
一方以下の関数は2次関数ではない
読者はこれを当然と思うかもしれないが、上の式は
と表記することもできる。しかし、これは 

x

{\displaystyle x}
 二次式ではないので2次関数ではない。
そのために、2次関数の定義において

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
でなければならないというルールを設けたのである。
まず、もっとも簡単な

y
=
a
x
2


{\displaystyle y=ax^{2}}
のグラフは

a
>
0

{\displaystyle a>0}
 のとき図1のようになる。(図では

a
=
1

{\displaystyle a=1}
の場合を表記)。また、

a
<
0

{\displaystyle a<0}
 のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
 のとき2次関数 

y

{\displaystyle y}
 は 下に凸 (したにとつ)といい、

a
<
0

{\displaystyle a<0}
 のとき 上に凸 (うえにとつ)という。また、2次関数のグラフを放物線という。
2つの2次関数
のグラフを書くために値を求めると、下記の表のようになる。
表を見ると、(2) 2x2+4 の値は、つねに (1) 2x2 の値よりも4だけ大きい。
したがって(2) 2x2+4 のグラフは、 (1) 2x2 のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線であり、
の放物線である。

y=2(x-3)2 のグラフは、 2x2 のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であり、
の放物線である。