
2次関数にかぎらず、一般に関数 y=f(x) のグラフをy軸の正の方向に q だけ平行移動したグラフは、
のグラフになる。
また、関数 y=f(x) のグラフをx軸の正の方向に p だけ平行移動したグラフは、
のグラフになる。
よって、関数 y=f(x) のグラフをx軸の正の方向に p 、y軸の正の方向にq だけ平行移動したグラフは、
のグラフになる。

2次関数にかぎらず、一般に関数 y=f(x) のグラフをx軸に関して対称に移動したグラフは、
のグラフになる。
また、関数 y=f(x) のグラフをy軸に関して対称に移動したグラフは、
のグラフになる。
よって、関数 y=f(x) のグラフを原点に関して対称に移動したグラフは、
のグラフになる。

2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸に共有点があるとき、その共有点の

y

{\displaystyle y}
座標は0であるから、共有点の

x

{\displaystyle x}
座標は、二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
の実数解である。
次の2次関数のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸の共有点の座標を求めよ。
(i)
(ii)
(i) 2次方程式


x
2

−
2
x
−
1
=
0

{\displaystyle x^{2}-2x-1=0}
を解くと
よって、共有点の座標は
(ii) 2次方程式

−
4
x
2

−
4
x
−
1
=
0

{\displaystyle -4x^{2}-4x-1=0}
を解くと
よって、共有点の座標は
(ii)のグラフはただ1点


(
−

1
2

 
,
 
0
)

{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\ ,\ 0\right)}
で共有し、共有点の

x

{\displaystyle x}
座標は二次方程式

−
4
x
2

−
4
x
−
1
=
0

{\displaystyle -4x^{2}-4x-1=0}
の重解である。このようなとき、2次関数のグラフは

x

{\displaystyle x}
軸に接するといい、その共有点を接点という。
2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸との共有点の

x

{\displaystyle x}
座標は、二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
の実数解で、実数解の個数は

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
の符号によって決まる。
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle b^{2}-4ac}
 のことを 2次方程式 

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
の 判別式 (はんべつしき)という。

2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸の位置関係について、

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
とするとき
次の2次関数のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸との共有点の個数を求めよ。
(I)
(II)
(III)
(I)
だから、

x

{\displaystyle x}
軸との共有点はなし。
(II)
だから、

x

{\displaystyle x}
軸との共有点は2個。
(III)
だから、

x

{\displaystyle x}
軸との共有点は1個。
2次間数にかぎらず、一般に関数 y = f(x)において、
変数x のとりうる値の範囲のことを定義域(ていぎいき、domain)という。
また、xの値に対応して y の値のとりうる範囲のことを値域(ちいき、range)という。
多くの場合、値域は定義域の影響を受けて変化する。
また、この例のように、定義域や値域を表す場合に、不等式で表す手法も多い。
略式の記法として、定義域を表す場合に、
のようにカッコ内の不等式で表すことも、よくある。この記法(「  y=2x    (1 ≦ x ≦ 3) 」)の場合、定義域は 1 ≦ x ≦ 3 であると主張している。
つまり、定義域を数式ではっきりと示す必要がある場合には
のように示すことがよくある。この関数の場合、定義域は

a
≦
x
≦
b

{\displaystyle a\leqq x\leqq b}
である。
特に定義域の指定されてない場合は、可能なかぎり定義域を広くとるのが普通である。

たとえば、さきほどの関数 y=2x の問題の例 、
では、与えられた定義域で、この関数の値のとりうる最大の値は 6 である。
このように、ある関数が、与えられた条件下でもつ最大の値のことを、その関数の最大値(さいだいち, maximum)という。
または、さきほど習った「値域」という言葉をつかうなら、「最大値」とは、値域の最大の値のことである。
つまり、関数  y=2x    (1 ≦ x ≦ 3) の最大値は 6 である。
もし、定義域を指定しなければ、関数  y=2x  に最大値は無い(定義域の指定がなければ、xが どこまでも大きくなるし、それに比例してyも大きくなるので)。
同様に、ある関数が、与えられた条件下でもつ最小の値のことを、その関数の最小値(さいしょうち, minimum)という。
関数  y=2x    (1 ≦ x ≦ 3) の最小値は 2 である。

定義域が実数全体である2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
 では、右図のように、aの正負によって最小値(a>0 の場合)、または最大値がある(a<0の場合)。

と標準形にし、グラフを書くと右図のようになる。
したがってグラフより答えは最大値は

x
=
0

{\displaystyle x=0}
 のとき

5

{\displaystyle 5}
, 最小値は

x
=
−

5
2


{\displaystyle x=-{\frac {5}{2}}}
 のとき

−

5
4


{\displaystyle -{\frac {5}{4}}}
。
上の例題と同様の問題のように思えるが、定義域が

0
≤
x
≤
3

{\displaystyle 0\leq x\leq 3}
 ではなく、

0
≤
x
<
3

{\displaystyle 0\leq x<3}
 となっている。とりあえずグラフをかいてみることにする。
グラフから、最大値は

x
=
1

{\displaystyle x=1}
 のとき

2

{\displaystyle 2}
, 最小値は存在しない。
二次不等式とは、

x

{\displaystyle x}
 の二次式と不等号で表される式のことをいい、
のような形をしている。グラフを利用して二次不等式の解を考えてみよう。
2次関数 

y
=
x
2

+
4
x
=
x
(
x
+
4
)

{\displaystyle y=x^{2}+4x=x(x+4)}
 のグラフは右図のようになる。
x
2

+
4
x
>
0

{\displaystyle x^{2}+4x>0}
 となる

x

{\displaystyle x}
 の値の範囲は右のグラフの

x

{\displaystyle x}
 軸より上側にある部分に対する

x

{\displaystyle x}
 の値の範囲であるから、
この問題をより一般化してみよう。
2次不等式

a
x
2

+
b
x
+
c
>
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c>0}
 を解くには

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
 のグラフをかけば一目瞭然である。しかし、グラフをかいた場合にも我々が注目するのは

x

{\displaystyle x}
 軸より上か下かということと、

x

{\displaystyle x}
 軸との共有点である。

x

{\displaystyle x}
 軸との共有点は二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解であるが、二次方程式の解の公式を思い出してほしい。