
本文と同様にθ>0をまず考える。
として、y =f (x)上のx座標がxである点をP,x+Δxである点をQとし、
とする。すると、ラジアンの定義より、




P

Q

^

=
2
θ

{\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}=2\theta }
 となり、また図形的考察によりPQ=2sinθであることが分かる(Oから弦PQに垂線を下ろすと分かりやすい)。ここで
を考えると、Δx→0のとき、θ→+0であるから、上で証明したことを用いると、
θ<0のときは本文と同様である。以上より、循環論法に陥ることなく、
が示された。■
このように、この循環論法を避けるのは少々難しい。循環論法を避けるために三角関数の微積分を後回しにして、この証明のための道具が揃うまで話を進めるのはこと「学習/教育」においてはどう考えても非効率的で、そのような回り道をするのは本末転倒である。ということで、「循環論法」と聞いて教科書に不信感を抱いた君も、ここまで読めば致し方ないことに納得してもらえたと思う。