本項は高等学校数学Bの「確率分布と統計的な推測」の解説です。
この分野は数学Iのデータの分析、数学Aの確率と関連があります。
同じく数学Bの数列、数学IIの微分・積分の考えを既習であるものとします。また、この分野を学習後に同じく数学Bの数学と社会生活で扱うデータ解析の内容も参照することを推奨します。
k

{\displaystyle k}
は自然数で

1
≤
k
≤
n

{\displaystyle 1\leq k\leq n}
を満たすものとします。
試行の結果によってどの値をとるか定まり、とり得る値の各々に対してその値をとる確率が定まるような変数を確率変数と呼ぶ。
確率変数

X

{\displaystyle X}
のとり得る値が


x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n


{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
であるとき、

X

{\displaystyle X}
が値


x
k


{\displaystyle x_{k}}
をとる確率 を

P
(
X
=
x
k

)

{\displaystyle P(X=x_{k})}
、

a
≤
x
k

≤
b

{\displaystyle a\leq x_{k}\leq b}
である確率 

P
(
a
≤
X
≤
b
)

{\displaystyle P(a\leq X\leq b)}
のように表す。
P
(
X
=
x
k

)

{\displaystyle P(X=x_{k})}
を


p
k


{\displaystyle p_{k}}
と表すこととすると、


x
k


{\displaystyle x_{k}}
と


p
k


{\displaystyle p_{k}}
の対応関係は以下のようになる。
この対応関係を

X

{\displaystyle X}
の確率分布あるいは単に分布と呼び、確率変数

X

{\displaystyle X}
はこの分布に従うという。
このとき、常に


p
k

≥
0

{\displaystyle p_{k}\geq 0}
であり、


∑
k
=
1

n

p
k

=
1

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=1}
である。
X

{\displaystyle X}
の確率分布が以下の表であるとする。
このとき、


∑
k
=
1

n

x
k

p
k


{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}}
を

X

{\displaystyle X}
の期待値と呼び、

E
(
X
)

{\displaystyle E(X)}
または

m

{\displaystyle m}
または

μ

{\displaystyle \mu }
で表す(

μ

{\displaystyle \mu }
はギリシャ文字で、アルファベットの

m

{\displaystyle m}
に対応する文字である)。
次に、確率変数

(
X
−
m
)
2


{\displaystyle (X-m)^{2}}
を考える。この確率変数の期待値を

X

{\displaystyle X}
の分散と呼び、

V
(
X
)

{\displaystyle V(X)}
で表すこととする。このとき、期待値の定義から

V
(
X
)
=
E
{
(
X
−
m
)
2

}
=
∑
k
=
1

n

(
x
k

−
m
)
2

p
k


{\displaystyle V(X)=E\{(X-m)^{2}\}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-m)^{2}p_{k}}
であり、

V
(
X
)

{\displaystyle V(X)}
の単位は測定単位の二乗(例えば

X

{\displaystyle X}
の単位が

c
m

{\displaystyle cm}
なら

V
(
X
)

{\displaystyle V(X)}
の単位は

c
m
2


{\displaystyle cm^{2}}
)である。そこで、


V
(
X
)


{\displaystyle {\sqrt {V(X)}}}
を

X

{\displaystyle X}
の標準偏差と呼び、

σ
(
X
)

{\displaystyle \sigma (X)}
で表すこととする(

σ

{\displaystyle \sigma }
は

Σ

{\displaystyle \Sigma }
の小文字である)。
分散を表す式を変形すると、
V
(
X
)
=
∑
k
=
1

n

(
x
k

−
m
)
2

p
k


{\displaystyle V(X)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-m)^{2}p_{k}}
=
∑
k
=
1

n

(
x
k

2

−
2
m
x
k

+
m
2

)

{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}(x_{k}^{2}-2mx_{k}+m^{2})}
=
∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

−
2
m
∑
k
=
1

n

x
k

p
k

+
m
2

∑
k
=
1

n

p
k


{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}-2m\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+m^{2}\sum _{k=1}^{n}p_{k}}
=
∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

−
2
m
⋅
m
+
m
2

⋅
1

{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}-2m\cdot m+m^{2}\cdot 1}
=
∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

−
m
2


{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}-m^{2}}
となり、


∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k


{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}}
は確率変数


X
2


{\displaystyle X^{2}}
の期待値に等しいので

V
(
X
)
=
E
(
X
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2


{\displaystyle V(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}}
が成り立つ。