
a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、

(
a
+
b
)
>
0

{\displaystyle (a+b)>0}
 であり、別の仮定より、 a > b なので、

(
a
−
b
)
>
0

{\displaystyle (a-b)>0}
 でもある。よって、


a
2

−
b
2

=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
>
0

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)>0}
逆に、


a
2

−
b
2

>
0

{\displaystyle a^{2}-b^{2}>0}
のとき、

(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
>
0

{\displaystyle (a+b)(a-b)>0}
であり、

a
>
0
,
b
>
0

{\displaystyle a>0,b>0}
なので

a
+
b
>
0

{\displaystyle a+b>0}
である。よって、

a
−
b
>
0

{\displaystyle a-b>0}
なので、

a
>
b

{\displaystyle a>b}
である。
よって、

a
>
b
⟺

a
2

>
b
2


{\displaystyle a>b\quad \Longleftrightarrow \quad a^{2}>b^{2}}
 である。
a≧bの場合も同様に証明できる。
練習として、次の問題を問いてみよう。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
, 

b
>
0

{\displaystyle b>0}
 のとき、次の不等式を証明せよ。
(証明)
不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は
である。ここで、a,b はともに正の実数なので、
であることを用いた。