
ベクトル



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
,



b
→


{\displaystyle {\vec {b}}}
間のベクトルの内積も平面の場合と同様に
(

θ

{\displaystyle \theta }
は、ベクトル



a
→


{\displaystyle {\vec {a}}}
,



b
→


{\displaystyle {\vec {b}}}
のなす角。)
分配法則や1次独立の性質もそのまま成り立つ。
ただし、3次元空間の全てのベクトルを張るには、3つの線形独立なベクトルを持って来る必要がある。
このことの証明はおそらく線型代数学などに詳しい。
演習問題
2つのベクトルの内積
を計算せよ。
2次元の場合と同じようにここでもそれぞれの要素は互いに直交する単位ベクトル
によって張られている。そのため以前と同じく要素ごとの計算が可能であり、
となる。
もうすこし細かく計算を行なうと、
が得られる。それぞれのベクトルを
に従って展開し、
(

i

{\displaystyle i}
,

j

{\displaystyle j}
は1,2,3のどれか。)
を代入することで上の式が計算できるはずである。
しかし、


i

{\displaystyle i}
と

j

{\displaystyle j}
が等しくないときには
が成り立つことから、上の展開した後の9個の項のうちで、6つは
に等しい。
また、


i

{\displaystyle i}
と

j

{\displaystyle j}
が等しいときには
が成り立つことから、上の式
の展開は
となって確かに要素ごとの計算と一致する。
演習問題
2次元空間のベクトルは2本の1次独立なベクトルがあれば、必ずそれらの線形結合によって計算できるはずである。