また、
を計算せよ。
について分子と分母を因数分解すると、双方ともに
を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、
となる。
次の問題では、
を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、
となる。
分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。
次の計算をせよ。
(I)
(II)
(I)
(II)
等式 

(
a
+
b
)
2

=
a
2

+
2
a
b
+
b
2


{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
は、文字

a
,
b

{\displaystyle a,b}
にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を恒等式(こうとうしき)という。
等式


1
x
−
1

+

1
x
+
1

=

2
x

x
2

−
1


{\displaystyle {\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}}
は、両辺とも

x
=
1
,
−
1

{\displaystyle x=1,-1}
を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。
いっぽう、


x
2

−
x
−
2
=
0

{\displaystyle x^{2}-x-2=0}
 は、x=2 または x=ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。
等式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 が 

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。
ある式が「 

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式である」とは、この式の

x

{\displaystyle x}
 にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば 

x

{\displaystyle x}
 に

−
1
 
,
 
0
 
,
 
1

{\displaystyle -1\ ,\ 0\ ,\ 1}
 を代入した式
はすべて成り立つ必要がある。これを解くと
なので、等式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 が 

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式になるならば、

a
=
b
=
c
=
0

{\displaystyle a=b=c=0}
でなければならないことがわかる。
一般に、等式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
a
′

x
2

+
b
′
x
+
c
′

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'}
 が恒等式であることと、

(
a
−
a
′
)
x
2

+
(
b
−
b
′
)
x
+
(
c
−
c
′
)
=
0

{\displaystyle (a-a')x^{2}+(b-b')x+(c-c')=0}
 が恒等式であることと同じである。