ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。
右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。
半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。
動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。
負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。
いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。
半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに
となる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。
弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ)
扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S は
と表せる。
一般角が 

θ

{\displaystyle \theta }
 の半直線と単位円が交わる円を 


P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 とする。このときの 


P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 の座標を

(
cos
⁡
θ
,
sin
⁡
θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 とすることで、関数 

sin
,
cos

{\displaystyle \sin ,\cos }
 を定める。また、

tan
⁡
θ
=

sin
⁡
θ

cos
⁡
θ


{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
 とすることで関数 

tan
⁡
θ

{\displaystyle \tan \theta }
 を定める。

tan
⁡
θ

{\displaystyle \tan \theta }
 は一般角が 

θ

{\displaystyle \theta }
 の動径の傾きに等しい。
また、三角関数の累乗は 

(
sin
⁡
θ
)
n

=
sin
n

⁡
θ

{\displaystyle (\sin \theta)^{n}=\sin ^{n}\theta }
 と表記される。
cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に 

−

π
2


{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
だけ平行移動したものである。
y
=
sin
⁡
θ

{\displaystyle y=\sin \theta }
 や 

y
=
cos
⁡
θ

{\displaystyle y=\cos \theta }
 の形をした曲線のことを 正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。
関数 

sin
,
cos

{\displaystyle \sin ,\cos }
 の値域はどちらも、

[
−
1
,
1
]

{\displaystyle [-1,1]}
 である。
右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、
直線OPと 直線x=1 との交点を T とすると、
Tの座標は
になる。
このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。
y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
y=tan θ のグラフでは、θの値が 


π
2


{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
 に近づいていくと、
直線 

θ
=

π
2


{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}
 に限りなく近づいていく。
このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 (ぜんきんせん)という。
同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。
は y=tanθ の漸近線である。
一般に、 
はy=tanθのグラフの漸近線である。[1]
一般角が 

θ

{\displaystyle \theta }
 の動径は一回転しても等しいので、一般角が 

θ
+
2
π

{\displaystyle \theta +2\pi }
 の動径と等しい。これより三角関数の周期性
sin
⁡
(
θ
+
2
π
n
)

=
sin
⁡
θ


cos
⁡
(
θ
+
2
π
n
)

=
cos
⁡
θ


tan
⁡
(
θ
+
2
π
n
)

=
tan
⁡
θ



{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
点 

(
cos
⁡
θ
,
sin
⁡
θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 を 

π

{\displaystyle \pi }
 回転した点 

(
cos
⁡
(
θ
+
π
)
,
sin
⁡
(
θ
+
π
)
)

{\displaystyle (\cos(\theta +\pi),\sin(\theta +\pi))}
 は原点を中心に点対称移動した点 

(
−
cos
⁡
θ
,
−
sin
⁡
θ
)

{\displaystyle (-\cos \theta ,-\sin \theta)}
 であることから
sin
⁡
(
θ
+
π
)

=
−
sin
⁡
θ


cos
⁡
(
θ
+
π
)

=
−
cos
⁡
θ


tan
⁡
(
θ
+
π
)

=
tan
⁡
θ



{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi)&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi)&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi)&=\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
点 

(
cos
⁡
θ
,
sin
⁡
θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 を 

x

{\displaystyle x}
 軸で線対称移動移動した点が 

(
cos
⁡
(
−
θ
)
,
sin
⁡
(
−
θ
)
)
=
(
cos
⁡
θ
,
−
sin
⁡
θ
)

{\displaystyle (\cos(-\theta),\sin(-\theta))=(\cos \theta ,-\sin \theta)}
 であることから
sin
⁡
(
−
θ
)

=
−
sin
⁡
θ


cos
⁡
(
−
θ
)

=
cos
⁡
θ


tan
⁡
(
−
θ
)

=
−
tan
⁡
θ



{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta)&=-\sin \theta \\\cos(-\theta)&=\cos \theta \\\tan(-\theta)&=-\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
単位円周上の点 

(
cos
⁡
θ
,
sin
⁡
θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 から原点までの距離は 1 なので、 


sin
2

⁡
θ
+
cos
2

⁡
θ
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
 が成り立つ。
また、この式に、 

tan
⁡
θ
=

sin
⁡
θ

cos
⁡
θ


{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
 つまり、 

sin
⁡
θ
=
tan
⁡
θ
cos
⁡
θ

{\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta }
 を代入すれば、

1
+
tan
2

⁡
θ
=

1

cos
2

⁡
θ


{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}}
 が成り立つことがわかる。
関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 に対して、0 でない実数 

p

{\displaystyle p}
 が存在して、

f
(
x
+
p
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle f(x+p)=f(x)}
 となるとき関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は周期関数という。実数 

p

{\displaystyle p}
 が上の性質を満たすとき、

−
p
,
2
p

{\displaystyle -p,2p}
 など、実数 

p

{\displaystyle p}
 を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数  

p

{\displaystyle p}
 の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。
sin
⁡
x
,
cos
⁡
x

{\displaystyle \sin x,\cos x}
 は周期を 

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 とする周期関数であり、

tan
⁡
x

{\displaystyle \tan x}
 は周期を 

π

{\displaystyle \pi }
 とする周期関数である。
演習問題
k

{\displaystyle k}
 を0でない実数とする。関数 

sin
⁡
k
x

{\displaystyle \sin kx}
 の周期を言え
解答
sin
⁡
k
(
x
+

2
π
k

)
=
sin
⁡
k
x

{\displaystyle \sin k\left(x+{\frac {2\pi }{k}}\right)=\sin kx}
 なので答えは 



2
π
k


{\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}}
 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。
関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が 

f
(
−
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle f(-x)=f(x)}
 を満たすとき、関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は偶関数という。偶関数は 

y

{\displaystyle y}
 軸に関して対称なグラフになる。
また、関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が 

f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)

{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
 を満たすとき、関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
関数 

cos
⁡
θ
,
x
2
n


{\displaystyle \cos \theta ,x^{2n}}
 (

n

{\displaystyle n}
 は整数)は偶関数となる。
関数 

sin
⁡
x
,
x
2
n
+
1


{\displaystyle \sin x,x^{2n+1}}
 (

n

{\displaystyle n}
 は整数)は奇関数となる。
tan
⁡
θ

{\displaystyle \tan \theta }
 は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
解答
なので、 

tan
⁡
θ

{\displaystyle \tan \theta }
 は奇関数である。[2]
関数 

y
=
sin
⁡
(
θ
−

π
3

)

{\displaystyle y=\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)}
 のグラフは、

y
=
sin
⁡
θ

{\displaystyle y=\sin \theta }
のグラフを θ軸方向に 


π
3


{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
 だけ平行移動させたものになり、周期は 

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は 

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 のままである。)
関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。
ー1 ≦  sin θ ≦  1  なので、
値域は  ー2 ≦  2sin θ ≦  2  である。
関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 


1
2


{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
 倍に縮小したものになっている。 
したがって、周期も 


1
2


{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
 倍になっており、y=sinθ の周期は 

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 だから、y=sin2θ の周期は 

π

{\displaystyle \pi }
 である。
三角関数の加法定理
が成り立つ。
証明
任意の実数 

α
,
β

{\displaystyle \alpha ,\beta }
 に対し、単位円周上の点 


A
(
cos
⁡
α
,
sin
⁡
α
)
,
B
(
cos
⁡
β
,
sin
⁡
β
)

{\displaystyle \mathrm {A} (\cos \alpha ,\sin \alpha),\mathrm {B} (\cos \beta ,\sin \beta)}
 をとる。このとき、 線分 


A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 の長さの2乗 


A
B

2


{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}}
 は余弦定理を使うことにより 
A
B

2

=
2
−
2
cos
⁡
(
α
−
β
)

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=2-2\cos(\alpha -\beta)}
である。次に三平方の定理を使って
A
B

2

=
(
cos
⁡
α
−
cos
⁡
α
)
2

+
(
sin
⁡
α
−
sin
⁡
β
)
2

=
2
−
2
(
cos
⁡
α
cos
⁡
β
+
sin
⁡
α
sin
⁡
β
)

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=(\cos \alpha -\cos \alpha)^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta)^{2}=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta)}
これを整理して 
cos
⁡
(
α
−
β
)
=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
+
sin
⁡
α
sin
⁡
β

{\displaystyle \cos(\alpha -\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }
を得る。
cos
⁡
(
α
+
β
)
=
cos
⁡
(
α
−
(
−
β
)
)
=
cos
⁡
α
cos
⁡
(
−
β
)
+
sin
⁡
α
sin
⁡
(
−
β
)
=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
−
sin
⁡
α
sin
⁡
β

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta)=\cos(\alpha -(-\beta))=\cos \alpha \cos(-\beta)+\sin \alpha \sin(-\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
である。
以上をまとめて
cos
⁡
(
α
±
β
)
=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
∓
sin
⁡
α
sin
⁡
β

{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
を得る。
ここで、
sin
⁡
(
α
±
β
)
=
−
cos
⁡
(
α
+

π
2

±
β
)
=
−
{
cos
⁡
(
α
+

π
2

)
cos
⁡
(
β
)
∓
sin
⁡
(
α
+

π
2

)
sin
⁡
β
}
=
sin
⁡
α
cos
⁡
β
±
cos
⁡
α
sin
⁡
β

{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta)=-\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\pm \beta)=-\{\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\cos(\beta)\mp \sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
[3]
さらに、

tan
⁡
x

{\displaystyle \tan x}
 についても
tan
⁡
(
α
±
β
)

=

sin
⁡
(
α
±
β
)

cos
⁡
(
α
±
β
)




=

sin
⁡
α
cos
⁡
β
±
cos
⁡
α
sin
⁡
β

cos
⁡
α
cos
⁡
β
∓
sin
⁡
α
sin
⁡
β




=








sin
⁡
α
cos
⁡
β




cos
⁡
α
cos
⁡
β


±




cos
⁡
α
sin
⁡
β




cos
⁡
α
cos
⁡
β











cos
⁡
α
cos
⁡
β




cos
⁡
α
cos
⁡
β


∓




sin
⁡
α
sin
⁡
β




cos
⁡
α
cos
⁡
β








=

tan
⁡
α
±
tan
⁡
β

1
∓
tan
⁡
α
tan
⁡
β




{\textstyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta)&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos(\alpha \pm \beta)}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\\&={\cfrac {{\cfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\cfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\cfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\mp {\cfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}}
が成り立つ。
加法定理を用いて以下が証明できる。
sin
⁡
2
α
=
sin
⁡
(
α
+
α
)
=
2
sin
⁡
α
cos
⁡
α

{\displaystyle \sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha }
cos
⁡
2
α
=
cos
⁡
(
α
+
α
)
=
cos
2

⁡
α
−
sin
2

⁡
α
=
2
cos
2

⁡
α
−
1
=
1
−
2
sin
2

⁡
α

{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha)=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }
tan
⁡
2
α
=

2
tan
⁡
α

1
−
tan
2

⁡
α


{\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}
次に、 

cos

{\displaystyle \cos }
 の倍角の公式を変形すると
sin
2

⁡
α
=

1
−
cos
⁡
2
α
2


{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}
cos
2

⁡
α
=

1
+
cos
⁡
2
α
2


{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}
である。
演習問題
解答
sin
⁡
15
∘

=
sin
⁡
(
45
∘

−
30
∘

)
=


6

−

2

4


{\displaystyle \sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}
cos
⁡
15
∘

=
cos
⁡
(
45
∘

−
30
∘

)
=


6

+

2

4


{\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}
tan
2

⁡
α
=


sin
2

⁡
α

cos
2

⁡
α

=

1
−
cos
⁡
2
α

1
+
cos
⁡
2
α


{\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}
今までの定理をまとめると、次のようになる。
覚え方
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
cos

{\displaystyle \cos }
 の倍角の公式 

cos
⁡
2
θ
=
2
cos
2

⁡
θ
−
1
=
1
−
2
sin
2

⁡
θ

{\displaystyle \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta }
 は 

±
1
∓
2

a
a
a

2

θ

{\displaystyle \pm 1\mp 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta }
 という形を覚えて 

sin

{\displaystyle \sin }
 は符号が 

−

{\displaystyle -}
、1 の符号はその逆と覚えます。
2乗の三角関数 


sin
2

⁡
θ
=

1
−
cos
⁡
2
θ
2

,
cos
2

⁡
θ
=

1
+
cos
⁡
2
θ
2


{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}
 は、



1
±
cos
⁡
2
θ
2


{\displaystyle {\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}}
 という形を覚えて、 

sin

{\displaystyle \sin }
 は符号が

−

{\displaystyle -}
 と考えます。
三角関数の和
において、

a
,
b
≠
0

{\displaystyle a,b\neq 0}
 のとき
{

a

a
2

+
b
2



}

2

+

{

b

a
2

+
b
2



}

2

=
1

{\displaystyle \left\{{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}=1}
 であるので、点 


(


a

a
2

+
b
2



,

b

a
2

+
b
2



)

{\displaystyle \left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)}
 は単位円周上の点なので、
となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。
演習問題
r
,
α

{\displaystyle r,\alpha }
 は 

r
>
0
,
−
π
≤
α
<
π

{\displaystyle r>0,-\pi \leq \alpha <\pi }
 を満たすとする。
解答
sin
⁡
θ
−

3

cos
⁡
θ

=
2
(

1
2

sin
⁡
θ
−

3
2

cos
⁡
θ
)



=
2
(
sin
⁡
θ
cos
⁡

π
3

−
cos
⁡
θ
sin
⁡

π
3

)



=
2
sin
⁡
(
θ
−

π
3

)



{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta &=2\left({\frac {1}{2}}\sin \theta -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta \right)\\&=2\left(\sin \theta \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos \theta \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}}
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。