
分散の式は、次のように変形できる。
すなわち、公式の形にするならば、次のように書ける。
この式を使って、資料1の分散を求めよう。
x
2


{\displaystyle x^{2}}
の平均は
xの平均の2乗は
よって、分散は
と、前に出した方法と同じ値になる。
変量xについてのデータ


x
1

,
x
2

,
⋯
x
n


{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots x_{n}}
があり、その平均値、分散、標準偏差をそれぞれ


x
 ̄

,
s
x

2

,
s
x


{\displaystyle {\overline {x}},s_{x}^{2},s_{x}}
とする。
定数

a
,
b

{\displaystyle a,b}
を用いて新たな変量yを

y
=
a
x
+
b

{\displaystyle y=ax+b}
で定義する。
このときyのデータはn個の値を持ち、それは


y
1

=
a
x
1

+
b
,
y
2

=
a
x
2

+
b
,
⋯
,
y
n

=
a
x
n

+
b

{\displaystyle y_{1}=ax_{1}+b,y_{2}=ax_{2}+b,\cdots ,y_{n}=ax_{n}+b}
となる。
yのデータの平均値は、
y
k

−
y
=
a
x
k

+
b
−
(
a

x
 ̄

+
b
)
=
a
(
x
k

−

x
 ̄

)

{\displaystyle y_{k}-y=ax_{k}+b-(a{\overline {x}}+b)=a(x_{k}-{\overline {x}})}
を用いると、yのデータの分散は
また、上式よりyの標準偏差は
このように、変量xを定数a,bを用いた一次式によって別の変量yに変換した際、


y
 ̄

,
s
y

2

,
s
y


{\displaystyle {\overline {y}},s_{y}^{2},s_{y}}
を

a
,
b
,

x
 ̄

,
s
x

2

,
s
x


{\displaystyle a,b,{\overline {x}},s_{x}^{2},s_{x}}
のみで表すことができる。このような処理を変量の変換と呼ぶ。
なお、数学Bの「統計的な推測」において、確率変数における変量の変換と期待値の変量変換について取り扱う。
今までは1種類のステータスについてのデータ分析を行ってきた。ここでは2種類のステータスがどのような傾向になっているか見て行くこととしよう。
以下の資料6は資料1に身長の値を加えたものである。
例えば、上の資料6の体重をx(kg)、身長をy(cm)として、点


(
x
,
y
)

{\displaystyle \left(x,y\right)}
を座標平面上にとったとする。
2つの変量からなる資料を平面上に図示したものを散布図(さんぷず)または相関図(そうかんず)という。以下は資料8の相関図である。点の付近にある数字はその数値に該当する人の出席番号を表す。
一般に、散布図において、
2つのデータx , yについて、次のn個の値の組を考える。
xの平均値を


x
 ̄


{\displaystyle {\overline {x}}}
、yの平均値を


y
 ̄


{\displaystyle {\overline {y}}}
とすると
また、xの標準偏差を


S
x


{\displaystyle S_{x}}
、yの標準偏差を


S
y


{\displaystyle S_{y}}
とすると
ここで
の値の符号について考える。(1)をxとyの共分散(きょうぶんさん、英:covariance)という。
共分散が正のときは、

(
x
k

−

x
 ̄

)
(
y
k

−

y
 ̄

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})>0}
となるものが、

(
x
k

−

x
 ̄

)
(
y
k

−

y
 ̄

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})<0}
よりも多いと考えられる。
すなわち
(
x
k

−

x
 ̄

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})>0}
 かつ 

(
y
k

−

y
 ̄

)
>
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})>0}
または
(
x
k

−

x
 ̄

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})<0}
 かつ 

(
y
k

−

y
 ̄

)
<
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})<0}
が多いということになる。
よって、共分散が正のとき、xとyには正の相関関係があるといえる。
共分散が負のときは、

(
x
k

−

x
 ̄

)
(
y
k

−

y
 ̄

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})<0}
となるものが、

(
x
k

−

x
 ̄

)
(
y
k

−

y
 ̄

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})>0}
よりも多いと考えられる。
すなわち
(
x
k

−

x
 ̄

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})>0}
 かつ 

(
y
k

−

y
 ̄

)
<
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})<0}
または
(
x
k

−

x
 ̄

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})<0}
 かつ 

(
y
k

−

y
 ̄

)
>
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})>0}
が多いということになる。
よって、共分散が負のとき、xとyには負の相関関係があるといえる。
共分散の値は、資料x , yの内容によって大きく値が変わるので、x , yの偏差をそれぞれの標準偏差


S
x

,
S
y


{\displaystyle S_{x},S_{y}}
で割った値の積の平均値
を考え、この値を資料x , yの相関係数(そうかんけいすう、英: correlation coefficient)といい、rで表す。
であるから、
xの平均値を


x
 ̄


{\displaystyle {\overline {x}}}
、yの平均値を


y
 ̄


{\displaystyle {\overline {y}}}
とすると、相関係数rは
相関係数rは、一般に

−
1
≤
r
≤
1

{\displaystyle -1\leq r\leq 1}
が成り立つ。
ではこれを用いて資料6の相関関係を見てみよう。
よって相関係数rは


r
=

(
−
0.9
)
×
(
−
2.2
)
+
(
−
3.3
)
×
(
−
9.1
)
+
4.2
×
(
−
0.6
)
+
(
−
5.1
)
×
(
−
3.0
)
+
(
−
7.6
)
×
(
−
7.7
)
+
1.5
×
0.1
+
8.8
×
9.1
+
(
−
5.4
)
×
3.0
+
5.9
×
9.8
+
1.9
×
0.6

{
(
−
0.9
)
2

+
(
−
3.3
)
2

+
(
4.2
)
2

+
(
−
5.1
)
2

+
(
−
7.6
)
2

+
(
1.5
)
2

+
(
8.8
)
2

+
(
−
5.4
)
2

+
(
5.9
)
2

+
(
1.9
)
2

}
×
{
(
−
2.2
)
2

+
(
−
9.1
)
2

+
(
−
0.6
)
2

+
(
−
3.0
)
2

+
(
7.7
)
2

+
(
0.1
)
2

+
(
9.1
)
2

+
(
3.0
)
2

+
(
9.8
)
2

+
(
0.6
)
2

}



{\displaystyle r={\frac {(-0.9)\times (-2.2)+(-3.3)\times (-9.1)+4.2\times (-0.6)+(-5.1)\times (-3.0)+(-7.6)\times (-7.7)+1.5\times 0.1+8.8\times 9.1+(-5.4)\times 3.0+5.9\times 9.8+1.9\times 0.6}{\sqrt {\left\{(-0.9)^{2}+(-3.3)^{2}+(4.2)^{2}+(-5.1)^{2}+(-7.6)^{2}+(1.5)^{2}+(8.8)^{2}+(-5.4)^{2}+(5.9)^{2}+(1.9)^{2}\right\}\times \left\{(-2.2)^{2}+(-9.1)^{2}+(-0.6)^{2}+(-3.0)^{2}+(7.7)^{2}+(0.1)^{2}+(9.1)^{2}+(3.0)^{2}+(9.8)^{2}+(0.6)^{2}\right\}}}}}
=
0.755568
⋯

{\displaystyle =0.755568\cdots }
となり、この10人の身長と体重には正の相関関係があることが分かる。
アンケートなど、資料の数が多い場合には手作業で計算をすると膨大な時間がかかる。そこでコンピュータの表計算ソフト(ここではMicrosoft Excelを例に取る)を用いて統計処理を行ってみよう。
コンピュータにMicrosoft Excelが入っていない場合はフリーソフトのOpenoffice Calcなどで代用できる。自身のOS(Windows,Mac,Linuxなど)に合ったバージョンをダウンロードしないと動かないので注意。
「はじめに」のセクションでも述べた通り、ここから先は学習指導要領外となりますので余力のある方が学習するといいでしょう。
表計算ソフトを起動すると長方形の何も書かれていない枠が無数に並んでいる。この枠それぞれのことをセルと言う。また1,2,3,・・・から右に出るラインそれぞれを行と言い、A,B,C,・・・から下に出るラインそれぞれを列と言う。
セルの個々の呼び方は列番号→行番号のように表す。例えば列番号がC、行番号が3であるセルは「C3のセル」であると言う。
ここでは数値が入力されたセルに対しての計算方法を学ぶ。表計算ソフトによって計算式の種類や入力方法など異なる場合があるので事前に確認しておくこと。ここではよく用いられる演算式を示すが、詳細は表計算ソフトのヘルプ・表計算ソフトについて書かれた書籍を参考にして欲しい。
表計算ソフトでは直接セルに計算式を入力することによって、指定されたセルに対して計算を行い、その実行結果が計算式を入力したセルに反映される。またそのセルを複写すると複写先のセルに応じた計算式となって入力され、その実行結果が表示される。(※詳細は実践編「セルの参照」で)
セルに計算式を入力することによって様々な計算ができる。また、その計算に必要な記号のことを(算術-)演算子と言う。一般にX1のセルとY1のセルに入力されている数値の計算は以下のようになる。
一般に関数とはxの値を決めるとyの値が1つに定まるものであるが、コンピュータ分野においての関数は一般のそれとは異なり用途別に予め用意された計算式のことを表す。この時計算対象のセルを括弧で指定するが、括弧内を引数(ひきすう)と言う。X1のセルに入力された数値の演算の代表的な例を以下に挙げる。関数の計算結果を出力することを値を返すと言い、その値のことを返り値と言う。表計算ソフトには膨大な種類の関数が用意されているが、このページでの紹介は極一部に留める。
今の段階ではあまり気にしなくてもよいが三角関数を用いる場合は弧度法(「弧の長さ

÷

{\displaystyle \div }
半径の長さ」で記述する角の測り方で、単位はラジアン:詳細は数学IIで勉強する)での取扱いになる為、度数法での記述の場合は予め弧度法に直しておかなければならない。(※詳細は実践編「関数の仕様」で)
度数法から弧度法への変換は、


n
∘

=
n
×

π
180


{\displaystyle n^{\circ }=n\times {\frac {\pi }{180}}}
とすればよい。
またX1・X2・X3・・・Xnのセルに対して演算を行う場合は以下のようになる。A1・B1・C1・・・x1のセルに対して演算する場合は以下の(X1:Xn)を(A1:x1)と書き換えればよい。
以下の表は資料2を表計算ソフトに入力したものである。ただし階級は、52.0kg以上55.0kg未満の階級のことを52.0-55.0などと表すことにする。セルに入る文字が長くデフォルトの大きさで収まらない場合、セルの大きさを調節して表を見やすくしてみよう。グラフの作成の仕方を以下に示す。
度数折れ線は左右両端に度数が0である階級があるものとして作図をすると前に述べた。故にこのグラフを表計算ソフトで作成する場合は表2の2行の前の行に階級値が50.5であるもの、8行の後の行に階級値が74.5であるもの(それぞれ度数は0)を事前に挿入しておかなければならない。
以下の表3は表2にいくつかの情報を追加したものである。尚、10行については表を見やすくするために空けてある。表の空欄を埋めながら実習をするとよい。
尚、全ての空欄を埋めた表は以下の通りになる。
以下の表4は資料7を表にしたものである。ここでは今まで学んだことを用いて全ての空欄を埋めて欲しい。13行は表の見やすさのために空けてある。いくつかのセルは結合されているがその手順を以下に示す。以下の例ではA1・A2のセルを結合させる場合を考える。
全ての空欄を埋めた表は以下の通りである。各々作成した表と見比べ確かめてみるとよい。
ここではセルの参照など、実際の表計算で知っていると便利な項目を紹介しています。
関数の中に別の関数を書くこともできますし、関数を項とみなして加減乗除などもできます。
例えば30度の正弦を求めたい場合には

=
S
I
N
(
R
A
D
I
A
N
S
(
30
)
)

{\displaystyle =SIN(RADIANS(30))}
と入力します。

=
R
A
D
I
A
N
S
(
d
e
g
r
e
e
)

{\displaystyle =RADIANS(degree)}
は度数法を弧度法に変換する関数のことです。degreeには求めたい角度を入れます。(この行は数学IIの範囲です)
表計算ソフトには統計に必要な関数が揃っており、以下は前セクションまでに扱った関数です。
今までの関数を利用して資料1の代表値等をまとめてみましょう。

=
M
A
X
(
X
1
:
X
n
)

{\displaystyle =MAX(X1:Xn)}
 は最大値を返す関数、

=
M
I
N
(
X
1
:
X
n
)

{\displaystyle =MIN(X1:Xn)}
は最小値を返す関数です。
前の実習のようにいちいち式を書くのは面倒ですし間違いが起こりやすくなります。ここで活躍するのがセルの参照です。