Human: Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por:

v(t)= t³ -15t² +72t +8  para t ∈ [2,6]

a) ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?. Justifica la respuesta.

b) ¿A qué hora circulan los coches con menor velocidad?. Justifica la respuesta.
Assistant: a) Para encontrar la hora en que los coches circulan con mayor velocidad, debemos encontrar el valor máximo de la función v(t) en el intervalo [2,6]. Para ello, podemos derivar v(t) y buscar los puntos críticos:

v(t) = t³ - 15t² + 72t + 8

v'(t) = 3t² - 30t + 72

Igualando v'(t) a cero y resolviendo la ecuación, obtenemos:

3t² - 30t + 72 = 0

t² - 10t + 24 = 0

(t - 4)(t - 6) = 0

Por lo tanto, los puntos críticos son t=4 y t=6. Para determinar si alguno de estos puntos es un máximo, podemos calcular la segunda derivada de v(t):

v''(t) = 6t - 30

v''(4) = 6(4) - 30 = -6 < 0
v''(6) = 6(6) - 30 = 6 > 0

Como v''(6) es positiva, se confirma que el punto crítico t=6 es un mínimo, y por lo tanto, el punto crítico t=4 es el máximo.

Entonces, los coches circulan con mayor velocidad a las 4 pm.

b) Para encontrar la hora en que los coches circulan con menor velocidad, debemos encontrar el valor mínimo de la función v(t) en el intervalo [2,6]. Al igual que en el apartado anterior, podemos derivar v(t) y buscar los puntos críticos:

v(t) = t³ - 15t² + 72t + 8

v'(t) = 3t² - 30t + 72

Igualando v'(t) a cero y resolviendo la ecuación, obtenemos:

3t² - 30t + 72 = 0

t² - 10t + 24 = 0

(t - 4)(t - 6) = 0

Por lo tanto, los puntos críticos son t=4 y t=6. Para determinar si alguno de estos puntos es un mínimo, podemos calcular la segunda derivada de v(t):

v''(t) = 6t - 30

v''(4) = 6(4) - 30 = -6 < 0
v''(6) = 6(6) - 30 = 6 > 0

Como v''(6) es positiva, se confirma que el punto crítico t=6 es un mínimo, y por lo tanto, el punto crítico t=4 es el máximo.

Entonces, los coches circulan con menor velocidad a las 6 pm.
