
同様に、線分AB'上の点はある定数


t

{\displaystyle t}
を用いて、
で表される。
ここに先ほど得た値を代入すると、
となる。
このようにそれぞれの直線上の点が

s

{\displaystyle s}
,

t

{\displaystyle t}
を
用いて表された。
次に、これらの式が同じ点を示すように


s

{\displaystyle s}
,

t

{\displaystyle t}
を定める。
そのためには、
,
を等しいとおいて、


s

{\displaystyle s}
,

t

{\displaystyle t}
に関する連立方程式を作り、それを解けばよい。
上の式で
の係数を等しいとおくと、
が得られ、
の係数を等しいとおくと、
が得られる。
この式を連立して解くと、
,
が得られる。
この式を
,
のどちらかに代入すると、求める位置ベクトルが得られるのである。
代入すると、求めるベクトルは、
となる。
点 


A
(

a
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})}
 を通り、ベクトル 



d
→


(
≠

0
→

)

{\displaystyle {\vec {d}}\,(\neq {\vec {0}})}
 に平行な直線を 

g

{\displaystyle g}
 とする。

g

{\displaystyle g}
 上の点を 


P
(

p
→

)

{\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {p}})}
 とすると、



A
P
→

=

0
→


{\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}={\vec {0}}}
または



A
P
→

∥

d
→


{\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}\parallel {\vec {d}}}
 だから
となる実数 

t

{\displaystyle t}
 がある。
すなわち、
よって、
これを、直線 

g

{\displaystyle g}
 のベクトル方程式(vector equation)といい、 



d
→


{\displaystyle {\vec {d}}}
 を 

g

{\displaystyle g}
 の方向ベクトルという。また、

t

{\displaystyle t}
 を媒介変数という。
点Aの座標を

(
x
1

 
,
 
y
1

)

{\displaystyle (x_{1}\ ,\ y_{1})}
、



d
→

=
(
a
 
,
 
b
)

{\displaystyle {\vec {d}}=(a\ ,\ b)}
、点Pの座標を

(
x
 
,
 
y
)

{\displaystyle (x\ ,\ y)}
とおくと、ベクトル方程式 



p
→

=

a
→

+
t

d
→


{\displaystyle {\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}}
 は
となる。したがって
{

x
=
x
1

+
a
t


y
=
y
1

+
b
t




{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\end{cases}}}
これを直線 

g

{\displaystyle g}
 の媒介変数表示という。

演習問題
点A

(
1
 
,
 
2
)

{\displaystyle (1\ ,\ 2)}
を通り、



d
→

=
(
3
 
,
 
5
)

{\displaystyle {\vec {d}}=(3\ ,\ 5)}
に平行な直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。
また、tを消去した式で表せ。
この直線のベクトル方程式は
したがって
tを消去すると、次のようになる。
2点 


A
(

a
→

)
,

B
(

b
→

)

{\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})}
 を通る直線のベクトル方程式を考える。
直線ABは、点Aを通り、



A
B
→

=

b
→

−

a
→


{\displaystyle {\vec {AB}}={\vec {b}}-{\vec {a}}}
を方向ベクトルとする直線と考えられるから、そのベクトル方程式は
となる。