実際直角三角形の場合の定義の式を代入すれば、
となり、上の関係は成立する。これ以外にも三角比には角の大きさに関わらず成立する相互関係があり、これらの関係を用いてある1つの三角比から他の三角比の値を求めることができる。もちろん、直角三角形については1つの三角比を指定することで三角形の形は相似形の自由度を除いて決定されるため、この結果は必然であるのだが。
恒等式
が得られることを示せ。(


sin
2

⁡
r
 
,
 
cos
2

⁡
r
 
,
 
tan
2

⁡
r

{\displaystyle \sin ^{2}r\ ,\ \cos ^{2}r\ ,\ \tan ^{2}r}
は、それぞれ


(
sin
⁡
r
)
2

 
,
 
(
cos
⁡
r
)
2

 
,
 
(
tan
⁡
r
)
2


{\displaystyle (\sin r)^{2}\ ,\ (\cos r)^{2}\ ,\ (\tan r)^{2}}
という意味である。)
上で得たような直角三角形を考えると、
となっている。
このとき、三平方の定理より、

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
について、
が成り立つ。
ここで、両辺を


c
2


{\displaystyle c^{2}}

で割ると、
となり、求めたい式が示された。
さらに、


sin
2

⁡
r
+
cos
2

⁡
r
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}r+\cos ^{2}r=1}
の両辺を


cos
2

⁡
r

{\displaystyle \cos ^{2}r}
で割ると、
が得られる。
sin
⁡
r
=

1
3


{\displaystyle \sin r={\frac {1}{3}}}
のときの

cos
⁡
r

{\displaystyle \cos r}
, 

tan
⁡
r

{\displaystyle \tan r}
の値を求めよ。ただし、


0
∘

<
r
<
90
∘


{\displaystyle 0^{\circ }<r<90^{\circ }}
を満たすとする。
sin
2

⁡
r
+
cos
2

⁡
r
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}r+\cos ^{2}r=1}
に

sin
⁡
r
=

1
3


{\displaystyle \sin r={\frac {1}{3}}}
を代入すると、
さらに、


0
∘

<
r
<
90
∘


{\displaystyle 0^{\circ }<r<90^{\circ }}
では、

cos
⁡
r
>
0

{\displaystyle \cos r>0}
となることに注目すると、
となる。
さらに、

tan
⁡
r
=

sin
⁡
r

cos
⁡
r


{\displaystyle \tan r={\frac {\sin r}{\cos r}}}
に代入すると、
となる。
3つの角の角度がそれぞれ
とするそれぞれの直角三角形の辺の長さの比を用いることで、
30
∘

 
,
 
60
∘

 
,
 
45
∘


{\displaystyle 30^{\circ }\ ,\ 60^{\circ }\ ,\ 45^{\circ }}
に対して、

sin
,
cos
,
tan

{\displaystyle \sin ,\cos ,\tan }
の大きさを求めよ。
45
∘

 
,
 
45
∘

 
,
 
90
∘


{\displaystyle 45^{\circ }\ ,\ 45^{\circ }\ ,\ 90^{\circ }}
の直角二等辺三角形では、斜辺が一番長く、その長さは他の辺の長さの


2


{\displaystyle {\sqrt {2}}}
倍である。このことを用いると、
30
∘

 
,
 
60
∘

 
,
 
90
∘


{\displaystyle 30^{\circ }\ ,\ 60^{\circ }\ ,\ 90^{\circ }}
の直角三角形では、辺の長さの比は、短い順から、

1
:

3

:
2

{\displaystyle 1:{\sqrt {3}}:2}
となっている。このことを用いると、
これらの角度の三角比は重要なので覚えるべきである。もちろん、これらの有名角ではない三角比も計算することが出来る。その計算方法として、直接作図して測定する方法や、マクローリン展開(数IIIの知識があれば理解できるが、主に大学範囲)を利用して求めることが挙げられる。しかし、その計算方法は煩雑である。有名角ではない三角比の値が知りたい場合は、スマホやパソコンなどにインストールされた電卓アプリまたは、ブラウザで検索すればその値が分かる。試験で三角比の値が必要な場合は、表などの形式で三角比の値が与えられる。
三角形の辺の長さがa,b,cと与えられ、相対する角の大きさがA,B,Cと与えられるとき
が成り立つ。ここで、 R は三角形の外接円の半径である。
最初に三角形が直角三角形であるときについて考える。直角三角形で,


90
∘


{\displaystyle 90^{\circ }}
の角をCとおき、対応する辺をcとする。このとき、外接円の半径をRとすると、
が成り立つ。よって、角Cについて正弦定理が確かめられた。辺aについても図の三角形が直角三角形であることを用いると、
が成り立つ。Bについても同様である。よって、三角形が直角三角形であるとき、正弦定理は示された。
次に三角形が鋭角三角形であるときを考える。特に角Aに注目する。Aと同じ円周角を持つ点の中で、角CBDが


90
∘


{\displaystyle 90^{\circ }}
になるように、点Dをとる。
このとき、三角形BCDについて、

sin

{\displaystyle \sin }
の定義から、
(角BDC = 角Aに注意。これは円周角が互いに等しいことによる。)となり、
が得られて、正弦定理が角Aについて示された。角B、角Cについても同様に示すことが出来る。
最後に鈍角三角形の場合について考える。鈍角三角形の2つの鋭角については上と同じ証明を用いることが出来る。鈍角をCと書き、角ABD= 

90


∘


{\displaystyle 90{}^{\circ }}
となるように点Dを取る。
ここで、角BDA = 


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
 - 角Cが成り立つ。(これは円に内接する四角形の相対する角a,bについてa+b =


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
が成り立つことによる。)これを用いると、
となり、確かにこの場合も成立する。よって、全ての三角形について正弦定理が示された。
角度が
の直角三角形において正弦定理が成り立っていることを確かめよ。
ただし、それぞれの三角形の斜辺の長さを

a

{\displaystyle a}
とする。
ここで、直角三角形の外接円の直径は、
直角三角形の斜辺の長さに等しいことに注意せよ。
の直角三角形については、
短い辺の長さを

b

{\displaystyle b}
とすると、
正弦定理は、
となる。