

度数分布表で表された、ある変量

X

{\displaystyle X}
についてのデータがある。このとき、

X

{\displaystyle X}
が階級値をとる確率はその階級の相対度数であると考えて良い。つまり、

X

{\displaystyle X}
は階級値の値をとる確率変数であり、その分布は相対度数の分布と一致する。この確率分布を図示するには、各階級の上の長方形の面積がその階級の相対度数を表すようなヒストグラムを書けば良い。
データの大きさを増し、階級の幅も狭くしていくと、ヒストグラムの形は一つの曲線に近づいていく。そこで、連続的な値をとる確率変数

X

{\displaystyle X}
に対し、

a
≤
X
≤
b

{\displaystyle a\leq X\leq b}
となる確率が

y

{\displaystyle y}
ー

x

{\displaystyle x}
グラフ上の曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
と直線

x
=
a
,
x
=
b

{\displaystyle x=a,x=b}
と

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた領域の面積で表されるように一つの曲線を対応させる。このような曲線を

X

{\displaystyle X}
の分布曲線という。
連続的な値をとる確率変数を連続型確率変数といい、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
を確率密度関数と呼ぶ。なお、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の定義域は実数全体のことも、その一部分のこともある。今まで扱ってきたような、飛び飛びの値をとる確率変数は離散型確率変数と呼ぶ。
以下、特に断りがない場合、確率変数は連続型であるとする。
確率変数

X

{\displaystyle X}
のとる値の範囲が

α
≤
X
≤
β

{\displaystyle \alpha \leq X\leq \beta }
でその確率密度関数が

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
であるとき、期待値・分散・標準偏差は定積分を用いて以下のように定義される。
E
(
X
)
=
m
=
∫
α

β

x
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle E(X)=m=\int _{\alpha }^{\beta }xf(x)\,dx}
V
(
X
)
=
∫
α

β

(
x
−
m
)
2

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle V(X)=\int _{\alpha }^{\beta }(x-m)^{2}f(x)\,dx}
σ
(
X
)
=

V
(
X
)


{\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {V(X)}}}
これは

α
=
−
∞
,
β
=
∞

{\displaystyle \alpha =-\infty ,\beta =\infty }
の場合も含む。
離散型確率変数の期待値・分散の公式と比べると、


∑
k
=
1

n


{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}}
を


∫
α

β


{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }}
に、


x
k


{\displaystyle x_{k}}
を

x

{\displaystyle x}
に、


p
k


{\displaystyle p_{k}}
を

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に置き換えただけで同じ形をしていることがわかる。
確率密度関数のグラフを直線

x
=
u

{\displaystyle x=u}
で区切った左側の面積を

F
(
u
)

{\displaystyle F(u)}
と置くと、

F
(
u
)

{\displaystyle F(u)}
は

x

{\displaystyle x}
が

u

{\displaystyle u}
以下の値を取る確率(累積確率)に一致する。このとき、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
を累積分布関数と呼ぶ。その定義より、累積分布関数と確率密度関数の間には

F
(
x
)
=
∫
−
∞

x

f
(
t
)
d
t
⟺
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)

{\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt\iff f(x)=F'(x)}
という関係がある。つまり、確率密度関数の

x
=
u

{\displaystyle x=u}
における値

f
(
u
)

{\displaystyle f(u)}
は累積分布関数

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
の

x
=
u

{\displaystyle x=u}
における微分係数である。
確率変数

X

{\displaystyle X}
が実数

m

{\displaystyle m}
と正の実数

σ

{\displaystyle \sigma }
を用いて表される関数

f
(
x
)
=

1

2
π

σ


e
−

(
x
−
m
)
2


2
σ
2




{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
を確率密度関数に持つとき、この

X

{\displaystyle X}
の分布を正規分布またはガウス分布と呼び、

N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle N(m,\sigma ^{2})}
のように表す。また、曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
を正規分布曲線と呼ぶ。ここでは、確率変数

X

{\displaystyle X}
が正規分布

N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle N(m,\sigma ^{2})}
に従うことを

X
∼
N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle X\sim N(m,\sigma ^{2})}
と表すこととする。
X
∼
N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle X\sim N(m,\sigma ^{2})}
のとき、

m
=
E
(
X
)
,
σ
=
σ
(
X
)

{\displaystyle m=E(X),\sigma =\sigma (X)}
が成り立つ。証明は数IIIレベルの積分の知識が必要なため省略する。なお、

e
=
2.71828
⋯

{\displaystyle e=2.71828\cdots }
は「ネイピア数」と呼ばれる無理数である。詳しくは数学IIIの微分で扱う。