In ähnlicher Weise kann im  oder allgemeiner auf einer -dimensionalen orientierbaren semi-riemannschen Mannigfaltigkeit das Levi-Civita-Symbol zur Definition der Komponenten eines kovarianten total schiefsymmetrischen Tensorfeldes -ter Stufe, einer sogenannten Differentialform, benutzt werden. Eine solche Differentialform ist nur bis auf einen skalaren Faktor bestimmt. Die Wahl des Vorfaktors fixiert die Volumeneinheit und definiert die Differentialform als Volumenform. Im euklidischen Raum steht das Levi-Civita-Symbol für die Komponenten des Standardvolumens in der Standardbasis . Bezüglich einer anderen Basis  hat derselbe Tensor offenbar die Komponenten , wobei  und  die dazu inverse Matrix ist. Ist die Basis nicht orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts, dann unterscheiden sich entsprechend ko- und kontravariante Komponenten des Tensors. Der Vorfaktor hängt von den Koordinaten ab, wenn krummlinige Koordinaten verwendet werden oder der zugrunde liegende Basisraum eine (orientierbare) Mannigfaltigkeit ist. Für eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit mit metrischem Tensor  und der zugehörigen riemannschen Volumenform (siehe Hodge-Stern-Operator) ist der Vorfaktor gegeben durch . Das Vorzeichen hängt von der gewählten Orientierung ab. Der Zusammenhang zwischen Levi-Civita-Symbol und Kronecker-Delta verallgemeinert sich zu