Frank Woittennek 
  
Hugues Mounier 
  
class of networks of distributed parameter systems

Keywords: deren Koeffizienten einem speziellen Ring überall holomorpher Funktionen entstammen. Mit einem trajektorienbasierte Steuerbarkeitsergebnisse abzuleiten Flachheit, verhaltensorientierte Steuerbarkeit, partielle Differentialgleichung, Randwertaufgabe, trigonometrischer Ring flatness, behavioral controllability, partial differential equation, boundary value problem, trigonometric ring. 7 Allgemeiner können natürlich auch schwache Lösungen oder sogar Distributionenlösungen betrachtet werden

Flachheit und Steuerbarkeit einer Klasse von Netzwerken örtlich verteilter Systeme

Flatness and controllability of a

Einleitung

Die flachheitsbasierten Methoden für verteiltparametrische Systeme werden seit den 1990iger Jahren entwickelt [18-20], ihr Nutzen wurde seitdem in vielen Beiträgen gezeigt [START_REF] Brethé | A result that could bear fruit for the control of delay-differential systems[END_REF] .

Die Vorteile dieser Techniken kommen für verteiltparametrische Systems meist bei der Lösung des Teilproblems des Steuerungsentwurfs zum Tragen. Insbesondere können mit einfachen Mitteln Steuerungen zum Arbeitspunktwechsel realisiert werden. Vor allem im linearen Fall werden dazu häufig Rechengrößen eingeführt, mit denen zwar die Steuerungsaufgabe gelöst werden kann, denen aber erst mit algebraischen Kunstgriffen, wie dem Konzept der π-Freiheit (vgl. [7, 24]), eine Be-

1
Stellvertretend für viele andere Arbeiten seien hier die in dieser Zeitschrift erschienen die Beiträge [12, 17, 23, 26, 27, 30]) sowie die umfassenderen Darstellungen [16, 24, 25, 31] genannt. Weitere Referenzen findet man in den genannten Arbeiten.

deutung innerhalb des Systems verliehen wird [START_REF] Cohn | An Introduction to Ring Theory[END_REF] . Damit einher geht der Verzicht auf eine detaillierte Steuerbarkeitsanalyse -diese ist auch gar nicht Ziel des Ansatzes, sollen doch nur bestimmte, die Steuerungsaufgabe lösende, Trajektorien parametriert werden. Eine etwas detailliertere Diskussion hinsichtlich der Möglichkeit von Wechseln zwischen beliebigen Arbeitspunkten kann man beispielsweise in [31] finden.

Im Gegensatz zu den bisherigen Arbeiten diskutiert der vorliegende Beitrag die Parametrierbarkeit beliebiger Trajektorien und die Trajektoriensteuerbarkeit. Der dabei verwendete Steuerbarkeitsbegriff unterscheidet sich allerdings vom in der Regelungstheorie üblichen Konzept der Zustandssteuerbarkeit: Statt diesem wird das aus der verhaltensbasierten Theorie dynamischer Sy-2 Derartige Möglichkeiten bieten sich allerdings vor allem im linearen Fall. Im nichtlinearen Fall wurden bisher fast ausschließlich Probleme untersucht, in denen der " flache Ausgang" eine physikalische Bedeutung besitzt, meist handelt es sich dabei um bestimmte Randwerte der verteilten Größen. steme stammende Steuerbarkeitskonzept zugrunde gelegt [21]. Die dabei von den Autoren erzielten Ergebnisse betreffen eine bedeutend kleinere Modellklasse 3 , als die Ergebnisse zum Steuerungsentwurf zwischen Ruhelagen: Es werden nur solche Randwertaufgaben untersucht, die sich aus Netzwerken von linearen, örtlich eindimensionalen parabolischen und hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen (pDgln.) zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ergeben. Die Kanten solcher Netzwerke werden dabei durch die pDgln. beschrieben, die in den Knoten über ihre Randbedingungen verkoppelt sind. Trotz der benötigten Einschränkungen finden sich eine Reihe praktisch relavanter Systeme, die durch derartige Modelle beschrieben werden können.

Diffusionsprozesse in Rohrreaktoren oder Wärmeleitungsphänomene können durch parabolische Gleichungen modelliert werden. Hyperbolische pDgln. beschreiben Wellenausbreitungsvorgänge und können beispielsweise zur Modellierung elastischer Saiten und Stäbe oder elektrischer Übertragungsleitungen verwendet werden [3,4]. Häufig ist dabei nicht nur eine einzelne Randwertaufgabe von Interesse, sondern Strukturen, in denen viele derartige verteiltparametrische Systeme zusammengeschaltet sind. Beispiele dafür sind elektrische Übertragungsnetzwerke oder Netzwerke elastischer Saiten. Auch Anordnungen, mit innerem Stelleingriff, wie beispielsweise Mehrzonenöfen in der Stahl-oder Glas-Industrie können mit Hilfe von sequentiell verkoppelten Randwertaufgaben modelliert werden.

Zur Analyse der Steuerbarkeit der betrachteten Systeme werden die algebraischen Eigenschaften spezieller Ringe holomorpher Funktionen untersucht, die sich in natürlicher Weise ergeben, wenn man die den betrachteten pDgln. im Laplace-Bildbereich zugeordneten gewöhnlichen Dgln. löst. Unter Verwendung der Randbedingungen erhält man aus den verkoppelten Randwertaufgaben lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus diesen Ringen.

Viele der in diesem Beitrag dargestellten Zusammenhänge ergeben sich direkt aus allgemeineren Sätzen der Analysis oder der Algebra, die man in einschlägigen Lehrbüchern findet. Einerseits um dem Beitrag einen eigenständigen Charakter zu geben, andererseits um dem Leser die Einarbeitung in die häufig abstrakten Begriffswelten dieser Literatur zu ersparen, werden diese Spezialfälle dennoch diskutiert [START_REF] Courant | Methoden der mathematischen Physik[END_REF] . Die Arbeit ist wie folgt gegliedert: Im folgenden Ab-3 Diese Einschränkung betrifft natürlich nicht den verwendeten Rahmen, sondern lediglich die bisher in diesem Rahmen erhaltenen Ergebnisse.

4

Insbesondere wird versucht, auf die Theorie der Distributionen weitgehend zu verzichten. Das gleiche gilt für den in der algebraischen Systemtheorie häufig verwendeten modultheoretischen Rahmen. Hinsichtlich der komplexen Analysis und der Laplacetransformation wird insbesondere auf Sätze vom Paley-Wiener-Schwartz Typ verzichtet. Für eine mathematisch abstrakte Darstellung der Ergebnisse sei auf [32] verwiesen.

schnitt wird die betrachtete Problemstellung und der verwendete Lösungansatz anhand zweier einfacher Beispiele zu schwingenden Saiten illustriert. In Abschnitt 3 wird die im Beitrag untersuchte Modellklasse von verkoppelten Randwertaufgaben allgemein eingeführt. Anschließend wird in Abschnitt 4 dargestellt, wie man von diesen Randwertproblemen zu linearen Faltungsgleichungen gelangt. Die algebraischen Eigenschaften sowie die Parametrierbarkeit und Steuerbarkeit sind Thema des Abschnitts 5.

2 Die schwingende Saite 

w(0, t) = 0, σ∂ x w(ℓ, t) = u(t). (1b) 
Nachfolgend werden beliebige für alle t ∈ R definierte Lösungen (w, u) der Gleichungen (1) betrachtet [START_REF] Fliess | Some basic structural properties of generalized linear systems[END_REF] , in denen w zweimal stetig differenzierbar ist [START_REF] Fliess | Tracking control and πfreeness of infinite dimensional linear systems[END_REF] .

Für die Randwertaufgabe (1) werden nun zunächst Größen gesucht, für die einerseits Trajektorien frei vorgegeben werden können und die andererseits eine vollständige Parametrierung aller Lösungen ermöglichen, ähnlich wie dies im endlichdimensionalen Fall mit Hilfe des flachen Ausgangs möglich ist.

Es wird sich als günstig erweisen, zunächst jene zur pDgl. (1a) gehörende Randwertaufgabe zu betrachten, bei der sämtliche Randbedingungen bei x = 0 gestellt werden 8 , also eine "

Anfangswertaufgabe" bezüglich des Ortes mit zunächst noch freien Funktionen c 1 , c 2 :

w(0, t) = c 1 (t), ∂ x w(0, t) = c 2 (t).
(

) 2 
Diese Cauchysche Randwertaufgabe ist besonders einfach und anschaulich mit Hilfe der (partiellen) Laplacetransformation bezüglich der Zeit zu lösen. Dabei werden zunächst nur solche Lösungen betrachtet, die nicht stärker als exponentiell wachsen und die für t ≤ 0 identisch verschwinden [START_REF] Glüsing-Lüerßen | A Behavioral Approach to Delay-Differential Systems[END_REF] .

Bezeichnet man mit 10 w(x), c 1 und c 2 die Laplacetransformierten von w(x), c 1 und c 2 , so gilt 

w(x) = C(x) c 1 + S(x) c 2 ∂ x w(x) = λ 2 s 2 S(x) c 1 + C(x) c 2 , wobei λ = ρ/σ, C und S durch C(x, s) = e xλs +
"Z ∞ 0 c2(t -τ + λx)dτ - Z ∞ 0 c2(t -τ -λx)dτ
« durch die Substitutionen τ = τ -λx im ersten und τ = τ +λx im zweiten Integral und anschließendes Zusammenfassen der Summanden.

12 Für das hier betrachtete sehr einfache Beispiel kann die berechnete Parametrierung relativ problemlos auch zum Nachweis der Zustandssteuerbarkeit genutzt werden.

(-∞, λℓ) eingehen. Entsprechend werden zur Berechnung von w(x) gemäß (6b) auf t ∈ (-∞, 0) die Werte von c 2 auf (-∞, λx) benötigt. Da c 2 auf (-∞, λℓ) aber mit c ′ 2 übereinstimmt, folgen w(x, t) = w ′ (x, t) sowie u(t) = u ′ (t) für t < 0. Ganz analog kann (w(x, t), u(t)) = (w ′′ (x, t), u ′′ (t)) für t > 2λℓ + ∆t gefolgert werden.

Zwei Saiten mit gemeinsamen Stelleingriff

u w w 1 (x 1 , t) m 2 m 1 0 ℓ x w 2 (x 2 , t)
Bild 2: Zwei simultan angesteuerte Saiten

Das im vorangegangenen Abschnitt beschriebene Vorgehen wird nun auf ein einfaches Netzwerk aus zwei verkoppelten elastischen Saiten übertragen, wie sie in Bild 2 schematisch dargestellt sind. Die Auslenkungen der Saiten an der Stelle x zum Zeitpunkt t werden mit w 1 (x, t) bzw. w 2 (x, t) bezeichnet. Diese Größen genügen für x ∈ [0, ℓ], t ∈ R jeweils der Wellengleichung:

σ∂ 2 x w i (x, t) -ρ∂ 2 t w i (x, t) = 0, i = 1, 2. (7) 
Die Randbedingungen bei x = 0 ergeben sich aus den Impulsbilanzen für die dort an den Saiten befestigten Punktmassen m 1 und m 2 :

m i ∂ 2 t w i (0, t) = σ∂ x w i (0, t), i = 1, 2. ( 8a 
)
Bei x = ℓ wirkt eine Stellkraft u(t) auf die an diesem Rand fest miteinander verbundenen Saiten:

w 1 (ℓ, t) -w 2 (ℓ, t) = 0 σ(∂ x w 1 (ℓ, t) + ∂ x w 2 (ℓ, t)) = u(t). (8b) 
Wie in Abschnitt 2.1 werden zunächst die bezüglich des Ortes gestellten Anfangswertaufgaben zu den pDgln. ( 7) mit Hilfe der Laplacetransformation untersucht. Berücksichtigt man anschließend die Randbedingungen bei x = 0, so folgt für i = 1, 2 mit den in (4) eingeführten hyperbolischen Funktionen

σ w i (x) = (σ C(x) + m i s 2 S(x)) w i (0) σ∂ x w i (x) = (ρs 2 S(x) + m i s 2 C(x)) w i (0). Die Randbedingungen bei x = ℓ liefern dann u = (ρs 2 S(ℓ) + m 1 s 2 C(ℓ)) w 1 (0)+ (ρs 2 S(ℓ) + m 2 s 2 C(ℓ)) w 2 (0) (9a) und (σ C(ℓ) + m 1 s 2 S(ℓ)) w 1 (0) = (σ C(ℓ) + m 2 s 2 S(ℓ)) w 2 (0). (9b)
Der flache Ausgang y wird nun derart eingeführt, dass (9b) erfüllt wird:

w 1 (0) = (σ C(ℓ) + m 2 s 2 S(ℓ)) y, (10a) 
w 2 (0) = (σ C(ℓ) + m 1 s 2 S(ℓ)) y. (10b) 
Im weiteren wird dargestellt, dass y als C[s, C(ℓ), S(ℓ)]-Linearkombination von w 1 (ℓ) und w 2 (ℓ) dargestellt werden kann, sich im Zeitbereich also aus zeitlich verschobenen Werten und Ableitungen der letzgenannten Größen berechnen lässt. Dazu wird das wohlbekannte Additionstheorem cosh(z) 2 -sinh(z) 2 = 1 für die Funktionen C und S ausgewertet:

C(ℓ) 2 -s 2 λ 2 S(ℓ) 2 = 1. Mit Hil- fe dieser Beziehung kann gezeigt werden, dass für die Koeffizienten von (9b) die Bézout-Gleichung (σ C(ℓ) + m 2 s 2 S(ℓ)) m 1 C(ℓ) + ρ S(ℓ) σ(m 1 -m 2 ) - (σ C(ℓ) + m 1 s 2 S(ℓ)) m 2 C(ℓ) + ρ S(ℓ) σ(m 1 -m 2 ) = 1 (11)
gilt. Multipliziert man diese Gleichung mit y und nutzt anschließend die Beziehungen (10) so folgt

y(s) = (m 1 C(ℓ, s) + ρ S(ℓ, s)) w 1 (0, s) σ(m 1 -m 2 ) - (m 2 C(ℓ, s) + ρ S(ℓ, s)) w 2 (0, s) σ(m 1 -m 2 ) . (12) 
Die zugehörigen Zusammenhänge im Zeitbereich ergeben sich analog zum Abschnitt 2.1 aus der Darstellung (4) und werden hier aus Platzgründen nicht angegeben. Offensichtlich ergibt sich dabei für y eine Darstellung, in der auch zeitverschobene Werte der Randgrößen auftreten. Die Argumentation zu Parametrierbarkeit und verhaltensorientierter Steuerbarkeit entspricht dabei im wesentlichen jener aus Abschnitt 2.1.

Wie im vorangegangenen Abschnitt auch hier eine alternative Darstellung von y ohne Zeitverschiebungen gefunden werden:

y(t) = M 1 w1 (t) -M 2 w2 (t) M 1 -M 2 , wobei M i = ρℓ + m i , i = 1, 2 die Gesamtmasse der je- weiligen Saite mit Last bezeichnet und durch wi (t) = ρ ℓ 0 w i (x, t)dx + m i w i (0, t) M i , i = 1, 2
die zugehörigen Massenmittelpunkte gegeben sind.

Betrachtete Modellklasse

Die nachfolgend untersuchten Modelle beschreiben das Verhalten der verteilten (d.h. orts-und zeitabhängigen)

Variablen, die zu den zweielementigen Vektoren 13 w 1 , . . . , w l zusammengefasst werden, und der lediglich von der Zeit abhängenden konzentrierten Variablen in u = (u 1 , . . . , u m ) T . Dabei können einige (oder alle) der konzentrierten Variablen Stellgrößen sein. Eine explizite Unterscheidung zwischen Stellgrößen und sonstigen Größen ist allerdings, wie auch in der flachheitsbasierten Theorie endlichdimensionaler nichtlinearer Systeme, nicht nötig.

Das Verhalten eines jeden der verteilten Systemgrößenvektoren wird auf dem Intervall Ω i = [x i,0 , x i,1 ] (i = 1, . . . , l) durch eine inhomogene pDgl. der Form

∂ x w i (x, t) = A i w i (x, t) + B i u(t) (13a) mit B i ∈ (R[∂ t ]) 2×m , A i ∈ (R[∂ t ]) 2×2
beschrieben. Dabei wird angenommen, dass die charakteristischen Polynome der Matrizen A 1 , . . . , A l identisch sind:

det(λI -A i ) = λ 2 -σ, (13b) 
wobei σ = a∂ 2 t + b∂ t s + c = 0, die Parameter a, b, c reell sind und außerdem a 0 vorausgesetzt wird [START_REF] Lévine | Flat output characterization for linear systems using polynomial matrices[END_REF] . Schließlich wird gefordert, dass die Längen der Intervalle Ω 1 , . . . , Ω l rational abhängig sind [START_REF] Lynch | Flachheitsbasierte Randsteuerung parabolischer Systeme mit verteilten Parametern[END_REF] :

ℓ i := x i,1 -x i,0 = µ i ℓ, µ i ∈ N. (13c) 
Der Netzwerkcharakter der untersuchten Modelle ergibt sich aus der Verkopplung der Systemgrößen über die Randbedingungen

l i=0 L i w i (x i,0 , t) + R i w i (x i,1 , t) + Du(t) = 0, (13d) mit den Polynommatrizen D ∈ (R[∂ t ]) q×m und L i , R i ∈ (R[∂ t ]) q×2
. Nachfolgend wird, ohne weitere Beschränkung der Allgemeinheit x i,0 = 0 angenommen 16 .

13 Sind die Modelle, wie in den Einführungsbeispielen, durch partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die skalaren Größen w1, . . . , w l beschrieben, so setze man wi = (wi, ∂xwi) T , i = 1, . . . , ℓ. [START_REF] Lévine | Flat output characterization for linear systems using polynomial matrices[END_REF] Dies entspricht der Forderung, dass die betrachteten Differentialgleichungen entweder hyperbolisch oder parabolisch sind und symmetrische Charakteristiken besitzen. 

Cauchy-Problem bezüglich des Ortes

In diesem Unterabschnitt wird gezeigt, wie aus dem Zeitverlauf t → w i (0, t) von w i bei x = 0 auf den zeitlichen Verlauf von w i auf ganz Ω i geschlossen werden kann. Zu diesem Zweck wird die Lösung einer Randwertaufgabe der Form

∂ x w i (x) = A i w i (x)+B i u, w i (0) = w i,0 (14) 
bestimmt, bei der sämtliche " Randbedingungen" bei x = 0 gestellt werden [START_REF] Meurer | Flachheitsbasierte Steuerung und Regelung eines Wärmeleitsystems[END_REF] . Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die dabei verwendeten Randwerte w i,0 im allgemeinen nicht frei gewählt werden können, sondern sich aufgrund der Netzwerkstruktur (13d) zusätzliche Einschränkungen ergeben. Diese werden im Unterabschnitt 4.2 formuliert.

Lösung im Laplace-Bildbereich

Um die Lösung der Aufgabe (14) darzustellen, werden zunächst auch hier homogene Anfangsbedingungen und exponentielle Beschränktheit für die Lösung vorausgesetzt. Mit diesen Annahmen lautet Gleichung (14) im

mit den Matrizen A1 = A2 = " 0 1 ρ∂ 2 t /σ 0 « , B = " 0 0 « sowie L1 = 0 B @ m1∂ 2 t -σ 0 0 0 0 0 0 1 C A , R1 = 0 B @ 0 0 0 0 1 0 0 σ 1 C A , D = 0 B @ 0 0 0 1 1 C A , L2 = 0 B @ 0 0 m2∂ 2 t -σ 0 0 0 0 1 C A , R2 = 0 B @ 0 0 0 0 -1 0 0 σ 1 C A
in der Form (13) notiert werden. [START_REF] Meurer | Flachheitsbasierte Steuerung und Regelung eines Wärmeleitsystems[END_REF] Alternativ können diese Nebenbedingungen natürlich auch bei x = ℓi oder an einer beliebigen Stelle x = ξi ∈ Ωi " gestellt" werden (vgl. dazu [27, 28, 31]). Dies beeinflusst die Ergebnisse der nachfolgenden Diskussion nicht.

Laplace-Bildbereich 18 :

∂ x w(x) = A w(x)+ B u, w(0) = w 0 , (15) 
wobei w, u den Laplacetransformierten (bezüglich der Zeit) von w und u entsprechen.

Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist bekannt, dass die Lösung von (15) in der Form

w(x) = Φ(x) w 0 + Ψ(x) u (16) 
angeschrieben werden kann. Im hier untersuchten Fall erhält man für die Fundamentalmatrix Φ

(x) = e b Ax den Ausdruck Φ(x) = A S(x) + I C(x), (17) 
wobei S und C analog zu (4) durch

S(x) = sinh √ σ x √ σ , C(x) = cosh √ σ x (18) 
gegeben sind. Die Matrix Ψ(x) kann mit Hilfe der Variation der Konstanten berechnet werden, woraus sich zunächst

Ψ(x) = x 0 Φ(x -ξ)dξ B
ergibt. Daraus folgt mit (17) unter Nutzung der Beziehungen

∂ x S = C, ∂ x C = σ S schließlich Ψ(x) = A S I (x)+I S(x) B, (19) 
wobei

S I (x) = x 0 S(ξ)dξ = C(x)-1 / σ.

Interpretation im Zeitbereich

Die im vergangenen Unterabschnitt eingeführten komplexen Funktionen C(x) und S(x) können im Zeitbereich als Faltungsoperatoren interpretiert werden, d.h. als spezielle lineare Abbildungen zwischen Funktionenräumen.

Im parabolischen Fall, d.h. falls in der charakteristischen Gleichung (13b) nur Zeitableitungen erster Ordnung auftreten (a = 0), ergibt sich mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung der hyperbolischen Funktionen

S(x, s) = ∞ k=0 x 2k 2k! (bs + c) k , C(x, s) = ∞ k=0 x 2k+1 (2k + 1)! (bs + c) k . ( 20 
)
Übersetzt man diese Reihe gliedweise [START_REF] Mounier | Algebraic interpretations of the spectral controllability of a linear delay system[END_REF] in den Zeitbereich, so ergeben sich, wenn die Bildfunktionen zuvor [START_REF] Mounier | Propriétés structurelles des systèmes linéaires à retards : aspects théoriques et pratiques[END_REF] Da sich diese Aufgabe für die einzelnen Kanten des Netzwerkes nicht unterscheidet, wird im weiteren Verlauf dieses Unterabschnitts zur Vereinfachung der Notation auf den Index i ∈ {1, . . . , l} verzichtet. [START_REF] Mounier | Algebraic interpretations of the spectral controllability of a linear delay system[END_REF] Die Zulässigkeit einer solchen gliedweisen Auswertung der Laplace-Umkehrintegrale muss eigentlich geprüft werden. Da sich die nachfolgend angegebene Lösung aber alternativ auch direkt durch einen Potenzreihenansatz ohne Verwendung der Laplacetransformation herleiten lässt (vgl. z.B. [10, 11, 15]), sei an dieser Stelle auf diesen Schritt verzichtet.

mit der Laplacetransformierten ϕ einer beliebig oft differenzierbaren Zeitfunktion ϕ aus der (kleinen) Gevrey-Klasse20 E (2) der Ordnung 2 multipliziert werden, für

ψ 1 (x, s) = C(x, s) ϕ(s), ψ 2 (x, s) = S(x, s) ϕ(s)
die Ausdrücke

ψ 1 (x, t) = ∞ k=0 x 2k 2k! a k (t), ψ 2 (x, t) = ∞ k=0 x 2k+1 (2k + 1)! a k (t).
(21a) Die in diesen Reihen auftretenden Koeffizienten sind durch die Rekursionsbeziehung

a k+1 (t) = b∂ t a k (t) + ca k (t), a 0 (t) = ϕ(t)
bestimmt. Für ψ 3 (x) = S I (x) ϕ erhält man durch örtliche Integration von (21a)

ψ 3 (x, t) = x 0 ψ 2 (ξ, t)dξ = ∞ k=0 x 2k+2 (2k + 2)! a k (t). ( 21b 
)
Die Restriktion auf glatte Funktionen einer gewissen Gevrey-Ordnung entspricht einer Beschränkung des Wachstums der Ableitungen von ϕ (bezüglich der Ableitungsordnung) und wird benötigt, um die Konvergenz der Reihen (21) sicherzustellen [START_REF] Polderman | Introduction to Mathematical System Theory: A Behavioral Approach[END_REF] .

Im hyperbolischen Fall erhält man statt Reihendarstellungen die Ausdrücke (vgl. [8])

ψ 1 (x, t) = x √ a -x √ a ∂ x f (x, τ )ϕ(t -τ )dτ + √ αf (x, x √ a)ϕ(t -x √ a) - √ αf (x, -x √ a)ϕ(t + x √ a) (22a) 
ψ 2 (x, t) = x √ a -x √ a f (x, τ )ϕ(t -τ )dτ (22b) ψ 3 (x, t) = x √ a -x √ a f I (x, τ )ϕ(t -τ )dτ. (22c) mit den für t ∈ [- √ αx, √ αx] definierten Funktionen f (x, t) = e -bt/2a 2 √ a J 0 (β ax 2 -t 2 ), β = b 2 4a 2 - c a und f I (x, t) = x |t|/ √ α f (ξ, t)dξ.
Bekanntlich wird unter dem Träger einer auf R definierten Funktion jene Teilmenge von R verstanden auf der die Funktion von 0 verschiedene Werte annimmt, bzw., etwas genauer formuliert, das Komplement der größten offenen Teilmenge von R, auf der die Funktion identisch verschwindet. Man prüft sowohl im hyperbolischen als auch im parabolischen Fall ohne Probleme nach, dass für die Träger supp ψ i (x) der zu ψ i (x), i = 1, 2, 3 gehörenden Zeitfunktionen der Zusammenhang

supp ψ i (x) ⊆ supp ϕ + [-|x| √ a, |x| √ a], i = 1, 2, 3 (23) gilt. Dabei ist die Summe zweier Mengen Θ 1 , Θ 2 ⊂ R durch Θ 1 + Θ 2 = {θ 1 + θ 2 |θ 1 ∈ Θ 1 , θ 2 ∈ Θ 2 } definiert.
Die Lösung von (14) im Zeitbereich kann nun unter Verwendung von (21) bzw. ( 22) sowie ( 16), ( 17) und (19) angegeben werden. Aufgrund der Herleitung mittels der Laplace-Transformation (mit der zusätzlichen Annahme homogener Anfangsbedingungen) betreffen diese Zusammenhänge bisher nur exponentiell beschränkte Funktionen, die für t < 0 verschwinden. Allerdings lassen sich die Gleichungen ( 21) und ( 22) problemlos auch für Funktionen auswerten, die diesen Bedingungen nicht genügen. Man überzeugt sich ohne Schwierigkeiten, dass auch in diesen Fällen Lösungen von ( 14) berechnet werden können [START_REF] Rodino | Linear Partial Differential Operators in Gevrey Spaces[END_REF] . Allgemein lassen sich deshalb die Funktionen C, S und S I im Zeitbereich als Abbildungen C, S, S I : F (R) → F (R 2 ) auffassen, wobei F im parabolischen Fall die Funktionen E (2) der kleinen Gevrey-Klasse der Ordnung 2 bezeichnet und im hyperbolischen Fall für die Menge C 0 der stetigen Funktionen steht [START_REF] Rudolph | Randsteuerung von Wärmetauschern mit örtlich verteilten Parametern: Ein flachheitsbasierter Zugang[END_REF] . Die Anwendung dieser Abbildungen auf Funktionen aus F (R) werden nachfolgend als Faltungsprodukte notiert: Für die oben im Laplace-Bildbereich angegebenen Produkte ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 ergibt sich so

ψ 1 (x) = C(x)⋆ϕ, ψ 2 (x) = S(x) ⋆ ϕ und ψ 3 (x) = S I (x) ⋆ ϕ.

Auswertung der Randbedingungen

Wie bereits im Abschnitt 4.1 dargestellt, können die dort eingeführten Größen w i,0 (bzw. deren Laplace-Transformierte w i,0 ) nicht frei gewählt werden. Stattdessen müssen sie, gemeinsam mit u (bzw. u), einem linearen Gleichungssystem genügen, dass sich im Bildbereich aus (16) und der durch die Randbedingungen (13d) definierten Netzwerkstruktur ergibt [START_REF] Rudolph | Beiträge zur flachheitsbasierten Folgeregelung linearer und nichtlinearer Systeme endlicher und unendlicher Dimension[END_REF] . Mit P = P 1 , . . . , P l+1 und

P i = L i Φ i (0) + R i Φ i (ℓ i ), i = 1, . . . , l P l+1 = D + l i=1 L i Ψ i (0) + R i Ψ i (ℓ i )
22 Dies kann beispielsweise durch Einsetzen in die ( 14) geschehen. Alternativ kann aufgrund der Zeitinvarianz die Forderung nach homogenen Anfangsbedingungen durch die schwächere Annahme ersetzt werden, dass sämtliche involvierten Zeitfunktionen einen linksseitig beschränkten Träger besitzen, d.h., nur für t < t0 verschwinden, wobei durchaus t0 < 0 gelten darf. Anschließend entledigt man sich der Restriktionen durch eine einfache Zerlegung der Eins. [START_REF] Rudolph | Randsteuerung von Wärmetauschern mit örtlich verteilten Parametern: Ein flachheitsbasierter Zugang[END_REF] Diese Abbildungen können auf verschiedene Art und Weise als verallgemeinerte Funktionen aufgefasst werden. Beispielsweise bietet sich die Distributionentheorie nach L. Schwartz [29] (bzw. die z.B. in [13, 22] beschriebenen Erweiterungen) an. [START_REF] Rudolph | Beiträge zur flachheitsbasierten Folgeregelung linearer und nichtlinearer Systeme endlicher und unendlicher Dimension[END_REF] Die in Abschnitt 4. lautet dieses Gleichungssystem

P c = 0, c = ( w T 1,0 , . . . , w T l,0 , u T ) T . (24a) 
Aus seiner Lösung ergeben sich die verteilten Größen in w 1 , . . . , w l unmittelbar unter Verwendung von ( 16): 

w i (x) = Φ i (x) w i,0 + Ψ i (x) u. (24b) 
C(x 1 ± x 2 ) = C(x 1 ) C(x 2 ) ± σ S(x 1 ) S(x 2 ) (25a) S(x 1 ± x 2 ) = S(x 1 ) C(x 2 ) ± C(x 1 ) S(x 2 ) (25b)
herangezogen werden, die sich unmittelbar aus den wohlbekannten Additionstheoremen der hyperbolischen Funktionen ergeben. Die konsequente Anwendung dieser Beziehungen kann genutzt werden, um ein gegebenes Polynom p * in s und S(x i ), C(x i ), i = 1, . . . , γ in der Form 

p * = γ k=0 α k C(x k ) + β k S(x k ), α k , β k ∈ C[s] (26 
, m 2 ∈ R existiert und in der Form gcd(m 1 , m 2 ) = p 1 m 1 + p 2 m 2 mit p 1 , p 2 ∈ R geschrieben werden kann.
Der folgende Satz, der von den Autoren des vorliegenden Beitrags in [32] bewiesen wurde, macht die Eigenschaften derartiger Ringe für die hier betrachtete Systemklasse nutzbar:

Satz 5.2. Der Ring R Q ist ein Bézout-Ring.

Auf einen Beweis des Satzes muss an dieser Stelle aus

Platzgründen leider verzichtet werden. Es sei aber darauf hingewiesen, dass der in [32] angegebene Beweis konstruktiv ist und damit die algorithmische Bestimmung der Koeffizienten p 1 und p 2 aus Definition 5.1 ermöglicht.

Sowohl für die hier benötigte Anwendung, als auch für die nachfolgende Diskussion ist die folgende alternative Charakterisierung von Bézout-Ringen günstig 27 :

25 Entsprechend der hier benötigten Anwendung wird für alle Ringe Kommutativität und Nullteilerfreiheit vorausgesetzt. [START_REF] Rudolph | Flachheitsbasierte Randsteuerung von elastischen Balken mit Piezoaktuatoren[END_REF] Es sei daran erinnert, dass in allgemeinen Ringen der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente m1, m2 eindeutig als derjenige Teiler von m1 und m2 definiert ist, der selbst von allen anderen gemeinsamen Teilern von m1, m2 geteilt wird [2]. [START_REF] Rudolph | Trajektorienplanung für gewisse lineare Systeme mit verteilten Parametern[END_REF] Diese alternative Definition entspricht (bis auf einen einfachen Induktionsschluss) der abstrakten algebraischen Definition eines Bézout-Ringes: Jedes endlich erzeugte Ideal von R ist ein Hauptideal. Beweisskizze. Aus Lemma 5.3 folgt ohne Schwierigkeiten durch Induktion über die Spalten, dass jede 1 × m Matrix durch Multiplikation mit einer unimodularen Matrix von rechts in die Form (α, 0 1×p-1 ), α ∈ R überführt werden kann. Dieser Schritt wird nacheinander für die letzten p-k+1 Spalten jeder Zeile ausgeführt, wobei mit jeder Erhöhung von k um 1 zur ersten der nachfolgenden Zeilen übergegangen wird, deren letzte p-k+1 Einträge nicht sämtlich verschwinden. Man beachte, dass auf diese Weise die " Nullspalten" der vorangehenden Zeilen erhalten bleiben. Der Algorithmus wird abgebrochen, wenn entweder die letzte Zeile oder die letzte Spalte erreicht wird. Die auf die beschriebene Weise entstehende Matrix, in der nur die ersten r Spalten von Null verschiedene Einträge besitzen, kann durch einfaches Vertauschen der Zeilen (also Multiplikation mit einer unimodularen Matrix von links) in eine Form überführt werden, in der die ersten r Zeilen der ersten r Spalten eine linke untere Dreiecksmatrix bilden. Die Elimination der letzten q -r Zeilen erfolgt nun nach ähnlichem Muster, wie zuvor die Spaltenreduktion, wobei der Algorithmus in der r-ten Spalte startet.

Bemerkung 5.5. Für die Existenz der in der algebraischen Theorie endlichdimensionaler Systeme häufig verwendeten Smith-Normalform reicht die in Def. 5.1 angegebene Eigenschaft nicht aus. Ob der hier betrachtete Ring die Transformation in die Smith-Normalform ermöglicht, wurde von den Autoren bislang nicht untersucht.

Flacher Ausgang

Auf der Basis der Ergebnisse des vorangegangenen Unterabschnitts wird nachfolgend dargestellt, wie das gemäß Gleichung (24a) gegebene System in einen flachen und einen autonomen Teil zerlegt werden kann, so wie dies aus der Theorie der endlichdimensionalen linearen Systeme bekannt ist 28 . Satz 5.6. Für jedes durch Gleichungen der Form (24a) beschriebene System können neue Größen y = ( y 1 , . . . , y p-r ) T (mit p = 2l + m) und z = ( z 1 , . . . , z r ) T als R Q -Linearkombinationen

y = l i=1 Y w i w i,0 + Y u u, z = l i=1 Z w i w i,0 + Z u u (29)
der Komponenten von c derart eingeführt werden, dass folgende Bedingungen gelten:

(I). Jede Komponente von c kann als R Q -Linearkombination der Komponenten von y und z dargestellt werden:

w i,0 = W y i y + W z i z, u = U y y + U z z. (30) 
(II). Für jede Gleichung der Form r i=1 α i z i + p-r i=1 β i y i = 0. mit Koeffizienten α i , β i aus einer beliebigen Ringerweiterung von R Q folgt β i = 0, i = 1, . . . , p -r. (III). Die Größen in z genügen der autonomen Gleichung T z = 0 mit der regulären r × r-Dreiecksmatrix T .

Beweis. Da R Q ein Bézout-Ring ist, gilt wegen Satz 5.4 In Anlehnung an die Theorie der endlichdimensionalen Systeme wird y als (R Q -)flacher Ausgang bezeichnet. Wenn die Dreiecksmatrix T über R Q invertierbar ist, so heißt das System (24a) (R Q -)flach. In diesem Fall gilt z = 0 und alle Größen in c ergeben sich über R Q als Linearkombinationen der Komponenten von y.

P = V L Q V R , wobei V L und V R über R Q invertiert

Parametrierbarkeit

Erste Konsequenzen von Satz 5.6 im Zeitbereich ergeben sich zusammen mit den Überlegungen aus Abschnitt 4.3. Betrachtet man die Lösungen 29 (w, u) = (w 1 , . . . , w l , u) von (13) bzw. (24) aus [START_REF] Thull | Infinit-dimensionale Regelung eines Brückenkranes mit schweren Ketten[END_REF] , so ergeben sich im Zeitbereich aus (31) die folgenden Zusammenhänge:

W := F (Ω 1 × R) 2 × • • • × F (Ω l × R) 2 × F (R) m , mit F = E (2) im parabolischen und F = C ∞ im hyper- bolischen Fall
y = l i=1 Y w i ⋆ w i,0 +Y u ⋆ u, z = l i=1 Z w i ⋆ w i,0 +Z u ⋆ u. ( 31 
)
Analog folgt aus (32)

w i,0 = W y i ⋆ y + W z i ⋆ z, u = U y ⋆ y + U z ⋆ z, (32a) 
wobei z außerdem der autonomen Gleichung T ⋆ z = 0 genügt. Schließlich ergibt sich zusammen mit (24b)

w i (x) = (Φ i (x) ⋆ W y i + Ψ i (x) ⋆ U y ) ⋆ y + (Φ i (x) ⋆ W z i + Ψ i (x) ⋆ U z ) ⋆ z. ( 32b 
)
29 Hier wird implizit ausgenutzt, dass sich die Randwerte wi,0, i = 1, . . . , l vermittels der Restriktionsabbildungen wi → wi(0) direkt aus den wi ergeben. Offenbar sind wegen (31) für jede Lösung (w 1 , . . . , w l , u) ∈ W auch die zeitlichen Verläufe von y und z eindeutig bestimmt. Umgekehrt ergibt sich wegen (32) aus den zeitlichen Verläufen der letzgenannten Variablen eine eindeutige Lösung der gestellten Randwertaufgabe (13). Allerdings kann dabei nur t → y(t) frei gewählt werden und es ergibt sich folgender Satz 5.7. Ist das der Randwertaufgabe (13) zugeordnete System von Faltungsgleichungen (24a) flach, so kann jede Lösung (w 1 , . . . , w l , u) ∈ W von (13) durch Wahl der Trajektorie des flachen Ausgangs parametriert werden.

Trajektoriensteuerbarkeit

In diesem Abschnitt wird die Nützlichkeit der vorangegangenen Ergebnisse gezeigt, indem diese hinsichtlich der Steuerbarkeitseigenschaften des betrachteten Systems interpretiert werden. Natürlich ist auch im verteiltparametrischen Fall die Zustandssteuerbarkeit das am weitesten verbreitete Steuerbarkeitskonzept (siehe z.B. [5]). Dieses erfordert allerdings zunächst, dass entweder für das betrachtete Netzwerk pDgln. (13) 

′ := (w ′ , u ′ ) ∈ W und v ′′ := (w ′′ , u ′′ ) ∈ W von (24) eine dritte Lösung v = (w, c) ∈ W von (24) und ein Zeitpunkt t * > 0 der- art existieren, dass gilt v(t) = (w(•, t), u(t)) = (w ′ (•, t)), u ′ (t), t < 0 (w ′′ (•, t)), u ′′ (t)), t > t * .
Satz 5.9. Das System (13) (bzw. (24)) ist genau dann verhaltensorientiert steuerbar, wenn (24a) es flach ist.

Beweis. (Hinreichender Teil:) Ist das System (24a) flach, so gilt z = 0. Somit ist nach (32) jede Lösung von (13) durch den Zeitverlauf des flachen Ausgangs eindeutig bestimmt, der darüberhinaus (in F ) frei gewählt werden kann. Entsprechend (27) und der dieser Gleichung vorangehenden Diskussion existiert für Gleichungen der Form (32) ein ξ derart, dass für jedes i = 1, . . . , l gilt:

supp u ⊆ supp y + [-ξ, ξ], supp w i (x) ⊆ supp y + [-ξ, ξ], x ∈ Ω i . (33) 
Man bezeichne mit t → y(t), t → y ′ (t) und t → y ′′ (t) die zu den Lösungen v, v ′ und v ′′ gehörenden Zeitverläufe des flachen Ausgangs und wähle:

y(t) = (1 -ϕ(t))y ′ (t) + ϕ(t)y ′′ (t), (34) 
wobei die Funktion ϕ ∈ F auf (-∞, ξ) identisch verschwindet und auf (ξ + t 0 , ∞) den konstanten Wert 1 annimmt [START_REF] Woittennek | Beiträge zum Steuerungsentwurf für lineare, örtlich verteilte Systeme mit konzentrierten Stelleingriffen[END_REF] . Wegen (33) folgt somit 

supp(v -v ′ ) ⊆ supp(y -y ′ ) + [-ξ, ξ] ⊆ [ξ, ∞) + [-ξ, ξ] = (0, ∞). Folglich gilt v(t) = v ′ (t) für t < 0. Analog zeigt man v(t) = v ′′ (t) für t > t * mit t * = 2ξ + t 0 . ( Notwendiger 

A Ein Hilfsatz zur Teilbarkeit

Nachfolgend bezeichne F einen beliebigen Teilraum der der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. 

  1.1 eingeführten Matrizen b Ψ, b Φ sind dabei durch b Ψi, b Φi zu ersetzen.

Proposition 5 . 3 .Satz 5 . 4 .

 5354 Ein Ring R ist genau dann ein Bézout-Ring, wenn jede beliebige Matrix M ∈ R 1×2 in der Form M = (b, 0)U , b ∈ R geschrieben werden kann, wobei U ∈ R 2×2 eine über R invertierbare Matrix ist.Beweis. Sei R ein Bézout-Ring, M = (m 1 , m 2 ), m 1 , m 2 ∈ R, b = gcd(m 1 , m 2 ), dann gilt m 1 p 1 + m 2 p 2 = b für geeignete p 1 , p 2 ∈ R. Aufgrund der Nullteilerfreiheit von R folgt nach Division durch b die Identität m1 p 1 + m2 p 2 = 1 mit m1 = m 1 /b, m2 = m 2 /b. Somit ist U = m1 m2 -p 2 p 1invertierbar und (b, 0)U = (b m1 , b m2 ) = M . Sei nun umgekehrt (b, 0)U = M und U unimodular, ihre Determinante also eine Einheit in R. Dann gelten mit (u ij ) = U die Beziehungen m 1 = u 11 b und m 2 = u 12 b. Somit ist b gemeinsamer Teiler von m 1 , m 2 . Mit (ũ ij ) = U -1 gilt außerdem b = m 1 ũ11 +m 2 ũ21 und man erkennt, dass jeder andere gemeinsame Teiler von m 1 und m 2 auch b teilen muss. Somit ist b der größte gemeinsame Teiler von m 1 und m 2 .Aus der in Proposition 5.3 eingeführten Charakterisierung von Bézout-Ringen erhält man die folgende Aussage zur Reduktion von Matrizen über Bézout-Ringen: Jede über einem Bézout-Ring R definierte Matrix P ∈ R q×p vom Rang r kann in der Form P = V L QV R dargestellt werden, wobei V L ∈ R q×q und V R ∈ R p×p unimodulare Matrizen sind und P aus einer nichtsingulären r × r unteren linken Dreiecksmatrix T besteht, die durch insgesamt q -r Nullzeilen und p -r Nullspalten ergänzt ist.

Form

  vorliegt, also aus einer um p -r Nullspalten und q-r Nullzeilen ergänzten nichtsingulären unteren linken DreiecksmatrixT ∈ R r×r Q besteht. Mit der Transformation z y = V R c, c = V -1R z y folgt die Äquivalenz der Systemgleichung (24a) zu Q( z T , y T ) T = 0. Die Behauptungen bis Punkt (I) ergeben sich damit durch geeignete Partitionierung von V R und V -1 R . Die Behauptungen (II) und (III) folgen unmittelbar aus der Struktur von Q.

  Teil:) Man nehme an, das System (24a) sei nicht flach. Nach Satz(30) gilt T z = 0, i = 1, . . . , r, wobei nicht sämtliche Diagonalelemente τ 1 , . . . , τ r von T in R Q invertierbar sind. Sei dies zum Beispiel für das Element τ i0 , i 0 ∈ {1, . . . , r} der Fall, das folglich mindestens eine komplexe Nullstelle s 0 ∈ C besitzt. Somit existieren Lösungen v ∈ W für die alle Komponenten von y und z bis auf z i,0 , beispielsweise mit z i0 (t) = e ts0 , auf ganz R identisch verschwinden. Sei nun v ′′ eine solche Lösung und v ′ die Nulllösung, dann können diese nicht im Sinne von Def. 5.8 verbunden werden: Nach dem Satz von Titchmarsh besitzt die Faltungsgleichung τ i0 ⋆ z i0 = 0 keine von 0 verschiedenen Lösungen, die auf (-∞, 0] identisch verschwindet.6 SchlussfolgerungIn diesem Beitrag wird ein flachheitsbasierter Zugang zur Analyse von Systemen vorgestellt, die sich durch die Zusammenschaltung von Randwertaufgaben ergeben, in denen die pDgln. von zweiter Ordnung sind. Dazu wurde den ursprünglich gestellten Randwertaufgaben ein System linearer Faltungsgleichungen zugeordnet. Die Koeffizienten dieser Gleichungen entstammen einem sogenannten Bézout-Ring. Dies vereinfacht die Analyse der Systemgleichungen stark, insbesondere kann gezeigt[START_REF] Woittennek | Beiträge zum Steuerungsentwurf für lineare, örtlich verteilte Systeme mit konzentrierten Stelleingriffen[END_REF] Auf dem Intervall [ξ, ξ + t0] kann beispielsweise 1-t)) σ -« mit geeignetem σ gewählt werden. Die so definierte Funktion gehört für alle ρ > σ zur kleinen Gevrey-Klasse der Ordnung 1+1/ρ. Es sei angemerkt, dass derartige Funktionen im Rahmen des flachheitsbasierten Zugangs häufig auch zur Parametrierung von Übergängen zwischen Ruhelagen verwendet werden[24, 27, 31].werden, dass sich die Gleichungen stets in ein flaches Teilsystem und ein autonomes Teilsystem zerlegen lassen. Die erzielten algebraischen Ergebnisse lassen eine direkte Interpretation hinsichtlich der sogenannten verhaltensorientierten Steuerbarkeit zu.Ein Problem des vorgestellten Ansatzes besteht in der Tatsache, dass sich eine Interpretation des flachen Ausgangs, d.h. im Laplace-Bildbereich eine Darstellung ohne transzendente Funktionen, nicht automatisch ergibt. Die Bedingungen, unter denen eine solche Interpretation möglich ist, soll deshalb Gegenstand zukünftiger Forschungen sein.Der vorgestellte Beitrag ist zum Teil durch vorangehende Arbeiten[1,9] motiviert, in denen ähnliche Methoden für Totzeitsysteme untersucht wurden. Die dort vorgestellten Ergebnisse haben sich außer zur Steuerbarkeitsanalyse auch für den Reglerentwurf als nützlich erwiesen. Inwieweit solche Anwendungen auch hier möglich sind, sollte in der Zukunft untersucht werden.

Satz A. 1 .

 1 Sei p : C → C derart, dass für beliebige Zeitfunktionen ϕ aus F die Funktion ψ = z ϕ die Laplacetransformierte einer Funktion ψ ∈ F ist. Dann ist die Funktion p ⋆ = p/(s -s 0 ) genau dann eine ganze Funktion, wenn ψ ⋆ = p ⋆ ϕ für alle ϕ ∈ D * die Laplacetransformierte einer Funktion ψ ∈ D * ist. Beweis. Zunächst ist festzustellen, dass die Laplacetransformierte einer Funktion mit kompaktem Träger eine ganze Funktion ist. Dies ergibt sich sich direkt aus der Definition der Laplacetransformation. Es wird nun gezeigt, dass für eine beliebige stetige Funktion f mit kompaktem Träger in supp f ⊆ [a, b], die Funktion f * = f /(s -s 0 ) genau dann die Laplacetransformierte einer Funktion mit kompaktem Träger ist, wenn f (s 0 ) = 0 ist. Dazu wird ausgenutzt, dass der im Bildbereich durchgeführten Division durch (s -s 0 ) im Zeitbereich die Faltung mit der Exponentialfunktion t → h(t)e s0t entspricht (mit der Heaviside-Funktion h). Es gilt also f ⋆ (t) =

e

  s0(t-τ ) f (τ )dτ.Für t > b kann die obere Grenze durch b ersetzt werden:f ⋆ (t) = ce s0t , c = b a e -s0τ f (τ )dτ = f (s 0 ). Der Träger von f ⋆ ist demnach gerade dann in [a, b] enthalten, wenn c = 0, die Laplacetransformierte f von f bei s 0 eine Nullstelle besitzt.Folglich besitzt ψ * genau dann einen kompakten Träger, wenn zumindest eine der Gleichungen p(s 0 ) = 0 oder ϕ(s 0 ) = 0 gilt. Da ϕ aber nach Voraussetzung beliebig war, kann es so gewählt werden, dass ϕ(s 0 ) = 0.Danksagung Die vorgestellten Ergebnisse entstanden im Rahmen eines von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten Projektes. Die Autoren danken Joachim Rudolph für nützliche Hinweise.Literatur

5

  Es muss natürlich sichergestellt werden, dass auch das freie Ende der Saite lediglich in vertikaler Richtung bewegt werden kann, beispielsweise durch eine Führung. Wie diese realisiert wird und welche Rolle weitere Effekte spielen, wie beispielsweise Reibung, wird hier nicht diskutiert.Die Randwertaufgabe (1) ist natürlich nicht wohlgestellt im Sinne von Hadamard. Dazu bedarf es zusätzlich noch eines im voraus fixierten Stellgrößenverlaufs t → u(t) und der Anfangsbedingungen für w und ∂tw. In dieser Arbeit wird jedoch die Gesamtheit aller Lösungen der Gleichungen (1) betrachtet, wobei den Stellgrößen zunächst keine herausragende Bedeutung zugemessen wird. Die Forderung nach Wohlgestelltheit und insbesondere nach Eindeutigkeit der Lösung wird hier nicht benötigt.

6

  werden können und Q in der in Satz 5.4 beschriebenen

	28 Bekanntlich ist für endlichdimensionale lineare Systeme
	in Zustanddarstellung, Flachheit äquivalent zur Zustands-
	steuerbarkeit und die genannte Aufspaltung kann im Sinne
	der Kalmanschen Zerlegung interpretiert werden. Dem hier
	vorgestellten Rahmen ähnlicher sind allerdings Zugänge über
	Normalformen von Matrizen über univariaten Polynomrin-
	gen (siehe z.B. [14, 21]). Eine noch etwas elegantere Behand-
	lung erlaubt der in [6,24] vorgeschlagene Zugang, in dem ein
	System als Modul definiert wird. Das flache Teilsystem eines
	solchen Moduls entspricht dann einem freien Untermodul,
	dessen Basis der flache Ausgang ist. Dies motiviert auch die
	mitunter für den flachen Ausgang verwendete Bezeichnung
	Basisgröße. Dem autonomen Teilsystem entspricht in diesem
	Rahmen der Torsionsuntermodul des betrachteten Systems.
	Eine Interpretation der hier vorgestellten Ergebnisse im mo-
	dultheoretischen Rahmen findet der interessierte Leser bei-
	spielsweise in [32].

  VL bzw. deren Inverser besitzen. Die Einschränkungen bezüglich der Lösungsräume sind allerdings nicht wirklich problematisch, da sowohl C ∞ als auch E (2) dicht in C 0 liegen und außerdem bei Bedarf zu den entsprechenden Distributionenräumen übergegangen werden kann.

	30 Die Wahl von glatten Funktionen erscheint zumindest
	im hyperbolischen Fall auf den ersten Blick als sehr ein-
	schränkend. Sie resultiert hier weniger aus der Darstellung
	der Lösungen der pDgln. (13a) selbst, als vielmehr aus der
	Tatsache, dass weder Einschränkungen hinsichtlich der in
	den Randbedingungen (13d) maximal vorkommenden Ab-
	leitungsordnung bezüglich der Zeit getroffen wurden, noch
	untersucht wurde, welche Polynomgrade bezüglich s die Ein-
	träge der Matrizen b VR und b

  oder für das zugehörige System von Faltungsgleichungen(24) ein Zustand eingeführt wird. Eine Interpretation der algebraischen Ergebnisse im Hinblick auf die Zustandssteuerbarkeit erfordert deshalb weitere Vorarbeiten. Definition 5.8 (vgl.[21]). Das durch die Gleichungen (13) (bzw. (24)) gegebene System heißt (bezüglich des Lösungsraums W ) steuerbar im verhaltensorientierten Sinne, wenn für beliebige Lösungen v

	Aus	diesem	Grund	wird,	wie	auch	im
	Einführungsbeispiel, auf den aus dem verhaltens-
	orientierten Zugang stammenden Steuerbarkeitsbegriff
	zurückgegriffen, welcher ohne das Zustandskonzept aus-
	kommt und deshalb den vorausgegangenen algebrai-
	schen Untersuchungen eher entspricht (vgl. [21]). Das
	Kriterium der Überführbarkeit der Lösung zwischen
	Punkten im Zustandsraum wird dabei durch das Kri-
	terium der Verknüpfbarkeit von Trajektorien ersetzt,
	also die Möglichkeit, eine in der Vergangenheit gültige
	Lösung der Systemgleichungen in eine gewünschte
	zukünftige Lösung zu überführen:			

at -Automatisierungstechnik 68 (2020) 0 c Oldenbourg Verlag 1

Siehe [11, Def. 12.7.3] für die Definition dieser Funktionenklasse.

[START_REF] Polderman | Introduction to Mathematical System Theory: A Behavioral Approach[END_REF] Für eine detaillierte Diskussion sei u.a. auf[START_REF] Lynch | Flachheitsbasierte Randsteuerung parabolischer Systeme mit verteilten Parametern[END_REF][START_REF] Rudolph | Trajektorienplanung für gewisse lineare Systeme mit verteilten Parametern[END_REF][START_REF] Woittennek | Beiträge zum Steuerungsentwurf für lineare, örtlich verteilte Systeme mit konzentrierten Stelleingriffen[END_REF] verwiesen, wobei diese Arbeiten auch Erweiterungen hinsichtlich partieller Differentialgleichungen mit ortsabhängigen Koeffizienten sowie nichtlinearer Gleichungen enthalten.