
半径1、中心角θの扇形を考える。後にθ→+0とするので0<θ<π/2としてよい。
扇形OABの面積は、θ/2となる。
また、三角形OABを考えると、その面積は
となる。
さらに、点Aを通る辺OAの垂線と、半直線OBとの交点をB'とすると、三角形OAB'の面積は、
となる。
ここで、図から明らかに、面積について以下の不等式が成り立つ。
[三角形OAB]<[扇形OAB]<[三角形OAB']
即ち
逆数をとって各辺にsinθを掛けると、
いま、
より、はさみうちの原理から、
が示された。
また、θ<0のときは、
を考えると、いま-θ>0であり、かつθ→-0のとき-θ→+0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
となる。