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つぎの極限値を求めよ。
実数の数列

{
a
n

}
,
{
b
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}
があり、全ての

n

{\displaystyle n}
について


a
n

≤
b
n


{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
とする。
このとき、


lim
n
→
∞

a
n

=
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
ならば


lim
n
→
∞

b
n

=
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty }
である。
同様に、全ての

n

{\displaystyle n}
について


a
n

≥
b
n


{\displaystyle a_{n}\geq b_{n}}
であり


lim
n
→
∞

a
n

=
−
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }
ならば、


lim
n
→
∞

b
n

=
−
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty }
である。
高校レベルでの証明はできないが、数列の各項を折れ線で結んだ


a
n


{\displaystyle a_{n}}
ー

n

{\displaystyle n}
グラフを書くことで成り立つことが直感的に理解できる。
等比数列 

{
r
n

}

{\displaystyle \{r^{n}\}}
 の極限について考えてみよう。
r
=
1
+
h

{\displaystyle r=1+h}
 とおくと、
であるので、
したがって、

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
 のとき、

1
+
n
h
→
∞

{\displaystyle 1+nh\to \infty }
 だから、
1

{\displaystyle 1}
 は何乗しても 

1

{\displaystyle 1}
 だから、
r
=
0

{\displaystyle r=0}
 ならばあきらかに、
r
≠
0

{\displaystyle r\neq 0}
のとき、


|
r

|

−
1

>
1

{\displaystyle |r|^{-1}>1}
だから、(i) より
したがって、
r
n


{\displaystyle r^{n}}
 は

n

{\displaystyle n}
 が奇数の場合 

−
1

{\displaystyle -1}
、 

n

{\displaystyle n}
 が偶数の場合 

1

{\displaystyle 1}
 となるので振動する。
|
r
|
>
1

{\displaystyle |r|>1}
 より、
となるが、


r
n


{\displaystyle r^{n}}
 は 

n

{\displaystyle n}
 が奇数の場合 


r
n

<
0

{\displaystyle r^{n}<0}
、 

n

{\displaystyle n}
 が偶数の場合 


r
n

>
0

{\displaystyle r^{n}>0}
 となるので振動する。