Gemittelt über alle Ladungsträger im Band ergibt sich für die mittlere Lebensdauer der Elektronen:

τ nk = 1 < q nk v nk > p k = 1 γ nk p k , (2.3) 
wobei < q nk v nk > den Rekombinationskoeffizienten γ nk [cm 3 s -1 ] bezeichnet. Bei mehreren Sorten von Rekombinationszentren gilt für die Lebensdauer:

1 τ n = k 1 τ nk = k < q nk v nk > p k = k γ nk p k . ( 2.4) 
Analog erfolgt die Herleitung der Lebensdauer von Löchern.

Für einige Modelle im Rahmen dieser Arbeit werden die Rekombinationsprozesse in der sogenannten effektiven Lebensdauer τ ef f zusammengefasst (vgl. z.B. [START_REF] Schroder | Semiconductor Material and Device Characterization[END_REF]): (vgl. [START_REF] Shockley | Statistics of the Recombinations of Holes and Electrons[END_REF], [START_REF] Hall | Electron-Hole Recombination in Germanium[END_REF]). Um diese Formen der Rekombination zu reduzieren, werden die offenen Bindungen mit geeigneten Passivierungsschichten abgesättigt. Die Volumenlebensdauer setzt sich zusammen aus Defekt-, Auger-, und strahlender Lebensdauer: 

1 τ ef f = 1 τ bulk + S 1 + S 2 W . ( 2 
1 τ bulk = 1 τ def ect + 1 τ Auger + 1 τ rad . ( 2 
R Auger = C n n 2 p, (2.7) 
bzw.

R Auger = C p np 2 .
(2.8)

Bei der strahlenden Rekombination von Elektronen und Löcher werden Photonen der Energie in der Größenordnung der Bandlücke emittiert. Die Rate ist proportional zur Dichte der Ladungsträger:

R rad = Bnp, (2.9) 
mit dem Rekombinationskoeffizienten B = 4,73 x 10 -15 cm 3 s -1 (für Raumtemperatur T = 300 K, vgl. [START_REF] Trupke | Temperature dependence of the radiative recombination coefficient of intrinsic crystalline silicon[END_REF]).

Zusammengefasst kann die Rekombinationsdynamik durch die ambipolare Diffusionsgleichung beschrieben werden: Für die Relaxation der Überschussladungsträger sind zwei Fälle zu unterscheiden:

∂n(x, t) ∂t = D∇ 2 n(x, t) - n(x, t) τ -Bn(x, t) 2 -C Auger n(x, t) 3 + G(x,
Nieder-und Hochanregungsfall (high-and low-level excitation).

Lineare Rekombination In diesem Fall, der auch als monomolekulare Rekombination bezeichnet wird, ist die Konzentration der erzeugten Überschussladungsträger klein gegenüber der Konzentration der Gleichgewichtsladungsträger (∆n = ∆p ≪ (n 0 + p 0 )). Für die Zeitentwicklung der Überschussladungsträgerkonzentration gilt dann: Quadratische Rekombination Im Hochanregungsfall, der auch als bimolekulare Rekombination bezeichnet wird, ist die Konzentration der erzeugten Überschussladungsträger groß gegenüber der Konzentration der Gleichgewichtsladungsträger (∆n = ∆p ≫ (n 0 + p 0 )). Im Produkt der Ladungsträgerkonzentrationen dominiert das Quadrat der Überschussladungsträgerdichte. Für die Zeitentwicklung der Überschussladungsträgerkonzentration gilt dann:

d∆n(t) dt = G - ∆n(t) τ . ( 2 
d∆n(t) dt = G -B(∆n(t)) 2 , ( 2.20) 
mit dem oben erwähnten bimolekularen Rekombinationskoeffizienten B. Die Ausführung der Integration analog zum Fall der monomolekularen Rekombination ergibt für den Anstieg der Überschussladungsträgerdichte folgendes Verhalten:

∆n(t) = G B tanh(t √ BG). (2.21)
Für das Relaxationsverhalten im Abklingfall hingegen: 

∆n(t) = G B 1 t √ BG + 1 . ( 2 
τ (t) = 1 B∆n(t) =    1 √ GB tanh(t √ Gγ) Anklingfall t + 1 √ GB Abklingfall (2.24)
Die Lebensdauer ändert ihren Wert während des Relaxationsprozess (in den Grenzfällen t → 0, ∞ treten jedoch keine unendlichen Lebensdauern auf, denn sobald im An-und Abklingfall ∆n ≪ (n 0 + p 0 ) gilt, setzt gemäß 2.17 und 2.18 wieder exponentieller An-bzw. Abfall mit konstanter Lebensdauer ein). Weil in diesem und im allgemeinen Fall nicht von konstanten Lebensdauern auszugehen ist, sind gemäß [START_REF] Rywkin | Photoelektrische Erscheinungen in Halbleitern[END_REF] momentane Lebensdauern für an-und abklingende Überschussladungsträgerkonzentration einzuführen. Aus Gln. 2.16 kann der Momentanwert der Lebensdauer für Anund Abklingprozess bestimmt werden: Diese experimentell zugängliche Größe gibt zugleich einen oberen Grenzwert für die Leerlaufspannung V oc [V] für halbleitendes Material an: 

τ (t) =      ∆n(t) G- d∆n(t) dt Anklingfall -∆n(t)
n = n i exp E fe -E i k B T , (2.29) p = n i exp E i -E f h k B T . ( 2 
np = n 2 i exp E fe -E f h k B T = n 2 i exp µ f k B T . ( 2 
V oc = µ f q = k B T q ln np n 2 i = k B T q ln (n 0 + ∆n)(p 0 + ∆p) n 2 i . ( 2 
V oc = k B T q ln N A ∆n + ∆n 2 n 2 i . ( 2 

.33)

Für Niedrig-und Hochanregungsfall kann für die Leerlaufspannung weiterhin genähert werden:

V oc (∆n) ∼    k B T ln (∆n) ∆n ≪ N A 2k B T ln (∆n) ∆n ≫ N A (2.34)
Durch Umstellen von Gleichung 2.31 folgt andererseits: 

0 = np -n 2 i exp µ f k B T = ∆n 2 + n 2 i 1 -exp µ f k B T + (n 0 + p 0 ) ∆n + n 2 i 1 -exp µ f k B T ⇔ ∆n = - (n 0 + p 0 ) 2 + (n 0 + p 0 ) 2 4 -n 2 i 1 -exp µ f k B T ≈ - N A 2 + N 2 A 4 -n 2 i 1 -exp µ f k B T . ( 2 
∆n(t) = ∆n 0 + ∆n 1 (ω) exp(i(ωt + φ(ω))), (2.38) 
mit der frequenzabhängigen Amplitude ∆n 1 und der frequenzabhängigen Phasenverschiebung φ. V S sin(ω S t + ϕ S ) und das anregende Referenzsignal r(t) = V r sin(ω r t + ϕ r ), mit den Amplituden V S,r , den Kreisfrequenzen ω S,r und den Phasen ϕ S,r . Ein Multiplikator multipliziert Antwort und Referenz: 

Phasensensitive Detektion

V P SD =V S V r sin(ω S t + ϕ S ) sin(ω r t + ϕ r ) = 1 2 V S V r cos((ω S -ω r )t + ϕ S -ϕ r )- 1 2 V S V r cos((ω S + ω r )t + ϕ S + ϕ r ) , ( 2 
S IP (ω) = 2 T T 0 S(t) cos(ωt)dt, (2.40) 
S OP (ω) = 2 T T 0 S(t) sin(ωt)dt, (2.41) 
mit T = 2π ω , wobei ω = 2πf Kreisfrequenz sei. Daraus folgt für das Amplitudenund Phasenspektrum:

U (ω) = S IP (ω) 2 + S OP (ω) 2 ,
(2.42) Rechteckmodulation Unter Beachtung des in Kap. 2.1.1 für einen rechteckförmigen Anregungspuls beschriebenen Relaxationsverhalten wird an dieser Stelle die sich ergebende spektrale Amplitude direkt angegeben (vgl. dazu [START_REF] Rywkin | Photoelektrische Erscheinungen in Halbleitern[END_REF] und [START_REF] Botta | Photoinduced absorption of polymer solutions[END_REF]): 

ϕ(ω) = tan -1 S OP (ω) S IP (ω) . ( 2 
f (t) = ∞ n=1 sin ((2n -1) ωt) 2n -1 , ( 2 
∆n(t) = ∆G 0 τ 1 - e -t τ 1 + (ωτ ) 2 + ∆G 1 τ sin(ωt) + ωτ (e -t τ -cos(ωt)) 1 + (ωτ )
∆n 1 (ω) = ∆G 1 τ 1 + (ωτ ) 2 , (2.49) φ(ω) = -arctan(ωτ ) ⇔ tan(φ) = -ωτ . ( 2 
∆n 1 (ω) = ∆G 1 τ tanh π 2ωτ . ( 2 
G(x, t) = ∞ m=-∞ G m e imωt e -αx (mit dem Absorptionskoeffizienten α [cm -1 ]
) und es folgt für die Fourierentwicklung der lokalen Anregungsdichte:

∆n(x, t) = ∞ m=-∞ ∆n * m (x, ω)e imωt , (2.55) 
bzw. für die über den Wafer der Dicke W integrierte Anregungsdichte:

∆N (t) = ∞ m=-∞ W 0 ∆n * m (x, ω)e imωt dx = ∞ m=-∞ ∆N * m (ω)e imωt , (2.56) 
Bei Lock In-Detektion der ersten Harmonischen wird nur die erste Fourierkomponente (m = 1) betrachtet. Ist τ bulk die Volumenlebensdauer, so wird τ 1 (ω) = τ bulk 1+iωτ bulk als komplexer frequenzabhängiger Volumenlebensdauer-Parameter eingeführt. Mit der entsprechend komplexen und frequenzabhängigen Diffusionslänge L 1 (ω) = Dτ 1 (ω) folgt für die ersten Komponenten der fourierentwickelten lokalen und integrierten Anregungsdichte:

∆n * 1 (x, ω) = G 1 C 1 e (x-W )/L 1 + C 2 e -(x-W )/L 1 -e αx D α 2 -1 L 2 1 , (2.57) bzw. ∆N * 1 (ω) = G 1 αL 1 C 1 1 -e -W L 1 -αL 1 C 2 1 -e W L 1 -1 -e -αW D α 2 -1 L 2 1 , (2.58) mit C 1 = 1 2 (αD + S 1 ) D L 1 -S 2 -(αD -S 2 ) D L 1 + S 1 e -W (α-1 L 1
)

D 2 L 2 1 + S 1 S 2 sinh( W L 1 ) + D L 1 (S 1 + S 2 ) cosh( W L 1 )
, (2.59)

C 2 = 1 2 (αD + S 1 ) D L 1 + S 2 -(αD -S 2 ) D L 1 -S 1 e -W (α+ 1 L 1
) 

D 2 L 2 1 + S 1 S 2 sinh( W L 1 ) + D L 1 (S 1 + S 2 ) cosh( W L 1 ) . ( 2 
1 τ ef f = 1 τ R + 1 τ N R . Mit θ(ω) := arctan(ωτ ef f ), L := Dτ ef f und Λ(ω) := (1 + (ωτ ef f ) 2 ) ergibt sich für die ortsabhängige Überschussladungsträger- dichte (r ∈ [0, ∞]) als Lösung: ∆n(r, t) = G 0 e -Lr 8πDr + G 1 cos(r sin( 1 2 θ)LΛ 1 4 -ωt)e -LΛ
ϕ(ω) = -tan -1 S OP (ω) S IP (ω) = = sin( 1 2 θ) G 0 BΛ 3 4 Lτ R + 8πD cos( 1 2 θ)(1 + √ Λ + 2Λ 1 4 cos( 1 2 θ)) G 0 B √ ΛLτ R (1 + Λ 1 4 cos( 1 2 θ)) -4πD(1 -2 cos( 1 2 θ) 2 )(1 + √ Λ + 2Λ
∆n * 1 (ω) = G 1 τ 0 1 + (iωτ 0 ) δ disp . (2.64)
Ausgehend von Lock In-Detektion wird aus dieser komplexen Größe der zur spektralen Amplitude proportionale Betrag gebildet:

∥∆n * 1 (ω)∥ = G 1 τ 0 (ωτ 0 ) 2δ disp + 2 (ωτ 0 ) δ disp cos( π 2 δ disp ) + 1 . ( 2 

.65)

Die spektrale Phase wird entsprechend gebildet:

ϕ(ω) = -tan -1 ℑ(∆n * 1 (ω)) ℜ(∆n * 1 (ω)) = -tan -1 (ωτ 0 ) δ disp sin( π 2 δ disp ) 1 + (ωτ 0 ) δ disp cos( π 2 δ disp )
. (2.66) .

Der Parameter τ 0 ist in diesem Zusammenhang als mittlere Lebensdauer zu verstehen. Der Dispersionsparameter δ disp ermöglicht die Bestimmung der fraktalen Dimension des Konfigurationsraums (vgl. [START_REF] Epshtein | Dispersive dynamics of photoexcitations in conjugated polymers measured by photomodulation spectroscopy[END_REF]). Für den Grenzfall δ disp = 0 folgt für die spektrale Amplitude ∥∆n * 1 ∥ = G 1 τ 0 4 und für die Phase ϕ = 0. Dies entspricht dem Maximum an Unordnung. Für δ disp = 1 folgt für die Amplitude ∥∆n *

1 ∥ = G 1 τ 0 √ 1+(ωτ 0 ) 2
und für die Phase: tan(ϕ) = -ωτ 0 , also wieder das einfache Modell gemäß Gln. 2.42 und 2.43.

Die Herleitung der zugeordneten Verteilungsfunktion für die Lebensdauern erfolgt mit einer sogenannten Stieltjes-Transformation (vgl. [START_REF] Davidson | Dielectric Relaxation in Glycerol, Propylene Glycol, and n-Propanol*[END_REF] und [START_REF] Fuoss | Electrical Properties of Solids. VIII. Dipole Moments in Polyvinyl Chloride-Diphenyl Systems*[END_REF]): Insbesondere kann mit den in Kap. 2.1.2 hergeleiteten Beziehungen direkt an der Probe gemessene V oc mit aus dem aus MPL über die Lebensdauerparameter bestimmten V oc (τ ef f,M P L ) verglichen werden. Es erfolgt die Anpassung der Amplitude des einfachen Modells an die generierten Daten über dem beschränkten Bereich bis 4 kHz (τ ef f,a1 ) sowie über dem gesamten Spektralbereich (τ ef f,a2 ). In Tab. 5.1 sind die Ergebnisse sowie die prozentualen Abweichungen ∆τ 1 (τ ef f,a1 -τ ef f,ϕ ), ∆τ 2 (τ ef f,a2 -τ ef f,ϕ ) zwischen Amplituden-und Phasen-Lebensdauer für die beiden Amplituden-Fitereiche aufgelistet. In Abb. 5.8 sind die zugehörigen Spektren dargestellt. Es zeigt sich eine durchgehend bessere Übereinstimmung (∆τ 2 <∆τ 1 ) zwischen den beiden Lebensdauern, wenn die Amplitude über dem gesamten Spektralbereich anpasst (fit all) wird. Deutlich wird der Sachverhalt an unsymmetrischen Proben, für den symmetrischen Fall erscheint der Effekt geringfügig, doch bei experimentellen Messdaten wirkt er sich nachhaltiger aus.

G(ln(τ )) = 1 2πiG 1 τ 0 ∆n e -

Vergleichsmessung

Tabelle 5.1: Übersicht über die effektiven Lebensdauern und die prozentualen Abweichungen zwischen Amplituden-Lebensdauer und Phasen-Lebensdauer für Anpassung über identischen und verschiedenen Frequenzbereich für die mittlere Lebensdauer τ 0 = 300 µs.

S 1 , S 2 / cms -1 τ ef f,a1 / µs τ ef f,a2 / µs τ ef f,ϕ / µ
τ NR 1/τ R = B(N A + ∆ n) 1/τ = 1/τ R + 1/τ NR

Messungen

MPL: Vergleich Rechteck-und Sinusmodulation

Überprüfung der Amplitudenmodelle für Rechteck-und Sinusmodulation An der hochdotierten Probe PWH1a werden zur Kontrolle der gemäß Theorie (vgl. Kap. 2.2.3 bzw. [START_REF] Rywkin | Photoelektrische Erscheinungen in Halbleitern[END_REF], [START_REF] Botta | Photoinduced absorption of polymer solutions[END_REF]) vorhergesagten funktionalen Übereistimmung der spektralen Phasen und den funktionalen Unterschieden der spektralen Amplituden im Niederanregungsfall Vergleichsmessungen für sinusförmige und rechteckförmige Anregung durchgeführt. Die Photonenflussdichte beträgt Φ = 5.7×10 17 cm -2 s -1 . Beide

Signalformen werden elektronisch mit einem Funktionsgenerator für ein Verhältnis zwischen Amplitude und stationärer Anregung von G 1 = G 0 10 erzeugt und an einem Digital-Oszilloskop hinsichtlich Offset, Amplitude und Frequenz kontrolliert. Die Spektren werden bis 1000 Hz aufgezeichnet. Die Ergebnisse sind in 5.12 dargestellt. Während die spektralen Phasen in der Tangensdarstellung gut übereinstimmen, zeigen sich leichte Abweichungen in der Amplitude. Entgegen der theoretischen Beschreibung entspricht der Verlauf der spektralen Amplitude im Rechteckfall jedoch nicht dem gemäß Gln. Farben stehen für die gleiche Anregungsdichte. In Abb. 5.17 ist der anregungsabhängige Verlauf von Amplitude und Lebensdauer angegeben. (a) Es sind Fits der Anpassung gemäß dem bimolekularen und dem dispersiven Modell gezeigt, da hier überwiegend ein nichtlineares Verhalten beobachtet wird. 

0 2000 4000 6000 -1.4 -1.2 -1 -0.8 

II 5 . 2 . 5 2 Theorie 2 . 1

 525221 MPL und stationäre kalibrierte Photolumineszenz . . . . . . . 5.2.6 Zeitaufgelöste MPL am Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.7 Fouriertanalyse zeitabhängiger MPL . . . . . . . . . . . . . . 5.2.8 Vergleichsmessung Quasi-Statische Photoleitfähigkeit . . . . . 5.2.9 Strom-und spannungsabhängige MPL . . . . . . . . . . . . . Silizium-Halbleiter z. B. für Photovoltaik-Anwendungen erfordert Kenntnis und Überwachung der Güteparameter während des Herstellungsprozesses. Ein wichtiger Materialparameter für die Qualität von Wafern und Solarzellen ist die Lebensdauer der Minoritätsladungsträger. Etablierte Methoden zur Bestimmung dieser Lebensdauer sind zumeist induktive Methoden zur Bestimmung der Photoleitfähigkeit, die jedoch bei hoch dotierten Proben und Proben mit metallischem Rückkontakt nicht oder nur beschränkt einsatzfähig sind. In dieser Arbeit wird Modulierte Photolumineszenz (MPL) als alternative Methode untersucht. Bei der MPL werden mittels Lock In-Technik spektrale Amplitude und Phase als Funktionen der Modulationsfrequenz aufgenommen. Aus ihnen kann die Lebensdauer als wesentlicher Parameter bestimmt werden. Die Abhängigkeit der spektralen Antwort von Probengeometrie, Dotierung und Anregungsdichte muss durch geeignete Modelle beschrieben werden. In Kap. 2.1 wird zunächst die Rekombinationsdynamik in einem Halbleiter unter optischer Anregung beschrieben und die Lebensdauer von Ladungsträgern eingeführt. Weiter werden die theoretischen Grundlagen der MPL-Methode hergeleitet. Zur Beschreibung der mit Lock-In Technik gemessenen spektralen Phasen und Amplituden werden vier Modelle erklärt, zwei für den linearen Fall sogenannter 'Niederinjektion' und zwei für den nichtlinearen Fall der 'Hochinjektion'. In Kap. 3 werden die zu untersuchenden Proben beschrieben. Die verwendeten Versuchsaufbauten und Methoden zur Vergleichsmessung werden in Kap. 4 erklärt. Im Ergebnisteil in Kap. 5 werden im Rahmen von Simulationen zunächst die verschiedenen Modelle zur Beschreibung des spektralen Antwortverhalten von MPL verglichen. Der experimentelle Teil enthält die Präsentation der Ergebnisse und Auswertungen der Messungen mit MPL und Vergleichsmethoden. Abschließend werden in Kap. 6 eine Zusammenfassung und ein Ausblick gegeben. Zentraler Anspruch dieser Arbeit ist es, die Einsetzbarkeit der MPL-Methode für ein breites Spektrum an Silizium-Proben zu untersuchen. Dazu wird die spektrale Antwort auf die verwendete rechteckförmige und sinusförmige Modulation anhand des [1] einfachen Modells untersucht. Es wird gezeigt, dass sich das einfache Modell als Spezialfall aus der Lösung der linearisierten ambipolaren Diffusionsgleichung unter Berücksichtigung der Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeiten in den Randbedingungen ergibt. Die je nach Dotierung und Anregungsdichte im 'Hochanregungsfall' auftretenden nichtlinearen Effekte erfordern eigentlich das Lösen der nichtlinearen ambipola-ren Diffusionsgleichung. Als Alternative für das Übergangsregime vom Nieder-zum Hochinjektionsregime wird ein nichtlinearer Ansatz als Erweiterung des bisherigen Modells präsentiert. Als weitere Alternative wird ein dispersives Modell präsentiert, das zur Beschreibung ungeordneter Systeme dient, die linearen und nichtlinearen spektralen Antworten aber ebenfalls darzustellen vermag. Von besonderem Interesse ist der Vergleich des einfachen Modells mit dem exakten Modell und den nichtlinearen Modellen. Für Vergleichsmessungen werden frequenz-und zeitaufgelöste MPL untersucht. Weiterhin werden die mit MPL bestimmten Lebensdauern mit den aus stationärer Photolumineszenz und der verbreiteten induktiven Quasi-Statischen-Photoleitfähigkeit (QSSPC) bestimmten Lebensdauern verglichen. Abschließend wird untersucht, inwiefern MPL aus der Lebensdauer abgeleitete Aussagen über die Aufspaltung der Quasi-Fermi-Niveaus bzw. der Leerlaufspannung V oc ermöglicht. Rekombinationsdynamik im Halbleiter unter optischer Anregung 2.1.1 Relaxation und Lebensdauer Betrachtet wird ein Wafer bestehend aus kristalinem Silizium in einem Wärmebad. Die Ladungsträgerkonzentrationen [cm -3 ] im thermischen Gleichgewicht der freien Elektronen und Löcher sind mit n 0 und p 0 bezeichnet. Wird der Wafer lokal optisch angeregt, entstehen mit einer Generationsrate G [cm -3 s -1 ] Überschussladungsträgerkonzentrationen ∆n, ∆p in Form von Elektron-Loch-Paaren. Diese gelangen nach einer charakteristischen Zeit durch verschiedene Rekombinationsprozesse gemäß der Rekombinationsrate R [cm -3 s -1 ] wieder in den Grundzustand. Die strahlende Rekombination kann in Form von Photolumineszenz-Strahlung detektiert werden. Es stellt sich ein stationärer Nichtgleichgewichtszustand ein. Für die Dichten der Gesamtzahl der freien Ladungsträger gilt dann: n = n 0 + ∆n, (2.1) p = p 0 + ∆p. (2.2) Die mittlere Zeit zwischen Generation und Rekombination der Elektronen und Lö-cher wird als Lebensdauer τ [s] bezeichnet. Sie entspricht der mittleren Zeit zwischen Begegnungen von Rekombinationspartnern, bei der es zum Einfang kommt. Sie ist für Elektronen bestimmt durch die Dichte der Rekombinationspartner p k [cm -3 ] (Löcher im Valenzband, lokalisierte Defektzustände, Strukturdefekte etc.), deren Einfangsquerschnitt q k [cm 2 ] sowie der mittleren relativen Geschwindigkeit v nk [cms -1 ].

. 5 )

 5 Hier ist τ bulk die Volumenlebensdauer und S 1 , S 2 die Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeiten [cms -1 ]. An den Oberflächen endet die periodische Struktur des Festkörpers. Durch das Fehlen von Nachbaratomen treten offene Bindungen (dangling Bonds) auf, die als Rekombinationszentren wirken und im Bereich der Bandlücke zusätzliche Energieniveaus bilden. Die Oberflächenatome können auch die Periodizität verletzende neue Bindungen untereinander eingehen, die ebenfalls zu Zuständen im Bereich der Bandlücke führen und als Einfangzentren fungieren. Die theoretische Beschreibung erfolgt mit Hilfe von Modellen von Shockley, Read und Hall

. 6 )

 6 Die beiden erstgenannten Lebensdauern sind durch nichtstrahlende Prozesse bestimmt. Die Defektrekombination ist auf Fremdatome, Fehlstellen und Dislokationen zurückzuführen. Diese wirken als Rekombinationszentren und treten als Energievinveaus in der Bandlücke auf. Die Modellierung dieser Effekte erfolgt ebenfalls gemäß Shockley, Read und Hall (s.o.). Beim Auger-Prozess dient die durch Elektron-Loch-Rekombination frei-werdende Energie zur Anregung von Leitungsband-Elektronen oder Valenzband-Löchern. Diese hochangeregten Ladungsträger relaxieren dann unter mehrfacher Phononenanregung wieder in die Nähe der Bandkanten. Für die Raten gilt je nach Dotierung:

. 16 ) 17 )

 1617 Durch Trennung der Variablen und Integration wird die Relaxtionskurve bei Einsetzung der optischen Anregung zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt: ∆n(t) = Gτ (1 -e Diese enthält die Lebensdauer τ als Abklingkoeffizient und strebt für t → ∞ gegen einen stationären Wert ∆n stat = Gτ . Setzt die optische Anregung zum Zeitpunkt t = 0 abrubt aus, so erigbt sich für den Abfall der Überschussladungsträgerkonzen-Halbleiters auf einen optischen Rechteckimpuls drückt sich also im exponentiellen Anwachsen und Abklingen der Überschussladungsträgerkonzentrationen mit einer Zeitkonstante τ aus, die der Lebensdauer entspricht. Hervorzuheben ist, dass die stationäre Überschussladungsträgerkonzentration im monomolekularen Fall proportional zur Stärke der optischen Anregung (Photonenflussdichte ϕ [cm -2 s -1 ]) ist: ∆n ∼ G ∼ ϕ.(2.[START_REF] Sinton | Contactless determination of current-voltage characteristics and minority-carrier lifetimes in semiconductors from quasi-steadystate photoconductance data[END_REF] 

  .31) Die Aufspaltung der Quasi-Ferminiveaus ist also gegeben durch die Größe µ f [eV].

  .32) In einem p-dotierten Halbleiter ist die thermische Gleichgewichtskonzentration durch die Konzentration der Akzeptoren N A bestimmt, d.h. p 0 = N A ≫ n 0 . Mit ∆p = ∆n und N A ≫ n 0 folgt näherungsweise:

Für

  geringe Anregung und hohe Frequenzen ist das MPL-Signal im Allgemeinen vom Umgebungsrauschen nur schwer zu separieren. Daher wird ein Lock-In Verstärker zur phasensensitiven Detektion von spektraler Amplitude und Phase verwendet. Zur Detektion benötigt der Lock-In als Eingangsinformationen das Antwortsignal S(t) =

  .39) Nach Integration und Tiefpassfilterung verbleibt allein der Anteil des Signals mit ω S = ω r . Mit der Phasendifferenz ϕ = ϕ S -ϕ r . Amplitude U und Phase ϕ können über die In-Phase-Komponente (IP) und die Out-of-Phase-Komponente (OP) (auch X-/Y-Kanal genannt) bestimmt werden. Sie entsprechen Real-und Imaginärteil des fouriertransformierten gefilterten Signalanteils:

  .43) Bei der LockIn-Detektion von Phase und Amplitude stellt sich die Frage, welche Modulationsmuster geeignet sind. So bieten sich beispielsweise sinus-, rechteck-oder dreieckförmige Modulation an. Für ersteres ist sofort offensichtlich, dass ein Signalanteil mit der Kreisfrequenz ω herausgefiltert wird. Für die letztgenannten Signalformen sind die Fourierreihen zu betrachten, deren Glieder jeweils proportional zu sin((2n -1)ωt) (n ∈ N) sind. So stellt sich die Fourierreihe des Rechtecksignals wie folgt dar:

  .50) Der Tangens der Phase hängt also linear von der Frequenz ab. Die Lebensdauer tritt als Steigungsfaktor auf. Alternativ kann die Amplitude über die Phase ausgedrückt werden: ∆n 1 (ω) = ∆G 1 τ cos(φ). (2.51) Dieses lineare Modell wird im Folgenden auch häufig als 'einfaches Modell' (simple model -s.m.) bezeichnet.

Abbildung 3 . 1 : 4 . 1 . 1 Abbildung 4 . 2 :

 3141142 Abbildung 3.1: Skizzen der Probengeometrie der Wafer [a] und Zellen [b],[c]

4. 2 . 1 Abbildung 4 . 3 : 5 . 1

 214351 Abbildung 4.3: Versuchsaufbau stationäre kalibrierte PL kombiniert mit MPL

Abbildung 5 . 1 : 2 W

 512 Abbildung 5.1: Spektrale Amplitude [a] und Phase [b] für sinus-und rechteckförmig modulierte Anregung im linearen Fall sowie Tangens der spektralen Phase [c].

Abbildung 5 . 2 :

 52 Abbildung 5.2: Die Symbole entsprechen den simulierten Spektren gemäß erweitertem Modell mit Oberflächenparametern [S i , S j ] (Gln. 2.59) für symmetrische Proben (S i = S j ) bis 30 kHz aufgelöst. [a] zeigt die spektrale Amplitude, [b] zeigt den Tangens der spektralen Phase, [c] zeigt den experimentell betrachteten Bereich. Das einfache Modell ist für die sich aus den Simulationsparametern ergebenden effektiven Lebensdauern τ ef f in Gestalt der farbigen Linien dargestellt (calc.). Die schwarzen Punkte entsprechen dem einfachen Modell, dass sich bei Anpassung an die Simulationsdaten ergibt (fit).

Abbildung 5 . 3 :

 53 Abbildung 5.3: Spektrale Amplitude [a],[c] und Tangens der spektralen Phase [b],[d] gemäß erweitertem Modell mit Oberflächenparametern (vgl. Gln. 2.59) für unsymmetrische Proben (eine Seite konstant passiviert (S i = 20 cm s -1 ), die andere Seite systematisch verschlechtert (S j ∈ S cm s -1 )). In [a],[b] hat die bestrahlte Vorderseite den konstanten Parameter S 1 = 20 cm s -1 und die Rückseite systematisch verschlechtert (S 2 ≥ 20 cm s -1 ). Die durchgezogenen Linien entsprechen dem einfachen Modell mit aus den Simulationsparametern berechneter effektiver Lebensdauer (calc.). Die Punkte entsprechen der Anpassung mit dem einfachen Modell durch eine Fitroutine (fit).

  Abbildung 5.4: Korrelation der durch Anpassung mit dem einfachen Modell (Gln.2.49 und 2.50) bestimmten Lebensdauern τ ef f,op mit den aus den Simulationsparametern berechneten effektiven Lebensdauern τ ef f,calc (Gln. 2.5).

Abbildung 5 . 5 :

 55 Abbildung 5.5: Ortsaufgelöste Spektren für zur Amplitude proportionalen Überschussladungsträgerdichteverteilung[a] und Phase [b] nach Gln. 2.59 für symmetrische Proben mit S 1 = S 2 ∈ S \ {20} (von links nach rechts)

Abbildung 5 . 7 :

 57 Abbildung 5.7: Ortsaufgelöste Spektren für zur Amplitude proportionalen Überschussladungsträgerdichteverteilung[a] und Phase [b] nach Gln. 2.59 für unsymmetrische Proben mit S 2 = 20 und S 1 ∈ S \ {20} (von links nach rechts).

Abbildung 5 . 8 :

 58 Abbildung 5.8: [a] Spektrale Amplitude mit angepassten einfachen Modell über dem selben Fitbereich des linearen Tangens (fit. lim.) und über dem gesamten Spektralbereich (fit all). [b] Tangens der spektralen Phase und Anpassung mit dem einfachen Modell (fit s.m.)

  density ∆ n / cm -3 effective lifetime (fit) τ eff,op / s τ eff fit ampl. s.m. τ eff fit phase s.m.

Abbildung 5 . 9 :

 59 Abbildung 5.9: Spektrale Amplitude [a] und Phase [b] gemäß bimolekularem Modell (nach Gln. 2.62) für eine konstante effektive Lebensdauer von 200 µs bei Variation der Generationsrate G 0 ∈ [1.61 × 10 16 , 1.61 × 10 20 ] cm -3 s -1 und einer Dotierung von N A = 7.7x10 14 cm -3 . Die durchgezogenen Linien Stellen die Anpassung des linearen Modells (Gln. 2.49 und 2.50) da. In [c] sind die Lebensdauerparameter über der Anregungsdichte ∆n gezeigt.

Abbildung 5 . 10 :Abbildung 5 . 11 :

 510511 Abbildung 5.10: Spektrale Amplitude [a] und Tangens der spektralen Phase [b] gemäß dispersivem Modell (2.65 und 2.66) für variierenden Dispersionsparameter δ distr im Intervall [0.75, 1] für eine mittlere Lebensdauer τ 0 = 300 µs: die durchgezogenen Linien entsprechen dem einfachen Modell (Gln. 2.49 und 2.50) Die resultierenden effektiven Lebensdauern τ ef f sind in Abb. 5.11 nebst Verteilungsfunktionen dargestellt.

Abbildung 5 . 12 :

 512 Abbildung 5.12: Vergleich Amplitude [a] und Phase [b] für Rechteck-und Sinusmodulation an PWH1a im Niedriganregungsfall für Φ = 5.7 × 10 17 cm -2 s -1

  2.52 vorhergesagten Verhalten, sondern ähnelt mehr der Antwort auf die sinusförmige Modulation. Für die effektive Lebensdauer ergibt sich mit dem nach Gln. 2.52 für die rechteckmodulierte Amplitude gültigen Modell eine effektive Lebensdauer von 305 µs, für die sinusmodulierte Amplitude hingegen nur 163 mus. Dies entspricht einer Abweichung von 60 %. Bei den Phasen ergibt sich für den rechteckmodulierten Fall 160 µs und für die Sinusmodulation 153 µs mit 5 % Abweichung. Die naheliegende Auswertung der Rechteckamplitude mit der Beziehung für die sinusförmige Amplitude liefert 164 µs. Für die in den Messungen ebenfalls verwendete Rechteckmodulation mit dem mechanischen Chopper werden anhand von Probe PWH2 für den Niederanregungsfall für ein Verhältnis zwischen Amplitude und stationärer Anregung von G 1 = G 0 2 beide Amplitudenmodelle ebenfalls getestet. In Abb. 5.13 ist eine typische spektrale Amplitude bei Niederinjektion für gechoppte Modulation dargestellt. Beide Modelle werden durch Anpassung geprüft. Wie im obigen Fall passt das Modell für sinusförmige Modulation besser. Die ermittelte effektive Lebensdauern für das Modell rechteckförmiger Modulation beträgt τ ef f,A = 414 µs. Dies entspricht einer Abweichung von 61 %. Für sinusförmige Modulation ergibt sich τ ef f,A = 220 µs und stimmt besser überein mit dem Wert aus dem Tangens der Phase: τ ef f,ϕ )= 204 µs.

  Abbildung 5.13: PWH2 Vergleich der Modelle für Rechteck-und Sinusmodulation im Niedriganregungsfall für 8.9 x 10 17 cm -2 s -1

Abbildung 5 . 15 :Abbildung 5 . 16 :

 515516 Abbildung 5.15: Amplitude [a] und Tangens der spektralen Phase [b] von anregungsabhängiger MPL für SiN x -passiviertes Silizium (PWH2) in Reflexionsrichtung (rot) und Transmissionsrichtung (blau) mit gechoppter Rechteckmodulation. Die effektive Lebensdauer [c] wird gemäß dem einfachen Modell aus Gln. 2.49 bzw. 2.50 bestimmt.

Abbildung 5 . 17 :

 517 Abbildung 5.17: Anregungsdichteabhängiger Verlauf der Maximalwerte der auf das Maximum der jeweiligen T/R-Reihe normierten Amplituden [a] und effektive Lebensdauen [b] für die (i)a:Si-passivierten Probe PWH1b.

Abbildung 5 . 18 :

 518 Abbildung 5.18: Anregungsabhängiger Verlauf von Amplitude [a] und Tangens der Phase [b] für nitridpassiviertes Silizium im Niederanregungsfall. Es sind Fits gemäß dem einfachen Modell (s.m. )und dem erweiterten Modell (c.m.) gezeigt.

Abbildung 5 . 19 :

 519 Abbildung 5.19: Anregungsabhängiger Verlauf von Amplitude [a] und Tangens der Phase [b] für nitridpassiviertes Silizium im Übergang zum Hochanregungsfall. Es sind Fits gemäß dem quadratischen Modell (fit bimol. m.) und dem dispersiven Modell (fit disp. m.) gezeigt.

Abbildung 5 . 20 :

 520 photon flux Φ / cm -2 s -1 bimol. coefficient B*/B amplitude fit phase fit (a)

3 SRV / cm s - 1 s

 31 Abbildung 5.21: Anregungsabhängiger Verlauf der effektiven Lebensdauer [a] sowie der Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit [b] für nitridpassiviertes Silizium geämß der unterschiedlichen Modelle.

Abbildung 5 . 22 :

 522 Abbildung 5.22: Anregungsabhängiger Verlauf von Amplitude [a] und Tangens der Phase [b] für PWL1b im Hochanregungsfall. Es sind Fits der Anpassung gemäß dem bimolekularen (fit bimol. m.) und dem dispersiven Modell (fit disp. m.) gezeigt, da hier überwiegend ein nichtlineares Verhalten beobachtet wird.

Abbildung 5 . 23 :

 523 photon flux Φ / cm -2 s -1 bimol. coefficient B*/B amplitude fit phase fit

3 SRV / cm s - 1 s

 31 Abbildung 5.24: Anregungsdichteabhängiger Verlauf der effektiven Lebensdauer [a] sowie der Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit [b] für PWL1b geämß der unterschiedlichen Modelle.

  Abbildung 5.25: Anregungsabhängiger Verlauf von Amplitude [a] und Tangens der Phase [b] für die TCO-beschichtete Zelle im Übergang zum Hochanregungsfall.

Abbildung 5 . 26 :

 526 photon flux Φ / cm -2 s -1 bimol. coefficient B*/B amplitude fit phase fit

3 SRV / cm s - 1 s

 31 Abbildung 5.27: Anregungsdichteabhängiger Verlauf von effektiver Lebensdauer [a] und Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit [b] für die TCO-beschichtete Zelle im Übergang zum Hochanregungsfall. Zum Vergleich sind hier die Ergebnisse aus den Anpassungen gemäß aller drei Modelle gezeigt.

Abbildung 5 .Abbildung 5 . 29 :

 5529 Abbildung 5.28: Amplitude [a] und Phase [b] für ortsaufgelöste Messung an PWH1a bei rechteckförmiger Modulation mit einem Chopper. Die laterale Variation des Ortes erfolgt in Abständen von ∆x = 3 mm bei konstanter Photonenflussdichte Φ.

Abbildung 5 .

 5 Abbildung 5.30: Amplituden-[a] und Phasenspektren [b] für TCO-Zellen auf Probe PCH2 bei rechteckförmiger Modulation mit einem Chopper. Daneben sind die resultierenden effektiven Lebensdauern [c] für jede Zelle (bzw. Messpunkt auf der Zelle) dargestellt.

Abbildung 5 .∆n 1 = 3 . 1 Φ2Φ1 = 7 .

 51317 Abbildung 5.31: MPL [a] und stationäre kalibrierte PL [b] an PWH1a für Anregung mit λ = 670 nm.

Φ

  Abbildung 5.33: MPL [a] und stationäre kalibrierte PL [b] an PWL1a für höchste Anregung

eff

  Abbildung 5.34: Ableitung der Lebensdauer aus der Phasenverschiebung zwischen Anregung (Referenz) und PL-Signal der Probe (SiN pass. c-Si).

Abbildung 5 .

 5 Abbildung 5.40: PCH2 bei Rechteckmodulation [a] 40 Hz und [b] 700 Hz

Abbildung 5 .

 5 Abbildung 5.41: [a] Amplituden und [b] Phasenspektrum der ersten und zweiten Harmonischen für niedrigdotierte PWL1a und hochdotierte PWH1a.

Abbildung 5 . 42 :

 542 photoflux Φ / cm -2 s -1

. ( 5 . 2 )

 52 Abbildung 5.43: Anregungsdichteabhängige Lebensdauern mit MPL und QSSPC bestimmt für [a] hochdotierte PWH1a sowie [b] niedriegdotierte PWL1b.

Abbildung 5 .

 5 Abbildung 5.44: [a] Dunkelkennlinien und Hellkennlinien bei Anregung mit Φ = 7.4 x 10 17 cm -2 s -1 und 2.5 x 10 17 cm -2 s -1 . [b] Anregungsdichte abhängige effektive Lebensdauern. Der Dotierlevel beträgt N D = 1.38 x 10 16 cm -3 . [c] Vergleich von gemessenen Leerlaufspannungen V oc und aus MPL bestimmten V oc,M P L (τ ef f ) für Photonenflussdichten Φ ∈ [1.3 x 10 17 , 7.4 x 10 17 ] cm -2 s -1 über der Photostromdichte j ph . Die Steigung ergibt den Diodenqualitätsfaktor m.

  

  

  

  

  

  t), (2.10) bzw. unter Zusammenfassung der Rekombinationsterme R = R def ect +R rad +R Auger : Für die folgenden Betrachtungen werden die zur Rekombination R = R def ect +R rad + R Auger gehörenden Anteile dieser Gleichung vereinfacht. Unter Annahme homogen verteilter Ladungsträgerdichten reduziert sich Gl. 2.11 mit n(t) = n 0 + ∆n(t) auf

	die einfache Form einer Ratengleichung:	
	dn(t) dt	=	d∆n(t) dt	= G(t) -R(t),	(2.13)
	Die Photolumineszenz hat ihren Ursprung in der strahlenden Rekombination R rad
	und für die folgenden Betrachtungen wird als Ansatz gewählt:
	∂n(x, t) ∂t	-D∇ 2 n(x, t) = G(x, t) -R(x, t),	(2.11)

mit dem ambipolaren Diffusionskoeffizienten D [cm 2 s -1 ] und der Volumenlebensdauer τ . Im linearen Fall reduziert sich Gln. 2.10 auf folgende Form:

∂n(x, t) ∂t = D∇ 2 n(x, t) -n(x, t) τ + G(x, t). (

2

.12) R(t) = Bn(t)p(t). (2.14) Bezeichnet n i die intrinsische Ladungsträgerkonzentration, so folgt mit n 0 p 0 = n 2 i und ∆n = ∆p: R(t) = B (n 0 + ∆n(t))(p 0 + ∆p(t)) = B n 2 i + ∆n(t)(n 0 + p 0 ) + ∆n(t) 2 . (2.15)

  Ferminiveaus E fe , E f h [eV], die wie folgt definiert sind:

	Für die Überschussladungsträger gilt:			
	∆n = ∆p = Gτ ef f .	(2.28)
	Bedingt durch die optische Anregung herrscht zwischen den Elektronen und Löchern
	kein thermodynamisches Gleichgewicht mehr und es bilden sich separate Quasi-
					(2.25)
	d∆n(t)	Abklingfall
	dt			
	Für d∆n(t)			
	Φ =	λ hc	P .		(2.26)
	G ≈ Φ	1 -R W	.	(2.27)

dt

= 0 ergibt sich aus dem Anklingfall in Gln. 2.25 die Lebensdauer im stationären Zustand: τ stat = ∆n(t) G .

2.1.2 Effektive Lebensdauer und Quasi-Ferminiveau-Aufspaltung

Für eine monochromatische Anregung der Leistungsdichte P [mWcm -2 ] beträgt die Photonenflussdichte ϕ [cm -2 s -1 ]:

Mit der Reflektivität R die (zwischen 0.2 und 0.3 für glatte und 0 für texturierte Wafer) und der Waferdicke W [cm] beträgt die mittlere Generationsrate

  ∆τ 1 / % ∆τ 2 / %

	20, 20	610.1	610.0	608.9	0.2	0.1
	20, 200	125.9	127.4	128.6	2.1	0.9
	200, 20	125.8	123.9	122.1	2.9	1.4
	20, 10 3	41.8	42.9	43.0	2.7	0.0
	10 3 , 20	41.4	38.9	38.9	6.3	0.1
	20, 5x10 4	20.8	21.3	21.5	3.0	0.9
	5x10 4 , 20	20.2	17.8	17.0	16.9	4.3

  Sowohl für die niedrige Frequenz, als auch die hohe Frequenz ist die zweite Harmonische ausgeprägt. Im ersten Fall entspricht die Amplitude der zweiten Harmonischen etwa 55 % der ersten Harmonischen. Für hohe Frequenzen entspricht die zweite Harmonische nur etwa 28% der ersten Harmonischen.

	Spektralanalyse an Proben An der p-dotierten (1 Ωcm) Probe PCH2 mit (n)a-
	Si:H/(i)a-Si:H-Passivierung wird aufgrund des nichtlinearen Spektralverhaltens des
	Tangens der Phase eine Fouriertransformation für den nieder-und hochfrequenten x 10 -3 x 10 -3
	0 Bereich bei f = 40 Hz und 700 Hz durchgeführt. Die Anregung wird mit dem Chop--2 per rechteckmoduliert bei einer Photonenflussdichte von Φ = 5.6x 10 18 cm -2 s -1 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.24 0.242 0.244 0.246 0.248 (Hochanregung) durchgeführt. Im Bereich kleiner Frequenzen ist das MPL-Signal -10 -10 -5 U / V -8 U -6 -4 / V
	der Probe noch als Rechtecksignal erkennbar (vgl. 5.39[a]). Die ungeraden Harmoni-t / s x 10 -3 t / s 4 x 10 -3
	schen dominieren im Spektrum. Im Bereich großer Frequenzen ist das ursprüngliche ν / Hz ν / Hz und dritte, sowie vierte und fünfte Harmonische gleich stark ausgeprägt. Das Ver-0 100 200 300 400 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 0 Rechtecksignal stark verzerrt (vgl. 5.39[b]). Im Spektralbereich sind jeweils zweite 2 4 U 0 / V 2 U 0 / V
	-2 hältnis von zweiter zu ersten Harmonischen bleibt für 40 Hz und 700 Hz etwa gleich -2 bei 9 %. Der Anteil von dritter an erster Harmonischen beträgt bei 40 Hz noch etwa 0 100 200 300 400 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 31 % (wie beim Anregungssignal s.o.), beträgt bei 700 Hz jedoch nur noch ca. 9 % -6 -4 log ( U 0 / V ) -6 -4 log ( U 0 / V )
	und ist damit genauso gering wie der Anteil der zweiten Harmonischen. Das Ant-ν / Hz ν / Hz
		(a)				(b)
	Abbildung 5.39: PCH2 bei Sinusmodulation [a] 40 Hz und [b] 700 Hz
	0.1	0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17				
			-1.8		
		/ V	-2.2 -2		
		U	-2.4		
			-2.6		
			-2.8		
				0.26	0.28	0.3	0.32	0.34	0.36
						t / s
		U 0 / V	0.2 0.4		
				0		
					200	300	400	500
	ν / Hz Insgesamt deutet die Fourieranalyse, die in dieser Form nur bei gut leuchtenden -6 -4 -2 0 0 / V ) Proben und hohen Anregungen durchführbar ist, auf einen Einfluss der höheren log ( U Harmonischen hin. Aufgrund der Gerätezeitkonstanten sowie dem Durchschneiden
	200 des Laserstrahl-Querschnitts endlicher Ausdehnung sind keine idealen Rechteck-und 300 400 500 ν / Hz
	(d) Sinussignale möglich und eine gewisse Ausprägung nicht zum Fourierspektrum der
	Abbildung 5.38: Rechtecksignal [a][b] mit BPX66 40Hz vs 700Hz und Sinus [c][d]
	mit 140 Hz und 700Hz				

wortsignal ändert zum höheren Frequenzbereich deutlich seine Form gegenüber dem Ausgangssignal. In diesem Frequenzbereich verläuft auch der Tangens der Phase deutlich flacher. Wie oben ausgeführt, liegt dies nicht am anregenden Signal, dessen Form ist auch bei 700 Hz noch erhalten. Für die Probe reicht die bei hohen Frequenzen kurze Dauer eines Rechteckpulses nicht mehr, einen maximalen stationären Plateauwert einzunehmen -noch während der Anstieges der Ladungsträgerdichte setzt der Rechteckpuls bereits wieder aus. Folglich ist die Anregungsdichte wieder im Abklingen begriffen, doch bevor sich ein stationärer Plateauwert einstellt, folgt bereits die nächste Anregung. In Abb. 5.40[a],[b] sind die Spektren der Analyse für Sinusmodulation bei 40 Hz und 800 Hz dargestellt. Das Signal ist weniger deutlich, da im Gegensatz zur Rechteckmodulation die Amplitude nur 10% der stationären Anregung beträgt. theoretischen Idealsignale gehörender Harmonischen ist im Spektrum der realen Anregung erkennbar. Die Verhältnisse zwischen erster und zweiter bzw. dritter Harmonischer bleiben bei den realen Anregungssignalen bei niedrigen und hohen Frequenzen konstant. Bei den Antwortsignalen der Probe variieren diese Verhältnisse jedoch 71 frequenzabhängig und sind damit probenbedingt.