
定義より 


|
a
|
=
|
−
a
|

{\displaystyle |a|=|-a|}
 がいえる。また、

a
,
b

{\displaystyle a,b}
を任意の実数とするとき、それぞれに対応する数直線上の任意の2点 


P
(
a
)
,
Q
(
b
)

{\displaystyle \mathrm {P} (a),\mathrm {Q} (b)}
 間の距離については、次のことがいえる。
数直線上の2点 


P
(
a
)

{\displaystyle \mathrm {P} (a)}
 と 


Q
(
b
)

{\displaystyle \mathrm {Q} (b)}
 の間の距離 


P

Q

{\displaystyle \mathrm {P} \mathrm {Q} }
 は 


|
b
−
a
|

{\displaystyle |b-a|}
 で表される。

今、2乗してaになる数bを考える。
a
=
1

{\displaystyle a=1}
のとき、

b
=
1

{\displaystyle b=1}
として終わりにしてはいけない。確かに

b
=
1

{\displaystyle b=1}
も条件を満たすが

b
=
−
1

{\displaystyle b=-1}
も条件を満たす。よって

b
=
1

{\displaystyle b=1}
 または  

b
=
−
1

{\displaystyle b=-1}
である。
一般に正の数aについてa=b^2となるbは二つあり、その二つは絶対値が等しい。この二つのbをaの平方根という。aの平方根のうち、正であるものを


a


{\displaystyle {\sqrt {a}}}
、負であるものを

−

a


{\displaystyle -{\sqrt {a}}}
と書く。


a


{\displaystyle {\sqrt {a}}}
は『ルートa』と読む。
一方、負の数aについて考えてみても上手くbを見つけることはできない。実際のところ、負の数の平方根は実数で表すことはできない。
2
 
,
 
4
 
,
 
9
 
,
 
12

{\displaystyle 2\ ,\ 4\ ,\ 9\ ,\ 12}
の平方根を求めよ。
±

2

 
,
 
±
2
 
,
 
±
3
 
,
 
±
2

3


{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}\ ,\ \pm 2\ ,\ \pm 3\ ,\ \pm 2{\sqrt {3}}}
それぞれのルートを計算し、

±

{\displaystyle \pm }
をつければよい。ただし、平方根のルールに従って、簡単化できるものは簡単化することが要求される。
例えば、

2

{\displaystyle 2}
に対しては、

±

2


{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}}
となる。
一般に、



A
2


=
|
A
|

{\displaystyle {\sqrt {A^{2}}}=|A|}
である。
根号について、次の公式が成り立つ。
a
>
0
,
b
>
0

{\displaystyle a>0,b>0}
 のとき
まず、 


a
b


{\displaystyle {\sqrt {ab}}}
 とは、定義にもとづいて考えると、2乗すると ab になる数のうち、正のほうの数という意味である。
なので、公式「 


a


b

=

a
b


{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
   」を証明するには、そのことを証明すればいい。
なので、まず、


a


b


{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
 を2乗すると、
となる。
ゆえに


a


b


{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
は、まず条件「2乗するとabになる」を満たす。
そして、正の数の平方根は正なので、


a


b


{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
 も正である。よって 


a


b


{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
 は、「2乗するとabになる」数のうちの正のほうである。
(証明おわり)
さらに、上の公式(1)により、次の公式が導かれる。
a
>
0
,
k
>
0

{\displaystyle a>0,k>0}
 のとき
計算せよ。
分母に根号を含まない式にすることを、分母を有理化するという。有理化は、分母と分子に同じ数をかけてもよいことを利用して行う。
たとえば、


1
2


{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
を有理化すると、


1
2

 
=
 

1

2



2


2


 
=
 

2
2


{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\ =\ {\frac {1{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}\ =\ {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
となる。
また、とくに


a
b
+
c


{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}}
について、


b
2

−
c
2

=
1

{\displaystyle b^{2}-c^{2}=1}
のとき、



a
b
+
c

 
=
 

a
(
b
−
c
)

(
b
+
c
)
(
b
−
c
)

 
=
 

a
(
b
−
c
)

b
2

−
c
2


 
=
 

a
(
b
−
c
)
1

 
=
 
a
(
b
−
c
)

{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{(b+c)(b-c)}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{b^{2}-c^{2}}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{1}}\ =\ a(b-c)}
である。
たとえば、

a
=
1
,
b
=

2

,
c
=
1

{\displaystyle a=1,b={\sqrt {2}},c=1}
とすると、


1

2

+
1

=

2

−
1

{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}-1}
である。
分母を有理化せよ。
二重根号とは、根号が2重になっている式のことである。二重根号は常に外せるわけではなく、根号の中に含まれる式によって簡単にできるかどうかが決まる。一般に、根号内の式が、


x
2


{\displaystyle x^{2}}
の形に変形できる場合には、外側の根号を外すことができる。
3
+
2

2



{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}}
を簡単にせよ。
3
+
2

2


{\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}}
が

(
⋯
)
2


{\displaystyle (\cdots)^{2}}
の形にできるかを考える。
仮に、

(

a

+

b

)
2


{\displaystyle ({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}
(a,bは正の整数)の形にできるとすると、

3
+
2

2

=
a
+
b
+
2

a
b


{\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=a+b+2{\sqrt {ab}}}
となり、
を満たす整数a,bを探せばよい。この関係は、a=1,b=2(a,bを入れ換えても可。)によって満たされるので、

3
+
2

2

 
=
 
(

2

+
1
)
2


{\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}\ =\ ({\sqrt {2}}+1)^{2}}
が成り立つ。
よって、


3
+
2

2


 
=
 

(

2

+
1
)
2


 
=
 

2

+
1

{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}\ =\ {\sqrt {({\sqrt {2}}+1)^{2}}}\ =\ {\sqrt {2}}+1}
となる。
a
>
0
 
,
 
b
>
0

{\displaystyle a>0\ ,\ b>0}
 のとき
a
>
b
>
0

{\displaystyle a>b>0}
 のとき
次の式を計算せよ。
同じ大きさの量を=で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号を導入し、その性質についてまとめる。
ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを

A
>
B

{\displaystyle A>B}
と表し、AがBより小さいことを

A
<
B

{\displaystyle A<B}
と表す。ここで、<と>のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、

≤
,
≥

{\displaystyle \leq ,\geq }
も似た意味の不等式であるが、それぞれAとBが等しい値である場合を含むものである。
なお、日本の教育においては、

≤
,
≥

{\displaystyle \leq ,\geq }
の代わりに、不等号の下に等号を記した

≦
,
≧

{\displaystyle \leqq ,\geqq }
を使うことが多い。
x
>
7

{\displaystyle x>7}
という不等式があるとき、xは7より大きい実数である。また、

x
≥
7

{\displaystyle x\geq 7}
の時には、xは7以上の実数である。
不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。
x
>
y

{\displaystyle x>y}
が成り立つときには、

x
+
3
>
y
+
3

{\displaystyle x+3>y+3}
、

4
x
>
4
y

{\displaystyle 4x>4y}
も成り立つ。また、

−
x
<
−
y

{\displaystyle -x<-y}
が成り立つ。
不等式の性質を使って
の両辺から3を引くと
よって
となる。
このように、不等式でも移項することができる。
グラフを用いて考えるとき、不等式はグラフ中の領域を表す。領域の境界は不等号を等号に置き換えた部分が対応する。これは、不等号が成立するかどうかがその線上で入れ替わることによっている。(詳しくは数学II 図形と方程式で学習する。)
y
>
x
+
1

{\displaystyle y>x+1}
,

y
<
2
x
+
1

{\displaystyle y<2x+1}
,

x
<
3

{\displaystyle x<3}
のグラフ(正しくは「領域」)を描け。
y
>
x
+
1

{\displaystyle y>x+1}
 のグラフ(領域)は次のようになる。