ここでは、三角比(さんかくひ)と、それを用いた定理を扱う。
∠
C
,
∠

C
′

{\displaystyle \angle \mathrm {C} ,\,\angle \mathrm {C} '}
 が直角で

∠
A
=
∠

A
′


{\displaystyle \angle \mathrm {A} =\angle {\mathrm {A} '}}
 である直角三角形 

△
A
B
C
,
△

A
′

B
′

C
′


{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} ,\,\triangle \mathrm {A'B'C'} }
 について考える。

△
A
B
C
,
△

A
′

B
′

C
′


{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} ,\,\triangle \mathrm {A'B'C'} }
 は2つの角の大きさが等しいので相似である。
このとき、



B
C

A
B

=


B
′

C
′


A
′

B
′



{\displaystyle {\frac {\mathrm {BC} }{\mathrm {AB} }}={\frac {\mathrm {B'C'} }{\mathrm {A'B'} }}}
 である。このことから 対辺/斜辺 は角の大きさのみに依存することが分かる。そこで、

∠
C

{\displaystyle \angle \mathrm {C} }
 が直角である直角三角形 

△
A
B
C

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
 において、

sin
⁡
A
=

B
C

A
B


{\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {BC} }{\mathrm {AB} }}}
 とする。これを正弦(sine)という。
同様に、直角三角形において 底辺/斜辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、

cos
⁡
A
=

A
C

A
B


{\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {AC} }{\mathrm {AB} }}}
 とする。これを余弦(cosine)という。
同様に、直角三角形において 対辺/底辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、

tan
⁡
A
=

B
C

A
C

=

sin
⁡
A

cos
⁡
A


{\displaystyle \tan A={\frac {\mathrm {BC} }{\mathrm {AC} }}={\frac {\sin A}{\cos A}}}
 とする。これを正接(tangent)という。
これら、

sin
,
cos
,
tan

{\displaystyle \sin ,\,\cos ,\,\tan }
 が三角比である。
覚え方としてしばしば以下の説明が用いられる。数学的には無意味だが、これが覚えやすければ用いてもよい。下の図の中で、小文字のsを筆記体でかくときのつづりに対応するものが

sin

{\displaystyle \sin }
であり、筆記体のcに対応するものが

cos

{\displaystyle \cos }
であり、筆記体のtに対応するものが

tan

{\displaystyle \tan }
である。
三角比について次の性質が成り立つ。
90
∘

−
x

{\displaystyle 90^{\circ }-x}
は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
であるため。)このため、


90
∘

−
x

{\displaystyle 90^{\circ }-x}
に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。
ここまでで、


0
∘

<
r
<
90
∘


{\displaystyle 0^{\circ }<r<90^{\circ }}
の条件を満たす角度rに対して、三角比を定義した。しかし、これ以降三角形に関する定理を扱う上では、


90
∘

<
r
<
180
∘


{\displaystyle 90^{\circ }<r<180^{\circ }}
までの範囲で三角比を定義しておくと都合がよい。ここでは、三角比の定義の範囲を拡張する方法を説明する。
座標平面上に半径 

r

{\displaystyle r}
 の円をかく。つぎに、円周上の第一象限に点 


A
(
a
,
b
)

{\displaystyle \mathrm {A} (a,b)}
 をとり、直線 


O
A

{\displaystyle \mathrm {OA} }
 と 

x

{\displaystyle x}
 軸のなす角を 

x

{\displaystyle x}
 とおく。


A

{\displaystyle \mathrm {A} }
 から 

x

{\displaystyle x}
 軸におろした垂直の足を 


B

{\displaystyle \mathrm {B} }
 とすると、三角形 


O
A
B

{\displaystyle \mathrm {OAB} }
 は 

∠
O
B
A

{\displaystyle \angle \mathrm {OBA} }
 を直角とする直角三角形である。このとき、三角比の定義から、

sin
⁡
x
=

b
r


{\displaystyle \sin x={\frac {b}{r}}}
 ,

cos
⁡
x
=

a
r


{\displaystyle \cos x={\frac {a}{r}}}
, 

tan
⁡
x
=

b
a


{\displaystyle \tan x={\frac {b}{a}}}
 と表せる。
x

{\displaystyle x}
 が 


90
∘

<
x
<
180
∘


{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
 のときも、上記の式に従って三角比を定義する。
次に、Aを円に沿って第2象限へ移動させる。先ほどと同様に、x軸の正の向きの半直線とOAによって作られる角をxとする。このとき


90
∘

<
x
<
180
∘


{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
となるため、角x側に直角三角形を作ることはできない。
ところが、


90
∘

<
x
<
180
∘


{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
のときも、先に述べた式の値を考えることはできる。そこで、このときも
ところで、

x
=
90
∘


{\displaystyle x=90^{\circ }}
のとき、Aはy軸上にあるためx=0となる。よって

tan
⁡
x

{\displaystyle \tan x}
は、


b
0


{\displaystyle {\frac {b}{0}}}
となってしまうため定義されない。
以上より、


0
∘

<
x
<
180
∘


{\displaystyle 0^{\circ }<x<180^{\circ }}
を満たす角xの正接、正弦、余弦の値は、単位円上に点A(a,b)をとり、
なお、実際には、この定義は任意の角 


0
∘

≦
r
<
360
∘


{\displaystyle 0^{\circ }\leqq r<360^{\circ }}
に対して適用できるが、このことは高等学校数学IIの学習範囲である。
また、図形的な性質を用いると、


0
∘

<
x
<
90
∘


{\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}
のとき次の性質が成り立つ。
90 



∘


{\displaystyle {}^{\circ }}
 + xという角は、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。
この時、図から90 



∘


{\displaystyle {}^{\circ }}
 + xに対応する正弦は、xに対する余弦の大きさに等しい。90 



∘


{\displaystyle {}^{\circ }}
 + xに対応する余弦は、xに対する正弦の大きさに等しく、符号が負になっている。
180 



∘


{\displaystyle {}^{\circ }}
 - xという角も、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。
この時、対応する正弦が等しく、余弦が大きさが等しく符号が負になっていることがわかる。正接の関係式は、
を用いれば、前の2式から得ることが出来る。この式については後述する。
ここまでで、直角三角形を用いる場合と単位円を用いた場合に、三角比の定義を行った。