Cantor benannte das Kontinuumproblem: „Gibt es eine Mächtigkeit zwischen derjenigen der Menge der natürlichen Zahlen und derjenigen der Menge der reellen Zahlen?“ Er selbst versuchte es zu lösen, blieb aber erfolglos. Später stellte sich heraus, dass die Frage grundsätzlich nicht entscheidbar ist. Neben Cantor war Richard Dedekind ein wichtiger Wegbereiter der Mengenlehre. Er sprach von Systemen statt von Mengen und entwickelte 1872 eine mengentheoretische Konstruktion der reellen Zahlen und 1888 eine verbale mengentheoretische Axiomatisierung der natürlichen Zahlen. Er formulierte hier als erster das Extensionalitätsaxiom der Mengenlehre.