
ベクトルを使わなくても図形的解釈が得られる式として、
が挙げられる。
(

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
,

c

{\displaystyle c}
,

r

{\displaystyle r}
は任意の定数。)
この式は、2次元でいうところの
の式の類似物である。2次元の場合はこの式は、
中心

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}
半径

r

{\displaystyle r}
の円に対応していた。
3次元のこの式は、結論をいうと中心

(
a
,
b
,
c
)

{\displaystyle (a,b,c)}
半径

r

{\displaystyle r}
の円に対応しているのである。
上の式
を満たすある点

(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle (x,y,z)}
を取り、その点と点

(
a
,
b
,
c
)

{\displaystyle (a,b,c)}
との距離を考える。
空間座標に置ける

x

{\displaystyle x}
軸、


y

{\displaystyle y}
軸、


z

{\displaystyle z}
軸はそれぞれ直交しているので、2点の距離は3平方の定理を用いて
で与えられる。
しかし、上の式からここで選んだ点

(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle (x,y,z)}
は、条件
を満たしているので、2点の距離は
である。
(

r
>
0

{\displaystyle r>0}
を用いた。)
よって、上の式を満たす点は全て点

(
a
,
b
,
c
)

{\displaystyle (a,b,c)}
からの距離が

r

{\displaystyle r}
である点であり、これは中心

(
a
,
b
,
c
)

{\displaystyle (a,b,c)}
半径

r

{\displaystyle r}
の円に他ならない。
演習問題
中心
半径
の球の式を求めよ。
に代入することで、
が求められる。
演習問題
がどのような
球に対応するか計算せよ。
このような数式が球に対応するとき、
の係数は必ず等しくなくてはならない。そうでない場合はこの図形は楕円体に対応するのだが、これは指導要領の範囲外である。
ここでは上の式はその条件を満たしている。
ここでは、この式を
の形に持って行くことが重要である。
のそれぞれについてこの式を平方完成すると、
が得られる。よって、上の式
は、
中心
、半径
の球に対応する。
次に3次元空間上におけるベクトルを考察する。
2次元空間上ではベクトルは2つの量の組み合わせで表わされた。
これは1つのベクトルはx軸方向に対応する量とy軸方向に対応する量の2つを持っている必要があったからである。
このことから、3次元空間のベクトルは3つの量の組み合わせで書けることが予想される。
特に

x

{\displaystyle x}
軸方向の成分

a

{\displaystyle a}
,


y

{\displaystyle y}
軸方向の成分

b

{\displaystyle b}
,


z

{\displaystyle z}
軸方向の成分

c

{\displaystyle c}

(

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
,

c

{\displaystyle c}
は任意の定数。)
で表わされるベクトルを、
と書いて表わすことにする。
2次元平面では
あるベクトル
は、
(

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
は任意の定数。)
の2本のベクトルを用いて、
で表わされた。
3次元空間でもこのような記述法があり、上で用いたベクトル
は、
を用いて
と書かれたベクトルに対応している。
3次元ベクトルに対しても2次元ベクトルで定めた定義や性質がほぼそのまま成立する。
3次元ベクトルの加法は、それぞれのベクトル要素を独立に足し合わせることによって定義する。
また、それぞれのベクトルの要素が全て等しいベクトルを"ベクトルとして等しい"と表現する。
演習問題
ベクトルの和
を計算せよ。