
正規分布は連続型確率変数の分布の代表例である。身の周りの現象の中には、観測される変量の分布が正規分布に近いものが多くあり、正規分布を有効に利用することができる。最も有名な例を出すと、偏差値の導出に利用されている。
正規分布のうち、特に

N
(
0
,
1
)

{\displaystyle N(0,1)}
を標準正規分布と呼ぶ。
X
∼
N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle X\sim N(m,\sigma ^{2})}
のとき、

Y
=
a
X
+
b

{\displaystyle Y=aX+b}
とすると

Y
∼
N
(
a
m
+
b
,
a
2

σ
2

)

{\displaystyle Y\sim N(am+b,a^{2}\sigma ^{2})}
であることが知られている。そこで

Z
=

X
−
m
σ


{\displaystyle Z={\frac {X-m}{\sigma }}}
とすると

Z
∼
N
(
0
,
1
)

{\displaystyle Z\sim N(0,1)}
であり、

f
(
z
)
=

1
2
π


e
−

z
2

n



{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{n}}}}
が成り立つ。
このように、正規分布に従うある確率変数を標準正規分布に従う確率変数に変換することを、標準化と呼ぶ。
標準正規分布に従う確率変数

Z

{\displaystyle Z}
において

P
(
0
≤
Z
≤
u
)
=
p
(
u
)

{\displaystyle P(0\leq Z\leq u)=p(u)}
としたとき、

p
(
u
)

{\displaystyle p(u)}
がとる値を纏めた表を(標準)正規分布表と呼ぶ。正規分布を利用する際には必須になる表であり、大学入試においても問題冊子の最後の方に載せられていることが多い。本書の最終項に載せているので、演習問題を解くときに利用すると良い。
標準正規分布における確率について、次の等式が成り立つ。
P
(
−
u
≤
Z
≤
0
)
=
P
(
0
≤
Z
≤
u
)
=
p
(
u
)

{\displaystyle P(-u\leq Z\leq 0)=P(0\leq Z\leq u)=p(u)}
P
(
−
u
≤
Z
≤
u
)
=
2
p
(
u
)

{\displaystyle P(-u\leq Z\leq u)=2p(u)}
P
(
Z
≤
0
)
=
P
(
Z
≥
0
)
=
0.5

{\displaystyle P(Z\leq 0)=P(Z\geq 0)=0.5}
なお、正規分布表の値は累積密度関数

F
(
x
)
=

1
+
e
r
f
(

x
−
m


2

σ

)
2


{\displaystyle F(x)={\frac {1+{erf}({\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }})}{2}}}
の

x
=
u

{\displaystyle x=u}
における微分係数であり、正規分布表を用いて求める確率ではないことに注意。ここで


e
r
f
(
x
)

{\displaystyle {erf}(x)}
は誤差関数と呼ばれる特殊関数で、


e
r
f
(
x
)
=

2
π


∫
0

x

e
−
t
2


d
t

{\displaystyle {erf}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}
で定義される。
二項分布

B
(
n
,
p
)

{\displaystyle B(n,p)}
に従う確率変数

X

{\displaystyle X}
について、

X
=
r

{\displaystyle X=r}
となる確率を

n

{\displaystyle n}
を大きくしながら計算し、そのグラフを書くと、次第にグラフが左右対称になっていくことがわかる。
そこで、二項分布を正規分布で近似することを考える。
一般に、ある確率分布に従う変数を正規分布に従う変数に近似する変換を正規化あるいは正規近似と呼ぶ。
二項分布に従う確率変数を正規化した後、さらに標準化することで正規分布表を活用することができる。先ほどの標準化の式に

m
=
n
p
,
σ
=

n
p
q


{\displaystyle m=np,\sigma ={\sqrt {npq}}}
を代入するだけなので、そこまで手間はかからない。
なお、二項分布においてはベルヌーイ試行の確率

p

{\displaystyle p}
が0.5に近ければ近いほど正規近似の精度が上がることが知られている。

調べたい対象全体のデータを集める調査を全数調査と呼ぶ。国勢調査などがこれにあたる。全数調査は対象が厖大な場合に多くの労力・時間・費用を必要とする。また、工場等においては調査によって製品が傷つく場合(耐久試験など)には好ましくない。このような場合、対象全体から一部を抜き出して調べ、その結果から全体の状況を推測する調査を行う。このような調査を標本調査と呼ぶ。
標本調査における調べたい対象全体の集合を母集団、調査のために母集団から抜き出された要素の集合を標本と呼び、母集団から標本を抜き出すことを標本の抽出と呼ぶ。また、母集団の要素の個数を母集団の大きさ、標本の要素の個数を標本の大きさと呼ぶ。なお、ここでの「母」は「そこから何かを生じさせるもとになるもの」を意味する(「酵母」、「母校」等と同じ用法)。
標本調査では標本を母集団の正しい縮図にするために、標本が特別な属性を持つものに偏らないようにする必要がある。母集団の各要素を等しい確率で抽出することを無作為抽出と呼び、無作為抽出で選ばれた標本を無作為標本と呼ぶ。無作為抽出では乱数賽や乱数表などが用いられることがある。詳しくは「w:乱数生成」を参照。
全ての要素を母集団全体から無作為抽出することは容易ではないため、層化抽出法、クラスター抽出法、多段抽出法などさまざまな抽出方法が編み出されており、それぞれに長所・短所が存在する。
母集団に属する要素についてのデータをある変量の値の集合と考えることで、 ここまで扱ってきたような統計的手法が使える。
大きさ

N

{\displaystyle N}
の母集団において、変量

x

{\displaystyle x}
のとる値と要素の個数をそれぞれ


x
1

x
2

⋯
x
r

,
f
1

f
2

⋯
f
n


{\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{r},f_{1}f_{2}\cdots f_{n}}
と置く。
このとき、変量xの度数分布表は以下のようになる。
また、変量

x

{\displaystyle x}
の平均

μ

{\displaystyle \mu }
と標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
は以下のように求められる。
μ
=

1
N

∑
k
=
1

n

x
k

f
k

=
∑
k
=
1

n

x
k


f
k

N


{\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}f_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {f_{k}}{N}}}
σ
=


1
N

∑
k
=
1

n

(
x
k

−
μ
)
2

f
k


=

∑
k
=
1

n

(
x
k

−
μ
)
2


f
k

N



{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mu)^{2}f_{k}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mu)^{2}{\frac {f_{k}}{N}}}}}
この母集団から大きさ

n
=
1

{\displaystyle n=1}
で無作為抽出するとき、その要素における変量

x

{\displaystyle x}
の値

X

{\displaystyle X}
は偶然に支配されるが、

X
=
x
k


{\displaystyle X=x_{k}}
となる確率


p
k


{\displaystyle p_{k}}
は


p
k

=

f
k

N


{\displaystyle p_{k}={\frac {f_{k}}{N}}}
で与えられる。
よって

X

{\displaystyle X}
は以下のような確率分布を持つ確率変数と考えられる。
この確率分布は母集団の相対度数の分布と一致する。
一般に、母集団における変量xの分布を母集団分布、その平均値を母平均、分散を母分散、標準偏差を母標準偏差と呼ぶ。
上の確率分布から、大きさ1の無作為標本における変量

x

{\displaystyle x}
の値

X

{\displaystyle X}
と母平均

μ

{\displaystyle \mu }
、母分散


σ
2


{\displaystyle \sigma ^{2}}
、母標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
について、

E
(
X
)
=
μ
,
V
(
X
)
=
σ
2

,
σ
(
X
)
=
σ

{\displaystyle E(X)=\mu ,V(X)=\sigma ^{2},\sigma (X)=\sigma }
が成り立つ。
実際の統計では母集団の大きさが非常に大きく、母集団分布は度数分布と同様に連続型確率変数の分布として近似される。そこで、正規分布に近似することで具合が良くなる場合が多い。
母集団から標本を抽出するのに、毎回元に戻しながら次のものを取り出す抽出を復元抽出と呼ぶ。逆に、取り出したものを戻さずに続けて抽出することを非復元抽出と呼ぶ。
大きさ

n

{\displaystyle n}
の標本の要素における変量

x

{\displaystyle x}
の値を


X
1

,
X
2

⋯
X
n


{\displaystyle X_{1},X_{2}\cdots X_{n}}
と置く。標本が復元抽出によるものならば、母集団から大きさ1の標本を無作為抽出することを

n

{\displaystyle n}
回繰り返す反復試行であるから、


X
k


{\displaystyle X_{k}}
はそれぞれが母集団分布に従う互いに独立な確率変数となる。非復元抽出の場合でも、母集団の大きさ

N

{\displaystyle N}
が標本の大きさ

n

{\displaystyle n}
より十分大きい(

N
>>
n

{\displaystyle N>>n}
)場合には近似的に復元抽出による標本と見なすことができる。
大きさ

n

{\displaystyle n}
の標本について、


X
 ̄

=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k


{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}}
を標本平均、


S
2

=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

−

X
 ̄

)
2


{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}
を標本分散、

S
=


1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

−

X
 ̄

)
2



{\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}}}
を標本標準偏差と呼ぶ。
X
k


{\displaystyle X_{k}}
は「母集団から標本を抽出する」という試行の結果で値が定まる確率変数なので、


X
 ̄

,
S
2

,
S

{\displaystyle {\overline {X}},S^{2},S}
も同様の試行の結果で値が定まる確率変数である。
復元抽出の場合、確率変数の値


X
k


{\displaystyle X_{k}}
は大きさ1の標本の確率変数と見なすことができ、それぞれ母集団分布に従うので、

E
(
X
k

)
=
μ
,
V
(
X
k

)
=
σ
2

,
σ
(
X
k

)
=
σ

{\displaystyle E(X_{k})=\mu ,V(X_{k})=\sigma ^{2},\sigma (X_{k})=\sigma }
が成り立つ。
X
k


{\displaystyle X_{k}}
はそれぞれ互いに独立なので、確率変数の和の期待値・分散を求める公式より


E
(

X
 ̄

)
=
E
(

1
n

∑
k
=
1

n

x
k

)
=

1
n

∑
k
=
1

n

E
(
X
k

)
=

1
n

⋅
n
μ
=
μ

{\displaystyle E({\overline {X}})=E({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}E(X_{k})={\frac {1}{n}}\cdot n\mu =\mu }



V
(

X
 ̄

)
=
V
(

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

)
=

1
n
2


∑
k
=
1

n

V
(
X
k

)
=

1
n
2


⋅
n
σ
2

=

σ
2

n


{\displaystyle V({\overline {X}})=V({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}V(X_{k})={\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}



σ
(

X
 ̄

)
=

V
(

X
 ̄

)

=

σ
n


{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})={\sqrt {V({\overline {X}})}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
非復元抽出の場合も

N
>>
n

{\displaystyle N>>n}
ならば同様である。
母集団全体の中である特性Aを持つ要素の割合を特性Aの母比率、標本の中で特性Aを持つ要素の割合を特性Aの標本比率と呼ぶ。
特性Aの母比率が

p

{\displaystyle p}
である十分大きな母集団から、大きさがnの標本を無作為抽出するとき、標本の中で特性Aを持つ要素の個数を

T

{\displaystyle T}
とおくと、

T
∼
B
(
n
,
p
)

{\displaystyle T\sim B(n,p)}
である。ここで、

q
=
1
−
p

{\displaystyle q=1-p}
として正規化すると、近似的に

T
∼
N
(
n
p
,
n
p
q
)

{\displaystyle T\sim N(np,npq)}
である。
特性Aの標本比率を

R

{\displaystyle R}
とおくと、

R
=

T
n


{\displaystyle R={\frac {T}{n}}}
より

R

{\displaystyle R}
は確率変数であり、


E
(
R
)
=

1
n

E
(
T
)
=

1
n

⋅
n
p
=
p

{\displaystyle E(R)={\frac {1}{n}}E(T)={\frac {1}{n}}\cdot np=p}
V
(
R
)
=

1
n
2


E
(
T
)
=

1
n
2


⋅
n
p
q
=

p
q
n


{\displaystyle V(R)={\frac {1}{n^{2}}}E(T)={\frac {1}{n^{2}}}\cdot npq={\frac {pq}{n}}}
であるので、近似的に

R
∼
N
(
p
,

p
q
n

)

{\displaystyle R\sim N(p,{\frac {pq}{n}})}
である。
特性Aの母比率が

p

{\displaystyle p}
である母集団において、特性Aを持つ要素を1、持たない要素を0で表す変量

x

{\displaystyle x}
を考える。このとき、


X
k


{\displaystyle X_{k}}
はそれぞれ1または0である。特性Aの標本比率

R

{\displaystyle R}
はこれらのうち値が1であるものの割合であるから、

R
=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

=

X
 ̄


{\displaystyle R={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}={\overline {X}}}
が成り立つ。よって、標本比率は標本平均の特別な場合である。
一般に、標本平均


X
 ̄


{\displaystyle {\overline {X}}}
について以下の法則が成り立つ。
標本標準偏差について、


lim
n
→
∞

σ
(

X
 ̄

)
=
lim
n
→
∞


σ
n

=
0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma ({\overline {X}})=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}=0}
より、

n

{\displaystyle n}
が大きくなると


X
 ̄


{\displaystyle {\overline {X}}}
は母平均

μ

{\displaystyle \mu }
の近くに集中して分布する。すなわち、


X
 ̄


{\displaystyle {\overline {X}}}
が

μ

{\displaystyle \mu }
に近い値をとる確率を

p

{\displaystyle p}
とすると、


lim
n
→
∞

p
=
1

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }p=1}
である。
lim
n
→
∞


{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}
は「

n

{\displaystyle n}
を限りなく大きくする」という意味の記号である。詳しくはこちらを参照。