
次の不等式を解け。
いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たす

x

{\displaystyle x}
の値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。
次の連立不等式を解け。
(i)
(ii)
(i)


x
+
2
<
2
x
+
4

{\displaystyle x+2<2x+4}
から 

−
x
<
2

{\displaystyle -x<2}
10
−
x
≥
3
x
−
6

{\displaystyle 10-x\geq 3x-6}
から 

−
4
x
≥
−
16

{\displaystyle -4x\geq -16}
(1),(2)を同時に満たす

x

{\displaystyle x}
の値の範囲は
(ii)


x
≥
1
−
x

{\displaystyle x\geq 1-x}
から 

2
x
≥
1

{\displaystyle 2x\geq 1}
2
(
x
+
1
)
>
x
−
2

{\displaystyle 2(x+1)>x-2}
から 

2
x
+
2
>
x
−
2

{\displaystyle 2x+2>x-2}
(1),(2)を同時に満たす

x

{\displaystyle x}
の値の範囲は
絶対値を含む不等式について考えよう。
絶対値


|
x
|

{\displaystyle |x|}
は、数直線上で、原点


O

{\displaystyle \mathrm {O} }
と点


P
(
x
)

{\displaystyle \mathrm {P} (x)}
の間の距離を表している。
したがって、

a
>
0

{\displaystyle a>0}
のとき
次の不等式を解け。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
一般の二次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
(

a

{\displaystyle a}
, 

b

{\displaystyle b}
, 

c

{\displaystyle c}
 は定数、

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
)の解 

x

{\displaystyle x}
 を求める公式について考える。
ここで恒等式 


x
2

+
2
y
x
=
(
x
+
y
)
2

−
y
2


{\displaystyle x^{2}+2yx=(x+y)^{2}-y^{2}}
 と (1) の左辺を係数比較すると、
であるから、(1) の式は次のように変形できる(平方完成)。
b
2

−
4
a
c
≥
0

{\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0}
 のとき両辺の平方根をとると、
これが二次方程式の解の公式(にじほうていしきのかいのこうしき、quadratic formula; 二次公式)である。解の公式を二次方程式の一般形に代入すると、右辺は0になるはずである。
であることを用いると、
となり、確かに正しいことがわかる。
をそれぞれ解の公式か因数分解を用いて解きなさい。
結果の式に根号が現れない場合には、何らかの仕方で因数分解ができる。しかし、いずれの方法を使うにせよ、根号はできる限りの仕方で簡単化することが重要である。
(i)は簡単に因数分解できるので、解の公式を用いる必要はない。