
等号が成り立つのは |a| |b| = ab の場合、すなわち  ab ≧ 0 の場合である。(証明 おわり)
なお
の関係式のことを「三角不等式」という。
2つの数

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
に対し、



a
+
b
2


{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
を相加平均(そうかへいきん)と言い、


a
b


{\displaystyle {\sqrt {ab}}}
を相乗平均(そうじょうへいきん)という。
平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は 



a
1

+
a
2

+
⋯
+
a
n

n


{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}
 で定義される。

本ページでは、2個の数の平均について考察する。
相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。
a
≧
0

{\displaystyle a\geqq 0}
 ,

b
≧
0

{\displaystyle b\geqq 0}
のとき、
等号が成り立つのは、

a
=
b

{\displaystyle a=b}
のときである。
(証明)
a
≧
0
,
b
≧
0

{\displaystyle a\geqq 0,b\geqq 0}
のとき
(

a

−

b

)

2

≧
0

{\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}\geqq 0}
であるから、



(

a

−

b

)

2

2

≧
0

{\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}}{2}}\geqq 0}

したがって 



a
+
b
2

≧

a
b


{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}}

等号が成り立つのは、


(

a

−

b

)

2

=
0

{\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}=0}
 のとき、すなわち 

a
=
b

{\displaystyle a=b}
 のときである。(証明 おわり)
公式の利用では、上の式 



a
+
b
2

≧

a
b


{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}}
 の両辺に2をかけた 

a
+
b
≧
2

a
b


{\displaystyle a+b\geqq 2{\sqrt {ab}}}
 の形の式を使う場合もある。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
 ,

b
>
0

{\displaystyle b>0}
のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(I)
(II)
(I)

a
>
0

{\displaystyle a>0}
であるから、


1
a

>
0

{\displaystyle {\frac {1}{a}}>0}

よって 

a
+

1
a

≧
2

a
×

1
a


=
2

{\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geqq 2{\sqrt {a\times {\frac {1}{a}}}}=2}

したがって
(II)
a
>
0

{\displaystyle a>0}
,

b
>
0

{\displaystyle b>0}
であるから、


b
a

>
0

{\displaystyle {\frac {b}{a}}>0}
,


a
b

>
0

{\displaystyle {\frac {a}{b}}>0}

よって 


b
a

+

a
b

+
2
≧
2


b
a

×

a
b


+
2
=
2
+
2
=
4

{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}+2\geqq 2{\sqrt {{\frac {b}{a}}\times {\frac {a}{b}}}}+2=2+2=4}

したがって
もし読者が指数関数などを知っていれば、
n個のものの相乗平均は、
と書ける。
数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも調和平均がある。
調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。
n個のものの調和平均は、
で定義される。
一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係
という関係が成り立つことが証明されている。
すなわち、数式で書けば
の関係式である。
簡潔に書くと、
となる。
2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。
という方程式を考える。