
本節では2次関数の一般形と標準形について学ぶ。この知識は後で2次関数をグラフで表す際に役立つ。
先ほど現れた
という形の式 (

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
) を2次関数の一般形といい、
という式を2次関数の標準形という。
(上で、

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
、

b

{\displaystyle b}
、

c

{\displaystyle c}
、

p

{\displaystyle p}
、

q

{\displaystyle q}
は定数で、

x

{\displaystyle x}
は変数であるものとする。)
一般形で表記されている2次関数を標準形で表記する事を平方完成という。
後述するように、標準形は2次関数をグラフで表す際に用いる。
標準形
で表記されている2次関数の右辺を展開すると、
となるので、
とすれば一般形になる。
逆に一般形
で表記されている2次関数は以下の手順で標準形に変換できる(この変形手法を平方完成という)。
ここで、
とおくと、
となり標準形で表されたことになる。
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
を標準形
に変換する。ここで、
この標準形のグラフは

y
=
a
x
2


{\displaystyle y=ax^{2}}
 のグラフを 

x

{\displaystyle x}
 軸方向に 

p

{\displaystyle p}
, 

y

{\displaystyle y}
 軸方向に 

q

{\displaystyle q}
 平行移動させたものと考えることができる。