कुछ topological स्थानों को एक समूह कानून के साथ संपन्न किया जा सकता है । समूह कानून और टोपोलॉजी के लिए अच्छी तरह से interweave के लिए, समूह संचालन निरंतर कार्य होना चाहिए, यह है, जी • एच, और g− 1 को बेतहाशा नहीं होना चाहिए यदि जी और एच केवल थोड़ा सा है । ऐसे समूहों को topological समूह कहा जाता है, और वे topological स्थानों की श्रेणी में समूह की वस्तुएँ हैं । सबसे बुनियादी उदाहरण reals आर के तहत हैं, (आर ∖ {0}, ·) और इसी तरह किसी भी अन्य topological क्षेत्र के साथ जैसे जटिल संख्या या पी-adic संख्या । इन सभी समूहों को स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट किया गया है, इसलिए उनके पास हार उपाय हैं और हार्मोनिक विश्लेषण के माध्यम से अध्ययन किया जा सकता है । पूर्व प्रस्ताव characteristic समाकलों का एक सार रूपवाद । जाता का मतलब है, उदाहरण के लिए वास्तविक संख्या के मामले में:
स्थानीय कॉम्पैक्ट समूह कौन-से चर साझा करते हैं जिसे हार्मोनिक विश्लेषण द्वारा अध्ययन किया जा सकता है?
हार उपाय