クエリ: 代数的整数論はいつ発生した?
文章: 代数的整数論 代数的整数論の始まりはディオファントス方程式までさかのぼることができる[1]。典型的なディオファントス問題は、2つの整数 x と y であって、それらの和とそれらの平方の和が与えられた2つの数 A と B にそれぞれ等しくなるようなものを見つけることである:これは3世紀のアレクサンドリアの数学者ディオファントスに因んで名づけられたもので、彼はそれを研究し、ある種のディオファントス方程式を求める手法を発達させた。
文章: 線型代数学 最初に行列代数(matrix algebra)の研究が現れたのは1800年代半ばのイングランドであるとされる。1844年、グラスマンは著書「Theory of Extension(拡大の理論)」を出版し、この本には今日の線型代数学の基本概念に相当する(当時としては)新しい内容が含まれていた。1848年、シルベスターがラテン語で子宮を意味するからmatrix(行列)という用語を導入した。線型変換の構成に関する研究全体で、ケイリーは行列の積と逆行列の概念定義した。重要なのは、ケイリーが一つの文字で行列を表記する方法を使ったため、行列が文字を縦横に並べた集合体として扱われたことである。ケイリーはまた行列と行列式との関係を認識しており、「行列の理論はいろいろあるが、私に言わせれば、行列式の理論よりも重要である」と述べている。1882年、は "Linear Algebra"(線型代数)と名付けられた本を出版した。公理的な(実数体上の)線型空間の定義や線型変換の定義はペアノによって1888年に与えられ、1900年までには有限次元ベクトル空間の理論が現れた。線型代数が最初に現代化されるのは20世紀の初めの四半世紀であり、ここで多くのアイデアと前世紀に誕生した抽象代数学の概念が導入されていくこととなる。量子力学における行列の使用、特殊相対論、統計学における利用の広がりなど、純粋数学を超えて応用されていった。コンピュータの登場でガウスの消去法の効率的アルゴリズムの研究や、モデルの定式化やシミュレーションなどにも線型代数は必須の道具となっている。 文章: 代数的整数論 数体 K を素点 w で完備化するとを得る。付値がアルキメデス的ならば または を得、非アルキメデス的で有理数の素数 p の上にあれば、有限拡大 Kw / Qp: 有限の剰余体を持つ完備離散付値体を得る。この手順は体の算術を単純化し、問題を局所的に研究できるようになる。例えば、クロネッカー・ウェーバーの定理は類似の局所的な主張から容易に結論できる。局所体の研究の背後にあるこの哲学は幾何学的な手法によって大きく動機づけされる。代数幾何学では、多様体を極大イデアルに局所化することで点で局所的に研究することが一般的である。すると大域的な情報は、局所的なデータを貼り合わせることで復元できる。この精神は代数的整数論において取り入れられる。数体の整数環の素元が与えられると、その素元において局所的に体を研究することが望ましい、したがって整数環をその素元に局所化し、多くは幾何学の精神で分数体を完備化する。 文章: 岩澤健吉 オリジナルの岩澤主予想も今では当たり前に取り扱われることも多く、その独創的側面が意識されることは現在では少なくなっているのかもしれない。当時既に数論の中心は代数幾何的手法に移りつつあり代数的整数論は忘れ去られる傾向にあったが、岩澤は新しい観点からそれを生き返らせた。日本においても数論幾何が中心の傾向には変わりなく、岩澤の業績は長い間顧みられることはなかった。岩澤主予想と名づけたのはジョン・コーツである。 文章: 代数的整数論 このとき div x は次の因子と定義される。 文章: 日本の数学者の一覧 広中平祐*(1931- ):代数幾何学 荒木不二洋(1932- ):数理物理学、場の量子論の代数的構造論 小林昭七 (19322012) 竹崎正道 (1933- ): 作用素環論 伊原康隆(1938- ):整数論 文章: 判別式 判別式の概念は一変数の多項式に加えて円錐曲線、二次形式、を含む他の代数的構造に一般化されている。代数的整数論における判別式は密接に関係し、分岐についての情報を含む。実は、分岐のより幾何的なタイプは判別式のより抽象的なタイプにも関係し、それによって多くの応用においてこれが中心的な代数的アイデアになる。 文章: 抽象代数学 歴史的には、様々な代数的構造はいきなり抽象代数学において定義されたというより、数学の他の分野で現れ、その抽象代数的な構造が公理的に抽出されている。このため抽象代数学はそれ以外の数学の分野との間に数々の結びつきがある。例えばソフス・リーによって19世紀の終わり頃にやっと取り出された代数構造であるリー環などの抽象代数学の結果は、現代の様々な数学や数理物理学において積極的に利用されている。代数的整数論や代数的位相幾何学、代数幾何学などは代数の手法をほかの領域に適用している数学の分野である。他方、乱暴な言い方をすれば、数学における表現論は「抽象代数」から「抽象」を取り払うため、与えられた構造の具体的な現れを研究しているということができる。 文章: 因数分解 代数的整数論において、ディオファントス方程式の研究の過程で19世紀の数学者は整数を一般化するものとしての代数的整数を導入した。初期に知られた代数的整数環はガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環で、これらは通常の整数の場合と同じくPID(したがってUFD)であった。しかし事はそう都合よくはいかず、すぐにほとんどの代数的整数環がPIDでもUFDでもないことが判明する。もっとも簡単な例として、 において formula_10 は二通りの既約元分解である。 文章: ブール代数 ブール代数(ブールだいすう、)またはブール束(ブールそく、)とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路(論理回路)はブール代数の式で表現できる。 文章: 代数的数 しかしながら、5 次以上の代数的数は、必ずしも、これらの演算を用いて表現することはできず、たとえば "x" - "x" - 1 = 0 の根は、有限個の有理数をもとに、加法、乗法、および、累乗根を有限回用いて表現することはできない(ガロア理論を参照)。代数的整数全体の集合は、環をなし、代数的整数環または、単に整数環と呼ばれる。代数的整数環 formula_28 に対して、以下が成り立つ。また、formula_21 と同様で、代数的整数を係数とするモニック多項式(最高次の係数が 1 である多項式)の根は、やはり代数的整数であるので、整数環は、整閉包である。 文章: 代数的整数 代数体 "K" の整数環 "O" は "K" ∩ A に等しく、また体 "K" の極大整環()となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。"x" が代数的整数であることは、環 Z["x"] がアーベル群として有限生成(即ち有限生成 Z-加群)であることと同値である。 文章: Disquisitiones Arithmeticae この書の扱う数学の分野は、今日でいう初等整数論および代数的整数論の一部である。ガウス自身は、緒言において「整数を考察の対象とする」「整数の一般的研究は高等的アリトメティカによるべき」などと述べている。ここで「高等的アリトメティカ」とは、数の記法や四則計算などの算術を意味する「初等的アリトメティカ」に対する語である。 文章: 代数的整数 以下は α ∈ "K" が代数的整数であることの同値な定義である。ここで "K" は代数体(有理数体 Q の有限拡大)とする。原始元定理より、この "K" は適当な代数的数 θ ∈ C によって "K" = Q(θ) とすることもできる。代数的整数は有限拡大 "K" / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。 文章: 整数点についてのジーゲルの定理 数学において、整数点についてのジーゲルの定理 (Siegel's theorem on integral points) は、1929年のカール・ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の結果であり、与えられた座標系を持つアフィン空間で表現される、代数体 "K" 上定義された種数 "g" の滑らかな代数曲線 "C" に対し、"g" > 0 であれば、"K" の整数環 "O" の座標で"C" 上の点は有限個しかないという定理である。この結果を適用できる例として、(Mordell curve)がある。 文章: ガロワ加群 古典的な代数的整数論において、"L" を体 "K" のガロワ拡大とし、"G" を対応するガロワ群とする。このとき "L" の整数環 "O" を "O" ["G"]-加群と考えることができ、その構造がどのようなものであるかを問うことができる。正規基底定理によって "L" はランク 1 の自由 "K" ["G"]-加群であることが分かっているという点で、これは数論的問題である。同じことが整数に対しても正しければ、それは正規整基底の存在、すなわち、α∈"O" であってその "G" によるが "O" 上の "O" の自由基底を与えるようなものの存在と同値である。これは "K" が有理数体 Q であるときでさえ(あるいはもしかすると、このときに特に)面白い問題である。