
n

{\displaystyle n}
 を自然数とする。関数 

f
(
x
)
=
x
n


{\displaystyle f(x)=x^{n}}
 の導関数は二項定理を応用し
と求められる
関数 

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
 に対し次が成り立つ。
証明
演習問題
次の関数を微分せよ
1. 

f
(
x
)
=
2
x
3

+
4
x
2

−
5
x
−
1

{\displaystyle f(x)=2x^{3}+4x^{2}-5x-1}
2. 

f
(
x
)
=
(
2
x
+
3
)
(
3
x
−
5
)

{\displaystyle f(x)=(2x+3)(3x-5)}
解答
1.
2. 

f
(
x
)
=
6
x
2

−
x
−
15

{\displaystyle f(x)=6x^{2}-x-15}
 であるから
曲線 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 上の点 

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 における接線の方程式を求める。この接線の傾きは 


f
′
(
t
)

{\displaystyle f'(t)}
であり、点 

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 を通るので、方程式は 

y
=
f
′
(
t
)
(
x
−
t
)
+
f
(
t
)

{\displaystyle y=f'(t)(x-t)+f(t)}
 で与えられる。実際、

x
=
t

{\displaystyle x=t}
 とすると 

y
=
f
(
t
)

{\displaystyle y=f(t)}
 となるのでこの方程式は点 

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 を通ることがわかり、 

x

{\displaystyle x}
 の係数は 


f
′
(
t
)

{\displaystyle f'(t)}
 なので傾きは 


f
′
(
t
)

{\displaystyle f'(t)}
 である。
曲線 

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 上の点 

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 における法線の方程式は、

y
=
−

1

f
′
(
t
)

(
x
−
t
)
+
f
(
t
)

{\displaystyle y=-{\frac {1}{f'(t)}}(x-t)+f(t)}
 で与えられる。
f'(x)は、fの傾きを表わすので、 


f
′
(
x
)
>
0

{\displaystyle f'(x)>0}
 の点では、fは増大し、 


f
′
(
x
)
<
0

{\displaystyle f'(x)<0}
 の点では、fは減少することがわかる。
これをもとに関数の概形を描くことができる。
例
y
=
x
3


{\displaystyle y=x^{3}}
 の増減を調べる
両辺をxで微分すると
f
(
x
)
=
x
3

−
3
x

{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x}
を微分すると
増減表は次のようになる。
この関数のグラフは、

x
=
−
1

{\displaystyle x=-1}
を境にして増加から減少の状態に変わり、

x
=
1

{\displaystyle x=1}
を境にして減少から増加の状態に変わる。
このとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

x
=
−
1

{\displaystyle x=-1}
において極大(きょくだい)になるといい、そのときの

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値

f
(
−
1
)
=
2

{\displaystyle f(-1)=2}
を極大値(きょくだいち)という。また、

x
=
1

{\displaystyle x=1}
において極小(きょくしょう)になるといい、そのときの

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値

f
(
1
)
=
−
2

{\displaystyle f(1)=-2}
を極小値(きょくしょうち)という。極大値と極小値を合わせて極値(きょくち)という。
不定積分(indefinite integral)とは、微分したらその関数になる関数を求める操作である。
つまり、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に対して、


F
′
(
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle F'(x)=f(x)}
となる、関数

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
を求める操作である。
このとき

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
を、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数(primitive function)と呼ぶ。
例えば、


1
2

x
2


{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}
は微分すると、

x

{\displaystyle x}
になるので、


1
2

x
2


{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}
は

x

{\displaystyle x}
の原始関数である。
しかし、


1
2

x
2

+
1

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+1}
や、


1
2

x
2

+
3

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+3}
なども微分すると

x

{\displaystyle x}
になるので、


1
2

x
2

+
1

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+1}
や、


1
2

x
2

+
3

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+3}
も

x

{\displaystyle x}
の原始関数である。
一般に、


1
2

x
2

+
C

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+C}
(Cは任意の定数)で表される関数は、

x

{\displaystyle x}
の原始関数である。
x

{\displaystyle x}
の原始関数は一つだけではなく、無数にあるのだ。
一般に、関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数の一つを 

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 とするとき、原始関数に任意の定数を足した関数 

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 も 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数になる。
なぜなら、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
が

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数である、つまり、


F
′
(
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle F'(x)=f(x)}
のとき、


(
F
(
x
)
+
C
)
′
=
F
′
(
x
)
+

(
C
)
′
=
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle {(F(x)+C)}'=F'(x)+{(C)}'=F'(x)=f(x)}
となるからだ。
また、関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数の一つが 

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 であるとき、すべての関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数は 

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 の形に書ける。
F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 の形に書けない関数 

G
(
x
)

{\displaystyle G(x)}
が関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数であると仮定する。このとき、

h
(
x
)
=
F
(
x
)
−
G
(
x
)

{\displaystyle h(x)=F(x)-G(x)}
とすると、関数 

h
(
x
)

{\displaystyle h(x)}
 は定数ではない。
このとき、 


h
′
(
x
)
=
{
F
(
x
)
−
G
(
x
)
}
′
=
F
′
(
x
)
−
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
)
=
0

{\displaystyle h'(x)=\{F(x)-G(x)\}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0}
 であるはずだが、関数 

h
(
x
)

{\displaystyle h(x)}
 は定数ではないので 


h
′
(
x
)
=
0

{\displaystyle h'(x)=0}
 とならない。これは矛盾なので、すべての関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数は 

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
の形に書けることが証明できる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の全体を、

∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)dx}
 と表す。この表記法は最初は奇妙に思うだろうが、このように表記する理由は後に説明するので、今は、そのまま覚えて欲しい。
まとめると、関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数の全体

∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)dx}
は、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つを 

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 として、その関数に任意の定数を足した関数

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
で表される。つまり、
C

{\displaystyle C}
は任意の定数としたが、この任意の定数 

C

{\displaystyle C}
 を積分定数(constant of integration)と呼ぶ。
※注意 

∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)dx}
は定義にもあるように、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の全体を表している。つまり、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つを

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
とするとき、

∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C

{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
の右辺

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
は、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
に定数を足した関数の全体を表している。つまり、

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
は、

F
(
x
)
+
1

{\displaystyle F(x)+1}
や、

F
(
x
)
−
23

{\displaystyle F(x)-23}
や、

F
(
x
)
−
5
π

{\displaystyle F(x)-5\pi }
などの、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
に定数を足した関数すべてをまとめて

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
と表している。このことがあやふやになっていると、重大な間違いを起こす可能性があるので、注意が必要である。
関数 

f
(
x
)
=
x
n


{\displaystyle f(x)=x^{n}}
 (ただし 

n

{\displaystyle n}
 は自然数)の不定積分を求めてみる。やや天下り的だが、

F
(
x
)
=

1
n
+
1


x
n
+
1

+
C

{\displaystyle F(x)={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
 (

C

{\displaystyle C}
 は任意の定数)とおくと、 


F
′
(
x
)
=
x
n


{\displaystyle F'(x)=x^{n}}
 となるので、 


1
n
+
1


x
n
+
1

+
C

{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
 は原始関数であることがわかる。
したがって 

∫
x
n

d
x
=

1
n
+
1


x
n
+
1

+
C

{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
関数 

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
 の原始関数をそれぞれ、 

F
(
x
)
,
G
(
x
)

{\displaystyle F(x),G(x)}
 とする。

a

{\displaystyle a}
 を任意の実数定数とすると
{
F
(
x
)
+
G
(
x
)
}
′
=
F
′
(
x
)
+
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)

{\displaystyle \{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)}
{
a
F
(
x
)
}
′
=
a
F
′
(
x
)
=
a
f
(
x
)

{\displaystyle \{aF(x)\}'=aF'(x)=af(x)}
となるので、
∫
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx}
が成り立つことが分かる。
演習問題
不定積分 

∫
(
x
8

+
2
x
2

−
6
x
+
9
)
d
x

{\displaystyle \int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx}
 を求めよ
解答
∫
(
x
8

+
2
x
2

−
6
x
+
9
)
d
x
=
∫
x
8

d
x
+
2
∫
x
2

d
x
−
6
∫
x
d
x
+
9
∫
d
x
=

x
9

9

+

2
x
3

3

−
3
x
2

+
9
x
+
C

{\displaystyle \int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx=\int x^{8}\,dx+2\int x^{2}\,dx-6\int x\,dx+9\int dx={\frac {x^{9}}{9}}+{\frac {2x^{3}}{3}}-3x^{2}+9x+C}
 (

C

{\displaystyle C}
 は積分定数)
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つを

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
とする。この原始関数に値を代入して、その値の差を求める操作を、定積分と呼び、


∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
と書く。