
演習問題
2点A

(
2
 
,
 
5
)

{\displaystyle (2\ ,\ 5)}
,B

(
−
1
 
,
 
3
)

{\displaystyle (-1\ ,\ 3)}
を通る直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。
この直線のベクトル方程式は
したがって
点Aを通って、



0
→


{\displaystyle {\vec {0}}}
でないベクトル、



n
→


{\displaystyle {\vec {n}}}
に垂直な直線をgとする。g上の点をPとすると、



A
P
→

=

0
→


{\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {0}}}
または



A
P
→

⊥

n
→


{\displaystyle {\vec {AP}}\perp {\vec {n}}}
だから
である。
点A,Pの位置ベクトルをそれぞれ、



a
→

 
,
 

p
→


{\displaystyle {\vec {a}}\ ,\ {\vec {p}}}
とすると、



A
P
→

=

p
→

−

a
→


{\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {p}}-{\vec {a}}}
だから、(1)は
となる。(2)が点Aを通って、



n
→


{\displaystyle {\vec {n}}}
に垂直な直線gのベクトル方程式であり、



n
→


{\displaystyle {\vec {n}}}
をこの直線の法線ベクトル(ほうせんベクトル、normal vector)という。
点Aの座標を

(
x
1

 
,
 
y
1

)

{\displaystyle (x_{1}\ ,\ y_{1})}
、



n
→

=
(
a
 
,
 
b
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(a\ ,\ b)}
、点Pの座標を

(
x
 
,
 
y
)

{\displaystyle (x\ ,\ y)}
とおくと、



p
→

−

a
→

=
(
x
−
x
1

 
,
 
y
−
y
1

)

{\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {a}}=(x-x_{1}\ ,\ y-y_{1})}
だから、(2)は次のようになる。
この方程式は、

−
a
x
1

−
b
y
1

=
c

{\displaystyle -ax_{1}-by_{1}=c}
とおくと、

a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle ax+by+c=0}
となるから、次のことがいえる。
直線

a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle ax+by+c=0}
の法線ベクトルは、



n
→

=
(
a
 
,
 
b
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(a\ ,\ b)}
である。
演習問題
点A

(
2
 
,
 
5
)

{\displaystyle (2\ ,\ 5)}
を通り、



n
→

=
(
4
 
,
 
3
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(4\ ,\ 3)}
に垂直な直線の方程式を求めよ。
つまり
ここまでは、平面上のベクトルについて考えてきたが、ここからは3次元空間上のベクトルについて考える。より一般にベクトルはn次元(ユークリッド)空間上で定義することができるが、このようなものは高校では扱わない。
今までは、平面上の図形をベクトルや数式を用いて表現する方法を学んで来た。
ここでいう2次元とは、平面のことである。平面上の任意の点を指定するには最低でも2以上の実数が必要だからこのように呼ばれている。
もちろん容易に分かる通り、2つ以上の次元を持っている図形も存在する。
例えば、3次元立体の1つである直方体は縦、横、高さの3つの長さを持っているので、3次元図形と呼ばれる。
空間に1つの平面をとり、その上に直交する座標軸


O
x

 
,
 
O
y


{\displaystyle O_{x}\ ,\ O_{y}}
をとる。次にOを通りこの平面に垂直な直線


O
z


{\displaystyle O_{z}}
をひき、その直線上で、Oを原点とする座標を考える。
この3直線


O
x

 
,
 
O
y

 
,
 
O
z


{\displaystyle O_{x}\ ,\ O_{y}\ ,\ O_{z}}
は、どの2つも互いに垂直である。これらを座標軸といい、それぞれx軸、y軸、z軸という。
また、x軸とy軸とで定まる平面をxy平面といい、y軸とz軸とで定まる平面をyz平面といい、z軸とx軸とで定まる平面をzx平面といい、これらを座標平面という。
空間内の点Aに対して、Aを通って各座標平面に平行な3つの平面をつくり、それらがx軸、y軸、z軸と交わる点を


A
1

 
,
 
A
2

 
,
 
A
3


{\displaystyle A_{1}\ ,\ A_{2}\ ,\ A_{3}}
とし、


A
1

 
,
 
A
2

 
,
 
A
3


{\displaystyle A_{1}\ ,\ A_{2}\ ,\ A_{3}}
のそれぞれの軸上での座標を


a
1

 
,
 
a
2

 
,
 
a
3


{\displaystyle a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ a_{3}}
とする。
このとき、3つの数の組
を点Aの座標といい、


a
1


{\displaystyle a_{1}}
をx座標といい、


a
2


{\displaystyle a_{2}}
をy座標といい、


a
3


{\displaystyle a_{3}}
をz座標という。
このように座標の定められた空間を座標空間と呼び、点Oを座標空間の原点という。
ここでは、特に3次元空間の図形に注目する。
まずはベクトルを用いる前に3次元空間の空間図形を、数式によって記述する方法を考察する。
2次元空間において、もっとも簡単な図形は直線であり、その式は一般的に
で表わされた。
(

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
,

c

{\displaystyle c}
は任意の定数。)
ここで

x

{\displaystyle x}
,

y

{\displaystyle y}
は、2次元空間を代表する2つのパラメーターであり、3次元空間を用いたときには、これらは3つの文字で表わされることが期待される。
実際このような式で表わされる図形は、3次元空間でも基本的な図形である。つまり、
が、上の式の類似物として得られる。
(

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
,

c

{\displaystyle c}
,

d

{\displaystyle d}
は任意の定数。)
このような図形はどんな図形に対応するだろうか?
実際にはこの図形を特徴づけるのは、後に学ぶ3次元ベクトルを用いるのがもっとも簡単であるので、これは後にまわすことにする。
しかし、ただ1つこの式から分かることは、3次元空間の座標を表わすパラメーター
のうちに1つの関係
を与えることで、3次元空間上の図形を指定できるということである。