
一方、
の直角三角形については
正弦定理は、辺の長さを短い順に


b
1


{\displaystyle b_{1}}
 , 


b
2


{\displaystyle b_{2}}
とすると、
となるが、これは
に対応するが、もともとの三角形の性質からいって、
このことは確かに成立している。
次の三角形について、
c
2

=
a
2

+
b
2

−
2
a
b
cos
⁡
C

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
が成り立つ。これを余弦定理という。
点 


B

{\displaystyle \mathrm {B} }
 から直線 


C
A

{\displaystyle \mathrm {CA} }
 におろした垂線の足を点 


H

{\displaystyle \mathrm {H} }
 とする。
線分 


A
H

{\displaystyle \mathrm {AH} }
 の長さについて
A

{\displaystyle A}
 が鋭角かつ 

C

{\displaystyle C}
 が鋭角のとき、 


A
H
=
C
A
−
C
H
=
b
−
a
cos
⁡
C

{\displaystyle \mathrm {AH} =\mathrm {CA} -\mathrm {CH} =b-a\cos C}
A

{\displaystyle A}
 が鈍角かつ 

C

{\displaystyle C}
 が鋭角のとき、


A
H
=
C
H
−
C
A
=
a
cos
⁡
C
−
b

{\displaystyle \mathrm {AH} =\mathrm {CH} -\mathrm {CA} =a\cos C-b}
A

{\displaystyle A}
 が鋭角かつ 

C

{\displaystyle C}
 が鈍角のとき、


A
H
=
A
C
+
C
H
=
b
−
a
cos
⁡
C

{\displaystyle \mathrm {AH} =\mathrm {AC} +\mathrm {CH} =b-a\cos C}
である。
B
H
=
a
sin
⁡
C

{\displaystyle \mathrm {BH} =a\sin C}
三平方の定理より、
c
2

=

A
B

2

=

B
H

2

+

A
H

2

=
(
a
sin
⁡
C
)
2

+
(
b
−
a
cos
⁡
C
)
2

=
a
2

+
b
2

−
2
a
b
cos
⁡
C

{\displaystyle c^{2}=\mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {AH} ^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。
余弦定理の系
三角形ABCについて、辺の長さ
のとき、辺ACの長さを余弦定理を用いて求めよ。
余弦定理
を用いると、
が得られる!
よって、
が得られる。
上で得た三角形で、
も計算せよ。
元々の条件で三角形ABCは、2辺AB,BCとその間の角
が知られていた。そのため、この三角形は完全に決まっており、それぞれの角の大きさも知られるはずである。
それぞれの角の大きさを計算するためには、角の大きさのための余弦定理を使うのがよい。ただし、2つの角の大きさが求められたら、3つめの角は余弦定理によるまでもなく、
によって計算することが出来る。
まず、角Aを求める。余弦定理を用いると、
となる。
を満たす角度は簡単な形で表すことはできないが、平方根の表と三角比の表を用いておおよその値を知ることは出来る。