My Hanh Vo 
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Die Konstruktion epistemologischer Dreiecke zur Analyse von Begriffsdeutungen bei mathematischen Lückentexten

Keywords: Teaching and learning of specific topics in university mathematics, Digital and other resources in university mathematics education, mathematical clozes, Processes of understanding, epistemological triangle

Both in school mathematics and in university mathematics, cloze texts are used rather rarely to build up and develop mathematical language skills. It is therefore not surprising that the use of mathematical cloze texts in mathematics didactics has hardly been researched so far. In order to investigate the specific comprehension processes that play a role in the processing of mathematical cloze texts, an empirical study was conducted in which the verbalized thoughts of the participants were recorded in think-aloud protocols. This paper presents Steinbring's epistemological triangle as a possible analytical tool for these comprehension processes as well as the first results of the analysis.

EINLEITUNG

Das Erlernen der mathematischen Sprache stellt für viele Studierende eine große Herausforderung dar. Dies ist nicht verwunderlich, wenn man bedenkt, wie weit die Fachsprache der wissenschaftlichen Mathematik von der Alltagssprache entfernt ist: Sie ist nicht nur deutlich formaler und exakter, sondern auch zeitlos und unpersönlich. Geringe Formulierungs-und Notationsunterschiede bewirken zum Teil große semantische Unterschiede, weshalb präzises Lesen und Schreiben notwendig ist [START_REF] Liebendörfer | Motivationsentwicklung im Mathematikstudium[END_REF]. Die Beherrschung der mathematischen Sprache ist für das Mathematikstudium zentral und Voraussetzung für ein tieferes Verständnis. Doch trotz ihrer Bedeutung findet eine explizite Thematisierung der Fachsprache häufig nur zu Beginn des Studiums statt, wenn ausgewählte Regeln der Logik gelehrt werden. "Danach bleibt die Vermittlung der Fachsprache weitestgehend implizit" (Liebendörfer, 2018, S. 28). Dies trifft auch auf die zahlreichen Fachbegriffe zu, die in den Vorlesungen und Seminaren eingeführt und oft nebenher erlernt werden sollen, da bisher entsprechende Aufgaben, mit denen Fachbergriffe erlernt oder trainiert werden können, eher selten in der hochschulmathematischen Lehre verwendet werden. Eines der wenigen Beispiele dafür stellt die Mathematikvorlesung für Pharmazie-und Biologiestudierende der Philipps-Universität Marburg dar [START_REF] Strauer | Entwurf und Einsatz von Lösungsbeispielen mit Lückentext und Selbsterklärungsaufforderungen in Mathematikveranstaltungen für Studierende der Pharmazie und der Biologie[END_REF]. In dieser Veranstaltung werden seit dem WiSe 2017/18 Lückentextaufgaben mit Freitext-Lücken eingesetzt, um die präzise Verwendung von Fachbegriffen und die eigenständige Formulierung von Begriffserläuterungen zu üben. Als mögliches Mittel für das Erlernen und das Einüben der mathematischen Sprache wurden Lückentexte aber bisher kaum beforscht, sodass es nicht nur an Gestaltungskriterien und Empfehlungen für den Einsatz in der Lehre fehlt, sondern auch kaum Informationen darüber vorliegen, wie Studierende mit Lückentexten arbeiten (sollen), wie sie Lückentexte verstehen und welche Fähigkeiten sowie Fertigkeiten mithilfe von mathematischen Lückentexten überhaupt gefördert werden können. In diesem Artikel soll es daher um eine grundlegende Fragestellung gehen:

Wie gestalten sich die Begriffsdeutungen, die bei der Bearbeitung von mathematischen Lückentextaufgaben von Studierenden entwickelt werden, und wie hängen diese von den vorgegebenen Antwortoptionen ab?

Um diese Frage beantworten zu können, wurde in einer Studie im Frühjahr 2020 der Lückentext "Der Gauß-Algorithmus" (siehe Abb. 3) als Diagnoseaufgabe eingesetzt. Bei den Teilnehmenden der Studie handelte es sich um zehn Studierende der Leibniz Universität Hannover aus unterschiedlichen Studiengängen1 , die im Wintersemester 2019/20 die Grundlagenveranstaltung "Lineare Algebra I" besucht und im Rahmen dieser Veranstaltung Online-Tests als Teil der Studienleistung bearbeitet hatten. Den Aufgabentyp "Lückentextaufgabe" kannten die Teilnehmenden vor der Studie daher schon. Für die Untersuchung wurden die Studierenden in der vorlesungsfreien Zeit zu freiwilligen Einzelinterviews mit der Autorin eingeladen, bei denen sie eine Lückentextaufgabe unter Laborbedingungen2 bearbeiten sollten. Damit die kognitiven Prozesse der Studierenden erfasst werden konnten, wurden die Studierenden während der Einzelbearbeitung dazu angehalten, die Laut-Denken-Methode [START_REF] Deffner | Lautes Denken -Untersuchung zur Qualität eines Datenerhebungsverfahrens[END_REF][START_REF] Bise | Problemlösen im Dialog mit sich selbst. Dialogische Strukturen im inneren Sprechen beim Problemlösen. Eine explorative Studie nach der Methode des lauten Denkens[END_REF] anzuwenden. Das bedeutet, dass die Probandinnen und Probanden während der Bearbeitung alle Gedanken, die aufkommen, laut äußern sollten. Die Audioaufnahmen wurden im Anschluss transkribiert und hinsichtlich der eingangs gestellten Fragen analysiert.

Da die Analysen noch nicht abgeschlossen sind, sollen in diesem Beitrag die Auswertungsmethodik und erste Analyseergebnisse diskutiert werden. Hierzu wird zunächst die theoretische Grundlage, das epistemologische Dreieck nach Steinbring, vorgestellt sowie die Analysemethodik erläutert. Abschließend werden die ersten Ergebnisse entlang eines Analysebeispiels illustriert.

DAS EPISTEMOLOGISCHE DREIECK

Um mathematisches Wissen erfassen, repräsentieren, kommunizieren und kodieren zu können, werden in der Mathematik bestimmte Zeichen-bzw. Symbolsysteme verwendet, wobei solche Zeichen/Symbole für sich allein keine Bedeutung besitzen [START_REF] Steinbring | What Makes a Sign a Mathematical Sign? -An Epistemological Perspective on Mathematical Interaction[END_REF]. Die Bedeutung eines mathematischen Zeichens muss vom dem oder der Lernenden aktiv konstruiert werden [START_REF] Steinbring | Mathematische Bedeutung als eine soziale Konstruktion -Grundzüge der epistemologisch orientierten mathematischen Interaktionsforschung[END_REF][START_REF] Steinbring | The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom Interaction[END_REF].

Steinbring geht davon aus, dass sich die Bedeutung eines mathematischen Begriffs aus den konstruierten Wechselbeziehungen zwischen Zeichen/Symbolen und konkreten oder abstrakten Gegenständen/Referenzkontexten ergibt. Allgemein können Mathematische Begriffe somit als "symbolisierte, operative Beziehungen" (Steinbring, 2000, S. 34) verstanden werden, welche zwischen ihren kodierten Formen und "den sozial intendierten Deutungen" (Steinbring, 2000, S. 34) bestehen. Mathematische Begriffe drücken demnach keine Dinge aus, sondern Beziehungen. In mathematischen Lehr-Lernkontexten wird mathematische Bedeutung also beispielsweise dadurch generiert, dass mögliche Bedeutungen von einem relativ oder teilweise bekannten Referenzkontext auf ein unbekanntes Zeichensystem, welches für den Lernenden noch keine Bedeutung besitzt, übertragen werden [START_REF] Steinbring | The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom Interaction[END_REF]. Der Gegenstand/Referenzkontext stellt bei Steinbring kein unabhängiges Element dar, das vorab eindeutig vorgegeben wird [START_REF] Steinbring | The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom Interaction[END_REF]. Stattdessen wird der Gegenstand/Referenzkontext im Prozess der Wissensentwicklung "mehr und mehr in einen strukturellen Zusammenhang umgedeutet" (Maier & Steinbring, 1998, S. 309). Darüber hinaus sind die Beziehungen zwischen den Eckpunkten des epistemologischen Dreiecks nicht explizit definiert. Vielmehr handelt es sich um ein ausbalanciertes System, dessen Eckpunkte sich wechselseitig stützen [START_REF] Maier | Begriffsbildung im alltäglichen Mathematikunterricht -Darstellung und Vergleich zweier Theorieansätze zur Analyse von Verstehensprozessen[END_REF][START_REF] Steinbring | Mathematische Bedeutung als eine soziale Konstruktion -Grundzüge der epistemologisch orientierten mathematischen Interaktionsforschung[END_REF][START_REF] Steinbring | The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom Interaction[END_REF]. Hierbei kann "eine Änderung in jeder der Ecken direkt Reaktionen in den anderen und den jeweiligen Beziehungen" (Rieß, 2018, S. 91) Erster Transkriptausschnitt:

ProbandIn: (seufzt) -ähm-Naja. Also, (.) ich weiß halt nur, was eine Zeilenstufenform ist und ich weiß ja auch, (.) also, dieses Muster innen und -ähh-und dass das beim Gauß-Algorithmus eben rauskommt. Dann bereinigte Normalform habe ich noch nie gehört und Spaltenstufenform (.) ist halt eben nicht das, was rauskommt. Also also/ Außerdem hat hat man diesen/ dieses Wort Zeilenstufenform, hat man auch schon irgendwie oft gehört. Also/#00:22:28# Zweiter Transkriptausschnitt:

ProbandIn: Naja. (seufzt) Ich weiß nicht. Also, (..) egal, der Gauß-Algorithmus/ Ich weiß halt, was man damit macht. Man bringt den halt auf diese Zeilenstufenform und ich weiß auch gar nicht jetzt, wo ich darüber nachgedacht habe, was eigentlich eine Spaltenstufenform ist. Also, wahrscheinlich das gleiche irgendwie andersrum symmetrisch, aber/ (.) Ja. (lacht) #00:24:00#

Zuordnungen und Analyseergebnisse

Die folgende Tabelle enthält die Zuordnungen zu den aufgestellten Kategorien für die beiden Transkriptausschnitte5 :

Nr. Zeichen/ Symbol Relation/Beziehung Gegenstand/Referenzkont.

"eine Zeilenstufenform"

"innen" "dieses Muster"

"eine Zeilenstufenform

"das beim [Gauß-Algorthmus] eben rauskommt"

"Gauß-Algorithmus" 3 "bereinigte Normalform" "habe ich noch nie" "gehört" 4 "Spaltenstufenform" "ist halt eben nicht das, was rauskommt" "Gauß-Algorithmus" 5 "der Gauß-Algorithmus"

"Ich weiß halt, was man damit macht. Man bringt den halt auf" "diese Zeilenstufenform" 6 "eine Spaltenstufenform"

"Also, wahrscheinlich das gleiche irgendwie andersrum symmetrisch" "diese Zeilenstufenform"

Tab. 1: Zuordnungen zu den Kategorien

Betrachtet man die Zuordnungen, so lassen sich verschiedene Aspekte erkennen:

1. Die gewählten Referenzkontexte können Elemente sein, die bereits in der Aufgabe enthalten sind wie Gauß-Algorithmus oder Zeilenstufenform. Die Deutungen, die entstehen, entsprechen keiner präzisen mathematischen Definition, sondern bleiben häufig vage. In einigen Fällen verbleiben sie (wie bei der Deutung für bereinigte Normalform) auf einer intuitiven Ebene. Im Verlauf der Bearbeitung können die Deutungen für ein Zeichen allerdings präziser werden, wie man am Beispiel Spaltenstufenform erkennen kann. Die formulierten Relationen sollten also nicht als etwas Isoliertes betrachtet werden, denn Zeichen/Symbole und ihre Gegenstände/Referenzkontexte bauen immer auf Wissen auf, das bereits im Vorfeld konstruiert worden ist, also anderen epistemologischen Dreiecken. Sie können sich gegenseitig ergänzen, wobei "die Ecken des epistemologischen Dreiecks als Summe der bisher mit dem Konzept […] verbundenen positionsgleichen Elemente zu verstehen" (Rieß, 2018, S. 93) sind.

Der

  Abb. 1: Das epistemologische Dreieck(Steinbring, 2000, S. 34) 

  Abb. 2: Das (Steinbring, 2006, S. 141)

  

  Gleichzeitig werden aber auch Referenzkontexte gewählt, die nicht oder nicht wortwörtlich im Lückentext enthalten sind, wie gehört oder Muster. Mit gehört könnten beispielsweise die akustischen Zeichen gemeint sein, die im Rahmen von Vorlesungen, Übungen, etc. kommuniziert wurden, d. h. mündliche Erwähnungen, Beschreibungen und Erläuterungen. Mit dem Muster, das sich innen befindet, sind möglicherweise die Art und Anordnung der Koeffizienten bzw. die Matrixeinträge gemeint, die eine Dreiecksform oder Treppenform bilden. 2. Die Relation zwischen den Zeichen und Referenzkontexten wird häufig vage und recht unpräzise formuliert. Deutlich wird dies zum Beispiel bei der formulierten Relation zwischen dem Zeichen Spaltenstufenform und dem Referenzkontext Gauß-Algorithmus. Hier beschreibt die Versuchsperson die Spaltenstufenform lediglich als das, was eben nicht beim Gaußalgorithmus rauskommt. Diese Relation ist insofern noch vage, als dass sie auf alle möglichen Referenzkontexte zutrifft. Eine Spaltenstufenform erhält man beispielsweise auch nicht, wenn man eine quadratische Ergänzung durchführt. Gleichzeitig entsteht die Vagheit auch durch den gewählten Referenzkontext, denn durch die Anwendung des Gauß-Algorithmus erhält man beispielsweise auch keine bereinigte Normalform, da dieser Begriff aus der Prädikatenlogik stammt. 3. Es wird durchaus mehr als ein Referenzkontext herangezogen, um ein Zeichen zu deuten. Das Zeichen Zeilenstufenform wird nicht nur mit Muster, sondern auch mit Gauß-Algorithmus in Beziehung gesetzt. Das Gleiche gilt für das Zeichen Spaltenstufenform, welches ebenfalls mit Gauß-Algorithmus ins Verhältnis gesetzt wird, aber auch mit Zeilenstufenform. Bei der Spaltenstufenform lässt sich durch die zweite konstruierte Relation sogar eine Art Entwicklung hin zur Präzisierung erkennen, denn die Spaltenstufenform ist nicht mehr nur das, was nicht bei der Anwendung des Gauß-Algorithmus entsteht. Der formulierten Relation kann man entnehmen, dass sie für die Probandin/den Probanden vergleichbar mit der Zeilenstufenform ist, nur irgendwie andersrum symmetrisch. Andersrum symmetrisch könnte wiederum eine unpräzise Beschreibung der Transponierten darstellen, da eine transponierte Matrix durch die Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonalen entsteht. 4. Selbst bei einer einzelnen Lücke bleiben die Zuordnungen zu den Ecken des epistemologischen Dreiecks nicht stabil. Zu Beginn ist Zeilenstufenform ein Zeichen, das gedeutet wird. Im Verlauf der Bearbeitung wird Zeilenstufenform aber auch als Referenzkontext genutzt, um andere Zeichen zu deuten. Auffällig sind hier auch die Zuordnungen in Zeile zwei und fünf der Tabelle 1: Gauß-Algorithmus ist hier zunächst der Referenzkontext, mit dessen Hilfe Zeilenstufenform gedeutet wird. Später werden die Rollen dieses Paares vertauscht. Die formulierten Relationen ähneln sich semantisch. Die zweite Relation ist sogar unpräziser, da sie suggeriert, dass der Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform gebracht wird, dabei müsste man eigentlich von der Ausgangsmatrix sprechen. 5. Wie die Zuordnungen in Zeile zwei und vier der Tabelle 1 zeigen, können gleiche Referenzkontexte und syntaktisch ähnlich formulierte Relationen herangezogen werden, um Unterschiede oder Kontraste zwischen den Begriffen zu verdeutlichen. Zeilenstufenform und Spaltenstufenform werden dadurch als Gegensatzpaar markiert. Die eingangs gestellte erste Frage Wie gestalten sich die Begriffsdeutungen, die bei der Bearbeitung von mathematischen Lückentextaufgaben von Studierenden entwickelt werden und wie hängen diese von den vorgegebenen Antwortoptionen ab? kann bisher noch nicht im vollen Umfang beantwortet werden. Die ersten Analyseergebnisse deuten aber darauf hin, dass durch die Vorgabe spezifischer Auswahloptionen bestimmte Prozesse der Bedeutungsgenerierung angestoßen werden. Werden Begriffe zur Auswahl gestellt, die aus einem mathematischen Kontext stammen und in der Begriffshierarchie gleichwertig zueinander sind wie z. B. Spaltenstufenform und Zeilenstufenform, dann kann dies dazu führen, dass der Versuch unternommen wird, diese Begriffe voneinander abzugrenzen, indem jeweils eine Relation zu einem übergeordneten Begriff (in diesem Fall Gauß-Algorithmus) formuliert wird. Gewissermaßen wird hier eine gemeinsame Vergleichsbasis herangezogen. Daneben konnte aber auch beobachtet werden, dass Begriffe, die als Lösung für eine Textlücke zur Auswahl standen, direkt miteinander in Beziehung gesetzt wurden.

	FAZIT UND AUSBLICK

Studiengänge: Physik, Mathematik und Mathematik auf Lehramt (Gymnasium)

Die Bearbeitungen fanden im Büro der Autorin statt. Die Studierenden hatten keine zeitlichen Begrenzungen für die Bearbeitung der Aufgabe. Die Lückentextaufgabe wurde von den Studierenden über einen von der Autorin bereitgestellten Laptop bearbeitet. Als Hilfsmittel wurden nur Papier und Stift zugelassen. Beides wurde ebenfalls gestellt.

Nicht zugelassen wurden beispielsweise falsche Antwortoptionen, bei denen einfach nur ein Rechtschreibfehler enthalten ist, wie z.B. Zailenstufenform statt Zeilenstufenform oder Begriffe, die nicht existieren, wie z.B. begrenzte Zeilenstufenform.

Da es für die Konzeption mathematischer Online-Lückentextaufgaben bisher in der Forschung keine konkreten Empfehlungen oder Kriterien gab, orientieren sich diese hier formulierten Kriterien an den Arbeiten von Vollrath und Roth (2012) zum Erarbeiten und Verstehen von mathematischen Begriffen. Da die Lückentextaufgaben zudem seit 2019 in den Grundlagenveranstaltungen Lineare Algebra und Analysis eingesetzt wurden, konnten die Lückentexte mithilfe von Ergebnissen aus regelmäßig stattfindenden Studierendenbefragungen zu den Aufgaben immer wieder überarbeitet und verbessert werden.

Die restlichen Elemente aus den Ausschnitten wurden der Kategorie "nicht zuordenbare Äußerungen" zugeordnet und werden dementsprechend nicht in diesem Beitrag thematisiert.