolarmetaforicamente122 equivale a uma visita às obras ou aos monumentos referentes às ramificações do conhecimento.

Momentos de estudos agregados à trama praxeológica da aula 1

O processo de estudo ou organizações de estudo (CHEVALLARD; BOSCH; [START_REF] Gascón | Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes[END_REF], assim como a estrutura de tramas praxeológicas (FARIAS; PIRES, 2011) servirão como direcionamento para sintetizar e expor os diversos elementos que compõem cada sessão de estudo e que desempenharão uma função basilar ao contrastarmos nossas análises e identificarmos aspectos problemáticos no ensino e aprendizagem da Álgebra Vetorial.

Diferentes momentos integram o processo de estudo, dentre eles Chevallard, Bosch e [START_REF] Gascón | Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes[END_REF] destacam: o momento do primeiro encontro com um novo tipo de problema, o do trabalho da técnica, o tecnológico-teórico, o exploratório e o da avaliação. Nesse conjunto, os autores também ressaltam que a noção de "momento" não é uma concepção estritamente cronológica, pois os momentos podem ser retomados e revividos em distintos instantes do estudo. Mencionado isso, Quando dispomos de um professor para coordenar o estudo, essas tarefas didáticas são tarefas cooperativas, nas quais participam alunos e professor: o aluno conta com o professor, para que o ajude a viver esses diferentes momentos, e o professor conta com a energia de seus alunos e com seu envolvimento no processo de estudo (que inclui, como você bem sabe, a lição de casa), para que sua ajuda seja eficaz (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 263).

Os momentos de trabalho da técnica (didática ou matemática) e o tecnológico-teórico (que rege, justifica e fundamenta a técnica) têm sua gênese no âmbito praxeológico legitimado pela inseparabilidade entre a práxis e o logos, "pois não há práxis sem logos, assim como não há logos sem práxis. As duas estão unidas como os dois lados de uma folha de papel" (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 251). Assim, os aspectos praxeológicos se tornam mais evidentes quando recorremos ao suporte da trama praxeológica (FARIAS; PIRES, 2011) imbricada entre praxeologias didáticas e matemáticas.

Tabela 4 -Síntese da aula 1. (continua) O docente sintetiza o encontro passado, atendendo aos anseios dos alunos. No entanto, nota-se uma intenção didática tácita na atitude do professor em revisitar tópicos da aula anterior, pois o propósito era discorrer a aula a partir da precedente.

P2: -Bom! O que a gente fez foi o seguinte: ao invés de ficar escrevendo tudo isso, vou escrever 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧). O primeiro coeficiente é a primeira coordenada, o coeficiente de 𝑗 é a segunda coordenada e a do 𝑘 ⃗ a terceira coordenada. O que fizemos a partir disso? Tudo que foi feito na parte geométrica. A gente viu como somar usando coordenadas, como subtrair usando coordenadas, multiplicação por escalar, comprimento. Ok? Foi isso? Para que estou recordando isso? Pelo seguinte: começando a aula de hoje "coordenadas cartesianas". P2: -Bom! Isso aqui é um 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ⃗ . Agora imagine que eu falasse para vocês o seguinte: mesmo que não tivéssemos falado de pontos. Como vocês fariam para representar o ponto de coordenadas (x, y, z)? Não mais um vetor, só um ponto agora. Como vocês fariam? Ee: -Faz um ponto em qualquer lugar. P2: -É de fato, é isso. P2: -Se fosse usar duas coordenadas P= (x, y)? Lá no plano 𝑋𝑌, como tradicionalmente se faz? Pega o eixo X, pega o eixo Y. Não é isso? Pega o ponto aqui e faço o que? Projeto paralelo a X e paralelo a Y e vejam quanto medem. Nos diferentes argumentos matemáticos desenvolvidos anteriormente temos, sempre, um ponto delicado que diz respeito à compreensão do conceito de vetor. É preciso desenvoltura com esse conceito, especialmente quanto: a) ao entendimento de que diferentes "setas" podem representar um mesmo vetor; b) a notação (𝑥, 𝑦) ou (𝑥, 𝑦, 𝑧), que ora indica as coordenadas de um ponto no plano ou espaço, ora as coordenadas de um vetor. (CARNEIRO; GRAVINA, 2012, p.268) Aspecto este também sinalizado por P2, que prossegue seu discurso apontando a diferença entre ponto e vetor, apesar da similitude ostensiva sob a perspectiva da representação algébrica.

P2: -Pessoal! É exatamente essa ideia que nós vamos usar para falar de coordenadas no espaço. Então, olhem só! Qual a diferença entre ponto e vetor? Olhem! Quando você fala de Eu tenho que descrever tudo que está aqui. Tenho um ponto, três vetores unitários, ângulos de 90°. P2: -É por isso que às vezes, na prova, o aluno sabe fazer a questão, porém não sabe definir formalmente. Mas, em matemática é assim mesmo, temos que saber definições, teoremas, os quais são uma das ferramentas matemáticas.

É possível notar, nas entrelinhas, um discurso preparado pelo professor, uma fundamentação tecnológico-teórica de acordo com a TAD, evidenciado no seguinte trecho: "Como vou sair do desenho e agora vou escrever um texto sobre ele? Eu tenho que descrever tudo que está aqui. Tenho um ponto, três vetores unitários, ângulos de 90°". Perspectiva essa que remete à definição de base ortonormal no espaço:

Uma base 𝐵 = {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ } no espaço é chamada ortonormal se os seus vetores forem ortogonais entre si e unitários, isto é, se |𝑖 | = |𝑗 | = |𝑘 ⃗ | = 1 𝑒 𝑖 ⊥ 𝑗 ⊥ 𝑘 ⃗ ⊥ 𝑖 . A base ortonormal 𝐵 = {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ }, que também é chamada de base canônica, determina no espaço um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 𝑂𝑥𝑦𝑧, com origem em um ponto arbitrário 𝑂. Os vetores unitários e ortogonais da base fornecem as direções dos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, que são chamados de eixos das abscissas, eixos das ordenadas e eixos das cotas, respectivamente (LORETO; LORETO JÚNIOR, 2014, p. 35).

P2: -E aí, pessoal, tranquilo?

Os alunos conversam entre si, mas não expressam sinais acerca da suposta trivialidade exposta por P2.

P2: -Então, a situação toda está aqui. Aqui mede 90º, aqui 90º e aqui também. Ok?

Tomando como base a representação anterior esboçada no quadro, continua: P2: -Assim, como eu fiz na aula ontem. Eu vou "esticar" este vetor, vou "esticar este outro vetor e este também.

Referindo-se aos vetores unitários i , j , k ⃗ . P2: -Olhem só, gente, eu quero usar essa estrutura que está aqui, ou seja, esses quatro itens (ponto e mais três vetores), para posicionar pontos no espaço. Vamos utilizar a teoria de vetores para atribuir coordenadas a pontos. O que significa que eu vou utilizar a teoria de vetores para trabalhar com coordenadas de A comunicação entre os ostensivos e não ostensivos ocorre de maneira alinhada com a representação gráfica, explanada no quadro, que se imbricam às associações e às parcerias realizadas pelo professor em conexão com os conceitos oriundos do corpus teórico da Geometria Analítica. Como destaca Casabò (2001, p. 20, tradução nossa 124 ): "toda manipulação de ostensivos é controlada pela 'ativação' ou 'evocação' de objetos não ostensivos cujas características podem ser modificadas durante toda a atividade".

Dentre os inúmeros elementos de análise, direcionamos nossa atenção para a deformação sofrida pela figura tridimensional ao ser representada no plano bidimensional (quadro de vidro). Método já sinalizado por Lehmann (1991), denominado "projeção paralela", que, segundo o autor, é comumente empregado. Contudo, deve-se atentar que os eixos Y e Z são desenhados mutuamente perpendiculares, mas o eixo X é desenhado de maneira que o ângulo XOY é maior que 90°, sendo usualmente tomado como 135°. Esta vertente pode ser considerada como um rastilho de obstáculos à aprendizagem, pois os estudantes devem abstrair uma terceira dimensão planificada. Nestes termos, idealizamos um protótipo que poderá auxiliar na localização de elementos tipificados tridimensionalmente.

124 "toda manipulación de ostensivos viene controlada por la 'activación' o 'evocación' de objetos no-ostensivos cuyas características pueden verse modificadas a lo largo de la actividad". O professor continua explicando: P2: -Notação, ou seja, como vou denotar, simbolizar ou representar? Observação: como passamos do que já conhecíamos para ponto? Olhem só: 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⟺ 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)transição de coordenadas de vetor para coordenadas de ponto. P2: -Um exemplo, para fugirmos um pouco da teoria, imaginem que solicitasse que representem geometricamente o ponto P = [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF]5,[START_REF] Da Didática ; | REFERÊNCIAS[END_REF] e o vetor 𝑣 = [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF]5,[START_REF] Da Didática ; | REFERÊNCIAS[END_REF] Outro aspecto que merece realce e que se torna recorrente no processo de comunicação detectado nesta sessão de estudo, é a proximidade ostensiva na representação de ponto e de vetor, assim como a praxeologia didática empregada (CHEVALLARD; BOSCH; [START_REF] Gascón | Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes[END_REF], que se conecta à dupla função do verbo fazer, no sentido de produzir e na acepção de agir. De acordo com os autores ora citados, para agir será necessário recorrer a uma praxeologia matemática e, para produzir, será necessária uma praxeologia didática. No caso da aula transcrita, o registro ostensivo do desenho sustenta esta praxeologia didática em conjunto com as explanações do docente.

Fundamentamos também nossa concepção em juízo com a declaração de Casabò (2001), ao abordar a valência instrumental e sensibilidades das atividades com os ostensivos, pontuando que:

A Teoria Antropológica atribui aos objetos ostensivos, ao lado de sua valência semiótica, uma valência instrumental vinculada à capacidade dos sistemas ostensivos de serem integrados em manipulações técnicas, tecnológicas e teóricas. A partir do momento em que os objetos ostensivos são considerados constitutivos das organizações matemáticas e os ingredientes primários das tarefas, técnicas, tecnologias e teorias, eles são apresentados, antes de tudo, como ferramentas da atividade matemática, ferramentas materiais sem as quais a atividade poderia ser feita (CASABÒ, 2001, p. 22, tradução nossa). 125O sistema de coordenadas esboçado pelo professor serve como suporte ostensivo, ou seja, um ingrediente primário que subsidiará tarefas, técnicas, tecnologias e teorias. Nesse universo, focaremos na continuação da transcrição da aula, observando o referido elemento gráfico, em termos de adequação e efetividade nas realizações das atividades.

P2: -Feito isto, é só tomar cuidado na hora de juntar tudo isso, para não errar. E agora? O que devo fazer para associar tudo? Localizar o ponto P = [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF]5,[START_REF] Da Didática ; | REFERÊNCIAS[END_REF]. Então, traço segmentos de retas paralelos a cada eixo e assim marcamos o ponto P.

Fonte: acervo da autora com base na representação construída por P2 (2016) P2: -E o vetor de coordenadas [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF]5,[START_REF] Da Didática ; | REFERÊNCIAS[END_REF] Ed: -Eu acho que é a distância da origem até P mais a distância da origem até A, algo assim... Não é a soma deles dois? É como se estivesse somando vetores? P2: -Por que você pensou na origem? Ed: -Ah, não sei explicar... Ef: -Ela estudou antes, professor. Ed: -Não, eu não estudei não. P2: -Pensar na origem é um bom caminho. Lembram do que comentamos mais cedo? O ponto P tem coordenadas (x, y, z) ⇔ 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧). Em resumo, eu não sei quais são as coordenadas do vetor 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ , mas se é possível incluir a origem na conta é mais simples de resolver. Por exemplo, quais são as coordenadas do vetor 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ? O ponto A = (1,-2,3) [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF][START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF][START_REF] P2 ; Bom | ao vetor 𝑖 , correto? Minha pergunta é: quando dois vetores são paralelos? Que cálculos devem ser feitos para verificar se dois vetores são paralelos? No caso de 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝑖 , 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 ⃗ . Imaginem que só caminhei na direção do eixo X de forma análoga temos para os eixos Y e Z, ou seja, 𝑃 ∈ 𝑂𝑌 ⟺ 𝑃 = (0, 𝑦, 0) e 𝑃 ∈ 𝑂𝑍 ⟺ 𝑃 = (0,0, 𝑧). P2: -O mesmo raciocínio que utilizei para os eixos vou utilizá-lo para os planos. Quando olhamos para o plano XY, de que forma são suas coordenadas?[END_REF] P2: -Escrevam algo parecido, porém igualando vetor com vetor. Ef: -𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 

⇒ 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, -2, 3) Ed: -(1, -2, 3)? P2: -Isso. Se o ponto B tem coordenadas
𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 -𝐴 = 1 2 (𝐵 -𝐴) 𝑀 = 1 2 (𝐵 -𝐴) + 𝐴 𝑀 = 1 2 𝐵 - 1 2 𝐴 + 𝐴 𝑀 = 𝐴 + 𝐵 2 
Fonte: acervo da autora com base na representação construída por P2 (2016).

Esclarecemos que, em termos do formalismo matemático, o cálculo correto seria: 

𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⇒ 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐵
𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 -𝐴 = 1 2 (𝐵 -𝐴) 𝑀 = 1 2 (𝐵 -𝐴) + 𝐴 𝑀 = 1 2 𝐵 - 1 2 𝐴 + 𝐴 𝑀 = 𝐴 + 𝐵 2 
Definição de ponto médio do segmento de reta Fonte: acervo da autora (2019).

De igual modo sintetizamos a trama praxeológica imbricada aos momentos de estudo identificados na aula observada como exposto abaixo, O esquema descreve os momentos de estudo em conexão com uma dinâmica praxeológica que geriu o funcionamento deste SD coadunado pelos constantes diálogos entre docente e discentes evidenciados por uma participação mais ativa desses atores no âmbito de uma aula sobre os vetores. Contudo, não identificamos a etapa relacionada ao momento da avaliação. A representação ostensiva dos vetores do espaço e suas similitudes com as representações dos pontos situados no espaço também se revelaram como um potencial impedimento à aprendizagem. Aditado a esta condição, sublinhamos a deformação sofrida pela figura tridimensional ao ser representada no plano bidimensional, perspectiva esta que reflete nas projeções de entes esboçados no R 2 ou no R 3 , recorrentes em aulas expositivas em que o quadro é um recurso didático fundamental.

Das sessões de estudo observadas e os entrelaces metodológicos

Outro episódio que merece ênfase é protagonizado pelo seguinte trecho: "P2: -Me digam onde se localiza o ponto de coordenadas (y, 0, x)?". A forma padronizada e convencionada em livros dos pares ordenados (x, y) ou ternas ordenadas (x, y, z) desponta como mais um fator de entrave à aprendizagem.

Ao confrontar as duas sessões de estudo, notam-se características variadas, próprias do perfil dos docentes, repercutidas nas reações e participações dos discentes. Na primeira aula, transcrita percebemos o gerenciamento centralizador do professor, frente à passividade dos discentes, em contraposição à segunda aula que, mesmo imersa no cenário tradicional de ensino, foi estruturada pelo docente por intermédio de questões direcionadas aos estudantes, evidenciando assim, a ocorrência de uma dinâmica praxeológica. Ao serem constantemente indagados os alunos foram estimulados a explanar suas concepções, dúvidas e questionamentos acerca da Álgebra Vetorial.

CAPÍTULO IV DESENHO DAS ANÁLISES PRÉVIAS POR MEIO DE UM MINICURSO: ARTICULAÇÕES ENTRE O GEOGEBRA E A ÁLGEBRA VETORIAL

Esse capítulo emerge pautado na primeira fase da Engenharia Didática-ED, ou seja, as análises preliminares, que integram a fase da concepção da sequência a qual está alicerçada em alguns aspectos: o quadro teórico, os conhecimentos didáticos já adquiridos no domínio da investigação e um certo número de análises preliminares que, segundo [START_REF] Artigue | Didática das Matemáticas[END_REF], na maior parte dos casos são:

-a análise epistemológica dos conteúdos visados pelo ensino; -a análise do ensino habitual e dos seus efeitos; -a análise das concepções dos alunos, das dificuldades e obstáculos que marcam a sua evolução; -a análise do campo de constrangimentos no qual virá a situar-se a realização didática efetiva; -e, naturalmente, tendo em conta os objetivos específicos da investigação. (ARTIGUE, 1996, p.198 Para cumprir esta condição a comissão organizadora do evento, só permitiu a inscrição de professores de matemática e discentes de Curso de Licenciatura em Matemática que estivessem cursando a partir do 3º semestre, já que a componente curricular Geometria Analítica e Álgebra Linear I (EXA 180) 130 integra o 2º semestre do CLM-UEFS. Dito isto, a configuração do perfil dos partícipes foi composta por estudantes do 3º ao 6º semestre.

Sob o eixo teórico da Teoria Antropológica do Didático -TAD [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF]1998;1999;2001), respaldado pela Dialética Mídia Milleu (CHEVALARD, 2006), em atuação 130 Geometria Analítica -EXA 134, ainda não tinha sido implementada, visto que as alterações curriculares ocorrem de forma gradual.

combinada com a Dialética Ostensivos e Não Ostensivos (BOSCH, CHEVALLARD, 1999, p. 10, grifos nossos), foram projetadas tarefas aptas a propiciar um milleu (meio) que possibilitasse aos participantes do curso a interação com a plataforma computacional do GeoGebra (mídia) interligado ao viés vetorial, respaldada pelos recursos ostensivos específicos do software para evocar elementos não ostensivos no âmbito vetorial.

Somou-se a essa perspectiva, a concepção Chevallardiana, a intenção didática que os estudantes assumissem um papel protagonista na aquisição da aprendizagem, provocando rupturas com a postura estática e coadjuvante imposta no modelo tradicional de ensino subsidiado pelo Paradigma de Visitas a Obras ou Visitas aos Monumentos,131 que, na acepção de [START_REF] Chevallard | Teaching Mathematics in Tomorrow's Society: a Case for an Oncoming Counterparadigm[END_REF], resume-se a ouvir um relato ou narrativa recitada pelo professor acerca do monumento visitado. Aspecto este evidenciado no capítulo anterior. Bosch (2020) argumenta acerca da aparente proximidade entre o saber sábio pesquisado em instituições de ensino de nível superior e o saber ensinado neste mesmo âmbito, o que, segundo ela, constitui em "um aparente paradoxo: apesar da proximidade das pesquisas científicas já mencionadas, o trabalho exigido dos alunos dos cursos universitários de matemática muitas vezes parece muito distante da pesquisa." (BOSCH, 2020, p.375) Vertente essa, fortalecida com a concepção de Klein (2016, p. 250), que alertou contra o estudo da matemática na universidade "baseando-se apenas no que se lê nos livros", enquanto ignora o desenvolvimento de "concepções vívidas" e "julgamentos independentes".

A partir do objetivo de apresentar um ambiente em que os participantes tivessem a oportunidade de questionar e não apenas visitar obras, foi disponibilizado material impresso como suporte. Esse material continha alguns conceitos e definições que foram abordados nos encontros, assim como os comandos e algumas noções preliminares relacionados à funcionalidade do software. A partir disso, os discentes dispunham de ferramentas para o enfrentamento e as confrontações das questões que posteriormente foram apresentadas. Visto que, ao propiciar ferramentas, na concepção de [START_REF] Chevallard | Teaching Mathematics in Tomorrow's Society: a Case for an Oncoming Counterparadigm[END_REF], centra-se em dois pilares:

O equipamento intelectual do investigador -ou mais exatamente o equipamento praxeológico do investigador, no sentido da palavra praxeologia própria da TAD, portanto, assenta em dois pilares: a capacidade de localizar recursos, on-line e off-line e o conhecimento necessário para aproveitá-los. Isso leva à questão de fazer uso de uma reunião de obras O (Chevallard, 2012, p. 9, tradução nossa132 ).

A partir desse olhar, apresentamos a estruturação do minicurso, subdividido em dois encontros presenciais, como descrito a seguir. A primeira questão, neste momento é retomada, e busca extrair, dos discentes, características dos contornos da relação pessoal com o objeto do saber em curso, além de identificar traços do habitat e nicho dos vetores antes do nível universitário de ensino. Assim, expomos algumas das respostas no que tange à primeira questão, a qual foi subdividida em dois grupos como revelado nos quadro 5 e 6:

Quadro 5 -Primeiro contato com os vetores ocorreu no nível superior (continua) 

i ) u + v = v + u; ii ) u+ (v + w) = (u + v) + w iii ) u + 0 → = 0 → + u = u iv ) u + (-u) = 0 → Não especificada M Conjunto
• 𝑢 → = √𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 • ∃0 → : 𝑢 → + 0 → = 𝑢 → ; • ∃ -𝑢 → : 𝑢 → + (-𝑢 → ) = 0 → ; • 𝛼(𝑢 → + 𝑤 → ) = 𝛼𝑢 → + 𝛼𝑤 → Não especificada O Segmento orientado 𝐴𝐵 →
, o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a este segmento. No que se refere às propriedades vetoriais, nota-se que a maioria não especificou.

Sejam 𝑢 → , 𝑣 → e 𝑤 → vetores, i) Associativa: (𝑢 → + 𝑣 → ) +𝑤 → = 𝑢 → + (𝑣 → +𝑤 → ); ii) Comutativa: 𝑢 → + 𝑣 → = 𝑣 → + 𝑢 → ; iii) ∃ -𝑣 → , 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒, 𝑣 → -𝑣 → = 0 → ; iv) ∃0 → , 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒, 𝑣 → + 0 → = 𝑣 → ; Sejam 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅, logo, v) 𝑣 → .(𝛼 + 𝛽) = 𝛼𝑣 → +𝛽𝑣 → ; vi) 𝛼. (𝑣 → +𝑤 → ) = 𝛼𝑣 → +𝛼𝑤 → ; vii) (𝛼. 𝛽). 𝑣 → =𝛼. (𝛽. 𝑣 → ) = . (𝛽𝛼. 𝑣 → ); viii) 1.𝑣 → = 𝑣 → .
Todavia, alguns descreveram de forma incompleta e apenas um dos participantes descreveu todas as propriedades em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, próprias dos espaços vetoriais. Quando à aplicabilidade, foram reveladas tímidas aplicações à matemática. No entanto, física, forças e mecânica permearam a maioria dos registros. O que reforça a ausência dos vetores no âmbito da matemática do Ensino Médio. O que ratifica as respostas da primeira questão.

Não comporá a nossa análise as respostas referentes à terceira questão, pois a maioria dos estudantes não responderam. No que tange à quarta questão, elencaremos algumas respostas, pois muitas se repetem. 133 (...) On the other hand, to choose a point (O) and to draw a vector equivalent to u, shows that this vector is not only the arrow that carries its name, it represents all arrows that have the same direction, the same sense and the same length (...) the conception tied vector is revealed, that is, given that a vector is bound to its extremities, then it is unique by its graphical representation.

Quadro 8 -Relevância do ensino de vetores no CLM-UEFS 4) Você considera relevante o ensino de vetores nos Curso de Licenciatura em Matemática? Justifique sua resposta.

Participante

Seleção de algumas respostas/ Semestre H "É fundamental para o curso, pois relaciona geometria e álgebra"/ (3º semestre).

I "Importante em várias disciplinas" /( 3º semestre)

L " Muito importante para compreender outros assuntos no curso"/ (5º semestre) N " Sim, pois os vetores estão presente no curso inteiro"/(6º semestre) As demais soluções apresentadas seguem uma ordenação tácita do suporte geométrico.

Por exemplo: a)

𝑤 → = 𝑠 → + 𝑣 → + 𝑢 → + 𝑟 → = -𝑟 → + 𝑟 → = 0 → ; b) 𝑤 → = 𝑠 → + 𝑣 → + (𝑢 → + 𝑟 → ) = 𝑤 → = 𝑠 → + 𝑣 → - (𝑠 → + 𝑣 → ) = 0 → , ou seja, foi identificado que, 𝑡 3 : (𝑢 → + 𝑟 → ) = -(𝑠 → + 𝑣 → ).
Dessa forma, a partir distintas "maneiras de fazer", por meio da análise das atividades resolvidas, distinguimos algumas características inerentes às tarefas/técnicas empregadas exposta no quadro a seguir: Por meio do protocolo de construção é possível perceber que as ferramentas utilizadas foram: ponto e vetor definidos por dois pontos. A composição da imagem disposta na janela de visualização se comunica diretamente com a janela de álgebra, um dos atributos do software.

As técnicas empregadas na reprodução da imagem seguem o direcionamento de semelhança com a imagem apresentada na lista de tarefas. Identificamos, enquanto técnica preponderante, o emprego da regra do polígono, em que faz coincidir extremidade com origem, sequencialmente, até obter a soma final.

A soma dos pares ordenados resulta em (0,0), vetor nulo no plano. -a demonstração é uma ferramenta de teste essencial; isso leva a um exercício prático, que permite a comunicação e a avaliação ao mesmo tempo; -É também objeto de estudo de quem lida com a lógica; a prova, portanto, tem uma definição precisa dentro da tabela de teorias formalizadas. (BALACHEFF, 2000, p.2, tradução nossa 137 ) Todavia, outros participantes se aventuraram nas argumentações lógicas matemática delimitado por hipóteses e tese. Assim, pode-se afirmar que as técnicas (𝜏) mobilizadas no desenvolvimento resolutivo de tarefas (t) dessa natureza, demandaram um reportório tecnológico teórico advindo do equipamento praxeológico de cada sujeito. 136 (...) en geometría, donde las figuras son evidencia de la demostración. (...) el racionalismo de la demostración se opondría. a esta clase de sensibilidad que sirve de base a la evidencia. 137 -la demostración es una herramienta esencial de prueba; ésta conduce a un ejercicio práctico, que hace posible la comunicación y la evaluación a la vez; -es también el objeto de estudio de los que se ocupan de la lógica; la demostración tiene, por lo tanto, una definición precisa dentro del cuadro de las teorías formalizadas. 138 É relevante destacar que esse resultado será demonstrado na questão 6. A partir da leitura que fazemos do contexto vetorial apresentado nesta tarefa, foi possível identificar que os lados opostos são representantes de um mesmo vetor. Nesta perspectiva, as tarefas/técnicas elencadas ao lado da produção do estudante, objetivaram revelar técnicas tácitas, dentre elas destacamos: (𝜏 1 )soma de vetores, (𝜏 2 ) -substituição entre representantes vetoriais, (𝜏 3 ) -multiplicação de escalar por vetor, (𝜏 4 )propriedade da multiplicação de escalar por vetor. A construção realizada no GeoGebra demanda uma quantidade significativa de técnicas, como exposto, um recorte, no protocolo de construção. A próxima construção resolutiva apresenta uma característica que despertou a nossa atenção, pois o discente aplicou uma rotação ao triângulo, possivelmente com a intenção de visualizá-lo na posição convencionada desde as séries iniciais, em que o estudante é conduzido a pensar que um triângulo tem apenas uma base e que esta assume a posição de paralelismo com a borda inferior da folha de papel.

Representação dos vetores opostos

Fonte: dados produzidos no minicurso (2018) No que se refere ao GeoGebra, percebe-se a mesma limitação detectada na análise da prova apresentada na sexta questão. Essa vertente é sanada com a inserção do texto enquanto suporte na intenção de cumprir o que foi solicitado. uma evolução vai enriquecer conjuntamente o trabalho pedido ao professor e o complexo de dispositivos didáticos, novos ou renovados, que, na sala de aula ou ao lado da sala (mas no estabelecimento), procurará "interromper" a aula expositiva: trabalho a meia aula, trabalho prático, tutoria, módulos, estudos supervisionados, etc. (CHEVALLARD, 2002, p. 6, tradução nossa 140 ) A partir desses termos, o desenho da nossa investigação se ampliará e será enriquecido com o uso dos dispositivos didáticos em aulas cujo tema são os vetores, tendo como intuito auxiliar a compreensão do conceito deste objeto matemático. Dito isto, sumarizamos nossas impressões acerca desse contato prévio pautado em situações resolutivas de tarefas vetoriais.

Assim, revela-se uma maneira de romper com a tradição monotécnica, pois as tarefas multiplicam-se e diferenciam-se. 140 une évolution va enrichir tout ensemble le travail demandé au professeur et le complexe des dispositifs didactiques, nouveaux ou renouvelés, qui, dans la classe ou à côté de la classe (mais dans l'établissement), chercheront à « casser » la classe-cours magistral : travail en demi-classe, travaux pratiques, tutorat, modules, études surveillées, etc.

SÍNTESE ECOLÓGICA DAS PRÁTICAS EM UM CENÁRIO TECNOLÓGICO TEÓRICO

O minicurso assumiu o papel de um ecossistema que permitiu a análise do complexo praxeológico. Primeiramente, foram observados traços do nicho e habitat (CHEVALLARD, 1994) dos vetores demarcados por meio das concepções dos partícipes, ou seja, onde residiam os vetores e quais funções assumiam. Assim, procurou-se valorizar as ideias intuitivas dos conceitos, antes de trabalhar com o processo de abstração e de dedução de resultados teóricos, possibilitando extrair dos hábitos praxeológicos, segundo o viés de assujeitamentos pessoais, revelados nas questões preliminares que já evidenciam algumas incompletudes no que tange a este saber.

Isto posto, partiu-se para o estudo das resoluções das tarefas nos ambientes Papel Lápis

-PL e GeoGebra -GG. A primeira questão se apresentou como um convite para estabelecer elos com os pressupostos do Paradigma de Questionamento do Mundo [START_REF] Chevallard | Théorie Anthopologique du Didactique & Ingénierie Didactique du Développement[END_REF]2010;2012), em especial, por meio da vinculação do funcionamento do " (...) sistema didático S (X; y; O); (...) com a prerrogativa do professor y não assumir o centro do trabalho de X sob a direção de y, este último deixa de "professar" para se tornar um diretor de estudos ou diretor de investigação. " (LADAGE e CHEVALLARD, 2011, p.2, tradução nossa 141 ). Nesse sentido, pode-se tomar como exemplo um dos questionamentos iniciais, o qual versor sobre a direção e sentido do vetor nulo, aspecto este já sinalizado como um dos equívocos provocados devido às trocas entre direção e sentido revelados no elenco de questões preliminares.

Os distintos caminhos resolutivos percorridos pelos discentes, alimentaram e evidenciaram um sistema de técnicas, as quais versaram sobre: módulo, direção e sentido, ponto médio, adição e subtração vetorial, multiplicação por escalar, propriedades e paralelismo. Nas quatro primeiras questões, os gêneros de tarefas estavam pautados na obtenção das somas e subtrações acrescidas das representações imersas no domínio algébrico, geométrico e numérico [START_REF] Farias | Étude des interrelations entre les domaines numérique, algébrique et géométrique dans l'enseignement des mathématiques au secondaire: une analyse des pratiques enseignantes en classes de troisième et de seconde[END_REF]. Nas demais, o cerne foram as provas e as demonstrações cujo objetivo foi o de propor problemas que induzissem os alunos a assumir a responsabilidade pela sua resolução e, consequentemente, delegar a verificação dos meios de validação por eles utilizados. Nesse sentido, Ballacheff (2000, p.4, tradução nossa 142 ) sublinha que "a demonstração é uma 141 (...) sistema didático S (X; y; O); (...) avec prerrogativa do professor y mas que está no centro do trabalho de X sob a direção de y, este último deixa de "professar" para se tornar um diretor de estudos ou diretor de de investigação. 142 la demostración sea una herramienta de prueba, una manera de validar un enunciado, está oculto bajo la concepción de la demostración como género del discurso, cuya base esencial es la estrutura. ferramenta de prova, uma forma de validar uma declaração, que está oculta sob a concepção da demonstração como um gênero de discurso, cuja base essencial é a estrutura."

A visibilidade das provas ficaram obscurecidas nas produções realizadas no contexto do GeoGebra, pois nos registros das construções resolutivas, realizadas com o suporte do software, evidenciaram que os sujeitos recorreram ao texto para complementar a prova solicitada na questão. Contudo, Lima et al. (2018, p.201), sinalizam que ao trabalhar com "atividades sobre provas e demonstrações matemáticas com o uso do aplicativo GeoGebra, proporciona-se uma alternativa ao incentivo de se conjecturar, argumentar, provocar raciocínio hipotético-dedutivo e articular níveis de pensamento geométrico."

Em direcionamento análogo, Yang(2011) pontua que os estudantes devem começar pelas figuras, por entender os termos, os conceitos e os símbolos matemáticos, para efetivamente perceberem o que se pretende demonstrar. Neste contexto, Amado et al. (2015, p. 638) pontuam que "as novas tecnologias, em particular o computador e os ambientes de geometria dinâmica, podem dar um importante contributo. (...) permitindo novas formas de abordar e explorar os problemas geométricos." Assim, fundamentados no que pressupõe [START_REF] Balacheff | Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. una empressa docente[END_REF], destaca-se a existência de uma linha tênue que diferencia provas e demonstrações, ou seja, provas e demonstrações não são palavras sinônimas. Neste sentido, [START_REF] Balacheff | Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. una empressa docente[END_REF] declara que, Quando uma explicação é reconhecida e aceita, é conveniente projetá-la com um termo que permita distingui-la do sujeito locutor. Em matemática, é claro que o termo "demonstração" não é o mais conveniente porque seu significado é muito específico. Selecionamos o termo prova. (BALACHEFF, 2000, p. 12, tradução nossa 143 ).

Desse modo, nos enunciados da quinta e sétima questões, optou-se por deixar implicitamente a palavra "prova" sendo revelada apenas na sexta questão. As provas apresentadas no ambiente PL e, posteriormente, no GG direcionaram alguns estudantes a expor a falta de um entrelaçamento inequívoco entre hipótese e tese. No entanto, não podemos esquecer que o GeoGebra proporciona um dinamismo, o qual gera maior oportunidade de investigação, de visualização e de criação de argumentos matematicamente válidos.

Outro aspecto, que merece destaque está relacionado às distintas tarefas: 5ª, 6ª e 7ª que demandaram o emprego de repetidas técnicas: 𝜏 𝑃𝐿 -Soma de vetores; Multiplicação por escalar, Propriedade distributiva e paralelismo entre vetores. O suporte tecnológico-teórico pautou-se na geometria analítica e na álgebra linear, por meio das combinações lineares presentes nas 143 Cuando una explicación es reconocida y aceptada, conviene para diseñarla disponer de un término que permita marcar su distinción del sujeto locutor. En matemáticas es claro que el término "demostración" no es el más conveniente debido a que su acepción es muy específica. Seleccionamos el término prueba.

resoluções. Assim, o mapeamento das soluções das tarefas que foram trabalhadas no minicurso em questão, possibilitou análises mais aprofundadas no âmbito do ensino e aprendizagem dos vetores. Verificamos que, apesar da existência de alguns elementos conceituais não bem definidos, os participantes do curso conseguiram integrar o GeoGebra à construção dos procedimentos para obtenção de uma resposta satisfatória, ou parcialmente, em casos sinalizados nas questões trabalhadas.

Isto posto, destaca-se a manifestação das nuances de um Modelo Praxeológico de Referência -MPR. Esse se estrutura por uma rede de praxeologias matemática e didática, as quais permitiram traçar mapeamentos que dialogam com as possibilidades do uso de distintos Dispositivos Didáticos, no âmbito do ensino e aprendizagem vetorial. Em particular, o MPR se apresenta com a função de questionar alguns alcances e limitações no seio das tarefas e técnicas direcionadas pelas recombinações praxeológicas.

Nestes termos o MPR, exporá pontos de vistas da pesquisadora, o qual possui um caráter relativo e provisório, pois de acordo com [START_REF] Gascón | Os Modelos Epistemológicos de Referencia como Instrumentos de Emancipação da Didática e da História da Matemática[END_REF], eles podem ser avaliados, corrigidos e contrastados. Adita-se a isso que, o MPR é uma resposta provisória inicial às questões que fazem parte da dimensão epistemológica dos problemas didáticos envolvidos, pois a OM de referência é aquela que o pesquisador coloca à prova da contingência e que sofre para isso constantes remodelações. (BOSCH, 2004, p.117).

A partir dessa perspectiva, o MPR é em si um resultado didático e também uma ferramenta para conduzir análises didáticas. Em síntese, "são considerados como sistemas de referências úteis para analisar os modelos dominantes nas diferentes instituições." (GASCÓN, 2018, p. 59). Dessa forma, é pertinente revelar como se estruturou a tese em conjunto com as hipóteses que subsidiaram o desenho inspirado da Engenharia Didática -ED que será materializada nos próximos capítulos. No intuito de deixar mais claro para o leitor, é apresentado o seguinte esquema:

A título de ilustração, parafraseando [START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF] quando este apresenta similitude entre uma música executada por múltiplos instrumentos e a transposição, é possível observar que quando uma música é transformada do violão ao piano, por exemplo, é a mesma peça, a mesma música, mas a diferença é que ela está escrita de maneira distinta para ser interpretada enquanto um instrumento diverso. Nesse sentido, pode-se estabelecer a seguinte analogia, pois o timbre nos permite distinguir se sons de mesma frequência foram produzidos por instrumentos diferentes. Por exemplo, quando ouvimos uma nota tocada por um saxofone e, depois, a mesma nota, com a mesma altura, produzida por um trompete, podemos, imediatamente, identificar os dois sons como tendo a mesma frequência, mas com características sonoras muito distintas. 

CAPÍTULO V CONCEPÇÕES ACERCA DA CONSTRUÇÃO DE ESTRUTURAS DIDÁTICAS E MATEMÁTICAS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE VETORES À LUZ DO MODELO PRAXEOLÓGICO DE REFERÊNCIA -MPR

Neste capítulo, de posse das hipóteses, esta pesquisa utiliza a lente de observação inerente ao Modelo Praxeológico de Referência -MPR, que foi previamente idealizado e gradualmente ampliado, por meio da operacionalização dos Geradores de Tipo de Tarefas -GT. Esses geradores funcionam como dispositivos de produção de tipos de tarefas regidos e alimentados por distintas variáveis que assumem a esfera estrutural da modelação, associada ao papel de ferramenta metodológica em um processo de modelagem (CHAACHOUA, 2018).

Dito isso, considera-se pertinente destacar a concepção de Chevallard (1999) acerca das tarefas, Na raiz da noção de praxeologia, estão as noções conjuntas de tarefa t e de tipo de tarefas, T. Quando uma tarefa t faz parte de um tipo de tarefas T, ela será escrita t ∈ T. Na maioria dos casos, uma tarefa (e o tipo de tarefas associado) é expressa por um verbo: limpar a sala, desenvolver a expressão literal dada, dividir um inteiro por outro, cumprimentar um vizinho, ler um manual de emprego, subir uma escada, etc. (CHEVALLARD, 1999, p.2)

Agrega-se à noção de tarefa, ou melhor, de tipo de tarefas ao considerar um objeto relativamente preciso como subir uma escada que é uma espécie de tarefa, mas subir simplesmente não é. Da mesma forma, calcular o valor de uma função em um ponto é um tipo Em sentido estrito, concordamos com a declaração de Chaachoua (2019, não paginado):

"o que o pesquisador observa em determinada instituição são tarefas, textos relacionados ao conhecimento e ao saber-fazer". Acrescenta-se à concepção de Chevallard (1998, p. 91) de que "toda atividade humana pode ser modelada em termos de praxeologias". Ou seja, admite-se, com efeito, que toda atividade humana regularmente exercida pode ser descrita com um único modelo, que aqui se resume com a palavra praxeologia.

Essas e outras questões permeiam a trajetória desta pesquisa, bem como os pressupostos da TAD [START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF]1998;1999;2001;2006) As noções de variáveis e de Gerador de Tipo de Tarefas são dois aportes importantes do T4TEL. Entretanto, neste primeiro momento, modelamos um GT um tanto diferenciado e com menor abrangência, se comparado ao proposto inicialmente, pois é apresentado um sistema de variáveis estabelecendo uma categorização de valores de uma ou mais variáveis do GT, como evidenciado na figura 78, que, por consequência, produz um conjunto estruturado de subtipos de tarefas. Chaachoua e Bessot (2018) destacam que dentre as funções das variáveis em operação num GT, estão: gerar subtipos de tarefas e caracterizar os escopos das técnicas.

Também podemos modificar o nível de granularidade e propiciar o trânsito de tarefas específicas ou locais para tarefas mais gerais ou globais, tudo isso regulado pelas intenções do pesquisador.

Destarte, um gerador de tipo de tarefas não é um tipo de tarefa. Sua função consiste em engendrar tipos de tarefas de acordo com a estruturação hierárquica definida pelas variáveis (CHAACHOUA, 2018). Outro aspecto que se considera de relevância ímpar, é a concepção empreendida pelo referido autor ao admitir que os valores das variáveis podem ser hierarquizados. Esse ponto de vista nos leva a pensar em estabelecer relações com os distintos níveis de codeterminação didática (CHEVALLARD, 2002), posteriormente denominados como níveis de condições e restrições (CHEVALLARD, 2013), requisito primeiro para proceder análises associadas aos graus de codeterminação didática. Neste sentido, é relevante destacar que níveis hierárquicos da escala de codeterminação subsidiam o complexo praxeológico e, segundo Chevallard (2002), ajudam a definir a ecologia das organizações matemáticas e das organizações didáticas através de pontos de apoio oferecidos por condições e restrições que lhes são impostas.

Sob esta vertente, é pertinente sublinhar que a relação institucional de um objeto para uma determinada posição institucional é moldada e re-moldada por um conjunto de tarefas que devem ser cumpridas, por intermédio de algumas técnicas, pelas pessoas que ocupam essa posição. Assim, "é frente ao cumprimento de diferentes tarefas que a pessoa, ao longo de sua Baseados nesse ponto de vista, na análise central deste trabalho, almeja-se responder:

"como favorecer articulações que potencializem a aprendizagem dos vetores em um curso dirigido aos futuros professores de matemática?" Tal questão nos impulsiona a indagar, primeiramente: o que existe de incompleto no ensino e, consequentemente, na aprendizagem da Álgebra Vetorial no CLM -UEFS?

Expomos como hipótese que, ao analisar questões/tarefas guiadas pela argumentação do T4TEL, é possível pensar na reconstrução das praxeologias pessoais com a intenção de 152 "Es importante recalcar que este discurso, cuya función principal consiste en proporcionar a la actividad descripciones, explicaciones y justificaciones válidas (para la institución en la que tiene lugar), también debe incorporar elementos de respuesta a la cuestión de las razones de ser de la actividad considerada y de las obras que ésta produce. La "comprensión" en el sentido aquí considerado incluye pues también la búsqueda de las tareas problemáticas que están (o que podrían estar) en el origen de la organización matemática considerada. ¿Para qué sirven los ángulos? ¿Y los triángulos? ¿Por qué hay que aprender a calcular con fracciones? ¿O a multiplicar números negativos? Este tipo de preguntas forma parte del cuestionamiento tecnológico-teórico y constituyen um aspecto importante de la exigencia de justificación de las actividades correspondientes". 153 "(...) a Teoría Antropológica, no se hablará de "comprender un concepto", porque la unidad elemental de análisis de la actividad matemática no es el concepto sino la organización matemática o praxeología. El estudio de lo que se considera como "comprensión de un concepto" en una institución dada y para un tipo de sujetos dado requiere la explicitación de las actividades (es decir, de las praxeologías) que, en cierto sentido, dan vida al concepto mencionado, así como de la dinámica que articula entre sí unas organizaciones matemáticas con otras (incluyendo, claro está, las cuestiones problemáticas que motivan u originan dichas organizaciones)".

identificar incompletudes provenientes do ensino e da aprendizagem dos vetores e, diante destes elementos, propor recombinações praxeológicas154 nas situações geradas no Ambiente Híbrido de Aprendizagem (AHA). Esse ambiente ganhará traços mais definidos ao tomarmos emprestados aspectos conceituais oriundos da concepção de cenários, como difundido por [START_REF] Laubé | Scénarios intégrant les TICE: les méthodologies et les cadres théoriques à l'oeuvre dans la recherche MODALES[END_REF]2007), que ataquem tais lacunas, pois, segundo os autores ora citados, "tratase de criar cenários que permitam que futuros professores 'aprendam sua profissão' realizando sequências de ensino." (LAUBÉ et al, 2006, p. 45, tradução nossa155 ).

Neste segmento, como apoio metodológico, o presente estudo investigativo situa-se nos pressupostos da Engenharia Didática, "ao designar, ao mesmo tempo, produções realizadas para o ensino na sequência de investigações" (ARTIGUE, 1996, p. 196). A autora também destaca que:

A engenharia didática, vista como metodologia de investigação, caracteriza-se antes de mais nada, por um esquema experimental baseado em "realizações didáticas" na sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise de sequências de ensino. Aí se distinguem, classicamente, dois níveis, o da microengenharia e o da macro-engenharia, conforme a importância da realização didática implicada na investigação. (ARTIGUE, 1996, p. 196) A partir desse escopo investigativo, o Curso Introdutório sobre Vetores apresenta-se como um esquema experimental do MPR (GASCÓN, 2018), em que as produções e as realizações dos estudantes em torno de tarefas vetoriais são examinadas. Aspecto este que possibilitará aproximações com as praxeologias pessoais destes discentes [START_REF] Chaachoua | La praxéologie comme modèle didactique pour la problématique EIAH. Etude de cas: la modélisation des connaissances des élèves[END_REF]; CROSET e CHAACHOUA, 2016). No intuito de clarificar o entendimento do leitor, serão expostos alguns detalhes que revelarão traços do planejamento e da concepção, assim como a execução e as produções dos discentes, dialogando com as percepções de base da engenharia ao suscitar retomadas, reformulações e aprofundamentos para um próximo experimento.

UM RETRATO DAS ANÁLISES PRÉVIAS

A ideia de elaborar um curso que evidenciasse os vetores, surge a partir de inquietações oriundas da prática de ensino ratificadas por constatações teóricas. Como afirmou [START_REF] Artigue | Problemas y desafíos en educación matemática: ¿Qué nos ofrece hoy la didáctica de la matemática para afrontarlos? Educación Matemática[END_REF], as sociedades funcionam sobre a base de uma cultura matemática científica pouco profunda. E complementa, parafraseando [START_REF] Steen | The Case for Quantitative Literacy[END_REF]:

(...) a cultura matemática de que o cidadão precisa, atualmente, vai muito além do tradicional "contar" (parte integrante da trilogia básica: saber ler, escrever e contar), já que essa cultura deve permitir-lhe raciocinar em situações de risco e incerteza, decifrar e saber analisar criticamente a avalanche de informações codificadas que recebe (ARTIGUE, 2004, p. 6, tradução nossa 156 ).

No entanto, o que encontramos nas salas de aula, frequentemente, perpassa por um contorno incompleto e raso no que tange ao domínio do conhecimento matemático. Em mesmo caminho, Skim (2015) revela em sua tese a propagação desigual do conhecimento matemático operacional nas sociedades contemporâneas, regulado por condições e restrições de todos os níveis que determinam a difusão (e a não difusão) do conhecimento. Através dos estudos do autor, é possível evidenciar expressões e sentimentos que expõem uma propaganda negativa da matemática, uma espécie de fobia cultural da matéria, denominada por ele como antimatemática. O teórico explora declarações que retratam a tradicional "difamação" e que revelam expressivo distanciamento do saber em pauta. Para ilustrar esse fato, exemplificamos alguns trechos:

Michel Quint, que recentemente escreveu um excelente pequeno romance, tornou-se best-seller, Effroyables jardins, mostra sua antipatia pela ciência, a matemática em particular: "Mais que tudo, eu odiava os Augustes. Mais do que óleo de fígado de bacalhau, os beijos nos velhos familiares bigodudos e cálculo mental, mais do que qualquer tortura infantil"; (...) uma revista política publicou recentemente uma foto de uma câmara de execução do Texas: "Tudo nesta foto respira morte, (...) universo geométrico e técnico ..." geometria e técnica estão do lado da morte. O que podemos dizer em resposta? Talvez sugerir ao autor uma visita aos jardins da Alhambra de Granada; seus preconceitos devem desaparecer nesse tipo de paraíso de beleza, natureza e geometria. (...) José Garcia, um ator em ascensão, diz em uma entrevista recente: "Durante quinze anos da minha vida, eu pensei que eu era um tolo, um idiota, um burro. Tudo porque eu não era bom em matemática". (SKIM, 2015, p. 239-240, tradução nossa 157 ).

Entretanto, Artaud (2017, informação verbal 158 ) assevera que "o problema se encontra no cerne da matemática e não em seu ensino." Por meio dessa declaração, pode-se inferir que 156 "(...) la cultura matemática que necesita actualmente el ciudadano va mucho más allá del tradicional 'contar' (parte integrante de la trilogía básica: saber leer, escribir y contar), pues esta cultura debe permitirle razonar en las situaciones de riesgo e incertidumbre, descifrar y saber analizar de manera crítica la avalancha de informaciones codificadas que recibe". Nesse contexto, agregam-se as características históricas e epistemológicas que também demonstram a recorrência da representação vetorial para exprimir movimentos, representar forças, compreender fenômenos e reafirmar a existência de números negativos e imaginários.

Conforme evidenciou [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF], o desenvolvimento do conceito de vetor se deu na busca pelo entendimento de resultados algébricos, uma vez que essa grandeza proporciona contribuições para a geometria através da direção e do sentido, e não só do comprimento (grandeza escalar), permitindo assim pensar a ideia de movimento. A caracterização da percepção de movimento pode ser potencializada no seio do AHA no âmbito dos dispositivos: manipuláveis ou tangíveis e no GeoGebra.

O contexto e o planejamento do curso

Prosseguimos destacando algumas características do curso. A primeira peculiaridade refere-se ao fato de termos desenvolvido o trabalho em horário distinto do momento das aulas da disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear I -EXA 180. Esse fato propicia um maior grau de liberdade em relação ao tempo de estudo dos vetores, ou seja, altera-se a cronogênese, função didática a qual se encarrega da "gênese do tempo didático, ou seja, o tempo da construção praxeológica" (Chevallard, 2009, p.79) 159 Verifica se a razão de ser dos tipos de tarefas está sustentada por um discurso didático tecnológico-teórico capaz de descrever, justificar, interpretar e desenvolver a práxis.

Os alunostodos nós, na verdadeestamos cercados pelos meios de comunicação (mídias), uma palavra que uso aqui no sentido generalizado, chamado "médium" ou qualquer sistema social que objetiva informar algum segmento da população ou determinado grupo de pessoas sobre o mundo natural ou social. Nesse abrangente ponto de vista, um ciclo de palestras, por exemplo, é um meio, como também é um textbook, o mesmo pode ser dito de lendas urbanas transmitidas de boca em boca... (CHEVALLARD, 2006, p. 26).

O autor também esclarece que:

o "meio" é qualquer sistema desprovido de intenções e, portanto, se comporta como um fragmento da naturezauma estrutura que não pretende agradar nem desagradar. Em matemática as provas constituem o meio, pois o sistema dedutivo não tenta cumprir o desejo do matemático (Ibid., p. 29).

Dito isso, seguimos a interpretação de Chevallard (2007) No que tange aos caracteres omissos, Brousseau (2013) ressalva que os aspectos históricos e epistemológicos refletem de maneira ilusória o trabalho dos matemáticos:

A epistemologia e a história da matemática, no entanto, dão uma imagem muito diferente da maneira pela qual o conhecimento matemático é criado e usado nos círculos dos matemáticos antes de se cristalizar em uma forma propícia à sua difusão e ensino. Por seu objeto, a epistemologia parece excluir qualquer componente experimental. No entanto, "compreender" a criação de um conceito deve, pelo menos implicitamente, referir-se a uma maneira de concebê-lo para alguém que não "inventou" ele mesmo. (BROUSSEAU, 2013, p. 3, tradução nossa 161 )

Nesse sentido, a resolução de tarefas vetoriais em um Ambiente Híbrido acionou vários desdobramentos de estudos, os quais serão detalhados no desenvolvimento desta investigação.

Descrição de algumas tarefas e Geradores de Tipo de Tarefas -GTs

Nas análises prévias, foi detectado que os participantes do curso tiveram pouco contato ou desconheciam o objeto de ensino visado. Consequentemente, segundo a TAD, e como expresso anteriormente, a relação pessoal da maioria dos participantes para com os vetores inexistia, ou seja, 𝑅 (𝑋, 𝑂) = ∅. Perante esse contexto, nossa intenção didática constituiu-se em modificar tal relação, já que, de acordo com Chevallard (1996, p. 130, grifos nossos), "Há, pois, aprendizagem (para a pessoa X, relativamente ao objeto O) quando 𝑅 (𝑋, 𝑂) se altera.

Bem entendido, é possível que 𝑅 (𝑋, 𝑂) não se altere: dizemos, então, que X 'nada aprendeu'."

Nesse viés, o desenho de uma das análises trabalhadas nesta pesquisa partiu de uma aula introdutória sobre a "anatomia dos vetores" ou "natureza geométrica dos vetores", e foi apresentado anteriormente, no quadro 06, abordando os tópicos: "-Por que estudar os vetores?

-Diferenciação entre grandezas escalares e grandezas vetoriais; -definição, etimologia e notações e casos particulares de vetores". Para conduzir os estudantes à razão de ser institucional dos vetores no Curso de Licenciatura em Matemática, evocamos os seguintes elementos institucionais:

161 "L'épistémologie et l'histoire des mathématiques donnent pourtant une image très diferente de la façon dont les connaissances mathématiques se créent et s'utilisent dans le milieu des mathématiciens avant de se cristalliser dans une forme propice à leur diffusion et à leur enseignement. Par son objet l'épistémologie semble exclure tout volet expérimental. Pourtant 'comprendre' la création d'un concept doit bien se référer au moins implicitement à une façon de le concevoir pour quelqu'un qui ne l'a pas 'inventé' lui-même.". WINTERLE, 1987, p.4). E acrescentam que: "Se indicarmos com v  este conjunto, simbolicamente podemos escrever 𝑣 = {𝑋𝑌/𝑋𝑌~𝐴𝐵}, onde XY é um segmento qualquer do conjunto." (Ibid., 1987, p.4). Nota-se que, a partir deste discurso, emerge uma quantidade significativa de elementos não ostensivos e consequentemente ostensivos, como destacado por

Almouloud (2007):

A notação v  e a palavra "vetor", por exemplo, são objetos ostensivos, enquanto a noção de vetor é um objeto não ostensivo, pois é impossível manipulá-lo, contudo podemos torná-lo presente pela manipulação de certos objetos ostensivos a ele associados. (ALMOULOUD, 2007, p.20) A título de comparação com o delineamento anterior de equipolência entre segmentos, apresentamos uma segunda formulação deste conceito, retirada de outra obra pertencente às referências bibliográficas da maioria das ementas dos cursos de Geometria Analítica:

Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes, e indica-se AB ~ CD, se um dos casos seguintes ocorrer: a) Ambos são nulos; b)

Nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido (CAMARGO; BOULOS, 1987, p. 5).

Constata-se, desse modo, que existe um aspecto incompleto e, por consequência, propulsor de obstáculos relacionados à definição, já que abre possibilidades para o seguinte questionamento: "Então, o que se pode afirmar sobre a noção de equipolência para segmentos nulos?" Neste momento, os estudantes permaneceram em silêncio diante da questão exibida.

Como podemos, assim, interpretar este elemento não-verbal eivado de significado? [START_REF] Steinberg | Os elementos não-verbais da conversação[END_REF] expõe que o silêncio pode ser apresentado de diversas formas, com diferentes significados: o silêncio se apresenta sempre da mesma forma, isto é, ausência de som, mas sua ocorrência pode ter interpretações diferentes, dependendo do contexto social e cultural. (...) O silêncio pode ser imposto por normas sociais ou pode ser deliberado. (...) o silêncio propicia oportunidade a outros signos ou códigos de se evidenciarem mais fortemente no processo de comunicação. (STEINBERG, 1988, p. 22-23) Esta ausência de som comunica a existência de um caráter controverso, visto que a condição necessária e suficiente é que todos os segmentos sejam orientados, e não podemos fazer referência à orientação do segmento nulo. Contudo, esse aspecto é sanado na segunda conceituação. A partir de perspectivas como as mencionadas, é possível refletir sobre os obstáculos ou as restrições que podem ser gerados através de conhecimentos incompletos ou inadequados [START_REF] Brousseau | Estudos Experimentais e Teóricos de Situações Didáticas em Matemática[END_REF].

Também, pontuamos a etimologia da palavra vetor que provém do verbo vehere, que significa transportar, levar (VENTURI, 2015), que dialoga com a ideia de [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF] em que se deve pensar na ideia de movimento. Quanto aos casos particulares, recorremos a uma das representações demonstradas na figura 82, a fim de identificar e exemplificar diversos vetores. Assim, revelamos uma das tarefas que foi trabalhada no Curso Introdutório sobre Vetores, imbricada ao seu respectivo Gerador de Tipo de Tarefas. Diante dos fatos elencados, emerge mais uma função assumida pelos GT neste estudo, pois é possível admitir que cada Tipo de Tarefa produzida por um GT = {T; SV}. Por exemplo, T1 transporta em si características de T, ou seja, a decomposição de cada Tipo e Subtipo de Figura 82 -Representação de diversos vetores.

Tarefas, de acordo com a caracterização das técnicas (BESSOT e CHAACHOUA, 2016), o que nos permitiu inferir que um GT oportuniza, analogamente, estudar o "DNA matemático" de T na medida em que podemos construir geradores que armazene a gênese e nos informe a natureza de T1,T2 ,..., Tn advindas de GT. Ainda de acordo com esses autores, os objetos de observação do pesquisador são Tarefas e Tipo de Tarefas, neste sentido, os GTs operacionalizam e conduzem os encaminhamentos da problemática didática, que propicia analisar a junção dos Tipo de Tarefas em associação às variáveis, configurada por uma gama de Subtipos de Tarefas derivadas de T produzidas pelos GT, ou seja, a partir desse repertório é possível abordar a gênese de T estabelecendo associações com níveis de codeterminação didática (CHEVALLARD, 2002) . Como O valor da variável 𝑣 1 assumida, nesta fase, tem uma natureza ostensiva manipulativa "como todo objeto dotado de uma natureza sensível, de certa materialidade e que se apresenta ao sujeito como uma materialidade perceptível." (BOSCH, 1994, p. 47). A autora estabelece ainda a seguinte comparação: "O conceito de um número inteiro ou de uma função linear não existe sem toda uma atividade manipulativa de ostensivos (tanto linguísticos quanto gráficos, gestuais e escritos, sem esquecer a manipulação concreta de objetos materiais)" (BOSCH, 2001, p. 19, tradução nossa) 162 . Desta maneira, podemos admitir que, por meio destes objetos tangíveis-manipuláveis, é possível gerar um cenário de técnicas não esperadas pela instituição.

Tal escolha comunga diretamente com o que declara Artigue (1996, p. 202, grifos da autora) a respeito desta fase: "o investigador toma a decisão de agir sobre um determinado número de variáveis do sistema não fixadas pelos constrangimentos: variáveis de comando, que ele supõe serem variáveis pertinentes para o problema estudado". Nesse contexto, destacamos o objetivo da tarefa, as possíveis estratégias de resolução, as variáveis didáticas da situação e os conhecimentos e as competências possíveis do sujeito para completar a tarefa.

As atividades que os sujeitos desenvolveram na construção concreta não deixaram de mobilizar a natureza abstrata dos objetos matemáticos, aspecto esse que se articula à declaração de Arzarello et al (2008, p. 180, tradução nossa): 163 "Todos esses recursos (ostensivos), com as ações e as produções que eles aprimoram, parecem importantes na construção de ideias matemáticas e no desenvolvimento de atividades matemáticas".

162 "El concepto de número enterro o el de función lineal no existen sin toda uma actividad manipulativa de ostensivos (tanto linguística como gráfica, gestual y de escritura, sin olvidar em el la manipulación concreta de objetos materiales)". 163 "All such (ostensive) resources, with the actions and productions they enhance, appear important in the building of mathematical ideas and the development of mathematical activities".

No primeiro momento, os estudantes realizaram as possíveis identificações dos vetores, como solicitado na questão 1 da figura 82. Em um segundo momento, sugerimos aos alunos que, utilizando os materiais disponíveis (canudos, palitos de madeira, bolas de isopor) e os materiais de suporte (colas, tesouras, estiletes), reproduzissem a referida figura. Assim, admitimos como possível a manipulação e a construção dos representantes dos vetores em um ambiente que contemple a terceira dimensão (3D), através do valor da variável 𝑣 8 .

Apresentamos abaixo trechos do processo de construção. Os registros evidenciados nas figuras 84 e 85, revelam traços da produção dos estudantes, o que gera uma unidade de análise para a pesquisa, pois é possível identificar com maior nitidez os conceitos geométricos vetoriais envolvidos no processo de construção do modelo manipulável, revelando, assim, traços das praxeologias pessoais (CHAACHOUA, Na figura 85, constatamos uma das escolhas dos estudantes, expressa pelas cores dos canudos, acrescida da fundamentação tecnológica implícita na construção: a produção de uma base quadrada (quatro ângulos retos e quatro segmentos congruentes), que serviu de suporte para a colocação da representação tangível de quatro segmentos ortogonais à base de construção. Supomos que o uso de canudos na mesma coloração simbolizou, para os discentes, vetores paralelos. A seguir, exibiremos duas construções de grupos distintos. Figura 86 -Exemplo de dois protótipos representativos da imagem apresentada na figura 82

Nestes termos, por meio do modelo construído pelos discentes, foi viável identificar exemplos de vetores: paralelos, ortogonais, coplanares, dentre outros. A TAD inclui a dimensão ostensiva da atividade matemática no cerne de seu modelo epistemológico, ou seja, como a "carne" na qual as praxeologias são corporificadas. Assim, qualquer praxeologia é sempre ativada pela manipulação de ostensivos e pela evocação de não ostensivos (por exemplo, o ostensivo 𝑦 = 𝐾. 𝑥, a expressão ''função linear'' ou o gráfico de uma linha reta é a evocação do conceito matemático abstrato ''função linear''), que são como os dois lados da mesma moeda. Em geral, nossa cultura 164 "From the ATD point of view, the ostensive dimension ofmathematical activity is interesting as far as it makes itpossible to shed light on the mathematics educationalproblems".

Exemplo de vetores coplanares, opostos, paralelos e ortogonais.

Exemplo de vetores ortogonais e coplanares.

Figura 87 -Construção do modelo manipulável Figura 88 -Finalização da construção do modelo manipulável tende a supervalorizar os não-ostensivos (os conceitos), enquanto os ostensivos são subestimados, principalmente gestos, palavras e grafismos informais. Eles são valorizados de acordo com sua função semiótica, ou seja, são considerados como signos ou objetos perceptíveis cuja única função é representar outros objetos. Mas a TAD aponta outra importante função, geralmente negligenciada, dos ostensivos: a função instrumental. De fato, os ostensivos não são simples meios de trabalho, mas instrumentos genuínos para a atividade matemática: sua manipulação cuidadosa não apenas permite a execução de uma tarefa matemática, mas também é essencial para a sua realização, por exemplo, para resolver uma equação (ARZARELLO et al, 2008, p. 181, tradução nossa). 165 Pensar a dimensão ostensiva, enquanto uma materialização e ativação das praxeologias, revela uma genuína pujança do caráter instrumental para a atividade matemática. Através dessa perspectiva, vislumbra-se que a referida tarefa poderia ser solucionada por uma técnica tangível, porém mais custosa e não esperada pela instituição, possivelmente devido ao menosprezo cultural empreendido aos objetos ostensivos como sinalizou [START_REF] Arzarello | The ostensive dimension through the lenses of two didactic approaches[END_REF]. Soma-se a esse aspecto a exclusão de técnicas alternativas em detrimento das técnicas naturalizadas em I, como sublinhou Chevallard (1999):

Tal exclusão é correlativa, entre os atores de I, de uma ilusão de "naturalidade" das técnicas institucionais em I -fazê-lo, é natural ...-, em contraste com o conjunto de técnicas alternativas possíveis, que os sujeitos de I. Se eles os ignoram ou, se confrontados, os veem espontaneamente como artificiais e (portanto) "contestáveis", "inaceitáveis" etc. Nessa visão, é frequentemente observada, entre os sujeitos de I, verdadeiras paixões institucionais pelas técnicas naturalizadas na instituição. (CHEVALLARD, 1999, p.3) Entretanto, não podemos incorrer no equívoco de desprezar o fato de que qualquer praxeologia é sempre ativada pela manipulação de ostensivos e pela evocação de não ostensivos, como enfatizou [START_REF] Arzarello | The ostensive dimension through the lenses of two didactic approaches[END_REF]. Em mesmo sentido, a manipulação dos objetos ostensivos permite dar forma à estruturação praxeológica presente na TAD (CHEVALLARD, 1999), além de considerarmos que os ostensivos são instrumentos legítimos para a atividade matemática.

Dispúnhamos de uma tarefa que continha em sua estruturação uma representação bidimensional de uma figura tridimensional, isto é, empregou-se uma técnica da geometria 165 "The ATD includes the ostensive dimension of mathemat-ical activity in the core of its epistemological model, thatis, as the 'flesh' in which praxeologies are embodied. Thus, any praxeology is always activated through themanipulation of ostensives and the evocation of non-ostensives (e.g. the ostensive 𝑦 = 𝐾. 𝑥 , the expression. 'linear function' or the graph of a straight line and theevocation of the abstract mathematical concept 'linearfunction'), which are like the two sides of the same coin. In general, our culture tends to overvalue the nonostensives (the concepts), while the ostensives are under-estimated, especially gestures, words and informalgraphisms. They are valued according to their semiotic function, that is they are considered as signs or perceivableobjects whose only function is to represent other objects. But ATD points out another important, usually neglectedfunction of ostensives: the instrumental function. In fact, ostensives are not simple working media but genuineinstruments for the mathematical activity: their carefulmanipulation not only allows performing a mathematicaltask but is also essential for its accomplishment, e.g. forsolving an equation".

projetiva de representação tridimensional que possibilita a ilusão de espessura e profundidade das figuras, já declarado por Lehmann (1989) regulados pelas escolhas do professor.

Traços da praxeologia presente na tarefa

Ante essas ponderações, inferimos acerca da existência de lacunas como as apresentadas anteriormente, que precisam ser analisadas por meio de pressupostos de um arcabouço teórico que integre a estrutura organizacional do saber em pauta. No caso do estudo em questão, este suporte organizacional concentra-se no seio da TAD. Assim, fizemos referência às relações pessoais e institucionais imersas na gênese dessa teoria. Nessa perspectiva, [START_REF] Chevallard | La théorie anthropologique des faits didactiques devant l'enseignement de l'altérité culturelle et linguistique. Le point de vue d'un outsider. Conférence plénière donnée le 24 mars 2006 au colloque Construction identitaire et altérité: Créations curriculaires et didactique des langues[END_REF] apresentou como premissa básica da TAD a afirmação de que "qualquer atividade humana, regularmente realizada, pode ser integrada a um único modelo, que é sintetizado pela palavra praxeologia" (CHEVALLARD, 1998, p.5).

A partir desse olhar praxeológico e de suas múltiplas interligações, entende-se que devemos aprender ou ensinar matemática enquanto ação humana, admitindo-se que toda atividade humana pode ser modelada praxeologicamente, ou seja, em outros termos, consiste em realizar uma tarefa t de um determinado tipo T, cumprida por uma dada técnica 𝜏, fundamentada por uma tecnologia 𝜃, legitimada por meio de uma teoria Θ. Essa estrutura é simbolicamente representada por ℘ = [𝑇, 𝜏, 𝜃, Θ] e significa um conjunto de técnicas no bojo de uma tecnologia e de uma teoria organizadas para um tipo de tarefa, cuja denominação é Organização Praxeológica (OP) pontual, por envolver apenas um tipo de tarefa T [START_REF] Chevallard | La théorie anthropologique des faits didactiques devant l'enseignement de l'altérité culturelle et linguistique. Le point de vue d'un outsider. Conférence plénière donnée le 24 mars 2006 au colloque Construction identitaire et altérité: Créations curriculaires et didactique des langues[END_REF] Neste sentido, a observação das características de cada vetor remete ao aspecto sublinhado por Chevallard (1998) ao destacar que, (...) uma técnica τ não é necessariamente algorítmica ou quase-algorítmica por natureza: é assim apenas em muito poucos casos. Axiomatizar um certo domínio da matemática, pintar uma paisagem, fundar uma família são, portanto, tipos de tarefas para as quais quase não existe uma técnica algorítmica... Mas é verdade que parece haver uma tendência bastante geral para a algoritmização -embora este processo de progresso técnico às vezes pareça ter sido interrompido por um longo tempo, em uma determinada instituição, para um determinado tipo de tarefa ou para um determinado complexo de tipos de tarefas. (CHEVALLARD, 1998, p. 3, tradução nossa 166 ) Desta forma, pode-se direcionar atenção para os investirmos na transformação da figura em um modelo concreto manipulativo, os estudos dos "casos particulares de vetores" (WINTERLE, 2014, p. 4, grifos nossos) são alterados e se estabelece uma nova situação, que preliminarmente era estática, mas, ao se inserir essa variável, tornou-se concreta e empreendeu uma pujança dimensional, além de proporcionar uma mobilidade rotacional, materializando a 3ª dimensão, visto que sua representação bidimensional pode constituir um percalço à aprendizagem na configuração inicial, por solicitar dos estudantes habilidades de visualização e percepção espacial. Parafraseando e compactuando com [START_REF] Bishop | Implicaciones didacticas de la investigacion sobre la visualizacion[END_REF], os obstáculos à compreensão de temas geométricos podem ser provocados pela sua representação e visualização.

Análise de mais uma tarefa situada no âmbito vetorial

Por se tratar do primeiro contato dos estudantes com os vetores, conforme já evidenciamos, pensamos em apresentar outra questão no ambiente papel/lápis e materializá-la no ambiente manipulável, acordando com [START_REF] Bosch | La dimensión ostensiva en la actividad matemática[END_REF] Quadro 12 -Tarefa envolvendo vetores A atrofia da técnica de projeto do momento exploratório é, sem dúvida, devida a vários fatores. Um deles poderia crer que a exploração acaba com o problema proposto, fornecendo uma resposta rápida, (...). Não é apenas uma questão de obter uma resposta ao problema proposto, mas também de realizar um "trabalho matemático", isto é, enriquecer a teoria matemática disponível com os elementos que podem ser necessários para resolver o problema proposto, a sua matemática ou a constituição de uma técnica mais robusta, mais confiável ou menos dispendiosa. (ARTAUD, 2018, p.166) Esse aspecto deixa evidente um alcance limitado da técnica nas resoluções apresentadas pelos discentes, pois esta se tornou uma tarefa elementar e simplória pelo suporte quadriculado do papel. Mesmo diante desse impasse que provocou o aparente enfraquecimento da técnica, é possível notar que a introdução de novas variáveis constitui um fator que enriquece e concomitantemente sinaliza a exigência de alterações no Gerador de Tipo de Tarefas (GT).

Quando retiramos o suporte do papel milimetrado, deparamo-nos com resoluções do tipo: A partir desse discurso, podemos apresentar o desenho desta praxeologia pessoal.

Quadro 14 -Especificação da praxeologia pessoal apresentada na Figura 93 -𝑡 4.5 : descobrir os valores de x e y.

𝜃 A conceitualização de base ortonormal {𝑖 , 𝑗 } em um plano ℝ 2 , acrescida das noções geométricas de adição entre vetores e multiplicação de um vetor por um escalar para escrever 𝑣 ⃗ , ou qualquer outro vetor do plano, como combinação linear de 𝑖 e 𝑗 .

Θ Geometria Analítica e Álgebra Linear. Finalizada a construção da figura na interface do GeoGebra, o aluno sente a necessidade de estabelecer um comparativo entre a imagem reproduzida na folha e a na tela do computador, posicionando-as lado a lado. Sob este ângulo, Balacheff (1994) sinaliza a existência de fenômenos que acompanham a multiplicidade da representação de conhecimento, em que A manipulação direta, amplamente popularizada no campo dos jogos, abre o acesso a interfaces nas quais tudo acontece como se o usuário pudesse ter acesso direto aos objetos, introduz uma dimensão perceptual-gestural no repertório de possíveis meios de comunicação. (BALACHEFF, 1994, p. 6, tradução nossa 167 )

Assim, concebemos que a interação do sujeito com a interface do software revela-se atípica e incompleta, consequentemente, dependente de instrumentos do universo externo à 167 La manipulation directe, largement popularisée dans le domaine des jeux, ouvre l'accès à des interfaces dans lesquelles tout se passe comme si l'utilisateur pouvait avoir un accès direct aux objets, elle introduit une dimension perceptivo-gestuelle dans le répertoire des moyens possibles de communication.

Figura 95 -Comparação entre elementos de dispositivos distintos situação proposta, como a régua, que cumpre a função de mensuração e também adquire a incumbência de comparação. Em mesmo sentido, o comparativo entre a imagem na folha de papel e na tela do computador. Entraves que ultrapassam a esfera do conhecimento vetorial e adentram em outra seara.

Aproximações entre os obstáculos didáticos e as Praxeologias Pessoais

A partir do que foi explanado, em termos de produções dos estudantes, ou seja, das praxeologias pessoais, identificamos peculiaridades que podem ser caracterizadas como obstruções à aprendizagem no âmago do contexto vetorial, envolvendo os âmbitos epistemológico e didático. Aspecto que nos induziu a abordar e a consultar a gênese dessas restrições, especificamente no campo da didática da matemática. Defrontamo-nos, assim, com a noção de obstáculo epistemológico, concebida por Gaston [START_REF] Bachelard | A formação do espírito científico: contribuição para uma psicanálise do conhecimento. Tradução Esteia dos Santos Abreu[END_REF] e divulgada em sua obra intitulada La Formarion de L'esprit scientifique: contribution à une psychanalyse de la connaissance, de 1938, traduzida para o português em 1996, e que expõe, dentre outras coisas, a seguinte declaração:

(...) em termos de obstáculos que o problema do conhecimento científico deve ser colocado. E não se trata de considerar obstáculos externos, como a complexidade e a fugacidade dos fenômenos, nem de incriminar a fragilidade dos sentidos e do espírito humano: é no âmago do próprio ato de conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia às quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos (BACHELARD, 1996, p. 17).

Diante destas estagnações e conflitos, [START_REF] Bachelard | A formação do espírito científico: contribuição para uma psicanálise do conhecimento. Tradução Esteia dos Santos Abreu[END_REF] Ao dirigirmos a atenção para o domínio da Didática da Matemática, encontramos a seguinte vinculação transpositiva:

A transposição em matemática da noção de obstáculo epistemológico, BACHELARD [1938] pensamento que foi reservado para as ciências experimentais, tornou-se possível e até mesmo necessário pelo desenvolvimento da teoria das situações didáticas nos anos 70 (BROUSSEAU, 1989, p. 1).

Nestes termos, [START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques[END_REF] salientou a existência de um movimento transpositivo dos obstáculos epistemológicos para o campo da didática por meio da TSD; a partir deste momento, outras estagnações surgem, a exemplo dos obstáculos didáticos, sobre os quais centram-se um dos ramos de interesse nesta pesquisa. O mesmo autor também afiança que:

Organizar a superação de um obstáculo consistirá em propor uma situação suscetível de evoluir e de fazer evoluir o aluno, segundo uma dialética conveniente. Não se trata de comunicar as informações que se quer ensinar, mas em encontrar uma situação em que somente elas satisfaçam ou atinjam a obtenção de um resultado satisfatório promovido pelo investimento do aluno (BROUSSEAU, 1976, p. 115).

Em sentido análogo, [START_REF] Almouloud | Prova e Demonstração em Matemática: Problemática de seus processos de ensino e aprendizagem[END_REF] pontua que o objetivo dessas situações é promover a evolução de concepções inadequadas dos alunos, além de revelar suas definições espontâneas diante de problemas em que certo conceito possa ser mobilizado. Nas palavras de Brousseau (1976, p. 112, grifos do autor), "os obstáculos de origem didática são aqueles que parecem depender apenas de uma escolha ou de um projeto do sistema educativo", o que, para Almouloud ( 2007 Transita-se do universo vetorial para o âmbito dos números reais.

Figura 96 -Definição de produto escalar seja, uma roupagem ostensiva que impulsiona estagnações contra um conhecimento anterior, visto que as incógnitas habitam no domínio algébrico que emerge na configuração do Ensino Fundamental. A aparente contradição não se confirma, pois as questões apresentadas são constituintes de avaliações distintas. Contudo, ao observarmos a resolução das referidas tarefas, constatamos que os obstáculos, segundo [START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Willy Vanhamme et Jacqueline Vanhamme. La problématique et l'enseignement de la mathématique[END_REF], ou restrições na concepção de Chevallard (2013) estabelecem relações com a diferenciação entre número e vetor. No Ensino Fundamental -Anos Finais, os estudos de Álgebra retomam, aprofundam e ampliam o que foi trabalhado no Ensino Fundamental -Anos Iniciais. Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alunos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos. (BNCC, 2017, p.269-270) Ao analisar as duas resoluções apresentadas na citação em destaque, notamos que a linguagem algébrica pode constituir uma barreira para a compreensão dos vetores, denotada pelo equívoco ao igualar número e vetor, ressaltado na correção do professor. Por meio de concepções como essas, aquiescemos com o questionamento de [START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Willy Vanhamme et Jacqueline Vanhamme. La problématique et l'enseignement de la mathématique[END_REF]:

Deveríamos então pensar que todas as concepções são obstáculos a aquisições futuras? É claro, porque está na sua natureza, como já vimos. Mas muito poucos apresentam dificuldades suficientemente importantes e comuns para serem tratadas como tais. É fácil, todavia, compreender como um super aprendizado precoce pode aumentar as chances de transformar um saber necessário em obstáculo intransponível. (BROUSSEAU, 1976, p.54) Diante do exposto, verifica-se a existência de uma transposição abrupta ao tratar de um objeto ostensivo matemático, representado pelas variáveis e incógnitas que expõem generalizações do que foi trabalhado nos anos iniciais do Ensino Fundamental, período que percorre uma parcela significativa da vida escolar dos alunos. São utilizados, nos níveis fundamental e médio, por exemplo, os mesmos elementos ostensivos, como para manipulação de diferentes não ostensivos, sugerindo a existência de obstáculos cuja gênese assenta-se, possivelmente, no primeiro contato que os estudantes têm com esta representação ostensiva.

Assim, tornam-se evidentes alguns aspectos que inibem a evolução da aquisição do 

CAPÍTULO VI CONSTRUÇÃO DE UMA ANÁLISE A PRIORI A PARTIR DO T4TEL

Primeiramente, considera-se pertinente retomar os pilares que estruturam o T4TEL, o qual se insere no contexto da TAD, em particular, na abordagem praxeológica (BOSCH e CHEVALLARD, 1999), tendo como pressupostos duas extensões: praxeologia pessoal (CROSET, CHAACHOUA, 2016) e a noção de variável praxeológica (CHAACHOUA, [START_REF] Chaachoua | A noção de variável no modelo praxeológico[END_REF]. Em termos operacionais, Chaachoua e Bessot (2016) sublinham que o sistema de variáveis vai coordenar o nível de granularidade revelado no complemento, o qual integra o sentido do verbo de ação e caracteriza os tipos de tarefas, dando origem aos Geradores de Tipo de Tarefas -GTs. Aditado a isso, Chaachoua e Bessot (2018) elencam as funções das variáveis em operação num GT, que são: gerar subtipos de tarefas e caracterizar os escopos das técnicas.

Ambas as funções parecem particularmente interessantes para conduzir uma análise a priori (do ponto de vista epistemológico e didático) e calcular o percurso de aprendizagem a partir de um jogo sobre essas variáveis e seus valores. Em particular, a construção de um modelo praxeológico de referência para um domínio matemático (no sentido da escala de codeterminação) inclui fazermos a explicação das variáveis e os valores possíveis. (CHAACHOUA: BESSOT, 2018. P.124, grifos dos autores)

Nesse sentido, faz-se necessário atentar para o percurso de aprendizagem conduzido pelos valores das variáveis no cerne dos GTs. Com base nesses elementos, faz-se necessário discorrer acerca das especificidades de uma análise a priori, a qual tem a intenção de prognosticar que técnicas 𝜏 𝑛 serão empregadas pelos estudantes frente às resoluções de um certo tipo de tarefa T. Assim, a partir dessa caracterização preditiva, é exequível projetar, indicar e supor quais técnicas serão utilizadas, nutridas pelos pilares tecnológicos teóricos de investimentos intrínsecos ao saber, os quais serão evocados pelos sujeitos, na resolução de determinada tarefa. Em outras palavras, é plausível prever alternativas e efeitos para a composição de respostas que são requisitadas ao colocar as tarefas em jogo nos Sistemas Didáticos -SD, visto que é viável, sob essa perspectiva pré-diagnóstica, inerente às análises a priori, anunciar um prelúdio de praxeologias prováveis de serem construídas na busca por soluções.

Frente à previsibilidade que acompanha essa etapa da investigação, precedido de um estudo dos diferentes níveis do processo transpositivo, as análises fornecem ao pesquisador diferentes nuances, a exemplo, da resolução de uma tarefa vetorial, especificando o status e "modos de vida", assim como as condições de existência desse objeto no âmbito dos Sistemas Didáticos -SD no seio do CLM-UEFS. Dessa forma, podemos caracterizá-la como uma ferramenta preparatória da observação constituindo, assim, o primeiro passo do desenvolvimento da análise dos efeitos esperados. Nesse sentido, Mercier e Salin (1988), pontuam imbricações entre o contrato didático e análise a priori, Reteremos a ideia de que é no contrato didático que a análise a priori examina e cria o distanciamento necessário para a percepção das características do contrato. Como instrumento didático de ensino, ela o ajudará a se preparar para a observação dos fenômenos didáticos cobertos pelo contrato ou pela epistemologia do saber. (MERCIER; SALIN, 1998, p.2, tradução nossa 170 ) Em suma, a análise a priori permite projetar intercâmbios entre os alicerces epistemológicos e as relações institucionais circunscritas por um saber, julgando-os enquanto objetivos almejados os quais se agregam às hipóteses que embasam as vertentes da investigação. Integra-se a essa noção, a intenção de produzir uma descrição dos delineamentos de um saber matemático vetorial, no âmbito educacional, perseguindo as características praxeológicas que influenciam ou interferem no significado do comportamento manifesto em relação a esse saber. Busca-se, também, compreender as relações desse saber (institucionalmente em jogo), pois os saberes, anteriormente apresentados, se interligam com as relações pessoais dos atores imersos nos cenários das salas de aulas de Geometria Analítica.

Nessa perspectiva, Bessot e Comiti (1985, p.312) também alimentam a concepção de que "esta análise deve evidenciar vários fenômenos que podem ocorrer, nomeadamente para identificar as principais classes de procedimentos de resolução e as condições que os geram, através do estudo das variáveis da situação." De modo análogo, Artigue (1996, p.202, grifos da autora) sublinha que, nesta fase, "o investigador toma a decisão de agir sobre um determinado número de variáveis do sistema não fixadas pelas restrições: variáveis de comando, que ele supõe serem variáveis pertinentes para o problema estudado". A autora subdivide essas variáveis em duas categorias: macro didáticas ou globais e micro didáticas ou locais, assumindo uma ordem geral ou dependente do conteúdo matemático estudado subdividida em três dimensões: epistemológica (associada às características do saber), cognitiva (vinculada ao aspecto cognitivo dos sujeitos envolvidos no processo de aprendizagem) e didática (associada às características do sistema de ensino, no qual os sujeitos estão inseridos). Essa caracterização tripla, das variáveis também é foco de atenção no Geradores de Tipo de Tarefas -GT (CHAACHOUA; BESSOT, 2016), seja por intermédio das alterações dos valores das variáveis que desencadeiam uma gama de possíveis técnicas, ou através dos valores institucionais que modelam condições e restrições explícitas ou implícitas, as quais, de igual modo, refletem nos valores que se atrelam às variáveis didáticas, enquanto repertório disponível para os protagonistas do Sistemas Didáticos -SD em questão.

No cerne das variáveis locais estão as variáveis, dependente do conteúdo didático cujo ensino é visado e se interliga à gestão do meio [START_REF] Brousseau | Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques[END_REF]. Ademais, Chevallard (2009/2010) sublinha que, Condições e restrições. O que é normalmente descrito em termos de "variáveis" ou "fatores" é descrito na TAD, genericamente em termos de condições. Dada uma posição p em uma instituição I, diz-se que uma condição é uma restrição para as pessoas que ocupam a posição p se, como ocupantes dessa posição, elas não têm poder para mudar essa condição. (CHEVALLARD, 2009/2010, p.79, tradução nossa 171 ) Assim, no intuito de estruturar e operacionalizar o estudo, os Geradores de Tipo de Tarefas -GT (CHAACHOUA; BESSOT, 2016) propiciam ao pesquisador gerenciar os sistemas de variáveis respaldado pelo interesse da investigação. Visto que, dentre suas funções, um GT engendra tipo de tarefas de acordo com a estruturação hierárquica definida pelas variáveis (CHAACHOUA, 2018), viabilizando, assim, a operacionalização das indagações advindas de problemáticas didáticas. Nesses termos, a noção de variável aparece como uma ferramenta metodológica no processo de elaboração do Modelo Praxeológico de Referência Alternativo -MPRA, representado pelo AHA, associado às análises a priori. Resulta disso que as possiblidades de ações e escolhas para construção de estratégias e tomadas de decisões perpassam pelo controle que o estudante terá, visto que o professor/pesquisador, enquanto mediador do processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a tornar o discente responsável por sua aprendizagem.

Contudo, antes de enveredarmos pelo repertório de trilhas praxeológicas inerentes ao saber vetorial, consideramos pertinente atentarmos, aprioristicamente, para os vínculos que podem ser estabelecidos entre os Sistemas Didáticos -SD, Geradores de Tipo de Tarefas -GT e o Ambiente Híbrido da Aprendizagem -AHA no intuito de situar o leitor acerca do contexto e o brackground que envolve a dinâmica praxeológica (KASPARY; CHAACHOUA; BESSOT, 2020) no seio do funcionamento dos SD.

UM DESENHO DA DINÂMICA DO FUNCIONAMENTO DOS SISTEMAS

DIDÁTICOS -SD

171 Conditions et contraintes. Ce qui est décrit ordinairement en termes de « variables » ou de « facteurs » l'est en TAD, de façon générique, en termes de conditions. Étant donné une position p dans une institution I, on dit qu'une condition est une contrainte pour les personnes occupant la position p si, en tant qu'elles occupent cette position, elles n'ont pas le pouvoir de modifier cette condition.

No campo da didática, os Sistemas Didáticos -SD foram caracterizados pelas relações entre estudantes, professores e saber. [START_REF] Brousseau | Introdução ao Estudo das Situações Didáticas: conteúdos e métodos de ensino[END_REF] esquematizou esses vínculos a partir de um triângulo equilátero em que cada vértice representa: o professor, os alunos e o conhecimento escolar, os quais se inter-relacionam aos pares, (professorsaber), (professoralunos) e (alunossaber).

Ainda, segundo esse autor, "esse esquema é associado a uma concepção de ensino em que o professor organiza o conhecimento a ser transmitido por meio de mensagens, das quais o aluno toma para si o que deve adquirir" (Brousseau, 2008, p.16). Em sentido análogo, na origem da teoria das situações, Brousseau (2008, p. 17) indica o esquema, figura 101, que associa a concepção de ensino à organização do conhecimento comunicado pelo professor, no qual o aluno se envolve na apropriação do saber. Fonte: Brousseau (2008, p. 17) Os elementos responsáveis pela mediação entre os três polos aparecem como pilares de sustentação do processo de ensino e aprendizagem. Contudo, fazemos uma ressalva ao inferirmos que, de igual modo, como [START_REF] Brousseau | Introdução ao Estudo das Situações Didáticas: conteúdos e métodos de ensino[END_REF] estabeleceu como elo a transposição didática para intermediar as relações entre o Sistema Educacional e o Conhecimento Escolar.

A transposição, em nível interno, deveria estabelecer conexões entre o aluno e o conhecimento escolar, já que uma das etapas do processo transpositivo se relaciona com o saber apreendido.

De igual modo, se existe aprendizagem no processo interativo entre Aluno e o Conhecimento Escolar, então é possível atentar para a existência de uma ancoragem transpositiva que se atrela aos condicionantes didáticos em termos de um saber ensinado e apreendido. Nessa perspectiva, [START_REF] Chevallard | Un exemple d'analyse de la transposition didactique -La notion de distance[END_REF] A autora também aponta para a necessidade de questionar os modelos epistemológicos dominantes nas instituições educacionais que estão no centro da pesquisa em didática da matemática, na perspectiva proposta pela teoria das situações didáticas [START_REF] Brousseau | La théorie des situations didactiques: Le cours de Montréal[END_REF], que está na origem da TAD. A evolução de um sistema didático S(X; Y; ℘) sem dúvida depende do que X e Y podem fazer, mas também de como a praxeologia φ é delimitada, concebida, considerada, importada, utilizada, legitimada nas instituições escolares -assim como em outros níveis superiores de codeterminação. (Ibid, p. 4038, tradução nossa 174 ).

Assim, consideramos pertinente atentar para os Sistemas Didáticos-SD no seio da TAD, imersos no universo praxeológico, com a função de propagar e divulgar conhecimentos. Em essência, os SD são protagonizados por professores e alunos em torno de uma obra , denotado por "𝑆(𝑋; 𝑌; 𝑂), sendo 𝑋 instância estudantes; 𝑌 instância de ajuda de estudo e 𝑂 a obra que 𝑋 deve se esforçar para conhecer" (Chevallard, 2011, p. 44). Concebemos que esse processo, o qual envolve empenho na busca por conhecimento, se atrela diretamente às sujeições institucionais ou não, gerando um encadeamento de relações pessoais. Como descrito por

Chevallard (2002),

A noção fundamental é a da relação pessoal de um indivíduo x com um objeto o, uma expressão pela qual designamos o sistema, notamos R (x, O), de todas as interações 172 Son fonctionnementsans parler encore de son bon fonctionnementsuppose que la « matière » (enseignant, élèves, savoir) qui viendra remplir chacune des trois places satisfasse à certaines contraintes didactiques spécifiques. Pour que l'enseignement de tel élément de savoir soit seulement possible, cet élément devra avoir subi certaines déformations, qui le rendront apte a être enseigné. Le savoir-tel-qu'il-est-enseigné, le savoir enseigné, est nécessairement autre que le savoir-initialement-désigné-comme-devant-êtreenseigné, le savoir à enseigner. 173 The dissemination of praxeologies takes place through what we call didactic systems. (...). The dynamic of didactic systems-what X and Y do to make it evolve-and the conditions and constraints that enable and hinder this dynamic are also important dimensions at the centre of the didactic questioning. 174 Questioning the prevailing epistemological models in educational institutions is at the core of research in didactics of mathematics in the perspective proposed by the theory of didactic situations [START_REF] Brousseau | La théorie des situations didactiques: Le cours de Montréal[END_REF], which is at the origin of the ATD. The evolution of a didactic system S(X; Y; ℘) undoubtedly depends on what X and Y can do, but also on how the praxeology ℘ is delimited, conceived, considered, imported, used, legitimised in school institutions-as well as at the other higher levels of codeterminacy. Ademais, parafraseando [START_REF] Brousseau | Introdução ao Estudo das Situações Didáticas: conteúdos e métodos de ensino[END_REF], pode-se destacar que os comportamentos dos alunos revelam o funcionamento do meio, o qual deve ser modelado, ou seja, não é um elemento pronto e acabado. Assim, [START_REF] Chevallard | Théorie Anthopologique du Didactique & Ingénierie Didactique du Développement[END_REF](Chevallard, -2010, p. 80, p. 80) apresenta um incremento a essa acepção ao conceber a mesogênese como "a gênese do ambiente didático, ou seja, do sistema de recursos utilizados no processo de construção praxeológica." Nesse caso, podemos interpretar os recursos enquanto dispositivos didáticos, que, segundo Chevallard (1998) Respaldados nessa representação ideal que perpassa por composições reais em conexão com uma aparente estabilidade que não sobrevive nos cenários que se enveredam pelos contextos institucionais das salas de aulas, Chevallard (1999) aponta que:

Pode-se imaginar um mundo institucional no qual as atividades humanas são regidas por praxeologias bem adaptadas, permitindo que todas as tarefas desejadas sejam realizadas de maneira ao mesmo tempo eficiente, segura e inteligível. Mas tal mundo não existe: como foi sugerido, as instituições estão repletas de toda uma dinâmica praxeológica (...). (CHEVALLARD, 1999, p. 230, tradução nossa 181 ) Nestes termos, admitimos que os Sistemas Didáticos -SD, em associação com as funções didáticas, acompanham este estudo e comungam com as pesquisas de Chevallard (2009;2010;2012) Assim, objetiva-se enfraquecer essa impressão de inabilidade pessoal para com os temas vetoriais, ao provocar modificações no meio no intuito de contribuir com a construção de possíveis respostas ou a efetiva solução de determinadas questões. Nessa perspectiva, a maioria dos discentes optaram por não se refugiarem na simples função de meros executantes.

Como ilustrado a seguir, 1991) em detrimento à rigidez matemática [START_REF] Silva | O Currículo de Matemática e as Actividades de Investigação[END_REF]. Dessa maneira, advém a intenção de identificar, implementar e formalizar uma espécie de complementação das ferramentas de ensino no contexto vetorial, amalgamando novas às que já existem.

Em sentido complementar, é possível avaliar as lacunas entre as relações pessoais e as relações de caráter institucional em torno de um objeto do saber, neste caso os vetores. Como destacou Chevallard (1989),

Esse relacionamento pessoal inclui notadamente tudo o que normalmente pensamos que podemos dizer -em termos de "saber", "saber fazer", "concepções", "habilidades", "domínio" e "imagens mentais", de" representações ", de" atitudes ", de" fantasias ", etc ... -de X sobre Os. Tudo o que pode ser afirmado -certo ou errado, em conformidade ou não -deve ser considerado (na melhor das hipóteses) para um aspecto do relacionamento pessoal de X com Os. (CHEVALLARD, 1989, p. 219, tradução nossa 185 ) Tais aspectos permitirão o encontro com novas situações aptas a serem utilizadas como alavancas para a desconstrução e reconstrução de tarefas vetoriais como sugerido por [START_REF] Casabò | Un Punto de Vista Antropológico: la Evolución de los "Instrumentos de Representación" en la Actividad Matemática[END_REF]:

Ensinar e aprender matemática corresponde à atividade de reconstruir organizações matemáticas para poder usá-las em novas situações e sob diferentes condições (...). Assim, o objetivo de um processo de ensino / aprendizagem pode ser formulado em termos dos componentes das organizações matemáticas a serem reconstruídas: que tipos de problemas devem poder ser resolvidos, com que tipos de técnicas, com base em quais elementos descritivo e justificativo, em que referencial teórico etc. (CASABÒ, 2001, p.16) Nesse contexto, foram projetadas recombinações praxeológicas, que equivalem a "praxeologia transposta (Π ⊕ Λ) * que por vezes, pode ser escrita (Π * ) ⊕ Λ com um logos mantido, mas uma práxis modificada, (...)" (CHEVALLARD, 2018, p. 35), respaldada pela implementação de distintas organizações de ensino e aprendizagem, baseadas em diferenciadas formas de produção de técnicas. Dessa forma, ao explorar as competências dos Geradores de 𝝉 𝑨(𝒊𝒊𝒊) : V, tem mesma direção, comprimento e sentido. As resoluções dos discentes A e D, apresentam características distintas. O caminho trilhado por A apresenta algumas imprecisões no que se refere às justificativas dos itens (i), (ii) e (iii). Contudo, D já revela maior domínio ao usufruir, no primeiro momento, das informações que integram a questão "D é o ponto médio de CI" e prossegue fundamentando sua justificativa apoiando-se da definição do módulo de vetores. No item (iii), o estudante recorre a mais uma das informações fornecidas e usa que "𝐼𝐹 ⃗⃗⃗⃗ é unitário" além de empregar mobilizar a técnica da igualdade entre vetores.

B

Ao fitarmos a atenção para mais um valor assumido por 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 , no que se refere à natureza ostensiva da representação geométrica desta tarefa, foi identificado que os discentes utilizaram como suporte a figura que acompanha a questão. Dessa forma, apresentamos os traços geométricos percebidos nos registros. Frente ao recorte que foi revelado pelas produções dos estudantes e à latente interdependência com o âmbito geométrico, evidenciados nas figuras que integraram as tarefas, aspecto esse que reforça as especificidades do campo geométrico nas quais os vetores aparecem como elementos pertencentes aos espaços vetoriais euclidianos: ℝ, ℝ 2 e ℝ 3 . O que nos conduz a parafrasear [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF], ao considerar que, o desenvolvimento do conceito de vetor se deu na busca do entendimento de resultados algébricos, uma vez que essa grandeza proporciona contribuições para a geometria através da direção e do sentido, e não só do comprimento (grandeza escalar), permitindo assim a ideia de movimento.

Ao pensar na força que as transformações geométricas empreende no estudo dos vetores, vertente esta que também foi evidenciada no escopo histórico epistemológico, é viável concluir, mesmo que aprioristicamente, que ao modificar os valores das variáveis Aditado a isso, Chevallard (1999) sublinha que (...) em uma dada instituição I, em relação a um determinado tipo de tarefa T, geralmente há apenas uma técnica, ou pelo menos um pequeno número de técnicas institucionalmente reconhecidas, com exclusão de possíveis técnicas alternativasque podem existir, na verdade, mas em outras instituições. Tal exclusão é correlativa, entre os atores de I, de uma ilusão de "naturalidade" das técnicas institucionais em I -fazer assim, é natural ... -, em contraposição ao conjunto de técnicas alternativas possíveis, que os sujeitos que eu irei ignorar, ou, se forem confrontados com isso, que irão espontaneamente considerar artificiais, e (portanto) "contestáveis", "inaceitáveis", etc. Nesse sentido, observamos com bastante frequência, nos sujeitos de I, verdadeiras paixões institucionais pelas técnicas naturalizadas na instituição. (CHEVALLARD, 1999, p.225, grifos nossos, tradução nossa 188 )

Nesse sentido, seguimos na "contramão" das técnicas naturalizadas na instituição CLM-UEFS, talvez consideradas artificiais, contestáveis ou inaceitáveis, como ressaltado pelo autor, que emergem enquanto técnicas alternativas, provocando "fissuras" nas práxis que possivelmente contribuirão para o rompimento da ilusão de "naturalidade" das técnicas institucionais em I (CLM-UEFS).

Projeções do alcance das técnicas num cenário manipulativo e informático.

Em primeiro lugar, é relevante pontuar que na TAD, "o desenho de tarefas integra-se dentro da sua metodologia experimental formulada em termos de Engenharia Didática." (GARCIA et al, 2019, p.75). Nesse sentido, prognosticamos um repertório de técnicas que podem contribuir para a resolução de tarefas vetoriais em termos dos contornos que moldam essa análise a priori. Pois, Distingue-se uma dimensão da análise matemática, da caracterização dos objetos matemáticos e da atividade que será realizada em torno deles (praxeologias matemáticas) em estreita relação com o MPR construído. Inclui-se também uma dimensão de análise didática, sobre como fazer emergir e sustentar a atividade pretendida em sala de aula, através do estudo de uma ou mais questões problemáticas e do processo de investigação a que elas dão origem (praxeologias didáticas).

(GARCÍA et al, 2019, p.81)

A partir do MPR idealizado, pretende-se proporcionar aos discentes do CLM-UEFS aproximações com um "modo de fazer" no cerne dos Dispositivos Didáticos (MM, GG e o tradicional PL), já que apontamos que esses dispositivos "não vivem", ou seja, não fazem parte 188 Enfin, en une institution I donnée, à propos d'un type de tâches T donné, il existe en général une seule technique, ou du moins un petit nombre de techniques institutionnellement reconnues, à l'exclusion des techniques alternatives possibles -qui peuvent exister effectivement, mais alors en d'autres institutions. Une telle exclusion est corrélative, chez les acteurs de I, d'une illusion de « naturalité » des techniques institutionnelles dans Ifaire ainsi, c'est naturel... -, par contraste avec l'ensemble des techniques alternatives possibles, que les sujets de I ignoreront, ou, s'ils y sont confrontés, qu'ils regarderont spontanément comme artificielles, et (donc) « contestables », «inacceptables », etc. À cet égard, on observe assez fréquemment, chez les sujets de I, de véritables passions institutionnelles pour les techniques naturalisées dans l'institution da bagagem praxeológica construída para o objeto do saber a ser trabalhado. O que significa dizer que, não são encontradas ecologias no sistema de ensino para tais objetos. Daí emerge a necessidade de atentarmos para o alcance das técnicas neste contexto. Nestes termos, Chevallard (1999), sublinha que, uma técnica 𝜏 -um "modo de fazer" -é bem-sucedida apenas em uma parte P (𝜏) das tarefas do tipo T às quais é relativa, parte que é chamada de escopo da técnica: tende falhar em T \ P (𝜏) de forma que se possa dizer que "não se sabe, em geral, realizar tarefas do tipo T". A coisa é óbvia, mas muitas vezes esquecida, na matemática. Assim, toda técnica de cálculo em N falha em uma certa extensão dos números. Da mesma forma, o fato de que um determinado número inteiro não pode ser fatorado em geral é claramente a base de algumas técnicas de criptografia. Nessa visão, uma técnica pode ser superior a outra, senão em todo T, pelo menos em alguma parte dela.

(CHEVALLARD, 1999, p. 225, tradução nossa 189 )

A avaliação das técnicas instauradas no seio da pesquisa se apresenta como um elemento crucial dessa análise, já que isso evidencia a tendência que as técnicas têm em falhar, destacando seu caráter incompleto, o que nos permite inferir acerca da superioridade de uma "maneira de fazer" em detrimento de outra, remetendo assim ao alcance da técnica. Dessa forma, para Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020), o alcance do escopo das técnicas (teórica, pragmática e institucional) está associada à competição entre elas. Os autores também sinalizam que a existência do escopo da técnica no âmbito pessoal estabelece ligações entre os aspectos pragmático e institucional. Nessa perspectiva, concebemos a existência da inserção de diálogos com elementos inerentes ao cerne dos Caminho das Práticas Pessoais -CPP reportando, assim, a mais um dos pilares de uma dinâmica praxeológica. Aspecto esse que nos permite indagar: quais das técnicas, mobilizadas nos Dispositivos Didáticos (MM, GG e PL), são mais adequadas de acordo com os escopos: teórico, pragmático ou institucional, para resolução de tarefas vetoriais apresentadas no âmbito do CLM-UEFS? Enquanto resposta parcial a esse questionamento, destacamos as seguintes definições, O escopo teórico de uma técnica é o conjunto de tarefas onde a técnica permite realizar qualquer tarefa deste conjunto sem nenhuma consideração das condições de sua execução. Ou seja, examinamos esta técnica de um ponto de vista epistemológico sem levar em conta o cognitivo e, portanto, o domínio de sua realização por um sujeito. Será denotado por PTh(τ). O escopo pragmático de uma técnica é o conjunto de tarefas onde a técnica é confiável no sentido de que permite realizar essas tarefas com pouco risco de fracasso e a um custo razoável. A técnica tende a ter sucesso dentro deste escopo e tende a falhar fora dele. Será denotado por P(τ). O escopo institucional de uma técnica relacionada a um tipo de tarefa T é o conjunto de tarefas onde esta técnica 189 Tout d'abord, une technique τune « manière de faire » -ne réussit que sur une partie P(τ) des tâches du type T auquel elle est relative, partie qu'on nomme portée de la technique: elle tend à échouer sur T\P(τ), de sorte qu'on peut dire que «l'on ne sait pas, en général, accomplir les tâches du type T». La chose est évidente, mais très souvent oubliée, en mathématiques. Ainsi toute technique de calcul sur N échoue-t-elle à partir d'une certaine taille de nombres. De même, le fait qu'on ne sache pas en général factoriser un entier donné est notamment à la base de certaines techniques de cryptographie.

é esperada por uma instituição. Este escopo é uma consequência das condições e restrições da vida de τ em uma instituição. Será denotado por PI(τ). (KASPARY, CHAACHOUA, BESSOT, 2020, p.246, tradução nossa 190 ) Primeiramente, revelaremos projeções dos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, enquanto suposições das formas de resoluções, e, na finalização desta seção, exporemos que análise faremos do alcance das técnicas. Ademais, em uma determinada instituição I, e para um determinado tipo de tarefas T, geralmente há apenas uma técnica, ou pelo menos um pequeno número de técnicas institucionalmente reconhecidas, com a exclusão de possíveis técnicas alternativas -que podem de fato existir, mas em outras instituições.

Tal exclusão é correlativa, entre os atores de I, de uma ilusão de "naturalidade" das técnicas institucionais em I -fazê-lo, é natural ...-, em contraste com o conjunto de técnicas alternativas possíveis, que os sujeitos os ignoram ou, se confrontados, os vêem espontaneamente como artificiais e (portanto) "contestáveis", "inaceitáveis" etc. Nessa visão, é frequentemente observada, entre os sujeitos de I, verdadeiras paixões institucionais pelas técnicas naturalizadas na instituição. (CHEVALLARD, 1999, p. 225) A partir desses preceitos teóricos, inferimos que a inserção dos Materiais Manipuláveis-MM e de um software de Geometria Dinâmica, a exemplo o GeoGebra, denotado por nós como GG, se apresentam como alternativas na corporificação191 das representações vetoriais, ou seja, gera-se encadeamentos de ações e gestos, revelados no âmbito dos Dispositivos Didáticos (MM, GG) em estreita conexão com PL, os quais se integram as modificações e as recombinações praxeológicas, com recorrentemente destacado. Neste sentido, estudos sinalizam que o uso de software de geometria dinâmica na educação matemática permite que os alunos se envolvam em tarefas cognitivas em profundidade (RANASINGHE; LEISHER, 2009), além de oferecer oportunidades para fazer generalizações e explorar relações construindo, manipulando, arrastando e remodelando objetos geométricos (CHRISTOU, et al., 2005;LAVY, 2015).

Nesse contexto, as atividades de aprendizagem se apresentam como componentes cruciais, em que se centra nos ensejos da formulação, da resolução e de soluções de tarefas. Assim, sublinhamos acerca da existência da composição do saber -fazer na construção de soluções, com o designo descritivo inerente ao complexo praxeológico que se forma a cada etapa do processo resolutivo.

Dessa forma, foi pensado o convite direcionado aos discentes para resolver tarefas vetoriais, utilizando técnicas distintas das convencionais, o que desencadeará rompimentos no fenômeno geral de naturalização dos pares tarefas/técnicas, pois, de acordo com Bosch e Chevallard (1999, p.6, tradução nossa 192 ), "A técnica utilizada para realizá-las, apesar de um dia construída, foi rotineira, a ponto de não aparecer mais como tal -o uso dessa técnica para realizar tal tarefa agora é evidente e não apresenta mais problemas."

A partir desse delineamento assumido pelo estudo, o qual desencadeia uma propensão de dissolução do aspecto rotineiro das técnicas, visa-se um despertar para a criação de técnicas associadas aos Dispositivos Didáticos. Aliado a isso, concebe-se como consequência direta desse fenômeno, transformações nas instâncias do Sistema Didático -SD, associadas às relações de um indivíduo x ou grupo de indivíduos X com determinada obra O. Pois, "a aprendizagem é uma modificação da relação de um indivíduo X com O, como já destacado diversas vezes nessa tese.

A título de exemplificação, apresentamos um possível percurso resolutivo da tarefa retratada na figura 110. Existe uma expectativa por parte da pesquisadora que envolve a viabilidade que os estudantes façam uso de técnicas semelhantes à construção realizada, abaixo, no âmbito do dispositivo GeoGebra -GG. Outro aspecto, que despertou nossa atenção, faz referência às coordenadas do vetor 𝐴 1 𝐺 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ e sua consequente localização no plano, a qual remete à representação vetorial na origem em associação com a sua translação pertencente ao segmento AF enquanto lado do triângulo. Neste direcionamento, as técnicas empregadas nas construções realizadas em GG diferem das mobilizadas em MM ou PL, ou seja, se apresentam como distintas formas de executar ou realizar tarefas 𝑡𝜖𝑇. Aditado a isso, não podemos esquecer que, no cerne do T4TEL (CHAACHOUA, 2018), uma técnica é descrita por um conjunto de tipos de tarefas, cada tipo de tarefa denotado por ingrediente da técnica. Assim, é possível destacar-se que em qualquer técnica pode ter várias descrições, com diferentes níveis de granularidade.

Dessa maneira, um cenário praxeológico, supostamente estável, no qual sobrevivem as práticas monumentalistas, segue um viés de limitações no rol de técnicas. Em oposição, ao projetar um contexto investigativo com emprego de distintos Dispositivos Didáticos, os quais abrem frentes de trabalhos para possíveis transformações e consequentes ampliações no número de tarefas que repercute em distintas técnicas, pois como indica Chevallard (1989), geralmente, nos limitamos a um pequeno número de técnicas:

(...) numa determinada instituição sobre um determinado tipo de tarefa T, existe geralmente uma técnica única, ou, pelo menos, um pequeno número de técnicas reconhecidas institucionalmente, excluindo possíveis técnicas alternativasque podem existir efetivamente, mas em outras instituições. (CHEVALLARD, 1989, p. 93) Como repercussão do aparecimento de técnicas alternativas, torna-se viável supor uma ruptura com o que é difundido no âmbito institucional, pois "em vez de confrontar o estudante com um tipo de tarefas para o qual existem várias técnicas, a instituição organiza o estudo através de vários tipos de tarefas para as quais existe apenas uma técnica" (CHAACHOUA, 2010, p. 6, tradução nossa 193 ), ou seja, eles devem reconhecer a que tipo de tarefas pertence e quais técnicas são pertinentes utilizar para obter uma resposta aceita pela instituição ou não.

Assentado nesta perspectiva, a descrição do uso de MM serve para descrever sumariamente como pode ser estruturada a resolução da tarefa retratada na figura 112. 193 Ainsi, plutôt que de confronter l'élève à un type de tâches pour lequel il existe plusieurs techniques, l'institution organise l'étude à travers plusieurs types de tâche pour lesquels il y a une seule technique. A partir do erro identificado e registrado pelo docente por meio de um questionamento:

"Pitágoras?", vislumbra-se uma oportunidade para promover uma discussão em sala de aula, na qual a correção da questão poderá ser transformada em uma situação de estudo, por meio de construções subsidiadas por MM, como exemplificadas a seguir. Assim, pode-se levantar como pressuposto que os estudantes ao se depararem com uma tarefa em que o arsenal de técnicas deva emergir de um repertório oriundos de diferentes materiais, os quais podem assumir a função de um "estopim" para o despertar de um maior engajamento praxeológico, provocando remodelações nas relações pessoais com o objeto (O), alimentando e enriquecendo os CPP e seus encadeamentos com um repertório de técnicas alternativas, aguçando assim, o estudo dos aspectos ostensivos inerente à vertente geométrica, intrínseca à Álgebra Vetorial presente em EXA 180, contemporaneamente denotada por EXA 374. Em paráfrase a Chevallard (2009/2010), pode-se identificar modificações no tempo da construção praxeológica em associação com os sistemas de recursos utilizados em um processo de estudo. De igual modo, é viável observar transformações entre a gênese dos equipamentos praxeológicos e as relações institucionais associadas, pois as posições assumidas pelos sujeitos

(estudantes e professor), durante a construção praxeológica, potencializa o aparecimento e a ocorrência do complexo de recombinações praxeológicas, em que se modifica a prática e mantém-se o logos.

Construção de uma análise a priori a partir das tarefas e possíveis técnicas mobilizadas nas resoluções

Os possíveis direcionamentos de resoluções de tarefas podem ser previstos pelo pesquisador ou pelo docente. Assim, admite-se como ponto de partida a tarefa 1, apresentada a O enunciado da questão, em conjunto com a figura que o acompanha, nos induz a refletir acerca de alguns temas que se inserem no âmbito da espera institucional. Desse modo, temos como expectativa que a resolução da tarefa proporcione aos discentes o uso e mobilização de:

Quadro 22 -Esperas institucionais relacionadas a tarefa 1

Algumas esperas institucionais

-Propriedades do quadrado (quatro lados iguais e quatro ângulos retos);

-Empreguem as características de ponto médio;

-Identifiquem e usufruam das propriedades dos vetores geométricos (módulo, direção e sentido);

-Utilizem as operações vetoriais;

-Trabalhem implicitamente com combinações lineares.

Fonte: acervo da autora 2020

Primeiramente, faz-se necessário retomar alguns conceitos vinculados ao bloco tecnológico/teórico. Dentre eles, a constatação de que os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero são vértices de um paralelogramo. Perspectiva essa já trabalhada no capítulo IV, particularmente na figura intitulada: "Exemplo de resolução da questão 5". Além disso, os segmentos orientados DB, BE, EG e GD possuem o mesmo comprimento, pois são diagonais de quadrados congruentes, uma vez que B, D, E e G são pontos médios dos lados do quadrado ACHF. Soma-se a isso, o fato de que as diagonais de cada um dos quadrados (ABOD, BCEO, OEHG e DOGF) são bissetrizes dos ângulos internos destes e, por consequência, os ângulos 𝐷𝐵 ̂𝐸, 𝐵𝐸 ̂𝐺, 𝐸𝐺 ̂𝐷 e 𝐺𝐷 ̂𝐵 são ortogonais. Diante do que foi apresentado, obtemos o seguinte resultado: os pontos médios dos lados de um quadrado são vértices de um quadrado.

Frente às esperas institucionais elencamos possíveis caminhos resolutivos, segundo a ordem descrita na tarefa 1:

Vetor 𝑫𝑶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Caminho I: 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑡 2 ): Soma de vetores pela regra do paralelogramo;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(𝑡 4 ): Distributiva do produto de vetores por escalar.

Caminho II: 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑡 21 ): Definição de soma de vetores;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(𝑡 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar.

(𝑡 1 )

(𝑡 2 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 1 ) (𝑡 21 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 )
Caminho III: 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑡 8 ): Multiplicação de ambos os membros da igualdade por 1 2

;

(𝑡 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

Os vetores 𝐺𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ mobilizam técnicas, como elencadas abaixo: Vetor 𝑭𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(𝑡 1 ) (𝑡 21 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 21 ) (𝑡 5 ) (𝑡 6 ) (𝑡 7 ) (𝑡 8 ) (𝑡 4 ) ( 𝑡 
Caminho I: 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑢 ⃗ -( 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 ) = - 1 2 𝑣 + (2 + 1 2 )𝑢 ⃗ = = - 1 2 𝑣 +
(𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 21 ) (𝑡 6 ) (𝑡 7 ) (𝑡 21 ) (𝑡 21 ) (𝑡 6 ) (𝑡 4 ) (t
(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 6 ): Definição do vetor oposto;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores.

Caminho III:

𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2(𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ )= =𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ -2 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑢 ⃗ -( 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 ) = - 1 2 𝑣 + (2 - 1 2 
)𝑢 ⃗ = -

1 2 𝑣 + 3 2 𝑢 ⃗ (𝑡 21 ) (𝑡 21 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 6 ) (𝑡 4 ) (𝑡 3 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 4 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 6 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 9 ) (𝑡 4 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 4 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 4 )
(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 9 ): Definição de ponto médio;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 6 ): Definição do vetor oposto;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar.

Vetor 𝑨𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 6 ): Definição do vetor oposto;

(𝑡 3 ):Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 10 ): Soma e subtração de números reais.

Caminho II: 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑡 3 ):Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) = 𝑣 -𝑢 ⃗ + 1 2 (𝑢 ⃗ + 𝑣 ) = (
(t 6 ): Definição do vetor oposto;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 10 ): Soma e subtração de números reais.

Caminho III: Usando sistemas de coordenadas, aspecto inerente ao GeoGebra.

Considerando o sistema de coordenadas pré-fixado temos:

𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,2) = 𝛼. 𝑢 ⃗ + 𝛽. 𝑣 = 𝛼( 1,10 + 𝛽(1, -1) ) ⇒ { 𝛼 + 𝛽 = 1 𝛼 -𝛽 = -2 ⇒ ⇒ { -2 + 𝛽 + 𝛽 = 1 𝛼 = -2 + 𝛽 ⇒ { 2𝛽 = 3 𝛼 = -2 + 3 2 ⇒ { 𝛽 = 𝛼 = - ∴ 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = - 1 2 𝑢 ⃗ + 3 2 𝑣 Vetor 𝑨𝑯 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Caminho I: 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑣 = 0𝑢 ⃗ + 2𝑣 (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 10 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 3 )
(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores. 

⃗ + 𝑣 = 2𝑖 ⇒ 𝑖 = 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 11 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 7 ) (𝑡 1.2 ) (𝑡 1.3 )
Subtraindo as duas expressões temos:

𝑢 ⃗ -𝑣 = 2𝑗 ⇒ 𝑗 = 1 2 𝑢 ⃗ - 1 2 𝑣 Segue que, 𝐺𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 + 𝑗 = 𝑢 ⃗ ; 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑗 -𝑖 = -(𝑖 -𝑗 ) = -𝑣 ; 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 = 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 = 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 + 2𝑗 = 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 +2( 1 2 𝑢 ⃗ - 1 2 𝑣 ) =( 1 2 + 2 2 ) 𝑢 ⃗ + ( 1 2 - 2 2 
) 𝑣

= 3 2 𝑢 ⃗ - 1 2 𝑣 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 -2𝑗 = 1 2 𝑢 ⃗ + 1 2 𝑣 -2( 1 2 𝑢 ⃗ - 1 2 𝑣 ) =( 1 2 - 2 2 
) 𝑢 ⃗ + (

1 2 + 2 2 ) 𝑣 = - 1 2 𝑢 ⃗ + 3 2 𝑣 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑖 -2𝑗 = 2(𝑖 -𝑗 ) = 2𝑣
As técnicas empregadas nas resoluções apresentadas acima, versam sobre combinações lineares, ou seja, escrevemos todos os vetores especificados na tarefa em que tomamos como referência a figura que integra a combinação linear em função da base ortonormal {𝑖 , 𝑗 }.

Temos ciência que, neste texto, apresentamos alguns dos possíveis caminhos resolutivos dos quais supomos que os estudantes possivelmente seguirão. Nessa perspectiva, expomos também um caminho trilhado no GeoGebra que, de forma direta, pode ser estabelecido no ambiente PL.

Percurso alternativo por meio da criação de um sistema de coordenadas. Considere um sistema de coordenadas no plano em que:

 F é a origem;  O eixo OX é paralelo a 𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ;  O eixo OY é paralelo a 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ;  |𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ |= |𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 (escolha da unidade de medida)
Assim, tem-se as seguintes coordenadas: A=(0,2); B= [START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF][START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF]; C= [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF][START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF]; D=(0,1); E= [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF][START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF]; F=(0,0); G= [START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF][START_REF] P2 ; Bom | ao vetor 𝑖 , correto? Minha pergunta é: quando dois vetores são paralelos? Que cálculos devem ser feitos para verificar se dois vetores são paralelos? No caso de 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝑖 , 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 ⃗ . Imaginem que só caminhei na direção do eixo X de forma análoga temos para os eixos Y e Z, ou seja, 𝑃 ∈ 𝑂𝑌 ⟺ 𝑃 = (0, 𝑦, 0) e 𝑃 ∈ 𝑂𝑍 ⟺ 𝑃 = (0,0, 𝑧). P2: -O mesmo raciocínio que utilizei para os eixos vou utilizá-lo para os planos. Quando olhamos para o plano XY, de que forma são suas coordenadas?[END_REF]; H= [START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF][START_REF] P2 ; Bom | ao vetor 𝑖 , correto? Minha pergunta é: quando dois vetores são paralelos? Que cálculos devem ser feitos para verificar se dois vetores são paralelos? No caso de 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝑖 , 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 ⃗ . Imaginem que só caminhei na direção do eixo X de forma análoga temos para os eixos Y e Z, ou seja, 𝑃 ∈ 𝑂𝑌 ⟺ 𝑃 = (0, 𝑦, 0) e 𝑃 ∈ 𝑂𝑍 ⟺ 𝑃 = (0,0, 𝑧). P2: -O mesmo raciocínio que utilizei para os eixos vou utilizá-lo para os planos. Quando olhamos para o plano XY, de que forma são suas coordenadas?[END_REF]; O= [START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF][START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF].

Daí 𝑢 ⃗ = 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1); 𝑣 = 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, -1).

Temos: (𝑡 2 ): Soma de vetores pela regra do paralelogramo;

 𝐺𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1) = 𝑢 ⃗ = 1𝑢 ⃗ + 0. 𝑣  𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-1,1) = -𝑣 = 0𝑢 ⃗ -1. 𝑣  𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,0) = 𝛼. 𝑢 ⃗ + 𝛽. 𝑣 = (𝛼 + 𝛽, 𝛼 -𝛽) ⇒ { 𝛼 + 𝛽 = 1 𝛼 -𝛽 = 0 2𝛽 = 1 ⇒ 𝛽 =
(𝑡 6 ) (𝑡 4 ) (𝑡 10 ) (t pp ) (t 2 ) (t 4 ) (t 3 )
Figura 118 -Paralelogramo gerado a partir do triângulo AOB (t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores.

Fonte: acervo da autora (2020)

(𝑡 3 ):Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

(t 9 ): Definição de ponto médio;

(t 21 ): Definição de soma de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 6 ): Definição do vetor oposto;

(𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores;

(t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar;

(t 2.1 ): Definição de soma de vetores;

Outra resolução poderia ser pensada a partir da escolha de um sistema de coordenadas como ilustrado abaixo, (𝑡 2.1 ) Matemática-OM foi revelado e se aproximou de uma praxeologia regional [𝑇 𝑖𝑗 , 𝜏 𝑖𝑗 , 𝜃 𝑗 , Θ], a qual pode ser fundamentada pela concepção de conhecimento de Chevallard em que, Tal enfoque no conhecimento não é, de forma alguma, acidental. Na verdade, raramente se encontram praxeologias ad hoc. Geralmente, em uma determinada instituição I, uma teoria Θ responde a várias tecnologias θj, cada uma das quais por sua vez justifica e torna inteligíveis várias técnicas τij correspondentes a tantos tipos de tarefas Tij. As organizações pontuais agregarão assim, primeiro em organizações locais, [Ti/τi/θ/Θ], centradas em uma determinada tecnologia θ, depois em organizações regionais, [Tij/τij/θj/Θ], formadas em torno de uma teoria Θ. (Além disso, nomearemos a organização global o complexo praxeológico [Tijk/τijk/θjk/Θk] obtido, em uma determinada instituição, pela agregação de várias organizações regionais correspondentes a diversas teorias Θk). Agora a mudança de uma praxeologia pontual [T/τ/θ/Θ] para uma praxeologia local [Ti/τi/θ/Θ] traz a tecnologia θ para a vanguarda, da mesma forma que a mudança posterior para uma praxeologia regional [Tij/τij/θj/Θ] trará a teoria Θ para a vanguarda. Em ambos os casos, a visibilidade do bloco de conhecimento aumenta, em detrimento da visibilidade do know-how. Tal desequilíbrio, sem dúvida, não é desprovido de justificação: embora seja verdade que, em muitos casos, o tipo de tarefa T precede geneticamente o bloco [Θ/Θ] (que é então construído como um meio de produzir e de justificar uma técnica τ apropriada à T), continua a ser o caso que, estruturalmente, o conhecimento [θ/Θ] permite a geração de τ (para um determinado T). Fonte: acervo da autora (2020)

(𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 6 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 3 )
(𝑡 9 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 3 ) (𝑡 2.1 ) (𝑡 9 ) (𝑡 3 ) (𝑡 4 ) (𝑡 3 )
A partir do desenho das análises a priori é possível perceber os vínculos praxeológicos intrísecos e que são relevantes para investigação, o que revela também a potência metodológica dos Geradores de Tipo de Tarefas, os quais podem ser apresentandos como uma das ferramentas que permitem que os pesquisadores transitem pelos diferentes níveis de coderterminação, por intermédio dos graus de granularidade dos GTs. Assim, podemos realizar a seguinte associação:

uma OM global dialogaria com Geradores de Tipo de Tarefas em graus mais abrangentes. No entanto, nas OM pontuais as especificidades comporiam as estruturações dos Tipo de Tarefas originados por eles. Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, pois no processo resolutivo de algumas tarefas essas trajetórias aparecem ostensivamente por meio dos dados obtidos os quais viabilizaram revelar a forma como certas praxeologias pessoais são construídas e permitiu desenvolver uma análise proveniente de diferentes ângulos de observação.

Ademais, é relevante destacar que as praxeologias pessoais são construídas dentro de uma ou mais instituições de acordo com diferentes dinâmicas como sublinhado por Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020). A partir desse viés, a confrontação de uma tarefa 𝑡 pertencente a certo tipo de tarefa 𝑇 oportunizando ao estudante invocar técnicas (𝜏 𝑖 ) e implementá-las sem dificuldades se 𝑇 for um tipo de tarefa familiar/rotineira para ele. Entretanto, se o tipo de tarefa 𝑇 não estiver imersa no repertório praxeológico habitual do estudante, então a realização dessa tarefa pode passar por várias tentativas e adaptações, mobilizando técnicas (𝜏 𝑖 ) que não conduzem a efetiva resolução da mesma, até que surja uma eventual associação com uma técnica com potencial de adequação. Aqui, o termo "adequação" significa que o estudante julga que a técnica permite solucionar a tarefa de forma condizente com a instituição. Se a técnica não for a esperada pela instituição, então o professor assumirá o papel de mediador e colocará em prática o que é necessário para alcançar o que foi inicialmente solicitado na tarefa. O estudo da tarefa 3 traz em seu âmago a construção de modelos em MM e resoluções da questão em PL e GG que é decomposta em sub tarefas de mesma natureza, diferindo apenas na associação vetorial em termos de segmentos equipolentes. Nesta etapa foca-se na praxeologia pessoal de um membro do grupo 1.

Na quarta tarefa observou-se aspectos que emergiram como inspiração na idealização dos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, em especial nas análises das resoluções em MM e PL. O primeiro elemento que despertou nossa atenção foram as distintas possibilidades de resoluções, como exemplificado no quadro intitulado "um zoom entre as duas resoluções", em que notamos traços do emprego de distintas técnicas pessoais. De igual modo foram identificadas características similares nas resoluções com PL. Assim, diante de uma gama de resoluções vislumbramos a possiblidade de "mergulhar" em meio a uma análise mais fina para observar como todos elementos se comportam.

Dito isto, concebemos que a gênese dos CPP está diretamente relacionada ao conjunto de interpretações e escolhas praxeológicas que cada estudante (sujeito) realiza ao se deparar com tarefas que devem ser resolvidas. Em outras palavras, visa analisar a trajetória das predileções praxeológicas que cada discente elege como estratégia ao se deparar com determinada questão. Neste sentido, pode-se pensar, metaforicamente, que os CPP se assemelham às atribuições assumidas pelos analistas de partidas de futebol. Visto que, eles assumem a função de condutores de informações nas execuções de cada jogada, cada lance, ou seja, busca-se identificar o porquê e como as ações acontecem durante o jogo. Assim, objetivase entender os pontos fortes e fracos dos times, de uma parcela do time ou de um jogador em específico em termos de diferentes níveis de análises, por exemplo: geral, específico e individual, para então estabelecer estratégias de jogo mais robustas e consistentes.

A partir desta alegoria, concebemos que os CPP se apresentam como uma ferramenta teórica que oportuniza o acesso aos elementos explícitos e implícitos que integram às construções praxeológicas, uma espécie de "background" destas saber-fazer como descrito por intermédio das recombinações praxeológicas (CHEVALLARD, 2018) em que modificamos a prática e mantemos o logos, em um nível mais interno. A partir desta perspectiva, as estruturas de ações [START_REF] Chevallard | La théorie anthropologique des faits didactiques devant l'enseignement de l'altérité culturelle et linguistique. Le point de vue d'un outsider. Conférence plénière donnée le 24 mars 2006 au colloque Construction identitaire et altérité: Créations curriculaires et didactique des langues[END_REF] são desenvolvidas no contexto das praxeologias pessoais (CHAACHOUA; CROSET, 2016), o que possibilita direcionar a atenção para os gestos que precedem e acompanham as execuções das técnicas. Dito de outra forma, significa dizer que o CPP observa estruturas ou unidades mínimas que estão por trás das produções praxeológicas pessoais de cada ator na resolução de tarefas. Essa perspectiva é respaldada pelo que sublinha Chevallard (1998), Diremos que cada um dos atores xi deve neste caso realizar certos gestos, o conjunto dos quais constitui então o seu papel na realização da tarefa cooperativa t, sendo estes gestos diferenciados (de acordo com os atores) e coordenados entre eles pela técnica 𝜏 executada coletivamente. Alguns destes gestos serão considerados como tarefas por direito próprio, 𝑡′, em cuja realização 𝑥𝑖 atuará (momentaneamente) em relativa autonomia em relação aos outros atores da tarefa. O conjunto destas tarefas, um subconjunto do papel do 𝑥𝑖 quando 𝑡 é executada de acordo com 𝜏, é então nomeado topos do 𝑥𝑖 em 𝑡. (CHEVALLARD,1998, p.107, grifos nossos, tradução nossa 199 ) Outro ponto essencial que comunga diretamente com a idealização dos CPP é de considerar que na resolução de uma tarefa os sujeitos mobilizam distintas organizações didáticas e matemática. Dito isso, por intermédio dessa noção, pode-se pensar na observação e análise de um processo mais minucioso acerca da forma como alguns estudantes constroem microunidades matemáticas e didáticas ao compor os distintos caminhos de estudo. E por fim, nas análises das tarefas cinco e seis expusemos os elementos de base do estudo, as praxeologias pessoais e mencionamos traços dos CPP, porém sem um detalhamento mais aprofundado por não constituir o objetivo primeiro desta pesquisa.

-DESENHO ESTRUTURAL DO CURSO "UM ESTUDO SOBRE VETORES"

O curso "Um Estudo sobre Vetores" cumpre, em essência, a fase experimental dessa investigação com a intenção de indagar a atuação do Modelo Praxeológico de Referência -MPR e verificar suas potencialidades na perspectiva de aspectos que circundam o ensino e a aprendizagem da álgebra vetorial em nível universitário, pois, frente a esta problemática, propomos analisar as produções dos discentes, em termos dos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP das tarefas vetoriais, a partir de um Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA, sob o âmbito de desenvolvimento estruturado no quadro de referência didática T4TEL (CHAACHOUA, 2018), detectados na trajetória desta pesquisa, além de abastecer o processo de confrontação entre as análises a priori e a posteriori.

A partir desse viés, colocamos em evidencia o AHA -Ambiente Híbrido de Aprendizagem, cuja intenção é identificar, implementar e formalizar uma espécie de complementação das ferramentas de ensino, amalgamando, novas às que já existem. Neste nível de investigação as características tecidas acerca do AHA adquirem uma maior amplitude ao se integrar à Dialética Mídia Meio (CHEVALLARD,2007) e ser disposto por nós como um espaço constituído por uma variedade de recursos didáticos (mídias 200 ). Nestes termos, Brousseau (2002) declara que, Uma situação é caracterizada em uma instituição por um conjunto de relações e de papéis recíprocos de um ou vários sujeitos (aluno, professor, etc.) com um meio, visando à transformação deste meio segundo um projeto. O meio é constituído por objetos (físicos, culturais, sociais, humanos) com os quais o sujeito interage em uma situação (BROUSSEAU, 2002, p. 1).

Com base nessa perpectiva, resulta em caracterizar a aprendizagem como adaptação a um meio. Em mesmo direcionamento, este autor também ressalta que "o sujeito aprende corrigindo suas acções e antecipando seus efeitos. As situações de acção em que ele está envolvido são, portanto, para ele "milieu" (de referência) sobre os quais exerce sua capacidade de conhecimento e da aprendizagem." (BROUSSEAU, 2002, p.23, tradução nossa 201 ) Em outras palavras, Costa, Arlego e Otero (2015, p. 149) "entendem por mídia todo sistema que emitem mensagens para determinado público, como por exemplo: um diário, um programa de televisão, um curso de um professor, um livro...". Como parte da sua teorização, a TAD caracteriza as mídias como todo sistema que propõe condições ao meio, ao dispor de certa realidade às mensagens. E por consentir que o meio é desprovido de intenções didáticas, seguimos os direcionamentos de Chevallard (2007) A TSD sublinha, em certo sentido, que um sistema didático não pode funcionar in vácuo: supõe a produção e a organização de um "meio didático", meio de estudo material e imaterial M, que será o fragmento do universo com o qual os atores do sistema didático estabelecerão uma negociação com o objetivo de produzir a resposta R para a pergunta Q. (CHEVALLARD, 2007, p. 31, tradução nossa 202 ) No seio dessa investigação, foi incorporado e materializado ao meio didático uma proposta alternativa para o ensino e a aprendizagem da Álgebra Vetorial, em que se permite 200 Ver Chevallard (2007). 201 Le sujet apprend en corrigeant ses actions et en anticipant leurs effets. Les situations d'action où il s'est engagé sont donc pour lui des milieux (de référence) sur lesquels il exerce ses capacités de construction de connaissances et d'apprentissage. 202 La TSD souligne, en un sens, qu'un système didactique ne saurait fonctionner in vacuo: il suppose la production et l'organisation d'un « milieu didactique », milieu d'étude matériel et immatériel M qui sera le fragment d'univers avec lequel les acteurs du système didactique établiront un commerce visant à produire la réponse R à la question Q.

que variados recursos dialoguem e coexistam em uma dada situação didática, pois eleva-se à premência em "desenvolver um meio M formado por um conjunto de recursos velhos e novos, que serão utilizados por X." (SANTOS JÚNIOR, DIAS, BOSCH, 2019, p. 330).

Pautados nestas concepções, identificamos semelhanças com AHA, visto que se apresenta como uma fonte de mídias (MM, PL, GG) que, além de propor condições ao meio, nutrem o funcionamento dos Geradores de Tipo de Tarefas -GTs, promovendo o desenvolvimento de distintos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, em termos do sistema de variáveis, podendo ser caracterizado como um meio material (CHEVALLARD, 2007), ou seja, um meio formado por mídias materiais.

No intuito de aclarar o que foi dito, compactuamos com o ponto de vista de Jolivet (2016) que concebe os recursos educacionais como, objetos que dão a conhecer, fazem trabalhar, questionamentos, etc., um ou mais saberes; são, portanto, produzidos dentro de uma instituição. No entanto, eles podem ter bastante utilidade dentro de outra instituição, mesmo que não seja aquela originalmente previsto por seu projetista. (JOLIVET, 2016, p.2, tradução nossa 203 ) Face ao meio didático gerido por mídias (dispositivos), produtos de construções institucionais, busca-se aproximações com os vieses epistemológico, institucional e cognitivo atrelados aos tipos de tarefas estudadas neste curso experimental. Nesse sentido, inferimos que, ao analisar as particularidades das resoluções de cada atividade, essas dimensões serão manifestas, seja por meio da vertente epistemológica que se atrela ao objeto do saber em jogo, viabilizada ou não pelo aspecto institucional que se relaciona às praxeologias pessoais [START_REF] Croset | Une réponse à la prise en compte de l'apprenant dans la TAD: la praxéologie personnelle[END_REF], gerando aproximações com a nuance cognitiva.

De forma mais específica, é viável vestir-se da metáfora ecológica ao supor que, ao colocarmos em funcionamento uma Organização Didática Híbrida -ODH emergente de condições propiciadas por mídias (MM, PL, GG), regido por estruturas que fornecem caminhos distintos na busca por soluções das questões apresentadas, além de propiciar um novo olhar acerca da organização de estudo, fabricada com a participação ativa dos estudantes, ao delinear seu meio de estudo. Assim, coloca-se em evidência a elaboração dos experimentos e análises deste trabalho seguindo o fluxo da atividade matemática, enquanto gestos didáticos204 ou gestos de estudos205 , desenvolvida nos moldes do AHA, que revelam um novo sistema de interpretação É relevante pontuar que ficou a cargo dos discentes a escolha dos Dispositivo Didático -DD que iriam trabalhar com cada questão. Contudo, nas resoluções seguintes, deveria ocorrer uma alternância entre os DD. Diante desse exemplo de formatação, percebemos traços e afinidades com mais uma das dialéticas ou "gesto de estudo e investigação" (CHEVALLARD, 2007(CHEVALLARD, , 2013)), delineado por Costa, Arlego e Otero (2015) como:

Dialética do individual e do coletivo: é um processo que consiste no estudo coletivo da pergunta problemática levantada e, ao mesmo tempo, implica na distribuição de responsabilidades e nas atribuições de tarefas, para reinserir um processo coletivo, para dar uma resposta. Essa dialética desloca o "ator do estudo", passa do indivíduo para a comunidade. (COSTA, ARLEGO e OTERO, 2015, p. 148, tradução nossa 206 ) Essa perspectiva, suscita esforços que devem partir de cada sujeito 207 do grupo com a intenção de alcançar uma resposta conjunta para tarefa proposta, o que supõe a implementação de técnicas, ou seja, "a escolha da técnica não surge: ou é dada ao aluno a possibilidade de reconhecer a especificidade da declaração da tarefa prescrita ou pelo contexto associado à tarefa que a técnica é induzida." (CHAACHOUA, 2010, p.5, tradução nossa 208 ) Além da partilha de responsabilidades que procede desta dialética, deve-se ressaltar que "o estudo coletivo não deve ser confundido com o chamado trabalho em grupo, pois cada membro do grupo de estudo pode desenvolver estudos e investigações próprias, sem deixar de contribuir com o coletivo." (SALGADO; OTERO, 2020, p.535, tradução nossa 209 ).

A atuação dos estudantes na resolução das tarefas assumiu uma vertente cooperativa na ordenação das técnicas ou conjuntos de gestos específicos próprios de cada dispositivo. De acordo com [START_REF] Chevallard | La fonction professorale: esquisse d'un modèle didactique[END_REF], a posição p é caracterizada por um repertório de gestos, que o seu ocupante x, deve executar no domínio de um certo número de dispositivos, pois de acordo com Chevallard (1998):

As tarefas didáticas, de fato, são, em um certo número de contextos, cooperativas, no sentido de que devem ser realizadas em conjunto por várias pessoas x1, ..., xn, os atores da tarefa. Diz-se que cada um dos atores xi deve, nesse caso, realizar certos gestos, os quais constituem seu papel na realização da tarefa cooperativa t, sendo esses gestos diferenciados (segundo os atores) e coordenados entre si pela técnica τ implementada coletivamente. Alguns desses gestos serão considerados tarefas por si só, t', cuja realização xi atuará (momentaneamente) em relativa autonomia em comparação com os outros atores da tarefa. O conjunto dessas tarefas, um subconjunto da função de xi quando t é realizado de acordo com τ, é chamado de topos de xi em t. (CHEVALLARD, 1998, p.18, tradução nossa 210 ) Essa vertente abriu novos caminhos de análises a partir dos diferentes encadeamentos de ações corporificadas por gestos, revelados no âmbito dos Dispositivos Didáticos (MM, PL, GG), os quais se integram ao processo das recombinações praxeológicas. Assim, sublinhamos acerca da existência da composição do saber -fazer na construção de soluções, com uma caracterização descritiva do complexo praxeológico que se forma a cada processo resolutivo.

Desse modo, na trajetória de estudo também foram contempladas as preferências, afinidades e consequentes escolhas realizadas pelos discentes ao resolver cada tarefa apresentada. Essa perspectiva propiciou congruência como uma das condições estabelecidas no estudo, a utilização de diferenciadas mídias. Todo o desenvolvimento do curso foi registrado por intermédio da coleta das produções dos estudantes, fotografias, áudio e vídeo, o que possibilitou analisar o sequenciamento das ações, (gestos, diálogos nas resoluções das questões, dentre outros), com intuito de descrever e compreender o cenário praxeológico que se formou em cada encontro.

Na condução deste processo, dotado de certa capacidade geradora que lhe outorga funcionar como um dispositivo de produção de tipos de tarefas, encontra-se o Gerador de Tipo de Tarefas -GT (CHAACHOUA, 2018), que dentre suas funções basilares está a produção de tipos de tarefas, regido e alimentado por distintas variáveis que assumem a esfera estrutural da modelação, associado ao papel de "ferramentas metodológicas em um processo de modelagem" (CHAACHOUA, 2018).

Nesses termos, concebemos que, a partir do funcionamento dos GTs, foram desencadeados transformações e desequilíbrios no Sistema Didático -SD, provocando novas organizações e reorganizações praxeológicas, pois segundo Chevallard et al. (2001, p.253), "organizar é criar uma praxeologia. Uma praxeologia nova ou renovada", por meio da apresentação de um repertório de possibilidades, na execução das resoluções das tarefas, os quais foram dirigidos por distintas técnicas em sintonia com diversas variáveis, reguladas pelas escolhas e intenções de pesquisa.

Em complementação ao que foi dito anteriormente, concebe-se como consequência direta deste fenômeno, transformações nas instâncias do SD, no contexto da TAD, associadas às relações de um indivíduo x ou grupo de indivíduos X com determinada obra O. Ou seja, como já previamente apresentado neste texto, "a aprendizagem é uma modificação da relação de um indivíduo X com O, ou seja, essa relação começa "a existir" (se ela ainda não existia), aux autres acteurs de la tâche. L'ensemble de ces tâches, sous-ensemble du rôle de xi lorsque t est accomplie selon τ, est nommé alors le topos de xi dans t. ou essa relação é modificada (se ela já existia)." (CHAACHOUA;BITTAR, 2019, p. 31). Em sentido análogo, os encaminhamentos de Bosch e Chevallard (1999), sublinham que, a realização de qualquer tarefa resulta da implementação de uma técnica. Mais uma vez, é necessário ouvir o termo técnica em um sentido muito amplo, como uma "maneira de fazer" particular, e não de acordo com o significado usual de um processo estruturado e metódico, algorítmico -que é apenas um caso muito particular de técnica. (BOSCH, CHEVALLARD, 1999, p.5, tradução nossa 211 ) Nesse sentido, os sujeitos da instituição CLM-UEFS ocuparam a posição de participantes proativos do "Curso um Estudo sobre Vetores", os quais foram convidados a resolver tarefas vetoriais utilizando técnicas distintas das convencionais, no intuito de promover um distanciamento, mesmo que momentâneo, da execução de tarefas que são fragmentadas em subtarefas algoritmizadas, segundo os direcionamentos institucionais. O que provocou rompimentos no fenômeno geral de naturalização dos pares tarefas/técnicas, pois de acordo com Bosch e Chevallard (1999), o delineamento assumido pelo estudo rompe com o aspecto rotineiro das técnicas, visto que há um despertar para a criação de técnicas associadas aos Dispositivos Didáticos (MM, PL, GG), os quais também são organizados com mídias e/ou variáveis, a depender do contexto em conexão com as intenções de pesquisa.

Em complementação às características do AHA, integra-se a sua definição o fato de concebê-lo também enquanto aposta didática, o qual oferece um leque de possibilidades de estudo ao focar em determinado objeto O, a partir do repertório de recursos disponibilizados e reunião de obras 𝑂 𝑏 . Em outras palavras, se fornece distintos dispositivos para resolução das tarefas de certo tipo T, em que expecta a implementação de técnicas τ. Aspecto esse que comunga com a concepção de Chaachoua (2020, não paginado) no que se refere aos Dispositivos Didáticos: "composto de objetos identificáveis tendo uma materialização (tangível ou virtual), possuindo propriedades intrínsecas, de natureza física ou tecnológica". -Distinguir diferentes significados do mesmo conhecimento, gerando situações diferentes do ponto de vista didático, mas equivalentes do ponto de vista do saber (aspecto epistemológico incluindo as razões de ser de um saber); (...) -Estudar as condições de existência do conhecimento em certa realidade escolar e as razões para as dificuldades observadas. (BESSOT: CHAACHOUA, 2018, p. 120) Admite-se como referência a realidade dos cenários construídos pelos estudantes do CLM no âmbito das resoluções de tarefas vetoriais, regidas por distintos Dispositivos Didáticos, dirigidas pelo Sistema de Variáveis -SV integrados aos Geradores e Sub-Geradores de Tarefas.

A partir dessas indicações, é viável direcionar a atenção para as limitações no rol de técnicas, visto que o trabalho com distintos dispositivos franqueam caminhos para possíveis transformações e consequente ampliação no número de tarefas repercutindo nas técnicas, pois como indica Chevallard (1989), geralmente, nos limitamos a um pequeno número de técnicas, também em paráfrase a Chevallard (1989), ao destacar que nas instituições existem um repertório reduzido de técnicas e, mesmo assim, as técnicas alternativas são excluídas ou posicionadas à margem do processo.

Em prol dessas técnicas alternativas, foram apresentadas tarefas para os estudantes que versavam em essência sobre os vetores, Organização Matemática -OM que segundo Costa, Arlego e Otero (2015, p.146), "proporciona aos alunos ferramentas básicas e indispensáveis para modelar matematicamente diversos eventos físicos". Ressalte que, para além dos fenômenos físicos, o cálculo vetorial ou álgebra vetorial, em suas diferentes nuances, reverbera em outros domínios matemáticos.

Assim, a partir do desenho de diferentes cenários, é viável romper com o que é difundido no âmbito institucional. Dito de outra forma, como repercussão da emersão dessas técnicas alternativas, originárias das tarefas que foram trabalhadas pelos estudantes no trânsito entre cenários didáticos caracterizados por elementos intrínsecos a cada dispositivo, torna-se viável supor uma ruptura com o que é difundido no âmbito institucional, pois como já sinalizado por Chaachoua (2010), para um tipo de tarefa existem várias técnicas. Entretanto, a instituição, geralmente, organiza o estudo através de vários tipos de tarefas para as quais existe apenas uma técnica, ou seja, eles devem reconhecer a que tipo de tarefas pertence e quais técnicas são pertinentes utilizar para obter uma resposta aceita pela instituição ou não. Esta reflexão é complementada com a descrição de dois casos, que servem para exemplificar como os objetivos, princípios e metodologia foram implementados em processos didáticos com materiais tangíveis (MM) e não tangíveis (PL). Assentado nesse aspecto, descreveremos o trabalho desenvolvido no curso com as tarefas e os respectivos dispositivos MM, PL e GG.

A partir dessa configuração, sublinhamos que, no âmbito didático, a identificação e a análise das condições e restrições circundaram, por exemplo, os domínios geométricos e algébricos, os quais consistiram um pré-requisito na eleição e produção das questões. Vertente essa que confronta com um aspecto já pontuado por Artigue (1996, p.200) A tarefa proposta revela um progressivo grau de complexidade, o que demanda conexões entre as operações e propriedades na obtenção de 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de 𝑢 ⃗ e 𝑣 .

Assim, identifica-se que o emprego dos materiais manipuláveis podem ser vistos como "parte de um sistema que compreende elementos materiais ou simbólicos e regras de manipulação, dependendo do contexto da ação" (MATHÉ, 2012, p.197, tradução nossa 214 ).

Nesta etapa do processo, emergiram restrições impostas na manipulação material, fato esse que direcionou os sujeitos a considerarem o modelo manipulável como um elemento auxiliar, o que remonta a um alcance limitado dos ingredientes operacionais da técnica deste dispositivo, levando-os a transitar para outro dispositivo, neste caso PL. Aspecto esse que pode ser esclarecido no cerne do escopo da técnica o qual é caracterizado por, (...) uma técnica -uma "maneira de fazer as coisas" -só tem sucesso em uma parte P(τ) das tarefas do tipo T às quais se referem ao chamamos de escopo da técnica: ela tende a falhar em T\P(τ), de modo que podemos dizer que "não sabemos, em geral, como realizar tarefas do tipo T". (CHEVALLARD, 1999, p. 225, tradução nossa 215 ).

Dito de outra forma, essa definição sinaliza que, fora de seu alcance, uma técnica tende ao fracasso. Nestes termos, Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020) apresentam a seguinte interpretação:

1) uma técnica pode não ser aplicável fora de seu alcance; 2) uma técnica pode ser aplicada fora de seu alcance, mas com alto risco de falha. vida das praxeologias que se encontram no cerne das questões didáticas. Dessa forma, técnicas possibilitam que as "tarefas sejam realizadas com pouco risco de falha e a um custo razoável.

A técnica tende a ter sucesso nessa faixa e inclina-se a falhar na parte externa. Denotado por P (τ)" (Ibid, p.5). Essa vertente se aproxima dos traços inerentes aos dispositivos GG e MM. Já o "escopo institucional de uma técnica relativa a um tipo de tarefa T tido como o conjunto de tarefas onde esta técnica são esperadas por uma instituição. Este intervalo é uma consequência das condições e restrições da vida de τ em uma instituição, descrito por PI (τ)" (Ibid, p.5).

Com 218 Il y a du didactique dans une situation sociale lorsque s'y observe ce qui peut être interprété comme une intention, portée par une personne ou par une institution, de faire quelque chose pour qu'une personne ou une institution apprenne quelque chose. 219 Em vez de aprender, dizemos com mais modéstia que nos encontramos; em vez de aprender, falaremos de encontro, para não esquecer a indeterminação irredutível de que o uso do "aprendizado" mascara (CHEVALLARD, 2013, p.5) 220 "Fazer algo" para provocar criar condições de aprendizagem.

Quando direcionamos a atenção para a produção do grupo 2, nota-se que seguiu uma trajetória de resolução da primeira tarefa, distinta da equipe 1, como exibido na figura 131.

Figura 131 -Reprodução da figura 129 (grupo 2)

Fonte: acervo da autora (2020)

Discorremos acerca desta produção, a qual corporifica221 a representação gráfica que integra a questão abordada. Nesse sentido, as recombinações praxeológicas envolveram "parte de um sistema que compreende elementos materiais ou simbólicos e regras de manipulação, dependendo do contexto da ação" (MATHÉ, 2012, p.197). Emerge uma primeira impressão, que nos leva a pensar, que as técnicas empregadas na resolução estão atreladas a um conceito prévio de desordem. No entanto, ao direcionar atenção para cada aspecto dessa produção, essa sensação se enfraquece e outros elementos afloram, por exemplo, as representações vetoriais foram construídas de acordo com o enunciado da tarefa. Outra vertente de destaque está na legenda criada por este grupo de estudantes:

• 𝑣 -verde;

• 𝑢 ⃗ -roxo;

• sentido oposto: elástico branco; • Esse fato nos levou a supor que, diante da quantidade de informações, eles sentiram necessidade de especificar os caminhos trilhados em suas construções. Aspecto esse ratificado, ao inter-relacionar a construção em MM e a legenda, o que tornou possível identificar que os sujeitos deste grupo produziram técnicas objetivando resolver a tarefa proposta. Visto que, Se necessário, após um processo de estudo mais ou menos longo, pode se chegar a produzir técnicas que permitam fornecer respostas às perguntas inicialmente feitas. Um novo saber-fazer é construído, o qual deverá ser ainda organizado para lhe assegurar um funcionamento regular na instituição. (BOSH; CHEVALLARD, 1999, p. 6, tradução nossa 222 ).

Esse fato repercutiu na implementação de técnicas resultantes da manipulação de objetos ostensivos (práxis manipuladora), neste caso MM, regulada por objetos não ostensivos (definições e propriedades vetoriais). Concepção essa, identificada nas variadas técnicas de resolução da tarefa, refletidas na análise praxeológica. Assim, retomamos as ferramentas de base da TAD, evidenciando as concepções que contemplam tarefas e técnicas, denominado por Chevallard (2013) como bloco do saber-fazer, que inaugura o complexo praxeológico. Em razão de, admitimos que toda atividade humana pode ser analisada em uma sucessão de tarefas de tipos determinados. Se T é um tipo de tarefas, uma tarefa desse tipo, 𝑡 ∈ 𝑇, é uma amostra do tipo de tarefa. A realização de uma tarefa t de um tipo T supõe a implementação de uma técnica (do grego tekhnê, know-how), denotado 𝜏 𝑇 . O sistema formado pelo tipo de tarefas T e a técnica corresponde, Π = [𝑇/𝜏], é chamado de bloco do saber-fazer ou bloco da práxis ou bloco prático." (CHEVALLARD, 2013, p.5, tradução nossa 223 ) As concepções precedentes incidem, enquanto fundamentação da afirmação, que toda atividade humana pode ser modelada praxeologicamente, o que legitima a seguinte assertiva: "qualquer atividade humana pode ser descrita em aparência como uma manipulação de objetos ostensivos" (BOSCH e CHEVALLARD, 1999, p.11, tradução nossa 224 ). Dito de outra forma, as praxeologias são compostas por objetos ostensivos e não ostensivos sem os quais as ações não se tornariam reais. Respaldado pelas ferramentas de base da abordagem antropológica, é possível reconhecer a importância em apresentar justificativas para as técnicas, empregadas na resolução da tarefa, função esta desempenhada pelo bloco do saber. Como sublinhou Chevallard (2013):

Na realidade antropológica, também observamos a existência de um discurso muitas vezes incompleto, mesmo implícito em grande parte para justificar a técnica 𝜏, tornála inteligível e, em alguns casos, permitir produzi-la ou reconstruí-la: esse discurso sobre a técnica é chamado de tecnologia da técnica 𝜏 denotado por 𝜃.

A tecnologia 𝜃, por sua vez, exige um discurso que justifique certos aspectos não justificados, fixa seu significado e muitas vezes permite sua produção: a teoria Θ da técnica 𝜏. O sistema formado pela tecnologia 𝜃 e pela teoria Θ, se Λ = [ 𝜃/Θ], é denominado bloco de saber ou bloco de logos ou bloco gnóstico (para evitar o adjetivo lógico, que em francês assumiu um significado mais específico É possível perceber que, no trabalho desenvolvido no ambiente PL, no que tange a representação gráfica do quadrado e seus respectivos componentes, o caráter ostensivo assume uma posição de destaque, perspectiva também detectada nas construções com recursos manipuláveis. A concepção de [START_REF] Mathé | Jeux et enjeux du langage dans la construction de références partagées en géométrie[END_REF] comunga com esta perspectiva, ao revelar a dicotomia entre duas dimensões, tidas como bússola para análises no âmbito geométrico.

A parte tangível das modalidades de interação dos alunos com os objetos materiais da situação admite, em minha opinião, duas dimensões: uma dimensão material, relativa às modalidades de ação material dos alunos (seu modo de uso dos instrumentos, seu método classificação de sólidos, método de construção de figuras) e dimensão da linguagem, referente à maneira pela qual os alunos designam os objetos e ao significado que atribuem aos termos utilizados. (MATHÉ, 2012, p. 199 Enquanto sub-tarefas podemos identificar:

 Considerar 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ como resultantes de somas vetoriais;

 Escrever estas somas em função de 𝑢 ⃗ e 𝑣 ;

 Efetuar a multiplicação de vetor por um escalar;

 Agrupar e operar os termos semelhantes empregando as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento oposto e distributiva. A escrita das respostas e a integração das técnicas são resultantes dos registros gráficos revelados nas figuras 136 e 137. Contudo, é relevante destacar que, "escrever, embora dominante, não é o único registro ativado: existe também, por um lado, a realização de um discurso interior, às vezes silencioso, mas essencial no decorrer da tarefa" (BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p.16, tradução nossa 239 ), o que caracteriza a esfera não ostensiva.

A partir desse direcionamento, são notadas por meio dos GTs, prescrições que expõem as naturezas desses discusos inerentes aos tipo de tarefas. Assim, o 𝐺′𝑇 𝑡1𝐺𝐺 = [𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑒𝑚 𝐺𝐺; 𝑉 4 𝑒 𝑉 5 ], em que o software GeoGebra se integra ao complemento da tarefa regido pelos valores das variáveis 𝑉 4 𝑒 𝑉 5 . Nesta formando assim um polígono. Santos (1979, p.3) pontuou que está definição é motivada pela composição de forças em mecânica. 239 Remarquons ici que l'écrit, bien que dominant, n'est pas le seul registre activé: il y a aussi, d'une part, la réalisation d'un discours intérieur, parfois silencieux mais indispensable au déroulement de la tâche. etapa, foram disponibilizados: computador, com software instalado, e a folha que continha os dados da questão. Contudo, como previsto nas análises a priori, surgiram alguns elementos limitadores, dentre eles podemos citar a falta de familiaridade dos sujeitos com software.

No intuito de mitigar essa restrição, foi disponibilizado aos discentes material que tratou, de forma condensada, dos conceitos e funções basilares do software, aditado a algumas explicações que contemplaram exemplificações práticas de como operar o conjunto de comandos acessíveis, sendo esses intermediados pelas funções e ícones contido na barra de ferramenta.

Ao revisitar o Projeto Político Pedagógico do CLM -UEFS, encontramos uma justificativa que respalda a ausência de relações pessoais com o software 𝑅 𝐼 (𝑝, 𝑂) = ∅. Dito de outra forma, a vertente dicotômica entre condições e restrições se fez presente por meio da ausência de relações prévias com o software, repercutindo nos primeiros momentos do trabalho e, por consequência, as ações foram afetadas, provocando lentidão na resolução da questão, uma vez que os estudantes não dispunham do domínio exigido para operar o GeoGebra.

Esse aspecto se justifica pela estruturação revelada neste documento, visto que os estudos de softwares educativos serão contemplados na disciplina EXA 892 Softwares Matemáticos, componente que compõe a grade curricular do sexto semestre do curso. Ou seja, sinalizamos que esta disciplina poderia ser deslocada para os primeiros semestres do CLM-UEFS, oportunizando aos docentes a inserção no planejamento de suas aulas o suporte da ferramenta informática.

Ao sair do estágio de 𝑅 𝐼 (𝑝, 𝑂) = ∅ para a inauguração de 𝑅 𝐼 (𝑝, 𝑂) ≠ ∅, no âmago do ambiente informático, os estudantes puderam perceber que ao utilizar a mesma tela, obtém-se as representações vetoriais nos domínios algébrico (Janela de Álgebra), geométrico (Janela de Visualização), além da possibilidade de comandos por meio da Caixa de Entrada. Mesmo diante dessa ausencia de intimidade com o software, o que descreve um obstáculo de cunho didático operacional, uma solução preambular da tarefa 1, foi exibida pela equipe de número 4.

Alguns ingredientes das técnicas se assemelham ao MM, como ao valer-se das cores para atender as especificações de cada vetor, por exemplo 𝑤 ⃗⃗ é um dos representantes de 𝑢 ⃗ , logo correlacionaram a mesma cor, do mesmo modo acontece com os vetores 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ou 𝑏 ⃗ e 𝑐 .

Essa perspectiva dialoga com os cenários do T4TEL, visto que uma técnica é descrita por um conjunto de tipos de tarefas, cada uma das quais descritas por um tipo de tarefa, sendo denominada ingrediente da técnica (CHAACHOUA, 2018). e 𝐺′𝑇 𝑡1(𝐺𝐺) . Nesse caso, toma-se como exemplo o tipo de tarefa 𝑇 𝑡1(𝑀𝑀) , originada a partir de 𝐺′𝑇 𝑡1(𝑀𝑀) , exposta a seguir: Quadro 32 -Um tipo de tarefa a partir de G'Tt1(MM) Observem que a variável 𝑉 7 pode assumir, enquanto configuração retangular, distintos valores, como exemplificado por meio das seguintes transformações ou modificações que podem ocorrer guiadas pela intenções de pesquisa que emergem do movimento investigativo em meio à dinâmica praxeológica (KASPARY, CHAACHOUA e BESSOT, 2020). Concebe-se, enquanto implicações diretas das subdivisões de um Gerador de Tipo de Tarefas em Sub-Geradores de Tipo de Tarefas, que estes últimos herdam a natureza do GT precursor, ou seja, assumem características do gerador instituidor. A partir dessa linha de raciocínio, é possível perceber que os Sub-Geradores de Tipo de Tarefas adquirem um grau de maior ou menor especificidade, ou seja, nas palavras de Kaspary (2020, p.280) o ato de escrever coopera para que as variáveis assumam valores determinados nos tipos de tarefas provenientes deste gerador independentemente do valor adotado em 𝑉 1 = {𝑀𝑀, 𝑃𝐿, 𝐺𝐺}.

Ao olhar para o 𝐺𝑇 𝑡2 o verbo de ação, provar, direciona 𝑉 1 a centralizar-se em PL e os demais valores dessa variável se encarregam de assumir papeis auxiliares neste processo. Frente a essa perspectiva, emerge a existência de restrições provenientes da natureza e das limitações dos dispositivos, neste caso MM e GG, os quais assumem uma função coadjuvantes no processo de prova desta tarefa. O diagrama ilustra as ramificações deste gerador.

Fonte: acervo da autora (2020).

É relevante destacar que essa restrição tem sua origem manifesta na força empreendida pelas provas e demonstrações presentes na gênese do desenvolvimento do conhecimento matemático, o que faz com que uma representação geométrica não passe de uma simples amostra experimental ou sirva como elemento inspirador, não sendo suficiente em si mesma, enquanto validação da veracidade ou falsidade de determinado teorema. Sob este ângulo, Balacheff (2000, p. 3, tradução nossa 241 ) assinala que "(...) em geometria, as figuras são evidências da demonstração. Contudo, (...) o racionalismo da demonstração se opõe a esse tipo de sensualidade que serve de base para as evidências".

Sob outra perspectiva, [START_REF] Arsac | Variations et variables de la démonstration géométrique[END_REF] Note que PL constitui um elemento auxiliar na construção do modelo manipulável.

Aspecto esse também evidenciado na produção do grupo 6.

A partir de um olhar mais atento, é possível identificar que os discentes seguiram rotas O aspecto dicotômico entre a corporificação dos manipuláveis frente à perspectiva simbólica dos escritos no âmbito do Papel/Lápis abre um leque de possibilidades de análise acerca das múltiplas interconexões entre os distintos registros das concepções dos vetores. Soma-se a esse aspecto o campo de concorrência entre técnicas, geralmente obscurecido pela ação institucional de reconhecimento de técnicas, contrapondo as técnicas alternativas, como já declarado por Chevallard (1999), [...] Uma tal exclusão está correlacionada, para os atores de I, com uma ilusão da "naturalidade" das técnicas institucionais em I -fazer isso é natural... -, em contraste ao conjunto de possíveis técnicas alternativas, que os sujeitos de I ignoraram, ou, se forem confrontados com elas, que espontaneamente considerarão como artificiais, e (portanto) "contestáveis", "inaceitáveis", etc. A este respeito, observamos com bastante freqüência, entre os sujeitos de I, verdadeiras paixões institucionais pelas técnicas naturalizadas na instituição. (CHEVALLARD, 1999, p. 225, tradução nossa 253 ) Em contrastre a argumentação das preferências institucionais que elegem técnicas para realização de um mesmo tipo de tarefa, pode-se examinar os efeitos dessa competição do ponto de vista epistemológico, independentemente das condições institucionais que permitem ou não a existência dessas duas técnicas, no que concerne a sua eficiência.

Outra nuance que se faz presente no conjunto de tipos de tarefas ou estruturas de ação [START_REF] Chevallard | La théorie anthropologique des faits didactiques devant l'enseignement de l'altérité culturelle et linguistique. Le point de vue d'un outsider. Conférence plénière donnée le 24 mars 2006 au colloque Construction identitaire et altérité: Créations curriculaires et didactique des langues[END_REF] criadas pelos GTs se refere a um subconjunto da função de X (conjunto de estudantes), quando as tarefas t são realizadas usando uma técnica τ, denominada topos 254 de X na tarefa t. Sublinhado por Chevallard (1998) como, Uma das dificuldades didáticas mais comuns e urgentes para um professor é aquela que ele encontra para "dar um lugar aos alunos", ou seja, criar, para eles e sobre cada um deles temas estudados, topos apropriados, que dão ao aluno a sensação de ter um "papel real a desempenhar". (CHEVALLARD, 1998, p.18, tradução nossa 255 ) Esse aspecto comunga com os estudos hodiernos de Chevallard (2009;2010;2012) Pontuamos que na execução desta etapa, estavam ausentes dois componentes, o que demandou um reagrupamento dando origem a um grupo com 4 estudantes. O que significa dizer 253 (...) Une telle exclusion est corrélative, chez les acteurs de I, d'une illusion de « naturalité » des techniques institutionnelles dans I -faire ainsi, c'est naturel... -, par contraste avec l'ensemble des techniques alternatives possibles, que les sujets de I ignoreront, ou, s'ils y sont confrontés, qu'ils regarderont spontanément comme artificielles, et (donc) « contestables », « inacceptables », etc. À cet égard, on observe assez fréquemment, chez les sujets de I, de véritables passions institutionnelles pour les techniques naturalisées dans l'institution. 254 Para maiores esclarecimentos ver Chevallard (1998), pois em síntese ele caracteriza que o topos do grego (que corresponde ao locus latino) significa "lugar": o topos de xi é o "lugar de xi", onde, psicologicamente, xi experimenta sensações em termos das estruturas de ações assumindo um papel próprio. 255 L'une des difficultés didactiques les plus ordinaires et les plus pressantes pour un professeur est celle qu'il rencontre pour « donner une place aux élèves », c'est-à-dire pour créer, à leur intention, et à propos de chacun des thèmes étudiés, un topos approprié, qui donne à l'élève le sentiment d'avoir un « vrai rôle à jouer ». Foram empregados, sequencialmente, as ferramentas: ponto, vetor, mediatriz, interseção de dois objetos e segmentos. Dentre os elementos elencados, a recorrência à mediatriz, definida como uma reta perpendicular a um segmento de reta que passa pelo ponto médio deste segmento. A descrição da produção praxeológica nos fornece mais detalhes acerca destas construções resolutivas.

Quadro 36 -Produção praxeológica proveniente da junção dos grupos 1 e 2 vinculada a tarefa 2 no dispositivo GG Geometria Plana e Geometria Analítica.

Fonte: acervo da autora (2020).

O Caminho de Práticas Pessoais -CPP, revela uma trajetória diferenciada dos caminhos transitados pelos demais grupos nas resoluções situadas no âmbito dos recursos MM e PL. Este fato pode ser ratificado ao analisar o protocolo de construção. No ambiente dinâmico do software, os alunos utilizaram os seguintes comandos: selecionar dois pontos ou segmento, neste caso, os pontos A e B ou o segmento AB dando origem a uma reta perpendicular que contém o ponto médio de AB. Feito isso, a ferramenta interseção de dois objetos foi empregada para garantir que M (ponto médio de AB) ocupe a localização determinada.

A partir do posicionamento do ponto M na representação geométrica, inferimos acerca da existência de tentativas argumentativas no que se refere a veracidade de 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Aspecto esse, ratificado por Hofstadter (1997, p. 10 apud DE VILLIERS, 2001, p. 6), ao pontuar que trabalhos desenvolvidos no GeoGebra não são demonstrações, uma vez que "as demonstrações são ingredientes críticos do conhecimento matemático", porém não podemos ofuscar as potencialidades deste software que possibilitou verificar as propriedades existentes na figura construída e, ao fazer movimentações, ampliou seu leque de conceitos, pois quando trabalhamos atividades sobre provas e demonstrações matemáticas com o uso do aplicativo GeoGebra, proporciona-se uma alternativa ao incentivo de se conjecturar, argumentar, provocar raciocínio hipotético-dedutivo e articular níveis de pensamento geométrico. (LIMA, LINS e PEREIRA, 2018, p. 201) Figura 149 -Ramificações do GTt3 À luz deste cenário, em meio à flexibilidade dos dispositivos que se integram às resoluções das questões, rompe-se com a limitação do uso de uma única técnica envolvendo a representação dos conceitos e propriedades vetoriais. As produções dos estudantes sinalizam como as praxeologias pessoais (CROSET, CHAACHOUA, 2016), em alguns casos, diferem das expectativas institucionais em termos de tipos de tarefas, técnicas ou tecnologias. Em continuidade às análises, direciona-se a atenção às realizações dos discentes no âmbito manipulável. Assim, é possível identificar com maior precisão a coordenação do Sub-Gerador de Tipo de Tarefas, 𝐺′𝑇 𝑡3(𝑀𝑀) ⊂ 𝐺𝑇 𝑡3 , agregado às variáveis como descrito abaixo:

𝐺′𝑇 𝑡3(𝑀𝑀) = [𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟; 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑜 ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑚 𝑀𝑀; 𝑉 2 , 𝑉 A partir desses direcionamentos, encontram-se as seguintes realizações advindas dos discentes que fazem parte das equipes 1 e 2.

Quadro 37 -Legenda de cores referente a figura 153 O que significa dizer que, esta seria uma resposta à espera institucional (CHAACHOUA, 2010).

No entanto, o estudante se limitou a usar as técnicas que envolvem definição geométrica da adição vetorial e a noção de vetor oposto não apresentado uma solução incompleta em termos dos vetores 𝑢 ⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤 ⃗⃗ . Assim, descrevemos a praxeologia pessoal deste estudante.

Quadro 38 -Praxeologia pessoal de um membro do grupo 1 (continua)

Fonte: acervo da autora (2020)

Em termos da TAD, trata-se de avaliar as lacunas entre as relações pessoais e as relações de caráter institucional em torno de um objeto estudado, aqui os vetores. Como já sublinhou Chevallard (1989, apud CHAACHOUA, 2010), A partir desta relação pessoal surge em particular tudo o que normalmente pensamos que podemos dizer sobre -em termos de "saber", "saber fazer", "concepções", "habilidades", "domínio" e "imagens mentais" ", de" representações ", de" atitudes ", de" fantasias ", etc ... -de X sobre Os. a análise do erro nas praxeologias, destacando os seguintes fenômenos: -O uso de uma técnica cientificamente válida pode levar a erros. -Alguns erros podem ocorrer devido à falta de domínio de técnicas essenciais para a resolução de determinadas tarefas encontradas durante a implementação de uma técnica válida. (NGUYEN, 2006, p. 215, tradução nossa 257 ) 256 De ce rapport personnel relève notamment tout ce qu'on croit ordinairement pouvoir dire -en termes de "savoir", de "savoir-faire", de "conceptions", de "compétences", de "maîtrise", d' "images mentales", de "représentations", d' "attitudes", de "fantasmes", etc…de X à propos de Os. Tout ce qui peut être énoncé -à tort ou à raison, pertinemment ou non -doit être tenu (au mieux) pour un aspect du rapport personnel de X à Os. A partir de 𝐺′𝑇 𝑡3(𝐺𝐺) coordenado pelos valores das variáveis V 4 , V 5computador, 𝑉 7no plano e V 8limitação no domínio do GG, o que resultou na imagem retratada a seguir, assim como exposto no protocolo de construção que fornece informações sobre as ações executadas. desprezadas as características: módulo, direção e sentido. Assim, temos ciência da distinção entre as paxeologias pessoais, as quais têm como foco de interesse as praxeologias apreendidas que nem sempre estão em conformidade com as praxeologias institucionais, pois de acordo com Chaachoua e Bessot (2018), Diante de um tipo de Tarefas T, a instituição espera do estudante o estabelecimento de uma técnica que gere uma organização matemática institucional associada ao tipo de tarefa T. A não conformidade da relação pessoal à T se traduz pela aplicação de uma técnica que seja cientificamente válida, mas não institucionalmente adequada, ou que seja cientificamente inválida [START_REF] Nguyen | Les apports d'une analyse didactique comparative de la résolution des équations du second degré dans l'enseignement secondaire au Vietnam et en France[END_REF]CHAACHOUA;COMITI, 2007). Estas técnicas se diferem das técnicas institucionais e, em alguns casos, a diferença entre a técnica 𝜏 do estudante e a técnica esperada pela instituição pode ser modelada da seguinte forma: diante de uma tarefa T, o aluno a percebe como pertencente a um tipo de tarefa diferente do da instituição, podendo mesmo nem existir nesta instituição. (CHAACHOUA, BESSOT, 2018, p.118) Na segunda linha, nota-se que 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ assume o lugar de 𝐵𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , o que matematicamente significa dizer que os vetores possuem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento, ou seja, os segmentos BN e AC são equipolentes ou 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐵𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ são iguais, porém isto não ocorre.

A terceira linha, apresenta um passo teoricamente correto se não adviesse da linha anterior, a qual contém o erro sinalizado anteriormente. Os exemplos elencados evidenciam peculiaridades das interpretações e dos caminhos trilhados por cada discente na resolução dessa tarefa, ou seja, emerge a construção de rotas diferenciadas. Como destaca, Saglam (2004, p. 44 Alguns discentes que integravam os grupos 3 e 4 não capareceram ao encontro. Assim, os remanescentes se reuniram e deram origem a um novo grupo.

As produções foram desenvolvidas de forma colaborativa, configurado por um coletivo que se esforçou para obter uma resposta para t4, se aproximando do ideário inerente à Dialética do Individual e do Coletivo, vertente essa que propicia ao "Sistema Didático -SD sair da 260 Ces modèles doivent présenter des variantes et des variables. On peut alors chercher par des moyens mathématiques et expérimentaux, quelles valeurs de ces variables peuvent déterminer les conditions optimales de diffusion de connaissances déterminées, ou expliquer celles qui apparaissent comme réponse (théoriquement) optimale aux conditions proposées à l'élève. Pour des valeurs données de ces variables il existe au moins une stratégie optimale (du point de vue de son coût de mise en oeuvre, de sa fiabilité, de son coût d'apprentissage...) et une ou des connaissances qui lui correspondent. Nous appelons variable cognitive, une variable de la situation telle que par le choix de valeurs différentes on peut provoquer des changements de la connaissance optimale. Les variables didactiques seront parmi les variables cognitives celles qui peuvent être fixées par l'enseignant. Os grupos 3 e 4, nessa etapa, retornam para o ambiente tangível, porém com um diferencial, as produções deveriam reproduzir um sólido geométrico, nesse caso um tetraedro, para então obter o vetor solicitado, o que altera a instanciação material deste objeto geométrico.

Nestes termos, nota-se que a variável 𝑉 7 assume outro valor, pois temos uma mudança na configuração. Saímos do plano e agora a produção foi operacionalizada no espaço. Revelamos, sob alguns ângulos, as construções do grupo 3. Os canudos e barbantes se integram a V 2 , sob a natureza de MM, assumindo valores que ditaram a reprodução representativa do protótipo. Em V 3 , faz-se referência aos instrumentos auxiliares agregados a MM, o uso da tesoura ou estilete configuraram a ferramenta de corte, auxiliado pela régua que integra V 6 . Nesse contexto, afloram interlocuções com a materialização de objetos nos moldes tangíveis, os quais se apresentam como candidatos promissores para a ocorrência de rompimento com as limitações representacionais dos entes geométricos espaciais, pois como sinalizou Chaachoua (1998), Um desenho muitas vezes resulta em perda de informações, uma vez que muitas propriedades do objeto geométrico não podem ser traduzidas em relações espaciais em uma folha de papel, a menos que envolva códigos e convenções de representação como por exemplo, para a perpendicularidade de dois planos. Da mesma forma, as propriedades espaciais do desenho nem sempre podem se referir às propriedades geométricas retidas no problema. Por exemplo, a posição do desenho em uma folha de papel não é pertinente para o problema geométrico. (CHAACHOUA, 1998, p.38, tradução nossa 261 ) Para além da evidenciação do domínio operacional desse modelo, decorre em concordância com autor, a possiblidade de distinguir em duas categorias de realidades: as de natureza teórica e as do mundo sensível. Essa vertente dialoga diretamente com as produções realizadas em MM, as quais estabelecem conexões com as projeções, conforme enfatiza

Chaachoua (1998),

A representação de objetos geométricos do espaço, de dimensão 3, por desenhos em folha de papel, de dimensão dois, é feita por uma ou mais projeções. Portanto, no caso de uma única projeção, há necessariamente uma perda de informação. Daí a necessidade de utilização de códigos para a leitura e escrita dessas representações. (...) (Ibid, p.38, tradução nossa 262 ) Nessa perspectiva, retomamos o que já foi tratado por Lehmann (1991) acerca da "projeção paralela", em que elementos que possuem três dimensões (largura, comprimento e altura) são projetados em representações planificadas. Dito de outra forma, na concepção de [START_REF] Bkouche R | Axiomatique, formalisme, théorie[END_REF], apud CHAACHOUA, 1998, p. 39, tradução nossa 263 ) "(...)não se pode mais raciocinar sobre uma figura que já é distinta da realidade que supostamente representa, isto requer o desenvolvimento de métodos mais complexos de raciocínio...". Esse aspecto fundamenta uma das funções que respaldam o funcionamento do Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA ao ofertar caminhos, em que se almeja o equilíbrio na transferência de propriedades, mobilizando padrões de comparação e pistas que orientam a resolução do problema.

261 Un dessin se traduit souvent par une perte d'informations puisque plusieurs propriétés de l'objet géométrique ne peuvent pas être traduites par des relations spatiales sur une feuille de papier, à moins de faire appel à des codes et à des conventions de représentations comme par exemple pour la perpendicularité de deux plans.De même, les propriétés spatiales du dessin ne peuvent pas toujours renvoyer à des propriétés géométriques retenues pour le problème. Par exemple la position du dessin sur une feuille de papier n'est pas pertinente pour le problème géométrique. 262 La représentation des objets géométriques de l'espace, de dimension 3, par des dessins sur une feuille de papier, de dimension deux, se fait par une ou plusieurs projections. De ce fait, dans le cas d'une seule projection, il y a forcément perte d'informations. D'où la nécessité de faire appel à des codes pour la lecture et l'écriture de ces représentations. 263 (...) on ne peut plus raisonner sur une figure qui est déjà distincte de la réalité qu'elle est censée représenter, ceci nécessite donc la mise au point de méthodes de raisonnement plus complexes... Fonte: acervo da autora (2020) 264 Metaphorically it acts as a magnifying glass, allowing us to focus on detail, or to stand back and focus on the overall structure, as Skemp (1979) Nesse sentido, a análise a posteriori de uma investigação se apresenta como conjunto de resultados extraídos da exploração dos dados identificados e produzidos que interferiram no âmbito didático em conexão com as condições e restrições no processo de transmissão do saber em jogo, ou seja, envolve o confronto de uma análise a priori com uma análise a posteriori do que pode ou não existir na instituição CLM-UEFS. A ideia é relacionar as observações com os objetivos definidos a priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos fenômenos didáticos identificados. Essa vertente é ratificada por Artigue (1990), ao pontuar que, "a fase dita a posteriori baseia-se em todos os dados coletados durante o experimento (…). Estes dados são muitas vezes complementados por dados obtidos através do uso de metodologias externas (…)." (ARTIGUE, 1990, p.297) Desse modo, considera-se pertinente retomar as hipóteses, as quais podem ser Agrega-se a essa vertente que uma técnica tida como uma "maneira de fazer" nem sempre alcança plenamente sua função, ou seja, só tem sucesso em uma parte do jogo. Como sublinhou Chevallard (1999), P(τ) das tarefas do tipo T a que se refere, relativo a parte denominada escopo da técnica: ela tende a falhar em T \ P(τ), de modo que podemos dizer que não sabemos, em geral, como realizar tarefas do tipo T. Isso é óbvio, mas muitas vezes esquecido, em matemática. Assim, qualquer técnica de cálculo em N falha acima de um determinado número. Da mesma forma, o fato de que geralmente não podemos considerar um determinado número inteiro é uma das razões de certas técnicas de criptografia. (CHEVALLARD, 1999, 225) A partir destas designações categorizaremos em termos dos Dispositivos Didáticos os alcances das técnicas, observados nos registros e relatos dos estudantes acerca das resoluções das tarefas, em estreitas ligações com o escopo teórico -PTh(τ), escopo pragmático P(τ) e escopo institucional -PI(τ). A partir desse viés, foi elaborada a tabela 7 que evidencia as limitações e abrangências das técnicas alternativas que têm como suporte esses dispositivos. As coexistências e os intercâmbios entre as técnicas provenientes de PL, MM e GG, revelam predisposições que fornecem peculiaridades dos escopos das técnicas. Melhor dizendo, fora de seu alcance, uma técnica tende a falhar. Essa tendência ao fracasso foi interpretada por O que significa que para modelar a dinâmica praxeológica de um estudante, por exemplo, relacionado a determinado assunto, tema ou sector, no sentido do nível de codeterminação (CHEVALLARD, 2002). E assim, a cronogênese, a qual se encarrega da "gênese do tempo didático, ou seja, o tempo da construção praxeológica." (CHEVALLARD, 2009, p.79) Com efeito, essa perspectiva evidencia a relevância da natureza dos valores assumidos pelas variáveis, uma vez que, segundo Chaachoua e Bessot (2018, p. 124), "a alteração de um valor modifica a gama de possíveis técnicas" no que se refere ao campo epistemológico. " Além disso, os autores destacam que "os valores institucionais modelam as condições e restrições explícitas ou implícitas dos níveis da escala de codeterminação sob as quais uma praxelogia existe ou pode existir institucionalmente." (Ibid, 2018, p. 124) O emprego de técnicas colaborativas foi um dos diferenciais no uso de MM, caracterizados ostensivamente no campo das representações geométricas. Nota-se, de acordo com a figura 182, a ocorrência de diálogos entre os estudantes em prol da elaboração e planejamento prévio do que deveria ser feito para alcançar uma forma de solucionar as demandas das tarefas, se apresentando como uma estratégia que não foi prevista na análise a priori.

Com algumas similaridades, porém em níveis mais tímidos no que tange a nuance colaborativa, as construções realizadas em GG são ilustradas a seguir: No entanto, em termos epistemológicos, tomamos das análises a priori um elemento que se atrelou ao caráter de mobilidade dos representantes dos vetores. Dessa forma, pode-se constatar que as produções realizadas em MM ou GG assumem com maior expressividade o perfil ostensivo no domínio das representações geométricas. Essas estruturações podem ser descritas com maior nitidez a partir de um GT que contemple os anseios de uma análise a posteriori, sem perder de vista que, a organização praxeológica institucional raramente coincide com as praxeologias apreendidas (transposição interna). Em particular existem tipos de tarefas pessoais, distintos de tipos de tarefas institucionais e, portanto, praxeologias pessoais distintas de praxeologias institucionais. (CHAACHOUA; BESSOT, 2018, p.127) Ciente da existência da espera institucional que, ao ofertar tipos de tarefas, acredita-se que os estudantes apresentem como devolutiva um repertório de técnicas que produzam uma Deve ser enfatizado que não temos como objetivo destacar um dispositivo em detrimento de outro, mas parafraseando Chevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 82) imprimimos modificações no contrato didático, por meio da produção de situações vetoriais de ensino imersas em AHA, com a intenção de "fazer algo para provocar um agrupamento de encontros ou reencontros269 o que equivale em criar condições." (CHEVALLARD, 2013, p.6). Logo, observamos que, ao transitar por distintos Dispositivos Didáticos -DD, foi possível delegar aos estudantes maior envolvimento e oportunizar distintas formas de encontros com o objeto de estudo nas excursões das tarefas, assumindo uma postura procognitiva. Nestes termos, revelamos a análise de mais uma produção que pode ser seccionada, como na tabela 9, Tabela 9 -Identificação de técnicas vinculadas a tarefa 1 em MM (grupo 2) Ao detalhar as técnicas, além dos conceitos e propriedades matemáticas que envolvem as tarefas vetoriais, identifica-se também gestos didáticos, enquanto ingredientes da técnica (CHAACHOUA, 2018), próprios do dispositivo MM, os quais surgem do leque de experiências ostensivas dependentes da natureza de que são compostas estes materiais, propiciando significados sensoriais muito diferentes, por exemplo, fixar as tachas, prender, cortar, relacionar as cores dos elásticos em associação às representações dos vetores, dialoga diretamente com os conceitos teóricos que fundamentam as construções.

No âmbito da resolução apresentada pela equipe 4, ao fazer uso de GG, identificamos traços dos escopos das técnicas evidenciados no protocolo de construção. Com efeito, a tabela 10, traz traços das técnicas e seus ingredientes associados.

Tabela 10 -Identificação de técnicas vinculadas a tarefa 1 em PL (grupo 4) , 2015), que dialoga com a ideia de [START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF] em que deve-se pensar na ideia de movimento. Sob uma perspectiva mais moderna, a conceituação se aproxima ao que nos deparamos nos livros textos de Geometria Analítica, isto é, enquanto diferença entre dois pontos no espaço, como destacou [START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF] acerca do trabalho de Hamilton (1805-1865) com os quaternions (generalização dos números complexos), (...) é construído por uma linha reta com direção no espaço, e com x, y, z para suas componentes retangulares, ou projeções sobre os três eixos retangulares, ele tem sido induzido a chamar a expressão trinomial, assim como a linha que representa, um VETOR. Um quaternion deve consistir assim de uma parte real e um vetor. (CROWE, 1994, p. 31 personagem ausente deste e dos demais compêndios brasileiros, sendo usado apenas pelos professores de Física." (LIMA et al, 2001, p. 62).

Fato este que se confirma por meio da análise de outra obra:

O livro consegue vencer muito bem a dificuldade gerada pelo fato dos programas da maioria das escolas não incluírem vetores, construindo, disfarçadamente, um "cálculo vetorialzinho" de soma e produto por número para ser usado nesse contexto. [...] um dos defeitos deste livro e de todos os livros de Matemática para Ensino Médio existentes no mercado é a completa omissão de vetores. Estranhamente, vetores são ensinados nos livros de Física, não nos de Matemática (LIMA et al, 2001, p. 130).

As constatações neste sentido, hodiernamente, não apresentam significativas mudanças.

Esse fato é evidenciado ao consultarmos o Guia do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de Matemática (2017) e encontrarmos no tópico que contempla a distribuição de conteúdo apenas uma ocorrência que faz alusão aos vetores: "(...) é importante que o estudo dos complexos seja uma oportunidade privilegiada de articulação com tópicos como vetores e geometria no plano, com trigonometria e com as equações algébricas" (BRASIL, 2017, p. 24, grifos nossos).

Em mesmo direcionamento, a Base Nacional Comum Curricular -BNCC (2017) apresenta implicitamente a temática vetorial na área destinada à matemática e suas tecnologias, ao abordar movimento e posição:

(...) estão presentes na localização de números em retas, de figuras ou configurações no plano cartesiano e no espaço tridimensional; direção e sentido, ângulos, paralelismo e perpendicularidade, transformações geométricas isométricas (que preservam as medidas) e homotéticas (que preservam as formas) e padrões das distribuições de dados (BRASIL, 2017, p. 521).

Sob esse ponto de vista, foi possível reconhecer a existência e abordar a problemática ecológica, identificada por membros da noosfera, já que, de acordo com Bosch e Chevallard A partir dessa perspectiva, as representações dos Sistemas Didáticos, em associação às funções didáticas [START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]2009) 

  Mattedi Dias, Avenilde Romo Vázquez, Edilson Fortuna de Moradillo e Marilena Bittar, membros da banca examinadora pela disponibilidade e gentileza em participarem dessa tarefa, contribuindo significativamente, para melhoria do relatório dessa pesquisa. Aos estudantes do Curso de Licenciatura em Matemática da UEFS um agradecimento muito especial a todos que gentilmente participaram da pesquisa. Ao Colegiado de Matemática da UEFS por acolher os minicursos que oportunizaram a obtenção de dados que integraram essa invstigação. Demonstro meus agradecimentos a Universidade Estadual de Feira de Santana -UEFS, pela liberação e pela bolsa PACDT-Programa de Ajuda de Custo para Docentes e Técnicos da UEFS. Aos colegas do Núcleo Interdisciplinar de Pesquisas em Ensino e Didática das Ciências, Matemática e Tecnologias/UFBA pela parceria. Em especial à família NIPEDCMT pelo apoio incondicional em um momento tão árduo da minha caminhada. "Prepara-se o cavalo para o dia da batalha, porém do Senhor vem a vitória." Provérbios 21:31

Figura 1 -

 1 Figura 1 -Esboço do processo de transição entre os currículos 314 e 318 .............................. Figura 2 -Conexões entre elementos da TTD e a TAD ........................................................... Figura 3 -Esquema representativo das interligações entre a TTD e a TAD ............................ Figura 4 -Triângulo de opiniões…………… .......................................................................... Figura 5 -Interpretações de Felix Klein…….. ......................................................................... Figura 6 -Translação: operações com pontos e vetores ........................................................... Figura 7 -Congruência por translação…….. ........................................................................... Figura 8 -Congruência por translação (Resolução) ................................................................. Figura 9 -Simetria no plano……………….. ........................................................................... Figura 10 -Esquema dos Processos Didáticos ......................................................................... Figura 11 -Fluxograma do CLM-UEFS…….. ........................................................................ Figura 12 -Exemplo 1 dos exercícios resolvidos ................................................................... Figura 13 -Exemplo 2 dos exercícios resolvidos ................................................................... Figura 14 -Problema resolvido sobre operações vetoriais ..................................................... Figura 15 -Sequência de representações no espaço ............................................................... Figura 16 -Recomendação do papel de coordenadas retangulares ........................................ Figura 17 -Representação de um paralelepípedo retângulo ................................................... Figura 18 -Representação da adição e vetor oposto .............................................................. Figura 19 -Representações das multiplicações de vetores por número real .......................... Figura 20 -Representação de R 2 …………… ........................................................................ Figura 21 -Representação de R 3 …………… ........................................................................ Figura 22 -Recorte do processo transpositivo ....................................................................... Figura 23 -Representação vetorial em flecha ........................................................................ Figura 24 -Configuração da aula observada… ...................................................................... Figura 25 -Recorte de uma nota de aula do professor 1 ........................................................ Figura 26 -Recorte de uma nota de aula do professor 1 ........................................................ Figura 27 -Regra do polígono (Soma vetorial) ...................................................................... Figura 28 -Propriedades da soma…………. ......................................................................... Figura 29 -Representação da subtração vetorial .................................................................... Figura 30 -Esquema representativo da multiplicação por escalar ......................................... Figura 31 -2º esquema representativo da multiplicação por escalar...................................... Figura 32 -Propriedades da multiplicação por escalar........................................................... Figura 33 -Esquema das observações realizada na aula 1 ..................................................... Figura 34 -Reprodução da representação do vetor no espaço -R 3 a partir da aula de P2 .... Figura 35 -Reprodução da representação do vetor no plano -R 2 a partir da aula de P2 ...... Figura 36 -Reprodução dos eixos e planos coordenados com base na aula de P2 ................ Figura 37 -Representação da projeção do vetor no que toca aos planos coordenados (com base na aula de P2)………………………… ........................................................................ Figura 38 -Protótipo tridimensional………… ......................................................................

Figura 39 -

 39 Figura 39 -Representação geométrica da localização do ponto P ......................................... Figura 40 -Representação dos planos coordenados ............................................................... Figura 41 -Distância entre pontos………….. ........................................................................ Figura 42 -Representação dos pontos A e B no espaço R 3 ................................................... Figura 43 -Representação do ponto médio…. ....................................................................... Figura 44 -Erro recorrente observado pelo professor no cálculo do ponto médio ................ Figura 45 -Cálculo para determinar o ponto médio M .......................................................... Figura 46 -Esquema das observações realizadas na aula 2 ................................................... Figura 47 -Representações algébricas e geométricas de alguns vetores no ambiente GeoGebra……………………………. ......................................................................... Figura 48 -Seleção de tarefas propostas para resolução no minicurso .................................. Figura 49 -Resolução 1……………………. ......................................................................... Figura 50 -Resolução 2……………………. ......................................................................... Figura 51 -Resolução 3……………………. ......................................................................... Figura 52 -Resolução da primeira tarefa no GeoGebra (1) ................................................... Figura 53 -Resolução da primeira tarefa no GeoGebra (2) ................................................... Figura 54 -Resolução da questão 2 e 3 com representação em um único gráfico em PL (2) Figura 55 -Resolução da questão 2 e 3 com representação em um único gráfico em PL (2) Figura 56 -Resolução da questão 2 e 3 com representação em gráficos distintos (1) ........... Figura 57 -Resolução das questões 2 e 3 com representação em gráficos distintos em PL(2)………………………………….. ....................................................................... Figura 58 -Resolução da questão 2 com representação em GG(1) ........................................ Figura 59 -Resolução da questão 3 com representação em GG(1) ........................................ Figura 60 -Resolução das questões 2 e 3 com representação em GG(2) ............................... Figura 61 -Exemplo de resolução da questão 4 em PL ......................................................... Figura 62 -Gráfico da Soma de números complexos ............................................................ Figura 63 -Exemplo de resolução da questão 4 em GG ........................................................ Figura 64 -Exemplo de resolução da questão 4 em PL ......................................................... Figura 65 -Exemplo de resolução da questão 5 ..................................................................... Figura 66 -Soluções geométricas da 5ª questão em GG ........................................................ Figura 67 -Representação da sexta tarefa….. ........................................................................ Figura 68 -Existência de um triângulo conhecidos os pontos médios ................................... Figura 69 -Unicidade de um triângulo conhecidos os pontos médios .................................... Figura 70 -Registro da resolução da tarefa 6 ......................................................................... Figura 71 -Segundo registro da resolução da tarefa 6 ........................................................... Figura 72 -Registro da resolução da tarefa 6 no GeoGebra .................................................. Figura 73 -Registro da resolução da sétima tarefa (A) .......................................................... Figura 74 -Registro da resolução da sétima tarefa (B) .......................................................... Figura 75 -Registro da resolução da sétima tarefa (C) .......................................................... Figura 76 -Registro da resolução da sétima tarefa no GeoGebra .......................................... Figura 77 -Esquema do desenho da tese…… ........................................................................ Figura 78 -Exemplo de um Gerador de Tipo de Tarefas e suas especificidades ................... Figura 79 -Exemplo do Funcionamento de Sistema Didático Auxiliar (SDA) ..................... Figura 80 -Um cenário Híbrido de Aprendizagem. ...............................................................

Figura 81 -

 81 Figura 81 -Situando o habitat dos vetores na instituição CLM -UEFS ............................... Figura 82 -Representação de diversos vetores. ..................................................................... Figura 83 -Capacidade geradora de um GT........................................................................... Figura 84 -Momento de preparação para início da reprodução da figura 82 ........................ Figura 85 -Um momento de construção…… ........................................................................ Figura 86 -Exemplo de dois protótipos representativos da imagem apresentada na figura 82……………………………………. .......................................................................... Figura 87 -Construção do modelo manipulável .................................................................... Figura 88 -Finalização da construção do modelo manipulável ............................................. Figura 89 -Resolução da questão do Quadro 12, utilizando canudos .................................... Figura 90 -Resolução da tarefa do Quadro 12, utilizando lápis e papel ................................ Figura 91 -Entraves detectados na resolução da questão do Quadro 12 ............................... Figura 92 -Início de uma resolução da questão do Quadro 12 .............................................. Figura 93 -Traços de uma praxeologia pessoal ..................................................................... Figura 94 -Tentativa de interseção entre dois ambientes/dispositivos .................................. Figura 95 -Comparação entre elementos de dispositivos distintos........................................ Figura 96 -Definição de produto escalar….. ......................................................................... Figura 97 -Questão 1……………………… ......................................................................... Figura 98 -Questão 2……………………… ......................................................................... Figura 99 -Uma Resolução da Questão 1…… ...................................................................... Figura 100 -Uma Resolução da Questão 2…. ....................................................................... Figura 101 -Esquema do processo de estudo......................................................................... Figura 102 -Sistema Didático em associação com as Funções Didáticas ............................. Figura 103 -O estudante como gerenciador do saber ............................................................ Figura 104 -O professor como gerenciador do saber ............................................................ Figura 105 -Dinâmica de funcionamento dos Sistemas Didáticos -SD................................ Figura 106 -Desenho do Caminho de Práticas Pessoais -CPP ............................................. Figura 107 -Tarefa 1 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS ................................ Figura 108 -Registros Pessoais de Alguns Estudantes .......................................................... Figura 109 -Tarefas 4 e 5 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS ......................... Figura 110 -Tarefa 2 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS ................................ Figura 111 -Resolução (GG) da Tarefa 2 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS . Figura 112 -Reprodução do gráfico que integra a Tarefa 2 ................................................... Figura 113 -Uma Resolução da Tarefa 2…. .......................................................................... Figura 114 -Reprodução do gráfico que integra a Tarefa 2 com alterações de um dos lados do triângulo……………………………… ........................................................................ Figura 115 -Reprodução do gráfico que integra a Tarefa 2 com alterações de um dos lados do triângulo utilizando barbante e canudos ........................................................................ Figura 116 -Tarefa 1 presente no repertório do Minicurso ................................................... Figura 117-Tarefa 2, presente no repertório do Minicurso ................................................... Figura 118 -Paralelogramo gerado a partir do triângulo AOB .............................................. Figura 119 -Inclusão de um sistema de coordenadas ............................................................ Figura 120 -Enunciado e hexágono que integra a terceira tarefa .......................................... Figura 121 -Paralelogramo agregado a outros elementos atividade 4 ...................................

Figura 122 -

 122 Figura 122 -Tetraedro que integra o enunciado da quinta questão........................................ Figura 123 -Caminhos de Práticas Pessoais CPP (ti) ou CPP (T) ......................................... Figura 124 -Níveis de Análises……………. ........................................................................ Figura 125 -Um exemplo da estruturação do curso ............................................................... Figura 126 -Desenho dos arranjos das variáveis em termos dos Dispositivos Didáticos -DD…………………………………… ......................................................................... Figura 127 -Tarefas associadas a vetores no plano ............................................................... Figura 128 -Tarefas associadas a vetores no plano e espaço ................................................. Figura 129 -Primeira tarefa do Curso um Estudo sobre os Vetores ...................................... Figura 130 -Reprodução da figura 129 (grupo 1) .................................................................. Figura 131 -Reprodução da figura 129 (grupo 2) .................................................................. Figura 132 -Semiologia e a Dialética de ostensivo não ostensivo ........................................ Figura 133 -Produções individuais da figura 129 (grupo 5) .................................................. Figura 134 -Produção individual da figura 129 (grupo 6) ..................................................... Figura 135 -Representantes dos vetores 𝑢 e 𝑣 (grupo 5) ....................................................... Figura 136 -𝐷𝑂 em função de 𝑢 e 𝑣 (grupo 5) ................................................................... Figura 137 -AF , AG e AH em função de u e v (grupo 6) .................................................... Figura 138 -Resolução da tarefa 1 utilizando o GeoGebra -GG (grupo 4) .......................... Figura 139 -Técnicas utilizadas na representação da figura da tarefa 1 (grupo 4) ................ Figura 140 -Técnicas utilizadas na representação da tarefa 1 (grupo 4) ............................... Figura 141 -Ramificações do GTt1……….. .......................................................................... Figura 142 -Configurações retangulares da tarefa 1 .............................................................. Figura 143 -Triângulo AOB………………. ......................................................................... Figura 144 -Ramificações do GTt2……….. .......................................................................... Figura 145 -Representação do triângulo AOB (grupo 5) ...................................................... Figura 146 -Representação do triângulo AOB (grupo 6) ...................................................... Figura 147 -Representação do triângulo AOB (junção dos grupos 1 e 2) ............................. Figura 148 -Protocolo de Construção do triângulo AOB (junção dos grupos 1 e 2) ............ Figura 149 -Ramificações do GTt3………… ........................................................................ Figura 150 -Hexágono da atividade 3……............................................................................ Figura 151 -Construção do Hexágono da atividade 3 em MM (grupo 3) ............................. Figura 152 -Resolução PL integrado a MM (grupo 3) .......................................................... Figura 153 -Construção do Hexágono da atividade 3 em MM (grupo 4) ............................. Figura 154 -Respostas apresentadas por um membro do grupo 1 ......................................... Figura 155 -Respostas apresentadas por um membro do grupo 2 ......................................... Figura 156 -Produção dos componentes do grupo 5 ............................................................. Figura 157 -Protocolo de construção tarefa 3 ........................................................................ Figura 158 -Potencialidades do GTt4……… ........................................................................ Figura 159 -Paralelogramo agregado a outros elementos atividade 4 ................................... Figura 160 -Reprodução da figura 159 em MM (grupo 1) .................................................... Figura 161 -Resolução da 4ª atividade com suporte de MM ................................................. Figura 162 -Resolução da 4ª atividade com suporte de MM (grupo 2) ................................. Figura 163 -CPP trilhado pelo grupo 2……. ......................................................................... Figura 164 -Produção resolutiva da quarta tarefa em GG .....................................................

Figura 165 -

 165 Figura 165 -Protocolo de Construção da tarefa 4 em GG (a) ................................................ Figura 166 -Protocolo de Construção da tarefa 4 em GG (b) ................................................ Figura 167 -Potencialidades do GTt5…….. .......................................................................... Figura 168 -Tetraedro que integra o enunciado da quinta questão........................................ Figura 169 -Protótipo de Tetraedro em MM (Grupo 3) ........................................................ Figura 170 -Cálculos que acompanham o protótipo de tetraedro em MM (Grupo 3) ........... Figura 171 -Cálculos que acompanham o protótipo de tetraedro em MM (Grupo 3) ........... Figura 172 -Caminhos de Práticas Pessoais -CPP em PL (tarefa 5) .................................... Figura 173 -Caminhos de Práticas Pessoais -CPP em GG (tarefa 5) ................................... Figura 174 -Paralelepípedo que integra o enunciado da sexta questão ................................. Figura 175 -Representação do Paralelepípedo em MM (grupo 1) ........................................ Figura 176 -Representação do Paralelepípedo em MM (grupo 2) ........................................ Figura 177 -Representação do Paralelepípedo em PL ........................................................... Figura 178 -Representações do Paralelepípedo em GG ........................................................ Figura 179 -Protocolo de Construção do Paralelepípedo ...................................................... Figura 180 -Grupo 5 no processo de resolução da tarefa 1 ................................................... Figura 181 -Grupo 6 no processo de resolução da tarefa 1 ................................................... Figura 182 -Processo de Produções em MM dos grupos 1 e 2 ............................................. Figura 183 -Exemplo de Processo de Produções em GG dos grupos 3 e 4 ........................... Figura 184 -Interligações entre o AHA e o CPP ...................................................................

  , a Teoria da Transposição Didática (TTD) passou a integrar a Teoria Antropológica do Didático (TAD) e lhe impôs uma nova configuração, ao estabelecer associações entre os estudos que contemplam a ecologia dos saberes, que se interessa pelas condições e restrições sob as quais um determinado objeto do conhecimento "vive" em uma instituição. O escopo teórico da TAD salienta a relevância da inseparabilidade entre os blocos práticos e teóricos intrínsecos às atividades matemáticas. Em termos esquemáticos, tem-se: SS→SaE→SE→SA [𝑇, 𝜏, 𝜃, Θ]Fonte: acervo da autora (2019).

Figura 2 -

 2 Figura 2 -Conexões entre elementos da TTD e a TAD

Fonte:

  COLMAT -UEFS (2018, p.50) A componente curricular EXA-374 Geometria Analítica integra o rol de disciplinas do Eixo de Conhecimento Matemático, 2º semestre, como retratado na figura 11. É possível notar que nenhuma seta chega até ela, o que indica que não são exigidos pré-requisitos advindos do repertório disciplinar do 1º semestre para cursar EXA 374, o que de certa forma contradiz o que foi recomendado em Camargo e Boulos (2005).

Fonte:

  Camargo e Boulos (2005, p.11) No cerne desse exercício, pode-se identificar a tarefa que se enquadra no rol de tipo de tarefas T que se integram as operações vetoriais, denotada aqui como t2-4 na qual reporta-se ao exercício resolvido 2-4, sem perder de vista a concepção de Chaachoua e Bessot (2016) em que uma técnica é descrita como uma sequência de tipo de tarefas, ou seja, possibilita situar melhor as dificuldades dos alunos na implementação de uma técnica ao nível das "sub-tarefas" que a compõem. Assim, evidencia-se t2-4: Prove que 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Enquanto técnicas tem-se: 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ As quais podem ser descritas como: Essas sequências de tarefas (técnicas) são legitimadas, em um primeiro momento, pela premência de um estudo sobre as características e as propriedades dos segmentos orientados antes de desenvolver uma formalização acerca da definição deste ente matemático. E, no segundo momento, pela definição [1-1] em que um "segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço, em que A é a origem e B é a extremidade do segmento orientado (A, B)" (CAMARGO e BOULOS, 2005, p.2), em conjunto com as propriedades do elemento oposto e comutativa.O segundo exercício resolvido, que foi adotado como exemplo se apoia na representação de um paralelepípedo, objetivando exprimir vetores em função de outros vetores como apresentado na figura 13.

𝑡 1 :Figura 12 -

 112 Figura 12 -Exemplo 1 dos exercícios resolvidos

Figura 13 -

 13 Figura 13 -Exemplo 2 dos exercícios resolvidos

Tabela 3 -

 3 Figura 14 -Problema resolvido sobre operações vetoriais

  Figura 15 -Sequência de representações no espaço

  figuras 15, em (V) e (VI).As coordenadas são determinadas a partir dos traçados de planos paralelos e interseções com o eixo que contém as coordenadas. Por exemplo, na figura VII apresentada da figura 15, deseja-se obter a abscissa de um ponto P, traça-se um plano paralelo a yz e observa-se o ponto de interseção deste plano com o eixo x, procedendo de forma análoga para as demais coordenadas, resultando na construção do paralelepípedo retângulo (VIII) apontado na figura 15.

Fonte: 2 )

 2 Figura 17 -Representação de um paralelepípedo retângulo

Fonte:

  Figura 18 -Representação da adição e vetor oposto

Figura 21 -

 21 Figura 21 -Representação de R3 

  figura 22:

  Como forma de uma primeira confrontação, retornamos aos livros textos que foram abordados no capítulo anterior. A partir dessa ação, detectamos algumas discrepâncias ou variações no que tange ao formato como é apresentado o conceito de vetor. A exemplo, Camargo e Boulos (2005) parte de uma noção intuitiva, que se vincula diretamente a uma diferenciação entre grandezas escalares e vetoriais. Steinbruch e Winterle (1987) e outros autores, como Loreto e Loreto Junior (2014), ressaltam como exigência a premência de um estudo sobre as características e propriedades dos segmentos orientados antes de desenvolver uma formalização do conceito de vetor.

Fonte:

  Camargo e Boulos (2005, p. 4). Estabelece-se uma associação da flecha com o segmento orientado. Neste percurso, consideramos pertinente salientar que os vetores ostentam algumas peculiaridades distintas do campo básico da matemática, visto que os aspirantes a futuros professores da disciplina em pauta se deparam com um objeto matemático que se insere na geometria, mas também abarca fundamentos algébricos e aritméticos, centrando-se em torno das seguintes características: módulo, direção e sentido. Os estudos de Heckler e Scaife (2015) destacam o relevo das dificuldades encontradas pelos alunos ao resolverem questões que consideram a representação vetorial com setas, e sublinham que: "[...] incluindo a descoberta de que diferentes orientações relativas a flechas podem levar a variados caminhos de solução e diferentes tipos de erros, [...] sugere que os alunos precisam praticar com uma variedade de orientações." (HECKLER; SCAIFE, 2015, p. 1, tradução nossa 109 ).

Figura 23 -

 23 Figura 23 -Representação vetorial em flecha

Quadro 2 -

 2 Quadro 2 -Relatos de discentes do Curso de Licenciatura em Matemática Estudante 4 a) Não. Estudei em escola pública e fiz magistério no ensino médio. Não tive acesso a muitos assuntos de matemática. Tenho facilidade em porcentagem e algumas equações do 2º grau.

  quadro, e os alunos as copiam, em silêncio, em seu caderno.

Fonte:

  caderno do professor P1. Depois de minutos em silêncio, com apenas alguns burburinhos entre colegas que estavam sentados próximos, um dos estudantes rompe a ausência de som na classe e pergunta: E2: -Ali é o conjugado? P1: -Não, é vetor. O discente estava se referindo à representação ostensiva de: -𝑢 ⃗ (usado na propriedade A4 que corresponde ao elemento oposto). Neste ínterim, aflora mais um elemento que nos induz a supor que se trata do primeiro contato do aluno com a abordagem vetorial, o que, em termos de momentos de estudo, é definido como o primeiro encontro (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001).

Figura 25 -

 25 Figura 25 -Recorte de uma nota de aula do professor 1

  113 Autour d'un type de tâches T, on trouve ainsi, en principe, un triplet formé d'une technique (au moins), τ, d'une technologie de τ, θ, et d'une théorie de θ, Θ. Le tout, noté [T/τ/θ/Θ], constitue une praxéologie ponctuelle, ce qualificatif signifiant qu'il s'agit d'une praxéologie relative à un unique type de tâches, T. Une telle praxéologieou organisation praxéologique -est donc constituée d'un bloc pratico-technique, [T/τ], et d'un bloc technologicothéorique, [θ/Θ]. Θ. Essa estrutura é simbolicamente representada por  =  um conjunto de técnicas no seio de uma tecnologia e de uma teoria organizadas para um tipo de tarefas, cuja denominação é Organização Praxeológica (OP) pontual, por envolver apenas um tipo de tarefa T. Ressalta-se que a OP preza pela inseparabilidade entre os blocos práticos    atividades matemáticas. Retomamos à explanação do professor: P1: -Isso aqui está claro. Daqui a pouco, vou trabalhar com a soma de vetores sem precisar ficar desenhando seus representantes, mas vou usar certos pontos. Por exemplo se eu colocar: 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ P1: -Bem sossegado, não é? P1: -Bem sossegado, não é? P1: -Uma observação: outra forma que vocês podem utilizar para somar vetores é usar a regra do paralelogramo que vocês também já viram no ensino médio.... Como é que eu faço? Eu escolho representante com origem em A, desde que não mude módulo, direção e sentido. O professor segue fazendo o desenho no quadro, enquanto fala: P1: -Como fazíamos lá no ensino médio e fechamos o paralelogramo. Quando eu faço isso a diagonal principal vai representar a soma dos vetores 𝑢 ⃗ + 𝑣 . P1: -Por que isso? P1: -Porque no paralelogramo os lados opostos são paralelos e congruentes.

  A1 -Associativa: (𝑢 ⃗ + 𝑣 ) + 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ + (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ). A2 -Comutativa: 𝑢 ⃗ + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ⃗ . A3 -Elemento neutro (vetor nulo): ∀ 𝑢 ⃗ 𝜖 𝑉 3 ; 𝑢 ⃗ + 0 ⃗ = 0 ⃗ + 𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗ . A4 -Elemento oposto: ∀ 𝑢 ⃗ 𝜖 𝑉 3 , ∃! (-𝑢 ⃗ ) / 𝑢 ⃗ + (-𝑢 ⃗ ) = 0 ⃗ . Fonte: caderno do professor 1

  Fonte: reprodução da autora com base no desenho apresentado por P2 (2016) P2: -Não vou entrar em detalhes novamente, pois o assunto foi da aula passada. Mais ou menos, foi isso aqui o que vimos na aula anterior.

Figura 34 -

 34 Figura 34 -Reprodução da representação do vetor no espaço -R 3 a partir da aula de P2

Figura 35 -

 35 Figura 35 -Reprodução da representação do vetor no plano -R 2 a partir da aula de P2

  Fonte: reprodução da autora com base no desenho apresentado por P2 (2016).

  Figura 36 -Reprodução dos eixos e planos coordenados com base na aula de P2

  Fonte: reprodução da autora com base no desenho apresentado por P2 (2016).

Figura 39 -

 39 Figura 39 -Representação geométrica da localização do ponto P

  Fonte: acervo da autora com base na representação construída por P2 (2016).P2: -Então, além dos eixos coordenados, que são retas, temos três planos. Lembre-se que sempre que falar de coordenadas de pontos ou coordenadas cartesianas tem que ter a origem do sistema. Então, vamos lá, temos três planos, os quais recebem as seguintes denominações: xy,Oxy, xOy / yz, Oyz, yOz / xz, Oxz, xOz. 

Figura 40 -

 40 Figura 40 -Representação dos planos coordenados

Figura 41 -

 41 Figura 41 -Distância entre pontos

Figura 42 -

 42 Figura 42 -Representação dos pontos A e B no espaço R3 

  P2: -Por que passar pela origem? Temos essa relação: o ponto final e o vetor possuem as mesmas coordenadas. Então, 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ (passando pela origem), porém muito cuidado, pois temos 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ , mas acima temos 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Então, temos: 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-1,2, -3) + (0, 𝑦, 0) = (-1, 2 + 𝑦, -3) 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 -𝐴 Eg: -Mas por que o senhor mudou o sentido de 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ ? P2: -Por que mudei o sentido? P2: -Eu só conheço a coordenada do vetor quando: o ponto de origem, portanto (0, 0, 0) do vetor é o ponto de origem do sistema de coordenadas e o ponto final é P, por exemplo. Mas havia uma inversão, o ponto final era a origem. Entendeu? Eg: -Sim. P2: -No final, qual conta eu fiz de fato? No fundo foi 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 -𝐴 (na prática). Terminamos? Não, estamos começando a questão..., portanto, qual a distância de A até P? Lembrando que estou procurando o comprimento deste vetor (𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) para, em seguida, calcular essa distância e igualar os dois. Como calculamos comprimento de vetor, quando conhecemos suas coordenadas? Professor e estudantes: -𝑑(𝐴, 𝑃) = |𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √1 + 4 + 4𝑦 + 𝑦 2 + 9 = √𝑦 2 + 4𝑦 + 14. Eg: -Sim, mas veio de onde essa raiz quadrada? P2: -Vimos na aula passada o seguinte: se considerarmos 𝑢 ⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) o comprimento dele é |𝑢 ⃗ | = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 (teorema de Pitágoras). Se fosse no plano, só com duas coordenadas, é como se tivéssemos um triângulo retângulo, um cateto medindo x e outro cateto medindo y. No espaço eu faço o acréscimo da 3ª coordenada. P2: -Pessoal, vamos tentar fazer esse mais rápido? 𝑑(𝐵, 𝑃) = |𝐵𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑃 -𝐵| = |(-2, 𝑦 -1,0)| = √4 + 𝑦 2 -2𝑦 + 1 = √𝑦 2 -2𝑦 + 5 ∴ 𝑑(𝐴, 𝑃) = 𝑑(𝐵, 𝑃) ⇔ √𝑦 2 + 4𝑦 + 14 = √𝑦 2 -2𝑦 + 5 ⇔ 𝑦 2 + 4𝑦 + 14 = 𝑦 2 + 4𝑦 + 14 ⇔ 4𝑦 + 14 = -2𝑦 + 5 ⇔ 6𝑦 + 9 = 0 Vou colocar uma dessa na prova... Podemos inferir que trata-se de uma estratégia, utilizada por P2 para obter a atenção da turma e o diálogo prossegue. Eg: -É? P2: -De vez em quando cai..., outras vezes não... Eg: -Vou refazer... P2: -Seria um ponto por aqui, mais ou menos, correto? Referindo-se ao gráfico feito anteriormente (Figura 42), acentua: Eh: -Correto. P2: -Vamos lá! Estudantes: -Não. P2: -Não! Por quê? Eh: -Porque temos que copiar. Enquanto copiam as anotações do quadro, os alunos também conversam entre si. P2: -Pessoal, vamos lá. Pessoal, vamos lá... O professor repete, várias vezes, a expressão "vamos lá", no intuito de romper com diversas conversas paralelas. P2: -Deixa eu formalizar o que já comentamos algumas vezes. Então, suponha que vocês conheçam os pontos A e B, então temos a seguinte propriedade: sejam A = (x1, y1, z1) e B= (x2, y2, z2) pontos do espaço. Quais são as coordenadas do vetor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 2 -𝑥 1 , 𝑦 2 -𝑦 1 , 𝑧 2 -𝑧 1 ) ou a forma mais simples de guardar? 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 -𝐴. Porém alguém mais atento, pode questionar o seguinte: essa igualdade não está fazendo muito sentido. Sabem por quê? De um lado eu tenho vetor e do outro lado da igualdade eu tenho pontos. Se eu fosse bem formal, falaria: 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ou seja, as coordenadas do vetor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ são as coordenadas do vetor 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ menos as coordenadas do vetor 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , onde O é a origem do sistema de coordenadas que coincide com 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 -𝐴, não é melhor? Eg: -Bem melhor! P2: -Lembre-se que formalmente devemos incluir a origem. P2: -Bem, quais são as coordenadas do ponto médio do segmento 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ? Forneço as coordenadas do ponto A e as coordenadas do ponto B e desejo encontrar as coordenadas do ponto médio. Alguém tem alguma sugestão? O docente registra no quadro o seguinte: Fonte: acervo da autora com base na representação construída por P2 (2016).

  Ed: -No meio seria a metade. Eh: -É metade! P2: -Eu não vou resolver, quero que vocês encontrem. Na lista de exercícios, falamos algo neste sentido, existe uma intenção por trás da lista, coisas que venho observando ao longo dos semestres. Tenho percebido que muitos estudantes escrevem a seguinte igualdade: 𝑀 = 1 2 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ .Mas como transformar a questão de procurar o ponto médio em uma equação vetorial? Pois temos um problema sério aqui: da autora com base na representação construída por P2 (2016).

  , grifos nossos) Dentre os tópicos elencados pela autora é possível distinguir, em particular, o terceiro item, o qual sugere atenção para o caráter dicotômico entre as concepções e os obstáculos que marcam as trajetórias dos estudantes em torno de um saber. Nesse sentido, é relevante evidenciar que os trabalhos realizados no cerne do estudo nortearam o desenho inspirado na engenharia e serviram de pilares na concepção da investigação, assim como, de forma recorrente, retomados e aprofundados nas diferentes fases do estudo, em função das necessidades inerentes à pesquisa. Assim, foi utilizado como estratégia, para adentrar no cenário do ensino e da aprendizagem dos vetores, o minicurso intitulado: Articulações entre o GeoGebra e a Álgebra Vetorial 128 , o qual integrou a programação da XVIII SEMAT 129 , evento direcionado a discentes e professores de matemática. No entanto, apenas estudantes se dispuseram a participar. Nestes termos, o desenho do curso se deu a partir de dois encontros presenciais, de duas horas cada. Vinte estudantes se inscreveram, porém 16 discentes do CLM-UEFS, de variados semestres, 128 Uma síntese deste primeiro contato com os estudantes do CLM-UEFS originou o artigo intitulado: Uma proposta de articulações entre Álgebra Vetorial e GeoGebra publicado no periódico Revista Eletrônica de Educação Matemática -REVEMAT v.15 n.1 (2020). 129 Evento realizado anualmente na Universidade Estadual de Feira de Santana -UEFS, sob a coordenação de estudantes do Diretório Acadêmico -DA e pelo Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemática -COLMAT. participaram efetivamente. A comissão organizadora do evento informou acerca do interesse de uma quantidade maior de estudantes que desejavam participar do minicurso, contudo, por limitações relacionadas ao espaço físico, não foi possível ampliar o número de vagas. Assim, a proposta foi de estudar as representações vetoriais gerenciadas pelos domínios Numérico, Algébrico e Geométrico -NAG (FARIAS, 2010), subsidiado pelo software GeoGebra e no âmbito do Papel Lápis -PL. Pois este estudo tem como hipótese que o trabalho com diferentes Dispositivos Didáticos -DD permite construir recombinações praxeológicas (CHEVALLARD, 2018), despertando novas relações pessoais dos estudantes com os vetores.Dessa forma,[START_REF] Chevallard | Un exemple d'analyse de la transposition didactique -La notion de distance[END_REF] sublinha que, o seu funcionamento -para não falar do seu bom funcionamento -pressupõe que a "matéria" (professor, alunos, conhecimentos) que ocupará cada uma das três vagas satisfaça determinados condicionantes didáticos específicos. Para que o ensino de tal elemento do conhecimento seja possível, esse elemento deve ter sofrido certas deformações, que o tornam adequado para o ensino. Conhecimento-como-é-ensinado, conhecimento ensinado, é necessariamente diferente de conhecimento-inicialmentedesignado-como-a-ser-ensinado.(CHEVALLARD, 1982, p.169) Dito de outra forma, consiste em criar condições para que as trocas entre professores e alunos tenham por finalidade o saber.Entretanto, comungamos com Nascimento et al. (2019) ao sinalizar a existência de instabilidades nos relacionamentos de interdependências entre os agentes que integram os sistemas de ensino. Como já destacado anteriormente, o trânsito dos vetores entre diversas disciplinas e a abrangência institucional também compõe o campo de justificativa acerca da escolha por esse objeto matemático. Dessa forma, no minicurso foram abordados alguns conceitos inerentes ao tratamento vetorial, conteúdo que integra a ementa de componentes curriculares que abarcam a Geometria Analítica e a Álgebra Linear. Assim, foi considerado como pré-requisito que os participantes do curso tivessem um contato preliminar com o ente matemático referido, seja por meio de algumas das disciplinas citadas acima, seja por intermédio de outra componente que aborde o assunto.

4. 1

 1 PLANEJAMENTO, ORGANIZAÇÃO E EXECUÇÃO DO MINICURSOCom referência ao esquema estrutural e organizacional do minicurso, foi planejada uma quantidade de 20 participantes. Assim, para o desenvolvimento das atividades propostas foi solicitado 10 computadores, enquanto quantidade mínima, com o software GeoGebra já instalado funcionando normalmente, visto que uma das nossas intenções era permitir que os discentes resolvessem as tarefas em parceria com um colega, objetivando propiciar uma maior interação entre os participantes e gerar um ambiente de discussões e de questionamentos.A comissão organizadora do evento ficou responsável pela reprodução e/ou impressão do material que foi distribuído entre os participes além de, 50 folhas de papel A4, 20 lápis, 20 borrachas, 20 réguas, 10 pares de esquadros, marcador para quadro branco nas cores azul e preta e apagador. No entanto, como sinalizado previamente, o grupo de estudo foi constituído por 16 participantes.No primeiro encontro, foi exibido um escopo do curso, aplicou-se um questionário preliminar, cujo intuito foi de identificar as condições e as restrições acerca da familiaridade na utilização dos recursos e ferramentas disponíveis na interface do GeoGebra. Assim como, perceber traços acerca do nível de conhecimento e domínio no âmbito vetorial. Desse modo, posteriormente, foi disponibilizado material impresso com todos os conceitos e definições abordados, de igual modo, os comandos e algumas noções do programa computacional. De posse das respostas dos estudantes, é viável identificar nuances das relações pessoais[START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF] dos estudantes com o ente matemático.Minicurso: Articulações entre o GeoGebra e a Álgebra VetorialQuestões Preliminares 1) Em que nível de ensino ocorreu seu primeiro contato com os vetores? Descreva como foi essa experiência.2) Com os conhecimentos adquiridos até o momento, como você define vetores? Apresente propriedades deste objeto matemático e exemplifique sua aplicabilidade. 3) O que você entende pela expressão "produto entre vetores"? Utilize algum exemplo para deixar mais clara sua interpretação acerca dessa expressão. 4) Você considera relevante o ensino de vetores nos Curso de Licenciatura em Matemática? Justifique sua resposta. 5) Você conhece o software GeoGebra? Em caso afirmativo, descreva de que forma ocorreu seu primeiro contato com o mesmo.Fonte: acervo da autora, 2018.

  Dez dos dezesseis participantes associaram a definição dos vetores às características: módulo, direção e sentido. É possível perceber também que apareceu, com certa frequência, os seguintes conceitos: segmentos de retas, segmentos de retas orientados, segmentos de retas orientados e equipolentes e segmentos com particularidades de mobilidade. Nestes termos,[START_REF] Hayfa | L'enseignement de la notion de vecteur au Liban après la réforme de[END_REF] distingue vetores livres da concepção ou vetor vinculado à concepção, o que equivale: (...) escolher um ponto O e desenhar um vetor equivalente a 𝑢 → mostra que esse vetor não é apenas a seta que leva seu nome, mas representa todas as setas que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. (...) revela-se o vetor de concepção vinculado, ou seja, dado que um vetor está limitado às suas extremidades, ele é único pela sua representação gráfica. (HAYFA, 2006, p.36, tradução nossa 133 )Os conceitos apresentados também seguiram os direcionamentos de grandezas vetoriais vinculadas a número, unidade e sentido, o que nos faz inferir que houve uma troca com a descrição de grandezas escalares, visto que, foram citados os termos: número e unidade próprios das grandezas escalares. E com uma única ocorrência, tem-se as definições: conjuntos de semiretas, assim como, "ferramenta que indica direção, sentido e comprimento". O que nos faz supor que os discentes, no primeiro caso, não têm bem definido a diferença entre semi-reta e segmento de reta e, no segundo caso, o verbo "indicar" parece intimamente ligado à palavra sentido, o que empreende uma conotação distinta para o vetor, enquanto uma ferramenta, que possui direção, sentido e comprimento.

Fonte: 0 → 2 O

 02 Figura 47 -Representações algébricas e geométricas de alguns vetores no ambiente GeoGebra

  Quadro 9 -Categorias das técnicas empregadas

Figura 52 -.

 52 Figura 52 -Resolução da primeira tarefa no GeoGebra[START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF] 

𝜏 4 :

 4 Figura 62 -Gráfico da Soma de números complexos

Figura 64 - 2 𝐴𝐶

 642 Figura 64 -Exemplo de resolução da questão 4 em PL

Fonte:→

  Figura 66 -Soluções geométricas da 5ª questão em GG

  𝜏 𝑟 :Aplicou rotação à figura.

Figura 75 -

 75 Figura 75 -Registro da resolução da sétima tarefa (C)

  Nos moldes descritos na tese, ao referenciar no nível das praxeologias é viável apresentar uma tarefa, evidenciar ecologias para diferentes timbres em conjunto com a análise dos mesmos no entendimento da música escutada e executada pelos protagonistas dos Sistemas Didáticos do CLM-UEFS. Nesta perspectiva, consideramos que o trânsito entre as relações pessoais possibilita descrever como as recombinações praxeológicas permitem caracterizar e examinar as condições e restrições pautadas no que se faz e do que não se faz no âmbito do Modelo Praxeológico Dominante -MPD, guiado pelo Modelo Praxeológico de Referência -MPR e pela Engenharia Didática -ED. Pois concebemos que o trabalho com diferentes Dispositivos Didáticos -DD permite construir recombinações praxeológicas, despertando

Figura 78 -

 78 Figura 78 -Exemplo de um Gerador de Tipo de Tarefas e suas especificidades

Figura 80 -

 80 Figura 80 -Um cenário Híbrido de Aprendizagem.

Figura 81 -

 81 Figura 81 -Situando o habitat dos vetores na instituição CLM -UEFS

1 )

 1 Identificar, na figura ao lado, representantes de: a) Vetores paralelos; b) Vetor nulo; c) Vetor oposto; d) Vetores ortogonais; e) Vetores coplanares. Fonte: Miranda, Grisi e Ludovici (2015, p. 5). A partir de então, vislumbramos a possível construção e utilização dos Geradores de Tipo de Tarefas Vetoriais -𝐺𝑇 𝑣 ⃗ , seja para estruturar um conjunto de tipos de tarefas ou como um modelo estrutural que direcionou a pesquisa, pois se o alvo da investigação consiste em mobilizar recombinações praxeológicas (CHEVALLARD, 2018) em que optamos por promover "modificações nas práticas Π e manter o logos Λ caracterizado por uma praxeologia transposta (Π * ) ⊕ Λ "(Ibid., p.35). Dessa forma, é possível identificar os níveis de potencialidades geradoras dos GT, pois ao operá-los não existem limitações de análises para tipo de tarefas -T, um dos desígnios deste estudo. Outro relevante viés se apoia no fato de que é viável, por meio dos GT, identificar o alcance das técnicas (𝜏) ou até mesmo inserir elementos distintos, por exemplo trabalhos desenvolvidos com diferentes dispositivos didáticos, na bagagem praxeológica dos protagonistas dos Sistemas Didáticos -SD e, consequentemente, provocar alterações nos equipamentos praxeológicos (CHEVALLARD, 2009) desses sujeitos. Assim, é possível inferir que as praxeologias pessoais (CROSET e CHAACHOUA, 2016) dos discentes do CLM-UEFS sofreram modificações e ajustes em termos do processo de aprendizagem vetorial.

  Figura 83 -Capacidade geradora de um GT

Fonte:

  acervo da autora (2019).

Fonte:

  acervo da autora (2019).

Figura 84 -

 84 Figura 84 -Momento de preparação para início da reprodução da figura 82

Fonte:

  acervo da autora (2018).O ponto crucial da atividade consistiu em proporcionar aos estudantes um trabalho manipulativo com o intento de destacar as características dos vetores (módulo, direção e sentido). A partir deste modelo tangível, foi possível perceber exemplos de vetores associados aos seus representantes, desde que mantidos estes três elementos. Dessa maneira, ressaltamos que nossa intenção foi de construir praxeologias vetoriais recorrendo às técnicas didáticas no âmbito manipulável.

Fonte:

  acervo da autora (2018) Fonte: acervo da autora (2018).Diante da construção desse material, inferimos acerca da praxeologia que modela esta atividade, ponderando sobre o que afirmaArzarello et al (2008, p. 180, tradução nossa) 164 "do ponto de vista da TAD a dimensão ostensiva da atividade matemática é interessante na medida em que possibilita lançar luz sobre os problemas educacionais da matemática." E complementa:

  , que também utiliza o termo manipulación para designar os múltiplos usos possíveis dos objetos ostensivos. Os objetos ostensivos se caracterizam pelo fato de poderem ser concretamente manejáveis, e se distinguem por este motivo dos objetos não ostensivos. Revelamos mais um exemplo de 𝐺𝑇, idealizado para contemplar a tarefa que atende o âmbito vetorial e que especifica em seu enunciado alguns valores para as variáveis. Assim, podemos descrevê-lo como 𝐺𝑇 𝑣 ⃗ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚 = ⌈𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟; 𝑜𝑠 vetores 𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ em função dos vetores 𝑖 e 𝑗 ; 𝑉 𝑑 ⌉, ou seja, um gerador que origine tarefas como a seguinte: Fixe dois vetores 𝑖 e 𝑗 unitários e ortogonais e considere 𝑢 ⃗ , 𝑣 ⃗ , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ os vetores indicados abaixo.

Fonte:

  Figura 89 -Resolução da questão do Quadro 12, utilizando canudos

.

  

Fonte:

  Figura 90 --Resolução da tarefa do Quadro 12, utilizando lápis e papel

Fonte:

  acervo da autora (2018). Prosseguimos abordando a mesma atividade proposta, porém alteramos o valor da variável 𝑉 𝑑 , que passou a assumir 𝑣 3 : GeoGebra. Enfatizamos duas situações que nos despertaram interessepor serem uma forma atípica de trabalhar com o computador e, consequentemente, com o software GeoGebra.Fonte: acervo da autora (2018).A situação retratada na figura 94, em que o estudante utiliza a régua, um instrumento que, normalmente, é usado quando 𝑉 𝑑 assume o valor 𝑣 2 : Papel/lápis, faz emergir a coexistência de um elemento em dispositivos diferentes. Contudo, devemos olhar a validade da técnica empregada, o que significa afirmar que ele usa uma praxeologia do ambiente papel/lápis e tenta transpor, sem sucesso, para o dispositivo 𝑣 3 : GeoGebra, expondo a ausência de uma bagagem praxeológica inerente ao dispositivo informático.

Figura 94 -

 94 Figura 94 -Tentativa de interseção entre dois ambientes/dispositivos

.

  Figura 97 -Questão 1

Fonte:

  Figura 99 -Uma Resolução da Questão 1

  conhecimento pelo estudante no confronto entre o que está posto institucionalmente e a proposta de um Modelo Praxeológico de Referência Altenativo -MPRA, o qual assume a função de lente de observação, análise e interpretação do Modelo Praxeológico Dominante -MPD, por meio de um mapeamento do campo de possibilidades no intuito de expor as fragilidades e romper com as barreiras das escolhas dominantes amplamente cristalizadas. Dessa forma, pautados nas contribuições de elementos epistemológicos, foi elaborado um primeiro modelo de natureza histórica e epistemológica o qual fundamentou previamente e deu suporte ao estudo do saber vetorial no cerne do CLM-UEFS. O mesmo subsidiou a identificação de traços da vulnerabilidade do MPD nos impulsionando a idealizar e construir o MPRA que se materializou a partir do AHA, amparado no ponto de vista de Gascón (2018) que sublinha que parte dos fatos didáticos constroem a base empírica da pesquisa e os MPR devem ser avaliados, corrigidos e contrastados.Isto posto, concebemos que situações didáticas projetadas no domínio do AHA, contribuem para o desenvolvimento do conceito de vetor na busca pelo entendimento do mesmo no contexto do CLM-UEFS, pois ao incidir nas características geométricas e algébricas, é viável promover o fortalecimento e emprego das representações geométricas em concordância com a compreensão da ideia de movimento e visualização em torno da concepção vetorial no plano ou no espaço, sob a perspectiva de distintos Dispositivos Didáticos (PL, MM e GG), os quais assumem, a depender da intenção de pesquisa, a função de variável ou de complemento nos Geradores ou Sub Geradores de Tipo de Tarefas.

  que as hipóteses que serão testadas por meio da Engenharia Didática se assentam na introdução e na incorporação de novos elementos na bagagem praxeológica dos estudantes, imprimindo modificações na relação pessoal dos sujeitos que protagonizam o funcionamento dos SDs no âmbito do CLM-UEFS. Assim, retornamos às hipóteses que foram reveladas no quarto capítulo: 1. A partir do desenho e da execução de tarefas vetoriais, subsidiadas por distintos Dispositivos Didáticos no âmbito do CLM-UEFS, é possível enriquecer e modificar a bagagem praxeológica e incorporar esses elementos às práticas dos estudantes; 2. É possível promover modificações e evoluções nas relações pessoais do estudantes com os vetores, no seio de CLM-UEFS, por meio da resolução de tarefas repertoriadas por distintas técnicas no seio do AHA 168 ; 3. Ao ampliar o repertório de técnicas empregadas nas resoluções de tarefas vetoriais é viável ofertar aos estudantes possibilidades de trilhar por distintos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP 169 . 4. A viabilidade de análise e observação das trajetórias resolutivas, em termos de Dispositivos Didáticos gerenciados pelos GT pode promover maior engajamento e participação no processo de conhecimento vetorial. Estas hipóteses se apoiam na hipótese geral, que pode ser descrita como a análise do trabalho com diferentes Dispositivos Didáticos -DD e possibilita a construção de recombinações praxeológicas propiciando o despertar de novas relações pessoais dos estudantes com os vetores. Estabelece, assim, um diálogo com a tese que verificará a caracterização das condições e restrições pautadas no que se faz e no que não se faz no MPD, guiado pelo MPR e pela ED. Nestes termos, nos capítulos seguintes, exporemos nuances das fases da Engenharia Didática em interação com a ação dos Dispositivos Didáticos.

  Apoiados nessa concepção, concebe-se que o esquema possa adquirir contornos variados e robustos ao estabelecer, observar e examinar a mobilidade dos vértices do triângulo que ilustra o SD. Para além disso, a análise do papel das demais funções didáticas em consonância ao Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA e os Geradores de Tipo de Tarefas -GT regido pela dinamicidade própria dos Sistemas Didáticos pode constituir caminhos para estudos posteriores. No entanto, nesta investigação deixamos registrada essa ideia embrionária, esquematizada a seguir, Fonte: acervo da autora (2020) A imagem pontilhada caracteriza a configuração de um meio de ensino, composto por elementos disponíveis para o estudo de certo objeto O (vetores), visto que o 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑀, segundo Chevallard (2013, p.33), é "o ambiente didático que reúne o conjunto evolutivo de recursos para o estudo de 𝑄, um ambiente que é escrito genericamente da seguinte forma: 𝑀 = { 𝑄 1 , … , 𝑄 𝑛 , 𝑅

Fonte:

  Figura 103 -O estudante como gerenciador do saber

Fonte:

  acervo da autora (2017) Com respaldo institucional, foram solicitados aos estudantes domínio das definições: módulo de vetores, igualdade de vetores, vetor oposto, multiplicação por escalar, ângulo entre vetores e combinação linear. Informações adicionais foram fornecidas com o intuito de evitar constatações errôneas advindas da representação gráfica.

Figura 107 -

 107 Figura 107 -Tarefa 1 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS

Figura 108 -

 108 Figura 108 -Registros Pessoais de Alguns EstudantesValor Assumido por 𝑽 𝟏 𝑨𝑷 𝒕 (Geométrico)EstudantesRegistros geométricos pessoais

Figura 109 - 9 =F=

 1099 Figura 109 -Tarefas 4 e 5 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS

𝑉 2 𝐴𝑃

 2 𝑡 -𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠: {𝑃𝐿, 𝑀𝑀, 𝐺𝐺}, seja viável propiciar aos discentes a ideia de movimento inerente aos vetores geométricos. Perspectiva essa reforçada pela declaração de Affongon e Tossa (2014), Na linguagem natural, a indicação de direção geralmente é acompanhada de um gesto semelhante à indicação de um lugar. Essa prática dá vida a um obstáculo cultural que deve ser removido para distinguir o senso de direção ao aprender o vetor geométrico.(AFFONGON; TOSSA, 2014, p.2, tradução nossa 187 ) 

Figura 111 -

 111 Figura 111 -Resolução (GG) da Tarefa 2 de uma avaliação de EXA 180 em CLM-UEFS

Fonte:

  acervo da autora(2018) As técnicas em MM diferem das empregadas nos Dispositivos Didáticos PL e GG e geralmente demandam um custo maior, ou seja, não são econômicas principalmente por impor limitações das construções prexeológicas no âmbito da cronogênese. Contudo, mesmo tendo um alcance limitado, o uso dos Materiais Manipuláveis -MM exige construções que podem revelar aspectos que não são evidentes no trabalho com outros dispositivos. Essa vertente pode ser destacada a partir da interpretação efetivada por uma estudante na realização da questão abordada nesta seção.

Figura 112 -

 112 Figura 112 -Reprodução do gráfico que integra a Tarefa 2

Figura 114 - 2 𝑣

 1142 Figura 114 -Reprodução do gráfico que integra a Tarefa 2 com alterações de um dos lados do triângulo

A

  Figura 116 -Tarefa 1 presente no repertório do Minicurso

  As diagonais de um quadrado se encontram no ponto médio de ambas (quadrado de vértices D, G, E e B);

  As diagonais de um quadrado encontram-se no ponto médio de ambas (quadrado de vértices D, G, E e B);

  As diagonais de um quadrado se encontram no ponto médio de ambas (quadrado de vértices D, G, E e B); (𝑡 21 ): Definição de soma de vetores; (𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores; (𝑡 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar. Caminho IV: 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐵𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ = = 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Definição de soma de vetores; (𝑡 5 ): Soma de equações; (𝑡 6 ): Definição do vetor oposto; (𝑡 7 ): Definição do vetor nulo;

  Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores; 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝑣 (𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores; (𝑡 6 ): Definição do vetor oposto; Vetor 𝑩𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Caminho I: 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores; (𝑡 6 ): Definição do vetor oposto; Caminho II: 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝑢 ⃗ +𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑢 ⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Definição de soma de vetores; (𝑡 6 ): Definição do vetor oposto; (𝑡 7 ): Definição do vetor nulo;

  ): Definição de soma de vetores;(t 6 ): Definição do vetor oposto;194 Na última igualdade retoma-se as técnicas utilizadas nos caminhos I e II referente ao vetor 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

  21 ): Definição de soma de vetores; (t 4 ): Propriedade distributiva do produto de vetores por escalar. Caminho II: 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐷𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2(𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ )+ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = = 2𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (-2 + 1)𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ Definição de soma de vetores;

1 2(

 1 Caminho I: 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑣 ) -𝑢 ⃗ + 𝑣 = ( Definição de soma de vetores;

  Definição de soma de vetores;

  Caminho II: 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ + 𝑣 = 𝑢 ⃗ + 𝑣 -𝑢 ⃗ + 𝑣 = 2𝑣 = 0𝑢 ⃗ + 2𝑣 (t 2.1 ): Definição de soma de vetores; (𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores; (𝑡 1.1 ): Multiplicação do escalar; (t 2.1 ): Definição de soma de vetores; (t 6 ): Definição do vetor oposto; (𝑡 3 ): Segmentos equipolentes/ igualdade de vetores; (t 6 ): Definição do vetor oposto; (𝑡 7 ): Definição do vetor nulo; (𝑡 1.2 ): Aplicação da propriedade comutativa; (𝑡 1.3 ): Aplicação da propriedade associativa. No âmbito da Álgebra Linear, podemos supor a seguinte resolução em termos da base ortonormal escolhida. Assim, fixando |𝑂𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ | como unidade de medida, podemos considerar os vetores ortonormais: 𝑖 = 𝑂𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑗 = 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ou seja, {𝑖 , 𝑗 } é uma base ortonormal no plano. Assim, 𝑢 ⃗ = 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 + 𝑗 e 𝑣 = 𝑂𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 -𝑗 Somando as duas expressões temos: 𝑢

1 2e 1 2 2 𝐴𝐵

 112 Figura 117-Tarefa 2, presente no repertório do Minicurso

Figura 119 -=Figura 120 -

 119120 Figura 119 -Inclusão de um sistema de coordenadas

Figura 121 - 1 4

 1211 Figura 121 -Paralelogramo agregado a outros elementos atividade 4

Figura 122 -

 122 Figura 122 -Tetraedro que integra o enunciado da quinta questão

  Figura 123 -Caminhos de Práticas Pessoais CPP (ti) ou CPP (T)

Figura 125 -

 125 Figura 125 -Um exemplo da estruturação do curso

  Figura 126 -Desenho dos arranjos das variáveis em termos dos Dispositivos Didáticos -DD

  Figura 127 -Tarefas associadas a vetores no plano

Fonte:

  (MELLO e WATANABE, 2011, p.9).O gerador que produziu esta tarefa tem o seguinte arranjo 𝐺𝑇 𝑡1 = [𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 ; 𝑉 1 ,𝑉

Fonte:( 2 )( 3 )

 23 Quadro 28 -Sub-Geradores de Tipo de Tarefas (1) 𝐺′𝑇 𝑡1(𝑀𝑀) = [𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 𝑒𝑚 𝑀𝑀; 𝑉 2 , 𝑉 3 ] (2) 𝐺′𝑇 𝑡1(𝑃𝐿) = [𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 𝑒𝑚 𝑃𝐿; 𝑉 6 , 𝑉 7 ] (3) 𝐺′𝑇 𝑡1(𝐺𝐺) = [𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 𝑒𝑚 𝐺𝐺; 𝑉 4 , 𝑉 5 ] Fonte: acervo da autora (2020)

1 ) 2 ) 2 (

 122 Quadro 29 -Descrição praxeológica referente ao bloco práticoAnálise praxeológica -bloco prático (T/𝝉) -1ª tarefa

Figura 132 -

 132 Figura 132 -Semiologia e a Dialética de ostensivo não ostensivo

Fonte:

  Figura 134 -Produção individual da figura 129 (grupo 6)

Figura 135 -

 135 Figura 135 -Representantes dos vetores 𝑢 ⃗ e 𝑣 (grupo 5)

Figura 136 -

 136 Figura 136 -𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de 𝑢 ⃗ e 𝑣 (grupo 5)

Figura 138 -

 138 Figura 138 -Resolução da tarefa 1 utilizando o GeoGebra -GG (grupo 4)

Fonte:

  Figura 139 -Técnicas utilizadas na representação da figura da tarefa 1 (grupo 4)

Figura 141 -

 141 Figura 141 -Ramificações do GTt1

  auxiliares agregados a MM (tesoura, cola, tachas, placa de isopor, etc.);

𝑉 7 -

 7 Configuração (plano, espaço, retangular, triangular, ...).

  Fonte: acervo da autora (2020) 𝐺′𝑇 𝑡1(𝑀𝑀) = [ 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 𝑒𝑚 𝑀𝑀; 𝑉 2 , 𝑉 3 𝑒 𝑉 7 ] 𝑇 𝑡1(𝑀𝑀) = (Escrever; vetores em função de 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 em MM com elásticos em uma configuração retangular).

Figura 2 :

 2 Figura 2: 𝑢 ⃗ = 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣 = 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ Figura 3: 𝑢 ⃗ = 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣 = 𝑂𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Figura 145 -

 145 Figura 145 -Representação do triângulo AOB (grupo 5)

  e dialoga com o "Paradigma de Questionamento do Mundo", cuja base se assenta no despertar de uma visão prospectiva sobre a dimensão didática e apontam para um aflorar de uma postura autônoma exigida aos alunos, pressuposto esse seguido durante todo o curso aqui descrito. Nesse sentido, as equipes 1 e 2, escolheram o GeoGebra enquanto dispositivo de resolução da tarefa 2, estabelecida pelo Sub-Gerador de Tipo de Tarefas, 𝐺′𝑇 𝑡2(𝐺𝐺) ⊂ 𝐺𝑇 𝑡2 , descrito a seguir: 𝐺′𝑇 𝑡2(𝐺𝐺) = [Provar, que o vetor determinado pela mediana OM de um triângulo OAB é igual a metade da soma dos vetores 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ em GG; 𝑉 4 , 𝑉 5 , 𝑉 7 ] 𝑉 4 -Menu do dispositivo (barra de ferramentas) 𝑉 5 -Dispositivos móveis (notebook, celular, tablets); 𝑉 7 -Configuração(plano, espaço, retangular, triangular, ...).

Figura 147 -

 147 Figura 147 -Representação do triângulo AOB (junção dos grupos 1 e 2)

Figura 148 -

 148 Figura 148 -Protocolo de Construção do triângulo AOB (junção dos grupos 1 e 2)

  . Contudo, após a realização desta construção, os integrantes do grupo migraram para o ambiente PL, no intuito de integralizar a resolução da questão, o que revela o aspecto incompleto do emprego do dispositivo GG para questões que envolvem provas e demonstrações matemáticas.

7. 4

 4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA TAREFA 3 A atividade 3 não se distancia dos elementos vetoriais que foram trabalhados nas duas primeiras tarefas, porém o grau de complexidade se eleva ao sair das figuras planas mais triviais, como quadrado e triângulo, e avança para um trabalho vetorial usando como base um hexágono regular. O Gerador de Tipo de Tarefas que direcionará as análise das produções dos tipos tarefas, regido pelos dispositivos PL, MM e GG, foi descrito por: 𝐺𝑇 𝑡3 = [Determinar; 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ em um hexágono regular; V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7] notabilizado pelo enunciado da tarefa que advém deste GT. O diagrama ilustra a potencialidade do 𝐺𝑇 𝑡3 . Fonte: acervo da autora (2020) E uma tarefa que advém deste gerador constitui em: no hexágono regular abaixo: 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ , 𝐷𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝑒 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 ⃗⃗ . Determine 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Figura 150 -

 150 Figura 150 -Hexágono da atividade 3

Figura 151 -

 151 Figura 151 -Construção do Hexágono da atividade 3 em MM (grupo 3)

Figura 154 -

 154 Figura 154 -Respostas apresentadas por um membro do grupo 1

  Praxeologia pessoal referente a tarefa 3 em PL Tarefa (t) No hexágono regular, 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ , 𝐷𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝑒 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 ⃗⃗ . Determine 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

  257 l'analyse de l'erreur à des praxéologies en mettant en évidence les phénomènes suivants: -L'utilisation d'une technique scientifiquement valide peut conduire à des erreurs. -Certaines erreurs peuvent être dues à une nonmaîtrise de techniques indispensables à la résolution de certaines tâches rencontrées lors de la mise en oeuvre d'une technique valide. Técnica (𝝉) 𝝉 1𝑡 1 : 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ (Utilizou o vetor oposto de 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ para efetuar a soma vetorial); 𝝉 2𝑡 1 : 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ (Igualdades entre vetores, ou seja, -𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ); 𝝉 1𝑡 2 : 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝝉 1𝑡 3 : 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ Tecnologia (𝜃) Vetor oposto e adição de vetores. Teoria (Θ) Geometria Analítica Adição de vetores: Extremidade de 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ coincide com a origem de 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ resultando em 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Adição de vetores: Extremidade de 𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ coincide com a origem de 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ resultando em 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Adição de vetores: Extremidade de 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ coincide com a origem de 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ resultando em 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Figura 155 -

 155 Figura 155 -Respostas apresentadas por um membro do grupo 2

Figura 156 -

 156 Figura 156 -Produção dos componentes do grupo 5

Fonte:

  Figura 157 -Protocolo de construção tarefa 3

Fonte:

  Figura 160 -Reprodução da figura 159 em MM (grupo 1)

  Quadro 39 -Um zoom entre as duas resoluções

𝑉 7 -

 7 quadro,

Figura 164 -

 164 Figura 164 -Produção resolutiva da quarta tarefa em GG

Fonte:

  Figura 169 -Protótipo de Tetraedro em MM (Grupo 3)

Fonte:

  acervo da autora(2020) 

Figura 170 -

 170 Figura 170 -Cálculos que acompanham o protótipo de tetraedro em MM (Grupo 3)

𝑉 7 -

 7 Figura 172 -Caminhos de Práticas Pessoais -CPP em PL (tarefa 5) (I) (II)

Figura 173 -

 173 Figura 173 -Caminhos de Práticas Pessoais -CPP em GG (tarefa 5)

Figura 174 -

 174 Figura 174 -Paralelepípedo que integra o enunciado da sexta questão

Fonte:Figura

  Quadro 43 -Registro praxeológico da tarefa 6 com o suporte em PL

Figura 179 - 1 4

 1791 Figura 179 -Protocolo de Construção do Paralelepípedo

Fonte

  Quadro 44 -Relatos dos estudantes acerca do trabalho desenvolvido em PL, MM e GG

Tabela 7 -

 7 Controle de realizações das tarefas a partir dos escopos das técnicas alternativas Condições de execuções (dispositivos/tarefas)

  CHAACHOUA e BESSOT, 2020, p. 247, tradução nossa 267 ) sob duas vertentes: "(1) uma técnica pode não ser aplicável além de seu escopo;[START_REF] Vinculadas A Tarefa 1 | [END_REF] uma técnica pode ser aplicada além de seu escopo, mas com altas taxas de falhas." Nesse sentido, PL se enfraquece nas resoluções das tarefas 5 e 6, pois os relatos dos discentes apontam para uma carência em termos de visualização dos vetores no espaço. De igual modo, na tarefa 4, os participantes do curso revelaram a necessidade da mobilidade dos representantes dos vetores.Concebemos que os dispositivos GG e MM não pertencem ao escopo institucional PI(τ), por não serem recursos que nutrem e alimentam a vida de τ em Geometria Analítica e Álgebra Linear I -EXA 180 ou em Geometria Analítica -EXA 374, como já sinalizado, anteriormente, pelos estudantes que não possuíam domínio das ferramentas do software GeoGebra e isso foi ratificado ao visitarmos a organização curricular do CLM-UEFS e ao observar que os estudos de softwares educativos serão contemplados na disciplina Softwares Matemáticos EXA -892, componente que compõe a grade curricular do sexto semestre deste curso. Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020) não omitem o aspecto cognitivo, denotado como âmbito pessoal, dependente tanto do âmbito pragmático como do institucional, porém essa vertente não foi detalhada pelos autores. Contudo, entendemos que as praxeologias pessoais (CROSET e CHAACHOUA, 2016) em associação com os Caminhos de Práticas Pessoais -CPP podem estabelecer diálogos entre o escopo cognitivo em associação ao viés didático das variáveis (CHAACHOUA e BESSOT, 2016), visto que o CPP oportuniza ao pesquisador gerar aproximações mais finas acerca dos elementos que integram cada praxeologia pessoal. Dito de outra forma, é como se observássemos as microunidades que compõe cada momento como praxeologia pessoal.Isto posto, direcionamos também especial atenção para informações resultantes da observação e gestão das produções realizadas neste cenário, as quais se apresentaram como uma espécie de "metamorfose" das condições de aprendizagem do saber em jogo. Assim, concebemos que a integração entre distintos dispositivos desencadeou alterações em alguns aspectos dos Sistemas Didáticos, seja pelas alterações das funções didáticas ou pelas técnicas mobilizadas na dinâmica praxeológica delineada.Nestes termos, o campo experimental se apresentou como um meio de construções de técnicas que transportaram, mesmo que implicitamente, o intuito de romper com as formas tradicionais, focadas apenas na transmissão e na aplicação direta das técnicas(BARQUERO, BOSCH e GASCÓN, 2013). A organização sugerida aos estudantes, os quais aceitaram o convite para participar do minicurso, se estruturou por meio de mudanças no contrato didático próprio do ensino tradicional que, de acordo comBarquero, Bosch e Gascón (2010), pode ser resumido num processo que, (...), se ensinam os conhecimentos elementares que como tais, se dão aos estudantes como instrumentos "já construídos" sem especificar com claridade nem sua origem, nem sua razão de ser, nem seu âmbito de aplicações para que, posteriormente, estes possam aprender a utilizá-los melhor e aplicá-los a situações problemáticas com os quais possam encontrá-los. Essa primeira resposta espontânea do ensino tradicional universitário criam serias dificuldades ligadas a perda de sentido e a desarticulação dos conteúdos matemáticos escolares.(BARQUERO, BOSCH E GASCÓN, 2010, p.236) Dito isto, a Organização Didática -OD delineada e posta em funcionamento dentro do escopo do minicurso se apresentou como um fator propício para romper com o aspecto rígido e estático do ensino tradicional. Esse contexto, se insere nos sistemas dinâmicos, idealizado por Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020), ao considerar que as instituições educacionais são sistemas dinâmicos em que as praxeologias existem apenas como resultado da dinâmica praxeológica. Ou seja, a instituição é caracterizada por um conjunto de objetos e suas relações entre eles. Dito de outra forma, a ideia é, ao tirarmos uma fotografia de uma instituição em um dado momento, essa imagem é o resultado de um processo dinâmico que podemos tentar modelar.Neste sentido, podemos traçar um paralelo com os Caminhos de Práticas Pessoais -CPP.

  Quadro 45 -Gerador de Tipo de Tarefas direcionado às análises a posteriori

Figura 180 - 1 O

 1801 Figura 180 -Grupo 5 no processo de resolução da tarefa 1

Fonte:

  Figura 181 -Grupo 6 no processo de resolução da tarefa 1

Fonte:

  acervo da autora(2020) As versões de GG disponibilizadas para computadores são mais completas, enquanto que os aplicativos para smartphones são mais limitados e se apresentam com algumas restrições no que se refere aos atributos do programa. Por exemplo, a visualização simultânea das janelas de álgebra, visualização e o protocolo de construção é um recurso disponível nos computadores que são suprimidos nos aparelhos celulares. Outro aspecto que merece destaque é que o uso dos smartphones aponta para um carácter mais individualizado como ilustrado nas imagens que integram a figura 183.

  As reflexões aqui tecidas, nos direcionaram a determinar os reflexos das escolhas realizadas pelos estudantes e os sentidos e significados atribuídos, por eles, a cada construção realizada nas resoluções das tarefas propostas. Contudo, as funções dos Dispositivos Didáticos -DD interferiram e provocaram variações que, por consequência, não cumpriram integralmente suas funções. A título de exemplificação, podemos nos distanciar um pouco do universo da primeira tarefa e tomar como suporte a segunda, que apresentou como enunciado, mostrar que . Nessa perspectiva, notou-se a força do ambiente PL, em detrimento de MM e GG, os quais tiveram a incumbência de auxiliar o processo resolutivo, pois como destacado por Lima, Lins e Pereira (2018):Quando trabalhamos atividades sobre provas e demonstrações matemáticas com o uso do aplicativo GeoGebra, proporciona-se uma alternativa ao incentivo de se conjecturar, argumentar, provocar raciocínio hipotético-dedutivo e articular níveis de pensamento geométrico. (LIMA, LINS e PEREIRA, 2018, p.201) Assim, reforçando o enfoque complementar deste dispositivo no âmbito resolutivo de tarefas que envolvem o campo formal das demonstrações matemáticas. Assim, sob a perspectiva da gênese artificial que se esboçou nesta investigação, imbricados aos Dispositivos Didáticos -DD que assumiram a função do sistema de variáveis nos GTs, compactuamos com a concepção de Netz (1999, p.35) ao pontuar que, "as propriedades que a percepção extrai do diagrama formam um verdadeiro subconjunto das propriedades reais do objeto matemático." Dessarte, interpretamos que a pragmática do texto (o enunciado de uma tarefa), por exemplo, é dado pelo diagrama, os quais estabelecem conexões com o contexto, enquanto conjunto de pressupostos que governam o discurso. De igual modo, é possível realizar análises semelhantes para as demais tarefas descrevendo a sequência praxeológica empregada nas resoluções, tendo em vista que o trânsito entre os dispositivos provocam recombinações praxeológicas, modificando o bloco prático e mantido o logos (Π * ) ⊕ Λ (Chevallard, 2018). Nestes termos, retomamos ao desenho do Caminhos de Práticas Pessoais -CPP em conexão como os elementos que integraram o Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA, que se revelaram por intermédio das condições e restrições explícitas e implícitas que refletiram no meio estruturado por um ambiente de estudo, que conteve os Dispositivos Didáticos utilizados na construção de cada resposta. Assim, rompese com o aparente equilíbrio estrutural que se formou em torno da análise do funcionamento do ensino habitual, cujo funcionamento se apresentou pouco satisfatório por razões de naturezas diversas (epistemológicas, didáticas e cognitivas) e novos laços foram construídos entre luzes que focalizaram a abordagem vetorial no âmbito de uma prática melhorada. Como já aludido por Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020), as instituições educacionais podem ser comparadas aos sistemas dinâmicos que, no contexto matemático, são caracterizados como sistemas fora do equilíbrio, determinados por estados que mudam com o tempo. Significa dizer que se constroem um modelo que evoluem segundo regras que interligam o estado atual ao estado inicial, ou seja, abandonou-se praxeologias estáveis e provocou-se desequilíbrios nos arranjos formados no contexto do minicurso, designado por um conjunto de objetos e relações entre eles. Para cada objeto, a relação institucional muda ao longo do tempo didático, assim como as relações. Como ilustrado na figura 183. Fonte: acervo da autora (2020) O esquema retratado na imagem mostra o agrupamento de relações institucionais e pessoais que advém dos níveis inferiores da escala de codeterminação didática no contexto do CLM-UEFS. O que exibe um corpus heterogêneo de equipamentos praxeológicos direcionados ao Ambiente Hibrido de Aprendizagem -AHA, descrito pelos Dispositivos Didáticos -DD, os quais alimentaram o sistema de variáveis dos Geradores de Tipo de Tarefas e Sub geradores de Tipo de Tarefas, produzindo e reunindo um repertório de praxeologias pessoais e institucionais, que foram mobilizadas pelos sujeitos nas resoluções das tarefas vetoriais, promovendo recombinações praxeológicas, o que se apresentou como a implementação de estratégias didáticas para o ensino e aprendizagem dos vetores.

  Figura 184 -Interligações entre o AHA e o CPP

(

  1999, p. 4, tradução nossa),273 "o problema ecológico expandirá o campo de análise e abordará as restrições criadas entre os diferentes objetos de conhecimento a serem ensinados". Em outras palavras, os vetores não possuem um sólido habitat no currículo de matemática pertencente ao Ensino Médio.Neste sentido, emerge a necessidade de propormos estudos que adentrem na esfera do Saber a Ensinar -SaE, particularmente, no que tange ao desenho curricular esboçado nos Cursos de Licenciatura em Matemática no cenário brasileiro, em especial o CLM-UEFS, para então sugerir alterações, em termos das Organizações Matemáticas e Didáticas, no âmbito da Geometria Analítica e da Álgebra Linear que venham contribuir para o abandono do engessamento oriundo do Paradigma de Visitas as Obras (CHEVALLARD, 2012) e promover aproximações com uma abordagem flexível[START_REF] Dreyfus | Advanced mathematical thinking processes[END_REF], em contraposição à rigidez matemática[START_REF] Silva | O Currículo de Matemática e as Actividades de Investigação[END_REF], dando origem a uma rede de diálogos que gere aproximações com os pressupostos do Paradigma de Questionamento de Mundo[START_REF] Chevallard | Théorie Anthopologique du Didactique & Ingénierie Didactique du Développement[END_REF] 2010; 2012).Essa vertente abre possibilidades para que professores e estudantes possam mergulhar em um contrato didático distinto daquele que historicamente moldou as escolhas e práticas dominantes amplamente cristalizadas, pois na concepção deChevallard (2018) deve-se abandonar o paradigma escolar do inventário dos saberes e substituí-lo por um novo paradigma escolar do questionamento do mundo: "em vez de uma leitura inventariante do universo dos saberes, então, uma leitura questionadora do Mundo (incluindo o mundo dos saberes)."(CHEVALLARD, 2018, p.44) Estes elementos corroboram com o que foi constatado por um grupo de pesquisadores da matemática pura há quase duas décadas. Dito de outra forma, os vetores permanecem ausentes dos níveis que precedem o Ensino Superior, ou seja, delega-se aos cursos universitários, pertencentes às ciências exatas, a missão de apresentar a abordagem e por constituir, na maioria das vezes, o primeiro contato que os estudantes terão com esse objeto.Neste diapasão, torna-se patente a necessidade de implementarmos ações didáticas que considerem o caráter incompleto e/ou inexistente dos vetores no nível superior de ensino e o trabalho com distintos dispositivos didáticos se revelou promissor no auxílio à compreensão deste saber.9.2 FUNDAMENTAÇÕES TEÓRICAS E SEUS VÍNCULOS COM AS INTENÇÕES DIDÁTICAS PRÓPRIAS DESTE ESTUDOAo direcionar atenção para os pressupostos teóricos da Teoria Antropológica do Didático -TAD(CHEVALLARD, 1998; 1999), foi possível destacar encadeamentos entre os objetos que guiaram a investigação, em princípio pela própria estruturação teórica, sob o fito da premissa: "tudo é objeto". E para[START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF], quando existem modificações na relação pessoal para com o objeto O, por consequência, existe aprendizagem. Esse constituiu um dos pilares dessa pesquisa, ou seja, as relações pessoais em interação com o objeto do saber produzem modificações na bagagem praxeológica dos sujeitos. Sem deixar de admitir que existem elementos que intermediaram esse processo relacional, sejam eles ostensivos ou não ostensivos(BOSCH; CHEVALLARD, 1999). Como destacouCasabò (2001, p. 20, tradução nossa 274 ): "toda manipulação de ostensivos é controlada pela 'ativação' ou 'evocação' de objetos não ostensivos cujas características podem ser modificadas durante toda a atividade".Assim, frente aos aspectos oriundos da epistemologia vetorial, sumarizado no item anterior, concebemos que as "raízes" do que se apregoa em aulas sobre vetores estão plantadas num terreno ilusório do Paradigma de Visitas as Obras[START_REF] Chevallard | Teaching Mathematics in Tomorrow's Society: a Case for an Oncoming Counterparadigm[END_REF]. E para tanto, mapeamos e descrevemos o Modelo Praxeológico Dominante -MPD, tido paraGascón (1994) como um sistema de condições e restrições das práticas de sujeitos institucionais, alunos e professores, que foi caracterizado por nós por meio de uma análise de livros textos, currículo e observação de aulas direcionada aos discursos dos protagonistas dos Sistemas Didáticos no âmbito vetorial.Os diálogos produzidos pelos professores e estudantes possibilitou descrever a crônica da classe (COMITI; FARIAS, 2019), assim como o traçado das tramas praxeológicas (FARIAS; PIRES, 2011), que conduziram os direcionamentos para sintetizar e expor os diversos elementos que delinearam cada sessão de estudo em associação aos contrastes detectados em nossas análises.Com base neste delineamento, foi dedicada particular atenção para o saber ensinado e o saber apreendido, o que reporta, consequentemente, à conjuntura das salas de aula de Geometria Analítica, as quais encontram-se no âmago de um Sistema Didático -SD, conforme sublinhaChevallard (2011, não paginado): "o Sistema Didático encontra-se no coração da Teoria Antropológica do Didático -TAD." Os direcionamentos deste campo teórico, em essência, fundamentam enquanto determinante crucial para a compreensão das diferentes ecologias desse conceito. Aditado a isso,Chacón (2008, p. 51, tradução nossa) 275 ressalta que "o processo de transposição didática sublinha, portanto, a relatividade institucional do conhecimento", influenciado pelas submissões ou assujeitamentos institucionais, a exemplo do uso regular de um livro didático ou emprego recorrente do ambiente Papel Lápis no processo de ensino e aprendizagem.A partir dos mapeamentos dos elementos apontados no MPD, esboçou-se traços de um cenário tradicional vivenciado pelos sujeitos no funcionamento dos Sistemas Didáticos no contexto do CLM-UEFS. Ou seja, foram raros os momentos em que os discentes assumiam o protagonismo no desenvolvimento das aulas e, quando ocorriam, estavam sempre vinculados às perguntas que buscavam esclarecimentos relacionados ao tema ou questão abordada. Essa perspectiva expõe uma postura estática e coadjuvante proveniente do modelo tradicional 276 de ensino respaldado pelo Paradigma de Visitas a Obras ou Visitas aos Monumentos, 277 que, na acepção de Chevallard (2012), resume-se a ouvir um relato ou narrativa recitada pelo professor sobre o monumento visitado. Isto posto, recorremos aos momentos de estudos (CHEVALLARD et al, 2001), que possibilitou revelar as variantes inerentes ao corpus de duas aulas, o que significa dizer que as tramas praxeológicas (FARIAS; PIRES, 2011) foram categorizadas a partir deste entendimento. Ou seja, diferentes momentos integraram o processo de estudo, dentre eles Chevallard, Bosch e Gascón (2001) destacam: o momento do primeiro encontro com um novo tipo de problema: o do trabalho da técnica, o tecnológico-teórico, o exploratório e o da avaliação. Neste conjunto, os autores também ressaltam que a noção de "momento" não é uma concepção estritamente cronológica, pois os momentos podem ser retomados e revividos em distintos instantes do estudo.As ausências dos momentos exploratório e de avaliação foram identificados no processo de desenvolvimento da primeira aula. Já no que tange à segunda aula, os constantes diálogos entre docente e discentes evidenciaram participações mais ativas dos atores que protagonizaram essa aula cujo tema central foram os vetores. No entanto, foi revelado a inexistência do momento de avaliação.A título de ilustração, diante do que foi recapitulado, traduzimos nossa intenção de pesquisa em sintonia com o que sublinha[START_REF] Chevallard | La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné[END_REF] ao apresentar equivalências entre uma música executada por múltiplos instrumentos e a transposição. Aspecto este, que dialogou com a figura 77 que ilustrou o desenho da tese. Em termos dessa investigação, no nível das praxeologias, constituiu em apresentar tarefas, apoiada na declaração de Bessot e Chaachoua (2016, p. 3) "que um dos objetos de observação do pesquisador são tarefas e que um tipo de tarefa é definido por um verbo de ação e um complemento fixo". Assim, foi possível promover uma análise ecológica para distintos "timbres" e, consequentemente, como o estudo dessa "sonoridade" repercute no entendimento da melodia executada regida pelo maestro (professor) e os instrumentistas (alunos) na execução de tarefas com o objetivo comum da aprendizagem vetorial.E para entoar essa música os Geradores de Tipo de Tarefas -GT, determinados por um tipo de tarefa e por um sistema de variáveis, assumiram uma relevante função, pois para os autores ora referidos, esse novo objeto permite estruturar um conjunto de tipos de tarefas para fins de pesquisa. Nesta perspectiva, um GT tem a seguinte configuração: GT = [Verbo de Ação; Complemento Fixo; Sistema de Variáveis] (CHAACHOUA; BESSOT, 2016).Os Geradores de Tipo de Tarefas em conjunto com o Sistema de Variáveis foram alimentados pelas distintas combinações provenientes do AHA. Assim, ratificamos a interpretação, metafórica, de que os geradores atuaram como uma "máquina" produtora de tarefas, no qual o Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA forneceu "combustível" para o funcionamento operacional em interação com as mídias, nos moldes da Dialética Media Milieu(CHEVALLARD, 2007), regulados pelos valores das variáveis inerentes à natureza de cada Dispositivo Didático -DD. O que nos permitiu conceber a viabilidade do trabalho com diferentes dispositivos didáticos e, por consequência, promoveu possibilidades de construções das recombinações praxeológicas (CHEVALLARD, 2018), despertando novas relações pessoais dos estudantes para com os vetores.O processo de experimentação foi subdividido em três estágios: O primeiro objetivou adentrar no cenário do ensino e da aprendizagem vetorial, ao utilizarmos a estratégia de submissão de um minicurso a XVIII SEMAT 278 , cujo título foi denotado por "Articulações entre o GeoGebra e a Álgebra Vetorial" 279 , tido também como uma primeira preparação do Modelo Praxeológico de Referência -MPR. A segunda imersão ocorreu de forma mais robusta, seja pela ampliação da carga horária ou pela própria estruturação, que introduz e propõe o trabalho com Materiais Manipuláveis -MM, além do emprego dos Geradores de Tipo de Tarefas. É relevante destacar que na etapa experimental, foi possível identificar fenômenos didáticos que envolveram uma abordagem flexível[START_REF] Dreyfus | Advanced mathematical thinking processes[END_REF], em contraposição à rigidez matemática[START_REF] Silva | O Currículo de Matemática e as Actividades de Investigação[END_REF]. Essa junção provocou alterações no meio que desencadearam modificações nas relações pessoais com o objeto vetor. Nestes termos, foi possível nos afastarmos do Sistema Didático Principal (SDP), S (X, Y, O), e nos aproximarmos de Sistemas Didáticos Auxiliares (SDA), como por exemplo: Sistemas Didáticos Auxiliares -SDA S (X; ∅; 𝑂) ou de Sistemas Didáticos Induzidos -SDI 280 S ( 𝑋 1 , 𝑋 2 ; ∅; 𝑂). O que propiciou alterações nas funções didáticas inerentes ao funcionamento dos Sistemas Didáticos -SD no âmbito vetorial do CLM-UEFS, o que coincide com o momento em que o MPR questiona o que está posto no MPD.Por fim, porém não menos importante, o minicurso denominado: "Um estudo sobre os vetores", o qual foi idealizado e organizado a partir das experiências que o antecedem. Essa análise in vivo, incluiu a implementação em sala de aula do processo de estudo desenhado, a sua observação e recolha de dados, por meio das produções dos discentes, em termos dos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP das tarefas vetoriais a partir de um Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA, sob o âmbito de desenvolvimento estruturado no quadro de referência didática T4TEL (CHAACHOUA, 2018), abastecendo o processo de confrontação entre as análises a priori e a posteriori.Assim, a nuance conclusiva deste estudo aponta para a ratificação de algumas hipóteses, em especial, no que se refere à necessidade de um repertório de Dispositivos Didáticos-DD direcionado ao ensino e aprendizagem no âmbito vetorial, pois, por intermédio da análise institucional foram identificadas recorrências, quase que exclusivas, ao ambiente Papel Lápis -PL. Contudo, o processo experimental revelou que a mobilização de outros DD no trato com os vetores ofertam maior grau de compreensão, seja por intermédio da viabilidade de movimentação dos representantes dos vetores ou por meio da necessidade de visualização e consequente materialização e manipulação em figuras tridimensionais. Nestes termos, as análises das tarefas e do alcance das técnicas foi observado seguindo os direcionamentos de(CHEVALLARD, 1999) e Kaspary, Chaachoua e Bessot (2020), o que permitiu uma atenção mais apurada acerca das condições e restrições em termos de tendência ao fracasso. Nesta perspectiva, regressamos às hipóteses, as quais podem ser condensadas em: o trabalho com diferentes Dispositivos Didáticos -DD possibilita a construção de recombinações praxeológicas e estimula novas relações pessoais dos estudantes com os vetores. Para validar essa suposição, destacamos impressões dos estudantes, pois, após a conclusão do processo experimental, foi solicitado que os discentes revelassem suas opiniões acerca das resoluções das tarefas no contexto do AHA. A partir das impressões reveladas pelos participantes do curso identificamos alterações nas relações pessoais com os vetores. Adita-se a essa perspectiva, traços das condições e restrições em associação com o alcance das técnicas, advinda do trabalho desenvolvido no ambiente de cada dispositivo. A exemplo, como já aludido anteriormente, a viabilidade de movimentação dos representantes dos vetores, além da necessidade de visualização e consequente manipulação de figuras tridimensionais. Todavia, em termos restritivos, os discentes perceberam o aspecto incompleto dos Dispositivos Didáticos MM e GG, ressaltando a constante recorrência ao PL. Assim, os diálogos entre DD se apresentaram como um aspecto promissor a ser proposto, e possivelmente, implementado no CLM-UEFS com subsídio ao ensino e aprendizagem vetorial. 9.3 CONTRIBUIÇÕES PARA O CAMPO DA DIDÁTICA As contribuições ao campo da Didática da Matemática, a qual julgamos de grande valia na conclusão deste estudo, se desdobram a partir de três enfoques. O primeiro deles, diz respeito ao Ambiente Híbrido de Aprendizagem, caracterizado como a integração entre Dispositivos Didáticos -DD que impulsionou operacionalizar os Geradores de Tipos de Tarefas (CHAACHOUA, 2015) e Sub-Geradores de Tipo de Tarefas (KASPARY, 2020). Nestes termos, é relevante sublinhar que o AHA foi teorizado a partir do T4TEL (CHAACHOUA, 2018), o que viabilizou conceber os DD enquanto variáveis. Fato este que oportunizou questionar melhor as técnicas, visto que as técnicas não existem sem essa "materialidade" advinda dos ostensivos. Em outras palavras, a junção entre ostensivos e DD fortalece e torna mais consistente a vivência dos ostensivos (esquecendo a oralidade) nos cenários dos SD. O segundo aspecto, consistiu um desdobramento do primeiro, já que ampliou as potencialidades dos Geradores de Tipo de Tarefas por meio de possíveis filiações entre praxeologias, o que nos permitiu inferir que um GT oportuniza, analogamente, estudar o "DNA matemático" de T, na medida em que podemos construir geradores que armazene a gênese e nos informe a natureza de T1,T2 ,..., Tn, advindas de GT. Neste sentido, vislumbramos que novas frentes de pesquisas se abrem e, consequentemente, podem gerar oportunidades para questionar futuros Percurso de Estudo e Pesquisa -PEP (CHEVALLARD, 2009) ou modelar os CPP. Assim, o CPP se apresentou como uma ferramenta teórica, que possibilitou ordenar a compreensão estrutural das relações pessoais em consonância com as recombinações praxeológicas (CHAVALLARD, 2018). E o terceiro enfoque soma-se às concepções elencadas anteriormente ao dispor o delineamento do CPP, oriundo de concepções provenientes das Praxeologias Pessoais (CROSET; CHAACHOUA, 2016) e do repertório das relações pessoais, o qual pode fornecer pistas que contribuam para idealização, elaboração e desenvolvimento de Percursos de Estudos e Pesquisas Pessoais -PEPP, centrados em uma nova dialética do individual ao individual (em que o nível de produção de conhecimento individual do estudante será um dos objetos de estudo a partir de uma questão Q0). Isso significa que nos reportaremos ao Paradigma de Questionamento de Mundo (CHEVALLARD, 2009; 2010; 2012) de forma mais consistente, visto que o primeiro passo foi dado a partir desta tese, mesmo que o Paradigma de base tenha sido o de Visitas às Obras (CHEVALLARD, 2012), pois a investigação foi pautada nos estudos de questões que geralmente integraram avaliações das componentes curriculares EXA180 e EXA 374 no contexto do CLM -UEFS. Contudo, a recorrência às dialéticas: Dialética Media Milieu (CHEVALLARD, 2007) e do individual e coletivo (COSTA, ARLEGO E OTERO, 2015) e a busca e incentivo pelo maior protagonismo dos estudantes apontam traços do paradigma que almejamos.

  ilustrados no sexto capítulo, sofrerão significativas modificações, em especial no vértice do triângulo didático que contém o Saber, o qual será substituído por uma Questão -Q0 com potencial para gerar questões derivadas.Nestes termos, é viável pensar acerca da possibilidade de inserir ao meio, que integra os Sistemas Herbatianos Desenvolvidos, os Geradores de Tipo de Tarefas -GT ou Sub-Geradores de Tipo de Tarefas -SGT.De igual modo, é relevante destacar que vislumbramos remodelações e consequentes expansões do alcance do Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA, enquanto Modelo Praxeológico de Referência Alternativo -MPRA no âmbito de outros saberes, comungando com a reprodutibilidade deste contexto, prevista no âmbito da Engenharia Didática.Promover a comunicação de elementos que advém da epistemologia do objeto e que favorecem a união da razão de ser (BOSCH; GASCÓN, 2010) desse saber com a prática vivenciada nos funcionamentos dos Sistemas Didáticos -SD. Neste sentido, este estudo vem reforçar que a TAD se apresenta como uma teoria em pleno desenvolvimento, a qual almeja, por intermédio das noções difundidas por Yves Chevallard e seus colaboradores, trazer mais contribuições para a justificativa de fenômenos no ensino. Além de revelar o potencial comunicacional dessa teoria com quadros teóricos como o T4TEL (CHAACHOUA, 2018) na busca por compreensões mais amplas dos fenômenos didáticos.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  o rastreio das distintas "moradas" dos vetores, além de identificar suas funções exercidas.Contudo, antes de gerar um maior aprofundamento, retrocedemos às noções que movem a Teoria da Transposição Didática e seu papel na Teoria Antropológica do Didático.

	1.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS NO ÂMBITO DA DIDÁTICA DA
	MATEMÁTICA: DA TEORIA DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA -TTD À TEORIA
	ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO -TAD
	A noção de vetores possui várias aplicações em diversas áreas do conhecimento, dentre
	elas pontua-se conteúdos vinculados a componentes curriculares como Física, Cálculo, Álgebra

18 

"Les écologistes distinguent, s'agissant d'un organisme, son habitat et sa niche. Pour le dire en un langage volontairement anthropomorphe, l'habitat, c'est en quelque sorte l'adresse, le lieu de résidence de l'organisme. La niche, ce sont les fonctions que l'organisme y remplit: c'est en quelque façon la profession qu'il y exerce".

para Linear e Geometria, conferindo-lhes destacada relevância institucional. Tomamos como inspiração essa amplitude e indagamos como os vetores, enquanto saber de referência, foram idealizados e propagados por estudiosos e pesquisadores ao longo dos anos. Segundo

Almouloud (2011, p. 194)

, "o saber sábio é construído e faz parte do patrimônio cultural do pesquisador."

Nesse sentido, ao situar o referido conteúdo no âmbito da Didática da Matemática, considera-se que "tanto o estudo do conhecimento como o ensino se fazem a partir de uma transposição de saberes"

(CONNE, 1996, p. 242)

, o que revela a necessidade de "estudar toda a cadeia como um fenômeno relacionado à disseminação didática do conhecimento" (ANTIBI;

BROUSSEAU, 2002, p. 47)

. A expressão "transposição didática" foi introduzida por Verret

  Assim, os fenômenos didáticos não podem ser separados de fenômenos relacionados com a produção e o uso da matemática. Atividades matemáticas escolar são, então, integradas a um domínio mais amplo do estudo das práticas matemáticas institucionalizadas.(BOSCH, CHEVALLARD e GASCÓN, 2005, p.3, tradução nossa 21 ) 

  ; mas uma vez que estas ciências se uniram, elas deram uma à outra um apoio mútuo e rapidamente avançaram juntas para a perfeição." Pautados em concepções como estas, este capítulo, seguirá uma abordagem que se ancora no saber sábio vetorial, primeiro estágio do processo transpositivo. Em outras palavras, configura a base de interesse do conjunto de transformações, reconstruções que imprimem alterações que derivam de um saber de referência construído ao longo da trajetória histórica, dentre estas estão os aspectos vinculados à ecologia dos saberes, que, de acordo com Artaud (1998), têm a função de questionar o real. E para indagar o que está posto em aulas, cujo tema de estudo são os vetores, é necessário retroceder no tempo, "dar um passo atrás, questionar as evidências, erodir ideias simples, retirar-se da familiaridade enganosa de seu objeto de estudo" que é possível apontar direções para obtermos respostas aos nossos questionamentos, cuja essência se encontra, conforme destacado por Torres[START_REF] Salas | La enseñanza tradicional de las ciencias versus las nuevas tendencias educativas[END_REF] no:

	(...) paradigma ecológico que surge como um modelo sociológico e fornece ao ensino
	e aprendizagem das ciências em particular uma proposta de transformação e prática
	escolar, que permite trabalhar com certos princípios epistemológicos para fornecer as Sobre quais condições? Ou de forma inversa, dado um conjunto de condições, quais
	bases teórico-metodológicas, que sustentam a concepção do conhecimento: a objetos são forçados a viver, ou pelo contrário, quais são impedidos de viver nessas
	realidade é um processo de construção sócio histórico cultural, em que intervém a condições? Essas são as questões características da problemática ecológica.
	historicidade do sujeito e a intencionalidade do conhecimento, a criatividade, a (ARTAUD, 1998, p.101, tradução nossa 28 )
	dimensão antropológica e a dimensão axiológica. (TORRES SALAS, 2010, p. 134,
	tradução nossa 25 ) Essa perspectiva impulsiona a questionar: O que existe e o que deveria existir no
	Considera-se, nesse sentido, que é possível estabelecer conexões ao que se postula como processo de ensino e aprendizagem da Álgebra Vetorial no Curso de Licenciatura em
	princípios norteadores da estruturação ecológica (nicho e habitat) 26 dos vetores, ao ponderar Matemática da UEFS? Sem perder de vista que no cerne da didática,
	sobre o que está posto praxeologicamente, 27 caracterizado, primeiro, pelo Modelo

Pour le didacticien, c'est un outil qui permet de prendre du recul, d'interroger les évidences, d'éroder les idées simples, de se déprendre de la familiarité trompeuse de son objet d'étude, bref, d'exercer sa vigilance épistémologique. limitado

(CHEVALLARD, 1982, p. 3, tradução nossa)

.

23 

Diante desse contexto, que integra e apresenta como suporte as criações coletivaso saber primeiramente constituído no trajeto da esfera histórica, muitas vezes evidenciadas por embates controversos, seja no âmbito da física ou da matemática, que desencadearam transformações epistemológicas pelas quais passou a Álgebra Vetorial. Esse aspecto subsidia mais um eixo da nossa investigação, ao colocar em evidência um revisitar de elementos que pertencem à gênese deste saber por meio do seu percurso histórico-epistemológico transpositvo, 24 com o intuito de compreender como se comporta e o que é refletido no terreno do ensino e da aprendizagem deste objeto matemático.

Fundamentados nesta intenção didática de estudo, subscrevemos a concepção de

[START_REF] Chevallard | Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica[END_REF]

:

(...) à classe dos saberes corresponde um subdomínio específico do conhecimento, a que chamo a antropologia dos saberes, que não é, na realidade, senão aquilo que habitualmente chamamos epistemologiamas uma epistemologia cujo conceito a antropologia dos saberes renova. Porque, tradicionalmente, as epistemologias apenas se interessam pela produção dos saberes, interessando-se muito menos pela sua utilização; e mantém fora do seu campo a questão do seu ensino e da aprendizagem.

(CHEVALLARD, 1996, p. 148, grifos do autor) 

O autor ora citado apresenta uma nova configuração epistemológica, em que a ênfase transita da produção para a utilização e funcionamento dos saberes, o que gera questões no seio do ensino e da aprendizagem, denominado por ele como didática dos saberes. Nestes termos,

23 

Le concept de transposition didactique, par cela seulement qu'il renvoie au passage du savoir savant au savoir enseigné, donc à l'éventuelle, à l'obligatoire distance qui les sépare, témoigne de ce questionnement nécessaire, en même temps qu'il en est l'outil premier. Pour le didacticien, c'est un outil qui permet de prendre du recul, d'interroger les évidences, d'éroder les idées simples, de se déprendre de la familiarité trompeuse de son objet d'étude, bref, d'exercer sa vigilance épistémologique.

24 

Termo que pode ser melhor compreendido em

[START_REF] Chevallard | La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]

. inferimos Epistemológico Dominante (MED) (FARRAS; BOSCH; GASCÓN, 2013), atualmente reconfigurado como um Modelo Praxeológico Dominante (MPD) (GASCÓN, 2018), conformado nas salas de aula e geralmente dissociado dos conceitos que compõem os referenciais e as discussões das razões formais ou motivacionais que levaram ao estabelecimento de tais estruturas, o que retrata o não questionamento do MED, como destacam Farras, Bosch e Gascón (2013):

Esta proximidade é evidente no fato de que, como na formulação usual de problemas de ensino, algumas pesquisas didáticas não questionam os modelos epistemológicos usuais do campo da atividade matemática envolvida no problema didático que representam e, consequentemente, também não levam em consideração a relatividade institucional do conhecimento matemático.

(FARRAS, BOSCH E GASCÓN, 2013, p. 4) 

Trata-se de estabelecer uma análise que contemple o Sistema Didático (SD) que vive na sala de aula e todos os elementos reguladores que operam em conjunto com as interações entre o sistema de ensino e o meio social, os quais intervêm e condicionam, de forma implícita ou explícita, a natureza e o funcionamento do conhecimento que deve ser ensinado no âmbito didático matemático da classe.

Busca-se também respostas por meio da confrontação entre as razões de ser do que está instituído e difundido no seio da componente curricular que integra a Álgebra Vetorialo que faz despontar o imperativo de revisitar a gênese do saber em estudo, objetivando clarificar e compreender, sob a ótica de Artaud (1998) a partir de um questionamento ecológico, O que existe, e porquê? Mas também, o que não existe e porquê? Ou poderia existir?

O ensino e aprendizagem da matemática não são considerados como o ensino e a aprendizagem de ideias matemáticas, noções ou conceitos, mas como o ensino e a aprendizagem de uma atividade humana situada, realizada, em instituições concretas. Além disso, uma situação inclui a "razão de ser" ou a racionalidade que dá sentido à atividade matemática realizada sob restrições institucionais que fornecem e limitam a aplicação do conhecimento matemático correspondente. (BOSCH, CHEVALLARD e GASCÓN, 2005, p.2-3, grifos dos autores, tradução nossa 29 ) Assim, se apresenta, neste estudo, a premência em retroceder e visitar a gênese da Álgebra Vetorial, assim como seu nicho no contexto educacional para que se possa compreender com maior nitidez as configurações que se instarauram em Sistemas Didáticos do CLM-UEFS. Visto que, segundo Artaud (1998), (...) objetos matemáticos e objetos didáticos vivem em associação desde que as organizações matemáticas iniciaram suas vidas, para pessoas ou instituições, por um processo de estudo. Mas estas organizações matemáticas adquiriram muito rapidamente uma autonomia em relação a suas condições de produção, e é justamente esta autonomia que rende instrumentais na concretização de tarefas diferentes das quais pediam sua criação.

(ARTAUD, 1998, p.103, tradução nossa 30 ) 

  postula "que o funcionamento de um Sistema Didático, aquilo que ele consegue produzir, depende fortemente do seu meio, e em particular

32 It proposes a methodology that starts questioning mathematical knowledge as it is implicitly assumed in educational institutions: what is geometry, what is statistics, what are decimal numbers, what is counting, what is algebra, etc.

  saber transite entre instituições, enquanto que no cerne da ecologia abarca-se a unidade funcional, ou seja, o ecossistema do saber constituído pelas relações entre os objetos de estudo e o meio. Nessa perspectiva, os fatores mencionados justificam a busca pela origem, razão de ser e sentido das tarefas e técnicas vetoriais empregadas em salas de aula de Geometria

	Analítica, em específico EXA 180 e EXA 374. Sob este ponto de vista, concebe-se que os fatos
	históricos apresentam elementos que contribuam para decifrar algumas das indagações
	preliminares.
	Desse modo, o intuito neste capítulo concentra-se em identificar e compreender
	elementos dos discursos históricos e epistemológicos que envolvem os vetores, delineando os
	principais componentes do bloco tecnológico-teórico, por intermédio de descrições,

interpretações, justificativas e desenvolvimento dos processos de investigação vetorial, a partir de intersecções, entre o âmbito histórico-epistemológico e a análise didática, propagadas nas instituições concebidas como nas salas de aula de Geometria Analítica.

  modulo direção e sentido tais como: o deslocamento de uma partícula, a velocidade, a aceleração e a força. Neste sentido, o autor ressalta que, (...) um vetor é geometricamente representado por uma seta, com comprimento proporcional ao seu módulo, o que é intuitivo. Em seguida, fazendo-se uso das regras do paralelogramo ou do polígono, passa-se à adição de vetores e, então, à multiplicação de um vetor por um escalar (número real), também geometricamente intuitivo, uma vez que se conecta ao produto com o aumento ou a diminuição do comprimento da seta e/ou inversão de seu sentido.(MENON, 2009, p.1) As diferentes formas de representação dos vetores transportam, intrinsecamente em sua formação, "feições" numéricas, algébricas e geométricas, fatos estes que reportam à trajetória histórica que envolve o tema. Nestes termos, observa-se conexões com a concepção de Dorier

(1997, p. 47

, tradução nossa 37 ) ao sublinhar "que o vetor é assim encontrado em três diferentes lugares de ensino: a geometria, álgebra linear e física", com distintas especificidades. Neste diapasão, nota-se que os matemáticos desenvolviam seus estudos estabelecendo interligações entre variados domínios da matemática. A partir desse aspecto, Farias (2010) desenvolveu sua pesquisa focalizando as inter-relações entre os distintos campos matemáticos (numérico, algébrico e geométrico -NAG). As constatações deste autor indicam problemas na implícita utilização do NAG no processo de ensino e aprendizagem em sala de aula. Uma amostra desta assertiva encontra-se nos trabalhos formulados por Grassmann, como afirma Táboas (2010):

Na verdade, o que Grassmann pretendia era consolidar uma linguagem que fizesse a ligação entre a Geometria Sintética e a Análise Geométrica como já dito anteriormente. E a consolidação dessa linguagem passa pela concepção de vetores (deslocamento ou extensões para Grassmann) e, também, de operações como soma e produtos entre eles.

(TÁBOAS, 2010, p. 18) 

Em direcionamento análogo Dorier (1997) destaca que, A abordagem sintética pelo cálculo vetorial do mundo geométrico mostrou suas vantagens em relação ao método analítico herdado de Descartes. A introdução da linguagem geométrica na análise funcional desloca esse debate para uma dimensão infinita, favorecendo o abandono da representação analítica por uma abordagem que trata a função como um objeto independente de suas representações.

(DORIER, 1997, p.34, tradução nossa 38 ) 

  E creio ter encontrado o caminho e que podemos representar figuras e mesmo máquinas e movimentos por caracteres, como álgebra representa números ou magnitudes. Estou a enviar-vos um ensaio que me parece importante.(LEIBNIZ, apud CROWE, 1994, p. 3, tradução nossa 42 ) 

	No referido ensaio, contido na carta, Leibniz descreveu seu sistema, como afirma Crowe
	(1994)

Descobri certos elementos de uma nova característica que é totalmente diferente da álgebra e que terá grandes vantagens em representar à mente, exatamente e de maneira fiel à sua natureza, mesmo sem figuras, tudo o que depende da percepção sensorial. A álgebra é a característica para números ou magnitudes indeterminadas, mas não expressa situação, ângulos e movimento diretamente.

(CROWE, 1994, p.3, tradução nossa 43 ) 

  um ponto fixo "será um espaço infinito em todas as direções". Se for dado que AB ᴕ AY, os valores de Y serão pontos em uma esfera com centro em A e de comprimento AB. A relação AX ᴕ BX determina um plano cujos pontos (X) são equidistantes de A e B, e a relação ABC ᴕ ABY determina um círculo. Leibniz discutiu então o local dos pontos Y satisfazendo a relação AY ᴕ BY ᴕ CY e concluiu que "o local de todos os Y será uma linha reta". Depois de mostrar que a relação AY ᴕ BY ᴕ CY ᴕ DY determina um ponto, Leibniz aplicou sua análise a quatro problemas simples. Um deles pode ser discutido como típico. O problema é mostrar que a interseção de dois planos é uma linha reta. A relação AY ᴕ BY determina um plano e a relação AY ᴕ CY determina um segundo plano, combinando estes temos AY ᴕ BY ᴕ CY, que, como foi mostrado antes, determina uma reta.(CROWE, 1994, p.4, tradução nossa 44 ) A partir desta síntese acerca da mais conhecida exposição de Leibniz sobre seu sistema, vislumbramos traços com os conceitos os quais, hodiernamente, tratados na relação com a moderna análise vetorial. Entretanto, o teórico não conseguiu avançar em direção à criação de um sistema no qual entidades geométricas pudessem ser somadas, subtraídas e multiplicadas.

De igual modo, ele não conseguiu reconhecer que AB e BA (por exemplo) são entidades distintas e que (menos) -AB poderia ter uma interpretação significativa. No entanto, assumiu o pioneirismo, por representar um ponto fixo por meio de um símbolo, refletido nos estudos de Möbius e Grassmann, como sinalizou Crowe (1994):

A visão de Leibniz tomado por Couturat, embora afirmado em relação ao sistema de Grassmann, também é aplicável em relação à moderna análise vetorial; Couturat escreveu: "Em resumo, o cálculo de Grassmann parece trazer totalmente à realidade a característica geométrica concebida por Leibniz, e mostra que a ideia de Leibniz não era simplesmente um sonho. Mas existe tal desproporção entre a concepção de Leibniz de um sistema e o ensaio muito defeituoso que ele realmente produziu, o qual Grassmann considerou que deveria ser feita uma distinção nítida entre o ideal concebido e o esboço realmente escrito."

(CROWE, 1994, p.5, tradução nossa 45 ) 

  conhecimento atualmente. Ao avançar em busca de elementos que fundamentem as operações com vetores, encontra-se as pesquisas de Bellavitis e Möbius. Como destacou[START_REF] Crowe | A History of Vector Analysis[END_REF]:

	Bellavitis aqui descreveu entidades geométricas que são de todas as formas
	equivalentes a números complexos como geometricamente representados. Numerosos
	matemáticos, incluindo Bellavitis, reconheceram esta equivalência. No entanto, é de
	salientar que Bellavitis não considerava o seu sistema como baseado no sistema de
	números complexos; de facto, durante toda a sua vida, opôs-se aos números
	imaginários como entidades algébricas. Assim, ele considerava as suas linhas como
	entidades essencialmente geométricas, e não como representações geométricas.
	(CROWE, 1994, p. 53, tradução nossa 46 )
	Nesse caminho, em paráfrase a Crowe (1994), destaca-se que o matemático August
	Ferdinand Möbius (1790-1868) contribuiu significativamente para a matemática, a mecânica e
	a astronomia. Dentre suas obras destaca-se o Barycentrishe Calcul, publicada em Leipzig no

ano de 1827, a qual demonstrou ser bastante significativa. Uma ideia do sistema de Möbius estabelece associações com o conceito físico de centro de gravidade ou centroide, utlizado desde o tempo de Arquimedes para descoberta de verdades geométricas. Nestes termos o autor sinaliza que, Embora ele não tenha interpretado um sistema vetorial original nem tenha influenciado decisivamente quem o fez, no entanto, August Ferdinand Möbius ocupa uma posição importante na história da análise vetorial por várias razões. A principal delas é que Möbius construiu um sistema matemático (seu cálculo baricêntrico) que é, em muitos aspectos, semelhante aos sistemas vetoriais. Em seu sistema de análise espacial, as entidades geométricas (Pontos ao invés de vetores) foram tratadas diretamente e (como ele esperava) de forma vantajosa. Möbius posicionou pontos, com os quais as magnitudes numéricas são geralmente associadas, são adicionados de tal forma que tanto a posição quanto a magnitude são incluídas na adição. Assim, tanto no objetivo como no método, seu sistema tem parentesco com os sistemas vetoriais.

(CROWE, 1994, p. 

48, tradução nossa 47 ).

A contribuição de Möbius para o contexto vetorial torna-se mais evidente com a abordagem apresentada por Dorier (1995), (...) ele designou um segmento de linha de um ponto A a um ponto B pela notação AB e declarou que AB = -BA; ele então definiu a adição de segmentos colineares. O teorema central do cálculo baricêntrico é: Dado qualquer número (v) de pontos, A, B, C, ..., N com coeficientes a, b, c, ..., n onde a soma dos coeficientes não é igual a zero, sempre pode ser encontrado um (e somente um) ponto S -o centróide -cujo ponto tem

  No caso em que a soma dos coeficientes é igual a zero, Möbius observou, sem mais comentários, que o ponto é enviado ao infinito.(DORIER, 1995, p.235, grifos nossos, tradução nossa 48 ) A partir do que foi referenciado anteriormente é possível notar que Möbius introduziu o conceito de vetor oposto, utilizou as noções de combinação linear e paralelismo entre vetores para enunciar o Teorema Central do Cálculo do Baricêntrico. No entanto,[START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF] ressalta também que seu propósito não consistia apenas na apresentação de uma estrutura algébrica, mas desejava exibir uma ferramenta para resolver problemas geométricos e físicos.

a propriedade de que se traçar linhas paralelas (apontando em qualquer direção) através dos pontos dados e do ponto S, e se essas linhas cruzarem algum plano nos pontos A

', B', C', ... , N', S', então sempre tem: a.AA' + b.BB' + c.CC' + ... + n.NN' = (a + b + c + ... + n)

.SS' e consequentemente se o plano passa pelo próprio S, então a.AA

' + b.BB' + c.CC' + ... + n.NN' = 0. 

Os avanços organizacionais em direção à criação de alicerceres que sustentam os pilares da concepção dos espaços vetoriais, são preliminarmente projetados por meio do produto de vetores. Nesse sentido,

[START_REF] Dorier | A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory[END_REF] 

elenca as realizações do matemático Giusto Bellavitis ressaltando a originalidade em termos de objetos sobre os quais o cálculo foi elaborado a partir de entidades puramente geométricas como descrito a seguir, Com seu Calcolo delle Equipollenze, Giusto Bellavitis pode ser considerado como o primeiro matemático a ter definido, em 1833, a adição de vetores no espaço: (2 °) Duas linhas retas são chamadas equipollenze se forem iguais, paralelas e direcionadas no mesmo sentido. (3 °) Se duas ou mais linhas retas estiverem relacionadas de tal forma que a segunda extremidade de cada linha coincida com a primeira extremidade das seguintes, então a linha que junto com estas forma um polígono (regular ou irregular), e que é traçada da primeira extremidade da última linha é chamada de equipollent-sum. Ele também definiu a multiplicação dos segmentos de linha coplanar dirigida. De fato, o cálculo dos equipollences não oferecia mais possibilidades do que números complexos. O próprio Bellavitis admitiu que sua descoberta foi baseada em sua leitura da obra de Buée, mas durante toda sua vida, ele se recusou a aceitar números complexos como parte da matemática.

(DORIER, 1995, p.236

, tradução nossa 49 ) 48 [...]he designated a line segment from a point A to a point B by the notation AB and stated that AB = -BA; he then defined the addition of collinear segments. The central theorem of barycentric calculus is: Given any number (v) of points, A, B, C ,..., N with coefficients a, b, c, ..., n where the sum of the coefficients does not equal zero, there can always be found one (and only one) point S--the centroid--which point has the property that if one draws parallel lines (pointing in any direction) through the given points and the point S, and if these lines intersect some plane in the points A', B', C', ..., N', S', then one always has: a.AA' + b.BB' + c.CC' + ... + n.NN' = (a + b + c + ... + n).SS' and consequently if the plane goes through S itself, then a.AA' + b.BB' + c.CC' + ... + n.NN' = 0.

3 Interconexões entre as ideias de Harmann Grassmann com a Teoria da Extensão e os

  Contudo, parafraseando[START_REF] Táboas | Um Estudo sobre as Origens dos Espaços Vetoriais[END_REF], é possível admitir que Bellavitis tenha elaborado uma estrutura que envolveu o produto de vetores o qual se interligou com a concepção do produto de números complexos, concebidos em suas formas trigonométricas, "ele

	próprio relutou em aceitar essa categoria de números como entidades geométricas" (TÁBOAS,
	2010, p.7). Essa resistência, também foi ressaltada por Crower (1994), o qual evidenciou
	repercussões restritivas acerca de questões que envolveram, por exemplo, a dedução do teorema
	de Pitágoras ao utilizar técnicas que não demonstravam efetividade. Assim, podemos inferir
	acerca da existência de um bloqueio, temporário, da generalização dos vetores em associação
	com a aceitação dos números complexos.

Aspecto esse que permite concluir que Bellavitis não alcança uma generalização do produto de segmentos de linha direcionada para o espaço. Essa generalização deveria ser feita pelo matemático irlandês, Sir William Rowan Hamilton, tema da próxima seção.

1.1.quaternions de W. R. Hamilton

No final do século XIX, uma das questões mais debatidas, na acepção de

[START_REF] Silva | Da força ao tensor: evolução do conceito físico e da representação matemática do campo eletromagnético. 250 f. Tese[END_REF]

, era qual sistema matemático seria o mais apropriado para tratar as grandezas vetoriais. De acordo com esta autora, "William Rowan Hamilton (1805-1865) e seus seguidores, principalmente Peter Tait, acreditavam que os quatérnions eram a ferramenta apropriada para resolver problemas em física" (SILVA

  sistema original a partir de uma concepção filosófica da ciência e da matemática. Ainda assim, muitas vezes são reconhecidas ferramentas semelhantes em ambos depois de um ajuste semântico, já que o trabalho de Grassmann parte de uma perspectiva filosófica totalmente nova.(TÁBOAS, 2010, p.8) 

	Parafraseando a interpretação de Táboas (2010), destaca-se que essa abordagem
	filosófica refletiu no campo científico matemático e inibiu um maior alcance do
	Ausdehnungslehre, o que exigiu significativo empenho da parte de Grassmann ao buscar novas
	formas e versões para divulgação e aceitação do seu trabalho. No entanto, Crowe (1994) revela
	a declaração de Hamilton sobre Grassmann em suas Palestras sobre Quaternions de 1853,
	contribuindo significativamente para a valoração ao ressaltar a originalidade da obra de
	Grassmann registrado no prefácio do seu Lectures on Quaternions, de 1853:

Hamilton read a paper on quaternions before the Royal Irish Academy, of which at least part was published in 1844: "On a New Species of Imaginary Quantities Connected with the Theory of Quaternions" in Proceedings of the Royal Irish Academy. Either this paper or the very similar paper in the July, 1844, issue of the Philosophical Magazinw was his first publication on quaternions. um É correto afirmar aqui que uma espécie de multiplicação não-comutativa para linhas inclinadas (aüssere Multiplikation) ocorre em um trabalho muito original e notável do Prof. H. Grassmann (Ausdehnungslehre, Leipzig, 1844), com o qual só me encontrei depois de anos de invenção e comunicação dos quaterniões.Não obstante estas e talvez algumas outras coincidências de visão, o sistema do Prof. Grassmann e o meu parecem ser perfeitamente distintos e independentes um do outro, em suas concepções, métodos e resultados. Pelo menos, que o profundo e filosófico autor do Ausdehnungslehre não estava, na época de sua publicação, de posse da teoria dos quaternários, que no ano anterior (1843) havia sido aplicada por mim como uma espécie de órgão ou cálculo para trigonometria esférica, parece claro de uma passagem de seu Prefácio (...)

(HAMILTON apud CROWE, 1994, p. 

87, tradução nossa 51 ).

Esse aspecto foi reiterado diversas vezes, por

Hamilton (apud CROWE, 1994, p. 86) 

como ao revelar seu envolvimento e admiração ao ler o livro de Grassmann por meio de uma carta, de 31 de janeiro de 1853, a De Morgan, Tenho lido recentemente (e é curioso que às vezes, quando estou em atividade mental, pareço não conseguir ler uma página, ou quase uma frase de alemão) mais de cem páginas do Ausdehnungslehre de Grassmann, com grande admiração e interesse. Anteriormente eu tinha apenas o mais leve e geral conhecimento do livro, e pensava que ele exigiria que eu aprendesse a fumar para poder lê-lo. Se eu pudesse esperar ser colocado em rivalidade com Des Cartes, por um lado, e com Grassmann, por outro, minha ambição científica seria cumprida! Mas é curioso ver o quanto Grassmann não conseguiu se dar bem com os Quaternions, mas por muito pouco tempo. Ele publicou em 1844, um pouco mais tarde do que eu, mas com a mais óbvia e perfeita independência.

(HAMILTON apud CROWE, 1994, p. 87, tradução nossa 52 

  Na teoria do espaço o ponto aparece como um elemento, como sua variação contínua o deslocamento ou movimento, como suas diversas posições do ponto no espaço. (...) Como exemplo, tomemos novamente a teoria do espaço. Nesta teoria, todos os elementos de um plano são gerados por meio de duas direções diferentes e partindo de um elemento, deslocando o elemento gerador em ambas as direções arbitrariamente e reunindo conceitualmente o conjunto de todos os pontos (elementos) assim gerados.

	O plano é, portanto, o sistema de segundo grau; ele contém uma quantidade infinita
	de direções que dependem das primitivas. Ao acrescentar uma terceira direção
	independente, todo o espaço infinito é gerado com sua ajuda (como um sistema de
	terceiro grau); não se pode ir além dessas direções independentes (leis de variação),
	enquanto na pura teoria da extensão, o número delas pode ser aumentado até o infinito.
	(GRASSMANN, 1947, p.30, tradução nossa 56 )
	Soma-se a essa concepção, como ressaltado por Crowe (1994), que Grassmann incluiu
	em sua obra um viés filosófico que é interessante e historicamente significativo ao decompor a
	ciência em duas partes.

A divisão principal em todas as ciências é a real e formal. As primeiras representam em pensamento o existente como existindo independentemente do pensamento, e seu trono consiste em sua correspondência com o existente. As ciências formais, por outro lado, têm como objeto o que foi produzido apenas pelo pensamento, e sua verdade consiste na correspondência entre o pensamento que elas mesmas processam.

(CROWE, 1994, p.65, tradução nossa 57 ) 

  Deve-se observar que para dois quaternions 𝑞 e 𝑞 ′ , 𝑞𝑞 ′ não é em geral igual 𝑞 ′ 𝑞. A perda de comutabilidade nos quaternions, embora seja muito importante historicamente, também é significativa matematicamente, pois isto complica os cálculos nos quais os quaternions são utilizados. Assim, pode-se verificar que a multiplicação dos quaternions é associativa e a divisão dos quaternions é inequívoca. Estas são duas propriedades importantes que têm menção especial, já que não são preservadas na álgebra dos vetores modernos.(CROWE, 1994, p.30, tradução nossa 59 ) 

	Crowe (1994) apresenta um detalhamento dessa concepção ao ressaltar a noção de
	quatérnions idealizada por Hamilton,
	Menon (2009):
	Uma "realização visual" desses abstratos números foi estabelecida em 1797 pelo
	topógrafo norueguês Gaspar Wessel (e posteriormente por Robert Argand em 1806):
	representam-se geometricamente os números complexos por pontos no plano, tendo
	a e b por coordenadas associadas a dois eixos perpendiculares, denominados eixos
	real e imaginário, respectivamente. Essa representação tem muita semelhança com os
	vetores no plano (R 2 ), embora as definições de multiplicação no R 2 "álgebra vetorial"
	e de números complexos sejam completamente distintas. (...). As similaridades
	geométricas entre números complexos e vetores no plano e, por outro lado, a ausência
	de correlações entre números complexos e vetores no espaço tridimensional (R 3 )
	motivaram Hamilton a buscar generalizações dos números complexos em três
	dimensões. (MENON, 2009, p.4)

São números hipercomplexos da forma 𝑤 + 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧, onde 𝑤, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são números reais, e 𝑖, 𝑗 e 𝑘 são vetores unitários, dirigidos ao longo dos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente. As unidades 𝑖, 𝑗 e 𝑘 obedecem às seguintes leis: 𝑖𝑗 = 𝑘; 𝑗𝑘 = 𝑖; 𝑘𝑖 = 𝑗, 𝑗𝑖 = -𝑘; 𝑘𝑗 = -𝑖; 𝑖𝑘 = -𝑗, 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 = -1.

Pode-se observar na constituição dos quatérnios, apresentada anteriormente, a exitência de três unidades imaginárias e uma real. Nota-se também, aproximações conceituais com os produtos escalar e vetorial, percebendo-se similaridade e mesma estrutura algébrica. Conforme exposto por

[START_REF] Menon | Sobre as origens das definições dos produtos escalar e vetorial[END_REF]

,

1.1.5 Traços da evolução institucional da abordagem vetorial em Cursos de Licenciatura em Matemática

  Lê-se A ponto B e, portanto, muitas vezes pode ser chamado de produto ponto ao invés do produto direto. Também é chamado de produto escalar, devido ao fato de que seu valor é um escalar. Se A for a magnitude de A e B a de B, então, por definição A.B = A B cos (A, B).(GIBBS, 1901, p. 55, grifos nossos, tradução nossa 61 ) 

	Os elementos que satisfazem as condições da definição de um espaço vetorial são denominados vetores. Todavia, na concepção de Bruter (1998, p.93) "o espaço vetorial é o como A.B. Esse autor também revela a conceitualização do produto vetorial atrelado a um
	quadro no interior do qual se desenvolve a geometria", o que nos encaminha a inferir acerca da tratamento geométrico como exposto a seguir:
	interdependência entre os habitats no qual "vivem" os vetores. Nesse sentido, é viável Definição: O produto oblíquo do vetor A em B é a quantidade vetorial C cuja direção
	é a normal sobre aquele lado do plano de A e B em que a rotação de A para B através identificar que a representação vetorial, citada na introdução desta pesquisa, de grandezas com de um ângulo inferior a cento e oitenta graus parece positiva ou anti-horária; e cuja
	magnitude é obtida pela multiplicação do produto das magnitudes de A e B pelo seno módulo, direção e sentido, refere-se a tipos específicos de vetores. Como já destacado por Gibbs do ângulo de A para B. A direção de A x B também pode ser definida como aquela
	(1901),	em que um parafuso comum com a mão direita avança ao girar de modo que carregue
		A em direção a B. O produto oblíquo é denotado por uma cruz, assim com o produto
		direto por um ponto C = A x B. (...). Mais freqüentemente, porém, é chamado de
		produto vetorial, devido ao fato de ser uma quantidade vetorial em contraste com o
		produto direto ou escalar, cujo valor é escalar. O produto vetorial é, por definição, C
		= A x B = A B sin (A, B) c, onde A e B são as magnitudes de A e B, respectivamente,
		e onde c é um vetor unitário na direção de C. (GIBBS, 1901, p.61, grifos do autor,
		tradução nossa 62 )
	Assim, foi possível constatar que esse escopo histórico epistemológico nos fornecem
	pistas que apontam para distintos caminhos que envolvem o contexto vetorial e por conseguinte
	reflete traços da gênese vetorial revelando uma multiplicidade conceitual dos vetores.
	Neste tópico, torna-se pertinente reportar a uma das indagações, as quais se ambiciona
	analisar no contexto do ensino do cálculo vetorial no domínio de Cursos de Licenciatura em
	Matemática. Assim, indaga-se: quais a(s) funções (nicho) o saber vetorial assume nos
	repertórios praxeológicos de futuros professores de matemática? Esse questionamento nos
	direcionou a retroceder no tempo e visitar alguns traços de registros históricos que revelam
	traços da trajetória do primeiro Curso de Licenciatura em Matemática no Brasil. Dito de outra
	61 Definition:	
	Neste sentido, Gibbs (1901) apresenta a definição de produto escalar,
		Definição: O produto direto de dois vetores A e B é a quantidade escalar obtida pela
		multiplicação do produto das magnitudes dos vetores pelo cosseno do ângulo entre
		eles.O produto direto é denotado pela escrita dos dois vetores com um ponto entre eles

These are two important properties which bear special mention, since they are not preserved in the algebra of modern vectors existência de elemento neutro e oposto, distributividade. Denomina-se por vetor qualquer elemento deste conjunto.

Definição: um vetor é uma quantidade que é considerada como possuindo tanto a direção quanto a magnitude. Definição: um escalar é uma quantidade que é considerada como possuidora de magnitude, mas sem direção. Os números positivos e negativos de álgebra comum são os típicos escalares. Por esta razão, a álgebra comum é chamada de álgebra escalar quando necessário para distingui-la da álgebra vetorial ou análise [...] (GIBBS, 1901, p. 1, tradução nossa 60 ) Indo além dessa concepção preliminar, é relevante sobrelevar que, "o produto de vetores não integra de forma plena o significado de espaço vetorial."

(MENON, 2009, p.7)

, pois se estabelercemos um comparativo entre as propriedades vetoriais do ℝ 2 e dos números complexos, por exemplo, e a conceitualização dos produtos vetorial e escalar é possível identificar que algumas propriedades comuns aos espaços vetoriais não se verificam para estes produtos. De fato, tendo em vista que o resultado do produto escalar é um número real, podese perceber que a propriedade de fechamento não é válida e, de igual modo, também não faz sentido falar em associatividade.

Quanto ao produto vetorial, pode-se percerber, também, que não se valida a propriedade de fechamento no sentido que passaremos a descrever. Visto que, se considerarmos o espaço vetorial gerado por dois vetores, não nulos, então o produto vetorial entre eles gera um terceiro vetor, simultaneamente ortogonal a estes vetores e, portanto, normal ao plano que os contém ou seja, não pertencente a este espaço vetorial. É importante ressaltar a ausência de associatividade e comutatividade desta operação.

também contemplou em sua investigação acerca dos Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática da Pontifícia Universidade Católica de

  

	Os conteúdos programáticos das disciplinas Geometria Analítica I e Geometria
	Analítica II do curso de Matemática da PUC-SP, inerentes ao Projeto de Estruturação de 1971,
	revelam o protagonismo dos vetores,
		Geometria Analítica I -Vetores; Dependência Linear; Bases; Produtos; Equações e
		Sistemas Vetoriais; Coordenadas no Espaço; Transformações de Coordenadas;
		nos auxiliam Estudo da Reta e do Plano no Espaço; Distância; Área e Volumes. Geometria
	nesse aspecto,	Analítica II -Cálculo Vetorial; Curvas e Superfícies; Quádricas. (ZICCARDI, 2009, p.188, grifos nossos)
	Em 1934, o Curso Matemático, destinado à formação de professores na FFCL 64 da Universidade de São Paulo, tinha a duração de três anos e compreendia basicamente Nos três momentos analisados pela autora, é possível perceber que o curso ofereceu
	as disciplinas de: Geometria (analítica e projetiva), Análise Matemática, Física Geral e Experimental, Cálculo Vetorial, Mecânica Racional e Geometria Superior, Física disciplinas de Geometria com variações apenas de carga horária,
		Teórica e Experimental fazia parte da formação do professor de matemática e isso Vale ressaltar que nem sempre as disciplinas de geometria trabalharam conteúdo do permanece até os dias atuais. (ZICCARDI, 2009, p. 56, grifos nossos) ensino superior, como Geometria das Transformações ou Geometrias não Euclidianas.
		Na década de 2000, houve um investimento maior em disciplinas de Geometria no
	curso de Licenciatura em Matemática e um dos fatores que pode explicar em parte A autora destaca também que, no ano subsequente, foi identificado que a grade este incremento é o fato de diversas pesquisas da área de Educação Matemática, desde
	a década de 90, apontarem em suas ementas as construções com recursos curricular do primeiro ano, da subseção de Matemática da FFCL da USP, era composta pelas computacionais, com o software Cabri-Geomètre. (Ibid, p. 327, grifos nossos)
	disciplinas: Geometria (analítica e projetiva), Análise Matemática, Física Geral e Experimental, Como forma de estreitar e particularizar o nosso olhar, direciona-se atenção para o Cálculo Vetorial. Aspecto este, que desperta a nossa atenção acerca da necessidade de uma cenário baiano, no contexto da segunda metade do séc. XX, período em que o Movimento da componente curricular destinada unicamente para o estudo dos vetores. Ela observou que em Matemática Moderna -MMM no Brasil influenciou o campo das ideias matemáticas, 1941 tinha-se as seguintes configurações para as componentes curriculares geometria e análise, [...] A Geometria e a Análise, nos dois primeiros anos, têm um desenvolvimento no desencadeando fortes mudanças nos programas curriculares, os quais repercutiram nas práticas
	sentido da matemática pura, as próprias aplicações focalizam questões tanto quanto escolares. Pesquisadores que se detiveram aos estudos dessa abordagem apontaram para o
	possível, abstratas. Utiliza-se da Geometria Descritiva para melhor ampliar o conhecimento do espaço. O cálculo Vetorial e Hemográfico permite um preparo destaque de alguns professores da Universidade da Bahia -UBa 65 os quais integravam um grupo
	sólido que os alunos devem possuir para enfrentar o estudo da Física da Mecânica Racional. [...] (Ibid, 2009, p.140, grifos nossos) de estudos e pesquisas, coordenado pela professora Martha Maria de Souza Dantas 66 sob a
	Nesses termos, Ziccardi (2009) São Paulo (PUC -SP), descrevendo fatos que caracterizam três períodos: implantação (década
	de 1940), reforma (década de 1970) e nos dias atuais promovendo uma análise que envolveu as
	modificações e reformulações curriculares a partir da categorização das grades curriculares e
	ementas das disciplinas,
		O curso nas décadas de 1940 e 1970 forneceu uma base sólida de Cálculo Diferencial
		e Integral sendo os conteúdos trabalhados durante dois anos do curso chegando ao
		Cálculo Avançado com Integrais de Linha e de Superfícies e os Teoremas de Gauss e
		Stokes. Esses conteúdos eram complementados por disciplinas de Análise
		Matemática, Equações Diferenciais Complexas, Cálculo Vetorial e Topologia. (Ibid,
		p.326)

supervisão do professor Omar Catunda 67 . Nestes termos, Camargo (2009) sinaliza que os projetos concebidos por essa equipe tinham como meta introduzir a Matemática Moderna nas escolas secundárias da Bahia. Assim, livros foram produzidos, cursos ministrados com o propósito

  de introduzir e difundir os ideários do MMM na Bahia.

CAPÍTULO II DESENHO DO MODELO PRAXEOLÓGICO CURRICULAR A PARTIR DOS LIVROS TEXTOS INDICADOS NA BIBLIOGRAFIA BÁSICA DE EXA 180 E EXA 374 EM CLM-UEFS 2 SUSTENTAÇÕES NOOSFÉRICAS NO CONTEXTO DO CLM-UEFS

  

	Assim, sintetizamos o Modelo Epistemológico de Referência -MER (GARCÍA et al, corpus destas componentes curriculares, suas peculiaridades extrapolam o domínio numérico e da estrutura original, agora substituídas pelas disciplinas EXA 374 -Geometria Analítica (60h),
	2019, p.81) e a partir dele foi possível visitar a epistemologia do saber, no nível do setor, domínio segundo os níveis de coderterminação didática (CHEVALLARD, 2002), e, por consequência, foi possível obter os observáveis empíricos em termos do complexo de imprimem características como direção e sentido. Como pano de fundo dos pontos elencados, sinaliza-se para a existência do fio condutor da TTD em específico uma abordagem ecológica, que preliminarmente permitiu identificar as A abordagem ecológica tem um papel crucial ao delinear o estudo, o que subsidia, EXA 379 -Álgebra Linear I (60h) e EXA -382 Álgebra Linear II (60h). Tabela 1 -Comparativos entre Ementas mesmo que tacitamente, um dos nossos objetivos. Nestes termos, este estudo opta por seguir incialmente foi prevista de 90 horas para EXA 129 -Geometria Analítica, migrando para EXA ÁLGEBRA LINEAR I -90h alguns dos pressupostos que regem o Paradigma de Questionamento do Mundo Outro elemento que desperta a atenção refere-se à redução da carga horária que EXA 180 -GEOMETRIA ANALÍTICA E EXA 374 -GEOMETRIA ANALÍTICA -60h
	praxeologia presentes no Modelo Praxeológico de Referência -MPR (GASCÓN, 2018), para "deformações" sofridas pelo saber no seio da cadeia processual de transformação e transição (CHEVALLARD, 2009; 2010; 2012), certos de que, em tempos vindouros, estaremos a 180 -Geometria Analítica e Álgebra Linear I, em que foram mantidas as 90 horas, porém para Sistemas de Coordenadas (cartesianas, polares, Sistemas de Coordenadas Cartesianas no Espaço.
	então distanciarmos da instituição e analisar o Modelo Praxeológico Dominante -MPD entre o SS e o SaE. Em outras palavras, foi situado um dos primeiros passos investigativos a esféricas). Transformação de Coordenadas. Álgebra Vetorial. Produtos escalar, vetorial e perquirir tais indagações que se vinculam à estruturação e à atualização do currículo 318, o mais junção de dois componentes curriculares e, por fim, a configuração atual em que se apresenta Álgebra Vetorial, Matrizes e Determinantes. misto. Estudo da Reta e do Plano. Coordenadas
	(GASCÓN, 2018), descrito em termos do que está posto, evidenciando algumas de suas necessidades em termos do tema e dos Sistemas Didáticos (CHEVALLARD, 2002). partir de uma visão macro que se vincula à epistemologia do objeto e se apresenta como um Modelo Epistemológico de Referência -MER (GARCÍA et al, 2019, p.81) sem perder de vista recente PPP do CLM-UEFS. Dentre as alterações apontadas pela comissão ressalta-se a sexta, e influenciar a gênese do tempo didático, já que "este tempo serve como uma estrutura para o pois remete a um dos aspectos de interesse da pesquisa, Espaço Vetorial, Dependência Linear. Polares. Cônicas e Superfícies. com 60 horas. Em outras palavras, significa dizer que essa temporalidade mecânica pode refletir Fonte: COLMAT -UEFS (2004; 2018)
	Neste sentido, emergiram elementos que possibilitaram abrir novos olhares sobre o que está posto nos cenários dos Sistemas Didáticos do CLM-UEFS, pautados em aspectos relacionados ao status dos vetores, viabilizando a inserção de práticas (praxeológias) os pressupostos didáticos. Nesse limiar, a fundamentação centra-se na concepção de irmos ao lugar onde esses fenômenos se iniciam, ou seja, as instituições de produção de conhecimento matemático. Esta 6) Separar a Geometria Analítica da Álgebra Linear, por questões metodológicas. Efetivamente, as disciplinas EXA 180 Geometria Analítica e Álgebra Linear I (90h) tempo didático" (MERCIER, 1995, p. 5, tradução nossa 87 ), o que reflete, consequentemente, A primeira assertiva destacada no cerne deste capítulo se assenta na constatação de que e EXA 215 Geometria Analítica e Álgebra Linear II (90h) serão substituídas pelas disciplinas EXA 374 Geometria Analítica (60h), EXA 379 Álgebra Linear I (60h) e nas construções praxeológicas, as quais foram alvo de significativas alterações nas a propagação dos objetos de conhecimentos se difunde de formas variadas. No âmago de um curso de Licenciatura em Matemática isso não é diferente, o qual assume a responsabilidade de EXA 382 Álgebra Linear II (60h). A disciplina EXA 374 Geometria Analítica (60h) é a disciplina que integra a unificação proposta pelo DEXA. (COLMAT -UEFS,2018, reformulações curriculares relatadas neste estudo.
	respaldadas pelo campo histórico-epistemológico, o qual contribui significativamente para é a primeira contribuição da teoria da transposição didática (CHEVALLARD,1985). Fita-se, formação dos futuros professores para atuarem nos Anos Finais do Ensino Fundamental e no p.22) No entanto, como sublinhou Mercier (1985), para além do tempo cronológico é
	decifrarmos alguns dos traços que geram aproximações ou distanciamentos acerca da razão de ser imersa no âmbito vetorial de ensino. Como delineado neste capítulo, foi possível identificar o protagonismo e efeitos de parte do processo transpositivo que gravitou em termos do Saber Sábio -SS, o qual sofreu adaptações eivados de distintas concepções advindas do MMM, como sinalizado na última seção do capítulo, para um Saber a ser Ensinado -SaE. O que significa dizer que transitamos entre as razões de ser histórica epistemológica para a razão de ser institucionalizada historicamente na gênese dos primeiros Cursos de Licenciatura em Matemática. Dessa forma, foi viável notar a força da abordagem vetorial no seio da geometria, ratificada por declarações com: "o espaço vetorial é o quadro no interior do qual se desenvolve a geometria" (BRUTER, 1998, p.93), "o ensino de geometria deve se basear na ideia de vetor", "todo o estudo deveria se apoiar, exclusivamente, em noções básicas de vetores (...)" (CATUNDA et al, 1998) ou "a geometria vetorial oferece uma excelente oportunidade para o desenvolvimento do vínculo entre geometria e álgebra" (TROYER, 1963, p.290) . Em síntese, a abordagem geométrica e vetorial é apontada como um dos pilares que dão sustentações aos avanços dos conhecimentos matemáticos nos Cursos de Licenciatura ou Bacharelado em alterações no projeto pedagógico preservando a identidade própria do Curso de primeiro lugar, o que despertou interesse foi o fato do elevado índice de reprovações e Que Matemática o professor da Educação Básica precisa saber? 3) Como realizar I (90h) e EXA 215 -Geometria Analítica e Álgebra Linear II, culminando com o retorno parcial 1) O quê, por quê, para quê e para quem estamos discutindo o currículo 318? 2) Assim, nesse estudo, são retomados alguns aspectos da problemática apresentada. Em efetivada em 2004, por meio das disciplinas EXA 180 -Geometria Analítica e Álgebra Linear a partir das questões: Matemática. portanto, o olhar para os níveis do setor e do domínio que se enquadram na escala hierárquica de codeterminação didática (CHEVALLARD, 2002), mas certamente será modificado à medida que avançar, particularizar e refinar o estudo. O próximo passo consiste em um olhar descritivo acerca dos funcionamentos dos Sistemas Didáticos no contexto do CLM-UEFS, ou seja, um aporte do Modelo Praxeológico Dominante -MPD (GASCÓN, 2018) por meio da análise dos livros textos indicados na bibliografia básica de EXA 180 e EXA 374 e a crônica dos discursos dos protagonistas dos Sistemas Didáticos, permitindo assim, questionar a realidade: o que existe no âmbito do CLM-UEFS em relação ao ensino e aprendizagem vetorial? E por quê? E o que poderia existir? E por quê? São questionamentos que respaldaram a abordagem dos capítulos II e III. importante sobresselar que: "as inovações pedagógicas devem ser compatíveis com a Ensino Médio, frente a um repertório de recomendações curriculares estabelecidos por No intuito de clarificar os elementos que subsidiaram a separação apontada acima, sob necessidade de assegurar a progressão do tempo didático, que constitui a carga específica do documentos que regem o campo do ensino superior, em especial as Diretrizes Curriculares a justificativa de questões metodológicas, foi contatado um dos membros da comissão afim de professor dentro do sistema didático." (MERCIER, 1985, p.4, tradução nossa 88 ). Neste âmbito, Nacionais para os Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática (CNE/CES entender o que fundamentou o referido desmembramento. O professor relatou que, nesse o autor também acrescenta que a organização da produção do tempo é de responsabilidade 1.302/2001) em conjunto com a Resolução CNE/CP 1/2002, que instituiu Diretrizes sentido, a discussão foi guiada por duas constatações: a primeira está vinculada ao exclusiva do professor que aparece como organizador e mestre do tempo na obsessão de Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, a qual foi desfavorecimento da Álgebra Linear em função da Geometria Analítica e a segunda tratou do integralizar um programa. Entretanto, deve-se sublinhar que o tempo didático produzido pelo contemporaneamente substituída pela Resolução CNE/CP 2/2015. fracionamento de assuntos que estabelecem relação direta entre eles, a exemplo: matrizes e professor independe da temporalidade vivenciada pelo estudante no seio de um SD. Pautados nessas bases legais que exibem cunhos diretivos, são elaborados nas sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares e sistemas de coordenadas No que se refere ao ementário é possível identificar algumas modificações, que nos Instituições de Ensino Superior e estrutura-se no âmbito da instituição universitária, um cartesianas e retas e planos. Respectivamente, eram conteúdos que metodologicamente conduz a inferir que o componente curricular EXA 180, em essência, tinha uma moldura documento que apresenta maior especificidade, o Projeto Político Pedagógico (PPP) 85 , situado deveriam "andar de mãos dadas". No que tange a unificação trata-se de um projeto no qual se geométrica, por manter os temas próprios de Geometria Analítica e acrescentar produto escalar, no processo transpositivo no nível do saber a ensinar. Dentre os pontos evidenciados neste tem a intenção de criar ementas, carga horária e denominações únicas para ampliar o leque de vetorial e misto que, sob o nosso ponto de vista, enquanto docente desta disciplina, já compõem documento estão as ementas das componentes curriculares acrescidas do código/natureza, opções de ofertas aos estudantes. o tema álgebra vetorial, estudo da reta e do plano, cônicas e superfícies em um suposto carga-horária, além das indicações bibliográficas básicas e complementares. Com base no PPP, Destarte, a expressão desses aspectos a partir desse viés, nos faz retroceder no tempo e incremento de 15 horas. Além disso, são substituídos alguns termos como: Sistemas de os docentes têm o direcionamento para elaborar seu plano de ensino, materializado nas salas de pensar que a separação entre Geometria Analítica e Álgebra Linear também foi prevista na Coordenadas (cartesianas, polares, esféricas) para Sistemas de Coordenadas Cartesianas no aula e regido transpositivamente por um saber ensinado que, supostamente, gerará um saber implementação do currículo 314 86 que foi dissolvido e deu lugar a estruturação do currículo Espaço, como exposto na tabela 1. Assim, percebe-se um maior detalhamento entre as ementas apreendido. Sob uma perspectiva particular, o Colegiado do Curso de Licenciatura em discussões e as reflexões geraram argumentações que enfraqueceram os pilares da junção Matemática (COLMAT) da Universidade Estadual de Feira de Santana direciona as discussões 318. A partir do que foi sinalizado por um dos membros da comissão, interpreta-se que as listadas.
	consequente retenção no que tange às componentes curriculares vinculadas à geometria Licenciatura em Matemática (CLM)? (COLMAT -UEFS, 2018, p.4).
	analítica. Em seguida, foi identificado um objeto do saber que possuísse abrangência 87 Ce temps sert de cadre au temps didactique. 86 Nos moldes do currículo 314, as componentes EXA 129 -Geometria Analítica / 90h e EXA 143 -Álgebra 88 Les innovations pédagogiques doivent être compatibles avec la nécessité d'assurer la progression du temps institucional nesse contexto. E os vetores foram eleitos, pois além do seu amplo trânsito no Linear I-A -60h estavam separadas no corpus estrutural do CLM-UEFS. didactique, ce qui constitue la charge spécifique de l'enseignant au sein du système didactique.

2.1.1 CAMARGO, I. de; BOULOS, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3ªed. Revisada e Ampliada. São Paulo, SP: Prentice Hall, 2005;

  

	prova de contingência e que, portanto, passa por permanente remodelagem. (TANG, de um docente que assumiu a disciplina curricular EXA 180 no semestre 2019.1. Destarte, concebe-se, assim como Bittar (2017), que eles podem fornecem particularidades das práticas -LEHMANN, C. H. Geometria Analítica. 2ª Edição. Tradução: Ruy Pinto da Silva apresentam como um quadro teórico e metodológico de análise. Aditado a essa composição, Outra vertente, sinalizada pelos autores, faz referência a intuição, considerada como tripé: "conceituação geométrica/formulação e algébrica/aplicações." (CAMARGO; BOULOS, 2014, p. 6, tradução nossa 89 ) mesmo com a permanência da Álgebra Vetorial em ambas as ementas, é possível notar que vivem nos Sistemas Didáticos -SD do CLM-UEFS com relação ao Álgebra Vetorial. O Sieczkowski, Rio de Janeiro. Editora Globo,1998; considera-se pertinente a inclusão do prefácio, geralmente negligenciado pelos leitores, porém uma "faca de dois gumes", visto que, não se pode conceber o estudo da matemática e 2005, p.xi)
	Como sinalizado por Bosch e Gascón (2004) o eixo de sustentação do Modelo Praxeológico do Currículo pode ser encontrado em documentos curriculares (programas alterações nas indicações bibliográficas. Neste contexto, é possível perceber o caráter dinâmico do panorama que envolvem os sistemas educacionais. Assim, este trabalho acompanha os primeiro deles refere-se ao tópico denotado pelo docente como habilidades e competências em que, -CALLIOLI, C. A. (et al.) Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo: Atual Editora Ltda. acredita-se que o mesmo pode agregar potenciais fatores que contribuam para a identificação particularmente o da geometria sem o auxílio da intuição. Porém, a confiabilidade da intuição Revela-se mais uma intenção, no item denominado como "modo de usar", destinado 1991. de vestígios específicos das intenções dos autores. não é satisfatória, pela sua natureza subjetiva e, por conseguinte, é preciso saber a hora e até para que os estudantes realizem uma leitura sistemática e possam usufruir de informações e
	oficiais) e livros didáticos. Assim, guiados por tal concepção, nesta etapa da investigação, há direcionamentos de Chaachoua (2014) ao apontar que a análise de manuais constitui um ponto espera-se que após cursar a disciplina o discente tenha compreendido: o conceito Retoma-se à ideia de que os livros textos adotados por docentes são peças de um jogo Na sequência, será discorrido sobre cada um dos livros escolhidos para análise. Como que ponto pode ser usada, pois ideias intuitivas exigem uma confirmação formal, precisa e orientações suplementares sobre procedimentos algébricos elementares que, geralmente, não
	um interesse particular em uma das ramificações oriundas de I2 que estabelece correspondência de entrada para estudo e caracterização do sistema em um dado momento, o qual pode ser formal da teoria de vetores no plano e no espaço, operações com vetores no plano e no espaço incluindo os produtos e a noção de espaços vetoriais e os diversos conceitos que fornecem pistas acerca das práticas desenvolvidas em sala de aula. Nesse sentido, o olhar suporte deste momento inicial de análise de livros, apoiamos nos enfoques e pressupostos do rigorosa. Nesta perspectiva, eles destacam: "mesmo que estejamos prontos a apostar que um são abordados em livros de geometria. Ademais, Camargo e Boulos (2005, p.xi) atribuem aos
	com a noosfera, ou melhor dizendo, com a Organização Matemática -OM a ensinar (Figura 10) concebido como um instrumento de análise do investigador. inseridos neste tópico tais como combinação linear, dependência linear, base e dimensão. (SOUZA, 2019, p.2) se volta para os vetores e para as metodologias utilizadas em EXA 180 e EXA 374, respaldadas repertório dos livros que integram a bibliografia básica, pois de acordo com Schmidt et al. determinado fato é verdadeiro, só devemos aceitá-lo como tal após uma demonstração exercícios um importante papel no aprendizado, pois "os exercícios resolvidos pretendem
	Figura 10 -Esquema dos Processos Didáticos dos Cursos de Licenciatura em Matemática (CLM), em especial em CLM-UEFS. Dito de outra forma, significa que cabe a essa instituição a seleção dos saberes, pois como sublinha Chevallard (1982, p.8), "os conflitos se desenvolvem, as negociações acontecem, as soluções amadurecem." Além disso, O centro operacional do processo de transposição, que traduzirá em fatos a resposta ao desequilíbrio criado e observado (expresso pelos matemáticos, pais, os próprios professores), é a noosfera. Qualquer conflito entre o sistema e o ambiente se desloca para lá e encontra seu lugar privilegiado de expressão. Nesse sentido, a noosfera atua como um amortecedor. Mesmo em tempos de crise, mantém dentro de limites aceitáveis a autonomia da operação didática. (CHEVALLARD, 1982, p. 11, tradução nossa 90 ) Para tanto, é pertinente sinalizar algumas peculiaridades inerentes à análise de manuais (livros textos, no nosso caso). Dentre elas, Chaachoua (2014) ressaltou as que podem ser sintetizadas em cinco níveis: o momento da edição (publicação) que é regido pela dinamicidade dos sistemas educacionais, os quais demandam constantes adequações nos manuais; a representatividade da obra que suscita escolhas em conformidade com os livros mais utilizados pelos professores; a estrutura a qual fornece informações sobre a ênfase de atividades; e a presença ou não de exercícios resolvidos, por exemplo, uma análise ecológica delimitando o habitat e nicho e suas funções de interlocuções com o sistema em jogo culminando, assim, com a análise praxeológica como uma forma de caracterização da relação institucional. por praxeologias presentes nestas obras. Nesta perspectiva, infere-se que os livros são (1997, p.53, tradução nossa 93 ), são "dois mundos -o das intenções oficiais e o das atividades rigorosa." (CAMARGO, BOULOS, 2005, p.ix) esclarecer a teoria, exemplificá-la, complementá-la ou mostrar alguma técnica especial." Eles Destarte, ressalta-se os trechos em que o âmbito vetorial constituiu o núcleo. Daí o elementos constituintes dos bastidores institucionais dos SD, no que diz respeito ao ensino e à reais da sala de aula -estão ligados, em parte, por livros didáticos", assumindo a função de A metodologia é apontada a partir de diferentes formas de estudos, distintos pontos de sugerem que os leitores usem o "método do strip-tease" o qual consiste em buscar resolver o extrairmos desta parte, como já sinalizado anteriormente, concernente à ementa de EXA 180, aprendizagem de um referido objeto do saber. Assim, as obras que integram o repertório de mediação entre o currículo e a sala de aula. Isto posto, são destacados quatro deles, indicados vista e diversos enfoques, ressaltando a necessidade de conhecer vários métodos. Ainda de exercício sem a visualização prévia de sua resolução. Assim, possivelmente o estudante terá pois infere-se que o termo Álgebra Vetorial abre margem para dilatações como, por exemplo, práticas docentes são supostamente refletidas em práticas dos estudantes que integram o aspecto nas ementas das componentes curriculares, tratadas neste estudo no cerne do CLM-UEFS. acordo com a concepção utilizada, a Geometria recebe diferentes denominações como, mais atenção e poderá refletir sobre a posterior leitura da solução. os produtos (escalar, vetorial e misto), os quais aparentemente não integram a ementa, mas foi ecológico do saber e sua vivência nas práticas institucionais. De acordo com Bittar (2017): 1. Geometria Axiomática (ou Geometria de Posição): é o estudo da Geometria Faz-se uma breve descrição dos vinte seis capítulos em que os doze primeiros se ocupam relevado nas esperas do professor, sinalizada em seu trecho: "incluindo os produtos...". O que leva a pensar que a ementa de EXA -374 apresenta um maior detalhamento do que implicitamente já pertencia a EXA -180. sistematizado por Euclides (cerca de 300 a.C.) em seus "Elementos", mediante o Uma análise de LD descortina ao pesquisar diversas paisagens que podem ir desde o encadeamento lógico de axiomas, definições e teoremas. da Álgebra Vetorial e, finalmente, apresentam os pré-requisitos necessários para o estudo da cultura escolar em uma dada época à identificação de possíveis razões de dificuldades de aprendizagens e à elaboração de sequências didáticas. (BITTAR, 2. Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria pelo método mongeano (Gaspard desenvolvimento dos conteúdos tais como: os resultados da Geometria Euclidiana e conceitos Monge, 1746 -1818), que consiste em considerar não os entes geométricos 2017, p.366) propriamente ditos, mas suas projeções sobre dois planos previamente fixados, e por meio do estudo dessas projeções (utilizando a épura) tirar conclusões sobre aqueles da Álgebra Elementar, em especial, determinantes, matrizes e sistemas lineares. Ao tocar em Nos PPPs disponibilizados no site do Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemática -COLMAT 91 da Universidade Estadual de Feira de Santana -UEFS é possível Aditado à citação, não se pode esquecer que Chevallard (1992) sublinha que todo saber No contexto do CLM-UEFS o livro texto de autoria de Ivan de Camargo e Paulo Boulos entes geométricos. 3. Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano (René algumas condições para o estudo de Geometria Analítica retorna-se às recomendações frisadas
	OM referência Modelo Epistemológico I1 Dentre os produtos que advém de I2, direciona-se a atenção para os livros textos que OM a Ensinar OM Ensinada OM Aprendida I2 I3 possibilidade de identificação de traços das relações institucionais. É essa vertente que pois segundo Chevallard (2001) organizar é criar praxeologias, ou seja, uma organização do 3ªedição (2005). Em todas as edições, os autores se reportam ao estudante por meio do "prefácio desenho como cerne da Geometria Descritiva e a Álgebra como uma aliada no estudo da Tabela 2 -Indicações Bibliográficas (continua) e aprendizagem. Chaachoua (2014) que demonstram a viabilidade em conceber, por meio do estudo dos livros, ecológico, este estudo tratará de uma análise que tem como o principal pilar as praxeologias, recorte, algumas ferramentas de estudo: a lógica para os estudos da Geometria Axiomática, o exemplares, ou seja, detém maior representatividade, subdividas entre 2ª edição (1987) e 𝛿 (OM) adequado dos SDs em termos de condições e restrições que se impõem no processo de ensino complementares mesmo com natureza distintas. Agrega-se a essa perspectiva as concepções de apresentado nas orientações que legitimam o CLM-UEFS. Fundamentado neste escopo BCJC -UEFS, dentre as obras destacadas neste estudo, é a que possui maior quantidade de Correlacionam-se, a partir dos distintos âmbitos geométricos descritos na citação em I4 sobre os saberes que serão difundidos no âmbito dos Sistemas Didáticos -SD moderando e intermediando as esferas da OM Sábia e da OM Ensinada, prevendo um funcionamento e estrutura) se encarregam de esclarecer o contexto geral e os outros dois (análise ecológica e segundo os PPPs e, em seguida, atenta-se para predileções do docente. e restrições que devem ser cumpridas para que o saber possa existir nesta instituição, como plano de ensino do professor, em que o segundo autor ocupa a posição de primeiro autor. Na praxeológica) fornecem concomitantemente um quadro teórico e metodológico, aspectos professor na construção do planejamento de ensino. Nestes termos, são reveladas as indicações p.x) conformidade com a instituição em que habita, as quais se articulam a um conjunto de condições "livro de Paulo Boulos", aspecto este refletido no escopo bibliográfico de um dos PPPs e no conclusões a respeito daqueles entes geométricos. (CAMARGO e BOULOS, 2005, OM Sábia Em síntese, a noosfera pode ser designada como a instituição dos sujeitos que pensam Neste sentido, os três primeiros níveis de análise (tempo de edição, representatividade consultar as recomendações bibliográficas as quais podem ser confrontadas com as escolhas do pertence a uma instituição 92 . Além disso, o saber sofre transformações adaptativas em geométricos, e do estudo dessas equações (com o auxílio da Álgebra), portanto tirar é comumente referenciado pelos docentes e propagado comumente entre discentes como o Descartes, 1596-1650), que em última análise consiste em associar equações aos entes nos PPPs.
	compõem a bibliografia básica das componentes curriculares Geometria Analítica e Álgebra impulsiona a examinar os discursos praxeológicos presentes nessas obras, vistas como Indicações Bibliográficas segundo os PPPs e o Planejamento de Ensino conhecimento. Assim, o foco será nas organizações praxeológicas presentes nos livros textos ao estudante". A descrição se revela em forma de um diálogo em que os autores se colocam Geometria Analítica. Exemplificando esses dois métodos, os autores citam um plano. No
	Linear I -EXA 180 e Geometria Analítica -EXA 374 em comparação com um plano de ensino produções instrutivas que, na maioria das vezes, exercem a função de apoio no planejamento e Bibliografia Básica: que figuram o corpus do CLM-UEFS. enquanto um professor experiente que entende os anseios de estudantes recém-ingressos no âmbito da Geometria Descritiva, conhecer um plano equivale a determinar sua épura, enquanto
	elaboração das aulas, no caso dos professores e guias de estudos para os estudantes. curso superior. para a Geometria Analítica significa determinar sua equação. Eles concluem o discurso
	Ademais, compactuamos com o ponto de vista de Bittar (2017, p. 364) ao declarar que, Segundo os autores, o pouco contato com a geometria e as circunstâncias que cercaram introdutório, da segunda edição, evidenciando o papel de relevância ocupado pelos vetores no 89 L'OM2 à enseigner constitue un modèle praxéologique du curriculum de mathématiques. La base empirique pour élaborer ce modèle se trouve dans les documents curriculaires (programmes officiels) et dans les manuels. "o livro didático utilizado por um professor pode fornecer uma boa aproximação com a sua EXA 180 -Geometria 2.1 UMA ANÁLISE DOS LIVROS TEXTOS a passagem pelo curso secundário pode constituir uma das causas que imprimiram experiências desenvolvimento da obra. Son influence sur δ(OM)3 est centrale bien que ni le professeur ni l'institution scolaire de dispose explicitement de ce modèle mais uniquement de matériaux praxéologiques plus ou moins bien articulés entre eux. Mais cette influence ne peut être adéquatement interprétée si nous ne disposons pas d'un point de vue épistémologique. Ce point de vue est fourni par une OM de référence dont la description se fait généralement à partir des OM savantes légitimant le processus d'enseignement. L'OM de référence est celle que considère le chercheur pour son analyse. Elle ne coïncide pas nécessairement avec les OM savantes d'où elle provient (parce qu'elle les inclut dans l'analyse), mais elle se formule dans des termes très proches. L'OM de référence est celle que le chercheur met à l'épreuve de la contingence et qui subir pour cela de permanents remaniement. 90 Le centre opérationnel du processus de transposition, qui va traduire dans les faits la réponse à apporter au noosphère. Tout conflit entre système e environnement s'y déporte, et y trouve son lieu d'expression privilégié. À Antes de debruçar em torno das praxeologias presentes nos livros textos comuns nos déséquilibre créé et constaté (exprimé par les mathématiciens, les parents, les enseignants eux-mêmes), c'est la prática em sala de aula, especialmente no que diz respeito ao conteúdo apresentado e às Analítica e Álgebra Linear I -90h desfavoráveis ao aprendizado da Geometria. No entanto, eles destacam que tudo isso pode ser No preâmbulo da terceira edição, os autores adicionam ao texto da segunda, "o que há A configuração estabelecida no estudo dos elementos estruturadores das obras elencadas metodologias utilizadas." Neste sentido, este estudo segue no intuito de evidenciar quais são as contornado com dedicação aos estudos, resolução de exercícios e aprimoramento dos de novo" no que se refere ao conteúdo: acréscimo da quantidade de exercícios resolvidos e neste capítulo seguirá os níveis de análise sublinhados por Chaachoua (2014) em que se parte, pistas que os livros textos podem fornecer acerca das práticas desenvolvidas no seio de aulas conhecimentos, pois nas palavras de Camargo e Boulos (2005, p. ix) "uma inteligência modesta propostos, observações e comentários, além de um tratamento teórico completo e rigoroso. Eles no primeiro momento, de um contexto geral ao atentar para tempo de edição, representatividade cujo tema são os vetores. Assim, foram colhidas informações preliminares em um planejamento aliada a muito trabalho, frequentemente, pode mais que uma inteligência brilhante e vadia." também se reportam ao destaque à valorização de ideias geométricas, tidas em primeiro plano, e estrutura e, posteriormente, foca-se nas características ecológicas e praxeológicas, as quais se de ensino do semestre 2019.1 de EXA 180 -Geometria Analítica e Álgebra Linear I. e em seguida passa-se para o tratamento algébrico desses conceitos. Neste sentido, gera-se um
	cet égard, la noosphère joue un rôle de tampon. Même en période de crise, elle maintient dans des limites acceptables l'autonomie dufonctionnement didactique. 92 Uma instituição I é uma entidade social que impõe às pessoas que ocupam uma posição em I, modos de fazer e 93 two worlds -thatof offcial intentions and that of actual classroom activities -are tied together, in part, by documentos (ementas e programa de disciplina), alguns elementos despertaram atenção, pois de pensar próprios das demandas impostas por I. (CHEVALLARD, 1992). textbooks.

O PPP (COLMAT -UEFS, 2004), que iniciou o processo de desativação em 2018 e deverá concluí-la em 2022, traz como uma das recomendações que todas as disciplinas do Núcleo de Conhecimento Matemático deveriam acontecer na ordem em que estavam propostas, com exceção das disciplinas Análise Combinatória, Progressões, Matemática Financeira e Teoria dos Números. O aluno poderia, portanto, matricular-se nestas últimas em qualquer tempo, desde que houvesse vaga disponível. Nesses termos, a restrição imposta aos estudantes era a de seguir uma ordem determinada na organização do curso. No projeto atual, tem-se o seguinte direcionamento:

Numa concepção curricular em que se busca a maior flexibilização possível com o estabelecimento de um conjunto mínimo de pré-requisitos, o Colmat terá papel fundamental e imprescindível na orientação dos nossos estudantes, no sentido de mostrar-lhes a necessidade da aquisição de conhecimentos prévios para realizar determinados estudos.

(COLMAT -UEFS, 2018, p.28) 

  Sob quais condições? Por outro lado, dado um conjunto de condições, quais objetos são forçados a viver ou, pelo contrário, são impedidos de viver nessas condições?(ARTAUD, 1998, p.101, tradução nossa 94 ).

Figura 11 -Fluxograma do CLM-UEFS vivem neste texto, no que se refere aos vetores. De forma simplista, o habitat designa o lugar e ambiente conceitual do objeto de conhecimento, enquanto o nicho consiste das funções assumidas pelo objeto dentro de um sistema ao qual pertence.

Ademais, os pressupostos ecológicos se apresentam como uma forma de questionar a realidade, como já apontado nesta investigação e retomada aqui, a saber: O que há e por quê? Mas também, o que não existe, e por quê? E o que poderia existir?

Respaldado por essas inferências, foi examinado o texto da obra e identificado um aspecto especial que o difere de outros livros. Inclusive na abordagem apresentada na segunda edição, revelado no apêndice Relação de Equivalência -RE cujo título é: "um exemplo prático de relação de equivalência", no qual os autores estabelecem analogias da definição vetorial com uma situação cotidiana dos estudantes, objetivando atenuar o caráter abstrato do conceito de vetor. Assim, os autores se despem do formalismo no intuito de facilitar a compreensão do processo. A situação apresentada é:

Na rotina de uma escola, é importante o agrupamento de alunos em turmas ou classes. Ao fazer esse agrupamento, o secretário da escola leva em conta algumas características individuais e desconsidera outras. Não interessam, por exemplo, religião, peso, endereço, mas são importantes as disciplinas cursadas, os professores que as ministram, o período em que frequentam a escola, as salas que ocupam. (...) O agrupamento em classes leva em conta algumas características individuais e desconsidera outras, de acordo com os objetivos da escola. Dois alunos são considerados colegas se têm aulas das mesmas disciplinas, com os mesmos professores, nos mesmos horários e locais. Sob esse ponto de vista, todo aluno é colega de si mesmo; se um aluno é colega de outro, este outro é seu colega; se um aluno é colega de outro, e este outro é colega de um terceiro, então o primeiro é colega do terceiro. O que faz o secretário da escola para formar uma classe? Agrupa em um conjunto todos os alunos que são colegas uns dos outros. Desse modo, a totalidade dos alunos fica dividida em classes, e nenhum aluno pode pertencer a duas classes diferentes. Faz parte da rotina da escola (...) ouvir os alunos para conciliar interesses, porém é difícil organizar reuniões com todos os alunos, até pela falta de lugar adequado. A melhor solução é fazer uma reunião com representantes de classe. A 3ªA do noturno elegeu o aluno Abê como representante, (...). Para todos os efeitos, durante a reunião, Abê não é Abê; Abê é a 3ªA. (...) Abê vê-se impossibilitado de comparecer a outra reunião e é substituído por Cedê (...). Nessas condições, qualquer aluno da 3ª A poderia substituir Abê. (CAMARGO e BOULOS, 2005, p.486, grifos dos autores) Para ressaltar as semelhanças, os autores criaram um glossário, estabelecendo a correspondência entre os termos: "alunosegmento orientado, alunos colegassegmentos

94 

La problématique écologique se présente, d'emblée, comme um moyen de questionner le réel. Qu'est-ce qui existe, et pourquoi? Mais aussi, qu'est-ce qui n'existe pas, et pourquoi? Et qu'est-ce qui pourrait exister? Sous quelles conditions? Inversement, étant donné un ensemble de conditions, quels objets sont-ils poussés à vivre, ou au contraire sont-ils empêchés de vivre dans ces conditions? orientados equipolentes, classeclasse de equipolência (vetor) e representanterepresentante." (CAMARGO e BOULOS, 2005, p.487) Nesta perspectiva, nota-se uma preocupação no que diz respeito a uma complementação da abordagem formal do saber matemático, ou seja, por um momento, coloca-se de lado o rigor matemático. Assim, Camargo e Boulos (2005) apresentam possibilidade de criação de elos com o cotidiano do estudante. E como forma de sintetizar a definição geométrica de vetor e tratá-lo de modo mais intuitivo, sublinhando que: "vetor 'é' uma flecha que pode ser colocada em qualquer posição do espaço, desde que se preservem seu comprimento, sua direção e seu sentido." (CAMARGO e BOULOS, 2005, p.5) Com o respaldo das hipóteses ecológicas, elenca-se o que existe: as representações geométricas acompanham cada definição, os exercícios se reportam aos conceitos, proposições e propriedades imediatamente anterior em que aparecem. Além disso, algumas observações esclarecem pontos que integram a intenção de gerar maior especificidade e clareza para o leitor. Em termos do que deveria existir, sente-se falta de uma quantidade maior de situações em que, não apenas, se estabeleçam analogias, mas também revelem articulações entre as razões de ser (BOSCH; GASCÓN, 2010) dos vetores. Em comparação com os PPPs, foram identificadas possíveis articulações com o cotidiano dos estudantes nas disciplinas de INEMs, visto que, O Eixo da Prática como Componente Curricular é contemplado ao longo de todo o curso em atividades propostas em cada semestre, através de disciplinas denominadas de Instrumentalização para o Ensino da Matemática (INEM), inseridas no eixo articulador entre disciplinaridade e interdisciplinaridade e no eixo articulador das dimensões teórica e prática. (COLMAT -UEFS, 2018, p. 39)

Os INEMs têm a função de fomentar nos sujeitos do CLM-UEFS um caráter prático, construtivo no qual pode emergir um espaço para engajamento de natureza social a partir da transversalidade, em uma busca colaborativa entre docentes de diversas áreas do conhecimento.

Como descrito na versão atual do PPP (COLMAT -UEFS, 2018, p. 39), "devem-se discutir maneiras de desenvolver no estudante, por meio do ensino da Matemática, conceitos, procedimentos e atitudes que contribuam para a formação da cidadania." É nesse momento que se abre espaço para gerar reflexões e discussões acerca das relações entre a Matemática e os diversos temas que compõe o cenário da sociedade atual.

No bojo do complexo praxeológico, presente no texto, são revelados com maior nitidez, por meio dos exercícios resolvidos, as tarefas e técnicas, assim como o que legitima e respalda o bloco tecnológico teórico que acompanha cada resolução. Tomaremos alguns como exemplo.

  das organizações didática e matemática das classes observadas. Assim, tomamos como ponto de partida o conceito apresentado porComiti e Farias (2019).Chamamos de crônica da classe o documento escrito resultante da observação: sua constituição incorpora certas anotações coletadas pelo observador sobre o que ele considerava importante notar. O trabalho de sua recomposição também é sustentado por escolhas metodológicas e pelo problema da pesquisa. A crônica resultante é então dividida em episódios para os quais o pesquisador faz a suposição de que eles são significativos.(COMITI; FARIAS, 2019, p.88, tradução nossa 102 ) 

  Por meio da concepção chevallardiana, o aluno assume um papel protagonista na aquisição do conhecimento, provocando rupturas com a postura estática e coadjuvante imposta no modelo tradicional 115 de ensino subsidiado pelo Paradigma de Visitas a Obras ou Visitas aos

	Monumentos, 116 que, na acepção de Chevallard (2012), resume-se a ouvir um relato ou narrativa
	recitada pelo professor sobre o monumento visitado. Perspectiva essa identificada na aula
	transcrita.
	Na sequência da aula, o professor apresenta as quatro propriedades da operação adição
	de vetores:
	P1: -Bom, esta operação de adição possui quatro propriedades. Eu enumerei aqui como A1,
	A2, A3 e A4, (...). A álgebra de vetores possui propriedades bem semelhantes às dos números
	reais. Contudo, geometricamente falando, estamos trabalhando com segmentos no espaço, ou
	seja, estamos somando segmentos e não números.
	O docente esquematiza no quadro a representação geométrica das duas primeiras
	propriedades:

Dito de outra forma o professor destaca o alcance limitado da regra do paralelogramo ao somar vetores.

Contudo, os estudantes se limitam a assistir à explanação do professor, sem nada questionar, expressando a manifestação de "um vício escolar: em que o aluno espera que o professor diga o que deve fazer"

(CHEVALLARD et al, 2001, p. 264)

. Em sentido análogo, em uma de suas inúmeras obras,

Chevallard (2011) 

nos convida a deixar o mundo "encantado e enganoso" do turismo matemático para chegar ao universo de uma engenharia de precisão, o que comunga diretamente com os pressupostos do Paradigma de Questionamento do Mundo (CHEVALLARD, 2012), assinalando que:

no Paradigma de Questionamento de Mundo, a educação é um processo vitalício.[...] Um segundo princípio central do paradigma de questionar o mundo é que, para aprender algo sobre algum trabalho O, x tem que estudar O, muitas vezes com a ajuda de alguns y.[...] O que o novo paradigma didático visa criar é um novo ethos cognitivo no qual, quando surgir qualquer pergunta Q, x a considerará, e, tantas vezes quanto possível, a estudará para chegar a uma valiosa resposta A, em muitos casos com uma pequena ajuda de alguns y. Em outras palavras, x não deve se abster sistematicamente em situações que envolvem problemas que ela nunca encontrou ou nunca resolveu. Por razões que não comentarei, chamo Herbartian -após o filósofo alemão e fundador da pedagogia Johann Heinrich Herbart (1776-1841) -esta atitude receptiva em relação a questões ainda sem resposta e problemas não resolvidos, que normalmente é a atitude do cientista em seu campo de pesquisa e deve se tornar a do cidadão em todos os domínios de atividade.

(CHEVALLARD, 2012, p. 5, tradução nossa 114 

).

114 

The didactic paradigm of questioning the world, education is a lifelong process. [...] A second, central tenet of the paradigm of questioning the world is that, in order to learn something about some work O, x has to study O, often with the help of some y. [...]What the new didactic paradigm aims to create is a new cognitive ethos in which, when any question Q arises, x will consider it, and, as often as possible, will study it in order to arrive at a valuable answer A, in many cases with a little help from some y. In other words, x is supposed not to balk systematically at situations involving problems that she never met or never solved. For reasons I shall not comment on, I call Herbartian-after the German philosopher and founder of pedagogy Johann Heinrich Herbart (1776-1841)-this receptive attitude towards yet unanswered questions and unsolved problems, which is normally the scientist's attitude in his field of research and should become the citizen's in every domain of activity. Figura 27 -Regra do polígono (Soma vetorial) Sejam 𝑢 ⃗ , 𝑣 e 𝑤 ⃗⃗ vetores quaisquer. Valem as seguintes propriedades:

  Supomos, de modo preliminar, que o vetor nulo e sua associação ao número zero, assim como o sinal menos (-) à frente do vetor -𝑢 ⃗ com o significado de sentido oposto em detrimento da subtração ensinada e apreendida desde a Educação Infantil, nos direcionam a inferir que o uso de outros símbolos matemáticos poderiam contribuir para eliminar tais ambiguidades.O professor pergunta se pode apagar as anotações do quadro, e os estudantes sinalizam que sim. Em seguida, volta a transpor na lousa seus apontamentos, deixando alguns espaços vazios, os quais serão preenchidos no momento da explicação. Outra característica dos registros feitos pelo docente é que ele utiliza pilotos de várias cores para desenhar os vetores.Entendemos que se trata de uma espécie de ênfase para diferentes representantes dos vetores.Figura 29 -Representação da subtração vetorial O docente segue com sua explicação. Entretanto, a partir do nosso ângulo de observação, assistimos a um monólogo, cuja definição se traduz num professor dando aula para si mesmo através de um espelho. Os questionamentos levantados por ele, também são respondidos por ele e o que emerge são silêncios para os tópicos abordados na aula acompanhados de conversas Lembrem que a ideia de módulo aqui é módulo de número real, ou seja, 𝛼 é um número real, enquanto ‖𝑣 ‖ é o módulo de um vetor.

	geometria, evidenciando elementos que integram a passagem do aspecto geométrico para uma
	configuração algébrica.		
	O discurso do professor revela uma preocupação com a notação vetorial quanto à
	P1: -Bom, elemento oposto, esse aqui é importante, porque dele sai uma quantidade recorrência das setas. Desse modo, os estudos de Heckler e Scaife (2015) sinalizam dificuldades significativa de propriedades. Em termos de símbolos matemáticos temos algo novo, uma linguagem "matematiké", referindo-se ao símbolo ∃! paralelas dos estudantes sobre assuntos diversos. Não notamos o interesse de participação dos dos estudantes em relação a este formato, como demonstrado no seguinte trecho: "[...]
	E4: -Existe apenas um? estudantes, que apenas, reproduziam e transcreviam o que foi registrado no quadro para o seu diferentes orientações de flechas podem levar a diferentes caminhos de solução e diferentes P1: -É. Existe apenas um ou existe um. ∃ existe e ∃! Com exclamação existe único. Então, para cada vetor, existe um único vetor que somado com ele vai gerar como resultado o vetor caderno. O cenário ilustrado contradiz a concepção de Brousseau (1995, p. 140, tradução tipos de erros, o que sugere que os alunos precisam praticar com uma variedade de orientações"
	nulo. Quem vai ser o elemento oposto aqui? o -𝑢 ⃗ . No entanto, o menos (-) não vai ter o mesmo nossa), 119 pois "[...] a aprendizagem envolve para ele recusar o contrato, mas também aceitar o (HECKLER; SCAIFE, 2015, p. 2, tradução nossa). 120 Este aspecto, também foi tratado por sentido que tem nos números reais. Vai significar oposto, terá o sentido contrário. Lembre-se que estou somando segmentos orientados, então abstraia! apoio. A aprendizagem será, portanto, baseada não no bom funcionamento do contrato, mas em Carneiro e Gravina (2012), que elaboraram atividades com a intenção de provocar o
	Enquanto a transcrição é feita no quadro, os alunos conversam entre si e a maioria reproduz os suas rupturas", referindo-se ao docente. entendimento de que:
	apontamentos em seu caderno.		
	Fonte: anotações de P1 no quadro		
	P1: -Então a multiplicação de um número por um vetor só mexe em duas características do
	vetor. Quais são elas?	𝑣 ⃗ 𝛽	significa
	numérica, o inverso de 𝛽 multiplicado por 𝑣 , ou seja, eu não vou conseguir definir ou não se existe a E após alguns segundos, quase imediatamente ele responde:
	ok? problemas de matemática. O que nos leva a considerar que não podemos desprezar as conexões definição de divisão de vetores.
	E4: -Então, eu não posso dividir um vetor por outro? existentes entre as particularidades numéricas, algébricas e geométricas, as quais fazem parte e P1: -A direção se mantém. O que muda é o sentido e o comprimento. P1: -Não. Lembra daquela operação que falei sobre o versor que é o vetor dividido pela sua A explicação do professor remete a momentos de estudos (CHEVALLARD et al, 2001), ao exibir traços do momento tecnológico-teórico, revelando caracteres inerentes à álgebra e à estão intimamente ligadas às concepções acerca dos vetores. norma, dá o inverso de sua norma multiplicado pelo vetor ( 𝑣 ⃗ ‖𝑣 ⃗ ‖ = 𝑣 ⃗⃗⃗ . 1 ‖𝑣 ⃗ ‖ ), pois não existe divisão Ao explicar a propriedade (iii), o docente destaca: de vetores, certo?

Professor! P1: -Diga. E3: -Então se você pegasse qualquer vetor e somasse com o vetor nulo é a mesma coisa que se tivesse somado com o zero? P1: -É, não ia mudar nada. Só que aqui nós estamos com segmentos do espaço, ou seja, estamos trabalhando a priori, como sempre venho chamando atenção, com o vetor geometricamente. Depois, quando eu definir um sistema de coordenadas, aí o vetor não vai ficar somente associado a um ente geométrico, mas também ao algébrico. Certo? E prossegue: P1: -Uma sequência de números ordenados. É o que vocês vão ver em Álgebra Linear, o vetor vai ser

(a1, a2,..., an) 

uma n-upla ordenada. Em ℝ 3 eu consigo associar um vetor a uma representação geométrica, certo? Tenho três coordenadas. Quando trabalhamos com quatro ou mais dimensões o vetor perde sua identidade geométrica e passa a ser uma n-upla de números ordenados

(a1, a2,..., an) ou (x1, x2,..., xn)

, ou seja, passa a ser uma sequência Depois de elencar as quatro propriedades (associativa, comutativa, elemento neutro e elemento oposto), ressalta, diversas vezes, que está trabalhando com segmentos e amplia a necessidade de abstração, pois aflora, por meio dessa demanda, componentes que transitam de uma abordagem numérica para concepções geométricas, ao operar com segmentos. Essa postura revela certa preocupação com possíveis trocas que os alunos poderão fazer, desencadeando equívocos ou obstáculos à aprendizagem.

Diante do exposto, é possível identificar a necessidade de uma análise da dupla atribuição assumida pelos ostensivos e não ostensivos nas atividades matemáticas. Elementos estes, que ativam as organizações matemáticas, pois, por meio da manipulação ostensiva, evocam-se os não ostensivos, isto é, a manipulação dos objetos ostensivos permite dar forma à estruturação praxeológica presente na TAD

(CHEVALLARD, 1999)

.

Bosch e Chevallard (1999, p. 26, tradução nossa) 

118 pontuam que: "os ostensivos têm uma dupla função: eles têm um 'valor semiótico', ligado ao seu poder de representar objetos não ostensivos, e um 'valor instrumental', ou seja, sua função como ferramentas de práticas matemáticas." Soma-se a essa concepção, o que sinaliza

[START_REF] Arzarello | The ostensive dimension through the lenses of two didactic approaches[END_REF]

, a saber, que a dimensão ostensiva da atividade matemática é interessante na medida em que possibilita lançar luz sobre Nessa ocasião, um grupo de alunos do Diretório Central dos Estudantes (DCE) se aproxima da porta da sala e solicita permissão ao professor para entrar; o objetivo era convidar os discentes da turma para a Calourada (a qual consiste na comemoração da entrada de "alunos novatos" na instituição de ensino superior). Este episódio não foi planejado pelo educador, como refletido em sua fala: P1: -Vamos lá, vamos lá, ... posso ir agora? Vamos lá, vamos lá... Bom, definição, vamos definir subtração. Para eu definir subtração entre vetores 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 , denotada por 𝑢 ⃗ -𝑣 , ou seja, quem é este vetor 𝑢 ⃗ -𝑣 ? É a soma de 𝑢 ⃗ com o oposto de 𝑣 ∶ 𝑢 ⃗ + (-𝑣 ).

O professor prossegue, apressadamente, com sua exposição definindo geometricamente e fazendo uso da regra do paralelogramo, enfatizando que a diagonal secundária é a representação geométrica de 𝑢 ⃗ -𝑣 , conforme explanado a seguir: Fonte: caderno do professor 1 P1: -A próxima operação que vamos trabalhar é a multiplicação por escalar, que em alguns livros trazem como produto de um número real por um vetor. E é o que ocorre de fato! É o que eu gosto mais, pois na realidade um escalar é um número. Ao consultarmos alguns livros como Lima et al (2001), Conde (2004), Camargo e Boulos (2005), Corrêa (2006), Steinbruch e Winterle (1987), Mello e Watanabe (2011), Winterle (2014), Venturi (2015) e Miranda, Grisi e Lodovici (2015), dentre outros que abordam o tema, detectamos que predomina o título "multiplicação de um número real por um vetor", declarado como preferência do professor, em detrimento de "multiplicação por escalar". O que nos leva a crer que a predominância desta expressão nos materiais de consulta para planejamento e preparação das aulas do docente em questão tenha influenciado em sua predileção. No entanto, o seguinte esquema é registrado no quadro e esclarecido na fala do professor transcrita abaixo: P1: -Então a situação é a seguinte: agora eu vou pegar o desenho representativo de uma reta real. Nesta reta, vou escolher um número 𝛼 qualquer. Agora, vou pegar em um conjunto de vetores um vetor 𝑣 qualquer. Vou operacionalizar esses dois elementos, ou seja, se eu multiplicar 𝛼 por 𝑣 quais serão as características deste novo elemento que eu vou encontrar?(...). O esquema é acompanhado do registro, realizado pelo docente no quadro como evidenciado a seguir: Dados 𝛼 ∈ ℝ 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉 3 , definimos a multiplicação de 𝛼 por 𝑣 e denotamos por 𝛼 • 𝑣 um vetor com as seguintes propriedades: i) 𝛼 • 𝑣 tem a mesma direção de 𝑣 ; ii) 𝛼 • 𝑣 tem o mesmo sentido de 𝑣 ⃗⃗⃗ se 𝛼 > 0 e sentido contrário se 𝛼 < 0; iii) ‖𝛼 • 𝑣 ‖ = |𝛼|. ‖𝑣 ‖, desde que 𝛼 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0 ⃗ . Se 𝛼 = 0 ou 𝑣 = 0 ⃗ , então por definição 𝛼 • 𝑣 = 0 ⃗ . P1: -Vocês devem ter atenção também com a notação entre número e vetor: o v com o tracinho em cima é um vetor e o 𝛼 sem o tracinho é um número. Então, cuidado! Pois, às vezes, se esquecem de colocar o tracinho e aí fica difícil separar o que é vetor e o que é número.

Figura 30 -Esquema representativo da multiplicação por escalar Quadro 3 -Multiplicação por Escalar ou Produto de Número real por Vetor

um vetor é uma coleção de setas com mesma direção, sentido e comprimento, [...] na desenvoltura para operar geometricamente com as setas, de forma a obter representantes de cada vetor resultante de soma de vetores ou de multiplicação de vetor por escalar (CARNEIRO; GRAVINA, 2012, p. 270). O professor avança no discurso, estabelecendo comparações entre as operações vetoriais trabalhadas até o momento: P1: -Tranquilo essa ideia? Lembrem que eu posso mudar o sentido também, mas a direção eu não mudo. Então observe, na soma e subtração a gente muda tudo, não é? Muda módulo, muda direção, muda sentido. Na subtração e soma, porém na multiplicação só podemos mudar o sentido e o comprimento, ou seja, sempre mantemos a direção. Os questionamentos levantados pelo docente são, em sua grande maioria, respondidos imediatamente por ele. Neste sentido, reforçando o que já foi destacado por Chevallard (1997, p. 25) ao alertar que: "O aluno deve aceitar o professor como diretor de estudo e, ao mesmo tempo, renunciar violentamente às facilidades enganosas que ele lhe traz enquanto professor e isso, em princípio, a cada momento do estudo". Entretanto, não foram identificados traços proativos nesta turma. P1: -Vamos lá, agora eu vou representar geometricamente ou graficamente. Eu vou colocar graficamente essa parte da multiplicação, para a gente ver quais são os casos possíveis. P1: -Esse semestre eu consegui me superar: escrever pior do que o semestre passado. Mas se não entenderem, perguntem. Eu estava aqui pensando... que devo fazer uns três tipos de provas... Três ou quatro tipos, pois se não vocês vão pescar sem querer querendo... se for um único tipo de prova... vou corrigir uma e vou repetir a nota para todos... E4: -O pessoal daqui não pesca não. O pessoal daqui não pesca não... P1: -Não tem jeito, é aquela "cola passiva". E5: -Pesca passiva? P1: -A pesca passiva é assim: quando você não sabe ou está em dúvida de alguma questão e sem querer você vê um colega falando para outro, aí você pega para você. E a aula continua: P1: -Vamos lá? Eu vou parar de falar de direção, pois já sabemos que a multiplicação por escalar só vai modificar o sentido e o comprimento do vetor. Então, só tem essas quatro possibilidades: aumentar o comprimento e manter o sentido, aumentar e inverter o sentido, diminuir e inverter o sentido ou diminuir e manter o sentido. Referindo-se ao 2º esquema representativo da multiplicação por escalar que ele exibiu no quadro. P1: -Ok? Bom, uma observação é a seguinte: se 𝛽 é um número real não nulo, então

Trechos da aula/Momentos Síntese das praxeologias Didáticas e Matemáticas identificadas na aula

  

	5º Momento tecnológico-teórico	Soma ou adição		
		entre vetores		
	Ordem cronológica	Sistema de tarefas		
		do professor (OD)		Cenas/procedimentos	OM -[T / τ / θ / Θ]
		/temas		
		Intenção didática	Texto de Júlio Machado com o
	1º	motivacional		tema iniciativa
		Intenção didática	Uso de metáfora para integrar a
	2º	motivacional		resolução de tarefas ao texto
	3º	Retomada da definição de vetores	E1: -Classe de equipolência de segmentos orientados; P1: -[...] segmentos equipolentes que possuem mesma direção, mesmo sentido e mesmo	Conceitos que advêm da álgebra pura, imbricados com a geometria plana e
			comprimento.	situados no âmbito
					[𝜃/Θ]
	4º			
	Segundo Chevallard, Bosch e Gascón,	Operações com		
	(2001) caracterizado como primeiro	vetores		
	encontro com as operações entre			
	vetores		Detectamos que as relações
			pessoais dos estudantes para com
			os	vetores	direciona-se	a
			R p (X, O) = ∅.
					Ingredientes
					tecnológico-teóricos
					[𝜃/Θ] situados no
					campo dos espaços
					vetoriais presentes no
					corpus da álgebra, mais
					especificamente	da
					Álgebra Linear.

P1: -[...] A primeira é a operação da soma que vocês já viram no ensino médio. P1: -Dados 𝑢 ⃗ e 𝑣 pertencentes a 𝑉 3 , (como vimos na aula passada 𝑉 3 é um espaço vetorial, onde os elementos são vetores). Considere os pontos A, B e C pertencente a 𝐸 3 , (são pontos do espaço), tais que 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ é um representante do vetor 𝑢 ⃗ e 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ é um representante do vetor 𝑣 . P1: -Então nós temos, dois vetores no espaço. E eu vou associar a seus representantes, vou dizer a origem e a extremidade. Então como seria a soma? A soma entre 𝑢 ⃗ e 𝑣 denotado por 𝑢 ⃗ + 𝑣 , é o vetor cujo representante é o segmento orientado 𝐴𝐶, isto é: 𝑢 ⃗ + 𝑣 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

6º Momento de trabalho da técnica

  

	Soma ou adição
	entre vetores
	(representação
	geométrica)

[...]a soma de vetores sem precisar ficar desenhando seus representantes, mas vou usar certos pontos. Por exemplo se eu colocar: 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 7º Momento de trabalho da técnica Soma ou adição entre vetores P1: -[...]. Outra forma que vocês podem utilizar para somar vetores é usar a regra do paralelogramo [...]. Como é que eu faço? Eu escolho representante com origem em A, desde que não mude módulo, direção e sentido. P1: -Como fazíamos lá no ensino médio e fechamos o paralelogramo. Quando eu faço isso a diagonal principal vai representar a soma dos vetores 𝑢 ⃗ + 𝑣 . Por que isso?

Porque no paralelogramo os lados opostos são paralelos e congruentes.

  

P1: -Qual a desvantagem de obter a soma usando a regra do paralelogramo?

No paralelogramo eu só somo dois vetores a cada vez. Enquanto

  

		na
		definição geral, que chamamos
		regra do polígono eu posso somar
		quatro, cinco ou mais vetores. É só
		ir fazendo coincidir extremidade
		com origem, sequencialmente, até
		obter a soma final.
		Propriedades da
		operação
	8º Momento tecnológico-teórico	adição/soma entre
		vetores

P1: -[...] Eu enumerei aqui como A1, A2, A3 e A4, que posteriormente vão definir algumas operações. A

álgebra de vetores possui propriedades bem semelhantes ao dos números reais. Contudo, geometricamente falando, estamos trabalhando com segmentos no espaço, ou seja, estamos somando segmentos e não números.

  

	9º		
		Reflete uma forma de
		fazer	emergindo
		elementos do bloco
		prático [𝑇, 𝜏] que aborda
		um tipo de tarefa, soma
		de vetores, em que
		empreende uma técnica
		geométrica.
		Integra	o	tratamento
		geométrico da teoria de
		vetores, sem dependência
		de visualização.
		Outra forma de
		realizar a tarefa t,
		somar vetores,
		pode ser cumprida
		pela, técnica 𝜏,
		regra do	
		paralelogramo.
		Fundamentação
		tecnológica θ e teórica
		Θ própria da geometria
		plana.	
		Apresenta		uma
		restrição da técnica
		regra		do
		paralelogramo	em
		detrimento da regra
		do polígono.
		Similitude entre as
		propriedades	dos
		números reais e a soma
		de	segmentos
		orientados.
	A3 -	Elemento	
	neutro	(vetor E3: -Professor!	

Momento tecnológico-teórico 9º Momento tecnológico-teórico nulo

  ): ∀ 𝑢 ⃗ 𝜖𝑉 3 ; 𝑢 ⃗ + 0 ⃗ = 0 ⃗ + 𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗ .

	P1: -Diga.

E3: -Então

se você pegasse qualquer vetor e somasse com o vetor nulo é a mesma coisa que se tivesse somado com o zero?

  

			A tecnologia utilizada
			para justificar a questão
			foi, em essência, a
			perda da identidade
			geométrica do vetor, a partir
			de ℝ 4 , e sua
			representação algébrica
			por meio de n-upla de
			números ordenados
			(a1, a2,..., an) ou (x1, x2,..., xn), ou
			seja, passa a ser uma sequência
			numérica. 123
			P1: -Bom, elemento oposto, esse
			aqui é importante, porque dele sai
			uma quantidade significativa de
		A4 -Elemento	propriedades. [...]. Quem vai ser o
		oposto: ∀ 𝑢 ⃗ 𝜖𝑉 3 ,	elemento oposto aqui? o -𝑢 ⃗ . No
	10º Momento tecnológico-teórico	∃! (-𝑢 ⃗ ) / 𝑢 ⃗ + (-𝑢 ⃗ )	entanto, o
		= 0 ⃗ .	

menos (-) não vai ter o mesmo sentido que tem nos números reais.

  Para preservar a identidade dos autores no mapeamento da aula em questão, com vistas à clareza, trataremos os estudantes por meio da letra E, acrescida de letras minúsculas do nosso alfabeto, para identificar as falas e resguardar o anonimato dos alunos, enquanto o professor será referenciado pela letra P, adicionada ao número 2, por se tratar de outro docente e da segunda aula transcrita -P2 neste estudo.Os estudantes demonstram uma efervescência não percebida, enquanto característica, na turma anterior. Eles conversavam entre si de forma conjunta, o que dificultou compreender qual era o assunto abordado. O professor convidou-os a iniciar a aula.Nesta prévia dialógica, é possível notar que Ea acredita que tudo vai ficar tranquilo, porém ele manifesta que não fez nada. Os diálogos prosseguem entre os alunos. O professor escreve o título, "pontos no espaço e coordenadas cartesianas", no quadro e solicita: P2: -O que nós vimos, na aula de ontem, foi basicamente isso. Pegamos três vetores. Quem lembra aí? Sobre esses três vetores? Pegamos três vetores. Não foi isso? Vamos lá, gente... Ed: -Sua aula deveria ser a primeira, porque depois de uma prova... Este trecho da interlocução revela uma restrição externada por Ed. O aluno, todavia, não responde aos questionamentos do professor, mas expressa uma suposta justificativa para a ausência de respostas às questões apresentadas por P2 com o intento de retomar o tema abordado na aula anterior. P2 não concorda com o posicionamento de Ed, destacando o aspecto recorrente em termos de reclamações por parte dos estudantes. Acho que você quis dizer na mesma reta. Cuidado com esse na frente, pois pode ser representado na parte negativa. Na mesma reta. P2: -De qualquer forma, é alguma coisa paralela a ele. 𝑥𝑖 algum vetor paralelo a 𝑖 e 𝑦𝑗 algum vetor paralelo a 𝑗 . Então vamos somar. Como seria? Olha, geometricamente, seria isso aqui. A soma 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 é essa diagonal, correto? P2: -Então, a partir desse ponto, eu posso somar o terceiro vetor 𝑧𝑘 ⃗ , assim obteríamos 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ⃗ que teria o nosso vetor representado mais ou menos por aqui.

		um número real	M3) (𝛼. 𝛽)𝑢 ⃗ = 𝛼(𝛽𝑢 ⃗ ) = 𝛽(𝛼𝑢 ⃗ )
		por vetor	M4) 1.𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗
		Fonte: acervo da autora (2019).
	Acrescenta-se que não foram identificados na organização de estudo os momentos P2: -Na verdade vão reclamar sempre! Semestre passado, era antes de cálculo e reclamavam
	também. exploratório e de avaliação. Assim, apresentamos o desenho desta aula, na qual notamos a Ed: -Dia de segunda-feira é melhor, pois na segunda-feira a aula desta disciplina é no
	preponderância de alguns momentos em detrimento de outros, pois de acordo com Chevallard, O docente adentra a sala e faz o seguinte questionamento: primeiro horário.
	Bosch e Gascón (2001, p.264) "um momento pode ser vivido várias vezes". Contudo, a ausência de uma organização matemática completa reduziu os alcances interpretativos desta aula, P2: -O que a gente viu basicamente foi: pegamos três vetores k j i , , unitários e ortogonais P2: -E aí, pessoal, tranquilo? Ea: -Vai ficar, professor. dois a dois.
	principalmente no que tange a uma participação ativas dos estudantes. No entanto, em outro
	O docente representa, simultaneamente, o registro no quadro enquanto fala.
	viés, pode-se questionar se é recomendável a presença de todos os momentos de estudo
	Emprega-se o mesmo sinal ostensivo (-), com P2: -O que fizemos ontem? Fizemos o seguinte: qualquer vetor do espaço, eu posso escrever
	significado diferente do como sendo alguma coisa vezes o primeiro vetor, mais alguma coisa vezes o segundo vetor, empregado no âmbito numérico. O (-) à frente mais alguma coisa vezes o terceiro vetor.
	Vai significar oposto, terá o sentido contrário. Lembre-se que estou somando segmentos orientados, então Figura 33 -Esquema das observações realizada na aula 1 do vetor -𝑢, ⃗⃗⃗ indica que se deve mudar o sentido dos segmentos orientados P2: -O que nós vimos ontem? P2: -Vamos lá! que representam o vetor 𝑢 ⃗ . Eb: -O senhor deixou uns exercícios aí para a gente. abstraia. 11º Momento tecnológico-teórico Primeiro encontro P2: -Não! Ontem? Ontem não. Intenção didática Ec: -Ontem eu cheguei atrasado, mas o senhor resolveu uns exemplos aí... Subtração entre vetores Aplica-se a propriedade A4 abordada anteriormente. Retomada da definição de teórico vetores com as operações vetoriais. motivacional Ea: -Eu não fiz nada. Momento tecnológico-Eb: -Oh, professor! O senhor deu o que ontem?
	A pergunta do professor sobre o tema tratado na aula anterior gerou algumas respostas,
	12º Momento tecnológico-teórico Exploratório Multiplicação por escalar ou Produto Avaliação como também a solicitação de exercícios, que se transformaram em exemplos que não foram Momento de Momento tecnológico-trabalho da técnica teórico resolvidos. E como efeito das várias incertezas sobre o assunto abarcado na aula, a questão
	de Número real por Vetor retorna ao docente, que a responde:		A justificativa apresentada pelo professor centra-se no
				corpo de números reais e
				espaço de vetores.
	P2: -Trabalhamos com as coordenadas para os vetores. Partindo da forma algébrica para a
	forma geométrica e, por consequência, visualizar geometricamente o vetor no espaço.
	P2: -Bom. Então vamos lá! O assunto da aula de hoje vai ser coordenadas cartesianas no
	espaço.		P1: -Então a multiplicação de um
	13º Momento tecnológico-teórico	Multiplicação por	número por um vetor só mexe em
		escalar ou Produto	duas características do vetor.	Consequências da multiplicação
	de Número real por Vetor praxeologias bem adaptadas, permitindo que todas as tarefas desejadas sejam realizadas de Quais são elas? A direção se mantém. O que muda é o sentido e de um número real por um vetor.
			o comprimento.
	maneira ao mesmo tempo eficiente, segura e inteligível. Mas tal mundo não existe, como foi
	∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ; ∀ 𝑢 ⃗⃗⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ∈ 𝑉 3 , temos sugerido, "as instituições estão repletas de toda uma dinâmica praxeológica (...)".
	14º Momento tecnológico-teórico (CHEVALLARD, 1999, p. 230). Assim, o esquema objetivou representar aspectos deste Propriedades da multiplicação de
	movimento dinâmico inerente aos SDs.	

[...] -Para eu definir subtração entre vetores 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 , denotada por 𝑢 ⃗ -𝑣 , ou seja, quem é este vetor 𝑢 ⃗ -𝑣 ? É a soma de 𝑢 ⃗ com o oposto de 𝑣 ∶ 𝑢 ⃗ + (-𝑣 ).

Dados 𝛼 ∈ ℝ 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉

3 

, definimos a multiplicação de 𝛼 por 𝑣 e denotamos por 𝛼 • 𝑣 um vetor com as seguintes propriedades: 𝑖) 𝛼 • 𝑣 tem a mesma direção de 𝑣 ; 𝑖𝑖) 𝛼 • 𝑣 tem o mesmo sentido de 𝑣 ⃗⃗⃗ se 𝛼 > 0 e sentido contrário se

𝛼 < 0; 𝑖𝑖𝑖) ‖𝛼 • 𝑣 ‖ = |𝛼|. ‖𝑣 ‖, desde que 𝛼 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0 ⃗ . Se 𝛼 = 0 ou 𝑣 = 0 ⃗ , então por definição 𝛼 • 𝑣 = 0 ⃗ . M1) 𝛼(𝑢 ⃗ + 𝑣 ) = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼𝑣 M2) (𝛼 + 𝛽)𝑢 ⃗ = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑢 ⃗

Advém do fato de que 𝑉

3 

, com as operações usuais, é um espaço vetorial.

123 

Destacamos que o conceito de sequência numérica apresentado pelo professor pode gerar obstáculos à aprendizagem, visto que, na esfera do cálculo e análise, as sequências numéricas são infinitas, isto é, uma sequência ou sucessão de números reais é uma função 𝑓: ℕ → ℝ, que associa a cada número natural 𝑛 um número real 𝑓(𝑛) (MATOS, 2001). (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001) em um único encontro. Ressalte-se que não abordaremos essa discussão e cedemos para investigações posteriores. Fonte: acervo da autora (2019) Optamos por setas neste formato por entendermos que os momentos de estudos e, consequentemente, o funcionamento dos SDs não seguem uma lógica de linearidade. Visto que pode-se imaginar um mundo institucional no qual as atividades humanas são regidas por 3.1.3 Transcrição da aula 2 P2: -Pessoal, me ajudem aqui. Vamos lá! A solicitação do docente é atendida e os alunos silenciam e direcionam atenção ao discurso do professor, que retorna ao assunto trabalhado na aula anterior. P2: -Bom, basicamente é isso aqui. Esse vetor 𝑥𝑖 . (x vezes 𝑖 ) represento onde aqui no desenho? Eb: -Aí na frente. P2: -Na frente? Na frente como?

  : -Bom, percebam o seguinte: dado qualquer ponto P no espaço, podemos encontrar 𝑥, 𝑦, 𝑧 reais, tais que o vetor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ⃗ , Ok? Esta última frase sintetiza a aula passada. P2: -De que forma vocês fariam para determinar 𝑥, 𝑦, 𝑧, ou seja, como vocês fariam para representar estes três valores? Os alunos, neste momento, permaneceram em silêncio. E o professor prossegue: P2: -Basicamente eu vou fazer o que fiz na aula passada, porém seguindo o caminho inverso. Na verdade, eu tinha esses três vetores, aí fui somando, peguei a altura aqui e finalmente juntei. Agora vou fazer o contrário. Eu vou projetar aqui embaixo, no plano, ok? E aí? P2: -Bom, posso projetar aqui também, paralelo ao vetor 𝑗 , projeta aqui paralelo ao vetor 𝑘 ⃗ , concordam que é o mesmo desenho que tenho aqui? Se vocês somarem esse vetor, mais esse, qual vai ser a resultante? Eg: -Vai ser da origem até a projeção (até embaixo). P2: -Isso, concordam? Soma de vetores esse lado é igual a este lado e este é igual a este. A minha figura caracteriza um paralelogramo, na verdade, até um pouco mais que isto, é um retângulo. Por que um retângulo? Eg: -Porque os lados são paralelos. Pense um pouco, ..., em termos de soma de vetores, será que pensando em soma de vetores está correto? Porque no fundo o que eu estou fazendo é que este vetor 𝑥𝑖 mais o vetor 𝑦𝑗 . No fundo o vetor que estou somando aqui é um vetor que tem um representante aqui, correto? Agora, será que o representante pode ser este?O professor recorre, com frequência, a advérbios de lugar (aqui, ali, daqui, dentre outros) sempre que faz referência à figura desenhada no quadro.

	Ef: -Porque é 90° graus.	
	P2: -Além de serem paralelos, aqui é 90º, aqui também é 90º e o outro também é 90º. Como
	eu comentei na aula passada esse 90º assim "meio torto", vai ser assim porque temos um objeto
	tridimensional que está desenhado no quadro que é bidimensional. Então, a visualização se
	perde um pouco, talvez...	
	P2: -E falta o que para a gente completar este desenho?
	Eg: -Orientar o ponto P.	
	P2: -Deste jeito? Pronto!	
	Eg: -Isso.	
	Ef: -Mas tá um pouquinho diferente...	
	P2: -É! Está diferente. Mas está errado?	
	Ef: -Sei lá...	
	P2: -Ee: -Não.	
	P2: -Não? Por quê?	pontos.
	P2: -Concordam comigo que vocês podem pegar a origem que está aqui com aquele ponto e Ee: -Porque na hora de somar, ...
	formar um vetor? Certo? P2: -O comprimento é o mesmo?	
	Ef: -Hum, Hummm... Ee: -Não.	

P2: -E o que nós vimos na aula passada? A partir do momento em que vocês têm um vetor, podem escrever este vetor em função destes três outros que aparecem aqui. O assunto da aula passada foi esse. P2P2: -Se você vai manter o mesmo vetor você precisa manter comprimento, direção e sentido. Então, este desenho está certo ou errado? É mais ou menos isto aqui. E aqui eu teria o vetor 𝑧𝑘 ⃗ , certo? Fiz o mesmo desenho, praticamente, ok? Este é o vetor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

  Figura 37 -Representação da projeção do vetor no que toca aos planos coordenados (com base na aula de P2) Então, é o seguinte, o que está acontecendo aqui é que tenho o vetor paralelo ao vetor 𝑗 , quem vai determinar se tem mesmo sentido ou não, se aumentou ou diminuiu o comprimento é o valor da constante. Constantes entre -1 e 1; acontece o que em termos de comprimento? Por exemplo 𝛼𝑗 e -1 ≤ 𝛼 ≤ 1 o que acontece com o comprimento deste vetor? Pessoal, a representação não está exatamente aqui, neste desenho. Ee: -Na prova o senhor vai colocar questões como estas? Na prova o senhor vai fornecer os valores das variáveis? P2: -Na prova pode vim das mais variadas questões. Eg: -Está chegando... P2: -Uma delas, representar um ponto de coordenadas tais. Aí, você representa um ponto ou vários. E na avaliação será fornecido as coordenadas dos pontos ou elementos que permitirão que você encontre as coordenadas. Por exemplo, represente o triângulo de vértices tais... Não se prendam às letras, letras são só letras. Eu poderia falar que existem constantes a, b e c ou h, s e t, pois posso usar letras diferentes para representar o mesmo número. Ee: -Por exemplo, se o senhor der uma coordenada eu tenho que saber, ... P2: -Por tradição, os matemáticos convencionaram que este é o eixo x, eu não vou indicar por letras não. Ou seja, este aqui eu coloco a primeira coordenada ao longo desta reta, a segunda coordenada e ao longo desta e a terceira coordenada ao longo desta outra reta. É um padrão aceito nos livros, mas poderia mudar tudo, ok? Mas este é o padrão.

	Ea: -Diminui. Ed: -Diminui P2: -Diminui? Para 𝛼 entre -1 e 1? Ef: -Ah, não!			Constituiu um erro comum o fato de o estudante desconsiderar que a
				figura foi
	representada no espaço O questionamento do professor coloca em dúvida a resposta do estudante, que
	subitamente muda de opinião.			tridimensional. O
	P2: -Por exemplo, se pensarmos em P2: -	1 2	que remete a não aplicação do método ,em termos de comprimento diminui. Ok? "projeção paralela" (LEHMANN, 1991)
		1 3	𝑗 -4𝑘 ⃗ . O desenho seria aquele?
	Ee: -Não.		

Fonte: construído e elaborado pela autora

(2017)

.

O processo comunicativo progride: P2: -Pessoal, novamente estes números que aparecem aqui, eu vou definir como sendo as coordenadas do ponto P. Como já tínhamos comentado aqui no plano. Qual a diferença entre vetor de coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 ou ponto de coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧? A maneira de começar a resolver a questão é essa, por exemplo, o que é que muda? Quando marca um ponto, terminou o ponto ali e pronto. Mas se um vetor com as mesmas coordenadas, é um vetor que une daqui até aqui. Então, esses números reais são denominados coordenadas do ponto P. Notação: 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧). Ee: -Oh, professor, eu tenho uma dúvida. P2: -Fale. Ee: -Como é que o senhor sabe que onde está o 𝑦 𝑒 𝑜 𝑗 ? P2: -Você quer saber por que eles estão exatamente aqui? Ee: -Isso. P2: -É o seguinte, isto aqui é só uma representação, então não precisa ser exatamente neste ponto. Eu poderia diminuir o comprimento ou até mesmo inverter o sentido. Isto aqui é só uma representação. Então, por exemplo, como construímos o desenho utilizamos valores acima de 1. Por que acima de 1? Porque eu aumentei o comprimento, assim como mantive o sentido. Se fornecesse para você o vetor 𝑣 = 2𝑖 + P2: -E como ficaria o desenho? Você teria que dobrar o comprimento de 𝑖 , mantendo o mesmo sentido porque 2 é positivo. Dividir o 𝑗 em três partes e pegar uma, também mantendo o sentido e -4𝑘 ⃗ você teria que aumentar o comprimento em 4 vezes, além de inverter o sentido. Então, o que foi desenhado no quadro é apenas uma representação de uma situação, só para a gente dar uma visualizada. O que significa que cada questão pode apresentar vetores distintos que gerará representações diferentes, ok?

Figura 38 -Protótipo tridimensional P2: -Ee: -Sempre vai ser x, y e z? P2: -

  Quem me ajuda aqui? Vamos começar pelo ponto. O início da resolução é a mesma. Precisamos de três retas, ok? E aí eu faço o que? Eh: -Marca os pontos. P2: -Na verdade, eu marco as coordenadas. Vamos lá: 2 aqui, como eu disse é uma conversão, Você falou sobre os três vetores unitários, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ? Não precisa frisar os vetores unitários em todos os desenhos, pois eles estão tacitamente definidos. Sempre que você define como uma unidade, implicitamente estes já serão os vetores unitários em cada eixo, ou seja, já estão aí. Ed: -Ah, entendi.A dependência que o aluno normalmente tem do professor se apresenta de forma reduzida, se comparada com a aula observada anteriormente, pois o docente delega inúmeras questões aos estudantes, em diversos trechos do seu discurso. Neste contexto, é possível pensarmos, como destacaramChevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 82), "que o contrato didático evolua na direção de transferir para o aluno uma parte da responsabilidade matemática atribuída exclusivamente ao professor."

	5 aqui.
	Ec: -E 3 do outro lado.
	Ed: -E os vetores unitários?
	P2: -
	. Como vocês fariam?
	Estamos tentando entender, pelo menos visualmente, como isso parece a mesma coisa, mas é
	ligeiramente diferente. São distintos, porém, a construção começa da mesma forma.
	Eh: -Vai ser o mesmo procedimento do outro.
	P2: -Sim, a mesma ideia, na verdade, o que é o ponto de parada. Uma marca o ponto e outro
	a representação do vetor com origem em O e extremidade em P.
	O tempo designado à resolução da questão sugerida pelo professor é de,
	aproximadamente, 2 minutos.

P2: -

  , quais são as coordenadas do vetor 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ? Estudantes: -(2, 1, 0) em coro. P2: -Bom, não sei se alguém está se perguntando, por que a origem entrou nesse caminho? Pelo seguinte: eu não conheço as coordenadas desse vetor, mas sei as coordenadas de 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ separadamente e sei do vetor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ separadamente. Então, se eu fizer uma ponte passando pela origem, conseguirei fazer minha conta, pois só falta concluir quem é 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Portanto 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Ed: -Mas como é que eu vou concluir isso aí? P2: -Portanto quem é o vetor 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ ? Lembrem que estou passando pela origem e que o vetor que me interessa é? Ec: -𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

3.1.4 Momentos de estudos agregados à trama praxeológica da aula 2

  Ante essas constatações, compactuamos com[START_REF] Brousseau | Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Willy Vanhamme et Jacqueline Vanhamme. La problématique et l'enseignement de la mathématique[END_REF] ao admitir que as concepções podem constituir em empecilhos para aquisições futuras. Este caráter se confirma nas análises de algumas questões de avaliações da referida componente curricular, EXA 180, e que serão apresentadas em um dos capítulos posteriores desta pesquisa. Para finalizar, qual é a distância entre A e B? Quem já viu geometria no plano sabe que é muito semelhante com distância entre pontos no plano. Muda o quê? 𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑥 2 -𝑥 1 ) 2 + (𝑦 2 -𝑦 1 ) 2 + (𝑧 2 -𝑧 1 ) 2

		⃗⃗⃗⃗⃗ -	1 2	𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =	(𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ -𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2
		Em que O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas escolhido, porém a
	correspondência biunívoca entre pontos e vetores no espaço possibilita desenvolver o cálculo
	de maneira mais informal. Foi a partir desse viés que P2 trabalhou a igualdade entre pontos e De igual modo recorremos à trama praxeológica (FARIAS; PIRES, 2011) para deixar
	vetores em uma vertente informal, a qual é, recorrentemente, utilizada nas resoluções de mais evidente os momentos de estudo (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001), enquanto
	questões que envolvem igualdades entre vetores. Nas palavras de Brousseau (1976, p. 112, síntese das praxeologias Didáticas e Matemáticas identificadas nos episódios que compuseram
	grifos nossos, tradução nossa), 126 pode constituir "obstáculos de origem didática, que parecem a aula 2.
	depender apenas de uma escolha ou de um projeto do sistema educativo". Para Almouloud
	(2007),	Tabela 5 -Síntese da aula 2. (continua)

[...] nascem da escolha de estratégias de ensino que permitem a construção, no momento da aprendizagem, de conhecimentos cujo domínio de validade é questionável ou incompleto que, mais tarde, revelar-se-ão como obstáculos ao desenvolvimento da conceitualização.

(ALMOULOUD, 2007, p.141) 

126 "obstacles d'origine didactique, qui semblent ne dépendre que du choix ou de la conception du système éducatif". Perde-se o formalismo matemático. Figura 45 -Cálculo para determinar o ponto médio M P2: -Eh: -Acrescenta uma coordenada. P2: -Acrescentou uma parcela da soma. P2: -Está bom por hoje ou vocês querem ver mais alguma coisa? Ec: -Não, já são 12:00 horas! O senhor não está com fome? Quer dar aula até uma hora? P2: -Então, está certo. Na próxima aula, faremos exercícios e na aula da próxima semana, revisão. Diante da descrição do cenário da aula por intermédio dos diálogos e comportamentos dos protagonistas deste cenário didático e matemático, emergiram praxeologias variadas, como salientam Chevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 252): "[...] um sistema de praxeologia ou um conjunto estruturado de praxeologias". Estas revelam que o trabalho que o professor realizou com seus alunos consistiu em reorganizar, por meio de técnicas, tarefas, tecnologias e teorias, uma organização vetorial.

Trechos da aula/Momentos Síntese das praxeologias Didáticas e Matemáticas identificadas na aula

  

	Ordem cronológica	Sistema de tarefas	
		do professor	Cenas/procedimentos	OM -[T / τ / θ / Θ]
		(OD)/temas	

1º Tentativa de adentrar no momento do trabalho da técnica

  

	(CHEVALLARD; BOSCH;	Intenção didática	[...] Partindo da forma algébrica
	GASCÓN, 2001, p. 262)		para a forma geométrica e por	Imbricam-se algébrico e
			consequência	visualizar	geométrico
			geometricamente o vetor no
			espaço.		
		Técnica didática			
	2º	(CHEVALLARD;			
		BOSCH;	[...] O assunto da aula de hoje vai
		GASCÓN, 2001,	ser coordenadas cartesianas no
		p. 254) relativa ao	espaço.		
		estudo			
		desenvolvido na			
		aula anterior			
	3º	Técnica didática: retomada do estudo desenvolvido na	[...] pegamos três vetores 𝑖, ⃗ 𝑗, ⃗ ⃗ 𝑘 ⃗ unitários e ortogonais dois a dois.	A técnica 𝜏, justificada tecnologicamente θ pela conceitualização de base
		aula anterior				ortonormal {𝑖 , 𝑗, ⃗ ⃗ 𝑘 ⃗ } em ℝ 3
		Retomada do	[...] Esse vetor 𝑥𝑖 . (x vezes 𝑖 ),	A técnica τ utilizada
	4º	estudo	represento onde aqui no desenho?	consiste em representar 𝑥𝑖
		desenvolvido na				no quadro
		aula antecedente			
			[… ] 𝑥𝑖 , algum vetor paralelo a 𝑖 e
			𝑦𝑗 algum vetor paralelo a 𝑗 . Então	Combinação linear de 𝑖, ⃗ 𝑗 ,
	5º	Retomada do estudo desenvolvido na	vamos somar [...]. A soma 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 é essa diagonal [...]. Então a partir desse ponto eu posso somar o	𝑘 ⃗ , base ortonormal {𝑖 , 𝑗, ⃗ ⃗ 𝑘 ⃗ } em ℝ 3
		aula anterior	terceiro	vetor	𝑧𝑘 ⃗ ,	assim
			obteríamos 𝑣 = 𝑥𝑖 +𝑦𝑗 +𝑧𝑘 ⃗
		Retomada do	[...] escrever 𝑣 =(x,y,z). O primeiro
	6º	estudo	coeficiente é a que corresponde a a	Especificação das
		desenvolvido na	coordenada de 𝑖 , o coeficiente de 𝑗	componentes ou
		aula precedente	é a segunda coordenada e a do 𝑘 ⃗ a	coordenada de 𝑣
			terceira coordenada.	
	7º	Início de uma nova	[...] a aula de hoje "coordenadas
		sessão de trabalho	cartesianas".	
			[...] Como vocês fariam para
	8º Momento exploratório		representar	o	ponto	de
			coordenadas (x, y, z)? Não mais
			um vetor, só um ponto agora.
			Relembrar o trabalho abordado na
			aula anterior com as coordenadas
			de vetores.		

9º Momento de trabalho da técnica no 𝑹 𝟐 para ampliação para o 𝑹 𝟑

  

		P2: -Se fosse usar duas
		coordenadas P= (x,y)? Lá no
		plano 𝑋𝑌, como tradicionalmente
	Representação	se faz?
	Geométrica	

Pega o eixo X, pega o eixo Y. Não é isso? Pega o ponto aqui e faço o que? Projeto paralelo a X e paralelo a Y e vejam quanto medem.

  

						se |𝑖 | = |𝑗 | = |𝑘 ⃗ | =
						1 𝑒 𝑖 ⊥ 𝑗 ⊥ 𝑘 ⃗ ⊥ 𝑖 .
			P2: -[...], eu quero usar essa
			estrutura que está aqui, ou seja,
		Representação	esses quatro itens (ponto e mais
	13º	Geométrica	três vetores), para posicionar
			pontos no espaço. Vamos utilizar a
			teoria de vetores para atribuir
			coordenadas a pontos. O que	Vetores e pontos
			significa que eu vou utilizar a	encontram-se imbricados
			teoria de vetores para trabalhar	no âmbito tecnológico-
			com coordenadas de pontos.		teórico [𝜃, Θ]
			P2: -[...] dado qualquer ponto P
			no espaço, podemos encontrar
	14º	Abordagem	𝑥, 𝑦, 𝑧 reais, tais que o vetor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ =
		Algébrica	𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ⃗ , [...] sintetiza a aula
			passada.		
			P2: -[...] como passamos do que
			já conhecemos para ponto? Olhem	Discurso	fundamentado
	15º Momento tecnológico-teórico	Abordagem	só: 𝑶𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒙, 𝒚, 𝒛) ⟺ 𝑷 =		nas concepções de pontos e
		Algébrica	(𝒙, 𝒚, 𝒛) -	transição	de	vetores
			coordenadas de vetor para
			coordenadas de ponto.	
						Técnica empregada na
						projeção ortogonal do
						ponto P sobre os eixos X e
						Y.
			P2: -Neste mesmo desenho	A cada vetor se associa um
		Representação	represente o vetor 𝑣	de	par (x, y), ou seja,
	10º Momento do primeiro encontro	Geométrica	coordenadas (x, y). [...] O ponto de	estabelece-se	uma
			coordenadas (x, y) e o vetor 𝑣 de	correspondência biunívoca
			coordenadas (x, y). Qual a	entre os vetores do plano e
			diferença de uma representação	os pares ordenados (x, y)
			para outra?			de números reais.
			[...] quando você fala de vetor você
			pode fazer o desenho em qualquer
		Representação	lugar do espaço. Só tem que
	11º	Geométrica	mantém o que?		
			Estudantes: -Direção, sentido.	
			P2: -E o comprimento também.	
			P2: -Quando você fala ponto ele
			está fixado em um certo lugar.	
						Fundamenta-se
						tecnologicamente por uma
						base 𝐵 = {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ } no
						espaço é chamada
						ortonormal se os seus
						vetores forem ortogonais
						entre si e unitários, isto é,

12º Momento tecnológico-teórico Representação Geométrica [...] Tenho um ponto, três vetores unitários, ângulos de 90°.

16º Momento do trabalho da técnica imbricado a um momento exploratório

  

				Precisamos de três retas.
				Eh: -Marca os pontos.
				P2: -Na verdade, eu
				marco as coordenadas.
		P2: -Um exemplo, para fugirmos	[...] localizar o ponto P =
	Representação	um pouco da teoria, imaginem que	(2, 5, 3). Então, traço
	Geométrica	solicitasse	representem	segmentos	de	retas
		geometricamente o ponto P = (2, 5,	paralelos a cada eixo e
		3) e o vetor 𝑣 = (2, 5, 3). Como	assim marcamos o ponto
		vocês fariam?		P.		
				(traços	da	técnica
				empregada e	

identificada pelos verbos e seus complementos) 17º Momento do primeiro encontro

  

		[...]	"Eixos	e	Planos
		Coordenados". [...] além dos eixos
		coordenados, que são retas, temos
		três planos. Lembre-se que sempre
		que falar de coordenadas de
	Representação	pontos	ou	coordenadas
	Geométrica	cartesianas tem que ter a origem
		do sistema. Então vamos lá, temos

três planos, os quais recebem as seguintes denominações: xy, Oxy, xOy / yz, Oyz, yOz / xz, Oxz, xOz.

  

		Cada dupla de eixos
		determina	um	plano
		coordenado.	
		P2: -[...] encontrar um ponto do	
		eixo das abscissas, ordenadas ou	
		das cotas que equidista de	
		determinado ponto. Em caso como	
		estes, que caminho devemos	
		seguir?	
		[...] vocês	
	18º Momento do trabalho da	Tarefa	
	técnica		

conseguiriam me dizer como são as coordenadas de pontos que estão sobre estes eixos? Ou dos planos que aparecem aqui? Por exemplo, um ponto P para pertencer ao eixo X? Quais características terá esse ponto?

  

					são paralelos? No caso de
					𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝑖 , 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖 +
					0𝑗 + 0𝑘 ⃗ . Imaginem que só
					caminhei na direção do
					eixo X de forma análoga
					temos para os eixos Y e Z,
					ou seja, 𝑃 ∈ 𝑂𝑌 ⟺ 𝑃 =
					(0, 𝑦, 0) e 𝑃 ∈ 𝑂𝑍 ⟺ 𝑃 =
					(0,0, 𝑧).
					P2: -O mais importante
					não é o x ou y neste ponto,
					o mais importante é que a
	19º Momento do trabalho da	Tarefa			segunda coordenada é
	técnica		P2: -Me digam onde se localiza o	nula. E aí? Segunda
			ponto de coordenadas (y, 0, x)?	coordenada nula significa
					que o ponto pertence ao
					plano XZ ou XOZ
			Ei: -Eu iria colocar que 𝑃 ∈ 𝑂𝑋𝑌,
			de verdade... Nunca colocaria que	Como	pontuaram
			𝑃 ∈ 𝑂𝑋𝑍.		Chevallard,	Bosch	e
			Ed: -Você e a torcida do Brasil.	Gascón (2001, p. 266)
					"[...],
	20º Momento exploratório	Tarefa	P2: -Guardem isso, pessoal, muito
			mais importante que as letras que
			estou usando é a propriedade:
			"segunda	coordenada	nula,
			significa que plano? OXZ."
					Discurso	tecnológico-
					teórico:
					P2: -Significa que 𝑃 ∈
					𝑂𝑋 ⟺ 𝑃 = (𝑥, 0,0), vetor
					𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo ao eixo X e
					consequentemente
					paralelo ao vetor 𝑖 ,
					correto? Minha pergunta
					é: quando dois vetores são
					paralelos? Que cálculos
					devem ser feitos para
					verificar se dois vetores

mas sempre haverá alunos que se manterão na questão de início. [...] que terão dificuldades de se desprenderem da primeira técnica" 21º Momento tecnológico-teórico Tarefa

  

P2: -[...] muito mais importante que as letras que estou usando é a propriedade: "

segunda coordenada nula, significa que plano? OXZ". 22º Momento de trabalho da técnica

  

			P2: -[...] determine os pontos P	Fundamentação
		Tarefa	sobre o eixo das ordenadas que	tecnológica da distância
			equidista dos pontos A = (1, -2, 3)	entre dois pontos
			e B = (2, 1, 0).	
			Eb: -[...], mas eu não sei o que	
			significa equidista.	
	23º Momento do primeiro encontro	Representação	P2: -uma mesma distância, uma	𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑑(𝐵, 𝑃)
		Geométrica	igual distância, pontos que estão a	
			uma mesma distância de A e B.	

24º Momento de trabalho da técnica

  

			[...]. Quando eu digo que P
		Abordagem	pertence ao eixo das ordenadas	𝑃 ∈ 𝑂𝑌 ⇒ 𝑃 = (0, 𝑐, 0)
		Algébrica	significa o que?	
			Ei: -x e z são zeros.	
			P2: -Pensar na origem é um bom
			caminho. Lembram do que
			comentamos mais cedo? O ponto P
			tem coordenadas (x, y, z) ⇔ 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ =	Discurso fundamentado
	25º Momento de trabalho da	Abordagem	(𝑥, 𝑦, 𝑧). Se não conheço as	nas concepções de pontos
	técnica	Algébrica	coordenadas desse vetor, mas sei	e vetores, acrescida a
			as coordenadas de	𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗	adição entre vetores
			separadamente e sei do vetor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗
			separadamente. Então posso fazer
			uma ponte passando pela origem e
			concluir que: 𝑨𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑶𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗	
					𝑑(𝐴, 𝑃) = |𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ |
	26º Momento de trabalho da técnica	Tarefa	Como calculamos comprimento de vetor, quando conhecemos suas coordenadas?	= √1 + 4 + 4𝑦 + 𝑦 2 + 9 = √𝑦 2 + 4𝑦 + 14
					[...] se considerarmos 𝑢 ⃗ =
					(𝑥, 𝑦, 𝑧) o comprimento
					dele	é	|𝑢 ⃗ | =
					√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 (teorema
	27º Momento tecnológico-teórico	Tarefa	Eg: -Sim, mas veio de onde essa raiz quadrada?	de Pitágoras). Se fosse no plano, só com duas coordenadas, é como se

  Sem perder de vista, o alvo da nossa investigação centra na caracterização das condições e restrições pautadas no que se faz, e do que não se faz, no contexto do MPD que vive no CLM-UEFS, ou seja, nos aspectos vinculados à problemática ecológica que constitui um dos fios condutores do nosso estudo. Os aspectos vinculados à ecologia dos saberes, de acordo comChaachoua e Bittar (2016), têm a função de questionar a realidade. E, para questionar o que está posto em aulas cujo tema de estudo são os vetores, é necessário retroceder no tempo, "dar um passo atrás, questionar as evidências, erodir ideias simples, retirar-se da familiaridade Esquema das observações realizadas na aula 2 enganosa de seu objeto de estudo"(CHEVALLARD, 1982, p. 3, tradução nossa 127 ), permitindo que o pesquisador se desprenda de uma certa ilusão de transparência e esteja atento às dependências dos objetos de estudo. Não devemos esquecer que quando nos perguntamos como são as coisas, surgem questões que só podem ser respondidas investigando o que acontece quando tentamos mudar as coisas em um determinado sentido (…). A atividade que deve ser realizada para responder às questões relativas à dimensão econômico-institucional de um problema didático está intimamente ligado ao queChevallard (2010, no prelo [sic]) designou como a análise clínica da didática, e que engloba o que se costuma chamar de Engenharia Didática.(GARCIA et al., 2019, p. 78-79) , os efeitos manifestados na forma de fenômenos didáticos identificados pelo pesquisador.(GARCÍA et al, 2019, p.79) Asseverada esta perspectiva, coloca-se em destaque alguns fatores que se caracterizaram como problemáticos (restritivos) nas aulas transcritas, e que direcionaram os estudantes à exposição de suas dúvidas, à incidência de erros e, por consequência, à instituição de dificuldades tanto à aprendizagem quanto ao ensino dos vetores. A exemplo, a definição dos vetorescaracterizados como segmentos orientados que possuem módulo, direção e sentidoemerge como um dos itens que obstaculizam à aprendizagem, basicamente, por qualificar os vetores como entes díspares dos habituais números, equações ou funções matemáticas. Heckler e Scaife (2015) indicam entraves com as distintas orientações das flechas, assim como Carneiro e Gravina (2012) apontam limitações com a desenvoltura para operar geometricamente com as setas.

	Momento exploratório. Figura 46 -Agrega-se a este aspecto a concepção de Chevallard (2010), destacada por García et al, Momento de trabalho da técnica. Retomada do assunto abordado na aula anterior. Primeiro encontro.
	Momento tecnológico-teórico Primeiro encontro. (…) Nesse panorama, as informações colhidas nas transcrições serviram de base à concepção Primeiro Momento de trabalho da técnica aditado com exploratório. Avaliação Momento de (2019), encontro. trabalho da técnica. Momento exploratório. Momento tecnológico-teórico Momento de trabalho da técnica. Momento de trabalho da técnica. Momento tecnológico-teórico Momento de trabalho da técnica.
	da ED, assim como serão retomadas e aprofundadas em diferentes fases do estudo, pois a
	metodologia de pesquisa da TAD normalmente se torna visível com o desenho e a execução de
	tarefas ou uma sequência de atividades para a sala de aula. Porém, seu escopo vai muito além
	de uma proposta de "inovação didática". Aproxima-se da visão da didática da matemática como
	epistemologia experimental (BROUSSEAU, 2002),

É relevante sobrelevar que em pesquisas pautadas na Engenharia Didática (ED), a fase de concepção suscita análises prévias que se efetuam "num quadro teórico didático geral e em conhecimentos didáticos já adquiridos no domínio estudado, mas também apoiando-se num certo número de análises preliminares"

(ARTIGUE, 1996, p. 198)

. Em direcionamento análogo, o ponto de partida é um conteúdo ou tópico específico a ser ensinado e, geralmente, um problema didático relacionado a ele. A primeira fase, análise preliminar, inclui a análise epistemológica do conteúdo matemático, da sua necessidade de inserção numa determinada instituição escolar e das condições e restrições que podem afetar o seu estudo nessa instituição.

"Esta fase é crucial, pois envolve a construção de um modelo epistemológico de referência (MER) do conhecimento em questão, bem como a identificação de hipotéticos fenômenos didáticos."

(GARCÍA et al, 2019, p.81) 

As análises preliminares geralmente incluem três dimensões principais: "uma análise epistemológica do conteúdo matemático em jogo, uma análise das condições e restrições que a ED enfrentará e uma análise do que a pesquisa educacional tem a oferecer para apoiar o design."

(ARTIGUE, 2014, p. 160)

. cujo objetivo é explorar outras formas de organizar a atividade matemática e os processos de estudo nas instituições escolares, de forma que, potencialmente, possam ser modificados

1 )

 1 Em que nível de ensino ocorreu seu primeiro contato com os vetores? Descreva como foi essa experiência. Primeiro contato com os vetores ocorreu entre o Ensino Fundamental e Médio 1) Em que nível de ensino ocorreu seu primeiro contato com os vetores? Descreva como foi essa experiência. comum."(CHEVALLARD, BOSCH e GASCÓN, 2001, p.62). Sob outra perspectiva,Brousseau (2002) parte da premissa básica de que uma situação envolve três dimensões: o sujeito, as circunstâncias nas quais ele se encontram e as relações que os unem ao meio.Uma situação é caracterizada em uma instituição por um conjunto de relações e de papéis recíprocos de um ou vários sujeitos(aluno, professor, etc.) com um meio, visando à transformação deste meio segundo um projeto. O meio é constituído por objetos (físicos, culturais, sociais, humanos) com os quais o sujeito interage em uma situação. (BROUSSEAU, 2002, p. 1) Esse aspecto é percebido e direcionado pelas esferas atitudinais e comportamentais entre a díade alunos e professor. Ou seja, é o conjunto de relações estabelecidas entre esses sujeitos e o conhecimento. Assim, pressupomos uma primeira interpretação, que sintetiza e integra todos os relatos em uma fala hipotética: " Professora, não espere muito de nós, pois sabemos pouco acerca dos vetores, visto que é um assunto com uma gama de particularidades o que o torna difícil e complicado. E para sanar estas dificuldades, faz-se necessário que o professor se dedique para que ocorra aprendizagem". No entanto, em direcionamento análogo, os estudos Dito isso, faz-se necessário direcionar a atenção para o habitat dos vetores, no âmbito do Saber a Ensinar situado nas séries finais do Ensino Fundamental II, Ensino Médio e o Ensino Superior. A exemplo, nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio é possível identificar Base Nacional Comum Curricular -BNCC segue o mesmo direcionamento ao apontar modificações em relação ao atual currículo do Ensino Médio, por meio da inclusão dos conteúdos: vetores e transformações lineares, fundamentado nos seguintes objetivos: Compreender o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção de segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto do ponto de vista algébrico, caracterizado por suas coordenadas, aplicando-o em situações da Física. (...) Estabelecer relações entre as transformações isométricas (reflexão, translação e rotação) e vetores no contexto do plano cartesiano, incluindo o uso de softwares de geometria dinâmica. (BRASIL, 2017, p. 564-565) No que diz respeito aos livros texto, Ventura e Almouloud (2013) realizaram um estudo acerca dos conteúdos de Geometria Analítica que estão presentes em livros didáticos direcionado ao Ensino Médio, constatando que, apenas na obra "Contextos e Aplicações", em três volumes, faz referência aos vetores. Assim, nota-se a reduzida incidência dos vetores no âmbito da Organização Matemática a Ensinar e seus consequentes reflexos no que é ensinado e apreendido nos limites das salas de aulas nos níveis fundamental e médio.

			Quadro 4 -Questões Preliminares	
	C K	"Experiência um pouco complicada, devido às Conjunto de semi-retas que Não especificada Em diversos Grandeza matemática com Entendo como propriedades Na física. No
	D	Superior possuem a mesma direção, dificuldades na disciplina em que tive contato com esse ramos da modulo direção e sentido, as que citei aqui inicialmente. estudo de planos e
		mesmo sentido e mesmo porém, não consigo definí-lo	conteúdo."	matemática retas. Mas sinto e
	E	Superior módulo. formalmente.	principalmente na dificuldade "Foi difícil no começo, mas assim que compreendi clássica. gostei muito." mecânica quanto a isso.
	F L D	Superior (disciplina GAI) É um conjunto de representação Uma ferramenta que indica de um determinado segmento de	Sejam u, v e w vetores e seja Sem relato Não especificada 0 o vetor nulo.	É bem utilizado
	G	Superior podendo ocorrer direção, sentido e comprimento, soma, reta.	Sem relato	mostrar na física para o
		Fonte: dados produzidos no minicurso (2018) subtração, produto vetorial,	direcionamento
		produto escalar.			das forças.
	E	Conjunto	formado	por	Soma, subtração, produto	Não especificada
	Quadro 6 -Participantes F	Nível segmentos de reta orientado. representa um conjunto de segmentos equipolentes, ou seja, mesma direção, sentido e Segmento orientado que	Experiência escalar, produto vetorial. ângulos, produto escalar e vetorial. Somar vetores, calcular	Presente na física.
	H	Final do Ensino comprimento.			
		Fundamental II em		"Antes de aprendermos mecânica"
	G	Física. Um representante de um	Não especificada	Na física, por
	I	1º ano do EM na disciplina Física conjunto de orientados. Possui direção, segmentos "Uma experiência boa, pois o professor dominava o exemplo, a força de um corpo (para assunto e sabia ensinar". sentido e comprimento. onde ela aponta)
	J	No Ensino Básico (9º		"Interessante e enriquecedor."
	K H	ano) 1º ano do EM na disciplina Física É um ente matemático utilizado "Só aprendi somas de vetores, em que se destacava o sentido." para representar grandezas vetoriais. Grandezas vetoriais, para ficarem perfeitamente, Propriedades (algumas): I -Vetor oposto: 𝐴𝐵 → = -𝐵𝐴 Extremante usado → no ramo da física, ; ; II -Vetor nulo: 0 → exemplo: forças.
	L M	Ensino Médio definidas necessitam de número, "Algo superficial, pois o conteúdo não foi explorado." unidade e sentido. III -Soma de vetores: 𝐴𝐵 → + 𝐵𝐶 → → = 𝐴𝐶 ; Entre o 9º ano e o 1º ano do EM, na disciplina de Física IV -Subtração de vetores: Sem relato Somar com o oposto
	N	9º ano do EF e 1º ano		"Abordado de forma superficial"
	Participantes A B O Participantes I P A algumas recomendações: Superior (disciplina Nível segmento, no entanto ele tem conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos segmentos Experiência propriedades, um sentido, física, os vetores GAI) Definido através de um Apresenta em suas Em mecânica, na quisermos. É desejável, também, que o professor de Matemática aborde com seus alunos o "Dificuldade em entender alguns conceitos". do EM em Física 2º semestre do Curso Definição Propriedades Um conjunto formado por Não especificada Na física para Aplicabilidade segmentos de retas orientados calcular força Sem relato equipolentes, ou seja, tem resultante. E na de Licenciatura em Matemática Ensino Médio em Física "Um pouco complicado" Fonte: dados produzidos no minicurso (2018) Como uma grandeza determinada por segmento de Não especificada Construção mesmo tamanho, direção e matemática para de sentido. Com essa definição calcular áreas de retas e planos. podemos dizer que vetor não é figuras como reta que indica módulo, direção fixo, pois podemos pegar um triângulos, e sentido. vetor desse conjunto e paralelogramos, movimentá-lo para o lugar que etc.
	B C A partir das sucintas declarações dos discentes, pode-se extrair alguns elementos que se Superior "Foi marcante, por ser algo novo, cheio de detalhes importantes." Superior "Achei um instrumento interessante da soma matemática, sendo aplicáveis em várias coisas, até orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado suas particularidades. Diferente de um segmento, um vetor tem mobilidade no espaço. direção e comprimento. aparecem para cada força exerce. sentido e norma. e o sentido em que Vetores possuem direção, informar a direção J Não me sinto apto para definir. Não especificada Não especificada
					mesmo no dia a dia."	

encontram nas entrelinhas dos relatos. O primeiro aspecto, atrela-se aos elementos do contrato didático

[START_REF] Brousseau | Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques[END_REF]

, pois existem "normas que, tacitamente, regem em cada momento obrigações recíprocas dos alunos e do professor, em relação ao projeto de estudo que têm em

de Vaz, Ferreira e Nasser (2017) 

ratificam as declarações dos discentes ao indicarem que esse conteúdo é abordado no Ensino Médio (EM) de maneira ingênua e pontual, em Física, não contribuindo para a sua retomada de modo mais amplo no Ensino Superior. Percebe-se, também, que em alguns casos o conteúdo é trabalhado na disciplina Física, porém de forma totalmente desvinculada da matemática.

O conceito de vetor no Ensino Fundamental e, principalmente, no Ensino Médio é visto apenas em Física. Isso gera uma impressão de que este ente tão importante é um objeto exclusivo dessa disciplina, é inegável o seu papel neste contexto. No entanto, vetor é um objeto matemático, por isso ele pode ser inserido no currículo de Matemática, considerando os aspectos geométrico e algébrico com suas características e propriedades específicas. Vetores são ferramentas que simplificam cálculos na resolução de problemas e demonstrações de resultados importantes. Eles aparecem em áreas como a Geometria Analítica, a Álgebra Linear e o Cálculo, estão associados aos números complexos e suas operações.

(SOUZA, 2015, p. 18

) pelas suas coordenadas). Em particular, é importante relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. A inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no ensino médio somente nas aulas de Física.

(BRASIL, 2006, p.77) 

Contemporaneamente, a A segunda questão apresenta um caráter específico, ao mesmo tempo em que pode ratificar ou não as menções dos partícipes expostos na primeira questão.

Quadro 7 Primeiro contato com os vetores ocorreu entre o Ensino Fundamental e Médio (continua)

2) Com os conhecimentos adquiridos até o momento, como você define vetores? Apresente propriedades deste objeto matemático e exemplifique sua aplicabilidade.

  problema do ensino e da aprendizagem em matemática assenta-se na própria matemática ou atividade matemática, premissa básica promulgada pelos pesquisadores da Didática da Matemática. O que nos faz acreditar que, ao buscar compreender o complexo praxeológico, é possível obter respostas que contemplem os nossos questionamentos. das concepções dos alunos, das dificuldades e dos erros tenazes, e a engenharia é concebida para provocar, de forma controlada, a evolução das concepções".

	Em termos da compreensão dos vetores, os estudos de Assemany (2011), Assemany et
	al (2013) e Azevedo (2013) salientam a relevância da base vetorial no currículo do Ensino
	Fato esse corroborado por intermédio de algumas questões preliminares, as quais serão Médio e argumentam que constituem um diferencial para estudantes na transição para o Ensino
	exemplificadas posteriormente. Em sentido análogo, Chaachoua e Bittar (2019) apresentam Superior, conforme pode ser visualizado através da seguinte afirmação:
	interpretações sobre os conceitos centrais que contribuíram para o desenvolvimento da TAD, e A introdução da noção de Vetores no R 2 no 1° ano do Ensino Médio pretende lançar
		mão de um instrumento importante e prático no estudo dos conteúdos expostos em
	explanam que,	sequência, mas principalmente da Trigonometria e Função Afim, reduzindo cálculos
		desnecessários que estes temas recorrem quando seu ensino é feito de maneira isolada. a aprendizagem é uma modificação da relação de um indivíduo X com O, ou seja, essa A organização dos conteúdos estruturados e baseados nos Vetores pretende conduzir relação começa 'a existir' (se ela ainda não existia), ou essa relação é modificada (se ela já existia). Esse processo de aprendizagem modifica a pessoa (não o indivíduo). o aluno a interpretações geométricas de fatos algébricos (ASSEMANY, 2011, p. 130).
		(CHAACHOUA; BITTAR, 2019, p. 31).
	As respostas e reações dos alunos contradizem a nossa hipótese preliminar: a de que
	eles já tiveram um contato, mesmo que breve, com os vetores. Aspecto que se encontra no
	âmago de estudos em diversas investigações que estabelecem comparativos entre as
	conformidades das relações pessoais de estudantes com relações institucionais como, por
	157 "Michel Quint, qui a récemment écrit un petit roman excellent, devenu best-seller, Effroyables jardins, y montre exemplo, os estudos de Assude (1992) que colocam em evidência a distinção entre o que é
	de même son dégoût des sciences, des mathématiques en particulier: 'Plus que tout, j'ai détesté les Augustes. Plus esperado que o aluno aprenda e o que ele realmente aprendeu. Bittar e Chaachoua (2019)
	que l'huile de foie de morue, les bises aux vieilles parentes moustachues et le calcul mental, plus que n'importe quelle torture d'enfance' (...) Une revue politique publiait récemment la photo d'une chambre d'exécution du interpretam essa concepção, em termos da TAD, como uma avaliação do desnível entre a

Texas: 'Tout, dans cette photo, respire la mort, (...) univers géométrique et technique... 3' On l'aura compris, la géométrie et la technique sont du côté de la mort. Que répliquer? Peut-être suggérer à l'auteur une visite aux jardins de l'Alhambra de Grenade; ses préjugés devraient s'évanouir dans cette espèce de paradis de beauté, de nature et de géométrie. (...) José Garcia, acteur montant, déclare ainsi dans une interview récente: 'Pendant quinze ans de ma vie, j'ai cru que j'étais un imbécile, un abruti, un cancre. Tout ça parce que je n'étais pas doué en maths'.

158 

Curso ministrado pela professora Michèle Artaud ao Programa de Pós-Graduação em Ensino História e Filisofia das Ciências em outubro de 2017. o Através destas e de outras ferramentas de base da TAD (CHEVALLARD, 2013), admitimos que O corresponda aos vetores e X aos participantes do curso. Nessa conjuntura, as questões diagnósticas ou o questionário preliminar, também utilizado em uma das aulas observadas, nos permitiu detectar, previamente, as relações destes indivíduos X com o objeto O, e o que predominou foi uma ausência de relação R(X, O) = ∅. Esta lacuna indica que os alunos não conhecem O, ou, em termos ecológicos, que O ainda não vive em I (estudantes do curso de Licenciatura em Matemática enquanto participantes do curso). Uma das nossas intenções didáticas (CHEVALLARD, 1996) se constitui na modificação destas relações, já que, dialogando com Bosch e Chevallard (1999):

(...) Conhecer um objeto é ter o que fazer come muitas vezes ter de lidar comesse objeto. O saber matemático, como uma forma particular de conhecimento, é o resultado da ação humana institucional: é algo que se produz, se utiliza, se ensina ou, mais geralmente, se transpõe em instituições.

(BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p.85) 

relação pessoal e a institucional de um estudante frente ao objeto estudado.

A afirmação de

Artigue (1996, p. 202

) comunga diretamente com o que foi ressaltado anteriormente, ao sinalizar que "pontos de apoio essenciais da concepção residem na fina análise prévia

  no capítulo II, o qual denotou como método denominado de "projeção paralela", que afirma ser comumente empregado. Contudo, deve-se

	atentar que os eixos Y e Z são desenhados mutuamente perpendiculares, mas o eixo X é
	desenhado de maneira que o ângulo XOY é maior que 90°, sendo usualmente tomado como
	135°.
	Assim, (...) "um objeto visto sob outro ângulo: uma anamorfose e uma projeção
	geométrica podem ser exemplos desta teoria das representações" (JOLY, 2005, p. 25). Fato esse
	que, consideramos um obstáculo à aprendizagem, visto que a representação bidimensional não
	traduz, em essência, uma imagem tridimensional e, quando representada no quadro ou no papel,
	pode provocar ambiguidades que se instalam na interpretação de determinada questão. Com
	base nesse esboço, verificamos a existência de obstáculos didáticos (BROUSSEAU, 2009)

  ). Ressalta-se que a OP preza pela inseparabilidade entre os blocos práticos [𝑇, 𝜏 ] e teóricos [𝜃, Θ ], intrínsecos às atividades matemáticas. Neste segmento, Vetores paralelos -Dois vetores 𝑢 ⃗ e 𝑣 são paralelos, e indica-se por 𝑢 ⃗ //𝑣 ⃗

	montamos tabela 6:		
				Tabela 6 -Modelação praxeológica da tarefa
	Tarefa 𝑻		Técnica 𝝉		Tecnologia 𝜽	Teoria Θ
						Centra-se no conceito de:
	Identificar					O	aspecto
	representantes	de	Observar	as	axiomático da
	vetores:	paralelos,	características		Geometria
	ortogonais, coplanares, oposto, a partir da nulo, figura.	"geométricas" de cada vetor.	se os seus representantes tiverem a mesma direção; Vetor nulo -Qualquer ponto do espaço é representante do vetor nulo;	Euclidiana imbricado Álgebra Vetorial.	à
						Vetor oposto -quando dois vetores
						possuem o mesmo módulo, mesma
						direção e sentidos opostos;
						Vetores ortogonais -Dois vetores 𝑢 ⃗
						e 𝑣 são ortogonais , e indica-se por
						𝑢 ⃗ ⊥ 𝑣 ⃗ , se algum representante de 𝑢 ⃗
						formar ângulo reto com algum
						representante de 𝑣 ;
						Vetores Coplanares -Dois ou mais
						vetores são coplanares se existir
						algum plano onde estes vetores
						possam	ser	representados
						(WINTERLE, 2014).
					Fonte: acervo da autora (2019).

  Construa a figura acima nos respectivos ambientes: papel/lápis, materiais manipuláveis e no GeoGebra. Escreva os vetores 𝑢 ⃗ , 𝑣 ⃗ , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ em função dos vetores 𝑖 e 𝑗 , isto é, usando as operações com vetores estudadas (adição, subtração e multiplicação por escalar), escrevendo cada um deles na forma de vetores 𝑥𝑖 +𝑦𝑗 , onde 𝑥 e 𝑦 são 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ em relação à base ortonormal, constituída pelos vetores 𝑖 e 𝑗 , são temas periféricos e não foram tomados como cruciais, visto que os objetivos da tarefa se fundamentam em conceitos como: adição, subtração e multiplicação por escalar, além da combinação linear em função dos vetores 𝑖 e 𝑗 , sem exigir do estudante uma representação fidedigna da imagem que integra a questão. de um novo 𝐺𝑇, que denominaremos como 𝐺𝑇 𝑣 ⃗ 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 = [ 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠; 𝑉 𝑜 , 𝑉 𝑡 ]. Se introduzidas duas novas variáveis, tem-se a seguinte ramificação, exposta no diagrama:

	números reais.
	Fonte: acervo da autora (2018).
	É relevante destacar que elementos como: comprimentos (normas) e ângulos dos vetores
	trabalhar na resolução de uma tarefa, usando dispositivos distintos, implicará o emprego de 𝑉 𝑜 𝑣 9 ∶ 𝑠𝑜𝑚𝑎; 𝑣 10 : 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜; 𝑢 ⃗ , técnica terá traços característicos da variável 𝑉 𝑑 , pois fixar vetores ortogonais utilizando 𝑣
	canudos não é o mesmo que no papel/lápis, assim como diferirá no GeoGebra. Neste domínio, técnicas diferentes com alcances distintos, o que nos leva a inferir que a técnica sofrerá
	é possível afirmar que a técnica mobilizada em cada sub-tarefa está subordinada ao dispositivo transformações conforme o dispositivo. Em outras palavras, os dispositivos vão alterar o
	escolhido, isto é, produz gestos diferentes e manipulação distinta de ostensivos na abordagem complexo de ostensivos. Nesta perspectiva, apresentaremos alguns registros de resoluções nos
	de um mesmo tema -ortogonalidade entre vetores -, o que nos leva a conjecturar que para diferenciados ambientes.
	estabelecer comparativos entre dispositivos faz-se necessária a confrontação de técnicas.

Ao seguir os direcionamentos de Cirade e Matheron (1998), é possível decompor a atividade mencionada acima em sub-tarefas. t1: Fixar dois vetores 𝑖 e 𝑗 unitários e ortogonais; t2: Considerar 𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ os vetores indicados na figura; t3: Usar os diferentes ambientes para construção da figura mencionada na questão; t4: Escrever os vetores 𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ em função dos vetores 𝑖 e 𝑗 .

Fonte: acervo da autora (2018). Ao considerar o sub-tipo de tarefa t1: Fixar dois vetores 𝑖 e 𝑗 unitários e ortogonais, a Tomando como referência o 𝐺𝑇 𝑣 ⃗ 𝑠𝑜𝑚𝑎 revelado inicialmente, a variável 𝑉 𝑑 assume os seguintes valores: 𝑣 1 : Materiais manipuláveis (canudos/palitos) 𝑣 2 : Papel/lápis; e 𝑣 3 : GeoGebra. No entanto, o 𝐺𝑇 𝑣 ⃗ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚 não integraliza por completo os requisitos da questão, Quadro 13 -Decomposição em sub-tarefas empreendendo a criação 𝐺𝑇 𝑣 ⃗ 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 = [ 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠; 𝑉 𝑜 , 𝑉 𝑡 ] No que concerne à variável 𝑉 𝑡 , a tarefa aborda o valor da variável 𝑣 4 por solicitar o tratamento algébrico. Diante destas considerações, ratifica-se a decomposição de tarefas em sub-tarefas (CIRADE; MATHERON, 1998) com a finalidade de demonstrar a organização matemática e avaliá-la. Em mesma direção, Chaachoua e Bessot (2018) sublinham que:

Essa divisão nos parece de um interesse genuíno: na verdade refere-se às tarefas reconhecidas institucionalmente, e para as quais a prexeologia matemática foi amplamente introduzida. Isso ajuda a situar as dificuldades dos alunos na implementação de uma técnica no nível técnico de "sub-tarefas" que a compõem. (CHAACHOUA;

BESSOT, 2018, p. 122) 

Os autores ora aludidos destacam que no T4TEL uma técnica 𝜏 é descrita por um conjunto de tipo de tarefas. Concepção essa que nos direciona a avaliar uma das tarefas propostas aos discentes participantes do curso Uma Introdução sobre os Vetores. Isso porque a técnica será modificada pela variável 𝑉 𝑑 -Dispositivo, que, em síntese, significa afiançar que 11 : 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟.

  Figura 93 -Traços de uma praxeologia pessoal 𝜏 4 -𝑡 4.1 : considerar vetores paralelos a 𝑖 e 𝑗 por meio da operação multiplicação por escalar; -𝑡 4.2 : usar a regra do paralelogramo; -𝑡 4.3 : traçar retas paralelas aos vetores 𝑖 e 𝑗 ; -𝑡 4.4 : identificar 𝑢 ⃗ como resultante da soma de 𝑥𝑖 +𝑦𝑗 ;

𝑇 4 Escrever os vetores 𝑢 ⃗ , 𝑣 ⃗ , 𝑤 ⃗⃗ e 𝑛 ⃗ em função dos vetores 𝑖 e 𝑗 .

  destacou também que, o conhecimento do real é luz que sempre projeta algumas sombras. Nunca é imediato e pleno. As revelações do real são recorrentes. O real nunca é "o que se poderia achar", mas é sempre o que se deveria ter pensado. O pensamento empírico torna-se claro depois, quando o conjunto de argumentos fica estabelecido. Ao retomar um passado cheio de erros encontra-se a verdade num autêntico arrependimento intelectual. No fundo, o ato de conhecer dá-se contra um conhecimento anterior, destruindo conhecimentos mal estabelecidos, superando o que, no próprio espírito, é obstáculo à espiritualização. (Ibid., p.17, grifos do autor)

  sinaliza que, seu funcionamento -para não falar do seu bom funcionamento -pressupõe que a "matéria" (professor, alunos, conhecimentos) que ocupará cada uma das três vagas satisfaça determinados condicionantes didáticos específicos. Para que o ensino de tal elemento do conhecimento seja apenas possível, esse elemento deve ter sofrido certas deformações, que o tornam adequado para o ensino. Conhecimento-como-é-ensinado,

	conhecimento ensinado, é necessariamente diferente de conhecimento-inicialmente-
	designado-como-a-ser-ensinado, conhecimento a ser ensinado. (CHEVALLARD,
	1982, p.169, tradução nossa 172 )	
	Aditado à concepção transpositiva, Casabó (2018) ressalta que,
	a disseminação das praxeologias se dá através dos Sistemas Didáticos. (...). A
	dinâmica desses sistemas -o que X e Y fazem para gerar evoluções -e as condições
	e restrições que permitem ou dificultam esta dinâmica também são dimensões
	importantes no cerne do questionamento didático. (CASABÓ, 2018, p.4034, tradução
	nossa 173 )		
	Figura 101 -Esquema do processo de estudo
		Conhecimento	
		Escolar	
	Sistema Educacional	Comunicação	Aluno

O

  que x pode ter com o objeto o -se x o manipula, o usa, fala sobre ele, sonha com ele, etc. Diremos que o existe para x se a relação pessoal de x com o é "não vazia", que é anotada como R(x, O) ≠ ∅.(CHEVALLARD, 2002, p. 81, tradução nossa 175 ) Em outras palavras significa dizer que cada 𝑥 ∈ 𝑋 deve agir para que relações com 𝑂, (𝑅(𝑥, 𝑂)), se criem. Assim como 𝑦 ∈ 𝑌 tem a função de "fazer algo" que origine oportunidades para que 𝑅(𝑥, 𝑂) se estabeleçam ou sejam fortalecidas se já existirem, pois como já dito anteriormente, "a aprendizagem é uma modificação da relação de um indivíduo x com O, ou seja, essa relação começa a existir (se ela ainda não existia), ou essa relação é modificada (se ela já existia)."(CHAACHOUA; BITTAR, 2019, p. 31).

	Associados aos elementos aludidos anteriormente, estão as praxeologias, ou seja, "toda
	ação humana procede de uma praxeologia" (CHEVALLARD,1997, p. 14). Dito de outra forma,
	A partir dessa interpretação, os autores apresentam um redesenho do esquema ao utilizar um
	triângulo escaleno, por considerar que as interações didáticas não ocorrem de forma estável,
	simétrica e regular. Nesse contexto, os autores concentram a atenção na função didática
	cronogênese, a qual se encarrega da "gênese do tempo didático, ou seja, o tempo da construção
	praxeológica" (CHEVALLARD, 2009-2010, p.79), estabelecendo um comparativo entre o
	monumentalismo (CHEVALLARD, 2012) e os Percursos de Estudo e Pesquisa -PEP
	(CHEVALLARD, 2009).

"toda praxeologia é um sistema de tarefas em torno do qual técnicas, tecnologias e teorias são desenvolvidas e organizadas"

(CHEVALLARD, 1997, p. 17, tradução nossa 176 

). O que significa dizer que essa estrutura organizacional que se forma nos âmbitos das salas de aulas se apoiam nas intencionalidades advindas dos sujeitos 𝑥 e/ou y, os quais se envolvem em complexos praxeológicos ao possuir hábitos que envolvem o objeto de estudo. Dessa maneira, a gestão e intervenções dos professores e as interações dos alunos sob os conhecimentos se propagam no cenário institucional.

Assim, nessa via de investigação, determina-se os objetos a serem estudados e os papeis dos agentes no processo de estudo. Dito de outra forma, consiste em criar condições para que as trocas entre professores e alunos tenham por finalidade o saber. Entretanto, comungamos com Nascimento et al. (

2019

) que sinalizam acerca da existência de instabilidades nos relacionamentos e nas interdependências entre os agentes que integram os sistemas de ensino.

175 

Le notion fondamentale est celle de rapport personnel d'un individu x à un objet o, expression par laquelle on désigne le système, noté R(x, O), de toutes les interactions que x peut avoir avec l'objet oque x le manipule, l'utilise, en parle, en rêve, etc. On dira que o existe pour x si le rapport personnel de x à o est « non vide », ce qu'on note R(x, O) ≠ ∅. 176 Le socle de toute praxéologie est un système de tâches autour duquel se développent et s'organisent techniques, technologies, théories.

  1 ◊ , … , 𝑅 𝑛 ◊ , 𝑂 1 , . . . , 𝑂 𝑛 }". A evolução e a transformação do 𝑚𝑒𝑖𝑜 ocorre à medida que os estudantes consultam obras 𝑂 (livros, textos e materiais de apoio, como por exemplo os Dispositivos Didáticos, dentre outros), os quais se somam a novas questões que derivam de 𝑄,

	Nesse sentido, Chevallard (2007) também ressalta que o meio pode ganhar uma
	amplitude, composto por uma reunião de obras e recursos que os alunos visitam para
	fundamentar e obter uma resposta desejada, que remeterá "a configuração didática evocada aqui
	pode ser colocada na seguinte forma, de acordo com um esquema que chamaremos Esquema
	Herbatiano 177 : [𝑆(𝑋; 𝑦 * ; 𝑄)𝑀{ 𝑄 1 , … , 𝑄 𝑛 , 𝑅 1 ◊ , … , 𝑅 𝑛 ◊ , 𝑂 1 , . . . , 𝑂 𝑛 }]  𝑅 ♥ ." (CHEVALLARD,
	2007, p.349, tradução nossa 178 ). Dessa forma, essa vertente não compõe o objetivo principal
	da pesquisa, mas estudos futuros terão como embasamento esse tipo de estruturação.
	Figura 102 -Sistema Didático em associação com as Funções Didáticas Dito isto, a Dialética Mídia Meio faz-se presente ao reger todos os direcionamentos para
	construção do meio, enriquecido e nutrido por diversas mídias que se fazem presentes no
	Mesogênese processo de experimentação, descrito por Chevallard (2007),
	AHA
	MMAHA
	PLAHA
	GGAHA
	GTs
	Cronogênese
	aditada às respostas acessíveis e reconhecidas institucionalmente, gerando um ciclo de
	aproximação gradual da resposta almejada R ♥ . Como defende Chevallard (2007),
	Na TAD, o meio não deve ser dado no início com X, Y e Q; e, em vez de retocar o
	diagrama indicado acima, reescrevendo-o no formato S (X, Y; Q; M)  R, escreverei

aqui [S (X; Y; Q) M]  R, significa que o sistema didático S (X; Y; Q) produz e organiza o meio M com o qual, dialeticamente, ele gera R. A produção e organização desse meio didático é, como regra geral, um aspecto essencial da produção de uma organização didática.

(CHEVALLARD, 2007, p.31) 

(...) mídia é entendida aqui como qualquer sistema para representar o mundo (ou parte do mundo) voltada a determinado público: um tratado aprendido é, portanto, uma mídia (ou mais exatamente uma produção pertencente a um determinado gênero de mídia), como é a mídia do curso de um professor, ou o sistema de boatos, etc. A palavra meio, por outro lado, entra em consonância com a TSD, qualquer sistema considerado desprovido de intenção na resposta que pode fornecer (de maneira eventual e implícita) a uma determinada pergunta, de modo que parece se comportar em relação a ele como um fragmento da natureza.

(CHEVALLARD, 2007, p.40, tradução nossa 179 ) 

  Sistema de Variáveis ou pela possibilidade de se integrar ao complemento verbal que acompanha a estruturação dos Tipo de Tarefas que compõem os GTs.

	Assim, agrega-se ao posicionamento das demais funções didáticas um diálogo acerca
	da interpretação que temos das mesmas. Pois, a exemplo da topogênese se revela que como
	a gênese de equipamentos praxeológicos (e relatórios institucionais associados)
	segundo as posições do aluno e do professor durante a construção praxeológica. O
	topos (lugar, em grego antigo) do aluno (respectivamente do professor) é a parte da
	posição do aluno (resp. do professor) que se relaciona com as entidades praxeológicas
	construídas ou em construção na sala de aula. (CHEVALLARD, 2009-2010, p.82,
	tradução nossa 180 )
	Sob esse ponto de vista, as construções de cunho praxeológico realizadas no âmbito dos
	SD estão diretamente vinculadas ao saber em jogo. Desse modo, o viés investigativo pode ser
	, se
	apresentam como um componente material de uma técnica, em oposição ao seu componente
	gestual, o que significa dizer que são compostos por objetos que possuem propriedades
	intrínsecas à natureza física, viabilizando o manuseio dos ostensivos. Para nós, denotados por
	Materiais Manipuláveis -MM, Papel Lápis -PL e o GeoGebra -GG, esses se integram à
	configuração do AHA e alimentam os Geradores de Tipo de Tarefas -GTs, seja por intermédio
	177 Advém do sobrenome de Johann Friedrich Herbart (1776-1841), para obter maiores detalhes ver Chevallard
	(2007).

178 

Le configuration didactique évoquée ici peut être mise en forme comme suit, selon un schéma qu'on appellera le schéma herbartien: [𝑆(𝑋; 𝑦 * ; 𝑄)𝑀{ 𝑄 1 , … , 𝑄 𝑛 , 𝑅 1 ◊ , … , 𝑅 𝑛 ◊ , 𝑂 1 , . . . , 𝑂 𝑛 }]  𝑅 ♥ . 179 (...) on entend par média, ici, tout système de mise en représentation du monde (ou d'une partie du monde) à l'adresse d'un certain type de publics: un traité savant est ainsi un média (ou plus exactement une production relevant d'un certain genre médiatique), de même qu'est un média le cours du professeur, ou le système des rumeurs, etc. Le mot de milieu, quant à lui, renvoie, en consonance avec la TSD, à tout système regardé comme dénué d'intention dans la réponse qu'il peut apporter (de manière éventuellement implicite) à telle question déterminée, en sorte qu'il paraît se comporter à son égard comme un fragment de nature. do sintetizado com a estruturação e operacionalização dos Geradores de Tipo de Tarefas -GT alimentados pelos sistemas de variáveis provenientes da configuração revelada nos Dispositivos Didáticos que integram o Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA. Aspecto esse que abre caminho que nos conduz a relacionar diferentes noções no que tange a dimensão vetorial.

  que apresentam a emergência do "Paradigma de Questionamento do Mundo", cuja base se assenta em, "(...) atitudes diferentes, que eu chamo de procognitiva (...), .3, tradução nossa 182 ). Em outras palavras, uma visão prospectiva sobre a dimensão didática que aponta para um aflorar de uma postura autônoma dos estudantes, pressuposto este seguido durante todos os cursos, mesmo que de forma embrionária, os quais apresentam organizações, advindas da mobilidade entre os vértices dos triângulos. Como sublinham Farias;

	Carvalho e Teixeira (2018),
	(...) passamos, por exemplo, pela relação do sujeito com os tratados publicados de
	ensino e aprendizagem, tratados estes que talvez não estejam permitindo um mergulho
	na atividade institucional, uma busca pela compreensão teórica relacionada com a
	prática (no caso dos professores), mergulho que representaria a autonomia desse
	sujeito. (FARIAS; CARVALHO e TEIXEIRA, 2018, p.98)
	Assim, ilustramos um dos cenários que pode ser planejado em conexão com as funções
	E muitas vezes, nessas condições,
	O mais provável é que o estudante não veja que as dificuldades com as quais se depara
	são resultado mais da organização matemática escolar que de uma possível
	e que inclina-se a se comportar como se o conhecimento ainda estivesse essencialmente para incapacidade pessoal. Sem dúvida, o contrato no qual trabalha não permite identificar
	seu problema como um problema didático, isto é, um problema de estudo e de descobrir e ainda para conquistar -ou redescobrir e conquistar de novo." (CHEVALLARD, organização do estudo. (...) O problema está no fato de que não existe nenhum lugar
	na organização tradicional do processo didático que possa responder, adequadamente,
	a essa necessidade de "mais matemática". (CHEVALLARD, BOSCH e GASCÓN,
	2001, p. 282, grifos dos autores)

180 

Genèse des équipements praxéologiques (et des rapports institutionnels associés) selon les positions d'élève et de professeur au cours de la construction praxéologique. Le topos (le lieu, en grec ancien) de l'élève (respectivement du professeur) est cette partie de la position d'élève (resp. de professeur) qui a trait aux entités praxéologiques construites ou en cours de construction dans la class 181 On peut imaginer un monde institutionnel dans lequel les activités humaines seraient régies par des praxéologies bien adaptées permettant d'accomplir toutes les tâches voulues d'une manière à la fois efficace, sûre et intelligible. Mais un tel monde n'existe pas: comme on l'a suggéré, les institutions sont parcourues par toute une dynamique praxéologique (…) 2012, pdidáticas. Frente a essa mobilidade de um dos vértices do triângulo, é possível examinar aproximações entre o estudante e o saber, ou seja, a distância entre o saber e os estudantes se reduz quando eles assumem o protagonismo da situação deslocando o posicionamento do AHA, oportunizando, assim, um repertório de Dispositivos Didáticos sob seu controle. Dito de outra forma, o professor proporciona aos alunos situações que demandam escolhas, testar seus efeitos, coordená-las, eventualmente regressar às conceitualizações prévias, estabelecer seleções, dentre outras. Em outras palavras, os estudantes aceitam o protagonismo da situação e assumem o papel de atores, pois eles solucionam, coletivamente, as questões sem inferências do docente.

O que nos permite pensar que situações didáticas planejadas com distintos dispositivos didáticos oportunizam aos estudantes uma atuação que se desvencilha da dependência do docente, rompendo assim com o "vício escolar: espera que o professor diga o que deve fazer"

(CHEVALLARD, BOSCH e GASCÓN, 2001, p.264)

. Esse aspecto está ausente na estruturação do ensino tradicional que sustenta seus pilares no Paradigma de Visitas às Obras.

1 Descrição dos Caminhos das Práticas Pessoais -CPP a partir de um recorte de tarefas avaliativas

  𝐺𝑇 𝐴𝑃 𝑡 -Gerador de Tipo de Tarefas para Análise a Priori dos Tipos de Tarefas que foram trabalhadas no seio do minicurso projetado para os discentes do leitura desse texto, faremos um recorte de algumas questões e Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, o qual serão definidos, caracterizados e descritos na próxima subseção.As lentes de análises que subsidiam essa etapa da pesquisa são conduzidas por meio da perspectiva dos valores assumidos pelas varáveis, nesse caso 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 -Natureza dos ostensivos: {geométrica, algébrica ou numérica} e 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 assume o valor de PL, pois as avaliações são potencialmente realizadas no campo deste dispositivo. Dessa forma, o 𝐺𝑇′ 𝐴𝑃 𝑡 pode ser

	Quadro 15 -Gerador de Tipo de Tarefas direcionado às análises a priori Quadro 16 -Direcionamentos institucionais da componente curricular Geometria Analítica -Figura 106 -Desenho do Caminho de Práticas Pessoais -CPP intermédio de algumas resoluções tratadas no sétimo capítulo a partir análises das
	experimentações.	EXA 374
	Tipo de Tarefas -GT (CHAACHOUA; BESSOT, 2016), é viável usufruir deste aspecto, na trajetória metodológica da pesquisa. Em outras palavras, pensamos em atrelar e remeter às análises a priori, apresentadas neste texto, a empregabilidade e a funcionalidade dos GTs, permitindo assim, um trânsito entre os diferentes níveis de granularidade, levando em consideração os variados aspectos da atividade matemática por meio da instanciação dos direcionado para a construção das análises, a priori da primeira tarefa, o qual pode ser replicado para as demais questões, as quais serão tratadas neste capítulo, situadas a partir do nível pontual (atômico) na escala de codeterminação didática com projeções ascendentes para níveis 𝐺𝑇 𝐴𝑃 𝑡 = [ 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑟; 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑒𝑓𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠; 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 , 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 ] COMPONENTE CURRICULAR NATUREZA CÓDIGO CARGA HORÁRIA ATIVIDADE PEDAGÓGICA ... Nestes termos, situamos os vínculos que se agregam aos CPP, pois supomos que os , 𝑉 3 𝐴𝑃 𝑡 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 Geometria ECM EXA 374 60h Teórico-prática assujeitamentos institucionais que resultam do processo de apropriação do conhecimento -Natureza dos ostensivos: {geométrica, algébrica ou numérica}; 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 -𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠: {𝑃𝐿, 𝑀𝑀, 𝐺𝐺}; 𝑉 3 𝐴𝑃 𝑡 -𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 Fonte: acervo da autora (2020) Analítica EMENTA: Sistemas de Coordenadas Cartesianas no Espaço. Álgebra Vetorial. Produtos escalar, vetorial e misto. Estudo da Reta e do Plano. Coordenadas Polares. Cônicas e Superfícies. BIBLIOGRAFIA BÁSICA: BOULOS, P.; CAMARGO, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São Paulo, SP: Prentice Hall, 2005. DELGADO, J.; FRENSEL, K.; CRISSAFF, L. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: SBM, 2017. LEHMANN, C. H. SIECZKOWSKI, R. P. S. Geometria Analítica. Porto Alegre: Editora Globo, 1998. Sociedade Brasileira ... advém da estruturação do meio no qual o estudante está imerso. De igual modo, o aspecto social, por sua vez, relaciona-se com a atividade desse sujeito. Numa instituição, o sujeito se apropria de tal ambiente cultural (científico -escolar) em situação de ação (diante de saberes matemáticos). 6.2.designado por, Quadro 17 -Gerador de Tipo de Tarefas GT'APt Nesse contexto, idealizamos os Caminhos de Práticas Pessoais que se inscrevem dentro das praxeologias pessoais (CROSET e CHAACHOUA, 2016), visto que os tipos de tarefas e 𝐺𝑇′ 𝐴𝑃 𝑡 = [ 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟; 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑒𝑓𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠; 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 , 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 , 𝑉 3 𝐴𝑃 𝑡 ] 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 -Natureza dos ostensivos: {geométrica, algébrica ou numérica}. 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 -𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠: {𝑃𝐿, 𝑀𝑀, 𝐺𝐺} 𝑉 3 𝐴𝑃 𝑡 -𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 Heterogeneidade de Equipamentos Praxeológicos (CHEVALLARD,2009) 𝑅 1 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) 𝑅 2 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) ... CLM-UEFS Analítica Álgebra Vetorial Operações vetoriais Geometria Vetores CPP GT AHA Tn t1 ... tn 𝜏 1 ... 𝜏 𝑛 [𝜃/Θ] DD = {PL, MM, GG} A partir dessa perspectiva, a conceitualização do CPP, o qual resulta de um sequenciamento heterogêneo das relações pessoais que se projetam nos equipamentos praxeológicos dos sujeitos revelados por meio das técnicas mobilizadas nas trilhas resolutivas de cada tarefa de certo tipo T, sem perder de vista as recombinações praxeológicas ou Assim, denotaremos: O primeiro deles, refere-se ao in situs 186 institucional desta tarefa e das demais que serão Geometria "praxeologia transposta (Π ⊕ Λ)
	superiores. tratadas nesta seção. Assim, institucionalmente todas as tarefas se inscrevem e estão respaldadas técnicas pessoais nem sempre coincidem com os tipos de tarefas e técnicas institucionais. É Fonte: acervo da autora (2020) Fundamentados nesses aportes teórico e curricular, fitamos a atenção para um aspecto pela ementa da componente curricular Geometria Analítica e Álgebra Linear I EXA 180 e de igual modo se afilia a Geometria Analítica -EXA 374. De acordo com o quadro a seguir: nesse espaço, situado no cerne de uma transposição didática interna, que vivem os CPP regados que certamente contribuirá para descrição das condições e restrições respaldadas no que se faz pelas relações pessoais e institucionais de p com o objeto O, caracterizadas como existentes Assim, para que uma pessoa p possa desenvolver distintas relações com o objeto 𝑂 𝑣 ⃗ é e no que não se faz no MPD no cenário do CLM -UEFS. Dessa forma, algumas questões que integraram as avaliações da componente curricular EXA 180 -Geometria Analítica e Álgebra 𝑅 𝐼 (𝑝, 𝑂) ≠ ∅ ou não existentes 𝑅 𝐼 (𝑝, 𝑂) = ∅ (CHEVALLARD, 2002). Como apresentado a necessário fomentar uma série de relações pessoais (CHEVALLARD, 1996) com esse objeto,
	seguir,	

valores no sistema de variáveis, as quais a professora/pesquisadora pode ampliar, reduzir ou até mesmo bloquear um repertório de técnicas, supostamente, projetadas para a resoluções das tarefas. O que significa dizer, que alguns fenômenos didáticos são mais ou menos perceptíveis a partir da modelização praxeológica proposta na pesquisa.

Então, sob esse ponto de vista, emerge uma primeira articulação entre a estruturação das análises a priori e os Geradores de Tipo de Tarefas, que se dará no nível do bloco prático, ou seja, das tarefas e técnicas, sempre legitimadas pelo arcabouço tecnológico-teórico, desenvolvidas ou mobilizadas em cada proposta de resolução. Assim, supomos que os sujeitos da pesquisa devam encontrar e seguir vias diferentes com o desígnio de alcançar as soluções das atividades propostas, viabilizando projeções e concepções distintas acerca das tarefas vetoriais. Todavia, a incorporação de variáveis gerais ou específicas regulará em que nível de codeterminação didática

(CHEVALLARD, 2002) 

o GT pertencerá. O qual pode ser exemplificado por meio do esquema, em que apresentamos um Gerador de Tipo de Tarefas CLM-UEFS. Composto por um verbo de natureza preditiva e um complemento fixo, o qual pode ser definido a partir de distintos níveis de granularidade do específico para o genérico ou vice-versa, e que se atrela a um sistema de variáveis elaborados segundo os interesses inerentes à pesquisa. Assim, as distintas variáveis contribuem para o gerenciamento das ramificações particulares ou extensivas do estudo. É relevante destacar que o Gerador de Tipo de Tarefas -𝐺𝑇 𝐴𝑃 𝑡 , idealizado para análises a priori, possui uma natureza essencialmente metodológica, ou seja, contribuirá para a ordenação dos dados produzidos no intuito de obter, mesmo que parcialmente, a meta da investigação. No nosso caso, como mobilizar recombinações praxeológicas, pautadas em condições e restrições, que promovam mediações entre as relações pessoais e institucionais no âmbito dos SDs subjacente ao saber vetorial no CLM-UEFS? Trata-se, então, de uma imersão por meio de tipos de tarefas que promovam o ingresso no âmbito vetorial, através das análises dos desenvolvimentos das praxeologias, compatíveis com as características de resoluções propostas no que se refere a esse saber e aos dispositivos didáticos empregados. Dessa forma, elencamos alguns pontos de interesse na análise a priori.

186 

Expressão em latim utilizada pelos franceses que significa no local. LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. Curitiba: Scientia et Labor, 2015. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: AVRITZER, D. Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009. Fonte: Projeto Político Pedagógico do Curso de Licenciatura em Matemática (UEFS, 2018) Retrocedemos no Modelo Praxeológico Dominante -MPD para pontuar que, mesmo diante das modificações curriculares ocorridas no cerne institucional do CLM-UEFS, os vetores sempre integraram as ementas das componentes curriculares que versaram sobre a Geometria Analítica no contexto deste curso. Nestes termos, é possível perceber que Álgebra Vetorial tem seu habitat consolidado no âmbito geométrico, convergindo para ampliações domínio da Álgebra Linear. Assim, em paráfrase a Mercier (2010), sublinhamos que a identificação de elementos que pertencem ao repertório epistemológico do professor atrela-se às variáveis de sua ação didática e projeta uma análise ascendente da transposição didática que se realiza, na maioria das vezes, após o fato de que é a priori que produz a interpretação de traços de relações com objetos de conhecimento coletados por um dispositivo de observação didática. Linear I, em diversos semestres, nos forneceram pistas para o estabelecimento de diálogos com a fase experimental da investigação delineada no capítulo seguinte. Assim, no intuito de não tornar exaustiva a Fonte: acervo da autora (2020) Como as avaliações foram e são realizadas no âmbito do Papel Lápis -PL, o que se apresenta enquanto uma restrição K (CHEVALLARD, 2014), nos impulsiona a olhar para o aspecto que aponta para trajetórias praxeológicas pessoais empregadas na resolução de cada tarefa. O que nos induz a pensar acerca dos elementos constituintes dos Caminhos de Práticas Pessoais -CPP trilhados pelos discentes ao se depararem com tarefas que demandam soluções. as quais alimentam hábitos praxeológicos repertoriados por um encadeamento de relações modificadas em termos dos Dispositivos Didáticos e do Sistema de Variáveis, o qual concebemos preliminarmente que advém de: 𝑅 1 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) ∪ 𝑅 2 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) ∪ … ∪ 𝑅 𝑛 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) assim, descrevendo o primeiro estágio do CPP. Neste sentido, retornaremos a essa concepção por 𝑅 𝑛 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ). * , poderia, por vezes, igualmente ser escrita (Π * ) ⊕ Λ com um logos mantido, mas uma práxis modificada". (CHEVALLARD, 2018, p. 35). A partir dessa perspectiva, revelamos algumas questões que integraram avaliações da componente curricular EXA 180 do CLM-UEFS, em distintos semestres, no que tange aos conceitos que embasam a configuração vetorial nos termos da vertente conceitual e das operações como expostas a seguir:

190

  La portée théorique d'une technique est l'ensemble des tâches où la technique permet d'accomplir une tâche quelconque de cet ensemble en dehors de toute considération des conditions de son exécution. C'est-àdire qu'on examine cette technique d'un point de vue épistémologique sans prendre en compte le cognitif et donc la maîtrise de sa réalisation par un sujet. Elle sera notée PTh(τ). La portée pragmatique d'une technique est l'ensemble des

tâches où la technique est fiable dans le sens où elle permet d'accomplir ces tâches avec peu de risque d'échec et à un coût raisonnable. La technique tend à réussir sur cette portée et tend à échouer en dehors. Elle sera notée P(τ).La portée institutionnelle d'une technique relative à um type de tâches T est l'ensemble des tâches où cette technique est attendue par une institution. Cette porté est une consséquence des conditions et des contraintes de la vie de τ dans une institution. Elle sera notée PI(τ).

, representantes de dois vetores; PL]

  Une telle mise en avant du savoir n'est nullement fortuite. On ne rencontre en fait que rarement des praxéologies ponctuelles. Généralement, en une institution I donnée, une théorie Θ répond de plusieurs technologies θj, dont chacune à son tour justifie et rend intelligibles plusieurs techniques τij correspondant à autant de types de tâches Tij. Les organisations ponctuelles vont ainsi s'agréger, d'abord en organisations locales, [Ti/τi/θ/Θ], centrées sur une technologie θ déterminée, ensuite en organisations régionales, [Tij/τij/θj/Θ], formées autour d'une théorie Θ. (Au-delà, on nommera organisation globale le complexe praxéologique [Tijk/τijk/θjk/Θk] obtenu, dans une institution donnée, par l'agrégation de plusieurs organisations régionales correspondant à plusieurs théories Θk.) Or le passage d'une praxéologie ponctuelle [T/τ/θ/Θ] à une praxéologie locale [Ti/τi/θ/Θ] met en avant la

	simples aplicação do "conhecimento" [θ/Θ]. (CHEVALLARD, 1999, p.5, tradução
	nossa 195 )	
	Quadro 23 -GT1nAPt1 subsidia o processo de ordenação das análises a priori da tarefa 1
	Em síntese, significa dizer que o desenvolvimento das várias tarefas, estruturas de ações Alguns
	(CHEVALLARD, 2006), estabeleceram mobilizações de diversas técnicas, as quais se assentam no contexto da tecnologia geométrica e algébrica. Nestes termos, compactuamos com ingredientes das 𝑻 𝟏𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏 possíveis Caracterização deTipos de tarefas oriundas de 𝑮𝑻 𝟏𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏 técnicas e
	Baldin e Furuya (2011),		gestos exigidos
	as propriedades matemáticas de vetores que são estudadas com as representações
	geométricas permitem estender o conceito de vetor, posteriormente, para ambientes
	mais abstratos, chamados espaços vetoriais, que constituem uma ferramenta essencial
	para o entendimento da Matemática e suas aplicações em outros ramos da Ciência.
	-Escolha do dispositivo e dos materiais complementares Isso posto, o ambiente vetorial promove encadeamentos geométricos que, em primeira (BALDIN; FURUYA, 2011, p.52) 𝑇 11 𝐴𝑃 𝑡 1 PL que se atrelam
			ao mesmo;
	-Traçar instância, são caracterizados como suporte para uma interpretação mais abstrata, presente nos segmentos;
	espaços vetoriais imersos no cenário da Álgebra Linear. 𝑇 12 𝐴𝑃 𝑡 1	-Verificar as condições de
		MM	paralelismo
			-Realizar
	𝑇 13 𝐴𝑃 𝑡 1		medições; -Estabelecer
			comparações.
	𝑇 14 𝐴𝑃 𝑡 1	GG
	(...)	
	(...)	
	𝑮𝑻′ 𝟏𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏 = [ Identificar𝑮𝑻′′ 𝟏𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏 = [ Identificar	

Por este motivo, o conhecimento [T/τ] pode ser classicamente apresentada, no texto do conhecimento, como uma A partir desse caráter preditivo, inerente às análise a priori e o do 𝐺𝑇 𝐴𝑃 𝑡 e demais Geradores de Tipo de Tarefas (CHAACHOUA; BESSOT, 2016), e Sub Geradores de Tipo de Tarefas (KASPARY, 2020), que advém do complexo praxeológico matemático e didático, temos os seguintes desmembramentos, que ensejou o refinamento das análises e dos tipos de tarefas que nortearam as escolhas da pesquisadora. Nesta perspectiva esquematizamos, ao nosso ver, como os 𝐺𝑇 𝐴𝑃 𝑡 podem ser caracterizados, 195 technologie θ, de la même façon que le passage ultérieur à une praxéologie régionale [Tij/τij/θj/Θ] portera au premier plan la théorie Θ. Dans les deux cas la visibilité du bloc du savoir s'accroît, au détriment de celle du savoir-faire. Un tel déséquilibre, sans doute, n'est pas sans justification: car s'il est vrai que, en bien des cas, le type de tâches T précède génétiquement le bloc [θ/Θ] (lequel se construit alors comme moyen de produire et de justifier une technique τ appropriée à T), il n'en reste pas moins que, structuralement, le savoir [θ/Θ] permet d'engendrer τ (pour T donné). Pour cette raison, le savoir-faire [T/τ] pourra être classiquement présenté, dans le texte du savoir, comme une simple application du « savoir » [θ/Θ].

, representantes de dois vetores; MM]

  

	𝑮𝑻′′′ 𝟏𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏	= [ Identificar

, representantes de dois vetores; GG]

  Fonte: acervo da autora 2020Inferimos que os estudantes, de posse desta primeira tarefa, identificarão previamente os representantes dos vetores 𝑢 ⃗ e 𝑣 , assim como concomitantemente escolherão quais dos dispositivos irão subsidiar a busca pela resposta do que foi solicitado na tarefa. nossa 196 ) sinalizam "que analisam a produção de três mundos matemáticos distintos, cada um com seu próprio modo de construir conceitos e com seu próprio modo de prova. Estes são, respectivamente, corporificados, simbólicos e formais." No entanto, sem perder de vista a abordagem antropológica, apontamos para o que sublinha Bosch e Chevallard (1999), (...) diremos agora que a implementação de uma técnica resulta em uma manipulação de ostensivos regulada por não ostensivos. Os ostensivos constituem a parte perceptível da atividade, ou seja, o que, no desempenho da tarefa, é visível, tanto para o observador quanto para os próprios atores. Na análise do trabalho matemático, os elementos ostensivos fazem parte da realidade empírica, acessíveis aos sentidos. Em contraste, a presença desta ou daquela prática não ostensiva em uma dada prática só pode ser induzida ou presumida a partir da manipulação de ostensivos institucionalmente associados. (BOSCH;CHEVALLARD, 1999, p. 11, tradução nossa 197 ) Ciente de que uma técnica pode ser decomposta em um conjunto de tarefas e que os Dispositivos Didáticos -DD enriquecem o repertório ostensivo gerenciado pelos GTs em associação com o AHA, é possível constatar que as condições sofrem alterações que se escala da codeterminação didática é, antes de tudo, uma ferramenta para os pesquisadores em didática questionarem a realidade que pretendem estudar. Sua principal utilidade é ampliar nossa visão em direção a certos campos empíricos que tradicionalmente são mantidos fora da perspectiva dos didáticos e que, portanto, são tidos como garantidos. (...) Portanto, muitas das condições e restrições que vêm dos níveis inferiores permanecem ocultas, como se não fizessem parte dos problemas abordados. (CASABÒ,2018, p.4037) Respaldados por esta perspectiva, apresentamos o esquema revelado no quadro 26, o qual revela as possíveis interligações entre os GTs e os Níveis de Codeterminação, enquanto mais um suporte que ampara questionamentos da realidade alvo do estudo.

	Quadro 25 -GT3nAPt1 subsidia o processo de ordenação das análises a priori da tarefa 1
						Alguns
	𝑻 𝟑𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏	Caracterização deTipos de tarefas de 𝑮𝑻 𝟑𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏	Alguns ingredientes ingredientes das possíveis
						das técnicas e
	𝑻 𝟐𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏	Caracterização deTipos de tarefas do 𝑮𝑻 𝟐𝒏 𝑨𝑷 𝒕 𝟏 Exemplo de valores Níveis de granularidade dos tipos de tarefas	possíveis técnicas e gestos exigidos gestos
		Do geral para o especifico.		das variáveis	exigidos
		Níveis de granularidade dos tipos de tarefas		Exemplo de valores
	𝑇 21 𝐴𝑃 𝑡 1 𝑇 22 𝐴𝑃 𝑡 1 𝑇 23 𝐴𝑃 𝑡 1 (...) 𝑇 31 𝐴𝑃 𝑡 1 𝑇 32 𝐴𝑃 𝑡 1 𝑇 33 𝐴𝑃 𝑡 1 (...)	Do geral para o especifico. (Identificar, representantes de dois vetores) (Identificar, representantes de dois vetores inscritos em um quadrado) (Identificar, representantes de dois vetores inscritos em um quadrado nos ambientes dos dispositivos) (Identificar, representantes dos vetores 𝑢 ⃗ e 𝑣 inscritos em um quadrado nos respectivos ambientes dos dispositivos) Níveis de granularidade dos tipos de tarefas Do geral para o especifico. (Revisitar, conceitos que advém de níveis elementares de (Retomar, as peculiaridades dos vetores geométricos) ensino) (Retomar, os conceitos de módulo, direção e sentido) (Revisitar, propriedades do quadrado) (Retomar, as operações vetoriais a partir das (Revisitar, a conceitualização de ponto médio) combinações lineares)	PL MM PL MM GG	Régua, esquadros, papel milimetrado,.. . Tipo de material (canudos, elásticos, barbantes, EVA, dentre outros) Dispositivo móveis (notebook, celular, das variáveis Régua, esquadros, papel milimetrado,.. Exemplo de valores das variáveis Régua, esquadros, papel milimetrado,.. . Tipo de material . Tipo de material (canudos, elásticos, barbantes, EVA, dentre outros) (canudos, (notebook, outros) móveis EVA, dentre Dispositivo barbantes, elásticos,	-Escolher o dispositivo e os materiais complementares que se atrelam ao mesmo; -Traçar segmentos; -Fazer uso das propriedades dos quadrados; -Definição de ponto médio; -Realizar medições; -Escolher o dispositivo e os materiais complementares que se atrelam ao mesmo; -Reconhecer os representantes de 𝑢 ⃗ e 𝑣 ; -Usar as operações vetoriais; -Trabalhar implicitamente com as combinações lineares. -Estabelecer comparações.
			(...)			tablets.) Dispositivo celular, tablets.)
						móveis
					GG	(notebook,
			(...)	Fonte: acervo da autora 2020	celular,
						tablets.)
	A partir dos GT 1n AP t 1	Fonte: acervo da autora 2020 , 𝐺𝑇 2𝑛 𝐴𝑃 𝑡 1 e 𝐺𝑇 3𝑛 𝐴𝑃 𝑡 1 foi possível vislumbrar, de forma mais
	consistente, os possíveis gestos didáticos que os discentes podem realizar. Contudo, esse
	aspecto será ratificado e empreendido no processo de confrontação entre o que era esperado
	(alcançados parcialmente ou integralmente) e o que efetivamente ocorreu em conformidade
	com o paradigma da Engenharia Didática, "a validação é essencialmente interna, fundada no
	confronto entre a análise a priori e a análise a posteriori." (ARTIGUE, 1996, p.197) uma das
	singularidades desta metodologia.		
	Outro aspecto que merece destaque são os papeis desempenhados pelos ostensivos no
	processo de evocação de não-ostensivos, fato este inerente às tarefas matemáticas e,

consequentemente, manifesto em todos os livros que apresentam uma abordagem vetorial, caracterizada, geralmente, pela representação geométrica que se imbrica às linguagens natural, algébricas ou numéricas. Neste contexto, Watson, Spyrou e Tall (2003, p.1, grifos nossos, tradução vinculam às escolhas dos DD em conjunto com sua carga ostensiva agregada. Soma-se a isso que, os contratos didáticos sofrem modificações frente às atividades de estudos desenvolvidas a partir da resolução das tarefas nos moldes de AHA. Sob outro ponto de vista, porém em constante diálogo com o que vem sendo abordado, as funções didáticas (mesogênese, topogênese e cronogênese) (CHEVALLARD, 1998; 2009) são sensivelmente alteradas. Esse aspecto provoca "fissuras" nas consolidadas tradições próprias dos Sistemas Didáticos tradicionais por meio do conjunto de dispositivos e ostensivos convocados para o estudo. Nesse sentido, Casabò (2018) sublinha que, A

CAPÍTULO VII UM ESTUDO SOBRE OS VETORES: UMA ANÁLISE EXPERIMENTAL NO CONTEXTO DO CLM-UEFS 198

  Primeiramente é de suma importância situar o leitor acerca das escolhas que guiaram o processo de análise que será revelado neste capítulo. Adotamos três níveis de análise os quais se agregam ao nível básico que integra todas as resoluções ao centrar no pilar que constituiu e direcionou atenção para o AHA, o qual alimentou o funcionamento dos Geradores de Tipos de Tarefas (CHAACHOUA, 2015) e os Sub Geradores de Tipos de Tarefas (KASPARY, 2020), por intermédio dos Dispositivos Didáticos {MM, PL, GG}. Contudo, em alguns momentos o nosso olhar se veste de uma lente de observação mais acurada e o interesse se volta para as praxeologias pessoais (CROSET; CHAACHOUA, 2016) e em casos específicos para os

	Quadro 26 -Geradores de Tipo de Tarefas e os Níveis de Codeterminação
	Domínio	Algébrico e Geométrico		GT 2n AP t 1
				[𝑇 2𝑛 / 𝜏 2𝑛𝑗 / 𝜃 𝑗𝑘 /𝛩 𝑘 ]
	Setor	Álgebra Vetorial		GT 1n AP t 1
			GT 1n AP t 1	[𝑇 1𝑛 / 𝜏 1𝑛𝑗 / 𝜃 𝑗 /Θ]
	Tema	Operações vetoriais	[𝑇 1𝑛 / 𝜏 1𝑛 / 𝜃 / Θ]	
	Questão	Vetores	Convergem para os Tipos de Tarefas no nível das produções dos sujeitos	[ 𝑇/ 𝜏 / 𝜃/Θ ]
	Chevallard (2002, p.10)			

  2 , 𝑉 3 , 𝑉 4 ,𝑉 5 , 𝑉 6 , 𝑉 7 ] , composto por um verbo de ação, complemento fixo e o sistema de variáveis, nesta ordem. As articulações entre os valores assumidos pelas variáveis possibilitaram a elaboração de novas praxeologias didáticas administradas por gestos didáticos próprios de cada técnica. O quadro detalha os valores que

	cada variável pode assumir:
	𝑉 1 -Dispositivos {GG, MM, PL};
	𝑉 2 -Natureza de MM (canudos, elásticos, barbantes, EVA, dentre outros);
	𝑉 3 -Instrumentos auxiliares agregados a MM (tesoura, cola, tachas, placa de isopor, etc.);
	𝑉 4 -Menu do dispositivo ((barra de ferramentas, campo de entrada, ícones específicos, dentre
	outros);
	𝑉 5 -Dispositivos móveis (notebook, celular, tablets);
	𝑉 6 -Instrumentos disponíveis de PL (régua, esquadros, papel milimetrado, etc);
	𝑉 7 -Configuração (plano, espaço, retangular, triangular, ...).

  Essas duas possibilidades de interpretação nos levaram no T4TEL a definir escopo de uma técnica: o teórico e o pragmático. Nós complementamos com outro escopo, o escopo institucional, para dar conta das limitações específicas de uma instituição. (KASPARY; CHAACHOUA e BESSOT, 2020, p.246, tradução nossa 216 ) 1) une technique peut ne pas s'appliquer hors de sa portée; 2) une technique peut s'appliquer hors de sa portée, mais avec un risque élevé d'échec.Ces deux possibilités d'interprétation nous ont conduit dans T4TEL à définir deux portées d'une technique: les portées théorique et pragmatique. Nous avons complété par une autre portée, la portée institutionnelle, pour rendre compte des limitations propres à une institution. 217 (...) est l'ensemble des tâches où la technique permet d'accomplir une tâche quelconque de cet ensemble em dehors de toute considération des conditions de son exécution, c'est-à-dire qu'on examine cette technique d'um point de vue épistémologiqùe sans prendre em compte le cognitif et donc la maîtrise de as réalisation par um sujet. Elle sera notée 𝑃 𝑇ℎ(𝜏) .

	As definições apresentadas pelos autores se articulam com os Dispositivos Didáticos
	(MM, PL, GG) empregados nessa experimentação. Seja pelo escopo teórico de uma técnica
	denotado como
	(...) o conjunto de tarefas em que a técnica permite realizar qualquer tarefa deste
	conjunto sem nenhuma consideração das condições de sua execução, ou seja,
	examinamos esta técnica do ponto de vista epistemológico sem levar em conta o
	cognitivo e, portanto, o domínio de sua realização por um sujeito. Será denotado por
	𝑃 𝑇ℎ(𝜏) . (Ibid, 2020, p. 247, tradução nossa 217 )
	É inegável que as produções se vinculam, em sua grande maioria, às realizações no
	ambiente PL. Todavia, no escopo pragmático, Chevallard (1999) aponta para a relevância da
	214 partie constitutive d'um système comprenant des éléments matériels ou symboliques et des règles de
	manipulation dépendant du contexte de l'action.
	215 (...) une technique -une « manière de faire » -ne réussit que sur une partie P(τ) des tâches du type T auquel
	elle est relative, partie qu'on nomme portée de la technique: elle tend à échouer sur T\P(τ), de sorte qu'on peut
	dire que « l'on ne sait pas, en général, accomplir les tâches du type T.

216 

  referência aos dispositivos PL e GG, concebemos aproximações no âmbito do suporte operacional e nas maneiras de fazer e subsidiar as resoluções das tarefas. E por fim, e não menos importante, os autores sinalizam que a vertente cognitiva se insere no escopo pessoal, submetido aos escopos pragmático e institucional. Aspecto este que consideramos crucial no desenvolvimento deste cenário investigativo.Imbrica-se a esta constatação, a força peculiar do contrato que ultrapassa a esfera didática e alcança o âmbito social. Esta interdependência emerge, visto que as situações didáticas estão contidas em situações sociais (𝑆𝐷 ⊂ 𝑆𝑆). Ponto de vista reforçado por uma das inúmeras definições, apresentadas por Chevallard, acerca da didática. "Existe didática em uma situação social quando observamos o que pode ser interpretado como uma intenção, realizada

	por uma pessoa ou por uma instituição, de empreender ações para que uma pessoa ou instituição
	aprenda algo." (CHEVALLARD, 2013, p.3, tradução nossa 218 ).
	Deve ser enfatizado que não temos como objetivo destacar um dispositivo em
	detrimento de outro, mas, parafraseando Chevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 82) propormos
	modificações no contrato didático, por meio da produção de situações vetoriais de ensino
	imersas em AHA, com a intenção de "fazer algo para provocar um agrupamento de encontros
	ou reencontros 219 o que equivale em criar condições." (CHEVALLARD,2013, p.6, tradução
	nossa 220 ). Logo, infere-se que, ao transitar por distintos Dispositivos Didáticos, é possível
	delegar para os estudantes maior envolvimento e consequentes encontros com o objeto de
	estudo nas excursões das tarefas, assumindo uma postura procognitiva.

Neste momento, o uso do MM não foi suficiente para resolução da tarefa. Os discentes migraram para o ambiente PL. Nesta perspectiva, o MM assumiu a função de uma variável auxiliar ou coadjuvante na resolução deste item;

  Le découpage en type de tâches et en sous-type de tâches n'et pas suffisant pour décrire les praxéologies d'un élève. En effet, pour une tâche donnée, relevant d'un type de tâche institutionnel, les élèves peuvent mettre en oeuvre des techniques non attendues par I valides ou non mathématiquement.226 Signalons en second lieu que, au-delà de leur perceptibilité, ce qui apparaît propre aux objets ostensifs est le fait d'être « manipulables » par le sujet humain: un son peut être émis (et reçu), un graphisme peut être tracé (et lu), un geste peut être fait (et perçu), un objet matériel quelconque peut être manipulé concrètement de diverses manières.

	Ao detalhar as técnicas, além dos conceitos e propriedades matemáticas, identifica-se,
	também, gestos didáticos enquanto ingredientes da técnica (CHAACHOUA, 2018), próprios
	do dispositivo MM, os quais surgem do leque de experiências ostensivas dependentes da
	natureza de que são compostos estes materiais, propiciando significados sensoriais muito
	diferentes, por exemplo, fixar as tachas, cortar elásticos, prender os elásticos, relacionar as
	cores dos elásticos às representações dos vetores, dentre outros, o que dialoga diretamente com
	a declaração de Chaachoua (2010),				
	A divisão em tipo de tarefas e subtipo de tarefas não é suficiente para descrever as
	praxeologias de um aluno. De fato, para uma determinada tarefa, abrangendo um tipo
	de tarefa institucional, os alunos podem implementar técnicas não esperadas por I
	válidas ou não matematicamente. (CHAACHOUA, 2010, p.7, tradução nossa 225 )
	Esse aspecto atua de maneira combinada com a Dialética Ostensivos e Não Ostensivos
	(BOSCH, CHEVALLARD, 1999, p. 10, grifos nossos), que respalda a materialidade e
	A técnica vai depender do 𝑉 𝑑 consequente manipulação de objetos tangíveis presentes no dispositivo MM. Os quais são
	escolhido. acessíveis aos sentidos, nesse caso específico, captados pela visão e dependente da manipulação
	e percepção tátil, desempenhando um papel privilegiado na resolução da tarefa. Os autores
	argumentam também que,					
	(...), note-se que, além de sua percepção, o que parece específico a objetos ostensivos
	é o fato de ser "manipulável" pelo sujeito humano: um som pode ser emitido (e
	recebido), um gráfico pode ser traçado (e interpretado), um gesto pode ser feito (e
	percebido), qualquer objeto material pode ser manipulado concretamente de várias
	maneiras. (BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p. 10, tradução nossa 226 )
						1 2	( 𝑢 ⃗
	+ 𝑣 ), como especificado na legenda Nesse sentido, entende-se que a dupla face destes elementos, está intimamente unida, 𝟏 𝟐 vetor corresponde 𝟏 𝟐
	elástico; caracterizando assim uma interdependência, pois "objetos ostensivos, embora diretamente
	7) 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , idem técnica empregada no item anterior; acessível aos sentidos, não são um dado puro." (BOSCH, CHEVALLARD, 1999, p. 12,
	8) 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ é um vetor que não corresponde a uma das diagonais do quadrado ou um dos seus lados e também não é paralelos aos tradução nossa 227 ), já que não há ostensivo sem não ostensivo. Em perspectiva análoga, a
	mesmos. Aspecto este, que exigiu dos sujeitos um repertório mais implementação de técnicas tem implicações diretas no manuseio de objetos tangíveis regulada
	por objetos não tangíveis.	rebuscado de técnicas, resultando em 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ =	3 2	𝑢 ⃗ -	1 2	𝑣
	9) O vetor 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ também possui a característica (diagonal do retângulo) O que nos permite fazer certa analogia, oriunda da semiologia de Ferdinand de Saussure
	do item anterior,obtendo 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ foi visualizado como múltiplo de 𝑣 , ou seja, 𝐴𝐻 3 2 𝑣 -1 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑣 . Neste (2006), a qual se relaciona com a dialética tratada neste trecho, pois "o signo é designado como 𝑢 ⃗ . 10) 𝐴𝐻 o total resultante da associação de um significante com um significado" (SAUSSURE, 2006,
		caso, o material manipulável -MM cumpriu sua função, enquanto
		variável.				
		Fonte: acervo da autora (2020)				

225 227 les objets ostensibles, bien que directement accessibles aux sens, ne sont pas des données pures

  Or tout discours technologique se réalise concrètement par la manipulation d'objets ostensifs, en particulier discursifs et écrits, qui permettent de matérialiser les explications et justifications nécessaires au développement de la tâche; et il en est de même, bien sûr, du niveau théorique. Comme nous l'avons dit plus haut, la co-activation d'ostensifs et de non-ostensifs est un postulat général qui affecte tous les niveaux de l'activité Prossegue-se com a reflexão, ao deduzir que os discentes, os quais optaram pelo dispositivo habitual PL, revelaram o predomínio de uma vertente individual, em contraposição ao desenvolvimento de um estudo coletivo, ou seja, pensava-se e registrava-se em atos solitários, para só então ocorrer uma socialização. Assim, foram evidenciados traços da dialética do individual e do coletivo (COSTA, ARLEGO E OTERO, 2015) citada anteriormente. Este enfoque também é revelado nas produções individuais, a seguir:

	Em sintonia com essa concepção, é viável enfocar que a partir da abordagem de Bosch o estudo, assume a função de uma interpretação metafórica de que os geradores atuam como
	e Chevallard (1999), existem inter-relações entre o discurso tecnológico e a co-ativação de Com base na caracterização de uma pluralidade de registros ostensivos (oral, escrito, uma "máquina" que produz tarefas, no qual o Ambiente Híbrido de Aprendizagem -AHA
	ostensivos, pois, gráfico, gestual ou material), percebe-se que existe um gerenciamento de ações, gestos fornecerá "combustível" para o funcionamento operacional em interação com as mídias, nos
	todo discurso tecnológico é realizado concretamente pela manipulação de objetos ostensivos, em particular discursivo e escrito, que permitem materializar explicações didáticos, subjacentes imersos no trabalho resolutivo de tarefas. O que significa dizer que, "na moldes da Dialética Media Milieu (CHEVALLARD, 2007), regulados pelos valores das
	e justificativas necessárias para o desenvolvimento da tarefa; e é o mesmo, claro, do variáveis inerentes à natureza de cada Dispositivo Didático. Em decorrência dessa estrutura, os realização concreta da atividade matemática, os complexos de objetos ostensivos ativados são nível teórico. Como dissemos acima, a co-ativação de ostensivo e não ostensivo é um postulado geral que afeta todos os níveis de atividade. (BOSCH; CHEVALLARD, discentes criaram e disponibilizaram técnicas resolutivas legitimadas por certas tecnologias. distribuídos entre estes vários registros, sem que seja possível ver um ou mais deles a funcionar 1999, p.13, tradução nossa 229 ) independentemente dos outros." (BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p. 14, tradução nossa 230 ). Por exemplo, no campo dos manipuláveis, esses elementos se interligam à Organização
	Nestes termos, concebe-se uma estrutura ostensiva e não ostensiva que ampara e Em mais uma amostra de subdivisão do 𝐺𝑇 𝑡1 , desvelamos o Matemática -OM por intermédio do domínio geométrico.
	fundamenta as tarefas reveladas associadas às técnicas aplicadas no curso do trabalho 𝐺′𝑇 𝑡1(𝑃𝐿) = [𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟; 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 𝑒𝑚 𝑃𝐿; 𝑉 6 , 𝑉 7 ] . A variável que
	desenvolvido, exposto esquematicamente a seguir: comandou esse 𝐺′𝑇 𝑡1(𝑃𝐿) foram os instrumentos associados ao dispositivo Papel Lápis -PL,
	sendo disponibilizados aos discentes que optaram por trabalhar neste ambiente: folhas de papel
	Quadro 30 -Descrição praxeológica referente ao bloco teórico (continua) ofício, lápis, borrachas e réguas.
	Análise praxeológica -bloco teórico (𝜽/𝜣) -1ª tarefa Antes de retratar a situação em si, exibe-se, primeiramente, um comparativo entre os
	Vincula-se às características do quadrado dispositivos MM e PL. Dessa forma, percebe-se que os estudantes, os quais elegeram o MM
	(polígono regular): enquanto dispositivo para resolução da primeira tarefa, solucionaram cada item da questão Figura 133 -Produções individuais da figura 129 (grupo 5)
	conjuntamente, ou seja, as tentativas e as discussões giravam em torno do seguinte
	• Quatro lados congruentes e lados opostos paralelos; questionamento: qual seria a melhor forma (técnica) de cumprir o que lhes fora solicitado
	• Quatro ângulos retos; utilizando MM? Uma vez que, hipoteticamente, o desafio de resolver a tarefa por meio de
	• Diagonais são perpendiculares, além de serem congruentes e se interceptarem no matérias manipuláveis é algo novo no âmbito do CLM-UEFS. 𝜽 𝟏
	ponto médio; • As linhas diagonais são bissetrizes dos Ao considerar os escritos de Chevallard (2012), pode-se levantar a suposição que
	correspondentes ângulos retos. relaciona esse cenário às disposições evocadas e condicionadas ao saber (vetor) numa vertente
	concreta e consequentemente manipulável. Enfoque este que pode ser traduzido em "quais
	Tecnologias (𝜽) condições podem X e y criar ou modificar, isto é, que gestos didáticos eles podem fazer para • Relação de equivalência (equipolência) entre segmentos e igualdade entre vetores; 𝜽 𝟐 que X possa alcançar alguma relação determinada com O?" (CHEVALLARD, 2012, p.174).
	• Operações entre vetores: adição, subtração e multiplicação por escalar; Apresenta-se como resposta a este questionamento a materialização do AHA, que se coloca 𝜽 𝟑
	enquanto condição para impulsionar mudanças no Sistema Didático-SD que se desenharam
	neste curso.	2013, p.5, tradução nossa 228 )	• Combinação linear.	). (CHEVALLARD,
	Teorias (𝜣 𝟏 , 𝜣 𝟐 , 𝜣 𝟑 ) Dito isto, uma Organização Didática -OD é posta em execução a partir do AHA que Geometria Plana, Geometria Analítica e Álgebra
	Linear. alimenta os GTs que são nutridos pelos dispositivos que assumem sua função por meio das
	Fonte: acervo da autora (2020) tarefas postas em jogo. Infere-se, então, que o 𝐺𝑇 𝑡1 , assim como os demais GTs que integram

229

  , tradução nossa 233 ) É relevante destacar que os elementos convocados para ação, interação e registros de gestos, diferem da predominância de técnicas que giram em torno dos representantes de 𝑢 ⃗ e 𝑣 ⃗⃗⃗ One is the embodied object, as in geometry and graphs that begin with physical foundations and steadily develop more abstract mental pictures through the subtle hierarchical use of language.235 VerChevallard (2011) 236 des acteurs qui manipulent certains graphismes, en faisant certains gestes et en prononçant certaines phrasesen un discours oral ou écrit. Mais on ne mettra jamais la main sur l'objet lui-même. Ainsi donc, quand on cherche ce que peut-être un tel objet, on découvre qu'il se compose d'autres objets, de nature toujours matérielle, en particulier sonore (discursive), gestuelle, scripturale (graphique), et de beaucoup de « vide » autour.

	caracterizados por setas com comprimento, direção e sentido definidos.
	A partir desse ponto de vista, é viável estabelecer "links" entre eles, já que identificamos
	efeitos similares nos traçados advindos de PL e nas produções de natureza tangíveis de MM.
	Alinhado às nossas interpretações, percebe-se ligações entre o uso dos dois dispositivos,
	agregado aos potenciais de tradução da noção de classe de equivalência próprias da esfera
	tecnológica-teórica (𝜃/Θ), em acordo com as representações simbólicas equivalentes
	pertencentes à esfera perceptual e gráfica contidas no bloco prático (𝑇/𝜏).
	Nestes termos, Gray e Tall (2001) defendem que, "um objeto corporificado é, como na
	geometria e nos gráficos que começam com fundamentos físicos e desenvolvem continuamente
	imagens mentais mais abstratas através do uso sutil da hierarquia da linguagem." (GRAY e
	TALL, 2001, p.70, tradução nossa 234 ).
	No entanto, no terreno teórico da TAD, especificamente no âmbito da dialética dos
	ostensivos e não ostensivos, os representantes dos vetores foram traçados e marcados,
	exercendo certa materialidade. Os discentes (protagonistas dos Sistemas Didáticos Auxiliares -
	SDA ou de Sistemas Didáticos Induzidos -SDI) 235 manipularam, gesticularam, discutiram por
	meio de registros orais e escritos. Contudo, não se pode desprezar que todas essas ações não
	anulam o vazio que circunda o objeto de estudo:
	Os atores que manipulam certos gráficos, fazendo certos gestos e pronunciando certas
	frases -em um discurso oral ou escrito. Mas nunca colocaremos nossas mãos no objeto
	em si. Quando se pesquisa o que pode ser tal objeto, se descobre que ele é composto
	de outros objetos, de natureza sempre material, em particular sonora (discursiva)
	gestual, de caráter escrito (gráfico) e de muito "vazio" em torno. (BOSCH;
	CHEVALLARD, 1999, p.8, tradução nossa 236 )
	Essa vertente compartilha da mesma concepção defendida por (FARIAS et al., 2018),
	acerca do fenômeno da Incompletude da Atividade Matemática Institucional -IAMI, o qual
	pode gerar interferências nas praxeologias de tal modo que os sujeitos desenvolvam o saber-
	fazer, mas não o compreenda. Esse aspecto conecta-se com um dos interesses da pesquisa ao

234

  intérêt pour cette division: elle se réfère à des tâches institutionnellement reconnues et, pour chacune d'entre elles, il existe une praxéologie mathématique qui a été créée précédemment et, donc, permet de mieux situer les difficultés des élèves à mettre en oeuvre '' une technique au niveau des sous-tâches qui inventer la technique.238 Significa fazer coincidir a extremidade de um vetor (a ponta da seta) com a origem do outro. O vetor soma também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro com a extremidade do último,

	𝑡 1			extremidade do primeiro representante.	
				(OLIVEIRA e BOULOS, 1987, p.7)	
		Escrever estas	Realizaram associações entre os	
	𝑡 2	somas função de 𝑢 ⃗ e 𝑣 ; em	representantes dos vetores obtidos em 𝑡 1 com representantes de 𝑢 ⃗ e 𝑣 .	Definição vetor	de e
													combinação
													linear.
		Efetuar	a	Calcularam multiplicações de número	
	𝑡 3	multiplicação de vetor por um número real;	real por vetor: -𝑢 ⃗ , -𝑣 , 2𝑣 .	1 2	𝑢 ⃗ ,	1 2	𝑣 ,	3 2	𝑢 ⃗ ,	3 2	𝑣 e	Produto vetores escalares.	de por
													Propriedades	Geometria
													vinculadas	a	Analítica	e
		Cirade e Matheron (1998) também acrescentam que essa divisão pode ser caracterizada Álgebra Linear adição de
	como um modelo, cujo objetivo é destacar a organização matemática e avaliá-la. Assim, ao realizar a subdivisão de tarefas, é possível perceber com maior precisão os elementos que integram as praxeologias pessoais (CROSET; CHAACHOUA, 2016), o que permite uma 𝑡 4 Agrupar e operar os termos semelhantes. vetores: Identificaram vetores semelhantes, agrupou-os e comutativa, operacionalizou-os aplicando uma sequência associativa, de elemento neutro, propriedades. elemento
	oposto, análise mais detalhada das organizações matemáticas envolvidas na resolução da questão. específica de
	Segundo Chaachoua (2010),									cada Assim, como a item.
				o interesse nessa divisão: refere-se às tarefas reconhecidas institucionalmente e, para propriedade
				cada uma delas, existe uma praxeologia matemática que foi criada anteriormente e, distributiva portanto, permite melhor situar as dificuldades dos alunos na implementação de uma associada a técnica no nível das subtarefas que compõem a técnica. (CHAACHOUA, 2010, p.6, multiplicação de tradução nossa 237 ) vetores por
		Em mesmo direcionamento, se ordena num recorte do modelo praxeológico, em que escalares.
	𝑡 1 , 𝑡 2 , 𝑡 3 𝑒 𝑡 4 pertencem a T (Quadro 30). Fonte: acervo da autora (2020)
		Quadro 31 -Descrição do complexo praxeológico vinculado a figura 137 (continua)
		Sub-tarefas		Técnicas (𝝉 𝟏 , … , 𝝉 𝟗 )				Tecnologias	Teorias
		(𝒕 𝟏 , … , 𝒕 𝟒 )											(𝜽 𝟏 , … , 𝜽 𝟗 )	(𝚯 𝟏 𝒆 𝚯 𝟐 )
		Determinar		Para determinar os vetores soma,	
		𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ como resultantes de somas vetoriais;	aplicou-se a regra "fechar o triângulo", tomando o cuidado de escolher a origem do segundo coincidindo com a	Regra do polígono 238	Geometria Analítica e Álgebra Linear

237

  Especificamente entre a vigésima e vigésima sexta linha, da figura 139, os vetores foram construídos a partir de ferramentas do dispositivo, porém não foram relacionados aos vetores 𝑢 ⃗ 𝑒 𝑣 , conforme determinado na tarefa proveniente do 𝐺′𝑇 𝑡1(𝐺𝐺) . Balizado pelos registros (elle peut porter par exemple sur telle ou telle des réponses Ri ou des autres oeuvres Oj constituant le milieu pour l'étude M). Bien entendu, on voit apparaître de même des systèmes didactiques de la forme S (x, x'; ∅; Q*), où deux élèves travaillent ensemble ; et aussi des systèmes S (x ; y* ; Q*), où y* est un aide à l'étude en principe ignoré en tant que tel par l'institution scolaire qui a mandaté X et y, même s'il peut être reconnu par elle à un autre titre (y* peut être la mère de l'élève x, par exemple). (...). Alors qu'un système didactique auxiliaire apporte une aide au fonctionnement du système didactique principal, même quand il le fait par le moyen d'un système réunissant des élèves repérés comme « en difficulté » au sein du système principal, un système induit est censé apporter une aide aux élèves qu'il inclut.

	apresentados no protocolo de construção, é possível constatar que as produções provenientes
	do dispositivo GG exigem o conhecimento dos comandos que cooperem com a elucidação da
	questão. Trabalhos como os de Dantas (2015) e Bittencout (2019) apontam caminhos para lidar
	com este tema no âmbito do GeoGebra.
	7.2.2 Potencialidades e alcance na produção de tarefas do 𝑮𝑻 𝒕𝟏
	Conjunto de
	técnicas utilizadas na O funcionamento do 𝐺𝑇 𝑡1 , integrado aos dispositivos MM, PL ou GG demostraram
	construção da ampliações e potencialidades. Dentre elas, está a de fomentar ou provocar desequilíbrios no
	figura 136. Sistema Didático Auxiliar -SDA ou Sistema Didáticos Induzidos -SDI, os quais tiveram realce
	na organização deste curso, pois Chevallard (2010) sublinha que,
	De modo geral, observamos que um sistema S (X; y; Q) não vive isolado: um sistema
	chamado sistema principal gera (e, até certo ponto, controla) um conjunto dos
	chamados sistemas auxiliares de ensino que, como seu nome diz, ajuda o principal
	sistema de ensino. O tipo mais conhecido de tais sistemas é o do trabalho pessoal
	imposto, que pode ser escrito como S(x ; ∅; Q*), onde Q* é uma questão que aparece
	no estudo de Q (pode se referir, por exemplo, a uma ou outra das respostas Ri ou de
	outra obra Oj constituindo o meio para o estudo M).É claro, sistemas didáticos da
	forma S(x, x' ; ∅; Q*), onde dois estudantes trabalham juntos; e também sistemas S(x;
	y*; Q*), onde y* é um ajuda ao estudo em princípio ignorada como tal pela instituição
	de ensino que encomendou X e y, embora ele possa ser reconhecido por ele em outra
	capacidade (y* pode ser a mãe do aluno x, por exemplo). (...). Enquanto um sistema
	de aprendizagem auxiliar apóia a operação do sistema de aprendizagem principal
	mesmo quando o faz por meio de um sistema que reúne estudantes identificados como
	"em dificuldade" dentro do sistema principal, um sistema induzido é suposto fornecer
	assistência aos estudantes que ele inclui. (CHEVALLARD, 2010, p. 10-11, tradução
	nossa 240 )
	Conjunto
	de técnicas
	utilizada na
	construção
	da figura
	136.
	𝐺𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐷𝑂 240 D'une manière générale, on observe qu'un système didactique S (X; y; Q) ne vit pas isolément: un système dit ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , principal engendre (et, dans une certaine mesure, commande) un ensemble de systèmes didactiques dits auxiliaires
	𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐺 qui, comme leur nom le dit assez, viennent en aide au système didactique principal. Le type le plus connu de tels ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐻 systèmes est celui du travail personnel imposé, ce qu'on peut écrire S (x; ∅; Q*), où Q* est une question apparue
	dans l'étude de Q

  𝑉 1 ,𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 4 ,𝑉 5 , 𝑉 6 , 𝑉 7 ]. A partir das especificidades inerentes dos Sub-Geradores de Tipo de Tarefas, pode-se criar 𝐺′𝑇 𝑡2 = Provar, que o vetor determinado pela mediana OM de um triângulo OAB é igual a metade da soma dos vetores 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑉 1 ,𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 4 ,𝑉 5 , 𝑉 6 , 𝑉 7 ].Um exemplo pode ser retratado na imagem que acompanha a Primeiramente, se faz necessário pontuar duas caraterísticas basilares que dão vida a cada GT, os verbos de ações são determinantes nos funcionamentos dos GTs, pois ditam o que deve ser feito, ou seja, quais tarefas devem ser executadas sob o arranjo das condições (Complemento mais o Sistema de Variáveis). Dito isto, é possível inferir que as tarefas que emergem dos geradores são singulares. O que significa dizer que, por exemplo, no caso do 𝐺𝑇 𝑡1

						Figura 143 -Triângulo AOB
						leva-se em
	consideração "diferentes níveis de granularidade na descrição deste elemento praxeológico, (...)
	com um sistema composto por cinco variáveis." Assim, o trabalho de análise consiste em
	mobilizar os valores que estas variáveis podem assumir e de que forma isto influencia e Fonte: (MELLO e WATANABE, 2011, p.11)
	repercute nas praxeologias pessoais (CROSET; CHAACHOUA, 2016).
		Em termos das singularidades e da cadeia de tarefas oriunda destes GTs, é possível
	considerar os aspectos de natureza: 1) epistemológica, no que se refere às propriedades dos
	vetores em suas múltiplas nuances; 2) institucional no que tange às condições e às restrições do
	uso dos Dispositivos Didáticos e adaptação de cada tarefa a estes; 3) cognitiva que ecoa nas
	praxeologias pessoais (CROSET, CHAACHOUA, 2016) advindas das resoluções destas
	atividades, o qual pode ser descrito como aproximações de uma análise mais refinada acerca
	das tarefas.			
	7.3	DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA TAREFA 2
		A tarefa 2 designa em seu enunciado: No triângulo AOB, seja M o ponto médio de AB.
	Prove: 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =	1 2	𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ +	1 2	𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , originada de um segundo Gerador de Tipo de Tarefas denotado
	por: 𝐺𝑇 𝑡2 = [ Provar, que dados quaisquer três vetores coplanares um deles é combinação
	linear dos outros dois; segunda questão,		Figura 144 -Ramificações do GTt2

  sinaliza, no âmbito das demonstrações, um aspecto complementar entre textos e as representações geométricas, -o mais conhecido é o fato de que certas premissas, certos argumentos em geometria, resultam da leitura do desenho. Esse uso do diagrama não é uma fraqueza do matemático em comparação com uma organização ideal da demonstração, tornandoo independente de qualquer coleta de informações visuais, testemunha, ao contrário, um caráter fundamental da organização do raciocínio matemático grego clássico.-o papel das letras que aparecem no diagrama, cuja presença é atestada pelo texto, também é revelador.(ARSAC,1999, p. 362, tradução nossa 242 ) 𝐺′𝑇 𝑡2(𝑀𝑀) ⊂ 𝐺𝑇 𝑡2 , agregado às variáveis como descrito abaixo: 𝐺′𝑇 𝑡2(𝑀𝑀) = [Provar, que o vetor determinado pela mediana OM de um triângulo OAB é igual a metade da soma dos vetores 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ em MM; 𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 7 ].

	fato considerada verdadeira; O que deve ser descoberto é uma demonstração.
	(BALACHEFF, 2000, p. 5, tradução nossa 244 )
	O Tipo de Tarefa gerado pelo 𝐺𝑇 𝑡2 é similar ao sinalizado por Balacheff, assim o que
	deve-se determinar é uma demonstração. E, por consequência disso, o GG e MM
	desempenharam um papel auxiliar no trabalho desenvolvido pelo sujeito no que tange à tarefa
	2. Entretanto, é pertinente seguir a mesma ordem de análise utilizada no primeiro item, MM,
	PL e por último, e não menos importante, discorremos sobre o GG.
	A partir da organização retratada na figura 126, as equipes que empregaram os recursos
	provenientes de MM foram direcionadas a desenvolver o trabalho da segunda questão,
	utilizando PL ou GG, assim como os sujeitos que resolveram a tarefa utilizando PL mudaram
	para MM ou GG seguindo uma ordem sucessiva para os demais exercícios. Dessa forma, para
	resolução da tarefa 2, os grupos 5 e 6 optaram pelos materiais manipuláveis -MM. A partir
	dessa perspectiva, é possível identificar com maior precisão a coordenação do Sub-Gerador de
	Netz (1999, p. 35), designa que "as propriedades que a percepção extrai do diagrama formam um verdadeiro subconjunto das propriedades reais do objeto matemático", corroborando, mesmo que de forma indireta, com a dialética dos ostensivos e não ostensivos, Tipo de Tarefas, 𝑉 2 -Natureza de 𝑉 3 -Instrumentos 𝑉 6 -Instrumentos 𝑉 7 -Configuração pois segundo a interpretação deste autor, a pragmática do texto é dada pelo diagrama, os quais estabelecem conexões com o contexto, o conjunto de pressupostos que governam o discurso. MM (canudos, elásticos, auxiliares agregados a disponíveis de PL (régua, (plano, espaço,
	barbantes, EVA, Assim, é possível sinalizar que processo lógico dedutivo compõe a alma da matemática MM (tesoura, cola, esquadros, papel retangular, triangular, dentre outros). tachas, placa de isopor, milimetrado, etc.) ...).
	pura e esta concepção está presente nos discursos de diversos professores de matemática e se etc.).
	propagam em suas aulas. Em linhas gerais, os estudos de Balacheff (2000, p.2, tradução
	nossa 243 ) sinalizam que a "(...) demonstração com o sentido e as características da comunidade A resolução da segunda questão que decorre de 𝐺′𝑇 𝑡2(𝑀𝑀) apresenta como enunciado: matemática." Nesse viés se desenha o modelo da atividade matemática. Esse autor, também ressalta a existência de certa intencionalidade implícita que pode ser configurada em obstáculo No triângulo AOB, seja M o ponto médio de AB. Prove: 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ . No primeiro
	concernente ao funcionamento do Sistema Didático, momento de análise, os elementos ostensivos despontam com recorrência as cores dos elásticos,
	De maneira implícita o ensino da matemática tira os alunos da responsabilidade da seja com a função de identificação ou diferenciação entre os vetores 𝑢 ⃗ , 𝑤 ⃗⃗ 𝑒 𝑣 . De forma análoga,
	verdade. Isso é particularmente perceptível quando o problema gerado é apresentado na forma: "mostre que ...". Numa formulação desse tipo, a afirmação em questão é de as tachas serviram de sustentação e representação dos vértices do triângulo. Isto posto, é
	pertinente pontuar que antes de manusear os MM, os discentes empregaram a régua e o lápis,
	(pertencente ao dispositivo PL), enquanto instrumento de medição, no intuito de localizar o

244 

De manera implícita, la enseñanza en matemáticas despoja a los estudiantes de la responsabilidad de la verdad. Esto es particularmente notorio cuando el problema planteado se presenta de la forma: "mostrar que…". En una formulación de este tipo, el enunciado en cuestión es de hecho considerado como verdadero; lo que está por descubrir es una demostración.

Registro de Resolução do Grupo 4

  distintas ao mobilizar diferenciadas técnicas, em que se rompe com o nível da evidência tradicional da rotinização do emprego das técnicas, o que nos remete a diferentes tipos de análises. O estudo basilar se centra sob as distintas variáveis que interferem na estrutura de ação denotada por[START_REF] Chevallard | La théorie anthropologique des faits didactiques devant l'enseignement de l'altérité culturelle et linguistique. Le point de vue d'un outsider. Conférence plénière donnée le 24 mars 2006 au colloque Construction identitaire et altérité: Créations curriculaires et didactique des langues[END_REF] como Tipos de Tarefa T que decorrem em tarefas 𝑡 e técnicas 𝜏 sob a perspectiva das praxeologias pessoais, denominada por(CROSET e CHAACHOUA, 2016, p.19) "como um quarteto da organização praxeológica da atividade de sujeitos institucionais composta por: um tipo de tarefa pessoal, técnicas pessoais, legitimado e governado por tecnologia e teoria pessoais." A partir desse ponto de vista foram revelados, em algumas resoluções, os Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, descritos em termos do encadeamento de relações modificadas pelo emprego dos Dispositivos Didáticos e do Sistema de Variáveis no âmbito vetorial, os quais concebemos que sua conceitualização emerge de: 𝑅 1 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) ∪ 𝑅 2 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) ∪ … ∪ 𝑅 𝑛 (𝑋, 𝑂 𝑣 ⃗ ) , prescrito por um agrupamento de relações pessoais provenientes de distintos assujeitamentos.Técnicas pessoais -𝜏 𝑝 -Aplicar as tachas em cada ponto; -Fixar os elásticos nas tachas, a partir da seguinte configuração: o vetor 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ é um dos representante de 𝐵𝑂′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (elástico na cor roxa), assim como 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐴𝑂′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (elástico na cor verde). E o elástico amarelo representa o vetor 𝑂𝑂′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . o quadrupleto da organização praxeológica da atividade de um sujeito institucional composto de quatro componentes: -Um tipo de tarefa pessoal é o conjunto de tarefas que o sujeito percebe como similares, fazendo com que ele aplique uma técnica. Se dois tipos de tarefas pessoais são distintas, necessariamente suas respectivas técnicas pessoais são distintas. A divisão em tipos de tarefas pessoais, portanto, não corresponde necessariamente a da instituição. -Uma técnica pessoal usada pelo aluno resolve apenas um tipo de tarefa pessoal. Ela pode estar errada, correta, legitimada pela instituição de referência ou não. Ela deve ter uma certa estabilidade em seu uso para ser considerada uma técnica de resolução: só obtém legitimidade para um determinado aluno se for usada regularmente por esse aluno. Nós evitamos considerar como técnica pessoal erros de descuido ou derrapagem pontual. Un type de tâches personnel est l'ensemble des tâches que le sujet perçoit comme similaires, provoquant chez lui l'application d'une technique. Si deux types de tâches personnels sont distincts, alors nécessairement leurs techniques personnelles respectives sont distinctes. Le découpage en types de tâches personnel ne correspond donc pas nécessairement à celui de l'institution.-Une technique personnelle utilisée par l'élève permet de résoudre un seul type de tâches personnel. Elle peut être erronée, correcte, légitimée par l'institution de référence ou non. Elle doit présenter une certaine stabilité dans son utilisation pour être considérée comme technique de résolution: elle n'acquiert sa légitimité pour un élève donné que si elle est régulièrement utilisée par cet élève. Nous évitons ainsi de considérer comme une technique personnelle, des erreurs d'étourderie ou de dérapage ponctuel. -se acrescentar a este entendimento que, "a relação pessoal de um aluno, por exemplo, com um objeto de conhecimento pode ser múltiplo, no sentido de ser um amálgama de relações devido à sujeição a várias instituições"(DHIEB, 2009, p.43, tradução nossa 249 ). significa um aglomerado de técnicas pessoais e/ou institucionais legitimadas pelo bloco tecnológico teórico [𝜃, Θ] situado no âmbito matemático ou não, retratado nos quadros abaixo: Quadro 34 -Produção praxeológica do grupo 3 vinculada a tarefa 2 no dispositivo PL distinção entre os processos praxeológicos pessoais se assentam nos CPP que cada grupo optou em seguir, seja 2𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ + 𝑣 ou 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . O gerenciamento na passagem de cada igualdade, segue caminhos distintos, porém todos conservam uma sequência lógica situada no mesmo bloco tecnológico teórico [𝜃, Θ], como descrito porChevallard (2018) em termos das praxeologias transpostas com a práxis modificada e logos mantido (Π * ) ⊕ Λ, com exceção do emprego da regra do paralelogramo aplicada pelo grupo 3. As técnicas empreendidas nas resoluções demonstram conhecimentos no que se refere à igualdade e à soma entre vetores, além da multiplicação de escalar por vetor agregada às propriedades comutativa, associativa e distributiva.O contraste entre os dispositivos MM e PL, pode ser justificado pelos estudos de Watson, Spyrou e Tall (2003, p.1, tradução nossa 251 ) "que analisam a produção de três mundos matemáticos distintos, cada um com seu próprio modo de construir conceitos e com seu próprio modo de prova. Estes são, respectivamente, corporificados, simbólicos e formais". Esses autores sinalizam também que, (...) concentrando-nos principalmente nos dois mundos da matemática encontrados na escola -o mundo corporificado e o mundo simbólico dos procedimentos. Por enquanto, é suficiente notar que os vetores são concebidos de maneiras bastante diferentes em cada mundo (e no mundo corporificado, existem vários contextos distintos de significado), existem diferentes maneiras de executar construções (como adição e multiplicação por escalar) e existem diferentes formas de prova.(WATSON, SPYROU e TALL, 2003, p.2, tradução nossa 252 ) 

	Ao direcionar maior atenção para a construção indicada na figura 146, é possível analisar as produções dos discentes por meio do modelo praxeológico, o qual torna-se evidente a partir das relações específicas com o objeto de conhecimento sobressaído, enquanto concepções espontâneas nas articulações de técnicas não evidentes, já que a questão faz referência a um triângulo. Contudo os discentes, correlacionaram a uma das propriedades dos paralelogramos: as diagonais dos paralelogramos interceptam-se em seu ponto médio. A partir desta Organização Pessoal 245 , é possível identificar pontos de contatos entre as praxeologias pessoais (CROSET, CHAACHOUA, 2016) e institucionais, sem esquecer que "a qualidade do diagnóstico da práxis pessoal depende da variedade de tarefas propostas" (CHAACHOUA, 2010, p.11). Quadro 33 -Descrição da Organização Pessoal vinculada a Figura 146 (continua) T institucional No triângulo AOB, seja M o ponto médio de AB. Prove: OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ T pessoal -𝑇 𝑝 No triângulo AOB, seja M o ponto médio de AB. Prove, usando Materiais Manipuláveis -MM, que OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , condicionada às variáveis 𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 7 . Tecnologias pessoais 𝜃 𝑝 -Regra do paralelogramo, pois ao considerar representantes de dois vetores u ⃗ e v ⃗ em uma mesma origem, a diagonal do paralelogramo gerado pelos vetores u ⃗ e v ⃗ é um representante da soma u ⃗ + v ⃗ . Assim, assume-se uma função explicativa. (CROSET e CHAACHOUA, 2016, p.27) -As diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio. (Função explicativa); -Propriedade distributiva da soma de vetores. Pois se desenvolvermos, encontramos a expressão de partida, atribuindo uma função de apoio (Ibid., p. 27) Teorias Θ -Geometria Analítica e Geometria Plana. Fonte: acervo da autora (2020). Uma tecnologia pessoais errôneas. Mas, às vezes, há situações em que uma tecnologia que tem técnica que legitima usada é usada fora de seu escopo. (CROSET; CHAACHOUA, -Finalizou com a propriedade sujeitos que integram a resolução de determinada tarefa no âmbito dos Dispositivos Didáticos, distributiva); 2016, p.19, tradução nossa 247 ) (usou novamente a propriedade praxeologias pessoais (CROSET, CHAACHOUA, 2016) e/ou institucionais mobilizadas pelos semelhantes da equação vetorial legitimidade para responder a certos tipos de tarefas passa a ser generalizada e a -Operou-se com os termos obtém-se os seguintes Caminhos de Práticas Pessoais -CPP, composto por conjunto das associativa; um simples déficit tecnológico institucional pode ser capaz de explicar técnicas em que se traduz com a hipótese de que M é ponto médio de AB. Frente a essa solicitação -Aplicou a propriedade de ponto médio. pessoal, explícita ou não, governa e legitima o uso da prática pessoal. Frequentemente, Nesse sentido, é possível estabelecer diálogos com o que Douady (1994) aponta acerca do duplo aspecto do saber matemático, Por um lado, é ter a disponibilidade funcional de certas noções e teoremas matemáticos para resolver problemas, interpretar novas questões...Em tal sistema científico. As noções e teoremas matemáticos desempenham o papel de ferramenta. As ferramentas inserem-se em um contexto, sob ação e o controle de alguém (ou de um grupo) em um dado momento. As situações, ou os problemas nos quais as noções de um certo ponto de vista que chamaremos semântico. São também geradoras de relações que podem ser parcialmente externas à Matemática ou então completamente internas a ela. (DOUADY, 1994, p.33) Os contrapontos entre os elementos internos ou externos que emergem do discurso do corpus científico matemático se relacionam com as modificações das situações que demandam noções diferenciadas, como o apresentado na pesquisa, prefigurando representações e oportunidades de cunho didático. Ressalte-se que, o modelo praxeológico pessoal descrito anteriormente foi regido pelo funcionamento do 𝐺𝑇 𝑡2(𝑀𝑀) , comungando, assim, com os elementos que intervêm na capacidade de impulsionar técnicas pessoais para resolver a tarefa proposta, legitimadas ou não pela instituição de referência. A partir do contexto de experimentação, foi possível notar certo nível de estabilidade em seu uso, sendo caracterizado por uma técnica de resolução (CROSET e CHAACHOUA, 2016). Assim, é viável identificar qual OM foi mobilizada pelo aluno e se existem ou não articulações com Organizações Matemáticas Institucionais -OMI. Nesse sentido, Dhieb (2009) salienta, Na TAD, vimos que o conhecimento de um objeto por um estudante é modelado pela relação pessoal do estudante com esse objeto, sendo esse relacionamento pessoal construído sob o efeito de relacionamentos institucionais com esse objeto dentro das instituições às quais pertence. (DHIEB, 2009, p.45, tradução nossa 248 ) como: 𝐺′𝑇 𝑡2(𝑃𝐿) = [Provar, que o vetor determinado pela mediana OM de um triângulo OAB é igual a metade da soma dos vetores 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ em PL; 𝑉 6 , 𝑉 7 ] 𝑉 6 -Instrumentos disponíveis de PL (régua, esquadros, papel milimetrado, etc.) 𝑉 7 -Configuração (plano, espaço, retangular, triangular, ...). Selecionamos o termo prova." (BALLACHEF, 2000, p. 12, tradução nossa 250 ). Em sentido análogo, Almouloud (2007), admite que a prova matemática está relacionada, a um processo de validação de um fato matemático, ou seja, o registro de uma demonstração deve ser apoiado em fatos matemáticos comprovados e que o conjunto organizado desses fatos devem comprovar de forma irrefutável algum tipo de proposição matemática. (ALMOULOUD, 2007, p.5) questão: "provar que 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 oposto; linear, definição 2 -Empregou a noção de vetor combinação 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ", associada ao triângulo representado na figura 143, ou seja, Registro de Resolução do Grupo 3 Técnicas (𝝉) Tecnologia (𝜽) Teoria (𝚯) -Construiu o paralelogramo por meio da igualdade de vetores; -Identificou que as diagonais do paralelogramo se interceptam no mesmo ponto médio M; Soma de vetores por meio da regra do paralelogramo, igualdade entre vetores, multiplicação de escalares por vetores, combinação linear, definição de ponto médio. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Técnicas (𝝉) Tecnologia (𝜽) Teoria (𝚯) -Escreveu 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ como o resultante da soma entre 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; -Identificou a igualdade entre os vetores 𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 1 2 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; -Apontou que 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ é a resultante distributiva em relação a soma; Soma de vetores, igualdade entre vetores, vetores, Geometria -Ao seguir o percurso de análise, muda-se a direção do olhar para o 𝐺′𝑇 𝑡2(𝑃𝐿) , tipificado da soma de 𝐵𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ com 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; multiplicação de Analítica e Em concordância com as concepções de Ballachef, o 𝐺𝑇 𝑡2(𝑃𝐿) forneceu a segunda -Aplicou a propriedade escalares por Álgebra Linear
	comutativa.
	Fonte: acervo da autora (2020)

-Marcar os pontos A, O, B, M e O' simétrico ao ponto O;

245 

Chamamos de organização pessoal uma terna

[T, τ, θ] 

formada em torno do tipo de tarefas T dada, τ sendo uma técnica pessoal usada para executar T e θ a tecnologia pessoal (teorema ou definição em ato) que produziu ou que justifica a técnica τ

(DHIEB, 2009, p.45) 

Ao dissertar acerca do que observa Chaachoua (2020), é legítimo declarar que "uma tecnologia, seja pessoal ou institucional, não pode ser reduzida a um conjunto de teoremas ou regras matemáticas. É um discurso que permite justificar, produzir, tornar inteligível, controlar e adaptar uma técnica."

(CHAACHOUA, 2020, p.114, tradução nossa 246 

). O que significa dizer que as tecnologias pessoais podem conter ingredientes que não atendem às expectativas institucionais. Nestes termos, Croset e Chaachoua (2016) revelam, com riqueza de detalhes, o caracterizam como uma praxeologia pessoal, É -Une technologie personnelle, explicite ou non, gouverne et légitime l'utilisation de praxis personnelles. Souvent un simple déficit technologique institutionnel peut être à même d'expliquer des techniques personnelles erronées. Mais il est parfois des situations où une technologie qui avait sa légitimité pour répondre à certains types de tâches se trouve être généralisée et la technique qu'elle légitimait utilisée en dehors de sa portée.

248 

Dans la TAD, nous avons vu que la connaissance d'un élève relative à un objet est modélisée par le rapport personnel de l'élève à cet objet, ce rapport personnel étant construit sous l'effet des rapports institutionnels à cet objet au sein des institutions auxquelles il appartient ou a appartenu.

Deve

A partir desta configuração, foi propiciado aos estudantes vínculos com as técnicas institucionais, situadas no terreno das provas e demonstrações, o que demanda a emergência de cadeias dedutivas, muitas vezes, qualificadas pelos verbos: explicar, provar ou demonstrar, os quais são frequentemente considerados como sinônimos da prática do ensino de matemática.

Para

Ballachef (2000)

, esses hábitos constituem um obstáculo às investigações sobre o assunto, pois, segundo ele, levam a amalgamar diferentes níveis da atividade estudantil e é necessário distingui-los. Esse autor também acentua que, "em matemática, é claro que o termo 'demonstração' não é o mais conveniente porque seu significado é muito específico. -Apontou que 2𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ corresponde a soma de 𝑢 ⃗ + 𝑣 ; -Identificou a igualdade entre os vetores 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ e 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 ; -Aplicou a propriedade distributiva da multiplicação de escalar em relação a soma. Fonte: acervo da autora (2020) Quadro 35 -Produção praxeológica do grupo 4 vinculada a tarefa 2 no dispositivo PL A

Registro de Resolução da junção dos grupos 1 e 2

  

		Técnicas (𝝉)		Tecnologia (𝜽)	Teoria (𝚯)
	-Mantiveram a malha e
	os eixos;		
	-Localizaram o ponto
	A na origem do sistema
	de coordenadas;	
	-	Definiram	a
	localização do ponto O;	Sistema	de
	-	Utilizaram	a	coordenadas
	ferramenta	"vetor	cartesianas, pontos,
	definido	por	dois	reta, vetor definido
	pontos" para gerar o	por dois pontos;
	vetor 𝑢 ⃗ ;			mediatriz	em
	-Determinaram a	associação	a
	localização do ponto B,	definição de ponto
	estrategicamente, posto	médio.
	sobre o eixo x com
	abcissa 4;		
	-Obteve-se o vetor 𝑣 , a
	partir dos pontos O e B
	por meio da ferramenta
	"vetor definido por dois
	pontos";		
	-Selecionou os pontos
	A e B e empregou a
	ferramenta mediatriz;
	-Utilizou a ferramenta
	interseção de dois
	objetos (reta mediatriz e
	o eixo x);		
	-Determinou o vetor 𝑤 ⃗⃗ ,
	por meio da ferramenta
	vetor definido por dois
	pontos.		

  aparecem como elementos auxiliares na sinalização da representação de cada vetor em função dos vetores 𝑢 ⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤 ⃗⃗ . Nota-se que as cores são elementos que se agregam às técnicas ao diferenciar cada representante dos vetores, porém é relevante pontuar que os estudantes não tiveram o mesmo cuidado ao utilizar o elástico verde água na representação dos segmentos AB, CD e EF, que não são equipolentes dois a dois. Dessa forma, infere-se que a atenção dos componentes deste grupo gravitou apenas na representação dos entes vetoriais caracterizado por meio de uma seta. Na figura 153 identifica-se as seguintes associações às cores dos elásticos, assim pode-se pensar na seguinte legenda: 𝐺′𝑇 𝑡3(𝑃𝐿) =[𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟; 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑚 𝑢𝑚 ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑚 PL; 𝑉 6 , 𝑉 7 ]

	𝑉 6 -Instrumentos disponíveis de PL (régua,	𝑉 7 -Configuração (plano, espaço, retangular,
	esquadros, papel milimetrado, etc).	triangular, ...).

 Amarelo indica o sentido de cada vetor;  Verde água corresponde ao vetor 𝑣 ;  Rosa escuro corresponde ao vetor 𝑢 ⃗ ;  Laranja corresponde vetor 𝑤 ⃗⃗ ;  𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 ⃗⃗ +𝑣 (laranja, azul e amarelo);  𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 ⃗⃗ +𝑣 + 𝑢 ⃗ (laranja, verde água, rosa escuro e amarelo);  𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ -𝑣 (rosa escuro, verde água e amarelo). Fonte: acervo da autora (2020) Como resposta, eles apresentaram as seguintes combinações lineares envolvendo as operações de soma e subtração de vetores: 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 ⃗⃗ +𝑣 ; 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤 ⃗⃗ +𝑣 + 𝑢 ⃗ e 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ -𝑣 . É possível notar as proeminências distintivas entre as praxeologias pessoais (CROSET, CHAACHOUA, 2016) que revelam particularidades de caráter individual na produção e na construção de conhecimentos. É notório destacar que os sujeitos institucionais construíram rotas diferenciadas por intermédio de um conjunto de gestos e técnicas que não são prescritos pela instituição, logo situa-se no domínio das praxeologias pessoais, ao direcionar a atenção para o estudo das tarefas provenientes dos Sub-Geradores,

  𝐺′𝑇 𝑡4(𝑀𝑀) = [𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟; 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠: (𝐼), (𝐼𝐼), (𝐼𝐼𝐼), (𝐼𝑉), (𝑉) 𝑒𝑚 𝑀𝑀; 𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 6 , 𝑉 7 ]

	𝑉 2 -Natureza de	𝑉 3 -	Instrumentos	𝑉 6 -	Instrumentos	𝑉 7 -	Configuração
	MM elásticos,	(canudos,	auxiliares agregados	disponíveis de PL	(plano,	espaço,
	barbantes,	EVA,	a MM (tesoura, cola,	(régua,	esquadros,	retangular, triangular,
	dentre outros).		tachas, placa de	papel milimetrado, etc).	...).
				isopor, etc.).		

  na resolução (I), em que é destacada a conguência entre os segmentos que compõem a figura, apontando todos os representantes dos vetores 𝑎 e 𝑏 ⃗ . Assim, colhe-se informações do registro ostensivo, os quais são transpostos para a Organização Matemática -OM que foi desenhada primeiramente destacando alguns representantes do vetor 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , prosseguindo com as oprerações vetoriais que culminou com a constatação que 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 + 3𝑏 ⃗ .O esboço resolutivo (II) traz características distintas do que foi revelado em (I) no que se refere ao que foi indicado na figura, em relação às interligações entre as extremidades dos segmentos DN e MB. Contudo, nota-se que os argumentos empregados no processo praxeológico assumem aspectos similares. No entanto, ao olhar para (III), as diferenças emergem com mais força, no que se refere aos elementos ostensivos traçados na imagem, quando ao contexto praxeológico que se integra ao caminho resolutivo. Já em (IV), percebemos equívocos em relação a uma soma de módulos igualados a um segmento. Assim, supomos que, Para dados valores dessas variáveis existe pelo menos uma estratégia ótima (do ponto de vista de seu custo de implementação, sua confiabilidade, seu custo de aprendizagem ...) e um ou mais conhecimentos que lhe correspondem. Chamamos de variável cognitiva uma variável da situação tal que, ao escolher valores diferentes, pode-se provocar mudanças no conhecimento ótimo. As variáveis didáticas estarão entre as variáveis cognitivas aquelas que podem ser definidas pelo professor.(BROUSSEAU, 1997, pp. 3-4, tradução nossa 260 ) o estudo de padrões localiza o olhar sobre o sujeito em ação, o estudo de técnicas localiza o olhar sobre o assunto e sua relação com a instituição, as tarefas e os gestos que propõe; -o estudo de padrões é uma construção, a partir da observação de sujeito e regularidade de sua ação, o estudo de técnicas é um estudo de gestos e a diferença entre gestos e gestos prescritos é feita dentro de uma organização praxeológica.

	Frente a esse escopo variacional, as trajetórias que presidem a disseminação e a
	aquisição de conhecimentos apontam para o aspecto pujante das recombinações praxeológicas,
	um dos casos de praxeologia transposta em que um logos é mantido, mas uma praxis é
	modificada (Π * ) ⊕ Λ (CHEVALLARD, 2018), as quais se articulam com a dinâmica da
	organização do estudo apoiada nas interações entre os distintos dispositivos. Assim, também
	nos parece útil conceber que,					
	𝐺′𝑇 𝑡4(𝐺𝐺) = [𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟; 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠: (𝐼), (𝐼𝐼), (𝐼𝐼𝐼), (𝐼𝑉), (𝑉) 𝑒𝑚 𝐺𝐺; 𝑉 4 , 𝑉 5 , 𝑉 7 ]
	𝑉 4 -Menu do dispositivo	𝑉 5 -	Dispositivos	móveis	𝑉 7 -	Configuração	(plano,
	(barra de ferramentas)	(notebook, celular, tablets);	espaço, retangular, triangular,
					...).		
	, tradução nossa 259 ) "as relações pessoais dos Brousseau (1997) acerca de algumas ideias fundadoras,
	sujeitos, neste caso os estudantes, são construídas sob o efeito de várias interações existentes

(cursos seguidos, trabalhos estudados, práticas realizadas, etc.)". Vertente essa que pode ser

259 

les rapports personnels des sujets, en l'occurrence des étudiants, se construisent sous l'effet de plusieurs interactions existantes (cours suivis, ouvrages étudies, pratiques réalisees etc.) refletida possívelmente, o discente desejava expressar uma soma vetorial a qual poderia ser expressa por: 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Quadro 41 -Trajetórias trilhadas na resolução da quarta tarefa Caminhos de Práticas Pessoais -CPP Fonte: acervo da autora (2020)

A quinta (V) resolução apresenta técnicas com um caráter mais econômico dentre as que foram descritas, pois parte-se da soma dos três vetores ao invés da subdivisão em duas ou três etapas, para só então obter o resultado. Aspecto esse, que dialoga com a concepção de Esses modelos devem ter variantes e variáveis. Podemos então pesquisar, por meios matemáticos e experimentais, quais os valores dessas variáveis que podem determinar as condições ótimas para a difusão de determinado conhecimento, ou explicar aquelas que aparecem como a resposta (teoricamente) ótima às condições propostas ao aluno.

-

(TROUCHE, 2003, pp. 15-16) 

Na trilha de análise das técnicas e, por consequência, das produções oriundas do Sub-Gerador de Tipo de Tarefas, 𝐺′𝑇 𝑡4(𝐺𝐺) , o qual estruturou e direcionou o trabalho com o software GeoGebra, como ilustrado a seguir,

  𝐺′𝑇 𝑡5(𝑀𝑀) = [𝑂𝑏𝑡𝑒𝑟; 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑚 𝑀𝑀; 𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 6 , 𝑉 7 ]

	𝑉 2 -Natureza de MM	𝑉 3 -Instrumentos	𝑉 6 -	Instrumentos	𝑉 7 -	Configuração
	(canudos, elásticos,	auxiliares		disponíveis de PL (régua,	(plano,	espaço,
	barbantes,	EVA,	agregados a MM	esquadros,	papel	retangular, triangular,
	dentre outros).		(tesoura,	cola,	milimetrado, etc).	...).
			tachas, placa de		
			isopor, etc.).			
				Fonte: acervo da autora (2020)

  𝐺′𝑇 𝑡5(𝐺𝐺) = [𝑂𝑏𝑡𝑒𝑟; 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑚 𝐺𝐺; 𝑉 4 , 𝑉 5 , 𝑉 7 ]Com base neste Sub-Gerador de Tipo de Tarefas no contexto do GeoGebra em operação com os Tipos de Tarefas que dele advém amplia-se o leque de possibilidades com o uso da janela de visualização em 3D, possibilitando, assim, rotacionar o sólido gerado em função dos eixos coordenados OX, OY e OZ. Nestes termos, revelamos as construções dos grupos 1 e 2, dispositivo GeoGebra foi utilizado, pelos discentes, como sustentação resolutiva.Inferimos que essa limitação está associada à falta de um contato prévio com o software.Contudo, não podemos negar que a dinamicidade de GG é um fator prepoderante no que se refere às construções geométricas. Em ambas, as ferramentas que constituem os protocolos de construções são: pontos, tetraedro, segmentos, polígonos, ponto médio e vetores, dentre outros.7.7 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA TAREFA 6A sexta tarefa procede do Gerador de Tipo de Tarefas que deu origem ao Tipo de Tarefa analisada anteriormente, ou seja, 𝐺𝑇 𝑡5,6 =[Obter; um vetor como combinação linear de uma base; 𝑉 1 ,𝑉 2 , 𝑉 3 , 𝑉 4 ,𝑉 5 , 𝑉 6 , 𝑉 7 ], o que reforça a potencialidade dos GTs. Dessa forma, o enunciado da questão demanda, a determinação de vetores em função de outros vetores, como

	𝑉 4 -Menu do dispositivo (barra	𝑉 5 -	Dispositivos	móveis	𝑉 7 -Configuração (plano,
	de ferramentas)	(notebook, celular, tablets);	espaço, retangular, triangular,
					...).
			Fonte: acervo da autora (2020)
	respectivamente.				
	Grupo 1				Grupo 2

Fonte: acervo da autora (2020) Ao estabelecermos um comparativo entre as duas produções, é possível perceber que na construção do grupo 2 existiu uma preocupação na especificação dos vetores (𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐵𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) envolvidos no contexto da questão. No entanto, o grupo 1 optou pela caracterização identificada por meio das cores. Contudo, ambas as resoluções apresentam um caráter incompleto, visto que não foi identificado de forma explícita o que foi solicitado na tarefa, ou seja, a obtenção de 𝐴𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ como combinação linear de 𝑎 , 𝑏 ⃗ e 𝑐 , o que nos induz a pensar que o

  Metaforicamente, atua como uma lupa, permitindo-nos focar nos detalhes, ou recuar e nos concentrar na estrutura geral, comoSkemp (1979) teorizou em sua teoria de aprendizagem varifocal. Prevemos que o mundo corporificado cresça em sofisticação de maneira consistente com a teoria do crescimento geométricode Van Hiele (1986). Objetos do mundo real são vistos, manipulados e sentidos de várias maneiras e as percepções são refinadas através da experiência e comunicação com os outros.

	(WATSON, SPYROU e TALL, 2003, p.10, tradução nossa 264 )
	Compactuamos com os autores ao destacar a necessidade de estudos que vinculem as
	várias formas perceptuais, sem perder de vista as argumentações matemáticas que imprimem
	fundamentações que fortalecem a coativação da perceptibilidade dos diálogos entre objetos
	ostensivos e não ostensivos, já que envolvem a caracterização do fato de poderem ser
	"manipulados" pelo ser humano (pessoa, indíviduo ou sujeito), direcionando que qualquer
	objeto tangível podem ser concretamente manuseado de várias maneiras.
	Essa vertente é ratificada no uso feito pelos componentes do grupo, pois utilizaram os
	modelos manipuláveis como suporte para os cálculos registrados, imediatamente ao lado das
	suas construções como ilustrado no quadro,
	Quadro 42 -Resoluções da tarefa 6 com o suporte em MM
	𝐹𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜏 1 )
	= 𝑐 ⃗⃗ +

Destarte, não estão integradas ao nosso leque de intenções as substituições dos métodos que são hordienamente empregados no ensino dos vetores, mas como já identificado nesta investigação existem incompletudes e lacunas que enfraquecem o processo de aprendizagem.

Assim, acreditamos que o trânsito entre tarefas realizadas no domínio de distintos Dispositivos Didáticos, podem apontar direções que se apresentam como suporte na construção de pilares de fortalecimento, projetado um AHA pelo qual os estudantes possam entender a complexidade das ideias vetoriais, com base em sua interação física com o mundo em conexões com o uso do simbolismo matemático.

  Representação do Paralelepípedo em PLA partir do que foi retratado no quadro, nota-se um sequenciamento de técnicas, enquanto agrupamento de tarefas, que segue o mesmo direcionamento da questão 5, ou seja, soma vetorial (𝑡 1 ) que decorre da substituição por outros representantes aditado à multiplicação do vetor por escalar (𝑡 2 /𝑡 3 ), a qual é representada, em parte, pelo sequencialmento da soma de três vetores (𝑡 4 ) acrescido das propriedades distributiva e comutativa (𝑡 5 ) e (𝑡 6 ). Pode-se pensar numa vertente que torne mais robusta o conjunto de tarefas que compõe as técnicas, para estudos futuros, como a implementação de tarefas que envolvam conjuntamente dois sólidos.O 𝐺′𝑇 𝑡5,6(𝑃𝐿) que guiou a resolução em PL, subsidiado pelo sistema de variáveis, configurou possibilidades de resolução apresentando traços distintos dos observados na tarefa 5, ao recorrer a figura como um suporte que auxiliou o entendimento e consequente resolução da questão. Principalmente no que se refere às especificações de localização dos vetores: 𝐴𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ e

has theorised in his varifocal learning theory. We envision the embodied world growing in sophistication in a way that is consistent with Van Hiele's (1986) theory of geometrical growth. Real world objects are seen, manipulated and sensed in various ways and the perceptions are refined through experience and communication with others. Figura 177 -𝐹𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ ou 𝐸𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 4 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , assim como a identificação representacional de 𝑎 , 𝑏 ⃗ e 𝑐 no paralelepípedo, suporte da tarefa, como exposto abaixo,

  . Desta forma, eles sinalizam que a situação pode ser enriquecida, a posteriori por meio dos, valores das variáveis didáticas de valores suplementares para explicar as praxeologias pessoais dos alunos, sejam elas válidas ou não. Esta é a terceira função do conceito de variável, particularmente importante para o diagnóstico e a inclusão de praxeologias pessoais dos estudantes de uma determinada instituição. (CHAACHOUA;BESSOT, 2018, p.125) Neste sentido, o gerenciamento de recursos (variáveis) e o design do cenário de aprendizagem foram prescritos. O que significa dizer que, fitamos o olhar para cada um dos Sistemas Didáticos Periféricos 268 que emergiram, protagonizados pelos sujeitos de cada grupo de trabalho nas resoluções das tarefas provenientes dos Geradores de Tipo de Tarefas -GTs, os quais assumiram o papel articulador nos diferentes momentos desse processo. Assim, associa-se a construção das técnicas oriundas do AHA, espaço constitutivo de uma variedade de recursos (mídias) denotado a partir dos Dispositivos Didáticos {PL, MM e GG}, os quais foram descritos metaforicamente como o "combustível" que alimentou o sistema de variáveis que integrou cada GT.Assim, retomamos um dos elementos de base da análise a priori que subsidiou de igual modo a análise a posteriori. 𝐺𝑇 𝐴𝑃𝑂𝑆 𝑡 = [ 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑟; 𝑎𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑒𝑓𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠; 𝑉 1 𝐴𝑃 𝑡 , 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡 , 𝑉 3 𝐴𝑃 𝑡 ] 𝑉 1 𝐴𝑃𝑂𝑆 𝑡 -Natureza dos ostensivos: {geométrica, algébrica ou numérica}; 𝑉 2 𝐴𝑃𝑂𝑆 𝑡 -𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠: {𝑃𝐿, 𝑀𝑀, 𝐺𝐺}; 𝑉 3 𝐴𝑃𝑂𝑆 𝑡 -𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉 2 𝐴𝑃 𝑡

Fonte: acervo da autora

(2020) 

  Organização Matemática -OM em conformidade com o tipo de tarefa (T) prescrita, particularmente, no CLM-UEFS. Pautados nessa estrutura heterogênea, apresentada pelo AHA, o processo de estudo dos vetores gerou articulações entre os Dispositivos Didáticos {PL, MM, GG}, possibilitando o aparecimento de distintas técnicas, as quais podem ser interpretadas como sublinham Chevallard, Bosch e Gascón (2001), A necessidade de interpretá-la, justificá-la e relacioná-la com as técnicas já existente. Com a criação da nova técnica, surge a necessidade de analisar seu alcance (os tipos de problemas aos quais podem ser aplicados e suas limitações (os subtipos de problemas que apresentam dificuldades para a utilização da técnica.(CHEVALLARD, BOSCH e GASCÓN, 2001, p. 280) O aumento no número de técnicas empregadas nas resoluções das tarefas se deu por meio da função atribuída a cada Dispositivo Didático -DD. Em termos do alcance foram detectados limitações no que tange aos materiais manipuláveis, pois os estudantes fizeram uso de resoluções aproximadas das tarefas propostas no curso. Neste sentido, inferimos que MM serviu como um suporte ostensivo que evocou não-ostensivos no processo demandado por t1, Adotamos como exemplo a primeira tarefa e as resoluções a ela associadas, a título amostral, pois já foram aludidos detalhamentos das tarefas/técnicas que seriam supostamente empregadas e que foram efetivamente utilizadas nas resoluções. Todavia, temos ciência que análises dessa natureza podem ser desenvolvidas com enfoque para todas as tarefas propostas no minicurso "um estudo sobre vetores", promovendo reflexões sobre as consequências e características do ensino e aprendizagem vetorial pautadas nas escolhas didáticas que se vincularam aos dispositivos.Também não podemos perder de vista que o desenho investigativo se apoiou no comportamento do AHA a partir do funcionamento dos Geradores de Tipo de Tarefas (CHAACHOUA;2015) e Sub Geradores de Tipo de Tarefas(KASPARY, 2020). Esse viés conduziu a investigação e se apresentou como um dos pilares centrais do estudo, pois os sistemas de variáveis, em associação aos Dispositivos Didáticos -DD, ganharam funcionalidade por intermédio dos elementos inerentes ao T4TEL (CHAACHOUA, 2018), assim como, a consonância entre as hipóteses que acompanharam a investigação.A partir dessas elaborações e concepções, foi possível reconhecer as técnicas e seus ingredientes, pois não podemos olvidar que técnicas também são tarefas. Além disso, o que é tarefa em um momento pode ser técnica posteriormente. Assim como, o logos fundamentou cada técnica mobilizada na resolução de tarefas desse tipo, como exemplificado a seguir, tomado como base a tarefa 1. Neste sentido, o fracionamento praxeológico torna-se um aliado importante do pesquisador uma vez que, no T4TEL (CHAACHOUA, 2018) uma técnica é descrita por um conjunto de tipos de tarefas, cada uma das quais caracterizada por um tipo de tarefa sendo denominada de ingrediente da técnica, que em geral revela traços das escolhas realizadas pelos estudantes.Tabela 8 -Identificação de técnicas vinculadas a tarefa 1 em MM (grupo 1) Sentidos dos vetores 𝑢 ⃗ e 𝑣 associados aos elásticos na cor branca.

	Sequência de técnicas empregadas na	Suporte tecnológico teórico [𝜽/𝚯]
		elaboração do modelo				
		Ingredientes das técnicas	𝜃		Θ	
	𝑡 1	Identificação dos pontos A, B, C, D, E,	Noções primitivas		Geometria Euclidiana
	F, G, H e O com uso de PL. t2, ..., t6. 𝑡 2 Marcação do pontos A, ..., O com	Noções Primitivas		Geometria Euclidiana
		tachas.				
	𝑡 3	Delimitação dos quadrados com	Conceituação	de	Geometria	Euclidiana
		elásticos.	polígonos		plana	
	8.2 UMA AMOSTRA DE DIFERENTES ABORDAGENS E RESPOSTAS 𝑡 4 Definição de vetores Geometria Analítica
	VINCULADAS A TAREFA 1 "Encadeamento" entre elásticos para 𝑡 5 conceber o vetor 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .	Operações de vetores/ Combinação Linear	Geometria Algebra Linear	Analítica/
		Fonte: acervo da autora (2020)			

  As demais técnicas seguem o mesmo sequenciamento evidenciado na tabela acima, aspecto este que se diferencia quando direcionamos atenção para a produção realizada no ambiente papel lápis.Tabela 11 -Identificação de técnicas vinculadas a tarefa 1 em PL (grupos 5 e 6)

		Sequência de técnicas empregadas na	Suporte tecnológico teórico [𝜽/𝚯]
		elaboração do modelo			
		Ingredientes da técnica		𝜃		Θ
	𝑡 1	Identificação dos vetores.		Conceito de vetores	Geometria Analítica
	𝑡 2	Escrever estas somas em função de 𝑢 ⃗ e	Operações	vetoriais/	Geometria Analítica/
		𝑣 .				Combinação linear	Álgebra Linear.
	𝑡 3	Efetuar a multiplicação de vetor por um	Operações vetoriais	Geometria Analítica
		escalar.					
	𝑡 4	Agrupar e operar os termos vetoriais	Operações	vetoriais/	Geometria Analítica/
		semelhantes	usufruindo	das	propriedades associativa,	Álgebra Linear
		propriedades.			comutativa,	elemento
						neutro, elemento oposto e
						distributiva.	
	𝑡 5	Considerar	𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗	como	Operações	vetoriais/	Geometria Analítica/
		resultantes de somas vetoriais		Combinação Linear	Álgebra Linear
				Fonte: acervo da autora (2020)
		Sequência de técnicas empregadas na	Suporte tecnológico teórico [𝜽/𝚯]
		elaboração do modelo			
		Ingredientes da técnica		𝜃		Θ
		𝑡 1	Marcação de pontos.		Noções primitivas	Geometria Euclidiana
		𝑡 2	Identificação dos vetores.	Conceito de vetores	Geometria Analítica
		𝑡 3	Identificação de segmentos.	Advém das Noções	Geometria Euclidiana
						primitivas

Fonte: acervo da autora

(2020) 

  , grifos do autor, tradução nossa 270 ) Contudo, essa conceituação ainda era incipiente para a criação e o desenvolvimento da estrutura de espaços vetoriais, pois eram fortes os apelos geométrico e intuitivo que subsidiavam os problemas físicos. Também foi identificado que o primeiro contato com vetores ocorreu, geralmente, por intermédio de uma representação que os caracteriza geométrica e/ou algebricamente. Desse modo, as representações geométricas dos vetores partem da associação às grandezas que necessitam de módulo, direção e sentido para serem completamente caracterizados. Nesse sentido, um vetor é geometricamente representado por uma seta, com comprimento revelado pelo módulo, o que é intuitivo. As diferentes formas de representação dos vetores transportam, intrinsecamente em sua formação, "feições" numéricas, algébricas e geométricas, fatos esses que emergiram da trajetória histórica que envolve o tema.A partir dessa trajetória histórica-epistemológica, cuja promulgação do saber 271 muitas vezes não é um objeto puro e livre de interferências, está atrelada as disputas, as quais são nutridas por interesses difusos que acompanham as tradições dos grupos de matemáticos, é possível enxergar com mais clareza o que salientou Lima (2012) acerca de um dos certames vivenciados na primeira metade do sec. XX, um confronto entre a abordagem geométrica e a algébrica, delineado, principalmente, entre as escolas de matemática italiana e a bourbakista circunscrito no campo da geometria algébrica, por outro, esse confronto também foi marcado pelas disputas políticas internacionais do período, envolvendo inclusive questões que estavam relacionadas ao fascismo, nazismo e matemáticos de nacionalidade judia.(LIMA, 2012, p. 234) Enfoque como este nos fizeram inferir que as formas de organização do saber matemático também influenciam as práticas e articulações que advém da estruturação dos atributos curriculares inerentes aos Cursos de Licenciatura em Matemática. Nessa linha de raciocínio, foi pertinente considerar que, para tratarmos do contexto no domínio vetorial, fezse necessário atentarmos para os caminhos de institucionalização da geometria e da álgebra linear no Brasil. Dito de outra forma, faremos incidir uma luz acerca do Saber a Ensinar -SaE difundido no período em se inauguram os cursos de licenciatura em matemática no cenário brasileiro e para tanto os estudos de[START_REF] Ziccardi | O curso de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: uma história de sua construção[END_REF] nos auxiliam nesse aspecto, ressaltando que no Curso Matemático na FFCL 272 destinado à formação de professores as disciplinas Geometria analítica, Geometria projetiva e o cálculo vetorial compunham a organização curricular do curso.Nestes termosZiccardi (2009, p. 140) sublinhou que "utiliza-se da Geometria Descritiva para melhor ampliar o conhecimento do espaço. O cálculo Vetorial e Hemográfico permite um preparo sólido que os alunos devem possuir para enfrentar o estudo da Física da Mecânica Racional". Assim, foi possível perceber que, para além da geometria, ressaltava-se a imprescindibilidade de uma componente curricular destinada unicamente para o estudo dos vetores. Entretanto, o caráter essencialmente geométrico foi enfraquecido pelas concepções advindas do Movimento da Matemática Moderna -MMM no Brasil, no contexto da segunda metade do séc. XX, influenciando o campo das ideias matemáticas, ao desencadear significativas mudanças nos programas curriculares, os quais repercutiram nas práticas escolares. A partir desse cenário, o que mais se aproxima do nosso foco de interesse refere-se ao movimento de algebrização da geometria que, de acordo com Camargo (2009, p.25), (...) "Segundo documentos da época a algebrização, poderia ser realizada por três linhas: via modificações dos axiomas de Euclides, por meio dos grupos das transformações geométricas ou via espaços vetoriais." Desse modo, especificamente, a introdução da abordagem vetorial era apresentada aos alunos desde o final do ginasial (contemporaneamente Ensino Fundamental II séries finais), tornando-se gradualmente mais rebuscada no secundário e nível universitário. Aspecto esse, evidenciado no trecho do prefácio do livro 3 de Catunda e colaboradores,No terceiro ano ginasial, estudam-se, primeiramente, as transformações geométricas na reta. Em seguida, partindo da observação e tomando por base propriedades bastante intuitivas, introduz-se a estrutura de espaço vetorial do conjunto das translações no plano. O conjunto dos pontos do plano é, então, o espaço afim bi-dimensional associado ao espaço vetorial assim definido. Desta maneira se apresentam, naturalmente, as coordenadas cartesianas ligadas a um sistema de referência constituído por um ponto O e dois vetores não paralelos u e v (sistema Ouv).[START_REF] Catunda | Matemática 1: segundo ciclo ensino atualizado[END_REF], p. VII, apud CAMARGO, 2009, p. 84, grifos nossos).A partir desse contexto, foi viável constatar discrepâncias entre o ensino vetorial difundido na segunda metade do século XX e o que é veiculado no âmbito do ensino vetorial contemporâneo. Em outras palavras, espontaneamente incorporava-se a ideia de espaço vetorial em associação com as transformações do plano. Por outro lado, ao fitar a atenção para os estudantes do CLM-UEFS foi viável observar que eles não possuíam uma bagagem praxeológica prévia (Ensino Fundamental e Médio) com a abordagem vetorial, o que reduziu o alcance em projetar um trabalho no âmbito dos espaços vetoriais. Essa vertente foi ratificada por pesquisadores da área de Matemática Pura e Educação Matemática, como[START_REF] Lima | Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio[END_REF],[START_REF] Rodrigues | Geometria analítica com enfoque vetorial no ensino médio[END_REF],[START_REF] Reis | Ensinando operações com grandezas físicas vetoriais no ensino médio através de uma unidade de ensino potencialmente significativa[END_REF] e Vaz e Ferreira (2016) ao destacar a ausência dos vetores nos currículos e livros destinados a este nível de ensino. Aspecto este sublinhado nas palavras de Vaz, Ferreira e Nasser (2017), Observando as dificuldades apresentadas por alunos ao chegar à universidade, o grupo começou a questionar o que se ensina de vetores e retas no EM. Para nossa surpresa, verificou-se que "vetores" é um tópico que, em geral, não faz parte dos currículos de EM de Matemática. Em alguns casos, aparece no currículo de Física, mas, não está claro se os alunos conseguem aplicar esse conhecimento para usar vetores em Matemática.(VAZ, FERREIRA e NASSER, 2017, p. 57) Essa perspectiva se une à preocupação sinalizada pelo professor Elon Lages Lima et al (2001) ao declarar de maneira enfática suas inquietações, após ter analisado diversos livros de matemática para o Ensino Médio, e o descontentamento ao fazer referência à exiguidade dos vetores, expondo estas sensações em vários trechos da obra em foco: "Por alguma obscura razão, ou por nenhuma em especial, o importante conceito matemático de vetor [...], é

Tomar em consideración la dimensión ecológica del problema de la modelización matemática significa assumir la existência de restricciones que, com independência de la voluntad de los sujetos, inciden sobre la vida institucional de la modelización matemática.

La transposición pude facilitar la entrada em el sistema de enseñanza de ciertos objetos (los conceptos, modelos y sistemas conceptuales que tengan uma existência claraen la institución sabia) y dificultar la entrada de otros (em particular de los objetos "extramatemáticos" que no tengan uma existência clara em el saber sábio).

Ver Chevallard (2007).

he/she is no longer the prophet of truths that have to be transmitted, but a free spirit calling forth other free spirits to develop and assume their responsibilities.

Os Sistemas Didáticos Periféricos são compostos pelos Sistema Didáticos Auxiliares -SDA, Sistema Didático Induzidos -SDI e os Sistemas Didáticos Furtivos -SDF que gravitam em torno dos Sistemas Didáticos Principais -SDP.

Le temps des études.

"J'ai introduit le thème de la transposition didactique dans la communauté française des didacticiens des mathématiques au tout début des années 1980".

"(...) paradigma ecológico que nace como un modelo sociológico viene a proporcionar a la enseñanza y al aprendizaje de las ciencias en particular una propuesta de trasformación y praxis escolar, que permite trabajar con ciertos principios epistemológicos para proporcionar las bases teóricas-metodológicas, en las que se sustenta la concepción de conocimiento: La realidad es un proceso de construcción socio-histórico cultural, en la que intervienen la historicidad del sujeto y la intencionalidad del conocimiento, la creatividad, la dimensión antropológica y la dimensión axiológica".

Termos vinculados à ecologia dos saberes que indicam as funções que o objeto de saber exerce em interação com outros objetos, assim como situam o objeto em termos de localização institucional.

Derivada da palavra praxeologia, proveniente da junção das palavras gregas práxis e logos, encontramos a palavra praxeologia. Ver[START_REF] Chevallard | Estudar Matemática: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem[END_REF].

A quaternion may thus be said to consist generally of a real part and a vector.

Definition: a vector is a quantity that is considered to have both direction and magnitude.Definition: a vector is a quantity that is considered to possess both direction and magnitude: A scalar is a quantity that is considered to possess magnitude but no direction. The positive and negative numbers of common algebra are typical scalars. For this reason, ordinary algebra is called scalar algebra when necessary to distinguish it from the vector algebra or analysis (...)

Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da USP.

Aunque en estos momentos se haalcanzado un cierto consensoal menos aparentemente -confinando la geometría sintética en la enseñanza obliga-toria y la geometría analítica en la post-obligatoria, es pre-visible que la citada controversia vuelva a aparecer, pues-to que no há sido cerrada con argumentos sólidos y, loque es más evidente, no se ha dado ninguna respuesta a la flagrante discontinuidad entre la geometría sintética dela ESO y la geometría analítica del Bachillerato.

On enseigne en effet peu ou prou, dans les années terminales des lycées et même jusqu'il y a peu de temps dans les classes préparatoires aux grandes Ecoles (ainsi que dans beaucoup d' Universités étrangères) toute une impressionnante liste de "sciences":la géométrie pure, géométrie analytique, trigonométrie, géométrie projective, geométrie conforme, geométrie non-euclidienne e a théorie des nombres complexes.Non seulement toutes ces disciplines sont-elles en général présentées isolément, mais encore est-il fréquent de voir chacune s'efforcer d'ignorer totalement les autres et se targuer de son indépendance: les grotesques querelles des géomètres synthétiques et des géomètres analytiques, aussi incompréhensibles pour nous que les discussions byzantines sur le modo depuis le programme d'Erlangen de f. klein que sous défroques d'un autre âge se cache toujours une seule et même discipline, l'algèbre linéaire des mathématiciens modernes, qui englobe aussi, bien entendu, la théorie classique des systèmes d'équations linéaires, mais est devenue, avec ses ramifications actuelles ( qui vont bien audelà même de l' enseignement de la Licence), une des théories les plus centrales et les plus efficaces de la Mathèmatiques contemporaine, riche en applications les plus varièes, de la Théorie des nombres à la Physique théorique, en passant par l' Analyse, la Géométrie et la Topologie.

 70 Il est urgent entre autres de libérer le nom de Géométrie analytique, qui est certainement le meilleur pour désigner une des théories les plus vivantes et les plus profondes de la Mathémátique moderne, celles des "variétes analytiques", qui fait pendant à la "Geométrie algébrique, étude des variétes algèbriques.

en su crítica a Dieudonné subraya que éste utiliza el modelo epistemológico «euclidiano» en el desarrollo del texto Álgebra Lineal y Geometría Elemental, especialmente paradójico máxime cuando el autor(Dieudonné) es el mismo que lanzó el célebre «¡Abajo Euclides!». Aunque Freudenthal no lo acaba de expresar con demasiada claridad, parece que lo que critica del punto de vista de Dieudonné es el hecho de que éste esconda los problemas que hay detrás de las conjeturas, las razones de la elección de unos axiomas en lugar de otros y, en definitiva, la ocultación de la problemática que da origen a la geometría como organización matemática.

Ce par contre à quoi je suis tout à fait opposé, c'est ce que l'on pourrait appeler "la méthode de l'échafaidage préalable". Sous prétexte que le système d'axiomes de l'Algèbre linéaire est 'trop abstrait", on voudrait, avant de l'introduire, partir d'un autre système d'axiomes, réputé plus accessible, et en déduire ensuite les axiomes de l'Algèbre linéaire. C'est en somme ce qu'avait fait Hilbert dans célèbres travaux sur les fondements de la Géométrie en prenant pour point de départ les axiomes d'Euclide convenablement complétés. Chacun sait que ce tour de force dépasse de loin le niveau de l'Enseignement secondaire, mais on a tenté depuis lors des compromis entre l'échafaudage d'Euclide-Hilbert et l'axiomatique nue de l'Algèbre linéaire; le plus connu est sans doute le système d'axiomes proposé récemment par Choquet, d'une remarquable ingéniosité qui témoigne du grand talent de son auteur, mais que je tiens pour parfaitement innutile et même nuisible.Il ne se justifierait que si les notions qui sont à la base des axiomes du plan euclidien, addition des vecteurs, multiplication par un scalaire et produit scalaire de deux vecteurs, étaient extrêmement abstraites et difficiles à reprèsenter graphiquement; chacun sait qu'il n'en est rien et quelques mois d'expériences sur le papier quadrillé devraint suffire pour accoutumer l'élève à leur maniement, et le préparer à admettre sans hésitation que l'on fonde l'édifice algébrico-géométrique sur des propriétés dont il lui est facile de vérifier l'exactitude expérimentale. Dès lors, à quoi bon surcharger sa mémoire de soi-disant axiomes qu'il lui faudra s'empresser d'oublier? En fait, on assiste simplement lá à un système traditionannel d'axiomes, plus fréquent qu'on ne croit chez les mathématiciens professionnels, même bien au-delà du niveau de la Géomètrie élémentaire, et que je ne me chargerai pas d'expliquer.

(...) it seems very difficult to obtain general agreement concerning changes in geometry. (...) But is not the development of a closer tie between algebra and geometry, whereby an individual no longer regards them as two unrelated disciplines, of even grater importance? Vector geometry affords one excellent opportunity for such a

We shall now inquire how we can obtain, from combinations of given fundamental configurations (vectors and scalars of both kinds), additional configurations of the same species. We shall consider fist a very simple example. Let T be a scalar of the second kind, say the volume of a tetrahedron, and let X, Y, Z be the coordinates of a polar vector.

O PPP é constituído institucionalmente como um documento direcionador, sem exercer em si uma vigilância epistemológica.

"Le processus de transposition didactique souligne donc la relativité institutionnelle des savoirs".

A noosfera viabilizaria a manutenção da compatibilidade entre o sistema didático e o seu entorno social, no "plano do saber"(CHEVALLARD, 1999, p. 26).

"Mais pour l'enseignant, les choses vont autrement. En un premier temps au moins, la reconnaissance de la transposition didactique vient ébranler sa participation heureuse au fonctionnement didactique".

[...] un ou plusieurs types de tâches mathématiques, plus ou moins bien identifiés, qui appellent la création de techniques mathématiques plus ou moins adaptées, et plus ou moins justifiées par des technologies mathématiques plus ou moins solides, elles-mêmes développées dans le cadre d'une théorie mathématique plus ou moins explicite.

Toda organización o praxeología didáctica (en adelante, OD) que vive en una institución determinada está sustentada y fuertemente condicionada por el modelo epistemológico de las matemáticas dominante en dicha institución.

Na conferência de encerramento da Escola de Altos Estudos promovida pelo DDMAT -MT, em fevereiro de 2019, sob a coordenação da Professora Doutora Marilena Bittar, esta questão foi bastante discutida, e compactuamos com a declaração do Professor Hamid Chaachoua, ao justificar que, se estamos inseridos em uma pesquisa cujos pilares teóricos são da Teoria Antropológica do Didático (TAD), a qual possui como base as praxeologias, é condizente trazermos este aspecto praxeológico para fundamentar e estruturar o construto teórico desenvolvido pela pesquisadora.

Le socle de toute praxéologie est un système de tâches autour duquel se développent et s'organisent techniques, technologies, théories.

"Le problème écologique élargira le champ d'analyse et traitera les contraintes créées entre les différents objets de connaissance à enseigner".

"Le contrat didactique représente 2 les droits et les devoirs implicites des élèves et de l'enseignant à propos d'objets, de savoir mathématique, enseignés".

La commutativité est démontrée par l'intermédiaire du parallélogramme, en construisant les représentants des vecteurs en un point, alors leur somme est la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs. Et cela en utilisant les vecteurs égaux et la relation de Chasles. L'associativité de l'addition vectorielle est mentionnée. En plus, la différence vectorielle est déduite de l'addition.

"les ostensifs ont une double fonction: ils ont une "valeur sémiotique", liée à leur pouvoir de représentation d'objets non ostensibles, et une "valeur instrumentale", c'est-à-dire leur fonction en tant qu'outils de pratiques mathématiques.".

Apprendre implique pour lui de refuser le contrat mais aussi d'accepter la prise en charge. L'apprentissage va donc reposer, non pas sur le bon fonctionnement du contrat, mais sur ses ruptures.

"[...] different relative arrow orientations can prompt different solution paths and different kinds of mistakes, which suggests that students need to practice with a variety of relative orientations".

Hailing and studying authorities and masterpieces.

O autor esclarece que deve estabelece um comparativo com uma visita a um museu, onde os alunos admiram obras de arte que já estão prontas, finalizadas, sem vivenciar a produção da obra. Fato este que se assemelha às aulas de matemática, pois os estudantes, na maioria das situações, não vivenciam a construção do conhecimento, tudo está pronto e acabado.

Fonte: reprodução da autora com base no desenho apresentado por P2 (2016).

"La Teoría Antropológica atribuye a los objetos ostensivos, al lado de su valencia semiótica, una valencia instrumental ligada a la capacidad de los sistemas de ostensivos para integrarse en manipulaciones técnicas, tecnológicas y teóricas. Desde el momento en que se consideran los objetos ostensivos como constitutivos de las organizaciones matemáticas y los ingredientes primarios de las tareas, técnicas, tecnologías y teorías, se presentan,

(...) un outil qui permet de prendre du recul, d'interroger les évidences, d'éroder les idées simples, de se déprendre de la familiarité trompeuse de son objet d'étude, (...)

No âmbito da TAD, é conhecido como paradigma das "visitas às obras" ou -segundo uma metáfora usada na TAD -"de visitar monumentos". Ver[START_REF] Chevallard | Teaching Mathematics in Tomorrow's Society: a Case for an Oncoming Counterparadigm[END_REF] 

The inquirer's intellectual equipment -or more exactly the inquirer's praxeological equipment, in a sense of the word praxeology proper to ATDthus rests on two pillars: the capacity to locate resources, online and offline, and the knowledge necessary to take advantage of them. This leads to the question of making good use of the works O gathered.

Fonte: dados produzidos no minicurso(2018) 

Ver Chevallard (2009/2010) 

(T4, em referência ao quarteto praxeológico, qual seja, tarefa, técnica, tecnologia e teoria, e TEL, de Technology Enhanced Learning, que podemos traduzir como: Tecnologia para o Ensino e a Aprendizagem(CHAACHOUA;[START_REF] Chaachoua | Utilisation du modèle praxéologique de référence dans un EIAH[END_REF][START_REF] Chaachoua | Utilisation du modèle praxéologique de référence dans un EIAH[END_REF][START_REF] Chaachoua | Etude comparative des recherches sur l'apprentissage de l'algèbre élémentaire: rapports croisés, bilan et perspectives[END_REF].

le rapport institutionnel à um objet, pour une position institutionnelle donnée, est façonné et refaçonné par l'ensemble des tâches que doivent accomplir, par des techniques déterminées, les personnes occupant cette position. C'est ainsi l'accomplissement des différentes tâches que la personne se voit conduite à réaliser tout au long de sa vie dans les différentes institutions dont elle est le sujet successivement ou simultanément qui conduira à faire émerger son rapport personnel à l'objet considéré.

Componente curricular pertencente ao Curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade Estadual de Feira de Santana -BA (UEFS).

Em que modificaremos a prática Π e mantermos o logos Λ carcterizado por uma praxeológia transposta (Π * ) ⊕ Λ(Chevallard, 2018).

"Il s'agit de mettre en place des scénarii qui permettent à de futurs enseignants 'd'apprendre leur métier' en réalisant des séquences d'enseignement".

(...) une technique τ n'est pas nécessairement de nature algorithmique ou quasi algorithmique: il n'en est ainsi que dans de trop rares cas. Axiomatiser tel domaine des mathématiques, peindre un paysage, fonder une famille sont ainsi des types de tâches pour lesquelles il n'existe guère de technique algorithmique… Mais il est vrai qu'il semble exister une tendance assez générale à l'algorithmisationencore que ce processus de progrès technique paraisse parfois durablement arrêté, en telle institution, à propos de tel type de tâches ou de tel complexe de types de tâches.

Ambiente Híbrido de Aprendizagem.

Será descrito com mais detalhes no Capítulo VI.

Nous en retiendrons cette idée que c'est le contrat didactique qu'analyse a priori, qu'elle crée la distance nécessaire à la perception des caractères du contrat. Comme outil d'enseignement de didactique, elle vous aidera à préparer l'observation de phénomènes didactiques relevant du contrat ou de l'épistémologie du savoir.

(...) different attitude, that I dub procognitive (...) and which inclines one to behave as if knowledge was essentially still to discover and still to conquer-or to rediscover and conquer a new.

Ces témoignages peuvent être disponibles a priori (le chercheur se fait alors chasseur-cueilleur) ou suscités par le chercheur (qui se fait alors agriculteur), (...).

Ver Chevallard (2007).

De ce rapport personnel relève notamment tout ce qu'on croit ordinairement pouvoir dire -en termes de "savoir", de "savoir-faire", de "conceptions", de "compétences", de "maîtrise", d' "images mentales", de "représentations", d' "attitudes", de "fantasmes", etc…de X à propos de Os. Tout ce qui peut être énoncé -à tort ou à raison, pertinemment ou non -doit être tenu (au mieux) pour un aspect du rapport personnel de X à Os.

Dans le langage naturel, l'indication de la direction est souvent accompagnée d'un geste semblable à l'indication d'un lieu. Cette pratique donne vie à un obstacle culturel qu'il faudra lever pour distinguer le sens de la direction au moment de l'apprentissage du vecteur géométrique.

Ver WATSON, A.; SPYROU, P.; TALL, D. (2003)

la technique utilisée pour les accomplir, bien qu'ayant été construite un jour, a été routinisée, au point de ne plus apparaître comme telleutiliser cette technique pour accomplir une telle tâche va désormais de soi et ne pose plus aucun problème.

Our analysis yields three distinct mathematical worlds, each with its own way of constructing concepts and with its own way of proof. These are respectively, embodied, symbolic and formal.

Revenant aux notions fondamentales de l'approche anthropologique, nous dirons maintenant que la mise en oeuvre d'une technique se traduit par une manipulation d'ostensifs réglée par des non-ostensifs. Les ostensifs constituent la partie perceptible de l'activité, c'est-à-dire ce qui, dans la réalisation de la tâche, se donne à voir, aussi bien à l'observateur qu'aux acteurs eux-mêmes. Dans l'analyse du travail mathématique, les éléments ostensifs font partie du réel empirique, accessible aux sens. Par contraste, la présence de tel ou tel non ostensif dans une pratique déterminée ne peut être qu'induite ou supposée à partir des manipulations d'ostensifs institutionnellement associés.

On dira que chacun des acteurs xi doit en ce cas effectuer certains gestes, dont l'ensemble constitue alors son rôle dans l'accomplissement de la tâche coopérative t, ces gestes étant à la fois différenciés (selon les acteurs) et coordonnés entre eux par la technique τ mise en oeuvre collectivement. Certains de ces gestes seront regardés comme des tâches à part entière, t', dans l'accomplissement desquelles xi agira (momentanément) en autonomie relative par rapport aux autres acteurs de la tâche. L'ensemble de ces tâches, sous-ensemble du rôle de xi lorsque t est accomplie selon τ, est nommé alors le topos de xi dans t.

(...) objets qui donnent à connaitre, font travailler, questionnent, etc., un ou des savoirs; elles sont donc produites au sein d'une institution. Cependant elles peuvent tout à fait avoir une utilité au sein d'une autre institution, même si ce n'est pas celle initialement envisagée par le concepteur.

The "something" that y does or intends to do is metaphorically called a didactic gesture and is part of the didactic as a whole.(CHEVALLARD, 2012, p. 174) 

(...) um gesto didático é um gesto de estudo ou ajuda ao estudo.(CHEVALLARD, 2013, p.5, tradução nossa) 

Dialéctica de lo individual y de lo coletivo: es un proceso que consiste en el estudio colectivo de la pregunta problemática que se ha planteado y a la vez en el reparto de las responsabilidades y de asigna ción de las tareas, para volver a incorporarse a un proceso colectivo, para dar una respuesta. Esta dialética desplaza el "actor del estudio," pasa del individuo a la comunidad.

l'accomplissement de toute tâche résulte de la mise en oeuvre d'une technique. Là aussi il faut entendre le terme de technique en un sens très large, comme une « manière de faire » particulière, et non selon l'acception courante de procédé structuré et méthodique, voire algorithmique -ce qui n'est qu'un cas très particulier de technique.

Composto de objetos identificáveis tendo uma materialidade (tangível ou virtual). Eles possuem certas propriedades intrínsecas à natureza física ou tecnológica.(CHAACHOUA, 2020) 

Ver WATSON, A.; SPYROU, P.; TALL, D. (2003)

Ver WATSON, A.; SPYROU, P.; TALL, D. (2003)

Le cas échéant, on arrive, après un processus d'étude plus ou moins long, à produire des techniques permettant de fournir des réponses aux questions initialement posées. Un nouveau « savoir-faire » est construit, que l'on doit encore organiser pour lui assurer un fonctionnement régulier dans l'institution.

On admet que toute activité humaine se laisse analyser en une succession de tâches de types déterminés. Si T est un type de tâches, une tâche de ce type, 𝜏 𝑇 , est un spécimen du type de tâches. La réalisation d'une tâche t d'un type T suppose la mise en oeuvre d'une technique (du grec tekhnê, savoir-faire), notée 𝜏 𝑇 . Le système formé par le type de tâches T et la technique correspondante, Π = [𝑇/𝜏] , est appelé le bloc du savoir-faire ou bloc de la praxis ou bloc praxique.

Toute activité humaine se laisse décrire en apparence comme une manipulation d'objets ostensifs.

Dans la réalité anthropologique, on observe en outre l'existence d'un discours souvent lacunaire,voire largement implicite pour justifier la technique 𝜏, la rendre intelligible et, dans certains cas, permettre de la produire ou de la reconstituer : ce discours sur la technique est appelé la technologie de la technique 𝜏 et est noté 𝜃 . La technologie 𝜃 appelle à son tour un discours qui en justifie certains aspects non autojustifiés, en fixe le sens et en permette souvent la production : la théorie Θ de la technique 𝜏 . Le système formé par la technologie 𝜃 et la théorie Θ, soit Λ = [ 𝜃/Θ], est appelé le bloc du savoir ou bloc du logos ou bloc gnosique (pour éviter l'adjectif logique, qui en français a rpis un sens plus particulier).

Dans la réalisation concrète de l'activité mathématique, les complexes d'objets ostensifs activés se distribuent entre ces divers registres, sans que l'on puisse voir fonctionner généralement un et un seul d'entre eux de manière autonome par rapport aux autres.

Concebe-se que os vínculos praxeológicos ocorrem quando percebemos semelhanças entre itens do complexo de praxeologias empreendidas na resolução de determinada tarefa.

Dois segmentos orientados não nulos são equipolentes se, e somente se, eles tiverem mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.(MELLO e WATANABE, 2011, p.3) 

La partie tangible des modalités d'interaction des élèves avec les objets matériels de la situation admet, à mon sens, deux dimensions: une dimension matérielle, relative aux modalités d'action matérielle des élèves (leur mode d'usage des instruments, leur méthode de classement de solides, leur méthode de construction de figures), et une dimension langagière, relevant de la façon dont les élèves désignent les objets et la signification qu'ils assignent aux termes employés.

(...) en geometría, donde las figuras son evidencia de la demostración. (...) el racionalismo de la demostración se opondría. a esta clase de sensualidad que sirve de base a la evidencia.

le plus connu est le fait que certaines prémisses, certains arguments en géométrie, résultent de la lecture du dessin. Cette utilisation du diagramme n'est pas une faiblesse du mathématicien par rapport à une organisation idéale de la démonstration la rendant indépendante de toute prise d'information visuelle, elle témoigne au contraire d'un caractere fondamental de l'organisation du raisonnement mathématique grec classique.le rôle des lettres figurant sur le diagramme, dont la présence est attestée par le texte, est également révélateur.

(...) la demostración con el sentido y las características propias de la comunidad matemática.

Fonte: acervo da autora(2020) 

qu'une technologie, qu'elle soit personnelle ou institutionnelle, ne se réduit pas à un ensemble de théorèmes ou de règles mathématiques. C'est un discours qui permet de justifier, de produire, de rendre intelligible, de contrôler et d'adapter une technique.

Nous appelons praxéologie personnelle le quadruplet d'organisation praxéologique de l'activité d'un sujet institutionnel constitué de quatre composantes.

Il faut ajouter à ce stade que le rapport personnel d'un élève, par exemple, à un objet de savoir peut être multiple au sens où c'est un amalgame de rapports dus à l'assujettissement à plusieurs institutions.

En matemáticas es claro que el término "demostración" no es el más convenientes debido a que su acepción es muy específica. Seleccionamos el término prueba.

Our analysis yields three distinct mathematical worlds, each with its own way of constructing concepts and with its own way of proof. These are respectively, embodied, symbolic and formal.

(...), focusing mainly on the two worlds of mathematics that are met in school-the embodied world and the symbolic world of procepts. For the present, it is sufficient to notice that vectors are conceived in quite different ways in each world (and in the embodied world, there are several distinct contexts of meaning), there are different ways of performing constructions (such as addition and scalar multiplication) and there are different forms of proof.

[START_REF] Do | UM ESTUDO SOBRE VETORES[END_REF] une technique peut ne pas s'appliquer hors de as portée; 2) une technique peut ne pas s'appliquer hors de as portée, mais avec um risque élevé d'échec.

Os Sistemas Didáticos Periféricos são compostos pelos Sistema Didáticos Auxiliares -SDA, Sistema Didático Induzidos -SDI e os Sistemas Didáticos Furtivos -SDF que gravitam em torno dos Sistemas Didáticos Principais -SDP.(CHEVALLARD, 2011) 

Em vez de aprender, dizemos com mais modéstia que nos encontrarmos; em vez de aprender, falaremos de encontro, para não esquecer a indeterminação irredutível do que uso do "aprendizado" mascara(CHEVALLARD, 2013, p.5) 

(...) is constructed by a right line having direction in space, and having x, y, z for its there rectangular componentes, or projections on three rectangular axes, he has been induced to call the trinomial expression. Itself, as well as the line which it representes, a VECTOR. A quaternion may thus be said to consist generally of a real part and a vector.

EmConne (1996, p.222) apresenta-se a concepção de que o saber deve ser descontextualizado, despersonalizado, e mesmo sócio-culturalmente instituído.

Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da USP.

"Le problème écologique élargira le champ d'analyse et traitera les contraintes créées entre les différents objets de connaissance à enseigner".

"toda manipulación de ostensivos viene controlada por la 'activación' o 'evocación' de objetos no-ostensivos cuyas características pueden verse modificadas a lo largo de la actividad".

"Le processus de transposition didactique souligne donc la relativité institutionnelle des savoirs".

O ensino tradicional apresenta como características "ensinar e praticar".

In the framework of the anthropological theory of the didactic, this paradigm is known as the paradigm of "visiting works" oraccording to a metaphor used in ATD -"of visiting monuments", for each of those pieces of knowledge.[START_REF] Chevallard | Teaching Mathematics in Tomorrow's Society: a Case for an Oncoming Counterparadigm[END_REF] 

Evento realizado anualmente na Universidade Estadual de Feira de Santana -UEFS, sob a coordenação de estudantes do Diretório Acadêmico -DA e pelo Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemática -COLMAT.

Uma síntese deste primeiro contato com os estudantes do CLM-UEFS originou o artigo intitulado: Uma proposta de articulações entre Álgebra Vetorial e GeoGebra publicado no periódico Revista Eletrônica de Educação Matemática -REVEMAT v.15 n.1 (2020).

Ver Chevallard (2011) 

Cientes de que as técnicas podem ser decompostas em um conjunto de tarefas especificadas da seguinte forma:

(I) Escolha do sistema de coordenadas;

(II) Ponto médio;

(III) Vetor definido por dois pontos;

(IV) Substituição do vetor pelas correspondentes coordenadas;

(V) Multiplicação de vetor por escalar (forma algébrica);

(VI) Adição de vetores (forma algébrica);

(VII) Resolução de sistema linear;

(VIII) Combinação linear de vetores.

É relevante destacar que não esgotaremos todas possiblidades de resoluções, principalmente por se tratar de suposições e esperas da pesquisadora. Na terceira tarefa, também, foram solicitados aos estudantes a determinação dos vetores 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ localizados em um hexágono, como ilustrado na figura 120,