Der zweite Ansatz des Problems nahm als Basis den Begriff der Klasse an, und definiert ein Set als Klasse, das zu anderen Klassen gehört, während eine ordentliche Klasse als Klasse definiert wird, die nicht zu anderen Klassen gehört. Unter dem Zermelo-Fraenkel-Ansatz behindern die Axiome den Bau eines Sets aller Sets, die nicht zu sich selbst gehören. Im Gegensatz dazu kann unter dem von Neumann-Ansatz die  Klasse aller Sets, die nicht zu sich gehören, gebaut werden, aber es ist eine ordentliche Klasse und kein Set.
Unter welchem Ansatz behindert ein Axiom ein Set aller Sets, die nicht zu sich selbst gehören?
Zermelo-Fraenkel