
実際には階乗の計算は整数nについてはnから1までを下がりながらかけ算していくという仕方で計算されていたので、上の結果は妙に思える。
しかし実際には、より進んだ理論によってこの結果は正当化されるのであり、
この場合も便宜上
を0の階乗の定義として受けいれるのである。
演習問題
5個のボールが入ったボール入れから2つのボールを取りだすとき(ボールはそれぞれ
区別できるものとする。)2つのボールの選び方は、
何通りあるか計算せよ。
ボールの取りだし方は組み合わせの数を用いて計算できる。
5つのボールの中から2つを取りだすのであるからその場合の数は、
となる。よって、ボールの取りだし方は10通りであることがわかる。
演習問題
6個の互いに区別できるボールが入った箱がある。
この中から (I)3つのボールと2つのボールを取りだす方法の場合の数、(II)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できる袋にいれる場合の数、(III)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できない袋にいれる場合の数、をそれぞれ計算せよ。
(I)
最初にボールを取りだすときには、6つのボールの中から3つのボールを取りだすことからその場合の数は
だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときには
その取りだし方は、
だけある。
よって、このときの場合の数は
だけになる。実際この値を計算すると、
となり、60通りであることが分かる。
(II)
(I)の場合と同様に6つのボールの中から2つのボールを
取りだすことからその場合の数は
だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときには
その取りだし方は、
だけある。
よって、このときの場合の数は
だけになる。実際この値を計算すると、
となり、90通りであることが分かる。
(III)
(II)と同じ計算で値を求めることが出来るが、今回はボールをいれた袋が
互いに区別できないことに注意しなくてはならない。
このことによって、起こりうる場合の数は(II)の場合の半分になるので
求める場合の数は45通りとなる。
n


C

r


{\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}}
について以下の式が成り立つ。
導出
を用いると、
が得られ、示された。
同様に
を用いると、
となり示された。
最初の式は、異なるn個のもののうちr個にXというラベルをつけ、残りのn-r個にYというラベルをつける場合の数から求めることができる。異なるn個のもののうちからr個を選びラベルXをつけ、残りにラベルYをつける場合の数は



n


C

r


{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}}
 であり、異なるn個のもののうちからn-r個を選び、ラベルYをつけ、残りにラベルXをつける場合の数は



n


C

n
−
r


{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{n-r}}
 である。当然、前者と後者の場合の数は等しいので、ここから、



n


C

r

=
n


C

n
−
r


{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}=_{n}\mathrm {C} _{n-r}}
 が求められる。
2つ目の式は、
"n個のものからr個を選ぶ仕方の数は、次の数の和である。
最初の1つを選ばずに他のn-1個からr個を選ぶ仕方の数と、最初の1つを選んで他のn-1個からr-1個を選ぶ仕方の数との
和である。"
ということを表わしている。
を用いて
(I)
(II)
(III)
(VI)
をそれぞれ計算せよ。
上の式を用いて計算することが出来る。もちろん直接に計算しても
答えを得ることが出来るが、通常は簡単化してから計算した方が楽である。
(I)
(II)
(III)
(VI)
となる。
図のようなルートを左下の点から右上の点まで歩いて行く人がいる。
ただし、この人は右か上にしか進めないとする。このとき、
を計算せよ。ただしa点は*と書かれている点のすぐ下の通路のことをさしている。
それぞれのルートは途切れていない縦4つ、横5つの碁盤目上のルートに
なっていることに注意せよ。
___________
|_|_|_|_|_|
|_|_|*|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
(I)
左下にいる人は9回進むことで右上の点に辿り着ける。そのため、左下にいる人が選びうるルートの数は9回のうちのどの回で右ではなく上を
選ぶかの場合の数に等しい。このような場合の数は、9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法に等しく、組み合わせを用いて書くことが出来る。実際に9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法は、
で書かれる。この量を計算すると、
が得られる。
(II)
a点を通過して進むルートの数はa点の左の点までいってからa点を通過し、a点の右の点を通って右上の点までいく仕方の数に等しい。
それぞれのルートの数は(I)の方法を用いて計算することができる。この数を実際に計算すると、
となり、36通りであることが分かる。
演習問題


r
n


C

r

=
n
n
−
1


C

r
−
1


{\displaystyle r_{n}\mathrm {C} _{r}=n_{n-1}\mathrm {C} _{r-1}}
を示せ
r
n


C

r

=
r

n
!

r
!
(
n
−
r
)
!

=
n

(
n
−
1
)
!

(
r
−
1
)
(
(
n
−
1
)
−
(
r
−
1
)
)
!

=
n
n
−
1


C

r
−
1


{\displaystyle r_{n}\mathrm {C} _{r}=r{\frac {n!}{r!(n-r)!}}=n{\frac {(n-1)!}{(r-1)((n-1)-(r-1))!}}=n_{n-1}\mathrm {C} _{r-1}}
異なるn個の空箱にr個のものを入れる場合の数を重複組み合わせといい、 



n


H

r


{\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}}
 で表す。
重複組合せについて次のように考察する。
x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n

,
r

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},r}
 を非負整数とし、方程式 


x
1

+
x
2

+
⋯
+
x
n

=
r

{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=r}
 の解の個数について考える。この解の個数は 


x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n


{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
 に 

r

{\displaystyle r}
 個の1を分配する場合の数と考えることができるので、重複組み合わせの定義から、



n


H

r


{\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}}
 である。
また、この方程式の非負整数解の個数は、r個の○にn-1個の区切りを置く場合の数とも考えられる。