
母集団が大きいとき、母平均を求めるには時間も労力も相当にかかる。そこで、標本平均から母平均を推定することを考える。
標本の大きさ

n

{\displaystyle n}
が大きいとき、近似的に


X
 ̄

∼
N
(
μ
,

σ
2

n

)

{\displaystyle {\overline {X}}\sim N(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})}
であるのは先程学んだ。


X
 ̄


{\displaystyle {\overline {X}}}
の標準化を考えて

Z
=


X
 ̄

−
μ

σ
n



{\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}
とおくと、近似的に

Z
∼
N
(
0
,
1
)

{\displaystyle Z\sim N(0,1)}
である。
ここで正規分布表より

P
(
|
Z
|
≤
1.96
)
≒
0.95

{\displaystyle P(|Z|\leq 1.96)\fallingdotseq 0.95}
なので、
P
(
μ
−
1.96
⋅

σ
n

≤

X
 ̄

≤
μ
+
1.96
⋅

σ
n

)
≒
0.95

{\displaystyle P(\mu -1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}\leq \mu +1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})\fallingdotseq 0.95}
すなわち

P
(

X
 ̄

−
1.96
⋅

σ
n

≤
μ
≤

X
 ̄

+
1.96
⋅

σ
n

)
≒
0.95

{\displaystyle P({\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})\fallingdotseq 0.95}
である。
この式は区間


X
 ̄

−
1.96
⋅

σ
n

≤
x
≤

X
 ̄

+
1.96
⋅

σ
n


{\displaystyle {\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq x\leq {\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
が値

μ

{\displaystyle \mu }
を含むことが約95%の確実さで期待できることを示している。
この区間を母平均

μ

{\displaystyle \mu }
に対する信頼度95%の信頼区間と呼び、

[

X
 ̄

−
1.96
⋅

σ
n

,

X
 ̄

+
1.96
⋅

σ
n

]

{\displaystyle [{\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]}
のように表す。
母平均

μ

{\displaystyle \mu }
に対して信頼度95%の信頼区間を求めることを、「母平均

μ

{\displaystyle \mu }
を信頼度95%で区間推定する」という。
信頼度95%とは、大きさ

n

{\displaystyle n}
の無作為抽出を繰り返し、得られたそれぞれの標本平均に対し区間推定をして信頼区間を多数作ると、母平均

μ

{\displaystyle \mu }
の含まれる区間が95%の割合で現れることが期待できることを指している。
信頼度99%で推定する場合、正規分布表より

P
(
|
Z
|
≤
2.58
)
≒
0.99

{\displaystyle P(|Z|\leq 2.58)\fallingdotseq 0.99}
なので、信頼区間は

[

X
 ̄

−
2.58
⋅

σ
n

,

X
 ̄

+
2.58
⋅

σ
n

]

{\displaystyle [{\overline {X}}-2.58\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+2.58\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]}
となる。
なお、実際の統計では母標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
がわからない場合が多いので、

n

{\displaystyle n}
が大きいときは代わりに標本標準偏差

S

{\displaystyle S}
を用いて良い。
母平均と同様、標本比率

R

{\displaystyle R}
から母比率

p

{\displaystyle p}
を区間推定することもできる。
標本の大きさ

n

{\displaystyle n}
が大きいとき、先ほど学んだように

R
∼
N
(
p
,
n
p
q
)

{\displaystyle R\sim N(p,npq)}
である。したがって、母平均の推定の場合と同様に考えて

P
(
R
−
1.96


n
p
n

≤
p
≤
R
+
1.96


p
q
n

)

{\displaystyle P(R-1.96{\sqrt {\frac {np}{n}}}\leq p\leq R+1.96{\sqrt {\frac {pq}{n}}})}
である。
q
=
1
−
p

{\displaystyle q=1-p}
であり、大数の法則より

n

{\displaystyle n}
が大きいとき

p

{\displaystyle p}
は

R

{\displaystyle R}
と見做して良いから、

Q
=
1
−
R

{\displaystyle Q=1-R}
とおくと、母比率

p

{\displaystyle p}
に対する信頼度95%の信頼区間は

[
R
−
1.96


R
Q
n

,
R
+
1.96


R
Q
n

]

{\displaystyle [R-1.96{\sqrt {\frac {RQ}{n}}},R+1.96{\sqrt {\frac {RQ}{n}}}]}
である。
信頼度99%で推定する場合、標本平均の場合と同様に考えて信頼区間は

[
R
−
2.58


R
Q
n

,
R
+
2.58


R
Q
n

]

{\displaystyle [R-2.58{\sqrt {\frac {RQ}{n}}},R+2.58{\sqrt {\frac {RQ}{n}}}]}
となる。
X
k


{\displaystyle X_{k}}
のとる値は1または0であるから、


X
k

2

=
X
k


{\displaystyle X_{k}^{2}=X_{k}}
である。ここで

R
=

X
 ̄


{\displaystyle R={\overline {X}}}
を用いると、標本分散


S
2


{\displaystyle S^{2}}
について以下のように変形できる。
S
2

=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

−

X
 ̄

)
2


{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}
=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

2

−
2
X
k


X
 ̄

+

X
2

 ̄

)

{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}^{2}-2X_{k}{\overline {X}}+{\overline {X^{2}}})}
=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

2

−

2
n

⋅
n

X
 ̄

⋅
∑
k
=
1

n

X
k

+

X
2

 ̄


{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}^{2}-{\frac {2}{n}}\cdot n{\overline {X}}\cdot \sum _{k=1}^{n}X_{k}+{\overline {X^{2}}}}
=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

−
2

X
2

 ̄

+

X
2

 ̄


{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}-2{\overline {X^{2}}}+{\overline {X^{2}}}}
=

X
 ̄

−

X
2

 ̄


{\displaystyle ={\overline {X}}-{\overline {X^{2}}}}
=
R
−
R
2


{\displaystyle =R-R^{2}}
=
R
(
1
−
R
)

{\displaystyle =R(1-R)}
先ほど母標準偏差


p
q

(
q
=
1
−
p
)

{\displaystyle {\sqrt {pq}}(q=1-p)}
を確率変数


R
Q

(
Q
=
1
−
R
)

{\displaystyle {\sqrt {RQ}}(Q=1-R)}
で置き換えたが、上式より


R
Q

=
S

{\displaystyle {\sqrt {RQ}}=S}
なので、この置き換えは母平均の推定で行なった「母標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
を標本標準偏差

S

{\displaystyle S}
で置き換える」ことの特別な場合である。
ここでは信頼区間を大括弧[]で表したが、実は一般に区間

a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
は「閉区間」と呼ばれ、

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
で表される。詳しくは数学IIIの極限で扱う。
なお、ある区間でもって母集団の特性値を推定する区間推定に対し、一つの値から母集団の特性値を推定することを点推定と呼ぶ。例として、大数の法則を利用して標本平均から母平均を近似することが挙げられる。区間推定と点推定を合わせて統計的推定と呼ぶ。
数学Iで扱ったように、仮説検定とは以下の手順で仮説が正しいか判断する手法である。
なお、仮説[2]が正しくないと判断できないとき、仮説[1]の真偽を判断することはできない
仮説[1]を対立仮説、仮説[2]を帰無仮説と呼び、仮説が正しくないと判断することを「仮説を棄却する」という。棄却の基準となる確率を有意水準あるいは危険率と呼び、

α

{\displaystyle \alpha }
で表す。有意水準にはよく5%(

α
=
0.05

{\displaystyle \alpha =0.05}
)、1%(

α
=
0.01

{\displaystyle \alpha =0.01}
)が用いられる。有意水準に対して帰無仮説が棄却されるような確率変数の値の範囲を棄却域と呼ぶ。また、有意水準

α

{\displaystyle \alpha }
を用いて仮説検定を行うことを「有意水準

α

{\displaystyle \alpha }
で検定する」という。なお、対立仮説、帰無仮説をそれぞれ「仮説


H
1


{\displaystyle H_{1}}
:〇〇」「仮説


H
0


{\displaystyle H_{0}}
:☆☆(〇〇でない)」のように表すこともある。また、仮説が棄却されないことを「仮説を採択する」という場合がある。
数学Iでは、公正なコインを投げて裏表の出る回数を調べる試行の相対度数から帰無仮説のもとで事象が起こる確率を求めたが、ここでは正規分布を利用することを考える。
母比率の検定において、帰無仮説のもとで二項分布に従う確率変数

X

{\displaystyle X}
を設定すると、正規分布表を利用することができる。
上の例題において、正規近似と標準化を同時に行なっていることに注意。
母平均の検定も、同様に行うことができる。
なお、上の例題において

α
=
0.05

{\displaystyle \alpha =0.05}
ならば帰無仮説を棄却できる。このように、有意水準の値を変えると結論が変わる場合がある。
上の二つの例題では、棄却域を正規分布の両側にとっている。このような検定を両側検定と呼ぶ。
両側検定に対し、棄却域を正規分布の片側にとる検定を片側検定と呼ぶ。
両側検定との違いは、対立仮説が「確率(平均)値が示されている値通りである」でなく「確率(平均)値が上がった(下がった)」である点である。
棄却域を片側にとっているため、正規分布で近似する値は

1
−
α

{\displaystyle 1-\alpha }
ではなく

0.5
−
α

{\displaystyle 0.5-\alpha }
であることに注意。
仮説検定の問題を解く際は、文脈から両側検定なのか片側検定なのか判断することになるので、文章読解力が必要になる。
なお、実際に検定を行うとき、「両側検定・片側検定の片方で帰無仮説が棄却されないからもう片方を試す」という操作は「検証が恣意的」と判断されてしまう可能性があるためしてはいけない。
仮説検定を行うと、2種類の誤りが生じる可能性がある。
一つは、帰無仮説が本当は正しいのにも拘らず、得られたデータが棄却域に入ってしまったことにより帰無仮説が棄却されることである。