それに対して、整数や循環小数など、分母分子共に整数の分数で表すことのできる数を有理数という。
有理数と無理数を合わせて実数という。どんな実数でも数直線上の点として表せる。また、どんな実数も、有限小数あるいは無限小数として表せる。
(下記の「無限小数」の節を参照)
2


{\displaystyle {\sqrt {2}}}
 が有理数であると仮定すると、互いに素な(1以外に公約数をもたない)整数 m, n を用いて、
と表わすことができる。このとき、両辺を2乗して分母を払うと、
よって m は2の倍数であり、整数 l を用いて 

m
=
2
l

{\displaystyle m=2l}
 と表すことができる。これを (1) の式に代入して整理すると、
よって n も2の倍数であるが、これは m, n が2を公約数にもつことになり、互いに素と仮定したことに矛盾する。したがって 


2


{\displaystyle {\sqrt {2}}}
 は無理数である(背理法)。
0.1 や 0.123456789 のように、ある位で終わる小数を有限小数という。
一方、

0.1234512345
⋯

{\displaystyle 0.1234512345\cdots }
 や 

3.1415926535
⋯

{\displaystyle 3.1415926535\cdots }
 のように無限に続く小数を 無限小数(むげん しょうすう)という。
無限小数のうち、ある位より下から、ある配列の数字の繰り返しになっているものを 循環小数(じゅんかん しょうすう)という。例えば 

0.3333333333
⋯

{\displaystyle 0.3333333333\cdots }
 や 

0.1428571428
⋯

{\displaystyle 0.1428571428\cdots }
や

0.1232323232
⋯

{\displaystyle 0.1232323232\cdots }
 などである。繰り返しの最小単位を循環節という。循環小数は循環節1つを用いて

0.

3
 ̇


{\displaystyle 0.{\dot {3}}}
、

0.

1
 ̇

4285

7
 ̇


{\displaystyle 0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}
、

0.1

2
 ̇



3
 ̇


{\displaystyle 0.1{\dot {2}}{\dot {3}}}
のように循環節の最初と最後(循環節が一桁の場合はひとつだけ)の上に点をつけて表す。
全ての循環小数は分数に直せる。