
確率変数

X

{\displaystyle X}
の期待値・分散・標準偏差のことをそれぞれ

X

{\displaystyle X}
の分布の平均・分散・標準偏差とも呼ぶ。標準偏差は分布の平均を中心として


x
k


{\displaystyle x_{k}}
の散らばる傾向の程度を表しており、標準偏差の値が小さいほど


x
k


{\displaystyle x_{k}}
は分布の平均の近傍に集中する。
なお、分散と標準偏差を纏めて散布度、代表値と合わせて分布の特性値と呼ぶ場合がある。

X

{\displaystyle X}
の確率分布が以下の表であるとする。
a
,
b

{\displaystyle a,b}
を定数とすると、一次式

Y
=
a
X
+
b

{\displaystyle Y=aX+b}
で定められる

Y

{\displaystyle Y}
も確率変数となり、そのとる値は


y
k

=
a
x
k

+
b

{\displaystyle y_{k}=ax_{k}+b}
となる。よって

Y

{\displaystyle Y}
の確率分布は以下の表のようになる。
確率変数

X

{\displaystyle X}
に対して上のような

Y

{\displaystyle Y}
を考えることを確率変数の変換と呼ぶ。
Y

{\displaystyle Y}
の期待値・分散・標準偏差は以下のようになる。


E
(
Y
)
=
∑
k
=
1

n

y
k

p
k

=
∑
k
=
1

n

(
a
x
k

+
b
)
p
k

=
a
∑
k
=
1

n

x
k

p
k

+
b
∑
k
=
1

n

p
k

=
a
E
(
X
)
+
b

{\displaystyle E(Y)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}(ax_{k}+b)p_{k}=a\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+b\sum _{k=1}^{n}p_{k}=aE(X)+b}
V
(
Y
)
=
∑
k
=
1

n

{
y
k

−
E
(
Y
)
}
2

p
k

=
a
2

∑
k
=
1

n

{
x
k

−
E
(
X
)
}
2

p
k

=
a
2

V
(
X
)

{\displaystyle V(Y)=\sum _{k=1}^{n}\{y_{k}-E(Y)\}^{2}p_{k}=a^{2}\sum _{k=1}^{n}\{x_{k}-E(X)\}^{2}p_{k}=a^{2}V(X)}



∵
y
k

−
E
(
Y
)
=
a
x
k

+
b
−
{
a
E
(
X
)
+
b
}
=
a
{
x
k

−
E
(
X
)
}

{\displaystyle \because y_{k}-E(Y)=ax_{k}+b-\{aE(X)+b\}=a\{x_{k}-E(X)\}}
σ
(
Y
)
=

V
(
Y
)

=
|
a
|

V
(
X
)

=
|
a
|
σ
(
X
)

{\displaystyle \sigma (Y)={\sqrt {V(Y)}}=|a|{\sqrt {V(X)}}=|a|\sigma (X)}
確率変数

X
,
Y
,
Z
,
⋯

{\displaystyle X,Y,Z,\cdots }
と実数

a
,
b
,
c
,
⋯

{\displaystyle a,b,c,\cdots }
に対し

X
=
a
,
Y
=
b
,
Z
=
c
,
⋯

{\displaystyle X=a,Y=b,Z=c,\cdots }
が同時に成り立つ確率を

P
(
X
=
a
,
Y
=
b
,
Z
=
c
,
⋯
)

{\displaystyle P(X=a,Y=b,Z=c,\cdots)}
のように表すこととする。
2つの確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
についてとりうる値がそれぞれ


x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n


{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
、


y
1

,
y
2

,
⋯
,
y
m


{\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m}}
であるとする。

P
(
X
=
x
i

,
Y
=
y
j

)
=
r
i
j


{\displaystyle P(X=x_{i},Y=y_{j})=r_{ij}}
とおいたとき、以下の表のように全ての

i
,
j

{\displaystyle i,j}
の組み合わせにおいて

(
x
i

,
y
j

)

{\displaystyle (x_{i},y_{j})}
と


p
i
j


{\displaystyle p_{ij}}
との対応が得られる。
このような対応を

X

{\displaystyle X}
と

Y

{\displaystyle Y}
の同時分布という。
各

i
,
j

{\displaystyle i,j}
について、それぞれ

P
(
X
=
x
i

)
=
∑
j
=
1

m

r
i
j

=
p
i

,
P
(
Y
=
y
j

)
=
∑
i
=
1

n

r
i
j

=
q
j


{\displaystyle P(X=x_{i})=\sum _{j=1}^{m}r_{ij}=p_{i},P(Y=y_{j})=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}=q_{j}}
が成り立つので、

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
の確率分布はそれぞれ以下のようになる。
2つの確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
について、和

X
+
Y

{\displaystyle X+Y}
もまた確率変数であり、同時分布表と確率変数変換の等式から、確率変数の和の期待値について

E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)

{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}
、

E
(
a
X
+
b
Y
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E
(
Y
)

{\displaystyle E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)}
が成り立つことがわかる。これは確率変数が3つ以上であっても同様に成り立つ。
一般に2つの事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
において


P
A

(
B
)
=
P
(
B
)

{\displaystyle P_{A}(B)=P(B)}
が成り立つとき、事象

A

{\displaystyle A}
が起こることは事象

B

{\displaystyle B}
の起こる確率に無関係である。これを事象

A

{\displaystyle A}
は事象

B

{\displaystyle B}
に独立であるという。このとき、確率の乗法定理により

P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)

{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}
が成り立つ。この式は


P
B

(
A
)
=
P
(
A
)

{\displaystyle P_{B}(A)=P(A)}
と同値であるため、事象

B

{\displaystyle B}
が起こることも事象Aの起こる確率に無関係、つまり事象

B

{\displaystyle B}
は事象

A

{\displaystyle A}
に独立であると言える。よって、

P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)

{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}
が成り立つとき、2つの事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
は互いに独立である。独立でない場合は2つの事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
は従属であるという。なお、事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
の独立・従属と対応する確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
の独立・従属は一致する。
2つの確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
について、積

X
Y

{\displaystyle XY}
もまた確率変数である。

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立なとき、同時分布表より確率変数の積の期待値は以下のように計算される。
E
(
X
Y
)
=
∑
i
=
1

n

∑
j
=
1

m

(
x
i

y
j

)
(
p
i

q
j

)
=
∑
i
=
1

n

x
i

p
i

⋅
∑
j
=
1

m

y
j

q
j

=
E
(
X
)
E
(
Y
)

{\displaystyle E(XY)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(x_{i}y_{j})(p_{i}q_{j})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\cdot \sum _{j=1}^{m}y_{j}q_{j}=E(X)E(Y)}
これは3つ以上の確率変数においても互いに独立ならば成立する。
確率変数

X
+
Y

{\displaystyle X+Y}
の分散について考える。
V
(
X
+
Y
)
=
E
{
(
X
+
Y
)
2

}
−
{
E
(
X
+
Y
)
}
2


{\displaystyle V(X+Y)=E\{(X+Y)^{2}\}-\{E(X+Y)\}^{2}}
=
E
(
X
2

+
2
X
Y
+
Y
2

)
−
{
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
}
2


{\displaystyle =E(X^{2}+2XY+Y^{2})-\{E(X)+E(Y)\}^{2}}
=
E
(
X
2

)
+
2
E
(
X
Y
)
+
E
(
Y
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

−
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
−
{
E
(
Y
)
}
2


{\displaystyle =E(X^{2})+2E(XY)+E(Y^{2})-\{E(X)\}^{2}-2E(X)E(Y)-\{E(Y)\}^{2}}
このとき、確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立ならば

E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
E
(
Y
)

{\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)}
を用いることで、
上式

=
E
(
X
2

)
+
E
(
Y
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

−
{
E
(
Y
)
}
2


{\displaystyle =E(X^{2})+E(Y^{2})-\{E(X)\}^{2}-\{E(Y)\}^{2}}
=
[
E
(
X
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

]
+
[
E
(
Y
2

)
−
{
E
(
Y
)
}
2

]

{\displaystyle =[E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}]+[E(Y^{2})-\{E(Y)\}^{2}]}
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)

{\displaystyle =V(X)+V(Y)}
と変形できる。
同様に、確率変数変換の等式より確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立ならば

V
(
a
X
+
b
Y
)
=
a
2

V
(
X
)
+
b
2

V
(
Y
)

{\displaystyle V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)}
が成り立つ。
これらは3つ以上の確率変数においても互いに独立ならば成立する。
確率変数

X
Y

{\displaystyle XY}
の分散について考える。
分散の性質より

V
(
X
Y
)
=
E
(
X
2

Y
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

{
E
(
Y
)
}
2


{\displaystyle V(XY)=E(X^{2}Y^{2})-\{E(X)\}^{2}\{E(Y)\}^{2}}
と変形できる。
X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立ならば


X
2

,
Y
2


{\displaystyle X^{2},Y^{2}}
も互いに独立であるので、

E
(
X
2

Y
2

)
=
E
(
X
2

)
E
(
Y
2

)

{\displaystyle E(X^{2}Y^{2})=E(X^{2})E(Y^{2})}
が成り立つ。
よって

V
(
X
Y
)
=
E
(
X
2

)
E
(
Y
2

)
−

E
(
X
)

2


E
(
Y
)

2


{\displaystyle V(XY)=E(X^{2})E(Y^{2})-{E(X)}^{2}{E(Y)}^{2}}
となる。
ここで分散の性質より上式は

[
V
(
X
)
+
{
E
(
X
)
}
2

]
[
V
(
Y
)
+
{
E
(
Y
)
}
2

]
−
{
E
(
X
)
}
2

{
E
(
Y
)
}
2


{\displaystyle [V(X)+\{E(X)\}^{2}][V(Y)+\{E(Y)\}^{2}]-\{E(X)\}^{2}\{E(Y)\}^{2}}
と変形できるので、
展開して

V
(
X
Y
)
=
V
(
X
)
V
(
Y
)
+
{
E
(
X
)
}
2

V
(
Y
)
+
{
E
(
Y
)
}
2

V
(
X
)

{\displaystyle V(XY)=V(X)V(Y)+\{E(X)\}^{2}V(Y)+\{E(Y)\}^{2}V(X)}
となる。
これは3つ以上の確率変数においても互いに独立ならば成立する。
なお、上記で紹介した確率変数の和の分散、確率変数の積の期待値・分散については、確率変数が従属である場合には確率変数のとる値を用いて直接計算する必要がある。
確率

p

{\displaystyle p}
で

A

{\displaystyle A}
か

B

{\displaystyle B}
かの2通りの結果をとる試行を独立に

n

{\displaystyle n}
回繰り返したとき、

A

{\displaystyle A}
が起こる回数

X

{\displaystyle X}
の確率分布は反復試行の確率より以下のようになる。ただし、

0
<
p
<
1
,
q
=
1
−
p

{\displaystyle 0<p<1,q=1-p}
である。
表の確率は二項定理の展開式の各項と一致している。
このような分布のことを二項分布と呼び、

B
(
n
,
p
)

{\displaystyle B(n,p)}
のように書く。ここでは、確率変数

X

{\displaystyle X}
が二項分布

B
(
n
,
p
)

{\displaystyle B(n,p)}
に従うことを

X
∼
B
(
n
,
p
)

{\displaystyle X\sim B(n,p)}
と表すこととする。
事象

A

{\displaystyle A}
の起こる確率が

p

{\displaystyle p}
である試行を独立に

n

{\displaystyle n}
回行うとき、第

k

{\displaystyle k}
回目の試行で事象

A

{\displaystyle A}
が起これば

1

{\displaystyle 1}
、起こらなければ

0

{\displaystyle 0}
の値をとる確率変数を


X
k


{\displaystyle X_{k}}
とおく。
このとき、

P
(
X
k

=
1
)
=
p
,
P
(
X
k

=
0
)
=
q

{\displaystyle P(X_{k}=1)=p,P(X_{k}=0)=q}
なので期待値の定義より

E
(
X
k

)
=
1
⋅
p
+
0
⋅
q
=
p

{\displaystyle E(X_{k})=1\cdot p+0\cdot q=p}
である。
また、

E
(
X
k

2

)
=
1
2

⋅
p
+
0
2

⋅
1
=
p

{\displaystyle E(X_{k}^{2})=1^{2}\cdot p+0^{2}\cdot 1=p}
より

V
(
X
k

)
=
E
(
X
k

2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

=
p
−
p
2

=
p
(
1
−
p
)
=
p
q

{\displaystyle V(X_{k})=E(X_{k}^{2})-\{E(X)\}^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}
である。
X
=
∑
k
=
1

n

X
k


{\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}
とおくと、確率変数

X

{\displaystyle X}
は

n

{\displaystyle n}
回の反復試行において事象

A

{\displaystyle A}
が起こる回数であるから、

X
∼
B
(
n
,
p
)

{\displaystyle X\sim B(n,p)}
である。
よって、確率変数の和の期待値・分散を求める公式を用いて、
E
(
X
)
=
E
(
∑
k
=
1

n

X
k

)
=
∑
k
=
1

n

E
(
X
k

)
=
∑
k
=
1

n

p
=
n
p

{\displaystyle E(X)=E(\sum _{k=1}^{n}X_{k})=\sum _{k=1}^{n}E(X_{k})=\sum _{k=1}^{n}p=np}
V
(
X
)
=
V
(
∑
k
=
1

n

X
k

)
=
∑
k
=
1

n

V
(
X
k

)
=
∑
k
=
1

n

p
q
=
n
p
q

{\displaystyle V(X)=V(\sum _{k=1}^{n}X_{k})=\sum _{k=1}^{n}V(X_{k})=\sum _{k=1}^{n}pq=npq}
である。