ここでは、極限について学ぶ。微分・積分の考えでは簡単な関数の極限について学んだが、ここでは数列の極限、さらには無理関数や三角関数などの関数の極限について学ぶ。極限は微分積分の基礎となっており重要である。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 が有限個の項しかもたないとき、有限数列といい、項が限りなく続くとき無限数列という。ここでは無限数列を考えるから断りがない場合、無限数列を単に数列と書くことにする。
数列 

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、項の番号 

n

{\displaystyle n}
 が限りなく大きくなっていくとき、


a
n


{\displaystyle a_{n}}
 がある一定の値 

α

{\displaystyle \alpha }
 に限りなく近づいていくならば、数列 

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 は 

α

{\displaystyle \alpha }
 に収束するといい、
または簡単に
とかく。また、

α

{\displaystyle \alpha }
 をこの数列の極限値という。
収束する数列には次のような性質がある。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
, 

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 において, 


lim
n
→
∞

a
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha }
, 


lim
n
→
∞

b
n

=
β

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta }
 とすると、
数列には収束しないものがある。たとえば
は収束しない。収束しない数列は発散(はっさん) するという。発散する数列 

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 で 

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
 のとき項 


a
n


{\displaystyle a_{n}}
 の値が限りなく大きくなるときこの数列は正の無限大(せい の むげんだい) に発散するといい、「その極限は正の無限大である」のようにいう。このことを次のように表す。
逆に 

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
 のとき、項 


a
n


{\displaystyle a_{n}}
 が負の値でその絶対値が限りなく大きくなるときこの数列は負の無限大 に発散するといい、その極限は負の無限大であるという。このことを次のように表す。
発散する数列には次のようなものもある。
いずれの数列も正の無限大にも負の無限大にも発散しない。このような数列を振動(しんどう) するという。このときもこの数列には極限値が存在しない。
数列 

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
, 

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 について、

n

{\displaystyle n}
 が十分に大きいとき常に 


a
n

≤
b
n


{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
  を満たしていて、


lim
n
→
∞

a
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha }
 かつ 

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 の極限値も存在するならば、
となる。
これを証明するためには、「限り無く近づく」という言葉の、数学的な意味を明確にする必要がある。初学者には難解な証明であるため、高校数学では直感的に成り立ちそうなことを理解してほしい。参考として、以下に証明の一例を挙げておく。
α
>
lim
n
→
∞

b
n


{\displaystyle \alpha >\lim _{n\to \infty }b_{n}}
と仮定すると、

α
−
lim
n
→
∞

b
n

=
ε
′
>
0

{\displaystyle \alpha -\lim _{n\to \infty }b_{n}=\epsilon '>0}
である。
b
n


{\displaystyle b_{n}}
は限りなく

α
−
ε
′

/
2

{\displaystyle \alpha -\epsilon '/2}
より小さい数に近づくから、

n

{\displaystyle n}
が十分大きいときは常に


b
n

<
α
−
ε
′

/
2

{\displaystyle b_{n}<\alpha -\epsilon '/2}
となる。
a
n


{\displaystyle a_{n}}
は限りなく

α

{\displaystyle \alpha }
に近づくため、任意の正の数

ε

{\displaystyle \epsilon }
に対して、十分大きな数

N

{\displaystyle N}
であって、

n
≥
N

{\displaystyle n\geq N}
ならば常に

α
−
a
n

<
ε

{\displaystyle \alpha -a_{n}<\epsilon }
が成り立つようなものが存在するはずである。いま、


a
n

≤
b
n


{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
であったから、十分大きな

n

{\displaystyle n}
では常に


b
n

≥
α
−
ε

{\displaystyle b_{n}\geq \alpha -\epsilon }
となる。
ε

{\displaystyle \epsilon }
は任意の正の数であったから、

ε
=
ε
′

/
2

{\displaystyle \epsilon =\epsilon '/2}
とすると、十分大きな

n

{\displaystyle n}
について矛盾する式が成立することになる。したがって、背理法により

α
≤
lim
n
→
∞

b
n


{\displaystyle \alpha \leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}
である。■
興味を持った人は大学1年生程度を対象とする微分積分学の教科書を参照してほしい。