
(2)の場合、三角形の外角と内角の間の大小関係より
(3)の場合も、三角形の外角と内角の間の大小関係より
この結果、次のことがいえる。
このことから、次のようなことがいえる。
2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとき、

∠
A
P
B
=
∠
A
C
B

{\displaystyle \angle APB=\angle ACB}
 ならば、4点A,B,C,Pは同じ円周上にある。
上の議論から三角形に外接する円はどのような三角形を取ったとしても常に存在
することが分かった。しかし、四角形に関してはそれに対して外接するような
円は常に存在するわけではない。
一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。
円に内接する四角形の相対する角の和は


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
となる。
内接する四角形の頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。
このとき、角A,角Cはそれぞれ点B,Dを対応する端点とする円弧に対する円周角となっている。ただし、角Aと角Cは互いに逆の円弧を対応する弧としているため、2つの弧を合わせるとそれらの弧はちょうど円周をおおうことになる。
このため、これらの2つの弧に対応する中心角の和は


360
∘


{\displaystyle 360^{\circ }}
に対応し、同じ弧に対応する円周角の和は


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
に対応するのである。
また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。
円に内接する四角形において、1つの内角は、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい。
円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より
また、頂点Cにおける外角を 

∠
D
C
E

{\displaystyle \angle DCE}
 とすると、

∠
D
C
E
+
∠
C
=
180
∘


{\displaystyle \angle DCE+\angle C=180^{\circ }}
 であるから
円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。
(1) 向かい合う内角の和が


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
の四角形は、円に内接する。
(2) 1つの内角が、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい四角形は、円に内接する。
(1)の証明
四角形ABCDで、
とする。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
の外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると
(I),(II)より
したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。
よって、四角形ABCDは円に内接する。
(2)の証明
四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を 

∠
D
C
E

{\displaystyle \angle DCE}
 として、
とする。
であるから
四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
であるから、四角形ABCDは円に内接する。
円Oの外の点Aからその円に2本の接線を引ける。その接点をP,Qとするとき、線分AP,AQの長さを、円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の長さという。
2つの接線の長さについて、次のことがいえる。
円外の点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。
直角三角形APO,AQOにおいて
(I),(II)より
よって、対応する辺APとAQは等しい。
円周上の点Aを通る接線ATがあって、円周上に2点B,Cをとるとき、

∠
T
A
B

{\displaystyle \angle TAB}
 と円周角 

∠
A
C
B

{\displaystyle \angle ACB}
 の大きさには、次のような関係がある。
円の弦とその一端から引いた接線とのなす角は、その角内にある弧に対する円周角に等しい。
∠
T
A
B

{\displaystyle \angle TAB}
 が鋭角の場合について考える。
直径ADを引くと、

∠
T
A
D
=
90
∘


{\displaystyle \angle TAD=90^{\circ }}
 であるから、
また、ADは直径であるから
∠
B
A
D

{\displaystyle \angle BAD}
 と 

∠
B
C
D

{\displaystyle \angle BCD}
 は弧BDに対する円周角であるから
(I),(II),(III)より
∠
T
A
B

{\displaystyle \angle TAB}
 が直角、鈍角の場合についても同様に証明できる。
中心Oとする円について次の定理が成り立つ。
円周上に異なった2点A,Bを取りその2点を通る直線を取る。また、同様に
A,Bと異なった2点C,Dを通りそれらを通過する直線を取り、直線ABと直線CDの
交点をEと取る。このとき、
が成り立つ。この定理を方べきの定理と呼ぶ。
まず、点Eが円の外部にある場合を考える。このとき、直線AB上で点Eに近い点を点B,
直線CD上で点Eに近い点を点Cとおいたとき、三角形ECBと三角形EADが相似であることを
示す。
まず、四角形ABCDは円に内接していることから、
について、
が成立する。これは円に内接する四角形の相対する角の和が


180
∘


{\displaystyle 180^{\circ }}
になることに
よっている。同様にして
が成立し、2角が等しいことから三角形ECBと三角形EADは相似となる。