指数法則については、数学Iで すでに学んだ。
a が実数のときで、n が2以上の正の整数のとき、  n 乗して a になる数、すなわち
となるx のことを、a の n 乗根という。a の2乗根、3乗根、4乗根、......を総称して、a の累乗根という。
平方根は2乗根である。なお、3乗根のことを立方根(りっぽうこん)ともいう。
この章の学習では、最終的に n を正の整数だけでなく、実数にまで拡張していくが、とりあえず学習当初の当面は n を整数で考えておこう。
2の4乗は16である。-2の4乗も16である。よって、16の4乗根は 2 と -2 である。
単に「n乗根」といった場合、係数に負の数がつくものを除外しないことに注意。
さて、nが奇数の場合のn乗根について、考えてみる。
(-2)を3乗しても、8にはならず、-2 の3乗は -8である。
(-3)を3乗しても、27にはならず、-3 の3乗は -27である。
このように、負の実数の奇数n乗は、かならず、負の数になる。
なので、8の3乗根には、負の数は ふくまれず、8の3乗根は 2だけである。
同様に、27の3乗根は、正の3だけである。
このように、nを奇数の自然数としたとき、実数 a のn乗根 は1通りである。
a のn 乗根 x について考える。
(1)  n が奇数のとき、実数 a のn乗根 はただ1つであり、これを 


a
n


{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
 で表す。
(2)  n が偶数のとき、正の実数aのn乗根は、正と負の2つの数がある。
負のほうは 

−

a
n


{\displaystyle -{\sqrt[{n}]{a}}}
 で表す。正の方は 


a
n


{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
、で表す。
a < 0 のとき、実数の範囲では a のn 乗根はない。
n が偶数か奇数かにかかわらず、0のn乗根は0なので、
である。
特に2乗根


a
2


{\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}
 は 


a


{\displaystyle {\sqrt {a}}}
 と書く。
a > 0 のとき、xn = a の解は 

x
=

a
n


{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}
 であるから、
また
例
有理数を指数とする累乗を、次のように定義する。
これは、指数が有理数の場合にも、指数法則が成り立つように定義したのである。実際、次が成り立つ。
たとえば、x1/3 は、3乗すると x1 = x に等しいので、x の3乗根 


x
3


{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}
に等しい。
また、x0 については
と考えることが出来る。よって、0以外の全ての実数x に対して、
が成り立つ。
指数法則1に、r = 3, s = -3 を代入すれば
ゆえに
指数法則2に、r = 2/3, s = 3 を代入すれば
となるから、a2/3 は a2 の3乗根ということになる。つまり、
指数法則1に、r = -2/3, s = 2/3 を代入すれば
ゆえに
たとえば 


3

2


{\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}
 の場合、 これは、 


2

=
1.41421
⋯

{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421\cdots }
 であるが、
を考えると、その項は一定値 4.72880 ・・・ に近づくので、その値を  


3

2


{\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}
  と定める。
このようにして、累乗の指数が無理数の場合にも定義を拡張することで、指数を実数にまで拡張できる。また、実数の場合も上述の指数法則が成り立つ。
実数aを a>0 で a≠1 とするとき、

y
=
a
x


{\displaystyle y=a^{x}}
 で表される関数のことを「 aを底(てい)とする指数関数」のようにいう。
さて、指数関数の例として、たとえば、
があげられる。
指数関数 

y
=
2
x


{\displaystyle y=2^{x}}
 のグラフを右に示す。指数関数はきわめて速く増加する関数であることが分かる。
次に 

y
=

(

1
2

)

x


{\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}}
 のグラフを書いてみよう。結果は、右のグラフの実線のようになる。
さきほどのグラフと比較すると分かるように、y軸を対称軸として、

y
=

(

1
2

)

x


{\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}}
 のグラフと 

y
=
2
x


{\displaystyle y=2^{x}}
 のグラフは対称になっている。
一般に、

y
=

(

1
a

)

x


{\displaystyle y=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}}
 のグラフは、y軸に関して 

y
=
a
x


{\displaystyle y=a^{x}}
 のグラフと対称である。
また、
いっぽう、
なお、グラフの傾きをみれば分かるように、指数関数のグラフは、一次関数や二次関数のグラフと比べると、急激に増加または急激に減少していく。
指数法則を用いて指数関数を簡単化せよ。
(i)  


2
x

⋅
3
x


{\displaystyle 2^{x}\cdot 3^{x}}
(ii)  

(
1
/
3
)
x


{\displaystyle (1/3)^{x}}
解答
指数関数の値域は正の実数全体である。
また、どんな正の実数も、0乗すると1になるので、よって指数関数 

y
=
a
x


{\displaystyle y=a^{x}}
 のグラフは必ず点 (0,1) を通る。
a>0, a≠1 のとき、前章で習った指数関数のグラフの形からも分かるように、
任意の正の実数Mに対して、 


a
p

=
M

{\displaystyle a^{p}=M}
をみたす p はただ1つに定まる。
この p を 


log
a

⁡
M

{\displaystyle \log _{a}M}
 と書き
という。