
よって、直線APは∠Aの二等分線である。
この点 P を 傍心(ぼうしん)という。
三角形には3つの傍心が存在する。
三角形の角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 の 

∠
A

{\displaystyle \angle A}
 の2等分線と辺BCとの交点をDとすると、

A
B
:
A
C
=
B
D
:
D
C

{\displaystyle AB:AC=BD:DC}
 となる。
∠
A

{\displaystyle \angle A}
 の2等分線と辺BCとの交点がDだから
Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする。
ADとECは平行であるから
上の3つの式から
よって
また、ADとECは平行であるから
(1)と(2)より
三角形の外角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 の 

∠
A

{\displaystyle \angle A}
 の外角の2等分線と辺BCの延長との交点をDとすると、

A
B
:
A
C
=
B
D
:
D
C

{\displaystyle AB:AC=BD:DC}
 となる。ただし、

A
B
≠
A
C

{\displaystyle AB\neq AC}
 とする。
Cを通りADに平行な直線とABの延長との交点をEとすると、上の定理と同様に
三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 において
(

A
B
<
A
C
 
⇒
 
∠
B
>
∠
C

{\displaystyle AB<AC\ \Rightarrow \ \angle B>\angle C}
 の証明)
A
B
<
A
C

{\displaystyle AB<AC}
 とし、辺AC上に点Dを、 

A
D
=
A
B

{\displaystyle AD=AB}
 となるようにとれば
ところで、

∠
A
D
B

{\displaystyle \angle ADB}
 は 

△
D
B
C

{\displaystyle \triangle DBC}
 の 

∠
B
D
C

{\displaystyle \angle BDC}
 の外角だから
また、点Dは辺AC上にあるから
(1),(2),(3)より、

∠
B
>
∠
C

{\displaystyle \angle B>\angle C}
(

∠
B
>
∠
C
 
⇒
 
A
B
<
A
C

{\displaystyle \angle B>\angle C\ \Rightarrow \ AB<AC}
 の証明)
∠
B
>
∠
C

{\displaystyle \angle B>\angle C}
 であって、

A
B
<
A
C

{\displaystyle AB<AC}
 ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、

∠
B
=
∠
C

{\displaystyle \angle B=\angle C}
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、

∠
B
<
∠
C

{\displaystyle \angle B<\angle C}
どちらの場合も、仮定 

∠
B
>
∠
C

{\displaystyle \angle B>\angle C}
 に反する。
よって、

A
B
<
A
C

{\displaystyle AB<AC}
でなければならない。
三角形の3辺について、次のようなことが言える。
三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 において、

A
B
+
A
C
>
B
C

{\displaystyle AB+AC>BC}
 を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、

A
D
=
A
C

{\displaystyle AD=AC}
 となるようにとる。
△
A
C
D

{\displaystyle \triangle ACD}
 は二等辺三角形であるから
△
B
C
D

{\displaystyle \triangle BCD}
 において、点Aは辺BD上にあるから
よって、三角形の辺と角の大小の定理より
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 の3辺の長さを、

B
C
=
a
 
,
 
C
A
=
b
 
,
 
A
B
=
c

{\displaystyle BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c}
 とすると、上の定理より次のことがわかる。
三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。
であるから、

b
≥
c

{\displaystyle b\geq c}
 のとき、

c
+
a
>
b

{\displaystyle c+a>b}
 より
b
<
c

{\displaystyle b<c}
 のとき、

a
+
b
>
c

{\displaystyle a+b>c}
 より
が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が 

a
 
,
 
b
 
,
 
c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 であるとき、
が成り立つことがわかる。
逆に、正の数 

a
 
,
 
b
 
,
 
c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 が不等式 


|
b
−
c
|
<
a
<
b
+
c

{\displaystyle |b-c|<a<b+c}
 を満たすとき、3辺の長さが 

a
 
,
 
b
 
,
 
c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 である三角形が存在する。
円周上に3点A,B,Cがある。直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとり、

∠
A
P
B

{\displaystyle \angle APB}
 と 

∠
A
C
B

{\displaystyle \angle ACB}
 の大きさを比べる。