गणितज्ञ अक्सर एक गणितीय धारणा के पूर्ण वर्गीकरण (या सूची) के लिए प्रयास करते हैं । परिमित समूहों के संदर्भ में, यह लक्ष्य कठिन गणित की ओर ले जाता है । लैगरेंज के प्रमेय के अनुसार, आदेश पी के परिमित समूह, एक प्रधान संख्या है, आवश्यक रूप से चक्रीय (abelian) समूह परिषद है । ऑर्डर p2 के समूहों को भी abelian किया जा सकता है, एक बयान जो p3, को गैर-abelian समूह d4 के रूप में ऑर्डर करने के लिए सामान्यीकृत नहीं करता है । 8 = 23 से ऊपर शो । कंप्यूटर बीजगणित सिस्टम का उपयोग छोटे समूहों की सूची के लिए किया जा सकता है, लेकिन सभी परिमित समूहों का कोई वर्गीकरण नहीं है । q ['] एक मध्यवर्ती कदम परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण है । आर ['] एक nontrivial समूह को सरल कहा जाता है अगर यह केवल सामान्य समूह ही तुच्छ समूह और समूह ही है । s ['] जॉर्डन-होल्डर प्रमेय सभी परिमित समूहों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में परिमित सरल समूहों को प्रदर्शित करता है । सभी परिमित सरल समूहों की सूची समकालीन समूह सिद्धांत में एक बड़ी उपलब्धि थी । 1998 फ़ील्ड पदक विजेता रिचर्ड borcherds भयानक चांदनी अनुमान को साबित करने में सफल हुए, सबसे बड़े परिमित सरल छिटपुट समूह-राक्षस समूह-और कुछ मॉड्यूलर के बीच एक आश्चर्यजनक और गहरा संबंध कार्य, शास्त्रीय जटिल विश्लेषण का एक टुकड़ा, और स्ट्रिंग सिद्धांत, एक सिद्धांत जो कई शारीरिक घटनाओं के विवरण को एकजुट करने के लिए माना जाता है ।
सभी परिमित समूहों के लिए इमारत के टुकड़े के रूप में परिमित सरल समूहों का क्या वर्णन करता है?
जॉर्डन-होल्डर प्रमेय