ここでは、微分・積分の考えで学んだ微分の性質についてより詳しく扱う。特に、関数の和、差、積、商、更に合成関数や、逆関数の導関数について詳しく扱う。また、三角関数などの複雑な関数の微分についてもここでまとめる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が任意の点xで極限値
を持つとき、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は微分可能と言い、関数f' を、関数fの導関数と呼ぶ。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が微分可能ならば、連続関数である。
(証明)
fが微分可能とすると、
なので、fは連続である。
ここでは、関数の和、差、積、商の微分について扱う。これらの方法は以降の計算で常に用いられる内容であるので、十分に習熟しておく必要がある。
f,gを微分可能な関数とする。このとき、fとgの和について次が成り立つ。
これは、関数の和を微分して得られる導関数は、それぞれの関数の和を足し合わせたものに等しいことを表している。
導出
次に、関数の実数倍の導関数について考える。関数の実数倍をしたものを微分したものは、実数倍する前の関数に対する導関数を実数倍したものになる。具体的には次の式が成り立つ。

(
a
f
)
′
=
a
f
′

{\displaystyle (af)'=af'}

(aは定数) 
導出
積に関しては、和や実数倍と比べて計算結果がより複雑になる。具体的には次が成り立つ。
これは、それぞれの関数の微分とそれ以外の関数との積が得られるということを表している。これは導出を見ないとなぜこうなるかがわからないかも知れないが、よく導出を検討することが重要である。
導出
ここで、


lim
h
→
0

f
(
x
+
h
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}f(x+h)=f(x)}
に注意すると、
商の導関数については次式が成り立つ。
この式についても、よく導出を検討することが必要である。
導出
また、商の導関数の式と、積の導関数の式より、次の公式が導かれる。
この式は、積の式と商の式から直接従う式だが、よく現れる形であるので、覚えておくと便利なことがある。
導出
合成関数とは、2つの関数

f
,
g

{\displaystyle f,g}
を用いて、

h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
という形で書くことができる関数のことである。合成関数は、与えられた変数に対する関数と見ることができ、導関数を取ることも可能である。