理科において、力は大きさと向きを持つ量であると習っただろう。大きさと向きを持つ量は、力の他にも、速度や風の吹き方などがある。
例えば、ある地点ある時刻における風の吹き方は、風速と風向から成り立つ。このように、大きさと向きを持つ量を導入すると、これらを効率よく扱える。
このページでは、大きさと向きを持つ量であるベクトルを扱う。
また、図形の問題に対して代数的なアプローチを取れるのもベクトルの利点の一つである。
平面上の点 


S

{\displaystyle \mathrm {S} }
 から点 


T

{\displaystyle \mathrm {T} }
 へ向かう矢印を考える。このような矢印のように向きを持つ線分を有向線分という。
このとき、点 


S

{\displaystyle \mathrm {S} }
 を始点、点 


T

{\displaystyle \mathrm {T} }
 を終点という。
有向線分で、大きさと方向が同じものはベクトルとして同じものとする。
有向線分は位置、長さ(大きさ)、向きという情報を持つ。ベクトルは、有向線分の持つ情報のうち、位置の情報を忘れて、大きさ、向きだけに着目したものと考えることができる。
有向線分 


S
T

{\displaystyle \mathrm {ST} }
 で表されるベクトルを 



S
T
→


{\displaystyle \mathrm {\vec {ST}} }
 とかく。ベクトルは一文字で 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 などと表されることがある[1]。ベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 の大きさを 


|


a
→


|

{\displaystyle |{\vec {a}}|}
 で表す。
有向線分 


S
T

{\displaystyle \mathrm {ST} }
、有向線分 


S
′

T
′


{\displaystyle \mathrm {S'T'} }
 に対し、大きさが等しく、向きが等しいなら、位置が違っていても、ベクトルとして等しく、



S
T
→

=


S
′

T
′

→


{\displaystyle \mathrm {\vec {ST}} =\mathrm {\vec {S'T'}} }
 である。[2]
大きさが 1 であるベクトルを単位ベクトルという。
ベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 に対し、ベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 と方向が逆で、大きさが等しいベクトルを逆ベクトルといい、

−

a
→


{\displaystyle -{\vec {a}}}
 とかく。
始点と終点が等しいベクトルを零ベクトルといい、



0
→


{\displaystyle {\vec {0}}}
 で表す。任意の点 


A

{\displaystyle \mathrm {A} }
 に対し、



A
A
→

=

0
→


{\displaystyle \mathrm {\vec {AA}} ={\vec {0}}}
 である。ゼロベクトルの大きさは 0 で、向きは考えないものとする。
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 に対し、



a
→

=


A
B
→

,

b
→

=


B
C
→


{\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {AB}} ,{\vec {b}}=\mathrm {\vec {BC}} }
 となる点をとる。このときベクトルの加法を 



a
→

+

b
→

=


A
C
→


{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=\mathrm {\vec {AC}} }
 で定める。
ベクトルの加法について以下が成り立つ。
また、



a
→

+

0
→

=

a
→


{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}}
 とする。
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 に対し、 



a
→

−

b
→

=

a
→

+
(
−

b
→

)

{\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})}
 とかく。
ゼロベクトルはないベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 と実数 

k

{\displaystyle k}
 に対し、ベクトルの実数倍 

k

a
→


{\displaystyle k{\vec {a}}}
 を以下のように定める。
またゼロベクトル 



0
→


{\displaystyle {\vec {0}}}
 に対し、実数倍を 

k

0
→

=

0
→


{\displaystyle k{\vec {0}}={\vec {0}}}
 で定める。
以下の性質がなりたつ。
ゼロベクトルではないベクトル 



a
→

,

b
→


(
≠

0
→

)

{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\,(\neq {\vec {0}})}
 に対し、



a
→

=


A
A
′

→

,

b
→

=


B
B
′

→


{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {AA'} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {BB'} }}}
 となる点をとる。
このとき、直線 


A
A
′


{\displaystyle \mathrm {AA'} }
 と直線 


B
B
′


{\displaystyle \mathrm {BB'} }
 が平行であるとき、ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 は平行であるといい、 



a
→

∥

b
→


{\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}
 で表す。
また、直線 


A
A
′


{\displaystyle \mathrm {AA'} }
 と直線 


B
B
′


{\displaystyle \mathrm {BB'} }
 が垂直であるとき、ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 は垂直であるといい、



a
→

⊥

b
→


{\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}}
 で表す。
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 が平行のとき、明らかに、片方のベクトルを実数倍すれば大きさと向きが一致するので、
a
→

∥

b
→


⟺


b
→

=
k

a
→


{\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\iff {\vec {b}}=k{\vec {a}}}
 となる実数 

k

{\displaystyle k}
 が存在する
が成り立つ。
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 がともにゼロベクトルでなく(



a
→

,

b
→

≠

0
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\neq {\vec {0}}}
) 、平行でないとき、任意のベクトル 



p
→


{\displaystyle {\vec {p}}}
 に対して、 



p
→

=
s

a
→

+
t

b
→


{\displaystyle {\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}}
 となる実数 

s
,
t

{\displaystyle s,t}
 を取ることができる。
証明
a
→

=


O
A
→

,

b
→

=


O
B
→

,

p
→

=


O
P
→


{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }},{\vec {p}}={\vec {\mathrm {OP} }}}
 となる点をとる。点 


P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 を通り、直線 


O
B
,
O
A

{\displaystyle \mathrm {OB} ,\mathrm {OA} }
 に平行な直線が、それぞれ 直線 


O
A
,
O
B

{\displaystyle \mathrm {OA} ,\mathrm {OB} }
 と交わる点をそれぞれ 


S
,
T

{\displaystyle \mathrm {S,T} }
 と置く。
このとき、 



O
S
→

=
s

a
→

,


O
T
→

=
t

b
→


{\displaystyle {\vec {\mathrm {OS} }}=s{\vec {a}},{\vec {\mathrm {OT} }}=t{\vec {b}}}
 となる実数 

s
,
t

{\displaystyle s,t}
 を取ることができる。ここで、四角形 


O
S
P
T

{\displaystyle \mathrm {OSPT} }
 は平行四辺形なので、 



p
→

=
s

a
→

+
t

b
→


{\displaystyle {\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}}
 が成り立つ。
ベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 に対して、座標平面上の原点を 


O

{\displaystyle \mathrm {O} }
 とするとき、



a
→

=


O
A
→


{\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} }
 となる点 


A
(
a
x

,
a
y

)

{\displaystyle \mathrm {A} (a_{x},a_{y})}
 を取ることができる。そこで、 

(
a
x

,
a
y

)

{\displaystyle (a_{x},a_{y})}
 をベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 の成分表示とし、  



a
→

=
(
a
x

,
a
y

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y})}
、または、縦に並べて、 



a
→

=
(


a
x



a
y



)

{\displaystyle {\vec {a}}=\left({\begin{aligned}a_{x}\\a_{y}\end{aligned}}\right)}
 と書く。
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 に対して、



a
→

=


O
A
→

,


b
→

=


O
B
→


{\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} ,\,{\vec {b}}=\mathrm {\vec {OB}} }
 となる点 


A
,
B

{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} }
 をとり、



a
→

=
(
a
x

,
a
y

)
,


b
→

=
(
b
x

,
b
y

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),\,{\vec {b}}=(b_{x},b_{y})}
 とするとき
a
→

=

b
→


⟺


O
A
→

=


O
B
→


⟺

{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}\iff {\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {\mathrm {OB} }}\iff }
点 


A
,

B

{\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} }
 が一致する 


⟺

a
x

=
b
x


{\displaystyle \iff a_{x}=b_{x}}
 かつ 


a
y

=
b
y


{\displaystyle a_{y}=b_{y}}
また、 



a
→

=
(
a
x

,
a
y

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y})}
 に対して、



a
→

=


O
A
→


{\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} }
 とするとき、 


|


a
→


|

{\displaystyle |{\vec {a}}|}
 は線分 


O
A

{\displaystyle \mathrm {OA} }
 の長さなので、
|


a
→


|
=

a
x

2

+
a
y

2



{\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}
である。
ベクトル 



a
→

=
(
a
x

,
a
y

)
,

b
→

=
(
b
x

,
b
y

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),{\vec {b}}=(b_{x},b_{y})}
 に対して、
a
→

+

b
→

=
(
a
x

+
b
x

,
a
y

+
b
y

)

{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}
a
→

−

b
→

=
(
a
x

−
b
x

,
a
y

−
b
y

)

{\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y})}
k

a
→

=
(
k
a
x

,
k
a
y

)

{\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{x},ka_{y})}
がなりたつ。
ある点を基準にして、その点を始点とするベクトルについて考えることにより、ベクトルを用いて点の位置関係について考察することができる。
点の位置関係基準となる点 


O


{\displaystyle {\rm {O}}}
 をあらかじめ定める。このとき、点 


A


{\displaystyle {\rm {A}}}
 に対して、ベクトル 



O
A
→


{\displaystyle {\vec {\rm {OA}}}}
 を点 


A


{\displaystyle {\rm {A}}}
 の位置ベクトルという。位置ベクトル 



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
 で与えられる点 


A


{\displaystyle {\rm {A}}}
 を 


A
(

a
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})}
 で表す。
また、点 


A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})}
 のとき、



A
B
→

=


O
B
→

−


O
A
→

=

b
→

−

a
→


{\displaystyle {\vec {\rm {AB}}}={\vec {\rm {OB}}}-{\vec {\rm {OA}}}={\vec {b}}-{\vec {a}}}
 が成り立つ。
以下、位置ベクトルの基準点を点 


O


{\displaystyle {\rm {O}}}
 とする。
点 


A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)



{\displaystyle {\rm {A({\vec {a}}),\,{\rm {B({\vec {b}})}}}}}
 を通る線分 


A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 を 

m
:
n

{\displaystyle m:n}
 に内分する点 


P
(

p
→

)

{\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {p}})}
 を求める。
A
P
→

=

m
m
+
n



A
B
→


{\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}={\frac {m}{m+n}}{\vec {\mathrm {AB} }}}
 より、



p
→

−

a
→

=

m
m
+
n

(

b
→

−

a
→

)

{\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m+n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})}
 したがって、



p
→

=

n

a
→

+
m

b
→


m
+
n


{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}}
 である。[3]
次に、点 


A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)



{\displaystyle {\rm {A({\vec {a}}),\,{\rm {B({\vec {b}})}}}}}
 を通る線分 


A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 を 

m
:
n

{\displaystyle m:n}
 に外分する点 


Q
(

q
→

)

{\displaystyle \mathrm {Q} ({\vec {q}})}
 を求める。
m
>
n

{\displaystyle m>n}
 の場合は、 



A
Q
→

=

m
m
−
n



A
B
→


{\displaystyle {\vec {\mathrm {AQ} }}={\frac {m}{m-n}}{\vec {\mathrm {AB} }}}
 より、



q
→

−

a
→

=

m
m
−
n

(

b
→

−

a
→

)

{\displaystyle {\vec {q}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m-n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})}
 したがって、



q
→

=

−
n

a
→

+
m

b
→


m
−
n


{\displaystyle {\vec {q}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}}
 である。[4]
m
<
n

{\displaystyle m<n}
 の場合は、



B
Q
→

=

n
n
−
m



B
A
→


{\displaystyle {\vec {\mathrm {BQ} }}={\frac {n}{n-m}}{\vec {\mathrm {BA} }}}
 に注意して同様に計算すれば、前と同じ、 



q
→

=

−
n

a
→

+
m

b
→


m
−
n


{\displaystyle {\vec {q}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}}
 が得られる。[5]
三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対し、 


A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)
,

C
(

c
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}}),\,\mathrm {C} ({\vec {c}})}
 と置く。この三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 の重心 


G
(

g
→

)

{\displaystyle \mathrm {G} ({\vec {g}})}
 を求める。
線分 


B
C

{\displaystyle \mathrm {BC} }
 の中点を 


M
(

m
→

)

{\displaystyle \mathrm {M} ({\vec {m}})}
 とすると、点 


M

{\displaystyle \mathrm {M} }
 は線分 


B
C

{\displaystyle \mathrm {BC} }
 を 

1
:
1

{\displaystyle 1:1}
 に内分する点なので、 



m
→

=



b
→

+

c
→


2


{\displaystyle {\vec {m}}={\frac {{\vec {b}}+{\vec {c}}}{2}}}
 である。
点 


G

{\displaystyle \mathrm {G} }
 は線分 


A
M

{\displaystyle \mathrm {AM} }
 を 

2
:
1

{\displaystyle 2:1}
 に内分する点なので、 



g
→

=



a
→

+

b
→

+

c
→


3


{\displaystyle {\vec {g}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{3}}}
 である。[6]
三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対し、 


A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)
,

C
(

c
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}}),\,\mathrm {C} ({\vec {c}})}
 と置く。さらに、


A
B
=
c
,

B
C
=
a
,

C
A
=
b

{\displaystyle \mathrm {AB} =c,\,\mathrm {BC} =a,\,\mathrm {CA} =b}
 と置く。三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 の内心の位置ベクトル 


I
(

i
→

)

{\displaystyle \mathrm {I} ({\vec {i}})}
 を求める。[7]
A


{\displaystyle {\rm {A}}}
 の二等分線と線分 


B
C


{\displaystyle {\rm {BC}}}
 の交点を 


D
(

d
→

)

{\displaystyle \mathrm {D} ({\vec {d}})}
 とする。このとき、三角形の二等分線の性質より


B
D
:
D
C
=
c
:
b

{\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =c:b}
 したがって、



d
→

=

b

b
→

+
c

c
→


b
+
c


{\displaystyle {\vec {d}}={\frac {b{\vec {b}}+c{\vec {c}}}{b+c}}}
 である。
ここで、


A
I
:
I
D
=
B
A
:
B
D
=
c
:

a
c

b
+
c

=
(
b
+
c
)
:
a

{\displaystyle \mathrm {AI} :\mathrm {ID} =\mathrm {BA} :\mathrm {BD} =c:{\frac {ac}{b+c}}=(b+c):a}
[8] である。
したがって、



i
→

=

a

a
→

+
(
b
+
c
)

d
→


a
+
b
+
c

=

a

a
→

+
b

b
→

+
c

c
→


a
+
b
+
c


{\displaystyle {\vec {i}}={\frac {a{\vec {a}}+(b+c){\vec {d}}}{a+b+c}}={\frac {a{\vec {a}}+b{\vec {b}}+c{\vec {c}}}{a+b+c}}}
 である。
中学または高校の理科の力学では、力学的な仕事の定義をならったことがあるだろう。この仕事では、移動方向以外の力は、仕事に寄与しなかった。このような力の仕事の計算を、ベクトルの観点からみれば、内積という新しい概念が定義できる。[9][10]
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 に対し、 



a
→

=


O
A
→

,

b
→

=


O
B
→


{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }}}
 となる点 


O
,
A
,
B

{\displaystyle \mathrm {O,A,B} }
 をとる。このとき、 

∠
A
O
B

{\displaystyle \angle \mathrm {AOB} }
 をベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 のなす角という。
(図)
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 のなす角を 

θ

{\displaystyle \theta }
 とするとき、内積 



a
→

⋅

b
→


{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
 を
で定める。[11]
定義から、ベクトルの内積は一方のベクトルをもう一方のベクトルに射影したときの、大きさの積であると言える。  
(図)  
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 を 



a
→

=
(
a
1

,
a
2

)
,

b
→

=
(
b
1

,
b
2

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2})}
 と成分表示したときの、内積 



a
→

⋅

b
→


{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
 について考えてみよう。  
ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 に対し、 



a
→

=


O
A
→

,

b
→

=


O
B
→


{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }}}
 となる点 


O
,
A
,
B

{\displaystyle \mathrm {O,A,B} }
 をとり、ベクトル 



a
→

,

b
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
 のなす角を 

θ

{\displaystyle \theta }
 とする。このとき 

△
O
A
B

{\displaystyle \triangle \mathrm {OAB} }
 に対し余弦定理を用いて  
A
B

2

=

O
A

2

+

O
B

2

−
2
⋅

O
A

⋅

O
B

cos
⁡
θ

{\displaystyle \mathrm {\mathrm {AB} } ^{2}=\mathrm {\mathrm {OA} } ^{2}+\mathrm {\mathrm {OB} } ^{2}-2\cdot \mathrm {\mathrm {OA} } \cdot \mathrm {\mathrm {OB} } \cos \theta }
(図)  
ここで、 


A
B

=
|


b
→

−

a
→


|
,

O
A

=
|


a
→


|
,

O
B

=
|


b
→


|

{\displaystyle \mathrm {\mathrm {AB} } =|{\vec {b}}-{\vec {a}}|,\mathrm {\mathrm {OA} } =|{\vec {a}}|,\mathrm {\mathrm {OB} } =|{\vec {b}}|}
 と、


O
A

⋅

O
B

cos
⁡
θ
=
|


a
→


|

|


b
→


|
cos
⁡
θ
=

a
→

⋅

b
→


{\displaystyle \mathrm {\mathrm {OA} } \cdot \mathrm {\mathrm {OB} } \cos \theta =|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta ={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
 より  
|


b
→

−

a
→


|

2

=
|


a
→


|

2

+
|


b
→


|

2

−
2

a
→

⋅

b
→


{\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
 であるので、 



a
→

⋅

b
→

=

1
2

(
|


a
→


|

2

+
|


b
→


|

2

−
|


b
→

−

a
→


|

2

)

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}(|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2})}
 である。  
ここで、 


|


a
→


|

2

=
a
1

2

+
a
2

2

,
|


b
→


|

2

=
b
1

2

+
b
2

2

,
|


b
→

−

a
→


|

2

=
|
(
b
1

−
a
1

,
b
2

−
a
2

)

|

2

=
(
b
1

−
a
1

)
2

+
(
b
2

−
a
2

)
2


{\displaystyle |{\vec {a}}|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},|{\vec {b}}|^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2},|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2})|^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}
 なので、これを代入すれば  
a
→

⋅

b
→

=

1
2

(
|


a
→


|

2

+
|


b
→


|

2

−
|


b
→

−

a
→


|

2

)

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}(|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2})}
 

=

1
2

[
(
a
1

2

+
a
2

2

)
+
(
b
1

2

+
b
2

2

)
−
(
b
1

−
a
1

)
2

+
(
b
2

−
a
2

)
2

]

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})-(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}\right]}
 

=
a
1

b
1

+
a
2

b
2


{\displaystyle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}
 である。  
したがって 



a
→

⋅

b
→

=
a
1

b
1

+
a
2

b
2


{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}
 が得られた。
内積の性質 ― ベクトル 



a
→

,

b
→

,

c
→


{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
 と実数 

k

{\displaystyle k}
 に対し以下が成り立つ。
これらはベクトルを成分表示して計算すれば証明できる。
証明 — 



a
→

=
(
a
1

,
a
2

)
,

b
→

=
(
b
1

,
b
2

)
,

c
→

=
(
c
1

,
c
2

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),{\vec {c}}=(c_{1},c_{2})}
 とする。
演習問題
A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})}
とする。
このとき、線分OAを1:3に分ける点と、線分OBを5:2に分ける点をそれぞれ、A',B'とする。
(1) ベクトル 



O
A
′

→

,


O
B
′

→


{\displaystyle {\vec {OA'}},\,{\vec {OB'}}}
 をベクトル



a
→

,


b
→


{\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}}
を用いてあらわせ。
(2) 線分AB'と、BA'の交点 M の位置ベクトルをベクトル



a
→

,


b
→


{\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}}
を用いてあらわせ。
ベクトル
と、
ベクトル
は互いに1次独立な2本のベクトルなので、
これらを用いてあらゆる図形上の点が表されるはずである。
図形上のそれぞれの点は、点Oからの位置ベクトルで表される。
例えば、ベクトル
は、点Oから見て
と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、
であるので、
で表される。
同様に、ベクトル
は、点Oから見て
と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、
であるので、
で表される。
次に、点A'を通過し、線分A'Bに平行な直線を
ベクトル
と
を用いて記述する方法を考える。
ここでは、
この直線上の点は、
ある定数

s

{\displaystyle s}
を用いて、
で表せることに注目する。
例えば、
のとき、この式が表す点は
に等しく、
のとき、
に等しく、いずれも直線
A'B上の点である。