たとえば、おはじきを一列に並べる場合、並べ方の数には、いくつもの方法がある。じっさいに全ての並び方を試すことも、時間さえあれば実験可能である。
このように、「全部で何通りがあるか」という、その「何通り」の「何」にあたる数字を、場合の数(ばあいのかず) と呼ぶ。
このように事柄には、それらのやり方が全部で何通りあるかを数えることが出来る事柄がある。
ある事柄について(そのことが起こりうる)場合の数を正確に数えることが理解の基礎であり、その事柄について、どのことが起こりやすくどのことが起こりづらいかを見分けるための基礎となる。
つまり、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。
例えば、ポーカーなどのカードゲームでは集めることが難しい役は高いランクが与えられているが、
これは起こりにくい役が出来るトランプの組み合わせの現われる確率が小さいことによる。
このことは、52枚のカードから5枚を引いて来たときに全てのカードを引く確率が同じであるとしたとき、ある役に対応するカードの組み合わせを引く場合の数がより少ないことに対応する。
このように、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。
カードゲームのように確率が具体的に計算できる場合の他にも、確率の考え方を用いて計算される事柄は多くある。
たとえば、保険(ほけん)と呼ばれるものはある事柄に値段をつけるものであるが、
保険を下ろさなくてはならない事柄が起こりにくいと客観的に思われるものほど、そのものの値段が下がるという特徴がある。
例えば、自動車保険に加入するのに必要な代金は若者では高く、年令を重ねるごとに低くなっていく。
これは、若者は自動車の免許を取得して時間が短い場合が多く、保険金の支払を必要とする自動車事故をおこす可能性が高いことによる。
いっぽう、年令を重ねたものについては運転の技量が時とともに上達すると一般に考えられるので保険をかけるための代金は少なくなるのである。
また、同じ若者でも既に何度か事故を重ねたものは同じ年代の他の若者よりも保険料が高くなる傾向がある。
これは、何度か事故を重ねたものは運転の仕方に何らかの問題がある傾向があり、それによってふたたび事故をおこす可能性が通常のものと比べてより高いと考えられることによる。
銀行の融資(ゆうし)でもやはり確率の考えを用いて高い利益を出すことが実践されている。
融資でもやはり保険業とおなじく、より貸倒れになる可能性が高い相手に対しては高い金利で資金を貸し付け、
より安定した資金を持っている相手に対してはより低い金利で資金を貸し付けることを実行して来た。
利益を安定的に稼ぐ方法として、いくつかの会社が発行する互いに性質の異なった株などを合わせて購入先を分散することで株の値段が下がったときでも値段があまり減ることが無いようにする方法が考案されている。
(ただし、値段が減りづらいのと同様に、値段は上がりづらい。)
これは、性質の異なった商品を合わせて扱うことで、値段が急変する確率を下げることが出来ることを表わしている。
しかし、確率では、必ずしも予測した通りに事が進むわけでは無いことに注意する必要がある。
この章では場合の数と確率の計算法を紹介する。まず先に様々な事柄の場合の数の計算法を扱い、その結果を用いてある事柄が起こる確率を計算する方法を紹介する。
ここでは、有限集合 A の要素の個数を n(A) で表す。
たとえば、10以下の自然数の集合を U として、そのうち 偶数の集合を A とする場合、
なので、Aの要素の個数は5個なので
である。
なお、
U={1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10}
で要素の個数は10個なので
である。
次のような問題を考えてみよう。
100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか?
このような問題の解法を考えるため、準備の問題として、まず10までの自然数で考えてみよう。
先程の例題で2の倍数については考えたので、次の問題として10までの3の倍数の個数について考えよう。
10以下の自然数の集合を U として、そのうち 3の倍数の集合を B とする場合、
B={3, 6 , 9}
なので、Bの要素の個数は3個なので
である。
さて、
には共通して 6 という要素が含まれている。
自然数10までにある2または3の倍数にあたる要素は、
であり、要素の個数をかぞえると 7個である。