Gruppen werden auch in vielen anderen mathematischen Bereichen angewendet. Mathematische Objekte werden oft untersucht, indem sie Gruppen für sie verbinden und die Eigenschaften der entsprechenden Gruppen studieren. Zum Beispiel gründete Henri Poincaré das, was jetzt als algebraischen Topologie bezeichnet wird, indem er die grundlegende Gruppe einführt. Durch diese Verbindung übersetzen topologischen Eigenschaften wie Nähe und Kontinuität in die Eigenschaften von Gruppen. Ich ['] Zum Beispiel sind Elemente der grundlegenden Gruppe durch Schleifen vertreten. Das zweite Bild rechts zeigt einige Schleifen in einem Flugzeug minus einen Punkt. Die blaue Schleife gilt als Null-homotopic (und damit irrelevant), denn sie kann kontinuierlich auf einen Punkt geschrumpft werden. Die Anwesenheit des Loch verhindert, dass die Orange-Schleife auf einen Punkt geschrumpft ist. Die grundlegende Gruppe des Flugzeugs mit einem Punkt, der gelöscht wird, wird als unendlich zyklische, erzeugt durch die orange Schleife (oder jede andere Schleife, die einmal um das Loch kurvenreiche). Auf diese Weise erkennt die grundlegende Gruppe das Loch.
Was hat Henri Poincaré vorgestellt, als er algebraischen Topologie etabliert hat?
die grundlegende Gruppe