本項は高等学校数学Iのデータの分析の解説です。
中学校課程の資料の散らばりと代表値に続き、データの散布などの概念、また実際の処理がどのように行われるかを身近な事例やコンピュータの表計算ソフトを利用して学習します。大まかな内容は以下の通りです。
資料の散らばりと代表値の内容は既習であるものとして解説を進めていきます。
この分野が基礎になる科目は数学Bの確率分布と統計的な推測があります。統計に加えて確率・数列・微積分の知識も必要となります。
表計算のセクション(第5章・第6章)は2011年度以前の課程「統計とコンピュータ」の範囲で現在の指導要領では学習しません。ここで取り上げた資料の数値確認や演習に活用するといいでしょう。予め各自使用している表計算ソフトの操作を知っておくとスムーズに学習が進められます。このページではMicrosoft Excelの書式に基づいています。実践編は余力があればとりかかってみて下さい。ただしここでは数学Bで学習する確率分布などの関数は扱っていません。演習を始める前に必ず(基礎編)の冒頭にある注意書きをお読み下さい。
この分野の演習問題は大学受験数学 統計とコンピューターをご覧下さい(旧課程のものですが内容に殆ど変更がないのでこのまま使用しています)。表計算演習は該当セクション内の実習と前述のページ演習問題2・3にて代えます。
以降、「資料の散らばりと代表値」でも用いた以下の資料を頻繁に使いますのでメモしておいたほうがよいでしょう。
代表値が同じであってもその分布が代表値近くに密集していたりばらばらであったりと色々なことが考えられる。ここでは資料の散らばり具合の表す量について見てみよう。
資料が取る最大値から最小値を引いた値をその資料の分布の範囲(はんい)と言う。
資料1の範囲は

70.0
−
53.6
=
16.4

{\displaystyle 70.0-53.6=16.4}
(kg)となる。
データを大きさの順に並べた時、25%、50%、75%に当たる数値をその資料の四分位数と言う。特に下位から25%に当たる数値を第1四分位数、
下位から75%に当たる数値を第3四分位数と言われる。下位から50%に当たる数値は第2四分位数と言うこともできるが、中央値と同義である。四分位数の英訳「Quartile」の頭文字を取ってそれぞれ


Q
1

,
Q
2

,
Q
3


{\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}
と表すこととする。
資料1の四分位数を求めてみよう。まずは資料を昇順に並びかえる。
まずは中央値を求めてみる。中央値のセクションでも述べた通り、この資料の中央値は5番目と6番目の平均である61.5kgである。
第1四分位数はこの資料では順位が6番目~10番目の中央値とも読み取ることができる。言い換えると8番目の値となるので56.1kgとなる。
第3四分位数も同様に順位が1番目~5番目の中央値とできるので求める数値は3番目の値の65.4kgである。
第3四分値と第1四分値の差をその資料の四分位範囲、四分位範囲の半分のことをその資料の四分位偏差と言う。
資料1の四分位範囲は


Q
3

−
Q
1

=
65.4
−
56.1
=
9.3
(
k
g
)

{\displaystyle Q_{3}-Q_{1}=65.4-56.1=9.3(kg)}
、四分位偏差は



Q
3

−
Q
1

2

=

9.3
2

=
4.65
(
k
g
)

{\displaystyle {\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}={\frac {9.3}{2}}=4.65(kg)}
となる。
資料のばらつき具合をグラフにまとめて見やすくしたものを箱ひげ図と言う。
箱ひげ図の見方を以下で示す。なお、以下の図は資料3を参照して作成しているが、0.5kg未満の数値を切り捨てしてあるので正しく作成した図と等しくならないことには注意。
データの中に含まれることがある、他の値とは極端にかけ離れた値のことを外れ値と呼ぶ。データのとる値を変数xとみなしたとき、外れ値の基準を以下のように定める。
外れ値が存在する場合、四分位数は全てのデータを用いて考えるが、箱ひげ図の左右のひげは外れ値を除いて考える。外れ値を箱ひげ図にあえて示す場合は以下のように⚪︎を用いて表す。
外れ値は必ずしも測定ミス等で発生した異常な値とは限らない。外れ値の背景を調査することで、新たな問題が発見されたり問題解決の糸口が掴めたりする場合がある。
変数xのとる値が
のn個あるとき、各値と平均値


x
 ̄


{\displaystyle {\overline {x}}}
との差
を、それぞれ平均値からの偏差(へんさ)という。
資料1で、平均値からの偏差は次のようになる。
さて、今知りたいのは資料全体の偏り具合の傾向であった。それを調べるために、試しに偏差の平均値を計算してみよう。
このように、偏差の平均値は常に0になる。
偏差の平均は常に0となるので、これを計算してもデータの散らばりの大きさを知ることはできないことがわかった。そこで、偏差の2乗の平均値を考える。この値を分散(ぶんさん、英:variance)という。分散を


s
2


{\displaystyle s^{2}}
で表すと、次のようになる。
s
2

=

(
x
1

−

x
 ̄

)
2

+
(
x
2

−

x
 ̄

)
2

+
⋯
+
(
x
n

−

x
 ̄

)
2

n


{\displaystyle s^{2}={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}}{n}}}
この分散の定義は自然なものであるが、たとえば、データが身長の場合、その単位はcmであるが、分散は偏差の2乗の平均なので、その単位は

c
m
2


{\displaystyle cm^{2}}
になってしまう。そのため、単位を変量と合わせるために、分散


s
2


{\displaystyle s^{2}}
の正の平方根sを考えることも多い。このsを資料xの標準偏差(ひょうじゅんへんさ、英:standard deviation)という。
s
=


(
x
1

−

x
 ̄

)
2

+
(
x
2

−

x
 ̄

)
2

+
⋯
+
(
x
n

−

x
 ̄

)
2

n


{\displaystyle s={\sqrt {\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}}{n}}}}
資料1の分散と標準偏差を求めよう。
分散


s
2


{\displaystyle s^{2}}
は
標準偏差sは
度数分布表から分散と標準偏差を求めるときは次のようになる。
階級値を


x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
r


{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}
とし、それに対応する度数を


f
1

,
f
2

,
⋯
,
f
r


{\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r}}
とする。分散


s
2


{\displaystyle s^{2}}
と標準偏差sは
諸君も興味を持っているかもしれない大学受験の世界では、「偏差値」という数値がしばしば取り上げられる。偏差値は、次の式で計算される。
x
1

,
x
2

,
.
.
.

{\displaystyle x_{1},x_{2},...}
の中の数値


x
i


{\displaystyle x_{i}}
の偏差値は、
10とか50といった定数は、出てきた数値が直感的にわかりやすい大きさとなるようにしている定数(規格化定数という)であり、直接に意味はない。注目すべきは、この計算式の中に、平均と標準偏差が含まれているということである。つまり、同じ学力を持った人どうしであっても、違う試験を受ければ、試験を受けた他の人たちの動向によって偏差値は大きく変化するということである。