Nils Buchholtz 
  
Annette Armbrust 
  
Nina Dings 
  
Mirko Windisch 
  
Judith Drexler 
  
Mathematischer Stadtspaziergang 
  
Armbrust & Buchholtz 
  
  
  
  
  
  
  
Materialien für das außerschulische Lernen im Mathematikunterricht

Keywords: selbst geschossen, oder wir benutzen auch hier Bilder, die unter die CC-Lizenz fallen. Für Rückmeldungen und Anregungen wenden Sorte die unterste, die mittlere oder die oberste Kugel ist (dies sind gleiche Möglichkeiten, wie im Bild angegeben)

Allgemeine didaktische und methodische Hinweise

Die Aufgaben sind so konzipiert, dass sie sich in mehrere Teile unterteilen, die einen steigenden Anforderungsgrad aufweisen. So steht zu Beginn eine relativ leichte Aufgabe, bei der durch Zählen, Vermessen oder Schätzen Daten gesammelt werden müssen. In den folgenden, schwierigeren Aufgabenteilen müssen die ermittelten Daten in ein mathematisches Modell überführt werden, also in einen sinnvollen mathematischen Zusammenhang gestellt werden. Die dabei stattfindenden Mathematisierungen sind bewusst kleinschrittig und nicht allzu komplex gestaltet. Es ergeben sich durch das eigene Ermitteln der relevanten Größen zwischen den einzelnen Schülergruppen Abweichungen, die auf Runden oder Messungenauigkeiten zurückzuführen sind. Diese Ungenauigkeiten, die sich in unterschiedlichen Ergebnissen der Schülergruppen niederschlagen, bieten innerhalb der weiteren Beschäftigung mit den Aufgaben im Mathematikunterricht ein Potenzial für interessante Diskussionen über die Genauigkeit von Rechenergebnissen, die bei der Vermittlung von Modellierungskompetenzen eine wichtige lernförderliche Rolle einnehmen.

App-Unterstützung

Der Stadtspaziergang zum Thema Wahrscheinlichkeit ist auch online als sog. "Actionbound" (eine Art mathematische Rallye) unter https://actionbound.com/bound/mssghamburgwahrscheinlichkeit verfügbar bzw. kann auch in der App Actionbound direkt gefunden und gestartet werden. 

Lösungshinweise

In der ersten Teilaufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler zunächst einmal die roten, grünen und gelben bzw. rot-gelben Sekunden zählen, um daraus später die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "die Ampel zeigt rot" aufzustellen und in Prozent anzugeben. Zur Lösung der zweiten Aufgabe sind nämlich ebenfalls die Sekunden entscheidend, in denen die Ampel "gelb" zeigt. Es ergeben sich Zeitspannen von 20 Sekunden für "grün", 37 Sekunden für "rot" (inkl. "rot-gelb") und 3 Sekunden für "gelb" für Ampel (A) und 26 Sekunden für "grün", 31 Sekunden für "rot" (inkl. "rot-gelb") und 3 Sekunden für "gelb/rot-gelb" für Ampel (B). Die Ampeln haben also, je nachdem aus welcher Richtung man kommt, unterschiedlich lange Rot-Phasen, aber den gleichen Takt (Warum könnte das so sein? -Fragen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler). Zur Mathematisierung des Problems muss in der zweiten Aufgabe die Zeitspanne der roten Sekunden durch die Gesamtzeit der Ampelphase dividiert werden. 

Lösungshinweise

In der ersten Aufgabe soll die Anzahl der Sitzelemente bestimmt werden (es sind 39); dies dient der Vorbereitung von Aufgabe 3. Die zweite Teilaufgabe wirft das Problem auf, dass auf einem beliebigen 3x3 Feld aus 9 Sitzelementen mit drei verschiedenen Sorten Schokolade Werbung gemacht werden soll, wobei die Schokoladentafeln dabei so verteilt werden sollen, dass jede Sorte in jeder Reihe und Spalte nur einmal vorkommt. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler ist es, die möglichen verschiedenen Varianten zu finden und die genaue Anzahl an Möglichkeiten zu bestimmen. Als Hilfestellung ist neben dem Aufgabentext sowohl eine richtige als auch eine falsche Variante angegeben. Von den möglichen Lösungen sollen im Folgenden einige präsentiert werden. Eine Lösungsmöglichkeit ist in der Abbildung zu sehen. Diese zeigt insgesamt zwölf Varianten an.

Lösungshinweise

Die Schülerinnen und Schüler können jedoch auch auf die Idee kommen, dass es nur drei Varianten (die oberen drei) gibt. Denn durch Drehung der Varianten erhält man die jeweils darunterliegenden Möglichkeiten. Ein rechnerischer Ansatz kann in kombinatorischen Überlegungen und systematischem Probieren liegen. Es ist auch möglich, die Aufgabe auf ein graphentheoretisches Färbungsproblem eines Graphen aus Ecken und Kanten zurückzuführen (hierfür sind Kenntnisse aus der Graphentheorie erforderlich). Ein mögliches Vorgehen dann ist das Auswählen einer Ecke, für die sich ein "Färben" mit drei Möglichkeiten ergibt. Die danebenliegende benachbarte Ecke kann dann in 2 Varianten gefärbt werden, die dritte Ecke in der Reihe ist farblich festgelegt. In der Reihe darunter ergibt sich für die Nachbarecke der Startecke eine Anzahl von zwei möglichen Färbungen, alle anderen Ecken sind damit festgelegt, wie man durch systematisches Probieren schnell erkennt. Insgesamt ergeben sich so 3 • 2 • 2 = 12 Möglichkeiten für Varianten. In der dritten Aufgabe soll angegeben werden, wie wahrscheinlich es ist, sich von allen Sitzflächen zufällig auf ein mit Werbung bedrucktes Element zu setzen. Die Mathematisierung des Problems führt zur Division der Anzahl der bedruckten Elemente durch die Anzahl aller Sitzelemente. Wurde in Aufgabe 1 korrekt gezählt und verstanden, dass nur einmal ein 3x3 Feld mit Werbung vorkommen soll, dann beträgt das Verhältnis aus günstigen und möglichen Ergebnissen für das zufällige Setzen 9/39, also hat das Ereignis "Element ist bedruckt" eine Wahrscheinlichkeit von etwa 23%. Einen berechtigten Einwand bildet an dieser Lösung jedoch die Tatsache, dass aufgrund der Verteilung der Sitzflächen auf dem Domplatz nicht alle Elemente für ein 3x3 Feld Werbung in Frage kommen, so dass die beiden hintersten Elemente an der Buceriusstraße aus den möglichen Ergebnissen herausfallen. Eine Lösung könnte in diesem Fall 9/37 betragen, was einer Wahrscheinlichkeit von etwa 24% entspricht.

Mögliche Fehler

Das systematische Probieren von Varianten dauert unserer Erfahrung gemäß ein wenig länger. Die Schülerinnen und Schüler kommen oft selbst auf den Gedanken, dass man durch das Drehen von Varianten andere Varianten erhält. Mögliche Fehler könnten beim Bearbeiten der Aufgabe auftreten, wenn die einzelnen Werte im Bruch nicht korrekt zugeordnet werden, wenn also etwa die Gesamtanzahl der Sitzelemente durch die Anzahl der bunten Elemente geteilt wird. Eine Schwierigkeit könnte außerdem auftreten, wenn die Schülerinnen und Schüler den Aufgabentext falsch verstehen und denken, dass überall 3x3 Felder mit Werbung beklebt werden sollen. 

Station

Mögliche Fehler

Bei dieser Station treten in erster Linie Schwierigkeiten beim Zählen der Buchstaben auf. Die Buchstaben zu zählen ist sehr unübersichtlich und man verrutscht schnell in den Zeilen. Ggf. ist es daher angebracht, wenn Sie Ihren Schülerinnen und Schülern Hilfestellungen geben.

Beispielsweise können sich die Schüler aufteilen und einzeln nur eine bestimmte Anzahl von Zeilen abarbeiten oder die Schülerinnen und Schüler schätzen die Häufigkeit der Buchstaben auf der Grundlage von einzelnen Zeilen ab (dieser Näherungswert kann dann mit dem tatsächlichen Wert verglichen werden). 

Material

Keine Grüne Welle

Aufgabe 1

Marias Mutter ist viel mit dem Auto in der Innenstadt unterwegs. Sie ärgert sich immer wieder über die häufigen Wartezeiten an roten Ampeln und behauptet, dass die Ampel am Ballindamm immer rot sei, wenn sie dort ankommt und zum Parkhaus abbiegen will.

Wie viele Sekunden zeigt die Ampel rot, wie viele Sekunden grün?

Wie lang sind die Gelb-Phasen der Ampel?

Aufgabe 2

Wie groß ist wohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man halten muss (Ampel ist rot), wenn man zu einer beliebigen Zeit an die Ampel kommt?

Gebt den Wert in Prozent an. Aufgabe 3

Ihr geht mit der Klasse ins Eiscafé "Warneke", doch heute gibt es nur 6 verschiedene Sorten Eis. Jede/r aus der Klasse soll drei verschiedene Kugeln Eis bekommen. 

Glücksspiele im Park

Fragen zur Arbeit in Gruppen:

Die Arbeit in der Gruppe hat mir Spaß gebracht:

Ich konnte meine eigenen Stärken in der Gruppenarbeit einbringen:

Fragen zu deinen Stärken und Schwächen:

Durch die Aufgaben fühle ich mich jetzt sicherer im Umgang mit dem Thema Häufigkeiten:

Durch die Aufgaben ist mir bewusst geworden, in welchen bereichen ich noch arbeiten muss:

  . Ein Grundgedanke ist dabei, dass Schülerinnen und Schüler mathematische Aufgaben und Probleme an speziell ausgezeichneten Objekten in der Stadt oder in der Umgebung durch Abschätzung oder Messung von realistischen Größen lösen und dazu selbstständig mathematische Modelle aufstellen. Die Schülerinnen und Schüler sollten dabei bereits mit den Grundlagen der Berechnung von Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und kombinatorischen Überlegungen vertraut sein und müssen zum Lösen der eingesetzten Aufgaben bereichsspezifisches Wissen bzw. Vorstellungen aktivieren, welche von den Aufgaben in unterschiedlicher Form verlangt werden. Der Spaziergang ist somit nicht dazu konzipiert, das Thema Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik zu erarbeiten, vielmehr dienen die Materialien dazu, das bereits vorhandene Wissen in außermathematischen Zusammenhängen und Kontexten anzuwenden. Zielgruppe des Spaziergangs ist die Jahrgangsstufe 7. Je nach Altersstufe der Schülerinnen und Schüler können die Stationen gemeinsam im Klassenverband oder in kleineren Schülergruppen angelaufen werden, wobei den Schülerinnen und Schülern an den einzelnen Stationen jeweils eine Bearbeitungszeit von 20 Minuten zur Verfügung stehen sollte. Jede Schülergruppe sollte mit einem Maßband und einer Mappe ausgestattet sein, in der die vor Ort verteilten Aufgaben gesammelt werden. Die besten Erfahrungen haben wir dabei mit einer Gruppengröße von drei Schülerinnen und Schülern pro Gruppe gemacht. Alle Lösungen zu den Aufgaben werden von allen Lernenden in einem vorstrukturierten Gruppenarbeitsblatt protokolliert und können später zur Begutachtung des Lernprozesses abgegeben werden. Im Anschluss an den Stadtspaziergang haben wir den Schülerinnen und Schülern in der darauffolgenden Stunde noch einmal kurz Gelegenheit gegeben, ihre Lösungen auszutauschen und auf Richtigkeit zu überprüfen, damit auch alle Schülerinnen und Schüler einer Gruppe ihre Ergebnisse schriftlich fixieren können. Außerdem empfehlen wir, in dieser Stunde den Schülerinnen und Schülern auch die Möglichkeit zu geben, Ihnen ein Feedback zu geben. Dafür findet sich ein entsprechender Feedbackbogen im Material.

  Sie können die Schülerinnen und Schüler den Bound auch durch das Einscannen des folgenden QR-Codes starten lassen (kopieren Sie dafür am besten diese Seite und schneiden den QR-Code aus) Durchführung Stadtspaziergang #3 Wahrscheinlichkeit Wenn Sie aus Zeitgründen nur vier der fünf Aufgaben bearbeiten können, so empfehlen wir, die vierte Aufgabe (Kunst im Park-Aufgabe) auszulassen, da das Objekt, mit dem die Aufgabe verknüpft ist, etwas abseits liegt und sie von Station 3 zu Station 5 einen kürzeren Weg einschlagen können. Checkliste zur Vorbereitung Folgende Vorbereitungen sollten Sie im Vorfeld treffen, wenn Sie einen mathematischen Stadtspaziergang planen:  Kopieren der Aufgaben (ggf. wiederverwertbare laminierte farbige Ausdrücke) in Anzahl der Gruppen  Kopieren des Protokollbogens in Anzahl der Schülerinnen und Schüler oder wahlweise in Anzahl der Gruppen  Elternbriefe/Einwilligungen für die Exkursion einholen  Maßbänder und wenn vorhanden, Klemmbretter oder Sammelmappen in Anzahl der Gruppen organisieren  Schülerinnen und Schüler an die Mitnahme eines Taschenrechners erinnern  An-und Abreise mit öffentlichen Verkehrsmitteln einplanen  Ggf. Fahrkarten für die Schülerinnen und Schüler organisieren  Überprüfen, ob die angesteuerten Objekte zugänglich sind (Baumaßnahmen)  Kopieren des Feedbackbogens in Anzahl der Schülerinnen und Schüler

Im

  Folgenden finden Sie das zugehörige Material zur Durchführung des Stadtspaziergangs:  Die Aufgaben der Station 1 bis 5  Der Protokollbogen für die Schülerinnen und Schüler (2,5 Doppelseiten)  Den Feedbackbogen zum Stadtspaziergang (1 Doppelseite) Station 1

SuSCHoku

  , wie viele Rotphasen die Ampel wohl in einer Stunde zeigt? Notiert Euren Rechenansatz im Protokoll. Was sagt Ihr nun dazu, dass die Autoampel am Ballindamm meistens rot zeigt? Notiert eine Antwort an Marias Mutter. Mathematischer Stadtspaziergang Hamburg #3 Armbrust & Buchholtz, 2019 Die erste Verkehrsampel Deutschlands wurde im Jahr 1922 in Hamburg am Stephansplatz aufgestellt. Heute gibt es über 1750 Ampeln in Hamburg. Weißt du, was eine "Grüne Welle" ist? Bei einer grünen Welle sind die Ampeln in eine Fahrtrichtung so geschaltet, dass jede Ampel grün ist, wenn man dort mit einer Geschwindigkeit von ca. 40 km/h ankommt. Wenn man hingegen oft anhält, wird dies umgangssprachlich als rote Welle bezeichnet. Station 2 Wenn ein Hamburger vom Dom spricht, redet er immer über das Volksfest auf dem Heiligengeistfeld. Doch wusstest du, dass es in Hamburg tatsächlich einmal einen Dom gabden St.-Marien-Dom? Heute symbolisieren die weißen Sitzelemente den Umriss dieses Doms, der auf dem Domplatz bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts stand. Die Stahlwälle markieren den Verlauf der Hammaburg, die früher hier stand und der Stadt ihren Namen verlieh. Aufgabe 1 Seit 2009 stehen die weißen Sitzelemente, die nachts übrigens leuchten, auf dem Domplatz. Wie viele Sitzelemente zählt ihr? Aufgabe 2 Die Firma #Ein♥FürSchoki möchte am Domplatz eine pfiffige Werbung anbringen und dafür mit den drei beliebtesten Sorten -Keks, Haselnuss und Vollmilchauf einem 3x3 Feld aus 9 Elementen ein "Sudoku" erstellen. Die Regeln für ein Sudoku sind einfach: Die 3 Sorten müssen so verteilt werden, dass jede Sorte in jeder Reihe und jeder Spalte nur einmal vorkommt (siehe Abbildung rechts). Stellt euch auf ein Sitzelement, um das sich 8 andere befinden. Wie viele Möglichkeiten für eine solche Anordnung findet ihr? Skizziert eure Lösungen im Protokoll. Aufgabe 3 Ihr möchtet euch ausruhen und wählt zufällig ein Sitzelement aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass ihr euch auf ein #Ein♥FürSchoki-Element setzt? Mathematischer Stadtspaziergang Hamburg #3 Icons by https://icons8.de/ Armbrust ihr die genaue Anzahl an Möglichkeiten auch rechnerisch bestimmen?

  den Glücksspielplatz und würfelt mit dem gefärbten Element. Berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Würfeln die rote Seite oben liegt. Wenn Ihr alle verdeckten und nicht-sichtbaren Flächen einfach auch rot eingefärbt hättet, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass Paul rot würfelt? Häufigkeit von A bis Z Der Gedenkort für Deserteure und andere Opfer der nationalsozialistischen Militärjustiz wurde im Jahr 2015 vom Künstler Volker Lang entworfen. Der Gedenkort reiht sich an dieser Stelle zwischen weitere Gedenkstätten zur Erinnerung an die Weltkriege ein, die z.B. heftig in der Bevölkerung diskutiert wurden. den Schriftgittern bezieht sich auf Soldaten, die im Krieg desertiert sind (sie haben die Truppe unrechtmäßig verlassen und wurden dafür hingerichtet). Sucht Euch eine Seite des dreieckigen Gedenkortes aus und versucht herauszufinden, mit welcher absoluten Häufigkeit der Buchstabe O im Text vorkommt. Aufgabe 2 Die relative Häufigkeit für den Buchstaben N in der deutschen Sprache beträgt etwa 9,78%, das heißt in 100 Buchstaben gibt es statistisch gesehen fast 10 Ns! Kannst Du diesen Wert für den Text auf Deiner gewählten Seite des Denkmals bestätigen? Beschreibe im Protokoll, wie Du dabei vorgehst. Aufgabe 3 Welcher Buchstabe kommt auf Eurer Seite des Gedenkortes wohl mit der geringsten relativen Häufigkeit vor? (Er sollte aber vorkommen ) TIPP: Überlegt zuerst, welche Buchstaben dafür wohl in Frage kommen könnten. Wir werden in der Innenstadt verschiedene Stationen anlaufen, an denen ihr in der Gruppe Mathematik-Aufgaben zusammen lösen werdet. Eure Rechnungen tragt ihr in dieses Protokoll ein. Am Ende werden die Protokolle eingesammelt und die Leistungen eurer Gruppe werden bewertet. Es ist daher also wichtig, das jede und jeder aus eurer Gruppe das Protokoll gut ausfüllt und die Rechenwege notiert! Hier tragt ihr ein, wer alles bei Eurer Gruppe mitmacht: , um eine Rückmeldung zu den Fragen zu schreiben. (Deine Antworten werden nicht bewertet.) habe ich erkannt, dass man Mathe auch außerhalb der Schule gebrauchen kann: Fragen zur Motivation: Ich fand die Aufgaben realistisch: Ich fand die Aufgaben interessant: Die Aufgaben haben mir Spaß gemacht:

  

  

1. Station: Keine grüne Welle Idee: Nils Buchholtz & Annette Armbrust Weg Wenn

  Sie mit öffentlichen Verkehrsmitteln anreisen, steigen Sie am besten an der Station Jungfernstieg (U1/U2; S1/S3) aus oder beginnen den Spaziergang direkt vor der Europa-Passage. Aus dem Ausgang der Haltestelle in Richtung Ballindamm kommend, können Sie auf der Straßenseite der Europa-Passage entlang der Alster etwa 300 m den Ballindamm entlang gehen bis Sie an die Kreuzung gelangen, an der von links das Alstertor auf den Ballindamm trifft. Die Ampel, die den Kontext der Aufgabe bildet, ist schon von weitem sichtbar.

		Um die Wahrscheinlichkeit der rot-zeigenden Ampel anzugeben, ist von der fiktiven Situation
		auszugehen, dass man zu einem zufälligen Zeitpunkt (fahrend oder stehend) direkt auf die
		Ampel trifft. Dass dies nicht ganz realistisch ist, weil die Sicht auf die Ampel und das Abbremsen
		bzw. Weiterfahren nicht berücksichtigt werden, sollten Sie mit den Schülerinnen und Schülern
	Hinweise	anschließend diskutieren, um den Kontext realistisch zu verorten. Für eine bessere Bearbeitung der Aufgabe wird eine Verteilung der Lernenden auf die zwei verschiedenen Ampeln am Standort angestrebt. Weil die Straßenecke Ballindamm/Alstertor nur über einen
		sehr kleinen Fußweg verfügt, empfiehlt es sich daher, dass sich die Schülerinnen und Schüler
		auf die anderen Straßenseiten verteilen und die Aufgabe mit der Ampel der anderen
		Fahrtrichtung durchführen. Achten Sie auf eine mögliche Gefährdung durch den laufenden
		Verkehr.

Sie zeigt öfter rot als grün, es gibt aber auch ausreichend Grünphasen. Zudem ist es entscheidend, von welcher Seite man an die Kreuzung heranfährt, denn bei Ampel B sind das Rot-und Grün-Zeigen nahezu gleich wahrscheinlich). Mögliche Fehler

  Fehler können auftreten, wenn die Schülerinnen und Schüler die relative und die absolute Häufigkeit verwechseln. Außerdem ist es möglich, dass die Anzahl an gelben/rot-gelben Sekunden nicht beachtet wird, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Rot-Zeigen der Ampel bestimmt wird. Eine weitere Herausforderung stellt die Umrechnung der Brüche in Prozent dar, was in den meisten Fällen über eine schriftliche Division oder mit Hilfe des Taschenrechners oder Smartphones erfolgen wird.Biegen Sie in das Alstertor ein und folgen Sie der Straße vorbei am Thalia Theater und über den Gerhart-Hauptmann-Platz. Am Ida-Ehre Platz überqueren Sie die Mönckebergstraße und folgen dem Straßenverlauf weiter geradeaus, bis Sie auf den Speersort treffen. Folgen Sie der Hauptstraße hier nach rechts. Sie können entweder bereits hier oder am Domplatz in etwa 300 m die Straße überqueren. Der Domplatz liegt linkerhand bzw. dann direkt vor Ihnen.

	Wurden die grünen, roten und gelb/rot-gelben Sekunden richtig gezählt, dann ergibt sich, dass Ampel A mit einer Wahrscheinlichkeit von 37/60 ≈ 62% und Ampel B mit einer Wahrscheinlichkeit von 31/60 ≈ 52% rot zeigen. In der dritten Aufgabe soll als Zusatz noch bestimmt werden, wie viele Rotphasen die Ampel in einer Stunde zeigt. Dafür muss zunächst erkannt werden, dass eine Ampelphase 60 Sekunden, also etwa eine Minute, andauert; es pro Stunde 3600 Sekunden (60 Minuten) gibt, und die Ampel eine Rotphase pro 60 Sekunden anzeigt. Machen die Lernenden sich dies bewusst, kämen sie durch Division von 3600 durch 60 (eine Ampelphase) auf 60 Rotphasen pro Stunde. Die Schülerinnen und Schüler sollen im Anschluss bewerten, ob die Idee: Annette Armbrust Ampel wirklich meistens rot zeigt (Antwort: 2. Station: SuSCHoku Weg

Hinweise

Auf dem Domplatz können sich die Schülerinnen und Schüler nach einer kurzen Besprechung der Aufgabe über den gesamten Platz verteilen. Dies ist ggf. auch notwendig, um alle Sitzelemente zu zählen. Es ist daher sinnvoll, hier einen gemeinsamen Treffpunkt nach etwa 30 Minuten zu vereinbaren. Bei der zweiten Station "SuSCHoku" geht es um die weißen Sitzflächen auf dem Domplatz. Möglicherweise müssen die Bedeutung und die Regeln eines Sudokus vor der Aufgabenbearbeitung geklärt werden.

: Auf die Plätze, fertig, Eis! Idee: Annette Armbrust Weg Überqueren

  Sie die Domstraße und den Speersort und folgen Sie der Bergstraße. Links an der Petrikirche vorbei führt Sie der Weg zur nächsten Station wieder in Richtung Jungfernstieg (Sie überqueren dabei die Mönckebergstraße und die Hermannstraße und gelangen wieder an den Startpunkt des Spaziergangs). Auf dem Alsteranleger können Sie bequem bis hinter das Restaurant "ALEX" laufen (etwa 400m). Dort befindet sich das Eiscafé Warneke.HinweiseSie können hier mit den Schülerinnen und Schülern eine Pause einlegen und nach erfolgreicher Aufgabenbearbeitung ein Eis kaufen. Es bietet sich an, die Pause auf den Stufen des Alsteranlegers an dieser Stelle abzuhalten. Achten Sie dabei auf Ihre Wertgegenstände und informieren Sie Ihre Schülerinnen und Schüler.

Lösungshinweise

In der ersten Aufgabe sollen die Lernenden herausfinden, wie viele Eissorten verkauft werden (Antwort, als wir dies überprüft haben: 21). In der zweiten Aufgabe wird das Problem aufgeworfen, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es für eine Eistüte mit zwei verschiedenen Eissorten gibt. Um das Problem zu mathematisieren, müssen die Schülerinnen und Schüler die Information aus Aufgabe 1 nutzen. Die Mathematisierung führt zur Aufstellung des allgemeinen Zählprinzips: (21 • 20) / 2 = 210 Kombinationen, die Lösung hängt hier natürlich von der Anzahl der Sorten ab, die variieren kann. Die dritte Aufgabe wirft die Frage auf, für wie viele Personen Eis gekauft werden kann, wenn jede bzw. jeder aus der Klasse eine andere Kombination aus drei verschiedenen Eissorten haben soll. Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge die Eissorten befüllt werden. Um dies zu verdeutlichen, ist eine Skizze angegeben. Eine Mathematisierung des Problems kann selbstverständlich über den Binomialkoeffizienten (6 über 3) erfolgen: (6 • 5 • 4) / (3 • 2 • 1) = 20. Allerdings ist den Schülerinnen und Schülern dies aus dem Mathematikunterricht noch nicht bekannt. Daher erfolgt die Mathematisierung am ehesten durch Ausprobieren

bzw. durch Aufschreiben, z. B. mit einzelnen Farbtupfen für die Sorten oder etwa ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, usw.). Die Kombinationsmöglichkeiten bei 6 Eissorten reichen für 20 Personen. Mögliche Fehler Unter

  Umständen ist den Schülerinnen und Schülern das Zählprinzip unbekannt. Es kann dann z. B. In Aufgabe 2 auch zu Ergebnissen wie 21 • 21 = 441 Möglichkeiten kommen, wenn nicht beachtet wird, dass die Größe des Faktors für die zweite Kugel um eins abnimmt, weil die vorherige Eissorte nicht mehr gewählt werden kann, da jede Sorte höchstens einmal vorkommen darf und, dass Möglichkeiten dann doppelt gezählt werden. Möglich ist auch in Aufgabe 3 wieder der Fehler, dass nicht beachtet wird, dass eine Eissorte nur einmal vorkommen darf. Auch durch die veränderten Bedingungen zu Aufgabe 2 (drei Kugeln ergeben eine Kombinationsmöglichkeit) könnten Schwierigkeiten auftreten. Das Aufschreiben der Sorten ist mühsam für die Schülerinnen und Schüler und Kombinationen können vergessen werden.

4.

Station: Glücksspiele im Park Idee: Annette Armbrust Weg Sie

  können an dieser Stelle entscheiden, ob Sie die 4. Station in den Spaziergang integrieren möchten oder nicht (in letzterem Fall überspringen Sie diese Station, der alternative Wegverlauf ist in Station 5 angegeben). Um zur 4. Station zu gelangen, gehen Sie in Laufrichtung weiter am Alsterufer entlang und folgen dem Neuen Jungfernstieg (vorbei am Hotel Vier Jahreszeiten). Nach etwa 300 m gelangen Sie an die große Kreuzung Neuer Jungfernstieg/Esplanade, die Sie auf der rechten Seite in Richtung der Bahnschienen überqueren können. Eine weitere Überquerung des Neuen Jungfernstiegs bringt Sie auf die gegenüberliegende Seite der Kreuzung, der weitere Weg durch den Park beginnt links hinter dem Finnlandhaus vor den Bahnschienen. Folgen Sie dem Wegverlauf durch den sich verbreiternden Gustav-Mahler-Park. Nach etwa 150 m entdecken Sie rechts das bunte Kunstwerk, um das es in der Aufgabe geht.

Hinweise

Die Station "Glücksspiele im Park" thematisiert eine Lichtskulptur im Gustav-Mahler-Park am Stephansplatz. Die erste Aufgabe wirft den Kontext auf, dass dort ein Glücksspielplatz für Kinder errichtet werden soll, Sie können hier den Zusammenhang zum Casino Esplanade thematisieren und dabei z.B. selbstverständlich auch die Frage aufwerfen, wie dieses Vorhaben in Anbetracht möglicher negativer Auswirkungen von Glücksspielen zu bewerten ist. Lösungshinweise Bei der ersten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler entscheiden, ob sich ein oder mehrere der Elemente der Skulptur (mehrere Quader, ein Würfel) für ein Laplace-Experiment eigenen. Ein geeignetes Element soll daraufhin im Protokoll skizziert werden. Beachten die Lernenden, dass bei einem Laplace-Experiment alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sein müssen, dann eignet sich nur der Würfel.

In Aufgabe 2 wird danach gefragt, wie viele Flächen das ausgesuchte Element besitzt und wie viele davon durch die anderen Elemente verdeckt sind. Die korrekte Antwort lautet:

insgesamt sechs Flächen, davon zwei verdeckt oder nicht sichtbar -eine durch ein anderes Element und eine durch den Boden. Weiterhin

  

sollen die nicht-sichtbaren Flächen so eingefärbt werden, dass alle Farben auf dem Würfel gleich oft vorkommen. Haben die Schülerinnen und Schüler vorher die Anzahl an verdeckten Flächen mit zwei identifiziert, dann

müssen beide weiß eingefärbt werden (drei sind bereits rot und eine weiß gefärbt

  

). Gefragt wird zudem danach, ob es mehrere Lösungen gibt -unter

der gegebenen Bedingung ist das nicht der Fall.

  Möglicherweise ist den Schülerinnen und Schülern nicht geläufig, was unter einem Laplace-Experiment oder einem entsprechend geeigneten Zufallsgerät zu verstehen ist. Hier sollten Sie ggf. notwendige Hilfestellung geben. Mögliche Fehler können bei dieser Station auch entstehen, wenn in Aufgabe 2 die nicht-sichtbaren Flächen nicht als zwei identifiziert werden und nicht beide in weiß eingefärbt wurden. Außerdem ist denkbar, dass die einzelnen Werte im Bruch nicht korrekt zugeordnet werden, also beispielsweise die Gesamtanzahl an Flächen des Würfels (6) durch die Anzahl der roten Seiten (3 bzw. 5) geteilt wird. Damit sich die Schülerinnen und Schüler etwas besser verteilen können, können die Aufgaben in der Station 5 mit beiden Seiten des Denkmals durchgeführt werden, es ergeben sich lediglich unterschiedliche Ergebnisse. Wie der Broschüre zur Entstehung des Gedenkorts entnommen werden kann, äußerte sich der Schaffer der verwendeten Texte Helmut Heißenbüttel über die seltsame Anordnung der Buchstaben folgendermaßen: "Die Strophen sollen als Blöcke erscheinen [...] Der Sinn dieser Druckanweisung liegt darin, dass jedes Gedicht ein ununterbrechbares Ganzes darstellt, dessen innere Rhythmik je nach Leser frei variabel bleiben soll; damit keine festen Zäsuren sich einprägen, soll das Druckbild so geschlossen wie möglichLösungshinweiseIn der ersten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler die absolute Häufigkeit des Buchstaben O bestimmen. Bei

	Mögliche Fehler	
	5. Station:	Idee: Nils Buchholtz
		Wenn Sie von Station 3 kommen:	Wenn Sie von Station 4 kommen:
		Überqueren Sie die Kreuzung Neuer	Folgen Sie dem Weg weiter durch den Park in
		Jungfernstieg in Richtung NIVEA Haus. Der	Richtung Dammtorbahnhof, bis Sie an den
		Weg führt dann schräg rechts etwa 400 m	Dammtordamm kommen. Halten Sie sich links,
		durch die Colonnaden über den Gustav-	bis Sie zum Eingang der Spielbank gelangen
		Mahler-Platz hinweg in Richtung U
		Stephansplatz. Überqueren Sie die Esplande
	Weg	auf Höhe der Spielbank.
		Diese Einfärbung ist die Voraussetzung für Aufgabe 3, in der die Wahrscheinlichkeit dafür
		bestimmt werden soll, dass beim Würfeln die rote Seite oben liegt. Die Mathematisierung des
		Problems führt zur Aufstellung des Verhältnisses aus roten und weißen Seiten, d.h. zu dem
		Verhältnis aus günstigen und möglichen Würfelergebnissen von 3/6 = 1/2. Im Anschluss daran erscheinen." wirft die Aufgabe noch die Frage auf, wie groß die Wahrscheinlichkeit für rot wäre, wenn (https://www.hamburg.de/contentblob/4642414/df148f3474b55626604befac37247a9e/dat
		a/gedenkort-fuer-deserteure-broschuere.pdf)

vorher die nicht-sichtbaren Flächen alle in rot eingefärbt worden wären. Die Berechnung führt zu der Wahrscheinlichkeit von 5/6. Vor der Spielbank müssen Sie den Dammtordamm überqueren, so dass Sie auf die andere Straßenseite und den Eingang des Planten un Blomen Parks gelangen. Folgen Sie dem Fußweg rechts etwa 100 m in Richtung Dammtorbahnhof (nicht in den Park hineingehen). Der Gedenkort für die im Krieg desertierten Soldaten befindet sich auf der rechten Seite vor dem Kriegerdenkmal. Nach Bearbeitung der Station endet der Spaziergang hier. Sie können am nahegelegenen Dammtorbahnhof (S21/S31) oder U-Stephansplatz die Heimreise antreten.

Hinweise

Beide Wege führen Sie vor die Spielbank Esplanade. Hier bietet sich (erneut) die Gelegenheit, das Thema Glücksspiel mit den Schülerinnen und Schülern zu thematisieren.

der Seite in Richtung Dammtor beträgt diese 13 und bei der Seite in Richtung Spielbank 9.

  Um in der zweiten Aufgabe die relative Häufigkeit des Buchstaben N zu überprüfen, müssen die Zeichen der Seite gezählt oder über die Zeilen abgeschätzt werden. Am besten geschieht dies arbeitsteilig. Die Zeilen beider Texte bestehen aus jeweils etwa 31-36 Buchstaben. Der Text auf der Seite Richtung Dammtor Bahnhof besteht insgesamt aus 540 Buchstaben und beinhaltet 56 Ns. Die relative Häufigkeit des Buchstabens liegt also bei 56/540, also 10,3%, was in etwa der gewöhnlichen Häufigkeit dieses Buchstabens entspricht. Der Text auf der Seite Richtung Spielbank besteht aus 506 Buchstaben, von denen 45 Ns sind. Die relative Häufigkeit für das N beträgt im Text also 45/506 oder etwa 9%. Der Buchstabe ist hier somit etwas geringer vertreten als gewöhnlich. Für die dritte Aufgabe lohnen einige Vorüberlegungen. Seltene Buchstaben, deren absolute Häufigkeit überprüft werden kann, sind beispielsweise q, x oder y (die aber nur in wenigen Worten überhaupt vorkommen), sowie die Umlaute ä, ö und ü. Beim Text auf der Seite Richtung Dammtor Bahnhof gibt es ein

Ü, die relative Häufigkeit beträgt hier 0,18%. Der Text auf der Seite Richtung Spielbank weist zwei Ös auf, hier beträgt die relative Häufigkeit 3,9%.

  Auf dem Jungfernstieg liegt das Eiscafé "Warneke". Bei gutem Wetter kann man hier ein Eis mit Blick auf die Binnenalster genießen.Findet heraus, viele Eissorten verkauft werden.

	Auf die Plätze,
	fertig, Eis!
	Die Außen-und Binnenalster waren nicht immer ein See. Sie
	entstanden erst im 12. Jahrhundert durch Anstauung des 56 km
	langen Flusses "Alster" und der Überschwemmung der angren-
	zenden Alsterwiesen. Ein Graf wollte den See als Mühlenteich für
	eine Kornmühle benutzen. Erst der Bau der Hamburger Wallan-
	lagen im 17. Jahrhundert trennte den Mühlenteich in die heutige
	Außen-und Binnenalster.
	Aufgabe 1
	Aufgabe 2
	Eine Kugel Eis ist Herrn Franz nie
	genug! Deshalb bestellt er gleich
	zwei verschiedene Sorten Eis.
	Wie viele Möglichkeiten gibt es für
	seine Eistüte, wenn die Sorten unter-
	schiedlich sein sollen?
	Beachtet, dass es dabei egal ist, ob
	eine Sorte die unterste oder die
	oberste Kugel ist (das wäre also die
	gleiche Möglichkeit).

Armbrust & Buchholtz, 2019