この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。
このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 

(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2

−
b
2


{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
の簡単な応用である。
数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。
例として、 -5 の平方根について考えてみよう。
であるから、 -5 の平方根は 


5

 
i

{\displaystyle {\sqrt {5}}\ i}
 と 

−

5

 
i

{\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i}
 である。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
とするとき、負の数

−
a

{\displaystyle -a}
の平方根は、


a

 
i

{\displaystyle {\sqrt {a}}\ i}
と

−

a

 
i

{\displaystyle -{\sqrt {a}}\ i}
である。
−
5


{\displaystyle {\sqrt {-5}}}
とは、


5

 
i

{\displaystyle {\sqrt {5}}\ i}
 のこととする。

−

−
5


{\displaystyle -{\sqrt {-5}}}
とは、

−

5

 
i

{\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i}
 のことである。
とくに 


−
1

 
=
 
i

{\displaystyle {\sqrt {-1}}\ =\ i}
 である。
さて、-5 の平方根は、方程式


x
2

=
−
5

{\displaystyle x^{2}=-5}
 の解でもある。
この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、
の解であるともいえる。
さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式
の解でもあるともいえる。
(I)   


−
2

 

−
6


{\displaystyle {\sqrt {-2}}\ {\sqrt {-6}}}
 を計算せよ。
(I)
このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。
そのあと、かけ算をしていく。
(II)    



2

−
3


{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {-3}}}}
 を計算せよ。
(III)    2次方程式 


x
2

=
−
7

{\displaystyle x^{2}=-7}
 を解け。
(II)
(III)
複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを高等学校数学Iで述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式
の解の公式は、
である。
判別式

D

{\displaystyle D}
は
によって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。
D

{\displaystyle D}
が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。
判別式

D

{\displaystyle D}
が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は 共役 の関係になっている。
複素数を用いて、2次方程式
(1)
(2)
(3)
を解け。
解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、
となる。
他も同じように扱うことが出来る。
以降の解答は、
(2)
(3)
となる。
方程式の解で、実数であるものを 実数解 という。
方程式の解で、虚数であるものを 虚数解 という。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解は 

x
=

−
b
±

b
2

−
4
a
c


2
a


{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
 である。
2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 


b
2

−
4
a
c

{\displaystyle b^{2}-4ac}
 の符号を見れば判別することができる。
この式 


b
2

−
4
a
c

{\displaystyle b^{2}-4ac}
 を、2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の判別式(はんべつしき)といい、記号 

D

{\displaystyle D}
 で表す。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の判別式 

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
 について
また、重解も実数解であるので、
といえる。
次の2次方程式の解を判別せよ。
(I)
(II)
(III)
(I)
だから、異なる2つの実数解をもつ。
(II)
だから、異なる2つの虚数解をもつ。
(III)
だから、重解をもつ。
また、2次方程式 

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0}
 のとき、

D
=
4
(
b
′
2

−
a
c
)

{\displaystyle D=4(b'^{2}-ac)}
となるので、
2次方程式 

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0}
 の判別式には
をもちいてもよい。
これを用いて、前の問題
の解を判別しよう。
a
=
4
,

b
′
=
−
10
,
c
=
25

{\displaystyle a=4\,,\,b'=-10\,,\,c=25}
 であるから
だから、重解をもつ。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解を 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 とする。 この方程式は、
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0

{\displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)=0}
と変形できる。
これを展開すると、
a
x
2

−
a
(
α
+
β
)
x
+
a
α
β
=
0

{\displaystyle ax^{2}-a(\alpha +\beta)x+a\alpha \beta =0}
係数を比較して、
c
=
a
α
β
,
b
=
−
a
(
α
+
β
)

{\displaystyle c=a\alpha \beta ,b=-a(\alpha +\beta)}
を得る。
これを変形すれば、

α
+
β
=
−

b
a

,
α
β
=

c
a


{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
となる。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解を 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 とすれば
2次方程式 

2
x
2

+
4
x
+
3
=
0

{\displaystyle 2x^{2}+4x+3=0}
 の2つの解を 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 とするとき、


α
2

+
β
2


{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}}
 の値を求めよ。
解と係数の関係より、


α
+
β
=
−

4
2

=
−
2

{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {4}{2}}=-2}
,

α
β
=

3
2


{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {3}{2}}}



α
2

+
β
2

=
(
α
+
β
)
2

−
2
α
β
=
(
−
2
)
2

−
2
×

3
2

=
1

{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta)^{2}-2\alpha \beta =(-2)^{2}-2\times {\frac {3}{2}}=1}
2つの数 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 を解とする2次方程式は
と表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。
2数 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 を解とする2次方程式は
次の2数を解とする2次方程式を作れ。
(I)
(II)
(I)
和 

(
3
+

5

)
+
(
3
−

5

)
=
6

{\displaystyle (3+{\sqrt {5}})+(3-{\sqrt {5}})=6}

積 

(
3
+

5

)
(
3
−

5

)
=
4

{\displaystyle (3+{\sqrt {5}})(3-{\sqrt {5}})=4}
 であるから
(II)
和 

(
2
+
3
i
)
+
(
2
−
3
i
)
=
4

{\displaystyle (2+3i)+(2-3i)=4}

積 

(
2
+
3
i
)
(
2
−
3
i
)
=
13

{\displaystyle (2+3i)(2-3i)=13}
 であるから
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 がわかると、2次式
を因数分解することができる。
解と係数の関係 

α
+
β
=
−

b
a


{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}}
,

α
β
=

c
a


{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
 から、
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解を 

α

{\displaystyle \alpha }
 ,

β

{\displaystyle \beta }
 とすると
2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。
複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。
(I)
(II)
(I)
2次方程式 


x
2

+
4
x
−
1
=
0

{\displaystyle x^{2}+4x-1=0}
 の解は
よって
(II)
2次方程式 

2
x
2

−
3
x
+
2
=
0

{\displaystyle 2x^{2}-3x+2=0}
 の解は
よって
3次以上の整式による方程式を考える。
一般に方程式を 

P
(
x
)
=
0

{\displaystyle P(x)=0}
ととる。
ただし、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
は、任意の次数の整式とする。
P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
を1次式

x
−
a

{\displaystyle x-a}
で割ったときの商を

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
、余りを

R

{\displaystyle R}
とすると、
この両辺の

x

{\displaystyle x}
に

a

{\displaystyle a}
を代入すると、
つまり、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
を

x
−
a

{\displaystyle x-a}
で割ったときの余りは

P
(
a
)

{\displaystyle P(a)}
である。
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
を

x
−
a

{\displaystyle x-a}
で割ったときの余りは、

P
(
a
)

{\displaystyle P(a)}
に等しい。
整式 

P
(
x
)
=
x
3

−
2
x
+
3

{\displaystyle P(x)=x^{3}-2x+3}
 を次の式で割った余りを求めよ。
(I)
(II)
(III)
(I) 

P
(
2
)
=
2
3

−
2
×
2
+
3
=
7

{\displaystyle P(2)=2^{3}-2\times 2+3=7}

(II) 

P
(
−
1
)
=
(
−
1
)
3

−
2
×
(
−
1
)
+
3
=
4

{\displaystyle P(-1)=(-1)^{3}-2\times (-1)+3=4}

(III) 

P
(

1
2

)
=

(

1
2

)

3

−
2
×
(

1
2

)
+
3
=

17
8


{\displaystyle P\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}-2\times \left({\frac {1}{2}}\right)+3={\frac {17}{8}}}
ある実数

a

{\displaystyle a}
に対して、
が成り立ったとする。
このとき、整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
 は、 

(
x
−
a
)

{\displaystyle (x-a)}
 を因数に持つことが分る。
このことを因数定理(いんすうていり)と呼ぶ。
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
に対して、商

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
、割る式

(
x
−
a
)

{\displaystyle (x-a)}
とする
整式の除法を用いる。このとき、商

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
、
(

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
は、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
よりも1だけ次数が低い整式である。)
余り

c

{\displaystyle c}
(

c

{\displaystyle c}
は、実数。)とすると、
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
 は、
と書ける。
ここで、 

c
=
0

{\displaystyle c=0}
 でないと、 

P
(
a
)
=
0

{\displaystyle P(a)=0}
 は満たされないが、
このとき、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
は、

(
x
−
a
)

{\displaystyle (x-a)}
によって割り切れる。
よって、因数定理は成立する。
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
について
因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが
出来るようになる。例えば、3次の整式
について、

x
=
1

{\displaystyle x=1}
を代入すると、
は0となる。よって、因数定理よりこの式は
を因数として持つ。
ここで、実際整式の除法を使って計算すると、
が得られる。
因数定理を用いて
(I)
(II)
を因数分解せよ。
(I)
因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、

±
1
,
±
2
,
±
3
,
±
6

{\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6}
が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、
となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として


x
2

−
5
x
+
6

{\displaystyle x^{2}-5x+6}
が得られるが、これは

(
x
−
2
)
(
x
−
3
)

{\displaystyle (x-2)(x-3)}
に因数分解できる。