そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 

i

{\displaystyle i}
 であらわす。
この 

i

{\displaystyle i}
 のことを虚数単位(きょすうたんい)と呼ぶ。(虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。)
1
+
i

{\displaystyle 1+i}
 や 

2
+
5
i

{\displaystyle 2+5i}
  のように、虚数単位

i

{\displaystyle i}
と実数

a
,
b

{\displaystyle a,b}
を用いて
と表すことができる数を複素数(ふくそすう)という。このとき、aをこの複素数の実部(じつぶ)といい、bを虚部(きょぶ)という。
例えば、

1
+
i
,
2
+
5
i
,

9
2

+

7
2

i
,
4
i
,
3

{\displaystyle 1+i,\quad 2+5i,\quad {\frac {9}{2}}+{\frac {7}{2}}i,\quad 4i,\quad 3}
 は、いずれも複素数である。
複素数 a+bi は(ただし aとbは実数)、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。
言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a+0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。
4iのような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を純虚数(じゅんきょすう)と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。
実数も虚部が0の複素数と考えられる。
実数でない複素数のことを「虚数」(きょすう)という。
2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、
であることである。
つまり、
とくに、複素数a+bi が 0であるとは、a=0 かつ b=0 であることである。
複素数

z
=
a
+
b
i

{\displaystyle z=a+bi}
に対して、虚部の符号を反転させた複素数

a
−
b
i

{\displaystyle a-bi}
のことを「共役(きょうやく)な複素数」または「複素数

z

{\displaystyle z}
の共役」のように呼び、 



z
 ̄


{\displaystyle {\bar {z}}}
 であらわす。なお、「共役」は「共軛」の常用漢字による書き換えである。
実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。
複素数 z=a+bi について

複素数にも四則演算(加減乗除)が定義される。
複素数の演算では、虚数単位

i

{\displaystyle i}
を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数

z
 
,
 
w

{\displaystyle z\ ,\ w}
が、

z
=
a
+
b
i
 
,
 
w
=
c
+
d
i

{\displaystyle z=a+bi\ ,\ w=c+di}
で与えられるとき(ただし 

a
 
,
 
b
 
,
 
c
 
,
 
d

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d}
は実数とする)、

というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。
乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に i2にマイナス1を代入していっただけである。
除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を 掛け算 しただけである。
乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。
例題
2つの複素数
について、

a
+
b

{\displaystyle a+b}
 と 

a
b

{\displaystyle ab}
 と 


a
b


{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
 を、それぞれ計算せよ。
解答
である。