
導出
となる。
f
(
x
)
=

x


{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
、

g
(
x
)
=
x
2

+
x
+
1

{\displaystyle g(x)=x^{2}+x+1}
とする。この合成関数は、

f
(
g
(
x
)
)
=

x
2

+
x
+
1


{\displaystyle f(g(x))={\sqrt {x^{2}+x+1}}}
である。
この合成関数の導関数を求めてみよう。
f
′
(
x
)
=

1
2

x



{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
g
′
(
x
)
=
2
x
+
1

{\displaystyle g'(x)=2x+1}
なので、


f
(
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
=

2
x
+
1

2

x
2

+
x
+
1



{\displaystyle {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)={\frac {2x+1}{2{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}}
である。
※関数

f
,
g

{\displaystyle f,g}
の合成関数を

f
∘
g
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f\circ g(x)=f(g(x))}
と書くことがある。
合成関数の微分はライプニッツの記法を用いて、

y
=
f
(
u
)
,
u
=
g
(
x
)

{\displaystyle y=f(u),u=g(x)}
のとき、



d
y

d
x

=
f
(
g
(
x
)
)
′

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(g(x))'}
、


f
′
(
u
)
=

d
y

d
u


{\displaystyle f'(u)={\frac {dy}{du}}}
、


g
′
(
x
)
=

d
u

d
x


{\displaystyle g'(x)={\frac {du}{dx}}}
なので、
と書くことができる。
(
f
−
1

(
y
)
)
′
=

1
(
f
(
x
)
)
′



{\displaystyle (f^{-1}(y))'={\frac {1}{(f(x))'}}}
導出
y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
と置くと、

x
=
f
−
1

(
y
)

{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
で、


y
→
y
0


{\displaystyle y\to y_{0}}
のとき

x
→
x
0


{\displaystyle x\to x_{0}}
であるから、
また、
である。
(導出)
ここで、二項定理により
ただし
なので、
この式を、式(1)の右辺に代入すると
である。
となる。
導出
に注意すると、
となり、結果が得られた。
tan
⁡
x

{\displaystyle \tan x}
については、
ここで

k
=

h
x


{\displaystyle k={\frac {h}{x}}}
と置くと、
kを0に近づけていくと、

(
1
+
k
)

1
k


{\displaystyle (1+k)^{\frac {1}{k}}}
は、
1.1

1
0.1

=
2.5937424601

{\displaystyle 1.1^{\frac {1}{0.1}}=2.5937424601}
1.01

1
0.01

=
2.7048138294215260932671947108075

{\displaystyle 1.01^{\frac {1}{0.01}}=2.7048138294215260932671947108075}
1.001

1
0.001

=
2.7169239322358924573830881219476

{\displaystyle 1.001^{\frac {1}{0.001}}=2.7169239322358924573830881219476}
1.0001

1
0.0001

=
2.7181459268252248640376646749131

{\displaystyle 1.0001^{\frac {1}{0.0001}}=2.7181459268252248640376646749131}
0.9

1
−
0.1


=
2.8679719907924413133222572312408

{\displaystyle 0.9^{\frac {1}{-0.1}}=2.8679719907924413133222572312408}
0.99

1
−
0.01


=
2.7319990264290260038466717212578

{\displaystyle 0.99^{\frac {1}{-0.01}}=2.7319990264290260038466717212578}
0.999

1
−
0.001


=
2.719642216442850365397553464404

{\displaystyle 0.999^{\frac {1}{-0.001}}=2.719642216442850365397553464404}
0.9999

1
−
0.0001


=
2.7184177550104492651837311208356

{\displaystyle 0.9999^{\frac {1}{-0.0001}}=2.7184177550104492651837311208356}
(計算:Windows付属電卓)
となり、一定の値に近づいていく(証明は数学IIIの範囲ではできない)。
この一定の値、すなわち
lim
k
→
0

(
1
+
k
)

1
k

=
2.718281828...

{\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=2.718281828...}
をeで表す。すると、


lim
k
→
0

(
1
+
k
)

1
k

=
e

{\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=e}
これを、上の式に代入すると、
特に

a
=
e

{\displaystyle a=e}
のとき、
(
log
e

⁡
x
)
′
=

1
x


{\displaystyle (\log _{e}x)'={\frac {1}{x}}}
eを底とする対数を自然対数という。
数学では、


log
e

⁡
x

{\displaystyle \log _{e}x}
のeを省略してlog xと書く。
数学以外の分野では、常用対数と区別するために、ln xが用いられることもある。
また、

log
⁡
|
x
|

{\displaystyle \log |x|}
の微分は、
x>0のとき
x<0のとき
よって、

(
log
⁡
|
x
|

)
′
=

1
x


{\displaystyle (\log |x|)'={\frac {1}{x}}}
y
=
a
x

(
a
>
0
)

{\displaystyle y=a^{x}(a>0)}
両辺の自然対数をとると、
log
⁡
y
=
x
log
⁡
a

{\displaystyle \log y=x\log a}
両辺をxで微分すると、
y
′
y

=
log
⁡
a

{\displaystyle {\frac {y'}{y}}=\log a}
y
′
=
y
log
⁡
a

{\displaystyle y'=y\log a}
y
′
=
a
x

log
⁡
a

{\displaystyle y'=a^{x}\log a}
特にa=eの場合
(
e
x

)
′
=
e
x


{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
aは実数とする。

y
=
x
a


{\displaystyle y=x^{a}}
両辺の絶対値の自然対数をとって
log
⁡
|
y
|
=
a
log
⁡
|
x
|

{\displaystyle \log |y|=a\log |x|}
両辺をxで微分して、
y
′
y

=
a
∗

1
x


{\displaystyle {\frac {y'}{y}}=a*{\frac {1}{x}}}
よって
導関数f'(x)をf(x)の第1次導関数という。
導関数の導関数を第2次導関数という。
導関数の導関数の導関数を第3次導関数という。
一般に、関数f(x)をn回微分して得られる関数を第n次導関数といい、
y
(
n
)

,
f
(
n
)

,


d
n

y

d
x
n


,

d
n

d
x
n


f
(
x
)

{\displaystyle y^{(n)},f^{(n)},{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
のいずれかで表す。
また、nが1,2,3の時はそれぞれ


y
′
,
y
′′
,
y
′′′

{\displaystyle y',y'',y'''}
や


f
′
(
x
)
,
f
′′
(
x
)
,
f
′′′
(
x
)

{\displaystyle f'(x),f''(x),f'''(x)}
と表す。
2次以上の導関数を高次導関数という。
(例)

f
(
x
)
=
x
5


{\displaystyle f(x)=x^{5}}
の第3次導関数は
f
′
(
x
)
=
5
x
4


{\displaystyle f'(x)=5x^{4}}
f
′′
(
x
)
=
20
x
3


{\displaystyle f''(x)=20x^{3}}
f
′′′
(
x
)
=
60
x
2


{\displaystyle f'''(x)=60x^{2}}
なので

60
x
2


{\displaystyle 60x^{2}}
である。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
上の点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
における接線の傾きは


f
′
(
a
)

{\displaystyle f'(a)}
であるので、接線の方程式は
y
−
f
(
a
)
=
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)

{\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)}
となる。
また、接点を通り接線に垂直な直線を法線(ほうせん)という。
垂直な直線同士は傾きの符号が逆であり、傾きの絶対値が逆数であるので、法線の方程式は
y
−
f
(
a
)
=
−

1

f
′
(
a
)

(
x
−
a
)

{\displaystyle y-f(a)=-{\frac {1}{f'(a)}}(x-a)}
となる。
f
′
(
a
)

{\displaystyle f'(a)}
は

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
での傾きを表す。