
単項式でも、項が1つしかない整式の一つであると考えることができるので、「整式」という概念を使うことにより、多項式と単項式との区別の必要がなくなる。
x
−
y

{\displaystyle x-y}
 のように減法を含む式は、 

x
−
y
=
x
+
(
−
y
)
=
−
y
+
x

{\displaystyle x-y=x+(-y)=-y+x}
 と減法を加法に直すことができるので、

x
,
−
y

{\displaystyle x,-y}
 を項にもつ整式であると考えられる。すなわち、多項式の項とは、多項式を足し算の形に直したときの、一つ一つの足しあわさっている式のことである。たとえば 

5
+
a
−
13
x
2

y
=
5
+
a
+
(
−
13
x
2

y
)

{\displaystyle 5+a-13x^{2}y=5+a+(-13x^{2}y)}
 の項は 

5
,
a
,
−
13
x
2

y

{\displaystyle 5,a,-13x^{2}y}
 の3つである。
次の式のうち単項式であるものを答えよ。
(1), (2) が単項式。 (3) は項が6つあるため単項式ではない。
上の全ての式は整式でもある。
3
x
2


{\displaystyle 3x^{2}}
 + 

5
x
2

+
8
x

{\displaystyle 5x^{2}+8x}
 の 

3
x
2


{\displaystyle 3x^{2}}
 と 

5
x
2


{\displaystyle 5x^{2}}
 のように、多項式の文字と指数がまったく同じである項を総称して同類項(どうるいこう、like terms)という。
同類項は分配法則 

a
b
+
a
c
=
a
(
b
+
c
)

{\displaystyle ab+ac=a(b+c)}
 を使ってまとめることができる。たとえば 

3
x
2

+
5
x
2

+
8
x
=
(
3
+
5
)
x
2

+
8
x
=
8
x
2

+
8
x

{\displaystyle 3x^{2}+5x^{2}+8x=(3+5)x^{2}+8x=8x^{2}+8x}
である。

8
x
2


{\displaystyle 8x^{2}}
 と 

8
x

{\displaystyle 8x}
 は文字は同じであるが指数が異なるので、同類項ではない。
次の多項式の同類項を整理せよ。
3
x

{\displaystyle 3x}
 という単項式は、3という数と 

x

{\displaystyle x}
 という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の係数(けいすう、coefficient)という。
たとえば 

−
x
=
(
−
1
)
x

{\displaystyle -x=(-1)x}
 という単項式の係数は -1 である。
256
x
y
2


{\displaystyle 256xy^{2}}
 という単項式は、256という数と 

x
,
y
,
y

{\displaystyle x,y,y}
 という文字に分けて考えることができるので、この単項式の係数は256である。一方、掛けあわせた文字の数を単項式の次数(じすう、degree)という。

256
x
y
2


{\displaystyle 256xy^{2}}
 は 

x
,
y
,
y

{\displaystyle x,y,y}
 という3つの文字を掛けあわせてできているので、この単項式の次数は3である。0という単項式の次数は 

0
=
0
x
=
0
x
2

=
0
x
3

=
⋯

{\displaystyle 0=0x=0x^{2}=0x^{3}=\cdots }
と一つに定まらないので、ここでは考えない。
単項式の係数と次数は、単に数と文字に分けて考えるのではなく、ある文字を変数として見たときに、残りの文字を定数として数と同じように扱うことがある。
たとえば 

−
5
a
b
c
x
3


{\displaystyle -5abcx^{3}}
という単項式を、


x
3


{\displaystyle x^{3}}
 だけが変数で、残りの文字 

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 は定数と考えることもできる。
このとき

(
−
5
a
b
c
)
x
3


{\displaystyle (-5abc)x^{3}}
 と分けられるので、この単項式の係数は 

−
5
a
b
c

{\displaystyle -5abc}
、変数は 


x
3


{\displaystyle x^{3}}
 で、次数は3であるといえる。
このことを 

−
5
a
b
c
x
3


{\displaystyle -5abcx^{3}}
 という単項式は、「

x

{\displaystyle x}
 に着目すると、係数は 

−
5
a
b
c

{\displaystyle -5abc}
、次数は3である」などという場合がある。
あるいは 

−
5
a
b
c
x
3


{\displaystyle -5abcx^{3}}
 の 

a

{\displaystyle a}
 と 

b

{\displaystyle b}
に着目すれば、

(
−
5
c
x
3

)
a
b

{\displaystyle (-5cx^{3})ab}
 と分けられ、

a

{\displaystyle a}
 と 

b

{\displaystyle b}
 に着目したときのこの単項式の係数は 

−
5
c
x
3


{\displaystyle -5cx^{3}}
、変数は 

a
b

{\displaystyle ab}
 で、次数は2であるといえる。
慣習的には 

a
,
b
,
c
,
⋯

{\displaystyle a,b,c,\cdots }
 などのアルファベットの最初の方の文字を定数を表すのに使い、

⋯
,
x
,
y
,
z

{\displaystyle \cdots ,x,y,z}
 などのアルファベットの最後の方の文字を変数を表すのに用いるが、一般的にはこの限りでない。
多項式の次数とは、多項式の同類項をまとめたときに、もっとも次数の高い項の次数をいう。たとえば 


x
3

+
3
x
2

y
+
2
y

{\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y}
 では、もっとも次数の高い項は 


x
3


{\displaystyle x^{3}}
 であるので、この多項式の次数は3である。もし 


x
3

+
3
x
2

y
+
2
y

{\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y}
(

x

{\displaystyle x}
 は定数)であれば、すなわち多項式の 

y

{\displaystyle y}
 について着目すると、もっとも次数の高い項は 

3
x
2

y

{\displaystyle 3x^{2}y}
 と 

2
y

{\displaystyle 2y}
 であるので、この多項式の次数は1である。このとき着目した文字を含まない項 


x
3


{\displaystyle x^{3}}
 は定数項(ていすうこう、constant term)として数と同じように扱われる。
次の多項式の 

x

{\displaystyle x}
 または 

y

{\displaystyle y}
 に着目したときの次数と定数項をそれぞれいえ。
たとえば、
のように、次数の高い項から先に項をならべることを「降べき」(こうべき)という。
さて、式を使う目的によっては、次数のひくい項から先に書いたほうが便利な場合もある。
たとえば、

x

{\displaystyle x}
が 約0.01 のような1未満の小さい数の場合、式 


x
2

+
6
x
+
7

{\displaystyle x^{2}+6x+7}
 の値を求めたいなら、文字

x

{\displaystyle x}
の次数の小さい項のほうが影響が高い。
なので、 目的によっては
のように、次数のひくい項から先に書く場合もある。
7
+
6
x
+
x
2


{\displaystyle 7+6x+x^{2}}
 のように、次数の低い項から先に項をならべることを「昇べき」(しょうべき)という。
多項式に2つ以上の文字があるとき、特定の1つの文字に注目して並び変えると、使いやすくなることがある。
たとえば、
の項を、xの次数が多い項から先に並びかえ、同類項をまとめると
となる。
この(例2)のように、特定の文字だけに着目して、その文字の次数の高い順に並びかえると便利なこともしばしばある。
例2は、

x

{\displaystyle x}
について 降べき の順に並び変えた整式である。
着目してない文字については、並び換えのときは定数のように扱う。
いっぽう、

x

{\displaystyle x}
について、次数のひくい項から順に並べると、次のような式になる。
このように、特定の文字の次数が低いものから順に並びかえると便利なこともしばしばある。
例3は、xについて 昇べき の順に並び変えた整式である。