というのも、ラジアンの定義には円弧の長さを利用したが、現代の数学では「w:曲線の長さ」も定義なしには扱えないからである。つまりわれわれは、円弧の長さを数学的に定義すればよいということだ。このあとの積分の単元(新課程)で学習することになるが、区間a≦x≦bで自身と導関数がともに連続である関数f について、y =f (x)(a≦x≦b)で表される曲線C の長さは、次の式で求められる。(証明は該当ページ参照 ※2014/02/08時点でWIKIBOOKS内では未作成)
ここで、f (x)を半円弧


1
−
x
2


(
−
1
≤
x
≤
1
)

{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}(-1\leq x\leq 1)}
とすると、円弧の長さを計算できる。ただし、積分区間にx =-1もしくはx =1を含めると具合が悪いので(被積分関数が値を持たない(極限は正の無限大))、積分区間を

−

1
2

≤
x
≤

1
2


{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\leq x\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
としたものを四分円弧の長さとし、円の対称性から円弧一周の長さを決定するとよいとだけ補足しておく。
さて、これでようやく円弧の長さを定義できたので、ラジアンも定義することができる。いよいよ問題の極限の値を求めてみよう。そのために一般的に、再び区間a≦x≦bで自身とその導関数がともに連続である関数f について、y =f (x)(a≦x≦b)で表される曲線C を考えよう。ここで、a≦x≦b, a≦x+Δx≦b, Δx≠0を満たすようにx およびΔxをとる。また、曲線C上に2点P(x,f (x)),Q(x +Δx,f (x +Δx))をとる。いま曲線PQの長さを




P

Q

^


{\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}}
、直線PQの長さをPQで表すこととすると、
が成り立つことを示そう。
w:平均値の定理により、
を満たす実数θが存在する。また、




P

Q

^


{\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}}
を先述の式により定積分で表すと、
であり、ここで、


1
+

{

f
′
(
x
)
}

2



{\displaystyle {\sqrt {1+\left\{f'(x)\right\}^{2}}}}
が、

x
=
x
+
θ
M

Δ
x
,
x
+
θ
m

Δ
x

{\displaystyle x=x+\theta _{M}\Delta x,x+\theta _{m}\Delta x}
 (0≦θM≦1, 0≦θm≦1)でそれぞれxからx +Δxの間での最大値、最小値をとるとすると、xからx +Δxの間の任意の実数t に対して、
が成り立つ。各辺x からx +Δxまで積分することにより、
を得る。