ここでは、メネラウスの定理、チェバの定理、三角形の五心及び四角形が円に内接する条件や方べきの定理などについて扱う。
任意の直線 

l

{\displaystyle l}
 と三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 において、直線 

l

{\displaystyle l}
 と直線


B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 の交点をそれぞれ


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 とする。このとき
が成り立つ。
証明
点 


C

{\displaystyle \mathrm {C} }
 から直線 

l

{\displaystyle l}
 に平行な直線をかき、直線 


A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 との交点を 


G

{\displaystyle \mathrm {G} }
 とする。
平行線による比の移動より、
B
D
:
D
C
=
B
F
:
G
F

{\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =\mathrm {BF} :\mathrm {GF} }
C
E
:
E
A
=
G
F
:
F
A

{\displaystyle \mathrm {CE} :\mathrm {EA} =\mathrm {GF} :\mathrm {FA} }
したがって、
A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=

A
F

F
B

⋅

B
F

G
F

⋅

G
F

F
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }={\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BF}  \over \mathrm {GF} }\cdot {\mathrm {GF}  \over \mathrm {FA} }=1}
[1]
メネラウスの定理の逆
三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対して、直線 


B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 上に点 


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 をとり、


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 のうち三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 の辺上にある点が0個あるいは2個で、かつ、



A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }=1}
 が成り立つとき、3点 


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 は一直線上にある。
証明
2直線 


E
F
,
B
C

{\displaystyle \mathrm {EF} ,\mathrm {BC} }
 の交点を 


D
′

{\displaystyle \mathrm {D} '}
 とする。このとき、メネラウスの定理より、



A
F

F
B

⋅

B
D
′


D
′
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD'}  \over \mathrm {D'C} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }=1}
 である。また、仮定より 



A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }=1}
 である。これら2式より、



B
D

D
C

=

B
D
′


D
′
C


{\displaystyle {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }={\frac {\mathrm {BD'} }{\mathrm {D'C} }}}
 である。これは、2点 


D
,

D
′

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {D} '}
 が線分 


B
C

{\displaystyle \mathrm {BC} }
 を同じ比で内分する点であることを示すので、 点 


D

{\displaystyle \mathrm {D} }
 と点 


D
′

{\displaystyle \mathrm {D} '}
 は一致する。したがって、3点 


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 は一直線上にある。
三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対し、任意の一点 


O

{\displaystyle \mathrm {O} }
 と 


A
,
B
,
C

{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} }
 を結んだ直線がそれぞれ 


B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 と交わる点を 


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 とする。
このとき、 



A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 が成り立つ。
証明
点 


C

{\displaystyle \mathrm {C} }
 を通り直線 


A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 に平行な直線をかき、


A
D
,
B
E

{\displaystyle \mathrm {AD} ,\mathrm {BE} }
 との交点をそれぞれ 


G
,
H

{\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {H} }
 とする。
A
F
:
F
B
=
G
C
:
H
C

{\displaystyle \mathrm {AF} :\mathrm {FB} =\mathrm {GC} :\mathrm {HC} }
B
D
:
D
C
=
A
B
:
C
G

{\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =\mathrm {AB} :\mathrm {CG} }
C
E
:
E
A
=
C
H
:
A
B

{\displaystyle \mathrm {CE} :\mathrm {EA} =\mathrm {CH} :\mathrm {AB} }
したがって、
A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=

G
C

H
C

⋅

A
B

C
G

⋅

C
H

A
B

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}={\frac {\mathrm {GC} }{\mathrm {HC} }}\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {CG} }}\cdot {\frac {\mathrm {CH} }{\mathrm {AB} }}=1}
平行線による比の移動より、 



A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=

G
C

H
C

⋅

A
B

C
G

⋅

C
H

A
B

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}={\frac {\mathrm {GC} }{\mathrm {HC} }}\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {CG} }}\cdot {\frac {\mathrm {CH} }{\mathrm {AB} }}=1}
チェバの定理の逆
三角形 


A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対し、直線 


B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 上にそれぞれ点 


D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 があるとき、



A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 ならば、直線 


A
F
,
B
D
,
C
E

{\displaystyle \mathrm {AF} ,\mathrm {BD} ,\mathrm {CE} }
 は一点で交わる。
証明
直線 


B
D
,
C
E

{\displaystyle \mathrm {BD} ,\mathrm {CE} }
 の交点を 


O

{\displaystyle \mathrm {O} }
 とおき、直線 


A
O

{\displaystyle \mathrm {AO} }
 と直線 


B
C

{\displaystyle \mathrm {BC} }
 との交点を 


F
′

{\displaystyle \mathrm {F} '}
 とおく。このとき、チェバの定理より、



A
F
′


F
′
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF'} }{\mathrm {F'B} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 が成り立つ。また、仮定より、



A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 である。これら2つの式から、



A
F

F
B

=

A
F
′


F
′
B


{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}={\frac {\mathrm {AF'} }{\mathrm {F'B} }}}
 が得られる。これは、2点 


F
,

F
′

{\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F} '}
 が線分 


A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 を同じ比で内分する点であることを示すので、 点 


F

{\displaystyle \mathrm {F} }
 と点 


F
′

{\displaystyle \mathrm {F} '}
 は一致する。よって、直線 


A
F
,
B
D
,
C
E

{\displaystyle \mathrm {AF} ,\mathrm {BD} ,\mathrm {CE} }
 は一点で交わる。
三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを 中線 という。三角形の3つの中線の交わる点を重心という。
三角形の3本の中線は1点で交わる。また、その交点は中線を 2:1 に内分する。
証明
チェバの定理の逆より、三角形の3本の中線は一点で交わる。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
 について、その重心を 


G

{\displaystyle \mathrm {G} }
 、 


B
C
,
C
A

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} }
 の中点をそれぞれ 


D
,
E

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} }
 とおく。このとき、三角形 


A
C
D

{\displaystyle \mathrm {ACD} }
 及び、直線 


B
G
E

{\displaystyle \mathrm {BGE} }
 に対してメネラウスの定理を用いることにより、
A
E

E
C

⋅

C
B

B
D

⋅

D
G

G
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {EC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CB} }{\mathrm {BD} }}\cdot {\frac {\mathrm {DG} }{\mathrm {GA} }}=1}
 したがって、 



D
G

G
A

=

1
2


{\displaystyle {\frac {\mathrm {DG} }{\mathrm {GA} }}={\frac {1}{2}}}
 である。これより、重心は中線を2:1に内分することが分かる。
厚めの画用紙などで三角形をつくり、その三角形を水平にして、右図のように三角形の重心の部分で、棒で支えると、
水平方向の重さのバランスがとれるので、三角形を水平に保つことができる。
そもそも、このように重さのバランスを取れる場所であるので「重心」という名前がついている。重心の英語の center of gravity という英単語も、「重力の中心」という意味である。
理科の「物理」科目で習う「重心」とは、この例のように、重さのバランスを取れる部分という意味である。
なお、このような力学的な「重心」については、三角形だけでなく四角形や五角形などでも、同様に水平方向の重さのつりあいをとれる点として、力学的に「重心」を定義できる。
また、平面図形だけでなく立体図形でも同様、力学的に「重心」を定義できる。

三角形の3つの辺の垂直二等分線は1点で交わる。
△ABCを取り、辺AB,AC のそれぞれに対して垂直二等分線を取り、2直線の交点をOとする。このとき、点OがAB,ACのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから
であるので、
が成り立つ。
よって点Oは辺BCの垂直二等分線上にある。
上の証明から、

O
A
=
O
B
=
O
C

{\displaystyle OA=OB=OC}
 であるので、この点は三角形の3つの頂点から等距離にあることが分かるので、この点Oを中心として円を書くと、三角形ABCの頂点3つを通る円を書くことができる。
このように、三角形の3つの頂点を通る円(右図では赤線の部分)のことを外接円(がいせつえん、 英:circumscribed circle)という。
そして、外接円の中心(右図の点Oの部分)のことを、その三角形の 外心(がいしん)という。
三角形の3角のそれぞれに対して角の2等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わる。
△ABCを取り、角A,Bについて角の2等分線を取り2直線の交点をIと呼ぶ。
さらに、点Iから辺BC,CA,ABに下ろした垂線とそれぞれの辺の交点をそれぞれ D,E,F と呼ぶとする。このとき、角Aの二等分線の性質から
が成り立ち、同様に角Bの2等分線の性質から
が成り立つので、
よって
である。
したがって、点Iは角Cの二等分線上にある。
ID=IE=IF  なので、図のように三角形の三辺に接する円を書くことができ。この円を △ABCの内接円 (ないせつえん、英:inscribed circle)といい、その中心Iを内心(ないしん)という。
なお、三角形の内接円の半径をrとすると、面積Sと三辺の長さa,b,cとの間に
の関係式が成り立つ(△ABI、△BCI、△CAIの3つの三角形の面積を考えてみよ)。面積Sはヘロンの公式を用いれば、三角形の三辺の長さから内接円の半径が計算できる。
外心の性質を利用して、次の定理が証明できる。
三角形の各頂点から対辺またはその延長に降ろした垂線は、1点で交わる。
点Aを通り辺BCに平行な直線、点Bを通り辺CAに平行な直線、点Cを通り辺ABに平行な直線をかき、これらの直線の交点を図のようにP,Q,Rとする。
すると、四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA = BC である。
同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC=AQ である。  
よって RA=BC かつ BC=AQ なので、 RA = AQ である。
次に、点Aから対辺BCまたはその延長上に垂線ADを引く。
すると、 RQ // BC の仮定により、平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
が導かれる。したがって、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
同様に考えると、頂点Bから辺ACまたはその延長上に降ろした垂線BEは辺RPの垂直二等分線であり、頂点Cから辺ABまたはその延長上に降ろした垂線CFは辺PQの垂直二等分線であることがわかる。
この3本の垂直二等分線は、△RQPの外心で交わる。すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
三角形の2つの外角のそれぞれの二等分線と、残りの1つの内角の二等分線とは、一点で交わる。
外角Bと外角Cの二等分線の交点をPとする。
図のように、Pから△ABCの3辺またはその延長線上に垂線PD,PE,PFをおろす。