(ii)では、因数分解が出来ないので、解の公式を用いる。因数分解ができるかどうかは実際に試行錯誤して見分けるしかない。
に、解の公式を用いると、a=5, b= 2, c=-1より、
となる。(iii),(iv)でも、因数分解は出来ないので、解の公式を用いる。答えは、
(iii)
(iv)
(v)
と因数分解できるので、答えは
となる。
全問を通じて、因数分解が可能な方程式に対しても、解の公式を使用しても構わない。
二次方程式

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0(a\neq 0)}
について考える。
解の公式に b= 2b' を代入すると
よって、二次方程式 

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0}
 の解は
となる。
を上の解の公式を用いて解きなさい。
上の解の公式を用いると、a=3, b'= 3, c=-2より、
となる。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解は 

x
=

−
b
±

b
2

−
4
a
c


2
a


{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
 である。
この式の根号の中身だけ取り出したものを判別式と呼び、2次方程式の解の個数を簡単に判別できる。
D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
の値によって次のようになる。
(1) 

D
>
0

{\displaystyle D>0}
のとき、異なる2つの解 

x
=

−
b
+

b
2

−
4
a
c


2
a


{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
と

x
=

−
b
−

b
2

−
4
a
c


2
a


{\displaystyle x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
を持つ。
(2) 

D
=
0

{\displaystyle D=0}
のとき、

±

b
2

−
4
a
c

=
±
0

{\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}=\pm 0}
 であるので、2つの解は一致して、ただ1つの解

x
=
−

b
2
a


{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
を持つ。これは2つの解が重なったものと考えて、重解という。
(3) 

D
<
0

{\displaystyle D<0}
のとき、実数の範囲では解はない。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解の個数は

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
の値で判定できる。
2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解は 

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
とするとき
次の2次方程式の解の個数を求めよ。