Quotient Gruppen und Untergruppen bilden zusammen eine Möglichkeit, jede Gruppe durch ihre Präsentation zu beschreiben: Jede Gruppe ist der Quotient der freien Gruppe über die Generatoren der Gruppe, die von der Untergruppe der Beziehungen quotiented wird. Die abknicken-Gruppe D4, zum Beispiel kann durch zwei Elemente R und F erzeugt werden (z.B. r = R1, die richtige Rotation und f = FV die vertikale (oder eine andere) Reflexion), was bedeutet, dass jede Symmetrie des Platzes ist eine endliche Komposition dieser beiden Symmetrien oder ihrer Inversen. Zusammen mit den Beziehungen
Was ist eine endliche Komposition von zwei Symmetrien oder deren Inversen?
jede Symmetrie des Platzes