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指数・対数関数に関して、次が成り立つ
また、自然対数は高等学校数学III/微分法で導入されるが、自然対数については、次が成り立つ。
w:ネピア数

e

{\displaystyle e}
の定義より、


lim
n
→
∞

(
1
+

1
n

)
n

=
e

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}=e}
。これの両辺の自然対数をとって


lim
n
→
∞

n
log
⁡
(
1
+

1
n

)
=
log
⁡
e
=
1

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\log(1+{\frac {1}{n}})=\log e=1}
。ここで、

x
=

1
n


{\displaystyle x={\frac {1}{n}}}
とすると、

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
で

x
→
0

{\displaystyle x\to 0}
なので、


lim
x
→
0


log
⁡
(
1
+
x
)
x

=
1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}
となる。■
また、これを用いてネピア数

e

{\displaystyle e}
については、次が導かれる。
lim
x
→
0


log
⁡
(
1
+
x
)
x

=
1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}
の関係式で、


e
t

=
1
+
x

{\displaystyle e^{t}=1+x}
とおくと、

x
→
0

{\displaystyle x\to 0}
のときに

t
→
0

{\displaystyle t\to 0}
となり、



log
⁡
(
e
t

)

e
t

−
1

=

t

e
t

−
1

→
1
(
t
→
0
)

{\displaystyle {\frac {\log(e^{t})}{e^{t}-1}}={\frac {t}{e^{t}-1}}\to 1(t\to 0)}
。
両辺の逆数をとり、tをxに書き換えると、


lim
x
→
0



e
x

−
1
x

=
1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}
となる。■
次の極限を求めよ

ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。