Das moderne Konzept einer abstrakten Gruppe entwickelt sich aus mehreren Bereichen der Mathematik. Die ursprüngliche Motivation für die Theorie der Gruppe war die Suche nach Lösungen von Polynom-Gleichungen, die über 4. Jahre alt sind. Der französische Mathematiker Évariste Galois, der die Arbeit von Paolo Ruffini und Joseph-Louis Lagrange erweitert hat, hat ein Kriterium für die Lösbarkeit einer bestimmten Polynom-Gleichung in Bezug auf die Symmetrie-Gruppe ihrer Wurzeln (Lösungen). Die Elemente einer solchen Galois-Gruppe entsprechen bestimmten Permutationen der Wurzeln. Zuerst wurden die Ideen von Galoi von seinen Zeitgenossen abgelehnt und nur posthum veröffentlicht. Weitere allgemeine Permutation wurden insbesondere von Augustin Louis Cauchy untersucht. Arthur Cayley ist auf der Theorie der Gruppen, wie abhängig von der symbolischen Gleichung thn = 1 (1854) gibt die erste abstrakte Definition einer endlichen Gruppe.
Wer hat eine Theorie entwickelt, die die erste abstrakte Definition einer endlichen Gruppe gibt?
Arthur Cayley