Richard Dedekind bewies bereits 1888 den sogenannten Isomorphiesatz von Dedekind, dass alle Modelle der Peano-Arithmetik mit Induktionsaxiom zweiter Stufe isomorph zum Standardmodell  sind, d. h., dass die Struktur der natürlichen Zahlen so bis auf Benennung eindeutig charakterisiert wird. Dies gilt dagegen nicht für die erststufige Formalisierung, aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt die Existenz von paarweise nicht isomorphen Modellen (u. a. Modellen jeder unendlichen Kardinalität), die die Peano-Axiome erfüllen.