Norbert Krämer 
  
Imaginärquadratische Einbettung von Ordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen

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Als Anwendung von Satz 7.3 berechnen wir dann unter anderem die Konjugationsklassenanzahlen der nichtzyklischen maximalendlichen Untergruppen von P SL 2 (o) (Satz 7.5).

Unter Verwendung der Ergebnisse von [START_REF] Krämer | Die Konjugationsklassenanzahlen der endlichen Untergruppen in der Norm-Eins-Gruppe von Maximalordnungen in Quaternionenalgebren[END_REF] lassen sich dann auch unter anderem die Konjugationsklassenanzahlen der zyklischen Untergruppen einer Bianchi-Gruppe angeben. Rahm hat in [START_REF] Rahm | Accessing the cohomology of discrete groups above their virtual cohomological dimension[END_REF] die homologische Torsion und die Farrell-Tate-Kohomologie der Bianchi-Gruppen ermittelt und als Funktion dieser Konjugationsklassenanzahlen ausgedrückt.

In Kapitel 8 untersuchen wir die Durchschnitte nichtzyklischer endlicher Untergruppen (wird fortgesetzt). Fürs Erste zeigen wir für m = 2, 3, ob und wie sich m-Diedergruppen in Gruppen der Ordnung m schneiden (Sätze 8.3 -8.5 und Korollar 8.6).

Berkove und Rahm haben gezeigt, dass daraus eine Klassifikation der Zusammenhangskomponenten reduzierter 2-Torsionsunterkomplexe folgt, was es erlaubt, Formeln für die 2-Torsionskohomologie aufzustellen, siehe [1, Corollary 7].

Im Schlusskapitel 9 dehnen wir die Ergebnisse der Kapitel 6 bis 8 auf Eichler-Ordnungen und speziell auf die Bianchi-Kongruenzuntergruppen aus (Sätze 9.3 -9.9). Nur relativ wenige Kongruenzuntergruppen enthalten maximalendliche nichtzyklische Untergruppen, und wenn, dann jeweils nur Untergruppen eines einzigen Isomorphietyps.

Ich danke Alexander D. Rahm für seine Ratschläge und die technische Unterstützung, und Jürgen Rohlfs für die kritische Durchsicht des Manuskripts und hilfreiche Vorschläge.

Bezeichnungen und Grundlagen

Für die in diesem Artikel benutzen zahlentheoretischen Grundlagen verweisen wir summarisch auf [START_REF] Senon | Aus dem Russischen übersetzt von Helmut Koch[END_REF] für imaginärquadratische Zahlkörper und [START_REF] Maclachlan | The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds[END_REF] für Quaternionenalgebren. Für die speziellen Bezeichnungen und Grundlagen zu Bianchi-Gruppen siehe Kapitel 6.

In einer abelschen Gruppe G sei G (2) die Untergruppe der Quadrate.

In einem Ring R mit Eins sei R × die Gruppe der multiplikativ invertierbaren Elemente. 

Für kommutatives R sei M 2 (R) die R-Algebra der 2×2-Matrizen mit Koeffizienten in R. Für z ∈ C bezeichne z → z die komplexe Konjugation und |z| = √ zz den Absolutbetrag. Sei im Folgenden stets d ∈ N quadratfrei und k = Q(i √ d) ⊂ C
p ∼ = Q p ⊗ Q k von Q p , mit der Hauptordnung o p = Z p o. Die Galois-Involution a → a von k/Q setzt sich auf natürliche Weise auf k p /Q p fort. Ist p verzweigt oder träge in k mit Primteiler p, dann ist auf natürliche Weise k p = k p und o p = o p . Für die jeweils einzige unendliche Stelle von Q und k gilt: Q ∞ = R, k ∞ = C. Ist p zerlegt in k mit den Primteilern p und p, dann ist k p ∼ = k p × k p und o p ∼ = o p × o p . Für eine Stelle p von Q und a, b ∈ Q × p sei a, b p das Hilbert-Symbol.
Für Rechenregeln zum Hilbert-Symbol siehe [2, Kapitel I, § 6, Formeln (9)-(13), Satz 7].

Eine Q-Quaternionenalgebra F ist auf natürliche Weise eingebettet in ihre p-Komponente F p ∼ = Q p ⊗ Q F . Wir identifizieren Q und Q p mit den Zentren von F und F p . Für p ∈ N und einen Z-Modul F ⊂ F ist F p = Z p F die p-Komponente von F. Für eine k-Quaternionenalgebra M ist analog k ⊂ M ⊂ M p ∼ = k p ⊗ k M und k p ⊂ M p . Ist p endlich und M ⊂ M ein o-Modul, so ist M p = o p M. Wir identifizieren M ∞ mit M 2 (C). Sind p ∈ N eine Primzahl, F eine Q-Quaternionenalgebra und M ∼ = k ⊗ Q F eine Erwei- terung von F zur k-Quaternionenalgebra, dann bezeichne M p ∼ = k p ⊗ k M ∼ = k p ⊗ Q F die p-Komponente von M . Auf natürliche Weise ist M ⊂ M p und k p das Zentrum von M p . Ist p verzweigt oder träge in k mit Primteiler p, so ist auf natürliche Weise M p = M p , und für einen o-Modul M ⊂ M ist M p = M p . Ist p zerlegt in k mit den Primteilern p und p, so ist M p ∼ = M p × M p ∼ = F p × F p . Wir nennen dann M p eine k p -Quaternionenalgebra, obwohl k p ∼ = k p ×k p kein Körper ist. Ist M eine M -Ordnung, so nennen wir M p = o p M ∼ = M p ×M p eine M p -Ordnung.
Diese Benennungen ermöglichen uns einheitliche und unkomplizierte Formulierungen von Sätzen und Lemmata ab Kapitel 4.

Eine 

F -Ordnung G heißt optimal eingebettet in eine M -Ordnung M, wenn G = F ∩ M gilt. Eine F -Maximalordnung F ⊂ M ist stets optimal in M eingebettet. Für ein Element A einer Quaternionenalgebra Q bezeichne A * das konjugierte Element. N (A) = AA * und S(A) = A + A * sind dann die (reduzierte) Norm und die Spur von A. Ist K ein Körper und Q ∼ = M 2 (K) eine K-Quaternionenalgebra, dann heißen, in dieser Reihenfolge, U 11 , U 12 , U 21 , U 22 ∈ Q Matrixeinheiten in Q, wenn für alle r, s, ∈ {1, 2} gilt: U r1 U 1s = U r2 U 2s = U rs = 0 und U r1 U 2s = U r2 U 1s = 0.
(A) ∈ Q + die Absolutnorm von A, und für A ∈ K × sei N abs (A) := N abs (AO). Falls A ⊂ O, ist N abs (A) = [O : A]. Lemma 2.1. Sei K algebraischer oder p-adischer Zahlkörper, und sei Q eine K-Quater- nionenalgebra. Seien A, B ∈ Q mit N (A) = N (B), S(A) = S(B) und S(A) 2 = 4N (A). Dann gibt es ein J ∈ Q × mit JAJ -1 = B. Beweis. Falls K[A] Körper ist, siehe [6, Theorem 2.9.8]. Sonst können wir Q = M 2 (K) annehmen. Das charakteristische Polynom von A hat in K zwei Nullstellen a = b. Nun folgt, dass es X, Y ∈ GL 2 (K) gibt mit XAX -1 = Y BY -1 = a 0 0 b . Sei J := Y -1 X. Lemma 2.2. Sei K ein p-adischer Zahlkörper mit Hauptordnung O und Primelement Π. Seien Q ∼ = M 2 (K) eine K-Quaternionenalgebra und M, M ′ zwei Q-Maximalordnungen.
Dann gibt es genau ein r ∈ N 0 mit den folgenden Eigenschaften.

(i) Es gibt Matrixeinheiten in Q, bezüglich derer gilt:

M = O O O O und M ′ = O Π -r O Π r O O = JMJ -1 mit J = 1 0 0 Π r . (ii) N (M ′ M) -1 = N (MM ′ ) -1 = Π r O. (iii) Sei J ′ ∈ M ΠM mit M ′ = J ′ MJ ′-1 . Dann ist N (J ′ ) ∈ Π r O × . (iv) M ∩ M ′ hat die Diskriminante Π 2r O, und es gilt [M : (M ∩ M ′ )] = N abs (ΠO) r .
Beweis. Wir zeigen die Existenz von r. Die Eindeutigkeit folgt dann sofort, etwa mit (ii). (ii) Man prüft leicht nach, dass

MM ′ = MJ -1 . Also gilt N (MM ′ ) -1 = N (J)O = Π r O. (iii) Wegen M ′ = J ′ MJ ′-1 = JMJ -1 ist J -1 J ′ M = MJ -1 J ′ ein zweiseitiges M-Ideal. Mit [6, Theorem 6.5.3.2] folgt J ′ = Π e JY für ein e ∈ Z und ein Y ∈ M × . Wegen J, J ′ ∈ M und J, J ′ ∈ ΠM ist e = 0. Also gilt N (J ′ )O = N (J)O = Π r O. (iv) Nach (i) hat M∩M ′ die Diskriminante Π 2r O, und es ist [M : (M∩M ′ )] = [O : Π r O]. Lemma 2.3. Sei K ein p-adischer Zahlkörper, und sei Q eine K-Quaternionenalgebra. Sei L ⊂ Q eine halbeinfache quadratische Erweiterung von K, und seien M, M ′ zwei Q-Maximalordnungen mit L ∩ M = L ∩ M ′ . Dann gibt es ein J ∈ L × mit M ′ = JMJ -1 .
Beweis. Spezialfall einer lokalen Version von [3,Satz 7], Beweis siehe dort, Fall b).

Lemma 2.4. Sei K ein p-adischer Zahlkörper, und sei

Q ∼ = M 2 (K) eine K-Quaternionen- algebra. Seien M = M ′ sowie N = N ′ jeweils Q-Maximalordnungen mit M∩M ′ = N∩N ′ . Dann gilt entweder M = N und M ′ = N ′ oder M = N ′ und M ′ = N. Beweis. Sei O die Hauptordnung von K, und sei Π ∈ O ein Primelement. Nach Lemma 2.2.(i) gibt es ein r ∈ N und Matrixeinheiten in Q, bezüglich derer gilt: M = O O O O , M ′ = O Π -r O Π r O O und M∩M ′ = O O Π r O O . Dann ist L := K 0 0 K halbeinfache quadratische Erweiterung von K mit Hauptordnung L := O 0 0 O ⊂ M ∩ M ′ = N ∩ N ′ . Speziell gilt L ⊂ L ∩ N. Da L die Hauptordnung von L ist, folgt L ∩ N = L = L ∩ M. Nach Lemma 2.3 gibt es ein J ∈ L × mit N = JMJ -1 . Wir können o.B.d.A. annehmen, dass J = 1 0 0 Π s mit s ∈ Z, also dass N = O Π -s O Π s O O gilt. Aus M ∩ M ′ ⊂ N folgt 0 ≤ s ≤ r. Genauso gibt es ein s ′ ∈ Z mit 0 ≤ s ′ ≤ r und N ′ = O Π -s ′ O Π s ′ O O . Dann ist N ∩ N ′ = O Π -t ′ O Π t O O mit t = max(s, s ′ ) = r und t ′ =
min(s, s ′ ) = 0, also entweder s = r und s ′ = 0 oder s = 0 und s ′ = r, was zu beweisen war.

3 Einbettung rationaler Quaternionenalgebren

Definition 3.1. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei F eine Q-Quaternionen- algebra, und sei M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionenalgebra. (i) Für eine Stelle p von Q sei F p := +1 oder -1,
je nachdem, ob F an der Stelle p zerfällt oder verzweigt ist.

(ii) Sei Σ(F ) das Produkt der endlichen Verzweigungsstellen von F , multipliziert mit -1, falls F an der Stelle ∞ verzweigt ist.

(iii) Sei Σ k (F ) das Produkt der Verzweigungsstellen von F , die in k zerlegt sind.

(iv

) Sei Φ F : M → M die Abbildung mit Φ F (A + i √ dB) := A -i √ dB für A, B ∈ F . (v) Für T ∈ M × mit Φ F (T ) = T * sei F (F, T ) := {A ∈ M | T Φ F (A)T -1 = A}. Lemma 3.2. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei F eine Q-Quaternionen- algebra, und sei M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionenalgebra. Dann gilt: (i) M ist ist an einer Stelle p von k genau dann verzweigt, wenn Σ k (F ) ∈ p gilt. (ii) Eine Q-Quaternionenalgebra E kann genau dann in M eingebettet werden, wenn Σ k (E) = Σ k (F ) gilt.
(iii) Es gibt bis auf Isomorphie genau eine

Q-Quaternionenalgebra E mit |Σ(E)| = Σ k (E) = Σ k (F ).
Beweis.

(i) Ist p = ∞ in k nicht zerlegt, dann zerfällt M p , siehe [6, Theorem 2.6.5], und es gilt 

M ∞ = M 2 (C). Ist p = ∞ in k zerlegt, po = pp, dann gilt M p ∼ = M p × M p ∼ = F p × F p . (ii
Satz 3.3. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei E eine Q-Quaternionenalgebra, und sei M eine Erweiterung von E zur k-Quaternionenalgebra. Dann gilt: (i) Φ E ist Q-Algebrenautomorphismus von M mit Φ E (λA) = λΦ E (A) und Φ 2 E (A) = A und Φ E (A * ) = Φ E (A) * für alle λ ∈ k, A ∈ M . Es gilt E = {A ∈ M | Φ E (A) = A}. (ii) Sei T ∈ M × mit Φ E (T ) = T * . Dann gilt: F (E, T ) ist Q-Quaternionenalgebra mit Φ F (E,T ) (A) = T Φ E (A)T -1 für A ∈ M , und N (T ) ∈ Q × sowie N (T ), -d p = E p F (E, T ) p für alle Stellen p von Q. (iii) Sei F ⊂ M eine Q-Quaternionenalgebra.
Dann gibt es ein, bis auf einen Faktor aus

Q × eindeutiges, T ∈ M × mit Φ E (T ) = T * und F = F (E, T ). Falls S(T ) 2 = 4N (T ), ist E ∩ F = Q[i √ d(T -T * )] eine halbeinfache quadratische Erweiterung von Q.
Bemerkung: Für jede Stelle p von Q ist Φ E auf natürliche Weise zu einem Q p -Algebrenautomorphismus von M p mit Fixalgebra E p fortsetzbar, den wir auch mit Φ E bezeichnen.

Beweis. Wir kürzen Φ := Φ E und F (T ) := F (E, T ) ab.

(i) rechnet man leicht nach.

(ii)

F (T ) ist eine Q-Algebra und via Zuordnungsvorschrift A → i √ dA als Q-Vektorraum isomorph zu F (T, -) := {A ∈ M | T Φ(A)T -1 = -A}. Es gilt T Φ(T ) ∈ Q × , und mithilfe der Zerlegung A = (A + T Φ(A)T -1 )/2 + (A -T Φ(A)T -1 )/2 folgt, dass M = F (T )⊕F (T, -) gilt. F (T ) hat über Q die Dimension 4. Wegen i √ d / ∈ F (T ) ist F (T ) eine zentrale Q-Algebra, und wegen M ∼ = k ⊗ Q F (T ) auch einfache Q-Algebra. Sei A ∈ M . Dann gibt es A ′ , A ′′ ∈ F (T ) mit A = A ′ + i √ dA ′′ , und damit gilt: Φ F (T ) (A) = A ′ -i √ dA ′′ = T Φ(A ′ )T -1 -i √ dT Φ(A ′′ )T -1 = T Φ(A ′ + i √ dA ′′ )T -1 . Sei p eine Stelle von Q. Ist p in k zerlegt, so ist N (T ), -d p = 1 = E p F (T ) p ,
siehe Lemma 3.2.(ii). Wir können nun also p als nicht zerlegt in k annehmen.

• Im Fall E p F (T ) p = 1 ist E p isomorph zu F (T ) p .
Einen Isomorphismus E p → F (T ) p können wir zu einem k p -Algebrenautomorphismus von M p fortsetzen. Daher gibt es ein

J ∈ M × p mit F (T ) p = JE p J -1 . Dann gilt JAJ -1 = Φ F (T ) (JAJ -1 ) = T Φ(JAJ -1 )T -1 = T Φ(J)AΦ(J) -1 T -1 für A ∈ E p Also gibt es λ ∈ k × p mit T = λJΦ(J) -1 und N (T ) = T Φ(T ) = λλ. Sei ǫ ∈ Z teilerfremd zu DΣ(E) mit τ := ǫΣ(E) < 0 und τ, -d p = -1.
An allen Verzweigungsstellen q von E ist Q( √ τ ) q quadratischer Erweiterungskörper von Q q , also ist Q( √ τ ) Zerfällungskörper von E, siehe [6, Theorems 2.6.5 and 2.7.3].

Es gibt ein

U ∈ E × mit U 2 = τ . Sei T ′ := i √ dU . Dann gilt Φ(T ′ ) = -T ′ = T ′ * . Aus N (T ′ ) = dτ folgt N (T ′ ), -d p = -1 und notwendig E p F (T ′ ) p = -1. • Im Fall E p F (T ) p = -1 ist F (T ′ ) p isomorph zu F (T ) p .
Daher gibt es ein

J ∈ M × p mit JAJ -1 = Φ F (T ) (JAJ -1 ) für A ∈ F (T ′ ) p , also JAJ -1 = T Φ(J)Φ(A)Φ(J) -1 T -1 = T Φ(J)T ′-1 Φ F (T ′ ) (A)T ′ Φ(J) -1 T -1 . Also gibt es λ ∈ k × p mit T = λJT ′ Φ(J) -1 und N (T ) = T Φ(T ) = λλN (T ′ ). (iii) Wegen Φ F (Φ(λA)) = λΦ F (Φ(A)) für λ ∈ k, A ∈ M ist Φ F • Φ ein k-Algebren-
automorphismus von M . Nach [6, Corollary 2.9.9] gibt es also ein 

T ∈ M × mit Φ F (A) = T Φ(A)T -1 für alle A ∈ M , und aus Φ 2 F (A) = Φ 2 (A) = A folgt dann T Φ(T ) ∈ k × . Sei Φ(T ) = λT * mit λ ∈ k × . Dann ist T = Φ(λT * ) = λλT , und daher gilt λλ = 1. Also gibt es ein µ ∈ k × mit λ = µµ -1 . Wir ersetzen T durch µT . Dann ist Φ(T ) = T * , und offensichtlich gilt Φ F = Φ F (T ) , also F = F (T ). Für S(T ) 2 = 4N (T ) sei X ∈ E∩F . Dann gilt X = Φ F (X) = T Φ(X)T -1 = T XT -1 , also X ∈ k[T ]. Mit i √ d(T -T * ) ∈ E ∩F folgt die Behauptung X ∈ Q[i √ d(T -T * )]. Korollar 3.4. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Diskriminante D. Sei F eine Q-Quaternionenalgebra mit Zerfällungskörper k. Dann gibt es ein τ ∈ Q × , so dass F isomorph ist zu F (τ ) := a b τ b a a, b ∈ k . Damit gilt F p = τ,
) := F (τ ) ∩ M 2 (o) eine F (τ )-Ordnung mit Diskriminante τ 2 D 2 Z. Falls τ = 1, gilt F (τ ) ∩ M 2 (Q) ∼ = Q( √ τ ) und F(τ ) ∩ M 2 (Z) = F (τ ) ∩ M 2 (Z) ∼ = Z[ √ τ ].
Beweis. 

Seien E = M 2 (Q) und M = M 2 (k). Dann sind E eine Q-Quaternionenalgebra mit E p = 1 für alle Stellen p von Q und M eine Erweiterung von E zur k-Quaternionen- algebra. Für A = a ′ b ′ c ′ d ′ ∈ M gilt Φ E (A) = a ′ b ′ c ′ d ′ . Nach Voraussetzung kann F in M eingebettet werden, und nach Satz 3.3.(iii) gibt es ein T ∈ M × mit Φ E (T ) = T * ,
F (τ ) ∩ M 2 (Q) = a b τ b a a, b ∈ Q = Q 0 1 τ 0 sowie 0 1 τ 0 2 = τ .
. Seien F p eine Q p -Quaternionenalgebra, F p eine F p -Maximalordnung und K p , K ′ p ⊂ F p zwei quadratische Körpererweiterungen von Q p mit den Hauptordnungen O p , O ′ p ⊂ F p . Sei p verzweigt in K p und träge in K ′ p . Sei Π ∈ O p Primelement, und sei O ′ p = Z p [Ω]. (i) Sei G p eine F p -Ordnung mit O p ⊂ G p ⊂ F p . Dann gibt es ein r ∈ N 0 mit G p = O p + O p Π r Ω und [F p : G p ] = [O p : O p Π r ] = p r . (ii) Sei G p eine F p -Ordnung mit O ′ p ⊂ G p ⊂ F p . Dann gibt es ein r ∈ N 0 mit G p = O ′ p + p r O ′ p Π und [F p : G p ] = [O ′ p : p r O ′ p ] = p 2r . (iii) Sei r ∈ N 0 . Dann sind O p + O p Π r Ω und O ′ p + p r O ′ p Π jeweils F p -Ordnungen. (iv) Sei F p ∼ = M 2 (Q p ). Dann gilt: ΠF p Π -1 ist eine F p -Maximalordnung mit O p ⊂ ΠF p Π -1 = F p . Ist G p eine F p -Ordnung mit O p ⊂ G p ⊂ F p , so ist G p = ΠF p Π -1 . Ist F ′ p eine F p -Maximalordnung mit O ′ p ⊂ F ′ p , so ist F ′ p = F p .
Bemerkung: Man kann jede quadratische Körpererweiterung von Q p in F p und ihre Hauptordnung in eine F p -Maximalordnung einbetten. Alle F p -Maximalordnungen sind isomorph. Daher gibt es stets die im Satz genannten

K p , K ′ p ⊂ F p und O p , O ′ p ⊂ F p .
Beweis.

(i) Wir zeigen zuerst durch Widerspruch, dass {1, Π, Ω, ΠΩ} eine Z p -Basis von F p ist. Wir nehmen also an, dass es α, β, γ, δ ∈ Z p gibt, nicht alle durch p teilbar, mit

A := α + βΠ + γΩ + δΠΩ ∈ pF p . Wir multiplizieren A von links mit Π * . Wegen p | N (Π) = Π * Π gilt dann auch B := αΠ * + γΠ * Ω ∈ pF p , also p 2 | N (B). Wegen p 2 ∤ N (Π) folgt p | N (α + γΩ). Daraus folgt α + γΩ ∈ pO ′ p , also α, γ, ∈ pZ p . Dann gilt auch C := βΠ + δΠΩ ∈ pF p . Wie für B folgt β, δ ∈ pZ p , Widerspruch. {1, Π, Ω, ΠΩ} ist eine Z p -Basis und {1, Ω} eine O p -Basis des Linksmoduls F p . Sei B p = {B ∈ K p | BΩ ∈ G p }. Wegen O p ⊂ G p ⊂ F p ist B p ein ganzes O p -Ideal, also gilt B p = O p Π r mit r ∈ N 0 . Nach Konstruktion gilt B p Ω ⊂ G p , wegen O p ⊂ G p also O p + B p Ω ⊂ G p . Seien umgekehrt A, B ∈ K p mit A + BΩ ∈ G p . Aus G p ⊂ F p folgt dann A, B ∈ O p , und wegen O p ⊂ G p ist BΩ ∈ G p , also B ∈ B p . Da p in K p verzweigt ist, gilt [O p : O p Π] = p und [F p : G p ] = [O p : B p ] = p r . (ii) Wie in (i) folgt, dass {1, Ω, Π, ΩΠ} eine Z p -Basis von F p ist. (Man multipliziere mit Π * von rechts statt von links.) Analog folgt dann, dass {1, Π} eine O ′ p -Basis des Linksmoduls F p ist, und dass G p = O ′ p + B ′ p Π für ein ganzes O ′ p -Ideal B ′ p = p r O ′ p ist, mit r ∈ N 0 . Wegen [O ′ p : pO ′ p ] = p 2 ist dann [F p : G p ] = [O ′ p : B ′ p ] = p 2r . (iii) Zum Beweis, dass G p := O p + O p Π r Ω eine F p -Ordnung ist, müssen wir nur zeigen, dass G p multiplikativ abgeschlossen ist. Seien also A 1 , A 2 ∈ O p und B 1 , B 2 ∈ O p Π r . Da F p multiplikativ abgeschlossen ist, ist Ω(A 2 + B 2 Ω) = A ′ + B ′ Ω mit A ′ , B ′ ∈ O p . Dann ist (A 1 + B 1 Ω)(A 2 + B 2 Ω) = A ′′ + B ′′ Ω mit A ′′ = A 1 A 2 + B 1 A ′ ∈ O p und B ′′ = A 1 B 2 + B 1 B ′ ∈ O p Π r . Genauso folgt, dass O ′ p + p r O ′ p Π eine F p -Ordnung ist. (iv) Sei F ′ p eine F p -Maximalordnung mit O p ⊂ F ′ p . Aus O p = K p ∩F p = K p ∩F ′ p folgt mit Lemma 2.3, dass F ′ p = XF p X -1 für ein X ∈ K × p . Wegen Π 2 p -1 ∈ O × p gibt es r ∈ Z und Y ∈ O × p mit X = p r Y oder X = Πp r Y . Also ist F ′ p = F p oder F ′ p = ΠF p Π -1 , und wegen Π ∈ Q × p F × p gilt ΠF p Π -1 = F p , siehe [6, Theorem 6.5.3.2]. Weiter folgt G p ⊂ F p oder G p ⊂ ΠF p Π -1 . Falls G p ΠF p Π -1 , gibt es nach (i) ein r ∈ N mit G p = O p + O p Π r ΠΩΠ -1 = O p + O p N (Π) -1 Π r+1 ΩΠ * = O p + O p Π r-1 ΩΠ * ⊂ F p . Die Behauptung F ′ p = F p für O ′ p ⊂ F ′ p folgt analog, da p ∈ O ′ p ein Primelement ist. Satz 4.3. Sei p eine endliche Stelle von Q. Seien F p ∼ = M 2 (Q p ) eine Q p -Quaternionenalgebra, F p eine F p -Maximalordnung und K p ⊂ F p eine halbeinfache quadratische Erweiterung von Q p mit Hauptordnung O p ⊂ F p . Sei p zerlegt in K p , sei also K p kein Körper. (i) Sei G p eine F p -Ordnung mit O p ⊂ G p ⊂ F p . Dann gibt es Matrixeinheiten in F p , bezüglich derer O p = Z p 0 0 Z p . Weiter gibt es dann r, s ∈ Z mit G p = Z p p s Z p p r Z p Z p . Damit ist [F p : G p ] = ∆ p (G p ) = p r+s . (ii) Seien r, s ∈ Z mit r + s ≥ 0, und seien (beliebige) Matrixeinheiten in F p gegeben. Bezüglich dieser Matrixeinheiten ist dann Z p p s Z p p r Z p Z p eine F p -Ordnung.
Beweis.

(i) Je zwei zerfallende halbeinfache quadratische Erweiterungen von Q p sind isomorph zueinander. Nach Lemma 2.1 gibt es also Matrixeinheiten

U 11 , U 12 , U 21 , U 22 ∈ F p , bezüglich derer O p = Z p 0 0 Z p gilt. Für A = α β γ δ ∈ G p mit α, β, γ, δ ∈ Q p gilt dann βU 12 = U 11 AU 22 ∈ G p und γU 21 = U 22 AU 11 ∈ G p sowie α, δ ∈ Z p . Also ist {U 11 , p s U 12 , p r U 21 , U 22 } mit geeigneten r, s ∈ Z eine Z p -Basis von G p . (ii) leicht nachzurechnen Lemma 4.4. Sei p eine endliche Stelle von Q, und sei F p eine Q p -Quaternionenalgebra. Seien G p , G ′ p zwei F p -Ordnungen mit ∆ p (G p ) = ∆ p (G ′ p ), und seien K p , K ′ p ⊂ F p halbein- fache quadratische Erweiterungen von Q p mit den Hauptordnungen O p ⊂ G p , O ′ p ⊂ G ′ p . Ein Isomorphismus O p → O ′ p ist dann zu einem Isomorphismus G p → G ′ p fortsetzbar. Beweis. F p , F ′ p seien F p -Maximalordnungen mit G p ⊂ F p , G ′ p ⊂ F ′ p . Nach Lemma 2.1 ist ein Isomorphismus O p → O ′ p zu einem Automorphismus j : F p → F p fortsetzbar. Nach Lemma 2.3 gibt es wegen K ′ p ∩ j(F p ) = O ′ p = K ′ p ∩ F ′ p . ein X ∈ K ′× p mit F ′ p = Xj(F p )X -1 und O ′ p ⊂ Xj(G p )X -1 ⊂ F ′ p . Mit Satz 4.2 folgt Xj(G p )X -1 = G ′ p , falls K p Körper ist. Falls K p zerfällt, gibt es nach Satz 4.3.(i) Matrixeinheiten in F p und r, s, r ′ , s ′ ∈ Z mit r + s = r ′ + s ′ , bezüglich derer gilt: O ′ p = Z p 0 0 Z p , Xj(G p )X -1 = Z p p s Z p p r Z p Z p und G ′ p = Z p p s ′ Z p p r ′ Z p Z p . Mit Y := p r 0 0 p r ′ ∈ K ′× p folgt Y Xj(G p )X -1 Y -1 = G ′ p . Satz 4.5. Sei p eine endliche Stelle von Q, und sei F p eine Q p -Quaternionenalgebra. Sei F p eine F p -Maximalordnung, und sei G p ⊂ F p eine F p -Ordnung mit [F p : G p ] = p. (i) Falls F p Divisionsalgebra ist, gilt G p = {A ∈ F p | S(A) 2 -4N (A) ∈ pZ p }. (ii) Falls F p zerfällt, gibt es Matrixeinheiten in F p , bezüglich derer G p = Z p Z p pZ p Z p .
Beweis.

(i) Seien K p , K ′ p ⊂ F p quadratische Körpererweiterungen von Q p mit den Hauptord- nungen O p , O ′ p . Sei p verzweigt in K p und träge in K ′ p . Sei Π ∈ O p Primelement, und sei O ′ p = Z p [Ω]. Da F p die einzige F p -Maximalordnung ist, gilt K p ∩ F p = O p und K ′ p ∩ F p = O ′ p . Wir zeigen zunächst durch Widerspruch, dass Π ∈ G p . Es gibt α, β, γ, β ′ , γ ′ , γ ′′ ∈ Z p , so dass {1, αΩ + βΩΠ + γΠ, β ′ ΩΠ + γ ′ Π, γ ′′ Π} eine Z p -Basis von G p ist. Falls Π / ∈ G p , können wir wegen [F p : G p ] = p annehmen, dass α = β ′ = 1, γ ′′ = p, β = 0. Und wir können Ω durch Ω + γ ′ ersetzen, also annehmen, dass {1, Ω+γΠ, ΩΠ, pΠ} eine Z p -Basis von G p ist. Wegen Π -1 F p Π = F p ist N (Ω)Π = (Ω + γΠ) * ΩΠ -γΠ * ΩΠ = (Ω + γΠ) * ΩΠ -γN (Π)Π -1 ΩΠ ∈ G p + pF p , und deshalb Π ∈ G p + pF p ⊂ G p , Widerspruch. Nach Satz 4.2.(i) gilt also G p = O p + O p ΠΩ, und {1, Π, pΩ, ΠΩ} ist eine Z p -Basis von G p . Damit folgt, dass K p ∩ G p = O p = {A ∈ K p ∩ F p | (S(A) 2 -4N (A)) ∈ pZ p } und K ′ p ∩ G p = Z p + pZ p Ω = {A ∈ K ′ p ∩ F p | (S(A) 2 -4N (A)) ∈ pZ p }. Sei nun A ∈ F p beliebig. Dann ist A in einer quadratischen Körpererweiterung K ′′ p ⊂ F p von Q p enthalten. p ist entweder verzweigt oder träge in K ′′ p . Wir können o.B.d.A. annehmen, dass K ′′ p = K p oder K ′′ p = K ′ p , womit die Behauptung folgt. (ii) siehe [3, Satz 3] Lemma 4.6. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Seien F eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionen- algebra. Seien F eine F -Maximalordnung und p eine endliche Verzweigungsstelle von F . (i) Falls p in k verzweigt ist, gibt es genau eine M p -Maximalordnung M p mit F p ⊂ M p . (ii) Falls p in k träge ist, gibt es genau zwei M p -Maximalordnungen M p = M ′ p mit F p ⊂ M p . Es gilt [M p : (M p ∩ M ′ p )] = p 2 . Beweis. Sei K p ⊂ F p quadratische Körpererweiterung von Q p mit Hauptordnung O p . Falls p verzweigt in k ist, sei p träge in K p . Falls p träge in k ist, sei p verzweigt in K p . L p := k p K p ist quadratische Körpererweiterung von k p mit Hauptordnung L p = o p O p . Seien M p und M ′ p zwei M p -Maximalordnungen mit F p ⊂ M p und F p ⊂ M ′ p . Dann gilt L p = o p O p = o p (K p ∩ M p ) ⊂ L p ∩ M p ⊂ L p , also gilt L p = L p ∩ M p und genauso L p = L p ∩ M ′ p . Daher gibt es nach Lemma 2.3 ein X ∈ L × p mit M ′ p = XM p X -1 . (i) Sei π ∈ o p Primelement. Dann ist π auch Primelement in L p . Daher gibt es r ∈ Z und Y ∈ L × p ⊂ M × p mit X = π r Y . Also gilt M ′ p = π r Y M p Y -1 π -r = M p . (ii) Sei Π ∈ O p Primelement, also auch Primelement in L p . Es gilt Π 2 p -1 ∈ O × p . Daher gibt es r ∈ Z und Y ∈ L × p ⊂ M × p mit X = p r Y oder X = Πp r Y . Also gilt M ′ p = M p oder M ′ p = ΠM p Π -1 . Sei nun M ′ p = ΠM p Π -1 . Die k p -Algebra M p zerfällt, siehe Lemma 3.2.(i). Wegen Π ∈ k × p M × p gilt daher M ′ p = M p , siehe [6, Theorem 6.5.3.2]. Aus N (Π) ∈ pO × p folgt mit Lemma 2.2, dass [M p : (M p ∩ M ′ p )] = N abs (pO p ) = p 2 . Lemma 4.7. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Seien F eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionen- algebra. Seien F eine F -Maximalordnung und p eine endliche Stelle von Q. Falls F p zerfällt oder p in k zerlegt ist, gibt es genau eine M p -Maximalordnung M p mit F p ⊂ M p . Beweis. Falls F p zerfällt, hat F p die Diskriminante Z p . Dann hat M p := o p F p die Diskri- minante o p , ist also die einzige M p -Maximalordnung mit F p ⊂ M p . Falls F p Divisionsalgebra ist und p in k zerlegt ist, gilt M p ∼ = F p × F p , und M p ∼ = F p × F p ist die einzige M p -Maximalordnung. (F p ist darin diagonal eingebettet.) Lemma 4.8. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Seien F eine Q-Quaternionenalgebra, M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionen- algebra und N eine M -Maximalordnung. Sei p eine endliche Stelle von Q mit p ∤ Σ k (F ). (i) Dann enthält F p ∩ N p eine zu o p isomorphe Ordnung. (ii) Sei F p eine F p -Maximalordnung mit F p ∩ N p ⊂ F p . Dann gibt es genau eine M p -Maximalordnung M p mit F p ⊂ M p und [F p : (F p ∩N p )] = [M p : (M p ∩N p )]. Die Inklusion F p ֒→ M p induziert einen Isomorphismus F p /(F p ∩N p ) → M p /(M p ∩N p ). Beweis. Sei G p = F p ∩ N p , und sei F p eine F p -Maximalordnung mit G p ⊂ F p .
• Sei zunächst p zerlegt in k.

F p ist diagonal in M p ∼ = F p × F p eingebettet, und wegen p ∤ Σ k (F ) gilt F p ∼ = M 2 (Q p ). Daher gilt N p ∼ = F p × F ′ p mit zwei F p -Maximalordnungen F ′ p , F ′′ p . Es gibt ein r ∈ N 0 und Matrixeinheiten in F p , bezüglich derer F ′ p = Z p Z p Z p Z p und F ′′ p = Z p p -r Z p p r Z p Z p gilt. Damit gilt G p = F p ∩ N p = Z p Z p p r Z p Z p und o p ∼ = Z p 0 0 Z p ⊂ G p . Nach Satz 4.3.(i) gilt F p = Z p p -s Z p p s Z p Z p mit s ∈ Z. Wegen G p ⊂ F p gilt 0 ≤ s ≤ r und [F p : G p )] = p r . Nach Lemma 4.7 ist M p ∼ = F p ×F p die einzige M p -Maximalordnung mit F p ⊂ M p , und aus M p ∩ N p ∼ = Z p Z p p s Z p Z p × Z p p -s Z p p r Z p Z p folgt [M p : (M p ∩ N p )] = p s p r-s = p r . Damit induziert die Einbettung F p ֒→ M p einen Isomorphismus F p /G p → M p /(M p ∩ N p ).
• Sei nun p verzweigt oder träge in k. Wir zeigen (i), (ii) zuerst im Fall π r / ∈ po p : Dann ist entweder r = 0, also M p = N p und G p = F p , also nichts weiter zu zeigen. Oder es ist r = 1, und p ist verzweigt in k. Dann ist

k p ist quadratische Körpererweiterung von Q p , und nach Lemma 3.2.(i) gilt M p ∼ = M 2 (k p ). Sei o p = Z p [ω], und sei π ∈ o p ein Primelement. Falls p in k verzweigt ist, sei ω = π. Falls p in k träge ist, sei π = p. Sei M p eine M p -Maximalordnung mit F p ⊂ M p .
[F p : G p ] ≤ [M p : (M p ∩ N p )] = p. Falls G p = F p , wäre M p = N p , also doch r = 0. Also ist [F p : G p ] = p, und nach Satz 4.5 ist G p bis auf Isomorphie eindeutig, enthält nach Satz 4.2 also eine zu o p isomorphe Ordnung, und F p /G p → M p /(M p ∩ N p ) ist surjektiv.
Wir können nun also annehmen, dass π r ∈ po p oder gleichwertig

[M p : (M p ∩ N p )] ≥ p 2 . (i) Wir entwickeln (unabhängig von r) ein U ∈ G p , so dass Z p [U ] isomorph zu o p ist. F p und k p k p 0 k p haben als Q p -Algebren die Dimensionen 4 und 6. Ihr Durchschnitt hat also eine Dimension ≥ 2. Daher gibt es a, b, c ∈ k p mit U := a b 0 c ∈ F p Q p . Falls c = a, gilt c -a = S(U ) -(a + a) ∈ Q × p , und wegen a(c -a) = N (U ) -aa ∈ Q p sind a, c ∈ Q p . Wir ersetzen U durch U -c, können also c = 0 und a = 0 annehmen. Damit folgt leicht U M p U * ⊂ k p U 12 und U U 12 U * = a 2 U 12 . Also gilt U M p U * = {0} und wegen M p = F p + ωF p auch U F p U * = {0}. Sei X ∈ F p mit U XU * = 0. Dann gilt X ∈ Q p . Wir ersetzen U durch U XU * ∈ F p Q p und erhalten so c = a = 0. Wir können also U = a b 0 a annehmen, mit a, b ∈ o p , nicht beide durch p teilbar. Es gibt α ∈ Z p , β ∈ Z × p und s ∈ N 0 mit a = α oder a = α + βp s ω. Sei t ∈ N 0 maximal mit p t | (a -α) und p t | b. Wir ersetzen U durch (U -α)/(βp t ).
Dann gilt a = 0 oder a = p s ω mit s ∈ N 0 . Wir zeigen durch Widerspruch, dass a = 0, s = 0: Wir dürfen also

Andernfalls gilt p -1 U ∈ o p p -1 o p 0 o p , wegen π r ∈ po p also p -1 U ∈ N p . Daher gilt p -1 U ∈ F p ∩ N p = G p , andererseits gilt wegen p ∤ b aber p -1 U / ∈ M p , und deshalb p -1 U / ∈ F p , Widerspruch. Wir können also U = ω b 0 ω annehmen, mit b ∈ o p . (ii) Wir zeigen die Surjektivität von F p /G p → M p /(M p ∩ N p ).
γ = p s γ ′ mit γ ′ ∈ o × p , s ∈ N annehmen. Mit ΠU = αω αb + βω γω γb + δω folgt F p ⊂ o p o p p s o p o p . Also ist F p Divisionsalgebra, mit ∆ p (F p ) = -p folgt s = 1. Bezüglich der Matrixeinheiten U 11 , p -1 U 12 , pU 21 , U 22 gilt N p = o p p 1-r o p p r-1 o p o p mit r ∈ N, M p = o p po p p -1 o p o p und Π = α pβ γ ′ δ , ΠU = αω p(αb + βω) γ ′ ω pγ ′ b + δω Wir ersetzen M p durch o p o p o p o p . Wegen γ ′ ∈ o × p ist f 21 dann surjektiv. (iii) Wir zeigen die Eindeutigkeit von M p . Sei M ′ p = M p eine M p -Maximalordnung mit F p ⊂ M ′ p , also p träge in k und F p Divisionsalgebra. Seien X, Y ∈ M p pM p mit N (X) = p, N (Y ) = p r , sowie M ′ p = XM p X -1 und N p = Y M p Y -1 . Sei t ∈ Z mit Z := p t X -1 Y ∈ M ′ p pM ′ p . Aus ZM ′ p Z -1 = N p und N (Z) = p 2t-1+r = p r = N (Y ) folgt nach Lemma 2.2.(iv) also [M ′ p : (M ′ p ∩ N p )] = [M p : (M p ∩ N p )] = [F p : G p ]. Satz 4.9. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Seien F eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionen- algebra. Sei p eine endliche Stelle von Q mit p ∤ Σ k (F ). Seien O p ⊂ F p eine zu o p iso- morphe Ordnung und G p eine F p -Ordnung mit O p ⊂ G p . Bezeichne C p (G p ) die Anzahl der M p -Maximalordnungen N p mit G p = F p ∩ N p . Dann gilt: • Falls ∆ p (G p ) = 1 ist, so ist C p (G p ) = 1. • Falls p zerlegt oder träge in k ist und ∆ p (G p ) = 1 ist, so ist C p (G p ) = 2.
• Falls p verzweigt in k ist, so gilt: 

Falls ∆ p (G p ) = ±p ist, so ist C p (G p ) = 1. Falls ∆ p (G p ) = +p 2 ist, so ist C p (G p ) = p -1. Falls ∆ p (G p ) = -p 2 ist, so ist C p (G p ) = p + 1. Falls p = 2 und |∆ p (G p )| ≥ p 3 ist, so ist C p (G p ) = 2p. Falls p = 2 und |∆ p (G p )| ≥ p 3 ist, so wird C p (G p ) durch folgende Tabelle dargestellt: |∆ 2 (G 2 )| C 2 (G 2 ) d ≡ 1 (mod 4) d ≡ 2 (mod
Beweis. Sei F p eine F p -Maximalordnung mit G p ⊂ F p . • Sei ∆ p (G p ) = 1. Dann zerfällt F p , es gilt G p = F p , und mit Lemma 4.7 folgt C p (G p ) = 1. • Sei p zerlegt in k, und sei ∆ p (G p ) = 1.
Nach Satz 4.3.(i) gibt es r, s ∈ Z und Matrixeinheiten in F p , bezüglich derer gilt: 

O p = Z p 0 0 Z p und G p = Z p p s Z p p r Z p Z p . Da O p diagonal in N p enthalten ist, gilt N p ∼ = Z p p -x Z p p x Z p Z p × Z p p -y Z p p y Z p Z p mit x,
• Sei p verzweigt in k, sei π ∈ o p ein Primelement, und sei ∆ p (G p ) = 1. Sei F p eine F p -Maximalordnung und M p die M p -Maximalordnung mit F p ⊂ M p . Wie im Beweis von Lemma 4.8 folgt, dass es b, α, β, δ ∈ o p , γ ∈ o × p und Matrixeinheiten in M p gibt, bezüglich derer 1, Π := π b 0 π , Ω := α β γ δ , ΠΩ eine Z p -Basis von F p ist, p träge in K ′ p = Q p (Ω) mit Hauptordnung O ′ p = Z p [Ω] ist, und M p = o p o p o p o p gilt. Sei O p := Z p [Π] und G(r) p := O p + O p Π r Ω
(C2) (π -π)c + π n b ∈ π m o p .
Wir berechnen für jedes (m, n) ∈ N 0 × N 0 die Anzahl C(m,n) der c ∈ o p , die die Bedingungen (C1) und (C2) erfüllen. Dazu benötigen wir drei Vorbemerkungen: 

(P1) Falls p = 2, gilt (π -π) ∈ πo × p . Falls p = 2 und d ≡ 1 (mod 4), gilt (π -π) ∈ π 2 o × p . Falls p = 2 und d ≡ 2 (mod 4), gilt (π -π) ∈ π 3 o × p . Zum Beweis ist nur zu beachten, dass wir π -π = 2i √ d annehmen können. (P2) Genau dann gilt b ∈ o × p , wenn F p zerfällt. Zum Beweis sei b ∈ πo p . Dann ist Π/π ∈ M p , also o p F p M p , also ∆ p (F p ) = -p. Sei umgekehrt ∆ p (F p ) = -p, und sei M ′ p der o p -
m, n C(m, n), falls p = 2 ∆ p (F p ) = 1 ∆ p (F p ) = -p m = 0, n ≥ 0 1 1 m ≥ 1, n = 0 0 p m = 1, n ≥ 1 p -1 p -1 m ≥ 2, n = 1 p 0 m ≥ 2, n ≥ 2 0 0 m, n C(m, n), falls p = 2 d ≡ 1 (mod 4) d ≡ 2 (mod 4) ∆ p (F p ) = 1 ∆ p (F p ) = -p ∆ p (F p ) = 1 ∆ p (F p ) = -p m = 0, n ≥ 0 1 1 1 1 m = 1, n = 0 0 p = 2 0 p = 2 m = 1, n ≥ 1 p -1 = 1 p -1 = 1 p -1 = 1 p -1 = 1 m ≥ 2, n = 0 0 0 0 0 m = 2, n = 1 0 p 2 -p = 2 0 p 2 -p = 2 m = 2, n ≥ 2 p 2 -p = 2 p 2 -p = 2 p 2 -p = 2 p 2 -p = 2 m ≥ 3, n = 1 0 p 2 = 4 0 0 m = 3, n = 2 p 2 = 4 0 0 p 3 -p 2 = 4 m = 3, n ≥ 3 0 0 p 3 -p 2 = 4 p 3 -p 2 = 4 m ≥ 4, n = 2 p 2 = 4 0 0 p 3 = 8 m ≥ 4, n = 3 0 0 p 3 = 8 0 m ≥ 4, n ≥ 4 0 0 0 0 Seien nun umgekehrt m, n ∈ N 0 mit m + n = r und c ∈ o p ,
H p = ΠF p Π -1 und N p = ΠM p Π -1 . O.B.d.A. sei b ∈ r p (1). Wegen Π = J(1, 1, b) können wir zusammenfassen: Sei [F p : G p ] = p r . Dann ist C p (G p ) gleich der Summe der C(m, n) mit m, n ∈ N 0 und m + n = r,
= Q(i √ d) mit Hauptordnung o und Ideal- gruppe I. Sei F eine Q-Quaternionenalgebra, und sei F eine F -Maximalordnung. (i) Sei G ⊂ F eine o-kompatible F -Ordnung. Dann ist Λ(G) teilerfremd zu Σ k (F ), und es gilt Λ(G) ∈ N abs (I). (ii) Sei λ ∈ N teilerfremd zu Σ k (F ), und sei λ ∈ N abs (I). Dann gibt es eine o-kompatible F -Ordnung G ⊂ F mit Λ(G) = λ. (iii) Seien G, G ′ zwei o-kompatible F -Ordnungen mit Λ(G) = Λ(G ′ ).
p -Ordnung G p mit O p ⊂ G p ⊂ F p und [F p : G p ] = λ p . (iii) Falls p | Σ k (F ), ist G p = G ′ p die einzige F p -Maximalordnung. Falls p ∤ Σ k (F ), gibt es nach Lemma 4.4 einen Isomorphismus G p → G ′ p . Lemma 5.5. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei F eine Q-Quaternionenalgebra, sei M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionen- algebra, und seien N, N ′ zwei M -Maximalordnungen. Dann gilt: (i) Λ(N ∩ N ′ ) = N abs (N (NN ′ )) -1 . (ii) Sei M eine M -Maximalordnung. Dann gilt Λ(N ∩ N ′ )Λ(N ∩ M)Λ(M ∩ N ′ ) ∈ Q ×(2) .
(iii) N ist genau dann isomorph zu N ′ , wenn es ein f ∈ N gibt mit:

f | Σ k (F ) und f Λ(N ∩ N ′ ), -d p = 1 für alle Stellen p von Q.
Beweis. 

(i) Beweis durch Zusammenfügen des folgenden Ergebnisses für alle endlichen Stellen

p von Q. Seien dazu p | p eine Stelle von k und π ∈ o p ein Primelement. Falls p | Σ k (F ), gilt N p = N ′ p , also Λ(N ∩ N ′ ) p = 1 und N (NN ′ ) p = o p . Falls p ∤ Σ k (F ), gibt es nach Lemma 2.2 ein r ∈ N 0 mit [N p : (N ∩ N ′ ) p ] = N abs (πo p ) r = N abs (N (NN ′ ) p ) -1 . (iv) Seien F, F ′ zwei F -Maximalordnungen mit F ∩ N ⊂ F und F ∩ N ′ ⊂ F ′ . Nach (iii) gibt es M -Maximalordnungen M, M ′ mit F ⊂ M und F ′ ⊂ M ′ sowie mit Λ(F ∩ N) = Λ(M ∩ N) und Λ(F ∩ N ′ ) = Λ(M ′ ∩ N ′ ). Mit Lemma 5.5.(ii) folgt Λ(N ∩ N ′ )Λ(F ∩ N)Λ(M∩ N ′ ) ∈ Q ×(2) und Λ(M∩ N ′ )Λ(M∩ M ′ )Λ(F ∩ N ′ ) ∈ Q ×(2) , also ∆(F ∩N)Λ(N∩N ′ )∆(F ∩N ′ )Λ(M∩M ′ ) ∈ Q ×(2) . Wir zeigen Λ(M∩M ′ ) ∈ Q ×(
F p = Z p Z p Z p Z p und F ′ p = Z p p -r Z p p r Z p Z p gilt. Damit ist M p = o p o p o p o p und M ′ p = o p p -r o p p r o p o p , also [M p : (M p ∩M ′ p )] = p 2r . Lemma 5.7. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Diskriminante D. Seien E eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von E zur k-Quaternionen- algebra. Sei T ∈ M × mit Φ E (T ) = T * , N (T ) ∈ Z, S(T ) ∈ 4Z und S(T ) 2 = 4N (T ). Sei p eine endliche Stelle von Q, an der E zerfällt. Dann gilt: Es gibt eine E p -Maximalordnung E p und eine M p -Maximalordnung N p mit E p ⊂ N p , so dass die F (E, T ) p -Ordnung F (E, T ) p ∩ N p die Diskriminante D 2 d 2 N (T ) 2 Z p hat. Beweis. Es gibt Matrixeinheiten in E p , bezüglich derer T = σ + αi √ d βi √ d γi √ d σ -αi √ d mit σ, α, β, γ ∈ Q p . Sei τ := N (T ) -S(T ) 2 /4 ∈ Z. Wegen τ = 0 gibt es a, b ∈ Q p mit j := a 2 β -2abα -b 2 γ = 0. Sei J := a/d b/d aα + bγ aβ -bα . Dann ist N (J) = j/d und JT J -1 = σ i √ d/d τ i √ d σ
. Also gibt es Matrixeinheiten in E p bezüglich derer Satz 5.9.

T = σ i √ d/d τ i √ d σ gilt. Diesbezüglich sei E p = M 2 (Z p ) und N p = M 2 (o p ). Dann ist 1, U := 0 1 τ d 0 , V := σd -i √ d τ di √ d -σd , W := i √ d 0 2σd -i √ d = (σU + U V /d)/τ Z p -Basis einer F (E, T ) p -Ordnung G p ⊂ N p mit Diskriminante 16d 4 N (T ) 2 Z p . Ist p = 2 in k verzweigt oder p = 2, so gilt G p = F (E, T ) p ∩N p . Ist p = 2 in k träge oder zerlegt, so ist {1, (U + V )/2, V, (1 + W )/2} Z p -Basis von F (E, T ) p ∩ N p mit Diskriminante d 4 N (T ) 2 Z p . Lemma 5.8. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei E eine Q-Quaternionenalgebra mit |Σ(E)| = Σ k (E), sei M eine Erweiterung von E zur k-Quaternionenalgebra, und sei F eine weitere Q-Quaternionenalgebra mit F ⊂ M . Dann gibt es ein e ∈ N mit e | Σ k (E), eine E-Maximalordnung E und eine F -Maximal- ordnung F, sowie M -Maximalordnungen N und L mit E ⊂ N und F ⊂ L, so dass gilt: Σ(F )eΛ(L ∩ N)Σ(E), -d p = E p F p für alle Stellen p von Q. Beweis. Nach Satz 3.3.(iii) gibt es ein T ∈ M × mit Φ E (T ) = T * und F = F (E, T ). Falls S(T ) 2 = 4N (T ), gilt N (T ) ∈ Q ×(2) . Nach Satz 3.3.(ii) ist F isomorph zu E, also Σ(F ) = Σ(E). Seien E, F Maximalordnungen in E, F , und seien N, L zwei M -Maximal- ordnungen mit E ⊂ N und F ⊂ N, so dass E zu F und N zu L isomorph ist. Nach Lemma
Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Seien F, F ′ zwei Q-Quaternionenalgebren, sei M eine gemeinsame Erweiterung von F und F ′ zur k-Quaternionenalgebra, und seien M, M ′ zwei M -Maximalordnungen. Dann gibt es ein f ∈ N mit f | Σ k (F ), so dasss für alle Stellen p von Q gilt: ∆(F ∩ M)f Λ(M ∩ M ′ )∆(F ′ ∩ M ′ ), -d p = F p F ′ p . Beweis. Sei F ′ eine F -Maximalordnung mit F ∩ M ⊂ F ′ . Nach Satz 5.6.(iii) gibt es eine M -Maximalordnung L ′ mit F ′ ⊂ L ′ und Λ(F ∩M) = Λ(L ′ ∩M), und nach Lemma 3.2 gibt es eine Q-Quaternionenalgebra E ⊂ M mit |Σ(E)| = Σ k (E)
. Seien e, E, F, N und L wie in Lemma 5.8. Mit Lemma 5.5.(ii

) folgt Λ(L ∩ N)Λ(L ∩ L ′ )Λ(L ′ ∩ M)Λ(M∩ N) ∈ Q ×(2) , und nach Satz 5.6.(iv) gilt Λ(L ∩ L ′ ) = Λ(F ∩ L)Λ(L ∩ L ′ )Λ(F ∩ L ′ ) ∈ Q ×(2) . Mit Lemma 5.8 und Σ(F )Λ(F ∩ M) = ∆(F ∩ M) folgt ∆(F ∩ M)eΛ(M ∩ N)Σ(E), -d p = E p F p für alle Stellen p von Q. Entsprechend gibt es ein e ′ ∈ N mit e ′ | Σ k (E), eine E- Maximalordnung E ′ und eine M -Maximalordnung N ′ mit E ′ ⊂ N ′ , so dass für alle Stel- len p von Q gilt: ∆(F ′ ∩ M ′ )e ′ Λ(M ′ ∩ N ′ )Σ(E), -d p = E p F ′ p . Bezeichne f den
quadratfreien Anteil von ee ′ . Die Behauptung folgt durch Multiplikation der beiden Gleichungen, denn nach Satz 5.6.(iv 

) gilt Λ(N ∩ N ′ ) = Λ(E ∩ N)Λ(N ∩ N ′ )Λ(E ∩ N ′ ) ∈ Q ×(2) , und mit Lemma 5.5.(ii) folgt Λ(M ∩ M ′ )Λ(M ∩ N)Λ(N ∩ N ′ )Λ(N ′ ∩ M ′ ) ∈ Q ×(2) . Korollar 5.10. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei F ⊂ M 2 (k) eine Q-Quaternionenalgebra, und sei M eine M 2 (k)-Maximalordnung. Für alle Stellen p von Q gilt dann ∆(F ∩ M)Λ(M ∩ M 2 (o)), -d p = F p . Speziell gilt ∆(F ∩ M 2 (o)), -d p = F p für alle Stellen p von Q. Beweis. Seien F ′ = M 2 (Q), M = M 2 (k) und M ′ = M 2 (o). Damit gilt Σ k (F ) = 1 und ∆(F ′ ∩ M ′ ) = 1 sowie F ′ p =
ist F (G) eine Q-Quaternionenalgebra, F(G) ist eine F (G)-Ordnung, und es gilt P -1 (G) = Γ(F(G)) = F(G) × . Im Einzelnen gilt: (i) P -1 (D 3 ) wird von zwei Elementen U, V erzeugt, mit U 3 = -1 und V U V -1 = U -1 . Σ(F (D 3 )) = -3 und Λ(F(D 3 )) = 1, also ∆(F(D 3 )) = -3. (ii) P -1 (D 2 ) wird von zwei Elementen U, V erzeugt, mit U 2 = -1 und V U V -1 = U -1 . Falls D 2 ⊂ T , wird P -1 (T ) von U, V und W := (1 -U -V -U V )/2 erzeugt. Dann gilt F (D 2 ) = F (T ), Σ(F (D 2 )) = Σ(F (T )) = -2 und F(D 2 ) ⊂ F(T ), Λ(F(T )) = 1, also ∆(F(T )) = -2, und Λ(F(D 2 )) = 2, also ∆(F(D 2 )) = -4.
Beweis.

(i) P -1 (D 3 ) wird von zwei Elementen U , V erzeugt, mit Bei den Erzeugendenrelationen für P -1 (D 3 ) und P -1 (D 2 ) können wir die Gleichung 2) . Nach Lemma 5.5.(iii) ist also M isomorph zu M ′ . Daher gibt es eine 3-Diedergruppe D 3 ⊂ P Γ(M).

U 3 = -1 (U 2 -U + 1 = 0), V 2 = -1, V U V -1 = U -1 , siehe [8, 4.4.7]. U , V erzeugen über Q eine Quaternio- nenalgebra F (D 3 ) und über Z eine F (D 3 )-Ordnung F(D 3 ) mit Diskriminante 9Z. Also zerfällt F (D 3 ) an allen Stellen p = 3, ∞ von Q. Jedes A ∈ F (D 3 ) ist dar- stellbar als A = α + βU + γV + δU V mit α, β, γ, δ ∈ Q. Falls A = 0 ist, ist N (A) = α 2 + αβ + β 2 + γ 2 + γδ + δ 2 > 0. Daher ist F (D 3 ) Divisionsalgebra. Die Anzahl der Verzweigungsstellen von F (D 3 ) ist gerade. Also ist F (D 3 ) genau an den Stellen 3 und ∞ verzweigt, und F(D 3 ) ist eine F (D 3 )-Maximalordnung. (ii) Sei D 2 ⊂ T . Dann wird P -1 (D 2 ) von zwei Elementen U , V erzeugt, mit U 2 = -1, V 2 = -1, V U V -1 = U -1 , siehe [8, 4.4.7]. P -1 (T ) wird von U und V sowie von einem Element W erzeugt, mit W 3 = -1, U W U -1 = V W und W V = U W . Eine elementare Rechnung zeigt, dass W = (1 -U -V -U V )/
V 2 = -1 weglassen, denn aus V 2 U V -2 = V U -1 V -1 = (V U V -1 ) -1 = U erhalten wir V 2 ∈ C[U ] ∩ C[V ] = C, wegen V ∈ C also S(V ) = 0 und V 2 = -N (V ) = -1. Wegen N (F (G) × ) ⊂ Q + ist F(G) × = Γ(F(G)) endlich. Wegen G ⊂ P Γ(F(G)) folgt mit Lemma 6.2, dass P Γ(F(G)) ∈ {D 3 , T , D 2 }. Falls G ∈ {D 3 , T }, ist also G = P Γ(F(G)). Falls G = D 2 , gilt W ∈ F(D 2 ), also P Γ(F(D 2 )) P Γ(F(T )) = T und P Γ(F(D 2 )) = D 2 . Satz 6.4. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Seien
(k)-Maximalordnung M ′ mit D ′ 3 ⊂ P Γ(M ′ ). Dann ist -3Λ(M ′ ∩ M 2 (o)), -d p = -3λ, -d p für alle Stellen p. Nach Lemma 5.5.(ii) ist Λ(M∩M ′ )λΛ(M 2 (o)∩M ′ ) ∈ Q ×(
(ii) folgt mit Lemma 6.3.(ii) und umgekehrt mit Satz 6.4.(ii) wie im Beweis von (i).

(iii) Sei D 2 ⊂ P Γ(M) und T ⊂ P Γ(M). Nach Lemma 6.5.(i), Korollar 5.10 und Lemma Die Behauptung folgt dann jeweils durch Auswertung der Hilbertsymbole.

(k)-Maximalordnung M ′ mit D ′ 2 ⊂ P Γ(M ′ ) und T ′ ⊂ P Γ(M ′ ). Dann gilt -Λ(M ′ ∩ M 2 (o)), -d p = -λ
7 Konjugationsklassenanzahlen Beweis. Sei R sei die von den Verzweigungsstellen von M erzeugte o-Idealgruppe. Ist j ∈ A(M), so gibt es ein J ∈ M × mit j(A) = JAJ -1 für alle A ∈ M, und J := MJ ist ein zweiseitiges M-Ideal mit j := N (J) ∈ RI (2) ∩ H. Da J bis auf einen Faktor a ∈ k × eindeutig ist, induziert die Zuordnung j → j wegen N (a) = a 2 einen surjektiven Homomorphismus A(M) → (RI (2) ∩ H)/H (2) mit Kern I(M), siehe [6, Lemma 6.7.5, Theorem 7.7.7]. Also gilt [A(M) :

Definition 7.1. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei G eine endliche Gruppe. Seien F eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quater- nionenalgebra. Seien G eine F -Ordnung und N eine M -Ordnung. (i) Bezeichne µ(G, N) die Anzahl der P Γ(N)-Konjugationsklassen maximalendlicher Untergruppen G ′ ⊂ P Γ(N) vom Isomorphietyp G. (ii) Bezeichne B(G, N) die Anzahl der N × -Konjugationsklassen optimaler Einbettungen j : G ֒→ N, und B 1 (G, N) die entsprechende Anzahl der Γ(N)-Konjugationsklassen.
I(M)] = [(RI (2) ∩ H) : (I (2) ∩ H)][(I (2) ∩ H) : H (2) ].
Die Zuordnungsvorschrift a → a 2 induziert einen Isomorphismus I/H → I (2) /H (2) . Also gilt [I : H] = [I (2) : H (2) ] und [I :

I (2) H][I (2) H : H] = [I (2) : (I (2) ∩ H)][(I (2) ∩ H) : H (2) ]. Wegen [I (2) : (I (2) ∩ H)] = [I (2) H : H] gilt also [(I (2) ∩ H) : H (2) ] = [I : I (2) H] = 2 t-1 .
Weiter gilt [RI (2) : (RI (2) ∩ H)] = [RI (2) H : H] = [RI (2) H :

I (2) H][(I (2) : (I (2) ∩ H)]
und [RI (2) : I (2) ][(I (2) (2) : I (2) ][RI (2) H : 

: (I (2) ∩ H)] = [RI (2) : (RI (2) ∩ H)][(RI (2) ∩ H) : (I (2) ∩ H)], also [(RI (2) ∩ H) : (I (2) ∩ H)] = [RI
I (2) H] -1 = 2 2r [R : (R ∩ I (2) H)] -1 . Wir zeigen noch [R : (R ∩ I (2) H)] =
Satz 7.3. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Seien F eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quater- nionenalgebra. Seien G eine F -Ordnung und N eine M -Maximalordnung mit G = F ∩ N. Sei C(G) gleich dem Produkt der in Satz 4.9 angegebenen C p (G p ) über alle endlichen Stellen p von Q. Dann ist B(G, N) = C(G)[A(N) : I(N)] und B 1 (G, N) = 2B(G, N). Beweis. C(G) ist gleich der Anzahl der M -Maximalordnungen L mit G = F ∩L. Ist L eine M -Maximalordnung mit G = F ∩ L, so gibt es nach Satz 5.6.(iv) einen Automorphismus j von M mit j(L) = N und j(G) = j(F ) ∩ N. Für jedes L mit G = F ∩ L wählen wir einen Automorphismus j L von M mit N = j L (L). Eine Einbettung j : G ֒→ N mit j(G) = j(F ) ∩ N ist zu einem Automorphismus von M fortsetzbar. Mit L := j -1 (N) gilt G = F ∩ L und a(j) := j • j -1 L ∈ A(N). Die Abbildung mit Zuordnungsvorschrift j → (L, a(j)) ist injektiv. Sind umgekehrt eine M -Maximalordnung L mit G = F ∩ L und ein a ∈ A(N) gegeben, dann ist j := a • j L ein Automorphismus von M , und seine Einschränkung auf G induziert eine Einbettung j : G ֒→ N mit j(G) = j(F ) ∩ N. Zwei Einbettungen j, j ′ : G ֒→ N mit j(G) = j(F ) ∩ N und j ′ (G) = j ′ (F ) ∩ N sind genau dann N × -konjugiert, wenn j ′ = a • j für ein a ∈ I(N), also genau dann, wenn j ′-1 (N) = j -1 (N) und a(j ′ ) • a(j) -1 ∈ I(N). Damit folgt die erste Behauptung. Sei I 1 (N) die Gruppe der Konjugationen von N mit Elementen aus Γ(N). Offenbar gilt B(G, N) = C(G)[A(N) : I 1 (N)] = B(G, N)[I(N) : I 1 (N)] und I(N) ∼ = N × /o × sowie I 1 (N) ∼ = Γ(N)/{±1}. Nach [6, Theorem 11.6.1] gilt N (N × ) = o × , also induziert die Norm eine exakte Sequenz {1} → Γ(N)/{±1} → N × /o × → o × /o ×(2) → {1}. Lemma 7.4. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei M eine k-Quaternionenalgebra, und sei N eine M -Ordnung. Sei G ⊂ P Γ(N) eine nichtzyklische maximalendliche Untergruppe. (i) Dann ist µ(G, N) = B 1 (F(G), N)[A(F(G)) : I(F(G))] -1 (ii) Ist G eine 3-Diedergruppe oder Tetraedergruppe, dann ist [A(F(G)) : I(F(G))] = 2. Ist G eine 2-Diedergruppe, dann ist [A(F(G)) : I(F(G))] = 6.
Beweis. Nach Lemma 6. 

3 gilt F(G) × = Γ(F(G)) = P -1 (G). (i) Wegen P -1 (G) = F(G) × induziert die Zuordnungsvorschrift G ′ → F(G ′ )
(G) = A(F(G)). Falls J ∈ Γ(N) mit JF(G)J -1 = F(G), so ist wegen P -1 (G) = Γ(F(G)) auch JP -1 (G)J -1 = P -1 (G). Weil P -1 (G) ⊂ Γ(N) maximalendlich, also sein eigener Normalisator in Γ(N) ist, folgt J ∈ P -1 (G) = F(G) × . Daher gilt I ′ (G) = I(F(G)). (ii) F(G) × hat das Zentrum {±1}, also ist I(F(G)) ∼ = F(G) × /{±1} ∼ = G. F(D 3 ) × = P -1 (D 3 ) wird erzeugt von U und V mit U 3 = -1 und V U V -1 = U -1 . j ∈ A(F(D 3 )) ist durch j(U ) ∈ {U, U -1 }, j(V ) ∈ {±V, ±U V, ±U -1 V } definierbar. A(F(D 3 )) enthält also 12 Elemente, und I(F(D 3 )) ∼ = D 3 ∼ = S 3 enthält 6 Elemente. F(D 2 ) × = P -1 (D 2 ) wird erzeugt von U und V mit U 2 = -1 und V U V -1 = U -1 . j ∈ A(F(D 2 
)) ist durch j(U ) und j(V ) definierbar. Dafür gibt es 6×4 Möglichkeiten.

A(F(D 2 )) enthält also 24 Elemente, und 8 Einige Durchschnitte nichtzyklischer endlicher Gruppen Beweis. Man sieht leicht ein (siehe Lemma 6.2), dass U die Gruppe U der Einheitswurzeln von K mit Norm 1 erzeugt. Sei k 

I(F(D 2 )) ∼ = D 2 ∼ = V 4 enthält 4 Elemente. F(T ) × = P -1 (T ) ⊃ P -1 (D 2 ) wird erzeugt von U , V und W = (1-U -V -U V )/2. j ∈ A(F(T )) ist durch j(U ) und j(V )
Lemma 8.1. Sei d ∈ N quadratfrei, d ≡ 3 (mod 4). Sei k = Q(i √ d) mit der Haupt- ordnung o, und sei π ∈ o 2 ein Primelement. Sei M eine k-Quaternionenalgebra. Sei D 2 ⊂ P Γ(M ) eine 2-Diedergruppe, und sei T die Tetraedergruppe mit D 2 ⊂ T ⊂ P Γ(M ). Seien U, V Erzeugende von P -1 (D 2 ) mit U 2 = -1 und V U V -1 = U -1 , und seien U, V und W := (1 -U -V -U V ) Erzeugende von P -1 (T ). Dann gilt M ∼ = M 2 (k), sowie: (i) Sei N die M -Maximalordnung mit F(T ) ⊂ N. Dann ist {1, (1+U )/π, (1+V )/π, W } eine o 2 -Basis von N 2 . Für alle X ∈ {U, V, U V } gilt k[X] 2 ∩ N 2 = o 2 [(1 + X)/π]. (ii) Sei N(U ) der o-Modul mit o-Basis {1, (i √ d + U )/2, V, (i √ dV + U V )/2}, falls d ≡ 1 (mod 4), {1, (1 + i √ dV + U )/2, V, (i √ d + V + U V )/2}, falls d ≡ 2 (mod 4). Dann sind N(U ), N(V ) := W -1 N(U )W und N(U V ) := W -1 N(V )W paarweise verschiedene M -Maximalordnungen. Ist N ′ eine M -Maximalordnung, dann gilt F(D 2 ) = F (D 2 ) ∩ N ′ genau dann, wenn N ′ = N(U ), N ′ = N(V ) oder N ′ = N(U V ). (iii) Sei X ∈ {U, V, U V }. Dann ist k[X] ∩ N(X) die Hauptordnung von k[X]: k[X] ∩ N(X) = o[(i √ d + X)/2], falls d ≡ 1 (mod 4). k[X] 2 ∩ N(X) 2 = o 2 [(1 + X)/π], falls d ≡ 2 (mod 4). Für Y ∈ {U, V, U V } mit Y = X gilt dann k[Y ] ∩ N(X) = o[Y ]. (iv) Λ(N∩N(U )) = Λ(N∩N(V )) = Λ(N∩N(U V )) = 2. Ist N ′ eine M -Maximalordnung mit Λ(N ∩ N ′ ) = 2, so gilt umgekehrt N ′ = N(U ), N ′ = N(V ) oder N ′ = N(U V ). Weiter gilt Λ(N(U ) ∩ N(V )) = Λ(N(V ) ∩ N(U V )) = Λ(N(U V ) ∩ N(U )) = 4.
+ := Q(i √ dU ) mit Hauptordnung o + = Z[i √ dU ] ⊂ o[U ]. Seien ǫ eine Grundeinheit von K und ǫ + eine Grundeinheit von k + . Falls d = 2, wird O × von U ′ := i √ 2(1 -U )/2 und ǫ + = 1 + i √ 2U erzeugt, siehe [4, § 26 (9)]. Daher wird Γ(O) von U = U ′2 und U ′ ǫ + erzeugt. Wegen U ′ ǫ + ∈ Γ(o[U ]), aber (U ′ ǫ + ) 2 ∈ Γ(o[U ]) gilt also [Γ(O) : Γ(o[U ])] = 2, und mit x = 2, y = 1 ist x 2 -dy 2 = 2. Falls d = 2, ist U die Gruppe aller Einheitswurzeln von K. Nach [4, § 20, Satz 14] gilt [Γ(O) : Γ(o[U ])] ≤ [Γ(O) : U Γ(o + )] ≤ [O × : U o × + ] ≤ 2. Es ist ǫ = (a + bU )/2 mit a, b ∈ o und a = α + α ′ i √ d, ǫ + = γ + γ ′ i √ dU mit α, α ′ , γ, γ ′ ∈ Z. Falls [O × : U o × + ] = 2, nehmen wir ǫ + = ǫ 2 U ∈ Γ(o + ) an, siehe [4, § 26 (8)]. Es folgt γ ′ i √ d-γU = ǫ 2 = (a 2 -b 2 +abU )/4, also 2N (ǫ) + 2γ ′ i √ d = a 2 = (α 2 -dα ′2 ) + 2αα ′ i √ d, und speziell α 2 -dα ′2 = 2N (ǫ). • Sei [Γ(O) : Γ(o[U ])] = 2. Dann gilt auch [O × : U o × + ] = 2. Wäre N (ǫ) = -1, so wür- de Γ(O) von U und ǫ 2 = -ǫ + U erzeugt, also wäre Γ(O) = U Γ(o + ), Widerspruch. Daher gilt N (ǫ) = 1, also α 2 -dα ′2 = 2. • Sei umgekehrt N (x + yi √ dU ) = x 2 -dy 2 = 2 mit x, y ∈ Z. Nach [4, § 26 (12 II )] gilt dann [O × : U o × + ] = 2. Wäre N (ǫ) = -1, so wäre N (α + α ′ i √ dU )) = -2, also N (e + ) = -1, Widerspruch zu [4, § 26 (9)]. Also ist N (ǫ) = 1, und offenbar ist α ′ ungerade. Damit erkennt man leicht, dass ǫ ∈ Γ(o[U ]). Also ist [Γ(O) : Γ(o[U ])] = 2. Satz 8.3. Sei d ∈ N quadratfrei, sei d = 1, und sei k = Q(i √ d). Seien M eine k-Quaternionenalgebra und M eine M -Maximalordnung. Sei T ⊂ P Γ(M)
⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ D ′ 2 . Jede Tetraedergruppe T ′′ ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ T ′′ ist P Γ(M)-konjugiert zu T . Jede maximalendliche 2-Diedergruppe D ′′ 2 ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ D ′′ 2 ist P Γ(M)-konjugiert zu D ′ 2 .
(ii) Sei d ≡ 2 (mod 4), oder für alle x, y ∈ Z sei x 2 -dy 2 = 2. Dann gibt es eine Tetraedergruppe T (i) Wir zeigen, dass es ein Für j ∈ A(E) ist entweder j(M) = M und j(M ′ ) = M ′ oder j(M) = M ′ und j(M ′ ) = M. Ist M nicht isomorph zu M ′ , so gilt j(M) = M und j(M ′ ) = M ′ für alle j ∈ A(E). Wegen

′ ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ T ′ , die nicht P Γ(M)-konjugiert zu T ist. Jede Tetraedergruppe T ′′ ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ T ′′ ist P Γ(M)-konjugiert zu T oder zu T ′ . Es gibt keine maximalendliche 2-Diedergruppe D ′ 2 ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ D ′ 2 . Beweis. Sei D 2 die 2-Diedergruppe mit C 2 ⊂ D 2 ⊂ T . Wir zeigen (a), dass es eine 2-Diedergruppe D ′ 2 ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ D ′ 2 gibt, die nicht P Γ(M)-konjugiert zu D 2 ist, und dass jede 2-Diedergruppe D ′′ 2 ⊂ P Γ(M) mit C 2 ⊂ D ′′ 2 dann P Γ(M)-konjugiert zu D 2 oder D ′ 2 ist. Wir müssen danach nur noch klären (b), ob D ′ 2 ⊂ P Γ(M) eine maximalend- liche Untergruppe ist, oder ob es eine Tetraedergruppe T ′ ⊂ P Γ(M) mit D ′ 2 ⊂ T ′ gibt. (a) P -1 (D 2 ) wird von U ∈ P -1 (C 2 ) und V mit U 2 = -1 und V U V -1 = U -1 erzeugt. Ist D ′ 2 eine 2-Diedergruppe mit C 2 ⊂ D ′ 2 ⊂ P Γ(M), dann wird P -1 (D ′ 2 ) von U und V ′ mit V ′ U V ′-1 = U -1 erzeugt. Daraus folgt X ′ := V -1 V ′ ∈ k(U ) ∩ Γ(M). k(V ) ∩ M ∼ = k(U ) ∩ M und mit Lemma 8.1 folgt (1 + U V )/π ∈ M 2 . Sei V ′ = ǫU ǫ -1 , und sei D ′ 2 ⊂ P Γ(M) die von P (U ) und P (V ′ ) erzeugte 2-Diedergruppe. Wir kürzen F := F (D 2 ) und F ′ := F (D ′ 2 ) = ǫF ǫ -1 ab. Sei T := ǫΦ F (ǫ) * . Dann gilt Φ F (T ) = T * , und für A ∈ F gilt T Φ F (ǫAǫ -1 )T -1 = ǫΦ F (ǫ) -1 Φ F (ǫ)Aǫ -1 = ǫAǫ -1 . Daher gilt F ′ = F (F, T ) und Φ F ′ (A) = T Φ F (A)T -1 für A ∈ M . Mit Lemma 8.1 folgt aus k(V ) ∩ Φ F (M) ∼ = k(U ) ∩ Φ F (M), dass Φ F (M) = M, und analog Φ F ′ (M) = M. Wegen U ∈ F ∩ F ′ gilt T U T -1 = U , also T ∈ k(U ) ∩ M = o[U ]. Mit Φ F (T ) = T * folgt T = γ +γ ′ i √ dU mit γ, γ ′ ∈ Z und γ 2 -dγ ′2 = N (T ) = 1, γ ungerade, γ ′ gerade. Mit T ∈ k(U ) folgt weiter Φ F ′ (T V ) = T T * V T -1 = T V und (T V )U (T V ) -1 = U -1 . Also erzeugen P (U ) und P (T V ) eine 2-Diedergruppe D ′′ 2 mit P -1 (D ′′ 2 ) ⊂ F ′ ∩ M. Mit Lemma 6.3 folgt P -1 (D ′′ 2 ) ⊂ Γ(F ′ ∩ M) = Γ(F(D ′ 2 )) = P -1 (D ′ 2 ), also D ′′ 2 = D ′ 2 . Wegen (1 + U T V )/π = (1 + γU V )/π -γ ′ i √ dV /π ∈ M 2 ist notwendig T V = ±V ′ . Aus ǫV ǫ -1 = U folgt ǫ = (a + bU + bV -aU V )/2 mit a, b ∈ o und a 2 + b 2 = 2, und V ′ = ǫU ǫ -1 = ((-a 2 + b 2 )/2 -abU )V , also γ + γ ′ i √ dU = ±(-a 2 + b 2 )/2 -abU ). Seien a = α + α ′ i √ d und b = β + β ′ i √ d mit α, α ′ , β, β ′ ∈ Z. Damit erhalten wir -αα ′ + ββ ′ = 0 und αβ -α ′ β ′ d = 0. Daraus folgt β ′ (β 2 -dα ′2 ) = α(β 2 -dα ′2 ) = 0, wegen d = 1 also α = β ′ = 0 oder α ′ = β = 0. Dann ist 2 = a 2 + b 2 = β 2 -dα ′2 oder 2 = α 2 -dβ ′2 ,
) P -1 (D 2 ) wird von U, V mit U 2 = -1 und V U V -1 = U -1 erzeugt. O.B.d.A. nehmen wir U ∈ P -1 (C ′ 2 ) mit k(U ) ∩ M = o[U ] und V ∈ P -1 (C ′′ 2 ) mit k(V ) ∩ M = o[V ] an. P -1 (D ′′ 2 ) wird von U, V ′ mit V ′ U V ′-1 = U -1 erzeugt. Dann gilt V -1 V ′ ∈ o[U ]. Sei V ′ = V (a + bU ) mit a, b ∈ o, a 2 + b 2 = 1. Wir können V ′ durch U V ′ = V (b -aU ) ersetzen, o.B.d.A. also (a -1), b ∈ πo 2 annehmen. Wäre (a -1) ∈ 2o 2 , so wäre a 2 = 1 + π 2 + 2π + 4a ′ mit a ′ ∈ o 2 und b 2 = π 2 + 4b ′ mit b ′ ∈ o 2 , Widerspruch. Jetzt folgt (a -1), b ∈ 2o. und ǫ := ((a + 1) + bU + (a -1)V -bU V )/2 ∈ Γ(M) sowie ǫU V ′ ǫ -1 = U V . Sei D ′ 2 die von P (ǫU ǫ -1 ) und P (ǫV ′ ǫ -1 ) erzeugte 2-Diedergruppe. Satz 8.5. Sei d ∈ N quadratfrei, sei d = 3, und sei k = Q(i √ d). Seien M eine k-Quaternionenalgebra und M eine M -Maximalordnung. Sei D 3 ⊂ P Γ(M)
9.2. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei M eine k-Quaternionenalgebra, und seien M = M ′ zwei M -Maximalordnungen. (i) Sei M ′′ eine M -Maximalordnung mit N (MM ′ ) -1 = N (MM ′′ ) -1 . Dann gibt es ein A ∈ Γ(M) mit AM ′ A -1 = M ′′ . (ii) Seien M und M ′ isomorph zueinander. Dann gibt es ein A ∈ M × mit AMA -1 = M ′ und AM ′ A -1 = M.
A ∈ Γ(M p ) gibt mit AM ′ p A -1 = M ′′ p . Sei o.B.d.A. M p = M ′′ p . Dann zerfällt M p und es gibt ein r ∈ N mit N (M p M ′′ p ) -1 = π r o p und Matrixeinhei- ten in M p , bezüglich derer M p = M 2 (o p ) gilt. Für m, n ∈ N 0 und c ∈ o p definieren wir J(m, n, c) := π m c 0 π n . Nach [6, Theorem 6.5.3.3] gibt es m, n ∈ N 0 und c ∈ o p mit M ′ p = J(m, n, c)M p J(m, n, c) -1 und m + n = r, sowie c ∈ o × p , falls mn > 0. Für mn > 0 sei A(m, n, c) := c -1 (1 -π n ) 1 -π n c . Seien A(r, 0, c) := 0 -1 1 -c und A(0, r, 0) := 1. Mit A ′ := A(m, n, c) gilt dann A ′ M ′ p A ′-1 = o p π -r o p π r o p o p . Ebenso gibt es A ′′ ∈ Γ(M p ) mit A ′′ M ′′ p A ′′-1 = o p π -r o p π -r o p o p . Wir setzen A := A ′′-1 A ′ . (ii) Sei A ∈ M × mit AMA -1 = M ′ . Wir zeigen, dass es ein E ∈ Γ(M p ) gibt mit (AE)M p (AE) -1 = M ′ p und (AE)M ′ p (AE) -1 = M p . Sei o.B.d.A. M p = M ′ p . Dann gibt es ein r ∈ N und Matrixeinheiten in M 2 (k p ), bezüglich derer M p = o p o p o p o p , M ′ p = o p π r o p π -r o p o p gilt. Mit A ′ = π r 0 0 1 ist M ′ p = A ′ M p A ′-1 und A = π s A ′ B mit s ∈ Z, B ∈ M × p . Mit E := B -1 0 N (B) -1 0 gilt AE = 0 π -s N (A) -π s 0 , E ∈ Γ(M p ) und S(AE) = 0, also (AE)M ′ p (AE) -1 = (AE) 2 M p (AE) -2 = M p . Satz 9.3. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei M eine k-Quaternionenalgebra, und seien M = M ′ zwei M -Maximalordnungen. Dann gilt für die M -Eichler-Ordnung E = M ∩ M ′ : (i) P Γ(E)

Zusammenfassung4 1 5Satz 5 . 9 .Satz 6 . 8 .

 15968 Seien k ein imaginärquadratischer Zahlkörper mit Hauptordnung o, F eine Q-Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Algebra. Wir klassifizieren die F -Ordnungen G, die sich optimal in eine M-Maximalordnung N einbetten lassen, d. h. für die G = F ∩N gilt (Definition 5.3, Satz 5.6). Der Isomorphietyp von N hängt nur von der Diskriminante von G ab. Ist F ′ ⊂ M eine zweite Q-Quaternionenalgebra und N ′ eine zweite M -Maximalordnung, so ist unser Hauptergebnis der Nachweis einer Beziehung zwischen den Einbettungen G = F ∩ N und G ′ = F ′ ∩ N ′ (Satz 5.9). Auf dieser Grundlage können wir speziell ermitteln, ob die Bianchi-Gruppe P SL 2 (o) 3-Dieder-, Tetraeder-oder maximalendliche 2-Diedergruppen enthält (Satz 6.8) Wir ermitteln die Anzahl optimaler Einbettungen G ֒→ N bis auf Konjugation mit Elementen aus N × (Satz 7.3). Damit berechnen wir speziell die Konjugationsklassenzahlen nichtzyklischer endlicher Untergruppen der Bianchi-Gruppe neu (Satz 7.5). Weiter zeigen wir für m = 2, 3, wie sich m-Diederuntergruppen in Gruppen der Ordnung m schneiden (Sätze 8.3 -8.5). Schließlich dehnen wir unsere Ergebnisse auf Eichler-Ordnungen und speziell Kongruenzuntergruppen aus (Sätze 9.3 -9.9). Einbettung p-adischer Quaternionenordnungen Mathematics subject classification (2010): 11S45 Algebras and orders, and their zeta functions 11R52 Quaternion and other division algebras: arithmetic, zeta functions 11F06 Structure of modular groups and generalizations; arithmetic groups 20G07 Structure theory (Linear algebraic groups and related topics) 20G30 Linear algebraic groups over global fields and their integersSeid ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei F eine Q-Quaternionenalgebra, und sei M ∼ = k ⊗ Q F eine Erweiterung von F zur k-Quaternionenalgebra. Ist G eine F -Ordnung mit Diskriminante n 2 Z und n ∈ N, dann sei ∆(G) := +n oder -n, je nachdem, ob F an der Stelle ∞ zerfällt oder verzweigt ist. Ist F eine F -Maximalordnung mit G ⊂ F, dann sei Λ(G) := [F : G].Wir bezeichnen G als o-kompatibel, wenn G p an allen Stellen p von Q mit p | Λ(G) eine zu o p isomorphe Ordnung enthält. Wir untersuchen die Existenz und die Struktur der o-kompatiblen F -Ordnungen (Satz 5.4 mit den Sätzen 4.2, 4.3 und 4.5), und wir zeigen, dass eine F -Ordnung G genau dann o-kompatibel ist, wenn es eine M -Maximalordnung M mit G = F ∩ M gibt, und dass der Isomorphietyp von M dann nur von ∆(G) abhängt (Satz 5.6). Unser Hauptergebnis ist der nachstehende Satz 5.9, der die Durchschnitte F ∩ M und F ′ ∩ M ′ zweier Q-Quaternionenalgebren F, F ′ mit zwei M -Maximalordnungen M, M ′ zueinander in Beziehung setzt. Wir verwenden darin die folgenden Notationen: Für eine Stelle p von Q und a, b ∈ Q × p sei a, b p das Hilbert-Symbol. Sei F p := +1 oder -1, je nachdem, ob F an der Stelle p zerfällt oder verzweigt ist. Sei Σ k (F ) das Produkt der Verzweigungsstellen von F , die in k zerlegt sind. Und sei Λ(M ∩ M ′ ) := [M : (M ∩ M ′ )]. Bemerkung: Der Isomorphietyp von M relativ zu M ′ hängt nur von der Gesamtheit der Hilbertsymbole Λ(M ∩ M ′ ), -d p ab. M, M ′ sind genau dann isomorph, wenn es einf ∈ N gibt mit f | Σ k (F ) und f Λ(M ∩ M ′ ), -d p = 1 für alle Stellen p (Lemma 5.5). Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Seien F, F ′ zwei Q-Quaternionenalgebren, sei M eine gemeinsame Erweiterung von F und F ′ zur k-Quaternionenalgebra, und seien M, M ′ zwei M -Maximalordnungen. Dann gibt es ein f ∈ N mit f | Σ k (F ), so dass für alle Stellen p von Q gilt: ∆(F ∩ M)f Λ(M ∩ M ′ )∆(F ′ ∩ M ′ ),Wir zeigen die oben genannten Aussagen über die Einbettungen G = F ∩N einschließlich Satz 5.9, indem wir erstens je zwei Q-Quaternionenalgebren F, F ′ ⊂ M zueinander in Beziehung setzen (Satz 3.3), zweitens in Kapitel 4 die Einbettungen G p = F p ∩ N p an den endlichen Stellen p von Q untersuchen, an denen M p zerfällt, und drittens in Kapitel 5 diese lokalen Ergebnisse zusammenfügen und mit Satz 3.3 kombinieren. Falls k Zerfällungskörper von F ist, folgen aus den Sätzen 3.3 und 5.9 die Korollare 3.4 und 5.10. Als Anwendung von Korollar 5.10 können wir dann unter anderem klären, welche nichtzyklischen endlichen Untergruppen die Bianchi-Gruppe P SL 2 (o) = SL 2 (o)/{±1} enthält: Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Dann gilt: (i) P SL 2 (o) enthält genau dann eine 3-Diedergruppe D 3 , wenn p ≡ 1 (mod 3) für alle Primteiler p = 3 von d. (ii) P SL 2 (o) enthält genau dann eine Tetraedergruppe T , wenn p ≡ 1 oder p ≡ 3 (mod 8) für alle Primteiler p = 2 von d. (iii) P SL 2 (o) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe D 2 , wenn p ≡ 1 (mod 4) für alle Primteiler p = 2 von d. Wir führen Satz 6.8 wie folgt auf Satz 5.9 zurück: Enthält P SL 2 (k) eine Untergruppe vom Isomorphietyp D 3 , T oder D 2 , dann erzeugt deren Urbild in SL 2 (k) eine Q-Quaternionenalgebra F ⊂ M 2 (k) und über Z eine F -Ordnung F. Wir wenden Satz 5.9 auf die Einbettungen M 2 (Z) = M 2 (Q)∩M 2 (o) und F = F ∩N mit einer M 2 (k)-Maximalordnung N an. Wir erhalten die Sätze 6.4 und 6.6, sowie Satz 6.7 mit dem Spezialfall Satz 6.8. Für eine o-kompatible F -Ordnung G ermitteln wir zusätzlich die Anzahl der M -Maximalordnungen N mit G = F ∩ N und die Anzahl der N × -Konjugationsklassen von Einbettungen j : G ֒→ N mit j(G) = j(F ) ∩ N (Satz 7.3, auf Basis des lokalen Satzes 4.9).

  ein imaginärquadratischer Zahlkörper mit Hauptordnung o und Diskriminante D. Die Einschränkung der komplexen Konjugation auf k stimmt mit der nichttrivialen Galois-Involution von k/Q überein. Bezeichne I die Gruppe der o-Ideale und H ⊂ I die Untergruppe der Hauptideale. Sei p stets eine Stelle von Q, d.h. eine Primzahl p ∈ N oder die unendliche Stelle p = ∞. Sei p stets eine Stelle von k, d.h. ein Primideal p ⊂ o oder die unendliche Stelle p = ∞. Ist p eine endliche Stelle von Q, dann ist k auf natürliche Weise eingebettet in die halbeinfache quadratische Erweiterung k

( i )

 i Für einen kurzen Beweis siehe [3, Beweis von Satz 7, Fall b)].

  y ∈ Z. Man rechnet nun leicht nach, dass G p = F p ∩ N p genau dann gilt, wenn entweder x = r, y = -s oder x = -s, y = r.• Sei p träge in k, und sei ∆ p (G p ) = 1.F p ist isomorph zur p-Komponente einer Q-Algebra mit Zerfällungskörper k. Es gibt also τ ∈ Z mit den Eigenschaften laut Korollar 3.4 sowie Matrixeinheiten in M p , bezüglich derer F p = a b τ b a a, b ∈ k p . Für r ∈ N 0 ist G(r) p := a p r b p r τ b a a, b ∈ o p eine F p -Ordnung und enthält die zu o p isomorphe Ordnung O p := a 0 0 a a ∈ o p . Sei L p := k p 0 0 k p mit Hauptordnung L p = o p 0 0 o p . Mit N(r) p := o p p r o p p -r o p o p und N(-r) p := o p (p r τ ) -1 o p p r τ o p o p gilt F p ∩ N(r) p = F p ∩ N(-r) p = G(r) p . Sei umgekehrt N p eine M p -Ordnung mit F p ∩N p = G(r) p . Da p in k träge ist, gilt L p = o p O p ⊂ N p . Nach Lemma 2.3 gibt es ein J ∈ L × p mit N p = JM 2 (o p )J -1 . Dann ist N p = o p p -s o p p s o p o p mit s ∈ Z, also N p = N(r) p oder N p = N(-r) p . Nach Lemma 4.4 ist G p isomorph zu G(r) p mit r ∈ N 0 , und N(r) p = N(-r) p gilt nur dann, wenn r = 0 und F p zerlegt ist.

  für r ∈ N. Es genügt, die Anzahl der M p -Maximalordnungen N p mit G(r) p = F p ∩ N p zu berechnen, siehe Lemma 4.2.(i) und 4.4. Sei zunächst N p eine M p -Maximalordnung mit G(r) p = F p ∩ N p . Nach Lemma 4.8.(ii) und den Lemmata 4.6.(i), 4.7 ist dann [F p : G(r) p ] = [M p : (M p ∩ N p )] = p r . Nach Lemma 2.2.(i) gibt es J ∈ M p πM p mit JM p J -1 = N p und N (J) ∈ π r o × p . Für jedes m ∈ N 0 wählen wir eine Repräsentantenmenge r p (m) ⊂ o p von o p /π m o p . Mit [6, Theorem 6.5.3.3] folgt dann leicht, dass wir J = J(m, n, c) := π m c 0 π n annehmen können, mit m, n ∈ N 0 , m + n = r, c ∈ o p , für die darüberhinaus gilt: (C1) c ∈ r p (m), und c ∈ o × p , falls mn > 0. Die Abbildung mit Zuordnungsvorschrift N p → (m, n, c) ist wohldefiniert und injektiv, und man überprüft leicht, dass Π ∈ N p oder gleichwertig J -1 ΠJ ∈ M p äquivalent ist zu:

  Modul mit Basis {1, Π/π, Ω, ΠΩ/π}. Multiplikation von links mit (Π/π) oder von rechts mit Ω überführt M ′ p in sich. Mit ΩΠ/π = (Π/π)(Π -1 ΩΠ) ∈ (Π/π)F p ⊂ M ′ p folgt, dass M ′ p multiplikativ abgeschlossen, also M p -Maximalordnung ist. Dann ist notwendig M ′ p = M p , also b ∈ πo p . (P3) Falls p = 2, gilt b ∈ π 2 o p . Zum Beweis nehmen wir b = π 2 b ′ mit b ′ ∈ o p an. Es gibt x, u, v, w ∈ o p mit 0 1 0 0 = x+uΠ/π +vΩ+wΠΩ/π. Daraus folgt 0 = vγ +wγπ/π, also v +w ∈ πo p , und 1 = (u + wδ)πb ′ + (v + w)β ∈ πo p , Widerspruch. Nun können wir die C(m, n) elementar berechnen. Wir führen die Details hier nicht aus, sondern fassen nur die Ergebnisse in den beiden folgenden Tabellen zusammen.

vermindert um 1 ,Definition 5 . 3 .Satz 5 . 4 .

 15354 falls F p zerfällt und r = 2 ist. Zum Schluss addieren wir die passenden Tabelleneinträge unter ∆ p (G p ) = ∆ p (F p )p r . 5 Einbettung rationaler Quaternionenordnungen Definition 5.1. Ist K ein algebraischer Zahlkörper, Q eineK-Quaternionenalgebra, M eine Q-Maximalordnung und G ⊂ M eine Q-Ordnung, dann sei Λ(G) := [M : G]. Definition 5.2. Sei F eine Q-Quaternionenalgebra, und sei G eine F -Ordnung. Ist n 2 Z die Diskriminante von G mit n ∈ N,dann sei ∆(G) := +n oder -n, je nachdem, ob F an der Stelle ∞ zerfällt oder verzweigt ist. Wir bezeichnen ∆(G) auch als reduzierte Diskriminante von G, siehe [6, Definition 2.7.4]. Es gilt ∆(G) = Σ(F )Λ(G). Für eine F -Maximalordnung F gilt speziell ∆(F) = Σ(F ). ∆(G) ist das Produkt der ∆ p (G p ) über alle Primzahlen p ∈ N, siehe [6, Theorem 2.7.3]. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei F eine Q-Quaternionenalgebra. Eine F -Ordnung G heißt o-kompatibelgenau dann, wenn für alle Stellen p von Q mit p | Λ(G) gilt: G p enthält eine zu o p isomorphe Ordnung. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k

5. 5 .

 5 (iii) gibt es e ∈ N mit e | Σ k (E) und eΛ(L ∩ N), Wir können nun also S(T) 2 = 4N (T ) und o.B.d.A. N (T ) ∈ Z, S(T ) ∈ 4Z annehmen. Falls p | Σ k (E), ist F p ∩ N p die F p -Maximalordnung, hat also die Diskriminante p 2 Z p . Nach Lemma 5.7 gibt es eine E-Maximalordnung E und eine M -Maximalordnung N mit E ⊂ N, so dass die F p -Ordnung F p ∩ N p an allen endlichen Stellen p mit p ∤ Σ k (E) die Diskriminante D 2 d 2 N (T ) 2 Z p hat. Sei DdN (T ) = tg mit t ∈ Z und g ∈ N, so dass t teilerfremd zu Σ k (E) ist und alle Primteiler von g auch Teiler von Σ k (E) sind. Dann hat F ∩N die Diskriminante (DdN (T )Σ k (E)/g) 2 Z. Andererseits hat F ∩N die Diskriminante (Σ(F )Λ(F ∩ N)) 2 Z. Unter Beachtung des Vorzeichens (Satz 3.3.(ii) für p = ∞) gilt also |D|dN (T )Σ(E) = gΣ(F )Λ(F ∩ N). Sei nun F eine F -Maximalordnung mit F ∩ N ⊂ F. Nach Satz 5.6.(iii) gibt es eine M -Maximalordnung L mit F ⊂ L und Λ(F ∩N) = Λ(L∩N).Sei e ∈ N der quadratfreie Anteil von g. Die Behauptung folgt jetzt mit Satz 3.3.(ii).

1

 1 für alle Stellen p. Die Behauptung folgt mit Satz 5.9.[START_REF] Maclachlan | The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds[END_REF] Die nichtzyklischen endlichen Untergruppen Definition 6.1.(i) Bezeichne P : SL 2 (C) → P SL 2 (C) die kanonische Projektion.Für Untergruppen Γ ⊂ SL 2 (C) kürzen wirP Γ := P (Γ) ∼ = Γ/(Γ ∩ {±1}) ab. (ii) Für einen Ring R ⊂ M 2 (C) mit Eins sei Γ(R) := {A ∈ R | N (A) = 1} (iii) Für eine endliche Menge G ⊂ P SL 2 (C) seien F (G) ⊂ M 2 (C) der von P -1 (G) erzeugte Q-Vektorraum und F(G) der von P -1 (G) erzeugte Z-Modul. (iv) Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Seien M eine k-Quaternionenalgebra und M eine M -Maximalordnung. Dann bezeichnen wir P Γ(M) als verallgemeinerte Bianchi-Gruppe, und speziell bezeichnen wir P Γ(M 2 (o)) = P SL 2 (o) als Bianchi-Gruppe.Für 2 ≤ m ∈ N bezeichne D m ⊂ P SL 2 (C) stets eine (projektive) m-Diedergruppe, und T ⊂ P SL 2 (C) bezeichne stets eine (projektive) Tetraedergruppe. Dann ist P -1 (D m ) bzw. P -1 (T ) eine binäre m-Diedergruppe bzw. binäre Tetraedergruppe. D 3 , T bzw. D 2 sind isomorph zur symmetrischen Gruppe S 3 , alternierenden Gruppe A 4 bzw. Kleinschen Vierergruppe V 4 . Eine Tetraedergruppe T enthält genau eine 2-Diedergruppe D 2 , und umgekehrt ist eine 2-Diedergruppe D 2 Normalteiler in genau einer Tetraedergruppe T . Wir fassen die bekannten Grundlagen in den Lemmata 6.2 und 6.3 zusammen: Lemma 6.2. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei M eine Q-Quaternionenalgebra oder eine k-Quaternionenalgebra. Ist G ⊂ P Γ(M ) eine nichttriviale endliche Gruppe, dann hat G die Ordnung 2 oder 3, oder G ist eine 3-Diedergruppe, Tetraedergruppe oder 2-Diedergruppe. Beweis. Sei G eine nichttriviale endliche Untergruppe von P Γ(M ), und sei C m ⊂ G eine zyklische Untergruppe der Ordnung m > 1. Dann ist P -1 (C m ) zyklisch und hat die Ordnung 2m. Sei U ein erzeugendes Element von P -1 (C m ), und sei ζ ∈ C eine primitive 2m-te Einheitswurzel. Dann ist S(U ) = ζ +ζ ∈ o∩R = Z. Daher muss m = 2 oder m = 3 sein. Nach [8, Chapter 4.4] ist P -1 (G) also eine zyklische Gruppe der Ordnung 4 oder 6, oder eine binäre 3-Diedergruppe, binäre Tetraedergruppe oder binäre 2-Diedergruppe. Lemma 6.3. Sei G eine 3-Diedergruppe D 3 , Tetraedergruppe T oder 2-Diedergruppe D 2 . Dann

2

 2 gilt, siehe[8, 4.4.10]. U , V , W erzeugen über Q eine Quaternionenalgebra F (T ) = F (D 2 ) und über Z eine Ordnung F(T ) mit Diskriminante 4Z. Also zerfällt F (T ) an allen Stellen p = 2, ∞.Jedes A ∈ F (T ) ist darstellbar als A = α + βU + γV + δU V mit α, β, γ, δ ∈ Q. Falls A = 0, ist N (A) = α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 > 0.Daher ist F (T ) Divisionsalgebra. Die Anzahl der Verzweigungsstellen von F (T ) ist gerade. Also ist F (T ) genau an den Stellen 2 und ∞ verzweigt, und F(T ) ist eine F (T )-Maximalordnung. Man rechnet nun leicht nach, dass F(D 2 ) die Diskriminante 16Z hat, also [F(T ) : F(D 2 )] = 2 gilt.

D 3 eine 3 -Lemma 6 . 5 .

 365 Diedergruppe und T eine Tetraedergruppe. Dann gilt: (i) Es gibt bis auf Isomorphie genau eine k-Quaternionenalgebra M mit D 3 ⊂ P Γ(M ) und bis auf Isomorphie genau eine M -Maximalordnung M mit D 3 ⊂ P Γ(M). Genau dann gilt M ∼ = M 2 (k), wenn d ≡ 2 (mod 3). (ii) Es gibt bis auf Isomorphie genau eine k-Quaternionenalgebra M mit T ⊂ P Γ(M ) und bis auf Isomorphie genau eine M -Maximalordnung M mit T ⊂ P Γ(M). Genau dann gilt M ∼ = M 2 (k), wenn d ≡ 7 (mod 8). Beweis. Sei M eine k-Quaternionenalgebra, und sei G = D 3 oder G = T . G ⊂ P Γ(M ) gilt genau dann, wenn M eine Erweiterung von F (G) zur k-Algebra ist, was den Isomorphietyp von M festlegt. Der Isomorphietyp von M ist eindeutig nach Satz 5.6. Nach Lemma 3.2.(ii) ist M ∼ = M 2 (k) genau dann, wenn Σ k (F (G)) = Σ k (M 2 (Q)) = 1 gilt, also wenn die einzige endliche Verzweigungsstelle p von F (G) in k nicht zerlegt ist, also 3 bzw. 2 in k nicht zerlegt ist, also wenn -d ≡ 1 (mod 3) bzw. -d ≡ 1 (mod 8) ist. D 3 ⊂ P Γ(M) bzw. T ⊂ P Γ(M) ist stets eine maximalendliche Untergruppe von P Γ(M). Ist aber D 2 ⊂ P Γ(M), so gibt es (genau) eine Tetraedergruppe T mit D 2 ⊂ T ⊂ P Γ(M ), und D 2 ist genau dann maximalendliche Untergruppe von P Γ(M), wenn T ⊂ P Γ(M). Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei D 2 eine 2-Diedergruppe, und sei M eine k-Quaternionenalgebra mit D 2 ⊂ P Γ(M ).

Satz 6 . 6 .Satz 6 . 7 . 1 . 1 . 3 = - 1 ,

 66671131 (i) Ist M eine M -Maximalordnung, so gilt: Genau dann ist D 2 eine maximalendliche Untergruppe von P Γ(M), wenn F (D 2 ) ∩ M = F(D 2 ).(ii) Genau dann ist F(D 2 ) eine o-kompatible M -Ordnung, wenn d ≡ 3 (mod 4).Beweis. Wir kürzenF := F (D 2 ) = F (T ) ab. (i) Genau dann gilt D 2 ⊂ P Γ(M) und T ⊂ P Γ(M), wenn F(D 2 ) ⊂ M und F(T ) ⊂ M. Wir zeigen die Äquivalenz zu F ∩ M = F(D 2 ) durch Widerspruch. Wir nehmen also F(D 2 ) F ∩ M an. Wegen Λ(F(D 2 )) = 2 ist dann F ∩ M eine F -Maximalordnung. Da F an der Stelle 2 verzweigt ist, ist F(T ) 2 die F 2 -Maximalordnung und F(T ) die einzige F -Maximalordnung, die F(D 2 ) enthält. Also ist F ∩M = F(T ), Widerspruch. (ii) Nach Satz 4.5.(i) gibt es genau eine F 2 -Ordnung G 2 ⊂ F(T ) 2 mit [F(T ) 2 : G 2 ] = 2, also genau eine F -Ordnung G ⊂ F(T ) mit Λ(G) = 2. Nach Satz 5.4 ist F(D 2 ) also genau dann eine o-kompatible F -Ordnung, wenn 2 ∤ Σ k (F ) und 2 ∈ N abs (I)gilt, also wenn 2 in k nicht zerlegt und nicht träge ist, also wenn -d ≡ 1 (mod 4) gilt. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Genau dann gibt es eine k-Quaternionenalgebra M und eine M -Maximalordnung M mit einer maximalendlichen 2-Diedergruppe D 2 ⊂ P Γ(M), wenn d ≡ 3 (mod 4). In diesem Fall gilt M ∼ = M 2 (k), und M ist bis auf Isomorphie eindeutig. Beweis. Die erste Behauptung folgt mit Lemma 6.5 und Satz 5.6.(i)(ii). Die zweite Behauptung folgt wegen d ≡ 7 (mod 8) mit Satz 6.4.(ii) und Satz 5.6.(iv). Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d). Sei M eine M 2 (k)-Maximalordnung. Dann gilt: (i) P Γ(M) enthält genau dann eine 3-Diedergruppe D 3 , wenn für alle Stellen p = 3, ∞ von Q gilt: -3Λ(M ∩ M 2 (o)), -d p = (ii) P Γ(M) enthält genau dann eine Tetraedergruppe T , wenn für alle Stellen p = 2, ∞ von Q gilt: -2Λ(M ∩ M 2 (o)), -d p = 1. (iii) P Γ(M) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe D 2 , wenn für alle Stellen p = 2, ∞ von Q gilt: -Λ(M ∩ M 2 (o)), -d p = Beweis. Wir kürzen λ := Λ(M ∩ M 2 (o)) ab. (i) Sei D 3 ⊂ P Γ(M), oder äquivalent F(D 3 ) ⊂ M, oder äquivalent F(D 3 ) = F (D 3 )∩M. Nach Korollar 5.10 und Lemma 6.3.(i) ist dann -3λ, -d p = 1 für alle p = 3, ∞. Sei nun umgekehrt -3λ, -d p = 1 für alle p = 3, ∞. Die Anzahl der Stellen p mit -3λ, -d p = -1 ist gerade. Also ist -3λ, -d speziell d ≡ 2 (mod 3). Sei D ′ 3 eine 3-Diedergruppe. Nach Satz 6.4.(i) gibt es eine M 2

6. 3 .

 3 (ii) ist dann -λ, -d p = 1 für alle p = 2, ∞. Sei nun umgekehrt -λ, -d p = 1 für alle p = 2, ∞. Die Anzahl der Stellen p mit -λ, -d p = -1 ist gerade. Also ist -λ, -d 2 = -1 und speziell d ≡ 7 (mod 8).

Falls d ≡ 3 (

 3 mod 8), wäre 2 in k träge. Nach Satz 5.6.(i) und 5.4.(i) gilt λ ∈ N abs (I), der quadratfreie Anteil von λ wäre ungerade, Widerspruch. Also ist d ≡ 3 (mod 4). Nach Satz 6.6 gibt es eine M 2

Satz 6 . 8 . 1 .

 681 , -d p für alle Stellen p, und nach den Lemmata 5.5.(ii), 5.5.(iii) ist M ′ isomorph zu M. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Dann gilt: (i) P SL 2 (o) enthält genau dann eine 3-Diedergruppe D 3 , wenn p ≡ 1 (mod 3) für alle Primteiler p = 3 von d. (ii) P SL 2 (o) enthält genau dann eine Tetraedergruppe T , wenn p ≡ 1 oder p ≡ 3 (mod 8) für alle Primteiler p = 2 von d. (iii) P SL 2 (o) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe D 2 , wenn p ≡ 1 (mod 4) für alle Primteiler p = 2 von d. Beweis. Nach Satz 6.7 gilt: (i) P SL 2 (o) enthält genau dann eine 3-Diedergruppe D 3 , wenn für alle Stellen p = 3, ∞ von Q gilt: -3, -d p = 1. (ii) P SL 2 (o) enthält genau dann eine Tetraedergruppe T , wenn für alle Stellen p = 2, ∞ von Q gilt: -2, -d p = (iii) P SL 2 (o) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe D 2 , wenn für alle p = 2, ∞ gilt:

(Lemma 7 . 2 .

 72 iii) Für O = G oder O = N bezeichne A(O) die Gruppe der Automorphismen von O und I(O) ⊂ A(O) die Unterguppe der Konjugationen mit Elementen aus O × . Bemerkung: Die Bezeichnungen µ(D 3 , N), µ(T , N) und µ(D 2 , N) entsprechen den in [5, § 22 und § 24] definierten Bezeichnungen µ 3(N), µ T (N) = µ T 2 (N) und µ - 2 (N). Sei d ∈ N quadratfrei, sei k = Q(i √ d) mitDiskriminante D, und bezeichne t die Anzahl der verschiedenen Primteiler von D. Sei F eine Q-Quaternionenalgebra, und bezeichne r die Anzahl der Primteiler von Σ k (F ). Sei s der Rang der t×r-Matrix (h pq ) mit Koeffizienten in Z/2Z und h pq := 0 oder 1, je nachdem, ob q, -d p = 1 oder -1 gilt, wo p die verschiedenen Primteiler von D und q die Primteiler von Σ k (F ) durchläuft. Seien M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionenalgebra und M eine M -Maximalordnung. Dann gilt [A(M) : I(M)] = 2 t+2r-s-1 .

  2 s : Mit der Multiplikation als Verknüpfung ist R/(R∩I (2) H) ein Z/2Z-Modul. Für f ∈ N sei (f p ) das t-Tupel mit Koeffizienten aus Z/2Z und f p := 0 oder 1, je nachdem, ob f, -d p = 1 oder -1 gilt, wo p die verschiedenen Primteiler von D durchläuft. Die Zuordnungsvorschrift f → (N abs (f) p ) induziert einen Z/2Z-Modulhomomphismus Ψ : R/(R ∩ I (2) H) → (Z/2Z) t . Das Bild von Ψ wird von den Tupeln (q p ) erzeugt, wo q die Primteiler von Σ k (F ) durchläuft, hat also die Dimension s. Nach [2, Kapitel III, § 8, Sätze 6, 7 und Kapitel I, § 7, Satz 1] gilt f ∈ I (2) H genau dann, wenn N abs (f), -d p = 1 an allen Stellen p von Q (mit p | D). Also ist Ψ Isomorphismus.

  eine Bijektion zwischen den maximalendlichen Untergruppen G ′ ⊂ P Γ(N) vom Isomorphietyp G und den optimal eingebetteten Ordnungen F ′ ⊂ N vom Isomorphietyp F(G). Zwei solche Gruppen G ′ , G ′′ sind genau dann P Γ(N)-konjugiert, wenn P -1 (G ′ ) undP -1 (G ′′ ) Γ(N)-konjugiert sind, also wenn F(G ′ ) und F(G ′′ ) Γ(N)-konjugiert sind. Also ist µ(G, N) = B 1 (F(G), N)[A ′ (G) : I ′ (G)] -1 , wo A ′ (G) die Gruppe der Einbettungen j : F(G) ֒→ N mit j(F(G)) = F(G) ist, und I ′ (G) die Untergruppe der j ∈ A ′ (G),die durch Konjugation mit einem Element aus Γ(N) erzeugt werden. Offenbar gilt A ′ (G) ⊂ A(F(G)) und I(F(G)) ⊂ I ′ (G). Ein j ∈ A(F(G)) induziert genau einen Automorphismus von M mit j(F(G)) = F(G), also gilt A ′

Satz 7 . 5 .

 75 definierbar. Dafür gibt es 6×4 Möglichkeiten. A(F(T )) enthält also 24 Elemente, und I(F(T )) ∼ = T ∼ = A 4 enthält 12 Elemente. Sei d ∈ N quadratfrei, sei k = Q(i √ d) mit Diskriminante D, und bezeichne t die Anzahl der verschiedenen Primteiler von D. Sei M eine k-Quaternionenalgebra, und sei N eine M -Maximalordnung. (i) Sei D 3 ⊂ P Γ(N) eine 3-Diedergruppe. Dann hat µ(D 3 , N) den Wert 2 t-1 , falls d ≡ 0 (mod 3) 2 t , falls d ≡ 1 (mod 3) 2 t , falls d ≡ 2 (mod 3), und d einen Primteiler p ≡ ±5 (mod 12) hat 2 t+1 , falls d ≡ 2 (mod 3), und p ≡ ±1 (mod 12) für alle Primteiler p = 2 von d (ii) Sei T ⊂ P Γ(N) eine Tetraedergruppe. Dann hat µ(T , N) den Wert 2 t-1 , falls d ≡ 3 (mod 4) 2 t , falls d ≡ 3 (mod 8) 2 t , falls d ≡ 7 (mod 8), und d einen Primteiler p ≡ ±3 (mod 8) hat 2 t+1 , falls d ≡ 7 (mod 8), und p ≡ ±1 (mod 8) für alle Primteiler p von d (iii) Sei D 2 ⊂ P Γ(N) eine maximalendliche 2-Diedergruppe. Dann ist d ≡ 3 (mod 4), und µ(D 2 , N) hat den Wert 2 t-1 . Bemerkung: Satz 7.5 geht schon aus [5, Sätze 20.39 und 26.12] hervor, wird dort allerdings unter Rückgriff auf P Γ(N)-Konjugationsklassen zyklischer Untergruppen bewiesen. Beweis. Wir berechnen µ(G, N) mit Lemma 7.4 mithilfe von Satz 7.3. Zur Berechnung der Faktoren C(F(G)) und [A(N) : I(N)] greifen wir auf Satz 4.9 und Lemma 7.2 zurück.(i) µ(D 3 , N) = C(F(D 3 ))[A(N) : I(N)]. Es ist Λ(F(D 3 )) = 1 und F (D 3 ) 3 ∼ = M 2 (Q 3 ). Falls d ≡ 1 (mod 3), ist 3 träge in k, also C(F(D 3 )) = 2. Sonst ist C(F(D 3 )) = 1. Falls d ≡ 2 (mod 3), ist Σ k (F (D 3 )) = 1. Daher gilt dann [A(N) : I(N)] = 2 t-1 . Falls d ≡ 2 (mod 3), ist Σ k (F (D 3 )) = 3. Wenn in diesem Fall 3, -d p = 1 an allen Stellen p von Q gilt, dann ist [A(N) : I(N)] = 2 t+1 , sonst ist [A(N) : I(N)] = 2 t .Die Behauptungen folgen jetzt durch Auswertung der Hilbertsymbole.(ii) µ(T , N) = C(F(T ))[A(N) : I(N)]. Es ist Λ(F(T )) = 1 und F (T ) 2 ∼ = M 2 (Q 2 ).Falls d ≡ 3 (mod 8), ist 2 träge in k, also C(F(T )) = 2. Sonst ist C(F(T )) = 1. Falls d ≡ 7 (mod 8), ist Σ k (F (T )) = 1. Daher gilt dann [A(N) : I(N)] = 2 t-1 . Falls d ≡ 7 (mod 8), ist Σ k (F (T )) = 2. Wenn in diesem Fall 2, -d p = 1 an allen Stellen p von Q gilt, dann ist [A(N) : I(N)] = 2 t+1 , sonst ist [A(N) : I(N)] = 2 t . Die Behauptungen folgen jetzt durch Auswertung der Hilbertsymbole. (iii) µ(D 2 , N) = C(F(D 2 ))[A(N) : I(N)]/3. Es ist Λ(F(D 2 )) = 2 und F (D 2 ) 2 ∼ = M 2 (Q 2 ). Nach Satz 6.6 ist d ≡ 3 (mod 4), also ist 2 verzweigt in k, also gilt C(F(D 2 )) = 3 und Σ k (F (D 2 )) = 1. Daher gilt [A(N) : I(N)] = 2 t-1 .

Beweis. Nach 6 . 4 . 2 πN ′ 2 ausLemma 8 . 2 .

 642282 (ii) gilt M ∼ = M 2 (k). Nach Satz 4.9 gibt es genau eine M -Maximalordnung N mit F(T ) ⊂ N und genau drei M -Maxmalordnungen N ′ mit F(D 2 ) = F (D 2 )∩N ′ . Die Aussagen in (i)-(iii) lassen sich elementar nachprüfen. Die erste Aussage in (iv) folgt mit Lemma 4.8.(ii), die zweite Aussage lässt sich leicht mit [6, Theorem 6.5.3.3] zeigen, und die dritte Aussage folgt mit πW∈ N ′ Lemma 2.2.(iii)-(iv). Sei d ∈ N quadratfrei, d ≡ 2 (mod 4). Sei k = Q(i √ d) mit der Hauptordnung o. Sei U ∈ SL 2 (C) mit U 2 = -1, und sei K := k(U ) mit der Hauptordnung O. Dann gilt [Γ(O) : Γ(o[U ])] ≤ 2, und insbesondere gilt Γ(O) (2) ⊂ Γ(o[U ]).Weiter gilt [Γ(O) : Γ(o[U ])] = 2 genau dann, wenn es x, y ∈ Z gibt mit x 2 -dy 2 = 2.

  eine Tetraedergruppe, und sei C 2 ⊂ T eine Untergruppe der Ordnung 2. (i) Sei d ≡ 2 (mod 4), und es gebe x, y ∈ Z mit x 2 -dy 2 = 2. Dann gibt es eine maximalendliche 2-Diedergruppe D ′ 2

  und weiter folgt d ≡ 1 (mod 4), also d ≡ 2 (mod 4). (c) Zunächst zeigen wir die Behauptung unter der Voraussetzung C 2 ⊂ D ′′ 2 . Sei d ≡ 2 (mod 4), und es gebe x, y ∈ Z mit x 2 -dy 2 = 2. Dann folgt die Behauptung mit Satz 8.4.(i)(a) und Satz 8.3.(i). Sei d ≡ 2 (mod 4), oder für alle x, y ∈ Z sei x 2 -dy 2 = 2. Der Beweis erfolgt dann wie im Beweisabschnitt (a) zu Satz 8.3, wenn wir dort die Zwischenbemerkung wie folgt ersetzen: Zwischenbemerkung: Wir können o.B.d.A. JU J -1 = U annehmen, da U in Γ(M) zu U -1 , nach Satz 8.4.(ii)(b) aber nicht zu V ±1 und (U V ) ±1 konjugiert ist. Nun zeigen wir die Behauptung unter der Voraussetzung C ′ 2 ⊂ D ′′ 2 aus. Es genügt zu zeigen, dass es eine 2-Diedergruppe D ′ 2 mit C 2 ⊂ D ′ 2 ⊂ P Γ(M) gibt, die P Γ(M)konjugiert zu D ′′ 2 ist. (Unter der Voraussetzung C ′′ 2 ⊂ D ′′ 2 erfolgt der Beweis analog.

eine 3 -

 3 Diedergruppe, und sei C 3 ⊂ D 3 deren Untergruppe der Ordnung 3. Dann gibt es Bemerkung: n(E) ist wohldefiniert, mit N abs (n(E)) = Λ(E), siehe Lemma 2.4 und 5.5.(i).

Lemma

  

Beweis. jeweils mit [ 6 ,

 6 Theorem 7.7.5 (Strong Approximation)] und S = {∞} auf Basis der folgenden Aussagen. Sei p eine endliche Stelle von k, und sei π ∈ o p ein Primelement.

Satz 9 . 4 .Satz 9 . 5 .- 1 -

 94951 enthält genau dann eine Tetraedergruppe, wenn d ≡ 3 (mod 8) ist, n(E) = 2o ist, und P Γ(M) eine Tetraedergruppe enthält.(ii) P Γ(E) enthält genau dann eine 3-Diedergruppe, wenn d ≡ 1 (mod 3) ist, n(E) = 3o ist, und P Γ(M) eine 3-Diedergruppe enthält.(iii) P Γ(E) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe, wenn d ≡ 3 (mod 4) ist, n(E) = 2o oder n(E) 2 = 2o ist, und P Γ(M) oder P Γ(M ′ ) eine maximalendliche 2-Diedergruppe enthält.Hier gilt M ∼ = M 2 (k), und M, M ′ sind bis auf die Reihenfolge eindeutig durch E bestimmt.Beweis.(i) Sei T ⊂ P Γ(E) Tetraedergruppe. Dann gilt F(T ) ⊂ M mit ∆(F(T )) = 2. Nach Satz 4.9 gibt es genau dann eine M -MaximalordnungM ′′ = M mit F(T ) ⊂ M ′′ , wenn 2 in k träge, also d ≡ 3 (mod 8) ist. Dann ist E ′ := M ∩ M ′′ eine M -Eichler-Ordnung mit T ⊂ P Γ(E ′ ) und n(E ′ ) = 2o. Mit Lemma 4.6.(ii) folgt M ′′ = M ′ und E ′ = E. Seien umgekehrt T ⊂ P Γ(M) eine Tetraedergruppe, d ≡ 3 (mod 8) und n(E) = 2o. Wie eben gezeigt, gibt es eine M -Maximalordnung M ′′ = M und eine M -Eichler-Ordnung E ′ := M ∩ M ′′ mit F(T ) ⊂ E ′ und n(E ′ ) = N (MM ′′ ) -1 = 2o. Aus N (MM ′ ) -1 = 2o folgt mit Lemma 9.2.(i), dass es ein A ∈ Γ(M) gibt mit AM ′′ A -1 = M ′ . Dann ist T ′ = P (AP -1 (T )A -1 ) Tetraedergruppe mit T ′ ⊂ P Γ(E).(ii) analog zum Beweis von (i), mit p = 3 anstelle von p = 2. (iii) Sei D 2 ⊂ P Γ(E) maximalendliche 2-Dieder-Untergruppe. Dann ist D 2 maximalendlich in P Γ(M) oder P Γ(M ′ ). Nach Satz 6.6 gilt d ≡ 3 (mod 4). Mit den Bezeichnungen von Lemma 8.1 ist o.B.d.A. entweder E = N(U )∩N(V ) oder E = N∩N(U ), wegen Λ(N(U ) ∩ N(V )) = 4 und Λ(N ∩ N(U )) = 2 also n(E) = 2o oder n(E) 2 = 2o. Sei umgekehrt o.B.d.A. D 2 ⊂ P Γ(M) eine maximalendliche 2-Dieder-Untergruppe, d ≡ 3 (mod 4) und n(E) = 2o oder n(E) 2 = 2o. Mit den Bezeichnungen von Lemma 8.1 sei M = N(U ), also N (MN(V )) = N (MM ′ ) oder N (MN) = N (MM ′ ). Nach Lemma 9.2.(i) gibt es ein A∈ Γ(M) mit AN(V )A -1 = M ′ bzw. ANA -1 = M ′ . Dann ist D ′ 2 = P (AP -1 (D 2 )A -1 ) ⊂ P Γ(E) eine maximalendliche 2-Diedergruppe. Nach Satz 6.4 bzw. 6.6 gilt M ∼ = M 2 (k), und nach Lemma 2.4 sind M und M ′ bis auf die Reihenfolge eindeutig durch E bestimmt, da sie nur an einer Stelle verschieden sind. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei c = o ein ganzes o-Ideal. Dann ist E 0 (c) := o o c o eine M 2 (k)-Eichler-Ordnung mit n(E 0 (c)) = c. Nach Definition ist Γ 0 (c) = Γ(E 0 (c)),und damit gilt: (i) P Γ 0 (c) enthält genau dann eine Tetraedergruppe, wenn d ≡ 3 (mod 8) ist und c = 2o ist und p ≡ 1 oder p ≡ 3 (mod 8) für alle Primteiler p von d gilt. (ii) P Γ 0 (c) enthält genau dann eine 3-Diedergruppe, wenn c = 3o ist und p ≡ 1 (mod 3) für alle Primteiler p von d gilt. (iii) P Γ 0 (c) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe, wenn d ≡ 3 (mod 4) ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (a) c = 2o und p ≡ 1 (mod 4) für alle Primteiler p = 2 von d. (b) c 2 = 2o und n ≡ 7 (mod 8) für alle Teiler n ∈ N von d.Beweis.Seien M := o o o o , M ′ := o c -1 c o und E := M ∩ M ′ = E 0 (c) = o o c o . Es gilt n(E) = N (MM ′ ) -1 = c,siehe Lemma 2.2.(i) und (ii). (i) folgt mit Satz 9.3.(i) und Satz 6.8.(ii). (ii) folgt mit Satz 9.3.(ii) und Satz 6.8.(i). (iii) folgt mit Satz 9.3.(iii) und Satz 6.8.(iii).(a) M und M ′ sind isomorph zueinander. (b) Nach Satz 6.7.(iii), (ii) mit Lemma 5.5.(i) und Satz 6.8.(ii) enthält P Γ(M ′ ) maximalendliche 2-Diedergruppen genau dann, wenn P Γ(M) Tetraedergruppen enthält, also p ≡ 1 oder p ≡ 3 (mod 8) für alle Primteiler p = 2 von d gilt. Die Oder-Verknüpfung der Bedingungen für M und M ′ liefert die Behauptung. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Sei c = o ein ganzes o-Ideal. Dann ist E(c) := o c c o eine M 2 (k)-Eichler-Ordnung mit n(E(c)) = c 2 . P Γ(E(c)), P Γ 1 (c) und P Γ(c) enthalten weder Tetraeder-noch 3-Diedergruppen. Wenn P Γ(E(c)) oder P Γ 1 (c) oder P Γ(c) eine 2-Diedergruppe enthält, dann ist d ≡ 3 (mod 4) und c 2 = 2o, sowie Γ 1 (c) = Γ 0 (c) und Γ(c) = Γ(E(c)). Weiter gilt dann: P Γ(c) enthält genau dann eine maximalendliche 2-Diedergruppe, wenn p ≡ 1 oder p ≡ 3 (mod 8) für alle Primteiler p = 2 von d gilt.Beweis.Seien M := o c c -1 o und M ′ := o c -1 c o . Dann gilt E(c) = M ∩ M ′ mit n(E(c)) = N (MM ′ ) -1 = c 2 , und Γ(c) = Γ 1 (c) ∩ Γ(E(c)). Weiter gilt N (MM 2 (o)) -1 = c. Enthält P Γ(E(c)) eine Tetraeder-oder 3-Diedergruppe, dann ist 2 bzw. 3 nach Satz 9.3 träge in k, also ist n(E(c)) = 2o bzw. n(E(c)) = 3o kein Quadrat, Widerspruch. Enthält P Γ 1 (c) eine Tetraeder-oder 3-Diedergruppe, dann gibt esA ∈ P -1 (P Γ 1 (c)) mit S(A) = 0 und B ∈ P -1 (P Γ 1 (c)) mit S(B) = 1. Für X ∈ P -1 (P Γ 1 (c)) gilt ±X ∈ Γ 1 (c), also (S(X) ± 2) ∈ c. Daher gilt (S(A) ± 2) ∈ c, also 2 ∈ c, sowie (S(B) + 2) = 3 ∈ c oder (S(B) -2) = 1 ∈ c. Damit folgt 3 -2 = 1 ∈ c, also c = o,Widerspruch. Enthält P Γ(E(c)) eine 2-Diedergruppe, dann folgt mit Satz 9.3.(iii), dass d ≡ 3 (mod 4) und n(E) = c 2 = 2o gilt. Enthält P Γ 1 (c) eine 2-Diedergruppe, so folgt mit Γ 1 (c) ⊂ Γ 0 (c) und Satz 9.4.(iii), dass d ≡ 3 (mod 4) und c = 2o oder c 2 = 2o gilt. Wir führen die Annahme c = 2o zum Widerspruch. Sei also D 2 ⊂ P Γ 1 (2o) eine 2-Diedergruppe, und sei2o = p 2 . Wegen -1 ∈ Γ 1 (2o) wird P -1 (D 2 ) erzeugt von U = 2a ′ mit U V = -V U und a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ ∈ o. Mit N (U ) = 1 folgt 2a + 2a 2 + bc + 1 = 0. Daher gilt b ∈ p und b ′ ∈ p, wegen [o : p] = 2 also (b -b ′ ) ∈ p. Weiter gilt 2 = N (U -V ) = -4(a -a ′ ) 2 -2(b -b ′ )(c -c ′ ), also (b -b ′ ) ∈ p, Widerspruch. Also gilt c = p. Für X = a b c d ′ ∈ Γ 0 (c) gilt c ∈ c und ad ′ -bc = 1, also ad ′ ∈ c. Wegen [o : c] = 2 folgt daraus (a -1) ∈ c. Also ist Γ 0 (c) = Γ 1 (c), und genauso Γ(E(c)) = Γ(c). Nach Satz 6.7 und 6.8.(ii) enthalten P Γ(M), P Γ(M ′ ) maximalendliche 2-Diedergruppen genau dann, wenn P Γ(M 2 (o)) Tetraedergruppen enthält, also p ≡ 1 oder p ≡ 3 (mod 8) für alle Primteiler p = 2 von d gilt. Die letzte Aussage folgt nun mit Satz 9.3.(iii). Satz 9.6. Sei d ∈ N quadratfrei, und sei k = Q(i √ d) mit Hauptordnung o. Seien D die Diskriminante von k und t die Anzahl der verschiedenen Primteiler von D. Sei M eine k-Quaternionenalgebra, und sei E eine M -Eichler-Ordnung. Dann gilt: (i) Sei T ⊂ P Γ(E) eine Tetraedergruppe. Dann ist µ(T , E) = 2 t . (ii) Sei D 3 ⊂ P Γ(E) eine 3-Diedergruppe. Dann ist µ(D 3 , E) = 2 t . (iii) Sei D 2 ⊂ P Γ(E) maximalendliche 2-Diedergruppe. Dann hat µ(D 2 , E) den Wert 2 t , falls n(E) = 2o ist oder p ≡ ±1 (mod 8) für alle Primteiler p = 2 von d gilt 2 t-1 , falls n(E) 2 = 2o ist und p ≡ ±3 (mod 8) für einen Primteiler p von d gilt Beweis. Sei G ⊂ P Γ(E) eine nichttzyklische maximalendliche Untergruppe. Nach Lemma 7.4.(i) ist µ(G, E) = B 1 (F(G), E)[A(F(G)) : I(F(G))] -1 . Da [6, Theorem 11.6.1] auch für Eichler-Ordnungen gilt, ist N (E × ) = o × und B 1 (F(G), E) = 2B(F(G), E), siehe Satz 7.3. Falls G = T oder G = D 3 , ist E nach Lemma 4.6.(ii) die einzige M -Eichler-Ordnung mit F(T ) ⊂ E. Falls G = D 2 , gibt es mit den Bezeichnungen von Lemma 8.1 genau drei M -Eichler-Ordnungen E(X) := N ∩ N(X) mit D 2 ⊂ P Γ(E(X)) und Λ(E(X)) = 2, und genau drei M -Eichler-Ordnungen E(X, Y ) := N(X) ∩ N(Y ) mit D 2 ⊂ P Γ(E(X, Y )) und Λ(E(X,Y)) = 4. Konjugation mit W vertauscht diese Ordnungen jeweils zyklisch. Analog zum Beweis von Satz 7.3 kann man jetzt zeigen, dass B(F(T ), E) = [A(E) : I(E)], B(F(D 3 ), E) = [A(E) : I(E)] und B(F(D 2 ), E) = 3[A(E) : I(E)] gilt. Seien M = M ′ die beiden M -Maximalordnungen mit E = M ∩ M ′ . Dann induziert die Inklusion A(M) ∩ A(M ′ ) ֒→ A(M) nach Lemma 9.2.(i) eine surjektive Abbildung A(M) ∩ A(M ′ ) → A(M)/I(M) mit Kern I(M) ∩ A(M ′ ). Ist j ∈ I(M) ∩ A(M ′ ), dann gibt es ein J ∈ M × mit j(A) = JAJ -1 für A ∈ M und JM ′ J -1 = M ′ . Aus N (J) ∈ o × folgt mit [6, Lemma 6.7.5], dass JM ′ = M ′ J = M ′ , also dass J ∈ M ′× und j ∈ I(M ′ ). Mit Lemma 7.2 folgt [(A(M) ∩ A(M ′ )) : (I(M) ∩ I(M ′ ))] = [A(M) : I(M)] = 2 t-1 .

  Dann ist {U 11 , U 12 , U 21 , U 22 } eine Basis von Q über K, und für ein A = αU 11 + βU 12 + γU 21 + δU 22 ∈ Q mit α, β, γ, δ ∈ K

	gilt bezüglich dieser Matrixeinheiten die Gleichung (oder Darstellung) A =	α β γ δ	. Für
	eine Darstellung bezüglich Matrixeinheiten gelten die bekannten Matrix-Rechenregeln.

Ist K ein algebraischer oder p-adischer Zahlkörper mit Hauptordnung O, und ist A ein O-Ideal, dann bezeichne N abs

  Sei S die Menge der Stellen p von Q mit p | Σ k (F ). Dann hat S oder S ∪ {∞} eine gerade Anzahl von Elementen. Die Behauptung folgt mit [6, Theorem 7.3.6].

	) folgt aus (i), siehe [6, Theorem 2.7.5].
	(iii)

  so dass F isomorph ist zu F (E, T ). Nach Satz 3.3.(ii) hängt die Isomorphieklasse von F Es gibt genau ein r ∈ Q + , so dass τ r 2 ∈ Z quadratfrei ist. Wir ersetzen τ durch τ r 2 . Sei g der größte gemeinsame Teiler von τ und d, und sei τ = gτ ′ und d = gd ′ . Wegen

	nur davon ab, welche Werte	N (T ), -d p	für die Stellen p von Q annimmt.
	Sei τ = N (T )/d. Wir können dann zunächst T durch i √	d	0 1 τ 0	ersetzen.
	Damit folgt leicht F (E, T ) = F (τ ) und	F p	=	τ, -d p	für alle Stellen p von Q.
	d + g 2 , -d p durch den quadratfreien Anteil von τ ′ (d ′ + g). Dann ist τ teilerfremd zu d. Falls τ und D = 1 gilt τ, -d p = g 2 τ ′ (d ′ + g), -d . Falls g > 1 ist, ersetzen wir τ p
	einen gemeinsamen Teiler g ′ > 1 haben, ist g ′ = 2 und d ≡ 1 (mod 4), und wir ersetzen τ durch den quadratfreien Anteil von τ (d + 1)/4. Dann ist τ teilerfremd zu D.
	Falls 2 | d und τ ≡ 1 (mod 4), ist d ≡ 2 (mod 4) und τ ≡ 3 (mod 4). In diesem Fall ersetzen wir schließlich τ durch den quadratfreien Anteil von τ (d + 1).
	Die Diskriminante von F(τ ) kann man leicht elementar berechnen. Die letzte Behauptung
	folgt aus				

  Seien F eine Q-Quaternionenalgebra und p eine endliche Stelle von Q. Sei r ∈ N 0 , und sei G p eine F p -Ordnung mit Diskriminante p 2r Z p . Dann sei ∆ p (G p ) := ±p r , je nachdem ob F an der Stelle p zerfällt oder verzweigt ist.

	4 Einbettung p-adischer Quaternionenordnungen
	Definition 4.1. Satz 4.2. Sei p eine endliche Stelle von Q

  Falls p in k träge ist, müssen wir M p im Beweisverlauf eventuell ersetzen, siehe Lemma 4.6. Die induzierte Abbildung F p /G p → M p /(M p ∩ N p ) ist injektiv. Es gibt ein r ∈ N 0 und Matrixeinheiten U 11 , U 12 , U 21 , U 22 ∈ M p , bezüglich derer M p = o p o p o p o p und N p = o p π -r o p π r o p o p gilt.

  Dazu genügt es, die Surjektivität von f 21 : F p → o p mit Zuordnungsvorschrift Falls p in k verzweigt ist, sei K p ⊂ F p quadratische Körpererweiterung von Q p mit Hauptordnung O p ⊂ F p . Sei p träge in K p , und sei O p = Z p [Ω]. Es gibt × p , {γ, γω} ist Z p -Basis von o p , f 21 ist surjektiv. Falls p in k träge ist, sei K p ⊂ F p quadratische Körpererweiterung von Q p mit Hauptordnung O p ⊂ F p . Sei p verzweigt in K p , und Π ∈ O p Primelement. Es gibt

					α β γ δ	→ γ zu zeigen.
	α, β, γ, δ ∈ o p mit Ω =	α β γ δ	und ΩU =	αω αb + βω γω γb + δω	. Nach 4.6.(i) und 4.7
	gilt F p ⊂ , also γ ∈ o α, β, γ, δ ∈ o p mit Π = o p π -1 o p πo p o p α β γ δ . Falls γ ∈ o × p , folgt wie eben, dass f 21 surjektiv ist.

  Für alle endlichen Stellen p von Q gilt dann: G p ist isomorph zu G ′ p . Bemerkung: Wir haben die Struktur der G p in den Sätzen 4.2, 4.3 und 4.5 dargelegt. Beweis. jeweils durch Zusammenfügen der Ergebnisse für alle endlichen Stellen p von Q. (i) Falls p | Λ(G), lässt sich o p in G p , also k p in F p einbetten. Wenn dann auch p | Σ k (F ) gelten würde, so wäre F p eine Divisionsalgebra, aber k p kein Körper, Widerspruch. Falls p ∤ Σ k (F ), gibt es nach den Sätzen 4.2 und 4.3 ein r ∈ N 0 mit [F

p : G p ] = p r , falls p in k verzweigt oder zerlegt ist, und mit [F p : G p ] = p 2r , falls p in k träge ist. (ii) Falls p ∤ λ, sei G p = F p . Falls p | λ, sei λ p der p-Anteil von λ. Dann gibt es ein r ∈ N mit λ p = p r oder mit λ p = p 2r , je nachdem, ob p in k verzweigt oder zerlegt ist, oder ob p in k träge ist. Wegen p ∤ Σ k (F ) enthält F p eine zu o p isomorphe Ordnung O p . Nach den Sätzen 4.2 und 4.3 gibt es eine F

  2) : Falls F an der Stelle p verzweigt ist, gilt F p = F ′ p , und nach Lemma 4.6 bzw. 4.7 gilt M p = M ′ p oder [M p : (M p ∩ M ′ p )] = p 2 . Falls F an der Stelle p zerfällt, gibt es nach Lemma 2.2.(i) ein r ∈ N 0 und Matrixeinheiten in F p , bezüglich derer

V ′ und X ′ sind durch D ′ 2 bis auf einen Faktor aus P -1 (C 2 ) eindeutig bestimmt. Ist umgekehrt X ′ ∈ k(U ) ∩ Γ(M) und V ′ := V X ′ , so ist V ′ U V ′-1 = U -1 , also sind U und V ′ Erzeugende von P -1 (D ′

2 ) für eine 2-Diedergruppe D ′ 2 mit C 2 ⊂ D ′ 2 ⊂ P Γ(M). D 2 und D ′ 2 sind genau dann P Γ(M)-konjugiert, wenn es ein U ′ ∈ P -1 (C 2 ) und ein J ∈ Γ(M) gibt mit JU J -1 = U und JV ′ J -1 = V U ′ . Zwischenbemerkung: Wir können o.B.d.A. JU J -1 = U annehmen, da die Elemente X ∈ P -1 (D 2 ) mit X 2 = -1 in P -1 (T ) jeweils paarweise zueinander konjugiert sind. Dann ist J ∈ k(U ) ∩ Γ(M), und

(a) Dann gibt es eine Untergruppe C 2 ⊂ D 2 der Ordnung 2 und eine Tetraedergruppe

Dann gibt es keine Tetraedergruppe

Beweis. Nach Satz 6. 

Nach Lemma 8.1.(iii) ist dadurch X bis aufs Vorzeichen, also C 2 eindeutig bestimmt. Sei umgekehrt T ′ ⊂ P Γ(M) eine Tetraedergruppe, so dass T ′ ∩ D 2 die Ordnung 2 hat. Nach Satz 8.3 ist dann d ≡ 2 (mod 4), und es gibt x, y ∈ Z mit x 2 -dy 2 = 2. 

Beweis.