Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über  bzw.  und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei  eine Orthonormalbasis und  ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da  eine Hilbertraumbasis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten  bzw. , so dass