Eine Gruppe heißt endliche, wenn sie eine endliche Anzahl von Elementen hat. Die Anzahl der Elemente nennt sich die Reihenfolge der Gruppe. Eine wichtige Klasse sind die symmetrischen Gruppen SN, die Gruppen von Permutationen von N Buchstaben. Zum Beispiel ist die symmetrische Gruppe auf 3 Buchstaben S3 die Gruppe, die aus allen möglichen Wohlordnungen der drei Buchstaben ABC besteht, d.h. enthält die Elemente ABC, ACB,..., bis zur cba, insgesamt 6 (oder 3 Fakultät) Elemente. Diese Klasse ist grundlegend, da jede endliche Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe SN für eine geeignete Integer N (Cayley-Satz) ausgedrückt werden kann. Parallel zur Gruppe der Symmetrien des Platzes oben,  S3 kann auch als die Gruppe der Symmetrie eines gleichseitig Dreiecks interpretiert werden.
Welche Art von Klasse hat eine endliche Gruppe, die als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ausgedrückt werden kann?
grundlegend