Dr Gilbert Greefrath 
  
Prof. Dr Reinhard Oldenburg 
email: reinhard.oldenburg@math.uni-augsburg.de
  
Dr Hans-Stefan Siller 
email: hans-stefan.siller@mathematik.uni-wuerzburg.de
  
Dr Volker 
  
Dr Hans-Georg Weigand 
email: weigand@mathematik.uni-wuerzburg.de
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Keywords: Der vorliegende Test dient dazu, zu erfassen, ob und inwieweit Probanden normativ gesetzte Grundvorstel- vorhandenen Ausprägungen normativer Grundvorstellungen. Sie resultieren aus persönlichen Lernprozessen. Verschiedene Personen können sich also darin unterscheiden, über welche individuellen Grundvorstellungen sie zu einem mathematischen Begriff verfügen, wie stark sich kleine Änderungen der unabhängigen Variable auf die abhängige Variable auswirken: ∆𝑦 𝑚, ∆𝑥 Eine Grundvorstellung zu einem mathematischen Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem Sinn gibt

 Mit normativen Grundvorstellungen wird beschrieben, was sich Personen generell und idealerweise unter einem mathematischen Begriff vorstellen sollten. Dies resultiert aus fachdidaktischen Analysen des entsprechenden Begriffs. Die Entwicklung derartiger Grundvorstellungen bei Lernenden gehört zu den Zielen von Mathematikunterricht, sie können der Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen Orientierung verleihen

Grundvorstellungen zum bestimmten Integral

Welche Grundvorstellungen sollten Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht zum bestimmten Integral 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 einer Funktion 𝑓 über einem Intervall 𝑎, 𝑏 entwickeln? Gemäß Greefrath et al. (2016aGreefrath et al. ( , 2016bGreefrath et al. ( , 2017aGreefrath et al. ( , 2017b[START_REF] Greefrath | Grundvorstellungen von Ableitung und Integral als Zugang zur Analysis[END_REF][START_REF] Greefrath | Basic Mental Models of Integrals -Theoretical Conception, Development of a Test Instrument, and first Results[END_REF] lassen sich dazu vier normative Grundvorstellungen identifizieren:

Flächeninhaltsvorstellung

Ein bestimmtes Integral ist eine Bilanz von Flächeninhalten.

Rekonstruktionsvorstellung

Ein bestimmtes Integral (re-)konstruiert die Gesamtänderung einer Größe aus ihrer Änderungsrate.

Mittelwertsvorstellung

Ein bestimmtes Integral mittelt eine Größe.

Kumulationsvorstellung

Ein bestimmtes Integral ist das Ergebnis des Aufsummierens kleiner Summanden mit Produktstruktur.

Der vorliegende Test basiert auf diesen normativen Grundvorstellungen zum Ableitungs-und zum Integralbegriff. Mit dem Test lässt sich erfassen, ob und inwieweit diese Grundvorstellungen bei Probanden tatsächlich ausgeprägt sind. Er liefert also Informationen über individuelle Grundvorstellungen zu Ableitungen und Integralen.

Aufbau des Testinstruments

Der Test besteht aus drei Teilen:

Allgemeine Daten der Person

Zunächst werden einige allgemeine Daten des Probanden erhoben (z. B. Alter, Geschlecht, Schulabschluss, schulische Mathematiknote, Studiengang, Fachsemesterzahl). Formuliert ist dies für Hochschul-Studierende des Fachs Mathematik in Lehramtsstudiengängen oder fachwissenschaftlichen Bachelor-/ Masterstudiengängen. Bei anderen Zielgruppen sollten die Formulierungen entsprechend adaptiert werden.

Test von Grundvorstellungen zur Ableitung

Die grundsätzliche Idee zur Erfassung von Grundvorstellungen mit dem vorliegenden Test besteht darin, den Probanden Argumentationen vorzulegen, die bestimmte Grundvorstellungen verwenden, und zu fragen, inwieweit diese Argumentationsweisen ihrem eigenen Denken nahekommen bzw. damit übereinstimmen.

Jede Aufgabe besteht aus der Darstellung einer mathematischen Situation als Impuls und vier korrekten Argumentationen im Rahmen dieser Situation als Antwortmöglichkeiten (entsprechend den vier Grundvorstellungen). Die Probanden werden aufgefordert, für jedes Item auf einer fünfstufigen Likert-Skala von (--) bis (+ +) anzukreuzen, inwieweit die jeweilige Antwort ihrem Denken entspricht. Dieser Zusammenhang kann unterschiedlich beschrieben werden. 

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte

  Testen von Grundvorstellungen zu Ableitungen und Integralen  Fragebogen zu Daten der Person  Test von Grundvorstellungen zu Ableitungen  Test von Grundvorstellungen zu Integralen

  Abbildung zeigt die Anzahl der Bakterien 𝑁 in einer Nähr-Lösung in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡 (in Stunden). Die besondere Bedeutung der Zeit 𝑡 5 kann unterschiedlich erklärt werden. Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eigenen Denken entspricht: Δ𝑡 ändert sich die Bakterienzahl um Δ𝑁 𝑚 ⋅ Δ𝑡. Der zugehörige Faktor 𝑚 ist zur Zeit 𝑡 5 am größten. Wenn man den Graphen stark heranzoomt, erscheint er an jeder Stelle wie eine Gerade. Diese hat für 𝑡 = 5 die größte Steigung. Tangente an den Graphen ist bei 𝑡 = 5 am größten. sind der Graph einer Funktion 𝑓 und die Punkte 𝐴 und 𝐵.Es kann unterschiedlich erklärt werden, dass der Wert der ersten Ableitung im Punkt 𝐴 größer ist als im Punkt 𝐵.Wenn man an die Punkte 𝐴 und 𝐵 heranzoomt, erscheint der Graph jeweils lokal wie eine Gerade. Beim Punkt 𝐴 hat diese Gerade eine größere Steigung als beim Punkt 𝐵.Wenn der Graph die Abhängigkeit einer Größe von der Zeit darstellt, ändert sich diese Größe bei 𝐴 schneller als bei 𝐵. bewirken kleine Änderungen Δ𝑥 ungefähr proportionale Änderungen Δ𝑦 𝑚 • Δ𝑥. Dieser Proportionalitätsfaktor 𝑚 ist für 𝐴 größer als für 𝐵. Graph einer Funktion 𝑓 hat folgenden Verlauf:Es kann unterschiedlich erklärt werden, warum 𝑓 an der Stelle 𝑥 0 nicht differenzierbar ist.Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eigenen Denken entspricht:--: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise" von 0 müsste Δ𝑦 𝑚 ⋅ Δ𝑥 mit einer festen Zahl 𝑚 sein. Dies ist hier aber nicht der Fall. Abbildung zeigt die Flughöhe ℎ eines Segelflugzeuges in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡.Es kann unterschiedlich erklärt werden, dass das Flugzeug zum Zeitpunkt 𝑡 = 60 am schnellsten steigt.

  11 m/s und 12 m/s bewirkt eine Veränderung ∆𝑣 der Geschwindigkeit kaum eine Veränderung ∆𝑁 der Fahrzeugzahl.Nähert man den Graphen von 𝑁 zwischen 11 m/s und 12 m/s durch Geraden an, so unterscheiden sich diese kaum von einer Waagrechten. das Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktionen mit 𝑓 𝑥 𝑥 und 𝑔 𝑥 𝑥 eingezeichnet. Beide Graphen gehen durch den Punkt 𝑃 1; 1 . Das unterschiedliche Verhalten der Funktionen an der Stelle 𝑥 1 kann verschieden beschrieben werden.Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eigenen Denken entspricht:Die Änderungsrate von 𝑔 ist im Punkt 𝑃 größer als die von 𝑓. Tangente im Punkt 𝑃 ist für den Graphen von 𝑔 größer als für den von 𝑓.Nähert man beide Graphen bei 𝑃 jeweils durch eine Gerade an, so verläuft diese für 𝑔 steiler als für 𝑓.Wenn man von 𝑥 1 ein kleines Stückchen Δ𝑥 nach rechts oder links geht, ist die Änderung Δ𝑦 bei der Funktion 𝑔 größer als bei 𝑓. Graph der Funktion 𝑓 hat den abgebildeten Verlauf.Diese Funktion ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Das kann man folgendermaßen erklären:Wenn man sich vom Nullpunkt aus um kleine Δ𝑥 nach rechts oder links bewegt, müsste Δ𝑦 𝑚 ⋅ Δ𝑥 mit der gleichen Zahl 𝑚 gelten. Das ist hier nicht der Fall.

  

  

  

  

  

  

Test von Grundvorstellungen zur Ableitung

  Ebenso wie beim Test zur Ableitung werden auch beim Test zum Integral jeweils mathematische Situationen dargestellt, die auf Basis der vier Grundvorstellungen inhaltlich interpretiert bzw. erklärt werden können. Den Probanden werden dazu bei jeder Aufgabe vier korrekte Interpretationen bzw. Erklärungen vorgelegt. Sie sollen jeweils auf einer 5-stufigen Likert-Skala von (--) bis (+ +) angeben, inwieweit die jeweilige Argumentationsweise ihrem eigenen Denken entspricht. Einzeltest in Gruppen ohne Einschränkungen an die Teilnehmerzahl durchgeführt werden. Die Probanden können den Test entweder auf Papier oder alternativ in digitaler Form -bei entsprechender technischer Aufbereitung -bearbeiten.Die Testteilnehmer dürfen hierbei nicht zusammenarbeiten und sich nicht untereinander austauschen, damit Rückschlüsse auf individuelle Grundvorstellungen möglich sind. Entsprechend sind auch weitere Hilfsmittel (Bücher, Internetrecherche, Taschenrechner, …) nicht erlaubt.Eine Beschränkung der Bearbeitungszeit ist nicht zwingend erforderlich. Insbesondere bei einer Online-Durchführung können die Teilnehmer die Aufgaben ohne Zeitlimit bearbeiten. Damit erhebt der Test, ob und inwieweit Grundvorstellungen zur Ableitung und zum Integral ausgeprägt sind, nicht dagegen, ob sie ggf. unter Zeitdruck aktiviert werden können.

	Test von Grundvorstellungen zum Integral		
	Die folgende Tabelle gibt an, welche Items sich auf welche der Grundvorstellungen  Flächeninhaltsvorstellung (FL),  Rekonstruktionsvorstellung (RE),  Mittelwertsvorstellung (MW),  Kumulationsvorstellung (KU) beziehen. Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Aufgabe 1 FL RE MW KU Die beiden Testteile wurden in mehreren Durchgängen pilotiert und weiterentwickelt. Eine ausführliche Be-schreibung des Entwicklungsprozesses für die Items zur Integralrechnung findet sich in Greefrath et al. (2020). Eine entsprechende Beschreibung für die Differentialrechnung ist in Arbeit. Für die statistischen Auswertungen wurden die Likert-Skalen durch natürliche Zahlen aus dem Intervall von 1 bis 5 codiert (5 als höchste Zustimmung). Alle Auswertungen wurden mit R (https://www.r-project.org) durchgeführt. Die finale Validierungsstudie für den Test zur Differentialrechnung wurde mit 266 (109 m, 152 w, 5 d/o.A.) Mathematikstudierenden (Lehramt und Bachelor) überwiegend aus Erstsemestervorlesungen der am Projekt Der Test kann als Als Anhaltspunkt zum Zeitbedarf können für die Bearbeitung der 13 Aufgaben zur Ableitung etwa 35 min beteiligten Universitäten durchgeführt.
	Aufgabe 2 Aufgabe 3 veranschlagt werden. Entsprechend empfiehlt es sich, für die 8 Aufgaben zum Integral etwa 25 min vorzuse-RE KU FL MW MW FL KU RE Die Mittelwerte und Standardabweichungen der Skalen zur Differentialrechnung in der Validierungsstich-hen. probe waren:
	Aufgabe 4 Beide Testteile -zu Ableitungen und zu Integralen -können auch unabhängig voneinander genutzt werden, KU MW RE FL wenn nur Grundvorstellungen zu einem dieser beiden Begriffe erhoben werden sollen. TS ÄR LL VF
	Aufgabe 5 Mittelwerte	RE	FL 4.27	3.72	MW	3.56	KU	2.72
	Aufgabe 6 Standardabweichung KU	RE 0.73	0.74	MW	0.86	FL	0.88
	Aufgabe 7 Aufgabe 8 Die folgende Tabelle zeigt die durchweg guten Reliabilitäten der Skalen zur Differentialrechnung: FL MW KU RE MW KU RE FL
	 Verstärkungsfaktor (VF) TS	ÄR		LL		VF
	beziehen. Cronbach Alpha		0.79	0.76		0.86		0.90
	Lambda 4		0.83	0.78		0.88		0.90
		Item 1	Item 2	Item 3		Item 4
	Aufgabe 1	ÄR	TS		LL		VF	
	Aufgabe 2	TS	LL		VF		ÄR	
	Aufgabe 3	ÄR	TS		LL		VF	
	Aufgabe 4	ÄR	TS		LL		VF	
	Aufgabe 5	VF	LL		TS		ÄR	
	Aufgabe 6	TS	LL		ÄR		VF	
	Aufgabe 7	LL	ÄR		VF		TS	
	Aufgabe 8	LL	ÄR		VF		TS	
	Aufgabe 9	VF	ÄR		LL		TS	
	Aufgabe 10	ÄR	TS		VF		LL	
	Aufgabe 11	TS	VF		LL		ÄR	
	Aufgabe 12	ÄR	TS		LL		VF	
	Aufgabe 13	TS	LL		ÄR		VF	

Die folgende Tabelle gibt an, welche Items sich auf welche der Grundvorstellungen  Tangentensteigung (TS),  lokale Änderungsrate (ÄR),  lokale Linearisierung (LL),

Test von Grundvorstellungen zum Integral

  Testteil nicht gut erfüllt sind, wie die Analyse mithilfe einer konfirmatorischen Faktorenanalyse in der genannten Publikation zeigt. Wir gehen davon aus, dass der vorliegende Test trotz der geringen Reliabilitätswerte sinnvoll verwendet werden kann. Eine leichte Verbesserung der Reliabilitätswerte kann erreicht werden, indem Aufgabe 3 und bei Aufgabe 5 das dritte Item (zur Mittelwertsvorstellung) weggelassen werden.Bei keinem der Testteile sind Boden-oder Deckeneffekte aufgetreten. daran, welche Vorstellungen Sie zu der Ihnen bereits aus der Schule bekannten Differential-und Integralrechnung haben. Deshalb haben wir den nachfolgenden Test erstellt.Die Testergebnisse haben selbstverständlich keinerlei Einfluss auf zukünftige Bewertungen in Ihrem Studium. Die Daten werden ausschließlich zu Forschungszwecken sicher und anonym gespeichert. . Die Ableitung 𝑓′ 𝑥 einer Funktion 𝑓 an einer Stelle 𝑥 kann unterschiedlich erklärt werden!

	Die folgende Tabelle zeigt die Reliabilitäten der Skalen: FL RE MW Cronbach Alpha 0.58 0.54 0.63 Lambda 4 0.61 0.64 0.66 Die relativ geringen Reliabilitätswerte der Integralskalen werden in Greefrath et al. (2020) ausführlich disku-KU 0.70 0.75 tiert. Die Gründe dürften darin liegen, dass die theoretischen Voraussetzungen von Cronbachs Alpha (äqui-zu Ableitungen und Integralen valente Items) in diesem Untersuchung über Grundvorstellungen Liebe Studierende, Geschlecht:  weiblich  männlich  divers Besuchte Schulart, an der Hochschulreife erworben wurde: wir sind interessiert Alter in Jahren: ______________________________  Gymnasium  Zweiter Bildungsweg
	 Berufliche Schule	 Sonstige: ______________________________
	 Gesamtschule		
	Höchster Schulabschluss:		
	 weder Grund-noch Leistungskurs	 Grundkurs	 Leistungskurs
	Durchschnittliche Mathematiknote in den letzten beiden Schuljahren:	
	auf der Notenskala 1 bis 6: ______________________________	
	Die Validierungsdaten für den Test zur Integralrechnung stammen von 428 Mathematikstudierenden (259 m, auf der Punkteskala von 0 bis 15: ______________________________
	163 w, 6 d/o.A.), überwiegend aus Erstsemestervorlesungen der am Projekt beteiligten Universitäten. Dies
	ist eine größeren Studierendengruppe als die in Greefrath et al. (2020) benutzte. Fachsemester Mathematik im Studium: ______________________________
	Die Mittelwerte und Standardabweichungen der Skalen zur Integralrechnung waren:
	FL Im Falle eines Lehramtsstudiengangs: Angestrebte Schulart: RE MW Mittelwerte 3.84 3.24 2.89  Gymnasium  Haupt-/Mittelschule KU 3.07 Standardabweichung 0.74 0.74 0.77  Realschule  Grundschule 0.78  Berufsbildende Schulen  Förderschule	

Damit wir ggf. die Ergebnisse aus weiteren Befragungen der gleichen Person zuordnen können und die Befragung dabei dennoch anonymisiert erfolgt (d.h. es werden weder Name, Matrikelnummer noch Anschrift erhoben), benötigen wir einen sogenannten "persönlichen" Code. Dieser persönliche Code besteht aus einer Kombination von Buchstaben und Zahlen, die Sie sich selbst immer wieder herleiten können (siehe Beispiel unten). Wir versichern, dass die Daten streng vertraulich behandelt werden und keine Anstrengungen zu einer Re-Identifizierung einzelner Personen unternommen werden. Die Bearbeitungszeit des Tests beträgt 60 min. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Herzlichen Dank für Ihre Unterstützung! Verfahren zur Erstellung Ihres persönlichen Codes Erster Buchstabe des Vornamens Ihrer Mutter. Beispiel: Karen → K Letzter Buchstabe des Nachnamens Ihrer Mutter: Beispiel: Müller → R Erster Buchstabe Ihres Geburtsortes. Beispiel: Berlin → B Letzte Stelle des Tages Ihres Geburtstages. Beispiel: 18. März 1982 → 8 Tragen Sie hier Ihren persönlichen Code nach dem genannten Verfahren ein: Einige Daten zur Person  Allgemeine Hochschulreife  Fachgebundene Hochschulreife  Sonstige: ______________________________ Jahr, in dem dieser Schulabschluss erreicht wurde: ______________________________ Bundesland, in dem dieser Schulabschluss erreicht wurde: ______________________________ Grund-oder Leistungskurs Mathematik in der Schule: Im Falle keines Lehramtsstudiengangs: Bezeichnung des Studiengangs: ______________________________ Weiteres Studienfach neben Mathematik: ______________________________ Untersuchung über Grundvorstellungen zu Ableitungen 1

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  

		---	o + ++
	Die Ableitung gibt die momentane Änderungsrate an der Stelle 𝑥 an. 				
	Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente in einem Punkt des Gra-phen von 𝑓 an.					

Der Graph kann in der Nähe von 𝑥 gut durch eine Gerade angenähert werden. Die Ableitung gibt die Steigung dieser Geraden an.      Wenn man von 𝑥 ein kleines Stückchen Δ𝑥 nach rechts oder links geht, ändert sich der Funktionswert um den Wert Δ𝑦 𝑓 𝑥 • Δ𝑥.      2. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Die Situation beim Maximum kann unterschiedlich beschrieben werden.

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise" --- o + ++

  

	Die Tangente im Maximum des Graphen verläuft waagrecht.					
	Wenn man an die Stelle des Maximums heranzoomt, erscheint der Graph nahezu geradlinig und waagrecht.					
	In der Umgebung des Maximums ist Δ𝑦 0 • Δ𝑥, d. h. die Funktions-werte ändern sich kaum.					
	In der Umgebung des Maximums ist die Änderungsrate Δ𝑦/ Δ𝑥 na-hezu 0.					

x y 3. Betrachtet wird die Fahrt eines Fahrrads. Folgender Graph zeigt den Zusammenhang zwischen der Zeit 𝑡 und dem zurückgelegten Weg 𝑠. Die Situation zur Zeit 𝑡 2,5 𝑠 kann in unterschiedlicher Weise beschrieben werden.

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise" --- o + ++

  Der Graph kann zu jedem Zeitpunkt durch eine Gerade angenähert werden. Diese hat zum Zeitpunkt 𝑡 2,5 𝑠 die kleinste Steigung, also ist dann auch die Geschwindigkeit am kleinsten.Für kleine Zeitintervalle ∆𝑡 ändert sich der Weg um 𝛥𝑠 𝑚 • ∆𝑡. Der zugehörige Faktor 𝑚 ist zum Zeitpunkt 𝑡 2,5 𝑠 am kleinsten. Dass eine Funktion 𝑓 an einer Stelle 𝑥 nicht differenzierbar ist, lässt sich unterschiedlich erklären!

	4.					
	Die Änderungsrate der dargestellten Funktion ist die Geschwindig-keit des Fahrrads. Sie ist im Zeitpunkt 𝑡 2,5 𝑠 am kleinsten.					
	Die Steigung der Tangente entspricht der Geschwindigkeit des Fahr-rads. Diese ist zum Zeitpunkt 𝑡 2,5 𝑠 am kleinsten.					
						
						

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  Wenn man von 𝑥 ein kleines Stückchen Δ𝑥 nach rechts oder links geht, ändert sich der Funktionswert nicht annähernd proportional zu Δ𝑥.

			---	o + ++
	Es existiert keine Änderungsrate, weil Grenzwert hat.	keinen eindeutigen					
	Man kann keine eindeutige Tangente anlegen.						
	Der Graph kann in der Nähe von 𝑥 nicht durch eine Gerade angenä-hert werden.					

kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  Die Ableitung von 2 • 𝑓 𝑥 ist gleich 2 • 𝑓′ 𝑥 . Als Beispiel: 2 sin 𝑥 2 cos 𝑥 . Diese Regel kann unterschiedlich erklärt werden. Beim Übergang von 𝑓 𝑥 zu 2 • 𝑓 𝑥 werden Steigungsdreiecke zu Tangenten um den Faktor 2 in Richtung der 𝑦-Achse gestreckt. Für die Funktion 𝑓 ist Δ𝑦 𝑓′ 𝑥 • Δ𝑥. Beim Übergang von 𝑓 𝑥 zu 2 • 𝑓 𝑥 verdoppeln sich beide Seiten bei gleichbleibendem Δ𝑥. Die folgende Graphik zeigt, wie viele Autos 𝑁 pro Stunde in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit 𝑣 durch einen Tunnel fahren dürfen. In der Nähe des Maximums im Intervall zwischen 11 m/s und 12 m/s ändert sich diese Anzahl 𝑁 nur wenig.

	10. Bitte ---11.	o + ++
	Wenn man alle Funktionswerte verdoppelt, dann verdoppeln sich auch deren Änderungsraten.					
						
						
	In einer Umgebung jeder Stelle ist die Funktion 𝑓 nahezu linear. Die Multiplikation mit 2 verdoppelt die Steigung der linearen Funktion.					
						
	Die Änderungsrate der Höhe ist zum Zeitpunkt 𝑡 = 60 am größten.					
	Der Graph kann zu jedem Zeitpunkt durch eine Gerade angenähert werden. Diese hat zum Zeitpunkt 𝑡 = 60 die größte Steigung.					
	Die Steigung der Tangente ist zum Zeitpunkt 𝑡 = 60 am größten.					

Für festes ∆𝑡 ändert sich die Höhe um 𝛥ℎ ℎ′ 𝑡 • ∆𝑡. Dies ist zum Zeitpunkt 𝑡 = 60 am größten.

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  Das bestimmte Integral ist der orientierte Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von 𝑓und der 𝑥-Achse im Intervall 𝑎; 𝑏 .Der Graph begrenzt mit der 𝑥-Achse zwei kongruente Flächenstücke, oberhalb bzw. unterhalb der 𝑥-Achse. Da das eine positiv, das andere negativ gezählt wird, ist das Ergebnis 0. Graph 1 und Graph 2 zeigen den Wasserzulauf in Liter/min in zwei identischen Becken. Die Becken waren zum Zeitpunkt Null leer.Es kann unterschiedlich erklärt werden, warum zum Zeitpunkt 𝑡 = 5 die beiden Becken gleich voll sind.

	Das bestimmte Integral ist die Gesamtänderung einer Größe im In-tervall 𝑎; 𝑏 , deren Änderungsrate durch 𝑓 beschrieben wird. Das bestimmte Integral ist der mittlere Funktionswert von 𝑓 im In-tervall 𝑎; 𝑏 multipliziert mit der Intervalllänge. 2. Es gilt sin 𝑥 𝑑𝑥 0 . Dies kann unterschiedlich erklärt werden. Ist sin 𝑥 die Änderungsrate einer Größe, so ist die Zunahme der Größe in der ersten Intervallhälfte genauso groß wie die Abnahme in der zweiten Intervallhälfte. Die Gesamtänderung ist also 0. Ein Integral ist ein Grenzwert von Summen. Zu jedem positiven Sum-manden gibt es einen negativen Summanden mit dem gleichen Be-trag. Insgesamt ist das Integral 0. Im Mittel sind die Funktionswerte in diesem Intervall 0, denn zu je-dem positiven Funktionswert gibt es einen entsprechenden negati-ven Funktionswert mit gleichem Betrag. 3. Bitte	   ---o                  	   + ++           
	Das bestimmte Integral ist der Grenzwert von vielen Summen aus					
	Produkten, die aus einem Funktionswert und der Länge eines Teilin-					
	tervalls von 𝑎; 𝑏 gebildet werden.					

kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  Man kann jeweils aus dem Graphen die Volumenfunktion ermitteln, die beschreibt, wie viel Wasser zur Zeit 𝑡 im Becken ist. Bei 𝑡 = 5 haben die beiden Volumenfunktionen den gleichen Wert. Der Funktionsterm 𝑓 𝑡 gibt die Geschwindigkeit eines Autos zum Zeitpunkt 𝑡 in km/h an. Das Intervall 𝑡 , 𝑡 beschreibt den Zeitraum von einer Stunde.

	4. Die Bedeutung des Ausdrucks					
	𝑓 𝑡 ⋅ 𝑡 kann unterschiedlich erklärt werden. 𝑡	𝑓 𝑡 ⋅ 𝑡	𝑡 Wasserzulauf ⋯ 𝑓 𝑡 ⋅ 𝑡	𝑡	
	12						
		Graph 1					
	10						
	8						
	6						
	4	Graph 2					
	2						
	0						
	0	2	4	6	8		1 0	1 2
					---o	+ ++
	Der durchschnittliche Wasserzufluss im Intervall [0; 5] ist für die bei-den Becken identisch.					
	Für beide Graphen ist jeweils die Fläche zwischen dem Graphen und der 𝑡-Achse im Intervall [0; 5] gleich groß.					
	Man stellt sich den Zufluss in vielen kleinen Intervallen konstant vor			
	und addiert die Wassermengen für diese Intervalle auf. Zum Zeit-					
	punkt 𝑡 = 5 erhält man für beide Graphen den gleichen Wert.			
									

Bitte kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  Der Ausdruck ist ein Maß dafür, wie groß die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von 𝑓 und der Zeitachse in der betrachteten Stunde ist. Ein Körper steht auf dem Boden und ist 2 m hoch. Schneidet man ihn parallel zum Boden in der Höhe ℎ ∈ 0; 2 durch, so hat die Querschnittsfläche den Flächeninhalt 𝐴 ℎ .

	5. Welche Bedeutung hat der Ausdruck					
	𝐴 ℎ 𝑑ℎ					
	in dieser Situation?					
		---o	+ ++
	Der Ausdruck ermöglicht, mit Hilfe vieler kleiner Intervalle aus der Geschwindigkeit 𝑓 die zurückgelegte Strecke zu berechnen.					
	Mit dem Ausdruck kann man ermitteln, wie die durchschnittliche Ge-schwindigkeit des Autos in der betrachteten Stunde ungefähr ist.					
	Der Ausdruck gibt ungefähr an, wie lang die bisher zurückgelegte Strecke in der betrachteten Stunde ist.					
						

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	6. Ein Kreis mit dem Radius 𝑥 hat den Umfang 𝑈 𝑥	2𝜋𝑥 und den Flächeninhalt 𝐴 𝑥		𝜋𝑥 . Der Zusam-
	menhang					
	𝑈 𝑥 𝑑𝑥 𝐴 𝑟				
	kann unterschiedlich erklärt werden.					
			---o	+ ++
	Der Ausdruck gibt das Volumen des Körpers an.						
	Der Ausdruck ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion 𝐴 und der ℎ-Achse eingeschlossen wird.					
	Der Ausdruck entspricht der mittleren Querschnittsfläche des Kör-pers multipliziert mit der Höhe.					
	Der Ausdruck ist der Grenzwert von Summen der Volumina von Scheibchen.					

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  Der Umfang ist die Änderungsrate des Flächeninhalts des Kreises. Daher kann der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals aus dieser Änderungsrate berechnet werden. Der Umfang nimmt alle Werte zwischen 0 und 2𝜋𝑟 an und ist im Durchschnitt gleich 𝜋𝑟. Das Integral ist dieser Durchschnitt multipliziert mit der Intervalllänge 𝑟. In einem Gezeitenkraftwerk wird das durchfließende Wasser zur Stromerzeugung genutzt. Es fließt bei Flut in einen Speicher hinein, bei Ebbe wieder heraus. Untenstehende Abbildung zeigt einen Verlauf der Durchflussrate 𝑑 des Wassers (in Millionen m³ pro Stunde) innerhalb von 12 Stunden. Zu Beginn der Beobachtung ist der Speicher des Kraftwerks leer.

	7.					
		---o	+ ++
	Die Fläche eines Kreises setzt sich zusammen aus vielen dünnen Kreisringen. Das Integral summiert die Inhalte dieser Kreisringe.					
						
						
	Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen der Umfangsfunktion.					

Welche Bedeutung hat der Ausdruck

𝑑 𝑡 𝑑𝑡 ? Bitte

kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise" ---o + ++ Der

  Ausdruck ist der orientierte Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von 𝑑 und der Zeit-Achse im Intervall 0; 12 . Der Ausdruck gibt an, wie sich im Zeitraum 0; 12 die Zu-und Abflüsse in sehr kleinen Zeiträumen zum Wasservolumen nach 12 Stunden aufsummieren. Der Ausdruck ermittelt aus der Durchflussrate das Volumen des Wassers im Speicher zum Zeitpunkt 𝑡 12. Ein Gegenstand fällt zur Zeit 𝑡 mit der Geschwindigkeit 𝑣 𝑡 . Das Integral 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 kann unterschiedlich erklärt werden.

	8. Bitte					
						
	Der Ausdruck ist die mittlere Durchflussrate im Intervall 0; 12 mul-tipliziert mit 12.					
						
						

kreuzen Sie an, inwiefern die genannte Erklärung ihrem eige- nen Denken entspricht: --: "Die Erklärung entspricht überhaupt nicht meiner Denkweise" ++ : "Die Erklärung entspricht genau meiner Denkweise"

  Der zurückgelegte Weg besteht aus vielen kleine Stückchen der Länge 𝑣 𝑡 • ∆𝑡. Das Integral summiert alle diese kleinen Stückchen zu einer Gesamtstrecke.Das Integral entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion 𝑣 und der 𝑡-Achse.

		---o	+ ++
	Das Integral entspricht dem Produkt aus der mittleren Geschwindig-keit und der Zeitdauer.					
						
	Das Integral ermittelt den zurückgelegten Weg aus der Geschwindig-keit 𝑣.					
						