クエリ: 一番小さい素数は何?
文章: 素数 最小の素数は 2 である。したがって、素数からなる無限数列が得られる。素数は無数に存在する。
文章: 安全素数 安全素数(あんぜんそすう、safe prime)は、"p" と 2"p" + 1 がともに素数である場合における 2"p" + 1 である。このとき、"p" のほうはソフィー・ジェルマン素数と呼ばれる。例えば11と 2 × 11 + 1 = 23はともに素数であるので 11 はソフィー・ジェルマン素数、23は安全素数である。安全素数が無数に存在するかどうかは分かっていない。最も小さいものは5である。 文章: メルセンヌ予想 , Carl Pomerance, はメルセンヌ素数が無限にあることを予想した。予想は正確には、"x" より小さいメルセンヌ素数の個数は漸近的に 文章: 素数 この主張は「任意の素数 p の次の素数は 2<i>p 未満」とも言い換えられる。したがって、2017年5月現在知られている最大の素数 274207281 - 1 の次の素数は 274207282 - 2 未満である。 文章: 素数階乗 素数階乗(そすうかいじょう)とは、 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 の素数階乗は、記号では で表す。これらから分かるように は、 以下の最大の素数を として、 に等しい。 に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順にこれらのうち、19までは 9699690 が素数階乗数になる。 文章: スターン素数 スターン素数(スターンそすう、)とは、それより小さい素数と0でない平方数の2倍の和で書くことができない素数のことである。つまり、素数 "q" は、それより小さな素数 "p" と0でない整数 "b" を使って "q" = "p" + 2"b"2 と書くことができないときスターン素数である。名称はドイツの数学者にちなむ。既知のスターン素数は以下のとおりである。 文章: 平衡素数 平衡素数()は素数であって、1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均に等しいものである。代数的に言えば、小さい順に並べたときの "n" 番目の素数を formula_1 とすると、formula_1 が平衡素数であるとは次が成り立つことである。 文章: 擬似完全数 奇数の擬似完全数のうち最も小さい数は 945 である。擬似完全数の倍数は全て擬似完全数であり、したがって偶数の擬似完全数も奇数の擬似完全数も無数に存在する。 文章: 正則素数 正則でない奇素数は、非正則素数と呼ばれる。小さいものから順にと続く。分子が "p" で割り切れるようなベルヌーイ数 "B" の個数は、"p" の非正則指数と呼ばれる。K. L. ジェンセンは、1915年、非正則素数が無限に存在することを示した。 文章: 循環小数 有理数が有限小数表示を持つのは、六進法や十二進法なら分母の素因数が2と3(一般には、基数の約数たる素数)、十進法や二十進法なら分母の素因数が2と5(一般には、基数の約数たる素数)のみである時で、またその時に限る。 文章: 与えられた数より小さい素数の個数について この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は (特に )と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで と書く慣習がある。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 を用いて記述したことから以後定着した。リーマンはまた関数 を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、 と素数分布との関連を論じた。そして との比較を通じて、論文の主結果として を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。 文章: 弱いゴールドバッハ予想 小さな奇数を順に 3 個の素数の和で表すと以下のようになる。3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。 文章: パンデジタル数 パンデジタル数(パンデジタルすう、)・汎位数は、自然数の内 "n" 進法において0から "n" - 1 までの全ての数字を少なくとも1つ使って表される数のことである。例えば十進法では0から9までの全ての数字を使った 276498604153 などがパンデジタル数にあたる。パンデジタル数は無数にあり、その内十進法において最も小さいものは1023456789である。 文章: 三つ子素数 三つ子素数を小さい順に並べると、次のようになる。三つ組の中で最小の素数のみを並べると、である。このうち、 のタイプのものはとなる。 文章: フェルマーの小定理 "m" = "φ"("n") とすれば、"a" ≡ 1 (mod "n") が "n" と互いに素な全ての "a" に対して成り立つが、"φ"("n") はこの性質を満たす "m" の最小の数とは限らない。カーマイケルの定理はオイラーの定理を精緻化したもので、最小の "m" を与える。 文章: 切り捨て可能素数 左切り捨て可能素数を小さい順に列挙するととなる。左切り捨て可能素数は有限個しか存在しない。実際、1桁のものは 2, 3, 5, 7 しかなく、2桁のものはこれらの左に数字を付け足したもののみが候補なので、計算機を利用すれば容易に桁数の小さい方から列挙することができ、最大のものは24桁の数であることが分かる。桁ごとの左切り捨て可能素数の個数はであり、合計で4260個である。