
x
→
a

{\displaystyle x\to a}
のとき、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が限りなく大きくなるならば、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は正の無限大に発散するといい、


lim
x
→
a

f
(
x
)
=
∞

{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty }
 と書く。
x
→
a

{\displaystyle x\to a}
のとき、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は負の無限大に発散するといい、


lim
x
→
a

f
(
x
)
=
−
∞

{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty }
 と書く。
xを限りなく大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき
と、xを負の値をとりながら限りなく絶対値を大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき、
と書き、それぞれ正の無限大における極限値、負の無限大における極限値という。
なお、数列の場合と同様にはさみうちの原理、追い出しの原理が成り立つ。
ある関数 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が定義域内の点 

a

{\displaystyle a}
 で連続(れんぞく)であるとは、
その関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフが

x
=
a

{\displaystyle x=a}
の近傍で途切れることなく続いていることを意味する。数式で表すと次のようになる。
であることをいう。また、ある区間で 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が連続であるとは、区間内のすべての点で連続であることをいう。
くどいかもしれないが、上式は左辺の極限値が存在して、かつ右辺と一致するということを意味する。左辺の極限値が存在しない場合はf(x)は連続ではない。
また、

a

{\displaystyle a}
が定義域の左端・右端に位置する場合、点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
で関数が連続である条件はそれぞれ、
となる。
関数

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
が定義域に含まれる値

a

{\displaystyle a}
で連続であるとき、以下の関数も

x
=
a

{\displaystyle x=a}
で連続である。
f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が定義域に含まれる全ての

x

{\displaystyle x}
について連続であるとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
を連続関数と呼ぶ。一般に、初等関数は連続関数である。