
P
 
,
 
Q

{\displaystyle P\ ,\ Q}
 を 

x

{\displaystyle x}
 についての多項式または単項式とする。
次の等式が 

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式となるように、

a
 
,
 
b
 
,
 
c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 の値を求めよ。
等式の右辺を 

x

{\displaystyle x}
 について整理すると
この等式が 

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって
これを解くと
さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。
一般に、等式 A=B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。
(
a
+
b
)
2

−
(
a
−
b
)
2

=
4
a
b

{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab}

が成り立つことを証明せよ。
(証明)
左辺を展開すると、
となり、これは右辺に等しい。よって、等式 

(
a
+
b
)
2

−
(
a
−
b
)
2

=
4
a
b

{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab}
 は証明された。(終)
(
x
+
y
)
2

+
(
x
−
y
)
2

=
2
(
x
2

+
y
2

)

{\displaystyle (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})}

が成り立つことを証明せよ。
左辺を計算すると、
これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。(終)
次の等式が成り立つことを証明せよ。
(I)
(I)
(左辺)

=
(
36
a
2

+
84
a
b
+
49
b
2

)
+
(
49
a
2

−
84
a
b
+
36
a
2

)
=
85
a
2

+
85
b
2


{\displaystyle =(36a^{2}+84ab+49b^{2})+(49a^{2}-84ab+36a^{2})=85a^{2}+85b^{2}}

(右辺)

=
(
81
a
2

+
36
a
b
+
4
b
2

)
+
(
4
a
2

−
36
a
b
+
81
b
2

)
=
85
a
2

+
85
b
2


{\displaystyle =(81a^{2}+36ab+4b^{2})+(4a^{2}-36ab+81b^{2})=85a^{2}+85b^{2}}

両辺とも同じ式になるから

不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。
高校数学では、次の4つの性質が 不等式の「基本性質」などとして紹介されている。
(3)と(4)については、ひとつの性質として まとめている検定教科書もある(※ 啓林館など)。
数学IAで習った「ならば」の意味の記号 

⟹

{\displaystyle \Longrightarrow }
 を使うと、
とも書ける。
上述の4つの基本性質から、
を証明してみよう。
(証明)
まず a>0 なので、基本性質(2)より
である。
よって、
なので、基本性質(1)より

a
+
b
>
0

{\displaystyle a+b>0}

が成り立つ。(終)
同様にして、
を証明できる。
ここまでに示したことから、不等式 

A
≧
B

{\displaystyle A\geqq B}
 を証明したい場合には、
を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。
不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。
実数 a について、かならず
が成り立つ。
この式で等号が成り立つ場合とは、 

a
=
0

{\displaystyle a=0}
 の場合だけである。
この定理(「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」)を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。
(証明)
aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。
[aが正の場合] 
このとき、基本性質(3)より、
である。