本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。
(
a
+
b
)
5

=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)

{\displaystyle (a+b)^{5}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)}
 について考えよう。この式を展開するとき、


a
2

b
3


{\displaystyle a^{2}b^{3}}
 の係数は、右辺の5個の 

(
a
+
b
)

{\displaystyle (a+b)}
 から 

a

{\displaystyle a}
 を3回取る組み合わせに等しいから 



5


C

2

=
10

{\displaystyle _{5}\mathrm {C} _{2}=10}
 である。
この考えを拡張して
を展開する。


a
r

b
n
−
r


{\displaystyle a^{r}b^{n-r}}
の項の係数は、右辺の 

n

{\displaystyle n}
 個の 

(
a
+
b
)

{\displaystyle (a+b)}
 から 

a

{\displaystyle a}
 を 

r

{\displaystyle r}
 回取る組み合わせに等しいから 



n


C

r


{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}}
 である。
よって、次の式が得られる:
最後の式は数Bの数列で学ぶ総和記号 

Σ

{\displaystyle \Sigma }
 である。知らないのなら無視しても良い。
この式を 二項定理(binomial theorem) という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数(binomial coefficient) と呼ぶことがある。
(I)
(II)
(II)
をそれぞれ計算せよ。
二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、
(I)
(II)
(III)
となる。
すべての自然数nに対して
(I)
(II)
(III)
が成り立つことを示せ。
二項定理
についてa,bに適当な値を代入すればよい。
(I)
a = 1,b=1を代入すると、
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
(II)
a=2,b=1を代入すると、
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
(III)
a=1,b=-1を代入すると、
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
二項定理を拡張して 

(
a
+
b
+
c
)
n


{\displaystyle (a+b+c)^{n}}
 を展開することを考えよう。


a
p

b
q

c
r


{\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}}
 

(
p
+
q
+
r
=
n
)

{\displaystyle (p+q+r=n)}
 の項の係数は 

n

{\displaystyle n}
 個の 

(
a
+
b
+
c
)

{\displaystyle (a+b+c)}
 から 

p

{\displaystyle p}
 個の 

a

{\displaystyle a}
、

q

{\displaystyle q}
 個の 

b

{\displaystyle b}
 、 

r

{\displaystyle r}
 個の 

c

{\displaystyle c}
 を選ぶ組合せに等しいから 



n
!

p
!
q
!
r
!


{\displaystyle {\frac {n!}{p!q!r!}}}
 である。
ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。
上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。
分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて
の性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、
の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、
となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、
のような式を考える。この場合、
で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、
が得られる。右辺を展開すると、
が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。
この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、
のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、

x
(
x
2

−
1
)

{\displaystyle x(x^{2}-1)}
で、


x
3

−
x

{\displaystyle x^{3}-x}
となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から


x
3

−
x

{\displaystyle x^{3}-x}
を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。
x
3

+
2
x
2

+
1

{\displaystyle x^{3}+2x^{2}+1}
、


x
4

+
4
x
2

+
3
x
+
2

{\displaystyle x^{4}+4x^{2}+3x+2}
を、


x
2

+
2
x
+
6

{\displaystyle x^{2}+2x+6}
で割った商と余りを求めよ。
この計算はアニメーションを使って
詳しく表示されている。計算手法は、
整数の場合の筆算と同じような手法が使える。
が得られるので、商

x

{\displaystyle x}
、余り

−
6
x
+
1

{\displaystyle -6x+1}
である。
2つ目の式については、
が得られる。
よって、答は
商


x
2

−
2
x
+
2

{\displaystyle x^{2}-2x+2}
、余り

11
x
−
10

{\displaystyle 11x-10}
である。
ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、
は、分子x+1、分母


x
2

+
4

{\displaystyle x^{2}+4}
の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。