Keywords: Welche Aussagen in einer Sequenz verfügbar sind, lässt sich für jede Sequenz ohne Rückgriff auf irgendeine neben einer Annahmeregel, die das Annehmen beliebiger Aussagen erlaubt, für jeden logischen Operator zwei Regeln, von denen jeweils die eine seine Einführung und die andere seine Beseitigung reguliert. Abgesehen von der aussagen erlaubt, verlangen die Einführungs-und Beseitigungsregeln immer, dass bereits entsprechende Prämissen gewonnen wurden, d.h. verfügbar sind. So erlaubt etwa die Regel der Subjunktorbeseitigung (SB), dass man Γ folgern darf, wenn man Δ und Δ Drei der Regeln, nämlich SE, NE und PB, erlauben es ihrerseits, sich von gemachten

Vorbemerkung

In dieser Arbeit 1 wird aufbauend auf den Arbeiten von PETER HINST und GEO SIEGWART zur Pragmatisierung von Kalkülen des natürlichen Schließens 2 ein (klassischer) Redehandlungskalkül 3 für das natürliche Schließen entwickelt, für den gilt: (i) Jede Satzsequenz , d.h. hier: jede Sequenz aus Annahme-und Folgerungssätzen, ist keine Ableitung einer Aussage aus einer Aussagenmenge oder es gibt genau eine Aussage Γ und genau eine Aussagenmenge X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist, wobei dies für jede Satzsequenz ohne Rückgriff auf metasprachliche Kommentarmittel feststellbar ist. 4 (ii) Die klassische modelltheoretische Konsequenzrelation für die erste Stufe ist äquivalent zu der Konsequenzrelation für den Kalkül.

Bei der Entwicklung des Kalküls wird der von PETER HINST und GEO SIEGWART entwickelte grammatische Rahmen pragmatisierter Sprachen erster Stufe vorausgesetzt und um einige zusätzliche Begrifflichkeiten ergänzt [START_REF] Pelletier | A Brief History of Natural Deduction[END_REF]. Sodann wird die Rede von der Verfügbarkeit von Aussagen etabliert: Im Gegensatz zu den von HINST und SIEGWART entwickelten Kalkülen wird bei der Formulierung der Redehandlungsregeln für diesen Kalkül Dabei regulieren wir das Prädikat '.. ist eine Ableitung von .. aus ..' so, dass die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge die Menge der in der an erster Stelle genannten Satzsequenz tatsächlich auftretenden und nicht eliminierten Annahmen ist. Reguliert man das Prädikat, wie auch üblich, so, dass die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge eine Obermenge der Menge der in der betreffenden Satzsequenz tatsächlich auftretenden und nicht eliminierten Annahmen ist, dann gewährleistet der Kalkül dementsprechend, dass jede Satzsequenz entweder keine Ableitung einer Aussage aus einer Aussagenmenge ist oder aber dass es eine Aussage Γ und Aussagenmenge X gibt, so dass für jede Aussage Δ und Aussagenmenge Y gilt: ist eine Ableitung von Δ aus Y gdw Δ = Γ und X ⊆ Y. (ii) Die abzählbar unendliche Menge PAR = {x i | i ∈ N}, wobei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j:

x i ≠ x j und x i ∈ {x i }, (die Menge der Parameter; Metavariablen: β, β', β*, …), (iii) Die abzählbar unendliche Menge VAR = {x i | i ∈ N}, wobei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j:

x i ≠ x j und x i ∈ {x i }, (die Menge der Variablen; Metavariablen: ξ, ζ, ω, ξ', ζ', ω', ξ*, ζ*, ω*, …), (iv) Die abzählbar unendliche Menge FUNK = {f i.j | i ∈ N\{0} und j ∈ N}, wobei für alle i, k ∈ N\{0} und j, l ∈ N mit (i, j) ≠ (k, l): f i.j ≠ f k.l und f i.j ∈ {f i.j }, (die Menge der Funktoren; Metavariablen: φ, φ', φ*, …), (v) Die abzählbar unendliche Menge PRÄ = {=} ∪ {P i.j | i ∈ N\{0} und j ∈ N}, wobei {=} {P i.j | i ∈ N\{0} und j ∈ N} und für alle i, k ∈ N\{0} und j, l ∈ N mit (i, j) ≠ (k, l): P i.j ≠ P k.l und P i.j ∈ {P i.j }, (die Menge der Prädikatoren; Metavariablen: Φ, Φ', Φ*, …), Nun wird die Existenz einer passenden Verkettungsoperation für Ausdrücke postuliert, wobei -wie bereits bemerkt -offen gelassen wird, wie diese im Einzelnen auszugestalten ist. Dazu wird zuerst die Verkettung für Grundausdrücke und dann, nach der Definition der Menge der Ausdrücke und der Ausdruckslängenfunktion, die allgemeine Verkettung von beliebigen Ausdrücken reguliert.

Postulat 1-2. Verkettung von Grundausdrücken 7

Die durch Juxtaposition angezeigte Ausdrucksverkettungsoperation ist wohldefiniert und es gilt:

(i) Für alle k, j ∈ N\{0}: Wenn {μ 0 , …, μ k-1 } ⊆ GAUS und {μ' 0 , …, μ' j-1 } ⊆ GAUS, dann: μ 0 …μ k-1 = μ' 0 …μ' j-1 gdw j = k und für alle i < k gilt: Hier und im Folgenden setzen wir voraus, dass gilt: Wenn k ∈ N\{0} und {a 0 , …, a k-1 } ⊆ X, wobei X ∈ {X}, dann gilt für alle i < k: a i ∈ {a 0 , …, a k-1 }.

μ i = μ' i , (ii) 
beiden Fällen zu einem Widerspruch. Also ist r < AUSL(μ l ). Also ist insgesamt 0 < l < k und r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r und somit gilt a).

Nun ist noch b), also die eindeutige Bestimmtheit von l, r, zu zeigen. Sei dazu 0 < l' < k Wenn k ∈ N\{0} und für alle i < k: μ i ∈ AUS und μ i = μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 , wobei {μ μ i 0 , …, μ μ i AUSL(μ i )-1 } ⊆ GAUS, dann gibt es m ∈ N\{0} und {μ* 0 , …, μ* m-1 } ⊆ GAUS, so dass für alle i < k: Wenn k ∈ N\{0} und für alle i < k: μ i ∈ AUS und μ i = μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 , wobei {μ μ i 0 , …, μ μ i AUSL(μ i )-1 } ⊆ GAUS, dann:

μ 0 …μ k-1 = μ 0 …μ i-1 μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 μ i+1 …μ k-1 = μ* 0 …μ* m-
(i) μ 0 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ k μ μ -1 0 … μ k-1 AUSL(μ k-1 )-1 , (ii) AUSL( μ 0 …μ k-1 ) = ∑ k j AUSL(μ j ) und (iii) Wenn m ∈ N\{0} und {μ' 0 , …, μ' m-1 } ⊆ GAUS, dann:

μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ k-1 0 …μ μ k-1 AUSL(μ k-1 )-1 = μ' 0 … ' m-1 μ m = ∑ k j
AUSL(μ j ) und für alle s < m: μ' s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ), und gdw μ' s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k und r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r, falls AUSL(μ 0 ) ≤ s.

Beweis: Sei k ∈ N\{0}, für alle i < k: μ i ∈ AUS und μ i = μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 , wobei {μ μ i 0 , …, μ μ i AUSL(μ i )-1 } ⊆ GAUS. Zu (i): Durch Induktion über i wird zunächst gezeigt, dass für alle i < k gilt:

μ 0 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 μ i+1 …μ k-1 .

Damit gilt dies dann auch für i = k-1 und damit gilt dann (i). Gelte die Behauptung nun für alle l < i. Sei nun i < k. Dann ist i = 0 oder 0 < i. Sei nun i = 0. Wegen μ 0 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 ist dann nach Postulat 1-3:

μ 0 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 μ 1 …μ k-1 .
Sei nun 0 < i. Dann gilt für alle l < i, dass l < k und damit nach I.V.:

μ 0 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ l 0 …μ μ l AUSL(μ l )-1 μ l+1 …μ k-1 .

Da nun i-1 < i, gilt damit:

μ 0 …μ k-1 =
μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i-1 0 …μ μ i-1 AUSL(μ i-1 )-1 μ i …μ k-1 .

Wegen μ i = μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 gilt dann mit Postulat 1-3:

μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i-1 0 …μ μ i-1 AUSL(μ i-1 )-1 μ i …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i-1 0 …μ μ i-1 AUSL(μ i-1 )-1 μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 μ i+1 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 μ i+1 …μ k-1 .

Damit gilt dann insgesamt: Wenn k, k' ∈ N\{0} und für alle i < k: μ i ∈ AUS und μ i = μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 , wobei {μ μ i 0 , …, μ μ i AUSL(μ i )-1 } ⊆ GAUS, und für alle i < k': μ' i ∈ AUS und μ' i = μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 , wobei {μ' μ' i 0 , …, μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 } ⊆ GAUS, und wenn μ 0 …μ k-1 = μ' 0 …μ' k'-1 , dann:

μ 0 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 μ i+1 …μ k-1 .

Zu (ii) und (iii):

(i) μ 0 …μ k-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ k-1 0 …μ μ k-1 AUSL(μ k-1 )-1 = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' k'-1 0 …μ' μ' k'-1 AUSL(μ' k'-1 )-1 = μ' 0 …μ' k'-1 , (ii) AUSL( μ 0 …μ k-1 ) = ∑ k j AUSL(μ j ) = ∑ k′ j AUSL(μ' j ) = AUSL( μ' 0 …μ' k'-1 ) und (iii) Für alle i < k, k': Wenn AUSL(μ j ) = AUSL(μ' j ) für alle j ≤ i, dann: a) μ 0 …μ i = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 = μ' 0 …μ' i und b) Für alle j ≤ i: μ j = μ' j .

Beweis: Seien k, k' ∈ N\{0} und für alle i < k: μ i ∈ AUS und μ i = μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 , wobei {μ μ i 0 , …, μ μ i AUSL(μ i )-1 } ⊆ GAUS, und für alle i < k': μ' i ∈ AUS und μ' i = μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 , wobei {μ' μ' i 0 , …, μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 } ⊆ GAUS, und sei μ 0 …μ k-1 = μ' 0 …μ' k'-1 . Dann gelten (i) und (ii) mit und -(ii).

Sei nun für (iii) i < k, k' und sei AUSL(μ j ) = AUSL(μ' j ) für alle j ≤ i. Zunächst gilt mit < m': μ'* s = μ' μ' 0 s , falls s < AUSL(μ' 0 ), und μ'* s = μ' μ' l' r' für die eindeutig bestimmten l', r', für die 0 < l' < k', r' < AUSL(μ' l' ) und s = (∑ l′ n AUSL(μ' n ))+r', falls AUSL(μ' 0 ) ≤ s.

Dann ist mit (ii) m = m'. Sodann ist mit (i):

μ* 0 …μ* m*-1 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ k-1 0 …μ μ k-1 AUSL(μ k-1 )-1 = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' k'-1 0 …μ' μ' k'-1 AUSL(μ' k'-1 )-1 = μ'* 0 …μ'* m'-1 .

Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann für alle s < m = m': μ* s = μ'* s . Sodann ist i = 0 oder 0 < i.

Sei i = 0. Nach Annahme ist AUSL(μ 0 ) = AUSL(μ' 0 ). Sei nun s < AUSL(μ 0 ). Dann ist s < AUSL(μ' 0 ) und s < m = m'. Dann ist μ* s = μ μ 0 s und μ'* s = μ' μ' 0 s . Damit ist dann μ μ 0 s = μ' μ' 0 s .

Also gilt für alle s < AUSL(μ 0 ) = AUSL(μ' 0 ), dass μ μ 0 s = μ' μ' 0 s und damit nach Postulat 1-2-(i), dass μ 0 = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 = μ' 0 . Damit gilt a) für i = 0.

Sodann gilt bei i = 0 für alle j ≤ i, dass j = i = 0 und damit gilt in diesem Fall auch b).

Sei nun 0 < i. Aus der Annahme, dass AUSL(μ j ) = AUSL(μ' j ) für alle j ≤ i, ergibt sich:

∑ i n AUSL(μ n ) = ∑ i n AUSL(μ' n ).
Sodann gilt mit Postulat 1-3: Es gibt t ∈ N\{0} und {μ + 0 , …, μ + t-1 } ⊆ GAUS, so dass μ 0 …μ i = μ + 0 …μ + t-1 und t = ∑ i n AUSL(μ n ) und für alle s < t: μ + s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ), und μ + s = μ μ l°r ° für die eindeutig bestimmten l°, r°, für die 0 < l° < i+1, r° < AUSL(μ l°) und s = (∑ l° n AUSL(μ n ))+r°, falls AUSL(μ 0 ) ≤ s, und es gibt t' ∈ N\{0} und {μ' + 0 , …, μ' + t'-1 } ⊆ GAUS, so dass μ' 0 …μ' i = μ' + 0 …μ' + t'-1 und t' = ∑ i n AUSL(μ' n ) und für alle s < t': μ' + s = μ' μ' 0 s , falls s < AUSL(μ' 0 ), und μ' + s = μ' μ' l'°r '° für die eindeutig bestimmten l'°, r'°, für die 0 < l'° < i+1, r'° < AUSL(μ' l'°) und s = (∑ l′° n AUSL(μ' n ))+r'°, falls AUSL(μ' 0 ) ≤ s. Dann ist t =

∑ i n AUSL(μ n ) = ∑ i n AUSL(μ' n ) = t'. Wegen ∑ i n AUSL(μ n ) ≤ ∑ k n AUSL(μ n ) gilt zudem t ≤ m = m'.
Sei nun s < t. Dann ist s < t' und s < m = m'. Sodann ist s < AUSL(μ 0 ) oder AUSL(μ 0 ) ≤ s. Sei nun s < AUSL(μ 0 ). Wegen 0 < i ist dann nach Annahme AUSL(μ 0 ) = AUSL(μ' 0 ) und damit auch s < AUSL(μ' 0 ). Dann ist μ* s = μ μ 0 s = μ + s und μ'* s = μ' μ' 0 s = μ' + s . Wegen μ* s = μ'* s ist damit μ + s = μ' + s . Sei nun AUSL(μ 0 ) = AUSL(μ' 0 ) ≤ s. Dann gilt:

μ* s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r, und μ'* s = μ' μ' l' r' für die eindeutig bestimmten l', r', für die 0 < l' < k', r' < AUSL(μ' l' ) und s = (∑ l′ n AUSL(μ' n ))+r', und μ + s = μ μ l°r ° für die eindeutig bestimmten l°, r°, für die 0 < l° < i+1, r° < AUSL(μ l°) und s = (∑ l° n AUSL(μ n ))+r°, und μ' + s = μ' μ' l'°r '° für die eindeutig bestimmten l'°, r'°, für die 0 < l'° < i+1, r'° < AUSL(μ' l'°) und s = (∑ l′° n AUSL(μ' n ))+r'°.

Mit l°, l'° < i+1 gilt dann l°, l'° ≤ i. Damit gilt nach Annahme AUSL(μ l'°) = AUSL(μ' l'°)

und ∑ l′° n AUSL(μ n ) = ∑ l′° n AUSL(μ' n ). Damit gilt 0 < l'° < i+1 und r'° < AUSL(μ l'°)
und s = (∑ l′° n AUSL(μ n ))+r'°. Dann ist nach Theorem 1-3 l'° = l° und r'° = r°. Wäre nun i+1 ≤ l. Dann wäre i ≤ l-1. Damit wäre aber t

= ∑ i n AUSL(μ n ) ≤ ∑ l n AUSL(μ n ) ≤ s.
Widerspruch! Also ist l < i+1. Damit ergibt sich dann l = l° und r = r°. Analog ergibt sich, dass l' = l'° und r' = r'°, womit dann insgesamt gilt: l = l° = l'° = l' und r = r° = r'° = r'. Damit ist dann μ* s = μ μ l r = μ + s und μ'* s = μ' μ' l r = μ' + s . Wegen μ* s = μ'* s , ist damit μ + s = μ' + s . Also gilt für alle s < t = t', dass μ + s = μ' + s und damit nach Postulat 1-2-(i), dass μ 0 …μ i = μ + 0 …μ + t-1 = μ' + 0 …μ' + t'-1 = μ' 0 …μ' i . Sodann gilt mit Theorem 1-4-(i), dass μ 0 …μ i = μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ i 0 …μ μ i AUSL(μ i )-1 und μ' 0 …μ' i = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 . Damit gilt dann auch für 0 < i, dass a) gilt.

Sei nun für b) j ≤ i. Für den Fall j = 0 wurde oben bereits gezeigt, dass dann μ j = μ' j gilt.

Sei nun 0 < j ≤ i. Sei nun r < AUSL(μ j ) = AUSL(μ' j ). Dann ist (∑ AUSL(μ n ))+r, dass μ + s = μ μ j r und μ' + s = μ' μ' j r . Da s < t = t' gilt dann, wie eben gezeigt, dass μ + s = μ' + s und damit auch μ μ j r = μ' μ' j r . Also gilt für alle r < AUSL(μ j ) = AUSL(μ' j ), dass μ μ j r = μ' μ' j r . Damit gilt dann mit , dass μ j = μ μ j 0 …μ μ j AUSL(μ j )-1 = μ' μ' j 0 …μ' μ' j AUSL(μ' j )-1 = μ' j . Damit gilt b) auch für 0 < i. ■ Theorem 1-6. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (c) Wenn k, s ∈ N\{0} und {μ 0 , …, μ k-1 } ⊆ AUS und {μ' 0 , …, μ' s-1 } ⊆ AUS und j < k und μ j = μ' 0 …μ' s-1 , dann: μ 0 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' s-1 μ j+1 …μ k-1 .

Beweis: Seien k, s ∈ N\{0} und {μ 0 , …, μ k-1 } ⊆ AUS und {μ' 0 , …, μ' s-1 } ⊆ AUS und j < k und μ j = μ' 0 …μ' s-1 . Dann gibt es mit {μ' 0 , …, μ' s-1 } ⊆ AUS und Theorem 1-2 für alle i < s {μ' μ' i 0 , …, μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 } ⊆ GAUS, so dass μ' i = μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 . Mit Theorem 1-4-(i) ist μ j = μ' 0 …μ' s-1 = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 . Mit Postulat 1-3 gilt μ 0 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 .

Durch Induktion über i wird zunächst gezeigt, dass für alle i < s gilt:

μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' i μ' μ' i+1 0 …μ' μ' i+1 AUSL(μ' i+1 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 .

Damit gilt dies dann auch für i = s-1 und damit gilt dann μ 0 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' s-1 μ j+1 …μ k-1 .

Damit gilt dann das Theorem. Gelte die Behauptung nun für alle l < i. Sei nun i < s. Dann ist i = 0 oder 0 < i. Sei i = 0. Wegen μ' 0 = μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 ist dann nach Postulat 1-3:

μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 μ' μ' 1 0 …μ' μ' 1 AUSL(μ' 1 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 .

Sei nun 0 < i. Dann gilt für alle l < i, dass l < s und damit nach I.V.:

μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' l μ' μ' l+1 0 …μ' μ' l+1 AUSL(μ' l+1 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 .

Da nun mit 0 < i gilt, dass i-1 < i, gilt damit:

μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' i-1 μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 .

Wegen μ' i = μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 gilt dann mit Postulat 1-3:

μ 0 …μ j-1 μ' μ' 0 0 …μ' μ' 0 AUSL(μ' 0 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' i-1 μ' μ' i 0 …μ' μ' i AUSL(μ' i )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 = μ 0 …μ j-1 μ' 0 …μ' i μ' μ' i+1 0 …μ' μ' i+1 AUSL(μ' i+1 )-1 …μ' μ' s-1 0 …μ' μ' s-1 AUSL(μ' s-1 )-1 μ j+1 …μ k-1 .

Damit gilt die Behauptung für alle i < s und das Theorem ergibt sich wie oben angeben. ■ Beweis: Seien μ, μ', μ*, μ + ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N\{0}, so dass {μ 0 , …, μ i-1 } ⊆ GAUS und μ = μ 0 …μ i-1 und j ∈ N\{0}, so dass {μ* 0 , …, μ* j-1 } ⊆ GAUS und μ* = μ* 0 …μ* j-1 und k ∈ N\{0}, so dass {μ + 0 , …, μ + k-1 } ⊆ GAUS und μ + = μ + 0 …μ + k-1 . Sei nun für (i) μμ* = μμ + . Dann gilt mit Beweis: Seien μ', μ*, μ + ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N\{0}, so dass {μ' 0 , …, μ' i-1 } ⊆ AUS und μ' = μ' 0 …μ' i-1 und j ∈ N\{0}, so dass {μ* 0 , …, μ* j-1 } ⊆ AUS und μ* = μ* 0 …μ* j-1 und k ∈ N\{0}, so dass {μ + 0 , …, μ + k-1 } ⊆ AUS und μ + = μ + 0 …μ + k-1 .Wäre nun μ' = μ'μ* oder μ' = μ*μ'μ + oder μ' = μ*μ' . Mit wäre dann i = i+j oder i = j+i+k oder i = j+i und andererseits mit i, j, k ∈ N\{0}: i ≠ i+j und i ≠ j+i+k und i ≠ j+i. Widerspruch! Also μ' ≠ μ'μ* und μ' ≠ μ*μ'μ + und μ' ≠ μ*μ' . ■ Nun werden alle Operatoren nach ihrer Stelligkeit bestimmt, wobei die unter Definition 1-5-(vi) beschriebenen Operatoren in Definition 1-8 als Quantoren definiert werden, welche eine eigene Kategorie bilden. Nach der Stelligkeitsdefinition können dann weiterhin die Kategorien der Terme und der Formeln eingeführt und sodann die eindeutige Lesbarkeit für die bereits etablierten Kategorien gezeigt werden. Im Anschluss werden dann weitere grammatische Begrifflichkeiten bis hin zu den Satzsequenzen entwickelt. Hinweis: Leerzeichen dienen hier und im Folgenden nur der besseren Lesbarkeit, sie sind kein Teil der Ausdrücke. So steht etwa f 3.1 (c 0 , c 0 , c 1 ) für f 3.1 (c 0 ,c 0 ,c 1 ) . ∪ VAR. Widerspruch! Also ist θ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N\{0} und φ ∈ FUNK, wobei φ n-stellig, und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM, so dass θ = φ(θ 0 , …, θ n-1 ) . Also φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) = φ(θ 0 , …, θ n-1 )μ . Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) φ' = φ und damit nach Definition 1-5 und Postulat 1-1-(iv) n = n'. Also φ(θ' 0 , …, θ' n-1 ) = φ(θ 0 , …, θ n-1 )μ , wobei für alle i < n auch gilt, dass AUSL(θ' i ), AUSL(θ i ) < AUSL(θ').

Sodann gilt mit {μ} ∪ TERM ⊆ AUS, dass es {μ* 0 , …, μ* AUSL(μ)-1 } ⊆ GAUS und {μ θ' 0 0 , …, μ θ' 0 AUSL(θ' 0 )-1 } ∪ … ∪ {μ θ' n-1 0 , …, μ θ' n-1 AUSL(θ' n-1 )-1 } ⊆ GAUS und {μ θ 0 0 , …, μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 } ∪ … ∪ {μ θ n-1 0 , …, μ θ n-1 AUSL(θ n-1 )-1 } ⊆ GAUS gibt, so dass μ = μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 und für alle i < n: θ' i = μ θ' i 0 …μ θ' i AUSL(θ' i )-1 und θ i = μ θ i 0 …μ θ i AUSL(θ i )-1 .

Dann ist mit φ(μ θ' 0 0 …μ θ' 0 AUSL(θ' 0 )-1 , …, μ θ' n-1 0 …μ θ' n-1 AUSL(θ' n-1 )-1 ) = φ(μ θ 0 0 …μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 , …, μ θ n-1 0 …μ θ n-1 AUSL(θ n-1 )-1 )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1

und damit mit Theorem 1-7-(i) μ θ' 0 0 …μ θ' 0 AUSL(θ' 0 )-1 , …, μ θ' n-1 0 …μ θ' n-1 AUSL(θ' n-1 )-1 ) = μ θ 0 0 …μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 , …, μ θ n-1 0 …μ θ n-1 AUSL(θ n-1 )-1 )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 .

Wäre nun AUSL(θ' i ) = AUSL(θ i ) für alle i < n. Dann wäre mit und Theorem 1-7-(i) ) = )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 , während andererseits mit Postulat 1-2-(ii) gilt:

) ≠ )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 . Widerspruch! Also gibt es ein kleinstes i mit AUSL(θ' i ) ≠ AUSL(θ i ). Sei i so und zunächst AUSL(θ' i ) < AUSL(θ i ). Angenommen i = 0. Dann ergibt sich mit Theorem 1-5-(iii) für alle j < AUSL(θ' 0 ), dass μ θ' 0 j = μ θ 0 j und damit nach Postulat 1-2-(i): θ' 0 = μ θ' 0 0 …μ θ' 0 AUSL(θ' 0 )-1 = μ θ 0 0 …μ θ 0 AUSL(θ' 0 )-1 . Wegen AUSL(θ' 0 ) < AUSL(θ 0 ) gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass θ' 0 μ θ 0 AUSL(θ' 0 ) …μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 = μ θ 0 0 …μ θ 0 AUSL(θ' 0 )-1 μ θ 0 AUSL(θ' 0 ) …μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 = μ θ 0 0 …μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 = θ 0 , im Widerspruch zur I.V. Angenommen i > 0. Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii):

μ θ' 0 0 …μ θ' 0 AUSL(θ' 0 )-1 , …, μ θ' i-1 0 …μ θ' i-1 AUSL(θ' i-1 )-1 , = μ θ 0 0 …μ θ 0 AUSL(θ 0 )-1 , …, μ θ i-1 0 …μ θ i-1 AUSL(θ i-1 )-1 , .

Also mit Theorem 1-7-(i):

μ θ' i 0 …μ θ' i AUSL(θ' i )-1 , …, μ θ' n-1 0 …μ θ' n-1 AUSL(θ' n-1 )-1 ) = μ θ i 0 …μ θ i AUSL(θ i )-1 , …, μ θ n-1 0 …μ θ n-1 AUSL(θ n-1 )-1 )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 .

Mit Theorem 1-5-(iii) gilt sodann für alle j < AUSL(θ' i ), dass μ θ' i j = μ θ i j und damit nach Postulat 1-2-(i): θ' i = μ θ' i 0 …μ θ' i AUSL(θ' i )-1 = μ θ i 0 …μ θ i AUSL(θ' i )-1 . Wegen AUSL(θ' i ) < AUSL(θ i ) gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass θ' i μ θ i AUSL(θ' i ) …μ θ i AUSL(θ i )-1 = JUNK\{ ¬ }, so dass Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) , wobei AUSL(Δ 0 ), AUSL(Δ 1 ) < AUSL(Δ'). Also (Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) = (Δ 0 ψ Δ 1 )μ . Mit Theorem 1-7-(i) gilt Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) = Δ 0 ψ Δ 1 )μ . Sodann gilt mit {μ} ∪ FORM ⊆ AUS, dass es {μ* 0 , …, μ* AUSL(μ)-1 } ⊆ GAUS und {μ Δ' 0 0 , …, μ Δ' 0 AUSL(Δ' 0 )-1 } ∪ {μ Δ' 1 0 , …, μ Δ' 1 AUSL(Δ' 1 )-1 } ⊆ GAUS und {μ Δ 0 0 , …, μ Δ 0 AUSL(Δ 0 )-1 } ∪ {μ Δ 1 0 , …, μ Δ 1 AUSL(Δ 1 )-1 } ⊆ GAUS gibt, so dass μ = μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 und für alle i < 2:

μ θ i 0 …μ θ i AUSL(θ' i )-1 μ θ i AUSL(θ' i ) …μ θ i AUSL(θ i )-1 = μ θ i 0 …μ θ i AUSL(θ i )-1 = θ i ,
Δ' i = μ Δ' i 0 …μ Δ' i AUSL(Δ' i )-1 und Δ i = μ Δ i 0 …μ Δ i AUSL(Δ i )-1 .
Dann ergibt sich mit Theorem 1-5-(i):

μ Δ' 0 0 …μ Δ' 0 AUSL(Δ' 0 )-1 ψ'μ Δ' 1 0 …μ Δ' 1 AUSL(Δ' 1 )-1 ) = μ Δ 0 0 …μ Δ 0 AUSL(Δ 0 )-1 ψμ Δ 1 0 …μ Δ 1 AUSL(Δ 1 )-1 )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 .

Wäre nun AUSL(Δ' 0 ) < AUSL(Δ 0 ). Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii) für alle j < AUSL(Δ' 0 ), dass μ Δ' 0 j = μ Δ 0 j , und damit nach Postulat 1-2-(i) Δ' 0 = μ Δ' 0 0 …μ Δ' 0 AUSL(Δ' 0 )-1 = μ Δ 0 0 …μ Δ 0 AUSL(Δ' 0 )-1 . Damit gilt dann mit Theorem 1-6, dass Δ' 0 μ Δ 0 AUSL(Δ' 0 ) …μ Δ 0 AUSL(Δ 0 )-1 = μ Δ 0 0 …μ Δ 0 AUSL(Δ' 0 )-1 μ Δ 0 AUSL(Δ' 0 ) …μ Δ 0 AUSL(Δ 0 )-1 = μ Δ 0 0 …μ Δ 0 AUSL(Δ 0 )-1 = Δ 0 ; im Widerspruch zur I.V. Bei AUSL(Δ 0 ) < AUSL(Δ' 0 ) ergibt sich analog ein Widerspruch. Also AUSL(Δ' 0 ) = AUSL(Δ 0 ). Damit gilt mit Theorem 1-5-(iii) μ Δ' 0 0 …μ Δ' 0 AUSL(Δ' 0 )-1 ψ' = μ Δ 0 0 …μ Δ 0 AUSL(Δ 0 )-1 ψ und damit mit auch μ Δ' 1 0 …μ Δ' 1 AUSL(Δ' 1 )-1 ) = μ Δ 1 0 …μ Δ 1 AUSL(Δ 1 )-1 )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 . Wie eben für Δ' 0 , Δ 0 zeigt man, dass AUSL(Δ' 1 ) = AUSL(Δ 1 ). Damit gilt dann aber mit Theorem 1-5-(iii), dass 

Δ' 1 = Δ 1 ,
' = μ'. Also Π' ∈ PRÄ ∪ { ¬ , ( }. Widerspruch! Also Δ ∈ QFORM und es gibt Δ + ∈ FORM und Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass Δ = ΠξΔ + . Also Π'ξ'Δ # = ΠξΔ + μ . Mit Theorem 1-7-(iii) und -(i) gilt zunächst ξ'Δ # = ξΔ + μ und schließlich Δ # = Δ + μ , im Widerspruch zur I.V.
In allen vier Fällen führt Δ' = Δμ zum Widerspruch. Also Δ' ≠ Δμ . ■ Theorem 1-10. Eindeutige Lesbarkeit ohne Sätze (a -Eindeutige Kategorie)

(i) KONST ∩ (PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (ii) PAR ∩ (KONST ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (iii) VAR ∩ (KONST ∪ PAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (iv) FTERM ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (v) QUANTOR ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (vi) AFORM ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (vii) { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (viii) { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ QFORM) = ∅ und (ix) QFORM ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}) = ∅. Beweis: Sei μ ∈ KONST. Dann ist nach Postulat 1-1 μ ∉ PAR ∪ VAR und nach Definition 1-7 μ ∉ FTERM. Wäre μ ∈ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ GAUS und μ* ∈ AUS, so dass μ = μ'μ* . Das widerspricht Postulat 1-2-(ii). Also μ ∉ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Für μ ∈ PAR und μ ∈ VAR verläuft der Beweis analog. Sei nun μ ∈ FTERM. Nach Definition 1-7 ist dann μ ∉ KONST ∪ PAR ∪ VAR und es ist μ ∈ TERM. Nach Definition 1-6 gibt es damit φ ∈ FUNK und μ + ∈ AUS, so dass μ = φμ + . Wäre μ ∈ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ QUANT ∪ {'¬', '('} und μ* ∈ AUS, so dass μ = μ'μ* . Dann müsste nach Theorem 1-7-(iii) μ' = φ sein und damit μ' ∈ FUNK. Das widerspricht Postulat 1-1. Also μ ∉ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Für μ ∈ QUANTOR, μ ∈ AFORM, μ ∈ { ¬Δ | Δ ∈ FORM}, μ ∈ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} und μ ∈ QFORM verläuft der Beweis analog. ■ Theorem 1-11. Eindeutige Lesbarkeit ohne Sätze (b -Eindeutige Zerlegbarkeit) Wenn μ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM, dann: (i) μ ∈ ATERM oder (ii) μ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N\{0}, φ ∈ FUNK und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM, so dass μ = φ(θ 0 , …, θ n-1 ) und für alle n' ∈ N\{0}, φ' ∈ FUNK und {θ' 0 , …, θ' n'-1 } ⊆ TERM mit μ = φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) gilt: n = n' und φ = φ' und für alle i < n: θ i = θ' i , oder (iii) μ ∈ QUANTOR und es gibt Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass μ = Πξ und für alle Π' ∈ QUANT und ξ' ∈ VAR mit μ = Π'ξ' gilt: Π = Π' und ξ = ξ', oder (iv) μ ∈ AFORM und es gibt n ∈ N\{0}, Φ ∈ PRÄ und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM, so dass μ = Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) und für alle n' ∈ N\{0}, Φ' ∈ PRÄ und {θ' 0 , …, θ' n'-1 } ⊆ TERM mit μ = Φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) gilt: n = n' und Φ = Φ' und für alle i < n: θ i = θ' i , oder (v) μ ∈ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} und es gibt Δ ∈ FORM, so dass μ = ¬Δ und für alle Δ' ∈ FORM mit μ = ¬Δ' gilt: Δ = Δ', oder (vi) μ ∈ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} und es gibt Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass μ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) und für alle Δ' 0 , Δ' 1 ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{ ¬ } mit μ = (Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) gilt: Δ 0 = Δ' 0 und Δ 1 = Δ' 1 und ψ = ψ', oder (vii) μ ∈ QFORM und es gibt Π ∈ QUANT, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, so dass μ = ΠξΔ und für alle Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR und Δ' ∈ FORM mit μ = Π'ξ'Δ' gilt: Π = Π' und ξ = ξ' und Δ = Δ'. Beweis: Sei μ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Also μ ∈ ATERM ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM.
Es werden diese sieben Fälle unterschieden. Erstens: Angenommen μ ∈ ATERM. Damit ist (i) trivial erfüllt.

Zweitens: Sei μ ∈ FTERM. Dann gibt es nach Definition 1-6 und Definition 1-7 n ∈ N\{0}, φ ∈ FUNK und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM, so dass μ = φ(θ 0 , …, θ n-1 ) . Seien nun auch n' ∈ N\{0}, φ' ∈ FUNK und {θ' 0 , …, θ' n'-1 } ⊆ TERM, so dass μ = φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) . φ = φ' folgt mit Theorem 1-7-(iii). Mit Theorem 1-7-(i) folgt damit θ 0 , …, θ n-1 ) = θ' 0 , …, θ' n'-1
) . Dann lässt sich durch Induktion über i zeigen, dass für alle i ∈ N gilt:

Wenn i < n, dann i < n' und θ i = θ' i . Gelte dazu die Behauptung für alle k < i. Angenom- men i < n. Angenommen i = 0. Dann gilt, dass 0 < n'. Außerdem gilt, dass es {μ 0 , …, μ AUSL(θ 0 )-1 } ∪ {μ' 0 , …, μ' AUSL(θ' 0 )-1 } ⊆ GAUS gibt, so dass θ 0 = μ 0 …μ AUSL(θ 0 )-1 and θ' 0 = μ' 0 …μ' AUSL(θ' 0 )-1 und somit mit Theorem 1-6 μ 0 …μ AUSL(θ 0 )-1 , …, θ n-1 ) = μ' 0 …μ' AUSL(θ' 0 )-1 , …, θ' n'-1
) . Wäre AUSL(θ 0 ) < AUSL(θ' 0 ). Dann wäre mit Theorem

1-5-(iii) für alle l < AUSL(θ 0 ) μ l = μ' l und damit nach Postulat 1-2-(i) θ 0 = μ 0 …μ AUSL(θ 0 )-1 = μ' 0 …μ' AUSL(θ 0 )-1 .
Damit wäre dann aber mit Theorem 1-6 θ 0 μ' AUSL(θ 0 ) …μ' AUSL(θ' 0 )-1 = μ' 0 …μ' AUSL(θ 0 )-1 μ' AUSL(θ 0 ) …μ' AUSL(θ' 0 )-1 = θ' 0 , was Theorem 1-9-(i) widerspricht. Ebenso folgt ein Widerspruch für AUSL(θ' 0 ) < AUSL(θ 0 ). Also gilt, dass AUSL(θ 0 ) = AUSL(θ' 0 ) und somit mit Theorem 1-5-(iii) auch θ 0 = θ' 0 .

Angenommen 0 < i. Dann gilt für alle k < i: k < n. Mit I.V. gilt mithin für alle k < i,

dass k < n' und θ k = θ' k . Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii), dass θ 0 , …, θ i-1 = θ' 0 , …, θ' i-1 . Außerdem gilt, dass i-1 < n' und somit, dass i ≤ n'. Wäre i = n'. Dann wäre θ 0 , …, θ i-1 = θ' 0 , …, θ' n'-1 . Mit Theorem 1-7-(i) wäre dann jedoch , θ i , …, θ n-1 ) = ) , was Postulat 1-2-(ii) widerspricht. Also gilt i < n'. Damit ergibt sich wiederum mit Theorem 1-7-(i), dass θ i , …, θ n-1 ) = θ' i , …, θ' n'-1 ) . Daraus ergibt sich θ i = θ' i in derselben Weise wie θ 0 = θ' 0 für i = 0. Also gilt für alle i < n, dass i < n' und θ i = θ' i . Analog zeigt man, dass für alle i < n' gilt: i < n und θ' i = θ i . Zusammen ergibt sich damit dann, dass n = n'
und dass für alle i < n:

θ i = θ' i . Drittens: Sei μ ∈ QUANTOR. Dann gibt es nach Definition 1-8 Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass μ = Πξ . Seien nun auch Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR, so dass μ = Π'ξ' . Aus Theorem 1-7-(iii) und -(i) folgt sofort Π = Π' und ξ = ξ'. Viertens: Sei μ ∈ AFORM. Dann gibt es nach Definition 1-10-(i) n ∈ N\{0}, Φ ∈ PRÄ und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM, so dass μ = Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) . Seien nun auch n' ∈ N\{0}, Φ' ∈ PRÄ und {θ' 0 , …, θ' n'-1 } ⊆ TERM, so dass μ = Φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) . Φ = Φ' ergibt sich
aus . Damit gilt dann mit Theorem 1-7-(i), dass θ 0 , …, θ n-1 ) = θ' 0 , …, θ' n'-1 ) . Daraus ergibt sich wie im zweiten Fall, dass n = n' und dass für alle i < n:

θ i = θ' i . Fünftens: Sei μ ∈ { ¬Δ | Δ ∈ FORM}. Dann gibt es Δ ∈ FORM, so dass μ = ¬Δ .
Sei nun auch Δ' ∈ FORM, so dass μ = ¬Δ' . Aus Theorem 1-7-(i) folgt sofort Δ = Δ'. FV ist eine Funktion auf TERM ∪ FORM und 

Sechstens: Sei μ ∈ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}. Dann gibt es Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass μ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) . Seien nun auch Δ' 0 , Δ' 1 ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass μ = (Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) . Dann gilt zunächst mit Theorem 1-7-(i) Δ 0 ψ Δ 1 ) = Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) . Sodann gibt es {μ 0 , …, μ AUSL(Δ 0 )-1 } ∪ {μ' 0 , …, μ' AUSL(Δ' 0 )-1 } ⊆ GAUS, so dass Δ 0 = μ 0 …μ AUSL(Δ 0 )-1 und Δ' 0 = μ' 0 …μ' AUSL(Δ' 0 )-1 . Wäre AUSL(Δ 0 ) < AUSL(Δ' 0 ). Dann wäre mit Theorem 1-5-(iii) μ i = μ' i für alle i < AUSL(Δ 0 ). Damit wäre dann nach nach Postulat 1-2-(i) Δ 0 = μ 0 …μ AUSL(Δ 0 )-1 = μ' 0 …μ' AUSL(Δ 0 )-1 . Mit Theorem 1-6 wäre dann aber Δ 0 μ' AUSL(Δ 0 ) …μ' AUSL(Δ' 0 )-1 = μ' 0 …μ' AUSL(Δ 0 )-1 μ' AUSL(Δ 0 ) …μ' AUSL(Δ' 0 )-1 = μ' 0 …μ' AUSL(Δ' 0 )-1 = Δ' 0 , entgegen Theorem 1-9-(ii). Für AUSL(Δ' 0 ) < AUSL(Δ 0 ) ergibt sich auf analoge Weise ein Widerspruch. Also AUSL(Δ 0 ) = AUSL(Δ' 0 ) und damit Δ 0 = Δ' 0 . Mit Theorem 1-7 gilt dann ψ Δ 1 ) = ψ' Δ' 1 ) , dann ψ = ψ', weiter Δ 1 ) = Δ' 1 ) und schließlich Δ 1 = Δ' 1 .

Siebtens

(i) Wenn α ∈ KONST, dann FV(α) = ∅, (ii) Wenn β ∈ PAR, dann FV(β) = ∅, (iii) Wenn ξ ∈ VAR, dann FV(ξ) = {ξ}, (iv) Wenn φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ FTERM, dann FV( φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ) = {FV(θ i ) | i < n}, (v) Wenn Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ AFORM, dann FV( Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ) = {FV(θ i ) | i < n}, (vi) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann FV( ¬Δ ) = FV(Δ), (vii) Wenn (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM, dann FV( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ) = FV(Δ 0 ) ∪ FV(Δ 1 ), und (viii) 
(i) ASATZ = { Sei Γ | Γ ∈ GFORM}, (ii) FSATZ = { Also Γ | Γ ∈ GFORM}.
Theorem 1-12. Eindeutige Kategorie und eindeutige Zerlegbarkeit für Sätze TA ist eine Funktion auf EAUS und Hinweis: Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass K eine Funktion auf SEQ\{∅} ist. 

Wenn Σ ∈ SATZ, dann Σ ∉ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM und (i) Σ ∈ ASATZ und Σ ∉ FSATZ und es gibt Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Sei Γ und für alle Γ' ∈ GFORM mit Σ = Sei Γ' gilt: Γ = Γ', oder (ii) Σ ∈ FSATZ und Σ ∉ ASATZ und es gibt Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Also Γ und für alle Γ' ∈ GFORM mit Σ = Also Γ' gilt: Γ = Γ'. Beweis: Sei Σ ∈ SATZ. Also gibt es Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass Σ = ΞΓ . Wä- re Σ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM, dann wäre Σ ∈ ATERM oder Σ ∈ FTERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Im ersten Falle wäre im Widerspruch zu Postulat 1-2-(ii) Σ ∈ GAUS. Im zweiten Falle gäbe es μ ∈ FUNK ∪ QUANT ∪ PRÄ ∪ { ¬ , ( } und μ' ∈ AUS, so dass Σ = μμ' . Damit wäre Ξ = μ und mithin Ξ ∈ FUNK ∪ QUANT ∪ PRÄ ∪ { ¬ , ( }, im Widerspruch zu Postulat 1-1. Also Σ ∉ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Wenn nun Σ ∈ SATZ, dann mit Postulat 1-1-(viii) Σ ∈ ASATZ
(i) Wenn τ ∈ GAUS, dann TA(τ) = {τ}, (ii) Wenn φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ FTERM, dann TA( φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ) = { φ(θ 0 , …, θ n-1 ) , φ} ∪ {TA(θ i ) | i < n}, (iii) Wenn Πξ ∈ QUANTOR, dann TA( Πξ ) = { Πξ , Π, ξ}, (iv) Wenn Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ AFORM, dann TA( Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ) = { Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) , Φ} ∪ {TA(θ i ) | i < n}, (v) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann TA( ¬Δ ) = { ¬Δ , ¬ } ∪ TA(Δ), (vi) Wenn (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM, dann TA( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ) = { (Δ 0 ψ Δ 1 ) , ψ} ∪ TA(Δ 0 ) ∪ TA(Δ 1 ), (vii) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM, dann TA( ΠξΔ ) = { ΠξΔ } ∪ TA( Πξ ) ∪ TA(Δ), und (viii) Wenn ΞΔ ∈ SATZ, dann TA( ΞΔ ) = { ΞΔ , Ξ} ∪ TA(Δ).
ANS = {( , X) | ∈ SEQ und X = {(i, i ) | i ∈ Dom( ) und i ∈ ASATZ}}.
Definition 1-27. Zuordnung der Menge der Annahmen (AN)

AN = {( , X) | ∈ SEQ und X = {Γ | Es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )), so dass Γ = A( i )}}.
Definition 1-28. Zuordnung der Teilmenge einer Sequenz , deren Glieder die Folgerungssätze von sind (FS)

FS = {( , X) | ∈ SEQ und X = {(i, i ) | i ∈ Dom( ) und i ∈ FSATZ}}.
Hinweis: Aus diesen Definitionen ergibt sich direkt, dass ANS, AN und FS Funktionen auf SEQ sind.

Definition 1-29. Zuordnung der Menge der Teilterme der Glieder einer Sequenz (TTSEQ)

TTSEQ = {( , X) | ∈ SEQ und X = {TT( i ) | i ∈ Dom( )}}.
Hinweis: Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass TTSEQ eine Funktion auf SEQ ist.

Definition 1-30. Zuordnung der Menge der Teilterme der Elemente einer Formelmenge X (TTFM)

TTFM = {(X, Y) | X ⊆ FORM und Y = {TT(Α) | Α ∈ X}}.
Hinweis: Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass TTFM eine Funktion auf Pot(FORM) ist. Die Substitution ist eine 3-stellige Funktion auf {〈〈θ' '[.., .., ..]' verwendet. Die Werte werden wie folgt zugeordnet:

Substitution

0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, μ〉 | k ∈ N\{0}, 〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉 ∈ k GTERM, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉 ∈ k ATERM und μ ∈ TERM ∪ FORM ∪ SATZ ∪ SEQ}. Als Substitutionsoperator wird
(i) Wenn θ + ∈ ATERM und θ + = θ k-1 , dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ + ] = θ' k-1 , (ii) Wenn θ + ∈ ATERM, θ + ≠ θ k-1 und k = 1, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ + ] = θ + , (iii) Wenn θ + ∈ ATERM, θ + ≠ θ k-1 und k ≠ 1, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ + ] = [〈θ' 0 , …, θ' k-2 〉, 〈θ 0 , …, θ k-2 〉, θ + ], (iv) Wenn φ(θ* 0 , …, θ* l-1 ) ∈ FTERM, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, φ(θ* 0 , …, θ* l-1 ) ] = φ([〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ* 0 ], …, [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ* l-1 ]) , (v) Wenn Φ(θ 0 , …, θ l-1 ) ∈ AFORM, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, Φ(θ* 0 , …, θ* l-1 ) ] = Φ([〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ* 0 ], …, [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, θ* l-1 ]) , (vi) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, ¬Δ ] = ¬[〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, Δ] , (vii) Wenn (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, (Δ 0 ψ Δ 1 ) ] = ([〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, Δ 0 ] ψ [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, Δ 1 ]) , 9
Es gelte

X Y = {f | f ∈ Pot(X × Y) und f ist Funktion auf X und Ran(f) ⊆ Y}.
Für die Verwendung des Tupeloperators gelte: 〈a 0 , …, a k-1 〉 = {(i, a i ) | i < k}. Bei der Angabe von Substitutionen werden im Folgenden für 1-Tupel einfach deren Werte notiert. Also etwa [θ' 0 , θ

0 , Δ] statt [〈θ' 0 〉, 〈θ 0 〉, Δ]. (viii) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM, dann sei 〈i 0 , …, i s-1 〉 so, dass s = |{j | j < k und θ j ≠ ξ}| und für alle l < s gilt i l ∈ {j | j < k und θ j ≠ ξ} und für alle k < l < s gilt i k < i l , und es sei [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, ΠξΔ ] = Πξ[〈θ'i 0 , …, θ'i s-1 〉, 〈θi 0 , …, θi s-1 〉, Δ] , falls |{j | j < k und θ j ≠ ξ}| ≠ 0, [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, ΠξΔ ] = ΠξΔ sonst, (ix) Wenn ΞΔ ∈ SATZ, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, ΞΔ ] = Ξ[〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, Δ] , und (x) Wenn ∈ SEQ, dann [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, ] = {(j, [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈θ 0 , …, θ k-1 〉, j ]) | j ∈ Dom( )}.
In Klausel (viii) 

θ n-1 ) ] = Φ([θ, θ', θ 0 ], …, [θ, θ', θ n-1 ]) ∈ AFORM. Also auch FGRAD([θ, θ', Δ]) = 0. Gelte die Behauptung nun für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM. Also FGRAD(Δ 0 ) = FGRAD([θ, θ', Δ 0 ]) und FGRAD(Δ 1 ) = FGRAD([θ, θ', Δ 1 ]). Zu JFORM: Sei nun Δ = ¬Δ 0 . Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( ¬Δ 0 ) = FGRAD(Δ 0 )+1 = FGRAD([θ, θ', Δ 0 ])+1 = FGRAD( ¬[θ, θ', Δ 0 ] ) = FGRAD([θ, θ', ¬Δ 0 ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Sei nun Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) für ein ψ ∈ JUNK\{ ¬ }. Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ) = max({FGRAD(Δ 0 ), FGRAD(Δ 1 )})+1 = max({FGRAD([θ, θ', Δ 0 ]), FGRAD([θ, θ', Δ 1 ])})+1 = FGRAD( ([θ, θ', Δ 0 ] ψ [θ, θ', Δ 1 ]) ) = FGRAD([θ, θ', (Δ 0 ψ Δ 1 ) ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Zu QFORM: Sei nun Δ = ΠξΔ 0 . Sei zunächst ξ ≠ θ'. Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( ΠξΔ 0 ) = FGRAD(Δ 0 )+1 = FGRAD([θ, θ', Δ 0 ])+1 = FGRAD( Πξ[θ, θ', Δ 0 ] ) = FGRAD([θ, θ', ΠξΔ 0 ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Sei sodann ξ = θ'. Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( ΠξΔ 0 ) = FGRAD([θ, θ', ΠξΔ 0 ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). ■ Theorem 
TERM und sei θ* = φ(θ* 0 , …, θ* r-1 ) ∈ FTERM. Dann ist [θ, θ', θ*] = [θ, θ', φ(θ* 0 , …, θ* r-1 ) ] = φ([θ, θ', θ* 0 ], …, [θ, θ', θ* r-1 ]) für alle θ ∈ GTERM. Nun gilt nach I.V. für al- le i < r: θ ∈ TT([θ, θ', θ* i ]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', θ* i ] = θ* i für alle θ ∈ GTERM. Angenommen es gibt ein i < r, so dass θ ∈ TT([θ, θ', θ* i ]) für alle θ ∈ GTERM. Dann ist auch θ ∈ TT( φ([θ, θ', θ* 0 ], …, [θ, θ', θ* r-1 ]) ) = TT([θ, θ', θ*]) für alle θ ∈ GTERM. Angenommen es gibt kein i < r, so dass θ ∈ TT([θ, θ', θ* i ]) für alle θ ∈ GTERM. Dann gilt nach I.V. [θ, θ', θ* i ] = θ* i für alle θ ∈ GTERM und alle i < r. Also [θ, θ', θ*] = φ([θ, θ', θ* 0 ], …, [θ, θ', θ* r-1 ]) = φ(θ* 0 , …, θ* r-1 ) = θ* für alle θ ∈ GTERM.
Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i).

Gelte die Behauptung nun für Δ 0 ,

Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist [θ, θ', Δ] = [θ, θ', ¬Δ 0 ] = ¬[θ, θ', Δ 0 ] für alle θ ∈ GTERM. Nun gilt nach I.V. θ ∈ TT([θ, θ', Δ 0 ]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', Δ 0 ] = Δ 0 für alle θ ∈ GTERM. Im ersten Fall gilt auch θ ∈ TT( ¬[θ, θ', Δ 0 ] ) = TT([θ, θ', Δ]) für alle θ ∈ GTERM. Im zweiten Fall gilt [θ, θ', Δ] = ¬[θ, θ', Δ 0 ] = ¬Δ 0 = Δ für alle θ ∈ GTERM. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) .
Der Fall verläuft analog zum Negatorfall.

Sei Δ = ΠξΔ 0 . Sei zunächst ξ = θ'. Dann ist [θ, θ', Δ] = [θ, θ', ΠξΔ 0 ] = ΠξΔ 0 = Δ für alle θ ∈ GTERM. Sei sodann ξ ≠ θ'. Dann ist [θ, θ', Δ] = [θ, θ', ΠξΔ 0 ] = Πξ[θ, θ', Δ 0 ] für alle θ ∈ GTERM. Nun gilt nach I.V. θ ∈ TT([θ, θ', Δ 0 ]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', Δ 0 ] = Δ 0 für alle θ ∈ GTERM. Im ersten Fall gilt auch θ ∈ TT( Πξ[θ, θ', Δ 0 ] ) = TT([θ, θ', Δ]) für alle θ ∈ GTERM. Im zweiten Fall gilt [θ, θ', Δ] = Πξ[θ, θ', Δ 0 ] = ΠξΔ 0 = Δ für alle θ ∈ GTERM. ■ Theorem 1-15.
Basen für die Substitution von geschlossenen Termen in Termen

Wenn θ ∈ TERM, k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(θ), wo- bei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j, dann gibt es ein θ + ∈ TERM, wobei FV(θ + ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(θ) und TT(θ + ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅, so dass θ = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ + ].
Beweis: Durch Induktion über den Termaufbau von θ.

Sei θ ∈ ATERM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(θ), wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j. Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei zunächst θ ∈ PAR ∪ KONST.
Dann gibt es kein i < k, so dass θ = θ i , oder es gibt ein i < k, so dass θ = θ i . Im ersten Fall 

ergibt sich θ = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ] sowie FV(θ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(θ) und TT(θ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Im zweiten Fall ist dann für ein i < k θ = [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, ξ i ]. Wegen ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j, gilt damit aber auch θ = [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, ξ i ] = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ξ i ] und es ist FV(ξ i ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(θ) und TT(ξ i ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Sei nun θ ∈ VAR. Dann ist wegen {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(θ) ebenfalls θ = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ] und FV(θ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(θ) und wegen TT(θ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ VAR ∩ GTERM = ∅ auch TT(θ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Gelte die Behauptung nun für θ' 0 , …, θ' r-1 ∈ TERM und sei θ = φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ∈ FTERM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(θ), wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit {TT(θ' i ) | i < r} ⊆ TT(θ), gilt dann für alle i < r, dass {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(θ' i ). Damit gibt es nach I.V. für jedes θ' i (i < r) ein θ + i ∈ TERM, so dass θ' i = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ k-1 〉, θ + i ] und FV(θ + i ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(θ' i ) und TT(θ + i ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Dann gibt es kein i < k, so dass φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = θ i , oder es gibt ein i < k, so dass φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = θ i . Im ersten Fall ist φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = φ([〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ + 0 ], …, [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ + r-1 ]) = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ]. Sodann ist FV( φ(θ + 0 , …, θ + r-1 〉 ) = {FV(θ + i ) | i < r} und somit mit I.V. FV( φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) ⊆ {FV(θ' i ) | i < r} ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 } = FV( φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 }. Sodann ist nach Fallannahme und I.V. TT( φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ({ φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) } ∪ {TT(θ + i ) | i < r}) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ({ φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) } ∩ {θ 0 , …, θ k-1 }) ∪ ( {TT(θ + i ) | i < r} ∩ {θ 0 , …, θ k-1 }) = ∅ ∪ {TT(θ + i ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } | i < r} = ∅. Im zweiten Fall ist dann für ein i < k φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, ξ i ]. Wegen ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j, gilt aber auch φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, ξ i ] = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ξ i ] und FV(ξ i ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV( φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ) und wegen ξ i ∉ GTERM auch TT(ξ i ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. ■ Theorem 1-16.

Basen für die Substitution von geschlossenen Termen in Formeln

Wenn Δ ∈ FORM, k ∈ N\{0},{θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(Δ), wo- bei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j, dann gibt es ein Δ + ∈ FORM, wobei FV(Δ + ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(Δ) und TT(Δ + ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅, so dass Δ = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + ]. Beweis: Durch Induktion über den Formelaufbau von Δ. Sei Δ = Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ∈ AFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT( Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ), wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit {TT(θ' i ) | i < r} = TT( Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ), gilt dann für alle i < r, dass {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(θ' i ). Dann gibt es nach Theorem 1-15 für jedes θ' i (i < r) ein θ + i ∈ TERM, so dass θ' i = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ + i ] und FV(θ + i ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(θ' i ) und TT(θ + i ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Dann ist Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = Φ([〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ + 0 ], …, [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ + r-1 ]) = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ]. Sodann ist FV( Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) = {FV(θ + i ) | i < r} und daher FV( Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) ⊆ {FV(θ' i ) | i < r} ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 } = FV( Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 }. Sodann ist TT( Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = {TT(θ + i ) | i < r} ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = {TT(θ + i ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } | i < r} = ∅. Gelte die Behauptung nun für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT( ¬Δ 0 ), wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit TT(Δ 0 ) = TT( ¬Δ 0 ) gilt dann {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(Δ 0 ). Dann gibt es nach I.V. für Δ 0 ein Δ + 0 ∈ FORM, so dass Δ 0 = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + 0 ] und FV(Δ + 0 ) ⊆ FV(Δ 0 ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 } und TT(Δ + 0 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Dann ist ¬Δ 0 = ¬[〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + 0 ] = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ k-1 〉, ¬Δ + 0 ]. So- dann ist FV( ¬Δ + 0 ) = FV(Δ + 0 ) und daher FV( ¬Δ + 0 ) ⊆ FV(Δ 0 ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 } = FV( ¬Δ 0 ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 }. Sodann ist TT( ¬Δ + 0 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = TT(Δ + 0 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Sei nun Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ), wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit TT(Δ 0 ) ∪ TT(Δ 1 ) = TT( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ) gilt dann {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\(TT(Δ 0 ) ∪ TT(Δ 1 )). Dann gibt es nach I.V. für Δ 0 , Δ 1 jeweils ein Δ + 0 , Δ + 1 ∈ FORM, so dass für l < 2: Δ l = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + l ] und FV(Δ + l ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(Δ l ) und TT(Δ + l ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Dann ist (Δ 0 ψ Δ 1 ) = ([〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + 0 ] ψ [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ k-1 〉, Δ + 1 ]) = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, (Δ + 0 ψ Δ + 1 ) ]. Sodann ist FV( (Δ + 0 ψ Δ + 1 ) ) = FV(Δ + 0 ) ∪ FV(Δ + 1 ) und daher FV( (Δ + 0 ψ Δ + 1 ) ) ⊆ FV(Δ 0 ) ∪ FV(Δ 1 ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 } = FV( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 }. Sodann ist TT( (Δ + 0 ψ Δ + 1 ) ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = (TT(Δ + 0 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 }) ∪ (TT(Δ + 1 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 }) = ∅. Sei nun Δ = ΠζΔ 0 ∈ QFORM und weiter k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT( ΠζΔ 0 ), wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k mit i ≠ j. Damit gilt ins- besondere ζ ∉ {ξ 0 , …, ξ k-1 }. Sodann gilt mit TT(Δ 0 ) ⊆ TT( ΠζΔ 0 ), dass {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR\TT(Δ 0 ). Damit gibt es nach I.V. für Δ 0 ein Δ + 0 ∈ FORM, so dass Δ 0 = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + 0 ] und FV(Δ + 0 ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(Δ 0 ) und TT(Δ + 0 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. Da ζ ∉ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ist dann ΠζΔ 0 = Πζ[〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ + 0 ] = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ΠζΔ + 0 ]. Sodann ist FV( ΠζΔ + 0 ) = FV(Δ + 0 )\{ζ} ⊆ (FV(Δ 0 )\{ζ}) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 } = FV( ΠζΔ 0 ) ∪ {ξ 0 , …, ξ k-1 }. Sodann ist mit VAR ∩ GTERM = ∅ schließ- lich TT( ΠζΔ + 0 ) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = (TT(Δ + 0 ) ∪ {ζ}) ∩ {θ 0 , …, θ k-1 } = ∅. ■
∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = [θ', ζ, θ*]. Sei nun θ ∈ VAR. Angenommen θ = ξ. Dann gilt mit θ* = ζ, dass FV(θ*) ⊆ {ζ} ∪ X und für alle θ' ∈ GTERM: [θ', ξ, θ] = θ' = [θ', ζ, θ*]. Angenommen θ ≠ ξ. Dann ist θ ∈ X und damit θ ∉ {ξ, ζ}. Dann gilt mit θ* = θ, dass FV(θ*) = {θ} ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = θ = θ* = [θ', ζ, θ*].
Gelte die Behauptung nun für θ 0 , …, θ r-1 ∈ TERM und sei θ = φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ FTERM. Dann gilt für alle i < r: FV(θ i ) ⊆ {ξ} ∪ X. Dann gibt es nach I.V. für alle i < r 

ein θ* i ∈ TERM, wobei FV(θ* i ) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ i ] = [θ', ζ, θ* i ]. Dann gilt mit θ* = φ(θ* 0 , … θ* r-1 ) , dass FV(θ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = [θ', ξ, φ(θ 0 , … θ r-1 ) ] = φ([θ', ξ, θ 0 ], … [θ', ξ, θ r-1 ]) = φ([θ', ζ, θ* 0 ], … [θ', ζ, θ* r-1 ]) = [θ', ζ, φ(θ* 0 , … θ* r-1 ) ] = [θ', ζ, θ*]. ■
{ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ), dann gibt es ein Δ* ∈ FORM, wobei FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ] = [θ', ζ, Δ*].
Beweis: Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ =

Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ AFORM. Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ). Dann gilt für alle i < r: FV(θ i ) ⊆ {ξ} ∪ X. Nach Theorem 1-17 gibt es dann für alle i < r ein θ* i ∈ TERM, wobei FV(θ* i ) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ i ] = [θ', ζ, θ* i ]. Dann gilt mit Δ* = Φ(θ* 0 , … θ* r-1 ) , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ] = Φ([θ', ξ, θ 0 ], … [θ', ξ, θ r-1 ]) = Φ([θ', ζ, θ* 0 ], … [θ', ζ, θ* r-1 ]) = [θ', ζ, Φ(θ* 0 , … θ* r-1 ) ] = [θ', ζ, Δ*]. Gelte die Behauptung nun für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ ∈ JFORM. Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ). Sei zunächst Δ = ¬Δ 0 . Dann gilt FV(Δ 0 ) = FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ 0 ). Dann gibt es nach I.V. Δ* 0 ∈ FORM, wobei FV(Δ* 0 ) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ 0 ] = [θ', ζ, Δ* 0 ]. Dann gilt mit Δ* = ¬Δ* 0 , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, ¬Δ 0 ] = ¬[θ', ξ, Δ 0 ] = ¬[θ', ζ, Δ* 0 ] = [θ', ζ, ¬Δ* 0 ] = [θ', ζ, Δ*]. Sei nun Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Dann gilt FV(Δ 0 ) ⊆ FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ 0 ) und FV(Δ 1 ) ⊆ FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ 1 ). Dann gibt es nach I.V. Δ* 0 , Δ* 1 ∈ FORM, wobei FV(Δ* 0 ) ⊆ {ζ} ∪ X und FV(Δ* 1 ) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ 0 ] = [θ', ζ, Δ* 0 ] und [θ', ξ, Δ 1 ] = [θ', ζ, Δ* 1 ]. Dann gilt mit Δ* = (Δ* 0 ψ Δ* 1 ) , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, (Δ 0 ψ Δ 1 ) ] = ([θ', ξ, Δ 0 ] ψ [θ', ξ, Δ 1 ]) = ([θ', ζ, Δ* 0 ] ψ [θ', ζ, Δ* 1 ]) = [θ', ζ, (Δ* 0 ψ Δ* 1 ) ] = [θ', ζ, Δ*]. Sei nun Δ = Πξ'Δ 0 ∈ QFORM. Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ). Dann gilt insbesondere ζ ≠ ξ'. Sei zunächst ξ = ξ'. Dann ist [θ', ξ, Πξ'Δ 0 ] = Πξ'Δ 0 für alle θ' ∈ GTERM und FV(Δ) ⊆ X. Sei dann Δ* = Δ = Πξ'Δ 0 . Da ζ ∉ TT(Δ) gilt auch [θ', ζ, Πξ'Δ 0 ] = Πξ'Δ 0 für alle θ' ∈ GTERM und FV(Δ*) = FV(Δ) ⊆ X ⊆ {ζ} ∪ X. Sei nun ξ ≠ ξ'. Dann gilt FV(Δ 0 ) ⊆ FV(Δ) ∪ {ξ'} ⊆ {ξ} ∪ X ∪ {ξ'} und ζ ∉ TT(Δ 0 ). Dann gibt es nach I.V. Δ* 0 ∈ FORM, wobei FV(Δ* 0 ) ⊆ {ζ} ∪ X ∪ {ξ'}, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ 0 ] = [θ', ζ, Δ* 0 ]. Dann gilt mit Δ* = Πξ'Δ* 0 , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Πξ'Δ 0 ] = Πξ'[θ', ξ, Δ 0 ] = Πξ'[θ', ζ, Δ* 0 ] = [θ', ζ, Πξ'Δ* 0 ] = [θ', ζ, Δ*]. ■ Theorem 1-19. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Terme Wenn θ, θ + ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ + )) und θ § ∈ ATERM und wenn [θ*, θ § , θ] = [θ*, θ § , θ + ], dann θ = θ + .
Beweis: Durch Induktion über den Termaufbau von θ. Sei θ ∈ ATERM. Sei nun

θ + ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ + )) und θ § ∈ ATERM und sei [θ*, θ § , θ] = [θ*, θ § , θ + ]. Sei nun θ § = θ. Dann ist [θ*, θ § , θ] = θ*. Dann ist θ* = [θ*, θ, θ + ]. Da nach Vorausset- zung θ* ∉ TT(θ + ) und mithin θ + ≠ θ*, ist dann θ = θ + . Sei nun θ § ≠ θ. Dann ist [θ*, θ § , θ] = θ. Dann ist θ = [θ*, θ § , θ + ], womit sich wegen θ* ∉ TT(θ) mit Theorem 1-14-(i) eben- falls ergibt, dass θ = θ + . Gelte die Behauptung nun für {θ 0 , …, θ r-1 } ⊆ TERM und sei φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ FTERM. Sei nun θ + ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT( φ(θ 0 , … θ r-1 ) ) ∪ TT(θ + )) und θ § ∈ ATERM und sei [θ*, θ § , φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] = [θ*, θ § , θ + ]. Also [θ*, θ § , θ + ] = φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) ∈ FTERM. Wäre θ + ∈ ATERM. Dann wäre θ § ≠ θ + oder θ § = θ + . An- genommen θ § ≠ θ + . Dann ist θ + = [θ*, θ § , θ + ] = φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) ∈ FTERM. Widerspruch! Angenommen θ § = θ + . Dann ist θ* = [θ*, θ § , θ + ] = φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) . Mit Theorem 1-14-(i) gilt dann für alle i < r: [θ*, θ § , θ i ] = θ i oder es gibt ein i < r, so dass θ* ∈ TT([θ*, θ § , θ i ]). Wenn [θ*, θ § , θ i ] = θ i für alle i < r, dann θ* = φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) = φ(θ 0 , …, θ r-1
) und damit entgegen der Voraussetzung θ* ∈ TT( φ(θ 0 , … θ r-1 ) ). Wenn es andererseits ein i < r gibt, so dass θ* ∈ TT([θ*,

θ § , θ i ]), dann ist θ* echter Teilterm von φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]
) , also echter Teilterm von sich selbst. Widerspruch zu Theorem 1-8. Also θ + ∉ ATERM, sondern θ + ∈ FTERM. Also gibt es {θ' 0 , …, θ' k-1 } ⊆ TERM und φ' ∈ FUNK, so dass θ + = φ'(θ' 0 , …,

θ' k-1 ) . Damit ist φ'([θ*, θ § , θ' 0 ], …, [θ*, θ § , θ' k-1 ]) = [θ*, θ § , φ'(θ' 0 , …, θ' k-1 ) ] = [θ*, θ § , θ + ] = φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) . Mit Theorem 1-11-(ii) gilt dann k = r und φ' = φ und [θ*, θ § , θ i ] = [θ*, θ § , θ' i ] für alle i < r. Mit I.V. ergibt sich, dass θ i = θ' i für alle i < r. Damit ist dann φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = φ'(θ' 0 , …, θ' k-1 ) = θ + . ■ Theorem 1-20. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Formeln Wenn Δ, Δ + ∈ FORM, θ* ∈ GTERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ + )) und θ § ∈ ATERM und wenn [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ], dann Δ = Δ + .
Beweis: 

Seien Δ, Δ + ∈ FORM, θ* ∈ GTERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ + )) und θ § ∈ ATERM und [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ].
. Sei Δ = Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ AFORM. Dann ist auch [θ*, θ § , Δ] = Φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) ∈ AFORM und es gibt {θ' 0 , …, θ' r-1 } ⊆ TERM mit Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = Δ + . Also auch Φ([θ*, θ § , θ 0 ], …, [θ*, θ § , θ r-1 ]) = [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ] = [θ*, θ § , Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ] = Φ([θ*, θ § , θ' 0 ], …, [θ*, θ § , θ' r-1 ]) ∈ AFORM. Mit Theorem 1-11-(iv) gilt dann [θ*, θ § , θ i ] = [θ*, θ § , θ' i ] für alle i < r. Mit Theorem 1-19 ergibt sich, dass θ i = θ' i für alle i < r. Damit ist dann Φ(θ 0 , … θ r-1 ) = Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = Δ + . Gelte die Behauptung nun für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, θ § , Δ] = ¬[θ*, θ § , Δ 0 ] ∈ JFORM und es gibt Δ' 0 ∈ FORM mit ¬Δ' 0 = Δ + . Also auch ¬[θ*, θ § , Δ 0 ] = [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ] = [θ*, θ § , ¬Δ' 0 ] = ¬[θ*, θ § , Δ' 0 ] ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(v) gilt dann [θ*, θ § , Δ 0 ] = [θ*, θ § , Δ' 0 ]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ 0 = Δ' 0 und damit Δ = ¬Δ 0 = ¬Δ' 0 = Δ + . Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, θ § , Δ] = ([θ*, θ § , Δ 0 ] ψ [θ*, θ § , Δ 1 ]) ∈ JFORM und es gibt Δ' 0 , Δ' 1 ∈ FORM mit (Δ' 0 ψ Δ' 1 ) = Δ + . Also auch ([θ*, θ § , Δ 0 ] ψ [θ*, θ § , Δ 1 ]) = [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ] = [θ*, θ § , (Δ' 0 ψ Δ' 1 ) ] = ([θ*, θ § , Δ' 0 ] ψ [θ*, θ § , Δ' 1 ]) ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(vi) gilt dann [θ*, θ § , Δ 0 ] = [θ*, θ § , Δ' 0 ] und [θ*, θ § , Δ 1 ] = [θ*, θ § , Δ' 1 ]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ 0 = Δ' 0 und Δ 1 = Δ' 1 und damit Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) = (Δ' 0 ψ Δ' 1 ) = Δ + . Sei Δ = ΠξΔ 0 ∈ QFORM. Dann ist auch [θ*, θ § , Δ] ∈ QFORM und es gibt Δ' 0 ∈ FORM mit ΠξΔ' 0 = Δ + . Angenommen ξ = θ § . Dann ist Δ = ΠξΔ 0 = [θ*, θ § , ΠξΔ 0 ] = [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ] = [θ*, θ § , ΠξΔ' 0 ] = ΠξΔ' 0 = Δ + . Angenommen ξ ≠ θ § . Dann ist Πξ[θ*, θ § , Δ 0 ] = [θ*, θ § , Δ] = [θ*, θ § , Δ + ] = [θ*, θ § , ΠξΔ' 0 ] = Πξ[θ*, θ § , Δ' 0 ] ∈ QFORM. Mit Theorem 1-11-(vii) gilt dann [θ*, θ § , Δ 0 ] = [θ*, θ § , Δ' 0 ]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ 0 = Δ' 0 und damit Δ = ΠξΔ 0 = ΠξΔ' 0 = Δ + . ■
≠ θ + . Dann ist θ + = [θ*, β, θ + ] = φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) ∈ FTERM. Widerspruch! Angenommen β = θ + . Dann ist θ* = [θ*, β, θ + ] = φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) . Mit
Theorem 1-14-(i) gilt dann für alle i < r: [θ*, ξ, θ i ] = θ i oder es gibt ein i < r, so dass θ* ∈

TT([θ*, ξ, θ i ]). Wenn [θ*, ξ, θ i ] = θ i für alle i < r, dann θ* = φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) = φ(θ 0 , …, θ r-1 ) und damit entgegen der Voraussetzung θ* ∈ TT( φ(θ 0 , … θ r-1 ) ). Wenn es andererseits ein i < r gibt, so dass θ* ∈ TT([θ*, ξ, θ i ]), dann ist θ* echter Teilterm von φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]
) , also echter Teilterm von sich selbst. Widerspruch zu Theorem 1-8. Also θ + ∉ ATERM, sondern θ + ∈ FTERM. Also gibt es {θ' 0 , …,

θ' k-1 } ⊆ TERM und φ' ∈ FUNK, so dass θ + = φ'(θ' 0 , …, θ' k-1 ) . Damit ist φ'([θ*, β, θ' 0 ], …, [θ*, β, θ' k-1 ]) = [θ*, β, φ'(θ' 0 , …, θ' k-1 ) ] = [θ*, β, θ + ] = φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) . Mit Theorem 1-11-(ii) gilt dann k = r und φ' = φ und [θ*, β, θ' i ] = [θ*, ξ, θ i ] für al- le i < r. Mit I.V. ergibt sich, dass θ' i = [β, ξ, θ i ] für alle i < r. Damit ist dann θ + = φ'(θ' 0 , …, θ' k-1 ) = φ([β, ξ, θ 0 ], …, [β, ξ, θ r-1 ]) = [β, ξ, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ]. ■ Theorem 1-23. Eindeutige Substitutionsorte (b) für Formeln Wenn Δ, Δ + ∈ FORM, θ* ∈ TERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ + )), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ + ], dann Δ + = [β, ξ, Δ].
Beweis: 

Seien Δ, Δ + ∈ FORM, θ* ∈ GTERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ + )) und ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ + ].
∈ AFORM. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = Φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) ∈ AFORM und es gibt {θ' 0 , …, θ' r-1 } ⊆ TERM mit Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) = Δ + . Also auch Φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) = [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ + ] = [θ*, β, Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ] = Φ([θ*, β, θ' 0 ], …, [θ*, β, θ' r-1 ]) ∈ AFORM. Mit Theorem 1-11-(iv) gilt dann [θ*, ξ, θ i ] = [θ*, β, θ' i ] für alle i < r. Mit Theorem 1-22 ergibt sich, dass θ' i = [β, ξ, θ i ] für alle i < r. Damit ist dann Δ + = Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) = Φ([β, ξ, θ 0 ], …, [β, ξ, θ r-1 ]) = [β, ξ, Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] = [β, ξ, Δ]. Gelte die Behauptung nun für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = ¬[θ*, ξ, Δ 0 ] ∈ JFORM und es gibt Δ' 0 ∈ FORM mit ¬Δ' 0 = Δ + . Al- so auch ¬[θ*, ξ, Δ 0 ] = [θ*, β, Δ + ] = [θ*, β, ¬Δ' 0 ] = ¬[θ*, β, Δ' 0 ] ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(v) gilt dann [θ*, ξ, Δ 0 ] = [θ*, β, Δ' 0 ]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ' 0 = [β, ξ, Δ 0 ] und damit Δ + = ¬Δ' 0 = ¬[β, ξ, Δ 0 ] = [β, ξ, ¬Δ 0 ] = [β, ξ, Δ]. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = ([θ*, ξ, Δ 0 ] ψ [θ*, ξ, Δ 1 ]) ∈ JFORM und es gibt Δ' 0 , Δ' 1 ∈ FORM mit (Δ' 0 ψ Δ' 1 ) = Δ + . Also auch ([θ*, ξ, Δ 0 ] ψ [θ*, ξ, Δ 1 ]) = [θ*, β, Δ + ] = [θ*, β, (Δ' 0 ψ Δ' 1 ) ] = ([θ*, β, Δ' 0 ] ψ [θ*, β, Δ' 1 ]) ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(vi) gilt dann [θ*, ξ, Δ 0 ] = [θ*, β, Δ' 0 ] und [θ*, ξ, Δ 1 ] = [θ*, β, Δ' 1 ]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ' 0 = [β, ξ, Δ 0 ] und Δ' 1 = [β, ξ, Δ 1 ] und damit Δ + = (Δ' 0 ψ Δ' 1 ) = ([β, ξ, Δ 0 ] ψ [β, ξ, Δ 1 ]) = [β, ξ, (Δ 0 ψ Δ 1 ) ] = [β, ξ, Δ]. Sei Δ = Πξ'Δ 0 ∈ QFORM. Angenommen ξ' = ξ. Dann ist Δ = Πξ'Δ 0 = [θ*, ξ, Πξ'Δ 0 ] = [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ + ]. Mit Theorem 1-14-(ii) ist θ* ∈ TT([θ*, β, Δ + ]) = TT(Δ) oder [θ*, β, Δ + ] = Δ + . Der erste Fall kann nach Voraussetzung nicht eintreten. Im zweiten Fall ist Δ + = Πξ'Δ 0 = [β, ξ, Πξ'Δ 0 ] = [β, ξ, Δ]. Angenommen ξ' ≠ ξ. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = Πξ'[θ*, ξ, Δ 0 ] ∈ QFORM und es gibt Δ' 0 ∈ FORM mit Πξ'Δ' 0 = Δ + . Also auch Πξ'[θ*, ξ, Δ 0 ] = [θ*, β, Δ + ] = [θ*, β, Πξ'Δ' 0 ] = Πξ'[θ*, β, Δ' 0 ] ∈ QFORM. Mit Theorem 1-11-(vii) gilt dann [θ*, ξ, Δ 0 ] = [θ*, β, Δ' 0 ]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ' 0 = [β, ξ, Δ 0 ] und damit Δ + = Πξ'Δ' 0 = Πξ'[β, ξ, Δ 0 ] = [β, ξ, Πξ'Δ 0 ] = [β, ξ, Δ]. ■ Theorem 1-24. Kürzung von Parametern bei der Substitution Wenn θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM, β ∈ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪ TT(Σ)) und θ + ∈ ATERM, dann: (i) [θ*, θ + , θ] = [θ*, β, [β, θ + , θ]], (ii) [θ*, θ + , Δ] = [θ*, β, [β, θ + , Δ]] und (iii) [θ*, θ + , Σ] = [θ*, β, [β, θ + , Σ]].
Beweis:

Seien θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM, β ∈ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪ TT(Σ)) und θ + ∈ ATERM. Zu (i):
Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Dann ist θ = θ + oder θ ≠ θ + . Sei zunächst θ

= θ + . Dann ist [β, θ + , θ] = β und [θ*, θ + , θ] = θ*. Dann ist [θ*, θ + , θ] = θ* = [θ*, β, β] = [θ*, β, [β, θ + , θ]]. Sei nun θ ≠ θ + . Dann ist [β, θ + , θ] = θ und [θ*, θ + , θ] = θ. Wegen β ∉ TT(θ) ist β ≠ θ und mithin θ = [θ*, β, θ]. Also [θ*, θ + , θ] = θ = [θ*, β, θ] = [θ*, β, [β, θ + , θ]].
Gelte die Behauptung nun für {θ 0 , …, θ r-1 } ⊆ TERM und sei θ = φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ FTERM. Wegen β ∉ TT(θ) gilt auch β ∉ TT(θ i ) für alle i < r. Dann gilt mit I.V. [θ*, θ + ,

θ i ] = [θ*, β, [β, θ + , θ i ]] für alle i < r. Dann ist [θ*, θ + , φ(θ 0 , … θ r-1 ) ] = φ([θ*, θ + , θ 0 ], …, [θ*, θ + , θ r-1 ]) = φ([θ*, β, [β, θ + , θ 0 ]], …, [θ*, β, [β, θ + , θ r-1 ]]) = [θ*, β, φ([β, θ + , θ 0 ], …, [β, θ + , θ r-1 ]) ] = [θ*, β, [β, θ + , φ(θ 0 , … θ r-1 ) ]].
Zu (ii): Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ 

= Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ AFORM. Dann gilt β ∉ TT(θ i ) für alle i < r und [θ*, θ + , Δ] = [θ*, θ + , Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ] = Φ([θ*, θ + , θ 0 ], … [θ*, θ + , θ r-1 ]) . Mit (i) gilt [θ*, θ + , θ i ] = [θ*, β, [β, θ + , θ i ]] für alle i < r. Also [θ*, θ + , Δ] = Φ([θ*, β, [β, θ + , θ 0 ]], …, [θ*, β, [β, θ + , θ r-1 ]]) = [θ*, β, Φ([β, θ + , θ 0 ], …, [β, θ + , θ r-1 ]) = [θ*, β, [β, θ + , Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ]] = [θ*, β, [β, θ + , Δ]]. Gelte die Behauptung nun für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM. Sei zunächst Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann gilt β ∉ TT(Δ 0 ) und [θ*, θ + , Δ] = [θ*, θ + , ¬Δ 0 ] = ¬[θ*, θ + , Δ 0 ] . Mit I.V. gilt [θ*, θ + , Δ 0 ] = [θ*, β, [β, θ + , Δ 0 ]]. Also [θ*, θ + , Δ] = ¬[θ*, β, [β, θ + , Δ 0 ]] = [θ*, β, [β, θ + , ¬Δ 0 ]] = [θ*, β, [β, θ + , Δ]]. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ 0 ∈ QFORM. Angenommen ξ = θ + . Dann ist [θ*, θ + , Δ] = [θ*, θ + , ΠξΔ 0 ] = ΠξΔ 0 = [β, θ + , ΠξΔ 0 ] = [β, θ + , Δ]. Dann ist β ∉ TT([β, θ + , Δ]) = TT(Δ). Also [θ*, θ + , Δ] = [β, θ + , Δ] = [θ*, β, [β, θ + , Δ]]. Angenommen ξ ≠ θ + .
Wenn θ* 0 , θ* 1 ∈ GTERM, θ 0 , θ 1 ∈ ATERM, θ 0 ≠ θ 1 , θ 1 ∉ TT(θ* 0 ) und θ 0 ∉ TT(θ* 1 )
, dann:

(i) Wenn θ + ∈ TERM, dann [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ]].
Beweis:

Seien θ* 0 , θ* 1 ∈ GTERM, θ 0 , θ 1 ∈ ATERM, θ 0 ≠ θ 1 , θ 1 ∉ TT(θ* 0 ) und θ 0 ∉ TT(θ* 1 )
. Zu (i): Sei θ + ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau

von θ + geführt. Sei θ + ∈ ATERM. Angenommen θ + = θ 0 . Dann ist θ + ≠ θ 1 und [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 1 , θ 1 , θ* 0 ]. Weil θ 1 ∉ TT(θ* 0 ) gilt [θ* 1 , θ 1 , θ* 0 ] = θ* 0 . Andererseits ist [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , θ + ] = θ* 0 . Also [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]]. Sei nun θ + ≠ θ 0 . Angenommen θ + = θ 1 . Dann ist [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 1 , θ 1 , θ + ] = θ* 1 . Weil θ 0 ∉ TT(θ* 1 ) gilt [θ* 0 , θ 0 , θ* 1 ] = θ* 1 . Damit ist [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , θ* 1 ] = θ* 1 . Also [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]]. Angenommen θ + ≠ θ 1 . Dann ist [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 1 , θ 1 , θ + ] = θ + und [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , θ + ] = θ + . Also auch [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]]. Gelte die Behauptung für {θ' 0 , …, θ' r-1 } ⊆ TERM und sei θ + = φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ∈ FTERM. Dann ist [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ]] = φ([θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ' 0 ]], …, [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ' r-1 ]]) . Mit I.V. gilt [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ' i ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ' i ]] für alle i < r. Also [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ + ]] = φ([θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ' 0 ]], …, [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ' r-1 ]]) = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ + ]].
Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von

Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ∈ AFORM. Dann ist [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ]] = Φ([θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ' 0 ]], …, [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ' r-1 ]]) . Mit (i) gilt [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , θ' i ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ' i ]] für alle i < r. Also [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = Φ([θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ' 0 ]], …, [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , θ' r-1 ]]) = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Φ(θ' 0 , … θ' r-1 ) ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ]]. Gelte die Behauptung für Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , ¬Δ 0 ]] = ¬[θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ 0 ]] . Mit I.V. gilt [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ 0 ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ 0 ]]. Also [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = ¬[θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ 0 ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , ¬Δ 0 ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ]]. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM.
Der Fall verläuft analog zum Negatorfall.

Sei 

Δ = ΠξΔ 0 ∈ QFORM. Angenommen ξ = θ 0 . Dann ist ξ ≠ θ 1 und [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , ΠξΔ 0 ]] = [θ* 1 , θ 1 , ΠξΔ 0 ] = Πξ[θ* 1 , θ 1 , Δ 0 ] = [θ* 0 , θ 0 , Πξ[θ* 1 , θ 1 , Δ 0 ] ] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , ΠξΔ 0 ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ]]. Angenommen ξ = θ 1 . Dann ist ξ ≠ θ 0 und [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , Δ]] = [θ* 1 , θ 1 , [θ* 0 , θ 0 , ΠξΔ 0 ]] = [θ* 1 , θ 1 , Πξ[θ* 0 , θ 0 , Δ 0 ] ] = Πξ[θ* 0 , θ 0 , Δ 0 ] = [θ* 0 , θ 0 , ΠξΔ 0 ] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , ΠξΔ 0 ]] = [θ* 0 , θ 0 , [θ* 1 , θ 1 , Δ]]. Sei θ 0 ≠ ξ ≠ θ 1 . Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. ■ Theorem 1-26. Substitution in Substitutionsergebnissen Wenn ζ ∈ VAR, θ', θ* ∈ GTERM und θ + ∈ KONST ∪ PAR, dann: (i) Wenn θ ∈ TERM, dann [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ]], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [θ', θ + , [θ*, ζ, Δ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , Δ]].
θ + , θ*], ζ, θ'] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ]]. Angenommen θ ≠ θ + . Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ + , θ] = θ = [[θ', θ + , θ*], ζ, θ] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ]]. Sei schließlich θ ∈ VAR. Angenommen θ = ζ. Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ + , θ*] = [[θ', θ + , θ*], ζ, θ] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ]]. Angenommen θ ≠ ζ. Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ + , θ] = θ = [[θ', θ + , θ*], ζ, θ] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ]]. Gelte die Behauptung nun für {θ 0 , …, θ r-1 } ⊆ TERM und sei θ = φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ FTERM. Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ + , [θ*, ζ, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ]] = φ([θ', θ + , [θ*, ζ, θ 0 ]], …, [θ', θ + , [θ*, ζ, θ r-1 ]]) . Mit I.V. gilt [θ', θ + , [θ*, ζ, θ i ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ i ]] für alle i < r. Also [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = φ([[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ 0 ]], …, [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ r-1 ]]) = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , θ]].
Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i). 

Gelte die Behauptung für

Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, Δ]] = [θ', θ + , [θ*, ζ, ¬Δ 0 ]] = ¬[θ', θ + , [θ*, ζ, Δ 0 ]] . Mit I.V. gilt [θ', θ + , [θ*, ζ, Δ 0 ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , Δ 0 ]]. Also [θ', θ + , [θ*, ζ, Δ]] = ¬[[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , Δ 0 ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , ¬Δ 0 ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , Δ]]. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ 0 ∈ QFORM. Angenommen ξ = ζ. Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, Δ]] = [θ', θ + , [θ*, ζ, ΠξΔ 0 ]] = [θ', θ + , ΠξΔ 0 ] = Πξ[θ', θ + , Δ 0 ] = [[θ', θ + , θ*], ζ, Πξ[θ', θ + , Δ 0 ] ] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , ΠξΔ 0 ]] = [[θ', θ + , θ*], ζ, [θ', θ + , Δ]]. Angenommen ξ ≠ ζ.
Wenn θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, ∈ SEQ, k ∈ N\{0} und {β* 0 , …, β* k } ⊆ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪ TT(Σ) ∪ TTSEQ( )) und {β 0 , …, β k } ⊆ PAR\{β* 0 , …, β* k }, wobei β* i ≠ β* j und β i ≠ β j für alle i, j < k+1 mit i ≠ j, dann: (i) [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ], (ii) [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, Δ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, Δ], (iii) [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, Σ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, Σ] und (iv) [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, ]. Beweis: Seien θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, ∈ SEQ, k ∈ N\{0} und {β* 0 , …, β* k } ⊆ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ)) und {β 0 , …, β k } ⊆ PAR\{β* 0 , …, β* k }, wobei β* i ≠ β* j und β i ≠ β j für alle i, j < k+1 mit i ≠ j. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei nun θ ∈ KONST ∪ VAR ∪ (PAR\{β 0 , …, β k }). Dann ist θ = [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ] und es ist θ = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ] und damit [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ]] = [β* k , β k , θ] = θ = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ]. Sei nun θ ∈ {β 0 , …, β k }. Dann ist θ = β i für ein i < k+1. Dann ist nach Voraussetzung für alle j < k+1 mit j ≠ i gilt auch θ ≠ β j . Damit ist zunächst [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ] = β* i . Sei nun i < k. Dann ist [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ] = β* i und damit [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ]] = [β* k , β k , β* i ]. Aus der Voraussetzung ergibt sich nun, dass β k ≠ β* i und damit, dass [β* k , β k , β* i ] = β* i . Sei nun i = k. Dann ist [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ] = θ = β k und somit [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ]] = [β* k , β k , β k ] = β* k = β* i . Gelte die Behauptung nun für {θ 0 , …, θ r-1 } ⊆ TERM und sei θ = φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ FTERM. Dann ist [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ]] = [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ]] = φ([β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ 0 ]], …, [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ r-1 ]]) . Mit I.V. gilt [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ i ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ i ] für alle i < r. Also [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, θ]] = φ([〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ 0 ], …, [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ r-1 ]) = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, θ].
Zu (ii): Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i). 

Gelte die Behauptung nun für

Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, Δ]] = [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ¬Δ 0 ]] = ¬[β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, Δ 0 ]] . Mit I.V. gilt [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, Δ 0 ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, Δ 0 ]. Also [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, Δ]] = ¬[〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, Δ 0 ] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, ¬Δ 0 ] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, Δ]. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM.
Wenn k ∈ N\{0}, {θ* 0 , …, θ* k } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k } ⊆ VAR, wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k+1 mit i ≠ j, dann: (i) Wenn θ ∈ TERM, dann [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ].
Beweis: Seien k ∈ N\{0}, {θ* 0 , …, θ* k } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k } ⊆ VAR, wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k+1 mit i ≠ j. Zu (i): Sei θ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Angenommen

ξ i ≠ θ für alle i < k+1. Dann ist [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = [θ* k , ξ k , θ] = θ = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ]. Angenommen ξ i = θ für ein i < k. Dann ist ξ j ≠ θ für alle i < j < k+1. Dann ist [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ] = [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ] = [〈θ* 0 , …, θ* i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, θ] = θ* i ∈ GTERM. Also [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = [θ* k , ξ k , θ* i ] = θ* i = [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ]. Angenommen ξ k = θ. Dann ist ξ i ≠ θ für alle i < k und [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ] = θ. Also [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = [θ* k , ξ k , θ] = θ* k = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ]. Gelte die Behauptung nun für {θ 0 , …, θ r-1 } ⊆ TERM und sei θ = φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ FTERM. Dann ist [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ]] = φ([θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ 0 ]], …, [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ r-1 ]]) . Mit I.V. gilt [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ i ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ i ] für alle i < r. Also [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = φ([〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ 0 ], …, [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ r-1 ]) = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ].
Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ 0 , … θ r-1 ) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i).

Gelte das Theorem nun für 

Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM. Sei Δ = ¬Δ 0 ∈ JFORM. Dann ist [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ¬Δ 0 ]] = ¬[θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ]] . Mit I.V. gilt [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ 0 ]. Also [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = ¬[〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, ¬Δ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ]. Sei Δ = (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Nega- torfall. Sei Δ = ΠζΔ 0 ∈ QFORM. Angenommen ξ i = ζ für ein i < k. Dann ist ξ j ≠ ζ für alle j < k+1 mit i ≠ j. Dann ist [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ΠζΔ 0 ]] = [θ* k , ξ k , Πζ[〈θ* 0 , …, θ* i-1 , θ* i+1 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i-1 , ξ i+1 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ] ] = Πζ[θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* i-1 , θ* i+1 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i-1 , ξ i+1 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ]] . Mit I.V. gilt [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* i-1 , θ* i+1 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i-1 , ξ i+1 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ]] = [〈θ* 0 , …, θ* i-1 , θ* i+1 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i-1 , ξ i+1 , …, ξ k 〉, Δ 0 ]. Also [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = Πζ[〈θ* 0 , …, θ* i-1 , θ* i+1 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i-1 , ξ i+1 , …, ξ k 〉, Δ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, ΠζΔ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ]. Angenommen ξ k = ζ. Dann ist ξ i ≠ ζ für alle i < k und [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ΠζΔ 0 ]] = [θ* k , ξ k , Πζ[〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ] ] = Πζ[〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, ΠζΔ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ]. Angenommen ξ i ≠ ζ für alle i < k+1. Dann ist [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ΠζΔ 0 ]] = [θ* k , ξ k , Πζ[〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ] ] = Πζ[θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ]] . Mit I.V. gilt [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ 0 ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ 0 ]. Also [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = Πζ[〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, ΠζΔ 0 ] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ]. ■
Wenn k ∈ N\{0}, {θ* 0 , …, θ* k } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k } ⊆ VAR, wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k+1 mit i ≠ j, dann: (i) Wenn θ ∈ TERM, dann [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, [θ* k , ξ k , θ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, [θ* k , ξ k , Δ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ].
Beweis: Seien k ∈ N\{0}, {θ* 0 , …, θ* k } ⊆ GTERM und {ξ 0 , …, ξ k } ⊆ VAR, wobei ξ i ≠ ξ j für alle i, j < k+1 mit i ≠ j. Zu (i): Sei θ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion 

über k geführt. Sei k = 1. Dann ist mit Theorem 1-25-(i) und Theorem 1-28-(i) [θ* 0 , ξ 0 , [θ* 1 , ξ 1 , θ]] = [θ* 1 , ξ 1 , [θ* 0 , ξ 0 , θ]] = [〈θ* 0 , θ* 1 〉, 〈ξ 0 , ξ 1 〉, θ]. Sei nun 1 < k. Durch Anwen- dung von I.V., Theorem 1-25-(i), I.V., Theorem 1-28-(i), I.V. und Theorem 1-28-(i) in dieser Reihenfolge ergibt sich: [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, [θ* k , ξ k , θ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k- 2 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-2 〉, [θ* k-1 , ξ k-1 , [θ* k , ξ k , θ]]] = [〈θ* 0 , …, θ* k-2 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-2 〉, [θ* k , ξ k , [θ* k-1 , ξ k-1 , θ]]] = [〈θ* 0 , …, θ* k-2 , θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-2 , ξ k 〉, [θ* k-1 , ξ k-1 , θ]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-2 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-2 〉, [θ* k-1 , ξ k-1 , θ]]] = [θ* k , ξ k , [〈θ* 0 , …, θ* k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, θ]] = [〈θ* 0 , …, θ* k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, θ]. ( 
≤ i ≤ max(Dom( ))} k+1 = {(i, i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ k} = {(i, i ) | min(Dom( k+1)) ≤ i ≤ max(Dom( k+1))} und dass k+1 ⊆ ⊆ . Außerdem gilt k ∈ Dom( k+1)
und somit, dass k+1 ≠ ∅. Also gilt k+1 ∈ ABS( ). ■ Beweis: Außerdem ist \{(max(Dom( )), max(Dom( )) )} ⊆ . Also gibt es nach I.V. ein g, so dass g eine passende Folge natürlicher Zahlen für \{(max(Dom( )), max(Dom( )) )} ist. Sei nun g' = g ∪ {(Dom(g), max(Dom( )))}. Offenbar ist Ran(g') = Dom( ). Wegen

= {(i, i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} k = {(i, i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ k-1} und wegen k ≠ ∅ mithin min(Dom( k)) = min(Dom( )
Sei ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ). (L-R): Sei ∩ ' ≠ ∅. Dann gibt es ein i ∈ Dom( ), so dass (i, i ) ∈ ∩ '.
g(max(Dom(g))) = max(Ran(g)) = max(Dom( \{(max(Dom( )), max(Dom( )) )})) < max(Dom( )) = max(Ran(g')) = g'(Dom(g)) = g'(max(Dom(g')))
überträgt sich die strenge Monotonie von g auf g'. Also ist g' eine passende Folge natürlicher Zahlen für . ■ 

G ist eine Abschnittsfolge für gdw ∈ SEQ und G ist eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))).
Definition 2-8. Zuordnung der Menge der Abschnittsfolgen für (ABSF)

ABSF = {( , X) | ∈ SEQ und X = {G | G ist eine Abschnittsfolge für }}.
Theorem 2-14. Eine Sequenz ist genau dann nicht-leer, wenn es eine nicht-leere Abschnittsfolge für gibt

Wenn ∈ SEQ, dann: ≠ ∅ gdw es gibt ein G ∈ ABSF( ) mit G ≠ ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei nun ≠ ∅. Dann ist ∅ ≠ {(i, {(i, i )}) | i ∈ Dom( )} ∈ ABSF( ). Gebe es nun umgekehrt ein G ∈ ABSF( ) mit G ≠ ∅. Dann gibt es ein i ∈ Dom(G). Sodann ist Ran(G) ⊆ ABS( ) und damit G(i) ∈ ABS( ). Damit gilt mit Theorem 2-1, dass ≠ ∅. ■ Theorem 2-15. ∅ ist eine Abschnittsfolge für alle Sequenzen Wenn ∈ SEQ, dann ist ∅ ∈ ABSF( ).
Beweis:

Sei ∈ SEQ. Dann ist ∅ eine Folge mit Ran(∅) = ∅ ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(∅) = ∅ gilt trivialerweise: Wenn i < j, dann min(Dom(∅(i))) < min(Dom(∅(j))) und max(Dom(∅(i))) < min(Dom(∅(j))). ■ Theorem 2-16. Eigenschaften von Abschnittsfolgen Wenn ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ), dann: (i) G ist eine Injektion von Dom(G) in Ran(G), (ii) G ist eine Bijektion zwischen Dom(G) und Ran(G), (iii) Dom(G) = |Ran(G)| und (iv) G ist eine endliche Folge. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ). Dann ist G eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j)))
. wegen des streng monotonen Wachstums von g: Wenn i, j ∈ Dom(g) und i < j, dann g(i)

Zu (i): Seien nun i, j ∈ Dom(G) und sei G(i) = G(j). Dann ist min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))). Wäre i ≠ j. Dann ist i < j oder j < i und damit wäre min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder min(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Beides steht jedoch im Wi- derspruch zu min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))). Also ist für i, j ∈ Dom(G) mit G(i) = G(j) auch i = j und somit G eine Injektion von Dom(G) in Ran(G).
< g(j).

Dann gilt für alle i ∈ Dom(g): Es gibt genau ein ∈ X, so dass g(i) = min(Dom( )).

Sei nämlich i ∈ Dom(g). Dann ist g(i) = min(Dom( )) für ein ∈ X. Sei nun ' ∈ X und g(i) = min(Dom( ')). Nun gilt nach Voraussetzung X ⊆ ABS( ) und somit ergibt sich mit Theorem 2-9: ∩ ' ≠ ∅. Damit ergibt sich aus der Eingangsannahme, dass = '.

Sei nun

G = {(i, ) | i ∈ Dom(g) und ∈ X und g(i) = min(Dom( ))}. Dann ist zu- nächst G eine Folge mit Ran(G) ⊆ X ⊆ ABS( ). Sodann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Seien nämlich i, j ∈ Dom(G) und sei i < j. Dann ist min(Dom(G(i))) = g(i) < g(j) = min(Dom(G(j)). Dann ist G(i) ≠ G(j) und somit nach Voraussetzung G(i) ∩ G(j) = ∅. Ferner sind dann G(i), G(j) ∈ ABS( ) und somit -da eben min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) -mit Theorem 2-8: max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))).
Ferner ist dann Ran(G) = X. Es gilt bereits Ran(G) ⊆ X. Sei nun ∈ X. Dann ist min(Dom( )) = g(i) für ein i ∈ Dom(g). Dann ist (i, ) ∈ G und somit ∈ Ran(G). ■

Theorem 2-18. Hinreichende Bedingungen für die Identität der Argumente einer Abschnittsfolge

Wenn ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G):

(i) Wenn min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))), dann i = j, und (ii) Wenn max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))), dann i = j. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ) und seien i, j ∈ Dom(G). Sei nun min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j)). Aus Definition 2-7 ergibt sich: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und wenn j < i, dann min(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Beide Fälle stehen im Widerspruch zur Annahme. Also ist i = j. Sei nun max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))). Wäre nun i < j oder j < i, dann wäre max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Also wäre max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) ≤ max(Dom(G(j))) oder max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))) ≤ max(Dom(G(i))
) und beide Fälle widersprechen der Annahme. Also ist i = j. ■ Theorem 2-19. Verschiedene Glieder einer Abschnittsfolge sind elementfremd

Wenn ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn G(i) ≠ G(j), dann G(i) ∩ G(j) = ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ). Dann ist G eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Seien i, j ∈ Dom(G). Dann gilt: G(i), G(j) ∈ ABS( ). Sei nun G(i) ≠ G(j). Dann gilt mit Theorem 2-16-(i), dass i ≠ j. Dann ist i < j oder j < i. Dann ist min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder min(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Also ist mit Theorem 2-8 G(i) ∩ G(j) = ∅. ■ Definition 2-9. ANS-umfassende Abschnittsfolge für einen Abschnitt in G ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in gdw (i) ∈ SEQ, (ii) ∈ ABS( ), (iii) G ∈ ABSF( )\{∅} und a) min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))), b) max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )) und c) Für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)).
Definition 2-10. Zuordnung der Menge der ANS-umfassenden Abschnittsfolgen in (ANSUMF)

ANSUMF = {( , X) | ∈ SEQ und X = {G | Es gibt ein ∈ ABS( ) und G ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in }}.

Theorem 2-20. Existenz von ANS-umfassenden Abschnittsfolgen für alle Abschnitte

Wenn ∈ SEQ und ∈ ABS( ), dann gibt es eine ANS-umfassende Abschnittsfolge G für in .

Beweis: Sei ∈ SEQ und ∈ ABS( ). Dann ist {(0, )} eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in . ■ Nun sind die drei Unter-Klauseln von (iii) aus Definition 2-9 zu zeigen. Zu a):

Zunächst ist 0 < j+1. Damit ist 0 ∈ Dom(G (j+1)) und somit (G (j+1))(0) = G(0) und damit min(Dom( (max(Dom(G(j)))+1))) = min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))) ≤ min(Dom((G (j+1))(0))). Zu b): max(Dom((G (j+1))(max(Dom(G (j+1)))))) = max(Dom(G(j))) = max(Dom( (max(Dom(G(j)))+1))). Zu c): Sei nun l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( (max(Dom(G(j)))+1)). Dann gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). Wäre nun j+1 ≤ i. Dann wäre mit G ∈ ABSF( ) und mit Definition 2-7 max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))) ≤ l ≤ max(Dom(G(i))) und andererseits l ≤ max(Dom(G(j))). Widerspruch! Also ist i < j+1 und damit G(i) = (G (j+1))(i). Also gilt für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( (max(Dom(G(j)))+1)), dass es ein i ∈ Dom(G (j+1)) gibt, so dass l ∈ Dom((G (j+1))(i)). Damit ist dann nach Definition 2-9 G (j+1) insgesamt eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für (max(Dom(G(j)))+1). ■ Theorem 2

-26. Hinreichende Bedingungen für die Identität der Argumente einer ANSumfassenden Abschnittsfolge

Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): 

(i) Wenn min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))), dann i = j, (ii) Wenn max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))), dann i = j. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ).
Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn G(i) ≠ G(j), dann G(i) ∩ G(j) = ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ).
(i) min(Dom( )) = Sei Δ , (ii) A( max(Dom( ))-1 ) = Γ und (iii) max(Dom( )) = Also Δ → Γ . Definition 2-12. NE-artiger Abschnitt ist ein NE-artiger Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), (ii) min(Dom( )) = Sei Δ , (iii) A( i ) = Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = ¬Γ oder A( i ) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = Γ und (iv) max(Dom( )) = Also ¬Δ .
In Definition 2-13. EA-artiger Abschnitt 

ist ein EA-artiger Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und es gibt ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, β ∈ PAR, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ), so dass (i) A( min(Dom( )) ) = ξΔ , (ii) min(Dom( ))+1 = Sei [β, ξ, Δ] , (iii) A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (iv) max(Dom( )) = Also Γ , (v) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), ( 
PERZ = {(〈 , G〉, X) | ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und X = { | ∈ ABS( ) und es gibt ein ∈ ABS( ), so dass (i) G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, (ii) ANS( ) ∩ ≠ ∅, ( 
) ≤ i < max(Dom( )), b) min(Dom( )) = Sei Δ , c) A( i ) = Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = ¬Γ oder A( i ) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, d) Für alle r ∈ Dom(G) gilt: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i,
ERZ = {(〈 , G〉, X) | ∈ SEQ, G ∈ ANSUMF( ) und X = { | ∈ PERZ(〈 , G〉) und es gibt kein i ∈ Dom( ) und j ∈ Dom(G), so dass i ∈ PERZ(〈 , G (j+1)〉)}}.
ERZ 

Für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) gilt, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉).
Dann ergibt sich aus den Voraussetzungen und Theorem 2-35-(ii), dass ∈ ABS( ) und damit folgt insgesamt die Behauptung. ■

Nun wird die Menge der ERZ-induktiven Relationen definiert:

Definition 2-20. Menge der ERZ-induktiven Relationen (GSR) Nun ist zu zeigen, dass c) für alle Erläuterung: Angenommen ( [2.1] , [2.1] ) ∈ GS. Dann wäre nach Theorem 2-41 [2.1] ein minimaler geschlossener Abschnitt in [2.1] oder es gäbe ein G ∈ ANSUMF( [2.1] ) mit 1] kein minimaler geschlossener Abschnitt in [2.1] . Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( [2.1] ) mit

GSR = {R | R ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und (i) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ R und (ii) Für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ R gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R}.
∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ SEQ × { | ist
∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ GS. Um zu zeigen, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS, ist nach Definition 2-21 zu zeigen, dass für alle R ∈ GSR gilt, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R. Sei nun R ∈ GSR. Dann ergibt sich aus der Annahme, dass { } × Ran(G) ⊆ GS, und (ii), dass { } × Ran(G) ⊆ R. Da nun nach Voraussetzung R ∈ GSR ist, gilt mit Definition 2-20 { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R. Also gilt für alle R ∈ GSR, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R und damit ist { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Also gilt für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. ■ Mit dem

Nun ist zu zeigen, dass für alle

∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS und damit mit Theorem 2-40-(i) und Definition 2-20 auch { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann gibt es also ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉) und außerdem ist ( , ) ∈ GS. Also ist ( , ) ∈ X. Also insgesamt X ∈ GSR. ■
{ [2.1] } × Ran(G) ⊆ GS und [2.1] ∈ ERZ(〈 [2.1] , G〉). Da |ANS( [2.1] )| = 2, ist [2.
{ [2.1] } × Ran(G) ⊆ GS und [2.1] ∈ ERZ(〈 [2.1] , G〉).
Dann ist [2.1] ∈ ERZ(〈 [2.1] , G〉). Dann gibt es ein ∈ ABS( [2.1] ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in [2.1] ist und min(Dom( [2.1] ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( [2.1] )) = max(Dom( ))+1. Dann ist = {(1, Sei . Nun gilt aber nach Annahme { [2.1] } × Ran(G) ⊆ GS und damit ( [2.1] , {(1, Sei P 1.1 (c 1 ) )}) ∈ GS. Dann aber müsste nach Theorem 2-42 {(1, Sei P 1.1 (c 1 ) )} ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in [2.1] sein. Aus der Annahme, dass ( [2.1] , [2.1] ) ∈ GS ergibt sich also ein Widerspruch. Also ( [2.1] , [2.1] ) ∉ GS. ■ Zunächst ist

X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und {( , ) | ist ein mini- maler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X.
Nun ist zu zeigen, dass für alle Nun ist zu zeigen, dass für alle 

∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist zunächst ( , ) ∈ GS. Wegen ∈ ERZ(〈 , G〉) gibt
∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist zunächst ( , ) ∈ GS. Wegen ∈ ERZ(〈 ,
G(i) ⊆ . Damit ist {ANS( ) ∩ G(i) | i ∈ Dom(G)} = ANS( ) ∩ . Sodann ist {FS( ) ∩ G(i) | i ∈ Dom(G)} ⊆ FS( ) ∩ . Sodann gilt wegen { } × Ran(G) ⊆ X für alle i ∈ Dom(G): ( , G(i)) ∈ X und mithin |ANS( ) ∩ G(i)| ≤ |FS( ) ∩ G(i)|. Nun gilt mit Theorem 2-22-(i) und Theorem 2-27 für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn i ≠ j, dann G(i) ∩ G(j) = ∅. Damit gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn i ≠ j, dann (ANS( ) ∩ G(i)) ∩ (ANS( ) ∩ G(j)) = ∅ und (FS( ) ∩ G(i)) ∩ (FS( ) ∩ G(j)) = ∅. Somit gilt | {ANS( ) ∩ G(j) | j ∈ Dom(G)}| = ∑ D G j |ANS( ) ∩ G(j)| und | {FS( ) ∩ G(j) | j ∈ Dom(G)}| = ∑ D G j |FS( ) ∩ G(j)|. Sodann gilt wegen |ANS( ) ∩ G(j ≤ |FS( ) ∩ G(j)| für alle j ∈ Dom(G) auch: )| ∑ D G j |ANS( ) ∩ G(j)| ≤ ∑ D G j |FS( ) ∩ G(j)|.
Damit gilt insgesamt: Nun ist zu zeigen, dass für alle Nun ist zu zeigen, dass für alle Hinweis: Wenn der Bezug auf die Sequenz klar ist, werden auch kurz die Wendungen 'Γ ist bei i verfügbar' oder 'Γ ist verfügbar' gebraucht.

|ANS( ) ∩ | ≤ 1+|ANS( ) ∩ | = 1+∑ D G j |ANS( ) ∩ G(j)| ≤ 1+∑ D G j |FS( ) ∩ G(j)| ≤ 1+|FS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Also ist ( , ) ∈ X. ■
∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist zunächst ( , ) ∈ GS. Mit ∈ ERZ(〈 ,
∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist ∈ ERZ(〈 ,
dass G*(j) ⊆ G(i*). Dann ist G(i) ⊆ G(i*) und da mit Theorem 2-43 G(i) ≠ ∅ und daher G(i) ∩ G(i*) ≠ ∅, gilt dann mit Theorem 2-27, dass G(i) = G(i*) und damit, dass G*(j) ⊆ G(i), und somit insgesamt, dass G*(j) = G(i). Also ist G(i) ∈ Ran(G*). Also ist Ran(G) ⊆ Ran(G*). Analog
G(i) = G*(i) und damit auch G = G*. Gelte dazu für alle l < i: Wenn l ∈ Dom(G), dann G(l) = G*(l). Sei nun i ∈ Dom(G). Wäre nun G(i) ≠ G*(i). Dann wäre mit ( , G(i)) ∈ GS und ( , G*(i)) ∈ GS und mit Theorem 2-50 min(Dom(G(i))) ≠ min(Dom(G*(i))). Angenommen min(Dom(G(i))) < min(Dom(G*(i))). Dann gilt mit ( , G(i)) ∈ GS,
G*(j) = G(i). Mit G(i) ≠ G*(i) ist dann G*(j) ≠ G*(i) und damit j ≠ i. Da G, G* ∈ ABSF( ), gilt dann mit Definition 2-7 und min(Dom(G*(j))) = min(Dom(G(i))) < min(Dom(G*(i))), dass j < i. Nach I.V. gilt dann aber, dass G(j) = G*(j) = G(i) und an- dererseits gilt mit Theorem 2-22-(i) mit j < i, dass G(j) ≠ G(i). Widerspruch! Analog ergibt sich mit I.V. ein Widerspruch für min(Dom(G*(i))) < min(Dom(G(i))). Also gilt min(Dom(G(i))) = min(Dom(G*(i))) und damit G(i) = G*(i). ■
Für alle ∈ Ran(G) = X gilt ⊆ . Wegen G ≠ ∅ ist auch G(0) ∈ Ran(G) = X und daher G(0) ⊆ . Also min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))). Zu c): Mit G ≠ ∅ ist max(Dom(G)) ∈ Dom(G) und daher G(max(Dom(G))) ∈ Ran(G) = X. Daraus folgt max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )). Zu (ii): Sei (i, i ) ∈ Ran(G). Dann ist (i, i ) ∈ X. Also gibt es ein ∈ X mit (i, i ) ∈ . Dann ist ⊆ und ( , ) ∈ GS. Also ∈ { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in }. Also (i, i ) ∈ { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in }. Aus e) folgt die Rückrichtung, also { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ Ran(G).
Definition 2-28. Zuordnung der Menge der verfügbaren Sätze (VERS) Beweis: Seien , '∈ SEQ und sei VANS( ) ⊆ VANS( '). Sei nun Γ ∈ VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( ) 

VERS = {( , X) | ∈ SEQ und X = {(i, i ) | i ∈ Dom( ) und A( i ) ist in bei i verfügbar}}.
) und Γ = A( i ). Dann ist (i, i ) ∈ VANS( ). Nach Vo- raussetzung ist dann (i, i ) ∈ VANS( '). Nun ist VANS( ') ⊆ ' und somit (i, i ) ∈ ' und also i = ' i . Somit ist Γ = A( i ) = A( ' i ). Also ist insgesamt i ∈ Dom(VANS( ')) und Γ = A( ' i ). Also ist Γ ∈ VAN( '). ■
(i, i ) ∉ {(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Damit ergibt sich dann: (i, i ) ∈ (VERS( Dom( )-1)\{(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}. Sei nun umgekehrt (i, i ) ∈ (VERS( Dom( )-1)\{(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}. Sei zunächst (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1)\{(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Wäre nun (i, i ) ∉ VERS( ). Dann wäre (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ) und (i, i ) ∉ {(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1},
was im Widerspruch zu (iv) steht. Also ist im ersten Fall (i, i ) ∈ VERS( ). Sei nun (i, i ) ∈ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}. Dann ist i = Dom( )-1 und A( Dom( )-1 ) = K( ) und damit gilt mit Theorem 2-82 auch im zweiten Fall: (i, i ) ∈ VERS( ). 

Zu (vi): Sei zunächst (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1))\VANS( ). Dann ist (i, i ) ∈ (VERS( Dom( )-1) ∩ ANS( Dom( )-1))\(VERS( ) ∩ ANS( )). Da ANS( Dom( )-1) ⊆ ANS( ) ist (i, i ) ∈ ANS( ) und somit (i, i ) ∉ VERS( ) und insgesamt (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Somit gilt mit (iv) und (i): (i, i ) ∈ . Dann ist (i, i ) ∈ ANS( ) ∩ und somit
Zu (vii): Sei zunächst (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1). Dann ist (i, i ) ∈ VANS( ) oder (i, i ) ∉ VANS( ). Sei nun (i, i ) ∉ VANS( ). Dann ist (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1)\VANS( ) und damit mit (vi): (i, i ) ∈ {(
so dass Γ = A( i ). Dann ist (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1) und damit auch i < Dom( )-1. Sodann ist Γ ∈ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1} oder Γ ∉ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Sei nun Γ ∉ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Damit ist dann auch (i, i ) ∉ {(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1} und somit insgesamt (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1)\{(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Mit (v) ist dann (i, i ) ∈ VERS( ) und mit i < Dom( )-1 gilt (i, i ) ∈ VERS( ) Dom( )-1. Also ist i ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1) und damit Γ ∈ {A( j ) | j ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1)}.
Also gilt in beiden Fällen: 

Γ ∈ {A( j ) | j ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1)} ∪ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}.

Der Kalkül

Mit Wenn man ∈ SEQ geäußert hat und Γ ∈ GFORM, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Sei Γ )} fortsetzen.

Handlungsanleitung 3-2. Subjunktoreinführungsregel (SE)

Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ) und Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und i, j ∈ Dom( ) und Wenn man ∈ SEQ geäußert hat und θ ∈ GTERM, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also θ = θ )} fortsetzen.

(i) A( i ) = Δ und (i, i ) ∈ VANS( ), ( 
(i) i ≤ j, (ii) A( i ) = Δ und (i, i ) ∈ VANS( ), (iii) A( j ) = Γ und A( Dom( )-1 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( Dom( )-1 ) = Γ, (iv) 
Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ) und (i) A( i ) = ξΔ und (i, i ) ∈ VERS( ), (ii) A( i+1 ) = [β, ξ, Δ] und (i+1, i+1 ) ∈ VANS( ), ( 
Handlungsanleitung 3-17. Identitätsbeseitigungsregel (IB)

Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, θ 0 , θ 1 ∈ GTERM und { θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ξ, Δ]} ⊆ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also [θ 1 , ξ, Δ] )} fortsetzen.
Zuletzt wird ein Verbot gesetzt, das den interdiktionalen Status des Reglements explizit macht. Dazu werden für die Fortsetzung von zu ' alle 17 Regelantezedentia als unerfüllt vorausgesetzt. Dieser Zustand ist dann hinreichend dafür, dass man nicht zu ' fortsetzen darf.

Handlungsanleitung 3-18. Interdiktionsklausel (IDK)

Wenn ∉ SEQ oder wenn man nicht geäußert hat oder wenn es keine B, Γ, Δ ∈ GFORM und θ 0 , θ 1 ∈ GTERM und β ∈ PAR und ξ ∈ VAR und Δ' ∈ FORM, wobei FV(Δ') ⊆ {ξ}, und i, j ∈ Dom( ) gibt, so dass (i) ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )} oder (ii) A( i ) = Δ, (i, i ) ∈ VANS( ), A( Dom( )-1 ) = Γ, es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} oder RGF ist also so definiert, dass ein Autor, der ∈ SEQ geäußert hat, genau dann zu ' fortsetzen darf, wenn ' ∈ RGF( ). Vor der Definition der Menge der regelgemäßen Sequenzen, RGS, werden nun zunächst einige Theoreme zu RGF bewiesen. Mit Blick auf Definition 3-19 sind jetzt genau diejenigen nicht-leeren Sequenzen Ableitungen einer Aussage aus einer Aussagenmenge, die sich sukzessiv jeweils unter Anwendung der Regeln des Redehandlungskalküls äußern lassen.

(iii) {Δ, Δ → Γ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (iv) {Δ, Γ} ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ∧ Γ )} oder (v) { Δ ∧ Γ , Γ ∧ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (vi) { Δ → Γ , Γ → Δ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ↔ Γ )} oder (vii) Δ ∈ VER( ), { Δ ↔ Γ , Γ ↔ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (viii) {Δ, Γ} ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ∨ Γ )} oder (ix) { B ∨ Δ , B → Γ , Δ → Γ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (x) i ≤ j, A( i ) = Δ, (i, i ) ∈ VANS( ), A( j ) = Γ und A( Dom( )-1 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( Dom( )-1 ) = Γ, (j, j ) ∈ VERS( ), es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} oder (xi) ¬¬Γ ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (xii) [β, ξ, Δ'] ∈ VER( ), β ∉ TTFM({Δ'} ∪ VAN( )) und ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ' )} oder (xiii) ξΔ' ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ 0 , ξ, Δ'] )} oder (xiv) [θ 0 , ξ, Δ'] ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ' )} oder (xv) A( i ) = ξΔ' , (i, i ) ∈ VERS( ), A( i+1 ) = [β, ξ, Δ'], (i+1, i+1 ) ∈ VANS( ), A( Dom( )-1 ) = Γ,

Theorem 3-9. Eigenschaften von Ableitungen

Wenn eine Ableitung von Γ aus X ist, dann: Wenn ∈ SEQ, dann:

(i) ∈ SEQ\{∅}, (ii) Γ ∈ GFORM und (iii) X ⊆ GFORM und |X| ∈ N.
(i) Es gibt kein Γ und kein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist, oder (ii) Es gibt genau ein Γ und genau ein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist.

Beweis: Sei ∈ SEQ. Dann gibt es kein Γ und kein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist oder es gibt ein Γ und ein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist. Im ersten Fall gilt die Behauptung. Gebe es nun für den zweiten Fall ein Γ und ein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist. Dann ist nach Definition 3-20 ∈ RGS\{∅}, Γ = K( ) und VAN( ) = X. Nun ist noch die Eindeutigkeit zu zeigen, damit die Einzigkeit folgt.

Seien dazu Γ' und X' so, dass eine Ableitung von Γ' aus X' ist. Dann ist

Γ' = K( ) = Γ und X' = VAN( ) = X. ■ Dieses Ergebnis sei zunächst illustriert. Sei dazu ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und sei β ∈ PAR\TT(Δ).
Sei nun [3.1] die folgende Sequenz:

Beispiel [3.1] 0 Sei ξ¬Δ 1 Sei ξΔ 2 Sei [β, ξ, Δ] 3 Sei ξΔ 4 Also ξΔ ∧ [β, ξ, Δ] 5 Also [β, ξ, Δ] 6 Also ¬[β, ξ, Δ] 7 Also ¬ ξΔ 8 Also ¬ ξΔ 9 Also ¬ ξΔ
Kommentar: Nach Theorem 3-11 sollte sich nun eindeutig ein Γ und ein X finden lassen, so dass [3.1] eine Ableitung von Γ aus X ist. Dies ist tatsächlich der Fall, denn [3.1] ist Kommentar: In der zweiten Spalte von rechts sind wie üblich die Regeln (vgl. Abschnitt 3.1), nach denen der bereits geäußerte Anfangsabschnitt der Sequenz fortgesetzt werden darf, sowie die jeweiligen Prämissenzeilen vermerkt. Ganz rechts außen stehen jeweils die Zeilennummern der Zeilen, deren Aussagen in der Beschränkung von [3.1] auf den Nachfolger der aktuellen Zeilennummer verfügbar sind. Man beachte, dass dabei die in [3.1] i (1 ≤ i ≤ 10) jeweils verfügbaren Aussagen und Annahmen eindeutig bestimmt sind.

Sodann gilt, dass etwa die Folgerung in Zeile 8 nur nach PB und die Folgerung in Zeile 9 nur nach NE korrekt ist, wobei die Prämissenzeilen eindeutig bestimmt sind. In Zeile 8

ist NE deswegen ausgeschlossen, weil einerseits die in Zeile 2 angenommene Aussage in [3.1] 8 noch verfügbar ist, so dass 1 als Eröffnungsannahme für NE ausfällt, während andererseits 3 als Eröffnungsannahme für NE ausfällt, weil die dort angenommene Aussage in [3.1] 8 an dieser Stelle nicht verfügbar ist. Umgekehrt ist in 9 PB ausgeschlossen (und NE möglich), weil die Ersatzannahme in Zeile 2 in [3.1] 9 an dieser Stelle (und überhaupt) nicht mehr verfügbar ist.

Überprüft man auch alle anderen Zeilen, so überzeugt man sich leicht davon, dass [3.1] ∈ RGS\{∅}. Die Menge der insgesamt in [3.1] verfügbaren Annahmen ist eindeutig bestimmt und bestimmbar, da man nach Definition 2-26, Definition 2-28, Definition 2-29 und Definition 2-31 für jede angenommene Aussage A in [3.1] feststellen kann, ob A ∈ VAN( [3.1] ). Wie gewünscht zeigt sich, dass VAN( [3.1] ) = { ξ¬Δ }. Unproblematisch lässt sich [3.1] Dom( [3.1] )-1 = Also ¬ ξΔ ablesen, so dass sich Theorem 3-11 bestätigt. Der Kommentar dient dabei nicht zur Disambiguierung, aus welcher Aussagenmenge die Aussage in der letzten Zeile abgeleitet wurde, sondern zur leichteren Nachvollziehbarkeit. Dabei ist zu bemerken, dass der Regelkommentar für [3.1] Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ NEF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ).

Sodann gilt mit Definition 3-10: Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i, j ∈ Dom( ), so dass i ≤ j, Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ PBF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). So- 

A( i ) = Δ und (i, i ) ∈ VANS( ), A( j ) = Γ und A( Dom( )-1 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( Dom( )-1 ) = Γ und (j, j ) ∈ VERS( ) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} und somit ' ∈ SEQ und ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Sodann ist = {(j, ' j ) | i ≤ j ≤ Dom( )} ein Abschnitt in ' und A( ' i ) = Δ und (i, ' i ) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( ' j ) = Γ und A( ' Dom( )-1 ) = ¬Γ oder A( ' j ) = ¬Γ und A( ' Dom( )-1 ) = Γ und (j, ' j ) ∈ VERS( ' Dom ( 
dann gilt mit Definition 3-15: Es gibt β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass A( i ) = ξΔ und (i, i ) ∈ VERS( ), A( i+1 ) = [β, ξ, Δ] und (i+1, i+1 ) ∈ VANS( ), und A( Dom( )-1 ) = Γ, wobei β ∉ TTFM({Δ, Γ}), und es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( j ), und es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m ) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} und somit ' ∈ SEQ und ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Sodann ist = {(j, ' j ) | i+1 ≤ j ≤ Dom( )} ein Abschnitt in ' und β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und A( ' i ) = ξΔ und (i, ' i ) ∈ VERS( ' Dom( )), A( ' i+1 ) = [β, ξ, Δ] und (i+1, ' i+1 ) ∈ VANS( ' Dom( )-
(i) i+1 ∈ AF( i) und a) VERS( i+1)\VERS( i) = {(i, i )}, b) VERS( i+1) = VERS( i) ∪ {(i, i )}, c) VANS( i+1)\VANS( i) = {(i, i )}, d) VANS( i+1) = VANS( i) ∪ {(i, i )}, e) VER( i+1)\VER( i) ⊆ {A( i )}, f) VER( i+1) = VER( i) ∪ {A( i )}, g) VAN( i+1)\VAN( i) ⊆ {A( i )} und h) VAN( i+1) = VAN( i) ∪ {A( i )} oder (ii) i+1 ∈ SEF( i) und a) {(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j ≤ i} ist ein SE-geschlossener Abschnitt in i+1, b) VERS( i)\VERS( i+1) ⊆ {(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, c) VERS( i+1) = (VERS( i)\{(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}) ∪ {(i, i )}, d) VANS( i)\VANS( i+1) = {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))) )}, e) VANS( i) = VANS( i+1) ∪ {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))) )}, f) VER( i)\VER( i+1) ⊆ {A( j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, g) VER( i) ⊆ {A( j ) | j ∈ Dom(VERS( i+1) i)} ∪ {A( j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, h) VAN( i)\VAN( i+1) ⊆ {A( max(Dom(VANS( i))) )}, i) VAN( i) = VAN( i+1) ∪ {A( max(Dom(VANS( i))) )} und j) A( i ) = A( max(Dom(VANS( i))) ) → A( i-1 ) oder (iii) i+1 ∈ NEF( i) und a) {(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j ≤ i} ist ein NE-geschlossener Abschnitt in i+1, b) VERS( i)\VERS( i+1) ⊆ {(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, c) VERS( i+1) = (VERS( i)\{(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}) ∪ {(i, i )}, d) VANS( i)\VANS( i+1) = {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))) )}, e) VANS( i) = VANS( i+1) ∪ {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))) )}, f) VER( i)\VER( i+1) ⊆ {A( j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, g) VER( i) ⊆ {A( j ) | j ∈ Dom(VERS( i+1) i)} ∪ {A( j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, h) VAN( i)\VAN( i+1) ⊆ {A( max(Dom(VANS( i))) )}, i) VAN( i) = VAN( i+1) ∪ {A( max(Dom(VANS( i))) )} und j) A( i ) = ¬A( max(Dom(VANS( i))) ) oder (iv) i+1 ∈ PBF( i) und a) {(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j ≤ i} ist ein PB-geschlossener Abschnitt in i+1, b) VERS( i)\VERS( i+1) ⊆ {(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, c) VERS( i+1) = (VERS( i)\{(j, j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}) ∪ {(i, i )}, d) VANS( i)\VANS( i+1) = {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))) )}, e) VANS( i) = VANS( i+1) ∪ {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))) )}, f) VER( i)\VER( i+1) ⊆ {A( j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, g) VER( i) ⊆ {A( j ) | j ∈ Dom(VERS( i+1) i)} ∪ {A( j ) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, h) VAN( i)\VAN( i+1) ⊆ {A( max(Dom(VANS( i))) )}, i) VAN( i) = VAN( i+1) ∪ {A( max(Dom(VANS( i))) )} un j) A( i ) = A( i-1 ) oder (v) i+1 ∈ KEF( i) ∪ BEF( i)∪ AEF( i)∪ UEF( i)∪ PEF( i)∪ IEF( i) und a) VERS( i+1) ⊆ VERS( i) ∪ {(i, i )}, b) VANS( i+1) ⊆ VANS( i), c) Wenn VANS( i+1) ⊂ VANS( i), dann ist i+1 ∈ PBF( i), d) VER( i+1) ⊆ VER( i) ∪ {A( i )}, e) VAN( i+1) ⊆ VAN( i) und f) Wenn VAN( i+1) ⊂ VAN( i), dann ist i+1 ∈ PBF( i) oder (vi) i+1 ∈ SBF( i) ∪ KBF( i) ∪ BBF( i) ∪ ABF( i) ∪ NBF( i) ∪ UBF( i)∪ IBF( i) und a) VERS( i+1) ⊆ VERS( i) ∪ {(i, i )}, b) VANS( i+1) ⊆ VANS( i), c) Wenn VANS( i+1) ⊂ VANS( i), dann ist i+1 ∈ SEF( i) ∪ NEF( i) ∪ PBF( i), d) VER( i+1) ⊆ VER( i) ∪ {A( i )}, e) VAN( i+1) ⊆ VAN( i) und f) Wenn VAN( i+1) ⊂ VAN( i), dann ist (i+1) ∈ SEF( i) ∪ NEF( i) ∪ PBF( i).
Beweis: Sei ∈ SEQ. (L-R): Sei nun ∈ RGS. Dann gilt mit Definition 3-19 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGF( i). Dann gilt mit Definition 3-18 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ 1)), so dass Β = A( i ). Angenommen, für alle i ∈ Dom(VANS( 1)): Wenn

AF( i) ∪ SEF( i) ∪ NEF( i) ∪ PBF( i) ∪ KEF( i) ∪ BEF( i) ∪ AEF( i) ∪ UEF( i) ∪ PEF( i) ∪ IEF( i) ∪ SBF( i) ∪ KBF( i) ∪ BBF( i) ∪ ABF( i) ∪ NBF( i) ∪ UBF( i) ∪ IBF( i). Dann ergibt sich für i+1 ∈ AF( i) mit Theorem 3-15, dass (i) gilt, für i+1 ∈ SEF( i) mit Theorem 3-19, dass (ii) gilt, für i+1 ∈ NEF( i) mit Theorem 3-20, dass (iii) gilt, für i+1 ∈ PBF( i) mit Theorem 3-21, dass (iv) gilt, für i+1 ∈ KEF( i) ∪ BEF( i) ∪ AEF( i) ∪ UEF( i) ∪ PEF( i) ∪ IEF( i) mit Theorem 3-26, dass (v) gilt und zuletzt für i+1 ∈ SBF( i) ∪ KBF( i) ∪ BBF( i) ∪ ABF( i) ∪ NBF( i) ∪ UBF( i) ∪ IBF( i) mit Theorem 3-27, dass ( 
⊆ VAN( 1 ), K( 2 ) = K( 1 ) und |VANS( 2 )| = |VAN( 2 )|. Dann ist VAN( 2 ) ⊆ VAN( 1 ) ⊆ VAN( ) und K( 2 ) = K( 1 ) = A( max(Dom(VANS( ))) ) → K( ) . Nun ist A( max(Dom(VANS( ))) ) ∈ VAN( 2 ) oder A( max(Dom(VANS( ))) ) ∉ VAN( 2 ).
A( 1 i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 1))). Dann ist 1 das gesuchte Element von RGS\{∅}.

Gelte nun nicht für alle i ∈ Dom(VANS( 1)): Wenn A( 1i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 1))). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( 1)), so dass A( 1i ) = Γ und i ≠ max(Dom(VANS( 1))). Dann ist VANS( 1) ≠ ∅ und Γ ∈ VAN( 1) und es gilt für alle j ∈ Dom(VANS( 1)): Wenn A( j ) = Γ, dann j = i und damit auch j ≠ max(Dom(VANS( 1 Letzteres ergibt sich wie folgt: 1) gäbe es damit i, j ∈ Dom( 1) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 1) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 1). Dann wäre ) ) ∈ VANS( 5). Dann ist 6 = 5 {(0, Also Α( 1 max(Dom(VANS( 1))) ) → K( ) )} ∈ SBF( 5) und mit gilt VAN( 6 ) ⊆ VAN( 5 ) ⊆ VAN( ). Sodann gilt für alle i ∈ Dom(VANS( 6)): Wenn A( 6i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 6))). Letzteres ergibt sich wie folgt:

))). Damit ist Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) ≠ Γ. Sodann gilt mit VANS( 1 ) ≠ ∅, Theorem 3-18 und K( 1 ) = K( ): 2 = 1 {(0, Also Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) → K( ) )} ∈ SEF( 1 )
Wäre |VANS( 2 )| > |VAN( 2 )|. Dann gäbe es i, j ∈ Dom( 2 ) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 2 ) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 2 ). Da mit Theorem 3-19-(v) VANS( 2 ) ⊆ VANS(
jedoch auch |VANS( 1 )| > |VAN( 1 )|. Also ist |VANS( 2 )| ≤ |VAN( 2 )| und damit mit Theorem 2-76 insgesamt |VANS( 2 )| = |VAN( 2 )|. Nun ist |VANS( 2 )| < |VANS( 1 )| ≤ |VANS( )| = k. Damit gibt es nach I.V. ein 3 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 3 ) ⊆ VAN( 2 ) und K( 3 ) = K( 2 ) und für alle i ∈ Dom(VANS( 3 )): Wenn A( 3 i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 3 ))). Dann ist VAN( 3 ) ⊆ VAN( 2 ) ⊆ VAN( 1 ) ⊆ VAN( ), Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) ∉ VAN( 3 ) und K( 3 ) = Α(
Gäbe es ein i ∈ Dom(VANS( 6)), so dass A( 6i ) = Γ und i ≠ max(Dom(VANS( 6))). Mit gilt dann i ∈ Dom(VANS( 5 )). Dann ist i = max(Dom(VANS( 5))) = Dom( 4 )+1. Nach Konstruktion von 6 ist jedoch max(Dom(VANS( 6))) ≤ Dom( 4 )+1 = i und also mit i ≠ max(Dom(VANS( 6))) insgesamt max(Dom(VANS( 6))) < i. Andererseits ist mit i ∈ Dom(VANS( 6)) jedoch i ≤ max(Dom(VANS( 6))). Widerspruch! Sodann ist Α( 1 max(Dom(VANS( 1))) ) → K( ) = K( 6 ) ∈ VER( 6). Wäre nun Α( 1 max(Dom(VANS( 1))) ) ∉ VER( 6). Dann wäre (Dom( 4 ), Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1))) ) ) ∉ VANS( 6 ) und damit (Dom( 4 ), Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1))) ) ) ∈ VANS( 5)\VANS( 6). Mit Theorem 2-85 wäre dann allerdings VANS( 5)\VANS( 6 8)): Wenn A( 8i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 8))). Dann ist 9 = 8 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 8) und mit gilt VAN( 9 ) ⊆ VAN( 8 ) ⊆ VAN( ). Ferner gilt für alle i ∈ Dom(VANS( 9)) wiederum trivialerweise: Wenn A( 9i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 9))). Damit ist 9 das gesuchte Element von RGS\{∅}. ■ Theorem 4-3. Blockierende Annahmen Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist, i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )), Δ = A( i ) und PAR ∩ TT(Δ) = ∅, dann gibt es ein j ∈ Dom( ), so dass i ≠ j und Δ ∈ TA( j ). 

) ∩ Dom(ANS( ))) ∪ ({Dom( )} ∩ Dom(ANS( *))) ∪ ({Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} ∩ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(ANS( '))}), so dass Β = A( * i ) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( )) ∪ {Dom( )} ∪ ({Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VANS( '))}, so dass Β = A( * i ) gdw Β ∈ VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( ').
Damit gilt dann auch: Beweis: Seien ∈ RGS\{∅} und Α ∧ Β ∈ VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom( ), so

(j, ' j ) | i ≤ j < Dom( ')-1}) ∪ {(Dom( ')-1, ' Dom( ')-1 )} und VERS( + ) = (VERS( *)\{(r, + r ) | Dom( )+1+i ≤ r < Dom( )+1+Dom( ')-1}) ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, ' Dom( ')-1 )}. Mit v') ergibt sich dann: k ∈ Dom(VERS( + )) gdw k ∈ (Dom(VERS( *))\{r | Dom( )+1+i ≤ r < Dom( )+1+Dom( ')-1}) ∪ {Dom( )+1+Dom( ')-1} gdw k ∈ Dom(VERS( *)) und k < Dom( )+1+i oder k = Dom( )+1+Dom( ')-1 gdw k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ∈ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))} und k < Dom( )+1+i oder k = Dom( )+1+Dom( ')-1 gdw k < Dom( )+1 und k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ≥ Dom( )+1 und k-Dom( )+1 ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) und k-Dom( )+1 < i oder k-Dom( )+1 = Dom( ')-1 gdw k < Dom( )+1 und k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ≥ Dom( )+1 und k-Dom( )+1 ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))\{j | i ≤ j < Dom( ')-1} oder k-Dom( )+1 = Dom( ')-1 gdw k < Dom( )+1 und k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ≥ Dom( )+1 und k- Dom( )+1 ∈ Dom(VERS( ')) und somit, dass Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und damit (v) gilt.
dass A( i ) = Α ∧ Β und (i, i ) ∈ VERS( ). Folgende Sequenzen seien definiert, wobei α ∈ KONST\TTSEQ( ): 1 = ∪ {(Dom( ), Also α = α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1 ), Also Α )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2 ), Also α = α )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3 ), Also Β )}.
Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind zunächst K( 1 ) und K( 3 ) keine Negationen oder Subjunktionen und auch nicht identisch mit K( ) resp. K( 2 ), weil sonst α ∈ TTSEQ( ) resp. α ∈ TT( i ) ⊆ TTSEQ( ). Also 1 ∉ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ) und SEF( 1 ) ∪ PBF( 1) und 4 ∉ SEF( 3 ) ∪ PBF( 3 ). Wäre 2 ∈ NEF( 1 ) oder 4 ∈ NEF( 2 ). Dann gäbe es ein j ∈ Dom( 3 ), so dass A( j ) = ¬α = α . Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist j ∉ {Dom( 3)-1, Dom( 3 )-3}. Wegen α = α ∉ TF(Α) ist aber auch j ≠ Dom( 3 )-2. Also j ∈ Dom( 3)\{Dom( 3)-1, Dom( 3 )-2, Dom( 3)-3} = Dom( ). Mit α ∈ TT( 3 j ) = TT( j ) wäre dann aber auch α ∈ TTSEQ( ). Widerspruch! Also 2 ∉ NEF( 1) und 4 ∉ NEF( 3 ).

Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 1 Beweis: Seien ∈ RGS\{∅} und Α ∈ VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom( ), so dass

∈ IEF( ), damit 1 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 1 ) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 1 ) = VANS( ) und Α ∧ Β ∈ VER( ) ⊆ VER( 1 ). Also ist zweitens mit Definition 3-5 2 ∈ KBF( 1 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2 ) = VERS( 1 ) ∪ {(Dom( 1 ), Also Α )}. Damit gilt VANS( 2 ) = VANS( 1 ), Α ∧ Β ∈ VER( 1 ) ⊆ VER( 2 ) und Α ∈ VER( 2 ). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 3 ∈ IEF( 2 ), 3 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3 ) = VERS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 3 ) = VANS( 2 ) und Α, Α ∧ Β ∈ VER( 2 ) ⊆ VER( 3 ). Viertens ist damit nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4 ) = VERS( 3 ) ∪ {(Dom( 3 ), Also Β )}. Damit gilt VANS( 4 ) = VANS( 3 ), Α ∈ VER( 3 ) ⊆ VER( 4 ) und Β ∈ VER( 4 ). Insgesamt ist damit 4 ∈ RGS\{∅}, VAN( 4 ) = VAN( 3 ) = VAN( 2 ) = VAN( 1 ) = VAN( ), Α, Β ∈ VER( 4 ) und K( 4 ) = Β. ■
A( i ) = Α und (i, i ) ∈ VERS( ). Folgende Sequenzen seien definiert, wobei α ∈ KONST\TTSEQ( ): 1 = ∪ {(Dom( ), Also α = α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1 ), Also Α ∧ Α )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2 ), Also α = α )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3 ), Also Α )}.
Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind zunächst K( 1 ), K( 2 ) und K( 3) keine Negationen oder Subjunktionen. Sodann sind K( 1 ) und K( 3 ) nicht identisch mit K( ) resp.

K( 2 ). Insbesondere ist mit Theorem 1-10-(vi) K( ) nicht identisch mit K( 1 ). Also

1 ∉ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ), 2 ∉ SEF( 1 ) ∪ NEF( 1 ) ∪ PBF( 1 ) und 3 ∉ SEF( 2 ) ∪ NEF( 2 ) ∪ PBF( 2 ). Wäre α = α ∈ TF(Α), dann wäre α ∈ TT( i ) ⊆ TTSEQ( ). Also ist α = α ∉ TF(Α) und damit 4 ∉ SEF( 3 ) ∪ PBF( 3 ). Wäre 4 ∈ NEF( 3 ),
dann gäbe es ein j ∈ Dom( 3), so dass A( j ) = ¬α = α . Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist j ∉ {Dom( 3)-1, Dom( 3 )-2, Dom( 3 )-3}. Also j ∈ Dom( 3)\{Dom( 3)-1, Dom( 3 )-2, Dom( 3)-3} = Dom( ). Mit α ∈ TT( 3 j ) = TT( j ) wäre dann aber auch α ∈ TTSEQ( ). Widerspruch! Also 4 ∉ NEF( 3 ).

Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 1 

∈ IEF( ), damit 1 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 1 ) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 1 ) = VANS( ) und Α ∈ VER( ) ⊆ VER( 1 ). Also ist zweitens nach Definition 3-4 2 ∈ KEF( 1 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2 ) = VERS( 1 ) ∪ {(Dom( 1 ), Also Α ∧ Α )}. Damit gilt VANS( 2 ) = VANS( 1 ), VER( 1 ) ⊆ VER( 2 ) und Α ∧ Α ∈ VER( 2 ). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 3 ∈ IEF( 2 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3 ) = VERS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 3 ) = VANS( 2 ) und Α ∧ Α ∈ VER( 2 ) ⊆ VER( 3 ). Viertens ist damit nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4 ) = VERS( 3 ) ∪ {(Dom( 3 ), Also Α )}. Damit gilt VANS( 4 ) = VANS( 3 ) und VER( 3 ) ⊆ VER( 4 ). Insgesamt ist damit 4 ∈ RGS\{∅}, VAN( 4 ) = VAN( 3 ) = VAN( 2 ) = VAN( 1 ) = VAN( ), VER( ) ⊆ VER( 4 ) und K( 4 ) = Α. ■ Theorem 4-7. Eliminierbarkeit einer Annahme von α = α Wenn ∈ RGS\{∅}, α ∈ KONST und Α, Β ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) ⊆ VAN( )\{ α = α }, (ii) Α, Β ∈ VER( *) und (iii) K( *) = Β. Beweis: Seien ∈ RGS\{∅}, α ∈ KONST und Α, Β ∈ VER( ). Angenommen α = α ∉ VAN( ). Dann ist VAN( ) ⊆ VAN( )\{ α = α }. Mit Theorem 4-6 gibt es zudem ein * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( ) ⊆ VAN( )\{ α = α }, Α, Β ∈ VER( ) ⊆ VER( *) und K( *) = Β. Sei nun α = α ∈ VAN( ). Dann ist 1 = ∪ {(Dom( ), Also Α ∧ Β )} ∈ KEF( ).
Dann gilt 1 ∈ RGS\{∅} und Α ∧ Β ∈ VER( 1) nach Theorem 3-26-(v) VAN( 1) ⊆ VAN( ). Nun gibt es nach Theorem 4-2 ein + ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( + ) ⊆

VAN( 1 ) ⊆ VAN( ), K( + ) = K( 1 ) = Α ∧ Β und für alle k ∈ Dom(VANS( + )): Wenn A( + k ) = α = α , dann k = max(Dom(VANS( + ))). Dann ist α = α ∈ VAN( + ) oder α = α ∉ VAN( + ). Erster Fall: Angenommen α = α ∈ VAN( + ). Dann ist A( + max(Dom(VANS( + ))) ) = α = α und für alle k ∈ Dom(VANS( + )): Wenn A( + k ) = α = α , dann k = max(Dom(VANS( + ))). Seien nun folgende Sequenzen definiert: 2 = + ∪ {(Dom( + ), Also α = α → (Α ∧ Β) )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2 ), Also α = α )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3 ), Also Α ∧ Β )}. Nach Definition 3-2 ist 2 ∈ SEF( + ), damit 2 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-19-(ix) VAN( 2 ) ⊆ VAN( + ) ⊆ VAN( ). Sodann gilt mit Theorem 3-22, dass α = α ∉ VAN( 2 ) und damit VAN( 2 ) ⊆ VAN( )\{ α = α }. Zudem ist α = α → (Α ∧ Β) ∈ VER( 2 ).
Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind K( 3 ) und K( 4 ) keine Negationen oder Subjunktionen und K( 3 ) nicht identisch mit K( 2 ) und K( 4 ) nicht identisch mit K( 3 ).

Also 3 ∉ SEF( 2 ) ∪ NEF( 2 ) ∪ PBF( 2 ) und 4 ∉ SEF( 3 ) ∪ NEF( 3 ) ∪ PBF( 3 ).
Hingegen ist nach Definition 3-16 3 ∈ IEF( 1 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 Vorbereitungsteil: Sei + ∈ SEF( *). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈

VERS( 3 ) = VERS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 3 ) = VANS( 1 ), α = α → (Α ∧ Β) ∈ VER( 2 ) ⊆ VER( 3 ) und α = α ∈ VER( 3 ). Also ist nach Definition 3-3 4 ∈ SBF( 3 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4 ) = VERS( 3 ) ∪ {(Dom( 3 ), Also Α ∧ Β )}. Damit gilt VANS( 4 ) = VANS( 3 ). Insge- samt ist damit 4 ∈ RGS\{∅}, VAN( 4 ) = VAN( 3 ) = VAN( 2 ) ⊆ VAN( )\{ α = α } und Α ∧ Β ∈ VER( 4 ). Mit
* i ) = [β*, β, A( i )] und * i = Ξ [β*, β, A( i )] , wobei i = Ξ A( i ) , für ein Ξ ∈ PERF. Sodann gilt mit β* ∈ PAR\TTSEQ( ) und β ∈ PAR\{β*}: c) Für jedes i ∈ Dom( ): β* ∉ TT(A( i )) und β ∉ TT([β*, β, A( i )]),
Dom(VANS( *)), so dass mit b) und d) A( * i ) = [β*, β, A( i )] und K( *) = [β*, β, A( Dom( )-2 )] und es kein l mit i < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( )-1, Also A( * i ) → A( * Dom( )-2 ) )} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( i )] → [β*, β, A( Dom( )-2 )] )}. Mit d) ist Also [β*, β, A( i )] → [β*, β, A( Dom( )-2 )] = [β*, β, Also A( i ) → A( Dom( )-2 ) ] = [β*, β, Dom( )-1 ]. Theorem 1-21 ergibt Also A( i ) → A( Dom( )-2 ) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i ) → A( Dom( )-2 ) )}. Sodann gilt mit a) und b): i ∈ Dom(VANS( Dom( )- 1 
)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Damit ist dann auch ∈ SEF( Dom( )-1). Für den Fall, dass + ∈ NEF( *), zeigt man analog, dass dann auch ∈ NEF( Dom( )-1).

Sei nun + ∈ PBF( *). Dann gibt es nach Definition 3-15 mit b) und d),

β + ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( *)), so dass A( * i ) = ζΔ = [β*, β, A( i )] und A( * i+1 ) = [β + , ζ, Δ] = [β*, β, A( i+1 )], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( *)), [β*, β, A( Dom( )-2 )] = K( *), β + ∉ TTFM({Δ, [β*, β, A( Dom( )-2 )]}),
es kein j ≤ i gibt, so dass β + ∈ TT( * j ), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈

Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( )-1, Also K( *) )} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( Dom( )-2 )] )} = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also A( Dom( )-2 ) ])}. Mit d) ist [β*, β, Also A( Dom( )-2 ) ] = [β*, β, Dom( )-1 ]. Theorem 1-21 ergibt Also A( Dom( )-2 ) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2 ) )}.
Mit a) und b) gilt dann: i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), i+1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A( i ), A( i+1 ) und A( Dom( )-2 )

die Voraussetzungen für ∈ PBF( Dom( )-1) erfüllen.

Nun ist [β*, β,

A( i )] = A( * i ) = ζΔ und [β*, β, A( i+1 )] = A( * i+1 ) = [β + , ζ, Δ]. Da
Operatoren durch die Substitution nicht verändert werden, gilt damit wegen [β*, β,

A( i )] = ζΔ : A( i ) = ζΔ + für ein Δ + ∈ FORM, wobei β* ∉ TT(Δ + ) und FV(Δ + ) ⊆ {ζ}. Damit ist ζΔ = [β*, β, A( i )] = [β*, β, ζΔ + ] = ζ[β*, β, Δ + ] und somit Δ = [β*, β, Δ + ]. Damit gilt wiederum: [β*, β, A( i+1 )] = [β + , ζ, Δ] = [β + , ζ, [β*, β, Δ + ]] und β + ∉ TT([β*, β, Δ + ]). Sodann gilt β* = β + oder β* ≠ β + .
Erster Fall:

Sei β* = β + . Dann ist β* ∉ TT([β*, β, Δ + ]) und damit β ∉ TT(Δ + ). Dann ist Δ = [β*, β, Δ + ] = Δ + und wegen β* = β + ist dann [β*, β, A( i+1 )] = [β + , ζ, Δ] = [β*, ζ, Δ + ]. Sodann ist β* ∉ TT(Δ + ) und β* ∉ TT(A( i+1 )) und damit gilt mit Theorem 1-23 wegen [β*, β, A( i+1 )] = [β*, ζ, Δ + ], dass A( i+1 ) = [β, ζ, Δ + ]. Wäre nun β ∈ TTFM({Δ + ,
A( Dom( )-2 )}) oder gäbe es ein j ≤ i, so dass β ∈ TT( j ). Dann ergäbe sich mit b) und β*

= β + , dass β + ∈ TTFM({[β*, β, Δ + ], [β*, β, A( Dom( )-2 )
]}) oder dass es j ≤ i gäbe, so dass Zweiter Unterfall: Sei nun

β + ∈ TT( * j ). Widerspruch! Also ist A( i ) = ζΔ + und A( i+1 ) = [β, ζ, Δ + ] und β ∉ TTFM({Δ + , A( Dom( )-2 )}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( j ) und somit insgesamt ∈ PBF( Dom( ) -1) 
β + ∉ TT([β*, β, A( i+1 )]). Dann gilt mit [β*, β, A( i+1 )] = [β + , ζ, [β*, β, Δ + ]], dass ζ ∉ FV([β*, β, Δ + ]). Dann ist [β*, β, A( i+1 )] = [β + , ζ, [β*, β, Δ + ]] = [β*, β, Δ + ] und damit mit β* ∉ TT(A( i+1 )) ∪ TT(Δ + ) wiederum mit Theorem 1-20 A( i+1 ) = Δ + , wobei mit ζ ∉ FV([β*, β, Δ + ]) auch ζ ∉ FV(Δ + ). Sei nun β § ∈ PAR\TTSEQ( Dom( )-1). Dann gilt mit ζ ∉ FV(Δ + ), dass A( i+1 ) = Δ + = [β § , ζ, Δ + ]
und es gilt: β § ∉ TTFM({Δ + , A( Dom( )-2 )}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β § ∈ TT( j ).

Damit ist dann ebenfalls insgesamt auch ∈ PBF( Dom( )-1). Also gilt in beiden Unterfällen und damit insgesamt in beiden Fällen, dass ∈ PBF( Dom( )-1). 

Hauptteil

) mit i < l ≤ Dom( )-2 gibt und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i ) → K( Dom( )-1) )}. Dann gilt mit a), b) und d): i ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)), und A( * i ) = [β*, β, A( i )] und K( *) = [β*, β, K( Dom( )-1)] und + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also A( i ) → K( Dom( )-1) ])}= * ∪ {(Dom( )-1, Also A( * i ) → K( *) )}. Damit ist dann + ∈ SEF( *) und damit + ∈ RGS.
Sodann ergibt sich mit , dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, (PBF): Sei nun ∈ PBF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-15

j ) | i ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( i ) → K( Dom( )-1) )} und dass VERS( + ) = VERS( *)\{(j, + j ) | i ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( i )] → [β*, β, K ( 
β + ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = ζΔ , A( i+1 ) = [β + , ζ, Δ], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), β + ∉ TTFM({Δ, A( Dom( )-2 )}), es kein j ≤ i gibt, so dass β + ∈ TT( j ), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2 ) )}. Damit ergibt sich dann mit a), b) und d) zunächst: i ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i ) = [β*, β, A( i )] = [β*, β, ζΔ ] = ζ[β*, β, Δ] , i+1 ∈ Dom(VANS( *)) und A( * i+1 ) = [β*, β, A( i+1 )] = [β*, β, [β + , ζ, Δ]], K( *) = A( * Dom( )-2 ) = [β*, β, A( Dom( )-2 )] und + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also K( Dom( )-1) ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also K( *)]
)} und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Sodann lassen sich mit β + = β und β + ≠ β zwei Fälle unterscheiden. 

Erster Fall: Sei β + = β. Dann ist A( i+1 ) = [β*, β, [β + , ζ, Δ]] = [β*, β, [β, ζ, Δ]] und mit β + ∉ TT(Δ) auch β ∉ TT(Δ) und somit mit Theorem 1-24-(ii) A( i+1 ) = [β*, β, [β, ζ, Δ]] = [β*, ζ, Δ]. Mit β ∉ TT(Δ) ist sodann [β*, β, Δ] = Δ und damit A( * i ) = ζ[β*,
A( * i+1 ) = [β*, β, [β + , ζ, Δ]] = [β + , ζ, [β*, β, Δ]]. Sodann ist A( * i ) = ζ[β*, β, Δ] . Wä- re nun β + ∈ TTFM({[β*, β, Δ], [β*, β, A( Dom( )-2 )]}) oder gäbe es ein j ≤ i, so dass β + ∈ TT( * j ). Dann wäre wegen β + ≠ β* mit b) auch β + ∈ TTFM({Δ, A( Dom( )-2 )}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β + ∈ TT( j ). Widerspruch! Also ist β + ∉ TTFM({[β*, β, Δ], [β*, β,
A( Dom( )-2 )]}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β + ∈ TT( * j ) und damit wiederum insgesamt + ∈ PBF( *).

Zweiter Unterfall: Sei nun

β + = β*. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β* ∈ TT([β + , ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Damit ist dann [β + , ζ, Δ] = Δ und damit A( * i+1 ) = [β*, β, [β + , ζ, Δ]] = [β*, β, Δ] und sodann ist A( * i ) = ζ[β*, β, Δ] . Sei nun β § ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β*, β, Δ]) und damit A( * i+1 ) = [β*, β, Δ] = [β § , ζ, [β*, β, Δ]] und es gilt: β § ∉ TTFM({[β*, β, Δ], [β*, β, A( Dom( )-2 )]}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β § ∈
TT( * j ). Damit ist dann wieder insgesamt auch + ∈ PBF( *). Damit gilt in beiden Unterfällen und somit insgesamt in beiden Fällen, dass + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS.

Sodann ergibt sich mit Theorem 3-21-(iii), dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, 

j ) | i+1 ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2 ) )} und dass VERS( + ) = VERS( *)\{(j, + j ) | i+1 ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( Dom( )-2 )] )}. Mit
und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also Β )}. Mit d) gilt dann: + = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, Β] )}. Sodann gibt es mit Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1)
und Definition 2-30 i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass 

A( i ) = Α und A( j ) = Α → Β . Mit a) und b) ergibt sich dann, dass i, j ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i ) = [β*, β, Α] und A( * j ) = [β*, β, Α] → [β*, β, Β] . Damit gilt dann mit d), dass + = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, Β] )} ∈ SBF( *) und damit + ∈ RGS.
* i ) = [β*, β, A( i )] = [β*, β, [β + , ζ, Δ]].
Sodann lassen sich mit β + = β und β + ≠ β zwei Fälle unterscheiden.

Erster Fall: 

Sei β + = β. Dann ist A( * i ) = [β*, β, [β + , ζ, Δ]] = [β*, β, [β, ζ, Δ]] und mit β + ∉ TT(Δ) auch β ∉ TT(Δ) und somit mit Theorem 1-24-(ii) A( * i ) = [β*, β, [β, ζ, Δ]] = [β*, ζ, Δ]. Mit β ∉ TT(Δ) ist sodann [β*, β, Δ] = Δ und damit K( + ) = ζ[β*, β, Δ] = ζΔ . Sodann gilt mit β + = β und β* ∉ TTSEQ( ): β, β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )- 1 
A( * i ) = [β*, β, [β + , ζ, Δ]] = [β + , ζ, [β*, β, Δ]]. Sodann ist K( + ) = ζ[β*, β, Δ] . Ange- nommen β + ∈ TTFM({[β*, β, Δ]} ∪ VAN( *)). Da β + ≠ β* und β + ∉ TT(Δ) ist zunächst β + ∉ TT([β*,
GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass ζΔ ∈ VER( Dom( )-1), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ, ζ, Δ] )}. Mit d) ist dann + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also [θ, ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, [θ, ζ, Δ]] )}. Sodann gibt es mit ζΔ ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = ζΔ . Mit a) und b) ist dann i ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i ) = [β*, β, ζΔ ] = ζ[β*, β, Δ] . Sodann ist mit Theorem 1-26-(ii) K( + ) = [β*, β, [θ, ζ, Δ]] = [[β*, β, θ], ζ, [β*, β, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β*, β, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β*, β, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ UBF( *) ⊆ RGS.
(PEF): Sei nun ∈ PEF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-14 θ ∈

GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Mit d) ist dann + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also ζ[β*, β, Δ] )}. Sodann gibt es mit [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = [θ, ζ, Δ]. Mit a) und b) ist dann i ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i ) = [β*, β, A( i )]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( * i ) = [β*, β, A( i )] = [β*, β, [θ, ζ, Δ]] = [[β*, β, θ], ζ, [β*, β, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β*, β, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β*, β, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ PEF( *) ⊆ RGS.
(IEF): Sei nun ∈ IEF( Dom( )-1). Mit Definition 3-16 gibt es dann θ ∈ GTERM,

so dass = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also θ = θ )}. Dann ist mit d) + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also θ = θ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, θ] = [β*, β, θ] )}, wobei mit θ ∈ GTERM auch [β*, β, θ] ∈ GTERM. Damit ist dann + ∈ IEF( *) ⊆ RGS.
(IBF): Sei nun ∈ IBF( Dom( )-1). Dann gibt es mit Definition 3-17 θ 0 ,

θ 1 ∈ GTERM, ζ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ 1 , ζ, Δ] )}. Dann ist mit d) + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also [θ 1 , ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, [θ 1 , ζ, Δ]] )}. Sodann gibt es mit θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = θ 0 = θ 1 und A( j ) = [θ 0 , ζ, Δ]. Dann gilt mit a) und b): i, j ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i ) = [β*, β, A( i )] = [β*, β, θ 0 = θ 1 ] = [β*, β, θ 0 ] = [β*, β, θ 1 ] und A( * j ) = [β*, β, A( j )]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( * j ) = [β*, β, A( j )] = [β*, β, [θ 0 , ζ, Δ]] = [[β*, β, θ 0 ], ζ, [β*, β, Δ]] und K( + ) = [β*, β, [θ 1 , ζ, Δ]] = [[β*, β, θ 1 ], ζ, [β*, β, Δ]], wobei mit θ 0 , θ 1 ∈ GTERM auch [β*, β, θ 0 ], [β*, β, θ 1 ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β*, β, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit gilt dann insgesamt + ∈ IBF( *) ⊆ RGS. ■
Das folgende Theorem dient der Vorbereitung des Generalisierungstheorems (Theorem 4-24). Der Beweis ähnelt stark dem Beweis zu Theorem 4-8.

Theorem 4-9. Einfache Substitution eines neuen Parameters für eine Individuenkonstante ist RGS-treu

Wenn ∈ RGS, α ∈ KONST und β ∈ PAR\TTSEQ( ), dann gibt es ein + ∈ RGS\{∅}, so dass

(i) α ∉ TTSEQ( + ), (ii) TTSEQ( + ) ⊆ TTSEQ( ) ∪ {β}, (iii) VAN( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( + )} und (iv) Wenn ≠ ∅, dann K( ) = [α, β, K( + )].
Beweis: Sei ∈ RGS, α ∈ KONST und β ∈ PAR\TTSEQ( ). Sei nun + wie folgt definiert:

a) + = {(0, Also β = β )} [β, α, ].
Zunächst gelten dann (i) und (ii) und es gilt auch, dass + ≠ ∅. Für + kann nun mittels Induktion über Dom( ) gezeigt werden, dass

+ ∈ RGS und b) Dom(VERS( + )) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}.
Mit a) und b) folgen dann auch (iii) und (iv). Zu (iii): Sei Δ ∈ VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( )), so dass i = Sei Δ . Also ist mit b) i+1 ∈ Dom(VERS( + )) und mit Da sich Operatoren durch die Substitution nicht verändern, gilt nun zunächst:

a) + i+1 = Sei [β, α, Δ] . Also ist [β, α, Δ] ∈ VAN( + ) und damit [α, β, [β, α, Δ]] ∈ {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( + )}. Nun ist β ∉ TTSEQ( ) und damit β ∉ TT(Δ) und mit Theorem 1-24-(ii) [α, β, [β, α, Δ]] = [α, α, Δ] = Δ. Also Δ ∈ {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( + )}. Sei nun Δ ∈ {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( + )}. Dann gibt es ein Δ* ∈ VAN( + ), so dass Δ = [α, β, Δ*]. Wegen Δ* ∈ VAN( + ) gibt es dann mit a) ein i+1 ∈ Dom(VERS( + )) mit + i+1 = Sei Δ* . Nun ist mit b) i ∈ Dom(VERS( )) und mit a) + i+1 = [β, α, i ] und damit [β, α, i ] = Sei Δ* und weiter [α, β, [β, α, i ]] = [α, β, Sei Δ* ] = Sei [α, β, Δ*] = Sei Δ . Wie zuvor ist mit Theorem 1-24-(iii) und β ∉ TTSEQ( ) [α, β, [β, α, i ]] = [α, α, i ] = i und damit i = Sei Δ und A( i ) = Δ. Damit ist Δ ∈ VAN( ). Damit gilt (iii). Zu (iv): Angenommen ≠ ∅. Wegen β ∉ TTSEQ( ) ist mit a) und Theorem 1-24-(ii) [α, β, K( + )] = [α, β, A( + Dom( + )-1 )] = [α, β, [β, α, A( Dom( + )-2 )]] = [α, α, A( Dom( + )-2 )] = A( Dom( + )-2 ). Nun ist Dom( + ) = Dom( )+1. Damit gilt weiter [α, β, K( + )] = A( Dom( + )-2 ) = A( Dom( )-1 ) = K( ).

Nun zum Induktionsbeweis

d) Für alle i ∈ Dom( )-1: A( * i+1 ) = [β, α, A( i )] und * i+1 = Ξ [β, α, A( i )] , wobei i = Ξ A( i ) für ein Ξ ∈ PERF.
Sodann gilt mit β ∈ PAR\TTSEQ( ) und α ∈ KONST: Vorbereitungsteil: Sei + ∈ SEF( *). Dann gibt es nach Definition 3-2 und mit c) und f) ein i ∈ Dom(VANS( *)), so dass es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass l ∈

Dom(VANS( *)), und + = * ∪ {(Dom( ), Also A( * i ) → K( *) )}. Nun ist * 0 = Also β = β ∉ VANS( *). Also ist i ≠ 0 und mit d) A( * i ) = [β, α, A( i-1 )] und K( *) = [β, α, A( Dom( )-2 )]. Also + = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( i-1 )] → [β, α, A( Dom( )-2 )] )}. Mit f) ist Also [β, α, A( i-1 )] → [β, α, A( Dom( )-2 )] = [β, α, Also A( i-1 ) → A( Dom( )-2 ) ] = [β, α, Dom( )-1 ]. Theorem 1-21 ergibt Also A( i-1 ) → A( Dom( )-2 ) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i-1 ) → A( Dom( )-2 ) )}. Sodann gilt mit c), d) und i ≠ 0: i-1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und
es gibt kein l mit i-1 < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Damit ist dann auch ∈ SEF( Dom( )-1). Für den Fall, dass + ∈ NEF( *), zeigt man analog, dass dann auch ∈ NEF( Dom( )-1).

Sei nun + ∈ PBF( *). Nach Definition 3-15 und mit c), d) und f) gibt es dann β* ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( *)), so dass A( * i ) = ζΔ und A( * i+1 ) = [β*, ζ, Δ] = [β, α, A( i )], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( *)), [β, α, A( Dom( )-2 )] = K( *), β* ∉ TTFM({Δ, [β, α, A( Dom( )-2 )]}), es kein j ≤ i gibt, so dass β* ∈ TT( * j ), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( ), Also K( *) )} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( Dom( )-2 )] )} = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also A( Dom( )-2 ) ])}. Mit f) ist [β, α, Also A( Dom( )-2 ) ] = [β, α, Dom( )-1 ]. Theorem 1-21 ergibt Also A( Dom( )-2 ) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2 ) )}. Mit A( * i ) = ζΔ ≠ β = β = A( * 0 ) ist i ≠ 0 und daher A( * i ) = ζΔ = [β, α, A( i-1 )].
Damit ergibt sich dann mit c), d) und i ≠ 0 zunächst: i-1 ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A( i-1 ), A( i ) und A( Dom( )-2 ) die Voraussetzungen für ∈ PBF( Dom( )-1) erfüllen.

Nun ist [β, α, A( i-1 )] = A( * i ) = ζΔ und [β, α, A( i )] = A( * i+1 ) = [β*, ζ, Δ]. Da Operatoren durch die Substitution nicht verändert werden, gilt damit wegen [β, α, A( i-1 )] = ζΔ : A( i-1 ) = ζΔ + für ein Δ + ∈ FORM, wobei β ∉ TT(Δ + ) und FV(Δ + ) ⊆ {ζ}. Damit ist ζΔ = [β, α, A( i-1 )] = [β, α, ζΔ + ] = ζ[β, α, Δ + ] und somit Δ = [β, α, Δ + ]. Damit gilt wiederum: [β, α, A( i )] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ + ]] und β* ∉ TT([β, α, Δ + ]). Sodann gilt β = β* oder β ≠ β*. Wäre β = β*, dann gäbe es kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( * j ). Nun ist aber β ∈ TT( Also β = β ) = TT( * 0 ) und 0 ≤ i. Also ist β ≠ β*. Dann lassen sich mit β* ∈ TT([β, α, A( i )]) und β* ∉ TT([β, α, A( i )]) zwei Fälle unterschei- den. Erster Fall: Angenommen β* ∈ TT([β, α, A( i )]). Dann ist mit Δ = [β, α, Δ + ] und Theorem 1-25-(ii): [β, α, A( i )] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ + ]] = [β, α, [β*, ζ, Δ + ]]. So- dann ist β ∉ TT(A( i )) und wegen β ≠ β* und β ∉ TT(Δ + ) auch β ∉ TT([β*, ζ, Δ + ]) und damit mit Theorem 1-20 A( i ) = [β*, ζ, Δ + ]. Wäre nun β* ∈ TTFM({Δ + , A( Dom( )-2 )})
oder gäbe es ein j ≤ i-1, so dass β* ∈ TT( j ). Dann wäre wegen β* ≠ α mit d) auch β* ∈ TTFM({[β, α, Δ + ], [β, α, A( Dom( )-2 )]}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β* ∈ TT( * j ). Widerspruch! Also ist im ersten Fall die Parameterbedingung für β* auch in Dom( )-1 erfüllt und damit wiederum insgesamt ∈ PBF( Dom( )-1).

Zweiter Fall: Sei nun β* ∉ TT([β, α, A( i )]). Mit [β, α, A( i )] = [β*, ζ, [β, α, Δ + ]], gilt dann ζ ∉ FV([β, α, Δ + ]). Dann ist [β, α, A( i )] = [β*, ζ, [β, α, Δ + ]] = [β, α, Δ + ] und damit mit β ∉ TT(A( i )) ∪ TT(Δ + ) wiederum mit Theorem 1-20 A( i ) = Δ + , wobei mit ζ ∉ FV([β, α, Δ + ]) auch ζ ∉ FV(Δ + ). Sei nun β + ∈ PAR\TTSEQ( Dom( )-1). Mit ζ ∉ FV(Δ + ), gilt dann A( i ) = Δ + = [β + , ζ, Δ + ]
und es gilt: β + ∉ TTFM({Δ + , A( Dom( )-2 )}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β + ∈ TT( j ). Damit ist dann ebenfalls insgesamt auch ∈ PBF( Dom( )-1). Also gilt in beiden Fällen ∈ PBF( Dom( )-1). Gelte die Behauptung nun für k und sei ∈ RGS\{∅}, {ξ 0 , …, ξ k } ⊆ VAR, wobei für i, j < k+1 mit i ≠ j gelte:

* i+1 ) = [β, α, A( i )] = [β, α, θ 0 = θ 1 ] = [β, α, θ 0 ] = [β, α, θ 1 ] und A( * j+1 ) = [β, α, A( j )]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( * j+1 ) = [β, α, A( j )] = [β, α, [θ 0 , ζ, Δ]] = [[β, α, θ 0 ], ζ, [β, α, Δ]] und K( + ) = [β, α, [θ 1 , ζ, Δ]] = [[β, α, θ 1 ], ζ, [β, α, Δ]], wobei mit θ 0 , θ 1 ∈ GTERM auch [β, α, θ 0 ], [β, α, θ 1 ] ∈ GTERM und
ξ i ≠ ξ j , Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k } und {β 0 , … β k } ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )), wobei für i, j < k+1 mit i ≠ j gelte: β i ≠ β j , und K( ) = [〈β 0 , …, β k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ]. Mit Theorem 1-28-(ii) ist dann K( ) = [〈β 0 , …, β k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ] = [β k , ξ k , [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]]. Mit FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k } ist dann FV〈[〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]) ⊆ {ξ k } und mit der paarweisen Verschiedenheit der β i und {β 0 , … β k } ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )) ist dann β k ∈ PAR\TTFM({[〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]} ∪ VAN( )). Da sodann [β k , ξ k , [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]] = K( ) ∈ VER( ) ist nach Definition 3-12 ' = ∪ {(Dom( ), Also ξ k [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ] ) ∈ UEF( ) ⊆ RGS\{∅} und K( ') = ξ k [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ] und PAR ∩ TTSEQ( ') = (PAR ∩ TTSEQ( )) ∪ (PAR ∩ TT( ξ k [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ] )) = PAR ∩ TTSEQ( ) und mit Theorem 3-26-(v) ist VAN( ') ⊆ VAN( ).
Wegen der paarweisen Verschiedenheit der ξ i ist sodann für alle i < k: Wegen der paarweisen Verschiedenheit der ξ i ist sodann für alle i 

ξ i ≠ ξ k . Damit ist dann K( ) = ξ k [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ] = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, ξ k Δ ]. Mit FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k } ist dann FV( ξ k Δ ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 }, wobei die ξ i mit i < k paarweise verschieden sind. Sodann ist mit {β 0 , … β k } ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )) dann {β 0 , … β k-1 } ⊆ PAR\TTFM({ ξ k Δ } ∪ VAN( )),
mit 0 < i ≤ k: ξ 0 ≠ ξ i . Damit ist dann K( ') = [θ 0 , ξ 0 , ξ 1 … ξ k Δ ] = ξ 1 … ξ k [θ 0 , ξ 0 , Δ] . Sei nun ζ i = ξ i+1 und θ' i = θ i+1 für alle i ∈ k. Dann gilt {θ' 0 , …, θ' k-1 } ⊆ GTERM, {ζ 0 , …, ζ k-1 } ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt, dass ζ i ≠ ζ j , [θ 0 , ξ 0 , Δ] ∈ FORM, wobei mit FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k } und θ 0 ∈ GTERM gilt: FV([θ 0 , ξ 0 , Δ]) ⊆ {ξ 1 , …, ξ k } = {ζ 0 , …, ζ k-1 }, und mit Theorem 2-82 gilt: ζ 0 … ζ k-1 [θ 0 , ξ 0 , Δ] = ξ 1 … ξ k [θ 0 , ξ 0 , Δ] = K ( 
Für alle i < k-1: K( * Dom( ')+i+1) = ξ i+2 … ξ k [〈θ 1 , …, θ i+1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i+1 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] .
Mit Dom( ') = Dom( )+1 gilt damit:

f) Für alle i < k-1: K( * Dom( )+i+1+1) = ξ i+2 … ξ k [〈θ 1 , …, θ i+1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i+1 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] .
Damit gilt:

g) Für alle i mit 0 < i < k:

K( * Dom( )+i+1) = ξ i+1 … ξ k [〈θ 1 , …, θ i 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] .
Sodann gilt:

h) Für alle i mit 0 < i < k+1: [〈θ 1 , …, θ i 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ].
h) kann mittels Induktion über i gezeigt werden. Es gilt nämlich zunächst mit Theorem

1-28-(ii), dass [θ 1 , ξ 1 , [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [〈θ 0 , θ 1 〉, 〈ξ 0 , ξ 1 〉, Δ]. Gelte nun für i: Wenn 0 < i < k+1, dann [〈θ 1 , …, θ i 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ]. Sei nun 0 < i+1 < k+1.
Dann ist i = 0 oder 0 < i. Für i = 0 ergibt sich die Behauptung wie für die Induktionsbasis. Sei nun 0 < i. Dann ergibt sich zunächst wieder mit Theorem 1-28-(ii): [〈θ 1 , …,

θ i+1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i+1 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [θ i+1 , ξ i+1 , [〈θ 1 , …, θ i 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]]]. Mit I.V. gilt dann [θ i+1 , ξ i+1 , [〈θ 1 , …, θ i 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]]] = [θ i+1 , ξ i+1 , [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ]] und wiederum mit Theorem 1-28-(ii): [θ i+1 , ξ i+1 , [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ]] = [〈θ 0 , …, θ i+1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i+1 〉, Δ] und damit insgesamt: [〈θ 1 , …, θ i+1 〉, 〈ξ 1 , …, ξ i+1 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [〈θ 0 , …, θ i+1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i+1 〉, Δ]. Also gilt h).
Sodann gilt mit Dom( ') = Dom( )+1 und K( * Dom( '

)) = K( ') = ξ 1 …. ξ k [θ 0 , ξ 0 , Δ] , dass K( * Dom( )+0+1) = ξ 1 …. ξ k [θ 0 , ξ 0 , Δ] . Mit g) und h
) gilt dann insgesamt Klausel (iv):

Für alle i < k: K( * Dom( )+i+1) = ξ i+1 … ξ k [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ] .
Zuletzt gilt mit e), h) und

θ' i = θ i+1 und ζ i = ξ i+1 : K( *) = [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈ζ 0 , …, ζ k-1 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [〈θ 1 , …, θ k 〉, 〈ξ 1 , …, ξ k 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] = [〈θ 0 , …, θ k 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k 〉, Δ]
und damit Klausel (v), womit insgesamt das Theorem für k+1 gilt. ■ 

( ) = Sei α = α , d) Für alle i ∈ Dom( 2 ) ist 2 i = 3 Dom( )+1+i , e) Dom(VERS( 3 )) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( 2 ))}, f) VER( 3 ) = VER( ) ∪ { α = α } ∪ VER( 2 ) und g) VAN( 3 ) = VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( 2 ) = VAN( ) ∪ { α = α }.
Nun ist mit Theorem 2-82 K( ) ∈ VER( ) und somit mit f) K( )

∈ VER( 3 ). Sodann ist ξ 0 … ξ k-1 Δ = K( 2 ) = K( 3 )
. Mit Theorem 4-12 gibt es dann ein 4 ∈ RGS\{∅}, so dass

h) Dom( 4 ) = Dom( 3 )+k, i) 4 Dom( 3 ) = 3 , j) VAN( 4 ) ⊆ VAN( 3 ) = VAN( ) ∪ { α = α }, k) Für alle i < k: K( 4 Dom( 3 )+i+1) = ξ i+1 … ξ k-1 [〈β 0 , …, β i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ] und l) K( 4 ) = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ].
Dann gilt zum einen, dass K( ') = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ] = K( 4 ) ∈ VER( 4 ). Folgende Sequenzen seien nun definiert, wobei α ∈ KONST\TTSEQ( 2 ):

Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft

Nun werden übliche Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft etabliert, wobei insbesondere auch gezeigt wird, dass diese reflexiv (Theorem 4-15), monoton (Theorem 4-16),

unter Einführung und Beseitigung der logischen Operatoren abgeschlossen (Theorem 4-18) und transitiv (Theorem 4-19) ist.

Theorem 4-15. Erweiterte Reflexivität (AR) Α zeigt man analog, dass dann ebenfalls X Α gilt.

Wenn X ⊆ GFORM und Α ∈ X, dann X Α. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und Α ∈ X. Dann ist Α ∈ GFORM und nach Definition 3-1 ist {(0, Sei Α )} ∈ AF(∅) ⊆ RGS\{∅} und es gilt, dass Α = K({(0, Sei Α )}) und VAN({(0, Sei Α )}) = {Α} ⊆ X. Also mit Theorem 3-12 X Α. ■ Theorem 4-16. Monotonie Wenn X Β und X ⊆ Y ⊆ GFORM, dann Y Β. Beweis: Sei X Β und X ⊆ Y ⊆ GFORM.
(i) Wenn X Β und Α ∈ X, dann X\{Α} Α → Β , (SE) (ii) Wenn X Α und Y Α → Β , dann X ∪ Y Β, (SB) (iii) Wenn X Α und Y Β, dann X ∪ Y Α ∧ Β , (KE) (iv) Wenn X Α ∧ Β oder X Β ∧ Α , dann X Α, (KB) (v) Wenn X Α → Β und Y Β → Α , dann X ∪ Y Α ↔ Β , (BE) (vi) Wenn X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y, dann (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β , (BE*) (vii) Wenn X Α und Y Α ↔ Β oder Y Β ↔ Α , dann X ∪ Y Β, (BB) (viii) Wenn X Α oder X Β, dann X Α ∨ Β , (AE) (ix) Wenn X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ , dann X ∪ Y ∪ Z Γ, (AB) (x) Wenn X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z, dann X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ, (AB*) (xi) Wenn X Γ und Y ¬Γ und Α ∈ X ∪ Y, dann (X ∪ Y)\{Α} ¬Α , (NE) (xii) Wenn X ¬¬Γ , dann X Γ, (NB) (xiii) Wenn X [β, ξ, Δ] und β ∉ TTFM(X ∪ {Δ}), dann X ξΔ , (UE) (xiv) Wenn X ξΔ , dann X [θ 0 , ξ, Δ], (UB) (xvi) Wenn X ξΔ und Y Γ und [β, ξ Δ] ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Δ]}) ∪ {Δ, Γ}), dann X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) Γ, (PB) (xvii) Wenn X ⊆ GFORM, dann X θ 0 = θ 0 , und (IE) (xviii) Wenn X θ 0 = θ 1 und Y [θ 0 , ξ, Δ], dann X ∪ Y [θ 1 , ξ, Δ]. ( 
Zu (vi:)(BE*): Sei X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y. Dann gilt mit (i): X\{Α} Α → Β und Y\{Β} Β → Α . Dann gilt mit (v): (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β . Zu (ix) (AB): Sei X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ . Dann ergibt sich mit zweifacher Anwendung von (iii): X ∪ Y ∪ Z (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) .
Dann gibt es mit Theorem 3-12 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( )

⊆ X ∪ Y ∪ Z und K( ) = (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ))
. Nun gibt es ein α ∈ KONST\TTSEQ( ). Damit lässt sich wie folgt zu einem 6 ∈ SEQ mit 6 Dom( ) = fortsetzen: Sei FGRAD(Γ) = 0, also Γ ∈ AFORM. Dann gibt es θ 0 , …, θ r-1 ∈ TERM und Φ ∈ PRÄ, wobei Φ r-stellig ist, so dass Γ = Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) . Dann gilt mit FV( Φ(θ 0 , …, ∈ TERM und Φ ∈ PRÄ, wobei Φ r-stellig ist, so dass Δ = Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) . Dann gilt mit FV( Φ(θ + 0 , …, θ

1 = ∪ {(Dom( ), Sei α = α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1 ), Also Α ∨ Β )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2 ), Also (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3 ), Also Α → Γ )} 5 = 4 ∪ {(Dom( 4 ), Also Β → Γ )} 6 = 5 ∪ {(Dom( 5 ), Also Γ )}.
∪ { α = α })\{ α = α } = VAN( )\{ α = α } ⊆ (X ∪ Y ∪ Z)\{ α = α } ⊆ X ∪ Y ∪ Z und K( + ) = Γ. Damit gilt dann nach Theorem 3-12 X ∪ Y ∪ Z Γ. Zu (x) (AB*): Sei X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z. Dann gilt mit (i): Y\{Α} Α → Β und Z\{Β} Β → Α . Dann gilt mit (ix): X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ. Zu (xi) (NE): Sei X Γ und Y ¬Γ und Α ∈ X ∪ Y. Ist Α = Δ' ∧ ¬Δ' für ein Δ' ∈ GFORM,
Zu (xvi) (PB): Sei X ξΔ und Y Γ und [β, ξ Δ] ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Δ]}) ∪ {Δ, Γ}). Dann gilt mit (i): Y\{[β, ξ, Δ]} [β, ξ, Δ] → Γ . So- dann gilt mit Γ ∈ GFORM: [β, ξ, Γ] = Γ. Damit ist [β, ξ, Δ → Γ ] = [β, ξ, Δ] → [β, ξ, Γ] = [β, ξ, Δ] → Γ und damit gilt Y\{[β, ξ, Δ]} [β,
( Α ∧ Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = 1 und F(Β, b) = 1, (iv) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α ∨ Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = 1 oder F(Β, b) = 1, (v) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α → Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = 0 oder F(Β, b) = 1, (vi) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α ↔ Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = F(Β, b), (vii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM und FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann F( ξΔ , b) = 1 gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ),
θ r-1 ) ) = {FV(θ i ) | i < r}, {TA(θ i ) | i < r} ⊆ TA( Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ) und {TT(θ i ) | i < r} ⊆ TT( Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ) nach der Annahme für Γ für alle i < r: θ i ∈ GTERM, I TA(θ i ) = I' TA(θ i ) und b TT(θ i ) = b' TT(θ i ). Mit (i)
1 (β') = b(β') = b'(β') = b' 1 (β'). Da so- dann auch b 1 (β) = b' 1 (β) gilt damit wegen TT([β, ζ, Δ]) ⊆ TT(Δ) ∪ {β}, dass b 1 TT([β, ζ, Δ]) = b' 1 ([β, ζ, Δ]). Sodann gilt I TA([β, ζ, Δ]) = I (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Δ) = I' TA(Δ) = I' (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ 
1 (β') = b(β') = b'(β') = b' 1 (β'). Da sodann auch b 1 (β) = b' 1 (β) gilt weiter mit TT([β, ζ, Δ]) ⊆ TT(Δ) ∪ {β}, dass b 1 TT([β, ζ, Δ]) = b' 1 ([β, ζ, Δ]). Sodann gilt I TA([β, ζ, Δ]) = I (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Δ) = I' TA(Δ) = I' (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) und somit I TA([β, ζ, Δ]) = I' TA([β, ζ, Δ]). Ferner ist [β, ζ, Δ] ∈ GFORM und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β, ζ, Δ]) = FGRAD(Δ) < FGRAD ( 
+ r-1 ) ) = {FV(θ + i ) | i < r}, {TA(θ + i ) | i < r} ⊆ TA( Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) und {TT(θ + i ) | i < r} = TT( Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) nach der Annahme für Δ für alle i < r: FV(θ + i ) ⊆ {ξ}, I TA(θ + i ) = I' TA(θ + i ) und b TT(θ + i ) = b' TT(θ + i ). Mit (i) gilt damit dann für alle i < r: TD([θ, ξ, θ + i ], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ + i ], D, I', b'). Sodann gilt mit Φ ∈ TA( Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ) ∩ PRÄ nach Annahme auch I(Φ) = I'(Φ). Damit gilt wegen Theorem 5-4-(i) insgesamt: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ, ξ, Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ] gdw D, I, b Φ([θ, ξ, θ + 0 ], …, [θ, ξ, θ + r-1 ]) gdw 〈TD([θ, ξ, θ + 0 ], D, I, b), …, TD([θ, ξ, θ + r-1 ], D, I, b)〉 ∈ I(Φ) gdw 〈TD([θ', ξ, θ + 0 ], D, I', b'), …, TD([θ', ξ, θ + r-1 ], D, I', b')〉 ∈ I'(Φ) gdw D, I', b' Φ([θ', ξ, θ + 0 ], …, [θ', ξ, θ + r-1 ]) gdw D, I', b' [θ', ξ, Φ(θ + 0 , …, θ + r-1 ) ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ].
Sei nun FGRAD(Δ) ≠ 0, also Δ ∈ JFORM ∪ QFORM. Es können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Δ = ¬Α . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Dann ist nach der Annahme für Δ auch FV(Α) ⊆ {ξ}, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α).

Mit I.V. und Theorem 5-4-(ii) gilt dann: und Theorem 5-4-(iii) gilt dann:

D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ, ξ, ¬Α ] gdw D, I, b ¬[θ, ξ, Α] gdw D, I, b [θ, ξ, Α] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α] gdw D, I', b' ¬[θ', ξ, Α]
D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ, ξ, Α ∧ Β ] gdw D, I, b [θ, ξ, Α] ∧ [θ, ξ, Β] gdw D, I, b [θ, ξ, Α] und D, I, b [θ, ξ, Β] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α] und D, I', b' [θ', ξ, Β] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α] ∧ [θ', ξ, Β] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α ∧ Β ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ].
Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog. Zunächst wird jedoch die modelltheoretische Monotonie (vgl. dazu Theorem 4-16) vorausgeschickt.

Sechstens: Sei Δ = ζΑ . Nach der Annahme für Δ ist dann FV(Α) ⊆ {ξ, ζ}, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Angenommen ζ = ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = [θ, ζ, ζΑ ] = ζΑ = [θ', ζ, ζΑ ] = [θ', ξ, Δ] und somit [θ, ξ, Δ] = Δ = [θ', ξ, Δ]. Sodann gilt FV(Δ) = ∅ und somit Δ ∈ GFORM. Da nach Annahme I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ) gilt damit mit Theorem 5-5-(ii): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b Δ gdw D, I', b' Δ gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Sei nun ζ ≠ ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = ζ[θ, ξ, Α] und [θ', ξ, Δ] = ζ[θ', ξ, Α] . Sodann gilt mit ζ ≠ ξ und ζ, ξ ∉ TT(θ # ) für alle θ # ∈ GTERM nach Theorem 1-25-(ii) für alle β + ∈ PAR: [β + , ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β + , ζ, Α]] und [β + , ζ, [θ', ξ, Α]] = [θ', ξ, [β + , ζ, Α]].
= (b\{(β # , b(β # ))}) ∪ {(β # , b' 1 (β # ))}. Dann ist b 1 in β # eine Belegungsvariante von b für D und b 1 (β # ) = b' 1 (β # ). Sei nun b 2 = (b\{(β + , b(β + ))}) ∪ {(β + , b' 1 (β # ))}. Dann ist b 2 in β + eine Belegungsvariante von b für D und somit gilt also D, I, b 2 [β + , ζ, [θ, ξ, Α]]. Sodann ist TD(β + , D, I, b 2 ) = b 2 (β + ) = b' 1 (β # ) = b 1 (β # ) = TD(β # , D, I, b 1 ). Sodann gilt nach Annahme für β + und β # , dass β + , β # ∉ TT([θ, ξ, Α]) und damit b 2 TT([θ, ξ, Α]) = b TT([θ, ξ, Α]) = b 1 TT([θ, ξ, Α]). Sodann ist trivialerweise I TA([θ, ξ, Α]) = I TA([θ, ξ, Α]). Ferner ist FV([θ, ξ, Α]) ⊆ {ζ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([θ, ξ, Α]) = FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Damit gilt dann nach I.V. wegen D, I, b 2 [β + , ζ, [θ, ξ, Α]] auch D, I, b 1 [β # , ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β # , ζ, Α]].
(Α) = b' TT(Α), b 1 (β # ) = b' 1 (β # ) und TT([β # , ζ, Α]) ⊆ TT(Α) ∪ {β # }, dass b 1 TT([β # , ζ, Α]) = b' 1 ([β # , ζ, Α]). Sodann gilt: I TA([β # , ζ, Α]) = I (TA([β # , ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Α) = I' TA(Α) = I' (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β # , ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β # , ζ, Α]) und somit I TA([β # , ζ, Α]) = I' TA([β # , ζ, Α]). Ferner ist FV([β # , ζ, Α]) ⊆ {ξ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β # , ζ, Α]) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b 1 [θ, ξ, [β # , ζ, Α]] nach I.V. auch: D, I', b' 1 [θ', ξ, [β # , ζ, Α]] = [β # , ζ, [θ', ξ, Α]].
[θ', ξ, Δ]. Sei nun ζ ≠ ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = ζ[θ, ξ, Α] und [θ', ξ, Δ] = ζ[θ', ξ, Α] . Sodann gilt mit ζ ≠ ξ und ζ, ξ ∉ TT(θ # ) für alle θ # ∈ GTERM nach Theorem 1-25-(ii) für alle β + ∈ PAR: [β + , ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β + , ζ, Α]] und [β + , ζ, [θ', ξ, Α]] = [θ', ξ, [β + , ζ, Α]]. Gelte nun D, I, b ζ[θ, ξ, Α] . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(viii) ein β + ∈ PAR\TT([θ, ξ, Α]) und b 1 , das in β + Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b 1 [β + , ζ, [θ, ξ, Α]]. Sei nun β # ∈ PAR\(TT([θ, ξ, Α]) ∪ TT(θ) ∪ TT(θ')). Sei nun b' 1 = (b'\{(β # , b'(β # ))}) ∪ {(β # , b 1 (β + ))}. Dann ist b' 1 in β # eine Belegungsvariante von b' für D und b' 1 (β # ) = b 1 (β + ). Sei nun b 2 = (b\{(β # , b(β # ))}) ∪ {(β # , b' 1 (β # ))}.
(Α) = b' TT(Α), b 2 (β # ) = b' 1 (β # ) und TT([β # , ζ, Α]) ⊆ TT(Α) ∪ {β # }, dass b 2 TT([β # , ζ, Α]) = b' 1 ([β # , ζ, Α]) und es gilt I TA([β # , ζ, Α]) = I (TA([β # , ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Α) = I' TA(Α) = I' (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β # , ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β # , ζ, Α]) und somit I TA([β # , ζ, Α]) = I' TA([β # , ζ, Α]). Ferner ist FV([β # , ζ, Α]) ⊆ {ξ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β # , ζ, Α]) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b 2 [θ, ξ, [β # , ζ, Α]] nach I.V.: D, I', b' 1 [θ', ξ, [β # , ζ, Α]] = [β # , ζ, [θ',
Theorem 5-13. Modelltheoretische Monotonie Theorem 5-20. Modelltheoretische Entsprechung zu BE* (xvi) Wenn θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , θ' 0 , …, θ' r-1 ∈ GTERM H , für alle i < r: θ i = θ' i ∈ X und φ ∈ FUNK r-stellig, dann φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ∈ X, und (xvii) Wenn θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , θ' 0 , …, θ' r-1 ∈ GTERM H , für alle i < r: θ i = θ' i ∈ X und Φ ∈ PRÄ r-stellig und Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X, dann Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ∈ X. 

Wenn X' ⊆ X ⊆ GFORM und X' Γ, dann X Γ. Beweis: Sei X' ⊆ X ⊆ GFORM und X' Γ.
Wenn X Α → Β und Y Β → Α , dann X ∪ Y Α ↔ Β . Beweis: Sei X Α → Β und Y Β → Α . Sei D,
Wenn X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y, dann (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β . Beweis: Sei X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y. Nach Theorem 5-15 gelten dann X\{Α} Α → Β und Y\{Β} Β → Α . Mit Theorem 5-19 folgt (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β . ■ Theorem 5-21. Modelltheoretische Entsprechung zu BB Wenn X Α ↔ Β oder X Β ↔ Α und Y Α, dann X ∪ Y Β. Beweis: Sei X Α ↔ Β oder X Β ↔ Α und Y Α. Sei nun D, I, b X ∪ Y.

  nicht auf eine Abhängigkeitsrelation zwischen Aussagenmengen und Aussagen zurückgegriffen, sondern auf eine Verfügbarkeitsrelation zwischen Aussagen, Satzsequenzen und Stellen (natürlichen Zahlen im Definitionsbereich von Sequenzen). Dabei ist die Gestaltung der Verfügbarkeitsrede von der etwa im KALISH-MONTAGUE-MAR-Kalkül umgesetzten Idee inspiriert, dass -mit Ausnahme der Konklusion -die Aussagen in einem 1 In dieser Version des Textes (2.0) sind gegenüber Version 1.0 einige Fehler korrigiert, die Ausdrucksverkettung modifiziert, kleinere Hilfstheoreme ergänzt und einige Begrifflichkeiten, Definitionen und Beweise etwas vereinfacht worden. 2 Siehe HINST, P.: Pragmatische Regeln, Logischer Grundkurs, Logik und SIEGWART, G.: Vorfragen, Denkwerkzeuge und Alethic Acts.

3 Den

 3 Ausdruck 'Redehandlungskalkül' zur Bezeichnung pragmatisierter Kalküle des natürlichen Schließens übernehmen wir von SEBASTIAN PAASCH.

  4

Postulat 1 - 1 .

 11 me wird dabei dadurch erreicht, dass mit der Anwendung von SE, NE und PB jeweils der gesamte Unterbeweis von der entsprechenden Annahme an geschlossen wird. Dies hat dann zum einen zur Folge, dass die jeweiligen Eingangsannahmen nicht mehr verfügbar sind, aber es macht auch die im Zuge des Unterbeweises gemachten Zwischenfolgerungen als Prämissen unverfügbar -diese dienten ja nur dazu, die entsprechende Regelanwendung vorzubereiten, und sind unter der jeweiligen Annahme gewonnen worden. Ist die Annahme nicht mehr verfügbar, dann sollen dementsprechend auch keine Aussagen, die nur unter dieser Annahme zu gewinnen waren, verfügbar sein. Man vergegenwärtige sich dies etwa an dem zur Vorbereitung von NE zu gewinnenden Paar Γ und ¬Γ . Im Anschluss an die Etablierung des Kalküls wird dann ein Ableitungs-und Konsequenzbegriff für den Kalkül etabliert. Dabei ist dann eine Satzsequenz genau dann eine Ableitung einer Aussage Γ aus einer Aussagenmenge X, wenn sich gemäß den Regeln des Kalküls äußern lässt, Γ die Aussage des letzten Gliedes von und X die Menge der in verfügbaren Annahmen ist. Sodann wird eine Aussage Γ genau dann deduktive Konsequenz einer Aussagenmenge X sein, wenn es eine Ableitung von Γ aus einem Y ⊆ X gibt (3). Um den Beweis der Adäquatheit des so etablierten deduktiven Konsequenzbegriffs vorzubereiten, sind sodann u.a. Reflexivität, Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung und Transitivität der deduktiven Konsequenzschaft zu beweisen (4). Im Anschluss wird dann eine zum grammatischen Rahmen passende Fassung des üblichen modelltheoretischen Konsequenzbegriffs etabliert (5). Sodann wird die Korrektheit und die Vollständigkeit des deduktiven gegenüber diesem modelltheoretischen Konsequenzbegriff gezeigt (6). Den Abschluss bilden einige Bemerkungen zum möglichen Ausbau des hier verfolgten Ansatzes (7). Als Rahmen für die Entwicklung des Kalküls setzen wir eine gängige Mengen-oder Klassen-Mengen-Lehre, wie etwa ZF oder NBG(U), voraus, wobei wir zur Bezeichnung von Mengen auch die Klassenschreibweise verwenden. Da wir keine Entscheidung für eine reine Mengenlehre treffen wollten, müssen wir an einigen Stellen Forderungen -wie etwa X ∈ {X} -erheben, die im Rahmen einer reinen Mengenlehre trivial, im Rahmen einer Klassen-Mengen-Lehre jedoch informativ sind. Die Entwicklung und metatheoretische Analyse des Redehandlungskalküls greift stark auf übliche mengentheoretische und (meta)logische Instrumente und Beweistechniken zurück, wie sie in den im Literaturverzeichnis aufgeführten Werken präsentiert werden, ohne dass dies immer einzeln ausgewiesen wäre. Ein Benutzerhinweis: Die Einträge im Inhaltsverzeichnis sind mit den entsprechenden Kapiteln verknüpft und als Lesezeichen vorhanden. Ferner sind alle Querverweise sowie alle Nennungen von Postulaten, Definitionen, Theoremen und Regeln mit den entsprechenden Stellen verknüpft. Man kann daher durch Klicken auf Verweise und mit den Funktionen "Vorherige Ansicht" (Alt+Nach-Links-Taste) und "Nächste Ansicht" (Alt+Nach-Rechts-Taste) zwischen den einschlägigen Verweisstellen und dem gerade gelesenen Abschnitt wechseln. Wir danken SEBASTIAN PAASCH dafür, uns auf Probleme, die die Entwicklung unseres Kalküls angestoßen und angetrieben haben, aufmerksam gemacht zu haben, für wertvolle Hinweise und für seine konstruktive Kritik an einer früheren Fassung dieses Textes. Sodann danken wir GEO SIEGWART für wertvolle Hinweise, Geduld und ein offenes Ohr. Der Redehandlungskalkül und seine Metatheorie werden für abzählbare pragmatisierte Sprachen erster Stufe entwickelt. 6 Um die folgende Darstellung zu vereinfachen, wird jedoch der Sprachbezug unterdrückt bzw. eine beliebig, aber fest gewählte Sprache dieser Art mit abzählbar unendlichem Inventar, die Sprache L, vorausgesetzt. Deren Inventar und Syntax sind zunächst zu spezifizieren (1.1). Sodann sind Substitutionsbegrifflichkeiten für die weitere Arbeit zu entwickeln und einige Substitutionstheoreme zu beweisen (1.2). 1.1 Inventar und Syntax L soll als beliebig, aber fest gewählter Vertreter für Sprachen des gewünschten Typs mit abzählbar unendlichem nicht-logischen Inventar stehen, wobei der Kalkül natürlich auch für Sprachen mit endlich vielen deskriptiven Konstanten einschlägig ist. Da L nicht eine konkret konstruierte Sprache ist, wird nun einfach gefordert, dass ein entsprechendes Inventar und eine passende Ausdrucksverkettungsoperation existieren. Welches Inventar im konkreten Fall gewählt bzw. wie es konstruiert wird (und wie es mengentheoretisch etwa unter Rückgriff auf Teilmengen von N in NBG oder ZF modelliert bzw. wie es etwa unter Rückgriff auf axiomatisch charakterisierte (Mengen von) Urelemente(n) in NBGU beschrieben wird) und wie die Verkettungsoperation für Ausdrücke ausgestaltet wird (etwa einfach durch Rückgriff auf endliche Folgen oder durch eine eigens entwickelte Konkatenationsoperation) wird offen gelassen. Mit dem ersten Postulat wird nun die Existenz passender Mengen von Grundausdrücken für das Inventar von L gefordert: Das Inventar von L (KONST, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ) Folgende Mengen sind wohldefiniert, paarweise disjunkt und haben ∅ nicht zum Element: (i) Die abzählbar unendliche Menge KONST = {c i | i ∈ N}, wobei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j: c i ≠ c j und c i ∈ {c i }, (die Menge der Individuenkonstanten; Metavariablen: α, α', α*, …),

(Definition 1 - 1 .

 11 vi) Die Fünfermenge JUNK = {¬, →, ↔, ∧, ∨} (die Menge der Junktoren; Metavariablen: ψ, ψ', ψ*, …), (vii) Die Zweiermenge QUANT = { , } (die Menge der Quantifikatoren; Metavariablen: Π, Π', Π*, …), (viii) Die Zweiermenge PERF = {Sei, Also} (die Menge der Performatoren; Metavariablen: Ξ, Ξ', Ξ*, …) und (ix) Die Dreiermenge HZ = {(} ∪ {)} ∪ {,} (die Menge der Hilfszeichen). Die metasprachlichen Ausdrücke, durch die die Elemente der Mengen PERF und HZ bezeichnet werden, werden im Folgenden außerdem als metasprachliche Performatoren und Hilfszeichen verwendet, gleiches gilt für den Identitätsprädikator. Um Konfusionen zu vermeiden und die intuitive Lesbarkeit zu erhöhen, werden daher im Folgenden Quasianführungszeichen (' ', ' ') verwendet, wenn objektsprachliche Ausdrücke bezeichnet werden sollen. Als allgemeine Metavariablen für objektsprachliche Ausdrücke dienen: μ, τ, μ', τ', μ*, τ*, …. Das Inventar von L soll nun einfach die Menge aus den in Postulat 1-1 geforderten Mengen sein: Das Inventar von L (INV) INV = {KONST, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ}. Die Syntax von L enthält die Kategorien der Terme, Quantoren, Formeln und Sätze gemäß der weiter unten angegebenen Definitionen. Zunächst wird jedoch die Menge der Grundausdrücke etabliert: Definition 1-2. Die Menge der Grundausdrücke (GAUS) GAUS = INV.

Definition 1 - 3 .

 13 Wenn μ ∈ GAUS, dann gibt es kein k ∈ N\{0, 1}, so dass {μ 0 , …,μ k-1 } ⊆ GAUS und μ = μ 0 …μ k-1 , und (iii) Für alle k ∈ N\{0}: Wenn {μ 0 , …, μ k-1 } ⊆ GAUS, dann ist μ 0 …μ k-1 ≠ ∅ und μ 0 …μ k-1 ∈ { μ 0 …μ k-1 }.Mit derDarstellung durch Juxtaposition wird bereits die Assoziativität der Ausdrucksverkettungsoperation vorausgesetzt. Diese Eigenschaft kann daher als implizit postuliert betrachtet werden. Als Obermenge zu allen im weiteren Verlauf zu definierenden grammatischen Kategorien wird nun die Menge aller Ausdrücke und im Anschluss die Längenfunktion für Ausdrücke definiert: Die Menge der Ausdrücke (AUS; Metavariablen: μ, τ, μ', τ', μ*, τ*, …) AUS = { μ 0 …μ k-1 | k ∈ N\{0} und {μ 0 , …, μ k-1 } ⊆ GAUS}. Definition 1-4. Ausdruckslänge (AUSL) AUSL = {(μ, k) | μ ∈ AUS, k ∈ N\{0} und es gibt {μ 0 , …, μ k-1 } ⊆ GAUS mit μ = μ 0 …μ k-1 }. 7

Postulat 1 - 3 .

 13 und r' < AUSL(μ l' ) und s = (∑ l′ n AUSL(μ n ))+r'. Dann ist ∑ l′ n AUSL(μ n ) ≤ s. Damit ergibt sich aus der Maximalität von l, dass l' ≤ l. Wäre nun l' < l. Dann wäre l' ≤ l-1 und damit wäre (∑ l′ nAUSL(μ n ))+AUSL(μ l' ) = ∑ l′ n AUSL(μ n ) ≤ ∑ l n AUSL(μ n ) ≤ s = (∑ l′ n AUSL(μ n ))+r'. Damit wäre dann aber AUSL(μ l' ) ≤ r', was der Annahme über r' widerspricht. Also ist l' = l. Damit ist dann aber (∑ l′ n AUSL(μ n ))+r' = (∑ l n AUSL(μ n ))+r' = s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r und somit auch r' = r. ■ Verkettung von Ausdrücken

  alle s < m: μ* s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ) und μ* s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k und r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r, falls AUSL(μ 0 ) ≤ s.Als unmittelbare Konsequenz ausPostulat 1-3 ergibt sich zunächst, dass jede Verkettung von Ausdrücken mit einer Verkettung von Grundausdrücken identisch und somit ein Ausdruck ist. Nun folgen zunächst einige allgemeine Theoreme zu Ausdrücken und ihren Verkettungen (Theorem 1-4 bis Theorem 1-8), bevor die Stelligkeit von Operatoren und sodann die Kategorien der Terme, Quantoren und Formeln definiert werden. Theorem 1-4. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (a)

  Nach Postulat 1-3 gibt es m* ∈ N\{0} und {μ* 0 , …, μ* m*-1 } ⊆ GAUS, so dass μ 0 …μ k-1 = μ* 0 …μ* m*-1 und m* = ∑ k j AUSL(μ j ) und für alle s < m*: μ* s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ), und μ* s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r, falls AUSL(μ 0 ) ≤ s. Dann gilt zunächst ∑ k j AUSL(μ j ) = m* = AUSL( μ* 0 …μ* m*-1 ) = AUSL( μ 0 …μ k-1 ). Damit gilt (ii). Sei nun für (iii) m ∈ N\{0} und {μ' 0 , …, μ' m-1 } ⊆ GAUS. (L-R): Sei μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ k-1 0 …μ μ k-1 AUSL(μ k-1 )-1 = μ' 0 …μ' m-1 . Mit (i) gilt dann μ' 0 …μ' m-1 = μ 0 …μ k-1 = μ* 0 …μ* m*-1 . Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann m = m* = ∑ k j AUSL(μ j ) undfür alle s < m gilt μ' s = μ* s . Damit gilt dann für alle s < m: μ' s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ), und μ' s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0< l < k, r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n )) f lls AUSL(μ 0 ) ≤ s. +r, a (R-L): Sei m = ∑ k j AUSL(μ j ) und gelte für alle s < m: μ' s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ), und μ' s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r, falls AUSL(μ 0 ) ≤ s. Dann gilt m* = m und für alle s < m gilt μ' s = μ* s . Damit gilt dann mit Postulat 1-2-(i), dass μ' 0 …μ' m-1 = μ* 0 …μ* m*-1 . Damit gilt mit (i): μ μ 0 0 …μ μ 0 AUSL(μ 0 )-1 …μ μ k-1 0 …μ μ k-1 AUSL(μ k-1 )-1 = μ 0 …μ k-1 = μ* 0 …μ* m*-1 = μ' 0 …μ' m-1 . ■ Theorem 1-5. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (b)

Postulat 1 - 3 :

 13 Es gibt m* ∈ N\{0} und {μ* 0 , …, μ* m-1 } ⊆ GAUS, so dass μ 0 …μ k-1 = μ* 0 …μ* m-1 und m = ∑ k n AUSL(μ n ) und für alle s < m: μ* s = μ μ 0 s , falls s < AUSL(μ 0 ), und μ* s = μ μ l r für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μ l ) und s = (∑ l n AUSL(μ n ))+r, falls AUSL(μ 0 ) ≤ s, und es gibt m' ∈ N\{0} und {μ'* 0 , …, μ'* m'-1 } ⊆ GAUS, so dass μ' 0 …μ' k'-1 = μ'* 0 …μ'* m'-1 und m' = ∑ k′ n AUSL(μ' n ) und für alle s

  n ))+r < t = t' ≤ m = m'. Dann gilt mit s = (∑ j n

Theorem 1 - 7 .

 17 Eindeutige Anfangs-und Endausdrücke Wenn μ, μ', μ*, μ + ∈ AUS, dann: (i) Wenn μμ* = μμ + , dann: μ* = μ + , (ii) Wenn μ*μ = μ + μ , dann: μ* = μ + , und (iii) Wenn μ, μ' ∈ GAUS und μμ* = μ'μ + , dann μ = μ'.

  : i+j = i+k und somit j = k und damit mit Theorem 1-5-(iii): μ* = μ + . (ii) ergibt sich analog. Seien nun für (iii) μ, μ' ∈ GAUS und μμ* = μ'μ + . Dann ist μμ* 0 …μ* j-1 = μ'μ + 0 …μ + k-1 . Dann gilt mit AUSL(μ) = 1 = AUSL(μ') und Theorem 1-5-(iii) μ = μ'. ■ Theorem 1-8. Kein Ausdruck enthält sich selbst echt Wenn μ', μ*, μ + ∈ AUS, dann: (i) μ' ≠ μ'μ* , (ii) μ' ≠ μ*μ'μ + und (iii) μ' ≠ μ*μ' .

  μ ∈ FUNK und es gibt j ∈ N, so dass μ = f i.j oder (ii) μ ∈ PRÄ und es gibt j ∈ N, so dass μ = P i.j oder(iii) μ = = und i = 2 oder (iv) μ = ¬ und i = 1 oder (v) μ ∈ JUNK\{ ¬ } und i = 2 oder (vi) Es gibt Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR und μ = Πξ und i = 1 oder (vii) μ ∈ PERF und i = 1.Definition 1-6. Die Menge der Terme (TERM; Metavariablen: θ, θ', θ*, …)TERM = {R | R ⊆ AUS und (i) KONST ∪ PAR ∪ VAR ⊆ R und (ii) Wenn {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ R und φ ∈ FUNK n-stellig, dann φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ R}.

Definition 1 - 7 .Theorem 1 - 9 .

 1719 Atomare und funktorale Terme (ATERM und FTERM) (i) ATERM = KONST ∪ PAR ∪ VAR, (ii) FTERM = TERM\ATERM. Definition 1-8. Die Menge der Quantoren (QUANTOR) QUANTOR = { Πξ | Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR}. Definition 1-9. Die Menge der Formeln (FORM; Metavariablen:Α, Β, Γ, Δ, Α', Β', Γ', Δ', Α*, Β*, Γ*, Δ*, …) FORM = {R | R ⊆ AUS und (i) Wenn {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM und Φ ∈ PRÄ n-stellig, dann Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ R, (ii) Wenn Δ ∈ R, dann ¬Δ ∈ R, (iii) Wenn Δ 0 , Δ 1 ∈ R und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, dann (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ R, und (iv) Wenn Δ ∈ R und ξ ∈ VAR und Π ∈ QUANT, dann ΠξΔ ∈ R}.Definition 1-10. Atomare, junktorale und quantorale Formeln (AFORM, JFORM, QFORM)(i) AFORM = { Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) | Φ ∈ PRÄ n-stellig und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM}, (ii) JFORM = { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}, (iii) QFORM = { ΠξΔ | Δ ∈ FORM und Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR}.Das folgende Theorem führt direkt zur eindeutigen Lesbarkeit hin. Terme resp. Formeln haben keine Terme resp. Formeln als echte Anfangsausdrücke(i) Wenn θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS, dann θ' ≠ θμ , und(ii) Wenn Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS, dann Δ' ≠ Δμ . Beweis: Zu (i): Seien θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion über AUSL(θ') geführt. Gelte dazu die Behauptung für alle θ* ∈ TERM mit AUSL(θ*) < AUSL(θ'). Für AUSL(θ') = 1, also θ' ∈ ATERM, gilt die Behauptung trivial, weil es nach Postulat 1-2-(ii) keine θ, μ ∈AUS gibt, so dass θ' = θμ . Sei nun 1 < AUSL(θ'). Dann gilt θ' ∉ ATERM, also θ' ∈ FTERM. Also gibt es n' ∈ N\{0} und φ' ∈ FUNK, wobei φ' n'-stellig, und {θ' 0 , …, θ' n'-1 } ⊆ TERM, so dass θ' = φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) . Wäre nun θ' = θμ . Wäre θ ∈ ATERM. Dann wäre θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR und daher würde nach Theorem 1-7-(iii) mit φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) = θ' = θμ gelten, dass φ' = θ ∈ KONST ∪ PAR

  ebenfalls im Widerspruch zur I.V. Bei AUSL(θ i ) < AUSL(θ' i ) ergibt sich analog ein Widerspruch. Also führt die Annahme, dass θ' = θμ für ein θ ∈ TERM, zum Widerspruch. Zu (ii): Seien nun Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion über AUSL(Δ') geführt. Gelte dazu die Behauptung für alle Δ* ∈ FORM mit AUSL(Δ*)< AUSL(Δ'). Mit Δ' ∈ FORM gilt Δ' ∈ AFORM ∪ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM} ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM.Diese vier Fälle werden nun unterschieden.Erstens: Sei Δ' ∈ AFORM. Der Beweis wird analog zum Induktionsschritt für (i) unter Rückgriff auf (i) gezeigt. Angenommen Δ' = Δμ . Also gibt es n' ∈ N\{0} und Φ'∈ PRÄ und {θ' 0 , …, θ' n'-1 } ⊆ TERM, so dass Δ' = Φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) . Wäre Δ ∈ JFORM ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ { ¬ , ( } ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten Φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) = Δ' = Δμ = μ'μ*μ und damit nach Theorem 1-7-(iii) Φ' = μ'. Also Φ' ∈ { ¬ , ( } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∉ JFORM ∪ QFORM, sondern Δ ∈ AFORM. Damit gibt es n ∈ N\{0} und Φ ∈ PRÄ, Φ nstellig, und {θ 0 , …, θ n-1 } ⊆ TERM, so dass Δ = Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) . Also Φ'(θ' 0 , …, θ' n'-1 ) = Φ(θ 0 , …, θ n-1 )μ . Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) Φ' = Φ und damit nach Definition 1-5 und Postulat 1-1-(v) n = n'. Also Φ(θ' 0 , …, θ' n-1 ) = Φ(θ 0 , …, θ n-1 )μ . Ab hier läuftder Beweis für Δ' ∈ AFORM vollkommen analog zum Induktionsschritt für (i), wobei der resultierende Widerspruch hier nicht mit der I.V., sondern mit (i) besteht.Zweitens: Sei nun Δ' ∈ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM}. Dann gibt es Δ # ∈ FORM, so dass Δ' = ¬Δ # , wobei AUSL(Δ # ) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = Δμ und damit Δμ = ¬Δ # . Wäre Δ ∈ AFORM ∪ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ { ( } ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten ¬Δ # = Δμ = μ'μ*μ und damit nach Theorem 1-7-(iii) ¬ = μ'. Also ¬ ∈ PRÄ ∪ { ( } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∈ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM} und es gibt Δ + ∈ FORM, so dass Δ = ¬Δ + . Also ¬Δ # = ¬Δ + μ . Mit Theorem 1-7-(i) gilt Δ # = Δ + μ , imWiderspruch zur I.V. Drittens: Sei nun Δ' ∈ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}. Dann gibt es Δ' 0 , Δ' 1 ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass Δ' = (Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) , wobei AUSL(Δ' 0 ) < AUSL(Δ') und AUSL(Δ' 1 ) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = Δμ und damit Δμ = (Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) . Wäre Δ ∈ AFORM ∪ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ { ¬ } ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten (Δ' 0 ψ' Δ' 1 ) = Δ' = Δμ = μ'μ*μ und damit nach Theorem 1-7-(iii) ( = μ'. Also ( ∈ PRÄ ∪ { ¬ } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∈ { (Δ 0 ψ Δ 1 ) | Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} und es gibt Δ 0 , Δ 1 ∈ FORM und ψ ∈

  und damit mit Theorem 1-7-(i), dass ) = )μ* 0 …μ* AUSL(μ)-1 , was Postulat 1-2-(ii) widerspricht. Viertens: Sei nun Δ' ∈ QFORM. Dann gibt es Δ # ∈ FORM und Π' ∈ QUANT und ξ' ∈ VAR, so dass Δ' = Π'ξ'Δ # , wobei AUSL(Δ # ) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = Δμ und damit Δμ = Π'ξ'Δ # . Wäre Δ ∈ AFORM ∪ JFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ { ¬ , ( } und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten Π'ξ'Δ # = Δμ = μ'μ*μ und damit Π

:

  Sei μ ∈ QFORM. Dann gibt es nach Definition 1-10-(iii) Π ∈ QUANT, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, so dass μ = ΠξΔ . Seien nun auch Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR, Δ' ∈ FORM, so dass μ = Π'ξ'Δ' . Aus Theorem 1-7-(iii) und -(i) folgt sofort Π = Π' und ξ = ξ' und Δ = Δ'. ■ Nach Theorem 1-10 und Theorem 1-11 lassen sich nun in der üblichen Weise Funktionen auf den Mengen TERM, FORM und ihrer Vereinigungsmenge über den induktiven Aufbau der Terme und Formeln definieren. Die folgenden Term-und Formelgraddefinitionen (Definition 1-11 und Definition 1-12) erlauben es, Eigenschaften von Formeln und Termen durch Beweise mittels Induktion über die natürlichen Zahlen in bequemerer Weise zu führen als dies unter Rückgriff auf AUSL möglich ist. Definition 1-11. Termgrad 8 (TGRAD) TGRAD ist eine Funktion auf TERM und (i) Wenn θ ∈ ATERM, dann TGRAD(θ) = 0, (ii) Wenn φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ FTERM, dann TGRAD( φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ) = max({TGRAD(θ 0 ), …, TGRAD(θ n-1 )})+1. Definition 1-12. Formelgrad (FGRAD) FGRAD ist eine Funktion auf FORM und (i) Wenn Δ ∈ AFORM, dann FGRAD(Δ) = 0, (ii) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann FGRAD( ¬Δ ) = FGRAD(Δ)+1, (iii) Wenn (Δ 0 ψ Δ 1 ) ∈ JFORM, dann FGRAD( (Δ 0 ψ Δ 1 ) ) = max({FGRAD(Δ 0 ), FGRAD(Δ 1 )})+1, (iv) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM, dann FGRAD( ΠξΔ ) = FGRAD(Δ)+1. Für den Identitätsprädikator wird im Weiteren die übliche Infixnotation ohne Klammern verwendet, also θ = θ* für =(θ, θ*) . Auch werden bei Formeln oft die äußeren Klammern weggelassen, also Α ψ Β für (Α ψ Β) . Mit Definition 1-13 können nun die 8 'min(..)' sei für nicht-leere Teilmengen von N und 'max(..)' für nicht-leere und endliche Teilmengen von N wie üblich definiert. Falls X keine nicht-leere Teilmenge von N ist, sei min(X) = 0, und falls X keine nicht-leere endliche Teilmenge von N ist, sei auch max(X) = 0. freien Variablen eines Terms oder einer Formel und auf dieser Basis in Definition 1-16 die Sätze bestimmt werden. Definition 1-13. Zuordnung der Menge der Variablen, die in einem Term θ oder einer Formel Γ frei vorkommen (FV)

Definition 1 -

 1 Wenn ΠξΔ ∈ QFORM und, dann FV( ΠξΔ ) = FV(Δ)\{ξ}. Definition 1-14. Die Menge der geschlossenen Terme (GTERM) GTERM = {θ | θ ∈ TERM und FV(θ) = ∅}. Hinweis: Man beachte, dass Parameter nach Definition 1-14 geschlossene Terme sind. Definition 1-15. Die Menge der geschlossenen Formeln (GFORM) GFORM = {Δ | Δ ∈ FORM und FV(Δ) = ∅}. Geschlossene Formeln werden auch als Aussagen angesprochen. Man beachte, dass geschlossene Formeln durchaus Parameter zum Teilausdruck (siehe Definition 1-20) haben können. 16. Die Menge der Sätze (SATZ; Metavariablen: Σ, Σ', Σ*, …) SATZ = { ΞΓ | Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM}. Definition 1-17.Annahme-und Folgerungssätze (ASATZ und FSATZ) 

  oder Σ ∈ FSATZ. Es werden diese zwei Fälle unterschieden. Erstens: Sei Σ ∈ ASATZ. Dann gibt es Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Sei Γ . Wäre darüber hinaus Σ ∈ FSATZ, dann gäbe es Γ*, so dass Σ = Also Γ* und nach Theorem 1-7-(iii) Sei = Also . Dann wäre entgegen Postulat 1-1-(viii) { Sei , Also } keine Zweiermenge. Also Σ ∉ FSATZ. Sei nun auch Γ' ∈ GFORM, so dass Σ = Sei Γ' . Also Sei Γ = Sei Γ' . Mit Theorem 1-7-(i) folgt sofort Γ = Γ'. Zweitens: Sei Σ ∈ FSATZ. Dann gibt es Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Also Γ . Wäre nun auch Σ ∈ ASATZ, dann ergäbe sich analog zum ersten Fall ein Widerspruch. Also Σ ∉ ASATZ. Sei nun auch Γ' ∈ GFORM, so dass Σ = Also Γ' . Also Also Γ = Also Γ' . Mit Theorem 1-7-(i) folgt sofort Γ = Γ'. ■ Nach Theorem 1-12 lassen sich nun auch Funktionen auf der Menge TERM ∪ FORM ∪ SATZ in der üblichen Weise über den Aufbau der Terme, Formeln und Sätze definieren. Definition 1-18. Satzaussagenzuordnung (A) A = {( ΞΓ , Γ) | Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM}. Hinweis: Mit Definition 1-16 und Theorem 1-12 ergibt sich sofort, dass A eine Funktion auf SATZ ist. Daher wird im Weiteren die Funktionsschreibweise verwendet: A( ΞΓ ) = Γ. Die Menge der Grundausdrücke und die definierten grammatischen Kategorien können nun als die eigentlichen Ausdrücke zusammengefasst werden. Definition 1-19. Die Menge der eigentlichen Ausdrücke (EAUS) EAUS = GAUS ∪ QUANTOR ∪ TERM ∪ FORM ∪ SATZ. Definition 1-20. Die Teilausdruckfunktion (TA)

Definition 1 -

 1 21. Die Teiltermfunktion (TT) TT ist eine Funktion auf TERM ∪ FORM ∪ SATZ und für alle τ ∈ TERM ∪ FORM ∪ SATZ ist TT(τ) = TA(τ) ∩ TERM. Definition 1-22. Die Teilformelfunktion (TF) TF ist eine Funktion auf FORM ∪ SATZ und für alle τ ∈ FORM ∪ SATZ ist TF(τ) = TA(τ) ∩ FORM. Die folgenden Definitionen beschreiben die Syntax von L insoweit sie über die Satzebene hinausgeht. Wie oben bemerkt, wird -wie schon bei den vorhergehenden Definitionender explizite Bezug auf L unterdrückt. Definition 1-23 zeichnet endliche Folgen aus Folgerungs-und Annahmesätzen als (Satz)Sequenzen aus: Definition 1-23. (Satz)Sequenzen (Metavariablen: , ', *, …) ist eine Sequenz gdw ist eine endliche Folge und für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ∈ SATZ. Definition 1-24. Menge der (Satz)Sequenzen (SEQ) SEQ = { | ist eine Sequenz}. Definition 1-25. Konklusionszuordnung (K) K = {( , Γ) | ∈ SEQ\{∅} und Γ = A( Dom( )-1 )}.

Für

  die metalogische Arbeit sind nun Substitutionsbegrifflichkeiten zu etablieren. Dabei wird die übliche Substitutionskonzeption eingeschränkt: Die Substituenda dürfen nur atomare Terme sein und von den Substituentia wird Geschlossenheit verlangt. Dies macht es auch überflüssig, gebundene Umbenennungen vorzunehmen, um Variablenkollisionen zu verhindern, da die Substituentia eben geschlossen sind. Die Aufgaben, die in vielen Kalkülen und in der Modelltheorie üblicherweise von freien Variablen übernommen werden, leisten im Redehandlungskalkül und in der hier entwickelten Modelltheorie die Parameter -welche geschlossene Terme sind (siehe Definition 1-14). Sodann können nicht nur Terme und Formeln Substitutionsorte sein, sondern auch Sätze und Sequenzen (Klausel (ix) und (x) von Definition 1-31). Definition 1-31. Substitution von geschlossenen Termen für atomare Terme in Termen, Formeln, Sätzen und Sequenzen 9

  wird die Substitution in Quantorformeln reguliert. Falls Glieder der Substituendumfolge nicht mit der durch den betreffenden Quantor gebundene Variable identisch sind, dann soll die Substitution innerhalb der quantifizierten Formel für und nur für diese Glieder der Substituendumfolge durchgeführt werden. Dementsprechend müssen in diesem Fall die erwünschten Substituendumglieder und die ihnen korrespondierenden Substituensglieder herausgegriffen werden. Dies geschieht durch die (jeweils eindeutig bestimmte) Zahlenfolge 〈i 0 , …, i s-1 〉, die gerade die Indizes herausgreift, deren Werte in der Substituendumfolge verschieden von der gebundenen Variable sind. Durch Komposition der ursprünglichen Substituendum-resp. Substituensfolgen mit 〈i 0 , …, i s-1 〉 entstehen dann gerade die neue Substituendum-resp. Substituensfolgen, die die gewünschten Eigenschaften haben. Sind dagegen alle Glieder der Substituendumfolge mit der gebundenen Variable identisch, dann soll das Substitutionsergebnis mit dem Substitutionsortalso der betreffenden Quantorformel -identisch sein. Nun sind einige Theoreme zu etablieren, die für die Metatheorie des Redehandlungskalküls -insbesondere ab Kap. 4 -benötigt werden. Es empfiehlt sich für den ungeduldigeren Leser, diese Theoreme zunächst zu überspringen und dann im Bedarfsfall hierher zurückzukehren. Zunächst folgt ein Theorem, das Induktionsbeweise über den Formelgrad vereinfacht. Es wird mittels Induktion über den Formelaufbau bewiesen.Theorem 1-13. Formelgraderhaltung bei Substitution Wenn θ ∈ GTERM, θ' ∈ ATERM und Δ ∈ FORM, dann FGRAD(Δ) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Beweis: Seien θ ∈ GTERM, θ' ∈ ATERM und Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ 0 , …, θ n-1 ) ∈ AFORM. Dann ist nach Definition 1-12 FGRAD(Δ) = 0. Dabei gilt [θ, θ', Δ] = [θ, θ', Φ(θ 0 , …,

1 - 14 .

 114 Für alle Substituenda und Substitutionsorte gilt, dass entweder alle geschlossenen Terme Teilterme des jeweiligen Substitutionsergebnisses sind oder für alle geschlossenen Terme das jeweilige Substitutionsergebnis mit dem Substitutionsort identisch ist Wenn θ' ∈ ATERM, θ* ∈ TERM, Δ ∈ FORM, dann: (i) θ ∈ TT([θ, θ', θ*]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', θ*] = θ* für alle θ ∈ GTERM und (ii) θ ∈ TT([θ, θ', Δ]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', Δ] = Δ für alle θ ∈ GTERM. Beweis: Seien θ' ∈ ATERM, θ* ∈ TERM, Δ ∈ FORM. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ* geführt. Sei θ* ∈ ATERM. Falls θ' = θ*, dann ist [θ, θ', θ*] = θ und mithin θ ∈ TT([θ, θ', θ*]) für alle θ ∈ GTERM. Falls θ' ≠ θ*, dann ist [θ, θ', θ*] = θ* für alle θ ∈ GTERM. Gelte die Behauptung nun für θ* 0 , …, θ* r-1 ∈

Theorem 1 -

 1 17. Alternative Basen für die Substitution von geschlossenen Termen für Variablen in TermenWenn {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und θ ∈ TERM, wobei FV(θ) ⊆ {ξ} ∪ X, dann gibt es ein θ* ∈ TERM, wobei FV(θ*) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = [θ', ζ, θ*]. Beweis: Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und sei θ ∈ TERM, wobei FV(θ) ⊆ {ξ} ∪ X. Falls ξ = ζ, dann ergibt sich mit θ* = θ sofort die Behauptung. Sei nun ξ ≠ ζ. Der Beweis wird nun mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ KONST ∪ PAR. Dann gilt mit θ* = θ, dass FV(θ*) = ∅ ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ'

Theorem 1 -

 1 21. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Sätze Wenn Σ, Σ + ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM\(TT(Σ) ∪ TT(Σ + )) und θ § ∈ ATERM und wenn [θ*, θ § , Σ] = [θ*, θ § , Σ + ], dann Σ = Σ + . Beweis: Analog zum Negatorfall im Beweis zu Theorem 1-20 unter Rückgriff auf Theorem 1-20 und Theorem 1-12. ■ Theorem 1-22. Eindeutige Substitutionsorte (b) für Terme Wennθ, θ + ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ + )), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, θ] = [θ*, β, θ + ], dann θ + = [β, ξ, θ]. Beweis: Durch Induktion über den Termaufbau von θ. Sei θ ∈ ATERM. Sei nun θ + ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ + )), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, θ] = [θ*, β, θ + ]. Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei nun θ ∈ KONST. Dann ist [θ*, ξ, θ] = θ. Dann ist θ = [θ*, β, θ + ],womit sich wegen θ* ∉ TT(θ) und Theorem 1-14-(i) ergibt, dass θ = θ + und wegen θ ≠ ξ: θ + = θ = [β, ξ, θ]. Sei nun θ ∈ PAR. Dann ist [θ*, ξ, θ] = θ. Dann ist θ = [θ*, β, θ + ], womit sich wegen θ* ∉ TT(θ) und Theorem 1-14-(i) ergibt, dass auch θ = θ + und wegen ξ ≠ θ: θ + = θ = [β, ξ, θ]. Sei nun θ ∈ VAR. Angenommen θ = ξ. Dann ist [θ*, ξ, θ] = θ*. Dann ist θ* = [θ*, β, θ + ]. Dann ist wegen θ* ≠ θ + β ∈ TT(θ + ). Damit ist θ* ∈ TT([θ*, β, θ + ]). Wäre nun θ + ≠ β ergäbe sich dann mit θ* = [θ*, β, θ + ], dass θ* im Widerspruch zu Theorem 1-8 echter Teilterm von sich selbst wäre. Also gilt θ + = β = [β, ξ, θ]. Sei nun θ ≠ ξ. Dann ist θ = [θ*, ξ, θ]. Dann ist θ = [θ*, β, θ + ]. Dann ist wegen θ* ∉ TT(θ) und Theorem 1-14-(i) θ = θ + und wegen θ ≠ ξ: θ + = θ = [β, ξ, θ]. Gelte die Behauptung nun für {θ 0 , …, θ r-1 } ⊆ TERM und sei φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ FTERM. Sei nun θ + ∈ TERM, θ* ∈ TERM\(TT( φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ) ∪ TT(θ + )), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] = [θ*, β, θ + ]. Also [θ*, β, θ + ] = φ([θ*, ξ, θ 0 ], …, [θ*, ξ, θ r-1 ]) ∈ FTERM. Wäre θ + ∈ ATERM. Dann wäre β ≠ θ + oder β = θ + . Angenommen β

Beweis:

  Seien ζ ∈ VAR, θ', θ* ∈ GTERM und θ + ∈ KONST ∪ PAR. Zu (i): Sei θ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Sei weiter θ ∈ KONST ∪ PAR. Angenommen θ = θ + . Dann ist [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ + , θ] = θ'. Nun ist ζ ∉ TT(θ') ∈ GTERM und daher [θ', θ + , [θ*, ζ, θ]] = θ' = [[θ',

  Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ 0 ∈ QFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Zu (iii) und (iv): (iii) ergibt sich analog zum Negatorfall unter Verwendung von (ii). (iv) ergibt sich analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (iii). ■ Hinweis: Ein zu Theorem 1-27 analoges Theorem lässt sich für Formelmengen zeigen. Theorem 1-28. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen für paarweise verschiedene Variablen in Termen und Formeln (a)

Theorem 1 -

 1 29. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen für paarweise verschiedeneVariablen inTermen und Formeln (b) 

Beweis:

  Sei ∈ SEQ. (L-R): Sei ein Abschnitt in . Dann ergibt sich: ≠ ∅, ⊆ und damit: max(Dom( ))+1 ∈ SEQ. Sodann ist ⊆ max(Dom( ))+1 ⊆ und somit = {(i, i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} = {(i, ( max(Dom( ))+1) i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} und somit insgesamt ein Abschnitt in max(Dom( ))+1. (R-L): Ist umgekehrt ein Abschnitt in max(Dom( ))+1, dann ist max(Dom( ))+1 ∈ SEQ und nach der Eingangsvoraussetzung eine Sequenz und mit max(Dom( ))+1 ⊆ und Theorem 2-2 auch ein Abschnitt in . ■ Bemerkung 2-2. F-Abschnitte in Beschränkungen Wenn F eines der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate ist, dann gilt: Wenn ∈ SEQ, dann: ist ein F-Abschnitt in gdw ist ein F-Abschnitt in max(Dom( ))+1. Erläuterung: Alle folgenden Definitionen von Abschnittsprädikaten haben die Form wie in Bemerkung 2-1 angegeben, wobei für H jeweils gilt: Wenn ∈ SEQ, ∈ ABS( ) (bzw., äquivalent dazu: ist ein Abschnitt in ) und H( , ), dann H( , max(Dom( ))+1). Der Grund ist jeweils, dass in den Definientia nur Bezug auf Verhältnisse in max(Dom( ))+1 genommen wird. Damit ergibt sich dann mit Theorem 2-3 und der entsprechenden Definition jeweils: Wenn eine Sequenz ist und ein F-Abschnitt in ist, dann ist ein F-Abschnitt in max(Dom( ))+1. Für die Gegenrichtung siehe Bemerkung 2-1. ■ 11 '.. ..' ist der Beschränkungsoperator. Dabei gelte: R X = {(a, b) | (a, b) ∈ R und a ∈ X}. Theorem 2-4. Abschnitte mit gleichem Anfang und Ende sind identisch Wenn ∈ SEQ, , ' ∈ ABS( ), min(Dom( )) = min(Dom( ')) und max(Dom( )) = max(Dom( ')), dann = '. Beweis: Sei ∈ SEQ, , ' ∈ ABS( ), min(Dom( )) = min(Dom( ')) und max(Dom( )) = max(Dom( ')). Dann gilt für alle (i, i ): (i, i ) ∈ gdw min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )) gdw min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( ')) gdw (i, i ) ∈ '. ■ Theorem 2-5. Inklusionsverhältnisse zwischen Abschnitten Wenn ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ), dann: (i) min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )) gdw ' ⊆ , und (ii) Wenn min(Dom( )) = min(Dom( ')), dann ⊆ ' oder ' ⊆ .Beweis:Seien ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ). Dann ist = {(l, l ) | min(Dom( )) ≤ l ≤ max(Dom( ))} und ' = {(l, l ) | min(Dom( ')) ≤ l ≤ max(Dom( '))}.Zu (i): Sei min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Sei (l, l ) ∈ '. Dann ist min(Dom( ')) ≤ l ≤ max(Dom( ')) und damit nach Voraussetzung min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) ≤ l ≤ max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Also ist (l, l ) ∈ . Sei nun ' ⊆ . Dann sind min(Dom( ')), max(Dom( ')) ∈ Dom( ) und somit min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Zu (ii): Sei min(Dom( )) = min(Dom( ')). Dann ist max(Dom( )) ≤ max(Dom( ')) oder max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Im ersten Fall ergibt sich dann mit (i): ⊆ ' im zweiten Fall ergibt sich mit (i): ' ⊆ . ■ Theorem 2-6. Nicht-leere Beschränkungen von Abschnitten sind Abschnitte Wenn ∈ SEQ und ∈ ABS( ), dann gilt für alle k ∈ Dom( ): k+1 ∈ ABS( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ∈ ABS( ) und sei k ∈ Dom( ). Dann gilt, dass min(Dom( )) < k+1 ≤ max(Dom( ))+1. Damit gilt, dass k+1 = {(i, i ) | min(Dom( ))

  min(Dom( ')) < min(Dom( )) und max(Dom( ')) < min(Dom( )). Beweis: Sei ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ) und sei ∩ ' = ∅. Dann ist min(Dom( )) < min(Dom( ')) oder min(Dom( )) = min(Dom( ')) oder min(Dom( ')) < min(Dom( )). Der zweite Fall min(Dom( )) = min(Dom( ')) kann nicht eintreten, denn sonst wäre (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ und (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ ' und damit ∩ ' ≠ ∅. Angenommen min(Dom( )) < min(Dom( ')). Wäre nun min(Dom( ')) ≤ max(Dom( )), dann wäre (min(Dom( ')), min(Dom( ')) ) ∈ und (min(Dom( ')), min(Dom( ')) ) ∈ '. Also ∩ ' ≠ ∅. Daher gilt im ersten Fall min(Dom( )) < min(Dom( ')) und max(Dom( )) < min(Dom( ')). Angenommen min(Dom( ')) < min(Dom( )). Wäre nun min(Dom( )) ≤ max(Dom( ')), dann wäre (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ ' und (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ . Also ∩ ' ≠ ∅. Daher gilt im dritten Fall min(Dom( ')) < min(Dom( )) und max(Dom( ')) < min(Dom( )). Sei nun min(Dom( )) < min(Dom( ')) und max(Dom( )) < min(Dom( ')) oder min(Dom( ')) < min(Dom( )) und max(Dom( ')) < min(Dom( )). Wäre es nun der Fall, dass ∩ ' ≠ ∅. Dann gäbe es ein i, so dass (i, i ) ∈ ∩ '. Dann gilt min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )) und min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( ')). Damit würde gelten: min(Dom( ')) < min(Dom( ')) oder min(Dom( )) < min(Dom( )). Widerspruch! Also ist ∩ ' = ∅. ■ Theorem 2-9. Zwei Abschnitte sind genau dann nicht elementfremd, wenn der Anfang von einem von beiden in dem anderen liegt Wenn ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ), dann: ∩ ' ≠ ∅ gdw (i) min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder (ii) min(Dom( ')) ∈ Dom( ).

  Dann gilt: min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )) und min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( ')) und min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) oder min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Damit ist dann min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ')) oder min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( )). Damit gilt wiederum: min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder min(Dom( ')) ∈ Dom( ).(R-L): Gilt min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder min(Dom( ')) ∈ Dom( ), dann ist (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ ∩ ' oder (min(Dom( ')), min(Dom( ')) ) ∈ ∩ ' und in beiden Fällen ist ∩ ' ≠ ∅. ■ Definition 2-6. Passende Folgen natürlicher Zahlen für Teilmengen von Sequenzen g ist eine passende Folge natürlicher Zahlen für gdw Es gibt ein ∈ SEQ, so dass ⊆ und g eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen mit Ran(g) = Dom( ) ist. Zweck der Definition ist es zunächst, die Elemente (des Definitionsbereichs) einer Teilmenge einer Sequenz unter Wahrung der natürlichen Ordnung aufzählen zu können. Sodann können passende Folgen dazu verwendet werden, um aus Abschnitten von Sequenzen Sequenzen zu machen, indem man den Abschnitt mit einer zu ihm passenden Folge natürlicher Zahlen verknüpft. In gewisser Weise handelt es sich also um eine Umkehroperation zur Folgenverkettung. Theorem 2-10. Existenz passender Folgen natürlicher Zahlen Wenn ∈ SEQ und ⊆ , dann gibt es ein g, so dass g eine passende Folge natürlicher Zahlen für ist. Beweis: Sei ∈ SEQ und ⊆ . Der Beweis wird induktiv über die Mächtigkeit von geführt. Sei | | = 0. Sei g = ∅. Dann ist g trivialerweise eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen mit Ran(g) = Dom( ). Sei nun | | = k+1. Dann ist k = 0 oder k > 0. Im ersten Fall ist {(0, max(Dom( )))} eine passende Folge natürlicher Zahlen für . Sei nun k > 0. Da eine endliche Funktion ist, ist | \{(max(Dom( )), max(Dom( )) )}| = k.

Theorem 2- 11 .

 11 Bijektivität passender Folgen natürlicher ZahlenWenn ∈ SEQ, ⊆ und g eine passende Folge natürlicher Zahlen für ist, dann ist g eine Bijektion zwischen Dom(g) und Dom( ).Beweis: Sei ∈ SEQ, ⊆ und sei g eine passende Folgen natürlicher Zahlen für .Dann istRan(g) = Dom( ) und g somit eine Surjektion von Dom(g) auf Dom( ). Ferner gilt, da g eine streng monotone Folge natürlicher Zahlen ist, dass g eine Injektion von Dom(g) in Dom( ) ist und somit ist g insgesamt eine Bijektion zwischen Dom(g) und Dom( ). ■ Theorem 2-12. Eindeutigkeit passender Folgen natürlicher Zahlen Wenn ∈ SEQ, ⊆ und g, g' passende Folgen natürlicher Zahlen für sind, dann: g = g'. Beweis: Sei ∈ SEQ, ⊆ und seien g, g' passende Folgen natürlicher Zahlen für . Dann ist Ran(g) = Dom( ) = Ran(g'). Ferner gilt mit Theorem 2-11 dass Dom(g) = |Ran(g)| = |Ran(g')| = Dom(g'). Nun sind aber streng monoton wachsende Folgen natürlicher Zahlen mit gleichem Definitions-und Wertebereich identisch. Also ist g = g'. ■ Theorem 2-13. Nicht-rekursive Charakterisierung der passenden Folge für einen Abschnitt Wenn ein Abschnitt in ist, dann ist {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|} eine passende Folge natürlicher Zahlen für . Beweis: Sei ∈ SEQ und ein Abschnitt in . Dann ist ≠ ∅. Der Beweis wird induktiv über die Mächtigkeit von Dom( ) geführt. Sei |Dom( )| = 1. Dann ist Dom( ) = {min(Dom( ))} und {(0, min(Dom( )))} ist eine passende Folge natürlicher Zahlen für und {(0, min(Dom( )))} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < 1} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|}. Gelte die Behauptung nun für k ≥ 1 und sei |Dom( )| = k+1. Da eine endliche Funktion ist, ist | \{(max(Dom( )), max(Dom( )) )}| = k. Außerdem ist * = \{(max(Dom( )), max(Dom( )) )} ein Abschnitt in . Also ist nach I.V. g = {(l, min(Dom( *))+l) | l < |Dom( *)|} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|-1} eine passende Folge natürlicher Zahlen für *. Sei g' = g ∪ {(|Dom( )|-1, max(Dom( )))}. Dann ist Ran(g') = Dom( *) ∪ {max(Dom( ))} = Dom( ) und es ist Dom(g') = Dom(g) ∪ {Dom(g)} = Dom(g)+1 = |Dom( *)|+1 = |Dom( )|. Da ein Abschnitt in ist, gilt sodann, dass max(Dom( *))+1 = max(Dom( )). Damit ist g'(|Dom( )|-1) = max(Dom( *))+1 = g(|Dom( )|-2)+1 = (min(Dom( *))+|Dom( )|-2)+1 = (min(Dom( ))+|Dom( )|-2)+1 = min(Dom( ))+|Dom( )|-1. Somit ist g' = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|-1} ∪ {(|Dom( )|-1, min(Dom( ))+|Dom( )|-1)} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|}. Damit ist g' auch eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen und somit insgesamt eine passende Folge natürlicher Zahlen für . ■ Definition 2-7. Abschnittsfolgen für Sequenzen

  Zu (ii): G ist eine Surjektion von Dom(G) auf Ran(G) und mit (i) ist G dann eine Bijektion zwischen Dom(G) und Ran(G). Zu (iii): Da G eine Folge ist, gilt mit (ii): Dom(G) = |Ran(G)| Zu (iv): G ist eine Folge und mit (iii) ist G dann eine endliche Folge, denn Ran(G) ⊆ ABS( ) ⊆ POT( ) und somit (da mit ∈ SEQ gilt, dass | | ∈ N): Dom(G) = |Ran(G)| ≤ |ABS( )| ≤ |POT( )| = 2 | | ∈ N. ■ Theorem 2-17. Existenz von Abschnittsfolgen, die alle Elemente einer Menge von disjunkten Abschnitten aufzählen Wenn ∈ SEQ und X ⊆ ABS( ) und für alle , ' ∈ X gilt: Wenn ≠ ', dann ∩ ' = ∅, dann: Es gibt es G ∈ ABSF( ), so dass Ran(G) = X. Beweis: Sei ∈ SEQ und X ⊆ ABS( ) und gelte für alle , ' ∈ X: Wenn ≠ ', dann ∩ ' = ∅. Nun ist = {(l, l ) | Es gibt ein ∈ X und l = min(Dom( ))} ⊆ und damit gibt es nach Theorem 2-10 eine passende Folge natürlicher Zahlen g für . Dann ist g mit Theorem 2-11 eine Bijektion zwischen Dom(g) und Dom( ) und damit gilt nach Definition von für alle ∈ X: min(Dom( )) = g(i) für ein i ∈ Dom(g). Sodann gilt

Theorem 2- 21 .

 21 Eine Sequenz ist genau dann nicht-leer, wenn ANSUMF( ) nicht-leer ist Wenn ∈ SEQ, dann: ≠ ∅ gdw ANSUMF( ) ≠ ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei nun ≠ ∅. Dann gibt es mit Theorem 2-1 ein , so dass ∈ ABS( ). Daraus folgt mit Theorem 2-20, dass ANSUMF( ) ≠ ∅. Sei nun umgekehrt ANSUMF( ) ≠ ∅. Dann gibt es nach Definition 2-10 ein ∈ ABS( ) und damit gilt wiederum mit Theorem 2-1, dass ≠ ∅. ■ Theorem 2-22. Eigenschaften von ANS-umfassenden Abschnittsfolgen Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann: (i) G ist eine Injektion von Dom(G) in Ran(G), (ii) G ist eine Bijektion zwischen Dom(G) und Ran(G), (iii) Dom(G) = |Ran(G)| und (iv) G ist eine endliche Folge. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Dann folgt mit Definition 2-9, dass G ∈ ABSF( )\{∅} und damit und mit Theorem 2-16 die Behauptung. ■ Theorem 2-23. Alle Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge liegen innerhalb des betreffenden Abschnitts Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, dann gilt für alle i ∈ Dom(G): min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom( )). Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und sei i ∈ Dom(G). Dann ist 0 ≤ i ≤ max(Dom(G)). Ferner gilt dann -da nach Definition 2-9 G ∈ ABSF( )\{∅} -mit Definition 2-7 für alle k, j ∈ Dom(G): Wenn k < j, dann min(Dom(G(k))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(k))) < min(Dom(G(j))). Also gilt: min(Dom(G(0))) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom(G(max(Dom(G))))). Ferner ergibt sich aus der Annahme und Definition 2-9, dass min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0)) und max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )). Damit gilt dann: min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom( )). ■ Theorem 2-24. Alle Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge sind Teilmengen des betreffenden Abschnitts Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, dann gilt für alle i ∈ Dom(G): G(i) ⊆ . Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und sei i ∈ Dom(G). Dann gilt mit Definition 2-9 und Definition 2-7: Ran(G) ⊆ ABS( ) und damit, dass G(i) ein Abschnitt in ist. Sodann gilt mit Theorem 2-23: min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom( )). Damit gilt dann mit Theorem 2-5: G(i) ⊆ . ■ Theorem 2-25. Nicht-leere Beschränkungen von ANS-umfassenden Abschnittsfolgen sind ANS-umfassende Abschnittsfolgen Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, dann gilt für alle j ∈ Dom(G): G (j+1) ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für (max(Dom(G(j)))+1). Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und sei j ∈ Dom(G). Dann gilt nach Definition 2-9, dass ∈ SEQ und ∈ ABS( ) und G ∈ ABSF( )\{∅} und min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0)) und max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )) und für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). Mit Definition 2-7 ergibt sich leicht, dass G (j+1) ∈ ABSF( )\{∅}. Mit Theorem 2-23 ergibt sich, dass min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(j))) ≤ max(Dom(G(j))) ≤ max(Dom( )) und somit, dass max(Dom(G(j))) ∈ Dom( ). Mit Theorem 2-6 ergibt sich damit, dass (max(Dom(G(j)))+1) ∈ ABS( ).

  Dann folgt mit Definition 2-9 und Definition 2-10, dass G ∈ ABSF( )\{∅} und damit mit Theorem 2-18 die Behauptung. ■ Theorem 2-27. Verschiedene Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge sind elementfremd

  Dann folgt mit Definition 2-9 und Definition 2-10, dass G ∈ ABSF( )\{∅} und damit mit Theorem 2-19 die Behauptung. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte Im Folgenden werden mit den SE-, NE-und EA-artigen Abschnitten einzelne Arten von Abschnitten ausgesondert, nämlich die, die grundsätzlich eine Form zeigen, wie sie mit dem Schließen mit Subjunktoreinführung (SE-artige), Negatoreinführung (NE-artige) und Partikularquantorbeseitigung (EA-artige) verbunden ist. Unter diesen werden sodann so genannte minimale SE-, NE-und PB-geschlossene Abschnitte ausgezeichnet, welche zusammen die minimalen geschlossenen Abschnitte bilden. Sodann wird die Erzeugungsrelation ERZ definiert, mit der sich im Ausgang von minimalen geschlossenen Abschnitten weitere non-redundante SE-, NE-und EA-artige Abschnitte erzeugen lassen. Sodann wird die Menge der ERZ-induktiven Relationen definiert und ihr großer Schnitt als die Relation ausgezeichnet, die einer Sequenz genau die Abschnitte zuordnet, die in dieser Sequenz geschlossenen sind. Damit sind die geschlossenen Abschnitte in einer Sequenz dann gerade die SE-, NE-und EA-artigen Abschnitte in dieser Sequenz, die entweder minimale geschlossene Abschnitte sind oder sich mit der Erzeugungsrelation aus minimalen geschlossenen Abschnitten bilden lassen. Sodann werden allgemeine Theoreme zu geschlossenen Abschnitten bewiesen. Im Anschluss werden dann unter den geschlossenen Abschnitten die SE-, NE-bzw. PBgeschlossenen Abschnitte unterschieden, wobei SE-resp. NE-resp. PB-geschlossene Abschnitte gerade die SE-resp. NE-resp. EA-artigen geschlossenen Abschnitte sein werden. Mit den zum Abschluss dieses Kapitels etablierten Theoremen (Theorem 2-66, Theorem 2-67, Theorem 2-68, Theorem 2-69) lässt sich dann später zeigen, dass SE resp. NE resp. PB und nur diese SE-resp. NE-resp. PB-geschlossene Abschnitte und damit überhaupt geschlossene Abschnitte erzeugen. Im nächsten Kapitel (2.3) wird dann unter direktem Rückgriff auf dieses Kapitel die Verfügbarkeitsrede etabliert: Eine Aussage Γ soll in einer Sequenz genau dann an der Stelle i verfügbar sein, wenn Γ die Aussage von i ist und (i, i ) in allen geschlossenen Abschnitten in höchstens als letztes Glied vorkommt. Unter diesen Festlegungen ergibt sich dann, dass SE, NE und PB und nur SE, NE und PB Annahmen eliminieren können. Mit den ersten drei Definitionen werden nun zunächst die SE-, NE-und EA-artigen Abschnitte ausgesondert. Sodann werden im Anschluss an einige Theoreme unter diesen Abschnitten die minimalen (SE-, NE-und PB-)geschlossenen Abschnitte ausgezeichnet.Definition 2-11. SE-artiger Abschnitt ist ein SE-artiger Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass

  Klausel (iii) von Definition 2-12 werden Widerspruchsglieder, wie sie für die Negatoreinführung notwendig sind, in der Sequenz verortet. Dabei ist entweder das negative ( ¬Γ ) oder das positive (Γ) Widerspruchsglied die Aussage des vorletzten Folgenglieds des betrachteten Abschnitts . Die Stelle des jeweils anderen Widerspruchsgliedes wird nicht genau festgelegt. Es wird nur gefordert, dass es irgendeine Stelle (i) zwischen dem ersten und dem vorletzten Glied des Abschnitts gibt, an der das Widerspruchsglied auftritt. Bei minimalen NE-geschlossenen Abschnitten (Definition 2-15) ist dieser Umstand unproblematisch. Erst bei der Erzeugung nicht-minimaler geschlossener Abschnitte aus geschlossenen Abschnitten muss gesondert sichergestellt werden, dass das Widerspruchsglied, dessen Stelle nicht näher bekannt ist, nicht in einen echten Teilabschnitt von fällt, der bereits geschlossen ist. Dies ist insbesondere bei der Konstruktion der Erzeugungsrelation zu berücksichtigen (vgl. insbesondere Definition 2-18).

  vi) Es kein j ≤ min(Dom( )) gibt, so dass β ∈ TT( j ), und(vii) = \{(min(Dom( )), min(Dom( )) )}.Hinweis: 'EA' steht für Ersatzannahme, also für die für eine Partikularquantorbeseitigung zu machende ›repräsentative Annahme‹.Theorem 2-28. Kein Abschnitt ist zugleich SE-und NE-oder SE-und EA-artiger Abschnitt (i) Es gibt keine , , so dass SE-und NE-artiger Abschnitt in ist, (ii) Es gibt keine , , so dass SE-und EA-artiger Abschnitt in ist.Beweis: Ergibt sich aus den Definitionen und Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 bis Theorem 1-12). ■ Man beachte, dass es durchaus sein kann, dass ein ein NE-und EA-artiger Abschnitt in ist. Unter Verwendung weiter unten einzuführender Terminologie ist das zum Beispiel dann der Fall, wenn die Annahme für einen indirekten Beweis parameterfrei ist, selbst das positive Widerspruchsglied stellt, und zudem die (leer laufende) Partikularquantifikation der indirekten Annahme unmittelbar vor dieser Annahme gewonnen wurde. Theorem 2-29. Das letzte Glied eines SE-oder NE-oder EA-artigen Abschnitts ist kein Annahmesatz Wenn ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist, dann ist max(Dom( )) ∉ Dom(ANS( )).Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-11-(iii), Definition 2-12-(iv), Definition 2-13-(iv) und dem Theorem über die eindeutige Lesbarkeit von Sätzen (Theorem 1-12). ■ Theorem 2-30. Alle Annahmesätze in einem SE-oder NE-oder EA-artigen Abschnitt liegen innerhalb eines echten Teilabschnitts, der das letzte Glied nicht umfasst Wenn ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist und i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )), dann min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Beweis: Ergibt sich aus Theorem 2-29. ■ Theorem 2-31. Mächtigkeit von SE-, NE-, und EA-artigen Abschnitten (i) Wenn ein SE-oder EA-artiger Abschnitt in ist, dann 2 ≤ | |, und (ii) Wenn ein NE-artiger Abschnitt in ist, dann 3 ≤ | |. Beweis: Ergibt sich mit den Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 bis Theorem 1-12) direkt aus Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13. ■ Definition 2-14. Minimaler SE-geschlossener Abschnitt ist ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein SE-artiger Abschnitt in und (i) ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} und (ii) Für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Definition 2-15. Minimaler NE-geschlossener Abschnitt ist ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein NE-artiger Abschnitt in und (i) ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} und (ii) Für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Definition 2-16. Minimaler PB-geschlossener Abschnitt ist ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein EA-artiger Abschnitt in und (i) ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} und (ii) Für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Definition 2-17. Minimaler geschlossener Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in gdw ist ein minimaler SE-oder ein minimaler NE-oder ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in . Theorem 2-32. SE-, NE-und EA-artige Abschnitte mit nur einem Annahmesatz haben einen minimalen geschlossenen Abschnitt zum Anfangsabschnitt Wenn ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist und |ANS( ) ∩ | = 1, dann ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass i ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist. Beweis: Sei ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in und |ANS( ) ∩ | = 1. Dann ist mit Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13 ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Angenommen ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gilt nach Voraussetzung mit Definition 2-17 und Definition 2-14, Definition 2-15 und Definition 2-16, dass es ein j ∈ Dom( ) gibt, so dass j ein SEoder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist. Sei nun i = min({j | j ∈ Dom( ) und j ist ein SE-, NE-oder EA-artiger Abschnitt in }). Dann ist ANS( ) ∩ i ⊆ ANS( ) ∩ und mit Theorem 2-7 min(Dom( i)) = min(Dom( )) und damit ANS( ) ∩ i = {(min(Dom( i)), min(Dom( i)) )}. Sodann gilt wegen der Minimalität von i, dass für alle l ∈ Dom( i) gilt, dass ( i) l = l kein SE-, NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist. Damit ist dann i ein minimaler SE-oder NE-oder PB-geschlossener und damit ein minimaler geschlossener Abschnitt in . ■ Theorem 2-33. Verhältnis von Folgerungs-und Annahmesätzen in minimalen geschlossenen Abschnitten Wenn ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, dann |ANS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Beweis: Sei ein minimaler geschlossener und also ein minimaler SE-oder NE-oder PB-geschlossener Abschnitt in . Dann gilt mit den Definitionen und Theorem 2-29: |ANS( ) ∩ | = 1 ≤ |FS( ) ∩ |. ■ Nun wird eine Erzeugungsrelation für Abschnitte definiert, mit der sich im Ausgang von minimalen geschlossenen Abschnitten weitere non-redundante SE-, NE-und EA-artige Abschnitte erzeugen lassen, bei denen alle Annahmesätze Anfangsglieder eines solchen non-redundanten SE-, NE-oder EA-artigen Teilabschnitts sind. Dazu wird zunächst folgende Proto-Erzeugungsrelation definiert: Definition 2-18. Proto-Erzeugungsrelation für non-redundante SE-, NE-und EA-artige Abschnitte in Sequenzen (PERZ)

  iii) min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1, (iv) ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in und wenn ein NEartiger Abschnitt in ist, dann gibt es Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass a) min(Dom( )

  ( )) = Also ¬Δ , und (v) Für alle i ∈ Dom( ) ist i kein minimaler geschlossener Abschnitt in }}.InKlausel (iv) von Definition 2-18 wird für NE-artige Abschnitte eine Sonderbedingung gestellt. Bei der Erzeugung geschlossener Abschnitte aus bereits geschlossenen Abschnitten sollen die Werte der ANS-umfassenden Abschnittsfolge G nämlich gerade die bereits geschlossenen Ausgangsabschnitte sein. Im NE-Fall muss jedoch sichergestellt werden, dass nur solche Abschnitte als NE-geschlossen erzeugt werden, bei denen tatsächlich beide Widerspruchsglieder in max(Dom( )) liegen und dort in keinen bereits geschlossenen Abschnitt fallen. Genau dies wird für das erste Widerspruchsglied mit (iv-d) gewährleistet (vgl. den Beweis zu Theorem 2-68). Theorem 2-34. Einige wichtige Eigenschaften von PERZ Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ PERZ(〈 , G〉), dann: (i) Es gibt ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und ANS( ) ∩ ≠ ∅, min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1, (ii) ∈ ABS( ) ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in , (iii) Für alle i ∈ Dom( ) ist i kein minimaler geschlossener Abschnitt in , (iv) Es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass min(Dom( )) < i und i ∈ Dom(ANS( )), (v) ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in und (vi) Für alle ∈ PERZ(〈 , G〉) gilt: min(Dom( )) = min(Dom( )). Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ PERZ(〈 , G〉). Dann ergeben sich (i)-(iii) direkt aus Definition 2-18. Sei nun wie in (i) gefordert. Dann ist ANS( ) ∩ ≠ ∅ und somit gibt es ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) ⊆ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) wobei wegen min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) gilt, dass min(Dom( )) < i. Damit gilt dann (iv) und mit Definition 2-14, Definition 2-15, Definition 2-16 und Definition 2-17 auch (v). Sodann gilt nach Definition 2-9, dass min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))) ≤ max(Dom( )) und damit, dass min(Dom( )) < min(Dom(G(0))). Sei nun ∈ PERZ(〈 , G〉). Dann gibt es ein ' ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' in ist und min(Dom( ))+1 = min(Dom( ')) und max(Dom( )) = max(Dom( '))+1 und ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Dann gilt min(Dom( )), min(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )). Sodann ergibt sich nach Definition 2-9 min(Dom( ')) ≤ min(Dom(G(0))) ≤ max(Dom( ')) und damit min(Dom( )) < min(Dom(G(0))). Damit gilt dann: min(Dom( )), min(Dom( )) < min(Dom(G(0))) ≤ max(Dom( )), max(Dom( ')). Wäre nun min(Dom( )) < min(Dom( )). Dann wäre min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) ≤ max(Dom( ')). Dann wäre min(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ') und da G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' in ist, wäre dann nach Definition 2-9 min(Dom( )) ∈ Dom(G(l)) für ein l ∈ Dom(G). Da G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, wäre damit nach Theorem 2-24 wiederum min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Widerspruch! Wäre nun min(Dom( )) < min(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) ≤ max(Dom( )). Damit wäre dann wiederum min(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) und damit min(Dom( )) ∈ Dom(G(l')) für ein l' ∈ Dom(G) und damit wiederum min(Dom( ))+1 = min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )). Widerspruch! Also ist min(Dom( )) = min(Dom( )) und somit gilt (vi). ■ Die gewünschte Erzeugungsrelation soll nun für gegebene , G lediglich die nonredundanten Abschnitte aus PERZ(〈 , G〉) berücksichtigen: Definition 2-19. Erzeugungsrelation für non-redundante SE-, NE-und EA-artige Abschnitte in Sequenzen (ERZ)

  ist eine zweistellige Funktion, die einer Sequenz und einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge G für einen Abschnitt in eine Teilmenge X der Menge der SE-, NEoder EA-artigen Abschnitte in zuordnet, die die Glieder von G zum echten Teilabschnitt haben. Diese Teilmenge ist dann entweder leer oder sie ist die Einermenge aus dem kürzesten Abschnitt, der sich mit PERZ für und Beschränkungen von G auf j+1 mit j ∈ Dom(G) erzeugen lässt. Dies sichert später, dass nicht nur minimale, sondern auch ERZ-erzeugte und damit alle geschlossenen Abschnitte durch ihren Anfang eindeutig bestimmt sind (vgl. Theorem 2-50). Das folgende Theorem fasst einige Eigenschaften von ERZ für den Fall ERZ(〈 , G〉) ≠ ∅ zusammen. Theorem 2-35. Einige häufiger benutzte Konsequenzen aus Definition 2-19 Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ ERZ(〈 , G〉), dann: (i) Es gibt ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und ANS( ) ∩ ≠ ∅, min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1, (ii) ∈ ABS( ) ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in , (iii) Für alle i ∈ Dom( ) ist i kein minimaler geschlossener Abschnitt in , (iv) Es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass min(Dom( )) < i und i ∈ Dom(ANS( )), (v) ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in , (vi) Es gibt kein i ∈ Dom( ) und j ∈ Dom(G), so dass i ∈ PERZ(〈 , G (j+1)〉), und (vii) ERZ(〈 , G〉) = { }. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ergeben sich (i)-(v) direkt aus Definition 2-19 und Theorem 2-34 und (vi) aus Definition 2-19. Sei nun ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ist mit Definition 2-19 und , ∈ ERZ(〈 , G〉) auch , ∈ PERZ(〈 , G〉) und damit mit Theorem 2-34-(vi) min(Dom( )) = min(Dom( )). Wäre nun max(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ≤ max(Dom( ))+1 ≤ max(Dom( )) und daher max(Dom( ))+1 ∈ Dom( ). Gleichzeitig gilt max(Dom( ))+1 = ∈ PERZ(〈 , G〉) = PERZ(〈 , G (max(Dom(G))+1)〉) und somit nach Definition 2-19 ∉ ERZ(〈 , G〉). Widerspruch! Analog ergibt sich für max(Dom( )) < max(Dom( )) ein Widerspruch. Also ist auch max(Dom( )) = max(Dom( )) und damit mit Theorem 2-4 insgesamt = ∈ { }. Also ist ERZ(〈 , G〉) ⊆ { }. Sodann gilt nach Voraussetzung { } ⊆ ERZ(〈 , G〉) und somit insgesamt: ERZ(〈 , G〉) = { } und damit (vii). ■ Theorem 2-36. ERZ-erzeugte Abschnitte sind mächtiger als die Glieder der entsprechenden ANS-umfassenden Abschnittsfolge Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann gilt für alle ∈ Ran(G) und ∈ ERZ(〈 , G〉): | | < | |. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Seien nun ∈ Ran(G) und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann gibt es ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Dann ist | | < | |. Ferner gilt mit Theorem 2-24 wegen ∈ Ran(G), dass | | ≤ | | und somit dass | | < | |. ■ Theorem 2-37. Hilfssatz für Theorem 2-39 (a) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ SEQ × { | ist ein Ab-schnitt}. Beweis: Sei ( , ) ∈ {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in }. Dann ergibt sich aus Definition 2-14, Definition 2-15, Definition 2-16 und Definition 2-17, dass ein Abschnitt in ist und damit, dass ∈ SEQ. Damit: ( , ) ∈ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. ■ Theorem 2-38. Hilfssatz für Theorem 2-39 (b)

Definition 2 -

 2 20 ist im Wesentlichen eine Hilfsdefinition, um in Definition 2-21 zu der Relation, die einer Sequenz alle und nur die geschlossenen Abschnitte in dieser Sequenz zuordnet, zu gelangen. Informell gesprochen enthält GSR alle Relationen R, die für eine gegebene Sequenz alle geordneten Paare aus und -so vorhanden -einem der minimalen geschlossenen Abschnitte in und alle geordneten Paare ( , ) für Abschnitte in , die sich mit ERZ aus Abschnitten 0 , …, n-1 mit {( , 0 ), …, ( , n-1 )} ⊆ R erzeugen lassen, enthalten. Theorem 2-39. Hilfssatz für Theorem 2-40 SEQ × { | ist ein Abschnitt} ∈ GSR. Beweis: Zunächst gilt: SEQ × { | ist ein Abschnitt} ⊆ SEQ × { | ist ein Ab-schnitt}. Sodann gilt mit Theorem 2-37, dass {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Ferner gilt mit Theorem 2-38 für alle

  ein Abschnitt}. ■ Nun wird die Relation, die einer Sequenz alle und nur die Abschnitte zuordnet, die minimale geschlossene Abschnitte in sind oder sich durch wiederholte Anwendung von ERZ aus minimalen geschlossenen Abschnitten in erzeugen lassen, definiert: Definition 2-21. Die kleinste ERZ-induktive Relation (GS) GS = GSR. Das folgende Theorem bringt zum Ausdruck, dass GS tatsächlich eine Relation ist, die einer Sequenz alle minimalen geschlossenen Abschnitte in dieser Sequenz sowie alle SE-, NE-und EA-artigen Abschnitte, die sich durch widerholte Anwendung von ERZ aus minimalen geschlossenen Abschnitten erzeugen lassen, zuordnet und zum anderen auch Teilmenge von allen anderen solchen Relationen und somit die kleinste solche Relation ist und daher einer Sequenz nur solche Abschnitte wie angegeben zuordnet. Theorem 2-40. GS ist die kleinste ERZ-induktive Relation (i) GS ∈ GSR und (ii) Wenn R ∈ GSR, dann GS ⊆ R. Beweis: (ii) ergibt sich aus Definition 2-21. Zu (i): Zu zeigen ist: a) GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}, b) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS und c) für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Dabei ergibt sich a) GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} mit Theorem 2-39 und (ii). Da für alle R ∈ GSR gilt, dass {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ R, gilt mit Definition 2-21 auch b) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS.

  vorhergehenden Theorem kann die folgende Definition im Anschluss an die obigen Erläuterungen informell so erläutert werden, dass mit ihr genau diejenigen Abschnitte in einer Sequenz als geschlossene Abschnitt in dieser Sequenz ausgezeichnet werden, die minimale geschlossene Abschnitte in dieser Sequenz sind oder die sich durch wiederholte Anwendung von ERZ aus diesen minimalen Abschnitten gewinnen lassen. Definition 2-22. Geschlossener Abschnitt ist ein geschlossener Abschnitt in gdw ( , ) ∈ GS. Theorem 2-41. Geschlossene Abschnitte sind minimal oder ERZ-erzeugt es gibt ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉). Beweis: Die R-L-Richtung ergibt sich mit Theorem 2-40-(i) und Definition 2-20. Sei nun für die L-R-Richtung X = {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder ∈ SEQ und es gibt ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉)} ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Mit Theorem 2-40-(i) gilt, dass GS ∈ GSR. Nach Definition 2-20 und der Definition von X gilt daher: X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X.

  Theorem 2-42. Geschlossene Abschnitte sind SE-oder NE-oder EA-artige Abschnitte Wenn ( , ) ∈ GS, dann ist ein SE-, NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Beweis: Sei ( , ) ∈ GS. Dann gilt mit Theorem 2-41 und Theorem 2-37: ∈ SEQ und ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder es gibt ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ergibt sich die Behauptung unmittelbar mit Definition 2-14, Definition 2-15, Definition 2-16, Definition 2-17 und Theorem 2-35-(ii). ■ Theorem 2-43. ∅ ist weder in Dom(GS) noch in Ran(GS) Wenn ( , ) ∈ GS, dann ist ≠ ∅ und ≠ ∅. Beweis: Sei ( , ) ∈ GS. Dann gilt mit Theorem 2-42, dass ein SE-oder NE-oder EAartiger Abschnitt in ist. Dann gilt mit Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass ∈ SEQ und ∈ ABS( ). Dann ist mit Theorem 2-1 und Definition 2-1 ≠ ∅ und ≠ ∅. ■ Theorem 2-42 zeigt, dass GS nur Paare von Sequenzen und SE-oder NE-oder EAartigen Abschnitten in diesen Sequenzen enthält. Die ersten und letzten Glieder der Abschnitte verleihen ihnen also die Gestalt, wie sie aus den entsprechenden beweisnahen Schlussfiguren (bei NE mit den Widerspruchsgliedern in einem echten Anfangsabschnitt des betreffenden Abschnitts und bei PB mit der Partikularquantifikation vor dem jeweiligen EA-artigen Abschnitt) bekannt ist. Umgekehrt ist aber nicht jedes Paar aus einer Sequenz und einem Abschnitt in dieser Sequenz, der eine solche Gestalt hat, in GS enthalten. Das lässt sich unter Rückgriff auf Theorem 2-41 und Theorem 2-42 zeigen. Hier ein Beispiel für eine Sequenz und einen SE-artigen Abschnitt in dieser Sequenz, für die das geordnete Paar aus beiden nicht Element von GS ist:Beispiel [2.1] Sei[2.1] die folgende Sequenz:

P 1 .

 1 1 (c 1 ) )}. Da G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in[2.1] sein muss, ist dann Ran(G) = {{(1, Sei P 1.1 (c 1 ) )}}.Nun ist jedoch {(1, Sei P 1.1 (c 1 ) )} kein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in[2.1] 

  Theorem 2-44. Geschlossene Abschnitte sind wenigstens zwei-elementig Wenn ( , ) ∈ GS, dann 2 ≤ | |. Beweis: Mit Theorem 2-31 gilt für alle SE-oder NE-oder EA-artigen Abschnitte in : 2 ≤ | |. Mit Theorem 2-42 folgt das Theorem. ■ Theorem 2-45. Jeder geschlossene Abschnitt hat einen minimalen geschlossenen Abschnitt zum Teilabschnitt Wenn ( , ) ∈ GS, dann gibt es einen minimalen geschlossenen Abschnitt in , so dass ⊆ . Beweis: Sei X = {( , ) | Es gibt einen minimalen geschlossenen Abschnitt in , so dass ⊆ } ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii).

  es sodann mit Theorem 2-35 ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, ANS( ) ∩ ≠ ∅ und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Dann gibt es ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Nun ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für . Also gilt mit Definition 2-9 für alle r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): es gibt ein s ∈ Dom(G), so dass r ∈ Dom(G(s)). Also gibt es ein entsprechendes s für i. Dann ist nach Annahme { } × Ran(G) ⊆ X und somit ( , G(s)) ∈ X und damit gibt es einen minimalen geschlossenen Abschnitt in , so dass ⊆ G(s). Nun gilt mit Theorem 2-24 G(s) ⊆ und somit ⊆ und damit wegen ⊆ insgesamt ⊆ . Somit ist ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-46. Verhältnis von Folgerungs-und Annahmesätzen in geschlossenen Abschnitten Wenn ( , ) ∈ GS, dann |ANS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Beweis: Sei X = {( , ) | Wenn ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist, dann |ANS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |} ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii) und Theorem 2-42. Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Sodann gilt mit Theorem 2-33: {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X.

  G〉) gibt es sodann mit Theorem 2-35 ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist. Dann ist mit Theorem 2-29 |ANS( ) ∩ | ≤ 1+|ANS( ) ∩ | und 1+|FS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Nun gilt mit Definition 2-9-(iii-c) für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)) und andererseits gilt mit Theorem 2-24 für alle i ∈ Dom(G):

  Theorem 2-47. Jeder Annahmesatz in einem geschlossenen Abschnitt liegt an dessen Anfang oder am Anfang eines echten geschlossenen Teilabschnitts von Wenn ( , ) ∈ GS, dann gilt für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): (i) i = min(Dom( )) oder (ii) Es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass a) i = min(Dom( )) und b) min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Beweis: Sei X = {( , ) | Für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): i = min(Dom( )) oder es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass i = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( ))} ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und mit Definition 2-17, Definition 2-14-(i), Definition 2-15-(i), Definition 2-16-(i) und Theorem 2-41 gilt: {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X.

  G〉) gibt es sodann ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, ANS( ) ∩ ≠ ∅ und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Sei nun i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) und i ≠ min(Dom( )). Dann ergibt sich mit Theorem 2-30: min(Dom( )) < i < max(Dom( )). Dann ist min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )). Dann ist i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Nun ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für . Also gilt mit Definition 2-9 für alle r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): Es gibt ein s ∈ Dom(G), so dass r ∈ Dom(G(s)). Also gibt es ein entsprechendes s für i. Dann ist i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G(s)) und nach Theorem 2-24 ist G(s) ⊆ ⊆ . Sodann ist nach Annahme { } × Ran(G) ⊆ X und somit ( , G(s)) ∈ X. Also gilt für alle r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G(s)): r = min(Dom(G(s))) oder es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass r = min(Dom( )) und min(Dom(G(s))) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom(G(s))). Also ist i = min(Dom(G(s))) oder es gibt ein entsprechendes . Im ersten Fall ist G(s)) selber der gesuchte Abschnitt, denn mit ( , G(s)) ∈ X gilt auch ( , G(s)) ∈ GS. Sodann gilt dann nach Annahme min(Dom( )) < i = min(Dom(G(s))) und max(Dom(G(s))) ≤ max(Dom( )) < max(Dom( ))+1 = max(Dom( ))). Mit Theorem 2-44 gilt zudem min(Dom(G(s))) < max(Dom(G(s))). Sei für den zweiten Fall wie gefordert. Dann ist min(Dom( )) < i = min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom(G(s))) ≤ max(Dom( )) < max(Dom( )) und somit der gesuchte Abschnitt. Also gilt für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): i = min(Dom( )) oder es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass i = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Somit ist ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-48. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt, dessen Annahmesätze am Anfang oder in echten geschlossenen Teilabschnitten liegen Wenn ( , ) ∈ GS, dann: (i) ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder (ii) ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt , wobei für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i gilt: Es gibt ein , so dass a) (i, i ) ∈ , b) ( , ) ∈ GS, c) i = min(Dom( )) und d) min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Beweis: Sei ( , ) ∈ GS. Sei nun kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gilt mit Theorem 2-42, dass ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist und mit Theorem 2-47, dass es für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ein entsprechendes gibt. ■ Theorem 2-49. Geschlossene Abschnitte sind non-redundant, d.h. echte Anfangsabschnitte von geschlossenen Abschnitten sind keine geschlossenen Abschnitte Wenn ( , ) ∈ GS, dann gilt für alle i ∈ Dom( ): ( , i) ∉ GS. Beweis: Sei X = {( , ) | ( , ) ∈ GS und für alle i ∈ Dom( ) gilt: ( , i) ∉ GS }. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und mit Definition 2-17, Definition 2-14-(ii), Definition 2-15-(ii), Definition 2-16-(ii), Theorem 2-41 und Theorem 2-42 gilt: {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X.

  G〉) und damit ( , ) ∈ GS. Sodann gibt es ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und ANS( ) ∩ ≠ ∅ und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Wäre es nun der Fall, dass ( , i) ∈ GS für ein i ∈ Dom( ). Dann ist i ein Abschnitt in . Dann gilt zunächst mit Theorem 2-7 min(Dom( i)) = min(Dom( )) und damit mit Theorem 2-23 insbesondere dass für alle j ∈ Dom(G) gilt: min(Dom( i)) < min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(j)). Sodann ist mit Theorem 2-35-(iii) i kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gilt mit Theorem 2-41, dass es ein G* ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G*) ⊆ GS und i ∈ ERZ(〈 , G*〉) gibt. Dann gilt mit Theorem 2-35, dass es ein ' ∈ ABS( ) gibt, so dass min(Dom( ))+1 = min(Dom( i))+1 = min(Dom( ')) und max(Dom( i)) = i-1 = max(Dom( '))+1. Nun wird gezeigt, dass es ein s ∈ Dom(G) gibt, so dass i ∈ PERZ(〈 , G( s+1)〉), was mit Theorem 2-35-(vii) im Widerspruch zu ∈ ERZ(〈 , G〉) steht. Mit Theorem 2-35-(iv) gilt, dass es ein l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( i) gibt, so dass min(Dom( i)) = min(Dom( )) < l. Sei nun l 0 = max({l | l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( i) und min(Dom( i)) < l}. Dann ergibt sich mit i ≤ max(Dom( )) und Dom( i) ⊆ Dom( ), dass min(Dom( )) = min(Dom( i)) < l 0 < max(Dom( )). Dann ist min(Dom( )) ≤ l 0 ≤ max(Dom( )). Dann ist l 0 ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Nun ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für . Also gilt mit Definition 2-9, dass es ein s ∈ Dom(G) gibt, so dass l 0∈ Dom(G(s)). Dann ist l 0 ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G(s)) und somit wegen { } × Ran(G) ⊆ X ⊆ GS mit Theorem 2-47 min(Dom(G(s))) ≤ l 0 < max(Dom(G(s))). Sodann ist ( , i) ∈ GS und damit mit Theorem 2-47 l 0 < i-1. Damit gilt dann insgesamt, dass min(Dom( i)) < min(Dom(G(s))) < i-1. Sei nun k ≤ s. Weil G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, gilt dann mit Definition 2-9 und Definition 2-7, dass min(Dom( i)) < min(Dom(G(k))) ≤ min(Dom(G(s))) < i-1 und damit min(Dom(G(k))) ∈ Dom( '). Da { } × Ran(G) ⊆ X ⊆ GS,gilt mit Theorem 2-42 dann min(Dom(G(k))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( '). Da G* eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' in ist, gibt es dann ein r ∈ Dom(G*), so dass min(Dom(G(k))) ∈ Dom(G*(r)). Dann ist min(Dom(G(k))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G*(r)). Angenommen min(Dom(G*(r))) = min(Dom(G(k))). Dann gilt mit { } × Ran(G) ⊆ X und { } × Ran(G*) ⊆ GS, dass max(Dom(G(k))) ≤ max(Dom(G*(r))). Angenommen min(Dom(G*(r))) ≠ min(Dom(G(k))). Dann gilt mit { } × Ran(G*) ⊆ GS und Theorem 2-47, dass es ein gibt, so dass ( , ) ∈ GS und min(Dom(G(k))) = min(Dom( )) und min(Dom(G*(r))) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom(G*(r))). Dann gilt mit { } × Ran(G) ⊆ X, dass max(Dom(G(k))) ≤ max(Dom( )). Damit gilt mit Theorem 2-5-(i) in beiden Fällen G(k) ⊆ G*(r). Also gilt für alle k ≤ s, dass es ein r ∈ Dom(G*) gibt, so dass G(k) ⊆ G*(r). Da G* eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' ist und max(Dom( ')) = i-2 gilt damit insbesondere auch, dass max(Dom(G(s))) ≤ i-2. Nun gilt, falls i ein NE-artiger Abschnitt in ist, dass es j ∈ Dom( i) gibt, so dass A( j ) = Γ und A( i-2 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( i-2 ) = Γ und für alle r ∈ Dom(G*) gilt: j < min(Dom(G*(r))) oder max(Dom(G*(r))) ≤ j. Gäbe es nun ein k ≤ s, so dass min(Dom(G(k))) ≤ j < max(Dom(G(k))), dann gäbe es aber wie gezeigt auch ein r ∈ Dom(G*), so dass G(k) ⊆ G*(r) und damit min(Dom(G*(r))) ≤ j < max(Dom(G*(r))). Also gibt es, falls i ein NE-artiger Abschnitt in ist, j ∈ Dom( i), so dass A( j ) = Γ und A( i-2 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( i-2 ) = Γ und für alle k ≤ s gilt: j < min(Dom(G(k))) oder max(Dom(G(k))) ≤ j. Sodann gilt für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( '), dass es ein k ≤ s gibt, so dass l ∈ Dom(G(k)). Zunächst ist ' ⊆ und damit gibt es für solche l ein k ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(k)) und sodann würde bei s < k mit Definition 2-9 und Definition 2-7 gelten, dass l 0 < max(Dom(G(s))) < min(Dom(G(k))) ≤ l, während andererseits gelten müsste l ≤ l 0 . Mit Definition 2-9 und Definition 2-7 ergibt sich, dass G (s+1) ∈ ABSF( ) und damit gilt insgesamt, dass G (s+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' ist und damit auch G (s+1) ∈ ANSUMF( ) und somit gilt zuletzt, dass i ∈ PERZ(〈 , G (s+1)〉). Dies widerspricht jedoch Theorem 2-35-(vii). Also gibt es kein i ∈ Dom( ), so dass ( , i) ∈ GS und da ( , ) ∈ GS ist damit insgesamt ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-50. Geschlossene Abschnitte sind durch ihren Anfang eindeutig bestimmt Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und min(Dom( )) = min(Dom( ')), dann = '. Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und min(Dom( )) = min(Dom( ')). Angenommen max(Dom( )) < max(Dom( ')). Dann ist min(Dom( ')) = min(Dom( )) < max(Dom( ))+1 ≤ max(Dom( ')). Da ' ein Abschnitt ist, ist somit max(Dom( ))+1 ∈ Dom( ') und damit ' (max(Dom( ))+1) = ein geschlossener Abschnitt in , was mit Theorem 2-49 der Annahme widerspricht, dass ' ein geschlossener Abschnitt in ist. Ebenso ergibt sich bei max(Dom( ')) < max(Dom( )), dass kein geschlossener Abschnitt in wäre. Also ist max(Dom( )) = max(Dom( ')) und damit = '. ■ Theorem 2-51. ANS-umfassende Abschnittsfolgen für ein und denselben Abschnitt, deren Werte ausschließlich geschlossene Abschnitte sind, sind identisch Wenn ein Abschnitt in ist und G, G* ANS-umfassende Abschnittsfolgen für in sind und { } × Ran(G) ⊆ GS und { } × Ran(G*) ⊆ GS, dann ist G = G*. Beweis: Sei ein Abschnitt in und seien G, G* ANS-umfassende Abschnittsfolgen für in und { } × Ran(G) ⊆ GS und { } × Ran(G*) ⊆ GS. Dann gilt zunächst mit Definition 2-9, dass G, G* ∈ ABSF( )\{∅} und mit Theorem 2-24 gilt für alle i ∈ Dom(G), dass G(i) ⊆ , und für alle j ∈ Dom(G*) gilt, dass G*(j) ⊆ . Sodann gilt Ran(G) ⊆ Ran(G*). Sei nämlich i ∈ Dom(G). Dann ist ( , G(i)) ∈ GS und damit ist min(Dom(G(i))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Damit gibt es dann ein j ∈ Dom(G*), so dass min(Dom(G(i))) ∈ Dom(G*(j)), und mit ( , G*(j)) ∈ GS und Theorem 2-47 und Theorem 2-49 gilt G(i) ⊆ G*(j). Analog ergibt sich, dass es ein i* ∈ Dom(G) gibt, so

  ergibt sich, dass Ran(G*) ⊆ Ran(G) und damit insgesamt Ran(G) = Ran(G*). Damit gilt mit Theorem 2-22-(iii) aber auch, dass Dom(G) = Dom(G*). Nun wird durch Induktion über i gezeigt, dass für alle i ∈ Dom(G) = Dom(G*) gilt, dass

  dass min(Dom(G(i))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Damit gibt es dann wiederum ein j ∈ Dom(G*), so dass min(Dom(G(i))) ∈ Dom(G*(j)). Dann ergibt sich wie oben, dass

Theorem 2- 52 .

 52 Liegt der Anfang eines geschlossenen Abschnitts ' in einem geschlossenen Abschnitt , dann ist ' ein Teilabschnitt von Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und min(Dom( ')) ∈ Dom( ), dann ' ⊆ . Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und sei min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Dann ist min(Dom( ')) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Dann gibt es mit Theorem 2-47 ein ⊆ , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( ')) = min(Dom( )). Dann ergibt sich mit Theorem 2-50, dass ' = und also, dass ' ⊆ . ■ Theorem 2-53. Geschlossene Abschnitte sind durch ihre Ende eindeutig bestimmt Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und max(Dom( )) = max(Dom( ')), dann = '. Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und max(Dom( )) = max(Dom( ')). Angenommen min(Dom( )) < min(Dom( ')). Dann ist min(Dom( )) < min(Dom( ')) < max(Dom( ')) = max(Dom( )). Dann ist min(Dom( ')) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( ')). Damit gibt es mit Theorem 2-48 einen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( ')) = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Dann gilt mit Theorem 2-50: ' = . Dann gilt aber im Widerspruch zur Annahme: max(Dom( ')) = max(Dom( )) < max(Dom( )). Also ist min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )). Umgekehrt ergibt sich für min(Dom( ')) < min(Dom( )), dass max(Dom( )) < max(Dom( ')) -wiederum im Widerspruch zur Annahme. Somit ist insgesamt min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) und min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und damit min(Dom( )) = min(Dom( ')). Daraus folgt mit Theorem 2-50 = '. ■ Theorem 2-54. Echte Teilabschnittschaft zwischen geschlossenen Abschnitten Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind, dann: min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))} gdw ' ⊂ . Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in . (L-R): Sei min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))}. Also ist min(Dom( ')) ≠ min(Dom( )) und damit auch ' ≠ . Außerdem ist min(Dom( ')) ∈ Dom( ) und mit Theorem 2-52 ' ⊆ . Also ' ⊂ . (R-L): Sei nun ' ⊂ . Dann ist min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Sodann ist min(Dom( ')) ≠ min(Dom( )), denn sonst würde mit Theorem 2-50 ' = gelten. Also ist min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))}. ■ Theorem 2-55. Echte und unechte Teilabschnittschaft zwischen geschlossenen Abschnitten Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und min(Dom( ')) ∈ Dom( ), dann ' ⊂ oder ' = . Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und sei min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Angenommen min(Dom( ')) ∈ Dom( ))\{min(Dom( ))}. Dann ist mit Theorem 2-54 ' ⊂ . Angenommen min(Dom( ')) = min(Dom( )). Dann ist mit Theorem 2-50: ' = . ■ Theorem 2-56. Inklusionsverhältnisse zwischen nicht-disjunkten geschlossenen Abschnitten Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und ∩ ' ≠ ∅, dann: (i) min(Dom( )) < min(Dom( ')) gdw ' ⊂ , (ii) min(Dom( )) = min(Dom( ')) gdw ' = , (iii) min(Dom( )) < min(Dom( ')) gdw max(Dom( ')) < max(Dom( )), (iv) min(Dom( )) = min(Dom( ')) gdw max(Dom( )) = max(Dom( ')). Beweis: Seien und ' geschlossene Abschnitte in und ∩ ' ≠ ∅. Zu (i): (L-R): Sei min(Dom( )) < min(Dom( ')). Da und ' Abschnitte sind und ∩ ' ≠ ∅, gilt mit Theorem 2-9: min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Dann gilt mit der Voraussetzung min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))}. Damit gilt mit Theorem 2-54: ' ⊂ . (R-L): Sei umgekehrt ' ⊂ . Dann gilt mit Theorem 2-54: min(Dom( ')) ∈ Dom( ))\{min(Dom( ))} und also: min(Dom( )) < min(Dom( ')). Zu (ii): Ergibt sich mit Theorem 2-50 Zu (iii): (L-R): Sei min(Dom( )) < min(Dom( ')). Dann gilt mit (i): ' ⊂ . Dann gilt mit Theorem 2-5-(i): max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Sodann ergibt sich mit ' ⊂ und Theorem 2-53: max(Dom( ')) ≠ max(Dom( )) und somit insgesamt max(Dom( ')) < max(Dom( )). (R-L): Sei max(Dom( ')) < max(Dom( )). Dann gilt mit Theorem 2-5-(i): '. Damit gilt mit (i) und (ii): weder min(Dom( ')) < min(Dom( )) noch min(Dom( ')) = min(Dom( )). Also ist min(Dom( )) < min(Dom( ')). Zu (iv): Ergibt sich mit (ii) und Theorem 2-53. ■ Theorem 2-57. Geschlossene Abschnitte sind entweder disjunkt oder einer ist Teilabschnitt des anderen. Wenn und ' geschlossene Abschnitte in sind, dann: ∩ ' = ∅ oder ⊆ ' oder ' ⊆ . Beweis: Seien und ' geschlossene Abschnitte in . Sei ∩ ' ≠ ∅. Dann ist min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) oder min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Damit ergibt sich mit Theorem 2-56-(i) und -(ii): ⊆ ' oder ' ⊆ . ■ Theorem 2-58. Ein minimaler geschlossener Abschnitt ' ist mit einem geschlossenen Abschnitt elementfremd oder er ist ein Teilabschnitt von Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist und ' ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, dann: ∩ ' = ∅ oder ' ⊆ . Beweis: Sei ein geschlossener Abschnitt in und sei ' ein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann ist ' auch ein geschlossener Abschnitt in . Sei ∩ ' ≠ ∅. Dann ist min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Wäre nämlich min(Dom( ')) < min(Dom( )) ergäbe sich mit Theorem 2-56-(i): ⊂ '. Dann wäre mit Theorem 2-54 min(Dom( )) ∈ Dom( '))\{min(Dom( '))}. Damit wäre einerseits min(Dom( )) ≠ min(Dom( ')). Da nach Annahme ein geschlossener Abschnitt ist, wäre andererseits aber auch min(Dom( )) ∈ Dom( ') ∩ Dom(ANS( )) und damit müsste nach Definition 2-17, Definition 2-14, Definition 2-15 und Definition 2-16 min(Dom( )) = min(Dom( ')). Widerspruch! Also min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Mit ∩ ' ≠ ∅ und Theorem 2-56-(i) und -(ii) ergibt sich dann, dass ' ⊆ . ■ Das nächste Theorem bringt zum Ausdruck, dass es für jeden Abschnitt , der wenigstens einen Annahmesatz enthält und in dem es für jeden Annahmesatz einen geschlossenen Teilabschnitt gibt, in dem der betreffende Annahmesatz liegt, immer eine ANSumfassende Abschnittsfolge G für gibt, die die größten geschlossenen und voneinander disjunkten Teilabschnitte von so aufzählt, dass alle geschlossenen Teilabschnitte von erfasst werden. Theorem 2-59 spielt später eine zentrale Rolle in den Beweisen von Theorem 2-67, Theorem 2-68, Theorem 2-69, welche mittelbar ein Kernstück im Vollständigkeits-und Korrektheitsnachweis darstellen: Mit diesen Theoremen wird später gezeigt, dass SE, NE und PB und nur SE, NE und PB Annahmen eliminieren können; Theorem 2-59 selbst ist dabei entscheidend für den Nachweis, dass SE, NE und PB Annahmen eliminieren können und mithin entscheidend für den Vollständigkeitsnachweis. Theorem 2-59. ERZ-Material-Bereitstellungs-Theorem Wenn ein Abschnitt in ist, ANS( ) ∩ ≠ ∅ und es für jedes i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )) einen geschlossenen Abschnitt in gibt, so dass (i, i ) ∈ und ⊆ , dann: Es gibt ein G ∈ ANSUMF( ), so dass (i) G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, (ii) Ran(G) = { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } und (iii) { } × Ran(G) ⊆ { } × { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS. Beweis: Sei ein Abschnitt in , ANS( ) ∩ ≠ ∅ und gebe es für jedes i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (i, i ) ∈ und ⊆ . Dann ergibt sich mit Definition 2-1 zunächst, dass ∈ SEQ. Sei X = { | ⊆ und ( , ) ∈ GS und für alle ⊆ : Wenn ( , ) ∈ GS und ⊆ , dann = }. Zunächst gilt X ⊆ ABS( ). Um Theorem 2-17 anwenden zu können wird gezeigt, dass für alle *, ' ∈ X mit * ≠ ' gilt, dass * ∩ ' = ∅. Seien dazu *, ' ∈ X und * ≠ '. Mit *, ' ∈ X gilt ( , *), ( , ') ∈ GS und mit Theorem 2-57 dann * ∩ ' = ∅ oder * ⊆ ' oder ' ⊆ *. Der zweite und dritte Fall werden zum Widerspruch geführt: Angenommen * ⊆ '. Wegen * ∈ X gilt für alle ⊆ : Wenn ( , ) ∈ GS und * ⊆ , dann * = . Wegen ' ∈ X gilt ' ⊆ und ( , ') ∈ GS. Mit der Fallannahme gilt dann * = ', was der früheren Annahme widerspricht. Analog folgt ein Widerspruch unter der Annahme von ' ⊆ * für den dritten Fall. Also liegt der erste Fall vor: * ∩ ' = ∅. Es gilt also für alle *, ' ∈ X mit * ≠ ', dass * ∩ ' = ∅. Mit Theorem 2-17 gibt es G ∈ ABSF( ), so dass Ran(G) = X. Nun wird gezeigt, dass G (i) bis (iii) erfüllt. Aus (i) folgt dann auch G ∈ ANSUMF( ). Zu (i): Es muss noch gezeigt werden, dass a) G ≠ ∅, b) min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))), c) max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )) und d) für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). Mit Definition 2-9 folgt dann, dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist. Da ANS( ) ∩ ≠ ∅ und damit Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) ≠ ∅, folgt zudem a) aus d). Da es außerdem für jedes i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )) einen geschlossenen Abschnitt in gibt, so dass (i, i ) ∈ und ⊆ , folgen d) und a) bereits daraus, dass e) für alle ⊆ mit ( , ) ∈ GS gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass ⊆ G(i). Zu e): Gäbe es ein ⊆ mit ( , ) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i). Sei k = min({j | Es gibt ein ⊆ mit ( , ) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i), und j = min(Dom( ))}). Dann gibt es ein ⊆ mit ( , ) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i), und k = min(Dom( )). Sei nun ' ⊆ und ( , ') ∈ GS und ⊆ '. Dann gilt min(Dom( ')) ≤ k. Sodann gilt für ', dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ' ⊆ G(i), denn sonst wäre auch ⊆ G(i) für dieses i. Also gilt wegen der Minimaliät von k, dass min(Dom( ')) = k. Damit gilt aber mit Theorem 2-50, dass = '. Also gilt für alle ' ⊆ mit ( , ') ∈ GS und ⊆ ', dass = '. Also ist ∈ X und damit gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass = G(i). Widerspruch! Also gilt für alle ⊆ mit ( , ) ∈ GS, dass es ein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i). Zu b):

  Zu (iii): (iii) folgt aus der Definition von X und Ran(G) = X. ■ Theorem 2-60. Sind alle Folgenglieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge für geschlossene Abschnitte, dann ist jeder geschlossene Teilabschnitt von Teilabschnitt eines Folgengliedes Wenn ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und G ∈ ANSUMF( ) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und { } × Ran(G) ⊆ GS, dann gilt für alle : Wenn ⊆ ein geschlossener Abschnitt in ist, dann gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass ⊆ G(i). Beweis: Sei ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und G ∈ ANSUMF( ) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ⊆ ein geschlossener Abschnitt in . Dann ist mit Definition 2-11 bis Definition 2-13 und Theorem 2-42 min(Dom( )) ∈ ANS( ) ∩ . Damit gibt es nach Definition 2-9-(iii-c) ein i ∈ Dom(G), so dass min(Dom( )) ∈ Dom(G(i)) und nach Voraussetzung ist ( , G(i)) ∈ GS. Dann folgt mit Theorem 2-52: ⊆ G(i). ■ Nachdem bisher vor allem Theoreme gezeigt wurden, die für alle geschlossenen Abschnitte gelten, liegt das Interesse später auch gerade bei den besonderen Eigenschaften von geschlossenen Abschnitten, insofern diese durch die Anwendung von Subjunktoreinführung (SE-geschlossene), Negatoreinführung (NE-geschlossene) und Partikularquantorbeseitigung (PB-geschlossene) entstehen. Daher werden nun für diese Arten von geschlossenen Abschnitten eigene Prädikate bereitgestellt, wobei jeder geschlossene Abschnitt einer dieser Arten angehört (Theorem 2-61).

  schnitt in max(Dom( )). Offenbar gilt mit Theorem 2-7 min(Dom( i)) = min(Dom( )) und somit mit Theorem 2-31 weder min(Dom( )) < min(Dom( i)) noch max(Dom( i)) ≤ min(Dom( )), was der Voraussetzung widerspricht. Zu (ii): Gäbe es nun ein G ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G) ⊆ GS und i ∈ PERZ(〈 , G〉). Sei nun j = min({i | i ∈ Dom( ) und es gibt G ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G) ⊆ GS und i ∈ PERZ(〈 , G〉)}). Dann gibt es G* ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G*) ⊆ GS und j ∈ PERZ(〈 , G*〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( j) und ein l ∈ Dom(G*) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G* (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G* (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G*(l))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G* (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G* (l+1)〉) und andererseits k < j, was im Widerspruch zur Minimaliät von j steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( j) und kein l ∈ Dom(G*), so dass k ∈ PERZ(〈 , G* (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 j ∈ ERZ(〈 , G*〉) und damit mit { } × Ran(G*) ⊆ GS und Theorem 2-41 ( , j) ∈ GS und also j im Widerspruch zu (i) ein geschlossener Abschnitt in . ■ Die folgenden vier Theoreme schließen Kap. 2.2 ab und stellen die Basis für den Nachweis der Korrektheit und der Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bereit. Mit diesen Theoremen lässt sich später zeigen, dass SE resp. NE resp. PB und nur diese SE-resp. NE-resp. PB-geschlossene Abschnitte und damit überhaupt geschlossene Abschnitte erzeugen. Theorem 2-66. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder ein SE-oder NE-oder PB-geschlossener Abschnitt, dessen Annahmesätze am Anfang oder in echten geschlossenen Teilabschnitten liegen Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist, dann: (i) ist minimaler geschlossener Abschnitt in oder (ii) ist ein SE-oder NE-oder PB-geschlossener Abschnitt in , wobei für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i gilt: Es gibt ein , so dass a) (i, i ) ∈ , b) ein geschlossener Abschnitt in ist, c) i = min(Dom( )) und d) min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25 und Theorem 2-48. ■ Theorem 2-67. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-91 ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass (i) min(Dom( )) = Sei Δ , (ii) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), (iii) A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (iv) Für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r ) ∈ , und (v) max(Dom( )) = Also Δ → Γ gdw ist ein SE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen für und erfüllt und seien Δ und Γ wie gefordert. Dann ist zunächst ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-11 ein SE-artiger Abschnitt in . Sodann ergibt sich mit Klausel (ii) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist. Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} oder es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Dann ergibt sich damit, dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist, und Theorem 2-32, dass ein minimaler geschlossener und damit ein geschlossener Abschnitt in ist. Da ein SE-artiger Abschnitt in ist, ist damit ein SE-geschlossener Abschnitt in . Gebe es nun ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Sei nun = {(l, l ) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1}. Dann ist ein Abschnitt in und i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Sodann gibt es für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (r, r ) ∈ und ⊆ . Sei nämlich r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Dann ist min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 und somit gibt es nach Klausel (iv) einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r ) ∈ . Dann ist min(Dom( )) ≤ min(Dom( )), denn andernfalls wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( )), was Klausel (ii) widerspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ein Abschnitt in max(Dom( )) ist, dass max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( )). Also ist mit Theorem 2-5 ⊆ . Damit erfüllt die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und { } × Ran(G) ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von , dass ∈ ABS( ) und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ANS( ) ∩ ≠ ∅. Sodann ist ein SE-artiger Abschnitt in . Damit gilt mit Theorem 2-28 auch, dass kein NE-artiger Abschnitt in ist. Ferner gilt damit, dass für alle i ∈ Dom( ) gilt, dass i kein geschlossener Abschnitt in ist, dass auch für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Damit ist gemäß Definition 2-18 ∈ PERZ(〈 , G〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( ) und ein l ∈ Dom(G) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G(l)))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉) und andererseits ∈ SEQ und { } × Ran(G (l+1)) ⊆ { } × Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( ) und kein l ∈ Dom(G), so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 ∈ ERZ(〈 , G〉) und weil { } × Ran(G) ⊆ GS mit Theorem 2-41 auch ( , ) ∈ GS und damit ein geschlossener Abschnitt in und ein SE-artiger Abschnitt in und somit ein SE-geschlossener Abschnitt in . (R-L): Sei nun ein SE-geschlossener Abschnitt in . Dann ist ein geschlossener Abschnitt und ein SE-artiger Abschnitt in . Dann ergibt sich damit, dass ein SEartiger Abschnitt in ist, dass es Δ, Γ ∈ GFORM gibt, so dass (i), (iii) und (v) erfüllt sind. Sodann gilt mit Theorem 2-48, dass (iv) gilt. (Falls ein minimaler geschlossener Abschnitt ist, gilt (iv) trivialerweise.) Sei nun ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Angenommen min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) und min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ∈ Dom( ) und somit ∩ ≠ ∅ und min(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Damit würde mit Theorem 2-56-(i) und -(ii) gelten, dass ⊆ . Damit wäre aber ⊆ ⊆ max(Dom( )) und somit max(Dom( )) ∉ Dom( ) ≠ ∅. Widerspruch! Also ist min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Also gilt auch (iii). ■ Theorem 2-68. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-92 ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), (ii) min(Dom( )) = Sei Δ , (iii) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), (iv) A( i ) = Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = ¬Γ oder A( i ) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (v) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: i < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ i, (vi) Für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r ) ∈ , und (vii) max(Dom( )) = Also ¬Δ gdw ist ein NE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen für und erfüllt und seien Δ, Γ und i wie gefordert. Dann ist zunächst ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-12 ein NE-artiger Abschnitt in . Sodann ergibt sich mit Klausel (iii) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist. Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} oder es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Dann ergibt sich damit, dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist, und Theorem 2-32, dass ein minimaler geschlossener und damit ein geschlossener Abschnitt in ist. Da ein NE-artiger Abschnitt in ist, ist damit ein NE-geschlossener Abschnitt in . Gebe es nun ein s ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < s ≤ max(Dom( ))-1. Sei nun = {(l, l ) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1}. Dann ist ein Abschnitt in und s ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Sodann gibt es für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (r, r ) ∈ und ⊆ . Sei nämlich r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Dann ist min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 und somit gibt es nach Klausel (vi) einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r ) ∈ . Dann ist min(Dom( )) ≤ min(Dom( )), denn andernfalls wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( )), was Klausel (iii) widerspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ein Abschnitt in max(Dom( )) ist, dass max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( )). Also ist mit Theorem 2-5 ⊆ . Damit erfüllt die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und { } × Ran(G) ⊆ { } × { * | * ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ { } × { * | * ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von , dass ∈ ABS( ) und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein NE-artiger Abschnitt in . Sodann gilt für alle r ∈ Dom(G): i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Sei nämlich r ∈ Dom(G). Dann ist G(r) ⊆ ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Somit gilt nach Klausel (v): i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Ferner gilt damit, dass für alle i ∈ Dom( ) gilt, dass i kein geschlossener Abschnitt in ist, dass auch für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Damit ist gemäß Definition 2-18 ∈ PERZ(〈 , G〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( ) und ein l ∈ Dom(G) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G(l)))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉) und andererseits ∈ SEQ und { } × Ran(G (l+1)) ⊆ { } × Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( ) und kein l ∈ Dom(G), so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 ∈ ERZ(〈 , G〉) und damit mit { } × Ran(G) ⊆ GS und Theorem 2-41 ( , ) ∈ GS und damit ein geschlossener Abschnitt in und ein NE-artiger Abschnitt in und somit ein NE-geschlossener Abschnitt in . (R-L): Sei nun ein NE-geschlossener Abschnitt in . Dann ist ein geschlossener Abschnitt und ein NE-artiger Abschnitt in . Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} oder es gibt ein j ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < j ≤ max(Dom( ))-1. Erster Fall: Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Dann gilt mit Theorem 2-35-(iv) und Theorem 2-41, dass ein minimaler geschlossener Abschnitt in und damit, da ein NE-artiger Abschnitt in ist, dass ein minimaler NEgeschlossener Abschnitt in ist. Dann ergibt sich, dass es Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ) gibt, so dass (i), (ii), (iv) und (vii) erfüllt sind. Sodann gilt trivialerweise, dass (vi) gilt. Seien nun Δ, Γ und i wie in (i), (ii), (iv) und (vii) gefordert. Dann gelten auch (iii) und (v). Sei nämlich ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Dann gilt, wenn l = min(Dom( )) oder l = i, dann l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Da nämlich ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt und damit ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, gilt mit Theorem 2-58: ∩ = ∅ oder ⊆ . Da nun aber nach Annahme ⊆ max(Dom( )) gilt, folgt {(max(Dom( )), max(Dom( )) )} ∈ \ und somit und daher ∩ = ∅. Für l = min(Dom( )) oder l = i und min(Dom( )) ≤ l < max(Dom( )) wäre andererseits aber ∩ ≠ ∅. Zweiter Fall: Gebe es nun ein j ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < j ≤ max(Dom( ))-1. Dann ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gibt es mit Theorem 2-41 ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für = {(l, l ) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1} in . Sodann ist ein NE-artiger Abschnitt in und damit gilt gemäß Definition 2-18 und Definition 2-19: Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass a) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), b) min(Dom( )) = Sei Δ , c) A( i ) = Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = ¬Γ oder A( i ) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, d) Für alle r ∈ Dom(G) gilt: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i, e) max(Dom( )) = Also ¬Δ . Dann sind (i), (ii), (iv) und (vii) erfüllt. Sodann gilt mit Theorem 2-48 auch (vi). Sodann gelten auch (iii) und (v). Sei nämlich ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Damit gilt: ⊆ max(Dom( )) und somit {(max(Dom( )), max(Dom( )) )} ∈ \ und somit . Ferner ergibt sich aus der Annahme, dass max(Dom( )) < max(Dom( )). Damit gilt, dass ∩ = ∅ oder ⊆ . Sei nämlich ∩ ≠ ∅. Dann gilt wegen mit Theorem 2-57 ⊂ und somit mit Theorem 2-56: min(Dom( )) < min(Dom( )). Damit gilt insgesamt: min(Dom( )) = min(Dom( ))+1 ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( )) und somit mit Theorem 2-5 ⊆ . Damit ergibt sich mit Theorem 2-52 sofort, dass (iii) gilt, also dass min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Ferner gilt auch (v), also: i < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ i. Wäre nämlich min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Dann wäre (i, i ) ∈ . Nun ist ⊆ ein geschlossener Abschnitt in und damit gilt mit Theorem 2-60: Es gibt ein r ∈ Dom(G), so dass ⊆ G(r). Dann wäre min(Dom(G(r))) ≤ min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )) ≤ max(Dom(G(r))). Andererseits müsste aber wegen d) gelten: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Widerspruch! Also muss gelten: i < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ i. ■ Theorem 2-69. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-93 ist ein Abschnitt in und es gibt ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ), so dass (i) A( min(Dom( )) ) = ξΔ , (ii) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), (iii) min(Dom( ))+1 = Sei [β, ξ, Δ] , (iv) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( ))+1 < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( ))+1, (v) A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (vi) max(Dom( )) = Also Γ , (vii) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (viii) Es gibt kein j ≤ min(Dom( )), so dass β ∈ TT( j ), (ix) = \{(min(Dom( )), min(Dom( )) )} und (x) Für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r ) ∈ gdw ist ein PB-geschlossener Abschnitt in . Beweis: (L-R): Sei ein Abschnitt in und seien ξ, β, Δ, Γ und so wie gefordert. Dann ist zunächst ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-13 ein EA-artiger Abschnitt in , wobei min(Dom( )) = min(Dom( ))+1. Sodann ergibt sich mit Klausel (iv) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist. Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} oder es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Dann ergibt sich damit, dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist, und Theorem 2-32, dass ein minimaler SE-, NE-oder PB-geschlossener und damit ein ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Sei nun * = {(l, l ) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1}. Dann ist * ein Abschnitt in und i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( *). Sodann gibt es für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( *) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (r, r ) ∈ und ⊆ *. Sei nämlich r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( *). Dann ist min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 und somit gibt es nach Klausel (x) einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r ) ∈ . Dann ist min(Dom( *)) ≤ min(Dom( )), denn andernfalls wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( )), was Klausel (iv) widerspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ein Abschnitt in max(Dom( )) ist, dass max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( *)). Also ist mit Theorem 2-5 ⊆ *. Damit erfüllt * die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für * in ist und { } × Ran(G) ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von *, dass * ∈ ABS( ) und min(Dom( ))+1 = min(Dom( *)) und max(Dom( )) = max(Dom( *))+1 und ist ein EA-artiger Abschnitt in . Angenommen, ist ein NE-artiger Abschnitt in . Dann ist Γ = ¬[β, ξ Δ] und A( min(Dom( )) ) = [β, ξ, Δ] und A( max(Dom( ))-1 ) = ¬[β, ξ, Δ] . Sodann gilt für alle r ∈ Dom(G): min(Dom( )) < min(Dom( *)) ≤ min(Dom(G(r)). Ferner gilt damit, dass für alle i ∈ Dom( ) gilt, dass i kein geschlossener Abschnitt in ist, dass auch für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Damit ist gemäß Definition 2-18 ∈ PERZ(〈 , G〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( ) und ein l ∈ Dom(G) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G(l)))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉) und andererseits ∈ SEQ und { } × Ran(G (l+1)) ⊆ { } × Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( ) und kein l ∈ Dom(G), so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 ∈ ERZ(〈 , G〉) und damit mit { } × Ran(G) ⊆ GS und Theorem 2-41 ( , ) ∈ GS und damit ein geschlossener Abschnitt in und ein EA-artiger Abschnitt in und somit ein PB-geschlossener Abschnitt in . (R-L): Sei nun ein PB-geschlossener Abschnitt in . Dann ist ein geschlossener Abschnitt und ein EA-artiger Abschnitt in . Dann ergibt sich damit, dass ein EAartiger Abschnitt in ist, dass es ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ein ∈ ABS( ) gibt, für die die Klauseln (i), (iii), und (v)-(ix) erfüllt sind. Sodann gilt mit Theorem 2-48, dass (x) gilt (falls ein minimaler geschlossener Abschnitt ist, gilt (x) trivialerweise). Außerdem ist min(Dom( )) = min(Dom( ))+1. Zu zeigen ist nun noch, dass auch (ii) und (iv) gelten. Dazu wird zuerst (iv) gezeigt. Sei dazu ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Angenommen min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ∈ Dom( ) und somit ∩ ≠ ∅. Sodann würde mit Theorem 2-56 gelten, dass ⊆ . Damit wäre aber ⊆ ⊆ max(Dom( )) und somit max(Dom( )) ∉ Dom( ) ≠ ∅. Widerspruch! Also ist min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Nun ist noch (ii) zu zeigen. Sei dazu wieder ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Angenommen min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) < min(Dom( )) ≤ max(Dom( )). Nun gilt mit (iv) -wie eben gezeigt -min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Da der erste Fall ausgeschlossen ist, gilt dann max(Dom( )) ≤ min(Dom( )) und damit insgesamt max(Dom( )) = min(Dom( )). Dann ist max(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )). Andererseits ist mit Theorem 2-42 ein SE-oder ein NE-oder ein EA-artiger Abschnitt in und damit müsste mit Theorem 2-29 gelten: max(Dom( )) ∉ Dom(ANS( )). Widerspruch! Damit gilt min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Also gilt auch (ii). ■ 2.3 VERS, VANS, VER und VAN Unter Rückgriff auf Kap. 2.2 wird nun die Verfügbarkeitsrede etabliert. Dabei soll eine Aussage in einer Sequenz genau dann bei einem i ∈ Dom( ) verfügbar sein, wenn (i, i ) in keinem echten Anfangsabschnitt eines geschlossenen Abschnitts in liegt (Definition 2-26). Von allen Aussagen der Glieder eines geschlossenen Abschnitts in ist also höchstens die Aussage des letzten Gliedes von bei irgendeinem i ∈ Dom( ), nämlich gerade bei max(Dom( )), in verfügbar. Die Funktion VERS ordnet sodann einer Sequenz die Teilmenge von zu, für deren Elemente (i, i ) gilt, dass die Aussage von i in bei i verfügbar ist (Definition 2-28). Die Aussagen der Sätze aus VERS( ) lassen sich sodann mit der Funktion VER zu VER( ), der Menge der in an irgendeiner Stelle verfügbaren Aussagen, zusammenfassen (Definition 2-30). Sodann ordnet die Funktion VANS einer Sequenz die Teilmenge von zu, für deren Elemente (i, i ) gilt, dass i ein Annahmesatz ist und dass die Aussage von i in bei i verfügbar ist(Definition 2-29). Die Aussagen der Annahmesätze aus VANS( ) lassen sich sodann wiederum mit der Funktion VAN zu VAN( ), der Menge der in an irgendeiner Stelle angenommenen und an dieser Stelle noch verfügbaren Aussagen -kurz: zur Menge der in verfügbaren Annahmen -zusammenfassen (Definition 2-31). Sodann werden Theoreme bewiesen, die zum einen Zusammenhänge zwischen VERS, VANS, VER und VAN und zum anderen Zusammenhänge zwischen der Fortsetzung einer Sequenz und Veränderungen in den Verfügbarkeitsverhältnissen etablieren. Für das Verständnis des Kalküls und die weitere Entwicklung sind dabei insbesondere Theorem 2-82, Theorem 2-83, Theorem 2-91, Theorem 2-92 und Theorem 2-93 entscheidend. Mit diesem Kapitel sind dann die Vorbereitungen abgeschlossen und im nächsten Kapitel kann der Redehandlungskalkül entwickelt und sodann in den weiteren Kapiteln untersucht werden. Definition 2-26. Verfügbarkeit einer Aussage in einer Sequenz an einer Stelle Γ ist in bei i verfügbar gdw Γ ∈ GFORM und ∈ SEQ und (i) i ∈ Dom( ), (ii) Γ = A( i ) und (iii) Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Definition 2-27. Verfügbarkeit einer Aussage in einer Sequenz Γ ist in verfügbar gdw Es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass Γ in bei i verfügbar ist.

Definition 2- 29 .

 29 Zuordnung der Menge der verfügbaren Annahmesätze (VANS) VANS = {( , X) | ∈ SEQ und X = VERS( ) ∩ ANS( )}. Hinweis: Tatsächlich sind die Titel 'Zuordnung der Menge der … Sätze' insofern irreführend, als dass VERS und VANS Sequenzen keine Mengen von Sätzen zuordnen sondern Teilmengen dieser Sequenzen, also Mengen von geordneten Paaren, deren zweite Projektionen dann die entsprechenden Sätze sind. Theorem 2-70. Verhältnis von VANS, VERS und jeweiliger Sequenz Wenn ∈ SEQ, dann: (i) VANS( ) = VERS( ) ∩ ANS( ) und (ii) VANS( ) ⊆ VERS( ) ⊆ . Beweis: Ergibt sich direkt aus den Definitionen. ■ Theorem 2-75. VANS-Inklusion impliziert VAN-Inklusion Wenn , ' ∈ SEQ und VANS( ) ⊆ VANS( '), dann VAN( ) ⊆ VAN( ').

Theorem 2 -

 2 76. VAN ist höchstens so groß wie VANSFür alle ∈ SEQ: |VAN( )| ≤ |VANS( )|. Beweis: Sei ∈ SEQ. Nach Definition 2-31 ist dann f : VAN( ) → VANS( ), f(Γ) = (min({i | i ∈ Dom(VANS( )) und A( i ) = Γ}), min({i | i ∈ Dom(VANS( )) und A( i ) = Γ}) ) eine Injektion von VAN( ) in VANS( ). ■ Theorem 2-77. VAN ist dann und nur dann leer, wenn auch VANS leer ist Für alle ∈ SEQ: |VAN( )| = 0 gdw |VANS( )| = 0. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei |VAN( )| ≠ 0. Dann ist mit Theorem 2-76 auch |VANS( )| ≠ 0. Sei nun |VANS( )| ≠ 0. Dann gibt es (i, i ) ∈ VANS( ) und mit Definition 2-31 ist dann A( i ) ∈ VAN( ) und damit |VAN( )| ≠ 0. Damit ist insgesamt |VAN( )| ≠ 0 gdw |VANS( )| ≠ 0, woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. ■ Theorem 2-78. Bei non-redundantem VANS ist jede Annahme an genau einer Stelle als Annahme verfügbar Wenn ∈ SEQ und |VAN( )| = |VANS( )|, dann gilt für alle Γ ∈ VAN( ): Es gibt genau ein j ∈ Dom(VANS( )), so dass Γ = A( j ). Beweis: Sei ∈ SEQ und |VAN( )| = |VANS( )|. Dann gilt nach Theorem 2-70-(ii), dass VANS( ) ⊆ und damit mit ∈ SEQ und Definition 1-24 und Definition 1-23, dass |VAN( )| = |VANS( )| = k für ein k ∈ N. Sei nun Γ ∈ VAN( ). Dann ist k > 0. Sodann gibt es nach Definition 2-31 ein j ∈ Dom(VANS( )), so dass Γ = A( j ). Sei nun i ∈ Dom(VANS( )) und Γ = A( i ). Wäre nun i ≠ j. Dann ist |VANS( )\{(j, j )}| = k-1 und andererseits ist f : VAN( ) → VANS( )\{(j, j )}, f(Β) = (min({l | l ∈ Dom(VANS( )\{(j, j )}) und A( l ) = Β}), min({l | l ∈ Dom(VANS( )\{(j, j )}) und A( l ) = Β}) ) eine Beweis: Beweis per Induktion über Dom( '). Für Dom( ') = 0 folgt die Induktionsbasis mit ' = . Angenommen, für alle * ∈ SEQ mit Dom( *) = j gilt das Theorem. Zu(i) gilt also VERS( *) ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, * i ) | i ∈ Dom( *)} für alle * ∈ SEQ mit Dom( *) = j. Sei nun Dom( ') = j+1. Dann ist Dom( ' Dom( ')-1) = j. Also ist nach I.V. VERS( ( ' Dom( ')-1)) ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, ( ' Dom( ')-1) i ) | i ∈ Dom( ' Dom( ')-1)} = VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, ' i ) | i ∈ ( ')-1)) ∪ {(Dom( )+(Dom( ')-1), ' Dom( ')-1 )}. Also insgesamt VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, ' i ) | i ∈ Dom( ')-1} ∪ {(Dom( )+(Dom( ')-1), ' Dom( ')-1 )} und damit VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, ' i ) | i ∈ Dom( ')}. Der Beweis zu (ii) verläuft analog. ■ Theorem 2-81. VERS, VANS, VER und VAN in Beschränkungen auf Dom( )-1Wenn ∈ SEQ, dann:(i) VERS( ) ⊆ VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}, (ii) VANS( ) ⊆ VANS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )},(iii) VER( ) ⊆ VER( Dom( )-1) ∪ {A( Dom( )-1 )}, (iv) VAN( ) ⊆ VAN( Dom( )-1) ∪ {A( Dom( )-1 )}. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei = ∅. Dann ist VERS( ) ∪ VANS( ) ∪ VER( ) ∪ VAN( ) = ∅ und damit gilt die Behauptung. Sei nun ≠ ∅. Dann ist = ( Dom( )-1) {(0, Dom( )-1 )} und die Behauptung ergibt sich mit Theorem 2-79. ■ Theorem 2-82. Die Konklusion ist immer verfügbar Wenn ∈ SEQ\{∅}, dann ist K( ) in bei Dom( )-1 verfügbar. Beweis: Sei ∈ SEQ\{∅}. Dann gilt für alle geschlossenen Abschnitte in : max(Dom( )) ≤ Dom( )-1 und also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 < max(Dom( )). Also ist A( Dom( )-1 ) = K( ) in bei Dom( )-1 verfügbar. ■ Theorem 2-83. Zusammenhang von Nichtverfügbarkeit und der Entstehung eines geschlossenen Abschnitts beim Übergang von Dom( )-1 auf Wenn ∈ SEQ und VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅, dann: Es gibt ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und (i) min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1, (ii) Für alle geschlossenen Abschnitte in Dom( )-1 gilt: Dom( )-1 ∩ = ∅ oder min(Dom( )) < min(Dom( )) und max(Dom( )) < Dom( )-1, (iii) Für alle geschlossenen Abschnitte * in gilt: Wenn * kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 ist, dann ist * = , (iv) VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ⊆ {(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, (v) VERS( ) = (VERS( Dom( )-1)\{(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}, (vi) VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}, (vii) VANS( Dom( )-1) = VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}, (viii) VER( Dom( )-1)\VER( ) ⊆ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, (ix) VER( Dom( )-1) ⊆ {A( j ) | j ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1)} ∪ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, (x) VAN( Dom( )-1)\VAN( ) ⊆ {A( min(Dom( )) )} und (xi) VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( min(Dom( )) )}. Beweis: Sei ∈ SEQ und sei VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅. Dann gibt es nach Definition 2-28 ein i ∈ Dom( )-1, so dass (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Dann ist Dom( )-1 ≠ ∅ und damit ≠ ∅. Dann gilt nach Definition 2-28 und Definition 2-26, dass es kein ' gibt, so dass ' ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 ist und min(Dom( ')) ≤ i < max(Dom( ')) und dass es ein gibt, so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Zu (i): Es ist zunächst max(Dom( )) ≤ Dom( )-1. Wäre nun Dom( )-2 < min(Dom( )). Dann wäre mit Theorem 2-44 Dom( )-1 ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )) ≤ Dom( )-1. Widerspruch! Also ist min(Dom( )) ≤ Dom( )-2. Wäre nun max(Dom( )) < Dom( )-1. Dann wäre min(Dom( )) < max(Dom( )) < Dom( )-1 und mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 und es wäre min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Damit wäre aber (i, i ) ∉ VERS( Dom( )-1). Also gilt, dass max(Dom( )) = Dom( )-1 und damit insgesamt, dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1. Zu (ii): Sei ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Sei nun Dom( )-1 ∩ ≠ ∅. Dann ist ∩ ≠ ∅. Dann gilt mit Theorem 2-57: ⊆ oder ⊆ . Da aber ⊆ Dom( )-1 und (Dom( )-1, Dom( )-1 ) ∈ , gilt . Damit gilt ⊂ . Damit gilt mit Theorem 2-56-(i) und -(iii): min(Dom( )) < min(Dom( )) und max(Dom( )) < max(Dom( )) = Dom( )-1. Zu (iii): Sei * ein geschlossener Abschnitt in , aber kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Dann ist max(Dom( *)) = Dom( )-1. Es gilt nämlich: max(Dom( *)) ≤ Dom( )-1. Wäre nun max(Dom( *)) < Dom( )-1, dann wäre mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) * entgegen der Voraussetzung ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Also gilt Dom( )-1 ≤ max(Dom( *)) und somit insgesamt max(Dom( *)) = Dom( )-1 = max(Dom( )). Damit ergibt sich mit Theorem 2-53, dass * = . Zu (iv): Sei (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Dann gibt es einen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )) und kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 ist. Dann gilt mit (iii): = und somit min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )) = Dom( )-1. Damit gilt dann (i, i ) ∈ {(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Zu (v): Sei zunächst (i, i ) ∈ VERS( ). Dann gilt zunächst mit Theorem 2-81-(i): (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}. Sodann gilt, dass es keinen geschlossenen Abschnitt in gibt, so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Da nun ein geschlossener Abschnitt in ist, gilt dann mit (i):

  gibt es mit Theorem 2-47 ein ⊆ , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und i = min(Dom( )). Wegen (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1) ist dann kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 und daher mit (iii) = und daher i = min(Dom( )) = min(Dom( )). Dann ist (i, i ) = (min(Dom( )), min(Dom( )) ). Nun zum Nachweis von {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} ⊆ VANS( Dom( )-1)\VANS( ). Zunächst ist (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ ANS( ). Angenommen, es gäbe einen geschlossenen Abschnitt in Dom( )-1, so dass min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann ist ∩ Dom( )-1 ≠ ∅. Damit würde aber mit (ii) gelten: min(Dom( )) < min(Dom( )). Widerspruch! Also gibt es keinen entsprechenden geschlossenen Abschnitt in Dom( )-1 und somit ist (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VANS( Dom( )-1). Sodann gibt es mit selbst einen geschlossenen Abschnitt ' in , so dass min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( ')) und somit ist (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∉ VANS( ) und daher insgesamt (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VANS( Dom( )-1)\VANS( ).

  min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Also gilt in beiden Fällen: (i, i ) ∈ VANS( ) ∪ {(min(Dom( )),min(Dom( )) )}. Sei nun umgekehrt (i, i ) ∈ VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Sei nun zunächst (i, i ) ∈ VANS( ). Dann ist (i, i ) ∈ ANS( ). Sodann gilt mit Theorem 2-81-(ii): (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}.Nun gilt aber mit (i) max(Dom( )) = Dom( )-1 und da ein geschlossener Abschnitt in und damit ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in ist, ist damit mit Theorem 2-29 (Dom( )-1, Dom( )-1 ) ∉ ANS( ) und somit ist (i, i ) ∉ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}. Damit ist dann (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1). Sei nun (i, i ) ∈ {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Dann gilt mit (vi) ebenfalls (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1). Zu (viii): Sei Γ ∈ VER( Dom( )-1)\VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)) und Γ = A( i ). Dann ist (i, i ) ∈ VERS( Dom( )-1) und (i, i ) ∉ VERS( ), denn sonst wäre Γ ∈ VER( ). Dann gilt mit (iv): (i, i ) ∈ {(j, j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Dann ist Γ ∈ {A( j ) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Zu (ix): Sei Γ ∈ VER( Dom( )-1). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1),

  Zu (x): Sei Γ ∈ VAN( Dom( )-1)\VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1) und Γ = A( i ). Dann ist (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1) und (i, i ) ∉ VANS( ), denn sonst wäre Γ ∈ VAN( ). Dann ergibt sich mit (vi): (i, i ) = (min(Dom( )), min(Dom( )) ). Dann ist Γ = A( i ) = A( min(Dom( )) ) ∈ {A( min(Dom( )) )}. Und zuletzt zu (xi): Mit (vii) gilt: VANS( Dom( )-1) = VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Damit gilt: Γ ∈ VAN( Dom( )-1) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und Γ = A( i ) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( )) ∪ {min(Dom( ))} und Γ = A( i ) gdw Γ ∈ VAN( ) ∪ {A( min(Dom( )) )}. Also gilt VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( min(Dom( )) )}. ■ Theorem 2-84. VERS-Verringerung beim Übergang von Dom( )-1 zu dann und nur dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird Wenn ∈ SEQ, dann: VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅ gdw Es gibt ein , so dass (i) ein geschlossener Abschnitt in ist und (ii) min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1. Beweis: Sei ∈ SEQ. Die Links-Rechts-Richtung ergibt sich unmittelbar mit Theorem 2-83. Gebe es nun für die Rechts-Links-Richtung ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1. Dann gilt: (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Zunächst ist nämlich (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∉ VERS( ), da es mit selbst einen geschlossenen Abschnitt ' in gibt, so dass min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( ')). Sei nun ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Dann gilt wegen ⊆ Dom( )-1 und (Dom( )-1, Dom( )-1 ) ∈ , dass . Damit gilt aber mit Theorem 2-52: min(Dom( )) ∉ Dom( ). Somit gibt es keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )) und daher gilt: (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VERS( Dom( )-1) und insgesamt: (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). ■ Theorem 2-85. VANS-Verringerung beim Übergang von Dom( )-1 zu dann und nur dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird, dessen erstes Glied gerade der nun unverfügbare Annahmesatz und das maximale Glied in VANS( Dom( )-1) ist Wenn ∈ SEQ, dann: VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅ gdw Es gibt ein , so dass (i) ein geschlossener Abschnitt in ist, (ii) min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1 und (iii) VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )}. Beweis: Sei ∈ SEQ. (L-R): Sei VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅. Mit Theorem 2-73 gilt dann, dass auch VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅. Damit gibt es mit Theorem 2-83 ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1 und VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Sodann ist auch min(Dom( )) = max(Dom(VANS( Dom( )-1))). Zunächst ist (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VANS( Dom( )-1) und damit min(Dom( )) ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Sei nun k ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und sei min(Dom( )) ≤ k. Dann ist (k, k ) ∈ VANS( Dom( )-1) und damit (k, k ) ∈ ANS( Dom( )-1) und damit auch (k, k ) ∈ ANS( ). Sodann ist min(Dom( )) ≤ k < Dom( )-1 = max(Dom( )). Damit ist dann k ∈ ANS( ) ∩ Dom( ). Mit Theorem 2-66 ist dann k = min(Dom( )) oder es gibt ein , so dass k = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )) = Dom( )-1. Der zweite Fall ist allerdings ausgeschlossen, da es sonst mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) einen geschlossenen Abschnitt mit min(Dom( )) ≤ k < max(Dom( )) in Dom( )-1 gäbe und damit (k, k ) ∉ VANS( Dom( )-1) gelten würde. Also ist k = min(Dom( )). Damit ist gezeigt, dass min(Dom( )) = max(Dom(VANS( Dom( )-1))) und damit gilt {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )}. (R-L): Gibt es umgekehrt einen geschlossenen Abschnitt in , für den VANS( Dom( )-1))\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}, dann ist VANS( Dom( )-1))\VANS( ) ≠ ∅. ■ Theorem 2-86. Ist das letzte Glied eines geschlossenen Abschnitts in mit dem letzten Glied von identisch, dann ist das erste Glied von das maximale Glied von VANS( Dom( )-1) und in nicht mehr verfügbar Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist und max(Dom( )) = Dom( )-1, dann gilt: VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )}. Beweis: Sei ein geschlossener Abschnitt in und max(Dom( )) = Dom( )-1. Dann ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in und ∈ SEQ. Dann gilt mit Theorem 2-31: min(Dom( )) < max(Dom( )) = Dom( )-1 und somit min(Dom( )) ≤ Dom( )-2. Damit ergibt sich mit Theorem 2-84, dass VERS( Dom( ))\VERS( ) ≠ ∅ ist. Daraus ergibt sich wiederum mit Theorem 2-83-(vi), dass es ein gibt, so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( ( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Damit ergibt sich mit Theorem 2-85, dass VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )}. ■ Theorem 2-87. Beim Übergang von Dom( )-1 zu verringert sich die Anzahl der verfügbaren Annahmesätze maximal um eins Wenn ∈ SEQ, dann |VANS( Dom( )-1)\VANS( )| ≤ 1. Beweis: Sei ∈ SEQ. Dann ist VANS( Dom( )-1))\VANS( ) = ∅ oder VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅. Im ersten Fall ist |(VANS( Dom( )-1)\VANS( )| = 0. Sei nun VANS( Dom( )-1))\VANS( ) ≠ ∅. Dann gibt es mit Theorem 2-85 einen geschlossenen Abschnitt in , so dass VANS( Dom( )-1))\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )) )}. Dann ist |VANS( Dom( )-1)\VANS( )| = 1. ■ Theorem 2-88. Beim Übergang von Dom( )-1 zu impliziert echte VAN-Inklusion echte VANS-Inklusion Wenn ∈ SEQ und VAN( ) ⊂ VAN( Dom( )-1), dann VANS( ) ⊂ VANS( Dom( )-1). Beweis: Sei ∈ SEQ und sei VAN( ) ⊂ VAN( Dom( )-1). Dann gibt es ein Γ ∈ GFORM, so dass Γ ∈ VAN( Dom( )-1)\VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass Γ = A( i ). Dann ist i ∉ Dom(VANS( )), denn sonst wäre Γ ∈ VAN( ). Damit ist VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅ und mit Theorem 2-85 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in , so dass max(Dom( )) = Dom( )-1. Dann ist ein SE-oder NE-oder EA-artiger Abschnitt in . Dann ergibt sich mit Theorem 2-29, dass (Dom( )-1, Dom( )-1 ) ∉ ANS( ) und damit (Dom( )-1, Dom( )-1 ) ∉ VANS( ). Mit Theorem 2-81 gilt nun: VANS( ) ⊆ VANS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1 )}, so dass sich zunächst einmal VANS( ) ⊆ VANS( Dom( )-1) ergibt und mit (i, i ) ∈ VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ergibt sich: VANS( ) ⊂ VANS( Dom( )-1). ■ Theorem 2-89. Vorbereitungstheorem (a) für Theorem 2-91, Theorem 2-92 und Theorem 2-93 Wenn ein Abschnitt in ist und l ∈ Dom( max(Dom( ))), dann: (l, l ) ∈ VERS( max(Dom( ))) gdw Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Beweis: Sei ein Abschnitt in und l ∈ Dom( max(Dom( ))). (L-R): Sei nun zunächst (l, l ) ∈ VERS( max(Dom( ))). Sei nun ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Wäre dann min(Dom( )) ≤ l < max(Dom( )), dann wäre damit (l, l ) ∉ VERS( max(Dom( ))), was der Annahme widerspricht. Also ist l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. (R-L): Gelte nun für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )): l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Dann gilt für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )), dass es nicht der Fall ist, dass min(Dom( )) ≤ l < max(Dom( )). Sodann ist nach Voraussetzung l ∈ Dom( max(Dom( ))) und damit ist A( l ) in max(Dom( )) bei l verfügbar. Also gilt: (l, l ) ∈ VERS( max(Dom( ))). ■ Theorem 2-90. Vorbereitungstheorem (b) für Theorem 2-91, Theorem 2-92 und Theorem 2-93 Wenn ein Abschnitt in ist und l ∈ Dom( max(Dom( ))), dann: (l, l ) ∈ VANS( max(Dom( ))) gdw (l, l ) ∈ ANS( ) und für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Beweis: Sei ein Abschnitt in und l ∈ Dom( max(Dom( ))). (L-R): Sei nun zunächst (l, l ) ∈ VANS( max(Dom( ))). Dann ist (l, l ) ∈ VERS( max(Dom( ))) ∩ ANS( max(Dom( ))) und da ANS( max(Dom( ))) ⊆ ANS( ) ist damit (l, l ) ∈ ANS( ). Sodann ergibt sich mit (l, l ) ∈ VERS( max(Dom( ))) und Theorem 2-89, dass für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. (R-L): Sei nun (l, l ) ∈ ANS( ) und gelte für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )): l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Nach Voraussetzung gilt, dass l ∈ Dom( max(Dom( ))) und damit, dass (l, l ) ∈ ANS( max(Dom( ))). Sodann ergibt sich mit Theorem 2-89, dass (l, l ) ∈ VERS( max(Dom( ))) und damit insgesamt, dass (l, l ) ∈ VANS( max(Dom( ))). ■ Theorem 2-91. SE-Schließt!-Theorem ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass (i) A( min(Dom( )) ) = Δ und (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VANS( max(Dom( ))), (ii) A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (iii) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt, so dass (r, r ) ∈ VANS( max(Dom( ))), und (iv) max(Dom( )) = Also Δ → Γ gdw ist ein SE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: Ergibt sich direkt aus Theorem 2-67, Theorem 2-89 und Theorem 2-90. ■ Theorem 2-92. NE-Schließt!-Theorem ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), (ii) A( min(Dom( )) ) = Δ und (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VANS( max(Dom( ))), (iii) A( i ) = Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = ¬Γ oder A( i ) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (iv) (i, i ) ∈ VERS( max(Dom( ))), (v) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt, so dass (r, r ) ∈ VANS( max(Dom( ))), und (vi) max(Dom( )) = Also ¬Δ gdw ist ein NE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: Ergibt sich direkt aus Theorem 2-68, Theorem 2-89 und Theorem 2-90. ■ Theorem 2-93. PB-Schließt!-Theorem ist ein Abschnitt in und es gibt ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ), so dass (i) A( min(Dom( )) ) = ξΔ und (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VERS( max(Dom( ))), (ii) A( min(Dom( ))+1 ) = [β, ξ, Δ] und (min(Dom( ))+1, min(Dom( ))+1 ) ∈ VANS( max(Dom( ))), (iii) A( max(Dom( ))-1 ) = Γ, (iv) max(Dom( )) = Also Γ , (v) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (vi) Es kein j ≤ min(Dom( )) gibt, so dass β ∈ TT( j ), (vii) = \{(min(Dom( )), min(Dom( )) )} und (viii) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt, so dass (r, r ) ∈ VANS( max(Dom( ))) gdw ist ein PB-geschlossener Abschnitt in . Beweis: Ergibt sich direkt aus Theorem 2-69, Theorem 2-89 und Theorem 2-90. ■ Die Metatheorie des Kalküls ist nun hinreichend entwickelt, damit dieser etabliert werden kann (3.1). Sodann wird für diesen Kalkül ein Ableitungs-und ein Konsequenzbegriff bereitgestellt (3.2). Den Abschluss des Kapitels bildet der Beweis von Theoremen, die die Arbeitsweise des Kalküls beschreiben und im weiteren Fortgang nützlich sind (3.3).

  ii) A( Dom( )-1 ) = Γ und (iii) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} fortsetzen. Man beachte, dass die Anwendung der Subjunktoreinführungsregel SE-geschlossene Abschnitte gemäß Definition 2-23 erzeugt (vgl. Theorem 2-91). Setzt man mittels SE zu ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} fort, so ist daher in ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} keine der bei der Äußerung von ab (einschließlich) dem i-ten Glied gefolgerten oder angenommenen Aussagen verfügbar, es sei denn, die Aussage war in schon vor dem i-ten Glied verfügbar (vgl. Definition 2-26). Davon ist natürlich die neuerdings verfügbare Subjunktion Δ → Γ ausgenommen, da sie die Aussage des neuen letzten Gliedes bildet und damit in jedem Fall in der nun insgesamt geäußerten Sequenz verfügbar ist (vgl. Theorem 2-82). Da die Aussage des letzten Gliedes einer Sequenz in immer bei Dom( )-1 verfügbar ist, reicht es auch, in Klausel (ii) der Regel zu fordern, dass das Sukzedens der zu folgernden Subjunktion die Aussage des letzten Gliedes von ist, ohne Handlungsanleitung 3-9. Adjunktorbeseitigungsregel (AB) Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, Β, Δ, Γ ∈ GFORM und { B ∨ Δ , B → Γ , Δ → Γ } ⊆ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Hier wird die metalogische Separiertheitsmaxime ein zweites Mal verletzt. Im Regelantezedens wird gefordert, dass bestimmte Subjunktionen bereits verfügbar sind. Die Adjunktorbeseitigungsregel ist damit zugleich eine Regel für die Beseitigung von Subjunktionen in bestimmten Kontexten. Handlungsanleitung 3-10. Negatoreinführungsregel (NE)

  (j, j ) ∈ VERS( ) und (v) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} fortsetzen. Die Anwendung der Negatoreinführungsregel erzeugt NE-geschlossene Abschnitte gemäß Definition 2-24 (vgl. Theorem 2-92). Setzt man mittels NE zu ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} fort, so ist dementsprechend in ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} keine der bei der Äußerung von ab (einschließlich) dem i-ten Glied gefolgerten oder angenommenen Aussagen verfügbar, es sei denn, die Aussage war in schon vor dem i-ten Glied verfügbar (vgl. Definition 2-26). Davon ist natürlich die neuerdings verfügbare Negation ¬Δ ausgenommen. Da die Aussage des letzten Gliedes einer Sequenz in immer bei Dom( )-1 verfügbar ist (vgl. Theorem 2-82), reicht es ferner, in Klausel (iii) der Regel nur zu fordern, dass eines der Widerspruchsglieder bei j verfügbar ist und das andere Widerspruchsglied die Aussage des letzten Gliedes von ist. Handlungsanleitung 3-11. Negatorbeseitigungsregel (NB) Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, Γ ∈ GFORM und ¬¬Γ ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-12. Universalquantoreinführungsregel (UE) Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, [β, ξ, Δ] ∈ VER( ) und β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( )), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-13. Universalquantorbeseitigungsregel (UB) Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und ξΔ ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also [θ, ξ, Δ] )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-14. Partikularquantoreinführungsregel (PE) Wenn man ∈ SEQ geäußert hat, θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und [θ, ξ, Δ] ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-15. Partikularquantorbeseitigungsregel (PB)

  iii) A( Dom( )-1 ) = Γ, (iv) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (v) Es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( j ), (vi) Es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m ) ∈ VANS( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Die Anwendung der Partikularquantorbeseitigungsregel erzeugt PB-geschlossene Abschnitte gemäß Definition 2-25 (vgl. Theorem 2-93). Setzt man also mittels PB zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fort, so ist in ∪ {(Dom( ), Also Γ )} keine der bei der Äußerung von nach dem i-ten Glied gefolgerten oder angenommenen Aussagen verfügbar, es sei denn, die Aussage war in schon vor dem i+1-ten Glied verfügbar (vgl. Definition 2-26). Davon ist natürlich die zuletzt gefolgerte Aussage Γ ausgenommen, die in der nun insgesamt geäußerten Sequenz in jedem Fall verfügbar ist. Da die Aussage des letzten Gliedes einer Sequenz in immer bei Dom( )-1 verfügbar ist (vgl. Theorem 2-82), reicht es auch, in Klausel (iii) der Regel nur zu fordern, dass Γ die Aussage des letzten Gliedes von ist.

Handlungsanleitung 3 -

 3 16. Identitätseinführungsregel (IE)

  β ∉ TTFM({Δ', Γ}), es kein l ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( l ), es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m ) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder(xvi) ' = ∪ {(Dom( ), Also θ 0 = θ 0 )} oder (xvii) { θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ξ, Δ]} ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ 1 , ξ, Δ] )},dann darf man nicht zu ' fortsetzen. Handlungsanleitung 3-18 besagt informell: Wenn keine der Regeln Handlungsanleitung 3-1 bis Handlungsanleitung 3-17 die Fortsetzung von zu ' erlaubt, dann darf man nicht zu ' fortsetzen. Mit der Setzung der 18 Regeln wurde der Kalkül etabliert. Er kann nun im vollen Umfang eingesetzt werden. Will man dem Kalkül später weitere Regeln hinzufügen -zum Beispiel für das Anziehen, das Konstatieren oder das axiomatische und definitorische Setzen -so ist Handlungsanleitung 3-18 zu revidieren. Im nächsten Abschnitt wird nun ein Ableitungs-und Konsequenzbegriff für den Kalkül etabliert (3.2) und sodann ein Beweis von Theoremen erbracht, die die Funktionsweise des Kalküls deutlich machen (3.3).

3. 2 Definition 3 - 1 .

 231 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft Mit der Etablierung des Kalküls bleibt nun noch die Aufgabe, einen entsprechenden Ableitungs-und Konsequenzbegriff zu etablieren und dessen Adäquatheit zu zeigen. Da Ableitungs-und Konsequenzschaft nicht an die tatsächliche Äußerung von Sequenzen, sondern nur an deren Äußerbarkeit gemäß den Regeln gebunden sein sollen, ist der Ableitungsbegriff dabei nicht unter Rückgriff auf die vollen Regeln des Kalküls -die ja jeweils die Äußerung einer Sequenz verlangen -, sondern unter alleinigem Rückgriff auf deren jeweiligen sequenzenspezifischen und äußerungsunabhängigen Anteil zu etablieren. Dazu wird zunächst für jede Regel des Kalküls eine Funktion definiert, die einer Sequenz jeweils die Menge der Sequenzen zuordnet, zu denen ein Autor, der geäußert hat, nach der entsprechenden Regel fortsetzen darf (Definition 3-1 bis Definition 3-17). Im Ausgang von diesen Funktionen wird dann die Funktion RGF etabliert, die einer Sequenz die Menge regelgemäßen Fortsetzungen von zuordnet, also die Menge der Sequenzen, zu denen ein Autor, der geäußert hat, nach einer der Regeln des Kalküls fortsetzen dürfte (Definition 3-18). Darauf aufbauend wird dann die Menge der regelgemäßen Sequenzen, RGS, als die Menge der Sequenzen definiert, von denen jede ihrer nicht-leeren Beschränkungen eine regelgemäße Fortsetzung der nächst kleineren Beschränkung ist (Definition 3-19). Eine Ableitung einer Aussage Γ aus einer Aussagenmenge X wird dann ein nicht-leeres RGS-Element sein, für das gilt: K( ) = Γ und VAN( ) = X (Definition 3-20). Sodann erfolgt die Einführung des deduktiven Konsequenzbegriffs und umgebender Begrifflichkeiten für den Kalkül, wobei eine Aussage Γ genau dann deduktive Konsequenz einer Aussagenmenge X sein wird, wenn es eine Ableitung von Γ aus einem Y ⊆ X gibt (Definition 3-21). Wie angekündigt, werden nun zunächst zu den Regeln in 3.1 analoge Funktionen definiert: Annahmefunktion (AF) AF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-1. Da die Menge der geschlossenen Formeln nicht leer ist, ergibt sich als Korollar, dass auch AF( ) für keine Sequenz leer ist. Definition 3-17. Identitätsbeseitigungsfunktion (IBF)IBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt θ 0 , θ 1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass { θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ξ, Δ]} ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ 1 , ξ, Δ] )}}}.Vgl. Handlungsanleitung 3-17.Im Folgenden wird nun die Menge der regelgemäßen Sequenzen, RGS (Definition 3-19), und dann das Ableitungsprädikat: '.. ist eine Ableitung von .. aus ..' (Definition 3-20) definiert. Dabei soll RGS neben der leeren Sequenz alle und nur die Sequenzen enthalten, zu denen sich die leere Sequenz nach den Regeln des Kalküls fortsetzen lässt. Unter Rückgriff auf die soeben definierte Annahmefunktion und die soeben definierten Einführungs-und Beseitigungsfunktionen wird dementsprechend RGS so definiert, dass RGS die Menge der Sequenzen ist, von denen jede ihrer nicht-leeren Beschränkungen eine regelgemäße Fortsetzung der nächst kleineren Beschränkung ist. Dazu wird zunächst die Funktion RGF definiert: Definition 3-18. Zuordnung der Menge der regelgemäßen Annahme-und Folgerungsfortsetzungen einer Sequenz (RGF) RGF = {( , X) | ∈ SEQ und X = {AF( ), SEF( ), SBF( ), KEF( ), KBF( ), BEF( ), BBF( ), AEF( ), ABF( ), NEF( ), NBF( ), UEF( ), UBF( ), PEF( ), PBF( ), IEF( ), IBF( )}}.

Theorem 3 - 1 .Theorem 3 - 7 .

 3137 RGF-Fortsetzungen von Sequenzen sind nicht-leere Sequenzen Wenn ∈ SEQ, dann ist RGF( ) ⊆ SEQ\{∅}. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei ' ∈ RGF( ). Dann gilt ' ∈ AF( ) oder ' ∈ SEF( ) oder ' ∈ SBF( ) oder ' ∈ KEF( ) oder ' ∈ KBF( ) oder ' ∈ BEF( ) oder ' ∈ BBF( ) oder ' ∈ AEF( ) oder ' ∈ ABF( ) oder ' ∈ NEF( ) oder ' ∈ NBF( ) oder ' ∈ UEF( ) oder ' ∈ UBF( ) oder ' ∈ PEF( ) oder ' ∈ PBF( ) oder ' ∈ IEF( ) oder ' ∈ IBF( ). Dann ergibt sich aus Definition 3-1 bis Definition 3-17, dass ' = ∪ {(Dom( ), Σ)} für ein Σ ∈ SATZ. In allen Fällen gilt mit Definition 1-23 und Definition 1-24 ' ∈ SEQ\{∅}. ■ Theorem 3-5. Eindeutige RGF-Vorgänger Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann ' Dom( ')-1 = . Beweis: Ergibt sich unmittelbar aus Theorem 3-3 und Theorem 3-4. ■ Definition 3-19. Die Menge der regelgemäßen Sequenzen (RGS) RGS = { | ∈ SEQ und für alle j < Dom( ) gilt: j+1 ∈ RGF( j)}. Theorem 3-6. Eine Sequenz ist genau dann in RGS, wenn sie leer oder eine regelgemäße Fortsetzung von Dom( )-1 und Dom( )-1 ein RGS-Element ist ∈ RGS gdw = ∅ oder ∈ RGF( Dom( )-1) und Dom( )-1 ∈ RGS. Beweis: (L-R): Sei ∈ RGS und ≠ ∅. Dann ist zunächst ∈ SEQ\{∅}. Sodann ist Dom( )-1 ∈ SEQ. Außerdem ist Dom( )-1 ⊆ und für alle j < Dom( ) gilt ( Dom( )-1) j = j. Wegen ∈ RGS gilt sodann für alle j < Dom( ) nach Definition 3-19 j+1 ∈ RGF( j). Damit gilt zweierlei: Zum einen ist = Dom( )-1+1 ∈ RGF( Dom( )-1). Zum anderen gilt dann für alle j < Dom( )-1 = Dom( Dom( )-1) ebenfalls ( Dom( )-1) j+1 = j+1 ∈ RGF( j) = RGF(( Dom( )-1) j). Also ist nach Definition 3-19 Dom( )-1 ∈ RGS. (R-L): Sei = ∅ oder ∈ RGF( Dom( )-1) und Dom( )-1 ∈ RGS. Wenn = ∅, dann ist ∈ SEQ und es gilt trivial, dass j+1 ∈ RGF( j) für alle j < Dom( ) und somit gilt ∈ RGS. Sei nun ≠ ∅ und ∈ RGF( Dom( )-1) und Dom( )-1 ∈ RGS. Also gilt nach Definition 3-19 Dom( )-1 ∈ SEQ und ( Dom( )-1) j+1 ∈ RGF(( Dom( )-1) j) für alle j < Dom( Dom( )-1) und darüber hinaus ∈ RGF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-1 ist dann ∈ SEQ und somit, wegen ≠ ∅, Dom( ) = Dom( )-1+1 = Dom( Dom( )-1)+1. Dann gilt für alle j < Dom( ), dass j = ( Dom( )-1) j. Damit gilt j+1 = ( Dom( )-1) j+1 ∈ RGF(( Dom( )-1) j) = RGF( j) für alle j < Dom( )-1. Wenn aber j = Dom( )-1, dann ist j+1 = Dom( )-1+1 = ∈ RGF( Dom( )-1) = RGF( j). Also gilt insgesamt für alle j < Dom( ), dass j+1 ∈ RGF( j) und damit ∈ RGS. ■ Das folgende Theorem wird in den weiteren Kapiteln häufig genutzt, ohne jedes Mal explizit angezogen zu werden: Die regelgemäße Fortsetzung eines RGS-Elements führt zu einem nicht-leeren RGS-ElementWenn ∈ RGS und ' ∈ AF( ) ∪ SEF( ) ∪ SBF( ) ∪ KEF( ) ∪ KBF( ) ∪ BEF( ) ∪ BBF( ) ∪ AEF( ) ∪ ABF( ) ∪ NEF( ) ∪ NBF( ) ∪ UEF( ) ∪ UBF( ) ∪ PEF( ) ∪ PBF( ) ∪ IEF( ) ∪ IBF( ), dann ist ' ∈ RGS\{∅}. Beweis: Sei ∈ RGS und ' ∈ AF( ) ∪ SEF( ) ∪ SBF( ) ∪ KEF( ) ∪ KBF( ) ∪ BEF( ) ∪ BBF( ) ∪ AEF( ) ∪ ABF( ) ∪ NEF( ) ∪ NBF( ) ∪ UEF( ) ∪ UBF( ) ∪ PEF( ) ∪ PBF( ) ∪ IEF( ) ∪ IBF( ).Dann ist nach Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Mit Theorem 3-5 gilt dann = ' Dom( ')-1. Damit gilt wegen ∈ RGS mit Theorem 3-6, dass ' ∈ RGS. Mit Theorem 3-1 ist sodann ' ≠ ∅ und damit ' ∈ RGS\{∅}. ■ Theorem 3-8. ist genau dann ein nicht-leeres RGS-Element, wenn eine nicht-leere Sequenz ist und alle nicht-leeren Anfangsabschnitte von nicht-leere RGS-Elemente sind ∈ RGS\{∅} gdw ∈ SEQ\{∅} und für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGS\{∅}. Beweis: (L-R): Sei ∈ RGS\{∅}. Dann gilt nach Definition 3-19, dass ∈ SEQ und für alle i ∈ Dom( ), dass (i+1) ∈ RGF( i). Dann ist mit der Voraussetzung ∈ SEQ\{∅}. Sei nun 0 ∈ Dom( ). Dann ist also 1 ∈ RGF( 0) = RGF(∅). Nun gilt mit Theorem 3-6 ∅ ∈ RGS und damit ergibt sich mit 1 ∈ RGF(∅) wiederum mit Theorem 3-6, dass 1 ∈ RGS und mit 0 ∈ Dom( 1) dann auch 1 ∈ RGS\{∅}. Gelte nun für i: wenn i ∈ Dom( ), dann i+1 ∈ RGS\{∅}. Sei nun i+1 ∈ Dom( ). Dann ist i ∈ Dom( ) und damit nach I.V. auch i+1 ∈ RGS\{∅}. Nun ist aber i+2 ∈ RGF( i+1). Wegen ∈ SEQ und i+1 ∈ Dom( ) ist i+1 = ( (i+2)) Dom( (i+2))-1. Mit Theorem 3-6 und Theorem 3-1 ist dann i+2 ∈ RGS\{∅}. (R-L): Gelte nun umgekehrt ∈ SEQ\{∅} und für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGS\{∅}.

Beweis:

  Sei eine Ableitung von Γ aus X. Dann ist ∈ RGS\{∅} und K( ) = Γ und X = VAN( ). Mit Definition 3-19 ist ∈ SEQ\{∅}. Nach Definition 1-25, Definition 1-24, Definition 1-23, Definition 1-18 und Definition 1-16 ist K( ) = Γ ∈ GFORM. Darüber hinaus ist nach Definition 1-23 und Definition 1-24 Dom( ) ∈ N. Mit Definition 2-31, Definition 2-29, Definition 2-28 und Definition 2-26 ist damit auch X = VAN( ) ⊆ GFORM und |X| = |VAN( )| ∈ N. ■ Theorem 3-10. In nicht-leeren RGS-Elementen, sind alle nicht-leeren Anfangsabschnitte -Ableitungen ihrer Konklusion Wenn ∈ RGS\{∅}, dann gilt für alle i ∈ Dom( ): i+1 ist eine Ableitung von A( i ) aus VAN( i+1). Beweis: Sei ∈ RGS\{∅}. Dann gilt mit Theorem 3-8 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGS\{∅}. Ferner ist für alle i ∈ Dom( ): A( i ) = K( i+1) und VAN( i+1) = VAN( i+1). ■ Theorem 3-11. Eindeutigkeitssatz für den Redehandlungskalkül 13

  zufälligerweise eindeutig bestimmt ist, dass sich für andere Sequenzen jedoch unter Umständen verschiedene Regelkommentare angeben lassen: Unter Umständen kann nämlich ein Übergang durchaus nach verschiedenen Regeln, etwa UB und PB, korrekt sein. Es ist jedoch ausgeschlossen, dass die Möglichkeit alternativer Regelkommentare Auswirkungen auf die Eindeutigkeit des Verfügbarkeitskommentars hat. Die Feststellung der verfügbaren Aussagen bzw. Zeilen erfolgt nämlich nicht über den Regelkommentar, sondern nach der Definition der Verfügbarkeit und damit letztendlich nach der Definition der geschlossenen Abschnitte. Die gesonderte Definition der Verfügbarkeit schließt es nun aus, dass sich bei einem Übergang, der nach mehreren Regeln korrekt ist, je nach unterstellter Regelanwendung unterschiedliche Verfügbarkeiten ergeben. Damit bleibt immer eindeutig bestimmt und bestimmbar, ob es sich bei einer gegebenen Sequenz um die Ableitung einer bestimmten Aussage aus einer bestimmten Aussagenmenge handelt. Geschlossene Abschnitte entstehen dann und nur dann, wenn sich SE, NE oder PB anwenden lassen (vgl. Theorem 3-23 und Theorem 3-24). Ist ein Übergang also etwa nach UB und PB korrekt, dann verändern sich die Verfügbarkeiten wie beim Übergang nach PB. Damit ist man als Benutzer des Redehandlungskalküls beim Vollzug von bestimmten Folgerungen eingeschränkt: Es steht einem etwa nicht offen, eine annahmeeliminierende Folgerung nach PB als nicht annahmeeliminierende Folgerung nach UB zu vollziehen. Man mag dies als Nachteil für die Handlichkeit im Gebrauch empfinden, allerdings geht dieser Nachteil, so es denn einer ist, mit dem Vorteil einher, dass sich für jede Äußerung einer Sequenz durch einen Autor eindeutig feststellen lässt, ob damit eine Ableitung einer bestimmten Aussage aus einer bestimmten Aussagenmenge geäußert wurde: Die Möglichkeit, die teilweise in anderen Kalkülen besteht, die Äußerung ein und derselben Sequenz unterschiedlich zu beschreiben und damit etwa die Äußerung einer Sequenz einmal als Äußerung einer Ableitung von Γ aus X und einmal als Äußerung einer Se-quenz, die keine Ableitung von Γ aus X ist, zu beschreiben, ist im Rahmen des Redehandlungskalküls nicht vorgesehen. Beim Ableiten im Redehandlungskalkül ist man weder auf graphische Mittel zur Markierung von Unterableitungen noch auf metasprachliche Kommentare in der Form von Regel-oder Abhängigkeitsanzeigern angewiesen: Im Rahmen des Redehandlungskalküls sind Äußerungen von Satzsequenzen nicht deutungsbedürftig. Nun folgt die Einführung eines deduktiven Konsequenzbegriffs und einiger handelsüblicher metalogischer Begrifflichkeiten. In Kap. 4 werden dann einige Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft, wie etwa Reflexivität, Transitivität und Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung gezeigt. Daraufhin wird dann in Kap. 6 ein Adäquatheitsbeweis des Kalküls bezüglich der modelltheoretischen Konsequenzschaft vorgelegt. Diese selbst wird in Kap. 5 zur Verfügung gestellt. Nun zur Definition der Konsequenzund es gibt ein , so dass (i) eine Ableitung von Γ aus VAN( ) ist und (ii) VAN( ) ⊆ X. Mit Theorem 3-9-(iii) gilt dann also wie üblich, dass für X ⊆ GFORM: X Γ genau dann, wenn es endliches Y ⊆ X gibt, so dass Y Γ. Daraus ergibt sich dann mit Definition 3-23, dass X genau dann konsistent ist, wenn alle endlichen Y ⊆ X konsistent sind, und mit Definition 3-24, dass X ⊆ GFORM genau dann inkonsistent ist, wenn es endliches Y ⊆ X gibt, so dass Y inkonsistent ist. Das folgende Theorem ist unter Definition 3-20 äquivalent zu Definition 3-21: Theorem 3-12. Γ ist genau dann deduktive Konsequenz aus einer Aussagenmenge X, wenn es ein nicht-leeres aus RGS gibt, so dass Γ die Konklusion von und VAN( ) ⊆ X ist X Γ gdw X ⊆ GFORM und es gibt ∈ RGS\{∅}, so dass Γ = K( ) und VAN( ) ⊆ X. Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 3-20 und Definition 3-21. ■ 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen Nun werden Theoreme zu den einzelnen Regeln (vgl. Kap. 3.1) beziehungsweise Operationen (vgl. Kap. 3.2) etabliert, die gewissermaßen die Arbeitsweise des Redehandlungskalküls beschreiben. Genauer werden Theoreme bewiesen, die die Zusammenhänge zwischen der Änderung der Verfügbarkeiten (VERS, VANS, VER, VAN) beim regelgemäßen Fortsetzen eine Sequenz zu einer Sequenz ' einerseits und der dabei verwendeten Regel oder Operation andererseits darstellen. Gleichzeitig bilden diese Theoreme die Basis für die in den folgenden Kapiteln bewiesenen Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft (Kap. 4) und zum Nachweis der Korrektheit und der Vollständigkeit des Redehandlungskalküls (Kap. 6). Am Abschluss des Kapitels bietet Theorem 3-30 einen Überblick über die Gestalt von und die Verfügbarkeitsverhältnisse in Ableitungen im Redehandlungskalkül. Theorem 3-14. VERS, VANS, VER und VAN in RGF Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (iii) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')} und (iv) VAN( ') ⊆ VAN( ) ∪ {K( ')}. Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Dann gibt es mit Theorem 3-3 Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Ξ Γ )} = {(0, Ξ Γ )} und die Behauptung folgt mit Theorem 2-79. ■ Theorem 3-15. VERS, VANS, VER und VAN bei AR Wenn ∈ SEQ und ' ∈ AF( ), dann: VER( ') = VER( ) ∪ {K( ')}, (vii) VAN( ')\VAN( ) ⊆ {K( ')} und (viii) VAN( ') = VAN( ) ∪ {K( ')}. Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ AF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-1, dass es Γ ∈ GFORM gibt, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )}. Damit gilt dann auch ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Zu (i): Sei (i, ' i ) ∈ VERS( ')\VERS( ). Dann folgt mit Theorem 3-14-(i): (i, ' i ) ∈ {(Dom( ), ' Dom( ) )}. Sodann gilt mit Theorem 2-82: (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ VERS( ') und es gilt (Dom( ), ' Dom( ) ) ∉ VERS( ) ⊆ . Also (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ VERS( ')\VERS( ). Zu (ii): Mit Theorem 3-14-(i) gilt: VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}. Sodann gilt, dass (Dom( ), ' Dom( ) ) = (Dom( ), Sei Γ ) ∈ ANS( '). Damit gilt mit Theorem 2-30, dass es keinen SE-oder NE-oder EA-artigen und damit auch keinen geschlossenen Abschnitt in ' gibt, so dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 = Dom( ')-2 und max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1. Dann gilt mit Theorem 2-84 VERS( )\VERS( ') = ∅ und damit VERS( ) ⊆ VERS( '). Mit (i) gilt (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ VERS( ') und mithin VERS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )} ⊆ VERS( '). Zu (iii): Sei (i, ' i ) ∈ VANS( ')\VANS( ). Dann folgt mit Theorem 3-14-(ii): (i, ' i ) ∈ {(Dom( ), ' Dom( ) )}. Sodann gilt mit (i): (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ VERS( ') und es gilt sodann (Dom( ), ' Dom( ) ) = (Dom( ), Sei Γ ) ∈ ANS( ') und damit (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ VANS( ') und (Dom( ), ' Dom( ) ) ∉ VANS( ) ⊆ . Zu (iv): Mit (iii) gilt, dass (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ VANS( ') = VERS( ') ∩ ANS( '). Damit gilt mit (ii): VANS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )} = (VERS( ) ∩ ANS( )) ∪ ({(Dom( ), ' Dom( ) )} ∩ ANS( ')) = (VERS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}) ∩ ANS( ') = VERS( ') ∩ ANS( ') = VANS( '). Zu (v), (vi), (vii), (viii): (v) ergibt sich mit Theorem 3-14-(iii) und (vii) ergibt sich mit Theorem 3-14-(iv). (vi) ergibt sich mit Definition 2-30 und (ii). (viii) ergibt sich mit Definition 2-31 und (iv). ■ Theorem 3-16. VANS-Vermehrung nur bei AR Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann: (i) Wenn VANS( ) ⊂ VANS( '), dann ' ∈ AF( ), und (ii) Wenn VAN( ) ⊂ VAN( '), dann ' ∈ AF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Zu (i): Sei VANS( ) ⊂ VANS( '). Dann gibt es (i, ' i ) ∈ VANS( ')\VANS( ). Dann ist (i, ' i ) ∈ ANS( '). Sodann gilt mit Theorem 3-14-(ii): (i, ' i ) = (Dom( ), ' Dom( ) ) und somit (Dom( ), ' Dom( ) ) ∈ ANS( '). Dann ist mit Definition 3-1 ' ∈ AF( ). Zu (ii): Sei VAN( ) ⊂ VAN( '). Dann ist mit Theorem 2-75 VANS( ') VANS( ) und somit gibt es (i, ' i ) ∈ VANS( ')\VANS( ). Damit ergibt sich die Behauptung wie zu (i). ■ Theorem 3-17. VERS, VANS, VER und VAN bei Übergängen ohne AR Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( )\AF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ), (iii) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')} und (iv) VAN( ') ⊆ VAN( ). Beweis: Sei ' ∈ RGF( )\AF( ). (i) und (iii) folgen mit Theorem 3-14-(i) und -(iii). Zu (ii): Mit ' ∈ RGF( )\AF( ) und Definition 3-1 bis Definition 3-18 gilt, dass (Dom( ), ' Dom( ) ) = (Dom( ), Also A( ' Dom( ) ) ) ∉ ANS( ') und somit (Dom( ), ' Dom( ) ) ∉ VANS( '). Damit ist mit Theorem 3-14-(ii) VANS( ') ⊆ VANS( ). Zu (iv): (iv) ergibt sich mit Theorem 2-75 aus (ii). ■ Theorem 3-18. Nicht-leeres VANS ist hinreichend für SE Wenn ∈ SEQ und VANS( ) ≠ ∅, dann ist ∪ {(Dom( ), Also A( max(Dom(VANS( ))) ) → K( ) )} ∈ SEF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und VANS( ) ≠ ∅. Dann ist (max(Dom(VANS( ))), max(Dom(VANS( ))) ) ∈ VANS( ) und es ist A( Dom( )-1 ) = K( ) und es gibt kein l mit max(Dom(VANS( ))) < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, l ) ∈ VANS( ). Damit ist mit Definition 3-2 ∪ {(Dom( ), Also A( max(Dom(VANS( ))) ) → K( ) )} ∈ SEF( ). ■ Theorem 3-19. VERS, VANS, VER und VAN bei SE Wenn ∈ SEQ und ' ∈ SEF( ), dann: (i) {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein SE-geschlossener Abschnitt in ', (ii) VERS( )\VERS( ') ⊆ {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (iii) VERS( ') = (VERS( )\{(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (iv) VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}, (v) VANS( ) = VANS( ') ∪ {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}, (vi) VER( )\VER( ') ⊆ {A( ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (vii) VER( ) ⊆ {A( ' j ) | j ∈ Dom(VERS( ') Dom( ))} ∪ {A( ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (viii) VAN( )\VAN( ') ⊆ {A( ' max(Dom(VANS( ))) )}, (ix) VAN( ) = VAN( ') ∪ {A( ' max(Dom(VANS( ))) )} und (x) K( ') = A( ' max(Dom(VANS( ))) ) → K( ) . Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ SEF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-2: Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass A( i ) = Δ und (i, i ) ∈ VANS( ) und A( Dom( )-1 ) = Γ und es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} und somit ' ∈ SEQ und ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Sodann ist = {(j, ' j ) | i ≤ j ≤ Dom( )} ein Abschnitt in ' und A( ' i ) = Δ und (i, ' i ) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( ' Dom( )-1 ) = Γ und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, ' l ) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( ' Dom( ) ) = Δ → Γ . Damit gilt mit Theorem 2-91, dass ein SE-geschlossener und damit auch ein geschlossener Abschnitt in ' ist. Da sodann max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1, ergibt sich mit Theorem 2Dom(VANS( ))) )}. Damit ist i = min(Dom( )) = max(Dom(VANS( ))) und es gilt: = {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )}. Damit gilt dann (i). Außerdem gilt dann A( ' max(Dom(VANS( ))) ) = A( i ) = Δ und da K( ) = Γ und K( ') = Δ → Γ gilt dann (x). Sodann ergibt sich mit VANS( )\VANS( ') ≠ ∅ und Theorem 2-73 auch VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Damit und mit = ' Dom( ')-1 und = {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ergeben sich dann mit Theorem 2-83-(iv) bis -(xi) und mit der eindeutigen Bestimmtheit geschlossener Abschnitte mit demselben Endglied (Theorem 2-53) die restlichen Klauseln ((ii) bis (ix)). ■ Theorem 3-20. VERS, VANS, VER und VAN bei NE Wenn ∈ SEQ und ' ∈ NEF( ), dann: (i) {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein NE-geschlossener Abschnitt in ', (ii) VERS( )\VERS( ') ⊆ {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (iii) VERS( ') = (VERS( )\{(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (iv) VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}, (v) VANS( ) = VANS( ') ∪ {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}, (vi) VER( )\VER( ') ⊆ {A( ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (vii) VER( ) ⊆ {A( ' j ) | j ∈ Dom(VERS( ') Dom( ))} ∪ {A( ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (viii) VAN( )\VAN( ') ⊆ {A( ' max(Dom(VANS( ))) )}, (ix) VAN( ) = VAN( ') ∪ {A( ' max(Dom(VANS( ))) )} und (x) K( ') = ¬A( ' max(Dom(VANS( ))) ) .

  )) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, ' l ) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( ' Dom( ) ) = ¬Δ . Damit gilt mit Theorem 2-92, dass ein NE-geschlossener und damit auch ein geschlossener Abschnitt in ' ist. Da sodann max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1, ergibt sich mit Theorem 2(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))), ' max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))) )}. Da = ' Dom( ')-1 folgt daraus: VANS( )\VANS( ') = {(min(Dom( )), ' min(Dom( )) )} = {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}. Damit ist i = min(Dom( )) = max(Dom(VANS( ))) und es gilt: = {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )}. Damit gilt dann (i). Außerdem gilt dann A( ' max(Dom(VANS( ))) ) = A( i ) = Δ und da K( ') = ¬Δ gilt dann (x). Sodann ergibt sich mit VANS( )\VANS( ') ≠ ∅ und Theorem 2-73 auch VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Damit und mit = ' Dom( ')-1 und = {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ergeben sich dann mit Theorem 2-83-(iv) bis -(xi) und mit der eindeutigen Bestimmtheit geschlossener Abschnitte mit demselben Endglied (Theorem 2-53) die restlichen Klauseln ((ii) bis (ix)). ■ Theorem 3-21. VERS, VANS, VER und VAN bei PB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ PBF( ), dann: (i) {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ', (ii) VERS( )\VERS( ') ⊆ {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (iii) VERS( ') = (VERS( )\{(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (iv) VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}, (v) VANS( ) = VANS( ') ∪ {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )}, (vi) VER( )\VER( ') ⊆ {A( ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (vii) VER( ) ⊆ {A( ' j ) | j ∈ Dom(VERS( ') Dom( ))} ∪ {A( ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (viii) VAN( )\VAN( ') ⊆ {A( ' max(Dom(VANS( ))) )}, (ix) VAN( ) = VAN( ') ∪ {A( ' max(Dom(VANS( ))) )} und (x) K( ') = K( ).

  1), und A( ' Dom( )-1 ) = Γ, wobei β ∉ TTFM({Δ, Γ}), und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( ' j ), und es gibt kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1, so dass (m, ' m ) ∈ VANS( ' Dom( )), und A( ' Dom( ) ) = Γ. Damit gilt mit Theorem 2-93, dass ein PB-geschlossener und damit auch ein geschlossener Abschnitt in ' ist. Da sodann max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1, ergibt sich mit Theorem 2Dom(VANS( ))) )}. Damit ist i = min(Dom( )) = max(Dom(VANS( ))) und es gilt: = {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )}. Damit gilt dann (i). Außerdem gilt dann K( ) = A( ' Dom( )-1 ) = Γ = K( ') und somit gilt (x). Sodann ergibt sich mit VANS( )\VANS( ') ≠ ∅ und Theorem 2-73 auch VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Damit und mit = ' Dom( ')-1 und = {(j, ' j ) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ergeben sich dann mit Theorem 2-83-(iv) bis -(xi) und mit der eindeutigen Bestimmtheit geschlossener Abschnitte mit demselben Endglied (Theorem 2-53) die restlichen Klauseln ((ii) bis (ix)). ■ Theorem 3-22. Ist die zuletzt angenommene Aussage nur einmal als Annahme verfügbar, dann wird sie bei SE, NE und PB eliminiert Wenn ∈ SEQ, Δ ∈ GFORM und für alle i ∈ Dom(VANS( )) gilt: Wenn A( i ) = Δ, dann i = max(Dom(VANS( ))), dann gilt für alle ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ): VAN( ') ⊆ VAN( )\{Δ}. Beweis: Sei ∈ SEQ, Δ ∈ GFORM und gelte für alle i ∈ Dom(VANS( )): Wenn A( i ) = Δ, dann i = max(Dom(VANS( ))). Sei nun ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Dann gilt mit Theorem 3-19-(iv), -(v), Theorem 3-20-(iv), -(v) und Theorem 3-21-(iv), -(v), dass VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )} und VANS( ') ⊆ VANS( ). Mit Theorem 2-75 gilt VAN( ') ⊆ VAN( ). Damit gilt: Δ ∉ VAN( '). Wäre nämlich Δ ∈ VAN( '). Dann gäbe es nach Definition 2-31 i ∈ Dom(VANS( ')), so dass Δ = A( ' i ). Dann gilt mit VANS( ') ⊆ VANS( ), dass i ∈ Dom(VANS( )) und es ist Δ = A( i ). Da nun nach Annahme für alle i ∈ Dom(VANS( )) gilt: Wenn A( i ) = Δ, dann i = max(Dom(VANS( ))) wäre damit max(Dom(VANS( ))) = i ∈ Dom(VANS( ')). Mit VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), ' max(Dom(VANS( ))) )} gilt nun jedoch max(Dom(VANS( ))) ∉ Dom(VANS( ')). Widerspruch! Also ist Δ ∉ VAN( ') und damit VAN( ') ⊆ VAN( )\{Δ}. ■ e) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (r, ' r ) = (r, r ) ∈ VANS( ), und f) ' Dom( ) = Also ¬A( ' min(Dom( )) ) = Also ¬A( min(Dom( )) ) . Dann ist nach Definition 3-10 ' ∈ NEF( ). Sei nun ein PB-geschlossener Abschnitt in '. Dann gilt mit Theorem 2-93, dass es ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ)⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ') gibt, so dass:a) A( ' min(Dom( )) ) = ξΔ und (min(Dom( )), ' min(Dom( )) ) ∈ VERS( ), b) A( ' min(Dom( ))+1 ) = [β, ξ, Δ] und (min(Dom( ))+1, ' min(Dom( ))+1 ) ∈ VANS( ), c) A( ' max(Dom( ))-1 ) = Γ, d) ' max(Dom( )) = Also Γ , e) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), f) Es kein j ≤ min(Dom( )) gibt, so dass β ∈ TT( ' j ), g) = \{(min(Dom( )), ' min(Dom( )) )} und h) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (r, ' r ) ∈ VANS( ).Dann gilt mit g): min(Dom( )) = min(Dom( ))+1 und Dom( ) = max(Dom( )) = max(Dom( )). Damit gilt dann min(Dom( )) < min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 und also insgesamt min(Dom( )), min(Dom( ))+1 ∈ Dom( ) und max(Dom( ))-1 = Dom( )-1. Damit gilt dann: a') A( min(Dom( )) ) = ξΔ und (min(Dom( )), min(Dom( )) ) ∈ VERS( ), b') A( min(Dom( ))+1 ) = [β, ξ, Δ] und (min(Dom( ))+1, min(Dom( ))+1 ) ∈ VANS( ), c') A( Dom( )-1 ) = Γ, d') ' Dom( ) = Also Γ , e') β ∉ TTFM({Δ, Γ}), f') Es gibt kein j ≤ min(Dom( )), so dass β ∈ TT( j ), h') Es gibt kein r mit min(Dom( ))+1 < r ≤ Dom( )-1, so dass (r, r ) ∈ VANS( ). Dann ist nach Definition 3-15 ' ∈ PBF( ). Also ist in allen drei Fällen ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). ■ (v) VAN( ') ⊆ VAN( ) und (vi) Wenn VAN( ') ⊂ VAN( ), dann ist ' ∈ PBF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ KEF( ) ∪ BEF( )∪ AEF( ) ∪ UEF( ) ∪ PEF( )∪ IEF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-4, Definition 3-6, Definition 3-8, Definition 3-12, Definition 3-14 und Definition 3-16: Es gibt Α, Β ∈ GFORM und θ ∈ GTERM und β ∈ PAR und ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Also Α ∧ Β )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also Α ↔ Β )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also Α ∨ Β )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also θ = θ )}. Dann ist mit eindeutiger Lesbarkeit (Theorem 1-10, Theorem 1-11 und Theorem 1-12) (Dom( ), ' Dom( ) ) ∉ ANS( ') und damit nach Definition 3-1 ' ∉ AF( ). Dann ergeben sich (i), (ii), (iv) und (v) mit Theorem 3-17-(i), -(ii), -(iii) and -(iv). Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(x), Theorem 3-20-(x) und eindeutiger Lesbarkeit, dass ' ∉ SEF( ) ∪ NEF( ). Damit gilt mit Theorem 3-23: Wenn VANS( ') ⊂ VANS( ), dann ' ∈ PBF( ) und somit (iii). Sei nun für (vi): VAN( ') ⊂ VAN( ). Dann gilt VAN( ) VAN( ') und damit mit Theorem 2-75 VANS( ) VANS( '). Damit gilt mit (ii): VANS( ') ⊂ VANS( ) und damit mit (iii), dass ' ∈ PBF( ). ■ Theorem 3-27. VERS, VANS, VER und VAN bei SB, KB, BB, AB, NB, UB, IB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ SBF( ) ∪ KBF( ) ∪ BBF( )∪ ABF( )∪ NBF( )∪ UBF( ) ∪ IBF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), ' Dom( ) )}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ), (iii) Wenn VANS( ') ⊂ VANS( ), dann ist ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ), (iv) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')}, (v) VAN( ') ⊆ VAN( ) und (vi) Wenn VAN( ') ⊂ VAN( ), dann ist ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ SBF( ) ∪ KBF( ) ∪ BBF( )∪ ABF( )∪ NBF( )∪ UBF( ) ∪ IBF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-3, Definition 3-5, Definition 3-7, Definition 3-9, Definition 3-11, Definition 3-13 und Definition 3-17: ' = ∪ {(Dom( ), Also A( ' Dom( ) ) )}. Dann ist (Dom( ), ' Dom( ) ) ∉ ANS( ') und damit ' ∉ AF( ). Dann ergeben sich (i), (ii), (iv) und (v) mit Theorem 3-17-(i), -(ii), -(iii) and -(iv). Sodann ergibt sich (iii) mit Theorem 3-23. Sei nun für (vi) VAN( ') ⊂ VAN( ). Dann gilt VAN( ) VAN( ') und damit mit Theorem 2-75 VANS( ) VANS( '). Damit gilt mit (ii): VANS( ') ⊂ VANS( ) und damit mit (iii), dass ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). ■ Theorem 3-28. Ohne AR, SE, NE oder PB gibt es keine VAN-Veränderung Wenn ∈ RGS und ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1), dann VAN( ) = VAN( Dom( )-1). Beweis: Sei ∈ RGS und ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Dann ist = ∅ oder ≠ ∅. Im ersten Fall ist Dom( )-1 ⊆ = ∅ und das Theorem gilt. Sei nun ≠ ∅. Nach Theorem 3-6 und Definition 3-18 gilt dann erstens ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder zweitens ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). In den ersten sechs Fällen folgt VAN( ) = VAN( Dom( )-1) aus Theorem 3-26-(v) und -(vi). In den restlichen Fällen folgt VAN( ) = VAN( Dom( )-1) aus Theorem 3-27-(v) und -(vi). ■ Theorem 3-29. VERS, VANS, VER und VAN bleiben aus Beschränkungen, deren Konklusion verfügbar bleibt, in der unbeschränkten Sequenz erhalten. Wenn ∈ RGS und Γ in bei i verfügbar ist, dann: (i) VERS( i+1) ⊆ VERS( ), (ii) VANS( i+1) ⊆ VANS( ), (iii) VER( i+1) ⊆ VER( ) und (iv) VAN( i+1) ⊆ VAN( ). Beweis: Sei ∈ RGS und Γ in bei i verfügbar. Dann gilt nach Definition 2-26: i ∈ Dom( ) und Γ = A( i ) und es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Zu (i): Sei zum Nachweis von VERS( i+1) ⊆ VERS( ) (j, Σ) ∈ VERS( i+1). Also mit Definition 2-28: j ∈ Dom( i+1) und ( i+1) j = Σ und Α(Σ) ist in i+1 bei j verfügbar. Damit gibt es nach Definition 2-26 keinen geschlossenen Abschnitt in i+1, so dass min(Dom( )) ≤ j < max(Dom( )). Wäre nun (j, Σ) ∉ VERS( ), dann wäre j ∉ Dom( ) oder j ≠ Σ oder Α(Σ) ist in bei j nicht verfügbar. Da i+1 eine Beschränkung von ist und j ∈ Dom( i+1), kann nur letzteres zutreffen. Es gilt also j ∈ Dom( ) und j = Σ und Α(Σ) ist in bei j nicht verfügbar. Damit gibt es nach Definition 2-26 einen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ j < max(Dom( )). Nach Theorem 2-64-(viii) ist auch ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1. Wäre nun i < max(Dom( )), so wäre wegen j ∈ Dom( i+1) und damit j ≤ i auch min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Damit wäre entgegen der Annahme A( i ) = Γ nicht in bei i verfügbar. Also max(Dom( )) ≤ i und damit max(Dom( ))+1 ≤ i+1. Also max(Dom( ))+1 ⊆ i+1. Mit Theorem 2-62-(viii) ist dann auch ein geschlossener Abschnitt in i+1. Also gibt es einen geschlossenen Abschnitt in i+1, so dass min(Dom( )) ≤ j < max(Dom( )). Widerspruch! Also (j, Σ) ∈ VERS( ). Zu (ii), (iii) und (iv): Mit Theorem 2-72 ergibt sich (ii) aus (i). Mit Theorem 2-74 ergibt sich (iii) aus (i). Mit Theorem 2-75 ergibt sich (iv) aus (ii). ■ Theorem 3-30. VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen Wenn ∈ SEQ, dann: ∈ RGS gdw Für alle i ∈ Dom( ):

  v) gilt. (R-L): Gelte nun für alle i ∈ Dom( ) einer der Fälle (i) bis (vi). Dann gilt mit Definition 3-18 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGF( i). Mit Definition 3-19 ist ∈ RGS. ■ Im Folgenden werden Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft bewiesen, die zum einen aufzeigen, dass übliche Eigenschaften wie etwa Reflexivität, Monotonie, die Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung der logischen Operatoren und Transitivität für diese gelten und die zum anderen als Vorbereitung auf den Nachweis der Vollständigkeit in Kap. 6.2 dienen. Dazu sind zunächst einige Vorbereitungen zu erbringen (4.1). Sodann werden die gewünschten Eigenschaften der deduktiven Konsequenzrelation ge-Zunächst werden Vorbereitungen getroffen, um zeigen zu können, dass die deduktive Konsequenzschaft unter SE abgeschlossen ist. Dazu wird zunächst gezeigt, dass es zu jeder Ableitung eine Ableitung * mit VAN( *) ⊆ VAN( ) und K( *) = K( ) gibt, in der keine der angenommenen Aussagen an zwei Stellen verfügbar ist (Theorem 4-1). Theorem 4-2 zeigt dann, dass es zu jeder Ableitung und jedem Γ ∈ GFORM eine Ableitung * mit VAN( *) ⊆ VAN( ) und K( *) = K( ) gibt, so dass Γ wenn überhaupt nur als letzte Annahme verfügbar ist. Dieses Theorem bildet die Basis für die Abgeschlossenheit unter SE. Die restlichen Theoreme zielen auf die Abgeschlossenheit unter Einführungen und Beseitigungen ab, bei denen die Antezedentia der Abgeschlossenheitsklauseln (vgl. Theorem 4-18) die Form X 0 Α 0 , …, X n-1 Α n-1 haben. Hier ist es nicht einfach möglich, beliebige Ableitungen einfach zu verketten, da es unter Umständen durch die Entstehung geschlossener Abschnitte oder durch Verletzung von Parameterbedingungen zu Problemen kommen kann. Daher muss gezeigt werden, dass sich Ableitungen durch die Hinzufügung von blockierenden Gliedern, die Substitution von Parametern und die mehrfache Anwendung von UE und UB so umformen lassen, dass die gewünschten Verkettungen möglich sind. Hierzu wird zunächst gezeigt, dass sich parameterfremde Ableitungen unter Einschub einer die Entstehung von geschlossenen Abschnitten blockierenden Annahme (Theorem 4-3) miteinander verbinden lassen (Theorem 4-4), wobei die blockierende Annahme wieder entfernt werden kann (Theorem 4-7). Sodann wird gezeigt, dass die einfache Substitution eines neuen Parameter für einen möglicherweise bereits verwendeten Parameter RGS-treu ist (Theorem 4-8). Der dazu gehörige Beweis dient als Vorlage für den Beweis des Folgetheorems (Theorem 4-9), das seinerseits das Generalisierungstheorem (Theorem 4-24) vorbereitet. Zudem wird gezeigt, dass die simultane Substitution mehrerer neuer und paarweise verschiedener Parameter für paarweise verschiedene Parameter RGS-treu ist (Theorem 4-10). Sodann werden Eigenschaften von UE-und UB-Fortsetzungen von Ableitungen etabliert, bis dann schlussendlich mit Theorem 4-14 gezeigt werden kann, dass sich je zwei beliebige Ableitungen so verbinden lassen, dass einerseits die verfügbaren Annahmen insgesamt nicht mehr werden und andererseits die Konklusionen beider Ableitungen noch verfügbar sind. Theorem 4-1. Non-redundantes VANS Wenn ∈ RGS\{∅} dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) ⊆ VAN( ) (ii) K( *) = K( ) und (iii) |VANS( *)| = |VAN( *)|. Beweis: Sei ∈ RGS\{∅}. Der Beweis wird mittels Induktion über |VANS( )| geführt. Sei |VANS( )| = 0. Offenbar gilt VAN( ) ⊆ VAN( ) und K( ) = K( ) und mit Theorem 2-77 folgt auch |VAN( )| = 0. Sei nun |VANS( )| = k ≠ 0. Gelte die Behauptung für alle ' ∈ RGS\{∅} mit |VANS( ')| < k. Dann ist mit Theorem 2-76 |VAN( )| ≤ |VANS( )|. Sei nun |VAN( )| ≠ |VANS( )|. Dann ist |VAN( )| < |VANS( )|. Sodann ist VANS( ) ≠ ∅. Damit ist mit Theorem 3-18 1 = ∪ {(Dom( ), Also A( max(Dom(VANS( ))) ) → K( ) )} ∈ SEF( ). Dann ist mit Theorem 3-19-(ix) VAN( 1 ) ⊆ VAN( ) und mit Theorem 3-19-(iv) und -(v) ergibt sich |VANS( 1 )| < k. Dann gibt es nach I.V. 2 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 2 )

  Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) ∈ VAN( 2 ). Dann ist 3 = 2 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 2 ) und mit VAN( 3 ) ⊆ VAN( 2 ) ⊆ VAN( 1 ) ⊆ VAN( ) und es ist K( 3 ) = K( ) und |VANS( 3 )| = |VAN( 3 )|. Letzteres ergibt sich wie folgt:Wäre |VANS( 3 )| > |VAN( 3 )|. Dann gäbe es i, j ∈ Dom( 3 ) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 3 ) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 3 ). Da mit Theorem 3-27-(ii) VANS( 3 ) ⊆ VANS( 2 ) gäbe es damit i, j ∈ Dom( 2 ) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 2 ) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 2 ). Dann wäre jedoch auch |VANS( 2 )| > |VAN( 2 )|. Also ist |VANS( 3 )| ≤ |VAN( 3 )| und damit mit Theorem 2-76 insgesamt |VANS( 3 )| = |VAN( 3 )|. Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) ∉ VAN( 2 ). Sei nun 4 = 2 {(0, Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) )}. Dann ist 4 ∈ AF( 2 ). Dann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 4 ) = VAN( 2 ) ∪ {A( max(Dom(VANS( ))) )} ⊆ VAN( ) und es ist K( 4 ) = A( max(Dom(VANS( ))) ) und |VANS( 4 )| = |VAN( 4 )|. Letzteres ergibt sich wie folgt: Zunächst ist |VAN( 2 )| = |VANS( 2 )| und |{A( max(Dom(VANS( ))) )}| = |{(Dom( 2 ), Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) )}|. Ferner ist VANS( 2 ) ∩ {(Dom( 2 ), Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) )} = ∅ und VAN( 2 ) ∩ {A( max(Dom(VANS( ))) )} = ∅.Damit ist dann mit Theorem 3-15-(iv) und -(viii): |VANS( 4 )| = |VANS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) )}| = |VANS( 2 )|+|{(Dom( 2 ), Sei A( max(Dom(VANS( ))) ) )}| = |VAN( 2 )|+|{A( max(Dom(VANS( ))) )}| = |VAN( 2 ) ∪ {A( max(Dom(VANS( ))) )}| = |VAN( 4 )|. Sodann gilt mit Theorem 3-15-(vi), dass {A( max(Dom(VANS( ))) ), A( max(Dom(VANS( ))) ) → K( ) } ⊆ VER( 4 ). Damit ist 5 = 4 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 4 ) und mit Theorem 3-27-(v) VAN( 5 ) ⊆ VAN( 4 ) ⊆ VAN( ) und K( 5 ) = K( ) und |VANS( 5 )| = |VAN( 5 )|. Letzteres ergibt sich wie oben für |VANS( 3 )| = |VAN( 3 )| unter Rückgriff auf |VANS( 4 )| = |VAN( 4 )|. ■ Das folgende Theorem dient insbesondere der Vorbereitung der Abgeschlossenheit unter SE (Theorem 4-18-(i)). Theorem 4-2. SE-Vorbereitungstheorem Wenn ∈ RGS\{∅} und Γ ∈ GFORM, dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, alle i ∈ Dom(VANS( *)): Wenn A( * i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( *))). Beweis: Sei ∈ RGS\{∅} und Γ ∈ GFORM. Dann ist Γ ∉ VAN( ) oder Γ ∈ VAN( ). Sei Γ ∉ VAN( ). Dann ist selbst ein solches * ∈ RGS\{∅}, so dass (i), (ii) und trivialerweise (iii) gelten. Sei nun Γ ∈ VAN( ). Der Beweis wird mittels Induktion über |VANS( )| geführt. Sei |VANS( )| = 0. Mit Theorem 2-77 folgt entgegen der Annahme |VAN( )| = 0, womit die Behauptung trivial gilt. Sei nun |VANS( )| = k ≠ 0. Gelte die Behauptung für alle ' ∈ RGS\{∅} mit |VANS( ')| < k. Dann gibt es mit Theorem 4-1 ein 1 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 1 ) ⊆ VAN( ), K( 1 ) = K( ) und |VANS( 1 )| = |VAN( 1 )| ≤ |VAN( )| ≤ |VANS( )|. Sodann gilt mit |VANS( 1 )| = |VAN( 1 )| für alle Β ∈ VAN( 1 ): Es gibt genau ein i ∈ Dom(VANS(

  . Dann gilt mit Theorem 3-22, dass VAN( 2 ) ⊆ VAN( 1 )\{Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) )} ⊆ VAN( ). Mit Theorem 3-19-(iv) und (v) gilt sodann |VANS( 2 )| < |VANS( 1 )| ≤ |VANS( )| und es gilt: |VANS( 2 )| = |VAN( 2 )|.

  1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) → K( ) . Dann lassen sich mit Γ ∈ VAN( 3 ) oder Γ ∉ VAN( 3 ) zwei Fälle unterscheiden: Erster Fall: Γ ∈ VAN( 3 ). Dann ist Γ = A( 3 max(Dom(VANS( 3 ))) ) und für alle i ∈ Dom(VANS( 3 )): Wenn Γ = A( i ), dann i = max(Dom(VANS( 3 ))). Dann ist mit Theorem 3-18 4 = 3 {(0, Also Γ → (Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) → K( )) } ∈ SEF( 3 ). Dann ergibt sich mit Theorem 3-22, dass VAN( 4 ) ⊆ VAN( 3 )\{Γ} ⊆ VAN( ). Also gilt Γ ∉ VAN( 4 ) und damit, dass für alle i ∈ Dom(VANS( 4 )): A( 4 i ) ≠ Γ. Sei nun 5 = 4 {(0, Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) ), (1, Sei Γ )}. Dann ist zunächst 5 ∈ AF( 4 {(0, Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) )}) und 4 {(0, Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) )} ∈ AF( 4 ). Sodann gilt wegen A( 4 i ) ≠ Γ für alle i ∈ Dom(VANS( 4 )) und Γ ≠ Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) mit Theorem 3-15-(iv) für alle i ∈ Dom(VANS( 5 )): A( 5 i ) = Γ gdw i = max(Dom(VANS( 5 ))). Sodann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 5 ) ⊆ VAN( 4 ) ∪ {Γ, Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) )} ⊆ VAN( ). Ferner ist mit Theorem 3-15-(vi) {Γ, Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ), Γ → (Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) → K( )) } ⊆ VER( 5 ) und mit Theorem 3-15-(iv) ist (Dom( 4 ), Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1 )))

  (Dom(VANS( 5 ))), max(Dom(VANS( 5 ))) )} = {(Dom( 4 )+1, Sei Γ )} und also Dom( 4 ) = Dom( 4 )+1. Widerspruch! Daher ist 7 = 6 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 6 ) und mit gilt VAN( 7 ) ⊆ VAN( 6 ) ⊆ VAN( ). Ferner gilt mit Theorem 3-27-(ii) für alle i ∈ Dom(VANS( 7 )): Wenn A( 7 i ) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 7 ))). Damit ist 7 das gesuchte Element von RGS\{∅}. Zweiter Fall: Γ ∉ VAN( 3 ). Sei nun 8 = 3 {(0, Sei Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) )}. Dann ist zunächst 8 ∈ AF( 3 ). Sodann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 8 ) = VAN( 3 ) ∪ {Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) )} ⊆ VAN( ). Ferner ist mit Theorem 3-15-(vi) {Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ), Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) → K( ) } ⊆ VER( 8 ). Sodann gilt mit Γ ∉ VAN( 3 ) und Α( 1 max(Dom(VANS( 1 ))) ) ≠ Γ auch Γ ∉ VAN( 8 ) und damit für alle i ∈ Dom(VANS( 8 ): A( 8 i ) ≠ Γ. Dann gilt trivialerweise für alle i ∈ Dom(VANS(

  Beweis: Sei ein geschlossener Abschnitt in , i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )), Δ = A( i ) und PAR ∩ TT(Δ) = ∅. Mit Theorem 2-47 gilt dann, dass es einen geschlossenen Abschnitt in mit ⊆ gibt, so dass i = min(Dom( )). Mit Theorem 2-42 ist dann ein SE-oder ein NE-oder ein EA-artiger Abschnitt in . Sei ein SE-oder ein NE-artiger Abschnitt in . Dann gilt mit Definition 2-11 und Definition 2-12, dass max(Dom( )) ∈ Dom( ), max(Dom( )) ≠ i und Δ ∈ TA( max(Dom( )) ). Sei nun ein EA-artiger Abschnitt in . Dann gilt mit Definition 2-13: min(Dom( ))-1 ∈ Dom( ) und min(Dom( ))-1 ≠ i. Sodann gibt es ξ ∈ VAR, Δ + ∈ FORM, wobei FV(Δ + ) ⊆ {ξ} und β ∈ PAR, so dass A( min(Dom( ))-1 ) = ξΔ + und Δ = A( min(Dom( )) ) = [β, ξ, Δ + ]. Da nun nach Annahme PAR ∩ TT(Δ) = ∅, ist dann β ∉ TT([β, ξ, Δ + ]) und mit Theorem 1-14-(ii) Δ = [β, ξ, Δ + ] = Δ + . Damit ist dann A( min(Dom( ))-1 ) = ξΔ und somit Δ ∈ TA( min(Dom( ))-1 ) und die Behauptung gilt. ■ Theorem 4-4. Verkettung parameterfremder RGS-Elemente mit eingeschobener blockierender Annahme Wenn , ' ∈ RGS, PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ und α ∈ KONST\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, * Dom( ) = Sei α = α , (iv) Für alle i ∈ Dom( ') ist ' i = * Dom( )+1+i , (v) Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))}, (vi) VER( *) = VER( ) ∪ { α = α } ∪ VER( ') und (vii) VAN( *) = VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '). Beweis: Durch Induktion über Dom( ') wird gezeigt, dass es unter den entsprechenden Voraussetzungen immer ein * gibt, dass (i) bis (v) erfüllt. (vi) und (vii) ergeben sich aus den vorhergehenden Klauseln. Mit (i) bis (v) gilt nämlich mit Definition 2-30: Β ∈ VER( *) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VERS( *)), so dass Β = A( * i ) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))}, so dass Β = A( * i ) gdw Β ∈ VER( ) ∪ { α = α } ∪ VER( '). Sodann ergibt sich (vii) aus (i) bis (v) mit Definition 2-31 wie folgt: Β ∈ VAN( *) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( *)), so dass Β = A( * i ) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VERS( *)) ∩ Dom(ANS( *)), so dass Β = A( * i ) gdw es gibt ein i ∈ (Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))}) ∩ Dom(ANS( *)), so dass Β = A( * i ) gdw es gibt ein i ∈ (Dom(VERS( )) ∩ Dom(ANS( *))) ∪ ({Dom( )} ∩ Dom(ANS( *))) ∪ ({Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} ∩ Dom(ANS( *))), so dass Β = A( * i ) gdw es gibt ein i ∈ (Dom(VERS( )

  viii') Dom( ) ∈ Dom(VANS( + )), Dom( ) ∈ Dom(VANS( *)) und Dom( ) ≤ max(Dom(VANS( *))).Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF, UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt: ix') Wenn + ∈ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *), dann ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1).Vorbereitungsteil: Sei zunächst + ∈ SEF( *). Dann gilt mit Definition 3-2, Theorem 3-19-(i) und vii') und viii'), dass es Dom( )+1+i ∈ Dom(VANS( *)) gibt, so dass mit i')und iv') A( * Dom( )+1+i ) = A( ' i ) und K( *) = A( * Dom( )+1+Dom( ')-2 ) = A( ' Dom( ')-2 ) = K( ' Dom( ')-1) und es kein l mit Dom( )+1+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also A( * Dom( )+1+i ) → K( *) } = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also A( ' i ) → K( ' Dom( ')-1) }. Dann gilt mit i'), iv') und v'): i ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)). Ferner gilt dann mit vi'), dass ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also A( ' i ) → K( ' Dom( ')-1) } und damit ist dann insgesamt ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1). Für den Fall, dass + ∈ NEF( *), zeigt man analog, dass dann auch ' ∈ NEF( ' Dom( ')-1). Sei nun + ∈ PBF( *). Dann gilt mit Definition 3-15, Theorem 3-21-(i), A( * Dom( ) ) = α = α und vii') und viii'), dass es β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und Dom( )+1+i ∈ Dom(VERS( *)) gibt, so dass mit i') und iv') ξΔ = A( * Dom( )+1+i ) = A( ' i ) und [β, ξ, Δ] = A( * Dom( )+2+i ) = A( ' i+1 ), wobei Dom( )+2+i ∈ Dom(VANS( *)) und K( *) = A( * Dom( )+1+Dom( ')-2 ) = A( ' Dom( ')-2 ) = K( ' Dom( ')( )+1+Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1) } und β ∉ TTFM({Δ, K( *)}) und es kein j ≤ Dom( )+1+i gibt, so dass β ∈ TT( * j ) und es kein l mit Dom( )+2+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Dann gilt mit i'), iv') und v'): i ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) und i+1 ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und β ∉ TTFM({Δ, K( ' Dom( ')-1)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( ' j ), und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1). Ferner gilt dann mit vi'), dass ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1) } und damit ist dann insgesamt ' ∈ PBF( ' Dom( ')-1). Hauptteil: Nun zum Nachweis, dass sich für die einzelnen Fälle AF … IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS\{∅} und v) gilt: (AF): Sei ' ∈ AF( ' Dom( ')-1). Dann ist nach Definition 3-1 ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Sei A( ' Dom( ')-1 ) )} und mit vi') + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Sei A( ' Dom( ')-1 ) )} ∈ AF( *) ⊆ RGS\{∅}. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-15-(ii), dass VERS( ') = VERS( ' Dom( ')-1) ∪ {(Dom( ')-1, Sei A( ' Dom( ')-1 ) )} und VERS( + ) = VERS( *) ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Sei A( ' Dom( ')-1 ) )}. Mit v') ergibt sich dann: i ∈ Dom(VERS( + )) gdw i ∈ Dom(VERS( *)) ∪ {Dom( )+1+Dom( ')-1} gdw i ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))} ∪ {Dom( )+1+Dom( ')-1} gdw i ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und damit, dass Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und somit (v) gilt. (SEF, NEF): Sei nun ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈ Dom( ')-1, so dass mit iv') A( ' i ) = A( * Dom( )+1+i ) und i ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und K( ' Dom( ')-1) = A( * Dom( )+1+Dom( ')-2 ) = K( *) und es kein l mit i < l ≤ Dom( ')-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also A( i ) → K( *) )}. Mit vi') ergibt sich dann: + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also A( i ) → K( *) )}. Sodann gilt mit iv') und v'): Dom( )+1+i ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit Dom( )+1+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Damit ist dann auch + ∈ SEF( *) ⊆ RGS\{∅}. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(iii), dass VERS( ') = (VERS( ' Dom( ')-1)\{

  Für den Fall, dass ' ∈ NEF( ' Dom( ')-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ NEF( *) ⊆ RGS\{∅} und v) gilt. (PBF): Sei nun ' ∈ PBF( ' Dom( ')-1). Dann gilt nach Definition 3-15, dass es β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und i ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) gibt, so dass mit iv') ξΔ = A( ' i ) = A( * Dom( )+1+i ) und [β, ξ, Δ] = A( ' i+1 ) = A( * Dom( )+2+i ), wobei i ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und K( ' Dom( ')-1) = A( ' Dom( ')-2 ) = A( * Dom( )+1+Dom( ')-2 ) = K( *) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1)} und β ∉ TTFM({Δ, K( ' Dom( ')-1)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( ' j ), und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1). Dann gilt mit iv') und v'): Dom( )+1+i ∈ Dom(VERS( *)) und Dom( )+2+i ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit Dom( )+2+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Sodann gilt mit vi'ξ ∈ FV(Δ) oder ξ ∉ FV(Δ). Sei nun ξ ∈ FV(Δ). Dann ist β ∈ TT([β, ξ, Δ]) ⊆ TTSEQ( '). Da nun nach Voraussetzung PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ ist damit β ∉ TTSEQ( ). Damit ergibt sich mit i') bis iv') daraus, dass β ∉ TTFM({Δ, K( ' Dom( ')-1)}) und es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( ' j ), dass auch β ∉ TTFM({Δ, K( *)}) und es kein j ≤ Dom( )+1+i gibt, so dass β ∈ TT( * j ). Damit ist dann + ∈ PBF( *). Sei nun ξ ∉ FV(Δ). Dann ist β ∉ TT([β, ξ, Δ]). Nun gibt es ein β* ∈ PAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')). Dann ist mit Theorem 1-14-(ii) [β*, ξ, Δ] = Δ = [β, ξ, Δ] = A( ' i+1 ) = A( * Dom( )+2+i ). Sodann gilt dann, dass β* ∉ TTFM({Δ, K( *)}) und es kein j ≤ Dom( )+1+i gibt, so dass β* ∈ TT( * j ). Damit ist dann wiederum + ∈ PBF( *). Es gilt also insgesamt, dass + ∈ PBF( *) ⊆ RGS\{∅}. Dass auch (v) gilt, ergibt sich dann mit v') und Theorem 3-21-(iii) analog zu SEF und NEF. (SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UBF, PEF, IEF, IBF): Sei nun ' ∈ SBF( ' Dom( ')-1). Dann gibt es nach Definition 3-3 Δ, Γ ∈ GFORM, so dass Δ, Δ → Γ ∈ VER( ' Dom( ')-1) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also Γ )}. Dann gilt mit vi'): + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also Γ )}. Sodann gilt mit Δ, Δ → Γ ∈ VER( ' Dom( ')-1), Definition 2-30 und iv'), dass es i, j ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) gibt, so dass Δ = A( ' i ) = A( * Dom( )+1+i ) und Δ → Γ = A( ' j ) = A( * Dom( )+1+j ). Sodann gilt mit v'), dass Dom( )+1+i, Dom( )+1+j ∈ Dom(VERS( *)). Damit ist dann insgesamt + ∈ SBF( *) ⊆ RGS\{∅}. Sodann ist ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∉ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1). Im ersten Fall ergibt sich die Gültigkeit von (v) wie unter den jeweiligen Fallbetrachtungen. Sei nun ' ∉ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1). Dann gilt mit ix'), dass auch + ∉ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *). Dann gilt mit Theorem 3-25, dass VERS( ') = VERS( ' Dom( ')-1) ∪ {(Dom( )-1, Also Γ )} und VERS( + ) = VERS( *) ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also Γ )}. Mit v') ergibt sich dann wie bei AF, dass VERS( + ) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und folglich (v) gilt. Für den Fall, dass ' ∈ KEF( ' Dom( ')-1) ∪ KBF( ' Dom( '( ')-1) ∪ IEF( ' Dom( ')-1) ∪ IBF( ' Dom( ')-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ KEF( *) ∪ KBF( *) ∪ BEF( *) ∪ BBF( *) ∪ AEF( *) ∪ ABF( *) ∪ NBF( *) ∪ UBF( *) ∪ PEF( *) ∪ IEF( *) ∪ IBF( *) ⊆ RGS\{∅} und jeweils v) gilt. (UEF): Sei nun ' ∈ UEF( ' Dom( ')-1). Dann gibt es nach Definition 3-12 β ∈ PAR, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass [β, ξ, Δ] ∈ VER( ' Dom( ')-1), β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( ' Dom( ')-1)) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also ξΔ )}. Dann gilt zunächst mit vi'): + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also ξΔ )}. Sodann gilt mit [β, ξ, Δ] ∈ VER( ' Dom( ')-1), Definition 2-30 und iv'), dass es i ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) gibt, so dass [β, ξ, Δ] = A( ' i ) = A( * Dom( )+1+i ). Sodann gilt mit v'), dass Dom( )+1+i ∈ Dom(VERS( *)). Sodann ist ξ ∈ FV(Δ) oder ξ ∉ FV(Δ). Sei nun ξ ∈ FV(Δ). Dann ist β ∈ TT([β, ξ, Δ]) ⊆ TTSEQ( '). Da nun nach Voraussetzung PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ ist damit β ∉ TTSEQ( ). Damit ergibt sich mit i') bis v') daraus, dass β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( ' Dom( ')-1))), dass auch β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Damit ist dann + ∈ UEF( *). Sei nun ξ ∉ FV(Δ). Dann ist β ∉ TT([β, ξ, Δ]). Sei nun β* ∈ PAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')). Dann ist mit Theorem 1-14-(ii) [β*, ξ, Δ] = Δ = [β, ξ, Δ] = A( ' i ) = A( * Dom( )+1+i ). Außerdem gilt dann, dass β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Damit ist dann wiederum + ∈ UEF( *). Es gilt also insgesamt, dass + ∈ UEF( *) ⊆ RGS\{∅}. (v) ergibt sich dann analog zum Vorgehen bei SBF … IBF. ■ Theorem 4-5. Geglückte KB-Fortsetzung Wenn ∈ RGS\{∅} und Α ∧ Β ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass

Theorem 4- 6 .

 6 Verfügbare Aussagen als Konklusionen Wenn ∈ RGS\{∅} und Α ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) = VAN( ), (ii) VER( ) ⊆ VER( *) und (iii) K( *) = Α.

  Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( 4 ) ⊆ VAN( )\{ α = α } und Α, Β ∈ VER( *) und K( *) = Β. Zweiter Fall: Angenommen α = α ∉ VAN( + ) und mithin VAN( + ) ⊆ VAN( )\{ α = α }. Nun ist Α ∧ Β = K( + ) ∈ VER( + ). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( + ) ⊆ VAN( )\{ α = α } und Α, Β ∈ VER( *) und K( *) = Β. ■ Theorem 4-8. Einfache Substitution eines neuen Parameters für einen Parameter ist RGS-treu Wenn ∈ RGS, und β* ∈ PAR\TTSEQ( ) und β ∈ PAR\{β*}, dann ist [β*, β, ] ∈ RGS und Dom(VERS([β*, β, ])) = Dom(VERS( )). Beweis: Durch Induktion über Dom( ). Sei ∈ RGS, und β* ∈ PAR\TTSEQ( ) und β ∈ PAR\{β*} und gelte die Behauptung für alle k < Dom( ). Sei Dom( ) = 0. Dann ist = ∅ = [β*, β, ] und damit [β*, β, ] ∈ RGS und es ist Dom(VERS([β*, β, ])) = ∅ = Dom(VERS( )). Sei nun 0 < Dom( ). Dann ist ∈ RGS\{∅}. Dann ist mit Theorem 3-6 ∈ RGF( Dom( )-1). Dann ist nach I.V.: a) * = [β*, β, Dom( )-1] ∈ RGS und Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)). Sodann ergibt sich mit ∈ RGF( Dom( )-1) mit Definition 3-18, dass ∈ AF( Dom( )-1) oder ∈ SEF( Dom( )-1) oder ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NEF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ PBF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). Da sich Operatoren durch die Substitution nicht verändern, gilt nun zunächst: b) Für alle i ∈ Dom( )-1: A(

  da sonst im Gegensatz zur Voraussetzung β* ∈ TTSEQ( ) oder β = β*. Sodann sei vereinbart: d) + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Dom( )-1 ])}. Dann ist + = [β*, β, ]. Nun wird gezeigt, dass sich für die einzelnen Fälle AF … IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )), womit dann jeweils gezeigt ist, dass das Theorem gilt. Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF, UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt: e) Wenn + ∈ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *), dann ∈ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( -1) ∪ PBF( Dom( -1).

.

  Zweiter Fall: Angenommen, β* ≠ β + . Dann lassen sich mit β + ∈ TT([β*, β, A( i+1 )]) und β + ∉ TT([β*, β, A( i+1 )]) zwei Unterfälle unterscheiden. Erster Unterfall: Angenommen β + ∈ TT([β*, β, A( i+1 )]). Dann ist β + ≠ β und damit β ∉ TT(β + ). Dann ist mit Δ = [β*, β, Δ + ] und Theorem 1-25-(ii): [β*, β, A( i+1 )] = [β + , ζ, Δ] = [β + , ζ, [β*, β, Δ + ]] = [β*, β, [β + , ζ, Δ + ]]. Sodann ist β* ∉ TT(A( i+1 )) und wegen β* ≠ β + und β* ∉ TT(Δ + ) auch β* ∉ TT([β + , ζ, Δ + ]) und damit mit Theorem 1-20 A( i+1 ) = [β + , ζ, Δ + ]. Wäre nun β + ∈ TTFM({Δ + , A( Dom( )-2 )}) oder gäbe es ein j ≤ i, so dass β + ∈ TT( j ). Dann wäre wegen β + ≠ β mit b) auch β + ∈ TTFM({[β*, β, Δ + ], [β*, β, A( Dom( )-2 )]}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β + ∈ TT( * j ). Widerspruch! Also ist im ersten Unterfall die Parameterbedingung für β + auch in Dom( )-1 erfüllt und damit wiederum insgesamt ∈ PBF( Dom( )-1).

:

  Nun zum Nachweis, dass sich für die einzelnen Fälle AF … IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )). Zunächst werden SEF, NEF und PBF behandelt. Nach einer Ausschlussannahme für alle anderen Fälle kann dann für diese mit a), e) und Theorem 3-25 sofort Dom(VERS( + )) bestimmt werden. (SEF, NEF): Sei nun ∈ SEF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass es kein l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)

  ( Dom( )-1)) ergibt sich dann auch Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )). Für den Fall, dass ∈ NEF( Dom( )-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ NEF( *) ⊆ RGS und Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )).

  β, Δ] = ζΔ . Sodann gilt mit β = β + und β* ∉ TTSEQ( ): β, β* ∉ TTFM({Δ, A( Dom( )-2 )}) und damit auch β* ∉ TTFM({Δ, [β*, β, A( Dom( )-2 )]}). Gäbe es nun ein j ≤ i, so dass β* ∈ TT( * j ). Dann ist mit b) β* ∈ TT( * j ) = [β*, β, j ]. Sodann ist mit β* ∉ TTSEQ( ) auch β* ∉ TT( j ). Damit gilt mit β* ∈ TT( * j ) dann aber β ∈ TT( j ) und andererseits nach Voraussetzung β = β + ∉ TT( j ). Widerspruch! Also gilt, dass es kein j ≤ i gibt, so dass β* ∈ TT( * j ). Damit ist dann insgesamt + ∈ PBF( *). Zweiter Fall: Sei nun β + ≠ β. Dann lassen sich mit β + ≠ β* und β + = β* zwei Unterfälle unterscheiden. Erster Unterfall: Sei β + ≠ β*. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii) und β + ≠ β:

  Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)) ergibt sich dann wieder Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )). Ausschlussannahme: Für die verbleibenden Schritte sei ∉ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Mit e) ist dann + ∉ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *). Damit ergibt sich für die folgenden Fälle dann mit Theorem 3-25 jeweils, dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, K( ))} und dass VERS( + ) = VERS( *) ∪ {(Dom( )-1, K( + ))}. Mit Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)) ergibt sich dann Dom(VERS( + )) = Dom(VERS( )) für alle verbleibenden Fälle. (AF): Sei nun ∈ AF( Dom( )-1). Dann ist nach Definition 3-1 = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Sei A( Dom( )-1 ) ). Dann ist mit d) + = * ∪ {(Dom( )-1, Sei [β*, β, A( Dom( )-1 )] )} ∈ AF( *) und damit + ∈ RGS. (SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF): Sei nun ∈ SBF( Dom( )-1). Dann gibt es mit Definition 3-3 Α, Β ∈ GFORM, so dass Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1)

  Für KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF und NBF ist analog vorzugehen. (UEF): Sei nun ∈ UEF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-12 β + ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [β + , ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), β + ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Dann gilt mit d): + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also ζ[β*, β, Δ] )}. Sodann gibt es mit [β + , ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1), so dass [β + , ζ, Δ] = A( i ). Mit a) und b) gilt dann, dass i ∈ Dom(VERS( *)) und A(

  )) und damit mit a) und b) auch β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Wäre nämlich β* ∈ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Dann ist β* ∉ TT(Δ), da sonst β* ∈ TT(Δ) ⊆ TT( ζΔ ) = TT(K( )) ⊆ TTSEQ( ), was wegen β* ∉ TTSEQ( ) ausgeschlossen ist. Also gäbe es dann Β ∈ VAN( *), so dass β* ∈ TT(Β). Damit gäbe es mit Definition 2-31 j ∈ Dom(VANS( *)), so dass β* ∈ TT(A( * j )). Dann ist mit b) A( * j ) = [β*, β, A( j )]. Sodann ist mit β* ∉ TTSEQ( ) auch β* ∉ TT(A( j )). Damit gilt mit β* ∈ TT(A( * j )) und A( * j ) = [β*, β, A( j )] dann aber β ∈ TT(A( j )). Sodann ergibt sich mit a) und b) aus j ∈ Dom(VANS( *)), dass j ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und somit A( j ) ∈ VAN( Dom( )-1). Damit wäre aber β ∈ TTFM(VAN( Dom( )-1)) und andererseits nach Voraussetzung β = β + ∉ TTFM(VAN( Dom( )-1)). Widerspruch! Also ist β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Da sodann A( * i ) = [β*, ζ, Δ], i ∈ Dom(VERS( *)) und K( + ) = ζΔ ist damit dann insgesamt + ∈ UEF( *). Zweiter Fall: Sei nun β + ≠ β. Dann lassen sich mit β + ≠ β* und β + = β* zwei Unterfälle unterscheiden. Erster Unterfall: Sei β + ≠ β*. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii) und β + ≠ β:

  β, Δ]). Also wäre β + ∈ TTFM(VAN( *)) und somit gäbe es mit Definition 2-31 ein j ∈ Dom(VANS( *)), so dass β + ∈ TT(A( * j )). Da mit b) A( * j ) = [β*, β, A( j )] und β + ≠ β*, wäre damit aber bereits β + ∈ TT(A( j )). Mit a) und b) ergäbe sich sodann aus j ∈ Dom(VANS( *)), dass j ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und somit A( j ) ∈ VAN( Dom( )-1)) und damit β + ∈ TTFM(VAN( Dom( )-1)) und andererseits nach Voraussetzung β + ∉ TTFM(VAN( Dom( )-1)). Widerspruch! Also ist β + ∉ TTFM({[β*, β, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit wiederum insgesamt + ∈ UEF( *). Zweiter Unterfall: Sei nun β + = β*. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β* ∈ TT([β + , ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Damit ist dann [β + , ζ, Δ] = Δ und damit A( * i ) = [β*, β, [β + , ζ, Δ]] = [β*, β, Δ] und sodann ist K( + ) = ζ[β*, β, Δ] . Sei nun β § ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β*, β, Δ]) und damit A( * i ) = [β*, β, Δ] = [β § , ζ, [β*, β, Δ]] und es gilt: β § ∉ TTFM({[β*, β, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit wiederum insgesamt + ∈ UEF( *). Damit gilt in beiden Unterfällen und somit insgesamt in beiden Fällen, dass + ∈ UEF( *) ⊆ RGS. (UBF): Sei nun ∈ UBF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-13 θ ∈

:

  Gelten nun + ∈ RGS und b) für alle k < Dom( ). Sei Dom( ) = 0. Dann ist = ∅ = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))}. Mit a) und Definition 3-16 ist + = {(0, Also β = β )} ∈ IEF(∅) ⊆ RGS. Offenbar gilt Dom(VERS( + )) = {0} = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Sei nun 0 < Dom( ). Dann ist ∈ RGS\{∅}. Dann ist mit Theorem 3-6 ∈ RGF( Dom( )-1). Dann ist nach I.V.: c) * = {(0, Also β = β )} [β, α, Dom( )-1] ∈ RGS und Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0}. Sodann ergibt sich mit ∈ RGF( Dom( )-1) mit Definition 3-18, dass ∈ AF( Dom( )-1) oder ∈ SEF( Dom( )-1) oder ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NEF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ PBF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1).

  e) Für alle i ∈ Dom( ): β ∉ TT(A( i )) und α ∉ TT([β, α, A( i )]), da sonst im Gegensatz zur Voraussetzung β ∈ TTSEQ( ) oder aber im Gegensatz zu Postulat 1-1 α = β. Mit a) gilt: f) + = * ∪ {(Dom( *), + Dom( *) )} = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Dom( )-1 ])}. Nun wird gezeigt, dass sich für die einzelnen Fälle AF … IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und b), womit + dann jeweils das gesuchte RGS-Element ist. Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF, UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt: g) Wenn + ∈ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *), dann ∈ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( -1) ∪ PBF( Dom( -1).

Hauptteil:

  Nun zum Nachweis, dass sich für die einzelnen Fälle AF … IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und Dom(VERS( + )) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Zunächst werden SEF, NEF und PBF behandelt. Nach einer Ausschlussannahme für alle anderen Fälle kann für diese Dom(VERS( + )) allein mit c), g) und Theorem 3-25 bestimmt werden. (SEF, NEF): Sei nun ∈ SEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-2 gibt es dann ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass es kein l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) mit i < l ≤ Dom( )-2 gibt und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i ) → K( Dom( )-1) )}. Dann gilt mit a), d) und f): i+1 ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-1 = Dom( *)-1, so dass l ∈ Dom(VANS( *)), und A( * i+1 ) = [β, α, A( i )] und K( *) = [β, α, K( Dom( )-1)] und + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, AlsoA( i ) → K( Dom( )-1) ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( i )] → [β, α, K( Dom( )-1)] )} = * ∪ {(Dom( ), Also A( * i+1 ) → K( *) )}. Damit ist dann + ∈ SEF( *) und damit + ∈ RGS.Sodann ergibt sich mit, dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j,j ) | i ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( i ) → K( Dom( )-1) )} und dass VERS( + ) = VERS( *)\{(j, + j ) | i+1 ≤ j < Dom( )} ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( i )] → [β, α, K( Dom( )-1)] )}. Mit Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0}ergibt sich dann auch Dom(VERS( + )) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Für den Fall, dass ∈ NEF( Dom( )-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ NEF( *) ⊆ RGS und Dom(VERS( + )) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. (PBF): Sei nun ∈ PBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-15 gibt es dann β* ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = ζΔ , A( i+1 ) = [β*, ζ, Δ], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), β* ∉ TTFM({Δ, A( Dom( )-2 )}), es kein j ≤ i gibt, so dass β* ∈ TT( j ), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2 ) )}.Damit ergibt sich dann mit c), d) und f) zunächst:i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i+1 ) = [β, α, A( i )] = [β, α, ζΔ ] = ζ[β, α, Δ] , i+2 ∈ Dom(VANS( *)) und A( * i+2 ) = [β, α, A( i+1 )] = [β, α, [β*, ζ, Δ]], K( *) = A( * Dom( )-1 ) = [β, α, A( Dom( )-2 )] und + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also K( Dom( )-1) ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, K( Dom( )-1)] )} = * ∪ {(Dom( ), Also K( *) )} und es gibt kein l mit i+2 < l ≤ Dom( )-1 = Dom( *)-1, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Sodann lassen sich mit β* ≠ β und β* = β zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei β* ≠ β. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii) A( * i+2 ) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β*, ζ, [β, α, Δ]]. Sodann ist A( * i+1 ) = ζ[β, α, Δ] . Wäre nun β* ∈ TTFM({[β, α, Δ],[β, α, A( Dom( )-2 )]}) oder gäbe es ein j ≤ i+1, so dass β* ∈ TT( * j ), dann wäre wegen β* ≠ β mit d) auch β* ∈ TTFM({Δ, A( Dom( )-2 )}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β* ∈ TT( j ).Widerspruch! Also ist β* ∉ TTFM({[β, α, Δ], [β, α, A( Dom( )-2 )]}) und es gibt kein j ≤ i+1, so dass β* ∈ TT( * j ) und damit ist + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Zweiter Fall: Sei nun β* = β. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β ∈ TT([β*, ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Dann ist [β*, ζ, Δ] = Δ und damit A( * i+2 ) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β, α, Δ] und sodann ist A( * i+1 ) = ζ[β, α, Δ] . Sei nun β + ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β, α, Δ]) und damit A( * i+2 ) = [β, α, Δ] = [β + , ζ, [β, α, Δ]] und es gilt: β + ∉ TTFM({[β, α, Δ], [β, α, A( Dom( )-2 )]})und es gibt kein j ≤ i+1, so dass β + ∈ TT( * j ). Damit ist dann wieder + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Damit gilt in beiden Fällen + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-21-(iii), dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, j ) | i+1 ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2 ) )} und dass VERS( + ) = VERS( *)\{(j, + j ) | i+2 ≤ j < Dom( )} ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( Dom( )-2 )] )}. Mit Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0} ergibt sich dann wieder Dom(VERS( + )) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Ausschlussannahme: Für die verbleibenden Schritte sei ∉ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Mit g) ist dann + ∉ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *). Damit ergibt sich für die folgenden Fälle dann jeweils mit Theorem 3-25, dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, K( ))} und dass VERS( + ) = VERS( *) ∪ {(Dom( ), K( *))}. Mit Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0} ergibt sich dann Dom(VERS( + )) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0} für alle verbleibenden Fälle. (AF): Sei nun ∈ AF( Dom( )-1). Nach Definition 3-1 ist dann = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Sei A( Dom( )-1 ) ). Dann ist mit f) + = * ∪ {(Dom( ), Sei [β, α, A( Dom( )-1 )] )} ∈ AF( *) und damit + ∈ RGS. (SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF): Sei nun ∈ SBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-3 gibt es dann Α, Β ∈ GFORM, so dass Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also Β )}. Mit f) gilt dann: + = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, Β] )}. Sodann gibt es mit Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = Α und A( j ) = Α → Β . Mit c) und d) ergibt sich dann, dass i+1, j+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i+1 ) = [β, α, Α] und A( * j+1 ) = [β, α, Α] → [β, α, Β] . Damit gilt dann + = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, Β] )} ∈ SBF( *) und damit + ∈ RGS. Für KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF und NBF ist analog vorzugehen. (UEF): Sei nun ∈ UEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-12 gibt es dann β* ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [β*, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Dann gilt mit f): + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also ζ[β, α, Δ] )}. Sodann gibt es mit [β*, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass [β*, ζ, Δ] = A( i ). Mit c) und d) gilt dann, dass i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i+1 ) = [β, α, A( i )] = [β, α, [β*, ζ, Δ]]. Sodann lassen sich mit β* ≠ β und β* = β zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei β* ≠ β. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii): A( * i+1 ) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β*, ζ, [β, α, Δ]]. Sodann ist K( + ) = ζ[β, α, Δ] . Wäre β* ∈ TTFM({[β, α, Δ]} ∪ VAN( *)). Da β* ≠ β und β* ∉ TT(Δ) ist zunächst β* ∉ TT([β, α, Δ]). Also wäre β* ∈ TTFM(VAN( *)) und somit gäbe es mit Definition 2-31 ein j ∈ Dom(VANS( *)), so dass β* ∈ TT(A( * j )). Mit * 0 ∈ FSATZ ist j ≠ 0. Da mit d) dann A( * j ) = [β, α, A( j-1 )] und β* ≠ β wäre damit aber bereits β* ∈ TT(A( j-1 )). Mit c) und d) ergäbe sich sodann aus j ∈ Dom(VANS( *)), dass j-1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und somit A( j-1 ) ∈ VAN( Dom( )-1) und β* ∈ TTFM(VAN( Dom( )-1)) und andererseits nach Voraussetzung β* ∉ TTFM(VAN( Dom( )-1)). Widerspruch! Also ist β* ∉ TTFM({[β, α, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit + ∈ UEF( *).Zweiter Fall:Sei nun β* = β. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β ∈ TT([β*, ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Damit ist dann [β*, ζ, Δ] = Δ und damit A( * i+1 ) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β, α, Δ] und sodann ist K( + ) = ζ[β, α, Δ] . Sei nun β + ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β, α, Δ]) und damit A( * i+1 ) = [β, α, Δ] = [β + , ζ, [β, α, Δ]] und es gilt: β + ∉ TTFM({[β, α, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit wiederum + ∈ UEF( *). Damitgilt in beiden Fällen, dass + ∈ UEF( *) ⊆ RGS. (UBF): Sei nun ∈ UBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-13 gibt es dann θ ∈ GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass ζΔ ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ, ζ, Δ] )}. Mit f) ist dann + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also [θ, ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, [θ, ζ, Δ]] )}. Sodann gibt es mit ζΔ ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = ζΔ . Mit c) und d) ist dann i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i+1 ) = [β, α, ζΔ ] = ζ[β, α, Δ] . Sodann ist mit Theorem 1-26-(ii) K( + ) = [β, α, [θ, ζ, Δ]] = [[β, α, θ], ζ, [β, α, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β, α, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β, α, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ UBF( *) ⊆ RGS. (PEF): Sei nun ∈ PEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-14 gibt es dann θ ∈ GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Mit f) ist dann + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( ), Also ζ[β, α, Δ] )}. Sodann gibt es mit [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = [θ, ζ, Δ]. Mit c) und d) ist dann i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( * i+1 ) = [β, α, A( i )]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( * i+1 ) = [β, α, A( i )] = [β, α, [θ, ζ, Δ]] = [[β, α, θ], ζ, [β, α, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β,α, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β, α, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ PEF( *) ⊆ RGS. (IEF): Sei nun ∈ IEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-16 gibt es dann θ ∈ GTERM, so dass = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also θ = θ )}. Dann ist mit f) + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also θ = θ ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, θ] = [β, α, θ] )}, wobei mit θ ∈ GTERM auch [β, α, θ] ∈ GTERM. Damit ist dann + ∈ IEF( *) ⊆ RGS. (IBF): Sei nun ∈ IBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-17 gibt es dann θ 0 , θ 1 ∈ GTERM, ζ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ 1 , ζ, Δ] )}. Dann ist mit f) + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also [θ 1 , ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, [θ 1 , ζ, Δ]] )}. Mit θ 0 = θ 1 , [θ 0 , ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 gibt es sodann i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i ) = θ 0 = θ 1 und A( j ) = [θ 0 , ζ, Δ]. Dann gilt mit c) und d): i+1, j+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A(

  mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β, α, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit gilt dann insgesamt + ∈ IBF( *) ⊆ RGS. ■ Im Beweis des folgenden Theorems dient Theorem 4-8 als Induktionsbasis und als Hilfsmittel im Induktionsschritt. Das Theorem dient zur Vorbereitung der RGS-treuen Verkettung zweier RGS-Elemente, die nicht parameterfremd sind. Theorem 4-10. Mehrfache Substitution von neuen und paarweise verschiedenen Parametern für paarweise verschiedene Parameter ist RGS-treuWenn ∈ RGS, k ∈ N\{0} und {β* 0 , …, β* k-1 } ⊆ PAR\TTSEQ( ), wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt, dass β* i ≠ β* j , und {β 0 , …, β k-1 } ⊆ PAR\{β* 0 , …, β* k-1 }, wobei für i, j < k mit i ≠ j gilt, dass β i ≠ β j , dann ist [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ] ∈ RGS und Dom(VERS([〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ])) = Dom(VERS( )). Beweis: Durch Induktion über k. Die Behauptung gilt mit Theorem 4-8 für k = 1. Gelte die Behauptung nun für k. Sei nun ∈ RGS, k+1 ∈ N\{0} und {β* 0 , …, β* k } ⊆ PAR\TTSEQ( ), wobei für alle i, j < k+1 mit i ≠ j gelte, dass β* i ≠ β* j , und {β 0 , …, β k } ⊆ PAR, wobei für alle i, j < k+1 mit i ≠ j gelte, dass β i ≠ β j . Dann gilt mit I.V. [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ] ∈ RGS und Dom(VERS([〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ])) = Dom(VERS( )). Sodann ist mit Theorem 1-27-(iv) [β* k , β k , [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ]] = [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, ] und mit Theorem 4-8 dann [〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, ] ∈ RGS und Dom(VERS([〈β* 0 , …, β* k 〉, 〈β 0 , …, β k 〉, ])) = Dom(VERS([〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, ])) = Dom(VERS( )). ■ Theorem 4-11. UE-Fortsetzung einer Sequenz Wenn ∈ RGS\{∅}, k ∈ N\{0}, {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt: ξ i ≠ ξ j , Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 }, und {β 0 , … β k-1 } ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )), wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt: β i ≠ β j , und K( ) = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ],dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) PAR ∩ TTSEQ( *) = PAR ∩ TTSEQ( ), (ii) VAN( *) ⊆ VAN( ) und (iii) K( *) = ξ 0 … ξ k-1 Δ . Beweis: Durch Induktion über k. Sei k = 1 und ∈ RGS\{∅}, sei ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∈ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )) und K( ) = [β, ξ, Δ]. Da dann mit Theorem 2-82 [β, ξ, Δ] = K( ) ∈ VER( ), ist nach Definition 3-12 * = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ ) ∈ UEF( ) ⊆ RGS\{∅} und K( *) = ξΔ . Sodann ist PAR ∩ TTSEQ( *) = (PAR ∩ TTSEQ( )) ∪ (PAR ∩ TT( ξΔ )) = PAR ∩ TTSEQ( ) und mit Theorem 3-26-(v) ist VAN( *) ⊆ VAN( ).

  wobei die β i mit i < k ebenfalls paarweise verschieden sind. Nach I.V. gibt es damit mit K( ') = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …,ξ k-1 〉, ξ k Δ ] ein * ∈ RGS\{∅}, so dass PAR ∩ TTSEQ( *) = PAR ∩ TTSEQ( ') = PAR ∩ TTSEQ( ), VAN( *) ⊆ VAN( ') ⊆ VAN( ) und K( *) = ξ 0 … ξ k Δ . ■ Theorem 4-12. UB-Fortsetzung einer Sequenz Wenn ∈ RGS\{∅}, k ∈ N\{0}, {θ 0 , …, θ k-1 } ⊆ GTERM, {ξ 0 , …, ξ k-1 } ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt, dass ξ i ≠ ξ j , Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 }, und ξ 0 … ξ k-1 Δ ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) ⊆ VAN( ), (iv) Für alle i < k-1 gilt: K( * Dom( )+i+1) = ξ i+1 … ξ k-1 [〈θ 0 , …, θ i 〉, 〈ξ 0 , …, ξ i 〉, Δ] , und (v) K( *) = [〈θ 0 , …, θ k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ].Beweis: Durch Induktion über k:Sei k = 1. Seien ∈ RGS\{∅}, θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM,wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und ξΔ ∈ VER( ). Dann gilt mit Definition 3-13: * = {(0, Also [θ, ξ, Δ] )} ∈ UBF( ) ⊆ RGS\{∅} und es ist Dom( *) = Dom( )+1 und * Dom( ) = und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( *) ⊆ VAN( ), (iv) ist wegen k = 1 trivialerweise erfüllt und K( ') = [θ, ξ, Δ]. Gelte die Behauptung nun für k und sei ∈ RGS\{∅}, {θ 0 , …, θ k } ⊆ GTERM, {ξ 0 , …, ξ k } ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k+1 mit i ≠ j gelte, dass ξ i ≠ ξ j , Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k }, und ξ 0 … ξ k Δ ∈ VER( ). Dann gilt mit FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k }, dass FV( ξ 1 … ξ k Δ) ⊆ {ξ 0 } und mit θ 0 ∈ GTERM und ξ 0 … ξ k Δ ∈ VER( ) gilt mit Definition 3-13: ' = {(0, Also [θ 0 , ξ 0 , ξ 1 … ξ k Δ] )} ∈ UBF( ) ⊆ RGS\{∅}. Dann ist Dom( ') = Dom( )+1 und ' Dom( ) = und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( ') ⊆ VAN( ).

  ') ∈ VER( '). Dann gilt mit I.V., dass es ein * ∈ RGS\{∅} gibt, so dass: allei < k-1: K( * Dom( ')+i+1) = ζ i+1 … ζ k-1 [〈θ' 0 , …, θ' i 〉, 〈ζ 0 , …, ζ i 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]] und e) K( *) = [〈θ' 0 , …, θ' k-1 〉, 〈ζ 0 , …, ζ k-1 〉, [θ 0 , ξ 0 , Δ]].Dann ergibt sich mit a) wegen Dom( ') = Dom( )+1: Dom( *) = Dom( )+k+1. Sodann ergibt sich mit b) wegen ' Dom( ) = auch * Dom( ) = . Mit c) ergibt sich wegen VAN( ') ⊆ VAN( ), dass VAN( *) ⊆ VAN( ). Damit gilt bereits, dass * ∈ RGS\{∅} und dass die Klauseln (i) bis (iii) für * gelten. Aus d) ergibt sich sodann mit ζ i = ξ i+1 und θ' i = θ i+1 :

Theorem 4- 13 .

 13 Induktionsbasis für Theorem 4-14Wenn , ' ∈ RGS\{∅} und VANS( ') = ∅, dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) K( ), K( ') ∈ VER( *) und (ii) VAN( *) ⊆ VAN( ). Beweis: Seien , ' ∈ RGS\{∅} und sei VANS( ') = ∅. Wenn K( ) = K( '), können sowohl als auch ' für * gewählt werden. Sei nun K( ) ≠ K( '). Dann lassen sich mit PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ und PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') ≠ ∅ zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅. Nun gibt es ein α ∈ KONST\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')). Dann gibt es mit Theorem 4-4 ein + ∈ RGS\{∅}, so dass VER( ) ∪ VER( ') ⊆ VER( + ) und VAN(+ ) = VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '). Nun ist mit Theorem 2-82 K( ) ∈ VER( ) und K( ') ∈ VER( ') und damit sind dann K( ), K( ') ∈ VER( + ). Sodann gibt es mit Theorem 4-7 * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) ⊆ VAN( + )\{ α = α } = (VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '))\{ α = α } ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ') und K( ), K(') ∈ VER( *), womit * das gesuchte RGS-Element ist. Zweiter Fall: Sei nun PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') ≠ ∅. Dann kommen in ' k paarweise verschiedene Parameter für ein k ∈ N\{0} vor. Sei nun {β 0 , …, β k-1 } = PAR ∩ TTSEQ( '), wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gelte β i ≠ β j . Nun gibt es β* 0 , …, β* k-1 ∈ PAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')), wobei für alle i, j < k: Wenn i ≠ j, dann β* i ≠ β* j . Sodann gibt es ξ 0 , …, ξ k-1 ∈ VAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')), wobei für alle i, j < k: Wenn i ≠ j, dann ξ i ≠ ξ j . Nun gilt mit Theorem 2-77 wegen VANS( ') = ∅ auch VAN( ') = ∅. Sodann gibt es mit Theorem 1-16 ein Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ 0 , …, ξ k-1 } ∪ FV(K( ')) = {ξ 0 , …, ξ k-1 } und TT(Δ) ∩ {β 0 , …, β k-1 } = ∅, so dass K( ') = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ]. MitTheorem 4-11 gilt dann, dass es ein 1 ∈ RGS\{∅} gibt, so dass PAR ∩ TTSEQ( 1 ) = PAR ∩ TTSEQ( '), VAN( 1 ) ⊆ VAN( ') = ∅ und damit auch VANS( 1 ) = ∅ und K( 1 ) = ξ 0 … ξ k-1 Δ . Sodann gilt dann mit K( ') = [〈β 0 , …, β k-1 〉, 〈ξ 0 , …, ξ k-1 〉, Δ], dass PAR ∩ TT(Δ) ⊆ PAR ∩ TTSEQ( ') = {β 0 , …, β k-1 } und damit mit TT(Δ) ∩ {β 0 , …, β k-1 } = ∅, dass PAR ∩ TT(Δ) = PAR ∩ TT( ξ 0 … ξ k-1 Δ ) = PAR ∩ TT(K( 1 )) = ∅.Sodann gilt mit Theorem 4-10: 2 = [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, 1 ] ∈ RGS und Dom(VERS( 2 )) = Dom(VERS( 1 )) und damit Dom(VANS( 2 )) = Dom(VANS( 1 )) = ∅ und somit auch VAN( 2 ) = ∅. Außerdem ist dann PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( 2 ) ⊆ PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ {β* 0 , …, β* k-1 } = ∅.Ferner gilt wegen PAR ∩ TT(K( 1 )) = ∅, dass K( 2 ) = [〈β* 0 , …, β* k-1 〉, 〈β 0 , …, β k-1 〉, K( 1 )] = K( 1 ) = ξ 0 … ξ k-1 Δ . Nun gibt es ein α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( 2 )). Mit Theorem 4-4 gibt es dann wegen PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( 2 ) = ∅ ein 3 ∈ RGS\{∅}, so dass:

∈

  Sei α = α . Da sodann α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( 2 )) und damit α ∉ TT(Δ) und da PAR ∩ KONST = ∅, ergibt sich mit a), b), c), d), h), i), k) und l), dass für alle l ∈ Dom( 4 ) gilt: α ∈ TT( 4 l ) gdw l = Dom( ). Damit gilt mit 4 Dom( ) ∈ ANS( 4 ) und Theorem 4-3: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in 4 , so dass min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Wäre nun ein geschlossener Abschnitt in 4 und min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 < max(Dom( )), dann wäre min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt in 4 , so dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 < max(Dom( )) und damit ist dann A( 4 Dom( )-1 ) = K( ) ∈ VER( 4 ). Ferner ist K( ') = K( 4 ) ∈ VER( ). Damit gibt es mit Theorem 4-7 ein 5 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 5 ) ⊆ VAN( 4 )\{ α = α } ⊆ (VAN( ) ∪ {α = α})\{ α = α } ⊆ VAN( ) und K( ), K( ') ∈ VER( 5 ). ■ Theorem 4-14. SB-, KE-, BE-, BB-und IB-Vorbereitungstheorem Wenn , ' ∈ RGS\{∅}, dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) K( ), K( ') ∈ VER( *) und (ii) VAN( *) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( '). Beweis: Beweis durch Induktion über |VANS( ')|. Für |VANS( ')| = ∅ gilt die Behauptung mit Theorem 4-13. Gelte die Behauptung nun für n und seien , ' ∈ RGS\{∅} und |VANS( ')| = n+1. Dann ist mit Theorem 3-18 1 = ' {(0, Also A( ' max(Dom(VANS( '))) → K( ') )} ∈ SEF( ') ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-19-(iv) und (v) ist |VANS( 1 )| = n und mit Theorem 3-19-(ix) ist VAN( 1 ) ⊆ VAN( '). Mit I.V. gilt dann, dass es ein 2 ( 2 ) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( 1 ) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ').

1 ∈

 1 Dann gibt es mit Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = Β. Dann ist VAN( ) ⊆ Y und damit Y Β. ■ Theorem 4-17. Principium non contradictionis Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann X ¬(Γ ∧ ¬Γ) . Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Sei nun die folgende Sequenz: AF(∅) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 ist VERS( 1) ={(0, Sei Γ ∧ ¬Γ )} = 1 und VER( 1) = { Γ ∧ ¬Γ } und VANS( 1) = {(0, Sei Γ ∧ ¬Γ )}und VAN( 1) = { Γ ∧ ¬Γ }. Dann ist nach Definition 3-5 2 ∈ KBF( 1) ⊆ RGS\{∅}. Da nach Theorem 1-8 Γ ∧ ¬Γ ∉ TF(Γ), gilt sodann nach Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-15, dass 2 ∉ SEF( 1) ∪ NEF( 1) ∪ PBF( 1). Mit Theorem 3-25 gilt dann VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(1, Also Γ )} = 2. Sodann gilt mit Theorem 3-27-(ii) und -(iii), dass VANS( 2) = VANS( 1) und damit VAN( 2) = VAN( 1) = { Γ ∧ ¬Γ }. Wiederum nach Definition 3-5 ist sodann 3 ∈ KBF( 2) ⊆ RGS\{∅}. Da nach Theorem 1-8 Γ ∧ ¬Γ ∉ TF(Γ) und Γ ≠ ¬Γ , gilt sodann nach Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-15, dass 3 ∉ SEF( 2) ∪ NEF( 2) ∪ PBF( 2). Mit Theorem 3-25 gilt dann wiederum VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {1, Also ¬Γ )} = 3 und mit Theorem 3-27-(ii) und -(iii), dass VANS( 3) = VANS( 2) und damit VAN( 3) = VAN( 2) = { Γ ∧ ¬Γ }. Dann ist 0 = max(Dom(VANS( 3))) und 1, 2 ∈ Dom(VERS( 3)) und A( 3 1 ) = Γ und A( 3 2 ) = ¬Γ . Damit ist dann nach Definition 3-10 ∈ NEF( 3) und nach Theorem 3-20 ist VANS( ) = VANS( 3)\{(0, Sei Γ ∧ ¬Γ )} = ∅ und damit auch VAN( ) = ∅. Damit gilt insgesamt: ∈ RGS\{∅} und VAN( ) = ∅ und K( ) = ¬(Γ ∧ ¬Γ) . Mit Theorem 3-12 gilt damit ∅ ¬(Γ ∧ ¬Γ) und damit mit Theorem 4-16 X ¬(Γ ∧ ¬Γ) . ■ Theorem 4-18. Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung Wenn Α, Β, Γ ∈ GFORM, θ 0 , θ 1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann:

  IB)Beweis: Seien Α, Β, Γ ∈ GFORM, θ 0 , θ 1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}. Es wird zunächst der Fall (i) behandelt, bei dem sich die Prämissenmenge verkleinert. Es folgen die Fälle (ii), (iii), (v), (vii) und (xviii), bei denen zwei Prämissenmengen vereinigt werden. In den Fällen (iv), (viii), (xii), (xiii), (xiv) und (xv) bleibt die Prämissenmenge unverändert. In der Reihenfolge (vi), (ix), (x), (xi), (xvi), (xvii) werden die verbleibenden Sonderfälle bearbeitet.Zu (i) (SE): Sei X Β und Α ∈ X.Dann gibt es nach Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass K( ) = Β und VAN( ) ⊆ X. Dann gibt es mit Theorem 4-2 ein ' ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ') ⊆ VAN( ) und K( ') = K( ) und für alle i ∈ Dom(VANS( ')): Wenn A( ' i ) = Α, dann i = max(Dom(VANS( '))). Dann gilt mit Theorem 2-82 Β = K( ') ∈ VER( '). Sodann lassen sich mit Α ∈ VAN( ') und Α ∉ VAN( ') zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei Α ∈ VAN( '). Dann ist VANS( ') ≠ ∅ und es gilt für alle i ∈ Dom(VANS( ')): A( ' i ) = Α gdw i = max(Dom(VANS( '))). Dann ist mit Theorem 3-18 + = ' {(0, Also Α → Β )} ∈ SEF( ') ⊆ RGS\{∅}. Dann gilt mit Theorem 3-22, dass VAN( + ) ⊆ VAN( ')\{Α} ⊆ VAN( )\{Α} ⊆ X\{Α}. Damit gilt insgesamt: + ∈ RGS\{∅}, K( + ) = Α → Β und VAN( + ) ⊆ X\{Α} und damit mit Theorem 3-12 X\{Α} Α → Β . Zweiter Fall: Sei nun Α ∉ VAN( '). Dann lässt sich ' wie folgt zu einem 4 ) ∈ ASATZ. Mit Theorem 1-8, Theorem 1-10 und Theorem 1-11 gilt sodann K( 1 ) ≠ K( 2 ) und K( 2 ) ≠ K( 3 ). Weiter gilt, dass K( 2 ) weder eine Subjunktion noch eine Negation ist. Sodann gilt mit Theorem 1-8, dass K( 3 ) = Β ≠ Α → (Α ∧ Β) und dass A( 3 Dom( ') ) = Α ≠ ¬(Α ∧ Β) = ¬A( 3 Dom( 1 ) ) . Damit gilt mit Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 3 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) = Dom( '). Mit Theorem 2-47 gilt damit für alle k mit 1 ≤ k ≤ 3: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( ') ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 3 gilt, dass Dom( ') = max(Dom(VANS( k ))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann, dass für alle k mit 2 ≤ k ≤ 3 gilt: k ∉ SEF( k-1 ) ∪ NEF( k-1 ) ∪ PBF( k-1 ). Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ') ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1 ) = VERS( ') ∪ {(Dom( '), Sei Α )} und (Dom( '), Sei Α ) ∈ VANS( ') ∪ {(Dom( '), Sei Α )} = VANS( 1 ) und Β ∈ VER( ') ⊆ VER( 1 ) und Α ∈ VER( 1 ). Also ist zweitens nach Definition 3-4 2 ∈ KEF( 1 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2 ) = VERS( 1 ) ∪ {(Dom( 1 ), Also Α ∧ Β )}. Damit gilt (Dom( '), Sei Α ) ∈ VANS( 1 ) = VANS( 2 ) und Α ∧ Β ∈ VER( 2 ). Also ist drittens nach Definition 3-5 3 ∈ KBF( 2 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3 ) = VERS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Also Β )}. Damit gilt Dom( ') ∈ Dom( 3 ) und A( 3 Dom( ') ) = Α und (Dom( '), Sei Α ) ∈ VANS( 2 ) = VANS( 3 ) und A( 3 Dom( 3 )-1 ) = Β und es gibt kein l mit Dom( ') < l ≤ Dom( 3 )-1, so dass (l, 3 l ) ∈ VANS( 3 ). Damit ist nach Definition 3-2 4 ∈ SEF( 3 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-19-(iv) und -(v) VANS( 4 ) = VANS( 3 )\{(max(Dom(VANS( 3 ))), 4 max(Dom(VANS( 3 ))) )} = VANS( 3 )\{(Dom( '), SeiΑ )} = VANS( 1 )\{(Dom( '), Sei Α )} = (VANS( ') ∪ {(Dom( '), Sei Α )})\{(Dom( '), Sei Α )} = VANS( ')\{(Dom( '), Sei Α )} ⊆ VANS( '). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN( 4 ) ⊆ VAN( ') und wegen Α ∉ VAN( ') und VAN( ') ⊆ VAN( ) ⊆ X dann auch VAN( 4 ) ⊆ VAN( )\{Α} ⊆ X\{Α}. Da K( 4 ) = Α → Β , gilt mit Theorem 3-12 X\{Α} Α → Β .Zu (ii) (SB), (iii) (KE), (v) (BE), (vii) (BB), (xviii) (IB): (ii) wird exemplarisch gezeigt. Klauseln (iii), (v), (vii) und (xviii) ergeben sich analog. Sei für (ii) X Α und Y Α → Β . Dann gibt es nach Theorem 3-12 , ' ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = Α und VAN( ') ⊆ Y und K( ') = Α → Β . Mit Theorem 4-14 gibt es dann ein * ∈ RGS\{∅}, so dass Α, Α → Β ∈ VER( *) und VAN( *) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ') ⊆ X ∪ Y. Nach Definition 3-3 ist dann + = * {(0, Also Β )} ∈ SBF( *) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( + ) ⊆ VAN( *) ⊆ X ∪ Y und es ist K( + ) = Β. Also gilt mit Theorem 3-12: X ∪ Y Β. Zu (iv) (KB), (viii) (AE), (xii) (NB), (xiii) (UE), (xiv) (UB), (xv) (PE): (iv) wird exemplarisch gezeigt. Klauseln (viii), (xii), (xiii), (xiv) und (xv) ergeben sich analog. Sei für (iv) X Α ∧ Β oder X Β ∧ Α . Sei nun X Α ∧ Β . Dann gibt es nach Theorem 3-12 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = Α ∧ Β . Dann ist mit Theorem 2-82 Α ∧ Β ∈ VER( ) und daher nach Definition 3-5 ' = {(0, Also Α )} ∈ KBF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( ') ⊆ VAN( ) ⊆ X und es ist K( ') = Α. Also gilt wiederum nach Theorem 3-12: X Α. Für den Fall, dass X Β ∧

  ∈ ASATZ. Sodann gilt mit α ∈ KONST\TTSEQ( ) auch α ∉ TTFM({Α, Β, Γ}) und damit insgesamt, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt: Wenn i ∈ Dom( k ), dann: α ∈ TT( k i ) gdw i = Dom( ). Sodann gilt für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6, dass Dom( ) ∈ Dom(ANS( k )). Mit Theorem 4-3 gilt damit, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt, dass Dom( ) = max(Dom(VANS( k ))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann, dass für alle kmit 2 ≤ k ≤ 6 gilt: k ∉ SEF( k-1 ) ∪ NEF( k-1 ) ∪ PBF( k-1 ).Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1 ) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Sei α = α )} und VANS( 1 ) = VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei α = α )} und (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) ∈ VER( ) ⊆ VER( 1 ).Also ist zweitens nach Definition 3-5 2 ∈ KBF( 1 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25VERS( 2 ) = VERS( 1 ) ∪ {(Dom( 1 ), Also Α ∨ Β )}. Damit gilt VANS( 2 ) = VANS( 1 ), (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) ∈ VER( 1 ) ⊆ VER( 2 ) und Α ∨ Β ∈ VER( 2 ). Also ist drittens nach Definition 3-5 3 ∈ KBF( 2 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3 ) = VERS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Also (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) )}. Damit gilt VANS( 3 ) = VANS( 2 ), Α ∨ Β ∈ VER( 2 ) ⊆ VER( 3 ) und (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) ∈ VER( 3 ). Also ist viertens nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4 ) = VERS( 3 ) ∪ {(Dom( 3 ), Also Α → Γ )}. Damit gilt VANS( 4 ) = VANS( 3 ), Α ∨ Β , (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) ∈ VER( 3 ) ⊆ VER( 4 ) und Α → Γ ∈ VER( 4 ).Also ist fünftens nach Definition 3-5 5 ∈ KBF( 4 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 5 ) = VERS( 4 ) ∪ {(Dom( 4 ), Also Β → Γ )}. Damit gilt VANS( 5 ) = VANS( 4 ), Α ∨ Β , Α → Γ ∈ VER( 4 ) ⊆ VER( 5 ) und Β → Γ ∈ VER( 5 ). Schließlich ist sechstens nach Definition 3-9 6 ∈ ABF( 5 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 6 ) = VERS( 5 ) ∪ {(Dom( 5 ), Also Γ )}. Damit gilt VANS( 6 ) = VANS( 5 ) = VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei α = α )}. Damit gilt VAN( 6 ) = VAN( ) ∪ { α = α } und es gilt Γ ∈ VER( 6 ). Dann gibt es mit Theorem 4-7 ein + ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( + ) ⊆ VAN( 6 )\{ α = α } = (VAN( )

  dann gilt mit Theorem 4-17 direkt: (X ∪ Y)\{Α} ¬(Δ' ∧ ¬Δ') = ¬Α . Sei nun Α ≠ Δ' ∧ ¬Δ' für alle Δ'. Mit (iii) ergibt sich zunächst: X ∪ Y Γ ∧ ¬Γ . Sodann gilt wiederum mit Theorem 4-17: X ∪ Y ¬(Γ ∧ ¬Γ) und damit mit (iii): X ∪ Y (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) . Mit (i) ergibt sich sodann: (X ∪ Y)\{Α} Α → ((Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ)) . Damit gibt es mit Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ (X ∪ Y)\{Α} und K( ) = Α → ((Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ)) . Dann lässt sich wie folgt zu einem 5 ∈ SEQ mit 5 Dom( ) = fortsetzen: ∈ ASATZ. Nach Annahme ist sodann K( 1 ) = Α ≠ K( 2 ). Mit Theorem 1-8, Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist sodann K( 2 ) ≠ K( 3 ) und K( 3 ) ≠ K( 4 ). Zudem sind K( 2 ) und K( 3 ) weder Subjunktionen noch Negationen und K( 4 ) ist keine Subjunktion und nach Annahme ist K( 4 ) = ¬(Γ ∧ ¬Γ) ≠ ¬Α . Damit gilt mit Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) = Dom( ). Mit Theorem 2-47 gilt damit für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt, dass Dom( ) = max(Dom(VANS( k ))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann für al-le k mit 2 ≤ k ≤ 4: k ∉ SEF( k-1 ) ∪ NEF( k-1 ) ∪ PBF( k-1 ).Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1 ) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Sei Α )} und VANS( 1 ) = VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei Α )}, Α → ((Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ)) ∈ VER( ) ⊆ VER( 1 ) und Α ∈ VER( 1 ). Also ist zweitens nach Definition 3-3 2 ∈ SBF( 1 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2 ) = VERS( 1 ) ∪ {(Dom( 1 ), Also (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) )}. Damit gilt VANS( 2 ) = VANS( 1 ) und (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) ∈ VER( 2 ). Also ist drittens nach Definition 3-5 3 ∈ KBF( 2 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3 ) = VERS( 2 ) ∪ {(Dom( 2 ), Also Γ ∧ ¬Γ )}. Damit gilt VANS( 3 ) = VANS( 2 ), (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) ∈ VER( 2 ) ⊆ VER( 3 ) und Γ ∧ ¬Γ ∈ VER( 3 ). Also ist viertens nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4 ) = VERS( 3 ) ∪ {(Dom( 3 ), Also ¬(Γ ∧ ¬Γ) )}. Damit gilt VANS( 4 ) = VANS( 3 ) = VANS( 1 ) und (Dom( 2 ), Also Γ ∧ ¬Γ ), (Dom( 3 ), Also ¬(Γ ∧ ¬Γ) ) ∈ VERS( 4 ) sowie (Dom( ), Sei Α ) ∈ VANS( 1 ) = VANS( 4 ). Insgesamt gilt Dom( ), Dom( 2 ) ∈ Dom( 4 ), wobei Dom( ) ≤ Dom( 2 ), A( 4 Dom( ) ) = Α und (Dom( ), 4 Dom( ) ) ∈ VANS( 4 ), A( Dom( 2 ) ) = Γ ∧ ¬Γ und A( 4 Dom( 4 )-1 ) = ¬(Γ ∧ ¬Γ) , (Dom( 2 ), Dom( 2 ) ) ∈ VERS( 4 ) und es gibt kein l mit Dom( ) < l ≤ Dom( 4 )-1, so dass (l, 4 l ) ∈ VANS( 4 ). Damit ist dann schließlich fünftens nach Definition 3-10 5 ∈ NEF( 4 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-20-(iv) und -\{(Dom( ), Sei Α )} = VANS( 1 )\{(Dom( ), Sei Α )} = (VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei Α )})\{(Dom( ), Sei Α )} = VANS( )\{(Dom( ), Sei Α )} ⊆ VANS( ). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN( 5 ) ⊆ VAN( ) ⊆ (X ∪ Y)\{Α}. Da K( 5 ) = ¬Α , gilt mit Theorem 3-12 (X ∪ Y)\{Α} ¬Α .

1 ∪ 3 = 2 ∪Theorem 5 - 1 .

 13251 ξ, Δ → Γ ]. Sodann ergibt sich mit β ∉ TTFM({Δ, Γ}), dass β ∉ TT( Δ → Γ ). Sodann ist mit Γ ∈ GFORM und FV(Δ) ⊆ {ξ} auch FV( Δ → Γ ) ⊆ {ξ}. Da nach Annahme auch β ∉ TTFM(Y\{[β, ξ, Δ]}), gilt dann mit (xv): Y\{[β, ξ, Δ]} ξ(Δ → Γ) . Mit (iii) gilt X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) ξ(Δ → Γ) ∧ ξΔ . Dann gibt es nach Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) und K( ) = ξ(Δ → Γ) ∧ ξΔ . Mit Theorem 4-5 gibt es dann ein * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( ) ⊆ X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) und ξ(Δ → Γ) , ξΔ ∈ VER( *) und K( *) = ξΔ . Mit Theorem 2-82 ist genauer (Dom( *)-1, Ξ ξΔ ) ∈ VERS( *) für ein Ξ ∈ PERF. Nun gibt es ein β* ∈ PAR\TTSEQ( *) und ein α ∈ KONST\TTSEQ( *). Damit lässt sich * wie folgt zu 5 ∈ SEQ mit 5 Dom( *{(Dom( 1 ), Also α = α )} {(Dom( 2 ), Also [β*, ξ, Δ] → Γ )} VERS( 4 ), A( 4 Dom( *) ) = [β*, ξ, Δ] und (Dom( *), 4 Dom( *) ) ∈ VANS( 4 ), A( 4 Dom( 4 )-1 ) = Γ, β* ∉ TTFM({Δ, Γ}) und es gibt kein j ≤ Dom( *)-1, so dass β* ∈ TT( 4 j ) und es gibt kein m mit Dom( *) < m ≤ Dom( 4 )-1, so dass (m, 4 m ) ∈ VANS( 4 ). Schließlich ist damit nach Definition 3-15 5 ∈ PBF( 4 ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-21-(iv) und -(v) VANS( 5 ) = VANS( 4 )\{(max(Dom(VANS( 4 (Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ])} = (VANS( *) ∪ {(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )})\{(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} = VANS( *)\{(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} ⊆ VANS( *). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN( 5 ) ⊆ VAN( *) ⊆ X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}). Da K( 5 ) = Γ, gilt mit Theorem 3-12 X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) Γ. Zu (xvii) (IE): Sei X ⊆ GFORM. Dann ist nach Definition 3-16 {(0, Also θ 0 = θ 0 )} ∈ IE(∅) ⊆ RGS\{∅} und es ist VANS({(0, Also θ 0 = θ 0 )}) = ∅ und somit nach Definition 2-31 VAN({(0, Also θ 0 = θ 0 )}) = ∅ und es ist K({(0, Also θ 0 = θ 0 )}) = θ 0 = θ 0 und damit nach Theorem 3-12 ∅ θ 0 = θ 0 . Mit Theorem 4-16 gilt X θ 0 = θ 0 . ■ Theorem 4-19. Transitivität Wenn X M Y und Y Β, dann X Β.Beweis: Zunächst wird durch Induktion über |Y| gezeigt, dass die Behauptung für alle endlichen Y gilt: Gelte die Behauptung für alle k < |Y| ∈ N. Sei |Y| = 0. Sei nun X M Y und Y Β. Dann ist Y = ∅ ⊆ X ⊆ GFORM. Mit Theorem 4-16 folgt X Β. Sei nun 0 < |Y| und gelte X M Y und Y Β. Dann ist nach Definition 3-25 X ∪ Y ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ Y gilt: X Δ. Da |Y| ≠ 0, gibt es ein Α ∈ Y. Dann gilt mit Theorem 4-18-(i), dass |Y\{Α}| Α → Β . Dann gilt |Y\{Α}| < |Y|. Nach I.V. gilt damit X Α → Β und, da Α ∈ Y, gilt auch X Α. Mit Theorem 4-18-(ii) gilt damit X Β. Damit, dass die Behauptung für endliches Y gilt, gilt sie dann auch für alle: Gelte nämlich X M Y und Y Β. Dann ist nach Definition 3-25 X ∪ Y ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ Y gilt: X Δ. Gelte nun Y Β. Dann gibt es mit Theorem 3-12 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ Y und K( ) = Β. Dann ist nach Theorem 3-9 VAN( ) endlich und VAN( ) ⊆ GFORM. Dann gilt wieder nach Theorem 3-12, dass VAN( ) Β. Sodann gilt mit VAN( ) ⊆ Y, dass für alle Γ∈ VAN( ) gilt: X Γ und damit X M VAN( ). Damit gilt dann X Β. ■ Theorem 4-20. Cut Wenn X ∪ {Β} Α und Y Β, dann X ∪ Y Α. Beweis: Gelte X ∪ {Β} Α und Y Β. Dann gilt mit Theorem 4-18-(i): X\{Β} Β → Α und damit mit Theorem 4-16, dass X Β → Α . Damit gilt mit Theorem 4-18-(ii): X ∪ Y Α. ■ Theorem 4-21. Deduktionstheorem und Umkehrung X ∪ {Α} Β gdw X Α → Β . Beweis: Gelte zunächst X ∪ {Α} Β. Dann gilt mit Theorem 4-18-(i): X\{Α} Α → Β und damit mit Theorem 4-16, dass X Α → Β . Gelte nun umgekehrt X Α → Β . Dann ist nachDefinition 3-21 und Theorem 3-9 Α → Β ∈ GFORM und damit auch Α ∈ GFORM. Damit gilt mit Theorem 4-15: {Α} Α und somit mit Theorem 4-18-(ii): X ∪ {Α} Β. ■ Theorem 4-22. Inkonsistenz und Ableitbarkeit X Α gdw X ∪ { ¬Α } ist inkonsistent. Beweis: (L-R): Gelte zunächst X Α. Dann ist mit Definition 3-21 und Theorem 3-9 X ⊆ GFORM und Α ∈ GFORM. Dann ist ¬Α ∈ GFORM und damit gilt mit Theorem 4-16, dass X ∪ { ¬Α } Α, und mit Theorem 4-15: X ∪ { ¬Α } ¬Α . Damit gilt nach Definition 3-24, dass X ∪ { ¬Α } inkonsistent ist. (R-L): Sei nun X ∪ { ¬Α } inkonsistent. Dann gilt nach Definition 3-24, dass X ∪ { ¬Α } ⊆ GFORM und dass es ein Γ ∈ GFORM gibt, so dass X ∪ { ¬Α } Γ und X ∪ { ¬Α } ¬Γ . Dann gilt mit Theorem 4-18-(xi): X\{ ¬Α } ¬¬Α und damit mit Theorem 4-16: X ¬¬Α . Daraus folgt mit Theorem 4-18-(xii), dass X Α. ■ Theorem 4-23. Eine Aussagenmenge ist genau dann inkonsistent, wenn sich alle Aussagen aus ihr ableiten lassen X ist inkonsistent gdw für alle Γ ∈ GFORM: X Γ. Beweis: (L-R): Sei zunächst X inkonsistent. Dann gilt nach Definition 3-24, dass X ⊆ GFORM und dass es Α ∈ GFORM gibt, so dass X Α und X ¬Α . Sei nun Γ ∈ GFORM. Dann ist ¬Γ ∈ GFORM. Dann gilt mit Theorem 4-16: X ∪ { ¬Γ } Α und X ∪ { ¬Γ } ¬Α . Damit ist X ∪ { ¬Γ } inkonsistent. Damit gilt nach Theorem 4-22: X Γ. (R-L): Gelte nun für alle Γ ∈ GFORM, dass X Γ. Nun gibt es ein Δ ∈ GFORM. Dann ist auch ¬Δ ∈ GFORM. Dann gilt also X Δ und X ¬Δ . Dann ist mit Definition 3-21 X ⊆ GFORM und somit gilt insgesamt nach Definition 3-24, dass X inkonsistent ist. ■ Theorem 4-24. Generalisierungstheorem Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, α ∈ KONST und X [α, ξ, Δ], wobei α ∉ TTFM(X ∪ {Δ}), dann X ξΔ Beweis: Sei ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, α ∈ KONST und X [α, ξ, Δ], wobei α ∉ TTFM(X ∪ {Δ}). Dann gibt nach Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = [α, ξ, Δ]. Sodann gibt es ein β ∈ PAR\TTSEQ( ). Mit Theorem 4-9 gibt es dann ein * ∈ RGS\{∅}, so dass: a) α ∉ TTSEQ( *), b) VAN( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( *)} und c) K( ) = [α, β, K( *)]. Da nun für alle Γ ∈ VAN( ) gilt, dass α ∉ TT(Γ), gilt dann mit b), dass für alle Β ∈ VAN( *) gilt, dass β ∉ TT(Β) und damit β ∉ TTFM(VAN( *)). Wäre nämlich β ∈ TT(Γ) für ein Γ ∈ VAN( *), dann wäre α ∈ TT([α, β, Γ]) und mit b) wäre [α, β, Γ] ∈ VAN( ) ⊆ X. Damit würde aber im Gegensatz zur Voraussetzung gelten, dass α ∈ TTFM(X). Damit gilt mit b): VAN( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( *)} = {Β | Β ∈ VAN( *)} = VAN( *). Im vorliegenden Kapitel wird ein modelltheoretischer Konsequenzbegriff zur Sprache L entwickelt. Zunächst werden die nötigen Begrifflichkeiten definiert -insbesondere die modelltheoretische Erfüllung und darauf aufbauend dann die modelltheoretische Konsequenzschaft -und grundlegende Zusammenhänge zwischen ihnen bewiesen (5.1). Daran schließen sich Theoreme zur Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft an (5.2). Anschließend kann dann im nachfolgenden Kap. 6 die Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bezüglich des in Kap. 5.1 entwickelten modelltheoretischen Folgerungsbegriffs gezeigt werden. 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz Die Entwicklung des modelltheoretischen Konsequenzbegriffs folgt dem Standardvorgehen. 14 Zunächst werden Interpretationsfunktionen, Modelle und Belegungen definiert. Dies genügt um in Definition 5-6 geschlossenen Termen ein Denotat zuzuweisen, wobei die übliche Definition sich in Theorem 5-2 spiegelt. Sodann kann in Definition 5-8 bestimmt werden, wann ein Modell mit einer Belegung eine Formel erfüllt. Die übliche Definition wird hier von Theorem 5-4 gespiegelt. Sodann werden ein Koinzidenz-und ein Substitutionslemma (Theorem 5-5 und Theorem 5-6) sowie weitere Theoreme bewiesen, die im Fortgang benötigt werden. Abschließend werden noch die gängigen weiterführenden Begriffe eingeführt, darunter die modelltheoretische Konsequenzschaft (Definition 5-10), die in der Formulierung der Korrektheit und der Vollständigkeit verwendet wird. 14 Siehe etwa EBBINGHAUS, H.-D.; FLUM, J.; THOMAS, W.: Mathematische Logik, S. 29-62, GRÄDEL, E.: Mathematische Logik, S. 49-53, und WAGNER, H.: Logische Systeme, S. 47-54. Definition 5-1. Interpretationsfunktion I ist eine Interpretationsfunktion für D gdw D ist eine Menge und I ist eine Funktion mit Dom(I) = KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ und (i) Für alle α ∈ KONST: I(α) ∈ D, (ii) Für alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig ist, dann ist I(φ) eine r-stellige Funktion über D, (iii) Für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig ist, dann I(Φ) ⊆ r D, und (iv) I( = ) = {〈a, a〉 | a ∈ D}. Definition 5-2. Modell M ist ein Modell gdw Es gibt D, I, so dass I eine Interpretationsfunktion für D ist und M = (D, I). Hinweis: Die Nicht-Leerheit von D wird wegen KONST ≠ ∅ mit Klausel (i) von Definition 5-1 gewährleistet. Anders als üblich werden die Belegungsfunktionen nun nicht über VAR, sondern über PAR definiert -die Parameter übernehmen also dem Kalkül entsprechend auch in der Modelltheorie die Aufgaben, die andernorts oft von freien Variablen geleistet werden. Dementsprechend werden Quantorformeln (z. B. ξΔ ) nicht für Δ, sondern für eine Parameterinstanz (z. B. [β, ξ, Δ]) ausgewertet (vgl. Definition 5-7 und Theorem 5-4). Definition 5-3. Belegung b ist eine Belegung für D gdw b ist eine Funktion mit Dom(b) = PAR und Ran(b) ⊆ D. Definition 5-4. Belegungsvariante b' ist in β eine Belegungsvariante von b für D gdw b' und b sind Belegungen für D und β ∈ PAR und b'\{(β, b'(β))} ⊆ b. Definition 5-5. Termdenotationsfunktionen für Modelle und Belegungen F ist eine Termdenotationsfunktion für D, I, b gdw (D, I) ist ein Modell und b eine Belegung für D und F ist eine Funktion auf GTERM und: (i) Wenn α ∈ KONST, dann F(α) = I(α), (ii) Wenn β ∈ PAR, dann F(β) = b(β), und (iii) Wenn φ ∈ FUNK und φ r-stellig ist und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM, dann F( φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ) = I(φ)(〈F(θ 0 ), …, F(θ r-1 )〉). Für jedes Modell (D, I) und Belegung b für D gibt es genau eine Termdenotationsfunktion Wenn (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D ist, dann gibt es genau ein F, so dass F eine Termdenotationsfunktion für D, I, b ist. Beweis: Sei (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Dann gibt es mit den Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 und Theorem 1-11) genau eine Funktion F auf GTERM, so dass Klauseln (i) bis (iii) von Definition 5-5 für F erfüllt sind und damit nach Definition 5-5 genau eine Termdenotationsfunktion für D, I, b. ■ Definition 5-6. Termdenotationsoperation (TD) TD(θ, D, I, b) = a gdw (i) Es gibt eine Termdenotationsfunktion F für D, I, b und θ ∈ GTERM und a = F(θ) oder (ii) Es gibt keine Termdenotationsfunktion für D, I, b oder θ ∉ GTERM und a = ∅. Das folgende Theorem spiegelt die übliche Definition von Termdenotaten für Modelle und Belegungen wider: Theorem 5-2. Termdenotate für Modelle und Belegungen Wenn (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D ist, dann: (i) Wenn α ∈ KONST, dann TD(α, D, I, b) = I(α), (ii) Wenn β ∈ PAR, dann TD(β, D, I, b) = b(β), und (iii) Wenn φ ∈ FUNK, wobei φ r-stellig ist, und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM, dann TD( φ(θ 0 , …, θ r-1 ) , D, I, b) = I(φ)(〈TD(θ 0 , D, I, b)), …, TD(θ r-1 , D, I, b)〉). Beweis: Sei (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Dann gibt es mit Theorem 5-1 genau eine Termdenotationsfunktion F für D, I, b. Dann gilt nach Definition 5-6 für alle θ ∈ GTERM: TD(θ, D, I, b) = F(θ). Daraus folgt dann mit Definition 5-5 die Behauptung. ■ Definition 5-7. Erfüllungsfunktionen für Modelle F ist eine Erfüllungsfunktion für D, I gdw (D, I) ist ein Modell, F ist eine Funktion auf GFORM × {b | b ist eine Belegung für D}, Ran(F) = {0, 1} und für alle Belegungen b für D gilt: (i) Wenn Φ ∈ PRÄ, wobei Φ r-stellig ist, und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM dann: F( Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) , b) = 1 gdw 〈TD(θ 0 , D, I, b), …, TD(θ r-1 , D, I, b)〉 ∈ I(Φ), (ii) Wenn Α ∈ GFORM, dann: F( ¬Α , b) = 1 gdw F(Α, b) = 0, (iii) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F

1 . 5 - 3 .

 153 so dass für alle b', die in β Belegungsvarianten von b für D sind: F([β, ξ, Δ], b') = 1, und (viii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM und FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann F( ξΔ ) = 1 gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ) und b', das in β eine Belegungsvariante von b für D ist, so dass F([β, ξ, Δ], b') = Theorem Für jedes Modell (D, I) gibt es genau eine Erfüllungsfunktion Wenn (D, I) ein Modell ist, dann gibt es genau eine Erfüllungsfunktion für D, I. Beweis: Sei (D, I) ein Modell. Dann gibt es mit den Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 und Theorem 1-11) genau eine Funktion F auf GFORM × {b | b ist eine Belegung für D}, so dass Klauseln (i) bis (viii) von Definition 5-7 erfüllt sind. Also gibt es genau eine Erfüllungsfunktion für D, I. ■ Definition 5-8. Vierstelliger modelltheoretischer Erfüllungsprädikator ('.., .., .., ..') D, I, b Γ gdw Γ ∈ GFORM, b ist eine Belegung für D und es gibt eine Erfüllungsfunktion F für D, I, so dass F(Γ, b) = 1. Das folgende Theorem spiegelt die übliche Definition der modelltheoretischen Konsequenz im hier gewählten grammatischen Rahmen wider. Dabei wird in der üblichen Weise auf den zu '.., .., .. ..' gehörenden Negatprädikator ('.., .., .. ..') zurückgegriffen. Theorem 5-4. Übliche Erfüllungskonzeption Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, Α, Β ∈ GFORM, ξ ∈ VAR, Φ ∈ PRÄ, Φ rstellig, θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann: (i) D, I, b Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) gdw 〈TD(θ 0 , D, I, b), …, TD(θ r-1 , D, I, b)〉 ∈ I(Φ), (ii) D, I, b ¬Α gdw D, I, b Α, (iii) D, I, b Α ∧ Β gdw D, I, b Α und D, I, b Β, (iv) D, I, b Α ∨ Β gdw D, I, b Α oder D, I, b Β, (v) D, I, b Α → Β gdw D, I, b Α oder D, I, b Β, (vi) D, I, b Α ↔ Β gdw D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β, (vii) D, I, b ξΔ gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b', die in β Belegungsvarianten von b für D sind: D, I, b' [β, ξ, Δ], und (viii) D, I, b ξΔ gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ) und b', das in β eine Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b' [β, ξ, Δ]. Beweis: Seien (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, Α, Β ∈ GFORM, ξ ∈ VAR, Φ ∈ PRÄ, Φ r-stellig, θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}. Dann gibt Zu (ii): Der Beweis wird durch Induktion über den Formelgrad geführt. Gelte dazu das Theorem für alle Α ∈ FORM mit FGRAD(Α) < k. Seien nun (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D und sei Γ ∈ GFORM und gelte I TA(Γ) = I' TA(Γ) und b TT(Γ) = b' TT(Γ) und sei FGRAD(Γ) = k.

  gilt damit dann für alle i < r: TD(θ i , D, I, b) = TD(θ i , D, I', b'). Sodann gilt mit Φ ∈ TA( Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ) ∩ PRÄ nach Annahme auch I(Φ) = I'(Φ). Damit gilt mit Theorem 5-4-(i) folgende Kette: D, I, b Γ gdw D, I, b Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) gdw 〈TD(θ 0 , D, I, b), …, TD(θ r-1 , D, I, b)〉 ∈ I(Φ) gdw 〈TD(θ 0 , D, I', b'), …, TD(θ r-1 , D, I', b')〉 ∈ I'(Φ) gdw D, I', b' Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) gdw D, I', b' Γ. Sei nun FGRAD(Γ) ≠ 0, also Γ ∈ JFORM ∪ QFORM. Es können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Γ = ¬Α . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Γ). Dann ist nach der Annahme für Γ auch Α ∈ GFORM, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Mit Theorem 5-4-(ii) und I.V. gilt damit: D, I, b Γ gdw D, I, b ¬Α gdw D, I, b Α gdw D, I', b' Α gdw D, I', b' ¬Α gdw D, I', b' Γ. Zweitens: Sei Γ = Α ∧ Β . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Γ) und FGRAD(Β) < FGRAD(Γ). Dann ist nach Annahme für Γ auch Α, Β ∈ GTERM, I (TA(Α) ∪ TA(Β)) = I' (TA(Α) ∪ TA(Β)) und b (TT(Α) ∪ TT(Β)) = b' (TT(Α) ∪ TT(Β)). Mit Theorem 5-4-(iii) und I.V. gilt: D, I, b Γ gdw D, I, b Α ∧ Β gdw D, I, b Α und D, I, b Β gdw D, I', b' Α und D, I', b' Β gdw D, I', b' Α ∧ Β gdw D, I', b' Γ. Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog. Sechstens: Sei Γ = ζΔ . Nach der Annahme für Γ gilt dann FV(Δ) ⊆ {ζ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ). Gelte nun D, I, b ζΔ . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(vii) ein β ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b + , die in β Belegungsvarianten von b für D sind, gilt: D, I, b + [β, ζ, Δ]. Sei nun b' 1 in β eine Belegungsvariante von b' für D. Sei nun b 1 = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, b' 1 (β))}. Dann ist b 1 in β eine Belegungsvariante von b für D und somit gilt: D, I, b 1 [β, ζ, Δ]. Da β ∉ TT(Δ) gilt sodann mit b TT(Δ) = b' TT(Δ) für alle β' ∈ TT(Δ) ∩ PAR: b

  )) = I' (TA([β, ζ, Δ]) und somit I TA([β, ζ, Δ]) = I' TA([β, ζ, Δ]). Ferner ist [β, ζ, Δ] ∈ GFORM und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β, ζ, Δ]) = FGRAD(Δ) < FGRAD(Γ). Damit gilt nach I.V. mit D, I, b 1 [β, ζ, Δ] auch: D, I', b' 1 [β, ζ, Δ]. Also gilt für alle b' + die in β Belegungsvarianten von b' für D sind: D, I', b' + [β, ζ, Δ] und somit nach Theorem 5-4-(vii) D, I', b' ζΔ . Die R-L-Richtung verläuft analog. Siebtens: Sei Γ = ζΔ . Nach der Annahme für Γ ist dann FV(Δ) ⊆ {ζ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ). Gelte nun D, I, b ζΔ . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(viii) ein β ∈ PAR\TT(Δ) und b 1 , das in β Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b 1 [β, ζ, Δ]. Sei nun b' 1 = (b'\{(β, b'(β))}) ∪ {(β, b 1 (β))}. Dann ist b' 1 in β eine Belegungsvariante von b' für D. Da β ∉ TT(Δ) gilt sodann mit b TT(Δ) = b' TT(Δ) für alle β' ∈ TT(Δ) ∩ PAR: b

  Γ). Damit gilt nach I.V. mit D, I, b 1 [β, ζ, Δ] auch: D, I', b' 1 [β, ζ, Δ] und somit nach Theorem 5-4-(viii) D, I', b' ζΔ . Die R-L-Richtung verläuft analog. ■ Mit Hilfe des Koinzidenzlemmas kann nun das Substitutionslemma bewiesen werden: Theorem 5-6. Substitutionslemma Wenn (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D sind, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I', b') dann: (i) Für alle θ + ∈ TERM mit FV(θ + ) ⊆ {ξ}, I TA(θ + ) = I' TA(θ + ) und b TT(θ + ) = b' TT(θ) gilt: TD([θ, ξ, θ + ], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ + ], D, I', b'), und (ii) Für alle Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ) gilt: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Beweis: Zu (i): Seien (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I', b'). Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ + ∈ TERM geführt. Sei zunächst θ + ∈ ATERM, wobei FV(θ + ) ⊆ {ξ}, I TA(θ + ) = I' TA(θ + ) und b TT(θ + ) = b' TT(θ + ). Dann ist θ + ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei nun θ + ∈ KONST. Dann ist [θ, ξ, θ + ] = θ + = [θ', ξ, θ + ] und damit gilt mit TA(θ + )

  gdw D, I', b' [θ', ξ, ¬Α ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Zweitens: Sei Δ = Α ∧ Β . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Δ) und FGRAD(Β) < FGRAD(Δ). Dann ist nach Annahme für Δ auch FV(Α) ∪ FV(Β) ⊆ {ξ}, I (TA(Α) ∪ TA(Β)) = I' (TA(Α) ∪ TA(Β)) und b (TT(Α) ∪ TT(Β)) = b' (TT(Α) ∪ TT(Β)). Mit I.V.

  Gelte nun D, I, b ζ[θ, ξ, Α] . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(vii) ein β + ∈ PAR\TT([θ, ξ, Α]), so dass für alle b + , die in β + Belegungsvarianten von b für D sind: D, I, b + [β + , ζ, [θ, ξ, Α]]. Sei nun β # ∈ PAR\(TT([θ, ξ, Α]) ∪ TT(θ) ∪ TT(θ')). Sei nun b' 1 in β # eine Belegungsvariante von b' für D. Sei nun b 1

  Sodann gilt mit β # ∉ TT(θ), dass b 1 TT(θ) = b TT(θ), und mit β # ∉ TT(θ'), dass b' 1 TT(θ') = b' TT(θ'), und da trivialerweise I TA(θ) = I TA(θ) und I' TA(θ') = I' TA(θ') gilt somit nach Theorem 5-5-(i): TD(θ, D, I, b 1 ) = TD(θ, D, I, b) und TD(θ', D, I', b' 1 ) = TD(θ', D, I', b') und somit nach Eingangsannahme insgesamt TD(θ, D, I, b 1 ) = TD(θ', D, I', b' 1 ). Ferner gilt mit b TT

  Also gilt für alle b' + die in β # Belegungsvarianten von b' für D sind: D, I', b' + [β # , ζ, [θ', ξ, Α]] und somit nach Theorem 5-4-(vii) D, I', b' ζ[θ', ξ, Α] . Die R-L-Richtung verläuft analog. Siebtens: Sei Δ = ζΑ . Nach der Annahme für Δ ist dann FV(Α) ⊆ {ξ, ζ}, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Angenommen ζ = ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = [θ, ζ, ζΑ ] = ζΑ = [θ', ζ, ζΑ ] = [θ', ξ, Δ] und somit [θ, ξ, Δ] = Δ = [θ', ξ, Δ]. Sodann gilt FV(Δ) = ∅ und somit Δ ∈ GFORM. Da nach Annahme I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ) gilt damit mit Theorem 5-5-(ii): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b Δ gdw D, I', b' Δ gdw D, I', b'

  Dann ist b 2 in β # eine Belegungsvariante von b für D und TD(β # , D, I, b 2 ) = b 2 (β # ) = b' 1 (β # ) = b 1 (β + ) = TD(β + , D, I, b 1 ). Sodann gilt nach Annahme für β+ , β # , dass β + , β # ∉ TT([θ, ξ, Α]) und damit b 2 TT([θ, ξ, Α]) = b TT([θ, ξ, Α]) = b 1 TT([θ, ξ, Α]). Sodann ist trivialerweise I TA([θ, ξ, Α]) = I TA([θ, ξ, Α]). Ferner ist FV([θ, ξ, Α]) ⊆ {ζ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([θ, ξ, Α]) = FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b 1 [β + , ζ, [θ, ξ, Α]] nach I.V., dass D, I, b 2 [β # , ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β # , ζ, Α]]. Sodann ist mit β # ∉ TT(θ) und β # ∉ TT(θ'): b 2 TT(θ) = b TT(θ) und b' 1 TT(θ') = b' TT(θ')und somit nach Theorem 5-5-(i) TD(θ, D, I, b 2 ) = TD(θ, D, I, b) und TD(θ', D, I', b' 1 ) = TD(θ', D, I', b') und somit nach Eingangsannahme insgesamt TD(θ, D, I, b 2 ) = TD(θ', D, I', b' 1 ). Ferner gilt mit b TT

  ξ, Α]] und somit nach Theorem 5-4-(viii): D, I', b' ζ[θ', ξ, Α] . Die R-L-Richtung verläuft analog. ■ Nun werden zur Vereinfachung späterer Beweise einige Konsequenzen des Substitutionslemmas bewiesen. Theorem 5-7. Koreferenzialität Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D ist, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I, b), dann: (i) Für alle θ + ∈ TERM mit FV(θ + ) ⊆ {ξ} gilt: TD([θ, ξ, θ + ], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ + ], D, I, b), und (ii) Für alle Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ} gilt: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ', ξ, Δ]. Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I, b). Dann gilt trivialerweise für alle μ ∈ TERM ∪ FORM: I TA(μ) = I TA(μ) und b TT(μ) = b TT(μ) und damit folgt die Behauptung mit Theorem 5-6. ■ Theorem 5-8. Invarianz der Erfüllung von Quantorformeln bzgl. Parameterwahl Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D ist, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∈ PAR\TT(Δ), dann: (i) D, I, b ξΔ gdw für alle b', die in β Belegungsvarianten von b für D sind gilt: D, I, b' [β, ξ, Δ], und (ii) D, I, b ξΔ gdw es gibt b', das in β Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b' [β, ξ, Δ]. Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und β ∈ PAR\TT(Δ). Zu (i): Die R-L-Richtung ergibt sich direkt mit Theorem 5-4-(vii). Gelte nun für die L-R-Richtung D, I, b ξΔ . Dann gibt es ein β* ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b*, die in β* Belegungsvarianten von b für D sind gilt: D, I, b* [β*, ξ, Δ]. Sei nun b' in β eine Belegungsvariante von b für D. Sei nun b* = (b\{(β*, b(β*))}) ∪ {(β*, b'(β))}. Dann ist b* in β* eine Belegungsvariante von b für D und somit gilt D, I, b* [β*, ξ, Δ]. Ferner gilt dann: TD(β*, D, I, b*) = b*(β*) = b'(β) = TD(β, D, I, b'). Mit β, β* ∉ TT(Δ) gilt sodann auch b* TT(Δ) = b TT(Δ) = b' TT(Δ) und damit mit Theorem 5-6-(ii): D, I, b' [β, ξ, Δ]. Zu (ii): Die R-L-Richtung ergibt sich direkt mit Theorem 5-4-(viii). Gelte nun für die L-R-Richtung D, I, b ξΔ . Dann gibt es ein β* ∈ PAR\TT(Δ) und b*, das in β* Belegungsvariante von b für D, so dass D, I, b* [β*, ξ, Δ]. Sei nun b' = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, b*(β*))}. Dann ist b' in β eine Belegungsvariante von b für D und es ist TD(β*, D, I, b*) = b*(β*) = b'(β) = TD(β, D, I, b'). Mit β, β* ∉ TT(Δ) gilt sodann auch wieder b* TT(Δ) = b' TT(Δ) und damit mit Theorem 5-6-(ii): D, I, b' [β, ξ, Δ]. ■ Theorem 5-9. Einfaches Substitutionslemma für Belegungen Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D ist, ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und θ ∈ GTERM, dann: (i) Wenn b' in β eine Belegungsvariante von b für D ist und b'(β) = TD(θ, D, I, b), dann gilt für alle θ + ∈ TERM mit FV(θ + ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(θ + ): TD([θ, ξ, θ + ], D, I, b) = TD([β, ξ, θ + ], D, I, b'), und (ii) Wenn b' in β eine Belegungsvariante von b für D ist und b'(β) = TD(θ, D, I, b), dann gilt für alle Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(Δ): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b' [β, ξ, Δ]. Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und θ ∈ GTERM. Sei nun b' in β eine Belegungsvariante von b für D, wobei b'(β) = TD(θ, D, I, b). Sei nun μ ∈ TERM ∪ FORM mit FV(μ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(μ). Dann gilt trivialerweise I TA(μ) = I TA(μ). Sodann gilt mit β ∉ TT(μ), dass b TT(μ) = b' TT(μ). Ferner gilt nach Annahme: TD(β, D, I, b') = b'(β) = TD(θ, D, I, b). Damit folgt nach Theorem 5-6-(i) für alle θ + ∈ TERM mit FV(θ + ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(θ + ): TD([θ, ξ, θ + ], D, I, b) = TD([β, ξ, θ + ], D, I, b') und mit Theorem 5-6-(ii) für alle Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(Δ): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b' [β, ξ, Δ]. ■ Definition 5-9. Vierstellige modelltheoretische Erfüllung für Mengen D, I, b M X gdw (D, I) ist ein Modell, b ist eine Belegung für D, X ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ X gilt: D, I, b Δ. Definition 5-10. Modelltheoretische Konsequenz X Γ gdw X ∪ {Γ} ⊆ GFORM und für alle D, I, b gilt: Wenn D, I, b M X, dann D, I, b Γ. Definition 5-11. Allgemeingültigkeit Γ gdw ∅ Γ. Definition 5-12. Erfüllbarkeit Γ ist erfüllbar gdw Γ ∈ GFORM und es gibt D, I, b, so dass D, I, b Γ. In Definition 5-8 bis Definition 5-12 wurden einige der üblichen modelltheoretischen Begrifflichkeiten eingeführt. Mit der nächsten Definition wird nun noch ein dreistelliger Erfüllungsbegriff für Aussagen, der insbesondere für den Umgang mit parameterfreien Aussagen interessant ist, etabliert. Sodann werden zu den in Definition 5-10 bis Definition 5-13 für geschlossene Formeln eingeführten Begriffen analoge Begriffe für Aussagenmengen etabliert, wie dies bereits mit Definition 5-9 für den in Definition 5-8 für geschlossene Formeln etablierten Erfüllungsbegriff geschehen ist. I) ist ein Modell und für alle b, die Belegungen für D sind, gilt: D, I, b Γ. Theorem 5-11. Erfüllbarkeit überträgt sich auf Untermengen Wenn X erfüllbar ist, dann gilt für alle Y ⊆ X: Y ist erfüllbar. Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 5-17 und Theorem 5-10. ■ Theorem 5-12. Konsequenzschaft und Erfüllbarkeit Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann: X Γ gdw X ∪ { ¬Γ } ist nicht erfüllbar. Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Sei X Γ. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Γ. Angenommen X ∪ { ¬Γ } wäre erfüllbar. Dann gibt es D, I, b, so dass D, I, b X ∪ { ¬Γ }. Mit Definition 5-9 und Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b Γ und andererseits aber mit Theorem 5-10 D, I, b X und damit nach Annahme D, I, b Γ. Widerspruch! Sei umgekehrt X ∪ { ¬Γ } nicht erfüllbar. Also gibt es keine D, I, b, so dass D, I, b X ∪ { ¬Γ }. Mit Definition 5-9 gibt es dann keine D, I, b, so dass D, I, b X und D, I, b ¬Γ . Gelte nun D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und D, I, b ¬Γ . Damit gilt nach Theorem 5-4-(ii) dann D, I, b Γ. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Γ. Also X Γ. ■ 5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft Der folgende Abschnitt führt zur Korrektheit hin. Es wird für jede Regel des Redehandlungskalküls (vgl. Kap. 3.1) beziehungsweise für jede Fortsetzungsoperation (vgl. Kap. 3.2) ein modelltheoretisches Theorem bewiesen, dass der jeweiligen Abschlussklausel in Kap. 4.2 entspricht, also Theorem 4-15 (AR) oder einer der Klauseln von Theorem 4-18.

  Dann gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X', dann D, I, b Γ. Gelte nun D, I, b X. Dann gilt mit X' ⊆ X nach Theorem 5-10, dass D, I, b X' und damit nach Annahme, dass D, I, b Γ. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Γ. Also X Γ. ■ Theorem 5-14. Modelltheoretische Entsprechung zu AR Wenn X ⊆ GFORM und Α ∈ X, dann X Α. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und Α ∈ X. Dann gilt nach Definition 5-9 für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Α und damit X Α. ■ Theorem 5-15. Modelltheoretische Entsprechung zu SE Wenn X Β und Α ∈ X, dann X\{Α} Α → Β . Beweis: Sei X Β und Α ∈ X. Sei nun D, I, b X\{Α}. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und für alle Δ ∈ X\{Α} gilt: D, I, b Δ. Dann gilt entweder D, I, b Α oder D, I, b Α. Im ersten Fall gilt, dass D, I, b Δ für alle Δ ∈ X, und somit gilt D, I, b X. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(v) gilt dann D, I, b Α → Β . Das gilt aber auch, falls D, I, b Α. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X\{Α} gilt, auch D, I, b Α → Β . Also X\{Α} Α → Β . ■ Theorem 5-16. Modelltheoretische Entsprechung zu SB Wenn X Α → Β und Y Α, dann X ∪ Y Β. Beweis: Seien X Α → Β und Y Α. Sei D, I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und sodann gilt mit Theorem 5-10 D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann D, I, b Α und D, I, b Α → Β . Mit letzterem und Theorem 5-4-(v) gilt D, I, b Α oder D, I, b Β und damit mit D, I, b Α, dass D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Ygilt, auch D, I, bΒ. Also X ∪ Y Β. ■ Theorem 5-17. Modelltheoretische Entsprechung zu KE Wenn X Α und Y Β, dann X ∪ Y Α ∧ Β . Beweis: Sei X Α und Y Β. Gelte D,I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α und D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(iii) gilt dann D, I, b Α ∧ Β . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y gilt, auch D, I, b Α ∧ Β . Also X ∪ Y Α ∧ Β . ■ Theorem 5-18. Modelltheoretische Entsprechung zu KB Wenn X Α ∧ Β , dann X Α und X Β. Beweis: Sei X Α ∧ Β . Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α ∧ Β . Mit Theorem 5-4-(iii) gilt dann D, I, b Α und D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X gilt, auch D, I, b Α und D, I, b Β. Also X Α und X Β. ■ Theorem 5-19. Modelltheoretische Entsprechung zu BE

  I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α → Β und D, I, b Β → Α . Mit Theorem 5-4-(v) gilt dann (i) D, I, b Α oder D, I, b Β und zum anderen (ii) D, I, b Β oder D, I, b Α. Angenommen (der erste Fall von (i)), D, I, b Α. Mit (ii) muss dann auch D, I, b Β der Fall sein. Angenommen (der zweite Fall von (i)), D, I, b Β. Dann muss mit (ii) auch D, I, b Α der Fall sein. Also gelten D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann D, I, b Α ↔ Β . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y gilt, auch D, I, b Α ↔ Β . Also X ∪ Y Α ↔ Β . ■ Es bietet sich an, eine Variante zu Theorem 5-19 als Korollar zu notieren, in der nicht gefordert wird, dass bestimmte Subjunktionen modelltheoretische Konsequenzen von bestimmten Aussagenmengen sein müssen.

Theorem 6 - 1 .

 61 Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α. Sei nun X Α ↔ Β . Dann gilt D, I, b Α ↔ Β . Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β. Sei nun X Β ↔ Α . Dann gilt D, I, b Β ↔ Α . Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann wie im ersten Fall D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β. D, I, b Α und D, I, b Β kann aber nicht der Fall sein, weil D, I, b Α. Also D, I, b Α und D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y gilt, auch D, I, b Β. Also X ∪ Y Β. ■ Theorem 5-22. Modelltheoretische Entsprechung zu AE Wenn X Α oder X Β, dann X Α ∨ Β . Beweis: Sei X Α oder X Β. Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Nach Voraussetzung gilt sodann auch D, I, b Α oder D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(iv) gilt in beiden Fällen D, I, b Α ∨ Β . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X gilt, auch D, I, b Α ∨ Β . Also X Α ∨ Β . ■ Theorem 5-23. Modelltheoretische Entsprechung zu ABWenn X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ , dann X ∪ Y ∪ Z Γ. Beweis: Sei X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ . Sei D,I, b X ∪ Y ∪ Z. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y und D, I, b Z. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α ∨ Β und D, I, b Α → Γ und D, I, b Β → Γ . Mit Theorem 5-4-(iv) und -(v) gelten dann: (i) D, I, b Α oder D, I, b Β und (ii) D, I, b Α oder D, I, b Γ und (ii) D, I, b Β oder D, I, b Γ. Angenommen (der erste Fall von (i)), D, I, b Α. Dann muss mit (ii) D, I, b Γ der Fall sein. Angenommen (der zweite Fall von (i)), D, I, b Β. Dann muss mit (iii) auch D, I, b Γ der Fall sein. In beiden Fällen gilt also D, I, b Γ. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y ∪ Z gilt, auch D, I, b Γ. Also X ∪ Y ∪ Z Γ. ■ Es bietet sich an, eine Variante zu Theorem 5-23 als Korollar zu notieren, in der nicht gefordert wird, dass bestimmte Subjunktionen modelltheoretische Konsequenzen von bestimmten Aussagenmengen sein müssen.Theorem 5-24. Modelltheoretische Entsprechung zu AB*Wenn X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z, dann X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ. Beweis: Sei X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z. Nach Theorem 5-15 gelten dann Y\{Α} Α → Γ und Z\{Β} Β → Γ . Mit Theorem 5-23 folgt X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ. ■ Theorem 5-25. Modelltheoretische Entsprechung zu NE Wenn X Β und Y ¬Β und Α ∈ X ∪ Y, dann (X ∪ Y)\{Α} ¬Α . Beweis: Sei X Β und Y ¬Β und Α ∈ X ∪ Y. Sei D, I, b (X ∪ Y)\{Α}. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D, so dass für alle Δ ∈ (X ∪ Y)\{Α} gilt: D, I, b Δ. Wäre nun D, I, b Α. Dann gilt für alle Δ ∈ X und für alle Δ ∈ Y: D, I, b Δ und damit D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Β und D, I, b ¬Β . Mit Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b Β und D, I, b Β. Sed certe hoc esse non potest. Also D, I, b Α und mithin D, I, b ¬Α . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b (X ∪ Y)\{Α} gilt, auch D, I, b ¬Α . Also (X ∪ Y)\{Α} ¬Α . ■ Theorem 5-26. Modelltheoretische Entsprechung zu NB Wenn X ¬¬Α , dann X Α. Beweis: Sei X ¬¬Α . Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b ¬¬Α . Mit Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b ¬Α . Nochmalige Anwendung von Theorem 5-4-(ii) ergibt D, I, b Α. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Α. Also X Α. ■ Theorem 5-27. Modelltheoretische Entsprechung zu UEWenn β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ},und X [β, ξ, Α] und β ∉ TTFM(X ∪ {Α}), dann X ξΑ . Beweis: Sei β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, X [β, ξ, Α] und β ∉ TTFM(X ∪ {Α}). Sei D,I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Sei b' in β eine Belegungsvariante von b für D. Sei Δ ∈ X. Also D, I, b Δ. Nun ist nach Voraussetzung β ∉ TT(Δ). Also gilt b TT(Δ) = b' TT(Δ). Nach Theorem 5-5-(ii) gilt dann auch D, I, b' Δ. Also D, I, b' Δ für alle Δ ∈ X und somit D, I, b' X. Mit X [β, ξ, Α], ist dann auch D, I, b' [β, ξ, Α]. Also gilt für alle b', die in β eine Belegungsvariante von b für D sind: D, I, b' [β, ξ, Α]. Mit Theorem 5-4-(vii) folgt D, I, b ξΑ . Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann auch D, I, b ξΑ . Also X ξΑ . ■ Theorem 5-28. Modelltheoretische Entsprechung zu UB Wenn θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X ξΑ , dann X [θ, ξ, Α]. Beweis: Sei θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X ξΑ . Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt D, I, b ξΑ . Dann gibt es nach Theorem 5-4-(vii) ein β ∈ PAR\TT(Α), so dass für alle b', die in β eine Belegungsvariante von b für D sind, gilt D, I, b' [β, ξ, Α]. Sei b* = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, TD(θ, D, I, b))}. Offenbar ist b* in β eine Belegungsvariante von b für D. Also D, I, b* [β, ξ, Α]. Mit b*(β) = TD(θ, D, I, b) und β ∉ TT(Α) folgt dann mit Theorem 5-9-(ii), dass D, I, b [θ, ξ, Α]. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b [θ, ξ, Α]. Also X [θ, ξ, Α]. ■ Theorem 5-29. Modelltheoretische Entsprechung zu PE Wenn θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X [θ, ξ, Α], dann X ξΑ . Beweis: Sei θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X [θ, ξ, Α]. Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt D, I, b [θ, ξ, Α]. Sei nun β ∈ PAR\TT(Α) und sei b* = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, TD(θ, D, I, b))}. Dann ist b* in β eine Belegungsvariante von b für D. Mit b*(β) = TD(θ, D, I, b), β ∉ TT(Α) und Theorem 5-9-(ii) folgt dann D, I, b* [β, ξ, Α]. Mit Theorem 5-4-(viii) folgt damit dann D, I, b ξΑ . Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b ξΑ . Also X ξΑ . ■ Theorem 5-30. Modelltheoretische Entsprechung zu PBWenn β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X ξΑ und Y Β und {[β, ξ, Α]} ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Α]}) ∪ {Α, Β}), dann X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}) Β. Beweis: Seien β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, X ξΑ , Y Β, {[β, ξ, Α]} ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Α]}) ∪ {Α, Β}). Sei D, I, b X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}).Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y\{[β, ξ, Α]}. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b ξΑ . Da β ∉ TT(Α), gibt es dann nach Theorem 5-8-(ii) ein b', das in β eine Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b' [β, ξ, Α]. Sei nun Δ' ∈ Y, also Δ' ∈ Y\{[β, ξ, Α]} oder Δ' = [β, ξ, Α]. Im ersten Fall gilt D, I, b Δ'. Da aber β ∉ TT(Δ'), gilt b TT(Δ') = b' TT(Δ'). Mit Theorem 5-5-(ii) folgt dann D, I, b' Δ'. Für den zweiten Fall gilt bereits D, I, b' [β, ξ, Α]. Also D, I, b' Δ' für alle Δ' ∈ Y und somit D, I, b' Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b' Β. Da aber β ∉ TT(Β), gilt b TT(Β) = b' TT(Β). Mit Theorem 5-5-(ii) folgt dann D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}), dann D, I, b Β. Also X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}) Β. ■ Theorem 5-31. Modelltheoretische Entsprechung zu IE Für alle X ⊆ GFORM und θ ∈ GTERM gilt: X θ = θ . Beweis: Sei X ⊆ GFORM und θ ∈ GTERM. Gelte D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Mit 〈TD(θ, D, I, b), TD(θ, D, I, b)〉 ∈ {〈a, a〉 | a ∈ D} gilt 〈TD(θ, D, I, b), TD(θ, D, I, b)〉 ∈ I( = ). Nach Theorem 5-4-(i) gilt dann D, I, b θ = θ . Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b θ= θ . Also X θ = θ . ■ Theorem 5-32. Modelltheoretische Entsprechung zu IB Wenn θ 0 , θ 1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X θ 0 = θ 1 und Y [θ 0 , ξ, Δ], dann X ∪ Y [θ 1 , ξ, Δ]. Beweis: Seien θ 0 , θ 1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X θ 0 = θ 1 und Y [θ 0 , ξ, Δ]. Sei nun D,I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann D, I, b θ 0 = θ 1 und D, I, b [θ 0 , ξ, Δ]. Nach Theorem 5-4-(i) gilt dann 〈TD(θ 0 , D, I, b), TD(θ 1 , D, I, b)〉 ∈ I( = ) = {〈a, a〉 | a ∈ D}. Damit gilt TD(θ 0 , D, I, b) = TD(θ 1 , D, I, b). Nach Theorem 5-7-(ii) gilt dann mit D, I, b [θ 0 , ξ, Δ] auch D, I, b [θ 1 , ξ, Δ]. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X ∪ Y, dann D,I, b [θ 1 , ξ, Δ]. Also X ∪ Y [θ 1 ,ξ, Δ]. ■ handlungskalküls Nachdem der Redehandlungskalkül und die Modelltheorie etabliert wurden, ist nun zu zeigen, dass die jeweiligen Konsequenzschaftsbegriffe äquivalent sind. Wie üblich, zerfällt dieser Adäquatheitsnachweis in zwei Teile: Erstens der Nachweis der Korrektheit des Redehandlungskalküls bezüglich der Modelltheorie. Salopp: Alles, was ableitbar ist, folgt auch modelltheoretisch (6.1). Zweitens der Nachweis der Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bezüglich der Modelltheorie. Salopp: Alles, was modelltheoretisch folgt, ist auch ableitbar (6.2). Dabei richten wir uns mit der Rede von der Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls an den Üblichkeiten aus. Umgekehrt kann man die beiden Resultate natürlich auch so lesen, dass in Kap. 6.1 gezeigt wird, dass die modelltheoretische Konsequenzrelation vollständig bezüglich des Kalküls ist. In Kap. 6.2 würde dann gezeigt, dass die modelltheoretische Konsequenzrelation korrekt bezüglich des Kalküls ist. Diese abweichende Redeweise wird im Folgenden nicht weiter verfolgt, um Konfusionen zu vermeiden. Doch obwohl von Korrektheit und Vollständigkeit im üblichen Sinne geredet wird, soll damit nicht unterstellt oder gar behauptet werden, dass die modelltheoretische Konsequenzrelation in irgendeiner Weise vorgängig gegenüber der durch den Kalkül etablierten deduktiven Konsequenz ist und dass Kalküle gegenüber der Modelltheorie zu rechtfertigen wären und nicht umgekehrt. Das Adäquatheitsresultat bringt zunächst nur zum Ausdruck, dass der Redehandlungskalkül und die Modelltheorie mit äquivalenten Konsequenzrelationen verbunden sind. 6.1 Korrektheit des Redehandlungskalküls Der vorliegende Abschnitt besteht im Wesentlichen aus einem einzelnen Beweis, nämlich dem für Theorem 6-1, das besagt, dass in jeder Ableitung die Konklusion aus VAN( ) modelltheoretisch folgt. Der Beweis wird per Induktion über die Länge einer Ableitung geführt. Dazu wird unter Ausnutzung der I.V. für alle 17 möglichen Fortsetzungen von Dom( )-1 zu gezeigt, dass VAN( ) K( ). Dabei werden zunächst die ›interes-santeren‹ Fälle betrachtet, bei denen sich die Menge der verfügbaren Annahmen bei der Fortsetzung von Dom( )-1 zu verkleinert oder vergrößert. Die betreffenden vier Fälle entsprechen AF, SEF, NEF und PBF beziehungsweise AR, SE, NE und PB. Für die verbleibenden 13 Fälle kann ausgeschlossen werden, dass die letzte Fortsetzung der betrachteten Ableitung zu einem der ersten vier Fälle gehört. Die Korrektheit des Redehandlungskalküls gegenüber der Modelltheorie wird dann am Ende des Abschnitts in Theorem 6-2 etabliert. Hauptbeweis der Korrektheit Wenn ∈ RGS\{∅}, dann VAN( ) K( ).Beweis: Beweis per Induktion über | |. Gelte dazu das Theorem für alle l < | | und sei ∈ RGS\{∅}. Dann ist nach Definition 3-19 ∈ SEQ und für alle j < Dom( ) gilt: j+1 ∈ RGF( j). Sodann gilt mit Theorem 3-8 für alle j ∈ Dom( ), dass j+1 ∈ RGS\{∅}. Damit gilt nach I.V. für alle j < Dom( )-1: VAN( j+1) K( j+1). Nach Theorem 3-6 und Definition 3-18 gilt sodann, dass ∈ AF( Dom( )-1) oder ∈ SEF( Dom( )-1) oder ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NEF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ PBF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). Ferner ist ∈ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1) oder ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Damit lassen sich zwei Großfälle unterscheiden. Sei für den ersten Fall nun zunächst ∈ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Damit lassen sich vier Unterfälle unterscheiden, wobei für die drei letzteren mit Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3Sei ∈ AF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-15-(viii) ist dann K( ) ∈ VAN( ). Theorem 5-14 liefert dann VAN( ) K( ). (SEF): Sei ∈ SEF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-19-(x) ist dann K( ) = A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ) → K( Dom( )-1) . Sodann gilt VAN( Dom( )-1) K( Dom( )-1). Mit Theorem 3-19-(ix) gilt VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} und damit VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} K( Dom( )-1). Mit Theorem 5-15 folgt VAN( )\{A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ) → K( Dom( )-1) . Theorem 5-13 führt zu VAN( ) A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ) → K( Dom( )-1) und damit zu VAN( ) K( ). (NEF): Sei ∈ NEF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-20-(x) gilt dann K( ) = ¬A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ) . Mit Theorem 3-20-(i) und Theorem 2-92, gibt es sodann Γ ∈ GFORM und j ∈ Dom( )-1, so dass max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ≤ j und (j, j ) ∈ VERS( Dom( )-1) und entweder A( j ) = Γ und A( Dom( )-2 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( Dom( )-2 ) = Γ. Damit ist entweder Γ = K( j+1) und ¬Γ = K( Dom( )-1) oder ¬Γ = K( j+1) und Γ = K( Dom( )-1). Sei nun zunächst Γ = K( j+1) und ¬Γ = K( Dom( )-1). Dann gilt VAN( j+1) Γ und VAN( Dom( )-1) ¬Γ . Außerdem ist Γ in Dom( )-1 bei j verfügbar und daher nach Theorem 3-29-(iv) VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und mit Theorem 5-13 dann VAN( Dom( )-1) Γ. Sei nun ¬Γ = K( j+1) und Γ = K( Dom( )-1). Dann gilt VAN( j+1) ¬Γ und VAN( Dom( )-1) Γ. Sodann ist dann ¬Γ in Dom( )-1 bei j verfügbar und daher mit Theorem 3-29-(iv) wiederum VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und mit Theorem 5-13 dann VAN( Dom( )-1) ¬Γ . In beiden Fällen gilt also VAN( Dom( )-1) Γ und VAN( Dom( )-1) ¬Γ . Mit Theorem 3-20-(ix) gilt VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} und damit auch VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} Γ und VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} ¬Γ . Mit Theorem 5-25 (wobei sowohl X als auch Y durch VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} instanziiert werden) und Theorem 5-13 folgt VAN( ) ¬A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ) und damit dass VAN( ) K( ). Für ¬Γ = K( j+1) und Γ = K( Dom( )-1) verläuft der Fall analog. (PBF): Sei ∈ PBF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-21-(x) gilt dann K( ) = K( Dom( )-1). Mit Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-93 gibt es sodann β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ} und Γ ∈ GFORM, so dass A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 ) = ξΔ und (max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1, max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 ) ∈ VERS( Dom( )-1) und A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ) = [β, ξ, Δ] und β ∉ TTFM({Δ, K( )}) und es kein j ≤ max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 gibt, so dass β ∈ TT( j ). Sodann gilt VAN( Dom( )-1) K( Dom( )-1) = K( ). Mit Theorem 3-21-(ix) gilt sodann VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))) )} = VAN( ) ∪ {[β, ξ, Δ]} und somit VAN( ) ∪ {[β, ξ, Δ]} K( ). Sodann gilt VAN( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) ξΔ . Nun gilt, dass VAN( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) ⊆ VAN( ). Nach Theorem 3-21-(iii) ist nämlich zunächst (max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1, ξΔ ) ∈ VERS( (VANS( Dom( )-1)))-1 verfügbar. Mit Theorem 3-29-(iv) folgt, dass VAN( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) ⊆ VAN( ). Damit gilt mit Theorem 5-13, dass VAN( ) ξΔ . Es gilt bereits, dass β ∉ TTFM({Δ, K( )}). Da es kein j ≤ max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 gibt, so dass β ∈ TT( j ), gibt es sodann kein j ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass β ∈ TT( j ) = TT(A( j )) und j ≠ max(Dom(VANS( Dom( )-1))). Damit gilt mit Theorem 3-21-(iv) und -(v), dass es kein j ∈ Dom(VANS( )) gibt, so dass β ∈ TT(A( j )). Also ist β ∉ TTFM(VAN( )) und damit insgesamt β ∉ TTFM(VAN( ) ∪ {Δ, K( )}) und schließlich β ∉ TTFM((VAN( )\{[β, ξ, Δ]}) ∪ {Δ, K( )}). Nach Theorem 5-30 (wobei X durch VAN( ) und Y durch VAN( ) ∪ {[β, ξ, Δ]} instanziiert wird) folgt daher insgesamt VAN( ) K( ). Zweiter Fall: Sei nun ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Dann ist zunächst nach Theorem 3-28 VAN( ) = VAN( Dom( )-1). Sodann lassen sich 13 Unterfälle unterscheiden.(SBF, KEF, BEF, BBF, IBF): Sei ∈ SBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-3 gibt esdann Δ ∈ GFORM, so dass Δ, Δ → K( ) ∈ VER( Dom( )-1). Wegen Δ, Δ → K( ) ∈ VER( Dom( )-1) gibt es sodann j, l ∈ Dom( )-1, so dass Δ in Dom( )-1 bei j und Δ → K( ) in Dom( )-1 bei l verfügbar ist. Dann ist K( j+1) = Δ und K( l+1) = Δ → K( ) . Dann gilt VAN( j+1) Δ und VAN( l+1) Δ → K( ) .Mit gilt dann VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und VAN( l+1) ⊆ VAN( Dom( )-1). Da VAN( ) = VAN( Dom( )-1) gilt damit VAN( j+1) ⊆ VAN( ) und VAN( l+1) ⊆ VAN( ) und somit mit Theorem 5-13 auch VAN( ) Δ und VAN( ) Δ → K( ) . Theorem 5-16 ergibt VAN( ) K( ). Analog zeigt man für KEF mit Theorem 5-17, für BEF mit Theorem 5-19, für BBF mit Theorem 5-21 und für IBF mit Theorem 5-32, dass VAN( ) K( ). VAN( Dom( )-1) = VAN( ) und damit mit Theorem 5-13 auch VAN( ) [β, ξ, Δ]. Mit VAN( Dom( )-1) = VAN( ) folgt aus β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) zudem β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( )). Theorem 5-27 ergibt VAN( ) K( ). (IEF): Sei ∈ IEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-16 gibt es dann θ ∈ GTERM, so dass K( ) = θ = θ . Theorem 5-31 ergibt VAN( ) K( ). ■ Theorem 6-2. Korrektheit des Redehandlungskalküls gegenüber der Modelltheorie Für alle X, Γ: Wenn X Γ, dann X Γ. Beweis: Sei X Γ. Nach Theorem 3-12 ist dann X ⊆ GFORM und es gibt ∈ RGS\{∅}, so dass Γ = K( ) und VAN( ) ⊆ X. Mit Theorem 6-1 folgt dann VAN( ) Γ. Mit Theorem 5-13 und VAN( ) ⊆ X ergibt sich X Γ. ■ 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Im Folgenden wird über den Nachweis, dass konsistente Mengen erfüllbar sind, die Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bezüglich der in Definition 5-10 für L definierten modelltheoretischen Konsequenzschaft gezeigt. Da GFORM, die Menge der geschlossenen L-Formeln, abzählbar ist, reicht es dabei, diesen Nachweis für abzählbare Mengen zu erbringen. Dazu wird der Beweisweg über die Konstruktion von Hintikka-Mengen und den Nachweis, dass Hintikka-Mengen durch die entsprechende kanonische Termstruktur erfüllt werden, gewählt. 15 Dazu ist L zu einer Sprache L H zu erweitern, die aus L entsteht, indem das Inventar von L um abzählbar unendlich viele neue Individuenkonstanten erweitert wird: Definition 6-1. Das Inventar von L H (KONSTERW, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ) Das Inventar von L H enthält folgende paarweise disjunkte Mengen: Die abzählbar unendliche Menge KONSTERW = KONST ∪ KONSTNEU, wobei KONSTNEU = {c* i | i ∈ N} (dabei sei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j: c* i ≠ c* j und c* i ∈ {c* i } und es sei KONST ∩ KONSTNEU = ∅), sowie PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ. Hinweis: Im Folgenden sei für alle mit Definition D definierten Ausdrücke P P H der für L H statt L definierte Ausdruck und D H die entsprechende Definition und für alle Theoreme T sei T H das entsprechende Theorem für L H . Dabei gilt für das Verhältnis von P und P H jeweils, dass geeignete Einschränkungen von P H bzw. P H (a) auf L wieder zu P bzw. P(a) führen. So gilt etwa: (i) EAUS = EAUS H ∩ EAUS, TERM = TERM H ∩ EAUS, FORM = FORM H ∩ EAUS, SATZ = SATZ H ∩ EAUS, SEQ = SEQ H ∩ SEQ, RGS = RGS H ∩ SEQ. (ii) TT = TT H EAUS, TTSEQ = TTSEQ H SEQ, TTFM = TTFM H Pot(FORM), A = A H SATZ, K = K H SEQ, VAN = VAN H SEQ. (iii) Wenn ∈ SEQ, dann RGF( ) = RGF H ( ) ∩ SEQ. Viele dieser Zusammenhänge sind ohne technische Schwierigkeiten aber nur mit viel Schreibaufwand zu zeigen. Aus diesen Gründen werden die Beweise hier nicht reproduziert. In jenen Fällen, in denen der Zusammenhang nicht unmittelbar einsichtig ist oder im Beweisgang besondere Komplikationen zu bewäl-gdw b ist eine Belegung für D. Zu (iii): Mit Definition 5-4 H , (ii) und Definition 5-4 gilt: b' ist in β eine Belegungsvariante H von b für D gdw b' und b sind Belegungen H für D und β ∈ PAR und b'\{(β, b'(β))} ⊆ b gdw b' und b sind Belegungen für D und β ∈ PAR und b'\{(β, b'(β))} ⊆ b gdw b' ist in β eine Belegungsvariante von b für D. ■ Theorem 6-4. L H -Modelle verhalten sich im Bezug auf geschlossene L-Terme, L-Aussagen und L-Aussagenmengen genauso wie ihre Beschränkungen auf L Wenn (D, I) ein Modell H und b eine Belegung H für D ist, dann gilt für alle θ ∈ GTERM, Γ ∈ GFORM und X ⊆ GFORM: (i) TD H (θ, D, I, b) = TD(θ, D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b), (ii) D, I, b H Γ gdw D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b Γ, und (iii) D, I, b H X gdw D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b X. Beweis: (i) und (ii) zeigt man analog zum Koinzidenzlemma (Theorem 5-5) durch Induktion über den Term-und Formelaufbau. Dabei wird zusätzlich auf Theorem 6-3 zurückgegriffen. (iii) ergibt sich dann mit (ii) und Definition 5-9 H bzw. Definition 5-9. ■ Theorem 6-5. Eine L-Aussagenmenge ist genau dann L H -erfüllbar, wenn sie L-erfüllbar ist Wenn X ⊆ GFORM, dann: X ist erfüllbar H gdw X ist erfüllbar. Beweis: Sei X ⊆ GFORM. Sei nun X erfüllbar H . Dann gibt es nach Definition 5-17 H D, I, b, so dass D, I, b H X. Mit Theorem 6-4 gilt dann D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b X und damit ist X erfüllbar. Sei nun X erfüllbar. Dann gibt es D -, I -, b -, so dass D -, I -, b -X. Nun gibt es ein a ∈ D. Sei nun I + = I -∪ (KONSTNEU × {a}). Dann ist (D, I + ) ein Modell H und b -eine Belegung H und I + (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ) = I -. Mit Theorem 6-4 ergibt sich dann D -, I + , b - H X und damit ist X erfüllbar H . ■ Theorem 6-8. Eine L-Aussagenmenge ist genau dann L H -konsistent, wenn sie L-konsistent ist Wenn X ⊆ GFORM, dann: X ist konsistent H gdw X ist konsistent. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und sei X nicht konsistent H . Dann gilt mit Theorem 4-23 H für alle Δ ∈ GFORM H , dass X H Δ. Dann gilt X H c 0 = c 0 und X H ¬(c 0 = c 0 ) . Nun sind c 0 = c 0 , ¬(c 0 = c 0 ) ∈ GFORM und damit ergibt sich mit Theorem 6-7: X c 0 = c 0 und X ¬(c 0 = c 0 ) und somit ist X nicht konsistent. Sei nun X nicht konsistent. Dann gibt es Α ∈ GFORM ⊆ GFORM H , so dass X Α und X ¬Α . Mit Theorem 6-7 ist dann auch X H Α und X H ¬ Α und damit ist X inkonsistent H . ■ Definition 6-2. Hintikka-Menge X ist eine Hintikka-Menge gdw X ⊆ GFORM H und: (i) Wenn Α ∈ AFORM H ∩ X, dann ¬Α ∉ X, (ii) Wenn Α ∈ GFORM H und ¬¬Α ∈ X, dann Α ∈ X, (iii) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und Α ∧ Β ∈ X, dann {Α, Β} ⊆ X, (iv) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und ¬(Α ∧ Β) ∈ X, dann { ¬Α , ¬Β } ∩ X ≠ ∅, (v) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und Α ∨ Β ∈ X, dann {Α, Β} ∩ X ≠ ∅, (vi) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und ¬(Α ∨ Β) ∈ X, dann { ¬Α , ¬Β } ⊆ X, (vii) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und Α → Β ∈ X, dann { ¬Α , Β} ∩ X ≠ ∅, (viii) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und ¬(Α → Β) ∈ X, dann {Α, ¬Β } ⊆ X, (ix) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und Α ↔ Β ∈ X, dann {Α, Β} ⊆ X oder { ¬Α , ¬Β } ⊆ X, (x) Wenn Α, Β ∈ GFORM H und ¬(Α ↔ Β) ∈ X, dann {Α, ¬Β } ⊆ X oder { ¬Α , Β} ⊆ X, (xi) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM H , wobei FV H (Δ) ⊆ {ξ}, und ξΔ ∈ X, dann gilt für alle θ ∈ GTERM H , dass [θ, ξ, Δ] ∈ X, (xii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM H , wobei FV H (Δ) ⊆ {ξ}, und ¬ ξΔ ∈ X, dann gibt es ein θ ∈ GTERM H , so dass ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X. (xiii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM H , wobei FV H (Δ) ⊆ {ξ}, und ξΔ ∈ X, dann gibt es ein θ ∈ GTERM H , so dass [θ, ξ, Δ] ∈ X, (xiv) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM H , wobei FV H (Δ) ⊆ {ξ}, und ¬ ξΔ ∈ X, dann gilt für alle θ ∈ GTERM H , dass ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X, (xv) Wenn θ ∈ GTERM H , dann θ = θ ∈ X,

Theorem 6- 9 .

 9 Hintikka-Obermengen für konsistente L-AussagenmengenWenn X ⊆ GFORM und X konsistent, dann gibt es ein Y ⊆ GFORM H , so dass (i)Y ist eine Hintikka-Menge und (ii) X ⊆ Y.Beweis: Sei X ⊆ GFORM und X konsistent. Sei nun g eine Bijektion zwischen N und GFORM H . Nun wird unter Rückgriff auf g mit Hilfe der (Konversen der) CANTORschenPaarungsfunktion C eine Aufzählung der Γ ∈ GFORM H definiert, in der jede Aussage abzählbar unendlich oft als Wert auftritt.16 Sei dazu F = {(k, Γ) | Es gibt i, j ∈ N, k = i j i j +j und Γ = g(j)}. Dann ist F eine Funktion von N nach GFORM H . Zunächst ist Dom(F) ⊆ N. Sei nun k ∈ N. Dann gilt mit der Surjektivität der CANTORschen Paarungsfunktion und Dom(g) = N, dass es i, j ∈ N und Γ ∈ GFORM H gibt, so dass k = i j i j +j und Γ = g(j). Also ist auch N ⊆ Dom(F) und damit insgesamt Dom(F) = N.Nach den Definitionen von F und g gilt sodann Ran(F) ⊆ GFORM H . Seien nun (k, Γ), (k, Γ*) ∈ F. Dann gibt es i, j und i', j' so dass i j i j +j = k = i j i j +j' und Γ = g(j) und Γ* = g(j'). Dann ist wegen der Injektivität der CANTORschen Paarungsfunktion i = i' und j = j' und damit mit der Injektivität von g: Γ = g(j) = g(j') = Γ*. Sodann gilt für alle l ∈ N und alle Γ ∈ GFORM H : Es gibt ein k > l, so dass F(k) = Γ. Sei nämlich l ∈ N und Γ ∈ GFORM H . Dann gibt es ein s ∈ N, so dass Γ = g(s). Dann ist l ≤ g(s) = Γ. Nun wird unter Rückgriff auf F eine Funktion G auf N definiert, mit der die gewünschte Hintikka-Obermenge zu X erzeugt wird. Sei dazu G(0) = X. Für alle k ∈ N sei nun G(k+1) wie folgt bestimmt: Wenn F(k) ∈ G(k), dann: 16 Zur CANTORschen Paarungsfunktion C: N × N N mit C(i, j) = i j i j 1 2 ⁄ +j siehe etwa DEISER, O.: Mengenlehre, S. 112-113. Man beachte, dass G wohldefiniert ist, da kein α ∈ KONSTNEU Teilterm eines Γ ∈ X ⊆ GFORM ist und da für jedes k ∈ N beim Schritt von G(k) zu G(k+1) höchstens ein Element von KONSTNEU zu den Teiltermen von Elementen von G(k) hinzukommen kann: Für alle k ∈ N ist KONSTNEU\TTFM H (G(k)) abzählbar unendlich.Nach Konstruktion von G gilt nun zunächst:a) X = G(0) ⊆ Ran(G), b) Für alle k ∈ N ist G(k) konsistent H , c) Wenn l ≤ k, dann G(l) ⊆ G(k), d) Wenn Y ⊆ Ran(G) und |Y| ∈ N, dann gibt es ein k ∈ N, so dass Y ⊆ G(k), e) Ran(G) ist konsistent H . a) ergibt sich direkt aus der Definition von G. Nun zu b): G(0) = X ⊆ GFORM ist nach Voraussetzung konsistent und damit mit Theorem 6-8 konsistent H . Gelte nun für k: G(k) ist konsistent H . Wäre nun G(k+1) inkonsistent H . Dann gilt nicht für alle Γ ∈ G(k+1), dass G(k) Γ, da sonst mit Theorem 4-19 H auch G(k) inkonsistent H wäre. Damit ist der Fall G(k+1) ⊆ G(k) ∪ { θ = θ } für θ ∈ GTERM ausgeschlossen. Also ist F(k) ∈ G(k).Für diesen Fall sind aus demselben Grund die Fälle (i*)-(iv*), (vii*), (ix*), (xii*) und (xv*) ausgeschlossen (was sich leicht mit den L H -Versionen der Theoreme aus Kap. 4.2 ergibt).Also ist F(k) ∈ G(k) und F(k) = ¬(Α ∧ Β) oder F(k) = Α ∨ Β oder F(k) = Α → Β oder F(k) = Α ↔ Β oder F(k) = ¬(Α ↔ Β) oder F(k) = ¬ ξΔ oder F(k) = ξΔ . Angenommen F(k) = ¬(Α ∧ Β) . Dann ist nach (v*) G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Α }, falls G(k) ∪ { ¬Α } konsistent H , G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Β } sonst. Dann ist G(k) ∪ { ¬Α } inkonsistent H und G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Β } ebenfalls. Dann gilt mit Theorem 4-22 H : G(k) H Α und G(k) H Β und somit G(k) H Α ∧ Β . Damit wäre dann auch G(k)inkonsistent H . Widerspruch! Die anderen junktoralen Fälle zeigt man analog. Sei nunF(k) = ¬ ξΔ . Dann ist nach (xiii*) G(k+1) = G(k) ∪ { ¬[α, ξ, Δ] } für das α ∈ KONSTNEU mit dem kleinsten Index, für welches gilt α ∉ TTFM H (G(k)). Dann ist G(k) ∪ { ¬[α, ξ, Δ] } inkonsistent H . Dann gilt G(k) H [α, ξ, Δ]. Dann gilt aber wegen α ∉ TTFM H (G(k)) und ¬ ξΔ ∈ G(k), dass α ∉ TTFM H (G(k) ∪ {Δ}) und damit mit Sei nun D X = GTERM H /A = {[θ] A | θ ∈ GTERM H }. Sei sodann I X eine Funktion mit Dom(I X ) = KONST ∪ KONSTNEU ∪ FUNK ∪ PRÄ, wobei für alle α ∈ KONST ∪ KONSTNEU: I X (α) = [α] A und für alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig, dann I X (φ) = {(〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉, [θ*] A ) | (〈θ 0 , …, θ r-1 〉, θ*) ∈ r GTERM H × GTERM H und φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = θ* ∈ X} und für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig, dann I X (Φ) = {〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉 | 〈θ 0 , …, θ r-1 〉 ∈ r GTERM H und Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X}. Sei zuletzt b X eine Funktion mit Dom(b X ) = PAR und für alle β ∈ PAR: b X (β) = [β] A . Dann ist nach Definition 5-1 H I X eine Interpretationsfunktion H für D X . Zunächst gilt für alle α ∈ KONST ∪ KONSTNEU: I X (α) = [α] A ∈ D X . Sei nun φ ∈ FUNK r-stellig. Dann ist I X (φ) = {(〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉, [θ*] A ) | (〈θ 0 , …, θ r-1 〉, θ*) ∈ r GTERM H × GTERM H und φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = θ* ∈ X}. Damit ist I X (φ) ⊆ r D X × D X . Sei nun 〈a 0 , …, a r-1 〉 ∈ r D X .Dann gibt es θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , so dass für alle i < r:a i = [θ i ] A . Sodann gilt mit Definition 6-2-(xv) φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X und damit (〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉, [φ(θ 0 , …, θ r-1 )] A ) ∈ I X (φ) und also 〈a 0 , …, a r-1 〉 ∈ Dom(I X (φ)). Seien nun (〈a 0 , …, a r-1 〉, a*) ∈ I X (φ) und (〈a 0 , …, a r-1 〉, a + ) ∈ I X (φ). Dann gibt es θ 0 , …, θ r-1 und θ*, so dass für alle i < r:a i = [θ i ] A und a* = [θ*] A und (〈θ 0 , …, θ r-1 〉, θ*) ∈ r GTERM H × GTERM H und φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = θ* ∈ X und es gibt θ' 0 , …, θ' r-1 und θ + , so dass für alle i < r: a i = [θ' i ] A und a + = [θ + ] A und (〈θ' 0 , …, θ' r-1 〉, θ + ) ∈ r GTERM H × GTERM H und φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) = θ + ∈ X. Dann gilt für alle i < r: [θ i ] A = a i = [θ' i ] A . Damit gilt dann für alle i < r: (θ i , θ' i ) ∈ A und damit θ i = θ' i ∈ X. Damit gilt nach Definition 6-2-(xvi): φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ∈ X und damit mit b): [ φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] A = [ φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ] A . Mit φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = θ* ∈ X und φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) = θ + ∈ X und b) gilt sodann auch [ φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] A = [θ*] A und [ φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ] A = [θ + ] A und damit insgesamt a* = [θ*] A = [θ + ] A = a + . Also ist I X (φ) insgesamt eine r-stellige Funktion über D X . Ferner gilt für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig ist, dann I X (Φ) ⊆ r D X . Zuletzt gilt I X ( = ) = {〈a, a〉 | a ∈ D X }. Sei nämlich 〈a, a'〉 ∈ I X ( = ). Dann gibt es θ, θ' ∈ GTERM H , so dass a = [θ] A und a' = [θ'] A und θ = θ' ∈ X. Damit ergibt sich mit b): a = [θ] A = [θ'] A = a'. Sei nun a ∈ D X . Dann gibt es ein θ ∈ GTERM H , so dass a = [θ] A . Dann gilt nach Definition 6-2-(xv) θ = θ ∈ X und damit ergibt sich 〈a, a〉 ∈ I X ( = ). Damit ist dann gemäß Definition 5-2 H (D X , I X ) ein Modell H .Sodann sieht man leicht ein, dass b X eine Belegung H für D X ist.Sodann gilt für alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig ist und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , dann:I X (φ)(〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉) = [ φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] A . Seien dazu φ ∈ FUNK r-stellig und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H . Dann gilt mit Definition 6-2-(xv) φ(θ 0 , …, θ r-1 ) = φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X und damit (〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉, [φ(θ 0 , …, θ r-1 )] A ) ∈ I X (φ) und damit I X (φ)(〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉) = [ φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] A .Nun wird gezeigt, dass für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig ist und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , dann:〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉 ∈ I X (Φ) gdw Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X. Seien dazu Φ ∈ PRÄ, Φ r-stellig und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H . Gelte nun zunächst 〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉 ∈ I X (Φ). Dann gibt es θ' 0 , …, θ' r-1 , so dass für alle i < r: [θ i ] A = [θ' i ] A und 〈θ' 0 , …, θ' r-1 〉 ∈ r GTERM H und Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ∈ X. Dann gilt mit b) für alle i < r: θ i = θ' i ∈ X. Mitder oben gezeigten Symmetrie gilt dann für alle i < r:θ' i = θ i ∈ X. Sodann gilt Φ(θ' 0 , …, θ' r-1 ) ∈ X und damit nach Definition 6-2-(xvii) auch Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X. Sei nun umgekehrt Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X. Dann ergibt sich leicht, dass 〈[θ] 0 , …, [θ] r-1 〉 ∈ I X (Φ).Sodann ergibt sich mit Theorem 5-2 H durch Induktion über den Termaufbau für alle θ ∈GTERM H : TD(θ, D X , I X , b X ) = [θ] A . Sei nämlich α ∈ KONST ∪ KONSTNEU. Dann ist TD(α, D X , I X , b X ) = I X (α) = [α] A . Sei β ∈ PAR. Dann ist TD(β, D X , I X , b X ) = b X (β) = [β] A . Gelte die Behauptung nun für θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H und sei φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ FTERM H . Dann ist TD H ( φ(θ 0 , …, θ r-1 ) , D X , I X , b X ) = I X (φ)(〈TD(θ 0 , D X , I X , b X ), …, TD H (θ r-1 , D X , I X , b X )〉) und damit mit I.V. TD H ( φ(θ 0 , …, θ r-1 ) , D X , I X , b X ) = I X (φ)(〈[θ 0 ] A , …, [θ r-1 ] A 〉) = [ φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ] A .Damit gilt dann für alleΑ ∈ AFORM H : D X , I X , b X H Α gdw Α ∈ X. Sei nämlich Α ∈ AFORM H . Dann gibt es Φ ∈ PRÄ, Φ r-stellig, und θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , so dass Α = Φ(θ 0 , …, θ r-1) . Dann gilt:D X , I X , b X H Α gdw D X , I X , b X H Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) gdw 〈TD H (θ 0 , D X , I X , b X ), …, TD H (θ r-1 , D X , I X , b X )〉 ∈ I X (Φ) gdw 〈[θ] 0 , …, [θ] r-1 〉 ∈ I X (Φ) gdw Φ(θ 0 , …, θ r-1 ) ∈ X gdw Α ∈ X.Nun wird durch Induktion über FGRAD H (Γ) gezeigt:Wenn Γ ∈ X, dann D X , I X , b X H Γ und wenn ¬Γ ∈ X, dann D X , I X , b X H Γ. Daraus ergibt sich unmittelbar D X , I X , b X H X und damit, dass X erfüllbar H ist. Gelte die Behauptung für alle k < FGRAD H (Γ). Sei nun FGRAD H (Γ) = 0. Dann ist Γ ∈ AFORM H . Sei nun Γ ∈ X. Dann gilt: D X , I X , b X H Γ. Sei nun ¬Γ ∈ X. Dann gilt mit Definition 6-2-(i), Γ ∉ X und damit: D X , I X , b X H Γ.Sei nun FGRAD H (Γ) > 0. Dann ist Γ ∈ JFORM H ∪ QFORM H . Zunächst wird nun gezeigt: Wenn Γ ∈ X, dann D X , I X , b X H Γ. Sei dazu Γ ∈ X. Es können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Γ = ¬Β . Dann ist FGRAD H (Β) < FGRAD H (Γ) und damit nachI.V. D X , I X , b X H Β und somit D X , I X , b X H ¬Β = Γ. Zweitens: Sei Γ = Α ∧ Β . Dann gilt mit Definition 6-2-(iii): Α, Β ∈ X. Da sodann FGRAD H (Α) < FGRAD H (Γ) und FGRAD H (Β) < FGRAD H (Γ), gilt damit nach I.V.: D X , I X , b X H Α und D X , I X , b X H Β und damit D X , I X , b X H Α ∧ Β = Γ.Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog.Sechstens: Sei Γ = ξΔ . Dann gilt mit Definition 6-2-(xi) [θ, ξ, Δ] ∈ X für alle θ ∈ GTERM H . Da für alle θ ∈ GTERM H nach Theorem 1-13 H FGRAD H ([θ, ξ, Δ]) < FGRAD H (Γ), gilt damit nach I.V. für alle θ ∈ GTERM H : D X , I X , b X H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β ∈ PAR\TT H (Δ) und sei b' in β eine Belegungsvariante H von b X für D X . Dann ist b'(β) ∈ D X und somit gibt es ein θ ∈ GTERM H , so dass b'(β) = [θ] A . Dann ist TD H (θ, D X , I X , b X ) = [θ] A und somit b'(β) = TD H (θ, D X , I X , b X ). Wegen D X , I X , b X H [θ, ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9 H -(ii): D X , I X , b' H [β, ξ, Δ]. Also gilt für alle b', die in β Belegungsvarianten H von b X für D X sind: D X , I X , b' H [β, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-8 H -(i) gilt somit D X , I X , b X H ξΔ = Γ. Siebtens: Sei Γ = ξΔ . Dann gibt es mit Definition 6-2-(xiii) ein θ ∈ GTERM H , so dass [θ, ξ, Δ] ∈ X. Nach Theorem 1-13 H ist dann FGRAD H ([θ, ξ, Δ]) < FGRAD H (Γ) und damit gilt nach I.V. D X , I X , b X H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β ∉ TT H (Δ). Sei nun b' = (b X \{(β, b X (β))} ∪ {(β, [θ] A )}. Dann ist b' in β eine Belegungsvariante H von b X für D X mit b'(β) = [θ] A . Sodann ist TD H (θ, D X , I X , b X ) = [θ] A und somit b'(β) = TD H (θ, D X , I X , b X ). Wegen D X , I X , b X H [θ, ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9 H -(ii): D X , I X , b' H [β, ξ, Δ]. Also gibt es ein b', das in β Belegungsvariante H von b X für D X ist, so dass D X , I X , b' H [β, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-8 H -(ii) gilt somit D X , I X , b X H ξΔ = Γ.Nun wird gezeigt:Wenn ¬Γ ∈ X, dann D X , I X , b X H Γ. Sei nun ¬Γ ∈ X. NachAnnahme ist 0 < FGRAD H (Γ). Damit können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens:Sei Γ = ¬Β . Dann ist mit Definition 6-2-(ii) Β ∈ X und weil FGRAD H (Β) < FGRAD H (Γ) gilt nach I.V. D X , I X , b X H Β. Mit Theorem 5-4 H -(ii) folgt D X , I X , b X H ¬Β = Γ. Zweitens: Sei Γ = Α ∧ Β . Dann ist mit Definition 6-2-(iv) ¬Α ∈ X oder ¬Β ∈ X und weil FGRAD H (Α) < FGRAD H (Γ) und FGRAD H (Β) < FGRAD H (Γ) gilt nach I.V. D X , I X , b X H Α oder D X , I X , b X H Β. Mit Theorem 5-4 H -(iii) folgt D X , I X , b X H Α ∧ Β = Γ.Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog.Sechstens: Sei Γ = ¬ ξΔ . Dann gilt mit Definition 6-2-(xii): Es gibt ein θ ∈ GTERM H , so dass ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X. Nach Theorem 1-13 H gilt dann FGRAD H ([θ, ξ, Δ]) < FGRAD H (Γ). Damit gilt nach I.V.: D X , I X , b X H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β ∉ TT H (Δ). Sei nun b' in β die Belegungsvariante H von b X für D X mit b'(β) = [θ] A . Dann ist TD H (θ, D X , I X , b X ) = [θ] A und somit b'(β) = TD H (θ, D X , I X , b X ). Wegen D X , I X , b X H [θ,ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9 H -(ii): D X , I X , b' H [β, ξ, Δ]. Also gibt es ein b', das in β Belegungsvariante H von b X für D X ist, so dass D X , I X , b' H [β, ξ, Δ]. Somit gilt mit Theorem 5-8 H -(i) D X , I X , b X H ξΔ . Siebtens: Sei Γ = ¬ ξΔ . Dann gilt mit Definition 6-2-(xiv) für alle θ ∈ GTERM H ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X. Da für alle θ ∈ GTERM H nach Theorem 1-13 H FGRAD H ([θ, ξ, Δ]) < FGRAD H (Γ), gilt damit nach I.V. für alle θ ∈ GTERM H : D X , I X , b X H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β Zu (ii): Sei X ⊆ GFORM. Die Links-Rechts-Richtung ergibt sich direkt aus Theorem 5-11. Zur Rechts-Links-Richtung: Seien alle Y ⊆ X mit |Y| ∈ N erfüllbar. Wäre X nicht erfüllbar. Nach Definition 5-17 gäbe es dann keine D, I, b, so dass D, I, b X. Damit gilt nach Definition 5-10 X (c 0 = c 0 ) ∧ ¬(c 0 = c 0 ) . Mit (i) gibt es dann Y ⊆ X, so dass |Y| ∈ N und Y (c 0 = c 0 ) ∧ ¬(c 0 = c 0 ) . Angenommen es gäbe D, I, b, so dass D, I, b Y. Nach Definition 5-9 wäre dann (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Sodann wäre nach Definition 5-10 auch D, I, b (c 0 = c 0 ) ∧ ¬(c 0 = c 0 ) und damit mit Theorem 5-4-(ii) und -(iii) D, I, b c 0 = c 0 und D, I, b c 0 = c 0 . Widerspruch! Damit ist Y nicht erfüllbar und es ist |Y| ∈ N, was im Widerspruch zur Annahme steht. Also ist X erfüllbar. ■ Rück-und Ausblick Es wurde ein pragmatisierter Kalkül des natürlichen Schließens entwickelt, für den gilt: (i) Jede Satzsequenz ist keine Ableitung einer Aussage aus einer Aussagenmenge oder es gibt genau eine Aussage Γ und eine Aussagenmenge X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist, wobei dies für jede Satzsequenz ohne Rückgriff auf metasprachliche Kommentarmittel feststellbar ist. (ii) Die klassische modelltheoretische Konsequenzrelation für die erste Stufe ist äquivalent zu der Konsequenzrelation für den Kalkül. Dabei wurde der Bezug auf die Sprache L fix gehalten, wobei L allerdings eine beliebig, aber fest gewählte Sprache mit bestimmten Eigenschaften ist: Die Entwicklung des Kalküls und seiner Metatheorie lässt sich also auf alle entsprechenden Sprachen übertragen. Wir gehen davon aus, dass dieser Kalkül geeignet ist, die Behauptung plausibilisieren, dass sich gängige Folgerungspraxen unter alleinigem Rückgriff auf Regelwerke etablieren bzw. erschließen lassen, wobei bei der Ausübung dieser Praxen keine metasprachliche Begleitpraxen (etwa kommentierender Art) nötig sind. Konfessorisch: Folgern in einer Sprache besteht im Vollzug von (regelgeleiteten) Redehandlungen in dieser Sprache und nicht im Vollzug von Redehandlungen in dieser Sprache und begleitenden metasprachlichen Redehandlungen. Kurz: Ableiten in einer Sprache ist Redehandeln in dieser Sprache. Diese Thesen sind philosophisch zu substantiieren. Sodann sind weitere metatheoretische Untersuchungen angebracht, etwa eine Ausweitung des Vollständigkeitsresultats für überabzählbare Sprachen und eine genauere Untersuchung des Zusammenhangs der einzelnen Kalkülregeln -exemplarisch: In welchem Sinne sind die logischen Operatoren interdefinierbar? Sodann ist zu untersuchen, wie sich der hier verfolgte Ansatz ausbauen lässt, um Redehandlungsregeln für das axiomatische Setzen, das Definieren, das Konstatieren, das Anziehen von Aussagen als Gründen, den Umgang mit Kennzeichnungen, modalen Operatoren etc. zu entwickeln. Ferner ist zu prüfen, wie sich das Ableiten im Kalkül durch zulässige Regeln handlicher gestalten lässt. Last but not least ist eine propädeutische Fassung des Kalküls vorzulegen, mit der gleichzeitig auch demonstriert werden sollte, dass sich Verfügbarkeitsrede und Kalkülregeln für reine Anwendungszwecke auch ohne Rückgriff auf genuin mengentheoretisches Vokabular entwickeln lassen.

Theorem 2-1. Eine Sequenz ist genau dann nicht-leer, wenn ABS( ) nicht-leer ist

  

	In diesem Kapitel werden die für den Kalkül benötigten Verfügbarkeitsbegrifflichkeiten Definition 2-1. Abschnitt in einer Sequenz (Metavariablen: , , , ', ', ', *, *, *, = Theorem 2-3. Abschnitte in Beschränkungen 11
	entwickelt. Das Vorgehen lässt sich wie folgt skizzieren: Vorbereitend sind zunächst Re-…) {(i, ' i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} Wenn ∈ SEQ, dann: ist ein Abschnitt in gdw ist ein Abschnitt in
	demittel zu Abschnitten und Abschnittsfolgen zu etablieren, wobei ein Abschnitt in einer ist ein Abschnitt in gdw und somit insgesamt ein Abschnitt in '. ■ max(Dom( ))+1.
	Sequenz eine nicht-leere, zusammenhängende Teilmenge derselben ist (2.1). Sodann ∈ SEQ, ≠ ∅, ⊆ und = {(i, i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))}.
	werden bestimmte SE-, NE-und EA-artige Abschnitte, wie sie insbesondere beim Schlie-Bemerkung 2-1. Alle der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate sind bezüglich Teil-
	mengenschaft zwischen Sequenzen monoton. Dies wird in der weiteren Darstellung benutzt, ßen mit Subjunktoreinführung (SE), Negatoreinführung (NE) und Partikularquantorbesei-Definition 2-2. Zuordnung der Menge der Abschnitte von (ABS) aber nicht extra gezeigt
	tigung (PB) entstehen, als geschlossene Abschnitte ausgezeichnet (2.2). Ausgehend von ABS = {( , X) | ∈ SEQ und X = { | ist ein Abschnitt in }}. Wenn F eines der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate ist, dann gilt: Wenn , ' ∈
	den geschlossenen Abschnitten werden dann die Verfügbarkeitsbegrifflichkeiten selbst SEQ, ⊆ ' und ein F-Abschnitt in ist, dann ist ein F-Abschnitt in '.
	Definition 2-3, Definition 2-4 und Definition 2-5 dienen vor allem der Verflüssigung des etabliert, wobei in einer Sequenz genau solche Aussagen an einer Stelle verfügbar sein Erläuterung: Alle folgenden Definitionen von Abschnittsprädikaten haben eine der bei-Ausdrucks. sollen, die in dieser Sequenz an dieser Stelle nicht in einem echten Anfangsabschnitt ei-den folgenden Formen:
	nes geschlossenen Abschnitts liegen (2.3). Mit den in diesem Kapitel etablierten Theore-Definition 2-3. Abschnitt
	men lässt sich dann später zeigen, dass SE, NE und PB und nur diese Annahmen elimi-ist ein Abschnitt gdw es gibt ein , so dass ein Abschnitt in ist. ist ein F-Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und H( , ).
	nieren können. oder
	Definition 2-4. Teilabschnitt ist ein Teilabschnitt von ' gdw , ' sind Abschnitte und ⊆ '. ist ein F-Abschnitt in gdw ist ein Abschnitt in und H( , ).
	2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen Dabei ist H der variable Teil im Definiens, der die einzelnen Definitionen voneinander
	In diesem Kapitel werden nun Abschnitte in einer Sequenz als nicht-leere und zusam-Definition 2-5. Echter Teilabschnitt unterscheidet. Für H gilt jeweils: Wenn , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ∈ ABS( ) (bzw.,
	menhängende Teilmengen derselben charakterisiert. Sodann werden einige Theoreme zu ist ein echter Teilabschnitt von ' gdw ist Teilabschnitt von ' und ≠ '. äquivalent dazu: ist ein Abschnitt in ) und H( , ), dann H( , '). Damit ergibt sich
	Abschnitten bewiesen. Anschließend werden Begrifflichkeiten und Theoreme zu Ab-mit Theorem 2-2 und der entsprechenden Definition dann jeweils: Wenn , ' Sequenzen
	schnittsfolgen für Sequenzen etabliert, wobei Abschnittsfolgen für eine Sequenz solche sind, ⊆ ' und ein F-Abschnitt in ist, dann ist ein F-Abschnitt in '. endlichen Folgen sind, die nur disjunkte Abschnitte in aufzählen. Ausgehend von den Abschnittsfolgen werden dann so genannte ANS-umfassende Abschnittsfolgen für Ab-Wenn ∈ SEQ, dann: ≠ ∅ gdw ABS( ) ≠ ∅. Daraus ergibt sich auch: Wenn , ' Sequenzen sind, und ein F-Abschnitt in ist,
	schnitte in Sequenzen definiert. Dabei ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für einen Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei zunächst ≠ ∅. Dann ist ein Abschnitt in und somit ∈ dann ist auch ein F-Abschnitt in '. 10 Zu beachten ist allerdings, dass für viele der
	Abschnitt in eine Abschnittsfolge für , deren Werte allesamt Teilabschnitte von ABS( ). Sei nun ABS( ) ≠ ∅. Dann gibt es ein , so dass ein Abschnitt in ist. Dann im Folgenden definierten Abschnittsprädikate nicht gilt: Wenn , ' Sequenzen sind, und
	sind, wobei diese Teilabschnitte einerseits disjunkt sind und andererseits alle Annahme-ist ≠ ∅ und ⊆ und damit ≠ ∅. ■ ein F-Abschnitt in ist, dann ist auch ein F-Abschnitt in ' . ■
	sätze in in einem dieser Teilabschnitte liegen. Diese ANS-umfassenden Abschnittsfol-Theorem 2-2. Das Abschnittsprädikat ist bezüglich Teilmengenschaft zwischen Sequenzen
	ii) folgt auf analogem Wege aus Theorem 1-25-(ii) und Theorem 1-28-(ii). ■ gen werden später bei der induktiven Erzeugung von geschlossenen Abschnitten eine monoton
	Schlüsselrolle spielen. Den Abschluss des Kapitels bildet dann der Beweis von Theore-Wenn , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ein Abschnitt in ist, dann ist ein Abschnitt in '.
	men zu ANS-umfassenden Abschnittsfolgen, die bei der Etablierung der geschlossenen Beweis: Seien , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ein Abschnitt in . Dann ist ≠ ∅ und ⊆ Abschnitte bzw. von Theoremen über diese benötigt werden. Nun zur Abschnitts-⊆ '. Ferner ist = ' Dom( ). Damit ist
	definition:
	= {(i, i ) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))}

  ). ■

	Theorem 2-8. Zwei Abschnitte sind genau dann elementfremd, wenn einer von beiden vor dem
	anderen liegt
	Wenn ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ), dann:
	∩ ' = ∅
	gdw

  dem Redehandlungskalkül werden nun Regeln für das Annehmen und das Folgern etabliert, die letztendlich das Ableiten von Aussagen aus Aussagenmengen anleiten. Dazu Ist eine Sequenz, dann ist (i, i ) genau dann in VERS( ), wenn die Aussage von i in bei i verfügbar ist. Ferner ist (i, i ) genau dann in VANS( ), wenn die Aussage von i in bei i verfügbar und i ein Annahmesatz ist. Sodann ist Γ genau dann Element von VER( ), wenn es (i, i ) ∈ VERS( ) gibt, so dass Γ die Aussage von i ist,

	Handlungsanleitung 3-1 bis Handlungsanleitung 3-17 erlaubt sind. Unter den Folgerungs-
	regeln regulieren jeweils zwei einen der Junktoren, Quant(ifikat)oren oder den Identitäts-
	prädikator. Mit einer der beiden Regeln wird der Operator eingeführt, mit der anderen beseitigt. Zum besseren Verständnis sei hier noch einmal die Verfügbarkeitsrede in Stenoform [θ, ξ, Δ] gewonnen, dann darf man ξΔ folgern (PE); hat man ξΔ gewonnen, als nächstes [β, ξ, Δ] angenommen, wobei β ein neuer Parameter und kein Teilterm von Δ ist, wiederholt: folgern (UE), hat man ξΔ gewonnen, dann darf man [θ, ξ, Δ] folgern (UB); hat man und dann im Ausgang von der Annahme von [β, ξ, Δ] als letztes Γ gewonnen, wobei β
	kein Teilterm von Γ ist, dann darf man Γ folgern und sich so von der Annahme von [β, ξ,
	Δ] befreien (PB); man darf θ = θ folgern (IE); hat man θ 0 = θ 1 und [θ 0 , ξ, Δ] gewon-
	nen, dann darf man [θ 1 , ξ, Δ] folgern (IB); das ist alles, was man darf (IDK).
	Es folgen nun die Regeln des Redehandlungskalküls in ihrer verbindlichen Formulie-
	rung:
	Wie für pragmatisierte Kalküle des natürlichen Schließens üblich gibt es eine Annah-
	meregel (Handlungsanleitung 3-1) und 16 Folgerungsregeln (Handlungsanleitung 3-2 bis
	Handlungsanleitung 3-17). Zusätzlich enthält der Kalkül eine Interdiktionsklausel (IDK,
	Handlungsanleitung 3-18), die alle Fortsetzungen verbietet, die nicht durch

ist vorbereitend zu bemerken: Ein Autor nimmt eine Aussage Γ an, indem er den Satz Sei Γ äußert, und ein Autor folgert eine Aussage Γ, indem er den Satz Also Γ äußert. Ein Autor äußert die leere Sequenz, indem er nichts äußert. Ein Autor äußert eine nichtleere Sequenz , indem er nacheinander für jedes i ∈ Dom( ) i äußert. Ein Autor setzt eine Sequenz zu einer Sequenz * fort, wenn er geäußert hat und nun eine Sequenz ' äußert, so dass * = '. Ein Autor setzt also eine von ihm geäußerte Sequenz zu der Sequenz ∪ {(Dom( ), Sei Γ )} fort, indem er Γ annimmt, d.h., indem er Sei Γ äußert, und ein Autor setzt eine von ihm geäußerte Sequenz zu der Sequenz ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fort, indem er Γ folgert, d.h., indem er Also Γ äußert. 12 Die Regeln des Kalküls -und nur diese -sollen es erlauben, eine bereits geäußerte Sequenz zu einer Sequenz ' mit Dom( ') = Dom( )+1 fortzusetzen. Im Anschluss an das Reglement kann dann ein Ableitungs-und ein Konsequenzbegriff etabliert werden, wobei Ableitungen genau die nicht-leeren Sequenzen sein sollen, die sich nach den Regeln des Kalküls äußern lassen (↑ 3.2). 12 Zum Zusammenhang des Vollzugs von Redehandlungen bzw. Redehandlungssequenzen und der Äußerung von Sätzen bzw. Satzsequenzen siehe HINST, P.: Logischer Grundkurs, S. 58-71, SIEGWART, G.: Vorfragen, S. 25-32, Denkwerkzeuge, S. 39-52, und Alethic Acts. Offenbar setzt die hier gepflegte Äußerungsrede voraus, dass die mit Postulat 1-1 bis Postulat 1-3 geforderten Ausdrücke und Ausdrucksverkettungen äußerbare Gebilde sind. und Γ ist genau dann Element von VAN( ), wenn es (i, i ) ∈ VANS( ) gibt, so dass Γ die Aussage von i ist. Um vorbereitend eine intuitiv eingängige Kurzfassung des Reglements zu geben, sei vereinbart: Wenn man eine Sequenz geäußert hat und Γ in bei i verfügbar ist, dann hat man Γ in bei i gewonnen. Wenn Δ die letzte bei der Äußerung von gemachte Annahme ist, die noch verfügbar ist, und man Γ in nach bzw. mit der Annahme von Δ gewonnen hat, dann hat man Γ in im Ausgang von der Annahme von Δ gewonnen. Setzt man zu ∪ {(Dom( ), Σ)} fort und ist Δ = A( i ) eine in bei i verfügbare Annahme, die in ∪ {(Dom( ), Σ)} bei i nicht mehr verfügbar ist, dann hat man sich von der Annahme von Δ bei i befreit. Nun die Kurzform des Reglements unter Vernachlässigung von Sequenz-und Stellenbezug und grammatischer Spezifikation: Man darf jede Aussage Γ annehmen (AR); hat man als letztes Γ im Ausgang von der Annahme von Δ gewonnen, dann darf man Δ → Γ folgern und sich so von der Annahme von Δ befreien (SE); hat man Δ und Δ → Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern (SB); hat man Δ und Γ gewonnen, dann darf man Δ ∧ Γ folgern (KE); hat man Δ ∧ Γ oder Γ ∧ Δ gewonnen, dann darf man Γ folgern (KB); hat man Δ → Γ und Γ → Δ gewonnen, dann darf man Δ ↔ Γ folgern (BE); hat man Δ und Δ ↔ Γ oder Δ und Γ ↔ Δ gewonnen, dann darf man Γ folgern (BB); hat man Γ oder Δ gewonnen, dann darf man Δ ∨ Γ folgern (AE); hat man B ∨ Δ , B → Γ und Δ → Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern (AB); hat man im Ausgang von der Annahme von Δ entweder Γ und als letztes ¬Γ oder ¬Γ und als letztes Γ gewonnen, dann darf man ¬Δ folgern und sich so von der Annahme von Δ befreien (NE); hat man ¬¬Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern (NB); hat man [β, ξ, Δ] gewonnen, wobei β kein Teilterm von Δ oder von einer verfügbaren Annahme ist, dann darf man ξΔ Handlungsanleitung 3-1. Annahmeregel (AR)

  Ableitung von ¬ ξΔ aus { ξ¬Δ }. Dies lässt sich durch eine informelle Betrachtung nachvollziehen. Dazu sei die Sequenz zunächst mit einem Kommentar versehen, der anschließend erläutert wird.

	Beispiel [3.2]		verfg.
	0	Sei	ξ¬Δ	(AR)	0
	1	Sei	ξΔ	(AR)	0, 1
	2	Sei	[β, ξ, Δ]	(AR)	0, 1, 2
	3	Sei	ξΔ	(AR)	0, 1, 2, 3
	4	Also	ξΔ ∧ [β, ξ, Δ]	(KE); 2, 3	0, 1, 2, 3, 4
	5	Also [β, ξ, Δ]	(KB); 4	0, 1, 2, 3, 4, 5
	6	Also ¬[β, ξ, Δ]	(UB); 1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
	7	Also ¬ ξΔ	(NE); 5, 6	0, 1, 2, 7
	8	Also ¬ ξΔ	(PB); 1, 7	0, 1, 8
	9	Also ¬ ξΔ	(NE); 1, 8	0, 9

13 

Zur Formulierung eines entsprechenden Theorems für eine Regulierung des Prädikats '.. ist eine Ableitung von .. aus ..', bei der die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge nicht mit der Menge der in der an erster Stelle genannten Sequenz verfügbaren Annahmen identisch, sondern nur eine Obermenge derselben sein muss, siehe Fußnote 4. eine

Siehe dazu die in Fußnote 2 angegebene Literatur. Für eine rigorose Entwicklung des grammatischen Rahmens siehe insbesondere HINST, P.: Logik, Kap. 1.

Zum grammatischen Rahmen

1.1 Inventar und Syntax

'.. ..' ist der Operator der Folgenverkettung. Die Klammern sind weggelassen und es ist Linksklammerung unterstellt. Also: a 0 a 1 a 2 …. a n-1 = (…((a 0 a 1 ) a 2 ) … ) a n-1 ) .

Verfügbarkeit von Aussagen

Beweis: Siehe Bemerkung 2-1. ■

∉ SEF( 2 ) ∪ NEF( 2 ) ∪ PBF( 2 ). Wäre α = α ∈ TF(Α) ∪ TF(Β), dann wäre α ∈ TT( i ) ⊆ TTSEQ( ). Also ist α = α ∉ TF(Α) und α = α ∉ TF(Β) und damit 2 ∉

(xv) Wenn X [θ 0 , ξ, Δ], dann X ξΔ , (PE)

Siehe etwa GRÄDEL, E.: Mathematische Logik, S. 109-119, WAGNER, H.: Logische Systeme, S. 97-101, und KLEINKNECHT, R.: Grundlagen der modernen Definitionstheorie, S. 154-157.

Beweis: Seien , ' ∈ SEQ und sei VERS( ) ⊆ VERS( '). Sei nun (i, i ) ∈ VANS( ). Dann ist (i, i ) ∈ VERS( ) ∩ ANS( ). Dann ist (i, i ) ∈ VERS( ) und i ∈ ASATZ. Dann ist nach Voraussetzung (i, i ) ∈ VERS( ') und somit auch (i, i ) ∈ '. Da i ∈ ASATZ, ist damit (i, i ) ∈ ANS( ') und damit insgesamt (i, i ) ∈ VERS( ') ∩ ANS( ') = VANS( '). ■ Beweis: Seien , ' ∈ SEQ und sei VERS( ) ⊆ VERS( '). Sei nun Γ ∈ VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( )), so dass Γ = A( i ). Dann ist (i, i ) ∈ VERS( ). Nach Voraussetzung ist dann (i, i ) ∈ VERS( '). Nun ist VERS( ') ⊆ ' und somit (i, i ) ∈ ' und also i = ' i . Somit ist Γ = A( i ) = A( ' i ). Also ist insgesamt i ∈ Dom(VERS( '))

und Γ = A( ' i ). Also ist Γ ∈ VER( '). ■ Definition 3-2. Subjunktoreinführungsfunktion (SEF) SEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) A( i ) = Δ und (i, i ) ∈ VANS( ), (ii) A( Dom( )-1 ) = Γ, (iii) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), und (iv) ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )}}}.

Vgl. Handlungsanleitung 3-2. Vgl. Handlungsanleitung 3-6. Vgl. Handlungsanleitung 3-9.

Definition 3-10. Negatoreinführungsfunktion (NEF) NEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i, j ∈ Dom( ), so dass

(iii) A( j ) = Γ und A( Dom( )-1 ) = ¬Γ oder A( j ) = ¬Γ und A( Dom( )-1 ) = Γ, (iv) (j, j ) ∈ VERS( ), (v) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l ) ∈ VANS( ), und (vi) ' = ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )}}}.

Vgl. Handlungsanleitung 3-10. Vgl. Handlungsanleitung 3-12. Als nächstes soll gezeigt werden, dass RGF( ) für keine Sequenz leer ist, dass also jede Sequenz irgendwie fortgesetzt werden kann.

Theorem 3-2. RGF ist für keine Sequenz leer

Wenn ∈ SEQ, dann ist RGF( ) ≠ ∅.

Beweis: Sei ∈ SEQ. Nun gilt, dass x 0 ∈ GTERM. Also ist nach Definition 3-16 ∪ {(Dom( ), Also x 0 = x 0 )} ∈ IEF( ). Also ist ∪ {(Dom( ), Also x 0 = x 0 )} ∈ RGF( ) ≠ ∅. ■ Dann gilt: 

Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem Gelte die Behauptung nun für θ 0 , …, θ r-1 ∈ TERM und sei φ ∈ FUNK, wobei φ r- 

Theorem 5-18 ergibt in beiden Fällen VAN( ) K( ). Analog zeigt man für AEF mit

Theorem 5-22, dass VAN( ) K( ).

(ABF): Sei ∈ ABF( Dom( )-1). Nach Definition 3-9 gibt es dann 

so dass für alle i < s:

Dann gibt es ein k > l, so dass für G(k) selbiges gilt und

Nun zu (xvii): Sei dazu θ 0 , …, θ r-1 ∈ GTERM H , θ' 0 , …, θ' r-1 ∈ GTERM H , für alle i < r:

. Dann gibt es mit d) ein l ∈ N, so dass für alle i < r:

Dann gibt es ein k > l, so dass für G(k) selbiges gilt und

Wenn X eine Hintikka-Menge ist, dann ist X erfüllbar H .

Beweis: Sei X eine Hintikka-Menge. Sei nun 

Die zweite Äquivalenz in b) ergibt sich dabei aus der Definition von A.