Topoloogiline ruum
Topoloogiline ruum on üks matemaatika põhimõisteid, eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus. Topoloogilistele ruumidele üldistuvad ka paljud matemaatilise analüüsi mõisteid, sealhulgas koonduvus, pidevus ja sidusus.
Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldtopoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes.
Kui kontekstist on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, kasutatakse tihti lihtsalt sõna "ruum".
Sisukord
- 1 Definitsioon
- 2 Näiteid
- 3 Vaata ka
Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]
Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Levinuima definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste.
Definitsioon lahtiste hulkade kaudu[muuda | redigeeri lähteteksti]
Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari , kus on mingi mittetühi hulk ning on hulga alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
- tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka ,
- iga kahe hulka kuuluva alamhulga ühisosa kuulub hulka ,
- ükskõik kui paljude hulka kuuluvate alamhulkade ühend kuulub hulka .
Hulka nimetatakse topoloogilise ruumi topoloogiaks ning kogumi elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis . Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis . Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi tähistada ka lihtsalt tähisega .
Olgu ja topoloogiad hulgal . Öeldakse, et topoloogia on tugevam kui topoloogia (ehk topoloogi.
<|begin_of_text|><|start_header_id|>system<|end_header_id|>

Cutting Knowledge Date: December 2023
Today Date: 26 Jul 2024

<|eot_id|><|start_header_id|>user<|end_header_id|>

Below is an extract from a web page. Evaluate whether the page has a high educational
value and could be useful in an educational setting for teaching from primary school to
grade school levels using the additive 5-point scoring system described below. Points are
accumulated based on the satisfaction of each criterion:
- Add 1 point if the extract provides some basic information relevant to educational top-
ics, even if it includes some irrelevant or non-academic content like advertisements and
promotional material.
- Add another point if the extract addresses certain elements pertinent to education but
does not align closely with educational standards. It might mix educational content with
non-educational material, offering a superficial overview of potentially useful topics, or
presenting information in a disorganized manner and incoherent writing style.
- Award a third point if the extract is appropriate for educational use and introduces key
concepts relevant to school curricula. It is coherent though it may not be comprehensive
or could include some extraneous information. It may resemble an introductory section of
a textbook or a basic tutorial that is suitable for learning but has notable limitations like
treating concepts that are too complex for grade school students.
- Grant a fourth point if the extract highly relevant and beneficial for educational purposes
for a level not higher than grade school, exhibiting a clear and consistent writing style. It
could be similar to a chapter from a textbook or a tutorial, offering substantial educational
content, including exercises and solutions, with minimal irrelevant information, and the
concepts aren’t too advanced for grade school students. The content is coherent, focused,
and valuable for structured learning.
- Bestow a fifth point if the extract is outstanding in its educational value, perfectly suited for
teaching either at primary school or grade school. It follows detailed reasoning, the writing
style is easy to follow and offers profound and thorough insights into the subject matter,
devoid of any non-educational or complex content.
The extract: Topoloogiline ruum
Topoloogiline ruum on üks matemaatika põhimõisteid, eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus. Topoloogilistele ruumidele üldistuvad ka paljud matemaatilise analüüsi mõisteid, sealhulgas koonduvus, pidevus ja sidusus.
Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldtopoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes.
Kui kontekstist on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, kasutatakse tihti lihtsalt sõna "ruum".
Sisukord
- 1 Definitsioon
- 2 Näiteid
- 3 Vaata ka
Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]
Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Levinuima definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste.
Definitsioon lahtiste hulkade kaudu[muuda | redigeeri lähteteksti]
Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari , kus on mingi mittetühi hulk ning on hulga alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
- tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka ,
- iga kahe hulka kuuluva alamhulga ühisosa kuulub hulka ,
- ükskõik kui paljude hulka kuuluvate alamhulkade ühend kuulub hulka .
Hulka nimetatakse topoloogilise ruumi topoloogiaks ning kogumi elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis . Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis . Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi tähistada ka lihtsalt tähisega .
Olgu ja topoloogiad hulgal . Öeldakse, et topoloogia on tugevam kui topoloogia (ehk topoloogi.
After examining the extract:
- Briefly justify your total score, up to 100 words.
- Conclude with the score using the format: "Educational score: <total points>"<|eot_id|>
<|start_header_id|>assistant<|end_header_id|>

The extract provides in-depth information on topological spaces, a concept in mathematics, with a clear and consistent writing style. It introduces key concepts, definitions, and examples, making it suitable for educational use. However, the content is too advanced for primary school or grade school levels, limiting its educational value for those audiences.

Educational score: 3