この場合、2 を log2 8 = 3 乗すると、8が得られるという関係になっている。
log
a

⁡
x

{\displaystyle \log _{a}x}
 について 以下の式が成り立つ。
対数関数を、実数xに対し
を対応させる関数として定義する。
この関数の定義域(ていぎいき)は、x > 0 に限られる。これは、仮に
とすると、
となるが、 a が正の数であることからlがどのような値であろうと左辺は常に正であるから、xも正でなければならないからである。
グラフの概形を右に示す。図を見ると、この関数は非常にゆっくりと増大する関数であることが分かる。
更に、グラフの特徴として、
から、対数関数のグラフは、点 (1, 0) および 点 (a , 1) の2点を必ず通過することが分かる。
右図のように、対数関数のグラフは、対応する指数関数のグラフと y=x に関して対称である。
一般に 

y
=
log
a

⁡
x

{\displaystyle y=\log _{a}x}
 のグラフは  

y
=
a
x


{\displaystyle y=a^{x}}
 のグラフと直線  y=x に関して対称である。
指数法則と対数の定義とを組み合わせることにより、次の公式が導かれる。
(1. の証明)
log
a

⁡
M
=
p

{\displaystyle \log _{a}M=p}
 , 


log
a

⁡
N
=
q

{\displaystyle \log _{a}N=q}
  とおくと、 

M
=
a
p


{\displaystyle M=a^{p}}
 , 

N
=
a
q


{\displaystyle N=a^{q}}
  であるから
よって   


log
a

⁡
M
N
=
p
+
q
=
log
a

⁡
M
+
log
a

⁡
N

{\displaystyle \log _{a}MN=p+q=\log _{a}M+\log _{a}N}
(2. 以降の証明)
※ (1.)の証明法と同様に右辺を指数に置きかえて計算したあとに再び対数に変形することで証明できる。(証明は省略)
上記の公式の特別な場合として、次の公式が成り立つ。
次の公式が成り立つ。
10を底とする対数を常用対数(じょうよう たいすう)という。1.00から9.99までの値に対する常用対数の値は常用対数表に示してある。また、近年ではコンピュータや関数電卓を用いて、対応する対数の値を知ることもできる。ただし、これらの値は計算上の制約を受けるため、盲目的にその値が正しいと考えてはならない。コンピュータ内の計算については、高等学校情報などを参照。
235の桁数を常用対数を使って考えよう。
が成り立つ。各辺の常用対数をとると
すなわち
逆に、235が 

2
<
log
10

⁡
235
<
3

{\displaystyle 2<\log _{10}235<3}
 を満たすならば、上の計算を逆にたどって
よって、235は3桁の整数である。桁数が不明な大きな数に対して同様に常用対数をとることによって、おおよその大きさを知ることができる。
1 


log
10

⁡
x

{\displaystyle \log _{10}x}
が実数とする。
上の式を満たすxが無限にあることを示せ
2 

x
≦
a
≦
b

{\displaystyle x\leqq a\leqq b}

とする。このとき

R

{\displaystyle R}
を実数全体の集合とする。

a
,
b
,
x
∈
R

{\displaystyle a,b,x\in R}
のとき


log
x

⁡
a
=
b

{\displaystyle \log _{x}a=b}
を満たすa,b,xが少なくとも1つはあることを示せ。
3 


log
a

⁡
1
+
x

{\displaystyle \log _{a}{1+x}}
のグラフを書け。
log
10

⁡
x
=
q

{\displaystyle \log _{10}x=q}
と置く。
対数関数の定義より、


10
q

=
x

{\displaystyle 10^{q}=x}
と書けるつまりxは
x=100,10000,1000000•••のようになる。
(qが自然数であるとき)
つまりxを無限に近づけることで命題は示された。
たとえば、星の等級(一等星や六等星など)は、指数で明るさの等級が決められており、
等級が1下がるごとに明るさが
倍となるように定められている。