
数列 

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、初項から第 

n

{\displaystyle n}
 項までの和を第 

n

{\displaystyle n}
 部分和(ぶぶんわ)という。

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 から作られる級数の第 

n

{\displaystyle n}
 部分和 (つまり、

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
の初項から第n項までの和)を 


S
n


{\displaystyle S_{n}}
 と表すことにし、この級数

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 の極限値が 

S

{\displaystyle S}
 であるとき、


S
n


{\displaystyle S_{n}}
 は 

S

{\displaystyle S}
 に収束するといい、

S

{\displaystyle S}
 を級数の和という。このことを次のように表す。
または
または
2番目の表記はシグマ記号を使わない分直感には訴えやすい面もあるが、注意深く表記しないと「...」の指すものがはっきりしないため、あまり好ましくない。
数列 

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 が発散するときこの級数は発散するという。
つぎの級数の収束・発散について調べ、和が存在するならば求めよ。
数列 

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 から作られる級数 


S
n


{\displaystyle S_{n}}
 が収束する必要条件は、
である。
α
≠
0

{\displaystyle \alpha \neq 0}
 とし、


lim
n
→
∞

a
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha }
とする。

n
>
1

{\displaystyle n>1}
 のとき、
となるので、
しかし、


lim
n
→
∞

S
n

=
lim
n
→
∞

S
n
−
1

=
S

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=S}
 であるから、これは矛盾。したがって、

α
=
0

{\displaystyle \alpha =0}
 でなくてはならない。■
逆に、


lim
n
→
∞

a
n

=
0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
 であっても、


∑
n

∞

a
n


{\displaystyle \sum _{n}^{\infty }a_{n}}
 が収束するとは限らない。
初項が 

a

{\displaystyle a}
 で公比が 

r

{\displaystyle r}
 の数列から作られる級数を無限等比級数 または単に等比級数(とうひ きゅうすう) という。
等比級数の収束・発散について考えてみよう。この等比級数の第 

n

{\displaystyle n}
 部分和は、
となる。
すべての

n

{\displaystyle n}
 で


a
n

=
0

{\displaystyle a_{n}=0}
となるから、
|
r
|
<
1

{\displaystyle |r|<1}
 とすると、
であるから、
r
>
1

{\displaystyle r>1}
 または 

r
≤
−
1

{\displaystyle r\leq -1}
 のときは、

{
a
r
n
−
1

}

{\displaystyle \{ar^{n-1}\}}
 は発散するから、

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 は発散する。また、

r
=
1

{\displaystyle r=1}
のときは、
であるから、先の定理より 

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 は発散する。
このことは次のようにまとめられる。
a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
 のとき、初項 

a

{\displaystyle a}
, 公比 

r

{\displaystyle r}
 の等比級数は
次の等比級数の収束・発散について調べ、収束するものについてはその和を求めよ。
y
=

1
x

 
,
 
y
=

2
x
−
1

x
−
1


{\displaystyle y={\frac {1}{x}}\ ,\ y={\frac {2x-1}{x-1}}}
のように、xの分数式で表される関数をxの分数関数という。
y
=

k
x


{\displaystyle y={\frac {k}{x}}}
のグラフは双曲線(そうきょくせん)で、原点に関して対称である。双曲線

y
=

k
x


{\displaystyle y={\frac {k}{x}}}
の漸近線は、x軸とy軸である。
関数

y
=

k
x
−
p

+
q

{\displaystyle y={\frac {k}{x-p}}+q}
のグラフは、関数

y
=

k
x


{\displaystyle y={\frac {k}{x}}}
のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したもので、漸近線は2直線

x
=
p
 
,
 
y
=
q

{\displaystyle x=p\ ,\ y=q}
である。
分数関数

y
=

2
x
+
3

x
+
1


{\displaystyle y={\frac {2x+3}{x+1}}}
のグラフの漸近線の方程式を求めよ。
ゆえに、この関数のグラフは、双曲線

y
=

1
x


{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
をx軸方向に-1、y軸方向に2だけ平行移動したものである。
漸近線の方程式は

x
=
−
1
 
,
 
y
=
2

{\displaystyle x=-1\ ,\ y=2}
である。
x

 
,
 

3
x
−
8

3


{\displaystyle {\sqrt {x}}\ ,\ {\sqrt[{3}]{3x-8}}}
のように、根号の中に文字を含む式を無理式(むりしき)といい、変数xの無理式で表される関数をxの無理関数(むりかんすう)という。
y
=

x


{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
のグラフについて考える。
y
=

x


{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
の定義域は

x
≥
0

{\displaystyle x\geq 0}
、値域は

y
≥
0

{\displaystyle y\geq 0}
である。
y
=

x


{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
の両辺を2乗すると、


y
2

=
x

{\displaystyle y^{2}=x}
、すなわち
x
=
y
2


{\displaystyle x=y^{2}}
のグラフは原点を頂点とし、x軸を対称軸とする放物線である。
y
=

x


{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
では

y
≥
0

{\displaystyle y\geq 0}
であるから、

y
=

x


{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
のグラフは

x
=
y
2


{\displaystyle x=y^{2}}
のグラフの上半分である。
無理関数

y
=

a
x
+
b


{\displaystyle y={\sqrt {ax+b}}}
について、
であるから、無理関数

y
=

a
x
+
b


{\displaystyle y={\sqrt {ax+b}}}
のグラフは、

y
=

a
x


{\displaystyle y={\sqrt {ax}}}
のグラフをx軸方向に

−

b
a


{\displaystyle -{\frac {b}{a}}}
だけ平行移動したものである。
無理関数

y
=

−
2
x
−
6


{\displaystyle y={\sqrt {-2x-6}}}
のグラフは

y
=

−
2
x


{\displaystyle y={\sqrt {-2x}}}
のグラフをどのように平行移動したものか。
ゆえに、この関数のグラフは、

y
=

−
2
x


{\displaystyle y={\sqrt {-2x}}}
をx軸方向に-3だけ平行移動したものである。
なお、分母がn次式である分数関数をn次分数関数、根号の中がn次式である無理関数をn次無理関数と呼ぶ場合がある。また、高校で扱う整関数・三角関数・指数関数・対数関数・分数関数・無理関数及びそれらの逆関数を総称して初等関数と呼ぶ。
二つの関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 と 

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 が与えられたとき、 

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}
 という新しい関数を考えることができる。たとえば 

f
(
x
)
=
x
2

+
x
+
2

{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}
, 

g
(
x
)
=
x
+
1

{\displaystyle g(x)=x+1}
 とすると、
一般に二つの関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
, 

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 が与えられたとき、関数 

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}
 や 

g
(
f
(
x
)
)

{\displaystyle g(f(x))}
 を 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 と 

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 の合成関数(ごうせい かんすう)という。合成関数 

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}
 を 

(
f
∘
g
)
(
x
)

{\displaystyle (f\circ g)(x)}
 とかくことがある。
また、

(
f
∘
f
)
(
x
)
=
f
2

(
x
)

{\displaystyle (f\circ f)(x)=f^{2}(x)}
、

(
f
2

∘
f
)
(
x
)
=
f
3

(
x
)

{\displaystyle (f^{2}\circ f)(x)=f^{3}(x)}
のように、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
同士を

n

{\displaystyle n}
回合成した関数を


f
n

(
x
)

{\displaystyle f^{n}(x)}
と表すことがある。ただし、三角関数(と双曲線関数)に限って


f
n

(
x
)

{\displaystyle f^{n}(x)}
は

(
f
(
x
)
)
n


{\displaystyle (f(x))^{n}}
を意味するので注意。また、多階微分の記法


f
(
n
)

(
x
)

{\displaystyle f^{(n)}(x)}
とも混同しないよう注意が必要である。
f
(
x
)
=
x
2

−
1

{\displaystyle f(x)=x^{2}-1}
, 

g
(
x
)
=

x
x
+
1


{\displaystyle g(x)={\frac {x}{x+1}}}
 のとき、合成関数 

(
f
∘
g
)
(
x
)

{\displaystyle (f\circ g)(x)}
 と 

(
g
∘
f
)
(
x
)

{\displaystyle (g\circ f)(x)}
 を求めよ。
この例題のように、一般に 

(
f
∘
g
)
(
x
)

{\displaystyle (f\circ g)(x)}
 と 

(
g
∘
f
)
(
x
)

{\displaystyle (g\circ f)(x)}
 は等しくない。
関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 と関数 

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 が与えられて、
をすべての定義域内の 

x

{\displaystyle x}
 で満たすとき、

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 を 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の逆関数(ぎゃくかんすう)といい、
と表す。
f
(
x
)
=
x
n

(
x
≥
0
)

{\displaystyle f(x)=x^{n}(x\geq 0)}
 の逆関数 


f
−
1

(
x
)

{\displaystyle f^{-1}(x)}
 を求めよ。
y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 とおいて 

x

{\displaystyle x}
 について解くと、
となる。したがって、


f
−
1

(
x
)
=

x
n


{\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}}
。
この例題のように、ある関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の逆関数 


f
−
1

(
x
)

{\displaystyle f^{-1}(x)}
 を求めるには 

x

{\displaystyle x}
 について解いて 

x

{\displaystyle x}
 と 

y

{\displaystyle y}
 を入れ替えればよい。
関数の記号として数学では、よく 

f

{\displaystyle f}
を使うが、これは関数が英語で function (ファンクション)ということに由来している。
中国語で function を音訳すると「函数」になるので、日本でも第二次世界大戦が終わるまでは「函数」の字を使っていた。
しかし、戦後の漢字改革により、「函」の字が当用漢字でなくなった事により、「関」は発音が同じことと、「関係している」の意味も兼ねて、functionの日本語訳として 「関数」 と書かれるようになった。(※ ここまで、実教出版の検定教科書に記述あり)
なお、「函」の意味は「箱」である。日本語でも、よく「郵便ポストにハガキを投函(とうかん)する」などと言うが、その「投函」の「函」の字と同じである。このことから、関数の概念を教わる際に「ブラックボックス」を用いて説明される場合がある。
(※ 範囲外)
次に逆関数が存在する条件について考えてみよう。逆関数も関数であるから(逆関数の)定義域に含まれるすべての 

x

{\displaystyle x}
 で 


f
−
1

(
x
)

{\displaystyle f^{-1}(x)}
 が一意に定まらなくてはならない。すなわち、 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 において、定義域の 

x

{\displaystyle x}
 と値域の 

y

{\displaystyle y}
 のどちらかを定めるともう片方が一意に定まるような関数でなくてはならない。このことを関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が全単射(ぜんたんしゃ)である、または一対一 対応(いったいいち たいおう)であるという。関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が全単射であることは 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 に逆関数が存在することの必要十分条件である。
詳しくは大学で写像の概念と共に学ぶ。
(ここまで、範囲外)
ある関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 において、

x

{\displaystyle x}
 が定数 


a
1


{\displaystyle a_{1}}
 より小さい値をとりながら 


a
1


{\displaystyle a_{1}}
 に限りなく近づくときの関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の値が一定の値 


b
1


{\displaystyle b_{1}}
 に限りなく近づくとき、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の左極限値(左側極限)は 


b
1


{\displaystyle b_{1}}
 であるといい、
と表す。同様に 

x

{\displaystyle x}
 が定数 


a
2


{\displaystyle a_{2}}
 より大きい値をとりながら 


a
2


{\displaystyle a_{2}}
 に限りなく近づくときの関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の値が一定の値 


b
2


{\displaystyle b_{2}}
 に限りなく近づくとき、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の右極限値(右側極限)は 


b
2


{\displaystyle b_{2}}
 であるといい、
と表す。
右側極限と左側極限を合わせて片側極限と呼ぶ。
ここで、
かつ
であるとき、すなわち

a

{\displaystyle a}
 における左極限値と右極限値が等しいとき 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は 

b

{\displaystyle b}
 に収束するといい、

b

{\displaystyle b}
 をそのときの

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の極限値という。