ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。
中学校では、一次関数と

y
=
a
x
2


{\displaystyle y=ax^{2}}
の変化の割合を求めただろう。ここでは、同じものを平均変化率と呼ぶことにする。一般の関数 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 の平均変化率を考えてみたい。中学校で学習したことと同様に考えると、 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 において、 

x

{\displaystyle x}
 が 

a

{\displaystyle a}
 から 

b

{\displaystyle b}
 まで変化したときの平均変化率は、「 

y

{\displaystyle y}
 の変化量/ 

x

{\displaystyle x}
 の変化量」で求められる。つまり、 



f
(
b
)
−
f
(
a
)

b
−
a


{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
 である。
例
y
=
x
2

+
2
x
+
1

{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}
 において、 

x

{\displaystyle x}
 が-1から3まで変化したときの平均変化率を求める。
(
3
2

+
2
⋅
3
+
1
)
−
(
(
−
1
)
2

+
2
⋅
(
−
1
)
+
1
)

3
−
(
−
1
)


{\displaystyle {\frac {(3^{2}+2\cdot 3+1)-((-1)^{2}+2\cdot (-1)+1)}{3-(-1)}}}


=
4

{\displaystyle =4}
関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 において、 

x

{\displaystyle x}
 が 

a

{\displaystyle a}
 とは異なる値をとりながら限りなく 

a

{\displaystyle a}
 に近づくとき、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が限りなく 

A

{\displaystyle A}
 に近づくことを、 


lim
x
→
a

f
(
x
)
=
A

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=A}
 とかく。
lim
x
→
0

3
x

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}3x}
を求める。
x

{\displaystyle x}
を、

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と限りなく0に近づけてみる。すると、

3
x

{\displaystyle 3x}
は、

3
,
0.3
,
0.03
,
0.003
,
⋯

{\displaystyle 3,0.3,0.03,0.003,\cdots }
と、限りなく0に近づくことがわかる。
よって、

x

{\displaystyle x}
を限りなく0に近づけると、

3
x

{\displaystyle 3x}
は限りなく0に近づくので、


lim
x
→
0

3
x
=
0

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}3x=0}
である。
次に、


lim
x
→
1



x
2

−
1

x
−
1


{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
を求める。
x

{\displaystyle x}
を、

1.1
,
1.01
,
1.001
,
0.0001
,
1.00001
,
⋯

{\displaystyle 1.1,1.01,1.001,0.0001,1.00001,\cdots }
と、限りなく1に近づけてみると、



x
2

−
1

x
−
1


{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
は、

2.1
,
2.01
,
2.001
,
2.0001
,
2.00001
,
⋯

{\displaystyle 2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001,\cdots }
と、限りなく2に近づく。
なので、


lim
x
→
1



x
2

−
1

x
−
1

=
2

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}
である。
これは、式に値を代入する前に、式自体を約分してしまった方が簡単に計算できる。すなわち、




x
2

−
1

x
−
1

=

(
x
+
1
)
(
x
−
1
)

x
−
1


{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}}
であり、

x

{\displaystyle x}
を1とは異なる値を取りながら限りなく1に近づけるとき

x
≠
1

{\displaystyle x\neq 1}
なので、これは約分でき、



x
2

−
1

x
−
1

=

(
x
+
1
)
(
x
−
1
)

x
−
1

=
x
+
1

{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}
である。
なので、


lim
x
→
1



x
2

−
1

x
−
1


{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
を求めるには、


lim
x
→
1

(
x
+
1
)

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(x+1)}
を求めれば良い。
lim
x
→
1

(
x
+
1
)
=
2

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(x+1)=2}
であるので、


lim
x
→
1



x
2

−
1

x
−
1

=
2

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}
と求めることができる。
※発展 最初の例では、

x

{\displaystyle x}
を、

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と、限りなく0に近づけたが、

2
,
0.2
,
0.02
,
0.002
,
⋯

{\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\cdots }
や、

−
1
,
−
0.1
,
−
0.01
,
−
0.001
,
⋯

{\displaystyle -1,-0.1,-0.01,-0.001,\cdots }
のように近づけてみても

x

{\displaystyle x}
は限りなく0に近づく。他にも、

1
,
−
0.1
,
0.01
,
−
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,-0.1,0.01,-0.001,\cdots }
や

0.1
,
0.5
,
0.01
,
0.05
,
⋯

{\displaystyle 0.1,0.5,0.01,0.05,\cdots }
など

x

{\displaystyle x}
を0に近づかせる方法はいくらでも考えられる。
もちろん、この例では、

x

{\displaystyle x}
をどのように近づけたとしても極限の値は変わらない。
しかし、

x

{\displaystyle x}
を、

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と近づけたとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

α

{\displaystyle \alpha }
に近づくが、

x

{\displaystyle x}
を、

2
,
0.2
,
0.02
,
0.002
,
⋯

{\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\cdots }
と近づけたら、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

α

{\displaystyle \alpha }
に近づかない。そんな関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
だってあるだろう。
なぜ

x

{\displaystyle x}
を

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と、近づけただけで、極限の値を求めることが出来るのか?と疑問に思う人もいるかも知れない。
極限を厳密に定義するには、イプシロンデルタ論法を使う必要がある。しかし、高校生には少し難しいと考える人が多いので高校ではあまり教えられていない。
なので、この本では、イプシロンデルタ論法を使わず、曖昧な方法で極限を定義した。なので、上のような疑問を持った人は、その疑問について深く考えずに先に進むか、イプシロンデルタ論法を学ぶかしてほしい。
関数 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 の傾きについて考えてみよう。 
x

{\displaystyle x}
 が 

a

{\displaystyle a}
 から 

a
+
h

{\displaystyle a+h}
 まで変化したときの平均変化率は
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h


{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
である。このとき、 

h

{\displaystyle h}
 を限りなく0に近づければ 

a

{\displaystyle a}
 での傾きを求めることができる。つまり、関数 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 の 

a

{\displaystyle a}
 での傾きは
lim
h
→
0


f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h


{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
で与えられる。これを 

x
=
a

{\displaystyle x=a}
 における微分係数という。
また
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0


f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h


{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
で与えられる関数 


f
′
(
x
)

{\displaystyle f'(x)}
 を関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の導関数という。
関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の導関数は



d
f

d
x


{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}
と表されることもある。
ここで、いくつかの関数の導関数を求めてみよう。