
疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。しかしその内容は高校生には少し難しいし、詳しい書籍はほかにも存在する(wikibooksでも解析学基礎にある程度の記述がある)。そこでここでは、高校の教科書のように「子供だまし」をするのではなく、かといって厳密な形で議論するのでもなく、諸君を納得させられるかもしれない答えを提示したい。
さて改めて、極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。
ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。
分数関数 

f
(
x
)
=
1
/
x

{\displaystyle f(x)=1/x}
 を考える。この関数の正の無限大における極限値は

0

{\displaystyle 0}
である。
数式で書くならば以下の通りである。
ここで敢えて、この数式には極々小さな正の誤差が紛れ込んでいる、と考える。


x

{\displaystyle x}
が限りなく無限大に近づいたとしても、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。
そこで、極限という概念で考えるのではなく、直接

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に無限大を代入した値を誤差として考える。
(この時、この代入の不可能性については考えないものとする。)
当然ながら、この誤差の大きさは、

1
/
∞

{\displaystyle 1/\infty }
という大きさになるのだが、この大きさは一体どのようなものだろうか?
そもそもこの誤差の値は、実数であるかどうかすらも怪しい。何故なら、そもそも無限大という数自体が実数とは思えない性質を持っているからだ。
無限大というのは、どの実数よりも大きい数という定義である。この時点ですでに実数の定義からハズレている事がよくわかるだろう。
実数にこの無限大という数が含まれるのであれば、無限大は無限大より大きい、という矛盾が生まれる。
ゆえに、無限大は実数と言う枠組みから外し、実数でない未知の数であると考えるべきだろう。
さて、この未知の数の逆数である

1
/
∞

{\displaystyle 1/\infty }
はどういう値なのだろうか。当然ながら、これも未知の数であると言わざるを得ない。
無限大の定義より、

1
/
∞

{\displaystyle 1/\infty }
はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。
なお、この数は一般に無限小と呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。
さて、この無限小という誤差を実数としてみるとどう見えるだろうか?
無限小はどのような正の実数よりも小さい、というのだから、実数から見たら見かけ上

0

{\displaystyle 0}
に見えるだろう。
そのような視点で考えているのが極限値というものである。
もう少し踏み込んで、値域を実数とする

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値として、無限小という非実数値が出現した、という事実をどう考えるべきだろうか?
その問いに対しての極限値という概念の答えは、「強引に実数に変換する」という手法なのである。
値域を実数とする関数に、非実数をいきなり登場させるわけにはいかない、というのは誰にでもわかることだろう。
其の様な問題に対して考えられる答えは「関数の値域そのものを超実数に拡張する」又は「超実数を実数に変換して、値域を実数として保つ」というものだ。
極限(lim)と言う操作・概念はこの二つの答えの内、後者の答えを選んだものとなる。
limという記号には、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に

x
=
a
±
1
/
∞

{\displaystyle x=a\pm 1/\infty }
をそれぞれ代入した数を計算し、その値から無限小を無視して、超実数を実数に変換するという意味合いが有る。
実数という数から見れば、無限小など全く意味の無い数であることから、等式が成り立つ、と解釈できるのである。
前者の答えを選んだ学問は超準解析と呼ばれるが、これは易しい学問ではなく、高校で教えるのには向かない。
少し話をかえて、「無限大」「無限小」というモノ自体の実在について考えてみる。
上の説明では「無限大」というモノが、実数でないので何だかわからないのだが、とにかくある、という前提で話を進めてきた。ここに疑問を感じた生徒もいるかもしれない。そのような生徒に向けて、さらに補足説明する。
上でも述べたが、「超準解析」という学問においては、無限大・無限小は実体のあるものであり、数学的に厳密に取り扱われる。しかし、無限大・無限小を数学的に厳密に取り扱う事は非常に難しく、歴史的にも20世紀後半にようやく確立されたほどであった。つまり普通、数学においては無限大・無限小といったものを表に出して扱わないのである。この教科書の本文をもう一度見直してほしい。このコラムにおいて用いている「無限大に近づける(近づく)」といった表現はなく「限りなく大きくする」という表現を用いているはずである。荒っぽく言えば、「∞」は単体では意味を持たない記号であり、「


lim
x
→
∞


{\displaystyle \lim _{x\to \infty }}
」のような特定の文脈を与えられて初めて意味を持つ「状態を表す記号」なのである。なんらかの数を表すものではない、という事に注意してほしい。この「


lim
x
→
∞


{\displaystyle \lim _{x\to \infty }}
」はひと固まりで初めて意味を持つ記号であり、「xを」「∞に」「近づける」と分解するようなことはナンセンスだ、とも言える。